1

GEOMETRA

NGULO : Porcin del plano comprendido entre dos rayos con igual origen : O : vrtice del ngulo

OA , OB : lados del ngulo

O AOB = BOA =

En el sistema sexagesimal los ngulos se miden en grados ( ) : 1 circunferencia = 360 ; 1 = 60 ; 1 = 60

CLASIFICACION DE LOS ANGULOS.

Angulo Medida Dibujo

Nulo

O

Recto

90

Agudo

0 < < 90

Extendido

180

Obtuso

90 < < 180

Cncavo

180 < < 360

O A B

1. NGULOS

A

B

2

PARES DE NGULOS :

ANGULOS ADYACENTES COMPLEMENTARIOS:

Suman 90 : + = 90

ANGULOS ADYACENTES SUPLEMENTARIOS

Suman 180 : + = 180

ANGULOS OPUESTOS POR EL VRTICE:

Son iguales : =

Ejemplos : 1. Cul es el complemento de ?

a) = 35 90

- 35 55

b) = 41 35 '

89 60 '

- 41 35 '

48 25 '

c) = 22 15 ' 45 ''

89 59 ' 60 ''

- 22 15 ' 45 ''

67 44 ' 15 ''

2. Cul es el suplemento de ?

a) = 22

180

- 22 158

b) = 45 52

179 60 '

- 45 52 '

134 8 '

c) = 22 15 ' 45 ''

179 59 ' 60 ''

- 22 15 ' 45 ''

157 44 ' 15 ''

3

ANGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

ngulos correspondientes : 1 = 5

2 = 6

3 = 7

4 = 8

ngulos alternos internos : 3 = 6

4 = 5

ngulos alternos externos: 1 = 8

2 = 7

BISECTRZ DE UN NGULO: Rayo que divide al ngulo en dos ngulos iguales, es decir : OC es bisectrz del ngulo AOB si =

TALLER DE EJERCICIOS.

1. Si = 137 45 18 y = 52 32 41. En cunto excede al suplemento de ?

A) 10 17 59 B) 9 17 59 C) 100 18 59 D) 100 17 59 E) 10 18 59

2. Dos ngulos suplementarios estn en la razn de 2 : 7. Cul es la diferencia entre

ambos ngulos ?

A) 45 B) 140 C) 50 D) 100 E) 90

3. Si a un ngulo se agregan 25, su complemento es 20. Cunto mide el ngulo ?

A) 35 B) 45 C) 40 D) 30 E) 55

4. Dos ngulos complementarios estn en la razn de 2 : 3 . Cunto mide el mayor de ellos ?

A) 54 B) 36 C) 18 D) 40 E) 72

A

C

B

O

1 2

3 4

5 6

7 8

L1

L2

Considera L1 // L2

4

5. Si un ngulo disminuye en 58, su suplemento es 95. Cunto mide el ngulo?

A) 37 B) 143 C) 39 D) 141 E) 145

6. En la figura , si = 18 y = 90 entonces. Cunto mide el ngulo formado por las

bisectrices de los ngulos y ?

A) 135 B) 90

C) 81 D) 270

E) 45

7. En la figura L L ; M // M , y = 40 entonces x + y + w + z = ?

A) 140 B) 160

C) 180 D) 270

E) 360

8. Segn la figura, Cunto mide la suma de + ?

A) 140 B) 180

C) 120 D) 220

E) 90

9. En la figura : 1 = 2 , 3 = 4,

1 + 4 = 70, x = ?

A) 35 B) 40

C) 55 D) 70

E) 110

10. En la figura . L1 L2 , entonces x mide:

A) 90 - B) 45

C) 180 - 2 D)

E) otro valor

L L

M

M

w z

x y

35 105

x 1

2 3

4

L1

L2

L3

P

x

5

11. L1//L2 , x = ?

A) 50

B) 53

C) 54

D) 55

E) 60

12. L1 //L2 , S T , x = ?

A) 35

B) 50

C) 60

D) 65

E) 70

13. L1 //L2 , S T , x = ?

A) 48

B) 52

C) 56

D) 57

E) otro valor

14. En la figura, x + 50= ?

A) 70

B) 71

C) 72

D) 74

E) 75

15. PQR issceles, PQS issceles , x = ?

A) 22,5

B) 25

C) 35

D) 42,5

E) 45

S

L1

L2

T

120

90+x

L1

L2

x

85

30

L1 L2 S

T 14

2x

x 3x

100

R Q S

P

x

6

16. L1//L2 , entonces x 10= ?

A) 18

B) 19

C) 20

D) 26

E) 29

17. L1//L2 , entonces x= ?

A) 20

B) 22

C) 32

D) 35

E) 40

18. En la figura , x= ?

A) 115

B) 116

C) 120

D) 126

E) otro valor

19. En la figura, L1//L1 , x = ?

A) 20

B) 21

C) 23

D) 25

E) 45

20. L1//L2 , x = ?

A) 15

B) 20

C) 25

D) 30

E) 35

RESPUESTAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A D B A B A C D B A D C B E A C E A A C

31

2x-1

3x

L1

L2

x

3x+10 L1

L2

68

15 32 x

135

65

x L2

L1

x

2x

25

L1

L2

7

AB , BC y AC son los lados , , son los ngulos interiores

, , son los ngulos exteriores

PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS DE UN TRIANGULOS.

1. La suma de los ngulos interiores de cualquier tringulo es 180.

2. Un ngulo interior y su ngulo exterior adyacente son suplementarios.

3. La suma de los ngulos exteriores de cualquier tringulo es 360

4. Un ngulo exterior es equivalente a la suma de los dos ngulos interiores no adyacentes.

5. A mayor ngulo se opone mayor lado.

6. La suma de dos lados es siempre mayor que el tercero.

CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS: SEGN SUS LADOS

TRINGULO EQUILTERO

AB = BC = AC 60

TRINGULO ISSCELES

AC = BC

TRINGULO ESCALENO

AB BC AC

2. TRINGULOS

A

B C

A B

C

C

A B

A C

B

8

SEGN SUS NGULOS : TRINGULO ACUTNGULO

, , ngulos agudos

TRINGULO RECTNGULO

ngulo recto

TRINGULO OBTUSNGULO

ngulo obtuso

ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRIANGULO.

1. ALTURA: es la perpendicular al lado del tringulo bajada desde el vrtice opuesto. El punto de interseccin de las tres alturas se llama ORTOCENTRO.

Es decir : AD = ha BE = hb CF = hc son alturas de los lados a , b y c respectivamente. H = punto de interseccin de las alturas = ortocentro

r ice opuesto al lado. TRINGULO OBTUSNGULO TRINGULO RECTNGULO Las alturas se intersectan en un punto llamado ORTOCENTRO.

La altura no siempre intersecta al lado del tringulo por lo que deber prolongarse el lado para ver el punto de interseccin.

A

E

F

H

B D C

altura altura

A B

C

A B

C

9

2. BISECTRIZ: es la semirrecta que dimidia el ngulo. Las tres bisectrices se cortan en un solo punto que se llama INCENTRO y sirve de centro a lacircunferencia inscrita.

Es decir : AD = b BE = b

CF = b son bisectrices de los ngulos

, y , respectivamente. I = punto de interseccin de las bisectrices = incentro ( centro de la circunferencia inscrita al tringulo )

3. TRANSVERSAL DE GRAVEDAD : es el segmento que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto. Las tres transversales se cortan en un slo punto que se llama CENTRO DE GRAVEDAD.

Es decir: D, E y F puntos medios , AD = ta , BE = tb y CF = tc son transversales de gravedad G = centro de gravedad IMPORTANTE : El segmento adyacente al vrtice es el doble del segmento adyacente al lado, o sea :

GEBG 2 y lo mismo para cada una de las transversales.

4. MEDIANA :

es el segmento que une los puntos medios de los lados del tringulo. Es decir : D, E y F puntos medios DE , EF y FD son medianas

IMPORTANTE : La mediana es paralela al tercer lado y equivale a su mitad, o sea

EFFE 2BC BC // ,

DEDE 2AB AB // ,

FDFD 2AC AC //

A

F E

G

B D C

A

F E

I

B D C

E

A

F

B D C

10

5. SIMETRAL : es la perpendicular levantada en cada uno de los puntos medios de los lados del tringulo. El punto de interseccin de las tres simetrales se llama CIRCUNCENTRO y sirve de centro a la

circunferencia circunscrita. Es decir : Sa , Sb y Sc son simetrales de los lados a , b y c respectivamente. O = circuncentro ( centro de la circunferencia circunscrita al tringulo ).

PERMETRO Y REA DE UN TRINGULO.

a) El permetro de un tringulo es la suma de las longitudes de sus tres lados : P = a + b + c

b) El semipermetro es : s = 2

P

c) rea : A = 2

hb , A = c)(sb)(sa)(ss

d) En caso que el tringulo sea rectngulo y se conocen sus catetos a y b:

PROPIEDADES DE LOS TRINGULOS. 1. En todo tringulo issceles, la bisectrz correspondiente al ngulo del vrtice es altura, transversal de gravedad y simetral. 2. En todo tringulo issceles los ngulos basales son iguales. 3. En todo tringulo issceles las alturas de los vrtices de la base son iguales ( ocurre lo mismo con las bisectrices y las transversales de gravedad). 4. El punto de interseccin de las simetrales de un tringulo, equidista de los vrtices del tringulo. 5. El punto de interseccin de las bisectrices de un tringulo, equidista de sus lados. 6. La mediana de un tringulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad de l.

B C

A Sb Sc

Sa

O

h

b

a

b

rea = 2

b a

11

7. El baricentro (centro de gravedad) divide a las transversales de gravedad en la razn de 2 : 1. 8. La transversal de gravedad de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la mitad de ella. 9. Las medianas de un tringulo determinan cuatro tringulos congruentes con l.

10. TEOREMA DE PITGORAS. En todo tringulo Rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos 11. Si a , b y c son los lados de un tringulo, siendo c el lado mayor , se tiene : c

2 < a

2 + b

2 el tringulo es acutngulo c

2 > a

2 + b

2 el tringulo es obtusngulo

a

b c

c2 = a2 + b2

c

a

b

c

a b

12

TALLER DE EJERCICIOS. 1.- En la figura, L // L. El ngulo x en funcin de a y b

es: A) a - b B) b - a C) 2 (a + b)

D) a b

2 E)

a b

4

2.- En el tringulo SRT se sabe que TS = TR y

STR = 36. El ngulo b es el doble del ngulo a . Entonces el ngulo x mide:

A) 72 B) 60 C) 96 D) 84 E) 108

3.-

Por el punto de tangencia de dos circunferencias se trazan dos rectas que forman un ngulo x. Entonces el ngulo x es equivalente a:

A) a + b + c + d B) 2a + 2b + 2c + 2d

C) (a + b) - (c + d) D) a b c d

2

E) otro valor

4.- En el tringulo RST se traza la altura TH y las bisectrices de los ngulos en H y en S. La medida del ngulo x que forman estas bisectrices es:

A) b B) a - b C) 60 D) 75 E) 0,5 a

5.- En el cuadrado RSTQ se hace QV igual a QS. Entonces el ngulo x mide:

A) 30 B) 60 C) 45 D) 67 30 E) 22 30

x

L

L

a

b

a

b

c

d

x

S H R

T

60

P

x

b a

S

Q

R

T

b a

R

S

Q

T

V x

x

13

6.- En un tringulo uno de los ngulos es el 50% de uno de los otros dos y el 33,33... % del tercero. Entonces el ngulo menor mide: A) 15 B) 45 C) 30 D) 60 E) Ninguno de los anteriores

7.- En el tringulo SRT se traza RL // ST. Entre los ngulos x e y se cumple la relacin :

A) x = y B) r + x = y C) x + y = s + t D) s + r = x + y E) x + y = r - t

8.- Desde un punto P se trazan las perpendiculares a los

lados del tringulo SRQ en el cual a = 35 y b = 45. Entonces: A) y = x = 65 B) x + y = 100

C) xy = 180 D) x : y = 9 : 20 E) x = 2 ; y = 0

9.- En el tringulo SRT se traza la bisectriz SL del ngulo

TSR. Entonces la medida del ngulo a es: A) 30 B) 60 C) 50 D) 65 E) 75

10.- La cuarta parte del complemento de un ngulo mide x, entonces el ngulo mide: A) 4x - 90 B) 90 - 4x

C) 90 - 4

x D)

4

x - 90

E) 90 + 4x

11.

En un tringulo ABC, AB = 16, BC = 8, AC = 8. Entonces es: I Issceles II Escaleno III Rectngulo A) I y III B) slo I C) slo II D) slo III E) no existe el tringulo

M R

P

T

y

x

b

Q

a S

S

y

R

T t

L

x r s

L

S

20

R

a

T

80

14

12.

En un tringulo ABC, AB = 12, BC = 8. Luego AC puede variar entre: A) 8 y 12 B) 12 y 20 C) 4 y 12 D) 8 y 20 E) 4 y 20

13. ABCD es paralelogramo. la suma de los ngulos x e y

vale: A) 180 B) 55 C) 60 D) 65 E) No se puede determinar

14. Si los tringulos ABC y DEF son equilteros, entonces x = ?

A) 50 B) 55 C) 120 D) 65 E) 60

15. En un tringulo ABC, AB = 13, BC = 5, AC = 12. Entonces es: I Issceles II Escaleno III Rectngulo A) I y III B) slo I C) slo II D) slo II y III E) no existe el tringulo

16.

En el ABC de la figura, las Transversales de gravedad AD y CE se intersectan en ngulo recto. Si GD = 3 y GE = 2 , entonces BC equivale a :

A) 2 13 B) 2 17

C) 2 18 D) 10 E) 18

A

D

x

y

B

C

F

E D

C

B A

x

A G D

E

B

C

15

17

En la figura AP es bisectrz del DAE ,

BD = 3 ; CE = 4 y el rea del BPD

es 15 , entonces el rea del CEP es:

A) 12 B) 15 C) 16 D) 20 E) 24

18 Si altura de un tringulo equiltero es 6u , entonces el rea es :

A) 222u B) 2u 3 C) 3 23u D) 6 22u E) 12u2

19. La altura de un tringulo se cuadruplica y el lado perpendicular a la altura se reduce a la mitad. Entonces el rea : A) permanece igual B) se reduce a la mitad C) se duplica D) se cuadruplica E) se reduce a la cuarta parte

20. En un tringulo ABC cualquiera, la base mide 25 u y la altura 10 u . Si la base aumenta en 20% y la altura disminuye en un 20% , entonces el rea del tringulo : A) no vara B) disminuye 4% C) disminuye 5% D) disminuye en 25% E) aumenta en 5%

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A C D A D C C D B B E A A C D D D B C B

A

B

D

P

C E