Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Andrijana Vinkovic

Komponente matematicke sposobnosti

Diplomski rad

Osijek, 2015. godina

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Andrijana Vinkovic

Komponente matematicke sposobnosti

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan Matic

Komentor: dr. sc. Ljerka Jukic Matic

Osijek, 2015. godina

Sadrzaj

1 Uvod 4

2 Komponente matematicke sposobnosti 4

2.1 Pojmovno razumijevanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Proceduralno znanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Strateska kompetencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Prilagodljivo (adaptivno) zakljucivanje . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Produktivna dispozicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Svojstva matematicke sposobnosti 20

3.1 Komponente sposobnosti su isprepletene . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Sposobnost nije sve ili nista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Sposobnost se razvija tijekom vremena . . . . . . . . . . . . . 22

4 Matematicka sposobnost ucenika Sjedinjenih Drzava 23

4.1 Pojmovno razumijevanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Proceduralno znanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Strateska kompetencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Prilagodljivo zakljucivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Produktivna dispozicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Komponente matematicke sposobnosti u drugim podrucjima

matematike 29

Literatura 30

Sazetak 31

Title and summary 33

Zivotopis 35

1 Uvod

Tema moga diplomskog rada su komponente matematicke sposobnosti. U

ovom radu cu najprije navesti komponente matematicke sposobnosti, opisati

svaku od njih, navesti primjere za njih i zatim pokazati kako su komponente

medusobno povezane i ovisne u razvoju sposobnosti u matematici. Poka-

zati da se matematicka sposobnost ne moze postici ako se ucenici fokusiraju

samo na neku od komponenti, vec da sve komponente trebaju biti razvi-

jene kako bi ucenici postali matematicki vjesti. Da matematicka sposobnost

treba omoguciti ucenicima da rjesavaju svakodnevne matematicke probleme

s kojima se susrecu. Pokazati da se matematicka sposobnost ne moze oka-

rakerizirati kao samo prisutna ili odsutna, i da je za njezin razvoj potrebno

vrijeme. Zatim kroz komponente matematicke sposobnosti pokazati koliko

su matematicki vjesti ucenici Sjedinjenih Drzava, i na kraju pokazati da se

komponente matematicke sposobnosti ne primjenjuju samo u podrucju broja,

vec i u drugim podrucjima matematike.

2 Komponente matematicke sposobnosti

Tijekom dvadesetog stoljeca znacenje uspjesnog matematickog ucenja dozivjelo

je neke pomake u odnosu na promjene u drustvu i skolovanju. U pede-

setim i sezdesetim godinama dvadesetog stoljeca novi matematicki pokret

definirao je uspjesno matematicko ucenje ne samo kao racunalnu vjestinu,

nego prvenstveno u smislu razumijevanja matematicke strukture. Ovaj na-

glasak je slijedio”povratak na osnove“ pokreta koji je predlagao povratak

na stajaliste da je uspjeh u matematici znacio biti u stanju izracunati tocno

i brzo. Reforma pokreta tijekom osamdesetih i devedesetih godina dvade-

setog stoljeca premjestila je naglasak na ono sto nazivamo razvojem”mate-

matickog potencijala“ koji obuhvaca zakljucivanje, rjesavanje problema, po-

vezivanje matematickih ideja i komuniciranja matematike s drugim. Reakcije

na prijedlog reforme istaknule su kao znacajke matematickog ucenja vaznost

pamcenja, sposobnost racunanja i mogucnosti dokazivanja matematicke tvrd-

nje. Razliciti pogledi su formulirali nacin po kojem bi se moglo prihvatiti ci-

ljeve prema kojima treba biti usmjereno matematicko ucenje. U ovom radu

ce biti opisane vrste kognitivnih promjena koje zelimo unaprijediti kod djece,

4

tako da ona mogu biti uspjesna u ucenju matematike. Kako nema termina

koji obuhvaca u potpunosti sve aspekte strucnosti, kompetencije, znanja i

vjestine u matematici, matematicka vjestina je izabrana da obuhvati ono

sto vjerujemo da je potrebno za bilo koga da uspjesno nauci matematiku.

Matematicka sposobnost ima pet komponenti:

• pojmovno razumijevanje- razumijevanje matematickih pojmova, ope-

racija i odnosa

• proceduralno znanje- vjestina u fleksibilnom obavljanju postupaka, ucinkovitom

i na odgovarajuci nacin

• strateska kompetencija- sposobnost formuliranja, predstavljanja i rjesavanja

matematickih problema

• prilagodljivo zakljucivanje- sposobnost logickog razmisljanja, refleksije,

objasnjavanja i opravdavanja

• produktivna dispozicija- uobicajena sklonost vidjeti matematiku kao

razumnu, korisnu i vrijednu truda, zajedno s vjerovanjem u marljivost

i pojedinu vlastitu ucinkovitost

Te komponente su isprepletene i medusobno ovisne u razvoju sposobnosti u

matematici (slika 1). Matematicka sposobnost nije jednodimenzionalno svoj-

stvo i ne moze se postici fokusiranjem na samo jednu ili dvije komponente. Da

bi djeca stekla matematicku sposobnost zahtijeva se od nastavnog programa

da se bavi svim njegovim komponentama. Kako se ucenici krecu od vrtica

do osmog razreda trebali bi postati sve vjestiji u matematici. Ta sposob-

nost im treba omoguciti da se nose s matematickim izazovima svakodnevnog

zivota i omoguciti im da nastave uciti matematiku u srednjoj skoli i izvan

nje. Pet komponenti daju okvir za razmatranje znanja, vjestine, sposobnosti

i vjerovanja koje cine matematicko znanje.

5

Slika 1: Komponente matematicke sposobnosti

Ovaj okvir ima neke slicnosti s onim koji se koristio u posljednjim americkim

matematickim procjenama unutar Nacionalne procjene obrazovnog napretka

(NAEP), koji ima tri komponente matematicke sposobnosti (pojmovno ra-

zumijevanje, proceduralno znanje i rjesavanje problema) i ukljucuje dodatne

specifikacije za zakljucivanje, povezanost i komunikaciju. Komponente ma-

tematicke sposobnosti takoder su odraz komponenti matematickog ucenja

koje su istaknute u materijalima za ucitelje. Centralnu ulogu u uspostavlja-

nju tih komponenti imali su mentalni prikazi (prezenatacije). Kako ucenici

prikazuju i povezuju dijelove znanja, kljucni je cimbenik za duboko razumi-

jevanje i koristenje u rjesavanju problema. Kognitivni znanstvenici uocili su

da sposobnost rjesavanja istrazivackih zadataka ovisi o znanju koje nije samo

pohranjeno, nego je povezano i struktuirano na nacin da olaksava dosjecanje

i primjenu. Dakle, ucenje s razumijevanjem je mocnije nego jednostavno

ucenje napamet, jer organizacija poboljsava zadrzavanje, promice savrseno

znanje (tecnost) i olaksava ucenje slicnih materijala. Sredisnja misao ko-

6

jom komponente sposobnosti moraju biti isprepletene da bi im bila korisna

odrazava zakljucak da duboko razumijevanje zahtijeva da ucenici povezuju

dijelove znanja i da je veza kljucni faktor u tome da mogu produktivno ko-

ristiti ono sto znaju u rjesavanju problema. Nadalje, proucavajuci rjesavanje

problema kognitivni znanstvenici uocili su vaznost prilagodljive strucnosti

(adaptivne ekspertize) i onoga sto se naziva metakognicijom: znanje o vlasti-

tom misljenju i sposobnosti za pracenje vlastitog razumijevanja i problema-

rjesavanje aktivnosti. Ove ideje doprinose onome sto nazivamo strateskom

kompetencijom i prilagodljivim zakljucivanjem. Ucenje je takoder pod utje-

cajem motivacije, komponente produktivne dispozicije.

2.1 Pojmovno razumijevanje

Pojmovno razumijevanje je integrirano i funkcionalno shvacanje matematickih

pojmova. Ucenici s pojmovnim razumijevanjem znaju vise od izoliranih

cinjenica i metoda, razumiju zasto je matematicka ideja vazna i vrste kon-

teksta u kojima je korisna. Organiziraju svoje znanje u povezanu cjelinu, sto

im omogucuje da uce nove pojmove spajanjem tih pojmova s onima koje vec

znaju. Ako su ucenici naucili cinjenice i metode s razumijevanjem, povezuju

ih, lakse pamte i koriste, i mogu ih rekonstruirati kada ih zaborave. Ako razu-

miju metodu manje je vjerojatno da zapamte pogresno, prate cega se sjecaju

i pokusavaju shvatiti da li to ima smisla. Mogu pokusati objasniti metodu i

ispraviti je ako je potrebno. Pojmovno razumijevanje ne mora biti odredeno

(eksplicitno). Ucenici cesto razumiju prije nego sto verbaliziraju razumijeva-

nje. Pojmovno razumijevanje podrzava zadrzavanje znanja (retenciju). Ono

omogucuje ucenicima da prikazu matematicke situacije na razlicite nacine,

gdje razliciti prikazi mogu biti korisni za razlicite svrhe. Nuzno je da vide

kako se razliciti prikazi povezuju jedni s drugima, koliko su slicni i koliko su

razliciti da bi shvatili matematiku kao koherentnu cjelinu. Stupanj pojmov-

nog razumijevanja ucenika povezan je s bogatstvom i dosegom veza koje su

napravili. Pretpostavimo da ucenici zbrajaju razlomke razlicitih nazivnika:

Primjer 1:

1

3+

2

5

7

Kako bi pokazali zbrajanje ucenici mogu nacrtati sliku ili koristiti konkretne

materijale razlicitih vrsta. Takoder mogu predstaviti broj recenicom 13+ 2

5=?

kao pricu. Mogu se vratiti na brojevni pravac prikazujuci svaki razlomak kao

segment i zbrojiti razlomke spajajuci segment. Svodenjem razlomaka tako

da imaju isti nazivnik, ucenici mogu doci do zbroja i vidjeti novu velicinu na

brojevnom pravcu. Dakle, ucenici pomocu ovih varijacija mogu raspravljati

o slicnostima i razlikama prikaza, prednostima svakog prikaza te kako su po-

vezani ako daju isti odgovor. Mnemonicke tehnike naucene napamet mogu

pruziti veze medu pojmovima sto cini laksim samo izvodenje matematickih

operacija, ali pri tome ne moraju dovesti do razumijevanja. Znanje nauceno

s razumijevanjem pruza osnovu za stvaranje novih znanja i za rjesavanje no-

vih i nepoznatih problema. Kada ucenici steknu pojmovno razumijevanje u

podrucju matematike vide vezu medu pojmovima i postupcima. Primjerice,

ucenici koji razumiju mjesnu vrijednost i druge viseznamenkaste brojeve,

za razliku od drugih koji to ne razumiju, vjerojatno ce lakse smisliti vlas-

tite postupke za zbrajanje s potpisivanjem i usvojiti ce ispravne postupke za

oduzimanje s potpisivanjem koje su im drugi prezentirali. Dakle, ucenje kako

zbrajati i oduzimati viseznamenkaste brojeve ne mora ukljucivati potpuno

nove i nepovezane pojmove. Isto vrijedi i za mnozenje i dijeljenje.

Pojmovno razumijevanje pomaze ucenicima da izbjegnu mnoge kriticne po-

greske u rjesavanju problema, posebno pogreske velicina. Na primjer, ako

mnoze 9.83 i 7.65 i kao rezultat dobiju 7519.95, odmah mogu zakljuciti da

taj rezultat ne moze biti tocan. Znaju da 10 pomnozeno s 8 je 80 pa tako

pomnozena dva broja manja od 10 i 8 moraju dati umnozak manji od 80.

Mogu pretpostaviti da je decimalna tocka pogresno postavljena i provjeriti

tu mogucnost. Ucenici s pojmovnim razumijevanjem cesto manje uce jer

mogu vidjeti dublje slicnosti izmedu povrsno nepovezanih situacija. Njihovo

razumijevanje je sadrzano u kompaktnim shemama medusobno povezanih

cinjenica i postupaka. Ucenici mogu koristiti shemu ako trebaju objasniti

principe, ako moraju promisljati o samom pojmu ili upoznati se s novim

idejama. Cesto je struktura ucenickog razumijevanja hijerarhijska, s jednos-

tavnijim shemama pojmova upakiranih u slozenije. Kako shema znanja moze

uciniti ucenje laksim, promotrimo shemu znanja koju ucenik moze razviti za

8

zbrajanje cijelih brojeva. Ako ucenici razumiju da je zbrajanje komutativno

(3 + 5 = 5 + 3), njihovo ucenje osnovnih kombinacija zbrajanja je smanjeno

za gotovo pola. Iskoristavanjem svojeg znanja u drugim odnosima, kao sto

je izmedu parova (5 + 5 i 6 + 6) i ostalih suma, mogu jos dalje smanjiti

broj kombinacija zbrajanja koje trebaju nauciti. Kako su mala djeca sklona

da nauce parove prilicno rano, mogu ih koristiti za stvaranje usko poveza-

nih suma. Na primjer, mogu vidjeti da je 6 + 7 samo jedan vise od 6 + 6.

Takvi odnosi olaksavaju ucenicima ucenje novih kombinacija zbrajanja jer

oni stvaraju novo znanje umjesto oslanjanja na pamcenje napamet.

2.2 Proceduralno znanje

Proceduralno znanje odnosi se na poznavanje postupaka, znanja kada i kako

koristiti te postupke i vjestine da se ti postupci obave fleksibilno, tocno i

ucinkovito. Podrzava analizu slicnosti i razlika izmedu metoda izracuna.

Ove metode ukljucuju mentalne metode nalazenja odredenih suma, razlika,

umnozaka ili kvocijenata, kao i metode koje koriste kalkulatore, racunala

ili manipulativne materijale kao sto su blokovi, brojaci ili kuglice. Ucenici

trebaju biti ucinkoviti i tocni u obavljanju osnovnih racunanja sa cijelim bro-

jevima, primjerice 6 + 7, 17 − 9, 8 × 4 i tako dalje, da nemaju uvijek tablice

ili druga pomagala. Takoder trebaju znati smislen, ucinkovit i tocan nacin

za zbrajanje, oduzimanje, mnozenje i dijeljenje viseznamenkastih brojeva,

kako u glavi, tako i pomocu olovke i papira. Dobro pojmovno razumijevanje

mjesne vrijednosti u bazi sustava 10 podrzava razvoj proceduralnog znanja

kod racnanja s viseznamenkastim brojevima. Proceduralno znanje takoder

pomaze pri procijeni rezultata postupka. Mnogi zadaci koji ukljucuju ma-

tematicko znanje u svakodnevnom zivotu zahtijevaju sposobnost snalazenja

s algoritmima za racunanje, bilo u glavi ili u pisanom obliku. Kako bi se

stvorili alati za racunanje, neki algoritmi su vazni kao pojmovi sami za sebe,

sto opet pokazuje vezu izmedu pojmovnog razumijevanja i proceduralnog

znanja. Vazno je da racunalni postupci budu ucinkoviti, da se upotrijebe

tocno i da daju tocne odgovore. Ucenici bi trebali moci koristiti razlicite

mentalne strategije za mnozenje sa 10, 20 ili 300 (ili bilo koje potencije od 10

ili visekratnika od 10). Takoder bi trebali moci, primjerice, naci sumu od 199

i 67 ili umnozak od 4 i 26 koristeci se brzim mentalnim strategijama umjesto

9

da se oslanjaju na papir i olovku. Kako se situacije razlikuju po svojoj po-

trebi za tocne odgovore, ponekad je procjena dovoljno dobra, primjerice, pri

racunanju napojnice racuna u restoranu. Ponekad je uporaba kalkulatora

ili racunala prikladnija nego koristenje papira i olovke, primjerice, u popu-

njavanju poreznog obrasca. Dakle, ucenici trebaju biti vjesti s razlicitim

racunalnim pomagalima i trebaju znati kako izabrati prikladno pomagalo za

odredenu situaciju. Razumijevanje cini vjestine ucenja laksim, manje osjet-

ljivim na uobicajene greske i manje sklonim zaboravljanju. Po istoj logici

odredena razina vjestine potrebna je kako bi se naucili mnogi matematicki

pojmovi s razumijevanjem te upotreba postupaka moze pomoci ojacati i ra-

zviti to razumijevanje. Na primjer, ucenicima je tesko razumjeti racunanje

s viseznamenkastim brojevima ako nisu stekli odredenu razinu vjestine u

racunanju s jednoznamenkastim brojevima. Isto tako, jednom kad ucenici

nauce postupke bez razumijevanja, moze im biti tesko da se ukljuce u aktiv-

nosti koje zahtijevaju da shvate razloge na kojima se temelji postupak. Bez

dovoljnog proceduralnog znanja, ucenici imaju problema s produbljivanjem

njihovog razumijevanja matematickih pojmova ili rjesavanja matematickih

problema. Paznja koju posvecuju razradi rezultata kojih bi se trebali pod-

sjetiti ili izracunati sprjecava ih da vide vazne odnose. Ucenici trebaju dobru

praksu vjestina tako da ne budu zakinuti za razvoj drugih oblika vjestina.

Kada vjezbaju postupke koje ne razumiju postoji opasnost da ce vjezbati po-

gresne postupke, cime otezavaju ucenje ispravnih postupaka. Na primjer, na

jednom standardnom testu stupnja 2 drzavne norme za probleme oduzimanja

dvoznamenkastih brojeva, na pitanje 62 − 48 =?, bilo je 38% tocnih odgo-

vora. Mnoga djeca oduzimaju manju od vece znamenke u svakom stupcu i

dobiju 26 kao razliku izmedu 62 i 48:

Primjer 2:

62

− 48

26

10

Ako ucenici uce oduzimati s razumijevanjem rijetko cine ovu pogresku, ali

ako uce bez razumijevanja trebaju puno vjezbati da ne bi zaboravili korake.

Ako razumiju postupak vjerojatno nece zaboraviti kriticne korake i moci ce

ih rekonstruirati kada im zatrebaju. Kada uce s razumijevanjem mogu doci

do visih razina vjestine nego sto bi mogli postici samo praksom. Ako su

ucenici koristili pogresne postupke nekoliko godina, onda nastava koja zahti-

jeva razumijevanje moze biti manje ucinkovita. Tek s vremenom i praksom

prestaju koristiti netocne ili neucinkovite metode. Pocetno ucenje s razu-

mijevanjem moze uciniti ucenje ucinkovitijim. Ucenicima je ucenje novih

tema teze kada ne povezuju prethodno naucene pojmove i vjestine s tom

novom temom. Ucenici cesto vjeruju da imalo drugaciji zadaci zahtijevaju

razlicite postupke. Takvo uvjerenje moze se pojaviti medu djecom u rani-

jim razredima, primjerice, pri ucenju jednog postupka za problem oduzima-

nja bez pregrupiranja, a drugog za problem oduzimanja s pregrupiranjem.

Kada ucenici uce bez razumijevanja cesto odvajaju ono sto se dogada u skoli

od onoga sto se dogada izvan, pri tome jedan skup postupaka koriste za

rjesavanje problema izvan skole, a drugi uce i koriste u skoli i ne vide odnos

izmedu njih. Time ogranicavaju svoje sposobnosti da primjenjuju nauceno u

skoli na rjesavanje stvarnih problema. Ucenici koji uce postupke bez razumi-

jevanja najcesce samo primijenjuju naucene postupke, dok ucenici koji uce s

razumijevanjem mogu mijenjati ili prilagoditi postupke kako bi ih lakse ko-

ristili. Primjerice, ucenici s ogranicenim razumijevanjem zbrajanja bi obicno

koristili papir i olovku da zbroje 598 i 647. Ucenici s vecim razumijevanjem

bi prepoznali da je 598 samo za 2 manji od 600, pa bi mogli zbrojiti 600 i

647 i onda oduzeti 2 od tog zbroja.

2.3 Strateska kompetencija

Odnosi se na sposobnost formuliranja matematickih problema, njihovih pri-

kaza i rjesavanja. Matematicka kompetencija je sposobnost razvoja i pri-

mjene matematickog misljenja kako bi se rijesio niz problema u svakodnevnim

situacijama. Uz dobro vladanje brojevima, odnosno numericku pismenost,

naglasak je na procesu i aktivnosti, kao i na znanju. Matematicka kompe-

tencija ukljucuje sposobnost i volju za koristenjem razlicitih matematickih

nacina misljenja (logicko i prostorno misljenje) i prikazivanja (formule, mo-

11

deli, konstrukcije, grafovi, grafikoni). Iako se u skoli ucenicima cesto daju

specificni problemi za rjesavanje, izvan skole susrecu situacije u kojoj je za-

pravo dio poteskoce shvatiti sto je problem. Ucenici trebaju formulirati pro-

blem tako da pri njegovom rjesavanju mogu koristiti matematiku. Trebaju

iskustvo i praksu u formuliranju problema, kao i u njegovom rjesavanju. Tre-

bali bi znati razne oblike strategija, kao koje strategije mogu biti korisne

za rjesavanje specificnog problema. Na primjer, od sestog razreda moze se

traziti da postave problem na temu skolske kantine. Pitanja bi mogla biti

povezana s cijenom u kantini, primjerice, jesu li ruckovi preskupi i koji su

im najvise i najmanje omiljeni ruckovi, koliko posluzavnika koriste, koliko

kartonskih kutija mlijeka prodaju ili kako se izgled kantine moze poboljsati.

Kada ucenici imaju formulirani problem, njihov prvi korak u rjesavanju je

predstaviti ga matematicki na neki nacin, bilo brojcano, simbolicno, verbalno

ili graficki. Kada prikazuju problemsku situaciju trebaju prvo izgraditi men-

talnu sliku osnovnih postavki tog problema. Postati strateski kompetentan

ukljucuje izbjegavanje”dohvacanje brojeva“ kao metodu (u kojoj ucenik iz-

abere brojeve i pripremi za obavljanje aritmetickih operacija na njima) u

odnosu na metode koje stvaraju model problema (u kojoj ucenik konstru-

ira mentalni model varijabli i odnosa opisanih u problemu). Da bi ucenici

tocno prikazali problem, moraju prvo razumjeti situaciju, ukljucujuci njezine

kljucne znacajke. Trebaju stvoriti matematicki prikaz problema koji biljezi

temeljne matematicke elemente i zanemaruje nevazne znacajke. Ovaj korak

moze biti olaksan stvarajuci skicu, pisuci jednadzbu ili stvarajuci neki drugi

materijalni prikaz. Neka je dan sljedeci problem u 2 koraka:

Primjer 3:

ARCO prodaje plin za 1.13 dolara po litri.

To je 5 centi manje po litri od plina na Chevronu.

Koliko kosta 5 litara plina na Chevronu?

Da bi prikazali ovaj problem, ucenici se u zajednickoj povrsnoj metodi usre-

dotocuju na brojeve u problemu i koriste tzv. kljucne rijeci kako bi otkrili

potrebne aritmeticke operacije. Na primjer, kolicine 1.13 dolara i 5 centi sli-

12

jede kljucnu rijec manje, sugerirajuci da ucenik treba oduzeti 5 centi od 1.13

dolara da dobije 1.08 dolara, dok kljucne rijeci koliko i 5 litara sugeriraju

da 5 treba biti pomnozen s rezultatom dajuci 5.40 dolara. Vjestiji pristup

ucenika bi bio izgraditi model problema, odnosno, mentalni model situacije

opisane u problemu. Model problema nije sam po sebi vizualna slika, to je

bilo koji oblik mentalnog prikaza koji odrzava strukturne odnose medu vari-

jablama u problemu. U izgradnji problemskog modela, ucenici trebaju biti

oprezni s kolicinama u problemu, vazno je da prikazuju kolicine mentalno,

razlikujuci ono sto je poznato od onoga sto trebaju naci, odnosno onoga sto

je nepoznato. Da bi ucenici shvatili prve 2 recenice, na primjer, mogu zamis-

liti brojevni pravac i pronaci svaku cijenu po litri kako bi rijesili problem.

Ucenici ne samo da trebaju biti u mogucnosti izgraditi prikaze pojedinacnih

situacija, nego takoder trebaju vidjeti da neki prikazi dijele zajednicke mate-

maticke strukture. Pocetnici u rjesavanju problema skloni su uociti slicnosti

samo u povrsinskim znacajkama problema, poput znakova ili scenarija opi-

sanih u problemu, dok oni iskusniji u rjesavanju problema usredotocuju se

vise na strukturne odnose unutar problema, trazeci naznake kako problem

moze biti rijesen. Moze se traziti od ucenika, primjerice, da utvrde koliko

razlicitih hrpa od 5 blokova moze biti napravljeno koristeci crvene i zelene

blokove i moze se traziti da odrede na koliko razlicitih nacina hamburgeri

mogu biti naruceni sa ili bez svakim od sljedeceg: kecap, luk, kiseli kras-

tavci, salata i rajcica. Pocetnici ce vidjeti ove probleme nevezane, a oni

iskusniji ce vidjeti i kao 5 mogucih izbora izmedu 2 stvari: crveno i zeleno,

ili sa i bez. Kako bi ucenici uspjesno rijesili problem, moraju nauciti kako

oblikovati mentalne prikaze problema, otkriti matematicke odnose i osmisliti

nove metode rjesenja kada je potrebno. Fleskibilnost je temeljna karakteris-

tika potrebna u procesu rjesavanja problema, a razvija se kroz prosirivanje

potrebnog znanja za rjesavanje nerutinskih problema vise nego kod rutinskih

problema. Rutinski problemi su problemi koje ucenik zna kako rijesiti teme-

ljeni na dosadasnjem iskustvu. Kad se ucenik suoci s rutinskim problemom,

zna ispravnu metodu rjesavanja te je u mogucnosti primijeniti je. Rutinski

problemi zahtijevaju reproduktivno misljenje; ucenik treba samo reproduci-

rati i primijeniti poznati postupak rjesavanja. Na primjer, za vecinu odraslih

je pronalazenje umnoska 567 i 46 rutinski problem jer oni znaju sto uciniti i

13

kako to uciniti. Nasuprot tome su nerutinski problemi za koje ucenik ne zna

odmah korisnu metodu rjesavanja. Nerutinski problemi zahtijevaju produk-

tivno razmisljanje jer ucenik treba izmisliti nacin da razumije i rijesi problem.

Promotrimo za vecinu odraslih nerutinsku vrstu problema koju cesto nala-

zimo u novinama ili zagonetki casopisa:

Primjer 4:

Krug trgovina ima ukupno 36 bicikala i tricikala na lageru.

Zajedno je 80 kotaca.

Koliko ima bicikala i koliko ima tricikala tamo?

Jedna mogucnost da se rijesi zadatak je zakljucak da svih 36 vozila imaju

ukupno najmanje 2 kotaca, dakle 36 × 2 = 72 kotaca. Kako je 80 kotaca

sveukupno, 8 dodatnih kotaca (80 − 72) mora pripadati 8 triciklima. Dakle

postoji 36 − 8 = 28 bicikala. Manje vjest pristup bi bio”pogodi i provjeri“:

ako je u trgovini 20 bicikala i 16 tricikala, to bi dalo (20 × 2) + (16 × 3)

= 88 kotaca, sto je previse. Kada bi se smanjio broj tricikala, primjerice

na 12, tada pogodak od 24 bicikala i 12 tricikala daje (24 × 2) + (12 ×3) = 84 kotaca, sto je jos uvijek previse. Kada bi se ponovno smanjio broj

tricikala, primjerice za 4, dakle da uzmemo 8 tricikala i 28 bicikala, oni daju

80 potrebnih kotaca cime smo dosli do rjesenja problema. Vjestiji, algebar-

ski pristup bi bio staviti b da bude broj bicikala i t broj tricikala. Onda je

b + t = 36 i 2b + 3t = 80. Rjesenje ovog sustava jednadzbi takoder daje

28 bicikala i 8 tricikala. Ucenici sa strateskom kompetencijom ne samo da

mogu doci do nekoliko pristupa nerutinskog problema kao sto je ovaj, nego

takoder moze fleksibilno izabrati izmedu zakljucivanja, strategije pogodi-i-

provjeri, algebarskih ili drugih metoda koje odgovaraju zahtjevima predstav-

ljenog problema i situacije u kojoj je postavljen.

Fleksibilnost pristupa je glavni spoznajni uvjet za rjesavanje nerutinskih pro-

blema. To se moze vidjeti kada je metoda stvorena ili se postupno prilagodava

zahtjevima nove situacije, kao sto je biti u mogucnosti koristiti glavna nacela

o omjerima da se utvrdi kupiti ono sto je najbolje. Na primjer, kada je izbor

14

izmedu konzerve kikirikija od 4- unca za 45 centi i konzerve od 10- unca za 90

centi, vecina ljudi koristi strategiju omjera: veca konzerva kosta dvostruko

vise nego manja konzerva, a sadrzi vise nego dvostruko unca pa bolje ku-

piti vecu konzervu. Kada je izbor izmedu staklenke umaka od 14- unca za 79

centi i staklenke od 18- unca za 81 cent, vecina ljudi koristi strategiju razlike:

veca tegla kosta samo 2 centa vise, a daje 4 unca vise tako da je vecu teglu

bolje kupiti. Kada je izbor izmedu vrecice sjemena suncokreta od 3 unca

za 30 centi i vrecice od 4 unca za 44 centa, najcesca strategija je jedinicna

cijena: manja vrecica kosta 10 centi po uncu, dok veca kosta 11 centi po

uncu tako da je bolje kupiti manju. Tu su medusobno podrzavajuci odnosi

izmedu strateske kompetencije, pojmovnog razumijevanja i proceduralnog

znanja. Razvoj strategija za rjesavanje nerutinskih problema ovisi o razumi-

jevanju kolicina ukljucenih u probleme i njihovih odnosa, kao i proceduralnog

znanja u rjesavanju rutinskih problema. Isto tako, razvoj kompetencije kod

rjesavanja nerutinskih problema daje kontekst i motivaciju za ucenje da se

rijese rutinski problemi i za razumijevanje pojmova kao sto je dano, nepoz-

nato, uvjet i solucija. Strateska kompetencija dolazi do izrazaja na svakom

koraku u razvoju proceduralnog znanja u racunanju. Primjerice, uzmimo

oduzimanje dvoznamenkastih brojeva, 86-59. Pocetni postupak za 86-59 bi

mogao upotrijebiti paketice stapica (slika 3). Manji postupak ukljucuje pri-

mjenu pismenog numerickog algoritma koji provodi iste korake bez paketica

stapica. Dio razvoja strateske kompetencije ukljucuje ucenje da se zamijene

veliki postupci sazetijim i ucinkovitim postupcima koji bi mogli na prvu biti

od pomoci u razumijevanju operacije.

Primjer 5:

Najprije imamo 8 paketica od 10 stapica zajedno sa 6 pojedinacnih stapica,

dakle ukupno 86 stapica. Kako ne mozemo uzeti 9 pojedinacnih stapica,

otvorimo jedan paketic stvarajuci 7 paketica od 10 stapica i 16 pojedinacnih

stapica. Uklonimo 5 paketica (odgovara oduzimanju 50) i uklonimo 9 po-

jedinacnih stapica (odgovara oduzimanju 9). Broj preostalih stapica su 2

paketica i 7 pojedinacnih stapica, ili 27 je odgovor.

15

Slika 2: Oduzimanje koristeci stapice: primjer 86 − 59?

Kako ucenici koriste svoju stratesku kompetenciju da izaberu izmedu ucinkovitih

postupaka razvijaju proceduralno znanje. Zanimljivo je takoder da vrlo mala

djeca koriste razlicite strategije za rjesavanje problema i teziti ce odabrati

strategije koje su dobro prilagodene za pojedine probleme, cime pokazuju

osnove prilagodljivog zakljucivanja, sljedece komponente matematicke spo-

sobnosti.

2.4 Prilagodljivo (adaptivno) zakljucivanje

Prilagodljivo zakljucivanje odnosi se na sposobnost da se logicki misli o od-

nosima medu pojmovima i situacijama. Takvo misljenje je tocno i valjano,

proizlazi iz pazljivog razmatranja alternativa i obuhvaca znanje kako da se

opravdaju zakljucci. U matematici, prilagodljivo zakljucivanje drzi sve za-

jedno, vodi ucenje. Deduktivno zakljucivanje u matematici se koristi da

se rijese sporovi i nesuglasice, odgovori su tocni jer slijede iz nekih do-

govorenih pretpostavki kroz niz logickih koraka. Ucenici koji se ne slazu

oko matematickog odgovora ne trebaju se oslanjati na provjeru s nastav-

nikom, prikupljati misljenja svojih kolega iz razreda ili prikupljati dokaze

16

izvan ucionice, nego trebaju samo provjeriti da je njihovo zakljucivanje va-

ljano. Mnoga shvacanja matematickog zakljucivanje ogranicena su na for-

malni dokaz i druge oblike deduktivnog zakljucivanja. Shvacanje prilagodlji-

vog zakljucivanja je mnogo sire, ukljucujuci ne samo neformalno objasnjenje

i argumentriranje nego takoder intuitivno i induktivno zakljucivanje teme-

ljeno na uzorku, analogiji i usporedivanju. Zakljucivanje pomocu analogije,

usporedivanja, i mentalni i fizicki prikazi su “alati kojima se misli“. Cesto

sluze kao izvori hipoteza, izvori rjesavanja operacijskih problema i tehnike i

pomagala za ucenje i prenosenje. Neki znanstvenici su zakljucili da je djecja

rasudivacka sposobnost prilicno ogranicena sve do 12. godine starosti. Ipak

kada su upitani da razgovaraju o tome kako su stigli do svojih rjesenja pro-

blema, djeca u dobi od 4 i 5 pokazuju dokaz kodiranja i zakljucivanja i otporni

su na protuprijedlog. Pomocu prikazivanja- izgradnje iskustava, djeca mogu

pokazati sofisticirane rasudivacke sposobnosti. Nakon rada u parovima i raz-

matranjem svoje aktivnosti, djecji vrtici mogu”dokazati“ teoreme o sumama

parnih i neparnih brojeva. Primjerice, kroz konstruirani slijed aktivnosti do-

davanja i uzimanja kuglica iz vrecice koja sadrzi mnogo kuglica, drugi razredi

osnovne skole mogu rasuditi da je 5 + (−6) = −1. Na primjer, kod rezanja

kratkih masni od 12 metara paketa vrpce i koristeci fizicke modele da se

izracuna da 12 podijeljeno s 13

je 36, ucenici petih razreda mogu rasuditi da

12 podijeljeno s 23

ne moze biti 72 jer bi tada dobili vise masni iz paketa kada

je pojedinacna masna veca, sto nema smisla.

Istrazivanje pokazuje da su ucenici u stanju pokazati rasudivacku sposob-

nost kada su ispunjena 3 uvjeta: imaju dovoljno osnovnog znanja, zadatak je

razumljiv i motivirajuci, i kontekst je poznat i ugodan. Jedna manifestacija

prilagodljivog rasudivanja je sposobnost da se opravda vlastiti rad. Koristimo

opravdati u smislu:”dati dovoljan razlog za.“ Dokaz je oblik opravdanja, ali

nisu sva opravdanja dokazi. Dokazi (i formalni i neformalni) moraju biti

potpuno logicki, ali opravdanje moze biti vise telegrafski, sto samo upucuje

na izvor rasudivanja. Opravdanje i dokaz su obiljezje formalne matematike,

cesto se vide kao podrucje starijih ucenika, ali ucenici vec mogu poceti uciti u

najranijim razredima osnovne skole opravdati svoje matematicke ideje. Djecji

vrtic i ucenici prvog razreda osnovne skole mogu dobiti redovite prilike da

pricaju o pojmovima i postupcima koje koriste i da daju dobre razloge za ono

17

sto rade. Ucenici trebaju biti u mogucnosti ispravno opravdati i objasniti

ideje da ucine svoje zakljucivanje jasnim, usavrsiti svoje vjestine rasudivanja

i poboljsati svoje pojmovno zakljucivanje. Nedovoljno je da se opravda pos-

tupak samo jednom. Razvoj ove vjestine javlja se tijekom duzeg vremenskog

razdoblja. Ucenici trebaju koristiti nove pojmove i postupke neko vrijeme

i objasniti i opravdati ih povezivanjem s pojmovima i postupcima koji vec

razumiju. Na primjer, nije dovoljno da ucenici samo vjezbaju probleme zbra-

janja razlomaka nakon sto je razvijen postupak. Ako su ucenici razumjeli

algoritam, takoder trebaju iskustvo da si objasne i obrazloze mnoge razlicite

probleme. Prilagodljivo zakljucivanje je u interakciji s drugim komponen-

tama sposobnosti, osobito tijekom rjesavanja problema. Ucenici se oslanjaju

na svoje strateske kompetencije da formuliraju i prikazu problem, koristeci

heuristicke pristupe da mogu dati strategiju rjesenja, ali prilagodljivo za-

kljucivanje moraju usvojiti kada odreduju opravdanje predlozene strategije.

Pojmovno razumijevanje pruza usporedivanja i prikaze koji mogu posluziti

kao izvor prilagodljivog rasudivanja, koje uzimajuci u obzir ogranicenja pri-

kaza, ucenici koriste kako bi utvrdili je li rjesenje opravdano i onda da

ga opravdaju. Cesto ce strategija rjesenja zahtijevati proceduralno znanje

koristenja postupaka za racunanje, mjerenje ili prikazivanje, ali prilagodljivo

zakljucivanje bi se trebalo koristiti kako bi se utvrdilo je li postupak prikla-

dan. I dok iznose plan rjesenja, ucenici koriste svoje strateske kompetencije

da prate svoj napredak prema rjesenju i da stvaraju alternativne planove

ako se trenutni plan cini neucinkovit. Takav pristup i ovisi o produktivnoj

dispoziciji i podupire ju.

2.5 Produktivna dispozicija

Produktivna dispozicija odnosi se na sklonost da se vidi smisao u matematici,

da je vidimo kao i korisnu i isplativu, da vjerujemo da se stalan trud u ucenju

matematike isplati i da sebe vidimo kao djelotvornog ucenika i vrsitelja mate-

matike. Ako su ucenici razvili pojmovno razumijevanje, proceduralno znanje,

stratesku kompetenciju i prilagodljive sposobnosti zakljucivanja, moraju vje-

rovati da je matematika razumljiva, nije proizvoljna, da se sa marljivim tru-

dom moze nauciti i koristiti, i da su je sposobni shvatiti. Dakle, produktivna

dispozcija razvija se kada su razvijene ostale komponente matematicke spo-

18

sobnosti i pomaze razviti svaku od njih. Na primjer, kako ucenici izgraduju

stratesku kompetenciju u rjesavanju nerutinskih problema, njihovi stavovi i

uvjerenja o sebi kao ucenicima matematike postaju pozitivniji. Ucenicima

matematika postaje sve razumljivija kada oni sto vise matematickih pojmova

razumiju. Nasuprot tome, kada ucenici rijetko rijese izazovne matematicke

probleme, ocekuju da ucenje napamet otvara put ucenju matematike vise

nego shvacanje smisla i pocinju gubiti samopouzdanje u sebe kao ucenike.

Slicno tome, kada ucenici osjete da su sposobni uciti matematiku i koristiti

ju za rjesavanje problema, postaju sposobni razvijati dalje svoje proceduralno

znanje ili svoje prilagodljive sposobnosti zakljucivanja. Ucenicka naklonost

prema matematici je glavni cimbenik u odredivanju njihovog obrazovnog

uspjeha. Ucenici koji vide svoju matematicku sposobnost kao ustaljenu, i

ispitna pitanja kao mjerenje njihove sposobnosti umjesto pruzanja prilike

da nauce, vjerojatno izbjegavaju izazovne zadatke i neuspjeh ih lako obes-

hrabri. Ucenici koji vide sposobnost kao prosirivu u odnosu na iskustvo i

vjezbanje, vjerojatnije ce traziti izazovne situacije i uciti iz njih. Studije

medu razlicitim kulturama pokazale su da se djeci Sjedinjenih Drzava vje-

rojatnije pripisuje uspjeh u skoli za sposobnost nego za trud u odnosu na

ucenike u istocnoazijskim zemljama. Vecina djece Sjedinjenih Drzava ulaze

u skolu zeljna da uce i sa pozitivnim stavovima prema matematici. Izuzetno

je vazno da susrecu dobru nastavu matematike u ranim razredima. Inace,

ti pozitivni stavovi mogu postici kontra efekt ako ucenici sebe vide kao lose

ucenike, a matematiku kao besmislenu, proizvoljnu i nemogucu za nauciti

osim napamet, i takvi stavovi jednom usvojeni mogu se vrlo tesko promije-

niti. Nastavnik matematike ima kljucnu ulogu u poticanju ucenika da zadrze

pozitivne stavove prema matematici. Nacin na koji nastavnik vidi matema-

tiku i njezino ucenje, utjece na nastavnu praksu edukatora, sto u konacnici

ne utjece samo na ono sto ucenici uce, nego i kako se vide kao ucenici ma-

tematike. Izvjesce Nacionalnog Istrazivackog Vijeca u SAD-u prepoznalo je

uzrok mnogo slabih rezultata u skolskoj matematici u Sjedinjenim Drzavama:

Neogranicena snaga pritiska vrsnjaka cesto cini dobar uspjeh u matema-

tici drustveno neprihvatljivim. Ta okolina negativnog ocekivanja je najjaca

medu manjinama i zenama- oni koji su najvise izlozeni riziku- tijekom sred-

njoskolskih godina kada ucenici pocinju izabirati nastavne ciljeve.

19

Neke od najvaznijih posljedica ucenickog neuspjeha da razviju produktivnu

dispoziciju prema matematici javljaju se u srednjoj skoli kada ucenici izbjega-

vaju izazovne matematicke sate. Izbjegavanje takvih satova moze eliminirati

potrebu da se suoce s pritiskom vrsnjaka i drugim izvorima obeshrabrenja,

ali na racun iskljucivanja karijere u znanosti, tehnologiji, medicini i dru-

gim podrucjima za koja je potrebna visoka razina matematickog znanja. Is-

trazivanje sa starijim ucenicima i odraslima pokazuje da fenomen nazvan ste-

reotipna prijetnja moze objasniti mnoge uocene razlike u matematickom us-

pjehu izmedu etnickih skupina i izmedu ucenika i ucenice. U ovom fenomenu,

dobri ucenici koji brinu o svojem uspjehu u matematici i koji pripadaju stere-

otipnim skupinama kako postaju losi u matematici slabo rjesavaju teske ma-

tematicke probleme pod uvjetima u kojima osjecaju pritisak da se prilagode

stereotipu. Takozvane ucene obrazovne okoline mogu smanjiti stetne ucinke

stereotipne prijetnje te naglasavaju optimisticne odnose edukator- ucenik,

daju izazovan zadatak svim ucenicima i isticu prosirivost sposobnosti medu

ostalim cimbenicima. Ucenici koji su razvili produktivnu dispoziciju sigurni

su u svoje znanje i sposobnost, vide da je matematika i usvojiva i shvatljiva, i

vjeruju da uz odgovarajuci trud i iskustvo mogu nauciti. Kontraproduktivno

je za ucenike da vjeruju da postoji neki tajanstveni “matematicki gen“ koji

odreduje njihov uspjeh u matematici. Dakle, nase glediste matematickog

znanja nadilazi biti u mogucnosti razumjeti, izracunati, rijesiti i rasudivati.

Ukljucuje da je dispozicija prema matematici osobna. Matematicki vjesti

ljudi vjeruju da bi matematika trebala imati smisla, da je mogu shvatiti,

da mogu rijesiti matematicke probleme napornim radom na njima i da je

postajanje matematicki vjestim vrijedno truda.

3 Svojstva matematicke sposobnosti

Pet komponenti matematicke sposobnosti su medusobno povezane i moraju

djelovati zajedno ako su ucenici uspjesno naucili. Ucenje nije pojava sve-ili-

nista, i kako se odvija, svaku komponentu matematicke sposobnosti bi trebalo

razvijati u sinkroniji s ostalim, za ciji razvoj je potrebno vrijeme. Osobito je

vazno da ucenici napreduju uz svaku komponentu, a ne samo jednu ili dvije.

20

3.1 Komponente sposobnosti su isprepletene

Kako se komponente matematicke sposobnosti ispreplicu i podupiru jedna

drugu moze se vidjeti, primjerice, kod pojmovnog razumijevanja i proce-

duralnog znanja. Te 2 komponente matematicke sposobnosti stalno su u

interakciji, jer kako ucenici stjecu pojmovno razumijevanje, bolje se pamte

racunski postupci i fleksibilnije koriste da se rijese novi problemi, a s druge

strane, kako postupak postaje sve vise automatski, ucenicima je omoguceno

da misle o drugim aspektima problema, i da se pozabave novim vrstama

problema koje vode do novog razumijevanja. Ucenici kada koriste postu-

pak mogu razmisljati o tome zasto taj postupak radi, cime mogu ojacati

postojece pojmovno razumijevanje. Kod mnozenja viseznamenkastih cijelih

brojeva mnogi algoritmi za racunanje, primjerice, 47× 268, koriste jedno te-

meljno svojstvo mnozenja kojim se 47 grupira s 268, zajedno s poznavanjem

mjesne vrijednosti 47 kao 40 + 7, gdje se problem razbije na 2 jednostavnija:

40 × 268 i 7 × 268. Na primjer, zajednicki algoritam za racunanje 47 × 268

je napisan sa 2 takozvana djelomicna produkta, 10720 i 1876, koji dolaze iz

dva jednostavnija problema:

Primjer 6:

268

× 47

1876

10720

12596

Ovakav postupak zahtijeva znanje da 40 × 268 je 4 × 10 × 268; znanje da u

produktu od 268 i 10 svaka znamenka od 268 je jedno mjesto lijevo; dovoljno

proceduralno znanje za osnovne kombinacije mnozenja da se nade 7×8, 7×60,

7×200 i 40×8, 40×60, 40×200; te dovoljno proceduralno znanje za zbrajanje

viseznamenkastih brojeva da se zbroje djelomicni produkti. Kako ucenici uce

izvrsiti postupak mnozenja s viseznamenkastim brojevima kao sto je ovaj, tre-

bali bi dublje razvijati razumijevanje mnozenja i njegovih svojstava. S druge

strane, kako produbljuju svoje pojmovno razumijevanje, trebali bi postati

21

tecniji u racunanju. Pocetnicima kojima se dogodi da zaborave algoritam,

ali koji razumiju ulogu distributivnog pravila mogu rekonstruirati postupak

pisanja 268×47 = 268×(40+7) = (268×40)+(268×7) i racunanja odavde.

Pocetnici koji su jednostavno zapamtili algoritam bez razumijevanja, mnogo

o tome kako radi moze se kasnije izgubiti kada memorija oslabi.

3.2 Sposobnost nije sve ili nista

Matematicka sposobnost ne moze se okarakterizirati kao samo prisutna ili

odsutna. Svaka vazna matematicka misao moze biti shvacena na vise razina

i vise nacina. Na primjer, cak naizgled jednostavni pojmovi kao sto su pa-

ran i neparan broj traze integraciju nekoliko nacina razmisljanja: odabiranje

naizmjenicnih tocaka na brojevnom pravcu, grupiranje tocaka po paru, gru-

piranje tocaka u 2 skupine i gledanje samo posljednje znamenke broja. Kada

ucenici prvo uce o parom i neparnom broju, mogu znati jedan ili dva ova

tumacenja, ali u starijoj dobi duboko razumijevanje parnog i neparnog znaci

da su sva cetiri tumacenja povezana i mogu biti opravdana jedna na temelju

drugih. Istrazivanje pokazuje da skolska djeca nikada nisu potpuni mate-

maticki pocetnici jer donose vazne matematicke pojmove i vjestine sa sobom

u skolu, kao i pogresna shvacanja koja trebaju biti uzeta u obzir u planiranju

nastave. Ucenici u prvom razredu osnovne skole posjeduju vjestinu zbrajanja

jednoznamenkastih brojeva, dokle god njihovo razmisljanje u tom podrucju

ukljucuje svih 5 komponenti matematicke sposobnosti. Dakle, ucenici ne bi

trebali smatrati kako imaju matematicku sposobnost kada je jedna ili vise

komponenti nerazvijena.

3.3 Sposobnost se razvija tijekom vremena

Sposobnost u matematici stecena je tijekom vremena. Ucenici bi trebali svake

godine u skoli postati vjestiji, primjerice, treci razredi bi trebali biti vjestiji sa

zbrajanjem prirodnih brojeva nego sto su bili u prvom razredu. Ucenici tre-

baju dosta vremena da sudjeluju u aktivnostima oko specificne matematicke

teme da bi postali vjesti s njom. Kada dobiju samo jedan ili dva primjera

da ilustriraju zasto postupak radi ili sto pojam znaci i zatim prijedu da vrse

provodenje postupka ili identifikaciju pojma, mogu lako ne uspjeti. Zato da

bi postali vjesti, trebaju provesti odredeno vrijeme kontinuirano vjezbajuci

22

matematiku- rjesavanje problema, zakljucivanje, razvijanje razumijevanja,

razvijanje vjestina- i izgradivanje veza izmedu svojeg prethodnog znanja i

novog znanja.

4 Matematicka sposobnost ucenika Sjedinje-

nih Drzava

Odgovor na pitanje jesu li ucenici osnovnih i srednjih skola Sjedinjenih Drzava

matematicki vjesti je vazan jer utjece na ono sto bi se moglo preporuciti u

buducnosti. Ako ucenici ne uspijevaju razviti sposobnost, pitanje kako po-

boljsati skolsku matematiku poprimilo bi drugaciju odrednicu ukoliko ucenici

ne razvijaju visoku razinu sposobnosti. Najbolji izvor podatka o uspjesnosti

ucenika u Sjedinjenim Drzavama je Nacionalna Procjena Obrazovnog Na-

pretka (NAEP), stalna procjena ucenikovog znanja i vjestina u skolskim

predmetima, ukljucuje velik dio ucenika Sjedinjenih Drzava oko dobi 9, 13 i

17 pa rezultati daju dobru sliku matematicke uspjesnosti ucenika. Predmeti

u NAEP procjenama nisu konstruirani tako da izravno mjere 5 komponenti

matematicke sposobnosti, ali daju neke korisne informacije o tim komponen-

tama. Uspjesnost 13- godisnjaka tijekom posljednjih 25 godina govori da s

obzirom na tradicionalni nastavni plan i metode poduke, ucenici razvijaju 5

komponenti matematicke sposobnosti na vrlo neujednacen nacin. Najvjestiji

su u aspektima proceduralnog znanja i manje vjesti u pojmovnom razumije-

vanju, strateskoj kompetenciji, prilagodljivom zakljucivanju i produktivnoj

dispoziciji. Mnogi ucenici pokazuju nekoliko veza medu tim komponentama,

a primjerima iz svake komponente prikazuju trenutnu situaciju.

4.1 Pojmovno razumijevanje

Primjerice, ucenikovo pojmovno razumijevanje broja moze se procijeniti pi-

tajuci ih djelomicno o svojstvima brojevnih sustava. Unatoc tome sto oko

90% 13- godisnjaka Sjedinjenih Drzava moze zbrajati i oduzimati viseznamenkaste

brojeve, samo 60% njih moze napraviti broj odreden svojim znamenkama i

njihovim mjesnim vrijednostima (npr. u broju 57, znamenka 5 bi trebala

predstavljati 5 desetica). Dakle, mozemo zakljuciti da vise ucenika moze us-

pjesno racunati s brojevima nego sto mogu raditi sa svojstvima istih brojeva.

23

Isto vrijedi i za racionalne brojeve, primjerice, samo 35% 13-godisnjaka moze

rasporediti po velicini 3 razlomka, i to u potpunom skracenom obliku, i samo

35% moze odrediti broj izmedu 0.03 i 0.04. Ovi rezultati pokazuju da ucenici

mogu racunati s brojevima koje zapravo ne razumiju.

4.2 Proceduralno znanje

NAEP procjena ucenikovog proceduralnog znanja pokazuje da je uspjeh

ucenika Sjedinjenih Drzava ostao prilicno stalan tijekom posljednjih 25 go-

dina (tablica 1). Podrobnije razmatranje otkriva da je proceduralno znanje

jedna od visokih razina sposobnosti u najjednostavnijim kontekstima. Na pi-

tanja u kojima su ucenici upitani da zbroje ili oduzmu dvoznamenkaste i troz-

namenkaste cijele brojeve prikazane numericki u standardnom obliku, tocno

je odgovorilo oko 90% 13- godisnjaka, s gotovo jednako dobrom uspjesnoscu

kao 9- godisnjacima. Uspjesnost je nesto manja medu 13- godisnjacima za

dijeljenje.

Tablica 1: NAEP ljestvica bodova, dugotrajni smjer procjene 1973.-1999.

24

Ucenici su manje vjesti u operaciji s racionalnim brojevima, i obicnim i

decimalnim razlomcima. NAEP procjena iz 1996. sadrzavala je nekoliko

racunskih stavki, ali i ranije procjene pokazale su da oko 50% 13- godisnjaka

moze tocno dovrsiti probleme kao sto su 312−31

3, 4×21

2, i 4.3−0.53. Ova ra-

zina uspjesnosti je ostala prilicno stalna od pojave NAEP-a. Dakle, mozemo

zakljuciti da u dobi od 13 godina mnogi ucenici nisu u potpunosti razvili

proceduralno znanje. Iako vecina moze dobro racunati sa cijelim brojevima

u jednostavnim kontekstima, mnogi jos uvijek imaju racunarskih poteskoca

s racionalnim brojevima.

4.3 Strateska kompetencija

Rezultati iz NAEP-a koji datiraju preko 25 godina govore da je jedan od

najvecih nedostataka ucenikovog ucenja matematike u Sjedinjenim Drzavama

u njihovoj sposobnosti da rijese probleme. U NAEP-u 1996., ucenici u

cetvrtim, osmim i dvanaestim razredima su dobro znali odgovoriti na pitanja

o osnovnim cjelobrojnim operacijama i pojmovima u numerickim i jednos-

tavnim primijenjenim kontekstima. Medutim, ucenici, osobito oni u cetvrtim

i osmim razredima imali su poteskoca sa slozenijim situacijama rjesavanja

problema, primjerice, upitani da zbroje ili oduzmu dvoznamenkaste i trozna-

menkaste brojeve, 73% ucenika cetvrtih razreda i 86% ucenika osmih razreda

dali su tocne odgovore. U nekoliko koraka zbrajanja i oduzimanja problema

zadanog rijecima koji ukljucuje slicne brojeve 33% ucenika cetvrtih razreda i

76% ucenika osmih razreda dali su tocne odgovore. U 23 problemska zadatka

danih u sklopu NAEP-a iz 1996. u kojim su ucenici morali dati prosireni od-

govor, ucestalost zadovoljavajucih ili boljih odgovora bila je manja od 10%

na priblizno pola zadataka. Ucestalost zadovoljavajucih odgovora je bila

veca od 25% na samo dva zadatka. Uspjesnost rjesavanja problema zadanog

rijecima se dramaticno smanjuje kada su dodatne znacajke ukljucene, kao sto

je vise od jednog koraka ili nevaznih podataka. Dakle, male promjene u pro-

blemu zadanom rijecima, kontekstu ili prikazu mogu pridonijeti dramaticnim

promjenama u ucenikovom uspjehu.

25

4.4 Prilagodljivo zakljucivanje

Nekoliko stavki mjerilo je ucenikovu sposobnost u prilagodljivom zakljucivanju,

iako cesto u kombinaciji s drugim komponentama. Jedna stavka trazila je od

ucenika da razmisljaju o brojevima, njihovim svojstvima i da ocijene svoje

pojmovno razumijevanje:

Primjer 7:

Ako je 49 + 83 = 132 tocno, sto je od sljedeceg tocno?

49 = 83 + 132

49 + 132 = 83

132 – 49 = 83

83 – 132 = 49

Samo je 61% 13- godisnjaka izabralo tocan odgovor, sto je znatno nize od

postotka ucenika koji zapravo mogu izracunati rezultat.

Drugi primjer je problem visestrukog izbora u kojem su ucenici bili upitani

da procijene:

Primjer 8:

12

13+

7

8

Izbori su bili 1, 2, 19 i 21, pri cemu je 55% 13- godisnjaka izabralo ili 19

ili 21 kao tocan odgovor. Cak i jednostavne razine zakljucivanja trebale bi

sprijeciti ove pogreske, jer jednostavno promatrajuci da su 1213

i 78

brojevi ma-

nji od jedan i da zbroj dvaju brojeva manjih od jedan je manji od dva, trebalo

bi biti jasno da su 19 i 21 nerazumni odgovori. Druga stavka koja je mjerila

prilagodljivo zakljucivanje je trazila od ucenika da opravdaju i objasne svoja

rjesenja. Jedna takva stavka (tablica 2) trazila je da ucenici koriste oduzi-

manje i dijeljenje kako bi opravdali tvrdnje o rastu broja stanovnika dvaju

26

gradova.

NAEP rezultati osmi razred dvanaesti razredtocan odgovor za obje tvrdnje 1% 3%

djelomicni odgovor 21% 24%netocan odgovor 60% 56%

izostavljen odgovor 60% 60%

Tablica 2: Rast broja stanovnika dvaju gradova

Godine 1980. stanovnistvo grada A i grada B je bilo 5 000, odnosno 6 000.

Godine 1990. stanovnistvo grada A i grada B je bilo 8 000, odnosno 9 000.

Brian tvrdi da je od 1980. do 1990. stanovnistvo dvaju gradova poraslo za

isti iznos, a Darlene tvrdi da je od 1980. do 1990. stanovnistvo grada A

poraslo vise.

Naime, samo 1% osmih razreda 1996. pruzilo je zadovoljavajuci odgovor za

obje tvrdnje, a samo jos 21% pruzilo je djelomicno tocan odgovor. Rezultati

su bili tek nesto bolji u dvanaestom razredu. U ovoj stavci, Darlenenina tvrd-

nja je navedena pomalo zagonetno, i ucenici mozda nisu shvatili da ne trebaju

razmisljati o rastu broja stanovnika aditivno, kao u slucaju Brianove tvrd-

nje, nego multiplikativno, kako bi zakljucili da je grad A zapravo imao vecu

stopu rasta. No, s obzirom na niske razine uspjesnosti stavke, zakljucujemo

da Darlenenina zagonetna tvrdnja nije bila jedini izvor poteskoca, jer ucenici

ocito imaju poteskoca opravdavanja svojih odgovora cak i u relativno jed-

nostavnim slucajevima.

4.5 Produktivna dispozicija

Istrazivanje vezano uz produktivnu dispoziciju usmjereno je na stavove prema

matematici, vjerovanjima o vlastitoj sposobnosti i prirodi matematike. Djecaci

Sjedinjenih Drzava imaju pozitivnije stavove prema matematici nego dje-

vojcice, iako razlike u postignucu izmedu djecaka i djevojcica, u cjelini, nisu

toliko danas izrazene kao sto su bile prije nekoliko desetljeca. Takoder, sta-

27

vovi djevojcica prema matematici opadaju brze kroz ocjene od onih kod

djecaka. Razlike u matematickom uspjehu ostaju vece u skupinama koje se

razlikuju po rasi, etnickoj pripadnosti i drustvenoj klasi, ali razlike u stavo-

vima prema matematici u tim skupinama nisu jasno povezane sa razlikama

uspjeha. Iako su u vecini zemalja, pozitivni stavovi prema matematici pove-

zani sa visokim uspjehom, u osmim razredima u nekim istocnoazijskim zem-

ljama ciji je prosjecni uspjeh u matematici medu najvecima u svijetu, javljaju

se vrlo negativni stavovima prema matematici. U SAD-u osmi razredi ciji

je uspjeh oko medunarodnog prosjeka imaju tedenciju da budu oko prosjeka

u svojim stavovima.Takoder, ucenici koji sebe vide kao dobre matematicare,

postizu vecu razinu uspjeha, ali to se ne moze primjenjivati za sve zemlje.

U azijskim zemljama, mozda zbog kulturne tradicije poticanja poniznosti

ili zbog izazovnog nastavnog plana i programa, osmi razredi se uglavnom

dozivljavaju kao ne bas dobri u matematici. Nasuprot tome, u Sjedinjenim

Americkim Drzavama, osmi razredi skloni su da vjeruju da matematika nije

osobito teska i da su dobri u njoj. Podaci iz NAEP ucenicke ankete poka-

zuju da mnogi americki ucenici razvijaju razna kontraproduktivna uvjerenja

o matematici i o sebi kao ucenicima matematike. Na primjer, 54% cetvrtih

razreda osnovne skole i 40% osmih razreda iz 1996. NAEP procjene misli da

je matematika uglavnom skup pravila i da ucenje matematike znaci pamcenje

pravila, dok oko 75% cetvrtih razreda osnovne skole i 75% osmih razreda izvi-

jestili su da su razumjeli vecinu onoga sto se dogada na matematickom satu.

Medutim, podaci ne pokazuju misle li ucenici da matematiku mogu sami

shvatiti ili to ovisi o drugim objasnjenjima. Unatoc tome da mnogi ucenici

povezuju matematiku s pamcenjem, ucenici na svim razinama razreda vide

matematiku kao korisnu. 1996. NAEP je pokazao da se 69% cetvrtih raz-

reda osnovne skole i 70% osmih razreda slozilo da je matematika korisna

za rjesavanje svakodnevnih problema. Dakle, ucenici smatraju matematiku

korisnom u rjesavanju svakodnevnih problema i vaznom za drustvo, ali nije

sasvim jasno smatraju li je vaznom i za sebe pojedinacno.

28

5 Komponente matematicke sposobnosti u dru-

gim podrucjima matematike

Iako su komponente matematicke sposobnosti izradene za podrucje broja,

one se jednako dobro primjenjuju na druga podrucja matematike kao sto su

geometrija, mjerenje, vjerojatnost i statistika. Bez obzira na podrucje ma-

tematike, pojmovno razumijevanje odnosi se na integrirano i funkcionalno

shvacanje matematickih ideja, to mogu biti ideje o obliku i prostoru, mjeri,

uzorku, funkciji, neizvjesnosti ili promjeni. Kada se primjenjuje na drugim

podrucjima matematike, savrseno proceduralno znanje odnosi se na vjestinu

u fleksibilnom, tecnom i ucinkovitom obavljanju takvih postupaka kao sto su

konstruiranje oblika, mjerenje prostora, racunanje vjerojatnosti i opisivanje

podataka. To se takoder odnosi na znanje kada i kako koristiti te postupke.

Strateska kompetencija odnosi se na sposobnost formuliranja matematickih

problema, njihovog predstavljanja i rjesavanja bilo da se problemi javljaju

u kontekstu broja, algebre, geometrije, mjerenja, vjerojatnosti ili statistike.

Isto tako, prilagodljivo zakljucivanje odnosi se na sposobnost da se logicki

misli o odnosima medu pojmovima i situacijama i da se adaptivno rasuduje,

i odnosi se na svako podrucje matematike. Produktivna dispozicija, odnosno

tedencija da ucenik vidi smisao u matematici, da uoci sto je i korisno i ispla-

tivo, da vjeruje da se stalan trud u ucenju matematike isplati, da sebe vidi kao

ucinkovitog ucenika i vrsitelja matematike jednako se odnosi na sva podrucja

matematike. Dakle, znanje u bilo kojem podrucju matematike znaci razvoj

pet komponenti matematicke sposobnosti, gdje se te komponente ispreplicu i

razvijaju s vremenom. Nadalje, komponente se ispreplecu po podrucjima ma-

tematike na takav nacin da, primjerice, pojmovno razumijevanje u jednom

podrucju, recimo geometriji, podrzava pojmovno razumijevanje u drugom,

recimo broju.

29

Literatura

[1] J. Kilpatrick, J. Swafford, B. Findell, Adding It Up: Helping Children

Learn Mathematics, Mathematics Learning Study Committee, National

Research Council, 2001.

[2] J. Kilpatrick, J. Swafford, Helping Children Learn Mathematics, Mathe-

matics Learning Study Committee, National Research Council, 2002.

Sazetak

Komponente matematicke sposobnosti

Matematicka sposobnosti ima pet komponenti, a to su pojmovno razumijeva-

nje, proceduralno znanje, strateska kompetencija, prilagodljivo zakljucivanje

i produktivna dispozicija. Pojmovno razumijevanje odnosi se na razumijeva-

nje matematickih pojmova, operacija i odnosa. Proceduralno znanje odnosi

se na poznavanje postupaka, znanja kada i kako koristiti te postupke i vjestine

da se ti postupci obave fleksibilno, tocno i ucinkovito. Strateska kompeten-

cija odnosi se na sposobnost formuliranja matematickih problema, njihovih

prikaza i rjesavanja. Prilagodljivo zakljucivanje odnosi se na sposobnost da

se logicki misli o odnosima medu pojmovima i situacijama. Produktivna dis-

pozicija odnosi na sklonost da se vidi smisao u matematici, da je vidimo i

kao korisnu i kao isplativu, i da vjerujemo da se stalan trud u ucenju mate-

matike isplati. Te komponente su medusobno ovisne u razvoju matematicke

sposobnosti, pa ucenici moraju razviti sve komponente da bi postali mate-

maticki vjesti, a za ciji je razvoj potrebno vrijeme. Matematicka sposobnost

se ne moze okarakterizirati kao samo prisutna ili odsutna. Najbolji izvor po-

datka o uspjesnosti ucenika u Sjedinjenim Drzavama je Nacionalna Procjena

Obrazovnog Napretka (NAEP), stalna procjena ucenikovog znanja i vjestina

u skolskim predmetima, ukljucuje velik dio ucenika Sjedinjenih Drzava oko

dobi 9, 13 i 17 pa rezultati daju dobru sliku matematicke uspjesnosti ucenika.

Uspjesnost 13- godisnjaka tijekom posljednjih 25 godina govori da s obzirom

na tradicionalni nastavni plan i metode poduke, ucenici razvijaju 5 kompo-

nenti matematicke sposobnosti na vrlo neujednacen nacin. Najvjestiji su u

aspektima proceduralnog znanja i manje vjesti u pojmovnom razumijevanju,

strateskoj kompetenciji, prilagodljivom zakljucivanju i produktivnoj dispo-

ziciji. Ciljevi nastave matematike trebaju uzeti u obzir razlicitu kvalitetu

nastave kojoj ucenici pristupaju i uspjeh koji ostvaruju u takvoj nastavi,

pri cemu takvi ciljevi ne smiju biti postavljeni nisko. Kako se tehnologija

razvija brzo ne mozemo predvidjeti koje ce sve vjestine ucenici trebati ti-

jekom svojeg zivota ili u buducnosti, ili probleme s kojima ce se susretati.

Stoga je sposobnost u matematici vazan temelj za buducu nastavu matema-

tike, kao i za nastavak obrazovanja u poljima koja zahtijevaju matematicku

kompetenciju. Skole trebaju pripremiti ucenike da stjecu nove vjestine i

znanje, i da prilagode svoje znanje rjesavanju novih problema. Ucenici tre-

baju imati mogucnost da konkuriraju danasnjem i sutrasnjem gospodarstvu,

i trebaju biti u mogucnosti prilagoditi znanje koje stjecu. Takoder trebaju

biti u mogucnosti uciti nove pojmove i vjestine i primijeniti matematicko

obrazlozenje problema, odnosno trebaju biti matematicki vjesti.

Kljucne rijeci: matematicka sposobnost, komponente matematicke sposob-

nosti, pojmovno razumijevanje, proceduralno znanje, strateska kompetencija,

prilagodljivo zakljucivanje, produktivna dispozicija, matematicki vjest

32

Title and summary

The strands of mathematical proficiency

Mathematical proficiency has five strands, which are conceptual understan-

ding, procedural fluency, strategic competence, adaptive reasoning and pro-

ductive disposition. Conceptual understanding refers to the understanding of

mathematical concepts, operations and relations. Procedural fluency refers

to knowledge of procedures, knowledge of when and how to use these procedu-

res and skills to perform these procedures flexibly, accurately and efficiently.

Strategic competence refers to the ability to formulate mathematical pro-

blems, represent and solve them. Adaptive reasoning is the capacity to think

logically about the relations among concepts and situations. Moreover, pro-

ductive disposition means the tendency to see the sense in mathematics, to

perceive it as both useful and worthwhile, and to believe that steady effort in

learning mathematics pays off. These components are interdependent in the

development of mathematical proficiency, so students must develop all the

components to become mathematically proficient, which takes time. Mat-

hematical proficiency cannot be described as simply present or absent. The

best source of information about student performance in the United States is

the National Assessment of Educational Progress (NAEP), a regular asses-

sment of students’ knowledge and skills in the school subjects which includes

a large part of U.S. students aged 9, 13, and 17. Thus the results provide

a good overall picture of students’ mathematical performance. The perfor-

mance of 13-year-olds over the past 25 years shows that, given the traditional

curricula and methods of instruction, students develop proficiency among the

five strands in a very uneven way. While most successful at the aspects of

procedural knowledge, students are less skilled at the factual understanding,

strategic competence, adaptive reasoning and productive disposition. Diffe-

rent quality of teaching as well as different students’ achievements should be

taken into account when creating the aims of teaching mathematics. These

aims shouldn’t be set too low. As the technology is developing quite fast it is

hard to predict the skills our students will need during their lives and in the

future nor the problems they’ll be facing. Therefore the mathematical skill

is an important base for the future mathematics teaching, as well as for the

further education in the fields that may require mathematical competence.

Students should be prepared to learn new skills and knowledge and to use

the knowledge they posses for solving new problems they might face. They

need the ability to compete in current as well as future economy, and the

possibility of adapting new knowledge to themselves. They also need to be

able to learn new concepts and skills and to apply mathematical way of sol-

ving problems. In other words, they need to be mathematically skilled.

Key words: mathematical proficiency, strands of mathematical proficiency,

conceptual understanding, procedural fluency, strategic competence, adap-

tive reasoning, productive disposition, mathematically skilled

34

Zivotopis

Rodena sam 17.09.1990. godine u Slavonskom Brodu. Zivim u Bosnjacima,

selu pored Zupanje. Pohadala sam osnovnu skolu fra Bernardina Tome Le-

akovica u Bosnjacima te opcu gimnaziju u Zupanji. Obrazovanje sam nas-

tavila na Sveucilisnom nastavnickom studiju matematike i informatike na

Odjelu za matematiku u Osijeku 2009. godine.

35