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trabajo practico
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ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias - 2011)
Trabajo Practico 6. Primera parte.
Repasar integrales de una variable:
metodos de integracion (sustitucion, partes y fracciones simples). integrales basicas trigonometricas y del tipo
sen nx dx n par o imparsen nx cosm x dx n,m par o impar 1a2 + (bx)2
dx 1
a2 (bx)2dx .
integrales del tipo
a2 + x2 dx
a2 x2 dx
x2 a2 dx .
Integrales dobles.
1. Graficar cada region para verificar si es de tipo I, tipo II, ambos o ninguno, y describirla.
(a) el triangulo de vertices (0,0), (1,0) y (1,3).
(b) la region que determinan x = y y x = y2.
(c) el crculo de radio 1 (centrado en el origen).
(d) el anillo determinado por los crculos concentrico de radio 1 y2 (centrados en el origen).
(e) el sector determinado en el primer cuadrante por los dos crculos anteriores y las rectasy = x y 2y = x.
(f) el triangulo de vertices (1,2), (2,4) y (5,1).
(g) el cuadrilatero de vertices (1,2), (1,6), (2,1) y (2,7).
2. Describir las regiones (c), (d) y (e) del ejercicio anterior mediante coordenadas polares.
3. Evaluar cada una de las integrales siguientes si R = [0, 1] [0, 1].(a)
R(x
3 + y2) dx dy
(b)R ye
xy dx dy
(c)R(xy)
2 cos(x3) dx dy .
4. Calcular las siguientes integrales iteradas y dibujar las regiones D determinadas por los lmitesde integracion:
(a) 10
x20
dy dx
(b) 21
3x+12x
dy dx
1
(c) 10
ex1
(x+ y) dy dx
(d) 11
|x|2|x|
ex+y dy dx
(e) pi
2
0
cosx0
ysen x dy dx
(f) 20
1( y2)2
0y dx dy
(g) 02
x+1x3
(y2 + 1) dy dx .
5. En las integrales siguientes, dibujar las regiones correspondientes, cambiar el orden de inte-gracion y evaluar la integral por los dos caminos.
(a) 10
1xxy dy dx
(b) 11
1|y|(x+ y)2 dx dy
(c) 33
(9y2) 12(9y2) 12
x2 dx dy .
6. (a) Sea D la region acotada por los ejes positivos x e y y la recta 3x + 4y = 10. CalcularD(x
2 + y2) dx dy .
(b) Sea D la region acotada por el eje y y la parabola x = 4y2 + 3. Calcular D xy dx dy .(c) Sea D = {(x, y) : 0 2x
pi y, y sen x}. Evaluar D y dx dy .
(d) Sea D = {(x, y) : x 0, x2 y 10 x2}. Evaluar Dx dx dy .7. Calcular
T e
xy dx dy donde T es el triangulo con vertices (0,0), (1,3) y (2,2).
8. Calcular el volumen del solido acotado por el plano xz, el plano yz, el plano xy, los planosx = 1 e y = 1, y la superficie z = x2 + y2.
9. Calcular el volumen del solido acotado por la superficie z = sen y, los planos x = 1, x = 0, y =0, y = pi
2y el plano xy.
Cambio de variables
10. Calcular el area de un crculo de radio r y el area de una elipse con semiejes de longitud a y bmediante integrales dobles. Luego calcularlas utilizando un cambio de variables adecuado.
11. Encontrar el area encerrada por la cardioide cuya ecuacion en coordenadas polares es r =1 + sen.
12. Sea D el disco unitario. Evaluar las siguientes integrales mediante un cambio de variables acoordenadas polares.
(a)D e
x2+y2 dx dy ,
(b)D(1 + x
2 + y2)32 dx dy .
2
13. Sea D := {(x, y) : |x| + |y| 1}. Evaluar D(x + y)2 dx dy mediante el cambio de variablesx = u+ v, y = u v.
14. (a) Sea S el paralelogramo acotado por las rectas y = 3x 4, y = 3x, y = 12x e y = 1
2(x+ 4).
Sea R := [0, 1] [0, 1]. Encontrar una transformacion afn T tal que S = T (R). Esunica? Calcular el area de S.
(b) Calcular
S
y 3x+ 1y 1
2x+ 1
dy dx .
15. Calcular el volumen de la region limitada por las superficies x2 + y2 + z2 25 y z 4.
16. Calcular el volumen que queda bajo la grafica de f(x, y) = 1 + sen (piy
2) + x cuando el dominio
de f es el paralelogramo de vertices (0,0), (1,2), (2,0) y (3,2).
17. Calcular
Ry sen(xy) dy dx donde R es la region comprendida entre las graficas xy = 1, xy =
4, y = 1, y = 4.
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