analytical solution_dynamic response

8/7/2019 analytical solution_dynamic response

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A p p l i e d - M a ! ~ h e n l a t i c s a n d M e c h a n i c s( E n g l i s h E d i t i o n , V o l . 1 5 , N o . 5 , M a y 1 9 9 4 ) P u b l i s h e d b y S U T ,S h a n g h a i , C h i n a

T H E G E N E R A L S O L U T IO N F O R D Y N A M IC R E S P O N S E O F N O N H O M O G E N E O U SB E A M W I T H V A R I A B L E C R O S S S E C T IO N *

J i Zh en -y i (~ , -J~ Y.)( A n h u i A r c h i t e c t u r a l I n d u s t o ' C o l h . ge , H e f e i )

Yeh Ka i -yuan ( l a~-~ .~ . )( L a n z h o u U n i v e r s i t y , L a n z h o u )

(Received May 21, 1992)A b s t r a c t

I ll t h is p a p e r b y m e a n s o .f t h e e x a c t a n a l y t i c m e t h o d [1], t h e g e n e r a l s o l u t i o n . f o rd y n a m i c r e s p o n s e o f n o n h o m o g e n e o u s b e a m w i t h v a r ia b le c r o s s s e c t i o n i s o b t a i n e d u n -d e r a r b i t ra r y r e s o n a n t l o a d a n d b o u n d a O ' c o n d i ti o n s . T h e p r o b l e m i s r e d u c e d t o s o h 'ea n o n -p o s i t i ve d ( f f e r en t i a l eq u a t i o n . Gen er a l l y , i t i s n o t so h , ed b y va r i a t i o n a l me t h o d .B y t h e p r e s e n t m e t h o d , t h e g e n e r a l s o lu t i o n f o r t h is p r o b l e m m a y b e w r i t te n a s a n an a -l y t i c / ~ r m . H e n c e . i t is c o n v e n i e n t . /' or s t r u c t u r e o p t i m i z i n g p r o b l e m . I n t h is p a p e r , i t sc o n v e r g e n c e i s p r o v e d . N u m e r i c a l e x a m p l e s a r e g i v e n a t t h e e n d o f t h e p a p e r , w h i c h in -d i ca t e s s a t i s / a c t o r y r e s u l t s ca n b e o b t a i n ed .

K ey w o rd s variable cross section beam, dyn am ic response, exact analy ticmethod, steady-state resonant vibration

I . I n t r o d u c t i o nT h e s t r e n g t h , s t a b il i ty a n d d y n a m i c a n a l y s e s o f n o n h o m o g e n e o u s b e a m w i t h v a r ia b l e c r o ss

s e c t io n a r e v e r y i m p o r t a n t w h e t h e r i rr t h e o r y o r in p r ac t i c e.T h e s t a b i li ty a n d f re e v i b r a t io n p r o b l e m s o f n o n h o m o g e n e o u s b e a m w e r e s o lv e d b y tr a n s -f e ri n g th e m a t r i x m e t h o d in [ 2 - 3 ] . I n [ 4 ] , t h e s t ab i li t y a n d f re e v i b r a t io n p r o b l e m s o f n o n -h o m o g e n e o u s b e a m r e s t i n g o n e l a s t i c f o u n d a t i o n w e r e d e a l t w i t h b y t h e s a m e m e t h o d . B u tt h e i r f i n a l r es u l t s a r e n u m e r i c a l s o l u t i o n s . I t is d i f f i c u l t t o w r i te a u n i t e d a n a l y t i c e x p r e s s i o n . I n[5 ], t h e s a m e p r o b l e m o f n o n h o m o g e n e o u s b e a m w a s s olv g'd . F i n a l l y i t w a s r e d u c e d t o s o l v e at r a n s c e n d e n t a l a l g e b ra i c e q u a t i o n w i t h a n a l y t i c e x p r es s io n .

I n th i s p a p e r , ~ e g e n e r al so l u t i o n f o r d y n a m i c r e s po n s e o f n o n h o m o g e n e o u s b e a m w i thv a r i ab l e c ro s s se c ti o n is o b t a i n e d u n d e r a r b i t r a r y r e s o n a n t l o a d a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s b yt h e t h e o r y i n [ I] . T h e p r o b l e m i s r e d u c e d t o s o l v e a n o n - p o s i t i v e d e f i n i t e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n .U s i n g v a r i a t i o n a l m e t h o d t o s o l v e th e d i f f e r e n t ia l e q u a t i o n , t h e p o s it iv e d e f i n i te o f e q u a t i o n isn e e d e d . H e n c e , i t is d i f f i c u l t t o s o l v e ' th i s p r o b l e m b y c o n v e n t i o n a l m e t h o d . I n t h is p a p e r , t h e

*Projec t supported by the N at ional N atura l Sc:ience Fou ndat ion of China405


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4116 J i Z h e n - y i a n d Y e h K a i - y u a na n a l v t i c e x p r e s s i o n o f th e p r o b l e m is g i v e n b a s e d o n t h e t h e o r y i n [ I] . It is c o n v e n i e n t ino p t i m i z i n g t h e p r o b l e m a n d i ts n um eric~ al p r o c e d u r e i s s i m p l e a n d q u i c k . T h e s o l u t i o n o b t a i n e din t h is p a p e r c a n c o n v e r g e t o e x a c t s o l u t io n u n i f o r m l y . T h e c o n v e r g e n c e p r o o f is g i v e n in t hi sp a p e r . N u m e r i c a l e x a m p l e s a r e g i v e n a t t h e e n d o f t h is p a p e r w h i c h i n d i c a t e t h e r i g h t o f t h et h e o r y i n t h i s p a p e r .

O t h e r w i s e , t h e p r e s en t m e t h o d c a n b e d e v e lo p e d t o s o lv e th e d y n a m i c r e s p o n s e , p r o b l e mo f f r a m e s t r u c t u r e w i t h o u t a n y d i f fi c u lt y .II . T h e G e n er a l S o lu t i o n fo r D y n a m i c R e s p o n s e o f N o n h o m o g e n e o u s B e a m

W ith V a r i a b l e C r o s s - S e c t i o nC o n s i d e r a n o n h o m o g e n e o u s b e a m w i t h v a r i a b le c r o s s s e ct io n u n d e r r e s o n a n t l o a d s w h i c h

is s h o w n .i n F i g . I . A s s u m e a l l t h e e x t e r n a l f o r c e s q, M a n d P - c a n v a r y a c c o r d i n g t o a s a m e s i-m p l e . h a r m o n i c m o t i o n p a t t e r n a s ti m e g o e s o n . T h e c i r c u l a r f r e q u e n c y o f l o a d s i s co . W h e n t h ei n fl u en c e o f d a m p i n g m a y b e n eg l ec t ed , i ts d y n a m i c r e s p o n s e e q u a t i o n c a n b e w r i t te n a s

[ ] 0 2 w ( x ' t )o~ O ~ w ( x ' t ) + r e ( x ) = q ( x , t ) ( z . l )O x ~ D ( x ) - a x 2 a t 2w h e r e D ( .;~ ) i s f l e x u r a l r i g i d i t y w h i c h e q u a l s E l , w h e r e E a n d 1 a r e e la s t ic m o d u l u s a n d i n e r ti am o m e n t o f b e a m c r o s s - s e c t i o n a b o u t n e u t r a l a x i s r e s p e ct i v e ly ; m i s t h e s p e ci f ic g r a v i t y o f b e a ma t a u n i t l e n g t h a n d w is l a t e r a l d e f l e c t i o n .

QICOl~Jt( IM i c o ~ t

QoCOB(I.qI 1 t l l t l t

Peo~i

M~ c o s t a /

Q ~ O s t o t

L Z _1I - - qFi g. 1 A n o n h o mo g en e o u s b eam wi t h v a r i ab l e c r o s s

s e c t i o n u n d e r r e s o n a n t e l o a d s

I n e n g i n e e r i n g , t h e c a s e w h e r e b e a m u n d e r g o e s r e s o n a n t l o a d s o f t e n o c c u r s . In th i s c a s e ,t h e s tr u c t u r e d e s i g n a v o i d e d in r e s o n a n t a r e a i s g e n e r a l l y n e e d e d . B e y o n d r e s o n a n t a r e a , t h ed a m p i n g i n f l u e n c e t o s t r u c t u r e v i b r a t i o n is v e r y s m a l l , w h i c h m a y b e n e g l e ct e d . T h e d i s p l a c e -m e n t a n d r e s u l t a n t f o r c e a m p l i t u d e s o f b e a m i n s ta b i l it y v i b r a t i o n c a n b e g iv e n d ir e c t ly w i t h -o u t u s i n g v i b r a t i o n s h a p e d e c o m p o s i t i o n m e t h o d . B y t h is m e t h o d , i t is i n c li n e d t o s a fe f o r d e -s i g n a n d t h e p r o b l e m is s i m p l i f i e d g r e a t l y i~i w h e n s t a b i l i t y v i b r a t i o n o c c u r s , a l l l o a d s , d e f o r m a -t i o n s , re s u l t a n t f o r c e s , b e a r i n g f o r c e s a n d i n e r ti a f o r c e s c a n v a r y i n a s a m e h a r m o n i c m o t i o np a t t e r n . T h e y m a y o b t a i n t h e m a x i m u m t h e m s e l v e s a t th e s a m e t im e . U s i n ~

q ( x , t ) = q ( x ) c o s c o t , w ( x , t ) = w ( x ) c O S c o t ( 2 . 2 )a n d s u b s t it u t i ng i n t o ( 2 . 1) w e h a v c

._d~ D (x)d' _d2v~(X)dx -m (x )~ = q ( x ) (2 3 )


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D y n f i m ic R e s p o n s e o f N o n h o m o g e n e o u s B e am 4 07T h e p o s i t i v e d i r e c t i o n s o f e x t e r n a l f o r c e s , r e s u l t a n t f o r c e s a n d c o o r d i n a t e a r e s h o w n i n F i g . l .I f t h e u p w a r d d i s p l a c e m e n t a n d t h e c o u n t e r c l o ck w i s e in c l i n a ti o n a n g l e a r e s u p p o s e d t o b e p o -s i t i v e , t h e a m p l i t u d e s w ( x ) , i n c li n a ti o n a n g le ~ p(x) . m o m e n t M ( x ) a n d s h e a r f o rc e Q ( x ) c a nbe expres sed a s

w(x )=w ( x ) ,d 2 w ( x )9 M(x ) = D ( x ) d x z- - - ,

d w ( x )d x_ d D d 2 w ( x )Q ( x ) - d x ( x ) d x 2 ( 2 . 4 )

I t i s a d i f f i cu l t th ing to so lve (2 .3 ) fo r a rb i t ra ry coe f f i c ien t D ( x ) a n d re(x). Since (2 .3) i s a non-p o s i t i v e d e f i n i t e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n , i t c a n n o t b e s o l v e d b y t h e v a r i a t i o n a l m e t h o d . W e m a yre~vritc equ at i on (213) as

d ~ d 2 w ( x )d x * D ( x ) - d x 2 + ( x m ( x ) c ~ z w ( x ) ) , , - x ( m ( x ) c o % o ( x ) ) , . - -- -q ( x) ( 2 . 5 )b y t h e m e t h o d i n [ I ] . t h e b e a m c a n b e d i v i d e d i n t o N e l e m e n t s . S u p p o s i n g t h a t t h e i n t e r v a l i - t hc lement i s [x . . . x , ) . ~n the i - th e lement equa t ion (2 .5 ) can t J ecome

D d~ = 0 x E l x , _ , . x , ) ( 2 . 6 )w h e r e D e x p r e s se s t h e v a l u e o f D ( x ) a t th e m i d d l e p o i n t o f i - th e l e m e n t . M o r e o v e r . t h e c o n -t i n u o u s c o n d i t i o n b e t w e e n e l e m e n t s m u s t s a t is f y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s :

l i m t ~ ( x , _ l - e ) = ~ , ( x , _ l ) , l i r a ~ ( x , _ l - e ) = ~ ( x , - 1 ) = ~ " ~ " ~ l x x~_lf-.' , 0 e-'-* 0

d 2 w[ i m M ( x ,_ l - e ) = ~ I ( x,_ ~ ) : = D ,.( '- ~- 2 ) x = x i _ lc ~ O

l i m O ( x , _ t - e ) = I ~ ( x , _ t ) = ( D , d S e + ) * = x , _ le---*O

( 2 . z )

w h e r e ~ , is t h e c o o r d i n a t e v a l u e a t t h e m i d d l e p o i n t o f i -t h e l e m e n t w h i c h e q u a l s ( x , + x ~ _ ~ ) / 2a n d e is a n a r b i t r a r y p o s it iv e n u m b e r . W e ca n p r o v e f f ~ (x ) , ~ ( x ) , . ~ l ( x ) a n d Q ( x )o b t a i n e d b y ( 2 . 6 - 2 . 7 ) c o n v e r g e to e x a c t s o l u t io n w ( x ) , q ~(x ), M ( x ) a n d Q ( x ) o f ( 2 . 3 - 2 .4 ) u n i f o r n i l y a s w e ll as t h a t o f h a v i n g s e c o n d o r d e r s p e e d o f c o n v e r g e n c e . T h e g e n e r a l s o l u t i o no f t h e ' p r o b l e m c a n b e w r i t t e n a s ill

t t_l{ 6 ( x ) t = [ F , ( x - x , _ l ) ] { c~ (0 ) } + i F , ( x ) }. + }_7, { x - x i , ] . ~ [ F , ( x - x l _ t ) ] { A b }

t - I

{A i_ l } -= ( [ F , _ , ( x , _ l - x , _ d ] - [ I ] ) { c3( 0 ) i + { P ~ - I ( x , _ l ) }l - Z

+ ~ ( F , ( x , _ ~ - x , _ 2 ) : - [ 1 ] ) tA ~ ,} ( 2 . 8 )k = l

w h e r e v e c t o r{ 6 ( x )} = i t T a ( x ) ~ ( x ) ~ . ( x ) Q ( x ) } ~ ( 2 . 9 )

a n d s y m b o l


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4 0 8 J i Z h e n - y i a n d Y e h K a i - y u a no ( x < x ~ )t x - x k } ~ = { t ( x > x , )

is t h e H c a v i s id c f u n c ti o n . [ F , ( x ) ] is a 4 m a t r i x a n d { P , ( x ) [ is a 4 I l o a d v e c t o r. T h e ya r c t h e b a s i c s o l u t i o n a n d t h e sp e c i a l s o l u t i o n o f ( 2 .6 ) r e s p e c t i v e l y : O t h e r w i s e , w e s h o u l d m a k e

[ F , ( 0 ) = - [ I J , { P , ( x , _ , ) ] . = 0 ( 2 . 1 0 ). 2 . 7 ( 2 .y (2 .6) . ( ). (2 .9) an d 10), we can f ind

f 1 - ~ ( x , _ i ) ( x - x , _ l ) S / 6 D , x - x , _ ,

t k ' . t x - x , _ . ) J = ~(x ,_ , ) (x__x ,_ t) 2 1: T I X - ,--r (x-x,_, ) o

~ ' . , n [ , ~ ( x , _ , ) ~ ]- 6 ~ _/ 3, ( x - - x , _ ~ ) - ~ ( x , _ ~ ) ~ ( x ) ( x - x , _ ~ )- - J - l )X - - X , _ , ) -~ ( X X2 D , 6 D ,

x - x , _ , ( x - x , _ ~ ) ~D , 2 D ,1 x - - x l _ l

~ ( x ) ( x - x , _ ~ ) : ( x - x , _ ~ ) 32 D , 1 + ~ ( x ) 6 D ,

(21~)

{ P , (x ) t --=J '~_,"

(

( x - p ) "~6 D , q ( p ) d p( x - - P ) 2 q ( p ' ) d p2 D r( x - p ) q ( p ) d p( x - - P ) a ) q ( p ) d p1 + ~ ( x ) 6D j

(2.12)

w h e r er ( x ) = ( x - * , ) m ( x ) c o ~

I f t h e l o a d s c o n t a i n c o n c e n t r a t m n f o r c e P a n d m o m e n t M a t t h e c o o r d i n a t e s x , a n d x ,,, r e sp e c -t i v e h ' i n t h e i - t h e l e m e n t , n o t i n g t h a t l a t e r a l d i s t r i b u t i o n l o a d s

v , ( x ) = P a ( x - x , ) , qm(x)= -M~' (x -x. .)~ h i c h a r e e q u i v a l e n t t o P a n d M , a n d s u b s t i t u t i n g i n t o ( 2. 1 2) , b y i n t e g r a t i o n w e h a v e

{ P , ( x ) } , = P t x - x , } ~ l( x - x , ) 3

9 1 ( X . - - ' X , ) -


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D y n a m i c R e s p o n se o f N o n h o m o g e n e o u s ' B e a m 4 09X - -X p ]

~ ( x ) ( x _ x ~ ) ~ J~ + - - U O T ,I =- ~ , ( x - x . )

9 1t P r - - a l i x - x , . F ~ ~ (X--Xm) ( ; ' . l a )1"

B ~ ( 2 .8 ) , th e g e n e ra l s o l u t i o n f o r d y n a m i c r e s p o n s e o f n o n h o m o g e n e o u s b e a m w i t h v a r ia b lec r o s s s e c t i o n is o b t a i n e d u n d e r a r b i tr a r y c o n c e n t r a t i o n f o r c e a n d m o m e n t l o a d s .

S u b s t i t u t in g en d c o o r d i n a t e x = x , i n t o ( 2 .8 ) , w e h a v e

i , Ix ~h ere k u a n d ]'~ a r e k n o w n , t h e c o m p o n e n t s o f . [ g) (0 ) } c a n b e n u m b e r e d a c c o r d i n g t o t h eo r d e r o f a r r a n g e m e n t . F o r e x a m p l e , if w a n d M a r e k n o w n o n b o u n d a r y , t h en t h e n u m b e r s o fk n o w n b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e ( i .3 ) a n d t h e u n k n o w n b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e ( 2. 4) . W h e n1he n u m b e r s o f th e k n o w n b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e (m , , m z) a n d t he u n k n o w n b o u n d a r y c o n -d i t i o n s a r e ( m , , i ra ) a t . v = 0 . a s w e ll a s t h e u n k n o w n b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e 0 1 , , n_,) a t x = x , ,t h e p r o b l e m c a n b e r e d u c e d t o s o l v e s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s o f t h e f ir st d e g r e e w i th t w o u n -k n o w n s w h i c h w a s w r i t t e n a 3

w h e r e s y m b o l 6 ,, ,( 0 ) is t he m - t h c o m p o n e n t i n { 6 ( 0 ) } 9 B y s o l v i n g e q u a t i o n ( 2 .1 5 ) , t h e v a l u eo f { d ( x 0 ) } is g i v e n. T h e n b y ( 2. 8) , th e a m p l i t u d e s o f d i s p l a c e m e n t a n d r e s u l t a n t f o r c e c a n b eg i v e n a t a r b i t r a r y p o i n t o n v a r i a b l e c r o s s s e ct i o n b e a m .

it is n o t e d t h a t t he s tr e n g t h p r o b l e m o f n o n h o m o g e n e o u s b e a m w i th v a r i a b l e c r o s s -s e c t io nc a n a l s o b e s o l v e d b y ( 2 .8 ) w h e n c a = 0 .I I I . T h e C o n v e r g e n c e P r o o f

E q u a t i o n ( 2 .6 ) c a n b e r e w r i t t e n a sd ~ I D d %d x 2 ~ ' d x 2 l + ( x 'm ( x ) c a ~ w ( x ) ) , . - 2 , ( m ( x ) c ~ ) , . - ~ q ( x ) ( 3 . I )

E q u a t i o n ( 2 .5 ) a n d ( 3 . 1) c a n b e e x p r e s s e d a s d i ff e r e n t ia l o p e r a t o r f o r mA w = q ( x ) , , 4 , W = q ( x ) x ~ [ x ~ _ l , x ~ ) ( 3 . 2 )


6/8

4 10 J i Z h e n - y i a n d Y e h K a i - y u a nr e s p e c t i v e l y , t h e d i f fe r e n c e o f th e a b o v e t w o e q u a t i o n s i s a n i d e n t i t y w h i c h is e x p r e s s e d a s

A m - / 1 ~ - -- - 0W e c a n g e t t h e i n n e r p r o d u c t

Nl i m ( ,;b , A t o - / 1 w ) = g m (7 , , y~, ( A , w - / 1 g , ) ) = 0N "-'~ ":'t:' r

w h e r e 4~E}V~ ~, / 4 :~ ' is S o b o l e v s p a c e . O n i n t e g r a t i o n b y p a r t , w h e n N ~ c o , w e h a v e(a .a ;

l in ~ ( , ,b , A w - / 1 , / , ) = l i m (A* r - w)

M . _ 0 , )1l i m r ( M - , , ~ ) . C v - '- ~ ) ( m - w ) (3 4 )N -..+ ao . dx .,~ i- 1~ h c r e ,4 * is c o n i u g a t c d i f f e re n t i al o p e r a t o r o f A . M * a n d Q * a r e c o n j u g a t e b o u n d a r y c o n d i -t io n s a n d w e h a v c a s s u m e d t h a t t h e y a re c o n t i n u o u s in [~ 1, x , v ] . B y c o n t i n u o u s c o n d i t i o n ( 2.7 )b e t w e e n e l e m e n t s a n d f o u r k n o w n b o u n d a r y c o n d i t i o n , l e t t i n g t h e c o n j u g a t e b o u n d a r y c o n d i -t io n s o f o t h e r t \~ ur u n k n o w n b o u n d a r y ' c o n d i t i o n s b e e q u a l t o z e ro , w e h a v e

J i m ( A *c b, .~ 0- w ) = ~ l ( a . 5 )N - + , O Q

A c c o r d i n g t o i n v e r se H i b e r t a d j o i n t o p e r a t o r t h e o r e m , ( A * ) - ~ e x i st s w h e n t h e c o n jt ,. g at e b o u n d -a r y c o n d i t i o n s a r c e q u a l t o z e r o , i f ,4 h a s i n v e r s e o p e r a t o r A -~ u n d e r t h e. g i v e n b o u n d a r y c o n -d i t i o n s . S p e c i a l l y w h e n

it c a n be g o t t h a t u n i q u e s o l u t i o n q . , f : ~ a ) ~ 1 " a n d Q ~ a r e c o n t i n u o u s in [ 0 , x N ] . H e n c e w eh a v e

h m I x*" -u , ~ , ) 2 d x = O (8 g )N .-+ r d 0

B e c a u s e w - f o , v o - ~ , l ~ l - M a n d O - ~ ) a r e c o n t i n u o u s in [O ,x N.] , t h e y a r e b o u n d e d . B y(3 .6 ) . we c a n e a s i ly p rov e W, ~ , . , $ / a nd ~ ) c onv e rge to w~ V-v, M a n d Q ob ta ine d by (2.3 ) u n i f o r m l y .I V . N u m e r i c a l E x a m p l e s

N u m e r i c a l e x a m p l e 1 In o r d e r t o c o m p a r e w it h e x a ct s o l u ti o n s , w e c o n s i d e r a u n i-f o r m b e a m w i t h e q u a l c r o s s s e c t io n , w h i c h i s s h o w n i n F i g . 2 . T h e l ef t b o u n d a r y o f b e a m isc l a m p e d a n d t h e r i g h t b o u n d a r y is s i m p l y s u p p o r t e d . I t s h e ig h t a = 1 , l e n g t h L = 1 0 , w i d t h b =I , e l a s ti c m o d u l u s E = 1 20 00 0 a n d i n e r t ia m o m e da t o f c r o s s - s e c t i o n / = 1 / 1 2 . I n T a b l e I , th ed e f le c ti o n a n d m o m e n t o b t a i n e d b y t h e p r e se n t m e t h o d a r e s h o w n a n d c o m p a r e d w i th e x a c ts o lu ti o n [ 6] . w h e n e le m e n t n u m b e r N = I 0 0 a n d k = ( m o o ~ / E 1 ) 1 " = 0 . 5 . I n T a b le 2, t hea m p l i t u d e s o f d i s p l a c em e n t a n d m o m e n t w i t h d i f f e r e n t k a t i n i ti a l a n d m i d d l e p o i n t o f b e a ma r e g i v e n w h e n N = 2 0 . I n T a b l e 3 , th e c o n v e r g e n c e r a t e o f S o l u t io n is s h o w n w h e n N i n c r e as e s .


7/8

D y n a m i c R e s p o ns e o f N o n h o m o g e n e o u s B e a m 41 1

T a b l e 1

ql I l l I I t I I l l l i l - I

L _ ' II -F ! g . 2 A u n i f o r m b e a m w i t h e q u a l c r o s s s e c t i o n

u n d e r u n i f o r m d i s t r i b u t i o n l o a dT h e a m p l i t u d e d i s t r i b u t i o n o f d e f le c t i o n a n d m o m e n t o f u n i f o r m b e a m w i t h e q u -a l c r o s s s e c t i o n (N --- - 1 00 )

Ix 0 I 1- - i IP r c s c n l ~ 0 i 2.479Elw(x) I . . . . .Exact i 0 2.517

2 3 1 4 ; 5 ! 6 ; 7 89,024 1 7 .7 2 26 .21 32 .21 34 .06 30 .991 23 .399.127 17 .851 26 .31 3 2 .2 3 33 . 96 i 30 .82 i 23 .20- - - - i ~ i - I r2 .1 86 - 0 . 2 1 2 5 i - 2 . 5 3 2 - 4 . 2 5 1 - 4 . 9 9 2 I -4 . 6 3 0 / - 3 . 3 3 92 . 15 2 I - - ~ - - 2 .5 90 j - - 4 ~ 2 ; 4 - - 4 " 1 9 ~ - - - 4 . ; 5 0 / t - - 3 . 2 4 9

i 912.4913.36

" 1 . 5 0 7

T a b l e 2 T h e v a l u e s o f w a n d M o f u n i f o r r p b e a m w i t h e q u a l c r o s s s e c t i o n ( N = 2 0 ) -

1 0

Presen t0 - 1 2 . 50 . 1 -12.550 . 5 5 . 0 6 8

M ( O )E x a c t

- 1 2 . 5- 1 2 . 5 5

5.351

Elw(5)Pr e s e n t E x a c t- - 52.08 --52.08- 5 2 . 3 0 - 5 2 . 3 0

32.82 32.23

Pr e s e n t6 .256.277

- 4 . 2 7 6

M ( 5 )E x a c t

6 .256.278

- 4 . 2 7 5T a b l e 3 T h e c o n v e r g e n c e r a t e o f w a n d M w h e n N i n c r e a s e s

N 10M ( O ) 5.373w(5) 35 .15M ( 5 ) - 4 . 5 8 4

P20 40. . . . . . i . . . . . . . .5.068 ' 5.139

33.83 32 .3 i- 4 . 2 7 6 - 4 . 2 3 8

1005.249

32.21- 4 . 2 5 1

i o o 5 0 0 E x a c t5.298 5.339 5.351

32.22 33.23 32.22- - 4 . 2 6 1 - 4 . 2 6 8 j - - 4 . 2 7 5

N u m e r i c a l e x a m p l e g C o n s i d e r a n o n h o m o g e n e o u s c a n t i l ev e r b e a m w i th v a r i ab l ec r o s s s e c t i o n u n d e r a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n l o a d . I t is s h o w n i n F ig . 3 . I n F i g . 3 , l = 10 , a = 2 , b= I, e l e s t ic m o d u l u s E = 1 2 0 0 00 , i n e r t i a m o m e n t o f c r o s s s e c t i o n / = 1 /1 2 , w i d t h e q u a l s I . T h ep r o d u c t o f t h e s pe c if i c g r a v i t y o n t h e u n i t l e n g th o f b e a m a n d a n g u l a r f r e q u e n c y o z is w r i t t e na s

m oo2 = 1 2 5 0 0 - 6 2 5 x9 q

L ~ . . . . . It ]F i g . 3 A c a n t i l e v e r b e a m w i t h v a r i a b l e c r o s s s e c t i o n


8/8

4 1 2 J i Z h e n - y i a n d Y e h K a i - y u a nI n T a b l e 4 . th e a m p l i t u d e d i s t r i b u t i o n o f d e f l e c t io n a n d r e s u l t a n t f o r c e a l o n g x a x is a r e g i v e na n d c o m p a r e d w i th t he c as e t h a t a n g u l a r f r e q u e n c y c o = 0 , w h e n N = 1 00 .T a b l e 4 T h e a m p l i t u d e d i s t r ib u t i o n o f d e f l e c t io n a n d r e s u l t a n t f o r c e o f c a n t i l e v e r b e a m

w i th v a r i a b l e c ro s s s e c t i o n ( N = 1 0 0 )X J

i~ A = o ix 1 0 ~ 1o)=0't I " '=~0 ~-~

0 i0 - ' - 0 23320 3.071

5 . 0 3 2 , - O . 9261ir -5 0 -40 5~.,:u 4 608 3. 598

O oJ=0 " 10

1 I 2 3- 0 . 6 0 0 7 - 0 . 6 0 l l- t 2 , 0 4 - 2 6 . 4 9

2 . 1 5 2 4 .168- 3 2 - 2 4 5

2.552 1 4819 8 7

40.2406

- 4 5 . 9 25.126

- 1 8

0.44~76

52322

- 0 9 . 7 45 . 1 1 0

- 1 2 . 5 0- 0 4 4 9 2

6

5.901- 9 7 . 2 5

4 . 3098

- 1 . 1 0 6

4

71 1 . 0 3

- 1 2 7 . 73.012

- 4 . 5- 1 . 4 2 6

8 917 .50 24 .99

--160.1 --193.761.591 l 0 . 4 5 5 8

- 2 I - 0 . 5- 1 . 3 4 7 - 0 . 8 5 7 7

2 1

10_J32.64

- 2 2 7 . 80

0

T h e a b o v e n t u n e r i c a l e x a m p l e s i n d i c a t e t h a t t h e s a t i sf i lc t o r y r e su l t s c a n b e o b t a i n e d b y th ep r e s e n t m e t h o d a n d c o n v e r g e t o e x a c t s o lu t i o n . T h e c o r r e c t n e s s o f t h e o r y i s c o n f i r m e d .R e f e r e n c e s[ I .li Z h cn -. xi a n d Y e h K a i - } u a n . E x a c t a n a l y t i c r n e t h o d f o r s o l v i n g a r b i t r a r y v a r i a b l e

c o e f f i c i e n t d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n . . . I p l V . . % l a l h , aml , ,%h'ch . . 1 0, 1 0 ( 1 9 8 9) . 8 4 1 - 8 5 2 .[ 2 Y e h K a i - y u a n , G e n e r a l s o l u t i o n s o l] c e r t a i n p r o b l e m s o f e l a s ti c it y w i t h n o n h o m o g e n e i t y;.tlld v a r i a b l e I h i c k n e s s , I V . B e n d i n g . b u c k l i n g a n d f re c v i b r a t i o n o f n o n h o m o g e n e o u s

x a r l a b l c t h i c k n e s s b e a n ] s , J o in 'ha l e l Lan : . l um U n i re r s i l v , S p e ci al N u m b e r o f M e c h a n i c s ,I ( 1 9 7 9 ) , t 3 3 - 1 5 7 . ( i t ] C h i n e s e )

~ Y c h K a i - ~ u a n , D i n g Y a n - n i a n , B u c k li n g a n d f re e v i b r a t io n o f n o n h o m o g e n e o u s v a ri -a b l e t h ic k n e s s c o n t i n u o u s b e a m , 1 8, 2 ( 1 98 3 ), 4 2 - 7 4 . { in C h i n e s e )

4 I Y c h K a i - > u a n . Z h e n g S h u -v i n g . B u c k l in g o f n o n h o m o g e n c o u s v a r i a b le t h ic k n e s s b e a mo n n o n h o m o g c l l e O u s e l a s t i c f o u n d a t i o n . . h , m m d , I L a n - h o u t ' n i re , ' s it y , s p e c i a l N u m b e ro f M c c h a n i c s . 1 9 . ( 19 8 3 ). 3 7 - 5 7 . ( in ( ' h i n e s e )

5 ] Y c h K a i - .~ u a n . Ji Z h e n - v i . T h e s t e p - r e d u c t i o n m e t h o d f o r b u c k l i n g a n d f r e e v i b r a t i o n o fn o n u n i l ' o r m b e a m s x ~ i th \ :. tr ia b le c r o s s s e c t io n , J o u r n a l o f L a n z h o u U n i v e r s i t y , 26 , 2( 1 9 9 ( ) ) . 4 ( ) - 4 G . ( i n ( h i n e s e )

6 ] W a n g G u a n g - y u a n . I 'ihrat i

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