Analisis Dinamico

ANALISIS DINAMICO CON UN GRADO DE LIBERTAD POR NIVEL

Prof. Orlando Ramírez Boscán

Mérida, febrero 2007

Universidad de Los Andes

Facultad de Ingeniería

Departamento de Estructuras

Proyectos Estructurales

Dinámica Estructural

La principal causa de daños que las estructuras experimentan en un terremoto es debida a su respuesta a

los movimientos en la base, transmitidos por las vibraciones sísmicas del terreno.

Esas vibraciones son variables en el tiempo, por lo que las fuerzas inducidas y toda su respuesta también son

variables en el tiempo.

El análisis que se hace de las estructuras bajo esas condiciones “dependientes del tiempo”, es lo que se

llama Análisis Dinámico de Estructuras.


GRADOS DE LIBERTAD DINAMICOSEl número de grados de libertad es igual al número de

desplazamientos independientes requeridos para definir la posición desplazada de todas las masas con respecto a su

posición original

m mu(t)

SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD DINAMICO

u(t)

m1

m2

m3

m4

m5

m1

m2

m3

m4

m5 u5(t)

u4(t)

u3(t)

u2(t)

u1(t)

MODO 1 MODO 2 MODO 3 MODO 4 MODO 5

SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

MODO 1T1

MODO 2T2

MODO 3T3

MODO 4T4

MODO 5T5


2T π=

ω

φ51

φ51

φ21

φ11

φ31

φ41


COORDENADAS MODALES

φ52

φ42

φ32

φ22

φ12

φkj: coordenada modal del nivel k, modo j

Análisis Dinámico Plano

Efectos Traslacionales

METODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL CON UN GRADO DE

LIBERTAD POR NIVEL

Efectos Torsionales METODO DE LA TORSION ESTATICA EQUIVALENTE

NORMA COVENIN 1756-01

METODO DE SUPERPOSICION MODAL CON UN GRADO DE

LIBERTAD POR NIVEL

m4

Método de Superposición Modal con un Grado de Libertad por Nivel

MODELO MATEMATICO

SISTEMA DE MASAS CONCENTRADAS EN CADA NIVEL, A CADA UNA DE LAS CUALES SE LES CONSIDERA

UN GRADO DE LIBERTAD

MGDL

m1k1

k2

m2

k3

k4m3

1

2

3

4


NUMERO MINIMO DE MODOS

Las formas modales y sus correspondientes períodos de vibración se obtienen resolviendo el problema característico, es

decir obteniendo los autovalores y autovectores de la estructura, usando las rigideces elásticas y las masas correspondientes a

cada nivel.

El número mínimo de modos que se deben incorporar al análisis, N1, se obtienen de las siguientes expresiones (O. López y M.

Cruz):

PARA EDIFICIOS CON MENOS DE 20 PISOS

11 *

T1N 1.5 3 32 T

⎛ ⎞= − + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

PARA EDIFICIOS CON MAS DE 20 PISOS

11 *

T2N 1.5 4 43 T

⎛ ⎞= − + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠


DETERMINACIÓN DEL CORTE BASAL MODAL

La contribución del modo j al corte basal, V0j, en una edificación de masa M, se determina mediante la siguiente expresión:

0 j j djV MA g= β

donde:

Adj : ordenada del espectro inelástico, correspondiente al período Tj del modo j

2N

k kjk 1

j N2

k kjk 1

m1M m

=

=

⎡ ⎤φ⎢ ⎥⎣ ⎦β =φ

∑

∑

φkj : coordenada modal del piso k, modo j

mk : masa del piso k

N : número total de pisos

βj : Fracción de la masa total del edificio, o masas participativas, asociadas con la respuesta en el modo j


FUERZAS MODALES DEBIDAS A LOS EFECTOS TRASLACIONALES

El máximo desplazamiento, ukj, en el nivel k, modo j se obtiene2

jkj kj j dj

Tu A g

2⎡ ⎤

= φ γ ⎢ ⎥π⎣ ⎦La fuerza lateral en el nivel k, debido al modo j es:

kj k kj j djF m A g= φ γ

N

k kjk 1

j N2

k kjk 1

m

m

=

=

φγ =

φ

∑

∑γkj : factor de participación de cada

modo de vibración (j)


COMBINACION MODALLos valores de diseño para el corte basal y las fuerzas a nivel de

piso se determinan como los valores máximos probables obtenidos usando, para la combinación modal, el criterio de la raíz

cuadrada de la suma de los cuadrados o de la combinación cuadrática completa de los valores máximos de cada modo.

CONTROL DE CORTANTE BASAL Y VALORES DE DISEÑO

El corte basal obtenido, V0, no podrá ser menor que el obtenido usando el método estático equivalente, V0

*, con un período T = 1.6 Ta .

Cuando V0 sea menor que V0*, los valores para el diseño deberán

multiplicarse por V0*/V0.

El cociente V0/W no será menor que el coeficiente sísmico mínimo

Posteriormente se considerarán los efectos P-D (Art. 8.5), y finalmente se suman los efectos torsionales obtenidos por el

método de la Torsión Estática Equivalente.

METODO DE HOLZER

Método de Holzer

Método iterativo que permite calcular las frecuencias y formas modales de sistemas de un grado de libertad por nivel.

1. Suponer la frecuencia ωj2, para el modo j, y la coordenada

modal de la primera masa, φ1 (tomar φ1 = 1).

2. Determinar el desplazamiento u1 y la fuerza en el resorte Fc1 = k1u1.

3. Calcular la Fuerza de inercia (masa) Fi1=-m1φ1ωj2 (siempre

negativa)

4. Determinar por equilibrio Fc2 = Fc1 + Fi1

5. Conocida Fc2, calcular u2 = Fc2/k2 y φ2 = u1 + u2

6. Calcular Fi2 = -m2φ2ωj2, y continuar el proceso hasta el

último piso.

7. Chequear en el último piso que se cumpla que Fcn – Fin = 0. En caso contrario repetir todo el procedimiento anterior para otro valor de la frecuencia ωj

2.

EJEMPLOEJEMPLO

NN00

NN11

NN22

NN33

NN44

NN55

MM11

MM22

MM33

MM44

MM55

KKPN1PN1

KKPN2PN2

KKPN3PN3

KKPN4PN4

KKPN5PN5

Estructura realEstructura real Estructura equivalenteEstructura equivalente

Niveles Niveles

Masa de pisoMasa de piso

Rigidez de pisoRigidez de piso

Sistema 1GDL por nivelSistema 1GDL por nivel

s.d.o.f. se le aplica el s.d.o.f. se le aplica el MMéétodo de Holzer.todo de Holzer.

Método de Holzer

EJEMPLOEJEMPLO

Método de Holzer

m1 = 0.05 Ton seg2/cm



K1 = 22000 Ton/cm

K3 = 5500 Ton/cm

K2 = 16500 Ton/cm

m1 = 2m

m2 = 1m

m3 = 1m

k1 = 4k

k2 = 3k

k3 = 1k

M = 0.025 Ton seg2/cm

K = 5500 Ton/cm

4k4k 3k3k kk

11 22 33

2m2m mm mm

u1

u2

u3

ωωjj22 = 1 k/M= 1 k/M

4k4k 3k3k kk

11 22 33

2M2M MM MM

φφ 11

uu 11

FFcc 4k4k

FFii --2k2k

2k2k

2/32/3

5/35/3

--5/3k5/3k

1/3k1/3k

1/31/3

22

--2k2k

R = R = --5/3k # 05/3k # 0

Suponer la frecuenciaSuponer la frecuencia ωj2 Suponer la coordenada nodal Suponer la coordenada nodal φφ11

Desplazamiento uDesplazamiento u11 = = φφ11 Calcular FcCalcular Fc11 = u= u11 kk11

Calcular FiCalcular Fi11 = = -- MM11φφ11ωωjj22 Por equilibrio FcPor equilibrio Fc22 = Fc= Fc11 + Fi+ Fi11

Calcular uCalcular u22 = F= Fc2c2 / k/ k22 Calcular Calcular φφ22 = u= u11 + u+ u22

Como el residuo (Como el residuo (úúltimo nivel) es diferente de cero suponer otra frecuencia ltimo nivel) es diferente de cero suponer otra frecuencia ωωjj22 y y

repetir el proceso hasta que R = 0repetir el proceso hasta que R = 0

Método de Holzer

METODO DE HOLZER

M = 0.025 Ton seg^2/cm Normalizando las M's y las K's respecto al último pisoK = 5.500 Ton / cm descripción rigidez 1 masa 1 rigidez 2 masa 2 rigidez 3 masa 3g = 981.000 cm / seg^2 datos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00

M3 = M 0.025 Ton seg^2/cmM2 = M 0.025 Ton seg^2/cm

M1 = 2*M 0.050 Ton seg^2/cmK3 = K 5.500 Ton / cm

K2 = 3*K 16.500 Ton / cmK1 = 4*K 22.000 Ton / cm

descripción rigidez 1 masa 1 rigidez 2 masa 2 rigidez 3 masa 3 Residuodatos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00

frecuencia ωj2 1.00 k/M

φ1 1.00 1.6667 2.0000u1 1.0000 0.6667 0.3333 -1.67Fc1 4.0000 2.0000 0.3333Fi1 -2.0000 -1.6667 -2.000

datos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00frecuencia ωj

2 3.00 k/Mφ1 1.00 0.3333 -2.6667u1 1.0000 -0.6667 -3.0000 5.00Fc1 4.0000 -2.0000 -3.0000Fi1 -6.0000 -1.0000 8.000


2 2.00 k/Mφ1 1.00 1.0000 -1.0000u1 1.0000 0.0000 -2.0000 0.00Fc1 4.0000 0.0000 -2.0000Fi1 -4.0000 -2.0000 2.000

Datos del problema

descripción rigidez 1 masa 1 rigidez 2 masa 2 rigidez 3 masa 3 Residuodatos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00

frecuencia ωj2 0.40 k/M

φ1 1.00 2.0667 4.4400u1 1.0000 1.0667 2.3733 0.60Fc1 4.0000 3.2000 2.3733Fi1 -0.8000 -0.8267 -1.776


2 0.50 k/Mφ1 1.00 2.0000 4.0000u1 1.0000 1.0000 2.0000 0.00Fc1 4.0000 3.0000 2.0000Fi1 -1.0000 -1.0000 -2.000


2 4.00 k/Mφ1 1.00 -0.3333 -3.0000u1 1.0000 -1.3333 -2.6667 9.33Fc1 4.0000 -4.0000 -2.6667Fi1 -8.0000 1.3333 12.000


2 5.00 k/Mφ1 1.00 -1.0000 -2.0000u1 1.0000 -2.0000 -1.0000 9.00Fc1 4.0000 -6.0000 -1.0000Fi1 -10.0000 5.0000 10.000


2 6.00 k/Mφ1 1.00 -1.6667 0.3333u1 1.0000 -2.6667 2.0000 0.00Fc1 4.0000 -8.0000 2.0000Fi1 -12.0000 10.0000 -2.000

DATOS SISMICOS

M = 0.025 Ton seg^2/cm ω1 = 10.4881 rad/seg

K = 5.500 Ton / cm ω2 = 20.9762 rad/seg

g = 981.000 cm / seg^2 ω3 = 36.3318 rad/seg

M3 = M 0.025 Ton seg^2/cm T1 = 0.5991 seg

M2 = M 0.025 Ton seg^2/cm T2 = 0.2995 seg

M1 = 2*M 0.050 Ton seg^2/cm T3 = 0.1729 seg

K3 = K 5.500 Ton / cm ai 1º modo 2º modo 3º modoK2 = 3*K 16.500 Ton / cm N3 = 4.0000 -1.0000 0.3330K1 = 4*K 22.000 Ton / cm N2 = 2.0000 1.0000 -1.6670

N1 = 1.0000 1.0000 1.0000

frecuencias

períodos

formasmodales

RESULTADOS DEL ANALISIS MODAL

localidad Mérida Zona Sísmica 5.00 Coef. Ao 0.30 Grupo B2 F. Imp α 1.00Suelo S1 T* 0.40 β 2.40 p 1.00 Tipo Est. I

Nivel Diseño ND3 R 4.50 T+ 0.35 C.Corr ϕ 1 Mat Ct 0.07alt. total hn 9.00

Cálculo período fundamental Ta (aprox) 0.364 seg

Fuerzas Sísmicas para T1 = 0.5991 seg.mo do / perio do niveles Mk φ ik Mk x φ ik Mk x (φ ik)^2 Adj Vo1 (Ton) factor Vo1 Fi1 (Ton) chequeo

3 0.025 4.0000 0.10000 0.40000 0.50 3.811 3.8112 0.025 2.0000 0.05000 0.10000 0.25 1.905 5.7161 0.050 1.0000 0.05000 0.05000 0.25 1.905 7.622

Σ = 0.100 0.20000 0.55000 1.00


3 0.025 -1.0000 -0.02500 0.02500 -0.50 -2.064 -2.0642 0.025 1.0000 0.02500 0.02500 0.50 2.064 0.0001 0.050 1.0000 0.05000 0.05000 1.00 4.129 4.129

Σ = 0.100 0.05000 0.10000 1.00


3 0.025 0.3330 0.00833 0.00277 0.50 0.223 0.2232 0.025 -1.6670 -0.04168 0.06947 -2.50 -1.115 -0.8931 0.050 1.0000 0.05000 0.05000 3.00 1.338 0.446

Σ = 0.100 0.01665 0.12224 1.00

3T3 = 0,1729

< T+0.200 0.446

1T1 = 0,5991

> T*0.107 7.622

2T2 = 0,2995

< T+0.168 4.129

FUERZAS SISMICAS MODALES

0 j j djV MA g= β

2N

k kjk 1

j N2

k kjk 1

m1M m

=

=

⎡ ⎤φ⎢ ⎥⎣ ⎦β =φ

∑

∑kj k kj j djF m A g= φ γ

N

k kjk 1

j N2

k kjk 1

m

m

=

=

φγ =

φ

∑

∑

MODO NIVEL Fi3 3.811 NIVEL Fi2 1.905 3 4.34 Ton1 1.905 2 3.02 Ton3 -2.064 1 4.74 Ton2 2.0641 4.129 NOTA:3 0.223 1.- Anal izar la estructura en el sentido ortogonal 2 -1.115 2.- Efecto rotacional apl icar el Método Torsión Estática Equivalente.1 1.338

1

2

3

Fuerzas Def initivas

Las Fuerzas Laterales equivalentes definitivas en cada piso, se determinarán utilizando la combinación modal: RAIZ CUADRADA DE LA SUMA DE LOS CUADRADOS

FUERZAS SISMICAS POR TRASLACIONCombinación SRSS

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Modo 1

Modo 2

Modo 3

T1 = 0.5991 seg

T2 = 0.2995 seg

T3 = 0.1729 seg

FORMAS MODALES

4.34 Ton

3.02 Ton

4.74 Ton

FUERZAS SISMICAS POR TRASLACION

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