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AnálisisdeFourierysusaplicaciones

4/13/09 1AnálisisdeFourierysusaplicacionesJorgeA.OlveraR.


•  MuchosdelossistemasuBlizadoseningenieríasepuedenmodelarcomo:– Sistemaslineales– SistemasinvariantesenelBempo



•  ¿QuésignificaqueunsistemasealinealeinvarianteenelBempo?– Laentradadelsistemasedenotaporx(t)– Lasalidadelsistemasedenotapory(t)


X(t) y(t)

Entrada Salida

Sistemalinealeinvarianteenel4empo


•  UnsistemaeslinealsisaBsfacelosiguiente: Entrada Salida

x1(t) y1(t) x2(t) y2(t)

ax1(t)+bx1(t) ay1(t)+by2(t)



•  UnsistemaesinvarianteenelBemposisaBsfaceque: Entrada Salida x1(t) y1(t) x1(t‐t0) y1(t‐t0)



•  Unhechoimportanteesque,engeneral,cualquierseñalquepaseatravésdeunsistemalinealeinvarianteenelBemposedistorsiona,esdecir,cambiasuforma.

•  LaúnicaseñalquenosedistorsionaalpasaratravésdeunsistemadeesteBpoesunasinusoidalpura.



•  Unaseñalsinusoidalpuranocambiasuformaperosicambian:– Suamplitud.– Sufase.

•  Engeneral,elcambioenlaamplitudyenlafasedependen:–  delsistema.– delafrecuenciadelaseñalsinusoidal.



•  ElanálisisdeFourierpermitedeterminarlaamplitudyfasedecadaunadelascomponentesdefrecuenciaqueBeneunaseñal.

•  ParaseñalesperiódicasseuBlizanlasseriesdeFourier.

•  ParaseñalesnoperiódicasseusalatransformadadeFourier.



•  LasseriesdeFourierpermitendeterminarlaamplitudyfasedecadaunadelascomponentesdefrecuenciaqueBeneunaseñalperiódica.

•  ExistendosformasdelaseriedeFourier:– Formarectangular.– Formacompleja



•  Six(t)esunaseñalperiódicaconperíodoT0,suseriedeFourierenformarectangulares:

donde


€

x(t ) = a0 + an cos(2πnt / T0 ) + bnsen(2πnt / T0 )[ ]n=1

∞

∑

€

a0 =1T0

x(t )dt−T0 / 2

T0 / 2

∫

€

an =2T0

x(t )cos(2πnt / T0 )dt−T0 / 2

T0 / 2

∫

€

bn =2T0

x(t )sen(2πnt / T0 )dt−T0 / 2

T0 / 2

∫


•  Lacomponentedecorrientedirectaovalorpromediodelaseñales

•  LacomponentedefrecuenciaHertzestádefinidapor:– Suamplitud

– Sufase


€

a0

€

fn =nT0

€

An = an2 + bn

2

€

φn = arctan −bn

an


•  LaseriedeFourierenformacomplejaparaunaseñalperiódicax(t)conperíodoT0,es:

donde


€

x(t ) = cne− j 2πnt / T0

n=−∞

∞

∑

€

cn =1T0

x(t )e− j 2πnt / T0 dt−T0 / 2

T0 / 2

∫


•  Lacomponentedecorrientedirectaovalorpromediodelaseñales

•  LacomponentedefrecuenciaHertzestádefinidapor:– Suamplitud

– Sufase


€

c0

€

fn =nT0

€

An = 2 cn

€

φn = fase de cn


•  Unejemplodeunaseñalperiódicaysuscomponentesdefrecuencia.



•  UsandolaformarectangulardelaserieseobBene:


€

a0 = 1

€

an =2

nπsen(3nπ/4)+ sen(nπ/4)[ ]

€

bn =2

nπ−cos(3nπ/4)+ cos(nπt/4)[ ]

€

An =4

nπ sen(nπ / 2)

€

φn = arctan cos(3nπ/4) - cos(nπt/4)sen(3nπ/4)+ sen(nπt/4)


•  UsandolaformacomplejadelaserieseobBene:


€

c0 = 1

€

cn =2

nπsen(nπ/2)e-jnπ / 4


•  Lasprimerascomponentesdefrecuenciason:



•  AconBnuaciónsemuestracómosevaaproximandolaseñalperiódicaalirsumandosuscomponentedefrecuencia.



•  Sumandolasprimeras2componentesdefrecuenciadelaseñalperiódica.















•  ParaanalizarelcontenidodefrecuenciadelasseñalesnoperiódicasseuBlizalatransformadadeFourier.– Señalnoperiódica– SutransformadadeFourierestádadapor:


€

x(t )

€

X(ω ) = F x(t ){ } = x(t )e− jωtdt−∞

∞

∫


•  LatransformadadeFouriertambiénpermiteanalizarcómocambialaamplitudyfasedeunaseñalsinusoidalpuracuandopasaatravésdeunsistemalinealeinvarianteenelBempo.

•  ParaconocerloanteriorseobBenelafuncióndetransferenciadelsistema,definidacomo:


€

H(ω ) =F salida{ }

F entrada{ }=

Y(ω )X(ω )


•  Larelacióndelaamplituddelasalidaalaamplituddelaentradarepresentalagananciadelsistemayéstaesfuncióndelafrecuenciadelaseñaldeentrada.

•  Lafasedelaseñaldesalidaenrelaciónalafasedelaseñaldeentradatambiéndependelafrecuenciayestádadapor.


€

Ganancia = H(ω )

€

Cambio de fase = fase de H(ω )


•  ConsidereunsistemalinealeinvarianteenelBempocuyomodeloeselsiguiente.

•  Lafuncióndetransferenciadeestesistemaes.


€

d2y(t )dt 2 +10 dy(t )

dt+100y(t ) = 100x(t )

€

H(ω ) =Y(ω )X(ω )

=100

100 −ω2 + j10ω


•  Lasgráficasdelagananciaycambiodefaseparaestesistemaenfuncióndelafrecuenciason.



•  AconBnuaciónsemuestralaentrada(enazul)ylasalida(enrojo)delsistemadelejemplocuandoseleaplicanentradassinusoidalesdediferentesfrecuencias.




€

x(t ) = cos(2t )



€

x(t ) = cos(6t )



€

x(t ) = cos(10t )



€

x(t ) = cos(20t )



€

x(t ) = cos(50t )


•  AconBnuaciónsemuestralaentrada(enazul)ylasalida(enrojo)delsistemadelejemplocuandoseleaplicanentradassinusoidalescondosdiferentesfrecuencias.Obsérvesecómosedistorsionalaseñal.




€

x(t ) = cos(2t ) + sen(8t )



€

x(t ) = cos(10t ) + sen(20t )



€

x(t ) = cos(10t ) + sen(40t )


•  ¿ParaquéseaplicaelanálisisdeFourier?•  Seaplicapara:–  Analizarcontenidodefrecuenciadelasseñales.–  DeterminarcómocambialaamplitudylafasedelasseñalessinusoidalescuandoéstaspasanatravésdeunsistemalinealeinvarianteenelBempo.



•  ¿DóndeseaplicaelanálisisdeFourier?•  SeuBlizaenmuchasáreasdeingenieríadondese

analizanydiseñansistemasdinámicos.•  Algunasáreasson:

–  Comunicaciones.–  Ingenieríamecánica.–  Ingenieríadecontrol.–  CamposelectromagnéBcos.–  Procesamientodeseñalesdeaudio.–  Procesamientodeimágenes.–  Eneláreamédica.



•  Encomunicaciones:–  Paraanalizarcontenidodefrecuenciadelasseñales.–  DiseñarlossistemasdetransmisióndeseñalesparatransmiBrinformación.

–  Analizarloscambiosqueocurrencuandolasseñalesviajanatravésdeunmediodetransmisión.

–  Diseñarsistemasparacompensarladistorsióndelasseñalesenlossistemasdetransmisión.

–  Paradiseñarsupresoresycanceladoresdeecoenlíneastelefónicas.



•  Eningenieríamecánica:–  Paraestudiarlosproblemasrelacionadosconvibracionesmecánicasenlosmotores,generadoresyequiposrotatoriosengeneral.

–  Parabalancearrotoresyeliminarlavibraciónquegenerancuandonoestánbalanceados.

–  Paradiseñarsistemasparaabsorbervibracionesyeliminarsusefectos.



•  Eningenieríadecontrol:–  ParaestudiarlaestabilidaddelossistemasdecontroluBlizadosendiversosequipos.

–  ParaanálisisydiseñodesistemasdecontrolquesaBsfaganlosrequerimientosestablecidos.

–  ParacompensarsistemasdecontrolqueBeneproblemasdeestabilidad.



•  EncamposelectromagnéBcos:–  PararesolverecuacionesdiferencialesparcialesconcondicionesdefronteraparadeterminarladistribucióndeloscamposelectromagnéBcosenunespaciodado.



•  Enprocesamientodeseñalesdeaudio:–  Paracompactarseñalesdeaudio(MP3,MP4).

–  Paraproducirefectosdesonidos.–  ParadiseñarsinteBzadoresdeaudio.–  Paradiseñarecualizadores.



•  Enprocesamientodeimágenes:–  Parafiltrarimágenes.

–  ParaextraercaracterísBcasdeinteréssobrelasimágenes.

–  Pararealizartransformacionesdeimágenes.–  Paracompactarimágenes.



•  Eneláreamédica:–  Paraprocesarlasimágenesgeneradasporecogramas,resonanciamagnéBca,tomogradaaxial,etc.

–  ParaextraercaracterísBcasdeinteréssobrelasimágenes.–  Paraacondicionarlasseñalesparaequiposmédicosdeadquisicióndedatos.



•  Endiversasáreasdeingeniería:–  Paraanalizarelcomportamientodelossistemasenrelaciónalasfrecuenciasdelasseñalesdeentrada.

–  Paramodelarsistemaseneldominiodelafrecuencia.–  ParaanálisisydiseñodesistemasdequesaBsfaganlosrequerimientosestablecidos.



•  ElanálisisdeFourierhahechoposiblequeactualmentetengamosanuestradisposiciónmuchosdisposiBvostecnológicosquecontribuyenahacernuestravidamásfácil,segurayplacentera.

•  MuchasvecesnonosdamoscuentadequedetrásmuchosdisposiBvosestáelanálisisdeFourier.



GRACIAS



•  AcBvidades.1. Unaseñalx(t)esparsisaBsfacequex(t)=x(‐t)

paratodoBempo.DemuestrequelaseriedeFourierdeunaseñalperiódicaparnoconBenetérminossenoensuformarectangular.



•  AcBvidades.2. Unaseñalx(t)esimparsisaBsfacequex(t)=‐x(‐t)

paratodoBempo.DemuestrequelaseriedeFourierdeunaseñalperiódicaimparsolamenteconBenetérminossenoensuformarectangular.



•  AcBvidades.3. DeterminelatransformadadeFourierdelaseña

dondeaesunaconstanterealposiBva.


€

x(t ) =e−at , t ≥ 00, t < 0

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