Upload
others
View
11
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
COGNOME: NOME: CANALE:
ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto e Meccatronica
Docenti: V. Casarino, F. Rossi e S. ZoccanteVicenza, 13 gennaio 2020
Scrivere su questo foglio A4, fronte e retro: lo si consegna come parte A.È vietato tenere libri, appunti, telefoni.
TEMA 1, Turno 1
(1) Dopo aver definito le derivate direzionali di una funzione di due variabili inun punto (x0, y0), calcolarle nel punto (2, 1) per la funzione
F (x, y) = x2y.
(2) Enunciare e dimostrare la condizione necessaria per la convergenza delle serie.Stabilire se tale condizione è anche sufficiente, esibendo eventualmente uncontroesempio.
Tempo per la parte A: 20 minuti.
1
ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto e Meccatronica
Docenti: V. Casarino, F. Rossi e S. ZoccanteVicenza, 13 gennaio 2020Seconda prova in itinere
Nella prima pagina del foglio di bella, sotto lo spazio riservato alla Com-missione, ogni studente deve riassumere i risultati ottenuti.La brutta copia, sul foglio protocollo a quadretti, non si consegna.È vietato avere con sé telefoni o calcolatrici, né accesi né spenti né riposti.È vietato usare appunti di ogni tipo e parlare durante il compito.
TEMA 1
Esercizio 1. (11 punti)Si consideri la funzione
f(x) =(arctanx
) [sinh
(x+ x3
)− sin
(x+ x3
)].
(a) Scrivere lo sviluppo di Taylor con centro in x = 0 (detto anche di McLaurin)del quarto ordine di f .
(b) Dedurre dallo sviluppo ottenuto in (a) il valore della derivata terza e delladerivata quarta di f in x = 0.
(c) Determinare per quali α ∈ R la serie+∞∑n=1
nα+7(arctan
(1
n
))[sinh
(1
n+
1
n3
)− sin
(1
n+
1
n3
)]converge.
Esercizio 2. (11 punti)Sia
f(x) =ex
e2x + ex − 2.
(a) Dopo avere verificato che f è positiva sull’intervallo (1, 2), si calcoli l’area dellaregione del piano definita da
A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [1, 2], 0 ≤ y ≤ f(x)}(b) Si discuta inoltre la convergenza dei due integrali generalizzati∫ 1
0
f(x) dx e∫ 10
√x f(x) dx.
Tempo: 1h e 30 minuti, complessive di Parte A—20 minuti—e B—70 minuti. Formulario sul retro.
Formulario per gli appelli ufficialiAnalisi Matematica 1 a.a. 2019-2020 — V. Casarino, F. Rossi, S. ZoccanteIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Innovazione del Prodotto—Vicenza
Formule trigonometriche e iperboliche
sin(x± y) = sin(x) cos(y)± cos(x) sin(y) cos(x± y) = cos(x) cos(y)∓ sin(x) sin(y)
sin(x2
)= ±
√1− cos(x)
2cos(x2
)= ±
√1 + cos(x)
2
SettTanh(x) =1
2log
(1 + x
1− x
)tan(2x) =
2 tan(x)
1− tan2(x)
SettSh(x) = log(x+√x2 + 1
)SettCh(x) = log
(x+√x2 − 1
)Formule parametriche per funzioni trigonometriche: sia x 6= π+2kπ e t = tan
(x2
), si
ha:
sin(x) =2t
1 + t2, cos(x) =
1− t2
1 + t2, tan(x) =
2t
1− t2(x 6= π
2+ kπ
)Sviluppi di McLaurin: per x→ 0 valgono le seguenti relazioni
ex = 1 + x+x2
2+ · · ·+ x
n
n!+ o(xn)
ax = 1 + x(log a) +x2(log a)2
2+ · · ·+ x
n(log a)n
n!+ o(xn) per a > 0
sin(x) = x− x3
6+x5
5!− x
7
7!+x9
9!+ · · ·+ (−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!+ o(x2n+2)
cos(x) = 1− x2
2+x4
4!− x
6
6!+x8
8!+ · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!+ o(x2n+1)
tan(x) = x+x3
3+
2
15x5 +
17
315x7 + o(x8)
sinh(x) = x+x3
6+x5
5!+ · · ·+ x
2n+1
(2n+ 1)!+ o(x2n+2)
cosh(x) = 1 +x2
2+x4
4!+ · · ·+ x
2n
(2n)!+ o(x2n+1)
tanh(x) = x− x3
3+
2
15x5 − 17
315x7 + o(x8)
log(1 + x) = x− x2
2+x3
3+ · · ·+ (−1)n+1x
n
n+ o(xn)
(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)
2x2 +
α(α− 1)(α− 2)3!
x3 + · · ·+(α
n
)xn + o(xn)
esempio:√1 + x = 1 +
x
2− x
2
8+x3
16+ · · ·+
(1/2
n
)xn + o(xn)
arcsin(x) = x+x3
6+
3
40x5 +
5
112x7 + · · ·+
(−1
2
n
)(−1)n
2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)
arccos(x) =π
2− x− x
3
6− 3
40x5 − 5
112x7 − · · · −
(−1
2
n
)(−1)n
2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)
arctan(x) = x− x3
3+x5
5+ · · ·+ (−1)
n
(2n+ 1)x2n+1 + o(x2n+2)
Si è usata la notazione(αn
):= α(α−1)...(α−n+1)
n!per α ∈ R e n ∈ N.
COGNOME: NOME: CANALE:
ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto e Meccatronica
Docenti: V. Casarino, F. Rossi e S. ZoccanteVicenza, 13 gennaio 2020
Scrivere su questo foglio A4, fronte e retro: lo si consegna come Parte A.È vietato tenere libri, appunti, telefoni.
TEMA 2
(a) Scrivere la definizione di funzione differenziabile per una funzione di duevariabili, in modo esplicito nel caso della funzione
F (x, y) = x2 + y2
nel punto (0, 0). Enunciare poi il legame fra differenziabilità e continuità.(b) Scrivere la definizione di primitiva. Dimostrare che due primitive di una stessa
funzione f definite su un intervallo I differiscono al più per una costante.
Tempo per la Parte A: 20 minuti.
ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto e Meccatronica
Docenti: V. Casarino, F. Rossi e S. ZoccanteVicenza, 13 gennaio 2020Seconda prova in itinere
Nella prima pagina del foglio di bella, sotto lo spazio riservato alla Com-missione, ogni studente deve riassumere i risultati ottenuti.La brutta copia, sul foglio protocollo a quadretti, non si consegna.È vietato avere con sé telefoni o calcolatrici, né accesi né spenti né riposti.È vietato usare appunti di ogni tipo e parlare durante il compito.
TEMA 2
Esercizio 1. (11 punti)Si consideri la funzione
f(x) =(log(1 + x3)
) [cosh
(2x+ x3
)− cos
(2x+ x3
)].
(a) Scrivere lo sviluppo di Taylor con centro in x = 0 (detto anche di McLaurin)del quinto ordine di f .
(b) Dedurre dallo sviluppo ottenuto in (a) il valore della derivata quarta e delladerivata quinta di f in x = 0.
(c) Determinare per quali β ∈ R la serie+∞∑n=1
nβ−2(log
(1 +
1
n3
))[cosh
(2
n+
1
n3
)− cos
(2
n+
1
n3
)]converge.
Esercizio 2. (11 punti)Sia
f(x) =2ex
e2x + 6ex − 7.
(a) Dopo avere verificato che f è positiva sull’intervallo (2, 3), si calcoli l’area dellaregione del piano definita da
A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [2, 3], 0 ≤ y ≤ f(x)}(b) Si discuta inoltre la convergenza dei due integrali generalizzati∫ +∞
1
f(x)dx e∫ +∞1
ex/2 f(x) dx.
Tempo: 1h e 30 minuti, complessive di Parte A—20 minuti—e B—70 minuti.
Formulario per gli appelli ufficialiAnalisi Matematica 1 a.a. 2019-2020 — V. Casarino, F. Rossi, S. ZoccanteIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Innovazione del Prodotto—Vicenza
Formule trigonometriche e iperboliche
sin(x± y) = sin(x) cos(y)± cos(x) sin(y) cos(x± y) = cos(x) cos(y)∓ sin(x) sin(y)
sin(x2
)= ±
√1− cos(x)
2cos(x2
)= ±
√1 + cos(x)
2
SettTanh(x) =1
2log
(1 + x
1− x
)tan(2x) =
2 tan(x)
1− tan2(x)
SettSh(x) = log(x+√x2 + 1
)SettCh(x) = log
(x+√x2 − 1
)Formule parametriche per funzioni trigonometriche: sia x 6= π+2kπ e t = tan
(x2
), si
ha:
sin(x) =2t
1 + t2, cos(x) =
1− t2
1 + t2, tan(x) =
2t
1− t2(x 6= π
2+ kπ
)Sviluppi di McLaurin: per x→ 0 valgono le seguenti relazioni
ex = 1 + x+x2
2+ · · ·+ x
n
n!+ o(xn)
ax = 1 + x(log a) +x2(log a)2
2+ · · ·+ x
n(log a)n
n!+ o(xn) per a > 0
sin(x) = x− x3
6+x5
5!− x
7
7!+x9
9!+ · · ·+ (−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!+ o(x2n+2)
cos(x) = 1− x2
2+x4
4!− x
6
6!+x8
8!+ · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!+ o(x2n+1)
tan(x) = x+x3
3+
2
15x5 +
17
315x7 + o(x8)
sinh(x) = x+x3
6+x5
5!+ · · ·+ x
2n+1
(2n+ 1)!+ o(x2n+2)
cosh(x) = 1 +x2
2+x4
4!+ · · ·+ x
2n
(2n)!+ o(x2n+1)
tanh(x) = x− x3
3+
2
15x5 − 17
315x7 + o(x8)
log(1 + x) = x− x2
2+x3
3+ · · ·+ (−1)n+1x
n
n+ o(xn)
(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)
2x2 +
α(α− 1)(α− 2)3!
x3 + · · ·+(α
n
)xn + o(xn)
esempio:√1 + x = 1 +
x
2− x
2
8+x3
16+ · · ·+
(1/2
n
)xn + o(xn)
arcsin(x) = x+x3
6+
3
40x5 +
5
112x7 + · · ·+
(−1
2
n
)(−1)n
2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)
arccos(x) =π
2− x− x
3
6− 3
40x5 − 5
112x7 − · · · −
(−1
2
n
)(−1)n
2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)
arctan(x) = x− x3
3+x5
5+ · · ·+ (−1)
n
(2n+ 1)x2n+1 + o(x2n+2)
Si è usata la notazione(αn
):= α(α−1)...(α−n+1)
n!per α ∈ R e n ∈ N.
COGNOME: NOME: CANALE:
ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto e Meccatronica
Docenti: V. Casarino, F. Rossi e S. ZoccanteVicenza, 13 gennaio 2020
Scrivere su questo foglio A4, fronte e retro: lo si consegna come Parte A.È vietato tenere libri, appunti, telefoni.
TEMA 3
(a) Data una funzione f : R2 → R, scrivere la definizione di funzione derivabilein un punto (x, y). Scrivere poi la definizione di gradiente di f in un punto(x, y) in cui f è derivabile.
(b) Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale. Posto poif(x) = |x|,
determinare la media integrale di f nell’intervallo [−1, 2].
Tempo per la Parte A: 20 minuti.
ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto e Meccatronica
Docenti: V. Casarino, F. Rossi e S. ZoccanteVicenza, 13 gennaio 2020Seconda prova in itinere
Nella prima pagina del foglio di bella, sotto lo spazio riservato alla Com-missione, ogni studente deve riassumere i risultati ottenuti.La brutta copia, sul foglio protocollo a quadretti, non si consegna.È vietato avere con sé telefoni o calcolatrici, né accesi né spenti né riposti.È vietato usare appunti di ogni tipo e parlare durante il compito.
TEMA 3
Esercizio 1. (11 punti)Si consideri la funzione
f(x) =(arctan(x2)
) [sinh
(3x+ x3
)− sin
(3x+ x3
)].
(a) Scrivere lo sviluppo di Taylor con centro in x = 0 (detto anche di McLaurin)del quinto ordine di f .
(b) Dedurre dallo sviluppo ottenuto in (a) il valore della derivata quarta e delladerivata quinta di f in x = 0.
(c) Determinare per quali α ∈ R la serie+∞∑n=1
n3−α(arctan
(1
n2
))[sinh
(3
n+
1
n3
)− sin
(3
n+
1
n3
)]converge.
Esercizio 2. (11 punti)Sia
f(x) =ex
e2x + 4ex − 5.
(a) Dopo avere verificato che f è positiva sull’intervallo (1, 4), si calcoli l’area dellaregione del piano definita da
A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [1, 4], 0 ≤ y ≤ f(x)}(b) Si discuta inoltre la convergenza dei due integrali generalizzati∫ 1
0
f(x) dx e∫ 10
x3/4 f(x) dx.
Tempo: 1h e 30 minuti, complessive di Parte A—20 minuti—e B—70 minuti.
Formulario per gli appelli ufficialiAnalisi Matematica 1 a.a. 2019-2020 — V. Casarino, F. Rossi, S. ZoccanteIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Innovazione del Prodotto—Vicenza
Formule trigonometriche e iperboliche
sin(x± y) = sin(x) cos(y)± cos(x) sin(y) cos(x± y) = cos(x) cos(y)∓ sin(x) sin(y)
sin(x2
)= ±
√1− cos(x)
2cos(x2
)= ±
√1 + cos(x)
2
SettTanh(x) =1
2log
(1 + x
1− x
)tan(2x) =
2 tan(x)
1− tan2(x)
SettSh(x) = log(x+√x2 + 1
)SettCh(x) = log
(x+√x2 − 1
)Formule parametriche per funzioni trigonometriche: sia x 6= π+2kπ e t = tan
(x2
), si
ha:
sin(x) =2t
1 + t2, cos(x) =
1− t2
1 + t2, tan(x) =
2t
1− t2(x 6= π
2+ kπ
)Sviluppi di McLaurin: per x→ 0 valgono le seguenti relazioni
ex = 1 + x+x2
2+ · · ·+ x
n
n!+ o(xn)
ax = 1 + x(log a) +x2(log a)2
2+ · · ·+ x
n(log a)n
n!+ o(xn) per a > 0
sin(x) = x− x3
6+x5
5!− x
7
7!+x9
9!+ · · ·+ (−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!+ o(x2n+2)
cos(x) = 1− x2
2+x4
4!− x
6
6!+x8
8!+ · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!+ o(x2n+1)
tan(x) = x+x3
3+
2
15x5 +
17
315x7 + o(x8)
sinh(x) = x+x3
6+x5
5!+ · · ·+ x
2n+1
(2n+ 1)!+ o(x2n+2)
cosh(x) = 1 +x2
2+x4
4!+ · · ·+ x
2n
(2n)!+ o(x2n+1)
tanh(x) = x− x3
3+
2
15x5 − 17
315x7 + o(x8)
log(1 + x) = x− x2
2+x3
3+ · · ·+ (−1)n+1x
n
n+ o(xn)
(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)
2x2 +
α(α− 1)(α− 2)3!
x3 + · · ·+(α
n
)xn + o(xn)
esempio:√1 + x = 1 +
x
2− x
2
8+x3
16+ · · ·+
(1/2
n
)xn + o(xn)
arcsin(x) = x+x3
6+
3
40x5 +
5
112x7 + · · ·+
(−1
2
n
)(−1)n
2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)
arccos(x) =π
2− x− x
3
6− 3
40x5 − 5
112x7 − · · · −
(−1
2
n
)(−1)n
2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)
arctan(x) = x− x3
3+x5
5+ · · ·+ (−1)
n
(2n+ 1)x2n+1 + o(x2n+2)
Si è usata la notazione(αn
):= α(α−1)...(α−n+1)
n!per α ∈ R e n ∈ N.
COGNOME: NOME: CANALE:
ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto e Meccatronica
Docenti: V. Casarino, F. Rossi e S. ZoccanteVicenza, 13 gennaio 2020
Scrivere su questo foglio A4, fronte e retro: lo si consegna come Parte A.È vietato tenere libri, appunti, telefoni.
TEMA 4
(a) Data f : R2 → R definita in un intorno di (3, 2), scrivere la definizione dilim
x→(3,2)f(x) = 4 .
(b) Enunciare e dimostrare il corollario del Teorema fondamentale del Calcolointegrale ("Se G è una qualsiasi primitiva di f su [a, b], risulta
∫ baf(x)dx =
...").
Tempo per la Parte A: 20 minuti.
ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto e Meccatronica
Docenti: V. Casarino, F. Rossi e S. ZoccanteVicenza, 13 gennaio 2020Seconda prova in itinere
Nella prima pagina del foglio di bella, sotto lo spazio riservato alla Com-missione, ogni studente deve riassumere i risultati ottenuti.La brutta copia, sul foglio protocollo a quadretti, non si consegna.È vietato avere con sé telefoni o calcolatrici, né accesi né spenti né riposti.È vietato usare appunti di ogni tipo e parlare durante il compito.
TEMA 4
Esercizio 1. (11 punti)Si consideri la funzione
f(x) =(log(1 +
1
3x2)) [
cosh(3x+ x3
)− cos
(3x+ x3
)].
(a) Scrivere lo sviluppo di Taylor con centro in x = 0 (detto anche di McLaurin)del quarto ordine di f .
(b) Dedurre dallo sviluppo ottenuto in (a) il valore della derivata terza e delladerivata quarta di f in x = 0.
(c) Determinare per quali β ∈ R la serie+∞∑n=1
n5−β(log
(1 +
1
3n2
))[cosh
(3
n+
1
n3
)− cos
(3
n+
1
n3
)]converge.
Esercizio 2. (11 punti)Sia
f(x) =4ex
e2x + 2ex − 3.
(a) Dopo avere verificato che f è positiva sull’intervallo (2, 4), si calcoli l’area dellaregione del piano definita da
A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [2, 4], 0 ≤ y ≤ f(x)}(b) Si discuta inoltre la convergenza dei due integrali generalizzati∫ +∞
2
f(x)dx e∫ +∞2
ex/4 f(x) dx.
Tempo: 1h e 30 minuti, complessive di Parte A—20 minuti—e B—70 minuti.
Formulario per gli appelli ufficialiAnalisi Matematica 1 a.a. 2019-2020 — V. Casarino, F. Rossi, S. ZoccanteIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Innovazione del Prodotto—Vicenza
Formule trigonometriche e iperboliche
sin(x± y) = sin(x) cos(y)± cos(x) sin(y) cos(x± y) = cos(x) cos(y)∓ sin(x) sin(y)
sin(x2
)= ±
√1− cos(x)
2cos(x2
)= ±
√1 + cos(x)
2
SettTanh(x) =1
2log
(1 + x
1− x
)tan(2x) =
2 tan(x)
1− tan2(x)
SettSh(x) = log(x+√x2 + 1
)SettCh(x) = log
(x+√x2 − 1
)Formule parametriche per funzioni trigonometriche: sia x 6= π+2kπ e t = tan
(x2
), si
ha:
sin(x) =2t
1 + t2, cos(x) =
1− t2
1 + t2, tan(x) =
2t
1− t2(x 6= π
2+ kπ
)Sviluppi di McLaurin: per x→ 0 valgono le seguenti relazioni
ex = 1 + x+x2
2+ · · ·+ x
n
n!+ o(xn)
ax = 1 + x(log a) +x2(log a)2
2+ · · ·+ x
n(log a)n
n!+ o(xn) per a > 0
sin(x) = x− x3
6+x5
5!− x
7
7!+x9
9!+ · · ·+ (−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!+ o(x2n+2)
cos(x) = 1− x2
2+x4
4!− x
6
6!+x8
8!+ · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!+ o(x2n+1)
tan(x) = x+x3
3+
2
15x5 +
17
315x7 + o(x8)
sinh(x) = x+x3
6+x5
5!+ · · ·+ x
2n+1
(2n+ 1)!+ o(x2n+2)
cosh(x) = 1 +x2
2+x4
4!+ · · ·+ x
2n
(2n)!+ o(x2n+1)
tanh(x) = x− x3
3+
2
15x5 − 17
315x7 + o(x8)
log(1 + x) = x− x2
2+x3
3+ · · ·+ (−1)n+1x
n
n+ o(xn)
(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)
2x2 +
α(α− 1)(α− 2)3!
x3 + · · ·+(α
n
)xn + o(xn)
esempio:√1 + x = 1 +
x
2− x
2
8+x3
16+ · · ·+
(1/2
n
)xn + o(xn)
arcsin(x) = x+x3
6+
3
40x5 +
5
112x7 + · · ·+
(−1
2
n
)(−1)n
2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)
arccos(x) =π
2− x− x
3
6− 3
40x5 − 5
112x7 − · · · −
(−1
2
n
)(−1)n
2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)
arctan(x) = x− x3
3+x5
5+ · · ·+ (−1)
n
(2n+ 1)x2n+1 + o(x2n+2)
Si è usata la notazione(αn
):= α(α−1)...(α−n+1)
n!per α ∈ R e n ∈ N.
Svolgimento
Esercizio 1, tema 1
(a) Dataf(x) =
(arctanx
) [sinh
(x+ x3
)− sin
(x+ x3
)],
si ha
f(x) =(arctanx
) [sinh
(x+ x3
)− sin
(x+ x3
)]=
(x− 1
3x3 + o(x4)
)[(x+ x3
)+
1
6
(x+ x3
)3 − (x+ x3)+ 16
(x+ x3
)3+ o(x4)
]=
(x− 1
3x3 + o(x4)
)[2
6
(x+ x3
)3+ o(x4)
]=
(x− 1
3x3 + o(x4)
)[1
3x3 + o(x4)
]=
(x− 1
3x3 + o(x4)
)[1
3x3 + o(x4)
]=
1
3x4 + o(x4).
Lo sviluppo richiesto è quindi
f(x) =1
3x4 + o(x4).
(b) Ricordiamo che il coefficiente k-imo dello sviluppo di Taylor con centro inx = 0 soddisfa la relazione
ak =f (k)(0)
k!.
Poiché a3 = 0 e a4 = 13 , si ha
f (3)(0) = 0
e
f (4)(0) = 4! · 13= 8.
(c) Scriviamo la serie+∞∑n=1
nα+7(arctan
(1
n+
1
n5
))[sinh
(1
n+
1
n3
)− sin
(1
n+
1
n3
)]come
+∞∑n=1
nα+7bn,
ove
bn =
(arctan
(1
n+
1
n5
))[sinh
(1
n+
1
n3
)− sin
(1
n+
1
n3
)]Sappiamo dal punto (a) che bn è positivo e che
bn ∼1
3n−4 + o(n−4)
per n→ +∞.Quindi il termine ennesimo della serie è asinotico a
1
3nα+3
e la serie converge se e solo se α < −4.
Esercizio 1, tema 2
(a) Lo sviluppo richiesto è
f(x) = 4x5 + o(x5).
(b) Si ha
f (4)(0) = 0
ef (5)(0) = 5! · 4 = 480.
(c) La serie converge se e solo se β < 6.
Esercizio 1, tema 3
(a) Lo sviluppo richiesto è
f(x) = 9x5 + o(x5).
(b) Si ha
f (4)(0) = 0
ef (5)(0) = 5! · 9 = 1080.
(c) La serie converge se e solo se α > −1.Esercizio 1, tema 4
(a) Lo sviluppo richiesto è
f(x) = 3x4 + o(x4).
(b) Si ha
f (3)(0) = 0
ef (4)(0) = 4! · 3 = 72.
(c) La serie converge se e solo se β > 2.
Esercizio 2, tema 1
(a) Osserviamo innanzitutto cheex
e2x + ex − 2=
ex
(ex − 1)(ex + 2)e che
ex
(ex − 1)(ex + 2)> 0 ⇐⇒ ex − 1 > 0 ⇐⇒ x > 0.
La funzione è quindi positiva sull’intervallo (1, 2) e l’area richiesta è data da
A =
∫ 21
ex
e2x + ex − 2dx.
Calcoliamo prima l’integrale indefinito attraverso il cambio di variabile ex = dte il metodo dei fratti semplici:
I =
∫ex
e2x + ex − 2dx
=
∫1
t2 + t− 2dt
=
∫1
(t+ 2)(t− 1)dt
=1
3log(ex − 1)− 1
3log(ex + 2) + C.
Risulta quindi
A =
(1
3log(ex − 1)− 1
3log(ex + 2)
) ∣∣∣21
=
(1
3log(e2 − 1)− 1
3log(e2 + 2)
)−(1
3log(e− 1)− 1
3log(e+ 2)
)=
1
3log(e+ 1)− 1
3log
e2 + 2
e+ 2.
(b) L’integrale generalizzato ∫ 10
f(x) dx
è divergente, perché l’integranda f(x) soddisfa la stima asintotica
f(x) ∼ 13x
per x→ 0
(abbiamo qui usato lo sviluppo di ex e il fatto che ex + 2 ∼ 3 per x→ 0).Al contrario, l’integrale generalizzato∫ 1
0
√x f(x) dx
è convergente, perché l’integranda g(x) =√x f(x) soddisfa la stima asintotica
g(x) ∼ x1/2
3x∼ 1
3x1/2per x→ 0.
Esercizio 2, tema 2
(a) Vale f(x) = 2exe2x+6ex−7 =
2ex
(ex−1)(ex+7) , da cui segue che
ex
(ex − 1)(ex + 7)> 0 ⇐⇒ ex − 1 > 0 ⇐⇒ x > 0.
La funzione è quindi positiva sull’intervallo (2, 3) e l’area richiesta è data da
A =
∫ 32
2ex
e2x + 6ex − 7dx.
L’integrale indefinito è dato da
I =1
4log(ex − 1)− 1
4log(ex + 7) + C.
Risulta quindi
A =
(1
4log(ex − 1)− 1
4log(ex + 7)
) ∣∣∣32
=
(1
4log(e3 − 1)− 1
4log(e3 + 7)
)−(1
4log(e2 − 1)− 1
4log(e2 + 7)
)=
1
4log
(e3 − 1)(e2 + 7)(e2 − 1)(e3 + 7)
.
(b) L’integrale generalizzato ∫ +∞1
f(x) dx
è convergente, perché l’integranda f(x) soddisfa la stima asintotica
f(x) ∼ 2ex
per x→ +∞.L’integrale generalizzato∫ +∞
1
ex/2 f(x) dx
è anch’esso convergente, perché l’integranda g(x) = ex/2 f(x) soddisfa la stimaasintotica
g(x) ∼ 2ex/2
ex∼ 1
2ex/2per x→ +∞.
Esercizio 2, tema 3
(a) Valeex
e2x + 4ex − 5=
ex
(ex − 1)(ex + 5),
da cui segue cheex
(ex − 1)(ex + 2)> 0 ⇐⇒ ex − 1 > 0 ⇐⇒ x > 0.
La funzione è quindi positiva sull’intervallo (1, 4) e l’area richiesta è data da
A =
∫ 41
ex
e2x + ex − 2dx.
L’integrale indefinito è dato da
I =1
6log(ex − 1)− 1
6log(ex + 5) + C.
Risulta quindi
A =
(1
6log(ex − 1)− 1
6log(ex + 5)
) ∣∣∣41
=
(1
6log(e4 − 1)− 1
6log(e4 + 5)
)−(1
6log(e− 1)− 1
6log(e+ 5)
)
=1
6log
(e4 − 1)(e+ 5)(e− 1)(e4 + 5)
.
(b) L’integrale generalizzato ∫ 10
f(x) dx
è divergente, perché l’integranda f(x) soddisfa la stima asintotica
f(x) ∼ 16x
per x → 0 (abbiamo qui usato lo sviluppo di ex per x → 0 e il fatto cheex + 5 ∼ 6 per x→ 0).
Al contrario, l’integrale generalizzato∫ 10
x3/4 f(x) dx
è convergente, perché l’integranda g(x) = x3/4 f(x) soddisfa la stima asintotica
g(x) ∼ x3/4
6x∼ 1
6x1/4
per x→ 0.Esercizio 2, tema 4
(a) Vale f(x) = 4exe2x+2ex−3 =
4ex
(ex−1)(ex+3) , da cui segue che
4ex
(ex − 1)(ex + 3)> 0 ⇐⇒ ex − 1 > 0 ⇐⇒ x > 0.
La funzione è quindi positiva sull’intervallo (2, 4) e l’area richiesta è data da
A =
∫ 42
2ex
e2x + 2ex − 3dx.
L’integrale indefinito è dato da
I = log(ex − 1)− log(ex + 3) + C.Risulta quindi
A = (log(ex − 1)− log(ex + 3))∣∣∣42
=(log(e4 − 1)− log(e4 + 3)
)−(log(e2 − 1)− log(e2 + 3)
)= log
(e4 − 1)(e2 + 3)(e2 − 1)(e4 + 3)
.
(b) L’integrale generalizzato ∫ +∞2
f(x) dx
è convergente, perché l’integranda f(x) soddisfa la stima asintotica
f(x) ∼ 4ex
per x→ +∞.L’integrale generalizzato∫ +∞
2
ex/4 f(x) dx
è anch’esso convergente, perché l’integranda g(x) = ex/4 f(x) soddisfa la stimaasintotica
g(x) ∼ 4ex/4
ex∼ 4e−
34x per x→ +∞.