Upload
danghuong
View
267
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
a home base to excellence
Analisis Struktur Statis Tak Tentu dengan Metode Slope-Deflection
Pertemuan – 11
Mata Kuliah : Analisis Struktur
Kode : TSP – 202
SKS : 3 SKS
a home base to excellence
• TIU : • Mahasiswa dapat menghitung reaksi perletakan pada struktur statis tak tentu
• Mahasiswa dapat menghitung gaya-gaya dalam pada struktur statis tak tentu
• TIK : • Mahasiswa dapat melakukan analisis struktur balok dengan metode Slope-Deflection
• Sub Pokok Bahasan : • Persamaan Slope-Deflection
• Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
a home base to excellence
Persamaan Slope-Deflection
• Perpindahan(displacement) merupakan variabel utama yang tak diketahui, disebut pula sebagai derajat kebebasan (degree of freedom)
• Jumlah Degree of Freedom yang dimiliki suatu struktur sering juga disebutkan sebagai derajat ketidaktentuan kinematik
• Perpindahan yang dimaksud selain lendutan dapat pula berupa sudut rotasi pada suatu titik
• Selanjutnya disusun pula persamaan kompatibilitas untuk mendapatkan perpindahan dari titik-titik kumpul, dan kemudian dapat digunakan untuk menghitung reaksi tumpuan
• Tiga metode analisis struktur berbasis displacement adalah : slope-deflection, distribusi momen dan metode matriks
a home base to excellence
Persamaan Slope-Deflection
1 DOF
4 DOF
3 DOF
a home base to excellence
Persamaan Slope-Deflection
• Merupakan sebuah persamaan yang menghubungkan antara sudut rotasi (slope) dan lendutan (deflection) dengan beban yang bekerja pada struktur
• Perhatikan balok AB yang merupakan bagian dari struktur balok menerus dengan beban sembarang sebesar q. dan memiliki kekakuan seragam sebesar EI.
• Selanjutnya akan dicari hubungan antara momen ujung MAB dan MBA dengan sudut rotasi qA dan qB serta lendutan D yang mengakibatkan penurunan pada tumpuan B.
• Sesuai dengan perjanjian tanda yang dipakai, maka momen dan sudut rotasi bernilai positif apabila memiliki arah putar searah jarum jam.
• Sedangkan lendutan D dianggap bernilai positif apabila mengakibatkan balok berputar sebesar sudut y searah jarum jam.
a home base to excellence
Persamaan Slope-Deflection
• SMA’ = 0
• SMB’ = 0
(1)
(2)
03
2
2
1
32
1
LL
EI
MLL
EI
M BAAB
03
2
2
1
32
1
L
LL
EI
MLL
EI
MA
ABBA q
a home base to excellence
Persamaan Slope-Deflection
• SMB’ = 0
(3)
032
1
3
2
2
1D
LL
EI
MLL
EI
M
a home base to excellence
Persamaan Slope-Deflection • Dalam uraian sebelumnya telah diturunkan hubungan antara MAB
dan MBA yang bekerja pada titik A dan B dengan perpindahan yang diakibatkan olehnya, yaitu qA, qB dan D.
• Pada kenyataannya perpindahan yang terjadi, baik berupa sudut rotasi maupun lendutan pada balok terjadi bukan disebabkan oleh momen pada titik tersebut, namun disebabkan oleh beban luar yang bekerja pada bentangan balok.
• Supaya beban luar tersebut dapat diakomodasi dalam persamaan slope – deflection, maka beban luar tersebut harus ditransformasi menjadi momen ekuivalen yang bekerja pada titik ujung balok.
• Hal ini dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan menemukan reaksi momen yang timbul pada kedua ujung balok yang dianggap memiliki tumpuan jepit.
a home base to excellence
Persamaan Slope-Deflection
• Reaksi momen tersebut selanjutnya diistilahkan dengan sebutan Fixed-End Moment (FEM)
• Sesuai dengan perjanjian tanda, maka nilai FEM pada ujung A adalah negatif (berlawanan dengan jarum jam), dan nilai FEM pada ujung B adalah positif (searah jarum jam)
a home base to excellence
Persamaan Slope-Deflection
a home base to excellence
Persamaan Slope-Deflection
a home base to excellence
Persamaan Slope-Deflection
• Selanjutnya persamaan-persamaan 1, 2 dan 3 dapat dijumlahkan beserta beban luar yang bekerja, dan dapat dituliskan menjadi :
• Atau secara umum bentuk persamaan slope-deflection adalah :
(4)
BAABBA
ABBAAB
LL
IEM
LL
IEM
FEM322
FEM322
D
D
NFNN EkM )FEM(322 qq
a home base to excellence
Persamaan Slope-Deflection
• Dengan :
MN adalah momen internal pada ujung dekat
E,k adalah modulus elastisitas dan kekakuan balok k = I/L
qN, qF adalah sudut rotasi pada ujung dekat dan ujung jauh, memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam
y adalah rotasi balok akibat adanya penurunan pada tumpuan, y = D/L, besaran ini memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila searah jarum jam
(FEM)N adalah Fixed End Moment pada ujung dekat, bernilai positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam
a home base to excellence
Persamaan Slope-Deflection
• Persamaan 4 berlaku apabila ujung-ujung balok terjepit, apabila salah satu ujungnya sendi, maka persamaan slope-deflection menjadi :
(5) NNN EkM )FEM(3 q
a home base to excellence
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.1
Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan
BBBA
BBAB
NFNN
CB
BC
EIIEM
EIIEM
L
IEM
wL
wL
yqq
20)0(302
82
40)0(3)0(2
82
)FEM(322
deflection-slopepersamaan dari
mkN8,1020
)6(6
20FEM
mkN2,730
)6(6
30FEM
22
22
a home base to excellence
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.1
Dengan meninjau keseimbangan titik B diperoleh :
SMB = 0 MBA + MBC = 0
Akhirnya didapatkan qB = 6,17/EI
Substitusikan qB ke persamaan-persamaan sebelumnya dan diperoleh :
MAB = 1,54 kNm MBA = 3,09 kNm
MBC = 3,09 kNm MCB = 12,86 kNm
8,103
8,10)0(3)0(26
2
2,73
22,7)0(302
62
BBCB
BBBC
EIIEM
EIIEM
a home base to excellence
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.1
Free body diagram :
Ay = - (1,54/8) - (3,09/8) = - 0,579 kN ()
ByL = (1,54/8) + (3,09/8) = 0,579 kN ()
ByR = (3,09/6) - (12,86/6) + (0,5*6*6*2/6) = 4,37 kN ()
Cy = -(3,09/6) + (12,86/6) + (0.5*6*6*4/6) = 13,63 kN ()
a home base to excellence
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.1
Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur :
a home base to excellence
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.2
Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan
120667,0120)0(3026
2
1203333,0120)0(3)0(26
2
)FEM(322
deflection-slopepersamaan dari
mkN5,2216
)2)(60(3
16
3FEM
mkN12012
)6(40
12FEM
mkN12012
)6(40
12FEM
22
22
BBBA
BBAB
NFNN
BC
BA
AB
EII
EM
EII
EM
L
IEM
PL
wL
wL
yqq
5,225,15,2202
3
)FEM(3
deflection-slopepersamaan gunakan ACbalok Untuk
BBBC
NNN
EII
EM
L
IEM
yq
a home base to excellence
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.2
Dari keseimbangan gaya titik B :
SMB = 0 MBA + MBC = 0
Dan nilai qB = 144/EI.
Substitusikan qB ke persamaan-persamaan sebelumnya guna mendapatkan :
MAB = 135 kNm
MBA = 90 kNm
MBC = 90 kNm
a home base to excellence
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 11.3 Tentukan momen di A dan B pada balok, apabila tumpuan B mengalami penurunan sebesar 80 mm. E = 200 GPa, I = 5(10)6 mm4
Dari kesetimbangan titik B : SMB = 0 MBA – 8000N(3m) = 0
qB = 0,054 rad
000.30000.000.1
0)02,0(3021025,1)m/N10200(2
000.30000.500
0)02,0(3)0(21025,1)m/N10200(2
m)10(25,14m
mm/m)10(mm)10(5
rad02,04
m08,0
629
629
36441246
B
BBA
B
BAB
AB
BAAB
M
M
L
Ik
q
q
q
q
yy
a home base to excellence
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.4
Tentukan momen internal pada tumpuan balok apabila titik C mengalami penurunan sebesar 30 mm. E = 200 GPa, I = 600(10)6 mm4
36126
36126
36126
22
22
m)10(33,1335,4
1010600
m)10(1006
1010600
m)10(33,832,7
1010600
rad00667,05,4
03,0 rad005,0
6
03,0
mkN4,8612
)2,7(20
12FEM
mkN4,8612
)2,7(20
12FEM
CD
BC
AB
CDBC
BA
AB
k
k
k
wL
wL
yy
a home base to excellence
Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection
Example 11.4
0 0
0 0
7,10663,333.530)]00667,0(320][1033,133][10200[2
7,10667,666.1060)]00667,0(302][1033,133][10200[2
: CD Bentang
600000.40000.800)]005,0(32][10100][10200[2
600000.40000.800)]005,0(32][10100][10200[2
: BC Bentang
4,867,666.664,86)]0(302][1033,83][10200[2
4,863,333.334,86)]0(3)0(2][1033,83][10200[2
: AB Bentang
66
66
66
66
66
66
S
S
CDCBC
BCBAB
CCDC
CCCD
BCBCCB
CBCBBC
BBBA
BBAB
MMM
MMM
M
M
M
M
M
M
qqqq
qqqq
qB = 0,00444 rad qC = -0,00345 rad
a home base to excellence
TUGAS : Kerjakan soal dari textbook Bab XI Nomor 11.1 s/d 11.12