IN3190/4190 Digital signalbehandling

Andreas Austeng og Stine Hverven (INF3470/4470, H18).

Repetisjon av komplekse tall og trigonometri

Mål

• Beherske komplekse tall.• Beherske trigonometriske funksjoner.• Huske og forstå de fleste trigonometriske identiteter.

= Matematisk grunnlag for faget. Forventet at dere kan dette fra tidligere fag.

18.08.2019 3

Komplekse tall

• a = Re{z} er realdelen til z• b = Im{z} er imaginærdelen til z• j = roten av -1, (j2 = -1): den imaginære

enheten

• i eller j– Opprinnelig stod i for imaginær: matematikk– I elektrofag er i strøm, derfor brukes heller j

18.08.2019 4

z = a + jb

Komplekse tall: Sum og produkt

Regning følger vanlig aritmetikk, med j2 = -1

Gitt at vi har: z1 = a1 + jb1 og z2 = a2 + jb2

• Sum: z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)

• Produkt: z1z2 = (a1 a2 - b1b2) + j(a1b2 + a2b1)

18.08.2019 5

Komplekse tall: Visualisering ogkoordinatsystemer• Reelle tall: et punkt på en tallinje• Komplekse tall: et punkt i planet.

– Caspar Wessel 1799• Regneoperasjoner à vektoroperasjoner.

• To mulige koordinatsystemer: – kartesiske koord. – polarkoord.

18.08.2019 6Kilde: Wikipedia

Komplekse tall på kartesisk form

• Realdel: a = r cos(φ) = Re{z}

• Imaginærdel: b = r sin(φ) = Im{z}

• Gir enkel addisjonz1+z2 = a1+a2 + j(b1+b2)

18.08.2019 7

z = a + jb

Komplekse tall på polarform

• Tallverdi, magnitude:r = (a2 + b2)1/2 = |z|

• Fase:φ = tan-1(b/a)= ang{z}

• Gir enkel multiplikasjon:z1 ! z2 = r1! r2 e j(φ1+ φ2)

18.08.2019 8

# = %&'( Komplekse tall: komplekskonjugering

Kartesisk form:z* = (x + jy)* = x – jy

Polar form:z* = (rejφ)* = re-jφ

18.08.2019 9Kilde: Wikipedia

Komplekse tall: komplekskonjugering

Multiplikasjon:zz* = (a + jb)(a - jb) = a2 + b2 = |z|2

Addisjon:z + z* = (a + jb) + (a - jb) = 2a = 2Re{z}

Subtraksjon:z - z* = (a + jb) - (a - jb) = 2jb = 2j·Im{z}

18.08.2019 10Kilde: Wikipedia

Komplekse tall og trigonometri

• Eulers identiteter:

• Så en tidsavhengig cosinusfunksjon med frekvens f og fase φ:

18.08.2019 11

Komplekse tall og trigonometri

• cos2φ + sin2φ= ?

!" (ejφ + e−jφ)

"

+!"& (ejφ − e−jφ)

"

= ?

18.08.2019 12

Komplekse tall og trigonometri

• cos2φ + sin2φ =!" (ejφ + e−jφ)

"

+!"& (ejφ − e−jφ)

"

= ?

!' ej2φ + 2 + e−j2φ − !

' ej2φ − 2 + e−j2φ = 1

• Viktig resultat som er lett å utlede med komplekse eksp.

• Tilsvarende lett å finne cos(2φ), sin(2φ), cos(φ/2), osv.

18.08.2019 13

Komplekse tall og trigonometri

• Eksempel 1: Modulasjon

cos(φ1)cos(φ2) = ?

= (1/2)(cos(φ1 + φ2) + cos(φ1 - φ2))

– hvis φ1=ω1t & φ2=ω2t dannes det nye frekvenser (ω1+ω2 & ω1-ω2)

18.08.2019 14

Komplekse tall og trigonometri

• Eksempel 2: Sum av cosinuser med samme frekvens

åkAkcos(2πft + φk) = ? der Aejφ = åk {Akejφk}

= Acos(2πft + φ)

• Eksponensialform er mye enklere å bruke for regning i disseeksemplene.

18.08.2019 15

Kompleks amplitude (fasor)

• Acos &' + ) = Re A-. /012 = Re A-.2 3 -./0

• https://en.wikipedia.org/wiki/Phasor#/media/File:Unfasor.gif

18.08.2019 16

Kompleks amplitude (fasor) - addisjon

• 2 stk cosinuser med lik frekvens og ulik fase:

A"cos &' + )" + A*cos &' + )* =?

18.08.2019 17

Kompleks amplitude (fasor) - addisjon

• 2 stk cosinuser med lik frekvens og ulik fase:

A"cos &' + )" + A*cos &' + )* =?

Re A"/0 12345 + Re A*/0 12346 =Re A"/0 12345 + A*/0 12346 =

18.08.2019 18

Kompleks amplitude (fasor) - addisjon

• 2 stk cosinuser med lik frekvens og ulik fase:A"cos &' + )" + A*cos &' + )* =?Re A"/0 12345 + Re A*/0 12346 =Re A"/0 12345 + A*/0 12346 =

Re /012(A"/045 + A*/046) =Re /012 9 A:/04; =A:cos &' + ):

18.08.2019 19

Kompleks amplitude (fasor) - addisjon

• Hva er A" og #"? A"$%&' = (A* $%&+ + A-$%&.)

Skriver om til reell og imaginær del og får:

18.08.2019 20

Kompleks amplitude (fasor) - addisjon

• Hva er A" og #"? A"$%&' = (A* $%&+ + A-$%&.)

Skriver om til reell og imaginær del og får:

• A"- = (A*cos#* + A-cos#-)- + (A*sin#* + A-sin#-)-

• #"=arctan 9+sin&+:9.sin&.9+cos&+:9.cos&.

18.08.2019 21

Potensfunksjoner, a"

• Potens a"; grunntall a, eksponent b• a"$% = a" ' a%

• ()*= +,*

• Oppg: (2 + j)6 = ?

18.08.2019 22

Potensfunksjoner, a"

• Potens a"; grunntall a, eksponent b• a"$% = a" ' a%

• ()*= +,*

• Oppg: (2 + j)6 = 26 + 2 ' 2j + j6 = 3 + 4j

• i slike oppgaver skal svaret alltid på formen a + jb

18.08.2019 23

Geometriske rekker

• Sum av konvergent geometrisk rekke (brukes mye!)

!"#$

%&'(" = *

1 − (-1 − (.

( ≠ 1

( = 1

• Uendelig rekke, dvs M → ∞:

!"#$

3(" = 1

1 − ( , |(| < 1

18.08.2019 24

Utledes i fasit til Øving 1

Periodiske, diskrete funksjoner

• cos(0.25* + ,-) vs. cos(/* + ,

-) ?

• cos(2/F1* + 2) er periodisk hvis frekvensen F1 kan skrives på formen: F1 = k/N der k og N er heltall, og N=perioden

• Eksempel: cosinussignal med egentlig periode på 10 sek. Vi sampler hvert 0.5 sek. Hva blir vår diskrete cosinusfunksjon?

18.08.2019 25

18.08.2019 26

Tips: • Magnituderespons er plott av |X( ... )|.• Siden e^{j...} er periodisk, holder det å beregne

for noen utvalgte verdier mellom 0 og pi.• Fasen er «phi» når skrevet på formen

A exp{j «phi»}