Apr 20, 2023

Analisis dan PerancanganAlgoritma

Kuliah 3 : Proof by induction

E. Haodudin Nurkifli

Teknik Informatika

Universitas Ahmad Dahlan

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 2

Methods of Proof

Proof by Contradiction– Assume a theorem is false; show that this assumption implie

s a property known to be true is false -- therefore original hypothesis must be true

Proof by Counterexample– Use a concrete example to show an inequality cannot hold

Mathematical Induction– Prove a trivial base case, assume true for k, then show hypo

thesis is true for k+1– Used to prove recursive algorithms

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 3

Review: Induction

Suppose – S(k) is true for fixed constant k

• Often k = 0– S(n) S(n+1) for all n >= k

Then S(n) is true for all n >= k

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 4

Proof By Induction

Claim:S(n) is true for all n >= k Basis:

– Show formula is true when n = k Inductive hypothesis:

– Assume formula is true for an arbitrary n Step:

– Show that formula is then true for n+1

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 5

Induction Example: Gaussian Closed Form

Prove 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2– Basis:

• If n = 0, then 0 = 0(0+1) / 2– Inductive hypothesis:

• Assume 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2– Step (show true for n+1):

1 + 2 + … + n + n+1 = (1 + 2 + …+ n) + (n+1)

= n(n+1)/2 + n+1 = [n(n+1) + 2(n+1)]/2

= (n+1)(n+2)/2 = (n+1)(n+1 + 1) / 2

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 6

Induction Example:Geometric Closed Form

Prove a0 + a1 + … + an = (an+1 - 1)/(a - 1) for all a 1– Basis: show that a0 = (a0+1 - 1)/(a - 1)

a0 = 1 = (a1 - 1)/(a - 1)– Inductive hypothesis:

• Assume a0 + a1 + … + an = (an+1 - 1)/(a - 1) – Step (show true for n+1):

a0 + a1 + … + an+1 = a0 + a1 + … + an + an+1

= (an+1 - 1)/(a - 1) + an+1 = (an+1+1 - 1)/(a - 1)

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 7

Induction

We’ve been using weak induction Strong induction also holds

– Basis: show S(0)– Hypothesis: assume S(k) holds for arbitrary k <= n– Step: Show S(n+1) follows

Another variation:– Basis: show S(0), S(1)– Hypothesis: assume S(n) and S(n+1) are true– Step: show S(n+2) follows

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 8

Induksi Matematika

Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan

Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu

Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements n A S(n) dengan A N dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli.

S(n) adalah fungsi propositional

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 9

Basis Step : Tunjukkan bahwa S(1) benar

Inductive Step : Sumsikan S(k) benar

Akan dibuktikan S(k) S(k+1) benar

Conclusion : S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer positif

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 10

PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA

Contoh 1

Buktikan bahwa :

1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1)

untuk setiap n bilangan integer positif

Jawab :

Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

1 = ½ 1 . (1+1) 1 = 1

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 11

Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 2 + 3 + …+ k = ½ k (k+1)

adib. Untuk n = k+1 berlaku

1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 12

Jawab :

1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

 

k (k+1) / 2 + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

(k+1) [ k/2 +1 ] = (k+1) (k+2) / 2

(k+1) ½ (k+2) = (k+1) (k+2) / 2

(k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 13

Kesimpulan : 1 + 2 + 3 + …+ n = ½ n (n +1)

Untuk setiap bilanga bulat positif n

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 14

Contoh 2

Buktikan bahwa :

1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2

untuk setiap n bilangan bulat positif

 

Jawab :

Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

1 = 12 1 = 1

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 15

Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k2

adib. Untuk n = k + 1 berlaku

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 16

1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1) = (k + 1)2

1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1) = (k + 1)2

1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)2

1 + 3 + 5 + …+ (2k - 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)2

 

k 2 + (2K + 1) = (k + 1)2

k 2 + 2K + 1 = k 2 + 2K + 1

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 17

Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2

Untuk setiap bilangan bulat positif n

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 18

Contoh 3

Buktikan bahwa :

N 3 + 2n adalah kelipatan 3

untuk setiap n bilangan bulat positif

 

Jawab :

Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

1 = 13 + 2(1) 1 = 3 , kelipatan 3

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 19

Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x

adib. Untuk n = k + 1 berlaku

(k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3

(k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2

(k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3)

(k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1)

Induksi

3x + 3 (k 2 + k + 1)

3 (x + k 2 + k + 1)

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 20

Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3

Untuk setiap bilangan bulat positif n

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 21

Contoh 4

Buktikan bahwa :

n! => 2n-1

untuk setiap n : 1,2,...

jawab

Basis unuk n=1 akan diperoleh :

1! => 21-1

1 => 20 1 => 1

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 22

Induksi : misalkan n=k asumsikan k! => 2k-1

Adib untuk n = k+1 berlaku (k+1)! => 2 (k+1)-1 adalah benar

(k+1)! = (k+1)(k!)

(k+1)( 2k-1)

2.2k-1

21.2k-1

2 (k+1)-1

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 23

Kesimpulan n! 2n-1

Untuk

untuk setiap n : 1,2,...

Eko AB – Analisis dan Perancangan Algoritma 24

Latihan

Buktikan dengan induksi bentuk persamaan berikut k 2 k = (n – 1) 2 n + 1 + 2

Buktikan dengan induksi bahwa n 5 – n habis di bagi 5 untuk n bilangan bulat positif