t$G08INSTITUTO TECNOLOGICO DEOUERETARO

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INSTIIUTO TECNOLOGICO DEOUERETARO RECONOCIMIENTO Cfl1" f'\c f \tF0Rr\icfN

,Queremos agradecera todos los profesoresy ayudantes de la materia Ingenie::a de Control I de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico por sus i liosos comentarios durante el periodo en que la versin preliminar de esta .bra fue usada como notas de clase. Particularmente, en la elaboracin del primer borrador, colaboraron: Luis Rodrguez, Antonio Alonso e Ismael Espinosa. En versionesposteriores se icorporaron los comentaios de: Daniel Pachcco, Federico Kuhlmann, An,irs Buzo, Horacio Martnez y Marcial Portilla. Los problemas de ejercicios :.reron recopilados de las ta^reas semanales del curso de los ltimos seisaos; la recopilacin y revisin participaron principalmente: Guillermo Rebo-r iedo, Joaqun Collado, Daniel Toral y Eduardo Aguirre. Los comentarios de \figuel Valds fueron de gran utilidad en la redaccin de la versin final. El entusiasmo desinteresadoy la crtica constructiva de Antonio Alonso :ueron factores decisivosen la produccin de este trabajo. Las sugerencias de Servio Tlio Guilln influyeron notablemente en la forma que tomaron los :uatro primeros captulos. El Instituto de Ingeniera de la Universidad Na;:onal Autnoma de Mxico fue quien patrocin la elaboracin de la mayor :arte del material de este libro. En nuestro agradecimientoqueremosresaltar el excelente trabajo de las secretarias Mercedes Gonzlez e Iene Martnez, ;uienes mecanografiaronlas diferentes versionesdel libro.

Roberto CanalesRuiz Renato Barrera

Gudad Universitaria, mayo 1976

INSnTUT0 TECN0l.0Glry DE0UERETAR0 PREFACIO cFNTRo

DElNFcMirru

Iste libro, adecuado para cursos de licenciatura en los que se estudien sis:ernasdinmicos y control automtico, es una excelente respuestaa la necesi:d de un texto sobre el tema escrito originalmente en espaol. La obra es producto de siete aos de experiencia de los autores en la :rseanza de un curso de control automtico en la Facultad de Ingeniera de Nacional Autnoma de Mxico. Por su contenido, e indepen' Universidad :;.entemente del idioma en que fue escrito, es Lrnaobra slida en la que las son precisas, matemticamente rigurosas cuando se requierer pero al .d,eas :rismo tiempo presentadascon sencillez y claridad, y en la que nunca se :ierde de vista que el estudio de los sistemasdinmicos y el control auto:tico es un puente entre el mundo fsico y la abstraccin matemtica. Siempre que es posible, se introducen los conceptos en la forma ms general '.' se hacen explcitas las consecuencias la particularizacin. As se logra rle excelente unificacin de los enfoques clsico y moderno que por lo -ina se eneral tratan como disciplinas diferentes. La presentacin de algunos conceptos fundamentales, como el de estado, oe hace de manera novedosadespegndose lo ya tradicional a estenivel de de enseanza.Asimismo, las demostraciones tratan de evitar, hasta donde es nzonable y posible, que el lector sienta la aparicin mgica de Conceptoso rerramientras que no le har sido presentadoscon anterioridad. Algunos de "os resultados que se prueban en el texto (como en el captulo de lugar eeomtrico) son ms fuertes que sus equivalentesen la mayora de los libros icbre el tema. A todo lo largo de la obra hay un delicado balance entre la teora y la :ctica, y el gran nmero de ejercicios constituye una coleccin de problemasconstructivos en los que se refleja la dedicacin de los autores. El contenido de la obra est repartido de la siguiente manera: En el ;aptulo 1 se presenta, luego de un bosquejo histrico, una discusin de lo :ue es un problema de control y sus diferentes aspectos.Se comparan las dos :osibles soluciones,malla abierta y malla cerrada;se ejemplifican las ventajas l problemas de esta ltima, justificando desde un punto de vista prctico y ::eurstico, el uso de la realimentacin. La definicin rigurosa de sistemao en zu forma ms general, se da en el captulo 2, y se le agregansecuencialmente -,s restricciones de unicidad y causalidad. Se introduce el concepto de en:adas equivalentes, el cual se ilustra con numerosos ejemplos originales y ". aliosos.Se define estado como una clasede equivalenciade entradas;de esta :,rma no es necesario asociar el estado de un sistema con el conjunto de :ondiciones iniciales de una ecuacin diferencial. Adems de la generatidad :ue con esto se gana, la clasificacin de los sistemasdinmicos en algebrai;cs, autmatas finitos e infinitos, de parmetros concentrados y de parme:os distribuidos del captulo 3 resulta natural. En este mismo captulo se rresentan las propiedadesde linealidad e invariancia con el tiempo y, despus Ce distinguir entre sistemascontinuos y discretos, se procede a dernostrar

t1

que Para los de parmetros concentrados,una descripcin de la relacin entrada-salida por medio de na ecuacin diferencial de orden n es equivalente a una de un sistemade n ecuaciones diferenciales primer orden; esto de esa una rcprcstntadn tn yaiab)n dt ntado. El captulo 4 est dedicado al problema de modelado de sistemas y la descripcin de los modelos en variablesde estado. Se consideransistemas elctricos, mecnicos(traslacionales rotacionales), y hidrulicosy trmicos,y el captulo termina con una breve discusin de modelos hbridos y una mencin a la existenciade modelos no lineales. Los reogramas, como elemento de anlisisde los sistemas dinmicos,es el objeto de estudio del captulo 5. En l se reunen,por conveniencia, tan,tola descripcin como el lgebra de esta herramienta grfica. En un curso de licenciatura, si el instructor lo considerapertinente, el contenido de este captulo puede distribuirse sin ninguna dificultad a lo largo del curso o presentarse, ejemplo,en el captulo 7. por En el captulo 6 se analizan los sistemaslineales de parmetros concentrados en el dorninio del tiempo y se introducen los conceptosde matriz de transicin y de respuesta impulso. Se deriva la frmula de variacin de parmetros y se trata el problema de linealizacin. La matriz de transferencia, el-patrn de polos y ceros, y los sistemasde segundoorden se estudian en el captulo 7. El captulo 8 est dedicado al problema de estabilidad.Se define sistema y estable y se obtienen condiciones necesarias suficientespara el caso lineal e invariable. Al tratar sistemas que adems son de parmetros concentrados, dichas condiciones se expresanen el dominio de la frecuenciay se presentael criterio de Routh-Hurwitz. En el captulo 9 se estudia el lugar geomtrico de las races (positivo y negativo), se obtienen reglas para su trazo y se indica, con un par de ejemplos, cmo adquirir de l informacin til para el anlisis o diseo de sistemas. Finalmente, el captulo 10 trata de la respuestaen la frecuencia.Para sistemasestables,lineales e invariables con el tiempo se obtiene la respuesta debida a la entrad,asen ot cuando el estado inicial es arbitrario. Se identifican las respuestas transitoriay permanentey a estaltima se le da el nombre grficas de la de respuesta en frecuencia. Se describen las representaciones respuestaen frecuencia, esto es, traza polar, diagramasde Bode, y diagrama de Nichols y se trata con detalle el criterio de estabilidad de Nyquist. Se introducen los conceptos de margen de fase y de ganancia-La ltima parte del captulo est dedicadaal problema de compensacin. Se incluyen tres apndices;los de transformada de Laplace y lgebralineal cubren de manera concisaconceptosde estos tcmas, que se usan frecuentemente en el cuerpo del libro. El ltimo apndice contiene problemas de ejercicios.

Antonio Alonso C.

1'2

DE TECIIOLCCICOOUERETARO INSTITUTO c E N T R 0 i , ' E ii{ F n p t' tt t' n N

CONTENIDO

Captulo 1. Introduccron l . Bo s quejo his t r ic o 2. El cclnccpto de contrta -..+

f( tlFlgun 9. Diagrama de crrerpo libre del sistema de le figura 8.

"; ; 'l

76

Uode

dt,lltou De las leyes de los elementos se obtiene: para la rnasa _-dvr Mi_fG)_f*_t" para el resorte dtt v;: y para el amortiguador fe = Bvt ademsIl n=l l t=h:1)

. Kva

De las ecuaciones antcrioieg se obtienen las siguientes dv fa 'Bv tG) Ivt- M - Tdt

(r2)( 13)

::

I ku

I salida (r)

est relacionada con f* v fU) mediante la ecuacin

n(t) - x(t") =

I

aft"Gl - f^(to)J

la cual se obtiene al integrar la relacin

dt, , .dx T=rcv=Kaiy oomo inicialnente r(to) = |flu>, entonces

x(t)-1 I)k De esta manera, Ias variables l y representanel est4rdo.del sistema porque si se conocen sus valores en f : t" y f(t) a partir de ese insrante, mediante las ecuaciones diferencjales 12 y t3, puede en principio determinarse v(t) y fa(t) para t ) toi adems,la salida (r) s qn funcin algebraica de f"(t). si se hubiese seleccionadoa fr(r) como la salida, o sea la fuerza que opone el amortiguador al movimiento de la masa, la representacin del estado del sistema por medio de fa y v seguirfa siendo adecuada, ya que f es la funcin de y(l) a(t) = By(t)

Sietens meoinicoe rotacionIoa

77

l.

Sistemas meenieos rotaeionales

Como en los sistemas anteriores, tambin para stos nicamente se :onsideran tres elementos y se tomarn como variables fundamentales sociadas, el par torsional (f) V h velocidad angular (r). .4.1 Inercia I-a figura 10 la representa grficamente. [^as dos variables asociadas a este eleinento, el par torsional neto y la ; eiocidad angular, estn relacionadas por medio de: d,

T -t'

dtFbrr f0. Represeotacin grfica de una inercia.

ionde J es el valor de la inercia. Si se considera I(r) como la entrada y como la salida, para '(t) 3f,contrar la respuesta debida a cierta entrada es necesario conocer la r elocidad angular en el instante fo, en que se aplica el par torsional; por :llo la velocidad inicial es una variable que representa el estado '(ro) :e la inercia en fo. 4.2 Resorte

Considrese una flecha como la de la figura 11.

Il3!r ff. Fbcha actuando como resorte torsional.

El lado izquierdo de la flecha se desplazaun ngulo d con respecto :. derecho,debido al par T. Este tipo de elemento ser modelado como ; resorte torsional y se representa grficamente conforme a la figu-z l')

aarr2

I

.-/

Figur f2. Representacin grfica de un resorte tor. sional.

78

Modcldo

de sistcms

si se defin" .(r) = {,r - o,2 como la velocidad relativa entre los dos extremos del resorte torsional, las variables asociadasal elemento,el par torsional en los extremos y la velocidad angular relativa, estn relacionadasmediante dT

7 l:

K'

Si se considera y para encon'(r) cotrnoentrada T(t) como salida, trar la respuesta debida a cierta entrada es necesario conocer el par torsional en el instante fo en que se aplica la velocidad angular relativa ,(r); por esto el par torsional inicial, T(t"'), es una variable que repre senta el estado del resorte torsional en el instante fo. 4.3 Amortiguamiento

Existe una serie de elementos que sostienenuna flecha (chumaceras, baleros, soportes, etctera) en lcs que se produce rn par torsional que se opone al movimiento y que es funcin de la velocidad angular de ella. Se supondr que el par resistivo es proporcional a la diferencia de velocidadesangularesentre elementos.Esto es cierto en el caso de juntas con lubricacin en las cuales el fluido est en el rgimen viscoso. Este ele' mento se llamar amortiguamiento torsonal y puede representarsegr' ficamente como en la figura 13.Oz

i I

Iff3. f3. Representacin grfica de rn amortiguamiento torsional.

I

't-/Las variables asociadas al elemento, par torsional y velocidades an' gulares de los extremos, estn relacionadas mediante: T=B(.t--r) 4.4 Lye" de eonjunto

En los sistemas mecnicos rotacionales, las le1es que relacionan las variables de los diferentes elementos, esto es, las leyes de conjunto, son: la tercera ley de Newton aplicada a los sistemas mecnicos rotacionales, o sea, que si un elemento ejerce un par sobre un elemento B, ste ejerce sobre A otro par de igual magnitud y sentido contrario, y la suma aigebraica de las velocidades relativas alrededor de una malla es cero.

lilrtoms 4.5 EJemplo

mecinlcos

otrclonlos

79

Considrese el sistema esquematizado en la figura 14Tr t t

Iftun 14. Sistema mecn$ co rotacional.

Se deseaconocer la velocidad angular., de la inercia J cuando se aplica un par torsional T a la inercia Jr. En la figura 15 se presentan los diagramas de cuerpo libre de los cinco elementos que forman el sistemaoo = 0 T, oDr T" T,ot at

3) )}9)Uffi v),/"\\Tt J, .T ^ r

T", r,

/?\\J,

T,,

Ilurr f5. Diagramas dc cuerpo bre de los elemo tos del sistema mecnio de la figura 14.

De dicha figura es factible obtener las relaciones entne las variables asociadasa cada elemento:

para el resorteft' dT,

7lpara la inercia Jr

= -&'"

(1 4 )

TtTz-Ts=r,#;para el amortiguador B Tr-To=8., para el resorte ftz d.T": k " (u '2)

(ls)

(1 )

(1 7 )

para la inercia J d-, T, _ r. - n"T ( l8)

m

Moddfu

ds sl*mg De acuerdo con las leyes de cgnjunto, se obtienen las siguientes relaciones:Tt=Ts Ts=Tt la: Te Ta: Tz

(le) (20) (2t) (22)

Como I(f) es la entrada y or(f) la salida, deben escogerse unas variables que representen el estado de tal manera que la relacin entre f y o,t tenga la estructura ,.'

+atAx( r ) + b r ( r ) y(t) : 'r(t) : cx(t) ,. Si se seleccionan las variables Tr, o1,Ta ! &)z como las que representan el estado, es posible eliminar todas las dems a excercin de T(t) que representar la entrada. De esta manera se obtiene: de las ecuaciones 15 y 1, y 19 a 2l

ttrt

|

(23)

r"= nffTt

(24)

Las ecuaciones14, 17, 23 y 24 son ecuacionesde estado del sistema, que puestas en forma matricial, son

d

11

E

Ta02

ti + -+ oll,, .[i- k, oo

o l| .r ,

k,

o + oJ[*0 0 1]

- k"llTu

y la relacin entre el estado y la salida resulta ! : . r: [ 0

rfil

5.

Slstomss hidrulicos y neumticos

En este tipo de sistemas se consideran nicamente dos variables: gasto, g, y presin, p. Los elementos que se describirn son: resistencia y capacitancia fluldicas,

Sistemas hidrulicos y neumticoe 5.1 Resistencia fludica Al tenerse un ducto, orificio, etctera, con presiols pr ] pz en sus e\tremos, se establece un flujo o gasto q que es funcin de p, y p". supngase aqu que esta relacin entre flujo y diferencia de presiones es lineal 1

gl

4 : E (P '-P,) .

Este tipo de elemento ser llamado resistencia y su valor es R; la representacin que ser utilizada corresponde a ra figura l. r I- ^ n -

R 5.2 Capaeitancia fludica otro efecto en sistemas hidrulicos o neumticos es el que presenta un tanque de gas cuya presin crece al incrementarse el-nmero de moles de gas almacenadas en 1, o por un tinaco en cuyo fondo la presin aumenta al crecer el volumen de agua almacenada en l (figura 17).

Figura l. Representacin grfica de una resistencia fludica.

a -)Qt4

--+

Qz

Figura l?. Representacin grfica de una capacitancia iludica.

La ley que relaciona las variables asociadas al elemento es d Q,-e,-gtil(p,-p,) donde Cr es Ia capacitancia fludica. cabe hacer notar que el nivel der fruido en el elemenro es propor- -:al a la diferencia de presin, p, - pz, esto es, h: (l/*)e: _-';t, :' - - cue la ley de elemento tambin se puede escribir: ^dh= Qt-Qz

"v t E

: -:: ;: es el nivel de fluido en el tanque. Las leyes de conjunto, para los iistemas fludicos y neumticos, se derivan de las leyes de balance de presiones y conservacin de masa. Con la seleccin de las variables q i p equivaien a

82

Modelado de sisleme i) La suma algebraica de los gastos en un nodo es cero. ii) La suma algebraica de las'cadas de presin alrededor de una malla es cero.i:

! 5.S

lEjemplo Ciidreseel sistema hidrulico representadoen la figura 18.

Po Ftun 18. drulico. Un sistema hi -+ Qr

Si se considera qo como la entrada y h la salida, las leyes de los elementos junto con las de conjunto dan las siguientes ecuaciones: Para la capacitancia 4o-Qr:tT ^ Para la resistencia q, : I E (P,-Po) d(p,-p")

Sustituyendo{r de la segundaecuacin en la primera, se obtien. d (p ' -p , ) _

T:

,. -m(p,-tu)*7eo

|

I

y la salida h est relacionada con pr-po mediante la ecuacinI

h=2(p,_po) as que la diferencia de presiones es una variable que representa el estado del sistema.

'+ezFigura 19. Un sistema hi drulico de dos tangues.!

Sistemas hidrulico Si se modifica el sistema agregando un segundo tanque (figura 19) y considerando qo como la entrada y 4z como la salida, la, que describen el nuevo sistema, son: "cira"ion"s

y neumtlcor

e,-e,=r,* (p,-p " )q, = *(p ,-p " )

e t - e ,: r,*(p ,-p")q" = *(p,-po) Pcro como

o,:l(p,-po) ," : l(p,-po)

las ecuacionesanteriores pueden escribirse como

Qu Qr: o C rfth,q':a

d

,(h'-hr') nCrlh"dt

Q, - 4r:

q"=8.

oh,

Eliminando e, y g" de las cuatro ltimas ecuaciones, se obtiene

#= - *

( h, - h* * n , ,)

**)0" #=ft3'-(#y como la salida Qz est relacionada con h, medianteQz: hz

entonces las variabl es h, y ft, ,.pr"r"rrtan adecuadamente el estado del sistema. Las ecuaciones de dicho sistema puestas en forma matricial son

U

l[odddo

de elstGnls

7 L',j6.

d f''l=

1c,R, I C"k r -C"& -

c,R, |

ll| I

ll C"R'I

= v ( t ) = q,1r [oSlstemas trmleos

o,t ] |

In t,l J

[].F] ')lqo( t ) trmica, cuyos extremos

En los sistemas trmicos dos de las variables que se pueden considerar son: temperatura, I y flujo de calor, g. Solamente se tomarn en cuenta dos tipos de elementos: resistencias y capacitancias trmicas.6.1 Regigtencia trmiea de calor a travs de una resistencia

El flujo

se mantienen a diferente temperatura,

(figura 20) est dada por

q:

| ,^

il( T , _ T , ) .

Esta es la idealizacin del flujo de calor a travs de un cuerpo que tiene un calor especfico muy bajo.

20. Representacin Iturl de una resistencia trmica.

6.2

Capacitancia

trrniea

No slo puede haber flujo de calor a travs de los cuerpos; tambin es factible que stos almacenen calor, dando como resultado un aumento de temperatura en el cuerpo. El cambio de temperatura de un cuerpo de masa M, cuando recibe un flujo neto de calor q, est dado por dT M"'zl : qdonde co es el calor especffico del cuerpo y I su temperatura. La cantidad Cr - Mco se denomina capacitancia trmica (figura 2l).

Sltcms rrulooc

85

Mco -- g,

Figun 21. Capacitancia trmica

En estos sistemas, las leyes de conjunto son: la de balance de energa, que equivale a decir que en la interfaz entre dos elementos el flujo de calor que emana de un cuerpo es igual al flujo de calor que recibe el otro cuerpo, y la suma de las cadas de temperatura alrededor de una malla cerrada es cero. 6.3 Ejemplo

Considrese el sistema trmico representado en la figura 22 el cual Cr

Figurr 2r. Un sistema trmico.

consiste en tres capacitancias trmicas interconectadas mediante tres resistencias. Supngase que la entrada es un flujo de calor go(t) y se desea conocer el flujo de calor q'(t). Las relaciones entre las variables indicadas en la figura 22 se deducen de las leyes de elementos y de las de conjunto. Asl, para las capacitancias trmicas se obtiene

,rA l :

dT,

Qn -

Qt -

4z

q#: c"#:

er- et * ez es

{

i8 Modelado de lslomcy para las resistencias trmicas

I 7 (T'-T")fir I

: q, : qz

1(7,-7")Rz

! 1r,-r)= n" l(:e o

)' n

Al eliminar las variabls {r Qz y es se obtienen las ecuaciones dife. renciales dT, I 1l

i:dT, : d T " ll

-

( T , - T , )(f'-f.) * C. R, A* n,ll (f ' -7 " ) C, R, d (T " -T ' )

i * lt' ltri

:

,,r.,Q'-r.) + "(T"-7").

If,

ll

As que si se conocen Ir, T, y T" en un instante dado y la entrada q"(t) a partir de entonces, pueden conocerse Tr, T" y Is en instantes posteriores, y como el flujo de calor {s, gu se ha tomado como la sa. lida, est dado por q" : : (7,-7") r(r podr determinarse a partir del conocimiento de T, y T". De esta manera, las temperaturas de las capacitancias trmicas representan el estado del sistema. Las leyes de elementos para sistemas mecnicos, elctricos, de fluidos y trmicos se resumen en la tabla 1. De los ejemplos anteriores surge la pregunta cmo deben seleccio narse las variables que representan el estado de un sistema? En general se debern tomar todas aquellas variables con las cuales se pueda calcular la energa (o en general la informacin) que almacenan algunos elementos. Para ello es conveniente proceder de la siguiente forma: i) Escrbanse las ecuaciones de los elementos del sistema. id) Escrbanse las ecuaciones de conjunto del sistema. iid) Seleccinense como posibles variables de estado aquellas que aparecen derivadas en alguna de las ecuaciones obtenidas. iu) Verifquese que las variables seleccionadas sean independientes, esto es, que no estn ligadas por una relacin algebraica. v) Elimine todas aquellas variables redundantes. vd) Exprese las variables de estado en la forma: i : f(x, u, f).

t

vii) Determine la salida en funcin de las variables de estado como y = g(x, u, f). Si se satisfacen las condiciones (vi) y (vii), x representa el estado del sistema.

Sietemas tmicocTabla Tipo de elemento l. Resumen de las leyes de elemento Ecuacin representetit)a di !" , = L dt

87

Elemento fsico Inductancia elctrica

Smbolo

+vr

i

INDUCTANCIA

Resorte traslacional

rd9or=--

f1-

o-z\!!\r

-+.,

k dt

T,Kt4-

Resorte rotacional

I dT( dot =

k dt

-

Capacitancia elctrica

i-c-

dv", dtdv d.t

vr

Masa

l=M'

v

CAPACITANCIA Inercia

T-t-

do

dt

Capacitancia flur:!ica

dpzr ^ Q z r = L! - jl

Qtl

ft

-4

Qz

Capacitancia trmica

cl

q =ctaI

dT

Resistencia elctrica

': E u^f = Bv "t

9r

v2

Amortiguador traslacional Amortiguador rotacional Resistencia fludica

T = Buztot

T

RESISTENCIA

Q=

IPt

+qPz

* Pz r

Resistencia trmica I q =, -T -, .R

->qRr

88

Modeldo de sistemar Donde: F T i q v , p L k 7. fuena par y temperatura* corriente gasto, flujo de calor* velocidad traslacional, voltaje* velocidad angular presin inductancia constante de resorte C M I C Ct R B Rt R capacitancia masa momento de inercia capacitancia de fluido capacitancia trmica resistencia elctrica friccin viscosa resistencia fludica resistencia trmica

Modelos no linealos

En las secciones anteriores se han presentado ejemplos de elaboracin de modelos para algunos tipos de sistemas fsicos. En todos los casos tratados se ha considerado que la relacin entre las variables asociadas a cada elemento es una furicin lineal. Es un hecho, sin embargo. que en el mundo fsico dichas relaciones, en su mayora, son no lineales y por tanto los modelos que representaran fidedignamente el comportamiento fsico deberan ser de este tipo. A modo de ejemplo se presenta un sistema no lineal, en el cual dos de sus elementos incluyen caractersticas no lineales. 7.1 Ejemplo de un sistema no lineal

Considrese el sistema fsico de Ia figura 23 que consiste en dos tanques idnticos colocados en cascada, que tienen una seccin horizontal de rea constante.4o1

langueI

*l,T NLFigun 23. Sistema hidrulico.

I'II

P

I II

I'ir itl ,Y

I

I

* Los smbolos I, 4 y y se utilizan para indicar variables distintas, pero su significado est implcito en el contexto que aparezcan. El subndice 2l indica diferencia, por ejemplo, r2res la diterencia de velocidades angulares o-r,rz.

II

Modelos no lineales Por una tubera se descarga al primer tanque cierto lquido (por ejemplo, agua) con un gasto de ft(r) unidades/ieg. Dicho tanque tilne un orificio en la parte jnferior por el cual fluye l quido al segundo depsito con un gasto de q,(f) unidades/seg. Aems li"y ,rrru deJcarga del segundo tanque de qr(t) unidades/s"g. si se considra qo(t) la-entrada y h,(t) (la altura del lquido en el segundo depsit)'como la "oro salida, se desea construir un modelo que describa el comportamiento del sistema. se tiene adems que la naturaleza de los orificios es tal que la relacin entre la diferencia de presiones y los gastos est dada mediante las ecuaciones no lineales:

89

q ,(t) - y,'/V d )-p " q '(t) - y,/ d :ndonde

(26)

(2s)

7 constante que depende de la geometra del orificio. p' y pz presiones en las partes inferiores de Ios tanques I y 2 respectivamente. p" presin externa. Las relaciones entre las presiones pr ] p, y las alturas del lquido en cada tanque (h, y h") son p,(t) - pg ht(t) * p" p(t) = pg h,(t) + p"

(27) ( 28)

donde p es la densidad del lquido y g la constante de gravedad. para cada uno de los tanques la cantidad-de" liquido q"" la cantidad que sale debe ser igual a ra cantidud a".rm,rlada, "rrii"'menos que para o sea el tanque I

.[-. n Q)d.,- J'- e'{') d - Ah,(t)y para el tanque 2

e'..') f'-* d'- Jl. a,r'ld,- Ah,(t)donde A es el rea de la seccin horizontal de los tanques. Las dos ecuaciones anteriores pueden escribirse

q,(t)-q,(t)-oLT

;.h,(t)

(2e)(30

.rh"Q) q'(t) - q,(t) - o= *

A partir de stas, debe describirse la dinmica del sistema mediante dos ecuaciones de la forma i.-f(x,u,t) y - g(x, u, t).

90

ltlodctdo

de sistemas Para lo cual debern seleccionarse las variables de estado correspondientes, como se indic en la secin 6. Una seleccin adecuada de las variables de estado podra ser las alturas h, y h,. De las ecuaciones 25 a 28 y eliminando p, y pz se obtiene

l

v

q'(t) - r,'/;lE6q , (t ) - v . ' ,P g h d 1 Al remplazar er ! qz en las ecuaciones29 y 3Ose obtieneA_

, dh,(t)

ii:

pg q,,(t) y,'l ,'/h'(t) - ,_

.- - .. dh,(t\ A-'-')'' : t',/ Pg l-',/hr(t)- 'l hr(t)). 4t Para facilitar el lgebra de los pasos subsiguientes,se har la supo' sicin que los valores numricos de los parmetros son

A:t t'lll: I

en un sistema adecuado de unidades. Por tanto, las ecuaciones que describen el sistema son

d.h, dt dh" dt

- , , / h ' (t ) + q , (t )

(31) (32)

'ITID - ,ft,

y (t ): h , (t ): f 0

ul\"")rl

Estas son no lineales, porque la parte de la derecha de las ecuacio nes 31 y 32 no tiene la forma aitht * a2h2+ btqo. Con or, 8z y br independientes de h.r, h" y qr. Sin embargo, el modelo que se obtuvo tiene la estructura de un sistema dinmico como se hizo saber en el Cap. 3. 8. Elemenros hbridos

T ,o

Ftun 24. Esquema de un motor.

Los elementos considerados a lo largo de este captulo se han descrito mediante una o ms relaciones entre las variables de un solo tipo. As, los elementos elctrrcos, esto es, resistencia, capacitancia e inductancia, se describieron como relaciones entre las variables elctricas consideradas: voltaje y corriente. Existe, sin embargo, una extensa gama de elementos cuyas variables asociadas no son de una sola clase; por ejemplo, un motor elctrico ideal de corriente directa y excitacin constante tiene asociadas cuatro variables: dos elctricas y dos mecnicas. Las elctricas son el voltaje y la corriente de armadura y las mecnicas, el par torsional producido en la flecha del mctor y su velocidad angular (figura 24).

Modelos

no lineales

9I

Las relaciones entre las variables asociadas son

T :kiy: ko q

donde k y k son los parmetros del motor. La enumeracin de los elementos mixtos sera demasiado abundante para presentarla en este captulo. Sin embargo, a lo largo de este libro algunos de ellos sern introducidos en los ejemplos ilustrativos. Para cerrar este captulo se presentar un ejemplo de un sistema compuesto por elementos elctricos, mecnicos y electromecnicos. 8.1 Ejemplo

Considrese el sistema esquematizado en la figura 25. Se desea ob____J> in

+(f)

Figurr 25. Un sistema electromecnico.

tener la velocidad angular ,,zde la inercia "I cuando se aplique un voltaje v(f) al circuito. De igual manera a como se procedi en los ejemplos anteriores, de las leyes de los elementos y las de conjunto se obtienen las siguientes relaciones: De la malla izquierda del circuito t" : del nodo I dv" : ' , . di^ "Zl: del motor T :v-:

t -

[y() -y"]

(3 3 )

in-i^

(3 4 )

de la malla derecha

lc-em kinlcaot

(3s)(3 ) (3 7 ) (3 8 )

del resorte torsional

dTZl

:

rt(+ * b,;Y(r) boY(t) hrfr> tfir

: o^

&

O r - u( t)

+ a*,6.#(t)

dil-r

+ ... +

du ( t) . * au(t); ,(& )(0): 0 para k = O ,. . . , f 1 -1 . + o ,7 b) Por una ecuacin diferencial vectorial de primer orden y una ecuacin algebraica

i1r : Ax(r)+ b(r);x(0) = o.y( f) :cx( f) + [u(t). c) Mediante la ecuacin y(t) =ft

l"h(t-")u(a)do

donde l(r) es la respuesta a impulso. d) Por la frmula algebraica

= l(s) - ?r(r)(r) [c(Is-Af'b+d] 4(s): f,Otrt a (s ,las en la que (s), l(s) y !'(s) representanrespectivamente transde Laplace de la entrada, la respuesta a impulso y la formaas salida Se ha estudiado tambin cmo pasar de una descripcin a otra. En este capltulo se tratar de caracterizar los sistemas en cuestin de otra manera ms. Por este otro mtodo es posible adquirir un gran coff> cimiento intuitivo sobre el comportamiento de los sistemas, lo que facilita el anlisis y el diseo de los de control.

;

5.

Patrn

de poloe y celros

La funcin de transferencia de los sistemas lineales, invariables y de dimensin n es la razn de dos polinomios en s con coeficientes reales,as que:sf:-:?r(rl:9 ''t-bG)

a ^ s ^ * 4 ^ -$ * r* ..

* as* ao

so*b*rs-'+

... *brs*bo

174 Sistemae linealee e invariablee eon el tiempo

Cada uno de los polinomios b(s) y a(s) puede ser expresadoen forma factorizada como a (s ) - -(s -z r)(s -a , )(s -z z ). . . (s -z -)

v

D(s ) : (s -p , )(s - p , )(s -p u ). . . (s -p " )

donde z y p son en general nmeros complejos. Como es sabido,si los coeficientes los polinomios (s) y b(s) son de nmeros reales, las races complejas deben aparecer en pares conjugados. Por ejemplo, si: zi = a * ib V: a - ib Dicho de otra forma a(zi') =0, implica que (Z) - 0 Los nmeros complejosZttZztZst ..' Z^, Pt, Pz, ., . pt

es una raz de a(s), entonces tambin debe ser una raiz de (s).

junto con a4, caracterizan completamente la funcin de transferencia de estos sistemas. Los nmeros pi se denominan polos y los ei, ceros del sistema. Tanto los polos como los aeros pueden ser representados grficamente en el plano complejo (parte real vs. parte imaginaria), utilizando la convencin: I,,ospolos sern representados por X y los ceros por Q. Entonces, a excepcin de la constante e, ttn sistema puede ser representado en el plano complejo por un conjunto de polos y ceros. Ejemplo Considrese un sistema con una funcin de transferencia

( s+ 1) ( s- 3)

( s ' * 2 s * 2 ) ( s + 2 ) ( s + 1 - i ) ( s + 1 + i)( s+ 2 )entonces 1" tiene un patrn de polos y ceros como lo indica la figura 15. Existen casos en que algunas races del numerador o del detominador de ft(s) son mltiples, entonces los polos (o los ceros) son mltiples, lo que se indica explcitamente en el patrn de polos y ceros. Ejemplo Sea

: hq''

(s * 1 )' s'* 2s *l : -. (s * 2 )" s " * s ' * 1 2 s* 8

Obtencin de la respuesta impuleo a partir de poloe y ceroe l?5

imaginaria Parte

)t----

,l I

Plrlc roal

Fisur 15. Grfica de polos y cenos.

Su representacin mediante polos y ceros se indica en la figura 16.Parte imaginaria

Triple

-x

Prterel

Figur 16. Patrn de polos y cenos crrando existen ralces mrlltiples.

6.

Obrencin de la respuesta impulso a partir del patnn de polos y oeros

En esta seccin se presenta un mtodo grfico para obtener la respuesta a impulso de un sistema a partir de su caracterizacin por medio del patrn de polos y ceros. Como se rcordar, una manera de encontrar la transformada inversa de Laplace de una funcin racional era mediante la expansin ae (s) en fracciones parciales.* As, en el caso de polos simples y cuando nlm setena

ft(s) :

(s-2,) (s-2,).. .(s-)

(s-p,)(s- p,). . .(s-p " )

(ll)

y los parmetros Ar, A", . . . An, se determinaban multiplicando h(s) por (s-p) y evaluando s en el punto pi, o sea

l - (s-p; Afs) I'Apndice A.

ls=p

(12)

176 Sietemas lineales e invariables

con el tiemro

Recordando que la transformada de Laplace es lineal y que la de I eot es .i, se tiene que la transformada inversa de Laplace de ft(s) es s-a

J -' t A (s )l - lA , d ' t * A " b t+ . . . * A ^ e o * )u -, ( t )

( t3)

De la expresin anterior y de la ecuacin 11 puede deducirse que las funciones exponenciales que aparecen en la expresin /- [(s)] estn determinadas por los polos del sistema. Ms especficamente, la respuesta a impulso del sistema con una funcin de transferencia fr("), et una combinacin lineal de las funciones r'r, dond pi es un poto de (r). Co-o veremos a continuacin, la combinacin lineal de estas funciones est determinada por todos los polos y ceros del sistema. Supngase que se desea evaluar el coeficiente A, cuando las races son simples. De acuerdo con la ecuacin 12, se tendrAi=

(p-2,)(pt-2")

. . .(pr-z^)

(p - p , )(p - p " ) . . . (p - p -' )(p - , , ). . . (p r- p" ) p

(14)

Lo que implica que para evaluar los parmetros A se necesitan operaciones de resta, multiplicacin y divisin entre nmeros compleios, las que pueden realizarse grficamente como se explicar ms ade' lante. Antes de continuar, conviene recordar algunos conceptos bsicos acerca de los nmeros complejos. Cualquier nmero complejo a * ib donde i representa V-l puede ser expresado comoa*ib:RetQ donde R es la "magnitud" del nmero complejo, y viene dado por

R: { 7 + y es el "ngulo" del nmero complejo, o sea

,n+:!;La justificacin de esta igualdad se basa en etQ:cos*isen y en las igualdades trigonomtricas cos6: : sen:-

{TTTF o

{TToF+

de tal suerte que utilizando las definiciones de R, de { y las identi-

obtenein de la reepueeta impureo a partir de poroe y eeroa rr7 dades anteriores se comprueba que RetQ \f a, +F (cos * i sen6)

fr = \,rd+ bil: a +i b .

-*

[t'+a

lre

I

La reprresentacin de un nmero complejo mediante Rerr se denomina representacin polar. Tambin es comn utilizar las convencrones:

R =l a+j bl : { @ +i b)con lo cual un nmero complejo RerQ tambin puede repnesentarse como o bien

I a + i b | 4 @ +i b)

R O y por tanto l:: h(t) tampoco existe. Considrese el sistema de malla cerrada de la figura 33.

Figura 33. Reograma de un sistema con retroalimenta. cin unitaria.

(s)

(s)

[ ('l

i(s)

i ( s)

La variable que representaal nodo (s) es la diferencia entre la entrada y la salida y se denomina error de| sistema. La funcin de transferenct":!'l obtenidapor la frmula de Mason es (s)(s) -:-;o tambin (s) : (s) I

( s)

1 + /( s)

El estado estable del error, dado por el teorema del valor final es lm e(t) - lms (s) : lm s2(s) ( 18) "-" 1 * /z(s) Como y(t): u(t) - e(t) y se conoce a(l), se describir el compori.amiento asinttico en funcin del error e(t) para los tres tipos estndar de entradas.I -ro J{l

ll.l

Entrada esealnrnitario l ,(l)

El err0(" * 1)(" ' -^' )

k< 0* ?" u' o

Re [G(s)] =

@'lr"r--'=-2n(:.!l'))(o'-*')" * 4,'t'ot

Im fG(s)l -

El lugar geomtrico de G(s) est formado por aquellos Puntos en el plano complejo que satisfacen G*i')Im {G ( s ) \ : 0, o S4 or[o2-o2-2o(o] l)] :0

cuyas soluciones sonor : Q (esto es, el ej e real ), s,' " -' r2-2o\-2o - Q.

Lugar geomtrieo de las rrurlcrn237

Esta ltima ecuacin puede escribirse como (o*l)' +.' : I

que es la frmula de un crcuio con centro en - I y radio 1. En la figura 7 se presentan grficamente estos resultados o sea los puntos del lugar geomtrico.

ngur

7. Lugar geomtric! de:.

s+193

Al examinar Re [G(s)], se pueden separar las partes positiva y negativa del lugar geomtrico. Debido a que el denominador de la expresin obtenida para Re [G(s)] es positivo, gl srgno de ella queda determinado por el de (o*l) (''-.") *2,' y para que RetC(s)l sea negativoen el eje real (. = 0), es necesario que (o*l)d ( 0 o sea o < -1. I pertenezca Para que un punto en la circunferencia (o+l)'*.'= a l l g p e sfor zo so que ( ('* I ) ( +. +2o) -2 (o'12o) { de otros polos+ >{

2,fA LuSlr geomlrico de lae rlcee

Ftun 17. Lugar geomtri' co positivo en el eje real.

ii\ El ngulo de llegada del f gp avn cero complejo es 6 = 1800 + > { de polos - > { de otros ceros.* Iustificacin: Se ha mencionado repetidamente, para que s0 pertenezca al I g p, y es necesario suficienteque { G(s.) : l80o + ,'30o (l entero). Para justificar d), considreseun polo complejo en pt y un punto so pertenLncia al I g p, muy prximo d pt, de tal forma que para cualquier polo pt*pr-(o z\, el ngulo del vector sn-p ( s'-zi) ""ro prcticamente mismo que el del vector P-pi ( p-). Si se el sea llama d el ngulo de so-pr, se tiene - 0 - 2 4 de otros polos + > { de los ceros = -180" y al despejar d se logra la condicin i). En iigura 18 se ilustra el uso de esta regla' La condicin r) se prueba de na manera anloga' Ejemplo Considresela funcin de transferencia (s * 2 )(s ' * 4 s + 5 )

G(s/:Tl:':m

cuyo patrn de polos y ceros se muestra en la figura 19'* P a ra e l lgn

0 : ) { ceros - ) { otros polos : ) 4 polos- > { otros ceros.

R"gl"" para eonstmir el lugar geomrico poeivo 249

e:180.

- 0,-02*t*

#z

fLur f& Agulo de partida de un polo.

IIun f9. Grfica de po los y ceros.

Al respecto, se evaluarn los rngulosde partida del polo complejo situado en pt : i y el ngulo de llegada al cero zt = -2 * i. En la figura 20 se muestran los ngulos de los polos y los ceros al polo complejo pr por tanto el ngulo de partida desde el polo pr es d : 18 0 0 10 7 u +720 = 1450.

III

I

{ri

25O Lugar geomtrico de las races

::r= r-

45"270 0o

ft. 20. Determinacin del ngulo de partida de un polo.

9a:

> {

ceros: 72o

0:.: 90"0z: l7o

24polos:102.,

Para obtener el ngulo de llegada al cero zt, ss procede como se muestra en la figura 2l y por tanto el ngulo de llegada al cero en cuestin es : 180o+ 30" - 180o:3oo.

tz

i..' I

Ftlrlr. 2f. del ngulo eeFo.

Determinacin de llegada al

,'('-3 -2o

S'z:

90"90o

)

{. ceros:

l80o

\'

* ,-_ -j

0r= l35o o"= 45odr: l80o

)4Polos:30o

Como el nmero de polos y el nmero de ceros son iguales no hay asntoras. El lgp sobre el eje real existe en el intervalo (-2, -3). Con estos datos, puede bosquejarse el I g p de G(s) del ejemplo en la forma que se muestra en la figura 22.

R"gh" rora eonetnrir el lugar geomrioo poeitivo 2Sl

naun 22. lep de las ra$ ces de G(s).

Del lugar geomtrico de G(s) - (s*l)/c (ejemplo 3) puede observarse que el punto s = -2 es un punto comrln a os ramas indepen4 y er #= polinomio p(s) + ftog(s) es S + 4s * { - (s+2)' (ralces repedas). Cuando n so li ecuacin p(s) + &q(s) tiene una ralz mriltiple de orden f, por l pasan I ramas independientes del lugar geomtrico. Esta aseveracin puede comprobarse factorizando en donde P(s) + lc.q(s): (s-s)r l(s) d"ientes. Para s -2,1a ft conespondientees fr.:

ft": -P!""1 q(s")y escribiendo la ecuacin 5 como p(s) + kq(s): p(s) + k"q(s) + (k-tdq(s) = (s-so)'f(s) + + (k -k )Q (s )= o

que, de acuerdo con la regla 2, tiene I namas que parten del punto so. Regla 5. Ralces mltiplc,s,

El valor de s1 para el cual existen rafces mltiples en el lugar geo, mtrico positivo* (llamado punto silla), cumple.con la condicin -

-+-l AS'Esta

dG(s) |l = .

=0

condicin se cumpli tambin para el tgz.

rI

I

lu'

252 Lugar geomhico

de las races

Iustificacin: Debido a que si so es una raz mltiple de p (s )+ / < g (s )= o cuando k = lco,entonces es posible expnesar el polinomio anterior como p(s) + fr"q(s)- (s-so)'l(s), donde r ) 2 adems, al tomar la derivada de la expresin anterior con respecto a s y evaluarla en so se tendr:

dp(s) |

*, ,. l,=,.h?

dq( sl |

| ,lf t(s-$)''l(s) * (r-",)'T(s) | o l,=,.: l,=," l*,.:

de lo cual se concluye eue so debe satisfacer las dos condiciones siguientes: :0 p(so) * ft"q(so) :o tls lr=e -rdS le=r Al eliminar ftn de las ecuacionesanteriores, se obtiene que d p (s )l . , d q (s \ r tfco , ' |

e{ l"_,. #1,=,. ffi) -o{,,) : ola cual es la condicin del enunciado de la regla. Debe notarse que esta condicin es solamente necesariay no suficiente; su importancia radica en que por medio de ellas es posible determinar los puntos en los cuales hay cruces de ramas del I gp. Esto se ilustrar a continuacin mediante un ejemplo. Eiemplo 7 Encontrar el lugar geomtrico positivo de la funcin de transferencia

c(s) -

(s+3)(s * l)(s -l)

crryo patrn de polos y ceros se muestra en la figura 23.

Iltl te Patrn de polos y oeros de G(s).

R"Star rara eonrtmir el lugargeonrloo locidvo 25i De las reglas enunciadas se obtienen los siguientes datos: ) Nmero de ramas = 2. D) Nrimero de asfntotas : una, a 1800. c) Lugar geomtrico sobre el eje real en los segmentos (1, -l) y (-3, -o). d) Puesto que en el segmento (1, -1) hay lugar geomtrico entre rolos, deber exisr algrin punto altf para eI cual el I g p tenga ralces dobles. Ese punto estar dado por'na de las rarces det polinomio

q@d* ) -po )q = oo sea

(s+3 X 2 s)-(s'-1 ) :0 d + s*l =0sto esSo: {

[-r - /6'- -s.83L-3 + V 8: - 0 . 1 7

Asi, existe un punto silla en el intervdo (1, -l) localizado en : -0.U, que corresponde al lugar en el que los dos polos se separ?n ! dd eje real. I^a otra rafu (-5.83) corresponder al sitio donde se juntan lrs dos ramas del I g p, pues una de ellas debe terminar en el cero t la otra en - @. En la figura 24 se muestra el lugar geomtrico lositivo obtenido.

-s.&l

-a

-3

-:z

_i = rr

E ta. Irrgar gson trico positivo de G(s).

Eera encontrar los valores de ft en los cuales ocurren las rafces

-tlcs

se utiliza e = -1"+ tenindosecomo resultado: q(s)so=-0.17,So

k=

0. 3 4

254 Lugar geomtrico

de las raceg

Regla 6. Cruces con el eje imaginario. Por medio del criterio de Routh es posible determinar los puntos de cruce del I g p con el eje imaginario, as como los valores de ft para los cuales ocurre dicha interseccin. Recurdeseque por medio del criterio de Routh es posible determinar el nmero de races con parte real positiva, gue tiene un polino' mio. Debido a que cuando el I g p crclzaeI eje imaginario generalmente cambia el nmero de races con parte real positiva, es posible entonces, saber el valor de & cuando esto ocurre y adems determinar el punto de cruce. Para ilustrar el mtodo propuesto se analizar el caso gue se indica en la figura 25,

Figrr 25. Un rolos y ceros.

patrn

de

esto es

G (s ) =

( s+ l) ( s+ 2) ( s+3)

De acuerdo con las reglas dadas, existirn tres asntotas formando ngulos de 0o, 1800 y 3000. El centroide est dado por

Zpolos - ceros :n-. m

-9- -2 3

adems, los intervalos del eje real (-1, -2) y (-3, -o) pertenecen al lugar geomtrico positivo; tambin es posible encontrar el punto silla sobre el eje real utilizando

dG(s)ds esto es

:0

dc( s) :d/ds o lo que es equivalente ds\s'*

Is'*

lls * 6/

\= o

3s'?* l2s * 11 :0.

Regl,aerara conatmir el lugar geomtrico poaitivo 255

pero como el punto li silla debeestar en el intervalo(-1, -2) se utilizar la rafz Este polinomiotiene las racess: s=-2 +V T --1 .4 2 2 ; est dado,como se ha visto por el valor de ft asociado k-

-2 =

l

l c (-1.422)l

- 2.6

Se encontrar ahora la frecuencia . en donde hay cruce con el eje imaginario y los valores de ft asociados a esos puntos. Para ello considrese p ( s ) + kq( s) : ( r +1)(s+2)(s+3) + ft : s 3* s 2* lls + 6 + f t = 0 El arreglo de Routh correspondiente es

f" I f" 6 b tr l0 -: 6 f" 6+k

11 6 +k

Para k ) 0 existen dos cambios de signo, y por tanto dos ralces con parte real positiva; como para 0 < fr < 60 no hay ningn cambio de signo, se concluye que cuando ft: 0 habr dos races sobre el eje imaginario y los valores de fr asociados a esos puntos. Para ello conel arreglo de Routh produce un rengln de ceros (para lc = 60, en el rengln de f'), entonces el polinomio correspondiente al rengln ante' rior, s2+ + ft, o sea 6s' * 66, es factor del polinomio original; ensste CaSO,

s3 +6 s2 *l l s+ - (s'* 1 1 )(s + )v el valor de '. 6stTgspondiente al cruce es

*:ffCon esta informacin adicional puede bosquejarse el lgp considerado(figura 2). del caso

A continuacin se muestran algunos ejemplos de obtencin y utiliz a c i nde ltgp . Eiemplo 8 En ocasiones el mtodo del lugar geomtrico de las races puede aplicarse para la determinacin aproximada de los ceros de un poli nomio. En este ejemplo se muestra cmo utiluar las reglas del lugar geomtricopara obtener las ralces de un polinomio de tercer grado. Se trata de determinar las races del polinomio s"*5s2*3s*12:O.

256 Lugar geontrico de las ralceg

o=3.32i r-60

mn

Bosquejo

CTins+7,G')-i ,zi -3i -4j \

I

El primer paso es reordenar el polinomio en la forma

p (s )+ k " q (s )-0 donde p(s) y q(s) son polinomios factorizados. una vez rearizadoesto, se aplican las reslas generalesp"r-rrr"orrtrar el lgp. Et polinomio-pueae reorden-arse como sigue s 3 + 5 s ? * 3 (s * 4 )= O siendo factible escribirlo como s ' (s * 5 )* f t o (s + 4 )= 0 en donde la = 3. .E"r"..f9rTa poseedos_polosen el.grigen, uno en _5 y un cero en -4, pudindose aplicar er hetodo a"t t,rg". geomtrico para encontrar las races del polinomio. EI putrrr-" poros y ceros es conforme a ra figura 27.

t.l

oror"t.l|fSt-tottllltco

en el eje real est en et segmento compren-

lj lr I

\.

Reghr nra conrtnrir el lugar gcou&rloo poddvo 2t7

FL;uI 2?. Patrn de polos y cenos del polinornb re ordenado.

Hay dos aslntotas que forman ngulos de 90" y 2700. El centroide est en c=-i -5+4 I

El valor de lc para el cruce del I gp con el eje imaginario est dado por el criterio de Routh; como la ecuacin caracterlstica es .f(s*5)*t(s+4)=0 s'+ 5s2 fts * 4k=0 . * d arreglo de Routh es

f,

t"',

rk54k k

.54k

f,

Como no puede haber dos cambios de 5igno sea cual fuere el valor & t entoncesel I g p no crt?ael eje irnaginario (excepto en el origen). El nico punto de despegue es el origen (puesto que hay polos dobles). Con estos datos y utilizando la condicin de magnitud y ngulo, es psible obtener el I g p (figura 28).

se determinarn =H# bs puntos del lugar geomtrico con ft : 3. Usando un mtodo de ensato6, se encuentra el valor s - -4.89. Aun cuando es factible seguir usando estc mtodo para encontrar bs dos races restantes,tambin es posible fact