AU

TO

-ASSO

CIA

TIV

EM

OD

ELS

AN

DG

EN

ER

ALIZ

ED

PR

INC

IPA

LC

OM

PO

NE

NT

AN

ALY

SIS

Step

han

eG

irard⋆

INR

IA,U

niversite

Gren

oble

1

Jointw

orkw

ithSerge

Iovleff,U

niversite

Lille

1

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Outlin

e

1.P

rincip

alC

ompon

entA

nalysis,

2points

ofview

,

2.G

eneralized

PC

A,th

eoreticalasp

ects,

3.Im

plem

entationasp

ects,

4.Illu

strationon

simulated

datasets,

5.Illu

strationon

realdatasets.

Step

hane

Gira

rd1

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

1.P

rincip

alC

ompon

entA

nalysis

•B

ackground

:M

ultid

imen

sional

data

analysis

(nob

servations

ina

p−dim

ension

alsp

ace)

•G

oal:

Dim

ension

reduction

.

◦D

atavisu

alization(d

imen

sionless

than

3),

◦To

find

which

variables

areim

portant,

◦C

ompression

.

•M

eth

od

:P

rojection

onlow

d−

dim

ension

allin

earsu

bsp

aces.

Step

hane

Gira

rd2

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

PC

A:G

eometrical

interpretation

Proble

m

•Let

Xbe

acentered

random

vectorin

Rp.

•E

stimate

the

d−

dim

ension

allin

earsu

bsp

aced∈{0,...,p}

min

imizin

gth

em

eandistan

ceto

X.

•M

inim

izew

ithresp

ectto

a1,...,a

d(orth

onorm

al):

E

∥∥∥∥∥

X−

d∑k

=1

⟨

X,a

k⟩

ak

∥∥∥∥∥

2

.

Explic

itso

lutio

n

•a

1,...,ad

areth

eeigenvectors

associatedto

the

dlargest

eigenvalues

ofE

[XtX

],th

ecovarian

ce

matrix

ofX

.

•T

he

ak

’sare

calledprin

cipal

axes,th

eY

k=

⟨

X,a

k⟩

the

prin

cipal

variables.

•T

he

associatedresid

ual

isdefi

ned

byRd

=X

−d

∑k=

1

⟨

X,a

k⟩

ak,

and

itcan

be

show

nth

at∥∥

Rd∥∥

≤∥∥

Rd−

1∥∥

.

Step

hane

Gira

rd3

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

PC

A:P

rojection

Pursu

itinterp

retation

Equiv

ale

nt

proble

m

•E

stimate

the

d−

dim

ension

allin

earsu

bsp

aced∈{0,...,p}

maxim

izing

the

pro

jectedvarian

ce.

•M

aximize

iterativelyw

ithresp

ectto

a1,...,a

d(orth

onorm

al):

Var

[⟨

X,a

1⟩]

,...,Var

[⟨

X,a

d⟩]

.

Step

hane

Gira

rd4

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Alg

orith

m

•For

j=

0,let

R0

=X

.

•For

j=

1,...,d

:

[A]E

stimation

ofa

pro

jectionaxis.

Determ

ine

aj

=arg

max

x∈

RpE

[

⟨

x,R

j−1⟩

2]

such

that

∥∥

aj∥∥

=1

and

⟨

aj,a

k⟩

=0,

1≤

k<

j.

[P]P

rojection

.

Com

pute

the

prin

cipal

variable

Yj

=⟨

aj,R

j−1⟩.

[R]Lin

earregression

.

Determ

ine

bj

=arg

min

x∈

RpE

[

∥∥

Rj−

1−

Yjx

∥∥

2]

such

that

⟨

bj,a

j⟩

=1

and

⟨

bj,a

k⟩

=0,

1≤

k<

j.T

he

solution

isbj

=a

j,an

dlet

the

regressionfu

nction

be

sj(t)

=ta

j.

[U]R

esidual

update.

Com

pute

Rj

=R

j−1−

sj(Y

j).

Step

hane

Gira

rd5

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Alg

orith

moutp

ut.

After

diteration

s,w

ehave

the

followin

gexp

ansion

:

X=

d∑k

=1

sk(Y

k)+

Rd,

(1)

with

sk(t)

=ta

kan

dY

k=

⟨

ak,X

⟩,or

equivalently

X=

d∑k

=1

⟨

ak,X

⟩

ak

+R

d.

This

equation

canbe

rewritten

as

F(X

)=

Rd

(2)

where

we

have

defi

ned

F(x

)=

x−

d∑k

=1

⟨

ak,x

⟩

ak.

The

equation

F(x

)=

0defi

nes

ad−

dim

ension

allin

earsu

bsp

ace,sp

anned

bya

1,...,ad.

Equ

ation(2)

defi

nes

ad−

dim

ension

allin

earau

to-associativem

odel

forX

.

Step

hane

Gira

rd6

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Goals

ofa

generalized

PC

A

1.To

keepan

expan

sionsim

ilarto

(2):

F(X

)=

Rd,

but

with

anon

necessarily

linear

function

F,su

chth

atth

eequ

ationF

(x)

=0

could

mod

elm

ore

general

subsp

aces.

2.To

keepan

expan

sion“p

rincip

alvariab

les+

residual”

similar

to(1):

X=

d∑k

=1

sk(Y

k)+

Rd,

but

with

non

necessarily

linear

function

ssk.

3.To

ben

efit

fromth

e“n

ice”th

eoreticalprop

ertiesof

PC

A.

4.To

keepa

simple

iterativealgorith

m.

Step

hane

Gira

rd7

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

2.G

eneralized

PC

A,th

eoreticalasp

ects

We

adop

tth

eP

rojection

Pursu

itpoint

ofview

.T

he

steps

[A]an

d[R

]are

generalized

:

[A]Estim

atio

nofa

proje

ctio

naxis.

Introduction

ofan

index

Iw

hich

measu

resth

equ

alityof

the

pro

jectionaxis.

For

instan

ce:

•D

ispersion

,

•D

eviationfrom

norm

ality,

•C

lusters

detection

,

•O

utliers

detection

,...

[R]R

egressio

n.

Estim

ationof

the

regressionfu

nction

fromR

toR

pin

agiven

set:

•Lin

earfu

nction

s,

•Splin

es,kern

els,...

Step

hane

Gira

rd8

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

New

alg

orith

m.

•For

j=

0,let

R0

=X

.

•For

j=

1,...,d

:

[A]E

stimation

ofa

pro

jectionaxis.

Determ

ine

aj

=arg

max

x∈

RpI(⟨

x,R

j−1⟩)

such

that

∥∥

aj∥∥

=1

and

⟨

aj,a

k⟩

=0,

1≤

k<

j.

[P]P

rojection

.

Com

pute

the

prin

cipal

variable

Yj

=⟨

aj,R

j−1⟩.

[R]R

egression.

Determ

ine

sj

=arg

min

s∈S

(R

,Rp)

E

[

∥∥

Rj−

1−

s(Yj)

∥∥

2]

such

that

Paj◦

sj

=Id

Ran

dP

ak◦

sj

=0,

1≤

k<

j.

[U]R

esidual

update

Com

pute

Rj

=R

j−1−

sj(Y

j).

Step

hane

Gira

rd9

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Rem

ark:

At

the

end

ofiteration

j,th

eresid

ual

isgiven

by

Rj

=R

j−1−

sj(

Yj)

=R

j−1−

sj(⟨

aj,R

j−1⟩)

=R

j−1−

sj◦

Paj

(

Rj−

1)

=(Id

Rp−

sj◦

Paj

)(R

j−1)

=(Id

Rp−

sj◦

Paj

)

◦(Id

Rp−

sj−

1◦

Paj−

1

)(

Rj−

2)

=...

=(Id

Rp−

sj◦

Paj

)

◦...◦

(IdR

p−

s1◦

Pa1

)(

R0)

=(Id

Rp−

sj◦

Paj

)

◦...◦

(IdR

p−

s1◦

Pa1

)

(X).

Auto-associative

composite

mod

el.

Step

hane

Gira

rd10

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Rem

ark:

The

constraint

Paj◦

sj

=Id

R.

•N

atural

constraint.

y=P

s(y)

s

a

a

s(y)

•Im

portant

consequ

ence:

At

the

end

ofiteration

j,th

eresid

ual

isgiven

by

Rj

=(Id

Rp−

sj◦

Paj

)(

Rj−

1)

,an

dthu

sis

pro

jectionon

aj

is

Paj R

j=

(Paj−

Paj◦

sj◦

Paj

)(R

j−1)

=(P

aj−

Paj )

(Rj−

1)

=0.

Thu

s,iteration

(j+

1)can

be

perform

edon

the

linear

subsp

aceorth

ogonal

to(a

1,...,aj),

which

isof

dim

ension

(p−

j).

Step

hane

Gira

rd11

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Goal1.

After

diteration

s:

•O

ne

always

has

anau

to-associativem

odelF

(X)

=R

d,

with

F=

(IdR

p−

sd◦

Pad

)

◦...◦

(IdR

p−

s1◦

Pa1

)

=1

∐k=

d

(IdR

p−

sk◦

Pak

)

,

and

Paj (x

)=

⟨

aj,x

⟩.

•T

he

equation

F(x

)=

0defi

nes

ad−

dim

ension

alm

anifold

.

Step

hane

Gira

rd12

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Goal2.

After

diteration

s:

•O

ne

always

asth

eexp

ansion

“prin

cipal

variables

+resid

ual”

similar

to(1):

X=

d∑k

=1

sk(Y

k)+

Rd,

and

the

function

ssk

arenon

necessarily

linear.

•For

d=

p,th

eexp

ansion

isexact:

Rp

=0.

•W

ecan

stilldefi

ne

prin

cipal

axesa

kan

dprin

cipal

variables

Yk.

•T

he

residuals

arecentered

:E

[Rk]

=0,

k=

0,...,d

.

Step

hane

Gira

rd13

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Goal3.

After

diteration

s,w

ehave:

•Som

eorth

ogonality

prop

erties⟨

ak,a

j⟩

=0,

1≤

k<

j≤

d,

⟨

ak,R

j⟩

=0,

1≤

k≤

j≤

d,

⟨

ak,s

j(Yj)

⟩

=0,

1≤

k<

j≤

d.

•Sin

ceth

enorm

ofth

eresid

uals

isdecreasin

g,w

ecan

defi

ne,

similarly

toth

eP

CA

case,th

e

inform

ationratio

represented

byth

ed−

dim

ension

alm

odel

as

Qd

=1−

E

[

∥∥

Rd∥∥

2]/

Var

[‖X‖

2]

.

One

cansh

owth

atQ

0=

0,Q

p=

1an

d(Q

d )is

increasin

g.

Rem

ark.

Excep

tin

particu

larcases,

the

non

-correlationof

the

prin

cipal

variables

islost:

E[Y

kYj]

6=0,

1≤

k<

j≤

d.

Step

hane

Gira

rd14

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Goal4.

•W

estill

have

aniterative

algorithm

.It

convergesat

most

inp

steps.

•Its

complexity

dep

ends

onth

etw

ostep

s[A

]et

[R].

[A]E

stimation

ofa

pro

jectionaxis.

Determ

ine

aj

=arg

max

x∈

RpI(⟨

x,R

j−1⟩)

such

that

∥∥

aj∥∥

=1

and

⟨

aj,a

k⟩

=0,

1≤

k<

j.

[R]R

egression.

Determ

ine

sj

=arg

min

s∈S

(R

,Rp)

E

[

∥∥

Rj−

1−

s(Yj)

∥∥

2]

such

that

Paj◦

sj

=Id

Ran

dP

ak◦

sj

=0,

1≤

k<

j.

•N

oteth

atth

eab

oveth

eoreticalprop

ertiesdo

not

dep

end

onth

esestep

s.

Step

hane

Gira

rd15

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

3.Im

plem

entationasp

ects,step

[A]

•C

ontig

uity

index.

Measu

reof

the

neighb

orhood

preservation

.Points

which

areneighb

orin

Rp

shou

ldstay

neighb

oron

the

axis.

I(⟨

x,R

j−1⟩)

=

n∑i=

1

⟨

x,R

j−1

i

⟩

2/

n∑k

=1

n∑ℓ=

1

mkℓ

⟨

x,R

j−1

k−

Rj−

1ℓ

⟩

2,

where

M=

(mkℓ )

isth

econtigu

itym

atrixdefi

ned

by

mkℓ=

1if

Rj−

1ℓ

isth

eclosest

neighb

orof

Rj−

1k

,m

kℓ=

0oth

erwise.

•O

ptim

izatio

n.

Exp

licitsolu

tion.

[A]a

jis

the

eigenvectorassociated

toth

elargest

eigenvalue

ofV

⋆jV

−1

j,w

here

Vj

=n

∑k=

1

tRj−

1k

Rj−

1k

,V

⋆j=

n∑k

=1

n∑ℓ=

1

mkℓt(R

j−1

k−

Rj−

1ℓ

)(Rj−

1k

−R

j−1

ℓ)

areprop

ortional

toth

ecovarian

cean

dlocal

covariance

matrices

ofR

j−1.

Step

hane

Gira

rd16

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Implem

entationasp

ects,step

[R]

•Set

of

L2fu

nctio

ns.

The

regressionstep

reduces

toestim

ating

the

condition

alexp

ectation:

[R]sj(Y

j )=

E[R

j−1|Y

j

].

•Estim

atio

nofth

econditio

nalexpecta

tion.

◦C

lassicalprob

lemsin

ceth

econ

straintsP

aj◦

sj

=Id

and

Pak◦

sj

=Id

,1≤

k<

jare

easily

takeninto

account

inth

ea

k’s

basis.

Step

[R]red

uces

to(p

−j)

indep

endent

regressions

from

Rto

R.

◦N

um

erous

estimates

areavailab

le:sp

lines,

localpolyn

omials,

kernel

estimates,

...

◦For

instan

ce,for

the

coordin

atek∈{j

+1,...,p}

,th

ekern

elestim

ateof

sj(u

)can

be

written

as

sjk (u

)=

n∑i=

1

Rj−

1i,k

Kh (u

−Y

ji)

/

n∑i=

1

Kh (u

−Y

ji),

where

his

asm

oothin

gparam

eter(th

eban

dw

idth

).

Step

hane

Gira

rd17

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

4.F

irstillu

strationon

asim

ulated

dataset

•n

=100

points

inR

3ran

dom

lych

osenon

the

curve

x→

(x,sin

x,cos

x).

•O

ne

iterationh

=0.3

→Q

1=

99.97%

.

1

−0

−1 Z−1

01

Y9.4

0.0

−9.4

X

Theoretical

curve

1

−0

−1 Z−1

01

Y9.0

−0.2

−9.4

X

+

+

+

+

++

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ +

+

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+

+

++

+

+ ++

+

+

+

++

+

+

+

++

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ +

+

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+

+

++

+

+ ++

+

+

+

++

+

+

+

++

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Estim

ated1−

dim

ension

alm

anifold

Step

hane

Gira

rd18

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Secon

dillu

strationon

asim

ulated

dataset

•n

=1000

points

inR

3ran

dom

lych

osenon

the

surface

(x,y

)→

(x,y

,cos(π√

x2+

y2)(1

−exp

{−

64(x2+

y2)}

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•T

wo

iterations:

Q1

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1.20

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Theoretical

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1.20

0.35

−0.50 Z−

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cipalC

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tA

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Step

hane

Gira

rd23

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Secon

dillu

strationon

areal

dataset

•D

atasetI,

five

types

ofbreast

cancer.

•Set

ofn

=286

samples

indim

ension

p=

17816.

•R

otation:n

=286

points

indim

ension

p=

285.

•Forgettin

gth

elab

els,in

formation

ratioQ

das

afu

nction

ofd

( blu

e:classical

PC

A,green

:

generalized

PC

A).

Step

hane

Gira

rd24

Auto

-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Estim

ated1−

dim

ension

alm

anifold

pro

jectedon

the

prin

cipal

plan

e.

-50000-40000

-30000-20000

-100000

1000020000

3000040000

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000 0

10000

20000

30000

40000

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Prin

cipalC

om

ponen

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naly

sisA

ugust

2006

Estim

ated1−

dim

ension

alm

anifold

spro

jectedon

the

prin

cipal

plan

e,for

eachtyp

eof

cancer.

-50000-40000

-30000-20000

-100000

1000020000

3000040000

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000 0

10000

20000

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-Asso

ciativ

em

odels

and

gen

eralized

Prin

cipalC

om

ponen

tA

naly

sisA

ugust

2006

Referen

ces

•S.G

irardan

dS.Iovleff

.A

uto-associative

mod

els,non

linear

Prin

cipal

compon

entan

alysis,

man

ifolds

and

pro

jectionpursu

it.In

A.G

orban

etal

(eds)

Prin

cipalM

anifo

lds

for

Data

Visu

alisa

tion

and

Dim

ensio

nRed

uctio

n,vol.

28,p.

205–222,LN

CSE

,Sprin

ger-Verlag,

2007.

•S.G

irardan

dS.Iovleff

.A

uto-A

ssociativeM

odels

and

Gen

eralizedP

rincip

alC

ompon

ent

Analysis,

Journ

alofM

ultiva

riate

Analy

sis,93,

21–39,2005.

•S.G

irard.

Anon

linear

PC

Abased

onm

anifold

approxim

ation,Com

puta

tionalSta

tistics,15,

145–167,2000.

•B

.C

halm

ond

and

S.G

irard.

Non

linear

mod

eling

ofscattered

multivariate

data

and

its

application

tosh

ape

chan

ge,IE

EE

Pattern

Analy

sisand

Mach

ine

Intelligen

ce,21,

422–432,

1999.

•S.G

irard,B

.C

halm

ond

and

J-M.D

inten.

Position

ofprin

cipal

compon

entan

alysisam

ong

auto-associative

composite

mod

els,Com

ptes-R

endus

de

l’Aca

dem

iedes

Scien

ces,t.

326,Serie

I,763–768,

1998.

•S.G

irard,B

.C

halm

ond

and

J-M.D

inten.

Design

ing

non

linear

mod

elsfor

flexib

lecu

rves.In

Curves

and

Surfa

ceswith

Applica

tion

inCAG

D,A

.Le

Meh

aute,

C.R

abut,

and

L.L

.

Schu

maker

(eds.),

135–142,1997.

Step

hane

Gira

rd27