Analyse de Fourier de Vibrations Mecaniques d'Une Lame

7/23/2019 Analyse de Fourier de Vibrations Mecaniques d'Une Lame

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TP MECANIQUE 2 : ANALYSE DE FOURIER DES

VIBRATIONS MÉCANIQUES D'UNE LAMEVIBRANTE ET DES SIGNAUX SONORES.

B.AMANA et J.-L. LEMAIRE



Analyse de Fourier des Vibrations Mécaniques d'une Lame Page 2

ANALYSE DE FOURIER DESVIBRATIONS MÉCANIQUES D'UNELAME VIBRANTE ET DES SIGNAUXSONORES

I. INTRODUCTION

Nous allons étudier dans ce T.P. les fréquences de vibration provenantd'une lame métallique élastique et d’un microphone. Nous allons pour celaexposer dans une première partie les éléments théoriques nécessaires à lacompréhension du T.P., nous familiariser ensuite avec le matériel enétudiant en préliminaire quelques signaux électriques simples et faireenfin, l'étude des vibrations de la barre métallique élastique et des signauxsonores.

II. THEORIE DE LA MANIPULATION

II.1 Les séries de Fourier

Soit une fonction f(x) définie sur un intervalle − L / 2; L / 2[ ] etdéterminée à l'extérieur de cet intervalle par f(x+L) = f(x), c'est à dire quef(x) présente une période L (voir figure II.1).

-L -L/2 0 L/2 L

f(x)

x




Figure II.1

Le développement en série de Fourier de f(x) est défini par:

f ( x)= a0

2

+ (an cos ωnx + bn sin ωnx)

n= 1

∞

∑(1)

où l'on a posé :ω =

2π

L.

Les coefficients de Fourier an et bn sont calculés à l'aide des expressions:

an = 2

L f ( x).cos nω x dx

− L / 2

+ L / 2

∫(2)

bn = 2

L f ( x).sin nω x dx.

− L / 2

+ L / 2

∫(3)

On remarquera que:

. Si la fonction f(x) est paire, alors les coefficients bn sont nuls, et ledéveloppement ne comporte que des termes en cosinus.

. Si la fonction f(x) est impaire, les coefficients an sont nuls et ledéveloppement ne comporte que des termes en sinus.

. Il existe des conditions que doit vérifier la fonction f(x) pour avoir undéveloppement en série de Fourier. Ces conditions sont connues sous le

nom des conditions de Dirichlet. Elles sont vérifiées pour la plupart desfonctions utilisées en physique (ces fonctions sont souvent appelées "goodfunctions" dans les ouvrages anglo-saxons).

II.1.2. Forme complexe du développement

En remplaçant les fonctions trigonométriques par leurs expressionscomplexes (formules d'Euler), le terme de rang n de la série s'écrit:

an cos ωnx + bn sinωnx = an − j bn

2e

jωnx+

an + j bn

2e

− jω nx.

En introduisant les constantes:

C n =a

n + j b

n

2et C −n =

an − j b

n

2 (4)

le développement devient:




f ( x)= a0

2+ (C n e

jωnx+ C −n e

− jωnx).

n= 1

∞

∑(5)

Sous cette forme, on passe de l'un des termes généraux de la série à l'autre

en remplaçant n par -n (C n et − C −n étant complexes conjugués), ce quipermet d'écrire la série sous une forme plus concise en ne considérant

qu'un seul terme, et en prenant soin de poser C 0 = a0 / 2 :

f ( x)= C n e jωnx

n=∞

∞

∑ .

(6)

Le calcul de C n peut être fait en utilisant sa définition (relation (4) jointe àla relation (2):

C n = 1

L f ( x).e

− jωnxdx

− L / 2

+ L / 2

∫(7)

Enfin, on notera que, très souvent, la variable x représente le temps t.

II.1.3. Représentation graphique: spectres

Il est commode de représenter les séries an et bn par des graphiques du typede la figure 2, où l'on porte en abscisse le rang n de l'harmonique, et où l'on

trace verticalement un segment de hauteur an ou bn égale à l'amplitude del'harmonique. Un tel graphique est appelé spectre, par analogie avec ladécomposition spectrale de la lumière blanche par un prisme ou un réseau.

an ou bn

0 ω 2ω 3ω

ω ou n

Figure II.2. Spectre de Fourier d'un signal périodique




Le problème complet exige la connaissance des deux spectresan et bn mais il convient de remarquer que les deux termes de rang npeuvent s'écrire:

an cos ωnx + bn sinωnx = S n cos (nx − φn) (8)

avec:S n = an

2 + bn2 et tan φn = n

an

.(9)

La connaissance séparée de an et de bn équivaut à celle de l'amplitude S n

et de la phase φn de l'harmonique n.

II.1.4. Application à un signal carré:

Lors de la préparation de cette manipulation, établir les expressionsanalytiques des coefficients de Fourier du créneau carré de période 1représenté sur la figure 3.

0

-1/2

-1/2

1

-1

Figure II.3. Signal créneau carré

Représenter graphiquement le spectre de la fonction.

II.2. La transformée de Fourier

D'après ce qui précède, on a pour une fonction f(x) périodique de

période L:




f L ( x) = e jωnx 1

L f (t ).e

− jωnt dt

− L / 2

+ L / 2

∫

.

n= −∞

∞

∑(10)

Cherchons à voir ce que devient la relation (10) pour une période L tendantvers l'infini. On a alors:

L → ∞ et ω → 0.

On décompose la somme discrète de l'équation (10) en une somme sur de

petits intervalles ∆ω = n −1 − ω n = (n +1)ω − n = . De plus, onconsidère le coefficient de Fourier Cn comme une fonction de

n = n = n∆ω :

soit C n = C ( n)

l'équation (10) devient alors:

f ∆ω ( x) = C n∆ω ∑ e

jω n x = C ∆ω ∑ ( n ) e

jω n x

(11)

En posant ensuite:C ' (ω n) =

C (ω n)

∆ω

on obtient: f ∆ω ( x) = C ' ( n )e

jω n x ∆∆ω ∑

avec, puisque∆ω = ω =

2π

LC ' (ω n) =

1

2π f ( x )e

− jω n xdx− L /2

+ L /2

∫

On peut alors calculer à la limite où L → ∞ la somme discrète en la

remplaçant par une intégrale continue en posant ∆ω → d ω . On obtient ainsi:

f ( x ) = C ' (ω )e jω x

d ω −∞

+ ∞

∫ (13)

avec:C ' (ω ) =

1

2π f ( x )e

− jω xdx−∞

+∞

∫(14)

Le changement de variable ω → v (avec ω = 2πv) permet de rendre les

expressions (13) et (14) symétriques




f ( x ) = C ' (ν )e j2πν x

2π d ν −∞

+ ∞

∫ = C (ν )e j2πν x

d ν −∞

+∞

∫ (15)

etC (ν ) = 2π C ' (ν ) f ( x ) e

− j 2πν xdx

−∞

+∞

∫(16)

L'intégrale donnée par l'expression (15) est appelée transformée deFourier de C ( ν) et réciproquement C ( ν) est la transformée de Fourier def(x). On note souvent:

C (v) = TF f ( x). ou C (ν ) = f

∧

( x )

L'expression (16) est aussi appelée transformée de Fourier inverse.

On peut séparer les parties réelles et imaginaires de C (v) en posant:

C (v) = R(v) − j. I (v). (17)

Remarques:

• ω, v et x sont des nombres réels

• C (v) et f ( x ) peuvent être des fonctions à variablescomplexes

• f est définie sur l'espace des x qui représente trèssouvent le temps.

• C (v) est définie sur l'espace des fréquences ν .

II.2.1. Interprétation physique

L'intégrale de Fourier "remplace" les séries de Fourier. Dans l'intégrale, on

a une infinité de fréquences qui varient continûment, et non pasdiscrètement comme dans le cas des séries. Enfin, comme pour les séries,C( ν) indiquera avec quelle amplitude intervient chaque fréquence ν dansla constitution de la fonction f(x).




II.2.2. Transformée de Fourier d'un signal échantillonné

Dans la suite, nous serons confrontés à des signaux analogiqueséchantillonnés de manière discrète avec un pas de temps de dt. Ainsi,

comme le résume la figure 4, le signal continu f(x) sera remplacé par unesérie de N points, N étant de l'ordre de quelques centaines.

f(t)

f(t)

t

signal analogique

signal échantillonné

(N=6 échantillons)

t

Figure II.4. Principe de l'échantillonnage d'un signal analogique.

De manière pratique, la transformée de Fourier discrète d'une série réellede points f(x), x=0,...., N-1 donne dans le domaine fréquentiel unecomposante réelle R( ν) et une composante imaginaire I( ν) calculable nonpas avec une intégrale, mais avec une somme discrète:

R(v) = dx f ( x).cos(2πvx ) x= 0

N −1

∑(18)

I (v) = − dx f ( x).sin(2πvx ). x =0

N −1

∑(19)

L'amplitude du spectre est le module de C( ν):

A(v) = R2(v) + I

2(v) (20)

et le spectre de puissance est:




A2(v) = R

2(v) + I

2(v). (21)

II.2.3. La transformée de Fourier rapide (TFR ou FFT)

Le calcul pratique de la transformée de Fourier d'un signal discret n'est jamais réalisé directement en appliquant les relations (18) et (19) carl'opération est excessivement coûteuse en temps de calcul dès que lenombre de points augmente.

L'algorithme utilisé est connu sous le nom de TFR (ou FFT en anglais pourFast Fourier Transform), et date des années 1960. De nombreuses variantessont disponibles actuellement dans des logiciels commerciaux qui sontextrêmement performants

La FFT transforme un bloc complexe de données du domaine temporel enun bloc complexe de données du domaine fréquentiel de longueur égale.

L'utilisation la plus courante de la FFT est de transformer les évolutionstemporelles en temps réel en fonctions fréquentielles complexes etinversement. Ceci fait, il est tiré parti de la conjuguée complexesymétrique de la Transformée de Fourier des données réelles pour obtenirN/2 +1 points complexes du domaine fréquentiel. Par exemple, 1024

points réels deviennent 513 points complexes du domaine fréquentiel.

II.3. Vibrations transversales d'une poutre

L'équation différentielle décrivant les mouvements transversaux d'unepoutre peut être facilement établie (voir: L.Landau, Théorie de l'élasticité,Editions Mir, Moscou), et s'écrit, avec les notations de la figure II.5:

02

2

4

4

=

∂

∂+

∂

∂

t

yS

x

y EI µ

où m est la masse volumique de la poutre d’épaisseur e et de largeur b, Eson module d’Young, S sa section et I son inertie.S = e .b , I = e3 b/12 pour une poutre rectangulaire. On peut donc écrire :

δ 4 y

δ x 4 +

1

K 2

δ 2 y

δ t 2 = 0

(22)

avec K=e µ 12

E (23)




K est donc une constante qui fait intervenir des quantités intrinsèques à lapoutre (module d'Young, masse volumique et épaisseur). Quelle est ladimension de K?

y

x

L

poutre encastrée à une extrémité

Figure II.5. Poutre encastrée à une extrémité

Cherchons les régimes stationnaires de l'équation (22) en cherchant dessolutions de la forme:

y = φ( x) e jωt

dans laquelle la fonction φ( x ) est réelle.En portant (23) dans l'équation (22), on obtient une équation linéaire du

quatrième ordre en φ :d 4φ

dx4 − ω 2

K 2 φ = 0.

(24)

En posantm

4=

ω2

K 2 (25)

l'équation (24) prend la forme simple:

d 4φ

dx4 − m4

φ = 0.(26)

Quelle est la dimension de m4?

L'équation caractéristique de (26) admet 4 racines m, -m, im et -im. Lasolution générale cherchée a pour expression:

φ = A.cos mx + B.sin mx + C .ch mx + D.shmx (27)




où A, B, C, et D sont des constantes déterminées par les conditions auxlimites. Pour la poutre encastrée (figure II.5), ces conditions aux limitessont les suivantes:

en x = 0 φ = 0

(Déplacement nul)

d φ

dx= 0

(Pas de cassure ou de point anguleux)

en x = L

d 2φ

dx 2 = 0(Moment fléchissant nul)

d 3φ

dx3 = 0

(Effort tranchant nul).On obtient 4 équations:A + C = 0B + D = 0

− A cos mL − B.sin mL + C .ch mL + D.sh mL = 0

A sin mL − B.cos mL + C .sh mL + D .ch mL = 0

En remplaçant C et D en fonction de A et B, on est conduit à:

A cos mL + ch mL[ ]= − B sin mL + shmL[ ]

A sh mL −sin mL[ ]= − B cos mL + ch mL[ ].

Ce système n'est compatible que si son déterminant est nul:

cos mL+ ch mL[ ]2

= shmL + sinmL[ ]. shmL− sinmL[ ]soit: cos mL. ch mL = −1. (28)

L'équation (28) est résolue graphiquement en traçant les solutions enfonction de mL (voir figure II.6).




Figure II.6. Résolution de l'équation (28).

A cause de la croissance très rapide de la fonction ch x, on remarque queles solutions (à l'exception de la première) sont très proches des asymptotesverticales. On peut alors écrire:

mk . L = (2k + 1) π

2.

avec k entier ≥ 0 (29)

Pour la première solution (k=0), un calcul numérique conduit à:

m0. L = 1,194.π

2 (30)

En portant les valeurs de mk dans l'équation (25), on obtient la loi de

variation des périodes propres ωk en fonction de la longueur L de lapoutre:

ωk = K

L2 (2k + 1)2 π2

4 (31)

et pour la période plus basse, à l'aide de (30): ω 0 =

3 , 5 K

L 2 (32)

L'objet de la manipulation va consister à mesurer ω0 pour diverses valeursde L, à vérifier la relation (32) puis extraire la constante K.

On vérifiera ensuite la relation suivante :2

0 / '.5.3 LK e=ω ( voir l’équation

(23)) en mesurant pour une longueur de lame fixée, la fréquence devibration en fonction de l’épaisseur de la lame.




III. MANIPULATIONS

III. 1. Les séries de Fourier.Effectuer le travail demandé dans la sous-section II.1.4.

.Un programme nommé FOURIER (voir répertoire Fourier) permet desynthétiser les fonctions créneau et triangle à partir de son développementen série.

- Etudier le graphe du créneau synthétisé en fonction du nombre de termesconsidéré dans la série. Par exemple, on considérera successivement n=10,

50, 100,...,1000.

- Comment ce programme qui effectue en fait une synthèse de Fourierpourrait-il être utilisé pour faire une analyse de Fourier ?- Observer dans chaque cas le spectre généré.- Arrive-t-on à obtenir le créneau de façon parfaite ?-Expliquer pourquoi on arrive à synthétiser la fonction triangle avecbeaucoup moins de termes que la fonction créneau ?

III.2 Détermination des spectres d'un signal carré et d’un signaltriangulaire.

-A l’aide du GBF envoyer successivement un signal carré puis un signaltriangulaire de 1 V sur la voie 0 du boîtier Eurosmart.

-Acquérir le signal à l’aide du logiciel Lame de scie (voir répertoire lamede scie).

-Quelle est dans chaque cas la composition spectrale du signal (utiliser la

fonction FFT dans le menu Traitements?Faire varier la fréquence.Commenter.




III.3 Etude des vibrations mécaniques de la lame de scie.

III. 3.1 Montage pour l'étude de la vibration de la lame vibrante

La lame étudiée est une lame de scie à métaux en acier. L'une desextrémités est serrée dans un étau. On aimante l'extrémité libre en lafrottant plusieurs fois, dans le même sens, contre un aimant.

La lame oscille devant le noyau d'une bobine d'induction (voir figure ci-dessous). Le mouvement vibratoire de la lame est enregistré parl'intermédiaire de la tension induite dans la bobine. En effet, lorsquel'extrémité libre de la lame passe à proximité du noyau de la bobine, le flux

du champ magnétique créé par la lame aimantée à travers la bobine varie,ce qui provoque l'apparition d'une f.e.m. induite donc d'un courant qui estconverti sous forme de tension que l’on va capturer à l’aide d’une carted’acquisition. Le signal ainsi capté sera traité par un logiciel nommé

« Lame de scie ».

Interface de connexion Eurosmart

Ordinateur

Lame encastrée

Bobine Etau

Voie 0 Masse

Amplificateur

Figure III.1 Montage utilisé

III. 3.2 Etude des vibrations de la lame élastique (équations 32 et 23).




On utilise aussi le logiciel Lame de scie pour étudier les vibrationsde la lame de scie à métaux.

-Effectuer le montage de la lame de scie dans l'étau et mesurer la longueurL de la lame vibrante.

-Positionner la lame en face du noyau de la bobine.

-Lancer l’acquisition à l’aide de la touche F10 puis faire vibrer la lame.

-Le menu FFT permet de calculer la fréquence de vibration pour unelongueur de lame donnée.Pour des longueurs de lame successives de 10, 15, 20 et 25 cm, enregistrer

les fréquences propres de vibration f 0.

-Tracer la courbe f0=f(1/L2).

-Expliquer la forme de la courbe.

Conclure.

IV-Etude la fréquence d’un signal sonore.

IV-1 Matériel :

2 diapasons avec leur boîte de résonance1 microphone d’ondes sonores1 marteau en caoutchouc1 amplificateur1 ordinateur muni d’une carte d’acquisition




IV-2 Montage

Connecter le microphone à l’entrée de l’ampli. Relier la sortie de l’ampli àla voie 0 du boîtier Eurosmart. Utiliser les prises jack et les adaptateurs

prévus à cet effet.Faire vérifier le montage.

IV-3 Travail demandé

-Enregistrer le son émis par un diapason et déterminer sa fréquence.

-Fixer la masselotte sur une des branches du diapason. Déterminer lafréquence de vibration en fonction de la position de la masselotte.

-Désaccorder l’un des deux diapasons (à l’aide de la masselotte). Puis lesfaire vibrer ensemble.

-Acquérir le signal émis. Qu’observe-t-on ? Expliquer. -Déterminer la fréquence de vibration de chaque diapason.

-Sans modifier les réglages des diapasons, enregistrer le signal émis parchacun des deux et déterminer les fréquences. Comparer les résultats à

ceux obtenus précédemment.Commenter.

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