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Ch. 8 The Complete Response of RL and RC Circuits
2007-10-05
부경대학교 전기제어계측공학부 1
2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 1
Ch. 8 The Complete Response of RL and RC Circuits
Chapter 8
The Complete Response of RL and RC Circuits
Chapter 8Chapter 8
The Complete Response of The Complete Response of RLRL and and RCRC CircuitsCircuits
2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 2
Ch. 8 The Complete Response of RL and RC Circuits
- 미분방정식 : 캐패시터와 인덕터가 포함된 회로의 기술에 사용
- 1개의 캐패시터 또는 1개의 인덕터로 구성된 회로 : 1차 미분방정식(1차 회로)
Figure 8.0-1A plan for analyzing first-order circuits. (a) First, separate the energy storage elements from the rest of the circuit. (b) Next, replace the circuit connected to a capacitor by its Thévenin equivalent circuit, or replace the circuit connected to an inductor by its Norton equivalent circuit.
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2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 3
Ch. 8 The Complete Response of RL and RC Circuits
Figure 8.0-2 (a) A circuit and (b) its complete response.
1차 회로 예
입력
출력(Response)
- 회로입력이 정현파 정상상태 출력 정현파
- 주파수 일치
- 스위치 동작 전, 정상상태의 출력 (캐패시터 전압)
( ),1000cos)( φ+= tBtv 0<t
스위치 동작 순간의 캐패시터 전압은 ?
( )φcos)0( Bvc =
과도상태 정상상태
스위치 동작 후의 커패시터 전압 표현식
( )δτ ++=−
tMKetvt
c 1000cos)(
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Complete response = natural response + forced response
Complete Response = Transient Res. + Steady-state Res.
입력을 영으로 둘 때,1차 미분방정식의 일반해 미분방정식의 특이해
- 1차 회로의 완전응답은 초기조건에 의해 결정- 초기조건이주어진 시각
τ0tt
Ke−−
=자연응답 τt
Ke−
=자연응답- 상수 K 는 초기조건에 의해결정
0tt =( )δτ ++=
−tMKetv
t
c 1000cos)(
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Ch. 8 The Complete Response of RL and RC Circuits
입력전압이
1) 상수인 경우
2) 지수함수인 경우
3) 정현파 입력인 경우를 고려
Step 1 : 회로가 변화되기 이전의 강제응답을 구함 (초기조건)
Step 2 : 회로가 동작한 이후의 강제응답
Step 3 : 완전응답을 구하기 위해 강제응답 + 자연응답
자연응답은 초기조건을 사용.
1차 회로의 완전응답을 얻기 위한 계획
OS VtV =)(τ/)( t
OS eVtV −⋅=
( )θω +⋅= tCosVtV OS )(
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Ch. 8 The Complete Response of RL and RC Circuits
장의 구성장의 구성
8.0 개요
8.1 설계문제
8.2 신호와 통신
8.3 상수 입력에 대한 1차 회로 응답
8.4 순차스위칭
8.5 1차 회로의 안정성
8.6 단위계단 전원
8.7 비 상수 입력에 대한 1차 회로 응답
8.8 미분 연산자
8.9 검증 예제
8.10 설계문제
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Figure 8.1-1(a) A printer connected to a laptop computer. (b) Two circuits connected by a cable and (c) an equivalent circuit.
8.1 Design Challenge8.1 Design Challenge
RG58 Cable : ]/[54.0 mr Ω=]/[88 mpFc =
송신기의 출력전압
OHV OLV논리 1: 논리 0:
TTL 사용 시 : ][4.2 VVOH = ][4.0 VVOL =
수신기의 입력전압
][0.2 VVIH = ][8.0 VVIL =
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Figure 8.1-2 Voltages that occur during a transition from a logic 0 to a logic 1.
지연시간Δt
송신율
2개의 TTL 회로가 RG58 케이블로 연결될 경우지연시간이 2[ns]보다 작게 하기위한 케이블의 길이는?
2개의 TTL 회로가 RG58 케이블로 연결될 경우지연시간이 2[ns]보다 작게 하기위한 케이블의 길이는?
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8.2 Signals and Communications8.2 Signals and Communications- 전기회로의 주된 응용분야 : 에너지 전달, 메시지 전달
- 신호의 전달방법은 시각마다 변화되는 전압 또는 전류 : 전화기
- 각종 신호의 종류
0)( Vtv =
0,0)( <= ttv
0,)( 0 >= tVtv
0,0)( <= ttv
0,)( 0 >= − teVtv at
직류
Step
Decayingexponential
0,0)( <= ttv0,)( ≥= tKttv
10 0,)( ttVtv <<=
elsewheretv ,0)( =
( )θω += tVtv sin)( 0
Ramp
Pulse
Sinusoid
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Figure 8.2-1Common forms of electrical signals shown on the screen of an oscilloscope. Courtesy of Panasonic Industrial Co.
전기통신 발전 연대표는 표 8.2-2를 참조
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Figure 8.2-2(a) An analog signal and the corresponding sampled signal. (b) A digital signal obtained by encoding the sampled signal.
- analog signal and digital signal examples
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Figure 8.2-3(a) A signal is sent from the transmitter to the receiver using a cable. (b) The cable is modeled as a first-order circuit.
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Figure 8.3-1(a) A first-order circuit containing a capacitor. (b) After the switch closes, the circuit connected to the capacitor is replaced by its Thévenin equivalent circuit.
8.3 The Response of a First-Order Circuit to a Constant Input8.3 The Response of a First-Order Circuit to a Constant Input
후, 일정한 값의 입력이 인가될 때 1차 회로의 완전 해를 구한다.0t
스위치 동작이전에는정상상태
0t : 스위치 동작 순간
soc VRR
RV32
3
+=
32
32
RRRRRTH +
=
테브난등가회로
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)()( tvdtdCti =
)()()()( tvtvdtdCRtvtiRV THTHOC +
=+=
CRV
CRtvtv
dtd
TH
OC
TH
=+ )()((8.3-1)
First order differential equation
KVL
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1차 미분 방정식의 다른 예1차 미분 방정식의 다른 예
Figure 8.3-2(a) A first-order circuit containing an inductor. (b) After the switch closes, the circuit connected to the inductor is replaced by its Norton equivalent circuit.
2RVI S
sc =
32
32
RRRRRTH +
=
)()( tidtdLtv =
)()(
)()( tiR
tidtdL
tiRtvI
THTHSC +=+=
SCTHTH ILRti
LRti
dtd =+ )()(
(8.3-2)
First order differential equation
KCL
노튼 등가회로
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CRV
CRtvtv
dtd
TH
OC
TH
=+ )()(
SCTHTH ILRti
LRti
dtd =+ )()(
Ktxtxdtd =+
τ)()(
- τ : Time constant1차 미분방정식의 해(변수분리형)1차 미분방정식의 해(변수분리형)
ττ )()( txK
dttdx −=
ττdt
xKdx =
−Ddt
Kxdx +−=− ∫∫ ττ
1적분상수
( ) DtKx +−=−τ
τ 1ln DtDteeeKx ⋅==−
−+−τττ11
ττt
AeKx−
+=
1차 미분방정식의 표준형
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ττt
AeKx−
+= 여기서 A는 회로의 초기조건으로부터 구한다.
t=0 의 순간에서
AKAeKx +=+=−
ττ τ0
)0(
[ ] τττt
eKxKtx−
−+= )0()(
τKxA −= )0(
(8.3-4)
τKtxxt
==∞∞>−
)(lim)(
[ ] τt
exxxtx−
∞−+∞= )()0()()(시정수(Time Constant)
오랜 시간 경과후
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Ch. 8 The Complete Response of RL and RC Circuits
응답에서 Time Constant를 구하는 방법 : 앞의 해를 미분하면
[ ] [ ] ττ
τ
tt
exxexxdtdx
dtdtx
dtd −−
∞−−=∞−+∞= )()0(1)()0()()(
[ ])()0(1)(0
∞−−==
xxtxdtd
t τ
0
)(
)0()(
=
−∞=
t
txdtd
xxτ(8.3-5)
[ ] τt
exxxtx−
∞−+∞= )()0()()(
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Figure 8.3-3A graphical technique for measuring the time constant of a first-order circuit.
식(8.3-4)의 그래프
0
)(
)0()(
=
−∞=
t
txdtd
xxτ
[ ] τττt
eKxKtx−
−+= )0()(
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1차 미분방정식의 해를 이용한 RC 회로의 적용
)()( tvtx =CRTH=τ CR
VKTH
OC=
식(8.3-4)에 대입
[ ] τττt
eKxKtx−
−+= )0()(
[ ] CRt
OCOCTHeVvVtv
−−+= )0()( (8.3-6)
완전응답 자연응답강제응답
)0()(,0 vtvt ==
OCOC VvVtvt ≅+== )0(0067.09933.0)(,5τ
CRV
CRtvtv
dtd
TH
OC
TH
=+ )()(
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1차 미분방정식의 해를 이용한 RL 회로의 적용
)()( titx = THRL=τ
SCTH
IRLK =
식(8.3-4)에 대입
[ ] τττt
eKxKtx−
−+= )0()(
[ ] tLR
SCSC
TH
eIiIti−
−+= )0()( (8.3-7)
완전응답 자연응답강제응답
SCTHTH ILRti
LRti
dtd =+ )()(
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Figure 8.3-4(a) A first-order circuit and (b) an equivalent circuit that is valid after the switch opens. (c) A plot of the complete response, v(t), given in Eq. 8.3-8.
Example 8.3-1Example 8.3-1스위치가 개방된 후의 커패시터 전압?
개방 후 50[ms] 시점의 커패시터 전압은?Sol.
상황 : 커패시터에 2[V]의 전압이일정하게 유지. (초기조건)
][2)0( Vv =
][8 VVoc = ][10 Ω= kRTH
][20][10201021010 363 mssCRTH =×=×××== −−τ
식(8.3-6)을 사용 [ ] CRt
OCOCTHeVvVtv
−−+= )0()(
][68)( 31020 Vetvt
−×−
−=
][51.768)05.0( 3
3
10201050
Vev =−= −
−
××−
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Figure 8.3-4(c) A plot of the complete response, v(t), given in Eq. 8.3-8.
][68)( 31020 Vetvt
−×−
−=
][51.768)05.0( 3
3
10201050
Vev =−= −
−
××−
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직접 해석직접 해석
)()( tvdtdCti =
)()()()( tvtvdtdCRtvtiRV THTHOC +
=+=
CRV
CRtvtv
dtd
TH
OC
TH
=+ )()(
][2)0( Vv =1) 초기조건
2) 회로방정식
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( )OCTH
VtvCR
tvdtd −−= )(1)(
( ) dtCR
tdvVtv THOC
1)()(1 −=−
CRV
CRtvtv
dtd
TH
OC
TH
=+ )()(
( ) DdtCR
tdvVtv THOC
+−=− ∫∫
1)()(1
( ) DtCR
VtvTH
OC +−=− 1)(ln
tCRD
tCR
DtCR
OCTHTHTH eAeeeVtv111
)(−−+−
===−
tCR
OCTHeAVtv1
)(−
+=초기조건을 대입하여 계수 A를 구함
02 eAVOC +=
682 −=−=A
tCRTHetv1
68)(−
−=
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Figure 8.3-5(a) A first-order circuit and (b) an equivalent circuit that is valid after the switch closes. (c) A plot of the complete response, i(t), given by Eq.8-3-9.
Example 8.3-2Example 8.3-2스위치 동작 후의 인덕터 전류?
인덕터 전류가 2[mA]에 도달하는 시간?Sol.
상황 : 인덕터 초기전류 (초기조건) ][0)0( Ai =
][4 mAISC = ][1000 Ω=THR
][5][1051000/105/ 63 ssRL TH µτ =×=×== −−
식(8.3-7)을 사용 [ ] tLR
SCSC
TH
eIiIti−
−+= )0()(
[ ] ][14404)( 66 105105 mAeetitt
−=−+= −− ×
−×
−
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][14)( 6105 mAetit
−= −×
−
−= −×
− 6105142t
e 에서 t 를 구하면
×−= −
21ln105 6t
][47.3][1047.3 6 ss µ=×= −
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Figure 8.3-6(a) A first-order circuit. The equivalent circuit for (b) t < 0 and (c) t > 0.
Example 8.3-3 Example 8.3-3
스위치가 닫힌 후, 커패시터의 전압?
초기조건
등가회로
][2.7126040
60)0( Vv =×+
=
][8126030
60 VVTH =×+
=
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스위치 동작 후의 등가회로
][8 VVoc = ][20 Ω= kRTH
][40][10401021020 363 mssCRTH =×=×××== −−τ
식(8.3-6)을 사용 [ ] CRt
OCOCTHeVvVtv
−−+= )0()(
][8.08)( 31040 Vetvt
−×−
−=
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Figure 8.3-7(a) A first-order circuit. The equivalent circuit for (b) t < 0 and (c) t > 0.
Example 8.3-4Example 8.3-4
스위치가 닫힌 후, 인덕터의 전류?
초기조건
][104030012)0( 3 Ai −×==
][106020012 3 AISC
−×==60
mA
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][106020012 3 AISC
−×== ][200 Ω=THR
][25][1025200/105/ 63 ssRL TH µτ =×=×== −−
식(8.3-7)을 사용 [ ] tLR
SCSC
TH
eIiIti−
−+= )0()(
[ ] ][2060][604060)( 66 10251025 mAemAetitt
−− ×−
×−
−=−+=
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Figure 8.3-8(a) A first-order circuit, (b) the circuit after the switch opens, and (c) the equivalent circuit after the switch opens.
Example 8.3-5Example 8.3-5
초기조건
][2)0( Vv =
4V
스위치 개방 후의 전류?
1) 커패시터의 전압을 구한다.
2) 입력과 커패시터 전압에 의한 마디방정식또는 메시방정식으로부터 전류를 구한다.
][486060
60 VVTH =×+
=
][603060606060 Ω=+
+×= kRTH
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][4 VVOC=
][120][101201021060 363 mssCRTH =×=×××== −−τ
식(8.3-6)을 사용 [ ] CRt
OCOCTHeVvVtv
−−+= )0()(
][24)( 310120 Vetvt
−×−
−=
마디전압 해석법 적용
4V
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][24)( 310120 Vetvt
−×−
−=
01030)(
106010608
333 =×−+
×+
×− tvvvv aaa
마디방정식
[ ] 0)(28 =−++− tvvvv aaa
3101204)(212 −×
−−=+=
t
a etvv
][7.167.661060
4
1060)( 3
3
101203
10120
3 Aee
vtit
t
a µ−
−
×−
×−
−=×
−
=×
=
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Example 8.3-6Example 8.3-6스위치가 개방된 후의 커패시터 전압?
개방 후 50[ms]일 때의 커패시터 전압?
Sol)
상황 : 커패시터에 2[V]의 전압이일정하게 유지. (초기조건)
][2)0( Vv =
][8 VVoc = ][10 Ω= kRTH
][20][10201021010 363 mssCRTH =×=×××== −−τ
식(8.3-6)을 사용 [ ] CRt
OCOCTHeVvVtv
−−+= )0()(
][68)( 31020 Vetvt
−×−
−=
][51.768)05.0( 3
3
10201050
Vev =−= −
−
××−
스위치가 t=50[ms]에서개방하는 것을 제외하고는예제 8.3.1과 동일
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][68)( 31020 Vetvt
−×−
−=
][51.768)05.0( 3
3
10201050
Vev =−= −
−
××−
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Example 8.3-7Example 8.3-7스위치 동작 후의 인덕터 전류?
인덕터 전류가 2[mA]에 도달하는 시간?
Sol.
상황 : 인덕터 초기전류 (초기조건) ][0)0( Ai =
][4 mAISC = ][1000 Ω=THR
][5][1051000/105/ 63 ssRL TH µτ =×=×== −−
식(8.3-7)을 사용 [ ] tLR
SCSC
TH
eIiIti−
−+= )0()(
[ ] ][14404)( 66 105105 mAeetitt
−=−+= −− ×
−×
−스위치가 t=10[us]에서 개방하는 것을 제외하고는예제 8.3.2와 동일
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[ ] ][14404)( 66 105105 mAeetitt
−=−+= −− ×
−×
−
−= −×
− 6105142t
e
×−= −
21ln105 6t
][47.3][1047.3 6 ss µ=×= −
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Figure E 8.3-1
Exercise 8.3-1Exercise 8.3-1
][3)0( Vv = 2=OCV 8=THR초기조건
][104.01005.08 66 sCRTH−− ×=××==τ
[ ] CRt
OCOCTHeVvVtv
−−+= )0()(
[ ] ττtt
eetv−−
+=−+= 2232)(
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Exercise 8.3-2Exercise 8.3-2
Figure E 8.3-2
초기조건
][3/1)0( Ai =
2=OCV8=THR
][75.04/38/6/ sRL TH ====τ
등가회로
][4/1 AISC =
[ ] tLR
SCSC
TH
eIiIti−
−+= )0()(
[ ] ττtt
eeti−−
⋅+=−+= 12/14/14/13/14/1)(
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Exercise 8.3-3Exercise 8.3-3
Figure E 8.3-3
초기조건
][1.01040160
120
4010161016
121016
10
)0( Ai =+
=+
+×+=
스위치 동작 후 등가회로
][5.040/20/ sRL TH ===τ
[ ] tLR
SCSC
TH
eIiIti−
−+= )0()(
[ ] ττtt
eeti−−
⋅−=−+= 2.03.03.01.03.0)(
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Exercise 8.3-4Exercise 8.3-4
Figure E 8.3-4
초기조건
][12)0( Vv =
스위치 동작 후의 회로
12=OCV 200=THR
][1041020200 36 sCRTH−− ×=××==τ
[ ] CRt
OCOCTHeVvVtv
−−+= )0()(
[ ] ][12121221)( Vetvt
=−+=−
τ
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Exercise 8.3-5Exercise 8.3-5
Figure E 8.3-5
Sol.
1) 스위치가 동작한 후의 인덕터 전류를 구하고
2) 옴법칙을 활용하여 전압을 구한다.
초기조건 0)0( =i스위치 동작 후 등가회로
9[V]
5[Ω]
45[Ω]
1/5[A]
][9/545/25/ sRL TH ===τ
[ ] ][2.02.02.002.0)( Aeetitt
ττ−−
⋅−=−+=
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[ ] ][2.02.02.002.0)( Aeetitt
ττ−−
⋅−=−+=
][8
2.05925)2.02.0(40
25)(40)(
Ve
ee
dtdititv
t
tt
τ
ττ
−
−−
+=
××+⋅−×=
+×=
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Exercise 8.3-6Exercise 8.3-6
Figure E 8.3-6
Sol.
1) 인덕터 전류
2) 전압
(1) 초기조건
][5.0)0( Ai =
(2) 스위치 동작 후의 등가회로
][60600400
600100 VvOC =+
×=][09375.0640/60 AiSC ==
640=THR
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][1015625.0640/1.0/ 3 sRL TH−×===τ(3) 시정수
(4) 전류 해
[ ] ττtt
eeti−−
+=−+= 40625.009375.009375.05.009375.0)(
(5) 전압 구하기
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τt
eti−
+= 40625.009375.0)(
][5.975.37
40625.01.06401.0)40625.009375.0(400
1.0)(400)(
Ve
ee
dtdititv
t
tt
τ
ττ
−
−−
−=
×−×++×=
+×=
][1015625.0640/1.0/ 3 sRL TH−×===τ
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Figure 8.4-1(a) A circuit with sequential switching. (b) The equivalent circuit before t = 0. (c) The equivalent circuit for 0 < t < l ms. (d) The equivalent circuit after t = 1 ms.
8.4 Sequential Switching8.4 Sequential Switching
동일 회로 내에서, 다른 시각에 동작하는 2개 이상의 스위치 동작
10)( =ti
10)0()0( == −+ ii
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Sol.
][10 mst <<
0=SCI
][10)0()0( Aii == −+
2=THR
][1][1012/102 33 mss =×=×= −−τ
[ ] ][100100)( Aeetitt
ττ−−
=−+=
t=1[ms] 에서 회로 변화 이 때의 상태 조건(초기조건)이 요구
][68.310)1( 001.0001.0
Aei ==−
초기조건
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][68.3)1()1( Aii =−=+
][1 mst<
0=SCI 1=THR
][2][1021/102 33 mss =×=×= −−τ
[ ] ][68.3068.30)( Aeetitt
ττ−−
=−+=
초기조건
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Figure 8.4-2Current waveform for t ≥ 0. The exponential has a different time constant for 0 ≤ t < t1 and for t ≥ t1 where t1 = 1 ms.
][68.3)( Aetit
τ−
=
][10)( Aetit
τ−
= ][1ms=τ
][2 ms=τ
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Figure 8.4-3 A comparator.
=)(tvO−+ > vvVH
−+ < vvVL
비교기(Comparator)의 동작비교기(Comparator)의 동작
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Figure 8.4-4A comparator is used to compare the capacitor voltage, vc (t), to a threshold voltage, VT.
1차 회로를 사용한 비교기
)0(CTA vVV >>초기 가정 :
=)(tvOTCH VtvV >)(
TCL VtvV <)(
[ ] τt
ACAC eVvVtv−
−+= )0()(
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비교기의 출력이 변화되는 시각계산 1t
[ ] τ1
)0(t
ACAT eVvVV−
−+=
−
−=AT
AC
VVVvt )0(ln1 τ (8.4-1)
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Figure 8.4-5The initial capacitor voltage is vc(0) = 1.667 volts, and the comparator output is to switch from VL = 0 to VH = 5 volts at time t1 = 1 ms.
Exam. 8.4-1Exam. 8.4-1
][35667.1)0( VvC ==
에서 출력이 변화하기 위한 R?][11 mst =
Sol. 식 (8.4-1)을 사용
001.0)2ln(1053/1053/5ln101)0(ln 66
1 =×=
−−××=
−
−= −− RRVVVvtAT
ACτ
R에 대해서 풀면 ][44.110)2ln(
1016
3
Ω=×
×= −
−
kR
[ ] τ1
)0(t
ACAT eVvVV−
−+=
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Figure 8.4-6A comparator is used to compare the resistor voltage, vR(t), to a threshold voltage, VT.
Exam. 8.4-2Exam. 8.4-2
)(tvR Tv
)0(LTA RiVV >>
일 때, 비교기 출력전압이 바뀌는시각은?
Sol. )()( tRitv LR =t
LR
AL
AL e
RVi
RVti
−
−+= )0()(
t1은 일 때의 시각TL VtRi =)(
( ) 1)0(t
LR
ALAT eVRiVV−
−+=
−
−=AT
AL
VVVRi
RLt )0(ln1
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Exercise 8.4-1Exercise 8.4-1
Figure E 8.4-1
][5.1)0( Vvc =
비교기 출력이 t1=1[ms]에서 변화되기위한 VT 값은?
Sol.
[ ] [ ] ][88.255.15)0( 63
31
101102101
VeeVvVVt
ACAT =−+=−+= −
−
××××−−
τ
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Exercise 8.4-2Exercise 8.4-2
Figure E 8.4-2
][1)0( mAiL =
비교기 출력이 t1=10[ms]에서 변화되기위한 L 값은?
Sol.
−+=×=
− tLR
AL
ALR e
RVi
RVtitv )0(300)(300)(
5.15005101
5005300
310105003 =
−×+=
−×−− Le
][51.8
51050055.05ln
5
5005101
5005
3005.1
ln
5
3
3
HL =
−×−×
−=
−×
−
−=
−
−
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8.5 Stability of First-Order Circuits8.5 Stability of First-Order Circuits
1차 회로의 자연응답τt
n Ketx−
=)(
1차 회로의 완전 응답 = 자연응답 + 강제응답 )()()( txtxtx fn +=
자연응답
: 자연응답은 영으로 수렴 안정∞→> t,0τ
∞→< t,0τ : 자연응답은 무한값으로 발산 불안정
안정된 1차 회로의 설계 0>==TH
TH RLCRτ
회로 구성에 있어서 등가저항은 음의 값을 가질 수도 있다 :
연산증폭기, 트랜지스터 등의 종속전원이 포함된 회로
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Figure 8.5-1(a) A first-order circuit containing a dependent source. (b) The circuit used to calculate the initial condition. (c) The circuit used to calculate Voc. (d) The circuit used to calculate RTH.
Exam. 8.5-1Exam. 8.5-1
종속전원이 포함된 회로에서스위치 동작 후의 커패시터 전압을 구하라?
Sol.
초기조건 계산등가회로
초기조건계산 테브난 등가회로 정상응답
종속전류원
마디에서 KCL 적용
0)(2)( =− titi0)0( =i
][12)0( Vv =
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Figure 8.5-1(a) A first-order circuit containing a dependent source. (b) The circuit used to calculate the initial condition. (c) The circuit used to calculate Voc. (d) The circuit used to calculate RTH.
스위치 동작 후 테브난 등가회로
OCv 루프의 전압방정식
iii ××−=−××+××= 333 105)(101010512
][104.2 3 Ai −×−=
][241010)( 3 VivOC =××−=
종속전원이 있을 경우 등가저항은?
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등가저항을 구하기 위한 등가회로
외부전원인가
T
TTH IVR =
전압방정식 : ( ) ( ) 021010105 33 =−+××+× iiIi T TIi 2=
( ) ( ) ( ) 33 101021010 ××−=−+××= TTT IiiIV
][1010 3 Ω×−==T
TTH I
VR 등가저항이 음수로 됨불안정한 회로
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310201224)( −×−=t
etv
회로가 불안정할 경우 강제응답을 정상상태 응답으로 간주하는것은 적절하지 못함
][241010)( 3 VivOC =××−=
][1010 3 Ω×−==T
TTH I
VR
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Figure 8.5-2(a) A first order circuit containing a dependent source. (b) The circuit used to calculate the Thévenin resistance of the part of the circuit connected to the capacitor.
Exam 8.5-2Exam 8.5-2이 회로가 안정하기 위한 종속전원의 계수 B=?
회로의 시정수는 20[ms]가 되도록 설계.
Sol.
초기조건은 앞의 예제와 동일
테브난 등가저항 계산으로부터해를 구한다.
테브난 등가저항 계산을 위한 회로
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전압방정식 : 0105 3 =+× TVi 3105×−= TVi
종속전원 상위마디에 KCL 01010 3 =−
×++− T
T IVBii
010101
1051
33 =−
×+
×−
TT IVB
BBIVR
T
TTH 23
1010
10101
1051
13
33−×=
×+
×−==
등가저항이 양의 값이 되기 위한 조건은 2/3<B
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시정수 20[ms]의 조건으로부터
][10101021020 3
6
3
Ω×=××== −
−
CRTH
τ
33
1010231010 ×=
−×=B
RTH 1=B
결과적으로 B=1 이면 회로는 안정하게 동작한다.
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Figure 8.6-1Application of a constant-voltage source at t = t0 using two switches both acting at t = t0.
8.6 The Unit Step Source8.6 The Unit Step Source
0tt < 0=Output
0tt > 1=Output단위계단함수
><
=−0
00 1
0)(
tttt
ttu (8.6-1)
t=t0 에서는 크기가 정의되지 않으며,
순간적으로 0 1로 변함.Figure 8.6-2Unit step forcing function. u(t − t0).
0tt <
0tt >
0=v
0Vv =
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Figure 8.6-1Application of a constant-voltage source at t = t0 using two switches both acting at t = t0.
)()( 0ttuVtv O −=
Figure 8.6-3Single-switch equivalent circuit for the step voltage source.
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Figure 8.6-4Symbol for the step voltage source of magnitude V0 applied at t = t0.
계단 전압원 기호
• 계단응답
회로의 초기조건은 영 상태에서
계단 전압원이 공급될 때의 회로 응답
함수)( tu −
><
=−0001
)(tt
tu
><
=−0
00 0
1)(
tttt
ttu
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Figure 8.6-5(a) Rectangular voltage pulse. (b) Two-step voltage waveforms that yield the voltage pulse.
Pulse Source
<<<<
=tttttVtt
tv O
1
10
0
0
0)(
Figure 8.6-6Two-step voltage sources that yield a rectangular voltage pulse, v(t) with a magnitude of V0 and a duration of (t1 − t0) where t0 < t1.
)( 0ttuVO −
)( 1ttuVO −−
)()()( 10 ttuVttuVtv OO −−−=
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• 단위계단함수는 이상적인 모델임을 명심
• 실제, t=t0 에서 순간적으로 스위칭 되는 소자는 존재하지 않음
전환시간이 매우 짧은 경우(예: 1ns) , 순간적인 스위칭으로 간주
회로의 시정수에 비해 스위칭 시간이 짧으면 무시 가능
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Figure 8.6-7Pulse source connected to an RL circuit. The pulse is generated by the combination of two-step voltage sources each with units in volts.
RL회로에 펄스전원 인가
t0=0로 가정.
펄스신호는 지속시간 동안영이 아닌 일정한 값
01 ttt −=∆
0)0( =i 상태에서 펄스 인가
?)( =ti
중첩의 원리 적용
21 iii +=
−=
−−τntt
O eRVi 1
0≥t
1tt ≥
−=
−τt
O eRVi 11
−=
−−=
−−−−11
11
2ττtt
Ott
O eRVe
RVi
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전체 전류
−
−
=+=−
−
1
1
121ττ
τ
ttO
tO
eeRV
eRV
iii10 tt ≤<
1tt >
Figure 8.6-8Response of the RL circuit shown in Figure 8.6-7.
−=
−τ1
1)( 1t
O eRVti
−=
−1)2(
112
1ττtt
O eeRVti
−=
−−ττ11 2 tt
O eeRV
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Example. 8.6-1Example. 8.6-1
)(84)( tutvs −=
?)(0 =ti
Sol
0<t
0>t
4)( =tvs
][2.020/4)0(0 Ai ==
[sec]5.020/10/ === RLτ
τt
eiiiti−
∞−+∞= )]()0([)()(
ττtt
eeti−−
+−=−−+−= 4.02.0)]2.0(2.0[2.0)(
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Example 8.6-2Example 8.6-2
)(147)( tutvs −=
?)(0 =tv
Sol
0<t
0>t
7)( =tvs
][375.48/57)0(0 Vv =×=
[sec]8625.046.05353 =
+⋅== CRTHτ
τt
evvvtv−
∞−+∞= )]()0([)()(0
ττtt
eetv−−
+−=
×−−×+×−= 75.8375.4]
857
857[
857)(0
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Figure E 8.6-1
Exercise 8.6-1Exercise 8.6-10)0( =−v ][10 AI =
5.01 =t 일 때
Sol.
][10 st << 동안의 응답?
2구간으로 나누어 해석
][5.00 st <<
][15.0 st <<
?)( =tv
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10 tt <<
110 =×= IVOC
0)0()0( =+=− vv초기조건 :
1)( =∞v [ ] CRt
OCOCTHeVvVtv
−−+= )0()(
[ ] tt
eetv 101.0 1101)( −−−=−+=
τt
Aevtv−
+∞= )()(RC 직렬회로의표준응답
초기조건을 대입하여 A를 구함
01)0( 0 =+= Aev1−=A
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tt <1초기조건 :
0)( =∞v
5.01 == tttetv 101)( −−=
5.0101 1)( ×−−= etv
τt
evvvtv−
∞−+∞= )]()0([)()(
( ) ττtt
eeetvtv−−−
−=−+= 51 1]0)([0)(
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tetv 101)( −−= ( ) τt
eetv−−−= 51)(
tt <110 tt <<
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Exercise 8.6-2Exercise 8.6-2
Figure E 8.6-2
?)( =tv
][1001 mst = ][1.0 FC µ= ][200 Ω= kR
Sol.
tt <110 tt <<
2개의 구간으로 나누어 해석
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10 tt <<a)
0)0()0( =+=− vv초기조건 :
10)( =∞v
τt
Aevtv−
+∞= )()(RC 직렬회로의표준응답
010)0( 0 =+= Aev
10−=A
초기조건을 대입하여 A를 구함
−=
−τt
etv 110)(
][1020101.010200 363 sRC −− ×=×××==τ
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][9326.9110)( 3
3
102010100
1 Vetv =
−= −
−
××
−
tt <1b)
초기조건
시정수는 변동 없음
τt
Aevtv−
+∞= )()(
0)( =∞v
RC 직렬회로의표준응답
9326.90)( 01 =+= Aetv
9326.9=A
초기조건을 대입하여 A를 구함 τt
etv−
= 9326.9)(
2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 83
Ch. 8 The Complete Response of RL and RC Circuits
Figure E 8.6-3
Exercise 8.6-3Exercise 8.6-3
?)( =ti
Sol. 입력전류 파형이 폭 0.2[s]의 펄스형태이므로 2개의 구간으로 나누어 해석
tt <110 tt <<
2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 84
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10 tt << ][2.01 st =
0)0()0( =+=− ii초기조건 :
][5)( Ai =∞
τt
Aeiti−
+∞= )()(
RL 회로의 표준응답
05)0( 0 =+= Aei
5−=A
초기조건을 대입하여 A를 구함
−=
−τt
eti 15)(
][1.02/2.0/ sRL ===τ정상조건 :
시정수 :
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2007-10-05
부경대학교 전기제어계측공학부 29
2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 85
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tt <1
][323.415)2.0( 1.02.0
Aei =
−=
−초기조건 :
][0)( Ai =∞정상조건 :
τt
Aeiti−
+∞= )()(
RL 회로의 표준응답
323.40)0( 0 =+= Aei
323.4=A
초기조건을 대입하여 A를 구함τt
eti−
= 323.4)(
2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 86
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tt <1
10 tt <<
τt
eti−
= 323.4)(
−=
−τt
eti 15)(