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ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE UTILIZANDO LA HOJA DE
CÁLULO
Autor: José A. Martínez Pons.
IES “Las Lagunas“ de Rivas Vaciamadrid.
Universidad Antonio Nebrija. Madrid
Resumen. La practica docente demuestra que el movimiento armónico simple es de dificil
compresión para los estudiantes de física al menos en sus primeros contactos con esta ciencia.
En la línea general de trabajo del autor, se propone una aplicación sencilla y elegante de la hoja
de cálculo que favorece su comprensión y análisis matemático.
Palabras clave: Movimiento armónico. Superposición. Figuras de Lissajous. Periodicidad.Hoja
de cálculo.
Abstract. The teaching practice demonstrates that the harmonic simple movement is of diffi-
cult compression for the students of physics at least in his first contacts with this science. In the
general line of work of the author, there is proposed a simple and elegant application of the
spreadsheet that favors his comprehension and mathematical analysis.
Key Words: Harmonic Movement. Superposition. Figures of Lissajous. Periodicity. Spread-
sheet.
2
INTRODUCCIÓN
En la línea de trabajo de usar el ordenador, entre otras cosas para mejorar la comprensión y
aplicación de los modelos matemáticos clásicos, se ha encontrado bastante provechoso el em-
pleo de la hoja de cálculo para el estudio del movimiento armónico simple.
No se pretende simular éste, ni por supuesto, sustituir el laboratorio clásico, imprescindible en
todo aprendizaje de la física que se pretenda serio, sino mediante un seguimiento punto a punto
o instante a instante, conseguir la comprensión de las ecuaciones que describen el fenómeno y
verificar su validez.
Dado el carácter activo que debe tener el alumno, la experiencia del autor parece poner de
manifiesto que mejora la significatividad del aprendizaje y la comprensión del modelo mate-
mático, mejor que los programas de simulación que existen en el mercado, no obstante la ma-
yor elegancia de estos ya que:
a) El estudiante programa el trabajo e interacciona con la herramienta iformática.
b) Es consciente de que está operando con un modelo matemático .
Las simulaciones por ordenador pensadas para los niveles a que se dirige esta trabajo, mu-
chas veces sacrifican el rigor y la precisión a la facilidad de programación y efectos gráficos
y son cajas negras, el estudiante no sabe por qué ocurre lo que ve en la pantalla.
FUNDAMENTO TEÓRICO.
Como es sabido, el movimiento armónico simple es aquel que responde a la ecuación
a kx= − Donde a representa la aceleración de la partícula , x su posición respecto al punto de
equilibrio y k es una constante esencialmente positiva.
El análisis de este movimiento , ya sea mediante la integración de la anterior ecuación diferen-
cial kxdt
xd −=2
2 ya mediante el estudio de un movimiento circular uniforme asociado, a mi
juicio más intuitiva y por tanto de mejor aplicación en Bachillerato, conduce a una posible
solución de la forma, x = A sen (ωt + Φ0) donde x representa la elongación, A la amplitud de
3
movimiento, ω=2π/T, la velocidad angular del movimiento circular asociado y T el periodo
común a ambos y Φ0 la fase inicial.
Derivando la expresión anterior, por ejemplo, se obtiene la ecuación de velocidad, v = Aωcos(ωt
+ Φ0) y derivando de nuevo, la aceleración a =- Aω2 sen(ωt + Φ0) =-ω2 x, es decir, k =ω2 de
donde Tk
= 2 1π
Detalles importantes pueden ser, por ejemplo, la necesidad del signo menos en la aceleración y
su no constancia con el tiempo y la correspondencia entre máximo de elongación y de acelera-
ción y ceros de estas magnitudes con máximo de velocidad y viceversa También se verifica la
necesidad de k > 0. Todo ello puede visualizarse de forma fácil con una hoja de cálculo así co-
mo experimentar modificaciones en los datos con respuesta numérica y gráfica inmediata y
siempre controlada por el alumno.
APLICACIÓN INFORMÁTICA.
Conocimientos básicos:
Manejo superficial de la hoja que se use. Este trabajo está enfocado a Excel, dada su difusión,
sin embargo, cualquier otra hoja, mutatis mutandis, sirve.( Martínez Pons, 1988)
Abierta la hoja nueva, se preparara la primera línea para introducir los parámetros fundamen-
tales. Es muy importante que se rotule la magnitud y la unidad en que viene expresada.
• Amplitud. A
• Periodo. T
• Ángulo de fase inicial. Φ0
Se recordará a los alumnos que la mayoría de hojas operan en radianes, que por otra parte es la
unidad natural de medida de ángulos. Ello requiere un pequeño esfuerzo en los estudiantes,
acostumbrados a manejar grados.
4
En Excel el número π de introduce como PI(). (Excel no es sensible a mayúscula/minúscula cuando se introducen
fórmulas, pero una vez las acepta las escribe siempre en mayúsculas, es buena práctica pues escribir las fórmulas en minúscula y
verificar que el programa las ha aceptado, precisamente por el cambio a mayúsculas)
PROBLEMA BASE
Se puede dar un doble enfoque al problema.
En el primero se partirá de la definición de movimiento armónico, a = -k x, siendo k una cons-
tante positiva. Lo que se está haciendo es una integración numérica, por lo que este procedi-
miento, el más sencillo e intuitivo puede que no sea adecuado para estudiantes de Bachillerato.
En el problema básico se dan como datos la amplitud y el valor de la constante y se asume que
cuando la amplitud es máxima la velocidad es cero, de modo que se tienen las dos condiciones
de contorno precisas.
La programación de la hoja es la siguiente.
En el encabezamiento se escriben las constantes, siempre con sus unidades.
Se programa la columna de tiempos. El incremento temporal , de momento se acepta provisio-
nalmente.
5
El primer valor de x copia el dato de entrada, con el se calcula la aceleración y la velocidad se
impone cero.
La segunda línea desarrolla el problema.
La velocidad se calcula de modo recurrente como
vn+1 = vn + an dt es decir C6 =C5+D5*$C$2
y la elongación
xn+1 = xn + vn dt es decir B6 = B5+C5*$C$2.
Como es obvio se está utilizando un método de Euler a punto final, que en estos casos es la más
ventajosa.( Cromer, 1981) ( Martínez Pons, 2002)
Se extiende la selección a unos cuatro mil puntos y se hacen las correspondientes graficas ( x,t )
; (v,t) ; (a,t) y (a,x) entonces se modifica el incremento temporal para conseguir unos seis pe-
riodos.
Es inmediato comprobar el carácter periódico de las valores de elongación posición y veloci-
dad, y sobre el propio gráfico se puede estimar esta periodicidad
Elongación
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
tiempo(s)
Elon
gaci
ón(m
)
Velocidad
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
tiempo(s)
velo
cida
d (m
/s)
Figura 1. Diagrama Elongación tiempo
Obsérvese la periodicidad
Figura 2 Diagrama velocidad Tiempo
Aceleración
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
tiempo(s)
acel
erac
ión
(m/s
2)
Aceleración
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3
Elongación(m)
Ace
lera
ción
(m/s
2)
6
Figura 3 Diagrama Aceleración tiempo. Ob-
sérvese la correspondencia entre los máximos
Figura 4 , Diagrama Aceleración Elongación
Obsérvese la proporcionalidad
Transformada de Fourier
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 10 20 30 40 50 60
Frecuencia (Hz)
Pote
ncia
Elongación
0
5E+17
1E+18
1,5E+18
2E+18
2,5E+18
3E+18
3,5E+18
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
tiempo(s)
Elon
gaci
ón(m
)
Figura 5 Transformada de Fourier del movi-
miento anterior, Obsérvese un único “pico”
Figura 6 El mismo problema rescindiendo del
signo (-) en la aceleración, la periodicidad
desaparece..
Como operación extra se puede aplicar la transformada de Fourier a la elongación , recordado
que Excel utiliza el algoritmo rápido que requiere que el número de ítem sea una potencia de 2 ,
para evitar “aliasing” conviene tomar por lo menos 1024 o 2048 puntos
No obstante no parece muy oportuno en el nivel propuesto hacer mucho énfasis en este tema ya
que los estudiantes desconocen el significado físico matemático de la transformada de Fourier,
pero se les puede explicar de modo semicualitativo, es decir como herramienta que detecta pe-
riodicidades.
El propio algoritmo de Excel adolece de alguna imprecisión, que no es momento de discutir
aquí.
Para su cálculo se invoca el menú “Herramientas”, “Análisis de datos”, “Transformada de Fou-
rier”, se designa el bloque de datos y se indica la salida, por defecto Excel crea una hoja aparte.
La serie “x” , frecuencias de la transformada se obtiene, por ejemplo, asignado el cero al primer
valor y a continuación obtener los otros sumando la inversa del intervalo de muestreo, partido
por el número de Ítem de la transformada. Sólo se debe representar la mitad de valores, a partir
del 1.
frecuencia C2==C1+1/Hoja1!$I$2/1024
potencia D2==(IM.ABS(A3))^2
7
También es muy interesante verificar la importancia del signo (-) en la aceleración, para ello
basta cambiar el signo de la constante k y se observa como desaparece la periodicidad y los
valores de x, v y a crecen sin cesar. .( Figuras 5)
Evidentemente , una vez preparada la hoja pueden variarse los parámetros. Sin embargo el
cálculo de la transformada de Fourier no es inmediato y requiere recalcularse cada vez
Otra forma de enfocar el problema es partir de las ecuaciones integradas o deducidas por pro-
yección de una partícula en movimiento circular uniforme sobre el diámetro de la circunferen-
cia, como habitualmente se hace en textos elementales.
Es el análisis de un movimiento armónico simple conocidas sus características.
Abierta la hoja, en A1 se rotulará “Amplitud/m “, en C1 “Periodo/s”, en E1 “Fase inicial/rad” y
en A2 “v. angular/rad/s”. En B2 se programará “=2*pi()/$D$1”.
En A4 se rotulará “Tiempo (s)” en B4 “Elongación(m)” en C4 “velocidad (m/s) y en D4 “Ace-
leración (m/s2)”.
El paso siguiente será programar las ecuaciones.
En A5 se escribirá el instante inicial, en general 0, se seleccionará una columna suficiente para
contener los instantes en que se estudiará el movimiento y con la opción llenar serie, se llenará
la columna. Es conveniente elegir el número de casillas y el incremento de modo que se abar-
quen entre dos y tres períodos, no recomendando, por razones prácticas, sobrepasar las cien
casillas de datos.
En B5 se programará la ecuación de elongación como =$b$1*sen($b$2*A5+$F$1), en C5 la
ecuación de velocidad como =$b$1*$b$2*cos($b$2*A5+$F$1), y en C5 la aceleración como =
-$b$1*$b$22 *sen($b$2*A5+$F$1), Puede también programarse una cuarta columna como =
B5*$b$22 y comprobar el resultado. Seleccionando el bloque y con la opción “ Llenar hacia
abajo”, se calculan los valores respectivos.
Par construir el gráfico basta con seleccionar el bloque completo desde A$ hasta el final y en-
trar en el asistente de gráficos, se le indicará que la primera columna contiene “etiquetas de
categoría” y seleccionar gráfico XY.
8
Un visionado del gráfico indicará rápidamente como se corresponden los máximos de cada
magnitud, como evolucionan en el tiempo.
Un simple cambio en alguno de los parámetros se traduce rápidamente en el gráfico. Así puede
verse como influye la fase inicial, la amplitud etc.
Puede también comprobarse como la ecuación en cosenos corresponde a un movimiento seme-
jante y comprobar como la ecuación cosenoidal corresponde a la senoidal con un desfase de π/2
rad
Armónico
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Tiempo(s)
x(m) v(m) a(m/s2)
Aceleracion - Elongación
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
Elongación(m)
Ace
lera
ción
(m/s
2)
Figura 7.- La periodicidad y el desfase de las
magnitudes se observa claramente.
Figura 8,. Se confirma que la dependencia
entre aceleración y elongación es a = -kx
Energías
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 500 1000 1500 2000 2500
Tiempo(s)
Ener
gía
(J)
Ep(J) Ec(J) Et(J)
Transformada de Fourier
-200000
0
200000
400000
600000
800000
1000000
1200000
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Frecuencia
pote
ncia
Elongación Velocidad
Figura 9 . Muestra la variación de las energías
cinética y potencial y la constancia de su su-
ma, es decir, el carácter conservativo del MAS
Figura 10 Transformada de Fourier de la
elongación y de la velocidad , donde se pone
de manifiesto que la periodicidad de ambas es
la misma
Otro ejercicio es comprobar la relación entre el movimiento armónico de amplitud A y periodo
T y el circular uniforme de radio A y el mismo periodo. No obstante , en este caso se llevará al
9
gráfico un sólo periodo de ambos movimientos, representando la elongación del armónico y la
posición del circular, eligiendo siempre diagrama XY, y recalcando que en general la circunfe-
rencia aparecerá distorsionada en forma de una elipse.
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS.
De cara a una posterior aplicación a las ondas resulta de interés el estudio de la composición de
movimientos armónicos. Se programarán ambos movimientos y se sumarán punto a punto
creando la adecuada columna. El gráfico mostrará cualitativamente el resultado.
En el caso particular de movimientos de la misma amplitud y frecuencia puede deducirse la
ecuación teórica, aplicando las conocidas relaciones trigonométricas de conversión de suma en
producto, programarla y comprobar que se obtienen los mismos resultados que por suma dire-
cta, punto a punto, además podrá verificarse sobre el papel que la frecuencia de los movimientos
de partida es la misma que la del movimiento suma y jugando con el desfase, siempre es reco-
mendable dejar uno de los movimientos con fase inicial cero, buscar los máximos y los nulos
de amplitud resultante.
PULSACIONES.
Si se suman dos movimientos armónicos de frecuencias y amplitudes diferentes se tiene un
nuevo movimiento armónico cuya amplitud fluctúa de acuerdo, en el caso más sencillo, en que
ambos movimientos se encuentran en fase, según A2 = A12+A2
2+2A1A2cos(ω1-ω2)t, a esta
fluctuación periódica en la en la amplitud se la llama pulsación..
Puede visualizarse fácilmente programando sendos movimientos armónicos y superponiéndolos
sumando punto a punto.
En este caso podrá ser necesario efectuar varios tanteos hasta conseguir una visualización com-
pleta. Se comprobará entonces que la frecuencia de las pulsaciones corresponde a la diferencia
de las frecuencias de ambos movimientos superpuestos.
10
Para ver la “Envolvente” es conveniente tomar algunas precauciones:
• Programar bastantes puntos
• Elegir periodos pequeños y no muy separados
• Una copia impresa del gráfico, preferiblemente en color, puede ser un excelente do-
cumento de trabajo.
Por supuesto es posible deducir las ecuaciones y comprobarlas gráficamente, sin embargo no
parece oportuno en alumnos principiantes.
Pulsación
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 50 100 150 200 250 300 350
t iempo( s)
x y suma
Figura 11 . Composición de dos MAS de frecuencias muy próximas en este caso
1 y 1,05 Hz. Se observa claramente la resultante y sus periodicidades.
11
FIGURAS DE LISSAJOUS
Mucho más interesante es la composición de movimientos armónicos perpendiculares, cuyo
resultado son las figuras de Lissajous.
Estas tradicionalmente se estudian mediante un osciloscopio, sin embargo estos aparatos son
escasos y su manejo no es en general fácil, por otra parte aunque muestran el fenómeno no es
fácil para el alumno medio de EE MM comprender su origen físico. Entiendo que con mi mé-
todo se consigue una mejor comprensión del fenómeno y además dada la respuesta inmediata a
cualquier cambio, su valor pedagógico es grande.
Para ello se programarán dos series de movimientos armónicos del mismo periodo y se repre-
sentará uno como X y otro como Y
.
Las celdas coloreadas en verde son aquellas en que se introducen los datos por el usuario.
Periodo, amplitud y ángulo de fase.
12
El incremento temporal se calcula a partir del periodo máximo a fin de abarcar cuatro periodos
dt= =MAX(B2:C2)/500. El resto de fórmulas informáticas se omiten por ser similares a las uti-
lizadas antes.
Combinando adecuadamente el ángulo inicial de fase, conviene fijar uno de ellos en 0 y jugar
con el otro, se obtienen las distintas figura, recordando, no obstante, que es posible, dada la
escala diferente en ambos ejes, que las figuras queden un poco distorsionadas, no obstante con
un poco de experiencia, es fácil, exportando la figura, por ejemplo a un procesador y jugando
con los botones de tamaño, llegar a un gráfico correcto, que puede sacarse por la impresora y
estudiarse sobre el papel.
Si se modifican los periodos de ambos movimientos, se buscará que sean conmensurables, obte-
niéndose figuras cuanto menos curiosas, en este caso siempre se buscará cubrir completamente
el periodo mayor. Si los periodos no son conmensurables, las curvas no se cierran
En todo caso, puede el profesor dar ya la hoja de trabajo preprogramada, de modo que al alum-
no no lo quede otra labor que modificar los parámetros y eventualmente, extender los resulta-
dos, sin embargo, la experiencia demuestra que el trabajo de programar las ecuaciones favore-
ce la comprensión y enriquece el nivel de conocimientos, aunque ralentiza el procedimiento.
En síntesis con la hoja se emula un osciloscopio con dos entradas.
Parece más práctico sobre todo por la mayor calidad de los gráficos, crear los gráficos en hoja
aparte y no incrustados en la hoja de trabajo, aunque esta última opción tiene la ventaja de la
inmediatez del resultado.
Figuras de lissajous
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
x
y
Figuras de lissajous
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
x
y
T(s) 10 5f(Hz) 0,1 0,2w(rad/s) 0,62831853 1,25663706
T(s) 10 10 f(Hz) 0,1 0,1 w(rad/s) 0,62831853 0,62831853
13
a 2 4fi(rad) 0 1,57079633
a 2 4 fi(rad) 0 1,57079633
Figuras de lissajous
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
Figuras de lissajous
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
T(s) 8 8,1f(Hz) 0,125 0,12345679w(rad/s) 0,78539816 0,77570189a 3 4fi(rad) 0 1,57079633
T(s) 1 15 f(Hz) 1 0,06666667 w(rad/s) 6,28318531 0,41887902 a 3 4 fi(rad) 0 1,57079633
Figuras de lissajous
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
x
y
Figuras de lissajous
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
x
y
T(s) 17 3f(Hz) 0,05882353 0,33333333w(rad/s) 0,36959914 2,0943951a 2 4fi(rad) 0 1,57079633
T(s) 5 10 f(Hz) 0,2 0,1 w(rad/s) 1,25663706 0,62831853 a 2 4 fi(rad) 0 1,04719755
Figuras de lissajous
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
Figuras de lissajous
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
T(s) 5 15f(Hz) 0,2 0,06666667w(rad/s) 1,25663706 0,41887902a 3 4fi(rad) 0 2,0943951
T(s) 5 15 f(Hz) 0,2 0,06666667 w(rad/s) 1,25663706 0,41887902 a 3 4 fi(rad) 0 1,57079633
14
Figuras de lissajous
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
Figuras de lissajous
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
T(s) 3 4f(Hz) 0,33333333 0,25w(rad/s) 2,0943951 1,57079633a 3 4fi(rad) 0 1,57079633
T(s) 8 5 f(Hz) 0,125 0,2 w(rad/s) 0,78539816 1,25663706 a 3 4 fi(rad) 0 1,57079633
Figura 12: Diferentes figuras de Lissajous y las características de los movimientos que las ori-ginan.
APLICACIÓN A MOVIMIENTOS CONCRETOS:
Con la hoja se puede simular problemas concretos, como el péndulo, cuya riqueza didáctica es
enorme (Nelson, 1984), ( Solaz,1990) ( Fuentes,1990) y es interesante por ejemplo utilizarla
para comprobar la aproximación clásica “de ángulos pequeños” ( Martínez Pons. 1999,2003 )
o el movimiento de un resorte, (Gonzalo, 1990) sin embargo a mi entender es en estos casos
preferible el experimento directo y en todo caso que la hoja sirva para el tratamiento matemáti-
co de los datos.
Se puede también emular algún fenómeno complejo, como el péndulo elástico, pero incluso su
modelización requiere en el alumno unos conocimientos que escapa a lo propuesto en este tra-
bajo aunque puede ser muy útil tanto como ejercicio de aplicación del formalismo de Lagrange
como para el estudio de sistemas dinámicos no lineales. En la misma línea estaría la simulación
del péndulo vibratorio es decir, un péndulo sujeto por ejemplo a la punta de una sierra de vai-
vén, cuya ejecución experimental puede hacerse sin grandes dificultades. Cualquiera de ellos
puede ser objeto de un interesante trabajo de investigación, combinando simulación y experi-
mentación. Del primero existe un completísimo trabajo (Cuerno,1992). Incluso es muy intere-
sante el estudio de la mecánica del Botafumeiro. (Sanmartín, 1990)
15
Plano X, Y
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8
x(m)
y(m
)
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Energía potencial gravitatoriaEnergía potencial elásticaEnergía totalEnergía cinética
Figura 13. Péndulo elástico “Trayectoria de la lenteja” y diagrama de energías
-6
-4
-2
0
2
4
6
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Transformada de Fourier
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
-1 1 3 5 7 9 11 13 15
Frecuencia (Hz)
Pote
ncia
Figura 14. Proyección bidimensional del dia-
grama de fases de un péndulo vibratorio
Figura 15, Transformada de Fourier se observan
los dos “picos”
CONCLUSIONES.
El uso de programas de uso general, concretamente hoja de cálculo permite una comprensión
mayor de los modelos matemáticos.
Aclara el papel de cada parámetro: Amplitud, periodo, frecuencia y fase inicial, en el movimien-
to armónico.
Permite una comprobación instantánea de la influencia de sus variaciones.
BIBLIOGRAFÍA. (Los textos generales no se citan expresamente en el texto)
ALONSO. A. FINN (1976) Física. · 3 tomos. Fondo Educativo Interamericano. México. (Existe
una edición más reciente , 1995, en un sólo tomo)
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