Analyse Convexe et Ses Applications: Comptes Rendus, Janvier 1974

Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems

(Vol. 1-15: Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics, Vol. 16-59: Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems) Vol. 1: H. BOhlmann, H. Loeffel, E. Nievergelt, EinfUhrung in die Theorie und Praxis der Entscheidung bei Unsicherheit. 2. Auflage, IV, 125 Seiten. 1969. OM 16,-

Vol. 2: U. N. Bhat, A Study of the Queueing Systems M/GI1 and GUM1. VIII, 78 pages. 1968. OM 16,-

Vol. 3: A Strauss, An Introduction to Optimal Control Theory. VI, 153 pages. 1968. OM 16,-

Vol. 4: Branch and Bound: Eine EinfUhrung. 2., geanderte Auflage. Herausgegeben von F. Weinberg. VII, 174 Seiten. 1972. OM 18,-

Vol. 5: Hyvarinen, Information Theory for Systems Engineers. VIII, 205 pages. 1968. OM 16,-

Vol. 6: H. P. KOnzi, O. MOiler, E. Nievergel~ EinfUhrungskursus in die dynamische Programmierung. IV, 103 Seiten. 1968. OM 16,-

Vol. 7: W. Popp, Einfuhrung in die Theorie der Lagerhaltung. VI, 173 Seiten. 1968. OM 16,-

Vol. 8: J. T eghem, J. Loris-Teghem, J. P. Lambotte, Modeles d'Attente M/G/l et GI/M/l a Arrivees et Services en Groupes. IV, 53 pages. 1969. OM 16,-

Vol. 9: E. Schultze, EinfOhrung in die mathematischen Grundlagen der Informationstheorie. VI, 116 Seiten. 1969. OM 16,-

Vol. 10: O. Hochstadter, Stochastische Lagerhaltungsmodelle. VI, 269 Seiten. 1969. OM 18,-

Vol. 11/12: Mathematical Systems Theory and Economics. Edited by H. W. Kuhn and G. P. Szego. VIII, IV, 486 pages. 1969. OM 34,-

Vol. 13: Heuristische Planungsmethoden. Herausgegeben von F. Weinberg und C. A Zehnder. II, 93 Seiten. 1969. OM 16,-

Vol. 14: Computing Methods in Optimization Problems. Edited by A V. Balakrishnan. V, 191 pages. 1969. OM 16,-

Vol. 15: Economic Models, Estimation and Risk Programming: Essays in Honor of Gerhard Tintner. Edited by K. A. Fox, G. V. L. Narasimham and J. K. Sengupta. VIII, 461 pages. 1969. OM 24,-

Vol. 16: H. P. Kunzi und W. Oettli, Nichtlineare Optimierung: Neuere Verfahren, Bibliographie. IV, 180 Seiten. 1969. OM 16,-

Vol. 17: H. Bauer und K. Neumann, Berechnung optimaler Steuerungen, Maximumprinzip und dynamische Optimierung. VIII, 188 Seiten. 1969. OM 16,-

Vol. 18: M. Wolff, Optimale Instandhaltungspolitiken in einfachen Systemen. V, 143 Seiten. 1970. OM 16,-

Vol. 19: L. Hyviirinen Mathematical Modeling for Industrial Processes. VI, 122 pages. 1970. OM 16,-

Vol. 20: G. Uebe, Optimale Fahrpliine. IX, 161 Seiten. 1970. OM 16,-

Vol. 21: Th. Liebling, Graphentheorie in Planungs- und Tourenproblemen am Beispiel des stadtischen StraBendienstes. IX, 118 Seiten.1970. OM 16,-

Vol. 22: W. Eichhorn, Theorie der homogenen Produktionsfunktion. VIII, 119Seiten.1970. OM 16,-

Vol. 23: A Ghosal, Some Aspects of Queueing and Storage Systems. IV, 93 pages. 1970. O~ 16,-

Vol. 24: Feichtinger Lernprozesse in stochastischen Automaten. V, 66 Seiten. 1970. OM 16,-

Vol. 25: R. Henn und O. Opitz, Konsum- und Produktionstheorie. 1.11,124 Seiten. 1970. OM 16,-

Vol. 26: O. Hochstadter und G. Uebe, Okonometrische Methoden. XII, 250 Seiten. 1970. OM 18,-

Vol. 27: I. H. Mufti, Computational Methods in Optimal Control Problems. IV, 45 pages. 1970. OM 16,-

Vol. 28: Theoretical Approaches to Non-Numerical Problem Solving. Edited by R. B. Bsnerji and M. O. Mesarovic. VI, 466 pages. 1970. OM 24,-

Vol. 29: S. E Elmaghraby, Some Network Models in Management Science. III, 177 pages. 1970. OM 16,-

Vol. 30: H. Noltemeier, Sensitlvitlltsanalyse bei diskreten lonearen Optimierungsproblemen. VI, 102 Seiten.1970. OM 16,-

Vol. 31: M. KOhlmeyer, Die nichtzentrale t:Verteilung. II, 106 Seiten. 1970. OM 16,-

Vol. 32: F. Bartholomes und G. Hotz, Homomorphismen und Reduktionen linearer Sprachen. XII, 143 Seiten. 1970. OM 16,-

Vol. 33: K. Hinderer, Foundations of Non-stationary Dynamic Programming with Discrete Time Parameter. VI, 160 pages. 1970. OM 16,-

Vol. 34: H. Stormer, Semi-Markoff-Prozesse mit endlich vielen Zustanden. Theorie und Anwendungen. VII, 128 Seiten. 1970. OM 16,-

Vol. 35: F. Ferschl, Markovketten. VI, 168 Seiten. 1970. OM 16,

Vol. 36: M. P. J. Magill, On a General Economic Theory of Motion. VI, 95 pages. 1970. OM 16,-

Vol. 37: H. Muller-Merbach, On Round-Off Errors in Linear Programming. VI, 48 pages. 1970. OM 16,-

Vol. 38: Statistische Methoden I. Herausgegeben von E. Walter. VIII, 338 Seiten. 1970. OM 22,-

Vol. 39: Statistische Methoden II. Herausgegeben von E. Walter. IV, 155 Seiten. 1970. OM 16,-

Vol. 40: H. Orygas, The Coordinate-Free Approach to GaussMarkov Estimation. VIII, 113 pages. 1970. OM 16,-

Vol. 41 : U. Ueing, Zwei Losungsmethoden fOr nichtkonvexe Programmierungsprobleme. VI, 92 Seiten. 1971. OM 16,-

Vol. 42: A V. Balakrishnan, Introduction to Optimization Theory in a Hilbert Space. IV, 153 pages. 1971. OM 16,-

Vol. 43: J. A. Morales, Bayesian Full Information Structural Analysis. VI, 154 pages. 1971. OM 16,-

Vol. 44: G. Feichtinger, Stochastische Madelle demographischer Prozesse. XIII, 404 Seiten. 1971. OM 28,-

Vol. 45: K. Wendler, Hauptaustauschschritte (Principal Pivoting). 11,64 Seiten. 1971. OM 16,-

Vol. 46: C. Boucher, Lec;ons sur la theorie des automates mathematiques. VIII, 193 pages. 1971. OM 18,-

Vol. 47: H. A Nour Eldin, Optimierung linearer Regelsysteme mit quadrati scher Zielfunktion. VIII, 163 Seiten. 1971. OM 16,-

Vol. 48: M. Constam, FORTRAN fOr Anfanger. 2. Auflage. VI, 148 Seiten. 1973. OM 16,-

Vol. 49: Ch. SchneeweiB, Regelungstechnische stochastische Optimierungsverfahren. XI, 254 Seiten. 1971. OM 22,-

Vol. 50: Unternehmensforschung Heute - Obersichtsvortrage der Zuricher Tagung von SVOR und OGU, September 1970. Herausgegeben von M. Beckmann. VI, 133 Seiten. 1971. OM 16,-

Vol. 51: Oigitale Simulation. Herausgegeben von K. Bsuknecht und W. Nef. IV, 207 Seiten. 1971. OM 18,-

Vol. 52: Invariant Imbedding. Proceedings of the Summer Workshop on Invariant Imbedding Held at the University of Southern California, June-August 1970. Edited by R. E. Bellman and E. O. Denman. IV, 148 pages. 1971. OM 16,-

Vol. 53: J. RosenmOller, Kooperative Spiele und Markte. IV, 152 Seiten. 1971. OM 16,-

Vol. 54: C. C. von Weizsacker, Steady State Capital Theory. III, 102 pages. 1971. OM 16,-

Vol. 55: P. A V. B. Swamy, Statistical Inference in Random Coefficient Regression Models. VIII, 209 pages. 1971. OM 20,-

Vol. 56: Mohamed A EI-Hodiri, Constrained Extrema. Introduction to the Differentiable Case with Economic Applications. III, 130 pages. 1971. OM 16,-

Vol. 57: E. Freund, Zeitvariable MehrgroBensysteme. VII, 160 Seiten. 1971. OM 18,-

Vol. 58: P. B. Hagelschuer, Theorie der linearen Oekomposition. VII, 191 Seiten. 1971. OM 18,-

continuation on page 244

Lectu re Notes in Economics and Mathematical Systems Managing Editors: M. Beckmann and H. P. Kunzi

Mathematical Economics

102

Analyse Convexe et Ses Applications Comptes Rendus, Janvier 1974

Edited by Jean-Pierre Aubin

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

1974

Editorial Board H. Albach· A V. Balakrishnan . M. Beckmann (Managing Editor) . P. Dhrymes J. Green' W. Hildenbrand· W. Krelle • H. P. Kunzi (Managing Editor) K Ritter' R. Sato . H. Schelbert • P. Schonfeld

Managing Editors Prof. Dr. M. Beckmann Brown University Providence, RI 02912/USA

Editor Prof. Dr. Jean-Pierre Aubin Universite Paris IX Dauphine Ceremade

Prof. Dr. H. P. Kunzi Universitat Zurich 8090 Zurich/Schweiz

Place du Marechal-de-Lattre-de-Tassigny 75775 Paris Cedex 16/France

Library of Congress Cataloging in Publication Data

Main entry under title:

Analyse convexe et ses Applications: Comptes rendus, janvier 1974.

(Lecture notes in economics and mathematical systems ; 102)

Includes bibliographies and index. 1. Mathematical analysis--Congresses. 2. Convex

domains--Congresses. I. Aubin, Jean Pierre, ed. II. Title. III. Series. QA300.A549 515 74-23835 ISBN 978-3-540-07015-3

AMS Subject Classifications (1970): 49Axx, 49 Bxx, 90Cxx

This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks.

Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher.

© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1974. Originally published by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1974

ISBN 978-3-540-07015-3 ISBN 978-3-662-00638-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-00638-2

Pr6face

Ce volume contient les comptes rendus des conf6rences qui ont eu

lieu A Saint Pierre de Chartreuse (Is~re) du 7 au 11 janvier 1974.

Ces journ6es d'analyse convexe ont 6t6 organis6es et subvention

n6es par Ie Centre de Recherche de Math6matiques de la D6cision (Universit6 Paris 9)etpar la Soci6t6 Math6matique de France. L'or

ganisation mat6rielle a 6t6 assur6e par P. J. LAURENT, de l'Uni

versit6 Scientifique et M6dicale de Grenoble.

Le but de ces journ6es 6tait de faire Ie point sur l'6tat des re

cherches men6es en France sur l'Analyse Convexe et ses applications.

Jean-Pierre AUBIN

TABLE DES MATIERES

Resolution numerique d'inegalites variationnelles -A. Aus lender ............................................... 1

Problemes d'optimisation non convexe dependants d'un parametre -

J. Baranger ................................................ 41

Semi-groupes invariants par un cone de fonctions convexes -Ph. Benilan ................................................ 49

Proprietes des inequations quasi variationnelles decroissantes -

A. Bensoussan .............................................. 66

Espaces de Kothe et fonctionnelles convexes -P. Clauzure ................................................ 85

Quelques applications de l'analyse convexe a la resolution de problemes d'optimisation non convexes -

I. Ekeland ................................................. 102

Methodes de descente pour la minimisation de fonctions non differentiables -

C. Lemarechal ............................................. 115

Prolongements de jeux et jeux iteres-H. Moulin................................................. 130

La convexite en statique -J.-J. Moreau ..........•......................•......... ... 141

Une generalisation aux operateurs monotones des theoremes de differentiabilite d'Asplund -

R. Robert ...........•..................................... 168

Lagrange multipliers for an n-stage model in stochastic convex programming -

R.T. Rockafellar

Nouvelles applications de la dualite au calcul des variations -

180

R . Temam ...............•.................................. 188

On the strassen theorem -M. Valadier .......•..........................•............ 203

Convexity and repeated games -S. Zamir ...............................•.................. 216

L'Algebre des projecteurs coniques -E.H. Zarantonello ......................................... 232

RESOLUTION NUMERIQUE O'INEGALITES VARIATIONNELLES

AUSLENOER - GOURGANO - GUILLET

I - Introduction

Soit X un espace de Hilbert reel muni du produit scalaire (.,.), Q un sous-

ensemble convexe ferme non vide de X, C un sous-ensemble convexe ferms non vide

de Q et A une multi-application de X dans X dont Ie domaine (ensemble des x ou

A(x) ; e) contient Q. On se propose de rssoudre numeriquement l'insgalite

variationnelle :

P : Trouver u:l:£ C tel qu'il existe c:l: e A(u:l:) tel que

1.1

On supposera que l'ensemble des solutions de p, nots M, est non vide.

Pour des conditions d'existence, on pourra se reporter a L4J ' [5J ' OD. L'importance du probleme P en analyse numerique n'est plus a demontrer J en

particulier, la theorie de l'optimisation, du minimax, des jeux a n personnes

est susceptible d'une formulation variationnelle du type 1.1. Le role joue

par la convexite et la forte convexite dans ces theories va se generaliser aux

inegalites variationnelles a l'aide des notions de monotonie et de forte

monotonie. Rappelons a cet effet les definitions suivantes

Definition: On dit que A est monotone sur C si l'on a :

et on dit que A est fortement monotone sur C s'il existe a > 0, appels coefficient

de coercivite de A sur C, tel que :

(c1-c2'X1-x2)~allx1-x2112 Vx1,x2 ec, 'VC1 €A(X 1 ), VC2 €A(X 2) 1.3

Remargue 1 : il est immediat de voir lorsque A est fortement monotone sur C

que M contient au plus un point u:l:.

Dans [iJ . on donne une methode pour calculer des points de M, qui n'est

interessante que si l'on projette facilement sur C. ce qui n'est pas toujours

Ie cas. En effet. soit (f i) i=1, 2, ••• , m des fonctionnelles definies sur X a

2

va leurs reelles convexes et continGment derivables et D le sous-ensemble de X

defini par :

o = {x e X I f i (x) ,< 0 i = 1. 2 •..•• m}.

Dans de nombreux cas, C a alors Ie structure suivante

C=Q()D

et dans ce cas la projection sur C n'est pas immediate._Il apparait alors

necessaire de chercher de nouvelles methodes, ce qui est 1 'objet de cet

article et celles que nous presenterons reposent sur une methodologie commune

la technique des series divergentes. Les methodes expo sees differeront donc

essentiellement par Ie choix des directions de descente ;quant au pas. il

sera "petit" et obtenu ~ l'aide de combinaisons de series divergentes

appropriees.

II - Resolution d'inegalites variationnelles avec operateurs multivoques.

2.1. Caracterisation des solutions de l'inegalite veriationnelle 1.1.

Theoreme 2.1. Supposons C = 0, et l'hypothese de Slater verifiee : il existe

x E X verifiant o

f. (x ) < 0 J. 0

i=1,,2, ... ,m.

Alors une condition necessaire et suffisante pour que u~~ C soit solution de

l'inegalite variationnelle 1.1 est qu'il existe des constantes \. i ~ I(u~).

positives telles que :

avec I(x) = {i If: [1.2 ••.•• m]

Demonstration :

f. (x) J.

2.1

D}

II suffit de remarquer que l'inegalite variationnelle 1.1 est equivalente au

probleme :

'V P : 0 = min (J(v) I v e: C)

et d'appliquer le theoreme de Kuhn et Tucker (6.9.6. [1til) c.q.f.d.

3

Remargue : Si A est univoque, alors 2.1 devient

A(u~) + I A fi'(u~) = O. iEI(u~) i

Posons pour tout v €X : F(v) = (f1 (V), f 2 (V), ••• , fm(v)). On a alors :

Theoreme 2.2. Supposoos C = Q nO, et l'hypothese de Slater verifiee : il

existe Xo E; X verifiant

i=1,2, ..• ,m

Alors une condition necessaire et suffisante pour que u~£ Q so it solution

de l' inegali te variationnelle 1.1 est qu' 11 existe p Ei IR~ , c~ 6" A (u~)

tels que

(c~, v - u~) + (p, F(v) - F(u~)) >,.0

(q - p, F(u~)) ~ 0 V qf:lR:

Demonstration :

II suffit de faire la meme remarque que dans la demonstration precedente et

d'appliquer Ie theoreme du lagrangien (7.9.7, [1DJ) c.q.f.d,

2.2

2.3

2.4

Remarque : Ce theoreme et Ie principe de la demonstration ont ete donnes dans

[2J lorsque A est univoque.

+ Posons maintenant si a = max (a, 0)

h(v) i=m I f~(V)'

i=1

On a alors Ie theoreme de penalisation exacts lorsque C = Q n 0 et l'hypothese de Slater est verifiee.

Theoreme 2,3. Une condition necessaire et suffisante pour que u~E; Q soit

solution de Pest qu'il existe c~ e; A(u~). A >,.0 tels que pour A >,.A o 0

u~ verifie :

(c~, v - u~) + T (A, v) - T (A, u~) ~ 0 o 0

2,5

Demonstration :

1) Condition necessaire : Soit u~ solution de P, d'apres Ie theoreme 2,2

11 existe p € IR~, c'll. e; A (u~) tels que :

(A)

4

Po sons A o

max [Pi I i = 1, •••• m) ; comme p E:~: AO est positif et I 'on a pour'

tout v E: Q. si on note J[v)

[p.F[v))~ L Pifi[v)~A L iE:J[v) 0 ie;J[v)

Et donc. on a :

[P, F[v)) 0{ A h[v) = To[A. v)

f. [v) l

i=m \ + A L f. [v)

o i=1 l

Comme u~ appartient a C, on a h[u~) = 0, c'est"a-dire

Les inegalites [A). [6) et [C) entrainent alors 2.5.

[6)

[C)

A h[v) o

2) Condition suffisante : Fixons dans 2.5 v e c, alors To[A. v)

pour tout A 'l0 et on a I' inegali te

(c~, v - u:!:) ~ Ah(u~)

o

h(u~) ne peut etre alors > 0 car en faisant tendre Avers +M dans l'expression

precedente. on aboutirait a une contradiction; h(u:!:) est donc nul et. par

consequent. u~ appartient a 0, donc a C. On obtient alors

v € C

et par consequent u:!: est solution de P.

Remargue : la fonctionnelle h est convexe et sous-differentiable et son

sous-differentiel est de structure simple (ce qui sera avantageux en algori-

thmique) :

i=m +

'Vx 6X Clh[x) L Clfi(X) i=1

2.6

{O} si f _ [x) < 0 l

+ {f: (xl) avec Clf. (x) si f. (x) > 0

l l l 2.7

a{fi[xJ} a € [0. D si f _ (x) 0 l

5

2.2. Resolution numerigue de l'inegalite variationnelle 1.1.

2.2.1. Lemme fondamental.

Lemme 2.2. Soit {~j} , {aj } des suites de reels telles que

+ .. +00

~j > 0, aj ~ 0, j~1 ~j +00" L CLJo<+OO j=1

2,8

Soit {bj } une suite de reels positifs et {ej } une suite de reels strictement positifs telles que :

1) S'il existe K > 0 tel que

bj ,< K 'V j

alors il existe K > 0 tel que

Sous ces hypotheses, la suite {bn} converge vers O.

Demonstration: En sommant la relation 2,10, on obtient

j=n j=n ~ bn+1 ~ b1 + L a. - L ~j J e. j=1 j=1 J

et puisque b n+1 ~o, cela entraine grace a 2.8

fA)

(8)

La relation (A) montre aussi que la suite {b j } est bornee et dDDe egalement

la suite {ej } et par consequent la relation (8) entraine que

2,9

2.10

II existe done une sous-suite {b. } convergeant.vers O. En effet, dans Ie cas J l

contraire, il existerait e: > 0, jo E: DIJ tels que

+ ..

< + 00

On about it a une contradiction.

6

Soit e > O. II existe alors un indice 10 tel que

L'inegalite 2.10 entraine alors

+ .. \J m > 0 o~ b < b. + I {lj { 2e

j 1 +m" J l j=j 1 0 0

0

et par consequent, la suite bj converge vers O.

c.q,f.d.

2.2.2. Resolution numerique dans Ie cas ou C = Q.

Pour calculer un point de M. on propose la methode suivante Soit {p } n

une suite de reels. A partir d'un point arbitraire u1 € C. on construit de

facon recurrente une suite {u } de la fa90n suivante I supposons calcule n

u • alors : n

(Pc(u) indiquant la projection de u sur C).

si c n

Si c n = 0, l'algorithme s'arrete, de meme s1 un

Theoreme 2.4. Soit {Pn} une suite de reels varifiant

P > 0, n

+ .., ,

+co

I P~ < + 00

n=1

"I 0 2.11

2.12

Supposons A bornee et fortement monotone sur C (de coefficient de coercivite

(l > 0).

S'il existe n tel que cn = 0 ou un+1

~ la suite {un} converge vers u •

Demonstration

alors u est la solution u~ sinon n

1 ) a) si c n o 1.1 est trivialement verifiee

b) si un+1 un' c n "I 0 alors d'apres les proprietes de projection, on

a 1.1.

2) Supposons que pour tout n

D'apres les proprietes de

Ilu 1-u:l:112,< n+ Ilu -u:l: 112 n

et a cause de 1.1., on a alors

Ilu n+1-u:l: 11 2 ,< Ilu -u!l< 112 n

c I 0 n

7

et

projection, on a

c - 2 Pn ( n

Wnll

2Pn (c :I: ---- - c ,

Wnll n

et donc a cause de la forte monotonie de A sur C

2p I lu n+1-u:l:1 12 ,< Ilu n - u:l:I12 - ~llun

Posons b n

b n

-- + a e n n

Ilcnll'lln

2 - u:l:) + u Pn n

- u:l:) + 2 u Pn n

u:l: 112 2 + Pn

p2. On a alors n

(A)

(8)

(C)

Comme A est bornee sur Q les hypotheses du lemme.precedent sont verifiees et

la suite {b } converge vers O. n

c.q.f.d.

Dans Ie cas univoque on peut se passer de l'hypothese de monotonie. Ainsi notons

M €

{y E; C : 3 x ~ M

et soit l'hypothese H

II y - x II ~ € }, M~ Ie complementaire de M€ dans C,

H: V € > 0, 'V r > €, 'Vu:l:f,; M : inf ((A(uL u - u:l:)lu eMc 11M) > O. € r

Theoreme 2.5. Supposons que.X so it de dimension finie, A univoque et continue

sur C relativement a C, M compact et l'hypothese H verifiee et so it {u } la n

suite construite a l'aide des relations 2.11 et 2.12. Alors, s'il existe n

o ou un+1 ~ un' un appartient a M sinon la suite {un}

converge vers un point u:l: de M.

Demonstration

Supposons que pour tout n on ait A(u n) I D et un+1 I un (dans Ie cas contraire

la conclusion est evidemment la meme qu'au theoreme precedent).

Soit alors u:l: un point arbitraire de M, € et r deux reels strictement positifs

avec r > €.

8

a) o'apres l'hypothese H, on a l'inegalite :

Comme M~~ Mr est un compact et comme l'application (u, y) ~ (A(u), u - y)

est continue, l'application f definie sur C par e:,r

'£ (y) = inf ((A(u), u - yl I u E: MC f\M 1 e:,r e: r

(A)

est continue d'apres.le theoreme du maximum (Berge r3'l et comme f (u:l() > 0 l:~ e:,r

il existe y(e:, r) > 0 tel que:

Ily-u:l(ll~y(e:,r)~'£ (y)'lo e:.r (Bl

o'apres les praprietes de. projection, on a :

et a cause de l'hypothese H cela entraine que

Il u _uli:112,<llu _u"112+p2 n+1 n n

et en sommant :

st, par consequent, la suite {un} est bar nee J il exists done ro > 0 tel

Pour tout y > 0, an a la relation :

A(u 1 n

On a alors, d'apres (Cl

, -y A(u )

n o

(D)

bl Montrons maintenant qu'il existe au moins une valeur d'adherence de la suite

{u } dans M. Dans Ie cas cantraire, il existe n , e: ~JO, r [tel que pour n 0 0 0

9

tout n ~ n , u € MC n M . Si l' on pose y onE r Y(EO ' ro) alors la relation (B)

o 0

et la relation (D) entrainent que

Ilu n+1 - u:l: 112 ,< Ilu n - u* 112 - 2 Pn Y + P~

Soi t m tel que

Pn < Y V n ~m On a alors l'inegalite

j=n+m Il u -u*112<llu _u*112_y \'

n+m+1 'm L j=m

+00

ce qui est en contradiction avec Ie fait que L p. + 00.

j=1 J

c) Montrons que la suite {un} converge.

Soit u* un point de M vers lequel une sous-suite {u } de la suite {u } ni n

converge. La relation (e) etant toujours valable, on a, a. cause de ] 'hypothese H

La fin de la demonstration est alors identique a celIe dU.lemme 2.2.

c.q.f.d.

Remarque : Pour que l'algorithme soit performant, il faut que Ie calcul de la

projection d'un point x sur e soit facile, ce qui est Ie cas lorsque e = 0,

et que 0 est soit X, soit un hypercube, soit une hypersphere.

Dans Ie cas plus general ou C = 0 no, il faut utiliser d'autres methodes.

On suppose desormais pour Ie reste de ce sous-paragraphe 2.2 que A est bornee

et fortement monotone sur 0 (de coefficient de coercivite a > 0).

2.2.3. Resolution numerique dans Ie cas ou e = 0 no.

On suppose ici l'hypothese de Slater verifiee, c'est-a-dire qu'il existe Xo € X

tel que :

x € 0, o

f.Cx)<O l 0

i = 1, 2, .... m

Lemme 2.3. Soit tFo la multiapplication de X x ~+ dans X definie par :

2.13

g: (U,A) o

ACu) + 3To CA, u) (3To CA, u) indiquant Ie sous-differentiel en u

de la fonction u ~ToCA' u)).

10

Pour tout uE:' Q, tout A 'lAO' tout c E:g"o(U, A), on a

2.14

O€!monstration : Soit u € Q, A ~AO' c €!to(U, A). Il existe alors c1 € A(u)'

On a alors

et comme pour tout A ~O la fonctionnelle u ~ To(A, u) est convexe, on a

O'aprss Ie th€!orsme 2.3., on a alors :

(c, u - u:o:) ~ (c1 - c:O:, u - u:lt), c:lt e A(u:O:)

et donc l'inegalit€! 2.14 puisque A est fortement monotone sur Q.

c.q.f.d.

So it {A } n

et {Pn} deux suites de reels te11es que :

+00 +00 Pn A > 0, > 0, L 2 < + lim A L Pn Pn co, -= + 00, -A-n n n=1 n++oo n=1 n

+ ex> 2.15

De telles suites existent (par exemple p = 1, A Log n. A1 = 1). n n n

Pour calculer u:lt solution de 1.1. on propose d'aboru l'algorithme suivant :

Algorithme : A partir d'un point u1 e Q, on construit une suite {un} dans Q

de la facon suivante ; supposons calcul€! un' alors :

1) un ---> cn par la relation

c E: ff (u , A ) non n

2) u , c ---> un+ 1 par la relation n n

c

:

un+ 1 = P (u _ P __ n_ si cn "I 0, Q n n Ilcnll

un+ 1 u n sinon

2.16

2.17

11

Theoreme 2.6. La suite {un} construite a partir de u1 € Q verifiant les relations

2.15, 2.16 et 2.17 converge vers u~.

Demonstration

D'apres les proprietes de la projection, on a, si cn ~ 0

et par consequent en developpant :

(Al

Soit Ao defini par Ie theoreme 2.3. II existe no tel que n > no entraine

An ~ Ao et d'apres Ie lemme 2.3" on a alors (pour n > .... nol

avec l'inegalite (AJ, on obtient donc

2 2 2ap 2 2 lIu - u:l(11 ~ Ilu - u~11 __ ~n_llu - u~11 + Pn

n+ 1 n II cn II n (Bl

Ce qui donne en particulier l'inegalite

(Cl

Cette inegalite est bien evidemment vraie si c n = 0 et on obtient en sommant :

2 2 n-1 2 Ilu n - u:l(11 < Ilu n - u:l(11 +.L Pj

o J=u n o

ce qui prouve a cause de 2.15 que la suite

~ n > n o

{u } est bornee. n

D'autre part, en supposant cn ~ 0, on a la factorisation:

Comme

c n

la

c1 + A n n

suite {u } n

est bornee, et a cause de Ia structure de dhJla suite {c2 } n

est bornee. Il en est de meme pour la suite {c 1 } n

puisque A est une multiapplication

bornee. Il existe donc des constantes M1 et M2 strictement positives telles que :

12

et par consequent. a cause de la relation 2.15 un indice n1 >.,.n o et une

constante M strictement positive tels que :

Ilc 11,< AM n n

Si on pose bn Ilu n - u" 112 1"'<' lit.<. (A) d i t 1 > ~n"ga" even a Drs pour n ... n1

2a. M

Cette inegalite reste valable dans Ie cas ou cn = 0 puisqu'alors d'apres Ie

P lemme 2.3. on a bn = D. En posant ~j = ~ e j

J

M 2 2a. ,a.j = Pj ' on voit que les

hypotheses du lemme 2,2 sont verifiees et par consequent la suite {b } n

converge vers D. c,q,f .d,

Remarque : dans Ie cadre des problemes d'optimisation, on retrouve une methode

voisine dans Butz [6J,

L'algorithme ainsi defini depend essentiellement de la fonctionnelle To' il

sera it interessant de Ie generaliser a toute une classe de fonctionnelles,

A cette fin introduisons la famille CF>, Definition : c? designe I' ensemble des fonctions de IR + x X --> IR telles que :

H1l TO" xl = 0 si x e:: 0, A ~O ; TO., xl > 0 s1 x f:. 0, A> 0: T(O,xl=O si x ¢ O.

H2) Pour tout A ~ 0, l'application x --> T(A, x) est convexe et continue

H3) Une condition necessaire et suffisante pour que u" e:: Q so it solution de P

est qu'il existe c"" e: A(u""), \ > ... 0 tels que pour A >,-Ao u" verifie :

Remargue : So it T C (R+ x xfR verifiant les hypotheses H1) et H2) l alors si

T ~ To a cause du theoreme 2.3 T verifie l'hypothese H3), Ceci permet de

donner facilement d'autres exemples de fonctionnelles de oP, ainsi si T1

(choix donne dans ~J en theorie de l'optimisation) est definie par

i=m L max (0, e

i=1

Af. (x) ~

- 1) v x (; X,

13

alors T1 appartient a ~. Pour generaliser l'algorithme precedent et obtenir

un theoreme de convergence, 11 faut considerer alors. une sous-classe de (f>.

Definition : On note (fJ Ie sous-ensemble de. tf::> forme des elements T tels que c

1) Pour tout ensemble K borne de X 11 existe. une fonction ]JK de ~ + dans ~ +

verifiant :

v c e aTO., u).

2) II existe des suites {p } et {A } telles que pour tnut K borne. on ait n n

+00

Pn > D. An > 0, L P~ < + 00 ,

n=1 lim A n +00

+00

+00, r n=1

+ 00

2.18

2.19

Remargue : Soit T1 defini precedemment, si X est.de dimension finie et si l'on

pose pour tout borne K :

max (1Ifi(x) II x 6 K, i = 1 ~ 2 ••••• m)

max (If. (x) I I x E: K, i ~

1~ 2 ••.• 1~ m)

on voit alors que la relation 2.18 est verifiee J des majorations evidentes

montrent alors que la relation 2.19 est verifiee avec les suites (independantes

de K) :

1 Pn 273

n A

Log n n Log Log n

Posons alors ~ (u, A) = A(u) + aT(A, u) J l'algorithme precedent se generalise

si l' on remplace § 0 par f:F' , c' est-a-dire la relation 2.16 par 2.16 bis :

c n ~ ~ (u , A ) n n

2.16 bis

On a alors en raisonnant comme au theoreme precedent avec les majorations

evidentes :

Theoreme 2.7. Soit T e ~ et {u } la suite construite a partir d'un point c n

u1 £ Q et verifiant les relations 2.16 bis. 2.17 et 2.19. Alors la suite {un}

" converge vers u •

14

On remarque que. dans Ie cadre de l'optimisation, Polyack [13J a donne une

methode de sous gradients basee sur la technique des series divergentes. assez

differente de celles donnees ci-dessus. Nous allons maintenant voir comment

cette derniere peut se generaliser moyennant certaines perturbations du convexe

O. Notons pour tout E ~ 0

i 1 ..... m}.

L'algorithme propose est alors identique a celui decrit au debut de ce sous-

paragraphe. la relation 2.16 etant remplacee par la relation 2.16 ter :

€ A(u) si u C 0 nnE

n c n { 2.16 ter

OU En f-. i(n) verifie f i(n) (un) = max (f i (un) Ii n

On a alors Ie theoreme de convergence

1 ••••• m) •

Theoreme 2.6 bis Supposons la suite {A } croissante et la suite {u } construite n n

a partir de u1 € Q et verifiant les relations 2.15. 2.16 ter et 2.17. Alors

* la suite {un} converge vers u .

Oemonstration

1) Remarquons d'abord que c ne peut etre nul si u 40 l en effet. supposons n n En

qu'il existe n tel que un ~ 0 c = 0 En' n

u realise alors Ie minimum de n

O. ce qui est en contradiction avec 1 'hypothese

de Slater.

2) O'apres les proprietes de projection. on a • si c n t 0

2p * Ilun+1 - u* 112 ,< Ilu n - u* 112 - __ n_ (c n ' un - u ) + P~

"cn" (A)

On pose b = II u - u* 112. n n

Deux cas sont a examiner : un € 0 E • Un ,. DE n n

a) un € DE ' alors cn C A (un)· n

Le theoreme 2.3. nous donne

ou J (u ) = {i / f. (u ) > D}. • n l. n

15

Comme un appartient a DE la relation (Bl entraine n

(C", U - u") ~ - A mE. non

D'autre part, comme A est fortement monotone, on a

ce qui donne, avec la relation (Cl

- A m E o n

(B)

(C)

(D)

a) un' DE alors cn fi(nl(u n) ou l'indice i(n) est determine par n

1, .•• ,m).

Comme la fonctionnelle fi(n) est convexe, on a, en tenant compte de la remarque

preliminaire et de (A)

2p

bn+1 ,< bn - Ilcnll

ce qui donne puisque u" E: 0 et u do 0 n'l' e:

et par consequent

2 bn+1 ,< bn + Pn

n

(E)

(F)

Raisonnons maintenant par l'absurde pour demontrer l'existence d'une sous-suite

convergeant vers u".

On suppose que u" n'est pas valeur d'adherence de la suite {u } • Comme la n

suite {En} converge vers zero, il existe no tel que pour n ~no on ait dans

Ie cas a) avec la relation (D)

" (c n' un - u ) > D.

et par consequent avec la relation (Al

bn+1 ~ bn + P~

On a donc avec la relation (Fl :

V n ~ n o

16

On montre alors de fa~on classique que la suite {un} est bornee.

o'autre part. comme A est bornee et (f i l i =1 ••••• m continOment differentiables

et convexes. il existe une constante K positive telle que

V a e: A (u l, n n Vn (Gl

Comme la suite {En} tend vers zero. i1 existe n1 tel que pour n ~n1 on ait

dans Ie cas a)

ce qui donne avec la relation (D)

Cette relation et les relations (A) et (G) entrainent alors

2Pn bn+1 ~ bn - K Ao m En + P~ V n ~ n1

Et donc en posant y = min ( 1 K

A m o ~ on obtient avec les relations (El et (Gl

V n ~ n1

Ce qui donne en sommant a partir de n1

+00

et donc puisque L P~ < + 00 et bn+1 ~ 0 i=n1

+00

L Pi Ei < + 00.

i=n1

+00

ce qui est en contradiction avec L P E n=1 n n

de la suite {u } convergeant vers u~. n

+00. II existe donc une sous-suite

17

3) Montrons que la suite {u } converge vers u*. Deux cas sont a examiner n

Par

a) u € 0 n e:

n

Si ~bn - Aome: n 'lo, on a avec les relations (A) et (D)

bn+1 ~ bn + P~

Si ab - A me: < O. on a avec 2.17 non

et donc :

2A m 2 b < ___ 0___ e: + 2 Pn n+1 "a n

Les relations (H) et (1) donnent alors 2A m

o

B) un f- 0 e: n

On a la relation

b n+ 1 ,< bn + 2

P • n

consequent, on a

2Am bn+1 ~ max

0 a

e: , n

(F)

e: , n

b ) + 2 p2 n n

2 b ) + 2 Pn n

Posons Yn=max ( 2:\ m

o a

max (

~ max (

ce qui donne

Yn+1 ,< max

2Am o

2A m 0

a e:

puisque

2Am __ D_

e: a n

2A m 0 n+1 ' a

la suite

2 + 2 Pn'

2 2 2) 2 b e: + Pn ' + Pn n n

{e: } n

est decroissante

2) 2 b + 2 = Yn + 2 P , n Pn n

(H)

(ll

On termine alors la demonstration de fa90n classique en utilisant Ie fait qu'il

existe une sous-suite {y } convergeant vers zero et que 0,< bn ,< Y n pour tout n. r i

18

Remargues : Pour retrouver dans Ie cadre de l'optimisation la methode de

Polyack, il faudrait poser En o et supposer L Pn = +~, Une telle generalisan=1

tion n' a pu se faire dans [BJ qu'en supposant_les fooctioonelles (f.J ~ i=1 ••.. ,m

strictement convexes.

Les relations 2.16 et 2.16 ter donnent la mame direction quand un € O.

2.2.4. Methodes de decomposition.

On reprend les hypotheses du sous-paragraphe 2.2.3. et l'on suppose qu'il

existe une con stante L > 0 telle que

i = 1,2 .. ",m 't/ X, x' e Q

On suppose de plus que pour tout q €~: l'ensemble M(q) des solutions de

l'inegalite variationnelle :

u € Q, 3 c e A(uJ : (c , v-uJ + (q, F(v) - F(u) J >" 0 \j v € Q

est non vide.

M(q) est donc reduit a un point u(qJ a cause de la forte monotonie de A.

On propose alors la methode de decomposition suivante :

Algorithme : A partir d'un point P1€ [R:, on construit de faQon recurrente

la suite {un' Pn} de la faQon suivante : supposons calcule Pn, alors

1) Pn ---> un par la relation

si F(unJ = 0 l'algorithme s'arrete, sinon

2J un' Pn ---> Pn+1 par la relation

F(u J

Pn+1 = P K(Pn + Pn n

II F(un) II 1. K = [Rm +

si Pn+1 = Pn' alors l' algorithme s'arrete.

Theoreme 2.B. Soit {Pn} une suite de reels telle que

+~ +'"' + ~, L P~ < +00.

n=1

2.20

2.21

2.22

2.23

19

S'il existe un en tier n tel que F(u n) = 0 ou tel que Pn+1 = Pn' alors

(un' Pn) est solution de 2.3, 2.4 sinon la suite (un' Pn) converge vers un

point (u~, p~) verifiant les relations 2.3 et 2.4.

Demonstration

Supposons que l'algorithme ne s'arrete pas (la conclusion est classique dans Ie

cas contraire).

1) Notons ~l'ensemble des elements p e K tels que Ie couple (u~, p) verifie

les relations 2.3 et 2.4 et soit G l'application, dont Ie domaine contient K,

dMinie par :

G(q) = - F(u(q)). (A)

On remarque alors que pour tout p € m,u (p) u~ et que «tn est 1 'ensemble des

points solutions de l'inegalite variationnelle

P €: K, (G(p), q - p) ~O (B)

En appliquant la relation 2.21 a un couple (q, q') de K x K, en posant

successivement dans les deux relations obtenues v = u(q') et v = u(q) puis en

additionnant, on obtient l'inegalite :

(c1-c2, u(q) - u(q')) + (q-q', F(u(q)) - F(u(q')) ~ 0, c1 € A(u(q)), c2 € A(u(q'))

et comme A est fortement monotone, cela implique :

-(q - q', F(u(q)) - F(u(q'lJ) ~ctllu(q) - u(q')11 2 (el

et par consequent, a cause de la relation 2.20, on obtient

D'autre part, la relation (e) appliquee a q'

(G(q), q - p) ~ctllu(q) - u~112

On remarque alors que 2.23 s'ecrit encore

(0)

p donne avec (A) et (B)

(E)

(F)

2) Montrons maintenant que la suite Pn converge vers un point de ~l avec (D)

Ie theoreme sera alors demontre. Pour cela, il suffit avec (F) et (B) de verifier

les hypotheses du theoreme 2.5.

20

a) La relation (D) entraine que G est continue sur K relativement a K.

b) &}yt est compact. En effet, dans Ie cas contraire puisque pour tout

p e: ern, on a (p, F(u!i()) o il existerait q C em.. c e: A(u!i() tels que n n

(c , x - u!i() + (q , F(x )) ~ 0 non 0

lim Ilq II n n-++oo

+ eo

Comme A est bornee. la suite {cn} l'est aussi et comme (qn' F(xo )) < 0

(d'apres l'hypothese de Slater) on aboutit a une contradiction.

c) Montrons que l'hypothese H est verifiee. S'il n'en etait pas ainsi,

il existerait r > 0, £ e:JO, r[ p e: 'm. tels que

I1 existerait donc q e: ~ ~ n 'nlr tel que

(G(q), q - p) ~ o.

La relation (E) entraine alors que u(q) ~ u!i( et donc puisque G(q)

que (F(u!i(), q) ~ 0 et donc que q € ~ , d'ou la contradiction.

c.q.f.d.

Remargue : La methode precedente avait ete donnee dans [~ lorsque A est univoque

mais avec un choix different de Pn J ce choix supposait connus a et L, d'ou

l'interet de la methode introduite.

2.3. Resolution numerique de l'inegalite variationnelle 1.1 avec approximation

d'operateurs.

2.3.1. Lemme preliminaire.

Lemme 2.4. Soient {an} , {Sn} et {Yn} des suites de reels positifs telles que

00

L a < 00 , L S < 00 , L Yn < 00

n~1 n

n~1 n

n~1

2.24

Si {bn} est une suite de reels positifs verifiant

2.25

alors la suite {bn} est bornee.

21

Demonstration.

D'apres l'inegalite 2.25, on a pour tout n,

a) si bn ,< 1 ;

bn+1 ":: (1 + an) bn + Sn + Yn

b) si bn > 1, alors b1/2 1 Yn si n n

On a alors pour tout n

et l'on montre par recurrence qu'on a

n b n+1 ,< II ( 1 + a',)

j=1 J

(on posera par convention n II ( 1 +

j=n+1

Utilisant l'inegalite

t 1+t,<e

a ~ ) J

n b1 + L

j=1

= 1

vraie pour t ~ 0, nous obtenons

or,

n n a: II ( 1 + aj) ,< II e J

j=1 j =1

d'apres les relations 2.24

1 n=1

Ct' < 00,

n L n=1

S' < 00

n

exp

n s' II

j i= j +1

n ( L a ~ )

j =1 J

II existe donc une constante K > 0 telle que

n II

j=1 [1 + a ~) ,< K

J

( 1 + a ~ ) l

si bn ":: 1

b > 1 n

\in (A)

(8)

Finalement. d'apres (A) il vient :

n bn+1 ,< K b1 + K L

j=1 e' j

22

et d'apres la relation (B). la suite {b } est bornee. n

On supposera desormais pour Ie reste de ce sous-paragraphe 2.3 que si Q n'est

pas borne. A verifie l'hypothese Hc suivante

Hc II existe deux constantes K > 0 et L > 0 telles que

\JUCQ. \:JcE:A(u)

2.3.2. Cas ou C = Q.

Pour calculer un point de M. on propose l'algorithme suivant : Soit {Pn}

une suite de reels et {B } une suite de multiapplications de X dans X. n

A partir d'un point arbitraire u1 de C. on construit de fa90n recurrente une

suits {u } dans C par .. la _rslation n

u = P (u - P c) n+1 C n n n

C £: B (u ) n n n 2.26

Theoreme 2.9. Si {Pn} est une suite de reels_verifiant

00 00

> D. L L 2 < OJ Pn P = +00 . Pn n=1 n n=1

2.27

et {Bn} est une suite de multiapplications telle qu'il existe une suite de

reels {a } verifiant n

2.28

2.29

et si A est fortement monotone (de coefficient de coercivite a) sur C. alors

la suite {u } converge vers la solution unique u~ de l'inegalite variation' n

nelle 1.1.

Demonstration.

D'apres les proprietes de projection. on a

Ilun+1 - u*112 ,< Ilun - u*112 - 2 Pn(~' un

Ilu n - u*112 - 2 Pn(cn ' un

u*) + p~II~112

- u*) + 2 P (c -C',u -u*)+p2 11C" 112 n n n n n n

ou cn € A(unl est determine par 2.29.

a cause de 1.1, on a alors :

23

:I( c ,

et d'apres la forte monotonie de A sur C et la relation 2.29, il vient

La suite {un} est donc bornee I en effet, s1 C n'est pas borne, d'apres

l'hypothese Hc' il existe deux constantes K1 > 0 et L1 > 0 telles que:

II c 112 ~ K111 u - u:l( 112 + L1 y u € C v c € A(ul

d'ou, avec (Al :

posons :

bn = Ilu n - u:l(l 12 I an = 2 K1 P~ I an = 2 Pn an I Yn = 2p~a~ + 2 L1 P~

On peut alors appliquer Ie lemme 2.4 et la suite {bn} est donc bornee.

Comme A verifie l'hypothese Hc' il existe des constantes M1 > 0 et M2 > 0

telles que :

\J n >~ 1, V c e: A(u 1 , n n

On a alors d'apres l'inegalite (Al :

I/un+1 - u!ll:I/ 2 ,< I/u n - u:l(I/2 - 2 aPnl/un - u:l(I/2 + 2 M1 Pn an + 2 P~ a~

Appliquons Ie lemme 2.2 avec :

bn = Ilun - u:l(l 12, ~n = 2 apn, en = 1, an = 2 M1 Pn an + 2 P~ a~ + 2 M2 P~

On voit ainsi que la suite bn converge vers O. c.q.f.d.

24

Dans Ie cas ou X est de dimension finie et ou A est univoque, on peut aussi se

passer de l'hypothese de forte monotonie. On a alors Ie theoreme suivant :

Theoreme 2.10 : Supposons que A so it univoque et continue sur C relativement

a C, que M soit compact et que l'hypothese H du sous-paragraphe 2.2.2. soit

verifiee. Alors la suite {u } construite a l'aide des relations 2.26, 2.27, n

2.28 et 2.29 converge vers.un point de M.

Demonstration

aJ Dans Ie cas ou C n'est pas borne, montrons que la suite {u } est bornee. n

Soit u~ un point arbitraire de M. D'apres les proprietes de projection, on a

Ilun+1 - u~112,< Ilun

= Ilu - u~112 n

~112 -- u - 2 P (c , n n

u~J + 2Pn(A(unJ - c u n' n

et en utilisant la relation 2.29, il vient :

Mais a cause de l'hypothese H, on a :

- u~J + 2 P a II u - u:l< II n n n

rAJ

et d'apres l'hypothese Hc il existe des constantes K' > 0 et L' > 0 telles que

II suffit alors de poser

et d'appliquer Ie lemme 2.4 pour montrer que la suite {un} est bornee.

II existe donc ro > 0 tel que:

u 6 M n r V n > .... 1 o

bJ Montrons qu'il existe une sous-suite {u } de {u } convergeant vers un point nj n

de M. Supposons Ie contraire.

25

So it u~ un point arbitraire de M il existe done £ € JO, r [et n E: (J\J tels que: o - 0 0

e n>~n~uE:MnM

, 0 -----, n r £ o 0

Or, on a vu dans la demonstration du theoreme. 2.5 qu'il existe alors

Ily - u~II,< y"'=+(A(u), u - y) >,.0 y u € M n Me r £ o 0

(6)

Mais la suite {un} etant bornee et A verifiant l'hypothese He' il existe des

eonstantes K1 > 0 et K2 > 0 telles que :

0' apres la relation (A), on a alors, pour tout n >;, no

- K2Y P II A (u ) 112 + 2 P ~ 2 n n

a2 + 2 K1 P a + 2 p211 A( u ) 112 n n n n n

et d'apres la relation (6) il vient :

IIu 1-u~112,<llu _u!i:112_ K2Y P(1-~p)IIA(U)112+2K1Pna n+ n 2 n y n n n

Soit n1 l'entier tel que:

K2 n ~ n1 > 1 - -y- Pn > 0 ;

posons n2 = max (no' n1 ) i on a alors pour tout n

_ u!i:11 2 ,< _ u!i: 112 - 2 ..l. n

II un+1 IIu L Pk(1 n2 K2 k=n2

d'ou l'on deduit avec les relations 2.27 et 2.28

> n2 :

K2 - -- p) y k

2 2 +2Pnan (e)

IIA(u k)11 2

26

il existe une sous-suite {u } de {u } telle que nl n

lim A(u ) 0 1-+00 n l

or la suite {u } etant bornee, il existe une sous-suite {u } de {u } nl nl. nl

J

convergente vers un point u de C et l'on aurait puisque A est continue

A(u) = O.

ce qui montrerait que u € M I d'ou la contradiction.

II existe donc un point u~ de M et une sous-suite {u } de {u } tels que nj n

~ u

c) Toute la suite {un} converge vers u~ ; en effet

Soit E > 0, il existe un entier N(E) tel que

De la relation (C). on deduit en sommant

d'ou. avec (0)

(0)

V n >,. Nf£)

c,q.f.d.

2.3.3. Cas ou C = Qn o.

On suppose de plus ici que l'hypothese de Slater est verifiee, que la multi-

application A est fortement monotone sur Q. de coefficient de coercivite a > O.

et que l'hypothese H~ suivante est verifiee

H~ II existe deux constantes K' > 0 et L' > 0 telles que

v u € Q 'q g € Clh(u) (h i=m L

i=1

27

Pour calculer Ie point UX de M. on propose alors l'algorithme suivant :

Soient {Pn} • {An} deux suites de reels. {Bn} et {Hn} deux suites de multi-

applications de X dans X. A partir d'un point arbitraire u1 de Q. on construit

une suite {u } dans Q de.la maniere suivante I supposons calcule u • alors : n n

_(2) cn par les relations :

;(1)£ B (u J. n n n

;(2) E: H (u ) n n n

2) ; (1) n

-(2) c n ~) cn par la relation

c n

;(1) + A n n

-(2) c

n

u = P (u - pc) n+1 Q n n n

On a alors Ie theoreme suivant

Theoreme 2.11. Si les suites de reels {Pn} et {An} verifient

00

+ 00

2.30 lim A

n n->«> + 00

et s'il existe deux suites de reels {a(1)} et {a(2)} telles que n n

a) 'tJ n,

b) 'V n ~ 1, Vue Q, V ~(1) e B (u). 3 c(1) € A(u) Ilc (1 ) _ ; (1) II .::; :

n

c) Vn ~ 1. Vue; Q, \j ~(2) €. Hn(U), 3 c(2) e Clh(u) II c (2) _ c(2) II ~ :

alors la suite {un} converge vers Ie point u*.

Demonstration :

D'apres les proprietes de projection. on a pour tout n ~ 1 :

II u - u* 112 ~< II u n+1 ~ n

(1 ) a n

( 2) a

n

,< II u - u* 112 -n

( *) ( - u*) + p2nllcnl12 2 Pn cn' u - u + 2p c - c u n n n n' n (Al

28

ou e e(1) + A e(2) , e(1) £ A(u ), e(2) € ah(u ) etant determines par les n n nn n n n n

relations b) et e). Mais, d'apres Ie lemme 2.3. on a , pour n ~ no

- 2Pn(en, un - u:lt) ,< - 2apn llun - u:ltl12 ;

et d'apres b) et e)

-(1) - e n

+ A (e(2) - [;(2)) II n n n

~ 11c~1) _c~1) II + An

,< a(1) + A a(2) n n n

et done, d'apres (A) :

Ilu n+1 - u:ltl12 ~ II un -u:lt112- 2ap llu _u:lt112+(2P a(1)+2 A n n n n Pn n

Ilu - u:lt II + 4 p2 (1 )2 + 4p2A 2a(2)2+ 2p211 e 112. a n n n n n n n n

a(2)) n

O'apres les hypotheses He et H~ il existe K1 > 0, L1 > 0, K1 > 0 et L1 > 0

tels que :

II e (1) 112 ~ K1 II u - u:lt 112 + L1

11c(2)112~ K111u - u:ltl12 + L1

O'apres l'inegalite (B), on a alors

Ilu n+1 - u:lt112~ II u - u:lt 112 + (2Pn n

+ 4p2 (1 )2 a n n

Posons :

b n

Ilu n - u:lt112, an = 4 K1

2 (1) 2 2 Yn = 4 Pn an + 4 Pn

+ 4p2 A2 n n

'VU€Q

'VuE:Q

pour tout n

a(1) + 2p n n

(2)2 + 4 a

n

V e(1) € A(u)

>;- n 0

A a(2)) n n II u - u:lt) II n

K1 P2 11 u n n _ u:lt 112

et appliquons Ie lemme 2.4. , on voit alors que la suite {un} est bornee.

II existe done k1 > 0 tel que

'V n >,.. 1

(B)

29

De plus, les hypotheses Hc et H~ assurent l'existence de deux constantes K2 > 0

et K3 > 0 telles que

Ilc(1) 112 ~ K2

II c ( 2) 112 ~ K3

et la relation (B) nous permet alors d'ecrire :

et l'on montre que la suite {un} converge vers u~ en appliquant Ie lemme 2.2

avec

2.3.4. Exemples d'applications.

Exemple 1 : probleme d'optimisation.

Supposons que X = ~N, que C = Q et qu'il existe une fonction f definie sur X

a valeurs reelles continOment differentiables et telle que :

1) f'(x) = A(x)

2) II existe L > 0 et ~ > 0 telles que :

Ilf'(x) - f'(y)11 ~ Lllx - yll

'U ou C~ = {x € X : x - E ej £ C

\I x, y € C'U E

(e1 , e2 , .•• , eN) etant la base fondamentale de X

j 1.2, .. .,N}

3) \j E > 0, V r > E , V x~ £ M, inf {(f' (x)'x - x!l:) / x E: MC (\ M } > ° E r

Pour tout x € X et tout d > 0, posons

IS .ex, d) J

f(x + d ej ) - f(x - d ejl

2d j 1,2, .. " N

2.31

30

Soient {Pn} • {dn} deux suites de reelles telles que :

P > O. d > 0 'in >,-1. L L 2 L d Pn + "'. Pn < '" • Pn <"'. n n n=1 n=1 n=1 n

lim d 0 2,32 n n-><x>

Posons alors pour tout n >- 1 et tout x E: X :

2.33

Proposition 2.12.Si M est compact. la suite {un} construite par les relations

2.26. 2.32 et 2.33 converge vers un point de M, c'est-a-dire vers un point

stationnaire de f.

Demonstration : II suffit de verifier que les hypotheses du theoreme 2.10

sont satisfaites. Pour tout j = 1. 2 •...• N. notons

de f par rapport a la jeme variable. On a alors :

IIA(x) - B (x) 112 n

or. pour tout j = 1. 2 •• .•• N et pour tout x € C. on a

I/)( d) - af ( x) I j x. n ax j

f(x + dn e j ) - f(x - dn e j )

2 d n

la derivee partielle

of (x+S(j)d ) Clf (xllls(j)€]-1,+1[ ~ n n e j - Clx j n

Mais sans restreindre la generali te. on peut supposer que dn ~ ~ 'V n

et d'apres 2.31. on a alors

d'ou finalement :

et en posant :

a=LlNd n n

on voit que les relations 2.2B et 2.29 sont verifiees d'apres 2.32.

31

Remargues

1) Du point de vue pratique, l'algorithme est interessant dans ce cas

particulier puisqu'il est simple et ne necessite pas Ie calcul des derivees.

2) Dans Ie cas ou [= R et ou M est reduit a un point, on retrouve un

processus du meme type qUB celui de Kiefer-Wolfowitz [9J donne en approximation

stochastique.

Exemple 2 : probleme de minimax.

Sup po sons que [ Q N

[1 x C2 ou C1 [[esp. c2J est un convexe ferme de [R 1

N N N [[esp. de R 2J (X = [R 1 x IR 2)

[R N1 x [RN2 Soit f une fonction definie sur a va leurs reelles continGment

differentiable N1 N2

sur IR x IR et convexe concave sur C1 x C2 •

On notera (.,.) l' (.,. )2' (.,.) les produits scalaires respectivement dans

N1 RN2 et IRN1 x [RN2 ()f r, ()f ] IR ; ax (x, y) Lresp. ay (x, y) Ie gradient de la fonction

x ---)f (x, y) pour y fixe [resp. y",,">f( x, y) pour x fixe] au point x !!esp. yJ.

Supposons que pour tout (x, y) e: IR N1 x [R N2

A(x, y)

L'inegalite variationnelle 1.1 est alors equivalente au probleme de minimax

suivant :

N1 N2 "Trouver un point (x*, y*) de [R x lR tel que :

(x:!:, /) E: C1 x C2 ; f(x*, y) ~ f(x:!:, /) ~ f(x, /) V (x, y) E: C1 x C2

N1 Soient (e 1, e2,.··, eN ) la base fondamentale de (R ; (g1' g2"'" gN )

1 2

celIe de N2

tout (x, y) C N1 N2

lR Posons pour lR x IR

o~1)(x, f(x + de. , y) - f(x - de. , y)

d1 1 1 y, = 2d 1

O~2) (x, y, d) J

f(x. y + d6 .) - f(x, y - dg.) J J

2 d

et tout d E: nl +

i = 1 , 2 1 ", , N1

j 1, 2, .•. , N2

32

Soient {p } , {d } deux suites de reelles telles que n n ..

V n ~ 1 , L Pn n=1

y) e: It:> N1 x It:> N2 Posons pour tout n ~ 1 et tout (x, ~ ~

( ) ((1) d ),- 0(2)(x, JJ Bn x, y = 0 (x, y, n y, dn

ou

0(1) (x, dn) (0~1)(x, dnl. o( 1) ( dn),··· , 0(1) ( d JJ y, y, 2 x, y, N x, y, n 2

0(2) (x, d ) (0~2) (x, dn)' 0(2) ( y, dn), .. ·, 0(2) ( d JJ y, y, 2 x, N x, y, n

2 n

On a alors la proposition suivante (dont la demonstration est analogue a la

precedente)

Proposition 2.13.Si les hypotheses suivantes sont verifiees

'" '" 1) II existe K1 > 0, K2 > 0, E1 > 0 et E2 > 0 tels que

II~: (x1 ' Y1) - ~: (x2 ' Y2)11~~ K1(llx1 - x211~ + IIY1 - Y211~)

II~: (x1 ' Y1) - ~: (x2 ' Y2)11~~ K2(llx1 - x211~ + IIY1 - Y211~)

V (x1 ' y 1 l. (x2 ' Y2) e C~1 x C'" ou E2

N '" {xC ~ 1 '" C'" x - E1 ei e C1 x + E1 ei € C1 E1

N2 '" '" C~2 heIR :X-E2gjE:C2IX+E2gj€C2

2) V E > 0, V r > E , V (x:l(, /) € M,

Clf :I( Clf :1(1 c inf {( ax (x, Y), x - x )1 - ( Cly (x, y), y - y )2 (x, y) € ME ~ Mr } > O.

et si M est compact, alors la suite {x , y } construite a partir d'un point n n

arbitraire (x1' Y1) de C1 x C2 par les relations de recurrence:

xn+1 = P (x - Pn 0(1 ) (xn ' Yn' d ))

C1 n n

Yn+1 = P (y + P 0(2) (x n' Yn' d JJ C2 n n n

converge vers une solution (x:l(, y:l() du probleme de minimax.

o

33

Exemple 3

Reprenons les hypotheses du sous-paragraphe 2.3.3. et supposons de plus X ~N

'" et qu'il existe deux constantes L > 0 et E > 0 telles que:

ou Q'" = fx € X E

k = 1, 2, ... , N}

((e1 , e2 , .•. , eN) etant la base fondamentale de X) •

Posons pour tout x e: X, tout d> ° et tout i € {1, 2, .•• , m}

fi(x +d ek ) - fi(x -d e k)

2 d k=1,2, .•. ,N

(i) (iJ (i) .. (i) ( o (x, d) = (01 (x, d), O2 (x, d), .•. , uN x, dJ].

Soient {p } et {A } deux suites de reels verifiant les relations 2.30 du n n

theoreme 2.11, {d } une suite de reels strictement positifs telle que n

I Pn A d <00 lim d n n n n=1 n->oo

Pour tout i € {1, 2,11 ••• , m}

de X dans X par :

[

OJ si fi (x) < 0

H(i) (x) = {o(i) (x d)} si n ' n

a{o(i) (x. d )} n

° et tout

f. (x) > ° l

n >,. 1 , on definit

M:[O, 1J si f i (x) = °

la multiapplication H(iJ n

Soient alors {Bn} et {Hn} les suites de multiapplications de X dans X definies par

B (x) n

H (x) n

A(x)

m

I i=1

v x € X, Vn>,.1

v x E: x,

Proposition 2.14 La suite {un} construite par l'algorithme du sous-paragraphe

2.3.3. converge vers la solution u~ de l'inegalite variationnelle 1.1.

Demonstration: II suffit de montrer que les hypotheses du theoreme 2.11 sont

verifiees et pour cela Ie principe de la demonstration est Ie m§me que celui

de l'exemple 1.

34

Exemple 4 : Application aux methodes de decomposition.

Reprenons les hypotheses du sous-paragraphe 2.2.4et supposons de plus qu'il

'V existe E > 0 et L > 0 tels que si

Q'V = {x ex: X + 8 E Q, 'r/8 e: X : 11811 ~~} , alors E

If. (x) - f . (x ' ) I ~ L II x - x' II \f i = 1, 2, .. " m ~ ~

\J x, x' € Q'V 2.34 E

Dans les methodes de decomposition donnees au sous~paragraphe 2.2.4., d'apres

les hypotheses faites sur F, on verifie aisement que Ie theoreme 2.8 est

encore vrai si l'on remplace la relation 2.23 par

2.35

Dr, a chaque iteration n, connaissant Pn' on doit calculer un = u(P n), solution

de l'inegalite variationnelle 2.21 ; en pratique, on n'obtiendra qu'une

approximation ~de u ; mais dans de nombreux cas, on pourra choisir un reel n n

dn > 0 tel que :

En reali te, on construit donc une suite {Li' , p} verifiant n n

OU un est tel que :

II'U - u(p) II ,< d n n n

Soit alors Gn la multiapplication de (Rm dans (Rm d8finie par

G (p) = {-F (u) ; u ex: II u - u (p) II ~ d } n n

La relation 2.36 s'ecrit donc

g € G (p) n n n

2.36

2.37

Soient ~l'ensemble et G l'application definis au sous-paragraphe 2.2.4. J on a

vu que ~ est compact et que G verifie l'hypothese

\f e: > 0, ~ r > E , V P € om, inf {(G(p), q - p) Iq E: MC (\ M } > D. e: r

D'autre part, soient n ~ 1, P € K et g € Gn(p). II existe donc u € X tel que

g = - F(u) IIu ~ u(p)II ,< d n

35

et, d'apres les relations 2.34 et 2.37, on a :

II g - G (p) II = II -F (u) + F (u (p JJ II ,< L lie - u (p) II ,< L d

5i les suites {p } et {d } verifient n n

GO 00

L P~ < 00

n=1 o L Pn = 00 ;

n=1

n

00

L n=1

P d < 00 n n

on peut appliquer Ie theoreme 2.10 et l'on voit que la suite {P-} converge n

vers un point p de crY}.

Comme de plus

llii" - u:l(II = IIU- - u(p) + u(p) - u(p)II n n n n

~d +1.IIP--pll n ex n

on voit que la suite {u} de points effectivement calcules converge vers u~. n

III - Resolution numerique d'egalites variationnelles avec operateur differen-

tiable : convergence globale de la methode de Newton.

N 5upposons maintenant que X = ~ , que A soit univoque, continument differentiable

et veri fie les hypotheses suivantes :

H1 : A est coercive sur X, c'est-a-dire il existe Vo e X tel que

lim (A(xl, x - vol

+ 00

"x" ->00

IIx-voll

H2 : A'(x) est inversible pour tout x ex.

L'ensemble M des solutions de l'egalite variationnelle I

A(x) = 0 3.1

est alors non vide et l'on se propose de calculer un point de M par une methode

analogue a la methode de Newton; c'est-a-dire par une methode du second ordre,

ce qui n'etait pas Ie cas precedemment.

On sait que la methode de Newton [12J qui consiste a construire de facon

36

recurrente a partir d'un point x1' une suite {xn} par la relation

3.2

ne converge vers un point de M que sous des conditions tres restrictives et en

particulier si x1 est proche de ce point. Le theoreme de convergence n'est que

local ; nous allons montrer comment, en modifiant legerement cette methode a

l'aide de la technique des series divergentes (on garde la direction de Newton,

on modifie Ie pas), on obtient un theoreme de convergence globale.

La modification proposee est la suivante la suite {x n} est definie a partir

d'un point arbitraire x1 par la relation de recurrence :

ou

+ 00 , ~ 2 < 00 L Pn

n=1

Posons pour tout x € X :

f(x) = ~ IIACx) 112, d'(x) d(x) , d(x)

max (1, Ild(x) II)

On a alors Ie theoreme de convergence suivant

3.3

3.4

-0' (x)]-1 A(x)

3.5

Theoreme 2~:S'il existe deux constantes a>D et Ko > 0 telles que pour tout

x ¢ M et tout a e:JD, a o[' on ait

( f ' (x + ad' (x) ), d' (x)) ,< Ko a 3.6

alors toute valeur d'adherence de la suite {x n} construite par les relations

3.3 et 3.4 (et il en existe au moins une) est solution de l'egalite variation-

nelle 3.1.

Demonstration

a) Montrons que la suite {xn} est bornee.

Remarquons tout d'abord que fest continument differentiable et que

f'(x) =A'(x):I(A(x) v x € X.

37

On a alors Ie developpement :

f(x n+11 = f(xnl + Pn(f'(xn + an d'(xnll, d'(xnll

ou a € Jo, P [ I n n

comme lim P = 0, il existe un entier no tel que n-i«> n

n ~ n ~a < a I o n 0

et avec la relation 3.6, il vient :

(f ' (x + ad' (x ), d' (x 1 1 ~ K a ~ Ko Pn n n n non

De (Al et (Bl, on deduit alors

et en sommant a partir de n = no' on obtient

+ K o

.. L

k=n o

tAl

(Bl

(el

l'hypothese H1 et la relation 3.4 entrainent alors que la suite {x } est bornee. n

bl Montrons qu'il existe une sous-suite {x } de {x } convergeant vers un nl n

point de M. Posons :

IIA(x 1112 __________ ~n~ __ ~ ________ > o. max(1,II[A'(x 1,-1 A(x 1111 n:.J n

La relation (Al s'ecrit alors

et en sommant m fois a partir de n = 1, on obtient

comme

m f(xm+11{= f(x 1 1 - L Pn (an - En l

n=1

f(xnl ~O Vn 'l1, il vient alors

m Vm>,.1 L Pn (an - En l < f( x11

n=1

38

d'ou 00

L n=1

p (B - E ) <+00 n n n

(0)

Mais la fonction f etant continOment differentiable et la suite {xn} bornee, on a:

limE =0) n-- n

(E)

les relations (0) et (E) montrent alors qu'il existe une sous-suite {Bn } de k

en effet, dans Ie cas contraire, il existerait E > 0 et noE ~ tels que

et l'on aura it alors, d'aprss (0) .. n=1

p <+00 n

ce qui est contradictoire avec les relations 3.4.

La suite {xn} etant bornee, il existe done une sous-suite {x } de {x } et un n1 n

point x tels que

lim x = x 1-- n1

lim Bn 1-- 1

lim 1--

ce qui entraine, puisque A est continue

lim A(x ) = A(x) = 0 1-- n1

o

c) Montrons maintenant que toute valeur d'adherence de la suite {x } est un n

point de M. Pour cela, il suffira de dsmontrer que :

lim IIA(xn)11 =0 n-l<lO

(F)

Soit alors E > 0 d'aprss les relations (F) et 3.4 , il existe un entler lo(E)

tel que :

corrme d'apres les relations (C)

IIA(xn+1) 112 ~ IIA(xn) 112

en sommant a partir de n nl '

donc

lim T)"+<X>

0

IIA(x)II=O n

39

et 3.5, on a :

+ 2 K 2 o Pn 'Vn ~ nl

0

on obtient

Remargue II est immediat de voir que si A est fortement monotone. les

c.q.f.d.

hypotheses H1 et H2 sont verifiees J si de plus A est deux fois continOment

differentiable et si A' est uniformement continue sur X. on peut alors aisement

verifier l'inegalite 3.6.

BIB L I 0 G RAP HIE

[1J AUSLENDER: Resolution numerique d'insgalitss variationnelles - C.R.A.S.

serie A, 1063, T. 263. 9 Avril 1973.

[2J BENSOUSSAN, LIONS , TEMAM : Sur les methodes de decomposition et de

coordination et applications.

LR.LA. Cahier nO 11 (1972).

[3J BERGE Espaces topologiques, fonctions multivoques (Dunod - 1966).

[4J BROWDER: Non linear maximal monotone operators in Banach spaces,

Math. Annalen, 113, 1968, 175~180.

[5J BROWDER. HESS: Non linear mappings of monotone type in Banach spaces.

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[6J BUTZ Iterative saddle point techniques.

SIAM J. Appl. Math .• Vol. 15. nO 3. May 1967.

~J EVANS. GOULD • TOLLE : Exact penalty functions in non linear programming -

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[8J GOURGANO These de 3eme cycle - Universite de Clermont - 1974.

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Function. Ann. Math. Statistics. 23. N° 3 (1952).

[1 oJ LAURENT: Approximation et optimisation.

[11] LIONS

Hermann - 1972.

Quelques methodes de r~solution des problemes aux limites non

lineaires. Ounod (1969).

[12J ORTEGA and RHEINBOLOT : Iterative solution of non-linear equations in

several variables (1970).

[13J POLJACK: A general method of solving extremum-problems.

Soviet Math. Ookl. Vol. 8 (1967) nO 3.

A. AUSLENOER • M. GOURGANO • A. GUILLET

Universite de Clermont-Ferrand Departement de Mathematiques Appliquees B.P. nO 45

63170 - AUBIERE (France)

PROBLEMES D'OPTIMISATION NON CONYEXE

DEPENDANTS D'YN PARAMETRE (II)

J, BARANGER (I) et R. TEMAM (2)

Resume. Nous completons dans ce travail des resultats d'existence en densite obtenus

dans un article precedent (3) pour des problemes d'optimisation non convexes du type

(Py) sup{w(1 Ix-yl I) - f(x) , x EX} (4)

en donnant des conditions suffisantes simples assurant en outre l'unicite de la solu

tion du probleme de maximisation et sa continuite par rapport au parametre y.

Nous donnons egalement une variante du theoreme d'existence et un contre exemple

indiquant les limites des hypotheses faites.

Introduction. Nous considerons dans ce travail Ie probleme

(Py) sup{w(1 Ix-yl I) - f(x), x Ex} (4)

plus precisement, nous cherchons pour quelles valeurs de y il y a existence, unicite

et continuite d'un x(y) realisant Ie sup dans (Py). Nous avons etudie l'existence

dans un article precedent (3).

Ce probleme contient en particulier

1°/ La recherche des points 1es plus e10ignes d'un ensemble borne S

sup{1 Ix-yl I, xEs}

(I) S.A.N.T.I., Departement de Mathematiques, Universite de Lyon I, 43, bd du

II Novembre 1918, 69 Villeurbanne, France.

(2) Departement de Mathematiques, Universite de Paris XI, Orsay, France.

(3) J. BARANGER et R. TEMAM [I] A paraitre au SIAM J. of Control; note [BTl dans

la suite.

(4) Les hypotheses sur X, w et f sont precisees dans Ie texte.

42

2°/ Certaines perturbations de problemes de minimisation non convexe:dans un cadre ou

il n' a pas existence d'une solution du probleme

inf {J(x), x ~ S} ,

on considere Ie probleme perturbe

inf{J(x) - £wc[lx-yIP, xES} £ > 0 "petit"

Pour un expose plus detail Ie des motivations, on se reportera a [BT1 ou on trou

vera egalement un exemple d'application au contrale optimal d'un systeme gouverne par

une equation aux derivees partielles elliptique.

Nous donnons ici essentiellement des complements sur l'unicite et la continuite

de la solution de (Py). Nous avons ajoute une variante du theoreme d'existence

(au §I) et un contre exemple du a WITOMSKI indiquant la limite des hypotheses faites.

1 - THEOREMES D'EXISTENCE.

Rappelons d'abord Ie theoreme demontre dans [BT}.

Theoreme I.

Soient X un espace de Banach reflexif ayant la propriete

(H) si une suite xn converge faiblement vers x et llxnll converge vers I Ixl I

alors Ilx -xlI .... 0, n

f une fonction s.c.i. de X dans RU{+oo} non identique a +00, (non necessairement

convexe),

w une fonction de iR+ dans IR, convexe, continue et strictement croissante.

On pose :

Sup{w(llx-yll)-f(x),x Ex}

On suppose :

(I) dom fw = X (c'est-a-dire fw(y) < +00 pour tout y).

(2) toute suite maximisante de fw(y) est bornee.

Alors il existe un Go dense dans X tel que pour tout y dans ce Go il existe au moins

un x(y) E X tel que

Pour la demonstration, on se reportera a [BT}.

43

Remarque 1.

Tout theoreme de ce type admet un corollaire traitant Ie probleme

(3) SupU(x)+oo(llx-yll), xl: S}

ou S est un borne de X et Jest une application s.c.s. et majoree de S dans ~,

S ayant de plus une propriete assurant que la fonction

f(x) • -J(x) si x f S et +~ sinon

verifie les hypotheses du theoreme (voir egalement Ie corollaire 2). lci par exemple,

on a :

Corollaire 1.

Soient X un Banach reflexif verifiant (H),

S un ferme borne de X,

00 une fonction convexe, continue, strictement croissante de ~+ dans ~,

June fonction s.c.s. et majoree de S dans ~.

Alors il existe un G, dense dans X, G, tel que pour tout y E G il existe au moins

un i f S tel que

J(i)+oo(lli-yll) - supiJ(x)+oo(llx-yII), xES}

Demonstration Appliquer Ie theoreme 1 a f definie dans la Remarque 1.

Remarque 2. Ce corollaire contient la plupart des resultats connus sur Ie probleme (3).

(Voir la liste dans [BT]).

On a egalement Ie :

Theoreme 2.

Soient X un Banach reflexif,

f une fonction faiblement s.c.i. de X dans ~U{~} non identique a ~, 00 comme au theoreme 1.

On suppose encore (1) et (2) verifiees.

Alors la conclusion du theoreme reste valable.

Demonstration : Si n designe la differentielle de Frechet en ~ de f en un point ou

cette fonction est Frechet differentiable (on sait, cf [BT], que l'ensemble de ces

points est un Go) et tn un element du so us differentiel en xn de la fonction

x + 00(1 Ix-~I I) (x est une suite maximisante de f (~», on en deduit comme dans la n 00

demonstration du theoreme 1 que tn + n en norme dans X*. D'ou :

44

ou l'on a note x la limite d'une sous-suite (notee encore xn) faiblement convergente

extraite de x (une telle sous-suite existe d'apres (2) et la reflexivite de X et n

II xn -I; II tend vers Iii-I; II connne au theoreme I).

On en deduit connne a la Remarque 1 :

Corollaire 2.

Soient X un Banach reflexif,

S, un borne faiblement ferme de X,

w, convexe continue strictement croissante de R+ dans R,

June fonction s.c.s. et majoree de S dans R.

Alors la conclusion du Corollaire 1 est valable.

Remarque 3.

Pour J = 0, on trouve une amelioration d'un resultat de W. ZISLER ([I] Prop. 3).

Le resultat precis s'enonce ainsi :

Corollaire 3.

Dans un Banach reflexif, l'ensemble des points ayant au moins un point Ie plus

eloigne dans une partie faiblement fermee bornee est un Go dense.

Remarque 4.

On voit ici apparaitre une des differences importantes entre Ie probleme de

recherche des points les plus eloignes et Ie probleme de recherche des points les

plus proches. Pour ce dernier il y a, dans Ie cadre du corollaire 3, toujours une

solution. Pour Ie sup, c'est faux. (Prendre pour X un hilbert separable {e.,ifN} 1.

sa base canonique, S = {e. ,iE-N} U {O} et un point x tel que (x,e.) > 0 Vi.) 1. 1.

45

2 - THEOREME D'EXISTENCE, UNICITE ET CONTlNUITE.

Theoreme 3.

On fait sur X, f et w les memes hypotheses qu'au theoreme I, y compris (I) et

(2) ; on suppose de plus X strictement convexe et w strictement convexe.

Alors Ie GoG dont l'existence est assuree par Ie theoreme I est tel que en outre

pour tout y ~ G il existe un x(y) unique tel que :

De plus toute suite maximisante converge en norme vers iCy) et l'application

y ~ iCy) est continue (sur Ie Go)'

Demonstration : Nous reprenons les notations de la demonstration du theoreme 2

~ un point du Go OU fw est Frechet differentiable ; n la derivee de Frechet de fw

en ~ ; t un element du sous differentiel en x de x ~ w~1 Ix-~I I) ou x est fortement n n n convergente vers un x. On a

't/y E: X

Po sons y - z + x.

't/z f X

Rappelons que tn ~ n fortement quand n ~ ~ donc

Vz E: X

i.e.

n E dwoll II (1;-~)

Cette relation equivaut encore (I) a ~-i E aw~ol I I I~(n) ou w· est 1a po1aire de

w(l) et I I I I. la norme dua1e dans X·. D'une maniere genera1e, on a donc avec 1es

hypotheses du theoreme I

i a ~-aw·oll 11.(n)

(I) Pour les notations et les resu1tats relatifs a l'analyse convexe, voir par exemple J.J. MOREAU [I] R.T. ROCKAFELLAR [IJ, P. J. LAURENT [I] ou I. EKELAND -R. TEMAM [IJ.

46

Lemme : tes hypotheses faites sur w impliquent que w· est une fonction convexe, dont

Ie domaine est un interval Ie centre en 0, derivable a derivee continue sur Ie domaine

de son sous differentiel et telle que w .. , (0)' • o. Demonstration: w*(t) = sup{tx-w(x), x ~ O} polaire au sens d'Asplund [IJ est aussi

la polaire au sens usuel de la fonction w prolongement paire am de w. w· est une

fonction paire croissante sur [0, +"'[ a valeurs dans mu {+"'} et w·(O) • -w(O).

Soit t un point du domaine de ow·. Supposons que x. E aw·{t) i = 1,2, cela equivaut a t f aw{x.), donc

~ ~

Ul{x) ~ w{x.) ~

+ t{x-xi ) Vx

D'oil. l'on tire w{x1.)-w{x2) = t{x l -x2)

puis posant x = AX I + (I-A)x2 0 ~ A ~

donc xI = x2 d'apres la stricte convexite de w (ou plus exactement de w). Donc w·

est derivable, de plus sa derivee est croissante. Si en un point cette derivee

etait discontinue, w· aurait des limites a droite et a gauche distinctes et w· ne

serait pas derivable en ce point. Donc w·, est continue.

Enfin comme w· est paire, on a w·'{O) = 0, ce qui acheve la demonstration du

lemme.

D'autre part X etant un Banach reflexif de type (H) et strictement convexe, on

verifie facilement (tho d'Anderson, cf. par exemple HOLMES [IJ p. 149) que la norme

de x· est Frechet differentiable en tout point different de O. On sait egalement que

dans ce cas, l'application qui a x associe la differentiel1e de 1a norme est continue

pour les topologies fortes sauf en 0 {cf. HOLMES [I} p. 149). 11 est d'autre part

Hementaire de verifier que Vo > 0 3 U voisinage de 0 tel

all II(z)call II(O)+OB{O,I) Vz E U

dans un Banach Frechet differentiable, i.e. dans un tel espace l'application

x .... all II{x) est s.c.s. en O.

En resume n .... aw·ol I 11.{n)· w·'(1 Inl I.). al I 11.{n) qui est par construction

une multiapplication a va1eurs non vides pour 1es y consideres est univoque et conti

nue pour les topologies fortes. Comme ~ .... n = afw{~) est Frechet differentiable,

47

on en conclut que ~ + x est univoque et continue.

Enfin la convergence forte de toute suite maximisante s'obtient par l'absurde

par Ie raisonnement classique utilisant l'unicite de la limite.

Remarque 5. En supposant les hypotheses du Corollaire I satisfaites ainsi que X

strictement convexe et w strictement convexe, on peut completer Ie Corollaire en

disant que Ie i(y) E S realisant Ie sup est unique, que y + i(y) est continu et que

toute suite maximisante converge en norme.

Remarque 5. Pour un exemple d'application des resultats presentes ici au contrale

optimal des systemes gouvernes par des equations aux derivees partielles, voir [BT].

On trouvera de nombreux exemples dans J. BARANGER [4] et M. F. BIDAULT [I].

Remarque 7. Le theoreme 3 redonne pour w(x) = xp p > I et X uniformement convexe

un resultat de M. F. BIDAULT [II.

Remarque 8 : un contre-exemple (I)

On considere X = e2 x R norme par

III(x,r)1I1 "max (1lxlla ,Irl) + (r2 2

Q) 2 xi 1/2

+ I -) li i=1

C'est un espace reflexif separable et strictement convexe. On considere 1e ferme

F = {(ek ,3 - t)1 k E ~ - {O}}

ou (ek) est 1a base canonique de e2 , et l'ouvert

B = {(x, r) I II (x, r) II < i} OU [[ (x,r) II = max(llxlle ,Irl 2

On peut verifier que les points de B n'ont pas de point plus e10igne dans F.

L'espace considere n'est donc pas (H) ni a fortiori localement uniformement

convexe. Cela prouve egalement que l'hypothese (H) est necessaire dans Ie cadre

reflexif strictement convexe.

(I) du a WITOMSKI IRMA, Universite de Grenoble I - BP 53 - 38041 Grenoble Cedex -

France.

48

REFERENCES

ASPLUND E. [11 Topics in the theory of convex functions.

Theory and Application of Monotone Operators.

Aldo-Ghizetti editor, Edizioni "Oderisi".

Proceeding of NATO Venice - June 1968.

BARANGER J. II ] Quelques resultats en optimisation non convexe.

These Universite de Grenoble, France, 1973, and

J. Math. Pures et Appl., a paraitre.

BARANGER J. and TEMAM R. tIl Non convex optimization problems depending on a parameter.

A paraitre au SIAM J. of Control.

BIDAUT M. F. [11 Theoremes d'existence et d'existence en general d'un controle optimal pour des

systemes regis par des equations aux derivees partielles non lineaires.

These, Universite de Paris, 1973.

EKELAND 1., TEMAM R. [11 Analyse convexe et problemes variationnels.

Dunod, Paris, 1974.

HOLMES R. B. [1]

A Course on Optimization and best Approximation.

Lectures Notes in Mathematics - Springer-Verlag.

LAURENT P. J. [1].

Approximation et optimisation.

Hermann, Paris, 1972.

MOREAU J. J. [1].

Fonctionnelles convexes.

Seminaire sur les equations aux derivees partielles.

College de France. Paris, 1966-67.

ROCKAFELLAR E. R. [11. Convex analysis.

Princeton University Press, Princeton, 1970.

ZIZLER v. [11. On some extremal problems in Banach spaces.

Math. Scandinavia 32 (1973).

SEMI-GR,OUPES INVARIANTS PAR UN CONl;,

DE FONCTIONS CONYEXES

Ph. BENlLAN

Etant donne n un espace mesure, Set) un semi-groupe sur un ensemble C de

fonctions numeriques mesurables sur n et june famille de fonctions de R dans R,

nous dirons que Set) est invariant par J si

\l'u E.C, Vj E: J , Vt ~ 0, J j(S(t)u) ~ J j(u).

Nous etudions ici les generateurs de semi-groupes (lineaires ou non) de con-

tractions dans une classe de Orlitz L4> (n), invariant par un "cone engendre par 4>"

(au sens precise dans -1-)

Plan de l'expose(x)

I. Notations - Un theoreme d'interpolation.

II. Cas lineaire.

III. Cas non lineaire avec hypothese ~2.

IV. Cas non lineaire sans hypothese ~2.

X Je tiens a remercier L. TARTAR et M. FOUGERES pour leurs remarques qui

m'ont permis d'apporter diverses ameliorations.

50

I. Notations. Un theoreme d'interpolation.

Notant /R + = [0,+00 [ , nous designons par m (R +) l' espace des mesures

contenu + + de Radon sur IR a supportYdans R • Muni du produit de convolution, ~(R ) est une

algebre unitaire et integre d'apres le theoreme de Titschmark.

L'algebre ~(R+)est ordonnee par le cone positif ~+(R+) des mesures

positives de 'm..(R+). On appellera "cone ideal positif" tout cone JC.'tJl(R+) tel

que J lI: 'ITt.+ (ll. +) c.. J . Etant donne 11 E ~ (R +), 11 lI: tm. + (R +) est un "cone ideal

positif" que nous noterons

,'li\.+(R+) sur j 11

L'application V + 11 lI: vest une bijection de

Considerant i + r€R + r

o si r ~ 0

r si r > 0

:1, R + R+ convexe a support dans R+} ~

Etant donne f ~ Lll (R) telle qu'il existe p : R + R croissante verioc

fiant fer) = per) p.p. rE.R, il existe un graphe maximal monotone unique S tel que

fer) E. S(r) p.p. r€IR. On peut donc identifier un graphe maximal monotone de R

partout defini a un element de L~oc(R) et donc a une mesure de Radon sur IR. Conside-

rant h le graphe d'Heaviside

10 si r < 0

h:rEIR ..... sign+r=[o,~ sir=o 1 si r > 0

j h {graphe maximal monotone de R partout defini a support dans R+}

Enfin etant donne 11 e ~(R+) on note

'V f E x: (R) 10+ r {fer) + f(-r)} d11(r) 11 la mesure de Radon

0

v foo {fer) - f(-r)} 11 la mesure de Radon f E. J( (R) ..... d11(r)

0

et etant donne j une partie de 'm. (R +) on note

j {11 ETh(R) les mesures f c. 'K. (R) 1+ r fer) d11(r) et o

f € )( (R) ..... f: f(-r) d11(r) sont dans J }

J {11 E. meR) ; les mesures f c. K(R) ..... r f(r)d11(r) et o

51

ff. X(R) ,+ - J~ f(-r) d).l(r) sont dans J }

'" En particulier j, = {~ : R ~ ~+ convexe avec ~(o)

~

Jh {S graphe maximal monotone de IR avec o€.S(o)}

o} et

Nous nous donnons d'autre part n un espace mesure de mesure cr-finie notee dx.

On designe par L(n) l'espace des classes (pour l'egalite dx-p.p~ de fonctions mesu-

rabIes de n dans R.

Etant donne s ~ 0 ~ t , on note T la troncature dissymetrique s,t

1+ T u = I~ S, t S

si si si

u > t s ~ u ~ t . On note Tt la troncature symetrique T_t,t u < s

Soient S une application d'une partie D(S) de L(n) dans L(n) et ~ : IR ~ ~+

continue. Generalisant C.Picard [1] , on dit que S est ~-invariante si

V- uE-D(S) f ~ (Su) ~ f ~ (u)

et que S est une ~-contraction si

V-u, u E.. D(S) J ~(Su-Su) ~ J ~(u-U). Lorsque S est lineaire les deux proprietes coincident.

On obtient d'abord un theoreme d'interpolation generalisant le resultat de

Brezis et Strauss [2J : Proposition 1. Soient ~ ~:Jh f\ e(R) et S : D(S) C. L([I) 1+ L([I) une ~-contraction. On

suppose de plus que ¢(r) = 0 ==} r ~ 0 et que D(S) est invariant par

les troncatures symetriques (resp. dissymetriques). Alors les proprietes

suivantes sont equivalentes

i) ¥UED(S) , ISul <: lIull", (resp.-lIu-II",'" Su < Ilu+IU dx-p.p.

;1') , -I ( u"Y.':l') S "Y, , L ¥J E J ~ resp. vJ E d ~' est J -~nvar~ante.

Demonstration.

L'implication (ii) ~ (i) est immediate. Etant donne u €oD(S), po sons

t = Ilull", (resp. s =-llu-ll", , t = Ilu+IU ; la fonction j(r) = <p(r-t)

(resp. l(r) = ¢(r-t) + ¢(s-r» est dans j ¢ (resp. J"'¢) et donc J l(Su) '" f l(u)=o

on en deduit 1 (Su) o p.p. et donc ISul ~ t p.p. (resp. s'" Su ~ t p.p.).

52

,. 4'( 'V "') •• Supposons (i) verifie.e. Etant donne J€..J <p resp. JE:.::I<p ,~l ex~ste

)l€mL(R+) (resp. )l,\J~IYYI..+(R+» telquel(r) = I <p(lrl-t) d)l(t)

(resp. l(r) = (sign: r) I <p(r-t) d)l(t) + sign: (-r) I ¢(-r) I ¢(-r-t) d\J(t» et done

par Fubini, il suffit de verifier que S est }-invariante pour les fonctions

j(r) = ¢(Irl-t) (resp. (sign+ r) ¢(r-t) et sign+ (-r) ¢ (-r-t» pour tout t ~ O. o 0

Donnons-nous u~D(S) et t ~ O.

Dans Ie premier cas, considerant u = Ttu , on a ISul ~ I lui 100 = t et

done ISul - t' ISul - ISul ~ ISu-Sul p.p. Utilisant la croissance de <p,

Dans Ie second cas, considerons d'abord u = T . On a Su ~ I lu+1 100 = t -00, t

et done sign+(Su)(Su-t) ~ sup (0, Su-Su) , ISu-Sul p.p. ; puisque o

lu-ul = (sign: u)(u-t) ,on J (sign: Su) ¢ (Su-t) = I ¢ [(sign; Su) (Su-t)] ~

I (sign: u) ¢(u-t). On demontrera de meme l'autre invariance.

Remarque 1. Soient ¢ E.. jh I') -e'eR) avec ¢(r) = 0=9r ~ 0 et

S : D(S) C L(S1) ,-+ LW) avec D(S) invariant par troncatures dissymetriques. Si S est

une ¢-contraction, alors S est une ~-contraction et S est croissante (i.e. u,ue:D(S)

u ~ u p.p.~ Su ~ sa p.p) ; la reciproque est vraie si S est lineaire. Si de plus 'V '\,

p.p. pour tout uED(S), alors pour tout J £.:J <p S est }-invariante.

En effet etant donne UE. D(S), U+ED(S) et Su~ Su+ ~ Ilu+lloo p.p ; de

Corollaire 1. Soit S : D(S) C L(n) 1-+ L(n). On suppose D(S)-D(S) invariant par

troncatures symetriques (resp.dissymetriques) et

¥u,u E.D(S) , II Su-Sull oo ' Ilu-ull 00

Alors '" . S est une ¢-contract~on Crespo ¢-contraction) } est un

cone ideal positif.

53

Demonstration.

Soi t <jJ EO: J h n -e (R) tel que S soi tune ¢-contraction (resp. <jJ contraction).

Etant donne u Eo D(S) fixe considerons S : UE.D(S)-u 1-+ S(u+u)-Su.

Alors S est une ¢-contraction (resp. <jJ-contraction) et \l'u € D (S) •

I S I II II 0 d (x) . /' '-I u (S) u ~ u 00 p.p.. n a one pour tout J <:. u<jJ • .-u E: D •

f }(~u) ~ f }(u) (resp. fj(~U) ~ f j(u) c'est a dire

f }(Su-Su) ~ f }(u-u) (resp. f j(Su-Su) ~ f j(u-u» \fu €oD(S).

Etant donne <jJ E. j h () '6(R). on definit pour tout u E: L(rl)

inf {A > 0 ; f¢(x) ~ 1 } s'il existe E > 0 tel que f¢(EU) ~ 1

+ 00 sinon

Lorsque <jJ ~ j .• II ~

11<jJ est la norme de Orlitz associe a ¢.

Corollaire 2. Soit S D(S) ~ L(~) lineaire ou D(S) est un sous-espace de L(~)

invariant par troncatures symetriques. On suppose II Sui 100 ~ Ilulloo

pour tout u ED(S). Alors {<jJ E: J h n "t'(R) S est ¢-invariant } =

{<jJ E. j h (\ -e (R) ; II Su II ll<jJ ~ II u [ [ll<jJ Vll > 0 Vu E. D (S)} e t est un cone ideal

positif invariant par les homotheties positives a droite «<jJA)(r)=<jJ(Ar».

II. Cas lineaire.

On se donne ¢ E. ::1i avec ¢ (r) = 0 ~ r ::; o. E¢ em designe l' espace

{u E L(~) ; V E > 0 • f ¢ (EU) < + 00 } norme par I [.1 1<jJ' On se donne un sous espace

X est un espace de Banach ; et on suppose que X est invariant

par troncatures symetriques (resp. dissymetriques).

On note X = xn Loo(~) : c'est un sous-espace dense de X. On obtient o

la caracterisation :

Proposition 2. On suppose mes (~) < + 00. Soit A un operateur lineaire de X. Les

proprietes suivantes sont equivalentes :

x Dans l'implication (i)~(ii) de la Proposition 1. on ne se sert pas de l'hypo

these <jJ (r)=o -=9 r '" o. De meme sans cette hypothese si S est une <jJ-contraction et

II sui 100 ~ Ilul [00' alors S est j-invariante pour tout j E B'¢.

54

(i) -A est generateur d'un semi-groupe continu de ~-contractions 1ineaires

(S(t»t ~ 0 de X verifiant :

Vu EX, 'It ~ 0 , lui ( I (resp. 0 ~ u ~ 1)~IS(t)ul ~ I (resp.

o ~ S(t)u ~ I) p.p ••

-I 'V (ii) VA > 0, (I+AA) est une ~-contraction (lineaire) de X verifiant

VUE-X, lui ~ I (resp. 0 ~ u ~ 1)~I(l+AA)-lul ~ I

-I (resp. 0 ~ (l+AA) u (. I) p.p ••

(iii) A est 1a fermeture dans X d'un operateur Ao de Xo verifiant

- 3 AO > 0 , R(I+AoAo)= Xo

- Vp €. 'j a~ f\ -eoo (R) (resp. vp €.

J p(u) Aou ~ o.

v v Remarque 2. Soient i3 E:. ::l a~ , u et v E. E~ (n) f'\ L 00 (n) ; alors pour tout w E. L(n)

v w(x) E. i3 (u(x» p.p. x En, on a w v E. LI(n) ce qui justifie l'enonce de 1a deuxieme

~ 'V 00

condition sur Ao' En effet pour tout J E: ~ ~ et tout u "-E~ (n) ('\ L (n) on a

1(u) €. LI(n) et ceci sans l'hypothese sur n.

Demonstration. L'implication (i) ~ (ii) resulte du theoreme de Hille -Yosida et

par exemple de -I Joo-t la representation (I+AA) u = 0 e S(At)U dt Vu E.X.

Supposant (ii) verifiee, considerons Ao 1a restriction de A a Xo' Pour tout A > 0,

-I -I -I (I+AA) (Xo) c Xo et done R(I+AAo) = Xo et (I+AAo) est 1a restriction de (I+AA)

~ ~ 'V J~ -I a Xo' Uti1isant Ie coro11aire 2, pour tout j E. v~ (resp. J ~ j~) , J «I+AA) u)

::: J 1(u) V uEX. Prenons pcja 0, puisque o

(I+AA)-I (U+AV) = u , J 1(u) , J 1(U+AV).

~ I D' autre part J (U+AV) E: L (m pour tout A E.R et

11(u+AV)-1(u)I ~ sup (1(u+v) , 1(u-v» pour tout A, 0 <IAI' I. A

Par convergence dominee, on obtient

J p(u)v = lim J j(U+A~)-j(U) ~ o. Ho

Demontrons enfin l' implication (iii) ~ (i). D' abord etant donne j £ J 0, f }(U+AV) ? f }(u).

Supposant d'abord }€-&'(R) et soit p }', on 1 (U+AV) ) }(U)+Ap(U)V

et donc d'apres l'hypothese sur Ao ' f }(U+AV) ? f 1(u). Regularisant par convolu

tion, on l'obtient pour toutes les fonctions }.

En particulier pour tout u € D(Ao) et tout A > 0, I IU+AvlI¢ :r Ilull¢.

On en deduit que pour tout A > 0, R(I+AAo) = Xo' Considerant en effet

f1 = {A > 0 ; R(I+AAo)= Xo} , f1 # 0 par hypothese ; d'autre part si AO E f1, pour

tout A > I+AA =..J. I A-AO

(I+A A ) -IJ (I+AoAo) point fixe ·IA-Aol

0, I+ -A- ; par s~ -A- < o A o 0 A 0 A-A

c'est 11 dire A >...2.. R(I+ __ 0 (I+A A )-1)= X et donc R(I+AAo) = X 2 ' A 0 0 0 0

Utilisant F.Hirsch [ 6] ,Prop.II1.2.7, il suffit pour achever la demons-

1

tration de (iii)~ (i), de montrer que D(Ao) est dense dans X. Considerons d'abord

existe An + 0 , wn E cony {VA; 0 < A ~ An} tels que wn .... v p.p. sur f.1. Puisque

wn est uniformement borne et mes (m < + 00, Ilwn-vll¢ .... 0 et VE.Xo ' Soit alors

G = (I+Ao) -I (u+v) ; on a W n

puisque

u A .... u dans X lorsque A + 0 , un .... u dans X egalement. Puisque un = (I+Ao)-1

(u + W ), IIG-u II,+, ~ Ilu+v-(u +w ) II,+, et donc 11 la limite IIG-ull,+, ~ 0 et donc n n n 'Y n n 'Y 'Y

u-u G=u et v=Aou. Puisque VA = ~ E D(Ao )' Wx €,D(Ao) et donc Aou = lim wn E. D (Ao)'

On a alors X = R(I+A ) C. D(A ) + D(A ) o 000 D (A ).

o

Remarque 3. On utilise la propriete mes (f.1) < + 00 que dans l'implication (iii)~(i)

Dans Ie cas X=L 1 (JI.), on peut se passer de cette hypothese. (cf. [3] , Prop. 1. 7) •

III. Cas non lineaire avec hypothese (f12).

On se donne encore ¢ € J i et on suppose ici que ¢ verifie la condition

(f12) : il existe k ~ 2 tel que ¢(2r) ~ k¢(r) ¥r ? o.

On suppose en plus ¢ non identiquement nulle et donc ¢(r)=o~ r < O.

On a E¢(m = {u(L(m ; f ¢(u) < + oo} et la famille

U£ = {¢ E E¢(f.1) ; f ¢(u) ~ £} , £ > 0

56

est un systeme fondamenta1 de voisinage de 0 qui definit sur E¢(n) une structure

de Frechet homeomorphe a 1a structure de Banach de E¢(n).

On se donne X un sous-espace ferme de E¢(n) invariant par troncatures

symetriques (resp. dissymetriques). On note Xo X ~Loo(n). On a a10rs 1a caracte-

risation :

Proposition 3. Soit A un operateur (non 1ineaire mu1tivoque) de X. Les proprietes

suivantes sont equiva1entes :

(i) Pour tout A > 0 , (I+AA)-l est une ~-contraction de X dans 1ui-

meme verifiant :

(ii) A est 1a fermeture dans X d'un operateur Ao de Xo verifiant

- 1 \ > 0 , R (l+AoAo) = Xo

- V [u,v] , [G.,v) E Ao ' J W If L(n), fW(V-V) ~ 0 et

w(x) E a~ (u(x)-G.(x» p.p. u:n

v - Vp Eo J a¢{\ t"'(R) (resp. V~ f. Ja¢" ~(R», V[u,~ €. Ao

on a f ~(u)v ~ o.

Remarque 4. Compte tenu de 1a remarque 2, 1a derniere condition sur Ao a un sens.

Quant a 1a deuxieme condition e11e a un sens puisque pour tout u,v E E¢(n),

tout W EO L(n) tel que w(x) E: a~ (u(x» p.p. x E. n, on a v W EO L 1 (n).

Demonstration.

Supposons (i) verifiee et considerons Ao 1a restriction de A a Xo' De maniere

identique a 1a demonstration de l'imp1ication (ii)~ (iii) dans 1a Proposition 2,

on verifie 1es premiere et derniere conditions sur Ao' Pour 1a deuxieme condition,

etant donne [u,vJ ' [G.,v] € Ao ' pour tout A > 0 , f ~(U-G.)+A(V-V» ~ f ~(u-G.) f t(U-G.)+A(V~V»-~(u-G.) et done - A - ~ o. Posant

'V 'V = l' p(U+AV)-p(U) on a ¢s(u,v) Lm A '

Ho 'V _ _ 'V _

p«U-U)+A(V-V»-p(u-u) __ A + ¢s(u-u,v-v) p.p. sur n lorsque A + o.

On a d'autre part p.p. xe.n, i1 existe w "- a~ (u(x)-G.(x» tel que

57

w(v(x)-v(x» = ¢s(u(x)-G(x), v(x)-v(x». Utilisant un theoreme de section (elemen

taire dans ce cas), il existe wE L(n) tel que w(x) E. Cl~ (u(x) -G(x» et

w(x) (v(x)-v(x» = ¢s(u(x)-G(x), v(x)-v(x» p.p.xEn ; d'ou J w(v-v) ~ o.

Supposons maintenant (ii) verifiee. Comme a la Proposition 2, on verifie

rl 'V 'V [;J facilement que pour tout j e J¢ (resp. ] ~ J¢)' tout u,vJ £ Ao et tout A > 0,

J }(U+AV) ~ J }(u). D'autre part pour tout [u,~ , [G,v]£Ao' tout A > 0,

J ~«U-G)+A(V-V» ~ J ~(u-G).

On a R(1+AAo)= Xo pour tout A > o. Considerons en effet AO tel que

2 <'k"'I.Ona

A-A or 1+ ___ 0_ (1+A A )-1 est une bijection

A 0 0

de X sur X en effet o 0 etant donne v E. X

o A -A A-A O -I

u+ --A-- (1+A/O) u = v ~ u=v+ -T (1+AoAo) -I u considerant (un) la suite

A -A v+ -T (1+AoAo)-1 un on a

J ~ (un+p -up) ~ wP J A-A

~(u ). Done u converge dans X et sa limite uE X et verifie n n 0

u+ ~ (1+1. A )-I u f\ 0 0

v . Done R(1+AAo)= Xo . Par connoxite, R(1+AAo)= Xo pour tout

A > O.

Par fermeture on verifie alors facilement que A verifie (i).

Corollaire 3. Soit A un operateur de X. Les proprietes suivantes sont

equivalentes : 'V

t-j 'V '( -I (i) pour tout A > 0, pour tout j € <.l¢ (resp.] EJ¢) , (1+AA)

}-contraction de X dans lui-meme.

(ii) A est la fermeture d'un operateur Ao de Xo verifiant

- 3 AO > 0 , R(1+AOAo)= Xo v

- 'fp E. j Cl¢ () tf' (R) (resp. p €. :J 'a¢ () -eoo (R» ,

'f [u,v] , [G,v] f Ao f p(u-G) (v-v) 7 o.

est une

58

Pour des operateurs A verifiant les conditions equivalentes de la Proposi

tion 3, on peut demontrer un theoreme de Crandall-Liggett [41 et developper une

theorie de solutions integrales. (cf. [5])

Proposition 4. Supposons mes n < + 00. Soit A un operateur de X verifiant les condi-

tions equivalentes de la Proposition 3.

\'u IE. D (A) , \'t ~ 0 , (1~ A)-nu converge n

dans X lorsque n -+ 00. I)

2) Posons S(t)u = lim (1+ ~ A)-nu • Alors n

est un semi-groupe

3)

'\,

continu de ~-contractions l-invariantes pour tout j E: :J cp (resp. 1 ~ J cp) •

Etant donne u E €( [0, r1 ; X) , la propriete

u(o) € D(A) et u(t) = S(t)u(o) \'tE.[o,r1

est caracterisee par la propriete integrale

Demonstration.

Considerons d'abord Uo £ D(Ao) et fixons Vo E. Aouo ' Etant donne A > 0 et

nE IN

J 'J.> -n+1 J 'J.> -n ~ {1+AA ) u -u } ~ ~ {(1+AA) u -u -AV }. 000 0000

Posant R = 211uoll00 + Ilvolloo' M = acpO(R) , on a pour A ~ I ,

~ {(1+AA )-nu -u -AV } ~ ~ {(1+AA )-nu -u } + MA(Vo) p.p. et donc par recurrence 0000 000

J ~ {(I+AA )-nu -u} ~ nA Mllv II (mes m. 0000 00

Utilisant alors les generalisations de C. Picard [I] , des estimations de

Crandall et Liggett [41 , on obtient pour tout 1 ~ A ~ 11 > 0 , m ,. n ,

J ~ {(1+AA )-n u _(1+~)-m u } ~ o 0 0 0

({(nA~)2 + nA(A-~)}1/2 + {(nA~)2 + ~(A_~)}1/2) M I IVol 100 (mes n)

D'oll (1~A)-n u converge dans X lorsque n + 00. n 0 0

rappelons que ~ (u,v) s

inf A>O

~(U+AV)~(U) A

59

Considerant maintenant u € D(A) quelconque. D'apres la Proposition 3, il existe o

uV ~ D(A ) tel que uV ~ u dans X. On a puisque (I+AA)-n est une ¢-contrac-o 0 0 0

tion, utilisant la condition (~2),

t -n Donc (I~ A) Uo converge aussi dans X lorsque n ~ 00.

On obtient facilement a la limite 2).

Pour demontrer 3), raisonnons comme dans [5] . Considerons u €. g( [0, T 1 ; X) tel que

¢ (u -u(s» o

L-u,V]E.A. 000

D' abord les relations precedentes sont vraies Vluo ' volE A , puisque A est la

fermeture de A dans X. o

Ensuite u(o) E D(A). En effet, considerons uA -\

(HAA) u(o) et

u(o)-uA A

et donc

On a par definition de ¢s

~(U(O)-U(O»-¢(UA-U(O»

A

Supposons u(o) ¢ D(A) ; alors il existe par continuite de u

0> 0 et to > 0 tels que J ¢(uA-u(O» ~ I) VOE[o,tol • On aurait alors

0< 0 ~ % f ¢(uA-u(o» + t- r f ¢(u(o)-u(O» V tE Jo,to] . o

Faisant tendre A + 0 , puis t + 0 , on obtiendrait une contradiction.

Considerons alors u£(t) la solution du probleme approche,

pour t > 0

u(o) pour t.(. 0

60

On a uE(t) = (I+EA)-nu(o) pour tE.](n-l)E,nE] et done

uE(t) + S(t)uo lorsque E + O.

On a d'autre part pour 0 ~ s .. t ~ T, nEN ,

u «n-l)E)-U (nE) ~(u «n-l)E)-U(cr»-~(u (nE)-u(cr» ~ (u (nE)-u(cr), E E) ~ E E SEE E

et done

JnE (n-l)E

dT J{~(U (T)-U(t»-~(u (T)-U(S»} < E E

Sommant ees inegalites et faisant tendre E + 0 , on obtient

Js dT

(l, J

'V 'V {¢(S(T)U(O)-u(t»-¢(S(T)U(O)-u(s»} ~

Jt dcr J {~(S«(l,)u(o)-u(cr»-~(S(S)u(o)-u(cr»} s

pour tout 0 ~ (l, ~ S et 0 ~ s { t~ T. On en deduit u(t) S(t)u(o) .

IV. Cas non lineaire sans hypothese (~2).

On se donne ¢ E. 'd. verifiant seulement ¢(r) = 0 ~ r < 0

On introduit sur la c1as~e de Orlitz t:¢(m = {u~L(m ; J ~(u) < + 00 } , la

"notion de limite" suivante

'V une suite (un) d' elements de L¢ (m est "¢-eonvergente" si

lim J ~(un) < + 00 et lim J ~(un-um) = 0

n-+ oo n,m-+ oo

Si (un) est "¢-convergente", alors (u ) est convergente dans L~ (m en effet n oc

etant donne K ensemble integrable, pour tout E > 0 ,

JK IUn -urn I ~ E mes K + d¢! (E) f ~ (u -u ) ~ n m

De plus d'apres Fatou, la limite u de (un) est dans t:¢ (~) et lim f ~(un -u) n+ oo

o.

61

Etant donne 'V

U ~ Lcp (m , la suite (Tnu) des tronquees de u est cp-convergente,

de limite u.

On se donne X un convexe de 'fcp (~n , "cp-fermee" au sens : si une suite

d'elements de X est cp-convergente, sa limite est dans X. On suppose de plus X

invariant par troncatures symetriques (resp. dissymetriques) et on note X =XnLoo(n). o

On se donne enfin Ao un operateur de Xo dans Loo(n) verifiant

II existe An + 0 telle que pour tout n

- R (I+AnAo).:) Xo

- Tf [u,v] , [a,v] €. Ao ' J ~«U-a)+An (v-v» ~ J ~(u-i1)

-Tf [u,v] EAo' lui ~ Ilu+Anvlloo (resp·-ll(u+\v)-lloo~ u~ II(u+Anv)+lIoo)

Proposition 5. Etant donne A > 0 et VE.X, il existe uE.X unique tel que

J ~(u-a) ~ J ~(V-(a+Aa» 'V •

De plus l'application J A v'+ u est une cp-contract~on de X dans lui-'\,

meme, l-invariante pour tout jE.jcp (resp. le. ::Jcp)'

Enfin pour A > ~ > 0 , V E. X on aI' equation resolvante

Demonstration.

-\ Soit no tel que ~ = An < A. L'operateur (I+~o) est par hypothese une

~-contraction de X dans lui-meme laissant invariant les convexes o

{v(O.X o Ilvlloo~ M}. Etant donne v€,Xo ' on peut definir par recurrence (un)

-\ ~ A ~ 0, un+\ = (I+~Ao) (X v + ~ un) et on a :

Donc (un) est cp-convergente et sa limite u € Xo • On a

62

-1].1 A-].I Done u = (I+].IAo) (;;: v + -A- u) , e'est a dire u+AAou :3 v.

Done R(I+AAo) ~ Xo . Considerant v€ Xo ' (un) la suite eorrespondante,

J ~(u -u ).:: H. J ~(v-v) + A-].I J ~ (un-un) n+1 n+1 ... A A

Done f ~(un-Un) ~ {t + (A~].I)(*) + ...... + (A~].I)n-1 (t)} f~(V-V) ~ J~(V-V)

et a la limite par Fatou : f~«I+AAo)-1 V-(I+AAo)-l v) ~ J ~ (v-v).

A la limite on a aussi I (I+AAo)-l vl ~ Ilvlloo (resp.-Ilv-lloo~ (I+AAo)-1 v~

II +11 ) , )-1 ",. . A 'V. • v 00' Done (I+AAo est une ~-eontraet10n de Xo dans lU1-meme, J-1nvar1ante

'U

pour tout jE.Jq, (resp.}€. jq,)'

Considerons maintertant VEo X et soit v n

= T v et u = (I+AA )-1 n n 0

On a et J ~ (u -u ) n m ~ f ~(v -v ) n m

Done (un) est q,-eonvergente soit u sa limite.

Considerons [~,vJ EO. X x X tels que pour tout [u,v] E. Ao

v -u

v • n

J ~(~-u) ~ J ~(V-(U+AV». Appliquant ees inegalites avec

on a f ~(~-un) ~ J ~(v-vn)' Par convergence monotone

[ ~J E.A un' A 0 '

f ~ (v-vn) + J ~(v-v) et done par Fatou, J ~(~-u) ~ J ~(v-v).

On en deduit que u est l'unique solution du probleme et que J A est une

~-eontraetion. La }-invarianee de J A s'obtient par Fatou a partir de eelle de

Enfin etant donne A > ].I , vE:X et [u,v] EO. Ao on a

done J (H. v + A-].I J,v) = J"v. ].I A A A A

63

Remarque 4. L'operateur A = {[ J ).,v, V-:AVJ; vEX, A > O} est un operateur de X

dans L(n) verifiant

tion, }-invariante.

pour tout A > 0 , R(1+AA)~X et (1+AA)-1 est une ¢-contrac-

On note D(Ao) la plus petite partie $-fermee de X contenant D(Ao)'

On a evidemment D(A ) = D(A) puisque D(A) o U R(JA) et qu'etant donne VEX, A> 0

A>O

(JA(Tnv» est une suite ¢-convergente de D(Ao) de limite J AV .

Notons que D(A ) ~ {uEX o lim f¢(J)..u-U)=o}

"+0 en effet soit u EO X et A + 0

n

tels que f ¢(JA u-u) + 0 ; etant donne n > m, on a n

f 'V f 'V An An-Am An\n-Am f 'P( "mu- u) ¢(JA u-JA u) ~ ¢(1""" u + ~ J A u-u) ~ qJ m n m 'm m

et done puisque f ¢(JAnU) ~ J ¢(u) , (J"nu) est ¢-convergente.

Proposition 6. Supposons mes n < + 00.

n I) Pour tout t > 0 et u ~ D(Ao) , ( Jt/nu) est ¢-convergente.

2) 11 existe (S(t»t~o semi-groupe de ¢-contractions de D(A ) dans o

lui-meme unique tel que S(t)u= lim J~/nu pour tout t > 0 et uc.D(Ao)' 'V

De plus Set) est }-invariante pour tout jE.::11'> (resp.}E. 0¢).

Demonstration. Comme dans la Proposition 4, etant donne v E Aou, il existe M ~ 0

f1>(J~/nu- Jmt/mu) ~ 2 Mllvll oo (mes m tV~ - ~' \1m ~ n.

D'oll le 1°). Posant S(t)u = lim n+ oo

J~/nu, on verifie facilement a la limite

que Set) est une ¢-contraction, }-invariante de D(Ao) dans D(Ao)'

Set) se prolonge de maniere unique en une ¢-contraction de D(A ) dans o

lui-meme ; il suffit de raisonner par recurrence transfinie , puisque qu'etant S

une ¢-contraction, }-invariante de D(S) ~ ~¢(n) sur R(S), il existe une ¢-contrac

tion ~ unique de {u limite d'une suite ¢-convergente d'elements de D(S)} dans

{v limite d'une suite ¢-convergente d'elements de R(S)} prolongant S. De plus,

immediatement,le prolongement que nous noterons encore Set) est }-invariant.

64

II reste done a montrer que (S(t) est un semi-groupe. Par recurrence t~o

transfinie, il suffit de montrer qu'etant donne t,t > 0 , U o ~ D(Ao) ,

Sur C = {U€X o ; Ilul L", ~ Iluol L.) , la notion de q,-limite coIncide avec celle

de limite dans L1 (n) ; puisque t , .... J ~/n U o est continu, il en est de meme de

t ~ S(t)uo ; par continuite il suffit done de demontrer la propriete pour t,t

rationnels et done en definitive de montrer que S(nt)uo = S(t)n Uo ;

or cela resulte [J~/mJn = J:/mn •

- References.

[ I] C. PICARD

65

Operateurs T-accretifs, ~-accretifs et generation de semi

groupes non lineaires. These de 3eme cycle - Orsay (1972).

[2] H. BREZIS et W.STRAUSS. Second order elliptic equations in LI. (a paraitre

[3] Ph. BENlLAN

au J. Math. Soc. of Japon).

Principe du maximum et perturbation d'operateurs accretifs

dans L1(n) (a paraitre).

[4] M. CRANDALL et T.LIGGETT. Generation of semi-groups of non linear trans

formation in general Banach spaces. Ann. J. Math. 21 (71)

pp. 265-298.

[ 5] Ph. BENlLAN

[ 6] F. HIRSH

Equations d'evolutions dans un espace de Banach quelconque.

(These Orsay 1972 et article a paraitre aux Ann. Inst. Fourier).

Famille resolvante, generateur, cogenerateurs, potentiels.

Ann. lnst. Fourier. ~ (1972), pp.89-210.

PROPRIETES DES INEQUATIONS QUASI VARlATIONNELLES DECROISSANTES

Introduction

par A. Bensoussan (*)

et J.L. Lions (**)

Les problemes de contrale impulsionnel nous ont conduit a l'introduction des in~

quations quasi vaPiationneZZes - en abrege IQV (cf. les auteurs [1], [2], [3], [4] et Bensoussan - Goursat - Lions [1] ); dans Ie cas stationnaire les IQV peuvent

schematiquement s~ formuler ainsi : etant donnes un espace de llilbert V sur R, une

forme bilineaire continue a(u,v) sur V et une famille d'ensembles conVexes fermes

non vides de V soit K(v), v E V , on cherche un element u tel que

(1) a(u,v-u) > (f,v-u) "Iv ( K(u)

(2) i E K(u)

OU v + (f,v) est une forme lineaire continue sur V.

Le cas particulier OU K(u) = K ne d~pend pas de u correspond aux in~quations varia

tionneZZes (cf. Lions - Stampacchia [1] ); dans les problemes de contrale impul-

( *) Universite Paris IX et Laboria

(**) College de France et Laboria

67

sionnel, K(u) est defini par des conditions non locales et l'ensemble K(u) "a~ott"

avec u.

Des problemes de nature economique en particulier, conduisent a l'etude d'IQV du

type (I), (2) au K(u) d6c~ott avec u. Cela necessite des changements assez impor

tants par rapport au cas croissant, et cela aussi bien au point de vue des methodes

que des resultats. On ne peut plus employer un theoreme du point fixe, base sur Ie

lemme de Zorn comme dans Tartar [1]. On utilise Ie theoreme du point fixe de

Schauder, ce qui n'est possible qu'au prix d'hypotheses de continuite sur K(u) assez

fortes. La decroissance de M sert a trouver un ensemble convexe compact au appliquer

Ie theoreme.

Le plan de ce travail est Ie suivant

I - Enonce du probleme et exemples

1.1 - Notations et hypotheses

1.2 - Exemples

1.3 - Inequations quasi variationnelles

2 - Theoremes d'existence et d'unicite

2.1 - Enonce des resultats

2.2 - Demonstration des theoremes

3 - Methode d'approximations successives

3.1 - Procede iteratif

3.2 - Convergence

68

1 - Enonce du probleme et exemples

1.1 - Notations et hypotheses

Soient v et H deux espaces de Hilbert verifiant

(1.1) v C H , V dense dans H et l'injection de V + H est compacte.

On note ( et « » les produits scalaires dans H et V respectivement et

I I I I designent les normes dans H et V respectivement.

On suppose qu'il existe sur H une relation d'ordre notee ~ tel Ie que

(h,u) ~ 0 '" h ~ 0 =} u ~ O.

On suppose que H est reticule. Plus precisement, pour u\, u2 E H, il existe un

element de H note suP(u l ,u2) tel que:

(1.2)

(1.3)

On pose

u+ sup(u,O)

u sup(O,-u) - Inf(O,u)

On a done

+ u=u -u.

On suppose de plus que

(1.4)

69

On se donne par ailleurs une forme biZineaire continue sur V, notee a(v l ,v2) veri

fiant l'hypothese de coercivite.

(1.5)

ainsi que

(1.6)

a(v,v) ~ (l II v 112

+ -a(v ,v ) o 'rI v E V

(l > 0, 'rI v E V

/ j. On se donne enfin une application v + M(v) ayant les proprietes suivantes

(I. 7) la fonction v + M(v) est continue de H + V

(1.8) M est decroissante, i.e.

u ~ v ==}M(u) ~ U(v).

Soit f E H. Si f ~ 0, il sera possible d'avoir au lieu de (1.8) l'hypothese (de

nature differente)

(1.8) u ~ 0 ==}M(u) ~ O.

Remarque 1.1 : Le cas ou M est croissant, done en particulier verifie (1.8)', n'est

pas considere ici. On peut alors se passer totalement de (1.7) (cf. A. BENSOUSSAN -

J.L. LIONS[3] , L. TARTAR [I] ). / /

1.2. - Exemples

1.2.1. - Problemes aux limites et de frontiere libre

Soit a un ouvert borne de Rn de frontiere reguliere r. On designe par HI (a) l'espace

de Sobolev des fonctions v a valeurs reelles telles que :

dV v'~' ... , dV E L2 (a) ax

n

C'est un espace de Hilbert pour la norme :

2 1/2

II v II I = (f (v2 + . ~ (~~.) ) dX) H (a) a ~=l ~

On pose

(1. 9) v

(1.10) a(u,v) n 1:

uj=1

70

a .. (x) au ~J ~

J

~dx ax.

~

n au i ao (x) + 1: ! a. (x) a;z:- vdx + uvdx j=1 o J J

00

ou les fonctions aij , a j , ao sont dans L (0) •

On suppose que (1.5) est satisfait.

On pourra prendre comme exemple d'operateurs M

(1. II) M(v) k - MJ (v), k f R ,

(1.12) ""l (v) = mes 0

ou les hypotheses (1.7) et (1.8) sont satisfaites, ou bien

(1.13) M(v) = IYIJ (v)

ou les hypotheses (1.7) et (1.8)' sont satisfaites. On notera que M(v) est alors une

fonction constante.

1.2.2. - Cas de la dimension finie

On prend

(1.14) (RN) m V H

m N a(u,v) 1: 1: a ijk uik vjk

k=1 i,j=1 (1.15)

avec

N N

(1. 16) 1: ;. Cl 1: 2 Cl > O. a ijk v. v. v.

i,j=1 ~ J i=1 ~

On suppose que, par exemple,

(1.17)

71

N ou vk signifie que l'on omet le terme vk dans la sornme et ou Ck f R •

1.3. - Inequations quasi variationnelles (I.Q.V.)

On cherche u f V tel que

(1.18) a(u,v-u) ~ (f,v-u) 'r/ v f V avec v'" M(u) ,

u ~ M(u). / /. 1.3.1. - Interpretation dans l'exemple 1.2.1

On definit l'operateur differentiel du second ordre

(1.19) A((J n n 1: i- (a .. (x) tf.) + 1: a. (x) l!!!.... + ao(x) ((J

ij=1 Xi ~J Xj j=1 J dXj

Si u est solution de (1.18), on voit que si l'on pose

g M(u) k - '71'} (u)

alors g est une constante et l'I.Q.V. (1.18) s'ecrit comme une I.V. (inequation

variationnelle). Comme g = constante, les theorernes de regularite de BREZIS

STAMPACCHIA [I] donnent

(1.20)

On prend dans (1.18) v = u - ((J ,

(on a bien v ~ M(u» / on obtient

[a(u,((J) - (f,((J)] ~ o.

Grace a (1.20) on peut appliquer la formule de Green, done

(1.21 ) ! 0 (Au-f) ((J dx + ~ ~~ ((J dr ~ 0

ou

d 3V=

l'exterieur de o.

1: ij

a .. ~J

v = normale a r dirigee vers

72

11 resulte de (1.21)

(I .22) Au - f .. 0 p.p. dans a

On prend ensuite v M(u) dans (1.18). On trouve

(1.23) la (Au-f) (M(u)-u) dx + Ir ~~ (M(u)-u) dr ~ O.

Mais d'apres (1.22) et u .. M(u) on voit que

(Au-f)(M(u)-u) .. 0 , au av (M(u)-u) '" 0 ,

ce qui, joint a (1.23) montre que

(1.24) (Au-f) (u-M(u» o p.p. dans a ,

au av (u-Meu» o sur r •

Remarque 1.2.

Si l'onse donne un operateur M : L2(r) ~ R on peut enoncer un probleme analogue a (1.18), bien qu'il ne rentre pas exactement dans le cadre general du nO 1.1, soit

(I .25) a(u,v-u) ~ (f,v-u) W v E V , v '" H(u) sur r

u .. M(u) sur r

Plus generalement d'ailleurs, on peut prendre les conditions

(1.26) v .. Meu) quasi partout sur un ensemble E ~ a de capacite positive

En prenant par exemple

(1.27)

(1.28)

Mev)

"7 rev) = _1- fr v d r mes r

Ie probleme (1.25) s'interprete ainsi

k E R

73

(1.29) Au f dans cr ,

(1.30) au ,( 0 u +"'r(u) - k ~ 0 av ~ ,

au (u +"'? r (u) - k) 0 sur r av

En effet, en posant g k - 'W) r(u), 1 'LQ.V. (1.25) s'ecrit conune une LV.

a(u,v-u) ~ (f,v-u) 'tI v E V ,v ~ g sur r

u {i g sur r.

Conune g = constante, les resultats de regularite de LIONS[I] montrent que l'on a

encore u E H2(cr) , de sorte que l'on peut faire des calculs analogues a (1.21),

(1.23) d'oll (1.29), (1.30).

1.3.2. - Interpretation dans l'exemple 1.2.2

Supposons que

(1.31 ) 'tI i, j, 'tI k

(1.32) 'tIk

Alors l'I.Q.V. (1.18) equivaut aux conditions neaessaires et suffisantes pour que

u soit un point de Nash pour les fonctionnelles.

(1.33)

sur l'ensemble

(1.34) u = {v I vI + -- + vm ~ c} •

Dans ce cas particulier, on verifie que les points qui minimisent sur Ula fonation

nelle (points de Pareto cf. J.P. AUBIN [I] )

m (1.35) E Ak = I

k=1

sont des points de Nash, de sorte que l'on a directement l'existenae et la non

uniaite de u solution de (1.18), dans Ie cas particulier (1.31), (1.32).

74

2. - Theoremes d'existence et d'unicite

2.1. - Enonce des resultats

On va demontrer les resultats suivants

Theoreme 2.1 Sous Zes hypotheses (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (1.5), (1.6), (1.7),

et (1.8)' et f ~ 0, iZ existe u soZution de (1.18) j j.

Theoreme 2.2 : Sous Zes hypotheses (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (1.5), (1.6), (1.7),

(1.8), iZ existe u soZution de (1.18).

Theoreme 2.3 : On se pZaae dans Zes hypotheses du theoreme 2.2 et on suppose en outre

que R s'identifie d un sous-ensembZe de V et que M(v) f R, ~ v f H. Le probZeme

(1.18) possede une soZution unique.

On utilisera les lemmes suivants

Lemme 2.1 : On fait Zes hypotheses (1.1) (avea injeation aompaate rempZaaee par

injeation aontinue) , (1.2), (1.3), (1.4), (1.5), (1.6).Pour g f H, on designe par

u Za soZution de Z'I.V.

(2.1 ) a(u,v-u) ~ (f,v-u) ~ v ~ g

u ~ g

La fonation g + u(g) est aroissante.

Demonstration

Soit ui la solution correspondant a gi. Supposons que 81 ~ g2. Prenons v - u\ = - (u2 - ul )- dans l'I.V. relative a u)' i.e. v = inf (u j ,u2) ~ inf (8),g2) = g\ et

v - u2 = (u2 - uj ) dans l'I.V. relative a u2' i.e., v = sup (u\' u2) ~ sup (g\, g2)

g2·

Ajoutant les resultats, il vient

i.e.

75

d'oll o

Lemme 2.2 : Sous les hypotheses du Lemme 2.1 et de plus f ~ 0, g ~ 0, alors la so

lution u de (2.1) verifie u ~ o.

Demonstration

On prend v = u+ dans (2.1). C'est loisible car u ~ g et g ~ 0 impliquent u+ ~ g.

On deduit de (2.1)

soit

0, d'oll u O. ~

Remarque 2.1 : Les lemmes 2.1 et 2.2 sont valables aussi bien pour v ~ g sur a que

sur r ou que sur E C a

~

2.2. - Demonstration des theoremes

2.2.1. - Demonstration du theoreme d'unieite 2.3.

Soient u l et u2 deux solutions eventuelles

Supposons que

(2.2) / l'I.Q.V. (1.J8) equivaut 11 l'I.V. (2.1) avec M(ui )

I; g .•

1.

Le lemme (2.1) implique u1 ~ u2• D'apres (1.8) il en resulte que

ee qui eontredit (2.2). Done u l

76

2.2.2. - Demonstration du theoreme d'existence 2.1

On pose

(2.3) :fJ 0 = {v E H I v ~ O}

Pour w E ~, on definit u o

,(w) comme etant la solution de l'r.V.

(2.4) a(u,v-u) ~ (f,v-u) 'f/ v ~ U(w)

u ~ M(w)

Comme f ~ 0 et grace a (1.8)' on a M(w) ~ 0 si wE Po, donc u E Po. Montrons que

(2.5) l'image de ~ par, est relativement compacte.

On peut en effet prendre v o dans (2.4). On obtient

a(u,u) .:::: (f,u)

d'ou I lui I ~ cte, d'ou (2.5) puisque l'injection de V ~ H est compacte.

Verifions enfin que

(2.6) l' application w ~ , (w) est continue de H ~ H.

En effet soit w. ~ w dans H. Grace a (1.7) on a J

(2.7) M(w.) ~ M(w) dans V J

Comme I lu. I I ~ cte, on peut extraire une sous suite, encore notee u. telle que J J

(2.8) u. + U dans V faible. J

Dans l'r.V. (2.4) relative a u. on prend J

(2.9) v. = v + M{'~.) J J

M{w), v donne avec v ~ H{w) ce qui est loisible

puisque v . .:;; H{w.). 11 vient J J

(2.10)

ou

D'apres (2.7)

(2.11)

77

a (u. ,v) - (f, v-u .) + Y. ;,. a (u . ,u . ) J J J J J

Y. J

a(u., M(w.) - M(w» - (f, M(w.) - M(w» J J J

Y. ~ 0 et on deduit de (2.10) J

a(u,v) - (f,v-u) ~ lim inf a(u.,u.) ;,. a(u,u) J J

'<I v ~ M(w).

Comme u. ~ M(w.) donne a la limite u ~ M(w) , on voit que u J J

u, d' ou (2.6).

On est done dans les conditions d'application du theoreme du point fixe de Schauder

a l'application w ~ T(W), d'ou Ie theoreme 2.1, les points fixes de T etant solu

tions de l'I.Q.V.

2.2.3. - Demonstration du theoreme d'existence 2.2

On definit uO solution du probleme variationnel

(2.12) a(uo,v) (f,v)

On definit ensuite u l par la resolution de l'I.V.

(2.13) I 1 1 0

a(u ,v-u ) ;,. (f,v-u) '<Iv € V, v ~ M(u )

On va demontrer que

(2.14) 1 0

u ~ u

1 0 I-On prend dans (2.13) v - u = - (u -u ) , Le. v

o 1 0 Inf (u ,u ) ~ H(u ), et on prend

o I-v = (u -u) dans (2.12); ajoutant, il vient

d'ou

o 1 0 1-a(u -u , (u -u ) ) ;,. 0

o 1-(u -u ) 0, i.e. , (2.14).

On definit ensuite

78

(2.15) gJl ,. {v\v f H,

Pour wf ~I' on definit u = T(W) par (2.4). On a Ie resultat

(2.16) u € 57 . Verifions d'abord que u ~ UO On prend dans (2.4) v - u ,. - (uo_u)-, i.e.

v = inf (uo,u) ~ M(w) et on prend dans (2.12) v ,. (uo_u)-; ajoutant, il vient

00-a(u -u,(u -u) ) ~ 0

d'ou u ~ uO Verifions maintenant que u ~ u l . On prend dans (2.13) v - u l

- (u-u1)-, i.e. v = inf (u,u1) ~ M(uo) et dans (2.4) v - u = (u-u l )-, i.e 100 v = sup (u,u ) ~ sup (M(w), M(u » = M(w) , car w ~ u ; par addition il vient

1 1 - 1 a(u-u , (u-u ) ) > 0, d'ou u > u

Montrons que l'on a

(2.17) l'image de ~ par Test relativement compacte.

En effet on peut prendre v ,. u1 dans (2.4), car

1 I a(u,u) <s (f,u-u ) + a(u,u )

d'ou encore

(2.18) \lull < cte

On a egalement (2.6) (m~e demonstration) d'ou Ie theoreme 2.2 par application du

theoreme du point fixe de Schauder.

Remarque 2.2 : Des resultats generaux d'existence de solutions d'I.Q.V. abstraites,

par des methodes quelque peu analogues ont ete etablis par JOLY et MOSCO [1]

3. - Methode d'approximations successives

Orientation

Dans Ie cas ou M est un operateur croissant, la methode d'approximations

79

successives que nous allons decrire joue un role important car elle fournit un

algorithme constructif convergant vers la solution maximale de l'I.Q.V. II est in

teressant de voir ce que devient cette methode dans Ie cas ou M est decpoissant.

3.1. - Procede iteratif

La methode est la suivante. On part de uO solution de

(3.1 ) (f,v)

1 2 On definit ensuite de proche en proche u , u , ... , un par la resolution de l'I.V.

V~M(un-l) ,

n n-1 u ~ M(u ).

Les hypotheses sont celles du theoreme 2.2. Toutefois les raisonnements qui sui

vent n'utiliseront pas Ie fait que l'injection de V + II est compacte ni l'hypothese

(1.7), mais l'hypothese plus faible.

(1.7)' M est continu de V + V.

On va demontrer les relations suivantes

(3.3) 0 2 4 2 n-2 2 n

u ~ u ;. u ;. ;. u ;. u

(3.4) 1 3 2 n-1 2 n +

u ~ u ~ ••• .:S u ~ u <$

(3.5) 2 n + 2 n u ~ u

1 0 Nous avons deja demontre (cf. (2.14» que u ~ u

;. ...

...

On prend dans (3.2)n 2

v - u 02-(u -u) i.e.

et v

o 2-et ajoutant, on voit que (u -u )

(3.6) o 2

u ~ u •

02-(u -u) dans (3.1),

o done

o 2 D'apres (3.6) M(u ) ~ M(u ) de sorte que d'apres Ie Lemme 2.1

1 3 u ~ u

Admettons par recurrence que

o 2 2n-2 u ~ u ~ ••• ~ u

2n-1 2n-2 u ~ u

80

et montrons (3.3), (3.4), (3.5). Comme u2n- 3 ~ u2n- 1 on a H(u2n- 3) ~ M(u2n- l )

d'ou d'apres le Lemme 2.1 u2n- 2 ~ u2n . Alors M(u2n- 2) ~ M(u2n) d'ou, tou-2n-1 2n+J jours d'apres le Lemme 2.1, u ~ u .

Comme u2n- 1 ~ u2n- 2 on a M(u2n- l ) ~ M(u2n- 2), done u2n ~ u2n- 1 done

M(u2n) ~ M(u2n- l ) done u2n+1 ~ u2n• On a done bien demontre (3.3), (3.4), (3.5).

On va montrer main tenant que

(3.7) llunll ~ Constante

On peut prendre v = u l dans (3.2) car 2n+l

d'ou

d'ou (3.7) pour n impair.

2n-1 On prend ensuite v - u dans (3.2)2n; e'est loisible car

d'ou

2n-I u

2n-2 ~ u ); done

81

droll, comme I lu 2n-l I L~Constante, Ie resuitat (3.7) pour n pair et donc pour tout n.

3.2. - Convergence

Des estimations (3.3), (3.4), (3.5) et (3.7) on deduit que

(3.8) 2n

u -+ qJ dans V faibIe,

2n u ~ u

2n+2 ~ ...

(3.9) 2n+1

u -+ W dans V faible,

2n-1 2n+1 u ~u ~ ••• ~w

On va montrer que

(3.10)

(3.11 ) a( qJ,v- qJ) ~ (f,v- qJ)

(3.12) a(w ,v- w) 9 (f,v- w)

La relation (3.10) resulte aussitBt de (3.5), (3.8), (3.9).

II existe une suite s 2j+l telle que

(3.13)

On a

donc

s 2j+l combinaison convexe de

s 2j+1

-+ W dans V fort

s 2j+l ~ u 2j+1

2j +1) M(s ( 2j+l) 2j+2 ~ H u ~ u

I 3 u , u ••• u

2j+l

Lorsque j -+ 00

qJ ~ M(W)·

2j+2 . 2j+l u -+ qJ dans V falble et M(s ) -+H(W) dans V fort, droll

82

Verifions la premiere inegalite (3.11); soit v donne avee v ~ M(~).

2n-1 2n-l 2n-1 Comme u ~ ~ on a M(u ) ~ M(~) done v ~ M(u ) et done on peut prendre eet

element v dans (3.2)2n' d'ou

2n 2n 2n 2n a(u ,v) - (f,v-u ) ~ a(u ,u )

et done

. 2n 2n a(QJ,v) - (f,v-fP) ~ lim mf a(u ,u ) ~ a(fP,fP)

2n+1 2n . On a done (3.11). Comme u "M(u)" M(q» on en tue ~"M(q». Montrons

enfin la premiere inegalite (3.12). Soit v donne avee V" M(q». 11 existe une 2'

suite s J telle que

(3.14) 2' 2

s J = eombinaison eonvexe de uO, u , 2j ... , u

2 • s J + fP dans V fort •

Dna

done

2' Definissons alors v J par

(3.15) 2' 2'

v J = v + M(s J) - M(tp)

on a 2' 2' 2' 2'

v J " M(s J) " M(u J); on peut done prendre v J dans (3.2)2j+1' d'ou

(3.16) ( 2j+1 ) _ (f _ 2j+J) Xj (2j+1. 2j+1) a u ,v ,v u + ~ au, u

ou

. 2' +1 2' 2' XJ = a(u J ,M(s J) ,- M( q») - (f,M(s J) - If(fP)).

2' 2' . Comme s J + fP dans V fort on a M(s J) + M( fP) dans V fort et done XJ + O. Alors

(3.16) donne

83

d'ou (3.12). On a ainsi demontre Ie

Theoreme 3.1 : Sous Zes hypotheses du th~oreme 2.2 avea (1.7)' au Zieu de (1.7) et

V + H aontinue (au Zieu de aompaate) Ze proa~d~ d'appro~mations suaaessives defini

par (3.1) et (3.2)n v~rifie Zes propri~t~s (3.3), (3.4), (3.5), (3.8), (3.9) o~

'iJ,'iJ est soZution de (3.10), (3.11), (3.12).

Remarque 3. 1

Si l'on pose

~ {v I v E H

alors [iJc 9? (cf. (2.15». On peut comme ~ur Ie theoreme 2.2 demontrer l' existence

d'une solution de l'I.Q.V. appartenant a~~

BIBLIOGRAPHIE

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topics, edite par Kuhn-Szego, North Holland.

A. BENSOUSSAN, M. GOURSAT, J.L. LIONS [I], C.R. Ac. Sci. Paris, t.276, serie A, pp. 1279 - 1284,

1973.

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[I] C.R. Ac. Sci. Paris, t.276, serie A, pp. 1189 - 1192,

1973.

[2] C.R. Ac. Sci. Paris, t.278, serie A, pp. 675 - 679,

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of Applied Mathematics and Optimization, a paraitre.

[4] Livre a paraitre

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Bull. Soc. Math. F. , 96 (1968), 153-180

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J.L. LIONS [I]

Sur les inequations quasi-variationnelles - C.R. Acad.

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Quelques methodes de resolution des problemes aux limites

non lineaires, Dunod Paris 1969.

J.L. LIONS, G. STAMPACCHIA [I] Variational inequalities - C.P.A.M. 20 (1967), 493 - 519.

ESPACES DE KOTHE ET FONCTIONNELLES CONVEXES

Paulette CLAUZURE

Introduction.

Dans cet expose on demontre quelques nouvelles proprietes des

espaces de KOTHE generalises, inspirees de resultats de BISMUT ([2]) et de

VALADIER. D'autre part, on donne deux resultats tres proches d'un resultat

de UHL ([22]) sur l'integration de fonctions vectorielles, liees a un

couple d'espaces d'ORLICZ associes (Exemple de couple d'espaces de KOTHE

associes munis d'une structure d'espace de Banach ([11]) ).

Definition et notations.

Les notations sont essentiellement celles utilisees dans ([10]).

On rappelle les principales. Sauf mention expresse du contraire, Test

localement compact denombrable a l'infini. (T U K avec pour tout nE~ n

Kn compact et KnCK~+l). Pour toute partie A de T, T/A designe Ie

n,

complementaire de A par rapport a T et irA designe la fonction carac_

teristique de A. ~ est une mesure de Radon positive sur T.

A et A* sont des espaces de KOTHE associes, definis par DIEUDONNE

([12], [10]). On designe par E, un espace vectoriel, localement convexe,

separe, reel. Pour toute multi-application, L de T, a valeurs non vides

dans E, on note SL l'ensemble des selections mesurables (deux selections

egales ~-presque partout etant identifiees). Lorsque, pour toute f E SL'

existe, on note

86

J SL~' l'ensemble des int~~rales T

J f ~, T

f parcourant SL' Dans le cas OU E est un espace de BANACH, s~parable

et r~flexif et E' son dual fort, les espaces de KOTHE g~n~ra1is~s I\E

(resp. 1\'11 ) ([17], [10]) ont ~t~ d~finis comme suit: E'

AE (resp. 1\'11) est l' espace vectoriel des applications mesurables f de E'

T dans E (resp. E') telles que I fl Ii A(resp. A'll). On note <.,.> la

forme bilin~aire mettant en dualit~ s~parante "E

p. eoe ; [10], prop. 3, p. 57) :

et "lIE E'

([17], prop. 7,

<u, v> = J <u(t), v(t» d~(t).

Pour tout e' Ii E' et pour toute application f de T dans E on note

<e', f> l'application t - <e', f(t».

La topolo~ie ~, utile dans la suite, est d~finie sur AE

(resp. ";,) par la famille des semi-normes (Pg)g Ii I\lIE (resp. 1\) avec

p~( f) = J T I grl ~.

Si G8(E) est la tribu bor~lienne de E et (T,(!,~) un

espace mesur~ quelconque, un int~~rande f sur T x E est une application

de T x E dans ]-00, +00], non partout ~~ale a +00 f est un int~grande

convexe si pour tout t Ii T, e - f(t,e) est convexe sur E, f est un

int~~rande normal s' il est (l. 8 !93( E) mesurable sur T x E et s1 pour tout

t e T e - f(t, e) est s.c.i. sur E ([20] I. Soit h une application de

E dans [-00, +00], convexe sur E; un ~l~ment e~ de E' est un

sous gradient de h en eo e E, si la fonction affine e

minore h. On appelle sous diff~rentiel en eo de h et on le note

Oh(eo )' l'ensemble ~ventuellement vide, des sous gradients de h en

87

I R~sultats concernant les espaces de Kothe g~n~ralis~s

Dans ce paragraphe, E est un espace de Banach r~flexif et

s~parable et E' Son dual fort.

Proposition 1. ~ r une multi-application mesurable a valeuTs ferm~es

non vides dans E. On note ~r l'ensemble des s~lections de r appartenant

! "E et on suppose .f r non vide et born~ dans "E pour la topologie

~ 7] (2u tout autre topolo~ie compatible avec la dualit~ (A E, A~,) ).

Alors j'r est identique a l'ensemble Sr des s~lections mesurables. En

Ilr(·) II E A+ , ( II r! t) II sup II ell , V t E T) ~ "ir est rela_ eErtt)

outre

" tivement o-(A E, "E') compact.

D~monstration. L'inclusion ~r C Sr est ~vidente. Reste a prouver l'inclusion

inverse. 11 suffit de prouver que toute s~lection mesurable u de r,

appartient a AE• Pour cela nous utilisons la technique de d~monstration de

BISMUT ([2], tho 1). Soit u E Sr • Alors de la mesurabilit~ de u, on

d~duit celle de lui, car I lu(t)1 I = sup {I<e'n' u(t»I} OU (e'n)nEN nEif

est une suite dense dans la boule unit~ ferm~e de E'. Dans ces conditions,

il existe un n~gli!!eable N et une sUite croissante de compacts Gn , tels

00 que T = (U Gn ) UN et tels que la restriction de I ul a chaque Gn soi t

n=1

continue. Ceci etant, soit U o un element de ~r Pour tout n E ti",

posons un = ~ u + 'CT/ G uo ; alors un E Sr n n

Montrons que un appartient

a liE' Il suffit, en vertu de (bo], chap. 1, prop. 1), de v~rifier que

pour toute II E 1\:, I T I unl g dp. < +00 • Il est clair que

lui + ZT/G luol. Alors on a, n

pour toute

f lunl!!dp.s;f T T

trG lui g dp. + I luolg dp. , avec IT Inol!! dp. < +00, n T

car Uo E j'r et IT ~Gn lulg dp. < +00 car lui est uniform~ment continue sur

88

le compact Gn • On en dedui t donc <;tue un E :1' r pour tout n E Itl'" ; ceci

va nouS permettre de conclure <;tue u E :fr • Puis<;tue

on a pour toute g E A:, IT lui g diL lim I ~G lui g d~ • n-<O T n

Alors on a

Un et Uo

IT lui g d~

Sr et .f'r

De la definition de

I :t'G lui g d~ s, I T n T

appartiennent a. :f r '

< + 00 d'oll u E "E

est alors etablie.

on tire ~G n

- :\:::T/G u o ' n

I unlg d~ + I I uol g d~ s, M < +00, puis<;tue T

~~-bOrne, par hypothese. En conse<;tuence,

et par suite u E !r • L'egalite entre

11 reste a. montrer <;tue lin· ) II E A+ •

sup II ell eErt t)

Pour tout t, I in t) II sup Ilfj(t)11 .'}EIN

avec

(fj)jEN suite dense de selections mesurables de r (l'existence d'une suite

dense de selections mesurables decoule d'un resultat de CASTAING ([6], tho 5.4,

p.43). Pour tout .j, fj E Sr, donc f· E j'r • Definissons la suite hm .J

par V m E IN et V t E T, hm(t) = sup Os,js,m

II f.i ( t li I • Alors pour presque tout

la suite (hm(t))mE~ tend en croissant vers I Ir(t)1 I. En vertu du lemme

de Fatou, on a donc :

Vu la definition de hm' il existe une partition finie de T en sous-

ensembles mesurables ( A . ) . E J ' J C {O, 1,2, ••• , m} J .J

et une application y

t,

de J dans {O,1,2, ••• ,m} tels <;tue, pour tout t E A.l hm(t) = IlfY(j)(t)ll.

Alors si Hm 2: XA . fy(,j)' I Hml = hm et Hm E Sr jEJ J

D'oll, pour toute

g E 1\: {I ghm d~} est uni formement maj ore lors<;tue m parcourt IN ; T

on en deduit {j g(t) Ilnt)11 diL < too, c'est-a.-dire Iln')11 E 1\+: T

En consequence, l'ensemble des selections mesurables de t - I Ir(t)1 IB

89

avec B boule unite fermee de E est u(AE , Ai,) compact en vertu de

([10], corol. 2, p.SO) et par suite le sous ensemble fr est relativement

u(AE ' A~,) compact ce qui acheve la demonstration.

Remarque. Le resultat precedent a ete obtenu Far BISMUT dans Ie cas ou

l'espace mesure est un espace probabilise complet (n,~, p), pour le

couple (L~(n, p), L~,(n, p) ([2], tho 1, p.7) et pour un couple quelconque

d'espaces decomposables en dualite ([2], corol., p.9).

On trouve une application de ce resultat dans la proposition suivante.

Proposition 2. Soit f un integrande convexe normal sur T x E et g

~'integrande convexe normal, defini par

pour tout (t,e') <> T X E'.

!lIt, e) = sup [<e,e'> - f(t,e)], e€E

Soient I f(t,uOt)) dJ1. T

I\(V) I T'1't,v(t)) dJ1.

On suppose qu'il existe au moins un element, u € AE ' tel que If(u) < +00

et un element v € I\~, , tel que Ig(v) < +00. ~ If est finie et continue

~ U o element de "E' pour une topologie compatible avec la duali te

(AE, Ai,), le sous differentiel de If ~ u O ' alf(uo) est non vide,

u(A~, ,AE) compact et forme de toutes les selections mesurables de

t - Of( t, uo ( t)). En outre Ilaf(., u o (.) III € A!

Demonstration. En vertu de ([10], chap. 3, prop. 24, p.79) If et Ig

sont duales l'une de l'autre. Alors v € alf(uo) si et seulement si

<uo ' v> = If(Qo) + Ig(v). De la on tire

V€Ai, et v(t)€af(t,uo (t))J1.-P.P.

v € alf(uo) si et seulement si

En vertu d'un resultat de

MOREAU ([15], prop. 10.C, p.60), puisque If est continue en u O ' pour une

topologie compatible avec la dualite (A E, A~,), alf(uo) est non vide,

90

et utA;"~ AE ) compact, donc aussi ~~_borne, puisque ~~ est compatible

avec la dualite (AE, A~,) ([17], prop. 10, p.607 ; [10], chap. 3 prop. 16,

p. 68). Ceci va permettre d'uti1iser pour la multi-application

t ~ of(t, uo(t)) le resultat de la proposition 1. Pour cela, i1 reste a

verifier que la multi-application t ~ of(t, uo(t))

{e' f: E' g(t, e') _ <uo(t), e'> S - f(t, uo(t))}, est mesurable et a

valeurs fermees non vides dans E'. Pour chaque t, of(t, uo(t)) est une

partie non vide de E', qui est fermee car e' ~ g(t, e') est s.c.i.,

sur E'. D'autre part cette multi_application est de graphe mesurab1e, donc

mesurable, en vertu d'un resultat de CASTAING ([7], 1em. 2, p.3) repris par

Rockafellar ([20], tho 1, p.219). De la proposition 1, on deduit donc que

II off ., U o ( • ) ) II f: ,,! et que l' ensemble des selections de la multi-app li

cation t ~ off t, U o (t) ), appartenant a ,,~, coIncide. avec l' ensemble de

toutes ses selections mesurables. En resume on a obtenu

non vide, u(A~" AE ) compact, et forme de toutes les selections mesurables

de t~ of(t, uo(t)), avec en outre, Ilof(., uo(.))11 f: A!. La ctemons-

tration est a10rs complete.

Remarque. Ce resultat a ete obtenu par BISMUT ([2], tho 2, p. 16) dans Ie

cas d'un couple d'espaces decomposables en dualite a, '" (LE(O, pI, L'E'(O, p)

avec (0, c:lI., p) espace probabilise complet.

Theoreme 1. On suppose la mesure ~ sans atomes. Soit r une multi-appli_

cation mesurable definie sur T, a valeurs dans les convexes utE, E')

comnacts non vides de E, telle que pour tout t, rtt)Ch(t)B ~

h f: A+ et B boule unite fermee de E. On note r, la multi-application

definie sur T par t - r(t) ou r(t) est l'ensemb1e des points extremaux

de r(t). Alors l'adherence de S- pour la topologie fai ble utA E' J\ ~, ) r

91

coincide avec l'ensemble convexe u(AE, A~,) compact Sr'

Demonstration. En vertu de ([10], chap. 3, corol. 2, p.SO), Sr est une

partie u(AE, A;,) compacte de AE• Pour etablir Ie theoreme, il suffit

donc de prouver que Sr est contenu dans l'adherence faible de Sf'

Soit f € Sr • Etant donnes £> 0, et n elements de I\~, , vi' v2""'vn ,

il s'agit de trouver k € Sf telle que l<f-k,vi>1 ~ E , Vi € {1,2, ••• ,n}.

Soi t ® la multi-application de T a valeurs dans les convexes

compacts non vides de ~n ainsi definie

®(t) = {«~Yilt), e>l e € rttl} , "It € T. 15i~n

Comme f € Sr, l'application t «vi(t), f(t»)· appartient a S"" l:>i:>n ""

En outre tout element de Se est une fonction integrable, en vertu de

L'hypothese faite sur r. Par suite, d'apres Ie theoreme de LJAPUNOV-RICHTER-

KELLERER-CASTAING ([24], p.43) on a

Soit L la multi-application de T dans E definie par

Par construction, L est a va leurs non vides et utE, E') compactes.

De plus Lest mesurable car de graphe mesurable en vertu d' un resul tat

de CASTAING ([7], lemme 2, p.3) repris par Rockafellar ([20], tho 1;

p.219). Notons G(Ll et G(rl les graphes respectifs de L et r. G(rl

est mesurable, c'est-a-dire G(rl € ~® @?,(E) (avec dI tribu des ensembles

~-mesurables de T), en vertu du result at de CASTAING, cite plus haut.

Notons go = (gio)15i~n et pour tout i € {1,2, ••• ,n} soit hi l'appli-

92

cation de T x E dans m definie par hilt, e ) = <vi(t), e> - gio(t).

A10rs pour tout i € {1,2, ••• ,n}, hi est GU® ~(E) mesurab1e car con-

tinue sur E, pour tout t € T, et mesurab1e sur T, pour tout e € E

([26], p.52, 1emme 14). A10rs puisque

G(L) = G(r) n (II 11t do})) , G(L) € ~® 6j(E). lS.i~n

Soit kit) un maximum 1exicographique de L(t) ; k est mesurab1e en vertu de

([2~, prop. 1.6, p. 24) et po~ tout t, kit) est point extremal de L(t).

Montrons que k € Sf. Supposons que kit) t fit) ; a1ors, i1 existe

X € r(t), y € r(t), x ~ y, te1s que kit) ~ (x+y). Par definition de L, 2

kit) € L(t) imp1ique

A10rs comme go(t) € 8(t), on obtient «vi(t), x»lSiSn = «vi(t),y~)lSi~n

go(t) et par suite x € L(t), y € L(t). Comme kit) € itt), i1 en resu1te

que kit) x = y d'ou 1a contradiction. On a donc et

o '{ i € {1,2, ••• ,n}, ce qui acheve 1a demonstration.

Remarque. Dans cette demonstration nous uti1isons une technique que

VALADIER a bien voulu nous communiquer et qu'i1 a mise au point pour

etendre au cas des espaces L~(T, J.L), L~'(T, J.L) (ou (T,t>, J.L) est un

espace mesure, J.L une me sure positive sans atomes, E un espace de BANACH

separable) un resu1tat de BISMUT ([2], lemme 2, p. 14).

Proposition 3. On suppose J.L sans atomes. Soit ~ une mu1ti-app1Lcation

mesurab1e definie sur T a va1eurs U(E,E') compactes non vides de E

telle que pour tout t, ~(t) C h( t )B, avec h € 1\ + et B boule unite

fermee de E. On suppose que S~ ~ u(IIE' A"'E') compact. A10rs ~ est

presque partout a va1eurs convexes.

93

Demonstration. Pour tout t, on note ~(t), l'enveloppe convexe fermee de

~(t). II s'agit de montrer que ~(t) = ~(t) ~-p.p •• II resulte immediatement

de sa construction que ~(t) C hIt) B. D'autre part, en vertu du theoreme de

KREIN, ~(t) est comme ~(tj, alE, E') compact. Alors ~, definie par

t - ~(t) est comme ~, une multi-application mesurable a valeurs alE, E')

compactes non vides de E. Donc ~ et ~ admettent chacune, une famille

denombrable dense de selections mesurables ([24], prop. 1.7, p. 25) et alors

S~ = S~ , est une condition suffisante pour que ~(t) = ~(t) ~-p.p.

En vertu du theoreme 1, S~ est l'adherence de S~ pour la topologie

a(AE , A~,). Or on aI' inclusion Sl\, C S~ C S~ , car pour tout t,

~(t) C ~(t) c:. ~(t) ([21], 10.5, p.6S). De l'hypothese S~, a(A E, ,,~,) compact

et de ce qui precede, on deduit donc: S~ = S~ • La demonstration est alors

complete.

Proposition 4. On suppose ~ sans atomes. Soit r une multi-application

mesurable definie sur T, a valeurs alE, E') compactes non vides de E, telle

que pour tout t,r(t)Ch(t)B, avec hEA+ et B bouleuniMfermeede E.

Une condition necessaire et suffisante pour que l'ensemble des selections

mesurables de r solt a(A E , I\~,) compact, est que r soit presque partout

a valeurs convexes.

Demonstration. La condition suffisante est etablie dans ([10], corol. 2,

p. SO). Elle ne necessite pas l'hypothese, ~ sans atomes.

La condition necessaire est donnee par la proposition 3.

II variantes d'un resultat de UHL

On commence par donner, car elle est la base de ce qui suit, la

caracterisation des parties relativement a(L1(T,~), Loo(T,~)) compactes,

94

etablie par BERLIOCCHI et LASRY ([1], tho 4, p.165) dont on communique

ici une demonstration due a VALADIER.

Theoreme 2. (BERLIOCCHI-LASRY-VALADIER). Soit (T, ~,~) un espace me sure

~ ~ mesure positive u-finie. Une partie H de Ll(T,~) est relati

~ U(L1 , Loo ) compacte si et seulement si il existe un integrande

normal convexe If ~ T X lR+ dans [0, +00] satisfaisant aux deux conditions

1) 'f f I xl (I.f majore integralementt Ixl), c'est-a-dire pour tout

£> 0, 11 existe a E L;(T,~) telle que LV(t,x) ~ a(t), implique

Ixl 5 E ~(t,x).

2) sup fEH

J tf(t, I f(t)l) ~ 5 1. T

Demonstration. La condition suffisante a ete etablie dans un cas plus general

par ROCKAFELLAR ([20], tho 4, p.230). Signalons egalement les resultats

de CASTAING ([8], [9]) et VALADIER ([25]).

Condition necessaire: La mesure ~ etant positive et u-finie, il existe

un negligeable N et une suite de mesurables Tn' de mesure finie, stric-

tement positive, constituant une partition de TIN. Dans ces ccnditions, soit

h l'application de T dans ~+ definie par

pour tout n E ~, pour tout t E Tn' hIt)

pour tout t E .N, hIt) = a > o.

Alors h > 0 et h E Ll( T, 00

~) puisque J h ~= 2: 2-n < +<:0 T n=O

La mesure V de densite h par rapport a ~ est donc une mesure finie.

D'autre part L1 (T, v) est l'image de Ll(T,~) par l'application lineaire

A continue pour les topologies fortes, definie par :

'rff E L1 (T, ~), A(f) = f E L1 (T, v). La continuite de h A pour les topologies

fortes se deduit du fait suivant 't/f E L1 (T, ~), Ilfll 1( ) L T,~

95

donc A est une isometrie. Donc A est continue pour les topologies

§ 4, 2~ prop. 6). En consequence A(H) est une partie ~(L1 (T,v), LOO(T,V))

relativement compacte. Alors v etant une mesure finie, il existe, en

vertu du theoreme de LA VALLEE-POUSSIN ([14], tho 22, p. 38) une application

de ~+ dans ~+ , croissante, convexe, telle que

(1)

( i1) sup ke:A(H)

dv !> 1

Posons tf(t,x) = h(t) G(_x_) , V(t, x) e: T x ~+. Alors on deduit de (11)

h(t)

sup f tf(t, I f(t)j) dJ1.!> 1. f e: H T

~ainsi determinee, est la solution attendue. En effet, ~ est un integrande

convexe sur T x ~+, normal, car 6L @ ~ mesurable, avec ~ tribu borelienne

de ~ et pour tout t e:~, x - ~(t,x) est s.c.i. sur ~+. De plus f

majore integralement Ixl puisque lim .QL!l = +00, etant donne B > 0, x

i1 existe Xo e: ~+ tel que x ~ Xo implique ~ ~ B. A10rs pour x

Ixl ~ h(t) xO ' on obtient 1 B

~(t. Ixl) ~ lxi, d'oll 1a propriete de majora_

tion integrale s'en deduit. La demonstration est a10rs complete.

Avant d'enoncer le result at de UHL ([22]) dont on donne dans la suite deux

variantes, il est bon de preciser 1es notations et de rappe1er quelques

defini tions.

Dans ce paragraphe (T,6L,~) est un espace mesure avec ~ me sure positive.

Soit E un espace de BANACH et E' son dual. Une application f de T dans

E est dite PETTIS-mesurab1e ([16], p.278 ; [27]. p.130) si et seu1ement

si, L1 existe une suite (fn)ne:N de fonctions etagees mesurables (c'est-a-

dire fn de 1a forme ~ a·"tA i=l 1 i

avec ai e: E et Ai e: eo. , pour tout

96

i e {1, 2, ••• , p} et Ai n A,l = ¢ si i ~ j) telle que pour presque tout

t, (fn(t))n e ~ converge fortement vers fIt). f PETTIS mesurable est

dite BOCHNER-integrable ([27], p.132) si et seulement si, il existe une

suite (hn)neW de fonctions etagees mesurables hn telles que

i) pour presque tout t, (hn(t) )ne~ converge fortement vers fIt)

ii) lim [ Ilf(t)-hn(t)11 dJ.L = O. n~ +00 . T E

Dans ces conditions, pour tout A e W, lim n~

existe, on la nomme integrale de BOCHNER de f ~ A. On remarque ici que

l'integrale de BOCHNER de f sur A, coincide avec l'integrale faible au

sens de BOURBAKI ([5], §1, nO 1, def. 1, p. 8) de f sur A. f mesurable

au sens de PETTIS est dite PETTIS-integrable ([16], p.280, [22], p.425)

si et seulement si, pour tout e' e E', <e',f> e L1(T,~) et pour tout

A e (t, l' integrale faible de f sur A, appartient a E.

Une fonction de YOUNG M est une application de ~+ dans

[0, +00], convexe, croissante, telle que M(O) = O. La fonction duale N

de M, definie sur ~+, est aussi appelee complementaire de M([13] p.11).

Nous dirons que N et M sont duales de YOUNG ([15], p.94).

Soit (T,~,~) un espace mesure avec ~ me sure positive

~-finie. On note dr, l'espace vectoriel reel des fonctions mesurables

definies sur T a valeurs dans ~. M etant une fonction de YOUNG, on

appelle classe d'ORLICZ, l'ensemble note CM , des f e J(, telles que

M( If I ) e ~l(T, ~). On note BM, l'ensemble des f e Jr, telles que

f M(I fl) dJ.L ~ 1. En general CM n'est pas un espace vectoriel. On appelle T

espace d'ORLICZ, LM ' l'espace vectoriel des fonctions (2 fonctions egales

~-presque partout etant identi fiees), f e J6, telles que f T M( M) dJ.L < +00

k pour au moins un k > O. Alors CM eLM'

97

M et N etant des fonctions duales de YOUNG, les espaces

d'ORLICZ LM et LN sont des espaces de BANACH pour les normes equivalentes

suivantes

Iliflll M

inf {k > 0 I J M (J..rl..) dJ.L ~ 1} (norme de LUXEMBURG). T k

II fll M sup {f I fgl dJ.L I g E LN, III gill ~1} T N

(norme d'ORLICZ).

Les espaces d'ORLICZ, LM et LN sont mis en dualite par la forme bilineaire

Pour tout couple (f,g) E LM x LN on a l'inegalite de HOLDER ([13]), p.74

[23], p.10) :

Remarque. UHL fait observer que le resultat qu'il obtient est l'analogue

pour des fonctions a va leurs dans un BANACH, du resultat de LA VALLEE-POUSSIN

(loc. cit.)

Theoreme 3. ( UHL)

On suppose que fL est une mesure finie. Soit f une application

PETTIS-mesurable, de T dans un espace de BANACH E. Alors f est PETTIS-

integrable si et seulement si il existe une fonction de YOUNG, M telle que

i) lim M(x) = +00

x->+m x

ii) <e' , f> E LM, t/ e' E E' •

A partir de la proposition suivante on peut retrouver la condition necessaire

du theoreme 3, lorsque la me sure est finie.

Proposition 5. On suppose que fL est une mesure u-finie. Soit E un

espace vectoriel topologique reel, localement convexe, separe et EI son dual.

98

Soit f une application de T dans E, scalairement ~_int~grable et telle

que pour toute a € Loo(T,~) on ait IT a f~ € E. Alors pour toute partie

~quicontinue B ~ E', i1 existe un int~grande normal et convexe, 'fB'

de T x ~+ dans [0, +00], tel que

11) sup e'€B

D~monstration. Soit Lf l'application lin~aire de E' dans Ll(T,~)

d~finie par Lf(e') <e', f> avec <e', f> (t) = <e', f(t», ~ t € T,

Par hypothese, on a pour toute A10rs

puisque <e', I af ~> = I a <e', f> ~ , II e' € E', 'i/ a € LOO (T, ~) T T

Lf est continue pour 1es topologies atE', E) et 0(L1 , Loo ). L'image d'une

partie ~quicontinue B de E' est done relativement a(L1 , Loo ) compacte.

Par suite, en vertu du th~oreme 2, il existe un int~grande normal, convexe

IfB' de T x lI'+ dans [0, +00], qui majore int~llra1ement Ixl et tel que

sup e'€B

I lP(t, I<e', f(t»I) T

La d~monstration est alors complete.

Remarque. Un r~sultat tres proche de la condition suffisante du th~oreme 3,

a ~t~ obtenu dans le cas d'un couple d'espaces de KOTHE associ~s (/\, /\*),

avec E espace de FRECHET r~flexif et s~parable ([10], chap. 2, coro1. 1,

prop. 3, p.44). Dans 1e cas d'un couple d'espaces d'ORLICZ (LM, LN) on

obtient 1a variante suivante :

Proposition 6. Soit (T, s.,~) un espace mesur~ avec ~ mesure positive

a_~. Soient M et N deux fonctions dua1es de YOUNG et LM ~ LN les

espaces d'ORLICZ d~finis a partir de M et N respectivement. Soit E un

espace de FRECHET r~f1exif. Soit f une application de T dans E te11e

99

que pour tout e' € E' , <e', f> € LM• Alors pour toute g € LN on a

IT gf dJ.L € E.

D~monstration. E ~tant un espace de FRECHET r~flexif, son dual fort E'fi

possede la propri~t~ G.D.F. (graphe d~nombrablement ferm~) ([~, appendice,

prop. 3, p.76). Alors une condition suffisante pour qu'une application

lin~aire u de E'fi dans un espace de BANACH, soit continue est que la limite

de toute suite convergente d'~l~ments du graphe de u, appartienne au

graphe de u. Montrons par ce proc~d~ que l'application lin~aire Lf de E'

dans LM d~finie par Lf(e') = <e', f> est continue sur E'fi. Soit

(e'n)n€~ une suite dans E' convergeant fortement vers e', avec

(Lf(e'n))n€~ convergeant vers h dans l'espace de BANACH LM• De la conver_

gence forte de (e'n)n€~ vers e' on d~duit la convergence presque partout

de «e'n' f»n~ vers <e', f> alors l'existence d'une sous-suite

«e'nk ' f»k~ convergeant presque partout vers h, permet de conclure

h = <e', f> ce qui entralne la continuit~ de Lf sur E'fi. Dans ces condi-

tions, pour toute g € LN, la forme lin~aire e'

IT g<e', f> dJ.L est continue sur E'fi' puisque

<e ',I gf dJ.L> T

I <e', I gfdJ.L>1 5; T

I Igl I II<e', f>1 I Comme (E'R)' = E par hypothese, on obtient N M f-'

I gfdJ.L € E , et la d~monstration est achev~e. T

100

BIBLIOGRAPHIE

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Gottingen - Heidelberg.

QUELQUES APPLICATIONS DE L'ANALYSE CONVEXE A LA RESOLUTION

DE PROBLE~ES P'OPTIMISATIQN NON CONY5XBS

Ivar EKELAND

U.E.R. MATHEMATIOUES DE LA DECISION

UNIVERSITE PARIS IX DAUPHINE

75775 PARIS CEDEX 16

Nous allons indiquer quatre approches differentes des problemes

d'optimisation non convexes. Nous avons choisi pour cela des exemples

tres simples, destines plutot ~ illustrer les methodes employees qu'~

en montrer toute la force.

I - Traiter un probleme non convexe comme s'il etait convexe.

On se donne dans IRk des fonctions fi' 0,,; i ,s, n, pouvant

eventuellement prendre la valeur + 00 , et on se pose le probleme

d'optimisation

rinimiser n n

L fi (xi) + f (- L xi) i=l 0 i=l (~)

xl' •.. , x E: IRk n

On peut le considerer comme n problemes independants

(minimiser fi (xi) sur IRk) couples par le terme en fo (-jt xi)

i=l

Ce dernier peut aussi representer une contrainte. Si par exemple

on se donne une partie K de IRk et si on prend pour f sa fonction o

indicatrice.

{

0

'tOO

si x E K

si x E K

Ie probleme (<Y) devient alors

n contrainte 2: xi E - K.

i=l

103

n minimiser L fi (xi) sous la

i=l

Pongeons le probleme (~) dans une famille de problemes pertur

bes dependant du parametre c. E: IRk :

{

minimiser f i=l

xl' ... 'Xn E. IRk

On remarquera que (~o) ( ~). Le probleme dual s'ecrit

{maXimiser

~ E. IRk

n

I: i=l

( ~ )

Pour attaquer Ie probleme (r:Y), une methode qui commence ~ compter de nombreux succes (en particulier [1'] ) consiste a cher

cher une solution X du probleme dual (~*), c' est-~-dire une fa

mille de multiplicateurs de Lagrange - Kuhn -Tucker, et ~ resoudre

les (n + 1) problemes sans contraintes independants.

Si les fonctions f. sont convexes 1

theses topologiques supplementaires, les

et verifient quelques hypo

problemes (q).) admettent des 1

A ~x ~ ~ solutions xi' et celles-ci se recollent : ~ xi et la o i =1

famille (Xi) 1 ~ i~ nest une solution du probleme (!S». Si les fonc

tions fi ne sont pas convexes, il n'en est rien, mais il s'avere

cependant que si n est grand devant k, les xi fournissent une pre

miere approximation de la solution (x.) 1 . J de (<&>l, suffisante 1 ~ 11:ot n

pour initialiser une methode de gradient par exemple.

Pour enoncer cela de facon precise, introduisons quelques no

tations. Si K est une partie de IRk, no us designerons par 1=(K) l'en

semble des parties finies de K, et pour FE 1r (K) no us designerons

104

par reF) le rayon de la plus petite boule contenant F. Nous associons

alors il. K un nombre ~ 0, eventuellement + 00 :

(' (K) sup x ~ coK

inf r(F). F -. 'F' (K) coP 3 x

On remarque que e(K) = 0 si et seulement si K est convexe. De

meme, a to ute fonction f : IRk ~ IR U t +oo}, nous as socions son

epigraphe epi f C. IRk+l, puis le nombre f (f) defini par :

f(f) = e (epi f).

On remarque que e (f) = 0 si et seulement si fest convexe.

Nous sommes maintenant en mesure d'enoncer notre resultat

THEOREME - Supposons que le probleme dual (qp~) admette une solu-

tion ~ Alors, pour tout ~ 7 0, il existe dans IRk une famille

(x.) ,,' telle que ~o~~~n

~ inf ( ~i) + f.. pour 0 ~ i ~ n

n n En posant L. x. =x + Exl.= c., on en dedui t le

i=o ~ 0 i=1

COROLLAIRE - Pour tout s."7 0, il existe c. ~ IRk tel que 1/2

) -max (~ ) , 2 + 1\ dl 21 max

La demonstration ( ls J, (10) ) repose sur le theoreme de

Shapley-Folkman et la methode de Starr ( [i] , [201 ). On peut montrer

que si les fonctions f i , o~i~ n, sont semi-continues inferieurement

et coercives, c'est-a-dire si f.(x) /I\xll~oo quand\lxl\~oo,on ~

peut prendre I:. = 0 dans le theoreme et le corollaire. Remarquons aussi

que, pour que le probleme dual (~)admette une solution, il suffit

que sup ( cp .. ) t- - QO et que l' ensemble des perturbations C. telles que

inf (~ ) t- ± 00 soi t un voisinage de l' origine dans IRk

Si les fonctions fi sont coercives, convexes s.c.i, l'applica

tion du corollaire donne :

1:.= 0 et max e (f i ) = 0 o ~ i~ n

et donc

c= 0 et min ( Ci) ) max (~)

105

Cette methode permet donc de retrouver les resultats classiques

concernant les problemes d'optimisation convexes. Elle permet aussi de

retrouver les resultats concernant les problemes d'optimisation inte

graux, du type :

f(t,x(t) ) dt

E.K

Les problemes de ce type ont ete abondamment etudieS(L2],

[ If ] , [S' J ) par des methodes faisant plus ou moins directement appel

au theoreme de Liapounov. Le fait essentiel est que la mesure de

Lebesgue sur [0,1 1 est sans atomes. Le resul tat est que, si K est

convexe et si f,sans ~tre convexe, satisfait a quelques conditions de

semi-continuite et de croissance a l'infini, le probleme (q) se

comporte comme s'il etait convexe, c'est-a-dire que min (~) =max~) et que les solutions de (q?) peuvent ~tre obtenues par decentralisa

tion a partir des multiplicateurs de Lagrange - Kuhn - Tucker.

Nous allons retrouver ce resultat, au moins formellement. Pour

ne pas alourdir l'expose, nous ne no us preoccuperons pas de justifier

les integrations et les passages a la limite (cf.[S] pour les details).

Notons donc f t la fonction x ~ f (t, x) pour t ~ [0, I) fixe. Nous

supposerons dorenavant que

K est convexe

sup (' (ft ) ~ C~ + 00

o~t~l

Nous approcherons le probleme ( ~) par les problemes discretises

n L1 i=l n

En posant xi = S i et 1 - n n

l~) n i=l tminimiser t -1:~. EK

i=l::> 1

f(i,n k .)=f., cela s'ecrit - S 1 1 n

106

Appliquons alors, toujours formellement, Ie corollaire. II

existe C €. [Rk tel que : n

Mais par definition, l'epigraphe de fi est l'homothetique de

l'epigraphe de fi dans Ie rapport 1 , si bien que: -n

e (f.) ~

1 n

n

n

c n

Ouand n~oQ; Ie second membre tend vers zero. D'ou successi-

vement

inf inf

max (cpa..n) ~ max

et enfin, l'inegalite de depart devient

inf (ep) = max (~).

II - Certains problemes non convexes ont pour complete un probleme

convexe.

Ce genre de proprietes, regroupees sous Ie nom de relaxation,

est abondamment etudie dans [j~) , dont nous extrayons quelques

exemples simples.

CAS 1 - Soit fl un ouvert borne lipschitzien de [Rn, et f

une fonction continue et coercive de ~n dans ~. On considere suc

cessivement l'espace H = W;,l (iL), l'operateur I\u = grad ~ de

Wo 1 ,1 ( .n.) dans Ll ( .n. ) n , et la fonctionnelle sur w;' 1 (.n.)

definie par l'integrale :

F(u) fn f(grad u(x) d x

107

CAS 2 Soi t n un ouvert borne regulier de IRn et f une fonc-

tion continue de R dans IR verifiant f (t) ~O( t 2 - ~ pour deux cons-

tanteso(et f3 On considere successivement l'espace H=H I (u')f\H2(fU

l'operateur I\u. =~u. de H~ r) H2 dans Ll (n), et la fon~tionnelle sur HI n H2 definie par l'integrale

o

F(u) = 1. f( Au(x) dx

CAS GENERAL On definit sur H une fonctionnelle par

F(u) ~I\. f(/\u(x» dx

Munissons H de sa topologie faible. Alors Fest une fonction

de H dans IR U t + =1 qui est non convexe, et qui n' est donc pas semi

continue inferieurement. Nous sommes donc amenes a considerer ses

regularisees successives

F, regularisee s.c.i., est la plus grande fonction s.c.i.

minorant F, ou encore l'enveloppe superieure des minorantes s.c.i.

de F. On a epi F = epi F.

F-- , regularisee convexe s.c.i., est la plus grande fonction

convexe s.c.i. minorant F, ou encore l'enveloppe superieure des mino

rantes affines continues de F. On a epi F-· = coepi F.

Il ressort de la definition que F~·~F ~ F. Mais il se produit

ici un phenomene lie au theoreme de Liapounov, et qui n'a donc pas

d'analogue pour des fonctions definies sur des espaces de dimension

finie :

THEOREME - 'rIu E- H, F (u) = F'"'' (u) ~ f·· (/\u(x» dx

11..

COROLLAIRE - Considerons les problemes d'optimisation

minimiser J f ( 1\ IA. (lC) ) dx :It

minimiser ~ f4W (I\u(x) )dx

.n.

pour u E:. H

pour u C H

Alors inf (q:» =min (<VIne). En outre

108

a) toute suite minimisante de (~) a des points d'accurnulation faibles, qui sont solutions de (~* )

b) toute solution de (~) est limite faible d'une suite mi

nimisante de (cp).

On a des r~sultats analogues pour des probl~mes du type

(cp) minimiser J f(x,u(x),I\IA,(x) )dx

n.

auquel cas le probl~me relax~ sera obtenu en convexifiant par rapport

~ la derni~re variable

( q:>jU~) minimiser 1 f"iII (x,u(x)

tI..

I\u(x) ) dx.

III - Solutions approch~es de probl~mes non convexes.

Soi t Y un Banach et V,. son dual. On se donne une fonction

f: Y~ IR U ~ +00) I et on consid~re le probl~me d 'optimisation

tp)

On le

turb~s ( v"

maximiser - f (v) pour vE. V

plonge dans une famille de probl~mes lin~airement per

) d~pendant du parametre v"€. ~ On remarquera que

maximiser <V,VIC> - f(v) pour v€:V

La fonction fW (v· )= sup (~v.) est classique en analyse

convexe , sous le nom de fonction polaire de f. On sait qu'elle est

convexe faiblement~. semi~continue inf~rieurement sur V"

et que les propri~t~s suivantes sont ~quivalentes [31

a) f * est Fr~chet-diff~rentiable au point v- Eo V"'.

b) le probl~me (~VK ) admet une solution unique dans V, et

toutes ses suites minimisantes convergent vers la solution.

On voit donc l'int~ret de l'~tude des propri~t~s de diff~ren

tiabilit~ des fonctions convexes ( [,~) ). Le r~sultat le plus simple

109

dans cette direction est 1e th~or~me de Br¢nsted et Rockafe11ar sui

vant 1eque1 toute fonction convexe s.c.i sur un Banach est sous-diff~

rentiab1e sur une partie dense de son domaine ([1], [18] ). La d~mons

tration repose sur un argument de Bishop et Phelps (L61 ). Cet argument peut etre transpos~ dans un cadre tota1ement non

lin~aire et non convexe ( l II ] , til] , ll'~) , (IS) ). On obtient des r~su1tats d'existence de solutions approch~es pour des prob1~mes d'opti

misation de type tr~s diff~rents, d~nt no us nous bornerons ~ citer

trois exemp1es

PROPOSITION. Soi t F une fonction s. c. i. d' un Banach V ~ IRO ~ 001 Gateaux-diff~rentiab1e en tout point o~ e11e est finie. Si F est bor

n~e inf~rieurement, pour tout E ~ 0 i1 existera un point u~ ~ V

tel que

~ inf F + t

PROPOSITION. Soit F une fonction de c1asse Cl sur une vari~t~ riemannienne comp1~teM de dimension infinie. ~F est born~e inf~

rieurement, a10rs pour tout E ) 0 i1 existera un point 1\ E:. M tel que

"- inf F + t

\I grad F (p_ ). ~ l c. PI.

Le dernier exemp1e, un prob1~me de contra1e optimal d'un sys

t~me r~gi par des ~quations diff~rentie11es. On se donne un nombre

T >0, un compact K, une application f: [o,T1 x IRn x K ---+ IRn

v~rifiant

a) f et f~ sont continues

b) <. x,f(t,x,u) "> ~ C (1 + \lxU 2)

On se donne un crit~re g : IRn --7 R, de c1asse Cl , et on se

pose 1e probleme de contra1e optimal :

110

dx (t)= f (t,x(t) ,u(t) dt

(CS» X(O)=XO ' t ~[O,T] , u(t) ~K

maximiser g(X(T) )

PROPOSITION. Pour tout £ 70, il existe un contra Ie u ~ , commandant

la trajectoire x~ , tel que :

g(xf, (T) )~ inf (~) +i.

< f (t,xE (t) ,uf. (t) ), P" (t) > ~ max < f (t,xE(t) ,u)JPE, (t) > - ~ p.p uE.K

oil fa est la solution de I' equation adjointe

(t) )-Pt. (t)

(T) = g' (x£ (T) ).

Dans ces trois exemples, nous avons montre l'existence d'ele

ments qui, sans etre optimaux, n'en minimisent pas moins Ie critere et

n'en verifient pas moins les conditions necessaires d'optimalite avec

une precision donnee ~ l'avance. Cette precision peut en particulier etre choisie superieure ~ la limite de precision de l'utilisateur et

on peut alors se demander comment celui-ci pourrait les distinguer

d'une veritable solution. La seule reponse possibte reside dans un

eventuel defaut de regularite des solutions approchees, mais celui-ci

semble moins frequent qu'on ne s'y serait attendu au premier abord

( [~1 ). On peut alors penser que ces solutions approchees, qui exis

tent des que Ie probleme a un sens et que l'on peut formuler des con

ditions necessaires du premier ordre, supplanteront les solutions op

timales, (~~eriqUement elles ne peuvent etre distinguees, et qui ne

cessitent des hypotheses de convexite beaucoup plus strictes.

IV - Remplacer des hypotheses de convexite par des hypotheses de

regularite

Le type de probleme que l'on a coutume de traiter par l'ana

lyse convexe peut aussi etre pose dans des cadres tres differents.

111

Des problemes tres familiers apparaissent alors sous un deguisement

nouveau et parfois surprenant.

Considerons par exemple deux compacts U et V, une application

continue f : U x V ~ R, et la multi-application

r: u ~\v €. v I f(u,v) ~ f(u,v') V v' Eo V )

Elle est s.c.s. ~ va leurs compactes non vides.

Faisons maintenant des hypotheses de regularite : U et V

seront des varietes COO compactes, f de classe c2 . Pour presque

toutes les applications f, on peut elucider la structure de ~ ([ itt])

THEOREME - 11 existe dans COO (0 x V) un ouvert dense consti tue de

fonctions f pour lesquelles :

(i) Yu..E.lJ, r (u) possede (l+dim U) points au plus

k U i=1

(ii) il existe dans U k ouverts disjoints n. , ~ -D.i = U, et k fonctions continues)'i :.ni~

differentiables sur -'li' et telles gue

k graphe r U graphe Vi. i=1

tels que

V,indefiniment

On peut preciser bien davantage la structure des ouvertsfl. ~

en fait, ils possedent des proprietes de regularite supplementaires,

exprimees par le fait qu'ils constituent la premiere strate d'une

stratification de Whitney de U ( [r1] ). Ainsi,.n i sera une variete

non seulement "~ bord", mais ".~ coins", et meme "~ epines".

Le theoreme exprime que ~ est en fait une application univoque

sur chacun des fl., en particulier sur un ouvert dense et presque ~.

partout. Les points de multivocite de r sont reJetes sur la fron-

tiere des ni . En un point x;. commun a la frontiere de It.- ouverts

~\, •.. ,Or ' P (xl comportera r points vI' ... ,vr ' definis par les

limites respectives :

vi = lim r i (xi) pour xi --+ x et xi E..-.Gi

En particulier, r ~ dim U + I : c'est la regle des phases

de Gibbs.

112

"

u

n ..

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METHODES DE DESCENTE POUR LA MINIMISATION DE

FONCTIONS NON DIFFERENTIAB~

Claude LEMARECHAL

I.R.I.A.

78150 - ROCQUENCOURT

Nous exposerons essentiellement deux choses.

D'une part, une application de la methode de DEMJANOV [3] pour resoudre

par dualite certains problemes non convexes frequemment rencontres en

economie. Cette methode utilise en particulier les multiplicateurs de

Lagrange generalises, introduits par EVERETT [4] •

D'autre part, un algorithme de minimisation utilisant les E-sous-diffe

rentiels [10] . Cet algorithme constitue une amelioration serieuse

de la methode de DEMJANOV. D'autre part, il est en relation avec une

generalisation des methodes de gradient conjugue.

116

1 - APPLICATION DE LA DUALITE AUX PROBLEMES NON CONVEXES.

Soit un probleme de programmation mathematique

min f(x) (I)

gi (x) EO; 0 i=I, ... ,m

xEDCRn •

On pose, pour i=I, ••. ,m

(2) L (x,A.) f(x) + (A.,g(x)).

Nous ne faisons pour le moment aucune hypothese de convexite dans (I).

On suppose seulement que f est semi-continue inferieurement et gi continue,

i=I, ..• ,m.

On pose

(3) h(A.) inf { L (x,A.)

et on suppose que le probleme associe a (3) est tres bien conditionne, en

ce sens que, pour E~O, 1 'ensemble

(4) L (x ,A.) EO; h(A.) + E }

est enveloppe par un polyedre convexe (compact), que l'on sait calculer

explicitement pour tout A. .

Nous allons done, pour resoudre (I), penser en premier lieu a la methode

d 'UZAWA [13 ] qui consiste a maximiser h(A.), appelee fonction duale.

117

1.1. Maximisation de la fonction duale

!h~2!~~~_1. [2] h est une fonction concave, dont les derivees directionnelles

sont donnees par

(5) h' (;\,s) = min {(s,g(x»

On peut donc definir une extension de la methode de gradient, qu'on

pOl~rra appeler methode de plus forte pente [5] , et qui consistera, pour

chaque A.n' a definir sn maximisant la derivee directionnelle ; puis a

maximiser h dans la direction s • On aura donc n

s solution de n

max { min (s,g(x» I xE X G\ )} I Isl= 1 I o n (6)

avec VP;;' o.

11 Y a cependant lieu d'introduire quelques amenagements; d'une

part, pour que le pro cede converge, il y a lieu d'envisager dans (6) non

pas Xo(A.n)' mais Xe: (\t) poure:>o (quelconque) ; d'autre part, sn

doit etre compatible, c'est-a-dire, pour chaque composante nulle de An' la

composante correspondante de sn doit etre positive.

Po sons leA) = {iE { 1,2, ••• ,m } / A. ,=0 } • ~

Alors l'algorithme devra etre du type suivant

1. A. 0 > 0 donne dans Rm, e: > 0 donne

2. A.n etant connu, resoudre le probleme

(7) ex max min (s,g(x» • n lsi =1

xExe:(A.n)

si> 0, iE 1(\)

118

3. Si an" 0, diminuer e: et aller en 2.

4. Si an> 0, la derivee h'(An,Sn) est positive

l'intervalle defini par

1 P ~ 0

A +ps ~ o. n n

Bien entendu, on ne voit pas comment resoudre (7) ; d'ou Ie theoreme

suivant, qui montre que (7) est en un certain sens equivalent a un probleme

de projection sur un convexe :

'!!!~2E~!!!L~. [ 6] Soit Ie probleme

m

min ~ 2 i=1 s.

L

(8) (s,g(x) ) ~ 1 VxE Xe:(An)

s. ;. 0 i E I(An)· 1.

De deux choses l'une

(i) An .. 0 dans (7) .. (8) n' a pas de solution (domaine vide).

(ii) an> 0 dans (7). Alors (8) a une solution unique, (7) aussi, et

ces deux solutions sont colineaires.

Nous disposons donc d'un algorithme de maximisation de h. Cet algorithme

fournit un X et un E tels que (8) n' ait pas de solution. Alors

1.2. Application a la resolution du probleme primal.

Jusqu'a present, nous n'avons en rien progresse quant a (I). Nous n'avons

pas de point-selle du lagrangien, mais seulement un ensemble de points

maximin.

119

L' e; -theoreme d 'EVERETT [ 4] nous dit seulement que si i E X(X). e;

alors i est solution a e; pres du probleme (I) dans lequel les contraintes

sont remplacees par

o

g. (x) ~

si h .=0 ~

si \ > o.

Mais ce n'est pas suffisant. car nous n'avons meme pas trouve de point

realisable pour (I). Le theoreme suivant peut nous permettre d'en construire

!h~~~~~~_~. [6] Supposons D et gi convexes dans (I). et soit h tel que Ie

probleme (8) n'ait pas de solution. Alors. il existe un point i tel que

i=I ••••• m

x appartient a l'enveloppe convexe de Xe;(h).

Alors. d'apres Ie theoreme d'Everett. i est une solution sous-optimale

du probleme (I). Malheureusement. il est impossible d'evaluer. a priori

ni a posteriori. dans quelle mesure x est sous-optimal. Notons cependant

que x peut etre trouve par un simple algorithme de simplexe.

(9)

( 10)

(II)

1.3. Application

On pose Ie probleme suivant (fourni par St Gobain)

x .. J .. (x ... y .. ) = a~J' x .. + ~ •• y .. + y ~J' .2;.l i=I ••••• n ~J ~J ~J ~ ~J ~J ~J ~ Y ij

Minimiser 4 ~

!:J' J .. (x ..• y .• ) sous les contraintes ~J ~J ~J

L!(a .. x .. + b .. y .. ) ~ T. ~ ~J ~J ~J ~J "'" J

j=I ..... m.

!j x .. J ~J

D. ~

i=I ..... n.

j=I ..... lI

120

ou tous les coefficients sont strictement positifs. On peut remarquer que,

n'etaient les contraintes (10), Ie probleme serait trivial. D'ou la forte

motivation vers une methode duale. En fait, l'algorithme que nous venons

d'exposer fonctionne d'une fagon satisfaisante en particulier quant a la

qualite de I 'optimum trouve. [ 6 ] •

121

2 - ALGORITHMES D' e: -SOUS-GRADIENTS.

Nous allons maintenant chercher a etendre l'algorithme 1.2 aux cas ou

Xe: (X) n'est pas connu explicitement. Nous considerons maintenant que h est

une fonction concave quelconque. Le cadre est Ie suivant :

f(x) est une fonction convexe sur Rn que l'on se propose de minimiser

(sans contraintes).

2.1. L'idee de base --------------

On definit l' e: -sous-differential de f en x par

(I2) {gE Rn / "'lYE Rn , fey) ~ f(x)+(g,y-x)- e:} .

Cet ensemble a la propriete fondamentale suivante pour tout s ERn, on

a [IO]

(I3) inf { f (x+ps) -f (x) + e:

p sup {(s,g) / &E ° f (x)} • e:

Par consequent

(i) Si

(ii) Si

o E ° e: f (x), on a f (x) 0;;; inf f+ e: .

s est tel que (s,g) < 0 v!rE0e: f(x), alors inf f(x+ps) <f(x)- e:

p>o

Une direction s verifiant (ii) pourra done etre appelee direction

d' e: -descente et on peut imaginer l' algorithme suivant [9]

I. Soit x E Rn , e:>o donne. 0 2. Si o E 0e:f(xn)' diminuer e:

3. Si 0' 0e: f (xn) , trouver s n tel que (s ,g) <0 VgE 0e:f(x ) n n (un tel s existe :

n c' est un hyperplan de separation entre {o} et

0e: f(xn)·

122

Bien entendu, on ignore totalement comment trouver une direction d' E

descente. Nous allons donc nous y employer.

2.2. Determination d'une direction d' E -descente.

Donnons tout de suite l'algorithme

positiL

xE Rn est fixe, E est strictement

I. Determiner go E ° f (x). Poser So =-go' k=o.

2. Determiner Pk ;;" 0 tel que f(x+Pksk) <f(x+ P sk) VP;;" o.

3. Si f(x+PkSk) <f(x)-E, stop: sk est unedirection d' E-descente.

5. Determiner sk+1 = projection euclidienne de l'origine sur l'enveloppe

convexe de {-go, .•. ,-gk+1 I .

6. Si sk+l=o, stop: oE 0Ef(x). Sinon, remplacer k par k+1 et aller en 2 .

. A I' etape 2, P k peut etre nul ; de plus, la determination de P k

peut etre difficile, voir impossible; en fait, il suffit d'en trouver une

approximation par dichotomie (d. [7J ) .

. A l'etape 4, gk+1 existe toujours. La encore, il suffit d'en trouver

une approximation par dichotomie. La remarque essentielle est gk+1 EOE f(x)

(compte-tenu du test en 2 [7J).

L'etape 5 est un probleme de projection sur un polyedre ; en fait, il

suffit theoriquement de determiner sk+1 = projection de 0 sur Ie segment

[sk,-gk+IJ (cL [8 ] ).

123

!~~2E~S~_~' [7J La suite sk ainsi definie tend vers o.

Par consequent, de deux choses l'une

(i) 0 "~e- (x). Alors, comme sk E ~£ f (x), sk ne peut pas tendre vers 0

l'algorithme doit s'arreter apres un nombre fini d'iterations par

la seule sortie possible : Ie test 3.

(ii) o E ~ f(x). Alors, x minimise f a £ pres; 1fTJ> 0, I 'algorithme E

determine dans ~ f (x) un vec teur de norme "TJ. E

Interpretation

L'algorithme genere une suite de points, go, .•. ,gk appartenant tous a ~tf(x). Pour chaque k on determine un direction sk dont on presume qu'elle

est une direction d' £ -descente (car (sk,gi) <0 i=o, •.. ,k). Si ce n'en

est pas une, l'algorithme trouve un gk+1E~£f(x) tel que { go, ... ,gk+1·}

represente "mieux" ~ E f (x) que {go' .•. , gk }.

2.3. Lien avec les methodes de Davidon.

Soit f(x) (Ax,x) -2(f,x).

On peut resumer les methodes de Davidon (et plus specialement Ie

gradient conjugue) par les axiomes suivants :

(A s.,s.) = 0 i~ j. 1. J

(14) gn+1=gn+an A sn

(gn+1,sn) = 0

ou l'algorithme construit la suite des directions sn et la suite des gradients

gn'

Envisageons Ie sous-ensemble de ces methodes satisfaisant a l'axiome suivant

124

(15) sn appartient au sous-espace engendre par {go'··· ,gn I .

(Remarque. routes les methodes de Davidon connues satisfont a (15) [IJ ).

On a alors

!!!~~E~~~_~. [8] . routes les methodes satisfaisant (14), (15), sont equi

valentes a la methode canonique suivante :

(16) s n p,roj 0/ cony { -go'···' -gn I O.

On voit donc que toutes les methodes (14). (15) sont en liaison etroite

avec l'algorithme 2.2. D'autre part, on a Ie theoreme suivant :

!!!~~E~!!!~_2. [8J . Si f

on a gnE~Enf(xo) avec

est quadratique, pour toute methode du type (16),

En=f(xo)-f(xn)·

Ceci provient du fait que (gn'xn-xo) ~O, grace au fait que la fonction

est quadratique. On peut donc generaliser les algorithmes du type (16)

aux criteres non differentiables de la fa~on suivante :

La suite des directions de descente est obtenue par projection de l'origine

sur l'enveloppe convexe des sous-gradients anterieurs.

Dans chaque direction, on minimise Ie critere et on calcule un sous-gradient

orthogonal a la direction.

A chaque iteration, on contra Ie que Ie sous-gradient calcule en x est un n

E -sous-gradient en un certain point anterieur x , pour E = f (x ) -f (x ). p p n

L'algorithme suggere est alors Ie suivant

125

2. A I' etape n trouver Pn~ 0 tel que

4. Si (g I'x I-x) ~ £ , alors n+ n+ p ~

sn+I=Proj 0/ conv { -gp' .•. ,-Bn+1 } n=n+1

5. Sinon, faire aller en 2.

p =n=o.

aller en 2.

Interpretation. Le test en 4 signifie : gn+1 appartient-il A O€n+1 f(xp) ?

avec €n+l=f(xp)-f(xn+I )+ € (E est IA pour assurer la convergence).

Examinons ce qui se passe pour p=o, les autres cas s'en deduisant

par translation: l'algorithme genere une suite de sous-gradients gn' qui

sont des En-sous-gradients en Xo pour une certaine suite En croissante.

Geometriquement, les directions successives sn sont cherchees A priori dans

des cones de plus en plus petits et definis par

{ x/ (x-x ,g.) < 0 n ~

i=o, ... ,n} .

Comme Ie suggere la Figure I, cela a pour effet salutaire d'eviter les

zig-zags, tant qu'on ne passe pas par l'etape 5, c'est-A-dire tant qu'on

n'interrompt pas la suite des projections. La figure montre egalement qu'on

ne peut impunement faire progresser l'algorithme sans precautions. Si l'on

represente Ie minimum par X, pour tout n, x est dans

126

x.

Ie demi-espace limite par l'hyperplan Pn passant par xn et orthogonal a gn'

L'algorithme consiste a transporter les hyperplans Pi i <n en xn ' et

a parier que x se trouve dans Ie cone ainsi obtenu, de sommet xn ; Ie

pari est evidemment sans espoir (cf. sur la figure Ie transport de PI par

la translation x2-x l ) si Pi traverse X, la convergence devient impossible

et il faudra couper la suite.

!h~2!~~~_Z. Si, a partir d'un certain rang, on ne passe plus jamais par

l'etape 5 (i.e. si la suite des coupures est finie) alors f(xn) a une

limite f * telle que

f* < inf { f (x) I x 6 Rn 1 + E •

Demonstration. Supposons, sans perte de generalite, que p=o dans l'algorithme.

Alors,

Or, f(xn), decroissante minoree, a une limite f* ,et En~ f(xo)-f*+E=E*.

D'autre part, snEOEn f(xo) par hypothese, et sn" 0 (Th. 4) ; on demontre

que la mUltiapplication E~ 0 £ f(x) est semi-continue superieurement ;

done,

C' est-a-dire (cf. (I3» que x minimise f a £* pres o

inf { f (x) Ix E Rn } f () f* <' + X - + ... o

C.Q.F.D.

127

Ce theoreme demontre la convergence du gradient conjugue sur un

critere quadratique non coercif sous la seule hypothese que xn est bornee.

On a aussi Ie result at suivant :

!he2E~~~_~' [8] • Si fest localement uniformement convexe, c'est-a-dire

s'il existe une fonction d de R+ dans R+ telle que

d(o) 0, d(t) > 0 si t ~ 0, d(t) croissante

avec T x, y E Rn, "A.d 0, 1] f [A. x+(I -A.)y] '" A. f (x)+(I -A.) f (y)

- A (I -A,)d <I y-x P

alors, dans l'algorithme precedent, avec

2.4. Experiences numeriques

L'algorithme du §2.3 n'a pas ete encore essaye ; par contre, l'algo

rithme du §2.2 a ete applique avec succes sur plusieurs types de problemes

nous avons remarque en particulier sur Ie probleme 1.3 qu'on obtient une

methode considerablement plus rapide (environ 5 fois) que l'algorithme

de DEMJANOV [3]

En resume, nous avons donne dans ce §2 une nouvelle idee (§2.2

construction d'un e-sous-differentiel) permettant de constuire des algo

rithmes de descente pour criteres non differentiables. Ces algorithmes, ont

a etre compares aux deux grandes classes de methodes existantes :

1°/ Les methodes du type series divergentes [14] qui sont ultra-simples,

alors que les algorithmes du §2 sont au contraire assez sophistiques.

2°/ Les methodes des plants secants, [9] dont on connait assez peu

d'experiences numeriques.

N. ADACHI

[2] J.M. DANSKIN

V.F. DEMJANOV

H. EVERETT III

15] W. HOGAN

C. LEMARECHAL

C. LEMARECHAL

ra]

B. MARTINET

128

B IBL IOGRAPHIE -------------

On the uniqueness of Search Directions in variable

metric algorithms. J. of Opt. Theory and Appl.

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129

[10] S . K. MITTER, D. P. BERTSEKAS

[11] R.T. ROCKAFELLAR

A. TANTER

[13] UZAWA

A descent numerical method for optimisation

problems with non-differentiable cost functionals

SlAM J. on Control Vol. 11 nO 4 (1973) pp. 637-

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Definition et resolution numerique d'un probleme

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gouverne par des equations aux derivees par

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[14] P. WOLFE, L. HELD, H.P. CROWDER

Validation of subgradient Optimisation Math.

Prog. (A paraitre).

PROLONGEMENTS DE JEUX ET JEUX ITERES

HERVE MOULIN

Introduction : Position du probleme

Nous considerons un jeu a 2 personnes de somme nulle, donne sous sa forme normale

(0-1)

Les ensembles X et Y representent les strategies "~" des

la fonction de gain que le premier joueur cherche a maximiser.

Le jeu est "resolu" si :

2 joueurs et g

(0-2) sup x~X

inf g(x,y) yEY

inf yU

sup g(x,y) xEX

Mais en general on a seulement :

(0-3) sup x

inf g(x,y)~ inf sup g(x,y) y y x

Pour "jouer" alors tIle jeu" on pourra

"agrandir" les ensembles de strategies des joueurs.

"etendrellla fonction de gain aux nouveaux ensembles de strategies.

Un exemple classique

Ce procede est celui qui permet de definir la "valeur mixte" d'un jeu.

L'ensemble X des strategies pures est remplace par son "enveloppe convexe"

CO(X) (en un sens que nous preciserons plus loin) que l'on appelle l'ensemble des

strategies "mixtes". De meme pour Y, et la nouvelle fonction de gain est :

(0-4) r ~ CO(X) "E: CO(y) G(p.,?) = [XxY g(x,y) \lex) ~(y)

Nous allons dans une premiere partie etudier systematiquement de tels procedes, puis

dans la seconde partie, nous montrerons que Ie procede d'''iteration d'un jeu"

recouvre un grand nombre de fa~ons de jouer Ie jeu initial.

Nous appelons prolongement des jeux sur Xl( Y une fa~on de jouer Ie jeu initial

quelle que soit la fonction de gain g.

I - Prolongements de jeux

Notations elf, (X" y) designera l' espace des fonctions bornees sur X)( Y c'est

un espace de Banach pour la norme :

131

(1-1) g,,-Jl;'(XxY) /I gIl = sup Ig(x,y)\ (X,y)E:XlC Y

I Nous notons ;;f;1 (X X Y) le simplexe du dual de o?l (X xY), qui, grace 11 l' inj ection

canonique

(1-2)

apparait comme l'enveloppe convexe de X" Y

et egale 11 1.

Definition (1-1)

Nous notons e la fonction constante

Un prolongement des jeux sur X)( Y est la donnee

a/ de 2 ensembles '* et ~ et de 2 injections i et j

(1-3) i x~l

b/ d 'une application lineaire <rro:

(1-4) 'lro: jt (X x Y) ~ :IIi' ( 1:. y.. 'J telle que

( 1-5) Ql'"" est positive et -- (e) = e 1\ 0 Ito

et

(1-6) tlg~~(X~ y) \J(x,y) c. Xll Y : ~g(i(x),j(y)) = g(x,y)

On dira que ~ et ~ sont les ensembles de "strategies etendues", et "lrog le pro

longement de la fonction de gain g 11 l'ensemble des strategies etendues.

La definition (1-1) montre que, pour tout prolongement <'If : o

inf (g(x,y)] = inf ['if:' g(! ,~ )]

{

(x,y) E: Xx Y (I,~)~~)(';:J 0

(1-7) ~g~;)\:(Xx.Y)

sup (g(x,y)J = sup ['i" gel,:j)J (x,y)~ XxY Cf,:r)~~)1.~ 0

Nous donnons maintement 11 un prolongement une forme equivalente, mais plus maniable.

Proposition (1-1)

r Si les ensembles X,Y ,~, 'j et les injections i et j sont fixes et ve-

132

rifient (1-3), alors a toute application lin~aire lr v~rifiant (1-4) et (1-6) , il o

correspond une application 1r:

telle que :

(1-9) 'cI(x,y)t- XxY TC(i(x),j(y)) = I(x,y)

La correspondance entre ~ et 1[' est bijective et est donn~e par la formule

(1-10) IJgE;Ii(XlLY)' "(I,!1)~X;.~ :'ltog(!,~) =dt(r,S),g>

pour le crochet qui met en dualit~ iAo(x xY) et -J.' (X.,. y)

D~finition (1-2)

Un prolongement O(,y,i,j,'It"'o) des jeux sur X)I. Y est dit admissible si

(1-11) ii'gE./t(Xx Y) : sup inf[gJ~sup x y J

inf (T. g1<inf sup [-r ~ $. inf sup [g] 'j 0:T'-S 1" 0 y x

Un prolongement est donc admissible si dans le jeu prolong~, la tactique prudente de

chacun des joueurs est au moins aussi int~ressante que dans le jeu initial.

Proposition (1-2)

Un prolongement (~, ~ ,i ,j, '1(0) des jeux sur X)( Y est admissible si et seulement

si l'application Tassoci~e (par (l-lO»)v~rifie :

(1-12) { D~finition (1-3)

VxE:x y~~'Y :'it'(i(x),':S)E- [email protected]'l(Y)

V'!~l. ~Y~Y : "7t{.5 ,j(y»~ :Jl'1(X)® ~y

Un prolongement (¥.,~ ,i,j,'lt:) des jeux sur X~Y est dit jouable si o

(1-13) 1,/ gE:Jt (X)/. y) sup inf 1 j

133

un prolongement jouable est donc tel que pour toute fonction de gain dans le jeu ini

tial, la fonction de gain prolongee possede une valeur.

Proposition (1-3)

Un prolongement (~,':I,i,j,<Jto) des jeux sur XlC.Y est jouable si et seulement

si l' application tr associee (par (1-10) verifie

Exemple (1-1) Prolongement fini de jeux finis

Si X et Y sont finis il est interessant de rechercher des prolongement des

j eux sur X ]I; Y d~nt les ensembles de strategies etendues soient egalement finis.

On pourra representer un tel prolongement comme suit :

Si Ixl = n

N,P matrice

IYI = p l?k\ = N b'1 = P , alors 'fr" g est decrit par une

telle que

('-15)t: (,-,6) {

G = rG .• J. Ll.,J 1.=1, ... ,N

i6 n

j£:p

i> n

ou bien

j> p

j=1, ••• ,P

Gi,j ·gf,j (c'est le jeu initial)

G •• 1.,J combinaison convexe des [~,lJ k.5-n

loS p

Nous donnons en (1-17) et (1-18) deux exemples de tels prolongements 011

IXI = (YI = 2 et I~I 1,)'1 = 4 • On a repreaente le jeu initial dans

superieur gauche : y ... .r "'

{ a b a b

X

( 1-17l c d d c

a d a (a+b+c+d) 4

c b (a+b+c+d) b 4 ..... ---......- ./

'::J

le carre

134

t .....

x{ a b (a+b) 2 a

(1-18)

c d c (c+d) -2-

c (2c+d+b) c (8c+4d+2b+a) 4 15

(2c+d+b) (8c+4d+2b+a) a a 4 15

11 resulte des propositions (1-2) et (1-3) que (1-17) est un prolongement admissi

ble et jouable et que (1-18) est un prolongement jouable mais non admissible.

Exemple (1-2) Prolongements sequentiels

On choisit comme ensemble des strategies etendues

(1-19) "* = J!l (resp. y = .p) l' ensemble des suites de X (resp. de y)

et les injections canoniques sont

i (x) (x,x, ... ,x, ... )

(1-20)

i

L : Y ~Ij j (y) = (y,y, .•• ,y, ••• )

Nous notons ~ (resp. 1) un element de *- (resp '::1) et si g est un element de

~(Xxy) , g[x,?] designe la suite double:

( 1-21)

Si h nous lui associons l'operateur de pro lon-

gement

(1-22) .1 A ) h ( -) ..... J vgEiTt.(XxY :7Cag~,y =<h,g[x,y >

Un cas particulier important (parce qu'il est faiblement dense) est celui

est dans 11 (fi2) La relation (1-22) s' ecrit alors :

+Qt

(1-23) 'It~g(x,y) L i,j=1 a .. g(x. ,y.) ou a .. ~O ,

l.J l. J l.,J

En general un prolongement sequentiel est admissible mais n'est pas jouable.

Cependant choisissons pour h un element de [1. (tl) )'1 qui veri fie

2 . 1 N (1-24) ~ u .. 2.. '" "" E 1010 (IN ) < h,{u .. }> = ll.m -2 ~=1 u ..

L l.JJl.,J-.; '"' l.J ~ +"" N l.,J l.J

ou h

135

lorsque cette limite existe (un tel h existe d'apres le theoreme de Hahn-Banach)

Dans ce cas le prolongement sequentiel associe a h est jouable et il est meme

equivalent au prolongement mixte (0-4) : quelle que soit la fonction de gain g,

la valeur de 'It',, g est egale a la valeur mixte de g

Exemple (1-3) Prolongements decisionnels.

Soient.l- et Y deux ensembles d I applications

( 1-25) 1 Y ---+- X

( 1-26)

Nous dirons que (J;::J) constitue un prolongement decisionnel si ~ et ':f con

tiennent les applications constantes et si :

(1-27 ) v q ,j') e; ~ xY 31(x,y) C X)( Y: (x = S(y) et y = f(x».

1e couple (x,y) est appele le point fixe de (:5 ,r) et il est note < 5 'J'>

Si (1 ~ constitue un prolongement decisionnel, on leur associe le prolongement

suivant des jeux sur X X Y

(1-28 ) i i(x)(y) = x

( 1-29) j:Y-}YvxCX j(y)(x) y

( 1-30)

En general un prolongement decisionnel est admissible mais n'est pas jouable.

Nous indiquons un cas ou il est jouable : 1; est l' ensemble de toutes les ap

plications de Y dans X et Y = Y est l'ensemble des applications constantes de X

dans Y.

Pour toute fonction de gain g, la valeur de Tro g est alors inf sup g(x,y). 11 y x

s'agit done du prolongement admissible et jouable le plus avantageux pour le premier

joueur. On definit symetriquement le plus avantageux pour le secondjoueur.

136

II - Jeux iteres.

1 - Definition.

On pose X = ~ et Y = tN ; on note leurs elements; =(x.) et Y = (y.) . l. i€ Ii J j £IN

On appelle strategie non anticipative de type 1 (en abrege n.a.1) du premier

joueur une application ~

(2-1 )

telle que pour tout n

(2-2)

,./

x

De meme une strategie n.a.2 du premier joueur est une application p telle que

pour tout n

(2.3)

L'ensemble des strategies n.a.1 (resp. n.a.2)du premier joueur est note M1

(resp~) de meme une strategie n.a.1. (resp. n.a.2) du second joueur est une ap

plication 'Ii : (2-4)

'" ,. \jI:X'--+Y IV (i) = y

qui verifie la relation (2-2) (resp. (2-3» ou x remplace y.

L'ensemble des strategie n.a.1 (resp. n.a.2) du second joueur est note N1

(resp. N2 ).

Si (~. '1') est un element de M 1 X N2 (ou bien M2)( N 1). il existe un unique

couple (x,y) dans X ~ Y tel que

(2-5)

oniappelle le point fixe de (f ,'Ii ) et on le note < i! • 'II> •

Nous pouvons maintenant definir les jeux iteres.

Definition (2-1)

Soit h un ele"ment de [n (0,2,1' )(10 " JJ 1 •

137

Le jeu itere J h (resp. ~) est le prolongement suivant des jeux sur

X y. Y : (M1, N2 , i,j, rr~) (resp. (M2 , N 1, i,j, 7I"~)}

avec

(2-6) i (x,X, .. ] >

On dira que le jeu itere J h est celui ou le joueur 1 joue le premier, et ~

celui ou le joueur 2 joue le premier.

2 - Jouabilite des jeux iteres.

11 est aise de constater que les jeux iteres J h et ~ sont la forme normale

de jeux infinis avec information parfaite. Par consequent la premiere assertion

du theoreme (2-1) decoule des resultats generaux de [1J .

Theoreme (2-1)

Si h est un element de Ii (1N2 )

(2-9)

alors les

continue,

h = (a .. ) a iJ. :.,,0; 1::::: a .. = 1 lJ i,j€1N i,j=1 lJ

prolongemenuJh et Kh sont jouables. Si de plus X et Y sont compacts et g

alors rr hg possede un point selle dans ~ X N2 (ou M2~ N1). o

Comme il est clair que les jeux iteres sont admissiblee, nous venons donc de

construire, par "composition" d'un prolongement sequentiel et d'un prolongement

decisionnel, une large classe de prolongements jouables et admissibles.

En faisant varier h, noue allons maintenant obtenir plusieurs cas particulier

et cas limite du theoreme (2-1).

138

3 - Jeux it~r~s remarguables.

L'interet de cette particularisation est que nous pourrons pour la recherche des

strat~gies optimales, nous restreindre a des sous-ensembles de Mi ~ Nj • Done nous

disposerons d'un prolongement plus "leger".

a) Jeux it~r~s en temps fini.

C'est le cas ou h est de support fini dans -t~(N2)

(2.10)

Le th~oreme(2-1) est alors une ~l~mentaire cons~quence du r~sultat g~n~ral

de [2J On peut se restreindre aux sous-ensembles de Mi et Nj form~ des applications

~,¥ v~rifiant (2-2) ou (2-3) mais qui sont du type

(2-11) t : y {1, ... Nf ----+ X \1, ••• ,Nf

(2-12) '1': X ~1, .. . N} --+ X 11, ••• ,N!

Si X et Y sont finis, on obtient ainsi un prolongement fini de jeux finis.

b) Jeux actualis~s a retard 1.

Soit s un ~~mb~e : O~ s" 1, a:p:pel~ le taux d'actualisation. Si hs est

1 '~l~ment de ~ 1 (IN ) d~fini par

(2-13) <h ,u .. >=(l-s) s ~J Cu .. + sU'+ l .]

1,1 l. ,1

alors les jeux it~r~s J s et Ks associ~s sont appel~s les jeux actualis~s de taux s.

Pour ces jeux les strat~gies optimales des 2 joueurs sont stationnaires et sont

obtenues a l'aide du systeme (2-14) appelG systeme de Bellmann.

(2-14) = sup [(l-S)

x € X

= inf [( 1-6) y 6 Y

g(x,y) + s Ws(x)]

g(x,y) + s Vs(y~

139

Pour obtenir une strategie optimale du premier joueur, il suffit de (et il faut)

choisir pour tout y dans Y un element x dans X qui realise Ie sup dans (2.14). On

determine ainsi (si c'est possible) une application P :

(2-15) P Y~X

qui est une "strategie stationnaire". Elle equivaut 11 la strategie n.a.1 ~p

(2,16)

On peut faire la meme chose pour Ie second joueur.

Les fonctions V (y) et W (x) qui interviennent dans (2-14) peuvent etre inter-s s

pretees comme valeur du jeu si Ie premier joueur (V (y)) ou Ie second joueur (W (x)) s s

joue Ie premier. Pour plus de detail voir [3J.

Signalons enfin que Ie syst~me (2-14), sans une forme bien sUr plus compliquee, n+ 2 appara1t dans tous les jeux iteres J k et ~. lorsque h est dansL1(~ ). II permet

de caracteriser les strategies optimales comme celles qui "realisent Ie sup" ou

"l'inf". Nous ne l'expliciterons pas ici 11 cause de la lourdeur des notations.

c - Le Jeu itere ergodigue

Sci t he dans [)\»(tl2 )]; choisi de telle sorte que, si la limite a un sens dans

(2-17) on ait :

(2-17) 71"eog(x,y) = lim L N-+HO 2N

N ~(g(x. ,y.) + g(xi +1, Y1.)1 l.=1 l. l. J

Autrement dit Ie gain du jeu ergodique est Ie gain moyen observe Ie long de la

trajectoire, si les joueurs "jouent" alternativement. On a montre dans [3Jque ce jeu

est la "limite" des jeux actualises lorsque s tend vers 1, et que c' est aussi la

limite du jeu it ere en temps fini :

(2-18)

lorsque N tend vers l'infini.

140

On peut meme obtenir pour le jeu ergodique un syst~me de Bellmann qui d~termine

des strat~gies optimales. (cf.[4]).

On d~signe par ve la valeur du jeu ergodique (c'est la valeur de J h aussi bien e

que de Kb ) et le syst~me de Bellmann ergodique est : e

(2-19) [ A(y)

B(x)

= sup [g(x,y) + B(x)] x€X

= inf [g(x,y) + A(Y)] y£Y

- v e

- v e

Remarquons que le jeu ergodique constitue un prolongement des jeux sur X X Y

dont les ensembles de strat~gies ~tendues sont Xl et ~.

[4]

C'est donc un prolongement fini si X et Y sont finis.

D. GALE, F.M. STEWART

BIBLIOGRAPHIE

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2 - Princeton university Press 1953.

J. Von NEUMANN, O. MORGENSTERN Theory of games and Economic Behavior

H. MOULIN

H. MOULIN

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nulle.

Annales de Bordeaux I 73-74 (3) pp. 45-64.

Iterated games in "International Journal of game

theory" (a paraitre).

.LA CONVEXITE EN STATIQUE

J. J. MOREAU

Institut de Mathematiques

Universite des Sciences et Techniques du Languedoc

MONTPELLT~R

1. INTRODUCTION

La Mecanique semble ~tre Ie premier domaine scientifique ou l'on ait fait

un usage precls du concept d'ensemble convexe. II s'agissait de formuler la condi

tion d'equilibre, dans Ie champ de la pesanteur, d'un solide pose sur un plan hori

zontal : cette condition, assez anciennement connue (17eme siecle semble-t-il ; cf.

[2J, t, II, P. 227) est que la verticale du centre de gravite rencontre l'enveloppe

convexe de l'ensemble des points d'appui, On a la un exemple typique de probleme de

statique avec liaisons unilaterales. C'est d'ailleurs l'etude des liaisons unilate

rales en dynamique qui a motive, initialement, l'inter~t de l'auteur pour les ensem

bles et fonctions convexes (naissance de la cavitation dans un fluide parfait incom-

pressible ; cf, [9J, [10J),

On sait, d'autre part, Ie r~le essentiel joue par la dualite des espaces

vectoriels dans la theorie moderne de la convexite. Justement, c'est la une structu

re omnipresente en Mecanique aussi, bien que les exposes traditionnels ne l'explici

tent pas nettement. II est constant d'associer a chaque configuration eventuelle

d'un systeme mecanique un espace vectoriel ~, de dimension infinie si Ie systeme

est de liberte infinie, dont les elements constituent, au moins d'un point de vue

formel, les valeurs possibles de la vitesse du systeme s'il vient a passer par la

configuration en question, Grossierement parlant, ~ est l'espace vectoriel tangent

au point considere de la variete des configurations du systeme, mais on n'aura gene

ralement pas besoin de preciser cette assertion. Par la forme bilineaire puissance,

notee dans la suite <".>, l'espace ~ est mis en dualite avec un autre espace

vectoriel 1, dont les elements constituent, en un sens general, des forces suscep

tibles d'agir sur Ie systeme dans la configuration envisagee, Ces deux espaces sont

habituellement construits de maniere que la dualite soit separante, au moins dans

1 ; nous donnons quelques explications la dessus au § 3 ci-apres. La traditionnelle

methode des travaux virtuels, ou des puissances virtuelles, n'est pas autre chose

que la mise en oeuvre de cette dualite,

Ce simple cadre permet deja une analyse utile des lois de resistance. On

pourra consulter [13J et [14J, ou l'auteur souligne que les lois physiques qui se

trouvent relier une des forces, soit f E 1, subies par Ie systeme, a sa vitesse,

142

v E "r, ont tres usuellement la forme -f E iJ CP(v), avec cP : "'V ~ R convexe. La

consideration de la multiapplication, v ~ iJ CP(v) suscite une mentalite nouvelle

dans l'etude du frottement (cf. [13]) ou de la plasticite, avec ou sans ecrouissa

ge (cf. [1], [16], [17], [18], [21], [22], [23], [24] >. Les pionniers de la theorie

de la plasticite avaient deja reconnu l'importance de certaines proprietes de con

vexite. Certes, les relations entre force et vitesse revelees par l'experience bru

te ne sont pas toujours sous-differentielles ; pourtant, certains se demandent si la

preeminence de lois de cette forme n'aurait pas une signification thermodynamique,

dans une nouvelle approche systematique des phenomenes irreversibles.

La mise en place de ce formalisme des paires d'espaces appelle immediate

ment certaines demarches de style algebrique. Banalement, constituer un systeme par

conjonction de plusieurs autres, se reflete dans la construction des espaces Jr et

1 comme produits des espaces respectivement associes aux systemes constituants. In

versement, la mise en dualite de sous-espaces et d'espaces quotients de )r et 1

peut avoir une signification mecanique precise, sans necessairement correspondre a

la definition d'un sous-systeme du systeme mecanique considere (cette idee, deja

explicitee dans [13] est largement developpee dans [1], [20], [21]).

2. SOMMA IRE

II ne sera question ici que de statique, pour des systemes mecaniques

dont l'ensemble des configurations eventuelles, note \L, est muni d'une structure

d'espace vectoriel.

Tel est notamment Ie cas dans un nombre considerable de situations de me

canique appliquee, ou une approximation lineaire est employee au niveau de la cine

matique (ou plutot de la geometrie) : Ie systeme est suppose presenter seulement une

evolution "de petite amplitude" au voisinage d'une configuration de reference, la

quelle constitue Ie zero de l'espace vectoriel. Reconnaitre cette structure vecto

rielle de ~ ne fait que cOdifier Ie langage traditionnel de la mecanique appliquee,

au l'on parle couramment de "superposer" de petits deplacements : il s'agit la de

1 'operation d'addition dans 'U,; la notion de deplacements "proportionnels", qui

correspond a la multiplication d'un element de ~ par un scalaire est egalement

tradi tionnelle.

Alors, pour toute configuration du systeme, l'espace des vitesses ~ s'i

dentifie avec '\..L, en duali te avec un espace 1 independant de la configuration ; la

forme bilineaire <. ,.> exprime aussi bien un travail qu'une puissance, selon que

Ie premier facteur est un deplacement au une vitesse.

Nous intitulons loi statique une relation formulee entre la configuration

u E '\.L du systeme et 1 'une, soi t f E 1, parmi les forces qu' il subi t s' il vient a

presenter ladite configuration. En pratique, Ie systeme etudie sera soumis conjoin

tement a plusieurs lois de cette sorte : la formulation de chacune d'elles resume

143

un des phenomenes physiques auquel Ie systeme participe. La consideration de telles

relations entre configuration et force n'est d'ailleurs pas restreinte a la stati

que; dans l'etude de problemes d'evolution, les lois en question pourront se trou

ver dependre du temps.

S'il existe une fonction W : 1L~ R telle que la loi statique conside

ree s' ecrive -f = grad W(u) (gradient "faible" ou differentielle de Gliteaux de la

fonction W, au sens de la dualite 11, 1) on dit classiquement que la fonction W

est un potentiel de la loi statique. En pratique, la fonction West presque tou

jours convexe ; l'importance de ce fait a ete frequemment soulignee, surtout a la

sui te de R. HILL [6 ] [7 J. Des explications a ce sujet sont donnees au § 5. La

consequence principale de cette convexite est que l'element grad W(u) constitue

Ie sous-differentiel de la fonction W au point u, de sorte que la loi statique

consideree s'ecrit de fa90n equivalente -f E a W(u).

La notion mecanique de liaison est generalement mal connue des non-specia

listes. La caracterisation d'une liaison exige fondamentalement plus que la simple

donnee du sous-ensemble constitue dans ~ par les configurations que cette liaison

permet : il est indispensable de posseder aussi des informations sur les forces de

liaison (ou reactions) que doit mettre en oeuvre Ie dispositif par lequel la liber

te du systeme se trouve restreinte, informations qu'on peut appeler les conditions

stheniques de la liaison. On construit facilement des exemples comparatifs de liai

sons ayant la m~me condition geometrique, c'est-a-dire permettant Ie m~me ensemble

de configurations,mais conduisant a des mouvements differents pour les systemes qui

y sont soumis: par exemple, des 1922, H. BEGHIN (These, Paris) insistait sur la

distinction entre liaisons de contact et liaisons d'asservissement, concept aujourd'

hui plus actuel que Jamais.

L'objet des § 6 et 7, est de faire voir que les liaisons de contact tradi

tionnellement qualifiees de "parfaites" ou "sans frottement", qu'elles soient bila

terales ou unilaterales, constituent des lois statiques au sens que nous venons de

dire. Et, dans Ie cadre de la geometrie linearisee qui nous occupe iCi, la consta

tation fondamentale est qu'une loi statique de cette sorte, relation entre la confi

guration u E'U., et la force de liaison r E 1, a la forme -r E a tP'c(U)' ou tP'c est la fonction indicatrice de l'ensemble C des configurations permises par la

liaison, partie convexe fermee de \L. Si l'on compare avec la loi statique -f E a W(u) rencontree tout a l'heu

re, on voit qu'un formalisme unique se trouve englober a la fois les lois de force

classiques a potentiel convexe et les liaisons parfaites, bilaterales ou unilatera

les : ce sont toutes des lois statiques decrites au moyen du sous-differentiel d'une

fonction convexe a valeurs dans J-~, + ~J ; nous disons que cette fonction est un

sur-potentiel de la loi en question (ce fut la d'ailleurs la motivation m~me de l'au

teur pour formaliser la notion de sous-differentiel).

On dispose ainsi d'un instrument extr~mement bien adapte a la mise en

oeuvre du programme suivant :

144

1° Caracterisation des u E ~ qui sont configurationsd'eguilibre, par des proprie

tes de minimum.

2° Par passage aux fonctions polaires, au sens de la duali te 'U, <. ,. > 'i, caracteri

sation analogue de la valeur d'equilibre de la force impliquee dans telle ou telle

des lois statiques auxquelles Ie systeme est conjointement soumis (cela s'appelle

traditionnellement une approche "statique" du probleme de l'equilibre, par opposi

tion avec la recherche directe de la configuration, inti tulee approche "cinematique ").

3° Caracterisation simultanee des deux elements precedents par une propriete de col

concernant une fonction definie sur Ie produi t 'U. x 'i .

Tel est l'objet des § 9 et 10. Comme les systemes rencontres dans la prati

que sont toujours soumis conjointement a plusieurs lOis statiques, il existe dans

chaque situation mecanique un nombre assez grand de manieres d'utiliser les Proposi

tions de ces paragraphes. 11 est par ailleurs tres usuel, au stade m~me de la defi

nition deS lOis statiques, de voir s'introduire, a cote de la paire d'espaces en dua-

lite 'U." 'i au moins une autre paire (espace de deformation et espace de contrain-

te, eux aussi en dualite) liee a la premiere par un couple d'application lineaires

mutuellement adjointes. Cela diversifie encore plus les manieres d'exploiter les

Propositions en question. L'exemple simple d'un treillis de barres, developpe pour

conclure ce rapport, illustre cette diversite.

3. VITESSE ET FORCE

Contrairement au sentiment qu'on a pu avoir dans Ie courant du 1geme sie

cle, et encore present chez beaucoup de non-specialistes, la Mecanique classique

(c'est-a-dire la Mecanique ni relativiste ni quantique) est loin aujourd'hui de cons

tituer une doctrine deductive, deroulee mathematiquement a partir d'axiomes unitai

res, Les "principes", tels qu'il sont traditionnellement presentes, ne sont propre

ment applicables qu'aux systemes finis de points materiels. lIs interviennent ensui

te seulement comme guides, lors d'une elaboration inductive de chapitres plus evo

lues.

Que l'on songe, par exemple a la theorie du milieu continu Ie plus simple:

ce milieu occupe un ouvert de l'espace a trois dimensions et son etat de " con-

trainte interieure" est decrit par une fonction definie sur cet ouvert, a valeurs

tensorielles d'ordre 2, soit x ~ ~ik(x). Rappelons qu'on arrive a cette conception

au moyen de considerations basees sur un decoupage du milieu continu par des surfa

ces regulieres et en admettant que les actions exercees l'une sur l'autre par les

deux portions du milieu que separe une telle surface sont representablespar des den

sites superficielles de force. Partant de la, en postulant les differentiabilites

utiles, on reussit a inferer d'une maniere tout-a-fait plausible les equations aux

derivees pRrtielles de la statique ou de la dynamique du milieu. Lorsqu'il s'agit,

apres cela, de savoir si Ie theoreme de l'energie cinetique et Ie theoreme des

145

puissances virtuelles sont vrais pour Ie systeme mecanique forme par un tel milieu,

tout ce qu'on peut faire est de poser une definition ad hoc de la "puissance des

efforts interieurs", assurant la validite de ces deux enonces, a savoir

(3. 1) - J E (}'k(x) E 'k(x) dx (") i,k 1. 1.

ou Eik(x) represente Ie tenseur "vitesse de deformation" au point x. Au stade

ulterieur des relations avec la thermodynamique, on postulera que Ie travail obtenu

en integrant cette puissance par rapport au temps est bien justiciable des enonces

thermodynamiques traditionnels.

On emerge de cette phase inductive oblige d'admettre que les "efforts"

susceptibles d'agir sur un systeme mecanique ne sont pas toujours representables

par les vecteurs force de la mecanique naive, ni m~me par des repartitions conti

nues de tels vecteurs. Les "efforts interieurs" dont on vient d'avoir a definir la

puissance sont tout autre chose que les forces exercees l'une sur l'autre par

les deux portions de milieu que separe une surface choisie : ces dernieres forces,

affectant respectivement les deux faces en contact, consistent en deux repartitions

dont les densites surfaciques vectorielles sont opposees ; cela leur donne une puis

sance nulle pour tout mouvement tel que Ie champ vectoriel des vitesses soit continuo

Cette formalisation des milieux continus tridimensionnels suffit pour beau

coup d'applications. Toutefois, d'autres chapitres de la Mecanique envisagent des

milieux continus, a une, deux ou trois dimensions, dont les efforts interieurs sont

definis de maniere plus compliquee ; on sera amene aussi a prendre en compte des

discontinuites (ondes de choc), etc •..

Bref, on doit accepter la Mecanique d'aujourd'hui comme une reunion de

chapitres fermement relies entre eux par certaines idees directrices, mais sans ve

ritable fondement axiomatique unitaire. L'auteur estime cette constatation rassu

rante : elle prouve que la Mecanique est bien vivante ; l'axiomatisation est, en

effet, plut~t un travail d'arriere-garde une science en developpement deborde bien

vite toute axiomatique qu'on essaie de lui imposer.

Parmi ces idees directrices communes a divers chapitres de la Mecanique

figurent des methodes mathematiques comme celles qui font l'objet du present rap

port. Insister sur la generalite de ces methodes ne constitue en aucune fayon une

formulation de "principes" de la Mecanique.

Nous avons dit dans 1 'introduction qu'a chaque configuration eventuelle

du systeme etudie,le mecanicien associait un espace vectoriel )r dont les elements

constituent, d'un point de vue formel, les valeurs possibles de la vitesse du sys

teme s'il vienta passer par cette configuration. Cet espace peut ~tre construit, se

Ion les situations, de fayons tres diverses. Pour les systemes unidimensionnels en

vi sages au § 11 ci-apres, l' element generique de "y est simplement une vi tesse

d'allongement, mesuree par un reel, ce qui donne atrIa dimension un. Dans d'au

tres cas "Y est un espace de champs vectoriels definis sur Ie systeme 3 lui-

146

m~me : l'element generique v de Ir est alors une application, associant a chaque

particule s de 3, l'element -+ yes), vecteur vitesse de cette particule relative-

ment a un certain repere. Mais dans d'autre cas aussi, selon la structure geometri

que dont 3 aura ete equipe, il pourra ~tre plus indique de definir v comme un

champ tensoriel de "vitesses de deformation", ou bien encore (dans la schematisa

tion unidimensionnelle de la flexion des poutres) comme une fonction numerique "vi

tesse de courbure", etc ••• Bref Ir sera, de fa90n generale, un espace fonctionnel

et sa construction precise se trouvera souvent inflechie par Ie desir d'obtenir des

theoremes d'existence de solutions pour les problemes poses (cette existence n'est

peut etre pas aussi importante qu'il semblerait ; cf. [21] ou B. NAYROLES suggere

une problematique plus souple).

Soulignons qu'une meme Situation physique pourra generalement etre appre

hendee de plusieurs manieres, impliquant des choix differents de l'espace Jr (cf.

§ 13 ci-apres).

Parallelement a la construction de I' espace ..,. est effectuee celIe de

1 'espace '1 des forces. Une premiere exigence est que, pour tout v E 'Y et tout

f E ~, soit definie la puissance < v,f >, forme bilineaire mettant les deux espa

ces duali teo

C'est dans un sens generalise que les elements de lr sont baptises forces

(pour eviter des confusions avec l'acception restreinte traditionnelle du terme,

l'auteur proposait, dans [15], d'utiliser pour les elements de '1 l'appelation de

dynames). Ces elements sont impliques dans l'enonce d'informations concernant les

"actions" (exterieures ou interieures) auxquelles Ie systeme est soumis. Chacune de

ces informations, constituant ce qu'on peut appeler une loi de force, relie a tel ou

tel element descriptif du mouvement eventuel du systeme, ~ parmi les forces que Ie

systeme "subit". Les systemes etudies sont pratiquement toujours soumis conjointe

ment a plusieurs lois de force, soit £1' £2' •.• , £n' Le principe des vitesses

virtuelles formule comme suit une condition necessaire et suffisante pour que la con

figuration etudiee u soit une configuration d'equilibre du systeme c'est-a-dire

pour que l'immobilite dans la configuration en question soit un mouvement observa

ble : il existe des elements f l' f 2 , •.. , fn de '1 respectivement compatibles,

selon les lois £1' £2' •.• , £n ' avec l'immobilite du systeme dans la configuration

u et tels que n

V v E 'Y: Z < v, f. > i=1 1

o (3. 2)

Un tel principe ne peut evidemment etre vrai, en tant que condition suf-

fisante d'equilibre, que si l'espace ~ (ensemble de vitesses considerees comme

"admissibles") est assez gros. A notre connaissance il n'a jamais ete formule de

critere precis, ayant valeur de loi physique, et permettant de juger s'il en est

bien ainsi ; c'est pourquoi, dans l'etat actuel, si "principe" il y a, c'est plutot

un principe de conduite : lors de l'elaboration de chaque chapitre de la Mecanique,

une de s premieres taches sera de definir un espace y- assurant la validi te de

147

l'enonce precedent. L'efficacite d'une telle attitude est soulignee notamment par

P. GERMAIN [5J.

II sera generalement commode, quoique non indispensable, de supposer que

la dualite instituee par la forme bilineaire < > est separante dans 'j, c'est-

a-dire que la forme lineaire v ~ < v,f > est nulle pour tout v E "y (si et) seu

lement si f est Ie zero de 'j. On pourra toujours se ramener a ce cas en rempla-

c;:ant, si besoin est, 'j par un espace quotient. L'exemple Ie plus classique est ce-

lui de la mecanique des solides parfaits : pour chaque configuration eventuelle

d'un tel solide, l'espace J7 est l'ensemble des champs vectoriels -<>

s>? yes) defi-

nis sur Ie solide et equiprojectifs ; on sait que cet espace a la dimension 6 (du

moins dans Ie cas regulier ou tous les elements du solide ne sont pas alignes). Un

element f de 'j se presente a priori comme une famille de forces au sens elemen-

taire, appliquees au solide, ou, plus generalement comme, une repartition de forces

qu'on peut decrire comme une mesure vectorielle ; notons -<>

d f cette mesure. La

puissance d'une telle repartition de forces se definit classiquement par

< v,f > J -<> -<> yes). d f(s)

L' ensemble 'j de ces mesures formant un espace vectoriel de dimension infinie, la

duali te avec "y ne saurai t ';tre separante. La demarche tradi tionnelle est de consi

derer Ie sous-espace 'j 0 des repartitions de forces qui sont equivalentes a zero

en ce sens qu'elles donnent une puissance nulle pour tout v E jr. Alors l'espace

quotient se trouve en dualite separante avec "y ; les elements de cet espace

quotient s'appellent classiquement torseurs.

Si la dualite est separante dans

(3. 3)

4. SYSTEMES MECANIQUES VECTORIELS

n

l: i= 1

'j, la condition d'equilibre (3. 2) egui-

o

Dans toute la suite de ce rapport, on se restreint au cas d'un systeme me

canique dont l'ensemble ~ des configurations eventuelles est muni d'une structure

d'espace vectoriel sur Ie corps des reels. C'est Ie cas dans un nombre considerable

de problemes de mecanique appliquee, traites par Ie moyen de l'approximation des pe-

tits mouvements on admet que Ie systeme considere s'ecarte "peu" d'une configura-

tion de reference laquelle constitue Ie zero de ~; en vertu de quoi toutes les re

lations cinematiques invoquees seront remplacees par des relations affines "tangen

tes". Appelons systemes mecaniques vectoriels les schemas ainsi obtenus (et non pas

systemes mecaniques lineaires, car les problemes poses a leur sujet ne sont pas ne

cessairement lineaires).

148

Etant donne un mouvement du systeme, c'est-a-dire une application t ~ u

d'un intervalle de temps dans l'espace ~, la vitesse vest, par definition, la

derivee u de cette application, derivee prise au sens d'une topologie a specifier.

De la sorte, l'espace des vitesses 1r, que Ie paragraphe precedent associait a cha

que configuration eventuelle d'un systeme mecanique, s'identifie a LL lui-m~me ;

c'est donc desormais Ie m~me espace quelle que soit la configuration consideree.

Correlativement l'espace vectoriel ~ se trouve mis en dualite, par la forme bili

neaire notee toujours <. ,. >, avec un espace vectoriel de "forces" '1, Ie m~me

pour toutes les configurations. Pour v E '\.L et f E '1, Ie scalaire < v, f > cons

titue la puissance de la force f correspondant a la vitesse eventuelle v du sys

teme. Mais ici on peut aussi bien interpreter tout element de 1L, notons-le cette

fois 8 u, comme un deplacement, ~uquel cas < 8 u,f > constitue Ie travail de la

force f correspondant a ce deplacement. Noter un tel deplacement 8 u, plut~t qu£

simplement u, est conforme a la tradition et suggestif, mais il est bien entendu

que, vu la structure vectorielle de ~, deplacements et configurations ont la m~me

nature algebrique. Observons en outre que cette identification de l'espace des vi

tesses V avec I' espace vectoriel U. des deplacements ou configurations suppose

implicitement que l'unite de temps a ete specifiee. En pratique il restera tout de

meme possible de contr~ler les calculs par des verifications d'homogeneite ; distin

guer 'U.. et ...,. alourdirait inutilement Ie formalisme.

Loi statique

Appelons loi statique une relation formulee entre la configuration u E 'U.. du systeme et I' ~, soi t f E '1, parmi les forces qu' il se trouve sub:ir s' il vient

a passer par ladite configuration. En pratique une telle relation resume l'etude de

phenomenes physiques auxquels Ie systeme considere participe.

Cette relation peut toujours s'ecrire sous la forme

f E R(u)

ou u ~ R(u) represente une multiapplication de 'U.. dans '1, a valeurs eventuelle

ment vides.

La consideration de telles lois n'est pas limitee a l'etude de problemes

d'equilibre et la multiapplication R peut eventuellement dependre du temps.

Equilibre

Pour la recherche des configurations d'equilibre du systeme (cf. § prece

dent) il n'y a naturellement pas a prendre en compte les ohenomenes mettant en jeu

des forces s'annulant lors de toute immobilite ~ventuelle de ce systeme (par exemple

l~s resistances de type visqueux, fonctions line~ires de la vitesse u). Ces pheno

menes mis a part, supposons que toutes les lois de force auquel Ie systeme est con

jointement soumis consistent en n lois statiques, definies par les multiapplica-

tions R1 , R2 , Rn. La condition d'equilibre (3. 2) donne alors : un u E ~ est

149

configuration d'equilibre si et seulement si il existe f 1 , f 2 ,

tels que f. E R. (u) et que 1 1

n (4. 1) 'if u E'lJ.., h < u,f i > 0

i= 1

f dans 'f n

Si la dualite entre 'U.. et 'f est separante dans 'f, la propriete (4. 1)

equivaut a la nullite de la somme des fi ; alors la notion usuelle de somme de

multiapplications donne: un u E 1L est configuration d'equilibre si et seulement

si

5. POTENTIEL CLASSIQUE

On dit que la loi statique f E R(u) admet une fonction W : 'U.""" R com

me potentiel si l'ensemble R(u) consiste, pour chaque u E 1t, en un seul element

egal a - grad W(u), gradient faible (ou "de Gateaux") de la fonction W au point

u au sens de la duali te 'U. < .,. > 'f. On suppose dans la suite que cette duali te

est separante dans 'f.

Exemple banal.

Loi statique u'"" R(u) = f fol ou fo E 'f est une force donnee, indepen

dante de la configuration u ; une telle loi est usuellement appelee une charge ;

elle admet pour potentiel la fonction lineaire u'"" - < u,fo >.

Stabilite energetique et convexite.

Considerons Ie probleme de l'equilibre du systeme soumis, a l'exclusion

de toute autre loi de force, a la conjonction des deux lois suivantes : une loi sta

tique de potentiel W et une charge donnee f o • Un Uo E II est configuration d'e

quilibre si et seulement si

(5. 1)

ce qui equivaut a dire que la fonction numerique

¢ : u ~ W(u) - < u,fo >

admet un gradient nul au point u o • Supposant qu'il en est ainsi, considerons une

droite issue de u o

D=fuELI... u=uo+i;a i;ERJ

(a element fixe non nul de~) ; la restriction ¢jD possede une derivee nulle au

point u o •

Soit une evolution differentiable du systeme sur D, c'est-a-dire une ap

plication differentiable d'un interval Ie de temps [to' t 1J dans D, faisant passer

u de u o u 1• Le travail total des deux forces precedentes (il serait plus cor-

rect de dire: travail des deux lois statiques) est, par definition, l'integrale

150

t1 Jt

< ~(t), fo -grad W(u(t)) > dt =¢(uo ) - ¢(u1 )

o

Si Uo n'est pas,pour la restriction ¢ID ,un point de minimum, au moins local, il

existe sur D des choix de u 1 , arbitrairement voisins de u o ' tels que Ie travail

ci-dessus soit strictement positif.

De fa90n equivalente, on peut considerer que chaque valeur u(t) de l'e

volution ci-dessus est configuration d'equilibre du systeme soumis, outre les deux

lois precedentes, a une charge supplementaire ou commande aCt) E 1

aCt) = - fo + grad W(u(t))

Alors ¢(uo ) - ¢(u 1) est Ie travail de cette commande au cours de l'evolution in-

verse sur D, ramenant u

bitrairement voisins de u o

de u 1 en uo ' L'existence de points tels que u 1' ar

et pour lesquels ce travail soit strictement positif

s'enoncera tres naturellement en disant que la configuration d'equilibre u o

n'est

pas energetiquement stable j bref, en prenant en consideration l'ensemble des droi-

tes issues de U o on est conduit a poser

DEFINITION.

u o

On dira que la configuration d'equilibre U o est energetiquement sta

est point interne d'une partie w de 1L telle que la restriction ¢Iw

atteigne son inf au point

Tout point de 'U. u (minimum non necessairement strict).

o peut s'identifier a la configuration d'equilibre

dessus, simplement en choisissant fo conformement a (5. 1). On dira que W

u cio

est un

potentiel stable si, pour tout U o E LL, l'equilibre en question est energetiquement

stable. S'il en est ainsi on obtient que la restriction de W a toute droite tel Ie

que D est une fonction differentiable d'une variable reelle, localement minoree

en chaque point par sa fonction affine tangente : cela entralne elementairement que

ladite restriction est convexe, d'oll la convexite de W sur 11. De ce fait Ie gra

dient de West aussi sous-gradient et la fonction W appartient a l'ensemble

r(Ll, 1) des fonctions convexes, s,c,i. au sens des topologies compatibles avec la

duali te LL < .,. > 1 . En conclusion

PROPOSITION. Vne fonction W : ~L ~ R, faiblement differentiable au sens de la dua

Ii te U < .,. > 1 , est un potentiel stable si et seulement si cette fonction est con-

vexe.

S'il en est ainsi, Ie sous-differentiel de la fonction convexe W au point

u se reduit au singleton [grad W(u)], ce qui fait que la loi statique consideree

s'ecrit de fa90n equivalente

(5. 2) - f E iJ W( u)

6. LIAISON AFFINE PARFAITE

Envisageons Ie cadre Ie plus simple pour la mise en oeuvre de l'approxi

mation des petits mouvements. Le systeme materiel 8 considere est un ensemble,

151

usuellement infini, d'elements appeles particules. Un repere E est suppose choisi, ->

espace homogene euclidien de dimension 3 ; notons E l'espace vectoriel associe,

espace des vecteurs libres de E. Une configuration de 8 par rapport a E est une

application de 3 dans E ; notons p Ie point de E qui est 1 'image de telle

particule s E 3 par cette application: on dit que pest la position de s dans

E (ou "relativement a E") pour la configuration consideree du systeme. Soit Po

la position de s dans E lorsque 3 se trouve presenter la configuration privi

legiee u o intitulee, selon Ie contexte, configuration "de reference", ou "nature 1-

Ie", ou "vierge", etc ... La particule s etant specifiee, toute configuration

--- -> u E 'U., fourni t donc une valeur du vecteur Po pEE. L'approximation des petits mou-

vements consiste a munir 1Ll d'une structure d'espace vectoriel dont

Ie zero et a remplacer, pour chaque particule s E 8, l'application

u constitue o

u .... par

une application lineaire 1 : Ll -> E s

qui lui est, en un certain sens, tangente o

Repetons qu'il s'agit la seulement du cadre Ie plus simple ; les exemples

developpes a la fin de ce rapport feront comprendre qu'on peut ~tre amene a repre

senter les configurations d'un systeme 3 par d'autres objets mathematiques que des

applications de 8 dans E, notamment par des fonctions definissant l'etat de de

formation et a mettre en oeuvre, la aussi, des approximations lineaireso

Etudions dans ~cadre present, un exemple typique de liaison bilaterale sans

frottement : On suppose qu'une certaine particule s de 8 est guidee dans une sur

face donnee S = [x E E : hex) = 01 avec h : E -> R, fonction contin~ment differen

tiable de gradient non nul en tout point de So

La condition geometrique (ou, si l'on veut, cinematique) de cette liaison

s'ecrit h(p) = 0 et l'approximation des petits mouvements remplace cette condition

par la relation affine tangente

(Ie point 0 represente la multiplication scalaire dans E), de sorte que l'ensemble

des configurations u permises apparaft comme une sous-variete affine de~, soit

.I:=[uELL gr~d h(p ) = oj o

Pour continuer, faisons les hypotheses que l'application 1 : \1 E s

est surjective et en outre qu'elle est continue pour les topologies sur LL compati-

bles avec la duali te LL < 0'0 > 'loOn peL.t exprimer ces hypotheses en disant que s

est une particule de 3 reguliere par rapport a 1 'usage de lL comme espace des

configurations de 30 La variete affine .I: est alors fermee, de codimension 1 ;

bref

(6 0 1) U + a

ou a designe un element convenablcment choisi de l..L et

(6. 2) U = [u E '1.L: 1 (u) • gr~d h(p ) = oj s 0

espace vectoriel de codimension 1 dans Lt, ferme pour les topologies compatibles

avec la duali te u.. < .,. > 'I •

152

Parler de liaison signifie ici qu'un dispositif agit de maniere adaptee

a chaque circonstance pour maintenir,quoi qu'il advienne, la condition pES. Dans

l'hypothese d'un maintien par contact, cette action de contrainte ou reaction se

resume en une simple force au sens de la physique elementaire, appliquee a la par-

ticule s elle-meme, de grandeur vectorielle ~ ~

R E E a priori inconnue. Le mode

d 'emploi du formalisme 'U.. < .,. > r represente cette force par l' element r de 'I

tel que, pour tout /l u E 'U., Ie crochet < /l u, r > fournisse Ie travail de la for-

ce, c'est-a-dire

(6. 3)

L'existence de ce r

< 8 u, r > == 1. (8 u) Ii s

est assuree par l'hypothese de continuite de 1. Faire, de plus, l'hypothese que Ie contact est sans frottement signifie

~

que Ie vecteur R, a priori inconnu, est, en tout etat de cause,normal au point p

a la surface S. Dans les cas usuels d'emploi de l'approximation des petits mouve

ments, Ie deplacement Po p est petit devant les rayons de courbure de la surface

S ; si l'on confond les directions des normales en p et Po' on commet de la sor

te une erreur du meme ordre que celles deja commises. L'hypothese de non-frottement

se traduit alors par l'implication

/lP • gr~d h(p ) = 0 ~ 1 =>

... /lp

... R=O

pour /lp E E. Parce que l'application s est supposee surjective et vu (6. 3),

cela equivaut a

l s (/lu) • gr~d h(Po) => < /lu, r > = 0

pour /lu ELL. Autrement dit, en appelant V Ie sous-espace de 'i orthogonal a

l'espace U defini en (6. 2),

(6. 4) rEV

Inversement, on supposera que toute valeur de R norma Ie a S peut ef

fectivement etre assuree par Ie dispositif qui maintient la particule dans S : ce

la veut dire, d'une part, que Ie maintien est bilateral (on peut concevoir s comme

guide entre deux surfaces paralleles infiniment voisines) et, d'autre part, qu'au

cun seuil de rupture ne limite la capacite du dispositif. Nous resumons ces hypo

theses inverses en disant que la liaison parfaite est ferme (cf. [15], tome II,

§ 9. 2).

A ce moment, toutes les informations qu'on possede sur la liaison sont re-

sumees dans u E £ , rEV

ensemble £ x V de 'LL x r autrement dit, la paire (u, r) appartient au sous

cela constitue bien une loi statique, dans Ie sens pre-

cise au § 4, c'est-a-dire une relation entre la configuration eventuelle u E LL et

I'une, soit r E 'i, parmi les forces que Ie systeme subit. On trouve immediatement

que cette relation equivaut a

(6. 5) - rEa t/I£ (u)

(Ie signe - est ici sans importance, puisque Ie second membre est un espace vecto

riel). Se rappeler que Ie sous-differentiel a t/I£ (u) est vide si u f £ •

8i Ie systeme est soumis conjointement a une famille finie de liaisons de

Ia sorte precedente, on constate que cette conjonction de lOis statiques se resume

153

encore sous la forme (6. 5), £ designant toujours une variete affine fermee pour

les topologies compatibles avec la dualite.

D'une fayon generale, on pourra appeler liaison affine parfaite, toute loi

statique definie de cette maniere par une variete affine fermee quelconque, de co

dimension non necessairement finie dans 'U..

7. LIAISON UNILATERALE PARFAITE

Avec les memes notations que dans Ie paragraphe precedent, supposons ici

que la particule s du systeme S, au lieu d'~tre maintenue bilateralement dans la

surface S, est confinee par un bloc solide impenetrable dont S est la frontiere.

La fonction h utilisee pour la representation de S est supposee choisie de fa

yon que l'ensemble des valcurs permises pour la position p de s s'ecrive

{p E E : h(p) ~ oj. Si on utilise la meme procedure de linearisation que tout A

l'heure, l'ensemble des va leurs permises pour u s'ecrit

(7. 1) ~={uE1.L i(u) s

gr-;d h(p ) ~ oj o

demi-espace ferme dans '1.L admettant la variete affine £ pour frontiere.

La encore, la formulation de tout probleme d'equilibre ou de mouvement du -> ->

systeme exige des informations concernant la grandeur vectorielle R E E de la for-

ce que Ie bloc doit, selon les circonstances, exercer sur la particule s.

-+ Cette reaction Rest nulle si s ne touche pas Ie bloc, c'est-A-dire s1 1'1-

nega11te en (7. 1) est satisfaite de maniere stricte. Donc, si on represente ~ par l'element r de 1, conformement A (6. 3), on a l'implication

(7. 2) u E int ~ => r = 0

2° Lorsque s est au contact du bloc, faisons encore l'hypothese de non-frottemen~

c'est-A-dire que R est normal A S au point p, position de s. Mais, de plus, -+

l'unilateralite du contact impose maintenant que Ie vecteur R soit dirige vers Ia

region permise, c'est-A-dire dans Ie sens de gr;d h(p). En termes de travail cela

s'exprime par l'implication -+ ->

ap • gr-;d h(p) ~ 0 => ap. it ~ 0 pour ap E E ->

A nouveau, l'approximation des petits mouvements nous conduit A remplacer grad h(p)

-+ ( ) , , '1 a ete supposee surJoective, par grad h Po ; comme, d autre part, 1 application s

l'imp11cation ci-dessus equivaut A

'1 (au) • gr-;d h(p ) ~ 0 => < au, r > ~ 0 o pour au E 1..1.,.

Plus commodement posons u' = u + aU ; puisque, dans ce cas du contact, on a u E £

l'implication equivaut A

(7. 3) 'if u' E ~ < u'- u , r >~ 0

II se trouve que cette derniere condition entrafne automatiquement (7. 2) ; en ef

fet, si u E int~, la difference u'- u, pour u' E ~, peut, A un facteur positif

pres, s'identifier A tout element de ~.

154

La condition geometrique u E ~ de la liaison, jOinte a la condition

sthenique (7. 3) se resument visiblement dans l'ecriture

(7. 4) - r E Il "'~ (u)

Comme tout a l'heure, la liaison est declaree ferme si inversement toute

valeur de r verifiant cette condition peut ~tre fournie par Ie dispositif reali

sant la liaison : cela veut dire ici que Ie bloc solide est assez resistant pour

que la force H, normale et dirigee dans Ie sens precise plus haut, puisse prendre,

selon les circonstances, des valeurs arbitrairement grandes.

On observe a nouveau que la conjonction d'une famille finie de lois sta

tiques de cette sorte, correspondant respectivement a des demi-espaces fermes

~ de l'espace ~, equivaut a la loi statique n

- rEa "'C (u)

ou C designe l'intersection de ces n demi-espaces (ensemble convexe ferme, even

tuellement vide).

On est conduit par la plus generalement a appeler liaison convexe parfai

~, toute loi statique de la forme (7. 5) ou C designe une partie convexe de ~,

fermee pour les topologies compatibles avec la dualite.

Les liaisons affines parfaites etudiees au paragraphe 6 en sont evidem

ment un cas particulier.

8. 8URPOTENrIELS

On considere, comme dans les paragraphes precedents, un systeme mecanique

dont I' ensemble des configurations 'U- est un espace vectoriel ; on suppose que la

duali te de '1.l, avec '! est separante dans '!

Nous disons qu'une loi statique admet une fonction cf> :U-+ J- "", + ""J pour surpotentiel si cette loi consiste dans la relation suivante entre la configu

ration u E 'U.. et une force f E '!

-f E a cf> (u)

En particulier, lorsqu'une loi statique admet une fonction W pour po

tentiel, W se trouve etre aussi surpotentiel si et seulement si cette fonction est

convexe ; on a explique au § 5 que c'etait tres usuellement Ie cas.

L'autre exemple fondamental est celui d'une liaison convexe parfaite tel

Ie qu'on l'a presentee au § 7 : c'est une loi statique admettant pour surpotentiel

la fonction indicatrice "'C de l'ensemble des configurations permises par la liai

son. 8i l'on prend, en particulier, pour C une variete affine, cette forme inclut

Ie cas des liaisons bilaterales sans frottement, telles qulelles apparaissent dans

Ie cadre de l'approximation des petits mouvements (cf. § 6).

Rassembler lois de force traditionnelles et liaisons dans un formalisme

uniqu~~t l'objet essentiel du present rapport.

155

Supposons Ie systeme soumis conjointement a n lois statiques admettant

les surpotentiels respectifs <P 1, <P'.2' ••• , <Pn' La somme f des n forces

fn impliquees dans ces n lois est reliee a la configuration u par

- f E O<P 1(u) + O<P2 (u) + ..• + O<Pn(u)

ce qui constitue la loi resultante des n lois; banalement cette relation implique

(8. 2)

Mais (8. 2) n'est equivalent a (s. 1) que sous reserve de conditions assurant, pour

les n fonctions <Pi ' i = 1, 2, ..• , n , l'additivite des sous-differentiels.

Rappelons une condition suffisante usuelle pour cela (cf. [llJ ).:

Certaines des fonctions <Pi sont faiblement differentiables partout dans

ll; il existe un point U o E 1t en lequel les autres, sauf eventuellement une, sont

finies et continues (pour une topologie compatible avec la dualite de'lL et '!) ;

la derniere fonction est finie au point uo'

Dans ce cas, la loi statique resultante admet la fonction

<Pl + <P2 + ••• + <Pn comme surpotentiel.

Equilibre

Si toutes les lois de force auquel Ie systeme est soumis (mises a part,

eventuellement, des forces s'annulant en cas d'immobilite) se resument en une uni

que loi statique admettant Ie surpotentiel <p, un element u de 'U., est une confi

guration d'equilibre si et seulement si 0 E ~ <p(u), ce qui signifie que u est un

point de minimum de la fonction <p.

Dans Ie cas, par contre, d'une conjonction de lois stHtiques en nombre fi-

ni, de surpotentiels <P 1' <P2 , ••• , <Pn' la situation est moins simple: de ce que

(S. 1) implique (S. 2), on conclut que toute configuration d'eguilibre minimise la

somme <Pl + <P2 + '" + <Pn ; mais la reciproque est subordonnee a des hypotheses

complementaires assurant l'additivite des sous-differentiels, tellesque celIe for

mulee plus haut.

9. SYSTEME SOUMIS A DEUX LOIS STATIQUES ; DUALITE

On suppose dans ce paragraphe que (mises a part, eventuellement, des ac

tions s'annulant en cas d'immobilite) Ie systeme considere est soumis conjointement

a deux lois statiques de surpotentiels <P 1 et <P2 , appartenant a r 0 (U, 'i)

(c'est-a-dire des fonctions convexes, a valeurs dans J- 00, + ooJ, autres que la cons

tante + 00 et s. c. i. pour les topologies compatibles avec la dualite).

Par exemple, <PI sera Ie potentiel, convexe, d'une loi statique de type

traditionnel et <P2 sera Ie surpotentiel ¢C d'une liaison convexe parfaite. Con

formement a l'argumentation du paragraphe precedent, toute configuration d'equili

bre de ce systeme minimise la fonction <PI + *c ' c'est-a-dire que c'est un point de

C minimisant la restriction de <PI a cet ensemble et, en particularisant la condi

tion enoncee au paragraphe precedent, on obtient que chacune des hypotheses sui van

tes est suffisante pour que la reciproque soit vraie

156

1° La fonction ~1 est faiblement differentiable partout sur Lt, c'est-a.-dire que

c'est un potentiel au sens classique.

2° II existe un point dans l'interieur de C ou la fonction ~1 prend une valeur

finie.

3° 11 existe un point dans '1.1 en lequel la fonction '" 1 est finie et cont inue,

et qui appartient a. C ("continue" ou "interieur" sont naturellement entendus au

sens d 'une topologie compatible avec la duali te 'U, < .,. > 'i ), Interessons-nous maintenant aux deux forces f1 E - ~ ~1(u) et

f2 E - a ~2(U) impliquees respectivement dans les deux lois statiques et qui, a.

l'equilibre, ont une somme nulle. Determiner f 1, ou aussi bien f2 qui lui est

oppose, independamment de la configuration d'equilibre u correspondante s'appelle

traditionnellement une approche statique du probleme de l'equilibre (il vaudrait

mieux dire approche sthenique) •

On suppose expressement

note )11 et )12 leurs fonctions 1\

la fonction f ~ )11(- f) note )11 Alors

que "'1

pol aires

(c'est

et ~2 appartiennent a. r 0 CU" 'i) ; on

respectives, elements de r ('i, 1U ; on '" 0

la fonction polaire de ~1 : u ~ ~1(-u)).

PROPOSITION. Un point f 1 de 'i est une solution du probleme d' equilibre au sens

precise ci-dessus si et seulement si

(9. 1)

En effet, f1 E'i est valeur d'equilibre si et seulement si il existe

u Ell tel que - f1 E a ~1(U) et f1 E a ~2(U) ; or ces deux conditions equiva-1\

lent respectivement a. -u E a )l1(f 1) et u E a )l2(f 1).

REMARQUE. Un point verifiant (9. 1) minimise la fonction sur 'i . , la reciproque est vraie si

sous-differentiels.

et satisfont une condition d'additivite des

De telles caracterisations extremales des forces a. l'equilibre sont con-

nues depuis longtemps, du moins pour un systeme soumis a. des liaisons affines par

faites. Ce cas rentre dans Ie formalisme ci-dessus : si ~2 est la fonction indi

catrice de la variete affine £ = a + U (avec a E LL et U sous-espace vectoriel

de lL.; cf. § 6) on trouve, en appelant V Ie sous-espace de 'i orthogonal a. U

a,f > si f E V

+00 si f rj V

Par ailleurs, dans les exemples les plus classiques, ~1 est Ie potentiel d'une loi

d'elasticite lineaire, c'est-a.-dire une forme quadratique? 0 sur~. On trouve

alors elementairement que , egal a )11 ' est une forme quadratique sur 'i (du

moins en un sens generalise : forme quadratique positive finie sur un sous-espace

de 'i, prolongee avec la valeur + 00 hors de ce sous-espace ; cf. [8]). Ce cas des

formes quadratiques donne lieu a. une propriete speciale: si -f E a ~1(u), on a

157

A ~ ¢1(U) = 'Y 1(f) ; de la sorte 'Y1 apparait comme "expression de l'energie elastique

en fonction de la force". Cette particularite ne sUbsiste pas en elasticite non li

neaire ; on peut toutefois se demander quelle doit etre la forme de la fonction ¢1

(supposee par exemple sous-differentiable en tout point de ~) pour qu'il existe

une fonction g: R ~ R telle que l'on ait l'implication . "--f E a¢l(u) => 'Y 1(f) = g(¢l(u»

"- a. 1 '''energie''o ce qUi reliera encore la valeur de 'Y 1 celIe de Comme

a¢ 1 (u) "- < > - ¢l(u) -f E => 'Y 1(f) =- u,f

on est ramene a. une analyse faite par 1 'auteur [ 14J a. propos de la puissance dissi-

pee dans une loi de resistance. En se limitant pour simplifier au cas usuel ou

o E a¢l(O) on trouve la caracterisation suivante de la fonction ¢1 : elle dOit

etre quasi-homogene, c'est-a.-dire que ses ensembles de niveau sont homothetiques

les uns des autres par rapport a. l'origine ; une propriete equivalente est que la

"direction" de f depend seulement de celIe de u. C'est ce qui a lieu Ie plus sou

vent en pratique.

10. PROPRIETE DE COL

Les deux approches : recherche de u ou recherche de f 1, presentees au

paragraphe precedent pour Ie probleme de l'equilibre d'un systeme a. deux surpoten

tiels, constituent ce qu'on peut appeler une paire de problemes en dualite, meme

lorsque, par manque de conditions assurant l'additivite des sous-differentiels, ces

deux problemes ne sont pas strictement equivalents a. des minimisations de fonctions

numeriques.

II est aujourd'hui banal d'observer que les solutions respectives de deux

tels p~oblemes forment, si on les accouple, les solutions d'un probleme de point

selle pour une certaine fonction definie sur un espace produit.

C'est ce qui est obtenu encore ici ; on notera que la Proposition c;i:

dessous ne suppose pas de condition d'additivite de sous-differentiels.

PROPOSITION. Soit L la fonction concave-convexe definie sur Ie produit 'tL x 'I par A

L(u,f) = < u,f > + 'Y 1(f) - ¢2(u)

(avec la convention 00 - 00 = - 00 ~, aussi bien, la convention 00 - 00 = + 00). 1la point Uo E II est configuration d'equilibre pour Ie systeme defini au paragraphe 9,

~ f 1 = -f2 E 'I comme force associee, si et seulement si (uo ' f 1) est point-

selle de valeur finie pour L, c'est-a.-dire si L(UO ' f 1 )

f 1 ):(: L(Uo '

est finie et

(10. 1) VuE lL , V f E 'f : L(u,

Demonstration. Supposons que u o

soit configuration d'equilibre, avec

comme force associee par la premiere des deux lois statiques ; on a

ce qui signifie

V f E 'I - <

-u o

158

et f1 E o¢2(UO)' ce qui signifie

(10.3) VuE'! + ¢2(uO ) ~ ¢2(u)

Ajouter Ie reel aux deux membres de (10. 2) fournit la seconde des ine-

galites (10. 1) ; ajouter Ie reel Yl(f 1) aux deux membres de (10. 3) fournit la

premiere.

Inversement, supposer L(uo ' f 1) fini entralne que ¢2(uO ) et Yl(f 1)

sont finis : Ie calcul ci-dessus peut alors etre effectue a rebours pour deduire

(10. 2) et (10. 3) de (10. 1).

REMARQUE. Echanger les roles de ¢1 et ¢2 fournit une fonction L toute diffe

rente. Comme, dans les situations pratiques, il y a habituellement plusieurs manie

res de classer les lois statiques subies par Ie systeme en deux groupes representes

respectivement par deux surpotentiels ¢1 et ¢2' comme, d'autre part Ie schema a deux espaces 1l, '[ peut habi tuellement etre mis en oeuvre de plusieurs manieres

(cf. § 13 ci-apres), cette proposition engendre un grand nombre de proprietes de col

caracterisant l'equilibre en elastostatique.

Pour d'autres voies d'investigation systematique de proprietes variation

nelles en mecanique on pourra consulter [25], [261 et [27].

11. EXEMPLES UNIDIMENSIONNELS

On considere dans ce paragraphe un systeme 3 dont la configuration se

trouve specifiee par une unique variable numerique : 3 sera, par exemple,une barre

rectiligne ou un fil, dans la mesure ou on s'interesse seulement a la distance entre

les extremites. Notons ~o + e cette distance; en d'autres termes, e represente

l'allongement de la barre ou du fil par rapport a un certain etat de reference dans

lequel la longueur est 10 , Comme nous nous occupons uniquement ici de statique,

l'etat de contrainte du systeme est suffisamment decrit par la tension s. Pour l'ap

plication du principe des travaux virtuels a un tel systeme il est classique que Ie

travail des efforts interieurs, pour un accroissement d'allongement 8e. doit etre

pris egal a - s 8e. Ainsi Ie schema general des paragraphes precedents s'applique

en prenant, comme espace vectoriel ~ une copie de R d~nt e ou 8e constitue

1 'element generique, et comme espace vectoriel '[ une autre copie de R d~nt s

est l'element generique ; ces deux espaces vectoriels de dimension 1 sont mis en

dualite par la forme bilineaire

(11. 1) < e, s > e s

Le signe "moins" vient simplement de ce que nous nous conformons a l'habitude, com

mune en mecanique des solides, de me surer l'etat de contrainte par un nombre positif

lorsque c'est proprement un etat de tension, par un nombre negatif lorsque c'est une

compression. Ce signe n'a rien a voir avec Ie fait que l'''effort'' en question est

interieur au systeme : dans notre formalisme, les efforts interieurs sont, au sens

159

general, des "forces" comme les autres.

Ce cadre permet la formulation des lois de comportement de systemes uni-

dimensionnels usuels.

1° Elasticite ordinaire

On suppose dans ce cas que la tension s est une fonction continue stric

tement croissante de l'allongement e, soit s = j(e) ou s = 8'(e), en not ant 8

une primitive de j; remarquer que 8 est alors une fonction convexe. Soit e o

une valeur particuliere de e et soit So = 8'(eo )' La fonction affine

e ~ (e - e ) s + 8 (e ) o 0 0

est tangente a la fonction 8 au point eo ; or, relativement a la dualite definie

par la forme bilineaire (11. 1), la pente de cette fonction affine est

ment dit la relation s = 8'(e) peut s'ecrire

- s = grad 8(e)

Autre-

ce qui signifie que la fonction 8 est potentiel de cette loi statique, donc aussi

bien sur-potentiel, vu la convexite.

Comme nous avons suppose la fonction

croissante, elle possede une fonction inverse

8 ' -1

j

j continue et strictement

definie sur l'intervalle I, en-

semble des va leurs de j (intervalle non necessairement ferme ni borne). La carac

terisation de e et -s comme points conjugues relativement a la paire de fonc-

* tions duales 8, 8

* permet de calculer 8

* 8(e) + 8 (-s)

par la relation

< e, -s >

8*(-s) = s j-1(s) - 8 [j-1(s)]

* valable pour tout s dans I. La f'Onctior. 8 prend la valeur + 00 hors de l'adhe-

rence de - I.

2° Fil elastique

Si Ie systeme est un fil elastique de longueur au repos ~o' la relation

entre allongement et tension s'ecrit a nouveau s = j(e), avec une fonction j qui

prend la valeur zero pour e ~ 0. Vne primitive 8 de jest sur-potentiel de cet* te loi statique ; sa fonction duale 8 relativement a la forme bilineaire (11. 1)

* prend la valeur + 00 sur ]0, + 00] j les valeurs de 8 (-s) pour s par courant

l'ensemble des valeurs de j, se construisent comme dans l'exemple precedent, si j

est continue et strictement croissante sur [0, + 00[.

3° Fil inextensible

C 'est, par rapport au precedent,

est la longueur propre de ce fil et que la

que la relation entre e et s admet pour

un cas frontiere

charge de rupture

sur-potentiel

si e > ° si e ~ °

; on

est

suppose que ~ 0

infinie, on trouve

160

c'est-a-dire la fonction indicatrice de l'ensemble C = 1- 00,0], partie convexe

fermee de U = R. Cette loi sta tique est donc une liaison convexe parfai teo La fonc-

* est la fonction indicatrice du sous-ensemble ]- 00, 0] de 'j = R. tion duale e Le lecteur pourra formaliser d'autres exemples de systemes unidimension

nels, par exemple un ressort a boudin, enclos dans un guide tubulaire pour eviter

Ie flambement ; la longueur ~o + e ne peut pas descendre en dessous de la valeur

qu'elle a lorsque les spires du res sort sont jOintives. La relation correspondante

entre e et s equivaut a la conjonction d'une loi d'elasticite ordinaire et d'une

liaison convexe parfaite. Cela donne un modele elementaire de systeme elastigue de

compressibilite limitee ; la theorie des milieux continus de ce type (exemple : Ie

caoutchouc-mousse) a ete fondee par W. PRAGER

mites concernant un tel milieu, voir [3].

pour l'etude de problemes aux li-

12. UN SYSTEME COMPOSE

On prend pour 8 un treillis de barres, dont les extremites sont articu

lees les unes aux autres par des joints spheriques. Les joints sont representes par

n points A1, A2 , •.• , An qu'on appellera les noeuds du treillis. Quitte a imagi

ner des barres fictives, de tension essentiellement nulle, on peut supposer qu'il

existe une barre, notons-la B .. , entre chaque paire de noeuds A. et AJ. (avec • . • • . ~ J . n (n- 1 ) 1

i < j pour eV1ter les repet1t10ns), S01t ---2--- barres en tout. Le comportement

de chaque barre est traite comme unidimensionnel ; notons Sij la tension de la

barre Bij et par e ij son allongement relativement a la longueur qu'elle a dans

1 'etat "zero" du systeme.

Chaque configuration du systeme 8 est completement determinee par les

positions correspondantes des n noeuds relativement a un repere tridimensionnel

""" """ 8 ces positions peuvent etre definies par la donnee des n vecteurs xi E 8 ,

i 1, 2, ... , n , specifiant les deplacements subis respectivement par les Ai com

parativement aux positions qu'ils ont dans la configuration zero. On introduit donc

l'espace vectoriel X, de dimension 3n, dont l'element generique x est Ie n-uple

"""""" """ (Xl' x2 ' xn).

Les deplacements ~i sont traites comme "infiniment petits" par rapport

aux longueurs des diverses barres, ce qui permet de lineariser les relations geome-

""" triques. Notons ~ij' pour i < j, Ie vecteur unite de la droite orientee Ai Aj

(consideree dans la configuration zero mais cette preeision est sans importance

puisque les barres ne presentent que des rotations infiniment petites). L'allonge-

ment de la barre est relie a x par

(12. n e .. =-: ... (~.- ~.) 1J 1J J 1

(Ie point represente Ie produit scalaire de l'espace vectoriel euclidien

"""""" """ Un effort exterieur est un n-uple de forces (Yl' Y2' •.• , Yn) respecti-

vement appliquees aux n noeuds Ai (dans ce qui suit On ne prendra pas en compte

161

la pesanteur) ; ce n-uple, note y, constitue l'element generique d'un espace vec

toriel Y, de dimension 3n. Les espaces vectoriels X et Y sont mis en dualite

separante par la forme bilineaire

(12. 2) « x, y » n E i~l

laquelle ex prime Ie travail de l'effort exterieur y pour un deplacement x de

l'ensemble des noeuds.

La formulation du probleme de l'equilibre du systeme 3 demande qu'on

specifie les lois statiques auxquelles ce systeme est assujetti. Elles sont de deux

sortes :

Certaines concernent des efforts exterieurs ; par exemple des charges don

nees peuvent etre appliquees a certains des noeuds ; ou bien certains noeuds peuvent

~tre soumis a des liaisons, bilaterales ou unilaterales ; ou bien encore certains

noeuds sont assujettis a des lOis statiques reliant a leurs positions certaines des

foces qu'il subissent. Tout cela pourra se decrire globalement dans Ie formalisme

de la paire d'espaces X, Y par une relation entre x et y. Dans des cas usuels,

cette relation s'ecrira au moyen d'un surpotentiel

(12. 3) - yEa ~ (x)

au sens de la dualite definie par (12. 2).

Les autres lois statiques, dites interieures, concernent Ie comportement

des barres, en termes d'allongements e ij et de tensions Sij' On considerera donc n(n-1)

l'espace E, de dimension ----2-- , dont l'element generique, note e, est Ie syste-

me des nombres e ij , avec i < j et l'espace S, de meme dimension, dont l'element

generique s est constitue par les Sij' avec i < j. D'apres ce qui a ete dit au

paragraphe precedent, Ie travail d'un systeme d'efforts s E S, pour un accroisse

ment e E E des allongements, est

(12. 4) [e, sJ i~j e ij Sij

forme bilineaire playant les espaces E et S en dualite separante. Ne pas oublier

Ie signe n(n-1)

2

"moins" qui fait que cette dualite n'est pas la dualite naturelle de

R avec lUi-meme.

On suppose des lois de comportement concernant individuellement chaque

barre, respectivement caracterisees comme au § 11 par des surpotentiels 8 ij , c'est

a-dire que, au sens de la dualite qui avait ete definie alors, on a

(12. 5) - Sij E a8 i / e ij )

pour toute paire d'indices i et j tels que i < j. On verifie immediatement que

si on definit sur E la fonction e ~ 8(e) par

ces n(n-1 ) --2-

(12. 6)

8(e) E 8. Jo(e. J.> i<j ~ ~

relations equivalent a

- s E a8 (e)

162

au sens de la dualite etablie entre E et Spar (12. 4). -->

D'apres la definition des vecteurs a ij , Ie noeud Ai subit la force --> -->

s a de la part de chaque barre Bl."J"' j > i, et la force -sJ"l." aJ"l." de la part ij ij -->

de chaque barre Bji ' j < i. Donc, si on note Yi la somme des forces exterieures

subies par Ai (c'est-a-dire des forces ne provenant pas des barres), la mecanique

elementaire donne comme conditions d'equilibre des n noeuds, pour chaque i,

(12. 7) --> Yl." + Z

j>i

--> s" " a" " l.J l.J

Notons D : X --> E l'application lineaire

sens des deux dualites X «.,.» Y et E [.,.] S,

x~ e definie par (12. 1). Au

* la transposee D S --> Y de D

est par definition telle que

(12. 8) v x E E v s E S * [Dx, s] == « x, D s»

En identifiant terme a terme les deux membres, developpes conformement aux defini

tions de [ . , . ] et * «.,.», on obtient que l'element D s E Y consiste dans Ie

n-uple des vecteurs * (D s). E "8 l. exprimes pour chaque i par

(12. 9)

cipe des

(12. 10)

* (D s)" l. -->

Z siJ" al." J" j>i

Le systeme des n conditions d'equilibre (12. 7) prend donc la forme

* y+D s==O

* La definition (12. 8) de D

travaux virtuels " a savoir , V x E X

fait que cette condition equivaut au

« x,y » + [D x, s] 0

" " prl.n-

(pour alleger, on ecrit simplement x, au lieu de ox).

13. MODALITES DIVERSES D'UTILISATION DU FORMALISME GENERAL

Le formalisme '\.L <.,. > '1 des paragraphes 4 a 10 peut etre applique de

plusieurs manieres au systeme que l'on vient de decrire.

1° Methode des gros espaces

Appelons ainsi la methode consistant a utiliser la paire (x, e), notee

u, comme l'element specifiant la configuration du systeme. L'espace vectoriel LL est

de la sorte constitue par Ie produit X x E ; l'espace '1 correspondant sera Ie pro

duit Y x S d~nt l'element generique fest une paire (y, s). La forme bilineaire

<u, f> «x, y»+[e, s]

qui met 'U.. et '1 en duali te separante exprime de fa90n genera Ie Ie travail total

de l'effort exterieur y et de la famille de tensions s lorsque Ie deplacement

des noeuds est x et la famille des accroissements d'allongement e.

Evidemment, puisque les e ij sont essentiellement les allongements re->

sultant, selon (12. 1), des deplacements Xi des noeuds, u ne peut parcourir la

totalite de tL, mais seulement Ie sous-espace

163

u = ! (x, e) E X x E e = D xl Formellement, on peut interpreter cette restriction de liberte comme une liaison

parfai te au sens du § 6.

En effet, si y E Y est l'effort exterieur total et s E S la famille

des tensions des barres, la condition d'equilibre (12. 9) ne consiste pas dans l'an

nulation de l'element f = (y, s) de l'espace 'if mais seulement dans l'exigence

que cet element appartienne au sous-espace

v = { (y, s) E Y x S * y + D s = ol Or Vest exactement Ie sous-espace de 'if orthogonal A U (ce fait n' est pas au

tre chose que l'equivalence des conditions (12. 9) et (12. 10». La condition (12.9)

exprime l'existence de rEV tel que f + r = O. Interpreter cet element r comme

la reaction associee a la liaison dont la condition geometrique est u E U est bien

conforme a la definition d'une liaison affine parfaite selon Ie §6.

En fait, la conception de (12. 1) comme traduisant une liaison est ici

physiquement claire. L'usage du produit X x E en tant qu'espace des configurations

equivaut a considerer Ie systeme comme la conjonction des sous-systemes suivants : ~

les noeuds Ai' dont les configurations sont decrites par les xi' et les barres,

dont les etats respectifs sont decrits par les e ij • La liaison en question consiste

tout simplement A relier les extremites des barres aux noeuds. Toutefois, notre but

en developpant cet exemple d'un systeme de barres, est surtout de pre parer Ie lec-

teur a l'etude des milieux continus : dans ce cas, Ie ~ ~ ~

n-uple x = (xl' x2 ' ••• , xn )

sera remplace par un champ de vecteurs "deplacement" defini sur une region de l'es

pace et la famille e des n(n;l) reels eij fera place A un champ de tenseurs

"deformation" defini sur cette meme region. Le r~le de la relation e = D x sera

tenu par la relation de compatibilite geometrique entre deplacements et deforma

tions. A nouveau cette relation pourra, formellement,s'interpreter comme une liai

son parfaite ; mais il ne semble pas raisonnable de chercher a en visualiser la rea-

lisation.

Pour une presentation des milieux continus dans Ie cadre algebrique m~me

de ce rapport, on consultera [19], [20], [21]. Nature 1 lement, Ie passage a la dimen

sion infinie souleve des difficultes d'analyse fonctionnelle. Par exemple. l'equiva

lence des n(n-1) relations (12. 5) avec l'ecriture (12. 6) est ici un aspect ba-2

nal de la dualite des espaces produits. Par contre, Ie cas continu, amene A la theo-

rie des fonctionnelles convexes integrales et de leur dualite, ouverte par

R. T. ROCKAFELLAR. Le lecteur trouvera par exemple dans [3] et [4] des precisions

sur les espaces fonctionnels a mettre en oeuvre dans des questions de ce genre.

Supposons que la conjonction des lois statiques concernant les efforts

externes (y compris, eventuellement, des liaisons auxquelles les noeuds sont soumis)

soit globalement decrite par un surpotentiel ~ E ro(X, V), c'est-A-dire que la for

ce exterieure totale y E Y est reliee a la configuration x E X de l'ensemble des

noeuds par

(13. n - yEa ~(x) ,

164

au sens de la dualite X «.,.» Y. Supposons par ailleurs Ie comportement des bar

res resume sous la forme (12. 6). En definissant sur l'espace produit X x E une

fonction ¢ par

¢(u) = ;:;(x) + (He)

on condense (12. 6) et (13. 1) dans l'ecriture equivalente

(13. n - f E " ¢(u)

(sous-differentiel au sens de la dualite U<.,.>1) en notant, comme precedemment,

f = (y, s).

On est ainsi ramene A l'etude de l'equilibre d'un systeme soumis conjointe

ment a la loi statique (13. 1) et A la liaison parfaite - rEa ¢u(u).

2° Elimination de E ~ S

L'usage d'une certaine paire d'espaceoest, en quelque sorte, un langage

pour enoncer l'information dont on dispose au sujet de la situation mecanique con

sideree.

Comme la configuration du present systeme est completement specifiee par

la donnee de l'element x de X, on peut preferer utiliser cet espace comme l'es

pace des configurations du systeme et Y comme seul espace de forces. Dans ce lan

gage, tout effort agissant sur Ie systeme devra ~tre decrit pa~ un element y de

Y, la regIe A observer etant que, pour tout deplacement

effort soit exprime par « ox, y ». Ainsi une famille

sions des barres est representee par l'element y E Y s

ox E X, Ie travail de cet

s = (sij)

tel que

i < j , de ten-

'if ox E X « ox, ys » = [D ox, s]

c' est-A-dire

* y s = D s

Par suite, la loi statique (12. 6) s'exprime dans ce nouveau langage par

* (13. 2) - Ys E D (ae (Dx))

On sait que, moyennant des hypotheses usuelles (par exemple l'existence, dans l'en-

semble des valeurs de D, d'un point ou la fonction

* DoaeoD

e est finie et continue) on a

ace 0 D)

Dans ce cas la loi statique (13. 2) admet, au sens de la dualite «X, Y », la

fonction e 0 D pour surpotentiel.

De lA une nouvelle maniere d'appliquer au systeme mecanique etudie, les me

thodes des paragraphes precedents.

3° Elimination de X et Y

L'application D X ~ E n'est pas injective. Cela signifie que la don-

nee de l'element e = D(x) n'apporte pas assez d'information pour specifier comple

tement la configuration du systeme. On peut cependant desirer determiner les valeurs

d'equilibre de e ou savant celles de x ou y ou m~me s'interesser seulement

a e ou s (pour determiner des seuils de rupture, par exemple). En principe,

165

A l'elimination de x et y peut etre conduite selon un plan semblable a ce qui a

ete mis en oeuvre tout a l'heure pour eliminer e et s.

II est mieux en accord avec l'esprit de ce rapport de presenter les cho

ses comme suit: Nous choisissons de traiter seulement des informations enoncees

dans Ie langage de la paire d'espaces en dualite E [.,.] S. Nous acceptons donc de

parler de l'etat du systeme seulement en termes d'allongements : deux etats fournis

sant Ie m~me e E E seront consideres comme equivalents. Par ailleurs un effort ne

pourra ~tre pris en compte que s'il est represente par un element s E S, de maniey

re telle que, pour tout deplacement du systeme, Ie travail de cet effort ait l'ex-

pression [8e, s ]. Donc, si l'effort considere est une force exterieure representee y

dans Ie formalisme anterieur par y E Y, Ie s y

correspondant doit ~tre tel que

(13. 3) 'if 8x E X « 8x, y » [D 8x, s ] y

Un tel s E S n'existe pas necessairement : banalement il faut et il suffit pour y *

son existence que y appartienne au sous-espace D S de Y (ce sous-espace est

l'orthogonal de Ker D, au sens de la dualite X «.,.» y). L'impossibilite de re-

* presenter dans Ie lang age E, S des efforts exterieurs n'appartenant pas a D S

ne constitue pas un desavantage grave de ce langage. En effet (12. 9) montre que,

pour un equilibre, il est necessaire que la somme des efforts exterieurs appartien

* ne aDS.

Un autre point essentiel pour Ie maniement du formalisme E, S est que

toutesles valeurs ne sont pas permises pour e : cet element appartient necessaire

ment au sous-espace DX de E (sous-espace des etats de deformation qui sont

"geometriquement compatibles"). D'un autre cote, si s est la somme des elements y

de S representant les efforts exterieurs, la condition d'equilibre n'est pas

s + s = 0, mais (12. 10), qui donne, vu la definition (13. 3) des y

s y

(13. 4) 'if 8x E X [D 8x, s + s ] y

o

Cela signifie que s + Sy doit appartenir au sous-espace de S orthogonal a DX

au sens de la dualite [.,.] ; on retrouve donc une situation semblable a celIe ren-

con tree dans la methode des gros espaces :

Une fois traduites dans Ie langage E, S les lois statiques auxquelles Ie

systeme est assujetti, Ie probleme de l'equilibre se traite en considerant la condi

tion e E DX comme definissant une liaison parfaite.

[1]

[ 4]

REFERENCES

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166

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[27J TONTI, E., On the formal structure of continuum mechanics, Meccanica,5 (1970), 22 - 30.

UNE GENERALISATION AUX OPERATEURS MONOTONES DES

THEOREMES DE DIFFERENTIABILITE D'ASPLUND

par Raoul ROBERT

I - T\ll'RODUCfION

Soit V un espace de Banach reflexif reel, V% son dual topolo

gique, T une application monotone de V dans V% ; nous nous interessons a l'equation

(1) Tu = f, f donne dans r . Il existe de nombreux resultats permettant de conclure a la surjectivite de T ;

citons simplement le theoreme de BROWDER et MINTY qui en est le prototype : si T

est monotone, hemicontinue et coercive, alors T est surjective.

Nous supposerons que T est surjective ; pour un f donne dans ~ , il decoule des

proprietes des operateurs monotones que l'ensemble des solutions de (1) est un

borne de V, note T-1f .

T n'etant pas supposee strictement monotone, on ne peut pas savoir, en general, si

T-1f est ou n'est pas reduit a un element. Cependant, dans le cas Oll Vest separable

(ce qui est ~neralement verifie dans les applications), on peut obtenir un resultat

~nerique, a savoir que pour suffisarrm:mt de points dans r (en fait sur un Go par

tout dense) l'ensemble des solutions T-1f est reduit a un element. Ce resultat a ete

demontre independemrnent par l' auteur et E. ZARANTONELLO (il apparai t dans ROBERT [9]

comrne corollaire d'un resultat ~neral sur les points de continuite de multi-applications semicontinues superieurement a valeurs dans le dual faible etoile d'un espace de Frechet separable).

Le but de ce travail est d'etudier les proprietes de semi-conti

nuite de la multi-application T-1 de V~ fort dans V fort. Le theoreme principal que

nous demontrons nous permet ~e dire qu'il existe un ensemble G, Go partout dense de V"% , tel que pour tout f dans G , T-1f soit reduit a un point et la multi-applica

tion T-1 soit semicontinue superieurement de ~ fort dans V fort au point f.

Citons le principal resultat que nous obtenons :

THEOREME

Soit X un espace de Banach separable dont le dual X~ est forte

ment separable (on ne suppose pas que X est reflexif), Tune multi-application mono

tone a valeurs non vides de X dans X~, alors il existe un Go part out dense dans X, G, tel que pour tout x dans G, Tx soit reduit a un point et la multi-application T soit

semicontinue superieurement de X fort dans X~ fort en x.

169

I.es resultats que nous obtenons ici et en £ 9] apparaissent

cornme une generalisation naturelle aux operateurs monotones des resultats de differentiabili te d' ASPLUND (voir £ 2] et £ 3] ). La question de cette generalisation a ete posee par ASPLUND en 1968 (voir £3]). Ces resultats montrent, encore une fois, que le comportement des operateurs maximaux monotones est assez proche de celui des sous

difrerentiels ; et cOJTi:Jien la connaissance du comportement des sous-differentiels

peut guider dans ce ~nre de questions.

11 est a noter cependant que les methodes de demonstration sont

t:res differentes de celle utili see par ASPLUND. La methode d'ASPLUND (et de fagon

plus geometrique, celle de DAY £5]) se base sur l'existence de normes equivalentes

strictement convexes ou localement uniformement convexes ; les resultats obtenus

pour des espaces de Banach separables ou reflexifs s'appuient sur des resultats pro

fonds tels que le theo:reme de representation de AMIR et LINDENSTRAUSS £1], ou le

resultat plus recent de TROYANSK1 (12]. La methode que nous employons est de nature

plus topologique et ne permet pas de sortir du cadre des espaces separables. Savoir si les resultats demeurent vrais dans un espace refiexif semble etre une question

aussi ouverte que difficile.

II - LIEN AVOC LA DERIVABILITE DES FONCTIONS CONVEXES

11 est bien connu qu'une fonction convexe de JRn dans JR est

derivable sauf sur un F(1 (reunion denombrable de fermes) de mesure nulle. L'etude

de la derivabilite des fonctions convexes continues sur un espace de Banach souleve

des difficultes importantes. Nous utiliserons uniquement les deux notions essen

tielles de Frechet et Gateaux differentiabilite. Des exemples classiques montrent

que les resultats vont dependre des espaces consideres. En effet, Mazur a montre que la norme usuelle sur L~«(O,l]) n'est nulle part Gateaux-differentiable, et on peut voir facilement a partir du travail de Smulian sur la Frechet derivabilite des normes que la norme usuelle de t «( 0,1]) est nulle part Frechet differentiable.

Asplund a propose une classification des espaces de Banach suivant les proprietes de differentiabilite des fonctions convexes continues.

Soit X un espace de Banach, on not era ~(X) l'ensemble des fonctions convexes semi-continues inferieurement, non identiques a +00 , de X dans JR U {+oo} et

dom f = {xlf(x) < +oo}

170

DEFINITIONS

- X est dit S.D.S. (Strong Differentiability Space) si pour tout f dans o

ro(X)' telle que dom f # 0, fest Frechet deriv~ble sur un Go (intersec-tion denombrable d'ouverts) partout dense de dom f.

- X est dit W.D.S. (Weak Differentiability Space) si pour tout f dans o

ro(X)' telle que dom f # 0, f est Gateaux derivable sur Go part out dense o

de dom f.

II est clair que tout S.D.S. est un W.D.S., la reciproque etant fausse ~1 est W.D.S., mais pas S.D.S. (Phelps).

Les deux theoremes qui suivent, dus a Asplund mettent en evidence

d'assez lar@es classes d'espaces W.D.S. ou S.D.S.

THEORFME 2. 1 •

THEORFME 2. 2

Soit X un espace de Banach possedant une norme equivalente d~nt la

duale est strictement convexe, alors X est un W.D.S.

Soit X un espace de Banach possedant une norme equivalente d~nt la

duale est localement uniformement convexe, alors X est un S.D.S.

Ces deux theoremes ramenent donc les problemes de derivabilite des fonc

tions convexes a des problemes de normes equivalentes.

Citons, sous forme condensee, les "renorming theorems" les plus forts et les plus recents.

THEORFME 2.3.

Si X est un espace de Banach engendre par un faiblement compact (voir

[1] pour la definition) alors X possede une norme equivalente localement

uniformement convexe d~nt la duale est strictement convexe.

THEORFME 2. 4 •

Si X est un espace de Banach engendre par un faiblement compact et tel

que son dual xl Ie soit aussi, alors X possede une norme equivalente

localement uniformement convexe dont la duale est aussi localement uni

formement convexe.

171

THEORIME 2. 5

Si X est un espace de Banach en~ndr§ par un faiblement compact et possedant une norme equivalente Frechet-differentiable,

alors X possede une norme equivalente localement uniformement

convexe ainsi que sa duale.

Ces trois resultats sont la consequence de nombreux travaux,

citons entre autres : Amir et Lindenstrauss, Trojanski, Asplund, John et Zizler.

Les questions suivantes semblent toujours ouvertes (Day (7])

- Peut-on affaiblir les hypotheses du theoreme 2.1 en supposant seulement qu'il

existe une norme equivalente Gateaux-differentiable ?

- De meme, dans Ie theoreme 2.2, en supposant qu'il existe une norme equivalente

Frechet-differentiable ?

Un autre ~nre de question est non pas d'essayer d'etendre les

resultats a des types d'espaces de Banach plus generaux mais d'ecrire ces resultats

en terme de sous-differentiels et d'essayer de voir s'ils sont toujours vrais pour

des multi-applications plus ~nerales, entre autres monotones . .--2-.

Considerons donc la multi-application x + af(x) definie sur dom f o

On verifie que cette multi-application est semi continues superieurement de ~f dans X~ faible etoile; et que l'on a les equivalences suivantes

(i) f est Gateaux derivable en x si et seulement si af(x) est reduit a un element.

(ii) fest Frechet derivable en x si et seulement si af(x) est reduit a un

element et la multi-application af est semi continue superieurement de _0_ dom f dans X~ fort au point x .

III - qJELqJES PROPRIETES DES OPERATEURS MAXlMAUX M)NOTONES

Rappelons quelques definitions.

X est un espace de Banach, X~ son dual, on note P(X~) l'ensemble des parties de X

a toute application T de X dans P(X~)(multi-application), on associe

son graphe G(T) = {(x,x~) I ~ E Tx}

son domaine D(T) = {x E X I Tx f. ell

son ima~ R(T) = U Tx XEX

172

son inverse T-1, dont Ie graphe est Ie symetrique de celui de T.

On dit que l'operateur (ou la IID..Ilti-application) Test ITDnotone si

« x·,x> designe Ie produit scalaire entre ~ et X).

Par operateur ITDnotone de X dans ~, nous designerons desormais une multi-application

ITDnotone de X dans P(X·). L'ensemb'le des operateurs monotones de X dans ~ est ordon

ne inductif pour l'inclusion des graphes,tout element est donc contenu dans un

element maximal, un tel element est appele operateur maximalITDnotone. I1 est bien

evident que Test ITDnotone (resp. maximal monotone) si et seulement si T-1 est mono

tone (resp. maximal monotone).

Citons quelques proprietes bien connues des operateurs maximaux monotones.

PROPOSITION 3.1

Si T est maximal ITDnotone de X dans ~ ; si Xk tend vers x en

norme dans X , si { E TXk et ~ converge faible-etoile vers x~, alors x· E Tx (on peut renplacer la suite ~ par une famille

filtrante a condition que ~ soit bornee).

On va s'interesser rnaintenant plus particulierement aux opera

teurs T tels que l'interieur du domaine (int(D(T») soit non vide. Enon<;ons un

resultat inportant du a ROCKAFELLAR (voir Cl0]).

THPDREME 3.3

COROLLAlRE 3.4

Soit T un operateur maximal monotone de X dans ~, tel que

int(D(T» ~ 0 , alors int(D(T» est un ouvert convexe d~nt

l'adherence contient D(T) et Test localement borne sur

sur int(D(T».

Pour tout x dans int (D(T», Tx est un convexe faible-etoile

conpact.

A partir de ces proprietes, on peut demontrer facilement Ie

resill tat de semi -continui te sui vant qui va j ouer un role inportant.

THEOREME 3.5

173

Dans les hypotheses du theorene 3.3, la IIDJ.lti-application x ---> Tx est semi-continue superieurenent de int(D(T)) IID.lni

de la topologie de la norme dans ~ IID.lni de la topologie faible-etoile.

IV - DFIDNSI'RATION DU TIffiORIME PRINCIPAL

Ce paragraphe est'consacre a la demonstration du theorene

suivant :

X est un espace de Banach separable d~nt Ie dual ~ est fortenent separable •

THEORIME 4. 1

Soit T un operateur monotone de X dans ~ tel que l'interieur

de son domaine soit non vide, alors il existe G, Go partout dense de int(D(T)), tel que pour tout x dans G , Tx soit reduit

a un point et T soit semi-continues superieurenent de X fort

dans ~ fort au point x.

Demonstration du theorene 4.1. On peut toujours supposer que Test une IIDJ.lti-application mono

tone semi-continue superieurement a valeurs convexes faible-etoile compactes non

vides d: C , ~onvexe ouvert non vide de X , dans ~ faible-etoile. En effet, considerons T, ou Test_un operateur maximal monotone contenant T ; on a int(D(T)) C int(D(T)), et il est bien evident qu'il suffit de demontrer Ie resultat ,.. pour T •

LEMME 1

Soit T une IIDJ.lti-application verifiant les conditions gi-dessus,

alors il existe un Go partout dense dans C, notons Ie GT ' tel que pour tout x dans

GT , Tx soit reduit a un element.

Demonstration du Lemme 1 • voir [9].

Notons t l'application de ~ dans ~ definie par

Tx = {tx} , x E GT • t est continue de GT dans ~ raible-etoile ; on va mainte

nant chercher l'ensemble des points de GT ou t est continue a valeur dans X~ fort.

Pour cela nous avons besoin de quelques resultats :

174

w.t.1E 2

Soit E un espace de Baire, Fun espace netrique, f une appli

cation de E dans F on suppose que pour tout £ > 0, i1 existe un recouvrenent de F par des parties B , n eN, telles que pour tout n et tout £ > 0, le diametre n,£ de B soit inferieur ou egal a £ , et tel que : n,£

V £ > 0, Vn : f-1(B ) est de frontiere rnaigre (1) dans E. n,£

Alors llensemble des points de continuite de f est un residuel (2) Go de E.

Demonstration du LEMME 2

Pour tout £ > 0 et tout n : f-1(B ) o n,£ ...-.---

avec A n n,£ f-\B ) = 0 et A contenu dans la frontiere de f-1 (B ) donc n,£ n,£ n,£

A est un ensemble rnaigre. D'autre part : n,£ o

E = f-\F) = U f-1(B ) ~ ( U r-1(B -)) U ( U A ) = 11 U M , ~N n,£ ~N n,£ ~N n,£ £ £

11£ est ouvert et M£ est rnaigre, et comme le corrplementaire de 11£ est contenu dans M£, 11£ est donc partout dense dans E. Considerons 1 I ensemble G = n 11 11k , clest un residuel Go de E. kEN\{O}

Montrons que f est continue en tout point de G ; soit x dans G , alors o

x e n 11k , Vk ~ 1 , or 11 11k = U t=1(B 1;:) , donc il existe un entier p tel que o neN n,

-=1 ... x e f (Bp,1/k) ; calculons l'oscillation de f en x

o

(3) -::1 -w(f,x) = inf o(f(V)) ~ o(f(f (B 11k))) ~ o(B 11k) ~ 11k,

veV(x) p, p,

d I oil puisque ceci est vrai pour tout k: w (f , x) = 0 , donc f est continue en x.

Le lemme 2 contient les resultats usuels concernant les fonctions semi-continues et de premiere classe.

On va rnaintenant appliquer le lemme 2, a la situation particuliere qui nous interesse.

(1) On appelle ensemble rnaigre dans un espace topologique toute reuroion denambrable de parties dont l'interieur de l'adherence est vide.

(2) On appelle residuel toute partie dont le complementaire est rnaigre.

(3) V- (x) designe le filtre des voisinages de x et 0 (f(V)) le dianEtre de f(V).

LJM.1E 3

175

Soit X un espace de Banach separable dont Ie dual ~ est separable, E un espace de Baire et f une application continue de E

dans ~ faible etoile, alors 11 ensemble des points de E ou f

est continue dans X~ fort est un residuel Go de E.

Demonstration du lemme 3

Designons par an une suite partout dense dans r ; pour tout

e: > 0 , considerons Ie recouvrenent de r forme des boules fermees B(an,e:).

B(an,e:) est faible etoile compacte, son ~ reciproque par fest donc un ferme de E, donc de i'rontiere rare (1). On peut donc appliquer Ie lelJlle 2, et Ie resultat

est demontre.

Appliquons Ie lemrne 3, a llapplication t, clest possible

puisque GT est un espace de Baire (residuel d I un espace de Baire) ; 11 ensemble des

points de GT ou test fortenent continue est donc un residuel Go de ~ , que nous noterons Gt • II est facile de voir que Gt est un residuel Go de C.

On va maintenant demontrer qulen tout point de Gt la multi

application T de C dans r est semi-continue superieurenent pour la topologie forte.

i.e. Vr> 0 , !3:e: > 0 , Vy IIx-YlI< e: : Ty C B(tx,r) , ceci pour tout x dans Gt •

Pour demontrer ce dernier point, nous aurons besoin de deux resultats de nature

geornetrique.

Soit X un espace de Banach engendre par un faiblenent compact (2)

(par exemple X separable ou refiexif), r son dual ; soit K une partie convexe faible-etoile compacte de ~, alors K est egal

a llenveloppe convexe faible-etoile fermee de ses points qui sont exposes (3) par des elenents de X.

(1) Un ensemble est dit rare si llinterieur de son adherence est vide.

(2) On dit que X est engendre par un faiblenent compact s lil est egal a lladherence du sous espace vectoriel engendre par une partie faiblenent compacte.

(3) Un point x~ de K est dit expose par un elenent x de X si : < x~,x > > < z~,x > Vz~ E K \ {x~}.

176

Demonstration du lemme 4 Nous utilisons un resultat qui est une consequence facile du

theoreme de representation de AMIR et LINDENSTRAUSS (voir [1]). Precisons que si r

est un ensemble on desi~e par co(r) l'espace de Banach des fonctions reelles sur r qui sont nulles a l'infini (i.e. telles que pour tout E > 0,

{x e r II f(x) I > d est fini), muni de la norme II til = sup I f(x) I . Citons : xer

PROPOSITION

Si X est un espace de Banach e~ndre par un faiblement compact,

il existe une application lineaire injective de X~ dans un

certain co(r), continue pour les topologies fortes, et egalement,

continue pour les topologies a(~,X) et a(co(r),co(r)~) •

Soit donc ~ l'application verifiant les conditions de la propo

sition ~ est un horneomrphisme lineaire de K sur ~K, alors si ~x~ est expose dans ~K pour une forme r de c (r l , x~ est un point expose de K pour la forme ~~r

o (~~ desi~e la transposee de ~, de c (r)~ dans X) : et cornme tout faiblement compact o convexe de c (r) est l'enveloppe convexe ferrnee de ses points exposes (voir [1]), le o resultat e'en deduit pour K.

Revenons-en a notre multi-application T

LJM.1E 5

Pour tout x dans C, desi~ons par Ax l' ensemble des elements de ~ obtenus comme limite faible etoile d'une suite tXn ' ou xn e Gt et xn conver~ fortement vers x ; alors Tx est egal a l'enveloppe convexe faible etoile ferrnee de Ax

Demonstration du lemme 5 (i) Montrons d'abord que Ax C Tx

Supposons que x e Gt ' x converge vers x et tx converge faible etoile vers un element x~ de ~ ; si x~n'appartenait pas a Tx~ par le theo

reme de Hahn-Banach on peut separer strictement x~ et Tx par un hyperplan ferrne donne

par un element de X, or comme T est semi-continue superieurement pour la topologie

faible etoile, pour n assez grand tous les tx sont dans le demi espace ouvert conte-n nant Tx ce qui est impossible.

177

(ii) En vertu du lernrne 4, il sufrit de dernontrer que Ax contient

tous les points de Tx exposes par des elements de X. Soit x~ un point de Tx expose par y e x (on peut toujours supposer que y est de

norme 1), supposons que x E Gt (si x e Gt Ie resultat est trivial), puisque Gt est partout dense dans C, on peut trouver une suite xn de Gt conver~ant vers x et

telle que x -x _n _____ > y •

IIxn-xll

En effet, considerons les points zn = x + 1/n y, dans la boule ouverte de centre zn et de rayon 1/n2 , on peut trouver un element xn appartenant a Gt , notons

xn = zn + en avec II eJI < 1/n2 , on a alors :

x -x 1/n 1 _n __ = ___ y+---e , or 1:. - !.... < II x -xii < 1:. + !.... II xn -xii II xn-xli II xn -xii n n n2 - n n n2

x -x donc _n__ conver~ vers y •

IIxn-xll

Montrons maintenant que tXn conver~ faible etoile vers x~. COIJIle Test localement borne et que xn conver~ vers x, pour n assez grand. les t~ sont contenus dans une meme boule ferm§e, on peut donc en extraire une sous suite faible etoile conver~nte vers un certain element u~, d 'apres (i) u"*- e Tx, IIXmtrons

que necessairement u"*- = x"*- • Pour cela il sufri t d' etablir que

v z"*- e Tx: < z"*-,y > ~ < u"*-,y >

Soit z~ E Tx, notons tx~ la sous suite faible etoile conver~nte, d'apres la m::>no

tonie de T, on a : x -x

<tx -z"*-,-~....;;..;..-> > 0 ~ IIx~-xlI

et cornrne Ie premier terme conver~ faible etoile vers u~-z"*- et Ie second conver~ fortement vers y, d 'apres Ie theoreme de Banach-Steinhauss, Ie produit scalaire

conver~ vers < u"*--z"*-,y > qui est donc positif pour tout z"*- dans Tx, d'ou u"*- = x"*-.

Et COlJlle la limite est independante de la sous suite, c'est la suite toute entiere

qui conver~ faible etoile vers x"*-o Donc x~ appartient a Ax

178

Achevons maintenant la demonstration du theoreme 4.1.

L' application t est continue de Gt dans r fort, soi t X un

point de Gt , on a donc

Vr > 0 , :i! E > 0 , V Y E Gt II x-yjl < E IItx-tyjl ~ r

Considerons Y E C tel que IIx-yjl < E , si Y E Gt on a bien Tyc B(tx,r)

si Y e Gt ' soit Y~ un point de Ay , il existe une suite Yn de Gt convergeant vers Y telle que tYn conver~ faible etoile vers Y* ; pour n assez grand on aura

IIYn-~1 < E ,donc tYn E B(tx,r) et par consequent Y~ E B(tx,r) • On a ainsi demontre que A C B(tx,r), et comme Ty est l'enveloppe convexe fermee de Ay '

- Y Ty C B(tx,r) .

Fin de la demonstration du theoreme 4.1.

179

BIBLIOGRAPHIE

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C 3] E. ASPWND

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Israel, J. of Math. 12 (1972), 331-336.

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(12] S.L. TROYANSKI On locally uniformly convex and differentiable nonns in

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C 13] E. ZARANrONELLO : Dense single-valuedness of monotone operators. University of Wisconsin, M.R.C. Technical Report,(July 1972).

LAGRANGE MULTIPLIERS FOR AN N-srAGE

MODEL IN sroc:HASrIC CONVEX PROGRAM1ING

.R. T. Rockafellar ~

Many decision processes are of a sequential nature and make use of infor

mation which is revealed progroessively through the observation, at various times,

of random variables with known distributions. A s:imple model with discrete stages

is the following.

First we make an observation, which singles out for us an element 1;1 of v1

R Based on the information thereby gained, we choose a response xl' which is an n v

element of R 1 . Then we make a new observation, yielding 1;2 E R 2 , and choose a

response x2 E Rn2 . This continues until, at the Nth stage, we determine I;N E RVN

and choose ~ E R~ . The choices are subject to certain constraints of the form

(1) xEX and fi(l;,x)2. 0 for i=l, •.. ,m,

where

(2)

n ._ R 1 x

v xR N

••• x R~

Of course, some of the functions fi might depend only on certain initial components

of I; and x. The result of the decision process is a cost fo(l;,x). The distribution

of I; is assumed known : one is given a regular Borel probability measure rJ on RV with

support ::: • The problem is to determine decision rules which minimize the expected

cost, taking into account the fact that the decision xk can depend on the past obser

vations 1;1, ... ,l;k' but not on the future observations I;k+l, .•. ,I;N .

This is an N-stage stochastic progroamning problem. Our interest here is in

the ~ case, where X is a nonenpty closed convex set in Rn, and f i (I; , .) is a

finite convex function on RO for every I; E ~ and i=O,l, .•• ,m. The feasible set

(3) D(I;) = Ix E xl f. (I; ,x) < 0 ~ - i=l, ... ,m}

is then closed and convex for every I; E::: .

~ Supported in part by groant AF-AFOSR-72-2269. The results reported here were obtained in collaboration with R.J.B. Wets.

181

A "decision rule" is represented by a function X

is said to be nonanticipative if it is of the form

The objective in the problem is to minimize the expectation

~(x) = E f (~,x(~)) = f fo(~,x(~))a(d~) o '='

-=' ->- Rn Such a function L.J •

over some class of nonanticipative functions x, not yet specified precisely. For

simplicity here, we take the set X to be bounded, so that only bounded functions x

need to be considered. (This is no serious loss of generality in practice). We assume

that fo(~'x) is sumnable (Borel measurable) with respect to ~ E::: , and that fi (~,x) is continuous with respect to ~ E ~ for i=1, ... ,m. Then for every bounded, Borel

measurable function x : -=' ->- If one has f. (~,x( ~)) Borel measurabJe in ~ E -=' ,summable ~ l ~

for i=O and bounded for i=1, ..• ,m. (This is known from the theory of normal convex

integrands).Note also that the graph of the multifunction D: ~ ->- D(~) is closed.

Let ~ be the linear space consisting of all the bounded, nonanticipative

functions x : ::: ->- Rn. We adopt as our basic model the problem :

(P) minimize Hx) over all x E 'Yl satisfying x(s) E D(~) for every ~ E :::

The aim of this paper is to outline a theory of Lagrange multipliers corresponding

to the constraints defining D(~). The proofs, based mainly on results in [1] and the

general theory of dual optimization problems [3], will be presented elsewhere in a

broader context. For a somewhat different approach in the two-stage case, see [2].

Let ~ be the set of all x E 'YL satisfying x(s) E X for every ~ E ::: '

and let 'lj be the set of all m-tuples y = (y l' ... ,y m)' where y i is a nonnegative,

regular Borel measure on ::: . For x E ~ and y E 0f.J. ' the function

is well-defined and finite, convex in x and affine in y. Moreover, setting

(7) f(x) = sup L(x,y) for x E ~ YE~

we have

(8) f(x) ={EtfO(~'X(s)) if fi(~'x(S))

+ co otherwise •

< 0 for every ~ E ::: ' i=1, ... ,m ,

182

Therefore (P) is equivalent to minimizing f(x) over all x E ~ . Accordingly, we

define

(9) g(y) = inf L(x,y) for y E ~ xe~

and take the problem dual to (P) to be

(D) maximize g(y) over all y E 'lJ. Then by definition

(10) inf(P) = inf sup L(x,y) > sup inf L(x,y) = sup (D) xeX YE~ - YE~ xeX-

It is elementary in this f'ramework that a pair (x,y) is a saddle-point

of L on X x '4 if and only if min (P) = max (D) , x solves (P), and Y solves (D).

An important task therefore is to establish, under reasonable conditions, a duality

theorem of the type min (p) = max (D), since this not only furnishes the existence

of solutions to (P) and (D), but also their characterization.

To derive such a theorem f'rom the general perturbational theory of duality.

the La.gr'angian L rust first be shown to correspond to some system of perturbations

of (P). While this is possible, certain technicalities arise which make it difficult

to apply the theory in a direct way, and one needs to use further arguments based on

other formulations of the primal problem (p). Let £ m be the space of all bounded rreasurable functions u : :::; ... If! , and

similarly 13 n , so that ~ and 'YL are subsets of 13n . For x E 13n and u E 13m,

define

_ {EE;fo(~'X(O) if x E 11ft , x(O E X an~fi(~~x(O) ~ ui(O (11) F(x,u) - for every ~ E w ' 1-1, ... ,m ,

i"" otherwise.

Then (P) can be identified with the problem of minimizing F(x,O) over all x E 13 the perturbed problem corresponding to u E 13 m consists instead of minimizing

n

F(x,u) over all x E 13n . We can pair 13 m with the space mm consisting of all

If!-valued regular Borel rreasures y on S :

(12) m < u,y> = Li =l

The La.gr'angian function K corresponding to F is then

(13) K(x,y) = inf {F(x,u)+ < u,y >} = ue 19m

{ L(x,y) if x E ~ -00 if x E ~

i"" ifxE ~

, YE'IJ.

Y E 'l1

183

Saddle points of K on 13 x 6fn are, of course, the same as saddle-points of L on n m ~x~

The difficulty in using this scheme straightforwardly is that it is not

clear how to get the desired continuity ar~ compactness properties out of topologies

compatible with the pairing (12) and the analogous pairing between the x-space 13 n

and om n . We circumvent this by working simultaneously with two other versions of

the problem :

(p X) minimize (x) over all x E on satisfying x(1;;) E NI;;)

for almost every E; E E ,

(p C ) minimize (x) over all continuous x E ~ satisfying X(E;) E D(E;)

for every E; E E (assuming E compact).

It is clear that in general

(14) inf (PoC ) 2inf (P) < inf (PC) •

Both (P.L) and (PC) are more open to attack by ordinary methods than is

(p). In the case of (P~), we use the same system of perturbations as above, except

that "every E; " becomes "almost every E;" in the definition (11) of F, and the spaces

13 n and 13 m are replaced by the Lebesgue spaces cl~ (E,a) and .:t..: (8, a ). One

thus has a certain function F on ';:00 x ;(.00; the problem (P .... ) is equivalent to n m .... minimizing F(x,O) over all x E :zOO . Instead of pairing rL,oo(E,a) with al 1CE,a), n m m it is better notationally in the present context to pair it via (12) with the

subspace 6fT1.i! of df1l consisting of the measures which are absolutely continuous m m with respect to a. (Obviously, om~ is canonically isomorphic to oC!). Similarly

wi th ;C ~ . and om; . The corresponding Lagrangian is then

{L(X'Y) if x E ~.t -<lO if x E Xl i<x> if x e "-I..

(15) R(x,y) = inf {F(x,u)+<u,y>}= ..,.00 liE D\. m

, Y E 1J.t , y e 1ft

where 2;: consists of the (equivalence classes generated by the) functions in on. satisfying xeS) E D(S) for almost every E; E E (with respect to a), and ~.l consists

of the measures in ~ which are absolutely continuous with respect to a. Observe

that for (x,y) E ~.l x"Y.t we can also express the Lagrangian by

m dYi (16) L(x,y) = E~[fl(s,x(S» + L'-l - (0 fl' (E; ,x(O)],

s 0 l- da

where dYi/da is the Radon-Nikodym derivative of the ith component of y with respect

to a .

184

The cOITesponding dual of (P..t) is

maximize g .«y) = inf L(x,y) over all y E ~.;c XE~.:c

A duality theorem relating (P.;c) and (DoC.) can be derived, making use of

the conpactness we have assumed for the set X in (3). We can identify rI. with a

subspace of ol~ which is closed in the weak topology induced by the pairing with

I)l'\ ~ ; the compactness of X then inplies that X.,t is conpact in the same weak

topology. On the other hand, it can. be shown from the theory of convex integral

functionals that L(x,y) is lower semicontinuous in x with respect to this topology

for each y E 11~ . Applying a standard mirrimax theorem (or a cOITesponding result

in duality theory), we are able to prove :

THEOREM 1. min (P.! ) = sup (D.c) > - 00 •

(Here min (P.t ) is interpreted as + GO if (P or) has no feasible solutions otherwise,

the use of "min" indicates that an optimal solution exists).

On the other hand, in the case of (Pe) we can obtain results from the

perturbation scheme (11) with the spaces t) n and /6 m replaced by the cOITespoming

spaces en and em of continuous functions on E . (The boundedness of.9 is needed for this to make sense). With ~m paired with mm

via (12), we obtain the same Lagrangian K as in (13), but with ~ replaced by 1.<:, , consisting of the functions in ~ which are continuous. The dual problem is then

(DC) maximize ge (y) = XE% L(x,y) over all y E 1 This time a duality theorem can be derived in terms of the norm topology

on the perturbation space C-m, since this is compatible with the pairing with the

multiplier space 'l7I.m. (The norm topology on .,(~ was not, of course, conpatible

with the pairing with ~). Let us call (P e) strictly 1'easible if there exists a

continuous function x E If'L satisfying x(~) E X and fi (~ ,x(~)) < 0 , i=1, ... ,m , for

every ~ E E . For such an x, the function u .... F(x,u) is bounded above in a neighborhood

of the origin in em' Fundamental duality theory therefore gives us the following.

THEOREM 2. Assuming (P ~) is strictly feasible (with E bounded),

~ has inf (Pe ) = max (Dc.) < +00

It is interesting to contrast Theorems 1 and 2.

In Theorem 1, we have the existence of primal solutions (assuming the constraints

are feasible), but the existence of dual solutions is not assured. It might be hoped

185

that dual solutions would exist under the assunptbn that (P~) is strictly feasible i.e. that there is a function x E qt satisfying for some £ > 0 the conditions

x(~) E X and fi(~'x(~)) < - £ , i=1, ... ,m, for almost every ~ E ~. But examples are known, even in the two-stage case, which show this is generally false [2]. In Theorem 2 we have the existence of a dual solution, and hence Lagrange multipliers

characteridng the solutions to the primal problem. However, the continuity require

ment makes it very unlikely that the infimum in the primal is actually attained, so

this characterization is rather vacuous. Of course, neither Theorem 1 nor Theorem 2

is applicable directly to the problems we really want to analyze, namely (P) and (D).

The route we now follow in obtaining results about (P) and (D) is to impose

conditions under which, to a certain extent, the various primals and duals are "equi

valent", so that Theorems 1 and 2 can be joined into a single statement. The extra

conditions concern the probability measure 0. Without such conditions, the inequa

lities in (14) can be strict, as seen from examples in [1].

For each S C RV = RV1

v1 the projection of S on R x ...

v x ... x R N and index k, 1 < k < N , let Sk denote

vk x R ,and let

As in [1], we shall say that 0 is laminary if the support E of 0 is compact and the

following two conditions are satisfied :

a) If S is any Borel subset of E with 0 (E \ S) = 0, and if Sk is a Borel set,

then for almost every (~1"" '~k) E Sk (with respect to the "projection" of 0 on Sk)

one has

S E dAk(~1""'~k) = Ak(~1'''''~k) .

b) The multifunction A~ is continuous relative to E k .

It is not hard to see that this condition is satisfied in particular if E is a v

product of compact sets E C R k , and

where Ok is a regular Borel measure on Ek . It is also satisfied trivially if E is a

finite set.

186

THEOREM 3. Suppose the probability measure 0 is laminary (with

bounded support E ), and let x E '1L be such that x(1;) E D(~) for almost

every ~ (with respect to 0). Then there exists x E 'Yl ,agreeing with x

almost everywhere, such that x(~) E D(I;) for every ~ E E . If in addition int X t '/) and (P.t ) is strictly

feasible, then for arbitrary E > 0 there exists .§:. continuous function

x E such that

o{~ E ::; I E < I x(O - x(O I} < E.

This result can be derived from [1; Prop.7 and the proof of Theorem 2J.

From it, we obtain, with a few manipulations our main result :

THEOREM 4. Suppose that 0 is laminary (with compact support),

(P i) is strictly feasible, and int X t '/) . Then

+ 00 > min (P) = min (p £.) = inf (P e ) = max (D) = max (DC) = sup (D,t ) > - 00 •

COROLLARY. Under these assumptions (and the basic assumptions

made earlier), (P) and (D) have optimal solutions, and the pairs of such

solutions ~ characterized ~ the saddle points of the Lagrangian L on

~x~

187

REFERENCES

[1] R.T. Rockafellar and R.J.B. Wets, "Continuous versus measurable recourse

in N-stage stochastic programming", J. Math. Analysis Appl., to appear.

[2] R. T. Rockafellar and R.J .B. Wets, "Stochastic convex programming : basic

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extended duality", both to appear in Pacific J. Math.

[3] R. T. Rockafellar, "Conjugate Duality and Optimization'; SIAM/CBMS IlPnograph

series n016, SIAM Publications, 1974.

INTRODUCTION •

NOUVELLES APPLICATIONS

de la

DUALITE AU CALCUL DES VARIATIONS

R.TEMAM

R.T. ROCKAFELLAR r14Ja introduit a la suite de W. FENCHEL r2] des

outils systematiquEs pour l' etude de la dualite en Optimisation convexe, et un cadre

d' etude qui s' est avere particuW~rement commode pour l' etude des problemes variatio-

nels. Ce point de vue a ete developpe dans Ie livre de EKELAND et l' auteur rl] denote

E-T dans la suite. Nous voulons ici presenter de nouvelles applications de la dualite

au calcul des variations en vue du traitement de problemes numeriques,mecaniques ou

theoriques.

Le plan est Ie suivant :

1. - Rappels sur la dualite

2. - Probleme du biharmonique

J.- Problemes en Glaciologie

4.- Surfaces Minima non parametriques

5. - Problemes non convexes.

1.- RAPPELS SUR LA DUALITE .-

Le cadre general est Ie suivant :

- V (resp. Y) est un espace de Banach de dual V*(resp. y*) V(resp.Y) est

189

muni de la topologie de la norme, son dual est muni de la topologie de la norme

si Vest reflexif ou sinon de la topologie faible O'(V*, V) (resp. 0' ( ...J'f', y ) •

Dans les deux cas les espaces V et V* (resp. Y et y*) soient en dualite

«.,.> denote Ie produit scalaire entre V et V* ou entre Y et y*) •

- A est un operateur lineaire continu de V dans Y et son adjoint A'* est

lineaire continu de Y* dans V* •

- FEr (V) est une fonction convexe s.c.i. de V dans RU{+oo} ,non identique o

a +00 ; G E r 0 (Y) est donnee avec des proprietes analogues.

On note F* E r (V*) (resp. G*E r (y*» la fonction convexe conjuguee de o 0

F*(resp.G). Elle est s.c.i. et non identique a +00 •

Aux donnees precedentes, on associe Ie probleme d' optimisation suivant

(probleme primal) :

Inf {F(u) + G(Au)} • uEV

Le probleme dual au sens de FENCHEL et ROCKAFELLAR s i ecrit

(~

Relations primal-dual

Les relations entre Ie probleme primal cP et Ie probleme dual q:>* sont les

suivantes :

a. Sup P*:s; W:P

b. Si il existe uoE V tel que F(u ) < + 00 , G (AU ) < + 00 , o 0

G continue en AUo ' alors

- W P= Sup (j>*

-Ij) * admet au moins une solution p*

190

c. Relations d' extremalite

-lIE lIE mllE - f7.) p E Y est solution de;;- et u E V est solution de .r si et

seulement si

F(u} + FlIE(A*P*)

G(Au) + GlIE(_p*)

c'est a dire

*""lIE<A P ,u>

-lIE _ - 

A*PllE E OF(u) (sous-differentiel de F en u)

- pllE E OG(AU} (sous-differentiel de G en AU)

Application au Calcul des Variations.

Le cadre precedent est particulierement adaptes au calcul des variations : V

et Y sont alors des espaces fonctionnels appropries (batis Ie plus souvent sur des

espaces La. ou des espaces de SOBOLEV) et A est un operateur differentiel •

Dans les applications au contr8le optimal (qui ne sont pas evoquees ici ; cf.

E. T • r1 J) , Ie choix de V et Y est du m~me type mais I' operateur A est I' operateur

Ie contrele ~ l' etat

(a une constante pres). C'est done, pour Ie contrele distribue, un operateur du type de

GREEN.

Pour plus de details, on se reportera a la suite de cet article et a E-T •

2.- LE PROBLEME DU BlliARMONIQUE .-

Le probleme est important dans I' etude des mouvements elastiques de plaques

planes; son etude numerique, par des methodes d'elements finis non conformes, a

191

fait I' objet de plusieurs travaux qui sont bases sur la remarque qui suit :

Soit n un ouvert borne de Rn de fronW~re r reguliere et soit f donne dans

L 2(0) • On cherche u solution de

(2.1) 2 l1u=f dansrt,

u = -~I!.- = 0 sur r 011

(II vecteur unitaire normal a r) .

Ce probleme est equivalent au probleme suivant de minimisation.

Inf2 H\l1v\~(O) -(f,v)} vaIo(O)

On se place dans Ie cadre general indique au § 1 en posant

Alors

v = H~(O) , V* = H-2(0) ,

Y=L2(0) , Y*=L2«(l)

11.= l1 (11.* = l1 Eel; (L2(n), H-2(0» •

F(v) = - (f,v), G(p) = t \p\2 2 L (0)

( • , .) = produit scalaire dans L 2 (n)

F*(A*P*)= SUP2 {<A* p*,v> + (f,v) vEHo(n)

= [0 s~ A*P* f = 0 , c'est a dire

+ 00 SInon

Le probleme dual cr> * s' ecrit done

192

Relations prim ales duales

- Inf P = Sup P *

P * a une solution j)* unique

(elle existe d'apres 1.b, elle est unique car p* ... t \p*\2 2 est une fonction L (0)

strictement convex~.

- P a une solution u unique (Theoreme de LAX-MILGRAM, par exemple).

- On a les relations d' extremalite :

(2.2) \

b,U + j)* = 0

b,j)*+ f = 0

U E H2(0) , j)*E L 2(0) o

Ce systeme du second ordre est equivalent au probleme du biharmonique (qui est

du 4eme ordre). Notons que Ie decouplage de l'equation (2.1) en Ie systeme (2.2) est

trivial ; mais il n' est pas evident alors que jj* soit solution d' un probleme d' optimisa-

tion.

Le probleme (2.2) est encore equivalent a

(2.3) (u,j)*) est point selle du lagrangien

Par regularite on a

u E H3(O) (au moins) , j)* = - b,U E H 1(0) ,et alors (u,j)*) est

p 2 1 * 1 aussi point selle de o(Q sur Ho(O) x H (0) • Pour p E H (0) on a :

(b,u,p*) = -(grad u, grad p*)

et finalement

193

(u,p*) est point selle de

(2.4) cZ(u,p*) = - (f,u) -(grad u, grad p*) - t \p*\2 2 L (r~)

Cette forme du probleme est tres commode pour la resolution du probleme bihar-

monique par elements finis non conformes ; d. B. MERCIER [10 J , F. KIKUCHI [6 J •

Dans la p:resentatbn precedente, cette remarque est due a J. MOSSINO (non publie).

3.- PROBLEMES EN GLACIOLOGIE .-

On etudie l' ecoulement d I un glacier dans les conditions simplifiees suivantes :

II ecoulement a lieu dans la direction Ox ; la section orthogonale du glacier est represen-

tee par Ie domaine (2 du plan Oyz •

LI ecoulement est alors caracterise par une fonction 'f qui doit verifier

y

·i'lf (o'lf Y \2 ( o'lf z \2 J -;2' r -ci- - -p + 3 -ay- + -p (3.1)

2 + 4 (~- - ~-)(~- +4-) {Yiz = 0 dans (2 •

(3.2l 'If donne sur r .

Lletude de ce probleme a ete proposee par GASTINEL fJJ et nous presentons

ci-apres la solution donnee par M.C.PELISSIER (d. M.C.PELISSIER et REYNAUD

r12], M.C. PELISSIER rllJ; onrenvoiea LHBOUTRY r9]REYNAUD rn] pourla

justification de (3. 1)).

194

On considere Ie champ des contraintes T=(T y' Tz ) defini par

T = }_'f ___ L , T = _( __ 0..'1_ + _~_) y?:!7. 2 z Oy 2

Ce champ T verifie

l d~- r(T2y + T~ )T z J = -~ r(T; + T2z )Ty J aT aT

(3.3) ay .. L + -;j- = -1 (on posera f=l : div T+f = 0)

T. it = f{) donne sur r

OU f{) est lie a la valeur donnee au bord de '1 par:

f{)=Ty • lIy + Tz liz = 'IY TZ - Tz Ty

= (_~'L _ L-h + (_2.!.+ -:-) T Oz 2z Oy.ol; y

a'f z y = -~ + -2- Ty - -2- Tz '

i?- = derivee tangentielle de '1 sur r .

Le probleme (3.3) est l'equation d'EuIer du probleme suivant

(3.4) SNP 4 2 {--l- r\p*(x)\4dx}. p E(~ (0» J [) <W p =-f P .11 = f{) sur r .

On insere ce probleme dans Ie cadre general du § 1, et (3.4) apparaitra alors

comme Ie probleme !P * :

_ y =< L4/ 3(n»2

V = w 1,4/3(0)

Y* = L 4(f))2

V* = dual de V

A = \J = gradient

- F(v) = - J fvdx - f <ovdr (v E V = W 1,4/3(0» o r* *

F*(A*P*) = [0 si ~v P = -f p P II = f{) sur r

+ 00 SInon

195

G (p) = -~- f Ip(x) 14/ 3 dx • \2

G*(p*) = -}-fo Ip*(x)1 4 dx •

Le probleme P * ext exactement Ie probleme (3.4) et Ie probleme Ps'ecrit :

~~ 1,4/3(0) {-~- fol grad u 14

/3

dx - fo fudx -J; cp1dr} •

Ona

T = p* = champ des contraintes dans Ie glacier

u = champ des vitesses dans Ie glacier

On a ainsi mis en evidence un probleme variationnel dont la solution est u et un

probleme variationnel dont la solution est T =p* • Cette situation est tout a fait generale

en mecanique ou les principes variationnels correspondants sont appeles principes de I' e-

nergie et principes de I'energie complementaire (cf. GERMAIN [4 J) •

Resultats et ralations primales duales

On suppose que f et <pi verifie une condition de compatibilite

J div T dx = 1 T .vdr o r

soit

f (') fdx = Ir <Pdr

(elle est verifiee pour f et <pi donnes ci-desBus) •

Alors :

- Padmet une solution u unique a une constante additive pres

- P * admet une solution unique j)*( =1 )

- On a les relations d' extremalite

-* 1 - 1-2/ 3 oil Ty = Py = VU -~-

196

Remaraues:

- Le champ des vitesses est solution de

- On rappelle que '¥ est donnee par

Soit ('2 un ouverl borne regulier de Rn de frontiere r • On se donne cP EL 1 (r)

ou,cequirevientaum~me,ondonne ~EW1,1(O) , tel que <t:>lr=cp.

n s I agit alors de trouver une fonction u E W 1,1 (n) solution du probleme suivant :

();»

- On pose

v = W 1,1 (0) , V* son dual

Y = L 1(0) , Y* = L ""(n>n ,

A = <:p gradient 1 1 F(lI) = { O si v - C/J E Wo ' (0)

+"" G(p) = In V 1 + Ip(x) 12' dx

F* (A*P*) ={ (p* , ~C/J) si div p* = 0 + "" SInon r "r----::*:--;;"2' *

G*(p~ = -In yl-Ip (x) 1 si Ip (x) I::;; 1 p.p.

+ 00 sinon.

Le probleme ~ * dual de PSi ecrit (pour les details cf. R. TEMAM r16],

197

EKELAND [1])

(P*)

On rappelle les resultats suivants

- P lIE admet une solution p* qui est unique, est une fonction analytique

dans ('2 •

- Si P possede une solution u alors

vii(x) = - j~~~~----Vl-Ip*(x) 12'

, x E ('2 •

- Si P ne possMe pas de solution, on definit par dualite une solution

generalisee u E W 1 , 1 «('2 ) ; u est une fonction analytique dans ('2 et

v u (x) = - _Jl~~L ____ _ , x En. It -I pllE(x) \2'

Les nouveaux resultats obtenus sur ce probleme sont les suivants :

- Approximation numerigue du probleme des surfaces minimas :

des methodes d' elements finis , mais Ie principe de I' etude est tout a fait general. Le pro-

bleme du calcul de I' erreur de discretisation (a l' interieur) est etudie par V. THOMEE

[17] •

- Le comportement au bard de la solution generalisee

En general la solution generalisee un' est pas egale a ¢ sur r et

pour cette raison un' est pas solution du probleme initial. On se pose alors Ie probleme

198

de la comparaison au bord de u et ¢ . Differents resultats sont maintenant connus

(cf. LICHNEWS KY rs]). De maniere tout a fait informelle lis s' enoncent ainsi : avec

des hypotheses de regulrite convenables sur r et ¢ , on a u = ¢ sur les parties

de r de courbure moyenne strictement positive (i.e. • les parties convexesll de r) •

5.- PROBLEMES NON CONVEXES.-

Voici a present un exemple de probleme non convexe. Soit encore 0 un ouvert

borne de Rn , f E L2(fl} , et g une fonction continue de Rn dans R qui verifie

(5.1) 0< a < ltllJ. :5 a... < + 00 , "II E Rn • 1- 1+\~ \2 ~

On s' interesse au probleme

'V = gradient •

Ce probleme n' etant pas convexe, les resultats rappeles au § 1 ne sont pas

directement applicables. Toutefois avec un usage simultane de la dualite et de la relaxa-

tion , nous allons obtenir quelques proprietes interessantes.

On pose

v = H~( 0)

y = L2(0)n

1\ = 'V = gradient

F(u) = -(f,u)

y*=y

G(p) = In g(p(x))dx , p E L2(n)n •

(G n'est pas convexe en general) •

On a :

199

[0 si . div p* = f

+ co SInon

, * ou g est la fonction conjuguee de g :

g"*(.,,) = sup f"'I {; • 7)-g(;)} , V." E IRn ER~L

Le probleme dual s' ecrit

(lJ-l*) ~p 2 n { - J. g*(-p*(x))dx} p EL*(Ci 0 div p =f

En l'absence de convexite les relations 1. a,b.c. ne sont pCE en general valables.

Introduction du probleme bidual.- Relaxation.-

On considere la r-regularisee de g , soit g* *

Le probleme bidual est

(1)* *) Inf 1 { Pf"'I g**(VU(x))dx - ff"'l fudx} uEHo(O) J( 1 J~ L

Les relations de dualite donnent (~ est aussi Ie probleme dual de ~ * qui est

convexe) :

Sup (p*:5 inf ~ * :5inf g> .

Par ailleurs Ie probleme (P * admet au moins une solution jj*: ce resultat et

l'egalite Sup(P * = inf c.P* * sont consequences de 1. a - 1.b • Grace a (5.1)

G (p) ER Vp E L 2(O)n et d'apres un tMoreme de KRASNOSELSKII r7] , l' applica-

tion G est donc continue de L 2 (O)n dans IR. Donc G est bornee sur un voisinage

2(( de 0 dans Y et alors

G**(AO-P) :5 G(AO-P) :5 M < +co , Vp E CJ.Y,

ce qui implique que G** (qui est convexe) est continue en AO : Ie resultat rappeIe

200

en 1. b est applicable evec Uo =0 , Ie probleme (pa< est stable.

Par ailleurs, un resultat de relaxation etabli dans E-T donne:

inf cP lIElIE = inf CfJ

«(J.J lIElIE est une forme convexifiee ou relaxee du probleme cp). Finalement

Sup P * = 1nf <;PlIElIE = W cP •

• 171 ~ • -* m lIElIE) '" On Salt que -:r a une solution p ,";J- (cf E-T a une solution u , et les

suites minimis antes de P convergent vers u . Les relations d' extremalite entre

P et P lIElIE donnent

Si ~ possede une solution ii , alors

g('i7ii(x» + g*(-p*(x» = - p~(x),'i7ii(x), p.p. xEO •

n en resulte que

g('i7ii(x» = gllEllE(vii(x» P.P. xEO •

Donc 'i7ii(x) prend ses valeurs dans l' ensemble {s E Rn , g( s ) = gllEllE( s)} et

u est solution de Cj' lIElIE. Rec:proquement, u solution de ~ lIElIE est solution de <? si

et seulement si elle satisfait a cette condition.

Une etude plus approfondie des relations entre les solutions de ~, C? ~ et ~ a

semble souhaitable. La regularite des solutions de c:r** est abordee par SCHEURER

[15J •

201

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ON THE STRASSEN THEOREM

by

Michel VALADIER

Introduction. Many papers on Strassen theorem have been published since Strassen(s

paper; CASTlING [11 [31, IOFFE LEVIN (§2 and §3), IONESCU TlJLCEA (A.), KONIIIr, LEVIN

[1], MEYER, VALADIER [1]. Among the last extansions that of IOFFE LEVIN (§2) and

KXTh[Gsuggest an abstract theorem. That is theorem 1, which we call abstract theorem

because we obtain "pseudo-selections" in place of selections (the notion of pseudo

selection iA also defined by GODET-THOBIE). It remains to find hypothesis whi·ch ensure

that p~eudo-selections can be replaced by selections. As in desintegration theorems

we can either suppose the vertical space (here the vector space) to be separable, or

that the horizontal space (here the measured space) has the strong lifting property.

Thus we obtain two concrete Strassen theorems. The first one (theorem 2) is the same

as in VALADIER [1]. The second one (theorem 4) is approximately the statement of

IOFFE LEVIN (§3) but with a different proof. It seems (at the present time) that these

two statements cover all generalizations, except the special one of CASTAING r2] [3].

The abstract theorem permits to obtain two compactness theorems. The first

one (theorem 3) generalizes CASTAING-VALADIER and WEGMANN. Finally we give two theorems

(theorems 5 and 6) equivalent to theorems 2 and 4, which express subgradients of a

convex function defined by integration of a family of convex functions, as integrals.

§ 1 NOTATIONS. THE EXPECTED RESULT

Let (T,~,~) be an abstract measured space. That is ~is a tribe of subsets

of T, and ~ is a positive measure. We suppose that (T, ~,~) has the direct sum

property (DINCULEANU) : that is there exists a family (Ti)i E I such that

1) TiE"C 2) i~j => TinTj=,O, 3) ~(Ti)<oo

4)

5)

A c: T, (V.) AnT. E CC' => A E 'C' 1 1

A E ,,=> ~(A) =!: \lo(T. n A). 1

Such a family will be called a decomposition. When T is a Hausdorff topological

space and ~ a Radon measure and if we consider the essential measure, then there

exists a decomposition (Ti ) with the Ti compact, and the family is locally coun

table : such a family is called a cgncassage.

204

Let E be a Hausdorff locally convex space and r a set valued function

from T to convex non empty compact subsets of E. For every x' E E' we denote

by o*(x ' I ret)) the number sup [<x',x> x E ret)} (remark that 0*(. I ret)) is

the support function of ret)). We suppose that r is "scalarly integrable", that

is for e very x 'EE', the function

t H 5*(x' I ret)) is integrable.

We denote by E' the topological du~.l of E, and by E'* the algebraic ,diJ.al:'a.f E'.

Definitions.

1) A selection of r is a map s : T .... E such that for every x' E E', <X',s(.»

is mesurable and such that set) E ret) B.e.

2) A pseudo-selection of r is a map a : T .... E'* such that for every

x' E E' , <x',a(.» is measurable, ~ <X' , a( t» ,;; 5*(x' I ret)) a.e.

3) The set of all selections is denoted by ~(r), and the set of all pseudo-selec-

tions is denoted by ~S(r). The guotient s~ces for the eguivalence "eguality scalarly

almost ever:i:!:!:here" are denoted by s(r) !!ill. ps(r).

~. Every gelection is a pseudo-selection. The converse is false. Even if a

is a pseudo-selections with values in E, we have

<x', a(t» ,;; 5*(x' I ret)) iftf.N, x

where Nx ' is a negligible which depends on x', and a may fail to be a selection.

4) The set Js ~ 1 s E ;f(r)} is denoted b:s. Sr ~ •

The set [Ja ~ I a E g>.f(r)} is denoted by Jr~. ~. The weak integrals Ss~, 5a ~ are defined as elements of E'* by

<x', fs ~> = I<x', set»~ ~(dt) _<x', a ~> = J<x l , a(t» ~(dt)

So the sets Jr ~ and Sr ~ are subsets of E'*.

We can now state roughly the

Expected theorem. The set Jr ~ is convex non empty weakly compact in E. Its support

function is x' ~ Jo* (x' I ret)) ~(dt).

Particular cases.

1 ) If r 1 and r 2

2) If E = lR, ret}

As r r ~ = (Ja ~, Jb In that case

are

is

~J

two convex compact sets it is well known that

o*(x' 1 r 1 + r 2) = o*(x' I r 1) + 5*(X ' 1

an interval faCt), bet)] with ~,b E

the expected theorem is obviously true.

j(r) = [s E :t; 1 a ,;; s ,;; b} and s(r) is 1 00

a(1 , 1 )

205

compact. That classical result will be useful in the sequel. So we give and idea of

the proof.

Lemma

a (I~, 1 .w. a,b E ~ T:"') --ul. compact.

~ a ~ b. Then the set S 1

[s E 1m. I a ~ s ~ b}

~. First remark that a and b vanish outside a a-finite set T. So we may ~ 1 0

suppose ~ a-finite. Then there exists a function h E ~m such that h(t) > ° for

every t. The map·A.;' ep ..... ~ is an isometry from Ll(T,~,~), onto L\T,t',h ~). And A is also bicontinuous for the weak topologies a(Ll(~), ~(~)) and

a(L1(h~), Loo(h~)). As A(S) = [ep E L1(h~) I ~ ~ ep ~~} we may prove the lemma when h h 1

~ is bounded. But S is a uniformly integrable subset of L. Thus, by NEVEU

prop. IV-2-3 or MEYER II-T 23, S has a a(Ll, Loo) compact dosure. But S is convex

and closed for the norm (because if lis -sll ~ 0, there exists a subsequence (s ) n . ~

such that s ~ s a.e.) By a well known result S is weakly closed. ~

§ 2 ABSTRACT RESULTS

Lemma 2. 1ll 1

Hom(E', ~) be the set

the maE a ..... iIi~ PS(r) .12 Hom(E' ,

is one-to-one from PS(r) onto the set

of all i linear mal2s from E' .:!:£ ~. Consider

Ll) defined by iIi(x') = <x', a(.» • This maE

-=o=...:;;:=..:::.:;:..::....,:o:,;:f;..,.;;:a:.=l.:..l iii E Hom (E', L 1 ) such that V x' E E',

iIi(x') ~ o*(x' I r(.)).

~. More exactly let us denote by ep the eq~ce class of cp E i~. Let

a E~f(r) and let iii be the linear map x' ~ <x', a(.». Then obviously, iii depends

only on the equivalence class of a, iii has the indicated property, and a ~ iii is

one-to-one. It remains to prove that a'~ iii is onto. Let R: L1 ~ ~1 be a linear

lifting: that is R is linear and R~) = f (such a lifting exists because L1

has a basis as linear space). Then if ~ is given, for each t E T, x' ~ [R(¢(x'))l(t)

is a point aCt) of E'* and a is a pseudo-selection.

Lemma 3. The set ps(r) is convex non eml2ty and compact when endowed with the

coarsest tOl2ology such that the mal2s

a ~ Jf(t) <x', aCt»~ ~(dt) (f E \' x' E E')

are continuous (that tOl2ology will be called the tOl2ology of convergence on \ @ E'). Moreover for every x' E E' there exists a E I$l;f(r) such that

<x', a(.» = o*(x' I r(.)) a.e.

~. Let A be the set

[¢EHom(E"~) I 'lx' EE', ¢(x') ~o*(x' I r(.))}.

206

By lemma 2 compactness of ps(r) is equivalent to compactness of A in (11)E'

when 11 is endowed with a(11 ,100). For x' E E' and ¢ E A one has

- &*(-x' I r(.)) ,; ¢(x') ,; &*(x' I r(.)) •

By lemma 1, ¢(x') belongs to a compact subset of 11. Let ~ be an ultrafilter on

A, and 000(X') be the limit of ¢(x'). Then x' ~ ¢oo(x') is still linear and

000(X') ,; &*(x' I r(.)), so that ~ EA. 1

To prove that ps(r) is non em~ices to prove the last property. But 1R is

a complete lattice and x' ~ &*(x' I r(.)) is sublinear. The analytic HAHN-BANACH

theorem remains valid (see PERESSINI II-2-1 p. 78) when a is replaced by a complete

vector lattice. Consider the linear map ¢O : A x' ~ A &*(x' I r(.)) from ~ x' to

11. We have

we have

¢O(h') ,; &*(b' I r(.)). It is obvious if A ., O. If A < 0

¢o(b') =A &*(x' I r(.))

= (-A) [-&*(x' I r(.))l

,; (.,.A) &*(-x' I r(.))

= &*(h' I r(.)) •

Then, by HAHN BANACH, ¢O has an extension to E' such that V y' E E',

¢(y') ,; &*(y' I r(.)). Then associated pseudo-selection has the expected property. ~

~. Denote Vex') = &*(x' ! r(.)). Then A is the subdifferential OV(O) and

lemma 3 results from LEVIN [21 or VALADIER [~1 (to obtain continuity of V it is

necessary to endow E' with the finest locally convex topology).

Theorem hoi (Abstract Strassen theorem).

The set r r ~ is the convex non empty, a(E'*, E') compact subset of E'*

which has x' , ... J &*(x' I ret)) ~(dt) as support function.

~. We shall apply lemma 3. Remark that a ~ Sa(t) ~(dt) is continuous from

ps(r) to E'* (endowed with a(E'*, E')) because

<x', Ja ~> = JXT(t) <X', aCt»~ ~(dt).

Hence Jr ~ is convex non empty a(E'*, E') compact.

For every x' E E' we have

V 0 E ps(r). <x', Ja ~,; J&*(x' I ret)) ~(dt).

And by lemma 3 there exists one a E ps(r) such that the equality holds.

Thus &*(x' I Jr ~) = J&*(x' I ret)) ~(dt) •

~. The ideas of the proofs are in IOFFE LEVIN §2. But their statement is given

only for BANACH spaces. KONIG gives a similar theorem, but with the functions

207

6*(x' I r(.)) bounded, and his proof uses derivation.

§ 3 CONCRETE THEOREM WITH E' SEPARABLE

Def'ihitiOIl • We sa;y; that E' is se~rable if there exists

E' with r!i!sll!ct to a toegloSZ com~tible with the dualit;y;

a countable

E, E' •

~. If E' countains a sequence (e' ) which separates points of n

dense set in

E, then

it is separable because the set of all linear combinations with rationnal coefficients

is a countable T(E', E) dense set. Thus if E' is separable, it is separable for

all topologies between cr(E' ,R) and T(E' ,E). If E is a locally convex Souslin space

then E' is separable.

Consider now the following hypothesis.

(H1 ) E is a So!,!slin locall;y; convex sli!!!.ce and is semi-reflexive.

(H2) E is a Souslin locall;y; convex s~ce, E is seguentiall;y; weakl;y; com~lete and

th!i! closed convex hull of a oomli!!!.ct s!i!t is weakl;y; com~ct.

(H3)

.ww. E'

Qi'

is se~rable and there exists a decom~osition (Ti ) and convex com~ct

such that, Vi' V t E Ti , ret) C Qi' sa E is seguentiall;y; weakb

com~lete.

(H4) E' is separable and V s E ;f (r), fs ~ E E

Lemma !. The following im~lications hold :

H1 => H2 => H4 and H3 => H4.

~.

H1 => H2. To suppose E semi-reflexive means that a weakly closed bounded set

is weakly compact. Hence a weak Cauchy sequence converges, and the closed convex

hull of a compact set is weakly compact.

H2 => H4. We have to prove V s E ;f (r), Is ~ E E. Remark :first that we may

suppose ~ cr-finite because

(here (e' ) is n

S = {t I r( t) 1= {O} } = U {t I 6* ( e ' I n n

a sequence which separates points of E).

r( t)) 1= O}

Let (Tn)n E T be a decomposition of T. It is well known that s is measurable

with respect to ~ and the borel tribe of E. Denote by ~ the bounded measure -1 n

induced by ~ on T. Then the measure ~n 0 s on E is a Radon measure (BOURBAKI)

and is beared by the union of a sequence of compact sets K. By H2 K may be p p supposed to be convex weakly compact.

The sets T = {t E TIs ( t) E K - UK} np n p q<p q

are measurable. So there exists a decomposition (T' ) n

and convex weakly compact

208

sets Qn such that

Then

'In , 'I t E T' , s (t) c: Q • n n

E,,(T' ) Q , and by Lebesgue theorem we have .. n n

<X' Js"~ = lim <x' J U T'm s~> • ,~ , m~n

Thus Ss ~ is limit of the weak Cauchy sequence

to E. JUT' s~ and therefore belongs

m";n m '

H3 => H4. Remark that we may still suppose ~ a-finite.

Then [i' ~(T.) > o} is countable. The last part of the proof H2 => H4 remains ~

valid.

Theorem 2. We suppose H4. ~ Jr ~ is convex non empty weakly closed in E ~ has the following support function

x' - J5* (x' , ret)) ~(dt).

Moreover for every x' E E', there exists s E S (r) such that <x', s (t»

= 5*(x' , ret»~.

If we suppose E semi-reflexive then Sr ~ is countained in E.

l!:22!. Let (e') be a sequence in E' which separates points of E. Let D be n

the countable set of linear combinations with rationnal coefficients of the e'n'

and let E'O be the vector_subspace generated by the _e'n.

1) _First we show Sr ~ = Sr ~ n E. Inclusion Jr ~ eIr ~ n E is obvious. Let

x E Jr ~ n E and a E'S>S(r) such that x = Ja ~. It remains to obtain s E S (r)

such that x = Js ~. Let N be a neglig.:i'ble set such that 'lx' E D, 'I t f- N <x', a( t» ,,; 5*(x' , r( t)).

k If x' E E'O' we have x' = r: Of. e' , with Ofi E~.

i=l ~ ni

Each Of. ~

is limit of a sequence of rationnals r~. Thus x' is limit of ~

x' =r:r~e' aswell for T(E',E) as for a(E',E'*). Hence 'I x' E E'O' 'I t ~ N, p ~ ni

<x', a(t»,,; 5*(x' I ret)).

That proves that for t f- N, x' - <x', aCt»~ is T(E',E) continuous on E'O and

its unique continuous extension to E' is defined by a point set) E ret). Put

set) = 0 if tEN. Let us prove s E ~(r). If each x' E E' is a limit of a sequen

ce of points of E'O' then <x', s(.» is measurable for every x'. But we cannot

assert that. So we put r_ 1(t) = ret) and for n ~ 0

F (t) = [x E r (t)' <e' , JI;> = <e' , aCt»} • n n-1 n n

209

Thus fs(t)} = n r (t), and by VALADIER ([11 or [21) s is scalarly measurable. n

For x' E E'O we have

<x' ,x> = <x', fa 11>

= f<x,,"a> 11

= S<x', s> 11

= <x', Js !J.>

As fs 11 E E, that implies x = Ss 11 •

2) ~ lemma 3 for a fixed x' E E', there exists a E~(r) such that

<x', aCt»~ = 6*(x' I ret»~. In part 1) we can suppose that x' E E'O. Thus the selection s satisfies

<x', s(.» = <x', a(.» a.e.

3) The first part proves that fr 11 is convex weakly closed in E. The second

part proves that fr 11 has x' H f6* (x' I ret»~ l1(dt) as support function, and

therefore that it is non empty (part 1) proves S(r) ~ ¢). 4) At last if E is semi-reflexive, fr 11 is weakly compact, and so

because ir 11 is the only a(E'*, E') compact convex subset of E'*

support function x' I-> J6*(x' I ret»~ l1(dt).

rr 11 = f r 11

which has the

~. This theorem is approximat6ly the same as in Valadier [lJ but the proof

is slightly different.

Theorem 3. We suppose either "H4 g E is semi-reflexive" or "E' is separable

and there exists a decomposition (Ti ) ~ T, and convex compact sets Qi such that

'<fi, 'if t E Ti , ret) c Qi~.Ih2!!. s(r) = ps(r) (more precisely each pseudo-selection

is equal scalarly almost every where to a selection), so that s(r) is compact for 00

the topology of convergence on 1R ® E'.

~. With the first hypothesis for every A E "<: , we. have jAr 11 C E. With the

second hypothesis, for every A E 'C , A C Ti we have fA r 11 C I1(A) Qi C E.

Let a E rs>;f(r). In the first part of the proof of theorem 2 we proved existence of

s E ~(r) such that

Consider A E <e'(with

'if x' E E'O' <x', a(.» = <x', s(.» a.e.

ACT., if we work with the second hypothesis), l.

'if x' E E' 0' <s', SA al1> = <x', fA slJ.> •

As fA al1 and J~ sl1 belong to E, that implies

fA al1 = fA SI1 , and therefore

then

210

so that s is equal to a scalarly almost everywhere.

~. This theor~m covers Castaing-Valadier (th. 3 p.7) and Wegmann (6.5 p.233).

For a review of some other compactness theorems see VALADIER [4l.

§ 4 CONCRETE THEOREM WITH HYPOTHESIS ON T AND r.

Lemma 5. We suppose that the function 5*(x' I r(.» are essentially bounded and 00

that there exists a lifting p of it and a negligible set N such that

Vx', V t f N, p[5*(x' \ r(.»l (t) ~ 5*(x' I ret»~. Then every pseudo-selection is

equal scalarly almost everywhere to a selection.

Let a be a pseudo-selection. Then, if t ~ N, x' ~ p(<X', a(.») (t) is

linear and less than 5*(. I ret»~, so it is defined by set) E ret). For tEN, put

set) = O. Then s is a selection which is equal scalarly almost everywhere to a.

We recall that, if T is a topolog~cal space, r is said to be upper

semi-continuous (u.s.c.) if for every to' and every open set U such that r(tO)cu,

there exists a neighbourhood V of to such that,

of CASTAING, r is u.s.c. with respect to a(E,E') 5*(x' I r(.» are u.s.c.

V t E V, ret) c u. By a-lemma

if and only if the functions

Theorem 4. We suppose that T is a Hausdorff topological space and ~ a Radon

measure, and that there exists a concassage (K. ) 1

such that :

(i) (ii)

( iii)

~

r is, u. s. c. on every Ki

the induced measure ~i ~ Ki has support Ki

Loo(K., ~.) has a strong lifting. 1 1

1) s(r) = ps(r) so that s(r) is compact for the topology of convergence on 00 1m ® E'.

2) 1!. x E E is such that

V x' E E', <x', x> ~ J5*(x' I r(.» ~

then there exists s E J (r) such that x = J s ~. Moreover if for every s E :f (r), Ss ~ belongs to E,.ih!.U. J r ~ is convex non empty

weakly compact and has x'.-. J 5* (x' I r(.» ~ as support function.

~.

On each K., 5*(x' I r(.» is u.s.c. so that 1

5*(x' I ret»~ = inf [cp(t) I cp E e (K.), cp;" 5*(xt I r (.»}. 1

211

Let p be a strong lifting of L~(Ki' ~i). For every

ep E ~(K.), ep ;;, Ii*(x' I r(.» we have ep p(ep);;, p[Ii*(x' I r(.») ].

(remark that Ii*(x' I r(.» E J;). Hence 6*(x' I ret»~ ;;, P[Ii*(x' I r(.»)] (t).

2) So lemma 5 applies on each Ki , and every pseudo-selection is equal scalarly

a.e. to a selection. And all the remaining properties follow from theorem 1.

Remarks 1) Theorem 4 is approximately that of IOFFE-LEVIN §3.

The existence of a strong lifting of ~(K., ~.) l. ].

is ensured if the

Ki are metrizable. It is the main case. Other cases are : Ki is stmnian and ~i

is normal, or T is a locally compact group and ~ a Haar measure.

3) With the hypothesis that E is a reflexive Banach space, but without

existence of strong lifting, CAS TAING [21 (and in a weaker form HIMMELBERG-JACOBS

VAN VLECK) has proved that r has Lusin measurable selections. The idea of the proof

is the following. By a renorming theorem of Lindenstrauss, there exists a strictly

convex norm on E equivalent to the given one. Then the projection of 0 on ret),

is a point set) which is weakly measurable on Ki • By Dunford-Pettis-Phillips

theorem s is strongly measurable. If x' E E' is fixed, then

~(t) = {x E ret) ! <x', x> = Ii*(x'i ret»~}

has a closed graph on each compact on which 6*(x' I r(.» is continuous. Thus by

the previous argument ~ has a measurable selection. If moreover ret) C h(t) B

(with h E ~1, B unit ball of E), then Strassen theorem holds (CASTAING [3J).

§ 5 SUB-DIFFERENTIAL FORJIIIlJLATION

Let F be a Hausdorff locally convex space, U a convex open subset of F,

and yo E U. Let (ft)t E T be a family of finite convex fUnctions on U. We suppo

se every f t continuous at yo' and that V y E U, t H ft(Y) is integrable.

Now we can define a convex function f on U by fey) = Jft(Y) ~(dt).

Theorem 5. We suppose F separable

1) If for every function s: T - F', scalarly integrable, Js ~ belongs to F',

Moreover if F is barreled then f is continuous on U.

2) If fEcontinuous at Yo.!h!!l ef(yo) = Ie ft(yo) ~(dt).

h:22!. 1) We shall apply theorem 2.

212

Let E = F's (that is F' endowed with a(F',F), so that E' = F), and ret) = oft(YO~ We have (because f t is continuous at YO)

6*(y I ret)) = f'Jyo' y)

where f't(Yo'y) denotes the directionnal derivative of f t at YO in the direc-

tion y. ft(YO+"-y) - ft(yo)

As A ,--> "- is an increasing function on

{A E IR I A fo 0 and YO + "-y E U}, ft t(Yo'y)

ft(YO+ AY) - ft(yO) and f't(YO'y)., "-

if A is < 0 and such that YO + ,,-y E U. So by Faton theorem t ~ f't(YO'y) is

integrable, and

f'(yo'y) = lim n[f(yo +;) - f(yO)]

= Jf't(Yo'y) ~(dt) = J6*(Y I ret)) ~(dt).

Hypothesis H4 of theorem 2 is satisfied and

fo ft(yO) ~(dt) = {y' E F' I "'if y E F, <y', y> ~ f'(yo'y)}

= of (Yo)

As the f t are continuous on U, the former result is true for every YO E U, so

that of (Yo) is non empty at every YO' and f is l.s.c. (lower semi-continuous).

But then, if F is barreled, it is well known that f is continuous.

2) If we suppose f continuous at YO' then of (YO) is convex non empty weakly

compact. But

{s E F* I "'if Y E F, <S,y> ~ f'(yo'y)} = of (Yo)

Remark that the left member is jr ~'. Thus "'if s E S (r), Js ~ belongs to E, and

hypothesis H4 is satisfied and theorem 2 applies.

~. This theorem, and the following one, extend results of MOREAU on sum of

subdifferentials.

Theorem 6. We suppose that T is a Hausdorff topological space, ~ a Radon measure,

and there exists a concassage (Ki ) such that

(i) (ii)

(iii)

"'if Y E U, t - ft(Y) is U.S.C. on Ki

the induced measure ~i 2ll Ki has support Ki 00

L (K., ~.) has a strong lifting l. l.

Then of (Yo) = So ft(yo) ~(dt) C'I F' •

lI22!. We shall apply theorem 4. As in theorem 5 we put E = F's' ret) = 0 ft(yO)'

We may suppose that (Ki ) has been refined (if necessary) so that t ~ ft(yO) is

213

continuous on Ki •

Hence 5*(y I r(t)) = f't(YO' y)

= inf n[ft(Yo + Z) f (y )] ~ t 0 n~l n

is u.s.c. on Ki , and r is u.s.c. on Ki with respect to a(F',F).

As in theorem 5

J5*(Y I r(t») ~(dt) = f'(Yo'Y).

Now we can apply theorem 4. If y'E of (Yo) we have V y E F, <y', y> ~ f'(yo'y),

and therefore y' E 50 ft(yO) ~(dt). Conversely if y' E So ft(yO) ~(dt) n F'.

We have V y E F, <y', y> ~ f'(yo' y) that is y' E of (yO).

~. These theorems on subdifferentials can be extensively improved when F

is a reflexive separable Banach space (see works of ROCKAFELLAR, IOFFE LEVIN).

214

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~ONVEXITY AND REPEATED GAMES

A Survey by

Shmuel Zamjr

(The Hebrew University of Jerusalem and CORE)

ABSTRACT

The concepts of concavification and convexification of functions play

an essensial role in the analysis of a branch of game theory called 'Repeated

games with incomplete information'. The most important and interesting

aspects of such games are the flow of information, rates of revealing and rates

of collecting information. The mathematical expression of these aspects relies

heavily on the concepts of concavification and convexification which seem to be

very intimately related to the concept of information. In our talk we first

formulate some problems and results, concerning convexification, taken out of

context from the works on repeated games. Then starting with a few simple

examples we introduce a basic result about repeated games with incomplete

information involving concavification and convexification. By proving a simple

theorem, we then try to see how convexity comes into the subject. Finally we

generalize the first result refering back to the theorems stated at the

beginning of our talk.

1. INTRODUCTION

Generally speaking, repeated games with incomplete information are

supposed to be a mathematical model for multi-stage conflicts in which each

participant has in the beginning only partial information about the state of

nature. The main feature of these games is the possibility for a player to

collect additional information throughout the play of the game by watching the

behaviour of the other players. Consequently, any player has via his behaviour

a certain control on the flow of information from him to the other players. The

217

most important and most interesting aspect of such games is that of the in

formation: The importance of information to each player, the optimal rates of

revealing and collecting information, the cost of information, etc.

When we set the mathematical model and come to analize it, we meet

very quickly the concepts of concavification and convexification of functions.

At the present state of the research these are the key elements of the analysis

and seem to be very intimately related to the concept of information.

Considering the title of our conference and the audience in front of

me, I will start from 'convexity' and then come to games. More precisely, I

will first formulate some problems and results concerning convexity taken and

isolated from the game theoretical context. At the second part, we will look,

at a few simple examples of repeated games with incomplete information, followed

by the first important result in the subject involving convexification. Then

we will state and prove a simple theorem that suggests the close relation between

information and'convexity'. Finally we generalize the model and the results

referring back to the theorems stated at the beginning of our talk.

2. PROBLEMS AND RESULTS IN CONVEXITY

It should be made clear that the following problems and statements in

convexity are by no means a result of a systematic research in this subject.

They are just tools used by game theoreticians to solve some problems in game

theory. For this reason no attempt was made to present the results and the

problems in their greatest generality. The spaces will be always the n

dimensional Euclidian spaces Rn and most of our functions will be continuous

real valued functions defined on a convex compact set in Rn which is usually

a polyheder or even a simplex.

Let P be a simplex in Rn and let f be a bounded function defined

on C which is any subset of P. Recall the following well knwon definition:

218

DEFINITION 2.1: (i) The concavification of f (on P) denoted by Cay f is p

the minimal concave function g defined on P and

satisfying g(p) ~ f(p) for all p E C.

(ii) The convexification of f (on P) denoted by Vex f p

is the maximal convex function h defined on P and

satisfying h(p) ~ f(p) for all p E C.

The operators Cay and Vex play the most important role in our

analysis and their computation has a practical importance, e.g., to find the

value of certain games, hence:

PROBLEM: Find a computable algorithm to compute Cay f (or Vex f) for a given p p

function f.

When P is an interval, the computation is rather easy. However even

for P a triangle, I do not know of any reasonably efficient and

feasible numerical method to find Cay f. Recently I heard from P.

Ekland that he is very interested in the same problem for entirely

different applications.

Let P be a simplex in Rn and Q a simplex in Rm. Let f(p,q)

be a continuous real function on P x Q (or a subset of it). We shall write

Cay f(p,q) for the concavification of f with q held constant. Similarly p

for Vex f(p,q). It can be shown that: q

(2.1) Cay Vex f(p,q) < Vex Cay f(p,q). p q q p

QUESTION: Does equality always hold? The answer is no, as can be demonstrated

easily by the following simple example:

Let P = Q = [0,1] and let f be defined by Figure 1.

219

o 1 q

~ ~--------------~~--------------1

1 ~------------~--------------~

p

Figure 1: f(p,q)

It is enough for our purposes to look at f(p,q) only at the nine points

(p,q) € {O,~,1}2. We get:

q ....

0 -~ 0 0 -~ 0 0 -~ 0 0 -~ 0

p .j. -~ 0 -~ 0 0 0 -~ -~ -~ 0 -~ 0

0 -~ 0 0 -~ 0 0 -~ 0 0 -~ 0

f(p,q) Cav f=Vex Cav f Vex f Cav Vex f p q P q P q

Therefore (Cav Vex f)(~,~) p q

220

- ~ while

(Vex Cay f)(~,~) o. q p

Let us just mention that in the context of game theory an equality in

(2.1) is a necessary and sufficient condition for the existence of a value for a

certain game.

Let u be continuous on P x Q and define two sequences

{v } n 0

on P x Q by:

{ Yo - Vo -

(2.2) ~+l Cay Vex max {u(p,q),~(p,q)} n = 0,1, ... p q

vn+l Vex Cay min {u(p,q),vn(p,q)} n = 0,1, ... q P

00

{v} and -nO

THEOREM 2.2: Both sequences {~} and {v } n

converge, uniformly on P x Q to

the same limit function denoted by v.

The proof of this theorem can be found in [MZ] (Theorem 5.4, page 54).

Here we will limit ourselves to a few observations:

(i) Since u is continuous on a compact set, it is uniformly

continuous. The operators Cay and Vex are monotone and preserve the modulus of

uniform continuity. From this fact the uniform convergence of the two

sequences follows easily. The difficult part of the proof is to prove that they

both have the same limit.

(ii) If u satisfies equality in (2.1) then from (2.2) we get

Yl Cay Vex u(p,q) = Vex Cay u(p,q) = vI. Similarly we get from (2.2) that:

v -n

p q q p

Vex Cay u - ~+l 2. ~ and v n Since {v } is an

-n

221

increasing sequence and is a decreasing sequence we get by induction that

v = v --n n

Cav Vex u = Vex Cav u for n = 1.2 •••. So when equality holds in (2.1).

then this common value is exactly the common limit in Theorem 2.2. In some sense.

therefore. the common limit in Theorem 2.2 is a generalization of Cav Vex u

and Vex Cav u when they are not equal.

THEOREM 2.3: Let u be any continuous function on P x Q. then there is exactly

(2.3)

one solution f for the system:

[(i)

(ii)

f(p.q)

f(p.q)

Vex max {u(p.q).f(p.q)} q

Cav min {u(p.q).f(p.q)} p

This is Theorem 5.3 in [MZ]. The unique solution of (2.3) is

exactly the common limit in 2.2 which therefore can be considered

as an approximation method to solve 2.3. Note that each of (i)

and (ii) has many solutions. For example is a solution for (i)

and is a solution for (ii). The unique simultaneous

solution is exactly the minimal solution of (i) and the maximal

solution of (ii).

3. REPEATED GAMES WITH INCOMPLETE INFORMATION-EXAMPLES

EXAMPLE 1 ([AM]): Consider the following 2-person O-sum game:

(3.1)

222

The n-stage game rn(~) is played as follows: At stage 0 a chance

move chooses k E {1,2} with probability distribution (~.~) The outcome of

the choice is told to PI (player I. the maximizer) but not to PII (player II.

the minimizer). A 2 x 2 game is then played n times; at each stage

m (m = l ••••• n) PI chooses im E {1.2} and PII chooses jm E {1.2} • the

referee announces the moves (im.jm) and they proceed to the next stage m+l.

Ink At the end of the n-th stage PII pays PI the amount of - r a i j • where

n m=l m m

k is the number chosen by chance at stage O. Clearly rn(~) has a (minmax)

value which we denote by vn(~)' For n=l. the only optimal strategy for PI is

to play T (top strategy. i.e •• i=l) if k=l and B (bottom. i.e •• i=2) if

k=2. Recall that PI is informed about the value of k before he starts

playing. It follows that vl(~) =~. (Remark: Since k and usually i and m

jm are random variables. the payoffs are random variables as well. By

definition the payoff in the game is the expectation of the payoff random

variable.)

The main feature of our game is the role of the extra initial information

namely. the actual value of k which is known to PI but not to PII. In simple

words: PI knows which game is being played while PII knows only the possible

games and the probability distribution (~.~). The optimal strategy of PI in

rl(~) gives a clear signal to PII as to the value of k. since if PII observes

PI playing T he knows that k=l and if he observes B he knows that k=2

(assuming that PI commits himself to that strategy and PII knows it). We call

such a strategy a completely separating strategy. (briefly. CS strategy). We

may think of CS strategy as one in which PI tells PII the value of k after

the first stage. Obviously this has no disadvantage for PI in rl(~)' since the

game terminates after the first stage. But already in r2(~) a CS strategy

would enable PII to pay 0 at stage 2 (by playing R-right when k=l and

223

L-left when k=2) , which makes the payoff in r2(~) to be ~ (per stage). By the

1 same argument, a CS strategy guarantees PI not more than 2n in rn(~)'

Asymptotically as n + 00, it yields a 0 payoff. Can PI do better? Let us

consider the other extreme behaviour of PI: Rather than disclosing his extra

information to PII by a CS strategy he may disregard it by playing independently

of the value of k. Clearly by doing so he conceals any information from PII

about the value of k. Therefore we call such a strategy an NS (non-separating)

strategy.

When PI is restricted to NS strategies, then any n-stage game

(n 1,2, ••• ) is equivalent to the ordinary matrix game /:::, (~):

The value of /:::,(~) is ~, hence asymptotically (actually for n ~ 2) PI guarantees

more by completely disregarding his extra information than by using it.

PROPOSITION 3.1:

Proposition 3.1 states that in the game under consideration

PI gets asymptotically more than what he gets by not using

his information. The proposition follows from Theorem 3.4

to be stated later on.

EXAMPLE 2 ([AM]): Our second example looks very much like the first one with

just a slight change in the payoffs, namely:

(3.2)

PROPOSITION 3.2:

EXAMPLE 3:

(3.3)

224

Here PI can guarantee 0 by a CS strategy, which is to

play B if k=l and T if k=2. By playing NS stFategies

he can get the value of b. (~) which is -". __ (-~ 0) o -~

Clearly there is no way for PI to get more than 0 which is

the highest entry in the matrices hence:

lim v (~) = o. n-+oo n

In contrast to the first example where PI should not use his

information at all (asymptotically), here PI should fully

use it and by this completely disclose it to his opponent

PII. The situation would become much more interesting if we

could find an intermediate case in which PI should neither

completely reveal nor completely disregard his information

but 'partially' use it. For this, let us proceed to our

next example:

Again we consider the same type of game with different

matrices:

C : J

Following the same line of discussion as in the previous

examples, let us see what PI can get by each of his two

extreme behaviours: By CS strategies he gets 0, since the

value of each of Al and A2 is O. By NS strategies, on

225

2 : ) the other hand, he can get the value of ~(~) 2

which is ° as well. Can PI get more than 01

PROPOSITION 3.3: n = 1,2, ..•

PROOF: Let us describe a strategy for PI which guarantees him at least 1. Let

Cl be a coin with sides (T,B) obtained with probabilities (3/4,1/4) and let C2

be a coin with the same sides but with probabilities (1/4,3/4). Let PI use the

following strategy: When informed of k, flip coin Ck and then if the outcome

is T play T in all stages. If the outcome is B play B in all stages. The

only information that PII gets through this strategy is the outcome of the coin

flipping (which is what PI plays) but not which coin was flipped. The conditional

distributions on k, given the outcomes of the coin, are:

p(k=lIT) 3/4, p(k=lIB) 1/4.

So the expected payoffs given T are (depending on PII's move):

3/4 (4,0,2) + 1/4 (0,4,-2) (3,1,1).

Similarly, given B the expected payoffs are:

1/4 (4,0,-2) + 3/4 (0,4,2) (1,3,1).

We conclude that in any event and whatever PII does, the expected payoff is at

least 1. This proves our proposition. Actually one has:

PROPOSITION 3.4:

This also follows from the same general result which we are about

ready to state. We consider a general game of the type discussed in the examples,

namely:

226

(3.4)

l-p

Here ° < p ~ 1 and Al and A2 are two real matrices of the same

size, to be viewed as payoff matrices of two 2-person O-sum games. The games

fn(p) are defined as in the examples. Let vn(p) be the minmax value of

fn(p). Define ~(p) by: ~(p) = pAl + (1_p)A2. As we saw in our examples, this

is the game in which PI is not informed about the value of k (or equivalently,

he disregards it by restricting himself to NS strategies). Let u(p) be the

value of ~(p) and denote Cav u(p) p

the minimal concave function g(p)

p E [0,1].

its concavification, i.e., Cav u(p) is p

on [0,1] satisfying g(p) ~ u(p) for

THEOREM 3.5 ([AM]) lim vn(p) = Cav u(p). n->oo p

This is the first and the most basic result that introduces the

concept of concavification in the subject of repeated games with incomplete

information.

Let us now review our examples with Theorem 3.5 at hand.

In Example 1, ~(p) = (P 0) u(p) = p(l-p) which is already o l-p

concave, hence lim vn(p) p(l-p). In particular, lim vn(~) =~, (Figure la).

227

a: Example 1 :~PO~P

~~1 0\ p ~ 1 P

-'4

b: Example 2

c: Example 3 oK ~ 3/4 1 P ~ 3/4 1 P

u(p) Cay u(p) p

Figure 1

In Example 2, ( -p

ll(p) = ° u(p) -p(l-p) whose concavification is

Cay u(p) - 0, (Figure lb). p

In Example 3, ll(p) = (4P

4p

4(1-p)

4(1-p)

2 (2p-l) )

2(1-2p) whose value u(p) is shown in

Figure lc: u(p) - min(4p,4(1-p), max(4p-2,2-4p)). Cay u(p) p

~ 2 p 2 3/4, in particular lim vn(~) = (Cav u(p))p=~ = 1. p

4. THE RELEVANCE OF CONCAVIFICATION

1 for

Instead of giving formal proofs to some of the above stated results

(which we could not possibly do in this framework), let us try to understand the

most important phenomenon, the role of the operators Cay and Vex in the analysis

of this type of problem. From Theorem 3.5, we see something which is rather

surprising at first glance: The (asymptotic) value of a game fn(p) depends on

228

the values of the same type of games with different values of p. For instance

the value of rn(~) in Example 3 is actually determined by the values of rn(~)

and rn (3/4).

A first hint about how PI manages to get Cav u(p) can be found in the p

strategy suggested for PI in Example 3: After obtaining the result of the coin

tossing, PI plays NS strategies from there on. Therefore given an outcome, say T,

it is easy to see that the game from there on is equivalent to 6(PT) where

(PT,l-PT) is the conditional distribution on the states of nature {1,2} given T.

Given T, therefore, the 'value of the new situation' is u(PT). Similarly given

B, the 'value of the new situation' is u(PB) with PToprob(T) + PBoprob(B) = p.

(In the example under consideration p = ~, PT = 3/4, PB = ~, prob(T) = prob(B)=~).

In general, starting from rn(PO) PI can get the expectation of u(p) where p

is a random variable with expectation PO. When maximizing over the distributions

of P, this amounts technically to concavifying u(p).

To see the same thing from a different point of view, let us prove:

THEOREM 4.1 [AM]: n = 1,2, ••• and hence lim v (p), are all concave n-+<lO n

functions.

PROOF: Let P,Pl,P2 and a be in

the following two games rn (P,Pl'P2)

[0,1] s.t. aPl + (1-a)P2 = p. Consider

and rn (P,Pl'P2) defined as follows:

In rn (P,Pl,P2) first chance chooses Pi E {Pl ,P2} with probabilities

(a,l-a); both players are informed of chance choice; then they play rn(Pi). The

game rn (P,Pl'P2) is played in the same way with the only difference that PII

is not informed which was chosen (while PI is informed as before).

Clearly r minimizer we have:

(4.1)

is more favorable to PII than n

value of r < value of n-'" r . n

r n a~d since he is the

229

Now rn (P,Pl,P2) is exactly the game rn(p); the fact that the choice

of k E {1,2} is done first by choosing Pi is irrelevant. The only important

thing is that k E {1,2} is chosen with probability distribution (p,l-p)

and PI is informed about the value of k chosen but PII is not. We have there-

fore

(4.2)

In rn (P,Pl,P2) the players are gOing to play rn(Pl) with probability

a and rn (P2) with probability (l-a), hence:

(4.3)

Inserting (4.2) and (4.3) in (4.1) we obtain:

which proves the concavity of vn(p).

5. INCOMPLETE INFORMATION FOR BOTH PLAYERS

Theorem 3.5 is true as stated not only for K = {1,2} but for any

finite set K. It is also clear that if we inverse the roles of the players by

letting PII,the minimizer, be the informed player, we get:

(5.1) lim v (q) = Vex u(q), n-+<x> n q

where q is the probability distribution on the states of nature.

At this point, we note that lim vn(p) is not the only possible concept

through which we can investigate the asymptotic behaviour of rn(p). An

230

alternative approach is to define directly an infinite stage game roo(p).

This can in fact be done after overcoming some technical difficulties and a

value voo(p) for roo(p) can so be obtained which mayor may not exist.

For the games discussed so far. the two concepts v and 00

lim v n

happen to exist and are both equal to Cav u(p) (or Vex u(q». The difference p q

between the two shows up when we go to the more general case. when each player has

only partial information about the state of nature. Such a game can be described

as follows:

k = l ••••• a; r = l ••••• b; be real matrices of the same

size. Let p and q be two probability vectors on K = {l •..•• a} and

R = {l ••••• b} respectively. At stage O. a chance move chooses a game Akr

(state of nature) according to the probability distribution p x q. PI is

informed what is the value of k and PII is informed what is the value of r.

Then an n-stage or oo-stage game is played with the moves announced after each

stage and the payoffs are made according to the matrix Akr chosen by chance at

stage O. Denote these games by rn(P.q) or roo(p.q) as the case may be and their

values by vn(P.q) and voo(P.q). As in the special case. denote by ~ (P.q)

the game in which the two players are restricted to NS strategies. i.e.:

(5.2) Mp.q)

Denote by u(p,q) the value of ~(p,q).

THEOREM 5.1 ([AM] and [5]): voo(P.q) exists if and only if

(5.3) Cav Vex u(P.q) p q

If (5.3) holds then Voo

Vex Cav u(p,q). q p

Cav Vex u Vex Cav u.

THEOREM 5.2 ([MZ]):

231

lim v (p,q) always exists and equals both the only n-+oo n simultaneous solution of (2.3) and the common uniform limit

of (2.2).

REF ERE N C E S

[AM] R.J. Aumann and M. Masch1er, "Game Theoretic Aspects of Graduate Disarmament", Report to the U.S. A.C.D.A. (Arms Control and Disarmament Agency, Washington, D.C.), Final report on Contract ACDA/ST-80, prepared by MATHEMATICA, Princeton, N.J., June 1966, Chapter V.

[S] R.E. Stearns, "A Formal Information Concept for Games with Incomplete Information", Final report on Contract ACDA/ST-116, prepared by MATHEMATICA, Princeton, N.J., September, 1967, Chapter IV, pp. 405-433.

[MZ] J.F. Mertens and S. Zamir, "The value of two-person zero-sum repeated games with lack of information on both sides", The International Journal of Game Theory, Vol. 1, No.1, pp. 39-64.

L'ALGEBRE DES PROJECTEURS CONI9UES

Eduardo H. ZARANTONELLO

Le projecteur sur un ensemble convexe ferme K dans un espace hilbertien

reel H est l'operateur PK H ~ H qui a tout point de l'espace fait correspondre

Ie point Ie plus proche dans K, appele sa projection. Si A

K est un cone convexe

ferme C de sommet l'origine, alors on dit que Pc est un projecteur conique. Par

mi les projecteurs conique se trouvent les projecteurs orthogonaux ordinaires qu'on

obtient en prenant pour C des sous-espaces lineaires. Un fait remarquable dont on

ne s'est aper9u que recemment est que les projecteurs coniques jouissent de presque

toutes les proprietes algebriques des projecteurs lineaires, notamment de celles qui

permettent de developper une theorie spectrale. Ainsi, comme 1 'integration des fonc

tions reelles par rapport a une resolution spectrale lineaire (famille a un parame

tre de projecteurs lineaires croissante de 0 a I) amene aux operateurs autoad

joints, celIe par rapport a une resolution spectrale conique conduit a une classe

d'operateurs aisement caracterisable d~nt les operateurs autoadjoints font partie.

Ces operateurs nouveaux, bien que non lineaires en general, ont un comportement si

proche de celui des operateurs autoadjoints, qu'on peut bien les considerer comme

leur generalisation naturelle [2]. Une telle theorie s'appuie sur un petit nombre

de relations entre les projecteurs [Theoremes 2. 1 - 2. 5], d'ailleurs bien con

nues, d~nt les demonstrations ne demandent que deux ou trois lignes dans Ie cas li

neaire [1, nO 105]. Malheureusement cette agreable simplicite est perdue avec la li

nearite, ou du moins elle semblait l'~tre lorsque la question avait ete envisagee

pour 1a premiere fois. Sans 1inearite et surtout sans une notion d'operation adjoin

te, la voie traditionnelle etait absolument barree et on a du faire des detours con

siderables pour y parvenir. Dans [2] On est arrive aces resultats a la suite d'une

etude approfondie des projecteurs sur des convexes generaux et au bout de demons

trations parfois longues et penibles, de sorte que l'algebre des projecteurs coni

ques apparaissait comme plongee dans une theorie plus vaste et, sans doute, plus

compliquee. Donc il fallait bien debarrasser les demonstr~tions de tout ce qui n'e

tait pas essentiel et les~mplifier autant que possible. Dans cet article nous fai

sons face a cette tache en donnRnt une methode abregee pour demontrer les proprietes

algebriques des projecteurs coniques basee sur leur equation differentielle. 11

s'agit seulement d'un premier pas vers Ie redressement de l'equilibre entre les enon

ces et leurs demonstrations, tout en restant fort lOin encore de la simplicite et

brievete de la theorie lineaire, qualites que, peut-etre, on n'atteindra jamais.

Avec ces buts nous ne presupposerons aucune connaissance au dela des proprietes ele

mentaires de l'espace hilbertien, et nous nous efforcerons de donner a notre expose

toute la concision compatible avec la clarte et la comprehension du texte. Une grande

partie du materiel presente ici a ete prise dans [2] et [3].

233

§ 1 - Proprietes basiq ues

Par definition, la projection PK x d'un point x sur un convexe ferme

K dans un espace hilbertien reel H, est Ie point caracterise par

(1. 1) II x - P K xII :s; II x - yll v y E K (1)

L'existence et l'unicte d'un tel point sont bien connues. Tout projecteur

PK est idempotent et l'ensemble de ses valeurs, qui coincide avec l'ensemble de ses

points fixes, est precisement K. Les equations variationnelles de ce probleme ex

tremal sont :

(1. 2) v y E K

comme nous allons Ie voir, elles caracterisent aussi PK x

LEMME 1. 1.

(1. 3) [z E K, IIx-zll:S; IIx-yll, V y E Kl <=> [z E K, <x-z, z-y>~ 0, V y E Kl •

Demonstration. L'implication de droite a gauche est une consequence immediate de

l'identite

IIx-yll2 - IIx-zll 2 = 2 <x-z, z-y> + II Z_y1l2

La meme identite avec t y + (l-t)z, 0 < t:S; 1, a la place de y,

IIx-(t y + (1-t)z)11 2 - Ilx-zll 2 = 2 t <x-z, z-y> + t 2 Ilz-yl12

conduit par divisibn par t et passage a la limite t+O a l'implication opposee.

8i dans (1. 2) on remplace y par PK x' on obtient

( 1. 4) V x, x' E H

ce qui, ajoute a l'inegalite qui resulte de l'echange de x et x', donne

( 1. 5) V x,x' E H

ou indique l'application identique. Cette inegalite peut ~tre ecrite sous les

formes suivantes :

(1. 6) <x-x' , PK x - PK x'> ~ IIPK x - PK x'11 2

( 1. 7) <x-x' , (I - PK)x - (I - PK)x'>;? II (I - PK)x - (I - P )x'1I 2 K

( 1 • 8) Ilx-x'1I 2 ~ 11(2 PK - I)x - (2 PK- I )x'11 2

Si on se rappelle qu'un operateur T : H ~ H est monotone si

<x-x', T x - T x'>;? 0, V x,x' E H, on voit a partir de (1.6) et (1. 7) que 'PK

et I - PK sont des operateurs monotones. De plus, l'inegalite de Cauchy-Schwarz

appliquee aux membres de gauche de (1. 6) et (1. 7) montre que

(1) Comme d'habitude la double barre indique la norme dans H et les crochets angulaires Ie produit scalaire.

234

(1. 9)

c'est-a-dire, que PK et I - PK sont contractants ; par sa part (1. 8) dit que

2 PK- I est aussi contractant. En particulier, les projecteurs sont des applica

tions continues.

D'apres (1. 2) l'ensemble des points projetes par PK sur un point

z E K est

p~1 z = {x I <x-z, z-y>;?: 0 't/ y E Kl

On s'aper~oit immediatement que est l'intersection d'une famille de demi-

espaces fermes contenant z et, en consequence, qu'il doit etre un cone convexe

ferme de sommet z. En particulier, puisque x et PK x ont tous les deux PK x

pour projection, on a

(1. 10) 't/xEH, 't/t;?:O

Un fait tres important est que l'inegalite (1. 4) est caracteristique des projec-

teurs ; en effet, on a

LEMME 1. 2. Une application P : H ~ H est un projecteur 8i et seulement si

<x - P x, P x - P x'> > 0 't/ x,x' E H

Demonstration. Nous n'avons a demontrer que la suffisance. Si (1. 11) est satisf~i-

te alors pour toute suite finie de points X1'X2 '···'Xn et toute suite

~n de nombres non negatifs avec ~1+ ~2+ •.. + ~n = 1 on a

n n <x-P x, P x - E ~i P xi> = E ~i <x-P x, P x - P xi>;?: 0

1

c'est-a-dire, <x - P x, P x - z> pour tout z dans I'enveloppe convexe de I'image

de P, donc pour tout z dans l'adherence K de cette enveloppe convexe, ce qui

equivaut a P x =PK x (Lemme 1. 1).

Les projecteurs sont aussi caracterises par une equation differentielle.

THEOREME 1. 1. Une application lipschitzienne P : H ~ H est un projecteur si

et seulement si elle satisfait a l'equation differentielle

(1.12) 0 - P)x =V 1 110 - p)x11 2 't/ x E H 2

ou V indique Ie gradient au sens de Frechet.

Demonstration. Les projecteurs sont contractants et en consequence lipschitziens.

Demonstrons d'abord que les projecteurs satisfont a l'equation (1. 12). En vertu de

(1.2)ona

i II(I-PK)yI12- 2 IIO-PK)xI12 - <y-x,O-PK)x> = i II(I-PK)y-(I-P K)xI1 2 +

+ <<r-PK)x, PKx - PKy>;?: 0

et par symetrie

235

111 (I-p )x1l 2 - 111 (r-p )y1l2 - <x-y 2 K 2 K '

(I-PK)y>::;; 0

d'ou, en rempla9ant dans la premiere de ces inegalites 111 CI-p )y1l2 _ 1 II (I-p )x1l 2 2 K 2 K

par sa majoration tiree de la seconde et en se rapport ant a (1. 9),

o ~ i IICI-PK)yIl2- i II CI-PK)xIl 2- <y-x, CI-PK)x> ~ <y-x, (I-PK)y) - <y-x, CI-PK)x)

<y-x, (I-PK)y-(I-PK)x) ~ Ilx-yl12

ce qui, par la definition m~me du gradient, entraine CI-PK)x = vi IICI-PK)xI1 2 •

Pour la demonstration de la suffisance ecrivons Q ~ I - P, et remarquons que puis-

que a un gradient lipschi tzien, IIQ xii en a aussi un localement aux points

ou il ne s'annule pas et que

v IIQ xII = Q x / IIQ xii si Q x 1= 0

Dans ces conditions on peut faire passer par tout point x o~ Ie champ de vecteurs

Q x / IIQ xii est defini, une unique ligne de champ x( s), c' est-a-dire une solution

de l'equation d xes) / ds = Q xes) / IIQ x(s)11 definie dans un certain intervalle

ouvert de la droite reelle. Une telle ligne ne peut aboutir qu'en un point ou Q

s'annule, et Ie long de cette ligne on a, par la regIe de la differenciation des

fonctions composees

=s IIQ x(s)11 = <V IIQ x(s)ll, ~2'5~l> = <-.9~ ds IIQ x(s)11

Done, si s2::;; sl '

_9_."(.sL> IIQ x(s)11

IIQ x(s2)11 - IIQ x(sl)11 = s2- sl ::;; Ilx(s2) - x(sl)11

parce que s est la longueur d'arc. D'un autre cote, si Q x ne s'annule pas dans

Ie segment joignant xl et x2 ' on obtient a partir du theoreme de la moyenne

IIQ x211 - IIQ xlii = IIQ(t x2+ (l-t)x l )11 - IIQ(t x2+ (1-t)xlI1 ~1 ~o

(1. 13) = (=t IIQ(t x2+ (l-t)x l )ll) = <v IIQ(ex2 +(1-e)x l )ll,x2- x? t=e

~ IIv IIQ(/9x2 + (l-/9)xl)1I1I IIx2 - Xl" = IIx2 - Xl"

si s2- sl est suffisamment petit, et en rapprochant cette inegalite de l'ine

galite opposee obtenue ci-dessus,

ce qui montre que localement les lignes de champ sont des droites et que, si une li

gne est definie pour s = so' alors elle est definie pour tout s > s - IIQ xes )11, o 0

parce que pour ces valeurs IIQ x(s)11 ne peut rester que positif. II suit par conti-

nuite que lim Q xes) = 0, donc que toute ligne de champ aboutit effec-s -> s - IIQ xes )11 o 0

tivement a un point de K = [x I Q x = oj. Si on prend ces points COmme origine des

arcs Ie long des lignes de champ, alors Q xes) = xes) - x(O), et on s'aper90it que

236

P x = x - Q x E K est l'extremite de la ligne de champ passant par x (en conve

nant que cette ligne se reGuit au seul point x si x E K). Maintenant, etant donne

x E H et un point y quelconque dans K, designons par y' Ie point de K sur Ie

segment joignant x et y Ie plus proche de x. Des que Q x ne s'annule pas a

l'interieur du segment, (x,y') on a, en vertu de (1. 13)

Ilx - P xii = IIQ xii IIQ x - Q y'll ~ Ilx - y'll ~ Ilx - yll

et P x est Ie point de K qui minimise la distance a x. La ligne de champ pas-

sant par x est la demi-droite xes) = P x + s x - P x

s ~ O. En consequence Ilx - P xii

P xes) = P x, et par la propriete minimisante de P xes),

o ~ Ilx(s)-yI12- Ilx(s)-p xl1 2 = -~ <x-Px, Px-y> + IIPx-yI12., 'if y E K , s ~ 0,

Ilx-p xii

d'ou, par division par s / Ilx-p xii et passage a la limite s'" + 00 ,

o ~ <x - P x, P x - y> 'if y E K

relation qui reste vraie pour tout y dans l'enveloppe convexe fermee de K. Donc

par Ie Lemme 1. 1, P est un projecteur.

Un projecteur PK est positivement homogene, c'est-a-dire, satisfait la

relation PK t x = t P K x , 'if t ~ 0, si et seulement si K est un cone convexe de

sommet l'origine. En effet, si PK est positivement homogene, son image qui coinci

de avec K, doit contenir en m;me temps qu'un point y tous les points t y ,

t ~ 0, et en consequence doit ;tre un c~ne du type indique. D'un autre c~te, si K

est un c~ne de sommet 0, PK est positivement homogene en vertu de (1. 3). e'est de

ce type de projecteurs, appeles projecteurs coniques, que nous allons nous occuper

dans la suite. La lettre e, eventuellement affectee d'indices ou d'autres signes,

sera reservee pour indiquer les c~nes convexes fermes de sommet l'origine.

Les projecteurs coniques satisfont a la relation

(1. 14)

qu'on tire de (1. 2) en rempla9ant y successivement par 0 et 2 Pc x •

DEF INITION 1. 1.

et Ie c~ne

Le cone polaire d'un cone convexe ferme e de sommet l'origine

(1. 15) fy I <y,x> ~ 0 'if x E el

D'apres (1. 3) e~ est l'ensemble des points projetes sur l'origine par

Pc' donc il est aussi convexe, ferme et a son sommet a l'origine. L'operation

e ... e 1 inverse la relation d'ordre par inclusion; on verra plus loin que

ell. = e (Theoreme 2. 2., Cor. 1).

Une notion fondamentale pour ce qui suit est la notion de projecteurs

orthogonaux.

237

DEFINITION 1. 2. On dit que deux projecteurs Pc 1

sont orthogonaux si

(1. 16) x, Pc x > = 0 2

't x E H

Dans ce cas on dit aussi que les cones

ce fait indifferemment par Pc .1. Pc 1 2

et

ou par

c 2 sont orthogonaux et on indique

C 1 1. c2 •

A

Les cones polaires sont un cas particulier de cones orthogonaux (Theore-

me 2. 2., Cor. 2).

§ 2 - L'algebre des orojecteurs

Les theoremes 2. 1 - 2. 5 , ci-dessous, contiennent 1 'essentiel de l' al

gebre des projecteurs coniques. lIs comportent en outre des relations algebriques

certaines relations de type analytique ou geometrique.

THEOREME 2. 1

(2. 1)

Demonstration. Triviale.

THEOREME 2. 2

(2. 2)

Demonstration. Quel que soit x, on a pour tout y E c ,

(x-Pcx,y>=-(x-P x,P x-y>~O, c 1 c

en vertu de (1. 2) et (1. 14). Donc x - Pc x E c • D'un autre c~te, si z E C1 ,

( x - (x - Pcx), (x - PCx) - z > = (Pcx, x - PCx - z > = - <Pcx, z>~ 0

et x - PCx = P 1 x par (1. 3). Le point x etant arbitraire, (2. 2) est demontre. C

COROLIAIRE 1.

(2. 3)

COROLIAIRE 2.

c.i.l. c

(2.4) ColC!..

LEMlV!E

(2. 5)

2. 1

Demonstration. 8i x E C 1 n C2 alors Pc x = P P x = x 3 C 1 C2

C3 ::J C1 n C2 • Dans Ie sens inverse, si x E C3 ' alors par

Ilx-pc xll 2 = lip lxll2 2 C2

(p ".l x,x> = C2

(x-Pc x,x> = -<Pc x-PC 2 2 1

et x E C3• Donc

( 1. 14) et (2. 2) ,

Pc x, 2

Pc 1

Pc x> = 0 2

238

et x -= Pc x E C2 • Il suit que c 3 C c 2 ' et comme evidemment C3 C C1' C3 C C1 (\ C2• 2

Les deux relations trouvees equivalent a .C3 = C1 (\ C2•

THEOREME 2. 3. Les deux produits Pc 1

et sont des projecteurs si

et seulement si ils sont egaux. Dans ce cas

Demonstration. La necessite et la derniere partie de l'enonce sont consequences du

lemme precedent. Pour la suffisance nous allons montrer que

entrafne que la valeur commune de ces produits est Pc (\ C • Pour un x quel-1 2

conque ecrivons xl = Pc x, u 1 = x - Pc x et considerons les points 1 1

x(s,t) = t(x1+ s u 1) + (l-t) Pc (x 1+ s u 1 ) 2

O~ s,t~ 1

D'abord on constate, en se rapport ant a (1. 10~ que

P P x(s,t) == Pc Pc x(s,t) -= P Pc (x 1+ s u 1) -= Pc Pc (x 1+ s u 1) == Pc Xl c2 C 1 1 2 C 1 2 2 1 2

et apres, en faisant appel a (1. 14), que

<x(s,t)-P x(s,t),Pc Pc x(s,t» C 1 1 2

<x(s,t)-Pc Pc x(s,t),PC Pc x(s,t» 1 2 1 2

- <Pc x(s,t)-Pc Pc x(s,t),PC Pc x(s,t» 1 2 1 2 1

s t + t <xl-PC Pc x(s,t),Pc Pc x(s,t» 2 1 2 1 2

+ (l-t) <Pc (x 1+ s u 1 )-Pc Pc x(s,t),Pc Pc x(s,t» 2 1 2 1 2

(2. 6)

s t + t <xl-PC x 1'PC x 1> + 2 2 2

+ (1-t) <Pc2 (x 1+ s u1)-Pc1PC2 (x 1+ s u1),Pc1PC2 (x 1+ s u 1»

== s t 

Les points Xl ==Pc1 x

en consequence

appartiennent tous les deux a C1

x(O,t) == lim x(s,t) == t Xl + (1-t) Pc x 1 E C 1 s~O 2

et

Alors par la definition des projecteurs et par leur propriete d'etre contractants,

Ils- 1(x(s,t>-Pc x(s,t)/I ~ s-1 /lx(s,t>-x(O,t)/I

1 == /It u 1+ (1-t>s-1(pc (x 1+ s u 1)-PC x 1)/I 2 2

~ t /lu 11! + (1-t)s-1 I!Pc (x 1+ s u 1)-PC x 11! 2 2

~ t I!u 11! + (1-t) I!u 11! == I!u 11!

239

L'ensemble etant uniformement borne, on peut trouver pour

chaque t dans l'intervalle ferme [0,1J une suite positive -1

s (x(s ,t)-Pc xes ,t» converge faiblement vers une limite n n 1 n

sn .\I 0 telle que

Ut. De (2. 6) on tire

(2. 7)

Par les inegalites variationnelles (1.2), on peut ecrire -1

< s (x(s ,t) - Pc x(sn,t», Pc x(sn,t) - y >:;::: 0 n n 1 1

d'oll, en passant a la limite n ~ 00 ,

< Ut' x(O,t) - y >:;::: 0

Si dans cette relation on donne a y les valcurs t x 1 ' t x 1+ 2(1-t) Pc x 1 on 2

obtient

(1-t) :;::: 0 t 2

-(1-t) < Ut' Pc x 1 >:;::: 0 2

inegalites qui avec (2. 7) et en supposant o < t < donnent

c'est-a-dire,

< x - p x, P P x > = 0 C 1 C2 c 1

'i x E H

Cette identite est la cle de la demonstration. En effet, si et

<x-Pc Pc x,P Pc x-y> = <x-Pc x,Pc P x-y> + <Pc x-Pc Pc x,Pc Pc x-y> 1 2 C 1 2 1 1 c 2 1 2 1 2

<x-P x,-y> + C 1 C 1 C 1 c 2 C 1 c 2

- + <Pc x-P Pc x,P P x-y> c 1 1 c 2 1 c 2 C 1

1

Si Y E c 1 n c 2 ' les deux termes de droite sont non negatifs et on a

<x-P Pc x, C 1 2

commutent,

mais P PC2 x E c 1 n C2 ' donc c 1 c x en vertu de (1. 3), et la

2 demonstration est achevee.

LEMME 2. 2.

(2. 8) ZP =P =>P P=P C. C C. C C.

i == 1, 2, 0 •• ,

l. l. l.

la somme etant prise au sens de la convergence faible ponctuelle.

Demonstration. En faisant la somme des inegalites

(voir (1. 6», on obtient

00 2 O~Z Ilpc.x-pc.x'll ~<x-x', Z p x-Z p x'>=<x-x"Pcx-Pcx'>

1 l. l. C i 1 C i

d'oll on tire Ie resultat cherche par Ia substitution x' = Pc x.

240

LEMME 2. 3. Pc + Pc est un projecteur si et seulement si c 1 ~ C2 • 1 2

Demonstration. Cette proposition suit de I'identite

[11IxI12_1I1x-(p +P )xIl 2]_: 2 2 c 1 c2 1

et de l'equation differentielle (1. 12). En effet, si Pc + Pc est un projecteur, 1 2

on est conduit, par differenciation, a v < Pc x, Pc x > = 0, c'est-a-dire a 1 2

< Pc x, 1

Pc x > = const., constante qui ne peut etre autre que zero parce que 2

 s'annule a I'origine. Inversement, s1 < Pc x, P x > == 0, alors S 1 ~

Pc + Pc satisfait a l'equat1on differentieile des projecteurs et lui-meme est un 1 2

projecteur.

THEOREME 2. 4

(2. 9) {PC Pc = Pc 1 <=> {pc - Pc est un projecteurj <=> {c2 1 c~ J. 2 1 2 1 2

Dans ce cas, Ies quatre projecteurs commutent entre-eux.

Demonstration. 8i aIors, en vertu de (1. 14) et (2. 2)

 = <x,pc x> - <Pc x, P x> = <x, P x> - <Pc x, Pc Pc x> C 1 2 2 1 c2 c2 1 2 1

= IIPc xll 2 - IIPc Pc xll 2 = 0 2 2 1

Autrement dit, c 2 ~ c;, donc {pc P =P 2 C 1 C2

=> c 2 ~ C ~ J. Inversement, par Ie

lemme precedent c 2 ~ c~ equivaut a dire que P 1 + Pc = I - (P - Pc) est un C 1 2 C 1 2

projecteur, donc que Pc - Pc 1 2

est un projecteur. Finalement si Pc - Pc 1 2

est un

projecteur, aIors en vertu de (2. 8), ce qui acheve la demonstration

de (2. 9).

Quant a Ia derniere partie du theoreme, remarquons que si Pc Pc = Pc ' 2 1 2

alors C2 = C2 n C1 (Lemme 2. 1), c'est-a-dire C2 C C1 ' ce qui entraine

Pc Pc = Pc • En consequence Pc 1 2 2 1

commutent. Pc 1

commute avec P ~ C 1

parce que Pc P.1 = P .1 Pc = O. De 1 C 1 C 1 1

P - P = P 1 - P 1 ' ii suit que c 1 C2 C 2 c 1

est equivalente a P 1 P 1 = Pl. On peut donc ecrire C1 C2 C1

P 1 Pc = Pc - Pc Pc = P - Pc =P.1- P l=P l-P.i P l=Pc P 1 ' C2 1 1 2 1

C1 2 C2 C1 C2 C1 C2 1 C2 et nous avons demontre que Pc commute avec tous les autres projecteurs en question.

1

241

Par l'equivalence que nous venons de remarquer, On peut dire autant du projecteur

Pl' Il reste a verifie r que C2

Pc et P 1 commutent, ce qui est immediat parce 2 C 1

que, chacun des cones etant contenu dans Ie polaire de l'autre, on doit

avoir

Remarquons en passant que ce theoreme donne une expression algebrique de

l'orthogonalite des cones. En effet, il suffit de mettre cf a la place de C 1

dans (2.9) pour s'apercevoir que equivaut a l'orthogonalite de

LEMME 2. 4. n l: pc. est un projecteur si et seulement si C i .i c j 1 1

n Demonstration. Si l: Pc = Pc' alors par Ie lemme 2. 8, il suit que

i

liif-j

Pc .p C = PC.' ce J J

qui, en vertu du theoreme 2. 4, entraine que l: P ifj C i

est un projecteur.

Autrement dit, si on omet un terme dans la somme l: PC. 1

Ie resultat est encore un

projecteur, ce qui, en consequence, reste vrai si on omet un nombre quelconque de

termes. En particulier PC.+ pc. ' if- j, obtenu en omettant tous les termes a l'ex-1 J

ception de PC. et Pc ' est un projecteur, et c i 1 c j par Ie Lemme 2. 3. 1 j

Reciproquement, si ci..L c j , Ii if- j, alors si pour un certain

est un projecteur, il est un projecteur orthogonal a et (Lemme 2. 3)

k+1

l: Pc i

doit aussi etre un projecteur. De proche en proche, par induction finie,

on conclut que est un projecteur.

THEOREME 2. 5. l: Pc est un projecteur si et seulement si Ci.L c j' Ii i f- j. i

Dans ce cas l: Ci

Demonstration. Si

est ferme et

=P C

alors par et

est un projecteur en vertu de (2. 9). L'iteration du meme argument montre que

P C- Pc - Pc est un projecteur, ce qui par Ie lemme precedent implique nCJ'~ Ck j k

Partons maintenant de I 'hypothese c i J.. c j' Ii i=j. Alors pour tout n,

un projecteur (Lemme 2. 4) et comme tout projecteur est contractant

est

n 2 2 II l: Pc xii ~ Ilxll , n

1 i 1, 2, ... En consequence la serie de vecteurs orthogonaux

l: pc.x ayant ses sommes partie lIes uniformement bornees, est fortement convergente 1 1

et on peut passer a la limite dans les relations

pour obtenir

n < x - ( E Pc lx,

1 i

242

n n E Pc )x - ( E P lx' >~ 0 1 i 1 Ci

< x - ( E Pc )x, ( E Pc )x - ( E P )x' > ~ 0 1 i 1 i 1 Ci

v x,x'

'tj x,x'

et un appel au Lemme 1. 2, nous assure que E P Ci

est un projecteur.

Finalement remarquons que si E PC. = PC' alors evidemment C C E Ci • ~ 1

Mais des que PC. Pc = pc. (Lemme 2. 2), C doit contenir Ci et en consequence ~ ~

leur somme E Ci aussi. Donc C = E Ci 1

Remarque 1. Pour les usages de la theorie spectrale on introduit la relation d'ordre

suivante entre les projecteurs on dit qu'un projecteur est plus petit qu'un

projecteur Pc ' en symboles, Pc < Pc ' si 212

proprietes suivantes :

Cette relation ales

a) 0 < Pc {pc = Pc 1 1 2 2 1 1 2

c) {pc < Pc Pc < Pc 1 => {pc < Pc 1 1 2 2 3 1 3

d) {pc < Pc 1 <=> {p 1 < P II 1 2 C2 C1

II s'agit donc d'un ordre partiel ; c'est une relation d'ordre plus forte

que celIe qui consiste a ranger les projecteurs par inclusion des cones sur lesquels

on projette. On ne sait pas si la famille des projecteurs coniques ainsi ordonnee

est un treillis. II nous manque aussi la signification geometrique ; ceci tient a l'absence d'une definition geometrique d'orthogonalite.

Remarque 2. Nous avons defini l'orthogonalite de deux projecteurs, ou de deux cones,

d'une fa90n analytique (Def. 2. 1), et nous avons vu qu'on peut aussi l'exprimer

algebriquement par l'equation Pc (I - P ) = Pc • Selon la notion d'ordre d~nt nous 1 C2 1

venons de parler, l'orthogonalite de deux projecteurs equivaut a dire que l'un est

plus petit que Ie complementaire de l'autre, ce qui est bien la notion d'orthogona

lite qu'on utilise dans les structures ardonnees et complementees.

Maintenant essayons de voir que lIe peut etre la signification geometrique.

Si c 1 .l C2 ' alors est ferme et on a Pc + Pc ~ P C (Theoreme 2. 5). 1 2 C 1+ 2

II suit que (Lemme 2. 2) et on tire

243

P =P - P =P - P P =P l P C 1 C 1+ C2 C2 C 1+ C2 C2 C 1+ C2 C2

C 1+ C2

P =P - P =P - P P = P 1. P C2 C 1+ C2 C 1 C 1+ C2 C 1 C 1+ C2 C 1+ C2 C 1

d'ou (Lemme 2. 1),

(2. 10)

On peut lire ces relations tout simplement en disant que des deux cones C1 et C2

l'un est Ie polaire de 1 'autre, relativement a leur somme. Ceci est precisement la

definition de l'orthogonalite dans Ie cas des espaces lineaires. Caracterise-t-elle

aussi l'orthogonalite des cones? Ou d'une fa90n plus precise: Est-ce que deux

cones satisfaisant (2. 10) et tels que C 1 + C2 est ferme, sont orthogonaux ?

Nous ne connaissons pas la reponse, nous savons seulement qu'elle est affirmative

dans Ie cas de trois dimensions.

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Vol. IV Methoden der Unternehmensforschung im Versicherungswesen. Von K.-H. Wolff. - Mit 14 Diagrammen. VIII, 266 Seiten. 1966. Geb. OM 49,-

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Vol. VI Entscheidungskriterien bei Risiko. Von H. Schneeweiss. - Mit 35 Abbildungen. XII, 214 Seiten. 1967. Geb. OM 48,-

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Vol. IX Dynamic Programming of Economic Decisions. By M. J. Beckmann. -With 9 figures XII, 143 pages. 1968. Cloth OM 28,-

Vol. X Input-Output-Analyse. Von J. Schumann. - Mit 12 Abbildungen. X, 311 Seiten. 1968. Geb. OM 58,-

Vol. XI Produktionstheorie. Von W. Wittmann. - Mit 54 Abbildungen. VIII, 177 Seiten. 1968. Geb. OM 42,-

Vol. XII Sensivitatsanalysen und parametrische Programmierung. Von W. Dinkelbach. - Mit 20 Abbildungen. XI, 190 Seiten. 1969. Geb. OM 48,-

Vol. XIII Graphentheoretische Methoden und ihre Anwendungen. Von W. Knodel. - Mit 24 Abbildungen. VIII, 111 Seiten. 1969. Geb. OM 38.,..

Vol. XIV Praktische Studien zur Unternehmensforschung. Von E. Niev~ O. MUlier, F. E. Schlaepfer und W. H. Landis. - Mit 82 Abbihltl .' XII, 240 Seiten. Geb. OM 58,-

Vol. XV Optimale Reihenfolgen. Von H. MUlier-Merbach. - Mit 43#""£ II' IX, 225 Seiten. 1970. Geb. OM 60,-

Vol. XVI Preispolitik der Mehrproduktenunternehmung in .. II I. f. --. rie. Von R. Selten. - Mit 20 Abbildungen. VIII, 1 ................ OM 64,-

Vol. XVII Information Theory for Systems Engineer-. ., L ... ,.,"111_ -.. 42 figures. VIII, 197 pages. 1970. Cloth OM 44,-

Vol. XVIII Unternehmensforschung im Berg __ ..... f. L ___ - ._. bildungen. VIII, 150 Seiten. 1972 .... ...... -

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Analyse Convexe et Ses Applications: Comptes Rendus, Janvier 1974