Analisis Mecanismo Cuatro Barras

Universidad de GuanajuatoDivisión de Ciencias de la vida

Campus Irapuato-Salamanca

Análisis y síntesis de mecanismos

Mecanismo de cuatro barras

Profesor:M.C. Adrian Flores Ortega

Por:

Vargas Ramos Julio César

Introducción.

Análisis del mecanismo de cuatro barras.

El mecanismo de cuatro barras es la cadena cinemática cerrada más

simple de eslabones unidos con un simple grado de libertad.

Mecanismos más complejos pueden ser reinventados y mejorados por

medio del uso de un mecanismo de cuatro barras que maneje algún o

algunos otros.

Debido a esta propiedad, y debido a la amplia variedad de

movimientos los cuales pueden ser generados directamente por

mecanismos de cuatro barras, ellos son a menudo encontrados en el

corazón de máquinas y subsistemas tales como prensas, máquinas

transportadoras, mecanismos de retornos rápidos, computadoras

análogas y generadores de funciones. El estudio del mecanismo de

cuatro barras está bien justificado no sólo debido a sus diferentes

aplicaciones directas, si no también debido a que la mayoría de los

problemas básicos encontrados en diversos mecanismos generales

llegan a ser más simples y más entendibles en la aplicación del

mecanismo de cuatro barras.


Objetivo.

Identificar para un ciclo completo la posición, velocidades y

aceleraciones que se presentan en el mecanismo y graficar los datos

obtenidos para observar el comportamiento de dicho mecanismo en

una ciclo completo.

Análisis.

Para poder comprender lo que pasa cuando la manivela cumple con

un ciclo completo, primero se hizo un análisis de posiciones,

velocidades y aceleraciones que genera el mecanismo, a partir del

movimiento constante en la manivela.

Análisis de posición del mecanismo de

cuatro barras.

Para el mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura 1, sea a, b,

c y d las literales que denoten las longitudes de los eslabones 1, 2, 3

y 4, respectivamente. El eslabón fijo a es considerado el eslabón 1.

Los ángulos θ2 , θ3 yθ4 denotan la posición angula de los eslabones 2, 3

y 4 respectivamente, y son considerados positivos cuando se miden

en el sentido contrario de las manecillas del reloj, como se muestra.

La longitud de la diagonal desde A hasta D es denotada por s el

ángulo que esta hace con la línea OD es indicado como β. El eslabón

2 es considerado como el eslabón de entrada o manivela y su

posición angular θ2 que es conocido.

Los ángulos θ3 yθ4 pueden ser encontrados como prosigue. Considere

el triangulo OAD Entonces:

s=√a2+b2−2abcos θ2

Para β


β=arc sen ( bssenθ2)

Triangulo ABD

ψ=arc cos( c2+s2−d22cs )Paraλ

λ=arc sen( cd senψ )Entonces observando el comportamiento del mecanismo se pueden

obtenerlo los valores de θ3 yθ4 obteniendo entonces:

θ3=ψ−β

θ4=360−(λ+β)

Análisis de la velocidad del mecanismo de

cuatro barras.

Para encontrar las ecuaciones de velocidad se representa una

ecuación de lazo vectorial la cual después se representa en una

ecuación con notación compleja “números complejos” teniendo

entonces:

b+c+d=a

Representando cada vector en la propiedad de euler tenemos:

a=ae iθ1

b=be iθ2

c=ce iθ3

d=d eiθ4

Sustituyendo…


(b eiθ2+c eiθ3+d eiθ4=a ) ddt

Derivando con respecto al tiempo obtenemos:

biω2 eiθ2+ciω3e

iθ3+diω4 eiθ4=0

Separando en su parte real e imaginaria tenemos:

−bω2 senθ2−cω3 senθ3−d ω4 senθ4=0

bω2cos θ2+c ω3 cosθ3+d ω4 cosθ4=0

Se resolvió el sistema de ecuaciones para ω3 y ω4 quedando

ω3=−bsen δc sen ϵ

ω2

ω4=bsen γd sen ϵ

ω2

Donde:

δ=(θ2−θ4)

γ=(θ3−θ4)

ϵ=(θ2−θ3)

Para calcular la velocidad del eslabón b, c o d solo se

despejó el eslabón que queremos conocer y obtenemos la

velocidad tangencial.

v2=bω2 (−senθ2+cosθ2 )

v3=c ω3 (−sen θ3+cosθ3 )

v4=dω4 (−senθ4+cosθ4 )

Análisis de la aceleración del mecanismo de

cuatro barras.

Para el análisis de las aceleraciones se tomó la ecuación de velocidad

obtenida en el apartado anterior y se le saco la segunda derivada

teniendo como resultado ecuaciones para cada eslabón:


aa=0

ab=−b ω22 (cosθ2+sen θ2 )

ac=c¿

ad=d¿

Posteriormente se obtuvieron las ecuaciones para las velocidades

angulares teniendo:

α 3=ω3ω2α2−

bω22cos δ+cω3

2 cos ϵ+dω42

c senϵ

α 4=ω4ω2α2+

bω22 cos γ+c ω3

2+d ω42cos ϵ

dsenϵ

Nota: cuando la velocidad angular en el eslabón dos es constante, la

aceleración angular en ese mismo eslabón es cero.

Resultados.

Después de que se determinaron las ecuaciones de posición, velocidad y

aceleración de los eslabones b, c y d se realizó en Excel una tabla para

observar el comportamiento del mecanismo a nivel grafico.

En el presente reporte solo se presenta el comportamiento del mecanismo

para cuatro posiciones de θ2, estas posiciones se distribuyeron una en cada

cuadrante, obteniendo lo siguiente:


POSICIONESvelocidad angular

en rad/seg

velocidad tangencial en m/seg

aceleración angular rad/seg2

aceleración en m/seg2

Ɵ2 (grados

)

t(s) Ɵ3rad

Ɵ4rad

ω3 ω4 v2 v3 v4 α3 α4 a2 a3 a4

10

0,0025591

4

1,13624537

1

5,25028702

9

33,3102314

9

-25,7650697

7

165,963152

4

-113,334476

5

-282,615910

5

2562,83963

9

-448,919031

9

-16164,7743

1

-19034,8468

5

-3084,24822

3

110

0,0281505

4

0,51845832

2

5,37891533

7

-9,25619267

8

25,6624344

2

-262,238980

5

-24,1706745

8

288,288410

1

1143,05945

9

449,743518

9

-8339,67410

9

2166,74808

5

5935,96064

210

0,0537419

4

0,72480032

6

5,87973231

5

116,988219

9

115,649686

3

-74,8864021

7

70,1368836

7

1214,1434

-3397,53787

1

-1914,84888

19061,1797

7

-137275,109

6

-76503,5707

5

350

0,0895698

9

1,28385059

5

5,39789059

9

19,1905213

6

-21,2660297

7

237,017712

7

-90,8214514

-239,398159

2

2082,01271

6

613,373137

4

-11318,9245

-13055,5212

2

7415,20447

5

Tabla1.Resultados del análisis del mecanismo de 4 barras, obtenidos en Excel.

A partir de estos datos se obtuvieron las gráficas, para observar el

comportamiento en el plano, del mecanismo de cuatro barras.


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

1

2

3

4

5

6

7

VELOCIDAD ANGULAR (ω) para r2, r3 y r4

Ɵ2 (rad)Ɵ3 (rad)Ɵ4 (rad)

Tiempo (t)

θx (r

adia

nes)


0 1 2 3 4 5 6 7

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

VELOCIDAD DE (A)

θ2 (rad)

V2 m

/s

0 1 2 3 4 5 6 7

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

VELOCIDAD DE (B)

θ2(rad)

V3

m/s

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

aceleración angular de (B)

Tiempo(s)

velo

cida

d an

guar

ω3

(rad

/s)


0 1 2 3 4 5 6 7

-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

VELOCIDAD DE (D)

θ2 (rad)

V4 m

/s

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

Aceleración angular de (D)

Tiempo (s)

velo

cidad

ang

ular

ω4

(rad

/s)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

-400-300-200-100

0100200300400

Aceleración de (A)

Tiempo(s)

velo

cidad

V2

(m/s

)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

-5000-4000-3000-2000-1000

010002000300040005000

Acelerción de (B)

Tiempo(s)

velo

cida

d v3

(m/s

)


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

-80000-60000-40000-20000

020000400006000080000

Aceleración de (D)

Tiempo (S)

velo

cidad

v4

(m/s

)

Discusiones.

Como se pudo observar en los resultados el comportamiento del las velocidades y aceleraciones en los eslabones 3 y 4 muy parecida debido al comportamiento uniforme constante del eslabón de entrada (r2). Para respaldar esto se realizó a mano un problema tomando como grado de libertad una posición en cada cuadrante (el procedimiento se anexa al final del reporte), obteniendo la siguiente tabla:

POSICIONESvelocidad angular

en rad/seg

velocidad tangencial en

m/seg

aceleración angular rad/seg2

aceleración en

m/seg2

Ɵ2 (grados)

t(s)Ɵ3rad

Ɵ4rad ω3 ω4 v2 v3 v4 α3 α4 a2 a3 a4

100,002559

14

1.13

5.02503

33.309

-25.7659

165.9632

-113.3299

-282.628

2562.339

-448.94

767

-16164.8

-19034.232

-3084.8552

1100,028150

54

0.5185

5.3788

-9.2534

25.66-

262.24

-24.154

288.255

1143.44

449.63

-8339.75

2167.34

5936.072


2100,053741

94

0.72

5.88

116.95

115.62-

74.88

70.073

1213.8

-3398 -191519061.136

-137274.8

-76530.6

3500,089569

89

1,28

5,397

19,190

-21,266 237,017

-90,821

-239,39

2082 613,37-

11319

-13055,52

7415,204

Tabla1.Resultados del análisis del mecanismo de 4 barras, obtenidos en por el método de números complejos.

Conclusión.

Realizando el muestreo se concluyó que los resultados arrojados son extremadamente cercanos a los obtenidos en la hoja de cálculo de Excel por lo que se determino que el procedimiento empleado para la resolución del mecanismo de cuatro barras es correcto. Cumpliéndose así el objetivo del presente trabajo.


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