Embed Size (px)
Citation preview
ANALIZA MATEMATYCZNA 2
Maciej Burnecki
strona główna
Rysunki zostały wykonane za pomocą oprogramowania GeoGebra, na które zwrocił moją uwagę p. dr Prze-mysław Kajetanowicz.
Dziękuję p. dr. Zbigniewowi Skoczylasowi za przejrzenie tekstu i liczne uwagi, dzięki którym redakcja jest owiele lepsza.
Spis treści
I Zadania 2
1 Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju 2
2 Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 4
3 Szeregi liczbowe 4
4 Szeregi potęgowe 5
5 Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych 6
6 Podstawy rachunku różniczkowegofunkcji dwóch i trzech zmiennych 6
7 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych 7
8 Ogólne własności całek podwójnych 8
9 Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych 8
10 Ogólne własności całek potrójnych 9
11 Współrzędne walcowe 9
12 Współrzędne sferyczne 9
13 Przekształcenie Laplace’a 10
14 Przekształcenie Fouriera 10
15 Powtórzenie 10
16 Egzaminy 11
II Odpowiedzi, wskazówki 14
1
Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju 14
Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 15
Szeregi liczbowe 15
Szeregi potęgowe 16
Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych 16
Podstawy rachunku różniczkowegofunkcji dwóch i trzech zmiennych 17
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych 18
Ogólne własności całek podwójnych 18
Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych 19
Ogólne własności całek potrójnych 19
Współrzędne walcowe 19
Współrzędne sferyczne 19
Przekształcenie Laplace’a 20
Przekształcenie Fouriera 20
Powtórzenie 20
Egzaminy 21
Część I
Zadania1 Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju
1. Korzystając z kryterium porównawczego, zbadaj zbieżność całki
(a)
∞∫1
2 + cosx
x32
dx,
(b)
∞∫0
x2 arc tg x√1 + x7
dx,
(c)
∞∫1
dx√x3 + 2
π arc tg x2,
(d)
∞∫2
cos π2x
x+ sinx2dx.
2. Korzystając z kryterium ilorazowego, zbadaj zbieżność całki
2
(a)
∞∫1
sin418√xdx,
(b)
∞∫1
2− sin 1x3√x2
dx,
(c)
∞∫1
25x8 − 9x2 + 3x7 − x2 + 1
dx.
(d)
∞∫0
1000x
(2x + 1)10dx
(e)
∞∫1
ln(1 + 1
x
)x
dx.
3. Zbadaj zbieżność całki
(a)
∞∫1
√x sin
1xdx,
(b)
∞∫1
e1x − 1√x
dx.
4. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną całki
(a)
∞∫0
3 cos(4x)− 2 sin(x6)
x2 − x+ 1dx,
(b)
∞∫0
x2 − 5 arc tg x√x5 + cosx+ 1
dx,
(c)
∞∫0
sinxx2
dx.
5. Oblicz całkę i jej wartość główną, o ile któraś z tych wielkości istnieje:
(a)
∞∫−∞
dx
1 + x2,
(b)
∞∫−∞
e−|x| dx,
(c)
∞∫−∞
x sinx dx,
(d)
∞∫−∞
x cosx dx.
3
2 Całki niewłaściwe drugiego rodzaju
1. Dwoma sposobami, za pomocą kryterium porównawczego oraz ilorazowego, zbadaj zbieżność całki
(a)
π2∫0
dx
cosx,
(b)
1∫0
dx
sin (x4),
(c)
1∫0
dx
sin√x.
2. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną całki
(a)
π∫0
x sin1xdx,
(b)
1∫0
cos 1xx arc tg x
dx.
3. Oblicz całkę i jej wartość główną, o ile któraś z tych wielkości istnieje:
(a)
1∫−1
dx
x,
(b)
1∫−1
dx
x2,
(c)
1∫−1
dx3√x2.
3 Szeregi liczbowe
1. Wykorzystując warunek konieczny zbieżności, wykaż rozbieżność szeregu
(a)∞∑n=1
arc tg narc cos 1n
,
(b)∞∑n=2
(n
1− n
)n.
2. Korzystając z kryterium d’Alemberta, zbadaj zbieżność szeregu
(a)∞∑n=2
(−1)nn10
10n,
(b)∞∑n=1
(−1)n(2n)!
6n(n!)2,
(c)∞∑n=1
n sin13n.
4
3. Korzystając z kryterium Cauchy’ego, zbadaj zbieżność szeregu
(a)∞∑n=1
(−1)n
(arctg(2n + 1))n,
(b)∞∑n=1
−3n + 7n
2n + 5n.
4. Zbadaj zbieżność szeregu
(a)∞∑n=1
(−1)nn√
2n
,
(b)∞∑n=1
cos(nπ) tg1n
,
(c)∞∑n=1
(n
n+ 1
)n22 n,
(d)∞∑n=1
n! (−2)n
πn,
(e)∞∑n=1
15n
(n+ 2n
)n2.
4 Szeregi potęgowe
1. Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego
(a)∞∑n=1
(x+ 2)n
2n,
(b)∞∑n=1
n
6nxn,
(c)∞∑n=1
(6− 2x)n√n+ 1
,
(d)∞∑n=1
(−4x− 8)n
n 8n,
(e)∞∑n=1
n(2− 4x)n.
2. Dla zadanej funkcji f wyznacz szereg Maclaurina, przedział jego zbieżności oraz wzór na n-ty współczynnikw tym rozwinięciu, jeśli
(a) f(x) =4xx− 4
,
(b) f(x) =2x
16 + x4,
(c) f(x) = x3 ln(
1− 14x2),
(d) f(x) = x2e−5x3.
3. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych, oblicz
5
(a) f (4)(0) dla f(x) = x2 cos(2x),
(b) f (12)(0) dla f(x) = x2 sin(3x),
(c) f (5)(0) dla f(x) =x3
1 + 4x.
4. Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregu potęgowego, oblicz sumy szeregu
(a)∞∑n=0
3n+ 43n
,
(b)∞∑n=1
n2n
3n,
(c)∞∑n=0
(−1)n
(n+ 2)5n,
(d)∞∑n=1
1n(n+ 3)2n
.
5 Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych
1. Niech x, y, z oznaczają zmienne rzeczywiste. Wyznacz dziedzinę D naturalną funkcji f , opisać zadanąpoziomicę oraz określ kształt pozostałych poziomic, jeśli
(a) f(x, y) = e1/(x2+y2−3), poziomica f(x, y) = e,
(b) f(x, y, z) =x2 + y2 + z2
x2 + y2 + z2 − 0, 5, poziomica f(x, y, z) = 2.
2. Zbadaj istnienie i ewentualnie oblicz lim(x,y,z)→(0,0,0)
2−√
4− x2 − y2 − z2x2 + y2 + z2
.
3. Wyznacz zbiór A punktów ciągłości funkcji f : Rn → R, określonej wzorami
(a) f(x, y) =
{xy, gdy y ¬ x2
2x3 − 1, gdy x2 < y,
(b) f(x, y) =
{arc tg(xy), gdy |xy| < 1
x, gdy 1 ¬ |xy|,
(c) f(x, y) =
{cos(x− y), gdy |x− y| < π
4
y, gdy π4 ¬ |x− y|,
(d) f(x, y, z) =
{z−7
x2+y2+z2−25 , gdy x2 + y2 + z2 6= 2512 , gdy x2 + y2 + z2 = 25.
6 Podstawy rachunku różniczkowegofunkcji dwóch i trzech zmiennych
1. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji f(x, y) = sin(xy3) +x√y
w punkcie (π, 1).
2. Dla funkcji f(x, y, z) = x2 ln(y + 2z) oblicz∂4f
∂x2∂z∂y(7, 1, 0).
6
3. Sprawdź, czy spełniony jest warunek wystarczający dla istnienia płaszczyzny stycznej do wykresu funkcjif w punkcie P0 = (x0, y0, z0), a następnie wyznacz równanie tej płaszczyzny, jeśli
(a) f(x, y) = tg2(x+ y2), (x0, y0) =(
0,√π
2
),
(b) f(x, y) = ln(x+ y2), (x0, y0) = (0, e),
(c) f(x, y) =ln y
arc cosx, (x0, y0) =
(12,√
e),
(d) f(x, y) = 3y−4x, (x0, y0) = (1, 4),
(e) f(x, y) = 4 arc tg(2xy2
), (x0, y0) =
(14,√
2)
.
4. Wyznacz kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie P0, jeśli
(a) f(x, y) = 2x−y, P0 =(
1ln 4
,1
ln 2
),
(b) f(x, y, z) = sin (x√y) + arc tg z, P0 =
(π
4,
169, 1)
.
5. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P0 i w kierunku wektora v, jeśli
(a) f(x, y) = x sin (y2 + x3), P0 =(− 3√π, 0),v =
(1π,
√1− 1
π2
),
(b) f(x, y, z) = x sin(y + z), P0 =(
1,π
4,π
4
),v =
(1,−1,
√2).
6. Za pomocą różniczki funkcji dwóch zmiennych podaj przybliżoną wartość wyrażenia
(a)√
1, 002 0, 9994,
(b) arc tg0, 01 + 0, 072
1− 0, 0007.
7. Oszacuj, o ile mogliśmy się pomylić obliczając pole powierzchni całkowitej ścian prostopadłościanu, jeślikrawędzie mierzyliśmy z dokładnością 0,1 mm i otrzymaliśmy wyniki 10.0 mm, 20.0 mm, 30.0 mm.
7 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
1. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji
(a) f(x, y) = −4x3 − 3xy2 + 12xy,
(b) f(x, y) = (x2 + 2y2) e−y,
(c*) f(x, y) =(x2 − 2y3 + 3y2
)e−x,
(d*) f(x, y) = xn + yn − nxy, gdzie n 2 jest ustaloną liczbą naturalną.
2. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f na zbiorze D, jeśli
(a) f(x, y) = y2x+ 2yx+ x2 − 2x,D = [1, 2]× [−2, 0],
(b) f(x, y) = (x+ y2)√
ex, D = [−3,−1]× [−1, 1],
(c) f(x, y) = x2 − x+ y2 +14, D = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| ¬ 1}.
(d) f(x, y) = 3(x− 2)y,D = {(x, y) ∈ R2 : x2 − 4x+ y2 ¬ 0}.
3. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0, jeśli
(a) f(x, y) = 2x2 − y2, g(x, y) = x− y − 1,
(b) f(x, y) = x2 − ln(x4y2
), g(x, y) = xy − 1.
7
8 Ogólne własności całek podwójnych
1. Zmień kolejność całkowania w całce iterowanej
(a)
2∫1
dy
y2∫2−y
f(x, y) dx,
(b)
1∫−1
dx
x2∫−x2
f(x, y) dy.
Sporządź rysunek.
2. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach
(a) y2 = −5x, y = −x,(b) y = −1, y2 = 4x, xy = −2,(c) xy = 10, x+ y + 7 = 0,
(d) y = ex−1, y =1x, x = 2,
(e) y = sinx, y =2π|x|,
(f) y = 3x, y = 2x+ 1,(g) y = ex, y = (e− 1)x+ 1.
Sporządź rysunek.
3. Oblicz masę obszaru D o gęstości powierzchniowej σ, jeśli
(a) D ={
(x, y) ∈ R2 : −π3¬ x ¬ −π
4, sinx ¬ y ¬ 0
}, σ(x, y) = −x,
(b) D jest ograniczony przez krzywe xy = 3, x+ y − 4 = 0, a σ(x, y) = y.
Na płaszczyźnie zaznacz obszar D.
9 Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych
1. Wprowadzając współrzędne biegunowe, oblicz
(a)∫ ∫D
y dxdy, jeśli D = {(x, y) ∈ R2 : y ¬√
33x, x2 + y2 ¬ 9},
(b)∫ ∫D
3x2+y2 dx dy, jeśli D =
{(x, y) ∈ R2 : x 0, y ¬ 0, x2 + y2 ¬ 4
},
(c)∫ ∫D
(x2 + y2
)dx dy, jeśli D =
{(x, y) ∈ R2 :
√3 x ¬ y ¬ 0, x2 + y2 ¬ 4
}.
Obszar D zaznacz na płaszczyźnie.
2. Wprowadzając współrzędne biegunowe, oblicz masę obszaru D ⊆ R2 o gęstości powierzchniowej σ(x, y),jeśli D jest ograniczony krzywymi
(a) y = 0, y =√
3 x, x =√
1− y2, x =√
9− y2, a σ(x, y) =√x2 + y2,
(b) x = 0, y = −√
33x, y = −
√4− x2, y = −
√16− y2, a σ(x, y) = x2 + y2,
(c) x = 0, y =√
3 x, y =√
4− x2, a σ(x, y) = x.
Obszar D zaznacz na płaszczyźnie.
8
10 Ogólne własności całek potrójnych
1. Zmień kolejność całkowania na dzdydx oraz dzdxdy w całce
(a)
2∫0
dx
0∫−2+x
dy
4−2x+2y∫0
f(x, y, z) dz,
(b)
0∫−2
dx
2+x∫0
dy
3+ 32x−32y∫
0
f(x, y, z) dz,
(c)
1∫0
dy
4−4y∫0
dz
1−y− 14 z∫0
f(x, y, z) dx,
(d)
4∫0
dy
4−y∫0
dz
0∫−1+ 14y+
14 z
f(x, y, z) dx.
Sporządź rysunek obszaru całkowania.
2. Oblicz objętość obszaru w przestrzeni, ograniczonego przez powierzchnie
(a) z = 2, z = 8, x = 5− y2, x = 3 + y2,
(b) x = 0, y = 2, y = 2x, x+ y + z = 0, 2x+ y − z = 0.
Sporządź rysunek.
11 Współrzędne walcowe
1. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz objętość obszaru U ⊆ R3, ograniczonego powierzchniami
(a) x2 + y2 − z = 0,√x2 + y2 − z + 2 = 0,
(b) x2 + y2 + z = 0,√x2 + y2 − z − 6 = 0.
Sporządź rysunek.
2. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, o gęstości objętościowejmasy γ, jeśli
(a) γ(x, y, z) =√x2 + y2, a obszar U jest wyznaczony przez powierzchnie o równaniach
5√x2 + y2 + z = 0, z + 5 = 0,
(b) γ(x, y, z) = x2 + y2, a obszar U jest wyznaczony przez powierzchnie o równaniachx2 + y2 − z + 1 = 0, 2x2 + 2y2 − z = 0.
Sporządź rysunek.
12 Współrzędne sferyczne
1. Wprowadzając współrzędne sferyczne, oblicz objętość obszaru U ⊆ R3, ograniczonego powierzchniami
(a)√
3 z −√x2 + y2 = 0, z −
√9− x2 − y2 = 0,
(b)√x2 + y2 − z = 0,
√9− x2 − y2 − z = 0,
√4− x2 − y2 − z = 0.
naszkicuj obszar całkowania.
9
2. Wprowadzając współrzędne sferyczne, oblicz masę kuli
K ={
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ¬ 14
}, o gęstości objętościowej masy γ(x, y, z) = z +
12
.
3. Oblicz masę obszaru U ⊆ R3, wyciętego z pierścienia kulistego P = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 ¬ x2+ y2+ z2 ¬ 4}przez stożek S = {(x, y, z) ∈ R3 : z =
√3√x2 + y2}, jeśli gęstość objętościowa masy
γ(x, y, z) = 5(x2 + y2 + z2).
13 Przekształcenie Laplace’a
1. Niech a > 0. Wyznacz transformatę Laplace’a funkcji
(a) f(t) ={
1 dla 0 ¬ t < a0 dla a ¬ t,
(b) f(t) ={t dla 0 ¬ t < a0 dla a ¬ t,
(c) f(t) =
t dla 0 ¬ t < a−t+ 2a dla a ¬ t < 2a0 dla 2a ¬ t.
2. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe
(a) y′ + 5y = −10t, y(0) =25,
(b) y′ + 7y = −14t, y(0) =27,
(c) y′′ + y′ − 2y = 4e2t, y(0) = 0, y′(0) = 1,
(d){x′ = 3x + y,y′ = −x + y,
{x(0) = 0,y(0) = 1.
Uwaga: wartość transformacji (czyli transformata) Laplace’a L(tneαt
)(s) =
n!(s− α)n+1
,
w tym L(eαt)
(s) =1
s− α, L (tn) (s) =
n!sn+1
, L(1)(s) =1s
.
14 Przekształcenie Fouriera
1. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę Fouriera funkcji
(a) f(t) ={
1 dla 0 ¬ t ¬ 10 dla pozostałych t ∈ R,
(b) f(t) ={
1 gdy |t| ¬ 10 dla pozostałych t ∈ R.
15 Powtórzenie
1. Korzystając między innymi z twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregu potęgowego, oblicz
(a)∞∑n=0
3n − n7n
,
(b)∞∑n=1
2n − nn 5n+1
.
10
2. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) = tg2(3x+ y2) w punkcie
(x0, y0) =(
0,√π
2
).
3. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x, y) = xy2 + 2xy +12x2 − 2x na kwadracie
D = [2, 4]× [−2, 0].
4. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x5 + y5 − 5xy.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniachxy = 6, 2x+ y − 8 = 0, jeśli gęstość powierzchniowa σ(x, y) = y. naszkicuj obszar D.
6. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniachy = 0, x = 1, y = 3x, y + z = 0, y + z = 0, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x.
7. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz objętość ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przezpowierzchnie o równaniach x2 + y2 − 4z = 0,
√x2 + y2 − 4z + 2 = 0. naszkicuj obszar U .
8. Wprowadzając współrzędne sferyczne, oblicz objętość ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przezpowierzchnie o równaniach
√3 z −
√x2 + y2 = 0, z −
√9− x2 − y2 = 0. Sporządź rysunek obszaru U .
9. Wyznacz transformatę Laplace’a funkcji f(t) ={
1− |t− 1| dla 0 ¬ t < 20 dla 2 ¬ t.
10. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y′ + 2y = 4e−t, y(0) = 4.
Uwaga: wartość transformacji (czyli transformata) Laplace’a L(tneαt
)(s) =
n!(s− α)n+1
,
w tym L (eαt) (s) = 1s−α , L (tn) (s) =
n!sn+1
, L(1)(s) =1s
.
16 Egzaminy
Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału.
Zestaw A
1. Wyznacz środek x0 i promień R przedziału zbieżności oraz zbadaj zbieżność na końcach szeregu potęgo-
wego∞∑n=1
7n(3x+ 1)n.
2. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcjif(x, y) = sin(2x− y) w punkcie (x0, y0, z0) =
(π,π
3, f (x0, y0)
).
3. Sprawdź, czy funkcja f(x, y) = x4+y4+4x−32y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x0, y0) = (−1, 2);w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj i oblicz ekstremum.
4. Zmień kolejność całkowania w całce
2∫1
dy
0∫− ln y
f(x, y) dx. Sporządź rysunek obszaru całkowania.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniachx2 + y2 − 2z = 0, z = 2, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x2 + y2.
6. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę Laplace’a funkcji
f : [0,∞)→ R, określonej wzorami f(t) ={
1 dla 1 ¬ t < 20 dla pozostałych t.
11
Zestaw B
1. Zbadaj zbieżność szeregu∞∑n=1
n2 + n+ 1n4 + 1
.
2. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = tg(−x+ 2y) w punkcie (x0, y0) =(π
6,π
6
)i w kierunku
wersora ~v =
(√2
2,−√
22
).
3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = x3+x+y na trójkącie D ⊆ R2, wyznaczonymprzez proste o równaniach x = 0, y = 0, y = −x+ 1.
4. Zmień kolejność całkowania w całce
1∫0
dy
arc sin y∫0
f(x, y) dx. Sporządź rysunek obszaru całkowania.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniachz =
√4− x2 − y2, z =
√x2 + y2, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
6. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę Laplace’a funkcji f : [0,∞)→ R, określonej wzorami
f(t) ={et dla 1 ¬ t < 30 dla pozostałych t.
Zestaw C
1. Wyznacz środek x0 i promień R przedziału zbieżności oraz zbadaj zbieżność na końcach szeregu potęgo-
wego∞∑n=1
(4x+ 2)n
8n.
2. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) = cos(x− 3y) w punkcie
(x0, y0, z0) =(π
4, π, f (x0, y0)
).
3. Sprawdź, czy funkcja f(x, y) = x3 + 3x2 − 2xy + 5y2 − 4y3 przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie(x0, y0) = (0, 0); w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj i oblicz ekstremum.
4. Zmień kolejność całkowania w całce
−1∫−e
dy
ln(−y)∫0
f(x, y) dx. Sporządź rysunek obszaru całkowania.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniachz =
√x2 + y2, z = 2, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) =
√x2 + y2.
6. Wyznacz z definicji transformatę Laplace’a funkcji f : [0,∞)→ R, określonej wzorami
f(t) ={
2 dla 2 ¬ t < 30 dla pozostałych t.
Zestaw D
1. Zbadaj zbieżność szeregu∞∑n=1
n4 + n2 + 1n5 + 5
.
2. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = arc tg(−x + y) w punkcie (x0, y0) = (1, 2) i w kierunku
wersora ~v =
(−√
22,
√2
2
).
12
3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = y3+x+y na trójkącie D ⊆ R2, wyznaczonymprzez proste o równaniach x = 0, y = 0, y = x+ 1.
4. Zmień kolejność całkowania w całce
1∫0
dy
π2∫
arc cos y
f(x, y) dx. Sporządź rysunek obszaru całkowania.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniachz =
√1− x2 − y2, z =
√3 (x2 + y2), jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) =
√x2 + y2 + z2.
6. Wyznacz z definicji transformatę Laplace’a funkcji f : [0,∞)→ R, określonej wzorami
f(t) ={e2t dla 1 ¬ t < 40 dla pozostałych t.
Zestaw E
1. Wyznacz środek x0 i promień R przedziału zbieżności oraz zbadaj zbieżność na końcach szeregu potęgo-
wego∞∑n=1
(2x+ 8
10
)n.
2. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) = ln(5x− 4y) w punkcie(x0, y0, z0) = (e, e, f (x0, y0)).
3. Sprawdź, czy funkcja f(x, y) = x8+y6−8x−6y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x0, y0) = (1, 1);w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj i oblicz ekstremum.
4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniachy2 = −5x, y = −x. Sporządź rysunek.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniachz = 3x2 + 3y2, z = 12, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) =
√x2 + y2.
Wskazówka: wykorzystaj współrzędne walcowe.
6. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y′ − 5y = 0, y(0) = 1.
Uwaga: jeśli α ∈ R, to transformata Laplace’a[L(eαt)]
(s) =1
s− α.
Zestaw F
1. Zbadaj zbieżność szeregu∞∑n=1
cosn
n+√n3
.
2. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = arc tg(−x+ 4y) w punkcie (x0, y0) = (0, 0) i w kierunku
wersora ~v =
(√3
2,−1
2
).
3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = x5 + x + 2y na trójkącie D ⊆ R2 (liczonymrazem z wnętrzem), wyznaczonym przez proste o równaniach x = 0, y = 1, y = x.
4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniachy = e−x, x = −1, y = x+ 1. Sporządź rysunek.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach
z =√
1− x2 − y2, z =1√3
√x2 + y2, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
Wskazówka: wykorzystaj współrzędne sferyczne.
6. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y′ − y = −1, y(0) = 1.
Uwaga: jeśli n ∈ N = {0, 1, 2, 3, . . .}, to transformata Laplace’a [L(1)] (s) =1s
.
13
Zestaw G
1. Wyznacz środek x0 i promień R przedziału zbieżności oraz zbadaj zbieżność na końcach szeregu potęgo-
wego∞∑n=1
(2x− 14
5
)n.
2. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) = e−2x+3y w punkcie(x0, y0, z0) = (ln 2, ln 2, f (x0, y0)).
3. Sprawdź, czy funkcja f(x, y) = x6+y4−6x+4y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x0, y0) = (1,−1);w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj ekstremum.
4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniachx = y2, y = x. Sporządź rysunek.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniachz = 4x2 + 4y2, z = 4, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x2 + y2.Wskazówka: wykorzystaj współrzędne walcowe.
6. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y′ + 2y = 0, y(0) = 1.
Uwaga: jeśli α ∈ R, to transformata Laplace’a[L(eαt)]
(s) =1
s− α.
Zestaw H
1. Zbadaj zbieżność szeregu∞∑n=1
4− cos(n2)
√n
.
2. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = arc tg(4x − y) w punkcie (x0, y0) = (0, 0) i w kierunku
wersora ~v =
(−1
2,
√3
2
).
3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = y5 + y + 2x na trójkącie D ⊆ R2 (liczonymrazem z wnętrzem), wyznaczonym przez proste o równaniach y = 0, x = 1, y = x.
4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniachy = ex, x = 1, y = −x+ 1. Sporządź rysunek.
5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U ⊆ R3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniachz =
√4− x2 − y2, z =
√3 ·√x2 + y2, jeśli gęstość objętościowa γ(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
Wskazówka: wykorzystaj współrzędne sferyczne.
6. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y′ + y = 4, y(0) = 4.
Uwaga: jeśli n ∈ N = {0, 1, 2, 3, . . .}, to transformata Laplace’a [L(1)] (s) =1s
.
Część II
Odpowiedzi, wskazówkiCałki niewłaściwe pierwszego rodzaju
1. (a) Zbieżna,
(b) zbieżna,
(c) zbieżna,
(d) rozbieżna do ∞.
14
2. (a) Rozbieżna do ∞,
(b) rozbieżna do ∞,
(c) zbieżna,
(d) zbieżna,
(e) zbieżna.
3. (a) Rozbieżna do ∞,
(b) zbieżna.
4. (a) Zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna),
(b) całka jest rozbieżna do ∞ i nie jest zbieżna bezwzględnie,
(c) zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna).
5. (a) całka jest równa π, zatem tyle samo wynosi wartość główna,
(b) całka jest równa 2, zatem tyle samo wynosi wartość główna,
(c) ani całka, ani wartość główna całki nie istnieją,
(d) całka nie istnieje, wartość główna całki wynosi 0.
Całki niewłaściwe drugiego rodzaju
1. Dla kryterium porównawczego można wykorzystaj nierówności2πx < sinx < x, zachodzące dla 0 < x <
π
2.
(a) rozbieżna do ∞,
(b) rozbieżna do ∞,
(c) zbieżna.
2. (a) zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna),
(b) zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna).
3. (a) całka rozbieżna (nie istnieje), wartość główna wynosi 0,
(b) całka i wartość główna nie istnieją,
(c) całka wynosi 6, zatem wartość główna tyle samo.
Szeregi liczbowe
1. (a) limn→∞
an =π
26= 0,
(b) limn→∞
|an| = e 6= 0.
2. (a) Zbieżny bezwzględnie,
(b) zbieżny bezwzględnie,
(c) zbieżny bezwzględnie.
3. (a) Zbieżny bezwzględnie,
(b) rozbieżny do ∞.
4. (a) Zbieżny warunkowo. Wskazówka: do pokazania zbieżności zastosować kryterium Leibniza, a do po-kazania rozbieżności szeregu modułów wykorzystaj rozbieżność szeregu harmonicznego i nierówność1 < n√
2,
15
(b) zbieżny warunkowo. Wskazówka: do pokazania zbieżności zastosować kryterium Leibniza, a do poka-zania rozbieżności szeregu modułów wykorzystaj rozbieżność szeregu harmonicznego i oszacowaniex < tg x dla 0 < x <
π
2,
(c) zbieżny bezwzględnie,
(d) rozbieżny,
(e) rozbieżny do ∞.
Szeregi potęgowe
1. (a) (−4, 0),
(b) (−6, 6),
(c)(
52,
72
],
(d) (−4, 0],
(e)(
14,
34
).
2. (a)∞∑n=1
−14n−1
xn, (−4, 4), cn =
{0 dla n = 0,−14n−1 dla n ∈ N+,
(b)∞∑k=0
(−1)k
8 · 16kx4k+1, (−2, 2), cn =
(−1)n−14
2n+2 dla n = 4k + 1, k ∈ N,
0 dla pozostałych n ∈ N,
(c)∞∑k=1
−1k4k
x2k+3, (−2, 2), cn =
{ −1(n−3)2n−4 dla n = 2k + 3, k ∈ N+,
0 dla pozostałych n ∈ N,
(d)∞∑k=0
(−5)k
k!x3k+2,R, cn =
{(−5)
n−23
n−23 !
dla n = 3k + 2, k ∈ N,0 dla pozostałych n ∈ N.
3. (a) −48,
(b) 0,
(c) 1920.
4. (a)334,
(b)272,
(c) 5− 25 ln65,
(d)169− 7
3ln 2.
Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych
1. (a) D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6= 3} (płaszczyzna bez okręgu); szukaną poziomicą jest okrąg o środku w(0, 0) i promieniu 2, pozostałymi poziomicami są okręgi o środku w (0, 0) i promieniach% ∈ [0,
√3) ∪ (
√3,∞),
(b) D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6= 12} (przestrzeń R3 bez sfery); szukaną poziomicą jest sfera o
środku w (0, 0, 0) i promieniu 1, pozostałymi poziomicami są sfery o środku w (0, 0, 0) i promieniach
% ∈
[0,
√2
2
)∪
(√2
2,∞
).
16
2.14
.
3. (a) A = {(x, y) ∈ R2 : y 6= x2} ∪ {(1, 1)} – funkcja jest ciągła poza parabolą y = x2 i dodatkowo jestciągła w punkcie (1, 1),
(b) A = {(x, y) ∈ R2 : |xy| 6= 1} ∪{(
π
4,
4π
),
(−π
4,
4π
)}– funkcja jest ciągła poza hiperbolami
y =1x, y = − 1
xi dodatkowo jest ciągła w punktach
(π
4,
4π
),
(−π
4,
4π
),
(c) A ={
(x, y) ∈ R2 : y = |y − x| 6= π
4
}∪
{(π
4+
√2
2,
√2
2
),
(−π
4+
√2
2,
√2
2
)}– funkcja jest ciągła
poza prostymi y = x−π4, y = x+
π
4i dodatkowo jest ciągła w punktach
(π
4+
√2
2,
√2
2
),
(−π
4+
√2
2,
√2
2
),
(d) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6= 25} – funkcja jest ciągła poza sferą x2 + y2 + z2 = 25.
Podstawy rachunku różniczkowegofunkcji dwóch i trzech zmiennych
1.∂2f
∂x2(π, 1) = 0,
∂2f
∂y2(π, 1) = −21
4π,
∂2f
∂x∂y(π, 1) =
∂2f
∂y∂x(π, 1) = −7
2.
2.∂4f
∂x2∂z∂y(7, 1, 0) = −4.
3. (a) z − 1 = 4x+ 4√π
(y −√π
2
),
(b) z − 2 =1e2x+
2e
(y − e),
(c) z − 32π
=3√
3π2
(x− 1
2
)+
3π√
e(y −
√e),
(d) z − 1 = −4 ln 3(x− 1) + ln 3(y − 4),
(e) z − π = 8(x− 1
4
)+ 2√
2(y −√
2).
4. (a) gradf (P0) =(
ln 2√e,− ln 2√
e
),
(b) gradf (P0) =(
23,
3π64,
12
).
5. (a)∂f
∂v(P0) = 3,
(b)∂f
∂v(P0) =
12
.
6. (a) 0, 997,
(b) 0, 01. Wskazówka: rozważ funkcję f(x, y) = arc tgx+ y2
1− xy.
7. ∆f ≈ 24 mm2.
17
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
1. (a) f(1, 2) = 8 – maksimum lokalne właściwe, f(−1, 2) = −8 – minimum lokalne właściwe,
(b) f(0, 0) = 0 – minimum lokalne właściwe (i najmniejsza wartość funkcji),
(c) f(0, 0) = 0 – minimum lokalne właściwe.
Wskazówka: dla punktu P0 = (1, 1) zauważ, że∂f2
∂x2(P0) = 0,
∂f3
∂x3(P0) 6= 0,
(d) f(1, 1) = 2 − n – minimum lokalne właściwe. dla dla n parzystych przyjmowane także w punkcie(−1,−1).
2. (a) M = 0,m = −94
,
(b) M = 0,m = −2e,
(c) M =94,m =
98,
(d) M =32,m = −3
2.
3. (a) Minimum lokalne (i jednocześnie najmniejsza wartość) m = −2 w punkcie (−1,−2),
(b) minima lokalne właściwe (i najmniejsza wartość funkcji) równe 1 w punktach (1, 1) i (−1,−1).
Ogólne własności całek podwójnych
1. (a)
1∫0
dx
2∫2−x
f(x, y) dy +
4∫1
dx
2∫√x
f(x, y) dy,
(b)
1∫−1
dy
−√|y|∫
−1
f(x, y) dx+
1∫−1
dy
1∫√|y|
f(x, y) dx.
2. (a)256
,
(b) 2 ln 2− 712,
(c)212− 10 ln 5 + 10 ln 2,
(d) e− 1− ln 2,
(e) 1− π
4,
(f) 2− 2ln 3
,
(g)32− 1
2e.
3. (a)3√
2− 424
π +
√3−√
22
,
(b)43
.
18
Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych
1. (a) −9√
3,
(b)20ln 3
π,
(c)43π.
2. (a)269π,
(b) 20π,
(c)43
(2−√
3)
.
Ogólne własności całek potrójnych
1. (a)
4∫0
dz
0∫−2+ 12 z
dy
2+y− 12 z∫0
f(x, y, z) dx,
4∫0
dz
2− 12 z∫0
dx
0∫−2+x+ 12 z
f(x, y, z) dy,
(b)
3∫0
dz
2− 23 z∫0
dy
0∫−2+y+ 23 z
f(x, y, z) dx,
3∫0
dz
0∫−2+ 23 z
dx
2+x− 23 z∫0
f(x, y, z) dy,
(c)
4∫0
dz
1− 14 z∫0
dy
1−y− 14 z∫0
f(x, y, z) dx,
4∫0
dz
1− 14 z∫0
dx
1−x− 14 z∫0
f(x, y, z) dx,
(d)
4∫0
dz
4−z∫0
dy
0∫−1+ 14y+
14 z
f(x, y, z) dx,
4∫0
dz
0∫−1+ 14 z
dx
4+4x−z∫0
f(x, y, z) dy.
2. (a) 8,
(b)113.
Współrzędne walcowe
1. (a)163π,
(b)323π.
2. (a)56π,
(b)π
6.
Współrzędne sferyczne
1. (a) 9π,
(b)19(2−√
2)
3π.
2.π
12.
3. 31(2−√
3)π.
19
Przekształcenie Laplace’a
1. (a) F (s) =1− e−as
s,
(b) F (s) =1− e−as
s2− ae−as
s,
(c) F (s) =1− 2e−as + e−2as
s2.
2. (a) y(t) =25− 2t,
(b) y(t) =27− 2t,
(c) y(t) = e2t − et,
(d){x(t) = −te2t,y(t) = −e2t + te2t .
Przekształcenie Fouriera
1. (a) f̂(s) =1− e−si
sidla s ∈ R \ {0},
(b) f̂(s) =2 sin ss
dla s ∈ R \ {0}.
Powtórzenie
1. (a)149
,
(b)ln 5− ln 3
5− 1
20.
2.∂f
∂v(x0, y0) = 3.
3. z − 1 = 4√π
(y −√π
2
)+ 12x.
4. Zbiór możliwych ekstremów globalnych Z ={−9
2,−2, 0,−4
}, największa wartość M = maxZ = 0,
najmniejsza m = minZ = −92
.
5. Minimum lokalne właściwe f(1, 1) = −3.
6. M =94
.
7. M =163
.
8. |U | = 83π.
9. |U | = 9π.
10. F (s) =1− 2e−s + e−2s
s2.
11. y(t) = 4e−t.
20
Egzaminy
Zestaw A
1. x0 = −1/3, R = 1/21.
2. fx = 2 cos(2x− y), fy = − cos(2x− y),
f(π, π/3) = −√
32,
fx(π, π/3) = 1, fy(π, π/3) = −0, 5,
z +
√3
2= x− π − 1
2
(y − π
3
).
3. fx = 4x3 + 4, fy = 4y3 − 32,fx(−1, 2) = fy(−1, 2) = 0, więc warunek konieczny spełniony,
W (x, y) =∣∣∣∣ 12x2 0
0 12y2
∣∣∣∣ ,W (−1, 2) > 0, więc jest ekstremum,
fxx(−1, 2) > 0, więc minimum lokalne właściwe f(−1, 2) = 77.
4. I =
0∫− ln 2
dx
2∫e−x
f(x, y) dy.
5. M =
2π∫0
dϕ
2∫0
d%
2∫%2/2
%3dz = 2π(
2 · 24
4− 26
2 · 6
)=
163π.
21
6. F (s) =
2∫1
e−stdt = −(e−2s − e−s)/s(
=es − 1se2s
).
Zestaw B
1.n2 + n+ 1n4 + 1
∼ 1n2
, szereg zbieżny bezwzględnie.
2. fx =−1
cos2(−x+ 2y), fy =
2cos2(−x+ 2y)
,
fx(π/6, π/6) = −4/3, fy(π/6, π/6) = 8/3,∂f
∂~v(π/6, π/6) = −2
√2.
3. Brak punktów krytycznych.Przy x = 0: f1(y) = y, największa wartość M1 = 1, najmniejsza m1 = 0.Przy y = 0: f2(x) = x3 + x, największa wartość M2 = 2, najmniejsza m2 = 0.Przy y = −x+ 1: f3(x) = x3 + 1, największa wartość M3 = 2, najmniejsza m3 = 0.Razem: największa wartość M = 2, najmniejsza m = 0.
4. I =
π/2∫0
dx
1∫sin x
f(x, y) dy.
5. M =
2π∫0
dϕ
π/2∫π/4
dψ
2∫0
r4 cosψdr = 2π
(1−√
22
)25
5
(=
325
(2−√
2)π)
.
22
6. F (s) =
3∫1
e(1−s)tdt =e3(1−s) − e1−s
1− s.
Zestaw C
1. x0 = −1/2, R = 2.
2. fx = − sin(x− 3y), fy = 3 sin(x− 3y),
f(π/4, π) = −√
22
,
fx(π/4, π) =
√2
2, fy(π/4, π) = −3
√2
2,
z +
√2
2=
√2
2
(x− π
4
)− 3√
22
(y − π).
3. fx = 3x2 + 6x− 2y, fy = −2x+ 10y − 12y2,,fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0, więc warunek konieczny spełniony,
W (x, y) =∣∣∣∣ 6x+ 6 0− 2−2 10− 24y
∣∣∣∣ ,W (0, 0) = 56 > 0, więc jest ekstremum,
fxx(0, 0) > 0, więc minimum lokalne właściwe f(0, 0) = 0.
4. I =
1∫0
dx
−ex∫−e
f(x, y) dy.
5. M =
2π∫0
dϕ
2∫0
d%
2∫%
%2dz =2π3
2∫0
(2%2 − %3)d% = 2π(16/3− 4) =83π.
23
6. F (s) = 2
3∫2
e−stdt = −2(e−3s − e−2s)/s = 2es − 1se3s
.
Zestaw D
1. an ∼1n
, szereg rozbieżny.
2. fx =−1
1 + (−x+ y)2), fy =
−11 + (−x+ y)2)
,
fx(1, 2) = −1/2, fy(1, 2) = 1/2,∂f
∂~v(1, 2) =
√2
2.
3. Brak punktów krytycznych.Przy y = 0: f1(x) = x, największa wartość M1 = 0, najmniejsza m1 = −1.Przy x = 0: f2(y) = y3 + y, największa wartość M2 = 2, najmniejsza m2 = 0.Przy y = x+ 1: f3(y) = y3 + 2y − 1, największa wartość M3 = 2, najmniejsza m3 = −1.Razem: największa wartość M = 2, najmniejsza m = −1.
4. I =
π/2∫0
dx
1∫cos x
f(x, y) dy.
24
5. M =
2π∫0
dϕ
π/2∫π/3
dψ
1∫0
r3 cosψdr = 2π
(1−√
32
)14
=
(12−√
34
)π.
6. F (s) =
4∫1
e(2−s)tdt =e4(2−s) − e2−s
2− s.
Zestaw E
1. x0 = −4,R = 5, (1,5 p.)I to przedział o końcach -9 oraz 1 (cztery możliwości).
2. fx =5
5x− 4y, fy =
−45x− 4y
,
f(e, e) = 1, (0,5 p.)
fx(e, e) =5e, fy(e, e) =
−4e,
z − 1 =5e
(x− e)− 4e
(y − e).
3. fx = 8x7 − 8, fy = 6y5 − 6,fx(1, 1) = fy(1, 1) = 0, więc warunek konieczny spełniony,
W (x, y) =∣∣∣∣ 56x6 0
0 30y4
∣∣∣∣ ,W (1, 1) > 0, więc jest ekstremum lokalne właściwefx,x(1, 1) > 0, więc minimum lokalne właściwe f(1, 1) = −12.
4. P =
5∫0
dy
− 15y2∫
−y
dx =256.
25
5. M =
2π∫0
dϕ
2∫0
d%
12∫3%2
%2dz = 2π
2∫0
(12%2 − 3%4)d% = 2π(
25 − 35
25)
=27
5π.
6. sF − 1− 5F = 0,
F =1
s− 5,
y = e5t.
Zestaw F
1. |an| ¬1
n3/2,
zbieżny bezwzględnie.
2. fx =−1
1 + (−x+ 4y)2, fy =
41 + (−x+ 4y)2
,
fx(0, 0) = −1, fy(0, 0) = 4∂f
∂~v= −√
32− 2.
3. Brak punktów krytycznych.Przy y = 1: f1(x) = x5 + x+ 2, największa wartość M1 = 4, najmniejsza m1 = 0.Przy x = 0: f2(y) = 2y, największa wartość M2 = 2, najmniejsza m2 = 0.Przy y = x: f3(x) = x5 + 3x, największa wartość M3 = 4, najmniejsza m3 = 0.
26
Razem: największa wartość M = 4, najmniejsza m = 0.
4. P =
0∫−1
dx
e−x∫x+1
dy = −1 + e+12− 1 = e− 3
2.
5. M =
2π∫0
dϕ
π2∫
π6
dψ
1∫0
r4 cosψdz = 2π(1− 0, 5)15
=π
5.
6. sF − 1− F = −1s,
27
F =1s
,y = 1.
Zestaw G
1. x0 = 7,R = 2, 5,I to przedział o końcach 4,5 oraz 9,5 (cztery możliwości).
2. fx = −2e−2x+3y, fy = 3e−2x+3y,f(ln 2, ln 2) = 2,fx(ln 2, ln 2) = −4, fy(ln 2, ln 2) = 6z − 2 = −4(x− ln 2) + 6(y − ln 2).
3. fx = 6x5 − 6, fy = 4y3 + 4,fx(1,−1) = fy(1,−1) = 0, więc warunek konieczny spełniony,
W (x, y) =∣∣∣∣ 30x4 0
0 12y2
∣∣∣∣ ,W (1,−1) > 0, więc jest ekstremum lokalne właściwefx,x(1,−1) > 0, minimum lokalne właściwe (równe f(1,−1)).
4. P =
1∫0
dy
y∫y2
dx =12− 1
3=
16.
5. M =
2π∫0
dϕ
1∫0
d%
4∫4%2
%3dz = 2π
2∫0
(4%3 − 4%5)d% = 2π(
1− 46
)=
23π.
28
6. sF − 1 + 2F = 0,
F =1
s+ 2,
y = e−2t.
Zestaw H
1. an 3√n
,
rozbieżny do ∞.
2. fy =−1
1 + (−y + 4x)2, fx =
41 + (−y + 4x)2
,
fy(0, 0) = −1, fx(0, 0) = 4∂f
∂~v= −√
32− 2.
3. Brak punktów krytycznych.Przy x = 1: f1(y) = y5 + y + 2, największa wartość M1 = 4, najmniejsza m1 = 0.Przy y = 0: f2(x) = 2x, największa wartość M2 = 2, najmniejsza m2 = 0.Przy y = x: f3(y) = y5 + 3y, największa wartość M3 = 4, najmniejsza m3 = 0.Razem: największa wartość M = 4, najmniejsza m = 0.
4. P =
1∫0
dx
ex∫−x+1
dy = e− 32.
29
5. M =325
(2−√
3)π.
6. sF − 4 + F =4s,
F =4s
,y = 4.
30
