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Análisis dinámico de un pórtico con Mathcad
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Ejercicio 1. Un prtico de 3 niveles tiene las propiedades mostradas en la figura. Usando el
espectro de respuesta para su ciudad, determinar con Mathcad o Excel:
a) Matriz de masa M
b) Matriz de rigidez K
c) Graficar modelo dinmico
d) Frecuencias naturales ne) Periodo natural Tn
f) Aceleracin espectral An
g) Matriz de eigenvectores nh) Graficar los 3 primeros modos de vibrar
i) Matriz modal normalizada P
j) Verificar propiedad de factor de participacin
k) Desplazamientos en cada nivel Uc
l) Fuerzas laterales en cada nivel Fsc
m) Cortante basal Vb
n) Graficar fuerzas laterales en cada nivel y la cortante basal
o) Derivas de entrepiso en cada nivel cp) Graficar derivas de entrepiso en cada nivel
Datos:
Masa Nivel 1: m1 = 25 kgf*s2/cm
Masa Nivel 2: m2 = 50 kgf*s2/cm
Masa Nivel 3: m3 = 100 kgf*s2/cm
Rigidez 1: k1 = 10000 kgf/cm
Rigidez 2: k2 = 10000 kgf/cm
Rigidez 3: k3 = 10000 kgf/cm
Gravedad: g = 980.7 cm/s2
m1 25:=
m2 50:=
m3 100:=
k1 10000:=
k2 10000:=
k3 10000:=
g 980.7:=
Solucion:
a) Matriz de masa M:
M
m1
0
0
0
m2
0
0
0
m3
:= M
25
0
0
0
50
0
0
0
100
=
b) Matriz de rigidez K:
K
k1 k2+
k2
0
k2
k2 k3+
k3
0
k3
k3
:= K
2 104
1 104
0
1 104
2 104
1 104
0
1 104
1 104
=
c) Graficar modelo dinmico:
d) Frecuencias naturales n:
(K - n2 * M) * (n) = 0
K n( )2M
20000 25 n( )2
10000
0
10000
20000 50 n( )2
10000
0
10000
10000 100 n( )2
K n( )2M 162500000 n( )
4 125000 n( )
6 42500000000 n( )
2 1000000000000+
5.10660020933
5.10660020933
17.9558792783
17.9558792783
30.8465400596
30.8465400596
1 5.1066:= rad/s
2 17.9559:= rad/s
3 30.8465:= rad/s
e) Periodo natural Tn:
Primer modo: T12
1:= T1 1.23= s
Segundo modo: T22
2:= T2 0.35= s
Tercer modo: T32
3:= T3 0.204= s
f) Aceleracin espectral An:
A1 0.350 g:= A1 343.245= cm/s2
A2 0.231 g:= A2 226.542= cm/s2
A3 0.193 g:= A3 189.275= cm/s2
g) Matriz de eigenvectores n:
Para: 1 5.107=
K 12M
1.935 104
1 104
0
1 104
1.87 104
1 104
0
1 104
7.392 103
=
K 12M( )
11
21
31
19348.065911 11
10000 21
18696.131822 21
10000 11
10000 31
7392.263644 31
10000 21
Si: 11
1:=
21
19348.0659 11
10000:=
211.935=
31
10000 21
7392.2636:=
312.617=
Para: 2 17.956=
K 22M
1.194 104
1 104
0
1 104
3.879 103
1 104
0
1 104
2.224 104
=
Si: 12
1:=
22
11939.6414 12
10000:=
221.194=
32
10000 22
22241.4345:=
320.537=
Para: 3 30.846=
K 32M
3.788 103
1 104
0
1 104
2.758 104
1 104
0
1 104
8.515 104
=
Si: 13
1:=
23
3787.6641 13
10000:=
230.379=
33
10000 23
85150.6562:=
330.044=
11
21
31
12
22
32
13
23
33
:=
1
1.935
2.617
1
1.194
0.537
1
0.379
0.044
=
Normalizacin:
n1m1
100011( )
221( )
2+
31( )2
+
0.5
:= n1 0.538=
n2m2
100012( )
222( )
2+
32( )2
+
0.5
:= n2 0.368=
n3m3
100013( )
223( )
2+
33( )2
+
0.5
:= n3 0.338=
Matriz normalizada:
n
11
n1
21
n1
31
n1
12
n2
22
n2
32
n2
13
n3
23
n3
33
n3
:= n
1.857
3.594
4.862
2.715
3.241
1.457
2.955
1.119
0.131
=
h) Graficar los 3 primeros modos de vibrar:
2 0,
4.862:= 2 1,
1.457:= 2 2,
0.131:=
1 0,
3.594:= 1 1,
3.241:= 1 2,
1.119:=
0 0,
1.857:= 0 1,
2.715:= 0 2,
2.955:=
Modo 1 Modo 2 Modo 3
i) Matriz modal normalizada P:
P n( )TM
1
1
1
:=T
n( )T
1.857
2.715
2.955
3.594
3.241
1.119
4.862
1.457
0.131
=T
P
1.857
2.715
2.955
3.594
3.241
1.119
4.862
1.457
0.131
M
1000
1
1
1
:=
P
0.712
0.084
0.031
=
j) Verificar propiedad de factor de participacin:
Pn*1n = 1
Pn*1n = P0,0*0,0 + P1,0*0,1 + P2,0*0,2
P0 0,
0 0,
P1 0,
0 1,
+ P2 0,
0 2,
+ 1.643=
k) Desplazamientos en cada nivel Uc:
P
P0 0,
0
0
0
P1 0,
0
0
0
P2 0,
:= P
0.712
0
0
0
0.084
0
0
0
0.031
=
AA1
0
0
0
A2
0
0
0
A3
:= A
343.245
0
0
0
226.542
0
0
0
189.275
=
1
0
0
0
2
0
0
0
3
:= 2
26.077
0
0
0
322.414
0
0
0
951.507
=
Un P A
2
:= U
17.415
33.695
45.582
0.161
0.192
0.086
0.018
6.907 103
8.111 104
=
Uc
U0 0, ( )
2U0 1, ( )
2+ U
0 2, ( )2
+
0.5
U1 0, ( )
2U1 1, ( )
2+ U
1 2, ( )2
+
0.5
U2 0, ( )
2U2 1, ( )
2+ U
2 2, ( )2
+
0.5
:= Uc
17.416
33.696
45.582
= cm
l) Fuerzas laterales en cada nivel Fsc:
F K U:= F
1.135 104
4.393 104
1.189 105
1.295 103
3.092 103
2.781 103
433.769
328.598
77.18
= kgf
Fsc
F0 0, ( )
2F0 1, ( )
2+ F
0 2, ( )2
+
0.5
F1 0, ( )
2F1 1, ( )
2+ F
1 2, ( )2
+
0.5
F2 0, ( )
2F2 1, ( )
2+ F
2 2, ( )2
+
0.5
:= Fsc
1.144 104
4.404 104
1.189 105
= kgf
m) Cortante basal Vb:
V FT
1
1
1
T
:=T
V 174200.0 1606.0 182.351( ):= kgf
Vb V0 0, ( )
2V0 1, ( )
2+ V
0 2, ( )2
+
0.5
:= Vb 1.742 105
= kgf
n) Graficar fuerzas laterales en cada nivel y la cortante basal:
Fsc2 0,
1.189 105
= kgf
Fsc1 0,
4.404 104
= kgf
Fsc0 0,
1.144 104
= kgf
Vb 1.742 105
= kgf
o) Derivas de entrepiso en cada nivel c:
U0 0,
U1 0,
U1 0,
U2 0,
U2 0,
0
U0 1,
U1 1,
U1 1,
U2 1,
U2 1,
0
U0 2,
U1 2,
U1 2,
U2 2,
U2 2,
0
:=
16.28
11.887
45.582
0.031
0.278
0.086
0.025
7.718 103
8.111 104
= cm
c
0 0, ( )
20 1, ( )
2+
0 2, ( )2
+
0.5
1 0, ( )
21 1, ( )
2+
1 2, ( )2
+
0.5
2 0, ( )
22 1, ( )
2+
2 2, ( )2
+
0.5
:= c
16.28
11.89
45.582
= cm
p) Graficar derivas de entrepiso en cada nivel: