Analytische Geometrie – Tradition und Alternativen

Analytische Geometrie – Analytische Geometrie – Tradition und AlternativenTradition und Alternativen

Mathedidaktik IV WS 05/06Mathedidaktik IV WS 05/06

Prof. Dr. ZimmermannProf. Dr. Zimmermann

Nicole Himmerlich & Tobias LeyhNicole Himmerlich & Tobias Leyh

1. Fundamentale Ideen1. Fundamentale Ideen Algebraisierung und Geometrisierung im Anschauungsraum Algebraisierung und Geometrisierung im Anschauungsraum

(a) Algebraisierung des Anschauungsraumes mit Hilfe von (a) Algebraisierung des Anschauungsraumes mit Hilfe von Koordinaten, linearen und quadratischen Gleichungen, Koordinaten, linearen und quadratischen Gleichungen, linearen und affinen Abbildungen sowie Vektorenlinearen und affinen Abbildungen sowie Vektoren

(b) Geometrisierung linear-algebraischer Sachverhalte und (b) Geometrisierung linear-algebraischer Sachverhalte und linearer Modellierung in der Ebene, im Raum oder im linearer Modellierung in der Ebene, im Raum oder im verallgemeinerten Anschauungsraumverallgemeinerten Anschauungsraum

Messen von Messen von

(a) Abständen, Längen und Winkeln mittels des Satzes von (a) Abständen, Längen und Winkeln mittels des Satzes von Pythagoras, mit dem Skalarprodukt und den EichkurvenPythagoras, mit dem Skalarprodukt und den Eichkurven

(b) Parallelogrammflächen und Spatvolumina mittels (b) Parallelogrammflächen und Spatvolumina mittels Determinanten oder mittels SpatproduktDeterminanten oder mittels Spatprodukt

1. Fundamentale Ideen1. Fundamentale Ideen Modellierung mittelsModellierung mittels

(a) Kurven in Parameterdarstellung, Flächendarstellung und (a) Kurven in Parameterdarstellung, Flächendarstellung und Funktionen mehrerer VeränderlicherFunktionen mehrerer Veränderlicher

(b) gerichteter Größen und Vektoren(b) gerichteter Größen und Vektoren

(c) Linearitätsüberlegungen. linearer Gleichungssysteme (c) Linearitätsüberlegungen. linearer Gleichungssysteme und linearer Abbildungenund linearer Abbildungen

(d) Zustandsvektoren, Listen, Verflechtungs- und (d) Zustandsvektoren, Listen, Verflechtungs- und Übergangsmatrizen Übergangsmatrizen

Algorithmus und KalkülAlgorithmus und Kalkül

(a) Matrizenkalkül, Koordinaten- und (a) Matrizenkalkül, Koordinaten- und

Matrizentransformation, Gaußscher AlgorithmusMatrizentransformation, Gaußscher Algorithmus

1. Fundamentale Ideen1. Fundamentale Ideen Abbildung, Invarianz und erweiterter FunktionsbegriffAbbildung, Invarianz und erweiterter Funktionsbegriff

(a) Abbildungen als Hilfsmittel zum Erfassen anschaulich-(a) Abbildungen als Hilfsmittel zum Erfassen anschaulich-geometrischer Sachverhalte geometrischer Sachverhalte

(b) Charakterisierung von Abbildungen durch Invarianten, (b) Charakterisierung von Abbildungen durch Invarianten, Betrachtungen von Fixräumen und Eigenvektoren sowie von Betrachtungen von Fixräumen und Eigenvektoren sowie von Symmetrie als wichtige Analysemittel Symmetrie als wichtige Analysemittel

(c) strukturerhaltende Abbildungen als fundamentales (c) strukturerhaltende Abbildungen als fundamentales Ordnungsprinzip der modernen MathematikOrdnungsprinzip der modernen Mathematik

(d) Funktionen mehrerer Veränderlicher und die (d) Funktionen mehrerer Veränderlicher und die Parameterdarstellung von Kurven als Erweiterung des Parameterdarstellung von Kurven als Erweiterung des Funktionsbegriffs aus der schulischen AnalysisFunktionsbegriffs aus der schulischen Analysis

2. DreiDGeo2. DreiDGeo

http://www.schule.bayern.de/unterricht/lernprogramme/http://www.schule.bayern.de/unterricht/lernprogramme/


Beispielaufgabe:Beispielaufgabe:Gegeben sind die Punkte A(8|0|1), B(3|4|1) undGegeben sind die Punkte A(8|0|1), B(3|4|1) und

C(0|8|5) sowie die GeradeC(0|8|5) sowie die Gerade

a)a) Bestimme eine Ebene E, die B enthält und senkrecht auf Bestimme eine Ebene E, die B enthält und senkrecht auf AC steht.AC steht.

b)b) Zeige, dass C Spiegelpunkt von A bezüglich E ist.Zeige, dass C Spiegelpunkt von A bezüglich E ist.c)c) Berechne den Schnittpunkt D von g mit E und den Winkel Berechne den Schnittpunkt D von g mit E und den Winkel

zwischen g und E.zwischen g und E.d)d) Berechne die zwei Punkte P und Q auf g, die von E den Berechne die zwei Punkte P und Q auf g, die von E den

Abstand 9 haben.Abstand 9 haben.

Rxg

,

1

4

0

1

0

8

:

Rxg

,

1

4

0

1

0

8

:


Für Lehrer:Für Lehrer: Erstellung von ordentlichen Zeichnungen im UnterrichtErstellung von ordentlichen Zeichnungen im Unterricht Zeitersparnis beim Darstellen umfangreicher räumlicher Zeitersparnis beim Darstellen umfangreicher räumlicher

SzenenSzenen Ausnutzung der Dynamik zur schnellen Veranschaulichung Ausnutzung der Dynamik zur schnellen Veranschaulichung

von räumlichen Szenen im Unterricht; Visualisierungshilfevon räumlichen Szenen im Unterricht; Visualisierungshilfe Hilfe bei der Unterrichtsvorbereitung. Es werden Fehler Hilfe bei der Unterrichtsvorbereitung. Es werden Fehler

vermieden und man erhält schnelle Übersicht über die vermieden und man erhält schnelle Übersicht über die ZusammenhängeZusammenhänge

Ermittlung des günstigsten Blickwinkels auf die räumlichen Ermittlung des günstigsten Blickwinkels auf die räumlichen Objekte für den Ausdruck von Arbeitsblättern oder FolienObjekte für den Ausdruck von Arbeitsblättern oder Folien

Bei Erstellung von Aufgaben läuft das Programm im Bei Erstellung von Aufgaben läuft das Programm im Hintergrund um günstige Konstellationen zu realisierenHintergrund um günstige Konstellationen zu realisieren

Eingehen auf Schülervorschläge wegen der schnellen Eingehen auf Schülervorschläge wegen der schnellen Verfügbarkeit von ZeichnungenVerfügbarkeit von Zeichnungen


Für Schülerinnen und Schüler:Für Schülerinnen und Schüler: Finden und Nachprüfen von LösungswegenFinden und Nachprüfen von Lösungswegen Rückkopplung und Aufgabenlösung mit der AnschauungRückkopplung und Aufgabenlösung mit der Anschauung Fehlerbereinigung durch Prüfung der rechnerischen Fehlerbereinigung durch Prüfung der rechnerischen

ErgebnisseErgebnisse Kontrolle der Hausaufgaben in der Schule oder daheimKontrolle der Hausaufgaben in der Schule oder daheim Schulung der eigenen räumlichen VorstellungskraftSchulung der eigenen räumlichen Vorstellungskraft Eigenständiges ArbeitenEigenständiges Arbeiten

Das Programm dient zur besseren Das Programm dient zur besseren Veranschaulichung, ersetzt aber keinesfalls den Veranschaulichung, ersetzt aber keinesfalls den kreativen Umgang mit geometrischen Objekten zur kreativen Umgang mit geometrischen Objekten zur Lösungsfindung!Lösungsfindung!

3.1. Kartesische Koordinaten 3.1. Kartesische Koordinaten

Verschiebung um Verschiebung um

Drehung um Drehung um

mit Drehwinkel mit Drehwinkel

Spiegelung an der Spiegelung an der Geraden Geraden

0

0

xv

y

0 0( )Z x y

y mx n

0

0

x x x

y y y

0 0 0

0 0 0

( ) cos ( )sin

( )sin ( ) cos

x x x y y x

y x x y y y

cos 2 ( )sin 2

sin 2 ( )cos 2

mit arctan

x x y n

y x y n n

m

3.2. Polarkoordinaten3.2. Polarkoordinaten

3.3. Bewegungen & 3.3. Bewegungen & PolarkoordinatenPolarkoordinaten

Das Dreieck ABC mit A(2|0), B(4|-2) und C(5|1)Das Dreieck ABC mit A(2|0), B(4|-2) und C(5|1)

wirdwird

a) mit einem Winkel von 60° um Z(-1|-1) gedreht.a) mit einem Winkel von 60° um Z(-1|-1) gedreht.

b) an der Geraden y= ½x+1 gespiegelt. b) an der Geraden y= ½x+1 gespiegelt.

Berechnet die Koordinaten der Bildpunkte. Berechnet die Koordinaten der Bildpunkte.



4. Anwendungen4. Anwendungen

Kartesisch:Kartesisch: Polar:Polar:

22

2

22

2

'

'

yx

cyy

yx

cxx

22

2

22

2

'

'

yx

cyy

yx

cxx

0

'

'2

r

r

cr

0

'

'2

r

r

cr

1. Inversion am Kreis (mit Radius 1. Inversion am Kreis (mit Radius cc))


Neu: Neu: rr als als r = f(φ)r = f(φ) Damit ist eine neue Damit ist eine neue

Darstellung vieler Darstellung vieler Kurven möglich!Kurven möglich!

Beispiel 1: Beispiel 1: archimedische archimedische Spirale mitSpirale mit r = a·φr = a·φ


Beispiel 2: logarithmische SpiraleBeispiel 2: logarithmische Spirale

0, aer a 0, aer a



3. Kegelschnitte3. Kegelschnitte

cos1

pr

cos1

pr

> 1 Hyperbel = 1 Parabel < 1 Ellipse = 0 Kreis

5. Diskussion5. Diskussion

Vorkenntnisse?Vorkenntnisse? Lernziele?Lernziele? Kompetenzen?Kompetenzen? Vor- und Nachteile?Vor- und Nachteile? Einsatzmöglichkeit im Unterricht?Einsatzmöglichkeit im Unterricht?

5. Diskussion5. Diskussion

6. Quellen6. Quellen G. Steinberg: Plädoyer für Polarkoordinaten im G. Steinberg: Plädoyer für Polarkoordinaten im

Mathematikunterricht in MU 3/1984Mathematikunterricht in MU 3/1984

G. Steinberg: Polarkoordinaten. Hannover, Metzler 1993G. Steinberg: Polarkoordinaten. Hannover, Metzler 1993

H. Schupp /H. Dabrock: Höhere Kurven. Mannheim; Leipzig; Wien; H. Schupp /H. Dabrock: Höhere Kurven. Mannheim; Leipzig; Wien; Zürich, BI-Wissenschaftsverlag 1995Zürich, BI-Wissenschaftsverlag 1995

U.-P. Tietze/ M. Klika/ H. Wolpers: Mathematikunterricht in der U.-P. Tietze/ M. Klika/ H. Wolpers: Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II Band 2. Braunschweig; Wiesbaden, Vieweg 2000Sekundarstufe II Band 2. Braunschweig; Wiesbaden, Vieweg 2000

H. Andraschko: DreiDGeo – ein Programm zur Veranschaulichung H. Andraschko: DreiDGeo – ein Programm zur Veranschaulichung der analytischen Geometrie in MU 5/2001 der analytischen Geometrie in MU 5/2001

Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss Schulabschluss

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