44 N M N A R E N N R 2 2 0 0 2

Begreppskartor

ett verktyg fr bttre frstelse

Lrare och elever kan ha nytta av att stanna upp och reflektera ver hur olika matematiska begrepp hnger ihop.

I det sammanhanget kan begreppskartor vara ett ndamlsenligt verktyg.

Min morbror, som r matematik-lrare, pstod att fram till och med gymnasiet mter eleverna inte matematiken, de rknar! Utgende frn mina egna erfarenheter r jag beredd att hlla med. Under min skolgng och ven senare p universitetet har matema-tik till mycket stor del handlat om typtal, gamla tentor, algoritmer och memorering av dessa fr att lsa uppgifter. Inom peda-gogisk forskning har studier sedan lnge visat att elever till stor del lr sig utantill och ofta har en ytlig frstelse av mnena i skolan (Marton et al, 1977). Den lran-deprocess som bestod i att vi lser sida upp och sida ner av vningsupp-gifter ... hller i skrivande stund p att bli historia, skriver Slj (2000). Slj menar att minirknare och datorer har tagit ver mycket av algoritmrkningen men pongterar vikten av att vi frstr de principer som gller fr hur matematis-ka operationer fungerar och hur man skall tnka nr man anvnder dem. Jag anser, vilket ven forskningen stder (Sfard,

1991), att vgen till frstelse delvis gr genom rkning men att vi mste hjlpa eleverna att reflektera ver vad de rknar p och hur det hr ihop med vad de rk-nade p igr, i frra veckan och ven vad de senare skall rkna p.

Ett explicit verktyg fr att uppmuntra eleverna att reflektera ver sitt eget lran-de kan vara begreppskartor (eng. concept maps). Begreppskartor introducerades av Joseph D Novak p 1960-talet och bestr

av hierarkiskt ordnade begrepp som r frbund-na med namngivna ln-kar som tillsammans bil-dar pstenden (se figur 1). Frstelse av begrepp och samband mellan olika begrepp r viktigt fr att

utveckla ett matematiskt tnkande. Dessa begreppskartor kan ge verblick ver str-re eller mindre omrden inom matemati-ken och fungerar bra som komplement till andra moment i matematikundervisning-en. Jag tnkte kort presentera hur kon-struktioner av begreppskartor kan anvn-das fr undervisning/inlrning, examina-tion och inom didaktisk forskning.

ANDREAS ANDERSSON

Andreas Andersson

r doktorand i Matematik

med mnesdidaktisk inriktning

vid Mlardalens Hgskola

NMNAREN NR 2 2002 45

Anvndning av begreppskartor

Undervisning/InlrningBegreppskartors anvndning i undervis-ning fungerar p alla stadier. Novak fr-klarar utfrligt i boken Learning how to learn (1984) hur begreppskartor kan introduceras fr elever i olika ldersgrup-per. Som lrare uppfattar jag det som nyttigt att infr ett undervisningstillflle konstruera en eller fler egna begreppskar-tor. Det hjlper mig att klargra viktiga begrepp och ger mig anledning att nog-grant fundera ver vilka slags relationer det finns mellan begreppen.

Jag ser mjligheter att anvnda begrepps-kartor som introduktion, repetition samt under sjlva kursen. Begreppskartor kan fungera som ett stt att synliggra elevers

frkunskaper vid introduktion av ett nytt omrde inom matematiken fr att dri-genom lttare kunna bygga vidare p dessa frkunskaper. Som grupparbetesuppgift lmpar sig begreppskartor bra. Eleverna kan frst konstruera egna begreppskartor, exempelvis utifrn en lista av begrepp som lraren har skrivit p tavlan, och drefter delas klassen in i grupper fr att diskutera dessa och enas om ett gemensamt frslag. Gruppernas begreppskartor kan pryda vggarna i klassrummet fr att eventuellt skapa ytterligare diskussioner i klassen.

Begreppskartor anvnds ven fr inlr-ning och strukturering bland doktorander. En doktorandkollega beskrev hur en lrare

Linjr algebra

RotationerSpeglingar

Linjra ekva-tionssystem Avbildningar

Differential-ekvationer

DatorgrafikKemiska jmvikter

Luftstrmmarkring flygplan

Figur 1: Begreppskarta som jag ritade upp under frsta lektionen i Linjr algebra fr att visa p tnkbara praktiska tillmpningar.

uppkommer vid

studier av

uppkommer vid

studier av

uppkommer vid lsning av t ext ex

behandlar behandlar

anvnds inom anvnds inom

46 N M N A R E N N R 2 2 0 0 2

hade konstruerat en begreppskarta under slutet av kursen vilket hade hjlpt honom att bttre frst kursens moment och hur dessa hrde ihop. En annan kollega anvn-der begreppskartor i sin forskning om finansiell matematik fr att f en verblick ver vad han har gjort inom sitt forsk-ningsprojekt och hur han skall g vidare.

Det r ofta vldigt nyttigt att konstru-era tv eller flera efterfljande begrepps-kartor fr samma omrde ty den andra r ofta avsevrt bttre n den frsta. Det finns ven goda mjligheter fr elever att bygga vidare p deras redan pbrjade begreppskartor vilket frhoppningsvis kan strka deras knsla fr kontinuitet i under-visningen.

Den aspekt som Novak betonar mest r att begreppskartor ger lraren mjlighe-ter att upptcka elevers missuppfattning-ar och drmed mjlighet att hjlpa elever-na att rtta till dessa. Didaktisk forskning betonar dock alltmer att lrare br foku-sera p vad elever kan istllet fr p deras missuppfattningar.

ExaminationStudier, och skert dina erfarenheter, har visat att examinationsform och innehllet i examinationerna till stor del styr vad eleverna lr sig. Bolte (1999) visar hur begreppskartor tillsammans med skrivna esser utgr en uppskattad och rttvisan-de examinationsform, om det nu finns sdana. Bedmningen av begreppskartor kan gras enligt flera kriterier. Vanligen bedms den hierarkiska strukturen, begreppens antal, lnkarna och deras namngivning samt tillhrande exempel. Fr utfrligare diskussioner om bedm-ning av begreppskartor rekommenderas Novak (1984), Bolte (1999), Chinnappan et al (1999). Begreppskartor kan ven vara bra som underlag fr muntlig tentamen dr de kan anvndas som diskussionsun-derlag.

ForskningBegreppskartor har anvnts och anvnds bde fr kvantitativa och kvalitativa stu-dier. I de kvantitativa bedms begreppskar-torna enligt liknade kriterier som beskrevs ovan. Det har visat sig vara mest utslagsgi-vande att helt enkelt ge studenter ett tomt papper och ge dem i uppgift att konstru-era en begreppskarta ver det givna omr-det, se Ruiz-Primo (2000). Andra alter-nativ kan vara att ge dem begreppen och lta dem gra kopplingarna sjlva eller att ge dem en frdig begreppskarta dr vissa begrepp och lnkord tagits bort.

Vid kvalitativa studier beskrivs oftast ett litet antal elevers frstelse. Begrepps-kartor kombineras med intervjuer, diskus-sioner mellan elever om begreppskartor eller att elever uppmuntras till att bertta hur de tnker nr de ritar begreppskartor-na. Dessa tre situationer videofilmas fr att sedan kunna analyseras ingende. Syftet r d att mer noggrant beskriva hur elever tnker och resonerar. Allmnt r beskri-vande kvalitativa studier vanliga inom det matematikdidaktiska forskningsfltet.

AvslutningJag vill med figur 2 visa ytterligare ett exempel p hur en begreppskarta kan se ut. Denna visar p samband mellan olika typer av fyrhrningar. Figurerna visar att begreppskartor kan vara olika stora samt kan beskriva mnga olika omrden. Novak utvecklade ursprungligen begreppskartor i syfte att anvnda dem inom fysikunder-visningen och jag har sett mnga exempel p att de anvnds bde inom humaniora och samhllsvetenskap.

Det r viktigt att vi i skolan komplette-rar rkning och algoritmer med vningar dr elever ges mjlighet att reflektera ver uppbyggnaden och sammanhangen inom matematiken. Om vi bortser frn detta blir matematikinlrningen som att lsa en roman dr vi inte alls frstr samman-hangen mellan de olika kapitlen i boken.

NMNAREN NR 2 2002 47

Detta tror jag leder till att eleverna tappar trden och drigenom intresset fr mate-matiken.

I mina forskningsstudier i matematik med mnesdidaktisk inriktning har jag fr avsikt att p ngot stt anvnda mig av begreppskartor eller studera deras effek-ter p elevers frstelse. Om ni har erfa-renheter eller frgor om begreppskartor fr ni grna hra av er till mig p adressen: andreas.andersson@mdh.se

REFERENSER

Bolte, L. (1999) Using Concept Maps and Interpretive Essays for Assessment in Mat-hematics. School Science and Mathematics. Official Journal of the School Science and Mathematics Association. v. 99(1) p. 19-30.

Chinnappan, M., Lawson, M. & Nason, R. (1999). The use of concept mapping proce-dure to characterise teachers mathematical content knowledge. Making the difference. Proceedings. Editor(s): Truran, J. M., Truran, K. M. Mathematics Education Research Group of Australasia Inc., Sydney, NSW (Australia) 1999. p. 167-176.

Marton, F. m fl. (1977). Inlrning och omvrldsuppfattning. Stockholm. AWE/Geber.

Novak, J., Gowin B. (1985). Learning how to learn. Cambridge University Press. N.Y.

Ruiz-Primo, M. A., Schultz, S. E. & Sha-velson, R. J. (2001). Comparison of the Re liability and Validity of Scores from Two Concept-mapping Techniques. Journal of Research in Science Teaching, Vol. 38, No. 2, p. 260-278.

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mat-hematical conceptions: Reflections on pro-cesses and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathema-tics 22: 1-36.

Slj, R. (2000). Lrande i praktiken. Stock-holm. PRISMA.

Figur 2: Begreppskarta ver fyrhrningar.

Fyrhrningar

Romb

Parallellogram Trapetsoid

Rektangel

Kvadrater

med tv par parallella sidor

med ett par parallella sidor

med sidor av samma lngd

med rta vinklar

med rta vinklarmed sidor av samma lngd