Embed Size (px)
Citation preview
ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU
i
j
k
O x
y
z
C
A
E
D B
VEKTOR POLOŽAJA TAČKE
a
kajaiaaaaOAa zyxzyx
,,
Vektor
je vektor položaja tačke .
The image part with relationship ID rId14 was not found in the file.
ya
za
zyx aaaA ,,
KOORDINATE VEKTORA ODREDJENOG POČETNOM I ZAVRŠNOM TAČKOM
i
j
k
O x
y
z
A
a
B
b
zzyyxxzyxzyx abababaaabbbabOAOBAB ,,,,,,
zyx aaaaOA ,, zyx bbbbOB ,,
zzyyxx abababAB ,,
RASTOJANJE IZMEDJU DVE TAČKE
i
j
k
O x
y
z
A
a
B
b
222 )()()(),( zzyyxx abababABBAd
zyx aaaA ,,The image part with relationship ID rId18 was not found in the file.
zzyyxx abababAB ,,
Rastojanje izmedju dve tačke A i B je intezitet vektora . AB
RASTOJANJE IZMEDJU DVE TAČKE
i
j
k
O x
y
z
A
a
B
b
222 )()()(),( zzyyxx abababABBAd
zyx aaaA ,,
zyx bbbB ,,
zzyyxx abababAB ,,
Rastojanje izmedju dve tačke A i B je intezitet vektora . AB
PRIMER
Date su tačke )2,1,1( A )2,0,4( B )1,1,2( C
Odrediti vektor normalan na ravan koju odredjuju te tri tačke.
A
B
C
a
bN
)4,1,3()22),1(0,14( ABa
)3,2,3()21),1(1,12( ACb
323413
kji
baN
2313
3343
3241
kjiN
kjiN
9215
)9,21,5(N
PRIMER Date su tačke
Odrediti vektor normalan na ravan koju odredjuju te tri tačke.
A
B
C
a
bN
)0,2,2()00,20,02( ABa
)2,0,2()02,22,02( ACb
0222
2202
2002
202022
kji
kjibaN
kjiN
444 )4,4,4( N
)0,2,0(A )0,0,2(B )2,2,2(C
)4,4,4( N
)1,1,1(44
1
NN
41
Vektori normalni na ravan )3
1,3
1,3
1( Nort
PRIMER
Data je kocka osnovne ivice sa jednim temenom u koordinatnom početku O i sa ivicama koje polaze iz tog temena i leze na pozitivnim delovima koordinatnih osa. U tu kocku upisan je tetraedar ACDE prikazan na slici cije su ivice dijagonale strana date kocke. Odredititi ugao izmedju vektora i .
1a
i
j
k
O x
y
z
C
A
E
D
B
1
)0,1,0(A
)1,1,0()01,10,00( AE
1
1)0,0,1(C )1,1,1(D )1,0,0(E
)1,0,1()01,11,01( AD
1110)1(10 AEAD
2 AEAD
21
221cos
AEADAEAD
0603
AD AE
PRIMER
Data je kocka osnovne ivice sa jednim temenom u koordinatnom početku O i sa ivicama koje polaze iz tog temena i leze na pozitivnim delovima koordinatnih osa. U tu kocku upisan je tetraedar ACDE prikazan na slici cije su ivice dijagonale strana date kocke. Odrediti i ort tog vektora.
1a
i
j
k
O x
y
z
C
A
E
D
B
1
)0,1,0(A
)1,1,0()01,10,00( AE
1
1)0,0,1(C )1,1,1(D )1,0,0(E
)1,0,1()01,11,01( AD
kjikji
AEAD
110101
)1,1,1( AEAD
3)1()1(1 222 AEAD )31,
31,
31(
AEADort
AEAD
PRIMER
Data je kocka osnovne ivice sa jednim temenom u koordinatnom početku O i sa ivicama koje polaze iz tog temena i leze na pozitivnim delovima koordinatnih osa. U tu kocku upisan je tetraedar ACDE prikazan na slici cije su ivice dijagonale strana date kocke. Izračunati .
1a
i
j
k
O x
y
z
C
A
E
D
B
1
)0,1,0(A
)0,1,1()00,10,01( AC
1
1)0,0,1(C )1,1,1(D )1,0,0(E
)0,1,1()11,10,10( DE
000)1()1()1(1 DEAC
DEiACUzajamno ortogonalni
DEAC
PRIMER
Data je kocka osnovne ivice sa jednim temenom u koordinatnom početku O i sa ivicama koje polaze iz tog temena koje leze na pozitivnim delovima koordinatnih osa. U tu kocku upisan je tetraedar ACDE prikazan na slici cije su ivice dijagonale strana date kocke. Izračunati .
1a
i
j
k
O x
y
z
C
A
E
D
B
1
)0,1,0(A
1
1
)0,0,1(C )1,1,1(D )1,0,0(E
)1,1,1()01,10,10( BE
010)1()1()1(1 BEAC
BEiACUzajamno ortogonalni
P
Q )0,1,1()00,10,01( AC
)0,1,1(BBEAC
CBAN ,, 0000 ,, zyxP
zyxP ,,
0000 ,, zzyyxxPP
Tačka pripada ravni ako i samo su vektori i uzajamno ortogonalni. Iz uslova ortogonalnosti sledi jednačina ravni:
The image part with relationship ID rId12 was not found in the file.
N
0P
N
P
:
zyxP ,, PP0 N
0)()()( 000 zzCyyBxxA
00 PPN
JEDNAČINA RAVNI odredjene jednom tačkom i vektorom normalnim na tu ravan
PRIMER
The image part with relationship ID rId4 was not found in the file.
N
0P
N
P
6,5,20 P
3,2,1 N
Napisati jednačinu ravni koja sadrži tačku i normalna je na vektor .
0)()()( 000 zzCyyBxxA
0)6(3)5(2)2( zyx
0632 zyx
0)()()( 000 zzCyyBxxA
JEDNAČINA RAVNI Vektor normalan na ravan
CBAN ,,
0 DCzyBAx
0000 ,, zyxP
000 ) CzByAxD
),,(0 CBANDCzyBAx
PRIMER
N
Napisati jednačinu ravni koja sadrži tačku i paralelna je sa ravni .
0)()()( 000 zzCyyBxxA0)3(3)5(2)2( zyx
0632: zyx
N
3,5,20 P
)3,2,1( NN
: 3,5,20 P )3,2,1( N
0332 zyx
JEDNAČINA RAVNI odredjene jednom tačkom i dva vektora paralelna sa tom ravni
CBAppN ,,21
0000 ,, zyxP
:
1111 ,, cbap
2222 ,, cbap
CBAppN ,,21
0000 ,, zyxP :
0)()()( 000 zzCyyBxxA
zyxP ,, 0000 ,, zzyyxxPP
The image part with relationship ID rId23 was not found in the file.
N
0P
1p
2p
P1p
2p
PRIMER
6,5,20 P
Napisati jednačinu ravni koja sadrži tačku i paralelna je vektorima
The image part with relationship ID rId8 was not found in the file.
N
0P
1p
2p
P2p
1p
)2,3,1(1 p
)1,0,1(2 p
)3,1,3( N
kjikjikji
ppN
33
0131
1121
1023
10123121
: )6,5,2(0 P0)6(3)5(1)2(3 zyx 0733 zyx
JEDNAČINA RAVNI odredjene jednom tačkom i dva vektora paralelna sa tom ravni
0000 ,, zyxP:
1111 ,, cbap
2222 ,, cbap
zyxP ,, 0000 ,, zzyyxxPP
The image part with relationship ID rId16 was not found in the file.
0P
1p
2p
P1p
2p
Tačka ako i samo ako su vektori , , komplanarni. PP0 1p 2p zyxP ,,
0
222
111
000
cbacba
zzyyxx
The image part with relationship ID rId4 was not found in the file.
0P
1p
2p
P1p
2p
0101231312
zyx
Napisati jednačinu ravni koja sadrži tačku i paralelna je sa vektorima
PRIMER
)2,3,1(1 p
)1,0,1(2 p
3,1,20 P
: 3,1,20 P)2,3,1(1 p
)1,0,1(2 p
00131
)3(1121
)1(1023
)2(
zyx
0)3(3)1()2(3 zyx 0233 zyx
0000 ,, zyxP
01010110 ,, zzyyxxPP
:
zyxP ,,
0)()()( 000 zzCyyBxxA
JEDNAČINA RAVNI odredjene sa tri tačke
1111 ,, zyxP 2222 ,, zyxP
02020220 ,, zzyyxxPP
CBAPPPPN ,,2010
0000 ,, zzyyxxPP
The image part with relationship ID rId26 was not found in the file.
N
0P
1P
2P P
: 0000 ,, zyxP CBAN ,,
0000 ,, zyxP:
zyxP ,,
1111 ,, zyxP 2222 ,, zyxP
2010 PPPPN
2101 PPPPN
1202 PPPPN
0)()()( 000 zzCyyBxxA
The image part with relationship ID rId22 was not found in the file.
N
0P
1P
2P
P: 0000 ,, zyxP
CBAN ,,
: 1111 ,, zyxP CBAN ,,
0)()()( 111 zzCyyBxxA
0)()()( 222 zzCyyBxxA
JEDNAČINA RAVNI odredjene sa tri tačke
: 2222 ,, zyxP CBAN ,,
CBAN ,,
Napisati jednačinu ravni koja sadrži tačke The image part with relationship ID rId4 was not found in the file.
N
0P
1P
2P P
PRIMER
2,2,10P 0,0,21P 3,2,22P
)2,2,1()20,20,12(10 PPa
)2,3,2( N
)1,0,1()23,22,12(20 PPb
kjikjikji
baN
232
0121
1121
1022
101221
0)2(2)2(3)1(2 zyx04232 zyx
Napisati jednačinu ravni koja sadrži tačke The image part with relationship ID rId4 was not found in the file.
N
0P
1P
2P P
PRIMER
2,2,10P 0,0,21P 3,2,22P
)2,2,1()20,20,12(10 PPa
)2,3,2( N
)1,0,1()23,22,12(20 PPb
kjikjikji
baN
232
0121
1121
1022
101221
0)0(2)0(3)2(2 zyx04232 zyx
0000 ,, zyxP
01010110 ,, zzyyxxPP
:
zyxP ,,
JEDNAČINA RAVNI Odredjene sa tri tačke
1111 ,, zyxP 2222 ,, zyxP
02020220 ,, zzyyxxPP
0,, 2010020100 PPPPPPPPPPPP
0000 ,, zzyyxxPP
The image part with relationship ID rId22 was not found in the file.
0P
1P
2P
P
0
020202
010101
000
zzyyxxzzyyxxzzyyxx
Tačka pripada ravni ako i samo ako su ovi vektori komplanarni.
zyxP ,,
Jednačina ravni:
Napisati jednačinu ravni koja sadrži tačke
PRIMER
2,2,10P 0,0,21P 3,2,22P
zyxP ,, 2,2,10 zyxPP )2,2,1(20,20,1210 PP
)1,0,1(23,22,1220 PP
0101221221
zyx
00121
)2(1121
)2(1022
)1(
zyx
0)2(2)2(3)1(2 zyx
04232 zyx
JEDNAČINA RAVNI – SEGMENTNI OBLIK
x
y
z
A
C
B
0,0,aA 0,,0 bB cC ,0,0
0,,baAB
caAC ,0,
00
0
caba
zyax1
cz
by
ax
zyxP ,,
zyaxAP ,,
ACABAP ,, komplanarni 0,, ACABAP
:
PRIMER
1cz
by
ax
Napisati jednačinu ravni koja na osama x,z,y redom odseca
5,3,2 cba
301532
zyx
03061015 zyx
x
y
z
A
B
0,0,aA 0,,0 bB
1cz
by
ax
:
Paralelna z‐osi
c
1by
ax
JEDNAČINA RAVNI – SEGMENTNI OBLIK
0,0,aA 0,,0 bB
x
y
z
A
B
:
Paralelna z‐osi
JEDNAČINA RAVNI – SEGMENTNI OBLIK
0,,baAB
1,0,0k
01000bazyax
0)( yaaxbabyabx
1by
ax
zyxP ,,
zyaxAP ,,
0,0,aA 0,,0 bB
x
y
z
A
B
:
Paralelna z‐osi
JEDNAČINA RAVNI – SEGMENTNI OBLIK
0,,baAB
1,0,0k
jaibba
ka
jb
ibakji
kABN
00100
100
1000
0,,abN
0)( yaaxb abyabx 1by
ax
zyxP ,,
zyaxAP ,,
x
y
z
QP
i
2,2,1P 4,1,3Q
)2,1,2(24,21,13 PQ
PRIMER
Napisati jednačinu ravni koja sadrži tačke
i paralelna je x‐osi.
)0,0,1(i
iN
kjkjikji
iPQN
2
0112
0122
0021
001212
: 2,2,1P 1,2,0N
0)2()2(2)1(0 zyx
062 zy
