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Prof. Dr. Juan Alejandro Flores Campos.
Examen No. 15
Instituto Politécnico NacionalUPIITA
1ER EXAMEN DEPARTAMENTALANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS
Nombres: García Velasco Joel EQUIPO #: ___8____ Loera Santillán Abraham Grupo: _2MM1_ Miguel Nuñez José Francisco Fecha de Entrega: 8/03/11
Instrucciones. Modele y simule utilizando el método gráfico, álgebra compleja, método analítico y método matricial apoyándose en el software Mathematica® 8.0, lo siguiente:
a) Grados de libertad.b) Análisis de posición: θ1 = 0 a 360.c) Análisis de velocidad: n = 10 rad/s.
Se entregará impreso el desarrollo de la solución, incluyendo: Redacción del problema incluyendo el dibujo del mecanismo
(dimensiones, etc. ). El impreso deberá contener el desarrollo detallado (Tipo tutorial) de
la solución como: fórmulas, gráficas, validación de resultados numéricos, programas, etc. (Memoria Técnica)
Se entregará en un CD el desarrollo de la solución además del código en Mathematica® 8.0. (archivo: *.docx y el archivo *.nb).
Guardar todas las imágenes *.ai de illustrator en una carpeta: figura1.ai, figura2.ai,…,
INDICE PÁGPlanteamiento del problema 3
I. Grados de libertad 4II. METODO GRAFICO (posición) 5III. METODO GRAFICO(velocidad) 7IV. METODO MATRICIAL (posición) 9V. METODO MATRICIAL (velocidad) 10VI. METODO ANALITICO (posición) 11VII. METODO ALGEBRA COMPLEJA (posición) 15VIII. METODO ALGEBRA COMPLEJA (velocidad) 25IX. METODO ANALITICO (velocidad) 21X. COMPARACIÓN DE RESULTADOSXI.
29
XII. SIMULACION 30
1
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
A continuación, se presenta el desarrollo y la memoria técnica del análisis de posición y de velocidad del mecanismo mostrado en la figura 1, se presenta a detalle el desarrollo del análisis de posición, velocidad y aceleración utilizando los métodos: gráfico, analítico, matricial y de álgebra compleja para la parte cinemática (posición y velocidad). Se comparan y se interpretan los resultados obtenidos de los cuatro métodos entre sí, con el fin de validar los resultados. Nos apoyamos en el software de cálculo simbólico formal de Mathematica® 8 y de Matlab® 2010a y Working Model® 2D 2004.
Para la parte dinámica se obtendrán los coeficientes de velocidad, y sus respectivas derivadas, de cada eslabón del mecanismo y la energía cinética del sistema para obtener el modelo dinámico del mecanismo. Finalmente, se implementaran técnicas de control PID para controlar la posición de la manivela en presencia de fuerzas externas actuando en el mecanismo.
Datos:
=60Ф La= 0.050 m n= 10 rad/s CB= 0.4 m BD=1.5 m 2
Figura 1. Mecanismo de dos lazos colisa invertida y biela manivela
I. GRADOS DE LIBERTAD
La movilidad de un mecanismo se puede definir como el número de entradas independientes que tiene un sistema para conocer la posición de todos los puntos de todos sus eslabones, referidos a un sistema inercial (fijo) de coordenadas. En este caso X-Y.
El número de grados de libertad se puede determinar mediante el criterio de Kutzbach-Grübler:
m=(3n−1 )−2J 1−J2 (1.1)
donde:
J2: Es el número de pares cinemáticos superiores. En este caso particular,
J2=0
J1 :Denota el número de pares cinemáticos inferiores, marcados con números romanos (i,ii,..,vii)
3
Figura 2. Mecanismo de 1GDL
J1=7
n: Es el número de eslabones que tiene el mecanismo.
n=6
Sustituyendo en la ecuación (1.1)
m=3 (6−1 )−2 (7 )−0=1GDL
Estos significa que basta una sola entrada a la manivela (eslabón 2) para conocer la posición de cualquier punto de cualquier eslabón del mecanismo con respecto al sistema de coordenas XY.
Recordando que es necesario haber obtenido el modelo cinemático del mecanismo que relaciona las coordenadas de posición de los eslabones con la variable de entrada, en
este caso Φ1
II. ANÁLISIS DE POSICIÓN
Introducción.- El método gráfico se basa en la medición directa de las longitudes y de los ángulos de los eslabones del mecanismo. Es decir, Se puede utilizar una regla y un transportador para trazar la configuración cinemática del mecanismo, y así de obtener los valores de incógnitas que permitan ensamblarlo.
En este método se hace uso de la ecuación vectorial de posición:
RB=RA+RB /A
Sin embargo, los signos de las coordenadas deben definirse visualmente.
II.1 MÉTODO GRÁFICO
4
Se pueden determinar algunas incógnitas basándonos en la configuración geométrica del mecanismo en el instante presentado.
Este método tiene un cierto margen de error, debido a sus argumentos geométricos, por lo cual en nuestro caso se realizó con la ayuda de Solid Works®.
Introducción.- El método gráfico se basa en la medición directa de magnitudes y ángulos del mecanismo dada la posición en el instante, con ayuda de herramientas geométricas.
RB=RA+RB /A es una ecuación de lazo, los signos de las coordenadas se definen visualmente.
En el análisis gráfico se mide manualmente las longitudes de vectores posición RAD y R AB de puntos desde el origen del sistema de coordenadas. De la misma manera se miden los ángulos Ф2 ,Ф3 Midiendo de la figura 3, se obtiene:
Ф2=92.77 °
Ф3=−13.53 °
RAD=1.688m
RAB=0.461m
Es importante señalar, que este método tiene un error considerable en los resultados obtenidos, debido a que la obtención de la información fue de manera visual y depende de la habilidad que se tenga con la regla. Como herramienta alternativa se puede utilizar algún software de CAD, o GeoGebra® para trazarlo y obtener valores más exactos.
5
Figura 3. Método Gráfico
Ecuaciones Posición (calculándolos por leyes de triangulos)
Ecuación de lazo 1: RAB=R AC+RBC
Por ley de Senos
RCB
sen φ=
RAC
senθ
θ=32.769°
Y por ángulos suplementarios
Ф2=θ+Ф
Ф2=92.7699°
Ф3=−13.475°
Por ley de Cosenos
RAB=√RCB2+RAC
2−2 RCBRAC cos(180−Φ2)
RAB=0.461m
Dado que
6
RBD=1.5m
RD=R AB+RBD
En magnitud
RD=1.689m
7
Figura 4. Lazo I
METODO ANALITICO (POSICION)
Introducción.- Para este método es importante recordar el concepto de vector, debido a que representaremos a los eslabones físicos a través de vectores de posición. Usaremos la representación de Euler 1843, en los sistemas de coordenadas polares y coordenadas cartesianas:
R=r eiθ=(cosθ+isenθ),
Donde: r denota la magnitud y e i θ su dirección. Nota: En la figura el eje: y=iy.
Para facilitar la obtención de las longitudes y ángulos incógnita del mecanismo utilizando el método analítico, se utiliza el desacoplo cinemático, que consiste en separar en dos lazos el mecanismo a analizar, para plantear las ecuaciones vectoriales de lazo, respectivamente.
Primero se analizará el lazo I, el cual se muestra en la Figura 4.
RAB=R AC+RCB (2.1)
RAC=R AB−RCB (2.2)
Dónde, en términos de números complejos:
RAB=r AB eiФ
RCB=rCB eiФ2
RAC= {0.25,0 }m (Dato)
En este caso el único ángulo conocido es Ф=60 °, por lo que es necesario encontrar el valor del ángulo Ф2, y la longitudRAB que no es constante ya que siempre varía. Desarrollando la ecuación 2.1 se tiene
RAC=R AB−RCB
RAC=r ABeiФ−rCB e
iФ2 (2.3)
Utilizando la representación de Euler, se obtienen los siguientes términos:
e iФ=cosФ+i senФ (2.4 )
e iФ2=cosФ2+i senФ2 (2.5)
Sustituyendo las ecuaciones (2.4) y (2.5) en (2.3), se obtiene la ecuación de lazo, en coordenadas cartesianas, esto es; para el lazo I.
8
r AC=r ABcos (Ф )+ir AB sen (Ф )−rCBcos (Ф2 )−i rCB sen (Ф2 )
Separando en componentes reales e imaginarias:
0.25=r AB cos (Ф )−rCBcos (Ф2)
0=r AB sen (Ф )−rCB sen (Ф2)
Se formó un sistema de ecuaciones no lineales en términos de sus incógnitas: Ф2 y r AB para encontrar la solución se hace uso del programa Wolfram Mathematica®1 8.0, y se plantean los valores iniciales: {Ф2,0}, {r AB ,1}; para iniciar el algoritmo de Newton-Raphson, de ser necesario se puede consultar tutorial de Mathematica® 8.0.
(*Datos*)rab=.140;rbc=.650;rce=.250;rcd=.400;ref=.350;1=150 Degree;
(*Sistema de ecuaciones*)f1=rab Cos[1]+rbc Cos[2 Degree]-rcd Cos[3 Degree]-.3700;
La solución obtenida, es:
Ф2 = 92.7699º r AB = 0.0461341m
1 ® Marca Registrada versión Trial.
9
METODO ANALITICO DE POSICION (*datos *)rac= {0.25,0 } ;rcb=0.4 ;ϕ=60;(* laecuaciondelazo1esRac=Rab−Rcb*)f 1=rac [ [1 ] ]=¿ rabCos [ϕDegree ]−rcbCos [ϕ2 Degree ] ;f 2=rac [ [2 ] ]=¿rabSin [ϕDegree ]−rcbSin [ϕ2Degree ] ;Resp=Solve [ { f 1 , f 2 } , {rab ,ϕ2 } ];esp={rab ,ϕ 2}/( .Resp [[2]]);rab=resp [ [ 1 ] ];ϕ 2=resp [ [ 2 ] ];rbd=1.5;rd={rdx ,0.05 };f 3=rd [ [ 1 ] ]=¿ rabCos [ϕ Degree ]+rbdCos [ϕ3 Degree ] ;f 4=rd [ [ 2 ] ]=¿ rabSin [ϕDegree ]+rbdSin [ϕ 3Degree ] ;Resp2=Solve [ {f 3 , f 4 } , {rdx ,ϕ3 } ]resp2={rdx ,ϕ 3 }/(.Resp2 [[2 ]]);rdx=resp2¿
Nota 1: El código mostrado abajo, se encuentra en el archivo llamado “Método Analítico.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8
Figura 5. Código en Mathematica® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones no lineal, utilizando el comando Solve.(PARA LAZO 1 Y LAZO 2 SIMULTANEAMENTE)
Figura 6. Lazo II
Figura 6. Lazo 2 para el método analítico
Ahora que se conocen los ángulos del lazo I y la longitud r AB en ese instante de tiempo, de igual forma se realiza el análisis del lazo II. De lo anterior, se obtienen las siguientes ecuaciones de lazo: Lazo II.
RD=R AB+RBD (2.7)
RD= {RD x ,0.050 } (2.8)
Igualando las ecuaciones (2.7) y (2.8)
RAB+RBD= {RD x ,0.050 }(2.9)
Tomando en cuenta que cada vector puede ser representado en términos de Euler.
RAB=r AB eiФ=r AB (cosФ+i senФ )
RBD=r BD eiФ3=r BD (cosФ3+i senФ3 )
La ecuación (2.9) se puede reescribir de la siguiente forma:
{RD x ,0.50 }=r AB eiФ+rBD e
iФ3 (2.10)
Separando la ecuación (2.10) en componentes (coordenadas cartesianas) se obtienen dos ecuaciones:
RD x=rB cos (Ф )+rBD cos (Ф3) (2.10a)
0.05=rB sen (Ф )+rBD sen (Ф3 ) (2.10b)
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Al sustituir los datos conocidos (y calculados) y resolver el sistema de ecuaciones anterior, se encuentran los valores de la posición del último eslabón del sistema, que es la corredera D, y el ángulo Ф3, auxiliándose nuevamente con el software Wolfram Mathematica® 8.0.
El código se encuentra en la figura 5 junto con el lazo 1
La solución obtenida es:
Ф3 = -13.475º RD x = 0.168938 m
II.3 MÉTODO DE ÁLGEBRA COMPLEJA (POSICIÓN)
Introducción.- Este método es muy interesante debido a que utiliza una transformación lineal, ortogonal de determinante positivo. En otras palabras esta transformación representa una rotación. Es decir, cualquier vector que sea transformado sufre una rotación conservándose la norma del vector (magnitud). La notación de la transformación es la siguiente: ρ ( p ,∙ ) :V →V , donde el punto “∙” significa todo el espacio vectorial V , y la letra p=( p1 , p2)∈V es un parámetro de rotación que contiene la información de la cantidad de rotación y el eje de giro con el que va a rotar el vector. El significado físico de los componentes del parámetro p son los siguientes: p1=cosθ y p2=senθ.
La transformación está definida como: ρ ( p ,∙ )= 1|p|
: {p∗r } , p∈V ,est á fijo, y donde r es el
vector a rotar y tiene componentes r=(r1 , r2)∈V , por otro lado la norma |p|=1 se vuelve
unitaria para obtener los parámetros de Euler. La operación binaria ¿ :R2 x R2→R2, se define como:
(x1 , x2 )∗( y1 , y2 )=(x1 y1−x2 y2, x2 y1+x1 y2)
Siendo (x1 , x2 ) , ( y1 , y2 )∈V ,
Para utilizar este método se plantea la siguiente metodología, en base a la siguiente ecuación cinemática de posición de un mecanismo dado:
r p=l1∙ e '1⊕ l2∙ e ' ' 1
r p=l1 ∙ ρ( p , e1)⊕ l2 ∙ ρ (q ,e1)
1) Definir el problema:
11
Figura 7. Definición de bases locales y fija .
Cinemática Directa: Dados como datos l1 ,l2 , p y q se debe hallar r p, que satisface a la ecuación anterior, se obtendrá un sistema de ecuaciones lineal a resolver.Cinemática Inversa: Dados como datos l1 ,l2 , r p. Se debe hallar los parámetros p y q, se obtendrá un sistema no lineal simultáneo de ecuaciones a resolver.Síntesis: dados como datos: p y q y r p encontrar: l1 ,l2, se obtendrá un sistema de ecuaciones lineal.
2) Definir las bases para cada eslabón, encontrar la representación de cada base respecto a la base inercial y construir los vectores de posición.
3) Plantear la relación de la posición para resolver el problema: ecuación de lazo.
Una ventaja al utilizar este método es que el sistema de ecuaciones que se obtiene está en términos de parámetros y no de funciones trigonométricas que son sensibles a las perturbaciones numéricas. Otra ventaja consiste en que los valores iniciales que se utilizan en el método de Newton-Raphson para resolver el sistema de ecuaciones (comando: FindRoot[]), están dentro del rango: -1 a 1. Lo anterior, permite controlar el conjunto de soluciones a obtener, debido a que existen dos conjuntos de soluciones posibles.
1) Planteamiento del problema.
Se trabajará con la cinemática directa, es decir, dados como datos los ángulos y las longitudes de los eslabones encontrar el vector posición del punto F.
2) Definición de las bases.
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En este punto, se define la base global (inercial) alineado paralelamente al sistema de
coordenadas xy, luego se define una base local para cada eslabón del mecanismo. Es importante hacer coincidir paralelamente el vector e1
i ,i=1…n( primas ) de cada base con
cada eslabón del mecanismo. Número de bases locales: n=4.
Base Inercial:
e= {e1 , e2 }
e1={1,0 }
e2={0,1 }
Bases móviles:
p={p1 , p2 }
q={q1 , q2 }
s={s1 , s2}
e1' =e ( p ,e1 )=( p1 , p2)
e1' '=e (q , e1 )=(q1 , q2)
e1' ' '=e (s , e1 )=(s1 , s2 )
Datos:
r BC=0.4m, r BD=1.5m, r AC=0.025m, Ф=60 º
Entonces:b1={2.5,0 }
b2=rBC e1' '=r BCq1 ,r BCq2
b3=rBD e1' ' '=r BD s1, r BD s2
Se define la ecuación de lazo y se representa en un sistema de ecuaciones.
b 4=b1+b2
Sustituyendo cada uno de los términos se tiene la siguiente ecuación:
(r BA p1, r BA p2 )=(2.5,0 )+(rBD s1 , rBD s2) (2.12)
Separando en componentes la ecuación (2.11):
13
r BA p1=2.5+r BD s1
r BA p2=0+rBD s2
La ecuación auxiliar que falta es (2.12):
q12+q2
2=1
Donde p1 y p2 son conocidas, ya que φ=60 º:
p1=cos φ=0.5
p2=senφ=0.8660
Por lo tanto, las variables a determinar son: q1, q2 , r BA
Entonces el sistema de ecuaciones no lineal del tipo polinomial con 3 ecuaciones y 3 incógnitas, es el siguiente:
r BA p1=2.5+r BD s1
r BA p2=0+rBD s2
q12+q2
2=1
Los valores iniciales que se proponen para iniciar el algoritmo de solución de Newthon-Raphson son: {q1,-0.017}, {q2,0.99}, {rba,-0.17}, que en este caso se utilizan minúsculas para representarlos en el programa, (ver figura 9).
14
CINEMATICA DIRECTA(*El método para rotar*)Ro[P_,Q_]:={P[[1]]Q[[1]]-P[[2]]Q[[2]], P[[2]]Q[[1]]+P[[1]]Q[[2]]};e={1,0};Ф=60 ;p1=Cos[Ф Degree];p2=Sin[Ф Degree];p={p1,p2}; q={q1,q2}; s={s1,s2};e1=Ro[p,e]; e11=Ro[q,e]; e111=Ro[s,e];rbc=4; rbd=15; b1={2.5,0}; b2=rbc*e11; b3=rbd*e111; b4=rba*e1; b5={rcdx,0.5};(*la ecuacion de lazo 1 es b4 = b1 + b2 *)f1=b4[[1]]==b1[[1]]+b2[[1]];f2=b4[[2]]==b1[[2]]+b2[[2]];f3=q1^2+q2^2==1;R=Solve[{f1,f2,f3},{q1,q2,rba}]; R1={rba,q1,q2}/.R[[2]]; R[[2,1]](*rba*); R[[2,2]](*q1*);R[[2,3]](*q2*); rba=R1[[1]]; q1=R1[[2]]; q2=R1[[3]]; 2=ArcCos[q1];Ф2=ArcSin[q2];(*la ecuacion de lazo 2 es b5 = b2 + b3 *)f4=b5[[1]]==b2[[1]]+b3[[1]];f5=b5[[2]]==b2[[2]]+b3[[2]];f6=s1^2+s2^2==1;R2=Solve[{f4,f5,f6},{s1,s2,rcdx}];Rr={rcdx,s1,s2}/.R2[[2]];
Nota 2 : El código mostrado a continuacion, se encuentra en el archivo llamado “posición analítico.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8
Ahora de define la ecuación de lazo 2 y se representa en un sistema de ecuaciones.
b5=b2+b3
Sustituyendo cada uno de los términos se tiene la siguiente ecuación:
(rCD x ,0.5 )=(r BCq1 , rBCq2 )+(r BD s1 , rBD s2 ) (2.11)
Separando en componentes la ecuación (2.11):
rCD x=rBC q1+rBD s1
0.5=rBC q2+rBD s2
La ecuación auxiliar que falta es (2.12):
s12+s2
2=1
Donde q1 y q2 son conocidas, ya que Ф2=92.77 ° (fue lo que se encontró primero):
q1=cosФ2=−0.04832
q2=senФ2=0.9988
Por lo tanto, las variables a determinar son: s1, s2 , rCD x
Entonces el sistema de ecuaciones no lineal del tipo polinomial con 3 ecuaciones y 3 incógnitas, es el siguiente:
rCD x=rBC q1+rBD s1
0.5=rBC q2+rBD s2
s12+s2
2=1
Los valores iniciales que se proponen para iniciar el algoritmo de solución de Newthon-Raphson son: {s1,-0.017}, {s2,0.99}, {rcdx,-0.17}, que en este caso se utilizan minúsculas para representarlos en el programa, (ver figura 8).
MÉTODO MATRICIAL (POSICIÓN)
15
Figura 8. Código en Mathematica® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones polinomial 3X3 utilizando el método de Newton-Raphson implementado en el comando FindRoot[]. Para ambos
Se tiene la ecuación del lazo 1
RAB=R AC+RCB
RAC={0.25,0 }
en x :0.25+rbc cosФ2−r abcosФ=0
en y :0+r bc senФ2−rab senФ=0
[k3
k4]=[ωbd
ωab
vDx
ωad]=[− ˙rab cosΦ+r abωab senΦ
˙−rab senΦ−rabωab cosΦ ][−rbd senΦ3 −1rbd cosΦ3 0 ]
−1
Y para el lazo II del mecanismo se tiene
RD=RBD+RAB
en x :0+rab cosФ−rbd cosФ3=r dx
en y :0+r ab senФ2−r bd senФ3=0.05
Mathematica® 8.0 nos muestra los siguientes resultados al sistema de ecuaciones de 2X2 por medio del siguiente código.
rdx=1.689m
rab=4.61m
Ф3=−13.47 °
Ф2=92.7699°
Estos resultados coinciden con los obtenido mediante el método analítico.
16
rcb=4;=60;rbd=15;
f1= (rcb*Cos[2 Degree])-rab*Cos[ Degree] -2.5;f2= rcb*Sin[2 Degree] - rab *Sin[ Degree] 0;f3= rab*Cos[ Degree]+rbd*Cos[3 Degree] rd;f4=rab*Sin[ Degree]+rbd*Sin[3 Degree] 0.5;
Solve[{f1,f2,f3,f4},{2,rab,3,rd}]
Nota 3: El código mostrado abajo, se encuentra en el archivo llamado “Metodo Analítico.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8
Figura 9. Código en Mathematica® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones polinomial 4X4 utilizando el método de Newton-Raphson implementado en el comando FindRoot[]. Para ambos
Figura 10. Polígono de velocidad para el lazo 1
II.1 MÉTODO GRÁFICO (VELOCIDAD)
Ecuaciones de Velocidad
Se tiene que
ωAB=10rads
Y
V BA
=ωAB R BA
V BA
=4.61ms
Ecuación de Lazo I V B
C=¿V B
A+¿V B2/B 1¿
¿
V B2/B1=V B /C−V B /A
Ecuación de Lazo II
V D=V BA
+V B3B 1
17
Figura 12. Polígono de velocidades para el lazo 3
Ecuación de Lazo III V B¿C¿
=V D+V BD
¿
Nota: V BC
¿V B
Resultados Medidos en GeoGebra®
V B2B1=2.969ms
V B=5.4861ms
V B3B1=0.2726ms
V D=5.416ms
18
Figura 13. Polígono de velocidad y velocidades angulares del lazo I, para el método analítico
III.2 MÉTODO ANALÍTICO (VELOCIDAD)
LAZO I
Para obtener las velocidades angulares del mecanismo se utilizan las siguientes ecuaciones vectoriales de velocidad:
V B/C=V B/D+V D
19
V D=V B /C−V B /D (3.2)
Donde V B/C y V B/D, se leen como velocidad relativa del punto B con respecto al punto C y velocidad relativa del punto B con respecto al punto D, respectivamente.
Recordando que la velocidad relativa es el vector diferencia entre los vectores de velocidad de dos objetos o puntos, medidos desde un mismo sistema coordenado, como puede observarse del polígono de velocidad formado en el origen O1 mostrado en la figura 12.
Es importante señalar también que la velocidad V B/C, es en realidad la velocidad absoluta del punto C.
Del análisis de posición con el método analítico se tiene que:
RBC=rBC eiФ2
RBD=r BD eiФ 3
La velocidad es la derivada con respecto al tiempo de la posición de los puntos del mecanismo, por lo tanto:
V B/C=i rCBω2eiФ2
V B/D=irDCω3 eiФ3
Utilizando la representación de Euler se obtiene:
e iФ 2=c osФ2+i senФ2
e iФ3=cosФ3+i senФ3
En este caso la velocidad del punto D en el eje y es cero, ya que sólo se puede deslizar en el eje x.
V D=i ωBCr BCeiФ 2−iωBD r BD e
iφ3
V D=i ωBCr BCcos (Ф2 )−ωBCrBC sen (Ф2 )−iωBD rBD cos (Ф3 )+ωB D rBD sen (Ф3 ) (3.3)
Separando en componentes la ecuación (3.3), toma la forma siguiente
V D x=ωBCr BCcos (Ф2 )−ωBDr BD cos (Ф3 )
V D y=0=−ωBCr BC sen (Ф2)+ωBDrBD sen (Ф3 ) (3.5)
20
LAZO II
V B2B3=V B/C+V B / A (3.6)
La velocidad V B2/B3 es una diferencia de velocidades, y se lee: diferencia de velocidad del punto B de la barra BC, mirándola desde el punto B de la barra BA
Del análisis de posición con el método analítico se tiene que:
RAB=r AB eiФ
RBC=rCBeiФ 2
Al igual que en el lazo I, se deriva la posición con respecto al tiempo para obtener las ecuaciones velocidad.
V B/C=i rCBωCBeiФ 2
V B/ A=ir BAωBA eiФ
(3.9)
Sustituyendo las ecuaciones de velocidad en la ecuación (3.9):
−V B2B3 eiФ=i ωBCrBCe
iФ 2−iωBA rBA eiФ (3.10)
Utilizando la representación Euler
e iФ 2=cosФ2+i senФ2
e iФ=cosФ+i senФ
q2=senΦ2=0.9988
Sustituyendo en la ecuación (3.10)
−V B2B3(cos (Ф )+ i sen (Ф ))=i ωBC rBC cos (Ф2 )−ωBC rBC sen (Ф2 )
−i ωBA rBA cos (Ф )+ωBA r BA sen (Ф ) (3.12)
Separando en componentes reales e imaginarias, la ecuación (3.11) toma la forma siguiente:
−V B2B3 sen (Ф )=ωBCrBCcos (Ф2 )−ωBA rBA cos (Ф )
−V B2B3 cos (Ф )=−ωBCr BC sen (Ф2 )+ωBA r BA sen (Ф ) (3.12)
A continuación, se presenta el código desarrollado en Mathematica ® para resolver dicho sistema.
21
Nota 4: El código mostrado abajo, se encuentra en el archivo llamado “Metodo Analítico.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8
Figura 16. Bases de Rotación método algebra complejaIII.4 MÉTODO DE ALGEBRA COMPLEJA
DEFINICIÓN DE LAS BASES
Número de bases: 3
Base Inercial:
e= {e1 , e2 }
e1={1,0 }
22
=60; 2=92.77; 3=-13.4749;
rba=4.61; rcb=4; rbd=15; wba=10;(*planteando la ecuación de lazo 1 Vbcac=Vb-Vba*)f1=-Vbcba Cos[ Degree]-rcb wcb Sin[2 Degree]+rba wba Sin[ Degree];f2=-Vbcba Sin[ Degree]rcb wcb Cos[2 Degree]-rba wba Cos[ Degree];R=Solve[{f1,f2},{Vbcba,wcb}]; R1={Vbcba,wcb}/.R[[1]] Vbcba=R1[[1]]; wcb=R1[[2]];(*planteando la ecuación de lazo 2 Vd=Vbc-Vbd*)vd={vdx,0};f3=vd[[1]]-rcb wcb Sin[2 Degree]+rbd wbd Sin[3 Degree];f4=vd[[2]]rcb wcb Cos[2 Degree]-rbd wbd Cos[3 Degree];RR=Solve[{f3,f4},{vdx,wbd}];R2={vdx,wbd}/.RR[[1]]wbd=R2[[2]];
Figura 15. Código en Mathematica® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones polinomial 3X3 utilizando el método de Newton-Raphson implementado en el comando FindRoot[]. Para ambos
Figura 17. Polígono de velocidad lazo I
e2={0,1 }
Base móviles:
e1' =e ( p ,e1 )=( p1 , p2)
e1' '=e (q , e1 )=(q1 , q2)
e1' ' '=e (s , e1 )=(s1 , s2)
Datos:
r BC=0.4m, r BD=1.5m, r AC=0.025m, Ф=60 °
Entonces:
b1={2.5,0 }
b2=rBC e1' '=r BCq1 ,r BCq2
23
Figura 18. Polígonos de velocidad lazo 3b3=rBD e1
' ' '=r BD s1, r BD s2
b 4=rBA e1' =rBA p1 , rBA p2
Las velocidades angulares están representadas vectorialmente por los números duales:
ω1={0 ,ω1}
ω2={0 ,ω2}
ω3={0 ,ω3}
Para establecer el sistema de ecuaciones se define (ver Fig.14):
V B/C=V B/ A+V B2B3 (3.28)
−V B2B3 ∙ e1' =V B /C−V B/ A
V B/ A=Ro [ω1 , b 4 ]={0 ,ω1 }∗{r BA p1 , r BA p2 }
V B/C=Ro [ω2 , b2 ]= {0 ,ω2 }∗{rBC q1 , rBC q2}
(3.31)
Además:
ω1=10m /s
Sustituyendo las ec. (3.29), (3.30) y (3.31) en la ecuación (3.28):
−V B2B3 ∙ ( p1 , p2)={−ω2r BC q2 ,ω2 rBC q1 }−{−ω1 rBA p2 ,ω1 rBA p1 }
Separando en componentes:
24
−V B2B3 p1=−ω2 rBC q2+ω1 rBA p2
−V B2B3 p2=ω2 rBC q1−ω1 rBA p1
En la Figura 14, se muestran los vectores de velocidad y el polígono de velocidades formado en 02, del cual se obtiene:
La ecuación de velocidad para el lazo 2 es
V B/C=V B/D+V D (3.34)
Además:
V B/C={−ω2 rBC q2 ,ω2 rBC q1 }
V B/D={−ω3 rBD s2 ,ω3 rBD s1 }
V D={V D x ,0 } (3.38)
Sustituyendo las ec. (3.31), (3.37) y (3.38) en la ec. (3.36) se obtiene:
V D= {V D x ,0 }= {−ω2 rBC q2 ,ω2 rBC q1}−{−ω3r BD s2 ,ω3r BD s1 }
Separando en componentes la ecuación anterior:
−ω2r BCq2=−ω3 rBD s2+V D x
ω2r BCq1=ω3r BD s1+0(3.40)
Por lo tanto se tiene un sistema lineal de 4x4
−V B2B3 p1=−ω2 rBC q2+ω1 rBA p2
−V B2B3 p2=ω2 rBC q1−ω1 rBA p1
−ω2r BCq2=−ω3 rBD s2+V D x
ω2r BCq1=ω3r BD s1+0
Donde las incógnitas son: V B2B3, ω2, ω3, V D x
25
Nota 5: El código mostrado abajo, se encuentra en el archivo llamado “Metodo Algebra Compleja.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8
METODO MATRICIAL VELOCIDAD
Derivando las ecuaciones de la posición en ambos lazos con respecto al tiempo se tienen las siguientes ecuaciones.
Lazo I
26
(*estableciendolosnúmerosduales*)
w1=10 ;W 1={0 ,w1 } ;W 2={0 ,w2 } ;W 3={0 ,w3 };
e1=Ro [ p , e ] ;
vba=Ro [W 1 , b4 ] ; vbc=Ro [W 2 , b2 ] ; vbd=Ro [W 3 ,b3 ] ;Vbcab=−vbcab∗e1 ;
vd={vdx ,0 } ;
(*estableciendolaecuaciondelazo1 *)
ff 1=Vbcab [ [ 1 ] ]=¿vbc [ [1 ] ]−vba [ [ 1 ] ];
ff 2=Vbcab [ [ 2 ] ]=¿vbc [ [ 2 ] ]−vba [ [ 2 ] ] ;
V=Solve [ {ff 1 , ff 2 } , {w2 , vbcab } ]
Vv={w2 , vbcab}/(.V [ [1]]) ;
w2=Vv [ [ 1 ] ]
vbcab=Vv [ [ 2 ] ]
(*estableciendolaecuaciondelazo2 *)
ff 11=vbc [ [ 1 ] ]=¿ vbd [ [ 1 ] ]+vd [ [ 1 ] ];
ff 22=vbc [ [ 2 ] ]=¿vbd [ [ 2 ] ]+vd [ [2 ] ];
V 1=Solve [ {ff 11 , ff 22 } , {w3 , vdx } ]
Vvv={w2 , vbcab}/( .V 1[[1]]);
Figura 19. Código en Mathematica® 8.0 para resolver un sistemas de ecuaciones polinomiales utilizando el método de Newton-Raphson implementado en el comando FindRoot[]. En el método algebra compleja de velocidad para ambos lazos
e nx :−ωbc rbc senФ 2− ˙rab cosФ+ωab rab senФ=0
en y :ωbc rbccosФ2− ˙rab senФ−ωabr abcosФ=0
En forma matricial.
[−rbc senФ2 −cosФrbccosФ2 −senФ] [ωbc
˙rab ]=ωab [−rab senФrab cosФ ]
[k1
k2]=[ ωbc
ωab
˙rabωab
]=[−rab senФrab cosФ ][−rbc senФ2 −cosФ
rbccosФ2 −senФ]−1
Resultados que resultan utilizando el software de Mathematica® 8.0
˙rab=−2.96971ms
ωbc=13.7165rads
Lazo II
en x :−ωbd rbd senФ3−V Dx+ ˙r abcosФ=rabωab senФ
en y :ωbd rbd cosФ3 + ˙r ab senФ=−rabωab cosФ
En forma matricial
[ :−rbd senФ3 −1rbd cosФ3 0 ][ωbd
V Dx]=ωab [− ˙rab cosФ+rabωab senФ
− ˙rab senФ−r abωab cosФ] (2.3)
ωbd=0.18176rads
V Dx=−54.1665rads
El siguiente código desarrollado en Mathematica® 8.0 resuelve la matriz (2.3)
27
Y los resultados desplegados son los siguientes:
ωbd=0.18176rads
V Dx=−5.41665ms
28
rbc=4;=60;rab=4.61341;2=92.76985;wab=10;3 =-13.475042521701134;rbd=15;l=Inverse[{{-rbc*Sin[2 Degree],-Cos[ Degree]},{rbc*Cos[2 Degree],-Sin[ Degree]}}];a=l.{-rab*Sin[ Degree],rab*Cos[ Degree]};wbc=wab*a[[1]]Vab=wab*a[[2]]g=Inverse[{{-rbd*Sin[3 Degree],-1},{rbd*Cos[3 Degree],0}}];b={{-Vab*Cos[ Degree]+rab*Sin[ Degree]*wab,-Vab*Sin[ Degree]-rab*Cos[ Degree]*wab}};a=g.{-Vab*Cos[ Degree]+rab*Sin[ Degree]*wab,-Vab*Sin[ Degree]-rab*Cos[ Degree]*wab};a[[1]]a[[2]]
Nota 6: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado “Metodo Matricial.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8
Figura 20. Código en Mathematica® 8.0 para resolver el método algebra compleja
COMPARACIÓN DE RESULTADOS
POSICION
Tabla 1. Despliegue de resultados numéricos y comparación de los métodos aplicados.
Incógnita Método Gráfico
Método Analítico
Álgebra Compleja
θ2 79.02 ° 79.0191 ° 79.0191 °θ3 156.02 ° 156.719 ° 156.719 °θ4 226.41 ° 226.415 ° 226.415 °X −0.190m −0.191983m −0.191112m
VELOCIDAD
Tabla 2. Despliegue de resultados numéricos y comparación.
IncógnitaMétodo Gráfico
Método Analítico
Método Matricial
Algebra Compleja
ωbd0.181 rad/s
0.181636 rad/s 0.18176rads
0.18176rads
V Dx5.416
ms
−5.4125ms
−5.41665ms
−5.41665ms
ωcb13.7152
rad/s13.7064 rad/s 13.7165
rads
13.6175rads
V bc /ba2.957
ms
2.9675ms
2.96751ms
2.9697ms
En la tabla 2 se puede observar que, una vez más, el método gráfico es el que presenta un error mayor, sin embargo la importancia de este método no radica en su exactitud, sino en que ofrece un visión general del comportamiento del mecanismo, en este caso, la dirección y magnitud de las velocidades de cada eslabón, además de ser un método sencillo y fácil de realizar.(aumentar conclusiones)
29
Los métodos de análisis mas confiables resultan ser el matricial, el analítico y el de algebra compleja ya que al observar la tabla de resultados de posición y velocidad son mucho mas similares los resultados de estos métodos a comparación del método grafico, sin embargo cabe recalcar que el método grafico es muy importante, ya que nos da un panorama general para empezar a atacar el problema en la parte de posición y para la parte de velocidad es el método que nos deja visualizar los polígonos de velocidad y aceleración para así obtener las ecuaciones de lazo y descomponerlas por componentes para algunos métodos, es interesante también el método de algebra compleja ya que matemáticamente se resuelve mucho más sencillo a comparación de otros métodos y la metodología en la resolución también es interesante pues está basado en parámetros de euler, los cuales nos dan mayor precisión en los resultados.
V.4 SIMULACIONES DE VELOCIDAD DEL MECANISMO.
A continuación se presentan las simulaciones generadas por los métodos vistos. La manivela gira los 360 grados y se despliegan las posiciones y velocidades del mecanismo: Se despliegan también los vectores de velocidad y se representan en polígonos de velocidad para aludir el método gráfico. Archivo en C:\Users\User\Desktop\EXAMEN\codigos mathematica 8
30
FIGURA 21. simulación del mecanismo en mathematica® 8.0 por el método de álgebra compleja
FIN
1 er EXAMEN
31
Figura 22. Polígono de aceleraciones del lazo 1, montado sobre el punto B
IV. ANÁLISIS DE ACELERACIÓN
IV.1 MÉTODO GRÁFICO
La ecuación del polígono 1 de aceleración queda de la siguiente manera:
Ac+aA2 A4=aA 2+aA 4 (4.1)
Se conocen algunas magnitudes y direcciones de las aceleraciones Ac, a A2 A4, a A4. De donde se puede despejar la aceleración de la barra 2, que es la barra BC:
a A2=Ac+aA2 A4−a A4
Para encontrar la aceleración del punto G se utiliza la fórmula
32
aG=aGn+aG
t
aG=−ω12r AG+α1 rAG (4.2)
La velocidad angular del eslabón AG, ω1, es constante, por lo tanto:
aG=−ω12r AG
aG=(100 )(1)
Ahora se conoce magnitud y sentido de la aceleración del punto G.
Para el lazo 2, de la ecuación vectorial de velocidad V D=V B /C+V B/D (4.3)
Se deduce aDn+aD
t=aB /Cn+aB/C
t+aB /Dn+aB /D
t (4.4)
33
Figura 23. Polígono de aceleraciones del lazo 2, montado sobre el punto BEsta ecuación es la base para trazar el polígono de aceleración. Se conoce tanto dirección y sentido de las componentes normal de aB /C
n,aB /Dn pero solo se intuye el
sentido de sus componentes tangenciales. Para obtener el valor de las componentes normales de aceleración:
aB /Cn=ωBC
2 rBC
aB /Dn=ωBD
2r BD
IV.2 MÉTODO ANALÍTICO
Para el lazo l
Tomando en cuenta la siguiente ecuación vectorial de aceleración que tiene incluida a la aceleración de coriolis y la diferencia de aceleraciones se tiene:
−|Ac|i e iФ−|aA 2A 4|e iФ=aA 2+aA 4(4.5)
a A2=−ω22r BCe
iФ 2+i α 2rBCeiФ 2
(4.6)
a A4=−ω12 rAB e
iФ+i α1 r AB eiФ(4.7)
El signo negativo de la aceleración de coriolis y la diferencia de aceleraciones es por su
dirección en sentido opuesto al eje del sistema de coordenadas al que están alineadas.
Sustituyendo en la ecuación (4.1) las aceleraciones a A2 y a A4
|Ac|i eiФ+|aA4 A2|eiФ=−ω22 rBC e
iФ 2+iα 2r BC eiФ 2−ω1
2r AB eiФ+i α1 r AB e
iФ (4.8)
Utilizando la representación de Euler:
34
e iФ=cos (Ф )+ isen(Ф)
e iФ 2=cos (Ф2 )+isen(Ф2)
e iФ3=cos (Ф3 )+isen(Ф3)
Separando en componentes reales e imaginarias:
Ac sen (Ф )−aA4 A 2cos (Ф )=−ω22r BC cos (Ф2 )−α 2 rBC sen (Ф2 )−ω1
2 r ABcos (Ф )(4.9)
−Ac cos (Ф )−aA 4 A 2 sen (Ф )=−ω22 rBC sen (Ф2 )+α 2 rBC cos (Ф2 )−ω1
2rAB sen (Ф ) (4.10)
Para encontrar la aceleración del punto G
aG=−|aA2 A 4|e iФ+aG /B−|Ac|i eiФ (4.10.1)
aG /B=−ω12 rGB e
iФ+i α1 rBGФ (4.10.2)
rGB=l−|r AB| (4.10.3)
Sustituyendo la representación de Euler en la ecuación (4.10.1)
aG=−aA4 A 2 ( cos (Ф )+isen (Ф ) )−ω12 rGB ( cos (Ф )+isen (Ф ) )+Ac(−icos (Ф )+sen (Ф )) (4.10.4)
Separando en componentes reales e imaginarias:
aGx=¿ −a A4 A 2cos (Ф )−ω12rGB cos (Ф )+Ac sen (Ф ) (4.10.5)
aGy=¿ −a A4 A 2 sen (Ф )−ω12 rGB sen (Ф )−Ac cos (Ф ) (4.10.6)
Para el lazo 2
Partiendo de la siguiente ecuación de aceleración
aD=aB+aB /D
aDn+aD
t=aBn+aB
t+aB /Dn+aB /D
t(4.11)
aB=−ω22 rBC e
iФ 2+iα 2 rBC eiФ 2
(4.12)
aB /D=−ω32 rBD e
iФ3+i α3 rBD eiФ 3
(4.13)
Utilizando la representación de Euler:
e iФ 2=cos (Ф2 )+isen(Ф2)
35
e iФ3=cos (Ф3 )+isen(Ф3)
Sustituyendo en la ecuación (4.1):
{aD ,0 }=−ω22 rBC e
iФ 2+iα 2r BC eiФ 2−ω3
2r BD eiФ 3+iα 3 rBD e
iФ3 (4.14)
Separando la ecuación anterior en componentes reales e imaginarias
aD=−ω22 rBC cos (Ф )−α 2rBC sen (Ф )−ω3
2 rBD cos (Ф3 )−α 3r BD sen (Ф3 ) (4.15)
0=ω22 rBC sen (Ф2 )+α 2r BCcos (Ф2 )−ω3
2 rBD sen (Ф3 )+α 3rBD cos (Ф3 ) (4.16)
nota 7:El sistema se soluciona con el siguiente código desarrollado en Mathematica ® 8.0, el archivo Metodo Analitico.nb se encuentra en el siguiente directorio EQUIPO 8/ Metodo Analitico.nb
Método analítico de aceleración
Ac=2*wba*2.967527123340167;(*planteando la ecuación de lazo 1 Ac+aA4A2=aA4-aA2*)f11=-(wcb^2)*rcb* Cos[2 Degree]-cb*rcb*Sin[2 Degree]-(wba^2)*rab* Cos[ Degree]+Ac* Sin[ Degree]-aA4A2* Cos[ Degree];f22=-(wcb^2)*rcb* Sin[2 Degree]+cb*rcb*Cos[2 Degree]-(wba^2)*rab* Sin[ Degree]-Ac* Cos[ Degree]-aA4A2* Sin[ Degree];(*planteando la ecuación de lazo 2 *)f33=ad-(wcb^2)*rcb*Cos[2 Degree]-cb*rcb*Sin[2 Degree]-(wbd^2)*rbd*Cos[3 Degree]-bd*rbd*Sin[3 Degree];f44=-(wcb^2)*rcb*Sin[2 Degree]+cb*rcb*Cos[2 Degree]-(wbd^2)*rbd*Sin[3 Degree]+bd*rbd*Cos[3 Degree]0;(*resolviendo el sitema de ecuaciones*)R1=Solve[{f11,f22,f33,f44},{cb,aA4A2,bd,ad}]R11={cb,aA4A2,bd,ad}/.R1[[1]];cb=R11[[1]]aA4A2=R11[[2]]bd=R11[[3]]ad=R11[[4]]αcb→−55.350730083530244aA 4 A2→5.16180382145662αbd→50.78965908878346ad→43.4556001164915
36
Figura 24. Código en desarrollado en Mathematica ® para resolver el sistemas de ecuaciones obtenido al analizar el mecanismo mediante el método analítico.
Figura 25. Método matricial, a) Lazo I; b) Lazo II
IV.3 MÉTODO MATRICIAL CASO 1
37
Para este método se derivan las ecuaciones de velocidad antes obtenidas para el lazo I y lazo II
Ecuaciones de velocidad:
Lazo I
df 1dt
=−rBA sen (q ) q+ ˙rBA cos (q )+rBC sen (Ф2) Ф2=0 (4.17)
df 2dt
=rBA cos (q ) q+ ˙rBA sen (q )−rBC cos (Ф2) Ф2=0 (4.18)
Lazo II
df 3dt
=−rBC sen (Ф2 ) Ф2−r BD sen (Ф3 ) Ф3− x=0 (4.19)
df 4dt
=rBC cos (Ф2) Ф2+r BD cos (Ф3 )Ф3+0=0 (4.20)
Se derivan nuevamente respecto al tiempo para obtener las ecuaciones de aceleración:
Lazo I
d2 f 1dt 2 =− ˙rBA sen (q ) q−r BA cos (q ) q2−r BA sen (q ) q+ ¨r BA cos (q )− ˙r BA sen (q ) q+r BCcos (Ф2 ) φ2
2+r BC sen (Ф2 ) Ф2=0
(4.21)
d2 f 2dt 2 = ˙rBA cos (q ) q−rBA sen (q ) q2+rBA cos (q ) q+ ¨rBA sen (q )+ ˙r BA cos (q ) q+r BC sen (Ф2 ) Ф2
2−rBC cos (Ф2 ) Ф2=0
(4.22)
Lazo II
d2 f 3dt 2 =−rBC cos (Ф2 )Ф2
2−rBC sen (Ф2 ) Ф2−r BD cos (Ф3 ) Ф32−rBD sen (Ф3 ) Ф3− x=0 (4.23)
d2 f 4dt2 =−rBC sen (Ф2 )Ф2
2+rBC cos (Ф2 ) Ф2−rBD sen (Ф3 ) Ф32+r BDcos (φ3 ) Ф3+0=0 (4.24)
Reacomodando:
Lazo I
38
˙r BA sen (q ) q−rBA cos (q ) q2−rBA sen (q ) q+ ¨rBA cos (q )− ˙rBA sen (q ) q+rBC cos (Ф2 )Ф22+r BC sen (Ф2) Ф2=0
(4.25)
˙r BA cos (q ) q−r BA sen (q ) q2+r BA cos (q ) q+ ¨r BA sen (q )+ ˙rBA cos (q ) q+rBC sen (Ф2 ) Ф22−r BCcos (Ф2 )Ф2=0
(4.26)
Lazo II
−r BCcos (Ф2 ) Ф22−r BC sen (Ф2 ) Ф2−rBD cos (Ф3 )Ф3
2−rBD sen (Ф3 ) Ф3− x=0 (4.27)
−r BC sen (Ф2 ) Ф22+r BCcos (Ф2 )Ф2−rBD sen (Ф3 )Ф3
2+rBD cos (Ф3 )Ф3+0=0 (4.28)
Una vez obtenidas las ecuaciones de aceleración se representan en forma matricial:
⌊¨f 1¨f 2⌋=(2 ˙rBA q+rBA q ) [−sen (q )
cos (q ) ]+( ¨r BA−rBA q2) [cos (q )
sen (q )]+(rBC Ф22 )[cos (Ф2 )
sen (Ф2 )]+ (rBC φ2 ) [ sen (Ф2 )−cos (Ф2 )]=[00]
(4.29)
⌊¨f 3¨f 4⌋=(−rBC Ф2
2 )[cos (φ2 )sen (φ2 )]+ (rBC Ф2 )[−sen (Ф2 )
cos (φ2 ) ]+ (−r BDФ32) [cos (Ф3 )sen (Ф3 )]+( rBD Ф3 ) [−sen (Ф3)
cos (Ф3 ) ]+[− x0 ]=[00]
(4.30)
Teniendo como incógnitas a ¨r BA, Ф2, Ф3, x
Para calcular la aceleración del punto G
Primero definimos su posición:
rGX=rBCcos (Ф2 )+rGB cos (q ) (4.30.1)
rGY=rBC sen (Ф2 )+rGB sen (q ) (4.30.2)
Teniendo en cuenta que:rGB=(l−|rBA|)
Para calcular la aceleración del punto G se deriva su ecuación de posición con respecta al tiempo:
˙rGX=−r BC sen (Ф2) Ф2+ ˙rGBcos (q )−rGB sen (q ) q (4.30.3)
˙rGY=rBCcos (Ф2 ) Ф2+ ˙rGB sen (q )+rGB cos (q ) q (4.30.4)
Teniendo en cuenta que: ˙rGB= ˙rBA
Para encontrar la aceleración se deriva nuevamente con respecto al tiempo:
¨rGX=−r BCcos (Ф2 ) Ф22−rBC sen (Ф2) Ф2+ ¨rGBcos (q )− ˙rGB sen (q ) q− ˙rGB sen (q ) q−rGB cos (q ) q2−rGB sen (q ) q
(4.30.5)
39
¨rGY=−r BC sen (Ф2) Ф22+rBCcos (Ф2 ) Ф2+ ¨rGB sen (q )+ ˙rGB cos (q ) q+ ˙rGB cos (q ) q−rGB sen (q ) q2+rGB cos (q ) q
(4.30.6)
Teniendo en cuenta que: ¨rGB= ¨rBA
Reordenando en forma matricial:
⌊ ¨rGX¨rGY⌋=( ¨rGB−rGB q
2 )[cos (q )sen (q )]+(2 ˙rGB q−rGB q
2+rGB q )[cos (Ф2 )sen (Ф2 )] (4.30.7)
nota 8:A continuación se muestra el código desarrollado en Mathematica ® 8.0 para resolver las ecuaciones del método matricial, el archivo examenmatricial.nb se encuentra en el siguiente directorio EQUIPO 8/ examenmatricial.nb
V.4 MÉTODO MATRICIAL CASO 2
40
METODO MATRICIAL
Caso 1
r3=0.461;r3p=2.967527123340167;r2=0.4;q=60;qp=10;qpp=0;2=92.77;
2p=13.706366501502039;(*para resolverlo*)f11=((2*r3p*qp+r3*qpp)*(-Sin[q Degree]))+((r3pp-r3*(qp^2))*(Cos[q Degree]))+ ((r2*(2p^2))*(Cos[2 Degree]))+((r2*(2pp))*(Sin[2 Degree]))0;f22=((2*r3p*qp+r3*qpp)*(Cos[q Degree]))+((r3pp-r3*(qp^2))*(Sin[q Degree]))+ ((r2*(2p^2))*(Sin[2 Degree]))+((r2*(2pp))*(-Cos[2 Degree]))0;R1=Solve[{f11,f22},{r3pp,2pp}]{{r 3 pp→−81.4736782857433 , ϕ2 pp→297.3911572578827}}
Figura: 26. Código en Mathematica® 8.0 para resolver las ecuaciones del método matricial.(caso1)
Lazo 1:
Este caso utiliza el modelo matemático siguiente:
[ s ]=q [ks ]+q2 d [ks ]dt
Es decir:
[ s ]=q [kr BA
kФ2]+ q2[LrBA
LФ2]
Primero se obtiene el jacobiano de las ecuaciones de posición derivándolas con respecto a las variables a encontrar:
J=[ ∂ f 1∂r BA
∂ f 1∂Ф2
∂ f 2∂r BA
∂ f 2Ф2
]=[cos (q) rBC sen (Ф2)sen (q) −r BCcos (Ф2)]
[ ∂ f∂q ]=[ ∂ f 1∂q∂ f 2q
]=[−rBA sen(q)r BA cos (q) ]
Sustituyendo en la ecuación de velocidad: [ks ]=[ sq ]=[J ]−1[ ∂ f∂q ]
[ks ]=[krBAkФ2]=[ ˙r BA
qФ2
q]=[cos (q) rBC sen (Ф2)
sen (q) −rBCcos (Ф2)]−1
[−rBA sen (q)rBA cos (q) ] (4.31)
El detJ=−rBC cos (Ф2 ) cos (q )−rBC sen (Ф2 ) sen (q )=−rBC cos (Ф2−q )
Por lo tanto
[ks ]= −1rBC cos (Ф2−q ) [−r BCcos (Ф2) −rBC sen (Ф2)
−sen (q) cos (q) ][−rBA sen(q)r BA cos (q) ]
[ks ]= −1rBC cos (Ф2−q ) [−r BCr BA cos (Ф2) sen (q )+rBC rBA sen (Ф2 ) cos (q )
−rBA sen2 (q )−r BA cos2 (q ) ]
[ks ]= −1rBC cos (Ф2−q )
¿
41
[ks ]= −1rBC cos (Ф2−q ) [rBCrBA sen(Ф2−q)
−rBA ][ks ]=[krBAkФ2
]=[−rBA tan (Ф2−q)rBA
rBC cos (Ф2−q) ]Para el análisis de aceleración se derivan los coeficientes de velocidad
d krBA
dq=LrBA
=−d krBAdq
tan (Ф2−q )−rBA sec2 (Ф2−q )(
d (Ф2−q )dq
) (4.32)
LrBA=−krBA
tan (Ф2−q )−rBA sec2 (Ф2−q ) [ kφ2
−1 ]
LrBA=kr BA
2
r BA+r BC
2
rBAkФ2
2 [1−kФ2 ]
d kФ2
dq=LФ2
=rBC cos (Ф2−q )
d rBAdq
+rBA r BC sen (Ф2−q ) (d (Ф2−q )
dq)
(rBC cos (Ф2−q ))2 (4.33)
LФ2=rBC kr BA
cos (Ф2−q )+rBA r BC sen (Ф2−q ) [kФ2−1 ]
(r BCcos (Ф2−q ))2
LФ2=kr BA
kФ2
rBA+krBA
kФ2
rBA[1−kФ2 ]=
kr BAkФ2
r BA[2−kФ2 ]
Por lo tanto la ecuación de la aceleración queda
[ s ]=q [kr BA
kФ2]+ q2[ krBA
2
r BA
+rBC
2
r BA
kФ2
2 [1−kФ2 ]kr BA
kФ2
rBA[2−kФ2 ] ] (4.34)
Por último se resuelve el sistema
Para el lazo 2
Con el mismo modelo matemático:
42
[ s ]=Ф2[kФ3
k x]+Ф2
2[LФ3
Lx] (4.35)
Primero se saca el jacobiano de las ecuaciones de posición derivándolas con respecto a las variables a encontrar:
J=[ ∂ f 1∂Ф3
∂ f 1∂x
∂ f 2∂Ф3
∂ f 2x ]=[−rBD sin (Ф3 ) −1
rBD cos (Ф3) 0 ]
[ ∂ f 1∂q∂ f 2q
]=[−r BC sen(Ф2)rBC cos (Ф2) ]
[ks ]=[kФ3
k x]=[ Ф3
Ф2
xФ2
]=[−rBD sin (Ф3 ) −1
rBD cos (Ф3) 0 ]−1
[ r BC sen(Ф2)−rBC cos (Ф2)] (4.36)
El detJ=rBD cos (Ф3)
Por lo tanto
[ks ]= 1rBD cos (Ф3) [ 0 1
−rBD cos (Ф3) −r BD sin (Ф3 )] [ rBC sen (Ф2)−r BC cos (Ф2)]
[ks ]= 1rBD cos (Ф3) [ −r BCcos (Ф2 )
−rBC rBD sen (Ф2 ) cos (Ф3)+rBC rBD sen (Ф3 ) cos (Ф2 )][ks ]= 1
rBD cos (Ф3) [ −rBC cos (Ф2 )r BC rBD(−sen (Ф2) cos (Ф3)+sen (Ф3 ) cos (Ф2 ))]
[ks ]= 1rBD cos (Ф3) [ −r BCcos (Ф2 )
r BC rBD sen (Ф3−Ф2)]
[kФ3
k x]=[ −r BCcos (Ф2 )
rBD cos (Ф3)rBC sen (Ф3−Ф2)
cos (Ф3)]
43
Para el análisis de aceleración se derivan los coeficientes de velocidad:
d kФ3
dq=LФ3
=−rBCrBD [−cos (Ф3 ) sen (Ф2 )+cos (Ф2 ) sen (Ф3)
Ф3
Ф2
cos2 (Ф3 ) ] (4.37)
LФ3=r BC
rBD [ sen (Ф2)cos (Ф3 )
−cos (Ф2 ) sen (Ф3)
cos2 (Ф3 )kФ3]
LФ3=r BC
rBD [ sen (Ф2)cos (Ф3 )
−r BD
r BC
kФ3
2 tan (Ф3)]
d kx
dq=Lx=rBC [ cos (Ф3 ) cos (Ф3−Ф2) [ Ф3
Ф2
−1]+sen (Ф3−Ф2)sen (Ф3)Ф3
Ф2
cos2 (Ф3 ) ] (4.38)
Lx=rBC [ cos (Ф3−Ф2 )cos (Ф3 ) [ kФ3
−1 ]+sen(Ф3−Ф2)sen (Ф3)
cos2 (Ф3 )kФ3]
Lx=rBC [ cos (Ф3−Ф2 )cos (Ф3 ) [ kФ3
−1 ]+k x
rBCtan (Ф3)kФ3]
Por lo tanto la ecuación de la aceleración queda
[ s ]=Ф2[kФ3
k x]+Ф2
2[LФ3
Lx]
[ s ]=Ф2[kФ3
k x]+Ф2
2[ r BC
r BD [ sen (Ф2)cos (Ф3 )
−rBDrBC
kФ3
2 tan (Ф3)]cos (Ф3−Ф2 )
cos (Ф3 ) [kФ3−1 ]+
k x
rBCtan (Ф3)kФ3
] (4.39)
Por último se resuelve el sistema
44
nota 9: continuación se muestra el código desarrollado en Mathematica ® 8.0 para resolver las ecuaciones del método matricial, el archivo examenmatricial.nb se encuentra en el siguiente directorio EQUIPO 8/ examenmatricial.nb
IV.4 MÉTODO DE ALGEBRA COMPLEJA
45
METODO MATRICIALcaso 2r3=0.461;r2=0.4;r4=1.5;q=60;qp=10;2=92.77;2p=13.706366501502039;
3=-13.4749;(*los coeficientes de velocidad*)kr3=-r3*Tan[(2-q) Degree];kt3=(r3/r2)*(1/Cos[(2-q) Degree]);(*los coeficientes de aceleración*)lr3=((kr3^2)/r3)+((r2^2)/r3)*(kt3^2)*(1-kt3);lt3=((kr3*kt3)/r3)*(2-kt3);(*del lazo 2*)k3=-(r2/r4)*(Cos[2 Degree]/Cos[3 Degree]);kx=(r2*Sin[(3-2) Degree])/(Cos[3 Degree]);l3=(r2/r4)*(((Sin[2 Degree])/(Cos[3 Degree]))+((r4/r2)*(k3^2)*Tan[3 Degree]));lx=(r2)*((Cos[(3-2) Degree])*(1/Cos[3 Degree])*(k3-1)+((kx/r2)*(Tan[3 Degree])*k3));(*resolviendo el sistema simultaneamente*)f1=r3pp(qp^2)*(lr3);f2=2pp(qp^2)*(lt3);f3=3pp2pp*k3+(2p^2)*l3;f4=xpp2pp*kx+(2p^2)*lx;R=Solve[{f1,f2,f3,f4},{r3pp,2pp,3pp,xpp}]
FIGURA 27. Código en Mathemaica ® 8.0 para resolver las ecuaciones del método matricial caso 2.
Base inercial: 𝑒= {1,0} e2= {0,1} Bases móviles:
e1' =e ( p ,e1 )=( p1 , p2)
e1' '=e (q , e1 )=(q1 , q2)
e1' ' '=e (s , e1 )=(s1 , s2)
e2' =e (p ,e2 )
Datos: Ф=60 º
r AB=0.461m
r BC=0.4m
r BD=1.5m
r AC=0.025m
46
Figura 28. Definición de la bases de rotación inercial y locales móvilesEntonces:
b1={2.5,0 }
b2=rBC e1' '=r BCq1 ,r BCq2
b3=rBD e1' ' '=r BD s1, r BD s2
b 4=rBA e1' =rBA p1 , rBA p2
Para el método de álgebra compleja se forma la ecuación de lazo, en este caso se multiplica por un número dual que contiene la aceleración normal y la aceleración tangencial del mecanismo. Para el lazo 1:
−|Ac|e2' −|aA2 A 4|e1
' =aA 2+aA 4 (4.40)
Donde los números duales de aceleración son:
A4={−ω12 , α1 }
A2={−ω22 , α2 }
a A4=Ro [ A4 , b4 ] (4.41)
a A2=Ro[A2 , b2] (4.42)
|Ac|=2ω2V A2 A 4 (4.43)
Sustituyendo las ecuaciones (4.41), (4.42) y (4.43) en la ecuación (4.40)
−|2ω2V A 2A 4|e2' −|a A2 A4|e1
' =aA2+aA 4
47
−|2ω2V A 2A 4|e2' −|a A2 A4|e1
' =Ro[ A2 , b2]+Ro [A4 , b4 ]
Para calcular la aceleracion del punto G su ecuación queda de la siguiente forma:
aG=|Ac|e2' +|aA2 A4|e1
' +aG /B (4.40.1)
El numero dual de aceleración es:
AG /B={−ω12 , α 1 } (4.40.2)
aG /B=Ro [AG /B , bG ] (4.40.3)
aG={aGx ,aGy} (4.40.4)
Donde: rGB=l−|r BA| & bG=rGB e1' =rGB p1 , rGB p2
Ya que se tienen las ecuaciones del lazo I se calculan las del lazo II:
aD=aB+aB /D (4.44)
{aDx ,0}=Ro [ A2 , b2 ]+Ro [ A3, b3 ]
Los números duales de velocidad
A2={−ω22 , α2 }
A3={−ω32 , α3 }
aB=Ro [ A2 , b2 ] (4.45)
aB /D=Ro [ A3 , b3 ] (4.46)
48
Figura 29. Polígono de aceleración Lazo ICabe mencionar que la aceleración aD que pertenece al bloque que se desliza, solo tiene una componente en x, ya que solo puede moverse en este sentido
aD={aDx ,0 }
Se tiene un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: α 2 ,α 3 , aDx , aA2 A 4 .
nota 10: Este sistema se resuelve con Mathematica ®8.0, el archivo aceleracion_metodo_algebra_c.nb se encuentra en el siguiente directorio Mecanismo1/Aceleración/Codigo Mathematica
49
analisis de posicióncinematica directaRo[P_,Q_]:={P[[1]]Q[[1]]-P[[2]]Q[[2]], P[[2]]Q[[1]]+P[[1]]Q[[2]]};e={1,0};=60 ;p1=Cos[ Degree];p2=Sin[ Degree];p={p1,p2};q={q1,q2};s={s1,s2};e1=Ro[p,e];e11=Ro[q,e];e111=Ro[s,e];rbc=0.4;rbd=1.5;b1={0.25,0};b2=rbc*e11;b3=rbd*e111;b4=rba*e1;b5={rcdx,0.05};(*la ecuacion de lazo 1 es b4 = b1 + b2 *)f1=b4[[1]]b1[[1]]+b2[[1]];
50
analisis de posicióncinematica directaRo[P_,Q_]:={P[[1]]Q[[1]]-P[[2]]Q[[2]], P[[2]]Q[[1]]+P[[1]]Q[[2]]};e={1,0};=60 ;p1=Cos[ Degree];p2=Sin[ Degree];p={p1,p2};q={q1,q2};s={s1,s2};e1=Ro[p,e];e11=Ro[q,e];e111=Ro[s,e];rbc=0.4;rbd=1.5;b1={0.25,0};b2=rbc*e11;b3=rbd*e111;b4=rba*e1;b5={rcdx,0.05};(*la ecuacion de lazo 1 es b4 = b1 + b2 *)f1=b4[[1]]b1[[1]]+b2[[1]];
51
rcdx=R1[[4]]3=ArcCos[s1]3=ArcSin[s2](*g=Graphics[{AbsoluteThickness[5],Hue[0.7],Line[{b1,b4}],AbsoluteThickness[4],Hue[1],Line[{b4,b5}],AbsoluteThickness[4],Hue[1],Line[{{0,0},b4}]}];Show[g,AxesTrue,PlotRange{{20,-20},{20,-20}}]*)
{{rcdx→−1.8374593307049343 , rba→−0.21134060117684275 , s1→−0.9878593534110086 , s2→0.15535088631348082, q1→−0.8891757514710535 , q2→−0.45756582367555315}, {rcdx→−1.478036971389399 ,rba→0.4613406011768427 , s1→−0.9724715146518803 , s2→−0.23302178694422063 , q1→−0.04832424852894657 , q2→0.9988317010408273}, {rcdx→1.1261187295280914 ,rba→−0.21134060117684275 , s1→0.9878593534110086 , s 2→0.15535088631348082 , q1→−0.8891757514710535 , q2→−0.45756582367555315 },{rcdx→1.4393775725662417 ,rba→0.4613406011768427 , s1→0.9724715146518803 , s2→−0.23302178694422063 , q1→−0.04832424852894657 , q2→0.9988317010408273 }}
cinematica inversai=0;For[1=1,1360,1+=2, i++; Clear[Q1,Q2,S1,S2,rba1,rcdx1]; P1=Cos[1 Degree]; P2=Sin[1 Degree]; P={P1,P2}; Q={Q1,Q2}; S={S1,S2}; a1=Ro[P,e1]; a11=Ro[Q,e11]; a111=Ro[S,e111]; b22=rbc*a11; b33=rbd*a111; b44=rba1*a1; b55={rcdx1,0.5}; (*estableciendo la ecuacion de lazo 1 b44=b1+b2*) h1=b44[[1]]b1[[1]]+b22[[1]]; h2=b44[[2]]b1[[2]]+b22[[2]]; h3=Q1^2+Q2^21; (*estableciendo la ecuacion de lazo 2 b5=b2+b3*) h4=b55[[1]]b22[[1]]+b33[[1]]; h5=b55[[2]]b22[[2]]+b33[[2]]; h6=S1^2+S2^21; k=Solve[{h1,h2,h3,h4,h5,h6},{Q1,Q2,S1,S2,rba1,rcdx1}];
52
k1={rba1,rcdx1,S1,S2,Q1,Q2}/.k[[4]]; rba1=((k1[[1]])*(k1[[1]]))^(1/2); rcdx1=((k1[[2]])*(k1[[2]]))^(1/2); S1=k1[[3]]; S2=k1[[4]]; Q1=k1[[5]]; Q2=k1[[6]]; gk[i]=Graphics[{AbsoluteThickness[5],Hue[0.7],Line[{b1,b44}],AbsoluteThickness[4],Hue[1],Line[{b44,b55}],AbsoluteThickness[4],Hue[1],Line[{{0,0},b44}]}]; punto[i]=Graphics[{ {PointSize[0.002],RGBColor[1,0,0],Point[{b55,0.5}]}}]; ];x=Norm[b22]x1=Norm[b33]
Manipulate[Show[gk[t],Table[punto[u],{u,1,t}],AxesTrue,PlotRange{{-20,20},{-10,10}}],{t,1,i,1}]
analisis de velocidadw1=10;W1={0,w1};W2={0,w2};W3={0,w3};e1=Ro[p,e];vba=Ro[W1,b4];vbc=Ro[W2,b2];vbd=Ro[W3,b3];Vbcab=-vbcab*e1;vd={vdx,0};(*estableciendo la ecuacion de lazo 1*)ff1=Vbcab[[1]]==vbc[[1]]-vba[[1]];ff2=Vbcab[[2]]==vbc[[2]]-vba[[2]];(*estableciendo la ecuacion de lazo 2*)ff11=vbc[[1]]==vbd[[1]]+vd[[1]];ff22=vbc[[2]]==vbd[[2]]+vd[[2]];(*resolviendo el sistema simultaneamente*)V=Solve[{ff1,ff2,ff11,ff22},{w2,vbcab,w3,vdx}]Vv={w2,vbcab,w3,vdx}/.V[[1]];w2=Vv[[1]]vbcab=Vv[[2]]w3=Vv[[3]]vdx=Vv[[4]]
{{w2→13.71647073123583 , vbcab→2.9697030258789865 ,w3→−0.18176042672565496 , vdx→−5.416647107955768 }}
53
analisis de aceleracion
w1=10;1=0;e2={0,1};e22=Ro[p,e2];(*numeros duales de aceleracion*)A2={-(w2^2),2};A1={-(w1^2),1};A3={-(w3^2),3};a2=Ro[A2,b2];a1=Ro[A1,b4];a3=Ro[A3,b3];Ac=2*w1*vbcab;Aco=Ac*e22;adif=aA2A1*e1;ad=-Ad*e;Norm[b2];(*planteando la ecacion de aceleracion con coriolis*)fa1=-Aco[[1]]-adif[[1]]==a2[[1]]-a1[[1]];fa2=-Aco[[2]]-adif[[2]]==a2[[2]]-a1[[2]];(*para el lazo 2 *)fa3=ad[[1]]==a2[[1]]+a3[[1]];fa4=a2[[2]]+a3[[2]]==ad[[2]];(*resolviendo el sistema simultaneamente*)A=Solve[{fa1,fa2,fa3,fa4},{aA2A1,2,Ad,3}]A1={aA2A1,2,Ad,3}/.A[[1]];aA2A1=A1[[1]]2=A1[[2]]Ad=A1[[3]]3=A1[[4]]
{ {aA2 A1→5.133790746790849 ,α 2→−55.480116933123014 , Ad→−43.50669510429024 , α 3→50.78794455087821 }}
parael puntoG
l=1;rg=l-rba;bg=rg*e1;Vbcab=-vbcab*e1;Vgb=Ro[W1,bg];Vg={vgx,vgy};(*ecuaciones para la velocidad de G*)fg1=Vg[[1]]Vbcab[[1]]+Vgb[[1]];fg2=Vg[[2]]Vbcab[[2]]+Vgb[[2]];(*para la aceleracion de G*)ag={agx,agy};agb=Ro[A1,bg];fg3=-Aco[[1]]-adif[[1]]+agb[[1]]==ag[[1]];
Tabla 3. Despliegue de resultados numéricos de aceleración y comparaciones de los métodos utilizados Método Gráfico Método Analítico Algebra Compleja Método
Matricial(caso2)
αCB −55.5420 rad / s2 −55.3507 rad / s2 −55.48011rad / s2 −55.5287 rad / s2
αBD 50.7520 rad / s2 50.789659 rad / s2 50.7879445 rad / s2 50.71134 rad /s2
ad 43.5985 m/ s2 43.4556 m /s2 −43.50669m/ s2 43.4940 m/ s2
a A4 A 2 5.154m / s2 5.16180382m /s2 5.133790746m /s2 −5.063984m / s2
En la tabla 3 se observan los resultados obtenidos con cada método, al hacer el análisis para aceleración se puede notar como el método de álgebra compleja y matricial se vuelven más complicados, por lo cual se requiere más tiempo para su análisis, por otro lado, el método gráfico conserva una estructura fácil y rápida de entender pero con la desventaja de no ser un método de precisión y exactitud.
TRABAJO VIRTUAL
Para este análisis se utilizará el modelo matemático del trabajo virtual, el cual es:
δω=∑i
Fi δ ri+∑j
M jδA j
O también de la siguiente forma:
δω=F i δri+M j δA j
Donde:
δω: Se llama trabajo virtual.
δ ri: es el vector que apunta al punto de aplicación de la fuerza.
54
(*para la aceleracion de G*)ag={agx,agy};agb=Ro[A1,bg];fg3=-Aco[[1]]-adif[[1]]+agb[[1]]==ag[[1]];fg4=-Aco[[2]]-adif[[2]]+agb[[2]]==ag[[2]];(*resolviendo el sistema simultaneamente*)G=Solve[{fg1,fg2,fg3,fg4},{vgx,vgy,agx,agy}]
{{vgx→−6.14977874662057 , vgy→0.1214587320090681 , agx→76.13362302832769 , agy→−46.69059065346902 }}
Figura 30. Código en Mathematica ® 8.0 para resolver las ecuaciones del análisis de aceleración, tomando en cuenta velocidad y posición
Figura 31. Esquema del modelado del trabajo virtual.
i: es el número de eslabones.
F i: es una fuerza física.
δA j: Desplazamiento angular virtual
M j: es un momento aplicado al eje de giro, medida por δA j.
La posición de la fuerza aplicada a nuestro mecanismo es:
x=lcos(q) y=lsen(q)
Los desplazamientos se obtienen derivando las coordenadas de la posición del punto donde se aplica la fuerza:
δ x=−lsen(q)δq δ y=lcos(q)δq
Para el análisis con gravedad se utilizan los desplazamientos de los centros de gravedad de cada uno de los eslabones y de los bloques, por lo tanto también se deben de establecer las coordenadas de estos centros de masa:
yB 1=l2sen (q ) δ yB1=
l2
cos(q)δq
55
yB 2=r 2
2sen (Ф2 ) δ yB2=
r2
2cos (Ф2 )δФ2
yB 3=r3
2sen (Ф3 ) δ yB3=
r3
2sen (Ф3 )δФ3
yBl 1=r1 sen (q ) δ yBl1=r1 cos (q)δ q
Donde:
yB 1: indica la coordenada en y de la barra 1 es decir la barra AB
yB 2: indica la coordenada en y de la barra 2 es decir la barra BC
yB 3: indica la coordenada en y de la barra 3 es decir la barra BD
yBl 1: indica la coordenada en y del bloque 1
Es importante mencionar que como la fuerza solo tiene una componente en el eje y, basta con encontrar las coordenadas en y de los centros de gravedad y los puntos de aplicación de la fuerza.
Para el caso sin gravedad solo se requerirá conocer las coordenadas del punto de aplicación de la fuerza. Sustituyendo en la ecuación del trabajo virtual e igualando a 0 para mantener en equilibrio el sistema:
(0,0 )=(0 ,−F )∗(−lsen (q ) δ q ,lcos (q )δ q )+M δ q
Por lo tanto:
F= Mlcos (q )
Con un momento de 3 N.m
La fuerza F=−6 N
Ahora considerando la fuerza de gravedad igual a 9.81 m
s2 :
(0,0 )=(0 ,−F )∗(−lsen (q ) δ q ,lcos (q )δ q )+M δ q−mB1gl2
cos (q ) δq−mB2gr2
2cos (Ф2 )δФ2
−mB3gr3
2sen (Ф3 )δФ3
−mBl 1gr 1cos (q)δ q
Utilizando los coeficientes de velocidad:
δФ2
δq
=dФ2
dq
Por lo tanto:
56
δФ2=dФ2
dq
δ q=kФ2δq
De igual forma:
δФ3
δq
=dФ3
dq
Por lo tanto:
δФ3=dФ3
dq
δ q=kФ3δq
Sustituyendo estos coeficientes en la ecuación del trabajo virtual:
(0,0 )=(0 ,−F )∗(−lsen (q ) δ q ,lcos (q )δ q )+M δ q−mB1gl2
cos (q ) δq−mB2gr2
2cos (Ф2 )kФ2
δq−mB3 gr3
2sen (Ф3 )kФ3
δq−mBl 1gr1 cos(q)δq
Se despeja la fuerza que mantiene en equilibrio al sistema
F=M−mB1g
l2
cos (q )−mB2gr2
2cos (Ф2 )kФ2
−mB3gr3
2sen (Ф3 )kФ3
−mBl1gr1cos (q )
lcos (q )
Por último se sustituyen las masas, las longitudes de cada barra, el momento y los coeficientes de velocidad que se obtuvieron del método matricial.
F=2.899443440 N
57
REACCIONES
BIELA-MANIVELA
∑ F (1 )x=F12 x+F42 x=m1aCG 1x
∑ F (1 )y=F12 y+F42 y+G1+F=m1aCG1 y
∑M ( 1)=r12 x F12+rb x F42+rf x F=ICG 1 A
∑M ( 1)=r12 x F12 y−r12 yF12 x+rbx F42 y−rByF42 x+rfx F y−rfy F x=ICG 1 A
A=q Ka+q2La
SEGUIDOR
∑ F (2 )x=F13 x+F43 x=m2aCG2x
∑ F (2 )y=F13 y+F43 y+G2=m2aCG2 y
∑M ( 2)=r13 x F13+r 43 x F43+T 13=ICG 2 q
∑M ( 2)=r13 xF13 y−r13 yF13 x+r43 xF43 y−r 43 yF43 x+T13=ICG 2 q
BIELA
∑ F (3 )x=F46 x+F56 x=m3aCG3 x
∑ F (3 )y=F46 y+F56 y=m3aCG 3 y
∑M ( 3)=r 46 x F46+r56 x F56=ICG3 φ
∑M ( 3)=r 46 xF46 y−r 46 yF46 x+r56 xF56 y−r56 yF56 x=ICG3 φ
φ=q K φ+q2Lφ
COLLARIN
58
Fig 1. Diagrama de cuerpo libre de la biela manivela
Fig 2.Diagrama de cuerpo libre para el seguidor
Fig 3.Diagrama de cuerpo libre para la biela
∑ F ( 4)x=F34 x+F64 x+F24 x=m4 aCG 4x
∑ F ( 4)y=F34 y+F64 y+F24 y=m4 aCG 4 y
∑ F ( 4)x=−F43 x−F46 x−F42 x=m4aCG4 x
∑ F ( 4)y=−F43 y−F46 y−F42 y+G4=m4aCG 4 y
CORREDERA
∑ F (5 )x=F65 x+F15 x=m5aCG5x
∑ F (5 )x=−F56 x=m5aCG 5x
∑ F (5 )y=−F56 y+F15 y+G5=m5aCG5 y
∑ F (5 )y=F65 y+F15 y+G5=m5aCG5 y
U x=cos A
U y=sen A
F42U x+F42U y=0
59
Fig 4.Diagrama de cuerpo libre para el collarin
Fig 5. Diagrama de cuerpo libre para el deslizador
Figura 32. Esquema del modelo dinámico con resorte amortiguador.
MODELO DINÁMICO(RESORTE-AMORTIGUADOR)
Los datos del mecanismo son los siguientes:
m 1=2 Kg
m 2=1 Kg
m 3=2.5 Kg
m 4=1 Kg
m 5Kg
L=1m
R=0.4m
c=0.25m
D=1.5m
60
d=0.05m
C=3.5 Nm
F=−10 N
Análisis de Posición
A=tan−1 R sinqc+R cosq
B= c+R cosqcosA
φ=−sin−1 R sinq−dD
Coeficientes cinemáticos de Velocidad
Kb=R sin A−q
Ka=RB
cos A−q
Kφ=−RD
cosqcosφ
K x=−R sinq+R tanφ cosq
Coeficientes cinemáticos de Aceleración
Lb=K a2−R cos A−q
La=−2 KaKb
B+ RB
sin A−q
Lφ=R sinqDcos φ
+Kφ2 tanφ
Lx=−R cosq−R sinq tanφ+R cosq Kφ
cos φ2
Coeficientes de Velocidad de los centros de masa de cada eslabón
Eslabón 1
61
K x1=−L
2sin A K a
Lx1=−L
2cos A K a
2−L2
sin A La
K x2=−R
2sinq
Lx2=−R
2cosq
K x 4=−B Ka sin A+Kb cos A
Lx4=−BK a2cos A+sinA (−B La−K aK b )−Ka Kb sin A+Lb cos A
K x3=−R sinq−D2K φsinφ
Lx3=−R cos q−D2
(Kφ2cos φ+Lφ sinφ )
K x5=−R sinq−DK φsinφ
Lx5=−R cos q−D (Kφ2cos φ+Lφsin φ )
K y 1=L2
cos A K a
Ly 1=L2
(La cos A−Ka2 sin A )
K y 2=R2
cos q
Ly 2=−R
2sin q
K y 3=R cos q+ D2Kφ cosφ
Ly 3=−R sinq+D2
(−sinφ K φ2+Lφcos φ )
K y 4=B K acos A+Kb sin A
Ly 4=−B K a2sin A+cos A (B La+KaKb )+K bcos A K a+Lbsin A
K y 5=0
62
Ly 5=0
Por lo tanto la Inercia generalizada se puede expresar como:
IG=m 1 {K x 12+K y 1
2 }+m2 ⟨K x22+K y 2
2 ⟩+m3 (K x 32+K y 3
2 )+m 4 {K x 42+K y 4
2 }+m5 ⟨K x52+K y5
2 ⟩+ ICG1 Ka2+ ICG 2+ ICG 3K φ
2
Y se define
D IG=12
dIGdq
=m1 {K x1 Lx 1+K y 1Ly 1 }+m 2{K x 2Lx2+K y 2 Ly2 }+m3 {K x3 Lx 3+K y 3L y3 }+m4 {K x4 Lx 4+K y 4 Ly 4 }+m 5 {K x 5 Lx 5+K y 5Ly 5 }+ ICG1 Ka La+ ICG 3K φ Lφ
dVdq
=m1 {L2 gcos A K a}+m2 {g R2
cos q}+m3 {g D2
cos φ+K φR cosq}+m 4 gR cos q−k {xo−x−e}K x
Qnc=C+FL cos A Ka−b K x2 q
Sustituyendo las expresiones en la ecuación fundamental de la dinámica :
q= 1IG {Q−d IG q
2−dVdq }
COEFICIENTES DE VELOCIDAD DE LOS CENTROS DE GRAVEDAD
Para la colisa
x1=l2
cos ( A ) x1=−l2sen (A) A
k x1=−l2
sen (A ) ka Lx1=−l2
[ sen (A ) La+ka2 cos (A)]
y1=l2sen (A ) y1=
l2
cos (A ) A
k y1=l2
cos (A ) ka L y1=l2
[ cos (A ) La+−ka2 sen (A) ]
63
Para la barra actuada
x2=R2
cos (q ) x2=−R
2sen (q) q
k x2=−R
2sen (q )L x2=
−R2
cos (q)
y2=R2sen (q ) y2=
R2
cos(q) q
k y2=R2
cos (q )L y2=−R
2sen(q )
Para la biela
x3=R cos (q )+ D2
cos (φ ) x3=−R sen (q ) q−D2sen (φ) φ
k x3=−R sen (q )−D2sen (φ ) kφ Lx3=−R cos (q )−D
2[cos (φ ) kφ2+Lφsen(φ) ]
y3=R sen (q )+ D2sen (φ ) y3=R cos (q ) q+D
2cos (φ) φ
k y3=R cos (q )+ D2
cos (φ ) kφ L y3=−Rsen (q )+ D2
[−sen (φ )kφ2+Lφcos(φ) ]
Para el deslizador
x4=B cos (A ) x4=−Bsen ( A ) A+ B cos (A )
k x4=−B sen ( A ) ka+kbcos(A )L x4=B [sen (A )La+ka2 cos (A )]+kakbsen ( A )−kakbsen (A )+Lbcos(A )
y4=B sen ( A ) y4=B cos (A ) A+B sen(A)
k y4=B cos (A ) ka+kbsen(A)L y4=B [cos ( A )La−ka2 sen (A)]+kakbcos (A )+kakbcos ( A )+Lbsen (A )
Para la corredera
x5=C+R cos (q )+Dcos (φ ) x5=−Rsen (q ) q−Dsen (φ ) φ
k x5=−R sen (q )−Dkφsen (φ ) Lx5=−R cos (q )−D [cos (φ ) kφ2+Lφsen(φ)]
y5=R sen (q )+Dsen (φ ) y5=R cos (q ) q+D cos (φ ) φ
64
k y5=R cos (q )−Dkφcos (φ ) Ly5=−R sen (q )+D [−sen (φ ) kφ2+Lφcos(φ)]
La matriz de reacciones
[1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
−r12 y r12 x −rBy rBx 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 −r13 y r13 x −r43 y r 43 x 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 −r46 y r46 x −r56 y r56 x 0 00 0 −1 0 0 0 −1 0 −1 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 0 0 −1 0 −1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 00 0 ux uy 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
]∗¿
[F12 x
F12 y
F42 x
F42 y
F13 x
F13 y
F43 x
F43 y
F46 x
F46 y
F56 x
F56 y
F15 y
T 13
]=[m1acg 1x
m1acg 1 y−F y−G1
I cg1 A−rfx F y
m2acg 2x
m2acg2 y−G2
I cg2 qm3acg 3x
m3acg3 y−G3
I cg3 φm4acg 4 x
m4acg4 y−G4
m5acg 5x
m5acg5 y−G5
0
]65
REACCIONES
F13
66
F12
67
F42
68
F43
69
70
F46
71
F56
72
F15
73
