ANALIZA UTRUJANJA POROZNIH STRUKTUR Z METODO XFEM

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO

Sašo DERVARIČ

ANALIZA UTRUJANJA POROZNIH STRUKTUR Z METODO XFEM

Magistrsko delo

študijskega programa 2. stopnje

Strojništvo

Maribor, oktober 2016

Magistrsko delo

ANALIZA UTRUJANJA POROZNIH STRUKTUR Z

METODO XFEM

Študent: Sašo DERVARIČ

Študijski program 2. stopnje: Strojništvo

Smer: Konstrukterstvo

Mentor: red. prof. dr. Srečko GLODEŽ

Somentor: izr. prof. dr. Jožef PREDAN

Maribor, oktober 2016

- II -

I Z J A V A Podpisani Sašo Dervarič, izjavljam, da:

je magistrsko delo rezultat lastnega raziskovalnega dela,

da je predloženo delo v celoti ali v delih ni bilo predloženo za pridobitev kakršnekoli

izobrazbe po študijskem programu druge fakultete ali univerze,

da so rezultati korektno navedeni,

da nisem kršil-a avtorskih pravic in intelektualne lastnine drugih,

da soglašam z javno dostopnostjo magistrskega dela v Knjižnici tehniških fakultet ter

Digitalni knjižnici Univerze v Mariboru, v skladu z Izjavo o istovetnosti tiskane in

elektronske verzije zaključnega dela.

Maribor,_____________________ Podpis: ________________________

- III -

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorju red. prof. dr. Srečku

GLODEŽU in somentorju izr. prof. dr. Jožefu

PREDANU za pomoč in vodenje pri pripravi

magistrskega dela.

Zahvaljujem se tudi staršem, ki so mi omogočili študij.

- IV -

ANALIZA UTRUJANJA POROZNIH STRUKTUR Z METODO XFEM

Ključne besede: porozna gradiva, lotus porozna struktura, analiza utrujanja, iniciranje in

širjenje razpok, XFEM metoda

UDK: 004.942:620.178.3(043.2)

POVZETEK

Predmet magistrskega dela je analiza utrujanja lotus porozne strukture z numeričnimi

simulacijami v programu Abaqus. Celoten proces utrujanja analizirane lotus porozne

strukture je razdeljen na dobo iniciranja in dobo širjenja razpoke. Doba iniciranja razpoke se

izračunana po deformacijski metodi, doba širjenja razpoke pa se izračuna s pomočjo

Parisovega zakona širjenja utrujenostnih razpok. Za izračun teh dob trajanja smo uporabili

materialne parametre poroznega gradiva in veličine, ki smo jih izračunali s pomočjo

numeričnih simulacij. Izvedene numerične simulacije so vsebovale enak geometrijski 2D

model lotos porozne strukture, kateri je bil obremenjen za dva različna obremenitvena

primera. Pri 1-osni obremenitvi modela so bile numerične simulacije narejene po klasični

metodi končnih elementov (pri kateri smo v model ročno vstavljali in širili razpoke; pri tem

smo upoštevali kriterij maksimalne tangencialne napetosti za širjenje razpok) in z uporabo

razširjene metode končnih elementov (XFEM metoda). Pri XFEM metodi smo podali kriterije

za iniciacijo in kriterije za širjenje razpok, na podlagi katerih je potem program sam vstavil

razpoko v model in jo samodejno širil. Pri 2-osni obremenitvi modela pa so bile izvedene

numerične simulacije samo po XFEM metodi. Pri obeh metodah numeričnih simulacij smo

pričakovali podobne rezultate za dosego dobe trajanja lotus porozne strukture pri 1-osni

obremenitvi, vendar do tega ni prišlo. Največje razlike so bili pri številu nihajev potrebnih za

iniciacijo razpoke, to pa zaradi tega, ker smo pri XFEM metodi upoštevali samo elastični del

materiala. Primerjane so bile analize utrujanja lotus porozne strukture pri dveh različnih

obremenitvenih primerih. Kot je bilo pričakovano se pri 2-osno obremenjenem modelu hitreje

inicirajo in širijo razpoke do kritične dolžine ac.

- V -

FATIGUE ANALYSIS OF POROUS STRUCTURES USING XFEM METHOD

Key words: porous materials, lotus-type structure, fatigue analysis, crack initiation and crack

propagation, XFEM method

UDK: 004.942:620.178.3(043.2)

ABSTRACT

In this thesis a study of the investigation of fatigue strength of lotus-type structure with

nodular cast iron as a base material using numerical simulations has been performed. The

complete fatigue process of analysed porous structure was divided into the crack initiation

and crack propagation period. The crack initiation period was determined using strain life

approach and the number of stress cycles required for crack propagation from initial to the

critical crack length was determined with integration of Paris equation. For the calculation of

these periods we used the material properties of porous material and quantities that were

determined using numerical simulations in Abaqus. Performed numerical simulations

contained the same geometric 2D model of lotus-type structure which was loaded in two

different load cases. In the model which was loaded only in 1-axle we made numerical

simulations using the finite element method (by this method we manually put and

propagated the cracks using the MTS criterion) and the Extended Finite Element Method

(XFEM). With the XFEM method we specified crack initiation and crack propagation criterion

after which then the Abaqus determined the location of initial crack and propagated the

crack to a critical length. In the model which was loaded in 2-axle only XFEM method was

used in numerical simulations. We expected the same computational results of total fatigue

life in the model which was loaded in 1-axle with both methods; however this did not happen

since the biggest differences were in crack initiation period with XFEM method where we

considered only elastic material properties in numerical simulations. Compared analyses of

models in the two different load cases were as we expected. In the 2-axial loaded model

crack initiated and propagated faster to a critical length compared to the 1-axial model.

- VI -

KAZALO

1 UVOD ....................................................................................................... 7

1.1 Opis splošnega področja magistrskega dela ...................................................................... 7

1.2 Opredelitev magistrske naloge ........................................................................................... 7

1.3 Struktura magistrskega dela ............................................................................................... 8

2 TEORETIČNE OSNOVE POROZNIH GRADIV .............................................. 11

2.1 Splošno o poroznih gradivih ............................................................................................. 11

2.2 Lotus porozna gradiva ...................................................................................................... 12

3 INICIRANJE IN ŠIRJENJE UTRUJENOSTNIH RAZPOK ................................. 15

3.1 Deformacijska metoda ..................................................................................................... 16

3.2 Parisov zakon širjenja utrujenostnih razpok .................................................................... 18

3.3 XFEM ................................................................................................................................. 21

4 ANALIZA UTRUJANJA LOTUS POROZNIH STRUKTUR ............................... 23

4.1 Modeliranje poroznih struktur ......................................................................................... 24

4.2 Numerične simulacije utrujanja poroznih struktur pri 1-osni obremenitvi ..................... 25

Klasičen pristop ............................................................................................................................................ 25

XFEM ............................................................................................................................................................ 35

4.3 Numerične simulacije utrujanja poroznih struktur pri 2-osni obremenitvi ..................... 40

5 ANALIZA REZULTATOV ........................................................................... 43

6 ZAKLJUČKI .............................................................................................. 53

6.1 Doseženi cilji ..................................................................................................................... 53

6.2 Predlogi za nadaljnje delo ................................................................................................ 54

SEZNAM UPORABLJENIH VIROV ................................................................... 55

Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo

- 7 -

1 UVOD

1.1 Opis splošnega področja magistrskega dela

Porozna gradiva so vsa gradiva, katerih gostota je zaradi poroznosti v materialu manjša od

gostote osnovnega materiala. Najdemo jih v naravi (npr. kosti, satje, …) in tudi v industriji

(npr. filtri, ležaji, dušilci zvoka, bio-medicinski vsadki, …), kjer so se uveljavila zaradi svoje

kombinacije fizikalnih in mehanskih lastnosti, kot so nizka gostota pri visoki togosti, velika

površina pri danem volumnu, velika sposobnost absorpcije mehanske energije in druge.

Mehanske in fizikalne lastnosti poroznih gradiv so v veliki meri odvisne od lastnosti

osnovnega materiala, topologije in morfologije por (odprte in zaprte pore) ter poroznosti

gradiva. Materiale glede na poroznost delimo na porozna in celična gradiva. Približna meja

med njimi je določena pri poroznosti 70 %. Tako spadajo materiali s poroznostjo manjšo od

70 % med porozna gradiva, tiste z večjo pa obravnavamo kot celična [1].

Predmet tega dela je analiza utrujanja lotus poroznega gradiva, ki je tipični predstavnik

poroznih gradiv. Za lotus porozna gradiva je značilna izrazita usmerjenost podolgovatih por,

kar se odraža v ortotropnih mehanskih lastnostih materiala na makroskopskem nivoju in v

večji regularnosti por [1]. Največje slabosti lotus poroznih struktur so neurejenost,

nedoločenost in spremenljivost porazdelitve por, kar ima za posledico nepredvidljiv odziv

materiala na utrujanje. Razumevanje obnašanja lotus poroznih struktur pri utrujanju pa je

bistveno, da lahko nato lotus porozno gradivo uporabimo za izdelavo konstrukcijskih

elementov. Za preučevanje utrujanja lotus porozne strukture lahko uporabimo eksperiment

kar je velikokrat drago in težko izvedljivo, v tem primeru pa smo uporabili numerične

simulacije s programom Abaqus.

1.2 Opredelitev magistrske naloge

Namen magistrske naloge je izvesti analizo utrujanja lotus porozne strukture z numeričnimi

simulacijami v programu Abaqus. Celoten proces utrujanja analizirane lotus porozne

strukture je razdeljen na dobo iniciranja razpoke ( ) in dobo širjenja razpoke ( ), pri tem

pa je celotna doba trajanja definirana kot . Dobo iniciranja razpoke ( ) bomo


- 8 -

izračunali po deformacijski metodi z enačbo univerzalnega nagiba, v katero bomo vstavili

skupno amplitudno deformacijo v kritičnih področjih v okolici por (področja maksimalne

primerjalne napetosti po Missesu). Skupno amplitudno deformacijo bomo dobili s pomočjo

numeričnih analiz. Dobo širjenja razpoke ( ) pa bomo izračunali z integracijo enačbe

Parisovega zakona širjenja utrujenostnih razpok, v katero bomo vstavili materialne

parametre poroznega gradiva in faktor intenzivnosti napetosti v odvisnosti od dolžine

razpoke oz. dolžino kritične razpoke ( ). Ta dva faktorja bomo izračunali s pomočjo

numeričnih simulacij.

Izvedene numerične simulacije bodo v vseh primerih vsebovale enak geometrijski 2D model

lotus porozne strukture. Ta model bomo nato obremenili z obremenitvijo v eni osi in nato še

v dveh oseh. Numerične simulacije pri 1-osni obremenitvi bodo sestavljene iz dveh delov in

sicer iz simulacij po klasični metodi končnih elementov, pri katerih bomo v model ročno

vstavljali razpoke in jih nato tudi ročno širili (pri tem bomo upoštevali kriterij maksimalne

tangencialne napetosti) in iz razširjene metode končnih elementov (eXtended Finite Element

Method). Pri XFEM metodi pa bomo podali kriterije za iniciacijo in kriterije za širjenje

razpoke in na podlagi teh kriterijev bo program sam vstavil razpoko v model in jo širil do

njene kritične dolžine. V drugem delu numeričnih simulacij (2-osna obremenitev) bo

opravljena analiza utrujanja samo z XFEM metodo.

Cilj magistrske naloge je izvesti analizo širjenja razpok po metodi končnih elementov in XFEM

metodi ter primerjati rezultate med sabo. Pri 1-osni obremenitvi za obe metodi pričakujemo

podobne rezultate za dosego dobe trajanja. Pričakujemo tudi, da obremenitev (1-osna ali 2-

osna) bistveno vpliva na utrujanje porozne strukture. V delu se omejimo na ravninske

probleme in na linearno elastično mehaniko loma.

1.3 Struktura magistrskega dela

Vsebina magistrskega dela je razdeljena na šest poglavij. Prvo poglavje je uvodno, v njem je

opredeljeno magistrsko delo in narejen pregled stanja obravnavane tematike. Drugo

poglavje vsebuje nekaj splošnih informacij o poroznih gradivih in opisuje osnove lotus

poroznih gradiv. Tretje poglavje opisuje teoretične osnove deformacijske metode in


- 9 -

Parisovega zakona širjenja utrujenostnih razpok. Zapisane so ključne definicije, parametri in

enačbe, ki so potrebne za izračun dobe iniciranja ( ) in dobe širjenja ( ) razpok. V tem

poglavju so opisane še lastnosti XFEM metode. V četrtem poglavju so natančneje opisane

obravnavane analize utrujanja lotus porozne strukture in izvedene numerične simulacije – z

vsemi robnimi pogoji, modeli in lastnostmi materiala. V petem poglavju so zbrani vsi rezultati

numeričnih simulacij in izračunane vse dobe iniciranja ( ) in širjenja ( ) razpok v lotus

porozni strukturi. V tem poglavju so tudi analizirani vsi rezultati. Šesto poglavje pa je sklepno.


- 10 -


- 11 -

2 TEORETIČNE OSNOVE POROZNIH GRADIV

2.1 Splošno o poroznih gradivih

Porozna so vsa gradiva, katerih gostota je zaradi poroznosti v materialu manjša od gostote

osnovnega materiala. Najdemo jih v naravi (npr. kosti) in tudi v industriji, kjer so se uveljavila

zaradi svoje kombinacije fizikalnih in mehanskih lastnosti, kot so nizka gostota pri visoki

togosti, velika površina pri danem volumnu, velika sposobnost absorpcije mehanske energije

in druge. Mehanske in fizikalne lastnosti poroznih gradiv so v veliki meri odvisne od lastnosti

osnovnega materiala, topologije in morfologije por ter poroznosti gradiva [1].

Glede na morfologijo materiala lahko pore razvrstimo v dva tipa, in sicer odprte in zaprte

pore. Zaprte pore, ki se v praksi najpogosteje pojavljajo, so med seboj pregrajene z osnovnim

materialom v večini primerov zapolnjene s plinom. Ravno nasprotno pa so odprte pore med

seboj povezane in prepustne za pline in kapljevine.

Poroznost gradiva p je definirana kot:

(2.1)

kjer predstavlja gostoto poroznega materiala in gostoto osnovnega materiala.

Razmerje gostote poroznega in osnovnega materiala

(2.2)

imenujemo relativna gostota. Materiale glede na poroznost delimo na porozna in celična

gradiva. Približna meja med njimi je določena pri poroznosti 70 %. Tako spadajo materiali s

poroznostjo manjšo od 70 % med porozna gradiva, tiste z večjo pa obravnavamo kot celična

[1].


- 12 -

2.2 Lotus porozna gradiva

Analiza utrujanja poroznih struktur v magistrskem delu se nanaša na lotus porozno gradivo,

ki je tipični predstavnik poroznih gradiv. Izdelava lotus poroznih gradiv poteka z enosmernim

strjevanjem taline pod tlakom dušikove, kisikove ali vodikove atmosfere [3].

V diplomskem delu [1] navaja Aljaž Kovačič naslednje značilnosti o lotus poroznih gradivih.

Za njih je značilna izrazita usmerjenost podolgovatih por, kar se odraža v ortotropnih

mehanskih lastnostih materiala na makroskopskem nivoju (inženirskih mehanskih lastnostih)

in v večji regularnosti por. Morfologijo podolgovatih por, ki vpliva na inženirske mehanske

lastnosti materiala, lahko opišemo z naslednjimi parametri:

• premer pore,

• dolžina pore,

• razmerje med dolžino in premerom pore,

• usmeritev por,

• poroznost.

Omenjene morfološke parametre lahko opišemo le približno, saj se znotraj materiala

spreminjajo. Pore so nepravilnih valjastih oblik, različnih velikosti, dolžin in usmeritev,

njihova dolžina pa je v primerjavi s premerom velika. Na inženirske mehanske lastnosti pa

ima pomemben vpliv tudi topologija por. S topološkega vidika so pore v materialu naključno

razporejene in niso povsem vzporedno poravnane med seboj. Tak porozni material z

vzdolžnimi porami prikazuje slika 2.1.


- 13 -

Slika 2.1: Mikroskopska povečava prereza poroznega bakra z vzdolžnimi porami. Zgornja

prereza sta pravokotna na smer strjevanja, spodnja sta vzporedna na njo. [3]

Porozni materiali z vzdolžnimi porami dosegajo v primerjavi z drugimi poroznimi materiali

višje nosilnosti, zaradi česar imajo dober potencial, da se uveljavijo kot nova vrsta inženirskih

materialov. Danes se že uporabljajo v lahkih sodobnih konstrukcijah, športnih rekvizitih,

blažilcih udarcev in trkov, biomedicinskih vsadkih, … Več informacij v zvezi s poroznimi

gradivi z vzdolžnimi porami je mogoče najti v drugi literaturi [3].

Geometrija in mehanske lastnosti lotus poroznega materiala, ki so bile uporabljene v

numeričnih analizah tega magistrskega dela, so opisane v poglavju analiza utrujanja lotus

poroznih struktur.


- 14 -


- 15 -

3 INICIRANJE IN ŠIRJENJE UTRUJENOSTNIH RAZPOK

Poglavje iniciranje in širjenje utrujenostnih razpok je povzeto po znanstveni monografiji

Dimenzioniranje na življenjsko dobo [2]. Poglavje zajema teoretične osnove, ki jih moramo

poznati, preden izvedemo numerične simulacije.

Dimenzioniranje na življenjsko dobo je sodoben pristop pri dimenzioniranju strojnih delov in

konstrukcij, ki so obremenjeni s časovno spremenljivo (dinamično) obremenitvijo. V

primerjavi s klasičnim načinom dimenzioniranja, pri katerem primerjamo dejansko napetost

v obravnavanem prerezu strojnega dela z dopustno napetostjo ( ), določujemo pri

dimenzioniranju na življenjsko dobo število nihajev obremenitve N, ki jih bo strojni del

vzdržal pri določeni napetosti .

Poškodbe strojnih delov in konstrukcij, obremenjenih z dinamičnimi obremenitvami, so

utrujenostne poškodbe (ang. fatigue failures). V primerjavi s statično obremenjenimi

strojnimi deli nastopijo te poškodbe pri znatno nižjih obremenitvah, in to šele po preteku

določenega števila nihajev obremenitve N. V splošnem sestoji celotni proces utrujanja

gradiva strojnega dela iz naslednjih faz:

iniciranje mikrorazpoke,

širjenje kratke razpoke,

širjenje dolge razpoke,

nastanek poškodbe.

Pri inženirskih analizah običajno obravnavamo prvi dve fazi kot iniciranje razpoke (ang. crack

initiation), drugi dve pa kot širjenje razpoke (ang. crack propagation). Življenjska doba

strojnega dela (število nihajev obremenitve N do pojava končne poškodbe je potem

definirana kot:

(3.1)


- 16 -

kjer je Ni število nihajev za iniciranje razpoke in Np število nihajev za širjenje razpoke od

začetne do kritične dolžine oziroma do nastanka končne poškodbe.

3.1 Deformacijska metoda

Deformacijska metoda (ɛ - N) je novejša metoda dimenzioniranja dinamično obremenjenih

strojnih delov in konstrukcij (začetki uporabe segajo v leto 1960). Metoda temelji na

poznavanju cikličnih deformacij v kritičnih prerezih strojnih delov in konstrukcij ter ima

naslednje značilnosti:

napetosti oziroma deformacije so lahko v elastičnem ali plastičnem območju,

predvidena je krajša življenjska doba strojnega dela (običajno manj kot 105 nihajev

obremenitve; območje nizkocikličnega utrujanja ali LCF),

postopek dimenzioniranja je osredotočen na iniciranje utrujenostnih razpok.

Njena osnovna značilnost je, da upošteva lokalno deformacijsko polje ob kritičnih prerezih

strojnih delov (razni prehodi, zaokrožitve, skoznje luknje itd.), kjer je verjetnost iniciranja

utrujenostnih razpok zaradi zareznega učinka največja. Ob poznavanju nekaterih materialnih

parametrov in cikličnih deformacij v kritičnih prerezih strojnih delov in konstrukcij (običajno

jih določimo eksperimentalno z merilnimi lističi ali numerično z metodo končnih elementov)

lahko z deformacijsko metodo določimo število nihajev obremenitve do pojava začetnih

makrorazpok velikosti od 0,25 do 5 mm (odvisno od velikosti strojnega dela oziroma

konstrukcije).


- 17 -

lokalna

deformacija

obremenitev

obremenitev

lokalna

deformacija

a) b)

Slika 3.1: Princip določanja lokalnih deformacij

a) ob skoznji luknji na strojnem delu b) v prečnem prerezu gladkega preskušanca [2]

Določitev življenjske dobe strojnih delov in konstrukcij z deformacijsko metodo temelji na

dveh osnovnih predpostavkah, in sicer:

v kritičnih prerezih strojnih delov in konstrukcij moramo poznati lokalne ciklične

deformacije, ki jih določamo eksperimentalno (npr. z merilnimi lističi) ali numerično

(npr. z metodo končnih elementov);

za gradivo obravnavanega strojnega dela ali konstrukcije moramo poznati parametre

nizkocikličnega utrujanja, ki jih določamo z gladkimi valjastimi preskušanci.

Enačba (3.2) predstavlja splošno veljavno enačbo za dimenzioniranje strojnih delov in

konstrukcij na življenjsko dobo z deformacijsko metodo. Ob znanih materialnih parametrih

f', f', b in c, ki jih za izbrano gradivo določimo s preskusi s testnimi preskušanci, in znani

skupni amplitudni deformaciji a (običajno jo določimo numerično z MKE za dejansko

obremenitveno stanje strojnega dela ali konstrukcije), določimo iz enačbe (3.2) z iterativnim

postopkom število nihajev obremenitve Ni, pri katerem se bo predvidoma pojavila začetna

makrorazpoka.

cif

b

i

fpea NN

E

'

2'2

22

(3.2)


- 18 -

Muralidharan in Manson sta skupno amplitudno deformacijo a po enačbi (3.2) aproksimirala

z enačbo univerzalnega nagiba [2]:

56,0

53,0

155,009,0

832,0

)2()(0196,0)2(623,0

i

mfi

ma N

E

RN

E

R

(3.3)

kjer je Rm natezna trdnost, E modul elastičnosti in f dejanska deformacija pri pretrgu.

Enačba (3.3) praktično pomeni, da lahko ob znani skupni amplitudni deformaciji a (običajno

jo določimo numerično z MKE) in znanih materialnih parametrih Rm, E in f, ki jih dobimo s

statičnim nateznim preskusom, z iterativnim postopkom določimo število nihajev

obremenitve Ni do iniciranja začetne makrorazpoke. Enačba (3.3) je dobljena na osnovi

dinamičnega preskušanja testnih preskušancev iz 57 različnih gradiv (predvsem jekel ter

aluminijevih in titanovih zlitin) in jo pri dimenzioniranju dinamično obremenjenih strojnih

delov in konstrukcij uporabimo, kadar nimamo na voljo ustreznih materialnih parametrov pri

dinamičnih obremenitvah (f', f', b in c).

3.2 Parisov zakon širjenja utrujenostnih razpok

Pri analizi širjenja utrujenostnih razpok upoštevamo razpon faktorja intenzivnosti napetosti

, ki je za prvi način obremenjevanja (osnovne načine obremenjevanja prikazuje slika 3.2)

zapisan kot enačba (3.4), kjer predstavljata največji, najmanjši faktor

intenzivnosti enačbi (3.5) in (3.6), (

) brezdimenzijsko funkcijo (ta je odvisna od

konfiguracije razpoke), a dolžino razpoke in največjo ter najmanjšo nominalno

napetost v veliki oddaljenosti od razpoke.

(3.4)

√ (

) (3.5)

√ (

) (3.6)


- 19 -

Slika 3.2: Osnovni načini obremenjevanja strojnih delov z razpoko [2]

Slika 3.2 prikazuje osnovne načine obremenjevanja strojnih delov z razpoko. Na levi strani

slike je prikazan način obremenjevanja I pri katerem je natezna obremenitev pravokotna na

fronto razpoke, na sredini je prikazan način II pri katerem deluje strižna obremenitev vzdolž

fronte razpoke in na desni strani slike pa je prikazan način III pri katerem je strižna

obremenitev pravokotna na fronto razpoke.

Pri tlačni obremenitvi faktor intenzivnosti napetosti ni definiran, zato velja predpostavka, da

je pri , 0. Iz tega lahko sklepamo, da je v tem primeru . S

poenostavljenim izrazom lahko za tak primer zapišemo enačbo (3.7).

(3.7)

Razpoke pri konstantni dinamični obremenitvi glede na širjenje razpoke razdelimo na tri

tipična območja:

območje 1 (prag širjenja razpoke),

območje 2 (stabilna rast razpoke),

območje 3 (nestabilna rast razpoke oziroma zlom).

Razdeljena območja so prikazana na diagramu log ⁄ − log (slika 3.3).


- 20 -

Slika 3.3: Splošni log ⁄ − log diagram [2]

V prvem območju je karakteristična veličina prag širjenja razpoke . Za vrednosti, ki

presegajo prag širjenja razpoke je značilno, da z naraščanjem faktorja intenzivnosti

napetosti zelo hitro narašča hitrost širjenja razpoke ⁄ . Za vrednosti, ki ne presegajo

praga širjenja razpoke, je značilno, da se razpoka s stališča LELM ne širi. Vrednosti

najdemo v ustrezni strokovni literaturi in se razlikujejo glede na obremenitveno razmerje .

V drugem območju širjenja je sama odvisnost hitrosti širjenja razpoke in faktorja

intenzivnosti napetosti linearna, kar je razvidno na diagramu (slika 3.3). Linearno odvisnost

med faktorjem intenzivnosti napetosti in hitrostjo širjenja matematično izrazimo preko

Parisovega zakona enačba (3.8), v katerem sta in izkustveno določljiva materialna

parametra.

(3.8)

Z integracijo Parisove enačbe in znane začetne dolžine razpoke lahko določimo število

nihajev za razširitev razpoke do želene dolžine .


- 21 -

V tretjem območju se razpoka širi zelo hitro, faktor intenzivnosti napetosti pa doseže

lomno žilavost , kar pomeni, da pride do končnega zloma oziroma porušitve [4].

3.3 XFEM

XFEM (eXtended Finite Element Method) – razširjena metoda končnih elementov omogoča

študijo rasti razpoke vzdolž poljubne od rešitve odvisne poti, brez potrebe po ponovnem

mreženju modela v programskem paketu Abaqus. XFEM je na voljo samo za tri-

dimenzionalne trdninske in dvo-dimenzionalne ravninske modele in ga lahko uporabimo za

študij razpok v delih, ki vsebujejo geometrijo, orphan mrežne elemente (skupek vozlišč,

elementov, površin in nizov brez povezane geometrije) ali kombinacijo obojega. Izbiramo

lahko med študijo razpoke, ki poljubno raste skozi podan model in študijo stacionarne

razpoke. Lastnosti XFEM razpoke se določijo v modulu Interaction. Mesto iniciranja začetne

razpoke lahko določi uporabnik sam ali pa pusti, da program Abaqus določi (izračuna) položaj

razpoke med analizo na osnovi največje glavne napetosti ali deformacije, ki jo pripišemo

domeni razpoke.

Za izvedbo XFEM analize razpok je potrebno navesti naslednje:

domeno razpoke,

rast razpoke,

položaj za iniciacijo razpoke,

dodatni radij,

medsebojne kontaktne lastnosti,

pogoje za iniciacijo razpoke [5].


- 22 -

Slika 3.4: 2D in 3D modela, na katerih je prikazana domena razpoke. Na levi strani slike sta

modela brez mreže, na desni strani pa sta modela zamrežena [5]

Podrobnosti XFEM analiz, izvedenih v magistrskem delu, so opisane v poglavju analiza

utrujanja lotus poroznih struktur. Več informacij v zvezi z XFEM-om (razširjeno metodo

končnih elementov) je mogoče najti v literaturi [5].


- 23 -

4 ANALIZA UTRUJANJA LOTUS POROZNIH STRUKTUR

Analizo utrujanja lotos poroznih struktur smo izvedli z numeričnimi simulacijami z uporabo

programa Abaqus 6.14. Pri vseh izvedenih simulacijah smo uporabili enak geometrijski model

(ta je opisan v naslednjem podpoglavju). V prvem delu numeričnih simulacij smo modelu

pripisali 1-osno obremenitev podano s pomikom. Prvi del numeričnih simulacij je sestavljen

iz klasičnega pristopa in iz XFEM metode. Z besedo klasični pristop smo poimenovali

numerične simulacije po klasični metodi končnih elementov pri analizi utrujanja poroznih

struktur, pri katerih je celotni postopek utrujanja razdeljen na dobo iniciranja razpoke ( ) in

dobo širjenja razpoke ( ), skupna doba trajanja pa je definirana z enačbo (3.1). Doba

iniciranja ( ) je določena z deformacijsko metodo, za izračun katere smo rabili skupno

amplitudno deformacijo v kritičnih področjih v okolici por. Skupno amplitudno deformacijo

smo dobili tako, da smo izvedli elasto-plastične numerične analize po metodi končnih

elementov in nato s pomočjo enačbe (3.3) določili število nihajev obremenitve do

iniciranja začetne makrorazpoke. Doba širjenja razpoke ( ) pa je bila izračunana z

integracijo Parisove enačbe (3.8), pri kateri smo upoštevali materialne parametre navedene

v podpoglavju 4.2 in faktor intenzivnosti napetosti, ki smo ga določili numerično po metodi

končnih elementov z uporabo programa Abaqus. Pri klasičnem pristopu smo morali sami

vstaviti začetno razpoko v model in jo nato tudi sami širiti. Ob vsakem spreminjanju dolžine

razpoke smo morali ponovno zamrežiti celoten geometrijski model. Pri XFEM metodi ni bilo

potrebno podati začetne razpoke, poleg tega pa je tudi program samodejno širil razpoko

brez potrebe po ponovnem mreženju modela. Celotni postopek utrujanja je tudi pri XFEM

postopku razdeljen na dobo iniciranja razpoke ( ) in dobo širjenja razpoke ( ). Dobo

iniciranja razpoke ( ) pri XFEM postopku smo prav tako določili z deformacijsko metodo,

vendar smo za izračun skupne amplitudne deformacije izvedli samo elastične numerične

analize. Dobo širjenja razpoke ( ) smo pa izračunali tako, da smo integrirali Parisovo

enačbo (3.8), pri kateri smo upoštevali materialne parametre, navedene v podpoglavju 4.2,

in dolžino razpoke, ki smo jo določili numerično z uporabo programa Abaqus.

V drugem delu numeričnih simulacij smo modelu pripisali 2-osno obremenitev in opravili

analizo utrujanja samo z XFEM metodo. Podrobnosti obeh numeričnih simulacij sta opisani v

naslednjih podpoglavjih.


- 24 -

4.1 Modeliranje poroznih struktur

Geometrijo poroznega Lotus modela smo povzeli po članku [6]. Prečni računski model Lotus

poroznega gradiva ima kvadratni prerez z dolžino stranice 3,3 mm in naključno

porazdeljenimi porami z najmanjšim in največjim premerom por, ki znašata

mm in mm. Poroznost geometrijskega modela znaša 0,36 %.

Slika 4.1: 2D geometrijski model uporabljen v numeričnih simulacijah

Za osnovni material lotus poroznega gradiva smo izbrali nodularno litino EN-GJS-400-18-LT.

Lastnosti osnovnega materiala so zbrane v preglednici 4.1.

Preglednica 4.1: Materialne lastnosti modela osnovnega materiala [7]

[MPa]

[MPa] [-] [MPa] [-] C [

⁄

√ ] m [-]

√

√

[MPa]

256 417 0.235 0.33 3.86 20.8 30.4 500


- 25 -

Slika 4.2: Diagram napetosti v odvisnosti od deformacije za nodularno litino

EN-GJS-400-18-LT [7]

4.2 Numerične simulacije utrujanja poroznih struktur pri 1-osni obremenitvi

Klasičen pristop

Kot je že zgoraj omenjeno, je celotni postopek utrujanja razdeljen na dobo iniciranja razpoke

( ) in dobo širjenja razpoke ( ), skupna doba trajanja pa je definirana z enačbo (3.1).

Izračun števila nihajev obremenitve do iniciranja začetne makrorazpoke smo izvedli z

iterativnim postopkom s pomočjo enačbe (3.3), v katero smo vstavili materialne parametre,

navedene v preglednici 4.1, in skupno amplitudno deformacijo a. Za izračun amplitudne

deformacije a smo izvedli elasto-plastične numerične analize, katerih podrobnosti bodo

opisane v nadaljevanju.

Geometrijskemu modelu, opisanemu v podpoglavju 4.1, smo v programskem paketu Abaqus

najprej določili materialne podatke. Za opis elastičnega dela materiala smo definirali modul

elastičnosti in Poissonovo število , ki sta navedena v preglednici 4.1. Za opis materiala v

plastičnem področju smo v program Abaqus vstavili dejanske napetosti in plastične

deformacije, kot jih prikazuje preglednica 4.2. Dejanske napetosti in plastične deformacije

smo izračunali iz nominalnih napetosti in deformacij s pomočjo enačb (4.1), (4.2) in (4.3).

Za pretvorbo nominalne napetosti v dejansko napetost smo uporabili enačbo (4.1), za

pretvorbo nominalne deformacije v dejansko smo uporabili enačbo (4.2). Nato smo iz

dejanske deformacije s pomočjo enačbe (4.3) izračunali plastično deformacijo.

[MPa]


- 26 -

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Pretvorba materialnih lastnosti v obliko, primerno za Abaqus, je povzeta po diplomskem delu

[4].

Preglednica 4.2: Vrednosti dejanskih napetosti in plastičnih deformacij nodularne litine

EN-GJS-400-18-LT

Dejanska napetost [MPa] Plastična deformacija [-]

250 0 255 0.00586 260 0.0065 265 0.00719 270 0.00795 275 0.00877 280 0.00965 285 0.01061 290 0.01164 295 0.01276 300 0.01396 310 0.01663 320 0.01971 330 0.02324 340 0.02726 350 0.03183 360 0.03701 370 0.04285 380 0.04941 390 0.05678 400 0.06502 410 0.0742 420 0.0844 430 0.09573 440 0.10825 450 0.12208 460 0.13732 470 0.15406 480 0.17243 490 0.19254 500 0.21451


- 27 -

Geometrijskemu modelu smo pripisali fiksno vpetje na spodnjem robu modela (slika 4.3), to

pomeni, da smo mu onemogočili pomike v x-smeri in y-smeri ter zasuk v z-osi.

Obremenitev smo modelu pripisali s pomikom 0.01 mm na zgornjem robu modela v y-smeri

(slika 4.3). Predpisan pomik predstavlja 0.00303 oz. 0.303 % globalne deformacije. Globalno

deformacijo smo izračunali s pomočjo enačbe (4.4), ki je zapisana kot razmerje med

predpisanim pomikom in višino numeričnega modela [4].

(4.4)

Slika 4.3: Robni pogoji pri 1-osni obremenitvi

Modeli pri klasičnem postopku so bili zamreženi z linearnimi štiri vozliščnimi končnimi

elementi, pri tem smo uporabili ravninsko deformacijsko stanje. Za tehniko mreženja smo

izbrali prosto tehniko mreženja in algoritem srednjih osi (Medial axis). Globalna velikost

končnih elementov pri klasičnem postopku je bila pri vseh izvedenih analizah enaka in je

znašala 0.01 mm. Osnovna mreža je tako za vse primere pri klasičnem postopku vsebovala

60 274 vozlišč ter 57 529 elementov tipa CPE4R.


- 28 -

Pri določanju dobe iniciranja ( ), smo najprej poiskali področje z maksimalno vrednostjo

primerjalne napetosti po Misesu ( ) in tam odčitali še skupno deformacijo ( ). Z

upoštevanjem utripne obremenitve (enačba 4.5) in materialnih lastnosti iz preglednice 4.1

smo nato iz enačbe (3.3) izračunali potrebno število nihajev do iniciacije začetne

makrorazpoke.

(4.5)

Slika 4.4: Zamrežen model pri klasičnem postopku, pred določanjem maksimalne napetosti

po Misesu in skupne deformacije v tistem področju

V prvem kritičnem prerezu je znašala maksimalna primerjalna napetost po Misesu = 350

MPa, skupna deformacija pa = 0.022.

Za izračun dobe širjenja razpoke ( ) smo nato ročno vstavili začetno razpoko dolžine

=0.05 mm v kritični prerez številka 1.


- 29 -

Slika 4.5: Maksimalna koncentracija napetosti v prerezu št. 1 (levo) in vstavljena začetna

razpoka v prerezu št. 1 (desno)

Razpoko smo vstavili v modulu Part tako, da smo v skicirki narisali geometrijo razpoke

(premico, ki je predstavljala razpoko in v vrhu katere so bile krožnice, ki so predstavljale

konture okrog vrha razpoke). Temu je sledil preklop modula na modul Interactions. V tem

modulu smo izbrali ikono Special, nato Crack in izbrali ukaz Assign Seam. S tem ukazom smo

prekinili material na premici, ki smo jo izbrali za razpoko. Za določitev lastnosti same razpoke

smo pod ikono Crack izbrali ukaz Create in izbrali tip Contour integral, ji pripisali dolžino,

določili vrh in smer širjenja z vektorjem q. Razpoki smo določili še parametre povezane s

singularnostjo, ki nastopi v vrhu razpoke. Vnos teh parametrov je prikazan na sliki 4.7.

Slika 4.6: Prekinjen material z ukazom Assign Seam (levo) in smer širjenja razpoke določena z

vektorjem q (desno)


- 30 -

Slika 4.7: Definirane lastnosti razpoke

Po kreiranju razpoke smo morali ponovno zamrežiti celoten model in zgostiti mrežo v

predelu razpoke. Pri zgoščevanju mreže v predelu razpoke smo si pomagali s prej

ustvarjenimi konturami. Znotraj prve konture smo vstavili trikotne končne elemente in ročno

vnesli število vozlišč na posameznih konturah tako, da smo zagotovili ustrezen prehod mreže

iz notranjosti prve konture na celoten model. Podrobnosti o tem kako se določi primerna

velikost in število kontur, ter kako se zagotovi ustrezen prehod glede velikosti iz lokalnih

končnih elementov na globalne je mogoče najti v diplomskem delu [4].

Na sliki 4.8 je prikazana mreža celotnega lotus modela s povečanim območjem, kjer je

vstavljena razpoka št. 1. Z zgoščevanjem mreže v predelu razpoke smo bistveno vplivali na

natančnost numeričnih simulacij.


- 31 -

Slika 4.8: Povečan prikaz mreže končnih elementov v območju razpoke št. 1

Pred izvedbo simulacij smo morali definirati še izhodne podatke, ki so bili pomembni za

nadaljnji izračun dobe širjenja razpoke ( ). Izhodni podatki, ki smo jih potrebovali, so bili ,

in kot , ki je kot širjenja razpoke in je določen s pomočjo kriterija maksimalne

tangencialne napetosti (MTS). Izhodne podatke smo določili v modulu Step, kjer smo izbrali

gumb Edit History Output Request. Izbrane izhodne podatke prikazuje slika 4.9.

Slika 4.9: Izbrani izhodni podatki


- 32 -

Izhodni parametri numeričnih simulacij so bili zapisani za več kontur, mi smo nato izračunali

povprečne vrednosti izhodnih parametrov za večjo natančnost rezultata. Pri izračunu

povprečnih vrednosti izhodnih parametrov smo vzeli podatke iz 3., 4. In 5. konture. Pri

izračunu smo izločili podatke iz prve konture, ker na njih vpliva singularnost iz vrha razpoke

in podatke iz druge konture, ki prav tako nekoliko bolj odstopajo od ostalih kontur [4].

Preglednica 4.3: Izhodni parametri numeričnih simulacij pri dolžini razpoke št. 1, ki znaša

0.05 mm

Izhodni

parameter

Kontura Povprečna

vrednost

1 2 3 4 5

[ ⁄⁄ ] 503.9 504.8 507.8 507.6 506.8 507.4

[ ⁄⁄ ] -57.91 -55.82 -59.65 -60,6 -61.1 -60.4

[°] 12.79 12.26 13.63 13.73 13.83 13.73

Izhodni podatki za faktor intenzivnosti napetosti imajo enoto [ ⁄⁄ ] zaradi tega, ker

smo napetost izrazili v ⁄ in dolžino razpoke v . Faktor intenzivnosti napetosti

pa je v osnovi največkrat podan v enoti [ √ ]. Za pretvorbo enot smo upoštevali

razmerje med danima veličinama, definirano z enačbo (4.6).

√ ⁄⁄ (4.6)

Pri dolžini razpoke št. 1, ki znaša 0.05 mm, znaša √ in

√ .

V naslednjem koraku smo razpoko št. 1 ročno podaljšali za dolžino 0.05 mm, pri tem smo

upoštevali kot iz preglednice 4.3, ki kaže smer maksimalne tangencialne napetosti.


- 33 -

Slika 4.10: Ročno širjenje razpoke pri klasičnem postopku

Analizo širjenja razpoke smo končali, ko je faktor intenzivnosti napetosti po prvem načinu

obremenjevanja razpoke dosegel vrednost lomne žilavosti (preglednica 4.1;

smo upoštevali namesto ekvivalentnega faktorja intenzivnosti napetosti , ker gre za prvi

način obremenjevanja razpoke in sta faktorja in približno enaka – preglednica 5.1)

oziroma, ko je razpoka dosegla bližino sosednje pore. Ekvivalentni faktor intenzivnosti

napetosti smo izračunali po enačbi 4.7 [8].

[

] (4.7)

Ko se je izpolnil en od zgoraj naštetih pogojev smo predpostavili, da je material med tistima

porama prekinjen. Prekinitev materiala smo v modelu ustvarili z ukazom Assign Seam in

nadaljevali z določanjem dobe iniciranje ( ) v drugem kritičnem predelu. Temu je potem

sledila vstavitev razpoke v drugi kritični predel in širjenje le-te dokler spet nismo izpolnili

enega izmed zgoraj navedenih pogojev. Numerične analize po klasičnem postopku smo

zaključili, ko se je geometrijski model razpolovil. Slika 4.11 prikazuje shematični prikaz

širjenja razpoke št. 1.


- 34 -

Slika 4.11: Širjenje razpoke št. 1

Sama doba širjenja razpoke ( ) je bila izračunana z integracijo Parisove enačbe (3.8), kjer je

⁄ hitrost širjenja razpoke, je razpon faktorja intenzivnosti napetosti (

), C in m sta pa materialna parametra, ki sta določena eksperimentalno glede na

obremenitveno razmerje ⁄ (v tem magistrskem delu je upoštevana vrednost

0.1). Število obremenitvenih ciklov , potrebnih za širjenje razpoke od začetne dolžine

do kritične dolžine razpoke smo določili z integracijo enačbe (3.8):

∫

∫

(4.8)

Razpon faktorja intenzivnosti napetosti smo v enačbo (4.8) vstavili v obliki funkcije, ki

opisuje krivuljo faktorja intenzivnosti napetosti v odvisnosti od dolžine razpoke .

Funkcijo smo dobili tako, da smo podatke vstavili v Excel in narisali raztresen grafikon, ter

nato izpisali enačbo krivulje na grafikonu.


- 35 -

Slika 4.12: Diagram faktorja intenzivnosti napetosti v odvisnosti od dolžine razpoke za

razpoko št. 1

Enačbo (4.8) smo nato izračunali s pomočjo programskega paketa Wolfram Mathematica

8.0.

Rezultati vseh dob iniciranja ( ) in širjenja razpok ( ) pri klasičnem postopku so zbrani v

poglavju 5 Analiza rezultatov. Prav tako je tam končna slika širjenja poti razpok pri klasičnem

postopku.

XFEM

Za študijo analize utrujanja Lotus poroznih struktur smo izbrali XFEM pristop, ki temelji na

linearno elastični mehaniki loma (Linear Elastic Fracture Mechanics) in uporablja

spremenjeno virtualno tehniko zapiranja razpoke (Virtual Crack Closure Technique) za

izračun hitrosti spremembe deformacijske energije na konici razpoke. Po definiciji XFEM

pristop, ki temelji na načelih linearno elastične mehanike loma, sam po sebi zahteva

prisotnost razpoke v modelu in v programu Abaqus ni aktiviran dokler, ne pride do iniciacije

razpoke. Do iniciacije razpoke pa pride, ko je izpolnjen kriterij za iniciacijo razpoke v Abaqusu

(kriterij definira uporabnik sam). Po iniciaciji razpoke poteka širjenje razpoke po XFEM

kriterijih, ki temeljijo na načelih linearno elastične mehanike loma [5]. Podrobnosti izvedenih

XFEM analiz so navedene v nadaljevanju.

y = 4E+08x2 + 35734x + 13,171

0

5

10

15

20

25

30

0,00005 0,00007 0,00009 0,00011 0,00013 0,00015

Δ𝐾 [𝑀𝑃𝑎√𝑚]

Dolžina razpoke [m]


- 36 -

Geometrijskemu modelu opisanemu v podpoglavju 4.1, smo pri XFEM analizah pripisali

modul elastičnosti in Poissonovo število iz preglednice 4.1. Za iniciacijo razpoke smo

modelu pripisali kriterij maksimalne glavne napetosti, podanim s (preglednica 4.1) v

modulu Property. Kot kriterij za širjenje razpoke pa smo modelu pripisali energijski model

napredovanja razpoke, ki sloni na skalarnem kriteriju. Ta kriterij smo vpisali v modulu

Interaction z ukazom Create Interaction Property. Vpisane podatke prikazuje slika 4.13.

Slika 4.13: Kriterij za širjenje razpoke

Hitrost spremembe deformacijske energije smo izračunali po enačbi (4.10) v katero smo

vstavili faktor intenzivnosti napetosti (vrednost smo izbrali na podlagi

vrednosti, ki jo ima material) in modul elastičnosti za ravninsko deformacijsko stanje , ki

smo ga izračunali po enačbi (4.9).

(4.9)

(4.10)


- 37 -

Hitrost spremembe deformacijske energije, ki smo jo vnesli v program Abaqus (slika 4.13), je

tako znašala

.

Čeprav program pri XFEM analizi sam vstavi razpoko, ko je izpolnjen kriterij za iniciranje

razpoke, je to potrebno pripisati modelu z vstavitvijo razpoke tipa XFEM. To smo storili v

modulu Interaction, kjer smo izbrali ukaz Special, nato Crack in ustvarili razpoko tipa XFEM.

Pri tem smo morali določiti domeno razpoke na modelu in pripisati kontaktne lastnosti, ki

vsebujejo kriterije za iniciranje in širjenje razpoke.

Slika 4.14: Kreiranje razpoke tipa XFEM in določitev domene razpoke

Robni pogoji vpetja in obremenitve so enaki kot pri klasičnem postopku (slika 4.3), edino kar

se je razlikovalo je vrednost obremenitve, ki smo jo pri XFEM analizah podali s pomikom 0.6

mm na zgornjem robu modela v y-smeri. Predpisan pomik je tako predstavljal 18 % globalne

deformacije.

Preden smo zamrežili model, smo ga razdelili na dve particiji (slika 4.14). S tem smo se

izognili vplivu robnih pogojev na nastajanje razpoke. Model smo nato zamrežili z linearnimi

štiri vozliščnimi končnimi elementi in uporabili deformacijsko ravninsko stanje. Globalna

velikost končnih elementov pri XFEM postopku je bila pri vseh izvedenih analizah enaka in je

znašala 0.01 mm. Mreža je tako za vse primere pri XFEM postopku vsebovala 87 318 vozlišč

ter 84 736 elementov tipa CPE4.


- 38 -

Slika 4.15: Mreža modela pri XFEM analizah

Pred izvedbo simulacij smo morali definirati še izhodne podatke. Izpis izhodnih podatkov

smo določili v modulu Step, kjer smo izbrali gumb Edit Field Output Request in dodali izpis

Philsm (ta nam pove vrednost materialne funkcije v vozlišču; če ni materiala je Philsm enak

0, drugače je pa 1) in StatusXFEM (opiše stanje XFEM elementov – upošteva stopnjo

preostale nosilnosti elementa). Poleg tega smo dodali še izpis seštevka vseh energij (ALLEN)

v okencu Edit History Output Request.

Z XFEM analizo smo po končani numerični analizi dobili rezultate iz katerih smo lahko razbrali

skupno amplitudno deformacijo v končnem elementu pred iniciranjem razpoke, smer

širjenja in končno dolžino razpoke.

V primerih, ko analiza ni konvergirala, smo morali mrežo končnih elementov na območju

pričakovanja razpoke popraviti. To smo storili tako, da smo vstavili dodatno particijo na

območju pričakovanja razpoke. Na particiji smo nato spremenili tehniko mreženja na

strukturirano in lokalno spremenili velikost končnih elementov. Primer ponovnega mreženja

na območju pričakovanja razpoke prikazuje slika 4.17.


- 39 -

Slika 4.16: Razpoka št. 1 pri XFEM postopku

Slika 4.17: Lokalno spremenjena mreža končnih elementov na območju pričakovanja razpoke

Za izračun dobe iniciranja ( ) pri XFEM postopku smo odčitali skupno deformacijo ( ) v

končnem elementu, preden se je tam inicirala razpoka (slika 4.18). Ker smo materialu

pripisali samo elastične lastnosti, je bila elastična deformacija ( ) enaka skupni deformaciji

( ). Z upoštevanjem utripne obremenitve (enačba 4.5) in materialnih lastnosti iz preglednice

4.1, smo nato iz enačbe (3.3) izračunali potrebno število nihajev do iniciacije začetne

makrorazpoke.


- 40 -

Slika 4.18: Odčitavanje deformacije v končnem elementu pred začetkom iniciranja razpoke

Sama doba širjenja razpoke ( ) je bila izračunana z integracijo Parisove enačbe (3.8), v

katero smo vstavili kritično dolžino razpoke , m, C in , iz katerega smo izračunali G

(enačba 4.10). Kritično dolžino razpoke smo izmerili v programu AutoCAD (sliko razpoke smo

v AutoCAD uvozili iz Abaqusa, jo skalirali in nato izmerili dolžino razpoke).

Ko smo zaključili z določevanjem dobe trajanja za razpoko št. 1, smo v modulu Interaction

vstavili prekinitev materiala z ukazom Assign Seam na mesto razpoke št. 1 in ponovno zagnali

preračun. Tako smo dobili razpoko št. 2 in postopek ponavljali tako dolgo dokler nismo

dosegli prepolovitve geometrijskega modela.

Rezultati izvedenih simulacij in izračunanih dob trajanja so prikazani v poglavju 5 Analiza

rezultatov.

4.3 Numerične simulacije utrujanja poroznih struktur pri 2-osni obremenitvi

V tem delu numeričnih simulacij smo modelu pripisali 2-osno obremenitev in opravili analizo

utrujanja samo z XFEM metodo. Izvedene numerične simulacije utrujanja lotus porozne


- 41 -

strukture pri 2-osni obremenitvi so podobne XFEM analizam pri 1-osni obremenitvi, edino

kar se pri tem razlikuje so podani robni pogoji obremenitve.

Pri 2-osni obremenitvi smo geometrijskemu modelu, opisanem v poglavju 4.1, poleg

obremenitve v y-smeri pripisali še dodatno obremenitev v x-smeri. Obremenitev v x-smeri

smo prav tako podali s pomikom, ki je znašal 0.6 mm na desnem robu modela v x-smeri.

Predpisan pomik je predstavljal 18 % globalne deformacije.

Slika 4.19: Robni pogoji pri 2-osni obremenitvi

Izračuni vseh dob iniciranja ( ) in širjenja razpok ( ) so enaki kot pri XFEM pristopu z 1-

osno obremenitvijo (poglavje 4.2).

Vsi rezultati izvedenih simulacij in izračunanih dob trajanja so prikazani v poglavju 5 Analiza

rezultatov.


- 42 -


- 43 -

5 ANALIZA REZULTATOV

V tem poglavju so zbrani rezultati numeričnih simulacij in dobe trajanja za vse izvedene

analize. Najprej so prikazani rezultati za klasičen pristop, v nadaljevanju pa rezultati pri XFEM

postopku za oba obremenitvena primera (1-osna obremenitev in 2-osna obremenitev).

Klasičen pristop

Numerične simulacije, po metodi končnih elementov, utrujanja porozne strukture pri 1-osni

obremenitvi s klasičnim pristopom smo zaključili, ko se je geometrijski model prepolovil. Za

prepolovitev modela je bilo potrebnih 7 razpok, ki so prikazane na sliki 5.1. Razpoke so se

začele pojavljati na spodnjem desnem delu modela in so se z razpoko št. 3 premaknile na

zgornji levi del modela. Tam so si nato verižno sledile skozi sosednje pore do razpoke št. 7, ki

je dokončno prepolovila geometrijski model. Rezultati numeričnih simulacij za posamezne

dolžine razpok so prikazani v preglednici 5.1.

Slika 5.1: Razpoke, ki so se pojavile pri klasičnem pristopu utrujanja Lotus porozne strukture

Ti rezultati so faktorja intenzivnosti napetosti in ter kot širjenja razpoke . Zraven

rezultatov, ki smo jih odčitali iz programa, pa je še naveden ekvivalentni faktor intenzivnosti


- 44 -

napetosti , ki smo ga izračunali po enačbi (4.7). Kot je mogoče razbrati iz tabele so

vrednosti faktorja in približno enake (do manjših razlik prihaja pri večjih vrednosti

kota ). Zato smo analizo širjenja razpoke končali, ko je faktor intenzivnosti napetosti pri

prvem načinu obremenjevanja dosegel vrednost lomne žilavosti (oz. ko je razpoka

dosegla bližino sosednje pore).

Preglednica 5.1: Vrednosti faktorja intenzivnosti napetosti za posamezne dolžine razpoke pri

klasičnem pristopu

Razpoka Dolžina razpoke

[ ]

[ √ ]

[ √ ]

[°]

[ √ ]

1 0.00005 16.05 -1.91 13.73 16.38

0.00010 20.73 2.04 1.88 20. 62

0.00015 27.50 -8.59 29.97 31.01

2 0.00003 17.23 -2.40 15.25 17.72

0.00006 21.57 0.76 -4.01 21.61

0.00009 27.99 -8.47 29.30 31.36

3 0.00003 11.34 1.34 -13.14 11.57

0.00006 18.56 -1.39 8.44 18.71

0.00009 28.30 3.75 -14.49 29.02

4 0.00003 4.25 -2.22 41.10 5.54

0.00006 14.08 -3.10 22.85 15.02

0.00009 17.77 -1.69 10.66 18.01

0.00014 17.21 -4.31 25.35 18.68

0.00019 17.31 -4.67 26.88 19.01

5 0.00003 15.87 0.93 -6.65 15.95

0.00008 23.16 -1.12 5.53 23.24

0.00013 31.91 -0.97 3.47 31.95

6 0.00003 13.16 -2.86 22.61 14.03

0.00008 16.19 -2.63 17.61 16.80

0.00013 13.55 -3.97 28.58 15.09

7 0.00003 11.76 -2.01 18.42 12.25

0.00006 12.10 -2.37 21.44 12.75

0.00011 15.81 -2.97 18.30 16.59

Kot je bilo že omenjeno v poglavju 4.2, smo za izračun dobe iniciranja razpoke potrebovali

skupno amplitudno deformacijo, ki je navedena v preglednici 5.2. Zraven skupne amplitudne

deformacije pri posamezni razpoki je izračunana doba, ki je potrebna, da pride do iniciacije

razpoke ( ). Vrednost dobe iniciranja pri posameznih razpokah znaša od 98 do 676 nihajev.


- 45 -

Preglednica 5.2: Rezultati dobe iniciranja razpok pri klasičnem pristopu

Razpoka [ ] [-] [nihajev]

1 350 0.0110 437

2 378 0.0229 98

3 344 0.0136 280

4 336 0.0121 357

5 327 0.0108 454

6 326 0.0108 454

7 304 0.0090 676

Doba širjenja razpoke ( ) je bila izračunana s pomočjo Parisove enačbe, v kateri smo

upoštevali razmerje med faktorjem intenzivnosti napetosti in dolžino razpoke. Razmerje med

tema veličinama je podano v preglednici 5.3 s funkcijo . Preglednica 5.3 prikazuje

še dolžine začetnih in kritičnih razpok, ter izračunano število nihajev za dobo širjenja razpoke

od začetne do kritične dolžine. Doba širjenja razpoke pri posameznih razpokah znaša od 113

do 1099 nihajev. Slika 5.2 prikazuje pot širjenja razpok v geometrijskem modelu pri

klasičnem pristopu utrujanja poroznih gradiv.

Preglednica 5.3: Rezultati dobe širjenja razpok pri klasičnem pristopu

Razpoka [mm] [mm] Funkcija

[nihajev] 1 0.05 0.15 4E+08a2+35734a+13.171 212

2 0.03 0.09 1E+09a2+40056a+14.989 113

3 0.03 0.09 1E+09a2+115195a+6.629 350

4 0.03 0.19 -4E+08a2+139479a+6.189 2100

5 0.03 0.13 3E+08a2+113530a+12.203 162

6 0.03 0.13 -5E+08a2+119507a+10.049 549

7 0.03 0.11 -5E+07a2+17932a+11.267 1099


- 46 -

Slika 5.2: Pot širjenja razpoke pri klasičnem pristopu utrujanja Lotus porozne strukture

XFEM pristop

Slika 5.3 prikazuje razpoke, ki so se pojavile v modelu pri numeričnih simulacijah utrujanja

Lotus porozne strukture pri 1-osni obremenitvi z XFEM metodo. V primerjavi s klasičnim

pristopom je pri XFEM metodi večje število razpok. Teh je kar 12, vendar pa si ne sledijo tako

verižno kot pri klasičnem pristopu. Začetna razpoka se je pojavila pri pori v sredini modela in

je nato napredovala na desno stran modela. Z razpoko št. 6 se je desna stran modela

prepolovila in pot širjenja razpok se je nato nadaljevala z razpoko št. 7 v skrajnem levem delu

modela. Model bi se dokončno prepolovil z razpoko št. 13. Vendar do tega ni prišlo, ker

kritične dolžine razpoke št. 13 nismo uspeli izračunati (analiza ni konvergirala). Do

konvergence ni prišlo, ker je bila mreža v okolici širjenja razpoke neustrezna. Čeprav smo

model v predvideni smeri širjenja razpoke št. 13 večkrat ponovno zamrežili (vstavili particijo

v predvideni smeri širjenja razpoke in strukturirane končne elemente), nam kljub temu ni

uspelo določiti kritične dolžine razpoke št. 13. Zato pri razpoki št. 13 (slika 5.4) nismo uspeli

izračunati potrebnega števila nihajev za širjenje razpoke do kritične dolžine.


- 47 -

Slika 5.3: Razpoke v modelu pri 1-osni obremenitvi z XFEM pristopom

V preglednici 5.4 so zbrane kritične dolžine razpok, skupna amplitudna deformacija in

izračunane dobe iniciranja ter dobe širjenja za posamezne razpoke. Če pogledamo

število nihajev potrebno za iniciacijo razpoke vidimo, da so dosti večje vrednosti kot pri

klasičnem pristopu. To pa je zaradi tega, ker smo pri XFEM metodi upoštevali samo elastični

del materiala. Posledica tega je manjša skupna amplitudna deformacija (plastična

deformacije je enaka 0) in večja število nihajev potrebno za iniciacijo razpoke ( ). Doba

iniciranja tako znaša med 73 461 in nihajev, doba širjenja pa se giblje med 87 in

609 nihajev.


- 48 -

Slika 5.4: Pot širjenja razpok pri XFEM pristopu z 1-osno obremenitvijo; na sliki je vidna

razpoka št. 13 pri kateri ne pride do konvergence analize

Preglednica 5.4: Rezultati dobe iniciranja in širjenja razpok pri XFEM pristopu z 1-osno

obremenitvijo

Razpoka Dolžina razpoke [-] [nihajev] [nihajev]

1 0.0001204 0.00104803 178 2 0.0001382 0.001246425 703471 204 3 0.0000676 0.00114976 100 4 0.0004118 0.001244725 744231 609 5 0.0000586 0.001151795 87 6 0.0001467 0.00117591 217 7 0.000182 0.0012037 941429 269 8 0.0002644 0.001072994 391 9 0.0001503 0.001248056 703470 222 10 0.0001089 0.002454188 23669 161 11 0.0001924 0.001421274 306388 285 12 0.000094 0.001860368 73461 139 13 - 0.001192453 -

Rezultati analize utrujanja porozne strukture z XFEM metodo pri 2-osni obremenitvi so

navedeni v preglednici 5.5. Kot je razvidno iz slike 5.5, se pri 2-osni obremenitvi v modelu


- 49 -

pojavi 9 razpok preden pride do prepolovitve modela. Razpoke se prvo začnejo pojavljati v

spodnjem desnem kotu modela in se z razpoko št. 3 pomaknejo v sredino modela. Od tam si

razpoke verižno sledijo naprej proti levemu robu modela, kjer pride do pretrga levega dela

modela. Pot širjenja razpok se nato z razpoko št. 7 nadaljuje iz sredine modela verižno proti

desnemu robu modela, dokler z razpoko št. 9 ne pride do dokončne prepolovitve modela.

V primerjavi z XFEM metodo pri 1-osni obremenitvi je pri 2-osni obremenitvi potrebno

število razpok, da pride do prepolovitve modela, manjše. Poleg tega je potrebno število

nihajev do iniciacije razpoke in potrebno število nihajev za širjenje razpoke do kritične

dolžine prav tako manjše kot pri 1-osni obremenitvi. Število nihajev potrebnih za iniciacijo

razpoke pri 2-osni obremenitvi se tako giblje med 580 in nihaji. Doba širjenja

razpok pa znaša od 126 do 608 nihajev.

Preglednica 5.5: Rezultati dobe iniciranja in širjenja razpok pri XFEM pristopu z 2-osno

obremenitvijo

Razpoka Dolžina razpoke [-] [nihajev] [nihajev]

1 0.0001139 0.00133 462745 168 2 0.0000835 0.00121 886366 124 3 0.0001233 0.00965 580 182 4 0.0003354 0.00125 703470 496 5 0.0003088 0.00156 177979 457 6 0.0001481 0.00339 8034 219 7 0.0004109 0.00128 597374 608 8 0.0000855 0.00117 126 9 0.0002766 0.00123 788103 409


- 50 -

Slika 5.5: Razpoke, ki se pojavijo v modelu pri 2-osni obremenitvi z XFEM metodo

Oba pristopa (klasični, XFEM) pri 1-osnih numeričnih simulacijah utrujanja Lotus porozne

strukture ne moremo enakovredno primerjati med sabo, ker nimamo v obeh primerih enakih

materialnih podatkov (pri XFEM metodi upoštevamo samo elastični del materiala) in enake

obremenitve. Pri XFEM metodi smo obremenitev povečali, da smo dosegli rast razpoke do

kritične dolžine, ker se togost modela z rastjo razpoke manjša in dobimo večje pomike kot pri

klasični analizi.

Pri analizi utrujanja z XFEM metodo (v obeh obremenitvenih primerih) smo ugotovili, da je

pot širjenja razpok zelo odvisna od mreže končnih elementov v okolici širjenja razpoke. V

primeru če je kot med končnimi elementi in razpoko oster, ne pride do konvergence analize.

Zato smo mrežo v okolici takih razpok popravljali tako, da smo območje razdelili na

podpodročja (particije) in jih zamrežili s strukturirano mrežo z drugače orientiranimi

končnimi elementi. Pri tem smo tudi lokalno zmanjšali velikost končnih elementov in jih

zgostili v predvidenem območju širjenja razpoke. Slika 5.7 prikazuje primer, ko ni prišlo do

konvergence analize zaradi zgoraj opisanega problema.


- 51 -

Slika 5.7: Primer vpliva mreže na širjenje razpoke z XFEM metodo


- 52 -


- 53 -

6 ZAKLJUČKI

6.1 Doseženi cilji

V magistrskem delu je prikazan postopek utrujanja lotus porozne strukture z numeričnimi

simulacijami, s pomočjo katerih smo dobili potrebne podatke za izračun dobe iniciranje in

dobe širjenja razpok. Numerične simulacije so bile izvedene po klasični metodi končnih

elementov in z uporabo posebnih končnih elementov v katerih lahko kontroliramo togost

med simulacijo (XFEM metoda). Pri obeh metodah numeričnih simulacij smo pričakovali

podobne rezultate za dosego dobe trajanja lotus porozne strukture pri 1-osni obremenitvi,

vendar do tega ni prišlo. Pri obeh metodah so bile različne poti širjenja razpok in različno

število potrebnih razpok za prepolovitev modela. Največje razlike pa so bile pri številu

nihajev potrebnih za iniciacijo razpoke ( ). Pri XFEM metodi je doba iniciranja ( ) znašala

med in nihaji, pri numeričnih simulacijah po klasični metodi končnih

elementov (pri tako poimenovanem klasičnem pristopu) pa je doba iniciranja ( ) znašala

med 98 in 676 nihaji. Do razlike je prišlo, ker smo pri XFEM metodi podali samo elastični del

materiala in je zato skupna amplitudna deformacija znašala manj ( ). Ko smo nato

skupno amplitudno deformacijo vnesli v enačbo (3.3) smo tako dobili večje število nihajev

potrebnih za iniciacijo razpoke. Pri dobi širjenja razpoke ( ) je prav tako prišlo do manjših

razlik, na to je brez dvoma vplivala večja obremenitev pri XFEM metodi. Potrdili smo

pričakovanja, da obremenitev (1-osna ali 2-osna) bistveno vpliva na utrujanje porozne

strukture. Če primerjamo poti širjenja razpok in število potrebnih razpok za prepolovitev

modela pri XFEM metodi, za oba obremenitvena primera, vidimo da je pri 2-osni obremenitvi

potrebno manjše število razpok, da pride do prepolovitve modela. Do razlik prihaja tudi pri

številu nihajev potrebnih za iniciacijo in za širjenje razpoke. Kot je bilo pričakovano se pri 2-

osno obremenjenem modelu hitreje inicira razpoka in hitreje pride do širjenja razpoke do

njene kritične dolžine .

Če primerjamo obe izvedeni metodi numeričnih simulacij, so simulacije po metodi končnih

elementov (tako poimenovani klasični pristop) zamudnejše pri pripravi modela in mreženju

le tega (potrebno je spreminjanje modela za vsako spremembo dolžine razpoke in vedno

ponovno ročno mreženje modela). Pri XFEM metodi smo opazili, da ima kvaliteta mreže velik


- 54 -

vpliv na smer širjenja razpoke. V primeru, da ta ni ustrezna se zgodi, da analiza sploh ne

konvergira. Kot slabost XFEM metode bi omenili čas trajanja simulacij, ki je znatno večji od

časa trajanja klasične simulacije saj se mora za vsak prirastek razpoke izračun po metodi

končnih elementov ponoviti.

6.2 Predlogi za nadaljnje delo

Z magistrskim delom smo predstavili model za analizo utrujanja lotus poroznih struktur, ki se

lahko razširi še na druge porozne strukture. Poleg tega bi bile potrebne eksperimentalne

analize utrujanja lotus porozne strukture, da bi lahko ovrednotili rezultate numeričnih

simulacij.


- 55 -

SEZNAM UPORABLJENIH VIROV

[1] Aljaž Kovačič, Karakterizacija mehanskih lastnosti poroznega gradiva z vzdolžnimi

porami s parametričnimi računalniškimi simulacijami: diplomsko delo. Maribor:

Fakulteta za strojništvo 2011.

[2] Glodež Srečko, Flašker Jože. Dimenzioniranje na življenjsko dobo: Znanstvena

monografija. Univerzitetni učbenik. Maribor: Založništvo fakultete za strojništvo, 2006.

[3] Nakajima H., Fabrication, properties, and applications of porous metals with directional

pores [svetovni splet] The Institute of Scientific and Industrial Research, Osaka

University, Dostopno na WWW:

http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3035924/ [21.6.2016]

[4] Boštjan Brunec, Določitev lastnosti utrujanja poroznega Lotus gradiva z numeričnimi

simulacijami: diplomsko delo. Maribor: Fakulteta za strojništvo 2014.

[5] Abaqus 6.12 Online Documentation [dokumentacija programskega paketa ABAQUS

6.12]. © Dassault Systèmes, 2012.

[6] Vesenjak M., Kovačič A., Tane M., Borovinšek M., Nakajima H., Ren Z., "Compressive

properties of lotus-type porous iron, " Computational Materials Science (2012), vol. 65,

pp. 37−43.

[7] S. Glodež, S. Dervarič, J. Kramberger, M. Šraml, "Fatigue crack initiation and propagation

in lotus-type porous material," Frattura ed Integrita Strutturale, vol. 10, št. 35, pp. 152-

160, Jan 2016.

[8] S. Podrug, S. Glodež, D. Jelaska, "Numerical Modelling of Crack Growth in a Gear Tooth

Root," Strojniski Vestnik-Journal of Mechanical Engineering, vol. 57, št.7-8, pp. 579-586,

Aug 2011.

http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3035924/

Documents

ANALIZA UTRUJANJA POROZNIH STRUKTUR Z METODO XFEM