CVRM / Centro de Geo-sistemas

ANLISE GEOESTATSTICA DE DADOS

Antnio Jorge Sousa

Janeiro de 2000

1

ANLISE GEOESTATSTICA DE DADOS

INTRODUO Nas Cincias da Terra usual a ocorrncia de quadros multivariados de dados que podem ser organizados sob a forma de uma matriz de dimenso n x p (n linhas por p colunas). A matriz de dados contm os valores observados em n objectos (unidades estatsticas ou amostras1). Cada um dos n objectos caracterizado pelos valores respeitantes a p variveis (atributos). As variveis podem tomar valores numricos, contnuos ou discretos, ou valores qualitativos (cdigos). Trata-se, portanto, de quadros de dados do tipo dos tratados pelos procedimentos estatsticos multivariados. No entanto, apresentam, em geral, uma caracterstica exclusiva que advm do facto de as variveis serem medidas ou observadas em amostras recolhidas em pontos (ou volumes2 centrados nesses pontos) localizados no espao geogrfico. Cada uma das amostras , assim, caraterizada tambm por um conjunto de 1, 2 ou 3 coordenadas espaciais a que pode acrescer, em determinado tipo problemas, 1 coordenada temporal. Trata-se, portanto, de dados regionalizados, na medida em que os valores tomados pelas variveis dependem da localizao espacial.

Em geral, os quadros de dados so de grandes dimenses, pelo que necessrio encontrar mtodos de anlise que permitam extrair a informao relevante da massa bruta de dados.

Neste trabalho passa-se em revista diversas tcnicas cujo objectivo a descrio de quadros de dados. Particular ateno ser dada aos mtodos factoriais, de base geomtrica, que permitem a visualizao dos dados em espaos de dimenso reduzida, engendrada por um pequeno conjunto de factores que sintetizam os dados. Na primeira parte do trabalho, relembra-se os fundamentos tericos da Anlise em Componentes Principais (ACP), mtodo includo na famlia dos mtodos factoriais particularmente adaptado para extrair as caractersticas estruturais essenciais de um quadro de dados quantitativos.

No entanto a ACP deixa escapar uma caracterstica crucial deste tipo de dados que o seu carcter regionalizado. As variveis apresentam, em geral, uma estrutura espacial que, salvo casos particulares, no detectada em toda a sua complexidade por este mtodo.

1 A cada um dos elementos da amostra d-se tambm, vulgarmente, o nome de amostra.

2 Cada amostra tambm caracterizada pelo volume (e/ou instante de tempo) onde a varivel, medida. A esta caracterstica d-se o nome de suporte da amostra.

2

Aps reviso das principais medidas de continuidade espacial, introduz-se as trs tcnicas nucleares da Anlise Geoestatstica de Dados. Em comum baseiam-se na generalizao da ACP por introduo da estrutura espacial das variveis.

A primeira, denominada Anlise Factorial de Corregionalizaes, uma tcnica puramente descritiva, baseada na anlise das medidas de continuidade experimental das variveis.

A segunda, denominada Anlise Factorial do Modelo Linear de Corregionalizao, pressupe a modelao prvia da estrutura espacial das variveis, e baseia-se na anlise das matrizes de corregionalizao tericas. Pretende identificar as caractersticas estruturais essenciais, denominados factores regionalizados e componentes espaciais, de um conjunto de dados regionalizados. A Krigagem Factorial, ao permitir estimar aqueles factores e componentes identificados pela Anlise Factorial do Modelo Linear de Corregionalizao, possibilita a sua cartografia espacial, facilitando a interpretao.

As potencialidades de cada uma das tcnicas apresentadas so evidenciadas atravs de casos de estudo ilustrativos.

A matriz de dados ser representada pela matriz Z, cujas colunas, representadas por jz , j=1,,p, correspondem s p variveis. As coordenadas espaciais sero

representadas pela matrix X. As coordenadas espaciais da amostra i sero representados por ix . O elemento genrico de Z, representado por ijz ou zj(xi), corresponde ao valor da varivel j medido ou observado na amostra i recolhida no ponto de coordenadas xi.

ANLISE EM COMPONENTES PRINCIPAIS A Anlise em Componentes Principais foi formulada independentemente por Pearson (1901) e Hotteling (1933). Trata-se de uma tcnica de anlise de dados que pode ser introduzida recorrendo a conceitos geomtricos, em que as variveis originais, tomadas como eixos definindo um espao onde se posicionam as amostras, so substitudas por outras variveis (os factores), obtidos custa de um novo sistema de eixos que se ajusta melhor nuvem constituda pelas amostras. Esta uma formulao mais prxima da de Pearson.

Em geral, as variveis de base so muito heterogneas, apresentando valores mdios e varincias muito diferentes, podendo estar expressas em unidades de medida de natureza diversa. Os resultados da anlise destes dados brutos podem reflectir apenas o efeito das diferentes unidades (%, ppm, Kg, m, cm, ) em que cada uma das variveis foi medida.

3

Para reduzir este efeito conveniente transformar a matriz de dados Z numa outra T, cujo elemento genrico tij dado por:

j

jijij

s

zz

nt

=

1

onde jz e sj so, respectivamente, a mdia aritmtica e o desvio padro dos valores

tomados pela varivel j. As novas variveis tj so adimensionais com mdia nula e varincia unitria. A matriz T pode ser assimilada a duas nuvens de pontos distintas conforme o espao escolhido:

- Cada linha de T um vector que representa a posio de um indivduo no espao das variveis R p.

- Cada coluna de T um vector que representa a posio de uma varivel no espao dos indivduos R n

Como j referido, o objectivo genrico dos mtodos factoriais de anlise de dados, em geral, e da Anlise em Componentes Principais, em particular, o de encontrar um novo sistema de eixos que se ajuste o melhor possvel, de acordo com determinado critrio, a estas nuvens de pontos.

No caso da anlise em R p, o critrio dos mnimos quadrados conduz, a que os eixos factoriais sejam dados pelos vectores prprios u da chamada matriz de inrcia da nuvem das amostras, dada por TT' (Pereira & Sousa, 1988). Estes novos eixos esto hierarquizados pelos valores prprios da matriz de inrcia.

Analogamente, no caso da anlise em R n, o critrio dos mnimos quadrados conduz, a que os eixos factoriais sejam dados pelos vectores prprios v da chamada matriz de inrcia das variveis dada por TT' (Pereira & Sousa, 1988). Estes novos eixos esto hierarquizados pelos valores prprios da matriz de inrcia.

Mostra-se que, admitindo que p

4

Os primeiros eixos factoriais, cujo nmero escolhido de acordo com determinados critrios, deve explicar uma proporo importante da inrcia total (Pereira & Sousa, 1988), representam os traos principais presentes no quadro de dados. A anlise da projeco das amostras e das variveis nos planos formados pelos primeiros eixos factoriais, permite evidenciar, atravs das proximidades e oposies entre variveis e entre amostras, as principais estruturas presentes. de notar que as relaes de transio permitem a projeco simultnea das amostras e das variveis nos mesmos planos factoriais. Esta possibilidade, que apresenta vantagens evidentes na interpretao dos resultados, nem sempre aproveitada devidamente.

Conclui-se, portanto, que a Anlise em Componentes Principais se baseia na extraco dos vectores e valores prprios da matriz de inrcia TT' cujo elemento genrico dado por:

( )( )==

==

n

i jj

jijjijn

iijijjj

ss

zzzz

nttr

1 '

''

1''

1

A matriz de inrcia consiste, portanto, na matriz de correlao entre variveis.

A Anlise em Componentes Principais foi utilizada para descrever a estrutura de um conjunto de 491 amostras do jazigo de Moinho, onde so conhecidas os teores de 6 elementos qumicos: S, Fe, Cu, Zn, Pb, As (Sousa, 1989a). Nas figuras 1 e 2 apresenta-se, respectivamente, as projeces das variveis e das amostras no primeiro plano factorial

0 0.5 1 1.5-0.5-1-1.5

0

0.5

1

1.5

-0.5

-1

-1.5

S

ZnPb

Cu

FeAs

u2(28.0 %)

u1(44.6 %)

-1.00

S Fe

Cu

Zn

-2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

CP2 (28.0 %)

CP1 (44.6 %)

Figura 1 Projeco das variveis no 1 plano factorial

Figura 1 - Projeco das amostras no 1 plano factorial

Verifica-se que o Zn e o Pb aparecem juntos, reflectindo a elevada correlao existente entre eles, o mesmo acontecendo com o S e o Fe. A oposio entre estas variveis, explicam o eixo 1 (qualquer uma destas variveis apresenta coordenadas

5

neste eixo com valores absolutos muito prximo de 1, traduzindo portanto correlaes muito elevadas com este eixo). O Cu o responsvel pelo 2 eixo factorial, evidenciando um comportamento independente face aos pares de variveis referidos anteriormente. Relativamente ao As, mal representado neste plano, nada se pode concluir.

No caso das amostras verifica-se que estas formam uma nuvem contnua de pontos, densa no 4 quadrante, correspondendo a valores elevados de S e Fe (a projeco simultnea das variveis facilita a leitura do grfico), dispersando-se ao longo do eixo 1 e do eixo 2.

MEDIDAS DE CONTINUIDADE ESPACIAL DAS VARIVEIS Salvo em casos muito particulares e raros, a correlao entre pares de variveis, porque no toma em ateno a sua estrutura espacial, um parmetro demasiado pobre para medir a dependncia (espacial) entre essas variveis. necessrio introduzir outras medidas que tomem em conta o carcter regionalizado das variveis. Usualmente, costume definir trs funes que permitem quantificar a variao conjunta de variveis regionalizadas: a covarncia espacial cruzada, a correlao espacial cruzada e o variograma cruzado.

Estas medidas baseiam-se nos valores das variveis medidos em pares de amostras separadas geograficamente pelo vector h (ver figura 3).

X

Y

hZ(x) Z(x+h)

Figura 3 Representao esquemtica de pares de amostras separadas pelo vector h.

Para os valores da varivel j medidos nas amostras iniciais de cada par, pode-se calcular os valores mdios )( hjm e as varincias )(2 hjs :

=

=

)(

1)()(

1)(hN

iij ZhN

m xh [ ]=

=

)(

1

22 )()( )(1)(

hN

ijij mZhN

s j hxh

6

Analogamente, pode-se calcular os valores mdios )('

h+jm e as varincias )(2' h+j dos valores da varivel j medidos nas amostras finais de cada par:

=

+=+)(

1''

)()(1)(

hN

iijj ZhN

m hxh [ ]=

+=+)(

1

2''

2'

)()( )(1)(

hN

ijijj mZhN

s hxh

A partir destes parmetros pode-se definir as medidas de continuidade espacial3 referidas anteriormente:

Covarincia Espacial Cruzada

)( )()( )()(1)(

'

)(

1'

*

'hhhxx

hh

h++=

=

jjN

iijijjj mmZZN

C

onde N(h) o nmero de pares de pontos separados de h.

Correlao Espacial Cruzada (Correlograma cruzado)

= +

=

)(

1 2'

2

'*

'

)( )()(

)(1)(

h

hh

hh

hN

i jj

jjjj

ss

CN

r

Variograma Cruzado

[ ][ ] ++)(1

''

*

')( )( )( )( )(2

1= )(

hhh

hh

N

ijijijijjj xZxZxZxZN

Verifica-se que, ao contrrio do variograma que sempre uma funo simtrica, as duas primeiras funes so, em geral, assimtricas, isto : )()( *

'

*

'hh jjjj CC e

)()( *'

*

'hh jjjj rr .

Note-se que, fazendo j=j, encontra-se as medidas de continuidade espacial simples (monovariadas). Neste caso, fcil verificar que as trs funes so simtricas. As medidas de continuidade espacial simples e cruzadas so poderosos instrumentos de deteco das estruturas espaciais evidenciados pelos dados. Assim, possvel verificar a presena ou ausncia de anisotropias direccionais, a homogeneidade espacial e o grau de continuidade espacial das variveis (Sousa & Muge, 1990; Goovaerts, 1997). O coeficiente de correlao clssico corresponde correlao cruzada quando h=0. Estruturalmente , portanto, uma medida bastante mais pobre, como se ilustra no exemplo seguinte.

Em determinada estao mediu-se, diariamente ao longo de 2 anos, os valores da pluviosidade e da piezometria de um determinado aqufero. Naturalmente a

3 Utiliza-se o sinal * para simbolizar que as medidas referidas so amostrais (experimentais).

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piezometria influenciada pela pluviosidade, no entanto o coeficiente de correlao calculado de apenas 0.344. Na figura 4 apresenta-se o correlograma cruzado das duas variveis. Verifica-se que existe um atraso de aproximadamente 20 dias no impacto da pluviosidade sobre a piezometria. O valor da correlao mximo para h=20, atingindo o valor de 0.843. Verifica-se ainda que a funo no simtrica em torno da origem, embora seja aparente uma simetria relativamente a h=20.

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80h(dias)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2

-0.4

r(h)

Figura 4 Correlograma das variveis pizometria e pluviosidade.

Em geoqumica vulgar encontrar situaes semelhantes, provocada pela diferente mobilidade dos elementos qumicos no meio.

Verifica-se, portanto, que a Anlise em Componentes Principais, porque baseada na correlao a passo zero (h=0) entre as variveis insuficiente para sintetizar a estrutura espacial das variveis, devendo ser complementada com a anlise das matrizes de correlao espacial para diferentes passos h. A esta tcnica d-se o nome de Anlise Factorial de Corregionalizaes.

A Anlise Factorial de Corregionalizaes foi utilizada para descrever a estrutura espacial do conjunto de dados de Moinho j referidos. Na figura 5 apresenta-se os resultados obtidos para h=10 e h=100. Verifica-se que os resultados so semelhantes entre si e aos da Anlise em Componentes Principais. A principal diferena reside no facto de quando h aumenta o Cu tender a se opor ao par formado pelas variveis Zn e Pb (para h=100 esta oposio responsvel pelo formao do 1 eixo, enquanto o par S, Fe explica o eixo 2). Para h=10, nota-se que o 2 eixo factorial explicado pelo As, enquanto o Cu est mal representado neste plano. Verifica-se, portanto, que a estrutura das variveis varia, significativamente, com h.

8

0 0.5 1 1.5-0.5-1-1.5

0

0.5

1

1.5

-0.5

-1

-1.5

SZn

Pb

Cu

Fe

As

u2(19.6 %)

u1(46.3 %)

0 0.5 1 1.5-0.5-1-1.5

0

0.5

1

1.5

-0.5

-1

-1.5

S

Zn

Pb Cu

Fe

As

u2(19.6 %)

u1(46.3 %)

Figura 5 - Anlise Factorial das Correlaes Espaciais (Moinho) para h=10 e h=100

INTRODUO TEORIA DAS VARIVEIS REGIONALIZADAS Raramente a descrio dos dados regionalizados constitui o objectivo final de um estudo estatstico. Habitualmente, pretende-se caracterizar a populao de que o conjunto de dados constitui uma amostra. Torna-se, ento, necessrio encontrar um modelo que reproduza as principais caractersticas dessa populao. habitual considerar as variveis regionalizadas como uma realizaes de uma funes aleatrias.

Seja um conjunto de p variveis regionalizadas conhecidas em n pontos amostrais, com coordenadas xi:

{ }Z x i n j pj i( ); ... ; ..., = =1 1, , Conceptualmente, pode tomar-se as p variveis regionalizadas zj(x) como uma realizao de uma Funo Aleatria p-dimensional Zj(x). Esta realizao , habitualmente, nica, pelo que a inferncia estatstica s possvel se a Funo Aleatria verificar algumas hipteses de estacionaridade. Neste trabalho considera-se apenas dois tipos de estacionaridade: estacionaridades de 2 ordem e intrnseca (Sousa & Muge, 1990; Goovaerts, 1997). Na hiptese de estacionaridade de 2 ordem os dois primeiros momentos so constantes, no dependendo da localizao espacial:

{ }E ( ) Z x m xj j= [ ][ ]{ } )()( )(

'''hjjjjjj CmxZmxZE = (2)

9

{ } xCmxZxZ jjjj =+ )( )( )( E 2 hh A funo Cj (h) a covarincia espacial da varivel Zj(x), que depende apenas do vector h. A estacionaridade da covarincia espacial implica a estacionaridade da varincia:

{ } (0) )(Var jj CxZ = Note-se que a estacionaridade da covarincia cruzada mais forte do que a estacionaridade da covarincia simples, isto , mesmo que cada uma das variveis Zj(x) seja estacionria de segunda ordem, nada garante que a corregionalizao o seja, pois a covarincia cruzada Cjj (h) pode no depender apenas do vector h. A hiptese intrnseca impe a estacionaridade dos dois primeiros momentos dos acrscimos espaciais. Assim, sendo os acrscimos a passo h dados por:

)(-)( )( xZxZ jjj hh +=

aquelas duas condies de estacionaridade so expressas por:

{ } 0)(E =hj { } xjjjj = )( 2)()(E '' hhh

[ ]{ } xjj = )( 2)( E 2 hh O variograma cruzado entre as variveis Zj(x) e Zj(x) dado por:

{ })()(E21

=)( ''

hhh jjjj

No caso de estacionaridade de 2 ordem, o variograma e as covarincias verificam a seguinte relao, que se obtm desenvolvendo (2):

[ ])( )( 21

-(0) =)( ''''

hhh jjjjjjjj CCC +

Verifica-se assim que o variograma uma funo mais pobre do que a covarincia sendo equivalentes apenas no caso (frequente) em que estas so simtricas. No entanto, o variograma4 pe problemas de estimao menos delicados do que as covarincias (simples e cruzadas), pois estas no podem ser estimadas sem enviezamento (provocado pelo desconhecimento da mdia a passo h, que tem de ser, tambm, estimada).

4 O variograma tambm uma funo mais geral do que a covarincia ou a correlao espaciais, na

medida em que estas duas s tm existncia na hiptese de estacionaridade de 2 ordem, enquanto o variograma tambm definido na hiptese intrnseca. Justifica-se, assim, o uso generalizado do variograma em geoestatstica.

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O clculo do variograma cruzado experimental pode fazer-se pelo estimador seguinte, em que a esperana do produto dos acrscimos substituda pela mdia espacial:

[ ][ ] ++)(1

''

*

')( )( )( )( )(2

1= )(

hhh

hh

N

ijijijijjj xZxZxZxZN

onde N(h) o nmero de pares de pontos separados de h.

ANLISE FACTORIAL DO MODELO LINEAR DE CORREGIONALIZAO So frequentes as corregionalizaes que podem ser modeladas pela soma de vrias estruturas imbricadas, revelando uma sucesso de fenmenos de transio (a diferentes escalas espaciais) que actuam de modo anlogo para as p variveis. Ento cada um dos variogramas simples e cruzados pode reduzir-se sobreposio de Ne estruturas imbricadas, cada uma delas modelada por um esquema terico (esfrico, gaussiano, linear, etc.). Cada variograma dado por:

)(= )('

1

0''

hh ujjN

u

ujjjj

e

b

=

No quadro do modelo linear de corregionalizaes (Goovaerts, 1997) para cada escala u, a forma e a amplitude dos variogramas so as mesmas para todas as variveis.

Neste modelo, os variogramas simples e cruzados jj(h) so dados por:

)(= )(1

0''

hh uN

u

ujjjj

e

b

=

onde b jju

' o patamar do variograma cruzado para as variveis j e j e para a estrutura

u. Em geral, Ne da ordem de 2 ou 3, o que permite reduzir o problema da descrio estrutural das variveis correlacionadas espacialmente atravs de 2 ou 3 matrizes Bu, definidas positivas, de dimenso (p x p), cuja soma, no caso de estacionaridade de 2 ordem, reproduz a matriz varincia-covarincia dos dados:

=

1

0'

2'=

eN

u

ujjjj b

Neste caso, as variveis podem ser expressas como combinaes lineares de factores ortogonais )(xyu :

= =

1

0 1)(= )(

eN

u

p

l

ul

ujlj xyexZ

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em que os coeficientes verificam a relao seguinte:

=

p

l

ulj

ujl

ujj eeb

1''

=

Estes coeficientes podem ser obtidos por diagonalizao das matrizes de corregionalizao Bu:

jllujl ve =

em que l o valor prprio de ordem l da matriz Bu e jlv a coordenada de ordem j do vector prprio que lhe est associado.

O modelo linear conduz decomposio da corregionalizao numa srie de Ne estruturas associadas a diferentes escalas. Para cada escala, obteve-se uma matriz varincia-covarincia, de termo geral ujjb ' , que d conta do sistema de

interdependncias entre as p variveis para a escala u. No caso de estacionaridade de 2 ordem, pode-se, tambm, defenir a matriz de correlao Ru, relativa a cada escala.

Em paralelo com a Anlise em Componentes Principais (baseada na matriz das correlaes experimentais), pode agora factorizar-se cada uma das matrizes Ru, obtendo-se assim uma sntese da estrutura das variveis, relacionada agora com a escala espacial do fenmeno. A esta tcnica, introduzida por Wackernagel (1988), d-se o nome de Anlise Factorial do Modelo Linear de Corregionalizao.

Supondo que cada uma das estruturas espaciais imbricadas foi interpretada com base nos seus variogramas, o que conduziu decomposio da varincia total em Ne termos - o efeito de pepita, o patamar da estrutura 1, o patamar da estrutura 2, etc. - pode agora interpretar-se cada uma das estruturas espaciais per si, do ponto de vista da Anlise de Dados. Assim os factores resultantes da estrutura peptica esto relacionados com determinado conjunto de variveis, os que se obtm a partir da 1 estrutura com outro conjunto de variveis, etc. Enriquece-se deste modo a anlise factorial global atravs da considerao da factorizao das Ne estruturas diferentes, cada uma delas ligada a uma escala do fenmeno regionalizado.

No caso de estudo do jazigo de Moinho apresentado anteriormente, os variogramas simples e cruzados foram modelados por um modelo linear de corregionalizo constitudo pela sobreposio de 3 estruturas: uma peptica e duas esfricas, com amplitudes de 36 e 120 metros, respectivamente (Sousa, 1989a). Nas figuras 6 a 9 apresenta-se os resultados da Anlise Factorial do Modelo Linear de Corregionalizao e na figura 10, para comparao, repete-se os resultados da Anlise em Componentes Principais.

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0 0.5 1 1.5-0.5-1-1.5

0

0.5

1

1.5

-0.5

-1

-1.5

SZn

Pb

CuFe

As

u2(17.8 %)

u1(48.7 %)

0 0.5 1 1.5-0.5-1-1.5

0

0.5

1

1.5

-0.5

-1

-1.5

S

ZnPb

Cu

Fe

As

u2(24.9 %)

u1(57.7 %)

Figura 6 - Projeco das variveis no 1 plano factorial (efeito de pepita)

Figura 7 - Projeco das variveis no 1 plano factorial (1estrutura)

0 0.5 1 1.5-0.5-1-1.5

0

0.5

1

1.5

-0.5

-1

-1.5

S

ZnPb

Cu

Fe

As

u2(23.2 %)

u1(53.0 %)

0 0.5 1 1.5-0.5-1-1.5

0

0.5

1

1.5

-0.5

-1

-1.5

S

ZnPb

Cu

FeAs

u2(28.0 %)

u1(44.6 %)

Figura 9 - Projeco das variveis no 1 plano factorial (2estrutura)

Figura 10 - Projeco das variveis no 1 plano factorial (ACP)

Os resultados obtidos para cada uma das estruturas mostram, no caso do efeito de pepita e da 1 estrutura, os mesmos traos gerais evidenciados pela Anlise em Componentes Principais (Sousa, 1989a). As projeces das variveis no 1 plano factorial da 2 estrutura apresenta, no entanto, uma relao nova: O Cu passa a mostrar, a esta escala, uma elevada correlao negativa com o par constitudo pelo Zn e Pb, isto , na estrutura mais contnua os teores em cobre seguem, de forma inversa, os teores em zinco e chumbo: o comportamento conjunto destas trs variveis depende da escala considerada. Esta concluso, que no pode ser retirada dos resultados da ACP, est de acordo com a ideia generalizada de que, no jazigo de Moinho, o Cu se concentrou preferencialmente a muro enquanto o Zn e Pb ocorrem predominantemente a tecto da massa. No entanto, localmente, o Cu tem um comportamento que independente dos valores de Zn e Pb.

13

KRIGAGEM FACTORIAL

De acordo com o modelo linear de corregionalizao, as variveis regionalizadas podem ser interpretadas como combinaes lineares de um conjunto de factores regionalizados ortogonais:

= =

1

0 1)(= )(

eN

u

p

l

ul

ujlj xyexZ

Estes factores regionalizados podem ser estimados a partir dos valores amostrais pelo seguinte estimador (Wackernagel, 1995):

=

p

j=

nulj

ul x z = xy

1 1

* )()(

utilizando o sistema de Cokrigagem Factorial (Wackernagel, 1995):

1

1 10''

,...,1 0

,...,1' ; ..., ,1 )()(

==

===+

=

= =

j

j

n

ulj

p

j

n

uujljjj

ulj

pj

pjnxxexx

Por sua vez, evidenciando os variograma a presena de N e estruturas, natural modelar cada uma das variveis )(xZ j pela soma de N e componentes espaciais, independentes entre si, cada uma das quais corresponde a uma determinada escala, a que se sobrepe a mdia:

jN

u

ujj mxZxZ

e

+=

=

1

0)()(

A krigagem factorial (Goovaerts, 1997) permite estimar linearmente aquelas componentes, em cada ponto x0 :

=

=

n

iii

uxZxZ

10

* )()(

em que n o nmero de amostras utilizadas na estimao de Z xu*( )0 . Os ponderadores so obtidos resolvendo o sistema de krigagem factorial:

=

=+

=

=

n

i

n

ii

uii xxxx

1

10''

0

)()(

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em que ( )x x representa o valor do variograma entre x e x .

As componentes espaciais )( iu xZ assim estimadas podem ser cartografadas separadamente, permitindo identificar espacialmente as zonas com maior afinidade com cada uma das escalas de variabilidade.

A krigagem factorial, foi utilizada no tratamento dos teores em Zn e Cu nos solos, obtidos em diversas campanhas de prospeco efectuadas pelo Servio de Fomento Mineiro numa rea com cerca de 50 km2 localizada no Alentejo entre as vilas de Moura e Ficalho.

A anlise dos variogramas mostra, que podem ser modeladas pela soma de efeito de pepita e duas estruturas esfricas (Sousa, 1995). Na figura 11 e 12 esto representadas, as componentes espaciais correspondentes s varias estruturas do Zn e do Cu, respectivamente.

Valores brutos Componente local

Componente peptica Componente regional

Figura 11 - Cartografia do zinco

Verifica-se que a cartografia da componente regional do Zn marca claramente as principais estruturas e litologias carbonatadas presentes; a distribuio regional do Zn

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est relacionada principalmente com as dolomias cmbricas que apresentam fundos muito altos, contrastando com os baixos fundos da cobertura ceno-antropozoica e fundos intermdios de outras litologias. As cartografias das componentes local e peptica do Zn no evidenciam relao ntida com a litologia e definem bem as estruturas mineralizadas ricas em zinco e chumbo (Preguia, Vila Ruiva, Carrasca SE, Vale de Grou e Merlinha). A mineralizao de Enfermarias assinalada apenas na cartografia da componente peptica.

Valores brutos Componente local

Componente peptica Componente regional

Figura 12 - Cartografia do CobreA cartografia da componente regional do Cu marca muito bem as litologias a que o Cobre anda associado (rochas vulcnicas e xistos do Silrico) assim como a estrutura das Enfermarias. As minas da Preguia e de Rui Gomes esto bem marcadas nas cartografias da componente local e peptica.

BIBLIOGRAFIA

Cressie, N. (1991) - Statistics for spatial data analysis. Wiley-Interscience, 900 pp. Goovaerts, P. (1997) - Geostatistics for Natural Resources Evaluation. Oxford

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