Andrés Zarabozo Martínez Propulsión. Problemas³n... · Problema 5. Tobera aerospike ... (en el análisis del diseño), en otras palabras, no están relacionados. Andrés Zarabozo

Andrés Zarabozo Martínez

Propulsión. Problemas

Ingeniería Aeronáutica

ETSEIAT

2011

Andrés Zarabozo Martínez Propulsión. Problemas

- 2 -

Acerca de estos apuntes

Estos apuntes se han realizado para cubrir el temario de la asignatura “Propulsión”, que se imparte

en el cuarto curso de Ingeniería Aeronáutica, en la Escola Tècnica Superior d’Enginyeries Industrial i

Aeronàutica de Terrassa, de la Universitat Politècnica de Catalunya (ETSEIAT – UPC).

Licencia

Esta obra está bajo una licencia Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-SA 3.0) de

Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite:

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es_ES

En líneas generales:

Es libre de:

Compartir – Copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra.

Transformar la obra y crear obras derivadas.

Hacer un uso comercial de esta obra.

Bajo las condiciones siguientes:

Reconocimiento — Debe reconocer al autor de la obra original (pero no de una manera que

sugiera que tiene su apoyo o apoya el uso que hace de su obra).

Compartir bajo la Misma Licencia — Si altera o transforma esta obra, o genera una obra

derivada, sólo puede distribuir la obra generada bajo una licencia idéntica a ésta.


- 3 -

0. Índice

0. Índice ............................................................................................................................................... 3

1. Aerorreactores ................................................................................................................................ 4

Problema 1. Consumo específico respecto al peso del motor ........................................................ 4

Problema 2. Parámetro de flujo de masa en función de Mach ....................................................... 7

Problema 3. Variaciones del flujo en función del Mach ................................................................ 11

Problema 4. Problema teórico ...................................................................................................... 14

Problema 5. Boeing 707 ................................................................................................................ 17

Problema 6. Turbofán para el B707 ............................................................................................... 22

Problema 7. Variaciones del empuje adimensional e impulso específico .................................... 27

Problema 8. Estatorreactor ........................................................................................................... 33

Problema 9. Resistencia de entrada .............................................................................................. 36

Problema 10. Compresor ............................................................................................................. 39

Problema 11. Turbina .................................................................................................................. 44

Problema 12. Actuaciones de un UAV ......................................................................................... 47

Problema 13. Actuaciones de un caza ......................................................................................... 51

2. Motor cohete ................................................................................................................................ 56

Problema 1. Calculo de empujes y de áreas de un motor cohete ................................................. 56

Problema 2. Aplicación de la segunda ley de Newton .................................................................. 63

Problema 3. Sistema de defensa antiaérea basado en misiles ..................................................... 66

Problema 4. Perdidas por efecto de la no uniformidad ................................................................ 70

Problema 5. Tobera aerospike ...................................................................................................... 72

Problema 6. Estudio de tobera utilizando el método de las características ................................. 76

Problema 7. Cohete de agua ......................................................................................................... 85

Problema 8. Diseño de una tobera ideal bidimensional ............................................................... 88

Problema 9. Efecto de partículas en el flujo .................................................................................. 95


- 4 -

1. Aerorreactores

Problema 1. Consumo específico respecto al peso del motor

El principal objetivo de los desarrolladores de motores es obtener un consumo específico de

combustible mínimo. Menos combustible quemado permite más carga de pago en los aviones. Pero

desafortunadamente la reducción en el consumo específico de combustible implica motores más

grandes y pesados (debido a relaciones de presiones mayores y relaciones de derivación).

Asumiendo que la masa de la aeronave al principio del vuelo en crucero es , y que tanto la

relación entre la sustentación y la resistencia ( ) y el consumo específico del empuje son

constantes para todo el vuelo de crucero. Se pide lo siguiente

a. Encontrar la masa de combustible en crucero como una función de y .

b. Para el caso de un vuelo de corto/medio alcance (con ), simplificar la expresión

anterior, considerando una masa media de la aeronave ( ) ⁄ .

Asumiendo que el incremento del peso y la reducción de afectan a y , respectivamente con

factores y , y usando la expresión encontrada en b, se pide

c. Encontrar la relación entre y , y otros parámetros (según sea necesario) que impliquen

que una mejora en no sea interesante (el incremento en el peso del motor no implica un

ahorro en combustible).


- 5 -

Resolución

a. ( )

Se utiliza la ecuación de Breguet para el caso de turborreactor

Se busca ahora despejar la masa de combustible .

⁄

⁄

( ⁄ )

⁄

Finalmente

(

⁄ )

b.

La ecuación obtenida puede simplificarse mediante series de Taylor. La serie de Taylor de la función

exponente es

En esta serie cuando es muy pequeño ( ) se pueden eliminar términos. Una primera

simplificación sería utilizando solo un término de la serie para la función de la masa de combustible.

⁄

⁄

(

⁄)

Ahora se simplifica otra vez la función pero con dos términos

⁄

⁄

(

⁄)


- 6 -

[

⁄

(

⁄)

]

⁄(

⁄)

⁄(

⁄)

El término que está entre paréntesis se puede reemplazar utilizando la simplificación de un solo

término.

⁄(

)

Considerando una masa media de la aeronave ( ) ⁄ .

⁄

c. Ahorro de combustible con motor nuevo

Se utiliza la siguiente simbología, para el nuevo motor su gasto de combustible es . Se

considera que el nuevo motor tiene un incremento de peso y una disminución en el consumo

específico.

⁄

⁄ ( ) ( )

Cogiendo primero la ecuación del nuevo motor

⁄ ( ) ( )

⁄ ( )

⁄ ( )

El ahorro de combustible es

⁄ ( )

El incremento de peso tiene que ser menor al ahorro de combustible para que sea útil el nuevo

motor.

⁄ ( )

( ⁄

)


- 7 -

Problema 2. Parámetro de flujo de masa en función de Mach

Considerando un flujo unidimensional a través de un conducto con variaciones leves de su área

transversal ( ), demuestra que el flujo de masa puede expresarse como una función del Mach

local , la presión total , la temperatura total y el área:

( )

√

La función ( ) se denomina parámetro de flujo de masa. Grafica esta función y encuentra el

número de Mach donde ( ) llega a su máximo.


- 8 -

Resolución

Consideramos un depósito como el que se ve en la Figura 1.1. Las condiciones son estacionarias, se

desprecia la fricción de las paredes y no hay adición de calor (por lo que las condiciones de remanso

se mantienen constantes).

Figura 1.1. Diagrama de la sección del flujo

Se busca que condiciones tiene el fluido respecto a las condiciones de remanso.

El flujo másico se define como . De la ecuación de continuidad se puede afirmar que el

flujo másico es constante para todo el tubo de salida. Suponiendo la teoría de gas perfecto.

√

√

√

Se estudia ahora la presión y la temperatura respecto a las condiciones de remanso

[

]

Introduciéndolo en la ecuación del flujo

√

√

[

]

√

√

[

]

( )

Esta ecuación es general tanto si se conserva o no la presión de remanso. La diferencia es que si se

conserva se puede poner en función de la presión de remanso en la condición (inicial). Con esta


- 9 -

expresión se puede relacionar el número de Mach de una sección con el número de Mach en otra

sección, ya que las únicas variables no constantes serían y .

√

√ [

]

( )

√

√ [

]

( )

[√ (

)

( )

] [√ (

)

( )

]

Donde es el parámetro de flujo de masa.

Para un valor dado de , en términos de número de Mach, el parámetro de flujo de masa varía como

se observa en la Figura 0.1 (tabulada para ). La Tabla 0.1 muestra valores de la función de

parámetro de flujo de masa y es muy útil para otros ejercicios, sobre todo en el estudio de

actuaciones.

Buscando el máximo de la función se encuentra que el máximo coincide con condiciones sónicas.

(

)

( )

( )(

)

( )

( )

0.00000

0.10000

0.20000

0.30000

0.40000

0.50000

0.60000

0.70000

0.80000

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

Par

áme

tro

de

flu

jo d

e m

asa

Número de Mach

γ = 1.4


- 10 -

Figura 1.2. Gráfico de en función de

Tabla 1.1. Valores de en función de


- 11 -

Problema 3. Variaciones del flujo en función del Mach

De la ecuación de continuidad y conservación de cantidad de movimiento para un flujo casi

unidimensional e isentrópico, obtener una relación diferencial en términos de la velocidad , sección

y número de Mach .

- Ecuación de continuidad:

- Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento:

- Flujo isentrópico: ⁄


- 12 -

Resolución

De la ecuación de continuidad se puede hacer una ecuación diferencial

( )

Se quiere combinar la ecuación diferencial con la de conservación de cantidad de movimiento.

Se multiplica la ecuación de continuidad por ⁄

Estas dos ecuaciones se pueden restar.

Se toma ahora la ecuación del flujo isentrópico y se crea una ecuación diferencial.

Ya que la velocidad del sonido es √ . Ahora se junta con la relación derivada de la resta entre la

ecuación de continuidad y conservación de cantidad de movimiento

( )

(

)

( )

Y también utilizando


- 13 -

Se obtiene

( )

Utilizando la ecuación de conservación de cantidad de movimiento ( ) se tiene

( )

( )

De estas últimas ecuaciones se puede deducir que si el régimen es subsónico los signos del

diferencial de densidad y el área van en paralelo, o sea aumento de área significa un aumento de

densidad. También se deduce que si el área aumenta la velocidad disminuye

En cambio si el régimen es supersónico pasaría al revés, un aumento de área disminuiría la densidad,

y también un aumento de área implica un aumento de velocidad.

También se puede llegar a la conclusión que para Mach igual a uno el diferencial de área es cero. Eso

significa que la condición sónica ocurre en el tramo de área mínima(o también denominado en las

toberas, cuello).


- 14 -

Problema 4. Problema teórico

Graficar el ciclo ideal de un motor turborreactor en un diagrama ( ). Encontrar la función de la

eficiencia térmica en términos de las temperaturas de las etapas del turborreactor. Simplificar la

expresión lo máximo posible considerando aplicable las relaciones termodinámicas, e indicando,

para unas condiciones de vuelo dadas, el efecto de y en la eficiencia térmica.

Nota: y deben considerarse independientemente (en el análisis del diseño), en otras palabras,

no están relacionados.


- 15 -

Resolución

El diagrama ( ) para un motor ideal es el mismo que el estudiado en el libro “Propulsión. Teoría”.

La Figura 1.3 muestra el ciclo de un motor ideal.

Figura 1.3. Diagrama del ciclo de un motor ideal

El rendimiento térmico es un concepto teórico que expresa una relación entre la energía cinética de

un flujo y la energía calorífica de la combustión. Es una forma de cuantificar la eficiencia del motor

en el cambio de tipo de energía.

( )

( )

Haciendo la hipótesis de que

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

De la igualdad de trabajos compresor-turbina (despreciando el ) establece

( ) ( )


- 16 -

Volviendo al rendimiento térmico

En el ciclo ideal la entropía solo varía en la combustión. Entre el punto y la isobára es la misma;

pasa lo mismo entre el punto y . Se puede decir que

(

)

(

)

Finalmente el rendimiento térmico queda

Debido a que el hace variar otros rendimientos, la solución de compromiso es el ( )

desarrollado en los apuntes de teoría.


- 17 -

Problema 5. Boeing 707

El Boeing 707 fue un avión de pasajeros de finales de los años . Tiene cuatro turborreactores Pratt

& Whitney JT3C-7 con las siguientes características en condiciones de nivel de mar

- Ratio de presión

- Temperatura de entrada de la turbina

- Empuje

Asumiendo comportamiento ideal de todos los componentes, tobera convergente y aproximando

, se pide lo siguiente:

a. Flujo de aire

b. Consumo de combustible

Considerando un vuelo a a una altitud de , y considerando que se tiene la

misma relación de presiones del compresor ( ) y de la turbina ( ) de las operaciones a nivel de

mar, se pide:

c. El empujo unidimensional

d. El consumo específico de combustible


- 18 -

Resolución

Las condiciones estáticas significan que el avión está quieto en el suelo con los motores puestos en

marcha.

a. Caudal másico

Con la relación de compresión se puede encontrar .

Como se tienen condiciones ideales de todos los componentes .

Se busca sabiendo que esta en condiciones estáticas ( ).

En la cámara de combustión se tiene

Del balance de potencia compresor-turbina se obtiene la relación de temperaturas y presiones de la

turbina

( )

( )

( ) ⁄ ( ) ⁄

Como no se sabe qué tipo de tobera se tiene (solo se sabe que es convergente), se busca la relación

de presiones (ya simplificado por ser un motor ideal)

Si la tobera fuese adaptada

√

[( )

( ) ] √

[ ( ) ⁄ ]

Este Mach no puede existir ya que la tobera es convergente, y en una tobera convergente el máximo

Mach posible es . Por lo tanto la tobera es crítica. Como regla general, para toberas convergentes,

se puede verificar que la tobera es crítica si la relación de presiones es mayor que

(

)


- 19 -

Aunque en exámenes es necesario hacer el procedimiento anterior completo.

Se sabe que la tobera es crítica. Se debe calcular ahora la relación de presiones de salida y de

temperatura.

⁄

(

)

⁄

El empuje adimensional es

√

√

(

) √

√ (

)

El flujo másico se puede calcular de la siguiente forma

( ⁄ )

√ ⁄

b. Flujo de combustible

El flujo de combustible es

Donde

( )

( )

Si no se especifica otra cosa el valor de es de ⁄ .

⁄

c. Empuje adimensional

Se van a suponer los siguientes valores

-

- se mantiene igual al calculado antes

- y también se mantienen (debido a las suposiciones anteriores)

Para saber si la tobera está en condiciones críticas o no, como regla general si la tobera al nivel del

mar es crítica, en vuelo de crucero es “aún más crítica”.

También se deben calcular y


- 20 -

Del balance de potencia compresor – turbina se tiene

( )

( )

( )

La relación de temperaturas queda

La de presiones (inversa)

(

)

(

)

El empuje adimensional se calcula de forma similar que en los primeros apartados.

√

√

(

) √

√ ( )

d. Consumo específico

Sabiendo que para las condiciones de vuelo dadas (ISA)

√ ⁄

Se calcula ahora el coeficiente

( )

( )

El impulso específico es


- 21 -

El consumo específico es

⁄

Otra forma de escribir este consumo específico pero en otras unidades es

⁄

Esto significa que para dar un kilo de fuerza consume de combustible por hora.


- 22 -

Problema 6. Turbofán para el B707

Considera un turbofán que reemplace los motores del Boeing 707 del Problema 5, asumiendo:

- el mismo empuje

- los mismos parámetros y operando a nivel del mar en condiciones

estáticas

- una relación de derivación

- una relaciones de presión del fan

Asumiendo un comportamiento ideal de todos los componentes, toberas convergentes y

aproximando , se pide lo siguiente

a. Flujo másico (flujo primario)


Considerando un Mach de vuelo a una altura de , y asumiendo el mismo

ratio de presiones del compresor y turbina de las operaciones a nivel del mar, se pide

c. El consumo específico de combustible


- 23 -

Resolución

a. Flujo másico

La relación de temperaturas es igual que en el caso del turborreactor.

Se recuerda que pese a que se sabe que el motor tiene componentes ideales siempre se debe

escribir la ecuación completa e indicar que .

La relación de temperaturas del fán es

Sabiendo que se está en condiciones de nivel del mar y estáticas

{

De la relación de potencias compresor – turbina se sabe

[ ( )]

[ ( )]

( )

( )

Las relaciones de presiones son

Se debe verificar que toberas se tienen

(

)

(

)

Tanto la tobera primaria como la secundaria son adaptadas.


- 24 -

{

√

[(

)

] √

[

]

√

[(

)

] √

[

]

{

El empuje adimensional queda

{√

[

(

)] } { √

[

(

)] }

√

√

( ) ( ) ⁄


Se calcula primero el coeficiente de presión

( )

( )

⁄

c. Consumo específico de combustible

Se mantienen constantes los siguientes parámetros

Al cambiar de altura se debe calcular la nueva temperatura ambiente y la nueva velocidad del sonido

( ) ( )


- 25 -

√ √ ⁄

Al cambiar la velocidad de vuelo se cambian los parámetros y .

De la relación de potencia compresor – turbina se obtiene

[ ( )]

[ ( )]

Se calculan las relaciones de presiones de remanso en la tobera.

{

Ambas toberas son críticas ya que ambas relaciones son mayores que .Se calculan las

relaciones de temperatura y presión en la tobera

{

{

(

)

(

)

(

)

(

)


{√

[

(

)] } { √

[

(

)] }

{√ [

(

)] } { √ [

( )] }

El factor es

( )

( )


- 26 -

Finalmente se puede calcular el consumo específico.

⁄


- 27 -

Problema 7. Variaciones del empuje adimensional e impulso específico

Dadas las siguientes condiciones de vuelo

- Altitud de crucero,

- Número de Mach de crucero,

Se pide encontrar los valores óptimos (en términos del máximo impulso específico para máximo

empuje) de y y los valores de los parámetros adimensionales de y , cuando se

incremente de a (en una gráfica).

Usar los siguientes valores

⁄ ( )⁄


- 28 -

Resolución

Se resolverá el problema tomando un solo valor de . El problema pide hacer lo mismo para

poder ver gráficamente la variación del impulso específico y el empuje adimensional en función del

parámetro .

Para y

Ahora se busca el valor de sabiendo que el motor es óptimo.

( )( ) (√ )

√

Se reemplaza √ por

( )( ) ( )

[( )( )]( ) ( )

Esta ecuación se resuelve de forma iterativa. Dará dos soluciones, pero como se descarta una

de las soluciones. Normalmente se prueba aislando el valor de de mayor potencia.

√[( )( )]( )

√[( )( )]( )

√ ( )

El vuelo se desarrolla a

La temperatura ambiente a esa altura es

( ) ( )

Se puede sacar la temperatura de entrada de las turbinas


- 29 -

El correspondiente es el óptimo y queda

( ) √

Se calcula ahora y

( ) ( )⁄

( )

( ) ( )⁄

( )

[ ( )]

[ ( )]

Las toberas en este problema son adaptadas ya que es caso óptimo

La tobera del primario es convergente ya que el valor es menor que la relación crítica ( ).

La tobera del flujo secundario es convergente – divergente. En contrario a lo que dice la teoría (aquí

calculada), en la práctica no se emplearía una tobera convergente – divergente ya que solo serviría

para estar en condiciones óptimas en estas condiciones en concreto. Una tobera con geometría

variable tampoco sería una buena solución. Por compromiso se usa una tobera convergente ya que

la pérdida de potencia no es tan significativa en comparación con los problemas que causaría utilizar

el otro tipo de tobera.

Para verificar que lo que se ha hecho está bien se comprueban las velocidades de escape (deben de

ser iguales ya que son ambas adaptadas), se calcula primero el número de Mach y luego la velocidad

de escape


- 30 -

√

[ ] √

[

]

√

[ ] √

[

]

√ ( ) ⁄

√

√

√ ( ) ⁄

Efectivamente ambas velocidades son iguales.


(

)

[√ (√ )

( )( ) ] ( )

El impulso específico es

√

√ (√ )

( )( )

Se han usado los siguientes valores

⁄ ( )⁄ √ ⁄

El impulso específico adimensional es

√

√ (√ )

( )( )


- 31 -

Para valores distintos de se sigue el mismo procedimiento obteniendo los siguientes resultados

Tabla 1.2. Valores del problema para distintos

Figura 1.4. Empuje adimensional respecto a

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12 14

F

α

Empuje adimensional


- 32 -

Figura 1.5.Impuslo específico respecto a

Figura 1.6. Impulso específico adimensional respecto a

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 2 4 6 8 10 12 14

Isp

α

Impulso específico

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 2 4 6 8 10 12 14

Îsp

α

Impulso específico adimensional


- 33 -

Problema 8. Estatorreactor

Se supone un avión equipado con un estatorreactor en vuelo supersónico en la estratosfera. Se le

añade un buen diseño de la entrada de aire con geometría variable para evitar fuertes ondas de

choque. En vez de una onda de choque aparecen muchas ondas de menor potencia, y la velocidad se

reduce hasta el motor a una velocidad subsónica con perdida negligible de la presión de remanso.

Además, una geometría variable de la tobera permite un flujo de salida adaptado a la presión de

ambiente para cualquier condición de vuelo.

Considerando conocidos todos los datos relacionados con el motor, comportamiento ideal de los

componentes del motor y una fracción de flujo de combustible negligible, se pide

a. Representar en un diagrama el ciclo del motor, y encontrar el número de Mach de

salida

b. Calcular el área de captura como una función del número de Mach de vuelo ( ) y otros

parámetros si fuese necesario

c. Calcular el ratio ⁄ como función de y de otros parámetros si fuese necesario

Figura 1.7. Diagrama de etapas del estatorreactor

Entrada Cámara de combustión Tobera


- 34 -

Resolución

a. Diagrama

El diagrama ( ) para un motor ideal es parecido que el estudiado en el libro “Propulsión. Teoría”,

pero adaptado a un estatorreactor ideal. La Tabla 1.3 muestra las distintas etapas del

estatorreactor. La Figura 1.8 muestra el ciclo del estatorreactor ideal.

Etapa Proceso características

Compresión adiabática sin trabajo añadido crecen, constante Adición de calor constante, crecen

Expansión adiabática sin trabajo extraído, cambio de volumen

disminuyen, constante

Tabla 1.3. Etapas de un estatorreactor ideal

Figura 1.8. Diagrama del ciclo de un estatorreactor ideal

b. Calcular el área de captura

Al ser tobera adaptada .

√

[(

)

]


- 35 -

√

[(

)

]

Pese a que los números de Mach sean iguales no significa que las velocidades lo sean

√

√

Hay que introducir ahora la condición de que el flujo de entrada es igual al flujo de salida por las

toberas (ya que se ha despreciado la adición del combustible). Se elige el punto 8 que es la garganta

de la tobera, en este punto el número de Mach es 1.

( )

√

Se calcula ahora el flujo en la sección 0. Al ser supersónico se puede elegir ese punto donde se

quiera ya que la información del flujo supersónico no viajas aguas arriba. Se decide que el punto está

en la punta.

√

Los flujos son iguales

√

√

( )

( )

( )

√

√

( )

Los valores de se obtienen a través de tablas tabuladas para el .

c. Calcular el ratio ⁄

La relación de áreas es igual a la relación de , ya que

( )

√

√

√

( )

( )


- 36 -

Problema 9. Resistencia de entrada

Asumiendo un flujo unidimensional, aplicar la ecuación de conservación de cantidad de movimiento

en el tune de flujo mostrado en la figura, entre los puntos (0) y (1), y obtener la resistencia de

entrada dada por la integral

∫ ( ) ( )

( )

Obtener una expresión asintótica para .

Figura 1.9. Volumen de control utilizado


- 37 -

Resolución

Se empieza calculando la ecuación de conservación de cantidad de movimiento

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )( )

∫ ( )

∫ ( )[ ( )

∫ ( )[ ( )( )]

∫ ( )

El último término es cero ya que la superficie 2 se define por unas líneas de corriente donde la

velocidad es perpendicular al vector normal del plano.

∫ ( )

Físicamente la integral de la normal por la superficie en un volumen cerrado es nula.

∫

∫

Volviendo a la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento

∫ ( )

Se multiplica escalarmente por .

( )

(

)

(

)

( ) ( )

Esta expresión es siempre positiva aunque ya se fijó el signo según el convenio de signos del empuje.

Ahora se fija el para ver como afecta el flujo de entrada. Se adimensionaliza la expresión

( )

( )

La relación de presiones se encuentra de la siguiente forma

(

)

(

)


- 38 -

(

( )

( ) )

La relación de áreas es igual a la relación de (parámetro de flujo de masa), ya que

( )

√

√

√

Se introducen estos valores en el Excel y se obtiene la siguiente gráfica mostrando que la resistencia

de entrada es siempre positiva.


- 39 -

Problema 10. Compresor

Se quiere realizar un proyecto preliminar de un compresor axial para un turborreactor bajo los

siguientes criterios:

- Relación de presión:

- Etapas repetidas

- Filas repetidas

- Velocidad axial constante a lo largo del compresor

- Angulo de entrada:

- Temperatura de entrada:

- Número de mach de entrada:

La tecnología accesible permite los siguientes valores:

- Eficiencia politrópica de la etapa:

- Eficiencia politrópica del rotor: ( )

( ) ⁄

- Máximo incremento de temperatura por etapa:

Se pide lo siguiente

a. La eficiencia politrópica global (para el compresor entero)

b. La eficiencia isentrópica global

c. El número mínimo de etapas

d. La velocidad del compresor

e. La distribución de presiones totales a lo largo del compresor

f. La distribución de la presión y temperatura (estática) a lo largo del compresor

g. La distribución de áreas de paso de las palas a lo largo del compresor


- 40 -

Resolución

a. Eficiencia politrópica global

En este tipo de problema se suele utilizar la terminología con subíndice que significa “inlet” (o de

entrada) para la primera etapa.

( )

Se puede encontrar primero

√ √ ⁄

Se hace la suposición que el compresor tiene etapas. Se define el del motor como la relación de

presiones de salida de la última etapa y la presión de entrada de la primera etapa.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Estos valores de relación de presión de cada etapa no son iguales.

( ( )

)

(

( ))

(

( ))

( ( )

( )

( )

)

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

Obteniendo una demostración de lo que se estudió en el tema del turborreactor. Es importante

notar que esto no es extrapolable para el rendimiento isentrópico.

b. Eficiencia isentrópica global

Como se sabe

( )⁄


- 41 -

La eficiencia isentrópica es

c. Número mínimo de etapas

Se sabe que el incremento de temperatura total es

( )

( )

( )

( )

( )[ ]

Por lo tanto el número de etapas es

(

( )[ ]

)

Utilizando valores numéricos

( )

( )

(

) (

)

( ) ( ) ( )

Este es el incremento que se tiene que conseguir con la suma de etapas. Como máximo cada etapa

puede producir solo .

(

)

d. Velocidad del compresor

La velocidad se consigue mediante la ecuación de Euler.

( )

Donde

Además

Queda una ecuación lineal de segundo orden. La es la velocidad tangencial a la entrada y se

tienen todos los datos para calcularla.

( )√

( ) √ ⁄

La ecuación para encontrar queda


- 42 -

Esta ecuación tiene dos soluciones pero una será negativa por lo que directamente se pone la

solución positiva.

√

⁄

También es interesante calcular la velocidad absoluta a la salida del rotor.

√ √ ( )

√ ( ) ⁄

e. Distribución de presiones totales a lo largo del compresor

La distribución se obtiene a partir de la distribución de temperaturas totales. Como son etapas

repetidas, entre estaciones homólogas de la etapa ( ) y la etapa ( ) se tiene

( )

( )

( )( ) ( ) ( ( )

)

Como son filas repetidas, entre estaciones de una misma etapa se tiene

( )

( )

( )

( )

La presión total en la salida del rotor de la etapa ( ) respeto la presión total a la entrada de la etapa

( ) es

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

( )

( )

)

(

( )

( )

)

( )

( ( )

)

(

( ))

f. Distribución de presiones y temperaturas estáticas

La temperatura estática en la entrada de la etapa ( ) respecto a la temperatura estática en la entrada

de la etapa ( ) es

( )

( )

( )( ) ( )

Entre estaciones de una misma etapa

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

Las presiones estáticas se obtienen a partir de las presiones totales, Mediante las correcciones por

número de Mach. Debido a que las velocidades se repiten de etapa en etapa, y que hay similitud

geométrica entre álabes del rotor y estator, los números de Mach se calculan de la siguiente forma


- 43 -

( )

( )√

( )

( )

√

( )

( )

( )√

( )

( )

√ √

( )

( )

√

( )

La presión estática en la entrada de la etapa ( ) respecto la presión estática a la entrada de la etapa

( ) es

( )

( )

( )

( )

[

( ( )

)

(

( )) ]

( )

( )

[

(

( )) ]

La presión estática en la salida del compresor de la etapa ( ) respecto a la presión estática en la

entrada de la etapa ( ) es

( )

( )

( )

( )

[

( ( )

)

(

( )) ]

( )

( )

[

(

( )) ]

g. Distribución de áreas de paso

De la ecuación de continuidad se tiene

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

La velocidad axial es constante.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Utilizando ahora la ecuación de los gases perfectos, se busca la relación de densidades.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Se pueden calcular a partir de las relaciones obtenidas en el apartado anterior. Como la densidad

aumenta a lo largo el compresor, las áreas de paso son cada vez más pequeñas. Cuanto más se

quiera comprimir se tiene que hacer álabes (o sección de paso) cada vez más pequeños y los efectos

viscosos son más notables haciéndolos menos eficientes.

Cuando el radio medio es el mismo para todas las etapas, las relaciones de alturas de paso

coinciden con la relación de áreas, debido a las siguientes proporcionalidades

( )

( )

( )

( )

( )

( )


- 44 -

Problema 11. Turbina

Se pide diseñar una etapa de turbina (encontrar y ) para potencia máxima ( ⁄ ),

asumiendo las siguientes condiciones:

- Flujo axial en la entrada y la salida

- constante

- ⁄

- ⁄

-

-

-

Calcular también el valor de ( ⁄ )


- 45 -

Resolución

Se calcula el número de mach del movimiento del rotor.

√

√

De la ecuación del grado de reacción

( ) ( )

Se multiplica la ecuación de por

, obteniendo

(

)

Utilizando ahora la igualdad derivada de la optimización del parámetro

(

)

(

)

Se obtiene

(

)

(

)

Esto es un polinomio de orden dos, por lo que se obtienen dos soluciones para , pero se descarta

una por ser negativa.

Se puede encontrar el ángulo

Se busca ahora partiendo de la siguiente ecuación


- 46 -

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

) (

)

Haciendo un cambio de variable

( )

(

)

(

)

( )

( )

Este polinomio tiene seis ecuaciones pero se toman solo la solución real

√

√

Se calcula la temperatura de remanso en el punto entre el estator y el rotor.

El ratio ⁄ se determina mediante su definición como

(

)

√

√

√

√

(

)

⁄


- 47 -

Problema 12. Actuaciones de un UAV

Para propulsar un UAV de reconocimiento se considera la posibilidad de utilizar como planta

propulsora un turborreactor de flujo simple. Los requisitos de diseño en operación estática a nivel

del mar ISA son:

- Empuje

- Relación de compresión

- Temperatura de entrada a turbina

- Toberas convergentes

De acuerdo con estos requisitos y suponiendo componentes ideales, se pide:

a. Comprobar que la tobera es crítica y calcular el caudal másico de aire

b. Determinar la temperatura por debajo de la cual, operando en estático a nivel del mar

ISA, la tobera deja de ser crítica.

Solo para el apartado siguiente, suponer que para cada etapa completa del compresor el

rendimiento politrópico vale , con una configuración de etapas repetidas, filas repetidas y

velocidad axial constante. Suponiendo también que el incremento máximo de temperatura total por

etapa es ( ) , y el flujo de entrada a cada etapa es axial, y a la entrada del comresor es

, calcular:

Número mínimo de etapas necesarias para conseguir la relación de compresión de diseño y área de

entrada al compresor, teniendo en cuenta el caudal másico encontrado en el apartad a. (si no se ha

calculado, tomar ⁄ ).


- 48 -

Resolución

a. Comprobación de la tobera y caudal másico

Lo primero que se busca es

Sabiendo la temperatura en la entrada del compresor

De la ecuación de la relación de potencia compresor – turbina (sabiendo que en operación estática

.

( )

( )

Se comprueba que tobera se tiene

Se tiene tobera crítica.

(

)

(

)

√

√

√

El empuje adimensional para tobera crítica queda

√

√

(

)

(

)

Se obtiene el flujo másico

⁄

⁄

√ ⁄

⁄

b. Temperatura

Se sabe que la tobera es crítica


- 49 -

(

)

(

)

Por otro lado, sabiendo que es constante, y como hay condiciones estáticas ( ), se tiene que

Si la tobera fuese adaptada

(

)

(

)

Utilizando la ecuación del balance de potencia

Obteniendo, multiplicando por la temperatura ambiente

c. Número mínimo de etapas y área de entrada

Ahora se tiene que considerar un rendimiento por lo que los cálculos se tienen que hacer desde el

principio.

(

)

(

)

La temperatura en la salida del compresor (tomando ) es

Obteniendo una diferencia de temperaturas entre la entrada y la salida del compresor de

El número de etapas por lo tanto queda

[

( ) ] [

] [ ]

El caudal másico se obtiene como


- 50 -

( )

√

En el problema 2, se obtiene una tabla con los valores de la función parámetro de flujo de masa

tabulados para

( )

√

( )

√


- 51 -

Problema 13. Actuaciones de un caza

Un caza de combate está propulsado por un motor turbofán, con una geometría variable

convergente – divergente, teniendo siempre condiciones de tobera adaptada. Inicialmente la

aeronave vuela a con las siguientes características

Asumiendo comportamiento ideal en todos los componentes y despreciando el flujo de masa de

combustible con respecto al flujo de aire, se pide lo siguiente

a. Calcular el consumo de combustible en las condiciones de operación descritas

b. Obtener la relación de áreas

El piloto precede a interceptar un avión enemigo que vuela a una altitud de y avanza la

palanca de potencia para obtener potencia máxima (con ). La operación consiste en dos

fases: ascender con Mach constante ( ) hasta la altitud final ( ), seguido de una

aceleración horizontal hasta llegar a un Mach de . Se pide lo siguiente

c. El empuje del motor a y con

El flujo de aire a y con


- 52 -

Resolución

a. Consumo de combustible

Se utiliza el modelo ISA para encontrar la presión y la temperatura ambiental.

( )

( ) ( ( )

)

(

)

El coeficiente de presión se obtiene de la siguiente forma

( )⁄

También se calcula y

( )

(

)

La fracción de combustible se calcula de la siguiente forma

( )

( )

Recordar que en esta fórmula no es la altitud sino que es el poder calorífico, si no se dice lo

contrario ⁄ .

De la ecuación del balance de potencia se aísla

( )

( )

( )

Al ser tobera adaptada

√

[(

)

] √

[( )

]


- 53 -

La relación ⁄ es

√

√

Donde

El flujo de masa se calcula utilizando la fórmula del empuje adimensional

[(

) ]

√ [ ] ⁄

Por lo tanto el consumo de combustible

( ) ⁄

b. Relación de áreas

Debido a la conservación de masa se puede utilizar la ecuación de continuidad (por lo tanto flujo de

masa entrante igual a saliente)

( )

√

( )

√

La relación de áreas queda

( )

( )

√

√ ( )

( ) ( )

( )

c. Empuje del motor a

Debido a que se ha empujado la palanca de gas para dar más potencia, se han cambiado las

condiciones de vuelo. Generalmente lo que cambia la palanca de gas es la temperatura en la salida

de la combustión. Ahora se tiene

La fuerza a con el nuevo ajuste de temperatura se denomina , este tipo de connotación

se utilizara para otras variables con el nuevo ajuste.

(

)

Debido a que se han cambiado las condiciones, la relación de compresión del compresor también

habrá cambiado. Hay que recordar que solo se mantiene constante la relación de presiones de la

turbina.


- 54 -

( )

( )

(

)

Para el cálculo del flujo másico se suele utilizar el parámetro de flujo para ya que este es la

unidad.

( )

√

( )

√

√

√

√

√

⁄

Al ser tobera adaptada

(

)

√

[(

)

] √

[( )

]

(

)

La relación ⁄ es

√(

)

√

Se calcula el empuje adimensional (teniendo tobera adaptada)

(

)

(

)


- 55 -

Finalmente el empuje es

(

)

√

d. Flujo másico a

En este apartado se vuelven a cambiar las condiciones de vuelo. Como también se cambia la altura

se debe volver a calcular la presión y la temperatura ambiente. Hay que tener cuidado ya que la

altura en la que se desarrolla este apartado es y se está por encima del límite de la

troposfera.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Se vuelven a calcular ya que ahora se tiene y

(

)

( )

√

√ ⁄

La nueva relación de compresión del compresor se calcula otra vez utilizando el balance de

potencias

( )

( )

(

)

Se calcula ahora el flujo másico de forma similar al apartado anterior

( )

√

( )

√

√

√

( )

( )

( )

( ) √

( )

( ) √

√

⁄


- 56 -

2. Motor cohete

Problema 1. Calculo de empujes y de áreas de un motor cohete

Un motor cohete para un lanzador orbital tiene las siguientes características:

-

-

-

- ⁄

- ⁄

Se pide

a. Calcular la velocidad característica y el gasto por unidad de área de garganta

b. Calcular el coeficiente de empuje al despegue. Nota: verificar que existe desprendimiento

del flujo en esta condición

c. Dimensionar las áreas y tal que el empuje al despegue sea . Calcular el

flujo másico y el impulso específico correspondientes.

d. Determina a qué altitud (atmósfera ISA) dejará de desprenderse el flujo, y calcular el empuje

y el impulso específico en este punto.

e. Determinar a qué altitud estará adaptada la tobera, y calcular el empuje y el impulso

específico en este punto

f. Determinar el empuje y el impulso específico en el vacío


- 57 -

Resolución

a. Velocidad característica y gasto ⁄

Se calcula primero el factor ( ), sabiendo que

( ) √ (

)

( )

√ (

)

( )

La constante del gas se calcula a partir de la constante universal

Nota: son más eficientes los propulsantes con una constante alta, y por lo tanto son mejores los

propulsantes con peso molar bajo.

La velocidad característica se obtiene a partir de la siguiente ecuación

√

( )

√

⁄

El gasto ⁄ es

⁄

b. Coeficiente de empuje al despegue

Cuando las toberas están demasiado sobre expansionadas (se asume que en este punto la tobera

está sobre expansionada ya que se está lanzando el cohete al nivel del mar) aparece un

desprendimiento de flujo en la tobera.

El coeficiente de empuje es

( ) ( ( ))

Todos los parámetros del coeficiente de empuje dependen del número de Mach (como se ha

demostrado en la teoría), por lo tanto es lo primero que se debe calcular.

La relación de áreas es un dato del enunciado ⁄ . Como se sabe que la relación de

áreas solo depende del Mach y de se tiene una expresión para obtener el número Mach.

(

)

( )


- 58 -

Para resolver el valor del número de Mach se pueden utilizar métodos numéricos iterativos o utilizar

los valores tabulados de las tablas del parámetro de flujo, ya que también esta expresión es igual a la

relación del parámetro de fulo de masa. Para casos de motores cohete es muy útil utilizar tablas

tabuladas del parámetro del flujo de masa para valores de y .

Se sabe que el parámetro ( ) coincide con el valor de parámetro de flujo de masa para el caso

sónico. En la garganta se tienen esas condiciones.

( )

De las tablas tabuladas para se obtiene que el Mach de salida es

Si se resolviese de forma iterativa

(

)

( )

(

)

( ) √( ) ⁄

Empezando por un valor supersónico de por ejemplo , se obtienen los siguientes valores en

las iteraciones

Por lo que la solución coincide con la obtenida en las tablas, .

Calculando el coeficiente de empuje en el vacío se obtiene

(

)

( )

√

(

)

( )

√


- 59 -

Obteniendo finalmente el coeficiente de empuje

( )

Pero como se dijo antes la tobera está sobreexpansionada y es posible que haya desprendimiento de

flujo. Si hubiese desprendimiento de flujo este valor del coeficiente de empuje no sería el correcto.

Se debe comprobar que no haya desprendimiento y si lo hubiese recalcular el coeficiente de empuje.

La relación de presiones entre la salida y la cámara es

(

)

(

)

Debido a que la presión de salida es menor a veces la presión ambiente ( ), , se

tiene desprendimiento de flujo y por lo tanto el coeficiente de empuje es incorrecto.

Se debe buscar la relación de áreas ⁄ , donde

es la sección de salida donde se genera la onda

de choque y empieza el desprendimiento.

Se sabe que en esta sección , por lo tanto

Utilizando la expresión de la relación de presiones se obtiene el Mach de salida (corregido debido al

desprendimiento).

(

)

√

[(

⁄

)

] √

[(

)

]

El coeficiente de empuje en vacío cambia ya que el número de Mach se ha modificado

(

)

( )

√

(

)

( )

√


- 60 -

La relación de áreas es

( )

√

(

)

( )

√

(

)

( )

Finalmente se puede recalcular el coeficiente de empuje

( )

( )

c. Dimensionar las áreas, calcular el flujo másico y el impulso específico

El empuje es seiscientas toneladas.

Además se puede definir el empuje como

Donde

Por lo tanto

(

)

Físicamente el área de salida es la que da el enunciado (con la relación de áreas), el área efectiva

solo se utiliza para encontrar el empuje.

El flujo másico Queda

(

) ⁄

El impulso específico queda

Con este impulso específico se podría afirmar que el cohete utiliza combustible líquido.

d. Altitud, empuje e impulso, cuando deja de haber desprendimiento

Se debe calcular la altura en la cual la presión de salida (en la sección del final de la tobera) sea

. En el apartado b se obtuvo el número de Mach y la relación de presiones ⁄ . Se debe

calcular la altura donde la presión ambiente es . En el apartado de b se obtuvo que


- 61 -

( [ ]) ( )

De las ecuaciones ISA se sabe

( ) (

)

(

)

⁄

El coeficiente de empuje en el vacío que se obtuvo en el apartado b sin la corrección de

desprendimiento coincide con el coeficiente a esta altura.

[

] (

)

En toneladas

( )

El empuje ha aumentado debido a que se reduce el efecto de estar sobreexpansionada a medida

que aumenta la altura y disminuye la presión. El impulso específico aumentará también en la misma

proporción ya que el flujo másico y la aceleración de la gravedad se mantienen constantes

( ) ( ) ( )

( )

e. Altitud para tener tobera adaptada, calcular empuje e impulso específico

Se sabe que . De las ecuaciones ISA se debe encontrar el punto en el que la presión

atmosférica es igual a esta presión

( ) (

)

Se hace una hipótesis: suponer que la altura no excede los ya que si no habría que utilizar

otra ecuación de la ISA.

( ) (

)

⁄

El coeficiente de empuje cuando se tiene tobera adaptada es igual a


- 62 -

( ) (

)

( )

√

(

)

( )

√

El empuje queda

( )

El impulso específico queda (nota: el parámetro de flujo de masa se mantiene constante y el impulso

específico es proporcional al empuje).

( ) ( ) ( )

( )

f. Empuje e Impulso específico en el vacío


( )

( )

( )


- 63 -

Problema 2. Aplicación de la segunda ley de Newton

Aplicar la segunda ley de Newton a un vehículo lanzador propulsado por un motor cohete y obtener

la ecuación dinámica que rige su movimiento.

Nota: Considerar el sistema formado por el vehículo y el motor


- 64 -

Resolución

Se considera un vehículo como el representado en la siguiente figura

Figura 2.1. Vehículo del problema

En un instante la cantidad de movimiento que tiene el vehículo es

( ) ( ) ( )

Se debe encontrar cual es la cantidad de movimiento al pasar un diferencial de tiempo .

El vehículo pierde masa pero gana velocidad. Al sistema se le debe de sumar un término que incluye

la cantidad de movimiento que tiene el combustible cuando es expulsado.

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )

Según el principio fundamental del cálculo de Newton, la derivada es

( ) ( )

( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

[

]

Los términos como por ejemplo se aproximan a cero ya que son infinitesimales de órdenes

superiores.

Se consideran ahora las fuerzas externas al vehículo

∫

Esto podría considerarse como la causa del movimiento donde el efecto, el cambio de cantidad de

movimiento (segunda ley de Newton), es lo que se ha obtenido antes.


- 65 -

La ecuación de la segunda ley de newton queda

∫

Donde es la fuerza propulsiva y es igual a la expresión obtenida en los apuntes

( )


- 66 -

Problema 3. Sistema de defensa antiaérea basado en misiles

El nuevo sistema de defensa antiaérea basado en misiles tierra aire basado en misiles tierra aire

lanzados oblicuamente. Los requisitos de diseño son:

- Masa máxima en lanzamiento

- Masa al final del tramo acelerado

- Tiempo del tramo acelerado

- Velocidad final del tramo acelerado ⁄

Se pide

a. Plantear la ecuación del movimiento, despreciando el peso y la resistencia aerodinámica, y

bajo la hipótesis preliminar que el impulso específico se mantiene constante así como ,

determinar el valor del impulso específico. Determinar también la velocidad en función del

tiempo.

Suponiendo que inicialmente la presión en la cámara de combustión es de , la

temperatura de combustión es , el coeficiente adabático es con

( )⁄ . Se pide

b. Obtener el impulso específico en el momento de lanzamiento, considerando que se

pretende optimizar las prestaciones a baja altura.


- 67 -

Resolución

a. Plantear las ecuaciones del movimiento

La ecuación del movimiento para motores cohetes es

Se recuerda que esta ecuación es válida siempre y cuando se introduzcan las fuerzas propulsivas en

el termino . Además se desprecia el peso, por lo que la contribución de las fuerzas másicas son

nulas.

( )

[ ( )

]

En este punto no se puede aún resolver la ecuación, por ejemplo utilizando una masa media (no se

indica nada parecido en el enunciado).

La ecuación también se puede escribir como

(

)

Queda una EDO inmediata que se puede resolver.

∫

∫

Esta es la ecuación de Tsiokovsky, muy utilizada en el estudio de maniobras espaciales.


Sabiendo que ( ) , y volviendo a la ecuación de Tsiokovsky

( ) ( )


- 68 -

( ( ) )

Se sabe que el tramo acelerado tiene una duración de y que la velocidad final es de ⁄ .

(

)

⁄

La velocidad queda entonces

( ) (

)

Figura 2.2. Velocidad respecto al tiempo

b. Impulso específico en el lanzamiento

La ecuación de la velocidad en función de Mach es

√

Se busca primero el número de Mach, al estar optimizada a baja altura, la presión de salida es igual a

la presión atmosférica al nivel del mar (tobera adaptada).

√

[(

)

] √

[( )

]

La temperatura de salida es

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0.5 1 1.5 2

𝑠⁄


- 69 -

La velocidad de salida queda

√ √ ⁄

El impulso específico se puede definir como la velocidad de salida partido por la gravedad.


- 70 -

Problema 4. Perdidas por efecto de la no uniformidad

Evaluar las perdidas por el efecto de las no uniformidades en la tobera axisimétrica de la figura, de

acuerdo con la configuración de flujos indicada.

Figura 2.3. Figura del problema

⁄

⁄

⁄


- 71 -

Resolución

Es recomendable hacer un par de comprobaciones primero para ver que no haya errores en el

enunciado. Hay que comprobar que las facciones de flujo másico cumplen la ecuación de

continuidad.

∑

Hay que comprobar también que la media de la entalpia media coincide con la media de las

entalpias del flujo

∑

( )

Dividiendo ahora ambos lados por el flujo másico se obtiene

∑

El problema está bien planteado.

Se calcula ahora el rendimiento por la no uniformidad

( )

(√ √ √ )

( )

( ) [(√ √ √ )

√

]

( )

(√ √ √ )

Este es el tipo de no uniformidad debido a lo variación de la entalpia en el flujo de salida. Otro tipo

de no uniformidad es la no uniformidad debido a distribuciones de presiones y temperatura en la

salida.


- 72 -

Problema 5. Tobera aerospike

Calcular el coeficiente de fuerza de la tobera bidimensional de tipo Aerospike que se observa en

la siguiente figura. La relación de calores específicos . Encontrar también las relaciones

⁄ y ⁄ .

Nota: Se recomienda considerar previamente el funcionamiento en diseño.

Figura 2.4. Esquema de la tobera Aerospike

Velocidad del flujo al final de la expansión

Plano de simetría


- 73 -

Resolución

Se puede observar que hay una desviación de flujo de . Esto significa que la tobera está

trabajando fuera de las condiciones de diseño. Como dice el enunciado, es recomendable estudiar

primero las condiciones de diseño.

Como se conserva el invariante se tiene

( ) ( )

Hay que recordar que ( ) y .

( )

Conociendo se tiene

√

√

Además se tiene la siguiente expresión que depende del número de Mach.

( ) √

√

Utilizando las tablas de ( ) se obtiene el número de Mach

Conociendo el número de Mach se puede obtener y posteriormente .

El ángulo se obtiene observando la siguiente figura

Figura 2.5. Diagrama de la tobera con los ángulos


- 74 -

De la figura

Pudiendo ahora encontrar .

(

)

(

)

La altura final es entonces

Por lo tanto la relación de áreas de la tobera es

Se puede utilizar el parámetro de flujo para comprobar el resultado anterior

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Se plantea ahora de nuevo el problema pero considerando ahora que ( ) . Cuando se tiene

esta condición el flujo se expande más de lo deseado. Como el flujo es supersónico, la información

solo viaja en una dirección y por lo tanto la información en la pared es la misma que en la condición

de diseño (por ejemplo la presión en la pared de la tobera).

Se genera una variación en el coeficiente de empuje.

( ) (( )

)

Esta expresión se puede demostrar aplicando la conservación de la cantidad de movimiento e los

dos casos.

∫ ( )

Como las condiciones en la pared son las mismas ya que se tiene flujo supersónico y haciendo la

resta entre el caso de diseño y fuera se obtiene

∫ ( )

( )

Hay que tener cuidado ya que en el caso de que la presión sea mayor que la de diseño esto no se

podría usar. Eso es debido a que la distribución de presiones en la pared es distinta al caso de diseño

(a partir de cierto punto, en el principio de la tobera si que es la misma).


- 75 -

Como regla general el coeficiente de empuje aumenta cuando la presión exterior aumenta.

Considerando expansión isentrópica

(

)

(

)

Cuando se tiene ( ) el invariante se mantiene igual que en condición de diseño.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Obteniendo una un Mach para esta a partir de las tablas.

La relación de presiones para el caso de estudio se puede ahora calcular

(

)

(

)

El coeficiente de empuje de diseño es

( )

( )

(

)

( )

√

(

)

( )

√

Finalmente se obtiene el coeficiente de empuje

( ) (( )

)

( )


- 76 -

Problema 6. Estudio de tobera utilizando el método de las características

Cuando una tobera, que ha sido diseñada para tener condiciones uniformes y flujo axial a la salida,

opera con presión ambiente inferior de la de diseño (para la cual sería igual a la ambiente), el flujo

aguas abajo experimenta una sucesión de expansiones y compresiones, dando lugar a una

configuración de flujo que comúnmente se conoce con el nombre de “diamantes”. Todo ello, hasta

que, a suficiente distancia aguas abajo, el flujo se estabiliza en unas condiciones transversales

uniformes de presión (realmente, no está tan claro que la velocidad sea también exactamente

uniforme, si las ondas de choque presentan una curvatura apreciable, ya que el incremento de

entropía será distinto para cada línea de corriente).

a) Haciendo uso de la ecuación de la cantidad de movimiento (formulación integral), obtener la

velocidad suficientemente aguas debajo de la tobera, donde puede suponerse uniformidad

tanto de presión como de velocidad en función de las variables del flujo en la sección de

salida de la tobera.

Considérese una tobera bidimensional diseñada para que a la salida el flujo se axial y uniforme, con

.

b) Indicar la Figura 2.6 la configuración de líneas características en el chorro de salida en

condiciones de diseño.

Figura 2.6. Diagrama de la tobera

Supóngase ahora que la presión ambiente es ( ) y que .

c) Indicar qué fenómeno va a tener lugar a la salida, así como las condiciones de contorno que

deben considerarse. Justificar razonadamente que, a partir de la sección de salida , la

configuración del flujo hasta cierta distancia equivaldría a la impuesta por una placa plana de

cierta longitud, deflectada cierto ángulo , tal como se muestra en la Figura 2.7.

d) Encontrar el ángulo .

Figura 2.7.tobera con plano en la salida

Plano de simetría

Plano de simetría


- 77 -

e) Dibujar las líneas características, e indicar cuáles de ellas son rectas. ¿Puede tener lugar

algún tipo de incompatibilidad en alguna zona del flujo? Justificarlo. Físicamente, ¿en qué se

traduciría esta incompatibilidad?

Recomendación: en caso de recurrir a una solución numérica, generar la malla a partir de sólo 2

características, numerado las características de una familia, con números, y los de la otra, con letras.


- 78 -

Resolución

a) Condición en el infinito

Se utiliza el teorema de conservación de la cantidad de movimiento. El volumen de control utilizado

se puede observar en la Figura 2.8.

Figura 2.8. Volumen de control utilizado para la formulación integral

La formulación integral queda

∫ ( )

∫

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫

∫

∫

Viendo la Figura 2.8 se pueden desarrollar las integrales

( )

( ) ∫

( )

∫

La presión sobre la superficie lateral es siempre la presión ambiente

∫

Si se tiene una integral cerrada se debe cumplir que

∫

∫

∫

∫

∫

Obteniendo

Plano de simetría


- 79 -

( )

b) Configuración de las líneas características para la condición de diseño

Si las condiciones uniformes se mantienen (y se considera mezcla turbulenta, dominio uniforme), las

líneas características y son rectas y las propiedades del flujo son uniformes.

Figura 2.9.Lineas características para la condición de diseño

c) Operación con presión ambiente por debajo de la presión de ambiente de diseño

Como la presión ambiente es menor que la de diseño, hay una expansión de Prandtl – Meyer. El

abanico de expansión empieza con (es decir ) correspondiendo a una relación

de presiones

(

)

(

)

Al final de la expansión se tiene presión ambiente (igual a ).

√

[(

)

] √

[(

)

] √

[(

)

]

Figura 2.10. Tobera equivalente con plano inclinado

Plano de simetría

Plano de simetría


- 80 -

Dado que en las expansiones de Prandtl – Meyer bidimensionales la presión es constante a lo largo

de las líneas características, el problema a efectos prácticos equivale a considerar la configuración de

la Figura 2.10.

d) Ángulo

Se calcula la variable que solo depende de

√

√

Siguiendo el invariante se tiene (ver Figura 2.10)

( )

(

√

) √ (

√

) √

Mirando el invariante se tiene

( )

Además al ser una zona uniforme

( )

( ) ( )

Se encuentra fácilmente el valor de ( )

(√

) √ (

√

) √

( )

Finalmente el ángulo es

e) Dibujar las líneas características, buscar incompatibilidades en alguna zona del flujo

El proceso de cálculo se basa en ir buscando los parámetros de los puntos de cruce entre las líneas

características como se observa en la Figura 2.11. Se toman una serie de líneas y puntos en sus

cruces. Cuantas más líneas se tomen más precisión se tiene.


- 81 -

Figura 2.11. Selección de putos en los cruces de las líneas características

Ya se conocen las propiedades de las primeras líneas características, como por ejemplo

Además siguiendo las líneas características se sabe que

Lo más simple es confeccionar una tabla con los distintos puntos e ir calculando los distintos

parámetros que se van obteniendo.

Se calcula para los dos primeros casos

√

√

√

Como el punto viene de un invariante negativo salido directamente de (sin cruzarse con otra

línea característica) se puede ver fácilmente que los valores son iguales, hay que recordar que el

número de Mach se mantiene constante en la línea de corriente divisoria.

En el punto al estar en la línea de simetría se conoce el ángulo que es igual al ángulo que tiene

esa línea (nulo).Se miran primero los datos que se tienen

Punto

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Tabla 2.1. Valores iniciales de los puntos conocidos

Línea de

corriente

divisoria

Plano de

simetría


- 82 -

Se escoge ahora El punto con más información (punto ). Se conoce tanto el invariante como el

ángulo por lo que se puede obtener y a su vez .

Obteniendo según las tablas

Los otros valores ya son triviales

√

Se actualiza ahora la tabla, hay que recordar que además se conserva el invariante encontrado en las

otros puntos.

Punto

- - - - - - - - - -

Tabla 2.2. Tabla con primera actualización

Se podrían ahora resolver tanto el punto como el punto ya que se tienen dos datos en cada

punto. Se muestra a continuación la resolución del punto que consiste en el punto donde se

cruzan dos invariantes conocidos. Se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

{

{

Como y son iguales que en el punto , todos los valores restantes son también los mismos.

Para el caso del punto la resolución es casi idéntica a la resolución del punto .


- 83 -

Se muestran todos los resultados en la tabla ya acabada.

Punto

Tabla 2.3. Tabla finalizada

Si se hiciese con mayor precisión al aumentar el número de características se obtendría un resultado

parecido al siguiente.

Figura 2.12. Resultado del análisis más intensivo

Se puede ver como las líneas características se entrecruzan. Esto es una irregularidad

caracterizada por la aparición de una onda de choque oblicua, situada en el cruce que esté más a la

izquierda. La onda de choque tiene la pendiente de la primera característica afectada.

A partir de ese punto es necesario recurrir a las ecuaciones de ondas de choque oblicuas para

conocer las condiciones del flujo inmediatamente después de la onda de choque. La generación de

entropía a través de la onda de choque dificulta la utilización del método de las características, ya

que se tiene que aplicar por zonas y naturalmente solo donde el flujo sea supersónico. La siguiente

figura muestra el desarrollo de las líneas características.


- 84 -

Figura 2.13. Aparición de ondas de choque en la expansión

Dependiendo de las condiciones particulares ( y ⁄ ), se podría dar el caso de que las ondas

de choque oblicuas no lleguen al eje de simetría, sino que apareciese una onda de choque normal,

dando lugar a una configuración en Y. Esto pasa cuando el ángulo que forma la onda de choque

oblicua con el eje de simetría sea demasiado grande.

Figura 2.14. Configuración de onda de choque en Y

En el caso de tobera con flujo sobre expansionado también se puede tener una configuración tipo

diamante. Esto pasa cuando la presión de salida sea ligeramente inferior al ambiente de manera que

también se forme una onda de choque en Y justo a la salida.

Figura 2.15. Configuración de onda de choque de tipo diamante

Si la relación de presiones fuese tal que se produjese una onda de choque normal en la salida, el

flujo posterior a la onda de choque sería subsónico y no se tendría configuración de diamante. Se

tendría una tobera crítica.

Figura 2.16. Tobera crítica

Plano de simetría

Expansión

Línea de corriente divisoria

Ondas de

choque oblicuas

Expansión


- 85 -

Problema 7. Cohete de agua

La figura adjunto representa un cohete propulsado por agua a presión utilizando botellas de 2 litros

de plástico. Inicialmente, el volumen de agua es y el resto es aire. Mediante una bomba

de aire se eleva la presión dentro de la botella hasta con , a partir de la cual

el tapón cede y sale disparado y comienza a salir el agua a presión. Se considera que el cohete deja

de propulsar cuando se acaba el agua de su interior.

Se pueden usar las siguientes hipótesis:

- En todo momento dentro de la botella la presión de aire y de agua es uniforme (gradiente de

presión por fuerzas de gravedad y de inercia negligible)

- El gas experimenta una expansión adiabática y sin degradación de energía (proceso

isentrópico)

- El agua es un fluido incompresible

- La presión de estancamiento del agua se mantiene constante hasta la salida (teorema de

Bernouilli)

Se pide encontrar el empuje y razonar que efectos tendría sobre las actuaciones del cohete la

utilización de un líquido con mayor densidad. Además se pide encontrar la variación del impulso

específico en función de la masa de propulsante

Nota: el líquido siempre descarga a la atmosfera con una presión estática igual a la presión ambiente

Figura 2.17. Cohete de agua

Agua

Aire


- 86 -

Resolución

La ecuación del empuje es también valida para fluidos líquidos

( )

Todos los líquidos (al ser incompresibles) se descargan a la atmosfera a presión atmosférica.

La velocidad de escape se obtiene utilizando el teorema de Bernouilli. Se evalúa la presión de

estancamiento en el límite superior del agua (condición , con presión igual del gas interior) y en el

tapón (condición de salida).

√ ( )

El flujo másico de salida es

Se han despreciado los efectos viscosos en el agujero de la botella ( ).

Obteniendo el empuje

( )


( )

Se observa que el empuje no es función de la densidad del fluido. Se utiliza agua ya que se consigue

un flujo másico pequeño obteniendo mayor duración de tiempo de empuje. En el caso de poner por

ejemplo solo aire, todo el flujo se expulsaría de golpe y el cohete apenas obtendría un impulso.

Mirando ahora la variación de la velocidad de salida respecto al tiempo

√ ( )

Se puede relacionar la presión del gas con su volumen.

( ) (

( ))


- 87 -

√

( (

( ))

)

Como se obtuvo antes el impulso específico es igual a la velocidad

√

( (

( ))

)

El volumen varía en el tiempo de la siguiente forma

∫

Esta integral se debe resolver numéricamente. Se puede ver como la integral es el flujo másico

partido por la densidad.

∫

∫

El hecho de utilizar un fluido con mayor densidad, aumenta el tiempo de descarga para una

velocidad de escape igual. Es obvio que también aumenta drásticamente el peso. Además hasta que

el líquido que sale adquiere la velocidad de escape se obtiene un transitorio con un bajo.

El hecho de tener un área de salida mayor aumenta el empuje per también aumenta el flujo de

salida por lo que disminuye el tiempo de impulso.


- 88 -

Problema 8. Diseño de una tobera ideal bidimensional

Se pide diseñar una tobera ideal bidimensional para expandir el fluido desde unas condiciones

cercanas a las sónicas, desde hasta . Utilizad cuatro líneas características con

.

Figura 2.18. Tobera con las cuatro líneas características


- 89 -

Resolución

Según la numeración de la Figura 2.18, se identifican las diferentes regiones

uniforme

simple

simple

no simple

uniforme si el panel es recto, aunque aún no se ha determinado la geometría

Como cálculo preliminar al conocer se puede encontrar .

√

√

Siguiendo las líneas características, se pueden identificar los puntos con invariantes iguales

Y también

Además se conoce el ángulo en los puntos de la pared inferior

El punto con mayor información es el punto . Se empieza buscando la información de ese punto.

Como se conoce el número de Mach se pueden encontrar fácilmente y .

(√

) √ (

√

) √

√

√

También se pueden obtener fácilmente los invariantes y las direcciones

( )

( )

Al conocer el Mach de salida se pueden calcular valores para el punto y .

(√

) √ (

√

) √


- 90 -

√

√

También se pueden obtener fácilmente los invariantes

( )

( )

Y de forma similar a antes, las direcciones

Es muy útil en este tipo de ejercicio utilizar tablas para ir almacenando la información e ir pudiendo

elegir los siguientes puntos que se deben calcular. En la primera tabla se pueden ver los valores

obtenidos hasta ahora y así como las igualdades debidas a los invariantes.

Punto

0

Tabla 2.4. Primeros datos obtenidos

Se debe ahora buscar un punto donde se tengan suficientes datos. Por ejemplo el punto , se

conocen los dos invariantes.

{

{

A partir de este número y utilizando tablas se puede obtener el número de Mach y a partir de ese

número se puede encontrar . Finalmente se obtienen las direcciones y

.

√

√


- 91 -

Punto

0

Tabla 2.5. Datos actualizados de la segunda iteración

Mirando la línea característica que va des hasta

, se observan cuatro puntos. Se obtiene

primero la diferencia entre y

y se divide por la cantidad de puntos en la línea menos uno.

A partir de este valor se pueden obtener los invariantes de los otros dos puntos de la línea

Al tener ahora los dos invariantes de esos puntos se pueden obtener el resto de parámetros de esos

puntos.

{

{

√

√

Similarmente para el punto .

{

{


- 92 -

√

√

Se vuelve a actualizar la tabla.

Punto

0

Tabla 2.6. Datos actualizados de la tercera iteración

Como se tiene que

y además se sabe que y se tienen dos variables para resolver el

sistema de dos ecuaciones y cuatro incógnitas para el punto .

{

{

( )

√

√

De forma similar se encuentra el punto

{

{

( )

√

√


- 93 -

Punto

0

Tabla 2.7. Actualizado el punto 5 y y los invariantes iguales

Se pueden encontrar ahora el resto de puntos ya que se conocen todos los invariantes. Se empieza

por el punto .

{

{

√

√

Se continua con el punto .

{

{

√

√


- 94 -

Finalmente se obtiene el punto .

{

{

√

√

Se muestra a continuación la tabla finalizada.

Punto

0

Tabla 2.8. Tabla finalizada

Los puntos se obtienen como coordenadas ( ), la siguiente figura muestra la nomenclatura

utilizada.

Figura 2.19. Nomenclatura utilizada para puntos y ángulos

Las ecuaciones para obtener un punto en un cruce de dos líneas características, conociendo las

coordenadas de los puntos anteriores son

( )

( ) ( )

( )

( )

( )


- 95 -

Problema 9. Efecto de partículas en el flujo

El efecto de que el flujo lleve una fracción de masa de partículas solidas en un gas en expansión se

puede representar utilizando un coeficiente de dilatación adiabática medio y una masa molecular

media.

( )

( )

Para el calor específico de alta temperatura es ⁄ ⁄ .

Se considera un cohete solido con

-

- ⁄

- ⁄

Para una proporción del de aluminio en la carga del propergol, es del orden de . Calculad

el impulso específico del cohete con tobera adaptada y comparadlo con el que se obtendría para la

misma pero sin partículas.


- 96 -

Resolución

Se calculan primero los calores específicos de presión constante y volumen constante del gas si

estuviese libre de partículas.

⁄ ⁄

⁄ ⁄

Se sabe que el calor específico del solido (o líquido) es ⁄ ⁄ y que la proporción de

aluminio es del . Por lo tanto el coeficiente medio es

( )

( )

( )

( )

Y la masa molecular media es

⁄

Se calcula ahora la velocidad de salida para la relación de presiones y temperatura de cámara dadas

√

[ (

)

] √

[ ( )

]

⁄

Alternativamente se puede calcular utilizando el calor específico a presión constante medio. Se

recomienda calcularlo también así como método de comprobación. El calor específico a presión

constante medio es

( ) ( ) ⁄ ⁄

Obteniendo la velocidad

√ [ (

)

] √ [ ( ) ] ⁄

Bajo las condiciones de tobera adaptada, no hay contribución de presiones en el empuje o en el

impulso específico.

Sin tener en cuenta las partículas pero con la misma relación de presiones y la misma temperatura

de cámara se obtiene


- 97 -

√

[ (

)

] √

[ ( )

] ⁄

La perdida es por lo tanto

Se puede comprobar la precisión de la aproximación lineal dada por la hipótesis de pequeño. El

factor es

(

)

( )

La relación de velocidades considerando o no las partículas se puede aproximar (linealizar) de la

siguiente forma

[

(

( ) ( )

)]

[

(

( ) ( )

)]

Esto equivale a una pérdida del , que no se separa mucha de la calculada antes a pesar del alto

porcentaje de .

Documents

Andrés Zarabozo Martínez Propulsión. Problemas³n... · Problema 5. Tobera aerospike ... (en el análisis del diseño), en otras palabras, no están relacionados. Andrés Zarabozo