Analisi delle serie storiche

Analisi delle serie storiche

Metodi statistici per le decisioni economicheC.d.l.m. Economia e commercioa.a. 2013/2014

Prof. Francesco Campobasso

L’IMPORTANZA DELLA PREVISIONE A LIVELLO AZIENDALE

Le condizioni economiche e del mercato cambiano continuamente nel corso del tempo. Gli operatori devono essere in grado di valutare e prevedere gli effetti di tali cambiamenti sulla salute dell’azienda e quindi indirizzare l’attività di pianificazione e controllo.

Le tecniche di previsione si basano sull’uso di dati storici, dai quali l’analista cerca di comprendere la struttura sottostante del fenomeno.

Cos’è una Serie Storica?

Una serie storica è un insieme di dati numerici registrati ad intervalli regolari di tempo.

Assunzione di base: i fattori che hanno influenzato l’andamento della serie nel passato e nel presente continuano ad esercitare effetti analoghi anche nel futuro.

Primo obiettivo dell’analisi delle serie storiche è individuare e isolare tali fattori ovvero decomporre la serie storica in una serie di componenti facilmente interpretabili.

PRINCIPALI COMPONENTI DI UNA SERIE STORICA• Trend (Tt): tendenza di lungo termine all’incremento o

al decremento dei valori della serie.

• Stagionalità (St): scostamenti regolari intorno al trend con cadenza fissa inferiore ad un anno.

• Ciclica (Ct): spiega gli scostamenti verso l’alto o verso il basso dei dati rispetto al trend di natura più o meno regolare, non stagionale, legati solitamente all’andamento generale dell’economia.

• Irregolare o casuale (Et): legata a disturbi di natura accidentale che determina oscillazioni di breve periodo.

MODELLI DI COMPOSIZIONE

• Modello additivo:Yt = Tt + Ct + St + Et

• Modello moltiplicativo:Yt = Tt x Ct x St x Et

Ovvero

Log( Yt )= Log(Tt) + Log(Ct) + Log(St) + Log(Et)

• Modello misto (con errore additivo):Yt = Tt x Ct x St + Et

MODELLI DI COMPOSIZIONE• Modello additivo: le fluttuazioni della serie

non variano con il suo livello

MODELLI DI COMPOSIZIONE• Modello moltiplicativo: le fluttuazioni della

serie variano proporzionalmente con il suo livello

Analisi grafica

• La rappresentazione grafica dei valori della serie permette di trarre le prime considerazioni di carattere qualitativo sulla serie.

• Osservando un grafico è possibile individuare il modello di composizione della serie, intuire se i valori della serie manifestano un trend di lungo periodo oppure oscillano intorno a un’immaginaria linea orizzontale parallela all’asse dei tempi, se esiste una stagionalità, ecc.

Esempio di una serie a componenti additive

Esempio di una serie a componenti moltiplicative

SERIE STORICA

Analisi quantitativa

Individuazione del modello e delle componenti

Stima delle singole componenti

Previsione

Previsioni di breve o lungo periodo sull’andamento futuro della serie

Stima del trend (Tt)Esaminando il grafico è difficile stabilire se i valori della serie seguano un trend di lungo periodo, poiché le forti oscillazioni di breve periodo complicano l’impressione d’insieme.

• Tecniche di livellamento: favoriscono una corretta visione delle tendenze di lungo periodo

Medie mobiliLivellamento esponenziale

Tecniche altamente soggettive, in quanto dipendono dalla lunghezza del periodo ovvero dal peso scelto per la costruzione delle medie

• Stima della funzione analitica f(t)Metodo dei minimi quadrati

Medie MobiliUna media mobile di periodo L consiste in una serie di medie aritmetiche calcolate su una sequenze L valori osservati. Indichiamo con una media mobile centrata di periodo dispari L.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare una media mobile centrata con un periodo L =5 anni su una serie di 11 anni.Le medie mobili centrate sono calcolate su sequenze consecutive di 5 osservazioni:

…

La stima del trend T(t) mediante medie mobili centrate di ordine L è definita nel seguente modo:

t=(L-1)/2,…,n-[(L-1)/2]

• Una media mobile centrata di lunghezza L sufficientemente elevata, individua un trend lineare.

• Un valore troppo elevato di L tenderà a distorcere i risultati individuando artificiosamente un trend lineare.

• In assenza di altre informazioni, si preferiscono medie mobili di basso ordine, ad esempio a 3 o a 5 termini.

Stima del trend (Tt)

MM2(3)=(266,0+145,9+183,1)/3=198,3

Medie Mobilit MM(3) MM(5) MM(7)

1 266,0 - - -2 145,9 198,3 - -3 183,1 149,4 178,9 -4 119,3 160,9 129,0 185,05 180,3 105,4 146,2 179,16 168,5 193,5 184,9 185,87 231,8 157,6 169,2 177,28 224,5 216,4 157,7 208,29 192,8 180,1 221,7 209,0

10 122,9 217,4 212,5 212,711 336,5 215,1 206,5 200,912 185,9 238,9 197,8 198,9…. …. …. …. ….

MM3(5)=(266,0+145,9+183,1+119,3+180,3)/5=178,9

MM4(7)=(266,0+145,9+183,1+119,3+180,3+168,5+213,8)/7=163,3

La lunghezza L scelta per la media mobile influenza il risultato della perequazione. All’aumentare del numero di termini, la spezzata che unisce i punti perequati si fa sempre più smussata.

Medie Mobili

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24100

150

200

250

300

350

400

450serie dati osservati MM(3)MM(5) MM(7)

• Le medie mobili sono filtri lineari che causano perdite di informazioni in corrispondenza dei primi e degli ultimi (L-1)/2 termini della serie per i quali non è possibile calcolare alcun valore stimato del trend.

• La perdita dei primi termini è poco importante, mentre quella dei termini più recenti ha conseguenze rilevanti ai fini previsivi.

Medie Mobili

Livellamento esponenziale• Tecnica utilizzata per smussare una serie storica

di dati al fine di individuare la tendenza di lungo periodo.

• Consiste nell’applicazione alla serie dei dati una media mobile ponderata esponenzialmente:

t= 2, …, ndove 0< w <1 è il peso o fattore di smorzamento assegnato soggettivamente.

• Con valori bassi di w infatti vengono meglio evidenziate le tendenze di lungo periodo della serie, mentre valori elevati consentono più precisi previsioni di breve periodo.

t w=0,1 w=0,3 w=0,51 266 266 266 2662 145,9 254,0 230,0 206,03 183,1 246,9 215,9 194,54 119,3 234,1 186,9 156,95 180,3 228,8 184,9 168,66 168,5 222,7 180,0 168,67 231,8 223,6 195,5 200,28 224,5 223,7 204,2 212,39 192,8 220,6 200,8 202,6

10 122,9 210,9 177,4 162,711 336,5 223,4 225,2 249,612 185,9 219,7 213,4 217,8…. …. …. …. ….

Livellamento esponenziale

T2(w=0,1)=145,9*0,1+266,0*(1-0,1)=254,0

T3(w=0,1)=183,1*0,1+254,0*(1-0,1)=246,9

T3(w=0,3)=183,1*0,3+230,0*(1-0,3)=215,9


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24100

150

200

250

300

350

400

450serie dati osservati w=0,1w=0,3 w=0,5

Se lo scopo è unicamente quello di smussare la serie eliminando le variazioni cicliche e irregolari, conviene adottare un valore basso (prossimo a zero) di w; se invece si vuole anche effettuare una previsione di breve periodo, si rivela più conveniente la scelta di valori elevati (prossimi a uno) di w.

Ciascun valore della serie smussata dipende da tutti i valori osservati precedenti:

I pesi assegnati a ciascun valore osservato in precedenza non sono costanti, ma decrescono passando dai più recenti a quelli più lontani nel tempo.


Metodo dei minimi quadratiPrima di effettuare l’analisi vera e propria della serie storica, farsi un’idea generale dell’andamento della serie con l’ausilio di rappresentazioni grafiche.

• Trend lineare

• Trend quadratico

• Trend esponenziale -> =

con Trend esponenziale in -> Trend lineare in

Si stimano i coefficienti e in modo che=minimo

La variabile indipendente è il tempo, con la convenzione di far partire l’asse delle ascisse (l’asse dei tempi) dal primo periodo per il quale sono disponibili i dati e quindi di considerare il primo anno o il primo trimestre o il primo mese come il periodo zero (X = 0).

Se ad esempio stiamo lavorando con una serie di 24 anni, al primo verrà assegnato il valore 0, al secondo il valore 1 e così via fino al ventiquattresimo anno a cui sarà assegnato il valore 23.

Metodo dei minimi quadrati

Le stime dei minimi quadrati possiedono un’importante proprietà, nota come decomposizione della varianza totale:

dalla quale si può definire un indice che misura la bontà di adattamento della retta di regressione:

= con 0 ≤ R2 ≤ 1.

Un primo criterio per scegliere il grado del polinomio (lineare o quadratico) è confrontare i rispettivi corretti:

= con p= 2 trend lineare, p= 3 trend quadratico.

Metodo dei minimi quadrati

Scelta del trend attraverso lo strumento delle differenze prime, seconde e percentuali

Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend lineare, le differenze prime fra i valori della serie sono costanti:

Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend quadratico, le differenze seconde fra i valori della serie sono costanti:

Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend esponenziale, le differenze percentuali fra i valori della serie sono costanti:

Scelta del trend attraverso lo strumento delle differenze prime, seconde e percentuali Differenze

primeDifferenze seconde

Differenze percentuali

1988 62,0 - - -1989 63,0 1,0 - 1,61990 65,5 2,5 1,5 4,01991 69,5 4,0 1,5 6,11992 75,0 5,5 1,5 7,91993 82,3 7,3 1,8 9,71994 91,2 8,9 1,6 10,81995 101,5 10,3 1,4 11,31996 113,0 11,5 1,2 11,31997 126,2 13,2 1,7 11,71998 140,8 14,6 1,4 11,6

Le differenze seconde mostrano un andamento più erratico, pertanto il trend quadratico può fornire una adeguata interpolazione della serie.

Stima del trendStimiamo il trend quadratico con il metodo dei minimi quadrati. Si ha:

(

1988 62,0 61,91989 63,0 62,981990 65,5 65,661991 69,5 69,941992 75,0 75,821993 82,3 83,301994 91,2 92,381995 101,5 103,061996 113,0 115,341997 126,2 129,221998 140,8 144,70

1988

1990

1992

1994

1996

1998

020406080

100120140160

Stima della componente stagionale (St)Valutare l’andamento della serie in punti differenti dall’anno, considerando la componente della serie come fenomeno puramente infrannuale.

Eliminazione della componente stagionale (St)Studiare le altre componenti al netto dell’effetto della stagionalità eliminando la componente stagionale (destagionalizzazione).

Assunzioni:1) la componente stagionale è una componente

ciclica di periodo d (con d=12 per le serie mensili, d=4 per le serie trimestrali, ecc.)

2) =0

1) Si determina inizialmente una prima stima del trend al netto della componente stagionale calcolando le medie mobili centrate di lunghezza L=d+1

j=(L-1)/2,…,n-(L-1)/2La media mobile avrà anche l’effetto di attenuare le componenti a frequenza più alta (componente residua).

Quando d è pari dovrebbe essere utilizzata una media mobile non centrata affinché la stima della componente stagionale non venga viziata dal fatto che il primo e l’ultimo termine nella media si riferiscano allo stesso dato annuale. Sarebbe più opportuno calcolare le medie mobili non centrate di periodo d. Tali medie non sono riferite a nessun dato grezzo poiché cadono tra il termine d/2 e il termine (d+1)/2 di ogni gruppo di d periodi. Una seconda media mobile deve essere calcolata tra questi due termini non centrati consecutivi, il che equivale a calcolare una media mobile centrata a d+1 termini ponderata, in cui si assegna peso 1 al primo e ultimo termine della media e peso 2 a gli altri termini centrali.

Stima della componente stagionale (St)

2) Si calcolano le differenze tra i valori della serie e la media mobile :

[] j=(L-1)/2,…,n-(L-1)/2

3) Si elimina la componente residua determinando la media aritmetica di tali differenze per il periodo k =1, ..., d:

, 0 -1} k=1, …, ddove q=n/d è il numero di anni all’interno della serie di lunghezza n.


La serie storica destagionalizzata è definita come: t=0, …, n-1 k=1, …, d

Eliminazione della componente stagionale (St)

4) Le quantità (indici di stagionalità) non possono essere assunte come stima della componente stagionale perché non rispettano il vincolo di somma a zero. Allora si calcolano le deviazioni stagionali:

k=1, …, dQuesta stima si riferisce ad un ciclo stagionale completo, ma si prolunga per continuità all’intero periodo di osservazione ponendo .

MM L=13 (yt-MM) -

gen 01 49 2,8 46,2feb 01 41 2,7 38,3mar 01 41 3,8 37,2apr 01 42 3,6 38,4mag 01 44 2,5 41,5giu 01 38 1,1 36,9lug 01 39 40,4 -1,4 -2,7 -2,8 -2,8 41,8ago 01 21 39,8 -18,8 -20,5 -20,6 -20,6 41,6set 01 40 40,0 0,0 2,7 2,6 2,6 37,4ott 01 45 40,3 4,7 2,7 2,6 2,6 42,4nov 01 41 40,2 0,8 2,3 2,2 2,2 38,8dic 01 38 40,0 -2,0 -0,2 -0,3 -0,3 38,3gen 02 46 40,1 5,9 2,9 2,8 2,8 43,2feb 02 41 38,8 2,2 2,8 2,7 2,7 38,3mar 02 44 40,8 3,2 3,9 3,8 3,8 40,2apr 02 45 41,2 3,8 3,7 3,6 3,6 41,4mag 02 40 41,2 -1,2 2,6 2,5 2,5 37,5giu 02 42 41,3 0,7 1,2 1,1 1,1 40,9lug 02 39 41,8 -2,8 -2,8 41,8ago 02 23 41,6 -18,6 -20,6 43,6set 02 47 41,9 5,1 2,6 44,4ott 02 45 42,5 2,5 2,6 42,4nov 02 45 42,5 2,5 2,2 42,8dic 02 42 43,2 -1,2 -0,3 42,3

…. …. …. …. …. …. …. ….

MM L=13

(yt-MM) -

… … … … … … … …gen 03 44 43,1 0,9 2,8 41,2feb 03 44 41,7 2,3 2,7 41,3mar 03 45 43,7 1,3 3,8 41,2apr 03 51 43,7 7,3 3,6 47,4mag 03 45 44,1 0,9 2,5 42,5giu 03 49 44,4 4,6 1,1 47,9lug 03 41 44,8 -3,8 -2,8 43,8ago 03 21 45,2 -24,2 -20,6 41,6set 03 49 46,0 3,0 2,6 46,4ott 03 47 46,2 0,8 2,6 44,4nov 03 50 46,5 3,5 2,2 47,8dic 03 49 46,5 2,5 -0,3 49,3gen 04 48 46,0 2,0 2,8 45,2feb 04 49 45,1 3,9 2,7 46,3mar 04 54 46,8 7,2 3,8 50,2apr 04 47 46,9 0,1 3,6 43,4mag 04 55 46,9 8,1 2,5 52,5giu 04 45 46,6 -1,6 1,1 43,9lug 04 43 -2,8 45,8ago 04 29 -20,6 49,6set 04 44 2,6 41,4ott 04 50 2,6 47,4nov 04 47 2,2 44,8dic 04 46 -0,3 46,3Somma 1,4Media 0,1

Destagionalizzazione

L’andamento dei dati destagionalizzati attenua le oscillazioni della serie storica osservata

gen 0

1

apr 0

1

lug 01

ott 01

gen 0

2

apr 0

2

lug 02

ott 02

gen 0

3

apr 0

3

lug 03

ott 03

gen 0

4

apr 0

4

lug 04

ott 04

20.025.030.035.040.045.050.055.060.0

serie dati osservati MM d=13 destMM L = 13


gen 0

1

apr 0

1

lug 01

ott 01

gen 0

2

apr 0

2

lug 02

ott 02

gen 0

3

apr 0

3

lug 03

ott 03

gen 0

4

apr 0

4

lug 04

ott 04

-25.00

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

Molti autori parlano di trend-ciclo come unica componente, date le difficoltà teoriche che spesso si incontrano nel separarle. Supponendo di voler individuare la componente ciclo, allora:

1) Si stima il trend Tt e la eventuale stagionalità St; allora la serie Yt - Tt - St sarà una stima di Ct + Et

2) Si elimina la componente residua Et con una media mobile di breve periodo sulla serie Ct

+ Et

Stima della componente ciclica (Ct)

Eliminazione della componente ciclicaOccorre determinare la durata media dei cicli all’interno della serie e sulla base di tale dato si procede al calcolo delle medie mobili.N.B.: Tecnica altamente soggettiva perché dipende dalla lunghezza del periodo scelto per la costruzione delle medie.

Irregolare o casuale (Et): legata a disturbi di natura accidentale che determina oscillazioni di breve periodo.

Generalmente si stima per differenza una volta individuate le altre componenti.

Stima della componente casuale (Et)

• Modello additivo:Et = Yt -Tt - Ct - St

• Modello moltiplicativo:Et = Yt /(Tt x Ct x St)

ovveroLog( Et )= Log(Yt) - Log(Tt) - Log(Ct) - Log(St)

• Modello misto (con errore additivo):Et = Yt – (Tt x Ct x St)

PREVISIONE SERIE STORICADeterminazione del trend su dati destagionalizzati

1) Si calcolano le medie mobili centrate di lunghezza L=d+1

2) Si calcola il trend con il metodo dei minimi quadrati, sulle medie mobili

3) Si calcolano la deviazioni stagionali

k=1, …, d

La forma analitica della serie sarà t=0, …, n-1 k=1, …, d

MM L=13 t t=t+

0 gen 01 49 2,8 37,8 40,61 feb 01 41 2,7 38,0 40,72 mar 01 41 3,8 38,3 42,03 apr 01 42 3,6 38,5 42,14 mag 01 44 2,5 38,7 41,25 giu 01 38 1,1 38,9 40,06 lug 01 39 40,4 -2,8 39,2 36,47 ago 01 21 39,8 -20,7 39,4 18,78 set 01 40 40,0 2,6 39,6 42,29 ott 01 45 40,3 2,6 39,8 42,410 nov 01 41 40,2 2,2 40,1 42,211 dic 01 38 40,0 -0,3 40,3 40,012 gen 02 46 40,1 2,8 40,5 43,313 feb 02 41 38,8 2,7 40,7 43,414 mar 02 44 40,8 3,8 41,0 44,715 apr 02 45 41,2 3,6 41,2 44,816 mag 02 40 41,2 2,5 41,4 43,917 giu 02 42 41,3 1,1 41,6 42,718 lug 02 39 41,8 -2,8 41,9 39,119 ago 02 23 41,6 -20,7 42,1 21,420 set 02 47 41,9 2,6 42,3 44,921 ott 02 45 42,5 2,6 42,5 45,122 nov 02 45 42,5 2,2 42,8 45,023 dic 02 42 43,2 -0,3 43,0 42,7

…. … … … … …

MM L=13 t t=t+

… … … … … …24gen 03 44 43,1 2,8 43,2 46,025feb 03 44 41,7 2,7 43,4 46,126mar 03 45 43,7 3,8 43,7 47,427apr 03 51 43,7 3,6 43,9 47,528mag 03 45 44,1 2,5 44,1 46,629giu 03 49 44,4 1,1 44,3 45,530lug 03 41 44,8 -2,8 44,6 41,831ago 03 21 45,2 -20,7 44,8 24,132set 03 49 46,0 2,6 45,0 47,633ott 03 47 46,2 2,6 45,2 47,834nov 03 50 46,5 2,2 45,5 47,735dic 03 49 46,5 -0,3 45,7 45,436gen 04 48 46,0 2,8 45,9 48,837feb 04 49 45,1 2,7 46,1 48,838mar 04 54 46,8 3,8 46,4 50,139apr 04 47 46,9 3,6 46,6 50,240mag 04 55 46,9 2,5 46,8 49,341giu 04 45 46,6 1,1 47,1 48,242lug 04 43 -2,8 47,3 44,543ago 04 29 -20,7 47,5 26,844set 04 44 2,6 47,7 50,345ott 04 50 2,6 48,0 50,546nov 04 47 2,2 48,2 50,447dic 04 46 -0,3 48,4 48,1

Stima del trend t rispetto alle medie mobili

gen 0

1

apr 0

1

lug 01

ott 01

gen 0

2

apr 0

2

lug 02

ott 02

gen 0

3

apr 0

3

lug 03

ott 03

gen 0

4

apr 0

4

lug 04

ott 04

35

37

39

41

43

45

47

49

51

MM d=13 TtMM L = 13

Serie storica stimata

gen 0

1

apr 0

1

lug 01

ott 01

gen 0

2

apr 0

2

lug 02

ott 02

gen 0

3

apr 0

3

lug 03

ott 03

gen 0

4

apr 0

4

lug 04

ott 04

20.025.030.035.040.045.050.055.060.0

Tt serie dati osservatiserie stimata

• Modello stimato: t=0, …, n-1 k=1, …, d

con :

• Allora la previsione per il mese di Maggio del 2005 (52.esimo mese dal primo dato disponibile della serie stimata), è:

(52) + 2,5 = 52,26

PREVISIONE SERIE STORICA

… … …7 Luglio -2,88 Agosto -20,79 Settembr

e 2,610 Ottobre 2,611 Novembre 2,212 Dicembre -0,3

k1 Gennaio 2,82 Febbraio 2,73 Marzo 3,84 Aprile 3,65 Maggio 2,56 Giugno 1,1

La previsione al tempo t+1 modifica la previsione precedente La previsione tiene conto dell’errore di previsione commesso nel prevedere ponderato secondo il valore del parametro di smussamento w, infatti:

=

PREVISIONE SERIE STORICAMetodo livellamento esponenziale

(previsioni di breve periodo)

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Analisi delle serie storiche