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Análisis de
Fronteras
Herramientas de los
Sistemas de Información Geográfica (SIG)
Definiciones de
autocorrelación espacial1. Propiedad de un conjunto de datos situados en un
mapa geográfico que muestran un patrón de organización.
2. Aplicando la PRIMERA LEY GEOGRÁFICA DE TOBLER (1970) que afirma: La autocorrelaciónespacial se basa en uno de los fundamentos geográficos más conocidos: En el espacio todo está relacionado con todo, pero los territorios más cercanos están más relacionados entre sí que los más alejados. Se puede definir la autocorrelación espacial como el grado de concentración o dispersión de los valores de una variable en un mapa, es decir, que se puede determinar el grado en que los objetos de una unidad geográfica son similares a otros objetos de unidades geográficas vecinas.
Análisis de fronteras y
Test de Moran
Las técnicas que se presentan a continuación sirven para obtener una medida cuantitativa del grado de correlación espacial entre áreas o zonas contiguas. La primera de ellas, el análisis de fronteras, es especialmente indicada cuando se trata de mapas de coropletas binarios, es decir, del tipo ausencia o presencia de un fenómeno.
Análisis de fronteras y
Test de Moran
En el análisis de frontera se adopta una hipótesis nula. Esta señala la existencia de una disposición de los datos al azar (aleatorios), en cuyo caso se aplica un test de dos colas.
0.95Área = 0.025 Área = 0.025
–1.96 0 1.96z
Rechazar H0 Rechazar H0
Rango de aceptacion de la
hipótesis nula (H0)
Análisis de fronteras y
Test de Moran
Como en todo test, previamente a su realización es necesario establecer el nivel de significación de éste. (Generalmente de un 0.05 o un 0.01 %).
Para ello, se tienen que normalizar las tres distribuciones que corresponden a los tres tipos de uniones, resta comparar estos números Z obtenidos con la distribución de una curva normal asumiendo previamente un nivel de significación.
Análisis de fronteras y
Test de Moran
La hipótesis nula consiste en la inexistencia de ningún tipo de autocorrelación espacial, se adopta un test de dos colas.
Rechazar H0 si 2/02/ ZZZ
.05.02/1.02/ ZZZ
De tablas de la normal , por simetría 64.105.0 Z
Valor crítico
Z = 1.64
Valor crítico
Z = –1.64
Región de aceptaciónAcepte H0 si el valor de la muestra
se encuentra en esta región.
Z0
Análisis de fronteras y
Test de Moran
El análisis de fronteras es apropiado para aquellos datos que se presentan en una escala nominal constituidos por dos categorías. Se trata de variables del tipo población católica/no católica, de individuos de raza blanca/no blanca, etc. Si bien este hecho parece suponer una limitación importante, en la práctica también aquellos datos que se presenten en una escala de intervalos pueden ser transformados a una escala nominal (municipios o delegaciones políticas con proporción de ancianos superior a la media, con una proporción inferior, etc.).
Análisis de fronteras y
Test de Moran
La segunda técnica, el llamado test de Moran, cubre la misma finalidad para el caso de variables ya no binarias, sino medidas en escala cuantitativa. Ambas pruebas tienen por finalidad apreciar si la disposición de los valores ha sido debido al azar o no. En definitiva, su procedimiento es similar al de la técnica del vecino más cercano.
Tipos de autocorrelación espacial
ANÁLISIS DE FRONTERAS
BB: PositivaNN: PositivaBN: Negativa
De esta combinación de cuadrículas
negras y blancas, podemos inferir
una autocorrelación espacial positiva
entre las cuadrículas negras, es decir,
una tendencia de éstas a agruparse,
así como entre las blancas. Tan
siginificativo como ambos hechos es
la existencia de una autocorrelación
espacial, pero esta vez de signo
negativo, entre las cuadrículas
blancas y las negras; o expresado en
otros términos: una tendencia a
separarse ambos tipos de tramas
Tipos de autocorrelación espacial
ANÁLISIS DE FRONTERAS
BB: NegativaNN:NegativaBN: Positiva
En esta combinación de
cuadrículas negras y blancas
se muestra una situación
simétrica, es decir, una
autocorrelación espacial
negativa entre las cuadrículas
negras, otra idéntica entre las
blancas, y una autocorrelación
espacial positiva entre las
blancas y las negras
Tipos de autocorrelación espacial
ANÁLISIS DE FRONTERAS
BB: AleatoriaNN: AleatoriaBN: Aleatoria
En esta combinación de
cuadrículas negras y blancas
se presenta una disposición
al azar en la que no existe
ninguna autocorrelación
espacial.
Tipos de autocorrelación espacial
ANÁLISIS DE FRONTERAS
La autocorrelación espacial es
especialmente indicada en los
fenómenos de propagación, es
decir, que se adapten al modelo
de difusión epidémica y en
aspectos con un fuerte
componente social, puesto que la
población suele residir de un
modo segregado.
Tipos de autocorrelación espacial
ANÁLISIS DE FRONTERASConsideraciones
1. Esta técnica exige una cuidada interpretación de los datos de los
valores Z. Un resultado negativo no significa la inexistencia de
autocorrelación espacial sino la presencia de una
autocorrelación espacial de signo negativo.
La autocorrelación espacial puede presentarse con valores
negativos o positivos; existe autocorrelación positiva cuando
valores similares de una variable aleatoria tienden a
aglomerarse en el espacio, habiendo dependencia espacial entre
ellos, por otra parte la autocorrelación negativa se presenta
cuando las unidades geográficas de observación tienden a estar
rodeadas de valores opuestos estadísticamente significativos.
Tipos de autocorrelación espacial
ANÁLISIS DE FRONTERAS
2. Existen dos modos de contar las fronteras, siendo éste
una consideración a tener en cuenta en el caso de mapas
de coropletas conformados por cuadrículas o
rectángulos. El procedimiento aquí expuesto se asocia a
los movimientos de las damas en tablero de ajedrez, es
decir, se consideran no sólo las fronteras laterales sino
también las esquinas. Cabe realizar, dependiendo de las
situaciones, un ánalisis de fronteras utilizando el símil de
los movimientos de la torre en el ajedrez y, por lo tanto,
despreciando las conexiones puntuales entre esquinas.
Tanto los resultados como su interpretación serán
diferentes en un caso respecto al otro.
Tipos de autocorrelación espacial
ANÁLISIS DE FRONTERAS
Movimiento tipo torre Movimiento tipo dama
Tipos de autocorrelación espacial
ANÁLISIS DE FRONTERAS
BB = + 1.21
NN = + 1.21
BN = – 3.26
BB = – 1.81
NN = – 1.81
BN = + 4.90
BB = – 0.30
NN = – 0.60
BN = + 1.22
BB = + 0.60
NN = + 1.21
BN = – 2.45
BB = + 0.95
NN = + 0.95
BN = – 3.39
BB = – 0.26
NN = – 0.26
BN = + 0.92
BB = – 0.09
NN = – 0.43
BN = + 0.93
BB = + 0.26
NN = +1.12
BN = – 2.47
Movimientos tipo Dama
Movimientos tipoTorre
AUTOCORRELACIÓN ESPACIAL
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Torre
Considere la siguiente configuración:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Obtenga los valores de Z(BB),
Z(NN) y Z(NB).
El procedimiento para medir la
autocorrelación espacial se
fundamenta en el conteo de uniones
o fronteras entre las cuadrículas. Se
siguen estos pasos:
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Torre
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Paso 1. Se calcula la probabilidad de que existan cuadrículas blancas (p) o
negras (q) en la configuración anterior.
p = Número de cuadrículas blancas/total de cuadrículas.
q = Número de cuadrículas negras/total de cuadrículas.
La suma de probabilidades ha de ser 1.
En el ejemplo:
Paso 2. Se cuentan las uniones observadas O(BB) (blanco-blanco), O(NN)
(negro-negro) y O(NB) (negro-blanco).
En este caso:
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Torre
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Total de fronteras k O(BB) + O(NN) + O(BN) = 10 + 10 + 4 = 24.
O(NN)= 10 O(BB)= 10 O(NB)= 4
Paso 3. Se procede a calcular el número esperado de fronteras del tipo BB, NN
y BN. Para ello, se utilizan las siguientes fórmulas:
pqkNBJ
kqNNJ
kpBBJ
2)(
)(
)(
2
2
:)( y )( ),( NBJNNJBBJ Número de fronteras esperadas para cada tipo de unión.
k : Número total de fronteras.
En donde
p y q : Probabilidad de que una cuadrícula sea blanca o negra.
La suma de las fronteras que se esperan de los dos tipos (NN), (BB) y (NB) ha de
ser igual al número total de fronteras, k. De tal modo que:
kNBJNNJBBJ )()()(
Autocorrelación espacial
Movimiento tipo torre
De donde:
Autocorrelación espacial
Movimiento tipo torre
12245.05.022)(
6245.0)(
6245.0)(
22
22
pqkNBJ
kqNNJ
kpBBJ
24 12 6 6
)()()(
kNBJNNJBBJ
Paso 4. Se calcula la
desviación típica de las
fronteras esperadas. En las
fórmulas de la desviación
típica el término m se
define como:
n
j
jjm1
)1(5.0
TABLA 1Cálculo del análisis de fronteras.
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Cuadrículas No. de fronteras
)( j 1j )1( jj
1 2 1 2
2 3 2 6
3 3 2 6
4 2 1 2
5 3 2 6
6 4 3 12
7 4 3 12
8 3 2 6
9 3 2 6
10 4 3 12
11 4 3 12
12 3 2 6
13 2 1 2
14 3 2 6
15 3 2 6
16 2 1 2
Fronteras 48 104
n
j
jjm1
52)104(5.0)1(5.0
Autocorrelación espacial
Movimiento tipo torre
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Torre1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
No de
fronteras
1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
2 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3
3 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3
4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2
5 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3
6 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 4
7 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 4
8 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3
9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3
10 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 4
11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 4
12 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 3
13 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2
14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 3
15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 3
16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2
Matriz de pesos
espaciales,
contigüidad o
conectividad,
consiste en
asignar un uno al
elemento (i, j) de
la matriz W
cuando la región i
es vecina de la j y
cero en otro caso.
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Torre
Matriz de pesos espaciales
La matriz de pesos espaciales, conectividad o contigüidad es
“una de las formas más comunes de representar la ubicación
geográfica de un conjunto de polígonos”. Por convención, se le
denomina W y es una matriz cuadrada. El número de filas o
columnas está determinado por el de los polígonos
independientes del mapa. La definición de W se basa en el
concepto de contigüidad física de primer orden. A cada matriz
que se construye así se le conoce como matriz de contigüidad
binaria, donde wij es 1 si las regiones i y j son físicamente
adyacentes o 0 en caso contrario.
Desviación típica:
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Torre
45.2)52224()5.0()5.0(4)5224)(5.0)(5.0(2)2(4)(2)(
32.3)52224()5.0()5.0)(52(26)2(2)()(
32.3)52224()5.0()5.0)(52(26)2(2)()(
2222
4343
4343
mkqpmkpqBN
mkqmqNNJNN
mkpmpBBJBB
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Torre
Paso 5. Una vez que se ha obtenido para los tres tipos de fronteras su valor
esperado, así como la desviación típica de estas mismas fronteras esperadas, se
calcula el número Z. De este modo, se normalizan las tres distribuciones (BB),
(NN) y (NB) y los resultados pueden compararse entre sí.
)(
)()()(
)(
)()()(
)(
)()()(
NB
NBJNBONBZ
NN
NNJNNONNZ
BB
BBJBBOBBZ
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Torre
:)( )( ),( NBZyNNZBBZ
:)( )( ),( NBOyNNOBBO
:)( )( ),( NBJyNNJBBJ
:)( )( ),( NByNNBB
En donde:
Número Z de las tres distribuciones.
Fronteras observadas BB, NN y NB.
Fronteras esperadas BB, NN y NB.
Desviación típica de las fronteras
esperadas BB, NN y NB.
Autocorrelación espacial
Movimiento tipo torre
Para los tres tipos de uniones los números Z
calculados son los siguientes:
26.345.2
124
)(
)()()(
2.132.3
610
)(
)()()(
2.132.3
610
)(
)()()(
NB
NBJNBONBZ
NN
NNJNNONNZ
BB
BBJBBOBBZ
Autocorrelación espacial
Movimiento tipo torre
Estos resultados apuntan a una considerable autocorrelación espacial
negativa entre los cuadros blancos y negros (3.26). Igualmente se aprecia
una autocorrelación espacial positiva entre los cuadros de tipo blanco
(+1.2), así como entre los cuadros de tipo negro y negro (+1.2).
Rechazar H0 si 2/02/ ZZZ
.05.02/1.02/ ZZZ
De tablas de la normal , por simetría 64.105.0 Z
Valor crítico
Z = 1.64
Valor crítico
Z = –1.64
Región de aceptaciónAcepte H0 si el valor de la muestra
se encuentra en esta región.
Z0
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Torre
Este límite ha sido traspasado en una de
las tres situaciones, la que corresponde a
las uniones entre las cuadrículas blancas y
negras. En consecuencia, si se considera
un porcentaje de error del test del 10 %,
puede afirmarse la existencia de una
autocorrelación espacial negativa entre las
cuadrículas de tipo B y N.
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Dama
Considere la siguiente configuración:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Obtenga los valores de Z(BB),
Z(NN) y Z(NB).
El procedimiento para medir la
autocorrelación espacial se
fundamenta en el conteo de uniones
o fronteras entre las cuadrículas. Se
siguen estos pasos:
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Dama
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Paso 1. Se calcula la probabilidad de que existan cuadrículas blancas (p) o
negras (q) en la configuración anterior.
p = Número de cuadrículas blancas/total de cuadrículas.
q = Número de cuadrículas negras/total de cuadrículas.
La suma de probabilidades ha de ser 1.
En el ejemplo:
Paso 2. Se cuentan las uniones observadas O(BB) (blanco-blanco), O(NN)
(negro-negro) y O(NB) (negro-blanco).
En este caso:
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Dama
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
O(NN)= 16 O(BB)= 16 O(NB)= 10
Doble frontera
Total de fronteras k O(BB) + O(NN) + O(BN) = 16 + 16 + 10 = 42
Paso 3. Se procede a calcular el número esperado de fronteras del tipo BB, NN
y BN. Para ello, se utilizan las siguientes fórmulas:
pqkNBJ
kqNNJ
kpBBJ
2)(
)(
)(
2
2
:)( y )( ),( NBJNNJBBJ Número de fronteras esperadas para cada tipo de unión.
k : Número total de fronteras.
En donde
p y q : Probabilidad de que una cuadrícula sea blanca o negra.
La suma de las fronteras que se esperan de los dos tipos (NN), (BB) y (NB) ha de
ser igual al número total de fronteras, k. De tal modo que:
kNBJNNJBBJ )()()(
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Dama
De donde:
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Dama
21)42)(5.0)(5.0(22)(
5.10)42()5.0()(
5.10)42()5.0()(
22
22
pqkNBJ
kqNNJ
kpBBJ
42 21 10.5 10.5
)()()(
kNBJNNJBBJ
Paso 4. Se calcula la
desviación típica de las
fronteras esperadas. En las
fórmulas de la desviación
típica el término m se
define como:
n
j
jjm1
)1(5.0
TABLA 1Cálculo del análisis de fronteras.
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Dama
Cuadrículas No. de fronteras
)( j 1j )1( jj
1 3 2 6
2 5 4 20
3 5 4 20
4 3 2 6
5 5 4 20
6 8 7 56
7 8 7 56
8 5 4 20
9 5 4 20
10 8 7 56
11 8 7 56
12 5 4 20
13 3 2 6
14 5 4 20
15 5 4 20
16 3 2 6
Fronteras 84 68 408
n
j
jjm1
204)408(5.0)1(5.0
)( j 1j )1( jj
n
j
jjm1
204)408(5.0)1(5.0
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Dama1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
No de
fronteras
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3
2 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
3 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5
4 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3
5 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 5
6 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 8
7 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 8
8 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 5
9 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 5
10 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 8
11 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 8
12 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 5
13 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 0 0 3
14 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 5
15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 5
16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 3
Matriz de pesos
espaciales,
contigüidad o
conectividad,
consiste en
asignar un uno al
elemento (i, j) de
la matriz W
cuando la región i
es vecina de la j y
cero en otro caso
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Dama
Matriz de pesos espaciales
La matriz de pesos espaciales, conectividad o contigüidad es
“una de las formas más comunes de representar la ubicación
geográfica de un conjunto de polígonos”. Por convención, se le
denomina W y es una matriz cuadrada. El número de filas o
columnas está determinado por el de los polígonos
independientes del mapa. La definición de W se basa en el
concepto de contigüidad física de primer orden. A cada matriz
que se construye así se le conoce como matriz de contigüidad
binaria, donde wij es 1 si las regiones i y j son físicamente
adyacentes o 0 en caso contrario.
Desviación típica:
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Dama
24.3)204242()5.0()5.0(4)20442)(5.0)(5.0(2)2(4)(2)(
78.5)204242()5.0()5.0)(204(25.10)2(2)()(
78.5)204242()5.0()5.0)(204(25.10)2(2)()(
2222
4343
4343
mkqpmkpqBN
mkqmqNNJNN
mkpmpBBJBB
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Dama
Paso 5. Una vez que se ha obtenido para los tres tipos de fronteras su valor
esperado, así como la desviación típica de estas mismas fronteras esperadas, se
calcula el número Z. De este modo, se normalizan las tres distribuciones (BB),
(NN) y (NB) y los resultados pueden compararse entre sí.
39.324.3
2110
)(
)()()(
95.078.5
5.1016
)(
)()()(
95.078.5
5.1016
)(
)()()(
NB
NBJNBONBZ
NN
NNJNNONNZ
BB
BBJBBOBBZ
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Dama
:)( )( ),( NBZyNNZBBZ
:)( )( ),( NBOyNNOBBO
:)( )( ),( NBJyNNJBBJ
:)( )( ),( NByNNBB
En donde:
Número Z de las tres distribuciones.
Fronteras observadas BB, NN y NB.
Fronteras esperadas BB, NN y NB.
Desviación típica de las fronteras
esperadas BB, NN y NB.
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Dama
Estos resultados apuntan a una considerable autocorrelación espacial
negativa entre los cuadros blancos y negros (3.39). Igualmente se aprecia
una autocorrelación espacial positiva entre los cuadros de tipo blanco
(+0.95), así como entre los cuadros de tipo negro y negro (+0.95).
Rechazar H0 si 2/02/ ZZZ
.05.02/1.02/ ZZZ
De tablas de la normal , por simetría 64.105.0 Z
Valor crítico
Z = 1.64
Valor crítico
Z = –1.64
Región de aceptaciónAcepte H0 si el valor de la muestra
se encuentra en esta región.
Z0
Autocorrelación espacial
Movimiento Tipo Dama
Este límite ha sido traspasado en una de
las tres situaciones, la que corresponde a
las uniones entre las cuadrículas blancas y
negras. En consecuencia, si se considera
un porcentaje de error del test del 10 %,
puede afirmarse la existencia de una
autocorrelación espacial negativa entre las
cuadrículas de tipo B y N.
Teléfono OficinaFacultad de Ingenieria, UNAM
5622-3281 Ext. 117
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José Antonio Rivera Colmenero