Analisis de Respuesta Sismica

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ANÁLISIS DE LA RESPUESTA SÍSMICA

Por: Denys Parra Murrugarra Profesor Asociado, FIC-UNI

1.0 INTRODUCCIÓN El análisis de la respuesta del terreno tiene como objetivo predecir los movimientos en la superficie para el desarrollo de los espectros de respuesta de diseño, evaluar los esfuerzos y deformaciones dinámicas en la evaluación de la susceptibilidad a la licuación, y determinar las fuerzas sísmicas que pueden causar la inestabilidad de estructuras de tierra y estructuras de retención. A continuación se describen los métodos utilizados para el análisis de la respuesta del terreno en una, dos y tres dimensiones, y se introduce al problema de interacción suelo-estructura. 2.0 ANÁLISIS DE RESPUESTA UNIDIMENSIONAL DEL TERRENO. El análisis de respuesta unidimensional está basado en la suposición de que todas las fronteras son horizontales y que la respuesta de un depósito de suelo es causada predominantemente por ondas SH que se propagan verticalmente desde la roca subyacente (Fig. 1). Se asume también que las superficies del suelo y de la roca base se extienden infinitamente en la dirección horizontal.

Falla

Fuente

Trayectoria

Obra

EstratosSuperficiales

Figura 1. Proceso de refracción que produce propagación de ondas casi vertical cerca de la superficie del terreno. La Fig. 2 ilustra las definiciones utilizadas para describir los movimientos del terreno. El movimiento en la superficie de un depósito de suelo es conocido como el "movimiento en la superficie libre". El movimiento en la base del depósito de suelo es llamado el "movimiento en la roca base". El movimiento en una ubicación en la cual la roca base está expuesta en la superficie del terreno es llamado "movimiento en el afloramiento de roca". Si el depósito de suelo no estuviese presente (Fig. 2b), el movimiento en la parte superior de la roca base sería también un "movimiento en el afloramiento de roca".

Análisis de la Respuesta Sísmica

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Movimiento de lasuperficie libre

Movimiento enla Roca

Movimiento enel afloramientode roca

(a)



(b)

Figura 2. Nomenclatura de la respuesta del terreno: (a) suelo sobreyaciendo el basamento rocoso; (b) ningún suelo sobreyaciendo el basamento rocoso. La escala vertical está exagerada.

2.1 Método Lineal

Un grupo de técnicas para el análisis de la respuesta del terreno se basan en el uso de las "funciones de transferencia", las cuales determinan en qué medida se amplifica o desamplifica cada frecuencia en el movimiento de la roca base (movimiento de entrada), por la presencia del depósito de suelo. Para el problema de la respuesta del terreno, las funciones de transferencia pueden utilizarse para expresar varios parámetros de respuesta, tales como el desplazamiento, velocidad, aceleración, esfuerzo cortante, velocidad cortante, a un parámetro del movimiento de entrada tal como la aceleración de la roca base. Dado que este análisis se basa en el principio de superposición, esta aproximación está limitada al análisis de sistemas lineales. Sin embargo, el comportamiento no lineal puede ser aproximado utilizando un procedimiento iterativo con propiedades del suelo equivalentes a las lineales.

Aunque el cálculo de las funciones de transferencia involucra la manipulación de números complejos, la aproximación lineal es simple. El tiempo-historia del movimiento de entrada en la roca base es representado como una serie de Fourier, usualmente empleando el algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier (FFT). Luego, cada término en la serie de Fourier del movimiento de entrada es multiplicado por la función de transferencia para obtener la serie de Fourier del movimiento de la superficie del terreno.

2.1.1 Evaluación de las Funciones de Transferencia A continuación se presentan diversas funciones de transferencia para una serie de condiciones geotécnicas sucesivamente más complicadas. Estos casos ilustran algunos de los efectos más importantes de los depósitos de suelo sobre las características del movimiento sísmico. Suelo Uniforme No Amortiguado Sobre Roca Rígida Para el estrato uniforme de suelo isotrópico y linealmente elástico que suprayace a la roca base rígida de la Fig. 3, el desplazamiento horizontal de las ondas de corte propagándose verticalmente está dado por:


- 3 -

u (z,t) = A e i(wt + kz) + B e i(wt – kz) (1)

Donde w es la frecuencia circular del movimiento del terreno, k es el número de onda (k=w/vs) y A y B son las amplitudes de las ondas viajando en las direcciones -z (hacia arriba) y +z (hacia abajo), respectivamente. Si se considera que en la superficie libre (z = 0) el esfuerzo cortante, y por lo tanto la deformación cortante, desaparecen, la solución de la ecuación resulta en una "onda permanente" de amplitud 2Acoskz, la cual se produce por la interferencia constructiva de las ondas que viajan hacia arriba y hacia abajo. La onda tiene una forma fija respecto a la profundidad.

i(wt - kz)

i(wt + kz)

Be

Ae

u

zH

Figura 3. Depósito de suelo lineal y elástico de espesor H subyaciendo el basamento rocoso rígido. La función de transferencia que describe la relación entre las amplitudes de los desplazamientos en 2 puntos cualesquiera en el estrato del suelo, resulta ser para este caso:

F1(w) = 1 / cos (wH/vs) (2) El módulo de la función de transferencia es la función de amplificación:

F1(w) = 1 / cos (wH/vs) (3) la cual indica que el desplazamiento en la superficie es al menos tan grande como el desplazamiento en la roca base (el denominador no puede ser mayor que 1) y, a ciertas frecuencias, es mucho más grande. Así, È F1(w) È es la relación de la amplitud de movimiento en la superficie libre con respecto a la amplitud del movimiento en la roca base. Conforme wH/vs se aproxima a /2 + n, el denominador de la ecuación (3) tiende a cero, lo cual implica que ocurrirá amplificación infinita, o "resonancia" (Fig. 4). Aún este modelo tan simple ilustra que la respuesta de un depósito de suelo es altamente dependiente de la frecuencia del movimiento base, y que las frecuencias a las cuales ocurre fuerte amplificación dependen de la geometría (espesor) y de las propiedades del material (velocidad de ondas S) del estrato de suelo. La Fig. 5 ilustra un ejemplo del caso citado.


- 4 -

2HVs

2HVs

2HVs

2HVs Vs

2H

0

0

W

1

KH

l F1(w) l

Figura 4. Influencia de la frecuencia en la respuesta del estado constante de un estrato elástico lineal no amortiguado.

0 5 10 15 20 25Frecuencia (Hz)

(e)

0

20

40


lF1l(d)

0

10

20Frecuencia (Hz)

2520151050

40

20

0

(c)

0 5 10 15 20 25 30 35 40Tiempo (seg)

0

0.5

-0.5

(f)

(g)

Ace

lera

ción

Tiempo (seg)4035302520151050

(b)

-0.5

0

0.5

Am

plit

ud

de

Fo

urie

r(g

-seg

)

Am

plit

ud

deF

our

ier

(g-s

eg)

Ace

lera

ción

(g)

3m(a)

Vs = 320 m/s = 17.2 kN/m3 = 0

Roca rígida

Figura 5. Ejemplo de análisis de suelo uniforme no amortiguado sobre roca rígida.


- 5 -

Suelo Uniforme Amortiguado Sobre Roca Rígida El caso de un suelo no amortiguado no puede ocurrir físicamente puesto que el amortiguamiento está presente en todos los materiales. Por lo tanto un análisis más realista debe considerar el amortiguamiento. La función de amplificación resulta ser para este caso:

F2(w) = 1 / (cos2 (wH/vs) + (wH/vs)2)1/2 (4)

Para valores de amortiguamiento pequeño, la ecuación 4 indica que la amplificación por un estrato de suelo amortiguado también varía con la frecuencia. La amplificación alcanzará un máximo local donde: wH/vs /2 + n pero nunca alcanzará un valor infinito dado que (para >0) el denominador siempre será mayor que cero. Las frecuencias que corresponden a los máximos locales son las "frecuencias naturales" del depósito de suelo. La variación del factor de amplificación con la frecuencia se presenta en la Fig. 6 para distintos niveles de amortiguamiento. Este factor de amplificación es también igual a la relación de las amplitudes de movimiento de la superficie libre a la roca base. La comparación de las Figuras 4 y 6 muestra que el amortiguamiento afecta la respuesta a altas frecuencias más que a bajas frecuencias.

KH

Fac

tor

de A

mpl

icac

ión

201510500

2

4

6

8

10

12

Figura 6. Influencia en la respuesta en el estado constante de un estrato elástico lineal amortiguado.

La frecuencia natural n-ésima del depósito de suelo está dada por:

wn vs/H (/2 + n) n = 0,1,2,..., Dado que el factor de amplificación pico decrece con la frecuencia natural creciente, el mayor factor de amplificación ocurrirá aproximadamente a la frecuencia natural más baja, conocida como la "frecuencia fundamental".

wo = vs / 2H El periodo de vibración correspondiente a la frecuencia fundamental es llamado el "periodo característico del sitio".


- 6 -

Ts = 2/wo = 4H/vs Este periodo, que depende sólo del espesor y de la velocidad de onda de corte del suelo, es un indicador del periodo de vibración al cual se espera la amplificación más significativa. A cada frecuencia natural, una onda permanente se desarrolla en el suelo. Las "formas de modo" o formas deformadas normalizadas se presentan en la Fig. 7 para las tres primeras frecuencias naturales. Puede notarse que los desplazamientos del suelo están en fase en todas las profundidades en el modo fundamental, pero no en los modos más altos. A frecuencias mayores que la fundamental, parte del depósito de suelo puede estar moviéndose en una dirección mientras la otra parte se mueve en la dirección opuesta. Este fenómeno debe ser considerado en la evaluación de las fuerzas de inercia en masas de suelo para el análisis de estabilidad sísmico.

n = 0n = 1

1.00.50.0-0.5

1.0

0.5

n = 2

z/H

0.0-1.0

Desplazamiento normalizado

Roca

z

H

Superficiedel Terreno

Figura 7. Desplazamiento para ondas permanentes para las frecuencias naturales fundamental (n=0), segunda (n=1) y tercera (n=2) para un estrato de suelo con =50%. Desplazamientos son normalizados por el desplazamiento máximo a la frecuencia fundamental. En la Figura 8 se presenta un ejemplo de un perfil de suelo amortiguado sobre roca rígida sometido a un movimiento en la roca base.


- 7 -

Tiempo (seg)4035302520151050

(f)

-0.5

0.5

0

Frecuencia (Hz)2520151050

200

100

0

(e)


20

10

0

(d)


(c)

0

20

40

0 5 10 15 20 25 30 35 400 5 10 15 20 25 30 35 40

0.5

0

-0.5

(b)

Tiempo (seg)

Ace

lera

ción

(g)

Am

plitu

d de

Fou

rier

(g-s

eg)

Am

plitu

d de

Fou

rier

(g-s

eg)

Ace

lera

ción

(g)

lF2l

Roca rígida

Vs = 450 m/s = 19.6 kN/m3 = 5%

165m(a)

Figura 8. Ejemplo de análisis de suelo uniforme amortiguado sobre roca rígida. Suelo Amortiguado Uniforme Sobre Roca Elástica En los casos anteriores, la base rígida actúa como un extremo fijo, de tal manera que cualquier onda viajando hacia abajo será completamente reflejada hacia arriba, atrapando toda la energía de la onda elástica en el estrato de suelo. Si la roca es elástica, en cambio, las ondas que alcanzan la frontera entre el suelo y la roca sólo serán reflejadas parcialmente; parte de su energía será transmitida a través de la frontera y viajará a través de la roca. Si la roca se extiende a gran profundidad (suficiente para que las ondas reflejadas más abajo no retornen a la frontera suelo-roca a tiempo, o con suficiente amplitud para influir en la respuesta del suelo), la energía elástica de estas ondas se perderá o será removida del estrato de suelo (Fig. 9). Esta es una forma de amortiguamiento por radiación, y causa que las amplitudes del movimiento en la superficie sean más pequeñas que para el caso de una roca base rígida. El factor de amplificación para este caso depende de cantidades complejas y no puede ser expresado de forma compacta; sin embargo para ilustrar el efecto de


- 8 -

la elasticidad de la roca el factor de amplificación para un suelo no amortiguado puede ser expresado como sigue:

F3(w,=0)= 1 / (cos2 (wH/vs) + (zSen(wH/vs))2)1/2 (5)

donde z representa la relación de impedancia y es igual a svss/rvsr. Para el caso no amortiguado, la Fig. 10 presenta el efecto de la relación de impedancia sobre el factor de amplificación F3. La Fig. 11 ilustra un ejemplo para este caso.

H

r

Gr

s

Gs

Roca

Suelo

Ar

Br

Bs

zr

Aszs

Figura 9. Nomenclatura para el caso de un estrato de suelo suprayaciendo un semi- espacio de roca elástica.

Razón de impedancia = 0.0

0.1

0.5

KH

7654321

lF3l

00

2

4

6

8

Figura 10. Efecto de la razón de impedancia en el factor de amplificación para el caso de un suelo no amortiguado.


- 9 -

4035302520151050

(b)

-0.5

0

0.5

2520151050

40

20

0

(c)

0 5 10 15 20 25

(d)

0

5

10

0 5 10 15 20 25

(e)

0

20

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0

0.5

-0.5

(f)

lF3l

(g)

Ace

lera

ción

Am

plit

ud d

eF

ourie

r(g

-seg

)

Am

plitu

d de

Fou

rier

(g-s

eg)

Ace

lera

ción

(g)

Tiempo (seg)

Frecuencia (Hz)

Frecuencia (Hz)

Frecuencia (Hz)

Tiempo (seg)

(a) 165m

SueloVs = 450 m/s = 19.6 kN/m3 = 5%

RocaVs = 1500 m/s = 25.2 kN/m3 = 2%

Figura 11. Ejemplo de análisis de suelo uniforme amortiguado sobre roca elástica. Suelo Amortiguado y Estratificado Sobre Roca Elástica El análisis de problemas prácticos de la respuesta del terreno usualmente involucra depósitos de suelo con estratos de distintas características de rigidez y amortiguamiento, tal como se ilustra en la Fig. 12, en lugar de un estrato elástico uniforme. En cada una de las fronteras entre los estratos la energía de la onda elástica será reflejada y/o transmitida. Estas condiciones requieren el desarrollo de funciones de transferencia para depósitos de suelo estratificado. La función de transferencia que relaciona la amplitud del desplazamiento en el estrato i respecto al estrato j, indica que si el movimiento en cualquier punto del perfil del suelo es conocido, el movimiento en cualquier otro punto puede ser obtenido. Esto permite efectuar una operación muy útil denominada “deconvolución”. La función de transferencia para este caso, F4, es bastante complicada, sin embargo, el programa de cómputo SHAKE (Schnabel et al.,


- 10 -

1972) facilita su evaluación. La Fig. 13 muestra un ejemplo de cálculo de la función de transferencia para un suelo estratificado utilizando el programa SHAKE.

z1

u1

u2

um

um+1

um+2

uN

z2

zm

zm+1

zm+2

zN

m

m+1

N

Estrato 1 h1

h1

hm+1

hN =

s

G1

Gm mm

Gm+1 m+1 m+1

GN N N

Figura 12. Nomenclatura para un depósito de suelo estratificado sobre roca elástica.


- 11 -

Tiempo (seg)80706050403020100

(b) 0

0.5


50

0

(c)


(d)

0

50

100


(e)

0

50

(f)

-0.5

0.5

0

Tiempo (seg)0

90

9010 20 30 40 50 60 70 80

Ace

lera

ción

(g)

Am

plitu

d de

Fo

urie

r(g

-seg

)

Am

plitu

d de

Fo

urie

r(g

-seg

)lF

4lA

cele

raci

ón(g

)

0 - 66 - 1414 - 2121 - 4040 - 165> 165

150210450300600

1500

Profundidad(metros)

Velocidad Promedio de Ondas de Corte

(m/s)

(a)

Figura 13. Ejemplo de análisis de suelo amortiguado y estratificado sobre roca elástica. 2.1.2 Aproximación Lineal Equivalente a la Respuesta No Lineal Dado que la no linealidad del suelo es bien conocida, el método lineal debe ser modificado para proporcionar estimados razonables de la respuesta del suelo en problemas prácticos. El real comportamiento esfuerzo-deformación histerético no lineal del suelo cíclicamente cargado, puede ser aproximado por las propiedades lineales equivalentes del suelo. El módulo cortante lineal equivalente, G, es tomado generalmente como un módulo cortante secante, y la relación de amortiguamiento lineal equivalente, , como la relación de amortiguamiento que produce la misma pérdida de energía en un ciclo único tal como el real lazo histerético. Al ser necesario que G y sean constantes para cada estrato de suelo, deben definirse valores consistentes con el nivel de deformación cortante inducido en


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el estrato. Las curvas de reducción del módulo cortante y del amortiguamiento han sido obtenidas a partir de ensayos de laboratorio que utilizan cargas armónicas simples, caracterizando el nivel de deformación por la amplitud de la deformación cortante pico. El tiempo historia de deformación cortante para un movimiento sísmico típico, sin embargo, es bastante irregular, con amplitudes pico que son alcanzadas pocas veces en el registro. En la Fig. 14 se comparan tiempos historia de deformación cortante armónicas (ensayo de laboratorio) y transitorias (sismo) con la misma deformación cortante cíclica pico. Como la condición armónica representa claramente una condición de carga más severa que el registro transitorio, el nivel de deformación del registro transitorio suele caracterizarse por una “deformación cortante efectiva” que es frecuentemente adoptada como el 65% de la deformación pico. Dado que el nivel de deformación calculado depende de los valores de las propiedades lineales equivalentes, se requiere un procedimiento iterativo para asegurar que las propiedades utilizadas en el análisis son compatibles con los niveles de deformación calculados en todos los estratos. La Fig. 15 ilustra este procedimiento. En la Fig. 16 repite el ejemplo de la Fig. 13 utilizando el procedimiento iterativo lineal equivalente.

Def

orm

aci

ón

cort

ant

e

Tiempo

Figura 14. Dos registros tiempo-historia de deformación cortante con idénticas deformaciones cortantes pico. Para el movimiento transitorio de un terremoto real, la deformación cortante efectiva es tomada comúnmente como el 65% de la deformación pico.

(1)

(2)

(3)

(1)

(2)

(3)

Mód

uloo

de

Cor

te,

G

Rel

ació

n de

A

mor

tigua

mie

nto,

(1)G

G(3)

G(2)

(1)

Def. cortante (escala log)

eH

Def. cortante (escala log)eH

(1)

(1)

(2)

(3)

Figura 15. Iteración para conseguir módulo de corte y amortiguamento compatibles con la deformación en el análisis lineal equivalente. Usando estimados iniciales, G(1) y �(1), el análisis lineal equivalente predice una deformación cortante efectiva, (1). Como esta deformación es mayor que aquella que corresponde a G(1) y �(1) se


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requiere una iteración. La próxima iteración utiliza parámetros G(2) y �(2), que son compatibles con (1). El análisis se repite y los parámetros verificados hasta que obtener valores de G y � compatibles con la deformación.

8070605040302010 90

90

0

0

0.5

-0.5

02520151050

100

50

02520151050

0

20

0 5 10 15 20 25

0.5

0

-0.50 10 20 30 40 50 60 70 80

40

20

40

Ace

lera

ción

(g)

lF4l

equ

iv

Am

plitu

d de

Fou

rier

(g-s

eg)

Am

plitu

d de

Fo

urie

r(g

-seg

)

Ace

lera

ción

(g)(f)

(e)

(d)

(c)

(b)

Tiempo (seg)

Frecuencia (Hz)

Frecuencia (Hz)

Tiempo (seg)

Frecuencia (Hz)

Figura 16. Ejemplo de análisis de suelo amortiguado y estratificado sobre roca elástica, utilizando el procedimiento iterativo lineal equivalente.

2.2 Método No Lineal Un método alternativo para analizar la verdadera respuesta no lineal del suelo consiste en utilizar la integración numérica directa en el dominio del tiempo. Mediante la integración paso a paso, cualquier modelo esfuerzo-deformación lineal o no lineal o un modelo constitutivo avanzado puede ser utilizado. La mayoría de programas de cómputo disponibles de análisis no lineal, unidimensional de la respuesta del terreno, caracterizan el comportamiento esfuerzo-deformación del suelo mediante modelos esfuerzo-deformación cíclicos, tales como el modelo hiperbólico, el modelo hiperbólico modificado, el modelo Ramberg-Osgood, el modelo Hardin-Drnevich-Cundall-Pyke (HDCP), el modelo Martin-Davidenkov, y el modelo tipo Iwan. Diversas técnicas numéricas son empleadas para integrar las ecuaciones de movimiento.


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3.0 ANÁLISIS BIDIMENSIONAL DE LA RESPUESTA DINÁMICA Los métodos de análisis unidimensional de la respuesta del terreno descritos arriba son apropiados para terrenos nivelados o de suave pendiente con fronteras paralelas entre materiales. Sin embargo, para muchos otros problemas de interés, la suposición de la propagación unidimensional no es aceptable. Por ejemplo, superficies de terrenos irregulares o inclinadas, la presencia de estructuras masivas o empotradas, o muros y túneles, todos estos casos requieren análisis bidimensionales o aún tridimensionales. Los problemas en los cuales una dimensión es considerablemente más grande que otras son tratados como un problema de deformación plana bidimensional. Los casos más comunes son presentados en la Fig. 17.

Figura 17: Ejemplo de problemas comunes típicamente analizados a través de análisis de respuesta dinámica bi-dimensional de deformación plana: tablaestaca, presa de tierra, túnel. Los métodos aplicados en la solución de la respuesta dinámica bidimensional han sido desarrollados en el dominio de las frecuencias (respuesta compleja) y en el dominio del tiempo (integración directa). La respuesta dinámica bidimensional y tridimensional y los problemas de interacción suelo-estructura son resueltos generalmente mediante análisis dinámico de elementos finitos.

3.1 Análisis Dinámico de Elementos Finitos El método de elementos finitos trata al continuo como un ensamblaje de elementos discretos cuyos bordes están definidos por “puntos nodales”, y asume que la respuesta del continuo puede ser descrita por la respuesta de los puntos nodales. La Fig. 18 ilustra el proceso de discretización en elementos de 4 nodos. Para modelar elementos irregulares es necesario un cambio de coordenadas. La dimensión máxima de los elementos está limitada a una fracción (1/8 a 1/4) de la longitud de onda más corta considerada en el análisis. Las condiciones de borde consideradas en este tipo de análisis se clasifican en bordes de elementos, bordes locales y bordes consistentes.

v4

u4 u3

v3

u2

v2

u1

v1

4 3

21


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Figura 18: Discretización por elementos finitos de una tablaestaca ilustrando los grados de libertad de un elemento típico de 4 nudos. 3.2 Método Lineal Equivalente El método lineal equivalente bidimensional es muy similar al método unidimensional. Un sistema suelo-estructura es representado por un modelo bidimensional de elementos finitos. El movimiento de entrada es representado por una serie de Fourier y las ecuaciones de movimiento son resueltas para cada frecuencia de las series, sumando los resultados para obtener la respuesta total. La Fig. 19 ilustra un caso en el cual se asumen condiciones de deformación plana en la sección típica de una presa. Una vez que el vector de la función de transferencia ha sido obtenido, el cálculo de la respuesta sigue el mismo procedimiento utilizado para el análisis unidimensional. El mayor esfuerzo de cómputo está asociado con la evaluación de las funciones de transferencia, por lo que éstas suelen evaluarse sólo para un número limitado de frecuencias, obteniendo las frecuencias intermedias por interpolación. La iteración para obtener las propiedades del material compatibles con la deformación puede ser realizada elemento por elemento. Este tipo de análisis es realizado por el ampliamente utilizado programa de cómputo FLUSH (Lysmer et al., 1975).

Figura 19: Discretización por elementos finitos de una presa de tierra en condiciones de deformación plana. 3.3 Método No Lineal Un análisis no lineal bidimensional puede emplearse para estimar los desplazamientos permanentes de taludes, estructuras de retención y otras estructuras geotécnicas. Para ello se requiere una integración en el dominio del tiempo de las ecuaciones de movimiento globales. El comportamiento del suelo puede ser modelado mediante modelos no lineales cíclicos o utilizando modelos constitutivos avanzados. 3.4 Otros Métodos Métodos alternativos de análisis han sido desarrollados, en base a simplificaciones que permiten que los problemas bidimensionales sean resueltos mediante análisis unidimensionales, reduciendo así el esfuerzo computacional y la complejidad del análisis dinámico por elementos finitos. Uno de estos métodos aplicados al caso de presas de tierra es el de la “viga de corte” (Gazetas, 1987). Este método se basa en la suposición de que una presa se deforma en corte simple, produciendo así solamente desplazamientos horizontales. También se asume que bien sea los esfuerzos cortantes


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o las deformaciones cortantes son uniformes a través de planos horizontales, suposiciones que han sido verificadas. El caso es aplicado para una presa homogénea e infinitamente larga, y los esfuerzos cortantes actuando a una determinada altura. El método de la viga de corte permite representar la sección bidimensional de la presa como un sistema unidimensional, permitiéndose así el cálculo del periodo fundamental y de los modos de vibración. El segundo y más altos modos de vibración muestran un marcado efecto de “chicoteo” caracterizado por una gran deformación cortante y alta aceleración cerca de la cresta de la presa, aunque el comportamiento no lineal de los materiales puede prevenir el desarrollo de estas altas aceleraciones en presas reales.

4.0 ANÁLISIS DE RESPUESTA DINÁMICA TRIDIMENSIONAL Existen situaciones en las que la idealización bidimensional puede no ser apropiada y es necesario un análisis de respuesta dinámica tridimensional. Estas condiciones pueden presentarse cuando las condiciones del suelo o las condiciones de borde varían tridimensionalmente, y cuando interesa la respuesta de estructuras tridimensionales. Los problemas de respuesta dinámica tridimensional son tratados en forma similar a los problemas bidimensionales. Existen análisis dinámicos por elementos finitos, empleando métodos lineales y no lineales. Varios de estos métodos han sido desarrollados con énfasis en los problemas de interacción suelo-estructura. Para el problema de presas de tierra, han sido desarrollados análisis tipo viga de corte para la respuesta aproximada de presas en valles angostos. La Fig. 20 muestra el efecto de las condiciones de borde tridimensionales sobre la frecuencia fundamental de la presa según su relación entre la longitud de la cresta y la altura de la presa, así como sobre los periodos naturales en cañones de diferente forma (Gazetas, 1987).

H Valle Triangular

Valle Rectangular

Presa de OrovilleL / H=7.26

1 2 3 4 5 6 7 810

1

2

3

4

5

L / H

n(3

D)

n(

2D

)f

/ f

H Valle Triangular

Valle Rectangular

Presa de OrovilleL / H=7.26

1 2 3 4 5 6 7 810

1

2

3

4

5

L / H

n(3

D)

n(

2D

)f

/ f

Figura 20: Comparación entre la respuesta tridimensional (3D) y de deformación plana (2D), para presas en valle triangular y rectangular.


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5.0 INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA Este fenómeno se produce cuando una estructura está cimentada en un depósito de suelo blando; la incapacidad de la cimentación para seguir las deformaciones del movimiento de campo libre causará que el movimiento de la base de la estructura se desvíe de dicho movimiento. Además, la respuesta dinámica de la estructura misma inducirá la deformación del suelo de cimentación. Así, la respuesta del suelo influye sobre el movimiento de la estructura y a su vez la respuesta de la estructura influye sobre el movimiento del suelo. La interacción suelo-estructura tiene poco efecto sobre la respuesta dinámica de muchas estructuras y sistemas de cimentación. Sin embargo, en otros casos, sus efectos pueden ser significativos. El análisis de la interacción suelo-estructura puede ser muy complicado, por lo que sólo se introducirán los métodos utilizados para evaluar sus efectos.

5.1 Efectos de la Interacción Suelo-Estructura Considerar el caso de un sistema simple de 1 grado de libertad montado sobre una cimentación rígida, sin masa, con forma de L y apoyada sobre un depósito de suelo elástico. La estructura está caracterizada por su masa, m, rigidez, k, y coeficiente de amortiguamiento, c. Si el material que soporta a la cimentación es rígido, la frecuencia natural del sistema de base fija dependerá solo de la masa y de la rigidez de la estructura. Sin embargo, si el material de la cimentación es flexible, la cimentación puede trasladarse y rotar. Las características de rigidez y amortiguamiento del sistema suelo flexible-cimentación pueden representarse por los resortes rotacionales y amortiguadores. Los amortiguadores de la cimentación representan dos fuentes de amortiguamiento: material y por radiación. La cantidad de amortiguamiento material dependerá del nivel de deformación inducido en el suelo; por el contrario el amortiguamiento por radiación es un efecto puramente geométrico que existe a bajas y altas amplitudes. Para cimentaciones típicas, el amortiguamiento por radiación es mucho mayor que el amortiguamiento material. Los desplazamientos totales de la masa y de la base de la estructura pueden dividirse en sus componentes individuales. El cálculo de la frecuencia natural del sistema equivalente indica que este valor es siempre más bajo que aquel de la estructura fija. Por otro lado, la relación de amortiguamiento del sistema equivalente será mayor que la de la estructura misma. Los efectos de la interacción suelo-estructura son mostrados en las sobre la frecuencia natural, la relación de amortiguamiento, y las características del sistema de 1 grado de libertad equivalente. La comparación con el sistema de base fija ilustra el efecto de la interacción suelo-estructura. La interacción suelo-estructura tiende a reducir la demanda sobre la estructura, pero debido a que la cimentación puede trasladarse y rotar, incrementa el desplazamiento general. Estos efectos pueden ser importantes para estructuras altas y esbeltas o para estructuras poco espaciadas que pueden estar sujetas a impacto cuando los desplazamientos relativos llegan a ser importantes. 5.2 Métodos de Análisis Los métodos de análisis se dividen en métodos directos y métodos multietapa.


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En el método directo, todo el sistema suelo-estructura-cimentación es modelado y analizado en una sola etapa. El movimiento de entrada en el campo libre es especificado a lo largo de la base y los lados del modelo y la respuesta resultante es calculada (por un modelo de elementos finitos) a partir de las ecuaciones de movimiento. Los métodos multi-etapa usan el principio de superposición para aislar las dos causas principales de la interacción suelo-estructura: la incapacidad de la cimentación para ajustarse a las deformaciones del campo-libre y el efecto de la respuesta dinámica del sistema estructura-cimentación sobre el movimiento del suelo de soporte. Estos métodos están limitados al análisis de sistemas lineales o lineales equivalentes. La interacción suelo-estructura puede ser descompuesta en una interacción cinemática y una interacción inercial.

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Analisis de Respuesta Sismica