Anhang A Thermodynamik thermischer Turbomaschinen sowie …978-3-540-76370... · 2017. 8. 28. · 2017. 8. 28. · für thermische Turbomaschinen (A.4) Unter der Totalenthalpie wird

Anhang A Thermodynamik thermischer Turbomaschinen sowie idealer und realer Arbeitsfluide

A.1 Thermodynamik thermischer Turbomaschinen

A.1.1 Energieerhaltungssatz bei Turbomaschinen

Bild A-1 zeigt eine schematisierte Turbomaschine, die aus einem über eine Welle angetriebenen Rotor besteht und von außen beheizt wird. Von unten strömt ein Fluid ein, das oben etwas später wieder aus der Maschine austritt. Thermodyna-misch gesehen ist so etwas ein stationär durchströmtes, offenes System, das zu einem Zeitpunkt t und zu einem etwas späteren Zeitpunkt t dt betrachtet wird. Durch E wird der Eintritt der Turbomaschine und durch A ihr Austritt gekenn-zeichnet. Am Eintritt strömt zum Zeitpunkt t von unten die infinitesimale Masse dmE über die Grenze des Bezugsraums (Systemgrenze) in die Turbomaschine ein. Unter dem Bezugsraum wird die vom Fluid benetzte Innenwand des Maschinen-gehäuses verstanden, einschließlich der Ein- und Austrittsquerschnitte an den Stutzen. Etwas später, zum Zeitpunkt t dt, wenn dmE vollständig in die Maschi-nen eingeströmt ist, dann ist im selben Zeitraum dt eine andere infinitesimale Masse

Bild A-1: Schematisierte Turbomaschine als stationär durchströmtes, offenes System mit Ar-beitsaustausch über eine Rotorwelle und äußerem Wärmeaustausch

dmA

dmE

System zum Zeitpunkt t”„

Arbeits-zufuhr

Eintritt

Austritt

schematisierteTurbomaschine

pE

pA

AA

AE

A

E

System zum Zeitpunkt t+dt”„

W. J. G. Bräunling, Flugzeugtriebwerke, DOI 10.1007/978-3-540-76370-3,© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009

1438 Anhang A

dmA aus der Maschine – über die Bezugsraumgrenze – nach oben ausgeströmt. Während dieses kleinen Zeitraums dt wird außerdem mittels eines Rotors über die Bezugsraumgrenze die Arbeit Wtech

1 (Prozessgröße2) ausgetauscht und außerdem auch noch Wärmeenergie in der Größenordnung Q (Prozessgröße) übertragen.

Angewendet auf Bild A-1 fordert der 1. Hauptsatz der Thermodynamik (Energieerhaltungssatz) die Gleichheit der in einen Bezugsraum eintretenden und der aus ihm austretenden Energien, da bei stationärer Durchströmung im Bezugs-raum keine Energiespeicherung stattfinden kann. Hierbei treten im Zeitraum dt zusammen mit Wtech (Rotorarbeit) und mit Q (äußerer Wärmeenergieaustausch) folgende Energien über die Wandung des Bezugsraums (Systemgrenze):

tech E E E A A AW Q p A dx p A dx

Hierin ist pE · AE · dxE eine Verdrängungsarbeit (Kraft Weg). Aufgrund des Einströmens der Masse dmE in den Bezugsraum wird über den Eintrittsquerschnitt E die Druckkraft pE · AE (Druck · Fläche) längs des Weges dxE über die Systemgrenze verschoben. Da die Verdrängung in das System hinein erfolgt, erhält diese Verdrängungsarbeit ein positives Vorzeichen. Analog dazu ist pA · AA · dxA die Verdrängungsarbeit aufgrund des Ausströmens der Masse dmA aus dem Bezugsraum heraus, sodass diese Verdrän-gungsarbeit ein negatives Vorzeichen erhält. Mit A dx dV als Volumen und mit v dV/dm als spezifisches Volumen ergibt sich A dx v dm, sodass der obige Energiefluss über die Systemgrenze nun wie folgt aufgeschrieben werden kann:

tech E E E A A AW Q p v dm p v dm

Dieser Energieaustausch über die Systemgrenze der Turbomaschine steht im Gleichgewicht mit den Energieänderungen innerhalb des Systems3. Dieses ist die innere Energie U, die potenzielle Energie g · z · dm und die kinetische Ener-gie dm c²/2:

E E E A A A

2B A A A A A

2B E E E E E

W Q p v dm p v dm

U (t dt) U g z dm dm c / 2

U (t) U g z dm dm c / 2

(A.1)

Hierin ist UB die innere Energie4 innerhalb des Bezugsraums zu den beiden Zeit-punkten t und t dt. UE und UA sind die inneren Energien der in das System ein- und austretenden Massenteilchen dmE und dmA. Die restlichen Terme in Gl. (A.1) beschreiben die Änderungen der potenziellen und der kinetischen Energien zwi-schen dem Ein- und Austritt der Maschine.

1 Die an einer sich drehenden Welle vorkommende Arbeit heißt technische Arbeit Wtech. 2 Arbeit und Wärme sind in der Thermodynamik Prozessgrößen, die nicht als Differenz W

oder Q sondern nur als eine Änderung W12 bzw. Q12 geschrieben werden können, sodass hier deren infinitesimale Änderung durch den griechischen Buchstaben gekennzeichnet wird.

3 Energieerhaltungssatz: „Die Summe aller Energien, die über die Systemgrenze treten, ist gleich der Änderung der im System enthaltenen Energien.“

4 Unter dem Begriff „Innere Energie“ wird der gesamte Energieinhalt eines Fluides im atomaren und molekularen Bereich verstanden.

A.1 Thermodynamik thermischer Turbomaschinen 1439

Wegen der stationären Durchströmung der Turbomaschine (keine Energiespeiche-rung im System) ist die innere Energie im Bezugsraum selbst stets zeitlich konstant, d. h. UB(t) UB(t dt). Die inneren Energien UA und UE der ein- und ausströmenden Volumenelemente können in spezifische innere Energien uA und uE umgewandelt werden, d. h. es gilt: UE uE dmE und UA uA dmA. Aus Gl. (A.1) wird damit:

2

tech A A A A A A

2E E E E E E

W Q dm u p v g z c / 2

dm u p v g z c / 2 (A.2)

Bei den thermischen Turbomaschinen, das sind die, die von Gasen (kompressiblen Fluiden) durchströmt werden, sind die von der Schwerkraft herrührenden Glieder „g z“ im Vergleich zu den anderen beteiligten Energien stets vernachlässigbar klein, z. B., Traupel (1988). Die spezifische innere Energie u und die spezifische Verdrängungsarbeit p·v werden per Definition zu dem Begriff statische Enthalpie h (spezifische Enthalpie) zusammengefasst:

h : u p v (A.3)

Aus Gründen der Zweckmäßigkeit wird nun ebenfalls per Definition der Begriff der sog. Totalenthalpie ht eingeführt, z. B. Traupel (1971):

2 2

t

c ch : h g z h

2 2 für thermische Turbomaschinen (A.4)

Unter der Totalenthalpie wird der gesamte thermodynamische Energieinhalt (stati-sche und kinetische Energie) eines Fluides verstanden5. Aus Gl. (A.2) wird zu-sammen mit der Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung) dm dmE dmA:

tech A tA E tE tA tE tEAW Q dm h dm h dm h h dm h (A.5)

Diese Größen werden nun auf den Zeitraum dt bezogen, während dessen sie sich geändert haben. Die beteiligten Totalenthalpien sind wegunabhängige Zustands-größen am Ein- und Austritt des Systems:

techtA tE

W Q dm dmh h

dt dt dt dt

Die Änderungen je Zeiteinheit werden nun, wie vielfach üblich, mit einem aufge-setzten Punkt gekennzeichnet. Außerdem wird der Begriff der Leistung einge-führt, der die Arbeit pro Zeiteinheit darstellt:

techtech

WW : P Rotor- bzw. Wellenleistung über die Systemgrenze

dtQ

Q Wärmestrom über die Systemgrenzedt

5 Anschaulich wird dieses auch im Zusammenhang mit der Bernoulligleichung, die ja die Energieer-

haltungsgleichung der Strömungsmechanik ist. Der sog. Total- oder Gesamtdruck pt ist hier die Summe aus statischem Druck p und kinetischer Energie (dynamischer Druck) ·c²/2: pt p ·c2/s.

1440 Anhang A

tA tE tEA

dmm Massenstrom

dt

P Q m h h m h (A.6)

Diese Gleichung stellt die Anwendung des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik (Energieerhaltungssatz) für eine stationär durchströmte Turbomaschine dar. Sinn-gemäß ist die Gleichung auch für jeden stationär durchströmten Abschnitt inner-halb einer Turbomaschine (z. B. Triebwerk) anwendbar, d. h. auch für alle einzel-nen Laufräder von Verdichtern und Turbinen. Unter den bei der Herleitung der Gl. (A.6) eingeführten Voraussetzungen und mit P 0 gilt die Gleichung auch für alle nicht rotierenden Bauteile einer Turbomaschinen, wie z. B. Leiträder, Diffuso-ren, Düsen, Rohrleitungen und sonstige Anlagenteile, wie z. B. Ventile und Stell-organe. Kann das jeweilige Bauteil außerdem auch noch als sehr gut isoliert ange-sehen werden, was man in der Thermodynamik als adiabat bezeichnet, so ist in Gl. (A.6) zusätzlich Q 0 zu setzen. Bei einer Vielzahl von technischen Anwen-dungen im Bereich der Flugzeugtriebwerke ist es aus Gründen der Vereinfachung gebräuchlich, von einer adiabaten Maschine bzw. von einer adiabaten Komponente auszugehen, sodass der Term Q bei den Triebwerken praktisch nur in der Brenn-kammer von Bedeutung ist, wo über die Verbrennung des von außen zugeführten Brennstoffes der Brennkammer Wärmeenergie zugeführt wird (Transport von chemischer Energie von außen über die Bezugsraumgrenze). In der Brennkammer, in der sich keine bewegten Teile befinden, über die Arbeit umgesetzt werden könnte, ist entsprechend P 0 zu setzen. In Flugzeugtriebwerken häufig auftre-tende Formen der Gl. (A.6) sind:

– adiabate Verdichter und Turbinen

tA tE tEAP m h h m h

– Brennkammer

tA tE tEAQ m h h m h

– adiabate, nicht rotierende Bauteile, wie z. B. Diffusoren und Düsen aller Art

tA tE tEA tA tE0 m h h m h h h

Die linke und rechte Seite von Gl. (A.6) werden nun durch den Massenstrom m dividiert:

tA tE tEA

P Qh h h

m m

tech tEAw q h (A.7)

Änderung der Totalenthalpie zwischen E und A von/nach außen zu- oder abgeführte spezifische Wärmeenergie von/nach außen zu- oder abgeführte spezifische technische Arbeit

Arbeiten W, Leistungen P und Wärmen Q sind stets positiv anzusetzen, wenn sie den Energieinhalt des Fluides erhöhen (Diffusor, Verdichter, Heizen) und negativ


anzusetzen, wenn sie ihn absenken (Düse, Turbine, Kühlen). Bei guter Isolierung können Turbomaschinen i. Allg. immer dann als adiabat angesehen werden, wenn der verbleibende Restwärmeaustausch durch die Wände im Vergleich zur Rotor-arbeit vernachlässigbar klein ist.

A.1.2 Gibbssche Hauptgleichung bei Turbomaschinen

Hierzu wird die Gibbssche Fundamentalbeziehung6 (Traupel, 1971 oder Baehr, 1992) eingeführt, nach der für stationäre Strömungen ohne chemische Reaktion des Fluides folgender Zusammenhang gilt:

dh v dp T ds (A.8)

Wird Gl. (A.3) differenziert, so ergibt sich daraus:

dh du p dv v dp (A.9)

Die Kombination der Gln. (A.8) und (A.9) führt zu dem Ergebnis:

T ds du p dv (A.10)

In den Gln. (A.8) bis (A.10) sind T und p die statischen Größen für Temperatur und Druck. v 1/ ist das spezifische Volumen, u die spezifische innere Energie und h die statische Enthalpie. Neu eingeführt wird über die Gibbssche Funda-mentalbeziehung der Begriff der Entropie s. Nach Clausius7 ist die Entropie eine Bewertungsgröße für den Grad der Irreversibilität eines Prozesses. Die Änderung der Entropie ds während eines Prozesses zeigt an, ob die Prozessführung irreversi-bel (nicht umkehrbar bzw. verlustbehaftet) oder reversibel (umkehrbar bzw. ver-lustlos) ist. Sinngemäß lautet der Satz von Clausius:

Für jeden Prozess gibt es eine Zustandsgröße – die Entropie – die bei irrever-siblen Prozessen wächst, bei reversiblen Prozessen gleich bleibt und niemals abnimmt. Die Änderung der gesamten Entropie eines Prozesses ist gleich der Summe der einzelnen Entropieänderungen aller an dem Prozess beteiligten Stoffe.

Die Gibbssche Gleichung wird längs des Strömungsweges des Fluides durch die Turbomaschine integriert, also zwischen den Ebenen E und A, wobei die Zu-standsgröße Enthalpie – wie in der Thermodynamik üblich – vom Integrationsweg unabhängig ist.

A A

A E

E E

h h v dp T ds (A.11)

6 Josiah, Willard Gibbs (*1839 †1903) war Professor für mathematische Physik an der Yale Uni-

versity in Connecticut, USA. 1876 veröffentlichte er seine berühmte thermodynamische Abhand-lung „On the Equilibrium of Heterogeneous Substances“.

7 Rudolf, Julius, Emanuel Clausius (*1822 †1888) war Professor für Physik an den Universitä-ten Zürich, Würzburg und Bonn.

1442 Anhang A

In dieser Gleichung treten alle an einer Zustandsänderung des Fluides8 beteilig-ten thermischen Zustandsgrößen F(p, v, T) 0 und kalorischen Zustandsgrößen F(h, p, T) 0 bzw. F(u, v, T) 0 gleichzeitig auf. Insbesondere auch die Entropie s, mit der über die Gibbssche Fundamentalbeziehung die Verknüpfung der thermi-schen und kalorischen Zustandsgrößen erfolgt. Da sich i. Allg. v und T längs des Integrationsweges in Abhängigkeit der zu betrachtenden Zustandsänderung än-dern, bezeichnet man die beiden Integrale in Gl. (A.11) als wegabhängig. Das bedeutet, dass ihre Lösung vom Verlauf der Zustandsänderung zwischen Ein- und Austritt abhängig ist, die z. B. isentrop, isotherm, isochor, polytrop oder sonst wie ablaufen kann. Die Enthalpieänderung auf der linken Seite von Gl. (A.11) ist dagegen – wie alle Änderungen von Zustandsgrößen – unabhängig vom Integrationsweg, d. h. beispielsweise, dass die Änderung der Enthalpie einer polytropen Zustands-änderung auch aus der Kombination einer isobaren und einer isothermen Zu-standsänderung zusammengesetzt werden kann (Ersatzzustandsänderungen), die schließlich beide zu demselben Resultat führen, wie die polytrope selbst, vgl. hierzu z. B. Bild A-11. Die Enthalpieänderung in Gl. (A.11) ist damit nur vom Ein- und Austrittszustand des Fluides abhängig. Per Definition wird nun das weg-abhängige Integral in Gl. (A.11):

A

E

w : v dp (A.12)

als spezifische Strömungsarbeit w bezeichnet. Alle praktischen Vorgänge in der Natur – also auch die in Turbomaschinen – verlaufen irreversibel. Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik besagt für irreversible Vorgänge, dass sich die Entropie s nicht nur durch den Wärmefluss q über eine Systemgrenze ändert, was als Entropietransport bezeichnet wird, sondern auch irreversibel durch systeminterne Umwandlung von Reibung in Wärme, was dann als Entropieproduktion bezeichnet wird.

rev irr q irr

T ds T ds T ds T ds T ds

Die Integration dieser Beziehung führt auf den Ausdruck:

A

E

T ds q j mit (A.13)

A

revE

q T ds

als spezifischer Wärmeenergie (A.14)

8 Bei den Turbomaschinen ist es üblich, die Wirkung der Maschinenkomponenten auf das

Fluid zu betrachten und nicht den umgekehrten Fall. Es ist also weniger die Maschine, die hier behandelt wird, als vielmehr das Fluid, das durch sie hindurch strömt und das durch die Maschine bzw. durch deren Bauteile eine Energieänderung erfährt. In der Aero- und Gasdy-namik stellt sich dagegen meist die umgekehrte Fragestellung, da hier die Auswirkungen des Fluides auf die Bauteile, wie z. B. Flügel, Leitwerk und Rumpf von primärem Interesse ist. Nach dem Prinzip actio reactio sind aber beide Betrachtungsweisen leicht ineinander überführbar.


A

irrE

j : T ds

als spezifische Dissipation (A.15)

Hierbei wird per Definition unter dem Begriff der Dissipation j9 ein infolge von Reibung in Wärme dissipierter Anteil an mechanischer Energie verstanden, der nicht weiter technisch genutzt werden kann10. Während für die äußeren spezifi-schen Wärmeenergien q 0 (Wärmezufuhr) und q 0 (Wärmeabgabe) gelten kann, muss die im 2. Hauptsatz der Thermodynamik beschriebene Energieände-rung infolge Reibung (Dissipation) generell positiv definiert sein, da ja die Rei-bungswärme dem System stets und immer zugeführt wird, q 0. Eine Abkühlung (Wärmeabgabe q 0) infolge Reibung ist noch nicht beobachtet worden. Es muss also gelten:

A

irrE

j T ds 0 (A.16)

Die Gibbssche Fundamentalbeziehung (A.8) bekommt damit die Form:

A

EA A E

E

dh h h - h w q j (A.17)

Die Kombination der Gln. (A.4) und (A.7) mit Gl. (A.17) führt auf den Energieer-haltungssatz für stationär durchströmte Turbomaschinen in der folgenden Form:

2 2tech A E

1w w j c c

2 spezifische technische Arbeit (A.18)

Obwohl in Gl. (A.18) der äußere Wärmeaustausch q nicht mehr explizit auftritt, hängen die wegabhängigen Größen w und j sehr wohl davon ab. Per Definition wird nun der Begriff der totalen spezifischen Strömungsarbeit wt eingeführt:

2 2t A E

1w : w c c

2 (A.19)

Aus Gl. (A.18) ergibt sich damit eine vereinfachende Schreibweise:

tech techtech t

W W Pw w j

m m m (A.20)

9 Dissipation ist Energie, die innerhalb von Systemgrenzen zerstreut (dissipiert) wird und des-

wegen eine Systemgrenze nicht überschreitet. Eine wesentliche Eigenschaft der Energieform Arbeit ist es aber, dass Sie nur beim Überschreiten einer Systemgrenze auftritt. Von daher ist die in der Literatur vielfach übliche Verwendung der Begriffe „Reibungsarbeit“ oder „Dissipa-tionsarbeit“ mehr oder weniger unpräzise und wird daher hier auch nicht benutzt.

10 Beispiel: Ein fahrendes Auto wird abgebremst. Dabei wird die kinetische Energie des Autos an den Bremsen in Wärme gewandelt, d. h., die Bremsen werden heiß. Bleibt das Auto nun eine Weile stehen, so werden die Bremsen wieder abkühlen. Die Wärme ist an die Umgebung ab-gegeben worden und kann nicht weiter genutzt werden. Genau dieser Energieverfall ist es, den man als Dissipation bezeichnet.

1444 Anhang A

In Gl. (A.20) ist wtech die spezifische technische Arbeit einer Turbomaschine, die über die Rotorwellen zu- oder abgeführt wird (Verdichter oder Turbine). Im Vergleich dazu gibt die totale spezifische Strömungsarbeit wt an, welcher Anteil von wtech schließlich an das Fluid übertragen bzw. vom Fluid aufgenommen wird. Die Differenz zwischen beiden Größen sind die sog. Verluste, d. h. im vorliegenden Fall die Dissipation j.

Im idealisierenden reibungsfreien Fall (j 0), bei dem die Ein- und Austritts-geschwindigkeiten zu dem auch noch ungefähr gleich groß sind (cA cE), ist die spezifische technische Arbeit gleich der spezifischen Strömungsarbeit, wtech w. Von diesem vereinfachenden Zusammenhang wird in vielen Kapiteln dieses Bu-ches Gebrauch gemacht, insbesondere dann, wenn rein isentrope Vorgänge be-trachtet werden.

A.1.3 Wirkliche und polytrope Zustandsänderungen

Wirkliche Zustandsänderungen zwischen Ein- und Austritt einer Turbomaschine sind experimentell und/oder theoretisch nur schwer zu erfassen. Der linke Teil von Bild A-2 zeigt exemplarisch den Verlauf der Druckerhöhung im Mittenschnitt einer Axialverdichterstufe vom Druck pE am Stufeneintritt bis zum Druck pA am Stufenaustritt, Dibelius (1995). Es ist offensichtlich, dass diese Druckerhöhung nicht kontinuierlich erfolgt, sondern in Lauf- und Leitrad unterschiedlich stark. Im Axial-spalt zwischen Rotor und Stator erfolgt keine Druckänderung. Vor dem Laufrad sinkt der Druck sogar leicht ab aufgrund des sich axial einziehenden Strömungskanals.

Der Verlauf einer wirklichen Zustandsänderung wird von zahlreichen Faktoren geprägt, wie z. B. davon, ob das Fluid in der Maschine konstant, verzögert oder beschleunigt strömt. Neben der Zu- oder Abfuhr von Arbeit und Wärme spielt selbstverständlich auch die Dissipation eine wichtige Rolle. Der rechte Teil von Bild A-2 zeigt in einem T-s-Diagramm beispielhaft, wie in einem Axialverdichter

x

x

A

E

AE

Bild A-2: Darstellung einer möglichen Zustandsänderung des Fluides im Mittenschnitt einesAxialverdichters und dessen Annäherung durch eine Polytrope


der wirkliche Verlauf einer Zustandsänderung zwischen E und A aussehen könn-te. Darüber hinaus wurde ergänzend eine Ersatzzustandsänderung für den wirkli-chen Verlauf mit eingezeichnet, die als Polytrope bezeichnet wird. Bedeutung kommt dieser Betrachtung innerhalb der Gibbsschen Gleichung (A.10) zu. Wie be-reits bei Gl. (A.11) erläutert, sind beide in der Gleichung auftretenden Integrale weg-abhängig, d. h. zu ihrer Lösung, die man zur Ermittlung der Strömungsarbeit, der Dissipation und der Wirkungsgrade benötigt, muss der Verlauf der zu integrierenden Funktion v(p) bzw. T(s) längs des Integrationsweges bekannt sein. Wie Bild A-2 zeigt, dürfte die mathematische Formulierung des wirklichen Zustandsverlaufes zwischen E und A zum Zwecke einer Integration weder messtechnisch noch rechnerisch eine wirklich praktikable Vorgehensweise sein.

Für die Praxis hat es sich als probat erwiesen, den wirklichen Verlauf der Zu-standsänderung durch einen einfach zu approximierenden theoretischen Zustands-änderungsverlauf zu beschreiben. Dieser approximierende Verlauf sollte die Ei-genschaft haben, dass er durch verhältnismäßig leicht und genau zu messende Zustandsgrößen am Ein- und Austritt der Maschine festgelegt werden kann. Eine solche Ersatzzustandsänderung wird dadurch definiert, dass längs des Zu-standsänderungsweges zwischen Ein- und Austritt für alle infinitesimalen Weg-elemente das Verhältnis der Enthalpieänderung dh zur spezifischen Strömungs-arbeit dw v·dp konstant sein soll, Gallus (1977):

dh dh v dp T ds T ds dj dq

: 1 1 const.dw v dp v dp v dp dw

(A.21)

Die Größe in Gl. (A.21), in der die Gibbssche Gleichung (A.8), dh v·dp T·ds dw dq dj, enthalten ist, wird als Polytropenverhältnis bezeichnet. Die damit definierte Zustandsänderung heißt Polytrope. Die Ein- und Austrittszu-stände dieser Polytropen stimmen mit den wirklichen überein. Wie noch gezeigt werden wird, kann der Zahlenwert von durch einfache Druck- und Temperatur-messungen am Ein- und Austritt bestimmt werden, wenn das darin strömende Fluid bzw. seine Eigenschaften (Dichte, Gaskonstante, spezifische Wärme) bekannt sind.

Wenn für alle infinitesimalen Wegelemente denselben Wert hat, dann stehen auch die finiten Werte w und hEA im selben Verhältnis zueinander, d. h.:

A Eh h w q j q j1

w w w (A.22)

Sollte es sich aufgrund von Messungen von Zwischenzuständen zwischen dem Ein- und Austrittszustand zeigen, dass diese Messwerte viel zu weit von dem approxi-mierenden polytropen Zustandsverlauf abweichen, so ist es durchaus möglich und üblich, für jeden der Abschnitte zwischen den einzelnen gemessenen Zwischenzu-ständen eine separate Polytrope zu ermitteln. Eine zufrieden stellende Polytrope ist immer dann gegeben, wenn die Übertragung der Messpunkte in ein doppelt loga-rithmisches p-v-Diagramm eine Gerade ergibt. Eine solche Aufteilung einer gesam-ten Zustandsänderung in separate Abschnitte mit jeweils verschiedenen Polytropen-verhältnissen approximiert den wirklichen Verlauf einer Zustandsänderung i. Allg. ganz erheblich besser, ist aber auch aufwändiger zu handhaben.

1446 Anhang A

Bild A-3 zeigt für einen Verdichtungsvorgang die polytrope Zustandsänderung im p-v-Diagramm. Längs der Zustandsänderung zwischen dem Eintritt E und dem Austritt A des Verdichters gilt in jedem infinitesimalem Abschnitt entsprechend der Definition des Polytropenverhältnisses, Gallus (1977):

dh T ds

: 1 const.v dp v dp

(A.23)

Es wurde schon erwähnt, dass die Auftragung dieser Kurve in einem doppelt loga-rithmischen p-v-Diagramm eine Gerade ergeben muss, wenn die Kurve eine Po-lytrope sein soll. Die Steigung dieser Geraden entspricht dem aus der Thermody-namik wohl bekannten Polytropenexponenten n, Doering (1968). Im p-v-Diagramm in Bild A-3 ist dagegen der Polytropenexponent n aber nur der Stei-gung der Zustandsänderungskurve proportional:

const

dpn const.

dv (A.24)

Das negative Vorzeichen weist auf die negative Steigung der Zustandsänderungskurve im p-v-Diagramm hin. Der Quotient dp/dv auf der rechten Seite von Gl. (A.24) ist nicht dimensionsfrei, wogegen aber der Polytropenexponent n auf der linken Glei-chungsseite dimensionslos ist. Durch Einführen eines Proportionalitätsfaktors der Form v/p wird auch die rechte Gleichungsseite dimensionsfrei und man erhält:

const

v dpn const

p dv (A.25)

dh dh T dsconst 1

dw v dp v dp

constp dv

constv dp

1v

Temperatur T und Entropie s nehmen in Richtung zwischen dem Eintritt und dem Austritt zuE A

s = constE

T = constE

s = constA

T = constA

A

E

dp

dv

dj = Tds = 0

Bild A-3: Verlauf einer Zustandsänderung im p-v-Diagramm bei polytroper Verdichtung


Dieses Ergebnis ist die typische Definition des Polytropenexponenten n in der Thermodynamik, z. B. Bošnjakovic und Knoche (1998). Nach Bild A-3 ist also n der Quotient der beiden dort schraffiert dargestellten Flächen. Durch Umstellen folgt aus Gl. (A.25):

dp dv

np v

(A.26)

Nach Integration ergibt sich hieraus die wohl bekannte Polytropenbeziehung der Thermodynamik:

A A

n n nA A E E

E E

dp dvn p v p v p v const.

p v (A.27)

Implizit bestätigt dieses Ergebnis, dass die Einführung des Proportionalitätsfaktors v/p beim Übergang von Gl. (A.24) nach Gl. (A.25) richtig war.

A.1.4 Grundlegende Definitionen von Wirkungsgraden

A.1.4.1 Totaler Wirkungsgrad

Verdichter. A

tech

E

w 0 w v dp 0 j 0

Die spezifischen kinetischen Energien c²/2 sind über die Kontinuitätsgleichung durch die Ein- und Austrittsquerschnitte und die dort vorliegenden Dichten des Fluides festgelegt. Beim Verdichter ist es das Ziel, die über die Rotorwellen an das Fluid übertragene spezifische technische Arbeit wtech in eine Erhöhung der totalen spezifischen Strömungsarbeit wt des Fluides umzuwandeln. Je größer dabei die Dissipation j ist, umso geringer wird wt ausfallen. Bei Wirkungsgraden ist es üblich, den Nutzen ins Verhältnis zum Aufwand zu setzen. Bezeichnet man im vorliegenden Fall wtech als Aufwand und wt als Nutzen, so kann aus diesen beiden Werten der totale Verdichterwirkungsgrad tV definiert werden, bei dem der Index V für Verdichter steht:

V

2 2A E

t techt

tech tech tech tech

1w c cw w j j2: 1

w w w w (A.28)

Turbine. A

tech

E

w 0 w v dp 0 j 0

Um über die Rotorwelle der Turbine aus dem Fluid eine spezifische technische Arbeit wtech 0 entnehmen zu können, muss, wegen der allgegenwärtigen Dissi-

1448 Anhang A

pation j 0, vom Fluid ein entsprechend größerer Anteil von totaler spezifischer Strömungsarbeit wt 0 bereitgestellt werden, d. h. |wt| |wtech|. Im Vergleich zu der zuvor gemachten Betrachtung beim Verdichter kehren sich nun die Größen für Nutzen und Aufwand um und es kann so der totale Turbinenwirkungsgrad tT definiert werden, bei dem der Index T für Turbine steht:

T

tech tech techt

2 2t techA E

tech

w w w 1:

1 jw w jw c c 12 w

(A.29)

A.1.4.2 Statischer Wirkungsgrad

Gleichung (A.18) kann durch Umstellen in die folgende Form gebracht werden:

2 2tech A E

1w c c w j

2 (A.30)

Auf der linken Gleichungsseite stehen die dynamischen Vorgänge: die spezifische technische Rotorarbeit und die Änderung der kinetischen Energie. Auf der rechten Gleichungsseite stehen die dadurch bedingten statischen Zustandsänderungen: die spezifische Strömungsarbeit w und die Dissipation j.

Verdichter. Für einen Verdichter ist als Nutzen die Druckerhöhung entsprechend Gl. (A.12) als Folge der Aufnahme von Strömungsarbeit anzusehen: Nutzen w. Diesem Nutzen stehen auf der anderen Seite als Aufwand die zugeführte Arbeit und die Änderung der kinetischen Energie gegenüber: Aufwand wtech – ½ 2 2

E A(c c ) . Wegen des vorrangigen Ziels eines Verdichters, den Druck zu erhöhen, sollte am Verdichteraustritt die kinetische Energie 2

Ac / 2 möglichst klein ausfallen, da – wie die Bernoulligleichung lehrt – dieser kinetische Energieabbau in Druckerhö-hung gewandelt werden kann. Unter diesen Gesichtspunkten wird unter dem stati-schen Verdichterwirkungsgrad V die folgende Definition verstanden:

V2 2

tech A E

w:

1w c c

2

(A.31)

Mit den Gln. (A.19) und (A.30) wird hieraus der folgende Ausdruck gebildet:

2 2t A E

V2 2

tech A E

1w c c w 12

1 jw jw c c 12 w

(A.32)

Turbinen. Wie schon bei der Definition des totalen Wirkungsgrades zu sehen war, kehrt sich beim Übergang vom Verdichterwirkungsgrad zum Turbinenwir-kungsgrad lediglich das Verhältnis von Nutzen zu Aufwand um, sodass sich, ana-


log zur Vorgehensweise beim statischen Verdichterwirkungsgrad, der statische Turbinenwirkungsgrad wie folgt definieren lässt:

2 2tech A E

T

1w c c w j j2: 1

w w w (A.33)

A.1.4.3 Polytroper Wirkungsgrad

Bei einer Polytropen stimmen die Ein- und Austrittszustände der Turbomaschine mit den wirklichen überein. Unter diesen Umständen lassen sich Wirkungsgrade bilden, die als statischer oder totaler polytroper Wirkungsgrad bezeichnet werden. Sie gelten als eindeutiges Maß zur Beurteilung der strömungsmechanischen Güte einer Turbomaschine.

Statischer polytroper Wirkungsgrad für Verdichter und Turbinen. Ausgehend vom statischen Wirkungsgrad nach Gl. (A.31) wird die spezifische technische Arbeit wtech im Nenner mittels des 1. Hauptsatzes (A.7) ersetzt:

V2 2

tEA A E

w1

h q c c2

(A.34)

Für die Beschreibung der Änderung der Totalenthalpie htEA wird Gl. (A.4) he-rangezogen, sodass folgende Ausdrücke entstehen:

2 2tEA EA A E

VEAEA

1h h c c

2w 1

h qh qw w

(A.35)

Im Nenner ist mit hEA/w das Polytropenverhältnis entsprechend Gl. (A.22) enthalten:

Vq 0

1 1qw

(A.36)

Ausgehend von Gl. (A.33) ergibt sich für Turbinen analog zu der zuvor für Ver-dichter beschriebenen Vorgehensweise:

T q 0

q

w (A.37)

Für adiabate thermische Turbomaschinen ohne äußere Wärmezu- oder Wärmeab-fuhr, d. h. mit q 0, ist der statische polytrope Turbinenwirkungsgrad gleich dem

1450 Anhang A

Polytropenverhältnis und der statische polytrope Verdichterwirkungsgrad gleich dem reziproken Wert des Polytropenverhältnisses.

Totaler polytroper Wirkungsgrad für Verdichter und Turbinen. Ein Vergleich der totalen Wirkungsgrade (A.28) und (A.29) mit den statischen Wir-kungsgraden (A.32) und (A.33) zeigt, dass sich die totalen aus den statischen entwi-ckeln lassen, wenn in Zähler und Nenner der statischen Wirkungsgrade jeweils der Term der spezifischen kinetischen Energieänderung (cA

2 – cE2)/2 hinzuaddiert wird.

Entsprechend dieser Eigenschaft entstehen aus den Gln. (A.36) und (A.37) die folgenden totalen polytropen Wirkungsgrade:

V T

2 2 2 2A E A E

t t2 2 2 2A E A E

c c c cq1

2 w w 2 wc c c cq

1w 2 w 2 w

(A.38)

Für adiabate thermische Turbomaschinen mit q 0 wird daraus:

V T

2 2 2 2A E A E

t t2 2 2 2techA E A E

tech

c c c c1 j 12 w 2 w1

jwc c c c 11w2 w 2 w

(A.39)

Hierin sind die Dissipation j und spezifische Strömungsarbeit w jeweils für po-lytrope Zustandsänderungen mit const anzusetzen:

A A

EA EAirr, const constE E

j j T ds w w v dp (A.40)

A.1.4.4 Isentroper Wirkungsgrad

Die Definitionsgleichung für isentrope Zustandsänderungen lautet s const bzw. ds 0. Für das Polytropenverhältnis nach Gl. (A.21) ergibt sich damit dh/dw 1. Da nun T·ds (T·ds)rev (T·ds)irr dq dj ist, ergeben sich zwei Möglichkeiten für eine isentrope Zustandsänderung, für die T · ds 0 gilt:

– (T·ds)rev dq 0 und (T·ds)irr dj 0. Die Zustandsänderung ist adiabat und verlustfrei und wird als adiabate Isentrope bezeichnet.

– T·ds (T·ds)rev (T·ds)irr dq dj 0 aber dj dq 0. Diese Zustandsänderung wird diabate Isentrope genannt. Es wird immer so viel Wärme über die Systemgrenze transportiert (dq 0), wie durch Irreversibili-täten innerhalb des Systems erzeugt wird (dj 0).


Im Folgenden wird stets davon ausgegangen, dass die erstere Möglichkeit, d. h., dass die adiabate Isentrope die Regel ist, wenn von isentropen Zustandsänderun-gen in diesem Buch die Rede ist.

Während beim polytropen Wirkungsgrad die spezifische technische Arbeit wtech zur totalen spezifischen Strömungsarbeit wt ins Verhältnis gesetzt wurde – vgl. Gln. (A.28) bzw. (A.29) – wird beim isentropen Wirkungsgrad die spezifische technische Rotorarbeit wtech hEA ins Verhältnis zu einer hypothetischen, ideali-sierenden Strömungsarbeit ws hEAs gesetzt, die bei adiabater, isentroper (ver-lustfreier) Strömung vorliegen würde.

EAs EAVs Ts

EA EAs

h h

h h

Verdichter Turbine

(A.41)

Ausgehend vom jeweiligen Eintrittsdruck pE zeigt Bild A-4, dass nach abge-schlossener Zustandsänderung sowohl bei der Polytropen als auch bei der Isentro-pen stets derselbe Austrittsdruck pA erreicht wird. Unterschiede zeigen aber bei den Enthalpien, wo sich im isentropen Fall hA und im polytropen hAs einstellt.

Bei einer Verdichtung erhöht sich in jedem Fall die Enthalpie zwischen Ein- und Austritt, unabhängig davon, ob die Zustandsänderung polytrop oder isentrop verläuft. Dabei ist im polytropen Fall die Enthalpieänderung größer als im isentro-pen Fall. Grund dafür ist die Dissipation j (ds 0), die berücksichtigt, dass Rei-bung in eine Temperaturerhöhung umgesetzt wird.

Beim Expansionsvorgang in der Turbine nimmt die Enthalpie zwischen Ein- und Austritt ab, auch hier unabhängig davon, ob die Zustandsänderung polytrop oder isentrop verläuft. Im polytropen Fall stellt sich eine geringere Enthalpieabsenkung ein als im isentropen Fall. Grund dafür ist auch hier die Dissipation j (ds 0), die einen Temperaturanstieg infolge Reibung berücksichtigt und so die Temperaturab-senkung beim Expansionsvorgang dämpft.

hEAs

hEA hEAs

hEA

A

AS

E

A

AS

E

poly

trop

polytrop

Bild A-4: Vergleich zwischen polytropen und isentropen Zustandsänderungen bei Verdichternund Turbinen im h-s-Diagramm

1452 Anhang A

Aus den statischen polytropen Wirkungsgraden ergeben sich für Verdichter und Turbinen:

EAV T

EA

h qw

h q w (A.42)

Ein Vergleich dieser beiden Beziehungen mit Bild A-4 bzw. mit den Gln. (A.41) zeigt, dass beim Verdichter die isentrope Zustandsänderung ausschließlich im Zähler und bei der Turbine ausschließlich im Nenner zu berücksichtigen ist. Die Gln. (A.42) verdeutlichen somit, dass davon nur die spezifische Strömungsarbeit w betroffen ist. Für eine isentrope Zustandsänderung (ds 0), für die w ws gelten soll, kann aus der Gibbsschen Fundamentalgleichung (A.8) der Ausdruck dh v · dp bzw. dhs (v · dp)s formuliert werden. Unter Berücksichtigung von Gl. (A.12) er-gibt sich daraus:

s sA A

s EAs A EAss sE E

w v dp dh h h h (A.43)

Die Gleichung für den statischen isentropen Verdichterwirkungsgrad lautet dann:

s EAs EAsVs

EA EA EA q 0

w h h

h q h q h (A.44)

Analog dazu lautet die Gleichung für den statischen isentropen Turbinenwir-kungsgrad:

EA EA EATs

s EAs EAs q 0

h q h q h

w h h (A.45)

Für adiabate, thermische Turbomaschinen mit q 0 reduzieren sich die Gln. (A.44) und (A.45) auf die einfachen, anschaulichen Formen der Gln. (A.41).

Wie schon beim totalen polytropen Wirkungsgrad erläutert, können die totalen Wirkungsgrade im Vergleich zu den statischen Wirkungsgraden dadurch gebildet werden, indem in Zähler und Nenner der statischen Wirkungsgrade jeweils der Term ½

2 2A E(c c ) hinzuaddiert wird. So ergeben sich dann auch die Gleichun-

gen für die totalen isentropen Verdichter- und Turbinenwirkungsgrade:

2 2 2 2s A E EAs A E

tVs2 2 2 2

EA A E EA A E

1 1w c c h c c

2 21 1

h q c c h q c c2 2

(A.46)

2 2 2 2EA A E EA A E

tTs2 2 2 2

s A E EAs A E

1 1h q c c h q c c

2 21 1

w c c h c c2 2

(A.47)


A.1.4.5 Vergleich zwischen polytropen und isentropen Wirkungsgraden

In thermischen Turbomaschinen strömen Fluide, deren Dichte sich bei Kompres-sion (Verdichter) erhöht und bei Expansion (Turbine) verringert.

E A E A

E A E A

1 1 1 1Verdichter v v bzw. Turbine v v bzw.

Soll für Verdichter und Turbinen zum einen die wirkliche spezifische Strömungs-arbeit w und zum anderen die isentrope spezifische Strömungsarbeit ws bestimmt werden, so ergibt sich nach Bild A-5 in einem ersten Schritt folgender Zusam-menhang für die spezifischen Volumina am Turbomaschinenaustritt A:

As A As AVerdichter Turbinev v v v

Spezifische Volumina sind die Kehrwerte der jeweiligen Dichte, sodass die Iso-choren (Linien mit v const) mit kleinen v-Werten im oberen und die mit großen v-Werten im unteren Bereich eines h-s-Diagramms liegen. Für die spezifischen Strömungsarbeiten w und ws von Verdichter und Turbinen heißt das:

s sA AA A

V Vs T Tss sE E E E

V Vs T Ts

w v dp w v dp w v dp w v dp

w w w w

Da die Druckänderung dp stets dieselbe bleibt, resultiert der Unterschied zwischen w und ws nur aus den unterschiedlichen Änderungen bei den Dichten bzw. spezifi-schen Volumina. Bei kompressiblen Fluiden in thermischen Turbomaschinen ist somit die tatsächliche spezifische Strömungsarbeit generell größer ist als die isentrope:

sw w (A.48)

hEAs

hEA hEAs

hEA

A

AS

E

A

AS

E

Bild A-5: Generelle Darstellung zum Verlauf von Isobaren und Isochoren im h-s-Diagramm bei Verdichtern und Turbinen

1454 Anhang A

Für adiabate, thermische Turbomaschinen waren weiter oben hinsichtlich der polytropen und isentropen Wirkungsgrade folgende Ergebnisse gefunden worden:

Verdichter Turbine

EAV T

EA

h1 v dp w dhpolytrop

dh h v dp w

(A.49)

s EAs EA EAVs Ts

EA EA s EAs

w h h hisentrop

h h w h (A.50)

Wegen der Aussage der Gl. (A.48), die in dieser Form sowohl für Verdichter als auch für Turbinen gilt, können für die vorstehenden Wirkungsgrade folgende Feststellungen getroffen werden:

– Polytrope Verdichterwirkungsgrade sind generell größer als isentrope – Polytrope Turbinenwirkungsgrade sind generell kleiner als isentrope

Die polytropen Wirkungsgrade für Verdichter und Turbinen lauteten:

V T

1 dw v dp dh dh

dh dh dw v dp

Aus Gl. (A.17), dh dw dq dj dw dj, ergibt sich im Fall einer Turbomaschi-ne mit isentroper Zustandsänderung, d. h. mit dj 0, dq 0 und dh dhs: dw dhs. Dieses Resultat zeigt, dass die spezifische Strömungsarbeit dw v·dp auch als infinitesimale Enthalpiedifferenz dhs bei unendlich kleiner Druckänderung dp ge-deutet werden kann. Mit dieser Erkenntnis können die polytropen Wirkungsgrade von Verdichter und Turbine wie folgt aufgeschrieben werden:

sV T

s

dh dh

dh dh (A.51)

Werden diese Gleichungen mit den beiden Gln. (A.41) für die isentropen Wir-kungsgrade verglichen, so ist eine deutliche Analogie zu erkennen:

polytrope Wirkungsgrade isentrope Wirkungsgrade

s EAs EAV T Vs Ts

s EA EAs

dh h hdh

dh dh h h

(A.52)

Die polytropen Wirkungsgrade kennzeichnen die unendlich kleinen und die isentropen Wirkungsgrade die endlichen Zustandsänderungen.

Bild A-6 zeigt die Zusammenhänge am Beispiel des Verdichters. Dazu sind im Bild die Isobaren des Ein- und des Austrittsdrucks pE und pA dargestellt, ebenso wie die Ein- und Austrittszustände E und A bei polytroper Verdichtung und die des Austrittszustandes As bei isentroper Verdichtung. Mittels der daraus resultie-renden Enthalpiedifferenzen hEAs und hEA kann der isentrope Verdichterwir-kungsgrad (A.50) formuliert werden. Des Weiteren ist in Bild A-6 die Isobare eines beliebigen zwischen pE und pA liegenden Druckes p eingezeichnet und zu-


sätzlich die infinitesimal dicht daneben liegende Isobare p dp. Mittels dieser beiden Isobaren und der daraus resultierenden unendlich kleinen Enthalpiediffe-renzen dhs und dh kann der polytrope Verdichterwirkungsgrad (A.51) formuliert werden. Es war gezeigt worden, dass isentrope und polytrope Wirkungsgrade analog definiert sind, ersterer für endliche und letzterer für unendlich kleine Zustandsände-rungen. Ausgehend von diesen Verhältnissen kann für eine Turbomaschine nun ein einfaches Gedankenexperiment durchgeführt werden. Dazu wird die gesamte Tur-bomaschine in kleine Einzelabschnitte aufgeteilt. Diese kleinen Einzelabschnitte sind dann die so genannten Stufen der Turbomaschine, die beim Verdichter aus den Baugruppen Rotor/Stator und bei der Turbine aus den Baugruppen Stator/Rotor bestehen. Die gesamte Turbomaschine besteht dann aus einer Vielzahl solcher Stu-fen. Werden nun zum einen auf diese kleinen Einzelabschnitte und zum anderen auf die gesamte Maschine die Definitionen des polytropen und des isentropen Wir-kungsgrades übertragen, so können folgende Aussagen getroffen werden:

– Der polytrope Wirkungsgrad kann als isentroper Wirkungsgrad eines kleinen Einzelabschnittes – also einer Turbomaschinenstufe – angesehen werden, d. h.:

Vs,St V isentroper Stufenwirkungsgrad eines Verdichters Ts,St T isentroper Stufenwirkungsgrad einer Turbine.

– Der isentrope Wirkungsgrad kann, wie bisher als isentroper Wirkungsgrad der gesamten Turbomaschine angesehen werden, d. h.:

Vs isentroper Wirkungsgrad des gesamten Verdichters Ts isentroper Wirkungsgrad der gesamten Turbine

Zusammen mit den beiden Aussagen zu den polytropen Wirkungsgraden unter-halb der Gln. (A.49) und (A.50) folgt daraus:

Verdichter Der isentrope Wirkungsgrad eines vielstufigen Verdichters ist schlech-ter als der mittlere isentrope Wirkungsgrad seiner Einzelstufen.

EAsVs

EA

h

h

sV

dh

dh

A

AS

E

hEAs

hEA

Bild A-6: Zur Bedeutung des polytropen und isentropen Wirkungsgrades am Beispiel eines Verdichtungsvorganges

1456 Anhang A

Ursächlich hierfür ist die zusätzliche Erwärmung des Fluides infolge von Dissipa-tion, die eine Volumenzunahme des Fluides bewirkt, ein Effekt, der der Verdich-tung entgegenwirkt und der von Stufe zu Stufe durch einen zusätzlichen Ar-beitsaufwand ausgeglichen werden muss. Dieses pflanzt sich durch die gesamte Turbomaschine hindurch und lässt so den Wirkungsgrad des gesamten Verdichters schlechter ausfallen als den seiner Stufen.

Turbine Der isentrope Wirkungsgrad einer vielstufigen Turbine ist besser als der mittlere isentrope Wirkungsgrad ihrer Einzelstufen.

Ursächlich hierfür ist ebenfalls die Erwärmung des Fluides infolge von Dissipati-on. Diese Erwärmung bewirkt eine Volumenausdehnung des Fluides, ein Vor-gang, der die Expansion in der Turbine unterstützt und so dazu führt, dass von Stufe zu Stufe zunehmend weniger an Arbeitsaufwand betrieben werden muss. Auch dieses pflanzt sich durch die gesamte Turbomaschine hindurch und lässt so den Wirkungsgrad der gesamten Turbine besser ausfallen als den ihrer Stufen.

Bild A-7 und die nachfolgenden Gleichungen machen diese Zusammenhänge an den Beispielen eines 4-stufigen Verdichters und einer 4-stufigen Turbine deutlich.

x 4 x 4

x 1 2 3 4 EA sx EAsx 1 x 1

dh dh dh dh dh h und dh h

x 4 x 4

x 1 2 3 4 EA sx EAsx 1 x 1

dh dh dh dh dh h und dh h

Wegen EATs

EAs

h

h und EAs

VsEA

h

h,

dh1

dh2

dh3

dh4

pE

px1

px2

px3

pAhpE

px1

px2

px3

pA

h

dhs1

dhs2

dhs3

dhs4

dh1

dh2

dh3

dh4

Verdichter Turbine

dhs1

dhs4

dhs3

dhs2

A

AS

E

A

AS

E

Bild A-7: Verdichtung und Expansion in 4-stufigen Maschinen zur Erläuterung der Eigenschaf-ten des isentropen Stufenwirkungsgrades im Vergleich zum isentropen Wirkungsgrad der gesam-ten Turbomaschine


sowie wegen xT

sx

dh

dh und sx

Vx

dh

dh

ergibt sich auch hier der bereits abgeleitete Zusammenhang zwischen polytropen und isentropen Wirkungsgraden bzw. zwischen dem isentropen Wirkungsgrad der gesamten Turbomaschine und dem isentropen Stufenwirkungsgrad:

T Ts V Vs Ts Ts,St Vs Vs,Stund bzw. und

Mit steigendem Verdichterdruckverhältnis EA pA / pE 1 und mit abnehmendem Turbinendruckverhältnis EA pA / pE 1 nimmt der Unterschied zwischen poly-tropen und isentropen Wirkungsgraden bzw. zwischen den isentropen Wirkungsgra-den der gesamten Turbomaschinen und den isentropen Stufenwirkungsgraden zu.

Wirkungsgrade werden i. Allg. dazu genutzt, die Güte der Zustandsänderung in einer Turbomaschine oder in einem ihrer Teilabschnitte zu beschreiben. Unter diesem Gesichtspunkt stellt sich die Frage, welche der beiden hier getroffenen Wirkungsgraddefinitionen, nämlich die des isentropen oder die des polytropen Wirkungsgrades, die Güte der Turbomaschine besser beurteilen. Die Verdichtung bzw. Expansion längs einer Polytropen, so wie sie Bild A-7 darstellt, machen anhand der Gleichung für das Polytropenverhältnis

dh dw dj dj

1 const. für dq 0dw dw dw

deutlich, dass in jedem infinitesimalen Abschnitt der polytropen Zustandsänderung, längs der const gilt, die Dissipation dj und die spezifische Strömungsarbeit dw stets in einem festen Verhältnis zueinander stehen. Dies bedeutet andererseits aber auch, dass in jedem der infinitesimalen Abschnitte die Verluste dj stets auf die tatsäch-liche Änderung der spezifischen Strömungsarbeit dw bezogen werden. Da die spezifi-sche Strömungsarbeit dw auch als infinitesimale Enthalpiedifferenz dhs bei infinitesi-maler Druckänderung dp gedeutet werden kann, erhält die obige Gleichung die Form:

s

dh dj dj1 1 const. für dq 0

dw dw dh

Die Interpretation dieses Ausdrucks im Zusammenhang mit den Ausführungen zu Bild A-7 lässt erkennen, dass beim isentropen Verdichterwirkungsgrad – im Gegen-satz zum polytropen – die Verluste j auf eine Strömungsarbeit w hEAs bezogen werden, die kleiner ist als die wirkliche dhs. Beim Verdichter werden also die Ver-luste überbewertet. Beim isentropen Turbinenwirkungsgrad werden die Verluste j dagegen auf eine Strömungsarbeit w hEAs bezogen, die größer ist als die wirkliche

dhs, d. h., bei der Turbine werden die Verluste unterbewertet. Je größer die Druckän-derungen in Verdichter oder Turbine ausfallen, umso größer werden deswegen auch die Abweichungen zwischen polytropen und isentropen Wirkungsgraden werden. Die Aussagefähigkeit des isentropen Wirkungsgrades hängt also vom Druckverhältnis der Turbomaschine ab, womit klar wird, dass der polytrope Wirkungsgrad die gerechtere Beurteilung der strömungstechnischen Qualität einer Turbomaschine darstellt. Da sich

1458 Anhang A

aber der isentrope Wirkungsgrad in einem h-s-Diagramm einfacher darstellen lässt, als der polytrope, ist der isentrope Wirkungsgrad der in der Praxis gebräuchlichere.

A.1.4.6 Erhitzungsfaktor

Mit Gl. (A.48) haben wir gesehen, dass der Betrag der spez. polytropen Strömungs-arbeit |w| stets größer ist als der der spez. isentropen Strömungsarbeit |ws|. Ursächlich dafür ist, dass mit zunehmender Entropie s (Reibung) die spezifischen Volumina v ansteigen, was seinen Grund in der wärmebedingten Ausdehnung des Gases aufgrund von Dissipation hat. Es wurde gezeigt, dass als Folge davon polytrope Verdichterwir-kungsgrade stets größer sind, als isentrope, und das polytrope Turbinenwirkungsgra-de stets kleiner sind als isentrope. Das Anwachsen des Betrages der spez. polytropen Strömungsarbeit |w| gegenüber dem Betrag der spez. isentropen Strömungsarbeit |ws| wird per Definition durch den sog. Erhitzungsfaktor ausgedrückt:

S

wƒ : 1

w (A.53)

Zusammen mit den Gln. (A.49) und (A.50) wird daraus für Verdichter und Turbinen:

S

S

TVV T

V T

1 1 (A.54)

Für den jeweiligen polytropen Wirkungsgrad werden die adiabaten Formen der Gl. (A.36) bzw. (A.37) verwendet:

S

S

T

V TV

11 1 (A.55)

Für die hierin enthaltenen isentropen Wirkungsgrade greifen wir – dem Stoff et-was vorauseilend – auf die Gln. (A.157) zurück und erhalten:

1 1

V TV T1 1

V T

1 11 11 1

1 1

(A.56)

Mit den Gln. (A.49) wird daraus außerdem:

T

V

1 1 1

V TV V T1 1

TV T

1 11ƒ 1 ƒ 1

1 1

(A.57)

Hierin ist der sog. Isentropenexponent entsprechend der Gl. (A.92), das Polytro-penverhältnis, das nach Gl. (A.49) für Verdichter V 1 und für Turbinen T 1 wird, und V pA / pE 1 und T pA / pE 1 das jeweilige Druckverhältnis von Verdichter oder Turbine. Die Ergebnisse aus den Gln. (A.57) sind in Bild A-8


aufgetragen. Da Turbinen den Druck im Fluid abbauen (pA pE) wird das Turbi-nendruckverhältnis T entsprechend kleiner als 1. Die Gln. (A.56) gelten in der dort dargestellten Form für adiabate Maschinen, q 0, mit vernachlässigbarer Änderung bei der spezifischen kinetischen Energie, ½

2 2A E(c c ) 0 . Der Erhit-

zungsfaktor ist immer positiv und hängt nur vom Polytropenverhältnis bzw. vom polytropen Wirkungsgrad und vom Maschinendruckverhältnis pA / pE ab. Er wird umso größer, je größer bei Verdichtern das Druckverhältnis bzw. bei Turbinen der Reziprokwert des Druckverhältnisses wird. Bei Verdichtern wird darüber hinaus umso größer, je größer 1 / V ausfällt. Bei Turbinen wird umso größer, je kleiner T wird. Ein schlechter polytroper Wirkungsgrad be-deutet stets einen erhöhten Erhitzungsfaktor . Bei gleichem polytropen Wir-kungsgrad und vergleichbarem Druckverhältnis ist der Erhitzungsfaktor eines Verdichters um 50 % bis 100 % höher als der einer Turbine, also das Anwachsen des Betrages der spez. polytropen Strömungsarbeit |w| gegenüber dem Betrag der spez. isentropen Strömungsarbeit |ws|.

A.1.4.7 Wirkungsgrade passiver Turbomaschinenteile

Turbomaschinen setzen sich aus bewegten (aktiven) und unbewegten (passiven) Bauteilen zusammen. In den feststehenden, passiven Bauteilen, wie Gehäusen und gehäusefesten Strömungskanälen, zu denen speziell Leiträder, Düsen und Diffuso-ren gehören, sind die bisherigen Wirkungsgraddefinitionen, die alle die ausgetausch-

0.40

VƒTƒ0.36

0.32

0.28

0.24

0.20

0.16

0.12

0.08

0.04

0.001.0 9 17 25 33

T V

0.80.60.40.20.0

Turbine Verdichter

0.600.650.700.750.800.850.900.95

T V

Bild A-8: Erhitzungsfaktor für ein 2-atomiges Gas ( 1.4), aufgetragen über dem Verdich-ter- bzw. Turbinendruckverhältnis pA/pE. Parameter ist der polytrope Wirkungsgrad V bzw.

T.

1460 Anhang A

ten spezifischen technischen Arbeiten wtech enthalten, nicht mehr sinnvoll, da Wel-lenarbeit nur in bewegten Bauteilen umgesetzt werden kann. Die Kombination des Energieerhaltungssatzes und der Gibbsschen Fundamental-beziehung hatte zu Gl. (A.18) geführt. Wird hierin die spezifische technische Arbeit zu null gesetzt, wtech 0, so folgt:

2 2 2 2E A A Ec c c c

w j bzw. w j2 2 2 2

(A.58)

Bauteile mit Verzögerung cA cE werden als Diffusoren bezeichnet, in denen kinetische Energie cE² / 2 in statische Druckerhöhung pA pE gewandelt wird. Für die spezifische Strömungsarbeit heißt dies: dw v dp 0, womit offensichtlich wird, dass die Gln. (A.58) nichts anderes sind als die wohl bekannte Bernoulli-gleichung der Strömungsmechanik. Für 1 / v const ergibt sich z. B.:

2 2E E A Ap c p c j

2 2

Wirkungsgrade sind das Verhältnis von Nutzen zu Aufwand. Bei einem diffu-sorförmigen Bauteil werden als Nutzen und Aufwand die folgenden Terme aus Gl. (A.58) angesehen:

A2 2

A E

E

c cNutzen : w mit w v dp 0 Aufwand :

2 2

Der Aufwand ist somit die kinetische Energie am Eintritt des Diffusors und der Nutzen die Summe der Energien, die infolge des Abbaus von kinetischer Energie am Austritt noch zur Verfügung stehen. Hieraus ergibt sich der Diffusorwir-kungsgrad zu:

2A

Diff 2E

c 2 w

c (A.59)

Passive Bauteile mit Beschleunigung cA cE werden als Düsen bezeichnet, in denen die kinetische Energie cA² / 2 durch Druckabbau pA pE erhöht wird. Bei einem düsenförmigen Bauteil werden als Nutzen und Aufwand die folgenden Terme aus (A.58) angesehen:

A2 2

A E

E

c cNutzen : Aufwand : w mit w v dp 0

2 2

Der Aufwand ist somit die Summe der Energien, die am Düseneintritt zum Auf-bau kinetischer Energie zur Verfügung stehen und der Nutzen die kinetische Energie am Austritt der Düse. Hieraus ergibt sich der Düsenwirkungsgrad zu:

2A

Düse 2E

c

c w (A.60)


A.1.4.8 Mechanischer Wirkungsgrad

Unter der Kupplungsleistung PK eines Verdichters wird die Leistung verstanden, die dieser an seiner Kupplung von einem externen Antrieb (z. B. E-Motor oder Turbine) aufnehmen muss, um die Strömungsleistung Pvdp mittels seiner Rotoren an das Fluid abgeben zu können, Bild A-9. Unter der Kupplungsleistung PK einer Turbine wird die Leistung verstanden, die diese an ihrer Kupplung an eine andere Maschine (z. B. Generator oder Verdichter) abgeben kann, wenn sie vom Fluid über ihre Rotoren eine Strömungsleistung Pvdp aufgenommen hat, Bild A-9. Beide Leistungen Pvdp und PK sind im Falle des Verdichters positiv und im Falle der Turbine negativ definiert. Der Unterschied zwischen Pvdp und PK ist die mechanische Verlustleistung Pmech, die alle Reibungsverluste in den Lagern, den Abdichtungselementen zwischen den rotie-renden Teilen und dem Gehäuse sowie zwischen den rotierenden Teilen und allen sonstigen gehäusefesten Innenteilen umfasst. Die mechanische Verlustleistung Pmech ist ebenso wie die Dissipation bei Verdichtern und Turbinen stets positiv definiert:

mech

K vdp mech

mech

mit P 00 für VerdichterP P P 0 für Turbinen mit P 0 (A.61)

PK Leistung an der Kupplung. Pvdp Strömungsleistung Pvdp m w m vdp, die zwischen Rotor und Fluid

ausgetauscht wird. Pmech Mechanische Verlustleistung innerhalb der Turbomaschine bis hin zur Kupp-

lung. Pmech ist stets positiv definiert.

Hieraus ergeben sich die mechanischen Wirkungsgrade für Verdichter und Turbinen:

mech

vdp vdp mech mechV mech

K vdp K

P P P P1 mit P 0

P P P (A.62)

Motoroder

GeneratorPK

A

E

Bild A-9: Prinzipskizze einer Turbomaschine (Verdichter oder Turbine) mit Kupplung und An-bzw. Abtriebseinrichtung

1462 Anhang A

mech

vdp mech mechKT mech

mechvdp vdp vdp

K

P P PP 11 mit P 0

PP P P 1P

(A.63)

Die mechanischen Verluste beinhalten – wie weiter oben erwähnt – auch die Ver-luste in berührenden Dichtungen. In modernen Turbomaschinen sind aber vielfach auch berührungslose Dichtelemente zu finden, die an Lagern und Wellen mittels gezielt herbeigeführter Druckunterschiede – der so genannten Sperrluft – eine Abdichtung gewährleisten. Die zur Bereitstellung dieser Sperrluft aufzubringende Leistung ist der Verlustleitung Pmech zuzuschlagen, wenn die Sperrluft vollkom-men separat vom Hauptfluidstrom der Turbomaschine gehalten wird. Wird aber die Sperrluft in einem vorderen Teil der Maschine abgezapft und im hinteren wieder zugemischt – also mittels einer sog. Bypass-Führung aufgenommen, so ändert sich an der Gesamtbilanz der Leistungen nichts. A.1.4.9 Maschinenwirkungsgrad

Per Definition wird unter dem Maschinenwirkungsgrad tK das Produkt aus me-chanischem und totalem polytropen Wirkungsgrad verstanden. Für Verdichter und Turbinen ergibt sich dementsprechend:

K V m VV

2 2A E

tt t V t

tech tech tech

1w c cw j2: mit 1

w w w (A.64)

K T mech TT

tech techt t T t

2 2tA E

tech

w w 1: mit

1 jw w c c 12 w

(A.65)

A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide

A.2.1 Zustandsgrößen, Zustandsgleichungen und Zustandsänderungen

A.2.1.1 Zustandsgrößen

Kennzeichnend für den thermodynamischen Zustand eines Systems sind seine Zustandsgrößen, mittels derer die Änderungen eines Systems erkennbar und vor allem berechenbar werden. Für die thermischen Turbomaschinen sind insbesonde-re die thermischen, die kalorischen und die mechanischen Zustandsgrößen von Bedeutung.

A.2 Thermodynamik idealer und realer Arbeitsfluide 1463

Die thermischen Zustandsgrößen Masse m [kg], Temperatur T [K], Druck p [Pa bzw. N/m²] und Volumen V [m³] sind aus der alltäglichen Erfah-rungswelt wohl bekannt und haben unter technisch-thermodynamischen Gesichts-punkten die herausgehobene Eigenschaft, dass sie entweder gewogen oder sonst wie gemessen werden können.

Die kalorischen Zustandsgrößen sind nicht unmittelbar messbare Größen. Sie können aber aus anderen Größen berechnet werden.

Unter den kalorischen Zustandsgrößen verstehen wir insbesondere die innere Energie U [J bzw. Nm] eines Fluides. Dieses ist der im Fluid gebundene Energie-betrag auf Molekularebene (Translations-, Rotations- und Schwingungsenergie der Moleküle). Die innere Energie ist eine Zustandsgröße und hängt dementsprechend zwar vom Betrag der am System geleisteten Arbeit ab, aber nicht von der Art der Arbeit (technische Arbeit, Volumenänderungsarbeit, Verschiebearbeit, …). Die innere Energie U nimmt mit abnehmender Temperatur T ebenfalls ab. Sie ver-schwindet aber nicht vollends am absoluten Nullpunkt T 0. Selbst hier ist die kinetische Energie der Teilchen immer noch als Gitterschwingung des Festkörpers zu finden. Diese verbleibende restliche innere Energie bezeichnet man als Null-punktsenergie U0. Ihr Betrag ist bisher nicht bestimmbar. Von daher ist es auch nicht möglich, irgendwo einen Absolutwert U der inneren Energie zu berechnen. Für technische Betrachtungen ist dies aber nicht bedeutend, da für alle praktischen Berechnungen nur die Änderung der inneren Energie U von Interesse ist:

1,2 2 1 2 0 1 0U U U U U U U

Eine weitere häufig gebrauchte kalorische Zustandsgröße ist die Enthalpie H [J], die eine reine Definition darstellt und sich aus der inneren Energie U [J] und der sog. Verschiebearbeit Wm p V [J, Nm] additiv zusammensetzt:

mH : U W U p V (A.66)

Eine Verschiebearbeit tritt immer dann auf, wenn eine Fluidmasse m oder m über die Systemgrenze transportiert wird. Ein solcher Massentransport ist aber in der Thermodynamik nur für sog. offene Systeme relevant. Bei geschlossenen Systemen ist die Verschiebearbeit gleich null und die Enthalpie ist gleichwertig mit der inneren Energie des Systems. Unabhängig von dieser Systembetrachtung ist die Enthalpie fest mit der inneren Energie verbunden, sodass auch für die Enthalpie keine wirklichen Absolutwerte berechnet werden können11. In Bild A-1 kann beispielsweise die Verschiebearbeit Wm Kraft Weg am Eintritt E in das System wie folgt angegeben werden:

m E E

m E E E E E E E

m

dW F dx bzw.

W F x p A x p V oder allgemein

W p V (A.67)

11 Per Definition ist die Enthalpie von flüssigem Wasser bei 0.01 °C und p 0.006177 bar (Tri-

pelpunkt des Wassers) zu U 0 J festgelegt worden.

1464 Anhang A

Die vielleicht in jeder Beziehung mit der größten Mystik umgeben Größe der Thermodynamik ist die Entropie S [J/K]. Sie ist bei technischen Vorgängen ins-besondere mit Wärmezu- oder Wärmeabfuhr und mir Reibung in Verbindung zu bringen, wobei Reibung zum einen Wärmezufuhr und zum anderen aber auch Verluste bedeutet. Die Entropie gilt ansonsten als ein Maß für die Umkehrbarkeit eines Prozesses12. Sind im Ablauf eines Kreisprozesses alle Einzelzustandsände-rungen umkehrbar (reversibel), so bleibt die Entropie insgesamt unverändert13. Hat ein Prozess Reibung (Verluste), so zeigt sich dies in einem Anstieg der Entropie. Bei Wärmezufuhr durch Heizen und/oder Reibung steigt die Entropie und bei Wärmeabfuhr geht sie zurück.

Nach dem 3. Hauptsatz der Thermodynamik ist es unmöglich, durch irgendei-nen Prozess mit einer endlichen Anzahl von Schritten, die Temperatur eines Sys-tems auf den absoluten Nullpunkt T 0 K abzusenken. Dieser Erfahrungssatz (Nernstsches Wärmetheorem14) aus dem Jahr 1906 von Walther Hermann Nernst sagt eigentlich aus, dass es bei T 0 K keine Änderung der Entropie S mehr geben kann:

T 0lim S 0 (A.68)

Wegen dieser Aussage wird auch bei der Entropie gewöhnlich nur mit Differenzen und nicht mit Absolutwerten gerechnet. Max Planck hat 1912 vorgeschlagen, der Entropie willkürlich am absoluten Nullpunkt T 0 K den Wert S 0 J/K zuzu-ordnen, sodass es möglich wird, auch an jedem anderen Punkt einen Absolutwert für die Entropie zu berechnen. Für technische Betrachtungen ist dies aber nicht wirklich bedeutend, da für alle praktischen Berechnungen nur die Änderung der Entropie S von Interesse ist.

Als mechanische Zustandsgröße ist bei den thermischen Turbomaschi-nen praktisch nur die Geschwindigkeit c [m/s] zur Beschreibung der kinetischen Energien von Interesse.

A.2.1.2 Zustandsgleichungen

Um die beiden Ausdrücke dw v dp und dq dj T ds integrieren zu können, müssen die Funktionen v v(p) und T T(s) bekannt sein. Bisher wurde gezeigt, dass diese Funktionen vom Polytropenverhältnis abhängen. Dieses ist aber nicht die einzige Abhängigkeit, es ist des Weiteren auch zu berücksichtigen, mit wel-

12 Ein thermodynamischer Prozess besteht entweder aus einer einzelnen oder aber aus mehreren

aufeinander folgenden Zustandsänderungen. Ein Prozess, bei dem sich ein System nach dem Durchlaufen mehrerer aneinandergereihter Zustandsänderungen wieder im Ausgangszustand befindet, nennt man einen Kreisprozess.

13 Im Rahmen eines thermodynamischen Prozesses kann die Entropie eines Einzelschrittes so-wohl zu- als auch abnehmen, aber in der Summe aller Einzelschritte kann die Entropie nur gleich bleiben oder zunehmen – aber keinesfalls abnehmen.

14 Walther Hermann Nernst (*1864 †1941). Physiker und Chemiker. Privatdozent an der Univer-sität Göttingen. Galt als besonders eigenwillig und manchmal als etwas verschroben.


cher Änderung beim spezifischen Volumen v oder bei der Temperatur T das Ar-beitsfluid auf eine Arbeits- oder Wärmeänderung reagiert.

Die thermische Zustandsgleichung ist ein Stoffgesetz (eine mathemati-sche Verknüpfung), das für jede Phase15 eines Stoffes gültig ist, und den Zusam-menhang zwischen Druck p, spezifischem Volumen v und Temperatur T be-schreibt: p p(v, T). Der Druck p, das spezifische Volumen v und die Temperatur T werden deswegen auch – wie im Kapitel zuvor gezeigt – als thermische Zu-standsgröße bezeichnet. Die vorhergehend genannte Funktion heißt thermische Zustandsgleichung.

Die kalorische Zustandsgleichung formuliert sich analog zur thermischen Zustandsgleichung: h h(p, T), s s(p, T), u u(v, T), …. Hierbei ist u U/m die spezifische innere Energie, s S/m die spezifische Entropie und h H/m die spezifische Enthalpie. Diese zuvor genannten Funktionen heißen kalorische Zu-standsgleichung. Insbesondere versteht man unter einer kalorischen Zustandsglei-chung eine mathematische Beziehung zwischen je einer spezifischen kalorischen Zustandsgröße: u, h, s und zwei thermische Zustandsgrößen: p, T, v.

Die Zusammenhänge zwischen u, T und v in der kalorischen Zustandsglei-chung sind sehr verwickelt, ebenso wie der in der thermischen Zustandsgleichung. Er muss für jeden Stoff experimentell ermittelt werden. Thermische und kalori-sche Zustandsgleichung verdeutlichen in ihrer genannten Form, dass der Zustand eines Fluides immer dann eindeutig festliegt, wenn jeweils zwei voneinander unabhängige Zustandsgrößen gegeben sind. Die anderen Zustandsgrößen lassen sich dann aus den beiden festliegenden bestimmen.

A.2.1.3 Zustandsänderungen und spezifische Wärmekapazitäten

Für eine Zustandsänderung erfolgt die Verknüpfung der thermischen und kalori-schen Zustandsgleichung durch die Gibbssche Fundamentalbeziehung (A.8). Zu-sammen mit Gl. (A.13) wird dann daraus:

dh v dp T ds v dp dq dj (A.69)

Daraus ergibt sich durch Umstellen:

T ds dq dj dh v dp (A.70)

Entsprechend Gl. (A.3), h u p·v, erhält man durch Ableitung:

15 Nach Josiah Willard Gibbs (*1839 †1903): „On the Equilibrium of Heterogeneous Substances“,

USA, 1876, soll unter Phase jeder homogene Bereich eines Systems verstanden werden, inner-halb dessen Systemgrenzen die chemische Zusammensetzung und die physikalischen Eigen-schaften des darin enthaltenen Stoffes an jeder Stelle gleich sind. Bei den Turbomaschinen handelt es sich dabei speziell um die fluiden und gasförmigen Phasen. Dabei ist zu beachten, dass gleiche chemische Zusammensetzung nicht nur dann vorliegt, wenn das System aus ei-nem einzigen reinen Stoff, wie z. B. reinem Stickstoff besteht, sondern auch dann, wenn ein Gemisch verschiedener Stoffe vorliegt, wie z. B. bei Luft oder bei einem Abgas, soweit bei diesem Gemisch nur das Mischungsverhältnis im gesamten System konstant bleibt.

1466 Anhang A

dh du p dv v dp bzw. dh v dp du p dv (A.71)

T ds dq dj du p dv (A.72)

Da die Zustandsgröße Enthalpie h von den zwei Größen Druck p und Temperatur T abhängt h h(p, T), bedeutet dies mathematisch, dass die Zustandsgröße h, die eine Funktion von zwei Variablen ist, ein totales Differenzial besitzt:

p constT const

pT

h hdh dp dT

p T

h hdh dp dT

p T (A.73)

Nach der Produktregel der Differenzialrechnung wird im ersten Term die Enthalpie h bei konstanter Temperatur (T const) nach dem Druck p abgeleitet und im zweiten Term die Enthalpie h bei konstantem Druck (p const) nach der Temperatur T. Die Indizierung an den Klammerausdrücken zeigt, welche Größe beim Differenzieren jeweils konstant bleibt. Der Einfachheit wegen werden an Stelle der Indices T const bzw. p const nur die Indices T bzw. p geschrieben. Eine Terminologie, die im weiteren Text auch auf das spezifische Volumen v const und die Entropie s const übertragen wird. Das totale Differenzial der Form (A.73) wird nun auf die Gibbssche Fundamentalbeziehung dh v·dp T·ds nach Gl. (A.8) übertragen:

T T

h sv T

p p (A.74)

Der zweite in Gl. (A.73) enthaltene Term ist die aus der Thermodynamik wohl bekannte spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck cp

16 (wegen des Index p const):

pp

h J / kgc :

T K (A.75)

Die Gln. (A.74) und (A.75) werden nun in die Gl. (A.73) eingesetzt:

p p

T T

s T sdh v T dp c dT 1 v dp c dT

p v p (A.76)

Die in dieser Gleichung auftretende und nicht direkt messbare Entropieänderung s kann durch eine der sog. Maxwellschen Beziehungen17 ersetzt werden, Knoche (1972):

16 Die Bezeichnung Wärmekapazität geht auf die historische Auffassung zurück, dass Wärme ein

Stoff ist, der einem Körper zugeführt werden kann und in diesem so eine Temperaturänderung hervorruft. Bei gleicher Temperaturänderung kann ein Körper umso mehr Wärmestoff aufneh-men, je größer seine Wärmekapazität ist.

17 James Clerk Maxwell (*1831 †1879), schottischer Physiker, war Professor in Aberdeen, London und Cambridge. Neben Arbeiten zur kinetischen Gastheorie veröffentlichte er mehrere Aufsätze über thermodynamische Probleme und das Lehrbuch Theory of Heat, das 1871 in London erschien.


pT

s v

p T (A.77)

Gleichung (A.76) erhält damit die Form:

pp

T vdh 1 v dp c dT

v T (A.78)

In dieser Gleichung ist der so genannte isobare Ausdehnungskoeffizient ent-halten, Knoche (1972):

p

T v:

v T (A.79)

Der isobare Ausdehnungskoeffizient beschreibt die Volumenänderung v eines Fluides konstanten Druckes (p const) in Abhängigkeit der Temperatur T. Aus Gl. (A.78) wird damit schließlich:

pdh c dT 1 v dp (A.80)

Ebenso wie die Enthalpie h, so hängt auch die Zustandsgröße innere Energie u von nur zwei Größen ab, dem spezifischen Volumen v und der Temperatur T: u u(v, T). Mathematisch bedeutet dies ebenfalls, dass die Zustandsgröße u ein totales Diffe-renzial besitzt:

T v

u udu dv dT

v T (A.81)

Dieses totale Differenzial wird auf die Gl. (A.72), T·ds u p·dv, übertragen:

T T

u sdu T ds p dv T p

v v (A.82)

Der zweite in Gl. (A.81) enthaltene Term ist die aus der Thermodynamik wohl bekannte spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen cv (wegen des Index v const):

vv

u J / kgc :

T K (A.83)

Die Gln. (A.82) und (A.83) werden nun in Gl. (A.81) eingesetzt:

v vT T

s T sdu T p dv c dT 1 p dv c dT

v p v (A.84)

Die in dieser Gleichung auftretende und nicht direkt messbare Entropieänderung s wird ebenfalls durch eine der sog. Maxwellschen Beziehungen ersetzt, Kno-che (1972):

1468 Anhang A

T v

s p

v T (A.85)

Gleichung (A.84) bekommt damit die Form:

vv

T pdu 1 p dv c dT

p T (A.86)

In dieser Gleichung ist der sog. isochore Spannungs- bzw. Kompressibilitätskoef-fizient enthalten, Knoche (1972):

v

T p:

p T (A.87)

Der isochore Spannungs- oder Kompressibilitätskoeffizient beschreibt die Druckänderung p eines Fluides konstanten Volumens (v const) in Abhängig-keit der Temperatur T. Aus Gl. (A.86) wird damit schließlich:

vdu c dT 1 p dv (A.88)

Die Koeffizienten und verbinden – wie die Gln. (A.80) und (A.88) zeigen – die Änderungen der kalorischen Zustandsgrößen h bzw. u mit denen der thermi-schen Zustandsgrößen p, v, T. Aus der Gibbsschen Fundamentalbeziehung (A.8) bzw. (A.10) T ds dh – v dp du p dv folgt:

dh v

ds dpT T

(A.89)

du p

ds dvT T

(A.90)

Polytrope Zustandsänderungen werden entsprechend Gl. (A.26) durch den Aus-druck p vn const beschrieben. Hierin ist n der sog. Polytropenexponent, der gemäß Bild A-3 das Verhältnis der infinitesimalen Strömungsarbeit v·dp und der infinitesimalen Volumenänderungsarbeit p·dv längs einer Polytropen ( const) ist. In Gleichungsform heißt das:

const.

v p v pn :

p v p v (A.91)

Es sei daran erinnert, dass das negative Vorzeichen für den Polytropenexponenten n in dieser Gleichung von der negativen Steigung der polytropen Zustandsände-rungskurve im p-v-Diagramm herrührt, so wie es bei Bild A-3 diskutiert wurde.

Eine entsprechende Gleichung ergibt sich dann auch für den Isentropenexpo-nenten , wenn die Zustandsänderung längs einer Kurve s const im p-v-Diagramm aufgetragen werden würde:

s const. s

v p v p:

p v p v (A.92)


Schließlich ergibt sich auch eine entsprechende Gleichung für den Isenthalpe-nexponenten m, wenn die Zustandsänderung längs einer Kurve h const im p-v-Diagramm aufgetragen werden würde:

h const. h

v p v pm :

p v p v (A.93)

A.2.2 Ideale Gase und ideale Gasgemische

Ideale Gase sind durch die folgende thermische Zustandsgleichung, die auch als allgemeine Gasgleichung bezeichnet wird, definiert:

i i

i i

Vp V m R T p R T

mp

p v R T bzw. R T (A.94)

Nach Dalton18 hat die obige thermische Zustandsgleichung nicht nur für reine ideale Gase Gültigkeit, sondern auch für ideale Gasgemische, die Gemische aus verschie-denen reinen Stoffen sind. Ein Beispiel hierfür ist trockene Luft, ein ideales Gasge-misch aus Stickstoff N2 und Sauerstoff O2, mit einer Dominanz von N2, wenn von geringfügigen Anteilen an Argon Ar, Neon Ne und Kohlendioxid CO2 und einiger weiterer Spurenelemente abgesehen wird. In Gl. (A.94) ist Ri die so genannte spe-zielle oder spezifische Gaskonstante, die immer nur für ein ganz spezielles Gas gilt:

ii

JR mit 8.314472 0.000015

M mol K (A.95)

Hierin ist die universelle Gaskonstante und Mi die molare Masse. Die Mol-masse Mi ist die Gasmasse m eines ganz individuellen Gases, bezogen auf die darin enthaltene Anzahl an Teilchen n (Stoffmenge):

i

mM

n (A.96)

Die Stoffmenge n umfasst die Anzahl der in einem System vorhandenen Teilchen (Atome, Moleküle, Ionen). Diese Stoffmenge ist sehr groß und wird mol genannt. 1 mol enthält NA-Teilchen. Hierbei ist NA die so genannte Avogadrokonstante19:

18 John Dalton (*1766 †1844) war englischer Physiker und Chemiker. Er entdeckte 1801 das

nach ihm benannte Daltonsche Gesetz, das besagt: Im idealen Gasgemisch ist die Summe der Partialdrücke gleich dem Gesamtdruck. Dieses kommt der Aussage gleich, dass die thermische Zustandsgleichung nicht nur für reine ideale Gase sondern auch für ideale Gasgemische gilt.

19 Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro, Conte de Auaregna e Ceretto (*1776 †1856) war ein italienischer Physiker und Chemiker. Avogadro bearbeitete den Zusammenhang der elektroche-mischen Spannungsreihe und der Affinität der Elemente, zur spezifischen Wärme von Gasen und Atom- und Molvolumina. Sein Ziel war es, die chemischen Eigenschaften der Verbindungen durch physikalische Eigenschaften zu beschreiben.

1470 Anhang A

6 23AN 6.0221415 10 10 Teilchen (A.97)

Alle idealen und fast idealen Gase (z. B. Luft) haben bei gleichem Volumen V, bei gleicher Temperatur T und bei gleichem Druck p stets dieselbe Anzahl von Teil-chen, nämlich n 1 mol 1 NA 6 1023 Teilchen20. Das Volumen von 1 mol eines idealen Gases unter Normalbedingungen (T 273.15 K, p 101 325 Pa) beträgt etwa V 22.414 Liter 22.414 dm³ 0.022414 m³.

Luft hat eine molare Masse von Mi 0,0289644 kg/mol. Aus den Gln. (A.96) und (A.96) ergibt sich damit Ri 8.314472 / 0.0289644 287.05832 J/(kg K). Mit den Zahlenwerten aus Gl. (A.95) erhält man außerdem:

i Luft

JR 287.058319869 0.000517877

kg K (A.98)

Für viele technische Anwendungen – und auch für die meisten Darstellungen in diesem Buch – ist es aber genau genug, mit:

i i Luft

J NmR R 287 287

kg K kg K (A.99)

zu rechnen. Mit Gl. (A.94) ergibt sich nun der isobare Ausdehnungskoeffizient nach Gl. (A.87) zu:

i ii i

p p

R Rv v Tp v R T p R 1

T T p v p (A.100)

Für den isochoren Kompressibilitätskoeffizienten nach Gl. (A.87) ergibt sich zusammen mit der Gl. (A.94):

i ii i

v v

R Rp p Tp v R T v R 1

T T v p v (A.101)

Die Koeffizienten und sind also für ideale Gase und Gasgemische stets gleich Eins. Aus den Gln. (A.80) und (A.88) wird nun damit:

pdh c (T) dT (A.102)

vdu c (T) dT (A.103)

Beiden Gleichungen zeigen, dass die spezifischen Wärmekapazitäten cp und cv keine Abhängigkeit vom Druck p mehr haben. Es ist also nur noch eine Abhän-gigkeit von der Temperatur T gegeben, was durch die Schreibweisen cP cp(T) und cv cv(T) zum Ausdruck kommt.

Gleichung (A.102) zeigt, dass für T const bzw. dT 0 auch h const bzw. dh 0 gelten. Für ideale Gase verlaufen im h-s-Diagramm die Linien kon-stanter Temperatur (Isothermen) genauso wie die Linien konstanter Enthalpie

20 Das Wort „mol“ ist also ein Begriff für ca. 6 1023 Teilchen, ganz genau so, wie das Wort „Dut-

zend“ ein Begriff für 12 Teilchen ist.


(Isenthalpen), nämlich waagerecht, Bild A-10. Zur Bestimmung der Enthalpie-änderung wird Gl. (A.102) zwischen dem Ein- und Austrittszustand integriert:

A

A

E

E

TAT

EA p EA p A ETE T

dh h c (T) dT h c T T (A.104)

Hierin ist:

E

A A

E

T

pT T

p TA E

c (T) dT

cT T

(A.105)

die mittlere spezifische Wärmekapazität, was sich direkt aus den Gln. (A.104) ergibt. Aus Gl. (A.104) wird dann:

EA p EAh c T (A.106)

Die Entropieänderung s idealer Gase bestimmt sich aus Gl. (A.89):

dh dp

ds vT T

(A.107)

Hierin werden die infinitesimale Enthalpieänderung dh und das spezifische Volu-men v durch die Gln. (A.102) und (A.94) ersetzt:

ip p i

R TdT dp dT dpds c (T) c (T) R

T p T T p (A.108)

T = const.h = const.

E

E


A

A


A

AS

E

Bild A-10: Allgemeine Zustandsänderung einer thermischen Turbomaschine mit Druckerhöhung(Verdichter) im h-s-Diagramm

1472 Anhang A

Die Integration dieses Ausdrucks ergibt dann:

A A

E E

A

E

T pA

EA p i

E T p

TA A

EA p iTE E

dT dps ds c (T) R

T p

T ps c ln R ln

T p (A.109)

Hierin ist:

A

A E

E

T

pT T

p TA

E

dTc (T)

Tc

Tln

T

(A.110)

der logarithmische Mittelwert der spezifischen Wärme zwischen TA und TE, was direkt aus den Gln. (A.109) folgt. Aus Gl. (A.109) ergibt sich damit:

A AEA p i

E E

T ps c ln R ln

T p (A.111)

Im h-s-Diagramm ist die Zustandsänderung zwischen E und A wegunabhängig, sodass die beiden Terme auf der rechten Gleichungsseite in zwei separate Entropie-

poly

trop

( s)p

T

pE

pA

T

s( s)T

isothermT = T = constE X

isobarp = p = constA X

A

X

E

AX

E

Bild A-11: Aufteilung der Entropieänderung bei polytropen Zustandsänderungen idealer Gase in eine isotherme und eine isentrope Zustandsänderung


änderungen ( s)p und ( s)T aufgespalten werden können, deren Summation zum eigentlichen Resultat sEA führt. Die polytrope Zustandsänderung mit sEA wird in eine isotherme mit ( s)T und eine isobare mit ( s)p aufgespalten. Bild A-11 zeigt dies jeweils anhand der Zustandsänderungen in einem Verdichter und einer Turbine.

Verdichter: isotherme Zustandsänderung mit T const bzw. dT 0

p

Ai iT T

E

T ds dh v dp c (T) dT v dp v dp

pv dpds dp R s R ln 0

T p p (A.112)

Verdichter: isobare Zustandsänderung mit p const bzw. dp 0

p

Ap pp p

E

T ds dh v dp dh c (T) dT

TdTds c (T) s c ln 0

T T (A.113)

Die Summation der einzelnen Entropiedifferenzen ( s)p und ( s)T führt schließ-lich wieder auf das Resultat der Gl. (A.111) ergibt:

A AEA p ip T

E E

T ps s s c ln R ln

T p (A.114)

A

XE

X

Bild A-12: Prinzipskizze zu den Eigenschaften einer Isobaren im h-s-Diagramm. Die Steigungder Isobaren dh/ds nimmt zu, wenn die Enthalpie h zunimmt. In s-Richtung haben alle Isobarendenselben Abstand zueinander, d. h., sie sind in s-Richtung äquidistant zueinander.

1474 Anhang A

Da die Isobaren im h-s-Diagramm in Horizontalrichtung äquidistant zueinander sind, also bei jedem Niveau der Enthalpie h in s-Richtung ein und denselben Ab-stand zueinander haben, ist die Schrittfolge unerheblich, d. h. ob zuerst die isobare Ersatzzustandsänderung ( s)p und dann die isotherme ( s)T kommt oder umge-kehrt, Bild A-12. Das Ergebnis bleibt letztendlich immer dasselbe.

Aus Gl. (A.70), T · ds dh – v · dp dh, folgt für eine Isobare p const (dp 0), dass (dh / ds)p T gilt, was bedeutet, dass die Steigung einer Isobaren (dh / ds)p mit zunehmender Temperatur T bzw. Enthalpie h cp T größer wird, Bild A-12. Die logarithmischen Ausdrücke ln(pA / pE) und ln(TA / TE) in Gl. (A.114) sind bei Verdichtungsvorgängen mit pA pE bzw. TA TE positiv und bei der Turbine mit pA pE bzw. TA TE negativ.

Turbine: Isobare Zustandsänderung mit p const bzw. dp 0

p

Ap pp p

E

T ds dh v dp dh c (T) dT

TdTds c (T) s c ln 0

T T (A.115)

Turbine: isotherme Zustandsänderung mit T const bzw. dT 0

p

Ai iT T

E

T ds dh v dp c (T) dT v dp v dp

pv dpds dp R s R ln 0

T p p (A.116)

Für ideale Gase nimmt das Polytropenverhältnis nach Gl. (A.21) folgende Form an:

p

i

dh c (T) dTdh: mit dpdw dw v dp R T

p

p

p

i i

dTc (T)c dT T

dp dpR T R

p p

(A.117)

Unter Verwendung der Gln. (A.112) und (A.113) bzw. (A.115) und (A.116) ergibt sich:

p p

T T

ds sconst und 0

ds s (A.118)

Zusammen mit den polytropen Wirkungsgraden nach Gl. (A.36) und (A.37) wird daraus:

pT

V T

s1

s (A.119)


Das heißt, dass sich die statischen polytropen Wirkungsgrade von adiabaten thermi-schen Turbomaschinen, V bzw. T, nach Gl. (A.119) mittels der beiden Beziehungen:

A Ai pT p

E E

p Ts R ln s c ln

p T

berechnen und zudem als Streckenverhältnisse im h-s-Diagramm ablesen lassen, Bild A-11.

Im Weiteren soll nun für ideale Gase in adiabaten thermischen Turbomaschinen gezeigt werden, dass sich die Enthalpieänderung hEA, die spezifische Strömungsar-beit wEA und die Dissipation jEA als Flächen im T-s-Diagramm darstellen lassen. Hierzu wird davon ausgegangen, dass bei adiabaten (qEA 0) thermischen Turboma-schinen häufig cA cE ist, sodass sich zum einen aus Gl. (A.18), wEA wEA jEA, und zum anderen aus den Gln. (A.7) und (A.4) wEA htEA hEA ergibt, und daraus dann zusammen:

EA EA EAh w j (A.120)

Es wird mit der Darstellung der Enthalpieänderung hEA als Fläche im T-s-Dia-gramm begonnen. Hierzu wird auf die Gibbssche Fundamentalgleichung (A.8) zurückgegriffen und mit dieser zuerst die isothermen Ersatzzustandsänderungen für Verdichter und Turbine betrachtet und anschließend die isobaren:

– Isotherme mit T const (dT 0) entspricht Isenthalpe mit h const (dh 0) Verdichter E X Turbine X A

p

EX XA

dh v dp T ds c dT 0

h 0 für Verdichter bzw. h 0 für Turbinen

T TurbineT

A

EA XA pX

h h T ds X

EA EX pE

h h T ds

A

X

E

A

X

E

Bild A-13: Darstellung der Enthalpieänderung von adiabaten thermischen Turbomaschinen alsFläche im T-s-Diagramm

1476 Anhang A

– Isobare mit p const (dp 0) Verdichter X A Turbine E X

A

XA EA EX XA XApX

dh v dp T ds T ds

h T ds für Verdichter h h h h

X

EX EA Xa EX EXpE

dh v dp T ds T ds

h T ds für Turbinen h h h h

Wegen der in Kap. A.1.1 getroffenen Vorzeichenvereinbarungen ist das Ergebnis für die Turbinen negativ und das für Verdichter positiv. Bild A-13 zeigt, dass damit die Enthalpieänderung hEA für Verdichter und Turbinen im T-s-Diagramm jeweils als Fläche unter der isobaren Ersatzzustandsänderung darstellbar ist. Die Dissipation wird durch den Ausdruck:

A

EA irrE

j T ds

beschrieben. Auch dieses Integral lässt sich im T-s-Diagramm abbilden, und zwar als Fläche unterhalb der polytropen Zustandsänderungskurve zwischen E und A, Bild A-14. Wegen der in Kap. A.1.1 getroffenen Vorzeichendefinitionen ist die Dissipation jEA sowohl für Verdichter als auch für Turbinen stets positiv. Bild A-14 zeigt, dass sich beim Verdichter die Flächen von hEA und jEA überschneiden, wogegen sie bei der Turbine separat nebeneinander liegen.

T TurbineT

h EA

hEA A

EA irrE

j T ds

A

EA irrE

j T ds

A

X

E

AX

E

Bild A-14: Darstellung der Enthalpieänderung und der Dissipation von adiabaten thermischenTurbomaschinen als Flächen im T-s-Diagramm


Aus Gl. (A.120) ergibt sich durch Umstellen wEA hEA jEA, sodass für einen Verdichter die spezifische Strömungsarbeit die Differenz aus den beiden bisher dargestellten Flächen ist, Bild A-15. Für Turbinen sind hEA und wEA negativ einzusetzen. Da die Dissipation jEA stets positiv ist, ergibt sich wEA ( hEA jEA). Dieses bedeutet, dass für Turbinen die negative spezifische Strömungsarbeit die Summe aus den beiden bisher dargestellten Flächen ist. Diese korrespondiert mit der für Turbinen gemachten Aussage, dass |wEA| |wtech,EA| bzw. |wEA| | hEA| gelten muss. Um einem Turbinenrotor die spezifische technische Arbeit wtech,EA

hEA 0 an der Welle entnehmen zu können, muss wegen der allgegenwärtigen Dissipation jEA 0 vom Fluid ein dementsprechend größerer Anteil an spezifi-scher Strömungsarbeit wEA 0 bereitgestellt werden.

A.2.3 Berechnung isentroper und polytroper Zustandsänderungen

Durch Gl. (A.27), p · vn const, wird eine polytrope Zustandsänderung beschrieben. Wird hierin der Polytropenexponent n durch den Isentropenexponenten – entspre-chend der Gl. (A.92) – ersetzt, so ergibt sich die Gleichung zu Beschreibung isentro-per Zustandsänderungen: p v const. Zweckmäßigerweise wird aus Gl. (A.92) der Ausdruck ( 1) / gebildet, d. h.:

s s s

1 1 p v p v v p p v1 1 1

v p v p v p (A.121)

Aus der Gibbsschen Fundamentalbeziehung (A.8) bis (A.10):

T ds dh v dp du p dv (A.122)

T TurbineT

EA EA EAw h j

EA EA EAw h jA

XE

AX

E

Bild A-15: Darstellung der spezifischen Strömungsarbeit von adiabaten thermischen Turboma-schinen als Flächen im T-s-Diagramm

1478 Anhang A

ergibt sich für eine isentrope Zustandsänderung mit s const bzw. ds 0:

ps s sdh v dp c dT (A.123)

vs s sdu p dv c dT (A.124)

Hierin wurde für (dh)s die Gl. (A.102) und für (du)s die Gl. (A.103) verwendet. Werden die Ausdrücke für p · dv und v · dp entsprechend der Gln. (A.123) und (A.124) in die Gl. (A.121) eingesetzt, so folgt:

p v p v v

p p ps

p

v

c dT c dT c c c1 v p p v 11 1

v p c dT c c

c

c (A.125)

Es war gezeigt worden, dass cp und cv bei idealen Gasen nur von der Temperatur T abhängen. Demzufolge ist auch der Isentropenexponent von idealen Gasen eine nur von der Temperatur T abhängige Größe. Die spezifischen Wärmekapazitäten cp und cv steigen mit größer werdender Temperatur T an, während der Isentrope-nexponent mit steigender Temperatur T abfällt, vgl. Tabelle A-6. Durch Um-formen der (A.121):

s si

s ss s

p v R T1 v p p v TR

v p v p v p v p (A.126)

und durch Einsetzen der Gl. (A.121), (v · p)s ( h)s, ergibt sich:

iss

1 v p p v TR

v p h (A.127)

Nach Gl. (A.123) gilt h / T cp, sodass sich zusammen mit den Gln. (A.125) und (A.127) der folgende Ausdruck ergibt:

vi ip

p p

cR R1 11 1 bzw. c

c c 1 (A.128)

Nach Gl. (A.22) wird eine polytrope Zustandsänderung durch die Beziehung:

1

nA A

E E

v p

v p (A.129)

beschrieben. Die Temperaturabhängigkeit des Polytropenexponenten n n(T) wird dabei – ähnlich wie bei Gl. (A.112) – in Form des logarithmischen Mittel-werts des Exponenten 1/n berücksichtigt:


A

E

T

T

A

E

1 dTn(T) T1

Tn lnT

(A.130)

Die gegenseitige Abhängigkeit von Temperatur T und Druck p bei einer polytro-pen Zustandsänderung ( const) lässt sich auf der Basis der allgemeinen Gas-gleichung p · v Ri · T darstellen:

i i

1 1T p v dT d p v

R R (A.131)

Und daraus dann:

d p v p dv v dpdT dv dp

T p v p v v p (A.132)

Aus der Definition des Polytropenexponenten in Bild A-3:

v dp

n : const.p dv

kann durch Umstellen der Ausdruck (dv / v) (1 / n) (dp / p) gebildet und die-ser in Gl. (A.132) eingesetzt werden. Es ergibt sich:

dT 1 dp dp n 1 dp

T n p p n p

Die Integration dieses Ausdrucks zwischen Eintritt E und Austritt A einer Tur-bomaschine ergibt dann schließlich:

A

E

n 1Tn

A AA E A E

E ET

T pn 1ln T ln T ln p ln p

n T p (A.133)

Mit dem logarithmischen Mittelwert:

A

A

E

E

T

T

T

AT

E

n(T) 1 dTn(T) Tn 1 n 1

Tn n lnT

(A.134)

Ist die Temperaturdifferenz TEA TA – TE zwischen Ein- und Austritt einer Turbomaschine vergleichsweise gering, so kann der logarithmische Mittelwert nach Gl. (A.134) – aus Praktikabilitätsgründen und in guter Näherung – durch den arithmetischen Mittelwert ersetzt werden:

1480 Anhang A

A E

A EEA

n(T ) 1 n(T ) 1

n(T ) n(T )n 1 n 1für moderate T

n n 2 (A.135)

Soll beispielsweise mit Gl. (A.133) die Austrittstemperatur TA berechnet werden, wenn TE, pE und pA bekannt sind, so kann – wie die Gln. (A.134) bzw. (A.135) verdeutlichen – der Exponent (n-1)/n im Vorhinein nicht genau bestimmt werden, da der Polytropenexponent n(TA) wegen der unbekannten Austrittstemperatur TA nicht bestimmbar ist. Aus diesem Grunde muss bei der praktischen Berechnung zunächst ein TA TA1 geschätzt und damit ein ungefähres n(TA) n(TA1) be-stimmt werden. Damit wird dann aus Gl. (A.133) ein erster Näherungswert für TA TA2 ermittelt, daraus wieder ein neues n(TA1) und anschließend wieder ein neues TA2, usw., bis eine gewünschte, vorgegebene Genauigkeit erreicht ist.

Werden in die Gl. (A.104) die Gln. (A.128) und (A.133) eingesetzt, so lässt sich die Enthalpieänderung hEA idealer Gase bei polytroper Zustandsänderung berechnen:

n 1

nA A

EA p A E p E p EE E

T ph c T T c T 1 c T 1

T p (A.136)

p imit c R1

(A.137)

n 1

nA

EA i EE

ph R T 1

1 p (A.138)

A

E

T

T

A E

(T)dT

(T) 1mit

1 T T analog zu Gl. (A.104) (A.139)

Analog zur Gl. (A.126) für isentrope Zustandsänderungen (s const) ergibt sich eine entsprechende Beziehung für polytrope Zustandsänderungen ( const):

p v n 1

v p n (A.140)

Zusammen mit Gl. (A.12) lässt sich hieraus eine Beziehung für die spezifische Strömungsarbeit wEA idealer Gase bei polytroper Zustandsänderung angeben:

A

EA i

E

n 1w v dp mit v dp d p v und p v R T

n


A

AEA i A E i E

EE

Tn nw v dp R T T R T 1

n 1 n 1 T (A.141)

Durch Einsetzen der Gl. (A.133) ergibt sich daraus:

n 1

nA

EA i EE

pnw R T 1

n 1 p (A.142)

A A

E E

T T

T T

AA E

E

mit den Mittelwerten

n(T) n(T) 1 dTdT

n(T) 1 n(T) Tn n 1und

Tn 1 T T n lnT

(A.143)

Die Definition des Polytropenverhältnisses war: := hEA / wEA. Das Einsetzen der Gln. (A.138) und (A.142) in diese Definition ergibt einen einfachen Zusammen-hang zwischen den Mittelwerten des Polytropen- und des Isentropenexponenten:

A

E

T

T

A

E

n(T) 1 dTn(T) Tn 1

Tn lnT

(A.144)

Die polytropen Wirkungsgrade adiabater, thermischer Turbomaschinen (Verdich-ter und Turbinen) konnten nach den Gln. (A.36) und (A.37) aus dem Polytropen-verhältnis berechnet werden. Zusammen mit Gl. (A.144) ergibt dann sich für diese Wirkungsgrade:

V T

n 1 n 1

n 1 1 n (A.145)

Wird in Gl. (A.138) der Polytropenexponenten n durch den Isentropenexponenten ersetzt, so ergibt sich daraus die Enthalpieänderung hEAs idealer Gase bei

isentroper Zustandsänderung:

1

AEAs i E EAs

E

ph R T 1 h

1 p (A.146)

Mit Gl. (A.43) war gezeigt worden, dass bei isentroper Zustandsänderung die Enthalpieänderung hEAs gleich der spezifischen Strömungsarbeit wEAs ist.

1482 Anhang A

A.2.4 Mittelwertbildung der spezifischen Wärmekapazitäten

In den vorhergehenden Kapiteln wurden die mittlere spezifische Wärmekapazität pc nach Gl. (A.105) der logarithmische Mittelwert der spezifischen Wärme pc

nach Gl. (A.110) eingeführt. Dazu wurde erläutert, dass diese beiden Größen durch eine arithmetische Mittelung angenähert werden können, wenn die Tempe-raturdifferenz, über die gemittelt werden soll, nicht allzu groß ist. Die Mittelung kann aber nur erfolgen, wenn der jeweilige cp-Wert für den Beginn TE und das Ende TA des Mittelungsintervalls bekannt ist:

A 2

E 1

T Tp E p A p 1 p 2p p pT T

c T c T c T c Tc c c

2 2 (A.147)

Tabelle A-1: Wahre spezifische Wärmekapazitäten cp(T) verschiedener Gase (als ideales Gas) in Abhängigkeit der thermodynamischen Temperatur T [K] nach Stephan u. Mayinger (1998)

N2 O2 OH CO NO H2O CO2 N2O SO2 Luft T cp(T) cp(T) cp(T) cp(T) cp(T) cp(T) cp(T) cp(T) cp(T) cp(T) K J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K)

100 1038.67 909.77 1860.58 1039.05 1076.51 1847.71 663.58 666.82 523.38 1002.58200 1038.55 910.26 1795.20 1039.20 1015.19 1850.53 734.78 763.35 567.94 1002.84300 1038.97 918.34 1757.55 1040.39 995.35 1864.19 845.09 879.07 623.48 1005.22400 1043.15 940.90 1741.27 1047.45 998.43 1901.16 938.51 969.79 678.80 1013.84500 1054.76 971.66 1734.81 1063.59 1016.30 1954.60 1013.55 1041.91 726.99 1029.92600 1073.39 1002.89 1735.79 1086.72 1041.23 2015.47 1074.95 1101.21 765.57 1051.46700 1096.19 1030.79 1744.11 1112.81 1067.50 2080.41 1125.94 1150.59 795.48 1075.35800 1120.17 1054.36 1759.26 1138.78 1092.11 2148.48 1168.52 1191.87 818.57 1099.13900 1143.38 1073.88 1779.95 1162.89 1113.92 2218.82 1204.13 1226.40 836.56 1121.35

1000 1164.81 1090.01 1804.40 1184.50 1132.76 2290.07 1233.98 1255.32 850.77 1141.481100 1184.01 1103.55 1831.05 1203.43 1148.83 2360.73 1259.07 1279.67 862.20 1159.321200 1200.99 1115.11 1858.53 1219.88 1162.49 2429.50 1280.23 1300.32 871.56 1174.991300 1215.86 1125.27 1885.96 1234.12 1174.15 2495.40 1298.19 1317.92 879.36 1188.811400 1228.86 1134.42 1912.56 1246.47 1184.16 2557.85 1313.56 1333.09 885.97 1200.931500 1240.20 1142.89 1938.09 1257.16 1192.75 2616.46 1326.76 1346.26 891.66 1211.641600 1250.11 1150.91 1962.20 1266.48 1200.23 2671.15 1338.19 1357.80 896.64 1221.171700 1258.80 1158.68 1984.84 1274.67 1206.74 2721.96 1348.15 1368.00 901.05 1229.731800 1266.46 1166.25 2006.06 1281.86 1212.50 2769.13 1356.89 1377.13 905.04 1237.481900 1273.23 1173.73 2025.81 1288.21 1217.57 2812.83 1364.62 1385.34 908.66 1244.492000 1279.22 1181.13 2044.30 1293.88 1222.14 2853.35 1371.50 1392.82 912.01 1250.922100 1284.57 1188.49 2061.46 1298.95 1226.22 2890.97 1377.65 1399.66 915.12 1256.842200 1289.34 1195.79 2077.55 1303.49 1229.93 2925.90 1383.21 1405.99 918.05 1262.322300 1293.65 1203.01 2092.62 1307.62 1233.31 2958.48 1388.23 1411.87 920.83 1267.412400 1297.51 1210.18 2106.70 1311.36 1236.42 2988.85 1392.83 1417.40 923.49 1272.172500 1301.01 1217.23 2119.95 1314.77 1239.27 3017.33 1397.02 1422.63 926.05 1276.622600 1304.18 1224.19 2132.42 1317.92 1241.93 3044.05 1400.89 1427.60 928.54 1280.812700 1307.09 1231.02 2144.20 1320.83 1244.42 3069.25 1404.48 1432.34 930.97 1284.782800 1309.77 1237.72 2155.35 1323.53 1246.75 3093.02 1407.81 1436.92 933.34 1288.542900 1312.23 1244.27 2165.96 1326.02 1248.94 3115.54 1410.94 1441.34 935.71 1292.073000 1314.49 1250.66 2176.08 1328.37 1251.02 3137.00 1413.87 1445.62 938.03 1295.38


Die dazu notwendigen Daten kann man beispielsweise aus einer Tabelle, wie z. B. der Tabelle A-1 entnehmen. Die hier aufgetragenen cp-Werte, die jeweils zu einer ganz bestimmten Temperatur gehören, bezeichnet man auch als wahre spezifische Wärmekapazitäten.

In den meisten Fällen werden die in einer praktischen Rechnung vorliegenden Temperaturen TA und TE aber gerade nicht in der zur Verfügung stehenden Tabelle enthalten sein. Sind die in der Tabelle vorgegebenen Temperaturintervalle nicht zu groß, so reicht es zumeist aus, linear zwischen den vorgegebenen Werten zu interpo-lieren. Dabei bedeutet lineare Interpolation nichts anderes, als dass die einzelnen Vorgabewerte in der Tabelle durch eine Geradengleichung miteinander verkettet werden. Bild A-16 zeigt, wie man sich so etwas prinzipiell vorstellen kann. Auf die beiden in Bild A-16 dargestellten schraffierten Dreiecke wird der Strahlensatz21 der Geometrie angewendet. Daraus ergibt sich die Gleichheit der folgenden zwei Quo-tienten, die jeweils das Verhältnis der Katheten der beiden Dreiecke sind:

x 2 2 1p p p p

x 1 2 1

c c c c

T T T T (A.148)

Durch Umstellen erhält man dann eine Geradengleichung, mittels der zwischen den cp-Werten der Tabelle A-1 linear interpoliert werden kann. Voraussetzung ist, dass das Temperaturintervall T2 – T1 nicht zu groß ist:

x 1 2 1

x 1p x p p p

2 1

T Tc T c c c .

T T (A.149)

21 So genannter erster Strahlensatz: Wenn zwei durch einen Punkt (Scheitel 1) verlaufende Ge-

raden (Strahlen) von zwei parallelen Geraden X Tx und 2 T2 geschnitten werden, die nicht durch den Scheitel gehen, dann gilt die Aussage, dass je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl verhalten.

cp2

cp1

cpx

T1 T2Tx

cp

T

tatsächlicher Kurvenverlaufvon c in Abhängigkeit von Tp

1

2

zwischen den gegebenen Werten und kann der tatsächliche

Kurvenverlauf durch eine Geradeangenähert werden

1 2

Die Werte c , T und c , T können aus einer Tabelle abge-lesen werden.

p1 1 p2 2

X

An der Stelle ist T bekanntund c soll be-stimmt werden

X

x

px

Bild A-16: Strahlensatz. Zur linearen Interpolation von cp-Werten in vorgegebenen Tabellen

1484 Anhang A

Das Bild A-17 zeigt die Auftragung der Zahlenwerte aus Tabelle A-1 in Dia-grammform. Insbesondere im Bereich höherer Temperaturen – oberhalb von 500 K – zeigt es sich, dass der tatsächliche Kurvenverlauf vergleichsweise gut durch eine Gerade angenähert werden kann, wenn das betrachtete Temperaturin-tervall nicht allzu groß ist.

In Gl. (A.149) ist Tx die Temperatur, für die der Wert cpx ermittelt werden soll. Die Werte T1, cp1, T2 und cp2 sind die Tabellenwerte, die die Temperatur Tx in der Tabelle „einrahmen“. Nehmen wir ein Beispiel: Mittels der Tabelle A-1 und der Gl. (A.149) soll der cpx-Wert für Luft mit der Temperatur Tx 1 536.5 K bestimmt werden. Bei T1 1 500 K lesen wird in der Tabelle A-1 einen Wert von cp1 1 211.64 Nm/(kg K) ab und bei T2 1 600 K einen weiteren Wert von cp2 1 221.17 Nm/(kg K). Der cp-Wert für Tx 1 536.5 K berechnet sich so dann schließlich zu:

xp

1 536.5 1 500c 1 211.64 1 221.17 1 211.64 . 1 215.12 J / kg K

1 600 1 500

Für eine Zustandsänderung zwischen TA 1 350 K und TE 1 536.5 K kann dann beispielsweise mittels Tabelle A-1 und Gl. (A.147) das folgende arithmetisch gemittelte pc berechnet werden:

E E

A A

T T 1 536.5 K

p p pT T 1 350 K

1194.87 1 215.12c c c 1 205.0 J / kg K

2

Bild A-17: Auftragung der wahren spezifischen Wärmekapazitäten verschiedener Gase (als ideales Gas) über der thermodynamischen Temperatur T nach Stephan u. Mayinger (1998). Die zugehörigen Zahlenwerte gibt Tabelle A-1 wieder.

1 500

1 400

1 300

1 200

1 100

1 000

900

800

700

600

500100 390 680 970 1260 1550 1840 2130 2420 2710 3000

SO2

O2

NOLuftN2

COCO2

N2Ow

ahre

spe

zifis

che

Wär

me k

apaz

ität

Temperatur T [K]

pc

J

kg K


Diese Vorgehensweise ist zwar für viele praktische Fälle genau genug, soll aber dennoch im Folgenden noch etwas verfeinert werden. Dazu wird von Gl. (A.105) ausgegangen:

2

2 1

1

T

pT T

p T2 1

c (T) dT

cT T

(A.150)

Trägt man nun beispielsweise die jeweils zu einer ganz bestimmten Temperatur gehörigen cp-Werte (die sog. wahre spezifische Wärmekapazität) aus der Tabelle A1 für irgendeins der dort angegebenen Gase über der thermodynamischen Tem-peratur T bzw. über der Temperatur in °C auf, so erhält man die Darstellung in Bild A-18. Das in Gl. (A.150) über dem Bruchstrich stehende Integral ist dann die Fläche unter der in Bild A-18 dargestellten Kurve. Diese Fläche zwischen den Temperaturen T1 und T2 ist im Bild A-18 schraffiert dargestellt. Sie ergibt sich aus der Subtraktion der Fläche zwischen T2 und 273 K und der Fläche zwischen T1 und 273 K, d. h.:

2 2 1

1

T T T

p p p

T 273 273

c (T) dT c (T) dT c (T) dT (A.151)

Werden hierin nun die auf der rechten Gleichungsseite stehenden Integrale mittels der Gl. (A.150) umgeformt, so erhält man:

0 400 800 1200 1600 2000 2400 Temperatur

1 250

1 220

1 190

1 160

1130

1100

1070

1040

1010

980

950

spe z

ifisc

he W

ä rm

ekap

azitä

t c

(T)

p

273 673 1073 1473 1873 2273 2673°CK

T1

T2T 2731

T 2732

2

1

T

p

T

c T dT

2

1

T

p Tc

T T2 1

Bild A-18: Möglicher Verlauf der spezifischen Wärmekapazität cp eines Gases über der Temperatur

1486 Anhang A

2

2 1

1

TT T

p p 2 p 1273 273T

c (T) dT c T 273 c T 273 (A.152)

Dieser Ausdruck wird nun wieder in Gl. (A.150) zurückübertragen und man erhält:

2 1

2

1

T T

T p 2 p 1273 273p T

2 1

c T 273 c T 273c

T T (A.153)

Die gemittelten pc -Werte, die in Gl. (A.153) auf dem Bruchstrich stehen, sind in den einschlägigen thermodynamischen Tabellenwerken zu finden. Die Tabel-

Tabelle A-2: Mittlere spezifische Wärmekapazitäten verschiedener Gase (als ideales Gas) in Abhängigkeit der Temperatur [°C] nach Stephan u. Mayinger (1998)

N2 O2 OH CO NO H2O CO2 N2O SO2 Luft

p 0c p 0

c p 0c p 0

c p 0c p 0

c p 0c p 0

c p 0c p 0

c

°C J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K)

0 1038.43 914.53 1765.05 1039.12 997.55 1857.91 816.13 850.05 607.38 1004.47100 1039.33 922.74 1752.84 1041.02 995.29 1871.31 867.30 901.22 635.54 1006.97200 1042.33 935.13 1746.24 1045.62 998.68 1891.90 911.79 944.20 662.40 1012.10300 1047.73 949.63 1742.42 1053.12 1006.41 1917.19 950.47 981.48 686.76 1019.61400 1055.32 964.62 1741.10 1062.81 1016.66 1945.49 984.55 1014.38 707.93 1028.96500 1064.52 978.92 1742.31 1073.90 1028.00 1975.48 1014.74 1043.62 726.30 1039.36600 1074.72 992.22 1745.91 1085.60 1039.55 2006.87 1041.73 1069.72 742.28 1050.20700 1085.22 1004.41 1751.59 1097.29 1050.81 2039.46 1065.81 1093.09 756.06 1061.04800 1095.71 1015.41 1758.98 1108.58 1061.53 2072.76 1087.51 1114.09 768.04 1071.62900 1105.91 1025.50 1767.70 1119.48 1071.59 2106.45 1107.10 1133.03 778.62 1081.77

1000 1115.71 1034.70 1777.41 1129.77 1080.96 2140.24 1124.79 1150.17 787.91 1091.421100 1125.11 1043.10 1787.84 1139.57 1089.65 2173.83 1140.78 1165.75 796.30 1100.541200 1134.00 1050.80 1798.72 1148.56 1097.70 2206.92 1155.47 1179.96 803.78 1109.121300 1142.30 1058.00 1809.86 1157.06 1105.15 2239.31 1168.77 1192.97 810.48 1117.181400 1150.10 1064.79 1821.12 1164.95 1112.05 2271.00 1181.06 1204.92 816.67 1124.761500 1157.50 1071.19 1832.37 1172.35 1118.46 2301.80 1192.26 1215.93 822.26 1131.881600 1164.40 1077.19 1843.51 1179.25 1124.41 2331.59 1202.65 1226.13 827.35 1138.581700 1170.79 1082.89 1854.50 1185.64 1129.95 2360.38 1212.25 1235.60 832.14 1144.901800 1176.89 1088.49 1865.28 1191.74 1135.13 2388.27 1221.14 1244.42 836.54 1150.861900 1182.59 1093.78 1875.81 1197.34 1139.97 2415.07 1229.34 1252.67 840.63 1156.512000 1187.99 1098.98 1886.07 1202.73 1144.50 2440.96 1237.04 1260.41 844.42 1161.862100 1193.09 1103.98 1896.06 1207.73 1148.77 2465.95 1244.33 1267.68 848.02 1166.942200 1197.79 1108.88 1905.78 1212.43 1152.78 2489.95 1251.03 1274.54 851.41 1171.772300 1202.29 1113.68 1915.21 1216.83 1156.57 2513.14 1257.43 1281.03 854.61 1176.372400 1206.59 1118.28 1924.37 1221.02 1160.15 2535.53 1263.43 1287.18 857.70 1180.772500 1210.59 1122.88 1933.27 1225.02 1163.55 2557.03 1269.02 1293.03 860.60 1184.962600 1214.38 1127.28 1941.90 1228.82 1166.77 2577.82 1274.42 1298.60 863.40 1188.972700 1218.08 1131.67 1950.29 1232.42 1169.83 2597.92 1279.42 1303.93 865.99 1192.822800 1221.48 1135.97 1958.44 1235.82 1172.74 2617.31 1284.22 1309.03 868.592900 1224.78 1140.17 1966.35 1239.11 1175.53 2636.11 1288.81 1313.91 870.983000 1227.88 1144.27 1974.05 1242.21 1178.19 2654.20 1293.21 1318.61 873.38


le A-2 zeigt eine solche Auflistung von Werten. Es ist zu sehen, dass diese Werte üblicherweise nicht in Abhängigkeit der thermodynamischen Temperatur T darge-stellt sind, sondern in Abhängigkeit der Temperatur in °C. Die Gl. (A.153) kann nun aber auch für solche Tabellen zur Anwendung kommen, wenn man nämlich berücksichtigt, dass T 273 K einem 0 °C entspricht. Aus Gl. (A.153) wird dann:

2 1

2 2

1 1

T p 2 p 10 C 0 Cp pT

2 1

c cc c (A.154)

Die Ergebnisse der Gln. (A.154) und (A.153) zeigen im Vergleich mit der Dar-stellung in Bild A-18, dass der Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität zwischen zwei Temperaturen 1 und 2 auch geometrisch als die Höhe eines dem Integral cp(T) dT flächengleichen Rechtecks der Breite T2

T1 2 1 gedeutet werden kann.

Die Zahlenwerte in den Tabellen A1 und A2 gelten für die Betrachtung der Ga-se als ideale Gase bei moderaten Drücken, d. h. solange die Gase der thermischen Zustandsgleichung (A.94) p v Ri T gehorchen. Bei realem Gas hängt die spezi-fische Wärmekapazität neben der Temperatur auch noch vom Druck ab. Diese Druckabhängigkeit kann aus den Abweichungen des realen Gasverhaltens von der Zustandsgleichung der idealen Gase berechnet werden. In den meisten technischen Anwendungsfällen des zivilen Triebwerksbaus ist der Einfluss des Druckes auf die spezifischen Wärmekapazitäten aber vernachlässigbar, sodass nur die Temperatur-

SO2

O2

NO

N2

COCO2

N O2

Luft

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

Temperatur [°C]

1 300

1 230

1 160

1 090

1 020

950

880

810

740

670

600

mitt

lere

spe

zifis

c he

Wär

me k

apaz

ität

p 0c

J

kg K

Bild A-19: Auftragung der mittleren spezifischen Wärmekapazitäten verschiedener Gase (alsideales Gas) über der Temperatur nach Stephan u. Mayinger (1998). Die zugehörigen Zahlen-werte gibt Tabelle A-2 wieder.

1488 Anhang A

abhängigkeit zu berücksichtigen ist. Das Bild A-19 zeigt die mittleren spezifi-schen Wärmekapazitäten der Tabelle A2 in Diagrammform.

Gehen wir nun auf die vorhergehende zahlenwertmäßige Betrachtung für eine Zustandsänderung von Luft zwischen T1 1 350 K ( 1 1 077 °C) und T2 1 536.5 K ( 2 1 263.5 °C) zurück, so können nun anhand der Tabelle A2 für die genannten Temperaturen durch lineare Interpolation die zugehörigen mitt-leren spezifischen Wärmekapazitäten berechnet werden:

1

1

2

2

p 0 C

p 0 C

p 0 C

p 0 C

1 077 1 000c 1 091.42 1100.54 1 091.42

1100 1 000

c 1 098.44 Nm/ kg K

1 263.5 1 200c 1109.12 1117.18 1109.12

1 300 1 200

c 1114.24 Nm/ kg K

Aus Gl. (A.154) erhält man dann:

2 2

1 1

T

p pT

1114.24 1 263.5 1 098.44 1 077c c 1 205.48 J / kg K

1 263.5 1 077

Wird dieser Zahlenwert mit dem der einfachen arithmetischen Mittelung unter-halb der Tabelle A-1 verglichen ( pc 1 205.0 J / (kg K) ), so ist zu sehen, dass die Abweichung der Ergebnisse weniger als 0.04 % beträgt, was bestätigt, dass die einfache arithmetische Mittelung bei moderaten Temperaturintervallen für viele praktische Fälle genau genug ist. Im Rahmen des hier vorliegenden Buches wird dennoch die Mittelung der cp-Werte – auch die logarithmische Mittelung – soweit wie nur möglich nach Gl. (A.154) erfolgen, d. h., wenn für das zu be-trachtende Gas die mittleren spezifischen Wärmekapazitäten entsprechend Ta-belle A-2 zur Verfügung stehen. Bei den Verbrennungsgasen in Tabelle A-6 stehen dem Autor aber nur die wahren spezifischen Wärmekapazitäten zur Ver-fügung, sodass in solchen Fällen die einfache arithmetische Mittelung Anwen-dung finden wird. Die daraus resultierende „Ungenauigkeit“ (wenn man dies überhaupt so nennen kann) ist für den hier zu behandelnden Stoff und unter den zuvor angegebenen Randbedingungen hinsichtlich der Breite der Temperaturin-tervalle vernachlässigbar.

A.2.5 Zusammenhang zwischen isentropen und polytropen Wirkungsgraden

Isentrope Verdichter- und Turbinenwirkungsgrade berechnen sich durch Anwendung der Gln. (A.50). Werden hier die Gln. (A.138) und (A.146) eingesetzt, so ergibt sich:


1 n 1

nA A

E EEAs EAVs Tsn 1 1

EA EAsnA A

E E

p p1 1

p ph h

h hp p

1 1p p

(A.155)

Aus den Gln. (A.145) folgt aber auch:

TV

n 1 1 1 1 n 1 1 1

n n (A.156)

und somit:

T

V

1 1

A A

E EVs Ts1 1 1

A A

E E

p p1 1

p p

p p1 1

p p

(A.157)

Bei gegebenem Turbomaschinendruckverhältnis pA/pE und bei bekanntem Isentro-penexponenten können somit die polytropen Wirkungsgrade von Verdichter oder Turbinen V und T in die zugehörigen isentropen Wirkungsgrade Vs und

Ts umgerechnet werden. Wird in die Gln. (A.50) für die isentropen Verdichter- und Turbinenwirkungs-

grade Vs und Ts jeweils die Gl. (A.133) eingesetzt, so ergeben sich zwei weitere häufig verwendete Beziehungen für die isentropen Wirkungsgrade:

1

A A

E EVs Ts 1

A

AE

E

p T1 1

p TT

1 pT 1p

(A.158)

Die Mittelwerte der Quotienten aus den Isentropenexponenten werden über die Gl. (A.137) ermittelt:

pi

p i

cR1bzw.

c 1 R (A.159)

Hierin ist dann zuvor pc aus Gl. (A.154) und Tabelle A-2 zu ermitteln. Den Mit-telwert des Isentropenexponenten selbst erhält man ebenfalls aus Gl. (A.137):

p

p i

c

c R (A.160)

1490 Anhang A

A.2.6 Reale Arbeitsfluide

A.2.6.1 Grundlagen zu den Unterschieden zwischen idealen und realen Gasen

Im vorherigen Abschnitt wurde stets von idealen Gasen ausgegangen. Eine Mo-dellvorstellung, die in weiten Bereichen der Technik ausreichend genau ist und im Sinne technischer Exaktheit, als ein probates Modell angesehen wird. Beim Mo-dell des idealen Gases stellt man sich dieses als aus Gasteilchen bestehend vor, die jeweils ausdehnungslose Massepunkte22 sind, die sich ansonsten frei durch das ihnen zur Verfügung stehende Volumen bewegen können. Mit dem Begriff frei ist dabei gemeint, dass die Teilchen untereinander und mit der umgebenden Wand des Volumens, das sie einnehmen, anstoßen dürfen. Solche Zusammenstöße erfol-gen aber vollkommen elastisch, sodass die Summe aller Impulse und die Summe aller kinetischen Energien stets erhalten bleiben und die Massepunkte und/oder Volumenwände keine innere Energie aufnehmen. Ein solches Gas gibt es aber in Wirklichkeit nicht. Dennoch können viele Gase – bei nicht allzu hohem Druck – rechnerisch wie ein ideales Gas behandelt werden. Die Zustandsänderungen des idealen Gases gelten für reale Gase nur als theoretischer Grenzfall, und zwar nur dann, wenn der Druck des realen Gases unendlich klein ist.

Zur weiteren Betrachtung der Dinge soll nun einmal davon ausgegangen wer-den, dass das ideale Gas in einem würfelförmigen Behälter eingeschlossen sei, der aufgrund der Würfelform 6 gleiche Außenflächen A besitzt und das Volumen V hat, Bild A-20. Das im Würfel eingeschlossene Gas besteht aus N ausdehnungslo-sen Masseteilchen und hat dementsprechend eine sog. Teilchenzahldichte n :

22 Man sagt, das ideale Gas besteht aus Molekülen, die im Vergleich zu ihrem Abstand unterein-

ander verschwindend klein sind.

x

y z

-xi

-yi

-zi

würfelförmiges Volumen mit 6 gleichen Seitenflächen

V

A

x y z =Abstände eines Teilchens n zur jeweiligen Seitenfläche A

i i i i

Das Volumen enthält Teil-chen, von denen sich jedes einzelne mit der ihm jeweils ganz eigenen Ge-schwindigkeit im Raum bewegt

V N = n

V

i

Teil-chen ni

u v w =zu x , y, z zugehörige Komponentender Geschwindigkeit

i i i i i i

ui

vi

wi

Bild A-20: Darstellung zur Erläuterung der Beschreibung der Vorgänge der kinetischen Gastheorie


3

N Teilchenn

V m (A.161)

In jede der in Bild A-20 eingezeichnete Richtungen ±x, ±y, ±z bewegen sich im Mittel immer gleich viel Teilchen ni. Die Masse eines Teilchens sei mT. Jedes Teilchen ni von ihnen hat dabei die ganz individuelle Geschwindigkeit i im Raum mit den Komponenten ui, vi, wi in x-, y- und z-Richtung. Bei 20 °C liegen diese Teilchengeschwindigkeiten in einem Bereich von ca. 100 bis 1 000 m/s. In einem Zeitintervall t treffen von allen diesen Teilchen nur diejenigen auf die Wände des Würfelvolumens, die zu einer der Wände wenigstens den Abstand xi ui t, yi vi t oder zi wi t haben. Der jeweilige Abstand xi, yi, zi hängt dabei von der Größe der zugehörigen Geschwindigkeit ui, vi, zi ab. Beim Auftreffen auf die Wände wird jedes Teilchen – wie bereits schon weiter oben ausgeführt – vollkommen elastisch reflektiert, was bedeutet, dass die Teilchengeschwindigkeit erhalten bleibt. Der Impuls eines der Teilchen beträgt also vor dem Auftreffen jeweils Ixi mT ui, Iyi mT vi, Izi mT wi und nach dem Auftreffen jeweils Ixi –mT ui, Iyi –mT vi, Izi –mT wi. Von allen Teilchen N des Gesamtvolu-mens V, das die Teilchenzahldichte n hat, trifft in jede der drei Komponentenrich-tungen x, y und z im Zeitintervall t die folgende Anzahl an Teilchen Ni (die sich im Teilvolumen Vi aufhalten) gerade auf eine der Wände:

x x

y y

z z

i i i i

i i i i

i i i i

N n V n A x n A u t

N n V n A y n A v t

N n V n A z n A w t

(A.162)

Die Impulsänderung Ii aller der Teilchen Ni, die im Zeitintervall t gerade auf eine der Wände treffen ist dann also beispielsweise in x-Richtung:

x x

x

i T i T i i T i T i i

2i T i

I m u m u N m u m u n A u t

I 2 m u n t A (A.163)

Die daraus resultierende Kraft infolge der Wirkung aller dieser Impulsänderungen ist dann entsprechend des 2. Newtonschen Axioms (siehe z. B. Kap. 5 dieses Bu-ches) der Impuls pro Zeiteinheit, d. h.:

xi 2x T i

IF 2 m u n A

t (A.164)

Daraus kann der entsprechende Druck auf die Fläche angegeben werden:

2xx T i

Fp 2 m u n

A (A.165)

Per Definition wird nun das mittlere Geschwindigkeitsquadrat eingeführt:

x x

x x

2 2i i i i2

xi i

N u n V u

N / 6 N / 6 (A.166)

1492 Anhang A

und in Gl. (A.165) eingesetzt:

x

x

i2xx T x

i

NF 1p 2 m

A 6 V (A.167)

Hierin ist Nix die Gesamtanzahl aller Teilchen im Volumen Vix innerhalb dessen Teilchen im Zeitintervall t auf eine der 6 Wände treffen können. Von allen diesen Teilchen prallen aber im Mittel immer nur N/6-tel auf jede einzelne der 6 Würfelflächen. Diese Eigenschaft ist in den beiden vorhergehenden Gleichun-gen berücksichtigt worden. Da die Teilchenzahldichte n im gesamten Volumen V konstant ist, so trifft das natürlich auch auf das Teilvolumen Vix zu und es gilt dann entsprechend Gl. (A.161) auch n N / V Nix / Vix const. Aus Gl. (A.167) wird dann:

2 2xx T x T x

n nFp 2 m m

A 6 3 (A.168)

Die Gesamtmasse m des im Volumen V eingeschlossenen idealen Gases mit der Teilchenzahldichte n ist:

Tm m n V (A.169)

Für den Druck nach Gl. (A.169) heißt das dann:

2 2 2x x x

x

m 2p p V m m

V 3 3 3 2 (A.170)

Kombiniert man diesen Ausdruck nun mit der thermischen Zustandsgleichung (A.94) p V m Ri T und ersetzt dabei zuvor die Geschwindigkeitskomponente

x durch die Gesamtgeschwindigkeit :

2

i kin

2 2m R T p V m E

3 2 3 (A.171)

Die Temperatur T eines Gases mit der spezifischen Gaskonstanten Ri ist demnach die mittlerer kinetische Energie kinE seiner Gasmoleküle. Wird nun die universelle Gaskonstante aus Gl. (A.95) durch die Avogadrokonstante NA nach Gl. (A.97) dividiert, so erhält man die so genannte Boltzmann-Konstante :

6 23A

23

8.314472 0.000015

N 6.0221415 10 10

J1.3806505 0.000024 10

K

Boltzmann-Konstante

(A.172)

Die Boltzmann-Konstante ist die Gaskonstante eines einzigen Gasteilchens. Unter Verwendung der zuvor angeführten thermodynamischen Basiskonstanten erhält man aus Gl. (A.171):


i i ii

A

mp V m R T R M T

M

n T n N T T (A.173)

Hierin ist Mi die Molmasse und n die Stoffmenge entsprechend Gl. (A.96). Das Produkt n NA ist die Anzahl aller Teilchen, die von unserem Ausgangsvolu-men V eingeschlossen wird. Der obige Ausdruck (A.173) besagt, dass bei gleichem Druck und gleicher Temperatur die Anzahl aller Teilchen , die in einem Volumen V eingeschlossen ist, stets konstant ist. Aus Gl. (A.171) erhält man nun:

kin

kin

2p V T E bzw.

33

E T2

(A.174)

Hierin ist kinE die mittlere kinetische Energie aller im Volumen V enthaltenen Teilchen in allen 3 Richtungen x, y und z. Die mittlere kinetische Energie je Teilchen und Richtung ist dann nur noch ein Drittel davon:

x,y ,zkinET

2 (A.175)

Man stellt sich nun vor, dass sich die innere Energie U des idealen Gases aus der Summe aller Teilenergien seiner sich bewegenden Teilchen zusammensetzt. Die einzelnen Teilchen können sich dabei geradlinig bewegen, was man als Translati-on bezeichnet, und sie können sich drehen, was man als Rotation bezeichnet. Jede einzelne dieser Bewegungsmöglichkeiten wird als Freiheitsgrad bezeichnet. Auf jeden dieser Freiheitsgrade entfällt entsprechend der Gl. (A.175) der kinetische Energieanteil T / 2 pro Teilchen. Für die molare innere Energie erhält man mit Verwendung der Avogadrokonstanten NA folglich:

A

ƒ ƒN T T

2 2� (A.176)

Entsprechend Gl. (A.83) können wir nun auch die molare Wärmekapazität bei kon-stantem Volumen v formulieren (Achtung: nicht die spezifische, so wie bisher!!):

v

d ƒ

dT 2� (A.177)

Entsprechend Gl. (A.128) gilt dann auch:

p v

ƒ1

2 (A.178)

Der Verhältniswert von p/ v ist nach Gl. (A.125) der Isentropenexponent :

p

v

21

ƒ (A.179)

1494 Anhang A

Wie nun die Freiheitsgrade der einzelnen Gase zu beurteilen sind, soll das Bild A-21 verdeutlichen:

1-atomige ideale Gase ( 3): Der Teilchenaufbau besteht aus Kugeln, die sich um sich selbst drehen und sich zum anderen in 3 Richtungen (x, y, z) transla-torisch bewegen können, Bild A-21 links. Die Eigendrehung trägt nicht zum Energieaustausch bei, so wie er zuvor beschrieben wurde und stellt damit keinen Freiheitsgrad der Bewegung dar.

2-atomige „ideale“ Gase ( 5): Der Teilchenaufbau besteht aus Kugeln, die paarweise miteinander verbunden sind. Die Form ist keine Kugel mehr, sondern ähnelt eher einer Hantel. Wegen dieses Aufbaus ist ein solches Gas im strengeren Sinne kein ideales Gas mehr. Diese „Hantel-Moleküle“ können sich in 3 Richtun-gen (x, y, z) translatorisch bewegen und um 2 Achsen rotieren, nämlich um die x- und y-Achse, Bild A-21 mitte. Die Eigendrehung um die z-Achse (Hantel-Achse) trägt nicht zum Energieaustausch bei und stellt damit keinen weiteren Freiheits-grad der Bewegung mehr dar.

3-atomige Gase ( 6): Der Teilchenaufbau besteht aus Kugeln, die abgewin-kelt zueinander angeordnet sind. Wegen dieses Aufbaus ist ein solches Gas im strengeren Sinne kein ideales Gas mehr. Zu den zuvor beschriebenen 5 Freiheits-graden des 2-atomigen Gases kommt jetzt noch weiterer rotatorischer Freiheits-grad – um die z-Achse – mit hinzu, Bild A-21 rechts. Wären die 3 Teilchen auf einer gemeinsamen Achse angeordnet, so würde sich auch nur 5 ergeben, so wie im Fall des 2-atomigen Gases.

Mit den Gln. (A.176) bis (A.179) können nun die theoretischen Werte ver-schiedener thermodynamischer Eigenschaften in der Tabelle A-3 für ein- bis dreiatomige Gase angegeben werden. Mittels der Tabelle A-4 können dann diese theoretischen Werte mit den entsprechenden gemessenen Werten einiger existie-render Gase verglichen werden. Es ist zu erkennen, dass insbesondere bei den ein- und zweiatomigen Gasen eine sehr gute Übereinstimmung mit den gemessenen Werten besteht, weswegen es auch in der Technik übliche Praxis ist, diese Gase mittels der Beziehungen des idealen Gases zu behandeln, auch wenn das bei den zweiatomigen Gasen im strengen Sinne nicht korrekt ist. Je höher die Anzahlen

Bild A-21: Modellvorstellung zu den Freiheitsgraden der Teilchenbewegungen idealer Gase;links 1-atomige ideale Gase, mitte 2-atomige „ideale“ Gase, rechts 3-atomige Gase


der Atome werden, umso größer werden dann auch die Abweichungen zum idea-len Gas. Dieses hat insbesondere seine Ursache auch darin, dass die Schwin-gungsenergien der Teilchen bei der Betrachtung der idealen Gase keine Berück-sichtigung fanden. Gerade dieser Einfluss ist es, der sich dann auch mehr und mehr bei den höheren Temperaturen bemerkbar macht, wenn die Teilchen zuneh-mend zu schwingen beginnen.

Wir hatten mit den Gln. (A.174) und (A.175) gezeigt, dass die mittlere kineti-sche Energie der Teilchenbewegungen ein Maß für die Temperatur ist. Neben dieser kinetischen Energie tritt aber auch potenzielle Energie auf, da die Teilchen bei ihren schwingenden Bewegungen ständig zwischen der kinetischen und der potenziellen Energieform hin und her pendeln. Beim Durchgang durch die Ruhe-lage hat ein Atom nur kinetische Energie, wogegen es in den Umkehrpunkten seiner Bewegung, dort wo seine Bewegung gerade null ist, nur potenzielle Energie hat. Zusätzlich besitzen die Atome in ihren mittleren Lagen eine Art von „zweiter potenzieller Energie“, die von anziehenden und abstoßenden Kräften zwischen den Molekülen eines Gases herrührt, deren Größen und Richtungen vom Abstand

Tabelle A-3: Rein theoretisch ermittelte Werte für die molaren Wärmekapazitäten, die molare innere Energie und den Isentropenexponenten

Atom- anzahl v p

1 3 3

1.52

5

2.52

3

T 1.5 T2

5

1.66663

2 5 5

2.52

7

3.52

2

T 2.5 T2

7

1.40005

3 6 6

3.02

8

4.02

6

T 3.0 T2

8

1.33336

Tabelle A-4: Werte für die molaren Wärmekapazitäten und den Isentropenexponenten einiger existierender Gase bei Umgebungsbedingungen von 20 °C und 1 bar

Gas Atom- anzahl

Mi g/mol

Ri J/(kg K)

v

p

He 1 4.003 2.078000 1.510 2.520 1.667 Ar 1 39.940 0.208000 1.490 2.470 1.666

H2 2 2.020 4.125000 2.470 3.470 1.410 CO 2 28.010 0.297000 2.510 3.510 1.400 N2 2 28.020 0.297000 2.500 3.500 1.400 Luft 2 28.964 0.287056 2.500 3.500 1.400 H2O 3 18.020 0.462000 3.050 4.050 1.330 CO2 3 44.010 0.189000 3.460 4.480 1.300 C3H8 11 44.090 0.188000 7.990 8.970 1.120 C4H10 14 58.120 0.143000 11.320 12.290 1.090

1496 Anhang A

der Moleküle zueinander abhängen. Diese Beziehung zwischen potenzieller Ener-gie und Molekülabstand wird als intermolekulares Potenzial bezeichnet. A.2.6.2 Die Zustandsgleichung realer Gase

Die Ausführungen des Kap. A.2.6.1 haben gezeigt, dass das thermodynamische Verhalten eines Gases umso mehr von den Beziehungen für ein ideales Gas ab-weicht, je mehr Atome das Gas hat. Kommen dann noch chemische und elektrische Effekte hinzu, dann werden die Abweichungen immer größer und das Erfassen aller wesentlichen Einflussgrößen in den Zustandsgleichungen wird immer schwieriger.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, sich den realen Gasen zu nähern, Stephan u. Mayinger (1998). Wir wollen uns hier den realen Gasen nähern, in dem wir diese durch die folgende thermische Zustandsgleichung definieren:

p v Z R T (A.180)

Hierin ist Z der sog. Realgasfaktor. Für Z 1 geht Gl. (A.180) in die ideale Gasgleichung (A.94) über. Der Realgasfaktor weicht umso mehr vom Wert Z 1 ab, je mehr der Druck p und/oder die Temperatur T von den Standardwerten p 105 Pa und T 300 K abweichen. Tabelle A-7 zeigt die Variationen des Real-gasfaktors für Luft in Abhängigkeit von Druck und Temperatur. Da der Realgas-faktor Z die Abweichungen von der Zustandsgleichung für ideale Gase beschreibt, werden unter wirklichen bzw. realen Gasen solche verstanden, bei denen hohe Drücke und/oder hohe Temperaturen vorliegen:

i

i

2 3

p v Mp v p v m p V pZ :

R T T n T n T T

B(T) C(T) D(T)1 ...

(A.181)

Hierin ist V/n das so genannte Molvolumen und n m/Mi die Stoffmenge. Mit Ri Mi wird die universelle Gaskonstante bezeichnet, wenn Ri die speziel-le Gaskonstante eines ganz speziellen Gases ist, das die Molmasse Mi hat.

Gleichung (A.181) ist die sog. Virialform der thermischen Zustandsglei-chung, z. B. Emanuel (1987). Durch diese Gleichung wird das Verhalten des Realgasfaktors Z in seinem gesamten Zustandsbereich so dargestellt, dass zu dem Wert 1 für das ideale Gas durch Addition Korrekturglieder angefügt werden. Die bei reinen Stoffen nur von der Temperatur T abhängigen Funktionen B(T), C(T), D(T), ... werden als zweiter, dritter, vierter ... usw. Virialkoeffizient bezeichnet. Die Virialkoeffizienten berücksichtigen die Wechselwirkungskräfte zwischen den Mo-lekülen eines Gases (abstoßende und anziehende), wobei der 2. Virialkoeffizient B(T) die Wechselwirkungen zwischen Molekülpaaren, der 3. Virialkoeffizient C(T) die Wechselwirkungen zwischen Dreiergruppen von Molekülen, ... usw. be-schreibt, Mason und Spurling (1969). Für zahlreiche Gase sind Werte für die Viri-alkoeffizienten bei Dymond und Smith (1980) zu finden. Luft und Stickstoff kön-nen bis zu Drücken von ca. 10 bar sehr gut als ideales Gas behandelt werden.


Neben der Virialform der Zustandsgleichung, die nur bei moderaten Drücken praktisch anwendbar ist, sind für technisch bedeutende reale Fluide, wie z. B. Luft (Baehr und Schwier, 1961), aber auch für Sauerstoff, Stickstoff, Ammoniak, Was-serdampf usw. zahlreiche empirische Zustandsgleichungen entwickelt worden, die oft aber nur für ganz bestimmte Zustandsbereiche Gültigkeit haben. Abhängig davon, wie viel Konstanten in diesen empirischen Beziehungen auftreten, kann das Verhalten eines realen Fluides damit mehr oder weniger genau beschrieben werden. Die wesentlichen dieser zahlreichen Gleichungen sind bei Emanuel (1987) zu fin-den. Sie zeigen aber auch, dass es offensichtlich nicht möglich ist, einen größeren Zustandsbereich mittels einfacher Gleichungen darzustellen.

Da alle diese empirischen Zustandsgleichungen keine einfache mathematische Form besitzen, ist ihre praktische Auswertung nur mittels EDV und numerischer Methoden möglich, die schließlich zu umfangreichen Tabellen oder Diagrammen führen, wie z. B. zu dem h-s-Diagramm für reale Luft oder für Wasserdampf. Diese Tabellen bzw. Diagramme können dann an Stelle der empirischen Formeln genutzt werden. Der Fortschritt in der Computertechnologie hat dazu geführt, dass diese früher viel benutzten Tabellen und Diagramme mehr und mehr als Zahlen-wertkolonnen in Computerprogrammen integriert wurden, zwischen denen schnell und effektiv interpoliert und manchmal sogar auch extrapoliert werden kann. Mehr und mehr werden auch die diversen Diagrammkurven durch Polynome höherer Ordnung beschrieben.

A.2.7 Einige Eigenschaften heißer Verbrennungsgase

Speziell in Turbinen von Flugzeugtriebwerken sind die Eigenschaften realer Gase auf den Arbeitsprozess nicht zu vernachlässigen. Hier ist insbesondere die Ände-rung der spezifischen Wärmekapazität cp, des Isentropenexponenten und der Enthalpie h mit der Temperatur T zu berücksichtigen. Bei einem Temperaturan-stieg von 2 000 K erhöht sich cp um ca. 26 % und verringert sich um gut 8 %. Der Druck p hingegen wird hinsichtlich des Realgaseinflusses in Flugzeugtrieb-werken nicht mitberücksichtigt, da sein Einfluss erst bei so hohem Druck signifi-kant wird, die für Flugzeugturbinen nicht relevant sind. So wird z. B. bei einem Druckanstieg von 100 bar die spezifische Wärmekapazität nur um 1 % vermindert, Hagen (1982). In Flugzeugtriebwerken liegt der Druckanstieg derzeit aber immer noch unterhalb von 50 bar.

Ein weiterer wichtiger Einfluss für eine Flugzeuggasturbine resultiert aus der Zusammensetzung des Verbrennungsgases, das durch die Turbine strömt und von den Verbrennungsprodukten abhängt. Zwischen cp und besteht folgender Zu-sammenhang:

p ii

c R1 M 1

(A.182)

In Tabelle A-6 sind cp und in Abhängigkeit der Temperatur für reine Luft aufge-listet. Darüber hinaus enthält die Tabelle auch noch die entsprechenden Werte für Verbrennungsgase, für die Verbrennungsprodukte eines Kohlenwasserstoffbrenn-

1498 Anhang A

stoffs (CH2)n mit Luftüberschusszahlen von 2 und 4 zu Grunde liegen. Unter dem Begriff der Luftüberschusszahl wird dabei das folgende Verhältnis verstanden:

stöch BK

BK stöch

B L Lstöch

BK B L L

m m m

m m m (A.183)

Hierin ist das tatsächlich in der Brennkammer vorliegende Brennstoff/Luft-Verhältnis, welches das Verhältnis von Brennstoffmassenstrom zu Luftmassen-strom in der Brennkammer eines Triebwerks darstellt. Mit:

stöch 0.068381 (A.184)

wird das Brennstoff/Luft-Verhältnis bezeichnet (Baehr, 1992), das für eine stöchi-ometrische Verbrennung erforderlich wäre, wenn zusätzlich Dissoziation23 mitzu-berücksichtigen ist, was bei hohen Drücken und Temperaturen auftreten kann.

23 Dissoziation Zerfallen von Molekülen in Ionen. Bei Temperaturen über 1 800 K und beson-

ders ab 2 100 K treten in Verbrennungsgasen neben den bis dahin üblichen Verbrennungspro-dukten (CO2, H2O, SO2, N2) weitere Gase wie CO, OH, H, O und NO auf, was man als Disso-ziation eines Verbrennungsgases bezeichnet. Die Enthalpie eines dissoziierten Verbrennungs-gases ist bei gleicher Temperatur größer als die eines nicht dissoziierten, (Gordon, 1982).

Tabelle A-5: Grundwerte zur Berechnung von Stoffgrößen für reine Luft und Verbrennungsgase nach McBride et. al. (1963). Eine ausführliche Darstellung dazu gibt der Anhang F

Zusammensetzung des Gases

Molmasse Spezifische Gaskonstante

Brennstoff/Luft- Verhältnis in der Brennkammer

Mi Ri kg/kmol J/(kg K) –

Reine Luft 28.96535743 287.04883133 0.00000 Verbrennungsgas mit 4 28.94964456 287.20463162 0.01700 Verbrennungsgas mit 2 28.93446456 287.35530888 0.03400


Tabelle A-6: Stoffgrößen für reine Luft und für Verbrennungsgase mit unterschiedlichen Luft-überschusszahlen in Abhängigkeit der Temperatur T. Der jeweilige Apostroph bei pc und bedeutet, dass der entsprechende Wert zu einem Heißgas gehört. Die Berechnung der Daten basiert auf den theoretischen Ausführungen in Anhang F

T Reine Luft

Verbrennungsgas mit 4

Verbrennungsgas mit 2

cp pc

pc

K J/(kg K) J/(kg K) J/(kg K)

50.0 1001.46 1.402 100.0 1001.46 1.402 150.0 1001.46 1.402 200.0 1001.49 1.402 250.0 1002.31 1.401 300.0 1004.83 1.400 1019.87 1.392 1034.42 1.385 350.0 1008.00 1.398 1025.32 1.389 1042.08 1.381 400.0 1013.46 1.395 1032.72 1.385 1051.35 1.376 450.0 1020.85 1.391 1041.76 1.381 1061.99 1.371 500.0 1029.79 1.386 1052.14 1.375 1073.76 1.365 550.0 1039.94 1.381 1063.56 1.370 1086.41 1.360 600.0 1051.01 1.376 1075.77 1.364 1099.71 1.354 650.0 1062.67 1.370 1088.49 1.358 1113.45 1.348 700.0 1074.67 1.364 1101.48 1.353 1127.41 1.342 750.0 1086.75 1.359 1114.52 1.347 1141.38 1.336 800.0 1098.67 1.354 1127.39 1.342 1155.16 1.331 850.0 1110.22 1.349 1139.88 1.337 1168.57 1.326 900.0 1121.22 1.344 1151.82 1.332 1181.41 1.321 950.0 1131.48 1.340 1163.02 1.328 1193.53 1.317 1000.0 1140.88 1.336 1173.34 1.324 1204.74 1.313 1100.0 1157.47 1.330 1191.77 1.318 1224.94 1.306 1200.0 1172.55 1.324 1208.52 1.312 1243.31 1.301 1300.0 1186.23 1.319 1223.71 1.307 1259.97 1.295 1400.0 1198.62 1.315 1237.48 1.302 1275.05 1.291 1500.0 1209.83 1.311 1249.92 1.298 1288.69 1.287 1600.0 1219.96 1.308 1261.15 1.295 1301.00 1.283 1700.0 1229.10 1.305 1271.29 1.292 1312.08 1.280 1800.0 1237.34 1.302 1280.41 1.289 1322.07 1.278 1900.0 1244.78 1.300 1288.64 1.287 1331.05 1.275 2000.0 1251.50 1.298 1296.04 1.285 1339.12 1.273 2100.0 1257.56 1.296 1302.72 1.283 1346.39 1.271 2200.0 1263.05 1.294 1308.74 1.281 1352.93 1.270 2300.0 1268.03 1.293 1314.19 1.280 1358.83 1.268 2400.0 1272.57 1.291 1319.13 1.278 1364.17 1.267 2500.0 1276.72 1.290 1323.64 1.277 1369.01 1.266

1500 Anhang A

Tab

elle

A-7

: (T

eil 1

) A

usge

wäh

lte S

toff

größ

en v

on L

uft a

ls R

ealg

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ängi

gkei

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Tem

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tur

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et.

al. (

1960

)

T

K

Dru

ck p

1 01

3 hP

a (1

bar

)

Dru

ck p

10 1

30 h

Pa (

10 b

ar)

Dru

ck p

101

300

hPa

(100

bar

) c p

Z

c p

Z

c p

Z

J/(k

gK

)

kg/m

³

J/(k

gK

)

kg/m

³

J/(k

gK

)

kg/m

³

20

0 1

006.

423

1.40

57

1.76

906

0.99

767

1 04

5.69

0 1.

4489

18

.072

1 0.

9766

6 1

744.

922

2.13

76

217.

755

0.81

050

25

0 1

005.

419

1.40

36

1.41

334

0.99

906

1 02

7.32

0 1.

4284

14

.251

0 0.

9908

2 1

281.

064

1.69

90

149.

933

0.94

170

30

0 1

006.

337

1.40

17

1.17

696

0.99

970

1 02

0.43

1 1.

4177

11

.799

4 0.

9971

7 1

161.

368

1.57

11

118.

459

0.99

330

35

0 1

009.

236

1.39

93

1.00

860

1.00

002

1 01

8.99

6 1.

4104

10

.082

1 1.

0003

5 1

111.

423

1.51

09

99.1

146

1.01

760

40

0 1

014.

202

1.39

61

0.88

227

1.00

019

1 02

1.29

2 1.

4041

8.

8071

7 1.

0020

5 1

087.

311

1.47

52

85.6

924

1.02

990

45

0 1

021.

206

1.39

20

0.78

425

1.00

029

1 02

6.74

6 1.

3979

7.

8205

5 1.

0029

7 1

076.

404

1.44

98

75.7

098

1.03

620

50

0 1

029.

961

1.38

71

0.70

576

1.00

034

1 03

4.20

9 1.

3918

7.

0356

5 1.

0034

8 1

073.

246

1.43

21

67.9

255

1.03

930

55

0 1

040.

179

1.38

18

0.64

163

1.00

037

1 04

3.68

1 1.

3854

6.

3942

8 1.

0037

4 1

074.

969

1.41

70

61.6

800

1.04

060

60

0 1

051.

316

1.37

60

0.58

809

1.00

038

1 05

4.30

2 1.

3788

5.

8602

4 1.

0038

5 1

080.

135

1.40

41

56.5

205

1.04

080

65

0 1

063.

085

1.37

02

0.54

283

1.00

038

1 06

5.49

6 1.

3726

5.

4102

5 1.

0038

8 1

087.

024

1.39

31

52.1

887

1.04

050

70

0 1

075.

112

1.36

46

0.50

404

1.00

038

1 07

7.26

5 1.

3664

5.

0236

2 1.

0038

5 1

095.

635

1.38

32

48.5

034

1.03

970

75

0 1

087.

082

1.35

91

0.47

055

1.00

038

1 08

8.74

7 1.

3606

4.

6887

1 1.

0037

9 1

104.

534

1.37

45

45.3

095

1.03

890

80

0 1

098.

793

1.35

40

0.44

107

1.00

037

1 10

0.51

5 1.

3551

4.

3964

7 1.

0037

1 1

114.

293

1.36

65

42.5

152

1.03

790

85

0 1

110.

562

1.34

90

0.41

521

1.00

036

1 11

1.71

0 1.

3499

4.

1378

6 1.

0036

1 1

123.

766

1.35

95

40.0

583

1.03

670

90

0 1

121.

182

1.34

50

0.39

206

1.00

035

1 12

2.33

0 1.

3452

3.

9089

8 1.

0035

1 1

132.

951

1.35

33

37.8

743

1.03

560

95

0 1

132.

090

1.34

00

0.37

145

1.00

034

1 13

3.23

8 1.

3406

3.

7033

8 1.

0034

1 1

142.

423

1.34

76

35.9

205

1.03

440

1 00

0 1

142.

136

1.33

60

0.35

288

1.00

033

1 14

3.28

4 1.

3364

3.

5184

7 1.

0033

1 1

151.

608

1.34

23

34.1

619

1.03

330

1 10

0 1

161.

368

1.32

90

0.32

080

1.00

031

1 16

2.22

9 1.

3288

3.

1990

8 1.

0031

1 1

168.

831

1.33

30

31.1

193

1.03

120

1 20

0 1

179.

451

1.32

20

0.29

407

1.00

029

1 18

0.02

6 1.

3221

2.

9327

1 1.

0029

3 1

185.

480

1.32

54

28.5

809

1.02

920

1 30

0 1

197.

248

1.31

60

0.27

146

1.00

028

1 19

7.82

2 1.

3156

2.

7077

1 1.

0027

5 1

202.

415

1.31

81

26.4

280

1.02

750

1 40

0 1

214.

183

1.31

00

0.25

207

1.00

026

1 21

4.75

8 1.

3098

2.

5150

4 1.

0025

9 1

218.

489

1.31

17

24.5

776

1.02

590


Tab

elle

A-7

: (T

eil 2

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202

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2.

2008

2 1.

0023

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251.

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21.5

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320

1 70

0 1

268.

147

1.29

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2.

0715

1 1.

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1.

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310.

629

1.28

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574

1.00

027

1 30

4.27

3 1.

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1.

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8 1.

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740

1.28

60

18.2

182

1.01

980

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0 1

338.

185

1.27

40

0.17

644

1.00

035

1 32

4.12

0 1.

2780

1.

7611

8 1.

0019

6 1

321.

824

1.28

10

17.3

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1.01

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2 10

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372.

343

1.26

70

0.16

800

1.00

060

1 34

6.79

6 1.

2720

1.

6771

3 1.

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340.

768

1.27

60

16.5

126

1.01

800

2 20

0 1

419.

992

1.25

90

0.16

033

1.00

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1 37

2.05

6 1.

2670

1.

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3 1.

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0 1

358.

852

1.27

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15.7

743

1.01

720

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0 1

486.

585

1.24

90

0.15

326

1.00

140

1 40

4.49

2 1.

2600

1.

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0 1.

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379.

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15.0

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1.01

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574.

133

1.23

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0.14

674

1.00

230

1 44

2.66

8 1.

2540

1.

4676

5 1.

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402.

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10

14.4

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1.01

600

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688.

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1 48

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5 1.

2470

1.

4081

6 1.

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1502 Anhang A

A.3 Einige Grundlagen rechtsläufiger Kreisprozesse

Ein thermodynamischer Prozess, bei dem sich ein System nach Durchlaufen einer Folge von Zustandsänderungen wieder im Ausgangszustand befindet, nennt man einen Kreisprozess. In einem Kreisprozess heben sich sämtliche Änderungen in den Zustandsgrößen jeweils wieder auf, d. h., wenn bei einem Ablauf von Zu-standsänderungen z. B. Temperatur, Druck und Volumen zugenommen haben, so müssen sie in einem weiteren Ablauf von Zustandsänderungen auch wieder ab-nehmen. Hieraus ergibt sich der sog. Erste Hauptsatz für Kreisprozesse, der besagt, dass die Summe aller in einem Kreisprozess durchlaufenen Zu- und Ab-fuhren an Wärme und Arbeit gleich null ist:

i,i 1

i n i n

i,i 1 techi 1 i 1

q w 0 (A.185)

Hierin sind die spez. Arbeit w und die spez. Wärme q gleichwertige Energieformen, die ineinander überführt werden können. Da es sich bei Triebwerken und Turboma-schinen um sog. offene Systeme handelt, tritt neben Arbeit und Wärme auch noch eine Masse m bzw. ein Massenstrom m über die Systemgrenzen hinweg. Die hier im Buch gemachten Betrachtungen gehen davon aus, dass die in ein System eintre-tenden Massenströme gleich dem austretenden Massenstrom sind, sodass es zu keiner zeitlichen Änderung der beteiligten Massen kommt. Dasselbe gilt auch für die Arbeiten und Wärmen. Innerhalb des Systems (Triebwerk oder Turbomaschine) kommt es nicht zu einer Energiespeicherung. Ein solcher Fall wird als stationäre Strömung bezeichnet. Ein Triebwerk bzw. seine Turbomaschinen Verdichter und Turbine werden aus thermodynamischer Sicht unter solchen Umständen als ein offenes, stationär durchströmtes System bezeichnet. Hinzu kommt, dass für unse-re Betrachtungen alle Zustandsgrößen (Druck, Temperatur, Volumen, Dichte, Enthalpie, …) über die Ein- und Austrittsquerschnitte gleichmäßig und einheitlich verteilt sein sollen, d. h., zu den Rändern hin soll es keinen Reibungseinfluss in den Strömungen geben, der dort zum einen die Geschwindigkeiten null werden lassen würde und zum anderen die Wandtemperatur infolge der Reibung anheben würde.

Bei einer solchen Betrachtungsweise ist es nicht erforderlich, dass man über die Vorgänge im Inneren des Systems (Triebwerk, Turbomaschine) informiert ist. Es reicht vielmehr aus, lediglich zu wissen, welche Arbeiten, Wärmen und Massen über die Systemgrenze treten, um die aus dem System gewinnbare Arbeit (Nutzar-beit) bestimmen zu können, was man als Blackbox-Prinzip24 bezeichnet. Alles dies führt zu der Aussage, dass die innere Energie innerhalb des Bezugsraumes eines offenen und stationär durchströmten Systems unveränderlich und damit konstant ist. Von dieser Eigenschaft haben wir bereits bei Gl. (A.1) Gebrauch gemacht.

24 Blackbox (englisch schwarze Kiste) ist ein beliebiges Objekt, dessen innerer Aufbau und innere

Funktionsweise unbekannt oder als nicht weiter von Bedeutung angesehen wird. Von Interesse ist nur das, was außen auf oder an der Blackbox passiert. Dieser Begriff stammt ursprünglich aus der militärischen Fernmeldetechnik und bezeichnete erbeutetes Feindmaterial, das wegen der mögli-cherweise darin enthaltenen Sprengladung nicht geöffnet werden konnte oder sollte.

A.3 Einige Grundlagen rechtsläufiger Kreisprozesse 1503

Lediglich die innere Energie, der über die Systemgrenzen ein- und austretenden Massen können eine Änderung erfahren, was wir in Gl. (A.3) mittels der Einfüh-rung der Zustandsgröße Enthalpie berücksichtigt haben.

Bei den Kreisprozessen unterscheidet man zwei grundlegende Typen, von de-nen aber schließlich nur einer hinsichtlich des Inhaltes dieses Buches wirklich von Interesse ist:

– Rechtslaufende Kreisprozesse. Sie gehören zu den sog. Wärmekraftmaschinen, das sind solche Maschinen, die in einem Kreisprozess zugeführte Wärme in mechanische Wellenleistung umwandeln: z. B. Kolbenmotor (Otto- und Die-sel-Prozess), Gasturbine (Joule- und Ericson-Prozess), Heißgasmotor (Ster-ling-Prozess), ... .

– Linkslaufende Kreisprozesse. Sie gehören zu den Kältemaschinen oder Wär-mepumpen, das sind solche Maschinen, die mittels mechanischer Energie (Wellenleistung) Wärme von einem niedrigen in ein höheres Temperaturni-veau in einem Kreisprozess bringen.

Für die Triebwerke und Turbomaschinen sind von daher nur die rechtslaufenden Kreisprozesse von wesentlicher Bedeutung, also diejenigen, bei denen Brenn-kammerwärme in Wellenleistung und/oder Strahlschub gewandelt wird.

A.3.1 Carnotprozess und Carnotfaktor

Der Carnotprozess ist ein Kreisprozess von besonders hervorgehobener Bedeutung in der Thermodynamik. Er ist im Wesentlichen als ein rein theoretischer Prozess anzusehen, da er nicht sinnvoll in die Praxis umzusetzen ist. Seine herausgehobe-ne Bedeutung liegt aber darin, dass er hinsichtlich der Wandlung von Wärme in mechanische Arbeit ein einzigartiger und damit optimaler Prozess ist, der von keinem anderen Kreisprozess, der zwischen denselben Minmal- und Maximalwer-ten von Druck und Temperatur arbeitet, übertroffen werden kann. Von daher ist es üblich, die Güte aller anderen technisch realisierbaren Kreisprozesse an ihm zu messen. Der Carnotprozess wurde von dem französischen Ingenieur-Offizier Ni-colas Léonard Sadi Carnot25 entwickelt. Den Prozess kann man sich so vorstellen, dass er aus zwei Verdichtern und zwei Turbinen besteht, Bild A-22. Der erste Verdichter und die erste Turbine arbeiten jeweils isotherm, während der zweite Verdichter und die zweite Turbine jeweils isentrop arbeiten. Dabei ist es erforder-lich, dass er erste Verdichter gekühlt wird (Wärmeabgabe, qab), um so eine iso-therme Verdichtung zu realisieren und dass die erste Turbine erwärmt wird (Wär-mezufuhr, qzu), um so eine isotherme Expansion zu gewährleisten. Der Carnotpro- 25 Nicolas Léonard Sadi Carnot (*1796 †1832). Er arbeitet theoretisch an der Verbesserung der

1712 erstmals von Thomas Newcomen entwickelten Dampfmaschine; James Watt verbesserte diese Maschine später zwar ganz erheblich, erfand sie aber nicht. Das Ergebnis von Carnot erschien 1824 in der 43-seitigen Schrift Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance (Betrachtungen über die bewegende Kraft des Feuers und die zur Entwicklung dieser Kraft geeigneten Maschinen). Diese Arbeit war die Ge-burt eines ganz neuen Zweiges der technischen Wissenschaften, nämlich der Technischen Thermodynamik. Carnot starb im Alter von nur 36 Jahren während einer Cholera-Epidemie.

1504 Anhang A

zess funktioniert in erster Linie wie jede zyklisch, d. h., in einem Kreisprozess arbeitende Maschine, was bedeutet, dass sie Wärme aufnimmt und Wärme abgibt. Dabei ist es aber das Besondere, dass der Carnotprozess zwischen zwei konstanten Temperaturniveaus arbeitet. In jedem reversiblen (verlustfreien) Kreisprozess bestimmt sich die spez. Nutzarbeit wN, das ist die Arbeit, die der Kreisprozess nach außen als nutzbare Energie abgibt, aus der Differenz zwischen zu- und abgeführter Wärme. Dass die Nutzarbeit nach außen abgegeben wird, ist sie per Definition – wie alle anderen abgegebenen Energien auch – negativ. Der Einfachheit wegen wollen wir hier stets die Beträge der abgegebenen Energien betrachten, d. h.:

N N zu ab

N zu ab

w : w q q

w q q (A.186)

In Bild A-22 ist zu sehen, dass wN der vom Kreisprozess eingeschlossenen Fläche entspricht. Die zugeführte spezifische Wärme qzu ist positiv und die abgeführte spezifische Wärme qab negativ. Entsprechend Gl. (A.14) kann man für Gl. (A.186) auch schreiben:

p T

1

2

3

4p4

p2

v3 v2 v1v4

qab

qzu

p3

T = T = T = const

3

4

max

s = s

=const

1

4

4

1

2

3

p > p > p > p3 4 2 1

T = T3 4

T = T2 1

3

3

= 1/v

4

4

= 1

/v

2

2

= 1/v

= 1/v 4

qzuTmax

Tminp = p

1

min

p = p

max

3

1

2

3

4

13

isothermerVerdichter

isothermeTurbine

isentroperVerdichter

isentropeTurbine

VT = constVs = const TT = const Ts = const

gedachte Schließung des Kreisprozesses

qzuqab

wN

wNwN

gemeinsame

Welle

p2

p4

p1

s = s

=const

2

3

T = T = T = const

21

max

qab

s s34 12

s = s2 3 s = s1 4

Bild A-22: Darstellung des Carnotprozesses im p-v- und im T-s-Diagramm und als eine fiktiveTurbomaschine, in Form eines stationär durchströmten offenen Systems


4 2 4 2

N zu ab max min

3 1 3 1

max 4 3 min 2 1

N 34 max 12 min max min

w q q T ds T ds T ds T ds

T s s T s s

w s T s T s T T (A.187)

Die Temperaturen sind jeweils konstant und können deswegen vor das entsprechen-de Integral gesetzt werden. Aus Bild A-22 (oben rechts) sieht man, dass außerdem

s | s12| s34 gilt. Da für die zugeführte spezifische Wärme entsprechend der obigen Darstellung auch s qzu / Tmax gilt, ergibt sich aus Gl. (A.187):

zu minN max min max min zu

max max

q Tw s T T T T q 1

T T (A.188)

Das Verhältnis von gewonnener Arbeit |–wN| (Nutzen) zu aufgewandter Wärme qzu (Aufwand) wird per Definition als thermischer Wirkungsgrad bezeichnet:

Nth

zu

wNutzen:

Aufwand q (A.189)

Mit Gl. (A.188) ergibt sich daraus sofort der thermische Wirkungsgrad des Car-notprozesses, der auch als Carnotfaktor Car bezeichnet wird:

Carnot

minth th Car

max

T: 1

T (A.190)

Der Carnotfaktor ist der thermische Wirkungsgrad einer reversibel arbeitenden Wärmekraftmaschine. Er hängt nicht vom Aufbau der Wärmekraftmaschine oder dem verwendeten Arbeitsmedium, sondern nur vom Temperaturverhältnis Tmin/Tmax ab. Die Umgebungstemperatur begrenzt dabei den Wirkungsgrad einer solchen hypothetischen idealen Maschine dadurch, indem sie das System ist, das die abge-gebene Wärme aufnehmen kann.

Wollte man in den in Bild A-22 im T-s-Diagramm dargestellten Carnotprozess bei gleichem Tmax und Tmin einen beliebig anderen Prozess einzeichnen, der diesel-be umfahrene Fläche und damit dasselbe |–wN| qzu – |–qab| hat wie der ursprüng-liche Carnotprozess, so ist dies nur dann möglich, wenn qzu und qab jeweils um denselben Faktor größer ausfallen. Wenn aber bei |–wN| const. die spez. Wärme qzu größer ausfällt als beim ursprünglichen Carnotprozess, so wird nach Gl. (A.189) der thermische Wirkungsgrad schlechter werden. Der Carnotprozess liefert also den besten Weg bzw. den besten thermischen Wirkungsgrad26, um Wärme in Ar-

26 Dieses bedeutet aber nicht, dass es nicht andere Prozesse gibt, die denselben thermischen

Wirkungsgrad erreichen wie der Carnotprozess. Hier sind insbesondere der Ericson- und der Sterling-Prozess zu nennen. Beide haben einen thermischen Wirkungsgrad, der gleich dem Carnotfaktor nach Gl. (A.190) ist. Beide Prozesse arbeiten – wie der Carnotprozess – mit iso-thermen Kompressionen und Expansionen, also mit Vorgängen, deren technische Realisierung vergleichsweise schwierig ist. Daraus ist aber dennoch als Grunderkenntnis mitzunehmen, dass eine Kreisprozessoptimierung immer auf isotherme oder zumindest auf angenäherte isotherme

1506 Anhang A

beit zu wandeln. Der thermische Wirkungsgrad des Carnotprozesses kann von keinem anderen Kreisprozess übertroffen werden.

Aus Gl. (A.190) ist zu sehen, dass der Carnotfaktor dann gut ausfällt, wenn die Mi-nimaltemperatur gering und/oder die Maximaltemperatur hoch ist. Hierbei ist prak-tisch Tmin die kleinste auf der Erde denkbare Umgebungstemperatur T0, die grob ge-schätzt bei ca. Tmin T0 200 K angesiedelt sein dürfte. Die Temperatur Tmax wird durch die Festigkeit der verwendeten Werkstoffe bestimmt. Für einen Schätzwert von Tmax 2 000 K ergäbe sich also der beste von einer Wärmekraftmaschine überhaupt erreichbare thermische Wirkungsgrad zu th, opt Car 1 – (200/2 000) 0.9. Unter mehr „normaleren“ Randbedingungen, Tmin 300 K und Tmax 1 100 … 1 500 K, sind aber Zahlenwerte von 0.7 … 0.8 praktisch nicht überschreitbar.

A.3.2 Thermodynamische Mitteltemperatur

Mittels Gl. (A.189) kann nun aber auch geschrieben werden:

N N N Nth

ththzu zuzu zu

w w w w

q T sT ds T ds (A.191)

Sieht man vom Sonderfall des Carnotprozesses einmal ab, so wird in der Regel qzu nicht bei einer konstanten Temperatur aufgenommen, sondern in einem Tempera-turintervall. Will man den Carnotfaktor zum Vergleich eines Kreisprozesses he-ranziehen, bei dem die Wärme qzu in einem Temperaturintervall zugeführt wird, so muss man für dieses Intervall die sog. thermodynamische Mitteltemperatur thT bestimmen. Der solchermaßen gebildete Carnotfaktor heißt dann:

0Car

th

T1

T (A.192)

Dieses ist der auf die Umgebungstemperatur bezogene Carnotfaktor, der maßgebend für den Exergiegehalt27 eines Wärmestroms ist. Hierin ist T0 die Umgebungstempe-ratur. Bild A-23 zeigt eine mögliche Wärmezufuhr qzu qEA zwischen zwei Zu-standspunkten E und A im T-s-Diagramm, für die im Folgenden die thermodyna-mische Mitteltemperatur gebildet werden soll. Die damit verbundene reversible Entropieänderung infolge Wärmetransports über die Systemgrenze ist dann:

A

EA

E

Tzu

EArevthT

qdqdq T ds s

T T (A.193)

Druckänderungen hinausläuft. Wir werden in Kap. 7, bei der Behandlung sog. rekuperativer Gasturbinen, auf diese Eigenschaft treffen.

27 Exergie ist der Teil der Energie, der sich beliebig umwandeln lässt. Sie ist daher technisch besonders wertvoll. Die Exergie eines Wärmestroms ist umso größer, je höher dessen Tempe-ratur ist. Wärme auf Umgebungsniveau ist reine Anergie, daher lässt sich die Energie der Um-gebung nicht umwandeln bzw. technisch nutzen.


Aus diesem Ausdruck ergibt sich die Ausgangsdefinition der thermodynamischen Mitteltemperatur thT :

EA

zuEA

zuEAth

EA q

qqT

s s (A.194)

Die thermodynamische Mitteltemperatur thT kennzeichnet den Entropiegehalt des zugeführten Wärmestroms. Ist thT groß, so ist nach Gl. (A.194) der begleitende Entropietransport sEA klein, sodass auch weniger Entropie mit der Abwärme abtransportiert werden muss. Das Bild A-24 verdeutlicht dies sehr anschaulich. Die beiden dargestellten Kreisprozesse haben jeweils dieselbe eingeschlossene Fläche |–wN| und geben damit dann auch dieselbe Leistung ab. Der linke Prozess hat aber eine hohe thermodynamische Mitteltemperatur thT während der rechte eine niedrigere hat. Es ist deutlich zu sehen, dass die Endtemperatur Tex (Abgas-temperatur) des linken Prozesses deutlich niedriger ausfällt als die des rechten. Von daher sind hohe thermodynamische Mitteltemperaturen ein wünschenswertes Ziel, da sich dadurch der Anteil von qzu vergrößert, der für die mechanische Leis-tungsgewinnung |–wN| qzu – |–qab| genutzt werden kann, während sich gleichzei-tig der Abgaswärmestrom qab verringert.

Die zugeführte spezifische Wärmeenergie soll nun aus dem ersten Hauptsatz entsprechend Gl. (A.7) ermittelt werden:

EA

2 2tech EA A E A E

pEA A E A E

w q h h 0.5 c c

q h h c T T (A.195)

In dieser Gleichung wurde berücksichtigt, dass während einer reinen Wärmezu-fuhr qzu qEA keine Umsetzung an technischer Arbeit wtech, EA 0 stattfindet und dass die Ein- und Austrittsgeschwindigkeiten nicht groß unterschiedlich vonein-ander sein sollen: cE cA. Die Enthalpie h wurde entsprechend der Gl. (A.102) durch h pc T ersetzt. Zusammen mit Gl. (A.194) erhält man dann:

E

ATA

TE

thT

T

s

A

EA

E

EA

rev

T

EA EAQ

EA thT

EAth EA

Q

dq Tds

q qdqs

T T T

q WärmeT T

s aufgen. Entropietransports sE AEAQs

q = qzu zu EA

thermodynamischeMitteltemperatur

Bild A-23: Zur Grunddefinition der thermodynamischen Mitteltemperatur. Die Isobaren sindvereinfachend als Geraden dargestellt.

1508 Anhang A

zu EA

p A E revth

q

c T TT

s (A.196)

Hierin ist sqzu EA die Entropieänderung infolge der Wärmezufuhr bzw. des Trans-ports an Wärme über die Systemgrenze. Allgemein ist die Entropie sEA aber die Summe aus transportierter und produzierter Entropie, also die Folge von Wärme-zufuhr und Dissipation, vgl. z. B. Gl. (A.15):

zu irr zu irrEAEA

zu irrEA

EA q EA q EA EA

q A E EA

s s s s s s

s s s s (A.197)

Die Kombination der Gln. (A.196) und (A.197) ergibt dann:

irr

p A Eth

A E EA

c T TT

s s s (A.198)

Aus Gl. (A.195) erhält man:

EAEA zu irr p A E irr

irr irr

irr irr

q q q c T T q

dq dh dq dh T ds

dh dq T ds T ds T ds

irr

dhds ds

T (A.199)

E

ATA

TE

T

s

E

ATA

TE

thT

T

s

thT

Tex

Tex

| w |N | w |N

thT

Tex

sEA sEA

Flächengleichheit|w | = constN

AbgastemperaturAbgas-temperatur

q = qzu EA

q = qzu EA

Bild A-24: Zur Auswirkung der thermodynamischen Mitteltemperatur auf die Abgastemperaturzweier Gasturbinenkreisprozesse gleicher Leistungsabgabe. Die Isobaren sind vereinfachend alsGeraden dargestellt; links Prozess mit hoher thermodynamischer Mitteltemperatur, rechts Pro-zess mit geringerer thermodynamischer Mitteltemperatur


Die infinitesimale Entropieänderung ds in dieser Gleichung wird nun mittels der Gibbsschen Fundamentalbeziehung (A.70) ersetzt und man erhält:

irr

dh vds dp

T Tdh v dh v

ds dp dpT T T T

(A.200)

Wird dieser Ausdruck nun integriert und außerdem von der thermischen Zustands-gleichung (A.94) p v Ri T bzw. v / T Ri / p Gebrauch gemacht, so erhält man:

irr

irr

A A

EA i

E E

AEA i

E

v dps dp R

T p

ps R ln

p (A.201)

Greift man nun noch auf Gl. (A.111) zurück, so erhält man für den Ausdruck unter dem Bruchstrich in Gl. (A.198) das folgende Ergebnis:

irr irr

A A ApEA EA A E EA i i

E E E

T p ps s s s s c ln R ln R ln

T p p (A.202)

Wird dieser Ausdruck nun in Gl. (A.198) eingesetzt und von p pc c ausgegan-gen, so erhält man schließlich den nachfolgenden Ausdruck zur Berechnung der thermodynamischen Mitteltemperatur:

A Eth

A

E

T TT

Tln

T

(A.203)

Für TE 555 K und TA 1 050 K ergibt sich beispielsweise die thermische Mit-teltemperatur zu thT 776.4 K. Damit ist sie geringer als der arithmetische Mit-telwert, der 802.5 K betragen würde. Für TE 850 K und TA 1 800 K ergibt sich die thermische Mitteltemperatur zu thT 1 266.2 K und der arithmetische Mittelwert zu 1 325 K. Bei einer Wärmezufuhr zwischen TE und TA liegt also die thermodynamische Mitteltemperatur immer unterhalb des arithmetischen Mittel-werts, was in den Bildern A-22 und A-23 zeichnerisch berücksichtigt wurde.

Anhang B Kompressible, isentrope Strömungen idealer Gase

B.1 Schallgeschwindigkeit

Das wesentliche Strömungsmedium in einem Strahltriebwerk kann unter dem Oberbegriff Gas zusammengefasst werden. Vom Triebwerkseintritt bis zur rennkammer handelt es sich dabei um Luft, das als ideales Gas angesehen wird, und vom Turbineneintritt bis zum Triebwerksaustritt handelt es sich um ein Verbrennungsgas, das als reales Heißgas (Abgas) anzusehen ist.

In einem Triebwerk werden vielerorts Strömungsgeschwindigkeiten erreicht, die der Schallgeschwindigkeit nahe kommen bzw. diese überschreiten. Solche Geschwindigkeitsbereiche können nicht mehr ausreichend präzise mit den Gleichungen der inkompressiblen Strömungen beschrieben werden. Es ist zu-sätzlich die Kompressibilität (Zusammendrückbarkeit) der Gase zu berücksich-tigen, sodass es bei nahezu allen Strömungsvorgängen in Triebwerken unerläss-lich ist, kompressible Strömungen (Gasdynamik) zu betrachten. Die wesentli-che Bezugsgeschwindigkeit der Gasdynamik ist die Schallgeschwindigkeit a, die als Fortpflanzungsgeschwindigkeit einer schwachen Druckstörung in ei-nem ruhenden Gas interpretiert wird.

Mit einem Gedankenexperiment (Anderson, 1991) soll der Begriff der schwachen Störung veranschaulicht werden. Dazu wird ruhende Luft in einem geschlossenen Raum betrachtet, die aus einer Vielzahl von Molekülen besteht, die sich zu unterschiedlichen Zeitpunkten mit unterschiedlichen lokalen Ge-schwindigkeiten und Energien vollkommen zufällig in diesem Raum bewegen. Werden diese Geschwindigkeiten und Energien über einen gewissen Zeitraum aufsummiert, so ergibt sich dadurch der zeitliche Mittelwert dieser Molekular-geschwindigkeiten und -energien, die bei idealen Gasen nur eine Funktion der Temperatur sind (vgl. Anhang A, Kap. A.2.2). Man stellt sich nun vor, dass in diesem Raum ein Feuerwerkskörper detoniert. Die Energie, die dieser freisetzt, wird von den ihn direkt umgebenden Luftmolekülen aufgenommen, was dazu führt, dass sich der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeiten dieser Moleküle erhöht. Die schnelleren Moleküle kollidieren als Reaktion darauf mit ihren Nachbarmolekülen und übertragen so einen Teil ihrer gerade aufgenommenen Energie auf weitere Moleküle, die diese Energien dann ihrerseits an ihre Nach-barmoleküle weitergeben. Auf diese Art und Weise wird die aus der Detonation des Feuerwerkskörpers resultierende Energie – einer Welle gleich – durch den Raum getragen. Diese Energiewellen bewegen sich mit einer Geschwindigkeit durch den Raum, die irgendetwas mit der mittleren Molekulargeschwindigkeit zu tun haben muss, da es ja die molekularen Kollisionen sind, die diese Wellen sich im Raum ausbreiten lassen. Durch die Wellen kommt es zu einem lokalen


1512 Anhang B

Anstieg der molekularen Energie, wodurch sowohl der Druck als auch die Dichte und die Temperatur örtlich leicht mit ansteigen. Wenn nun eine dieser Wellen ein menschliches Ohr erreicht, so werden diese schwachen Druckände-rungen über das Trommelfell an das Gehirn weitergeleitet und als Geräusch (Schall) wahrgenommen. Deswegen werden diese Arten von schwachen Wellen (schwache Druckstörungen) auch als Schallwellen bezeichnet. Die Druckände-rungen solcher akustischer Wellen (Schwingungen) erfolgen i. Allg. mit einer so hohen Frequenz, dass es in der Luft (Gas) zu keinem nennenswerten Wär-meaustausch mit der weiteren Umgebung kommen kann. Man sagt deshalb auch, dass schwache Störungen sich in einem Gas isentrop ausbreiten.

Bild B-1 veranschaulicht den Begriff der Schallgeschwindigkeit, indem es zeigt, wie sich schwache Druckstörungen (Schallwellen) in einem ruhenden Gas ausbreiten. Dazu wird eine ruhende Gasmasse, die den Druck p0 und die Dichte 0 hat, in einem weiten Rohr mit dem Kreisquerschnitt A betrachtet. Das Rohr ist auf der rechten Seite gasdicht abgeschlossen und wird auf der linken Seite durch einen ebenfalls gasdichten, aber beweglichen Kolben begrenzt. Durch ei-ne kurze, ruckartige Anfahrbewegung des Kolbens, der sich dann mit gleich bleibender Geschwindigkeit kontinuierlicher weiterbewegt, wird lokal – im Nahbereich des Kolbens – das Gas zusammengedrückt und so eine örtlich be-grenzte Druckerhöhung eingeleitet, die sich als schwache Druckwelle in das ruhende Gas hinein – mit der Geschwindigkeit a – ausbreitet. Derjenige Teil der Gasmasse, über den der Druckanstieg bereits weggegangen ist, besitzt da-nach die Geschwindigkeit c, mit dem das Gas der Druckstörung hinterher strömt. Die Geschwindigkeit c ist kleiner als die Ausbreitungsgeschwindigkeit a. Die Drucksteigerung p findet in einem Übergangsgebiet der Breite b statt. Dieses Gebiet bewegt sich – genau wie die schwache Druckwelle – mit der Ge-schwindigkeit a durch das ruhende Gas. Zur weiteren Vorgehensweise werden nun die folgenden zwei Annahmen getroffen:

Bild B-1: Zur Veranschaulichung des Berechnungsvorganges einer Druckstörung in einem Rohr

B.1 Schallgeschwindigkeit 1513

p p1 – p0 p0 die Druckerhöhung p ist klein gegenüber dem ur-sprünglichen Druck p0,

1 – 0 0 die durch die Kompression bewirkte Dichteerhöhung ist klein gegenüber der ursprünglichen Dichte 0.

Anstelle des bewegten Übergangsgebietes wird jetzt ein stehendes Gebiet mit Ein- und Ausströmung betrachtet, d. h., es wird so getan, als würde sich ein Beobachter zusammen mit dem Übergangsgebiet durch das Gas bewegen, Bild B-2. Die in das Gebiet einströmende Geschwindigkeit ist jetzt –a. Das negative Vorzeichen resultiert daraus, dass das sich ursprünglich von links nach rechts bewegende Übergangsgebiet (positive Bewegungsrichtung), aufgrund des Prinzips des mit-bewegten Beobachters, nun stillsteht, und deswegen von rechts nach links durchströmt wird (negative Bewegungsrichtung). Von dieser Vorzeichenrege-lung sind nur Geschwindigkeiten und Kräfte betroffen, da Drücke und Dichten richtungsunabhängig sind.

Auf das Übergangsgebiet in der Mitte von Bild B-2 wird nun die Kontinui-tätsgleichung angewendet, nach der ein- und austretende Massenströme gleich groß sein müssen:

0 00

a A a c A c a (B.1)

Auf das Übergangsgebiet im rechten Teil von Bild B-2 wird des Weiteren der Impuls-satz der Strömungsmechanik angewendet:

0 0

0 0

0 a c a c A a a A

p p A p A

Durch Ausmultiplizieren und Umstellen ergibt sich hieraus:

2

0 0

p0 a 2 a c (B.2)

-a + c

A (p + p)0

-a + c

2DA

4

D

1 0 1 0

1 0 1 0

c a c c a c

p p p p p p

Bild B-2: Das Übergangsprinzip unter dem Gesichtspunkt des mitbewegten Beobachters

1514 Anhang B

Das Zusammenführen von Kontinuitätsgleichung (B.1) und Impulssatz (B.2) ergibt die so genannte Laplace’sche Form der Schallgeschwindigkeit:

2 2p dpa bzw. a

d (B.3)

Es ist zu sehen, dass der Differenzialquotient dp/d vom Kompressionsgesetz p( ) abhängt und vollkommen unabhängig von der Breite b des Übergangsgebietes ist. Innerhalb einer schwachen Schallwelle, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit durch die Gl. (B.3) beschrieben wird, sind alle physikalischen Änderungen klein, sodass auch alle Gradienten der verschiedenen Strömungsgrößen als klein angesehen werden können. Das bedeutet aber auch, dass sowohl alle irreversiblen, dissipativen Effekte als auch alle Einflüsse aufgrund von Wärmeleitung vernachlässigbar sind. Ebenso kann davon ausgegangen werden, dass es von außen keine Wärmezufuhr in die Schallwelle gibt, wie es z. B. beim Anleuchten mit einem Laser auftreten könnte. Schwache Störungen in einem Gas sind also adiabate Gebilde, in denen Zustandsän-derungen isentrop verlaufen und die somit der Gleichung p/ const gehorchen:

p dp p

constd

(B.4)

Zusammen mit Gl. (B.3) wird daraus:

2 dp p pa bzw. a

d (B.5)

Wird hier noch die allgemeine Gasgleichung p/ R T eingesetzt, so ergibt sich:

ia R T (B.6)

Die Gleichung lässt erkennen, dass die Schallgeschwindigkeit a in der Atmosphäre mit der Höhe – genau wie die Temperatur T – abnimmt. In der Standardatmosphäre beträgt die Schallgeschwindigkeit am Boden a 340 m/s (T 288 K) und in 11 km Höhe a 295 m/s (T 217 K), wenn der Isentropenexponent mit 1.4 und die spezifische Gaskonstante für Luft mit Ri Luft 287 Nm/(kg K) angesetzt wird.

B.2 Kompressibilität

B.2.1 Dichteänderung

Ein Maß für die Kompressibilität eines Fluides (auch Gas) ist der sog. Volumen-Elastizitätsmodul E, der wie folgt definiert ist, Schlichting u. Truckenbrodt (1967):

V

p : EV

(B.7)

B.2 Kompressibilität 1515

Hierin ist V/V die relative Volumenänderung infolge der Druckerhöhung p, d. h.:

1 01 0 1 0 1 0

0

V Vp p E mit p p und V V

V (B.8)

Der Index 0 kennzeichnet die Größen vor und der Index 1 die Größen nach der Druckerhöhung. In Wasser (EH2O 2·109 N/m²) bewirkt eine Druckerhöhung von

p 105 N/m² 1 bar eine relative Volumenänderung von V/V 0.00005 0.05 ‰. Wegen dieser sehr geringen Kompressibilität, die im Übrigen auch für andere Flüssigkeiten gilt, können Fluide dieser Art bei Strömungsvorgängen in der Regel als inkompressibel angesehen werden. In idealen, reibungsfreien (isentropen) Flüssigkeiten verläuft eine Kompression isotherm1. Um einen Vergleich zur iso-thermen Kompression einer Flüssigkeit zu haben, wird nun auch die isotherme Kompression eines idealen Gases betrachtet. Isotherme Zustandsänderungen ge-horchen der Gleichung:

p V const (B.9)

Entsprechend der Darstellung in Bild B-3 ergibt sich für eine durch eine Druckän-derung hervorgerufene Volumenänderung:

p V p p V V p V p V p V p V

Vp p

V (B.10)

Der Vergleich dieser Beziehung mit Gl. (B.7) zeigt, dass ideale Gase mit iso-thermer Zustandsänderung einen Elastizitätsmodul E haben, der gleich dem Druck p des Gases im Ausgangszustand ist. Für Luft mit dem Umgebungsdruck p E 105 N/m² (Normalzustand) ergibt sich bei einer solchen isothermen 1 In idealen Flüssigkeiten verlaufen die Linien gleicher Temperatur (Isothermen) im h-s-Diagramm

genau wie die Linien gleicher Entropie (Isentropen), nämlich vertikal.

Bild B-3: Isotherme Kompression eines idealen Gases

1516 Anhang B

Druckerhöhung von p 105 N/m² 1 bar eine relative Volumenänderung von V/V 1.0 100 %. Im Vergleich zu Wasser ist Luft im Normalzustand somit

ca. 20 000-mal kompressibler. Ob in einer Gasströmung Kompressibilität zu berücksichtigen ist oder nicht,

hängt davon ab, ob die Druckänderungen in dieser Strömung auch signifikante Volumenänderungen hervorrufen. Anstelle der Volumenänderung kann auch die Dichteänderung abgeschätzt werden. Dazu wird für das in Bild B-3 dargestellte Volumen die Massenerhaltung bei einem Kompressionsvorgang betrachtet:

1

1 1 1 1

m m const.V V V V V V

V V V pwegen p E wird und damit

V V V E

p E (B.11)

Eine Strömung kann in guter Näherung immer so lange als inkompressibel ange-sehen werden, solange / 1 gilt. Die Bedeutung dieser Aussage soll mit der Bernoulligleichung für inkompressible Strömungen abgeschätzt werden:

2tp p c p q const.

2

Die durch den Strömungsvorgang hervorgerufene Druckänderung:

2tp p p q c

2

ist von der Größenordnung des Staudrucks q. Aus der Gl. (B.11) folgt damit:

2p q c

E E 2 E (B.12)

Falls also für eine inkompressible Strömung / 1 gelten soll, so muss auch q/E 1 bzw. q E gelten. Eine Gasströmung ist also immer dann als inkompres-sibel anzusehen, wenn der Staudruck q im Vergleich zum Volumen-Elastizitätsmodul E klein ist. Dieses Ergebnis wird noch anschaulicher, wenn zusätzlich die Schallge-schwindigkeit a nach Gl. (B.5) mit einbezogen und dort die Gl. (B.12) eingesetzt wird:

2 22 2

2

2

p E c ca E a

2 E 2 a

1 c1

2 a (B.13)

Die Kompressibilität eines strömenden Gases ist also immer solange vernachläs-sigbar, solange die Strömungsgeschwindigkeit c klein ist im Vergleich zur Schall-geschwindigkeit a.


B.2.2 Machzahl

Das dimensionslose Verhältnis von Strömungsgeschwindigkeit c zur Schallge-schwindigkeit a in Gl. (B.13) wird per Definition Machzahl genannt. Sie ist die wesentliche Ähnlichkeitskenngröße der kompressiblen Strömungsmechanik:

i

c cMa :

a R T (B.14)

Einer inkompressiblen Strömung wird per Definition eine unendlich große Schallge-schwindigkeit zugeordnet, sodass hier dann stets Ma 0 gelten wird.

Einen weitergehenden Einblick in das Machsche Ähnlichkeitsgesetz gibt der Begriff der mechanischen Ähnlichkeit. Dazu zeigt Bild B-4 zwei strömungs-mechanisch zu untersuchende Kugeln. Die erste Kugel sei ein Original, das in freier Strömung betrieben wird. Die 2. Kugel sei dessen maßstäblich verkleiner-tes Modell, das im Windkanal zu untersuchen ist. Die Umströmung der Kugeln wird dann als mechanisch ähnlich bezeichnet, wenn beide Kugeln geometrisch ähnliche Stromlinienbilder aufweisen. Dieses ist dann gegeben, wenn in allen geometrisch ähnlich gelegenen Punkten von Original und Modell die dort wirken-den Kräfte im selben Verhältnis zueinander stehen. In kompressibler, reibungsfrei-er Strömung sind dies die Trägheitskraft Fg m b m dc/dt und die Druckkraft Fp p A. An Original und Modell soll also der Quotient Fg/Fp gleich groß sein: (Fg / Fp)Original (Fg / Fp)Modell. Für die Trägheitskraft kann man schreiben:

2g g

cF m b A mit c F A c

t t (B.15)

Hierin ist m · · A die Fluidmasse, seine Dichte und A eine wirksame Be-zugsfläche für die angreifenden Kräfte. Für die Druckkraft schreibt man:

2 2p

2p

pF p A mit a p a

F a A (B.16)

Bild B-4: Zur mechanisch ähnlichen Umströmung einer Kugel

1518 Anhang B

Das Verhältnis von Trägheitskraft zu Druckkraft ergibt dann:

2 22

g g

2p p

F FA c c c

F a F aA a (B.17)

Der Vergleich zwischen den Gln. (B.13) und (B.17) zeigt ähnliche Ergebnisse, die sich nur durch die konstanten Faktoren ½ bzw. voneinander unterscheiden. Ge-ometrisch ähnliche Stromlinienbilder (mechanische Ähnlichkeit) verlangen in kompressiblen, reibungsfreien Strömungen, dass durch Druckkräfte verursachte relative Volumenänderungen in zwei zu vergleichenden Strömungen gleich groß sind. Das dabei entscheidende Geschwindigkeitsverhältnis c/a wird Machzahl2 Ma genannt. Die Gl. (B.13) kann also auch wie folgt geschrieben werden:

21Ma 1

2 (B.18)

Für Ma c/a 0.3 ergibt sich daraus / 0.045 5 % 1. Nach Gl. (B.14) entspricht die Machzahl Ma 0.3 bei 1.4, Ri 287 Nm/(kg·K) und T 273 K einer Geschwindigkeit von c 100 m/s 360 km/h. Es ist üblich geworden, bis zu Machzahlen von ca. 0.3 eine Gasströmung als inkompressibel anzusehen3. Dar-über hinaus sollte i. Allg. die Kompressibilität berücksichtigt werden.

Eine Strömung kann also formell in Abhängigkeit der Machzahl Ma die Eigen-schaft inkompressibel oder kompressibel zugeordnet werden. Des Weiteren wird folgende Nomenklatur im Zusammenhang mit der Größe der Machzahl verwendet:

– Ma 1 subsonische Strömung – Ma 1 sonische Strömung – Ma 1 supersonische Strömung – Ma 1 hypersonische Strömung (Ma 5)

Bild B-5 zeigt ergänzend, welche Strömungsbezeichnungen in Abhängigkeit der Machzahl außerdem noch üblich sind.

Hierbei wird unter Ma die sog. Machzahl der ungestörten Anströmung ver-standen. Das ist diejenige Machzahl, die vor einem umströmten Körper dort vor-liegt, wo dieser noch keinen „störenden“ Einfluss auf die Zuströmung hat. Man spricht auch von dem Begriff „Machzahl weit vor dem Körper“. Da sich Störun-gen in einem Strömungsfeld mit Schallgeschwindigkeit in alle Richtungen ausbrei-ten, wandert diese Information auch der Anströmung entgegen, sodass jede Unter-schallströmung bereits vor Erreichen des Körpers von dessen Existenz erfährt.

2 Prof. Dr. Jakob Ackeret (*1898 †1981) hat in seiner Habilitationsschrift von 1928 „Über Luft-Kräfte

bei sehr großen Geschwindigkeiten insbesondere bei ebenen Strömungen“ an der ETH-Zürich zu Ehren des Physikers Prof. Dr. Ernst Mach (*1838 †1916) die Bezeichnung Machsche Zahl für das Geschwindigkeitsverhältnis c/a eingeführt. Mit „Arbeiten über Erscheinungen an fliegenden Pro-jektilen“ schuf Ernst Mach zusammen mit seinem Sohn Ludwig die Grundlagen dessen, was wir heute Gasdynamik nennen, und was schließlich von Prof. Dr. Ludwig Prandtl (*1875 †1953) in der Aerodynamischen Versuchsanstalt in Göttingen systematisch fortgeführt wurde.

3 Wasser hat eine Schallgeschwindigkeit von aH2O 1 400 m/s. Bei allen praktisch auftretenden Strömungsgeschwindigkeiten von Wasser ergibt sich damit immer: Ma 0.3.


Mit Ma wird in Bild B-5 die lokale Machzahl bezeichnet. Aufgrund der Verdrän-gungswirkung eines umströmten Körpers erfährt die Strömungsgeschwindigkeit c (aber auch die Schallgeschwindigkeit a) in unmittelbarer Umgebung des Körpers eine Änderung, die dazu führt, dass sich lokal die Machzahl Ma c/a von der Machzahl Ma der Zuströmung verschieden ist.

Erreicht die lokale Machzahl Ma irgendwo im Strömungsfeld die sonische Machzahl Ma 1, so wird die dazugehörige Machzahl Ma der ungestörten An-strömung als kritische Machzahl bezeichnet. Die kritische Machzahl Makrit ist gewöhnlich immer kleiner als Eins.

Makrit Ma 1 wenn irgendwo gerade lokal Ma 1 erreicht wird.

Von einer subsonischen Strömung wird immer dann gesprochen, wenn in allen Or-ten eines Strömungsfeldes die Geschwindigkeit c kleiner als die Schallgeschwindig-keit a ist. Sobald irgendwo – lokal im Strömungsfeld – Ma c/a 1.0 erreicht wird, ist die obere Grenze der Existenz einer subsonischen Strömung erreicht.

Von einer supersonischen Strömung wird immer dann gesprochen, wenn in allen Orten eines Strömungsfeldes die Geschwindigkeit c größer als die Schallge-schwindigkeit a ist. Sobald irgendwo – lokal im Strömungsfeld – Ma c/a < 1.0 auftritt, ist die untere Grenze der Existenz einer supersonischen Strömung erreicht. Man hat sich darauf geeinigt, dass die obere Grenze der supersonischen Strömung bei einer Anströmmachzahl von Ma 5 liegen soll. Bei noch größeren Mach-zahlen spricht man von einer hypersonischen Strömung.

Unter dem Begriff der transsonischen Strömung wird schließlich der Strö-mungszustand verstanden, bei dem im gesamten Strömungsfeld sowohl subsoni-sche als auch supersonische Strömungsbereiche gleichzeitig auftreten, Bild B-5.

Ma > 1

Ma 0.8

Bild B-5: Tragflügel in transsonischer Strömung zur Erläuterung der unterschiedlichen Mach-zahlbereiche

1520 Anhang B

B.2.3 Temperaturerhöhung

Ein besonderes Merkmal kompressibler Strömungen ist es, dass die Strömungs-vorgänge mit thermodynamischen Vorgängen gekoppelt sind, wodurch sich der Begriff der Aero-Thermodynamik herausgebildet hat.

Die allgemeine Gasgleichung p ·Ri·T zeigt, dass in kompressiblen Strömun-gen ( const) auftretende Druckänderungen auch mit Temperaturänderungen ver-bunden sind. Eine Abschätzung dieser Temperaturänderungen T zeigt Bild B-6. Vor einem mit c angeströmten Körper liegen in der Anströmung die statischen Größen p und T für Druck und Temperatur vor. Auf der zum Staupunkt füh-renden Stromlinie findet eine Druckerhöhung p vom statischen Druck p auf den Totaldruck pt statt, p pt – p , und bewirkt dabei eine Temperaturerhöhung

T, die durch Kombination der Gln. (A.4), (A.102), (A.128) und (B.14) berechnet werden kann (siehe hierzu auch Tabelle B-1):

2

2t

p

c 1T T T T T Ma

2 c 2 (B.19)

T steigt mit dem Quadrat der Machzahl an und erreicht im Überschallbereich Werte von mehreren hundert Grad. Mit zunehmender Höhe nimmt die Umge-bungstemperatur T in der Standardatmosphäre von ca. 288 K am Boden auf ca. 217 K in 11 km Höhe ab, sodass T Tt – T in größeren Höhen um mehr als 100 Grad geringer ausfallen kann als in Bodennähe.

Eine Temperaturerhöhung der Größenordnung von Gl. (B.19) tritt nicht nur im Staupunkt und seiner näheren Umgebung auf, sondern auch durch Reibung längs umströmter Oberflächen. In einer dünnen wandnahen Schicht, auf die sich die

c

p

T

Ma

2t

1T T T T Ma

2T 288.15 K

1.40

Bild B-6: Temperaturerhöhung von Luft durch Kompression im Staupunkt, in Abhängigkeit derMachzahl

B.3 Machsche Linie, Verdichtungsstoß und Expansionswelle 1521

Reibungsvorgänge eines umströmten Körpers beschränken und die die Grenze zur reibungsfreien Außenströmung darstellt (Strömungsgrenzschicht), wird kinetische Energie der Strömung infolge von Zähigkeit in Wärme gewandelt (Dissipation). Dieses hat eine Aufheizung der Wand um den Betrag TW zur Folge, wodurch der Begriff der Temperaturgrenzschicht entsteht, Bild B-7. Diese Aufheizung der Wand berechnet sich folgendermaßen, z. B. Schlichting u. Truckenbrodt (1967):

2W WT T T 0.169 T Ma , (B.20)

wenn TW die direkte Wandtemperatur ist. Im Vergleich zu den Ergebnissen T, die man aus Gl. (B.19) bestimmen kann, ergeben sich aus Gl. (B.20) TW-Werte, die ca. 20 % geringer ausfallen. Der Temperaturanstieg infolge Strömungsaufstaus an den Vorderkanten umströmter Körper fällt größer aus als die reibungsbedingte Temperaturerhöhung (Dissipation) infolge der Umströmung der benetzten Flächen eines Körpers.

B.3 Machsche Linie, Verdichtungsstoß und Expansionswelle

Einleitend soll eine einfache Vorüberlegung angestellt werden. Der linke Teil von Bild B-8 zeigt dazu ein sich mit der Geschwindigkeit c in ruhender Luft von links nach rechts bewegendes Flugzeug. Dieses erzeugt in seinem unmittelbaren Um-feld Druckänderungen (Schallwellen), die sich mit der Schallgeschwindigkeit a re-lativ zu der mit c bewegten „Schallquelle“ fortpflanzen. Dieser Vorgang ist iden-tisch mit einem als Schallquelle fungierenden ruhenden Körper, der mit der Ge-schwindigkeit c angeströmt wird, Bild B-8 rechts. Die Druckstörung bzw. der Schall breitet sich entgegen der Anströmrichtung mit der Relativgeschwindigkeit v a – c aus. Wenn die Anströmgeschwindigkeit genauso groß ist wie die Schall-geschwindigkeit (c a), dann wird v 0, was bedeutet, dass sich Druckstörungen nicht mehr entgegen der Anströmung ausbreiten können. Dieses verdeutlicht auch Bild B-9. Bild B-9a zeigt eine ruhende Schallquelle Q, deren Anströmgeschwin-digkeit folglich c 0 ist. Die Ausbreitung der Schallwellen erfolgt auf kon-

T cc T

Bild B-7: Aufheizung einer umströmten geraden Wand infolge von Reibung

1522 Anhang B

zentrischen Kugelflächen. Die in Bild B-9a eingezeichneten Kreise symbolisieren diese ausgesandten Schallwellen zu äquidistanten Zeitabständen: t, 2 · t, 3 · t, ..., d. h., die Schallwellen haben in diesen Zeitabständen die Wegstrecken s a · t, 2 · a · t, 3 · a · t usw. zurückgelegt. Bild B-9b zeigt die Lage dieser ausgesandten Schallwellen für den Fall, dass die Schallquelle Q mit der halben Schallgeschwin-digkeit c ½ · a angeströmt wird. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schall-wellen nach vorne wird entsprechend der Größe der Anströmgeschwindigkeit hal-biert. Bild B-9c zeigt das entsprechende Bild für c a, bei dem es zu keiner Aus-

Bild B-8: In ruhender Luft bewegter Körper und ruhender Körper in strömender Luft

Bild B-9: Ausbreitung von Schallwellen einer ruhenden Schallquelle, die mit der Geschwindig-keit c angeströmt wird


breitung der Schallwellen nach vorne mehr kommen kann. Schwache Störungen in Schall- oder Überschallanströmungen können sich also nicht nach vorne bemerk-bar machen. Bild B-9d zeigt schließlich den Fall, in dem die Schallquelle Q mit zweifacher Schallgeschwindigkeit angeströmt wird. Die Schallwellen werden ent-sprechend der hohen supersonischen Anströmgeschwindigkeit nach hinten wegge-tragen. Die Wirkung der Schallquelle beschränkt sich dadurch auf einen Kegel mit dem halben Öffnungswinkel , dessen Spitze die Schallquelle Q ist. Dieser Kegel wird Machscher Kegel genannt und seine Begrenzungslinien Machsche Linien.

Bild B-9d zeigt, dass das Zentrum der rechts eingezeichneten Schallwelle zum Zeitpunkt t den Weg s1 c · t 2 · a · t zurückgelegt hat. Der Radius dieser Schallwelle beträgt zu diesem Zeitpunkt s2 a · t, sodass schließlich der halbe Öffnungswinkel des Machschen Kegels berechnet werden kann:

2

1

s a t a 1sin sin

s c t c Ma (B.21)

Ist die Anströmgeschwindigkeit größer als die Schallgeschwindigkeit (c a), können sich Druckstörungen nur in dem stromabwärts von der Schallquelle Q ge-legenen Machschen Kegel ausbreiten. Zu Orten außerhalb des Machschen Kegels kann die Schallquelle kein Signal senden, weswegen dieser Bereich auch gele-gentlich Zone des Schweigens genannt wird. Bei einem mit Überschallgeschwin-digkeit fliegenden Körper, der direkt auf einen Beobachter zukommt, hört man al-so vor der Ankunft des Körpers keinerlei Schallwirkung. Bild B-10 verdeutlicht, dass für einen am Boden stehenden Beobachter ein hoch fliegender, überschall-schneller Flugkörper unter Umständen erst dann wahrgenommen werden kann, wenn er bereits den Standort des Beobachters überflogen hat.

In Bild B-10 geht die Druckstörung (Schallquelle), die den Machschen Kegel bildet, von dem vergleichsweise dünnen Staurohr an der Spitze des Flugzeuges aus, das in der Strömung eine Druckänderung (Druckstörung) verursacht und damit die

c > a

Zone des Schweigens

Machscher Kegelbzw.

Machsche Linie

Bild B-10: Zone des Schweigens

1524 Anhang B

Rolle der Schallquelle übernimmt. Eine größere Störung, wie der in Bild B-11 dar-gestellte Keil, der mit Überschallgeschwindigkeit angeströmt wird, lässt auch die Wellenfront stärker ausfallen als bei einer Machschen Welle. Die sich dabei bil-denden Wellen wachsen zu einem sog. schrägen Verdichtungsstoß zusammen. Der Neigungswinkel dieses Stoßes gegenüber der ungestörten Anströmung ist größer als der Machsche Winkel . Der halbe Öffnungswinkel des Machschen Kegels stellt den kleinsten möglichen Neigungswinkel eines schrägen Verdich-tungsstoßes dar, sodass eine Machsche Linie auch als infinitesimal schwacher schräger Verdichtungsstoß angesehen werden kann.

Bild B-12 verdeutlicht die Unterschiede zwischen Machscher Linie und schrä-gem Verdichtungsstoß nochmals, indem dort zum einen ein schmaler Keil mit 5o halbem Öffnungswinkel und einer moderaten ungestörten Anströmmachzahl von Ma1 1.4 betrachtet wird und zum anderen ein dickerer Keil mit 20o halbem Öff-nungswinkel und einer höheren ungestörten Anströmmachzahl von Ma1 2.0. Im ersten Fall unterscheiden sich die Neigungswinkel von Machscher Linie und schrägem Verdichtungsstoß nur um ca. 8o, im zweiten Fall aber bereits um 24o. Physikalisch ist dies damit zu erklären, dass stärker werdende Verdichtungsstöße auch mit immer größeren Energieverlusten (Entropieanstieg) verbunden sind. Bei schwachen Störungen mit geringem Entropieanstieg sind deswegen schräge Verdich-

Bild B-11: Vergleich zwischen Verdichtungsstoß und Machscher Linie

Bild B-12: Schräger Verdichtungsstoß und Machsche Linie bei einer moderaten und bei einerstarken Störung


tungsstöße und Machsche Linien nahe beieinander, wogegen sie bei starken Störun-gen – wegen der zunehmenden Verluste – mehr und mehr voneinander abweichen.

Bei den Verdichtungsstößen sind zwei typische Arten zu unterscheiden, von denen hier der eine – nämlich der schräge Verdichtungsstoß – bereits erläutert wurde. Der andere Typ ist der senkrechte Verdichtungsstoß. Bild B-13 zeigt die Spitze des Staurohrs des Flugzeuges aus Bild B-10 in Überschallströmung. Direkt vor der Öffnung des Rohres verläuft die Kontur des mit eingezeichneten Verdich-tungsstoßes nahezu senkrecht zur Anströmrichtung, weiter außen dagegen schräg, um noch weiter außen schließlich die in Bild B-10 dargestellte Kegelform anzu-nehmen. Bei stumpfen Körpern liegt der Stoß nicht mehr direkt am Körper an, sondern hat einen gewissen Abstand dazu. Man spricht in diesem Fall auch von einer abgelösten Kopfwelle. Der Stoßbereich direkt vor dem Staurohr kann lokal als senkrechter Stoß behandelt werden, der im Übrigen aber auch als separates Strömungsphänomen auftreten kann.

Beim Durchströmen bzw. beim Überschreiten einer Machschen Linie bzw. ei-nes Verdichtungsstoßes ändert sich die Geschwindigkeit bzw. die Machzahl sprungartig, man sagt, sie ändert sich unstetig, c2 c1 bzw. Ma2 Ma1. Hierbei markiert der Index 1 Strömungszustände vor dem Stoß und der Index 2 solche hin-ter dem Stoß. Wegen der Überschallanströmung gilt generell c1 a bzw. Ma1 1. Beim schrägen Verdichtungsstoß wird die Geschwindigkeit c2 in fast allen prakti-schen Fällen immer größer sein als die Schallgeschwindigkeit a. Beim senkrechten Verdichtungsstoß dagegen liegt hinter der Stoßfront grundsätzlich Unterschallge-schwindigkeit vor, c2 a bzw. Ma2 1.

– Gerader oder senkrechter Verdichtungsstoß. Strömungsteilchen erfahren beim Durchlaufen der Stoßfront keine Änderung der Strömungsrichtung. Der senkrechte Verdichtungsstoß ist als Unstetigkeit zwischen Überschall- und Un-

geraderVerdichtungsstoß

schrägerVerdichtungsstoß

Bild B-13: Stoßfront vor einem Staurohr (Pitot-Rohr) bzw. abgelöste Kopfwelle vor einemstumpfen Körper

1526 Anhang B

terschallströmung aufzufassen. Hinter einem geraden oder senkrechten Ver-dichtungsstoß liegt immer Unterschallgeschwindigkeit vor.

– Schräger Verdichtungsstoß. Strömungsteilchen erfahren beim Durchlaufen der Stoßfront eine unstetige Änderung der Strömungsrichtung. Schräge Verdich-tungsstöße treten an scharfen konkaven Ecken auf, wenn die Überschallströmung gezwungen wird, plötzlich ihre Richtung zu ändern. Hinter einem schrägen Ver-dichtungsstoß liegt in fast allen praktischen Fällen Überschallgeschwindigkeit vor.

Ebenso wie sich die Geschwindigkeit c bzw. die Machzahl Ma unstetig über den Stoß verändert, verändern sich auch Druck p, Dichte und Temperatur T, p2 p1,

2 1, T2 T1. Dieser Zusammenhang gilt sowohl für senkrechte als auch für schräge Verdichtungsstöße, wobei die Geschwindigkeit über jede Art von Ver-dichtungsstoß sprungartig abnimmt, während Druck p, Dichte und Temperatur T sprungartig ansteigen, Bild B-14.

Bei schrägen Verdichtungsstößen wird die Strömung hinter der Stoßfront in der Art umgelenkt, dass der Geschwindigkeitsvektor der Abströmung zur Anströmrich-tung hin gedreht wird, wobei alle Stromlinien beim Durchströmen des Verdich-tungsstoßes dieselbe Umlenkung erfahren. Folgten also vor dem Stoß alle Stromli-nien der Wandkontur und waren sie außerdem gleich und parallel zueinander, so sind sie es auch nach dem Stoß und folgen auch dort wiederum der Wandkontur. Beim Durchströmen eines senkrechten Verdichtungsstoßes findet keinerlei Umlen-kung der Strömung statt.

Ein anderes typisches Beispiel für eine Überschallströmung ist die Strömung längs einer Wand mit konvexer Ecke, Bild B-15. Es entsteht ein sog. Expansions-fächer, der auch manchmal Verdünnungswelle oder Prandtl-Meyer-Eckenströ-mung (Meyer, 1908) genannt wird. Bei einem solchen Expansionsfächer wird die Strömung hinter der Verdünnungsfront in der Art umgelenkt, dass der Geschwindig-keitsvektor der Abströmung von der Anströmrichtung weggedreht wird, wobei alle Stromlinien beim Durchströmen der Verdünnungswelle dieselbe Umlenkung erfah-ren. Wenn also vor einem Expansionsfächer alle Stromlinien der Wandkontur folgen und außerdem gleich und parallel zueinander sind, so sind sie es auch nach dem Fä-

p

T

1

1

1

p > p

T > T

2 1

2 1

2 1 > p

T

1

1

1

p > p

T > T

2 1

2 1

2 1 >

Ma > 1 c > a

1

1

Ma > 1

c > a

Ma < Ma2

2

2

1

Machsche

Linien

schrägerVerdichtungsstoß

Ma > 1 c > a

1

1

Ma < 1 c < c c < a

2

2 1

2

senkrechterVerdichtungsstoß

Bild B-14: Änderungen von Geschwindigkeit, Machzahl und den statischen Größen für Druck,Dichte und Temperatur bei senkrechten und schrägen Verdichtungsstößen


cher. Dabei sind die Stromlinien innerhalb des Fächers sanft gekrümmt. Es gibt im Gegensatz zu den Vorgängen im Verdichtungsstoß beim Expansionsfächer keine un-stetigen Änderungen, wenn man von der direkten Wandstromlinie einmal absieht, die im Umlenkpunkt „A“ eine Diskontinuität besitzt. Beim Durchströmen des Expansi-onsfächers nimmt die Geschwindigkeit c bzw. die Machzahl Ma zu, während die sta-tischen Größen für Druck p, Dichte und Temperatur T entsprechend abnehmen.

In Bild B-16 sind die Wellenbilder für ein Überschallprofil aufgezeichnet. Das Wellenbild an der Vorder- und Hinterkante hängt vom Anstellwinkel ab. Wäh-rend beim nicht angestellten Profil, 0°, an der Vorderkante auf Ober- und Un-terseite schräge Verdichtungsstöße auftreten, weil der Fall der Umströmung einer konkaven Ecke vorliegt, kommt es beim angestellten Profil, 0°, auf der Ober-

c > cMa > Map < p < T< T

2

12

12

12

12 1

cMa > 1p , T

1

1

1 1 1,

„A“

Bild B-15: Überschallströmung um eine konvexe Ecke

Ma > 1

ExpansionsfächerschrägerVerdichtungs-stoß

Ma > 1

Expansionsfächer

ExpansionsfächerschrägerVerdichtungsstoß

schrägerVerdichtungs-

stoß

Strom-linie Strom-

linie

Bild B-16: Zur Erläuterung von Verdichtungsstößen und Expansionsfächern am Beispiel einesRhombus-Profils mit und ohne Anstellwinkel bei Überschallanströmung

1528 Anhang B

seite zur Umströmung einer konvexen Ecke und damit zur Ausbildung eines Ex-pansionsfächers und auf der Unterseite zur Umströmung einer konkaven Ecke und damit wiederum zur Entstehung eines schrägen Verdichtungsstoßes. Wird beim angestellten Profil der Anstellwinkel so gewählt, dass die Zuströmung parallel zur vorderen Oberseite erfolgt, würde sich natürlich weder ein Expansionsfächer noch ein Verdichtungsstoß ausbilden.

B.4 Formeln für kompressible, isentrope Strömungen idealer Gase

B.4.1 Thermische und kalorische Zustandsgleichung

Gasdynamische Vorgänge sind mit thermodynamischen eng verbunden. Strömungs-abläufe in Triebwerken werden von daher auch oft unter dem Oberbegriff Aero-Thermodynamik zusammengefasst. Neben der thermischen Zustandsgleichung (allgemeine Gasgleichung) soll in diese strömungsmechanische Betrachtung nun auch noch die sog. kalorische Zustandsgleichung (Anhang A, Kap. A.2.1) einge-führt werden. Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik ergab sich für strö-mende Gase mit Gl. (A.4) die Definition der Totalenthalpie:

2 2

t

c ch : h g z h

2 2 (B.22)

Bild B-17 zeigt diesen Zusammenhang im h-s-Diagramm. Dazu muss vom stati-schen Druck p im Punkt A aus, der den tatsächlich vorliegenden thermodynami-schen Zustand beschreibt, die Strecke c2/2 nach oben abgetragen werden, wodurch der neue Punkt B gefunden wird, der nun den thermodynamischen Totalzustand beschreibt. Dieser neue Punkt ist im Gegensatz zum statischen Zustandspunkt A

2c

2

2t

2p t p

2t p

h h c / 2

c T c .T c / 2

T T c /(2 c )

Bild B-17: Darstellung der Definition der Totalenthalpie von strömenden Gasen im h-s-Dia-gramm

B.4 Formeln für kompressible, isentrope Strömungen idealer Gase 1529

nur ein ideeller Zustandspunkt, Traupel (1972). Alle durch diesen neuen Punkt verlaufenden Größen, wie Druck, Temperatur und Dichte, werden als Totalgrößen bezeichnet, also pt Totaldruck, Tt Totaltemperatur und t Totaldichte. To-talzustände sind per Definition also solche, bei denen das Fluid von einem bewegten auf einen Ruhezustand (Total- oder Gesamtzustand) isentrop (verlustfrei) verzögert wird, so wie es z. B. von der Staupunktströmung eines Tragflügels her bekannt ist.

Aufbauend auf Gl. (A.102) kann für ideale Gase gezeigt werden, dass die Enthalpie von der Temperatur abhängt:

t p t ph c T bzw. h c T (B.23)

Hierin ist cp die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck (vgl. Gl. A.128). Sie wird im Folgenden nur noch kurz als spezifische Wärme bezeichnet:

p ic R1

(B.24)

Die Kombination der Gln. (B.23) und (B.22) ergibt einen Ausdruck für die Total-temperatur:

2

tp

cT T

2 c (B.25)

Aus den Gln. (B.23), (B.24), (B.3) und (A.86) wird:

2

p

p ah c T

1 1 (B.26)

Zusammen mit Gl. (B.22) ergibt sich daraus:

2 2

t

a ch const.

1 2 (B.27)

Bild B-17 zeigt, dass der Zusammenhang zwischen dem statischen und dem tota-len Strömungszustand längs einer Isentropen verläuft, deren Zustandsänderung durch die Gleichung:

t

t

ppconst. (B.28)

beschrieben wird. Durch Umformen ergeben sich daraus die Ausdrücke:

1

t t t t

p pbzw.

p p (B.29)

Werden die statische Dichte und die Totaldichte t jeweils mit der allgemeinen Gasgleichung (A.86) kombiniert, so kann aus der linken der Gln. (B.29) der fol-gende Ausdruck gebildet werden:

1530 Anhang B

i t

t i t

R Tp p

p R T p

Das Auflösen dieses Ausdrucks nach p/pt bzw. nach T/Tt ergibt:

1

1

t t t t

p T T pbzw.

p T T p (B.30)

Durch Kombination der Gln. (B.29) und (B.30) können analoge Ausdrücke für die Dichte angegeben werden. Eine Zusammenstellung der sich so ergebenden Aus-drücke und weiterer Zusammenhänge, die im Folgenden noch hergeleitet werden, zeigt Tabelle B-1.

B.4.2 Alternative Formen der Energiegleichung

Zur Herleitung weiterer Gleichungen wird auf die Energiegleichung (B.25) zu-rückgegriffen, diese nach der Geschwindigkeit c aufgelöst und für die spezifische Wärme die Gl. (B.24) eingesetzt:

p t i tc 2 c T T 2 R T T1

Zusammen mit der Definitionsgleichung (B.14) für die Machzahl wird daraus:

t

p

p

t

T

T

t

Ma

t

p

pt

T

T t

Ma

t

p

p

1

t

p

p

1

t

p

p

1

tp21

1 ptT2

11 T

1

t

T

T

t

T

T

1

1

t

T

T

t

1

t

t

1

t21

1

12

1

11 Ma

2

2

1

11 Ma

2

1

12

1

11 Ma

2

Ma

Tabelle B-1: Formelbezeichnungen für kompressible, isentrope Strömungen idealer Gase

B.4 Formeln für kompressible, isentrope Strömungen idealer Gase 1531

t

i

Tc 2Ma 1

1 TR T (B.31)

Gleichung (B.31) ist auch in Tabelle B-1 wieder zu finden, ebenso wie der folgen-de Ausdruck, der entsteht, wenn Gl. (B.31) nach T/Tt umgestellt wird:

2t

T 11T 1 Ma

2

(B.32)

Wird für das Temperaturverhältnis T/Tt innerhalb von Gl. (B.31) der Ausdruck nach Gl. (B.30) eingesetzt, so ergibt sich eine weitere Beziehung für die Machzahl, diesmal in Abhängigkeit des Verhältnisses von statischem Druck zu Totaldruck:

1

tp2Ma 1

1 p (B.33)

Nach dem Druckverhältnis umgestellt ergibt sich daraus:

t 12

p 1

p 11 Ma

2

(B.34)

Weitere Formen der Energiegleichung enthält Tabelle B-1, wenn z. B. in die obige Beziehung auch noch Gl. (B.29) eingesetzt wird. Um die Gleichungen der Tabelle B-1 prinzipiell anwenden zu können, ist es nicht zwingend notwendig, dass eine Strö-mung zwischen zwei beliebig unterschiedlichen Stationen 1 und 2 im Strö-mungsfeld isentrop ist. Vielmehr ist in diesen Beziehungen der isentrope Zusam-menhang nur ein gedanklicher, nämlich als Teil der Definition eines Totalzustan-des, wie ihn Bild B-17 zeigt. Werden z. B. die Beziehungen auf einen Punkt 1 im Strömungsfeld angewendet, so können daraus beispielsweise die Werte für Tt1, pt1 und t1 ermittelt werden. Ähnlich kann man auch für einen anderen Punkt 2 im Strömungsfeld verfahren und erhält Tt2, pt2 und t2. Verläuft der Strömungsvorgang zwischen diesen beiden unterschiedlichen Punkten 1 und 2 im Strömungsfeld aber nicht isentrop, so bedeutet dies ergänzend zu den obigen beiden Lösungen: Tt1 Tt2, pt1 pt2 und t1 t2. Ist andererseits das gesamte Strömungsfeld isentrop, dann bedeutet dies Konstanz in den Totalgrößen: Tt1 Tt2, pt1 pt2 und t1 t2. Diese Annahme konstanter Totalgrößen in einer Gasströmung ist eine sehr prakti-sche und hilfreiche Vorgehensweise bei zahlreichen idealisierten Anwendungen in kompressiblen Strömungen.

Durch Umformen der Gl. (B.34) nach dem Totaldruck pt und Verwendung der Ausdrücke Ma c/a und a² p / erhält man:

11

2 2t

1 1 1p p 1 Ma p 1 c

2 p 2 (B.35)

1532 Anhang B

Dieses ist die Beziehung für den Totaldruck in kompressibler Strömung. Es sei daran erinnert, dass in inkompressibler Strömung der Totaldruck aus der Bernoul-ligleichung pt p ( /2) c² ermittelt wird, die der Gl. (B.35) zwar ähnlich, aber nicht mit ihr identisch ist. Die Unterschiede zwischen den beiden Gleichungen re-sultieren daraus, dass die inkompressible Bernoulligleichung aus der Eulerschen Bewegungsgleichung (siehe nächstes Kapitel) entsteht, wenn diese für const längs des Strömungsweges integriert wird. Die Annahme der Konstanz der Dichte ist aber in kompressiblen Strömungen mit Ma 0.3 eine nicht mehr zulässige Vereinfachung.

B.5 Stetig verlaufende isentrope Strömungen

B.5.1 Eulersche Bewegungsgleichung und Bernoulligleichung

Bild B-18 zeigt einen Stromfaden s mit der infinitesimalen Querschnittsfläche dA als Bestandteil eines homogen durchströmten Kanals. Alle infinitesimalen Teilchen des Stromfadens mit der infinitesimalen Masse dm · dA · ds haben in s-Richtung die Ausdehnung ds und die Geschwindigkeit c. Auf der linken Seite eines solchen Massenteilchens wirkt die Druckkraft dFp1 p · dA und auf der rech-ten die Druckkraft dFp2 –(p + ( p/ s) · ds) · dA. Als resultierende Druckkraft dFp auf das Massenteilchen dm ergibt sich daraus: dFp dFp1 dFp2 –( p/ s) · ds · dA.

dA

c

s

dA

cdm dA ds

pp ds

sp2

Druckkraft

pdF p ds dA

s

p

resultierende Druckkraft

pdF ds dA

s

p1

Druckkraft

dF p dA

Bild B-18: Zur Herleitung der Eulerschen Bewegungsgleichung

B.5 Stetig verlaufende isentrope Strömungen 1533

Auf das im Bild B-18 dargestellte Massenteilchen dm wird nun das 2. Newtonsche Axiom (Kraft Masse · Beschleunigung) angewendet:

p

p

dc ds dsdF dm mit c dt

dt dt cdc dc dc

c dF dm cdt ds ds

Werden hier die in Bild B-18 enthaltenen Ausdrücke für die Masse dm und die Druckkraft dFp eingesetzt, so ergibt sich:

2dc 1 p 1 d 1 pc 0 bzw. c 0

ds s 2 ds s (B.36)

Dieses ist die Eulersche Bewegungsgleichung für ideale Gase, die – wird sie längs des Stromfadenweges s unter der Annahme const integriert – die wohl bekannte inkompressible Bernoulligleichung ergibt:

2

21 1 c pdc dp 0 const.

2 2 (B.37)

Da hier aber kompressible Strömungen betrachtet werden sollen, ist die Annahme const unzutreffend, sodass bei der Integration des Druckgliedes (1/ ) · ( p/ s)

in der Eulerschen Bewegungsgleichung (B.36) die veränderliche Dichte (s) mit zu berücksichtigen ist:

1 dp dp

dsds

(B.38)

Bild B-19 zeigt beispielhaft eine Stromlinie s, längs der die Integration erfolgen soll. Die Zustandsänderung zwischen p , , c und p, , c verläuft isentrop:

p

p

dp dp (B.39)

Bild B-19: Zur Integration des Druckgliedes in der Eulerschen Bewegungsgleichung

1534 Anhang B

Die Integration zwischen p und p wird möglich, wenn die Dichte als Funktion des Druckes p dargestellt werden kann. Wegen der Isentropie der Strömung längs des Integrationsweges wird die Isentropenbeziehung p / const C eingeführt:

11 1

1 11 1

1 1p p p1 1 1

p p p

p 1 CC bzw. C p

p

p pC bzw. C

p pdp pC p dp p dp 1

1 p (B.40)

Gleichung (B.40) ist ein Ausdruck für das Druckglied der Eulerschen Bewegungs-gleichung (B.36) für kompressible, isentrope Strömungen. Für das Geschwindig-keitsglied aus Gl. (B.36) ergibt sich durch Integration:

c2

2 2 2

c

1 dc 1 1ds dc c c

2 ds 2 2 (B.41)

Das Einsetzen der beiden Gln. (B.40) und (B.41) in die Eulersche Bewegungsglei-chung (B.36) hat die sog. Bernoulligleichung für kompressible Strömungen idea-ler Gase mit isentroper Zustandsänderung (Schlichting u. Truckenbrodt, 1967) zum Resultat:

1

2 2 p pc c 2 1 0

1 p (B.42)

Aus der Energiegleichung in der Schreibweise der Gl. (B.27) erhält man mit Be-zug auf Bild B-19:

2 22 2

2 2 2 2c ac a 2c c a a

2 1 2 1 1 (B.43)

Die kompressible Bernoulligleichung (B.42) bekommt damit die alternative Form:

1

2 2 p pa a 1 0

p (B.44)

Durch Umformen ergibt sich aus Gl. (B.43) schließlich die folgende Beziehung:

2 2

2a 1 c1 Ma 1

a 2 c (B.45)


B.5.2 Kontinuitätsgleichung

Aus der Kontinuitätsgleichung für kompressible Strömungen kann der Zusam-menhang zwischen der Geschwindigkeit c und der durchströmten Querschnittsflä-che A hergeleitet werden. Um dieses zu zeigen, wird die Kontinuitätsgleichung nach der Geschwindigkeit c differenziert:

d dA dm const c A cA c A c 0

dc dc dcd d d dp

mit c c c wird darausdc dc dp dc

dA d dpc A c

dc dp dc (B.46)

Aus der Eulersche Bewegungsgleichung (B.36) wird:

dc 1 dp dp

c 0 c dc dp 0 cds ds dc

(B.47)

Dieser Ausdruck wird in Gl. (B.46) eingesetzt, ebenso wie Gl. (B.4), a² dp/d :

2

22

dA A d dp A c dA Ac 1 1 Ma

dc c dp dc c dc ca (B.48)

Aus Gl. (B.48) lassen sich die folgenden drei wichtigen Erkenntnisse für gasdy-namische Strömungen ableiten:

UnterschallMa < 1.0

ÜberschallMa > 1.0

Bild B-20: Schematische Darstellung der Geschwindigkeitsänderung in einer Stromröhre beisub- und supersonischen Machzahlen

1536 Anhang B

dA dA dA

Ma 1 0 Ma 1 0 Ma 1 0dc dc dc

Wegen ihrer Wichtigkeit sind diese drei Aussagen in den Bildern B-20 und B-21 grafisch zusammengefasst worden, sodass folgende Aussagen für kompressible Strömungen abgeleitet werden können:

– Bei subsonischer Geschwindigkeit nimmt der Stromröhrenquerschnitt – genau wie bei inkompressibler Strömung – mit der Geschwindigkeit ab.

– Bei supersonischer Geschwindigkeit nimmt der Strömungsquerschnitt – entgegen den Verhältnissen bei inkompressibler Strömung – mit der Geschwindigkeit zu.

Letztere Aussage lässt sich dadurch erklären, dass mit der Geschwindigkeitsstei-gerung in den Überschall hinein nicht nur der Druck abfällt, sondern auch sehr stark die Dichte. Das hat wiederum zur Folge, dass sich das Strömungsvolumen stark vergrößert und von daher einen zunehmenden Strömungsquerschnitt benö-tigt. Beim Erreichen der Schallgeschwindigkeit, d. h. bei Ma 1, hat der Strom-röhrenquerschnitt ein Minimum. Man spricht in diesem Zusammenhang auch vom sog. engsten Querschnitt. Befindet sich in einem Strömungsfeld irgendwo eine engste Stelle, dann wird genau hier zuerst die Machzahl Ma 1 erreicht werden, wenn nur die Strömung entsprechend stark beschleunigt wird bzw. ein ausrei-chend großes Druckgefälle zwischen Ein- und Austritt des Strömungskanals exis-tiert. Man mache sich an dieser Stelle nochmals klar, dass eine natürliche Strö-mung nur dann auch strömen kann, wenn ein Druckunterschied in Strömungsrich-tung existiert. Ein Gas strömt „freiwillig“ immer nur von Gebieten hohen Drucks in Gebiete niedrigen Drucks (natürliche Strömungsrichtung).

Ma = 1

Ma

A

Ma = 0 Ma > 1

Bereich konvergenter

Düsen

Bereichkonvergent/divergenter

Düsen

engster Querschnitt

Amin

dA0

dc

dA0

dc

dA0

dc

jeweils engster Querschnitt

Bild B-21: Änderung des Stromröhrenquerschnitts dA/dc in Abhängigkeit der Geschwindigkeit,aufgetragen über der Machzahl


B.5.3 Stromdichte

Das Produkt · c aus Gl. (B.47) wird als Stromdichte bezeichnet. Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung m c A const erhält man:

m const

Stromdichte cA A

(B.49)

Die Stromdichte ist dem im vorherigen Kapitel betrachteten Stromröhrenquer-schnitt A umgekehrt proportional und bietet den Vorteil, eine anschauliche Vor-stellung über den Stromröhrenverlauf in kompressiblen Strömungen zu liefern. Dazu ist es ist i. Allg. vorteilhaft, die Stromdichte in dimensionsloser Form darzu-stellen. Zu diesem Zweck wird sie auf die Totaldichte t und die mit der Totaltem-peratur gebildete Schallgeschwindigkeit at bezogen, sodass sich eine Bezeichnung für die Stromdichte in dimensionsloser Form ergibt:

tt t t

t t t t t

pcmit a R T und

a a R T (B.50)

Aus Gl. (B.33) ergibt sich durch Erweitern:

1

t t t t t

t t t t

p a ac 2 c cMa 1

a 1 p a a a a

Aus der allgemeinen Gasgleichung (A.94) wird durch Division der Ausdruck:

t t

a T

a T

gebildet, sodass zusammen mit Gl. (B.29) der folgende Ausdruck entsteht:

11 1

t t

t t t t t t

p pc a 2 p 2 T1 1

a a 1 p p 1 T p

Mit Gl. (B.30) wird daraus schließlich:

1 1

t t t t

c p 2 p1

a p 1 p (B.51)

Anhand dieser Gleichung ist zu erkennen, dass folgende zwei Extremfälle existieren:

t t

p pfür 1 c 0 für 0 c 0

p p

1538 Anhang B

Im ersten Fall ist p pt, was gleichzeitig c 0 und t bedeutet. Im zweiten Fall ist dann p 0, was schließlich auch c cmax und 0 bedeutet. Da insgesamt die Stromdichte · c immer positive Werte aufweist, muss zwischen den beiden oben aufgezeigten Extremwerten ein Maximum existieren. Wenn die Stromdichte · c aber ein Maximum hat, dann heißt das nach Gl. (B.49) aber auch, dass der

Stromröhrenquerschnitt A dort ein Minimum haben muss. Die mathematische Be-dingung für das Maximum von · c in Abhängigkeit des Druckes p lautet:

d dc d

c 0 cdp dp dp

(B.52)

Hier werden die Gln. (B.47) und (B.3) eingesetzt:

2

2 2 2 22

c a0 c a c c a

c ca (B.53)

Das heißt, die Stromdichte hat ihr Maximum an der Stelle, wo die Geschwindig-keit gleich der Schallgeschwindigkeit ist bzw. da, wo Ma 1 erreicht wird, und das ist stets dort, wo der Stromröhrenquerschnitt A sein Minimum bzw. seinen engsten Querschnitt hat. Dieses zeigt auch Bild B-22, in dem die Gln. (B.51) und (B.33) ausgewertet wurden. Für kompressible Strömungen können somit zusam-menfassend die folgenden zwei wesentlichen Aussagen gemacht werden:

– Die Schallgeschwindigkeit c a bzw. Ma 1 wird im engsten Querschnitt eines Strömungskanals erreicht.

= 1.40

0.578704

2.0

1.0

0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0p / pt

Machzahl Ma

t t

c

a

Bild B-22: Machzahl und dimensionslose Stromdichte in Abhängigkeit des Druckverhältnisses


– Der maximal mögliche Massenstrom, der durch einen gegebenen Strömungs-kanal strömen kann, wird durch den engsten Querschnitt begrenzt. Das heißt, bei Ma 1 wird auch der maximale Massenfluss erreicht.

Strömungszustände mit Machzahlen Ma 1 können in einer Stromröhre nur dann erreicht werden, wenn diese eine besondere Form, nämlich die einer Lavaldüse (konvergent/divergente Düse) hat. In diesem Fall wird auch im engsten Querschnitt Ma 1 erreicht.

B.5.4 Ausfluss aus einem Kessel

Ein Ausflussvorgang ist ein Expansionsvorgang, der mit einer Geschwindigkeits-erhöhung bzw. einer statischen Druckabsenkung verbunden ist. Das Gegenteil da-von ist ein Aufstau bzw. eine Kompression, die mit einer Geschwindigkeitsverzö-gerung bzw. einer statischen Druckerhöhung verbunden ist (z. B. Staupunktströ-mung eines Tragflügels).

Zur Beschreibung des Ausflussvorganges wird in Bild B-23 ein mit Gas gefüll-ter Kessel mit dem Innendruck pt betrachtet, aus dem durch eine nicht weiter spe-zifizierte Düse das Gas in einen Raum niedrigeren Gegendrucks ausströmt. Der Kessel sei so voluminös, dass trotz des Ausströmvorganges im Kessel selbst keine wesentliche Gasbewegung festzustellen ist, d. h. es gilt innerhalb des Kessels c 0. Gl. (B.35) zeigt, dass auch in kompressibler Strömung bei c 0 der Totaldruck gleich dem statischen Druck ist, pt p. Zur Übertragung auf die kompressible Bernoulligleichung in der Form (B.42) schreibt man deswegen:

t tc c 0 p p p

Damit wird aus Gl. (B.42):

1

2 t

t t

p pc 2 1 0

1 p

c = 0p , T , t t t

c > 0p , T,

c = 0p , T , t t t

c = a = cmax c > a

c = 0p , T , t t t

Bild B-23: Ausfluss aus einem Kessel mit Innendruck in einen Raum niedrigeren Gegendrucks

1540 Anhang B

durch Umstellen eine Beziehung für die Ausflussgeschwindigkeit aus einem Kes-sel gefunden:

1

t

t t

p pc 2 1

1 p (B.54)

Dieses ist die so genannte Formel von de Saint-Venant und Wantzel (1839). Sie gibt die Ausflussgeschwindigkeit c eines Gases an, das aus einem Kessel mit dem Ruhedruck ( Totaldruck Kesseldruck) pt und der Ruhedichte t in einen Raum ausströmt, in dem der kleinere statische Druck ( Gegendruck) p herrscht. Nach dieser Formel ergibt sich die größtmögliche Ausströmgeschwindigkeit c cmax genau dann, wenn das Gas in einen Vakuumraum mit dem Gegendruck p 0 strömt. Aus Gl. (B.54) wird dann zusammen mit Gl. (B.4):

tmax t

t

p2 2c a

1 1 (B.55)

Befindet sich z. B. im Kessel Luft mit einem Kesselzustand, der der Standardat-mosphäre entspricht (pt 101 325 N/m², Tt 288.15 K, t 1.225 kg/m³), so er-gibt sich mit 1.4 aus Gl. (B.55) beim Ausfließen ins Vakuum mit p 0:

max t tc 2.236 · a 2.236 · R T 761 m / s

Die maximale Ausflussgeschwindigkeit ist also gleich dem 2.236-fachen der Schallgeschwindigkeit at des Kesselzustandes. Trotz dieses endlichen Wertes für cmax wird die maximale Ausströmmachzahl Mamax entsprechend Gl. (B.33) und wegen p 0 unendlich groß. Bild B-22 verdeutlicht dies dort, wo am linken Bild-rand für p/pt 0 die Machzahlkurve – steil aus dem Diagramm heraus – ins Un-endliche strebt. Ma bedeutet also zwangsläufig nicht, dass auch die Ge-schwindigkeit c gegen unendlich streben muss:

cMa Ma mit c und p 0

p /

cMa Ma mit p 0 und c 0

p /

Ist der Gegendruck p so klein, dass sich nach Gl. (B.54) eine Ausflussgeschwin-digkeit c ergibt, die größer als die Schallgeschwindigkeit (Ma c/a 1) ist, so muss die bisher noch nicht genau spezifizierte Düse des Kessels einen ganz spe-ziellen Konturverlauf bekommen, nämlich den einer konvergent/divergenten- oder auch Lavaldüse, Bild B-23 rechts. Nur in einer solchen Düse kann – wie Bild B-21 zeigt – eine Machzahl Ma 1 erreicht werden. In einer konvergenten Düse ist die maximal mögliche Machzahl Mamax 1, die genau im engsten Querschnitt, also dem Austrittsquerschnitt der Düse, erreicht wird.


Analog zu den Ausdrücken T/Tt und p/pt nach den Gln. (B.32) und (B.34) wird nun auch eine Beziehung c/at gebildet. Hierzu wird Gl. (B.54) durch at dividiert, sodass sich

1

t t

c 2 p1

a 1 p (B.56)

ergibt. In inkompressiblen Strömungen gibt es als Vergleich zu dieser Beziehung sie sog. Ausflussformel von Torricelli, z. B. Albring (1978):

t t

c 2 p1

a p (B.57)

Zwischen p/pt 1.0 ... 0.85 weichen die Ergebnisse aus den Gl. (B.56) und (B.57) um bis zu etwa 5 % voneinander ab.

B.5.5 Kritische Werte

Der Strömungsquerschnitt A, in dem Ma 1 bzw. c a erreicht wird, wird auch als kritischer Querschnitt bezeichnet. Hier beginnen die Strömungsverhältnisse vom unterkritischen Zustand (Unterschall) in den überkritischen Zustand (Über-schall) zu wechseln. Statische Strömungsgrößen, die zu diesem kritischen Zustand gehören, werden durch einen * gekennzeichnet, d. h.:

cc c a a R T bzw. Ma Ma 1.0

a

A A Minimum und p p , , T T für die statischen Größen

Werden in die machzahlabhängigen Gleichungen für p/pt, / t und T/Tt in Tabel-le B-1 die jeweiligen Machzahlen durch Ma Ma* 1.0 ersetzt, so ergeben sich die in der folgenden Tabelle B-2 aufgelisteten kritischen Werte, die zu den Gln. (B.58) bis (B.60) führen. Gleichung (B.61) in Tabelle B-2 entsteht aus Gl. (B.56), wenn das darin enthaltene Druckverhältnis p/pt durch Gl. (B.58) ersetzt wird,

1

t t

c 2 p 2 2 21 1

a 1 p 1 1 1.

Werden die Gln. (B.59) für die Dichte und (B.61) für die Geschwindigkeit mitein-ander multipliziert, so entsteht die Gl. (B.62) für die dimensionslose Stromdichte:

1 1 1 1

1 2 2 1

t t

c 2 2 2

a 1 1 1

1542 Anhang B

Tabelle B-2: Kritische Werte von Strömungsgrößen für Luft mit 1.4

1

t t

p p 2Druck 0.5283

p p 1 (B.58)

1

1

t t

2Dichte 0.6339

1 (B.59)

1

t t

T T 2Temperatur 0.8333

T T 1 (B.60)

t t

c c 2Geschwindigkeit 0.9129

a a 1 (B.61)

1 1

2 1

t t t t

c c 2Stromdichte 0.5787

a a 1 (B.62)

An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass Ma* nicht als kritische Machzahl zu bezeichnen ist. Vielmehr ist Ma* c / a* die auf die kritische Geschwindigkeit be-zogene Machzahl. Sie wird auch manchmal als charakteristische Machzahl oder als Lavalzahl La bezeichnet. Was unter dem Begriff der kritischen Machzahl exakt zu verstehen ist, wird das folgende Kapitel B.5.6 zeigen. Für a a* c c* ergibt sich aus Gl. (B.61):

t

2a a

1 (B.63)

Das Einsetzen dieser Beziehung in Ma* c / a* ergibt:

t

c c 1Ma : La

a 2a (B.64)

Wird hierin für c/at Gl. (B.57) eingesetzt, so ist das Resultat:

1

t

1 pMa La 1

1 p (B.65)

Aus dieser Beziehung ist der Vorteil der Verwendung der charakteristischen Mach-zahl Ma* gegenüber der natürlichen Machzahl Ma gut zu erkennen. In Kap. B.5.4 war anhand der Gl. (B.33) gezeigt worden, dass für p 0 für die natürliche Mach-zahl Ma c/a gilt, während dabei die Geschwindigkeit c durchaus endlich bleiben kann. Gl. (B.65) zeigt nun den Vorteil, dass für p 0 bei endlicher Ge-schwindigkeit c auch die charakteristische Machzahl Ma* endlich bleibt, nämlich:


1

Ma La für Ma1

Ma La 2.45 für 1.4

Dieser Umstand führt häufig dazu, dass die charakteristische Machzahl Ma* den Vorzug gegenüber der natürlichen Machzahl Ma bekommt, speziell dann, wenn der statische Druck p bei endlichen Werten von c so kleine Werte annimmt, dass sich sehr, sehr hohe natürliche Machzahlen Ma einstellen würden. Ansonsten gel-ten die Zusammenhänge:

Ma 1 wenn Ma 1 Ma 1 wenn Ma 1 Ma 1 wenn Ma 1

B.5.6 Kritische Machzahl

Die kritische Machzahl Makrit ist die mit der Anströmgeschwindigkeit c und der zu-gehörigen Schallgeschwindigkeit a des Anströmzustandes gebildete Machzahl, bei der lokal am umströmten Körper irgendwo die Schallgeschwindigkeit erreicht wird,

krit

cMa : Ma :

a. (B.66)

Die kritische Machzahl ist i. Allg. immer kleiner als eins. Wird beispielsweise ein Tragflügelprofil angeströmt, so ist in der Umgebung der größten Dicke des Profils die örtliche Geschwindigkeit größer als die Geschwindigkeit in der ungestörten Anströmung. Es kann also auf dem Profil örtlich die Schallgeschwindigkeit er-reicht werden, obwohl die Geschwindigkeit der ungestörten Anströmung noch kleiner ist als die Schallgeschwindigkeit.

Aus den Gleichungen in Tabelle B-2 ist zu erkennen, dass die mit den kriti-schen Strömungsgrößen gebildeten Verhältnisse nur vom Isentropenexponenten abhängen und für ein gegebenes Strömungsmedium bei gegebener Temperatur (d. h. bei const) eine konstante Größe sind. Ist also der Totalzustand eines Strömungsmediums gegeben (z. B. der Totaldruck am Eintritt einer Turbine), so kann aus den oben angeführten Verhältnissen festgestellt werden, bei welchem statischen Druck (z. B. Druckverteilung einer Turbinenschaufel) im engsten Quer-schnitt des Schaufelkanals der kritische Zustand (Ma Ma* 1) erreicht werden wird, Bild B-24.

Es ist einsichtig, dass es bei gegebenem Strömungszustand vor der Beschaufe-lung (ptEin, TtEin) nur eine ganz bestimmte Anströmmachzahl (MaEin 1) geben kann, bei der im engsten Querschnitt der Schalldurchgang eintritt, d. h. Mae Ma* 1 er-reicht wird. Dieses ist die bereits definierte kritische Machzahl MaEin Ma* , die speziell bei Turbinenströmungen als Sperrmachzahl bezeichnet wird. Diese Mach-zahl ist bei konturierten Strömungskanälen (z. B. Strömungskanal zwischen den Turbinenschaufeln) generell kleiner als Eins und kann nach Erreichen des kritischen Zustandes im engsten Querschnitt auch nicht weiter gesteigert werden, da die Stromdichte bzw. der Massendurchsatz ab hier maximal ist.

1544 Anhang B

B.5.7 Massenstromparameter

Bei den Massenstromparametern handelt es sich um vier machzahlabhängige Bezie-hungen, die aus der Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden und damit nichts weiter als eine Umformulierung des Massenstroms darstellen. Im Bereich der Strahltriebwer-ke sind die Massenstromparameter häufig im Zusammenhang mit Verdichter- und/oder Triebwerkskennfeldern zu finden. Auch bei der Beschreibung der Fang-stromröhre von Triebwerken und bei der Berechnung der Einlaufverluste werden sie verwendet.

B.5.7.1 Massenstromparameter 1. Art

Es wird die Kontinuitätsgleichung zwischen einer unterkritisch und gerade kritisch durchströmten Bezugsebene formuliert:

m c A c A a A (B.67)

Durch einfaches Umstellen leitet sich hieraus der Massenstromparameter 1. Art I ab:

I

A c

A c (B.68)

Die Vergleichbarkeit dieser Beziehung mit den Gln. (B.50) bzw. (B.62) für die Stromdichte ist offensichtlich. Im kritischen Fall c * c* wird der Massen-stromparameter 1. Art gleich eins:

I 1 (B.69)

*Ma 1

Ma 1.0e

Mae

Bild B-24: Turbinenbeschaufelung, bei der im engsten Querschnitt der kritische Strömungszu-stand erreicht ist



Ausgehend von der Kontinuitätsgleichung (B.67) entsteht unter Verwendung der Gl. (B.68) der folgende Ausdruck:

I

m c A c

c A c A c (B.70)

Diese Gleichung wird nun mit t at erweitert:

t tI I

t t t t t t

am c m c

c A a c a A a (B.71)

Mit Gl. (B.62) wird die kritische Stromdichte * eingeführt:

1 1

2 1

t t

c 2

a 1 (B.72)

Die Geschwindigkeit at ist die auf die Totaltemperatur Tt bezogene Schallge-schwindigkeit. Aus den Gln. (B.71) und (B.72) folgt somit:

I

t i t

m

A R T (B.73)

Zusammen mit der allgemeinen Gasgleichung für die Totalgrößen t pt / (R Tt) wird hieraus schließlich der Massenstromparameter 2. Art II gebildet:

ti t iI I

tt i t

TR T Rm m

A A pp R T,

t redII I

i t

T m1m

R A p A. (B.74)

Der Ausdruck:

tred

t

Tm m

p (B.75)

wird dabei als reduzierter Massenstrom bezeichnet. m ist dabei der natürliche Massenstrom. Im kritischen Fall, wenn I I

* 1 wird, ergibt sich für den Mas-senstromparameter 2. Art der Ausdruck:

redII

i

m

R A. (B.76)

1546 Anhang B


Durch Kombination der Gln. Gl. (B.14) und (B.67) für die Machzahl und den Mas-senstrom entsteht der Basisausdruck für den Massenstromparameter 3. Art III:

IIIt t t t

c am c A Ma a A Ma

a a. (B.77)

Zusammen mit den Gln. (B.71), (B.73) und (B.74) ergibt sich daraus:

It t t t t t

m c A c

A a a A a,

IIIt t t t

c am c A Ma a A Ma

a a. (B.78)

Im kritischen Fall wird hieraus:

2red

III II *i

m

RA. (B.79)


Hierbei handelt es sich um eine Abwandlung des Massenstromparameters 2. Art. Ausgegangen wird wiederum von der Kontinuitätsgleichung, in die die allgemeine Gasgleichung (A.86) und die Machzahldefinition (B.14) eingesetzt werden:

i i

m c A

m pc c p Ma

A R T R T.

Diese Gleichung wird nun mit t tT / p erweitert:

t t tred

t i t i t

m T T T / Tmp Ma Ma

A p A R T p R p / p. (B.80)

Zum Ersetzen der Ausdrücke pt / p und Tt / T in dieser Gleichung werden die ent-sprechenden machzahlabhängigen Gleichungen aus Tabelle B-1 verwendet, die auch durch die Gln. (B.32) und (B.34) beschrieben werden:

1

2 2t tp T1 11 Ma 1 Ma

p 2 T 2. (B.81)


Durch Einsetzen dieser beiden Beziehungen in Gl. (B.67) ergibt sich der Massen-stromparameter 4. Art IV:

2

redIV

i 12

1 1

2 12red

IVi

11 Ma

m 2MaA R 1

1 Ma2

m 1Ma 1 Ma

A R 2 (B.82)

Im kritischen Fall wird A A* und Ma 1, womit Gl. (B.82) in Gl. (B.76) übergeht:

1 1

2 1

IV IIi

1 1

2 1red

IV IIi i

1

R 2

m2

R 1 R A. (B.83)

Beispiel B.1. In der Messebene einer gasdurchströmten Rohrleitung mit einem Innendurchmes-ser von D 0.3 m werden folgende Zustandsgrößen durch Messung ermittelt: Totaldruck pt 4 105 Pa, Totaltemperatur Tt 413 K, statischer Druck p 2.9 105 Pa. Vom Gas, das Luft ist, sind der Isentropenexponent cp / cv 1.4 und die spezifische Gaskonstante R 287 Nm/(kg K) bekannt. Es sind die nachfolgenden Zahlenwerte zu berechnen:

10.285714286...

t

Machzahl :

p2 2 4.0Ma 1 1 0.694

1 p 0.4 2.9

Die auf die kritische Geschwindigkeit bezogene Machzahl, die auch manch-mal als charakteristisc

10.285714286...

t

I

t

he Machzahl oder als Lavalzahl bezeichnet wird:

1 p 2.4 2.9Ma 1 1 0.726

1 p 0.4 4.0

Massenstromparameter 1. ArtA c

A cT

T1

12

2

53

413376.74 K

1 0.2 0.694Ma2

p 2.9 102.682 kg / m

R T 287 376.74c Ma R T 0.694 1.4 287 376.74 269.9 m / s

1548 Anhang B

1

1 2.52 2 3t

t t1 1

2 12

t t t t

2

I

11 Ma 2.682 1 0.2 0.694 3.375 kg / m

2

a R T 1.4 287 413 407.36 m / s

2* c* a a 0.5787 795.55 kg / m s

1

c 2.682 269.9 723.85 kg / m s

A c

A c

1 1 1 1

2 1 2 1

III It t

2 2

723.850.91

795.55Massenstromparameter 3. Art

c 2 A 2 723.850.5787 0.91 0.5787 0.527

a 1 A 1 795.55Massenstrom

D 0.3m c A c 2.682 269.9

4

tred 5

t

red redII 2

51.17 kg / s4

reduzierter Massenstrom

T 413m m 51.166 0.0026 m s K

p 4 10Massenstromparameter 2. Art

m 4 m 4 0.00260.0368 s K / m

A D 0.3 0.3

Beispiel B.2. Aus einer konvergenten, gut isolierten Düse mit dem Austrittsquerschnitt A9 0.25 m² strömt verlustlos (isentrop) Heißgas ( 1.3, R 287 Nm/kg/K) mit der Ge-schwindigkeit c9 438 m/s aus. Die Gastemperatur am Eintritt der Düse beträgt Tt5 1 098 K. Der statische Druck in der Düsenaustrittsfläche p9 ist gleich dem Umgebungsdruck p0: p9 p0 1 008 hPa. Man berechne die Düsenaustrittsmachzahl Ma9, den Totaldruck pt5 am Dü-seneintritt und den Massenstrom m , der durch die Düse strömt.

t9 t5

t9 t5

p

2 29

9 t9p

9 99

9 9

verlustlose, isentrop durchströmte Düse: p p

gut isolierte, d. h. adiabate Düse: T T 1 098 K

R 1.3 287c 1 243.66 Nm / (kg K)

1 0.3c 438

T T 1 098 1 020.87 K2 c 2 1 243.66

c c 438Ma

a R T 1.3 2

1 4.33332 2t5 t9 9 9

99

9

9 9 9

4380.71

617.1687 1 020.87

1p p p 1 Ma 100 800 1 0.15 0.71 138 242 Pa

2

p 100 8000.34404 kg / m³

R T 287 1 020.87

m c A 0.34404 438 0.25 37.67 kg / s


Beispiel B.3. Aus einer konvergenten Triebwerksdüse mit einer fest vorgegebenen Düsenaus-trittsfläche A9 strömt verlustlos (isentrop) Heißgas aus. Der Strömungszustand in der Düsenaus-trittsfläche 9 sei kritisch. Welche Zustandsgrößen des Heißgases sind zu beeinflussen, um den Massenstrom m zu erhöhen?

9 9 9 9

9

19

t9 t9

1

t9

9

t9

m c A a A

pm R T A

R T

p A 2 2m mit p p und T T

1 1R T

2p

1m A

2 RT

1

Der Massenstrom m kann gesteigert werden durch:

anhebe t9

t9

n des Totaldruckes p

absenken der Totaltemperatur T

Beispiel B.4. Es ist die Austrittsfläche A9 einer konvergenten, gut isolierten (adiabaten) Düse zu bestimmen. Bekannt sind der Totaldruck am Eintritt in die Düse pt5 2.5 105 Pa, die Gesamt-temperatur am Eintritt in die Düse Tt5 300 K, der Massenstrom durch die Düse m 10 kg/s und die Düsenaustrittsmachzahl Ma9 0.8. Die in der Düse durch Reibung auftretenden Strö-mungsverluste sind durch den Düsenverlustkoeffizienten D = pt9 / pt5 = 0.98 zu berücksichtigen. Für das Gas gilt: 1.4, R 287 Nm/(kg K).

5 5t9 D t5

t9 t5

t9red 5

t9

9 9 9 9 99

verlustbehaftete, nicht isentrop durchströmte Düse: p p 0.98 2.5 10 2.45 10 Pa

gut isolierte, d. h. adiabate Düse: T T 300 K

T 300m m 10 0.000707 m s K

p 2.45 10

pmm c A c

A9

9 9 99 9

t9 t9 t9 9red9 9 9

9 9 t9 9 t9 t9 9

29

red9 3.5

9 129

red9

c p MaR T R T

m T T T / Tmp Ma Ma

A A p R T p R p / p

11 Ma

m 1.4 1 0.2 0.642Ma 0.8 0.03893 kg / (s m²)A R 287 1 0.2 0.641

1 Ma2

mA

0.03893

0.0007070.0181607 m²

0.03893

Anhang C Impulssatz für stationäre Strömungen

C.1 Impuls

Per Definition gilt für den Impuls I :

I : m c (C.1)

Der Impuls I ist das Produkt aus Masse m und Geschwindigkeit c . Der Impuls ist eine vektorielle Größe und hat dieselbe Richtung wie die Geschwindigkeit.

C.2 Masse

Aus Gl. (C.1) folgt durch Umstellen:

I

mc

(C.2)

Der Impuls I und die Geschwindigkeit c stehen in einem konstanten Verhältnis zueinander, das der unveränderlichen Masse m entspricht. Aufgrund dieser Kon-stanz hat jede Geschwindigkeitsänderung eine Änderung des Impulses zur Folge.

C.3 2. Newtonsches Axiom

Das zweite Newtonsche Axiom lautet in Worten: Die Beschleunigung eines Kör-pers b ist der auf ihn wirkenden Kraft F proportional und erfolgt in derjenigen Richtung, in der die Kraft wirkt.

dc

F : m b mdt

(C.3)

Kraft ist also gleich Masse mal Beschleunigung und die Beschleunigung ist gleich der zeitlichen Geschwindigkeitsänderung. Nach Gl. (C.2) erzeugt jede Geschwin-digkeitsänderung auch eine Impulsänderung. Folglich führt eine Beschleunigung (Geschwindigkeitsänderung mit der Zeit) zu einer zeitlichen Impulsänderung. Aus Gl. (C.1) ergibt sich durch Anwendung der Produktregel der Differenzialrechnung:


1552 Anhang C

dI dc dm

I m c m cdt dt dt

Zusammen mit Gl. (C.3) folgt für den Fall unveränderlicher Masse m const bzw. dm/dt 0:

dI

Fdt

(C.4)

Hieraus ergibt sich die Formulierung des Impulssatzes: Die zeitliche Änderung des Impulses einer abgegrenzten, zeitlich nicht veränderlichen Masse ist gleich der resultierenden Kraft aller an der Masse angreifenden äußeren Kräfte. Innere Kräfte ändern den Impuls nicht!

C.4 Substanzielle Änderung von Strömungsgrößen

Den substanziellen Ableitungen von strömungsmechanischen Größen kommt eine wichtige Bedeutung in der Strömungsmechanik zu. Mit ihnen können die zeitlichen Änderungen eines sich mit der Strömung mit bewegenden Fluidteilchens beschrie-ben werden. Die allgemeine räumliche Bewegung eines solchen Fluidteilchens zeigt Bild C-2. Die räumlichen Positionen des Teilchens (x1, y1, z1 und x2, y2, z2) zu zwei unterschiedlichen Zeitpunkten t1 und t2 werden in einem kartesischen x-y-z-Koordinatensystem beschrieben. Die Einheitsvektoren, die zu den x-y-z-Achsen gehören, werden mit i , j und k bezeichnet. Der allgemeine räumliche Ge-schwindigkeitsvektor c , mit dem die Geschwindigkeit des Fluidteilchens be-schrieben wird, lautet dann:

x y zc c i c j c k (C.5)

x

z

cx

cy

cz

x

y

z

dxc

dtdy

cdtdz

cdt

c

Bild C-1: Räumlicher Geschwindigkeitsvektor

C.4 Substanzielle Änderung von Strömungsgrößen 1553

Wobei die Geschwindigkeitskomponenten cx, cy und cz von der räumlichen x-y-z-Position und der Zeit t abhängen:

x x y y z zc c x,y,z, t c c x,y,z, t c c x,y,z, t (C.6)

Die zu betrachtende Strömung ist damit eine allgemeine instationäre Strömung. Der Impuls des Fluides ist ein Vektor und wird allgemein durch:

I I x, y,z, t (C.7)

beschrieben. Zum Zeitpunkt t t1 befindet sich das Fluidteilchen im räumlichen Punkt 1. In diesem Punkt und zu dieser Zeit hat das Fluidteilchen den Impuls:

1 1 1 1 1 1I I (x ,y ,z , t ) (C.8)

Zu einem späteren Zeitpunkt t t2 hat sich dasselbe Fluidteilchen zum räumlichen Punkt 2 hin bewegt. In diesem Punkt und zu dieser Zeit hat dasselbe Fluidteil-chen nun den Impuls:

2 2 2 2 2 2I I (x ,y ,z , t ) (C.9)

Die Veränderung des Impulses beim Übergang vom Punkt 1 zum Punkt 2 kann durch die Anwendung einer Reihenentwicklung nach Taylor1 auf die Impulsfunk-tion (C.9) beschrieben werden:

1 Für eine einfache, eindimensionale Funktion gilt die folgende Form der Taylorreihe…

x

y

zx x1 2

y y1 2

z z1 2

y1

x1

z1

z2

y2

x2

1c

2c

i

j

k

1

2

Bild C-2: Fluidteilchen mit dem Volumen V, das sich im Strömungsfeld mit der Geschwindig-keit c mitbewegt und dabei einen allgemeinen räumlichen Weg von nach durchläuft

1554 Anhang C

1 1 1 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1 1 1

I I I II I x x y y z z t t ...

x y z t

... die Terme mit den höheren Ableitungen

(C.10)

Werden alle höheren Ableitungen als vernachlässigbar klein angesehen und die Gl. (C.10) durch (t2 t1) dividiert, so ergibt sich:

2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1

2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1

I I I x x I y y I z z I

t t x t t y t t z t t t (C.11)

Die linke Seite dieser Gleichung stellt die Impulsänderung pro Zeiteinheit I / t dar, die das Fluidteilchen bei der Bewegung vom Ort 1 zum Ort 2 erfährt. Mittels der Definitionsgleichung von Leibniz für den Differenzialquotienten2 ergibt sich:

2 1

2 1

t t2 1

I IDI: lim

Dt t t (C.12)

Hierin bedeutet t2 t1, dass der Differenzialquotient DI / Dt die unmittelbare Impulsänderung in einem sich bewegenden Fluidelement innerhalb eines infinite-simalen Zeitraums beschreibt, den das Fluidelement zum Passieren des Punktes 1 im Strömungsfeld benötigt. Per Definition wird dabei das Symbol D/Dt als sog. substanzielle Ableitung bezeichnet. Zur Verdeutlichung sei an dieser Stelle nochmals ausdrücklich darauf aufmerksam gemacht, dass hier die Impulsänderung innerhalb eines sich im Strömungsfeld bewegenden Fluidteilchens betrachtet wird und nicht die Impulsänderung an dem fixen Ort 1 im Strömungsfeld, die sich in-folge lokaler transienter3 Strömungsfluktuationen (zeitliche Schwankungen bzw. Ungleichmäßigkeiten) beim Durchströmen dieses Ortes ergeben würden. Mathe-matisch wird diese letztgenannte Strömungseigenschaft durch den partiellen Diffe-renzialquotienten 1 1I / t beschrieben. Demzufolge sind also DI / Dt und

1 1I / t physikalisch zwei vollkommen unterschiedliche Ausdrücke, die folglich auch zu unterschiedlichen numerischen Ergebnissen führen.

Beim Grenzübergang t2 t1 verändern sich die Größen auf der rechten Seite von Gl. (C.11) wie folgt:

2 31 1 1

2 1 2 1 2 1 2 1

ƒ ' x ƒ '' x ƒ ''' xƒ x ƒ x x x x x x x

1! 2! 3!,

die für den vorliegenden allgemeinen räumlichen Fall auf die Koordinaten x, y, z und auf die Zeit t ausgeweitet werden muss.

2 Die Überführung eines Differenzenquotienten in einen Differenzialquotienten erfolgt nach Leibniz über die folgende Beziehung:

2 1

2 1

x 0 x x2 1

dy y y ylim lim

dx x x x

3 In einem Strömungsfeld gibt es lokal immer kleinere oder größere Verwirbelungen, die zu lo-kalen Beschleunigungen oder Verzögerungen (sog. transienten Vorgängen) und damit zu loka-len Geschwindigkeitsschwankungen führen, auch wenn im langfristigen Mittel die lokale Ge-schwindigkeit unverändert bleibt.

C.4 Substanzielle Änderung von Strömungsgrößen 1555

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1x y zt t t t t t

2 1 2 1 2 1

x x y y z zc : lim , c : lim , c : lim

t t t t t t, (C.13)

sodass sich schließlich aus Gl. (C.11) die folgende Beziehung ergibt:

x y z

DI I I I Ic c c

Dt t x y z (C.14)

Aus dieser Gleichung kann nun ganz allgemein ein Ausdruck für die substanzielle Ableitung in kartesischen Koordinaten abgeleitet werden:

x y z

D: c c c

Dt t x y z (C.15)

Die substanzielle Ableitung kann auf jede Variable eines Strömungsfeldes ange-wendet werden, sowohl auf vektorielle Größen, wie die Geschwindigkeit c und den Impuls I , als auch auf skalare Größen, wie den Druck p, die Temperatur T oder die Dichte .

In der Vektoranalysis werden die drei ganz rechts in Gl. (C.14) stehenden Summanden zum sog. Gradienten des Vektorfeldes c I = c grad I zusam-mengefasst, Bronstein u. Semendjajew (1977), wobei I = grad I der sog. Gra-diententensor des Vektorfeldes I ist4:

x y z

I I Ic grad I c c c

x y z (C.16)

und es folgt aus Gl. (C.14):

DI I I

c grad I c IDt t t

(C.17)

Bei Truckenbrodt (1968) wird diese Gleichung auch wenn der Impuls durch eine beliebige Strömungsvariable ersetzt wird als die sog. Transportgleichung der Strömungsmechanik in differenzieller Form bezeichnet. Die allgemeine Bedeutung der drei in dieser Gleichung enthaltenen Terme ist die folgende:

D c

Dt t

substanzielle Änderung lokale Änderung konvektive Änderungeiner Eigenschaft einer Eigenschaft einer Eigenschaft

D

dt substanzielle

Änderung

beschreibt die zeitliche Änderung der strömungsme-chanischen Variablen eines sich mit der Strömung mit bewegenden Fluidteilchens.

4 Hierin handelt es sich bei dem Vektoroperator um den sog. Hamilton- oder Nablaoperator,

der ein symbolischer Vektor ist und mittels dem die Symbole des Gradienten, der Divergenz und der Rotation in der Vektoralgebra ersetzt werden können.

1556 Anhang C

t lokale

Änderung

beschreibt die zeitliche Änderung von strömungsme-chanischen Variablen in einem fest fixierten Punkt in-nerhalb eines Strömungsfeldes. Zu jedem Zeitpunkt that das Fluid im betrachteten Raumpunkt eine andere strömungsmechanische Eigenschaft.

c grad konvektive Änderung

beschreibt die zeitliche Änderung der strömungsme-chanischen Variablen eines Fluidteilchens, das sich in-nerhalb eines räumlichen Strömungsfeldes von einem Ort zu einem anderen hin bewegt, wobei an jedem der Orte lokal andere Strömungszustände vorliegen.

Damit sagt Gl. (C.17) also aus, dass sich der Impuls eines Fluidteilchens ändert, wenn das Teilchen einen gewissen Punkt im Strömungsfeld passiert, weil sich an diesem Punkt der Impuls fluktuierend mit der Zeit (instationär) ändert (lokale Ab-leitung I / t ), und weil sich das Teilchen zu einem anderen Ort im Strömungs-feld hin bewegt, an dem der Impuls ein anderer ist als an seinem bisherigen Ort (konvektive Ableitung c grad I = c I ). Rein mathematisch ist die substanziel-le Ableitung im Wesentlichen nichts anderes als der wohl bekannte totale Diffe-renzialquotient der Differenzialrechnung. Die Verwendung der substanziellen Ab-leitung hat aber den Vorteil, dass sie die physikalische Bedeutung eines Vorgan-ges besser hervorhebt, wogegen das totale Differenzial ein mehr formaler mathe-matischer Ausdruck ist. Gleichung (C.4) kann also aus Zwecken der Anschaulich-keit auch in der folgenden Form aufgeschrieben werden:

DI

FDt

. (C.18)

Abschließend soll anhand der Temperatur T, die Anschaulichkeit der substanziellen Ableitung in Form einer Art Allegorie noch einmal zum Ausdruck gebracht werden:

x y z

DT T T T T T Tc grad T c T c c c

dt t t t x t t.

Zur Deutung dieses abstrakten mathematischen Ausdruckes stelle man sich nun vor, dass man an einem heißen Sommertag bei einer Wanderung zu einem kühlen Bergsee gelangt, in dem man baden will. Die Temperatur des Sees ist kühler als die der Luft. Wenn man also in das Wasser steigt, so wird man eine Temperatur-abnahme über die Haut fühlen. Dieses entspricht der konvektiven Temperaturän-derung c grad T = c T in der obigen Gleichung. In dem Augenblick, in dem man in das Wasser des Sees geht, wird man von einem kalten Windstoß getroffen, wodurch man einen kurzzeitigen, momentanen Temperaturabfall auf der Haut fühlt, was einer lokalen Temperaturänderung T/ t entspricht. Die Temperaturab-nahme, die man beim Betreten des Sees über die Haut fühlt, ist also eine Kombi-nation aus dem Vorgang der Ortsveränderung beim Betreten des Sees und der kurzzeitigen zusätzlichen Abkühlung infolge des kalten Windstoßes. Beides zu-sammen entspricht der substanziellen Temperaturänderung DT/Dt.

1557

C.5 Allgemeiner Impulssatz der Mechanik

Der linke Teil von Bild C-3 zeigt eine Fluidmasse m, die sich aus vielen kleinen Punktmassen mP zusammensetzt. Jede der Punktmassen mP hat die ihr jeweils ei-gene auf den Punkt bezogene Geschwindigkeit Pc . In der Summe bewegen sich aber schließlich alle Einzelmassen mP als zusammengefasste Masse m mP mit der Geschwindigkeit c .

Der allgemeine Impulssatz der Mechanik besagt (Westphal, 1956): Der Ge-samtimpuls eines abgeschlossenen und keinen äußeren Kräften unterworfenen Systems ist konstant. Er kann durch die inneren Kräfte des Systems nicht geändert werden.

Die Gesamtheit aller Punktmassen mP innerhalb der Masse m ist ein solches abgeschlossenes, keinen äußeren Kräften unterworfenes System. Demnach ist der Gesamtimpuls der Masse m zeitlich konstant. Er kann weder zu- noch abnehmen. Tritt also an einer der Punktmassen mP infolge einer Wechselwirkung mit einer der anderen Massen eine Impulsänderung ein, so müssen gleichzeitig an dieser anderen Masse auch Impulsänderungen (gleicher Betrag aber entgegengesetzte Richtung) eintreten, und zwar so, dass sich in der Summe keinerlei Impulsände-rung ergibt. Man schreibt also:

P

P P P

m m m dm

I m c I c dm (C.19)

Im rechten Teil ist das Summenzeichen durch das Integralsymbol ersetzt worden und die punktuellen Massen mP durch ein infinitesimales Massenele-ment dm.

cp

cp

cp

y = f(x)

cp

c

Bild C-3: links Hilfsskizze zum allgemeinen Impulssatz der Mechanik nach Kap. C.5; rechtsSkizze zum Differentailquotienten nach Leipniz in Kap. C.7

Allgemeiner Impulssatz der Mechanik C.5

1558 Anhang C

C.6 Schwerpunktsatz der Mechanik

Der Schwerpunktsatz der Mechanik (Westphal, 1956), der mit dem zuvor be-schriebenen Impulssatz nach dem Wechselwirkungsprinzip actio reactio (drittes Newtonsches Axiom) identisch ist, besagt: Der Schwerpunkt eines Körpersystems bewegt sich infolge der an den Einzelkörpern des Systems angreifenden äußeren Kräften so, als sei die Gesamtmasse m des Körpersystems im Schwerpunkt verei-nigt und als griffen alle äußeren Kräfte im Schwerpunkt an.

Man stelle sich hierzu vor, dass sich eine zusammenhängende Fluidmasse m mit der Geschwindigkeit c reibungsfrei durch die Luft bewegt und dabei in eine Viel-zahl von tropfenförmigen Kleinstmassen dm (Tropfen) zerfällt (z. B. Wasser, nach dem Austreten aus einem Gartenschlauch). Das Zerfallen in Tropfen erfolgt durch die Änderung der inneren Kräfte innerhalb der Fluidmasse m. Nach dem Schwer-punktsatz erfolgt nun die weitere Bewegung des gemeinsamen Schwerpunktes der auseinander fliegenden Tropfen genau so, als wirke an diesem Schwerpunkt die Summe der Schwerkräfte aller Einzeltropfen. Der gemeinsame Schwerpunkt aller Einzeltropfen hat also eine Bewegungsbahn, die vollständig identisch ist mit der Bahn, welche die vollständig zusammenhängende Fluidmasse m gehabt hätte. In Anlehnung an diese Vorstellung kann also nun im Integral (C.19) die Geschwin-digkeit Pc der Punktmassen auch durch die Geschwindigkeit c der Gesamtmas-se ersetzt werden. Mit dem Zusammenhang, dass Masse Dichte Volumen ist, dm dV, ergibt sich dann:

V

I c dm c dV (C.20)

Aus Gl. (C.18) folgt damit:

V

DI DF c dV

Dt Dt (C.21)

Die Integration über das ursprüngliche, abgegrenzte Massensystem m erfordert also nun die Integration über ein Volumen V, das bei Fluiden als sog. flüssiges Volumen bezeichnet wird und ständig die gleiche Anzahl von Fluidteilchen be-inhaltet, sodass seine Masse unverändert bleibt. Da aber die Dichte innerhalb des Strömungsfeldes variieren kann, wird sich das flüssige Volumen V und da-mit auch seine Oberfläche A, während eines Bewegungsvorganges von einem Ort zu einem anderen hin, verändern, V V(t). Das heißt, das sich mit der Strömung mit bewegende Volumen konstanter Masse wird abhängig von den lokalen Gegebenheiten im Strömungsfeld sein Volumen V mal vergrößern und mal verkleinern. Die das flüssige Volumen V umschließende flüssige Oberflä-che A kann zum einen aus einer mitschwimmenden Fläche bestehen, die als freie Fläche AFrei bezeichnet wird, und zum anderen aber auch durch feste Flä-chen AFest von Körpern gebildet werden, die sich eventuell innerhalb des be-trachteten flüssigen Volumens befinden. Dementsprechend können auch die äu-ßeren Kräfte F teilweise aus solchen Kräften bestehen, die auf die mitschwim-

C.8 Reihenentwicklung nach Taylor 1559

menden flüssigen Teile ausgeübt werden (Gewichts- und Druckkräfte), und teilweise aus solchen, die von den umströmten festen Körpern auf die Flüssig-keit übertragen werden (Druck- und Reibungskräfte).

In Gl. (C.21) erfolgt die Ableitung nach der Zeit, sodass analog dazu auch beim flüssigen Volumen entsprechend zu verfahren ist. Wegen V V(t) wird damit aus Gl. (C.21):

V(t )

DI DF c dV

Dt Dt (C.22)

C.7 Differenzialquotient nach Leibniz

Die Definitionsgleichung von Leibniz für den Differenzialquotienten lautet:

x 0

dy y: lim

dx x

Geometrisch betrachtet bedeutet hierin dy/dx die Steigung einer stetigen Funktion y f(x). Nach der rechts in Bild C-3 dargestellten Skizze bestimmt sich y zu:

y f x x f x

Damit folgt aus der vorhergehenden Beziehung:

x 0

dy 1lim f x x f x

dx x

Dieses Ergebnis wird auf das Impulsintegral (C.22) übertragen, wobei anstelle von x die Zeit t eingeführt wird:

t 0

V(t t ) V(t )

DI 1F lim c t t dV c t dV

Dt t (C.23)

C.8 Reihenentwicklung nach Taylor

Für die Weiterverarbeitung der Funktion c t t bietet sich typischerweise die Hauptform der Reihe von Taylor an, die eine Funktion f(t+ t) an der Stelle t nach Potenzen von t entwickelt. Die Taylorsche Reihenentwicklung für die Funktion c t t lautet dann:

2 2 3 3

2 3

t tc t t c t t c t c t c t ...

t 2 6t t

Diese Reihenentwicklung wird nun in die Impulsgleichung (C.23) eingesetzt:

1560 Anhang C

V(t t ) V(t t )2 2

2t 0V(t t )

3 3

3

V(t t ) V(t )

c t dV t c t dVt

DI 1 tF lim c t dV

Dt t 2 tt

c t dV ...... c t dV6 t

Unter der Voraussetzung, dass alle höheren Ableitungen vernachlässigbar klein sind, vereinfacht sich diese Beziehung folgendermaßen:

t 0V(t t ) V(t t ) V(t )

t 0 t 0V(t t ) V(t ) V(t t )

1F lim c t dV t c t dV c t dV

t t

1 tF lim c t dV c t dV lim c t dV

t t t

t 0

V(t t ) V(t ) V(t )

1F lim c t dV c t dV c t dV

t t (C.24)

Es wird nun das in Bild C-4 schraffiert dargestellte Volumenelement V(t) betrachtet, das die Oberfläche A(t) hat. Einen Zeitpunkt t später hat sich dieses Volu-menelement im Strömungsfeld (von links nach rechts) mit der Geschwindigkeit c verschoben. Das dann gestrichelt gezeichnete Volumenelement hat die Bezeichnung V(t+ t). Der Unterschied zwischen beiden Volumina ist V V(t t) V(t) und ist im rechten Bildteil zu erkennen. Dementsprechend ergibt sich durch Umformen: V(t t) V V(t). Diese Eigenschaft wird auf die Begrenzung des Integrals (links in der eckigen Klammer) in Gl. (C.24) übertragen:

Bild C-4: Änderung eines sog. „flüssigen Volumens“ während eines Zeitraum t, das sich mitder Geschwindigkeit c mit einem Strömungsfeld mit bewegt

n

c

c

c

c

C.8 Reihenentwicklung nach Taylor 1561

t 0

V V(t ) V(t ) V(t )

1F lim c t dV c t dV c t dV c t dV

t t

t 0

V V(t )

1F lim c t dV c t dV

t t (C.25)

In beiden Integralen von Gl. (C.25) soll nun das Volumenelement dV (oben rechts in Bild C-4) durch das Flächenelement dA ersetzt werden. Die Geometrie zeigt, dass dV s dA gelten muss. Die normal zum Oberflächenelement dA gerichtete Ge-schwindigkeitskomponente cn (in Richtung des Normalenvektors n ) berechnet sich dabei entsprechend der üblichen Geschwindigkeitsbeziehung aus cn s / t. Zwi-schen Volumen- und Flächenelement entsteht damit die Beziehung: dV t cn dA. Hierin kann für cn auch cn c n geschrieben werden5. Somit folgt:

dV t c n dA (C.26)

Bild C-4 zeigt, dass das in diesem Ausdruck vorkommende Flächenelement dA zur Volumenoberfläche A(t) gehört. Gl. (C.26) wird nun in Gl. (C.25) eingesetzt und man erhält:

t 0

A(t ) V(t )

DI 1F lim c t c n dA c t dV

Dt t t

A(t ) V(t )

DIF c c n dA c t dV

Dt t (C.27)

Auf der rechten Gleichungsseite ist der linke Summand die konvektive Impulsän-derung und der rechte Summand die lokale Impulsänderung. Da hier nur stationäre Strömungsvorgänge betrachtet werden sollen, kann der Term der lokalen Impuls-änderung in Gl. (C.27) vernachlässigt werden. Man erhält so die endgültige Be-ziehung für den sog. Impulssatz der Strömungsmechanik für stationäre Strö-mungen. Anstelle des Differenzialquotienten DI / Dt wird dabei aber der Aus-druck dI / dt benutzt, umso zu markieren, dass nur konvektive Impulsänderungen mit dieser Gleichung erfasst werden:

A

dIF c grad I c c n dA

dt (C.28)

In Worten besagt diese Gleichung: In stationärer Strömung ist der Impulsfluss durch eine Kontrollfläche A, die zur Zeit t ein Fluidvolumen V umschließt, gleich der resultierenden Kraft F der an dieser Kontrollfläche A angreifenden Kräfte.

Durch die hier gezeigte Vorgehensweise ist die zeitliche Impulsänderung von einem Volumenintegral, gebildet über ein mitschwimmendes „flüssiges Volu-men“, in ein Oberflächenintegral, gebildet über eine raumfeste Kontrollfläche, umgewandelt worden. 5 n nc n c 1 cos c,n c cos mit cos c / c wird daraus c n c

1562 Anhang C

C.9 Äußere Kräfte

In der Impulsgleichung (C.28) ist F die resultierende Kraft aller auf die Kontroll-fläche A wirkenden äußeren Kräfte. Diese Kräfte können sein

Gewichtskräfte GF (Kräfte aufgrund der Schwere) Normal- oder Druckkräfte pF (Oberflächenkräfte längs freier Flächen AFrei) Stütz- oder Haltekräfte StF (Druck- und Reibungskräfte längs fester Ober-

flächen)

G p StF F F F (C.29)

Die Stütz- oder Haltekraft StF kann durch Integration der Druck- und Reibungs-kräfte längs einer umströmten Körperoberfläche (sog. fester Flächenanteil AFest an der gesamten Kontrollfläche A) ermittelt werden. Da aber bei den meisten Aufga-benstellungen, zu denen der Impulssatz der Strömungsmechanik herangezogen wird, die Kraft StF die gesuchte Größe ist, erübrigt sich gewöhnlich die Auswer-tung solcher Druck- und Reibungsintegrale.

C.10 Gewichtskraft

Bild C-5 zeigt einen Turbojet, der im Außenbereich mit einer Kontrollfläche A versehen wurde, die aus einem freien und einem festen Anteil AFrei und AFest be-steht. Wobei sich der freie Anteil über den gesamten Außenbereich der Kontroll-fläche A erstreckt, aber auch über die Fangstromröhre vor dem Triebwerk und über den Abgasstrahl hinter dem Triebwerk. Der feste Anteil verläuft längs der Triebwerksoberfläche.

Bild C-5: Zur Erläuterung der Volumen- und der Gewichtskraft

GF

1563

Es soll nun der Begriff der Volumenkraft VF eingeführt werden, der die Kraft aufgrund der Schwere GF , bezogen auf das von der Kontrollfläche A eingeschlos-sene Volumen V darstellt und das Produkt aus der Dichte des Fluides und der Erdbeschleunigung g ist:

GV

dFF g

dV (C.30)

Mit dm dV wird daraus:

G V

V V m

F dF dV g dV g dm g m (C.31)

Wird die vektorielle Gewichtskraft GF in ihre Komponenten FGx, FGy, FGz zerlegt und fällt, so wie im Bild C-5 dargestellt, die Lotrechte ( Wirklinie von g ) mit der negativen Richtung der y-Achse zusammen, dann gilt:

x z yG G GF 0 ; F 0 ; F g m

Bei sehr leichten Fluiden mit sehr geringen Dichten , wie z. B. bei Gasen, ist die Gewichtskraft im Vergleich zu allen anderen beteiligten Kräften sehr gering, d. h. FG 0.

C.11 Druckkräfte an den freien Flächen

In Bild C-6 ist der Vektor der Oberflächenspannung, der an einem Flächenele-ment dA des freien Teils der Kontrollfläche angreift und sich aus einer Normalspan-nung (Druck) n und einer Tangentialspannung (Reibung) zusammensetzt.

In einer freien Strömung, also dort, wo keine direkte Umströmung einer festen Fläche (Körperoberfläche) erfolgt, dominieren die Normalspannungen, die als

dA

dAFrei

n

dA

Bild C-6: Zur Eräuterung der Druckkräfte an freien Flächen

Druckkräfte an den freien Flächen C.11

1564 Anhang C

Druck zu interpretiert sind. Wie das Wort Druck bereits besagt, können in Fluiden als Normalspannungen nur Druck- und keine Zugspannungen auftreten. Die Nor-malspannung ist allgemein nach außen positiv definiert, also als Zugspannung. Da es diese aber in Fluiden nicht gibt, ist der Normalspannung n dementsprechend negativ, d. h. mit p anzusetzen. Tangentialspannungen aufgrund von Rei-bungseffekten (Turbulenz, Zähigkeit) sollen in der freien Strömung im Vergleich zu den Normalspannungen vernachlässigbar klein sein, d. h. 0 .

Der Druck ist eine skalare Größe, was bedeutet, dass die auf eine Flächenein-heit entfallende Druckspannung (kurz Druck genannt) in einem beliebigen Punkt unabhängig von der durch diesen Punkt gelegten Schnittrichtung ist, d. h., in die-sem Punkt steht der Druck immer senkrecht auf der gewählten Schnittfläche. Das steht im Gegensatz zur Elastizitätslehre fester Körper, bei der sich die Normal-spannungen mit der gewählten Schnittrichtung ändern. Somit folgt für die Druck-kraft auf dem freien Teil der Kontrollfläche:

Frei

Frei

p n n

A

p

A

F dA mit p n dA

F p n dA (C.32)

Die Richtung der Druckkräfte auf dem freien Teil der Kontrollfläche fällt mit der negativen Richtung der Flächennormalen n zusammen, d. h., sie sind positiv, wenn sie hinsichtlich der Kontrollfläche nach außen gerichtet sind.

C.12 Stütz- oder Haltekräfte

Hierbei handelt es sich um Oberflächenkräfte (Normal- und Tangentialkräfte) auf-grund von Druck und Reibung an den festen Wänden der Kontrollfläche, Bild C-7.

n

n p n

Bild C-7: Zur Erläuterung der Stütz- und Haltekräfte

1565

Die daraus resultierende Oberflächenkraft wird als Stütz- oder Haltekraft bezeichnet, wobei der Name von der Stützwirkung des Körpers auf die Kontrollfläche herrührt:

Fest

St

A

F dA (C.33)

Wegen des Stützeffektes ist StF die Kraft, die vom festen Körper (hier Trieb-werk) auf das strömende Fluid ausgeübt wird. Nach dem Wechselwirkungsgesetz (actio reactio) ist somit F die Kraft, die das strömende Fluid auf den festen Körper (hier Triebwerk) ausübt (siehe hierzu auch das Beispiel weiter unten). Da bei den meisten technischen Aufgabenstellungen die Stützkraft bestimmt werden soll, erübrigt sich i. Allg. eine weitere Auswertung des Integrals (C.33).

C.13 Wahl der Kontrollfläche

Erfahrungsgemäß bedarf die beste Wahl der Kontrollfläche einer gewissen Übung. Um dabei die exakte mathematische Gültigkeit (stetig differenzierbar) der Ableitung der Impulsgleichung zu gewährleisten, muss die Kontrollfläche einfach zusammen-hängend sein, d. h., sie muss sich in einem einzigen Zug zeichnen lassen, Bild C-8.

Soll die Wirkung des strömenden Mediums auf den Körper (oder umgekehrt) bestimmt werden, so muss der fest Teil der Kontrollfläche mit der zu betrachten-den Körperkontur zusammenfallen.

Der freie Teil der Kontrollfläche ist so im Strömungsfeld zu platzieren, dass sich die Angabe der dort herrschenden Druck- und Geschwindigkeitsverhältnisse möglichst einfach formulieren lässt.

Beispiel C-1. Ermittlung des Widerstandsbeiwertes eines separaten Schaufelprofils aus dem Impulsverlust. Bild C-9 zeigt die Skizze eines Profils mit der zugehörigen Kontrollfläche. Das Prinzip der Widerstandsermittlung ist die Messung der Geschwindigkeits- oder Druckverteilung im Nachlauf des umströmten Körpers und anschließende Anwendung des Impulssatzes der Strömungsmechanik. Der Gesamtwiderstand jedes umströmten Körpers besteht aus:

Druckwiderstand Integral der Normalkräfte über die Körperoberfläche Reibungswiderstand Integral der Tangentialkräfte über die Körperoberfläche

Auf der Ober- und Unterseite des Profils bilden sich Grenzschichten (Reibungsschichten) aus,

Bild C-8: Zur Wahl der Kontrollfläche bei der Anwendung des Impulssatzes

Wahl der Kontrollfläche C.13

1566 Anhang C

die Geschwindigkeitsprofile aufweisen, die an der Oberfläche die Geschwindigkeit null und am Rand der Grenzschicht die Geschwindigkeit der ungestörten Umströmung c0 haben. Diese Ge-schwindigkeitsprofile werden in den Nachlauf des Profils getragen und formieren sich dort zur sog. Nachlaufdelle, die sich, mit zunehmendem Abstand zum Profil, mehr und mehr ausmischt.

Voraussetzungen

a) vor dem Profil Die Anströmgeschwindigkeit c0 und der Umgebungsdruck p0 sind konstant und homogen verteilt.

b) hinter dem Profil Die Geschwindigkeitsverteilung c(y) hat eine Delle, deren Breite stromab zunimmt und deren Tiefe stromab abnimmt (ausmischt).

c) weit hinter dem Profil Der statische Druck p(y) erreicht den ungestörten Wert p0, der vor dem Profil und weit dahinter herrscht, schneller als u(y) wieder die Geschwindigkeit u0 erreicht.

Annahme Die Messung der Geschwindigkeitsverteilung wird in einem sol-chen Abstand hinter dem Profil durchgeführt, dass dort der statische Druck p(y) überall wieder den ungestörten Wert p0 erreicht hat. Die Geschwindigkeit c(y) hat sich an dieser Stelle noch nicht ausge-mischt und zeigt eine ausgeprägte, gut messbare Delle.

Anwendung des Impulssatzes

G P St P St

A

dIc c n dA F F F F F

dt

0 0 0 0 0 0 0

A y y y

c c n dA c c b dy c(y) c(y) b dy c c(y) c b dy

Bei der Formulierung des Impulsintegrals ist zu beachten, dass durch die Seitenflächen AB und DC der Kontrollfläche A Impuls fließt. Die Erfüllung der Kontinuität erfordert nämlich, dass diejenige Masse, die durch BC weniger aus der Kontrollfläche ausfließt (Delle), als durch AD in sie hineinfließt, die Kontrollfläche A seitlich mit der Geschwindigkeit c0 verlässt:

C

FW

A B

D

c(y)p(y) = p0

c , p0 0

c c(y)0

y

x

c , p0 0

Kontrollfläche A

b = Tiefe (Breite) des Profils

0 0m mit c

0 0m mit c

Bild C-9: Umströmtes Profil (z.B. Verdichterschaufel) mit Kontrollfläche

Beispiele 1567

Delle 0 0 0

y

m m c c(y) b dy

Das Impulsintegral in x-Richtung

X X

X X

2 2P St 0 0 0 0 0 0

y y y

2 20 0 0 0

y

2 2 20 0 0 0

y

P St 0 0

y

F F b c (y) dy b c dy b c c c(y) dy

b c (y) c c c c(y) dy

b c (y) c c c c(y) dy

F F b c(y) c c(y) dy

Die Normalkraft (Druckkraft) am freien Teil der Kontrollfläche Da der Druck p0 (statischer Umgebungsdruck) längs aller Seiten der Kontrollfläche A denselben Betrag hat, ist demzufolge auch die Druckkraft in x-Richtung gleich null.

XpF 0

Die Stützkraft (gesuchte Widerstandskraft) am festen Teil der Kontrollfläche Bei dieser Kraft handelt es sich um eine Kraft, die von der Strömung auf das Profil ausgeübt wird. Entsprechend der Ausführungen, die weiter oben in Kap. C.12 zu den Stützkräften bei der Ablei-tung des Impulssatzes gemacht wurden, bekommt eine solche Stützkraft ein negatives Vorzeichen.

XSt WF F

W 0 0

y

F b c(y) c c(y) dy

Einführen des Widerstandsbeiwertes

20W W 0

WW 2

0 0

0 0

yW 2

0 0

W0 0y

F c c b2

2 Fc

c b

2 b c(y) c c(y) dy

cc b

2 c(y) c(y)c 1 dy

c c

Das Ergebnis zeigt, dass zur Widerstandsbestimmung eines Profils lediglich die Geschwindigkeits-verteilung c(y) hinter dem Profil, in der Nachlaufdelle, zu ermitteln ist. Das Integral in der obigen Beziehung wird in der Grenzschichttheorie (Schlichting, 1982) als Impulsverlustdicke 2 bezeichnet:

20 0y

c(y) c(y)1 dy

c c,

sodass der Widerstandsbeiwert cW die einfache Form

2Wc 2

1568 Anhang C

erhält. Die Impulsverlustdicke ist ein Maß für den Verlust an Masse und Geschwindigkeit (I m c) der durch die Existenz der Grenzschicht (Reibungsschicht) gegenüber einer reibungsfreien Strömung (Potenzialströmung) auftritt.

Beispiel C-2. Kraft auf eine geschwenkte Schubdüse (deflector nozzle). Bild C-10 zeigt die Skizze einer schwenkbaren Schubdüse auf einem Prüfstand. Die äußere Umströmung der Düse ist null. Links unten im Bild ist dargestellt, wie die Düse real aussehen könnte, Rolls-Royce (1986). Gegeben sind die Durchströmquerschnitte A6 und A9, die dort vorliegenden Geschwin-digkeiten, statischen Drücke und Dichten c6, p6, 6 und c9, p9, 9 und der Schwenkwinkel ge-genüber der Horizontalen. Alle Geschwindigkeiten, Drücke und Dichten sind über die jeweili-gen Querschnitte homogen verteilt. Es sind die Kräfte Fx, Fy zu berechnen, die von der Halte-rung zusätzlich zu den Gewichtskräften des Versuchsaufbaus aufzunehmen sind.

Impulsgleichung

G p St p St

A

dIc c n dA F F F F F

dt

Impulsintegral

6 9

6 6 6 9 9 9

A A A

c c n dA c c n dA c c n dA

mit

o

6 6 6 6 6

o9 9 9 6 9

c n c 1 cos c ,n c 1 cos180 c

c n c 1 cos c ,n c 1 cos360 c

wird daraus:

p9

9

jetpipe

deflectornozzle

p , 6 6

Turbinengehäuse

A6

A9

p , 6 6

n

n

p9

9

Bild C-10: Geschwenkte Schubdüse (deflector nozzle) mit Kontrollfläche

Beispiele 1569

6 9

6 6 6 9 9 9 P St

A A A

6 6 6 6 9 9 9 9

P St 9 9 6 6 9 6

c c n dA c c dA c c dA F F

c c A c c AF F c m c m m c c

Zwischenergebnis

Der aus der Kontrollfläche austretende Impuls pro Zeiteinheit (Impulsstrom) 9 9m c , ver-mindert um den eintretenden Impulsstrom 6 6m c , ist gleich der Summe der am Kontroll-raum (Kontrollvolumen) angreifenden äußeren Kräfte p StF F .

Summe der äußeren Kräfte austretender Impulsstrom eintretender Impulsstrom Austretender Impulsstrom ist positiv. Eintretender Impulsstrom ist negativ.

Druckkräfte

Bild C-11 zeigt den Kontrollraum, zusammen mit den Größen, die zur Bestimmung der Druck-kräfte erforderlich sind:

p

A

F p n dA Druckkräfte in x-Richtung Druckkräfte in y-Richtung

6 6AD AD Bc Bc

ABDC aB aB

P

A

0 6 0 9

A A A A A A

0 0 9

A A A A

F p n dA

p n dA p n dA p n dA p n dA

p n dA p n dA p n dA

p6

p0

p0

p0

p0

p0

CD

A sin9

A c

os9

p9

a

c

B

CcpF

n

n

n

n

n

6pF ypF

xpF

AD BCA A

BcA

aBA

AB DCA A

Bild C-11: Kontrollfläche zur Ermittlung der Druckkräfte bei einer Schwenkdüse

1570 Anhang C

Aufspalten der Druckkräfte in die x- und y-Komponente:

x-Richtung x

x

x

p 0 6 6 6 0 9AD AD Bc Bc

p 0 0 6 6 6 0 0 9 BcAD AD Bc

9Bc

p 6 6 0 9 9 0

F p A A p A p A A p A

F p A p A p A p A p A p A

A A cos

F A p p A p p cos

y-Richtung y

y

y

p 0 0 9DC AB aB aB

p 0 0 0 9DC AB aB aB

9aB

p 9 9 0

F p A p A A p A

F p A p A p A p A

A A sin

F A p p sin

Aufspalten des Impulsintegrals in die x- und y-Komponente:

p St 9 9 6 6 9 9 9 9 6 6 6 6F F c m c m c c A c c A

x

y

x x

y y

p St 9 9 6 6 9 9 9 9 6 6 6 6

9 9

9 9

pP St 9 9 9 9 6 6 6 6

p St 9 9 9 9

9 9 9 6 6 6

F F c m c m c c A c c A

c c cos

c c sin

F F c A c cos c A c

F F c A c sin

m c A c A

x x

y y

p St 9 6

p St 9

F F m c cos c

F F m c sin

Einsetzen der Gleichungen für die Druckkräfte

x

y

St 9 6 6 6 0 9 9 0

St 9 9 9 0

F m c cos c A p p A p p cos

F m c sin A p p sin

Diese beiden Resultate sind identisch mit den Gln. (5.31) und (5.33), die in Kap. 5.2.4 aus der simplifizierten Form des Impulssatzes für Triebwerke mit Schwenkdüsen abgeleitet wurden. Für den Fall der nicht geschwenkten Schubdüse mit 0° wird sin 0 und cos 1, ergibt sich für die Stützkräfte in x- und y-Richtung:

x

y

St 9 6 6 6 0 9 9 0

St

F m c c A p p A p p

F 0

Anhang D Umrechnungsfaktoren zwischen physikalischen Dimensionen aus dem englisch/amerikanischen und dem deutschen Sprachbereich

Abkürzungen bei den englisch-amerikanischen Einheiten

Btu British thermal unit h hour lbm pound mass cwt hundredweight Hg mercury oz ounce dr dram hp horsepower pdl poundal f force in inch psf lbf / ft³ ft foot K Kelvin psi lbf / in² °F Degree Fahrenheit kips psi · 10³ °R Degree Rankine gr grain lb pound rd rod gr-wt grain-weight lbf pound force yd yard

Abkürzungen bei den deutschen Einheiten

dm Dezimeter = 10-2 m km Kilometer = 103 m N Newton g Gramm kPa Kilopascal = 103 Pa Pa Pascal = N/m² h Stunde kW Kilowatt = 103 W s Sekunde J Joule = N m m Meter t Tonne = 103 kg K Kelvin mm Millimeter = 10-3 m °C Grad Celsius kg Kilogramm = 103 g min Minute kJ Kilojoule = 103 J MJ Megajoule = 106 J

Umrechnungsfaktoren

Die exakten Werte sind fett gesetzt.

Länge 1 in = 25.4 mm 1 ft = 12 in = 0.3048 m 1 mile (statute). Landmeile = 1.609344 km 1 mile (nautical). Seemeile = 1.852 km 1 yd = 3 ft = 0.9144 m 1 rd = 5.5 yd = 198 in = 5.0292 m Fläche 1 in2 = 645.16 mm² 1 ft2 = 144 in² = 0.09290304 m² 1 yd² = 9 ft² = 0.83612736 m² 1 rd² = 30.25 yd² = 25.29285264 m² 1 acre = 4840 yd² = 4046.8564224 m² 1 mile² (statute) = 2.589975 km²


1572 Anhang D

Volumen 1 in³ = 16387.064 mm³allgemein 1 ft³ = 1728 in³ = 0.02831685 m³ 1 yd³ = 27 ft³ = 0.76455486 m³ 1 register ton = 100 ft³ = 2.83168466 m³ Volumen 1 UK minim = 59.1916667 mm³British 1 UK dram = 60 UK minim = 3551.5 mm³ 1 UK fluid ounce = 0. 284130742 dm³ 1 UK pint = 0.568261485 dm³ 1 UK quart = 2 UK pint = 1.13652297 dm³ 1 UK gallon = 4 UK quart = 4.54609188 dm³ 1 UK bushel = 8 UK gallon = 36.36873504 dm³ 1 UK barrel = 36 UK gallon = 163.65930768 dm³ 1 UK quarter = 8 UK bushels = 290.94988032 dm³ Volumen 1 US fluid minim = 61.61151992 mm³USA 1 US fluid dram = 3.69669119531 mm³ 1 US fluid ounce = 0.0295735295625 dm³ 1 US fluid pint = 0.4731764731 dm³ 1 US dry pint = 0.550610515239 dm³ 1 US fluid quart = 0.946352946 dm³ 1 US dry quart = 1.10122103 dm³ 1 US fluid gallon = 3.785411784 dm³ 1 US dry gallon = 4.404884121915 dm³ 1 US fluid bushel = 35.239072975 dm³ 1 US dry bushel = 35.239072975 dm³ 1 US dry barrel = 115.627123584 dm³ 1 US dry quarter = 8 dry bushel = 281.912583803 dm³ 1 US barrel petroleum = 158.987294928 dm³ Masse 1 gr = 0.06479891 g 1 dr = 1.7718451953125 g 1 oz = 16 dr = 437.5 gr = 28.349523125 g 1 oz tr (troy ounce) = 480 gr = 31.1034768 g 1 lb oder lbm = 0.45359237 kg 1 lb tr (troy pound) = 12 oz tr = 0.3732417216 kg 1 stone (UK) = 14 lbm = 6.35029318 kg 1 slug = 14.5939029 kg 1 cwt (UK) = 112 lbm = 50.80234544 kg 1 sh cwt (short cwt.US)=100 lbm = 45.359237 kg 1 long ton (UK) = 1016.04691 kg 1 short ton = 2000 lbm (USA) = 907.18474 kg

Umrechnungsfaktoren 1573

Temperatur 1 °F = °R – 459.67 = 1.8 · K – (1.8 273.15)–32 1.8 K – 459.67

1 °R = 1.8 · K 1 °R / 1 K = 100/180 = 1.8 1 °F = 1.8 · oC + 32 1 K = oC + 273.15

Druck 1 in Hg = 0.03386389 bar = 3386.386725364 Pa 1 in H2O = 249.0821323423 Pa 1 psi=1 lbf/in² =0.06894757 bar = 6894.75729 Pa 1 psf=1 lbf/ft²=0.004788026 bar = 47.880259018 Pa 1 bar = 100000.00 Pa 1 standard atmosphere = 101325.00 Pa Dichte 1 lb / in³ = lbm / in³ = 27679.90471 kg/m³ 1 lb / ft3 = lbm / ft³ = 16.018463374 kg/m³ 1 lb / UK gallon = 99.776331 kg/m³ 1 lb / US fluid gallon = 119.826427 kg/m³ Kraft 1 pdl = 0.138254954376 N 1 gr-wt = 0.00063546 N 1 lbf = 4.4482216152605 N 1 kgf = 1kp = 9.80665 N 1 tonf = 2240 lbf = 9964.01280 N 1 short ton weight = 2000 lbf = 8896.44578 N 1 long ton weight = 2240 lbf = 9964.01280 N Moment 1 lbf in = 0.112984829 Nm 1 lbf ft = 1.355817948 Nm Geschwin- 1 in/min = 0.4233333333 mm/sdigkeit 1 ft/min = 0.00508 m/s 1 ft/s = 0.3048 m/s 1 mile/h (statute) = 1.609344 km/h 1 nautical mile / h = 1 knot = 1.852 km/h Beschleu- 1 ft/s² = 0.3048 m/s²nigung 1g=32.174048556 ft/s²=gravity = 9.80665 m/s² Massenstrom 1 lb/h = 1 lbm/h = 0.125997881·10-3 kg/s kinematische 1 ft²/s = 929.0304 stokesViskosität 1 ft²/s = 0.09290304 m²/s

1574 Anhang D

Energie/Wärme 1 ft lbf = 1.355817 948 JArbeit/Leistung 1 Btu = 1.05505585 103 J 1 therm = 105 Btu = 1.05505585 108 J 1 QUAD = 1015 Btu = 1.05505585 1018 J 1 Toe (ton of equivalent) = 41.87 109 J 1 hp h = 2.6845195377 106 J 1 kWh = 3.6 106 J 1 hp = 550 ft lbf/s = 745.69987158227022 W 1 Btu/h = 0.293071069 W 1 Btu/ft³ = 37258.9457152 J/m³ 1 Btu/lb = 1 Btu/lbm = 2326.0 J/kg

Anhang E Daten ausgeführter Flugtriebwerke

Die nachfolgend aufgelisteten Triebwerke können lediglich eine Auswahl von Triebwerken darstellen. Es wurde aber versucht, alle bedeutenden Triebwerke in die Listen aufzunehmen. Dabei wurden auch die Triebwerke des ehemaligen Ost-blocks mit einbezogen.

Um eine Vergleichbarkeit der Triebwerke untereinander zu gewährleisten, wurden die jeweiligen Startwerte (take-off ratings) angegeben, soweit sie in den zur Verfügung stehenden Quellen eindeutig zu identifizieren waren. Bei einigen Triebwerken standen einzelne Daten nicht zur Verfügung und sind deswegen in den Tabellen nicht aufgeführt. Als Datenquellen wurden die diversen Triebwerks-prospekte der Herstellerfirmen verwendet sowie die gängigen Standardwerke der Luftfahrt wie Jane’s (1991/92) oder Brassey‘s (1996/97).

Ergänzend zu den nachfolgenden Tabellen sei speziell im Zusammenhang mit nordamerikanischen Kleingasturbinen (Turbojet, Turbofan, Turboshaft und Tur-boprop) auf die sehr ausführliche Triebwerkszusammenstellung von Leyes u. Fleming (1999) verwiesen. Zeichenerklärung:

F Triebwerksschub in [kN] P Wellenleistung in [kW] Päq äquivalente Triebwerksleistung in [äq kW] (Wellen- und Restschub-

leistung) BS spezifischer Brennstoffverbrauch in [(kg/h) / kN] V gesamtes Verdichterdruckverhältnis (alle Verdichter zusammen, evtl.

auch mit Fan) Fan Fandruckverhältnis Bypassverhältnis m0 in das Triebwerk eintretender Luftmassenstrom in [kg/s] Tt4 Turbineneintrittstemperatur in [K] mTW größte Triebwerksmasse in [kg] größte Triebwerkslänge in [mm] größter Triebwerksdurchmesser in [mm] NB Nachbrenner


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1576 Anhang E

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5

1584 Anhang E

Anmerkungen zur Bezeichnung von Triebwerken

Amerikanische Militärtriebwerke In den vorangegangenen Tabellen sind z. B. folgende Bezeichnungen zu finden:

J79-GE-17 F100-PW-229 T406-AD-400

Hierbei handelt es sich um ein vom amerikanischen Verteidigungsministerium festgelegtes Kennzeichnungsschema der US-Streitkräfte.

1. Buchstabengruppe

J Turbojet (Einstromtriebwerk) F, TF Turbofan (Zweistromtriebwerk) TP Turboprop (Wellenleistungstriebwerk) T Turboshaft (Wellenleistungstriebwerk) X Entwicklungstriebwerk Y flugtaugliches Triebwerk

1. Zahlengruppe Hierbei handelt es sich um eine Seriennummer, die den militärischen Auftragge-ber für eine Triebwerksentwicklung kennzeichnet. Für die modernen Triebwerke kann dabei folgende Systematik verwendet werden:

Zahlen ab 100 Triebwerke für die US-Air-Force Zahlen ab 400 Triebwerke für die US-Navy Zahlen ab 700 Triebwerke für die US-Army

2. Buchstabengruppe Diese Buchstaben sind Abkürzungen für die Triebwerkshersteller und werden manchmal auch weggelassen. Folgende Firmenabkürzungen werden verwendet:

A Allison AD Detroit Allison Diesel CF CFM International CP Pratt & Whitney of Canada GE General Electric L Textron Lycoming LHT Light Helicopter Turbine Company LD Avco Lycoming PW, P Pratt & Whitney T Continental WR Williams/Rolls-Royce

2. Zahlengruppe Wie schon die erste Zahlengruppe, so dient auch die zweite Zahlengruppe zur Un-terscheidung des militärischen Auftraggebers. Falls z. B. von einem Heerestrieb-werk eine Marineversion entwickelt und auch über den Marinehaushalt finanziert

Anmerkungen zur Bezeichnung von Triebwerken 1585

werden soll, so bekommt das ursprüngliche Heerestriebwerk eine entsprechende Marinekennzeichnung. Beispiel:

T700-GE-700 ist das erste Heerestriebwerk der T700-Familie T700-GE-400 ist die erste Marineversion der ursprünglichen T700-Familie

Zivile Triebwerke Auch im zivilen Triebwerksbereich sind die Bezeichnungen der 2. Buchstaben-gruppe der amerikanischen Militärtriebwerke zu finden, die sich auf den jeweili-gen Triebwerkshersteller beziehen. Darüber hinaus gibt es in den vorangegange-nen Tabellen die weiteren Abkürzungen:

AE Allison Engines BMW Bayerische Motorenwerke BR BMW Rolls-Royce (heute Rolls-Royce Deutschland) IAE International Aero Engines Jumo Junkers Flugmotoren KHD Klöckner-Humboldt-Deutz MTU Motoren- und Turbinen-Union, Aero Engines RB Rolls-Royce, Bristol RR Rolls-Royce Snecma Société Nationale d’Etude et de Construction de Moteurs d‘Aviation

Neben den zuvor genannten Herstellerangaben, sind folgende Abkürzungen hin-sichtlich der Triebwerkstypen sind zu finden:

ATF AlliedSignal Turbofan CF Commercial Fan TF Turbofan TFE Turbofan Engine TPE Turboprop Engine Beispielhaft sollen im weiteren einige Besonderheiten bei den Triebwerksbezeich-nungen beschrieben werden. Für eine vollständige Darstellung aller Triebwerke, Typen und Varianten ist hier der Raum nicht gegeben.

V2500 Der Buchstabe V steht hier für die römische Ziffer 5 und weist auf die 5 Firmen hin, die an der Entwicklung dieses Triebwerks beteiligt waren, nämlich: Rolls-Royce, Pratt & Whitney, MTU, (Fiat) Avio und Japanese Aero Engine Corporation (JAEC). Vertrieben wird dieses Triebwerk durch die in den USA ansässige Firma IAE (International Aero Engines).

Die Zahl 2500 beschreibt den ursprünglichen Schub des Triebwerks, der F = 25 000 lb beträgt, was F = 111 kN entspricht. Bei Weiterentwick-lungen des Triebwerks, wie z. B. beim V2530 für den Airbus A321, stehen die letzten beiden Ziffern 30 für den Schub, nämlich F = 30 000 lb. Das V2527 für den Airbus A320 hat F = 26 500 lb ( 27 000 lb) Schub.

CF6 Die Buchstaben CF stehen für Commercial Fan und die Ziffer 6 gibt das ursprüngliche Bypass-Verhältnis des Triebwerks an, = 6.

1586 Anhang E

CF6-50E2 Hier steht 50 für F = 50 000 lb Schub, E für die Trieb-werksserie und 2 für die 2. Version innerhalb der Serie E.

CF6-80A3 Hier steht 80 für den Zeitraum, in dem das Triebwerk kommerziell zum Einsatz kam, also in den 80er Jahren. A ist die Triebwerksserie und 3 die Version innerhalb der Serie A.

CF6-80C2A5F Die Bezeichnung CF6-80C2 ist vergleichbar mit der zuvor beschriebenen Systematik beim Triebwerk CF6-80A3. Der dann folgende Buchstabe A kennzeichnet, dass das Triebwerk für die Airbus-Familie gedacht ist. Ein Buchstabe B würde Boeing und D würde McDon-nell Douglas bedeuten. Die folgende 5 kennzeichnet die Triebwerksmodifikation, die für den jeweiligen Flug-zeugtyp notwendig war. Der Buchstabe F besagt, dass das Triebwerk eine FADEC-Regelung hat: FADEC = Full Authority Digital Engine Control.

PW2000 Bei diesen Triebwerken von Pratt & Whitney (PW) gibt die erste Ziffer PW4000 2, 4 oder 5 die Triebwerksserie an. Die zweite Ziffer kennzeichnet das PW5000 Flugzeug, für welches das Triebwerk vorgesehen ist und die letzten

beiden Ziffern den Schub in lbs.

PW4084 Ist ein Triebwerk der 4000er Serie. Die Ziffer 0 besagt, dass das Triebwerk für Boeing Flugzeuge vorgesehen ist und F = 84 000 lb Schub hat (Boeing B777)

PW4156 Ist ein Triebwerk der 4000er-Serie. Die Ziffer 1 besagt, dass das Triebwerk für Airbus Flugzeuge vorgesehen ist und F = 56 000 lb Schub hat (Airbus A300-600).

PW4460 Ist ein Triebwerk der 4000er-Serie. Die Ziffer 4 besagt, dass das Triebwerk für McDonnell Douglas Flugzeuge vorgesehen ist und F = 60 000 lb Schub hat (MD-11).

RR Trent Hierbei handelt es sich um die Fortsetzung der RB211-Serie. Der letzte

Vorläufer des RR-Trent Triebwerks hatte die Bezeichnung RB211-524 G/H und befindet sich z. B. an der Boeing B747-400. Das RR-Trent sollte ursprünglich die Bezeichnung RB211-524L erhalten.

Trent 882 Die erste Ziffer – die 8 – steht für die Firma Boeing und die letzten beiden Ziffern für den Schub mit F = 82 000 lb (Boeing B777)

Trent 772 Die erste Ziffer – die 7 – steht für die Firma Airbus und die letzten beiden Ziffern für den Schub mit F = 72 000 lb (Airbus A330).

Trent 668 Die erste Ziffer – die 6 – steht für die Firma McDonnell Douglas und die letzten beiden Ziffern für den Schub mit F = 68 000 lb (MD-11).

Anmerkungen zur Bezeichnung von Triebwerken 1587

Zu Rolls-Royce Triebwerken ist allgemein anzumerken, dass es sich bei solchen Triebwerksnamen, wie z. B. Avon, Dart, Nene, Spey, Tay, Trent, Tyne, Welland, um die Namen von englischen Flüssen handelt.

Anhang F Bestimmung der thermodynamischen Eigen-schaften von Verbrennungsgasen

F.1 Reaktionsstöchiometrie

Der Brennstoff für Flugzeugtriebwerke kann allgemein in der Form CnH2n ange-geben werden. Darauf basierend wird die allgemeine Verbrennungsgleichung wie folgt aufgeschrieben:

n 2n 2 2 2

3C H nO nCO nH O

2 (F.1)

Für das Kerosin CnH2n C12H2 12 C12H24 werden also (3/2) 12 18 Mole an Sau-erstoff für eine stöchiometrische Verbrennung (Oxydation) benötigt. In der Gl. (F.1)kann nun der Faktor n eliminiert werden, und man erhält:

2 2 2 2

3CH O CO H O

2 (F.2)

Mit den Molmassen für Kohlenstoff MC 12.011 g/mol, Sauerstoff MO 15.9994 g/mol und Wasserstoff MH 1.00791 g/mol ergibt sich:

2 2 2 2CH O CO H O

12.011 2 1.0079 1.5 2 15.9994 12.011 2 15.9994 2 1.0079 15.9994

14.0268 47.9982 44.0098 18.0152

M 1.5 M M M (F.3)

Das Sauerstoff/Luft-Verhältnis 2 2O O Lm / m kann mithilfe des Brenn-

stoff/Luft-Verhältnisses mB / mL wie folgt ausgedrückt werden:

2 2 2 2

2

2

2

O O O OO

L L B L B CH

O

m m m m 47.9982

m m m / m m m 14.0268

3.4219 (F.4)

Für das Kohlendioxyd/Luft-Verhältnis ergibt sich dann analog dazu:

2 2

2

2

CO CO

COL CH

m m 44.00983.137551

m m 14.0268 (F.5)

Für das Wasser/Luft-Verhältnis ergibt sich dann schließlich:


1590 Anhang F

2 2

2

2

H O H O

H OL CH

m m 18.01521.28434

m m 14.0268 (F.6)

Nach Baehr (1992) setzt sich trockene Luft aus den Massenanteilen der folgenden Komponenten (Luftkomponente/Luft-Verhältnisse ˆ ) zusammen:

2 2 2

2

2

2

iL i N O Ar CO Ne

L

2 N

2 O

Ar

2 CO

Ne

i

mˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ: 1m

ˆStickstoff N 0.75520

ˆSauerstoff O 0.23142

ˆArgon Ar 0.01288

ˆKohlendioxyd CO 0.00049 0.00050

ˆNeon Ne 0.00001 0.00000

ˆ 1.00000

(F.7)

Im Weiteren soll der Anteil an Neon vernachlässigt werden und dessen Anteil zah-lenwertmäßig, wie oben geschehen, dem Kohlendioxydzahlenwert zugeschlagen werden. Nach der Verbrennung ergibt sich dann ein Heißgas, in dem sich der Sauer-stoffanteil infolge des Verbrennungsvorganges verringert und der Kohlendioxydan-teil erhöht hat. Im Verbrennungsgas finden sich nun außerdem Wasseranteile, die als reine Komponenten zuvor nicht auftraten. Es stehen also die folgenden Nettobeträge an Luftkomponente/Luft-Verhältnissen i i Lm / m im Heißgas zur Verfügung:

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 N N

2 O O O

Ar Ar

2 CO CO CO

2 H O H O

i L B L

ˆStickstoff N 0.75520

ˆSauerstoff O 0.23142 3.4219

ˆArgon Ar 0.01288

ˆKohlendioxyd CO 0.00050 3.13755

ˆWasser H O 1.28434

1.0 m m / m

(F.8)

Der Index i in den Gln. (F.7) und (F.8) steht für die jeweilige Gaskomponente.

F.2 Spezifische Wärmekapazität

Die spezifische Wärmekapazität c p eines Heißgases der Masse mL mB setzt sich aus der Summe aller Einzelanteile zusammen, d. h.:

ip L B p ic m m c m

F.2 Spezifische Wärmekapazität 1591

i

i i

ip

p i p iLp

L B

mc

c m cmc

m m 1 1 (F.9)

Analog zu McBride et. al. (1963) kann z. B. die spezifische Wärmekapazität ipc

jeder Einzelkomponente des Heißgases durch ein allgemeines Polynom vierten Grades der folgenden Form beschrieben werden:

i

3 2 6 3 9 4 12pc A B T 10 C T 10 D T 10 E T 10 [J / (kgK)] (F.10)

Die Temperaturen T in dieser Gleichung sind in Kelvin einzusetzen. Die bei Mc-Bride et. al. (1963) angegebenen Werte gehören immer zu zwei separaten Tempe-raturintervallen. Für diese beiden Intervalle sind die Zahlenwerte für die Koeffi-zienten A … E in Tabelle F1 aufgelistet. Bei T 1 000 K ergeben sich mit den Zahlenwerten beider Temperaturintervalle identische cp-Werte.

Setzt man nun die Gl. (F.10) in die Gl. (F.9) ein, so erhält man nach ein wenig algebraischem Aufwand die beiden nachfolgenden Ausdrücke für die spezifischen Wärmekapazitäten von heißen Verbrennungsgasen. Die jeweilige Gültigkeit der Gleichungen hängt von dem jeweils zu betrachtenden Temperaturintervall ab. Die auf diese Weise ermittelten c p-Wert sind somit eine Funktion der Temperatur T und des Brennstoff/Luft-Verhältnisses . Die Temperatur kann je nach Be-darf entweder eine Totaltemperatur oder eine statische Temperatur sein. Setzt man 0, so erhält man die cp-Werte für Luft. Die in der Tabelle A-2 des An-hangs A aufgelisteten Werte sind beispielsweise auf diese Art und Weise ermittelt worden.

Tabelle F1: Koeffizienten A … E und Molmassen Mi für die Gleichung (F.10) zur Berechnung der spezifischen Wärmekapazitäten der Komponenten eines heißen Verbrennungsgases

Gas Koeffizienten in Gl. (F.10) Mi

kg/kmol A B C D E

Temperaturbereich 300 K T 1 000 K

N2 1095.683776 -395.714659 786.620984 -289.942305 -29.612737 28.0134 O2 966.332377 -653.939246 2230.371977 -2156.613686 703.695224 31.9988 CO2 409.980361 1960.657727 -2027.880640 1198.885557 -307.578806 44.0100 H2O 1918.320326 -795.865360 2629.863898 -2119.776328 656.915609 18.0153 Ar 520.330930 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 39.9480

Temperaturbereich 1 000 K T 2 500 K

N2 847.247858 474.182463 -185.698755 33.585821 -2.282331 28.0134 O2 934.793160 203.050627 -58.168373 11.040338 -0.869396 31.9988 CO2 833.700359 603.094906 -245.187837 45.619950 -3.163128 44.0100 H2O 1232.613775 1399.203482 -393.916501 54.417303 -2.860198 18.0153 Ar 520.330930 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 39.9480

1592 Anhang F

3p p

2 6 3 9

4 12

3

Temperaturbereich: 300 K T 1 000 K

1c c (T, ) 1 057.99590453 449.19800335 T 10

11109.19492375 T 10 717.44852819 T 10140.33180754 T 10 443.41673618

7 367.21480416 T 10 10 617.0478478 2 6

3 9 4 12

8 T 108 418.76668056 T 10 2 529.31551918 T 10 (F.11)

3p p

2 6 3 9

4 12

3 2

Temperaturbereich: 1 000 K T 2 500 K

1c c (T, ) 863.29014498 405.39409798 T 10

1153.82359960 T 10 27.94176815 T 101.92639216 T 10 1 000.10332581

2 994.47427116 T 10 1 076.16530770 T 6

3 9 4 12

10175.24619645 T 10 10.62294583 T 10 (F.12)

F.3 Molmasse und spezifische Gaskonstante

Die Molmasse Mi eines Gases ist gleich der Masse mi des Gases, dividiert durch die Gesamtanzahl der enthaltenen Mole. Diese Gesamtanzahl entspricht der Sum-me der Mole der einzelnen Gaskomponenten, wenn das Gas ein Gemisch ist, so wie es beim Verbrennungsgas der Fall ist. Gemische idealer Gase folgen dem Gesetz von Amagat1, das besagt, dass solche Gemische, genauso wie ihre Kompo-nenten, der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase gehorchen. Für ein ein-zelnes ideales Gas gilt die Gl. (A.96), sodass nach dem Gesetz von Amagat für ein Gasgemisch dann auch gelten muss:

iges ges L Bges ges

i iges i

i i

mm m m mM M M

m mn nM M

(F.13)

Mit Gl. (F.9) wird daraus:

L B B L

i i L i

i i i

m m 1 m / m 1M

m m / m

M M M

(F.14)

1 Emile Hilaire Amagat (*2. Januar 1841 †15. Februar 1915), französischer Physiker, lehrte an

der Universität von Lyon und wurde am 9. Juni 1902 Mitglied der Französischen Akademie der Wissenschaften.

F.4 Enthalpieänderung 1593

Verwendet man die Zahlenwerte für i nach Gl. (F.8) und die für Mi aus Tabel-le F1, so erhält man die Molmasse eines heißen Abgases:

1

M0.034524 0.035645

(F.15)

Für ein einzelnes ideales Gas kann mittels der Gl. (A.95) die spezifische Gaskon-stante Ri berechnet werden. Nach dem Gesetz von Amagat berechnet sich dann die spezifische Gaskonstante des heißen Abgases aus der Beziehung:

8314.472 J / (kmol K) J

RM M kg / kmol kg K

(F.16)

Zahlenwerte, die sich in Abhängigkeit des Brennstoff/Luft-Verhältnisses aus den Gln. (F.15) und (F.16) beispielsweise ergeben, sind in Tabelle F2 aufgelistet. Es ist zu erkennen, dass die Molmasse M mit steigendem einwenig kleiner und die spezifische Gaskonstante R einwenig größer wird. Auf der Basis der Gl. (A.137) berechnet sich dann der jeweilige Isentropenexponent des Abgases dann zu:

pp

R 1c

1 1 (R / c ) (F.17)

Den Verlauf von c p und in Abhängigkeit der Temperatur T und des Brenn-stoff/Luft-Verhältnisses zeigt das Bild F-1. Hier ist zu erkennen, dass mit stei-gender Temperatur T und mit steigendem die spezifische Wärmekapazität c p größer und der Isentropenexponent kleiner wird.

F.4 Enthalpieänderung

Die Änderung der Enthalpie kann bei idealen Gasen und/oder bei idealen Gasge-mischen durch die kalorische Zustandsgleichung (A.102) ausgedrückt werden:

Tabelle F-2: Molmassen M und spezifische Gaskonstanten R von Verbrennungsgasen in Ab-hängigkeit des Brennstoff/Luftverhältnisses

Brennstoff/Luft-Verhältnis

Molmasse M

kg/kmol

Spezifische Gaskonstante R

J/(kg K)

0.00 28.965357 287.048831 0.01 28.956048 287.141114 0.02 28.946928 287.231587 0.03 28.937990 287.320303 0.04 28.929229 287.407313 0.05 28.920640 287.492666 0.06 28.912219 287.576408

1594 Anhang F

2

1

T

p p

T

dh c (T, ) dT h c (T, ) dT (F.18)

Da nun mit den Gln. (F.11) und (F.12) jeweils ein vergleichsweise einfacher poly-nomieller Ausdruck für cp(T, ) vorliegt, kann das Integral der Gl. (F.18) relativ leicht gelöst werden, da die einzelnen Summanden cp dT des dabei entstehenden Ausdrucks trivial zu finden sind. Das Einsetzen der Gln. (F.11) und (F.12) in die Gl. (F.18) ergibt dann nach den einzelnen Integrationen:

1 2 2 1

3 2 2 6 3 32 1 2 1

9 4 4 12 5 52 1 2 1

2


1h h (T , T , ) 1 057.99590453 T T

1449.19800335 1109.19492375

10 T T 10 T T2 3

717.44852819 140.3318075410 T T 10 T T

4 5

443.41673618 T 3 2 21 2 1

6 3 3 9 4 42 1 2 1

12 5 52 1

7 367.21480416T 10 T T

210 617.04784788 8 418.76668056

10 T T 10 T T3 4

2 529.3155191810 T T

5 (F.19)

Bild F-1: Spezifische Wärmekapazität c p eines Abgases in Abhängigkeit der Temperatur T und des Brennstoff/Luft-Verhältnisses für ein Kerosin der Form CnH2n

F.5 Entropiefunktion 1595

1 2 2 1

3 2 2 6 3 32 1 2 1

9 4 4 12 5 52 1 2 1

2 1


1h h (T , T , ) 863.29014498 T T

1

405.39409798 153.8235996010 T T 10 T T

2 327.94176815 1.92639216

10 T T 10 T T4 5

1 000.10332581 T T 3 2 22 1

6 3 3 9 4 42 1 2 1

12 5 52 1

2 994.4742711610 T T

21 076.16530770 175.24619645

10 T T 10 T T3 4

10.6229458310 T T

5 (F.20)

F.5 Entropiefunktion

Für ideale Gase und Gasgemische wird die allgemeine Form der Entropieänderung mittels der Gl. (A.89) aus Anhang A ausgedrückt:

dh v

ds dpT T

(F.21)

Mit der allgemeinen Gasgleichung p v R T bzw. v/T R/p und mit der kalori-schen Zustandsgleichung (A.102) für ideale Gase wird daraus:

pc Tdh dp dpds R R

T p T p (F.22)

Durch Integration erhält man dann:

2

1

2

1

Tp 2

1,21T

Tp1,2 2

1T

c (T, ) dT ps R ln

T p

c (T, ) dTs p1ln

R R T p (F.23)

Per Definition soll in der zuvorstehenden Gleichung der nachfolgende Ausdruck mit der Bezeichnung Entropiefunktion s benannt werden:

2

1

Tp

s 1 2

T

c (T, ) dT1(T , T , ) :

R T (F.24)

1596 Anhang F

Wir erhalten also:

1,2 2s 1 2

1

s p(T , T , ) ln

R p (F.25)

Diese Gleichung gilt für jede polytrope Zustandsänderung idealer Gase oder Gasge-mische. Für eine isentrope Zustandsänderung mit s 0 wird daraus insbesondere:

2s 1 2

1

pln (T , T , )

p für isentrope Zustandsänderungen (F.26)

Insbesondere die letztgenannte Gleichung (F.26) ist immer dann von Interesse, wenn z. B. die folgende Isentropenbeziehung zu lösen wäre, also eine Aufgaben-stellung, die bei aero-thermodynamischen Triebwerksberechnungen sehr häufig vorkommt:

1

t2 t2

2 2

p T

p T (F.27)

Der Isentropenexponent hängt von der Temperatur ab und hat deswegen bei Tt2 und T2 unterschiedliche Zahlenwerte. Wenn nun die Temperaturabhängigkeit von korrekt berücksichtigt werden soll, so ist als ein Mittelwert zwischen

(T2) und (Tt2) anzusehen. Diese Mittelwertbildung kann nun vergleichsweise einfach über die Entropiefunktion erfasst werden, was anschaulich zu sehen ist, wenn beispielsweise die Gl. (F.26) auf den Fall der Gl. (F.27) angewendet wird. Es ergibt sich nämlich dann:

Bild F-2: Enthalpieänderung h und Entropiefunktion eines Abgases in Abhängigkeit der Temperatur T und des Brennstoff/Luft-Verhältnisses für ein Kerosin der Form CnH2n

F.5 Entropiefunktion 1597

s 2 t 2(T ,T , )t2s 2 t2 t2 2

2

pln (T , T , ) p p e

p (F.28)

Bei Berücksichtigung temperaturabhängiger cp- und -Werte ist also die Entropie-funktion ein Ersatz für die Isentropenbeziehung, so wie sie ansonsten bei idealen und/oder idealisierten Zustandsänderungen Anwendung findet.

Für ein Gas ohne Brennstoffanteile wäre in den Gln. (F.25), (F.26) und (F.28) jeweils für das Brennstoff/Luftverhältnis 0 zu setzen.

Substituiert man nun in der Gl. (F.24) die spezifische Wärmekapazität pc (T, )durch die Ausdrücke in den Gln. (F.11) bzw. (F.12), und führt anschließend die Integration durch, so erhält man das nachfolgende Ergebnis zur Ermittlung der dimensionslosen Entropiefunktion:

21 2

1

3 6 2 22 1 2 1

9 3 3 12 4 42 1 2 1

2

1


T1(T , T , ) 1 057.99590453 ln

R 1 T

1109.19492375449.19800335 10 T T 10 T T

2717.44852819 140.33180754

10 T T 10 T T3 4

T443.41673618 ln

T3

2 1

6 2 2 9 3 32 1 2 1

12 4 42 1

7 367.21480416 10 T T

10 617.04784788 8 418.7666805610 T T 10 T T

2 32 529.31551918

10 T T4

(F.29)

21 2

1

3 6 2 22 1 2 1

9 3 3 12 4 42 1 2 1

2

1


T1(T , T , ) 863.29014498 ln

R 1 T153.82359960

405.39409798 10 T T 10 T T2

27.94176815 1.9263921610 T T 10 T T

3 4T

1 000.10332581 ln 2 99T

32 1

6 2 2 9 3 32 1 2 1

12 4 42 1

4.47427116 10 T T

1 076.16530770 175.2461964510 T T 10 T T

2 310.62294583

10 T T4

(F.30)

Das Bild F-2 zeigt die grafische Auswertung der Gln. (F.19) und (F.20) für die Enthalpieänderung h und die grafische Auswertung der Gln. (F.29) und (F.30)

1598 Anhang F

für die sog. Entropiefunktion . Da beide Größen auf eine Referenztemperatur von Tref 300 K bezogen sind, liegt ihr Nulldurchgang durch die Abszisse der Diagramme auch bei 300 K.

Die hier vorgestellten Gleichungen eigenen sich insbesondere für die Pro-grammierung von Triebwerksberechnung mittels Digitalrechnern. Die hier zah-lenwertmäßig angegebenen Konstanten in den diversen Gleichungen wurden mit einer 128-bit-Präzision ermittelt.

F.6 Der FORTRAN 95 Quellcode

Im Folgenden wird der zuvor beschriebene Gleichungsapparat programmiertech-nisch aufgearbeitet. Insbesondere wegen der Lesbarkeit wurde der Code in FOR-TRAN 95 gehalten, auch wenn C/C++ Code heute als moderner und effizienter gilt. Wegen seiner hieroglyphenähnlichen Schreibweise ist aber ein solcher C/C++ Code für ein Buch wie dieses eher ungeeignet.

Der zuvor beschriebene Rechenablauf sieht dann in Programmform, als ein mit-tels der USE-Anweisung in weiteren Quellcode einbindbares Modul, wie folgt aus: MODULE GasProperties IMPLICIT NONE REAL , PARAMETER :: Rm = 8314.472 REAL , PARAMETER :: Mla = 0.034524 REAL , PARAMETER :: Mlb = 0.035645 REAL( 8), PARAMETER :: S1 = 1057.995904527213124316 REAL( 8), PARAMETER :: S2 = -449.198003346775212524 REAL( 8), PARAMETER :: S3 = 1109.194923754857996137 REAL( 8), PARAMETER :: S4 = -717.448528192584407076 REAL( 8), PARAMETER :: S5 = 140.331807541645598518 REAL( 8), PARAMETER :: S1f = 443.416736180285227151 REAL( 8), PARAMETER :: S2f = 7367.214804158510680331 REAL( 8), PARAMETER :: S3f =-10617.047847875908987078 REAL( 8), PARAMETER :: S4f = 8418.766680555929597245 REAL( 8), PARAMETER :: S5f = -2529.315519183822626392 REAL( 8), PARAMETER :: Z1 = 863.290144975118415038 REAL( 8), PARAMETER :: Z2 = 405.394097980233029278 REAL( 8), PARAMETER :: Z3 = -153.823599598255621902 REAL( 8), PARAMETER :: Z4 = 27.941768147344792387 REAL( 8), PARAMETER :: Z5 = -1.926392160925000328 REAL( 8), PARAMETER :: Z1f = 1000.103325814176699508 REAL( 8), PARAMETER :: Z2f = 2994.474271159838740401 REAL( 8), PARAMETER :: Z3f = -1076.165307699697524230 REAL( 8), PARAMETER :: Z4f = 175.246196451917545002 REAL( 8), PARAMETER :: Z5f = -10.622954304801099368 REAL( 8), PARAMETER :: AC = 0.2406200 REAL( 8), PARAMETER :: BB = 0.0177240E-03 REAL( 8), PARAMETER :: CC = 0.0385060E-06 REAL( 8), PARAMETER :: DD = 0.0126620E-09 REAL( 8), PARAMETER :: EE = 0.0013012E-12 REAL( 8), PARAMETER :: ACA = 0.2209100 REAL( 8), PARAMETER :: BBB = 0.5182200E-03 REAL( 8), PARAMETER :: CCC = 0.1946200E-06 REAL( 8), PARAMETER :: DDD = 0.0450890E-09 REAL( 8), PARAMETER :: EEE = 0.0043275E-12 CONTAINS

F.6 Der FORTRAN 95 Quellcode 1599

REAL FUNCTION k (T, f) IMPLICIT NONE REAL, INTENT(IN) :: T, f REAL :: M, R M = (1. + f) / (Mla + f*Mlb) R = Rm / M k = 1. / (1. - (R/cp(T, f))) RETURN END FUNCTION k !--------------------------------------------------------------------------------------------------- REAL FUNCTION cp(T, f) IMPLICIT NONE REAL, INTENT(IN) :: T , f REAL (8) :: cpx, Tx, fx Tx = T fx = f cp = 0.0 IF (Tx >= 0.000 .AND. Tx <= 300.0) THEN Tx = Tx*1.8 cpx = (1.0/(1.0+fx))*(AC-BB*Tx+CC*Tx**2-DD*Tx**3+EE*Tx**4+(ACA+BBB*Tx-CCC*Tx**2+ & & DDD*Tx**3-EEE*Tx**4)*fx) cp = cpx*4186.80 RETURN ELSE IF (Tx >= 300.0 .AND. Tx <= 1000.0) THEN cpx = (S1 + S2 *Tx*1.E-03 + S3 *(Tx*1.E-03)**2 + S4 *(Tx*1.E-03)**3 + S5 *(Tx* & & 1.E-03)**4) + (S1f + S2f*Tx*1.E-03+S3f*(Tx*1.E-03)**2 +S4f*(Tx*1.E-03)**3+ & & S5f*(Tx*1.E-03)**4)*fx cp = cpx/(1. + fx) RETURN ELSE IF (Tx > 1000. .AND. Tx <= 2500.0) THEN cpx = (Z1 + Z2 *Tx*1.E-03 + Z3 *(Tx*1.E-03)**2 + Z4 *(Tx*1.E-03)**3 +Z5 *(Tx* & & 1.E-03)**4) + (Z1f + Z2f*Tx*1.E-03 + Z3f*(Tx*1.E-03)**2+Z4f*(Tx*1.E-03)**3+ & & Z5f*(Tx*1.E-03)**4)*fx cp = cpx/(1. + fx) RETURN ELSE RETURN END IF END FUNCTION cp !--------------------------------------------------------------------------------------------------- REAL FUNCTION Dh(T1, T2, f) IMPLICIT NONE REAL, INTENT(IN) :: T1 , T2 , f REAL (8) :: Dhx, Dhx1, Dhx2, Dhx3, T1x, T2x, fx T1x = T1 T2x = T2 fx = f Dh = 0. IF (T1 >= 0.000 .AND. T2 <= 300.0) THEN T1x = T1x*1.80*1.0D+00 T2x = T2x*1.80*1.0D+00 Dhx = (1.0/(1.0 + fx))*(AC*(T2x - T1x)-(BB/2.0)*(T2x**2 - T1x**2) + (CC/3.0) * & & (T2x**3 - T1x**3)-(DD/4.0)*(T2x**4-T1x**4)+(EE/5.0)*(T2x**5-T1x**5)+ & & (ACA*(T2x- T1x)+(BBB/2.)*(T2x**2-T1x**2)-(CCC/3.0)*(T2x**3-T1x**3)+ & & (DDD/4.0)*(T2x**4-T1x**4)-(EEE/5.0)*(T2x**5-T1x**5))*fx) Dhx = Dhx*2326.0*1.0D+00 Dh = Dhx RETURN ELSE IF (T1 >= 0.0 .AND. T2 < 1000.) THEN T2x = 300.*1.80*1.0D+00 T1X = T1 *1.80*1.0D+00 Dhx1 = (1.0/(1.0 + fx))*(AC*(T2x - T1x)-(BB/2.0)*(T2x**2 - T1x**2)+(CC/3.0)* & & (T2x**3 - T1x**3)-(DD/4.0)*(T2x**4-T1x**4)+(EE/5.0)*(T2x**5-T1x**5)+ & & (ACA*(T2x-T1x)+(BBB/2.)*(T2x**2-T1x**2)- (CCC/3.0)*(T2x**3-T1x**3)+ & & (DDD/4.0)*(T2x**4-T1x**4)-(EEE/5.0)*(T2x**5-T1x**5))*fx) Dhx1 = Dhx1*2326.0*1.0D+00 T1x = 300.0*1.0D+00 T2x = T2 Dhx2 = (S1 * (T2x-T1x) + (S2 /2.)*1.E-03*(T2x**2 - T1x**2) + (S3 /3.)* & & 1.E-06*(T2x**3 - T1x**3) + (S4 /4.)*1.E-09*(T2x**4 - T1x**4) + (S5 /5.)* & & 1.E-12*(T2x**5 - T1x**5)) + (S1f*(T2x-T1x) + (S2f/2.)*1.E-03*(T2x**2 - & & T1x**2) + (S3f/3.)*1.E-06*(T2x**3 - T1x**3) + (S4f/4.)*1.E-09*(T2x**4 - & & T1x**4) + (S5f/5.)*1.E-12*(T2x**5 - T1x**5))*fx Dh = Dhx1 + (Dhx2/(1. + fx)) RETURN

1600 Anhang F

ELSE IF ((T1 >= 300.0 .AND. T1 <= 1000. ) .AND. T2 > 1000.) THEN T1x = T1 T2x = 1000.0*1.0D+00 Dhx1 = (S1 *(T2x-T1x) + (S2 /2.)*1.E-03*(T2x**2 - T1x**2) + (S3 /3.)*1.E-06* & & (T2x**3 - T1x**3) + (S4 /4.)*1.E-09*(T2x**4 - T1x**4) + (S5 /5.)*1.E-12* & & (T2x**5 - T1x**5)) + (S1f*(T2x-T1x) + (S2f/2.)*1.E-03*(T2x**2 - T1x**2) + & & (S3f/3.)*1.E-06*(T2x**3 - T1x**3) + (S4f/4.)*1.E-09*(T2x**4 - T1x**4) + & & (S5f/5.)*1.E-12*(T2x**5 - T1x**5))*fx T1x = 1000.0*1.0D+00 T2x = T2 Dhx2 = (Z1 *(T2x-T1x) + (Z2 /2.)*1.E-03*(T2x**2 - T1x**2) + (Z3 /3.)*1.E-06* & & (T2x**3 - T1x**3) + (Z4 /4.)*1.E-09*(T2x**4 - T1x**4) + (Z5 /5.)*1.E-12* & & (T2x**5 - T1x**5)) + (Z1f*(T2x-T1x) + (Z2f/2.)*1.E-03*(T2x**2 - T1x**2) + & & (Z3f/3.)*1.E-06*(T2x**3 - T1x**3) + (Z4f/4.)*1.E-09*(T2x**4 - T1x**4) + & & (Z5f/5.)*1.E-12*(T2x**5 - T1x**5))*fx Dhx = (Dhx1+Dhx2)/(1. + fx) Dh = Dhx RETURN ELSE IF (T1 < 300.0 .AND. T2 > 1000.0) THEN T2x = 300.*1.80*1.0D+00 T1X = T1 *1.80*1.0D+00 Dhx1 = (1.0/(1.0 + fx))*(AC*(T2x - T1x)-(BB/2.0)*(T2x**2 - T1x**2)+(CC/3.0)* & & (T2x**3 - T1x**3)-(DD/4.0)*(T2x**4-T1x**4)+(EE/5.0)*(T2x**5-T1x**5)+ & & (ACA*(T2x-T1x)+(BBB/2.)*(T2x**2-T1x**2)-(CCC/3.0)*(T2x**3-T1x**3)+ & & (DDD/4.0)*(T2x**4-T1x**4)-(EEE/5.0)*(T2x**5-T1x**5))*fx) Dhx1 = Dhx1*2326. T1x = 300.0*1.0D+00 T2x = 1000.0*1.0D+00 Dhx2 = (S1 *(T2x-T1x) + (S2 /2.)*1.E-03*(T2x**2 - T1x**2) + (S3 /3.)*1.E-06* & & (T2x**3 - T1x**3) + (S4 /4.)*1.E-09*(T2x**4 - T1x**4) + (S5 /5.)*1.E-12* & & (T2x**5 - T1x**5)) + (S1f*(T2x-T1x) + (S2f/2.)*1.E-03*(T2x**2 - T1x**2) + & & (S3f/3.)*1.E-06*(T2x**3 - T1x**3) + (S4f/4.)*1.E-09*(T2x**4 - T1x**4) + & & (S5f/5.)*1.E-12*(T2x**5 - T1x**5))*fx T1x = 1000.0*1.0D+00 T2x = T2 Dhx3 = (Z1 *(T2x-T1x) + (Z2 /2.)*1.E-03*(T2x**2 - T1x**2) + (Z3 /3.)*1.E-06* & & (T2x**3 - T1x**3) + (Z4 /4.)*1.E-09*(T2x**4 - T1x**4) + (Z5 /5.)*1.E-12* & & (T2x**5 - T1x**5)) + (Z1f*(T2x-T1x) + (Z2f/2.)*1.E-03*(T2x**2 - T1x**2) + & & (Z3f/3.)*1.E-06*(T2x**3 - T1x**3) + (Z4f/4.)*1.E-09*(T2x**4 - T1x**4) + & & (Z5f/5.)*1.E-12*(T2x**5 - T1x**5))*fx Dhx = Dhx1 + (Dhx2+Dhx3)/(1. + fx) Dh = Dhx RETURN ELSE IF (T1 >= 300.0 .AND. T2 <= 1000.0) THEN Dhx = (S1 *(T2x-T1x) + (S2 /2.)*1.E-03*(T2x**2 - T1x**2) + (S3 /3.)*1.E-06* & & (T2x**3 - T1x**3) + (S4 /4.)*1.E-09*(T2x**4 - T1x**4) + (S5 /5.)*1.E-12* & & (T2x**5 - T1x**5)) + (S1f*(T2x-T1x) + (S2f/2.)*1.E-03*(T2x**2 - T1x**2) + & & (S3f/3.)*1.E-06*(T2x**3 - T1x**3) + (S4f/4.)*1.E-09*(T2x**4 - T1x**4) + & & (S5f/5.)*1.E-12*(T2x**5 - T1x**5))*fx Dhx = Dhx/(1. + fx) Dh = Dhx RETURN ELSE IF (T1 >= 1000. .AND. T2 <= 2500.0) THEN Dhx = (Z1 *(T2x-T1x) + (Z2 /2.)*1.E-03*(T2x**2 - T1x**2) + (Z3 /3.)*1.E-06* & & (T2x**3 - T1x**3) + (Z4 /4.)*1.E-09*(T2x**4 - T1x**4) + (Z5 /5.)*1.E-12* & & (T2x**5 - T1x**5)) + (Z1f*(T2x-T1x) + (Z2f/2.)*1.E-03*(T2x**2 - T1x**2) + & & (Z3f/3.)*1.E-06*(T2x**3 - T1x**3) + (Z4f/4.)*1.E-09*(T2x**4 - T1x**4) + & & (Z5f/5.)*1.E-12*(T2x**5 - T1x**5))*fx Dhx = Dhx/(1. + fx) Dh = Dhx RETURN ELSE RETURN END IF END FUNCTION Dh !--------------------------------------------------------------------------------------------------- REAL FUNCTION PHI(T1, T2, f) IMPLICIT NONE REAL, INTENT(IN) :: T1 , T2 , f REAL (8) :: phix, phix1, phix2, phix3, T1x, T2x, fx, M, Ri T1x = T1 IF (T1x < 1.E-8) T1x = 1.E-8 T2x = T2 fx = f phi = 0.0

F.6 Der FORTRAN 95 Quellcode 1601

M = (1. + fx) / (Mla + fx*Mlb) Ri = Rm / M IF (T1 >= 0.000 .AND. T2 <= 300.0) THEN T1x = T1x*1.80*1.0D+00 T2x = T2x*1.80*1.0D+00 phix = (1.0/(1.0+fx))*(AC*DLOG(T2x/T1x)-BB*(T2x-T1x)+(CC/2.0)*(T2x**2-T1x**2)- & & (DD/3.0)*(T2x**3-T1x**3)+(EE/4.0)*(T2x**4-T1x**4)+fx*(ACA*DLOG(T2x/T1x) + & & BBB*(T2x-T1x)-(CCC/2.0)*(T2x**2-T1x**2)+(DDD/3.0)*(T2x**3-T1x**3)- & & (EEE/4.0)*(T2x**4-T1x**4))) phix = phix*778./53.3 phi = phix RETURN ELSE IF (T1 >= 0.0 .AND. T2 < 1000.) THEN T1x = T1 *1.80*1.0D+00 T2x = 300.*1.80*1.0D+00 phix1 = (1.0/(1.0+fx))*(AC*DLOG(T2x/T1x)-BB*(T2x-T1x)+(CC/2.0)*(T2x**2-T1x**2)- & & (DD/3.0)*(T2x**3-T1x**3)+(EE/4.0)*(T2x**4-T1x**4)+fx*(ACA*DLOG(T2x/T1x) + & & BBB*(T2x-T1x)-(CCC/2.0)*(T2x**2-T1x**2)+(DDD/3.0)*(T2x**3-T1x**3)- & & (EEE/4.0)*(T2x**4-T1x**4))) phix1 = phix1*778.0*1.0D+00/53.3D+00 T1x = 300.0*1.0D+00 T2x = T2 phix2 = (S1 *DLOG(T2x/T1x) + (S2)*1.E-03*(T2x - T1x) + (S3/2.)*1.E-06*(T2x**2 - & & T1x**2) + (S4 /3.)*1.E-09*(T2x**3 - T1x**3) + (S5 /4.)*1.E-12*(T2x**4 - & & T1x**4)) + (S1f*DLOG(T2x/T1x) + (S2f)*1.E-03*(T2x-T1x) + (S3f/2.)*1.E-06* & & (T2x**2 - T1x**2) + (S4f/3.)*1.E-09*(T2x**3 - T1x**3) + (S5f/4.)*1.E-12* & & (T2x**4 - T1x**4))*fx phix = phix1 + (phix2/(Ri*(1. + fx))) phi = phix RETURN ELSE IF ((T1 >= 300.0 .AND. T1 <= 1000. ) .AND. T2 > 1000.) THEN T1x = T1 T2x = 1000.0*1.0D+00 phix1 = (S1*DLOG(T2x/T1x)+(S2)*1.E-03*(T2x-T1x)+(S3/2.)*1.E-06*(T2x**2-T1x**2) + & & (S4/3.)*1.E-09*(T2x**3-T1x**3)+(S5/4.)*1.E-12*(T2x**4-T1x**4))+(S1f* & & DLOG(T2x/T1x)+(S2f)*1.E-03*(T2x-T1x)+(S3f/2.)*1.E-06*(T2x**2-T1x**2) + & & (S4f/3.)*1.E-09*(T2x**3 -T1x**3)+(S5f/4.)*1.E-12*(T2x**4-T1x**4))*fx T1x = 1000.0*1.0D+00 T2x = T2 phix2 = (Z1*DLOG(T2x/T1x)+(Z2)*1.E-03*(T2x-T1x)+(Z3/2.)*1.E-06*(T2x**2-T1x**2) + & & (Z4/3.)*1.E-09*(T2x**3-T1x**3)+(Z5/4.)*1.E-12*(T2x**4-T1x**4))+(Z1f* & & DLOG(T2x/T1x)+(Z2f)*1.E-03*(T2x-T1x)+(Z3f/2.)*1.E-06*(T2x**2-T1x**2) + & & (Z4f/3.)*1.E-09*(T2x**3-T1x**3)+(Z5f/4.)*1.E-12*(T2x**4-T1x**4))*fx phix = (phix1 + phix2)/(Ri*(1. + fx)) phi = phix RETURN ELSE IF (T1 < 300.0 .AND. T2 > 1000.0) THEN T1X = T1 *1.80*1.0D+00 T2x = 300.*1.80*1.0D+00 phix1 = (1.0/(1.0+fx))*(AC*DLOG(T2x/T1x)-BB*(T2x-T1x)+(CC/2.0)*(T2x**2-T1x**2)- & & (DD/3.0)*(T2x**3-T1x**3)+(EE/4.0)*(T2x**4-T1x**4)+fx*(ACA*DLOG(T2x/T1x)+ & & BBB*(T2x-T1x)-(CCC/2.0)*(T2x**2-T1x**2)+(DDD/3.0)*(T2x**3-T1x**3)- & & (EEE/4.0)* (T2x**4-T1x**4))) phix1 = phix1*778./53.3 T1x = 300.0*1.0D+00 T2x = 1000.0*1.0D+00 phix2 = (S1*DLOG(T2x/T1x)+(S2)*1.E-03*(T2x-T1x)+(S3/2.)*1.E-06*(T2x**2-T1x**2) + & & (S4 /3.)*1.E-09*(T2x**3 - T1x**3) + (S5 /4.)*1.E-12*(T2x**4 - T1x**4)) + & & (S1f*DLOG(T2x/T1x)+(S2f)*1.E-03*(T2x-T1x)+(S3f/2.)*1.E-06*(T2x**2-T1x**2) + & & (S4f/3.)*1.E-09*(T2x**3 - T1x**3) + (S5f/4.)*1.E-12*(T2x**4 - T1x**4))*fx T1x = 1000.0*1.0D+00 T2x = T2 phix3 = (Z1*DLOG(T2x/T1x)+(Z2)*1.E-03*(T2x-T1x)+(Z3/2.)*1.E-06*(T2x**2-T1x**2) + & & (Z4/3.)*1.E-09*(T2x**3-T1x**3)+(Z5/4.)*1.E-12*(T2x**4-T1x**4)) + (Z1f* & & DLOG(T2x/T1x)+(Z2f)*1.E-03*(T2x-T1x)+(Z3f/2.)*1.E-06*(T2x**2-T1x**2) + & & (Z4f/3.)*1.E-09*(T2x**3-T1x**3)+(Z5f/4.)*1.E-12*(T2x**4-T1x**4))*fx phix = phix1 + ((phix2+phix3)/(Ri*(1. + fx))) phi = phix RETURN ELSE IF (T1 >= 300.0 .AND. T2 <= 1000.0) THEN phix = (S1*DLOG(T2x/T1x)+(S2)*1.E-03*(T2x-T1x)+(S3/2.)*1.E-06*(T2x**2-T1x**2) + & & (S4/3.)*1.E-09*(T2x**3-T1x**3)+(S5/4.)*1.E-12*(T2x**4-T1x**4))+(S1f* & & DLOG(T2x/T1x)+(S2f)*1.E-03*(T2x-T1x)+(S3f/2.)*1.E-06*(T2x**2-T1x**2) + & & (S4f/3.)*1.E-09*(T2x**3-T1x**3)+(S5f/4.)*1.E-12*(T2x**4-T1x**4))*fx phix = (phix/(1. + fx))/Ri

1602 Anhang F

phi = phix RETURN ELSE IF (T1 >= 1000. .AND. T2 <= 2500.0) THEN phix = (Z1*DLOG(T2x/T1x)+(Z2)*1.E-03*(T2x-T1x)+(Z3/2.)*1.E-06*(T2x**2-T1x**2) + & & (Z4/3.)*1.E-09*(T2x**3-T1x**3)+(Z5/4.)*1.E-12*(T2x**4-T1x**4))+(Z1f* & & DLOG(T2x/T1x)+(Z2f)*1.E-03*(T2x-T1x)+(Z3f/2.)*1.E-06*(T2x**2-T1x**2) + & & (Z4f/3.)*1.E-09*(T2x**3-T1x**3)+(Z5f/4.)*1.E-12*(T2x**4-T1x**4))*fx phix = (phix/(1. + fx)) / Ri phi = phix RETURN ELSE RETURN END IF END FUNCTION PHI END MODULE GasProperties

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Sachverzeichnis

A

Abblaseluft (bleed air) ..................... 30, 146, 148, 153, 157, 306, 308, 850, 851, 954, 958, 1317, 1318, 1338, 1340, 1417, 1419, 1420

Abblasen von Verdichterluft ............ 30, 146, 148, 153, 954, 958, 1317

Abblaseventil .................................... 306, 1318, 1320, 1340, 1416, 1417, 1418, 1419, 1420

A-Bewertung (Schalldruckpegel) ..... 1256, 1257, 1258

Abgasemission ............................ 173 Ablösezelle ......................... 947, 948 Abreißen von Stufen .........................

146, 148, 788, 933, 944, 946, 948, 950, 954, 1283, 1332

Absolutgeschwindigkeit ................... 585, 590, 591, 604, 606, 607, 643, 673, 690, 708, 709, 775, 873, 887, 903, 944, 1113, 1209, 1210, 1211, 1230, 1231, 1232, 1233, 1234, 1291, 1398

Absolutströmung .............................. 140, 591, 595, 596, 599, 602, 604, 605, 606, 607, 658, 695, 712, 726, 745, 887

Absolutsystem .................................. 587, 589, 597, 599, 604, 605, 607, 1113, 1114

Abströmdreieck ................................ ................ 590, 626, 656, 670, 696

Abströmung, drallfreie ....... 733, 888 ACARE .......................... 1010, 1011 Ackeret-Keller-Prozess ............... 560 acoustic liners ........................... 1309

actio = reactio ................................... 1, 4, 19, 104, 246, 250, 278, 574, 576, 1442, 1558, 1565

ACUTE (Schubanzeige Airbus A380) ........................................ 124, 307

Aft-Fan ............... 14, 61, 62, 63, 139 Airblast Atomizer ............. 168, 1004 Airbus ...............................................

52, 53, 54, 56, 57, 59, 70, 72, 76, 108, 124, 126, 138, 175, 186, 209, 212, 231, 234, 237, 254, 307, 308, 311, 317, 318, 319, 367, 368, 495, 689, 930, 960, 1009, 1010, 1011, 1016, 1023, 1025, 1045, 1336, 1337, 1431, 1579, 1580, 1582, 1585, 1586

Aktionsturbine .................................. 179, 180, 652, 653, 654, 655, 658, 659, 660, 661, 662, 684, 687, 1057, 1324

Akustik ..................................... 1254 akustische Auskleidung .. 1309, 1313 AlliedSignal ......................................

69, 70, 71, 72, 141, 175, 517, 688, 689, 1577, 1578, 1581, 1582, 1585

Allison .............................................. 18, 79, 164, 228, 517, 531, 1578, 1581, 1582, 1583, 1584, 1585

Anlaufbelag ........................ 921, 922 Annex 16 (ICAO) .............................

.......................... 1261, 1262, 1263 APU (auxiliarx power unit) ..............

46, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 82, 158, 159, 175, 689, 740, 1009, 1317, 1320, 1324, 1367, 1390, 1431, 1434, 1582


1618 Sachverzeichnis

Äquivalenzverhältnis ........................ .................. 975, 1023, 1026, 1027

Arbeit, reduzierte spezifische ... 1073 Arbeit, spezifische ............................

334, 395, 402, 430, 431, 504, 505, 506, 515, 522, 524, 527, 530, 586, 596, 597, 598, 600, 601, 604, 613, 616, 618, 638, 643, 645, 661, 664, 675, 693, 705, 706, 717, 718, 724, 729, 731, 752, 757, 766, 776, 869, 884, 1054, 1074, 1075, 1076, 1081, 1144, 1324, 1502

Arbeit, Strömungs- .................... 333,535, 536, 643, 766, 771, 772, 873, 1144, 1146, 1442, 1443, 1444, 1445, 1447, 1448, 1450, 1451, 1452, 1453, 1454, 1457, 1458, 1459, 1460, 1468, 1475, 1477, 1481, 1482

Arbeit, technische ............................. 330, 331, 333, 334, 335, 535, 544, 1438, 1440, 1443, 1444, 1447, 1449, 1451, 1460, 1463, 1477

Arbeitsturbine ................................... 6, 31, 32, 30, 61, 62, 67, 76, 77, 78, 79, 80, 175, 187, 225, 228, 429, 492, 493, 494, 499, 501, 503, 518, 524, 533, 1082

Arbeitsverhältnis ........ 346, 347, 348 Atomizer ........................... 168, 1004 Ausbrenngrad ...................................

317, 323, 342, 390, 980, 1029, 1033, 1040, 1141, 1180, 1208, 1218, 1230

Ausdehnungskoeffizient, isobarer .................................... 1467, 1470

Auslegungsdrehzahl ......................... 146, 171, 301, 493, 939, 942, 945

Auslegungspunkt .............................. 251, 605, 607, 626, 628, 640, 643, 669, 672, 702, 709, 725, 727, 855, 904, 938, 939, 941, 942, 943, 944, 945, 955, 961, 967, 1032, 1033, 1058, 1081, 1126, 1283, 1309

Außenschnittgitter .............. 571, 789

Außenströmung ................................ 94, 97, 98, 99, 112, 114, 217, 274, 825, 853, 995, 1114, 1124, 1128, 1521

Austrittsimpuls ................................. .................... 1, 81, 120, 179, 1123

Axialkomponente ............................. 591, 593, 621, 745, 750, 876, 942

Axialrichtung .................................... 166, 197, 251, 375, 384, 471, 585, 590, 591, 643, 758, 759, 777, 892, 986, 998, 1045, 1077, 1079, 1278

Axialturbine ...................................... ....... 12, 35, 36, 38, 48, 70, 71, 78,

603, 675, 678, 724, 725, 860, 1048, 1051, 1052, 1056

Axialverdichter ...................... 12, 31,33, 35, 36, 38, 44, 143, 144, 145, 146, 159, 160, 161, 190, 430, 603, 643, 644, 690, 691, 692, 701, 704, 708, 711, 745, 860, 863, 867, 868, 872, 874, 875, 911, 926, 937, 938, 939, 962, 1444

B

Belastungszahl .... 622, 628, 636, 909 Beschleunigung, konvektive ...... 760,

761 Beschleunigung, lokale ....... 760, 761 Betriebslinie ......................................

937, 938, 939, 941, 943, 945, 1081, 1133, 1134, 1410

Betriebspunkt .................................... 927, 934, 937, 938, 939, 942, 943, 945, 952, 953, 969, 972, 1079, 1267, 1309, 1405

Bezugsebene ..................................... 248, 249, 255, 259, 282, 296, 311, 330, 391, 392, 393, 417, 430, 450, 470, 474, 485, 496, 500, 503, 518, 538, 564, 583, 591, 598, 599, 604, 607, 641, 643, 691, 716, 765, 810, 835, 1034, 1038, 1544

Bläser ................................................ 14, 31, 32, 37, 40, 136, 225, 427, 428

Sachverzeichnis 1619

Bleed Air .......................................... ...... 30, 153, 306, 308, 1317, 1340

Blending ................................... 1013 BLING ........................ 241, 242, 243 BLISK ..............................................

45, 50, 51, 60, 152, 241, 242, 243, 924

Bodenstandfall .................................. 20, 127, 132, 135, 162, 254, 257, 276, 287, 325, 353, 354, 396, 401, 406, 493, 939, 956, 1157

Boeing .............................................. 36, 50, 51, 53, 54, 57, 59, 61, 72, 73, 128, 138, 187, 189, 192, 193, 194, 195, 209, 211, 223, 230, 231, 234, 235, 253, 256, 271, 299, 303, 321, 322, 356, 367, 425, 470, 531, 823, 979, 1045, 1085, 1264, 1275, 1304, 1309, 1336, 1338, 1345, 1359, 1362, 1431, 1577, 1578, 1579, 1580, 1581, 1583, 1586

Boltzmann-Konstante ............... 1493 Bombenkalorimeter ………...… 316 Booster (NDV) .................................

.. 31, 44, 51, 52, 54, 931, 958, 962 Bow, Schaufel mit ...... 968, 969, 972 Brayton-Prozess .................... 80, 385 Breitbandlärm ...................................

1270, 1272, 1273, 1281, 1282, 1284, 1301, 1308

Brennkammer ................................... 10, 11, 14, 16, 19, 20, 28, 29, 31, 37, 45, 49, 65, 69, 75, 77, 78, 79, 80, 85, 86, 87, 89, 113, 117, 118, 122, 126, 143, 145, 146, 158, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 170, 172, 173, 175, 182, 184, 190, 191, 192, 195, 196, 197, 201, 204, 251, 253, 246, 249, 257, 261, 292, 317, 323, 330, 331, 350, 370, 372, 375, 376, 379, 383, 384, 385, 390, 391, 395, 399, 404, 407, 417, 420, 422, 424, 431, 451, 492, 501, 516, 518, 522, 524, 528, 532, 533, 534, 555, 557, 565, 570, 605, 662, 794, 885, 930, 950, 973, 974, 975, 980,

981, 982, 983, 984, 985, 986, 987, 988, 989, 991, 992, 993, 994, 999, 1000, 1001, 1003, 1004, 1005, 1006, 1009, 1010, 1011, 1016, 1018, 1019, 1020, 1021, 1023, 1024, 1025, 1026, 1027, 1029, 1030, 1031, 1033, 1034, 1035, 1036, 1037, 1038, 1039, 1040, 1064, 1075, 1094, 1108, 1141, 1144, 1163, 1166, 1172, 1179, 1180, 1181, 1187, 1189, 1190, 1191, 1208, 1212, 1218, 1230, 1266, 1295, 1297, 1298, 1299,1324, 1327, 1328, 1329, 1330, 1335, 1340, 1360, 1367, 1369, 1371, 1372, 1373, 1374, 1375, 1381, 1396, 1397, 1398, 1408, 1409, 1440, 1499

Brennkammerdruckverlust ............... 985, 1033, 1036, 1129, 1208, 1210, 1230, 1233

Brennkammerdruckverlust, heiße Ver-luste .............................. 1033, 1034

Brennkammerdruckverlust, kalte Ver-luste .............................. 1033, 1038

Brennkammerlärm .................... 1299 Brennkammerwirkungsgrad .............

1141, 1143, 1172, 1180, 1189, 1218

Brennkammerwirkungsgrad ............. ...................... 317, 390, 980, 1029

Brennstoff ...................................... 6, 9, 19, 76, 77, 79, 85, 86, 89, 122, 156, 157, 161, 162, 168, 171, 173, 174, 192, 199, 202, 204, 205, 249, 254, 255, 257, 263, 271, 275, 276, 292, 316, 317, 318, 319, 323, 342, 343, 350, 351, 352, 353, 356, 359, 360, 362, 363, 366, 367, 370, 372, 376, 379, 384, 386, 390, 391, 397, 409, 415, 419, 420, 422, 424, 425, 433, 440, 441, 454, 457, 460, 467, 486, 505, 506, 513, 518, 522, 528, 533, 552, 553, 554, 555, 664, 930, 953,974, 975, 977, 978, 979, 980, 981, 982, 983, 987, 988, 992, 999,


1000, 1001, 1004, 1005, 1006, 1007, 1008, 1010, 1016, 1020, 1027, 1030, 1040, 1066, 1102, 1141, 1142, 1144, 1150, 1156, 1166, 1172, 1181, 1189, 1194, 1210, 1211, 1212, 1213, 1214, 1233, 1235, 1236, 1253, 1299, 1300, 1305, 1324, 1327, 1328, 1329, 1335, 1356, 1357, 1358, 1359, 1360, 1362, 1363, 1365, 1366, 1367, 1369, 1371, 1372, 1373, 1374, 1375, 1377, 1379, 1380, 1385, 1390, 1392, 1394, 1395, 1403, 1414, 1428, 1499, 1589, 1591, 1593, 1597

Brennstoff/Luft-Verhältnis ............... 323, 343, 350, 356, 370, 372, 376, 379, 390, 397, 419, 422, 424, 433, 440, 454, 457, 460, 486, 505, 513, 522, 552, 553, 1194, 1210, 1211, 1212, 1213, 1214, 1233, 1236, 1499, 1589, 1591, 1593

Brennstoffenergie ............................. .................... 372, 379, 1028, 1176

Brennstoffreduzierung ........ 239, 480 Brennstoffstufung ........... 1023, 1025 Brennstoffverbrauch .........................

22, 27, 33, 38, 41, 45, 50, 52, 54, 55, 56, 62, 69, 77, 78, 79, 80, 82, 136, 150, 160, 185, 199, 250, 253, 255, 309, 316, 317, 321, 322, 323, 328, 329, 343, 351, 352, 353, 355, 359, 361, 362, 364, 365, 368, 369, 370, 376, 384, 390, 397, 403, 405, 406, 419, 421, 440, 442, 450, 453, 458, 462, 463, 466, 468, 477, 482, 483, 489, 491, 505, 508, 516, 526, 528, 529, 530, 531, 532, 552, 553, 554, 556, 558, 563, 564, 822, 846, 851, 980, 1010, 1011, 1062, 1159, 1160, 1162, 1163, 1167, 1168, 1169, 1170, 1175, 1177, 1200, 1213, 1214, 1216, 1225, 1236, 1243, 1244, 1246, 1250, 1251, 1322, 1403

Brennstoffverbrauch, spezifischer .... 48, 51, 74, 76, 78, 132, 155, 188, 322, 352, 367, 385, 390, 397, 398, 403, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 415, 421, 422, 423, 425, 428, 440, 442, 450, 453, 454, 456, 457, 459, 460, 462, 466, 467, 470, 477, 478, 479, 481, 482, 486, 489, 492, 505, 506, 510, 513, 516, 518, 521, 522, 523, 566, 761, 859, 1009, 1016, 1084, 1162, 1163, 1169, 1181, 1199, 1211, 1224, 1235, 1271

Bridgman-Verfahren (Einkristallherstellung) ......... 1089

Bruttoschub ............. 1, 255, 276, 658 buzz saw noise (Kreissägenlärm)

.......................... 1286, 1291, 1301 Bypassverhältnis ...............................

33, 42, 43, 44, 46, 47, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62, 64, 65, 74, 124, 128, 136, 185, 187, 244, 271, 299, 351, 377, 429, 431, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 442, 443, 444, 445, 446, 449, 450, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 464, 465, 466, 472, 475, 478, 481, 482, 488, 491, 494, 538, 543, 551, 552, 556, 561, 563, 761, 823, 1029, 1046, 1062, 1218, 1239, 1241, 1242, 1245, 1246, 1247, 1248, 1271, 1314

Bypassverhältnis, optimales ............. ...................... 239, 450, 465, 1251

C

c8-Gesetz (Lighthill) ....... 1274, 1275 Campini ................................ 31, 229 Caproni ......................... 30, 31, 1576 Carnot-Faktor ...................................

.............. 344, 345, 348, 558. 1174 Carnot-Prozess ..................................

...... 191, 344, 535, 559, 560, 1503 CDA-Profil ......... 151, 611, 905, 919 CFK .................................. 925, 1428 CFM ..................................................

52, 58, 60, 125, 128, 209, 211,


231, 240, 301, 302, 309, 317, 470, 823, 929, 1010, 1016, 1023, 1269, 1277, 1304, 1317, 1319, 1341, 1424, 1579, 1580, 1584

Chevron-Düse ..................... 211, 212 Clocking ................................... 1045 Coand ........................................ 229 Coatings ............................................

.......... 182, 993, 1102, 1108, 1111 Coatings, Diffusion ........ 1102, 1103 Coatings, Overlay ........... 1103, 1104 Coriolisbeschleunigung ....................

........................ 760, 762, 764, 772 Corioliskraft ............................... 759 Cut-Off Condition (Lärm) ................

................ 1289, 1291, 1297, 1306

D

Dalton ....................................... 1469 Dampfdruck ......................................

.... 158, 162, 976, 977, 1362, 1364 Dauerschub ................. 299, 309, 313 DBE, down between engines ........ 76 DCA-Profil ......... 611, 905, 915, 919 de Haller-Kriterium ..........................

622, 628, 629, 635, 664, 671, 672, 673, 674, 675, 721, 756, 878, 879, 880, 884, 885, 886, 888

Derated Engine ........... 314, 315, 319 Deviation ............................ 862, 903 Dichte, statische ........................ 1529 Diffusionszahl ..................................

625, 627, 628, 629, 631, 634, 636, 663, 664, 671, 884, 908, 913

Diffusor ............................................ 19, 113, 114, 115, 117, 118, 121, 122, 140, 142, 145, 163, 171, 200, 261, 375, 606, 671, 690, 693, 702, 703, 706, 708, 710, 711, 712, 761,799, 805, 806, 807, 808, 811, 834, 835, 836, 838, 843, 846, 859, 981, 982, 984, 985, 986, 987, 1031, 1033, 1037, 1141, 1142, 1187, 1188, 1205, 1209, 1212, 1232, 1398, 1440, 1459, 1460

Diffusor, Überschall ......................... ........ 114, 115, 832, 833, 834, 917

Diffusor, Unterschall ........................ ................................ 123, 832, 833

Dihedral, Schaufel mit ........ 907, 968 diskrete Töne ........ 1283, 1284, 1286 Dissipation ........................................

76, 88, 89, 121, 333, 344, 766, 786, 869, 873, 884, 1054, 1144, 1146, 1177, 1443, 1444, 1447, 1448, 1450, 1451, 1456, 1457, 1458, 1461, 1475, 1476, 1477, 1508, 1310, 1521

dissipative Dämpfung ............... 1310 DLR, Deutsches Zentrum für Luft-

und Raumfahrt .............................. 212, 927, 965, 970, 1044, 1057, 1281, 1316

Dom, Brennkammer ......................... 166, 167, 172, 984, 986, 987, 1030, 1033

Dornier ...................... 8, 29, 49, 1581 Drall ..................................................

134, 145, 149, 168, 173, 177, 206, 378, 591, 593, 595, 596, 604, 606, 652, 709, 725, 726, 745, 747, 885, 886, 887, 892, 987, 1000, 1001, 1004, 1398

Drallgeber ......................................... ........ 166, 167, 168, 172, 987, 988

Drallgesetz .......... 754, 755, 781, 795 Drallrose, Drallgeber .................. 988 Drehklang ....................... 1284, 1286 Drehzahl ...........................................

33, 34, 43, 52, 69, 70, 71, 75, 76, 78, 79, 124, 125, 128, 153, 156, 158, 185, 186, 187, 188, 207, 234, 245, 261, 300, 301, 302, 303, 304, 307, 308, 310, 316, 320, 376, 384, 429, 495, 534,583, 596, 615, 616, 619, 635, 649, 657, 659, 662, 677, 678, 705, 713, 714, 715, 716, 717, 720, 726, 729, 731, 734, 735, 740, 742, 750, 793, 801, 875, 877, 910, 931, 932, 933, 935, 936, 937, 938, 939, 942, 943, 946, 953, 955, 956,


958, 961, 963, 1043, 1048, 1061, 1075, 1076, 1079, 1080, 1082, 1130, 1181, 1206, 1212, 1228, 1229, 1235, 1280, 1284, 1286, 1319, 1323, 1324, 1325, 1327, 1328, 1329, 1332, 1335, 1339, 1341, 1347, 1355, 1356, 1369, 1370, 1374, 1380, 1387, 1404, 1406, 1409, 1411, 1413, 1416, 1419

Drehzahl, reduzierte ......................... 934, 936, 937, 938, 941, 1073, 1079, 1081, 1419

Drehzahlkurve .................. 931, 1079 Drehzahllinie .................... 949, 1409 Drosselung, thermische ............ 1130 Druck, statische ................................

121, 127, 257, 330, 605, 607, 625, 654, 735, 809, 1032, 1181, 1208, 1209, 1210, 1211, 1231, 1232, 1233, 1234, 1547

Druckabsenkung ....... 336, 640, 1539 Druckenergie ....................................

............ 19, 76, 78, 149, 215, 1123 Druckerhöhung .................................

19, 76, 125, 135, 136, 137, 140, 146, 149, 167, 191, 334, 336, 393, 395, 401, 407, 412, 430, 440, 535,607, 618, 622, 640, 668, 671, 690, 704, 708, 717, 726, 838, 869, 882, 884, 944, 946, 948, 949, 1158, 1163, 1165, 1243, 1367, 1371, 1380, 1408, 1444, 1448, 1460,1512, 1513, 1515, 1516, 1520, 1539

Druckgefälle ................................ 97, 229, 399, 621, 732, 1054, 1076, 1083, 1113, 1238, 1400, 1536

Druckhöhe .................................. 316 Druckrückgewinn ............... 125, 713 Druckseite .........................................

104, 105, 137, 188, 574, 576, 577, 625, 654, 658, 693, 694, 704, 727, 757, 758, 784, 788, 795, 920, 1060, 1112

Druckverteilung ............ 96, 100, 101164, 276, 278, 279, 280, 285, 287, 495, 785, 802, 803, 1543, 1565

Druckwiderstand ............................... ...................... 101, 102, 802, 1565

Druckzerstäubung ............................. .......... 169, 999, 1003, 1004, 1020

Düsenaustrittsfläche .......................... 113, 207, 208, 254, 261, 273, 274, 293, 323, 356, 1125, 1126, 1127, 1128, 1134, 1137, 1138, 1139, 1140, 1548, 1549

Düsendruckverhältnis ....................... 1123, 1124, 1125, 1137, 1211, 1234, 1272

Düsenquerschnitt .............................. 114, 204, 208, 261, 1127, 1132, 1137

Düsenwiderstand ................ 254, 279 Duplexdüse ..................... 1001, 1004 Durchflusskenngröße ........................

643, 647, 649, 668, 674, 675, 676, 685, 697, 698, 699, 700, 713, 715, 717, 718, 750, 752, 791, 792, 878, 944, 954, 1072, 1076

Durchströmung, axiale ................ 595 Durchströmung, diagonale .......... 572 Durchströmung, zentrifugale ............

........................................ 594, 601 Durchströmung, zentripetale .............

........................................ 594, 601

E

ebenes Gitter ............................... 573 effective perceived noise level ..........

211, 1011, 1258, 1262, 1300, 1308, 1309

effektiver empfundener Schallpegel . .................................... 1258, 1261

Effusionskühlung .............................. .......................... 1106, 1108, 1119

EGT, exhaust gas temperature .......... 124, 180, 300, 302, 303, 308, 309, 314, 315, 316 1342

Einheitsmasse ................................... .. 35, 318, 319, 323, 328, 329, 358


Einkristall ............... 182, 1096, 1100 Einkristallschaufeln .................... 182 Einlauf variabler Geometrie ....... 851 Einlauf ..............................................

28, 31, 77, 80, 115, 121, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 246, 280, 284, 286, 287, 331, 387, 389, 390, 435, 474, 799, 800, 802, 804, 805, 806, 815, 818, 821, 823, 825, 828, 829, 831, 832, 833, 839, 843, 844, 846, 847, 848, 850, 851, 852, 853, 854, 855, 953, 1034, 1212,1268, 1287, 1292, 1294, 1301, 1303, 1312, 1357, 1412, 1421, 1423, 1425

Einlaufbrummen ............................... .................. 846, 1286, 1291, 1301

Einlaufgestaltung .............................. ......... 131,799, 808, 818, 821, 842

Einlauflippe ............................... 284,808, 809, 821, 827, 829, 830, 832, 843, 845, 846, 847, 852, 853, 854, 855, 1424

Einlaufquerschnitt .............. 284, 815 Einlaufverlust ..................... 126,127,

802, 805, 818, 839, 842, 843, 844, 847, 848, 854, 939, 1129, 1181, 1184, 1185, 1544

Einlaufwiderstand ....... 130, 285, 825 Einspritzdüsen ............................ 982 Einstromtriebwerk ............................

.......................... 31, 32, 425, 1584 Eintrittsdiffusor .......................... 166 Eintrittsimpuls ........ 1, 179, 254, 255 Einwellentriebwerk ................ 29, 36 Einwellenverdichter ............ 144, 148 Emissionsindex ......................... 1016 empfundener Schall .................. 1258 empfundener Schallpegel ......... 1258 Energie, chemische ...........................

76, 162, 316, 391, 974, 980, 1028, 1141, 1172

Energiebilanz Brennraum ................. 255, 334, 372, 379, 390, 472, 487, 557, 1027, 1029

Engine Alliance (GP) ........................ ........................ 57, 129, 186, 1580

Engine Pressure Ratio (EPR) ............ 84, 124, 125, 300, 302, 303, 307, 308, 309, 316, 317, 1015, 1338, 1339, 1340, 1341, 1344, 1355, 1356

Enthalpie ........................................... 87, 330, 431, 499, 569, 644, 672, 1083, 1144, 1439, 1441, 1442, 1451, 1463, 1465, 1466, 1467, 1471, 1474, 1498, 1499, 1502, 1503, 1507, 1529, 1593

Enthalpie, statische ........................... 87, 330, 639, 653, 655, 658, 662, 1144, 1439, 1441

Enthalpiebilanz ........................... 420 Enthalpiekenngröße ..........................

643, 644, 647, 649, 656, 657, 658, 665, 666, 672, 673, 675, 676, 677, 679, 685, 706, 716, 729, 750, 752, 791, 864, 865, 874, 886, 908, 910, 944, 1062, 1063, 1070, 1072, 1083, 1114

Entropie ................................... 1163,1441, 1442, 1458, 1464, 1465, 1466, 1473, 1507, 1508, 1515

Entropiefunktion ............................... 1183, 1208, 1209, 1210, 1211, 1230, 1231, 1232, 1233, 1234, 1595, 1596, 1597, 1598

Entropielärm ............................. 1299 Entropieschall ........................... 1299 Ericson-Prozess ................................

.............. 191, 535, 559, 560, 1503 Erlöschgrenze ........................... 1018 EROPS-Regeln ....................... 68, 73 erster Hauptsatz für Kreisprozesse

................................................ 333 ETOPS-Regeln ............................. 73 EULER (rekuperatives Triebwerk)

................................................ 250 Euler-Radius .....................................

601, 604, 634, 640, 641, 642, 649, 677, 678, 685, 749, 750, 876, 902, 912, 1204, 1208, 1209, 1210


Eulersche Hauptgleichung ................ 584, 586, 595, 596, 616, 645, 646, 705, 717, 729

Expansion ......................................... 6, 81, 130, 273, 274, 275, 319, 334, 335, 336, 339, 356, 360, 417, 430, 432, 476, 483, 559, 593, 620, 621, 653, 788, 789, 792, 832, 843, 916, 1077, 1078, 1123, 1127, 1132, 1135, 1137, 1141, 1142, 1144, 1147, 1149, 1163, 1180, 1211, 1231, 1232, 1234, 1272, 1453, 1456, 1457, 1503

Expansion, ideale ....................... 278, 325, 332, 355, 359, 386, 433, 502, 1123, 1126, 1156, 1224

Expansionswelle ....................... 1521 externe Kompression .......... 130, 833

F

FADEC, full authority digital engine control ............................. 65, 188, 303, 305, 306, 308, 311, 318, 960, 1328, 1329, 1338, 1339, 1340, 1341, 1342, 1586

Fairchild ............... 46, 49, 141, 1578 Fan ....................................................

14, 31, 40, 42, 43, 44, 46, 47, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 59, 61, 62, 64, 65, 81, 32, 33, 37, 124, 132, 136, 137, 138, 139, 140, 154, 155, 185, 186, 187, 199, 224, 225, 228, 234, 240, 244, 245, 267, 301, 311, 312, 368, 377, 378,385, 427, 428, 429, 430, 431, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 442, 443, 444, 445, 446, 451, 453, 459, 460, 462, 464, 465, 466, 467, 469, 471, 472, 473, 475, 476, 478, 480, 481, 483, 485, 487, 489, 490, 491, 494, 501, 534, 538, 539, 541, 543, 544, 545, 547, 549, 552, 555, 562, 563, 564, 761, 799, 800, 801, 808, 811, 831, 910, 958, 1046, 1047, 1061, 1062, 1064, 1065, 1066, 1068, 1073, 1010, 1011, 1217, 1218, 1219,

1228, 1231, 1235, 1236, 1239, 1241, 1242, 1243, 1244, 1245, 1246, 1247, 1248, 1250, 1251, 1266, 1268, 1276, 1277, 1280, 1282, 1283, 1284, 1289, 1290, 1293, 1294, 1295, 1297, 1301, 1302, 1304, 1307, 1308, 1309, 1314, 1320, 1343, 1349, 1372, 1385, 1409, 1421, 1424, 1577, 1578, 1579, 1580, 1581, 1585,

Fandruckverhältnis ........................... 42, 44, 49, 81, 136, 140, 377, 378, 385, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 442, 443, 444, 445, 446, 449, 451, 453, 460, 461, 462, 464, 465, 466, 467, 472, 475, 476, 478, 481, 483, 487, 489, 490, 491, 541, 543, 545, 551, 552, 555, 556, 562, 563, 564, 761, 1062, 1218, 1230, 1231, 1239, 1241, 1242, 1243, 1245, 1246, 1247, 1248

Fandruckverhältnis, optimal ...... 439, 450, 453, 460, 465, 552, 1242

Fangstromröhre ................................. 115, 121, 128, 248, 253, 259, 276, 281, 283, 284, 285, 286, 288, 296, 355, 359, 370, 376, 799, 802, 803, 805, 811, 828, 1212, 1287, 1294, 1544, 1562

Fanlärm ................. 1267, 1268, 1314 Fantemperaturverhältnis ...................

...................... 460, 473, 474, 1231 FAR 36 Annex 16 of ICAO ..............

........................................ 39, 1262 FAR .................. 39, 299, 1431, 1262 Festkörperwirbel ......................... 754 Filmkühlung .....................................

173, 186, 994, 996, 998, 1027, 1106, 1108, 1111, 1116, 1119

Flammhalter ........................ 202, 203 Flammpunkt ................ 162, 975, 977 Flammrohr ........................................

165, 166, 167, 171, 172, 173,973, 982, 983, 984, 985, 986, 987, 991, 994, 995, 996, 998, 1007, 1008, 1022, 1032, 1033, 1034


Flat-Rated-Engine ............................ ........ 195, 313, 314, 315, 316, 317

Flattern ............................... 861, 951 Flüchtigkeit ... 978, 1008, 1361, 1362 Fluggeschwindigkeit ........................

1, 14, 20, 21, 33, 34, 36, 74, 77, 78, 84, 103, 115, 116, 121, 124, 125, 126, 128, 129,231, 248, 254, 289, 295, 309, 324, 342, 349, 352, 364, 393, 401, 402, 410, 498, 500, 505, 508, 516, 799, 1141, 1157, 1177, 1183, 1266, 1276, 1294, 1356

Flughöhe ........................................... 35, 54, 56, 68, 73, 83, 93, 94, 103, 108, 157, 188, 235, 289, 291, 296, 306, 309, 366, 370, 376, 385, 389, 393, 396, 411, 412, 415, 425, 435, 450, 453, 564, 818, 850, 948, 977, 1014, 1048, 1084, 1155, 1166, 1168, 1169, 1180, 1183, 1208, 1218, 1230, 1263, 1286, 1341, 1354, 1362, 1404, 1405, 1413, 1416

Flugmachzahl ................................... 34, 54, 56, 127, 130, 157207, 235, 283, 287, 289, 295, 296, 297, 298,313, 352, 359, 360, 366, 370, 376,386, 389, 393, 396, 397, 399, 400, 401, 403, 404, 405, 406, 408, 409, 411, 412, 413, 414, 415, 424, 425, 435, 437, 438, 441, 442, 445, 449, 450, 453, 459, 464, 476, 488, 489, 490, 491, 502, 508, 510, 512, 524, 528, 561, 564, 799, 800, 805, 815, 818, 822, 825, 826, 828, 829, 832, 847, 848, 850, 851, 854, 856, 875, 941, 1129,1152, 1154, 1155, 1156, 1157, 1158, 1160, 1163, 1165, 1166, 1168, 1171, 1173, 1175, 1178, 1180, 1181, 1183, 1184, 1208, 1218, 1230, 1239, 1241, 1244, 1245, 1247, 1248, 1249, 1251, 1331, 1354, 1413, 1416

FLX-Take-Off .................... 318, 319

FLX-Temperature ....... 317, 318, 319 FLX-Thrust ......................... 317, 318 Fly-Over (Lärmmessung) ......... 1262 FOD, foreign object damage ...... 950,

1285, 1302 Fremdkörperabscheider .............. 133 Frequenzabstimmung .................. 972 Frontfan ...................................... 139 Fuel Control Unit (FCU) .................

........................ 147, 196, 311, 956

G

Galilei-Transformation ..................... 588, 590, 597, 691, 704, 759, 947, 1305, 1399

Garrett ............................................... 17, 46, 47, 68, 72, 141, 175, 187, 430, 689, 1577, 1578, 1581, 1582

Gasgenerator .................... 28, 31, 32, 30, 31, 43, 61, 67, 74, 76, 81, 197, 208, 225, 276, 325, 492, 493, 495, 498, 499, 500, 501, 503, 514, 526, 532, 740, 1082

Gasgeneratorleistung ........................ ................................ 324, 325, 328

Gaskonstante ..................................... 91, 127, 263, 282, 289, 290, 323, 330, 331, 386, 735, 740, 785, 1182, 1183, 1189, 1208, 1210, 1230, 1233, 1445, 1469, 1493, 1497, 1501, 1514, 1547, 1592, 1593

Gasturbine ......................................... 4, 6, 8, 11, 12, 16, 19, 23, 28, 37, 63, 68, 78, 79, 80, 81, 128, 131, 162, 332, 342, 517, 518, 531, 533, 664, 860, 973, 1503

GE90, General Electric ..................... 60, 181, 187, 240, 303, 322, 323, 356, 929, 1085, 1345, 1580, 1581

Gehäuse ............................................ 38, 51, 54, 109, 140, 146, 153, 173, 185, 188, 195, 200, 243, 430, 572, 582, 587, 589, 591, 598, 599, 607, 613, 616, 617, 622, 628, 634, 649, 661, 666, 669, 673, 675, 677,


678, 689, 690, 704, 715, 716, 721, 722, 723, 738, 739, 745, 746, 749, 751, 752, 753, 757, 758, 759, 777, 778, 782, 783, 784, 792, 793, 796, 800, 801, 876, 877, 879, 884, 885, 886, 887, 902, 908, 912, 921, 922, 923, 925, 926, 948, 953, 964, 968, 969, 972, 973, 982, 990, 991, 1047, 1057, 1064, 1088, 1100, 1107, 1111, 1120, 1181, 1268, 1282, 1289, 1302, 1348, 1382, 1387, 1396, 1402, 1404, 1405, 1406, 1407, 1413, 1426, 1461

Gemisch ............................................ 10, 22, 161, 171, 192, 199, 202, 203, 974, 975, 977, 982, 1004, 1005, 1006, 1018, 1019, 1327, 1328, 1380, 1391, 1465, 1592

General Electric ................................ 17, 18, 33, 36, 38, 49, 52, 53, 57, 60, 61, 62, 125, 128, 138, 146, 148, 149, 153, 164, 186, 223, 230, 299, 301, 303, 309, 316, 322, 323, 425, 428, 464, 483, 488, 517, 528, 533, 661, 664, 825, 1023, 1085, 1089, 1126, 1304, 1418, 1424, 1576, 1577, 1578, 1579, 1580, 1581, 1582, 1583, 1584, 1585

GEnx......................................... 1580 gerichtet erstarrt ................................

................ 50, 52, 182, 1086, 1097 Gesamtdruckverhältnis .....................

.............................. 239, 879, 1047 Gesamt-Leistungskoeffizient ............

........................................ 499, 502 Gesamtwirkungsgrad ........................

77, 351, 352, 354, 361, 449, 450, 482, 505, 506, 516, 524, 557, 558, 668, 967, 1172, 1175, 1177, 1178, 1181, 1212, 1214, 1235, 1238, 1248, 1250, 1251

geschwenkte Schubdüse ................... .............................. 266, 267, 1568

Geschwindigkeitsdreieck .................. 589, 657, 662, 663, 693, 718, 731, 735, 749

Geschwindigkeitsdreieck, allgemei-nes ........................................... 597

Geschwindigkeitseffekt .................... ................................ 293, 295, 299

Getriebefan (GTF) ............................ 186, 239, 244, 245, 1012, 1044, 1047, 1314

Gibbs .............................. 1441, 1465 Gibbssche Fundamentalbeziehung ...

785, 1441, 1442, 1443, 1465, 1466

Gitter ................................................. 571, 572, 575, 578, 585, 594, 605, 617, 618, 621, 623, 628, 634, 658, 671, 672, 673, 750, 780, 785, 787, 789, 790, 792, 871, 903, 906, 912, 918, 919, 947, 955, 972, 1058, 1076, 1091

Gitterbelastung ........................... 908 Gitterteilung ........................ 571, 789 Gleichdruckturbine ...........................

................................ 179, 653, 655 Gleichdruckverbrennung ..................

......................... 79, 331, 332, 339, 385, 387, 392, 399, 431, 474, 1033, 1038, 1141, 1409

Gondel .............................................. 128, 135, 208, 231, 237, 253, 279, 287, 800, 809, 815, 818, 821, 822, 823, 825, 1304, 1325, 1391, 1428

Gondelumströmung .......................... ................................ 246, 250, 287

Gondelvorkörperkraft ....................... 279, 280, 281, 282, 283, 285, 286, 287

Gondelwiderstand ............................. ................ 254, 276, 277, 278, 843

GP, Engine Alliance ......................... ........................ 57, 129, 186, 1580

Grenzschicht ..................................... 94, 95, 96, 97, 98, 99, 112, 113, 248, 581, 612, 616, 620, 626, 660, 681, 704, 757, 785, 825, 830, 843, 845, 846, 850, 853, 917, 918, 919, 920, 952, 1059, 1115, 1566, 1568


Grenzschichtablösung....................... ........................................ 611, 843

GTF, Getriebefan .............................. ............................ 245, 1011, 1047

H

Haftbedingung .................................. ........................ 94, 581, 583, 1114

Haltekraft ................ 245, 1562, 1565 Harmonische (Lärm) ........................

.......................... 1280, 1293, 1308 Hauptsatz, erster ........................... 87 HDT Hochdruckturbine ....................

430, 431, 501, 503, 504, 506, 511, 515, 516, 520, 521, 533, 1030, 1063, 1069, 1404

HDV Hochdruckverdichter .............. 137, 1063, 430, 431, 434, 533, 548, 877, 879, 883, 888, 890, 891, 892, 913, 962, 963

Heißgas ............................................. 9, 27, 48, 67, 69, 79, 162, 122, 175, 185,181, 185, 186, 206, 229, 251, 252, 248, 390, 395, 420, 427, 493, 532, 724, 725, 973, 982, 993, 1105, 1108, 1110, 1116, 1149, 1210, 1233, 1511, 1548, 1549, 1590

Heißgaskorrosion .............................. .................. 993, 1009, 1101, 1102

Heizwert spezifischer ....................... ....................................... 162, 192, 316, 317, 345, 352, 353, 354, 362, 363, 370, 377, 516,973, 1012, 1013, 1027, 1040, 1180, 1189, 1208, 1218, 1230

Heronscher Ball .............................. 4 Hilfsgeräte ........................................

28, 82, 156, 310, 569, 740, 948, 1300, 1317, 1322

Hilfstriebwerk, APU ......................... 69, 70, 158, 1009, 1317, 1324, 1582

Hochdruckteil ................................... 31, 55, 56, 58, 153, 614, 930, 961

Hochdruckturbine ............................. 31, 43, 44, 46, 48, 50, 51, 52, 53, 58, 65, 75, 77, 148, 181, 182, 184, 186, 245, 430, 431, 501, 503, 518, 520, 521, 661, 662, 1030, 1043, 1045, 1047, 1051, 1062, 1063, 1064, 1069, 1089, 1108, 1118, 1345, 1396, 1398, 1404, 1406

Hochdruckverdichter ........................ 31, 44, 46, 50, 51, 53, 58, 59, 64, 75, 77, 137, 147, 148, 150, 155, 158, 184, 190, 193, 195, 247, 249, 302, 312, 430, 432, 519, 533, 534, 537, 544, 745, 877, 879, 888, 929, 930, 935, 936, 948, 955, 958, 960, 962, 963, 1006, 1319, 1323, 1343, 1404, 1409, 1411, 1417, 1418

Hochdruckwelle ................................ 48, 52, 156, 185, 180, 188, 257, 301, 308, 320, 384, 956, 1062, 1228, 1317, 1319, 1322, 1334, 1381

Hochtemperaturkorrosion ........ 1101, 1102, 1104

Hochtemperaturwerkstoff ........ 1088, 1090

Honeywell ......................................... 46, 69, 71, 72, 187, 517, 689, 1009, 1582

Honeywell/AlliedSignal ....... 46, 187 Hörschwelle (Lärm) ..........................

.................. 210, 1253, 1255, 1271 Hot Day ...................................... 289 Hubschraubertriebwerk ....................

............................ 6, 46, 67, 77, 78

I

IAE, International Aero Engines ...... 51, 125, 168, 182, 185, 208, 263, 300, 428, 470, 745, 821, 960 1269, 1277, 1317, 1417, 1579, 1585

IATA ........................................ 1012 ICAO ................................................

39, 73, 239, 532, 1014, 1015,


1016, 1017, 1027, 1258, 1261, 1262, 1263, 1264

ideales Gas ........................................ 409, 415, 425, 467, 1469, 1491, 1495, 1497, 1511, 1592, 1593

Idle (Leerlauf) .............................. 30, 174, 180, 205, 233, 299, 309, 1326, 1327, 1328, 1330, 1332, 1342, 1353, 1392, 1419

Impeller ............................................ 140, 141, 142, 143, 195,690, 691, 692, 693, 694, 695, 696, 699, 700, 701, 702, 703, 704, 706, 707, 708, 710, 711, 713, 715, 716, 718, 721, 723, 724, 742, 744, 771

Impuls ............................................... 1, 27, 117, 118, 119, 179, 187, 205, 245, 363, 658, 1492, 1551, 1552, 1553, 1555, 1556, 1566, 1569

Impulsänderung ................................ 116, 117, 245, 254, 654, 658, 1492, 1551, 1554, 1557, 1561

Impulssatz ......................................... 245, 248, 250, 255, 265, 266, 279, 584, 658, 681, 812, 1035, 1513, 1514, 1551, 1557, 1558, 1561, 1562

Impulsstrom ...... 251, 256, 584, 1569 Impulsturbine.............................. 652 INCONEL ........................ 183, 1089 Innenströmung .................... 217, 994 instabile Verdichterzustände ...... 942 integrale Schubdüse .................... 208 interne Kompression .........................

................................ 130, 131, 853 Inzidenz ............................................

.... 862, 944, 945, 946, 1057, 1283 IRA (rekuperatives Triebwerk) ........

........................ 250, 251, 532, 534 Isentropenexponent ..........................

91, 127, 330, 331, 386, 735, 1142, 1189, 1458, 1478, 1494, 1501, 1514, 1547, 1593, 1596

isentroper Turbinenwirkungsgrad ..... 1180, 1208, 1210, 1218, 1230, 1233

isentroper Verdichterwirkungsgrad .. 1180, 1182, 1208, 1209, 1218, 1230, 1232

isentroper Wirkungsgrad .......... 1455

J

JAR ................................. 1262, 1431 JAR/FAR 36 Annex 16 of ICAO

.............................................. 1262 Jet A, Jet A-1 ....................................

370, 377, 409, 415, 425, 467, 516, 977, 1013, 1166

Jet B ............................................ 977 Joule-Prozess ....................... 80, 191,

331, 332, 333, 336, 342, 344, 345, 348, 353, 354, 535, 559, 560

JP-5 ............................................. 977 JT, Pratt & Whitney .......... 165, 1577

K

Kalorimeter ................................. 316 Kampfflugzeug .................................

225, 226, 403, 491, 854, 1126, 383, 1388

Kanalwirbel, relativer ................. 695 Kennfeld ...........................................

927, 931, 935, 937, 939, 941, 943, 945, 949, 957, 1075, 1079, 1081, 1410, 1411, 1412, 1413

Kerntriebwerk ................................... 14, 28, 31, 32, 33, 41, 43, 44, 46, 52, 140, 141, 245, 314, 318, 427, 429, 436, 508, 534, 929, 1029, 1047, 1105, 1111, 1124, 1301, 1305, 1307

kinetische Energie.................... 6, 19, 76, 78, 81, 95, 96, 98, 114, 121, 140, 145, 149, 167, 175, 213, 336, 427, 432, 495, 569, 598, 604, 606, 693, 708, 712, 806, 995, 1114, 1123, 1438, 1439, 1443, 1448, 1460, 1463, 1493, 1494, 1496, 1521


Klöckner-Humboldt-Deutz ............... .. 38, 70, 71, 72, 1576, 1582, 1585

Kobalt-Basislegierung ...................... 1089, 1095, 1096, 1101, 1102, 1103

Kohlenmonoxid ................................ ....................... 171, 173, 174, 196,975, 989, 1008, 1010, 1016, 1018, 1019, 1020, 1021, 1023, 1033, 1499

Kohlenwasserstoff ............................ .............................. 974, 983, 1010

Kohlenwasserstoffe, unverbrannte ... ...................................... 174, 1008

Kolbenmotor ..................................... 4, 10, 31, 33, 35, 79, 119, 515, 1503

Kombinationsverdichter ................... .......... 38, 44, 75, 79, 80, 688, 689

Kompressibilitätskoeffizient, isocho-rer.......................................... 1468

Kompression ..................................... 129, 130, 131, 135, 147, 191, 334, 335, 336, 430, 535, 593, 826, 833, 839, 842, 843, 853, 1141, 1147, 1148, 1162, 1163,1453, 1513, 1515, 1539

Kontrollfläche ................................... 245, 246, 247, 248, 250, 251, 255, 278, 1561, 1562, 1563, 1564, 1565, 1566, 1567, 1569

Konvektionskühlung ........................ ... 186, 187,998, 1032, 1107, 1119

konvektive Beschleunigung .............. ........................................ 760, 761

Kraftstoffdüse ................................... ................ 166, 167, 168, 173, 987

Kraftstoffregelung ............................ ................................ 147, 956, 959

Kreisgitter ................................... 572 Kreisprozess .....................................

78, 135, 250, 330, 331, 335, 336, 337, 338, 340, 341, 342, 344, 345, 346, 348, 354, 360, 385, 390, 391, 392, 395, 400, 401, 405, 407, 408, 412, 414, 417, 418, 430, 435, 448,

451, 470, 471, 472, 484, 497, 500, 514, 517, 518, 519, 524, 538, 543, 553, 559, 560, 563, 564, 1034, 1037, 1125, 1143, 1147, 1152, 1154, 1158, 1160, 1162, 1163, 1165, 1166, 1177, 1216, 1217, 1392, 1464, 1502, 1503, 1504, 1506

Kreisprozess, gedachte Schließung .................... 331, 391, 1142, 1144

Kreisprozess, idealer ......................... .............................. 320, 392, 1162

Kreisprozess, realer ........ 1162, 1214 Kreissägenlärm (buzz saw noise)

................ 1286, 1301, 1302, 1314 Kriechen ...........................................

179, 180, 616, 1086, 1087, 1094, 1399

Kühlluft ............................................ 164, 172, 173, 174, 185, 186, 188, 791, 793, 994, 996, 998, 1019, 1022, 1024, 1033, 1084, 1105, 1107, 1108, 1111, 1112, 1116, 1119, 1320, 1321, 1336, 1385, 1395, 1396, 1397, 1398, 1400, 1402, 1404, 1406, 1407, 1426, 1429

Kühlluftmenge .................................. 994, 995, 1007,1061, 1112, 1114, 1116, 1118, 1119, 1407

Kühlung, Effusionskühlung .............. .......................... 1106, 1108, 1119

Kühlung, externe ...................... 1106 Kühlung, Filmkühlung ......................

173, 186, 994, 996, 998, 1027, 1106, 1108, 1111, 1116, 1119

Kühlung, interne ....................... 1106 Kühlung, Konvektionskühlung .........

.. 186, 187, 998, 1032, 1107, 1119 Kühlung, Prallkühlung ......................

.................. 186, 1106, 1108, 1111 Kühlung, Transpirationskühlung ......

...................................... 998, 1019 Kutta-Joukowsky ........................ 624


L

Lärm ................................................. 6, 27, 138, 208, 210, 212, 239, 428, 470, 495, 532, 575, 777, 1010, 1011, 1047, 1253, 1257, 1258, 1259, 1262, 1266, 1267, 1268, 1269, 1270, 1271, 1272, 1273, 1275, 1278, 1280, 1284, 1285, 1291, 1294, 1295, 1299, 1300, 1301, 1304, 1306, 1307, 1309

Lärmbeeinflussung ................... 1299 Lärmemission .............. 41, 246, 493, Lärmminderung ................................

208, 209, 211, 239, 428, 470, 482, 1260, 1278, 1283, 1296, 1297, 1298, 1299, 1301, 1304, 1308, 1269, 1274, 1275, 1297, 1303, 1306, 1308, 1309, 1311, 1314, 1315

Lästigkeit .......................................... ................ 1258, 1259, 1260, 1261

Laufrad ............................................. 30, 45, 145, 149, 150, 177, 178, 185, 569, 570, 575, 576, 582, 583, 585, 591, 595, 596, 599, 600, 601, 602, 604, 605, 606, 607, 617, 629, 630, 634, 637, 638, 639, 640, 644, 649, 650, 653, 654, 655, 656, 658, 659, 662, 663, 664, 666, 668, 673, 674, 675, 680, 682, 684, 686, 687, 690, 724, 726, 733, 734, 735, 752, 756, 866, 874, 878, 885, 888, 900, 902, 908, 913, 915, 925, 928, 944, 948, 955, 961, 963, 1046, 1047, 1062, 1064, 1065, 1070, 1077, 1079, 1082, 1110, 1111, 1112, 1113, 1114, 1118, 1284, 1286, 1288, 1289, 1444

Laufradbeschaufelung ...................... 148, 152, 185, 654, 750, 991, 1047, 1064, 1112, 1284

Laufschaufel ............................... 249 Lautstärkepegel ........................ 1256 Lavaldüse .........................................

19, 28, 114, 115, 197, 212, 216,

260, 275, 311, 396, 621, 799, 833, 834, 1128, 1539, 1540

Lavalzahl .................................. 1542 Lean, Schaufeln mit ..........................

.... 907, 968, 972, 975, 1027, 1307 Leerlauf (idle) ...................................

30, 78, 174, 180, 205, 233, 299, 309, 1004, 1016, 1020, 1021, 1023, 1326, 1327, 1328, 1330, 1332, 1342, 1353, 1392, 1405, 1408, 1419

Legierungen, hochwarmfeste .... 1087 Leistung, äquivalente ........................

67, 128, 129, 324, 327, 328, 502, 505, 509, 510, 512

Leistungsgleichgewicht .................... 89, 187, 334, 337, 389, 431, 434, 544, 614, 1062, 1065, 1132, 1143, 1144, 1147, 1224, 1372

Leistungskoeffizienten ...................... ........ 499, 502, 504, 506, 512, 515

Leitrad .............................................. ......... 30, 145, 150, 176, 177, 182,

430, 582, 583, 604, 605, 606, 607, 609, 625, 628, 630, 635, 636, 637, 640, 644, 652, 653, 656, 658, 662, 663, 664, 665, 667, 668, 671, 672, 673, 674, 675, 679, 680, 684, 686, 687, 690, 693, 705, 706, 708, 724, 725, 726, 729, 735, 737, 740, 752, 756, 772, 886, 887, 888, 899, 900, 902, 908, 909, 912, 913, 914, 915, 944, 951, 955, 1064, 1070, 1077, 1079, 1108, 1111, 1112, 1113, 1118, 1267, 1286, 1287, 1288, 1295, 1315, 1408, 1412, 1444

Leitradbeschaufelung ........................ 429, 711, 724, 805, 955, 1298, 1305

Leitradschaufel ......................... 1287 Leitschaufel ......................................

...................... 726, 969, 972, 1044 Leitschaufelverstellung .....................

30, 532, 954, 955, 956, 957, 958, 1412, 1413, 1415


LHTEC, Light Helicopter Turbine En-gine Company ........................... 46

Lieblein-Faktor ................... 625, 908 Lighthill (Lärm) .... 1272, 1273, 1275 Load-Compressor ........... 70, 73, 740 Lobe-Type-Nozzle (Lärmunterdrück-

ung) ....................................... 1275 Lockheed ..........................................

18, 35, 36, 38, 49, 128, 164, 199, 223, 226, 253, 321, 363, 488, 531, 843, 852, 929, 1304, 1577, 1578, 1579, 1580, 1582

lokale Beschleunigung........ 760, 761 Lorin, René ........................... 8, 9, 17 LROPS-Regeln ............................. 73 LTO-Zyklus .......... 1014, 1015, 1016 Luftmassenstrom ......................... 33,

35, 36, 38, 43, 45, 47, 51, 52, 54, 56, 62, 76, 78, 79, 116, 132, 160, 171, 237, 254, 264, 268, 275, 287, 288, 292, 314, 315, 317, 318, 323, 329, 341, 342, 350, 352, 353, 354, 356, 359, 360, 373, 382, 390, 419, 420, 429, 433, 439, 486, 487, 492, 499, 509, 513, 528, 688, 761, 844, 854, 857, 859, 939, 1029, 1033, 1111, 1129, 1144, 1156, 1187, 1199, 1211, 1225, 1234, 1242, 1328, 1408, 1499

Luftstrahlzerstäubung ....................... 169, 999, 1002, 1003, 1004, 1020, 1374

Luftstufung ..................... 1021, 1023 Luftüberschusszahl ...........................

1027, 1030, 1040, 1189, 1210, 1233, 1499

M

Machined Rings .......................... 996 Machzahl ..........................................

103, 109, 125, 129, 208, 258, 260, 268, 269, 275, 282, 298, 361, 375, 385, 400, 401, 419, 435, 447, 476, 510, 523, 542, 602, 605, 612, 617, 620, 621, 663, 671, 672, 708, 717, 730, 786, 788, 800, 810, 811, 815,

817, 818, 829, 832, 835, 836, 837, 838, 840, 846, 847, 848, 865, 874, 876, 877, 883, 911, 916, 917, 934, 936, 942, 964, 969, 981, 1032, 1035, 1037, 1038, 1040, 1058, 1067, 1116, 1131, 1139, 1181, 1187, 1194, 1196, 1197, 1198, 1199, 1202, 1204, 1207, 1208, 1209, 1211, 1219, 1221, 1222, 1230, 1231, 1289, 1354, 1355, 1517, 1518, 1519, 1520, 1525, 1526, 1527, 1530, 1531, 1536, 1540, 1542, 1543, 1546

Machzahl, charakteristische .............. .................................... 1542, 1543

Machzahl, kritische ........................... .......... 827, 828, 1519, 1542, 1543

Machzahl, sperren ..... 617, 620, 1543 MAR-M .............................. 183, 616 Massenstrom .....................................

38, 44, 64, 65, 85, 86, 87, 114 141, 153, 161, 192, 206, 207, 247, 249, 257, 264, 265, 272, 281, 288, 289, 292, 295, 296, 297, 314, 321, 350, 351, 355, 429, 439, 495, 498, 500, 503, 505, 538, 547, 586, 596, 621, 643, 649, 676, 689, 712, 713, 718, 735, 810, 811, 813, 844, 846, 851, 854, 859, 875, 879, 931, 932, 933, 934, 935, 936, 937, 938, 939, 941, 943, 945, 953, 956, 958, 966, 969, 1002, 1003, 1018, 1035, 1037, 1073, 1074, 1076, 1077, 1079,1129, 1130, 1131, 1133, 1134, 1139, 1140, 1181, 1184, 1187, 1193, 1206, 1211, 1225, 1234, 1242, 1275, 1297, 1311, 1356, 1369, 1400, 1408, 1410, 1412, 1415, 1440, 1502, 1539, 1545, 1546, 1548, 1549, 1573

Massenstrom, reduzierter .................. .......... 934, 935, 1211, 1234, 1545

Massenstromparameter ..................... ....... 288, 1127, 1184, 1185, 1187,

1188, 1191, 1194, 1200, 1219, 1544, 1545, 1546, 1547


Matching ............................. 712, 845 McDonnell Douglas .........................

36, 51, 53, 230, 491, 854, 1579, 1580, 1586

Mehrwellentriebwerk ....... 29, 31, 32 Mehrwellenverdichter................. 146 Mehrwelligkeit ........... 185, 954, 961 Meridionalkomponente ............... 643 Metall-Matrix Verbundwerkstoffe,

MMC .............................. 924, 925 Mid-Span-Shroud ............... 137, 138 Minderleistung ..................................

................ 693, 696, 700, 771, 794 Minderleistungsfaktor.......................

696, 698, 699, 700, 706, 707, 713, 718, 727, 734, 735, 741

Minderumlenkung ............................ ........................ 573, 590, 669, 903

Mischer, Mixer ................................. 209, 210, 211, 470, 471, 472, 474, 475, 477, 479, 480, 481, 482, 1124, 1216, 1267

Mischerdruckverhältnis .............. 472 Mischluft ..........................................

.... 172, 173, 991, 992, 1027, 1033 Mischluftzone ........... 989, 994, 1022 Mischungslärm .................................

1269, 1270, 1271, 1273, 1274, 1275, 1299

mitrotierender Beobachter ................ .................................. 571, 585947

Mitteldruckteil ................ 55, 56, 312 Mitteldruckturbine ............................

.............................. 48, 64, 77, 187 Mitteldruckverdichter .......................

............................ 47, 77, 147, 962 Mitteltemperatur, thermodynamische

.......... 344, 345, 1506, 1507, 1509 Mittelwertbildung .............................

.......................... 1029, 1483, 1596 Mittenschnittgitter ...................... 572 MMC .......................... 241, 924, 925 Mol ...................................................

974, 1089, 1091, 1093, 1469, 1470, 1589

Molmasse, molare Masse.................. ....... 1469, 1494, 1497,1592, 1593

More-Electric Engine (MEE) ..... 253 Motor- oder Thermojet ............... 229 MTU Aero Engines ..........................

36, 38, 43, 51, 59, 64, 75, 76, 78, 79, 141, 152, 186, 247, 442, 464, 467, 470, 518, 519, 532, 533, 534, 554, 922, 928, 929, 1011, 1062, 1244, 1582, 1583, 1585

N

N1-Drehzahl (Niederdruckwelle) ..... 124, 125, 180, 185, 234, 300, 301, 302, 303, 304, 307, 308, 309, 310, 312, 316, 319, 384, 958, 1043, 1062, 1235, 1319, 1339, 1340, 1341, 1347, 1355, 1356, 1369, 1413, 1416, 1424

N2-Drehzahl (Hochdruckwelle) ....... 180, 184, 301, 302, 303, 307, 308, 309, 310, 312, 319, 384, 956, 959, 961, 1008, 1062, 1235, 1319, 1322, 1323, 1324, 1325, 1327, 1328, 1329, 1334, 1347, 1369, 1370, 1374, 1381, 1387, 1404, 1406, 1413, 1418, 1469, 1499

Nabe .................................................. ....... 109, 138, 140, 146, 151, 430,

571, 573, 582, 583, 587, 588, 591, 607, 613, 616, 617, 619, 622, 628, 661, 666, 669, 673, 690, 704, 721, 738, 739, 745, 746, 749, 751, 752, 753, 755, 756, 757, 759, 777, 778, 782, 784, 792, 793, 796, 800, 801, 884, 885, 886, 887, 895, 898, 899, 902, 907, 908, 964, 968, 990, 991, 1025, 1047, 1057, 1062, 1107, 1111, 1120, 1268, 1289, 1302, 1400, 1413

Nabenschnittgitter ............... 572, 788 Nabenverhältnis ................................

257, 370, 374, 377, 382,601, 616, 635, 641, 642, 649, 661, 673, 675, 677, 678, 714, 735, 738, 740, 745, 750, 776, 779, 780, 801,


811, 818, 875, 879, 894, 898, 962, 963, 1062, 1120, 1180, 1181, 1203, 1204, 1208, 1209, 1210, 1218, 1230, 1232, 1233

NACA 65 Profil ......................... 151,610, 611, 612, 627, 634, 904, 918, 919

NACA ............................................... 11, 151, 610, 611, 612, 623, 627, 634, 803, 816, 821, 827, 860, 904, 918, 919, 1357

Nachbrenner ..................................... 28, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 42, 62, 63, 64, 65, 80, 81, 136, 189, 198, 199, 200, 202, 203, 204, 205, 217, 219, 260, 311, 312, 313, 322, 386, 389, 417, 419, 420, 421, 422, 424, 425, 483, 485, 486, 487, 489, 490, 491, 492, 761, 929, 973, 1216, 1577

Nachlauf ........................................... 203, 575, 786, 981, 1060, 1307, 1565, 1566

Nachlaufdelle.................................... 575, 1046, 1282, 1286, 1566, 1567

Nachverbrennung .................. 37, 62, 189, 197, 198, 199, 202, 205, 311

417, 419, 421, 422, 423, 424, 483, 484, 485, 486, 487, 490

NASA ............... 303, 860, 929, 1016 Navier-Stokes-Löser .........................

248, 773, 911, 927, 928, 964, 966, 967, 968, 1060

NDT, Niederdruckturbine ................. 246, 430, 431, 501, 503, 504, 506, 508, 509, 512, 515, 516, 520, 521, 522, 523, 527, 528, 533, 1063, 1069, 1085, 1296, 1404

NDV Niederdruckverdichter ............ 137, 430, 431, 432, 434, 436, 451, 533, 877, 879, 883, 888, 890, 891, 900, 901, 902, 913, 959, 962, 1063, 1068

Nebenstrom ......................... 41, 350, 429, 431

Nebenstromverhältnis ....................... .............. 41, 43, 80, 81, 351, 1047

Nettoschub .......................... 254, 255 Newtonsches Axiom, drittes .............

.... 1, 4, 5, 19, 104, 250, 574, 1558 Nickel-Basislegierung ......................

1091, 1092, 1093, 1094, 1095, 1102

Niederdruckteil ................................. 31, 58, 931, 961, 1043, 1365, 1369

Niederdruckturbine ........................... 31, 32, 41, 43, 44, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 58, 61, 64, 75, 77, 124, 148, 154, 176, 185, 186, 187, 225, 239, 245, 247, 302, 429, 430, 431, 432, 433, 436, 501, 503, 504, 506, 508, 509, 510, 512, 520, 521, 522, 523, 524, 527, 533, 534, 543, 661, 961, 1044, 1046, 1047, 1048, 1061, 1062, 1063, 1069, 1084, 1297, 1314, 1396, 1402, 1405, 1426

Niederdruckturbine, schnelllaufende ............................ 244, 1061, 1314

Niederdruckverdichter ...................... 31, 32, 43, 46, 51, 53, 54, 58, 64, 65, 75, 124, 137, 147, 148, 190, 193, 312, 429, 430, 431, 432, 436, 533, 538, 879, 931, 958, 962, 1047, 1239, 1267, 1282, 1318, 1327, 1409, 1411, 1416, 1418, 1424

Niederdruckwelle.............................. 156, 185, 180, 234, 245, 300, 301, 320, 384, 520, 1043, 1047, 1062, 1229, 1424

Normalstufe ...................................... 640, 643, 645, 649, 962, 1113, 1114

NOx ................ 174, 239, 1008, 1010 Noy (Lärmstärke) ..................... 1259 numerisch ....... 774, 970, 1142, 1314 Nutzarbeit .........................................

335, 336, 338, 340, 341, 342, 344, 345, 346, 347, 348, 411, 535, 570,


1147, 1149, 1152, 1154, 1156, 1163, 1165, 1172, 1176, 1502, 1504

Nutzarbeit, spezifische ..................... 330, 335, 337, 342, 345, 348, 401, 402, 410, 411, 412, 413, 462, 515, 524, 1143, 1152, 1155, 1158, 1163, 1178, 1504

Nutzleistung ..................................... 14, 78, 79, 191, 340, 341, 348, 354, 358, 447, 448, 497, 498, 499, 500, 559, 563,1177

O

OAT, outside air temperature ........... ........................ 315, 316, 317, 318

Oberflächenbeschichtung ......... 1102 Ohain, Hans-Joachim .......................

........................ 11, 12, 15, 17, 153 Oktavband ................................ 1254 Oxidation ..........................................

6, 76, 923, 974, 1088, 1089, 1101, 1102, 1346

Oxidationsfestigkeit .................. 1089

P

Pattern Factor ........... 990, 991, 1024 Perceived Noise Level .... 1258, 1261 Pfeilung, Schaufeln mit ....................

...... 138, 757, 907, 967, 969, 1307 Pitot-Einlauf ....... 127, 128, 802, 805 Pivoting Doors ............................ 231 Polytropenexponent ...........................

290, 536, 706, 729, 735, 870, 873, 1055, 1163, 1446, 1468, 1477, 1480

Prallkühlung ..................................... .................. 186, 1106, 1108, 1111

Pratt & Whitney ................................ 18, 36, 45, 51, 54, 57, 59, 72, 125, 134, 138, 160, 182, 189, 192, 193, 194, 199, 219, 223, 226, 230, 235, 247, 300, 302, 303, 317, 442, 470, 491, 995, 1011, 1025, 1062, 1089, 1126, 1244, 1309, 1319, ..... 1576,

1577, 1578, 1579, 1580, 1581, 1582, 1583, 1584, 1585, 1586

Primärdüse ........................ 437, 1239 Primärkreis .......................................

31, 33, 41, 48, 137, 139, 211, 237, 272, 320, 356, 429, 431, 443, 551, 1216, 1234, 1246,1267, 1275, 1278, 1291, 1293, 1322

Primärluft .......... 167, 172, 987, 1033 Primärzone ................................. 173,

974, 975, 980, 982, 983, 985, 987, 988, 989, 994, 1004, 1005, 1008, 1018, 1019, 1020, 1021, 1030, 1032, 1033

Profile Factor ...................... 990, 991 Propeller ...........................................

1, 6, 31, 32, 34, 35, 37, 30, 41, 73, 74, 75, 76, 77, 81, 129, 131, 140, 176, 187, 325, 326, 492, 493, 495, 496, 497, 498, 499, 501, 503, 508, 512, 513, 690

Propellergetriebe ........................... 74 Propeller-Leistungskoeffizient ... 499 Propellerwirkungsgrad ......................

34, 324, 326, 493, 494, 498, 499, 502, 504, 505, 511

Propfan ........................................... 3 2, 442, 467, 481, 494, 1012, 1244

PTL-Triebwerk ......... 31, 32, 73, 492 Pulsstrahltriebwerk ................. 20, 30 Pulvermetall .......................... 51, 184 Pumpen .............................................

146, 157, 158, 159, 195, 196, 249, 254, 255, 514, 860, 861, 933, 946, 949, 950, 952, 999, 1134, 1283, 1358, 1359, 1377, 1387, 1408, 1410, 1421

Pumpfrüherkennung ........... 249, 534 Pumpgrenze ......................................

205, 218, 249, 619, 793,923, 933, 937, 938, 939, 948, 950, 951, 952, 953, 957, 966, 1130, 1133, 1134, 1409, 1410, 1413, 1410, 1411, 1413, 1416

Pumpgrenzenabstand ........................ ........ 938, 939, 948, 953, 959, 967


PW, Pratt & Whitney ........................ 38, 42, 44, 51, 54, 72, 129, 146, 164, 165, 199, 202, 219, 223, 226, 230, 244, 304, 316, 363, 470, 491, 1126, 1309, 1579, 1580, 1584, 1586

PWC, Pratt & Whitney of Canada .... ...... 44, 45, 72, 134, 141, 166, 329

Q

Querschnitt, engster .......................... .............. 113, 373, 380, 381, 1125

R

Radialkomponente ............................ ........ 572, 747, 750, 775, 778, 780

Radialrichtung .................................. 9, 136, 173, 180, 182, 197, 302, 572, 573, 582, 592, 595, 600, 601, 610, 615, 619, 661, 694, 711, 712, 725, 745, 746, 747, 749, 750, 752, 759, 776, 777, 778, 782, 796, 915, 918, 953, 1057, 1120, 1382, 1399

Radialturbine .................................... 16, 69, 175, 689, 724, 725, 727, 729, 730, 732, 734, 737, 740

Radialturbinenstufen ........ 724, 1048 Radialverdichter ...............................

12, 15, 16, 18, 30, 38, 44, 46, 48, 69, 70, 71, 73, 78, 140, 141, 142, 143, 145, 159, 160, 161, 166, 688, 689, 691, 692, 701, 703, 708, 712, 718, 721, 722, 724, 731, 740, 771, 938, 950

Radialverdichterstufen ...................... ........................ 141, 143, 690, 706

Radius, mittlerer ............................... ........ 640, 1208, 1209, 1210, 1230

Raketentriebwerk .......................... 22 Ramjet ..............................................

9, 135, 395, 396, 397, 401, 403, 408, 412, 1156, 1157, 1166, 1170, 1178

Rampenwinkel .... 839, 842, 847, 848 Ratings (Engine Power) .............. 299 Rauch ...................... 174, 1008, 1018

Rauchzahl, smoke number ....... 1017, 1018

RB, Rolly-Royce Bristol ................... 54, 63, 64, 157, 322, 795, 996, 1576, 1578, 1585

Reaktionsgrad ................................... 644, 645, 647, 649, 652, 655, 662, 666, 668, 673, 675, 685, 686, 750, 751, 752, 756, 776, 791, 792, 886, 887, 888, 895, 898, 1048, 1057, 1060, 1069, 1072, 1114

Reaktionsstöchiometrie ............ 1589 Reaktionsturbine nach Parsons .........

................................ 657, 658, 661 Reaktionsturbine ...............................

657, 658, 659, 660, 661, 681, 1047, 1057

Reaktionszeit ............................ 1346 reaktive Auslöschung ............... 1310 Realgas ........................... 1500, 1501 Realgasfaktor .................. 1497, 1501 Reibschweißen, lineares ..... 152, 242 Reibungskraft ...................................

............ 94, 246, 1324, 1559, 1562 Reibungsschicht .................. 95, 1568 Reibungswiderstand ..........................

................ 97, 100, 102, 802, 1565 Reiseflug ...........................................

45, 51, 54, 75, 80, 116, 124, 171, 180, 181, 207, 309, 318, 355, 363, 364, 416, 425, 806, 808, 809, 1016, 1084, 1304, 1369, 1378, 1407, 1415, 1416

Reiseflugschub ................................. .......................... 58, 125, 309, 369

rekuperativer Turbofan .............. 552 Rekuperator .............................. 250,

516, 517, 518, 519, 522, 524, 526, 527, 528, 529, 530, 531, 532, 545, 554, 555, 557

Relativgeschwindigkeit .................... 588, 590, 591, 595, 605, 617, 693, 694, 723, 727, 739, 762, 772, 903, 943, 945, 947, 1113, 1399, 1521


Relativströmung ............................... 593, 600, 601, 605, 607, 691, 692, 695, 738, 739

Relativsystem ................................... 571, 587, 588, 589, 597, 598, 599, 600, 605, 617, 619, 654, 658, 695, 702, 759, 800, 886, 887, 888, 1112, 1113, 1114, 1291, 1293, 1399

Repetiergitter .............................. 608 Repetierstufe .....................................

........ 150, 607, 635, 653, 654, 658 Restschub .........................................

74, 129, 324, 325, 326, 499, 500, 503, 514

Restschub-Leistungskoeffizient........ ................................ 499, 503, 514

Reverser ............ 231, 271, 308, 1353 Rezirkulation ............................ 1004 Ringbrennkammer ............................

33, 64, 70, 76, 78, 165,973, 974, 985, 987, 992, 1010, 1040

Ring-Rohr-Brennkammer ................. .................................. 75, 164, 973

Ringspalt ............. 708, 709, 710, 711 Rohrbrennkammer ............................

.......................... 79, 163, 164, 973 Rolls-Royce ......................................

13, 15, 18, 31, 34, 35, 37, 42, 50, 54, 55, 63, 64, 70, 71, 72, 74, 76, 78, 125, 138, 141, 156, 164, 187, 182, 194, 211, 225, 228, 230, 253, 256, 300, 301, 303, 308, 322, 366, 429, 430, 470, 484, 872, 879, 994, 996, 997, 998, 1005, 1015, 1062, 1084, 1089, 1275, 1292, 1412, 1568, 1576, 1577, 1578, 1579, 1580, 1581, 1582, 1583, 1584, 1585, 1587

Rothalpie ............ 597, 598, 599, 766 Rotor .................................................

30, 52, 121, 144, 150, 176, 178, 179, 181, 182, 459, 569, 570, 571, 576, 581, 582, 588, 589, 595, 608, 663, 725, 728, 729, 731, 741, 750,

772, 783, 792, 793, 797, 912, 922, 947, 969, 1045, 1284, 1287, 1288, 1289, 1290, 1302, 1306, 1314, 1324, 1325, 1406, 1407, 1437, 1444, 1455, 1461

Rotorschaufeln ........................... 246, 582, 587, 599, 609, 691, 793, 969, 1120, 1288

RTM ................................... 80, 1583

S

Saugseite ........................................... 100, 104, 105, 151, 574, 575, 578, 611, 620, 625, 626, 628, 654, 692, 694, 704, 788, 789, 792, 793, 794, 796, 872, 915, 917, 919, 923, 969, 1059

Schadstoffemission ........... 239, 1009 Schadstoffreduzierung ......................

192, 974, 1016, 1018, 1021, 1026 Schallauskleidung ..................... 1312 Schalldruckpegel ..............................

...... 1255, 1256, 1257, 1260, 1278 Schallintensität ..... 1253, 1274, 1297 Schallleistungspegel ....... 1255, 1256 Schallpegel .......................................

................ 1258, 1260, 1262, 1263 Schallquelle ......................................

1266, 1267, 1275, 1278, 1301, 1314, 1521, 1523

schallreduzierende Maßnahmen ....... .............................................. 1301

Schallpegeldifferenz ................. 1260 Schaufel ............................................

38, 142, 152, 182, 186, 187, 242, 303, 571, 572, 573, 574, 576, 582, 587, 604, 606, 615, 616, 624, 625, 661, 669, 680, 681, 692, 693, 694, 696, 704, 752, 773, 788, 789, 791, 793, 862, 872, 874, 885, 907, 911, 912, 916, 917, 918, 921, 923, 924, 925, 928, 942, 946, 951, 967, 968, 969, 970, 971, 1057, 1060, 1064, 1096, 1097, 1105, 1106, 1107, 1108, 1109, 1110, 1111, 1112, 1116, 1117, 1282, 1283, 1285,


1288, 1291, 1302, 1306, 1345, 1346, 1415

Schaufelanzahl .................................. 582, 608, 609, 696, 698, 699, 700, 701, 718, 726, 727, 728, 741, 742, 909, 910, 912, 913, 962, 963, 964, 1044, 1064, 1065, 1280, 1284, 1286, 1289, 1297, 1315

Schaufelhöhe .................................... 38, 137, 151, 180, 375, 383,572, 591, 604, 624, 637, 644, 661, 673, 718, 720, 745, 748, 750, 752, 754, 755, 780, 784, 800, 874, 875, 886, 892, 899, 912, 953, 967, 1064, 1065, 1181, 1204, 1208, 1209, 1210, 1230, 1231, 1232, 1233

Schaufelhöhenverhältnis ................... 638, 866, 874, 909, 910, 911, 912, 913, 924, 963, 971, 972, 1064, 1065, 1282, 1303

Schaufelkanal ................................... 692, 693, 694, 704, 773, 789, 917, 918, 946, 1057

Schaufelkühlung ............................... .. 179, 185, 609, 1060, 1085, 1109

Schaufeln, radial endend .................. 142, 692, 693, 699, 700, 706, 707, 718, 771

Schaufeln, rückwärts gekrümmt ....... 142, 693, 696, 700, 708, 718, 742, 744

Schaufel-Scheibe-Anbindung ........... ................ 911, 912, 923, 924, 925

Schluckgrenze .................................. ........ 249, 937, 938, 943, 946, 952

Schmerzgrenze (Lärm) ............. 1255 Schub ................................................

1, 3, 5, 6, 8, 14, 18, 20, 31, 33, 32, 33, 35, 36, 38, 39, 46, 49, 51, 52, 54, 56, 57, 59, 61, 62, 64, 65, 66, 74, 76, 77, 78, 81, 84, 95, 116, 119, 120, 123, 124, 125, 128, 129, 132, 155, 160, 179, 192, 193, 194, 197, 205, 207, 208, 217, 218, 235, 245, 246, 247, 248, 253, 254, 255,

256, 260, 261, 262, 263, 267, 273, 277, 278, 288, 289, 291, 292, 295, 297, 298, 299, 300, 302, 306, 307, 308, 309, 310, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 328, 340, 341, 342, 349, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 359, 361, 362, 363, 366, 369, 370, 373, 376, 382, 385, 386, 389, 396, 401, 402, 406, 409, 410, 411, 414, 417, 421, 424, 433, 434, 439, 444, 448, 450, 453, 456, 457, 461, 463, 466, 476, 481, 482, 483, 489, 491, 498, 502, 508, 524, 543, 547, 549, 551, 552, 553, 556, 563, 564, 761, 846, 851, 942, 952, 1014, 1015, 1017, 1018, 1123, 1139, 1152, 1156, 1157, 1158, 1159, 1160, 1165, 1167, 1168, 1169, 1170, 1174, 1175, 1176, 1177, 1180, 1181, 1199, 1208, 1215, 1218, 1224, 1225, 1228, 1230, 1234, 1236, 1241, 1242, 1244, 1246, 1248, 1250, 1265, 1271, 1332, 1338, 1341, 1342, 1352, 1353, 1354, 1355, 1356, 1369, 1396, 1585, 1586

Schub, maximaler spezifischer ......... ................................................ 410

Schub, reduzierter ..................... 1074 Schub, spezifischer ............ 351, 352,

386, 389, 390, 393, 396, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 419, 421, 422, 423, 424, 425, 428, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 442, 445, 450, 453, 456, 457, 459, 460, 462, 466, 467, 468, 470, 476, 477, 478, 479, 481, 482, 485, 486, 489, 491, 502, 503, 504, 505, 556, 566, 1137, 1156, 1157, 1158, 1166, 1169, 1199, 1211, 1224, 1234, 1271

Schub, uninstallierter .................. 253 Schubdüse .........................................

13, 16, 27, 31, 32, 35, 37, 63, 77,


78, 80, 81, 119, 120, 123, 129, 175, 186, 192, 197, 200, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 212, 217, 218, 219, 221, 227, 237, 247, 256, 257, 260, 261, 263, 264, 267, 268, 269, 271, 273, 275, 293, 295, 315, 323, 331, 332, 334, 352, 353, 355, 356, 359, 360, 370, 373, 381, 386, 387, 395, 409, 415, 417, 425, 427, 428, 432, 435, 467, 470, 472, 483, 501, 514, 540, 549, 844, 853, 931, 952, 973, 1075, 1123, 1124, 1125, 1126, 1127, 1129, 1131, 1134, 1137, 1139, 1142, 1147, 1156, 1166, 1179, 1180, 1205, 1208, 1212, 1216, 1218, 1220, 1224, 1230, 1266, 1277, 1278, 1296, 1309, 1568, 1570

Schubdüse, angepasste ..................... 273, 275, 386, 387, 392, 430, 1123

Schubdüse, divergente ...................... .............................. 212, 217, 1139

Schubdüse, konvergent/divergente ................................ 212, 215, 219

Schubdüse, konvergente ................... 260, 269, 293, 501, 1139, 1197, 1221

Schubdüse, primäre .......................... ...... 376, 452, 533, 566, 973, 1234

Schubdüse, sekundäre....................... ............ 376, 452, 566, 1217, 1225

Schubdüse, separate .................... 514 Schubdüse, verstellbare ....................

80, 81, 197, 200, 216, 275, 1124, 1125, 1128

Schubdüsenfläche, spezifische ......... .......................... 1137, 1199, 1225

Schubgleichung ................................ 248, 252, 254, 259, 261, 262, 263, 266, 277, 293, 295, 299, 325, 341, 342, 543, 547

Schubklasse ...................................... 44, 54, 64, 66, 187, 321, 322, 323

Schubleistung ............................ 191,324, 325, 326, 340, 341, 348, 351,

354, 448, 494, 498, 499, 500, 502, 505, 1177

Schubsteigerung ............................... 189, 190, 191, 192, 193, 369, 930, 973

Schubumkehr .................. 1126, 1128 Schubumkehrer .................................

63, 128, 230, 231, 232, 233, 235, 236, 237, 238, 822, 1335, 1353

Schubvektorsteuerung ...................... 219, 220, 223, 224, 1125, 1126, 1128

Schubvektorumlenkung .............. 263 Schubverhältnis ................................

............... 318, 319, 320, 355, 356,443, 445, 446, 449, 450, 453, 457, 468, 549, 558, 564, 567, 1227, 1228, 1234, 1246, 1247

Schubverstärkung ............................. ............ 15, 31, 189, 199, 292, 309

Screech (Töne) .................. 202, 1270 Sekundärdüse ....................................

433, 435, 539, 541, 542, 1124, 1217, 1231,

Sekundärkreis ................................... 31, 33, 40, 47, 61, 201, 211, 231, 301, 311, 319, 320, 355, 356, 430, 432, 433, 434, 437, 444, 445, 448, 461, 471, 472, 483, 539, 543, 551, 557, 1047, 1217, 1239, 1246, 1247, 1267, 1268, 1293, 1395

Senkrechtstarter ........................ 1582 SFC ...................................................

.. 33, 317, 1211, 1227, 1235, 1403 Sideline (Lärmmessung) ...................

.......................... 1263, 1266, 1268 Siedegrenzen ............................... 978 Simplexdüse ......... 1000, 1002, 1004 Slip Faktor .................................. 696 Smith-Korrelation ..................... 1082 Snecma .............................................

17, 34, 38, 52, 57, 61, 65, 76, 198, 464, 532, 534, 1576, 1577, 1578, 1579, 1582, 1585

Spaltkontrolle ....... 1402, 1406, 1426


Spaltkontrolle, aktive ........................ ............ 51, 154, 1105, 1402, 1406

Sperren ............................................. 182,293, 605, 666, 691, 706, 710, 758, 854, 909, 937, 943, 944, 946, 958, 981, 1037, 1079, 1411

Sperrmachzahl .......... 617, 620, 1543 Spiralgehäuse...... 708, 711, 713, 726 Splitter .......... 43, 142, 691, 742, 744 SST, supersonic transport .................

15, 299, 322, 425, 1015, 1577, 1580

Stacked Rings ............................. 995 Staffelungswinkel .............................

623, 644, 672, 673, 682, 683, 902, 905, 955, 1060, 1070, 1283, 1286

Standard Day .............................. 289 Standeinlauf ................................ 132 Starter ...............................................

73, 147, 155, 156, 158, 159, 493, 1006, 1099, 1134, 1324, 1325, 1328, 1330

Startschub ......................................... 33, 46, 47, 49, 56, 58, 123, 125, 132, 189, 195, 299, 306, 308, 309, 311, 312, 316, 317, 319, 314, 315, 320, 321, 322, 323, 326, 327, 1015, 1262, 1341, 1342

Stator ................................................ 30, 52, 121, 144, 176, 179, 459, 582, 589, 604, 608, 772, 792, 793, 796, 1045, 1288, 1289, 1302, 1306, 1314, 1413, 1444, 1455

Statorbeschaufelung ....... 1281, 1307 Statorschaufeln .................................

587, 609, 793, 1288, 1289, 1300, 1307, 1316

Staueffekt ................... 293, 295, 299 Staustrahltriebwerk ...........................

9, 19, 20, 28, 395, 1156, 1157, 1166, 1170, 1178

Steigflugschub .................................. ............ 125, 309, 310, 1353, 1355

Stickoxide ....... 174, 239, 1008, 1010 Stirnflächenschub ....... 318, 319, 322 Stoffmenge ........... 1469, 1494, 1497

Stoßfalle .............................. 853, 854 Stoß-Grenzschicht-Interferenz ... 606,

788, 789 Stoßinduzierter Lärm ...... 1269, 1272 Strahlantrieb .....................................

1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 19, 23, 32, 33, 35, 225, 346

Strahlkontraktion ........................ 273 Strahllärm .........................................

39, 482, 1268, 1269, 1271, 1275, 1279, 1299, 1301, 1314

Strahlleistung .......................... 67, 77 Strahlmischung .......................... 209,

428, 470, 478, 479, 483, 485, 487, 491

Streckungsverhältnis (Schaufelhö-henverhältnis) ............................... 638, 866, 874, 909, 910, 911, 912, 913, 924, 963, 971, 972, 1064, 1065, 1282, 1303

Stromlinienkrümmung ...................... ........................ 753, 757, 776, 796

Strömungsarbeit ................................ 333, 535, 536, 643, 766, 771, 772, 873, 1144, 1146, 1442, 1443, 1444, 1445, 1447, 1448, 1450, 1451, 1452, 1453, 1454, 1457, 1458, 1459, 1460, 1468, 1475, 1477, 1481, 1482

Strömungswinkel, absoluter ...... 593, 601, 712, 727, 750, 752

Strömungswinkel, relativer ......... 772 Stützkraft ..........................................

............ 246, 255, 277, 1565, 1567 Stufe ..................................................

30, 44, 58, 80, 121, 146, 148, 150, 153, 179, 181, 182, 185, 186, 187, 256, 302, 333, 532, 604, 607, 609, 613, 614, 622, 634, 635, 638, 639, 643, 644, 645, 649, 654, 655, 657, 662, 663, 665, 667, 668, 672, 673, 675, 677, 685, 713, 752, 756, 757, 864, 866, 867, 868, 869, 872, 874, 877, 878, 882, 883, 884, 885, 886, 887, 888, 889, 890, 891, 892, 895, 898, 899, 900, 901, 902, 903, 909,


912, 913, 923, 933, 943, 944, 945, 949, 950, 954, 955, 960, 961, 967, 998, 1046, 1051, 1052, 1053, 1054, 1056, 1062, 1064, 1069, 1100, 1108, 1110, 1114, 1282, 1283, 1297, 1319, 1412, 1417, 1424, 1456

Stufe, transsonische ............ 878, 887 Stufenanzahl .....................................

245, 659, 660, 872, 884, 887, 910, 942, 1044, 1047, 1056, 1061, 1064

Stufendruckverhältnis ....................... 60, 64, 146, 651, 705, 706, 729, 864, 865, 866, 872, 884, 910, 1051

Stufenkenngrößen ....................... 638 Stufenparameter .......................... 671 subsonische Stufe ....................... 878 subsonischer Einlauf ................... 126 Sulfidation ........................................

182, 979, 993, 1009, 1087, 1088, 1102

supersonische Profile .................. 915 Sweep, Schaufeln mit .......................

........................ 907, 967, 968, 969

T

Teilchenzahldichte ............................ .......................... 1491, 1492, 1493

Teilung ............................................. 571, 572, 573, 575, 608, 609, 622, 623, 624, 630, 631, 636, 644, 659, 665, 666, 680, 681, 682, 684, 687, 688, 696, 701, 726, 727, 758, 791, 906, 908, 909, 912, 913, 917, 947, 963, 1058, 1065, 1070, 1286, 1387

Temperatur, statische ........................ 87, 90, 108, 330, 414, 435, 541, 865, 876, 1067, 1113, 1116, 1143, 1181, 1182, 1184, 1186, 1188, 1190, 1194, 1197, 1199, 1202, 1207, 1208, 1209, 1210, 1211, 1219, 1221, 1222, 1230, 1231, 1232, 1233, 1234, 1297, 1591

Temperaturabsenkung ...................... 173, 1020, 1026, 1087, 1114, 1274, 1451

Temperaturerhöhung ........................ 251, 314, 412, 431, 535, 538, 864, 869, 884, 981, 1044, 1054, 1451, 1520, 1521

Temperaturgefälle ............................. .............. 509, 555, 559, 662, 1134

TFE ..................... 46, 141, 187, 1585 thermodynamische Mitteltemperatur

.......... 344, 345, 1506, 1507, 1509 Thermojet ................................... 229 THR, Schubanzeigewert A380 .........

................................................ 307 TiAl ........ 243, 924, 925, 1085, 1090 TIT, Turbine Inlet Temperature ........

.............. 33, 302, 314, 1397, 1408 Titan ................................. 46, 51, 52,

138, 143, 187, 194, 208, 239, 243, 708, 911, 921, 923, 924, 925, 926, 971, 1085, 1088, 1091, 1092, 1093, 1429

Titan-Aluminide ......... 240, 243, 924 Titanfeuer ................................... 923 Titan-Matrix Verbundwerkstoff

(TMC) ............................. 925, 926 TL-Triebwerk ............... 31, 32, 1085 tonaler Lärm ................... 1283, 1305 Tonkorrektur ................... 1260, 1261 Totaldichte ............ 1032, 1529, 1537 Totaldruck .........................................

82, 83, 84, 87, 90, 111, 121, 122, 125, 126, 127, 140, 181, 206, 207, 330, 353, 387, 430, 474, 480, 540, 548, 653, 735, 785, 794, 805, 807, 836, 869, 875, 883, 939, 1034, 1043, 1055, 1065, 1077, 1080, 1125, 1129, 1140, 1181, 1183, 1184, 1191, 1193, 1208, 1209, 1210, 1211, 1230, 1231, 1232, 1233, 1234, 1335, 1343, 1345, 1346, 1520, 1529, 1531, 1532, 1539, 1540, 1543, 1547, 1548, 1549


Totaldruckverlust .............................. 203, 625, 635, 649, 735, 785, 786, 805, 811, 821, 833, 837, 840, 847, 848, 888, 939, 987, 991, 1034, 1038, 1142, 1180, 1187, 1190, 1218

Totalenthalpie ................................... 87, 330, 331, 569, 586, 598, 599, 643, 673, 735, 748, 750, 776, 1439, 1440, 1449, 1528

Totaltemperatur ................................ 86, 87, 88, 89, 90, 108, 121, 122, 123, 125, 127, 146, 206, 207, 330, 331, 353,386, 387, 432, 471, 472, 476, 539, 541, 547, 601, 635, 643, 713, 735, 794, 805, 817, 836, 865, 991, 1040, 875, 883, 884, 936, 1065, 1074, 1077, 1080, 1113, 1114, 1129, 1181, 1183, 1184, 1193, 1208, 1209, 1210, 1211, 1230, 1231, 1232, 1233, 1234, 1346, 1354, 1399, 1413, 1529, 1537, 1545, 1547, 1591

TPE, Thermoplastischer Elastomer ...................... 46, 688, 1581, 1585

TPR, Turbine Pressure Ratio ...... 307 Transpirationskühlung ...... 998, 1019 Transportflugzeug .... 403, 740, 1162 Trent, Rolls-Royce ...........................

42, 51, 54, 55, 56, 57, 187, 256, 303, 322, 323, 996, 1580, 1581, 1586, 1587

Triebwerksdrehzahl .......................... 125, 153, 292, 320, 854, 930, 1319, 1323, 1328, 1367, 1390, 1416

Triebwerksdruckverhältnis ............... 84, 124, 125, 300, 303, 307, 308, 309, 317, 1015, 1338, 1341, 1344, 1355

Triebwerkseinlauf ............................. 31, 32, 84, 113, 125, 128, 135, 332, 386, 387, 395, 494, 799, 805, 807, 832, 851, 948, 1066, 1075, 1141, 1286, 1292, 1311, 1335, 1346, 1421, 1422

Triebwerksfamilie ..... 42, 50, 54, 398 Triebwerksgondel ........................... 1

124, 156, 157, 231, 276, 278, 283, 319, 799, 824, 1304, 1336, 1386, 1395, 1423

Triebwerksklasse .............. 77, 80, 81 Triebwerkskomponente ....................

78, 84, 89, 113, 114, 248, 257, 305, 311, 747, 749, 762, 764, 766, 767, 768, 770, 778, 1028, 1277, 1339, 1368, 1440, 1570

Triebwerksleistungsstufen ................ 157, 171, 188, 205, 217, 299, 300, 311, 829, 854, 1005, 1010, 1018, 1023, 1134, 1275, 1284, 1287, 1295, 1300, 1310, 1330, 1331, 1334, 1373, 1395

Triebwerksschonung (flx-temperatu-re) ............................ 314, 315, 317

Triebwerksschub ............................... 2, 38, 84, 116, 119, 123, 124, 128, 179, 207, 217, 245, 248, 254, 256, 288, 292, 297, 316, 319, 342, 353, 359, 373, 382, 439, 761, 1014, 1139, 1208, 1230, 1234, 1242, 1271, 1356

Triebwerkstyp ................................... 40, 158, 320, 492, 502, 513, 1333

TSFC .......................................... 317 Turbine .............................................

........................... 6, 11, 12, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 37, 46, 55, 56, 75, 76, 77, 79, 80, 81, 84, 85, 87, 88, 89, 109, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 135, 140, 144, 146, 149, 158, 162, 163, 164, 166, 173, 175, 176, 177, 179, 180, 182, 185, 186, 187, 188, 191, 192, 197, 199, 204, 205, 206, 245, 247, 248, 249, 252, 261, 292, 302, 311, 331, 333, 334, 337, 353, 359, 370, 375, 377, 383, 385, 389, 395, 399, 417, 420, 427, 428, 429, 431, 433, 434, 437, 451, 469, 492, 508, 512, 517, 532, 555, 559, 560, 565, 569, 570, 576, 577, 578, 580, 581, 583, 596, 599, 600, 601,


604, 605, 607, 613, 614, 615, 616, 649, 651, 653, 657, 658, 680, 690, 726, 732, 740, 742, 787, 792, 796, 877, 892, 923, 930, 950, 953, 973, 980, 981, 994, 1004, 1011, 1025, 1040, 1043, 1047, 1051, 1052, 1053, 1054, 1056, 1059, 1062, 1063, 1065, 1066, 1067, 1069, 1073, 1074, 1075, 1076, 1077, 1079, 1081, 1084, 1089, 1094, 1105, 1108, 1110, 1120, 1130, 1131, 1132, 1134, 1141, 1143, 1144, 1147, 1166, 1169, 1180, 1181, 1193, 1194, 1195, 1202, 1203, 1206, 1212, 1216, 1218, 1224, 1228, 1238, 1239, 1266, 1296, 1297, 1298, 1309, 1314, 1321, 1322, 1323, 1325, 1328, 1331, 1345, 1372, 1397, 1400, 1402, 1406, 1407, 1408, 1441, 1444, 1447, 1451, 1452, 1453, 1454, 1455, 1456, 1457, 1458, 1461, 1473, 1474, 1475, 1476, 1477, 1498, 1502, 1503, 1543, 1584

Turbine, Durchsatzgrenze ................. ............................ 621, 1077, 1079

Turbine, Leistungsgrenze ................. .............. 34, 182, 621, 1079, 1081

Turbine, transsonische ...................... ................................ 109, 181, 605

Turbinenarbeit, spezifische ............... 432, 472, 1075, 1077, 1079, 1081, 1210

Turbinendruckverhältnis ................... 175, 307, 387, 388, 389, 399, 434, 456, 474, 475, 1050, 1052, 1066, 1081, 1131, 1193, 1210, 1233, 1238, 1239, 1457, 1459

Turbineneintrittstemperatur .............. 33, 45, 46, 51, 54, 55, 64, 65, 70, 75, 76, 185, 188, 191, 192, 205, 239, 257, 302, 314, 340, 348, 350, 353, 370, 377, 385, 388, 389, 390, 393, 399, 400, 403, 404, 406, 408, 409, 410, 411, 412, 415, 435, 451,

453, 476, 481, 482, 503, 525, 527, 528, 529, 530, 533, 546, 547, 553, 564, 664, 724, 761, 930, 973, 983, 984, 991, 1036, 122, 1066, 1067, 1083, 1084, 1086, 1087, 1111, 1130, 1150, 1152, 1163, 1166, 1169, 1170, 1175, 1176, 1180, 1208, 1218, 1230, 1238, 1397, 1408

Turbinengitter ................................... 571, 620, 683, 684, 688, 1076, 1079

Turbinenkennfeld.............................. 1049, 1059, 1073, 1075, 1077, 1079, 1408

Turbinenlärm ........ 1295, 1297, 1298 Turbinenstufe ....................................

............... 176, 179, 182, 181, 302, 604, 621, 649, 675, 724, 750, 791, 1045, 1083, 1111, 1296, 1343

Turbinentemperaturverhältnis ........... 434, 436, 455, 456, 506, 508, 510, 512, 516, 521, 525, 544, 545, 546, 552, 553, 1050, 1131, 1132, 1210, 1233

Turbinentemperaturverhältnis, opti-males ....................................... 506

Turbinenwirkungsgrad, isentroper .... 1180, 1208, 1210, 1218, 1230, 1233

Turbinenwirkungsgrad, polytroper ... .................................... 1210, 1233

Turboarbeitsmaschine ......... 144, 569 Turbofan ...........................................

6, 14, 31, 32, 35, 36, 37, 40, 46, 50, 55, 63, 64, 80, 81, 128, 141, 164, 165, 187, 189, 208, 209, 239, 252, 253, 295, 298, 299, 303, 309, 310, 311, 312, 314, 315, 318, 335, 355, 356, 358, 376, 377, 378, 427, 428, 430, 431, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 443, 446, 447, 448, 449, 450, 459, 461, 462, 465, 467, 470, 472, 475, 477, 478, 479, 481, 483, 487, 491, 494, 500, 519, 531, 532, 533, 534, 538, 542, 543,


545, 546, 547, 549, 551, 552, 553, 554, 555, 556, 558, 559, 560, 563, 614, 688, 761, 818, 823, 825, 929, 1005, 1016, 1029, 1062, 1063, 1065, 1068, 1132, 1179, 1216, 1217, 1218, 1224, 1227, 1230, 1235, 1236, 1239, 1240, 1241, 1242, 1243, 1247, 1248, 1250, 1275, 1277, 1278, 1280, 1296, 1309, 1322, 1326, 1418, 1577, 1578, 1580, 1581, 1584, 1585

Turbojet ............................................ 6, 14, 18, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 41, 62, 74, 76, 79, 80, 81, 86, 128, 134, 164, 189, 193, 254, 257, 267, 269, 273, 295, 298, 299, 309, 320, 314, 316, 317, 318, 319, 320, 322, 335, 352, 353, 358, 360, 370, 371, 386, 389, 393, 397, 398, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 409, 412, 414, 415, 417, 419, 421, 422, 423, 424, 425, 427, 428, 434, 436, 437, 438, 440, 445, 447, 448, 459, 462, 477, 500, 503, 504, 505, 508, 509, 512, 513, 514, 516, 520, 524, 525, 527, 528, 529, 530, 545, 550, 761, 1005, 1014, 1029, 1066, 1129, 1143, 1151, 1156, 1157, 1160, 1165, 1169, 1171, 1173, 1176, 1178, 1179, 1183, 1195, 1208, 1213, 1216, 1218, 1224, 1227, 1228, 1235, 1238, 1241, 1242, 1243, 1247, 1268, 1273, 1275, 1304, 1562, 1576, 1577, 1584

Turbokraftmaschine ............ 176, 569 Turbomaschine .................................

144, 176, 248, 569, 576, 587, 591, 604, 608, 677, 792, 796,1288, 1437, 1438, 1439, 1440, 1441, 1444, 1449, 1454, 1455, 1456, 1457, 1461, 1462, 1480, 1502

Turbomaschinenlärm ........................ 608, 793, 913, 953, 1047, 1267, 1294, 1301

Turboméca ........................................ 17, 78, 141, 1576, 1577, 1578, 1581, 1583

Turbomotor TM .................. 32, 1583 Turboprop .........................................

4, 31, 32, 34, 36, 54, 73, 74, 75, 76, 81, 82, 128, 129, 133, 164, 166, 238, 320, 326, 335, 492, 494, 495, 499, 500, 502, 503, 504, 505, 506, 508, 512, 513, 514, 520, 522, 531, 532, 688, 761, 1581, 1582, 1584, 1585

Turbopropeinlauf ........................ 131 Turboshaft .........................................

32, 81, 82, 141, 166, 187, 250, 335513, 514, 515, 516, 517, 519, 521, 522, 523, 524, 525, 526, 528, 529, 530, 545, 551, 553, 761, 960, 1179, 1582, 1583, 1584

Turbostrahltriebwerk .............. 29, 32 Turbo-Union ................... 1576, 1578

U

UCH, unverbrannte Kohlenwasser-stoffe ............................................. 171, 173, 174, 989, 1008, 1010, 1016, 1018, 1019, 1020, 1021, 1023, 1033

UDIMET................................... 1089 Überdruckturbine ................ 656, 657 Überlaufwiderstand ..........................

........................ 285, 287, 802, 803 Umfangsgeschwindigkeit .................

142, 180, 186, 244, 384, 573, 576, 580, 588, 590, 591, 595, 596, 601, 614, 616, 617, 634, 643, 644, 649, 659, 661, 664, 673, 677, 678, 691, 692, 696, 704, 707, 708, 713, 715, 716, 717, 725, 727, 729, 730, 731, 734, 736, 740, 742, 744, 750, 751, 767, 770, 800, 801, 860, 865, 874, 875, 876, 879, 885, 905, 910, 911, 936, 947, 1063, 1073, 1076, 1114, 1120, 1122, 1206, 1228, 1235, 1289


Umfangskomponente ........................ ................ 576, 593, 695, 754, 778

Umfangskraft .................................... ................ 179, 576, 577, 681, 682

Umfangsrichtung .............................. 150, 173, 331, 480, 575, 576, 578, 584, 586, 608, 623, 658, 665, 671, 682, 694, 708, 710, 712, 722, 727, 759, 773, 794, 795, 907, 946, 947, 984, 990, 991, 995, 1019, 1030, 1046, 1289, 1292, 1298, 1305, 1306, 1414, 1417

Umkehrbrennkammer ....................... .......... 45, 46, 47, 48, 76, 165, 973

Umkehrschub.................................... 231, 232, 233, 235, 236, 237, 271, 272, 308, 310, 831, 1353

Umlenkschaufeln .................. 48, 231 Untersetzungsgetriebe ......................

43, 74, 76, 81, 131, 158, 492, 495, 514, 532, 534, 1325

V

V2500, IAE International Aero Engi-nes ................................................. 51, 125, 168, 182, 185, 208, 263, 428, 470, 745, 821, 960, 1025, 1269, 1277, 1317, 1341, 1417, 1585

Vaporizer, Verdampfer ....... 14, 1005 Verbrennung .....................................

6, 11, 21, 22, 76, 79, 122, 135, 145, 162, 166, 167, 172, 173, 174, 197, 199, 202, 203, 204, 317, 332, 336, 370, 376, 385, 419, 469, 515, 516, 533, 923,973, 974, 978, 980, 982, 983, 984, 987, 989, 992, 994, 999, 1005, 1008, 1009, 1018, 1019, 1022, 1023, 1026, 1028, 1030, 1032, 1033, 1141, 1440, 1499, 1589, 1590

Verdampfer ......................... 14, 1005 Verdichter .........................................

10, 11, 28, 29, 30, 31,37, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 64, 75, 77, 79, 81, 82, 84, 85, 87, 88, 89,

103, 109, 115, 117, 121, 122, 123, 124, 125, 129, 134, 135, 144, 146, 150, 155, 159, 161, 162, 163, 167, 168, 171, 172, 175, 176, 177, 188, 190, 191, 192, 196, 205, 208, 216, 218, 231, 245, 247, 249, 250, 252, 253, 254, 246, 250, 257, 261, 300, 311, 331, 333, 334, 336, 337, 359, 368, 370, 372, 375, 376, 377, 378, 379, 383, 385, 387, 389, 395, 403, 410, 412, 416, 430, 431, 434, 451, 469, 501, 512, 518, 519, 532, 535, 538, 544, 551, 555, 559, 564, 569, 570, 576, 577, 578, 580, 581, 589, 590, 591, 593, 597, 599, 600, 601, 604, 606, 607, 610, 611, 612, 613, 614, 618, 620, 622, 635, 638, 639, 644, 645, 646, 652, 656, 663, 664, 671, 672, 673, 675, 690, 691, 700, 740, 742, 744, 745, 755, 761, 783, 792, 796, 799, 859, 860, 867, 869, 871, 872, 874, 875, 876, 877, 879, 882, 883, 885, 887, 905, 915, 923, 928, 930, 931, 932, 933, 934, 935, 937, 938, 939, 941, 943, 944, 945, 946, 948, 949, 950, 951, 952, 953, 955, 958, 960, 961, 962, 963, 973, 981, 982, 983, 984, 986, 987, 989, 993, 1007, 1011, 1026, 1029, 1031, 1034, 1043, 1047, 1061, 1062, 1064, 1065, 1066, 1067, 1075, 1081, 1084, 1087, 1094, 1105, 1116, 1129, 1130, 1132, 1134, 1141, 1143, 1144, 1147, 1162, 1166, 1171, 1178, 1179, 1180, 1181, 1182, 1187, 1193, 1202, 1203, 1206, 1212, 1216, 1218, 1224, 1228, 1235, 1266, 1268, 1275, 1281, 1282, 1283, 1289, 1295, 1301, 1309, 1316, 1317, 1319, 1322, 1328, 1332, 1349, 1371, 1372, 1374, 1396, 1397, 1398, 1400, 1408, 1409, 1410, 1412, 1413, 1414, 1420, 1423, 1424, 1440, 1444, 1447, 1448, 1449, 1450, 1452, 1453,


1454, 1455, 1457, 1458, 1461, 1462, 1473, 1476, 1477, 1482, 1489, 1490, 1502, 1503, 1544

Verdichter, transsonischer ................ .............. 607, 860, 862, 915, 1285

Verdichterarbeit, spezifische ............ ................ 1186, 1209, 1210, 1232

Verdichterdruckverhältnis ................ 33, 35, 36, 44, 46, 49, 51, 52, 54, 56, 59, 64, 65, 75, 76, 84, 137, 146, 150, 160, 250, 257, 261, 339, 345, 348, 350, 351, 353, 354, 360, 365, 370, 376, 385, 388, 389, 392, 393, 395, 396, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 422, 424, 425, 434, 435, 436, 437, 439, 440, 443, 445, 449, 450, 453, 458, 462, 464, 480, 481, 482, 488, 489, 491, 504, 509, 510, 512, 518, 519, 523, 524, 525, 527, 528, 529, 530, 533, 535, 540, 543, 545, 547, 549, 552, 553, 554, 555, 558, 559, 562, 563, 564, 707, 718, 761, 860, 863, 866, 872, 875, 877, 910, 931, 937, 941, 943, 945, 953, 993, 1062, 1063, 1129, 1130, 1132, 1133, 1134, 1151, 1152, 1155, 1156, 1157, 1158, 1160, 1163, 1165, 1166, 1167, 1168, 1169, 1170, 1173, 1176, 1178, 1180, 1182, 1186, 1208, 1209, 1213, 1214, 1216, 1218, 1230, 1232, 1236, 1238, 1239, 1241, 1242, 1243, 1246, 1247, 1248, 1251, 1457

Verdichterdruckverhältnis, optimales ....... 402, 410, 412, 424, 425, 524, 1152

Verdichtergitter ................................ 571, 574, 618, 622, 624, 671, 672, 673, 791, 905, 908, 967, 972

Verdichterkennfeld ........................... 249, 261, 927, 930, 933, 939, 951, 965, 1075, 1079, 1130, 1133, 1206, 1408

Verdichterlärm .................................. ................ 1267, 1275, 1280, 1308

Verdichterpumpen ............................ 146, 157, 158, 159, 195, 196, 249, 254, 255, 514, 607, 671, 831, 860, 861, 905, 933, 946, 948, 950, 952, 999, 1134, 1283, 1330, 1358, 1359, 1377, 1387, 1408, 1410, 1417, 1419, 1421

Verdichterstufe ................................. 141, 144, 150, 607, 662, 669, 864, 885, 888, 969,1217, 1296, 1319

Verdichtertemperaturverhältnis ........ 340, 540, 545, 863, 1167, 1209, 1232

Verdichterwirkungsgrad ................... 151, 160, 161, 592, 863, 866, 869, 870, 872, 873, 931, 937, 964, 1062, 1148, 1186, 1447, 1448, 1450, 1452, 1454, 1457

Verdichterwirkungsgrad, isentroper . 1180, 1182, 1208, 1209, 1218, 1230, 1232

Verdichterwirkungsgrad, polytroper . ............................ 791, 1209, 1232

Verdichtungsstoß .............................. 109, 129, 130, 151, 611, 618, 620, 786, 825, 833, 835, 836, 853, 855, 856, 916, 1037, 1285, 1521, 1524, 1525, 1526, 1527, 1528

Verdichtungsstoß, schräger ............... 110, 128, 620, 840, 848, 1128, 1524, 1525, 1526, 1527

Verdichtungsstoß, senkrechter .......... ...... 128, 617, 835, 836, 915, 1525

Verdünnungswelle .................... 1526 Verlustleistung ..................................

.... 340, 341, 354, 783, 1461, 1177 Verlustwirkungsgrad .................. 499 Verpuffungsstrahltriebwerk .... 19, 20 Virialform ....................... 1497, 1498 Vogelschlag ......................................

138, 139, 240, 249, 861, 862, 925, 950, 952, 1302, 1372, 1423

Volumen, spezifisches .............. 1438


Volumenabnahme ............................. ............. 9, 79, 118, 177, 197, 593,

1035, 1054, 1137, 1456 Vordiffusor ................................. 987 Vordrall .............. 596, 663, 664, 706 Vorleitrad ........... 65, 664, 955, 1412 Vortrieb ............................................

1, 5, 22, 116, 140, 335, 340, 341, 563, 690, 1177

Vortriebsleistung .............................. ................... 14, 128 74, 499, 1177

Vortriebswirkungsgrad ..................... 6, 14, 36, 41, 74, 77, 244, 341, 348, 349, 350, 351, 352, 354, 362, 393, 397, 408, 410, 423, 446, 448, 449, 450, 457, 460, 462, 468, 477, 481, 482, 490, 494, 498, 499, 505, 506, 511, 516, 524, 558, 563, 1046, 1174, 1175, 1176, 1177, 1178, 1181, 1202, 1212, 1226, 1235, 1238, 1248, 1249, 1251

Vorwärmung ............... 526, 531, 560 V-Stellung, Schaufeln mit ................

.............. 907, 968, 969, 972, 1356

W

Wandkühlung ..... 989, 992, 995, 997 Wärmeabfuhr ............................. 331,

1032, 1097, 1106, 1142, 1449, 1464

Wärmeenergie .................................. 1141, 1161, 1162, 1163, 1165, 1172, 1178, 1214, 1438, 1440, 1442, 1507

Wärmeenergie .................................. 6, 76, 77, 162, 250, 317, 318, 323, 330, 331, 342, 345, 351, 390, 391, 404, 407, 485, 506, 524, 979, 1034

Wärmekapazität, mittlere spezifi-sche ............................. 1471, 1483

Wärmekapazität, spezifische ............ 85, 86, 91, 330, 386, 865, 1114, 1159, 1181, 1182, 1183, 1398, 1465, 1466, 1467,

1488, 1498, 1529, 1590, 1591, 1593, 1597

Wärmekapazität, wahre spezifische

.................................... 1484, 1486 Wärmetauscher .................................

............... 154, 179, 250, 251, 252,517, 518, 519, 532, 533, 554, 560, 999, 1012, 1335, 1362, 1379, 1385, 1392, 1396

Wärmezufuhr .................................... 9, 88, 89, 118, 121, 122, 331, 332, 344,395, 405, 417, 431, 539, 543, 560, 794, 973, 1034, 1035, 1037, 1105, 1141, 1144, 1163, 1165, 1392, 1443, 1464, 1503, 1506, 1507, 1508, 1509, 1514

WASPALOY .................... 184, 1089 Wassereinspritzung ...........................

189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 292, 309

Wellenleistungstriebwerk .............. 4,29, 30, 32, 67, 77, 78, 81, 143, 328, 329, 492, 504, 1584

Wellenvergleichsleistung .................. .......................... 67, 324, 326, 502

Whittle, Frank ................................... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 153, 428

Wide Chord Blades ........................... ........... 50, 65, 860, 866, 910,1282

Wigglestrips ................................ 994 Windmilling ........ 127, 308, 944, 946 Winkelgeschwindigkeit ............. 179,

580, 583, 616, 676, 692, 693, 694, 695, 715, 717, 746, 751, 762, 763, 767, 770, 772, 801

Winkelübertreibung ............ 573, 590 Wirkungsgrad, isentroper ......... 1455 Wirkungsgrad, mechanischer ...........

................ 1180, 1208, 1218, 1230 Wirkungsgrad, polytroper .................

............ 78, 875, 1449, 1450, 1459 Wirkungsgrad, thermischer ...... 1174,

1212, 1235, 1505, 346, 353, 362, 477, 505, 559


Z

Zapfluft (bleed air) ........................... ...... 30, 153, 306, 308, 1317, 1340

Zapfluft/Luft-Verhältnis ................... 356, 376, 377, 433, 1040, 1208, 1230

Zapfluftmassenstrom ........................ 254, 263, 264, 275, 276, 323, 360, 370, 382, 1156, 1181, 1187, 1211, 1234

Zentrifugalbelastung ......... 731, 1120 Zirkulation .......... 623, 624, 625, 627 ziviles Triebwerk ...................... 1337 Z-Rings ....................................... 997 ZTL-Triebwerk ............. 31, 32, 1085 Zündkerze .........................................

10, 21, 158, 162, 163, 166, 173, 203, 204, 303, 988, 1006, 1007, 1008

Zündung ........................................... 158, 163, 203, 204, 980, 983, 999, 1006, 1007, 1008, 1020, 1023, 1025, 1026, 1327, 1329

Zündung, katalytische................. 203 Zulaufwiderstand ..............................

253, 276, 277, 279, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 802, 803

Zundern .................................... 1101

Zustandsänderungen ......................... 331, 333, 337, 338, 344, 392, 485,

521, 805, 1034, 1054, 1141, 1444, 1448, 1450, 1451, 1454, 1455, 1462, 1464, 1465, 1468, 1473, 1477, 1481, 1491, 1497, 1498, 1502, 1514, 1515, 1596, 1597

Zustandsgrößen ................................. 1143, 1217, 1439, 1442, 1445, 1462, 1463, 1465, 1468, 1502, 1547, 1549

Zuströmdreieck ................... 692, 801 Zuströmung, drallfreie ........ 606, 733 Zwangsmischer (-mixer) ...................

209, 428, 470, 1269, 1271, 1277, 1301

Zweikreistriebwerk ............... 14, 231 Zweistromtriebwerk ..........................

32, 47, 73, 261, 263, 1282, 1309, 1584

Zwichenkühler .................................. 250, 251, 519, 532, 538, 539, 543, 545, 551, 554, 557

Zwischenkühlung.............................. 239, 250, 251, 253, 519, 531, 532, 533, 534, 535, 537, 538, 542, 543, 545, 546, 547, 549, 552, 554, 559, 560, 564

Zwischenluft ............... 172, 173, 984

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Anhang A Thermodynamik thermischer Turbomaschinen sowie …978-3-540-76370... · 2017. 8. 28. · 2017. 8. 28. · für thermische Turbomaschinen (A.4) Unter der Totalenthalpie wird