Upload
themathchannel
View
2.005
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Mitschrift zur Analysis I Vorlesung vonProf Dr Wittbold im WS0708
Thomas El Khatib
1 Dezember 2007
1
Inhaltsverzeichnis1 Mengen Abbildungen und Zahlen 6
11 Mengen 6111 Definition 6112 Beispiele 6113 Bezeichnungen und Konzepte 6114 Beispiele 7
12 AbbildungenFunktionen 7121 Definition 7122 Beispiele 8123 Graphen von Funktionen 8124 Beispiel 8125 Definition uumlber Relationen 9126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen 9127 Beispiele 10128 Inverse Abbildung 11129 Beispiel 111210 Komposition von Abbildungen 111211 Beispiel 111212 Bild- und Urbildmenge 121213 Beispiel 121214 Logik Quantoren 12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper 13131 Innere Verknuumlpfung 13132 Beispiele 13133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen 13134 Beispiele 14135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente 14136 Koumlrper 15137 Beispiele 15138 Schreibkonventionen 15139 Saumltze uumlber Koumlrper 16
14 Angeordnete Koumlrper 18141 Motivation 18142 Definition 18143 Beispiele 19144 Regeln fuumlr Ungleichungen 19145 Betragsfunktion 20146 Beispiel 20147 Abstandsfunktion 21148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion 21149 Der Positivbereich der reellen Zahlen 221410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen 23
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige Induktion 25151 Induktive Mengen 25152 Beispiele 25153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt 25154 Beispiele 25155 Natuumlrliche Zahlen 25
2
156 Eigenschaften 26157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion 26158 Allgemeines Verfahren 26159 Beispiel 271510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion 271511 Beispiel 281512 Scheinparadoxon 281513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion 291514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen 29
16 Die ganzen und rationalen Zahlen 30161 Problem 31
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen 31171 Dedekindrsquosche Schnitte 31172 Beispiel 32173 Reelle Zahlen 32174 Beschraumlnktheit von Mengen 32175 Maximum und Minimum von Mengen 33176 Supremum und Infimum von Mengen 33177 Beispiele 33178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit 34179 Archimedisches Axiom 351710 Folgerungen 351711 BemerkungenErgaumlnzungen 36
18 Komplexe Zahlen 40181 Definition als Paare von reellen Zahlen 40182 Die imaginaumlre Einheit 40183 Potenzen von i 40184 Bezeichnungen 41185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen 41186 Eigentliche Definition 41187 Beispiel 42188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen 42189 Konjugiert-komplexe Zahl 421810 Betrag 421811 Eigenschaften 421812 Abstandsfunktion 421813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene 43
2 Folgen und Reihen 4421 Folgen 44
211 Definition 44212 Beispiele 44213 Teilfolgen 45214 Beispiel 45215 Umordnung 45216 Beispiel 45217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen 46
22 Konvergenz 47221 Nullfolgen 47222 Beispiele 47
3
223 Allgemeine Konvergenz 48224 Beispiele 48225 Eindeutigkeit des Limes 48226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt 49227 Konvergenzkriterien 49228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen 50229 Konvergenz von Teilfolgen 512210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo 522211 Konvergenz in den komplexen Zahlen 532212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen 532213 Sandwich-Lemma 542214 Beispiel 552215 Monotonie 552216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren 552217 Existenz von monotonen Teilfolgen 562218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig 562219 Cauchy-Folgen 572220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen 572221 Cauchy-Kriterium 572222 Beispiel 582223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit 612224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren 622225 Erweiterte reelle Zahlengerade 622226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen 622227 Bestimmte Divergenz 632228 Beispiel 632229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen 632230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade 642231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt 642232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig 64
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior 64231 Haumlufungspunkte 64232 Beispiele 64233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten 65234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig 65235 Uneigentliche Haumlufungspunkte 65236 Limes Superior und Limes inferior 65237 Beispiel 66238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior 66
24 Unendliche Reihen 67241 Definition 67242 Beispiel 68243 Eigenschaften von unendlichen Reihen 68244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen 69245 Beispiel 70246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz 70247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen 70248 Beispiel 71249 Wurzelkriterium 722410 Quotientenkriterium 73
4
3 Bildquellen 73
5
1 Mengen Abbildungen und Zahlen
11 Mengen111 Definition
Definition nach Cantor (1845-1918)
Definition 11 Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunter-schiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
Die Objekte der Menge heiszligen Elemente
112 Beispiele
M = 1 3 5 Nnaiv = 1 2 3
N0 = 0 1 2 3 Znaiv = N cup 0 cup (minusN)
Qnaiv =p
q| p q isin Z q 6= 0
M = m |m erfuumlllt eine Eigenschaft A
Achtung Es wird standardmaumlszligig die (west-)deutsche Menge der natuumlrlichen Zahlenverwendet also 0 6isin N
113 Bezeichnungen und Konzepte
Seien MM1M2 Mengen
bull empty = - leere Menge Die Menge die keine Elemente enthaumllt
bull p isinM - p ist Element von M p ist in M enthalten
bull p 6isinM - p ist nicht Element von M p ist nicht in M enthalten
bull M1 sube M2 (auch M1 sub M2) - M1 ist Teilmenge von M2 M1 ist in M2 enthal-ten
bull M1 subM2 (auch M1 ( M2) - M1 ist echte Teilmenge von M2
bull M1capM2 - DurchschnittSchnittmenge Menge aller Elemente die sowohl inM1
als auch in M2 enthalten sind
bull M1 cupM2 - Vereinigung-smenge Menge aller Elemente die in M1 undoder inM2 enthalten sind
bull M1 M2 - Differenzmenge relatives Komplement von M2 in M1 Menge allerElemente die in M1 aber nicht in M2 enthalten sind
bull P(M) - Potenzmenge von M dh Menge aller Teilmengen von M
bull M - bdquoAnzahlldquo der Elemente einer Menge Kardinalitaumlt Fuumlr endliche Mengenist |M | gebraumluchlich
6
bull M1timesM2 (sprich M1 kreuz M2) kartesisches Produkt der Mengen M1 und M2
(m1m2) |m1 isinM1 m2 isinM2
(m1m2) heiszligt das aus m1 und m2 gebildete geordnete PaarTupel
Achtung (m1m2) = (m1 m2) genau dann wenn m1 = m1 und m2 = m2
114 Beispiele
M1 = 1 2 3 M2 = 3 4 5M1 cupM2 = 1 2 3 4 5M1 M2 = 1 2M1 capM2 = 3P(M1) = empty 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
M1 = 3P(M1) = 8
allgemeinn isin N andM = nrArr P(M1) = 2n
InsbesondereP(empty) = empty
Kartesisches Produkt
M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)
12 AbbildungenFunktionen121 Definition
Seien XY Mengen
Definition 12 Eine Abbildung von X nach Y ist eine Zuordnungsvorschrift die je-dem Element aus X genau ein dh ein eindeutig bestimmtes Element aus Y zuordnet
Ist f der Name der Abbildung dann schreibt man kurz
f X rarr Y
bdquof ist Abbildung von X nach Y ldquo
x 7rarr f(x)
bdquox wird abgebildet auf f(x)ldquo Oder bdquof(x) ist das eindeutige Element aus Y dass x(von f ) zugeordnet wirdldquo
Weitere Notationen fuumlr Abbildungen sind moumlglich
f X 3 x 7rarr f(x) = y isin Y
7
Bezeichne mitA(XY ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y Alternativ wiein Lineare Algebra auch Abb(XY ) bzw XY
Zwei Abbildungen f g isin A(XY ) heiszligen gleich dh f = g wenn gilt f(x) = g(x)fuumlr alle x isin X
122 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
2
g Nrarr N
n 7rarr
n2 falls n geraden3 falls n ungerade
Achtung Eine Zuordnungsvorschrift die keine Abbildung ist ist zum Beispiel diefolgendeSeien
X = 1 4 9 16 (Menge der Quadratzahlen der natuumlrlichen Zahlen)Y = Z
Zuordnungsvorschrift Ordne jedem x isin X eine Zahl y isin Y zu fuumlr die gilt y2 = x
Problem1 7rarr minus1 und 1 7rarr 1 denn (minus1)2 = (1)2 = 1 Also ist das Element das x = 1zugeordnet wird nicht eindeutig bestimmt
123 Graphen von Funktionen
Weiter bezeichnen wir fuumlr ein f isin A(XY ) mit
G(f) = (x f(x)) | x isin X (sub X times Y )
den Graphen von f
124 Beispiel
f Rrarr Rx 7rarr x3
G(f) =(x x3) | x isin R
sube Rtimes R
8
Illustration
125 Definition uumlber Relationen
Bemerkung Es ist moumlglich den Abbildungsbegriff allein mit Hilfe der Mengenlehrezu definieren Dazu definiert man zunaumlchst sog Abbildungsrelationen R sube X times Y alsTeilmengen von X times Y fuumlr die gilt dass fuumlr alle x isin X ein y isin Y existiert sodass(x y) isin RIn Formeln
forallx isin X existy isin Y (x y) isin R
Fuumlr eine solche Abbildungsrelation R kann dann eine Abbildung f X rarr Y definiertwerden durch f(x) = y wobei y das eindeutige Element y isin Y mit der Eigenschaft(x y) isin R fuumlr alle x isin X
126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen
Definition 13 Seien XY Mengen f isin A(XY )
i) f heiszligt injektiv (eineindeutig) genau dann wenn giltaus x1 x2 isin X x1 6= x2 folgt f(x1) 6= f(x2)In Formeln
x1 x2 isin X and x1 6= x2 rArr f(x1) 6= f(x2)
oder auchx1 x2 isin X and f(x1) = f(x2)rArr x1 = x2
ii) f heiszligt surjektiv genau dann wenn giltfuumlr jedes y isin Y existiert ein x isin X mit f(x) = yIn Formeln
forall y isin Y existx isin X f(x) = y
iii) f heiszligt bijektiv genau dann wenn f injektiv und surjektiv ist
9
Illustration
allgemeine Form einer Abbildung f
f ist injektiv nicht surjektiv
f ist surjektiv nicht injektiv
f ist bijektiv
127 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
ist injektiv denn aus n1 n2 isin N mit n1 6= n2 folgt stets n21 6= n2
2f ist nicht surjektiv da nicht jede natuumlrliche Zahl n isin N Quadratzahl ist zumBeispiel gilt dies fuumlr n = 3
2
f Zrarr N0
z 7rarr z2
ist nicht surjektiv (Begruumlndung wie in 1)) f ist nicht injektiv da fuumlr alle z isinZ 0 gilt z 6= minusz aber f(z) = z2 = (minusz)2 = f(minusz)
3
f Zrarr Zz 7rarr z + 1
10
ist bijektivy isin Z f(y minus 1) = y minus 1 + 1 = yInjektivitaumlt ist klar
128 Inverse Abbildung
Definition 14 Seien XY Mengen f isin A(XY )Ist f bijektiv dann koumlnnen wir die zu f inverse Abbildung bezeichnet mit fminus1 de-finieren als die Abbildung von Y nach X die jedem y isin Y das eindeutige Elementx isin X zuordnet fuumlr das gilt f(x) = yKurz
fminus1 Y rarr X (dh fminus1 isin A(YX))y 7rarr x
129 Beispiel
Sei f aus Beispiel 3 oben Dann ist
fminus1 Zrarr Zy 7rarr y minus 1
die zu f inverse Abbildung
1210 Komposition von Abbildungen
Definition 15 XY Z seien Mengen f isin A(XY ) g isin A(Y Z)Dann definieren wir die Komposition (Verknuumlpfung) der Abbildungen f und g be-zeichnet mit g f (gesprochen g nach f g verknuumlpft mit f g bdquoKringelldquo f ) als dieAbbildung
g f X rarr Z
x 7rarr g(f(x))
1211 Beispiel
f Zrarr N g N0 rarr Nz 7rarr z2 n 7rarr n+ 1
Dann ist
g f Zrarr Nz 7rarr g(f(z)) = g(z2) = z2 + 1
11
Illustration
1212 Bild- und Urbildmenge
Definition 16 Seien XY Mengen A sube X B sube Y f isin A(XY )Dann heiszligt
f(A) = f(a) | a isin ABild(-menge) von A unter f und
fminus1(B) = x | x isin X f(x) isin B
Urbild(-menge) von B unter f
1213 Beispiel
Sei
f Zrarr Zx 7rarr x2
dann ist
f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2
fminus1(2 3) = empty
1214 Logik Quantoren
Definition 17 A(x) sei eine Aussage die von einer Variablen x abhaumlngt
bullforallx isinM A(x)
bedeutet Fuumlr alle x isinM gilt die Aussage A(x) Gleichbedeutend ist
A(x) forallx isinM
gelesen Die Aussage A(x) gilt fuumlr alle x isinM
bull existx isin M A(x) bedeutet Es existiert ein x isin M sodass die Aussage A(x)gilt
bull existx isin M A(x) bedeutet Es exisitert genau ein x isin M sodass die AussageA(x) gilt
12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung
Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge
Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)
132 Beispiele
1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung
cup M timesM rarrM
(AB) 7rarr A cupB
eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung
133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen
Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M
i) heiszligt assoziativ wenn gilt
(x y) z = x (y z)
fuumlr alle x y z isinM
ii) heiszligt kommutativ wenn gilt
x y = y x
fuumlr alle x y isinM
iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt
x e = e x = x
fuumlr alle x isinM
iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt
x y = y x = e
13
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Inhaltsverzeichnis1 Mengen Abbildungen und Zahlen 6
11 Mengen 6111 Definition 6112 Beispiele 6113 Bezeichnungen und Konzepte 6114 Beispiele 7
12 AbbildungenFunktionen 7121 Definition 7122 Beispiele 8123 Graphen von Funktionen 8124 Beispiel 8125 Definition uumlber Relationen 9126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen 9127 Beispiele 10128 Inverse Abbildung 11129 Beispiel 111210 Komposition von Abbildungen 111211 Beispiel 111212 Bild- und Urbildmenge 121213 Beispiel 121214 Logik Quantoren 12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper 13131 Innere Verknuumlpfung 13132 Beispiele 13133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen 13134 Beispiele 14135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente 14136 Koumlrper 15137 Beispiele 15138 Schreibkonventionen 15139 Saumltze uumlber Koumlrper 16
14 Angeordnete Koumlrper 18141 Motivation 18142 Definition 18143 Beispiele 19144 Regeln fuumlr Ungleichungen 19145 Betragsfunktion 20146 Beispiel 20147 Abstandsfunktion 21148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion 21149 Der Positivbereich der reellen Zahlen 221410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen 23
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige Induktion 25151 Induktive Mengen 25152 Beispiele 25153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt 25154 Beispiele 25155 Natuumlrliche Zahlen 25
2
156 Eigenschaften 26157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion 26158 Allgemeines Verfahren 26159 Beispiel 271510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion 271511 Beispiel 281512 Scheinparadoxon 281513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion 291514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen 29
16 Die ganzen und rationalen Zahlen 30161 Problem 31
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen 31171 Dedekindrsquosche Schnitte 31172 Beispiel 32173 Reelle Zahlen 32174 Beschraumlnktheit von Mengen 32175 Maximum und Minimum von Mengen 33176 Supremum und Infimum von Mengen 33177 Beispiele 33178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit 34179 Archimedisches Axiom 351710 Folgerungen 351711 BemerkungenErgaumlnzungen 36
18 Komplexe Zahlen 40181 Definition als Paare von reellen Zahlen 40182 Die imaginaumlre Einheit 40183 Potenzen von i 40184 Bezeichnungen 41185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen 41186 Eigentliche Definition 41187 Beispiel 42188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen 42189 Konjugiert-komplexe Zahl 421810 Betrag 421811 Eigenschaften 421812 Abstandsfunktion 421813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene 43
2 Folgen und Reihen 4421 Folgen 44
211 Definition 44212 Beispiele 44213 Teilfolgen 45214 Beispiel 45215 Umordnung 45216 Beispiel 45217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen 46
22 Konvergenz 47221 Nullfolgen 47222 Beispiele 47
3
223 Allgemeine Konvergenz 48224 Beispiele 48225 Eindeutigkeit des Limes 48226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt 49227 Konvergenzkriterien 49228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen 50229 Konvergenz von Teilfolgen 512210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo 522211 Konvergenz in den komplexen Zahlen 532212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen 532213 Sandwich-Lemma 542214 Beispiel 552215 Monotonie 552216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren 552217 Existenz von monotonen Teilfolgen 562218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig 562219 Cauchy-Folgen 572220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen 572221 Cauchy-Kriterium 572222 Beispiel 582223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit 612224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren 622225 Erweiterte reelle Zahlengerade 622226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen 622227 Bestimmte Divergenz 632228 Beispiel 632229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen 632230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade 642231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt 642232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig 64
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior 64231 Haumlufungspunkte 64232 Beispiele 64233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten 65234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig 65235 Uneigentliche Haumlufungspunkte 65236 Limes Superior und Limes inferior 65237 Beispiel 66238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior 66
24 Unendliche Reihen 67241 Definition 67242 Beispiel 68243 Eigenschaften von unendlichen Reihen 68244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen 69245 Beispiel 70246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz 70247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen 70248 Beispiel 71249 Wurzelkriterium 722410 Quotientenkriterium 73
4
3 Bildquellen 73
5
1 Mengen Abbildungen und Zahlen
11 Mengen111 Definition
Definition nach Cantor (1845-1918)
Definition 11 Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunter-schiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
Die Objekte der Menge heiszligen Elemente
112 Beispiele
M = 1 3 5 Nnaiv = 1 2 3
N0 = 0 1 2 3 Znaiv = N cup 0 cup (minusN)
Qnaiv =p
q| p q isin Z q 6= 0
M = m |m erfuumlllt eine Eigenschaft A
Achtung Es wird standardmaumlszligig die (west-)deutsche Menge der natuumlrlichen Zahlenverwendet also 0 6isin N
113 Bezeichnungen und Konzepte
Seien MM1M2 Mengen
bull empty = - leere Menge Die Menge die keine Elemente enthaumllt
bull p isinM - p ist Element von M p ist in M enthalten
bull p 6isinM - p ist nicht Element von M p ist nicht in M enthalten
bull M1 sube M2 (auch M1 sub M2) - M1 ist Teilmenge von M2 M1 ist in M2 enthal-ten
bull M1 subM2 (auch M1 ( M2) - M1 ist echte Teilmenge von M2
bull M1capM2 - DurchschnittSchnittmenge Menge aller Elemente die sowohl inM1
als auch in M2 enthalten sind
bull M1 cupM2 - Vereinigung-smenge Menge aller Elemente die in M1 undoder inM2 enthalten sind
bull M1 M2 - Differenzmenge relatives Komplement von M2 in M1 Menge allerElemente die in M1 aber nicht in M2 enthalten sind
bull P(M) - Potenzmenge von M dh Menge aller Teilmengen von M
bull M - bdquoAnzahlldquo der Elemente einer Menge Kardinalitaumlt Fuumlr endliche Mengenist |M | gebraumluchlich
6
bull M1timesM2 (sprich M1 kreuz M2) kartesisches Produkt der Mengen M1 und M2
(m1m2) |m1 isinM1 m2 isinM2
(m1m2) heiszligt das aus m1 und m2 gebildete geordnete PaarTupel
Achtung (m1m2) = (m1 m2) genau dann wenn m1 = m1 und m2 = m2
114 Beispiele
M1 = 1 2 3 M2 = 3 4 5M1 cupM2 = 1 2 3 4 5M1 M2 = 1 2M1 capM2 = 3P(M1) = empty 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
M1 = 3P(M1) = 8
allgemeinn isin N andM = nrArr P(M1) = 2n
InsbesondereP(empty) = empty
Kartesisches Produkt
M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)
12 AbbildungenFunktionen121 Definition
Seien XY Mengen
Definition 12 Eine Abbildung von X nach Y ist eine Zuordnungsvorschrift die je-dem Element aus X genau ein dh ein eindeutig bestimmtes Element aus Y zuordnet
Ist f der Name der Abbildung dann schreibt man kurz
f X rarr Y
bdquof ist Abbildung von X nach Y ldquo
x 7rarr f(x)
bdquox wird abgebildet auf f(x)ldquo Oder bdquof(x) ist das eindeutige Element aus Y dass x(von f ) zugeordnet wirdldquo
Weitere Notationen fuumlr Abbildungen sind moumlglich
f X 3 x 7rarr f(x) = y isin Y
7
Bezeichne mitA(XY ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y Alternativ wiein Lineare Algebra auch Abb(XY ) bzw XY
Zwei Abbildungen f g isin A(XY ) heiszligen gleich dh f = g wenn gilt f(x) = g(x)fuumlr alle x isin X
122 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
2
g Nrarr N
n 7rarr
n2 falls n geraden3 falls n ungerade
Achtung Eine Zuordnungsvorschrift die keine Abbildung ist ist zum Beispiel diefolgendeSeien
X = 1 4 9 16 (Menge der Quadratzahlen der natuumlrlichen Zahlen)Y = Z
Zuordnungsvorschrift Ordne jedem x isin X eine Zahl y isin Y zu fuumlr die gilt y2 = x
Problem1 7rarr minus1 und 1 7rarr 1 denn (minus1)2 = (1)2 = 1 Also ist das Element das x = 1zugeordnet wird nicht eindeutig bestimmt
123 Graphen von Funktionen
Weiter bezeichnen wir fuumlr ein f isin A(XY ) mit
G(f) = (x f(x)) | x isin X (sub X times Y )
den Graphen von f
124 Beispiel
f Rrarr Rx 7rarr x3
G(f) =(x x3) | x isin R
sube Rtimes R
8
Illustration
125 Definition uumlber Relationen
Bemerkung Es ist moumlglich den Abbildungsbegriff allein mit Hilfe der Mengenlehrezu definieren Dazu definiert man zunaumlchst sog Abbildungsrelationen R sube X times Y alsTeilmengen von X times Y fuumlr die gilt dass fuumlr alle x isin X ein y isin Y existiert sodass(x y) isin RIn Formeln
forallx isin X existy isin Y (x y) isin R
Fuumlr eine solche Abbildungsrelation R kann dann eine Abbildung f X rarr Y definiertwerden durch f(x) = y wobei y das eindeutige Element y isin Y mit der Eigenschaft(x y) isin R fuumlr alle x isin X
126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen
Definition 13 Seien XY Mengen f isin A(XY )
i) f heiszligt injektiv (eineindeutig) genau dann wenn giltaus x1 x2 isin X x1 6= x2 folgt f(x1) 6= f(x2)In Formeln
x1 x2 isin X and x1 6= x2 rArr f(x1) 6= f(x2)
oder auchx1 x2 isin X and f(x1) = f(x2)rArr x1 = x2
ii) f heiszligt surjektiv genau dann wenn giltfuumlr jedes y isin Y existiert ein x isin X mit f(x) = yIn Formeln
forall y isin Y existx isin X f(x) = y
iii) f heiszligt bijektiv genau dann wenn f injektiv und surjektiv ist
9
Illustration
allgemeine Form einer Abbildung f
f ist injektiv nicht surjektiv
f ist surjektiv nicht injektiv
f ist bijektiv
127 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
ist injektiv denn aus n1 n2 isin N mit n1 6= n2 folgt stets n21 6= n2
2f ist nicht surjektiv da nicht jede natuumlrliche Zahl n isin N Quadratzahl ist zumBeispiel gilt dies fuumlr n = 3
2
f Zrarr N0
z 7rarr z2
ist nicht surjektiv (Begruumlndung wie in 1)) f ist nicht injektiv da fuumlr alle z isinZ 0 gilt z 6= minusz aber f(z) = z2 = (minusz)2 = f(minusz)
3
f Zrarr Zz 7rarr z + 1
10
ist bijektivy isin Z f(y minus 1) = y minus 1 + 1 = yInjektivitaumlt ist klar
128 Inverse Abbildung
Definition 14 Seien XY Mengen f isin A(XY )Ist f bijektiv dann koumlnnen wir die zu f inverse Abbildung bezeichnet mit fminus1 de-finieren als die Abbildung von Y nach X die jedem y isin Y das eindeutige Elementx isin X zuordnet fuumlr das gilt f(x) = yKurz
fminus1 Y rarr X (dh fminus1 isin A(YX))y 7rarr x
129 Beispiel
Sei f aus Beispiel 3 oben Dann ist
fminus1 Zrarr Zy 7rarr y minus 1
die zu f inverse Abbildung
1210 Komposition von Abbildungen
Definition 15 XY Z seien Mengen f isin A(XY ) g isin A(Y Z)Dann definieren wir die Komposition (Verknuumlpfung) der Abbildungen f und g be-zeichnet mit g f (gesprochen g nach f g verknuumlpft mit f g bdquoKringelldquo f ) als dieAbbildung
g f X rarr Z
x 7rarr g(f(x))
1211 Beispiel
f Zrarr N g N0 rarr Nz 7rarr z2 n 7rarr n+ 1
Dann ist
g f Zrarr Nz 7rarr g(f(z)) = g(z2) = z2 + 1
11
Illustration
1212 Bild- und Urbildmenge
Definition 16 Seien XY Mengen A sube X B sube Y f isin A(XY )Dann heiszligt
f(A) = f(a) | a isin ABild(-menge) von A unter f und
fminus1(B) = x | x isin X f(x) isin B
Urbild(-menge) von B unter f
1213 Beispiel
Sei
f Zrarr Zx 7rarr x2
dann ist
f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2
fminus1(2 3) = empty
1214 Logik Quantoren
Definition 17 A(x) sei eine Aussage die von einer Variablen x abhaumlngt
bullforallx isinM A(x)
bedeutet Fuumlr alle x isinM gilt die Aussage A(x) Gleichbedeutend ist
A(x) forallx isinM
gelesen Die Aussage A(x) gilt fuumlr alle x isinM
bull existx isin M A(x) bedeutet Es existiert ein x isin M sodass die Aussage A(x)gilt
bull existx isin M A(x) bedeutet Es exisitert genau ein x isin M sodass die AussageA(x) gilt
12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung
Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge
Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)
132 Beispiele
1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung
cup M timesM rarrM
(AB) 7rarr A cupB
eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung
133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen
Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M
i) heiszligt assoziativ wenn gilt
(x y) z = x (y z)
fuumlr alle x y z isinM
ii) heiszligt kommutativ wenn gilt
x y = y x
fuumlr alle x y isinM
iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt
x e = e x = x
fuumlr alle x isinM
iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt
x y = y x = e
13
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
156 Eigenschaften 26157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion 26158 Allgemeines Verfahren 26159 Beispiel 271510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion 271511 Beispiel 281512 Scheinparadoxon 281513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion 291514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen 29
16 Die ganzen und rationalen Zahlen 30161 Problem 31
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen 31171 Dedekindrsquosche Schnitte 31172 Beispiel 32173 Reelle Zahlen 32174 Beschraumlnktheit von Mengen 32175 Maximum und Minimum von Mengen 33176 Supremum und Infimum von Mengen 33177 Beispiele 33178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit 34179 Archimedisches Axiom 351710 Folgerungen 351711 BemerkungenErgaumlnzungen 36
18 Komplexe Zahlen 40181 Definition als Paare von reellen Zahlen 40182 Die imaginaumlre Einheit 40183 Potenzen von i 40184 Bezeichnungen 41185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen 41186 Eigentliche Definition 41187 Beispiel 42188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen 42189 Konjugiert-komplexe Zahl 421810 Betrag 421811 Eigenschaften 421812 Abstandsfunktion 421813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene 43
2 Folgen und Reihen 4421 Folgen 44
211 Definition 44212 Beispiele 44213 Teilfolgen 45214 Beispiel 45215 Umordnung 45216 Beispiel 45217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen 46
22 Konvergenz 47221 Nullfolgen 47222 Beispiele 47
3
223 Allgemeine Konvergenz 48224 Beispiele 48225 Eindeutigkeit des Limes 48226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt 49227 Konvergenzkriterien 49228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen 50229 Konvergenz von Teilfolgen 512210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo 522211 Konvergenz in den komplexen Zahlen 532212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen 532213 Sandwich-Lemma 542214 Beispiel 552215 Monotonie 552216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren 552217 Existenz von monotonen Teilfolgen 562218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig 562219 Cauchy-Folgen 572220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen 572221 Cauchy-Kriterium 572222 Beispiel 582223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit 612224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren 622225 Erweiterte reelle Zahlengerade 622226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen 622227 Bestimmte Divergenz 632228 Beispiel 632229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen 632230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade 642231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt 642232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig 64
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior 64231 Haumlufungspunkte 64232 Beispiele 64233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten 65234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig 65235 Uneigentliche Haumlufungspunkte 65236 Limes Superior und Limes inferior 65237 Beispiel 66238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior 66
24 Unendliche Reihen 67241 Definition 67242 Beispiel 68243 Eigenschaften von unendlichen Reihen 68244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen 69245 Beispiel 70246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz 70247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen 70248 Beispiel 71249 Wurzelkriterium 722410 Quotientenkriterium 73
4
3 Bildquellen 73
5
1 Mengen Abbildungen und Zahlen
11 Mengen111 Definition
Definition nach Cantor (1845-1918)
Definition 11 Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunter-schiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
Die Objekte der Menge heiszligen Elemente
112 Beispiele
M = 1 3 5 Nnaiv = 1 2 3
N0 = 0 1 2 3 Znaiv = N cup 0 cup (minusN)
Qnaiv =p
q| p q isin Z q 6= 0
M = m |m erfuumlllt eine Eigenschaft A
Achtung Es wird standardmaumlszligig die (west-)deutsche Menge der natuumlrlichen Zahlenverwendet also 0 6isin N
113 Bezeichnungen und Konzepte
Seien MM1M2 Mengen
bull empty = - leere Menge Die Menge die keine Elemente enthaumllt
bull p isinM - p ist Element von M p ist in M enthalten
bull p 6isinM - p ist nicht Element von M p ist nicht in M enthalten
bull M1 sube M2 (auch M1 sub M2) - M1 ist Teilmenge von M2 M1 ist in M2 enthal-ten
bull M1 subM2 (auch M1 ( M2) - M1 ist echte Teilmenge von M2
bull M1capM2 - DurchschnittSchnittmenge Menge aller Elemente die sowohl inM1
als auch in M2 enthalten sind
bull M1 cupM2 - Vereinigung-smenge Menge aller Elemente die in M1 undoder inM2 enthalten sind
bull M1 M2 - Differenzmenge relatives Komplement von M2 in M1 Menge allerElemente die in M1 aber nicht in M2 enthalten sind
bull P(M) - Potenzmenge von M dh Menge aller Teilmengen von M
bull M - bdquoAnzahlldquo der Elemente einer Menge Kardinalitaumlt Fuumlr endliche Mengenist |M | gebraumluchlich
6
bull M1timesM2 (sprich M1 kreuz M2) kartesisches Produkt der Mengen M1 und M2
(m1m2) |m1 isinM1 m2 isinM2
(m1m2) heiszligt das aus m1 und m2 gebildete geordnete PaarTupel
Achtung (m1m2) = (m1 m2) genau dann wenn m1 = m1 und m2 = m2
114 Beispiele
M1 = 1 2 3 M2 = 3 4 5M1 cupM2 = 1 2 3 4 5M1 M2 = 1 2M1 capM2 = 3P(M1) = empty 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
M1 = 3P(M1) = 8
allgemeinn isin N andM = nrArr P(M1) = 2n
InsbesondereP(empty) = empty
Kartesisches Produkt
M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)
12 AbbildungenFunktionen121 Definition
Seien XY Mengen
Definition 12 Eine Abbildung von X nach Y ist eine Zuordnungsvorschrift die je-dem Element aus X genau ein dh ein eindeutig bestimmtes Element aus Y zuordnet
Ist f der Name der Abbildung dann schreibt man kurz
f X rarr Y
bdquof ist Abbildung von X nach Y ldquo
x 7rarr f(x)
bdquox wird abgebildet auf f(x)ldquo Oder bdquof(x) ist das eindeutige Element aus Y dass x(von f ) zugeordnet wirdldquo
Weitere Notationen fuumlr Abbildungen sind moumlglich
f X 3 x 7rarr f(x) = y isin Y
7
Bezeichne mitA(XY ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y Alternativ wiein Lineare Algebra auch Abb(XY ) bzw XY
Zwei Abbildungen f g isin A(XY ) heiszligen gleich dh f = g wenn gilt f(x) = g(x)fuumlr alle x isin X
122 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
2
g Nrarr N
n 7rarr
n2 falls n geraden3 falls n ungerade
Achtung Eine Zuordnungsvorschrift die keine Abbildung ist ist zum Beispiel diefolgendeSeien
X = 1 4 9 16 (Menge der Quadratzahlen der natuumlrlichen Zahlen)Y = Z
Zuordnungsvorschrift Ordne jedem x isin X eine Zahl y isin Y zu fuumlr die gilt y2 = x
Problem1 7rarr minus1 und 1 7rarr 1 denn (minus1)2 = (1)2 = 1 Also ist das Element das x = 1zugeordnet wird nicht eindeutig bestimmt
123 Graphen von Funktionen
Weiter bezeichnen wir fuumlr ein f isin A(XY ) mit
G(f) = (x f(x)) | x isin X (sub X times Y )
den Graphen von f
124 Beispiel
f Rrarr Rx 7rarr x3
G(f) =(x x3) | x isin R
sube Rtimes R
8
Illustration
125 Definition uumlber Relationen
Bemerkung Es ist moumlglich den Abbildungsbegriff allein mit Hilfe der Mengenlehrezu definieren Dazu definiert man zunaumlchst sog Abbildungsrelationen R sube X times Y alsTeilmengen von X times Y fuumlr die gilt dass fuumlr alle x isin X ein y isin Y existiert sodass(x y) isin RIn Formeln
forallx isin X existy isin Y (x y) isin R
Fuumlr eine solche Abbildungsrelation R kann dann eine Abbildung f X rarr Y definiertwerden durch f(x) = y wobei y das eindeutige Element y isin Y mit der Eigenschaft(x y) isin R fuumlr alle x isin X
126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen
Definition 13 Seien XY Mengen f isin A(XY )
i) f heiszligt injektiv (eineindeutig) genau dann wenn giltaus x1 x2 isin X x1 6= x2 folgt f(x1) 6= f(x2)In Formeln
x1 x2 isin X and x1 6= x2 rArr f(x1) 6= f(x2)
oder auchx1 x2 isin X and f(x1) = f(x2)rArr x1 = x2
ii) f heiszligt surjektiv genau dann wenn giltfuumlr jedes y isin Y existiert ein x isin X mit f(x) = yIn Formeln
forall y isin Y existx isin X f(x) = y
iii) f heiszligt bijektiv genau dann wenn f injektiv und surjektiv ist
9
Illustration
allgemeine Form einer Abbildung f
f ist injektiv nicht surjektiv
f ist surjektiv nicht injektiv
f ist bijektiv
127 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
ist injektiv denn aus n1 n2 isin N mit n1 6= n2 folgt stets n21 6= n2
2f ist nicht surjektiv da nicht jede natuumlrliche Zahl n isin N Quadratzahl ist zumBeispiel gilt dies fuumlr n = 3
2
f Zrarr N0
z 7rarr z2
ist nicht surjektiv (Begruumlndung wie in 1)) f ist nicht injektiv da fuumlr alle z isinZ 0 gilt z 6= minusz aber f(z) = z2 = (minusz)2 = f(minusz)
3
f Zrarr Zz 7rarr z + 1
10
ist bijektivy isin Z f(y minus 1) = y minus 1 + 1 = yInjektivitaumlt ist klar
128 Inverse Abbildung
Definition 14 Seien XY Mengen f isin A(XY )Ist f bijektiv dann koumlnnen wir die zu f inverse Abbildung bezeichnet mit fminus1 de-finieren als die Abbildung von Y nach X die jedem y isin Y das eindeutige Elementx isin X zuordnet fuumlr das gilt f(x) = yKurz
fminus1 Y rarr X (dh fminus1 isin A(YX))y 7rarr x
129 Beispiel
Sei f aus Beispiel 3 oben Dann ist
fminus1 Zrarr Zy 7rarr y minus 1
die zu f inverse Abbildung
1210 Komposition von Abbildungen
Definition 15 XY Z seien Mengen f isin A(XY ) g isin A(Y Z)Dann definieren wir die Komposition (Verknuumlpfung) der Abbildungen f und g be-zeichnet mit g f (gesprochen g nach f g verknuumlpft mit f g bdquoKringelldquo f ) als dieAbbildung
g f X rarr Z
x 7rarr g(f(x))
1211 Beispiel
f Zrarr N g N0 rarr Nz 7rarr z2 n 7rarr n+ 1
Dann ist
g f Zrarr Nz 7rarr g(f(z)) = g(z2) = z2 + 1
11
Illustration
1212 Bild- und Urbildmenge
Definition 16 Seien XY Mengen A sube X B sube Y f isin A(XY )Dann heiszligt
f(A) = f(a) | a isin ABild(-menge) von A unter f und
fminus1(B) = x | x isin X f(x) isin B
Urbild(-menge) von B unter f
1213 Beispiel
Sei
f Zrarr Zx 7rarr x2
dann ist
f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2
fminus1(2 3) = empty
1214 Logik Quantoren
Definition 17 A(x) sei eine Aussage die von einer Variablen x abhaumlngt
bullforallx isinM A(x)
bedeutet Fuumlr alle x isinM gilt die Aussage A(x) Gleichbedeutend ist
A(x) forallx isinM
gelesen Die Aussage A(x) gilt fuumlr alle x isinM
bull existx isin M A(x) bedeutet Es existiert ein x isin M sodass die Aussage A(x)gilt
bull existx isin M A(x) bedeutet Es exisitert genau ein x isin M sodass die AussageA(x) gilt
12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung
Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge
Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)
132 Beispiele
1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung
cup M timesM rarrM
(AB) 7rarr A cupB
eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung
133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen
Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M
i) heiszligt assoziativ wenn gilt
(x y) z = x (y z)
fuumlr alle x y z isinM
ii) heiszligt kommutativ wenn gilt
x y = y x
fuumlr alle x y isinM
iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt
x e = e x = x
fuumlr alle x isinM
iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt
x y = y x = e
13
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
223 Allgemeine Konvergenz 48224 Beispiele 48225 Eindeutigkeit des Limes 48226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt 49227 Konvergenzkriterien 49228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen 50229 Konvergenz von Teilfolgen 512210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo 522211 Konvergenz in den komplexen Zahlen 532212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen 532213 Sandwich-Lemma 542214 Beispiel 552215 Monotonie 552216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren 552217 Existenz von monotonen Teilfolgen 562218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig 562219 Cauchy-Folgen 572220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen 572221 Cauchy-Kriterium 572222 Beispiel 582223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit 612224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren 622225 Erweiterte reelle Zahlengerade 622226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen 622227 Bestimmte Divergenz 632228 Beispiel 632229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen 632230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade 642231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt 642232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig 64
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior 64231 Haumlufungspunkte 64232 Beispiele 64233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten 65234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig 65235 Uneigentliche Haumlufungspunkte 65236 Limes Superior und Limes inferior 65237 Beispiel 66238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior 66
24 Unendliche Reihen 67241 Definition 67242 Beispiel 68243 Eigenschaften von unendlichen Reihen 68244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen 69245 Beispiel 70246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz 70247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen 70248 Beispiel 71249 Wurzelkriterium 722410 Quotientenkriterium 73
4
3 Bildquellen 73
5
1 Mengen Abbildungen und Zahlen
11 Mengen111 Definition
Definition nach Cantor (1845-1918)
Definition 11 Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunter-schiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
Die Objekte der Menge heiszligen Elemente
112 Beispiele
M = 1 3 5 Nnaiv = 1 2 3
N0 = 0 1 2 3 Znaiv = N cup 0 cup (minusN)
Qnaiv =p
q| p q isin Z q 6= 0
M = m |m erfuumlllt eine Eigenschaft A
Achtung Es wird standardmaumlszligig die (west-)deutsche Menge der natuumlrlichen Zahlenverwendet also 0 6isin N
113 Bezeichnungen und Konzepte
Seien MM1M2 Mengen
bull empty = - leere Menge Die Menge die keine Elemente enthaumllt
bull p isinM - p ist Element von M p ist in M enthalten
bull p 6isinM - p ist nicht Element von M p ist nicht in M enthalten
bull M1 sube M2 (auch M1 sub M2) - M1 ist Teilmenge von M2 M1 ist in M2 enthal-ten
bull M1 subM2 (auch M1 ( M2) - M1 ist echte Teilmenge von M2
bull M1capM2 - DurchschnittSchnittmenge Menge aller Elemente die sowohl inM1
als auch in M2 enthalten sind
bull M1 cupM2 - Vereinigung-smenge Menge aller Elemente die in M1 undoder inM2 enthalten sind
bull M1 M2 - Differenzmenge relatives Komplement von M2 in M1 Menge allerElemente die in M1 aber nicht in M2 enthalten sind
bull P(M) - Potenzmenge von M dh Menge aller Teilmengen von M
bull M - bdquoAnzahlldquo der Elemente einer Menge Kardinalitaumlt Fuumlr endliche Mengenist |M | gebraumluchlich
6
bull M1timesM2 (sprich M1 kreuz M2) kartesisches Produkt der Mengen M1 und M2
(m1m2) |m1 isinM1 m2 isinM2
(m1m2) heiszligt das aus m1 und m2 gebildete geordnete PaarTupel
Achtung (m1m2) = (m1 m2) genau dann wenn m1 = m1 und m2 = m2
114 Beispiele
M1 = 1 2 3 M2 = 3 4 5M1 cupM2 = 1 2 3 4 5M1 M2 = 1 2M1 capM2 = 3P(M1) = empty 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
M1 = 3P(M1) = 8
allgemeinn isin N andM = nrArr P(M1) = 2n
InsbesondereP(empty) = empty
Kartesisches Produkt
M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)
12 AbbildungenFunktionen121 Definition
Seien XY Mengen
Definition 12 Eine Abbildung von X nach Y ist eine Zuordnungsvorschrift die je-dem Element aus X genau ein dh ein eindeutig bestimmtes Element aus Y zuordnet
Ist f der Name der Abbildung dann schreibt man kurz
f X rarr Y
bdquof ist Abbildung von X nach Y ldquo
x 7rarr f(x)
bdquox wird abgebildet auf f(x)ldquo Oder bdquof(x) ist das eindeutige Element aus Y dass x(von f ) zugeordnet wirdldquo
Weitere Notationen fuumlr Abbildungen sind moumlglich
f X 3 x 7rarr f(x) = y isin Y
7
Bezeichne mitA(XY ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y Alternativ wiein Lineare Algebra auch Abb(XY ) bzw XY
Zwei Abbildungen f g isin A(XY ) heiszligen gleich dh f = g wenn gilt f(x) = g(x)fuumlr alle x isin X
122 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
2
g Nrarr N
n 7rarr
n2 falls n geraden3 falls n ungerade
Achtung Eine Zuordnungsvorschrift die keine Abbildung ist ist zum Beispiel diefolgendeSeien
X = 1 4 9 16 (Menge der Quadratzahlen der natuumlrlichen Zahlen)Y = Z
Zuordnungsvorschrift Ordne jedem x isin X eine Zahl y isin Y zu fuumlr die gilt y2 = x
Problem1 7rarr minus1 und 1 7rarr 1 denn (minus1)2 = (1)2 = 1 Also ist das Element das x = 1zugeordnet wird nicht eindeutig bestimmt
123 Graphen von Funktionen
Weiter bezeichnen wir fuumlr ein f isin A(XY ) mit
G(f) = (x f(x)) | x isin X (sub X times Y )
den Graphen von f
124 Beispiel
f Rrarr Rx 7rarr x3
G(f) =(x x3) | x isin R
sube Rtimes R
8
Illustration
125 Definition uumlber Relationen
Bemerkung Es ist moumlglich den Abbildungsbegriff allein mit Hilfe der Mengenlehrezu definieren Dazu definiert man zunaumlchst sog Abbildungsrelationen R sube X times Y alsTeilmengen von X times Y fuumlr die gilt dass fuumlr alle x isin X ein y isin Y existiert sodass(x y) isin RIn Formeln
forallx isin X existy isin Y (x y) isin R
Fuumlr eine solche Abbildungsrelation R kann dann eine Abbildung f X rarr Y definiertwerden durch f(x) = y wobei y das eindeutige Element y isin Y mit der Eigenschaft(x y) isin R fuumlr alle x isin X
126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen
Definition 13 Seien XY Mengen f isin A(XY )
i) f heiszligt injektiv (eineindeutig) genau dann wenn giltaus x1 x2 isin X x1 6= x2 folgt f(x1) 6= f(x2)In Formeln
x1 x2 isin X and x1 6= x2 rArr f(x1) 6= f(x2)
oder auchx1 x2 isin X and f(x1) = f(x2)rArr x1 = x2
ii) f heiszligt surjektiv genau dann wenn giltfuumlr jedes y isin Y existiert ein x isin X mit f(x) = yIn Formeln
forall y isin Y existx isin X f(x) = y
iii) f heiszligt bijektiv genau dann wenn f injektiv und surjektiv ist
9
Illustration
allgemeine Form einer Abbildung f
f ist injektiv nicht surjektiv
f ist surjektiv nicht injektiv
f ist bijektiv
127 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
ist injektiv denn aus n1 n2 isin N mit n1 6= n2 folgt stets n21 6= n2
2f ist nicht surjektiv da nicht jede natuumlrliche Zahl n isin N Quadratzahl ist zumBeispiel gilt dies fuumlr n = 3
2
f Zrarr N0
z 7rarr z2
ist nicht surjektiv (Begruumlndung wie in 1)) f ist nicht injektiv da fuumlr alle z isinZ 0 gilt z 6= minusz aber f(z) = z2 = (minusz)2 = f(minusz)
3
f Zrarr Zz 7rarr z + 1
10
ist bijektivy isin Z f(y minus 1) = y minus 1 + 1 = yInjektivitaumlt ist klar
128 Inverse Abbildung
Definition 14 Seien XY Mengen f isin A(XY )Ist f bijektiv dann koumlnnen wir die zu f inverse Abbildung bezeichnet mit fminus1 de-finieren als die Abbildung von Y nach X die jedem y isin Y das eindeutige Elementx isin X zuordnet fuumlr das gilt f(x) = yKurz
fminus1 Y rarr X (dh fminus1 isin A(YX))y 7rarr x
129 Beispiel
Sei f aus Beispiel 3 oben Dann ist
fminus1 Zrarr Zy 7rarr y minus 1
die zu f inverse Abbildung
1210 Komposition von Abbildungen
Definition 15 XY Z seien Mengen f isin A(XY ) g isin A(Y Z)Dann definieren wir die Komposition (Verknuumlpfung) der Abbildungen f und g be-zeichnet mit g f (gesprochen g nach f g verknuumlpft mit f g bdquoKringelldquo f ) als dieAbbildung
g f X rarr Z
x 7rarr g(f(x))
1211 Beispiel
f Zrarr N g N0 rarr Nz 7rarr z2 n 7rarr n+ 1
Dann ist
g f Zrarr Nz 7rarr g(f(z)) = g(z2) = z2 + 1
11
Illustration
1212 Bild- und Urbildmenge
Definition 16 Seien XY Mengen A sube X B sube Y f isin A(XY )Dann heiszligt
f(A) = f(a) | a isin ABild(-menge) von A unter f und
fminus1(B) = x | x isin X f(x) isin B
Urbild(-menge) von B unter f
1213 Beispiel
Sei
f Zrarr Zx 7rarr x2
dann ist
f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2
fminus1(2 3) = empty
1214 Logik Quantoren
Definition 17 A(x) sei eine Aussage die von einer Variablen x abhaumlngt
bullforallx isinM A(x)
bedeutet Fuumlr alle x isinM gilt die Aussage A(x) Gleichbedeutend ist
A(x) forallx isinM
gelesen Die Aussage A(x) gilt fuumlr alle x isinM
bull existx isin M A(x) bedeutet Es existiert ein x isin M sodass die Aussage A(x)gilt
bull existx isin M A(x) bedeutet Es exisitert genau ein x isin M sodass die AussageA(x) gilt
12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung
Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge
Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)
132 Beispiele
1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung
cup M timesM rarrM
(AB) 7rarr A cupB
eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung
133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen
Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M
i) heiszligt assoziativ wenn gilt
(x y) z = x (y z)
fuumlr alle x y z isinM
ii) heiszligt kommutativ wenn gilt
x y = y x
fuumlr alle x y isinM
iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt
x e = e x = x
fuumlr alle x isinM
iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt
x y = y x = e
13
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
3 Bildquellen 73
5
1 Mengen Abbildungen und Zahlen
11 Mengen111 Definition
Definition nach Cantor (1845-1918)
Definition 11 Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunter-schiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
Die Objekte der Menge heiszligen Elemente
112 Beispiele
M = 1 3 5 Nnaiv = 1 2 3
N0 = 0 1 2 3 Znaiv = N cup 0 cup (minusN)
Qnaiv =p
q| p q isin Z q 6= 0
M = m |m erfuumlllt eine Eigenschaft A
Achtung Es wird standardmaumlszligig die (west-)deutsche Menge der natuumlrlichen Zahlenverwendet also 0 6isin N
113 Bezeichnungen und Konzepte
Seien MM1M2 Mengen
bull empty = - leere Menge Die Menge die keine Elemente enthaumllt
bull p isinM - p ist Element von M p ist in M enthalten
bull p 6isinM - p ist nicht Element von M p ist nicht in M enthalten
bull M1 sube M2 (auch M1 sub M2) - M1 ist Teilmenge von M2 M1 ist in M2 enthal-ten
bull M1 subM2 (auch M1 ( M2) - M1 ist echte Teilmenge von M2
bull M1capM2 - DurchschnittSchnittmenge Menge aller Elemente die sowohl inM1
als auch in M2 enthalten sind
bull M1 cupM2 - Vereinigung-smenge Menge aller Elemente die in M1 undoder inM2 enthalten sind
bull M1 M2 - Differenzmenge relatives Komplement von M2 in M1 Menge allerElemente die in M1 aber nicht in M2 enthalten sind
bull P(M) - Potenzmenge von M dh Menge aller Teilmengen von M
bull M - bdquoAnzahlldquo der Elemente einer Menge Kardinalitaumlt Fuumlr endliche Mengenist |M | gebraumluchlich
6
bull M1timesM2 (sprich M1 kreuz M2) kartesisches Produkt der Mengen M1 und M2
(m1m2) |m1 isinM1 m2 isinM2
(m1m2) heiszligt das aus m1 und m2 gebildete geordnete PaarTupel
Achtung (m1m2) = (m1 m2) genau dann wenn m1 = m1 und m2 = m2
114 Beispiele
M1 = 1 2 3 M2 = 3 4 5M1 cupM2 = 1 2 3 4 5M1 M2 = 1 2M1 capM2 = 3P(M1) = empty 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
M1 = 3P(M1) = 8
allgemeinn isin N andM = nrArr P(M1) = 2n
InsbesondereP(empty) = empty
Kartesisches Produkt
M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)
12 AbbildungenFunktionen121 Definition
Seien XY Mengen
Definition 12 Eine Abbildung von X nach Y ist eine Zuordnungsvorschrift die je-dem Element aus X genau ein dh ein eindeutig bestimmtes Element aus Y zuordnet
Ist f der Name der Abbildung dann schreibt man kurz
f X rarr Y
bdquof ist Abbildung von X nach Y ldquo
x 7rarr f(x)
bdquox wird abgebildet auf f(x)ldquo Oder bdquof(x) ist das eindeutige Element aus Y dass x(von f ) zugeordnet wirdldquo
Weitere Notationen fuumlr Abbildungen sind moumlglich
f X 3 x 7rarr f(x) = y isin Y
7
Bezeichne mitA(XY ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y Alternativ wiein Lineare Algebra auch Abb(XY ) bzw XY
Zwei Abbildungen f g isin A(XY ) heiszligen gleich dh f = g wenn gilt f(x) = g(x)fuumlr alle x isin X
122 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
2
g Nrarr N
n 7rarr
n2 falls n geraden3 falls n ungerade
Achtung Eine Zuordnungsvorschrift die keine Abbildung ist ist zum Beispiel diefolgendeSeien
X = 1 4 9 16 (Menge der Quadratzahlen der natuumlrlichen Zahlen)Y = Z
Zuordnungsvorschrift Ordne jedem x isin X eine Zahl y isin Y zu fuumlr die gilt y2 = x
Problem1 7rarr minus1 und 1 7rarr 1 denn (minus1)2 = (1)2 = 1 Also ist das Element das x = 1zugeordnet wird nicht eindeutig bestimmt
123 Graphen von Funktionen
Weiter bezeichnen wir fuumlr ein f isin A(XY ) mit
G(f) = (x f(x)) | x isin X (sub X times Y )
den Graphen von f
124 Beispiel
f Rrarr Rx 7rarr x3
G(f) =(x x3) | x isin R
sube Rtimes R
8
Illustration
125 Definition uumlber Relationen
Bemerkung Es ist moumlglich den Abbildungsbegriff allein mit Hilfe der Mengenlehrezu definieren Dazu definiert man zunaumlchst sog Abbildungsrelationen R sube X times Y alsTeilmengen von X times Y fuumlr die gilt dass fuumlr alle x isin X ein y isin Y existiert sodass(x y) isin RIn Formeln
forallx isin X existy isin Y (x y) isin R
Fuumlr eine solche Abbildungsrelation R kann dann eine Abbildung f X rarr Y definiertwerden durch f(x) = y wobei y das eindeutige Element y isin Y mit der Eigenschaft(x y) isin R fuumlr alle x isin X
126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen
Definition 13 Seien XY Mengen f isin A(XY )
i) f heiszligt injektiv (eineindeutig) genau dann wenn giltaus x1 x2 isin X x1 6= x2 folgt f(x1) 6= f(x2)In Formeln
x1 x2 isin X and x1 6= x2 rArr f(x1) 6= f(x2)
oder auchx1 x2 isin X and f(x1) = f(x2)rArr x1 = x2
ii) f heiszligt surjektiv genau dann wenn giltfuumlr jedes y isin Y existiert ein x isin X mit f(x) = yIn Formeln
forall y isin Y existx isin X f(x) = y
iii) f heiszligt bijektiv genau dann wenn f injektiv und surjektiv ist
9
Illustration
allgemeine Form einer Abbildung f
f ist injektiv nicht surjektiv
f ist surjektiv nicht injektiv
f ist bijektiv
127 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
ist injektiv denn aus n1 n2 isin N mit n1 6= n2 folgt stets n21 6= n2
2f ist nicht surjektiv da nicht jede natuumlrliche Zahl n isin N Quadratzahl ist zumBeispiel gilt dies fuumlr n = 3
2
f Zrarr N0
z 7rarr z2
ist nicht surjektiv (Begruumlndung wie in 1)) f ist nicht injektiv da fuumlr alle z isinZ 0 gilt z 6= minusz aber f(z) = z2 = (minusz)2 = f(minusz)
3
f Zrarr Zz 7rarr z + 1
10
ist bijektivy isin Z f(y minus 1) = y minus 1 + 1 = yInjektivitaumlt ist klar
128 Inverse Abbildung
Definition 14 Seien XY Mengen f isin A(XY )Ist f bijektiv dann koumlnnen wir die zu f inverse Abbildung bezeichnet mit fminus1 de-finieren als die Abbildung von Y nach X die jedem y isin Y das eindeutige Elementx isin X zuordnet fuumlr das gilt f(x) = yKurz
fminus1 Y rarr X (dh fminus1 isin A(YX))y 7rarr x
129 Beispiel
Sei f aus Beispiel 3 oben Dann ist
fminus1 Zrarr Zy 7rarr y minus 1
die zu f inverse Abbildung
1210 Komposition von Abbildungen
Definition 15 XY Z seien Mengen f isin A(XY ) g isin A(Y Z)Dann definieren wir die Komposition (Verknuumlpfung) der Abbildungen f und g be-zeichnet mit g f (gesprochen g nach f g verknuumlpft mit f g bdquoKringelldquo f ) als dieAbbildung
g f X rarr Z
x 7rarr g(f(x))
1211 Beispiel
f Zrarr N g N0 rarr Nz 7rarr z2 n 7rarr n+ 1
Dann ist
g f Zrarr Nz 7rarr g(f(z)) = g(z2) = z2 + 1
11
Illustration
1212 Bild- und Urbildmenge
Definition 16 Seien XY Mengen A sube X B sube Y f isin A(XY )Dann heiszligt
f(A) = f(a) | a isin ABild(-menge) von A unter f und
fminus1(B) = x | x isin X f(x) isin B
Urbild(-menge) von B unter f
1213 Beispiel
Sei
f Zrarr Zx 7rarr x2
dann ist
f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2
fminus1(2 3) = empty
1214 Logik Quantoren
Definition 17 A(x) sei eine Aussage die von einer Variablen x abhaumlngt
bullforallx isinM A(x)
bedeutet Fuumlr alle x isinM gilt die Aussage A(x) Gleichbedeutend ist
A(x) forallx isinM
gelesen Die Aussage A(x) gilt fuumlr alle x isinM
bull existx isin M A(x) bedeutet Es existiert ein x isin M sodass die Aussage A(x)gilt
bull existx isin M A(x) bedeutet Es exisitert genau ein x isin M sodass die AussageA(x) gilt
12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung
Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge
Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)
132 Beispiele
1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung
cup M timesM rarrM
(AB) 7rarr A cupB
eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung
133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen
Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M
i) heiszligt assoziativ wenn gilt
(x y) z = x (y z)
fuumlr alle x y z isinM
ii) heiszligt kommutativ wenn gilt
x y = y x
fuumlr alle x y isinM
iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt
x e = e x = x
fuumlr alle x isinM
iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt
x y = y x = e
13
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
1 Mengen Abbildungen und Zahlen
11 Mengen111 Definition
Definition nach Cantor (1845-1918)
Definition 11 Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunter-schiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
Die Objekte der Menge heiszligen Elemente
112 Beispiele
M = 1 3 5 Nnaiv = 1 2 3
N0 = 0 1 2 3 Znaiv = N cup 0 cup (minusN)
Qnaiv =p
q| p q isin Z q 6= 0
M = m |m erfuumlllt eine Eigenschaft A
Achtung Es wird standardmaumlszligig die (west-)deutsche Menge der natuumlrlichen Zahlenverwendet also 0 6isin N
113 Bezeichnungen und Konzepte
Seien MM1M2 Mengen
bull empty = - leere Menge Die Menge die keine Elemente enthaumllt
bull p isinM - p ist Element von M p ist in M enthalten
bull p 6isinM - p ist nicht Element von M p ist nicht in M enthalten
bull M1 sube M2 (auch M1 sub M2) - M1 ist Teilmenge von M2 M1 ist in M2 enthal-ten
bull M1 subM2 (auch M1 ( M2) - M1 ist echte Teilmenge von M2
bull M1capM2 - DurchschnittSchnittmenge Menge aller Elemente die sowohl inM1
als auch in M2 enthalten sind
bull M1 cupM2 - Vereinigung-smenge Menge aller Elemente die in M1 undoder inM2 enthalten sind
bull M1 M2 - Differenzmenge relatives Komplement von M2 in M1 Menge allerElemente die in M1 aber nicht in M2 enthalten sind
bull P(M) - Potenzmenge von M dh Menge aller Teilmengen von M
bull M - bdquoAnzahlldquo der Elemente einer Menge Kardinalitaumlt Fuumlr endliche Mengenist |M | gebraumluchlich
6
bull M1timesM2 (sprich M1 kreuz M2) kartesisches Produkt der Mengen M1 und M2
(m1m2) |m1 isinM1 m2 isinM2
(m1m2) heiszligt das aus m1 und m2 gebildete geordnete PaarTupel
Achtung (m1m2) = (m1 m2) genau dann wenn m1 = m1 und m2 = m2
114 Beispiele
M1 = 1 2 3 M2 = 3 4 5M1 cupM2 = 1 2 3 4 5M1 M2 = 1 2M1 capM2 = 3P(M1) = empty 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
M1 = 3P(M1) = 8
allgemeinn isin N andM = nrArr P(M1) = 2n
InsbesondereP(empty) = empty
Kartesisches Produkt
M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)
12 AbbildungenFunktionen121 Definition
Seien XY Mengen
Definition 12 Eine Abbildung von X nach Y ist eine Zuordnungsvorschrift die je-dem Element aus X genau ein dh ein eindeutig bestimmtes Element aus Y zuordnet
Ist f der Name der Abbildung dann schreibt man kurz
f X rarr Y
bdquof ist Abbildung von X nach Y ldquo
x 7rarr f(x)
bdquox wird abgebildet auf f(x)ldquo Oder bdquof(x) ist das eindeutige Element aus Y dass x(von f ) zugeordnet wirdldquo
Weitere Notationen fuumlr Abbildungen sind moumlglich
f X 3 x 7rarr f(x) = y isin Y
7
Bezeichne mitA(XY ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y Alternativ wiein Lineare Algebra auch Abb(XY ) bzw XY
Zwei Abbildungen f g isin A(XY ) heiszligen gleich dh f = g wenn gilt f(x) = g(x)fuumlr alle x isin X
122 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
2
g Nrarr N
n 7rarr
n2 falls n geraden3 falls n ungerade
Achtung Eine Zuordnungsvorschrift die keine Abbildung ist ist zum Beispiel diefolgendeSeien
X = 1 4 9 16 (Menge der Quadratzahlen der natuumlrlichen Zahlen)Y = Z
Zuordnungsvorschrift Ordne jedem x isin X eine Zahl y isin Y zu fuumlr die gilt y2 = x
Problem1 7rarr minus1 und 1 7rarr 1 denn (minus1)2 = (1)2 = 1 Also ist das Element das x = 1zugeordnet wird nicht eindeutig bestimmt
123 Graphen von Funktionen
Weiter bezeichnen wir fuumlr ein f isin A(XY ) mit
G(f) = (x f(x)) | x isin X (sub X times Y )
den Graphen von f
124 Beispiel
f Rrarr Rx 7rarr x3
G(f) =(x x3) | x isin R
sube Rtimes R
8
Illustration
125 Definition uumlber Relationen
Bemerkung Es ist moumlglich den Abbildungsbegriff allein mit Hilfe der Mengenlehrezu definieren Dazu definiert man zunaumlchst sog Abbildungsrelationen R sube X times Y alsTeilmengen von X times Y fuumlr die gilt dass fuumlr alle x isin X ein y isin Y existiert sodass(x y) isin RIn Formeln
forallx isin X existy isin Y (x y) isin R
Fuumlr eine solche Abbildungsrelation R kann dann eine Abbildung f X rarr Y definiertwerden durch f(x) = y wobei y das eindeutige Element y isin Y mit der Eigenschaft(x y) isin R fuumlr alle x isin X
126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen
Definition 13 Seien XY Mengen f isin A(XY )
i) f heiszligt injektiv (eineindeutig) genau dann wenn giltaus x1 x2 isin X x1 6= x2 folgt f(x1) 6= f(x2)In Formeln
x1 x2 isin X and x1 6= x2 rArr f(x1) 6= f(x2)
oder auchx1 x2 isin X and f(x1) = f(x2)rArr x1 = x2
ii) f heiszligt surjektiv genau dann wenn giltfuumlr jedes y isin Y existiert ein x isin X mit f(x) = yIn Formeln
forall y isin Y existx isin X f(x) = y
iii) f heiszligt bijektiv genau dann wenn f injektiv und surjektiv ist
9
Illustration
allgemeine Form einer Abbildung f
f ist injektiv nicht surjektiv
f ist surjektiv nicht injektiv
f ist bijektiv
127 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
ist injektiv denn aus n1 n2 isin N mit n1 6= n2 folgt stets n21 6= n2
2f ist nicht surjektiv da nicht jede natuumlrliche Zahl n isin N Quadratzahl ist zumBeispiel gilt dies fuumlr n = 3
2
f Zrarr N0
z 7rarr z2
ist nicht surjektiv (Begruumlndung wie in 1)) f ist nicht injektiv da fuumlr alle z isinZ 0 gilt z 6= minusz aber f(z) = z2 = (minusz)2 = f(minusz)
3
f Zrarr Zz 7rarr z + 1
10
ist bijektivy isin Z f(y minus 1) = y minus 1 + 1 = yInjektivitaumlt ist klar
128 Inverse Abbildung
Definition 14 Seien XY Mengen f isin A(XY )Ist f bijektiv dann koumlnnen wir die zu f inverse Abbildung bezeichnet mit fminus1 de-finieren als die Abbildung von Y nach X die jedem y isin Y das eindeutige Elementx isin X zuordnet fuumlr das gilt f(x) = yKurz
fminus1 Y rarr X (dh fminus1 isin A(YX))y 7rarr x
129 Beispiel
Sei f aus Beispiel 3 oben Dann ist
fminus1 Zrarr Zy 7rarr y minus 1
die zu f inverse Abbildung
1210 Komposition von Abbildungen
Definition 15 XY Z seien Mengen f isin A(XY ) g isin A(Y Z)Dann definieren wir die Komposition (Verknuumlpfung) der Abbildungen f und g be-zeichnet mit g f (gesprochen g nach f g verknuumlpft mit f g bdquoKringelldquo f ) als dieAbbildung
g f X rarr Z
x 7rarr g(f(x))
1211 Beispiel
f Zrarr N g N0 rarr Nz 7rarr z2 n 7rarr n+ 1
Dann ist
g f Zrarr Nz 7rarr g(f(z)) = g(z2) = z2 + 1
11
Illustration
1212 Bild- und Urbildmenge
Definition 16 Seien XY Mengen A sube X B sube Y f isin A(XY )Dann heiszligt
f(A) = f(a) | a isin ABild(-menge) von A unter f und
fminus1(B) = x | x isin X f(x) isin B
Urbild(-menge) von B unter f
1213 Beispiel
Sei
f Zrarr Zx 7rarr x2
dann ist
f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2
fminus1(2 3) = empty
1214 Logik Quantoren
Definition 17 A(x) sei eine Aussage die von einer Variablen x abhaumlngt
bullforallx isinM A(x)
bedeutet Fuumlr alle x isinM gilt die Aussage A(x) Gleichbedeutend ist
A(x) forallx isinM
gelesen Die Aussage A(x) gilt fuumlr alle x isinM
bull existx isin M A(x) bedeutet Es existiert ein x isin M sodass die Aussage A(x)gilt
bull existx isin M A(x) bedeutet Es exisitert genau ein x isin M sodass die AussageA(x) gilt
12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung
Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge
Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)
132 Beispiele
1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung
cup M timesM rarrM
(AB) 7rarr A cupB
eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung
133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen
Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M
i) heiszligt assoziativ wenn gilt
(x y) z = x (y z)
fuumlr alle x y z isinM
ii) heiszligt kommutativ wenn gilt
x y = y x
fuumlr alle x y isinM
iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt
x e = e x = x
fuumlr alle x isinM
iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt
x y = y x = e
13
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
bull M1timesM2 (sprich M1 kreuz M2) kartesisches Produkt der Mengen M1 und M2
(m1m2) |m1 isinM1 m2 isinM2
(m1m2) heiszligt das aus m1 und m2 gebildete geordnete PaarTupel
Achtung (m1m2) = (m1 m2) genau dann wenn m1 = m1 und m2 = m2
114 Beispiele
M1 = 1 2 3 M2 = 3 4 5M1 cupM2 = 1 2 3 4 5M1 M2 = 1 2M1 capM2 = 3P(M1) = empty 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
M1 = 3P(M1) = 8
allgemeinn isin N andM = nrArr P(M1) = 2n
InsbesondereP(empty) = empty
Kartesisches Produkt
M1 = 1 2 M2 = 1 2 3M1 timesM2 = (1 1) (1 2) (1 3) (2 1) (2 2) (2 3)
12 AbbildungenFunktionen121 Definition
Seien XY Mengen
Definition 12 Eine Abbildung von X nach Y ist eine Zuordnungsvorschrift die je-dem Element aus X genau ein dh ein eindeutig bestimmtes Element aus Y zuordnet
Ist f der Name der Abbildung dann schreibt man kurz
f X rarr Y
bdquof ist Abbildung von X nach Y ldquo
x 7rarr f(x)
bdquox wird abgebildet auf f(x)ldquo Oder bdquof(x) ist das eindeutige Element aus Y dass x(von f ) zugeordnet wirdldquo
Weitere Notationen fuumlr Abbildungen sind moumlglich
f X 3 x 7rarr f(x) = y isin Y
7
Bezeichne mitA(XY ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y Alternativ wiein Lineare Algebra auch Abb(XY ) bzw XY
Zwei Abbildungen f g isin A(XY ) heiszligen gleich dh f = g wenn gilt f(x) = g(x)fuumlr alle x isin X
122 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
2
g Nrarr N
n 7rarr
n2 falls n geraden3 falls n ungerade
Achtung Eine Zuordnungsvorschrift die keine Abbildung ist ist zum Beispiel diefolgendeSeien
X = 1 4 9 16 (Menge der Quadratzahlen der natuumlrlichen Zahlen)Y = Z
Zuordnungsvorschrift Ordne jedem x isin X eine Zahl y isin Y zu fuumlr die gilt y2 = x
Problem1 7rarr minus1 und 1 7rarr 1 denn (minus1)2 = (1)2 = 1 Also ist das Element das x = 1zugeordnet wird nicht eindeutig bestimmt
123 Graphen von Funktionen
Weiter bezeichnen wir fuumlr ein f isin A(XY ) mit
G(f) = (x f(x)) | x isin X (sub X times Y )
den Graphen von f
124 Beispiel
f Rrarr Rx 7rarr x3
G(f) =(x x3) | x isin R
sube Rtimes R
8
Illustration
125 Definition uumlber Relationen
Bemerkung Es ist moumlglich den Abbildungsbegriff allein mit Hilfe der Mengenlehrezu definieren Dazu definiert man zunaumlchst sog Abbildungsrelationen R sube X times Y alsTeilmengen von X times Y fuumlr die gilt dass fuumlr alle x isin X ein y isin Y existiert sodass(x y) isin RIn Formeln
forallx isin X existy isin Y (x y) isin R
Fuumlr eine solche Abbildungsrelation R kann dann eine Abbildung f X rarr Y definiertwerden durch f(x) = y wobei y das eindeutige Element y isin Y mit der Eigenschaft(x y) isin R fuumlr alle x isin X
126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen
Definition 13 Seien XY Mengen f isin A(XY )
i) f heiszligt injektiv (eineindeutig) genau dann wenn giltaus x1 x2 isin X x1 6= x2 folgt f(x1) 6= f(x2)In Formeln
x1 x2 isin X and x1 6= x2 rArr f(x1) 6= f(x2)
oder auchx1 x2 isin X and f(x1) = f(x2)rArr x1 = x2
ii) f heiszligt surjektiv genau dann wenn giltfuumlr jedes y isin Y existiert ein x isin X mit f(x) = yIn Formeln
forall y isin Y existx isin X f(x) = y
iii) f heiszligt bijektiv genau dann wenn f injektiv und surjektiv ist
9
Illustration
allgemeine Form einer Abbildung f
f ist injektiv nicht surjektiv
f ist surjektiv nicht injektiv
f ist bijektiv
127 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
ist injektiv denn aus n1 n2 isin N mit n1 6= n2 folgt stets n21 6= n2
2f ist nicht surjektiv da nicht jede natuumlrliche Zahl n isin N Quadratzahl ist zumBeispiel gilt dies fuumlr n = 3
2
f Zrarr N0
z 7rarr z2
ist nicht surjektiv (Begruumlndung wie in 1)) f ist nicht injektiv da fuumlr alle z isinZ 0 gilt z 6= minusz aber f(z) = z2 = (minusz)2 = f(minusz)
3
f Zrarr Zz 7rarr z + 1
10
ist bijektivy isin Z f(y minus 1) = y minus 1 + 1 = yInjektivitaumlt ist klar
128 Inverse Abbildung
Definition 14 Seien XY Mengen f isin A(XY )Ist f bijektiv dann koumlnnen wir die zu f inverse Abbildung bezeichnet mit fminus1 de-finieren als die Abbildung von Y nach X die jedem y isin Y das eindeutige Elementx isin X zuordnet fuumlr das gilt f(x) = yKurz
fminus1 Y rarr X (dh fminus1 isin A(YX))y 7rarr x
129 Beispiel
Sei f aus Beispiel 3 oben Dann ist
fminus1 Zrarr Zy 7rarr y minus 1
die zu f inverse Abbildung
1210 Komposition von Abbildungen
Definition 15 XY Z seien Mengen f isin A(XY ) g isin A(Y Z)Dann definieren wir die Komposition (Verknuumlpfung) der Abbildungen f und g be-zeichnet mit g f (gesprochen g nach f g verknuumlpft mit f g bdquoKringelldquo f ) als dieAbbildung
g f X rarr Z
x 7rarr g(f(x))
1211 Beispiel
f Zrarr N g N0 rarr Nz 7rarr z2 n 7rarr n+ 1
Dann ist
g f Zrarr Nz 7rarr g(f(z)) = g(z2) = z2 + 1
11
Illustration
1212 Bild- und Urbildmenge
Definition 16 Seien XY Mengen A sube X B sube Y f isin A(XY )Dann heiszligt
f(A) = f(a) | a isin ABild(-menge) von A unter f und
fminus1(B) = x | x isin X f(x) isin B
Urbild(-menge) von B unter f
1213 Beispiel
Sei
f Zrarr Zx 7rarr x2
dann ist
f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2
fminus1(2 3) = empty
1214 Logik Quantoren
Definition 17 A(x) sei eine Aussage die von einer Variablen x abhaumlngt
bullforallx isinM A(x)
bedeutet Fuumlr alle x isinM gilt die Aussage A(x) Gleichbedeutend ist
A(x) forallx isinM
gelesen Die Aussage A(x) gilt fuumlr alle x isinM
bull existx isin M A(x) bedeutet Es existiert ein x isin M sodass die Aussage A(x)gilt
bull existx isin M A(x) bedeutet Es exisitert genau ein x isin M sodass die AussageA(x) gilt
12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung
Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge
Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)
132 Beispiele
1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung
cup M timesM rarrM
(AB) 7rarr A cupB
eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung
133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen
Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M
i) heiszligt assoziativ wenn gilt
(x y) z = x (y z)
fuumlr alle x y z isinM
ii) heiszligt kommutativ wenn gilt
x y = y x
fuumlr alle x y isinM
iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt
x e = e x = x
fuumlr alle x isinM
iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt
x y = y x = e
13
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Bezeichne mitA(XY ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y Alternativ wiein Lineare Algebra auch Abb(XY ) bzw XY
Zwei Abbildungen f g isin A(XY ) heiszligen gleich dh f = g wenn gilt f(x) = g(x)fuumlr alle x isin X
122 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
2
g Nrarr N
n 7rarr
n2 falls n geraden3 falls n ungerade
Achtung Eine Zuordnungsvorschrift die keine Abbildung ist ist zum Beispiel diefolgendeSeien
X = 1 4 9 16 (Menge der Quadratzahlen der natuumlrlichen Zahlen)Y = Z
Zuordnungsvorschrift Ordne jedem x isin X eine Zahl y isin Y zu fuumlr die gilt y2 = x
Problem1 7rarr minus1 und 1 7rarr 1 denn (minus1)2 = (1)2 = 1 Also ist das Element das x = 1zugeordnet wird nicht eindeutig bestimmt
123 Graphen von Funktionen
Weiter bezeichnen wir fuumlr ein f isin A(XY ) mit
G(f) = (x f(x)) | x isin X (sub X times Y )
den Graphen von f
124 Beispiel
f Rrarr Rx 7rarr x3
G(f) =(x x3) | x isin R
sube Rtimes R
8
Illustration
125 Definition uumlber Relationen
Bemerkung Es ist moumlglich den Abbildungsbegriff allein mit Hilfe der Mengenlehrezu definieren Dazu definiert man zunaumlchst sog Abbildungsrelationen R sube X times Y alsTeilmengen von X times Y fuumlr die gilt dass fuumlr alle x isin X ein y isin Y existiert sodass(x y) isin RIn Formeln
forallx isin X existy isin Y (x y) isin R
Fuumlr eine solche Abbildungsrelation R kann dann eine Abbildung f X rarr Y definiertwerden durch f(x) = y wobei y das eindeutige Element y isin Y mit der Eigenschaft(x y) isin R fuumlr alle x isin X
126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen
Definition 13 Seien XY Mengen f isin A(XY )
i) f heiszligt injektiv (eineindeutig) genau dann wenn giltaus x1 x2 isin X x1 6= x2 folgt f(x1) 6= f(x2)In Formeln
x1 x2 isin X and x1 6= x2 rArr f(x1) 6= f(x2)
oder auchx1 x2 isin X and f(x1) = f(x2)rArr x1 = x2
ii) f heiszligt surjektiv genau dann wenn giltfuumlr jedes y isin Y existiert ein x isin X mit f(x) = yIn Formeln
forall y isin Y existx isin X f(x) = y
iii) f heiszligt bijektiv genau dann wenn f injektiv und surjektiv ist
9
Illustration
allgemeine Form einer Abbildung f
f ist injektiv nicht surjektiv
f ist surjektiv nicht injektiv
f ist bijektiv
127 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
ist injektiv denn aus n1 n2 isin N mit n1 6= n2 folgt stets n21 6= n2
2f ist nicht surjektiv da nicht jede natuumlrliche Zahl n isin N Quadratzahl ist zumBeispiel gilt dies fuumlr n = 3
2
f Zrarr N0
z 7rarr z2
ist nicht surjektiv (Begruumlndung wie in 1)) f ist nicht injektiv da fuumlr alle z isinZ 0 gilt z 6= minusz aber f(z) = z2 = (minusz)2 = f(minusz)
3
f Zrarr Zz 7rarr z + 1
10
ist bijektivy isin Z f(y minus 1) = y minus 1 + 1 = yInjektivitaumlt ist klar
128 Inverse Abbildung
Definition 14 Seien XY Mengen f isin A(XY )Ist f bijektiv dann koumlnnen wir die zu f inverse Abbildung bezeichnet mit fminus1 de-finieren als die Abbildung von Y nach X die jedem y isin Y das eindeutige Elementx isin X zuordnet fuumlr das gilt f(x) = yKurz
fminus1 Y rarr X (dh fminus1 isin A(YX))y 7rarr x
129 Beispiel
Sei f aus Beispiel 3 oben Dann ist
fminus1 Zrarr Zy 7rarr y minus 1
die zu f inverse Abbildung
1210 Komposition von Abbildungen
Definition 15 XY Z seien Mengen f isin A(XY ) g isin A(Y Z)Dann definieren wir die Komposition (Verknuumlpfung) der Abbildungen f und g be-zeichnet mit g f (gesprochen g nach f g verknuumlpft mit f g bdquoKringelldquo f ) als dieAbbildung
g f X rarr Z
x 7rarr g(f(x))
1211 Beispiel
f Zrarr N g N0 rarr Nz 7rarr z2 n 7rarr n+ 1
Dann ist
g f Zrarr Nz 7rarr g(f(z)) = g(z2) = z2 + 1
11
Illustration
1212 Bild- und Urbildmenge
Definition 16 Seien XY Mengen A sube X B sube Y f isin A(XY )Dann heiszligt
f(A) = f(a) | a isin ABild(-menge) von A unter f und
fminus1(B) = x | x isin X f(x) isin B
Urbild(-menge) von B unter f
1213 Beispiel
Sei
f Zrarr Zx 7rarr x2
dann ist
f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2
fminus1(2 3) = empty
1214 Logik Quantoren
Definition 17 A(x) sei eine Aussage die von einer Variablen x abhaumlngt
bullforallx isinM A(x)
bedeutet Fuumlr alle x isinM gilt die Aussage A(x) Gleichbedeutend ist
A(x) forallx isinM
gelesen Die Aussage A(x) gilt fuumlr alle x isinM
bull existx isin M A(x) bedeutet Es existiert ein x isin M sodass die Aussage A(x)gilt
bull existx isin M A(x) bedeutet Es exisitert genau ein x isin M sodass die AussageA(x) gilt
12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung
Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge
Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)
132 Beispiele
1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung
cup M timesM rarrM
(AB) 7rarr A cupB
eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung
133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen
Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M
i) heiszligt assoziativ wenn gilt
(x y) z = x (y z)
fuumlr alle x y z isinM
ii) heiszligt kommutativ wenn gilt
x y = y x
fuumlr alle x y isinM
iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt
x e = e x = x
fuumlr alle x isinM
iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt
x y = y x = e
13
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Illustration
125 Definition uumlber Relationen
Bemerkung Es ist moumlglich den Abbildungsbegriff allein mit Hilfe der Mengenlehrezu definieren Dazu definiert man zunaumlchst sog Abbildungsrelationen R sube X times Y alsTeilmengen von X times Y fuumlr die gilt dass fuumlr alle x isin X ein y isin Y existiert sodass(x y) isin RIn Formeln
forallx isin X existy isin Y (x y) isin R
Fuumlr eine solche Abbildungsrelation R kann dann eine Abbildung f X rarr Y definiertwerden durch f(x) = y wobei y das eindeutige Element y isin Y mit der Eigenschaft(x y) isin R fuumlr alle x isin X
126 BegriffeKonzepte fuumlr Abbildungen
Definition 13 Seien XY Mengen f isin A(XY )
i) f heiszligt injektiv (eineindeutig) genau dann wenn giltaus x1 x2 isin X x1 6= x2 folgt f(x1) 6= f(x2)In Formeln
x1 x2 isin X and x1 6= x2 rArr f(x1) 6= f(x2)
oder auchx1 x2 isin X and f(x1) = f(x2)rArr x1 = x2
ii) f heiszligt surjektiv genau dann wenn giltfuumlr jedes y isin Y existiert ein x isin X mit f(x) = yIn Formeln
forall y isin Y existx isin X f(x) = y
iii) f heiszligt bijektiv genau dann wenn f injektiv und surjektiv ist
9
Illustration
allgemeine Form einer Abbildung f
f ist injektiv nicht surjektiv
f ist surjektiv nicht injektiv
f ist bijektiv
127 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
ist injektiv denn aus n1 n2 isin N mit n1 6= n2 folgt stets n21 6= n2
2f ist nicht surjektiv da nicht jede natuumlrliche Zahl n isin N Quadratzahl ist zumBeispiel gilt dies fuumlr n = 3
2
f Zrarr N0
z 7rarr z2
ist nicht surjektiv (Begruumlndung wie in 1)) f ist nicht injektiv da fuumlr alle z isinZ 0 gilt z 6= minusz aber f(z) = z2 = (minusz)2 = f(minusz)
3
f Zrarr Zz 7rarr z + 1
10
ist bijektivy isin Z f(y minus 1) = y minus 1 + 1 = yInjektivitaumlt ist klar
128 Inverse Abbildung
Definition 14 Seien XY Mengen f isin A(XY )Ist f bijektiv dann koumlnnen wir die zu f inverse Abbildung bezeichnet mit fminus1 de-finieren als die Abbildung von Y nach X die jedem y isin Y das eindeutige Elementx isin X zuordnet fuumlr das gilt f(x) = yKurz
fminus1 Y rarr X (dh fminus1 isin A(YX))y 7rarr x
129 Beispiel
Sei f aus Beispiel 3 oben Dann ist
fminus1 Zrarr Zy 7rarr y minus 1
die zu f inverse Abbildung
1210 Komposition von Abbildungen
Definition 15 XY Z seien Mengen f isin A(XY ) g isin A(Y Z)Dann definieren wir die Komposition (Verknuumlpfung) der Abbildungen f und g be-zeichnet mit g f (gesprochen g nach f g verknuumlpft mit f g bdquoKringelldquo f ) als dieAbbildung
g f X rarr Z
x 7rarr g(f(x))
1211 Beispiel
f Zrarr N g N0 rarr Nz 7rarr z2 n 7rarr n+ 1
Dann ist
g f Zrarr Nz 7rarr g(f(z)) = g(z2) = z2 + 1
11
Illustration
1212 Bild- und Urbildmenge
Definition 16 Seien XY Mengen A sube X B sube Y f isin A(XY )Dann heiszligt
f(A) = f(a) | a isin ABild(-menge) von A unter f und
fminus1(B) = x | x isin X f(x) isin B
Urbild(-menge) von B unter f
1213 Beispiel
Sei
f Zrarr Zx 7rarr x2
dann ist
f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2
fminus1(2 3) = empty
1214 Logik Quantoren
Definition 17 A(x) sei eine Aussage die von einer Variablen x abhaumlngt
bullforallx isinM A(x)
bedeutet Fuumlr alle x isinM gilt die Aussage A(x) Gleichbedeutend ist
A(x) forallx isinM
gelesen Die Aussage A(x) gilt fuumlr alle x isinM
bull existx isin M A(x) bedeutet Es existiert ein x isin M sodass die Aussage A(x)gilt
bull existx isin M A(x) bedeutet Es exisitert genau ein x isin M sodass die AussageA(x) gilt
12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung
Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge
Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)
132 Beispiele
1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung
cup M timesM rarrM
(AB) 7rarr A cupB
eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung
133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen
Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M
i) heiszligt assoziativ wenn gilt
(x y) z = x (y z)
fuumlr alle x y z isinM
ii) heiszligt kommutativ wenn gilt
x y = y x
fuumlr alle x y isinM
iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt
x e = e x = x
fuumlr alle x isinM
iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt
x y = y x = e
13
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Illustration
allgemeine Form einer Abbildung f
f ist injektiv nicht surjektiv
f ist surjektiv nicht injektiv
f ist bijektiv
127 Beispiele
1
f Nrarr Nn 7rarr n2
ist injektiv denn aus n1 n2 isin N mit n1 6= n2 folgt stets n21 6= n2
2f ist nicht surjektiv da nicht jede natuumlrliche Zahl n isin N Quadratzahl ist zumBeispiel gilt dies fuumlr n = 3
2
f Zrarr N0
z 7rarr z2
ist nicht surjektiv (Begruumlndung wie in 1)) f ist nicht injektiv da fuumlr alle z isinZ 0 gilt z 6= minusz aber f(z) = z2 = (minusz)2 = f(minusz)
3
f Zrarr Zz 7rarr z + 1
10
ist bijektivy isin Z f(y minus 1) = y minus 1 + 1 = yInjektivitaumlt ist klar
128 Inverse Abbildung
Definition 14 Seien XY Mengen f isin A(XY )Ist f bijektiv dann koumlnnen wir die zu f inverse Abbildung bezeichnet mit fminus1 de-finieren als die Abbildung von Y nach X die jedem y isin Y das eindeutige Elementx isin X zuordnet fuumlr das gilt f(x) = yKurz
fminus1 Y rarr X (dh fminus1 isin A(YX))y 7rarr x
129 Beispiel
Sei f aus Beispiel 3 oben Dann ist
fminus1 Zrarr Zy 7rarr y minus 1
die zu f inverse Abbildung
1210 Komposition von Abbildungen
Definition 15 XY Z seien Mengen f isin A(XY ) g isin A(Y Z)Dann definieren wir die Komposition (Verknuumlpfung) der Abbildungen f und g be-zeichnet mit g f (gesprochen g nach f g verknuumlpft mit f g bdquoKringelldquo f ) als dieAbbildung
g f X rarr Z
x 7rarr g(f(x))
1211 Beispiel
f Zrarr N g N0 rarr Nz 7rarr z2 n 7rarr n+ 1
Dann ist
g f Zrarr Nz 7rarr g(f(z)) = g(z2) = z2 + 1
11
Illustration
1212 Bild- und Urbildmenge
Definition 16 Seien XY Mengen A sube X B sube Y f isin A(XY )Dann heiszligt
f(A) = f(a) | a isin ABild(-menge) von A unter f und
fminus1(B) = x | x isin X f(x) isin B
Urbild(-menge) von B unter f
1213 Beispiel
Sei
f Zrarr Zx 7rarr x2
dann ist
f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2
fminus1(2 3) = empty
1214 Logik Quantoren
Definition 17 A(x) sei eine Aussage die von einer Variablen x abhaumlngt
bullforallx isinM A(x)
bedeutet Fuumlr alle x isinM gilt die Aussage A(x) Gleichbedeutend ist
A(x) forallx isinM
gelesen Die Aussage A(x) gilt fuumlr alle x isinM
bull existx isin M A(x) bedeutet Es existiert ein x isin M sodass die Aussage A(x)gilt
bull existx isin M A(x) bedeutet Es exisitert genau ein x isin M sodass die AussageA(x) gilt
12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung
Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge
Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)
132 Beispiele
1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung
cup M timesM rarrM
(AB) 7rarr A cupB
eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung
133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen
Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M
i) heiszligt assoziativ wenn gilt
(x y) z = x (y z)
fuumlr alle x y z isinM
ii) heiszligt kommutativ wenn gilt
x y = y x
fuumlr alle x y isinM
iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt
x e = e x = x
fuumlr alle x isinM
iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt
x y = y x = e
13
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
ist bijektivy isin Z f(y minus 1) = y minus 1 + 1 = yInjektivitaumlt ist klar
128 Inverse Abbildung
Definition 14 Seien XY Mengen f isin A(XY )Ist f bijektiv dann koumlnnen wir die zu f inverse Abbildung bezeichnet mit fminus1 de-finieren als die Abbildung von Y nach X die jedem y isin Y das eindeutige Elementx isin X zuordnet fuumlr das gilt f(x) = yKurz
fminus1 Y rarr X (dh fminus1 isin A(YX))y 7rarr x
129 Beispiel
Sei f aus Beispiel 3 oben Dann ist
fminus1 Zrarr Zy 7rarr y minus 1
die zu f inverse Abbildung
1210 Komposition von Abbildungen
Definition 15 XY Z seien Mengen f isin A(XY ) g isin A(Y Z)Dann definieren wir die Komposition (Verknuumlpfung) der Abbildungen f und g be-zeichnet mit g f (gesprochen g nach f g verknuumlpft mit f g bdquoKringelldquo f ) als dieAbbildung
g f X rarr Z
x 7rarr g(f(x))
1211 Beispiel
f Zrarr N g N0 rarr Nz 7rarr z2 n 7rarr n+ 1
Dann ist
g f Zrarr Nz 7rarr g(f(z)) = g(z2) = z2 + 1
11
Illustration
1212 Bild- und Urbildmenge
Definition 16 Seien XY Mengen A sube X B sube Y f isin A(XY )Dann heiszligt
f(A) = f(a) | a isin ABild(-menge) von A unter f und
fminus1(B) = x | x isin X f(x) isin B
Urbild(-menge) von B unter f
1213 Beispiel
Sei
f Zrarr Zx 7rarr x2
dann ist
f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2
fminus1(2 3) = empty
1214 Logik Quantoren
Definition 17 A(x) sei eine Aussage die von einer Variablen x abhaumlngt
bullforallx isinM A(x)
bedeutet Fuumlr alle x isinM gilt die Aussage A(x) Gleichbedeutend ist
A(x) forallx isinM
gelesen Die Aussage A(x) gilt fuumlr alle x isinM
bull existx isin M A(x) bedeutet Es existiert ein x isin M sodass die Aussage A(x)gilt
bull existx isin M A(x) bedeutet Es exisitert genau ein x isin M sodass die AussageA(x) gilt
12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung
Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge
Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)
132 Beispiele
1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung
cup M timesM rarrM
(AB) 7rarr A cupB
eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung
133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen
Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M
i) heiszligt assoziativ wenn gilt
(x y) z = x (y z)
fuumlr alle x y z isinM
ii) heiszligt kommutativ wenn gilt
x y = y x
fuumlr alle x y isinM
iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt
x e = e x = x
fuumlr alle x isinM
iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt
x y = y x = e
13
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Illustration
1212 Bild- und Urbildmenge
Definition 16 Seien XY Mengen A sube X B sube Y f isin A(XY )Dann heiszligt
f(A) = f(a) | a isin ABild(-menge) von A unter f und
fminus1(B) = x | x isin X f(x) isin B
Urbild(-menge) von B unter f
1213 Beispiel
Sei
f Zrarr Zx 7rarr x2
dann ist
f(1 2) = 1 4fminus1(4) = minus2 2
fminus1(2 3) = empty
1214 Logik Quantoren
Definition 17 A(x) sei eine Aussage die von einer Variablen x abhaumlngt
bullforallx isinM A(x)
bedeutet Fuumlr alle x isinM gilt die Aussage A(x) Gleichbedeutend ist
A(x) forallx isinM
gelesen Die Aussage A(x) gilt fuumlr alle x isinM
bull existx isin M A(x) bedeutet Es existiert ein x isin M sodass die Aussage A(x)gilt
bull existx isin M A(x) bedeutet Es exisitert genau ein x isin M sodass die AussageA(x) gilt
12
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung
Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge
Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)
132 Beispiele
1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung
cup M timesM rarrM
(AB) 7rarr A cupB
eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung
133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen
Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M
i) heiszligt assoziativ wenn gilt
(x y) z = x (y z)
fuumlr alle x y z isinM
ii) heiszligt kommutativ wenn gilt
x y = y x
fuumlr alle x y isinM
iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt
x e = e x = x
fuumlr alle x isinM
iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt
x y = y x = e
13
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
13 Algebraische Strukturen und Zahlenkoumlrper131 Innere Verknuumlpfung
Sei M 6= empty im Folgenden immer eine Menge
Definition Eine Abbildung vonMtimesM nachM heiszligt innere Verknuumlpfung (Komposition)auf M Ist bdquoldquo der Name der inneren Verknuumlpfung dann schreibt man an Stelle von((mn)) kurz m m fuumlr alle mn isinM (Infix-Notation)
132 Beispiele
1 Sei N eine Menge M = P(N) dann ist die Abbildung
cup M timesM rarrM
(AB) 7rarr A cupB
eine innere Verknuumlpfung auf M = P(N)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist ebenfalls eine innere Verknuumlpfung
133 Eigenschaften innerer Verknuumlpfungen
Definition Sei bdquobdquo innere Verknuumlpfung auf M
i) heiszligt assoziativ wenn gilt
(x y) z = x (y z)
fuumlr alle x y z isinM
ii) heiszligt kommutativ wenn gilt
x y = y x
fuumlr alle x y isinM
iii) e isinM heiszligt neutral (neutrales Element Einheit) bezuumlglich bdquoldquo wenn gilt
x e = e x = x
fuumlr alle x isinM
iv) Sei e isin M eine Einheit bzgl bdquoldquo x isin M Ein Element y isin M heiszligt invers(inverses Element) zu x isinM bzgl bdquoldquo wenn gilt
x y = y x = e
13
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
134 Beispiele
1
cup P(N)times P(N)rarr P(N)(AB) 7rarr A cupB
ist assoziativ kommutativ empty ist neutrales Element bezuumlglich cup auf P(N) empty istdas einzige Element das ein Inverses besitzt (und dies ist empty selbst)
2
+ Nnaiv times Nnaiv rarr Nnaiv
(mn) 7rarr m+ n
bdquoistldquo assoziativ und kommutativ (nach Schulwissen) es existiert kein neutralesElement (somit besitzt auch kein Element ein Inverses)
3
+ Nnaiv times Znaiv rarr Znaiv
(mn) 7rarr m+ n
ist assoziativ kommutativ 0 ist neutrales Element und fuumlr jedes z isin Znaiv ist zein inverses Element (gemaumlszlig Schulwissen)
135 Eindeutigkeit neutraler und inverser Elemente
Satz 131 Seien MtimesM rarrM eine innere Verknuumlpfung aufM e sei eine Einheitbzgl bdquoldquo Dann gilt
i) die Einheit e ist eindeutig
ii) wenn bdquoldquo assoziativ ist und y isin M ist ein inverses Element zu x isin M dann istauch y eindeutig (und in diesem Fall bezeichnet man y mit xminus1)
Beweis Seien die Voraussetzungen wie oben gegeben
i) Demnach ist e eine Einheit bzgl bdquoldquo aufM Sei nun e isinM eine beliebige Einheitin M Dann gilt da e und e Einheiten bzgl bdquoldquo sind
e = e e = e
Das heiszligt aber gerade e = e
ii) Sei nun bdquoldquo assoziativ y isin M ein inverses Element zu x isin M Angenommennun y isinM sei ebenfalls invers zu x Dann gilt da y und y invers zu x bzgl bdquoldquo
y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y
Somit gilt y = y dh aber gerade dass das inverse Element eindeutig ist
14
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
136 Koumlrper
Definition Sei K 6= empty eine Menge mit zwei inneren Verknuumlpfungen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo(K+ middot) heiszligt Koumlrper wenn folgende Axiome erfuumlllt sind
(A1) bdquo+ldquo ist assoziativ
(A2) bdquo+ldquo ist kommutativ
(A3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquo+ldquo (das nach Satz 131 eindeutig ist)genannt 0
(A4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquo+ldquo genannt minusx (nachSatz 131 ist dieses eindeutig)
(M1) bdquoldquo ist assoziativ
(M2) bdquoldquo ist kommutativ
(M3) K besitzt ein neutrales Element bzgl bdquoldquo (das nach Satz 131 eindeutig be-stimmt ist) genannt 1 und 1 6= 0
(M4) Fuumlr jedes x isin K existiert ein inverses Element bzgl bdquoldquo genannt xminus1 (nachSatz Satz 131 ist dieses eindeutig)
(D) Fuumlr alle x y z isin K gilt
x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z)
137 Beispiele
1 (Qnaiv+ middot) ist ein Koumlrper (gemaumlszlig Schulwissen)
2 (Rnaiv+ middot) ist ebenfalls ein Koumlrper (gemaumlszlig Schule)
3 K = 0 1 Definiere nun auf K folgende innere Verknuumlpfungen
+ K timesK rarr K 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0middot K timesK rarr K 0 middot 0 = 0 1 middot 0 = 0 0 middot 1 = 0 1 middot 1 = 1
Man kann nachrechnen dass (K+ middot) (in der Literatur auch Galois-Field derCharakteristik 2 GF(2) oder Z2 genannt) ein Koumlrper ist mit Einheit 0 bzgl bdquo+ldquound Einheit 1 bzgl bdquomiddotldquo ist
138 Schreibkonventionen
Schreibe oft einfach
bull xminus y anstelle von x+ (minusy)
bull xy anstelle von x middot y
bull 1y anstelle von yminus1
bull xy anstelle von x middot yminus1
bull xy + xz anstelle von (x middot y) + (x middot z) (bdquoPunkt vor Strich-Regelldquo)
15
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
139 Saumltze uumlber Koumlrper
Satz 132 Sei (K+ middot) ein Koumlrper Dann gilt
i) Falls x y isin K mit x + y = x dann folgt y = 0 Falls x y isin K x 6= 0 mitx middot y = x dann folgt y = 1
ii) 0 middot x = 0 fuumlr alle x isin K
iii) minusx (respektive xminus1) sind eindeutig bestimmt fuumlr alle x isin K (respektive fuumlr allex isin K x 6= 0)
iv) (minus1) middot x = minusx fuumlr alle x isin K
v) Fuumlr alle x 6= 0 ist xminus1 6= 0
vi) minus(minusx) = x fuumlr alle x isin K
vii) Fuumlr alle x 6= 0 y 6= 0 ist auch x middot y 6= 0 (Nullteilerfreiheit)
viii) Fuumlr x y isin K gilt xminus y = minus(y minus x) und falls x y 6= 0 dann ist(xy
)minus1
= yx
ix) minus(x + y) = (minusx) + (minusy) fuumlr alle x y isin K (x middot y)minus1 = xminus1 middot yminus1 fuumlr allex y isin Kx y 6= 0
x) (minusx) middot (minusy) = x middot y und (minusx) middot y = x middot (minusy) = minus(xy) fuumlr alle x y isin K
Beweis Sei (K+ middot) ein Koumlrper und x y isin K beliebige Elemente mit jeweils zuge-wiesenen Eigenschaften
i) Es gelte x+ y = x Dann folgt
(minusx) + (x+ y) = (minusx) + xA4= 0 A1hArr
(minusx) + x) + y = 0 A4hArr
0 + y = 0 A3hArry = 0
Sei nun x middoty = y x hat das multiplikatives Inverses xminus1 dh x middotxminus1 = 1 Damitgilt
x middot y = x hArr
xminus1 middot (x middot y) = xminus1 middot x M4= 1 M1hArr
(xminus1 middot x) middot y = 1 M4hArr
1 middot y = 1 M3hArry = 1
ii) Nach i) reicht es zu zeigen dass
x+ 0 middot x = x forallx isin K
Sei x isin K dann gilt
x+ 0 middot x M3= 1 middot x+ 0 middot x D= (1 + 0) middot x A3= 1 middot x M3= x
16
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
iii) Weiter oben in Satz 131 allgemein bewiesen
iv) Sei x isin K dann gilt
x+ (minus1) middot x M3= 1 middot x+ (minus1) middot x D= (1 + (minus1)) middot x A4= 0 middot x ii)= 0
Also ist (minus1) middot x das additive Inverse von x also (minus1) middot x = minusx wzbw
v) Sei x isin K mit x 6= 0 Angenommen xminus1 = 0 dann wuumlrde gelten
x = xM3hArr
1 middot x = xM4hArr
(x middot xminus1) middot x = x hArr
(x middot 0) middot x = xM2hArr
(0 middot x) middot x = xii)hArr
0 middot x = xii)hArr
0 = x
was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt
vi) Fuumlr alle x isin K gilt nach A4 x+(minusx) = 0 Das heiszligt aber dass x das (eindeutigbestimmte) additive Inverse von (minusx) ist also gilt x = minus(minusx)
vii) Angenommen es gilt x middot y = 0 dann gilt auch
(x middot y) middot yminus1 = 0 middot yminus1
also nach M1 und ii)x middot (y middot yminus1) = 0
dh nach M4 x middot 1 = 0 und schlieszliglich nach M3 x = 0 was einen Widerspruchzur Voraussetzung darstellt
viii) Es gilt
xminus y M3= 1 middot x+ (minusy)M4 und ii)= ((minus1) middot (minus1)) middot x+ (minus1) middot yM1= (minus1) middot ((minus1) middot x) + (minus1) middot yD= (minus1) middot ((minus1) middot x+ y)A2 und ii)= minus(y minus x)
ix) Es gilt nach iv)
minus(x+ y) = (minus1) middot (x+ y) D= (minus1) middot x+ (minus1) middot y iv)= (minusx) + (minusy)
17
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Es gilt auch
(x middot y) middot (xminus1 middot yminus1) M2= (x middot y) middot (yminus1 middot xminus1)M1= x middot (y middot yminus1) middot xminus1
M4= x middot 1 middot xminus1
M3= x middot xminus1 M4= 1
x) Es gilt
(minusx)middot(minusy) ii)= ((minus1)middotx)middot((minus1)middoty) M1 und M2= ((minus1)middot(minus1))middot(xmiddoty) = 1middot(xmiddoty) ii)= xmiddoty
Es gilt auch
(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1= (minus1) middot (x middot y) ii)= minus(x middot y)
und(minusx) middot y ii)= ((minus1) middot x) middot y M1 und M2= x middot ((minus1) middot y) ii)= x middot (minusy)
14 Angeordnete Koumlrper141 Motivation
Beobachtung (Q+ middot) (R+ middot) sind Koumlrper aber auch K = 0 1 mit der in Bei-spiel 3 beschriebenen Addition und MultiplikationWelche zusaumltzlichen Strukturen zeichnen nun R ausrarr Ordnungsstruktur beliebige reelle Zahlen koumlnnen groumlszligenmaumlszligig miteinander vergli-chen werden
142 Definition
Definition 18 Sei (K+ middot) ein KoumlrperEine Teilmenge P sube K heiszligt Positivbereich (positiver Kegel Menge der positivenZahlen) wenn gilt
(P1) Fuumlr alle x isin K mit x 6= 0 gilt entweder x isin P oder (minusx) isin P auszligerdem0 6isin P (aumlquivalent dazu ist forallx isin K ist entweder x isin P oder (minusx) isin P )
(P2) Fuumlr alle x y isin P ist auch x+ y isin P und x middot y isin P
Dann heiszligt (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
Fuumlr x isin P schreiben wir kurz x gt 0 und in diesem Fall heiszligt x positiv Ist(minusx) isin P dann heiszligt x negativBemerkung In einem Koumlrper mit einem Positivbereich P kann wie folgt eine Ordnungeingefuumlhrt werden Sei x y isin K dann heiszligt
bull x lt y wenn y minus x isin P sprich bdquox ist (strikt) kleiner als yldquo
bull x le y wenn x lt y oder x = y sprich bdquox ist kleiner oder gleich yldquo
bull x gt y wenn y lt x sprich bdquox ist (strikt) groumlszliger als yldquo
bull x le y wenn y lt x oder y = x sprich bdquox ist groumlszliger oder gleich yldquo
18
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
143 Beispiele
1) (Rnaiv+ middot bdquoP = Menge der positiven Zahlenldquo) ist ein angeordneter Koumlrper
2) Der Koumlrper aus Beispiel 3 ((0 1 +minus)) besitzt keinen Positivbereich (dh erkann nicht angeordnet werden)
Beweis Da nach Definition eines Positivbereiches 0 6isin P ist also kommen alsmoumlgliche Kandidaten fuumlr einen solchen Positivbereich P nur die zwei Teilmen-gen P = empty oder P = 1 von K = 0 1 in FrageEs ist aber P = empty kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 6isin P und (minus1) = 1 6isin P
((minus1) = 1 wegen 1 + 1 = 0) dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)Aber auch P = 1 ist kein Positivbereich denn fuumlr 1 isin K gilt
1 isin P und (minus1) = 1 isin P
dh fuumlr P = empty gilt nicht (P1)
144 Regeln fuumlr Ungleichungen
In angeordneten Koumlrpern gelten folgende Rechenregeln
Satz 141 Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Aus x1 lt x2 und y1 lt y2 folgt x1 + y1 lt x2 + y2
ii) Aus x lt y und z gt 0 folgt z middot x lt z middot y
iii) Aus x lt y und z isin K folgt x+ z lt y + z
iv) Aus x lt y folgt minusy lt minusx
v) Aus x lt y und z lt 0 folgt x middot z gt y middot z
vi) Fuumlr jedes x 6= 0 ist x2 = x middot x gt 0 (insbesondere gilt 1 gt 0)
vii) Ist x gt 0 so ist auch xminus1 gt 0
viii) Die Aussagen i) bis v) gelten auch fuumlr bdquoleldquo anstelle von bdquoltldquo
Beweis Sei (K+ middot) ein angeordneter Koumlrper Dann gilt
i) Nach Schreibkonvention gilt jeweilsx1 lt x2 rArr x2 minus x1 isin P y1 lt y2 rArr y2 minus y1 isin P Nach (P2) gilt
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) isin PEs gilt aber
(x2 minus x1) + (y2 minus y1) = (x2 + (minusx1)) + (y2 + (minusy1))(A1) und (A2)= (x2 + y2) + ((minusx1) + (minusy1))Satz 132 ix)= x2 + y2 minus (x1 + y1)
19
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
also nach Vereinbarungx1 + y1 lt x2 + y2
ii) Nach Schreibkonvention giltx lt y dh y minus x isin P z gt 0 dh z = z minus 0 isin P Mit (P2) folgt somit
z middot (y minus x) = z middot (y + (minus1) middot x) isin P
dh nach (D) aus Kz middot y + z middot (minusx) isin P
nach Satz 132 x)z middot y + (minusz middot x) isin P
also(z middot y minus z middot x) isin P
Nach Schreibkonventionz middot x lt z middot y
Die anderen Punkte sind aumlhnlich zu beweisen
145 Betragsfunktion
Definition 19 In jedem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) kann die sogenannte Be-tragsfunktion genannt |middot| definiert werden durch
|middot| K rarr K
x 7rarr
x falls x gt 00 falls x = 0minusx falls x lt 0
146 Beispiel
Beispiel in K = Rnaiv
20
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
147 Abstandsfunktion
Definition 110 Weiter kann eine sogenannte Abstandsfunktion genannt d wie folgtdefiniert werden
d K timesK rarr K
(x y) 7rarr |xminus y|
Man sagt d(x y) = |xminus y| ist der Abstand zwischen x und y
Damit folgt |x| = |xminus 0| = d(x 0) dh der Betrag von x ist der Abstand von xzu 0
148 Eigenschaften von Betrags- und Abstandsfunktion
Satz 142 In einem angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) gilt
i) |x| ge 0 fuumlr alle x isin K |x| = 0 hArr x = 0
ii) |x| = |minusx| fuumlr alle x isin K
iii) |x middot y| = |x| middot |y| fuumlr alle x y isin K
iv) |x+ y| le |x|+ |y| fuumlr alle x y isin K - Dreiecksungleichung
v) d(x y) = d(y x) fuumlr alle x y isin K
vi) d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isin K
vii) d(x y) le d(x z) + d(z y) fuumlr alle x y z isin KIllustration
Beweis Sei der angeordnete Koumlrper wie oben gegeben und x y z isin K
i) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| Def= x gt 0
2 x = 0 dann ist |x| Def= 0
3 x lt 0 dann ist |x| Def= minusx gt 0
21
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Dh in allen 3 Faumlllen gilt |x| ge 0Weiter ist per Definition klar dass x = 0 rArr |x| = 0 Bleibt zu zeigen dass|x| = 0rArr x = 0Beweis durch Kontraposition Aus x 6= 0 folgt dass entweder gilt x gt 0 unddann ist |x| = x gt 0 oder aber x lt 0 und dann ist |x| = minusx gt 0 somit folgtin beiden Faumlllen |x| gt 0 insbesondere |x| 6= 0
ii) Fallunterscheidung
1 x gt 0 dann ist |x| = x und |minusx| = minus(minusx) Satz 132 vi)= x also |x| = |minusx|2 x = 0 dann ist die Behauptung klar da 0 = minus0
3 x lt 0 dann ist minusx gt 0 und somit |x| = minusx und |minusx| = minusx also|x| = |minusx|
iii) Fallunterscheidung
1 Wenn x = 0 oder y = 0 dann ist |x middot y| = 0 = |x| middot |y|2 Wenn x y isin K x gt 0 y gt 0 dann ist |x middot y| = x middot y andererseits|x| = x |y| = y also |x| middot |y| = x middot y dh |x middot y| = |x| middot |y|
3 Wenn x y isin K x gt 0 y lt 0 dann ist x middot y lt 0 rArr |x middot y| = minusxyandererseits |x| middot |y| = x middot (minusy) = minusxy also |xy| = |x| middot |y|
Die anderen Faumllle folgen analog
iv) Es gilt z le |z| minusz le |z| fuumlr alle z isin K (dies zeigt man leicht durch Fallunter-scheidung)Somit folgt (unter Verwendung Satz 141)x le |x| und y le |x| also x+ y le |x|+ |y|ebenso minusx le |x| und minusy le |x| also minusxminus y le |x|+ |y|Auszligerdem gilt Aus z le w und minusz le w folgt |z| le w fuumlr alle z w isin K (nachDefinition des Betrags)Zusammen folgt
|x+ y| le |x|+ |y|
v) - vii) folgen unmittelbar aus i)-iv)
v) d(x y) = |xminus y| ii)= |minus(xminus y)| Satz 132 ix)= |y minus x| = d(y x)
vi) d(x y) = |xminus y| ge 0 nach i)
vii) d(x y) = |xminus y| = |(xminus z) + (z minus y)|iv)le |xminus z|+|z minus y| v)= d(x z)+d(y z)
149 Der Positivbereich der reellen Zahlen
Satz R hat nur genau einen Positivbereich
Beweis R ist ein angeordneter Koumlrper mit Positivbereich P = x isin R | x gt 0Annahme Sei P sub R ein weiterer Positivbereich Wir zeigen
a) P sub P und
22
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
b) P sub P
a) Sei x isin P Dann folgt x gt 0 und damit existiertradicx isin R mit (
radicx)2 = x
Es giltx = 0hArr
radicxradicx = x = 0hArr
radicx = 0
Somit ist fuumlr unser x isin Pradicx 6= 0 und es folgt daher
radicxradicx = x isin P denn
nach 141 iv) ist das Quadrat von x 6= 0 immer im Positivbereich enthalten Alsofolgt aus x isin P dass x isin P dh P sub P
b) Sei x isin P mit x 6isin P Dann folgt wegen x 6= 0 nach (P1) minusx isin P Ist minusx isin P dann ist minusx gt 0 und damit existiert
radic(minusx) 6= 0 mit
radic(minusx)
2= minusx daher
minusx isin P Also ist x isin P und minusx isin P was einen Widerspruch zu (P1) darstelltAlso muss x isin P wenn x isin P dh P sub P
Aus a) und b) zusammen folgt P = P
1410 Beispiel fuumlr einen Koumlrper mit zwei Positivbereichen
Sei K =a+ b middot
radic2 | a b isin Q
a) Zu zeigen ist zunaumlchst (K+ middot) mit + und middot aus R ist ein Koumlrper
i) WohldefiniertheitK sub R denn mit a b isin Qradic
2 isin R folgt a+bmiddotradic
2 isin REindeutigkeit der Darstellung von Elementen aus K - waumlren sie nicht ein-deutig darstellbar so koumlnnte man die Operationen nicht als Abbildungendefinieren
Lemma Seien a b isin Q Dann gilt a+ b middotradic
2 = 0 hArr a = 0 and b = 0
Beweis Sei a+ b middotradic
2 = 0 dann folgt a = minusb middotradic
2 ()
1 b = 0 Dann folgt aus () a = minusradic
2 middot 0 = 02 b 6= 0 Aus () folgt minusab =
radic2 ein Widerspruch denn
radic2 6isin Q
Sei andererseits a = 0 und b = 0 dann ist a+ b middotradic
2 = 0+0 middotradic
0 = 0
Sei x isin K und a a b b isin Q mit x = a+ b middotradic
2 = a+ b middotradic
2 Dann gilt
(aminus a) + (bminus b) middotradic
2 = 0 hArr aminus a = 0 and bminus b = 0
also a = a und b = b
ii) Wohldefiniertheit von + und middot auf KMit Hilfe der Koumlrperaxiome fuumlr R und Q rechnet man leicht nach dassx1 + x2 isin K und x1 middot x2 isin K fuumlr alle x1 x2 isin K
iii) Koumlrperaxiome
1 Kommutativitaumlt und Assoziativitaumlt von +middot+middot ist kommutativ und assoziativ auf R Da K sub R ist +middot auf Kebenso kommutativ und assoziativ
2 Existenz des neutralen Elements fuumlr + und fuumlr middotKlar 0 isin R und 0 = 0 + 0 middot
radic2 isin K 1 isin R und 1 = 1 + 0 middot
radic2 isin K
3 Existenz von Inversen fuumlr +Wenn x = a+bmiddot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q dann istminusx = minusaminusbmiddot
radic2 isin K
23
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
4 Existenz von Inversen fuumlr middotWenn x = a + b middot
radic2 isin K fuumlr a b isin Q mit a b nicht beide 0 dann
gilt
xminus1 =1x
=1
a+ b middotradic
2=aminus b middot
radic2
a2 minus 2b2=
a
a2 minus 2b2+
minusba2 minus 2b2
middotradic
2
5 Distributivgesetz Gilt auf K da K sub R
Aus 1-5 folgt (K+middot) ist ein Koumlrper
b)
P1 =a+ b middot
radic2 isin K | a+ b middot
radic2 gt 0
P2 =
a+ b middot
radic2 isin K | aminus b middot
radic2 gt 0
sind Positivbereiche
Beweis Wohldefiniertheit X da die Darstellung der Element in K eindeutig istund wir eindeutig entscheiden koumlnnen ob x = a+ b middot
radic2 gt 0 lt 0 oder = 0 ist
1 P1 ist Positivbereich die Ordnungsaxiome lassen sich direkt aus bdquogtldquo aufR ableiten
2 P2 ist Positivbereich
(a) Sei x isin Klowast mit x = a+ b middotradic
2 mit a b isin Q und a 6= 0 oder b 6= 0x isin P2 rArr aminus b middot
radic2 gt 0 in R Dann gilt aber minusa+ b middot
radic2 lt 0 in R
oder auchminusaminus (minusbradic
2) lt 0 Das heiszligt aberminusx = minusaminus b middotradic
2 6isin P2(b) Seien x = a + b middot
radic2 isin P2 y = c + d middot
radic2 isin P2 dh a minus b middot
radic2 gt
0 cminus d middotradic
2 gt 0 in RAddiert ergibt sich
(a+ c)minus (b+ d) middotradic
2 gt 0
also (a+c)+(b+d) middotradic
2 = (a+b middotradic
2)+(c+d middotradic
2) = x+y isin P2Multipliziert ergibt sich
a middot cminusa middotd middotradic
2minus b middot c middotradic
2+2 middot b middotd = (ac+2bd)minus (ad+ bc) middotradic
2 gt 0
also (ac+ 2bd) + (ad+ bc) middotradic
2 = (a+ b middotradic
2) middot (c+ d middotradic
2) isin P2
P1 und P2 sind verschieden voneinander
Beweis Aus 0 + 1 middotradic
2 isin K und 0 + 1 middotradic
2 gt 0 in R folgt 0 + 1 middotradic
2 isin P1Aber 0minus 1 middot
radic2 = minus
radic2 lt 0 in R also 0 + 1 middot
radic2 6isin P2
Damit sind P1 und P2 verschiedene Positivbereiche auf K
Bemerkung (K+ middot) ist der kleinste Koumlrper der die rationalen Zahlen undradic
2 enthaumlltAlgebraisch erhaumllt man ihn indem man aus den rationalen Polynomen das uumlber Qirreduzible Polynom (x2 minus 2) herausdividiert dh
K sim= Q[x](x2 minus 2)Q[x]
24
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
15 Natuumlrliche Zahlen und vollstaumlndige InduktionSei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
151 Induktive Mengen
Definition 111 Eine Teilmengen M von K heiszligt induktiv wenn gilt
i) 1 isinM
ii) Wenn m isinM dann ist auch m+ 1 isinM
(Alternativ zu i) kann dort auch 0 isinM stehen)
152 Beispiele
1 M = K ist induktiv
2 In K = Rnaiv M = x isin Rnaiv | x ge 1 ist induktiv
3 In K = Rnaiv M = Nnaiv ist induktiv
153 Verallgemeinerter Mengendurchschnitt
Notation
bull AB MengenAcapB Durchschnitt vonA undB mitAcapB = x | x isin A and x isin B
bull A1 An Mengen⋂ni=1Ai = A1 capA2 cap capAn
bull SeiN eine Menge dann bezeichnet manM = M |M TM von M mit einer gewissen Eigenschaftals Mengensystem⋂
M =⋂
MisinMM = x isin N | x isinM forallM isinM
154 Beispiele
1 N MengeM = P(N) = M |M sube NMengensystem dann ist⋂M = empty
2 N = NnaivM = M |M sube Nnaiv 1 isinM Mengensystem dann ist⋂M =
1
155 Natuumlrliche Zahlen
Definition 112 SeiM das Mengensystem dass aus allen induktiven Teilmengen vonK besteht Dann definiert man
N =⋂M = x isin K | x isinM fuumlr jede induktive Teilmenge M isin K
und bezeichnet diese Menge als die Menge der natuumlrlichen Zahlen
25
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
156 Eigenschaften
i) 1 isin N da 1 Element jeder induktiven Teilmenge von K ist
ii) Wennm isin N dann gilt auchm+1 isin N (da diese Eigenschaft in jeder induktivenTeilmenge von K gilt) Somit
1 1 + 1︸ ︷︷ ︸=2
1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=3
1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸=4
isin N
und N ist die kleinste induktive Teilmenge vonK (denn N ist induktiv nach i)+ii) undN =
⋂M)
157 Beweisprinzip der vollstaumlndigen Induktion
Satz 151 Sei A sube N mit den folgenden Eigenschaften
i) 1 isin A
ii) Wenn m isin A folgt m+ 1 isin A
Dann gilt A = N
Beweis Nach Voraussetzung gilt
bull A sube N und
bull A ist induktiv
Es folgtN =
⋂Msube A
alsoA = N
158 Allgemeines Verfahren
Behauptung foralln isin N A(n)Beweis durch vollstaumlndige Induktion
InduktionsanfangZeige dass A(1) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) fuumlr ein festes n isin N
InduktionsbeweisZeige dass die Aussage A(n+ 1) gilt
Damit ist die Aussage A(n) foralln isin N bewiesen
Begruumlndung der Richtigkeit des BeweisprinzipsBetrachte E = n isin N A(n) gilt Dann gilt E sube N Im Induktionsanfang wurdegezeigt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt dass wenn n isin E rArr n + 1 isin E Dannfolgt aus Satz 151 E = N dh A(n) foralln isin N
26
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
159 Beispiel
Behauptung Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen (n isin N) enthaumllt genau2n Elemente
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangDie Aussage gilt fuumlr n = 1 denn enthaumllt ein Menge M genau ein Element dhM = m dann ist P(M) = empty m dh P(M) = 2
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n gelte
M = nrArr P(M) = 2n
InduktionsschlussSei nun M eine Menge mit n+ 1 ElementenSeim isinM ein beliebiges Element ausM betrachte die Menge M = M m KlarM = n somit gilt nach Induktionsvoraussetzung
P(M) = 2n
Es ist aberP(M) = P(M)︸ ︷︷ ︸
=2n
cupA cup m |A isin P(M)
︸ ︷︷ ︸
=2n
und da die Mengensysteme P(M undA cup m |A isin P(M)
disjunkt folgt
P(M) = 2n + 2n = 2 middot 2n = 2n+1
1510 Variante des Beweisprinzips der vollstaumlndigen Induktion
Behauptung A(n) foralln isin N mit n ge n0 wobei n0 ein festes Element in N
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangZeige dass A(n0) gilt
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungEs gelte A(n) gelte fuumlr ein festes n ge n0 n isin N
InduktionsschlussZeige dann gilt auch A(n+ 1)
Damit ist gezeigt dass A(n) foralln isin N mit n ge n0
Begruumlndung der KorrektheitBetrachte
E n isin N |A(n0 + nminus 1) gilt
27
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Gemaumlszlig Induktionsanfang gilt 1 isin E Gemaumlszlig Induktionsschritt gilt ebenfalls n isin E rArr(n+ 1) isin E Somit folgt aus Satz 151 E = N dh aber gerade A(n) foralln isin N mitn ge n0
1511 Beispiel
Zu zeigen n2 lt 2n foralln isin N mit n ge 5(Beachte hier A(1) gilt A(2) bis A(4) gelten nicht aber mit vollstaumlndiger Induktionkann man zeigen A(n) gilt foralln ge 5)
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangFuumlr n=5 ist die Aussage wahr denn
52 lt 25 hArr 25 lt 32
ist wahr
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzung
k2 lt 2k
sei wahr fuumlr ein k ge 5
Induktionsbehauptung(k + 1)2 lt 2k+1
soll wahr sein
InduktionsbeweisNach Induktionsvoraussetzung gilt
k2 lt 2k hArr2 middot k2 lt 2 middot 2k hArr
k2 + k2 lt 2k+1 ()hArrk2 + 2k + 1 lt k2 + k2 le 2k+1 hArr
(k + 1)2 lt 2k+1
was zu zeigen war
Die Abschaumltzung () benoumltigt einen BeweisEs ist k middot (k minus 2) gt 4 middot (4 minus 2) = 4 middot 2 = 10 gt 1 also ist k2 minus 2k gt 1 dhk2 gt 2k + 1
1512 Scheinparadoxon
Behauptung Alle Elemente einer beliebigen Menge sind gleich
Beweis durch vollstaumlndige InduktionInduktionsanfangn = 1 Alle Elemente einer einelementigen Menge sind gleich
28
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
InduktionsschrittInduktionsvoraussetzungFuumlr ein festes n seien in einer n-elementige Menge alle Elemente gleich
InduktionsschlussSei M eine n + 1-elementige Menge Zeichne ein Element m isin M aus und tei-le M m in zwei disjunkte nicht-leere Teilmengen M1 und M2 M1 cup m undM2 cup m haben gewiss weniger als n Elemente nach Induktionsvoraussetzung sindalso alle Elemente in diesen beiden Mengen gleich Weil m in beiden Mengen liegtfolgt aus der Transitivitaumlt der Gleichheit dass alle Elemente von M gleich sind Waszu beweisen war()
Aufloumlsung des ParadoxonsFuumlr den Beweis benoumltigt man dass die Behauptung auch fuumlr zweielementige Mengengilt Aber schon fuumlr zweielementige Mengen ist die Behauptung falsch weshalb derInduktionsschluss nicht funktioniert
1513 Beispiele von Definitionen durch vollstaumlndige Induktion
1 Fakultaumlt
bull bdquoUnmathemathischeldquo Definition n = n middot (nminus1) middot middot2 middot1 fuumlr alle n isin N
bull Definition durch vollstaumlndige Induktion
1 = 1(n+ 1) = (n+ 1) middot n foralln isin N
2 Ganzzahlige Potenzx isin K wobei (K+ middot) ein Koumlrper ist
x1 = x
xn+1 = x middot xn foralln isin N
1514 Eigenschaften der natuumlrlichen Zahlen
Satz 152 Seien mn isin N
i) Es gilt m+ n isin Nm middot n isin N
ii) Wenn n gt 1 dann ist n minus 1 isin N (jede natuumlrliche Zahl groumlszliger als 1 hat einenVorgaumlnger)
iii) Wenn mminus n gt 0 dann ist mminus n isin N und insbesondere gilt dann mminus n ge 1
iv) Sei n isin N Dann existiert kein x isin N mit n lt x lt n+ 1
v) Jede nicht-leere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Wohlordnungs-prinzip der natuumlrlichen Zahlen)
Beweis Seien mn isin N
29
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
i) Sei m isin N beliebig aber fest Nach 151 ist m + 1 isin N Sei gezeigt dassm+k isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wieder nach 151 auchm+k+1 isin N Damitist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass m+ n isin N fuumlr alle mn isin NSei m isin N beliebig aber fest Natuumlrlich ist m middot 1 = m isin N Sei gezeigt dassmmiddotk isin N fuumlr ein k isin N Dann ist wie eben gezeigt auchmmiddot(k+1) D= mmiddotk+m isinN
ii) Wenn n isin N mit n gt 1 dann ist n 6= 1 dh gibt es eine Zahl m isin N mitm+ 1 = n also nminus 1 = m isin N
iii) Sei m minus 1 gt 0 dann ist m gt 1 Aus ii) folgt dann dass auch m minus 1 isin N Seifuumlr ein k isin N gezeigt dass mminus k isin N wenn mminus k gt 0 Wenn mminus kminus 1 gt 0dann ist mminus k gt 1 also nach ii) mminus k minus 1 isin NDamit ist durch vollstaumlndige Induktion gezeigt dass aus m minus n gt 0 folgt m minusn isin NFuumlr alle natuumlrlichen Zahlen n gilt n ge 1 denn 1 ge 1 und wenn k ge 1 fuumlr eink isin N dann ist k + 1 ge 1 + 1 gt 1 (weil 1 gt 0)
iv) Angenommen es gaumlbe ein x isin N mit n lt x lt n + 1 dann wuumlrde auch gelten0 lt x minus n lt 1 wobei x minus n nach iii) eine natuumlrliche Zahl ist Nach iii) mussaber xminus n ge 1 gelten wozu xminus n lt 1 im Widerspruch steht Also gibt es keinsolches x
v) Sei A eine nicht-leere Teilmenge von NBeweis durch Widerspruch Angenommen A besitzt kein kleinstes ElementBetrachte nun die Menge
E = m isin N | foralln isin A n gt m
Dann gilt 1 isin E (denn aus 1 6isin E folgt 1 isin A und somit das kleinste Elementvon A)Sei nun m isin E Dann ist per Definition von E n gt m foralln isin A Somit folgtn minus m gt 0 Nach iii) folgt n minus m isin N und insbesondere n minus m ge 1 Dhn ge m+ 1 foralln isin A Dann folgt aber dass m+ 1 isin E (denn aus m+ 1 6isin Efolgt dass ein a isin A existiert mit a le m + 1 Wegen n ge m + 1 foralln isin A istdann a = m+ 1 Damit ist m+ 1 kleinstes Element von ArArrWiderspruch)Nach Satz 151 folgt E = N Sei nun a isin A dann ist auch a isin E somit folgtdann aber a gt arArrWiderspruch
16 Die ganzen und rationalen ZahlenDefinition 113 Sei wieder (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper und N die Mengeder natuumlrlichen Zahlen in K
bull Z = mminus n |mn isin N - Menge der ganzen Zahlen
bull Q =mn |m isin Z n isin N
- Menge der rationalen Zahlen
bull Elemente die in K Q liegen heiszligen irrationale Zahlen
Dann gilt
30
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
bull (Z+ middot) erfuumlllt (A1)-(A4) (M1)-(M3) und (D) dh algebraisch gesehen ist (Z+ middot)ein kommutativer Ring mit Einselement
bull (Q+ middot PQ) mit PQ =mn |mn isin N
ist ein angeordneter Koumlrper Hierbei
bezeichnen bdquo+ldquo und bdquomiddotldquo die von (K+ middot) geerbten inneren Verknuumlpfungen
161 Problem
Q ist zu klein
ZB ist Laumlnge der Diagonalen eines Quadrats nach dem Satz von Pythagoras nicht inQAllgemein gilt wenn c gt 0 c2 = 2 dann c 6isin Q
Beweis Angenommen c isin Q dann ist c = mn mitmn isin N (mitm und n teilerfremd)
Somit
2 = c2 =(mn
)2
=m2
n2
also 2 middot n2︸ ︷︷ ︸gerade
= m2 also ist m gerade natuumlrliche Zahl dh m = 2 middot k fuumlr ein k isin N
Einsetzen ergibt2 middot n2 = (2k)2 = 4k2 rArr n2 = 2 middot k2
dh n2 ist eine gerade Zahl somit ist n gerade Folglich sind m und n beide durch 2teilbar was ein Widerspruch dazu ist dass mn teilerfremd sind
17 Vollstaumlndigkeit reelle Zahlen171 Dedekindrsquosche Schnitte
Definition 114 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter KoumlrperEin Paar (AB) zweier Teilmengen von K heiszligt Dedekindrsquoscher Schnitt falls gilt
i) AB 6= empty
ii) forallx isin A y isin B x lt y
iii) A cupB = K
Ist (AB) ein Dedekindscher Schnitt dann heiszligt eine Zahl x0 isin K Schnittzahl zu(AB) falls
x le x0 le y forallx isin A y isin B
31
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
172 Beispiel
bullA = x isin R | x le 2 B = x isin R | x gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt von R mit der Schnittzahl x0 = 2
bull Betrachte in (Q+ middot PQ) im Koumlrper der rationalen Zahlen folgende Mengen
A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
(AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt aber (AB) besitzt keine Schnittzahl(denn der einzige moumlgliche Kandidat fuumlr eine solche waumlre
radic2 aber
radic2 6isin Q)
173 Reelle Zahlen
Definition 115 Ein angeordneter Koumlrper in dem jeder Dedekindrsquosche Schnitt eineSchnittzahl besitzt heiszligt (Dedekind-)vollstaumlndig (bzw erfuumlllt das Vollstaumlndigkeitsaxi-om) (und ist archimedisch angeordnet su Satz 173)
Intuitiv sollte gelten (R+ middot P ) ist ein angeordneter vollstaumlndiger Koumlrper
Definition 116 Zwei Koumlrper (KoplusK K) und (LoplusLL) heiszligen isomorph fallses eine bijektive Abbildung f K rarr L gibt fuumlr die gilt
1 f(xoplusK y) = f(x)oplusL f(y) forallx y isin K
2 f(xK y) = f(x)L f(y) forallx y isin K
Bemerkung Isomorphe Koumlrper sind sozusagen bdquoidentischldquo dh koumlnnen mittels derAbbildung f miteinander identifiziert werden
Satz 171 Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen angeordneten vollstaumlndigen Koumlr-per Diesen bezeichnet man mit R
Aumlquivalentealternative Definitionen der Vollstaumlndigkeit sind moumlglich hier folgteine Moumlglichkeit
174 Beschraumlnktheit von Mengen
Definition 117 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine TeilmengeDann heiszligt A
32
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
bull nach oben beschraumlnkt lArrrArr︸ ︷︷ ︸bdquoper Definition genau dann wenn giltldquo
exist s isin K a le s forall a isin A
s heiszligt dann obere Schranke von A
bull nach unten beschraumlnkt lArrrArr
exist s isin K a ge s forall a isin A
s heiszligt dann untere Schranke von A
bull beschraumlnkt lArrrArr A ist nach oben und unten beschraumlnkt
175 Maximum und Minimum von Mengen
Definition 118 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper A sube K eine Teilmenge
bull Ein Element m isin K heiszligt Maximum von A falls m eine obere Schranke vonA ist und m isin A Man schreibt m = max(A)
bull Ein Element m isin K heiszligt Minimum von A falls m eine untere Schranke vonA und m isin A Man schreibt m = min(A)
176 Supremum und Infimum von Mengen
Definition 119 Sei (K+ middot P ) ein angeordneter Koumlrper
bull Sei A eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge alleroberen Schranken vonA ein Minimumm so heiszligtm Supremum (kleinste obereSchranke von A)Man schreibt dann m = sup(A)
bull Sei A eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K Besitzt die Menge allerunteren Schranken von A ein Maximum m so heiszligt m Infimum (groumlszligte untereSchranke von A)Man schreibt dann m = inf(A)
177 Beispiele
1 A = x isin R | x lt 2 ist eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R 2 3 83 π
sind zum Beispiel obere Schranken von ABehauptung 2 ist das Supremum von A dh sup(A) = 2
Beweis Klar ist 2 ist obere Schranke per Definition der Menge AAngenommen es existiert eine kleinere obere Schranke t vonA dh a le t forall a isinA und t lt 2 dann waumlre
t ltt+ 2
2lt 2
Damit ist t+22 isin A und es folgt dann aus t lt t+2
2 dass t keine obere Schrankevon A ist was einen Widerspruch zur Annahme darstellt
2 A =x isin Q | x le 0 or x2 lt 2
B =
x isin Q | x gt 0 and x2 gt 2
Es gilt sup(A) =
radic2 inf(B) =
radic2 aber in K = Q besitzt A kein Supremum
bzw B kein Infimum
33
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
178 Aumlquivalente Formulierung der Vollstaumlndigkeit
Satz 172 Sei (K+ middot) ein angeordneter KoumlrperDann sind folgende Eigenschaften aumlquivalent
i) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Supremumin K
ii) Jede nicht-leere nach unten beschraumlnkte Teilmenge von K besitzt ein Infimumin K
iii) K ist vollstaumlndig dh jeder Dedekindrsquosche Schnitt von K besitzt eine Schnitt-zahl in K
Beweis Sei (K+ middot) also ein angeordneter Koumlrper
i)rArr ii) SeiA eine nach unten beschraumlnkte Teilmenge vonK Dann istB = minusa | a isin Aeine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Nach i) besitzt B demnach einSupremum dh existm isin K m = sup(B) Man rechnet leicht nach dass dannminusm = inf(A)minusm ist untere Schranke von A denn es gilt
m ge b forall b isin B hArr m ge minusa forall a isin AhArr minusm le a forall a isin A
minusm ist groumlszligte untere Schranke denn angenommen es gibt eine groumlszligere untereSchranke minust dh forall a isin A minust le a und minust gt minusm also forall a isin A t ge minusabzw forall b isin B t ge b und t lt m womit t eine untere Schranke von B waumlredie kleiner als m ist was ein Widerspruch dazu ist dass m das Supremum vonB ist
ii)rArr iii) Sei (AB) ein Dedekindrsquoscher Schnitt von K Dann ist also B 6= empty und a ltb forall a isin A b isin B dh insbesondere ist B nach unten beschraumlnkt Nach ii)existiert m = inf(B) in K dh zum einen m ist untere Schranke von B
m le b forall b isin B
Auszligerdem gilt a le m forall a isin A denn angenommen es gaumlbe ein a0 isin A mita0 gt m dann wuumlrde m lt a0 lt b fuumlr alle b isin B gelten was Widerspruch dazuist dass m die kleinste untere Schranke von B istDann ist aber m die gesuchte Schnittzahl von (AB)
iii)rArr i) Sei M eine nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge von K Betrachtedann
B = b isin K | b ge m forallm isinM
(Menge aller oberen Schranken von M )Da M nach oben beschraumlnkt ist ist B 6= emptyBetrachte dannA = K B Entweder hatM ein Maximum dass dann natuumlrlichauch obere Schranke ist und somit in B liegt Damit ist max(M)minus 1 in K aberdefinitiv nicht in B also max(M) minus 1 isin A und folglich ist A nicht-leer OderM hat kein Maximum dh B capM = empty also M sube A Wegen M 6= empty ist auchA 6= emptyWeiterhin gilt
ndash a lt b forall a isin A b isin B
34
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
ndash A cupB = K
dh (AB) ist ein Dedekindrsquoscher Schnitt Nach iii) besitzt (AB) eine Schnitt-zahl x0 in K fuumlr die gilt
a le x0 le b forall a isin A b isin B
Dann folgt aber sofort x0 = sup(M)
179 Archimedisches Axiom
Satz 173 N ist in R nicht nach oben beschraumlnkt dh fuumlr alle x isin R existiert einn isin N mit x lt n R heiszligt deshalb archimedisch angeordnet
Beweis durch WiderspruchAngenommen N waumlre eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R Da R vollstaumlndigexistiert dann s = sup(N) in RDann ist aber sminus 1 da kleiner als s keine obere Schranke von N dh existn isin N sodasss minus 1 lt n Daraus folgt aber unmittelbar s lt n + 1 isin N also kann s keine obereSchranke sein Widerspruch
1710 Folgerungen
Korollar (Satz des Eudoxos)Fuumlr alle a b isin R mit a b gt 0 existiert ein n isin N mit n middot a gt b Insbesondere gilt forall a isin R a gt 0 rArr existn isin N a gt 1
n (dh(
1n
)nisinN konvergiert
gegen 0)
Beweis Den Zusatz erhaumllt man wenn man b = 1 waumlhltExistenz von n im allgemeinen Fall Angenommen ein solches n existiert nicht dannwuumlrde gelten
n middot a le b
dh n le ba foralln isin N womit eine obere Schranke von N gefunden waumlre was ein
Widerspruch zum Archimedischen Axiom ist
Korollar Dichtheit der rationalen und der irrationalen Zahlen
i) Fuumlr alle a b isin R mit a lt b gibt es ein q isin Q mit a lt q lt b (bdquoQ ist dicht in Rldquo)
ii) forall a b isin R mit a lt b exist s isin R Q mit a lt s lt b
Beweis Fallunterscheidung
i) 1 Fall a lt 0 lt b trivial da q = 0 das gewuumlnschte leistet
2 Fall 0 lt a lt brArr bminus a gt 0Da R archimedisch angeordnet existn isin N mit bminus a gt 1
n hArr b gt a+ 1n
Archimedische Anordnung von R impliziert auch dass exist k isin N mit kn gt aBetrachte nun
M =k isin N | k
ngt a
sube N 6= empty
35
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Da N wohlgeordnet ist besitztM ein kleinstes Element k0 Nach Definitionvon M gilt dann k0
n gt a und weil k0 kleinstes Element von M ist
k0 minus 1n
le a
alsok0
nle a+
1nlt b
Zusammen also a lt k0n lt b
3 Fall a lt b lt 0 rArr 0 lt minusb lt minusa dann folgt aus 2 Fall exist q isin Q mitminusb lt q lt minusa also a lt minusq lt b Somit leistet minusq das Gewuumlnschte
bull Seien a b isin R mit a lt b Nach i) exist q1 q2 isin Q mit a lt q1 lt q2 lt b Dannleistet s = q1 + q2minusq1radic
2das Gewuumlnschte denn es gilt 0 lt q2minusq1radic
2lt q2 minus q1 also
a lt q1 lt q1 +q2 minus q1radic
2lt q1 + (q2 minus q1) = q2 lt b
1711 BemerkungenErgaumlnzungen
Bemerkung (Q+ middot PQ) ist ein angeordneter Koumlrper der nicht vollstaumlndig ist aberder sehr wohl archimedisch angeordnet ist (dh das Archimedische Axiom (N ist in Qnicht nach oben beschraumlnkt) erfuumlllt)
Beweis Zu zeigen ist forall q isin Q existn isin N n gt qWenn q le 1 dann leistet n = 1 das Gewuumlnschte Sei also q gt 1 Es ist q = k
l fuumlrgewisse k l isin N Dann gilt
k
lltk + 1lle k + 1
1= k + 1 isin N
Bemerkung Es gibt angeordnete Koumlrper die nicht archimedisch angeordnet sind zumBeispiel den Koumlrper der rationalen Funktionen (siehe Behrends oder Artikel zum The-ma)
Definition 120 (Konzept der Gleichmaumlchtigkeit von Mengen)Seien MN Mengen
i) M und N heiszligen gleichmaumlchtig (besitzen die gleiche Kardinalzahl) wenn eseine bijektive Abbildung zwischen M und N gibt Man schreibt dann M =N
ii) Ist M gleichmaumlchtig zu n isin N | 1 le n le k fuumlr ein k isin N dann heiszligt M end-lich und es ist M = k Man setzt empty = 0
iii) Ist M gleichmaumlchtig zu N dann heiszligt M abzaumlhlbar unendlich
iv) M heiszligt abzaumlhlbar wenn M endlich oder abzaumlhlbar unendlich ist Ansonstenheiszligt M uumlberabzaumlhlbar unendlich
36
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Satz Es gelten folgende Tatsachen
1 Teilmengen abzaumlhlbarer Mengen sind wieder abzaumlhlbar
2 Falls M und N abzaumlhlbare Mengen sind dann ist auch M timesN abzaumlhlbar
3 Abzaumlhlbare Vereinigungen von abzaumlhlbaren Mengen sind wieder abzaumlhlbar
4 Insbesondere ist Z ist abzaumlhlbar unendlich
5 Q ist abzaumlhlbar unendlich
6 R ist uumlberabzaumlhlbar
Beweis Hier nicht nur exemplarisch
1 SeiM abzaumlhlbarA subeM FallsA = empty oderA endlich dann ist nichts zu zeigenSei also A unendlich Dann ist notwendigerweise M abzaumlhlbar unendlich dhes existiert eine bijektive Abbildung f NrarrM Sei fminus1 M rarr N eine Umkehrabbildung von f Gesucht ist eine bijektive Abbildung
g Nrarr A
Konstruiere eine solche Funktion induktiv Betrachte dazu
N1 = n isin N | f(n) isin A sube N 6= empty
Nach dem Wohlordnungsprinzip besitztM ein kleinstes Element n1 Setze g(1) =f(n1)Angenommen g(1) g(k) fuumlr ein k isin N sind bereits definiert betrachte dann
Nk = n isin N | f(n) isin A fminus1(g(1)) fminus1(g(k))
sube N 6= empty
Diese besitzt dann wieder ein kleinstes Element nk+1 Setze dann g(k + 1) =f(nk+1)Damit ist g auf ganz N definiert g ist auszligerdem bijektivg ist injektiv durch die Definition der Mengen Nk g ist surjektiv denn fuumlr allea isin A gibt es ein m isin N mit f(m) = a Spaumltestens in Nm ist m nicht mehrenthalten was heiszligt dass einer natuumlrlichen Zahl durch g f(m) = a zugeordnetwurde
2 Es genuumlgt die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zeigen In Faumlllendiverser endlichen Mengen kann man dieses durch natuumlrliche Zahlen zu unendli-chen Mengen bdquoauffuumlllenldquo und spaumlter mit 1 argumentieren dass die Behauptungauch fuumlr diese endlichen Mengen giltWeil M und N abzaumlhlbar sind kann man die Element durchnummerieren dhM = mi | i isin N und N = nj | j isin NDann ist natuumlrlich eine Bijektion f M timesN rarr Ntimes N ist gegeben durch
f((mi nj)) = (i j)
Man definiert nun die Abbildung
τ Ntimes N 7rarr N t(nm) =12
(n+m+ 1) (n+m) + n
37
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Es handelt sich um die Abbildung hinter der Idee des 1 Cantorrsquoschen Diago-nalarguments
Im Folgenden wird gezeigt dass τ bijektiv ist
Fuumlr alle a isin N liefert τ(0 a) aufeinanderfolgend Dreieckszahlen
12
(0 + a+ 1) (0 + a) + 0 =a middot (a+ 1)
2
Fuumlr jede natuumlrliche Zahl l gibt es zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen d1 d2
mit d1 le l le d2 Das heiszligt man kann jedem l ein a zuweisen sodass gilt
τ(0 a) le l lt τ(0 a+ 1)
Diese Abbildung heiszlige d Nun gilt
τ(l minus τ(0 d(l)) d(l)minus (l minus τ(0 d(l))))
=12
[l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l))) + 1] [l minus τ(0 d(l)) + d(l)minus (l minus τ(0 d(l)))] + l minus τ(0 d(l))
=d(l) middot (d(l) + 1)
2+ l minus d(l) middot (d(l) + 1)
2= l
Man kann also jede natuumlrliche Zahl l mit τ erzeugen demnach ist die AbbildungsurjektivSeien (n1m1) (n2m2) mit (n1m1) 6= (n2m2)Wenn n1 +m1 6= n2 +m2 dann sei oBdA n1 +m1 gt n2 +m2 und es gilt
τ(n1m1)minus τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1 minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2)minus n2
=12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1)minus12
(n2 +m2 + 1) (n2 +m2) + n1 minus n2
Die Differenz der beiden Dreieckszahlen ist aber mindestens so groszlig wie n1 +m1 und aus n1 +m1 gt n2 +m2 folgt n1 +m1 gt n2 minus n1 also τ(n1m1)minusτ(n2m2) gt 0Also ist im Folgenden n1+m1 = n2+m2 Wennm1 6= m2 folgt aus n1+m1 =n2 +m2 dass n1 6= n2 Wenn n1 6= n2 dann sieht man leicht an
τ(n1m1) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n1
τ(n2m2) =12
(n1 +m1 + 1) (n1 +m1) + n2
38
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
dass τ(n1m1) 6= τ(n2m2) folgtDamit ist die Injektivitaumlt von τ gezeigt und zusammen mit dem Surjektivitaumlts-beweis die Bijektivitaumlt
Nun ist τ f eine Bijektion (τ f) M timesN rarr N also ist M timesN abzaumlhlbar
3 Auch hier genuumlgt es die Behauptung fuumlr abzaumlhlbar unendliche Mengen zu zei-genSeien Mi mit i isin I sube N die abzaumlhlbaren Mengen dann kann man schreibenMi = xij | j isin N Dann ist eine Bijektion f
⋃iisinIMi rarr N times N gegeben
durchf(xij) = (i j)
τ ist dieselbe Abbildung wie im letzten Unterpunkt Nun ist τ f eine Bijektionvon
⋃iisinIMi rarr N also ist die abzaumlhlbare Vereinigung von abzaumlhlbaren Mengen
wieder abzaumlhlbar
4 Z abzaumlhlbar unendlich da
f Nrarr Z
n 7rarr
n2 falls n geradenminus1
2 falls n ungerade
eine Bijektion istAlternativ N 0 und minusN sind abzaumlhlbar also ist auch N cup 0 cup minusN = Zabzaumlhlbar
5 SeiMi =zi | z isin Z
also die Menge aller rationalen Zahlen die sich als Bruch
mit Nenner i schreiben lassen fuumlr i isin N Die Mi sind natuumlrlich abzaumlhlbar (siehePunkt 4) also ist auch die Vereinigung aller dieser Mi abzaumlhlbar (Indexmengeist abzaumlhlbar) siehe Punkt 3 Es ist aber gerade⋃
iisinNMi =
⋃iisinN
zi| z isin Z
=zi| z isin Z i isin N
= Q
Also ist Q abzaumlhlbar
6 Angenommen R ist abzaumlhlbar unendlich Dann existiert eine bijektive (insbeson-dere surjektive) Abbildung f Nrarr RBezeichne mit an isin 1 9 die n-te Stelle nach dem Komma der Dezimal-entwicklung der Zahl f(n) fuumlr jedes n isin N Definiere dann
bn =
1 falls an 6= 13 falls an = 1
und betrachte dann die reelle Zahl
r = 0b1b2b3 bn
Angenommen r isin f(N) dann existiert k isin N mit r = f(k) Die k-te Stelle vonf(k) nach dem Komma ist ak und die k-te Stelle von r ist bk Wenn ak = 1dann bk 6= 1 wenn ak 6= 1 dann bk = 1 f(k) und r unterscheiden sich also ander k-ten Stelle koumlnnen also nicht gleich seinAlso ist r 6isin f(N) Damit ist aber f nicht surjektiv Widerspruch zur Vorausset-zung
39
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
18 Komplexe Zahlen181 Definition als Paare von reellen Zahlen
In den Hausaufgaben zum zweiten Uumlbungsblatt wurde gezeigt dass R2 = R times R mitden nachfolgend definierten Operationen oplus und ein Koumlrper ist
oplus R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((a+ c) (b+ d))
R2 times R2 rarr R2
((a b) (c d)) 7rarr ((acminus bd) (ad+ bc))
Dabei ist (0 0) die Koumlrper-Null und (1 0) die Koumlrper-Eins Man hat auszligerdem festge-stellt dass (
a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)das multiplikative Inverse von (a b) ist
182 Die imaginaumlre Einheit
Wie in Satz 141 festgestellt gilt in jedem angeordneten Koumlrper x2 gt 0 und im Be-sonderen 1 gt 0 also minus1 lt 0Fuumlr (0 1) isin R2 gilt aber
(0 1)2 = (0 1) (0 1) = (0 middot 0minus 1 middot 1 0 middot 1 + 1 middot 0) = (minus1 0) = minus(1 0)
Da (1 0) aber die Koumlrper-Eins ist und somit in einer Anordnung gleichzeitigminus(1 0) lt0 und (0 1)2 = minus(1 0) gt 0 gelten muumlsste kann (Roplus) nicht angeordnet werden
Diesem speziellen Element (0 1) gibt man einen spezielle Namen
(0 1) = i
heiszligt imaginaumlre Einheiti macht zwar die Anordnung von R2 unmoumlglich ist aber dafuumlr eine Loumlsung der Glei-chung z2 + 1 = 0 - die andere Loumlsung ist natuumlrlich minusi
Da jede Zahl (a b) isin R2 geschrieben werden kann als a middot (1 0)︸ ︷︷ ︸1
+ (0 1)︸ ︷︷ ︸i
middotb schreibt
man nuna+ i middot b = (a b) isin R2
183 Potenzen von i
Satz Fuumlr alle n isin N gilt
in =
1 falls n = 4mi falls n = 4m+ 1minus1 falls n = 4m+ 2minusi falls n = 4m+ 3
40
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
fuumlr ein m isin N
Beweis Es gilt
i0 = 1 i1 = i i2 = minus1 i3 = i2 middot i = (minus1) middot i = minusi
Damit folgt
i4m =(i4)m
=(i2 middot i2
)m= ((minus1) middot (minus1))m = 1m = 1
i4m+1 = i4m middot i = 1 middot i = i
i4m+2 = i4m middot i2 = 1 middot (minus1) = minus1
i4m+3 = i4m middot i3 = 1 middot (minusi) = minusi
184 Bezeichnungen
1a+ i middot b | a b isin R = C
bezeichnet man die bdquoMenge der komplexen Zahlenldquo
2 Ist a + i middot b isin C so nennen wir a = Re(a + i middot b) isin R den Realteil undb = Im(a+ i middot b) isin R den Imaginaumlrteil von a+ i middot b
3 Ist fuumlr ein z isin C der Imaginaumlrteil Im(z) = 0 so ist z isin R
185 Rechnen in der Menge der komplexen Zahlen
Mit der neuen Schreibweise kann man nun im (R2oplus) wie in R gewohnt rechnen
(a b)oplus (c d) = (a+ c b+ d) = (a+ c) + i(b+ d) = (a+ ib) + (c+ id)
(a b)(c d) = (acminusbd ad+bc) = (acminusbd)+i(ad+bc) = ac+imiddotad+imiddotbc+i2middotbd = (a+ib)middot(c+id)
186 Eigentliche Definition
Definition 121 (C+ middot) ist der Koumlrper der komplexen Zahlen In der neuen Schreib-weise ist
(0 0) = 0 + i middot 0 = 0
das Nullelement(1 0) = 1 + i middot 0 = 1
das Einselement und(a
a2 + b2minusb
a2 + b2
)=
a
a2 + b2+
minusba2 + b2
middot i
das multiplikative Inverse zu a+ ib
41
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
187 Beispiel
Seien z = 3 + 4i w = 5 + 2i dann ist
z + w = (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6iz middot w = (3 + 4i) middot (5 + 2i) = 15minus 8 + (6 + 20) middot i = 7 + 26i
188 Loumlsungen quadratischer Gleichungen
Sei y isin R y gt 0 dann folgt
z2 = y rArr z = plusmnradicy
bzw
z2 = minusy rArr z = plusmnradicminusy = plusmn
radic(minus1) middot y = plusmn
radicminus1 middot radicy = plusmni middot radicy
Dh jede Gleichung der Form z2 = y fuumlr y isin R y 6= 0 hat genau zwei Loumlsungen inder Menge der komplexen Zahlen
189 Konjugiert-komplexe Zahl
Definition 122 Ist z = a + bi so heiszligt z = a minus bi die zu z konjugiert-komplexeZahl
1810 Betrag
Definition 123 Sei z = a+ bi dann heiszligt
|middot| Crarr R
|z| =radicz middot z =
radica2 + b2
Betrag von z
1811 Eigenschaften
Es gilt
1 |z| = 0hArr z = 0 fuumlr z isin C
2 |z middot w| = |z| middot |w| fuumlr z w isin C
3 |z + w| le |z|+ |w| (Dreiecksungleichung) fuumlr z w isin C
1812 Abstandsfunktion
Definition 124 Analog zu der Situation in R definiert man eine durch den Betraginduzierte Abstandsfunktion d
d Ctimes Crarr Rd(z w) = |z minus w|
42
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
1813 Darstellung in der Gauszligrsquoschen Zahlenebene
43
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
2 Folgen und Reihen
21 Folgen211 Definition
Definition 21 Sei M eine nicht-leere Menge Eine Abbildung
f NrarrM
heiszligt eine Folge in M Man schreibt
(f(n))nisinN (fn)nisinN (fn)n (fn)
oder auch (f1 f2 f3 )
212 Beispiele
1 (2 4 8 16 ) = (2n)nisinN
f Nrarr Nn 7rarr 2n = f(n) = fn
fn heiszligt auch n-tes Folgenglied
2 ((minus1)n)nisinIN = (minus1 1minus1 )
3 (an)nisinN definiert (induktiv) durch
a1 = 1 an+1 =12
(an +
2an
)n isin N
dann ist (an) = (1 15 1 416 1 414215686274509804)
4 (an)nisinN definiert durch
a1 = minus1 a2 = 4 an+2 = minus2 middot (an + an+1) n isin N
dann ist (an) = (minus1 4minus6 4 4minus16 24 )
5 Eine Folge in C((1 +
i
n
)n)nisinN
=
(1 + i
(1 +
i
2
)2
(1 +
i
3
)3
)
a Nrarr C
n 7rarr(
1 +i
n
)n6 Eine Folge von Mengen
f Nrarr P(R)n 7rarr [minusn n] = x isin R | minus n le x le n
dh (fn)nisinN = ([minusn n])nisinN
44
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
7 Eine Folge von Abbildungen Sei M = A(RR)
f NrarrM
n 7rarr fn wobei fn Rrarr R mit x 7rarr xn
(fn)nisinN ist eine bdquoFunktionenfolgeldquo
Beispiele 1-4 sind reelle Zahlenfolgen dh Abbildungen von N nach R
213 Teilfolgen
Definition 22 Seien (an)nisinN (bk)kisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligt(bk)kisinN eine Teilfolge von (an)nisinN falls eine Abbildung ϕ Nrarr N existiert fuumlr diegilt
i) ϕ ist strikt monoton wachsend dh
forallmn isin Nm lt n ϕ(m) lt ϕ(n)
ii) bk = aϕ(k) fuumlr alle k isin N
Man schreibt oft einfach (bk)k = (aϕ(k))k = (ank)k wobei nk = ϕ(k) fuumlr alle k isin N
214 Beispiel(22kminus1
)kisinN ist Teilfolge von (2n)nisinN (und die Abbildung ϕ N rarr N ist definiert
durch ϕ(k) = 2k minus 1 forall k isin N)
215 Umordnung
Definition 23 Seien (an)nisinN (bn)nisinN zwei Folgen in einer Menge M Dann heiszligtdie Folge (bn) Umordnung der Folge (an) falls eine bijektive Abbildung ϕ Nrarr Nexistiert mit bn = aϕ(n) fuumlr alle n isin N
216 Beispiel
Sei (an)nisinN = (minus1)n)nisinN = (minus1 1minus1 1minus1 ) dann ist
(bn)nisinN = (minus1minus1 1 1minus1minus1 1 1 )
eine Umordnung von (an) wobei
ϕ Nrarr N
ϕ(n) =
n wenn n mod 4 = 0 or n mod 4 = 1n+ 1 wenn n mod 4 = 2nminus 1 wenn n mod 4 = 3
wie man durch Nachrechnen leicht zeigt die Umordnungfunktion ist dh es gilt (bn) =aϕ(n) fuumlr alle n isin N und ϕ ist bijektiv
45
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
217 Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
1 Moumlglichkeit durch Darstellung des GraphenBeispiel
(1n
)nisinN
2 Moumlglichkeit durch Darstellung des Bildes der FolgeBeispiel
(1n
)nisinN
Beispiel(1 + i
n
)n)nisinN
Sinnvoller Weise waumlhlt man hier die Darstellung des Bildes in der GauszligrsquoschenZahlenebene
46
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
22 KonvergenzIm Folgenden bezeichnet K = R oder C und |middot| Krarr R bezeichne die Betragsfunk-tion auf K = R oder C
221 Nullfolgen
Definition 24 Sei (an)nisinN eine Folge in KWir sagen (an)nisinN ist eine Nullfolge (oder auch (an)nisinN konvergiert gegen Null)wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an| lt ε foralln isin N n ge n0
222 Beispiele
1 (an)nisinN =(
1n
)nisinN ist eine Nullfolge
Beweis Sei ε isin R ε gt 0 dann folgt wegen der archimedischen Anordnung vonR die Existenz eines n0 isin N mit
1n0
lt ε
Da fuumlr n ge n0 gilt1nle 1n0
folgt damit sofort
|an| =1nlt ε foralln ge n0
2 (an)nisinN =(
1radicn
)nisinN
ist eine Nullfolge
47
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Beweis Sei ε gt 0 dann ist ε2 gt 0 Wegen der archimedischen Anordnung vonR existiert ein n0 isin N mit 1
n0lt ε2 Somit folgt fuumlr alle n ge n0
1nle 1n0
lt ε2
also|an| =
1radicnlt ε foralln ge n0
223 Allgemeine Konvergenz
Definition 25 Sei (an)nisinN eine Folge in K a isin K Man sagt (an) konvergiert gegena wenn (an minus a)nisinN eine Nullfolge ist dh wenn gilt
forall e gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln isin N n ge n0
Definition 26 Die Zahl a bezeichnet man in diesem Fall als Grenzwert oder Limesder Zahlenfolge (an)nisinNMan schreibt kurz
limnrarrinfin
an = a
oder an rarr a wenn nrarrinfin oder annrarrinfinminusrarr a
Definition 27 Man sagt dass eine Zahlenfolge (an)nisinN konvergent ist (bzw kon-vergiert) falls ein a isin K existiert sodass an gegen a konvergiert andernfalls heiszligt siedivergent
224 Beispiele
1 (an)nisinN = (a)nisinN fuumlr a isin K (konstante Zahlenfolge dh an = a foralln isin N)konvergiert gegen a
2 (an)nisinN = (1 + 1n )nisinN limnrarrinfin
(1 + 1
n
)= 1 denn (an minus 1) = ( 1
n ) ist eineNullfolge
225 Eindeutigkeit des Limes
Satz 221 (an)nisinN sube K a b isin KFalls an rarr a und an rarr b gilt dann folgt a = b Mit anderen WortenDer Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt
Beweis Angenommen a 6= b Setze ε = |bminusa|2 gt 0 Da an rarr a und an rarr b
existieren zu diesem ε
n0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
n1 isin N |an minus b| lt ε foralln ge n1
Dann gilt fuumlr alle n isin N mit n ge max n0 n1
|aminus b| = |aminus an + an minus b| le |aminus an|+ |an minus b| lt ε+ ε = |bminus a|
Widerspruch
48
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
226 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt
Satz 222 Konvergente Zahlenfolgen sind beschraumlnkt dh ist (an)nisinN sube K einekonvergente Folge dann existiert ein M ge 0 sodass |an| leM fuumlr alle n isin N
Beweis Sei (an)nisinN eine konvergente Zahlenfolge dh exist a isin K mit limnrarrinfin an = aSei ε = 1 dann existiert n0 isin N so dass |an minus a| lt 1 fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an| = |an minus a+ a| le |an minus a|+ |a| lt |a|+ 1 foralln ge n0
Waumlhle M = max |a1| |a2| |an0minus1| |a|+ 1 dann gilt |an| le M fuumlr alle n isinN
Folgerung Unbeschraumlnkte Folgen dh Folgen die nicht beschraumlnkt sind sind diver-gentBeispiele
1 (an)nisinN = (n)nisinN
2 (2n)nisinN
Aber die Umkehrung gilt nicht es gibt auch beschraumlnkte Folgen die divergent sindzum Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN
227 Konvergenzkriterien
Satz 223 Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge Dann gilt
i) Wenn (bn)nisinN sube K eine weitere Zahlenfolge und
|bn| le |an| foralln isin N
dann ist auch (bn)nisinN eine Nullfolge (bdquoMajorantenkriteriumldquo)
ii) Wenn (bn)nisinN sube K eine beschraumlnkte Zahlenfolge ist dann ist auch (an middot bn)nisinNeine Nullfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube K eine Nullfolge
i) Sei ε gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N mit |an| lt ε fuumlr alle n ge n0 Also|bn| le |an| lt ε foralln ge n0
ii) Nach Voraussetzung existiert ein M gt 0 |bn| le M fuumlr alle n isin N (FallM = 0 ist trivial denn dann ist bn = 0 also auch an middot bn = 0 fuumlr alle n isin N)Sei nun ε gt 0 gegeben dann setze ε = ε
M gt 0 Da an rarr 0 existiert ein n0 isin N|an| lt ε foralln ge n0 Damit folgt
|an middot bn| = |an| |bn| lt M middot ε = M middot εM
= ε foralln ge n0
also an middot bn rarr 0
49
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
228 Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen
Satz 224 Seien (an)nisinN (bn)nisinN konvergente Zahlenfolgen in K a = lim an b =lim bn Dann gilt
i) (an + bn)nisinN ist konvergent und
lim (an + bn) = lim an + lim bn = a+ b
ii) (an middot bn)nisinN ist konvergent und
lim (an middot bn) = lim an middot lim bn = a middot b
iii) Wenn bn 6= 0 foralln isin N b 6= 0 dann ist auch (an
bn)nisinN konvergent und
lim(anbn
)=
lim anlim bn
=a
b
Beweis Es wird jeweils gezeigt
i) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε2 und |bn minus b| lt ε
2 fuumlralle n ge n0 Dann folgt aber
|(an minus bn)minus (a+ b)| = |(an minus a) + (bn minus b)| le |an minus a|+|bn minus b| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
(an + bn) = (a+ b)
ii) Da (bn)nisinN konvergent ist ist (bn)nisinN beschraumlnkt dh es existiert M ge 0 sodass |bn| leM fuumlr alle n isin NSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |an minus a| lt ε
M+|a| und |bn minus b| ltε
M+|a| fuumlr alle n ge n0 Dann folgt
|an middot bn minus a middot b| = |(an minus a) middot bn + a middot (bn minus b)|le |(an minus a) middot bn|+ |a middot (bn minus b)|= |an minus a| middot |bn|+ |a| middot |bn minus b|
also
|an middot bn minus a middot b| ltε
M + |a|middotM + |a| middot ε
M + |a|= (M + |a|) middot ε
M + |a|= ε
fuumlr alle n ge n0Also gilt
limnrarrinfin
an middot bn = a middot b
Bemerkung Insbesondere gilt (c middot an)nisinN ist konvergent und limnrarrinfin c middot an =c middot a fuumlr alle c isin K
50
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
iii) Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N so dass |bn minus b| lt |b|22 middot ε und |bn minus a| lt
|b|2
Es gilt|b| = |bminus bn + bn| le |bminus bn|+ |bn|
also|b| minus |bn minus b| le |bn|
und damit
|bn| ge |b| minus |bminus bn| gt |b| minus|b|2
=|b|2
Somit folgt ∣∣∣∣ 1bnminus 1b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣bminus bnbn middot b
∣∣∣∣=
1|bn| middot |b|
middot |bminus bn|
lt1
|b|2 middot |b|
middot |b|2
2middot ε
=2|b|2middot |b|
2
2middot ε = ε
alsolimnrarrinfin
1bn
=1b
und zusammen mit an rarr a und ii) folgt
limnrarrinfin
anbn
=a
b
229 Konvergenz von Teilfolgen
Satz 225 Ist (ank)kisinN Teilfolge einer konvergenten Folge (an)nisinN sube K dann ist
auch (ank)kisinN konvergent und
limkrarrinfin
ank= limnrarrinfin
an
Beweis Es gelte an rarr a Sei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N mit
|an minus a| lt ε foralln ge n0
Waumlhle dann k0 isin N so dass nk ge nk0 ge n0 Damit folgt
|ankminus a| lt ε forall k ge k0
Satz Sei (an)nisinN sube K eine Folge Wenn jede Teilfolge (ank)kisinN eine gegen a kon-
vergente Teilfolge(ankl
)lisinN
besitzt dann konvergiert auch (an)nisinN gegen a
51
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Beweis Angenommen (an)nisinN sei nicht gegen a konvergent dh
exist ε gt 0 foralln isin N existn0 ge n |an0 minus a| gt ε
Definiere dann eine Teilfolge (ank)kisinN wie folgt induktiv
an1 = min n0 isin N | n0 ge 1 and |an0 minus a| gt εank+1 = min n0 isin N | n0 gt nk and |an0 minus a| gt ε
Fuumlr (ank)kisinN gilt dann
|ankminus a| gt ε forall k isin N (I)
Nach Voraussetzung gibt es aber eine Teilfolge(ankl
)lisinN
mit
exist l0 isin N forall l ge l0 ∣∣∣ankl
minus a∣∣∣ lt ε
dh zumindest gilt ∣∣∣ankl0minus a∣∣∣ lt ε
was (I) widerspricht
2210 Konvergenz in metrischen Raumlumen bdquofast alleldquo
1 Der Konvergenzbegriff kann auch fuumlr Folgen f N rarr M eingefuumlhrt wer-den wobei M 6= empty eine beliebige Menge ist vorausgesetzt es existiert ei-ne Abstandsfunktion (eine sogenannte Metrik) auf M dh ein Funktion d M timesM rarr R mit folgenden Eigenschaften
i) d(x y) = 0hArr x = y - Definitheit
ii) d(x y) = d(y x) - Symmetrie und
iii) d(x y) le d(x z) + d(z y) forallx y z isinM - Dreiecksungleichung
Es folgt dann
2d(x y) = d(x y) + d(x y) ii)= d(x y) + d(y x)iii)le d(x x) = 0
also d(x y) ge 0 fuumlr alle x y isinM
Konvergenz einer Folge (an)nisinN sube M gegen ein a isin M kann dann definiertwerden als
forall ε gt 0 existn0 isin N d(an a) foralln ge n0
Dann gelten die zu den Saumltzen 221 und 225 analogen Ergebnisse ersetzt manin den Saumltzen und Beweisen dazu K durch M und |xminus y| durch d(x y)Man kann auch Beschraumlnktheit definieren |an| leM wird ersetzt durch
existx isinM foralln d(x an) leM
52
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
2 Fuumlr das Konvergenzverhalten einer Folge kommt es nicht auf die ersten endlichvielen Folgenglieder anInsbesondere gilt Ist (an)nisinN sub K eine Folge und (bn)nisinN sube K eine weitereFolge mit der Eigenschaft dass an = bn fuumlr alle n ge n0 fuumlr ein gewisses n0 isin Ndann gilt (an)nisinN konvergiert lArrrArr (bn)nisinN konvergent und in diesem Fallgilt
limnrarrinfin
an = limnrarrinfin
bn
Folgende Sprechweise ist deshalb praktischEine AussageA(n) gilt fuumlr hinreichend groszlige n isin N (oder fuumlr fast alle n isin N)wenn ein n0 isin N existiert mit A(n) gilt fuumlr alle n ge n0
3 Es folgt offensichtlich aus der Bemerkung 2 dass die Bedingung |bn| le |an| foralln isinN im Majorantenkriterium ersetzt werden darf durch die schwaumlchere Bedingung|bn| le |an| fuumlr alle hinreichend groszligen n
2211 Konvergenz in den komplexen Zahlen
Satz 226 Sei (an)nisinN = (xn + i middot yn)nisinN sube C a = x+ i middot y isin C Dann gilt
limnrarrinfin
an = a
genau dann wennlimnrarrinfin
xn = x und limnrarrinfin
yn = y
in R konvergieren
Beweis
an rarr a hArr|an minus a| rarr 0 hArr
|an minus a|2 rarr 0 hArr
|xn + i middot yn minus (x+ i middot y)|2 rarr 0 hArr
|(xn minus x) + i middot (yn minus y)|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 + |yn minus y|2 rarr 0 hArr
|xn minus x|2 rarr 0 und |yn minus y|2 rarr 0 hArr|xn minus x| rarr 0 und |yn minus y| rarr 0 hArr
xn rarr x und yn rarr y
2212 Groumlszligenvergleich konvergenter Folgen
Zuruumlck zu R dort kann die Ordnungsstruktur ausgenutzt werden
Satz 227 Seien (an)nisinN (bn)nisinN sube R und es gelte
an le bn
fuumlr alle hinreichend groszligen nWenn an rarr a und bn rarr b dann gilt auch a le b
53
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Achtung Wenn an lt bn fuumlr alle hinreichend groszligen n dann folgt im Allgemeinennicht a lt bBeispiel (an)nisinN =
(minus 1n
)nisinN und (bn)nisinN =
(1n
)nisinN
Beweis Sei ε gt 0 Dann existiert n0 isin N mit |an minus a| lt ε und |bn minus b| lt ε fuumlr allen ge n0 Oder anders geschrieben
aminus ε lt an lt a+ ε und bminus ε lt bn lt b+ ε
Desweiteren existn1 isin N mitan le bn foralln ge n1
Setze dann n = max n0 n1 dann gilt
aminus ε lt an le bn lt b+ ε
fuumlr alle n ge nAlso ist
a lt b+ 2ε
fuumlr alle ε gt 0 also ist a le b
2213 Sandwich-Lemma
Lemma Seien (an)nisinN (bn)nisinN reelle Zahlenfolgen mit lim an = lim bn = a isin Rund (cn)nisinN sube R mit
an le cn le bnfuumlr fast alle n isin N Dann ist auch lim cn = a
Beweis Seien ε gt 0 und n1 isin N sodass an le cn le bn fuumlr fast alle n ge n1 Dann ist
0 le cn minus an le bn minus an foralln ge n1
Es gilt dann
|cn minus a| le |cn minus an|+ |an minus a| le |bn minus an|+ |an minus a|
fuumlr alle n ge n1Aus an rarr a folgt existn2 isin N |an minus a| lt ε
2 foralln ge n2Aus an rarr a und bn rarr a folgt bn minus an rarr 0 also existn3 isin N |an minus bn| lt ε
2 foralln gen3Setze n0 = max n1 n2 n3 dann gilt
|cn minus a| le |bn minus an|+ |an minus a| ltε
2+ε
2= ε
fuumlr alle n ge n0 also cn rarr a
54
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
2214 Beispiel
Sei
(xn)nisinN =
(nsumk=1
1radicn2 + k
)nisinN
Fuumlr alle n isin N gilt
n middot 1radicn2 + n
=nsumk=1
1radicn2 + n
lensumk=1
1radicn2 + k
lensumk=1
1radicn2
= n middot 1n
= 1
Weiterhin giltnradic
n2 + nge nradic
n2 + 2n+ 1=
n
n+ 1=
11 + 1
n
Damit gilt fuumlr alle n isin N1
1 + 1n
le xn le 1
Mit dem Sandwichlemma folgt
limnrarrinfin
11 + 1
n
le limnrarrinfin
xn le limnrarrinfin
1
woraus mit Hilfe der Grenzwertsaumltze folgt
1 le limnrarrinfin
xn le 1
also
limnrarrinfin
nsumk=1
1radicn2 + k
= 1
2215 Monotonie
Definition 28 Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wachsend (respektive mo-noton fallend) wenn
an le an+1 foralln isin N
respektivean ge an+1 foralln isin N
Eine Folge (an)nisinN sube R heiszligt monoton wenn sie monoton wachsend oder monotonfallend ist
2216 Monotone beschraumlnkte Folgen konvergieren
Satz 228 Jede monotone und beschraumlnkte Zahlenfolge in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN oBdA eine monoton wachsend und beschraumlnkt wenn (an)nisinNmonoton fallend ist betrachte (bn)nisinN = (minusan)nisinNDann ist an | n isin N eine nach oben beschraumlnkte Teilmenge von R und da R voll-staumlndig ist existiert a = sup an | n isin N isin RBehauptung an rarr a Das ist aumlquivalent zu
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus a| lt ε foralln ge n0
55
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Es gilt aber an le a foralln isin N Somit |an minus a| = aminus an foralln isin NDa (an)nisinN monoton wachsend gilt auch
aminus an le aminus an0 foralln ge n0
Es folgtan rarr ahArr forall ε gt 0 existn0 isin N aminus an0 lt ε
Angenommen (an)nisinN konvergiert nicht gegen a Dann existiert also ein ε gt 0 sodass fuumlr alle n isin N gilt aminus an ge ε dh
aminus ε ge an foralln isin N
was einen Widerspruch dazu darstellt dass a kleinste obere Schranke ist ((aminus ε) waumlredann eine kleinere obere Schranke)
Bemerkung Man kann zeigen dass aus diesem Satz das (Dedekind-)Vollstaumlndigkeitsaxiomalso die Vollstaumlndigkeit und Archimedische Anordnung von R folgt
2217 Existenz von monotonen Teilfolgen
Satz 229 Jede Folge (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfolge
Beweis Wir nennen ein Folgenglied an dominant oder Gipfelpunkt wenn
an ge aj forall j ge n
Dann gibt es fuumlr eine Folge (an)nisinN zwei Moumlglichkeiten
1 Fall (an)nisinN besitzt unendlich viele GipfelpunkteIn diesem Fall erhaumllt man durch Weglassen aller uumlbrigen Folgenglieder eine mo-noton fallende Teilfolge (ank
)kisinN die nur noch aus den Gipfelpunkten besteht
2 Fall (an)nisinN besitzt nur endlich viele Gipfelpunkte etwa ak1 ak2 akN
Keines der nachfolgenden Folgenglieder akN+1 akN+2 ist Gipfelpunkt dhaber dass zu jedem nachfolgenden Folgenglied ein nachfolgendes groumlszligeres Fol-genglied existiert So kann eine monoton wachsende Teilfolge konstruiert wer-den
2218 Satz von Bolzano-Weierstraszlig
Satz 2210 Jede beschraumlnkte Folge (an)nisinN sube R besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis Sei (an)nisinN sube R beschraumlnkt Nach Satz 229 besitzt diese eine monotoneTeilfolge (ank
)kisinN diese ist auch beschraumlnkt Nach Satz 228 ist sie also konvergent
Korollar Jede beschraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN isin C besitzt eine konvergente Teil-folge
56
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Beweis Wenn (an)nisinN beschraumlnkt ist dann sind auch die reellen Zahlenfolgen
(xn)nisinN = (Re(an))nisinN und (yn)nisinN = (Im(an))nisinN
beschraumlnkt Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig besitzt (xn)nisinN eine konvergenteTeilfolge etwa (xnk
)kisinN xnkrarr x in R
Mit (yn)nisinN ist aber auch die Teilfolge (ynk)kisinN beschraumlnkt und somit folgt nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraszlig die Existenz einer weiteren Teilfolge(ynkl
)lisinN
die in
R konvergiert also ynklrarr y in R
Da Teilfolgen von konvergenten Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren giltauch
xnklrarr x
Dann folgt aber sofortankl
= xnkl+ ynkl
rarr x+ y
dh(ankl
)lisinN
ist konvergente Teilfolge
2219 Cauchy-Folgen
Definition 29 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube K heiszligt Cauchy-Folge (oder Funda-mentalfolge) wenn gilt
forall ε gt 0 existn0 isin N |an minus am| lt ε forallnm isin N nm ge n0
2220 Konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen
Bemerkung Jede konvergente Zahlenfolge in K ist auch eine Cauchy-Folgen
Beweis Sei (an)nisinN isin K konvergent mit an rarr a fuumlr nrarrinfinSei ε gt 0 Dann existiert ein n0 isin N sodass |an minus a| lt ε
2 fuumlr alle n ge n0 Dann istaber fuumlr alle nm ge n0 auch
|an minus am| = |an minus a+ aminus am| le |an minus a|+ |aminus am| ltε
2+ε
2= ε
Dh (an)nisinN ist eine Cauchy-Folge
2221 Cauchy-Kriterium
Satz 2211 Jede Cauchy-Folge (an)nisinN in R ist konvergent
Beweis Sei (an)nisinN eine Cauchy-Folge
1 Schritt (an)nisinN ist dann beschraumlnktSei ε = 1 dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus am| lt 1 forallnm ge n0
insbesondere|an minus an0 | lt 1 foralln ge n0
Folglich ist
|an| le |an minus an0 |+ |an0 | le 1 + |an0 | foralln ge n0
57
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
und somit folgt mit
M = max |a1| |a2| an0minus1 1 + |an0 |
dass |an| leM foralln isin N
2 Schritt Nach Bolzano-Weierstraszlig besitzt (an)nisinN eine konvergente Teilfolge(ank
)kisinN mit ankrarr a fuumlr k rarrinfin
Sei ε gt 0 Da (an)nisinN Cauchy-Folge ist existiert ein n0 isin N mit
|an minus am| ltε
2forallnm ge n0
Da ankrarr a existiert ein k0 isin N mit
|ankminus a| lt ε
2forall k ge k0
Waumlhle nun k isin N k ge k0 mit nk ge n0 Dann gilt fuumlr alle n ge n0
|an minus a| le |an minus ank|+ |ank
minus a| lt ε
2+ε
2= ε
dh aber gerade dass an rarr a fuumlr nrarrinfin
2222 Beispiel
Sei (an)nisinN wie folgt induktiv definiert
a0 = 1 a1 =12 an+1 =
11 + an
n isin N
Es wird gezeigt
limnrarrinfin
an =radic
5minus 12
=
(1 +radic
52
)minus1
Dazu wird jeweils gezeigt
1 12 le an le 1 fuumlr alle n isin NInduktionsanfang n = 1
12le 1
2= an =
12le 1 X
Sei 12 le an le 1 fuumlr ein n isin N gezeigt dann gilt einerseits
an+1 =1
1 + anle 1
1= 1
und andererseitsan+1 =
11 + an
ge 11 + 1
=12
also 12 le an+1 le 1
58
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
2 an+k liegt fuumlr alle k isin N zwischen an und an+1 dh
an le an+k le an+1 or an+1 le an+k le an
Beweis durch vollstaumlndige Induktion
(a) Wir zeigen an+2 liegt zwischen an und an+1
(b) Wir zeigen Wenn an+k zwischen an und an+1 liegt gilt dasselbe fuumlran+k+1
(a) wird wiederum per vollstaumlndiger Induktion bewiesenInduktionsanfang n = 1
a1 =12 a2 =
23 a3 =
35rArr a1 le a3 le a2
Sei nun an le an+2 le an+1︸ ︷︷ ︸I
oder an+1 le an+2 le an︸ ︷︷ ︸II
fuumlr ein n isin N Dann
ist zu zeigen
an+1 le an+3 le an+2 or an+2 le an+3 le an+1
Gilt I dann folgt
an+3 =1
1 + an+2ge 1
1 + an+1= an+2
undan+3 =
11 + an+2
le 11 + an
= an+1
alsoan+2 le an+3 le an+1
Gilt II dann folgt mit analoger Argumentation
an+1 le an+3 le an+2
(b) wird mit vollstaumlndiger Induktion uumlber k bewiesenInduktionsanfang k = 1 klar k = 2 wurde in (a) bewiesen k = 3 Istan le an+2 le an+1 so folgt aus (a)
an+2 le an+3 le an+1
Aus beiden Ungleichungen folgt an le an+2 le an+3 le an+1Induktionsschritt Fuumlr k ge 3 gelte an+k und an+kminus1 liegen zwischen anund (an+1Zu zeigen ist an le an+k+1 le an+1 oder an+1 le an+k+1 le anSchreibt man
an+k+1 = a(n+kminus1)+2 an+k = a(n+kminus1)+1
dann folgt aus (a)
an+kminus1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+1 = an+k
59
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
oder
an+k le a(n+kminus1)+2 = an+k+1 le a(n+kminus1)+2 = an+k+1
Angenommen es gilt an le an+k le an+1 und an le an+kminus1 le an+1 (dieanderen drei Faumlllen verlaufen analog) dann folgt
an le an+kminus1 le an+k+1 le an+k le an+1
Aus (a) und (b) folgt an+k liegt fuumlr jedes n isin N und k isin N zwischen an undan+1
3 Es gilt |an minus an+1| le(
49
)nminus1 foralln isin NInduktionsanfang n = 1
|a1 minus a2| = 1minus 12
=12le(
49
)0
= 1
Induktionsschritt Fuumlr ein n isin N gelte |an minus an+1| le(
49
)nminus1 Es gilt
|an+1 minus an+2| =∣∣∣∣ 11 + an
minus 11 + an+1
∣∣∣∣=∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + an) middot (1 + an+1)
∣∣∣∣le∣∣∣∣ an minus an+1
(1 + 12 ) middot (1 + 1
2
)∣∣∣∣
=(
23
)2
|an minus an+1|
le 49
(49
)nminus1
=(
49
)n4 (an) ist Cauchy-Folge Sei ε gt 0
Dann existiert ein n0 isin N sodass
|an minus an+1| lt ε foralln ge n0
(nach 3)Seien mn isin N mn ge n0 und m gt n also m = n + k fuumlr ein k isin N Dannist am = an+k fuumlr geeignetes k isin N Nach 2 liegt am zwischen an und an+1
|am minus an| le |an+1 minus an| lt ε foralln ge n0
also ist (an)nisinN Cauchy-Folge
5 (an)nisinN ist Cauchy-Folge also existiert a = lim an Dann gilt
a = limnrarrinfin
an+1 = limnrarrinfin
11 + an
=1
1 + a
60
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Umgestellta2 + aminus 1 = 0
Daraus erhaumllt man als moumlgliche Loumlsungen
a12 =plusmnradic
5minus 12
Die negative Loumlsung entfaumlllt wegen an ge 12 forall n isin N also gilt
a =radic
5minus 12
2223 Cauchy-Vollstaumlndigkeit
Bemerkung Man kann zeigen dass das (Dedekindrsquosche-)Vollstaumlndigkeitsaxiom (in ar-chimedisch angeordneten Koumlrpern) aumlquivalent zum Cauchy-Kriterium ist Dh in ei-nem archimedisch angeordneten Koumlrper (K+ middot P ) sind aumlquivalent
i) K ist (Dedekind-)vollstaumlndig
ii) Jede nicht-leere nach oben beschraumlnkte Teilmenge M isin K besitzt ein Supre-mum
iii) Jede Cauchy-Folge in K ist konvergent
iv) Es gilt das IntervallschachtelungsprinzipWenn (an)nisinN eine monoton wachsende und (bn)nisinN monoton fallende Zahlen-folgen in K sind mit
an le bn foralln isin N
undbn minus an rarr 0
dann existiert genau ein x0 isin K mit an le x0 le bn foralln isin N dh es gilt⋂nisinN
[an bn] = x0
Beweis ii)rArr iv)EindeutigkeitAngenommen es existiert x0 x1 isin Kx0 6= x1 oBdA x0 lt x1 mit an le x0 ltx1 le bn foralln isin N Dann folgt 0 lt x1 minus x0 le bn minus an foralln isin N also folgtx1 minus x0 = 0 nach Majorantenkriterium was einen Widerspruch zu x0 6= x1 darstelltExistenzBetrachte die Menge
D = x isin K | existn isin N an ge x
Dann gilt D 6= empty da alle an isin D und D ist nach oben durch jedes bn beschraumlnkt NachVoraussetzung ii) existiert x0 = supD Man uumlberpruumlft dann leicht
an le x0 le bn foralln isin N
61
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
2224 Komplexe Cauchy-Folgen konvergieren
Als Folgerung von Satz 226 erhaumllt man
Korollar Jede Cauchy-Folge (an)nisinN sube C ist konvergent
Beweis (an)nisinN sube C Cauchy-Folge impliziert dass Re(an) und Im(an) Cauchy-Folgen in R sind denn es gilt
|Re(an)minus Re(am)| = |Re(an minus am)| le |an minus am| lt ε forallnm ge n0
analoges fuumlr die Imaginaumlrteile und somit folgt die Behauptung aus Satz 226
Bemerkung Wie bei der Konvergenz kann man auch allgemein auf metrischen Raumlu-men Cauchy-Folgen definieren Konvergieren in einem metrischen Raum alle Cauchy-Folgen so ist der Raum vollstaumlndig
2225 Erweiterte reelle Zahlengerade
R oder auch R wird definiert als
R = R cup +infin cup minusinfin
Ordnung Definiere dann wie folgt eine Ordnung auf R
x le y lArrrArr x y isin R und x le y oder x = minusinfin oder x = +infin
Rechenregeln in R
bull x+ (+infin) = (+infin) + x = +infin forallx isin Rx+ (minusinfin) = (minusinfin) + x = minusinfin forallx isin R
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = +infin forallx gt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = minusinfin forallx gt 0
bull x middot (+infin) = (+infin) middot x = minusinfin forallx lt 0x middot (minusinfin) = (minusinfin) middot x = +infin forallx lt 0
bull (+infin) + (+infin) = +infin(minusinfin) + (minusinfin) = minusinfin
bull (+infin) middot (+infin) = +infin(+infin) middot (minusinfin) = (minusinfin) middot (+infin) = minusinfin(minusinfin) middot (minusinfin) = +infin
Achtung 0 middot (plusmninfin) (plusmninfin) middot 0 (minusinfin) + (+infin) sind nicht definiert Insbesondere ist(R+ middot) keine Koumlrper
2226 Supremum und Infimum unbeschraumlnkter Mengen
Man setzt nun
bull Falls M sube R die nicht nach oben beschraumlnkt ist dann sei supM = +infin
bull Falls M sube R die nicht nach unten beschraumlnkt ist dann sei infM = minusinfin
bull Des weiteren sup empty = minusinfin und inf empty = +infin
62
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
2227 Bestimmte Divergenz
Definition 210 Eine Zahlenfolge (an)nisinN sube R heiszligt bestimmt divergent (oder auchuneigentlich konvergent) gegen +infin respektive minusinfin wenn gilt
forallK isin R existn0 isin N an ge K foralln ge n0
bzwforallK isin R existn0 isin N an le K foralln ge n0
Man schreibt dannlimnrarrinfin
an = +infin limnrarrinfin
an = minusinfin
oder ebenan rarr +infin an rarr minusinfin
Man bezeichnet dann +infin (respektive minusinfin) auch als uneigentlichen Grenzwert derFolge
2228 Beispiel
(an)nisinN =(n2)nisinN lim an = +infin
2229 Regeln fuumlr bestimmt divergente Folgen
1 Ist etwa (an)nisinN sube R an rarrinfin dann gilt
(c middot an)nisinN =
+infin falls c gt 00 falls c = 0minusinfin falls c lt 0
2 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr +infin dann auch
an middot bn rarr +infin an + bn rarr +infin
3 Wenn (an)nisinN (bn)nisinN sube R an rarr +infin bn rarr minusinfin dann auch
an middot bn rarr minusinfin
Achtung Uumlber das Konvergenzverhalten der Summenfolge (an + bn)nisinN kannin diesem Fall nichts ausgesagt werden Betrachte
bull (an)nisinN =(n2)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = n2 minus n = n middot (nminus 1)rarr +infin
bull andererseits (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN =(minusn2
)nisinN dann ist
an + bn = nminus n2 = n middot (1minus n)rarr minusinfin
bull oder gar (an)nisinN = (n)nisinN (bn)nisinN = (minusn)nisinN dann ist
an + bn = nminus n = 0rarr 0
63
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
2230 Supremum und Infimum auf der erweiterten Zahlengerade
Bemerkung Jede Teilmenge A sube R besitzt ein Supremum und ein Infimum
bull A = empty rArr supA = minusinfin
bull A = plusmninfin rArr supA = plusmninfin
bull Falls +infin isin A oder A sube R cup +infin nicht nach oben beschraumlnkt durch einr isin R dann ist supA = +infin
bull wenn A in R nach oben beschraumlnkt dann supA isin R
bull analoges fuumlr das Infimum
2231 Monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolgen divergieren bestimmt
Bemerkung Jede monotone unbeschraumlnkte Zahlenfolge ist uneigentlich konvergent
Beweis Sei (an)nisinN sube R unbeschraumlnkt und oBdA monoton wachsend Sei K isin Rgegeben Weil (an) unbeschraumlnkt ist gibt es ein n0 isin N mit an0 ge K Weil (an)monoton wachsend ist gilt wie man induktiv zeigt an ge K fuumlr alle n ge n0 also ist(an) bestimmt divergent gegen +infin
2232 Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt eine Teilfolge die entweder kon-vergent oder uneigentlich konvergent ist
Beweis (an)nisinN besitzt eine monotone Teilfogle (ank)nisinN k Diese ist entweder be-
schraumlnkt und damit konvergent oder aber (ank)nisinN k ist unbeschraumlnkt und dann ist
(ank)nisinN k nach der letzten Bemerkung uneigentlich konvergent gegen +infin oderminusinfin
23 Haumlufungspunkte Limes Superior Limes Inferior231 Haumlufungspunkte
Definition 211 Eine Zahl a isin K heiszligt Haumlufungspunkt (HP) einer Folge (an)nisinN subeK wenn eine Teilfolge (ank
)kisinN existiert mit ankrarr a
232 Beispiele
1 (an)nisinN = ((minus1)n)nisinN hat zwei Haumlufungspunkte minus1 und 1
2 Ist (an)nisinN eine konvergente Folge etwa an rarr a isin K dann besitzt (an)nisinNals einzigen Haumlufungspunkt a
64
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
233 Charakteriserung von Haumlufungspunkten
Satz 231 Sei (an)nisinN sube K a isin K a ist Haumlufungspunkt von (an)nisinN lArrrArr
forall ε gt 0 forallm isin N existn ge m |an minus a| lt ε
Beweis Sei (an)nisinN sube K a isin K
rArr Sei a Haumlufungspunkt von (an)nisinN dann existiert eine Teilfolge (ank)kisinN mit
ankrarr a
Sei ε gt 0 Es existiert dann ein k0 isin N mit |ankminus a| lt ε forall k ge k0
Sei nun m isin N Da nk rarr infin existiert ein k1 ge k0 mit nk1 ge m sodass alsogilt ∣∣ank1
minus a∣∣ lt ε
lArr Konstruiere induktiv eine Teilfolge (ank)kisinN die gegen a konvergiert
Zu ε = 12 m = 2 waumlhle gemaumlszlig der Charakterisierung ein n1 ge 2 sodass
|an1 minus a| lt 12
Wenn nun schon an1 an2 anlkonstruiert sind dann waumlhle zu ε = 1
2l+1 m = nl+1 gemaumlszlig der Charakterisierung ein nl+1 ge mmit
∣∣anl+1 minus a∣∣ lt 1
2l+1 Da 1
2l+1 rarr 0 fuumlr lrarrinfin folgt ankrarr a
234 Alternative Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraszlig
Bemerkung Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraszlig (Satz 2210) besitzt jede be-schraumlnkte Zahlenfolge (an)nisinN sube R mindestens einen Haumlufungspunkt (analog fuumlrbeschraumlnkte Zahlenfolgen in C)
235 Uneigentliche Haumlufungspunkte
Definition 212 Sei (an)nisinN sube R+infin (bzw minusinfin) heiszligt uneigentlicher Haumlufungspunkt von (an)nisinN wenn es eineTeilfolge (ank
)nisinN k die gegen +infin (bzw minusinfin) konvergiert
236 Limes Superior und Limes inferior
Bemerkung Jede Zahlenfolge (an)nisinN sube R besitzt mindestens einen eventuell unei-gentlichen Haumlufungspunkt in R Mit anderen WortenBezeichnet4(an)nisinN
die Menge aller - eventuell uneigentlichen - Haumlufungspunkte von(an)nisinN dann gilt4(an)nisinN
6= empty in R
Definition 213 Sei (an)nisinN sube RDer Limes Superior von (an)nisinN ist definiert als
lim supnrarrinfin
an = limnrarrinfin
an = sup4(an)nisinN
und der Limes Superior von (an)nisinN als
lim infnrarrinfin
an = limnrarrinfinan = inf4(an)nisinN
65
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
237 Beispiel
(an)nisinN = ((minus1)n)nisinN 4(an)nisinN= minus1 1 dann ist
lim supnrarrinfin
an = +1
groumlszligter Haumlufungspunkt undlim infnrarrinfin
an = minus1
kleinster Haumlufungspunkt von (an)nisinN
238 Eigenschaften von Limes Superior und Limes Inferior
Satz 232 Sei (an)nisinN sube R Dann gilt
i) Ist alowast = lim sup an isin R dann ist alowast der groumlszligte Haumlufungspunkt von (an)nisinN
ii) Ist alowast = lim inf an isin R dann ist alowast der kleinste Haumlufungspunkt von (an)nisinN
iii) an rarr a isin R lArrrArr lim sup an = lim inf an = a
Beweis Sei (an)nisinN sube R
i) Zu zeigen alowast ist ein Haumlufungspunkt von (an)nisinN denn dann ist
alowast = lim sup an = sup4(an)nisinN= max4(an)nisinN
Konstruiere dazu eine Teilfolge (akn)nisinN von (an)nisinN mit akn
rarr alowastZu ε1 = 1
2 gilt alowast minus 12 ist keine obere Schranke von 4(an)nisinN
dh es existiertein Haumlufungspunkt d1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12lt d1 lt alowast +
12
Da d1 Haumlufungspunkt ist existiert eine Teilfolge(aϕ1(n)
)nisinN von (an)nisinN so-
dass aϕ1(n) rarr d1 Insbesondere folgt dass ein n1 isin N existiert sodass
alowast minus 12lt aϕ1(n) lt alowast +
12foralln ge n1
Setze ak1 = aϕ1(n1)Wenn bereits ak1 akl
definiert sind dann stelle fest dass zu εl+1 = 12l+1
alowast minus 12l+1 keine obere Schranke von 4(an)nisinN
ist Also existiert ein Haumlufungs-punkt dl+1 von (an)nisinN mit
alowast minus 12l+1
lt dl+1 lt alowast +1
2l+1
Ist(aϕl+1(n)
)nisinN eine gegen dl+1 konvergente Teilfolge von (an)nisinN dann
existiert ein nl+1 isin N mit ϕl+1(nl+1) gt ϕl(nl) und
alowast minus 12l+1
lt aϕl+1(n) lt alowast +1
2l+1foralln ge nl+1
Setze dann kl+1 = ϕl+1(nl+1) dh akl+1 = aϕl+1(nl+1)Es folgt
|aklminus alowast| lt 1
2lforall l isin N
dh aklrarr alowast
66
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
ii) Folgt analog
iii) Ist an rarr a isin R dann ist 4(an)nisinN= a da dann auch jede Teilfolge von
(an)nisinN gegen a konvergiert Damit ist lim supnrarrinfin an = lim infnrarrinfin an = aIst andererseits lim sup an = a isin R dann folgt
an lt a+ ε
fuumlr fast alle n isin NUnd lim inf an = a isin R dann folgt
an gt aminus ε
fuumlr fast alle n isin N Zusammen also
aminus ε lt an lt a+ ε
oder anders ausgedruumlckt|an minus a| lt ε
fuumlr fast alle n isin N also an rarr a
24 Unendliche Reihen241 Definition
Definition 214 Sei (an)nisinN sube K ein Folge Fuumlr n isin N bezeichne
Sn =nsumk=1
ak = a1 + a2 + + an
die n-te Partialsumme der sogenannten unendlichen Reihe
infinsumk=1
ak
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt konvergent falls die Folge ihrer Partialsummen (Sn)nisinN kon-
vergiert und in diesem Fall schreibt man
infinsumk=1
ak = limnrarrinfin
Sn
und bezeichnetinfinsumk=1
an als Summe der Reihe
Bemerkung Das Symbolinfinsumk=1
ak hat also zwei Bedeutungen
1 der Name der Folge der Partialsummen und
2 der Wert der Summe der Reihe im Falle der Konvergenz
67
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Die Reiheinfinsumk=1
ak heiszligt divergent wenn die Folge der Partialsummen (Sn)nisinN di-
vergiertFalls
limnrarrinfin
Sn = +infin oder limnrarrinfin
Sn = minusinfin
dann heiszligt die Reiheinfinsumk=1
ak bestimmt divergent (uneigentlich konvergent) und man
schreibt dann auch
infinsumk=1
ak = +infin bzwinfinsumk=1
ak = minusinfin
Im Falle von (an)ngep = (ap ap+1 ) p isin N0 uumlbertragen sich die entsprechendeBegriffe auf die unendliche Reihe
infinsumk=p
ak
242 Beispiel
Die Reiheinfinsumk=0
qk q isin C
heiszligt geometrische ReiheEs gilt
Sn =nsumk=0
qk =
1minusqn+1
1minusq falls q 6= 1n+ 1 falls q = 1
fuumlr alle n isin NDamit folgt
infinsumk=0
qk konvergent lArrrArr |q| lt 1
und in diesem Fall istinfinsumk=0
qk =1
1minus q
Fuumlr |q| ge 1 istinfinsumk=0
qk divergent
Fuumlr q = 1 istinfinsumk=0
qk bestimmt divergent gegen +infin fuumlr q = minus1 entsprechend be-
stimmt divergent gegen minusinfin
243 Eigenschaften von unendlichen Reihen
Bemerkung Viele Eigenschaften von Folgen uumlbertragen sich auf unendliche Reihen
68
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
1 Die Reiheninfinsumk=1
ak undinfinsumk=p
ak p isin N haben das gleiche Konvergenzverhalten
und im Falle der Konvergenz gilt
infinsumk=1
ak = (a1 + + apminus1) +infinsumk=p
ak
2 Durch das Abaumlndern von endlich vielen Folgengliedern an aumlndert sich das Kon-
vergenzverhalten der Reiheinfinsumk=1
ak nicht allerdings aumlndert sich im Falle der Kon-
vergenz eventuell der Wert der Summe der Reihe
3 Aus den Rechenregeln fuumlr konvergente Folgen ergeben sich die Rechenregelnfuumlr konvergente Reihen
bull Sindinfinsumk=1
akinfinsumk=1
bk ((ak)nisinN (bk)nisinN sube K) konvergent so ist auch
infinsumk=1
(ak + bk)
konvergent und es ist
infinsumk=1
(ak + bk) =
( infinsumk=1
ak
)+
( infinsumk=1
bk
)
bull Wenninfinsumk=1
ak konvergent c isin K dann ist auchinfinsumk=1
(c middot ak) konvergent und
es istinfinsumk=1
(c middot ak) = c middotinfinsumk=1
ak
244 Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Aus den bekannten Ergebnissen fuumlr Folgen folgt auch sofort
Satz 241 Sei (an)nisinN sube K Dann giltinfinsumk=1
an konvergiert genau dann wenn
forall ε gt 0 existn0 isin N
∣∣∣∣∣nsum
k=m
ak
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n0
Beweisinfinsumk=1
ak konvergiert genau dann wenn die Folge der Partialsummen
(Sn)nisinN =
(nsumk=1
ak
)nisinN
eine Cauchy-Folge ist
69
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
245 Beispiel
Die unendliche Reiheinfinsumn=1
1n
heiszligt harmonische Reihe
(Sn)nisinN =
( infinsumn=1
1n
)nisinN
=(
1 +12
+13
+ +1n
)nisinN
ist divergent da fuumlr alle n isin N gilt
|S2n minus Sn| =12n
+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
2nminus 1+ +
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 2+
gt 12n︷ ︸︸ ︷1
n+ 1︸ ︷︷ ︸n Summanden
ge n middot 12n
=12
und somit ist (Sn) keine Cauchy-Folge und folglich nicht konvergent
246 Notwendiges Kriterium fuumlr Reihenkonvergenz
Aus dem Cauchy-Kriterium folgt leicht folgendes notwendiges Kriterium fuumlr die Kon-vergenz einer Reihe
Satz 242 Sei (an)nisinN isin K Istinfinsumk=1
ak konvergent so ist limnrarrinfin
an = 0
(Ist (an)nisinN keine Nullfolge dann ist die Reiheinfinsumk=1
ak divergent)
Beweis Waumlhle n = m im Cauchy-Kriterium fuumlr Reihen
Bemerkung Die Bedingung lim an = 0 ist keine hinreichende Bedingung fuumlr die Kon-vergenz der Reihe wie man am Beispiel der harmonischen Reihe sieht
247 Konvergenzkriterien fuumlr Reihen
Satz 243 (Majorantenkriterium)Seien (an)nisinN sube K (bn)nisinN sube R Gilt
|an| le bn fuumlr fast alle n isin N
und istinfinsumn=1
bn konvergent so konvergieren auch die Reihen
infinsumn=1
|an| undinfinsumn=1
an
Insbesondere folgt aus der Konvergenz der Reiheinfinsumn=1|an| die Konvergenz der Reihe
infinsumn=1
an
70
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
Beweis Nach Voraussetzung existiert ein n0 isin N mit |an| le bn
Dainfinsumn=1
bn konvergiert existiert fuumlr ε gt 0 ein n1 isin N sodass
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε foralln ge m ge n1
Folglich gilt fuumlr alle nm ge max n0 n1
nsumk=m
ak lensum
k=m
|ak| =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
|ak|
∣∣∣∣∣ lensum
k=m
bk =
∣∣∣∣∣nsum
k=m
bk
∣∣∣∣∣ lt ε
Somit erfuumllleninfinsumn=1
an undinfinsumn=1|an| das Cauchy-Kriterium und sind folglich konver-
gentDer Zusatz folgt mit bn = |an|
Bemerkung Aus der Ungleichung
nsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣nsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ lensumk=1
|ak| foralln isin N
folgt sofort im Falle der Konvergenz
infinsumk=1
ak le
∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak|
und wenn |an| le bn fuumlr alle n isin N gilt dann auch∣∣∣∣∣infinsumk=1
ak
∣∣∣∣∣ leinfinsumk=1
|ak| leinfinsumk=1
bk
248 Beispiel
infinsumk=1
1k2
= 1 +infinsumk=2
1k2
konvergiert da man fuumlr k ge 2 abschaumltzt
1k2le 1k middot (k minus 1)
=1
k minus 1minus 1k
und die Reiheinfinsumk=1
(1
k minus 1minus 1k
)
71
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
konvergiert da
Sn =nsumk=2
(1
k minus 1minus 1k
)
=nsumk=2
1k minus 1
minusnsumk=2
1k
=nminus1sumk=1
1kminus
nsumk=2
1k
=11minus 1nrarr 1 =
infinsumk=2
1k middot (k minus 1)
Nach Majorantenkriterium konvergiertinfinsumk=1
1k2 und es gilt
infinsumk=1
1k2le 1 +
infinsumk=1
1k middot (k minus 1)
249 Wurzelkriterium
Satz 244 Sei (an)nisinN sube K
1 Ist lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 dann ist
infinsumk=1
|an| (und somit auchinfinsumn=1
an) konvergent
2 Ist nradic|an| ge 1 fuumlr unendlich viele n isin N dann ist
infinsumn=1
an (und somit auchinfinsumn=1|an|) divergent
Beweis Sei (an)nisinN sube K
1 Bemerke lim supnrarrinfin
nradic|an| lt 1 ist aumlquivalent zu
exist 0 lt q lt 1 nradic|an| lt q fuumlr fast alle n isin N
dh es existiert ein n0 isin N mit nradic|an| lt q fuumlr alle n ge n0 Das ist aumlquivalent
zu|an| lt qn foralln ge n0
Dainfinsumn=0
qn konvergiert (da 0 lt q lt 1) folgt die Konvergenz vonsum|an|
suman
mit dem Majorantenkriterium
2 Aus der Voraussetzung folgt |an| ge 1 fuumlr unendlich viele n also ist (an)nisinNkeine Nullfolge also ist
suman divergent
72
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73
2410 Quotientenkriterium
Sei (an)nisinN sube K an 6= 0 foralln isin N
1 Ist lim supnrarrinfin
∣∣∣an+1an
∣∣∣ lt 1 dann istinfinsumn=1|an| (somit auch
infinsumn=1
an) konvergent
2 Gilt∣∣∣an+1an
∣∣∣ ge 1 fuumlr fast alle n isin N dann istinfinsumn=1
(also auchinfinsumn=1|an|) divergent
3 Bildquellenbull httpdewikipediaorgwikiBildInjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildSurjektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpdewikipediaorgwikiBildBijektivitC3A4t_Mengenwolkepng
bull httpenwikipediaorgwikiImageCompfunpng
bull httpenwikipediaorgwikiImagePairing_naturalsvg
Alle weiteren Bilder erstellt mit GeoGebra und dem GIMP
73