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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
ANÁLISE TEÓRICA DO COMPORTAMENTO OPERACIONAL DE MANCAIS RADIAIS HIDRODINÂMICOS OPERANDO
COM LUBRIFICANTES NÃO-NEWTONIANOS
MÁRCIO RODRIGUES RAIMUNDO
ORIENTADOR: PROF. Dr. PAULO FERNANDES SILVA CO-ORIENTADOR: PROF. Ph.D. VILMAR ARTHUR SCHWARZ
ITAJUBÁ - MG 2002
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Mauá – Bibliotecária Margareth Ribeiro- CRB_6/1700
R153a Raimundo, Márcio Rodrigues Análise teórica do comportamento operacional de mancais radiais hidrodinâmicos operando com lubrificantes Não- Newtonianos / por Márcio Rodrigues Raimundo ; orientado por Paulo Fernandes Silva e co-orientado por Vilmar Arthur Schwarz. -- Itajubá, MG : UNIFEI, 2002. 177 p. il.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de
Itajubá.
1. Mancais radiais. 2. Lubrificantes Não-Newtonianos.
3. Modelo Power Law. I. Silva, Paulo Fernandes,
AGRADECIMENTOS
Aos muitos que, de alguma forma, contribuíram para a realização deste
trabalho de dissertação; em particular:
Aos orientadores Prof. Dr. Paulo Fernandes Silva e Prof. PhD. Vilmar Arthur
Schwarz, pelo apoio e orientação durante a elaboração deste trabalho;
Ao Prof. Dr. Genésio José Menon pelo incentivo e apoio prestado desde o
início do mestrado;
Ao bolsista de iniciação científica FAPEMIG, Hélio Henrique Rabelo, pela
contribuição de sua pesquisa ao presente trabalho;
A todos os professores e funcionários da UNIFEI que, direta ou indiretamente,
contribuíram para a realização deste trabalho;
À Companhia Brasileira de Alumínio, nas pessoas dos Engenheiros José
Eustáquio Fernandes e Luís Sílvio Pozzi, pelo apoio e estímulo para o término deste
trabalho;
Em especial a Deus, fonte de toda a vida, pela saúde e força nos momentos
difíceis.
Aos meus pais
Benedito e Célia
Aos meus irmãos
Mara, Marcos, Mauro e Míriam
RESUMO
No presente trabalho é apresentado um modelo teórico para analisar o
comportamento operacional de mancais radiais hidrodinâmicos operando com
lubrificantes não-Newtonianos modelo power law.
A equação de Reynolds da lubrificação hidrodinâmica modificada para fluidos
não-Newtonianos modelo power law é resolvida através do método de diferenças
finitas e do esquema de sobrerelaxação sucessiva.
No modelo teórico são considerados os efeitos das temperaturas do óleo
lubrificante de suprimento e de recirculação para a determinação da temperatura
efetiva do filme de óleo lubrificante que é realizada através de um procedimento
iterativo, cujo critério de parada é a sua convergência, ou seja, o estabelecimento da
condição de operação em regime.
Com base neste modelo teórico um programa computacional foi desenvolvido,
em linguagem FORTRAN, para simular o comportamento operacional de mancais
radiais finitos operando com lubrificantes não-Newtonianos, dos tipos
pseudoplásticos 1<n e dilatantes 1>n , bem como um óleo mineral comum, ou seja,
fluido Newtoniano 1=n .
Três casos são analisados: a solução isotérmica, a solução adiabática e uma
solução intermediária na qual admite-se que apenas uma certa parcela do calor
gerado pelo atrito fluido contribui para a elevação de temperatura do óleo
lubrificante.
Várias simulações computacionais foram realizadas, com o objetivo de
analisar a influência do índice de característica reológica n sobre o comportamento
operacional de um mancal radial hidrodinâmico em diversas condições de projeto e
operação.
i
ABSTRACT
A theoretical model for the analysis of the operational behavior of journal
bearing operating with non-Newtonian lubricant obeying the power law model is
presented in this work.
The finite difference method and successive over-relaxation scheme solve the
basic modified Reynolds equation for hydrodynamic lubrication with non-Newtonian
fluid obeying the power law model.
In the theoretical model, the effects of the supply and recirculating lubricant oil
temperatures are taken into account to the calculation of the oil film effective
temperature. The solution is taken by an iterative method, whose stopping criterion is
the convergence of the effective operating temperature of the journal bearing oil film,
i.e., the establishment of the operation condition in steady-state.
A computational model is developed in FORTRAN to simulate the operational
behavior of journal bearing with non-Newtonian lubricants, pseudoplastics 1<n and
dilatants 1>n , as well as a common mineral oil, i.e., Newtonian fluid 1=n .
Three cases are analysed: the isotermic solution, the adiabatic solution and an
intermediary solution that take on only a certain generated heat amount for the fluid
friction contribute to the lubricant oil temperature increasing.
Many computational simulations are carried out to analyse the flow behavior
index n influence about the operational behavior of a journal bearing in some project
and operating conditions.
ii
CONTEÚDO
Página
RESUMO ............................................................................................................ i
ABSTRACT ......................................................................................................... ii
CONTEÚDO ........................................................................................................ iii
SIMBOLOGIA ...................................................................................................... vi
ÍNDICE DE FIGURAS ......................................................................................... x
ÍNDICE DE TABELAS ......................................................................................... xiii
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
1.1 - Generalidades .................................................................................. 1
1.2 - Revisão Bibliográfica ........................................................................ 2
1.3 - Revisão do Comportamento e Características dos Lubrificantes .... 7
1.4 - Objetivos do Trabalho ...................................................................... 19
1.5 - Delineamento do Trabalho ............................................................... 21
CAPÍTULO 2 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
2.1 - Dedução da Equação Bidimensional de Reynolds Modificada
para Fluidos Não-Newtonianos, Modelo Power Law ........................ 24
2.2 - Modelo Físico .................................................................................... 39
2.3 - Equações Governantes e Condições de Contorno ........................... 43
2.4 - Procedimento Iterativo para Obtenção dos Parâmetros
Resultantes ....................................................................................... 46
iii
Página
CAPÍTULO 3 – SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DE REYNOLDS
3.1 – Adimensionalização das Equações Governantes .......................... 51
3.2 – Discretização por Diferenças Finitas da Equação de Reynolds .... 54
3.3 - Cálculo dos Parâmetros Resultantes .............................................. 60
CAPÍTULO 4 - RESULTADOS
4.1 – Introdução ....................................................................................... 83
4.2 – Definição da Malha Computacional ................................................ 84
4.3 - Análise Comparativa dos Resultados .............................................. 84
4.4 - Resultados do Presente Trabalho ................................................... 86
CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES
5.1 – Conclusões ...................................................................................... 133
5.2 - Sugestões para Trabalhos Futuros .................................................. 134
APÊNDICES
A1 - Hipóteses Simplificadoras Impostas à Equação da
Continuidade e às Equações da Conservação da q.d.m. ................. 136
A2 - Dedução da Equação da Espessura do Filme de
Óleo )(θhh = ................................................................................. 139
A3 - Integração pelo Método de Simpson .................................................. 141
iv
Página
A4 – Aproximação das Derivadas por Diferenças Finitas ...................... 143
A5 – Especificação dos Parâmetros do Mancal
e do Óleo Lubrificante .................................................................... 146
A6 – Programa Computacional ............................................................. 147
A7 – Tabelas dos Parâmetros Resultantes para os Índices de
Característica Reológica n = 0,8; 0,9; 1,0 e 1,1 ............................. 157
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 174
v
SIMBOLOGIA
Caracteres Latinos
Símbolo Descrição Página
a,b Constantes 15
DCBA ii ,,, Constantes do processo iterativo do cálculo da pressão 55
c Folga radial 40
pC Calor específico do óleo lubrificante 79
,..,, 321 CCC Constantes 33
D Diâmetro do mancal 22
d Diâmetro do eixo 40
ijd Tensor taxa de deformação 26
e Excentricidade 40
F Capacidade de carga 40
F Capacidade de carga adimensional 63
f Coeficiente de atrito 41
..,, 210 fff Parâmetros da regra de Simpsom 64
aF Força de atrito 68
aF Força de atrito adimensional 68
Fr Componente radial da capacidade de carga 60
rF Componente radial adimensional da capacidade de carga 61
Ft Componente tangencial da capacidade de carga 60
tF Componente tangencial adimensional da
capacidade de carga 61
h Espessura do filme de óleo 22
0h Espessura mínima do filme de óleo 40
H Espessura adimensional do filme 51
vi
fH Perda de potência 41
fH Perda de potência adimensional 71
I Invariante do tensor taxa de deformação 26
i Índice da direção circunferencial do mancal 26
j Índice da direção axial do mancal 26
k Número da iteração do processo iterativo 47
L Comprimento axial do mancal 22
m Viscosidade absoluta do óleo 9
m Viscosidade absoluta adimensional 51
0m Viscosidade absoluta do óleo à temperatura de referência 51
efm Viscosidade efetiva absoluta 41
21,mm Viscosidades absolutas às temperaturas 1T e 2T 46
n Índice de característica reológica do lubrificante 9
N Velocidade de rotação do eixo 40
P Pressão do filme de óleo 14
P Pressão adimensional do filme 51
maxP Pressão máxima do filme 40
ijP Pressão adimensional nó ),( ji da malha computacional 54
lQ Vazão lateral (ou axial) de lubrificante 41
lQ Vazão lateral adimensional 79
recQ Vazão de recirculação (ou circunferencial de saída) 41
recQ Vazão de recirculação adimensional 76
sQ Vazão de suprimento 41
tQ Vazão total (ou circunferencial de entrada) 41
tQ Vazão total adimensional 74
xq Vazão na direção radial 38
zq Vazão na direção axial 38
R Raio do mancal 40
vii
s Número de intervalos da malha na direção circunferencial 54
S Número de Sommerfeld 66
t Número de intervalos da malha na direção axial 54
T Temperatura do filme 14
0T Temperatura de referência 15
efT Temperatura efetiva do filme lubrificante 41
mistT Temperatura da mistura de óleo 47
recT Temperatura de recirculação do óleo 47
sT Temperatura do óleo de suprimento 40
u Componente de velocidade na direção x 9
U Velocidade tangencial do eixo 24
00 ,wu Componentes de Couette da velocidade em x e z 30
11, wu Componentes de Poiseuille da velocidade em x e z 30
v Componente de velocidade na direção y 24
w Componente de velocidade na direção z 24
otW Parâmetro de relaxação do processo iterativo 59
x Coordenada na direção circunferencial (movimento) 24
y Coordenada da direção radial 9
z Coordenada na direção axial 24
Caracteres Gregos
Símbolo Descrição Página
α Constante do processo iterativo do cálculo da pressão 60
β Constante da lei exponencial para a viscosidade
do óleo lubrificante 15
δ Parâmetro da regra de Simpsom 64
T∆ Elevação de temperatura 41
viii
T∆ Elevação de temperatura adimensional 81
θ∆ Incremento de posição na direção circunferencial 54
z∆ Incremento de posição na direção axial 54
ε Excentricidade específica do mancal 40
γ Constante da relação viscosidade-pressão 16
φ Ângulo de carga 41
Ψ Fator de convergência do processo iterativo
para o cálculo da pressão 60
λ Constante empírica da parcela de calor gerado retirado
pelo óleo lubrificante 47
µ Viscosidade aparente 9
µ Viscosidade aparente adimensional 74
0µ Viscosidade aparente à temperatura 0T e pressão 0P 15
efµ Viscosidade aparente efetiva 50
0π , 1π Pressões de referência da expansão em série da
pressão exata 31
ρ Densidade do óleo lubrificante 79
θ Ângulo de posição de pressão circunferencial 22
maxθ Ângulo de posição da pressão máxima medido a partir
da linha de centros 'OO 40
maxPθ Posição angular da pressão máxima 62
'θ Ângulo definido pela região de pressão na condição de
contorno de Reynolds ( )'θπ + 42
σ Parâmetro de perturbação da expansão em série 29
τ Tensão de cisalhamento do filme lubrificante 9
ω Velocidade angular 51
ix
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura Página
1.1 - Configurações típicas de hidrocarbonetos ............................................. 8
1.2 - Tensão de cisalhamento versus taxa de deformação .......................... 12
1.3 - Curvas de histerese ............................................................................... 13
1.4 - Comportamento da viscosidade em função da temperatura ................. 16
1.5 - Viscosidade versus taxa de deformação para fluido
lubrificante Newtoniano ......................................................................... 17
1.6 - Viscosidade versus taxa de deformação para fluido
lubrificante não-Newtoniano pseudoplástico ......................................... 18
1.7 - Viscosidade versus taxa de deformação para fluido
lubrificante não-Newtoniano dilatante ................................................... 18
2.1 - Superfícies em movimento relativo ....................................................... 24
2.2 - Geometria do mancal radial hidrodinâmico ........................................... 42
2.3 - Distribuição de pressão do filme lubrificante no plano médio
do mancal ( z = L/2 ) e condições de contorno no plano ( z,θ ) ............ 44
2.4 - Gráfico tridimensional da distribuição de pressão no plano ),( zθ ......... 45
2.5 - Diagrama de blocos do processo iterativo ............................................ 50
3.1 - Malha para solução computacional ....................................................... 54
3.2 - Distribuição adimensional de pressão no plano médio do mancal
e condições de contorno de pressão no plano ( z,θ ) ........................... 55
3.3 - Distribuição de pressão e componentes de carga ................................ 62
3.4 - Componentes de vazão de lubrificante e temperaturas
correspondentes .................................................................................... 73
4.1 - Capacidade de carga adimensional do mancal em função dos casos
térmicos , para L/D =1 e n =0,8 ........................................................... 90
4.2 - Capacidade de carga adimensional do mancal em função dos casos
térmicos , para L/D =1 e n=1,0 ........................................................... 91
x
4.3 - Capacidade de carga adimensional do mancal em função dos casos
térmicos , para L/D =1 e n=1,1 ........................................................... 92
4.4 - Distribuição de pressão adimensional no plano médio do mancal
em função dos casos térmicos, para L/D = 1, n =0,8 e ε =0,7 ............. 93
4.5 - Distribuição de pressão adimensional no plano médio do mancal
em função dos casos térmicos, para L/D = 1, n =1,0 e ε =0,7 ............. 94
4.6 - Distribuição de pressão adimensional no plano médio do mancal
em função dos casos térmicos, para L/D = 1, n =1,1 e ε =0,7 ............. 95
4.7 - Número de Sommerfeld em função do índice de característica
reológica n para relação L/D =1 ......................................................... 102
4.8 - Capacidade de carga adimensional em função do índice de
característica reológica n para relação L/D =1 ................................... 103
4.9 - Vazão circunferencial de entrada adimensional em função do
índice de característica reológica n para relação L/D =1 .................... 104
4.10 - Vazão lateral adimensional em função do índice de característica
reológica n para relação L/D =1 .......................................................... 105
4.11 - Pressão máxima adimensional do filme em função do índice de
característica reológica n para relação L/D =1 ................................... 106
4.12 - Distribuição de pressão adimensional no plano médio do mancal
em função do índice de característica reológica n para relação
L/D = 1 e ε=0,7................................................................................... 107
4.13 - Coeficiente de atrito em função do índice de característica
reológica n para relação L/D = 1 ........................................................ 108
4.14 - Perda de potência adimensional em função do índice de
característica reológica n para relação L/D = 1 ................................. 109
4.15 - Elevação de temperatura adimensional em função do índice de
característica reológica n para relação L/D = 1 .................................. 110
4.16 - Temperatura efetiva do filme em função do índice de
característica reológica n para relação L/D = 1 .................................. 111
4.17 - Viscosidade efetiva aparente em função do índice de
característica reológica n para relação L/D = 1 .................................. 112
xi
4.18 - Capacidade de carga adimensional em função da relação L/D
do mancal para n =0,8 ....................................................................... 113
4.19 - Capacidade de carga adimensional em função da relação L/D
do mancal para n =1,0 ....................................................................... 114
4.20 - Capacidade de carga adimensional em função da relação L/D
do mancal para n =1,1 ....................................................................... 115
4.21 - Temperatura efetiva do filme em função da relação L/D
do mancal para n =0,8 ....................................................................... 116
4.22 - Temperatura efetiva do filme em função da relação L/D
do mancal para n =1,0 ....................................................................... 117
4.23 - Temperatura efetiva do filme em função da relação L/D
do mancal para n =1,1 ....................................................................... 118
4.24 - Temperatura efetiva do filme em função da rotação do mancal
para relação L/D =1 e n =0,8 ............................................................ 119
4.25 - Temperatura efetiva do filme em função da rotação do mancal
para relação L/D =1 e n =1,0 ............................................................. 120
4.26 - Temperatura efetiva do filme em função da rotação do mancal
para relação L/D =1 e n =1,1 ............................................................. 121
4.27 - Capacidade de carga adimensional do mancal em função da
temperatura do óleo de suprimento para L/D = 1 e n = 0,8 .............. 122
4.28 - Capacidade de carga adimensional do mancal em função da
temperatura do óleo de suprimento para L/D = 1 e n = 1,0 .............. 123
4.29 - Capacidade de carga adimensional do mancal em função da
temperatura do óleo de suprimento para L/D = 1 e n = 1,1 .............. 124
4.30 - Perda de potência adimensional em função da temperatura
de suprimento do óleo lubrificante para L/D = 1 e n = 0,8 ................. 125
4.31 - Perda de potência adimensional em função da temperatura
de suprimento do óleo lubrificante para L/D = 1 e n = 1,0 ................. 126
4.32 - Perda de potência adimensional em função da temperatura
de suprimento do óleo lubrificante para L/D = 1 e n = 1,1 ................ 127
4.33 - Temperatura efetiva do filme em função da temperatura de
suprimento do óleo lubrificante para L/D = 1 e n = 0,8 ..................... 128
xii
4.34 - Temperatura efetiva do filme em função da temperatura de
suprimento do óleo lubrificante para L/D = 1 e n = 1,0 ..................... 129
4.35 - Temperatura efetiva do filme em função da temperatura de
suprimento do óleo lubrificante para L/D = 1 e n = 1,1 ..................... 130
4.36 - Temperatura efetiva do filme versus temperatura do óleo
de suprimento para L/D=1 e ε=0,7 ................................................... 131
4.37 - Temperatura efetiva do filme versus rotação do mancal para
L/D=1 e ε=0,7 ................................................................................... 132
A2.1 - Configuração básica de um mancal radial hidrodinâmico ................. 139
A3.1 - Nomenclatura da função )(uf para regra de Simpson ................... 141
A4.1 - Aproximação por diferenças finitas .................................................. 144
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela Página
4.1 - Definição das malhas computacionais ........................................... 84
4.2 - Comparação do número de Sommerfeld para L/D = 1.................... 85
4.3 - Comparação do ângulo de carga φ para L/D = 1........................... 85
4.4 - Caso isotérmico (L/D =1) ................................................................ 87
4.5 - Caso intermediário (L/D =1) ........................................................... 87
4.6 - Caso adiabático (L/D =1) ................................................................ 87
A7.1 - Parâmetros resultantes para L/D = 1/4 e n = 0.8 ........................... 158
A7.2 - Parâmetros resultantes para L/D = 1/2 e n = 0.8 ........................... 159
A7.3 - Parâmetros resultantes para L/D = 1 e n = 0.8 .............................. 160
A7.4 - Parâmetros resultantes para L/D = 2 e n = 0.8 .............................. 161
A7.5 - Parâmetros resultantes para L/D = 1/4 e n = 0.9 ........................... 162
A7.6 - Parâmetros resultantes para L/D = 1/2 e n = 0.9 ........................... 163
A7.7 - Parâmetros resultantes para L/D = 1 e n = 0.9 .............................. 164
A7.8 - Parâmetros resultantes para L/D = 2 e n = 0.9 .............................. 165
xiii
A7.9 - Parâmetros resultantes para L/D = 1/4 e n = 1.0 ........................... 166
A7.10 - Parâmetros resultantes para L/D = 1/2 e n = 1.0 ........................... 167
A7.11 - Parâmetros resultantes para L/D = 1 e n = 1.0 .............................. 168
A7.12 - Parâmetros resultantes para L/D = 2 e n = 1.0 .............................. 169
A7.13 - Parâmetros resultantes para L/D = 1/4 e n = 1.1 ........................... 170
A7.14 - Parâmetros resultantes para L/D = 1/2 e n = 1.1 ........................... 171
A7.15 - Parâmetros resultantes para L/D = 1 e n = 1.1 .............................. 172
A7.16 - Parâmetros resultantes para L/D = 2 e n = 1.1 .............................. 173
xiv
83
CAPÍTULO 4
RESULTADOS
4.1- Introdução
Após as etapas de formulação do problema, definição do procedimento
iterativo para o estabelecimento da condição de regime, apresentação do
desenvolvimento de um modelo numérico para a solução da equação governante,
cálculo dos parâmetros resultantes e desenvolvimento do programa computacional;
segue-se no presente capítulo a apresentação e análise dos resultados, obtidos
através de várias simulações computacionais, tomando por base as características
do mancal e lubrificante no Apêndice A5.
O comportamento dos parâmetros resultantes do mancal radial hidrodinâmico
é analisado principalmente em função de várias excentricidades específicas e
relações DL / do mancal. Investiga-se também a influência do índice de
característica reológica n do óleo lubrificante, no comportamento operacional do
mancal. Além disso, três tipos de abordagens são implementadas: a solução
isotérmica onde não é considerada a variação da viscosidade do óleo lubrificante
com a temperatura, a solução adiabática onde todo o calor gerado pelo atrito fluido é
transferido para o óleo lubrificante e por ele é carregado para fora do mancal e a
solução intermediária onde apenas parte do calor gerado contribui para a elevação
de temperatura do óleo lubrificante. Nas soluções adiabática e intermediária são
determinadas as temperaturas efetivas do óleo lubrificante, na condição de operação
em regime, e as suas correspondentes viscosidades usando-se a equação de
Walther.
Os resultados são apresentados em forma de tabelas e gráficos para permitir
a comparação com os resultados obtidos por outros pesquisadores e para facilitar a
realização de análises preditivas do comportamento operacional de um mancal radial
hidrodinâmico em diversas condições de operação.
84
4.2 – Definição da Malha Computacional
Antes da simulação computacional definitiva foi feito um estudo do
comportamento de alguns parâmetros resultantes (número de Sommerfeld e
temperatura efetiva) com relação ao grau de refinamento da malha computacional
utilizada. Com isso, através da convergência destes parâmetros determinaram-se as
seguintes malhas computacionais a serem usadas nas simulações, conforme mostra
a tabela 4.1.
Tabela 4.1 – Definição das Malhas Computacionais
L / D n = 0,8 n = 0,9 n = 1,0 n = 1,1
1/4 29 x 9 35 x 11 29 x 9 45 x 15
1/2 35 x 11 35 x 11 45 x 15 35 x 11
1 35 x 11 45 x 15 35 x 11 35 x 11
2 45 x 15 45 x 15 35 x 11 35 x 11
4.3 - Análise Comparativa dos Resultados
Através de um programa computacional, desenvolvido em linguagem
FORTRAN, simulou-se o comportamento operacional de mancais radiais
hidrodinâmicos com relações DL / iguais a 1/4, 1/2 , 1 e 2, para excentricidade
específica ε variando de 0,1 a 0,9 e para óleos lubrificantes com índices de
característica reológica n iguais a 0,8; 0,9; 1,0 e 1,1 (demais dados no Apêndice
A5).
Para comprovar a validade dos resultados obtidos no presente trabalho, os
mesmos foram comparados com resultados obtidos por outros pesquisadores, tais
como Dien e Elrod [13] e Raghunandana e Majumdar [26]. Para tal, foram utilizados
como parâmetros de comparação o número de Sommerfeld e o ângulo de carga φ ,
obtidos através da solução intermediária, para um mancal radial hidrodinâmico com
relação DL / =1, operando com um óleo não-Newtoniano do tipo pseudoplástico
8,0=n e com um óleo mineral comum, ou seja, um óleo lubrificante Newtoniano
85
0,1=n . As tabelas 4.2 e 4.3 ilustram esta análise comparativa, mostrando também
os desvios ocorridos entre os resultados.
Tabela 4.2 – Comparação do número de Sommerfeld para um mancal com L/D =1
n ε S [13] S [26] S [presente] Desvio [13] Desvio [26]
0,4 0,290 0,2841 0,287 -1,03% 1,02%
0,6 0,140 0,1406 0,142 1,42% 0,99%0,8
0,8 0,059 0,0566 0,058 -1,69% 2,47%
0,4 0,260 0,2593 0,261 0,38% 0,65%
0,6 0,120 0,1203 0,121 0,83% 0,58%1,0
0,8 0,045 0,0428 0,044 -2,22% 2,80%
Analisando a tabela 4.2 verifica-se uma boa concordância dos resultados
obtidos no presente trabalho em relação ao número de Sommerfeld, parâmetro dos
mais importantes para o projeto e análise do comportamento operacional de um
mancal radial hidrodinâmico. Pode-se notar que o maior desvio ocorreu para 0,1=n
e 8,0=ε , o qual foi de –2,22% em relação aos resultados obtidos por Dien e Elrod
[13] e 2,80% em relação aos resultados de Raghunandana e Majumdar [26].
Tabela 4.3 – Comparação do ângulo de carga φ para um mancal com L/D=1,0
n ε φ ( ° ) [13] φ ( ° ) [presente] Desvio [13]
0,2 74,2 74,16 -0,05%
0,4 63,9 63,94 -0,06%
0,6 52,7 52,73 -0,05%
0,8 39,3 38,82 -1,22%
0,8
0,9 29,8 28,47 -4,46%
0,2 73,8 73,82 0,02%
0,4 62,5 62,61 0,17%
0,6 50,5 50,24 -0,51%
0,8 36,4 35,93 -1,29%
1,0
0,9 26,5 25,24 -4,75%
86
Novamente pode-se verificar a boa concordância dos resultados obtidos
para o ângulo de carga φ , neste caso o maior desvio foi de –4,75% para 0,1=n e
9,0=ε , em relação aos resultados obtidos por Dien e Elrod [13].
4.4 – Resultados do Presente Trabalho
No item anterior foi certificada a validade dos resultados obtidos no presente
trabalho, comparando-os com os resultados obtidos por outros pesquisadores.
Procede-se agora a apresentação e análise dos resultados obtidos no presente
trabalho. Serão apresentados resultados de simulações computacionais do
comportamento operacional de um mancal radial hidrodinâmico em várias condições
de projeto e operação. Os parâmetros resultantes do mancal serão calculados e
analisados em função da variação da relação DL / , da excentricidade específica εe do índice de característica reológica n do óleo lubrificante. Do ponto de vista
térmico são analisados os casos isotérmico, intermediário (temperatura média) e
adiabático.
Primeiramente serão apresentados resultados de alguns parâmetros
relativos às três abordagens estudadas, ou seja, caso isotérmico, caso adiabático e
caso intermediário. Neste último, é determinada a temperatura efetiva média do filme
de óleo e sua correspondente viscosidade. Desta forma têm-se resultados mais
reais, quando comparados com os casos extremos, os quais não superestimam nem
subestimam a capacidade de carga do mancal. As tabelas 4.4, 4.5 e 4.6 mostram
uma comparação dos 3 casos descritos em relação aos parâmetros resultantes
capacidade de carga adimensional,F , e pressão máxima adimensional do
filme, maxP , para relação 1/ =DL , CTs °= 38 , 1500=N rpm e para três valores
do índice de característica reológica n = 0,8; 1,0 e 1,1 (não-Newtoniano
pseudoplástico, Newtoniano e não-Newtoniano dilatante, respectivamente). A seguir,
são apresentados também alguns gráficos comparativos destes parâmetros relativos
as três abordagens em estudo para uma melhor visualização de seus
comportamentos.
87
Tabela 4.4 – Caso isotérmico ( 1/ =DL )
ε 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
n =0,8 0,205 0,430 0,687 1,012 1,440 2,047 3,059 5,010 10,738
n =1,0 0,217 0,458 0,747 1,115 1,629 2,401 3,759 6,591 16,088Fn =1,1 0,223 0,472 0,771 1,164 1,709 2,585 4,151 7,513 19,615
n =0,8 0,188 0,402 0,662 1,015 1,541 2,370 3,857 7,460 20,716
n =1,0 0,201 0,434 0,735 1,155 1,802 2,919 5,057 10,525 34,494maxP
n =1,1 0,207 0,450 0,766 1,225 1,921 3,214 5,763 12,382 44,116
Tabela 4.5 – Caso intermediário ( 1/ =DL )
ε 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
n =0,8 0,155 0,365 0,614 0,920 1,329 1,913 2,860 4,684 10,039
n =1,0 0,085 0,228 0,424 0,682 1,037 1,588 2,491 4,263 9,664Fn =1,1 0,050 0,145 0,281 0,468 0,736 1,149 1,832 3,148 7,149
n =0,8 0,143 0,341 0,591 0,922 1,422 2,216 3,606 6,975 19,367
n =1,0 0,079 0,216 0,418 0,707 1,148 1,931 3,351 6,807 20,721maxP
n =1,1 0,047 0,138 0,279 0,492 0,827 1,429 2,544 5,187 16,079
Tabela 4.6 – Caso adiabático ( 1/ =DL )
ε 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
n =0,8 0,154 0,359 0,597 0,898 1,297 1,860 2,780 4,514 9,448
n =1,0 0,082 0,215 0,394 0,624 0,935 1,379 2,158 3,561 7,746Fn =1,1 0,048 0,135 0,252 0,413 0,634 0,962 1,477 2,470 5,336
n =0,8 0,141 0,335 0,575 0,900 1,387 2,153 3,505 6,721 18,227
n =1,0 0,076 0,204 0,388 0,646 1,035 1,676 2,903 5,687 16,608maxP
n =1,1 0,045 0,128 0,251 0,435 0,713 1,196 2,051 4,072 12,001
88
Nas figuras 4.1 a 4.6, a seguir, são analisados os comportamentos dos
parâmetros capacidade de carga adimensional, F , e distribuição de pressão
adimensional no plano médio do mancal, P , em função das três soluções
estudadas do ponto de vista térmico. A capacidade de carga é apresentada em
função da excentricidade específica, ε , e a distribuição de pressão em função do
ângulo circunferencial θ para ε =0,7 e em ambos os casos para relação L/D =1,
CTs °= 38 e n = 0,8; 1,0 e 1,1.
A análise das figuras 4.1 a 4.3 permite-nos observar que a capacidade de
carga adimensional do mancal apresenta dois comportamentos distintos em relação
aos casos térmicos estudados. Para os casos adiabático e intermediário a
capacidade de carga adimensional do mancal aumenta com a redução do índice de
característica reológica, n , do óleo lubrificante, enquanto que para o caso
isotérmico ocorre o inverso. Verifica-se desta forma que a solução isotérmica não é
uma boa aproximação para os resultados, pois apenas para o óleo lubrificante
pseudoplástico, n = 0,8, ela fornece resultados mais próximos aos das soluções
intermediária e adiabática. Para os óleos minerais comuns (Newtonianos n =1) e os
óleos não-Newtonianos dilatantes (n >1) a solução isotérmica fornece resultados
com erros consideráveis. Assim, a solução intermediária é a que fornece o resultado
mais próximo do real, para qualquer valor do índice de característica reológica n ,
visto que é uma teoria que não adota hipóteses extremas sobre a forma de
dissipação do calor gerado pelo atrito viscoso do óleo lubrificante, como são os
casos isotérmico e adiabático. É necessário destacar que, devido ao parâmetro
adimensional definido para a capacidade de carga, o comportamento da mesma na
forma dimensional é o inverso, ou seja, quando se aumenta o índice de
característica reológica n do lubrificante a capacidade de carga dimensional do
mancal também aumenta.
Analisando as figuras 4.4 a 4.6, sobre a distribuição de pressão
adimensional no plano médio do mancal, observa-se novamente que o caso
isotérmico apresenta um comportamento inverso aos casos adiabático e
intermediário, pois na solução isotérmica a pressão adimensional em uma
89
determinada posição circunferencial θ aumenta com o aumento do índice de
característica reológica, n , do óleo lubrificante. Verifica-se também nestas figuras a
diferença das três abordagens estudadas, mostrando que a solução intermediária é
a que fornece resultados mais realísticos pois não superestima nem subestima os
valores das pressões hidrodinâmicas do mancal. Com relação aos valores
dimensionais das pressões, verifica-se novamente um comportamento inverso ao
comportamento adimensional, em virtude do parâmetro de adimensionalização
adotado para a pressão.
90
Figura 4.1
91
Figura 4.2
92
Figura 4.3
93
Figura 4.4
94
Figura 4.5
95
Figura 4.6
96
De acordo com os resultados apresentados anteriormente e segundo
pesquisadores, a solução intermediária adotada no presente trabalho, do ponto de
vista térmico para qualquer valor do índice de característica reológica, n , é a
solução mais realista. Portanto, os gráficos em seguida e as tabelas apresentadas
no apêndice A7, bem como a discussão dos resultados, serão deste ponto em diante
sempre referentes ao caso intermediário.
Nas figuras 4.7 a 4.17, em seguida, serão analisados os comportamentos de
vários parâmetros resultantes em função do índice de característica reológica, n , do
óleo lubrificante para uma relação L/D fixa do mancal igual a 1, CTs °= 38 e para
vários valores da excentricidade específica, ε . Três óleos lubrificantes de índice de
característica reológica, n , diferentes serão utilizados nesta análise; um óleo não-
Newtoniano pseudoplástico, n=0,8; um óleo Newtoniano, n=1,0; e um óleo não-
Newtoniano dilatante, n=1,1.
A figura 4.7 mostra o comportamento de um parâmetro importante e muito
usado por pesquisadores e projetistas como elemento base na análise preditiva de
mancais, ou seja o número de Sommerfeld, S . Pela análise da figura verifica-se que
o número de Sommerfeld aumenta com a redução do índice de característica
reológica, n , e diminui com o aumento da excentricidade específica, ε .
O comportamento da capacidade de carga adimensional, F , do mancal é
analisado na figura 4.8. Vê-se pelo gráfico que a capacidade de carga adimensional
do mancal aumenta com a redução do índice de característica reológica, n , e com o
aumento da excentricidade específica, ε . Porém, mais uma vez vale ressaltar que,
na forma dimensional, o comportamento é o inverso, ou seja , a capacidade de carga
dimensional do mancal aumenta com o aumento do índice de característica
reológica, n , do óleo lubrificante. Desta forma conclui-se que a utilização de óleos
lubrificantes não-Newtonianos dilatantes conferem ao mancal uma maior capacidade
de carga quando comparados aos óleos minerais comuns Newtonianos ou aos óleos
lubrificantes não-Newtonianos do tipo pseudoplásticos.
97
A figura 4.9 mostra o comportamento da vazão adimensional de entrada, tQ .
Verifica-se que a vazão adimensional de entrada aumenta com o aumento da
excentricidade, ε , e do índice de característica reológica, n .
A figura 4.10 ilustra o comportamento da vazão adimensional lateral, lQ . A
vazão adimensional lateral aumenta com o aumento da excentricidade específica, ε ,
e também é maior para maiores índices de característica reológica, n , porém com
menor influência que a excentricidade.
Na figura 4.11 é apresentado o comportamento da pressão máxima
adimensional, maxP , do mancal. Observa-se que a pressão máxima adimensional
aumenta com o aumento da excentricidade específica, ε , e é maior para menores
índices de característica reológica, n , porém, como já comentado anteriormente,
devido ao parâmetro de adimensionalização para a pressão, o comportamento da
mesma na forma dimensional é o inverso com relação ao índice de característica
reológica. Ou seja, para o óleo de maior índice de característica reológica (não-
Newtoniano dilatante) a pressão máxima dimensional é maior. Este parâmetro é
muito importante, pois serve de base para o dimensionamento do material do
revestimento interno do mancal.
A distribuição de pressão adimensional no plano médio do mancal, P , ao
longo da direção circunferencial, θ , é mostrada na figura 4.12 para excentricidade
específica ε = 0,7. Nota-se que lubrificantes com menores índices de característica
reológica proporcionam pressões hidrodinâmicas adimensionais maiores (em termos
dimensionais, menores) em toda a região da cunha de óleo do mancal e que o
ângulo θ da pressão máxima fica aproximadamente entre 150° e 160 °. Isto
confirma a conclusão de que os óleos não-Newtonianos dilatantes proporcionam
maior capacidade de carga ao mancal, relativamente aos Newtonianos e aos não-
Newtonianos pseudoplásticos.
A figura 4.13 apresenta a variação do coeficiente de atrito, )/( cRf , do
mancal, parâmetro este muito importante na determinação da perda de potência do
98
mesmo. Observa-se que o coeficiente de atrito aumenta com a diminuição da
excentricidade específica, ε , e do índice de característica reológica, n , do
lubrificante.
A figura 4.14 nos mostra que a perda de potência adimensional do mancal,
fH , aumenta com a redução do índice de característica reológica, n , do
lubrificante, para uma excentricidade fixa. Na forma dimensional, a perda de
potência diminui com a redução do índice de característica reológica. Com relação a
excentricidade específica, ε , a perda de potência adimensional aumenta com o
aumento da excentricidade.
A elevação de temperatura adimensional, T∆ , do óleo lubrificante tem seu
comportamento mostrado na figura 4.15. Através deste parâmetro determina-se a
temperatura efetiva do filme de óleo lubrificante. Nota-se que a medida que a
excentricidade específica aumenta a elevação de temperatura adimensional diminui.
O mesmo acontece em relação ao índice de característica reológica, n , ou seja, a
elevação de temperatura adimensional diminui com o aumento do índice n . Na
forma dimensional, também ocorre o inverso.
A figura 4.16 apresenta o comportamento da temperatura efetiva
(dimensional) do filme de óleo lubrificante do mancal, efT , parâmetro este que influi
diretamente na viscosidade efetiva do filme e consequentemente na especificação
do lubrificante mais adequado. Observa-se que a temperatura efetiva diminui com o
aumento da excentricidade específica até um certo valor, passa por um mínimo
próximo a ε = 0,7 e então aumenta novamente. Nota-se ainda que o aumento do
índice de característica reológica, n , aumenta a temperatura efetiva do filme e que o
óleo pseudoplástico, n=0,8, apresenta uma maior estabilidade térmica em relação a
condição operacional (excentricidade específica de trabalho).
A figura 4.17 mostra o comportamento da viscosidade efetiva aparente do
lubrificante, efµ , na forma dimensional. Observa-se novamente que o óleo
pseudoplástico, n=0,8, apresenta-se mais estável que os demais visto que sofre
99
pequena variação da viscosidade com a excentricidade. Nota-se também que para
uma mesma excentricidade específica, ε , a viscosidade efetiva aparente é maior
para maiores índices de característica reológica, n , e que a mesma aumenta com a
excentricidade até um certo valor e então diminui novamente, passando por um
máximo para uma excentricidade entre 0,6 e 0,7.
As figuras 4.18 a 4.23 mostram a influência da relação L/D do mancal no
comportamento dos parâmetros resultantes capacidade de carga adimensional, F ,
e temperatura efetiva do filme, efT , para CTs °= 38 e n=0,8; 1,0 e 1,1 em função
da excentricidade, ε . Serão analisadas as relações L/D =1/4, 1/2, 1 e 2.
Verifica-se pelas figuras 4.18 a 4.20 que para os três índices n a capacidade
de carga adimensional do mancal aumenta com o aumento da relação L/D do
mancal e da excentricidade específica, ε . Na forma dimensional, a influência da
relação L/D também é a mesma.
Observando as figuras 4.21 a 4.23 nota-se que a temperatura efetiva do
filme, efT , aumenta com o aumento da relação L/D do mancal e que para uma
relação L/D fixa a temperatura efetiva passa por um mínimo próximo a
excentricidade ε =0,7. Verifica-se ainda que a temperatura efetiva apresenta, para
uma determinada excentricidade fixa, uma tendência de convergência à medida que
a relação L/D diminui.
As figuras 4.24 a 4.26 mostram o comportamento da temperatura efetiva do
filme de óleo, efT , com a variação da velocidade de rotação do eixo do mancal
para relação L/D =1, CTs °= 38 e n=0,8; 1,0 e 1,1. Observa-se que o aumento da
rotação do eixo eleva a temperatura efetiva do filme de óleo para os três valores de
n e que a medida que a excentricidade específica, ε , aumenta, a temperatura
efetiva do filme diminui até um certo valor e então aumenta novamente, passando
por um mínimo em uma excentricidade entre 0,6 e 0,7.
100
As figuras 4.27 a 4.35 mostram o comportamento dos parâmetros
resultantes capacidade de carga adimensional, F , perda de potência
adimensional, fH , e temperatura efetiva do filme, efT , quando se varia a
temperatura do óleo de suprimento do mancal, sT , para uma relação L/D =1, rotação
de 1500 rpm e n=0,8, 1,0 e 1,1.
Analisando-se as figuras 4.27 a 4.29 verifica-se que para o óleo lubrificante
pseudoplástico, n=0,8, a capacidade de carga adimensional, F , do mancal
aumenta com a redução da temperatura do óleo de suprimento, sT . Para os óleos
Newtoniano, n=1, e não-Newtoniano dilatante, n=1,1, ocorre um comportamento
inverso, ou seja, a capacidade de carga adimensional, F , diminui. Na forma
dimensional, no entanto, é possível verificar através da equação de
adimensionalização que para qualquer dos índices de característica reológica, n , a
capacidade de carga aumenta com a redução da temperatura do óleo de
suprimento, sT .
As figuras 4.30 a 4.32 nos mostra que para o óleo lubrificante
pseudoplástico, n=0,8, a perda de potência adimensional aumenta com a redução
da temperatura do óleo de suprimento, sT . Um comportamento inverso ocorre para
os óleos Newtoniano, n=1, e não-Newtoniano dilatante, n=1,1. Novamente é
importante ressaltar que na forma dimensional a perda de potência aumenta com o
aumento da temperatura de suprimento do óleo lubrificante.
Uma análise das figuras 4.33 a 4.35 permite-nos observar que a temperatura
efetiva do filme, efT , aumenta com o aumento da temperatura do óleo de
suprimento, sT . Mostra ainda, mais uma vez, a maior estabilidade térmica do óleo
pseudoplástico, n=0,8, em relação a condição de operação (excentricidade
específica ε ) do mancal quando comparado com os óleos Newtoniano ou não-
Newtoniano do tipo dilatante.
101
A figura 4.36 mostra o comportamento da temperatura efetiva do filme de
óleo versus temperatura do óleo de suprimento para diferentes índices de
característica reológica. Verifica-se novamente uma menor temperatura efetiva para
o óleo não-Newtoniano do tipo pseudoplástico, n=0,8; para qualquer valor da
temperatura do óleo de suprimento.
O comportamento da temperatura efetiva do filme de óleo versus rotação do
mancal é mostrado na figura 4.37, em função do índice de característica reológica. A
figura mostra, mais uma vez, a maior estabilidade térmica do óleo não-Newtoniano
do tipo pseudoplástico, uma vez que há pequena variação da temperatura efetiva do
filme com o aumento da rotação do mancal.
51
CAPÍTULO 3
SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DE REYNOLDS
3.1 - Adimensionalização das Equações Governantes
A fim de obter uma solução de maior generalidade e para que fique claro qual
é o conjunto mínimo de variáveis que governam o fenômeno é necessário resolver a
equação de Reynolds na sua forma adimensional. Para isso, definem-se os
seguintes parâmetros adimensionais :
R
x=θ (3.1a)
L
zz = (3.1b)
c
hH = (3.1c)
21
0
= −
c
R
c
Um
PP
n
ω (3.1d)
( )
0
2log.110
0
106.0
mm
mm
KTK
+−
==
+
(3.1e)
Substituindo as equações (3.1) na equação (2.55), obtém-se :
52
( )
( )θ
ω
θω
θ
∂∂=
∂∂
∂∂+
+
∂∂
∂∂
−+
−+
H
R
Ummc
z
P
c
R
c
Um
LcH
zL
P
c
R
c
Um
Rn
cH
R
nnn
nn
021
02
21
0
2
61
1
(3.2)
Manipulando algebricamente a equação (3.2) e lembrando que
NeRNU πωπ 22 == , pode-se chegar facilmente à equação a seguir:
θθθ d
dH
z
P
m
H
zL
dP
mn
H nn
64
1 222
=
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂ ++
(3.3)
A equação (3.3) é a equação de Reynolds da lubrificação hidrodinâmica
modificada para fluidos não-Newtonianos modelo power law, na forma adimensional.
As condições de contorno definidas pelas equações (2.58), agora nas formas
adimensionalizadas, tomam a seguinte forma:
πθθπθ 20,1,00 ' ≤≤+==== ezzemP (3.4a)
'00 θπθθθ
+===∂∂
eemP
(3.4b)
Considerando que o mancal está perfeitamente alinhado, ou seja, que a
espessura do filme H é função somente de θ , a equação (3.3) resulta em:
θθθθ d
dH
z
P
m
H
L
dP
mn
HP
d
dHH
mn
n nnn 6
4
122
222
2
221 =
∂∂
+
∂∂+
∂∂+ ++
+ (3.5)
Conforme deduzido no apêndice A2, a espessura do filme de óleo, h , em
uma posição circunferencial θ qualquer, é dada por:
53
( )θε cos1+= ch (3.6a)
De acordo com as equações (3.1c) e (3.6a), a espessura adimensional do
filme de óleo é dada por:
θε cos1+=H (3.6b)
Assim,
( ) 11 cos1 ++ += nnH θε (3.7)
( ) 22 cos1 ++ += nnH θε (3.8)
θεθ
sen−=d
dH (3.9)
Substituindo-se as equações (3.7), (3.8) e (3.9) na equação (3.5), obtém-se:
( )( ) ( ) 22
22
2
2
cos1
sen6
4
1
cos1
sen2++
−=∂∂
+
∂∂+
∂∂
++−
n
nm
z
Pn
L
dPPn
θεθε
θθθεθε
(3.10a)
ou
Cz
PB
PPA =
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
θθ (3.10b)
onde:
( )θε
θεcos1
sen2
++−= n
A (3.11a)
nL
dB
2
4
1
= (3.11b)
( ) 2cos1
sen++
−=n
nmC
θεθε
(3.11c)
Figura 3.4 – Componentes de vazão de lubrificante e temperaturas correspondentes
OO'
N
L
Trec
Qrec Qt
Tmisthmax
ho
QsTs
Ql
Tl
Ql
Tl
φ
θ
'θ
73
Figura 3.3 – Distribuição de pressão e componentes de carga
Pmax
Fr
ho
N
o' o
F
Ft
φ
πθ 2;0=
maxθ
'θ
'θπθ +=
maxPθ
62
Figura 2.4 – Gráfico tridimensional da distribuição de pressão no plano ),( zθ
0
'θπ +
π2
0
L
45
(a) (b)
Figura 2.3 – (a) Distribuição de pressão do filme lubrificante no plano médio do mancal ( 2/Lz = )
(b) Condições de contorno no plano ),( zθ
�
44
P=0
0
P
P=0
P=0
P=0 L
0 �+� 2�
z
2��+�’ � �0
DomínioComputacional
Figura 2.2 – Geometria do mancal radial hidrodinâmico
Vista FrontalVista Lateral
x z
y
L
D
N
F
oo'
e
h 0
d
φπθ 2;0=
φ
'θ
πθ =
42
Figura 4.37 – Temperatura efetiva do filme efT versus rotação N . ( L/D =1 e ε =0,7 )
1000 1500 2000 2500 3000 350035
40
45
50
55
60
65
70
75
80
n = 0.8n = 1.0n = 1.1
)(rpmN
)( CTef °
132
Figura 4.36 – Temperatura efetiva do filme efT versus temperatura de suprimento ST . ( L/D =1 e ε =0,7 )
25 30 35 40 45 50 5525
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
n = 0.8n = 1.0n = 1.1
)( CTs °
)( CTef °
131
Figura 4.35 – Temperatura efetiva do filme efT em função da temperatura do óleo de suprimento. ( L/D =1 e 1,1=n )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 150
55
60
65
70
75
80
85
90
95
Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C
ε
)( CTef °
130
Figura 4.34 – Temperatura efetiva do filme efT em função da temperatura do óleo de suprimento. ( L/D =1 e 0,1=n )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 140
45
50
55
60
65
70
75
Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C
ε
)( CTef °
129
Figura 4.33 – Temperatura efetiva do filme efT em função da temperatura do óleo de suprimento. ( L/D =1 e 8,0=n )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 130
35
40
45
50
55
Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C
ε
)( CTef °
128
Figura 4.32 – Perda de potência adimensional fH em função da temperatura do óleo de suprimento. ( L/D =1 e 1,1=n )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11
2
3
4
5
6
7
8
Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C
ε
fHU
c
URLm
HH
n
ff
=
0
127
Figura 4.31 – Perda de potência adimensional fH em função da temperatura do óleo de suprimento. ( L/D =1 e 0,1=n )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C
ε
fHU
c
URLm
HH
n
ff
=
0
126
Figura 4.30 – Perda de potência adimensional fH em função da temperatura do óleo de suprimento. ( L/D =1 e 8,0=n )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 14
5
6
7
8
9
10
11
12
Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C
ε
fH
Uc
URLm
HH
n
ff
=
0
125
Figura 4.29 – Capacidade de carga adimensional F em função da temperatura do óleo de suprimento. ( L/D =1 e 1,1=n )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C
ε
F
20
1
RLmU
cFF
n
n+=
124
Figura 4.28 – Capacidade de carga adimensional F em função da temperatura do óleo de suprimento. ( L/D =1 e 0,1=n )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C
ε
F
20
1
RLmU
cFF
n
n+=
123
Figura 4.27 – Capacidade de carga adimensional F em função da temperatura do óleo de suprimento (L/D =1 e 8,0=n )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C
ε
F
20
1
RLmU
cFF
n
n+=
122
Figura 4.26 – Temperatura efetiva do filme efT em função da rotação do mancal. ( L/D =1 e n = 1,1 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 150
60
70
80
90
100
110
120
900 rpm1500 rpm3600 rpm
ε
)( CTef °
121
Figura 4.25 – Temperatura efetiva do filme efT em função da rotação do mancal. ( L/D =1 e n = 1,0 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
45
50
55
60
65
70
75
80
85
900 rpm1500 rpm3600 rpm
ε
)( CTef °
120
Figura 4.24 – Temperatura efetiva do filme efT em função da rotação do mancal. ( L/D =1 e n = 0,8 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 138
40
42
44
46
48
50
900 rpm1500 rpm3600 rpm
ε
)( CTef °
119
Figura 4.23 – Temperatura efetiva efT em função da relação L/D do mancal. ( n = 1,1 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 155
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
L/D = 1/4L/D = 1/2L/D = 1L/D = 2
ε
)( CTef °
118
Figura 4.22 – Temperatura efetiva efT em função da relação L/D do mancal. ( n = 1,0 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
45
50
55
60
65
70
75
L/D = 1/4L/D = 1/2L/D = 1L/D = 2
ε
)( CTef °
117
Figura 4.21 – Temperatura efetiva efT em função da relação L/D do mancal. ( n = 0,8 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 138
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
L/D = 1/4L/D = 1/2L/D = 1L/D = 2
ε
)( CTef °
116
Figura 4.20 – Capacidade de carga adimensional F em função da relação L/D do mancal. ( n = 1,1 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
L/D = 1/4L/D = 1/2L/D = 1L/D = 2
ε
F
20
1
RLmU
cFF
n
n+=
115
Figura 4.19 – Capacidade de carga adimensional F em função da relação L/D do mancal. ( n = 1,0 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
6
8
10
12
L/D = 1/4L/D = 1/2L/D = 1L/D = 2
ε
F
20
1
RLmU
cFF
n
n+=
114
Figura 4.18 – Capacidade de carga adimensional F em função da relação L/D do mancal. ( n = 0,8 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
6
8
10
12
L/D = 1/4L/D = 1/2L/D = 1L/D = 2
ε
F
20
1
RLmU
cFF
n
n+=
113
Figura 4.17 – Viscosidade efetiva aparente efµ em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
n = 0.8n = 1.0n = 1.1
ε
)(cPefµ
112
Figura 4.16 – Temperatura efetiva do filme efT em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 135
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
n = 0.8n = 1.0n = 1.1
ε
)( CTef °
111
Figura 4.15 – Elevação de temperatura adimensional T∆ em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
n = 0.8n = 1.0n = 1.1
ε
T∆
−
=∆
t
lt
Q
QLNcR
Qc
Rf
T
2
11
4π
110
Figura 4.14 – Perda de potência adimensional fH em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
n = 0.8n = 1.0n = 1.1
ε
fHU
c
URLm
HH
n
ff
=
0
109
Figura 4.13 - Coeficiente de atrito )/( cRf em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
5
10
15
20
25 n = 0.8n = 1.0n = 1.1
( )cRf /
ε
F
F
c
RcRf a
=)/(
108
Figura 4.12 – Distribuição de pressão no plano médio do mancal para excentricidade 0.7em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
n = 0.8n = 1.0n = 1.1
)(grausθ
P21
0
= −
c
R
c
Um
PP
n
ω
107
Figura 4.11 – Pressão máxima adimensional do filme maxP em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
n = 0.8n = 1.0n = 1.1
ε
maxP
21
0
= −
c
R
c
Um
PP
n
ω
106
Figura 4.10 – Vazão lateral adimensional lQ em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
n = 0.8n = 1.0n = 1.1
ε
lQ
LNcR
QQ ll =
105
Figura 4.9 – Vazão circunferencial de entrada adimensional tQ em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 13.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
n = 0.8n = 1.0n = 1.1
ε
tQ
LNcR
QQ tt =
104
Figura 4.8 – Capacidade de carga adimensional F em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
n = 0.8n = 1.0n = 1.1
ε
F
20
1
RLmU
cFF
n
n+=
103
Figura 4.7 - Número de Sommerfeld S em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
n = 0.8n = 1.0n = 1.1
ε
S
F
mS
π=
102
Figura 4.6 – Distribuição de pressão no plano médio do mancal em função dosCasos térmicos, para L/D = 1, n = 1,1 e ε = 0,7
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2200
1
2
3
4
5
6
Caso isoté rmicoCaso intermediá rioCaso adiabá tico
P
)(grausθ
21
0
= −
c
R
c
Um
PP
n
ω
95
Figura 4.5 – Distribuição de pressão adimensional no plano médio do mancal em funçãodos casos térmicos, para L/D = 1, n = 1,0 e ε = 0,7
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Caso isoté rmicoCaso intermediá rioCaso adiabá tico
P
)(grausθ
21
0
= −
c
R
c
Um
PP
n
ω
94
Figura 4.4 – Distribuição de pressão adimensional no plano médio do mancal em função dos casos térmicos, para L/D = 1, n = 0,8 e ε = 0,7
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Caso Isoté rmicoCaso Intermediá rioCaso adiabá tico
P
)(grausθ
21
0
= −
c
R
c
Um
PP
n
ω
93
Figura 4.3 – Capacidade de carga adimensional do mancal em função dos casos térmicos, para L/D = 1 e n = 1,1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Caso Isoté rmicoCaso Intermediá rioCaso Adiabá tico
F
ε
20
1
RLmU
cFF
n
n+=
9192
Figura 4.2 – Capacidade de carga adimensional do mancal em função dos casos térmicos, para L/D = 1 e n = 1,0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
6
8
10
12
14
16
Caso Isoté rmicoCaso Intermediá rioCaso Adiabá tico
F
ε
20
1
RLmU
cFF
n
n+=
9091
Figura 4.1 – Capacidade de carga adimensional do mancal em função dos casos térmicos, para L/D = 1 e n = 0,8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Caso IsotermicoCaso Intermediá rioCaso Adiabatico
F
ε
20
1
RLmU
cFF
n
n+=
90
174
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54
3.2 – Discretização por Diferenças Finitas da Equação de Reynolds
Para colocar a equação (3.10b) na forma de diferenças finitas devemos
discretizar a distribuição de pressão ( ( )zPP ,θ= ), conforme mostra a figura 3.1.
Figura 3.1 – Malha para a solução computacional
Onde:
i = 1, 2, 3, ....., 1+s ;
j = 1, 2, 3, ....., 1+t ;
s é o número de intervalos na direção circunferencial ;
t é o número de intervalos na direção axial ;
1+s é o número de nós na direção circunferencial ;
1+t é o número de nós na direção axial.
Desta forma, a posição circunferencial e a posição axial de cada ponto nodal
é dada por:
Pi-1,jj
3
1
2
0
1 2 3 4
0
t+1
t
j
1
z
Pi+1,j
i s
Pi,j-1
s+1 i
Pi,j
Pi,j+1
sπθ 2=∆
tz 1=∆
π2 θ'θπ +
55
( ) ( )s
iiπθθ 2
11 −=∆−= (3.12a)
( ) ( )t
jzjz
11
−=∆−= (3.12b)
Substituindo-se a equação (3.12a) nas equações (3.11a) e (3.11c), obtém-se:
( ) ( )
( )
−+
−+−
=
si
sin
Ai πε
πε
21cos1
21sen2
(3.13a)
( )
( )2
21cos1
21sen6
+
−+
−−
=ni
si
sinm
Cπε
πε (3.13b)
As condições de contorno de Reynolds na forma adimensional, dadas pelas
equações (3.4a) e (3.4b), podem ser representadas graficamente como mostra a
figura 3.2.
(a) (b)
Figura 3.2– (a) distribuição adimensional de pressão no plano médio do mancal
(b) condições de contorno de pressão no plano ( )z,θ
0
z
0=P
1 0=P
0=P
π2'θπ +θ
P
00 π
θπ2'θπ +
0=P
56
Para colocar os diferenciais parciais da grandeza P em forma de diferenças
finitas desenvolve-se em série de Taylor a grandeza P , da seguinte forma:
Na direção θ tem-se que;
....!2
2
2
2
,,1 +∆∂∂+∆
∂∂+=+
θθ
θθ
PPPP jiji (3.14a)
....!2
2
2
2
,,1 +∆∂∂+∆
∂∂−=−
θθ
θθ
PPPP jiji (3.14b)
ou
)(!2
31
2
2
2
,,1 θθθ
θθ
∆+∆∂∂+∆
∂∂+=+ E
PPPP jiji (3.15a)
)(!2
32
2
2
2
,,1 θθθ
θθ
∆+∆∂∂+∆
∂∂−=− E
PPPP jiji (3.15b)
onde )( 31 θ∆E e )( 3
2 θ∆E representam erros de terceira ordem.
Subtraindo-se a equação (3.15a) de (3.15b), obtém-se:
( )21,1,1 2 EEP
PP jiji −+∆∂∂=− −+ θθ
(3.16a)
assim,
( )θθθ ∆
−+
∆−
=∂∂ −+
2212,1,1 EEPPP jiji
(3.16b)
O segundo termo do lado direito da equação (3.16b) representa erros de
segunda ordem, os quais são desprezados resultando em:
57
θθ ∆−
=∂∂ −+
2,1,1 jiji PPP
(3.17)
Somando-se as equações (3.15a) e (3.15b), obtém-se:
( )43
2
2
2
,,1,1 !222 EE
PPPP jijiji ++∆
∂∂+=+ −+
θθ
(3.18a)
assim,
( )243
2
,1,,1
2
2 2
θθθ ∆+
+∆
+−=
∂∂ −+ EEPPPP jijiji
(3.18b)
Sendo E 3 e E 4 erros de quarta ordem, o segundo termo do lado direito da
equação (3.18b) representa erros de segunda ordem, os quais são desprezados
resultando em:
2,1,,1
2
2 2
θθ ∆
+−=
∂∂ −+ jijiji PPPP
(3.19)
Analogamente, na direção z , tem-se:
z
PP
z
P jiji
∆−
=∂∂ −+
21,1,
(3.20)
e
21,,1,
2
2 2
z
PPP
z
P jijiji
∆
+−=
∂∂ −+
(3.21)
Substituindo-se as equações (3.17), (3.19) e (3.21) na equação (3.10b),
obtém-se:
58
ijijiji
jijijijijii
Cz
PPPB
PPPPPA
=
∆
+−+
+
∆
+−+
∆−
−+
−+−+
2,1,1,
2,1,,1,1,1
2
2
2 θθ (3.22)
Manipulando-se algebricamente e explicitando-se jiP , , obtém-se:
( )[ ] ( )[ ]{( ) } ( )[ ]222
1,1,
22,1
2,1
2,
42
222
θθ
θθθ
∆+∆∆++
+∆∆−∆∆−+∆+∆=
+−
−+
BzBPP
zCPzAPzAP
jiji
ijiijiiji (3.23)
ou
( ) ijijijiijiiji CPPCPCPCP 4321 1,1,,1,1, ++++= −+−+ (3.24)
onde :
)(4
122 θ∆+∆
=Bz
D (3.25a)
( )[ ]DzAC ii221 ∆+∆= θ
(3.25b)
( )[ ]DzAC ii222 ∆∆−= θ
(3.25c)
DBC )2(3 2θ∆= (3.25d)
DzCC ii )2(4 22∆∆−= θ (3.25e)
A equação (3.24) é a equação de Reynolds discretizada na forma de
diferenças finitas.
Conforme as condições de contorno estabelecidas anteriormente, as
pressões nodais, jiP , , serão sempre nulas ou positivas. Com relação a 0=∂∂θP
em
59
0=θ e 'θπθ += , é uma condição natural e satisfeita automaticamente, veja
Pinkus e Sterlicht [31].
Assim,
∀+==∀+==
=itjejpara
jsieiparaP ji ,11
,110, (3.26)
No caso de um programa computacional, a condição de contorno é imposta
fazendo-se 0, =jiP ( para 1=i a 1+s e 1=j a 1+t ). Assim, as pressões
nodais jiP , serão calculadas para 2=i a s e 2=j a t , obedecendo o seguinte
critério: se 0, ≤jiP , fazer 0, =jiP .
Conforme pode-se observar, a equação (3.24) representa um sistema de
equações algébricas, o qual é solucionado no presente trabalho utilizando-se o
método iterativo de Gauss-Seidel. No nosso caso específico é utilizado também o
esquema de sobre-relaxação sucessiva (SOR). O objetivo do método SOR é
acelerar o processo de convergência das pressões nodais (obtidas através do
método de Gauss-Seidel), podendo também resultar em uma considerável
desaceleração caso o fator de sobre-relaxação não seja o mais adequado. O
esquema de cálculo é o seguinte:
)()1( 1,,
1,,
−− −−+= kji
kjiot
kji
kji PPWPP (3.27)
sendo,
ikji
kji
kjii
kjii
kji CPPCPCPCP 4)(321 1,
11,,1
1,1, ++++= −
−+−
−+ (3.28)
onde;
k = 1, 2, 3, ...... representa as iterações;
k indica a iteração atual;
1−k indica a iteração anterior;
otW é o fator de sobre-relaxação
60
O valor de otW normalmente está compreendido entre 1 e 2. Uma das formas
de prever o valor de otW é o proposto por Lloyd e McCallion [32];
( )
−−=2
2/12112
αα
otW (3.29)
onde,
+
+
−=2
2
22
2
4
1
L
Nds
L
d
π
ππ
α (3.30)
Como em toda solução através de um método iterativo, os cálculos são
repetidos até a convergência. Para tanto, é necessário que se imponha um critério
de parada, o qual pode ser estabelecido pela seguinte equação;
kji
kji
kji PPP ,
1,, Ψ≤− − (3.31)
onde Ψ é o fator de convergência (“erro”) do processo iterativo.
De posse da distribuição de pressão, podem-se determinar vários outros
parâmetros de interesse à análise preditiva do comportamento operacional de um
mancal radial hidrodinâmico, tais como: capacidade de carga, vazões, coeficiente de
atrito, número de Sommerfeld, etc.
3.3 – Cálculo dos Parâmetros Resultantes
3.3.1 – Capacidade de carga
A figura 3.3 mostra a distribuição de pressão e as componentes de carga
radial, Fr , e tangencial, Ft , de um mancal radial hidrodinâmico.
61
A capacidade de carga, F , do mancal pode ser representada em termos de
suas componentes radial e tangencial, da seguinte forma:
22 FtFrF += (3.32)
e o ângulo de carga (atitude) φ é dado por:
= −Fr
Ft1tanφ (3.33)
A componente radial da capacidade de carga, Fr , é calculada como segue:
∫ ∫==L
dzdRPFFr0
2
0coscos
πθθθ (3.34)
Considerando os parâmetros adimensionais definidos pelas equações (3.1),
pode-se obter a componente radial adimensional da capacidade de carga, rF :
∫ ∫==+ 1
0
2
020
1
cos zddPRLmU
cFrrF
n
n
θθπ
(3.35)
Analogamente, a componente tangencial da capacidade de carga, Ft , é dada
por:
∫ ∫==L
zddRPFFt0
2
0sensen
πθθθ (3.36)
Na forma adimensional:
∫ ∫==+ 1
0
2
020
1
sen zddPRLmU
cFttF
n
n
θθπ
(3.37)
62
Figura 3.3
63
Logo, a capacidade de carga adimensional, F , é dada por:
222
0
1
tFrFRLmU
cFF
n
n
+==+
(3.38)
Assim, para calcular a capacidade de carga adimensional, F , é necessário
resolver as equações (3.35) e (3.37), obtendo-se as suas componentes radial, rF , e
tangencial, tF . A resolução destas equações é efetuada através da regra de
integração numérica de Simpson. Das equações (3.12) sabe-se que:
( ) ( )s
iiπθθ 2
11 −=∆−= (3.39a)
( ) ( )t
jzjz
11
−=∆−= (3.39b)
Utilizando-se das equações (3.39) pode-se reescrever a equação (3.35), a
qual determina a componente radial da capacidade de carga do mancal, da seguinte
forma:
( )∫ ∫+=
=
+=
=
−=
1
1
1
1,
21cos
tj
j
si
iji zdd
siPrF θπ
(3.40)
Tomando-se a primeira integral, tem-se:
( )∫+=
=
−=
1
1, 1
2cos
si
ijij di
sPrF θπ
(3.41)
Pela regra de integração numérica de Simpson, mostrada no apêndice A3,
tem-se que:
+++= ∑ ∑
=
−
=−
n
k
n
k
kknj ffffrF1
1
1
21220 243
δ (3.42)
64
onde:
s
πθδ 2=∆= (3.43a)
010 == Pf (3.43b)
012 == +sn Pf (3.43c)
∑∑+=
=−−
=−
−=+++=
12
2
221231
1
1232
2cos.........si
i
in
n
k
k s
iPffff π (3.43d)
∑∑=
=−−
−
=
−=+++=
2
2
122242
1
1
222
2cos.........si
i
in
n
k
k s
iPffff π (3.43e)
Portanto, aplicando-se a regra de Simpson, a equação (3.41) toma a seguinte
forma:
∑∑+=
=−
=
=−
−+
−=
12
2
22
2
2
1232
2cos3
8222cos
3
4si
i
i
si
i
ij s
iP
ss
iP
srF ππππ
(3.44)
e, a equação (3.40):
∫+=
==
1
1
tj
jj zdrFrF (3.45)
Substituindo-se agora a equação (3.44) na equação (3.45), obtém-se a
componente radial da capacidade de carga, rF , do mancal. Para isso, deve-se
aplicar novamente a regra de Simpson integrando-se jrF em relação a z .
Analogamente, tem-se:
65
tz1=∆=δ (3.46a)
10 Frf = (3.46b)
12 += tn Frf (3.46c)
∑∑+=
=−−
=− =+++=
12
2
221231
1
12 ......tj
j
jn
n
k
k Frffff (3.46d)
∑∑=
=−−
−
=
=+++=2
2
122242
1
1
2 ......tj
j
jn
n
k
k Frffff (3.46e)
Portanto, aplicando-se novamente a regra de Simpson, a equação (3.45)
toma a seguinte forma:
+++= ∑∑
+=
=−
=
=−+
12
222
2
21211 42
3
1tj
jj
tj
jjt FrFrFrFr
trF (3.47)
Utilizando-se das equações (3.39) pode-se reescrever a equação (3.37), a
qual determina a componente tangencial da capacidade de carga do mancal, da
seguinte forma:
( )∫ ∫+=
=
+=
=
−=
1
1
1
1,
21sen
tj
j
si
iji zdd
siPtF θπ
(3.48)
Através de um procedimento análogo ao cálculo da componente radial da
capacidade de carga, obtém-se que:
+++= ∑∑
+=
=−
=
=−+
12
222
2
21211 42
3
1tj
jj
tj
jjt FtFtFtFt
ttF (3.49)
66
3.3.2 – Posição Angular da Espessura Mínima do Filme de Óleo
A posição angular da linha de ação da carga,F , com relação à posição de
espessura mínima do filme de óleo (ponto de maior proximidade entre o eixo e o
mancal) é o ângulo de carga φ . De acordo com a figura 3.3, tem-se:
= −Fr
Ft1tanφ (3.50a)
ou
= −rF
tF1tanφ (3.50b)
3.3.3 – Número de Sommerfeld
O Número de Sommerfeld ou número característico do mancal, S , é um
agrupamento adimensional dos parâmetros independentes fixados pelo projetista o
qual é definido pela seguinte relação:
2
=c
R
P
NS
µ (3.51)
onde :
Ld
FP = , é a pressão específica média do mancal e,
1−
=
n
c
Umµ , de acordo com a hipótese de alta dominância de Couette.
Assim,
21
=
−
c
R
c
U
F
mNLdS
n
(3.52)
67
Substituindo-se a equação (3.38) na equação (3.52) e lembrando que
dNU π= e 0m
mm = , obtém-se:
F
mS
π= (3.53)
3.3.4 – Força de Atrito e Coeficiente de Atrito
Até mesmo na lubrificação hidrodinâmica plena, na qual ocorre a separação
total entre as superfícies do eixo e da bucha, há uma resistência à rotação do eixo
devido ao cisalhamento do filme de óleo lubrificante, onde a tensão de cisalhamento
é dada por:
y
u
y
um
n
∂∂
∂∂=
−1τ (3.54)
Conforme a geometria definida na figura 2.1, a taxa de deformação y
u
∂∂
é
negativa, com isso a equação (3.54) pode ser reescrita da seguinte forma:
n
y
um
∂∂−−=τ (3.55)
Da equação (2.39) tem-se que:
( )hyyx
P
U
h
mnh
yUu
n
−∂∂
+
−=
−2
1
2
11 (3.56)
onde :
( )h
U
x
Phy
U
h
mny
u n
−∂∂−
=
∂∂ −
22
1 1
(3.57)
68
Assim, a tensão de cisalhamento em 0=y é dada por:
nn
y
n
y h
U
x
P
U
h
nm
hm
y
um
+
∂∂
−=
∂∂−−=
−
==
1
0
0 2τ (3.58)
A expressão que fornece a força de atrito, Fa , é obtida integrando-se a
tensão cisalhante, τ , ao longo da superfície do mancal, da seguinte forma:
∫ ∫=L R
dzdxFa0
2
0
πτ (3.59)
Substituindo-se a expressão (3.58) na equação (3.59), obtém-se:
∫ ∫
+
∂∂
−=
−L Rnn
dzdxh
U
x
P
U
h
mn
hmFa
0
2
0
1
2
π (3.60)
A equação (3.60) pode ser rescrita na sua forma adimensional utilizando-se
para isso os parâmetros adimensionais definidos nas equações (3.1), obtendo-se
assim:
zddP
nm
H
H
m
c
URLm
FaaF
nn
nnθ
θ
π
+
∂∂−=
=+
∫ ∫ 12
11
0
2
0
0
(3.61)
A solução da equação (3.61) é realizada utilizando-se a regra de integração
numérica de Simpson, mostrada no apêndice A3. Utilizando-se as equações (3.39)
pode-se reescrever a equação (3.61), obtendo-se assim:
zddP
nm
H
H
maF
tj
j
nsi
i
jini
ni
θθ∫ ∫
+=
=
+=
=
+
+
∂∂
−=1
1
1
1
,1
12
(3.62)
Tomando-se a primeira integral, tem-se:
69
θθ
dP
nm
H
H
maF
nsi
i
jini
ni
j ∫+=
=
+
+
∂∂
=1
1
,1
12
(3.63)
Aplicando-se a regra de Simpson, tem-se:
s
πδ 2= (3.64a)
nn
n
PP
nm
H
H
mf
+
∆−=
+1
212
11
10 θ
(3.64b)
nss
ns
ns
nPP
nm
H
H
mf
+
∆
−= +
++
+1
21
11
12 θ
(3.64c)
ns
i
iini
ni
n
n
k
kPP
nm
H
H
mffff ∑∑
+
=
−−+−
−−
=−
+
∆−=+++=
12/
2
3212122
221231
1
12 122
...θ
(2.64d)
ns
i
iini
ni
n
n
k
kPP
nm
H
H
mffff ∑∑
=
−+−
−−
−
=
+
∆
−=+++=
2/
2
222112
122242
1
1
2 122
.....θ
(2.64e)
Portanto, a equação (3.63) resulta em:
( )
ns
i
iini
ni
ns
i
iini
ni
nj
PP
nm
H
H
m
s
PP
nm
H
H
m
sff
saF
∑
∑+
=
−−+−
−
=
−+−
−
+
∆−
+
+
+
∆
−++=
12/
2
3212122
22
2/
2
222112
1220
1223
8
1223
4
3
2
θπ
θππ
(3.65)
Assim, a equação (3.62) toma a seguinte forma:
70
∫+=
=−=
1
1
tj
jj zdaFaF (3.66)
Aplicando –se novamente a regra de Simpson, tem-se:
t
1=δ (3.67a)
10 Faf = (3.67b)
12 += tn Faf
22
12/
2
1231
1
12 ..... −
+
=−
=− ∑∑ =+++= j
t
j
n
n
k
k Faffff (3.67c)
∑∑=
−−
−
=
=+++=2/
2
122242
1
1
2 .....t
j
jn
n
k
k Faffff (3.67d)
Finalmente, a expressão para o cálculo da força de atrito adimensional, aF ,
resulta em:
+++= ∑ ∑
=
+
=−−+
2/
2
12/
2221211 42
3
1t
j
t
jjjt FaFaFaFa
taF (3.68)
O coeficiente de atrito, f , conforme a definição básica, é a relação direta e
unívoca entre a força de atrito e a carga aplicada no mancal. Em termos dos
parâmetros adimensionais, tem-se:
F
aFf = (3.69)
71
Para o caso de lubrificação plena o coeficiente de atrito, f , é da ordem de
0,001. Assim, por questões de grafia, costuma-se multiplicar f por
c
R, que é da
ordem de 103. Portanto:
F
aF
c
R
c
Rf
=
(3.70)
3.3.5 – Perda de Potência
A perda de potência devido ao atrito viscoso gerado pelo movimento do eixo é
igual ao produto da força de atrito,Fa , pela velocidade tangencial,U . Assim, pode-
se escrever:
FaUH f = (3.71)
De acordo com a equação (3.61), a perda de potência adimensional, fH , é
dada por:
Uc
URLm
HH
nf
f
=
0
(3.72)
3.3.6 – Vazões de lubrificante
As vazões de lubrificante em um mancal radial hidrodinâmico podem ser
divididas, ou classificadas, nas seguintes componentes:
- Vazão de suprimento, sQ ;
72
- Vazão circunferencial de entrada ou vazão total, tQ , na posição de espessura
máxima do filme;
- Vazão lateral ou axial, lQ ;
- Vazão circunferencial de saída ou vazão de recirculação, recQ , na posição
'θπθ += .
De acordo com a figura 3.4, pode-se estabelecer as seguintes relações entre
as vazões acima definidas:
rectl QQQ −= (3.73)
e
sl QQ = (3.74)
A vazão circunferencial na entrada da cunha de óleo lubrificante, tQ , na
posição angular 0=θ , pode ser calculada pela seguinte equação:
dzqQL
xt00 =
∫=θ
(3.75)
Substituindo-se a equação (2.51a) na equação (3.75), obtém-se:
dzx
P
mnU
hhUQ
L
n
n
t
00 1
2
122=
−
+
∫
∂∂−=
θ
(3.76)
Lembrando-se da hipótese de escoamento com alta dominância de Couette;
11 −−
=
∂∂=
nn
c
Um
y
umµ (3.77)
a equação (3.76) toma a seguinte forma:
73
Figura 3.4
74
dzx
P
cn
hUhQ
L
n
n
t ∫=
−
+
∂∂−=
00
1
2
122θµ
(3.78)
Definindo-se como viscosidade aparente adimensional a relação;
1
0
−
=
n
U
c
m
µµ (3.79)
e substituindo os parâmetros adimensionais definidos pelas equações (3.1) e (3.79)
na equação (3.78), obtém-se a vazão total na sua forma adimensional:
0
1
0
2
6=
+
∂∂−== ∫
θθµ
ππ zdP
n
HH
LNcR
nt
t (3.80)
De acordo com a equação (3.6b) a equação (3.80) resulta em:
( ) ( ) ∫ ∂∂+−+==
+ 1
0
2
6
11 zd
P
nLNcR
nt
t θµεπεπ (3.81)
A equação de aproximação de diferenças progressivas de três pontos,
equação (A4.11) do Apêndice A4, estabelece que:
( ) ( ) ( )[ ]θθθθθθθ
PPPP
3242
1 −∆+−∆+∆
=∂∂
(3.82)
Utilizando-se das equações (3.39) e da equação (3.82) a integral do segundo
termo da equação (3.81), toma a seguinte forma:
( )∫∫+=
==−−=
∂∂ 1
1,1,3,2
1
0 0
344
tj
jjjj zdPPP
szd
P
πθ θ (3.83)
A equação (3.83) é resolvida utilizando-se a regra de integração numérica de
Simpson, de tal forma que:
75
t
1=δ (3.84a)
[ ]1,11,31,20 344
PPPs
f −−=π
(3.84b)
[ ]1,11,31,22 344 +++ −−= tttn PPPs
fπ
(3.84c)
∑∑+
=−−−−
=− −−=+++=
12
2
22,122,322,21231
1
12 344
...t
j
jjjn
n
k
k PPPs
ffffπ
(3.84d)
∑∑=
−−−−
−
=
−−=+++=2
2
12,112,312,22242
1
1
2 344
...t
j
jjjn
n
k
k PPPs
ffffπ
(3.84e)
Portanto a equação (3.83), resulta em:
[ ] [ ]
−−+
+
−−+
+−− +−−=
∂∂
∑
∑
∫
+
=−−−
=−−−
+++=
12
2
22,122,322,2
2
2
12,112,312,2
1,11,31,21,11,31,2
1
0 0
344
4
344
2
344
3443
1
t
j
jjj
t
j
jjj
ttt
PPPs
PPPs
PPPs
PPPs
tzd
P
π
π
ππθ θ
(3.85)
Finalmente, a equação (3.81) que fornece a vazão circunferencialadimensional na entrada da cunha de óleo, tQ , é dada por:
76
( ) ( ) [ ]{
[ ]
−−+
+
−−+−−
+−−+−+=
∑
∑
+
=−−−
=−−−+++
+
12
2
22,122,322,2
2
2
12,112,312,21,11,31,2
1,11,31,2
2
344
34234
34126
11
t
j
jjj
t
j
jjjttt
n
t
PPP
PPPPPP
PPPt
s
nQ
µεεπ
(3.86)
A vazão circunferencial na saída da cunha de óleo lubrificante ou vazão de
recirculação, recQ , na posição angular 'θπθ += , é calculada pela seguinte
equação:
dzqQL
xrec'0 θπθ +=
∫= (3.87)
Substituindo-se a equação (2.51a) na equação (3.87), obtém-se:
dzx
P
cn
hhUQ
L
n
n
rec ∫+=
−
+
∂∂−=
0'
1
2
122θπθµ
(3.88)
Substituindo os parâmetros adimensionais definidos pelas equações (3.1) e
(3.79) na equação (3.88), obtém-se a vazão de recirculação na sua forma
adimensional:
'
1
0
2
6θπθ
θµππ
+=
+
∂∂−== ∫ zdP
n
HH
LNcR
nrec
rec (3.89)
De acordo com a equação (3.6b), a equação (3.89) resulta em:
77
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∂∂++−++==
+ 1
0
2
6
'cos1'cos1 zd
P
nLNcR
nrec
rec θµθπεπθπεπ (3.90)
De acordo com a equação (3.39a), para 'θπθ += , ( )
'12
'i
si =++=
πθπ
.
É importante observar que o valor de 'θ é calculado em função da posição
nodal i cujo primeiro valor de pressão seja nulo ou negativo.
De acordo com as equações (3.39a) e (3.39b), a equação (3.90) toma a
seguinte forma:
[ ] zdPPPs
zdP
ji
tj
jjiji ,'
1
0
1
1,2',1'
'
344
−−=∂∂∫ ∫
+=
=++
+= πθ θπθ (3.91)
A integral da equação (3.91) é resolvida utilizando-se regra de integração
numérica de Simpson, de tal forma que:
t
1=δ (3.92a)
[ ]1,'1,2'1,1'0 344 iii PPPs
f −−= ++π (3.92b)
[ ]1,'1,2'1,1'2 344 +++++ −−= tititin PPPs
fπ
(3.92c)
(
)22,'22,2'
12
2
22,1'1231
1
12
3
44
...
−−+
+
=−+−
=−
−−
+=+++= ∑∑jiji
t
j
jin
n
k
k
PP
Ps
ffffπ (3.92d)
(
)12,'12,2'
2
2
12,1'2242
1
1
2
3
44
...
−−+
=−+−
−
=
−−
+=+++= ∑∑jiji
t
j
jin
n
k
k
PP
Ps
ffffπ
(3.92e)
78
Portanto, a equação (3.91), resulta em:
[ ]{
[ ]
( )
( )
−−++
+
−−+
+−−+
+−−=∂∂
−−+
+
=−+
−−+=
−+
+++++
+++=
∑
∑
∫
22,'22,2'
12
2
22,1'
12,'12,2'
2
212,1'
1,'1,2'1,1'
1,'1,2'1,1'
1
0 '
344
342
34
3412
jiji
t
j
ji
jiji
t
jji
tititi
iii
PPP
PPP
PPP
PPPt
szd
P
πθ θπθ
(3.93)
Finalmente, a equação (3.90) que fornece a vazão circunferencialadimensional na saída da cunha de óleo, recQ , é dada por:
( )( ) ( )( )
[ ]{ [ ]
−−+
+
−−+
+−−+−−
⋅++−++=
∑
∑
+
=−−+−+
=−−+−+
+++++++
+
12
2
22,'22,2'22,1'
2
2
12,'12,2'12,1'
1,'1,2'1,1'1,'1,2'1,1'
2
344
342
343412
6
'cos1'cos1
t
j
jijiji
t
j
jijiji
tititiiii
n
rec
PPP
PPP
PPPPPPt
s
nQ
µθπεθπεπ
(3.94)
Devido ao gradiente axial de pressão, certa parte do lubrificante escoa
axialmente para as laterais do mancal, constituindo a vazão lateral ou axial, lQ , a
qual é calculada por:
79
rectsl QQQQ −== (3.95)
ou, na forma adimensional:
rectl
l QQNLcR
QQ −== (3.96)
3.3.7 – Elevação de temperatura do óleo lubrificante
A elevação de temperatura do óleo lubrificante, desde a posição φθ −= até a
posição φπθ −= 2 , é calculada aqui fazendo-se uso da Teoria Adiabática de Coop
[33], a qual admite que todo o calor gerado no mancal pelo atrito viscoso do fluido é
totalmente transferido para o óleo lubrificante e é então retirado por este através da
vazão lateral, ou axial; conforme mostra a figura 3.4.
Esta hipótese de mancal com superfícies adiabáticas proporciona um caráter
conservativo à solução de problemas de lubrificação hidrodinâmica, uma vez que se
considera uma elevação de temperatura do óleo lubrificante acima da real. Desta
forma, tanto a viscosidade efetiva do óleo lubrificante quanto a capacidade de carga
do mancal são subestimadas.
A elevação de temperatura do óleo lubrificante é calculada em função do
trabalho realizado sobre o mesmo, ou seja fazendo-se um balanço de energia no
mancal, da seguinte forma:
lplrecprecmistptf TCQTCQTCQH ρρρ +=+ (3.97)
Considerando que a temperatura lT do óleo lubrificante que sai pela lateral do
mancal é igual à temperatura efetiva do filme de óleo, efT , dada pela equação
(2.62), obtém-se para 5,0=λ :
80
2
TTT mistef
∆+= (3.98)
sendo a elevação de temperatura T∆ e a temperatura de mistura mistT dadas
respectivamente pelas equações (2.63) e (2.64).
Assim, da equação (2.63) tem-se:
mistrec TTT −=∆ (3.99)
Substituindo a equação (3.99) na equação (3.98), obtém-se:
( )mistrecmistef TTTT −+=2
1 (3.100)
e, da equação (3.95) tem-se:
ltrec QQQ −= (3.101)
Substituindo-se agora as equações (3.100) e (3.101) na equação (3.97),
resulta:
( )
+
+−=+2
recmistplrecpltmistptf
TTCQTCQQTCQH ρρρ (3.102)
Reagrupando os termos e considerando a equação (3.99), pode-se rescrever
a equação (3.102) da seguinte forma:
2
TCQTCQH plptf
∆−∆= ρρ (3.103)
Portanto, a elevação de temperatura do óleo, T∆ , será dada por:
81
−
=∆
t
ltp
f
Q
QQC
HT
2
11ρ
(3.104)
Sendo af FUH = onde; NRU π2= e dLPfFfFa == pode-se definir
a elevação de temperatura adimensional pela seguinte relação:
−
=∆
=∆
t
lt
p
Q
NRLf
P
TCT
2
11
4 2πρ (3.105)
Escrevendo de uma outra forma vem:
−
=∆
=∆
t
lt
p
Q
QLNcR
Qc
Rf
P
TCT
2
11
4πρ (3.106)
3.3.8 – Pressão máxima e posição angular de máxP
Uma vez determinada a distribuição de pressão nos pontos nodais do domínio
computacional, é possível obter a pressão hidrodinâmica máxima, máxP , ao longo da
superfície do mancal. Devido a hipótese de simetria axial (mancal perfeitamente
alinhado), esta pressão hidrodinâmica máxima estará localizada no plano médio do
mancal. Pode–se também determinar o ângulo da posição de pressão máxima,
maxθ , medido a partir da linha de centros '00 , conforme figura 3.3. Deve-se ressaltar
que o grau de precisão de máxP e maxθ , ou seja, a localização do ponto onde
0=∂∂θP
, tem relação direta com o grau de refinamento adotado na definição da
malha do domínio computacional.
82
O ângulo de posição da pressão máxima medido a partir da linha de ação da
carga, maxPθ , será dado, conforme figura 3.3, por:
φπθθ +−= maxmaxP (3.107)
onde, φ é o ângulo de carga dado pela equação (3.50b).
24
CAPÍTULO 2
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
2.1 - Dedução da Equação Bidimensional de Reynolds Modificada para
Fluidos Não-Newtonianos, Modelo Power Law
Seja o sistema de eixos em coordenadas cartesianas mostrado na figura
2.1 onde duas superfícies quaisquer, em movimento relativo, são separadas por
um filme fluido de espessura ( )zxhh ,= .
yy
h
xx
z
v
wu
Figura 2.1 - Superfícies em movimento relativo
As condições de contorno de velocidade consideradas são:
0,0,0: ==== wvuhy (2.1a)
0,0,:0 ==== wvUuy (2.1b)
onde u , v e w são as componentes de velocidade nas respectivas direções x , y
e z dos eixos coordenados.
25
Para deduzir a equação isotérmica de Reynolds da lubrificação
hidrodinâmica para fluidos não-newtonianos modelo power law, proposta por Dien
e Elrod [13] a imposição de algumas hipóteses simplificadoras, usuais da
lubrificação hidrodinâmica, são necessárias. A definição destas hipóteses e a sua
imposição na equação da continuidade e nas equações da conservação da
quantidade de movimento estão mostradas no Apêndice A1, o que resulta nas
seguintes equações:
Equação da continuidade
0=∂∂+
∂∂
z
w
x
u (2.2)
Equações da conservação da quantidade de movimento
na direção x :
yx
P yx
∂∂
=∂∂ τ
(2.3a)
na direção y :
0=∂∂
y
P (2.3b)
na direção z :
yz
P yz
∂
∂=
∂∂ τ
(2.3c)
A equação (2.3b) indica que a pressão hidrodinâmica P depende apenas
de x e z , isto é, ),( zxPP = . Isto equivale a considerar apenas as tensões no
plano zx ( yxτ e yzτ ).
26
Conforme Bird et alli [28] a relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa
de deformação, ou seja, a equação constitutiva de um fluido incompressível não-
Newtoniano, modelo power law, é dada por:
( ) ij
n
ijijij dddm 2
1:2
−=τ (2.4)
sendo a viscosidade aparente µ dependente do segundo invariante do tensor
taxa de deformação, a qual é dada por:
( ) 2
1:2
−=
n
ijij ddmµ (2.5)
onde m é a viscosidade absoluta ou dinâmica a uma temperatura T qualquer,
ijd é o tensor taxa de deformação, ijij ddI := é o segundo invariante do tensor
taxa de deformação, ji , são índices relacionados aos eixos coordenados
),,( zyx e n é o índice de característica reológica do fluido.
O segundo invariante do tensor taxa de deformação ( jiij dd : ) é simétrico,
e é calculado da seguinte forma;
2222223
1
3
1
222: yzxzxyzzyyxx
i j
ijijijij ddddddddddI +++++=== ∑∑= =
(2.6)
onde, o tensor taxa de deformação é dado por;
∂∂
+
∂∂=
i
j
j
iij X
U
X
Ud
2
1 (2.7)
assim,
27
x
udxx ∂
∂= (2.8a)
y
vd yy ∂
∂= (2.8b)
z
wdzz ∂
∂= (2.8c)
∂∂+
∂∂==
x
v
y
udd yxxy 2
1 (2.8d)
∂∂+
∂∂==
z
u
x
wdd zxxz 2
1 (2.8e)
∂∂+
∂∂==
y
w
z
vdd zyyz 2
1 (2.8f)
Considerando as hipóteses simplificadoras 3 e 4 definidas no Apêndice A1,
o segundo invariante ou o duplo produto interno do tensor taxa de deformação
resulta em:
∂∂+
∂∂==
22
2
1:
y
w
y
uddI ijij (2.9)
Da equação (2.4) e (2.5) tem-se que;
ijij dµτ = (2.10)
assim,
28
y
u
y
um
n
yx ∂∂
∂∂=
−2
12
τ (2.11a)
e
y
w
y
wm
n
yz ∂∂
∂∂=
−2
12
τ (2.11b)
Para dar uma maior generalidade à formulação do problema, costuma-se
escrever as equações (2.11a) e (2.11b) da seguinte forma:
y
u
y
um
n
yx ∂∂
∂∂=
−1τ (2.12a)
e
y
w
y
wm
n
yz ∂∂
∂∂=
−1τ (2.12b)
onde a viscosidade aparente µ é dada por:
12
12 −
−
∂∂=
∂∂=
nn
y
um
y
umµ (2.13a)
ou
12
12 −
−
∂∂=
∂∂=
nn
y
wm
y
wmµ (2.13b)
Desta forma, pode-se escrever:
29
y
uyx ∂
∂= µτ (2.14a)
e
y
wyz ∂
∂= µτ (2.14b)
Utilizando-se das equações (2.14a) e (2.14b), as equações (2.3a), (2.3b) e
(2.3c) tomam a seguinte forma:
na direção x ,
∂∂
∂∂=
∂∂
y
u
yx
P µ (2.15a)
na direção y ,
0=∂∂
y
P (2.15b)
na direção z ,
∂∂
∂∂=
∂∂
y
w
yz
P µ (2.15c)
Conforme proposto por Dien & Elrod [13], a solução aproximada das
equações (2.15a) e (2.15c) pode ser obtida fazendo-se a hipótese de alta
dominância de Couette no escoamento e utilizando-se o método de pequenas
perturbações. Para tal, admite-se que as variáveis dependentes do problema
possam ser expandidas em termos de uma pequena perturbação, σ . Esta
hipótese inicial é razoável, pois quando a velocidade relativa entre as superfícies
é grande, pode-se aplicar a condição de deslizamento puro, ou seja, considerar
que as taxas de deformação no fluido são geradas principalmente devido ao
movimento relativo entre as superfícies.
30
No caso das componentes de velocidade u e w , a expansão resulta em:
....10 ++= uuu σ (2.16a)
....10 ++= www σ (2.16b)
onde 0u e 0w são as componentes arbitrárias de Couette de acordo com a
hipótese de alta dominância de Couette, 1u e 1w são as componentes de
Poiseuille.
Assim, as condições de contorno de velocidade dadas pelas equações
(2.1a) e (2.1b) tomam a seguinte forma:
0 w ,0 w ,0u,Uu:0y 1010 ===== (2.17a)
0 w ,0 w ,0u,0u:hy 1010 ===== (2.17b)
Considerando agora o segundo invariante do tensor taxa de deformação, a
expansão resulta em:
10 III σ+= (2.18a)
ou
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂+
∂∂=
y
w
y
w
y
u
y
u
y
w
y
uI 1010
20
20 σ (2.18b)
Como a viscosidade é função do segundo invariante, podemos escrever
que:
( )....10 ++= II σµµ (2.19)
A equação (2.18a) indica que I é igual a 0I na sua vizinhança. Portanto,
aplicando a expansão à viscosidade, obtém-se:
31
( ) ( )0
10II
uIII
∂∂+= σµµ (2.20a)
ou
10 µσµµ += (2.20b)
onde;
0
11II
uI
∂∂=µ (2.21)
Das equações (2.13a) e (2.13b), obtém-se:
10
2
12
00
−−
∂∂=
∂∂=
nn
y
um
y
umµ (2.22a)
ou
10
2
12
00
−−
∂∂=
∂∂=
nn
y
wm
y
wmµ (2.22b)
O gradiente de pressão pode também ser expandido em termos de uma
pequena perturbação e determinado da seguinte forma:
....10 +∂∂+
∂∂
=∂∂
xxx
P πσπ
(2.23a)
e
....10 +∂∂+
∂∂
=∂∂
zzz
P πσπ
(2.23b)
onde 0π e 1π são as pressões de referência.
32
Pode-se deduzir que as derivadas x∂
∂ 0π e z∂
∂ 0π são iguais a zero, pois as
componentes 0u e 0w estão relacionadas à hipótese de escoamento com alta
dominância de Couette, a qual depende somente da velocidade relativa entre as
superfícies.
Substituindo-se as equações (2.16a), (2.16b), (2.20b), (2.23a) e (2.23b)
nas equações de movimento (2.15), direções x e z , e considerando 02 ≅σ ,
pode-se chegar as seguintes equações:
na direção x :
∂∂
+∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
y
u
y
u
y
u
yx0
11
00
01 µσµσµπσ (2.24a)
na direção z :
∂∂
+∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
y
w
y
w
y
w
yz0
11
00
01 µσµσµπσ (2.24b)
Lembrando que o parâmetro σ é muito pequeno, pode-se escrever que:
000 =
∂∂
∂∂
y
u
yµ (2.25a)
e
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
y
u
y
u
yx0
11
01 µµπ
(2.25b)
A equação (2.25a) pode ser integrada duas vezes em y , pois 0µ é função
apenas de 0I , ou seja, função de y
u
∂∂ 0 , que possui um valor constante. Portanto,
integrando-se duas vezes a equação (2.25a), obtém-se:
33
02100 =++ CyCuµ (2.26)
Aplicando-se as condições de contorno definidas em (2.17a) e (2.17b),
conclui-se que:
h
UC 01
µ= (2.27a)
e
UC 02 µ−= (2.27b)
Substituindo-se as constantes de integração 1C e 2C na equação (2.26),
obtém-se a componente de velocidade na direção x , devido ao efeito de Couette,
0u :
−=
h
yUu 10 (2.28)
Levando as equações (2.21) e (2.22a) na equação (2.25b), obtém-se:
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂
∂∂=
∂∂ −
y
u
yI
y
u
y
um
yx I
n0
0
11
101 µπ
(2.29)
Das equações (2.18a) e (2.18b) obtém-se:
y
u
h
UI
∂∂−= 1
1 (2.30)
Através das equações (2.5) e (2.13a) pode-se obter na vizinhança de 0I , a
seguinte relação:
34
( ) ( ) ( )3
02
32
02
3
00
111−
−−
∂∂−=
∂∂−=−=
∂∂ n
nn
I y
unm
y
unmInm
I
µ (2.31)
Substituindo-se as equações (2.30) e (2.31) na equação (2.29), obtém-se:
( )
∂∂
∂∂
−∂∂
−+
∂∂
∂∂
∂∂=
∂∂ −−
y
u
y
unm
y
u
h
U
y
u
y
um
yx
nn0
3011
101 1
π (2.32)
ou
( )
−−−
∂∂
−+
∂∂−
∂∂=
∂∂ −−
h
U
h
Unm
y
u
h
U
y
u
h
Um
yx
nn 311
11 1
π (2.33)
ou ainda
( )
∂∂
−+
∂∂
∂∂=
∂∂ −−
y
u
h
Unm
y
u
h
Um
yx
nn1
11
11 1
π (2.34)
Reagrupando os termos da equação (2.34), obtém-se:
∂∂
∂∂=
∂∂ −
y
u
h
Unm
yx
n1
11π (2.35a)
ou
xU
h
nmy
u n
∂∂
=
∂∂ −
11
21
2 1 π (2.35b)
Sendo 1π independente de y , pode-se integrar a equação (2.35b) duas
vezes em y , obtendo-se:
35
2121
1
1 2
1CyCy
xU
h
nmu
n
++∂∂
=
− π (2.36)
Aplicando-se as condições de contorno definidas pelas equações (2.17a) e
(2.17b), obtém-se:
xU
h
nm
hC
n
∂∂
−=
−1
1
1 2
π (2.37a)
02 =C (2.37b)
Substituindo-se as equações (2.37a) e (2.37b) na equação (2.36), obtém-
se a componente de velocidade na direção x , devido ao efeito de Poiseuille, 1u :
( )hyyxU
h
nmu
n
−∂∂
=
−21
1
1 2
1 π (2.38)
Levando as equações (2.28) e (2.38) na equação (2.16a) e lembrando que
x
P
x ∂∂=
∂∂ 1πσ , obtém-se o perfil de velocidade na direção x :
( )hyyx
P
U
h
mnh
yUu
n
−∂∂
+
−=
−2
1
2
11 (2.39)
Analogamente ao procedimento adotado para a equação de movimento na
direção x , a equação de movimento na direção z resulta em:
000 =
∂∂
∂∂
y
w
yµ (2.40a)
e
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
y
w
y
w
yz0
11
01 µµπ
(2.40b)
36
Como 0µ independe de y , pode-se integrar a equação (2.40a) duas vezes
em relação a y obtendo-se assim a seguinte equação:
02100 =++ CyCwµ (2.41)
Aplicando-se as condições de contorno definidas em (2.17a) e (2.17b),
obtém-se:
01 =C (2.42a)
e
02 =C (2.42b)
Substituindo-se estas constantes de integração na equação (2.41), obtém-
se a componente de velocidade na direção z , devido ao efeito de Couette, 0w :
00 =w (2.43)
Substituindo-se as equações (2.21) e (2.22b) na equação (2.40b), obtém-
se:
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂
∂∂=
∂∂ −
y
w
II
y
w
y
wm
yz I
n0
01
11
01 µπ (2.44a)
ou
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂
∂∂=
∂∂ −
y
w
II
y
w
y
um
yz I
n0
01
11
01 µπ (2.44b)
Levando em consideração as equações (2.28) e (2.43), a equação (2.44b)
toma a seguinte forma:
37
∂∂−
∂∂=
∂∂ −
y
w
h
Um
yz
n1
11π (2.45a)
ou
zU
h
my
w n
∂∂
=
∂∂ −
11
21
2 1 π (2.45b)
Como 1π não depende de z , pode-se integrar a equação (2.45b) duas
vezes em y , obtendo-se:
2121
1
1 2
1CyCy
zU
h
mw
n
++∂∂
=
− π (2.46)
Aplicando as condições de contorno definidas em (2.17a) e (2.17b), obtém-
se:
zU
h
m
hC
n
∂∂
−=
−1
1
1 2
π (2.47a)
02 =C (2.47b)
Substituindo-se as equações (2.47a) e (2.47b) na equação (2.46) obtém-se
a componente de velocidade na direção z , devido ao efeito de Poiseuille, 1w :
( )hyyzU
h
mw
n
−∂∂
=
−21
1
1 2
1 π (2.48)
Levando as equações (2.43) e (2.48) na equação (2.16b) e lembrando que
z
P
z ∂∂=
∂∂ 1πσ , obtém-se o perfil de velocidade na direção z :
38
( )hyyz
P
U
h
mw
n
−∂∂
=
−2
1
2
1 (2.49)
Obtidos os perfis de velocidade nas direções x e z , pode-se determinar as
respectivas vazões. Define-se as vazões por unidade de comprimento como:
dyuqh
x ∫= 0 (2.50a)
e
dywqh
z ∫= 0 (2.50b)
Substituindo-se as equações (2.39) e (2.49) respectivamente em (2.50a) e
(2.50b), obtém-se:
x
P
nUm
hUhq
n
n
x ∂∂−= −
+
1
2
122 (2.51a)
e
z
P
mU
hq
n
n
z ∂∂−= −
+
1
2
12 (2.51b)
Integrando-se a equação da continuidade, dada pela equação (2.2), em y ,
de 0 a h , obtém-se:
000
=∂∂+
∂∂ ∫∫ dy
z
wdy
x
u hh (2.52)
Aplicando-se a regra de Leibnitz em cada um dos termos da equação
(2.52) e substituindo as condições de contorno (2.1a) e (2.1b), obtém-se:
39
( )x
q
x
hhudyu
xdy
x
u xh h
∂∂
=∂∂−
∂∂=
∂∂∫ ∫0 0
(2.53a)
( )z
q
z
hhwdyw
zdy
z
w zh h
∂∂=
∂∂−
∂∂=
∂∂∫ ∫0 0
(2.53b)
Substituindo as equações (2.53a) e (2.53b) na equação (2.52), obtém-se:
0=∂∂+
∂∂
z
q
x
q zx (2.54)
Finalmente, substituindo-se as equações (2.51a) e (2.51b) na equação
(2.54), obtém-se a seguinte equação:
x
hU
z
P
m
h
zx
P
nm
h
xn
nn
∂∂=
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂ ++
622
(2.55)
a qual, é a equação bidimensional de Reynolds da lubrificação hidrodinâmica,
modificada para fluidos não-newtonianos modelo power law, proposta por Dien e
Elrold [13].
Observe que quando 1=n , ou seja, quando o óleo lubrificante for
considerado um fluido Newtoniano a equação (2.55) recai na equação clássica de
Reynolds da lubrificação hidrodinâmica.
2.2 – Modelo Físico
A configuração básica de um mancal radial hidrodinâmico em operação e
alguns dos principais parâmetros físicos e geométricos deste são apresentados
na figura 2.2, onde x é coordenada circunferencial, y é a coordenada radial e z
é a coordenada axial.
0
0
40
Conforme pode-se observar na figura 2.2, um mancal hidrodinâmico em
operação apresenta o eixo (munhão) localizado excentricamente em relação a
bucha. Se este mancal estiver perfeitamente alinhado a espessura do filme de
óleo lubrificante é uma função da coordenada circunferencial x , ou seja, ( )xhh = .
O apêndice A2 apresenta a dedução da equação da espessura do filme de óleo
lubrificante, a qual é dada por:
( )θε cos1+= ch (2.56)
onde, R
x=θ , c é a folga radial e ε é a excentricidade específica do mancal.
Ao projetar um mancal radial hidrodinâmico, o projetista fixa previamente
alguns parâmetros, normalmente chamados de parâmetros independentes, os
quais são:
• Diâmetro da bucha, D ;
• Diâmetro do eixo, d ;
• Folga radial, ( )2
dDc
−= ;
• Comprimento da bucha , L ;
• Viscosidade plástica (ou absoluta) do óleo lubrificante, m ;
• Temperatura de suprimento do óleo lubrificante, sT ;
• Velocidade de rotação do eixo, N ;
• Capacidade de carga do mancal, F ;
A partir destes dados de projeto, é possível obter os parâmetros resultantes
ou também chamados de parâmetros dependentes, os quais são:
• Excentricidade específica do mancal, c
e=ε ;
• Espessura mínima do filme, 0h ;
• Pressão hidrodinâmica máxima, maxP ;
• Posição angular de maxmax ,θP ;
41
• Posição angular de 0h , φ ;
• Vazão lateral, lQ ;
• Vazão total, tQ ;
• Vazão de recirculação, recQ ;
• Vazão de suprimento, sQ ;
• Coeficiente de atrito, f ;
• Perda de potência, fH ;
• Elevação de temperatura, T∆ ;
• Temperatura efetiva, efT ;
• Viscosidade efetiva, efm .
Com base no comportamento destes parâmetros pode-se realizar análises
preditivas do comportamento operacional de mancais radiais hidrodinâmicos em
várias condições de projeto e operação.
42
Figura 2.2
43
2.3 – Equações Governantes e Condições de Contorno
Conforme deduzido no item 2.1, a equação bidimensional de Reynolds da
lubrificação hidrodinâmica, modificada para fluidos não-Newtonianos modelo
power law, é dada por:
x
hmU
z
Ph
zx
P
n
h
xnn
n
∂∂=
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂ +
+62
2
(2.57)
Para simular o comportamento operacional de um mancal radial
hidrodinâmico finito é necessário solucionar a equação (2.57), a qual só pode ser
realizada através de um método aproximado, ou seja, através de um método
numérico.
A condição de contorno adotada no presente trabalho para a obtenção da
solução da equação (2.57) é a condição de Reynolds, a qual está representada
na figura 2.3. Esta figura apresenta a distribuição de pressão no plano médio
( 2/Lz = ) do mancal e as condições de contorno no plano ( zx, ) , onde θRx = . A
distribuição de pressão para o plano desenvolvido ( z,θ ) pode ser melhor
visualizada no gráfico tridimensional da figura 2.4 .
Portanto, de acordo com a figura 2.3, as condições de contorno de
Reynolds são dadas por:
( ) RxRexLzzemP πθπ 20,,00 ' ≤≤+==== (2.58a)
( )Rxexemx
P '00 θπ +===∂∂
(2.58b)
onde 'θ é um ângulo que define a posição circunferencial, no plano médio do
mancal, a partir da qual a pressão hidrodinâmica passa a ser nula. Quando
0'=θ , a condição de contorno passa a ser a de meio Sommerfeld.
44
Figura 2.3
45
Figura 2.4
46
2.4 – Procedimento Iterativo para Obtenção dos Parâmetros Resultantes
É sabido que os efeitos térmicos na lubrificação hidrodinâmica não devem ser
desprezados, pois a temperatura média do filme de óleo de um mancal em operação
pode afetar em muito a sua capacidade de carga e a espessura do filme de óleo
lubrificante.
Quando um mancal hidrodinâmico é colocado em operação, o óleo
lubrificante sofre uma variação substancial de temperatura durante operação até
atingir a condição de regime. Por isso, qualquer que seja o modelo teórico para
prever o comportamento operacional de um mancal hidrodinâmico, este deve estar
inserido em um procedimento iterativo para a determinação dos parâmetros
resultantes na condição de operação em regime.
Tudo isso ocorre devido a grande dependência entre a viscosidade do óleo
lubrificante e a temperatura. Existem na literatura várias formas aproximadas de
expressar a dependência da viscosidade com a temperatura, através de gráficos ou
através de relações empíricas. Uma das relações empíricas comumente utilizada e
que dá bons resultados para uma faixa relativamente ampla de temperatura é a
equação de Walther da ASTM, a qual estabelece que:
( )
+−=
+ 2log.110106.0KTK
m (2.59)
onde m é a viscosidade dinâmica (em cP) do óleo à temperatura absoluta T e, 1K
e 2K são constantes que dependem do óleo lubrificante.
Conhecendo-se os valores das viscosidades 1m e 2m , respectivamente nas
temperaturas 1T e 2T , pode-se calcular as constantes 1K e 2K da seguinte forma :
( )( )
++=
2
1
2
11 log
6.0log
6.0loglog
T
T
m
mK (2.60a)
47
( )( ) ( )( ) 1
2
1
2
112 log.log
6.0log
6.0loglog6.0loglog T
T
T
m
mmK
++−+= (2.60b)
Além de analisar os efeitos térmicos no comportamento operacional de um
mancal radial hidrodinâmico, no presente trabalho analisam-se também os efeitos
da utilização de lubrificantes não-Newtonianos; onde a viscosidade varia com a taxa
de deformação.
A equação (2.13a) estabelece esta relação de dependência, a qual levando-
se em conta a hipótese de escoamento com alta dominância de Couette, toma a
seguinte forma aproximada:
1−
=
n
c
Umµ (2.61)
onde U é a velocidade tangencial do eixo e c é a folga radial do mancal.
O cálculo da elevação de temperatura, T∆ , é realizado levando-se em
consideração os efeitos das temperaturas dos óleos de suprimento, sT , e
recirculação, recT .
A equação para o cálculo da temperatura efetiva do mancal radial
hidrodinâmico operando em regime foi obtida através de um balanço de energia
conforme Raimondi e Boyd [29], a qual tem a seguinte forma:
)()1()1( kkmist
kef TTT ∆+= ++ λ (2.62)
onde:
λ é uma constante empírica que define a parcela do calor gerado que é
retirado pelo óleo lubrificante;
)(kT∆ é a elevação de temperatura na iteração k ;
48
)1( +kefT é a temperatura efetiva na iteração 1+k ;
)1( +kmistT é a temperatura resultante da mistura do óleo de suprimento com o
óleo de recirculação na posição φθ −= ( iteração 1+k ).
O valor da constante empírica λ , segundo resultados experimentais, varia
para cada mancal específico e é bastante influenciado pela velocidade de rotação e
pela folga construtiva do mancal. Conforme Raimondi e Boyd [29], 5,0=λ e segundo
Cameron [30], 8,0=λ . No presente trabalho será adotado 5,0=λ .
A temperatura mistT é resultante da mistura do óleo de suprimento com o óleo
de recirculação. Assim, tem-se as seguintes relações :
)()()( kkmist
krec TTT ∆+= (2.63)
t
slk
recreckmist Q
TQTQT
+=+)(
)1( (2.64)
onde :
recT é a temperatura do óleo de recirculação;
sT é a temperatura do óleo de suprimento;
recQ é a vazão de recirculação;
lQ é a vazão lateral ou axial de óleo;
tQ é a vazão total de óleo lubrificante.
As equações (2.62), (2.63) e (2.64) caracterizam o processo iterativo utilizado
para calcular a temperatura efetiva, efT , de um mancal radial hidrodinâmico
operando em regime. Tal procedimento, ilustrado na figura 2.5, pode ser resumido
na seguinte seqüência de cálculos:
49
Passo 1 – Admite-se um valor inicial para efT e para mistT , se possível com
base em dados experimentais;
Passo 2 – Calculam-se as viscosidades efetivas dinâmica e aparente, efm e
efµ correspondentes, através das equações (2.59) e (2.61);
Passo 3 – Calcula-se a distribuição de pressão, ( )zPP ,θ= , através das
equações de diferenças finitas desenvolvidas nos itens 3.1 e 3.2 do capítulo 3.
Passo 4 – Calculam-se a capacidade de carga do mancal, número de
Sommerfeld, força de atrito, coeficiente de atrito, perda de potência e por fim a
elevação de temperatura T∆ , através da equação (3.104);
Passo 5 – Calculam-se as temperaturas recT , mistT e efT , respectivamente
pelas equações (2.63), (2.64) e (2.62);
Passo 6 – Faz-se o teste de convergência de efT ;
Passo 7 – Atualiza-se a temperatura efetiva efT para reiniciar o processo
iterativo;
Passo 8 – Após a convergência da temperatura efetiva, calculam-se os
demais parâmetros resultantes do comportamento operacional do mancal radial
hidrodinâmico.
50
Iníciok =1
Admite-se um valor
inicial para )(kefT e
)(kmistT
Cálculo de efm e efµ
)( )(kefef Tfm =
),( yumf efef ∂∂=µ
Cálculo da distribuição de pressão( )zPP ,θ=
Cálculo da elevação de temperatura )(kT∆
Cálculo da )(krecT ,
)1( +kmistT e )1( +k
efT
2.0.)()1( =≤−+ tolErroTT kef
kef
Cálculo dos demais parâmetros resultantes
Fim
Sim
1
)1()(
+=
= +
kk
TT kef
kef
Figura 2.5 – Diagrama de blocos do procedimento iterativo
Não
133
CAPÍTULO 5
CONCLUSÕES E SUGESTÕES
5.1 - Conclusões
No presente trabalho foi apresentado um estudo teórico sobre a lubrificação
hidrodinâmica de mancais radiais operando com lubrificantes não-Newtonianos,
descritos pelo modelo power law.
O principal objetivo deste trabalho foi analisar o efeito do índice de
característica reológica, n , do óleo lubrificante no comportamento operacional de um
mancal radial hidrodinâmico, em várias condições de projeto e operação. Assim,
foram analisados mancais radiais hidrodinâmicos operando com lubrificantes não-
Newtonianos dos tipos pseudoplástico (n<1) e dilatante (n>1), bem como com um
óleo mineral comum (lubrificante Newtoniano, n=1).
Inicialmente, o comportamento do mancal foi analisado sob três abordagens
diferentes do ponto de vista térmico. Foram implementadas as soluções isotérmica,
adiabática e uma solução intermediária para a equação de Reynolds. Esta análise
revela o quanto é importante considerar os efeitos térmicos na previsão do
comportamento operacional de um mancal hidrodinâmico. Outra conclusão
importante neste ponto, é que os efeitos térmicos são mais acentuados nos mancais
operando com lubrificantes Newtonianos (n=1) e não-Newtonianos do tipo dilatante
( n>1). Ou seja, a influência da variação de alguns parâmetros operacionais e de
projeto na temperatura efetiva do filme de óleo é bem menor para mancais operando
com lubrificantes não-Newtonianos do tipo pseudoplástico.
Posteriormente a esta análise, todas as simulações do comportamento
operacional do mancal foram realizadas usando-se a solução intermediária proposta
pelo presente trabalho. Através destas simulações pode-se concluir que o índice de
134
característica reológica do óleo lubrificante tem grande influência sobre o
comportamento operacional de um mancal radial hidrodinâmico. A variação térmica
do filme lubrificante é bem mais acentuada para altos valores do índice de
característica reológica quando se tem uma variação sobretudo das condições de
operação, tais como, excentricidade específica de trabalho, temperatura do óleo de
suprimento e velocidade de rotação do eixo. Outra conclusão importante é que os
mancais radiais hidrodinâmicos operando com lubrificante não-Newtoniano do tipo
pseudoplástico (n<1) apresentam menor capacidade de carga, porém, menor
temperatura efetiva e maior estabilidade em qualquer condição de carregamento e
operação. Por outro lado, os lubrificantes não-Newtonianos do tipo dilatante
conferem maior capacidade de carga ao mancal, apesar de serem mais instáveis
termicamente.
Conlui-se ainda, para finalizar, através de alguns gráficos apresentados no
capítulo 4, que a faixa ideal de trabalho para a excentricidade específica do mancal
fica entre 0,6 e 0,7, uma vez que nesta faixa a temperatura efetiva do filme de óleo é
mínima, principalmente para os óleos lubrificantes Newtonianos e não-Newtonianos
do tipo dilatante.
5.2 - Sugestões para Trabalhos Futuros
Considerando que a maioria dos óleos lubrificantes comerciais possuem
aditivos para atender determinadas exigências de aplicação e que, portanto, exibem
um comportamento reológico não-Newtoniano, nem sempre especificado em seus
dados técnicos, o presente trabalho sugere que se avalie e considere, sempre que
possível, o comportamento reológico do óleo lubrificante a ser utilizado em
aplicações ou em simulações teóricas do comportamento operacional de mancais.
Com relação à modelagem teórica e simulação computacional do
comportamento operacional de mancais radiais hidrodinâmicos, o presente trabalho
sugere as seguintes considerações para trabalhos futuros:
135
Considerar na modelagem teórica e computacional a variação tridimensional da
temperatura do filme de óleo lubrificante além dos efeitos não-Newtonianos. Para
tanto, é necessário resolver a equação modificada de Reynolds para fluidos não-
Newtonianos, modelo power law, acoplada a equação da energia para o filme
fluido (domínio fluido) e para o eixo e a bucha (domínio sólido).
Considerar os efeitos das distorções térmicas e elásticas sobre o comportamento
operacional do mancal. Isso possibilita uma previsão de folgas construtivas e
operacionais mais adequadas.
Analisar os efeitos da lubrificação hidrodinâmica, com lubrificantes não-
Newtonianos sobre o comportamento dinâmico do mancal.
Analisar os efeitos da presença de desalinhamento no mancal, parâmetro este
sempre presente na prática.
Utilizar parâmetros de adimensionalização para as variáveis do problema tais que
se possa ter uma relação diretamente proporcional entre os parâmetros
adimensionais e os parâmetros dimensionais, a fim de facilitar a análise do
comportamento operacional do mancal.
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 - Generalidades
O principal objetivo da lubrificação com filme fluido é separar superfícies
metálicas em movimento relativo, minimizando-se assim o atrito e o desgaste das
mesmas. No caso específico da lubrificação hidrodinâmica a formação e a
manutenção do filme de óleo lubrificante depende, principalmente, dos parâmetros
geométricos do mancal e da viscosidade do óleo lubrificante utilizado.
Um dos grandes problemas da lubrificação hidrodinâmica, em mancais que
operam com altas cargas e velocidades, está relacionado com o índice de
viscosidade do óleo lubrificante especificado, ou seja, com o grau de dependência
entre a viscosidade e a temperatura. É sabido que a viscosidade do óleo lubrificante
diminui com o aumento de temperatura; e que a grande conseqüência desta relação
de dependência é uma diminuição apreciável na capacidade de carga do mancal e
conseqüente diminuição da espessura mínima do filme de óleo, podendo até
culminar com o rompimento do filme de óleo e o gripamento do mancal.
Para minimizar este problema são adicionados polímeros aumentadores do
índice de viscosidade aos óleos minerais ou especificam-se óleos lubrificantes
totalmente sintéticos. Estes lubrificantes comportam-se como um fluido não-
Newtoniano independente do tempo, isto é, a relação entre a tensão de
cisalhamento e a taxa de deformação é não linear, e portanto, a viscosidade destes
lubrificantes além de variar com a temperatura, mesmo que em menor grau, varia
também com a taxa de deformação.
Assim sendo, os efeitos térmicos e a influência dos lubrificantes não-
Newtonianos na lubrificação hidrodinâmica não devem ser desprezados e a
2
determinação da temperatura efetiva do filme de óleo lubrificante e a correspondente
viscosidade efetiva do mesmo durante operação em regime são parâmetros de
fundamental importância para o projeto e análise do comportamento operacional de
mancais.
1.2 - Revisão Bibliográfica
Os princípios físicos e matemáticos da teoria clássica da lubrificação
hidrodinâmica, estabelecidos por Reynolds [01] em 1886, foram desenvolvidos para
fluidos Newtonianos e portanto, não são adequados para prever com precisão o
comportamento operacional de mancais operando com lubrificantes não-
Newtonianos. Atentos a este fato, vários pesquisadores têm se dedicado a analisar
as influências da utilização de lubrificantes não-Newtonianos na lubrificação
hidrodinâmica.
Em 1962, Ng e Saibel [02] e em 1965, Hsu e Saibel [03] analisaram os efeitos
dos lubrificantes não-Newtonianos no comportamento operacional de mancais
hidrodinâmicos de sapatas infinitamente largas, para duas relações não lineares
entre a tensão cisalhante e a taxa de deformação.
Em 1963, Tanner [04] utilizou a teoria dos mancais curtos de Dubois e Ocvirk
para obter as características de um mancal radial operando com lubrificantes não-
Newtonianos modelo power law. Posteriormente, em 1965, Tanner [05] analisou o
comportamento do mesmo mancal levando em consideração a variação da
viscosidade com a taxa de deformação e com a temperatura.
Em 1971 e 1974, Wada e Hayashi [06] e [07] apresentaram nestes
respectivos trabalhos análises teóricas e experimentais sobre a lubrificação
hidrodinâmica de mancais radiais finitos operando com lubrificantes pseudoplásticos,
comprovando assim a aplicabilidade de seu modelo teórico.
3
Em 1973, Marnell [08] usou o modelo power law para descrever o
comportamento do fluido synovial em seus estudos do comportamento tribológico de
juntas de seres humanos.
Em 1975, Swamy et alli [09] analisaram mancais radiais finitos operando com
lubrificantes não-Newtonianos modelo power law e traçaram curvas de seu
comportamento operacional e em 1977, em um trabalho complementar, Swamy et
alli [10] usaram a relação tensão cisalhante versus taxa de deformação de terceira
ordem de Rivlin-Ericksen para obter a capacidade de carga de um mancal radial
finito.
Em 1979, Safar [11] deduziu a sua equação modificada de Reynolds para
lubrificantes não-Newtonianos modelo power law. Em seu trabalho as equações de
movimento para um mancal radial infinitamente largo foram resolvidas admitindo-se
uma aproximação polinomial para o perfil de velocidade sendo que este resulta da
superposição das componentes de velocidade devido aos efeitos de Couette e
Poiseuille.
Em 1982, Tayal et alli [12] analisaram o comportamento de mancais radiais
finitos usando o método de elementos finitos, para sete modelos diferentes de
fluidos não-Newtonianos.
Em 1983, Dien e Elrod [13] deduziram a equação modificada de Reynolds da
lubrificação hidrodinâmica para fluidos não-Newtonianos modelo power law. Eles
utilizaram para isso um método aproximado, baseado no método de perturbações de
primeira ordem, e admitiram que a taxa de deformação do fluido é gerada
principalmente pelo movimento relativo das superfícies do mancal. Em seu trabalho
foi simulado o comportamento operacional de um mancal radial operando com
lubrificantes não-Newtonianos modelo power law (pseudoplásticos 1<n ), para uma
variedade de relações DL , excentricidades e índices de características reológicas.
É importante observar que a teoria de Dien e Elrod [13] se aplica tanto para
escoamentos de fluidos não-Newtonianos com alta dominância de Couette como
para escoamentos de fluidos Newtonianos com componentes arbitrárias de Couette
4
e Poiseuille. A sua teoria combina simplicidade e generalidade, tanto que, a sua
equação modificada de Reynolds para fluidos não-Newtonianos modelo power law é
muito usada atualmente nos trabalhos sobre lubrificação não-Newtoniana.
Em 1984, Bourgin e Gay [14] analisaram a influência dos lubrificantes não-
Newtonianos sobre a distribuição de pressões e a capacidade de carga de mancais
radiais finitos, utilizando o método de elementos finitos. Os resultados numéricos
foram comparados com outros resultados teóricos preestabelecidos para
lubrificantes Newtonianos. Eles concluíram que, para uma dada excentricidade
específica, os efeitos não-Newtonianos tendem a aumentar o ângulo de ação de
carga e diminuir a capacidade de carga do mancal.
Em 1985, Buckholz [15] realizou uma investigação teórica do comportamento
operacional de mancais radiais curtos operando com lubrificantes não-Newtonianos
modelo power law. Ele utilizou o método de expansão assintótica para resolver a
equação de Reynolds modificada, determinando a distribuição de pressão sem
recorrer a soluções numéricas. Dentre outros resultados, concluiu-se que os fluidos
não-Newtonianos pseudoplásticos )1( <n proporcionam aos mancais menores
capacidades de carga relativamente ao fluido Newtoniano.
Em 1986, Buckholz [16] estudou a lubrificação de um mancal plano finito
utilizando o modelo power law para os lubrificantes não-Newtonianos. Neste trabalho
ele analisa a influência da utilização de lubrificantes não-Newtonianos sobre a
capacidade de carga e força de atrito.
Em 1986, Buckholz e Lin [17] apresentaram um estudo teórico dos efeitos do
desalinhamento na capacidade de carga e cavitação de mancais radiais operando
com lubrificantes não-Newtonianos modelo power law.
Em 1987, Jang e Chang [18] realizaram uma análise adiabática para um
mancal radial hidrodinâmico de largura finita operando com lubrificantes não-
Newtonianos modelo power law, onde a viscosidade do filme lubrificante foi
calculada em função da temperatura e da taxa de deformação através de uma
5
relação exponencial. O comportamento operacional do mancal foi obtido através da
solução simultânea da equação de Reynolds modificada para lubrificantes não-
Newtonianos modelo power law e equação da energia, utilizando-se o método de
diferenças finitas. Foram simulados o comportamento do mancal operando com
lubrificantes pseudoplásticos 1<n , dilatantes 1>n e Newtonianos 1=n , para dois
tipos de soluções clássicas; solução adiabática e solução isotérmica. E neste mesmo
ano, Jang e Chang [19] analisaram os efeitos do desalinhamento em mancais radias
hidrodinâmicos operando com lubrificantes não-Newtonianos modelo power law.
Em 1988, Jianming e Gaobing [20] apresentaram uma análise do
comportamento operacional de um mancal de Rayleigh operando com lubrificantes
não-Newtonianos modelo power law, com o objetivo de otimizar a forma geométrica
do filme de óleo em função de uma capacidade de carga máxima.
Em 1992, Tripp e Melodick [21], realizaram medidas da espessura mínima do
filme de óleo de um mancal radial hidrodinâmico operando com lubrificantes não-
Newtonianos e Newtonianos disponíveis no mercado, em condições estáticas e
dinâmicas. Nesta análise pode-se concluir que a espessura do filme de óleo do
mancal operando com lubrificante não-Newtoniano é dominada pela relação de
dependência entre a viscosidade e a taxa de deformação.
Em 1993, Johnson e Mangkoesoebroto [22] apresentaram uma análise da
teoria da lubrificação para fluidos não-Newtonianos modelo power law aplicada ao
escoamento entre placas rígidas infinitamente largas. Nesta análise eles utilizaram o
valor absoluto na equação constitutiva do fluido não-Newtoniano modelo power law,
dando maior generalidade a mesma. Para ilustrar o modelo teórico, eles analisaram
o comportamento da distribuição de pressões em um mancal de deslizamento
hidrodinâmico com forma geométrica parabólica para o filme de óleo e calcularam o
gradiente de pressão e a distribuição de velocidades para um fluxo de massa
estabelecido.
Em 1994, Ju e Weng [23] apresentaram uma análise do comportamento
termohidrodinâmico de mancais radiais finitos operando com lubrificantes não-
Newtonianos modelo power law, usando o método de volume de controle (algoritmo
6
de Elrod) para solucionar a equação modificada de Reynolds. Em seu trabalho eles
concluíram que os efeitos térmicos são mais pronunciados para altos valores do
índice de característica reológica e altas excentricidades.
Em 1994, Hashimoto [24], analisou os efeitos da lubrificação não-Newtoniana
em mancais planos de deslizamento hidrodinâmico infinitamente largos. O seu
modelo teórico foi desenvolvido levando em consideração os efeitos inerciais e
utilizando a equação constitutiva de Rabinowitsch para os fluidos não-Newtonianos.
A sua equação de Reynolds modificada foi solucionada analiticamente utilizando-se
a técnica de perturbações.
Em 1996, Li et alli [25] estudaram os efeitos da rugosidade superficial em
mancais radiais operando com lubrificantes não-Newtonianos modelo power law.
Eles utilizaram o método de volume de controle (algoritmo de Elrod) para resolver a
equação modificada de Reynolds e determinar a região de cavitação do
escoamento. Analisaram também a influência do sentido da rugosidade (transversal
ou longitudinal) no contorno de ruptura do filme.
Em 1999, Raghunandana e Majumdar [26] investigaram a estabilidade de
mancais radiais hidrodinâmicos finitos operando com lubrificantes não-Newtonianos
modelo power law usando uma análise transiente não linear para simular a trajetória
do centro do eixo e assim determinar os parâmetros de estabilidade do mancal em
função da velocidade.
Em 2001, Silva et alli [27] analisaram o comportamento operacional de um
mancal plano infinitamente largo operando com lubrificantes não-Newtonianos
modelo power law (lubrificantes dilatantes e pseudoplásticos) bem como com um
lubrificante Newtoniano.
7
1.3 – Revisão do Comportamento e Características e dos Lubrificantes
1.3.1- Introdução
Os lubrificantes são substâncias colocadas entre duas superfícies para evitar
contato direto entre elas, com o objetivo de reduzir o atrito e o desgaste. Os
lubrificantes podem ser fluidos ou sólidos.
Os lubrificantes fluidos são usados tanto na lubrificação hidrostática como na
hidrodinâmica. Estes podem ser subdivididos em lubrificantes líquidos e lubrificantes
gasosos. Os lubrificantes líquidos são mais freqüentemente empregados,
principalmente, os óleos minerais. Atualmente, os óleos sintéticos vêm substituindo
os óleos minerais devido às suas melhores propriedades.
Os lubrificantes minerais são obtidos através dos processos de destilação e
refinamento do petróleo cru, o qual é separado em frações de progressiva
volatilidade, com eliminação de partes indesejáveis. Tais lubrificantes são
constituídos de hidrocarbonetos e, dependendo da estrutura básica da cadeia,
podem ser: parafínicos, naftênicos ou aromáticos. Os hidrocarbonetos parafínicos
geralmente predominam nos lubrificantes minerais. A figura 1.1 mostra as
configurações típicas destes hidrocarbonetos.
Os lubrificantes sintéticos possuem melhor performance quando comparados
com os lubrificantes minerais, porém são mais caros. Eles são freqüentemente
usados em condições extremas, por exemplo em casos de alta pressão e/ou
temperatura. Os lubrificantes sintéticos incluem os seguintes compostos:
hidrocarbonetos sintéticos, ésteres orgânicos, ésteres fosfáticos, poliglicóis e
silicones. Vários lubrificantes sintéticos podem também ser usados como aditivos.
8
(a)
(c)
(b)
Figura 1.1 - Configurações típicas de hidrocarbonetos: (a) naftênico;
(b) aromático e (c) parafínico.
1.3.2- Lubrificantes fluidos
Um fluido é qualquer material que submetido à ação de uma força ou tensão
de cisalhamento estará sujeito a uma deformação contínua. A resistência à
deformação ou escoamento é o índice de consistência ou viscosidade do fluido. Um
fluido perfeito ou ideal é aquele que não apresenta resistência ao cisalhamento.
Desta forma, podem-se classificar os fluidos de acordo com a relação tensão de
cisalhamento versus taxa de deformação, da seguinte forma:
a) Fluido Newtoniano: é caracterizado por uma relação linear entre a tensão
cisalhante e a taxa de deformação;
b) Fluido não-Newtoniano: é caracterizado por uma relação não linear entre a
tensão cisalhante e a taxa de deformação.
A água e a maioria dos óleos minerais comuns são exemplos de fluidos
Newtonianos. Os fluidos não-Newtonianos compreendem os óleos minerais com
9
adição de polímeros aumentadores do índice de viscosidade, as graxas, os
lubrificantes sintéticos, o líquido sinovial de juntas de animais, etc.
Numerosas equações empíricas têm sido propostas para representar as
relações entre a tensão τ e a taxa de deformação yu ∂∂ , para os fluidos não-
Newtonianos. Entre os modelos reológicos usados na lubrificação de mancais que
operam com lubrificantes não-Newtonianos, o modelo power law (Ostwald) tem sido
bastante utilizado, pois apresenta uma boa aproximação para a relação tensão de
cisalhamento versus taxa de deformação. As relações constitutivas da tensão de
cisalhamento τ e da viscosidade aparente µ (o termo viscosidade aparente para
fluidos não-Newtonianos é definido como a viscosidade que o fluido teria se fosse
Newtoniano) para um fluido não-Newtoniano modelo power law são dadas,
respectivamente, por:
y
u
y
um
y
um
nn
∂∂
∂∂=
∂∂=
−−
12
12
τ (1.1)
1−
∂∂=
n
y
umµ (1.2)
onde m é a viscosidade plástica do fluido, a qual é constante e não depende da taxa
de deformação e n é o índice de característica reológica do fluido. A equação (1.1)
recai na lei da viscosidade de Newton quando 1=n , o que implica em µ=m .
Além do modelo power law vários outros modelos reológicos foram
estabelecidos para descrever o comportamento dos fluidos não-Newtonianos.
Alguns exemplos são citados a seguir:
• Modelo de Bingham Generalizado – Viscoplástico
10
y
u
y
um
n
y ∂∂
∂∂=−
−1
ττ
• Power-series
....5
5
3
31 +
∂∂+
∂∂+
∂∂=
y
uC
y
uC
y
uCτ
• Kreiger-Dougherty
τττ
µµµµ
+=
−−
∞
∞
C
C
0
• Ellis
( ) nnm /1
0
11 −−+= τµµ
• Casson
y
uy
∂∂+= ∞µττ
• Reiner
−
−−=
∞∞ 2
2
0exp
1111
x
τµµµµ
• Oldroyd
11
∂
∂+
∂
∂+=
2
2
2
1
0
1
1
yua
yua
µµ
Os fluidos não-Newtonianos são comumente classificados, do ponto de vista
reológico, como tendo comportamento independente do tempo, dependente do
tempo ou ainda viscoelástico.
a) Fluidos com Comportamento Independente do Tempo
São os fluidos nos quais a taxa de deformação em um dado ponto é
dependente apenas da tensão de cisalhamento instantânea resultante. Podem ser
subdivididos em:
- Pseudoplásticos (shear thinning): a viscosidade diminui com o aumento da taxa
de deformação (tornam-se finos com a aplicação da tensão cisalhante). São
caracterizados pelo índice de característica reológica 1<n ;
- Dilatantes (shear thickening): a viscosidade aumenta com o aumento da taxa de
deformação (tornam-se espessos com a aplicação da tensão cisalhante). São
caracterizados pelo índice de característica reológica 1>n ;
- Viscoplásticos: comportam-se como sólidos até que seja excedido um valor
mínimo de tensão cisalhante, a partir do qual inicia-se o escoamento de um fluido
Newtoniano viscoso de viscosidade µp. Um exemplo conhecido é o modelo Plástico
de Bingham.
Os três tipos de fluidos independentes do tempo são mostrados na figura 1.2,
juntamente com o fluido Newtoniano.
12
Figura 1.2 – Tensão de cisalhamento τ versus taxa de deformação yu ∂∂
b) Fluidos com Comportamento Dependente do Tempo
São fluidos que apresentam uma viscosidade aparente dependente não
apenas da taxa de deformação, mas também do tempo pelo qual a tensão
cisalhante foi aplicada. Existem dois tipos básicos de fluidos com comportamento
dependente do tempo, os fluidos tixotrópicos e os fluidos reopécticos. Em um fluido
tixotrópico a tensão de cisalhamento diminui com o tempo enquanto em um fluido
reopéctico a tensão de cisalhamento aumenta com o tempo. A figura 1.3 mostra as
curvas características do escoamento de fluidos tixotrópicos e reopécticos,
conhecidas como curvas de histerese.
Taxa de deformação
Ten
são
de c
isal
ham
ento
Plástic
o de Bingham
Fluido Pseudoplástico
(n<1
)
Fluido Newtonian
o (n=1
)
Fluido Dila
tante (n>1)
13
Taxa de deformação
Ten
são
(a)
Taxa de deformação
Ten
são
(b)
Indica a direção do cisalhamento aplicado
Figura 1.3 - Curvas de histerese: (a) fluidos tixotrópicos e (b) fluidos reopécticos
c) Fluidos com Comportamento Viscoelástico
Os fluidos viscoelásticos apresentam propriedades típicas tanto de materiais
viscosos como de materiais elásticos. Estes fluidos escoam quando estão sujeitos a
uma tensão cisalhante; entretanto, uma parcela de suas deformações se recupera
gradualmente quando a tensão cisalhante é removida. O modelo mais simples de
um fluido viscoelástico é o modelo do líquido de Maxwell, o qual estabelece que o
fluido é Newtoniano em viscosidade e obedece à lei de Hooke para o
comportamento elástico. A relação tensão cisalhante versus taxa de deformação é
dada por:
y
u.
∂∂=
+ µτ
λµτ (1.3)
onde .τ é a derivada no tempo do estado de tensão, µ é a viscosidade e λ é o
módulo de rigidez. Se o escoamento é permanente, y
u
∂∂= µτ , o material se
14
comporta como um fluido Newtoniano, mas quando a tensão cisalhante varia com o
tempo, um efeito elástico é considerado na análise. Fisicamente, a constante ( )µλ
representa um tempo de relaxamento. Se o movimento é cessado, 0yu =∂∂ e a
tensão cisalhante decresce, de acordo com a expressão ( )µλττ.
−= , onde ( )µλ é
a constante de tempo para o decaimento.
1.3.3- Viscosidade
A viscosidade representa o atrito interno de um fluido, ou seja, a resistência à
taxa de deformação ou escoamento. Por isso, a viscosidade é um dos parâmetros
mais importantes para a seleção de um óleo lubrificante.
Para o caso de um lubrificante não-Newtoniano, a viscosidade é função da
temperatura, pressão e taxa de deformação, podendo-se escrever:
∂∂=y
uPT ,,µµ (1.4)
A viscosidade de um lubrificante fluido diminui com o aumento da
temperatura. As variações de temperatura podem ser causadas por variações de
temperatura do ambiente externo ou pelo calor gerado através do atrito viscoso.
Várias formas aproximadas de expressar a dependência da viscosidade de
um lubrificante com a temperatura estão disponíveis na literatura. Estas relações de
dependência são apresentadas em forma de gráficos ou através de relações
empíricas tais como:
A equação padrão de Walther (ASTM),
15
( )2110106.0KTLogK
m+
+−= (1.5)
onde m é a viscosidade dinâmica do óleo lubrificante à temperatura absoluta T , 1K
e 2K são constantes que dependem do tipo de óleo.
A equação de Vogel,
( )θ+= T
b
emm 0 (1.6)
onde 0m é a viscosidade dinâmica do óleo lubrificante à temperatura de referência
0T , b e θ são constantes que dependem do tipo de óleo.
A equação proposta por Jang e Chang [18],
)0(0
TTemm −−= β (1.7)
onde 0m é a viscosidade dinâmica do óleo lubrificante à temperatura de referência
0T e β é uma constante que depende do tipo de óleo.
Atualmente, alguns componentes químicos são adicionados aos lubrificantes
para melhorar as suas características. Estes componentes químicos são
denominados aditivos como é o caso dos aditivos para aumentar o índice de
viscosidade, que conferem ao óleo lubrificante uma menor variação da viscosidade
com a temperatura. São geralmente polímeros orgânicos de alto peso molecular,
solúveis em óleos. A figura 1.4 ilustra o comportamento da viscosidade versus
temperatura para três óleos diferentes.
16
Vis
cosi
dade
Temperatura
B
A
C
Figura 1.4 - Comportamento da viscosidade em função da variação de temperatura para:
A - óleo mineral comum, B - óleo mineral com um aditivo aumentador do índice
de viscosidade, C - óleo sintético a base de silicone
A viscosidade dos óleos lubrificantes também varia com a pressão, e uma
relação empírica bastante usada para caracterizar esta relação de dependência
viscosidade-pressão é a equação de Barus.
Pemm γ0= (1.8)
onde 0m é a viscosidade dinâmica à pressão de referência e γ é uma constante que
depende do tipo de óleo.
É importante observar que desvios consideráveis da relação acima podem ser
encontrados. Os óleos lubrificantes naftênicos são mais sensíveis à pressão do que
os lubrificantes parafínicos.
Para o caso de óleos minerais a constante γ é determinada com base na lei
de Wooster.
17
( ) 80 10log.965.06.0 −+= mγ (1.9)
Com relação à variação da viscosidade aparente do óleo lubrificante com a
taxa de deformação, o modelo power law estabelece que:
1−
∂∂=
n
y
umµ (1.10)
Para o caso de um fluido lubrificante Newtoniano ( 1=n ) a viscosidade é
constante, ou seja, não depende da taxa de deformação. A viscosidade aparente µ
é igual a viscosidade dinâmica m . A figura 1.5 ilustra este comportamento.
Taxa de deformação
Vis
cosi
dade
Figura 1.5 - Viscosidade versus taxa de deformação para fluido lubrificante Newtoniano
Para o caso de fluidos lubrificantes não-Newtonianos pseudoplásticos ( )1<n
a viscosidade diminui com o aumento da taxa de deformação. Este efeito é
conhecido como “shear-thinning” ou afinamento do óleo lubrificante. A figura 1.6
ilustra este comportamento.
18
Taxa de deformação
Vis
cosi
dade
Figura 1.6 - Viscosidade versus taxa de deformação para fluido lubrificante não-Newtoniano
pseudoplástico
Para o caso de fluidos lubrificantes não-Newtonianos dilatantes ( )1>n
acontece o oposto, a viscosidade aumenta com o aumento da taxa de deformação.
Assim, ocorre o espessamento do óleo lubrificante ou o efeito “shear-thickning”. A
figura 1.7 ilustra este comportamento.
Taxa de deformação
Vis
cosi
dade
Figura 1.7 - Viscosidade versus taxa de deformação para fluido lubrificante não-Newtoniano
dilatante
19
1.4- Objetivos do Trabalho
É muito importante, para quem projeta e utiliza mancais hidrodinâmicos,
poder realizar análises preditivas do seu comportamento operacional. Muitos dos
parâmetros envolvidos nesta análise estão relacionados com os chamados
parâmetros independentes, os quais são fixados na fase de projeto do mancal. Os
demais parâmetros, convencionalmente chamados de parâmetros resultantes, são
calculados em função dos parâmetros independentes. Para tal, é necessário
desenvolver um modelo teórico que possibilite prever o comportamento operacional
de mancais e com base nos resultados obtidos realizar algumas análises.
Vários são os fatores que influenciam, com maior ou menor complexidade, o
comportamento operacional de um mancal hidrodinâmico. A maior dificuldade que se
apresenta ao projetista de um mancal reside no fato de que a viscosidade dos óleos
lubrificantes varia com a temperatura, a qual depende da perda de potência e que
por sua vez depende da viscosidade. Isso gera um problema envolvendo variáveis
acopladas não linearmente, o qual deve ser resolvido iterativamente. Além disso, no
caso específico de mancais hidrodinâmicos operando com lubrificantes não-
Newtonianos modelo power law, deve ser considerado ainda a variação da
viscosidade aparente com a taxa de deformação.
Estes fatores motivaram o desenvolvimento do presente trabalho juntamente
com o fato de nos últimos anos, a utilização dos lubrificantes sintéticos os quais
apresentam um comportamento não-Newtoniano, ter se tornado cada vez mais
primordial em virtude da crescente exigência de alta performance dos óleos
lubrificantes.
Com base nestes aspectos, se propôs o desenvolvimento do presente
trabalho, o qual tem como principais objetivos:
a) Apresentar a dedução da equação bidimensional de Reynolds modificada para
fluidos não-Newtonianos modelo power law e, através desta, apresentar um
20
modelo teórico capaz de representar o comportamento operacional de um
mancal radial hidrodinâmico;
b) Definir um procedimento iterativo para determinar a temperatura efetiva do filme
de óleo lubrificante, bem como a correspondente viscosidade efetiva do mesmo
durante a operação em regime de um mancal radial hidrodinâmico;
c) Aplicar o método de diferenças finitas para resolver numericamente a equação de
Reynolds modificada para fluidos não-Newtonianos;
d) Desenvolver um programa computacional que permita simular o comportamento
operacional de mancais radiais hidrodinâmicos operando com lubrificantes não-
Newtonianos modelo power law, determinando principalmente a temperatura
efetiva do filme de óleo e sua correspondente viscosidade efetiva;
e) Simular computacionalmente o comportamento operacional de um mancal radial
hidrodinâmico operando com lubrificantes não-Newtonianos modelo power law,
analisando as influências dos diversos parâmetros envolvidos, tais como:
dimensões do mancal, características reológicas do óleo lubrificante e condições
de operação;
f) Realizar simulações utilizando as hipóteses clássicas isotérmica e adiabática, e
simulações utilizando um procedimento intermediário, proposto no presente
trabalho;
g) Verificar a validade dos resultados do presente trabalho através de comparações
com os resultados obtidos por outros pesquisadores;
h) Apresentar os resultados em forma de gráficos e/ou tabelas para uma faixa
relativamente ampla de relações DL / e de condições de operação,
possibilitando a realização de análises preditivas do comportamento operacional
de mancais radiais hidrodinâmicos operando com lubrificantes Newtonianos e
não-Newtonianos.
21
1.5- Delineamento do Trabalho
Antes de iniciar os tópicos centrais do presente trabalho, isto é, antes de
apresentar o desenvolvimento da formulação do problema e do método de solução
adotado na obtenção dos resultados e posterior análise; é importante mostrar como
os textos estão delineados. Para organizar de forma clara e objetiva o presente
trabalho, dividiu-se o mesmo nos seguintes capítulos referentes ao problema em si:
Capítulo 2 – Formulação do Problema
Este capítulo trata inicialmente da apresentação da dedução da equação
bidimensional de Reynolds modificada para fluidos não-Newtonianos modelo power
law, proposta por Dien e Elrod [13]. Em seguida é definido o modelo físico do mancal
a ser estudado juntamente com os vários parâmetros envolvidos na formulação do
problema e na análise preditiva do comportamento operacional de mancais radiais
hidrodinâmicos. Com o modelo físico definido, são apresentadas as equações
governantes e as condições de contorno que governam o problema. Para finalizar o
capítulo, apresenta-se o procedimento iterativo adotado na solução do problema e
na obtenção dos parâmetros resultantes utilizados na análise.
Capítulo 3 – Solução Numérica da Equação de Reynolds
Neste capítulo é apresentado o método de solução adotado para as equações
governantes do problema, as quais foram adimensionalizadas para obtenção de
uma solução com maior generalidade. A equação de Reynolds modificada para
fluidos não-Newtonianos modelo power law é discretizada usando-se o método de
diferenças finitas e o sistema de equações algébricas resultante é resolvido
utilizando-se o método iterativo de sobrerelaxação sucessiva (SOR). Finalizando o
capítulo, são definidos todos os procedimentos de cálculo dos parâmetros
resultantes necessários à análise do comportamento operacional de um mancal
radial hidrodinâmico.
22
Capítulo 4 – Resultados
O capítulo 4 trata da apresentação e discussão dos resultados obtidos
computacionalmente relativos aos parâmetros resultantes. Primeiramente é feita
uma análise comparativa dos resultados obtidos no presente trabalho com
resultados preestabelecidos por outros pesquisadores. Verificada a boa
concordância dos resultados com trabalhos prévios, são feitas várias simulações do
comportamento operacional do mancal com as relações DL / = 1/4, 1/2, 1 e 2,
excentricidades específicas variando de 0,1 a 0,9 e com índices de característica
reológica do lubrificante n= 0,8; 0,9; 1,0 e 1,1. Apresenta-se ainda neste capítulo um
estudo comparativo da solução adotada no presente trabalho com as soluções
clássicas isotérmica e adiabática da equação de Reynolds. Os resultados obtidos
são apresentados em uma série de tabelas e gráficos e são discutidos quanto à
influência de cada parâmetro no comportamento operacional do mancal.
Capítulo 5 – Conclusões e Sugestões
Neste capítulo são apresentadas as principais conclusões obtidas através da
análise dos resultados apresentados em tabelas e gráficos. Apresenta-se também
algumas sugestões de estudos mais aprofundados para trabalhos futuros no
assunto.
Apêndices
O apêndice A1 apresenta algumas hipóteses simplificadoras impostas à
equação da continuidade e às equações da conservação da q.d.m. para dedução da
equação de Reynolds modificada para fluidos não-Newtonianos modelo power law.
No apêndice A2 é deduzida a equação da espessura do filme de óleo ao
longo da direção circunferencial, ))(( θθ hh = , do mancal.
Uma teoria básica mostrando um método de solução para integrais é
apresentada no apêndice A3. A técnica utilizada é a integração pelo método de
23
Simpson para cálculo da capacidade de carga do mancal, força de atrito e
componentes de vazão do lubrificante.
O apêndice A4 apresenta uma técnica numérica de aproximação de
derivadas por diferenças finitas para solução da equação de Reynolds da
lubrificação hidrodinâmica.
No apêndice A5 são apresentadas as especificações dos parâmetros físicos
do mancal bem como as características dos óleos lubrificantes utilizados nas
simulações.
O apêndice A6 mostra alguns aspectos computacionais gerais incluindo a
listagem do programa desenvolvido em linguagem FORTRAN para solução
numérica das equações governantes e cálculo dos parâmetros resultantes através
de um processo iterativo.
O apêndice A7 apresenta as tabelas dos parâmetros resultantes para os
índices de característica reológica simulados, n= 0,8; 0,9; 1,0 e 1,1.