ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Ciągi liczboweDefinicja 1. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nazywamy funkcję określonąna zbiorze liczb naturalnych o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych

f : N→ R, n 7→ an .

Ciąg oznaczamy krócej symbolem (an) lub a1, a2, . . . an . . . .Ciągi, których wyrazy są funkcjami nazywamy ciągami funkcyjnymi.

Definicja 2. Ciąg liczbowy (an) nazywamy:stałym, jeżeli

∧n∈N

an+1 = an ,

rosnącym, jeżeli∧n∈N

an+1 > an ,

malejącym, jeżeli∧n∈N

an+1 < an ,

nierosnącym, jeżeli∧n∈N

an+1 ¬ an ,

niemalejacym, jeżeli∧n∈N

an+1 ­ an .

Definicja 3. Ciąg liczbowy (an) nazywamy:ograniczonym z dołu, jeżeli ∨

m∈R

∧n∈N

an ­ m ,

ograniczonym z góry, jeżeli ∨M∈R

∧n∈N

an ¬M,

ograniczonym, jeżeli ∨m,M∈R

∧n∈N

m ¬ an ¬M.

Definicja 4. Ciąg an ma granicę właściwą g, jeżeli w każdym otoczeniu (g− ε, g+ ε) liczbyg, gdzie ε > 0, leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu, tzn. wszystkie począwszy od pewnegowskaźnika N0.

1

Fakt, że ciąg (an) ma granicę g zapisujemy limn→∞

an = g lub an −→ g.

limn→∞

an = g ⇐⇒∧ε>0

∨N0∈N

∧n>N0

|an − g| < ε.

Ciąg, który ma granicę właściwą nazywamy zbieżnym.Twierdzenie 1. Ciąg ma co najwyżej jedna granicę.Twierdzenie 2. Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.Uwaga 1. Jeżeli ciąg jest ograniczony, to nie musi być zbieżny!Twierdzenie 3. Jeżeli ciąg jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny.Definicja 5.

limn→∞

an = +∞ ⇐⇒

∧M∈R

∨K∈N

∧n>K

an > M

limn→∞

an = −∞ ⇐⇒

∧M∈R

∨K∈N

∧n>K

an < M

Twierdzenie 4. (o trzech ciągach)Jeżeli

limn→∞

an = limn→∞

bn

oraz ∧n∈N

an ¬ cn ¬ bn ,

to istnieje granica limn→∞

cn oraz

limn→∞

cn = limn→∞

an = limn→∞

bn .

Twierdzenie 5. Jeżeli ciągi (an) i (bn) mają granice właściwe limn→∞

an = A, limn→∞

bn = B

oraz k ∈ R, to

1. limn→∞

(an + bn) = A+B,

2. limn→∞

(an − bn) = A−B,

3. limn→∞

(k · an) = k ·A,

4. limn→∞

(an · bn) = A ·B,

2

5. limn→∞

(anbn

)=A

B, gdy

∧n∈N

bn 6= 0 oraz B 6= 0.

Twierdzenie 6. Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny do zera i ciąg (bn) jest ograniczony, to ciągi (an · bn) jest zbieżny do zera.Twierdzenie 7. Prawdziwe są wzory:

1. limn→∞

qn =

nie istnieje dla q ¬ −1,

0 dla q ∈ (−1, 1)

1 dla q = 1,

+∞ dla q > 1.

,

2. limn→∞

nα =

0 dla α < 0

1 dla α = 0,

+∞ dla α > 0.

,

Twierdzenie 8. Prawdziwe są wzory:

1.∧a>0

limn→∞

n√a = 1,

2. limn→∞

n√nk = 1, k > 0,

3.

( ∧n∈N

an ­ 0 ∧ limn→∞

an > 0

)limn→∞

n√an = 1.

Twierdzenie 9. Jeżeli limn∈N

an = A oraz limn∈N

bn = ±∞, to

1. limn→∞

(an ± bn) = ±∞,

2. limn→∞

(an · bn) = ±∞, A 6= 0,

3. limn→∞

(anbn

)= 0, gdy

∧n∈N

bn 6= 0.

Twierdzenie 10. Jeżeli limn∈N

an = +∞ oraz limn∈N

bn = +∞, to

1. limn→∞

(an + bn) = +∞,

2. limn→∞

(an · bn) = +∞,

3

Twierdzenie 11. Jeżeli∨K∈N

∧N>K

an > 0 oraz limn→∞

an = 0, to

limn→∞

1an

= +∞.

Symbole nieoznaczone

00,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 00, ∞0, 1∞

Definicja 6.

limn→∞

(1 +

1n

)n= e.

Ponadto

limn→∞

(1− 1

n

)n=

1e.

Twierdzenie 12. Jeżeli limn→∞

an = ±∞, to

limn→∞

(1 +

1an

)an= e

oraz

limn→∞

(1− 1

an

)an=

1e.

Uwaga 2. Logarytm, którego podstawą jest liczba e nazywamy logarytmem naturalnymi oznaczamy symbolem ln, np.

loge 7 = ln 7.

4

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennejDefinicja 7. Otoczeniem o promieniu ε > 0 punktu x0 ∈ R nazywamy zbiór

U(x0, ε) = {x ∈ R : |x− x0| < ε} .

Definicja 8. Sąsiedztwem o promieniu ε > 0 punktu x0 ∈ R nazywamy otoczenie o pro-mieniu ε punktu x0 pozbawione punktu x0, czyli zbiór

S(x0, ε) = {x ∈ R : 0 < |x− x0| < ε} .

Definicja 9. Otoczeniem nieskończoności nazywamy zbiór

U(∞) = (a,∞) dla dowolnego a ∈ R.

Definicja 10. Otoczeniem minus nieskończoności nazywamy zbiór

U(−∞) = (−∞, a) dla dowolnego a ∈ R.

Definicja 11. Sąsiedztwem prawostronnym (lewostronnym) o promieniu ε punktu x0 ∈ Rnazywamy zbiór

S(x+0 , ε) = (x0, x0 + ε)(S(x−0 , ε) = (x0 − ε, x0)

).

Definicja 12. (Heine)

limx→x0

f(x) = g ⇐⇒∧

(xn)→x0, xn∈S(x0)limn→∞

f(xn) = g

Definicja 13. (równoważna, Cauchy)

limx→x0

f(x) = g ⇔∧ε>0

∨δ>0

∧x

[(0 < |x− x0| < δ) ⇒ |f(x)− g| < ε]

Definicja 14. (granicy niewłaściwej)

limx→x0

f(x) = ±∞ ⇐⇒∧

(xn)→x0, xn∈S(x0)limn→∞

f(xn) = ±∞

Definicja 15. (granicy w punkcie niewłaściwym)

limx→+∞

f(x) = g ⇐⇒∧

(xn)→∞, xn∈S(∞)limn→∞

f(xn) = g

Definicja 16. (granicy w punkcie niewłaściwym)

limx→−∞

f(x) = g ⇐⇒∧

(xn)→−∞, xn∈S(−∞)limn→∞

f(xn) = g

5

Definicja 17. (granicy lewostronnej)

limx→x−0

f(x) = g ⇐⇒∧

(xn)→x0, xn∈S(x−0 )

limn→∞

f(xn) = g.

Definicja 18. (granicy prawostronnej)

limx→x+0

f(x) = g ⇐⇒∧

(xn)→x0, xn∈S(x+0 )

limn→∞

f(xn) = g.

Definicja 19. Niech funkcja f będzie określona w pewnym sąsiedztwie punktu x0.Prostą x = x0 nazywamy

• asymptotą lewowostronną funkcji f , jeżeli limx→x−0

f(x) = ±∞

• asymptotą prawostronną funkcji f , jeżeli limx→x+0

f(x) = ±∞

Definicja 20. Prostą y = ax+ b nazywamy asymptotą ukośną w minus nieskończo-ności funkcji f(x), jeżeli

limx→−∞

[f(x)− (ax+ b)] = 0.

Definicja 21. Prostą y = ax+ b nazywamy asymptotą ukośną w plus nieskończono-ści funkcji f(x), jeżeli

limx→+∞

[f(x)− (ax+ b)] = 0.

Twierdzenie 13.Definicja 22. Punktem izolowanym zbioru D nazywamy każdy punkt x0 ∈ D, dlaktórego istnieje sąsiedztwo S(x0 rozłączne ze zbiorem D.Definicja 23. Funkcję f : X → Y określoną w pewnym otoczeniu punktu x0 nazywamyciągłą w punkcie x0, jeżeli ma w tym punkcie granicę równa swojej wartości w tympunkcie, tzn. jeżeli

limx→x0

f(x) = f(x0)

(limx→x−0

f(x) = f(x0) = limx→x+0

f(x)

)

lub, gdy punkt x0 jest punktem izolowanym dziedziny funkcji f .

Definicja 24. Jeżelilimx→x−0

f(x) = f(x0),

to funkcję f nazywamy lewostronnie ciągłą w punkcie x0,a jeżeli

limx→x+0

f(x) = f(x0),

to funkcję f nazywamy prawostronnie ciągłą w punkcie x0.

6

Definicja 25. (nieciągłości I rodzaju)Mówimy, że punkt x0 jest punktem nieciągłości I rodzaju funkcji f , jeżeli funkcja niejest ciągła w tym punkcie oraz granice lewo- i prawostronna tej funkcji w punkcie x0 sąskończone.Definicja 26. (nieciągłości II rodzaju)Mówimy, że punkt x0 jest punktem nieciągłości II rodzaju funkcji f , jeżeli funkcja niejest ciągła w tym punkcie oraz jedna z granic lewo- lub prawostronna tej funkcji w punkciex0 jest nieskończona lub nie istnieje.Twierdzenie 14. Jeżeli dwie funkcje f i g są określone na pewnym otoczeniu punktu x0i obie są ciągłe w punkcie x0 oraz a ∈ R, to w tym punkcie są ciągłe także funkcje

a · f, f + g, f − g, f · g, f

g

przy czym ta ostatnia przy założeniu, że g(x) 6= 0.Twierdzenie 15. (o ciągłości funkcji złożonej)Jeżeli funkcja f(g) jest złożeniem funkcji g : X → Y oraz f : Y → Z, a ponadto funkcja gjest ciągła w punkcie x0, a funkcja f jest ciągła w punkcie g(x0), to funkcja f(g(x)) jestciągła w punkcie x0.Definicja 27. Funkcję nazywamy ciągłą w zbiorze A ⊂ X, jeżeli jest ciągła w każdympunkcie tego zbioru.Definicja 28. Funkcję nazywamy ciągłą w przedziale domkniętym [a, b], jeżeli jest ciągław każdym punkcie tego zbioru oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie ai lewostronnie ciągła w punkcie b.Definicja 29. Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcję tożsamościową x 7→ x, funkcjewykładnicze, funkcje trygonometryczne oraz wszystkie funkcje, które można z nich otrzy-mać za pomocą ograniczania dziedziny (obcinania), dodawania, odejmowania, mnożenia,dzielenia, składania i odwracania funkcji.Twierdzenie 16. Funkcje elementarne są ciągłe.W szczególności ciągłe są wielomiany, funkcje wymierne, funkcje wykładnicze, funkcje lo-garytmiczne, funkcje trygonometryczne, funkcje hiperboliczne, funkcje cyklometryczne.Twierdzenie 17. Funkcja ciągła w przedziale domkniętym osiąga w tym przedziale swojawartość najmniejszą i największą (w szczególności jest ograniczona).Twierdzenie 18. (o lokalnym zachowaniu znaku)Jeżeli funkcja w pewnym punkcie jest ciągła i dodatnia (ujemna), to jest również dodatnia(ujemna) w pewnym otoczeniu tego punktu.Twierdzenie 19. (własność Darboux)Funkcja ciągła w przedziale domkniętym [a, b] przyjmuje w tym przedziale każdą wartośćpośrednią między wartościami na końcach przedziału. Innymi słowy,

(f(a) = A ∧ f(b) = B) ⇒∧

M∈(A,B)

∨c∈(a,b)

f(c) = M.

7

Twierdzenie 20. Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b] oraz jej war-tości na krańcach tego przedziału f(a) i f(b) są różnych znaków, to istnieje taki punktc ∈ (a, b) (co najmniej jeden), że f(c) = 0.

8

Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistejDefinicja 30. Niech f będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na przedziale(a, b) i niech x0 oraz x będą dwoma różnymi punktami tego przedziału. Wyrażenie

f(x)− f(x0)x− x0

nazywamy ilorazem różnicowym odpowiadającym przyrostowi argumentu x− x0.

Definicja 31. Jeżeli istnieje granica ilorazu różnicowegof(x)− f(x0)

x− x0, gdy x → x0, to

granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f ′(x0),tzn.

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

.

Jeśli granica ta nie istnieje mówimy, ze funkcja f nie posiada pochodnej w punkcie x0.Definicja 32. O funkcji posiadającej pochodną w punkcie x mówimy, że jest różniczko-walna w tym punkcie.Definicja 33. Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie zbioru X, to funkcjęx 7→ f ′(x) nazywamy funkcją pochodną ( krótko, pochodną) funkcji f w zbiorze Xi oznaczamy f ′. Mówimy wówczas, że funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze X.Twierdzenie 21. Jeśli funkcja f posiada pochodną w punkcie x0, to jest w tym punkcieciągłą.Uwaga 3. Z ciągłości funkcji f w punkcie x0 nie wynika istnienie jej pochodnej w tympunkcie.Twierdzenie 22. Jeżeli funkcje f i g określone na pewnym przedziale (a, b) posiadają po-chodnew punkcie x oraz k ∈ R, to funkcje k · f , f + g, f · g oraz

f

gposiadają pochodne w punkcie

x oraz prawdziwe są wzory:

(k · f)′(x) = k · f ′(x)

(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + g′(x) · f(x)

(f

g

)′(x) =

f ′(x) · g(x)− g′(x) · f(x)[g(x)]2

9

Pochodne funkcji elementarnych

(a)′ = 0,

(xn)′ = n · xn−1, x ∈ R, n ∈ Z,

(xα)′ = α · xα−1, x > 0, α ∈ R,

(ax+ b)′ = a,

(√x)′ =

12√x,

(sinx)′ = cosx,

(cosx)′ = − sinx,

(tg x)′ =1

cos2 x,

(ctg x)′ = − 1sin2 x

,

(lnx)′ =1x

,

(ex)′ = ex,

(arcsinx)′ =1√

1− x2,

(arccosx)′ =−1√

1− x2,

( arctg x)′ =1

1 + x2,

( arcctg x)′ =−1

1 + x2.

10

Twierdzenie 23. (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli funkcja g jest różniczkowalna wpunkcie x0, a funkcja f jest różniczkowalna w punkcie u0 = g(x0), to funkcja złożonaf ◦ g = f(g) jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz jej pochodna określona jest wzorem:

[f(g(x0))]′ = f ′(u0) · g′(x0).

Twierdzenie 24. (o pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcja f jest ciągła i sciślemonotoniczna na przedziale (a, b) oraz ma pochodną różną od zera w punkcie x0 tego prze-działu, to funkcja odwrotna f−1 jest różniczkowalna w punkcie y = f(x0) oraz jej pochodnaokreślona jest wzorem:

(f−1)′(x0) =1

f ′(x0).

Definicja 34. Jeżeli pochodna f ′ funkcji f jest różniczkowalna w zbiorze X, to jej pochodnąnazywamy pochodną rzędu drugiego funkcji f i oznaczamy symbolem f ′′.Uwaga 4. Analogicznie (za pomocą indukcji matematycznej) określamy pochodne wyższychrzędów.Definicja 35. Niech funkcja f będzie różniczkowalna w pewnym otoczeniu danego punktux0, zaś ∆x 6= 0, niech oznacza dowolny przyrost argumentu x. Różniczką funkcji f wpunkcie x0 nazywamy wyrażenie

df(x0,∆x) = f ′(x0)∆x.

Uwaga 5.∆f(x0) = f(x0 + ∆x)− f(x0) ≈ df(x0,∆x) = f ′(x0) ·∆x.

Twierdzenie 25. (Rolle’a)Jeżeli

1. funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b],

2. funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b),

3. f(a) = f(b),

to istnieje (przynajmniej jeden) punkt c ∈ (a, b) taki, że f ′(c) = 0.

11

Twierdzenie 26. (Lagrange’a)Jeżeli

1. funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b],

2. funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a, b),

to istnieje (przynajmniej jeden) punkt c ∈ (a, b) taki, że f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Twierdzenie 27. (Wnioski z twierdzenia Lagrange’a)

1) Jeżeli f ′(x) = 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest stała w przedziale (a, b),

2) jeżeli funkcje f i g mają równe pochodne w przedziale (a, b), to funkcje te różnią się wtym przedziale co najwyżej o stałą,

3) jeżeli f ′(x) > 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest rosnąca w tym przedziale,

4) jeżeli f ′(x) < 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest malejąca w tym przedziale,

5) jeżeli f ′(x) ­ 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest niemalejąca w tym przedziale,

6) jeżeli f ′(x) ¬ 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest nierosnąca w tym przedziale.Twierdzenie 28. Jeżeli funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w przedziale (a, b), tojest ona rosnąca w tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy∧

x∈(a,b)f ′(x) ­ 0

i zbiór {x : f ′(x) = 0} nie zawiera przedziału.Twierdzenie 29. Jeżeli funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w przedziale (a, b), tojest ona malejąca w tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy∧

x∈(a,b)f ′(x) ¬ 0

i zbiór {x : f ′(x) = 0} nie zawiera przedziału.Twierdzenie 30. (Wzór Taylora) Jeżeli funkcja f ma ciągłą pochodną rzędu n w przedziale[a, b] i ciągłą pochodną rzędu (n+ 1) w przedziale (a, b), to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), że

f(b) = f(a) +f ′(a)

1!(b− a) +

f ′′(a)2!

(b− a)2 + . . .+f (n)(a)n!

(b− a)n +f (n+1)(c)(n+ 1)!

(b− a)n+1.

Ostatni składnik

Rn =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(b− a)n+1

nazywamy resztą w postaci Lagrange’a.

12

Gdy przyjmiemy a = 0 oraz b = x, to wzór Taylora przyjmuje postać

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)2!

x2 + . . .+f (n)(0)n!

xn +Rn(x).

i nosi nazwę wzoru Maclaurina.

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ . . .+

xn

n!+Rn(x), x ∈ R.

sinx =x

1!− x3

3!+ . . .+ (−1)k−1

x2k−1

(2k − 1)!+Rn(x), x ∈ R.

cosx = 1− x2

2!+x4

4!− . . .+ (−1)n +Rn(x), x ∈ R.

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ . . .+ (−1)n−1 · x

n

n+Rn(x), dla − 1 < x < 1.

(1 + x)α =(α1)x+

(α2)x2 . . .

(αn)xn +Rn(x), dla − 1 < x < 1.

11− x

= (1 + (−x))−1 = 1 + x+ x2 + . . .+ xn +Rn(x) dla − 1 < x < 1.

Definicja 36. Załóżmy teraz, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0.Mówimy, że funkcja f osiąga w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istniejesąsiedztwo S(x0) punktu x0 takie, że

∧x∈S(x0)

f(x0) ­ f(x)

∧x∈S(x0)

f(x0) ¬ f(x)

Gdy nierówności są ostre, to mówimy o maksimum (minimum) lokalnym właściwym.Twierdzenie 31. Fermata (warunek konieczny istnienia ekstremum)Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 i osiąga w tym punkcie ekstremum, tof ′(x0) = 0.Uwaga 6. Warunek konieczny nie jest jednak warunkiem wystarczającym, gdyż np. funkcjaf(x) = x3 w punkcie x0 = 0 ma pochodną równą zero, a nie ma ekstremum.Twierdzenie 32. (I warunek wystarczający istnienia ekstremum)Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 i różniczkowalna w sąsiedztwie S(x0, ε) punktu x0oraz f ′(x) < 0 dla x ∈ (x0 − ε, x0) i f ′(x) > 0 dla x ∈ (x0, x0 + ε), to funkcja f osiąga wpunkcie x0 minimum lokalne właściwe.Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 i różniczkowalna w sąsiedztwie S(x0, ε) punktu x0oraz f ′(x) > 0 dla x ∈ (x0 − ε, x0) i f ′(x) < 0 dla x ∈ (x0, x0 + ε), to funkcja f osiąga wpunkcie x0 maksimum lokalne właściwe.

13

Twierdzenie 33. (II warunek wystarczający istnienia ekstremum)Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0 oraz

1. f ′(x0) = 0,

2. f ′′(x0) 6= 0,

3. pochodna drugiego rzędu x0 jest ciągła w punkcie x0,

to funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne. Jest to maksimum, gdy f ′′(x0) < 0 , aminimum, gdy f ′′(x0) > 0 .Twierdzenie 34. (II warunek wystarczający istnienia ekstremum - uogólnienie)Jeżeli funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0 oraz

1. f ′(x0) = f ′′(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0,

2. f (n)(x0) 6= 0,

3. pochodna rzędu n jest ciągła w punkcie x0,

to funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne, gdy n jest liczbą parzystą. Jest to mak-simum, gdy f (n)(x0) < 0 , a minimum, gdy f (n)(x0) > 0.Gdy n jest liczbą nieparzystą, funkcja f nie osiąga ekstremum lokalnego w tym punkcie.Definicja 37. Niech zbiór A będzie podzbiorem dziedziny funkcji rzeczywistej f . Powiemy,że funkcja f osiąga maksimum (minimum) absolutne w punkcie x0 ∈ A, jeżeli

∧x∈A

f(x0) ­ f(x)

(∧x∈A

f(x0) ¬ f(x)

).

Definicja 38. Mówimy, że krzywa y = f(x) jest wypukła w punkcie x0, jeżeli istniejetakie sąsiedztwo S(x0) , że dla każdego x ∈ S(x0) punkty tej krzywej leżą powyżej stycznejpoprowadzonej w punkcie x0 .Definicja 39. Mówimy, że krzywa y = f(x) jest wklęsła w punkcie x0, jeżeli istniejetakie sąsiedztwo S(x0) , że dla każdego x ∈ S(x0) punkty tej krzywej leżą poniżej stycznejpoprowadzonej w punkcie x0 .Twierdzenie 35. (warunek wystarczający)Jeżeli pochodna drugiego rzędu funkcji f jest dodatnia (ujemna) w przedziale (a, b) , tokrzywa y = f(x) jest wypukła (wklęsła) w tym przedziale.Definicja 40. Punkt x0 nazywamy punktem przegięcia krzywej f , jeśli istnieje takiesąsiedztwo S(x0, ε) punktu x0, że krzywa jest wypukła (wklęsła) dla x ∈ (x0 − ε, x0) orazwklęsła (wypukła) dla x ∈ (x0, x0 + ε). Inaczej punkt, w którym styczna przechodzi z nadkrzywej pod nią, lub odwrotnie.Twierdzenie 36. (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli krzywa f ma wpunkcie x0 punkt przegięcia i istnieje ciągła pochodna drugiego rzędu funkcji f w pewnymotoczeniu punktu x0 , to f ′′(x0) = 0 .

14

Uwaga 7. Warunek konieczny nie jest warunkiem wystarczającym.Twierdzenie 37. (I warunek wystarczający)Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w otoczeniu U(x0, ε) i dwukrotnie różniczkowalna wsąsiedztwie S(x0, ε) oraz f ′′(x0) > 0 (f ′′(x0) < 0) dla x ∈ (x0 − ε, x0) oraz f ′′(x0) <0 (f ′′(x0) > 0) dla x ∈ (x0, x0 + ε) , to punkt P0 = (x0, f(x0)) jest punktem przegięciakrzywej y = f(x).Twierdzenie 38. (REGUŁA DE L’HOSPITALA) Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalnew pewnym sąsiedztwie S(x0) punktu x0, g(x) 6= 0 dla S(x0) oraz

limx→x0

f(x) = limx→x0

g(x) = 0

i istnieje granica limx→x0

f ′(x)g′(x)

(właściwa lub nie),

to istnieje również granica limx→x0

f(x)g(x)

przy czym

limx→x0

f(x)g(x)

= limx→x0

f ′(x)g′(x)

.

Uwaga 8. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi.

Uwaga 9. Modyfikując odpowiednio założenia twierdzenie pozostaje prawdziwe dla symbolu∞∞

oraz w przypadku granic jednostronnych przy x→∞ i x→ −∞.

Aby zastosować regułę de l’Hospitala do wyrażeń nieoznaczonych typu ∞ − ∞, ∞ · 0stosujemy odpowiednio tożsamości:

f(x) · g(x) = f(x) · 11

g(x)

lub f(x) · g(x) =11

f(x)

· g(x).

f(x)− g(x) =11

f(x)

− 11

g(x)

=

1g(x)

1f(x) · g(x)

−

1f(x)

1f(x) · g(x)

.

15

Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

Definicja 41. Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym przedziale I. Funkcją pier-wotną funkcji f nazywamy każdą funkcję F , która jest różniczkowalna w przedziale I orazspełnia warunek ∧

x∈IF ′(x) = f(x).

Twierdzenie 39. Jeżeli funkcja F (x) jest w pewnym przedziale funkcją pierwotną funkcjif(x), to każda funkcja postaci F (x)+C, gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą, jest równieżfunkcją pierwotną funkcji f(x). Co więcej, wszystkie funkcje pierwotne funkcji f(x) majątę postać, to znaczy różnią się co najwyżej o stałą.Definicja 42. Wyrażenie F (x)+C, gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą nazywamy całkąnieoznaczoną funkcji f(x) i oznaczamy symbolem∫

f(x)dx.

Funkcję f(x) nazywamy funkcją podcałkową, a iloczyn f(x)dx wyrażeniem podcałkowym.Twierdzenie 40. 1. Jeżeli funkcja f(x) posiada funkcję pierwotną na przedziale I, to(∫

f(x)dx)′

= f(x) dla x ∈ I.

2. Jeżeli funkcja f(x) posiada ciągłą pochodną na przedziale I, to∫f ′(x)dx = f(x) + C dla x ∈ I.

Twierdzenie 41. Każda funkcja ciągła na przedziale I, posiada funkcję pierwotną na tymprzedziale.Twierdzenie 42. (o liniowości całki nieoznaczonej Jeżeli funkcje f oraz g posiadają funk-cje pierwotne na pewnym przedziale I oraz k jest dowolną liczbą rzeczywistą, to∫

[f(x) + g(x)]dx =∫f(x)dx+

∫g(x)dx,∫

k · f(x)dx = k ·∫f(x)dx.

(Sformułowanie równoważne) Jeżeli funkcje f oraz g posiadają funkcje pierwotne napewnym przedziale I oraz a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to∫

[a · f(x) + b · g(x)]dx = a ·∫f(x)dx+ b ·

∫g(x)dx.

16

Wzory podstawowe

∫xαdx =

1

1 + αx1+α + C, gdy α 6= −1

ln |x|+ C, gdy α = −1∫sinxdx = − cosx+ C

∫cosxdx = sinx+ C

∫exdx = ex + C

∫axdx =

ax

ln a+ C, a > 0, a 6= 1

∫dx

cos2 x= tg x+ C, cosx 6= 0

∫dx

sin2 x= − ctg x+ C, sinx 6= 0

∫dx√k − x2

= arcsin(x√k

)+ C, k > 0

∫dx√x2 + k

= ln∣∣∣x+

√x2 + k

∣∣∣+ C

∫dx

k + x2=

1√k

arctgx√k

+ C, k > 0

Dwa bardzo użyteczne wzory∫f ′(x)dxf(x)

= ln |f(x)|+ C

∫f ′(x)dx√f(x)

= 2√f(x) + C.

Twierdzenie 43. (o całkowaniu przez części)Jeżeli funkcje f i g posiadają ciągłe pochodne w pewnym przedziale I, to∫

f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−∫f ′(x)g(x)dx.

17

Twierdzenie 44. (o całkowaniu przez podstawienie)Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b]. Jeśli funkcja x = ϕ(t) ma ciągłą po-chodną w przedziale [α, β] i zbiór jej wartości zawarty jest w przedziale [a, b], to zachodziwzór ∫

f(x)dx =∫f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt.

Twierdzenie 45. Każdą funkcję wymierną niewłaściwąP (x)Q(x)

można przedstawić w postaci

sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej

P (x)Q(x)

= W (x) +R(x)Q(x)

.

Wielomian R(x) jest resztą z dzielenia wielomianu P (x) przez wielomian Q(x).Definicja 43. Ułamki proste, to funkcje wymierne postaci

A

(x− a)koraz

Bx+ C

(ax2 + bx+ c)m,

gdzie A,B,C, a, b, c ∈ R, k,m ∈ N , a przy tym wyróżnik ∆ = b2 − 4ac trójmianukwadratowego ax2+bx+c jest ujemny (mówiąc prościej, trójmian ten nie ma pierwiastkówrzeczywistych).Twierdzenie 46. Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić w postaci skoń-czonej sumy ułamków prostych.Uwaga 10. Liczba i postać ułamków prostych w rozkładzie danej funkcji wymiernej zależąod wielomianu występującego w mianowniku. Aby rozłożyć funkcję wymierną na ułamkiproste najpierw rozkładamy mianownik na czynniki postaci

(x− a)k oraz (ax2 + bx+ c)m k,m ∈ N

(w tym drugim przypadku musi zachodzić b2−4ac < 0). Następnie tworzymy sumę ułamkówprostych wg schematu

1. każdemu czynnikowi (x− a)k odpowiada k ułamków prostych postaci

A1(x− a)

,A2

(x− a)2, · · · , Ak

(x− a)k,

2. każdemu czynnikowi (ax2+bx+c)m odpowiada m ułamków prostych postaciB1x+ C1ax2 + bx+ c

,B2x+ C2

(ax2 + bx+ c)2, · · · , Bmx+ Cm

(ax2 + bx+ c)m.

Całkowanie ułamków prostych I rodzaju

Ułamki proste pierwszego rodzaju, czyli funkcje postaciA

(x− a)kcałkujemy przez podsta-

wienie x− a = t, wówczas dx = dt.

18

Obliczanie całek typu∫

A

ax2 + cdx, ac > 0

Stosujemy wzór ∫1

x2 + kdx =

1√k

arctgx√k

+ C, k > 0,

Obliczanie całek typu∫

A

ax2 + bx+ cdx, b2 − 4ac < 0

W tym przypadku należy

1. zapisać mianownik w postaci kanonicznej a(x− p)2 + q,

2. wyłączyć stałą1a

przed całkę (gdy a = 1 pomijamy ten punkt),

3. podstawić x− p = t.

Całkowanie funkcji typuAx+B

ax2 + bx+ c, b2 − 4ac < 0.

Funkcję typuAx+B

ax2 + bx+ c(b2 − 4ac < 0) zapisujemy w postaci

α(2ax+ b) + β

ax2 + bx+ c= α · 2ax+ b

ax2 + bx+ c+ β · 1

ax2 + bx+ c

Wówczas ∫α(2ax+ b) + β

ax2 + bx+ cdx = α ·

∫2ax+ b

ax2 + bx+ cdx︸ ︷︷ ︸

I1

+β ·∫

dx

ax2 + bx+ c︸ ︷︷ ︸I2

Całkę I1 obliczamy korzystając ze wzoru∫f ′(x)f(x)

= ln |f(x)|+C, a całkę I2 jak całkę typu∫A

ax2 + bx+ cdx .

Całkowanie funkcji typu1√

ax2 + bx+ c

Funkcje typu1√

ax2 + bx+ ccałkujemy korzystając ze wzorów

∫dx√x2 + k

= ln |x+√x2 + k|+ C (1)

lub ∫dx√k − x2

= arcsinx√k

+ C , k > 0 . (2)

Postępujemy według następującego schematu:

19

1. zapisujemy funkcję ax2 + bx+ c w postaci kanonicznej a(x− p)2 + q,

2. podstawiamy x− p = t,

3. otrzymaną funkcję całkujemy stosując wzór (??), gdy a > 0lub wzór (??), gdy a < 0.

Całkowanie funkcji typuAx+B√ax2 + bx+ c

Funkcję typuAx+B√ax2 + bx+ c

zapisujemy w postaci

α(2ax+ b) + β√ax2 + bx+ c

= α · 2ax+ b√ax2 + bx+ c

+ β · 1√ax2 + bx+ c

Wówczas ∫α(2ax+ b) + β√ax2 + bx+ c

dx = α ·∫

2ax+ b√ax2 + bx+ c

dx︸ ︷︷ ︸I1

+β ·∫

dx√ax2 + bx+ c︸ ︷︷ ︸

I2

Całkę I1 obliczamy korzystając ze wzoru∫ f ′(x)dx√

f(x)= 2

√f(x) + C, a całkę I2 ze wzoru

(??) lub (??).

20

CAŁKA OZNACZONADefinicja 44. Rozważmy funkcję f(x) określoną i ograniczoną na przedziale [a, b]. Po-dzielmy przedział [a, b] na n podprzedziałów punktami x0, x1, . . . , xn takimi, że

a = x0 < x1 < . . . < xn = b.

Oznaczmy długość każdego z podprzedziałów [xi−1, xi] przez ∆xi

∆xi = xi − xi−1, i = 1, . . . , n.

Największą długość ∆xi przedziału będziemy oznaczać przez λ i nazywać średnicą podziałuodcinka [a, b]. W każdym z podprzedziałów [xi−1, xi] wybieramy dowolny punkt xi zwanypunktem pośrednim. Następnie obliczamy wartość f(xi) funkcji f(x) w każdym z punktówxi oraz tworzymy sumę

Sn = f(x1) ·∆x1 + f(x2) ·∆x2 + . . . f(xn) ·∆xn =n∑i=1

f(xi) ·∆xi.

zwaną n-tą sumą częściową. Jeżeli istnieje skończona granica ciągu (Sn), gdy ilość podprze-działów n dąży do nieskończoności i λ → 0, a przy tym granica ta nie zależy od sposobupodziału odcinka [a, b] punktami x0, x1, . . . , xn i wyboru punktów pośrednich xi,to granicę tę nazywamy całką oznaczoną Riemanna (matematyk niemiecki, (1826-1866))funkcji f(x) w przedziale [a, b] i oznaczamy symbolem

b∫a

f(x)dx.

Liczby a i b nazywamy, odpowiednio, dolną i górną granicą całkowania.Funkcję f(x) nazywamy funkcją podcałkową, a przedział [a, b] przedziałem całkowania.Definicja 45. Funkcję f(x) nazywamy całkowalną w sensie Riemanna w przedziale[a, b], gdy istnieje jej całka oznaczona w przedziale [a, b].Uwaga 11. Dodatkowo, jeżeli b < a, to przyjmujemy

a∫b

f(x)dx = −b∫a

f(x)dx

oraza∫a

f(x)dx = 0.

Twierdzenie 47. Każda funkcja ciągła w przedziale [a, b] jest w tym przedziale całkowalna.

21

Twierdzenie 48. Każda funkcja ograniczona w przedziale [a, b] i mająca w nim tylkoskończoną liczbę punktów nieciągłości jest w tym przedziale całkowalna.Twierdzenie 49. Każda funkcja monotoniczna i ograniczona w przedziale [a, b] jest w tymprzedziale całkowalna.Twierdzenie 50. (o liniowości całki oznaczonej) Jeżeli funkcje f(x) oraz g(x) są całko-walne w przedziale [a, b], (a < b) oraz k ∈ R, to prawdziwe są równości

b∫a

[f(x)± g(x)] dx =b∫a

f(x)dx±b∫a

g(x)dx,

b∫a

[k · f(x)]dx = k ·b∫a

f(x)dx.

Twierdzenie 51. (o addytywności całki względem przedziału całkowania)Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a, b] oraz w przedziałach [a, c]i [c, b] dla dowolnego c ∈ (a, b), to

b∫a

f(x)dx =c∫a

f(x)dx+b∫c

f(x)dx.

Twierdzenie 52. Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a, b],(a < b) i nieujemna w tym przedziale, to

b∫a

f(x)dx ­ 0.

Twierdzenie 53. Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a, b],(a < b) i dodatnia w tym przedziale, to

b∫a

f(x)dx > 0.

Całka oznaczona – własności Twierdzenie Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne w prze-dziale [a, b], (a < b) i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi nierówność f(x) ¬ g(x),to

b∫a

f(x) ¬b∫a

g(x).

22

Twierdzenie 54. (o wartości średniej dla całki oznaczonej)Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a, b], (a < b) i w całym przedziale za-chodzi równość m ¬ f(x) ¬M , to istnieje liczba m < m0 < M taka, że

b∫a

f(x) = m0(b− a).

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a, b], a < b i w całym przedziale zachodzirówność m ¬ f(x) ¬M , to

m(b− a) ¬∫ b

af(x)dx ¬M(b− a).

Co więcej, istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że∫ b

af(x)dx = f(c)(b− a).

Twierdzenie 55. ( Newtona-Leibniza)Jeżeli funkcja F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f ciągłej na przedziale [a, b], to

b∫a

f(x)dx = F (b)− F (a).

Uwaga 12. Liczbę F (b)− F (a) zapisujemy krócej F (x)|ba.Przy obliczaniu całek oznaczonych stosujemy więc zapis

b∫a

f(x)dx = F (x)ba

= F (b)− F (a).

Twierdzenie 56. ( o całkowaniu przez części dla całki oznaczonej)Jeżeli funkcje f(x) i g(x) posiadają ciągłe pochodne f ′(x) i g′(x) w przedziale [a, b], to

b∫a

f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)ba−

b∫a

f ′(x)g(x)dx.

Twierdzenie 57. ( o całkowaniu przez podstawienie dla całki oznaczonej)Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b]. Jeśli funkcja x = ϕ(t) ma ciągłą po-chodną w przedziale [α, β] przy czym ϕ(α) = a, ϕ(β) = b i zbiór jej wartości zawarty jestw przedziale [a, b], to zachodzi wzór

b∫a

f(x)dx =

β∫α

f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt.

23

Twierdzenie 58. Jeżeli funkcja f(x) jest nieparzysta i całkowalna na przedziale [−a, a],to

a∫−a

f(x)dx = 0.

Twierdzenie 59. Jeżeli funkcja f(x) jest parzysta i całkowalna na przedziale [−a, a], to

a∫−a

f(x)dx = 2a∫0

f(x)dx.

Rozważmy funkcję f(x) ciągłą na przedziale domkniętym [a, b] i przyjmującą wartości nie-ujemne na tym przedziale. Pole obszaru D (zwanego trapezem krzywoliniowym) ograni-czonego prostymi x = a, x = b, y = 0 (osią Ox) i krzywą y = f(x) jest liczbowo równecałce oznaczonej

|D| =b∫a

f(x)dx.

Jeżeli funkcja f(x) ciągła na przedziale domkniętym [a, b] przyjmuje w tym przedzialewartości niedodatnie, to pole obszaru D ograniczonego prostymi x = a, x = b, y = 0 (osiąOx)i krzywą y = f(x) jest równe

|D| = −b∫a

f(x)dx.

24

CAŁKA NIEWŁAŚCIWADefinicja 46. Rozważmy funkcję f(x) określoną na przedziale [a,∞) i całkowalną w sensieRiemanna w każdym przedziale domkniętym [a, b] ⊂ [a,∞),(b > a).Jeśli istnieje granica

limb→∞

b∫a

f(x)dx,

to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą Riemana I rodzaju funkcji f na przedziale [a,∞)

i oznaczamy symbolem∞∫af(x)dx.

Zatem∞∫a

f(x)dx = limb→∞

b∫a

f(x)dx.

W przypadku, gdy granica limb→∞

b∫af(x)dx istnieje mówmy, że całka jest zbieżna,

a funkcję f(x) nazywamy całkowalną w przedziale nieskończonym [a,∞).Gdy granica nie istnieje lub jest niewłaściwa, mówimy, że całka jest rozbieżna.Definicja 47. Rozważmy funkcję f(x) określoną na przedziale (−∞, b] i całkowalną wsensie Riemanna w każdym przedziale domkniętym [a, b] ⊂ (−∞, b], (b > a).Jeśli istnieje granica

lima→−∞

b∫a

f(x)dx,

to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą Riemana I rodzaju funkcji f na przedziale

(−∞, b] i oznaczamy symbolemb∫−∞

f(x)dx.

Zatemb∫

−∞

f(x)dx = lima→−∞

b∫a

f(x)dx.

Definicja 48. Rozważmy funkcję f(x) określoną na przedziale (−∞,∞) i całkowalną wsensie Riemanna w każdym przedziale domkniętym [a, b], (b > a).Całkę niewłaściwą funkcji f(x) na przedziale (−∞,∞) definiujemy za pomocą równości

∞∫−∞

f(x)dx =a∫

−∞

f(x)dx+∞∫a

f(x)dx.

dla dowolnego a ∈ R, zakładając, że obie całki po prawej stronie równości istnieją.Uwaga 13. Powyższa definicja nie zależy od wyboru a ∈ R.

25

ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁEKTwierdzenie 60. Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są ciągłe w przedziale [a, b], to pole obszaruD ograniczonego liniami y = f(x), y = g(x), x = a oraz x = b określone jest wzorem

|D| =b∫a

|g(x)− f(x)|dx.

W szczególności, gdy f(x) ¬ g(x) dla x ∈ [a, b], to pole obszaru D jest równe

|D| =b∫a

[g(x)− f(x)]dx.

Twierdzenie 61. Jeżeli funkcja f(x) ma ciągłą pochodną w przedziale [a, b], to długośćłuku krzywej y = f(x) dla x ∈ [a, b] określona jest wzorem

|L| =b∫a

√1 + [f ′(x)]2dx.

26

Twierdzenie 62. Objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wokół osi Ox krzywej y = f(x)w przedziale [a, b] jest równa

|V | = π

b∫a

[f(x)]2 dx.

Twierdzenie 63. Pole |S| powierzchni obrotowej powstałej w wyniku obrotu wokół osi Oxkrzywej y = f(x) w przedziale [a, b] jest równe

|S| = 2πb∫a

|f(x)|√

1 + [f ′(x)]2dx.

27