Analiza funkcije proizvodnje

Područje primjene:odnos input / učinakLiteratura:

Litzka F. Teorija poljoprivredne proizvodnje, Prijevod s engleskog, Interna skripta za studente

Bilješke s predavanja

DEFINICIJA FUNKCIJE PROIZVODNJE

pri tFUNKCIJA PROIZVODNJE pokazuje odnos količine utroška

varijabilnog inputa i najveće moguće proizvodnje pri toj količini inputa

ome se pretpostavlja da je utrošak svih ostalih inputa nepromijenjen

KOLIČINA PROIZOVODA izravno je ovisna o količini utroška inputa

s obzirom na prirodu reakcije količine proizvodnje na povećanje utroška

inputa, razlikujemo: proporcionalni odnos, linearni, s konstantnom stopom povrata,

ispod proporcionalni odnos, degresivni, s opadajućom stopom povrata i

iznad proporcionalni odnos, progresivni, s rastućom stopom povrata,

U ekonomiji se najčešće razmatra neoklasični model funkcije

proizvodnje koji uključuje sve tri vrste odnosa ili reakcije

PRIRODA REAKCIJE PROIZVODNJE NA UTROŠAK INPUTA

neoklasični model F

P

GRAFIČKI PRIKAZ NEOKLASIČNOG MODELA FUNKCIJE PROIZVODNJE

Y

PRIKAZIVANJE FUNKCIJE PROIZVODNJE

Ukoliko raspolažemo s parovima vrijednosti količine utroška inputa (x)i odgovarajuće količine proizvoda (y), možemo izraditi model funkcije proizvodnje:

tabelarno grafički ili matematičkim izrazom

TABELARNI I MATEMATIČKI PRIKAZ FUNKCIJE PROIZVODNJE

Razina ulaganja Količina proizvoda, kg Količina inputa, kg

Y X

1 2000 400

2 3000 500

3 3600 600

4 4000 700

5 4300 800

6 4200 900

Tabelarni prikaz

Prikaz matematičkim izrazom: općenito: f(x)=y, pri čemu je y zavisna količina proizvodnje

a x nezavisna varijabla količine

inputa

regresijski model za ovaj primjer: y = - 4030.7 + 19.925x -0.012x2

GRAFIČKI PRIKAZ FUNKCIJE PROIZVODNJEKvadratni model: y=a+x+cx2

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 200 400 600 800 1000

Količina inputa, kg

Ko

liči

na

pro

izvo

da

kg

TEMELJNI POJMOVI FUNKCIJE PROIZVODNJE

Maksimalni proizvod : najveća količina proizvoda koja se može

dobiti utroškom promatranog inputa, bez promjene ostalih inputa.

točka C na grafikonu neklasičnog modela, odnosno proizvodnja

pri 800 kg utroška inputa na grafikonu za prethodni primjer

U nekim slučajevima se proizvodna funkcija približava

maksimumu asimptotski, dok u drugima funkcija opada nakon što

dostigne maksimum.

Svako ulaganje inputa iznad maksimalnog proizvoda je neekonomično!

TEMELJNI POJMOVI FUNKCIJE PROIZVODNJE

Marginalni (ili granični) proizvod (mp): promjena proizvodnje ili učinka uzrokovana zadnjim povećanjem inputa za jednu jedinicu.Naziva se i marginalna stopa povrata.

Razina ulaganja

Količina proizvoda,

kg

Količina inputa, kg

Marginalni proizvod,

kg/kg

y x Mp

1 2000 400

2 3000 500 10.00

3 3600 600 6.00

4 4000 700 4.00

5 4300 800 3.00

6 4200 900 -1.00

Marginalni (ili granični) proizvod (mp): promjena proizvodnje ili učinka uzrokovana zadnjim povećanjem inputa za jednu jedinicu.Naziva se i marginalna stopa povrata.

Izračunava se kao omjer promjene količine proizvodnje y i promjene količine inputa x :

mp = y/x, ili, za vrlo male vrijednosti x: mp = dy/dx.

Ako marginalni proizvod pomnožimo s cijenom proizvoda, dobivamo njegovu vrijednost: vmp (vrijednost margin. proizvoda)

vmpP = PY ∙mp = PY ∙y/x

MARGINALNI PROIZVOD

GRAFIČKI PRIKAZ MARGINALNOG I PROSJEČNOG PROIZVODA

Krivulja mp ima maksimum u točki infleksije neoklasične proizvodne funkcije.

Nakon toga se očituje djelovanje zakona opadajućih prinosa.

mp iznosi 0 kad se dostigne maksimum ukupnog proizvoda

MARGINALNI PROIZVOD

Prosječni proizvod (AP na grafikonu): učinak ili proizvodnja po

jedinici varijabilnog inputa.

Izračunava se kao omjer količine proizvodnje i količine inputa u

jednoj točki ili pri jednoj razini utroška inputa:

pp ili ap = y/x = Q/X

Pokazuje koliko je proizvedeno učinaka po jednoj jedinici inputa

Prosječni proizvod uvijek je nenegativan!

PROSJEČNI PROZVOD

GRAFIČKI PRIKAZ MARGINALNOG I PROSJEČNOG PROIZVODAu odnosu na ukupni proizvod

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

1 2 3 4 5 6

Količina proizvoda, kg

mp

pp

Faze ili zone neoklasične funkcije proizvodnje jednog inputa (0)

I. zona:

rast prosječnog proizvoda;

rast marginalnog proizvoda do najviše vrijednosti;

rast ukupne proizvodnje;

II. zona:

rast prosječnog proizvoda do najviše vrijednosti;

pad marginalnog proizvoda;

rast ukupne proizvodnje;

III. zona:

opada prosječni proizvod;

opada marginalni proizvod do nule;

ukupni proizvod raste do maksimuma;

IV. zona:

opada prosječni proizvod;

opada marginalni proizvod do nule;

ukupni proizvod opada;

Zona III. je ekonomski prihvatljiva zona!

Faze ili zone neoklasične funkcije proizvodnje jednog inputa (1)

COBB-DOUGLASOVA FUNKCIJA PROIZVODNJEMultiplikativni model

Y=AX1X2

A= 10 10 10

a= 0.3 0.4 0.6

b= 0.4 0.6 0.9

X1 X2

Y1

a+b≤1Y2

a+b=1Y3

a+b≥11 2 13.20 15.16 18.662 4 21.44 30.31 52.783 6 28.47 45.47 96.964 8 34.82 60.63 149.295 10 40.71 75.79 208.636 12 46.25 90.94 274.257 14 51.52 106.10 345.608 16 56.57 121.26 422.249 18 61.43 136.41 503.84

10 20 66.13 151.57 590.10

COBB-DOUGLASOVA FUNKCIJA PROIZVODNJEMultiplikativni model

Y=AX1X2

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

1 2 3 4 5 6 7 8

a+b≤1 a+b=1 a+b≥1

Interval ekonomski prihvatljivog ulaganja varijabilnog inputa

Predstavlja količine između najviše i najniže ekonomski racionalne količine inputa: FAZA III

Gornja granica (najviša razina): maksimalni ukupni proizvod

Donja granica: maksimalni prosječni proizvod

Do najniže prihvatljive razine, svako dodavanje inputa rezultirati će iznad proporcionalnim rastom outputa.

Određivanje najbolje ili optimalne razine utroška varijabilnog inputa (0)

Optimalna razina ulaganja varijabilnog faktora se može

odrediti:• grafički• tabelarno i• matematički.

Temeljni pojmovi analize su:• promjena (povećanje) količine inputa (X)• ostvarena promjena proizvodnje (količinski, Q ili Y)

• vrijednost jedinice inputa (cijena inputa, q ili PX)

• vrijednost promjene proizvodnje (cijena i količina proizvoda, p ·

Y ili PY · Y)

Određivanje optimalne razine utroška varijabilnog inputa (1)

Dok je cijena inputa manja od povećanja vrijednosti proizvodnje uzrokovanog jedinicom inputa, ekonomski je

opravdano povećavati utrošak inputa.

Optimalnu razinu utroška ili točku ravnoteže inputa i outputa nalazimo tamo gdje vrijedi:

PY·y/x=PX

pri čemu su: p = cijena proizvoda i q = cijena inputa

Isplativo je povećavati količinu inputa dok vrijedi:

VMP = PY·y/x ≥ PX

(Ne zaboravite: marginalni proizvod MP = y/x)

Određivanje optimalne razine grafičkim prikazom (0)

Na primjeru proizvodne funkcije: y = 0,75x – 0,0031x2

Cijene po jedinici proizvoda i inputa su: p = 6,00 kn i q = 1,20 kn (=> omjer q/p=1,2/6=1:5)

Postupak:• koordinatni sustav čine: utrošak inputa x-os i proizvodnja y-os• ucrtavamo krivulju prema navedenoj formuli• ucrtamo pravac koji ima smjer jednak omjeru cijene inputa i

cijene proizvoda (omjeru q : p)

Pravac koji odražava odnos cijena inputa i proizvoda naziva se pravac istih vrijednosti: u svakoj točki pravca vrijednost

proizvoda je jednaka vrijednosti inputa. (eng: iso-value pravac)

Određivanje optimalne razine grafičkim prikazom (1)

Ravnotežna razina je izražena formulom:

y/x= q/p

y/x = nagib krivulje proizvodne funkcijeq/p =nagib pravca istih vrijednosti

Prema formuli, tražimo mjesto gdje se izjednačava nagib ucrtane krivulje i pravca: tražimo mjesto gdje pravac tangira krivulju.

U toj točki okomica povučena na x-os pokazuje optimalnu razinu utroška inputa x.Ako je naša postojeća razina ispod optimalne, treba je povećati.Ako je iznad optimalne, treba je smanjiti.

Određivanje optimalne razine grafičkim prikazom (2)

Određivanje optimalne razine grafičkim prikazom (3)

Analiza osjetljivosti: povećanje cijene proizvoda za 20%.

Određivanje optimalne razine tabličnim prikazom (4)

Postupak kod tabličnog rješavanja problema:• u tablicu unijeti količine inputa u razumnim rasponima• unijeti odgovarajuće količine proizvoda• izračunati promjene obiju veličina i marginalnu stopu povrata

(marginalni proizvod)• izračunati vrijednost marginalne stope povrata• usporediti vrijednost MP i cijenu inputa

Ravnotežna točka:Vrijednost MP = cijeni inputa ili

p·y/x=q

U našem slučaju 6·y/x=1,20

Određivanje optimalne razine tabličnim prikazomKoličina inputa

Količina učinka

Dodatni učinak

Promjena utroška inputa MSP

MSP - vrijednosno

x y y x y/x (y × p) /x

0 0,00

10 7,19 7,19 10,00 0,72 4,31

20 13,76 6,57 10,00 0,66 3,94

30 19,71 5,95 10,00 0,60 3,57

40 25,04 5,33 10,00 0,53 3,20

50 29,75 4,71 10,00 0,47 2,83

60 33,84 4,09 10,00 0,41 2,45

70 37,31 3,47 10,00 0,35 2,08

80 40,16 2,85 10,00 0,28 1,71

90 42,39 2,23 10,00 0,22 1,34

100 44,00 1,61 10,00 0,16 0,97

110 44,99 0,99 10,00 0,10 0,59

Određivanje optimalne razine matematičkim postupkom (0)

Cilj: naći točku proizvodne funkcije u kojoj je MSP (vrijednosno)

jednaka cijeni inputa

matematički rečeno: naći točku u kojoj je prva derivacija funkcije proizvodnje

pomnožena s cijenom proizvoda jednaka cijeni inputa.

Ako je proizvodna funkcija y = f(x), tada je funkcija MSP = f'(x) tražimo točku u kojoj je

6 [ f'(x)] = 1,2ako su cijena proizvoda p=6 i cijena inputa q=1,2

f(x) = y= 0,75x–0,0031x2, prva derivacija: y'=0,75–0,0062x.

Određivanje optimalne razine matematičkim postupkom (1)

Uvrštavanjem vrijednosti cijena u gornju jednadžbu dobivamo:

6(0,75 – 0,0062x) = 1,24.5 – 0.0372x = 1,2

0.00372x = 3,3x = 88,71

Proizvodnja koja odgovara utrošku 88,71 jedinica inputa:y = 0,75x – 0,0031x2

y = 0,75 × 88,71 – 0,0031 × 88,712y =42,14

Primjeri proizvodnih funkcija i njihovih derivacija

količina inputa količina inputa količina inputa

količina inputa

količin

a u

čin

aka

količina inputa količina inputa

količin

a u

čin

aka

količin

a u

čin

aka

količin

a u

čin

aka

količin

a u

čin

aka

količin

a u

čin

aka

Analiza učinka promjene tehnologije i učinkovitosti

Optimum ulaganja varijabilnog inputa: sažeto

Marginalni proizvod: MP = Y/X

Cijena proizvoda: PY

Vrijednost marginalnog proizvoda: VMP=PY∙MP=PY∙Y/X

Cijena (varijabilnog) inputa: PX

Optimalni utrošak inputa: VMP=PY·y/x=PX

Pravila za donošenje odluke:

dok je VMP>PX isplati se dodavati input

ako je VMP<PX potrebno je smanjiti utrošak inputa