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Angewandte Elektrotechnik AET
Formelsammlung
Gleichstromtechnik- Gleichstromschaltungen Elektrisches und Magnetisches Feld
Teil 1
Michael WALSER
HÖHERE TECHNISCHE BUNDESLEHRANSTALT SAALFELDEN Höhere Abteilung für Elektrotechnik und Informationstechnik
2
Inhaltsverzeichnis
Gleichstromschaltungen........................................................................................................... 5 1 Elektrischer Stromkreis ................................................................................. 5
1.1 Der Elektrische Strom I ................................................................ 5 1.2 Die Elektrische Landung Q .......................................................... 5
1.2.1 Elementarladung (Transpositive Ladungsmenge)........................................... 5 1.3 Elektrische Energie W ................................................................. 6 1.4 Elektrisches Potential ϕ ............................................................... 6
1.4.1 Potentialdifferenz .............................................................................................. 6 1.5 Potential und Spannungsmessung................................................ 6 1.6 Elektrische Stromdichte J............................................................. 7
2 Ohmsche Gesetz............................................................................................. 7 2.1 Elektrischer Widerstand R............................................................ 7 2.2 Spezifischer Widerstand ρ ........................................................... 7 2.3 Elektrischer Leitwert G................................................................. 8 2.4 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes................................... 9
2.4.1 Ermittlung der Erwärmung aus Warm- und Kaltwiderstand ............................ 9 2.4.2 Spezifischer Widerstand ρ mit Temperaturbeiwert α und Leitfähigkeit κ bei
20°C................................................................................................................. 10 3 Schaltungen und Netzwerke – Netzwerkreduktion .................................. 11
3.1 Serienschaltung ......................................................................... 11 3.2 Parallelschaltung........................................................................ 11 3.3 Spezielle Stromteilerregel ........................................................... 12 3.4 Wirkungsgrad und Leistung ........................................................ 12 3.5 Vorwiderstand ............................................................................ 13 3.6 Fester Spannungsteiler (unbelasteter Fall) .................................. 13 3.7 Fester Spannungsteiler (belasteter Fall) ...................................... 13 3.8 Stern → Dreieck-Transformation ................................................ 14 3.9 Dreieck → Stern-Transformation................................................. 14 3.10 Arbeitsplan für Kirchhoff.............................................................. 15
4 Aktive Zweipole............................................................................................. 15 4.1 Spannungsquellenersatzschaltbild eines Aktiven Zweipols........... 15 4.2 Stromquellenersatzschaltbild eines Aktiven Zweipols................... 16 4.3 Regeln zur Vereinfachung von Schaltungen ................................ 16
5 Elektrische Leistung, Arbeit –Wirkungsgrad............................................ 17 5.1 Elektrische Leistung ................................................................... 17 5.2 Elektrische Arbeit (Energie) ........................................................ 17 5.3 Wirkungsgrad............................................................................. 17
Magnetfeld 18 1 Allgemeines ................................................................................................... 18
1.1 Feldlinienbilder ........................................................................... 18 2 Magnetische Feldstärke H ........................................................................... 19
2.1 Magnetische Feldstärke im Inneren eines Leiters ........................ 19 2.2 Magnetische Feldstärke in einer Leiterschleife............................. 21 2.3 Magnetische Feldstärke im inneren einer Zylinderspule ............... 21 2.4 Magnetische Feldstärke im inneren eines Ringsolenoid ............... 22
3 Magnetische Durchflutung Θ ...................................................................... 22
3
3.1 Magnetischer Durchflutungssatz ................................................. 23 4 Magnetischer Fluss Φ .................................................................................. 23 5 Magnetische Flussdichte B ......................................................................... 24 6 Permeabilität µ .............................................................................................. 24
6.1 Magnetische Feldkonstante ........................................................ 24 7 Induktivität L.................................................................................................. 25
7.1 Induktivität einer Spule ............................................................... 25 8 Hysterese und Magnetische Eigenschaften ............................................. 27 Elektrisches Feld – Elektrostatik............................................................................................ 29 1 Elektrostatische Kraftlinienbilder............................................................... 29 2 Elektrische Feldstärke ................................................................................. 29
2.1 Spitzenwirkung........................................................................... 29 3 Elektrischer Fluss Ψ ..................................................................................... 30 4 Verschiebungs- bzw. Flussdichte .............................................................. 30 5 Elektrische Spannung U .............................................................................. 30 6 Vergleich Magnetisches Feld – Elektrisches Feld ................................... 31 7 Permittivität ε................................................................................................. 31
7.1 Magnetische Feldkonstante ........................................................ 31 8 Elektrische Kapazität.................................................................................... 32 9 Der Kondensator als Bauelement............................................................... 32
9.1 Plattenkondensator..................................................................... 32 9.2 Wickelkondensator ..................................................................... 33 9.3 Schichtkondensator .................................................................... 33 9.4 Drehkondensator........................................................................ 33 9.5 Zylinderkondensator ................................................................... 34
10 Leiterkapazitäten........................................................................................... 34 10.1 Kapazitäten gegenüber dem Boden ............................................ 35
11 Schaltung von Kondensatoren ................................................................... 36 11.1 Parallelschaltung........................................................................ 36 11.2 Serienschaltung ......................................................................... 36
12 Kondensatoren mit verschiedenen Dielektrika ........................................ 37 13 Ausgleichsverhalten von RC- Gliedern ..................................................... 37
13.1 Einschaltvorgang bei DC an einem RC- Glied (const. U-Quelle)... 37 13.2 Ausschaltvorgang bei DC an einem RC- Glied............................. 38
14 Coulombsches Gesetz ................................................................................. 39 14.1 Energieinhalt .............................................................................. 39 14.2 Kraftwirkung zuwischen 2 kapazitiven Flächen ........................... 39 14.3 Geschwindigkeit des Elektrons im Elektrischen Feld.................... 40
15 Energiedichte des E-Feldes ω ..................................................................... 40 Magnetische Kreise.................................................................................................................. 41 1 Magnetische Spannung ............................................................................... 41 2 Magnetische Durchflutung Θ - Durchflutungssatz................................... 41 3 Magnetischer Widerstand Rm ...................................................................... 41
3.1 Ohmsches Gesetz Magn. - Kreise Serienschaltung .................... 41 3.2 Ohmsches Gesetz Magn. – Parallelschaltung............................. 41 3.3 Magnetischer Leitwert................................................................. 42
4 Verluste bei Spulen ...................................................................................... 43 4.1 Hystereseverluste....................................................................... 43 4.2 Wirbelstromverluste.................................................................... 44
5 Kraftwirkung im Magnetischen Feld .......................................................... 44 5.1 Lorentzkraft für Bewegte Ladungen............................................. 45
4
6 Elektromagnetische Induktion – Induktionsgesetz.................................. 45 6.1 Dynamische Induktion - Bewegungsspannung............................. 46
6.1.1 Leiterstab......................................................................................................... 46 6.1.2 Leiterschleife ................................................................................................... 46 6.1.3 Spule ............................................................................................................... 47
6.2 Transformatorspannung.............................................................. 48 6.2.1 Trafogesetz ..................................................................................................... 48
6.3 Kraftwirkung zweier Stromdurchflossener Leiter zueinander ........ 48 6.4 Tragkraft eines Elektromagneten ................................................ 49
7 Ausgleichsverhalten von R-L-Gliedern ..................................................... 49
5
Gleichstromschaltungen
1 Elektrischer Stromkreis
1.1 Der Elektrische Strom I Die Technische Stromrichtung ist von + nach - festgelegt.
Die Ursache für den Stromfluss ist die Spannung U:
1.2 Die Elektrische Landung Q Ein Strom I bewegt über eine bestimmte Zeit t eine gewisse Ladung Q die in Coulomb (C) angegeben wird. [Q]= 1C (Coulomb) = 1As
1.2.1 Elementarladung (Transpositive Ladungsmenge)
1e = 1,602 ⋅ 10-19C 1Ce=6,2 ⋅ 1018
I
AW1
AsJ11V ] U[ ===
tQIt IQ =⇔⋅=
1A
1s 1C
6
2
2
1
121 Q
WQW
−=−ϕϕ
1.3 Elektrische Energie W W = Elektrische Energie, Arbeit ...............1 J = 1 Nm F = Kraft .................................................1Ws= 1 VAs s = Weg [W] = J (Joule)
1.4 Elektrisches Potential ϕ
Das Potential ist die auf die Ladungsmenge bezogene Energie eines Teilchens. ϕ = Elektrisches Potential Q= Summe der Ladungsträger
1.4.1 Potentialdifferenz Die Potentialdifferenz ϕ1-ϕ2 bildet die Spannung U12
1.5 Potential und Spannungsmessung
QΔW
U pot=
sFW ⋅=
AsVAsV
QW
==ϕ
LadungEnergieSpannung =
CWsVEinheit ==
7
1.6 Elektrische Stromdichte J
2 Ohmsche Gesetz
2.1 Elektrischer Widerstand R Der Elektrische Widerstand R ist physikalische gesehen ein Proportionalitätsfaktor zwischen Spannung und Strom
2.2 Spezifischer Widerstand ρ
Bezeichnet den Spannungsabfall in den Leitern:
IUR
RUI
RIU
=
=
⋅=
AV 1 1] R [ =Ω=
AIJ = 2mm
A1] J [ =
AρlR ⋅
=
l in m
A in mm2
R
8
Der Spezifische Widerstand ρ ist eine Materialkonstante. Ein Cu-Draht von 1m Länge mit dem Querschnitt 1 mm2 besitzt einen Widerstand von 0,179 Ω.
2.3 Elektrischer Leitwert G Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes Ω-1 = S = Siemens
κR R1G 1 === − UGU
R1
RUI ⋅===
=
= 22 mm Ω
m Smm Ωmκ
mmm Ω 0,0179ρ
2
Cu =
ρπ
4dRl
2⋅= πd
l)4(R 2
⋅=
ρ
1SVA1
Ω1 1Ω ]G [ ====
mmm Ωρ
2
=
9
2.4 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
ϑ= Temperatur in °C α= Temperaturkoeffizient
Der Temperaturkoeffizient α beträgt für alle gängigen Materialien (Cu, Al, Ag,...) hinreichend genau 0,004 K-1.
2.4.1 Ermittlung der Erwärmung aus Warm- und Kaltwiderstand
)Δα(1RR 2020 ϑϑ ⋅+⋅=
)]20(α[1RR 2020 °−⋅+⋅= ϑϑ
R 20R θ
1 α 20 θ⋅ 20 α 20⋅−+( ) θR θ R 20− 20 R 20⋅ α 20⋅+( )
R 20 α 20⋅
∆θR θ R 20−( )R 20 α 20⋅
R w R kτ θ w+
τ θ k+R k
R wθ w τ+( )
τ θ k+( )⋅ τ1α
20−
∆θ θ w θ k−( )R wR k
1−
τ θ k+( )
θ wτ− R w⋅ R w θ k⋅− τ R k⋅+( )−
R k
θ kθ w R k⋅ τ R w⋅− τ R k⋅+( )
R w
10
2.4.2 Spezifischer Widerstand ρ mit Temperaturbeiwert α und Leitfähigkeit κ bei 20°C
Stoff ρ20
Ω mm2 / m α20 K-1
κ20 S m / mm2
Aluminium 0,0287 3,8 ⋅ 10 -3 34,84
Blei 0,208 3,9 ⋅ 10 -3 4,81
Eisendraht 0,10 bis 0,15 4,5 ⋅ 10 -3 10 bis 6,7
Gold 0,023 3,8 ⋅ 10 -3 43,5
KONSTANTAN 0,50 - 3,0 ⋅ 10 -4 2
Kupfer 0,0175 3,9 ⋅ 10 -3 57,14
Magnesium 0,043 4,1 ⋅ 10 -3 23,26
Manganin 0,43 4,0 ⋅ 10 -6 2,33
Messing (CuZn40) ≤ 0,067 2,0 ⋅ 10 -3 ≥ 15
Nickelin 0,43 2,3 ⋅ 10 -4 2,33
Ni Cr 80 20 4,00 2,5 ⋅ 10 -4 1,0
Quecksilber 0,941 9,2 ⋅ 10 -4 1,06
Silber 0,016 3,8 ⋅ 10 -3 62,5
Zink 0,06 4,2 ⋅ 10 -3 16,7
11
I
I1
I 2
3 Schaltungen und Netzwerke – Netzwerkreduktion
3.1 Serienschaltung
Bei einer Serienschaltung von Widerständen, wir der Serienwiderstand vom Größten Teilwiderstand bestimmt. (Bsp.: 1Ω und 1MΩ à 11,99999988V und 0,00001198V)
3.2 Parallelschaltung
In einer PARALLELSCHALTUNG liegt an jedem Widerstand die selbe Spannung an, die Teilströme addieren sich zum Gesamtstrom.
21s RRR +=
21 III +=
...G:GG...R1
R1
R1
32p21p
+==++=
1
s
1
0
RR
UU
= sR
UI =
I1 I 2 I3
I
gp I
UR = 1
1 RUI =
22 R
UI =
g
1q1 R
RUU =
12
Die Teilströme verhalten sich indirekt proportional der Widerstände
Die Teilströme verhalten sich wie die Leitwerte
3.3 Spezielle Stromteilerregel
Es Gilt: 21
21p RR
RRR+⋅
= (max. 2R)
3.4 Wirkungsgrad und Leistung
Allgemein Gilt:
Ra…Lastwiderstand
21
21 RR
RII+
⋅= 21
12 RR
RII+
⋅=
IUP ⋅=
R
2UP = RIP 2 ⋅=
1η 0PPηNutz
zu
≤≤
=
va
a
a
a
Gesammt
rVerbrauche
RRR
η
)(RIRI
PP
η
+=
+⋅⋅
==vR
13
R vR a
U vU a
3.5 Vorwiderstand
3.6 Fester Spannungsteiler (unbelasteter Fall)
3.7 Fester Spannungsteiler (belasteter Fall)
Ein Spannungsteiler kann näherungsweise als unbelastet angesehen werden, wenn der Querstrom durch den Lastwiderstand mindestens 10-mal größer ist als der Ausgangsstrom Ia .
21
2a
RRR
UU
+=
21
2a RR
RUU+
⋅=
a2
a2x RR
RRIU+⋅
⋅=
gg
ax
IUIUη
+⋅
=
14
3.8 Stern → Dreieck-Transformation
Jeder Sternwiderstand ist gleich dem Produkt der beiden Anliegenden Dreieckswiderstände, Dividiert durch die Summe der Dreieckswiderstände.
3.9 Dreieck → Stern-Transformation
R 12R 1 R 2⋅ R 2 R 3⋅+ R 3 R 1⋅+
R 3R 23
R 1 R 2⋅ R 2 R 3⋅+ R 3 R 1⋅+
R 1
R 13R 1 R 2⋅ R 2 R 3⋅+ R 3 R 1⋅+
R 2
R1R12 R13⋅
R12 R23+ R13+R 2
R 12 R 23⋅
R 12 R 23+ R 13+
R 2R 23 R 13⋅
R 12 R 23+ R 13+
Jeder Dreieckswiderstand ist gleich der Summe der Produkte von je zwei Sternwiderständen dividiert durch den gegenüberliegenden Sternwiderstand
15
3.10 Arbeitsplan für Kirchhoff
å Uq- Pfeile von + nach - einzeichnen ç I-Pfeile einzeichnen (Willkürlich) é UR –Pfeile einzeinchen (Parallel zum jeweiligen I- Pfeil) è Knotengleichungen Ansetzten (Σ I = 0) ê Maschengleichungen Ansetzen (Σ U = 0) ë Für alle UR, I ⋅ Rx einsetzen í Zahl der Gleichungen Kontrollieren ( nx → n Unbekannte) ì Gleichungssystem auflösen und berechnen
4 Aktive Zweipole
4.1 Spannungsquellenersatzschaltbild eines Aktiven Zweipols
Im unbelasteten Fall ergibt sich die Klemmenspannug:
I
iqKL RIUU ⋅−=
ai
aqaaKL RR
RUURIU
+
⋅==⋅=
ai
q
RRU
I+
=
i
qk R
UI =
16
4.2 Stromquellenersatzschaltbild eines Aktiven Zweipols
4.3 Regeln zur Vereinfachung von Schaltungen Wenn einwandfrei sichergestellt ist, dass ein Widerstand ausschließlich Parallel zu einer Spannungsquelle liegt, ist jener Widerstand ohne Bedeutung.
Wenn einwandfrei sichergestellt ist, dass ein Widerstand in Serie zu einer Stromquelle geschaltet ist, so ist dieser Widerstand ohne Bedeutung
)||( aiKKL RRIU =
I
17
5 Elektrische Leistung, Arbeit –Wirkungsgrad
5.1 Elektrische Leistung
5.2 Elektrische Arbeit (Energie) 1 kWh = 1.000 Wh = 3.600.000 Ws (1h = 3600s) 1 kWh = 3,6 . 106 J (Joule)
5.3 Wirkungsgrad
RURIIUP
22 =⋅=⋅=
tRUtRItPtIUW
22
el ⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅=
Pzu Pnutz
Maschine
zu
nutz
PP
=η % 100η % 0
1η0≤≤
≤≤
Pzu Pnutz
Maschine 1
P1 P2
Maschine 2 Maschine 3
321ges ηηηη ⋅⋅=
18
Magnetfeld
1 Allgemeines
Ein stromdurchflossener Leiter erzeugt in dem ihn Umgebenden Raum ein Magnetfeld. Die Richtung der Feldlinien können nach dem Prinzip der Rechtsschraube ermittelt werden...
1.1 Feldlinienbilder Die Feldlinien bewegen sich vom Nord- zum Südpol.
S N
19
2 Magnetische Feldstärke H
Einheit: = 1 Henry
2.1 Magnetische Feldstärke im Inneren eines Leiters Unter der Annahme, dass die Stromdichte überall im Leiter konstant ist (
π⋅== 2
ar
IAIJ ), gilt die folgende Formel (Linear):
arr für πr2
IlIH ≥
⋅⋅==
H............. magn. Feldstärke I .............. Strom durch den Leiter in A L ............. Länge der Feldlinie in m ra ............. Radius des Leiters in Meter r .............. abstand von der Leitermitte in m
mAH 1=
aa
rr für rr2
IlIH ≤⋅
⋅⋅== 2π
H..............magn. Feldstärke I ...............Strom durch den Leiter in A ra..............Radius des Leiters in Meter r ...............abstand von der Leitermitte in m
20
Magnetische Feldstärke im Inneren eines Koaxialleiters
21
2.2 Magnetische Feldstärke in einer Leiterschleife
2.3 Magnetische Feldstärke im inneren einer Zylinderspule
rI
dIH
⋅==
2
H .............magn. Feldstärke im Mittelpunkt Gilt nur, wenn r >> ra
lNIH ⋅
= N............. Windungszahl l............... Länge der Spule Gilt nur, wenn l > 10d
22
2.4 Magnetische Feldstärke im inneren eines Ringsolenoid
3 Magnetische Durchflutung Θ
π⋅⋅
=⋅
=d
NIlNIH
IN ⋅=Θ
23
3.1 Magnetischer Durchflutungssatz
4 Magnetischer Fluss Φ
Der Magnetische Fluss beschreibt die Zahl der Feldlinien. Einheit: 1 Wb (Weber) oder
lHIN ⋅=⋅=Θ ∑ ⋅=Θi
ii lH
~Ut
U ind ⇒∆∆Φ
=
ΔtUΦ i ⋅=
sV
ABΦ ⋅=A
lIN
⋅⋅
⋅= µΦ
24
5 Magnetische Flussdichte B
Die Magnetische Flussdichte ist die Zahl der Feldlinien pro m² Einheit 1 Tesla (Vsm-2) H → B über Tabelle
6 Permeabilität µ
Einheit
6.1 Magnetische Feldkonstante
AB Φ
= 21mVsB =
HB ⋅= µHB
=µ
AmVs
mHenry
==µ
AmVs7
0 104 −⋅⋅= πµ
rµµµ ⋅= 0
µr ............relative Permeabilität µ0............Permeabilität des Vakuums (H/m) µ .............Permeablilität des Materials (H/m)
0µµ
µ =r
lINB ⋅⋅
=µ
25
7 Induktivität L
7.1 Induktivität einer Spule Für eine Spule mit N windungen gilt: Anstatt von Φ gleich NΦ!
IL ⋅=ψ
Al
INNΦNψ ⋅⋅
⋅⋅=⋅= µ
Il
ANψ ⋅⋅
⋅=µ2
Ψ .............Gesamtfluss durch Leiteranordnung
Il
ANL ⋅⋅
⋅=µ2
IL Φ
= (H)Henry 1AVs1
[I]][L ==
Φ=
Al
Nl
NI
L V
⋅
=Φ⋅
=Φ
=
µ
2
INL Φ⋅
=
26
27
8 Hysterese und Magnetische Eigenschaften
H in A/m
Dynamo- grauguss
B in T
Dynamoblech I
B in T
Dynamoblech II
B in T
Dynamoblech IV
B in T
SiFe Blech konvent
B in T
SiFe Blech modern
B in T
50 0,0045 0,0800 0,0800 0,1400 1,0000 1,6600
100 0,0100 0,2600 0,2500 0,3000 1,3800 1,7900
150 0,0150 0,4000 0,3800 0,4300 1,5000 1,8300
200 0,0220 0,5500 0,6200 0,5400 1,5600 1,8500
250 0,0300 0,6800 0,6150 0,6300 1,6100 1,8600
300 0,0400 0,7800 0,7000 0,7100 1,6600 1,8800
400 0,0620 0,9700 0,8660 0,8500 1,7180 1,9000
500 0,0880 1,1200 1,0000 0,9700 1,7600 1,9100
600 0,1080 1,2300 1,1050 1,0700 1,8000 1,9200
700 0,1380 1,3060 1,2000 1,1500 1,8300 1,9250
800 0,1730 1,3560 1,2660 1,2250 1,8650 1,9300
900 0,2110 1,3960 1,3260 1,2750 1,8760 1,9350
1000 0,2860 1,4300 1,3600 1,3200 1,8920 1,9400
1100 0,3000 1,4600 1,3900 1,3450 1,9030 1,9425
28
H in A/m
Dynamo- grauguss
B in T
Dynamoblech I
B in T
Dynamoblech II
B in T
Dynamoblech IV
B in T
SiFe Blech konvent
B in T
SiFe Blech modern
B in T
1200 0,3400 1,4850 1,4030 1,3660 1,9130 1,9450
1300 0,3800 1,5020 1,4160 1,3850 1,9220 1,9475
1400 0,4160 1,5150 1,4260 1,3920 1,9310 1,9500
1500 0,4500 1,5250 1,4390 1,4000 1,9390 1,9525
2000 0,5800 1,5700 1,4820 1,4400 1,9700 1,9650
2500 0,6500 1,6100 1,5150 1,4650 1,9950 1,9665
3000 0,6780 1,6450 1,5480 1,4800 2,0150 1,9800
3500 0,7040 1,6720 1,5720 1,4950 2,0330 1,9815
4000 0,7280 1,6870 1,5900 1,5100 2,0480 1,9850
4500 0,7500 1,7000 1,6070 1,5250 2,0620 1,9865
5000 0,7700 1,7120 1,6230 1,5400 2,0760 1,9900
6000 0,8140 1,7420 1,6490 1,5650 2,0950 1,9915
7000 0,8540 1,7710 1,6750 1,5860 2,1130 2,0100
8000 0,8920 1,7800 1,7000 1,6040 2,1280 2,0300
9000 0,9280 1,8080 1,7240 1,6230 2,1420 2,0500
10000 0,9800 1,8360 1,7460 1,6420 2,1640 2,0700
11000 0,9880 1,8570 1,7660 1,6600 2,1650
12000 1,0100 1,8780 1,7860 1,6780 2,1750
13000 1,0300 1,8940 1,8030 1,6960 2,1850
14000 1,0460 1,9090 1,8200 1,7130 2,1940
15000 1,0600 1,9230 1,8360 1,7300 2,2120
20000 1,1250 1,9830 1,8980 1,7960 2,2300
25000 1,1700 2,0330 1,9600 1,8600 2,2520
30000 1,2100 2,0740 1,9950 1,8850 2,2720
29
Elektrisches Feld – Elektrostatik
1 Elektrostatische Kraftlinienbilder
2 Elektrische Feldstärke
2.1 Spitzenwirkung Je gekrümmter die Oberfläche desto größer die Ladungsdichte
E ............elektrische Feldstärke F.............Kraft auf Probeladung Qp...........Probeladung (immer Positiv)
pQFE→
→
=
mV
AsmVAs
mAsJ
CNE 1111][ ==
⋅==
pQFE→
→
= 1212 sFW ⋅= 12sEU ⋅=
κϕ
1=
εε ⋅==
AQDE
30
3 Elektrischer Fluss Ψ
Einheit: 1As = 1C
4 Verschiebungs- bzw. Flussdichte
Einheit: 1 As/m²
5 Elektrische Spannung U
Das Potentioal ist unabhängig! Ein bestimmter Punkt bestitzt ein bestimmtes Potential!
Q~Ψ definitionper QΨ=
AD Ψ
= ED ⋅=ε ε .......... permittivität
AQD =
sEU ∆⋅= l E U1
2
rrd∫=
AlQU⋅
⋅=ε
31
6 Vergleich Magnetisches Feld – Elektrisches Feld
Φ Vs Ψ As
Β 2mVs
D 2mAs
H mA
E mV
µ A
VsmH 1= ε
VAs
mF 1=
7 Permittivität ε
Einheit
7.1 Magnetische Feldkonstante
ED ⋅= ε ED
=ε
VmVs
mF
==ε
AmVs12
0 108542,8 −⋅=ε
rεεε ⋅= 0
ε r ..........relative Permittivität ε 0 .........Permittivität des Vakuums (F/m) ε ...........Permittivität des Materials (F/m)
0εε
ε =r
Maxwell- Beziehung:
c=⋅ 00
1µε
32
8 Elektrische Kapazität
Einheit: 1 Farrad
9 Der Kondensator als Bauelement
9.1 Plattenkondensator
UQC = F
VAs
UQC 1
][][][ ===
dA
dAC r ⋅⋅=
⋅= εε
ε0
dA
UQC ⋅
==ε
33
9.2 Wickelkondensator
9.3 Schichtkondensator
9.4 Drehkondensator
dAC ⋅
⋅=ε2
dAnC ⋅
⋅=ε
n .............Anzahl der Dielektrikumsschichten
360)(
1802222
22 πα
αππ⋅⋅−=⋅
⋅−
⋅= rRrRA
drRn
dAnC επ
αε
⋅⋅⋅−⋅=⋅
⋅=360
)( 22
34
9.5 Zylinderkondensator
10 Leiterkapazitäten
⋅⋅⋅=
rRlC
ln
2 επ
⋅
=
rRx
UEln
x .............Abstand des Punktes x von der Zylinderachse in m Ex ............Feldstärke im Punkt x in V/m
−
+
⋅⋅=
122
ln2
ra
ra
lC επ
35
Ist der Leiterabstand a gegenüber dem Radius sehr groß (Wie zum Baispiel bei Freileitungen gegeneinander, ergibt sich folgende Nähehrung:
10.1 Kapazitäten gegenüber dem Boden
⋅⋅=
ra
lCln
επ
⋅
⋅⋅⋅=
rh
lC2ln
2 επ
36
11 Schaltung von Kondensatoren
11.1 Parallelschaltung
11.2 Serienschaltung
pQQQ =+ 21
pCCC =+ 21
2121 :: CCQQ =
UQQC p
21 +=
2
1
2
1
CC
=
sUUUU ==+ 21 sQQQ == 21
21
111CCCs
+=
1
11 C
QU = 1
2
2
1
CC
UU
=2
22 C
QU =
37
12 Kondensatoren mit verschiedenen Dielektrika
Der Werkstoff mit dem kleineren εr wird also stärker beansprucht.
13 Ausgleichsverhalten von RC- Gliedern
13.1 Einschaltvorgang bei DC an einem RC- Glied (const. U-Quelle) Einschaltvorgang àLADEN des Kondensators
DDDQQQ ==→== 2121
2
2
2
12211
r
r
EEEE
ε
εεε =⇒⋅=⋅
222
111
EDED⋅=⋅=
εε
222
111
AEUAEU
⋅=⋅= gUdEdE =⋅+⋅ 2211
AQDE
rr ⋅⋅=
⋅=
001
11εεεε A
QDErr ⋅⋅
=⋅
=00
222
εεεε
AQD =
CRt
eIti ⋅−
⋅= 0)(
sVAs
AVCR →⋅=⋅=τ
0→∞→
it
t i(t) in % 0τ 5 (=I0) 100 1τ 1,839 37 2τ 0,677 14 3τ 0,249 5,0 4τ 0,092 1,8 4,6τ 0,05 1,0 5τ 0,034 0,7 6τ 0,012 0,2
000 e
RU
i ⋅=
38
13.2 Ausschaltvorgang bei DC an einem RC- Glied
RtieUtu RCt
r ⋅=⋅=−
)()( 0 0uuu Cr ==
t i(t) in % 0τ 0 0 1τ 0,63 63 2τ 0,86 86 3τ 0,95 95 4,6τ 0,99 99
RCt
eIti−
⋅0:)( RCt
R eutu−
⋅:)(
RCt
C eUtu−
⋅= 0)(0=+ cr uu
)1( CRt
RC eUUUu ⋅−
−⋅=−=
39
14 Coulombsches Gesetz
Kraft F zuwischen zwei Punktförmigen Ladungen:
14.1 Energieinhalt
14.2 Kraftwirkung zuwischen 2 kapazitiven Flächen
ε0…nur beim Luftkondensator
221
41
aQQFC
⋅⋅
⋅⋅=
επ
2111
4 aQ
AQDE
⋅⋅⋅=
⋅==
επεε
ε⋅⋅⇒
∆∆
=A
QdWF
2
2
CQCUW22
220 == d
AQW ∆⋅
⋅⋅=∆
ε2
2
d in m!
πε ⋅⋅⋅⋅
=⋅= 221
21 4 aQQQEF
sUE 0=
0U
sEesF ⋅⋅=⋅ − EeF ⋅= −
ACUF
r ⋅⋅⋅=
)(2)(
0
2
εε
40
14.3 Geschwindigkeit des Elektrons im Elektrischen Feld Nach dem Energiesatz
15 Energiedichte des E-Feldes ω
Vgl.: Magnetfeld:
+ + + + + +
- - - - -
2
20CUW =
22
2 EDE ⋅=
⋅=
εω
22
2 HB ⋅=
⋅=
µω
)(2 1
12
0
ssssUAW+
=⋅⋅=∆ ε
sav ⋅⋅= 2
mFaamF =⇔⋅=
2
2vmUe ⋅=⋅
Ume
mUev ⋅
⋅=
⋅⋅=
−− 22
2
2vmsFW ⋅=⋅= s
mFv ⋅⋅= 2
][0 eVUeW ⇒⋅= −
41
Magnetische Kreise
1 Magnetische Spannung
2 Magnetische Durchflutung Θ - Durchflutungssatz
3 Magnetischer Widerstand Rm
3.1 Ohmsches Gesetz Magn. - Kreise Serienschaltung
3.2 Ohmsches Gesetz Magn. – Parallelschaltung
lHUm ⋅=
NIlH ⋅=⋅=Θ ∑ ∑=Θ mU
AlRm ⋅
=µ Φ
Θ=mR
Al⋅
⋅Φ=Θµ mR⋅Φ=Θ
µµlB
lB ⋅
=Θ⇒Θ
=
∑∑∑⋅
Θ=
Θ==Φ
AlRR
Umm
m
µ
∑ ∑ ⋅⋅Θ=Λ⋅Θ=Φ
lAµ
42
3.3 Magnetischer Leitwert
l
ARm
⋅==Λ
µ1
43
4 Verluste bei Spulen
Wärmeverluste im Kupfer:
4.1 Hystereseverluste
AlRCu
⋅=
ρ CuCu RIP ⋅= 2
fPH ~
44
4.2 Wirbelstromverluste
5 Kraftwirkung im Magnetischen Feld
Betragsgleichung: l beschreibt die Länge des Leiters im Magnetfeld
fcfcPPPP
Fe
WHFe
21 +=+=
)B I(lFrr
×/⋅=→
]),[sin( BIBIlF ∠⋅⋅⋅=
BFIF ⊥⊥ ;
45
5.1 Lorentzkraft für Bewegte Ladungen
Bei einem Magnetfeld entsteht durch die Lortentzkraft eine Kreisbahn. Bei einem E-Feld entsteht durch die Lortentzkraft eine Parabelbahn.
6 Elektromagnetische Induktion – Induktionsgesetz
)( BvQF ×⋅=
BFvF ⊥⊥ ;
indUvlBlEU =⋅⋅=⋅=
Das Minus beschreibt die Polarität der Induktionsspannung
BvE ind ×=
tU ind ∆
∆Φ−=
dlElEU indind ∫=⋅= dtddlE Φ
−=∫
46
6.1 Dynamische Induktion - Bewegungsspannung
6.1.1 Leiterstab
6.1.2 Leiterschleife
[ ])cos(0 tABdtd
dtdU ind ⋅⋅⋅−=
Φ= ω
)sin(ˆ
0 tABUU
ind ⋅⋅⋅⋅= ωω43421
)sin(ˆ)( tUtu ⋅⋅= ω ω⋅⋅⋅= BANU 0ˆ
),sin( vBvlBU ∠⋅⋅⋅=
)sin(α⋅⋅⋅=⋅⋅= ⊥ vlBvlBU ind
)90cos()sin(
α
α
−⋅=
⋅=
⊥
⊥
vvvv
)sin(22 tvlBvlBU ind ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ⊥ ω
)sin()2( trlBU ind ⋅⋅⋅⋅⋅= ωω
)sin( tABU ind ⋅⋅⋅⋅= ωω
)sin()cos( 00. tAAAproj ⋅⋅=⋅= ωα .projAB ⋅=Φ .projAB ⋅=Φ
ω⋅⋅⋅⋅= BlrNUA0
2ˆ )sin(ˆ)( tUtu ⋅⋅= ω
47
6.1.3 Spule ACHTUNG: SI-Einheiten beachten!
ω⋅= rv ω..............Winkelgeschwindigkeit v ..............Bahngeschwindigkeit
1][ −== ss
radω
Tf π
πω22 =⋅⋅=
rfv ⋅⋅= π2 rv ⋅= ω
vlBNU ⋅⋅⋅=ˆ )sin(α⋅⋅⋅⋅= vlBNU ind
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
tA
TBlrNu360
sin2)(0
αωωα
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
321t
A fBlrNu
360sin2)(
0
αωωα
48
6.2 Transformatorspannung Primärseitig Sekundärseitig
6.2.1 Trafogesetz
6.3 Kraftwirkung zweier Stromdurchflossener Leiter zueinander
)sin(ˆˆ
tNUU
ind ⋅⋅⋅Φ⋅= ωω43421 )sin(ˆ
tABNUU
ind ⋅⋅⋅⋅⋅= ωω43421
ω⋅⋅⋅= ABNU ˆˆ11
ω⋅⋅⋅= ABNU ˆˆ22
eff
eff
UU
U
U
NN
UU
2
1
2
1
2
1
2
1
2
ˆ2
ˆ
ˆˆ
===
2
1
2
1
NN
UU
=2
1
1
2
2
1 ~NN
II
UU
=
22ˆ fABNU eff
⋅⋅⋅⋅⋅=
π
πµ
⋅⋅⋅
⋅⋅=a
IIlF2
210
49
6.4 Tragkraft eines Elektromagneten
7 Ausgleichsverhalten von R-L-Gliedern
0
2
2 µ⋅⋅
=BAF
0UUU LR =+
)1()( 0τt
eIti−
−⋅=
τt
L eItU−
⋅= 0)(
)1()( 0τt
eUtu−
−⋅=
RUI 0
0 = RLs =][τ