Capítulo 8

Análisis de estabilidad de sistemas

8.1 Definición de estabilidad. Ecuación característica

Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada acotada se obtiene una salida acotada,

independientemente de cual fuese su estado inicial.

La inestabilidad de los sistemas es la mayor limitación a la hora de realizar la sintonía del

controlador.

Tal como se ha visto en los temas anteriores la respuesta de bucle cerrado para un sistema de

control generalizado es:

y =

GcGpGf

1+GcGpGfGm

ysp+

Gd

1+GcGpGfGm

d

Normalmente, la estabilidad o inestabilidad de un sistema es intrínseca al mismo, independientemente

de la entrada. Es un problema del sistema.

Para estudiar la estabilidad de la respuesta es necesario realizar la transformada inversa de

Laplace para obtener la respuesta en tiempo real. Para ello hay que descomponer y(s) en fracciones

simples. Para realizar esta descomposición se deben encontrar las raíces de la ecuación

característica (1 + Gc Gp Gf Gm = 0). La ecuación característica es el denominador de las funciones

de transferencia tanto del problema de la regulación o de la carga como del servocontrol,

es decir, es 1 más el producto de las funciones de transferencia del lazo de retroalimentación

(GOL).

Las raícs de la ecuación característica son !i, i = 1, , n. Por tanto, una vez realizaa la descomposición

en fracciones simples:

y(s)=

y0

s

+

y1

s−!1

+

y2

s −!2

+ +

yn

s−!n

Tras realizar la transformada inversa de Laplace se obtiene la función en tiempo real:

y(t)= y0+ y1 e!1 t+ y2 e!2 t+ + yn e!n t

donde:

!i "C, #i

Es decir, todas las raíces de la ecuación característica son números complejos. Por tanto, para

todo i:

!= " +i#$e!t=e"t (cos #t+isen #t)

El valor de # no influye en la salida del sistema desde el punto de vista de la estabilidad, ya

que tanto el seno como el coseno son funciones acotadas. Sólo cambia la frecuencia de la respuesta.

En cambio, si " es positivo, aparece un problema de estabilidad ya que la respuesta aumentaría

constantemente con el tiempo. Por tanto, para que la salida del sistema sea estable todas

las partes reales de las raíces de la ecuación característica deben ser negativas, deben estar

situadas en el semiplano real negativo. En el caso de que alguna no lo fuese:

lím

t!"

y(t)=%

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Con esta información es posible diseñar técnicas que permitan seleccionar las constantes del

controlador garantizando la estabilidad del sistema.

8.2 Método de Routh-Hurvitz

El método de Routh-Hurvitz permite comprobar de una manera rápida y sencilla si alguna de

las partes reales de las raíces de la ecuación característica es positiva sin necesidad de tener que

encontrar las raíces.

Operando la ecuación característica se obtiene:

1+GcGpGfGm!a0 sn+a1 sn−1+ +an−1 s+an=0

donde a0 debe ser positivo.

El criterio de estabilidad de Routh-Hurvitz es:

1. Condición necesaria pero no suficiente: Todos los coeficientes a0, a1, , an de la ecuación

característica deben ser positivos para que el sistema sea estable. Si alguno de los coeficientes

es negativo, al menos una de las raíces tendrá la parte real positiva.

2. Condición necesaria y suficiente: Se contruye la matriz de Routh:

1 a0 a2 a4 a6

2 a1 a3 a5 a7

3 A1 A2 A3

4 B1 B2 B3

5 C1 C2 C3

n+1 W1 W2

donde:

A1=

a1 a2−a0 a3

a1

,A2=

a1 a4−a0 a5

a1

,A3=

a1 a6−a0 a7

a1

,

B1=

A1 a3−a1A2

A1

,B2=

A1 a5−a1A3

A1

,

C1=

B1A2−A1B2

B1

, B2=

B1A3−A1B3

B1

,

El sistema será estable si todos los términos de la primera columna de la matriz (a0, a1,

A1, B1, C1, , W1) son positivos. Si alguno de estos elementos es negativo el sistema será

inestable. Por cada cambio de signo habrá una raíz con la parte real positiva.

El criterio de estabilidad de Routh presenta algunas limitaciones. No puede trata sistemas con

retrasos (tiempos muertos) o no lineales. Sólo da información de si un sistema es estable o inestable,

no da información de si un sistema estable está cerca o lejos de la inestabilidad. Otra

limitación es la necesidad de tener que expresar la ecuación característica como un polinomio en

s, esto puede ser bastante complicado en sistemas complejos.

Para encontrar qué valores de las constantes del controlador están situadas en el límite de

estabilidad se debe resolver la siguiente ecuación:

W1 s2+W2=0

De esta manera se puede determinar un par de raíces de la ecuación característica con la parte

real nula, es decir, situadas sobre el eje imaginario. Lógicamente W1 y W2 dependen de los

parámetros del controlador.

Ejemplo 8.1. En el problema 8.2 se utiliza el criterio de Routh-Hurvitz para demostar la estabilidad

de un lazo de control por retroalimentación.

98 Análisis de estabilidad de sistemas

8.3 Método del lugar de las raíces

Representando las raíces de la ecuación característica en el p