Upload
h4nk02
View
1.151
Download
109
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Buku Struktur dengan cara matriks
Citation preview
'49
c72,91),lus
.L
Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
Susastrawan M.Sc.
=.
Penerbit ANDI OFFSET Yogyakarta|!
Analisis Stmktur Dengan CaraOleh: Susastrawan M. Sc.
Hah Cipta @ 1991, pada penulis,DiLarang mernperbanyah sebagian atau seruruh isi buhu ini daram bentukappun, tanp izin tcrtulis dari penutis.
Edisi Pertama,Cetahan Pertama, lggl
Penerbit:ANDIOFFSETJl. Beo 3&40, Telp. 61881,88282Yogyaharta 5i281
Percetahan:
ANDI OFFSETJl. Beo 3&40, Telp. 61881,88282Yogyoharta 55281
Pusat Penjualan :
- Unit Kanuas ANDI OFFSETJl. Bu ,10, Telp. 61881, 88292Yogyaharta 552ts1
- Sleff & PartnersJl. GrunVille BlahBG No. 28 TeIp. 5604289Jaharto Borat
MILIKPERPL.sT^KN*N DAERAH
J,\WA TTMUR
Kata Pengantar
I(ATAPENGANITAR
Perkembangan teknologi elektronika khususnya teknologikomputer begitu pesatnya, sehingga boleh dikata setiap kegi-atan diberbagai bidang tidak bisa lepas dengan penggunaankomputer. Demikian pula didunia teknik sipil penggunaanperalatan komputer untuk menganalisa berbagai bentuk struk-tur merupakan kebutuhan yang sulit untuk ditinggalkan.
Cara konvensional untuk menganalisa berbagai bentukstruktur baik Rangka atau Portal telah cukup banyak dikenal,misalnya metode Takabeya, Kani, Hardy Cross, Clapeyron dansebagainya. Metode-metode tersebut diatas, rumus-rumus dansifat hitungannya sangat sulit berinteraksi dengan sifathitungan program komputer. Untuk mengatasi hal itu terdapatsuatu metode untuk menganalisa struktur dengan bantuan alja-bar matrix. Dengan penggunaan aljabar matrix maka akan sa-ngat mudah berinteraksi dengan peralatan komputer.
Oleh karena itu buku ini pada Bab I menyajikan dasarhitungan aljabar matrix secara garis besar (untuk lebihrincinya dianjurkan mempelajari aljabar matrix pada aljabarlinear). Pada Bab II menerangkan analisa struktur denganmetode displesemen, sedang Bab III menyajikan program kompu-ter dengan Fortran yang dapat dipakai untuk menghitung baikRangka ("Truss") maupun Portal (nFrame"), beserta penjelasandan cara penggunaannya.
ilt
- Penulis sangat berterima kasih kepadatelah memberikan bantuan sehingga dapatini. Saran dan kritik selalu kami harapkanbuku ini pada edisi berikutnya.
semua pihak yangtersusunnya buku
demi kesempurnaan
Penulis
(Ir. Susastrawan, MS)
Dattar lsi
DAFTAR, ISI
KATA PENGANTARDAFTAR ISIBAB I ALJABAR MATRIKS
1.1. Pendahuluan1.2. Tlpe Matriks
1.2.1. Matriks Baris1.2.2. Matriks Kolom1.2.3. Matriks Bujur Sangkar1.2.4. Matriks Simetri1.2.5. Matriks Diagonal1.2.6. Matriks Satuan1.2.7. Band Matrix
1.3. Operasi Aljabar Matriks1.3.1. Penambahan dan Pengurangan Matriks1.3.2. Perkalian Matriks Dengan Sebuah Bilangan1.3.3. Perkalian Matriks Dengan Matriks1.3.4. Transpose Matriks1.3.5. Invers Matrix
BAB II2.1.g9
2.3.
ANALISIS STRUKTURDeformasi AksialDeformasi Lentur
2.3.1. Persamaan Dasar2.3.2. Matriks Transformasi
2.4. Portal Bidang ("Frame Struktures")2.4.1. Batang Yang Mengalami Deformasi Aksial2.4.2. Batang Yang Mengalami Deformasi Lentur
Rangka Batang Bidang ("Truss Element")
lllv1
1
1
1
222233334467II
2239394053ilu
Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
2.4.3. BatangYang mengalami Deformasi Aksial danLentur (Portal) il
2.4.4. Matriks Transformasi ..............2.4.5. ElementActions2.4.6. Fixed end Forces2.4.7. Prosedur Hitungan ................
BAB III PROGRAM KOMPUTER ................3.1. Penjelasan Program Komputer3.2. Penyusunan Input Data ..........
BAB IV APLIKASI PROGRAM KOMPUTER ................4.1. Konstruksi Portal Bidang4.2. Konstruksi Rangka Bidang4.3. Struktur Denga.n Kondisi Pembebanan Lebih Dari Satu ...
DAFTAR PUSTAKA
5558606181
Aliabar Matriks
BAB IALIABARMATRIKS
1.1 Pendahuluan
Dengan adanya kemajuan yang cukup pesat dalam bidang elektronika,
khususnya bidang Komputer, maka proses hitungan dalam berbagai bidang
ilmu pengetahuan banyak menggunakan cara aljabar matriks. Yang disebut
matriks dalam hal ini adalah suatu rangkaian unsur yang disusun dalam baris
<ian kolom. Bila susunan itu terdiri atas m baris dan n kolom, disebut matriks
m x n. Bila m dan n sama besar, disebut matriks buj ur sangkar ("Square matrix')secara umum suatu matriks m x n dapat ditulis sebagai berikut:
96103105105107110LL?
tAl3zt
?at
?tZ ?ts ..'. Orn
?zz ozl ..' . ?zn
dlz 0lg . .. . 8sn (1.i)
diTp ?mz ?me '...3mn
Suatu unsur matriks dengan simbol all berarti unsur tersebut berada pada baris
idan kolom j.
1.2 Type ttlatriks
1.2.1 lhtriks Baris
Suatu matriks yang hanya terdiri atas satu baris disebut matriks baris
("row matrix '1. Cara penulisan biasanya digunakan sepasang kurung kait,sebagai contoh :
tAl= [ a, e2 o3 7 ttt
1.2.2 Matriks Kolom
Suatu matriks yang hanya terdiri atas satu kolom disebut matriks kolom("Column matrix") Cara penulisan pada umumnya seperti nampak pada contohsebagai berikut :
[^]
1.2.4 tulatriks Simari
Matriks simetri adalah matriks bujur sangkar bila unsur-unsurnya terhadap
O1
d2
33
1.23 tulatriks Eujur Sangkar
Matriks m x n dikatakan matriks bujur sangkar apabila m = n.
contoh: I A] = [.
, ult10 2 3lL,u , ul
diagonal simetri, misal :
tAl= [-o lI
lt 2I
L.31.2.5 fulatriks Diagonal
:lMatriks diagonal adalah suatu matriks dengan unsur-unsurnya nol kecuali
unsur-unsur diagonalnya.
Analisis Struktur Denqan Cara Matriks Alrb.r Metriks
tAl(1.6)
I 2.6 lvlatriks 9tuan
Matriks satuan adalah matriks diagonal dengan semua unsur diagonalnyalrrrr nilai satu.
f4 o ollo 2 o I
L. o ,-]
tt1= 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1.2.7 "Band lVlatrix"
"Band matrix" ialah suatu matriks bujur sangkar dengan unsur-unsur
rli dekat diagonalnya tidak
Contoh: I A ]
sama dengan nol.
(1.7 )
(1.8)(1.4)
0.5t
532131057003001000
0
1
6
4
7
6
0
0
2
2
8
I
0
0
0
1
6
I
1.3 Operasi Aliabar l{latriks
1.3.1 Penambahan dan fungurangan bbtriks
Proses penambahan dan penguran{Fn matriks hanya dapat berlangsung
bila ukuran matriks tersebut.sama besar., Peniumlahan/pengurangan dua matriks
riilakukan dengan menambahkan/mengurangi unsur-unsur matriks yang sesuai.
c'n 'h [; :]
.[i :] L: I
tBt =f-u,, b,,l A=.TxIIo" o"| \q:,-.1 ,.-rL ot' o"-l \-r
= [r,t
?rz a,]l [-0,,
o,rl 3 ]+ '{
Lr,, ?zz a,jl | 0,, 0,, | ?K q ? .)"
[-0., o.r-] L.,,..,,=.:.r*:J=
[.trbrr*srzbzr+drrb:r orrbr:+a:zb:r+a,r6.rl
Lulou tazzbzt*azrbsr 6u rbr: +a22ii22+a23b32 f
[-0-,, o,,l l-,,r or: .,.1
| 0,, 0,,
I L,, , dzz .,,
J
Lo" 6"J
I- b,,a,rtbrz?zr b11o12*b12?22 btr?13+b,r2r, IrlI bzr ar tlbzzozr bz r ar2*b22a22 b2ya131b22?23 | ,
ltL Or,r,r+bszaz! b31212+b32x2 b31a134b3232. lx I A ] = t C I pharussamadenganq
(q x n) 9m x r) 11.12l.
x I B ] x[ c ] =t D I (1.13)
(qxr) (sxn) (mxn)
=s E
Aiabar Makiks
lAl x [B]
lAl x [B]
tAl(mxp)
I A .](mxp)
Syarat : P
r
l,ada perkalian 3 buah matriks seperti diatas dapat dilakukan dengan mengalikan
lAl dan IB] terleUitr dahulu, kemudian hasilnya dikalikan dengan IC]. Atau
lBl dikalikan terlebih dahulu dengan [C], kemudian matriks [A] dikalikan
rhrngan matriks hasil perkalian IB] dan IC].
contoh : ( tAl tB I ) ICI = [A] ( tBI tcl) { 1.r4}
Contoh : [A] = [- .,,I
L .r,
Anelinii Struktur Dsngan Ccre iilatiks
Sifat penjumlahan/pengurangan adalah kedua matriksku rangkan dapat ditrrkar letaknya.
Contoh: Ie] + [ B ] = tB 1 + tAl
yang dijumlahkan/di-
1.3.2 Perkalian Matriks dengan Sebuah Bilarryan
Perkalian antara sebuah matriks dengan suatu bilangan (misal a) adalah
sama dengan perkalian atas unsur-unsur matriks tersebut dengan bilangan itu.
(1.e)
Dan letak antara keduanya bisa ditukar.
Contoh: atAl = [AjajikalAl =[4 t 2l
L' u 'l(1.10)
Bila a = 2,
makaa[A] =
makaa[A]=
a. 1 a.2
a.6 a.8
2412 16
l- a.+
[,u
[,:
1.3.3 furkalian Matriks dengan tVbtriks
Suatu matriks dapat bikalikan dengan matriks lain dengan sifat dan syarat
perkalian sebagai berikut :
1. Perkalian matriks A dengan matriks B tidak sama dengan perkalian matriks
B dengan matriks A.
tAl tBl + tBItAl (1.11)
2. Dua matriks A dan matriks B hanya dapat dikalikan dengan cara [A] [B]apabila jumlah kolom matriks [A] sama dengan jumlah baris matriks
IB]. Adapun matriks hasil perkaliannya mempunyai jumlah baris matriks
[A], dan jumlah kolom sama dengan jumlah kolom matriks B-
?tZ
?ZZ
,r, I"r, l
1.3.4 Transpose Matri ks
Misal terdapat dua buah matriks
Icl=l-r , .l danlDl
[a u u]
lCl dan ID]
= [, *llz sl
[s ']Matriks [D] dapat diperoleh dengan cara menukar baris dan kolom matriks [C] .
Dalam hal ini matriks ID ] dikatakan transpose matriks IC] dan dituliskan
sebagai :
tDl = tclrBeberapa sifat transpose matriks I
1. Bila suatu matriks ditranspose dua kali, maka akan
semula, yaitu :
(tAlt)t = tAl
Bila transpose dari dua matriks dijumlahkan hasilnya sama dengan trans-
pose hasil penjumlahan kedua matriksnya'
IAlT+tBl? =tiAl+tBl)T
3. Transpose dari suatu .perkalian matriks sama dengan perkalian dari trans-
pose masing-masing matriks dengan urutan dibalik.
(tAltBI)7 = tBl" [R]' (1'18)
4. Transpose dari suatu matriks simetri sama dengan matriks itu sendiri.
Jika matriks [A] simetri, maka
lAl = [A]7
Bila [A] matriks anti simetri (yaitu suatu
diagonalnya nol dan unsur'unsur terhadap
berlainan tanda), maka
lAl = - tAlr
5. Hasil kali suatu matriks terhadap matriks transposenya selalu berupa
. matriks simetri,
tAltAlT =tcl ('1.211
IC]matrikssimetri
6. Suatu matriks bujur sangkar selalu dapat diuraikan men,iadi penjumlahan
dari matriks simetri dan matriks anti simetri.
l- , 2 3l [.' z.s r,sl I o - o,b 1,51
l. 1 2l =lr,u 1 l,sl.lo.s o 0.5 I
lo 1 2t I I l-t,u -0,5 o IL- -J L,,'u l'' , , L lsimetri antl slmetrl
ta;; J = tbij I * lcii | 11.221
dengan' bij = lY, l(.ij *.ii )-simetri
Cii = l%11 aii ali ) * antisimetri
Aliabar Matriks
1.3.5 lnvers lubtrix
Suatu matriks [A] disebut sebagai inversnya matriks IB] bila hasil kalik eduanya merupakan matriks satuan.
iAl tBl (1.23)
Langkah-langkah proses invers matriks ;
l. Gantikan masing-masing unsur matriks dengan masing-masing nilai kofak-tornya.
Transposekan matriks yang diperoleh tersebut. Matriks ini kemudiandisebut sebagai matriks'adjoint".
Hitung nilai determinan (matriks) aslinya.
Bagilah unsur-unsur matriks 'Adjoint 'ldengan nilai determinan matriksaslinya.
di bawah
(1.15)
diperoleh matriks
(1.16)
(1 .17 I
(1'19)
matriks dengan unsur-unsur
diagonal sama besar tetaPioontoh : lnveskanlah matriks [A] berikut ini :
lAl= [-r 2l
:t
4
(1.20)
Analids Sruhur Dcnsut Care iiatikt
Penielasan :
1. Arr
f2L_,
2. Aadj
2 Art
- 3l,l
=fzL-.
--2 Azz - 'l--3
;]
-42-6 =
[- - o,u
L o,7s
[:
[: ;][;l:],:::,1 [: :]Suatu matriks yang matriks inversnya nol disebut matriks "singular'.
DeterminanlAl=
Matriks invers
"1[A]-r =-4
5. Kontrol :
3.
4.
;]0,5 Io,ru
_l
Analisis Strul<tur
BAB IIANIALISIS STUKTUR
Suatu konstruksi bangunan yang menerima beban luar, baik itu bebanpada batang atau beban pada titik buhul, maka konstruktur tersebut akan me-ngalami deformasi. Secara umum deformasi tersebut berupa : deformasi aksial,lentur dan puntir.2.1 Deformasi Aksial
Dengan memperhatikan gambar 2. 1, sebuah batang dibebani N, dan Nopada ujung-ujungnya, maka :
&
tI
Ia-,
N^
k_.- I
(")
AE N=--:---N,r.i\F-__-,rF--+ a,
(b)
Nb\
GAMBAR 2. I Deformasi aksial batang
10 Analisis Struktur Dengan Cara Matrike
Syarat keseimbangan pada gambar 2.1 .lal
AE
I
AE
I
dan keseimbangan pada gambar 2.1.(b)
Nu = + ot'o'
I
AENb
- ' dl
I
Dengan menggabungkan persamaan 12.11 dan 12.2],, maka akan
AE AEN, = +-.d, -T.d,
AEAE)Nb = - T.d, + I'
Persamaan (2.3) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :
[.,] [_r :=] [.]
t2.21
diperoleh:
(2.3)
12.3al
Nd̂
Nb
.d2
.d2
(2.11
12.2t
atau: [tl ]
dengan = [-'NlKIo
=trlLol] = matriks beban luar
I = matriks kekakuan batang
] = matriks disPlesemen
(2.3b)
Andi8is Struktur1
f,.:11
Jika batangnya lebih dari satu yang dirangkai dalam satu konstruksi.
l3
[*-]a3
GAI\4BAR 2.2 Gabungan Batang
Dari gambar 2.2 nampak :
tr tr dan tr adalah nomor titik buhul
F t , Fz dan F3 adalah gaya luar
dl ,d2 dan d3 adalah deformasi pada titik buhul 1,2 dan 3
Sesuai dengan persamaan (2.3), maka dapat diperoleh :
Ar Er Ar E,l-r - +
-
dl11 ll
_ ArEr Ar ErF1 = -- dr +
-.
I
F--+ar
----) Fg
[-"-+ az
. AlE: A:E, d]d. +
-
drli 13
A. E, A. E.du + '- dr-'" cl 3 Q.4l
12 12
AzEz Ar Esd2 +_ d3 +: d3
l: l:
l1
= - ArE,
l3
Ar Er
l1
ArEzdt
l2
AzEzJikakl = -I-,*, =
h
dapat dituliskan sebagai berikut :
A, E:dan k3 =
_ maka persamaan (2.41
DalamkeadaanYangsesungguhnyakonstruksisepertinampakpadagambar2.2tidakmungkin(karenatidakstabil}'Agarstabilharusadatitikyangdi.pegang (dikonstrain). Misal titik 1 dipegang (dalam bentuk tumpuan)' maka
dr = 0, Sehingga persamaan (2.6) meniadi :
Fl = 11,+k3)d1
F2 = (-krldl +
F3 = (.-k3)dr +
atau :
[', I [r, .
lr, l= l-t'L".l I n.
I t, I f-t,*t,
L ".1 =[- *,
.t
+ (-k r ) dz + (-k3) dr
(k, +-krld2 + (-k2)d3
(-kz)dz+(kr+k3)d3
k3 -k, -k3 I [.,.lkr+k2 -k2 I lo, I
-k2 n,*n,-l L..J
[,,] t:ltt
ditetapkan dihitung
rur42
L::lKarena ,dr = 0, maka bagian yang diarsir persamaan (2'7) diatas dapat dihilang-
kan, sehingga persamaan (2.7) meniadi =
;:, l[l]r1gaya luar matriks kekakuan
system struktur
Persamaan (2.8) dapat ditulis dalam bentuk :
displesemenyang teriadi
[x, +kz -k2 I[-*, *r**.]
tdisusun
-1
Analisis Struktur
"Join Code" UCODE) dan "lWember Code" (MCODE)
JCODE adalah satu set angka yang terdiri atas nomor-nomor derajat kebebasan
pada suatu titik.
MCODE adalah satu set angka yang terdiri atas nomor-nomor derajat kebebasan
pada ulung-uiung suatu batang.
JCODE dan MCODE merupakan alat bantu untuk menyusun matriks kekakuan,matriks beban luar dan untuk keperluan lain. Sebagai contoh akan disusun kem-
bali persamaan (2.6) dengan menggunakan JCODE/MCODE.
13
12.5t
(2.6)
12.71
(2.8)
rromor do f mssing-mrsing tittkGAMBAR 2.3 Deralat kebebasan (d o f)
Dari gambar 2.3 dapat disusun :
JCODE(I) = 1 artinya Joint Code titik 1 = nomor derajat
JCODE(2) = 2 artinya Joint Code titik 2 = nornor derajat
kebebasan 1.
kebebasan 2.
dan seterusnya
MCODE(I)= [1 2] artinya ujung-ujung batang I mempunyai nomorderajat kebebasan (m d o f) 1 dan 2.
MODE(2) = 12 3l artinya ujung-ujung batang 2 mempunyai no d o f 2dan 3.
MCODE(3) = [l 3] artinya ujung-ujung batang 3 mempunyai nod o f1 dan 3.
Srstem konstruksi gambar 2.3 diatas mempunyai 3 deraiat kebebasan (3 degre,rl freedom), sehingga matriks kekakuan sistem strukturnya berukuran 3 x 3.l'r'rryusunan matriks kekakuan dilakukan berdasarkan pada persamaan 2.3a dan2 3t-r yang merupakan persmaan dasr untuk struktur yarry batang-batangnwlranya mengalami deforixi aksiat.
Penyelesaian :
Batans 1 : MCODE(I)= [1 2l
kr =
+matriks kekakuan
batang 1
, *ZMCoDE
kz=
matriks kekakuan sistem struk'tur sumbangan dari batang 1.
1 ,*IMCODE(I) 1 2 3
f o,t, -4,E, I r to,1 -ArEr o
I h r, 1 ucoo.E Krr r I
rr rr
I _o, t, Ar Er
| , -
l_1t, o,t, o
L-Ir-j,J l', 11
L o o o-
Maksud dari penulisan diatas ialah dengan bantuan MCoDE, matriks kekakuan
batang disusun kedalam matriks kekakuan sistem struktur. Dalam hal ini matriks
kekakuan sistem struktur berukuran 3 x 3 sesuai dengan iumlah 'd o f'Sebesar
3.
Batans2 :MCODE(2)= [2 3]
-n" f" A, E, -1
t2t2i-I
'-AxE2 A2E2 I 3_l-12 t2 I
0
0-
0
AzE,
h
AzEz
3
l0l
AzEz
l2
AzEz
l2
Analisis Struktur 15
Batans3:MCODE(3) =[1 3l
1
Aa Es
l3
Ar Es
t:
= Ktr) * K(z) * K(g)
r
,
=
McoDE
A.E. I
;." l,l t'lcoDE K(a)=
A.E. I
13 -]3
1
Ar Ee
lr
0
As Es
l3
2
o-
3
Ar Er
l3
0
ArEr
l3
_A.r Er
l3
0
As E:
13 i
0
0
2
3
At Er
l1
_A, E,
ll
0
A, Er
lr
Ar Er
ll
0
0
0-
A2E2 _A2E2
l2 lz
AtEz AzEz
12 12-
to= a,0
l3
Ae Ea0
l3
A, E, AzEz AeEa
ll l3
-k3 I
_, j;,
.J
K = l-t,*t| -n,
L-*,
l2
- kl
k1 +k2
-k2
(2.1d)
16 Analisis Struktur Denoan Cara Matriks
Jika titik buhul 1 dipegang ("constrain"), maka :
trF->.o
nomor deraj at kebebabasan masing-masing tit ik
GAMBAB 2.4 Deraiat kebebasan
Pada titik buhul l derajat kebebasannya 0, hal ini berarti titik buhul l tidakbergerak karena ditumpu. Dengan demikian jumlah derajat kebebasan dari sistemstruktur tersebut adalah 2, dan matriks kekakuan sistem struktur menjadi2 x2.Penyelesaian untuk kasus titik buhul 1 dipegang :
Batang 1 : MCODE(I)= [0 1 ]
tr
F+r #2
0
Ar Er
1
Ar Er
1
l-o,t,
t"LO
< _ MCODE(1)
kt=lr l,
ArE, ArE,
l1 l1
Batans2:MCODE(2)=[1 21
0MCODE K(l)=
1
1
MCoDE K(2)=.J
2
,l,l
12AzEz AzEz
l2 l2
AzEz AzEz
=
MCoDE(2) 12
AzEz AzEz
AzEz
12.
AzEz
l2
kz=
l2 l2
Analisis Struktur 17
Batans3=MCODE(3)= [0 2)
0
AaEs
21,.t,
MCODE(2)
MCODE K(3)=__-_---5-
--------?
A: E:
[:r]ks=
l3
A: E:
l3
l3
Aa E:
l3
K(z) *
lr
K=
0
kl + kz
-k2
(lihat persamaan 2.8)Contoh :
Dlketahui : Konstruksi tergambar
A = 0,5cmE = 2.1o6 kglcm2F2 = ltonF3 = lton
A,E,
lz lz
AzE, AzE,
=K(
II
L
1) +
Ar Et
K(s)
l.l I
AzEz0
0lz lz
I
l-k2
k2+k3
(2.11t
tr
dl = dipakai index I agar sesuai dengan no ,d o f,,nyad2 = dipakai index 2 agar sesuai dengan no ,d o f,,nyaDisplesemen titik buhul 1 = 0. karena ditumpu.
Pertanyaan : Hitung gaya-gaya batang ,l,2 dan 3.
Jawab : Sesuai dengan persamaan 2.g atau pers 2..1 1
F = K.d, maka
[:][::..":.]L.]. AE 0,5.2. 100Kr
lr 400
. AE 0,5. 2 . ro6k.
2500 kglcm
1667 ks/cm
1000 kg/cmk3
lz 600
AE 0,5.2..106
13 1000
dimasukkan kedalam persamaan diatas :
[-'J" ;;, ] '
f oru, - 1667 I -t
[-,u., ,u., j
t,,] = l.;l
r;;:l [:;]
Analisis Struktur 19
lvrc-a zto-4 I t-roool= [., I[z . ro-o s.ro-'J L ,ooo_J L rJ
dr = 3,2 . ro-4. (-1000) * 2.to-410o0 = - o,12 cm
d2 = 2.10-.4.(-1000)*5.t0-4.rooo = 0,30cm
Hal ini berarti dr berarah kekiri, atau dengan kata lain titik buhul 2 bergeserkekiri sebesar 0, 12 cm.
Menyusun matriks deformasi pada masing-batang.
6z = deformasi pada batang 1
f. MCODE(1) Penlelasan :
dr= [oJ___,0 JikaMCoDE=o.maka d=ottL d,, 1 -----) Jika MCODE = 1, maka d = d,
fol=tt[ - o,,r]
6z = deformasi pada batang 2.
d McoDEt2t
I o,l 'l
ttL"J 2
deformasi pada batang 3.
- MCoDEl3l
v0
2
f trl
t:,1[.,]
Menghitung gaya{aya batang
Batans r : t*,] = [n,] [r,l
fbt = Nb!
[:
:'
-t'I [-o In,J L o,J
kr.0 + (-kr)dr0 - 2500.(_0,
+ 300ks(r)
-kr)0 + kr dr
0 + 2500.(_0,
-300ks(<--1
[:: 1
far = Nat
121
121
-,
Ial
o+l-
fa'- = gaya dalam ujung kiri dari batang lfbt = gaya dalam ujung kanan dari Uatang lMelihat dari arah fa dan f bl , maka dapat diambir kesimpuran bahwa batang 1adalah batang tekan.
Batans2: [r'] = [*1 = f*,-] [.:-][*'l_[-, -r, I [-a,t
L,,l =
L _-, *, _f L.,J
Analisis Struktur 21
Ia2
lb2
1667. { -O,12 )- 1667 (0,30 )
-700ks(+)(-kzld,+krd2
(- 1667 )(-0,12 ) + 1667 (0,30 )
700 ks
ofb2
maka dapat diambil kesimpulan bahwa batang 2 adalah
+-lrr'
rk' I [o']
:t t:J( - k3 ) d2
1000 . 0,30
+)
+ kr,d2
+ 1000 .0,30
(-)
o fb3
22
Melihat arah fa3 danfb3, maka beiarti batang 3 adalah batang tarik'
Reaksi perletakan= ! gaya normal batang-batang yang berhubungan'
R = far+fa3= 300-300=0ton
Melihat proses hitungan diatas maka dapat diambil kesimpulan bahwa dalam
analisis struktur dengan cara matriks, untuk dapat menghitung gaya-gaya dalam
tiap-tiap batang harus terlebih dahulu menghitung deformasi titik-titik buhulnya.
Atau dengan kata lain gaya-gaya dalam tiap-tiap batang merupakan fungsi dari
deformasi/displesemen titik buhulnya.
2.2 Deformasi Lentur
GAMBAR 2.5 Batang Lentur
Untuk memperoleh persamaan dasar batang lentur dapat diturunkan dari per'
samaan "slope-def lection".
Persamaan'sloPe'deflection" :
setelah deformasi
Analisis Struktur 23
2EtMa
L
2EtMb
L
dengan
1
Vab = -L
l20b +0b *3tl'ab)
(Yb-Ya) (2.13)
Agar memenuhi syarat keseimbangan, maka :
1
Va 1Y3+Mb) i.2.14l,L
Vb =-Va
Dengan mengkombinasikan persamaan (2.121, (2.13) dan 12.14l. , maka akan
dapat diperoleh :
Untuk memudahkan proses hitungan dengan metode matriks, maka indekspada persamaan (2. 15) diganti dengan nomor urut. Begitu pula notasi yang laindiganti sesuai dengan gambar 2.6 dibawah ini.
1_,,E.I. L 5
dq,lq
(20a + 0b - 3 Vab)
(12Ya +6Lda -12Yb +6LOb)(6LYa + 4L20a - 6LYb + 2L2?bl
l-12Ya-6L0a + 12Yb - 6L0b)(6L Ya + 2L2 0a - 61. Yb + 4L20bl
(2.12\
(2.151
Va =qMa =aVb =aMb -- oL
EIdengan q =
-L'
dt, fz
dr,fr
GAMBAR 2.6 Batang Lentur (bentuk matriks)
Arah gaya maupun deformasi pada gambar 2.6 adalah arah-arah positif.
menjadi :
d, Id"ld,
I
d. l
Dengan demikian
ill .[::1,, I l-,,LioJ L 6L
persamaan 2.15 dapat disusun kembali
6L -12 6L I i4L' -61 2L2 I I
-61 12 -61 I I
212 -61 orrl L
EIdenqan- L3
Persamaan 2.16 disebut persamaan dasar batang lentur.
Persamaan 2.'16 secara simbolis dapat dituliskan sebagai berikut :
"f =kd (2.111
dengan
12 6L
6L 4L2
-12 -6L6L 2L2
-12 6L
- 6L 2L2
12 -6L
- 6L 4L2
(2.16)
EI12.17 a)
L3
k =o
bntoh Soal I :
Pada kasus balok menerus sistem koordinat lokal dan koordinat global adalahsama, maka matriks kekakuan batang (persamaan 2.17 al dapat langsung diguna.kan sebagai matriks kekakuan pada sistem koordinat global tanpa transformasikoordinat.
AnaliCs Sbuhur 25
oord Lokal
(a) balok menerus(b) element batang
;_ araz, Qz
a,) fr,l{,Koord Global i
t
i^'I-/rT:v oto
GAMBAB 2.7 Contoh soal
= 14tmdanO2 =0Diambil O1
1. 'Unknowns' (Faktor yang tidak diketahui)
Seperti sudah dijelaskan dimuka bahwa dalam analisis struktur denganmatriks, untuk dapat menghitung gaya{aya batang harus dihitung dahuludeformasi/displesemen tiap-tiap titik buhulnya. Pada kasus batang lentur, setiaptitik buhul dapat berdeformasi/berdisplesemen dalam dua arah yaitu vertikal(naik/turun) dan berputar (searah/berlawanan jarum jam) seperti nampak padagambar 2.6.
Pada contoh soal ini (lihat gambar 2.7t,, deformasi/displesemen yangmungkin terjadi adalah :
titik buhur 1 : "tri,il;!!,1[!f*T:ff tH['titik buhul 2 : vertikal,'tidak bis karena ditumpu
berputar, i,isa karena tumpuan sendi (=q, )
titik buhul 3 : vertikal, tidak bis karena ditumpuberputar, Orba karena tumpuan sendi (=q, )
Dengan demikian dalam hal ini ada 2 kemungkinan deformasi/disflesemen yaituq, dan q2. Sistem struktur yang demikian dikatakan mempunyai 2 derajatkebebasan 12 "d o f"). Sehingga sebagai "unknowns" dalam hal ini adalah :
26 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
ag , k = 1,2
2. 'Elemen Models 'i
12.17).
Ji= k ai,i=t,2
dengan
f n 6LIk=a I ot- 4L2I
| _12 _61
L 6L 2L2
Pada tiap-tiap batang berlaku persamaan dasar, yaitu persamaan 12.16),
-12*61
12
-6L
EI,a=-
L3
(2.18 )
(2.19)
(2.19a)
6L
2L2
-614L2
3. "System Models"
Satu sistem struktur adalah merupakan penggabungan dari beberapabatang dan harus memenuhi syarat kompatibilitas dan keseimbangan. Kondisikompatibel dapat dinyatakan dengan "member code"(tvlCoDE).
[\4enentukan JCODE dan l\4CODE
0
tr
GAMBAR 2.8 JCODE dan IaCODE
Angka nol pada gambar 2.8 dimaksud bahwa titik buhul tidak bisa bergerakarah -tersebut.
JCODE(I) = [0 0] MCODE(I]= [a 0 0 1]
'2
tr
Analisis Struktur 27
JCoDE{!} =16 0l MCODE(2) =[0JCODE(3) = [0 21
2)
, MCODE(1I\_J.
0
0=
0
1
Dr = dl = [.,',i o,'
-oI
DI
dr
F
K
D
F
d,'
dr'
dr'
do'
0
Qr
0
Qa
displesemen batang 1 pada sistem koordinat global
displesement batang 1 pada sistem koordinat lokal
I o,'I
l-oo'
0
0
-0, -i
0
1
0=2
(2.20
12.21\
Dalam hal ini D1 = dl karena sistem koordinat global sama dengan sistemkoordinat lokal.
D2 =d2
pntuk tiap-tiap batang berlaku rumus f = k d , maka pada sistem struktur juga
berlaku rumus :
F = K.D
= matriks beban luar
= matriks kekakuan sistem struktur
= matriks displesemen titik buhul pada koordinat global
-trc
F = beban pada titik buhul ('Joint loads")
F = beban pada batang (dihitung dari "fixed end forces")
NE
(2.22t
12.231
29Anellair Sfuktur
B, Beban pada batang (dihitung dengan 1'fixed end forcesl').
-batansl: F' = lrlf-McoDE(1)I t; I o MCoDE.F(1) = [rli 1
I ', lo :-:+
l-, )zLrI J,
- batans 2 .. F2 = t-F?l g-MCoDE(2)
lr, | ,r MCoDE\ F(2) = [tel ,
i'1 lo: l,e),LFi )2
1= \Firir = ?(1) + Gt2t e.z6t=1 =[,rl l,zl t,l [.-| _ ['lL. l. L',.i
= L,l.L,l=irl
r = F-? = [o,l [. I _ [o,l
L",J L.] =
1",]O1 = 14 tm dan 02= 0, maka
F = l.r1L,l
-12 6L
_6L 2L,
12 -61-6L 4L,
ET,0 =.-
L"
Menyusun matriks kekakuan sistem struktur
|n 6L
K =k=el 6L 4L'
l-r, - oLI
L ur zL2
28 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
Menyusun matriks beban luar:
A. Beban pada titik buhul
F _ d JCODE(I)
- titik 1 : Fr = [t,'l i JCoDE ... F(1) [o I 1
ir7 lrLr,'J o
Lo -l z
= p 6(i)i=1
NE = ,,Number of Elemen1,, (=jumlah batang)
(2.34)
sesuaidengandof
JCoDE r r(2) = [tr'l 1
- rrL0 12
= [o, I ,
L0)2JcoDE. F(3) = [-o I r
- Lr,,l 2
= [, I ,
LO,J 2
+ ;(3) .. e.zst
[olttL
o,_l
- titjk 2 : F2 = [-., ,l o
L','l ,
-titik3: F3 =
E- H' ;(i)i=1
[,]
BI
Ir,'l o
1,,,] ,
?(1) + Er(z)
[;'] +
3l
0
0
02
aL2
=5m)Gaya€aya batang (diambil L
Batang I :
Sesuai pers (2.2O1 ,maka
l-ol I [o-lo,=1.;l = l:i
L:ill:,1
t=lIt-L
gesuai pers .2.19!,, maka :
,.I I,][
t:
L;iperoleh
5.
2,t)
4,O
2,4
8,0
- ol,lqL2 |
,' II
-q.L2 J
1221), maka
l:'l,laz I
L.; J(2,19) akan d
Batang 2 :
Sesuai pers
d2=
Dengan pers
Analisis Struktur30 Analigis Struktur DenEan Cara ltetiks
K2 =E
0
f,,.lut
l-tzl-u.
0
12
6L
-126L
Kt=
o 0 13 McoDE(l)
6L -12 6L lo 1 2
4L2 -61 zr-' I o[or. I(')=o [+r' o -l
,
-61 12 -61 lo- Lt o)22L' -61 oL'_) 1
1 o 2lMcoDE(2)6L -12 6Ll0 1 2
4L2 -61 -zt I 1 McoDE 6(2)= o [-+s2 zr-, I 1
-61 12 -61 I , -
["' +t )'zzLz -oL +t'1) z
*=SK(i) = K(t) + K(2)i=l =(y [or' .l*o[0.' ,,-'l=a [o oJ*"1-r.' o,-'-]
l- eL' z..1=o Lr.' o.'l
12.27 |
(2.28l
Sesuai persamaan2.22, maka :
o l- au, zr-, I [',1- [r+llz., +t, j Lo,J [o ]
4. PenyelesaianPersamasnPenyelesaian persamaan (2.28) menghasilkan
219r =
;I, , 92= - "L"
Analisis Struklirr Dengan e,ara Matriks Analisis Struktur
P2 = .fb' +
p3 = {b,=[;:]
Prosedur perhitungan pada metode displesemen tanpa beban pada batang :
1. "Un knowns"
33
Di( MCODE D
4td isplesemen seluruh sistemstruktur disusun kembali.kedalammasing-masing batang (Dl)dr=ArDt
5. Gaya batang
Penyusunan matrikskekakuan dan beban luar
,i-nirri
Matriks kekakuan sistemstruktur
ri nacooe , r(i)
Matriks kekakuan masing-masing
elemen disusun kembali sesuai
dengan no "d o f"
"=$*liri=l
2. "Elementmodel"
6. Gaya pada titikbuhul
F,=*:il
(2.30)
fi=Lioi
4. "Solution"
3. Systemmodel
Gambar 2.10 Prosedur Hitungan
32
[u, 6Llt-'l [',']{2=a lo., 21, ll # I I
6,0 Illl
l;.: -;:, ll : I l::lL ,L-#.i L"-]6, "Joint Forces" (gaya{aya pada titik buhul).
Gaya-gaya pada titik buhul dihitung dari gaya-gaya batang pada sistemkoordinat global. Karenadalam hal ini sistem koordinat lokal dan global sudahsesuai maka tidak perlu transformasi koordinat. Dengan kata lain gaya padatitik buhul dapat dihitung langsung dari gaya batang pada sistem koordinatlokal. maka :
P, = f.', P' =!b' +{ar,Pt =fb' (22et
"Free body" dengnn
+2| ,,
4t
( |_6tm
't\-Jtm
F}] L{ ,[#]
H
I
GAMBAR 2.9 Gaya Batans
Sesuai gambar 2.9. maka :
Sehingga,
Pl= !r' =f ',01
L o,o-l
34 Analisis Strulrtur Dengan Cara Matriks
bntoh Sc.al 2:
Balok menerus30 tm, Oz = 0.
pada gambar 2.11 dibebani dengan beban titik sebesar 01 =
A qzQz
lr,Qr I
tr
Hitung : Gaya-gaya batang.
funyeleuian:
1. "Unknowns"
Seperti sudah diielaskan dimuka bahwa sebagai "unknowns" adalah dis-plesemen pada "joint".
aP, k = 1,2
2. "Element Models"
Persamaan dasar untuk tiap batang ("element")
ti = t ai, i=l,z
k adalah seperti pada persamaan (2.19a)
3. "System Model"
Menyusun JCODE dan MCODE
T' , a],' ,ltr
GAMBAR 2.12 JCODE dan MCODE
0
tr
GAMBAR 2.11 Balon Menerus
Analisis Sffuktur
JCODE(I) = t0 0lJcoDE(2) = to 1lJCODE(3) = lZ 0l
MCODE(I) = t0 0 0 1lMCODE(2) = to 1 2 0l
Menyusun matriks kekakuan sistem struktu rl
Batang l.
[o o o o I t?McoDEtl\I 12 6L -12 6L l0 1 2
r'=t= o, I ol 4t2 - 6L 2L I o ,.ora 6(1)=o, lo.' ol r'ltll-rz-or- P -61 lo- l_o oJ,Lu.2L2 -61 4L2 lt
K(l) = dapat diartikan sebagai sumbangan kekakuan batang 1 ter-hadap kekakuan sistem struktur.
Batang 2.
35
tr
K- =k= 0z
2
K ='i=1
K(1) a 6(2)
['112
lu'l-nl- u'
K(i) =
1
6L
4L2
-612L2
o I l- qr-' - 6L-l [a,-'l+ o, I I =al
o J 'L-u' ,2) L-ut
2012 6L
6L 2L2
12 -6L6L 4L2
url ,
n)z
MCODE(2)
0T1 MCoDE trl2lnr l oa.-z l-or-
l_0
f qt'=arl
Io Il
37Analisis Struktur
)l4. Penyelesaian persamaan diatas, menghasilkan:
.63D1 =--------:- , D:
oL' aL
sehingga tidak me-
- Gaya-gaya batang :
Dengan persamaan 2.19, jika diambil L = 4 m akan diperohh:
t:II:,] "L::,
Gaya- gaya batang ("Element Forces")
- Displesemen pada masing-masing batang :
Batang 1 :
D t:il : [: tt:]L:il :Jltil
karena koordinat lokal dan global sudah sesuai,
merlukan transformasi koordinat, maka dr = Dr.
Batang 2 :
D [:l l;JlHlL,, I :*'l l_-'i
d2= D2
36 Analisis Struktur Dengan Cara Metriks
JCODE F(1) =
JcoDE Ftzt =
- titik3: F = F(3) =
1
2
1
2
t:l
[:']
[;']
[:']
[:,]
Menyusun matriks beban luar
A. Beban pada titik buhul
- titir< r :F, = hll,i_,1L'lJ o
- titik z,i' = [t:1,l_,1[_rrJ r
[-.1l:l l'JcoDELF,J o
3 _...F =:F(t)
i=1
B. Beban pada batang
Dalam kasus soal ini beban pada batang tidak ada, sehingga f = O.
r E*? [:J.t] [:l [']L
Sehingga diperoleh (dari persamaan F = KD) :
Analisis Struktur Dengan Gara Matriks38
t,ilI
0
0
0
6
.rL-il
t=.1
t
If_J_
fl
=0
r2Io
2
{o
{2= hl
2
l_,,
0,0
6,0
0,0
Batang 1 :
IIJ1,l
I.i2
tl3
{t'4
Batang 2 :
f?
r2J,
"Free body" diagram
9I
6 L --12
4L2 -6L
-61 12
2L2 -6 L -6,0
9r
(G t.t(-)6 t-
GAMBAR 2.13"Free Body"
Gaya-gaya pada titik buhul ("Joint Forces")
Pz=
rl 1-,, I r\T-,j2 tm 24 tm
f u" , P{= fb'.
[,::].H r..,1
Pr =L', P, = fb,
Pr = [ t'tl
,
I rz,o]
P3 = l- o,o-l
I-- uoJ
Analisis Struldur
2
2afm | 30fm
ai 2 -
2. ror
.*,r1l^. .1,9t
9t
2.3. Rangka Batang Bidang ("Truss Element")
Rangka batang bidang didefinisikan sebagai konstruksi rangka dengantitik-titik buhulnya berupa sendi (diarggap sendi). Sehingga deformasi yangterjadi pada batang-batangnya akibat beban luar dalah hanya deformasi aksial.
Pada bab 2. 1 telah dibicarakan dan dijabarkan persamaan dasar suatubatang yang mengalami deformasi aksial. Pada bab 2.3 ini persamaan dasarnyaadalah sama dengan pada bab 2.1, sedang perbedaannya adalah pada rangkabatarq bidang arah kedudukan batang-batangnya sembarang. Dengan kata lainsistem koordinat masing-masing batangnya tidak selalu sama dengan sistemkoordinat strukturnya. sehingga untuk menganalisis konstruksi ini diperlukantransformasi koord inat.
2.3. I Persmaan dasr i
'
t,.d, {- A ';
GAMBAR 2.15 "Element" Rangka
Arah gaya dan displesemen yang tampak pada gambar 2..l5 adalah arah positif.Sesuai dengan persamaan (2.3), maka :
][.,]fl.f = k d
="t [, -1I
L-l 1
(2'31],
AE,?= -- 12.32l.
Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
dengan: r=rlr -tlI I '7=
AE
[-t 1J L
atau: n = [nr.
nro I
L nou noo l (2.33)
2.3.2 tbtri*s Transformasi
Seperti sudah disebutkan diatas bahwa arah kedudukan batang-batangRangka Batang Bidang adalah sembarang, sehingga kedudukan Rangka BatangBidang secara umum dapat dilihat pada gambar 2.16.
Garis putus-putus pada gambar 2.16 menun.iukkan Sistem KoordinatGlobal (sistem koordinat struktur). Pada umumnya sumbu 1/sumbu X diambilhorisontal dan sumbu 2/sumbu y diambil vertikal. Sedang sistem KoordinatLokal digambarkan dengan garis penuh, sumbu 1/sumbu x diambilsumbu tiapbatang dan sumbu 2/sumbu y diambiltegak lurus sumbu batang.
u'I"
v__ _./^
(a )
d rfr
GAMBAR 2.16. a) Kondisi lokalb) Kondisiglobalc) Transformasi ujurg a
d) Transformasi ujung b
Analisis Struktur
Gambar 2.16a menunjukkan gaya dan deformasi pada sistem koordinatlokal, sedang gambar 2.16b.pada sistem koordinat global. Dari gambar 2.16cakan dapat diperoleh persamaan sebagai berikut:
dr = Dr Cos0 + D2 Sin0
dalam bentuk matriks :
d, = [coso sin o) f-orlLo'l
Dari gambar 2.16 c dan analoog dengan pers {2.35} dapat diperoleh :
12.341
(2.35)
41
Untuk memudahkan dalam penlelasan lebih laniut ujung-uiurg batang biasa
disebut dengan uiung a dan uiung b seperti nampak pada gambar (2.16a). De-
ngan demikian persamaan 2.35 dan 2.36 dapat dituliskan seb4ai berikut:
d2=rcosg Singr i:l
d. = [c s] Da
db = [c s] Db
dengan: c = Cos0,s=Sind
oa=l-o,l , Db= l-r,lL,J 1,.]Jika diambill = [c s ]. maka persamaan (2.37]dapat dituliskan :
[::] [: l]t:t). = matriks transformasi
Untuk menyederhanakan penulisan dan penlabaran lebih lanjut(2.38) sering dituliskan sebagai berikut :
[r] = rnr [o]
(2.36)
|.2.371
{2.38)
persamaan
(2.39)
42 Analisis Strukur Denoan Gara Matriks
densan L.l [:] ^ [: : I ['l t:ilAnaloog dengan persamaan (2.38), akan dapat disusun persamaan sebagai berikut:
[q-l = [^ 'l ['.-lL,, l= L, ^ I L'ol
atau :
[,] = tn,[.]Dari persamaan (2.38) dan (2.40) dapat diperoleh :
[,.-J =[^, ol [0, IL,,l= L, ^'.i 1.,-]
atau
[r] = r^r' [.]dan
:,1[l]atau
[r] = rAr'tr]Dari persamaan (2.3) dan (2'45) akan diperoleh :
Lr l = nrto
Dari persamaan (2.46) dan (2.39), dapat diperoleh :
r = Art<Ao
L:il i:'
(2.40\
12.41t
Q.42\
12.43\
12.441
t2.451
(2.46)
(2.471
43Analisis Struktur
Persamaan (2.47) identik dengan persamaan (2.22\, sehingga diperoleh :
K = Ar tA
sehingga,
12.481
K= lrr o llu k ll-^ ol| - I l'-aa .ab
lo rrjLoo.**.1 Lo ^l[ ^,
ou. x i ,rr r.o x I [*., i o.ol| -:- -f -------- l= l-- - | - - I 12.491I )rr,,u) i rrkuo^ | i*0. i ooolL Da : "" I r- , --J
dengan, K., = )l kr.)
Kab = X' nro X (2.50)
Kb, = trr k0, IKuo = lr too L
Dengan ) = [ c s ] dan dari persamaan (2.33) maka akan diperoleh :
[.' cs -c] -*ltKr=r 1", s2-cs -,. l,r=5 e,s1tl"iL
| -c- -cs c- ", I
[-* - s2 cs r' lIK] adalah matriks kekakuan "element" (batang) pada sistem koordinat global.
44 A"alisis Struktur Dengan Cara Matriks
Cara menghitung matriks transformasi :
1. 0 Padakwadran I
b (xb, yb)
JL
GAMBAR 2.17 Kwadran I
C.os 6
Sin 0
Xb-X.I
'b 'a
(positi{ }
(rcsitif )
L
2. 0 pada kwadran ll
(negatif)
(positif)
Q.521
-)La (Ya, Ya)
GAMBAB 2.18 Kwadran tl
Xu- X,Cos 0
L
Yu-Y.Sin 0
L
45Andigis Struktur
3. 0 pada kwadran lll
Cos 0
Sin tjL
4. 0 pada kwadran lV
a (xa, ya)
I;)
4I
I
I
-l--\l
l
l
I
+i
Xb-Xu
L
Yb-Yu
GAMBAR 2.18 Kwadran lll
(negatif)
( negatif )
GAMBAR 2.19 Kwadran lV
(positif)
(negaif )
Cos0 =
Snd =
Xb-X.
L
Yb-Y"
(2.53)
12.52].
b (xb, yb)
(2.54)
1.
3.
, n=zoooto
Analisie Struktur
Berdasarkan analisis diatas, dapat diambil kesimpulan bahwa dapat dibentuk
suatu persamaan yang berlaku umum :
X nomor titik besar - X nomor titik kecilCos 0
L
Y nomor titik besar - Y nomor titik kecil
(2.55)
Sin 0
L
C.ontoh 1 :
Diketahui konstruksi rargka seperti nampak pada gambar 2'20'
Pertanyaan : Hiturq gaya-gaya batangnya.
. 3m I
v
tI
tr
E = 1oo kg/cm2
A=4cm2
trGAMBAR 2.20 Rangka Batang Bidang
funyelesaian:
Variabel yang tidd( diketahui (yang harus dihitung) dalam hal ini adalah
displesemen horisontal dan vertikal di titik 2, yaitu:
Dp, k = 1.2
Persanraan dasar masing-masing batang adalah :
fi=ti ai, i=t,z
Menyusun persamaan sistem struktur'
I\lbnentukan JCODE dan MCODE
JCODE(I) = [O 0JCODE(2) = [1 2JCODE(3) = [0 0
MCODE(I)= t0 0 1 2JMCODE(2)= [1 2 0 0]
Menghitung matriks transformasi tiap-tiap elemen/batang.
Eatang 7.' trl = [ ms 0 sin 0 ]
Cos dXz-Xr 3-0
=lL3
Yr-Y' 3-3L3
trr = [lBatang 2 :
C.os 0 =
0l
12=[os0sin0]Xs*Xz 0-3
= -=
-%J23,t2
(pers 2.55)
47
(pers.2.55)
Analisis StqEglryggl0ara llatriks,
sino = Yr-Y,
= o-3
= _%,t2L 3,t2
),2 = l_U,t2_%J2l
Menyusun matriks kekakuan struktur.
Batang 1 : c= 1,s =0, 7, = + - 4io6
= 1,333'1063
Dari pers 2.51 :
0 O "t 2<:,MCODE(1\
f I o - I olo 1 2
rr=r,3l3.t0ol 0 o 0 o lo McoDEr(l)=t,g33'r06[ o II- I u I u lr l^l-' | ' E olI o o o o],
Batang 2:c=-1,,12,s=-T,"'2,j, =+ -- 4'106
=0'943'106
Dari pers 2,51 :
1
2
1 2 0 o-MCODE(2)
ln Y,-Y,-Y,f1- t
x'=o,s+s.rou | % % - v, - "1, r'acooE r(.2)=o,sar'rou
l-i'l-n-Y,' k v'lo l!'
l.-v, v, *)oK = 3, 6 (i)= 6(1) + K(2)
i=1
2
;7"
= ,,333106
[: :] + o,e+z.to6lu.
:l
= l-t,ao+.tot 0,471.106 I[-0,+zr.rou 0,471.106 ]
Menyusun matriks beban luar.
Karena merupakan konstruksi rangka maU ? = 0. Beban pada titik buhul :
Analisis Strulrtur 49
titik I :F ., 6JCODE(1) r -l
F'= lFl l[ r.orr F(1]= lo I ,l-,-l I I
L';jo [o ),titik 2 :
" f-" -'1 f 1 rJcoDE(2|F'=lFil io l! :et F _,
Lt,.]=L-,,,J;sS F =
11,,,J;titik 3:
-3 l-: -1
F = lt'ILF: J
3 -,F = X Fti=1
_ [r lL,.j
r = F*?
t:li) = F(l
-lil-1.] L
- JCODE
{ JcoDE F(s)= [r l 1
:l0 LoJ 2
I +7t2t +F(3)
ol,*oJ
L,:-].[:] L:JSehingga diperoleh persamaan simultan untuk sistem struktur (F = KD) :
| . I t-t,80+.t06 o,+zr roul
|_r, IL-r* J [0,+zr.rou o,+zr rou] Lo, -]
4. "solution" (penyelesaian pers diatas)
Dr = 0,0015 cm
51Analisis Struktur
f.rl [' o o ol f o
L.l"j -[_,0 1 ']lr,,r:,
f-o,oosz
)-: Dr (pers 2.39)
o-l F: -
i'_i i";lo.L": -
. I [,,,. I-ntz) l-o,oosz I
L:l= f-,,,,
LO
= | o,oozsz ILO JGaya{aya batang
Batang 1 : (f t = kr dr ).(Pers' 2'3'l)
[rl I t,a33to6 [, - ,o-l f o IL;; I t, ,J1.",'-i
=f o Ib.*,1
Batang 2: d: : d2 =
[:rjt:
-tJ2 0
o -%'f 2
Analisis Struktur Denoan Cara Matriks
D2 = *0,0O57 cm
5. "Element Forces" (Gaya-gaya batang)
Displesemen yang diperoleh pada butir 4 diatas disusun kembali padamatriks displesemen masing-masing batang dengan bantuan MCODE.
Batang 1 :
o
0
D,
D,
0
0=
1
2
0
0
0,001 5
-0,005 7
/ MCODE(I)T\
0
o McoDE Dl =-t
1
2
:;l'l::l
Dl=
Batang 2 :
[,: I ('McoDE(zt
[,, I , 1,,.,,, ID2= lri I ,.=\r,= lo, l , =l-o,oos,
llo:lo- loio l,L";-]. L,l. L,lDisplesemen Dr dan D2 masih pada sistem koordinat global. Untuk menghitunggaya'gaya batang ( / = k d ), maka Dr dan D2 perlu ditransformasi dahulu kedalam sistem koordinat lokal dt dan d2.
Menghiturg displesemen pda sistem koordinat lokal.
futang I : dt =A I Dr (pers2.3g)
[:r]t]':l[:l]loi I
L'l J
52 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
- ,l [,,*rn,l'JL ' j
[i][-- rsgs,s I=tt=L+ 1999,s _l
Batang 2: I t2 = k2 d2 )
[1; ]=oe431on L;
_ [ zaoo.srl _ [r; If zaoo,ur_l Lr; l
"Joint Forces" (Gaya-gaya titik ouhul)
P, = Fa' = rrr,, =
[;] 1eee,5
t ":'j =[':'],z = ri + F2 = trr '\*\"t'"
= [;],nnn,u
. l_-:;::]
,,oo,u,
= [li;1,,,]= [:,,,JP, = Fb' = t," tlf -u,rz 1= L-"'J tzeoo'szt
_ [ rsao,el P*olf ,nro,rJ =
b*r-l
Analisis Struktur 53
7. "Free Body"
1999,5 6\ l99e'5 ,2ooo'tilEv/ru*.u,
/Laa/,/
,/ ?oo('El2800.57
2.4 Portal Bidang ("Frame Structures")
Portal dalah suatu konstruksi rangka yang batang-batangnya dihubungkansecara kaku sempurna, sehingga sudut antara batang-batangnya sebelum dansesudah pembebasan tetap adanya.
Karena adanya beban luar, baik itu beban pada batang ("element load")atau beban pada titik buhul ("joint load"), batang akan mengalami deformasiaksial dan lentur. Dengan demikian persamaan dasarnya merupakan gabungan
antara persamaan dasarnya merupakan gabungan antara persamaan dasar batangyang berdeformasi aksial (pers 2.3) dan persamaan dasar batang lentur (pers
2.161.
Untuk lebih jelasnya kedua persamaan tersebut diatas akan ditulis kembalidi bawah ini.
-)L ,dz
(a)
'I/1"f., o.)o..
b-----+ fc, de
t', o'
deformasi aksial
deformasi lenturkombinasi (a) dan (b)
(a).
(b).
(c).
fi, dr
GAMBAR 2.20 Batang
Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
2.4.1 Batang yang mengalami deformasi aksial
Lihat gambar 2.20 a
f t I l-rtrt Ill=illr I l-1l_tlL-
2.4.2 Batang yang mengalami deformasi lentur
Lihat gambar 2.20 b
- 1 I l-o, l,11.,]
12 6L
6L 2L2
12 -6L6L 4L2
AE
L
[-0,I
ld:I
i
I o.
Lo.
EI,a=
L'
(2.s6)
12.57 \
{1
{2
f3
fJ4
[" 6L
=o I ol 4t'
l-,, -u,-
I u. zLz
2.4.3 Batang yang mengalami deformasi aksial dan lentur (biasa disebut sebagai
Portal)
Seperti nampak pada gambar 2.2O c maka dapat disusun suatu persamaan
yang merupakan gabungan persamaan 2.56 dan 2.57, yaitu
EI,a - ^ (2.58)
L'
AL2o-p-I
Persamaan 2.58 disebut persamaan dasar struktur portal bidang. Persamaan
2.58 tersebut diturunkan berdasarkan sumbu batang sejajar dengan sumbu Xlokal. Dengan demikian agar dapat dilakukan penyusunan matriks kekakuanseluruh sistem struktur diperlukan matriks transformasi.
P a o -F o o l[o,lo 12 6L o -126Lll ., I
o 6L 412 o -6Lr*ll ., 1
-P o o P o o ll o. I
o -12 -61 O 12 -6LIl ds I
o 6L 212 o -61 o.'J[o. J
tilI Jt Il-l
I n i ="
It iIf, I
L-l
'il
Analisis Struktur 55
2.4.4 Matriks tranformasi
,/;11
G AMBA R 2.21 Tr ansformasi koordinat
dl = Di oos0 + D2 Sin 0
dz - -Drsin0 + D2cos0
d3 - D3
Persamaan (2.59) dapat dituliskan dalam bentuk matriks
dt,{z
(2.59)
sebagai berikut :
-l I o,l
ll,,lI L,,j
[0,-l I coso
| ., I l-'"eLo, j I o
sin0 0
cosO 0
01 (2.60)
fl
56 Analisis Struktur Dengan C,ara Matriks
atau,
Jika cos 0 =
lI1 =
[..] = r^r P,lc&Sin6=S maka
5 0-'l
; :l
(2.61)
12.621
(2.63)
Q.64t
(2.65)
(2.66)
l-"
[:
Analog dengan pers (2'60) akan dapat diperoleh
[l [:*]'l [ll
rKt =[.., I K.ul
L;;; I '.;J
atau: Io.J =tr,[ro]
Dengan menggabungkan persamaan 2.61 dan 2.64 akan diperoleh :
[,j L, :lL,,lD=tA1
Analog dengan penjabaran per 2.39 s/d pers 2.50, maka akan diperoleh :
Analisis Struktur 57
dengan: K.. = tr'a.. Itr'*.0 rtr'kbu rtr'kcu r
Ni lai-ni lai kaa,kab,ko. dan koo adalah merupakan matriks kekakuan batangpada sistem koordinat lokal, seperti nampak pada persamaan dibarvah ini.
(2.68)
(2.69)
(2.701
ttl= [,. ,],,1 = .[oo,
I ooo_]
0
0
9_
-p0
0
o o i-p o o
12 6L io -12 6L
6L +r2 | o -61 zL'----lo o iB o o
I-12 -6t,0 12 6L
6L 2L' ', o -6L 4L't*
- 9r - 9c 9c
-92 -9: 9s
- 9q - 9s gt
9r gz - 9r
9a - 9s
9o
Sehingga diperoleh :
l-" - s
K..= o | , c
L0 0
ol0l,-l
" [: o,, :.-Ji1, .
[o 6L otll_,r o
olol,]
Dengan cara yang sama akan dapat dlhitung nilai-ni lai Kab, Kba dan KOO.Sehingga akan dapat diperoleh matriks kekakuan batang/elemen paoa sistEF,koordinat global, seperti nampak dibawah ini :
9+
9s
9o
9r gz
9r
Simetri12.6n
tKt= l2:71],
58 Analisis Struktur Dengan C,ara Matriks
dengan : g 1 =0
-0
(p cz + 12s21'
cs(0 -12)lA s2 + 12c21
q 6Ls 12.71 al
o 6Lcot 4L2oL 2L2
9z
9s
9c
9s
9o
9r
EI AL2n_u - ^ ,p-L, I
2.4. 5 "E lenpnt Actions"
"Element actions" adalah suatu kondisi luar yang menyebabkan batangtetap diam pada tempatnya jika tidak ada displesemen pada titik buhulnya.
A-4.'tlII
d =0a d =0b
GAMBAR 222"Fixed End Forees"
"Element actions" dapat terdiri atas :
pembebananperubahan temPeraturketidaksempurnaan pembuatan, dan lain-lain.
Secara khusus respon dari suatu sistem struktur dapat ditransformasikan ke-
dalam beban titik ekivalen dengan persamaari :
FS =FS+ FS
x
Analisis Struktur 59
rs
FS
gaya-gaya dalam sesungguhnya, termasuk didalamnya gaya-gaya primer
dan gaya-gaya titik buhul.
gaya-gaya primer yang terdiri respons batang-batangnya dan gaya-gaya
pada titik buhul yang dibutuhkan untuk menahan displesemen pada
titik buhul.
sistem gaya titik ekivalen tanpa gaya primer.
.4=F_F
F = Vektor beban pada titik buhulF = Vektor beban pada titik buhul tetap
12.751
12.73t
FS hanya terdiri beban padatitik buhul sebab "element actigns" FSdan denganpersamaan 2.73, dikurangkan terhadap FS menghasilkan FS. Sehingga FSdapatdihitung dengan metode matriks displesemen. Sedang FS dengan jelas dapatdihitung secara sendiri-sendiri tiap batang karena tiap-tiap titik buhulnya di-tahan sehingga tidak ada interaksi dengan batang lainnya.
Dalam bentuk matriks beban titik buhul eqivalen dapat dinyatakan sebagai
berik ut:
FS
F
dengan
AFS = FS- FS
12.7 4\
("fixed and forces")F = Vektor beban eqivalen
F sudah dilelaskan terdahulu Oan ? dapat dihitung sebagai berikut :
1. Untuk tiap-tiap batang/elemen yang menderita beban pada batang, dihitungvector "fixed and forces" ( f I ) pada koordinat lokal dan kemudian ditrans-formasikan ke vektor "fixed and forces" pada koordinat global liit.
2. Dengan bantuan MCODE, ?i Oi transtormasikan sesuai dengan nomorderajat kebebasan yang ditunjukkan oleh MCODE sehingga diperoleh?(i)-
?iMCoDE ;(i)J-'---------
(untuk lebih jelasnya lihat pada ontoh soal)
3. Untuk seluruh sistem struktur dengan n derajat kebebasan yarq terdiri dariNE ("N umber of Elenrents"), diperoleh kondisi keseimbangan.
;=$poi=1Q.72l,
(2.761
60 Analisis Struktur Dengan C,ara Matriks
Vektor gaya.dalam tiap-tiap batang dapat dihitung dengan rumus dibawah ini,analog dengan pers.2.72 :
?i = fi *j'dengan , fi = ki di
12.77l,
2.4.6 "Fixed and Forces"
Dibawah ini akan disajikan rumus "fixed and forces" yang paling banyakdigunakan pada sistem pembebanan di lndonesia.
li,fr.
r-a'tz.-stlL a ( 1 - a )2 |
a' l2a- 3l I
La2(1-a) l
?,{q , I '(\''\r+-r!--l . +)a--l , *ro
GAMBAB 2.23 "Fixed and Forces"(a). Beban terpusat(b). Beban terbagi rata
Beban terpusat :
f=Pt2.781
ilAnalisis Struktur 61
Beban terb4i rata :
f =q L
%(1-aa + 2a3 -2alLI (t-3aa+ga3-6ar)12
%(1+ao-2a3]}L-(1+3a4-4a3112
Q.791
2.4.7 . Prosedur hitungan
1. "Un knowns"
5. "Element
Forces"6. "Joint Forces"
6i =1sr; i
"System Steffness Matrix
Ki M K(i)
NEK= I KIU
i=1
"Equivalent Joint Load Vector,,
Fi*p(i),.- $ertiti=1
r=i - r
"Assembly"
Din M D
oi- nioiGAMBAR 2.24 Metode "matrix displecemen" dengan beban pada batang
( n =d o f, NE = jumlah batang ).
.f r=krd'+.f
i
3. "System models
4. Solution
Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
Penjelasan diagram alir pada gambar 2.24 diatas :
1. "Unknowns"
Menentukan berapa iumlah displesemen yang mungkin terjadi pada
sistem tersebut yaitu sesuai dengan berapa nilai derajat kebebasan sistem
struktur tersebut ( = n ). Cara menghitung n adalah dengan meli hat satu
persatu kemungkinan displesemen masing-masing titik buhul'
2. "Element Models"
Menentukan bentuk persamaan d"*r, ii = k id i + ?i
fi = gayadalam
ki = matriks kekakuan batang pada koordinat lokal
di = displesemen ujurg tiaptiap batang pada koordinat lokal
?i = gaya-gaya primer ( "fixed and forces")
Sehingga dalam hal ini gaya-gaya dalam final adalah merupakan penlum-
lahan gaya dalam karena displesemen titik buhul dan gaya-gaya primer'
3. "S6tem Model"
Menyusun persamaan simultan KD = F, matriks kekakuan sistem struktur(K) dan matriks beban luar (F) disusun. Sehingga dari pers KD = F di-
peroleh matrik displesemen seluruh sistem struktur (D) pada sistem
koordinat global.
Menyusun matriks I K] :
Ki M, K(i). matriks kekakuan elemen pada koordinat global Ki
(persamaan 2.7 1) dengan bantuan "MCODE"(M). indeks ("subs'
cribs") unsur'unsurnya disesuaikan dengan norror d o f pada masing'
masing "MCODE"nya' Sehingga diperoleh matriks K(rl dengan
indeks sudah sesuai dengan nomor d o f' Dengan kata lain Kt"merupakansumbangankekakuanbatangkeiterhadapkekakuansistem struktur.
NE
i-1penjumlahan matriks kekakuan batang'batangnva (r(it'
iliril62
Menyusun matriks :
[']'[']=[']- t'l
Analisis Struktur 63
Matriks beban luar I t ] adalah merupakan pengurangan dari matriksbeban titik I F ] Jan matriks gaya-gaya datam orimer f F ] ("f ixedand forces").
.- i J-CO-1E F(i), matrits beban luar pada masing-masing titik buhulF' disusun kembali dengan indeks sesuai d o f pada JCODE, sehinggaoiperorcrr F (i).
F (i ) , *rtrits beban luar titik buhul merupakan pen-
jumlahan dari beban luar masing-masing titik buhul ( NJ = "Numberof Joint"/jumlah titik buhul).
? lg i (i) , gava ujung batans/gaya-gaya primet^(s91ng juga dikata-
kan ipmen primerl atau "fixed and forces" IF i l letak unsur-unsurnya disusun kembali sesuai dengan norortd o i pada MCODEmasing-masing,.,batangnya. Sehingga diperoleh matriks "fixed andforces" L t
*'! dengan indeks unsur-unsarrnya sesuai dengan nomordof.
NE F ; r (i), "tixeo and forces" total adalah merupakan pen-
i=1jumlahan "f ixed and forces" masing-masing batangnya.
"fulution"
Dari langkah butir 3 diatas diperoleh persamaan simultan KD = F. Solusldari persamaan tersebut akan diperoleh matriks displesemen seluruh titikbuhulsistemstrukturtersebut t I O ] t.
"Elemen Forces" (gaya dalam batang)
Agar supaya dapat dihitung gaya dalam masing-masing batang (?i = t iO i +f I ). maka perlu. dihitung terlebih dahulu matriks displesemen masing-masing batang. (Ol ) pada sistem koordinat lokal. Adapun langkah untukmenghitungdladalah:
D M, D.i, matriks displesemen masing-masing batang pada koordinatglobal ( p I ), unsur-unsurnya diambilkan dari matriks D dengan bantu-an nomor indeks sesuai pada MCODE masing-masing batang.
d .i = Ai Di , matrik displesemen batang pada sistem koordinat globalDr dikalikan dengan matriks transformasi D l. sehingga diperoleh ma-triks displesemen masing-masing batang pada sistem koordinat lokaldl.
NJc-\'
i=l
4.
5,
64 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
Setelah diperoleh matriks d i, maka dengan persamaan 2.77 dapx dihitunggaya dalam masing-masing batangf l.
6. "Joint Forces" (gaya pda titik buhul)
Gaya-gaya titik buhul pada umumnya dinyatakan pada sistem koordinatglobal. Gaya-gaya titik buhul dihiturg dengan cttra mentransformasikan
kembali gayadalam masing-masing batang ( Pj = Y A iTfi )
i=1
Contoh Soal 1 : Tanpa beban pada batang
E = 30.000ksi,A=5in2| = 50ina
L = 10ftl4kft = 14,12 = 168k in
"Unknowns" (terdapat 3d of )
Dk, k = 1,2,3
't.
Analisis Struktur 65
"Element Models" (terdiri 2 batang)
.li=tiai,i=l,z
"System l/lodel"
- Menentukan JCODE(J) dan N4CODE(M)
L)
A
^\ ,,-i---,\_) / , ' -,,.\r,5FI\+ u
JCOD E
I.4CODE :
- Menghitungpers.2.55)
Batang 1 :
Titikbuhul 'l : JCODE(I) = i0 0 0rTitikbulrul2 : JCODE(2I = [0 0 2)Titikbuhul3 : JCODE(3) = [0 0 3,
Satansl: MCODE(I)= t0 0 0 1 0 2
Batang2: MCODE(2) = tt 0 2 0 0 3
matriks transformasi tiap"tiap batang (untuk in i d ipakai
X._X,Cos d
L
Y"_Y,
L
= 0-0
L
= 0-L
L
oloJ1.1
=0
- -t
Io)'r =l
1
L,
-1.0
0
66 Analisis Strukur Dengan Cara Matriks
Batang 2 : Cos0=Xs-Xz L-0
L
Y:-YrL
0 -0Sin 0L
[r oI).2= lo 1
I
L0 0
L
2 <--7 MCODE(1 )
-V
ol,l1J
Menyusun matriks kekakuan sistem struktur I K ]
El 30000 .50Batangl u = ---T = --_-=- = 0,87- L' 120'
AL? 5 fi20126 =_ = 1440't50
coso= 0 ; s = sin 0=_1.
gr001g2 Bo -gtg3 8s -82
B6 -94
@
0
-92 rol
Kl=-93 gs
-gs 81
0
0
0
123l-r, 84 ol 1
l-so Ed o | 2
l-o o o_j 3
t, @l t v.x(l)=\--l I
93 -gs lo .-
Simetri@1,
Dengan pers2.7 1a akan dapat dihitung :
a lFc2 +12s2 )=0,87(0 + 12(-1)2 )=10,44
-q 6L 0,87.6.12O.(-11 = 626,4
q .4 .l2 = O,87 .4 . (12012 = 50112
Sesuai iumlah d o-f
9t
9z
9o
K(1)=
0l
It10,44 - 626,4
626,4 50112
o0
Sehingga :
f
Analisis Struktur 67
Batang 2 = 1440
sind = 0
1lo l-e,z tl r(2)=leoo +
i.r.0
3
3
@ES
@-94
@
o I ftzsz,e
ol.I .
,_] L,
t
t
1
@0
g2
83
00-gl -91-92 -93-94 -gsg1 8z
83
K2=
K(2)=
252,8 0
0 50112
0 25056
NEK = t K(i ) = K(1) + K(2)
i=1
2
g4
g6
E,I
501 12 25056
25056 501 12
3
s+lrc1
12soj3
0
2s056
50112
10,44
626,4
0
- 626,4
50112
0
EI
"=r-. =o'87
c = cos0= 1, s
2
@@
Dengan pers 2.71 a akan dapat dihitung :
9r = o (pc2 +12s', ) = 0,87(1440.12 + 0) = 1252,8
9e = -0.6.L.s = 0
9o = a.4.L2 = O,87.4.(12012 = 50112
gr = q.2.12 = 0,87 .2.ilr20]r2 = 25056
Sehingga :
-I
69Analisis Struktur Denoan Cara Matriks08-
Titik 3 :
0
0 J F(3) =-_\.3
F =F_F=F_0=F=
- 626,4
100224
2s056
4. "So lution"
Penyelesaian dari persamaan simultan diatas adalah :
Analisis Struktur
['ll'*iLo -l
persamaan 2.22, yaitu:.simultan, sesuai
. I [,, I25056 llr, I
uo , ,, -l L". -]
Sehingga dipero leh persamaan
F = KD.
[o I f ,rur,rollli 168 I = l- 626,4ttt.Lo-J L o
f nazz+ - 626,4 . I
l- uru,o 1oo224 ,uouu I
L o 25056 uo,,r--]
- Menyusun matriks beban luar.
Beban pada titik buhul ( "Joint" ) :
ritikl: [.-l ['-11
''=l o l';1Frrr- l']|,l, tp l, );JCOD E(1 ) Sesuai dengan d o -f
ritik2, [ol , [, I
j
sz= io I o J;(2) = lroel z
[.,] ;* L;l ', Io,l [o,oooss ID = I o, l= I o,oo''n, I
L ,, I [o.ooonu-.1
"Element Forces"
-D -q Di
5.
it,i.l
o [oolo,10,
| 0.000es
010z [o,oo,r,
0
0
0
D1
0
- Dz
_
Dr= lot
0
0
o M Dr=
1
0
2l\ lr,tcooefi)
-1Dr
1
Dz
3
1
D+I
Ds
IDe
[;]
[olF3= lo I
L,]NJ
F = , = F(1) + Ft2t + F(3)i='l
['] [' I [' I [']= | o
I . lroa l* I o I = l,*iL.J L,-j1,] L,J
Beban pada batang: tidak ada, maka F = 0 Sesuai persamaan 2.1 4, maka:
il
70 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
Penjelasan : pada batang 1 diatas, sesuai dengan MCODE nya maka
terdapat 2 displesemen yaitu O] dan t-l I Dengan ni-lai masing-masing :
Di = Dr (indeks 1 disini sesuai dengan MCODE pada
posisi tersebut)
D'o = O, ( idem )
D2=
- Menghitung deformasi tiaptiap elemen/batang pada sistem koordinatlokal (dr =nrDr)
Batansl: [.;l [^'L.r .l = L'
D2I
D22
D23
D24
D?
D26
1
0
2 M D2=_.--..,
0'0
3
DI
0
D2
0
0
D3
1.
0
2=
0
0
3
0.00095
0,00192
0
0
-0,00096
:lt::ldl
didl
Ide
ald:
0
0
0
s
c
0
Di
Dt
Dl
DlolD:
cs0-sc0001000000000
c = 0;s = -1
0
0
0
c
-s0
0
0
0
0
0
1
Analisis Struktur 71
oolo ol0 0l
-1.1o oio ,_l
oi
dl
o1
o]
oi5
oj
0-1 0
100001000000000
0
0
0
0
0,00095
0.001s2
s0c001000000
= 1, s =
0
0
0
0
1
0
.l'l0l
0,00095 iol
o,oorn,l
oi
d12
oidl
4
ol5
dI6
Bata,ng 2 :
[.;][]':,]t,;]d2
I
ai
ai
ai
a?5
d26
c
-s
0
0
0
0
D2I
a)
D23
D24
o?5
o?o
000000000cs0
-sc0001
72 Analisis Struktur Denoan Cara Matriks
-d21
d22
d23
di
d25
d26
d?I
d:
d23
di
d:_:
d26
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0,00095
0
0,00192
0
0
-0,00096
Menghitung gaya,dalam batang ("Ir= kr dr )
Batang 1: .fr=kld1.
ol
'l0l,lOI
,J
0,00095
0
0,00192
0
0
-0,00096
rI
I
kr =a
po012061
-P o
o -12061
o -p61 0
4L2 0
0p-61 0
2L2 o
0
-12-61
0
12
-6L144o
0
6L
2L2
0
-6L4L2
a = 0,87;9 =
tt!1
Analisis Struktur 73
kl
tlJ,
f;.lI
-i
rlJo
I /ll:
L,:
Batang
t2Jl
2l^
a
J3
I"4
J,arJ6
1252,8
0
0
- 1252,8
0
0
11( 1 Q
0
0
-r 252,E
0
0
0010,44 626,4
626,4 501 1 2
00
- 10,44 - 626,4
626,4 25056
- 12s2,8
0
0
1252,8
0
0
1152,8 ()
0 - )0,44
{) 626,4
12s2,8 O
0 . I (),,14
0 tr26,4
0010,44 626,4
626,4 250s6
0010,44 626,4
626,4 50',1 1 2
0
626,4
2505 6
0
- 626,4
50 t r 2
OO
10 ,41 626,4
626,4 50112
,00
I 0 ,4,1 626,1
6)6,4 2505 6
0
1,193
47,512
0
1,193
95,620
k
km
2: {1 =k?d2
1252,8 0 0
0 10,44 626,4
0 626,4 50112
-1252,8 0 0
0 - 10,44 -626,4
0 626,4 25056
0
1,193 k
3.959 k / t
0
1,193 k
7,968 k / t
1252,8 0
0 - 10,44
0 -626,4
1252,8 0
0 10,44
0 -626,4
IoI
loi,i.I
lo,0oo
le,ou ,
95
92
t=t
I
I
L
-ln,"-l
l-., I- I ja
I-t----lL'o' j
0
626,4
250s6
-626,4
501 12
0,00095-
0
0,00 r 92
0
0
0,00096
il
7574 Analisis StrukiurAnalisis Struktur Dengan Cara Matriks
7. "Free Body"t1,1e k II o,oo k I [r,l= i 6,01 k/t I=lu I
i-,';,i; k I L;;']10,60k I
L o or, I
k
k
kink
k
1,19
0,60
72,16
1,19
0,60
0 l"Joint Forces" (gaya pada titik buhul)
Dengan persamaan 2.45 akan dapat diperoleh :
6.
l.1k/fl,01
(F' = 1r T {1a -a
- rl T r I-/\rb-.7- /\ ,b
T,,, J o,uo
1 10i:i-i)
\?-;PI
P ,]
P-l +
+trrrf--arut *
Fb'
Contoh soal 2 : Ada beban pada batang.
Bentuk dan ukuran strukturnya sama dengan contoh soal 1.
i , i :l [,:i,] t,:,,1
ll L';ll{ : :l ['::] [:;l- [::'J
il [;f;l r;::]
P=1
Pz=Io r
I -, 0
l-o o
f r o
lo l
Lo o
Ps=
1,68 k/fr
'1
t6 Analisis Sitruktur Dengan Cara lt/bttiks
funyelesian:
Contoh soal 2 diatas adalah sama dengan mntoh soal 1, sedang perbedaannyaada pada pembebanannya. Pada soal 2 diatas disamping beban pada titik buhul3, terdapat pula beban terbagi rata pada batang 2. Pada penyelesaian disini hal-hal yang sama dengan soal 1 tidak dibahas lagi. Sedang yang akan dibahas adalahmenyusun matriks beban luar, menghitung gaya dalam dan gaya pada titik buhul.
Menyusun matriks beban luar.
Beban pada titik buhul :
Titik buhul 'l :
i:l :L.l 3
Iol
L:l
['l 1
L:]
"
'[ L;l ':
t:l ',
L.J 3
t u loI o lo JI t-->L168 k in _l 3
[*] Lil
NJF= rF(i) =F(lt+rt2ti=1
lol Irl=l.lL:l
.L:l
0
o J F(1)=\o-
Titik buhul 2 :
Tilik buhul 3 :
J F(3) =
==>
;(3) -F3 =
+ F(3)
Andir{s Sfuktur 77
Beban pada batang ( "Element Load" )
Batang 1 : tidak terdapat beban, sehingga :
{t =0 maka F(1) =O
Batang 2 : Dengan pers 2.79 akan diperoleh
F
JL =
J
L
0001000'r0001000000
0,0
8,4
-168,0
0,0
8,4
168.0
0,0
8,4
-168,0
0,0
8,4
168,0
tt
J,
Jz
{2J
l2'4pz
5
y2-6
pz-,12 t 1z=
1
0
0
0
0
0
0,0
8,4
-168,0
0,0
8,4
168,0
000000001o01
T
79nt Analisis StrukturAnalisis Struktur Dengan Crara liatriks
k ll-ll._tk I ltrlkf t i =l a
II l-. I, ll/;l
rlLJOt, -l
-I
t_I
r
[- r,rsl i- o,o
lo,ooll 8,4
f'*?'= | e,or l*l-ta,o1*r,ro I I o,o
l-o,ooli r,o
L o,o _.1 l_ r+,0
1,19
1,8
7qq
1 ,19
9,0
14,0
|z M ;{2t
"Joint Forces"
I
il[;:: I
l_ 168,0 _l
i[.j:]I o,o
L -,.:;
[:] L::] L;::]r F-i =l-:l
[;*:] [:l]L,*,q
Matriks beban luar (F) sama dengan matriks beban luar pada contoh soal 1,
sehingga gaya dalam akibat displesemen (dl) akan sama pula. Dengan demikianakan dapat diperoleh gaya dalam total, yaitu pengaruh displesemen pada titikbuhul dan "f ixed and forces", sesuai dergan pers.2.77.
i i Lll;;] ffi] Lfil [']
1
0
2 M a(2)=----2
0
0
3
1,193
0,0
3,95 9
= 1rr 7^,
= trrrior I,= rr [,
0 0,0
0 1,193
1 3,95 9
0,0
1,,l91 +
7,968
"1 ,19_on
14,0
P =FrraPr=fj+ru2P. = to'
01Pr = -1 0
00= yrtir = f rrt * itzri=1
F
axt
BAB IIIPROGRAMKOMPUTER
GAMBAR 3.1. STRUKTUR PROGRAM
Di bawah ini disajikan listing program komputer secara lengkap dalam bahasaFORTRAN. Program tersebut dapat digunakan untuk menghitung Portal Bidangataupun Rangka Bidang tanpa merubah program.
10
H
FRAME PROGRAM
ESULT
MBAN
D
83a2 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
IDEBU6
I$U$$t$llllutu$$ltlutillltulllulrlrlrltllllltlffirltllrtlltttltt
PNI]GRAII PORIAL BIDAN6
tttlI DISUSUII 0LEH : SUSASTRAIIAII. llSc ttuuffi rilt$lrultllllltilulllurt$tltlltltllrutlttllttltttltlllltlL
C PR()GRAII UIAITA PIIRIAL EII}A}IG
cc(lililt]il F (6, 150),P(3, 125),SS(350, 25), 0 (350), AREA( 150), I I ( 150)
c0fiil01{ E}10D il50 ), E1Eil6 0 50), CI il 50), C2 ( 150), ltct)DE (6, 1 50), I ( 2, 1 25 )
c0illt(lll JC0DE(3, 125), ltmc (2, 150), llA ( 150), 0 (6), I}x(6), 6 (7)
ct)iilt}il DJ (3, t25) , ltE, ilJ, llLc, Lc
c0tilt0t{ il80,ilEe
C
0PEll(2, tlLE=' DATA. IIT' )
0PEN (3, flLE=t HAS I L. TIT' ' STATUS='NEll' )
c
READ (2, tl llE, llJ, llLc
c
IF 0lE. LE. 150. AXD. llJ. LE. 125) THEII
00 l0 LC=lrllLC
CALL DAIA
CALL SYSTEII
CALL RESULI
l0 coltTuluE
c
EIID IF
70 sroP
EilD
SUB PR(]GRAII OATT
SUBRflIIITE DATA
c0ilt0tt F(6, t50), P (3, 125),SS(350, 25), 0(350), AREA ( 150), I I ( 150)
c0tilt0lt Ett0D050), ELEilG( 150), Cl ( 150), C2( 1 50), llC0DE (5, 150), I (2, 125)
c0illt(}il JCoDE (3, 125), llltlc (2, 150 ), ttA ( 150), D (6), Dx (6), 8(7)
Program Komputer
c0tilt0fl DJ (3, 125), llE, llJ, llLc, Lc
coffi(llt il80,ilEec
IF (LC. EE. I ) IHE}I
CALI STRUCT" EilO ITCALL L()ID
REIURII
EIIl}
c
C sUB PRI,GRA'I STRUCT
c
SUER{)UIIIIE STRUCT
. c0tilt0lt r(6,150),p(3,125),ss(350,25),0(350),AREAil50),11fl50)c(]ilil(lil 8i00il50), ELEltG 050), c 1 il50 ), c2 il 50 ), llc(lDE (6, 150 ), I (2, 1 25)
c0tflt(llt Jc(]tlE (3, t25), ilIilc (2, 150), ltA( I50), D (6), I}K (6), G (7)
c0illt0il DJ(3, 125), llE,ltJ, ilLc, Lc
cl}tilt0lt ilBD,ltEe
c
00 l0 ll=lrllEctilttlllil1il]lllllllllllillilllililllltlillllliltllltllltlt
READ(2, t) I, iIl{C ( l, I ), illilC(2, I ), AREA ( I ), ll ( I ), Ell0D( I )
cilltllilllllliltllillt$lttillilllllltllltlllIlliltilllililll0 colTliluE
cIl0 30 J=lrllJ
D{l 20 L=lr3JC0DE (1, J) =l20 c0riltlruE
30 c0[TI]ruE
ctililillllillllillllllr35 REAIT(2, t) JilUil, JDIR
cilililllllllillllllllllIr(JilUtt.ltE.0)rHEr{
JCllDE(JDIR, JllUll) =0
60.T0 3s
EtSE
crLt c0DEs
il,1 PMP
txo ttrEIUilEID
tI
tt
I2
3
4
5
6
7
I9
l0llt2l3t{l5l617
t8l920
2t22
23
24
25
26
27
28
29
30
3l32
33
3{35
36
37
38
39
{0{t42
43
4{{546
47
48
{950
5l52
53
5{55
56
57
58
59
50
6t62
63
6{65
65
67
68
69
70
7t72
73
74
75
76
7t78
79
80
8l82
83
8{
c
c
c
c
ET
Analiria Struktu Dengan Cara MakiksProgram Komputar
80 c0lrTllluE
90 c0ilTliluE. REIURII
ENO
c
C SU8 PROGRAII PROPERIIES
c
SUER(IUTIilE PR(]P
c0ltlt(]il F (5, 150), P (3, 125), ss (350, 25), 0 (350), AREA( 150), I I ( t50)c0tilt(llt Elt0D il50), ELEIG il50), c t il 50), c2 ( 1 50 ), ltc0DE (6, 150 ), I ( 2, t25)c0tiltl)il JC0DE(3, I25), iIilc(2, I50), llA ( I50), D (6), I}K(6), 6(7)c0ilil(}ll 0J (3, 125), llE, ilJ, flLc, Lc
c0ilil0lt ttB0,t{Eo
c
C IIIPUT |((]()RDIIIAT TITIK BUHUL
C
cttttttttil$urrtuttrtrtttiltiltD0 l0 X=trllJ
READ(2, t)l(, I u, K) , X (2, K)
r 0 coilT tlruE
ctlruttiltutulttltrtt$ttttutt15 00 20 I=lrNE
J = lllNC(lr I)K = ltlllC(2r I)ELI = I(lrK)-I(lrJ)EL2 = I(2rlO-I(2rJ)
. ELE}{6(l) = S0RI(ELlll2 + EL2tt2)Cl(l) = ELI/ELEll6(l)C2(l) = EL2lELEil6(l)
20 C(II{TIilUE
RETUR}I
E}III
c
C SUB PR|IGRAII L(IAD
c
SUBR{]UTIt{E LtlAO
c(}llll{}l{ f (6, 150), p(3, t25), ss (350, 25), 0 (350), AREA( 150), I I ( t 50)c0iltl)lt gt0l}il50), ELElt8 il 50), c! 0 50), c2 il 50), ilcIlDE (6,
1 50), r ( 2, t 25 )
c0ilttl]t{ JC0DE (3, I 25), i It{c (2, t50), t{A ( t50), 0 (6), I)K ( 6 ), 6 ( 7)cl]mtl}lt ItJ(3, t25), t{E, }lJ, }t[c, Lc
c(litt0t{ lt8D, ilEe
c
8584
c
C SI'E PR|!6RAII CllDES
cSUBRIIUTIIE CtlDES
coil[o]t F (6, 150], P (3, 125) r SS (350, 25], e (350), AREI ( 150), I I ( 150)
c0itt0x Ei00 (l50), ELEllG ( 150), Ct ( 150), c2 ( 150), ltc(]DE (6, 150), I ( 2, 125)
cllmtlllt JC(ll}E (3, 125), lllllc (2, 150) r ttA( 150), D (5), 0l( (6), 6 ( 7)
c0,flt01t DJ (3, 125) , ilE,llJ,llLc, Lc
c0tilt0il il80,NEe
c
NEO=0D0 20 J=lrllJ
D0 l0 L=lr3Ir(JC{}DE(1, J).llE. 0)THEll
llE0 = llE0+lJC0DE(L,J) = ilEe
Elro Itl0 c()ilIllruE20 c0ltTINuE
c
D0 {0 I=lrllEJ = lllllC(l,I)K = lllll0(2rI)D0 30 L=lr3
llC(lDE(L,l) = JC0DE(LrJ)
llC0DE(L+3, I) = JC0DE(LrX)
30 c0ilIllruE{0 cot{TI[uE
c
C C|IIIPUIE IHE HALF 8A}II}TIDTH 'II8A}ID'c
ll80 = 0D0 90 II = I,llt
00 80 IJ=lr5D0 85 IK=IJ+Ir5
K = ltC0l}E(lJrtl)L = llC0llE(ll(rll)IF(K. ilE.0.AilD. t. XE.0) IlrEll
85
86
87
88
89
90
9l92
93
9{95
95
9t98
99
100
t0t102
103
t0{r05106
t07t08t09ll0lil12il3rr{ll5lt6n7ll8lt9120
l2rt22123
tzt125
t26
t27
t28
t29
130
l3lt32
t33t3.l135
136
137
r3B
r39
l{0l4tt42
143
144
145
t45147
t{8149
150
t5r152
153
t5{t55
t56
t57
[58159
150
l5tt52t63l6{155
166
t57.
168
ItT = IABS(K-L)
EilD IT
It(llT. 6I. llBIl)llBD=llI
C(IllIIIIUE Iil{i
ru
86 Analisis Struktur Dengan Cara MatriksProgram Komputer
c(]lilt0ll Jc00E(3,125),lilltc(2,150),llA(150),0(6),DK(6),G(7) 2ltc()lllt0il DJ(3,125),ltE,ilJ,l{Lc,Lc 212
c{]tilttlil iEI),ltE0 213
c 2l{cfillflililllllllillllllllllll 2I5
l0 READ(2,1)|tlt,llAI,AcI,0lsI 216
c$illlfillllllllillllllllll[ 217
I F 0ilr.ltE.o ) IHEI{ 218
NA (ltll) =HA (ltll) + I 219
Ir(ilAT.to. l)IHEil 220
A = DIST/ELEt{6(ltil) 221
F(l,llil) = f(t,llll) 22?
F(z,ttil) = F(2,il}t) | ACIt(-1.-Alt2t(2.1A-3.)) 223
F(3,ltll) = F(3,llll) r ACTI(-DISTI(1.-A)II2) 224
F({,lll{) = F(4,llll} 225
F(5,11il) = F(s,lill) + ACTr(Arl2t(2.tA-3. )) 226
F(5,llll) = F(6,llN) + ACII(ELEll6(ltli)tAtlzr(1.*A)) 227
ELSE IF(IIAT.EA.2)THE}I 728
A=DI5T/ELEll6(llll) 229
230EL = ELEIIG(ltll)/12.
IP = ACTIELEIIE(IiI|) 231
F(l,ltll) = F(lrllll) 232
F(2,llll) = F(2rllll) + IPI(-.51(1.-Alt4+2.tAlt3-2.IA)) 233
F(3,ltil) = F(3,llll) r IPt(-ELt(1.-3.lAtt4+8.lA113-6.rArr2)l 234
F({,ll}l) = f(4,lll{) 235
F(s,ilil) = F(5,1f{) + IPt(-.sto.+Alt{-2.lAu3)) 236
F(6,llll) = F(6rlltl) + IPt(ELl(1.+3,tAtt4-4.rAlt3)) 237
Elro It 238
60 T0 r0 239
8il0 Ir 2{020 CALL ASSEiT 241
RETURII 242
Et{o 2{3c 24{
C SUB PROBRAII ASSEIIELAGE T()RCE IIATRII 245
c 246
SUBROUTIIIE ASSEilT 217
c(lilt(I}l F(6,150),P(3,125),ss(350,25),0(350),AREA(150),I1il50) 2{8cl]ilill]il Eil00il50), ELEltG050), ct 050), c2il50), llc(lDE(5, 150), I (2, 125) 219
c0liltoil Jc00E(3,t25),lilllc(2,150),ltAilso),0(6),Dx(6),6(7) 250
c0t0t0il DJ(3,125)rilE,ilJ,l{Lc,Lc 251
c(lltil0lt i80,ltE0 252
87
D0 l0 K=lrllE00(K)=0.
l0 c0trlIiluEc
D0 30 l=lrllEllA( I )=0
D0 20 L=tr6F(Lr I)=0.
20 c()llilltuE30 c0[TI]tuE
c
CALL JLIIAD
CALL IIACT
REIURII
EIID
c
C SUB PR(}GRAII JOIilT LOAOIIIG
c
SUSROUIIIIE JL(IAD
c0ltioH r (6, 150), P(3t 125), ss(350, 25), 0(350), AREA( 150), Z I ( 150)
coni()il Elt0I} ( 150), tLEltG( 150), c t ( 150), c2( 150), ic(lDE (5, 150), I (2, t25)cotiltt)il Jc0DE(3, t25), ttIltc(2, t50), llA ( I50), D(5), Dx(5), 6(7)c(]tilt(}il DJ(3, 125),ltE,ilJ, ltLc, Lc
cllil[(lil ttBD,t{Eo
c
cilfllillt1lilfi lllt$lllllllr5 REAI}(2, t) JilUI, J0lR, [0RCE
cmilt]illtlllllltilllfiilt1rIF (Jt{Ult.rE.0) IHEII
K = JC0DE(JDIR,Jllull)0(K) = F0RCE
60I05EilO IT
c
RETURII
EXD
c
C SUB PRI)GRAII IIEIIBER ACTII}II
c
SUBR{,UTI}IE IIACI
c0ilmil F(6, tso),P(3, 125),ss(350, 25), e(350),AREA( t50), I I ( t50)cl}iltllil E,t()D ( t50), ELEt6il50l, ct 050), c2 il50), [c0DE (6, 150), I (2, t25)
169
170
t7tt72173
t71175
175
177
l7B
179
180
l8l182
183
184
t85
l86tB7
188
189
190
t9 t
192
193
l9{les196
197
t98199
200
201
202
203
204
205
206
?01
208
209
210
88 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
SIATEIIE]IT FU}ICII()}I
FG(Cl I, C2l, fLI, FLY) =Ct ITFLI+C2lIFLY
D0 20 I=lrNEIF0tA(I).irE.0)THEil
D0 t0 L=tr6K=ltC0DE(Lr I)IF0(.ltE.0)THElr
IF(L.EO.1)THEII0(l()=0(K)-F6(Cl(l),-C2(l),t(1, I),f (2, I) )
ELSE IF(L.EO.2)THEII0(K)=e(K)-FG(C2(l),Cl (l ),f ( I, I),F(2, I) )
ELSE IF(L.EO.3)THEII
e (K) =e
(K) -F (3r I )
ILSE IF(L.EO.4)THEil
0(X)=0(K)-F6(Cl ( I ),-C2(l),F(4, I ), F(5, I ) )
ELSE IF(L.EO.5)THEX
0(K)=e(K)-F6(C2(l), Cl ( I), F(4, I ), F(5, I ) )ELSE
0 (K) =e(K) -F (5r I )
E}ID IF
END IT
t0 coltTtxuEEilD IT
20 cor{II}ruE
RETURil
Elr0
c
C SU8 PROGRAII SYSTEII
c
suEtouTIllE sYsTEil
c(Iilt(ll{ t(5, 150), P(3, 125), ss (350, 25), I (350), AREA( 150), Z I ( 150)
c(]lilt(]il Ei00( 150), ELEllB(l50), c1 il50), c2il50), ltC(IDE (6, 150), I (2, 125)
c0lilt(ll Jc00E (3, 125), lilllc (2, 150), t{A ( 150), D(6), DK(6), 6 (7)
c0tilt0il 0J (3, 125) , llE, llJ,llLC, Lc
c(}tillt)l{ ltBD,}lEo
c
Ir(LC.Ee. l)THEll
CALL STITT
EilI} IF
c
cc
253
254
255
256
257
258
259
260
261'262aE1
251
255
255
267
258
259
270
27t?72
273
274
275
?76
277
?78
27i280
28t
28?283
28{285
286
287
2Bg
289
290
291
292
293
294
Program Komguter
CALL S(]LI/E
REIURII
END
PROGRAIT SIIFT}IES
SUBROUTI}IE STITF
c0liltt)il r(6, 150), P(3, 125), ss (350, 25), 0 (350), AREA ( I 50), Z I ( I 50)
c0lilt0il E1t00il50), ELEltGil50), c l ( t50), c2 il50), ic00E (6, 150), I (2, 125)
c(}liltt)}{ JC0DE (3, I 25 ), ll I llc ( 2, I 50), HA ( 150), D (5), DK ( 5 ), 6 ( 7 )
coilt(lll DJ(3, 125), ltE, ltJ, ilLc, Lc
c0fitt0il tt8D,ilEo
D IfiEilS t0t{ t}toEl (6, 6 ), ALP|{A ( 150 ), ALBEI ( t50 )
DATA II{DEI/l r 2t 4 fl fzt 4 t2, 3, 5, -2, -3, 5, {, 5, 5, -4, -5, 7,
| -l r-2,-1,1,2,-{,-2,-3,-5,2,3,-5,{,5,7,-{,-5,5/
D0 2 J=lrNE0
D0 I I=lrllED+lSS(l,J)=0.
I COilTI}IUE
2 COilTINUE
00 30 ll = lrt{EALPHA (ll) =Elt0D (l{) tt I (il) / (ELEI{6 (il) lr3)ALBET (ll) =Ell0D (ll)IAREA(ll) /ELEllG (il)6( I ) =ALBET
(il) tC I (ll) ltz+ 12. TALPHA (ll) lC2 (U tr2G (2) =ALBEI (ll) lC I (]l) tC2 (N ) -l 2. lALPllA (U rC I ( tl) lCz (l{ )
G (3) =ALBEI (ll) tC2(t{) tl21 12. IALPHA(}l)lC t (il) lr26 ({ ) =-ALPHA (}l) t6. tELEt{6 (il) tC2 (ll)G (5) =ALPHA(N) t5. lELEllG(ll)tCl (ll)G (6) =ALPHA(ll) t{. rELEllG (il)rt26(7) =ALPHA (il)12. rELEllG(il) lr2
ASSEIIBLAGE STITTilESS (FAI(IORISASI)
00 20 JE=lr6J=llC0DE(JEr ll)lF(J.Ee.0)60 T0 20
Dll IO IE=JEI6I=llC0l}E( lErll)Ir(I.Ee.0)60 T0 t0
f=l-J+l
89
C
C SUB
c
c
c
c
295
296
297
298
299
300
301
302
303
30{
305
306
307
308
309
310
3il312
313
3t4315
3r5
317
3lB319
320
321
322
323
32{
325
326
327
328
329
330
331
332
333
33{
335
336
90 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
l020
30
L=IABS ( IIIDEI ( JE, IE) )LL=lllDEI(JEr tE)/LSS( J, l( ) =SS(J, K) +6 (L ) TFL0AI (LL )
C(l}IT I}IUE
COIITII{UE
coilr tiluE
REIURil
ENO
PR(!GNAi SOL'JING OT EOUAIIOII
SUEROUTI}tE. SOLVE
c0tiltt)il F(5, t50), P(3, 125), ss(350, 25), 0 (350), AREA( 150), I I ( 150)
cllIil0tt Eil()D ( t50),81tlt6il50) , c t il50) , c2050) ,llc()DE (6, 150),I (2r 125)
c0ilttlt{ JC0DE(3, 125}, lil}lc(2, 150), }lA( I50), D(6), Dx(5), 6 (7)
c0lilt0il 0J (3, t25) , ltE,ltJ, ]lLc, Lc
c0t$t(lil lt8D, il80
IIITEGER HEII
IF(LC.ltE.r)60 I0 800
HBL=iB0+l
D0 790 ll=t,llE0
. D0 780 L=2rHBll
IF(sS0l,L).Eo.o. )60 I0 780
I =ll+L- lSUS=SS (tlr L) /SS (llr t )
J=0
D0 750 K=LrHBll
J=J+ ISS( I, J) =SS( I
' J) -SUSISS (il, K)
750 Cor{IIilUE
SS (ll, L) =SUS
780 C0XIIilUE
790 C(lt{TIXUE
800 D0 830 il=t,l{E0D0 820 L=ZrtlBll
IF(SS(t{,t).E0.0. )60 T0 820
I =l{+L- Ie( I ) =0( I )-SS (ll,L)t0(ll)
820 C0ITIilUE
0(il)=e(il)/SS(llr l)830 Ct)ilTIltUE
337
338
339
3{034t342
3{334{
345
3{6347
3{8349
3s0
351
352
3s3
354
355
356
357
358
3s9
350
36r
362
363
36{
365
365
367
.368
369
370
37t
372373
37{375
376
371
378
c
c su8
C
Prooram Komouter 91v
D0 850 ll=2rtlE0 379
ll=llE0+l-il 380
00 850 L=ZrtlBI 381
IF(SS(}|,L).80.0.)60 I0 850 382X=ll+L-l 383
e([)=0(ll)-SS(]1, L)10(K) 38{
850 C(II{TIIUE 385
850 ColrTIilUE 385
RETUR}I 387
EltD 388
c 389
C SUB PRtlBRAi NESULT 390
c 39rSUBROUTI}IE RESULT 392c0liltoN r(5,t50),P(3,125),ss(350,25),0(350),AREA(l50),zt(t50) 393
ctllilt0il Ett0Dil50),ELEltG(l50),ctil50),C2(150),ltc0DE(5,150),I(2,125) 394
c(]illt0ll JC0DE(3,125),lllllc(2,150),ltA(150),0(6),I)l((6),G(7) 395
c0tiltlllt 0J(3, t25),ilE,ltJ,t{Lc,Lc 398
c(liltt(}t{ tt8D,l{80 397
c 398
D0 20 J=lrt{J 399
D0 l0 L=lr3 {00P(L,J)=0. {01
t0 c0lrlliluE 40?
20 coilItruE {03c 40{
ctLL t(lRcEs {05CALL llUIPU {06
c {07nEIURlt {088il0 {09
c {t0C SU8 PR()GRAI T{}RCES {IIc {12
SUEROUIIITE IORCES tI3c(lilil()il f(6,150),P(3,t25),ss(350,25),0(350),AREAfl50),ZIu50) {t{c(l[iloil 8il00(l50),ELEllG050), ct il50), c2( 150), llc0DE(6, 150), I (2, t25) { t5cl]lilt0IJ00DE(3,125),lllllc(2,150),ilA(150),0(6),DK(6),6(7) 4t6c0tilt0t{ DJ (3, 125) , }tE, ilJ, ilLc, Lc { t 7
c0ilt0ll tt8D,t{80 {t8c{lilI()l I {19
c t20
92 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
D0 l0 I=lrltECALL ELEIIF
CALL JOIilITt0 c0l{TI{uE
REIURII
EIID
c
C SU8 PR(IORAII ELEIIEilT TORCE
c
SUENOUII}IE ELEIIF
clltiltl}N F(6, 150), P(3, t25), ss(350, 25), 0(350), AREA( t50), Z I ( I 50)
c0ilil0lt 8il00il50), ELEilG ( 150), ct ( t50), c2 il50), llct]oE (6, 150), I (2, 125)
ctlitt0il JCI]DE (3, I 25), iltilc(2, 150), NA ( I 50), D (5), I)K (5), 6 (7)
c(lin()il 0J (3, t25), NE, ilJ, ltLc, Lc
c{)ilttt)lt ttBD,ilE0
colfioil I
c
00 l0 L=tr6K=llC0DE(1, l)IF(K. ilE. O} THEII
D(L) = 0(K)
ELSE IF(I(.EO.O)THEII
D(L) = 0.
EHO ITIO C()}ITIilUE
c
DK(l )=Cl ( I )tD( I )+C2( I)tD(2)DK(2)=-C2( I)t0( I ) +Cl ( t)rD(2)DK(3)=D(3)
0K({) =ct ( I)10({)+c2( I)10(5)Dl((5)=-C2 ( I )t0({)+Cl ( I )tD(5)0K (6)
=0 (6 )
c
A=Ell0O( I ) tI I ( I ) / (ELEllG( I ) U3)8=Ell00 ( I ) TAREA( I ) /ELEll6( I )
Fl =Bt (0K ( t ) -0K({) }F2=Al( 12. t (DK(2) -DK (5) ) +6. rELEllG( I ) I (DK (3)+DK(5) ) )
F3=Al (6. lELEtlG ( I ) r ( Dl( (2) -Df (5) ) +2. lELEllG ( I ) tt2t (2. tOK(3) +DK(6) ) )
F6=F2tELENG(l)-F3
C
F(lr I)=t(1, I)+FlF(2, l)=t(2, I)+F2
421
422
{23
421425
{25427
{28429
{30
{31
{32
433
{3{435
{36
437
{38{39{{0441
442
{{3{44{{5{{6147
{48{{9{50
451
{52{53{5{455
{56
457
{58459
{60
{6t462
Program Komputer
F(3, I)=[(3, I)+F3 '{53F({, l)=F({, I)-Ft {6{F(5, I)=F(5, I)-F2 465
F(6, I)=F(5, I)if2tELEl{6(l)-F3 {66c 467
RETUR}I {58Elil, {59
c {70C SU8 PROGRAII JOItlT TORCI 471
c 472
SUEROUII||E JtlIilTT {73c{ltilt0lt F(6,150),P(3,125),ss(350,25),8(350),AREA(l50),2Iil50) {7{c0tilt(llt Ettt)Dil50),ELEttGu50),c1il50),c2050),ltct]I}E(5,150),x(2,125) 475
c(lnil()il JC0DE(3,125),nlilc(2,150),11Ail50),0(6),DK(6),G(7) {76ct]ilil0lt IIJ(3,125),ltE,ltJ,NLc,Lc 477
c0iltt()ll i8t),il80 lzac()lilt0x I 47sc {80
c STATEilEI|T FUltCIt0il 48tc lgzf6(Cll,C2l,tLI,FLY)=ClllFLIlC2ltFLY {93c 48{J=ltlll0(lrl) {BsX=llltlC(2r I ) {86
c {97P(l,J)=P(l,J)+FG(Cl(l),-C2(l),F(l,l),F(2,1)) 4ggP(2,J)=P(2,J)+f0(C2(l),Ct(l),F0, I),F(2, I)) {89P(3,J)=P(3,J)+F(3, I) {90
c {91P(l,K)=P(l,l()+tG(Cl(l),-C2(l),F({, I),F(S, I)) 4gzP(2,K)=P(2,l()+FG(C2(l),Cl(l),f({, I),F(S, I)) {93P(3,K)=P(3,K)+F(5, I) {9{c lgsREIURT{ 495Ell0 4jlc 498
c suB PR06RAlt 0UIPUT {99c sooSUBROUTII{E 0UTPUT S0lct]Htt0il F(5,150),p(3,125),s5(350,25),0(350),AREAil50),2Iil50) 502c0fiil0lt Eil00il50), E1EilG il50), c1 il50), c2il50), ltc00E (6, 150), I (2, 125) 503c0,iltt]l{ JC0DE(3,125),illNc(2,150),}lAu50),0(6),DK(6),6(7) 50{
93
c(llill0ll I}J (3, 125) ,llE,llJ,llLc, LC
c0il10il lt8D,llE0
gRIIE(3,90)LC
TRIIE(3, l0o)ItRITE (3,500)
IRI IE (3,200)
ItRIIE(3,500)TRITE(3, l0o)D0 20 l=lrllJ
00 l0 J=tr3K=JC0DE(Jrl)It (K.llE.0) IHEII
DJ(Jr l)=0(10
ELSE IF(l(.EE.O)IHEII
DJ(J' I)=0'EilO IT
l0 c0lllllluE
I|RITE(3, lll) I,llJ(1, I),DJ(2, I),DJ(3, I)20 c0ilIliluE
lrRlIE(3,100)rntTE(3,333)
IRIIE (3,300)
ItRITE(3,700)
lrRlTE(3,100)
IR IIE (3,800)
IIIIE(3f300)D0 30 l(=lrllE
rnlTE(b,222)r, r( I, l(), F(2r lo r r(3, K) r F({r l(} ' F(5r K) r F(5' l()
30 c(lffillluEItRITE (3,300)
rnlIE(3,333)
IRITE(3, t00)rnlTE(3,900)gRITE(3,200)
HRITE(3,600)
IEITE(3,100)D0 l0 J=lrllJ
IIRITE(3, t I I )J, P ( l, J) '
P (2' J), P (3, J)
505
506
507
508
509
510
5il512
5t35l{515
516
5t7518
519
520
52t
5??
523
52{
52s
s26
s27
328
i2e530531
532
533
53{535
536
537
538
539
540
541
5{25{3544
5{55{6
Proqram Komputer
{0 c0}tTliluEIIRITE(3,100)
IIRIIE(3,333)c
90 F0RltAT(///,5I, tLoad Condition nurbrr :',13/)loo F(lRltAT(6I,{7(', -' ) )
200 F0RltAT( l3I, 40(', -', ) )
3oo F(]RttAI(6Ir 73(', -', ) )
400 r0R[AT( 14I,65 ( ' -', ) )
500 t0RllAT(23I,'Joint Di:placcrtnts' )
500 F0RllAI(6I,'Joint Direction I Dirtction 2 Direction 3')700 fORiAT(37I,'Locrl Eltrent Forces' )800 F0RllAT(5I, t Elcttnt
"5Ir
t I l
"9I,
t f2" 9Ir' f 3', 9Ir' I4', 9I,' l5', 9I,| ,f6,)
900 F0RltAT(26I,' Joint Forcts' )
I I I F(IRI{AT(6I, I{,3({I,E10.3) )
222 F0RIIAT(6I, 15, 6( lI,El0. 3) )
3:B toRnAI(' ')RETURII
. E}II)
95
547
548
s{9s50
551
552
553
5s{555
556
557
558
5s9
s50
55t
562
s53
56{
555
566
il
9796 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks Prooram KomDutet
3.1. Penjelasan Program Komputer
Baris 1 - 34
Ba ris 23
Baris 36 - 51
Baris 46 - 50
Baris 53 - 84
Baris 62 - 66
Baris 68 - 72 :
PROGRAM UTAMASesuai gambar 3. 1, terdiri atas 3 buah sub program DATA,SYSTEM dan RESULT.
lnput data NE, NJ dan N LC
NE = Jumlah batang ("Number of Element")NJ = Jumlah titik buhul ("N umber of Joint" )
N LC = Jumlah kondisi pembebanan("N umber of Load Condition" )
SUB PROGRAM DATASesuai gambar 3. 1, terdiri atas 2 buah sub program STRUCTdan LOAD.
Sub program STBUCT cukup dipakar 1 kali, sedang sub pro
gram LOAD dipakai berkali-kali untuk setiap proses hitunganyang terdiri lebih dari satu kondisi pembebanan. Hal ini beranibahwa data strukturnya tidak perlu dihitung berulang-ulanguntuk lebih dari satu kondisi pembebanan.
SUB PROGRAM STRUCT.
lnput data struktur, yaitu :
I = Nomor batangMINC( 1,lI = Nomor titik buhul kiriikecii[/llNC(2,1) = Nomor titik buhul kanan/besarAREA(l) = Luas tampang batang
Zl(ll = Momen inersia batang
EMOD(l) =. Modulus Elastis batang
Semua titik buhul yang ada dianggap bisa bergerak bebas(tidak da kekangan/konstrain ).
Contoh :
Baris 74
"1 " berarti bergerak
GAMBAR 3.2 STRUKTUR TANPA KONSTRAIN
: lnputkekangan/konstrainINUM = Nomor titik buhul yang dikonstrainlDlR = Arah kekangan/konstrainContoh : Gambar 3.2 diatas
, , \ Pada titik buhul 1 diiePit atau
1 2 )dikonstraindalam arah 1,2dan3
1 3/, ,\2 2 \titlt2-idem-2s/
il{litttil
{lfl
"0 " berarti dikonrtrain
98 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks
baris 76 - 79
Baris 86 - 130 : SUB PROG RAM CODESBaris 86-103 : SUB PROGRAM CODES
Sub program ini untuk menentukanMBD (MBAND)
Barisg5-103 : - Mengubah angka 1 pada JCODEnya, sebagai contoh dari gambar
JCODE(1) =
JCODE(2) =
JCODE(3) =JCODE(4) =
Titik buhul dengan arah yang dikonstrain, JCODE nya di-matikan/dinolkan, sehingga gambar 3.2 menjadi :
,08 \o trGAMBAR 3.3 STRUKTUR DENGAN KONSTRAIN
JCODE, I\/ICODE dAN
menjadi penjumlahan-
3.3 dirubah menjadi
000000123!56
0
tr
GAMBAR 3.4 JCODE DIJUMLAHKAN
99
it*
{i
(r
it
ti
Proqram Komputer
Baris 105-1'12
Baris 1 14- 1 30 :
Baris 132-158
Baris 144-i 46
Baris 1€-156 :
Baris 160-183
Baris 185-204
Baris 195-201
Setelah dijumlahkan maka akan diperoleh NEO ("Number
of EOUATION" = JUMLAH PEBSAMAAN SIMULTAN)
Menentukan MCODE, sehingga untuk contoh diatas akan
d ipero leh:
MCODE(I)= [0 0 0 1 2 3]MCODE(2) = [1 2 3 4 5 6]MCODE(3)= [0 0 0 4 5 6]
- Menghitung MBAND dari matriks kekakuan. system
struktur, untuk mntoh diatas maka :
MBD= 6-1=5.
(MBD dipakai untuk menghemat memori dalam komputer).
SUB PROGRAM PROP.
Sub program ini dipakai untuk input data koordinat titik-titik buhul dan menghitung matriks transformasi batang.
lnput data koordinatK = Nomor titik buhulX(1, K) = Absis
X(2, K) = Ordinat
Sesuai dengan persamaan 2.55, maka
c1(l) = cos0 = c
A(ll -- sin 0 = s
SUB PBOGRAM LOADPembebanan disini dibedakan atas 2 macam, yaitu bebanpada titik buhul (sub program JLOAD) dan beban pada
batang (sub program MACT).
SUB PBOGRAMJLOAD
lnput data beban pada titik buhulJNUM : "JOINT NUMBER" yaitu nomor titik buhul.JDI R : "JOINT DIRECTION" yaitu arah pembebanan.
1 : arah datar2 : arah vertikal3 : arah momenFORCE : besar gaya. dengan arah positif kekanan, keatas,
berlawanan arah jarum iam,
100 Analisis Strullur Dengan Cara Matriks Prooram Komputer l0t
Nampak pada barisO(K). Dalam hal Kpada arah beban
Contoh.
199 bahwa motasi beban luar dipakaimen unj ukkan nomor deraj at kebebasan
tersebut, sesuai dengan gambar 3.4.
P4--
Baris 28F297
Baris 299-344
Baris 317-326
Baris 728-342
SUB PROGRAM SYSTEMSrb program ini dipakai untuk membentuk matriks ke-
kakuan system strr*.tur (dengan sub program STIFF)sehingga diperoleh persamaan simultan system struktur.Sedang sub program SOLVE dipakai untuk menyelesaikanpersamaan si multan tersebut.
SUB PROGRAM STIFF
Matriks kekakuan masing-masing batang pada sistemkoordinat global (sesuai pers 2.7 1 dan pers 2.7 1al.
Penyusunan matriks kekakuan system struktur secara
"banded". Secara skematis dapat ditunjukkan sebagai
berik ut.
#tr
GAMBAR 3.5 BEBAN TITIK
Dengan bantuan JCODE pada gambar 3.4 maka diperoleh:
Baris2O6-243
Baris 216
Baris 220-238 :
o(4) =*P
Tanda "-" berarti arah kekiri.
SUB PROGRAM MACT
lnput data beban pada batang
MN : Nomor batang
MAT : Macam / Tipe pembebanan
1 = beban terpusat2 = beban terbagi rata
ACT : Besar beban
DIST : Jarak dari titik kiri
Untuk menghitung "fixed and forces" sesuai dengan
2.78 dan2.79.
SUB PROGRAM ASSEMF
Sub program ini dipakai untuk menyusun matriks beban
luar total yang merupakan penggabungan dari beban pada
titik buhul dan beban Pada batang.
Kij = A,..k = i-i+1
GAMBAR 3.6 "BAND STORAGE"
Baris 34f388 : SUB PROGRAM SOLVEPersamaan simultan yang diperoleh dari sub program
SYSTEM diselesaikan dergan sub program SOLVE. Vektormatriks O yang semula sebagai vektor matriks beban luar,keluar dari sub program SOLVE sebagai vektor matriksdisPlesemen (O(l), I = 1, NEO).
Baris 390-O9 : SUB PROGRAM RESULTSub program ini dipakai untuk menghitung gaya batang,gaya thik buhul (dengan sr^tb program FORCES) danmenyajikan hasil hiturgan (dengan sub program OUTPUTI.
&
Baris245-281
Program Komputer 103
Baris 411-426 :
Baris 428-469
Baris 438-445
Baris 447-452
Baris 454-466
Baris 471-497
Baris zl83
Baris 488-490
Baris 492-494
Baris 499-566
Baris 515-522
SUB PBOGRAM FORCESSub program ini terdiri 2 bagian. yaitu :
- srb program ELEMF, untuk menghiturg gaya batang.- sub program JOINTF, untuk menghitung gaya pada
titik buhul.
SUB PROGRAM ELEMF
Menyusun matriks displesemen masing-masing batangpada sistem koordinat global. Matriks displesemen tersebutdiambil dari matriks displesemen sistem struktur denganbantuan MCODE masing-masing batang (perhatikan baris43tl dan baris 441).
Menghitung matriks displesemenpada sistem koordinat lokal (6 = ,1
Menghitung gaya batang (f = k d )
k = matriks kekakuan batanglokal.
SUB PROGBAM JOINTF
Sebuah furgsi untuk menghitung gaya titik buhul, yaitudengan rumus :
p = ).rJMenghitung gaya titik buhul pada ujurg batang dengannomor titik buhul kecil"
Menghitung gaya titik buhul pada ujung batang denganr.}ornor titik buhul besar.
SUB PBOGRAM OUTPUTSub program ini digunakan untuk menyajikan hasil hitung_an.
Menyusun matriks displesemen masing-masing titik buhulpada sistem koodinat global. Matriks displesemen tersebutdiambil dari matriks displesemen sistem struktur denganbantuan JCODE masing-masing titik buhul (perhatikanbaris 516 dan 518).
Untuk rnenuliskan matriks displesemen masing-masing titikbuhul.
Baris 535
Baris 546
: Untuk menuliskan gaya-gaya batang.
: Untuk menuliskan gaya pada titik buhul.
masrng-masing batangD).
pada sistem koordinat
3.2 Fenyusunan Input Data
1. Data konstruksi / lihat baris 23 pada Program Komputer)
IUN4LAHBATANC
(NE )
I UM LAHTITIK
(N,l )
IUNIILAH TYPEPEMBEBAN AN
N LC
2. Data batang (lihat baris 64)
3. Data batang (lihat baris 64) :
NO TITIKI ARAHI tr, z, l)
(|NUM) I Uorn) 1 : arah horisontai2 : arah vertikal3 : arah Putararl
* Tulis angka 0 (nol)sebagai akhir data.
r 45)4. Data koordinat (lihat baris
NOTITIK I X I Y
K I x(1, K) | x(2, K)
5. Data pembebanan pada titik (lihat baris 195)
NO TITIK ARAH I BESAR GAYA(1 ,2,3)
(,NUM) ('DtR) | (FoRCE)
1 : Gaya Horison [al
1 : Gaya Florisontal2 : Gaya Vertikal3: Momen
* Tulis angka 0 (nol)
sebagai akhir data.
NO BATANG NO UIUNG1
NO UIUNG2
LUASTAf\4PANG
IvlolvlENINERSIA
MODU LUSE LASTI S
(r) MrNC(1,1) rvltNC(2,t) AREA(r) EI il) EMOD(I)
Baris 524
104 ArralisisiPtruktur Dengan Cara Matriks
6. Data pembebanan pada batang (lihat baris 216)
: Beban titik: Beban terbagi rata
* Tu lis ang ka 0 (no I)
sebagai akhir data.
BAB IVAPLII(ASI PROGRAM KOMPUTER
Di bawah ini akan diberikan contoh penggunaan program komputer pada
beberapa jenis konstruksi, yaitu: konstruksi portal bidang, konstruksi rangka
bidang dan sebuah konstruksi dengan beberapa kondisi pembebanan'
4.1. Konstruksi Portal Bidang
,1 u,4tt l'/nrl
v,
A
,I
--- (,.{-i'
ci t',
\
E = 70. 106 k N/m2
| = 3.10-3m4
L = Im A-- O,OZmz
P = 100k N
,I EN IS BEBAN
(MAT)
GAMBAR 4.1 PORTAL BIDANG
Aplikasi Proorarn Komputer 107
Locel €luent [orces
tl errnt fl f6f5f{f33411122233341112134142001 0.0
2 3.0
3 9.0
4 11.0
22313233001200
0.02 0.003
0.02 0^003
0.02 0.003
70000000.0
70000000.070000000.0
t -.749t+02 .295E+03 .5{3E+03
2 -. l0BE+03 -. I I lE+03 -.332Er03
3 -.50{E+02 .{27E+02 . l9lE}03
.7{8E+0? -.5498+02 .3328}03
.l0BE+03 .lllE+03 -.341E+03
.604E+02 -.427[+02 -. {{7t-04
Joint Forces
Joint 0irection I Direction 2 Direction 3
0.0
4.0
5.0
1.0
-100.0100.0
200.0
-150.00.0
-48.00.0
I21
4
-. 281 E+03
-. r53E-0{
. l00E+03-. I I 2Er02
. I t7E+03 .543E+03-. l00E+03 .305E-04
.269t+03 -. l50E+03-.73tE+02 -.{{7E-04
0.0
0.0
4.2. Konstruksi Rangka Bidang
= 21000000t1m2
= 0,002 m2
tr
P = lton
tr
E Z 2r ooo ooo trlnr2Ai o,OO2 nrz
E
A
E]Hasil hitungan adalah seperti nampak dibawah ini :
Load Condition nurber : I
Joint Displrcemnts
Joint I)irertion I 0irection 2 Dirtction 3
(9,
I2
3
4
.000E+00
.7378-02
.6{ I E-02
.0008+00
.000E+00
-.5t 9E-02
.342E-02
.696t+00
.000E+00
-. l3.rE-03-.2698-03-.230E-02
P:ltoni
ili
I
Susunan input data :
GAMBAR 4.2 RANGKA BIDANG
109108 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks Aplikasi Program Komputer
Susunan input data : Hasil hitungan :
Load Condition nurber : I107112132435363748595
106
0.0020.002
0.0020.0020.0020.0020.002
0.0020.0020.002
1
2
4
4
4
5
b
6
6
7
7
0.0
0.00.0
0.00.0
0.0
0.0
0.0
0.00.0
21000000.021000000.0
21000000.0
21000000.021000000.021000000.0
21000000.021000000.0
21000000.021.00000.0
.000E+00
.000E+00
-. l90E-03
. {29E-03-.238E-03
. 6 I 9E-03
.6678-03
Joint Displacerents
Joint Dirrction I Dirrction 2 Direction 3
I2
3
4
5
5
7
.000E+00 .0008+00
.000E+00 .000E+00-. l3tE-02 .0008+00-. I l0E-02 .000E+00-.270E-02 .000E+00-.255E-02 .0008+00-.37{E-02 .000Er00
1112
21222 3
------------>3 3- ---+43536373001 0.0 0.0
2 0.o 2.0
3 2.0 0.0
4 2.0 2.O
5 4.0 0.0
6 4.0 2.0
7 6.0 .2.0
3 2 -2.O5 2 -2.07 2 -1.0000.00 0 0.0 0.0
khusus untuk Rangka Bidang
idem
idem
idem
idem
idem
idem
Local Elerent Forces
Elerrnt fl 12 f3 t4 f5 f5----;---:;;;;;;;--
:;;;;;;; :;;;;;;;' ::;;;;-;;---:;;;;;;;-- :;;;;_;;2 .707E+01 .0008+00 .000E+00 -.707E+01 .000E+00 .000E+003 -.900E+01 .000E+00 .000Ei00 .900E+01 .000E+00 .000E+00{ -.5008+01 .0008+00 .000E+00 .500E+01 .000E+00 .000E+005 . t00Er0l .000E+00 .000E+00 -. l00E+0t .000E+00 .000Er006 .{2{E+01 .000E+00 .0008+00 -.{24Erot .000E+00 .000E+007 -.{00E+01 .000E+00 .000E+00 .400E+01 .0008+00 .000E+00I -.300E+01 .0008100 .000E+00 .300E+01 .000E+00 .0008+009 . l4tE+01 .000t+00 .000E+00 -. l4tE+0t .000E+00 .000E+00l0 -. l00E+01 .000E+OO .000E+00 . l00E+01 .000E+00 .000E+00
Joint Forres
Joint Direction I Direction 2 Direction 3
I2
3
{5
6
7
. 900E+0 I-.9008+0t
.7lsE-06-.2388-06-.556E-06
. l3lE-05
.250E-0s
.500E+01
.0008+00-. 2008+0 I-. {778-06-.200E+01
.8588-05-. l00E+01
.000E+00
.0008+00
.000E+00
.000E+00
.000E+00
.0008+00
.000E+00
110 Analisis S"truktur Dengan Cara Matriks
4.3. Strukur deng*t kondisi pembebanan lebih dari satu'
Kondisi 1 :
r _1,E = 70.106kN/m2| = 3.10-3ma
'a
A - 0,02 m'
P = 100kN
cl = 50kN/ml
Kondisi 2 :
Itr
tro
Kondisi 3:
Kondisi 3 :
Susunan input data :
6631130.022240.O23340.O24350.025460.026560.0211121321222300
0.003 70000000.00.003 70000000.00.003 70000000.00.003 70000000.00.003 70000000.00.003 70000000.0
GAMBAR 4.3 : a) Beban vertikalb) Beban horisontalc) Kombinasi vertikal dan horisontal
@
^
112 Analisis Sruhur Dengan Cara Matriks
1 0.0 0.0
2 6.0 0.0
3 0.0 4.0
4 6.0 4.0
5 0.0 8.0
6 6.0 8.0
000.03 2 -50.06 1 -100.0000.03 1 100.0
5 1 200.0
000.0000.06 1 100.0
000.03 1 - 100.0
000.0
Loral EleuEnt [orieE
El er*nt fl t2 f6f5{4
2.0
3.0
0.0
I,?
?-{.J
i
. I 16t+03 -. t60E+..)l
, t8{Er0l . t;0Er02, l?Yi+0: .548Er01Slli+rl1 - 1Q'iFril-:
. +89E+0: . ?g9E+0i
.?BlE+0: ,5llE+,;:
-. 1 t5E+03 . l60E+0: -.395E+02-. l84E+03 -. 15DEr0': ,.{43E+01
,1i'9E+02 . 135t+03 -. 1C4E+03
-,5ltE+0: .28,.iElrj2 -.627i+02-.183E+0? -.289E+02 .562t+0:-,289E+02 .{3',1E+0i -,5btEi0:
-, i45E+02
, l!bEi0:.922E+0?
- , 5i7E +0:
.533E+02
,DrlE"l.l-
0.0
s.o
0.0
Joi nt Forces
Joinf Direition I Direriion i Dirertion 3
I
J
{.l
i
. I 50E+0?
- lirlEr,l:,
,ljrJrjLrrl(./
-.38iE-05-, 57:E-0s
. 1 1ti+03 -.245E+02
,1S{8i03 .19&ii0:-.1r1E-04 -,763E-05-.53.+E-04 -.305i-04
. 38 I E-05 . 763t-05
.000E+00 -. l9lE-0'lHasil hitungan :
Load [ondiiir-rn nuuber r I
Joint I}isplacenents
Joint Direction I Direction 2 Direction 3
Load Conditiun nurber : 2
Joint Displai*rents
Jnint Dirertir-rn 1 0ir*rtion 2 Dirertion 3I2,,
{q
6
.000E+00
.0008+00
-. l20E:03-. 6{8E-0{-.91 rE-0{-.215E-03
.000E+00 .000E+00
.69$t+00 .000E+00
-.331E-03 -. l43E-03-.526E-03 .235E-03-.4778-03 -,?38E-03-.6668-03 .2068-03
1
t,]
tc'J
6
.000E+00
. 000E+ 00
,780E-02
.759E-02
. I 70E-0 I
. I 65E-0 I
,000E+00 .000E+00
,000E+00 .000E+00
,570E-03 -, l97t-02-,570E-03 -. 191E-02
,789E-03 -. r3gE-02
-.789E-03 -. l34E-02
Aplikasi Program Komputer 115
Loral Eletent For':esLoral Elerent ForceE
f5f5f'tIJf2f5f5f4l,)lu{t EI erurt ftEI erent fl
t-/.j
t-
6-
t-
.j
{-J
6
I
1
4cJ
€,
.199t+03 .15it+03
.199E+03 ,149t+03
,49/t+(rl -.121t+tl3
.768E+(i2 .169t+03
,7LgE+q2 .99tE+02
. c95E+02 -,768E+02
, ttrE+03 -.151t+03
-,199E+03 -.149t+03
-.4glt+0i , l23E+03
.75[i+02 -.16(|i+03
-, TEBE+(12 -.93[tr02-.9i6E+01 .759t+02
,3i 1t+0i ,378i+02
. 1_36i+03 ,622E+02
, 280E+0 I . E20E-(.) t
,3u?E+02 ,407E+0?'.ri ti ri) ,, \v'.!i +Il /
.1078+02 -.352E+02
,125t+03 .3bli+02.158i+03 -. l35E+f3
_,ESgE+02 _.29et+i)l
.561t+Ci ,3tiE+u:
. l:iE+03 -.36iE+(r2
-.103E+03 ,4ir7E+07
-.378E+02 ,25ii+0?-,6??l+(t? .908i+02
,YY9t+02 -.:l{t+03-.407E+02 .103E+03-.5iJE+02 ,114t+03
.3f,2E+0? -. l14E+03
.467t+03
,397t+(r3-. r70E+03
. I 70E+03
. 15,1t+03
-. ',3iE+03
. ?00E+03
, 19i,t+03-, :l;,rE+03
'r1?Frfr1
,229t+03-, ??9E+03
J,:int [':rrtE
Jaint Dire,:tiutt I Direititrrr i Dirt':tion 3
J,:i ni F'-rri es
J,:int Dirr,:ii,:n I 0ire,:tion 2 0irrttt,-rtl 3
I
I
J
4g.J
b
-. l5':E+03_. 14St+(r3
. I 00t+03
. 153E-(t3
, ?00E+01
, i 03E-0:
_,19!t+03I Qif +{i1
.38 tE-04-. 763E-ii5
,76it-03-, i29E-ii1
,4078+'J-l
.397E+03
.107E-t'r:
. 198i-0-?
. t53E-l'4
,2?9E-0-?
-. i I ot"ui-.E!?E+02
.0008+0i
.648E-04'luIlL -I) l
. I 00t+03
-,3ilt+{.}: .l:;E+CrJ
. l3f,E+03 , l:Bi+03, 763t-{j5 -,3r,"5E-0{
-.i63E-05 .153i-04-.3Alr-u5 .2:?i-0{-,114E-(i1 .rl0t-ii4
Load Curdition nuDber I 3
Joint 0i:plaierents
J,lint Dir*itinn I Direction 2 0iretti':tt 3
I
i
'
I?
J
.t
5
6
,000E+00
,0008+()0
.287E-02
. ?gsE-02
.690E-02
.707E-02
,000t+00 .696t+00
, (i00E+00 .66$t+00
. r03E-03 -.952E-03
-.389E-03 -.638E-03
.206E-03 -.548E-03
-.492E-03 -.7lBE-03
DAFTAR PUSTAI{A
t-.u. Bhirud, 1975, MATRIX OPERATIONS ON THE COMPUTER, Oktord& IBH Publishlng Co, New Delhi.
Siegfried M. Holzer, 1985, COMP(/TER ANALYSIS OF STRUCTURE! MatrixStructural Analysis Structured Programming, Elsevier Science PublishingCo., lnc, New York.
William Weaver, lr. James M. Gerej, Wira. 1986, ANALISA MATRIKS UNTUKSTRUKTUR RANGKA, Penerbit Erlangga, Jakarta - lndonesia.
Kardiyono Tiokrodimuljo, 1988, BAHAN KULIAH PADA KURSUS SINGKATDl PAU UGM, Yogyakarta.