ANALIZA TEČAJA I VREDNOVANJE OPCIJA NA TEČAJ NA … · dno ekonometrijsko modeliranje kretanja cijena vrijednosnica i njihovih volatilnosti jer su formule za vrednovanje opcija

345

ANALIZA TEČAJA I VREDNOVANJE OPCIJA NA TEČAJ NA HRVATSKOM TRŽIŠTU: NGARCH MODEL KAO ALTERNATIVA MODELU BLACKA I SCHOLESA

mr. sc. Petra POSEDEL Stručni članak*

Ekonomski fakultet, Zagreb UDK 336.748(497.5)JEL C21

Sažetak

U posljednje je vrijeme na hrvatskom tržištu naglo porastao interes profesionalnih in-vestitora za financijske derivate, tj. za financijske instrumente čija isplata ovisi o cijenama drugih financijskih instrumenata. Nakon uređenja sustava za trgovanje na burzi, u skorijoj se budućnosti očekuje trgovanje derivatima koje nije tipa OTC, odnosno over-the-coun-ter. Sukladno tome, izuzetno je važno kvantificirati pravednu cijenu takvih instrumenata. Jednom kada se tržište derivata u Hrvatskoj i osnuje, logično je pretpostaviti primjenu i Black-Scholesova modela za vrednovanje opcija. Međutim, brojna istraživanja na svjet-skim tržištima opcija pokazuju da volatilnost prinosa vremenskih nizova nije konstantna kao što se u modelu Blacka i Scholesa pretpostavlja. Ovaj rad istražuje posljedice što ih ima uvođenje volatilnosti koja se mijenja kroz vrijeme za vrednovanje opcija. Predložen je nelinearni u očekivanju, asimetrični GARCH model koji odražava asimetričnost u di-stribuciji prinosa te koreliranost prinosa i varijance. Za ilustraciju se koristimo NGARCH modelom za vrednovanje opcija na stranu valutu. Simulacijama je određen skup mogu-ćih cijena opcija ovisno o različitim izvršnim cijenama i datumima dospijeća. Unapređe-nje rezultira činjenicom da je vrijednost opcije dane NGARCH modelom funkcija premije za rizik koja je uklopljena u vremenski niz. To sigurno proturječi rezultatu o vrednovanju opcija koji je imun na preferencije poput onoga u modelu Blacka i Scholesa.

Ključne riječi: model Blacka i Scholesa, NGARCH model, heteroskedastičnost, vola-tilnost, premija za rizik, mjera neutralna na rizik, nearbitraža, simulacija Monte Carlo

* Primljeno (Received): 1.6.2006.Prihvaćeno (Accepted): 24.11.2006.

346

P. Posedel: Analiza tečaja i vrednovanje opcija na tečaj na hrvatskom tržištu: NGARCH modelkao alternativa modelu Blacka i ScholesaFinancijska teorija i praksa 30 (4) str. 345-367 (2006.)

1. Uvod

Eksplozivni porast trgovanja različitim financijskim instrumentima na hrvatskom tr-žištu navodi nas na potrebu modeliranja cijena vrijednosnica, tečaja valuta ili kamatnih stopa te njihovih volatilnosti. Tržište derivata (engl. derivatives) u Hrvatskoj postoji, ali se trgovanje ne obavlja preko burze, već je neformalnog tipa (OTC). Tržište nelinearnim derivatima – opcijama – ne postoji, no mogućnost njegove uspostave u recentnom razdo-blju privlači zanimanje mnogih sudionika na hrvatskom tržištu kapitala. Stoga je izuzetno važno kvantificirati pravednu cijenu takvih objekata. Istraživanje ne možemo direktno fo-kusirati na podatke s tržišta derivata jer njih još nema. Budući da je rasprava o uvođenju tržišta derivata još uvijek aktualna, ovim radom želimo pridonijeti sagledavanju mogu-ćih cijena europskih call opcija na vrijednosnice. Takav cilj zahtijeva prije svega prikla-dno ekonometrijsko modeliranje kretanja cijena vrijednosnica i njihovih volatilnosti jer su formule za vrednovanje opcija funkcije nekih ili svih parametara uključenih u model koji opisuje kretanje cijena same vrijednosnice. Jedan od zasigurno najvećih uspjeha moder-ne financijske ekonomije jest vrednovanje opcija (engl. option pricing). Na bazi zakona jedinstvene cijene ili uvjeta nearbitraže, modele za vrednovanje opcija Blacka i Scholesa (1973) i Mertona (1973) gotovo su trenutačno prihvatili akademici i profesionalni inve-stitori, što je neusporedivo u povijesti ekonomske znanosti.1

Međutim, brojna istraživanja (npr. Mandelbrot, 1963. i Fama, 1965, koji u svojim radovima baziraju empirijske studije na podacima vremenskih nizova logaritamskih pri-nosa nekoliko američkih dionica) pokazuju da volatilnost prinosa vremenskih nizova za većinu financijskih instrumenata nije konstantna, kao što se u modelu Blacka i Scholesa pretpostavlja. Naime, za vrijeme tzv. stresnih razdoblja na tržištu (politički neredi i pro-mjene, ekonomske krize, ali i manje drastične promjene poput objave makroekonomskih podataka) cijene financijskih dobara obično uvelike fluktuiraju, odnosno volatilnost pro-matranog procesa mijenja se kroz vrijeme. U tim uvjetima kažemo da je proces od inte-resa heteroskedastičan. Prvi uspješni pokušaj ekonometrijskog modeliranja heteroskeda-stičnosti vremenskih nizova dao je Engle (1982) uvođenjem ARCH modela (engl. auto-regressive conditional heteroskedastic). Mnogi su istraživači predložili različite eksten-zije ARCH modela. Bollerslev (1986) i Taylor (1986), neovisno jedan o drugome, pre-dlažu generalizirani ARCH, tj. GARCH model, a Nelson (1991) nudi eksponencijalni GARCH, tj. EGARCH model. Efekt poluge (engl. leverage effect) i druge GARCH ek-stenzije opisane su u radovima Dinga, Grangera i Englea (1993), Glostena, Jagannatha-na i Runklea (1993) i Hentschela (1995). Bollerslev, Chou i Kroner (1992) te rad Duana (1997) objedinjuju postojeće GARCH modele u zajednički sustav poznat kao prošireni GARCH (p, q) proces.

Primjena simetričnoga GARCH (1,1) modela na hrvatskom tržištu za analizu dioni-ca Plive (PLI-AA), Zagrebačke banke (ZAB-O) te indeksa CROBEX prikazana je u radu Šestovića i Latkovića (1998). Autori zaključuju da primjena modela iz GARCH familije poboljšava predviđanja tržišnog rizika.

1 Vrlo dinamična rasprava o intelektualnoj povijesti Black-Scholes-Mertonove formule za vrednovanje opcija može se naći u Bernstein (1992), poglavlje 11.

347

P. Posedel: Analiza tečaja i vrednovanje opcija na tečaj na hrvatskom tržištu: NGARCH modelkao alternativa modelu Blacka i Scholesa

Financijska teorija i praksa 30 (4) str. 345-367 (2006.)

Modeli za vrednovanje opcija koji uzimaju u obzir heteroskedastičnost obuhvaća-ju, među ostalima, model Mertona (1976), Geske (1979), Rubinsteina (1983) te Duanov GARCH model (1995). U svojim radovima spomenuti autori zaključuju da modeli koji uzimaju u obzir heteroskedastičnost mogu reflektirati promjene uvjetne volatilnosti vri-jednosnice od interesa. Nadalje, provedena numerička analiza u spomenutim radovima sugerira da predloženi modeli mogu objasniti neke općepoznate pristranosti koje se aso-ciraju uz Black-Scholesov model, npr. podcjenjivanje call opcija u novcu, odnosno pod-cjenjivanje put opcija izvan novca.

Postavljamo pitanje je li situacija glede spoznaja o vrednovanju opcija na stranu va-lutu bar donekle slična onoj za vrednovanje opcija na dionice. Cooper i sur. (1986) pro-cjenjuju parametre stohastičkog procesa opisujući promjene volatilnosti te potom uspo-ređuju predviđene cijene s onima dobivenim u modelu Blacka i Scholesa. Njihovi su re-zultati po svojoj prirodi vrlo slični onima u istraživanjima opcija na dionice. Duan (1999) u svom radu predlaže alternativni benchmark za vrednovanje opcija na stranu valutu ko-risteći se pritom dvodimenzionalnim nelinearnim GARCH sustavom, tj. NGARCH su-stavom za devizni tečaj i stranu dionicu. Numerički rezultati u radu posljednjeg autora pokazuju da predloženi model odražava svojstva koja su konzistentna s dokumentiranim empirijskim regularnostima glede opcija na stranu valutu. Upravo u tom rezultatu nala-zimo motivaciju za analizu opcija na stranu valutu modelom NGARCH.

Cijene na tržištima opcija obično su izražene terminima Black-Scholesove impli-cirane volatilnosti (engl. implied volatility) odgovarajućih opcija. U terminima Rebo-natoa (1999), implicirana je volatilnost stoga “pogrešan broj koji, uvršten u pogrešnu formulu, daje točan rezultat”! No to ne znači da sudionici na tržištu vjeruju u hipotezu Black-Scholesova modela - oni zaista i ne vjeruju u nju: Black-Scholesova formula za vrednovanje opcija nije u upotrebi kao model za vrednovanje tzv. jednostavnih opci-ja (engl. vanilla options), već kao alat kojim se cijene opcija na tržištu prevode u neku reprezentaciju u terminima implicirane volatilnosti. Interes sudionika na hrvatskom tr-žištu u recentnom razdoblju zasigurno privlače i intervencije HNB-a na domaćem de-viznom tržištu koje rezultiraju promjenom tržišne vrijednosti domaće valute. Trendo-vi sezonalnosti, koji su tipični za domaću valutu, te mogućnost promjene domaće va-lute u budućnosti motiviraju na istraživanje raznih opcija na stranu valutu, ovisno o izvršnim cijenama i razdoblju u kojemu će se opcija ugovarati. Stoga je cilj ovog rada pobliže razmotriti empirijsku distribuciju vremenskog niza tečaja euro/kuna te po-sljedice koje takva spoznaja ima za vrednovanje opcija na stranu valutu. Primarni cilj ovog rada jest procjena parametara koji opisuju promjene u vremenskom nizu tečaja, pri čemu se primjenjuje nelinearni u očekivanju, asimetrični GARCH model. Dobive-ni se parametri potom upotrebljavaju za simuliranje cijene opcije na stranu valutu, uz implementaciju NGARCH modela za vrednovanje opcija te se dobivene vrijednosti uspoređuju s vrijednostima dobivenim upotrebom Black-Scholesova modela. Sljedeći cilj ovog rada jest proučiti odražava li pretpostavka heteroskedastičnosti za promjene u vremenskom nizu, zastupljena u NGARCH modelu, značajne razlike u samim cije-nama opcija te time pokušati uspostaviti vezu između vrlo popularnoga ekonometrij-skoga GARCH modela i sveprisutne literatute o vrednovanju mogućih potraživanja (engl. contingent claims).

348


Ovaj rad organiziran je na sljedeći način. U drugom se dijelu uvodi nelinearni asime-trični GARCH model za opis dinamike kretanja tečaja euro/kuna za kratkoročne vremen-ske horizonte u razdoblju 2001-2005, opisuju se svojstva tog modela te procjenjuju para-metri. Pojam opcije te vrednovanje opcija NGARCH modelom prezentirani su u trećem dijelu. Cijene opcija na stranu valutu implementacijom NGARCH modela za vrednova-nje opcija te analiza na temelju različitih izvršnih cijena (engl. strike) i datumi dospije-ća (engl. maturity) prikazani su u četvrtom dijelu i uspoređeni s onima koje proizlaze iz upotrebe modela konstantne volatilnosti Blacka i Scholesa. Smjernice za daljnja istraži-vanja dane su u zaključku.

2. Modeliranje tečaja putem NGARCH modela

Modeli za vremenske nizove vrijednosnica imaju vrlo važnu ulogu u upravljanju rizi-kom, čiji je zadatak donošenje financijskih odluka na bazi opaženih podataka cijena vri-jednosnica Ct u diskretnom vremenu. Za investitore su relevantne veličine postotni pri-nosi. U tu se svrhu mogu izračunati tzv. logaritamski prinosi2 (engl. log-returns), razlike logaritama zaključnih cijena pristiglih u jednom danu,

P C Ct t t+ + −1 1= .ln ln (1)

Na slici 1. uspoređuju se prirasti Brownova gibanja s dnevnim prinosima za tečaj euro/kuna s istom prosječnom volatilnošću. Iako prinosi obaju vremenskih nizova imaju istu varijancu, Brownov je model postiže generirajući prinose koji uglavnom imaju je-dnaku amplitudu, dok prinosi tečaja euro/kuna postižu mnogo veću disperziju svojih am-plituda te upozoravaju na određene nagle promjene vrijednosti koje odražavaju neku ve-liku promjenu na tržištu.

Brojna empirijska istraživanja upućuju na sve veću potrebu za realističnijim mode-lom od Brownova za podatke koji se odnose na financijsku imovinu. Iskustvo je poka-zalo da volatilnost prinosa određenoga vremenskog niza za većinu financijskih instru-menata nije konstantna. Naime, dane visoke (niske) volatilnosti na tržištu obično prate da ni visoke (niske) volatilnosti, svojstvo poznato kao grupiranje (engl. clustering). Pri procjenjivanju varijabilnosti prinosa najvažnija je varijabla koja predočuje kvadrat razli-ke logaritamskog prinosa i srednjega logaritamskog prinosa, tzv. kvadrat inovacije pri-nosa prikazan kao:

S P E Pt t t2 2= ( ) , = ( ).− μ μ (2)

Slika 2. prikazuje kretanje tečaja u razdoblju od 2001. do 2005. godine. Vidljivo je da se pojedina razdoblja međusobno razlikuju po volatilnosti cijene, što potvrđuje i slika kvadrata inovacije prinosa.

2 U daljnjem tekstu logaritamske ćemo prinose Pt jednostavno zvati prinosima Pt.

349



Slika 1. Dnevni logaritamski prinosi za vremenski niz tečaja euro/kuna

0,018

0,010

0,000

-0,010

-0,018 2.1.2001. 2002. 2003. 2004. 2005. 30.12.2005.

0,018

0,010

0,000

-0,010

-0,0180 300 600 900 1.297

broj simuliranih prinosa

Napomena: (Gornja slika) uspoređeni s logaritamskim prinosima Brownova gibanja, (donja slika) istih očekivanja i varijance.

Serijska ovisnost među podacima, opisana korelacijama među prinosima za različi-te pomake, prikazana je slikom 3. Puna linija pokazuje da su autokorelacije dnevnih pri-nosa vrlo malih vrijednosti i da ne upozoravaju ni na kakva sustavna obilježja. Za razliku od autokorelacija dnevnih prinosa, autokorelacije kvadrata dnevnih prinosa pozitivnih su vrijednosti za male pomake, a zatim eksponencijalno padaju prema nuli kada se broj po-maka povećava. To govori da kvadrirane vrijednosti prinosa “ne zaboravljaju” neposrednu prošlost te da su pozitivno korelirane, što je vidljivo iz isprekidane linije na slici 3.

Na prvi pogled bilo bi vrlo logično pomisliti da saznanja i modele koji opisuju dina-miku cijena dionica primijenimo na analizu vremenskog niza koja se odnosi na stranu va-lutu. Takav bi zaključak, naime, bio pogrešan zbog sljedećeg razloga. Kada kupujemo di-onicu (ne uzimajući u obzir isplatu dividende), u načelu kupujemo papir koji čuvamo do onog trenutka kada ga, zbog nekog razloga, odlučimo prodati. Međutim, prilikom kupnje strane valute, u svom vlasništvu nemamo samo novčanicu do onog trenutka dok je opet ne

350


prodamo, već, kao racionalni investitori, imamo i mogućnost izbora npr. devizne štednje, pri čemu će uložena vrijednost rasti uz određenu kamatnu stopu. Takva spoznaja implicira zaključak da valuta ima vrlo sličnu ulogu dionice s neprekidnom dividendom. Spomenuto razmatranje zahtijeva uvođenje dodatne varijable, tzv. kamatnih stopa u standardne mode-le za dionice, koja će odigrati važnu ulogu u vrednovanju opcija na stranu valutu.

Slika 2. Kretanje tečaja euro/kuna i kvadrati inovacija u razdoblju 2001-2005.

7,8

7,6

7,4

7,2

7 2.1.2001. 2002. 2003. 2004. 2005. 30.12.2005.

4

3

2

1

0 2.1.2001. 31.12.2005.

x104

2. 1. Opis modela

Promotrimo ekonomiju u diskretnom vremenu i sa Ct označimo tečaj strane valute, to-čnije euro/kuna, u trenutku t, definiran kao broj jedinica domaće valute potreban za kupnju jedne jedinice strane valute. Dinamika vremenskog niza dnevnih prinosa Pt opisana je ne-linearnim u očekivanju, asimetričnim GARCH(1,1)3 modelom (Engle and Ng, 1993):

P

C

Cr r Zt

t

td s t t t t+

++ + + +≡ − + − +1

11 1

21( ) =

1

2ln λσ σ σ 11,

(3)

3 Vrijedi napomenuti da se asimetrični GARCH model u literaturi često naziva NGARCH.

351



σ ω α σ ρσ βσt t t t tZ+ + − +12 2 2= ( ) , (4)

pri čemu su Zt nezavisne i jednako distribuirane normalne (gaussovske) slučajne varija-ble, N (0,1) te vrijedi:

ω α β α ρ β> 0, 0, 0 (1 ) < 12≥ ≥ + +i (5)

kako bi se osigurala nenegativnost i stacionarnost procesa varijance σ2t. Varijable rd i rs

označavaju, redom, konstantnu jednoperiodnu, bezrizičnu, kamatnu stopu na domaću i stra-nu valutu po kojoj se glavnica neprekidno ukamaćuje,4 dok je λ konstantna premija za rizik (engl. risk premium), odnosno nagrada za ulaganje u stranu valutu. Vrijednost premije utje-cat će na uvjetnu varijancu procesa prilikom vrednovanja opcija.5 Poseban značaj modelu daje parametar asimetričnosti ρ, koji opisuje korelaciju između prinosa i varijance.6

Slika 3. Korelacije i korelacije kvadrata dnevnih prinosa

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0

-0,05

-0,10

-0,15 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

pomak

autokorelacije kvadrataautokorelacije

4 U ovom su radu, radi ilustracije, za parametre rd i rs uzete unaprijed zadane konstante određenih vrijedno-sti. Parametre rs i rd moguće je promatrati kao vremenski niz, pa se u tom slučaju procjenjuju na bazi kratkoročnih državnih obveznica.

5 Uočimo odmah da negativna vrijednost parametra λ smanjuje srednju vrijednost prinosa tečaja euro/kuna, što upućuje na aprecijaciju domaće valute. Nadalje, ako bismo promatrali tečaj euro/kuna, pozitivni predznak parametra λ objašnjavao bi aprecijaciju kune, tj. domaće valute.

6 U analizi prinosa dionica pozitivna vrijednost parametra ρ reflektira dobro poznati empirijski fenomen, tzv. efekt poluge, koji kazuje da pad cijene dionice za određenu vrijednost uzrokuje povećanje varijance više nego porast cijene za istu vrijednost, odnosno da su prinosi i njihova varijanca negativno korelirani.

352


Jedna od ključnih prednosti NGARCH modela za upravljanje rizikom jest mogućnost procjene određenih vrijednosti relevantnih za investitore jedan dan unaprijed. Iz defini-cije odmah slijedi da je σ2

t+1, tj. sutrašnja varijanca, poznata na kraju današnjeg dana t. SaEt[Pt+1] označimo očekivani7 prinos u trenutku t. Prema izrazu (3) slijedi da očekivani pri-nos i varijanca prinosa Pt+1, izračunane na bazi informacija u trenutku t, iznose:

E P r r Var Pt t d s t t t t t[ ] =

1

2[ ] =1 1 1

21+ + + + +− + −λσ σ σi 11

2 .

(6)

Uvjeti (5) osiguravaju stacionarnost procesa uvjetne varijance (σ2t), te stoga možemo

definirati bezuvjetnu varijancu kao:

σ σ ω

α ρ β2

12

2[ ] =1 (1 )

.≡− + −+E t

(7)

Prema relaciji (6), procjena varijance direktno je dana modelom kao σ2t+1. Promatra-

mo li procjenu varijance dnevnog prinosa za k razdoblja unaprijed, rekurzivnom primje-nom specifikacije asimetričnoga GARCH modela (4) slijedi:

Et t kk

t[ ] = [ (1 ) ] ( ),2 2 2 11

2 2σ σ α ρ β σ σ+−

++ + + − (8)

pri čemu je σ2 definirana pomoću relacije (7). Et [σ2t+k] i označava očekivanu vrijednost bu-

duće varijance za horizont k. Izraz α (1+ρ2) + β zovemo ustrajnošću modela. Prema izrazu (8) slijedi da će, ako je vrijednost α (1+ρ2) + β blizu 1, šokovi na tržištu koji udaljavaju varijancu od njezine bezuvjetne, stacionarne vrijednosti ustrajati dugo vrijeme (k → ∞). Tada kažemo da vremenski niz ima dugu memoriju. Nasuprot tome, male vrijednosti izrazaα (1+ρ2) + β pokazuju da se šokovi u prinosima brže guše u vremenu.

2. 2. Metoda maksimalne vjerodostojnosti

Budući da je uvjetna varijanca σ2t+1 varijabla koju ne možemo opaziti, potrebno ju je

implicitno procijeniti s ostalim parametrima modela, ω, α, β, λ, ρ. Za ekonometrijsku ana-lizu iskorišteno je T = 1.297 dnevnih prinosa tečaja euro/kuna od 2. siječnja 2001. do 30. prosinca 2005.8 Podaci se odnose na međubankarske zaključne ponude za kupovinu eura. Za dnevnu kamatnu stopu na domaću valutu rd i kamatnu stopu na stranu valutu rs uzete su unaprijed zadane konstante 0,0131% i 0,0115% respektivno.9 Prema pretpostavci, (Zt) je niz nezavisnih jednako distribuiranih slučajnih varijabli takvih da Zt ~ N (0,1) pa fun-kcija log-vjerodostojnosti ima oblik:

7 Et[X] i Vart[X] zovemo uvjetno očekivanje i uvjetna varijanca slučajne varijable X jer njihovo računanje uvje-tujemo na skup dostupnih informacija do trenutka t.

8 Autorica zahvaljuje Privrednoj banci Zagreb na ustupljenim podacima.

9 Pripadne kamatne stope na godišnjoj razini aproksimativno iznose 3,3% i 2,9%. Analizu je, naravno, moguće provesti za bilo koji drugi izbor vrijednosti pripadnih kamatnih stopa. Budući da je frekvencija podataka na dnevnoj razini, godišnja je kamatna stopa uz koju se glavnica neprekidno ukamaćuje radi jednostavnosti pretvorena u dnevnu dijeljenjem sa 252, odnosno prosječnim brojem dana trgovanja u jednoj godini.

353



L

T

P r

Tt

T

t

t d=

1 1

2(2 )

1

2( )

1

2

( (

=1

2[∑ − − −− −

ln lnπ σrrs t t

t

+ −λσ σ

σ

1

2))

,

2 2

2 ]

(9)

pri čemu je T broj opaženih podataka.

Skup nepoznatih parametara označimo sa θ = (ω, α, β, ρ, λ). Potrebno je naći onaj vektor parametra θ za koji funkcija LT postiže maksimalnu vrijednost uz uvjete dane u re-laciji (5). Maksimizacija funkcije LT po parametrima modela obavlja se pomoću numeri-čkog algoritma za traženje maksimuma funkcije uz zadane uvjete na parametre. U tablici 1. prikazane su vrijednosti procijenjenih parametara.10

GARCH parametar asimetrije ρ negativan je i pokazuje da će porast u volatilnosti te-čaja biti veći pri aprecijaciji strane valute EUR, odnosno oslabljenju kune, nego pri de-precijaciji strane valute. Uočimo da bi parametar ρ bio suprotnog predznaka da smo pro-matrali vremenski niz tečaja HRK/EUR. Na slici 4. prikazana je krivulja odziva na šok (engl. news impact curve) kako bi se stekla predodžba o stupnju asimetričnosti. Nada-lje, procjena premije za rizik nije statistički signifikantna.11 Iz ekonometrijske je anali-ze također vidljivo da je vrijednost α (1+ρ2) + β vrlo bliska jedinici, što upućuje na efe-kte duge memorije u seriji. Drugim riječima, šok u današnjem trenutku utječe na daljnju budućnost. Iako u ovom radu analiziramo samo kratkoročne vremenske horizonte, vrije-di napomenuti da pri interpretaciji za dulja vremenska razdoblja treba biti vrlo oprezan ako postoji tendencija zadržavanja cijene blizu određene razine, što u praksi tečaja valu-ta i nije neobična pojava.

Slika 4. Krivulja odziva na šok

0,000020

0,000015

0,000005

0 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,01 0,015

šokovi

vari

janc

a

10 Parametri su dobiveni primjenom programskih paketa Gauss i Excel, neovisno jednoga o drugome.

11 U radu podrazumijevamo statističku signifikantnost unutar intervala pouzdanosti od 95%.

[ ]

354


S druge strane, prema modelu Brownova gibanja, prinosi (P1, ... PT) nezavisne su i jednako distribuirane slučajne varijable prikazane pomoću:

P W Rt = , > 0μ σ μ σ+ ∈ , (10)

pri čemu je W ~ N (0,1) standardna normalna slučajna varijabla. Parametar μ označa-va srednji logaritamski prinos, a σ je volatilnost prinosa.

Tablica 1. Procijenjeni parametri modela

Parametar Vrijednost Standardna greška uzorka

ω̂ 1,7339 x 10-7 2.92 x 10-8

λ̂ -0,0301153 0,11311α̂ 0,095345 0,012028β̂ 0,86840994 0,014289ρ̂ -0,1707379 0,074885α̂ (1+ρ2) + β̂ 0,96653484 −

Ako kvantitativnu analizu baziramo na modelu Brownova gibanja, srednju očekivanu vrijednost i varijancu za dani vremenski niz možemo konzistentno procijeniti pomoću:

ˆ ˆ ˆμ σ μ=1

, =1

[ ] ,=1

2

=1

2

TP

TP

t

T

tt

T

t∑ ∑ −

(11)

ˆ , , ˆμ σ= 1 96838 10 (6 60515 10 ) = 55 5 2− − − x x ,, ,65855 10 (2 22203 10 )6 7 x x− − (12)

iz čega proizlazi da je procjena dnevne volatilnosti konstantna i iznosi ˆ ˆσ σ= 2

= 0,0023788. U zagradama su navedene pripadne standardne greške. Parameter μ nije sta-tistički signifikantan (t statistika iznosi -0.298), stoga ga u daljnjoj analizi zanemarujemo. Na slici 5. prikazani su prinosi tečaja i procjene rizika u obliku jednodnevne procjene vo-latilnosti na dva načina. Jedan je onaj u kojemu se za procjenu volatilnosti tečaja kori-stimo vrijednošću σ̂ = 0.0023788. U drugom načinu koristimo se procjenom dobivenom NGARCH modelom pomoću formule upotrebom procijenjenih parametara iz tablice 1. U sliku smo ucrtali interval od 1,65 σ kako bismo dobili interval unutar kojega očekujemo apsolutnu vrijednost prinosa u sljedećem danu, uz pouzdanost od 95%. Često se ta vrije-dnost označava kao VaR (engl. alue at Risk). Iscrtkana linija označava interval dobiven uz implementaciju Brownova modela za vremenski niz, dok puna linija označava interval dobiven NGARCH specifikacijom. Iz slike je vidljivo da u razdobljima mirnijih zbivanja na tržištu nelinearni asimetrični GARCH model daje niže i prikladnije procjene volatil-nosti, za razliku od Brownova modela. Konstantna volatilnost Brownova modela znatno

355



je veća jer je opterećena razdobljima intenzivnih promjena, odnosno velikih volatilnosti na tržištu (npr. 2001), pa daje preveliku volatilnost u mirnijim područjima.

Slika 5. Prinosi i procjene rizika

0,015

0,010

0,005

0

-0,005

-0,010

-0,015 2.1.2001. 2002. 2003. 2004. 2005. 31.12.2005.

pomak

BS gornja ograda

BS donja ograda

GARCH gornja ograda

GARCH donja ograda

prinosi

Za daljnju analizu, kojoj je cilj vrednovanje opcija, fiksirat ćemo procijenjene vrije-dnosti parametara i smatrati ih poznatim konstantama koje dominiraju modelom.

3. Vrednovanje opcija

Vrijednost opcije nastaje na osnovi vrijednosnice na koju je opcija pisana, ali je ispla-ta opcije (engl. payoff) nelinearna funkcija cijene vrijednosnice. Stoga će cijena opcije također biti nelinearna funkcija cijene vrijednosnice. Upravo ta nelinearnost otežava vre-dnovanje i upravljanje rizikom.

3. 1. Europska call opcija na stranu valutu uz NGARCH model

Analizu vrednovanja opcija ograničit ćemo na vrednovanje europskih opcija koje se mogu izvršiti isključivo na dan dospijeća.12 U ovom ćemo odjeljku prikazati model za vrednovanje europskih call opcija prema rezultatima Duana (1995).

12 Opcije američkog tipa mogu se izvršiti bilo kojeg datuma do datuma dospijeća i uključujući taj datum.

356


Europska call (put) opcija na devize13 (engl. Euopean call (put) option) daje vlasniku opcije pravo, ali ne i obvezu, na terminsku kupnju (prodaju) devize točno određenog datu-ma u budućnosti T (engl. maturity), koji se može izraziti terminima broja dana do datuma dospijeća τ > 0 (engl. time to maturity), a K je izvršna cijena opcije (engl. strike).

U daljnjem tekstu koristit ćemo se oznakom co za cijenu europske call opcije. Dani do datuma dospijeća τ broje se u kalendarskim danima (365 u godini), a ne poslovnim danima, odnosno danima trgovanja. Kažemo da je opcija u trenutku t u novcu (engl. in the money) ako vrijedi Ct > K pri novcu (engl. at the money) ako Ct = K, odnosno izvan novca (engl. out of the money) ako Ct < K. Kako bismo pravedno odredili cijenu opcije, potrebno je uvesti kriterij neutralnosti na rizik. To ne znači kako podrazumijevamo da su agenti na tržištu neutralni na rizik, već se za vrednovanje opcija koristimo mjerom ravno-teže cijena (engl. equilibrium price measure). S ekonomskog stajališta to je ujedno i vrlo logična pretpostavka. Naime, zbog uvjeta nearbitraže u svijetu neutralnom na rizik dana-šnja cijena vrijednosnice trebala bi biti očekivana vrijednost svih diskontiranih budućih isplata koje proizlaze iz vrijednosnice od interesa.

Kažemo da mjera ravnoteže cijena za domaće tržište zadovoljava relaciju valuaci-je lokalno neutralne na rizik14 (engl. local risk-neutral valuation relationship), odnosno RVLNR, ako svaka vrijednost vrijednosnice Xt koja se mjeri domaćom valutom zadovo-ljava sljedeće odrednice:

• Xt+1 / Xt uvjetno je log-normalno distribuirana u odnosu prema mjeri ravnoteže

• očekivana stopa prinosa vrijednosnice jednaka je bezrizičnoj domaćoj kamatnoj stopi, odnosno:

E X X et t trd*

1[ / ] = ,+ (13)

• uvjetna varijanca prinosa s obzirom na mjeru neutralnu na rizik jednaka je uvjetnoj varijanci originalnog procesa, odnosno:

Var X X Var X Xt t t t t t*

1 1[ ( / )] = [ ( / )],ln ln+ + (14)

pri čemu Et*, Vart

* označavaju, respektivno, uvjetno očekivanje i uvjetnu varijancu s obzirom na mjeru ravnoteže. Kako bismo mogli izračunati uvjetno očekivanje i uvje-tnu varijancu prema prethodnim uvjetima, potrebno je specificirati proces s obzirom na novu mjeru.

Proces definiran pomoću:

P C C r r Zt t t d s t t t+ + + + +≡ − − − +1 1 1

21 1( ) ( ) =

1

2ln ln σ σ ** ,

(15)

13 Tzv. call-put relacija (20) omogućuje nam da analizu vrednovanja opcija baziramo na europskoj call opciji, a zatim cijenu put opcije izračunamo pomoću spomenute relacije.

14 Definicija vrijedi i za stranu vrijednosnicu dokle god se ona mjeri domaćom valutom. Jasno je da je strana valuta specijalan primjer strane vrijednosnice koja je prikazana domaćom valutom. U tom slučaju, zbog racionalnog investiranja u devizni račun uz neprekidno ukamaćivanje, vrijedi relacija Xt = Ct exp(rst).

357



i:

σ ω α σ λ ρ σ βσt t t t tZ+ + − + +12 * 2 2= [ ( ) ] , (16)

pri čemu su Z*t+1 = Zt+1 + λ ~ N(0,1) odnosno varijable Z*

t nezavisne, normalno distri-buirane s obzirom na mjeru lokalno neutralnu na rizik, zadovoljava svojstva 1, 2 i 3 pret-hodne definicije.15

Relacija (15) omogućuje nam vrednovanje opcija na stranu valutu. Nadalje, prema re-laciji (16) slijedi da premija za rizik λ globalno utječe na proces uvjetne varijance iako je rizik lokalno neutraliziran s obzirom na mjeru ravnoteže koja zadovoljava kriterij RVLNR, s tim što je u specifikaciji očekivanja (15) nadomješten bezrizičnom kamatnom stopom, a uvjetna varijanca ostala je nepromijenjena prema uvjetu 3. Prema navedenome, proizlazi da će cijena opcije prikazana NGARCH modelom biti funkcija premije za rizik.

Pravedna cijena europske call opcije (u svijetu neutralnome na rizik) u trenutku t izvršne cijene K, s datumom dospijeća t + τ, τ > 0 prikazana je kao diskontirana očekiva-na vrijednost isplate s obzirom na mjeru lokalno neutralnu na rizik, uz dostupnost svih informacija do tog trenutka, odnosno:

co r E C Kt d t t= ( ) [ ( , 0)].*exp max− −+τ τ (17)

Budući da distribucija vremenski agregirane cijene Ct+τ u analitičkoj formi nije pozna-ta, uvjetno očekivanje E*

t ne može se eksplicitno izračunati. Stoga se potrebno koristiti si-mulacijama za računanje prosječne buduće isplate i potom dobivenu vrijednost iskoristiti kao procjenu očekivane vrijednosti E*

t [.]. Aproksimacije dobivene simulacijom zovemo Monte Carlo procjenitelji. Kada je broj Monte Carlo ponavljanja MC dovoljno velik (MC → ∞), prosječna vrijednost konvergira očekivanju. Simulacije se izvršavaju rekurzivnom primjenom relacija (15) i (16) i prikazane su u sljedećem odjeljku.

Osobito je važno istaknuti da je, za razliku od formule (17), čiju vrijednost ne možemo izravno izračunati, prema modelu Blacka i Scholesa (10), uz određene pretpostavke, cijena europske call opcije prikazana formulom (Campbell, Lo and MacKinlay, 1997, pogl. 9):

co C r d r K dt t s d= ( ) ( ) ( ) ( ),exp exp− − − −τ τ σ τΦ Φ (18)

pri čemu je Φ(z) funkcija distribucije standardne normalne slučajne varijable, a d zadan jednakošću:

d

C K r rt d s=( / ) ( / 2)

.2ln + − +τ σ

σ τ (19)

15 Dokaz tvrdnje prikazan je u dodatku 1.

358


Formula (18) poznata je pod nazivom Black-Scholes-Mertonova formula.16 Za opcije na stranu valutu Φ(d)exp(-rsτ) određuje osjetljivost cijene opcije na promjene cijene samog tečaja. Tu vrijednost zovemo delta opcije i označavamo sa ∆. Iako smo analizu uglavnom usredotočili na europsku call opciju, dobivene formule mogu se iskoristiti za određivanje cijene europske put opcije, pot, pomoću tzv. call-put relacije prikazane sa:

C r po co K rt s t t dexp exp( ) = ( ).− + + − τ (20)

U daljnjem ćemo tekstu cijenu opcije dobivene uz NGARCH model označiti sa coGH, a uz Black-Scholesov model sa coBS Prije same usporedbe GARCH modela za vrednova-nje opcija s Black-Scholesovim numeričkom analizom uočimo da GARCH model u svo-joj općenitosti obuhvaća i Black-Scholesov model jer je homoskedastični proces prinosa vrijednosnica specijalni slučaj GARCH procesa (za α = 0 i ß = 0).

4. Analiza cijena opcija na stranu valutu uz NGARCH model

Kako bi se standardizirale cijene opcija koje odgovaraju različitim datumima dospi-jeća i izvršnim cijenama, u istraživanju opcija uobičajeno je primijeniti formulu kako bi se izračunala Black-Scholesova implicirana volatilnost. Budući da je Black-Scholesova cijena opcije kao funkcija parametra volatilnosti σ, strogo rastuća17, moguće je naći je-dinstvenu vrijednost volatilnosti σ~ (T, K) takvu da vrijedi:

co C K T C T KtBS

t t( , , , ) = ( , ),*�σ (21)

pri čemu C*t (T, K) označava opaženu tržišnu cijenu opcije u trenutku t za datum dospije-

ća T i izvršnu cijenu K. Za fiksni t, implicirana volatilnost σ~ (T, K) ovisi o karakteristika-ma opcije kao što su datum dospijeća T i izvršna cijena K. Funkcija σ~ (T, K) zove se po-vršina implicirane volatilnosti (engl. implied volatility surface) u trenutku t. Cijene opci-ja na tržištu obično su predočene terminima Black-Scholesove implicirane volatilnosti18, odnosno za svaki fiksni t promatra se:

�σ τ= ( , , , ) .* 1co C K Ct

BSt t

− (22)

Zbog pretpostavke o konstantnoj volatilnosti Black-Scholesov model predviđa ravnu površinu implicirane volatilnosti, odnosno konstantnu σ = σ~ (T, K). Postoji mnogo doku-mentiranih empirijskih studija o tome da implicirana volatilnost nije konstantna kao funkci-

16 Uz pretpostavke nearbitraže i nepostojanja tržišnih nesavršenosti, npr. poreza i troškova transakcija, Black i Scholes došli su do formule pretpostavljajući da vrijedi CAPM (engl. capital assset pricing model), odnosno model za procjenu kapitalne imovine, dok je Merton do iste formule došao promatranjem samofinancirajućeg portfelja koji se sastoji od dionica, opcija i bezrizičnih obveznica.

17 Za svaki σ ∈ ∞(0, ) vrijedi ∂

∂coBS

σ> 0 .

18 Vrijedi napomenuti da, prema tvrdnji (21), postoji inverzna funkcija funkcije coBS.

359



ja izvršne cijene niti kao funkcija datuma dospijeća (npr. Cont i da Fonseca, 2002; Rubin-stein, 1985). Prilikom vrednovanja opcija na dionice Johnson i Shanno (1987), Scott (1987) i Wiggins (1987) u svojim radovima analiziraju efekt stohastičke volatilnosti i pokazuju da su predviđene cijene opcija europskog tipa uglavnom niže od cijena opcija dobivenih mo-delom Blacka i Scholesa za opcije “pri novcu”. Ako je opcija “jako u novcu”, predviđene cijene opcija obično su veće od Black-Scholesovih. Za opcije “jako izvan novca”, rezulta-ti koje dobivaju osjetljivi su na parametre zastupljene u stohastičkom procesu koji opisuje dinamiku volatilnosti te na korelaciju između promjena u volatilnosti i cijene dionice.

Za provođenje studije o tome mogu li okviri asimetričnog GARCH modela opisati em-pirijska opažanja na svjetskom tržištu opcija, u numeričkoj su analizi pomoću parametara iz tablice 1. najprije izračunane cijene opcija19 uz NGARCH specifikaciju, a zatim su, za ra-zličite dane do dospijeća τ, prikazani grafovi (m, σ~ (m)) pri čemu je m definiran kao K/Ct i zovemo ga relativna izvršna cijena (engl. moneyness). Veličina σ~ definirana je pomoću (22) tako da se umjesto C * u jednadžbu uvrštava coGH odnosno cijena opcije dobivena GARCH modelom. Za početnu vrijednost volatilnosti uzeta je procijenjena bezuvjetna volatilnost izračunana na bazi parametara iz tablice 1, prema relaciji (7), koja na godišnjoj razini, pre-tpostavljajući 252 dana u godini, iznosi 0,036128 i ucrtana je isprekidanom linijom u svaku od slika 6, 7. i 8. Budući da nije signifikantan, parametar λ izbačen je iz daljnje analize.20

Slika 6. Implicirana volatilnost kao funkcija relativne izvršne cijene za europskucall opciju na stranu valutu, ρ= – 0,17074

0,043

0,042

0,041

0,040

0,039

0,038

0,037

0,036

0,035

0,034 0,97 0,98 0,99 1 1,01 1,02 1,03

relativna izvršna cijena

60 dana30 dana 90 dana

Bla

ck-S

chol

esov

a im

plic

iran

a vo

lati

lnos

t

19 Svaka cijena opcije simulirana je uz 50.000 izvršenja. Za simuliranje je korišten programski jezik MATLAB.

20 Prema relaciji (16), jasno je da izraz (λ + ρ) utječe na vrednovanje opcija kao jedan od parametara, pa stoga bez smanjenja općenitosti možemo promatrati slučaj λ = 0 dokle god se analizira utjecaj parametra ρ.

360


Slika 7. Implicirana volatilnost na godišnjoj razini kao funkcija relativne izvršne cijene za europsku call opciju na stranu valutu, ρ= – 0,461

0,048

0,046

0,044

0,042

0,040

0,038

0,036

0,034

0,032 0,97 0,98 0,99 1 1,01 1,02 1,03



Bla

ck-S

chol

esov

a im

plic

iran

a vo

lati

lnos

t

Nadalje, cijene opcija prikazane su u terminima broja dana do datuma dospijeća. Cijene opcija izračunane su za različite rokove do dospijeća (τ = 30, 60 i 90 dana) i ra-zličite relativne izvršne cijene (m = 0,97, 0,985, 1,0, 1,015 i 1,03, koje redom odgova-raju izvršnim cijenama opcije K = 7,11495, 7,224975, 7,335, 7,445, 7,555), uz spot-ci-jenu tečaja Ct = 7,335. Primjenom relacije (17), cijena opcije dobivena simulacijom pri-kazana je pomoću:

c r

MCC KGH

di

MC

i t≈ − −∑ +exp max( )1

{ , 0},=1

,τ τ

(23)

pri čemu je MC = 50.000, a za i – tu simulaciju vrijedi:

C C P i MCi t tj

i t j,=1

,= ( ), = 1, 2, , .+ +∑τ

τexp …

(24)

361



Slika 8. Implicirana volatilnost kao funkcija relativne izvršne cijene za europskucall opciju na stranu valutu, ρ= 0.

0,043

0,042

0,041

0,040

0,039

0,038

0,037

0,036

0,035

0,034 0,97 0,98 0,99 1 1,01 1,02 1,03



Bla

ck-S

chol

esov

a im

plic

iran

a vo

lati

lnos

t

Sve dobivene vrijednosti odnose se na cijenu opcije na današnji dan, koji je ozna-čen kao t = 0 i u daljnjem ga indeksiranju izostavljamo. Dobivene cijene opcija zatim su uspoređene s onima koje proizlaze implementacijom Black-Scholesova modela, uz procijenjenu godišnju konstantnu volatilnost 0,036128. Dobiveni su rezultati prikaza-ni u dodatku 2. Slika 6. temelji se na procijenjenim parametrima iz tablice 1. Blaga ne-gativna asimetrija ρ = -0,17074 utječe na činjenicu da su opcije izvan novca (K/C > 1) u Black-Scholesovu modelu konstantne volatilnosti σ = 0,036128 podcijenjene. Opci-je “pri novcu” u modelu konstantne volatilnosti precijenjene su. Budući da je cijena opcije rastuća funkcija volatilnosti, volatilnosti čija je vrijednost veća od one staci-onarne upućuju na višu cijenu opcije nego što bi je Black-Scholesov model uz vola-tilnost σ = -0,036128 i iste terminske uvjete predvidio. Radi analize utjecaja parame-tra asimetrije, postupak simulacije je opetovan21, uz ρ = -0,461 i ρ = 0 redom, a rezul-tati su prikazani na slikama 7. i 8. Vrijednost parametra ω prilagođena je kako bi sta-cionarna volatilnost ostala nepromijenjena. Pri umjerenoj asimetriji ρ = -0,467 opcije “izvan novca” u modelu konstantne volatilnosti podcijenjene su, dok su neke od opci-ja (τ = 30) “u novcu” u modelu konstantne volatilnosti također podcijenjene. Efekt precjenjivanja u modelu konstantne volatilnosti sada je izraženiji za opcije “u novcu”. Ako je ρ = 0 graf implicirane volatilnosti postaje gotovo simetričan (centriran u K/C =

21 Dobivene cijene prikazane su u dodatku 3) i dodatku 4).

362


1) jer je asimetričnost potpuno izostala. Prema slici 8. vidljivo je da su opcije “jako u novcu” i “jako izvan novca” u modelu konstantne volatilnosti značajno podcijenjene. Dobiveni su rezultati konzistentni s opažanjima Taylora i Xua (1994) i Duana (1999). Za opcije “izvan novca”, neovisno o kojem je parametru asimetrije riječ, implicira-na je volatilnost opadajuća funkcija datuma dospijeća. Za opcije koje su “blizu novca”(K/C = 1) pri nepostojanju asimetričnosti ili pak pri vrlo blagoj asimetričnosti (ρ = 0 iliρ = -0,17074) implicirana je volatilnost rastuća funkcija datuma do dospijeća. Spoznaje su podudarne s opažanjima Shastrija i Wethyavivorna (1987) te Duana (1999).

5. Zaključak

U posljednje je vrijeme na hvatskom tržištu naglo poraslo zanimanje profesionalnih investitora za financijskim derivatima. Tržište derivata u Hrvatskoj još ne postoji, ali se u skoroj budućnosti očekuje njegovo osnivanje. U tom slučaju, kao alternativu Brownovu modelu, u ovom se radu za vrednovanje opcija predlaže NGARCH model. Za ilustraci-ju su prikazane posljedice koje model ima za vrednovanje opcija na stranu valutu. Iden-tificirana je mjera vrednovanja za domaću ekonomiju, koja je lokalno neutralna na rizik te je prikazana dinamika cijena strane valute s obzirom na tu mjeru. Analiza pokazuje da uvođenje heteroskedastičnosti rezultira boljom prilagodbom empirijske distribucije strane valute s obzirom na model koji se bazira na Brownovu gibanju. Simulacije poka-zuju da je unutar predloženog modela moguće opisati empirijska opažanja na svjetskim tržištima opcija na stranu valutu. Za razliku od Black-Scholesova modela, koji je imun na preferencije, NGARCH model za vrednovanje opcija u svojoj formulaciji obuhvaća i premiju za rizik. Nije a priori jasno koja je vrijednost premije razumna za rizik volatil-nosti. U ovom se radu u primjeru procjene parametara primjenom vremenskog niza vri-jednosnice od interesa premija nije pokazala signifikantnom. No jednom kada podaci s ustanovljenog tržišta budu dostupni, bit će moguće provesti procjenu parametara kori-štenjem isključivo podataka s tržišta derivata, bez potrebe za vremenskim nizom same vrijednosnice. Tada će biti zanimljivo analizirati razlikuju li se predikcije cijena opcija dobivene NGARCH modelom za vrednovanje opcija od onih na tržištu te u kojoj mjeri unapređenje rezultira samom procjenom parametara, a s ciljem predikcije cijena opci-ja. Budući da je u granicama nelinearnoga asimetričnog GARCH modela moguće mo-delirati koreliranost uvjetne varijance i pomak prinosa, zbog empirijski poznatog efe-kta poluge model može biti vrlo koristan i prilikom modeliranja dionica (npr. Christie, 1982), a samim time i za vrednovanje opcija na dionice. To upućuje na moguću primje-nu NGARCH modela za vrednovanje opcija na bilo koju vrijednosnicu od interesa na burzi. Nadalje, uz dostupnost podataka s tržišta opcija, bilo bi zanimljivo istražiti koliko se dobivene predikcije cijena mogu poboljšati modelima koji obuhvaćaju procese sko-kova jer oni mogu reflektirati nepredvidive promjene na tržištu. Zaključno, jednom kada podaci s tržišta derivata budu dostupni, neće izostati modeli kojima će se pokušati mo-delirati različiti fenomeni.

363



Dodatak 1.

Izvod lokalne neutralnosti na rizik za GARCH model

Pretpostavimo da je specifikacija procesa uz novu mjeru dana izrazima (15) i (16). Prema racionalnom ponašanju investitora (u smislu da preferira više a ne manje novca), strana je valuta specijalni slučaj strane vrijednosnice prikazane relacijom:

X C r tt t s= ( ).exp (25)

Budući da je, prema pretpostavkama modela, σ2t+1 vrijednost koja je poznata u trenu-

tku t, a Z* normalno distribuirana slučajna varijabla, prema specifikaciji (15) slijedi da je ln(Xt+1/Xt) = rs + ln(Ct+1/Ct) uvjetno normalno distribuirana slučajna varijabla, odnosno da je Xt+1/Xt uvjetno log-normalno distribuirana.

Nadalje, računajući uvjetno očekivanje relacije (15), slijedi:

E X X E C r t C rt t t t t s t s*

1*

1[ / ] = [ ( ( 1)) / ( (+ + +exp exp tt

r E r r Zs t d s t t t

))]

= ( ) [ (1

2*

12

1 1exp exp − − ++ + +σ σ **

12 *

1 1*

)]

= (1

2) [ ( )].exp expr E Zd t t t t− + + +σ σ

(26)

No, σ2t+1 Z*

t+1 je uvjetno normalno distribuirna slučajna varijabla očekivanja nula i va-rijance σ2

t+1, pa stoga izraz E*t [exp(σt+1 Z*

t+1)] predočuje generirajuću funkciju momenata za normalnu slučajnu varijablu izračunanu u jedinici, što u promatranom primjeru iznosi

exp(1

2).1

2σ t + Stoga, prema jednakosti (26), slijedi:

E X X rt t t d*

1[ / ] = ( )+ exp , (27)

što ispunjava drugi uvjet.

Napokon, uzimajući u obzir da je “sutrašnja” varijanca prinosa, tj. σ2t+1 poznata na

kraju današnjeg dana, tj. u trenutku t, primjenom relacija (15) i (16) dobiva se:

Var X X E Zt t t t t t t t*

1* * 2[ ( / )] = [ ( )ln + + − − +ω α σ λσ ρσ ββσ

ω α σ λσ ρσ βσ

t

t t d s t t t tE P r r

2

* 2 2

]

= [ (1

2)+ − + + − − + 22

2 2

1

]

= [ ( ) ]

= [ ( /

E Z

Var X Xt t t t t

t t t

ω α σ ρσ βσ+ − +

+ln ))], (28)

pri čemu posljednja jednakost proizlazi iz relacije (3). Time je ispunjen i treći uvjet.

1= [ ( /Var X Xt t t+ln ))],

364


Dodatak 2.

Cijene opcija na stranu valutu dobivene uz GARCH model i Black-Scholesov model za vrednovanje opcija za različite datume dospijeća i izvršne cijene uz volatilnostσ0 = 0,036128 spot-cijenu tečaja C = 7,335 i parametre iz tablice 1.22

Dani do dospijeća τ m Izvršna cijena opcije coGH coBS

30

0,971,001,001,021,03

7,127,227,347,457,56

0,223086901229410,117418702604760,037210591941860,006245571174970,00080196491670

0,222884835368950,117665848977510,038123290967460,005632505184540,00030742586018

60

0,971,001,001,021,03

7,127,227,347,457,56

0,227562917717180,127944471309150,053624432012620,016247762430060,00392655032981

0,227203796408970,128673234616090,054777153354580,015817339273560,00287215360745

90

0,971,001,001,021,03

7,127,227,347,457,56

0,232105428512310,137336932762070,066388493913640,025946858408560,00857959351282

0,232675204099550,138988581138850,067845283926490,025638374763370,00720066693796

Dodatak 3.

Cijene opcija na stranu valutu dobivene uz GARCH model i Black-Scholesov model za vrednovanje opcija za različite datume dospijeća i izvršne cijene uz volatilnostσ0 = 0,036128, spot-cijenu tečaja C = 7,335 i ρ = -0,461.


30

0,971,001,001,021,03

7,127,227,347,457,56

0,223296828374680,116632408895130,036818418529150,007382327259720,00140489838562

0,222884835250010,117665847784760,038123288341330,005632503827020,00030742568463

60

0,971,001,001,021,03

7,127,227,347,457,56

0,227111540731230,125818173103590,052241044949100,017704785460700,00587851654204

0,227203795663940,128673232190960,054777149657170,015817336543210,00287215259940

90

0,971,001,001,021,03

7,127,227,347,457,56

0,231378365507450,134721172618860,064680789321170,027355992571220,01151890310116

0,232675202605500,138988577796520,067845279418210,025638371013990,00720066497420

22 U tablici su prikazani rezultati koji kao početnu vrijednost NGARCH varijance imaju procijenjenu bezuvjetnu vrijednost σ2

0. No kao početne vrijednosti NGARCH varijance ispitane su i vrijednosti jednake bezuvjetnoj varijanci povećanoj za 15% odnosno za 20%. Grafove Black-Scholesove implicirane volatilnosti s obzirom na promijenjene početne vrijednosti varijance izostavljamo jer ne upućuju na nove spoznaje već samo na one logične, npr. Na to da model konstantne volatilnosti podcjenjuje opcije ako je početna vrijednost NGARCH varijance veća.

365



Dodatak 4.

Cijene opcija na stranu valutu dobivene uz GARCH model i Black-Scholesov model za vrednovanje opcija za različite datume dospijeća i izvršne cijene uz volatilnostσ0 = 0,036128, spot-cijenu tečaja C = 7,335 i ρ = 0.


30

0,971,001,001,021,03

7,127,227,347,457,56

0,223257834214160,117901410755310,037254999618670,005756988689020,00054626948211

0,222884835250010,117665847784760,038123288341330,005632503827020,00030742568463

60

0,971,001,001,021,03

7,127,227,347,457,56

0,228111896702770,128801644042180,053766118778150,015655585527870,00345550578795

0,227203795663940,128673232190960,054777149657170,015817336543210,00287215259940

90

0,971,001,001,021,03

7,127,227,347,457,56

0,233295222968730,138859671661040,066875546401610,025073599912140,00752584342935

0,232675202605500,138988577796520,067845279418210,025638371013990,00720066497420

LITERATURA

Bernstein, P., 1992. Capital Ideas: The Improbable Origins of Modern Wall Street. New York: Free Press.

Black, F. and Scholes, M., 1973. “The Pricing of Options and Corporate Liabiliti-es”. Journal of Political Economy, 81 (3), 637-654.

Bollerslev, T., 1986. “A generalized autoregressive conditional heteroscedasticity”. Journal of Econometrics, 31, 307-327.

Bollerslev, T., Chou, R. and Kroner, K., 1992. “ARCH Modeling in Finance: A re-view of the Theory and Empirical Evidence”. Journal of Econometrics, 52 (1-2), 5-59.

Campbell, J. Y., Lo, A. W. and MacKinlay, A. C., 1997. The Econometrics of Fi-nancial Markets. Princeton, New Jersey: Princeton University Press.

Christie, A. A., 1982. “The Stochastic Behaviour of Common Stock Variances: Value, Leverage and Interest Rate Effects”. Journal of Financial Economics, 10 (4), 407-432.

Christoffersen, P. F., 2003. Elements of Financial Risk Management. San Diego: Academic Press.

Cont, R. and da Fonseca, J., 2002. “Dynamics of Implied Volatility Surfaces”. Qu-antitative Finance, 2 (1), 45-60.

Cooper, I. [et al.], 1986. Option Hedging. Mimeo. London: London Business School.

366


Ding, Z., Granger, C. W. J. and Engle, R. F., 1993. “A Long Memory Property of Stock Market Returns and a New Model”. Journal of Empirical Finance, 1 (1), 83-106.

Duan, J.-C., 1995. “The GARCH Option Pricing Model”. Mathematical Finance, 5 (1), 13-32.

Duan, J.-C., 1997. “Augmented GARCH (p, q) Process and its Diffusion Limit”. Jo-urnal of Econometrics, 79 (1), 97-127.

Duan, J.-C., 1999. “Pricing Foreign Currency and Cross-Currency Options Under GARCH”. The Journal of Derivatives, 7 (1), 51-63.

Engle, R. F., 1982. “Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation”. Econometrica, 50 (4), 987-1007.

Engle, R. F., 1995. ARCH: Selected Readings. Oxford: Oxford University Press.

Engle, R. F. and Ng, V. K., 1993. “Measuring and testing the impact of news on vo-latility”. Journal of Finance, 48, 1749-1778.

Fama, E., 1965. “The behavior of stock market prices”. Journal of Business, 38 (1), 34-105.

Geske, R., 1979. “The Valuation of Compound Options”. Journal of Financial Eco-nomics, 3 (7), 125-144.

Glosten, L., Jagannathan, R. and Runkle, D., 1993. “On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks”. Journal of Finance, 48 (5), 1779-1801.

Hentschel, L., 1995. “All in the Family: Nesting Symmetric and Asymmetric GARCH Models”. Journal of Financial Economics, 39 (1), 71-104.

Hull, J. and White, A., 1987. “The Pricing of Options on Assets with Stochastic Vo-latilities”. Journal of Finance, 42 (2), 281-300.

Johnson, H. and Shanno, D., 1987. “Option Pricing When the Vaiance is Changing”. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 22, 143-151.

Mandelbrot, B., 1963. “The variation of certain speculative prices”. Journal of Bu-siness, 36 (4), 394-419.

Merton, R., 1973. “The Theory of Rational Option Pricing”. Bell Journal of Econo-mics and Management Science, 4 (1), 141-183.

Merton, R., 1976. “Option Pricing When Underlying Stock Returns are Discontinu-ous”. Journal of Financial Economics, 4, 141-183.

Nelson, D., 1991. “Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Appro-ach”. Econometrica, 59 (2), 347-370.

Rebonato, R., 1999. Volatility and Correlation in the pricing of Equity, FX and In-terest Rate Options. Chichester: Wiley.

Rubinstein, M., 1983. “Displaced Diffusion Option Pricing”. Journal of Finance, 38 (1), 213-217.

Rubinstein, M., 1985. “Nonparametric Tests of Alternative Option Pricing Models Using all Reported Trades and Quotes on the 30 Most Active CBOE Option Classes from August 23, 1976 through August 31, 1978”. Journal of Finance, 40 (2), 455-480.

367



Scott, L., 1987. “Option Pricing When the Variance Changes Randomly: Theory, Estima-tion and an Application”. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 22 (4), 419-438.

Shastri, K. and Wethyavivorn, K., 1987. “The Valuation of Currency Options for Alternate Stochastic Processes”. Journal of Financial Research, 10, 283-293.

Shephard, N. 1996. “Statistical aspects of ARCH and stochastic volatility” in: D. R. Cox, D. V. Hinkley and O. E. Barndorff-Nielsen: Time Series Models in Econometrics, Finance and Other Fields. London: Chapman; Hall, 1-67.

Stein, E. and Stein, J., 1991. “Stock Price Distributions with Stochastic Volatility: An Analytic Approach”. Review of Fianncial Studies, 4 (4), 727-752.

Šestović, D. i Latković, M., 1998. “Modeliranje volatilnosti vrijednosnica na Zagre-bačkoj burzi”. Ekonomski pregled, 49 (4-5), 292-303.

Taylor, S., 1986. Modelling Financial Time Series. New York: Wiley.

Taylor, S. J. and Xu, X., 1994. “The Magnitude of Implied Volatility Smiles: Theory and Empirical Evidence for Exchange Rates”. Review of Future Markets, 13, 355-380.

Wiggins, J., 1987. “Option Values Under Stochastic Volatility: Theory and Empiri-cal Estimates”. Journal of Financial Economics, 19, 351-372.

P e t r a P o s e d e l : Analysis of the Exchange Rate and Pricing ForeignCurrency Options in the Croatian Market: The NGARCH Model as an

Alternative to the Black-Scholes Model

Abstract

The interest of professional investors in financial derivatives on the Croatian market is steadily increasing and trading is expected to start after the establishment of the legal framework. The quantification of the fair price of such financial instruments is therefo-re becoming increasingly important. Once the derivative market is formed, the use of the Black-Scholes option pricing model can also be expected. However, contrary to the as-sumptions of the Black-Scholes model, research in the field of option markets worldwide suggests that the volatility of the time series returns is not constant over time. The present study analyzes the implications of volatility that changes over time for option pricing. The nonlinear-in-mean asymmetric GARCH model that reflects the asymmetry in the distri-bution of returns and the correlation between returns and variance is suggested. For the purpose of illustration, we use the NGARCH model for the pricing of foreign currency options. Possible prices for such options having different strikes and maturities are then determined using Monte Carlo simulations. The improvement provided by the NGARCH model is that the option price is a function of the risk premium embedded in the under-lying asset. This contrasts with the standard preference-free option pricing result that is obtained in the Black-Scholes model.

Key words: Black-Scholes model, NGARCH model, heteroskedasticity, volatility, risk premium, risk-neutral measure, no arbitrage, Monte Carlo simulations

Documents

ANALIZA TEČAJA I VREDNOVANJE OPCIJA NA TEČAJ NA … · dno ekonometrijsko modeliranje kretanja cijena vrijednosnica i njihovih volatilnosti jer su formule za vrednovanje opcija