Embed Size (px)
Citation preview
ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
ORTOGONAL POLİNOMLARDA ÖZEL KONULAR
Bayram ÇEKİM
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA 2007
Her hakkı saklıdır
i
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
ORTOGONAL POLİNOMLARDA ÖZEL KONULAR
Bayram ÇEKİM
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Abdullah ALTIN
Bu tez yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm girişe ayrılmıştır. Bu bölümde, ortogonal polinomlarla ilgili genel bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde; Hermite ve Laguerre polinomları ile ilgili bilgiler verildikten sonra, bu polinomların özellikleri ve birbirleriyle olan ilişkileri üzerinde durulmuştur. Üçünçü bölümde; Jacobi polinomları ve onun bir alt sınıfı olan ultraküresel polinomlara yer verilmiştir. Bölümün ileriki kısımlarında polinomların özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde; ortogonal polinomların çarpımlarının lineerleştirilmesi ele alınmıştır. Ayrıca Bessel fonksiyonları için lineerleştirme formülü bulunmuştur. Beşinci bölümde; hipergeometrik ortogonal polinomlar hakkında bilgiler ve özellikler verilmiştir. Altıncı bölümde; aynı türden ortogonal polinomlar arasındaki bağlantı katsayıları konusu ele alınmıştır. Ayrıca pozitif kuvvet seri katsayıları ile ilgili bir takım özellikler verilmiştir. Yedinci bölümde; genel olarak polinomların pozitif toplanabilmesi konusu üzerinde durulmuş ve özel olarak da, Jacobi polinomları ve ultraküresel polinomların toplamlarının pozitifliği incelenmiştir. 2007, 164 sayfa Anahtar Kelimeler: Hermite, Laguerre ve Jacobi polinomları, Ultraküresel polinomlar, Doğurucu fonksiyonlar, İntegral gösterimler, Polinomların pozitif toplamları
ii
ABSTRACT
Master Thesis
SPECIAL TOPICS IN ORTHOGONAL POLYNOMIALS
Bayram ÇEKİM
Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Abdullah ALTIN This thesis consists of seven chapters. The first chapter is devoted to introduction. In this chapter, general informations about the orthogonal polynomials are given. In the second chapter, after giving informations of Hermite and Laguerre polynomials, the properties of these polynomials and the relations between them are analyzed. In the third chapter, Jacobi polynomials and its subsection utraspherical polynomials are discussed. In the following parts, properties of these polynomials are examined. In the fourth chapter, linearization of products of orthogonal polynomial is dealt. Moreover, linearization formula for Bessel functions is found. In the fifth chapter, informations about hypergeometric orthogonal polynomials and their properties are given. In the sixth chapter, the connection coefficients between the same type polynomials are discussed. Also some properties of positive power series coefficients are given. In the seventh chapter, generally positive summabilitiy properties of polynomials are given and in particular, the positive sum of Jacobi polynomials and ultraspherical polynomials are examined. 2007, 164 pages Key Words: Hermite, Laguerre and Jacobi polynomials, Ultraspherical polynomials, Generating functions, Integral representations, Positive polynomial sums
iii
TEŞEKKÜR
Çalışmamın her aşamasında görüş ve önerileriyle beni yönlendiren ve bana her konuda
yardımcı olan sayın hocam Prof. Dr. Abdullah ALTIN’a, yüksek lisans yaptığım süre
boyunca verdiği burs ile beni destekleyen TÜBİTAK’a ve çalışmalarım sırasında bana
anlayış gösteren sevgili aileme en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
Bayram ÇEKİM
Ankara, Temmuz 2007
iv
İÇİNDEKİLER
ÖZET.......................................................................................................................................i
ABSTRACT...........................................................................................................................ii
TEŞEKKÜR.........................................................................................................................iii
SİMGELER DİZİNİ............................................................................................................vi
1. GİRİŞ..................................................................................................................................1
2. HERMITE VE LAGUERRE POLİNOMLARI.............................................................3
2.1 Hermite Polinomları........................................................................................................3
2.1.1 Hermite polinomlarının integral gösterimi................................................................3
2.1.2 Hermite polinomlarının ortogonalliği........................................................................5
2.1.3 Hermite polinomları için doğurucu fonksiyon..........................................................6
2.1.4 Hermite polinomları için toplamsal form..................................................................7
2.1.5 Hermite polinomlarının normu...................................................................................7
2.1.6 Hermite polinomları için rekürans bağıntıları..........................................................8
2.1.7 Hermite polinomları için Poisson çekirdeği.............................................................10
2.2 Laguerre Polinomları....................................................................................................15
2.2.1 Laguerre polinomlarının hipergeometrik fonksiyonlar ile gösterimi...................15
2.2.2 Laguerre polinomlarının ortogonalliği.....................................................................15
2.2.3 Laguerre polinomlarının normu...............................................................................16
2.2.4 Laguerre polinomları için doğurucu fonksiyon.......................................................17
2.2.5 Laguerre polinomları için rekürans bağıntıları......................................................18
2.2.6 Laguerre polinomları ve Hermite polinomları arasındaki ilişkiler.......................20
2.2.7 Laguerre polinomları ve Bessel fonksiyonları arasındaki ilişkiler........................23
2.2.8 Laguerre polinomlarının sağladığı bazı özdeşlikler................................................29
2.2.9 Laguerre polinomlarının integral gösterimi............................................................34
2.2.10 Laguerre polinomları için Poisson çekirdeği.........................................................37
2.2.11 Hankel çiftleri...........................................................................................................40
2.2.12 Laguerre polinomlarının sağladığı bazı eşitlikler................................................ 42
3. JACOBI POLİNOMLARI.............................................................................................48
3.1 Jacobi Polinomlarının Gram Determinantları ile Elde Edilmesi.............................48
3.2 Jacobi Polinomları için Bazı Eşitlikler ve Diferensiyel Denklem..............................52
3.3 Jacobi Polinomları için Doğurucu Fonksiyon.............................................................54
v
3.4 Jacobi Polinomları için Poisson Çekirdeği..................................................................59
3.5 Ultraküresel Polinomlar...............................................................................................61
3.6 Ultraküresel Polinomların Hipergeometrik Fonksiyonlar ile Gösterimi.................63
3.7 Ultraküresel Polinomlar ve Jacobi Polinomları Arasındaki İlişkiler.......................64
3.8 Ultraküresel Polinomlar için Rodrigues Formülü.....................................................65
3.9 Ultraküresel Polinomlar için Rekürans Bağıntıları...................................................65
3.10 Ultraküresel Polinomlar için Diferensiyel Denklem................................................66
3.11 Jacobi Polinomları için Rekürans Bağıntıları..........................................................67
3.12 Ultraküresel Polinomlar için Relative Extrama Özelliği.........................................72
3.13 Ultraküresel Polinomlar ve Hermite Polinomları Arasındaki İlişki......................73
3.14 Jacobi Polinomları ve Laguerre Polinomları Arasındaki İlişki..............................74
3.15 Jacobi Polinomları için İntegral Gösterimler...........................................................74
3.16 Ultraküresel Polinomların Bir Açılımı......................................................................84
4. ORTOGONAL POLİNOMLARIN ÇARPIMLARININ
LİNEERLEŞTİRİLMESİ...............................................................................................90
4.1 Hermite Polinomlarının Lineerleştirilmesi.................................................................91
4.2 Ultraküresel Polinomların Lineerleştirilmesi.............................................................92
4.3 Bessel Fonksiyonlarının Lineerleştirilmesi.................................................................98
5. HİPERGEOMETRİK ORTOGONAL POLİNOMLAR..........................................104
5.1 Wilson Polinomları......................................................................................................106
5.2 Sürekli Dual Hahn Polinomları..................................................................................109
5.3 Sürekli Hahn Polinomları...........................................................................................112
6. ORTOGONAL POLİNOMLARDA BAĞLANTI KATSAYILARI .......................116
6.1 Bağlantı Katsayıları....................................................................................................116
6.2 Rasyonel Fonksiyonlar ile Pozitif Kuvvet Seri Katsayıları....................................124
7. POLİNOMLARIN POZİTİF TOPLAMLARI...........................................................133
7.1 Vietoris Eşitsizliğinden Gelen Pozitif Polinom Toplamları.....................................133
7.2 Pozitif Polinom Toplamları ve Bieberbach Conjecture...........................................144
7.3 Turan’ın Teoremi........................................................................................................148
7.4 Cesaro Toplamları.......................................................................................................152
7.5 Ultraküresel Polinomların Pozitif Toplanabilmesi..................................................155
KAYNAKLAR ..................................................................................................................162
ÖZGEÇMİŞ.......................................................................................................................164
SIMGELER DIZINI
(a)n Pochhammer sembolü
Γ(x) Gamma fonksiyonu
B(x, y) Beta fonksiyonu
Cλn(x) Ultraküresel polinomlar
pFq(a1, ..., ap; b1, ..., bq;x) Hipergeometrik fonksiyon
pFq Hipergeometrik fonksiyon
pFq
⎛⎜⎝ a1, ..., ap
b1, ..., bq
;x
⎞⎟⎠ Hipergeometrik fonksiyon
Hn(x) Hermite polinomları
Jα(x) Birinci tür Bessel fonksiyonu
Iα(x) α-yıncı basamaktan modifiye Bessel fonksiyonu
Lαn(x) Laguerre polinomları
Pn(x) Legendre polinomları
pn(x; a, b, c, d) Sürekli Hahn polinomları
P(α,β)n (x) Jacobi polinomları
Sn(x2; a, b, c) Sürekli dual Hahn polinomları
Tn(x) Chebyshev polinomları
Wn(x2; a, b, c, d) Wilson polinomları
vi
1. GIRIS
Bir I ⊂ R aralıgında tanımlı ω(x) ≥ 0 agırlık fonksiyonuna göre iç çarpımları sıfırolan, yani
(φn,φm) =
ZI
ω(x)φn(x)φm(x)dx = 0 , m 6= n ; m,n = 0, 1, 2, ... (1.1)
özelligini gerçekleyen polinomlara I aralıgında ω(x) agırlık fonksiyonuna göre "or-
togonal "dir denir. Özel fonksiyonların önemli bir bölümünü olusturan ortogonal
polinomların, Matemematik, Fizik, Astronomi ve Istatistikte önemli kullanım alan-
larına sahip oldukları bilinmektedir. Gauss, yaklasımlar teorisindeki sürekli kesir-
lerin açılımı ile ilgili çalısmalarında polinomları kullanmıstır. Daha sonra 1806 da
Jacobi, bu polinomların "Legendre polinomları" olduklarını ve onların ortogonallik
özelliginin esas rolü oynadıgını fark etmistir. Legendre ve Laplace olasılık ile ilgili
çalısmalarında Hermite polinomlarını kullanmıstır. Bu polinomlar haricinde Jacobi
ve Laguerre polinomları tanımlanmıstır. Ayrıca bu ortogonal polinom ailelerinin
bir takım özellikleri bulunmustur. Bu klasik ortogonal polinomlarda bir polinom
ailesinin farklı indisli polinomları arasında bazı iliskiler kurulabilir. Bu tip iliski-
leri veren formüller olan rekürans bagıntıları bulunmustur. Bu ortogonal polinom
ailelerinin elemanları olan polinomların ikinci mertebeden lineer diferensiyel denk-
lemlerin çözümleri oldukları gösterilmistir. (1.1) esitligine sahip {φn(x)} ortogonalpolinom sistemlerin, her φn(x) polinomunun I aralıgı içinde n tane basit reel kökü
oldugu ispatlanmıstır. Örnegin P (α,β)n (x) Jacobi polinomlarının (−1, 1) aralıgındakikökleri potansiyel enerji teorisi için ilginç bir uygulamaya sahiptir. Ayrıca 1314 te
Rodrigues tarafından o tarihte bilinen yegane ortogonal polinom ailesinden Pn(x)
Legendre polinomunun (1 − x2)n nin ardısık türevleri yardımıyla Rodrigues for-mülü gösterilmistir. Daha sonra ortaya çıkan diger ortogonal polinom aileleri için
de benzer formüller elde edilmistir. Bu Rodrigues formülleri yardımıyla ortogo-
nal polinomlar için dogurucu fonksiyonlar bulunmustur. Bu dogurucu fonksiyonlar
yardımıyla ortogonal polinom ailelerinin normu hesaplanmıstır. Ortogonal polinom
ailelerinin özelliklerinden biri de lineer bagımsız olmalarıdır. Bu özellik nedeniyle
1
sonsuz boyutlu bir uzayın baz vektörleri olabilme özelligine sahiptirler. Yani, her bir
ortogonal polinom ailesi sonsuz boyutlu bir uzayın çatısını olusturmaktadır. Böylece
uzaylarda sürekli yada parçalı sürekli herhangi fonksiyon, bu polinomlar cinsinden
seriye açılabilir.
Klasik ortogonal polinomlarda bilinen bu çalısmalardan ve bu özelliklerden sonra
biortogonal, katlı ortogonal, çok degiskenli ortogonal, matris ortogonal polinomlar
ve bunların q-anologlarının tanımlanmasıyla son yıllarda matematikçilerin üzerinde
durdugu önemli bir alan haline gelmistir. Bu nedenle bu tez çalısmasında Hermite,
Laguerre ve Jacobi polinomları basta olmak üzere ortogonal polinomların bazı özel
sınıfları ele alınacak ve bu polinomların hem kendilerinin sahip oldukları önemli özel-
likler, hem de farklı ortogonal polinom aileleri arasındaki iliskiler üzerinde durula-
caktır. Çalısmadaki önemli alt baslıklar sunlardır:
1) Hermite ve Laguerre polinomları
2) Jacobi polinomları ve Gram determinantları
3) Jacobi polinomları için dogurucu fonkisyonlar ve integral gösterimler
4) Ortogonal polinomların çarpımlarının lineerlestirilmesi
5) Hipergeometrik ortogonal polinomlar
6) Ultraküresel polinomların bir açılımı
7) Ortogonal polinomlarda baglantı katsayıları
8) Ultraküresel polinomların pozitif toplanabilirligi
2
2. HERMITE VE LAGUERRE POLINOMLARI
2.1 Hermite Polinomları
2.1.1 Hermite polinomlarının integral gösterimi
f(x) = e−x2fonksiyonu birçok integral gösterime sahiptir. Örnegin; o aslında ken-
disinin Fourier dönüsümüdür. Bunun için asagıdaki integral hesaplanmalıdır.
I(x) =1√π
∞Z−∞
e−t2
e2ixtdt
=1√π
⎛⎝ 0Z−∞
e−t2
e2ixtdt+
∞Z0
e−t2
e2ixtdt
⎞⎠Burada ikinci yandaki ilk integralde t→ −t dönüsümü yapılırsa
I(x) =1√π
⎛⎝ ∞Z0
e−t2
e−2ixtdt+
∞Z0
e−t2
e2ixtdt
⎞⎠=
2√π
⎛⎝ ∞Z0
e−t2
cos(2xt)dt
⎞⎠elde edilir. Burada islemleri kolaylastırmak için,
G(x) =
∞Z0
e−t2
cos(2xt)dt (2.1.1)
tanımını yapalım. G(x) in her iki tarafının x e göre türevi alınırsa,
dG
dx=
∞Z0
(−2t)e−t2 sin(2xt)dt
elde edilir. Bu son esitlikte
−2te−t2dt = dv , sin(2xt) = u
3
denilerek bir defa kısmi integrasyon uygulanırsa
dG
dx= e−t
2
sin(2xt)¯∞0− 2x
∞Z0
e−t2
cos(2xt)dt
= −2xG
oldugu görülür. BöylecedG
G= −2xdx
adi diferensiyel denklemine ulasılır. Bu denklemin çözümü
lnG = −x2 + ln cG(x) = ce−x
2
seklindedir. Simdi buradaki c sabitini belirlemek için bu son esitlikte ve (2.1.1)
esitliginde x = 0 konulursa
G(0) = c
=
∞Z0
e−t2
dt
=
√π
2
elde edilir. Burada ikinci satırdaki integral Gamma fonksiyonu yardımıyla hesaplan-
mıstır. Böylece
G(x) =
√π
2e−x
2
oldugu ve buradan da
I(x) = e−x2
oldugu görülür. Böylece I(x) in baslangıçtaki tanımından,
e−x2
=1√π
∞Z−∞
e−t2
e2ixtdt (2.1.2)
4
esitligine ulasılır. Bu esitligin her iki tarafının x e göre n defa türevi alınırsa,
dne−x2
dxn=(2i)n√
π
∞Z−∞
e−t2
tn e2ixtdt (2.1.3)
elde edilir. Diger yandan Hn(x) Hermite polinomlarının
Hn(x) = (−1)nex2 dne−x
2
dxn(2.1.4)
Rodrigues formülüne sahip oldugu bilinmektedir. (2.1.3) esitliginin her iki tarafını
(−1)nex2 ile çarpar ve (2.1.4) ile karsılastırırsak,
Hn(x) =(−2i)nex2√
π
∞Z−∞
e−t2
tn e2ixtdt (2.1.5)
elde edilir ki böylece, Hermite polinomları için bir integral gösterimi elde edilmis
olur.
2.1.2 Hermite polinomlarının ortogonalligi
Hermite polinomlarının ortogonallik özelligi
∞Z−∞
e−x2
Hn(x)Hm(x)dx = 2n n!√πδmn (2.1.6)
esitligi ile gösterilir. Burada
δmn =
⎧⎨⎩ 1 , m = n
0 , m 6= n
Kronecker deltasıdır. (2.1.4) özelliginden dolayı (2.1.6) integrali
∞Z−∞
e−x2
Hn(x)Hm(x)dx = (−1)n∞Z
−∞
dne−x2
dxnHm(x)dx
5
seklinde yazılabilir. Burada, n > m oldugu düsünülür ve n defa kısmi integrasyon
uygulanırsa integralin sıfıra esit oldugu gösterilmis olur. Aynı sekilde m > n için
de (2.1.6) integralinde Hm(x) yerine onun Rodrigues formülü yazılır ve m defa kısmi
integrasyon uygulanırsa integralin tekrar sıfıra esit oldugu gösterilmis olur. Bu ne-
denle m 6= n oldugu durumda (2.1.6) integrali sıfıra esittir. m = n durumu daha
sonra gösterelicektir.
2.1.3 Hermite polinomları için dogurucu fonksiyon
(2.1.5) esitliginin her iki tarafırn
n!ile çarpılır ve n = 0 dan∞ a kadar toplamı alınırsa,
∞Xn=0
Hn(x)rn
n!=
∞Xn=0
rn
n!
(−2i)nex2√π
∞Z−∞
e−t2
tn e2ixtdt
esitligi saglanır. Bu esitligin sag tarafındaki toplam ve integral yer degistirirse
∞Xn=0
Hn(x)rn
n!=
ex2
√π
∞Z−∞
à ∞Xn=0
(−2i)n (rt)nn!
!e−t
2
e2ixtdt
=ex
2
√π
∞Z−∞
e−2irt e−t2
e2ixtdt
=ex
2
√π
∞Z−∞
e−t2
e2it(x−r)dt (2.1.7)
elde edilir. Burada birinci satırdaki toplam e−2irt nin Taylor serisidir. Bu son esitligin
ikinci yanındaki integral (2.1.2) de x yerine x− r konularak kolayca hesaplanabilir.Böylece hesaplanan integral degeri yerine konulmasıyla
∞Xn=0
Hn(x)rn
n!= e2xr−r
2
(2.1.8)
Hermite polinomları için dogurucu fonksiyon elde edilir. Hermite polinomları için
dogurucu fonksiyon, Hermite polinomları için birçok özellligi elde etmede kullanılır.
Örnegin; dogurucu fonksiyon yardımıyla Hermite polinomları için bir toplamsal form
bulunabilir.
6
2.1.4 Hermite polinomları için toplamsal form
Önceki kısımda elde edilen (2.1.8) dogurucu fonksiyon esitliginden
∞Xn=0
Hn(x)rn
n!= e2xr−r
2
= e2xr e−r2
=
à ∞Xn=0
(2xr)n
n!
!Ã ∞Xk=0
(−r2)kk!
!
=∞Xn=0
[n/2]Xk=0
(−1)k (2x)n−2kk! (n− 2k)! r
n (2.1.9)
yazılabilir. Burada üçüncü satırda e2xr ve e−r2fonksiyonlarının Taylor seri açılımı
kullanılmıstır. Ayrıca üçüncü satırdan dördüncü satıra geçerken
∞Xn=0
∞Xk=0
A(k, n) =∞Xn=0
[n/2]Xk=0
A(k, n− 2k)
esitliginden yararlanılmıstır (Rainville 1965). (2.1.9) esitliginde rn nin katsayılarının
esitlenmesiyle
Hn(x) =
[n/2]Xk=0
(−1)k n! (2x)n−2kk! (n− 2k)! (2.1.10)
elde edilir. Böylece Hermite polinomları için toplam form elde edilmis olur.
2.1.5 Hermite polinomlarının normu
(2.1.10) esitliginden her iki yanın n kez x e göre türevi alınırsa
dnHn(x)
dxn= 2n n!
elde edilir. Burada m = n durumu için (2.1.6) esitligindeki integralde (2.1.4) Rod-
rigues formülü kullanılırsa
∞Z−∞
e−x2
Hn(x)Hn(x)dx = (−1)n∞Z
−∞
dne−x2
dxnHn(x)dx
7
elde edilir ve bu esitligin sag tarafındaki integrale n defa kısmi integrasyon uygu-
lanırsa ∞Z−∞
e−x2
H2n(x)dx =
∞Z−∞
e−x2 dnHn(x)
dxndx
esitligi bulunur. BuradadnHn(x)
dxn= 2n n!
esitliginin kullanılmasıyla
∞Z−∞
e−x2
H2n(x)dx = 2n n!
∞Z−∞
e−x2
dx
= 2n n!√π
Hermite polinomlarının normu elde edilmis olur. Buradaki son integral Gamma
fonksiyonu yardımıyla hesaplanmıstır.
2.1.6 Hermite polinomları için rekürans bagıntıları
F (x, r) = e2xr−r2nin r ye göre türevinin alınmasıyla
∂F
∂r= (2x− 2r)F
esitligi saglanır. Bu esitlikte F ve∂F
∂ryerine (2.1.8) deki toplam açılımları yazılırsa
∞Xn=0
n Hn(x)rn−1
n!= (2x− 2r)
∞Xn=0
Hn(x)rn
n!
elde edilir. Esitligin sag tarafındaki parantezin dagıtılmasıyla
∞Xn=1
Hn(x)rn−1
(n− 1)! = 2x∞Xn=0
Hn(x)rn
n!− 2
∞Xn=0
Hn(x)rn+1
n!
elde edilir. Bu esitligin sol tarafındaki toplam n = 0 için ilk terim sıfır oldugundan
toplam n = 1 den baslatılmıstır. Esitligin sol tarafındaki toplamda n → n + 1,
esitligin sag tarafındaki ikinci toplamda n → n − 1 dönüsümleri yardımıyla indis
8
kaydırılması yapılırsa
∞Xn=0
Hn+1(x)rn
n!= 2x
∞Xn=0
Hn(x)rn
n!− 2
∞Xn=1
Hn−1(x)rn
(n− 1)!
elde edilir. Esitligin sag tarafındaki ilk toplamda ve sol tarafındaki toplamda ilk
terim ayrı yazılırsa
H1(x) +∞Xn=1
Hn+1(x)rn
n!= 2xH0(x) + 2x
∞Xn=1
Hn(x)rn
n!− 2
∞Xn=1
Hn−1(x)rn
(n− 1)!
esitligine ulasılır. Burada H1(x) = 2xH0(x) dir. Son toplamsal esitlikte rn nin
katsayılarının esitlenmesiyle
Hn+1(x)− 2xHn(x) + 2nHn−1(x) = 0 , n = 1, 2, ... (2.1.11)
elde edilir. Baska bir rekürans bagıntısı için F in x e göre türevi alınırsa
∂F
∂x= 2re2xr−r
2
elde edilir. Bu esitlikte F nin yerine yazılmasıyla
∂F
∂x− 2rF = 0
esitligine ulasılır. F ve∂F
∂xyerine (2.1.8) deki toplam açılımları yazılırsa
∞Xn=0
H0n(x)
rn
n!− 2
∞Xn=0
Hn(x)rn+1
n!= 0
elde edilir. Ikinci toplamda n → n − 1 yazılır ve ilk toplamın birinci terimide ayrıyazılırsa
H00(x) +
∞Xn=1
H0n(x)
rn
n!− 2
∞Xn=1
Hn−1(x)rn
(n− 1)! = 0
esitligi saglanır. Burada H00(x) = 0 olup r
n nin katsayılarının esitlenmesiyle
9
H0n(x) = 2nHn−1(x) , n = 1, 2, 3, ... (2.1.12)
rekürans bagıntısı elde edilir. (2.1.11) ve (2.1.12) nin birlikte kullanılmasıyla
Hn+1(x)− 2xHn(x) +H 0n(x) = 0
esitligi bulunur. Bu esitligin x e göre türevi alınır ve tekrar (2.1.12) kullanılırsa
H00n(x)− 2xH
0n(x) + 2nHn(x) = 0 , n = 0, 1, 2, ... (2.1.13)
Hermite polinomlarını için ikinci basamaktan adi lineer diferensiyel denklem elde
edilmis olur. (2.1.13) esitliginde u = Hn(x) olmak üzere
u00 − 2xu0 + 2nu = 0 (2.1.14)
yazılabilir. (2.1.14) de v(x) = e−x2/2Hn(x) dönüsümü yapılır ve v(x) in birinci ve
ikinci türevi alınırsa
v0(x) = −xe−x2/2Hn(x) + e−x2/2H 0
n(x)
v00(x) = e−x
2/2³−Hn(x) + x2Hn(x)− 2xH 0
n(x) +H00n(x)
´elde edilir ki burada (2.1.14) ün kullanılmasıyla
v00(x) + (2n+ 1− x2)v(x) = 0
diferensiyel denklemi elde edilir.
2.1.7 Hermite polinomları için Poisson çekirdegi
Hermite polinomları için (2.1.5) esitligi yardımıyla, Poisson çekirdegi için kapalı bir
açılım üretilebilr. Yani
∞Xn=0
Hn(x)Hn(y)
2n n!rn = (1− r2)−1/2e[2xyr−(x2+y2)r2]/(1−r2) (2.1.15)
10
esitligi ile verilen Hermite polinomları için Poisson çekirdegi formülü elde edilecektir.
(2.1.5) den dolayı Hermite polinomları
Hn(y) =(−2i)ney2√
π
∞Z−∞
e−s2
sn e2iysds
seklinde bir integral gösterimine sahiptir. |r| < 1 için (2.1.15) in sol tarafı yukarıdakiesitlikten ve (2.1.5) den dolayı
∞Xn=0
Hn(x)Hn(y)
2n n!rn =
ex2+y2
π
∞Z−∞
∞Z−∞
e−s2−t2+2iys+2itx−2strds dt
yazılabilir. Bu integralin hesabı için asagıdaki integrale dikkat edilmelidir.
∞Z−∞
e−a2x2−2bxdx = eb
2/a2
∞Z−∞
e− ax+
ba
2
dx
=
√π
aeb
2/a2 , (a > 0)
Bu integrali hesaplamada Gamma fonksiyonu kullanılmıstır. Bu integralden yarar-
lanarak çift katlı integral hesaplanırsa
∞Xn=0
Hn(x)Hn(y)
2n n!rn =
ex2+y2
π
∞Z−∞
e−t2+2itx
⎛⎝ ∞Z−∞
e−s2−2s(tr−iy)ds
⎞⎠ dt=
ex2+y2
π
∞Z−∞
e−t2+2itx
√πe(tr−iy)
2
dt
=ex
2
√π
∞Z−∞
e−(1−r2)t2−2t(iry−ix)dt
=ex
2
√π
√π
(1− r2)1/2e(iry−ix)2/(1−r2)
= (1− r2)−1/2e[2xyr−(x2+y2)r2]/(1−r2)
bulunur. Bu esitlik, Hermite polinomları için üç terimli rekürans bagıntısını kulla-
narak da elde edilebilir. (2.1.15) in solundaki toplam K(r, x, y) ile gösterilir ve K
11
nın x e göre türevi alınırsa
∂K
∂x=
∞Xn=0
H0n(x)Hn(y)
2n n!rn
elde edilir. Bu son esitlikte (2.1.12) nin kullanılmasıyla,
∂K
∂x=
∞Xn=0
2n Hn−1(x)Hn(y)2n n!
rn
elde edilir. Burada n = 0 için ilk terim sıfır oldugundan toplam n = 1 den baslatılırsa
∂K
∂x=
∞Xn=1
2Hn−1(x)Hn(y)2n (n− 1)! rn
esitligi saglanır. Sonra toplamda n→ n+ 1 dönüsümüyle indis kaydırması yapılırsa
∂K
∂x= r
∞Xn=0
Hn(x)Hn+1(y)
2n n!rn
elde edilir. Bu son esitlikte (2.1.11) in kullanılmasıyla
∂K
∂x= 2ry
∞Xn=0
Hn(x)Hn(y)
2n n!rn − r
∞Xn=0
Hn(x)Hn−1(y)2n−1 (n− 1)! r
n
esitligine ulasılır. Bu durumda son esitlikten
∂K
∂x= 2ryK − ∂K
∂y(2.1.16)
kısmi diferensiyel denklemi elde edilir. x ve y nin simetrisinden dolayı
∂K
∂y= 2rxK − ∂K
∂x(2.1.17)
ikinci kısmi diferensiyel denklemide yazılabilir. (2.1.16) ve (2.1.17) nin birlikte kul-
lanılmasıyla1
K
∂K
∂x=2ry − 2r2x1− r2
elde edilir. Bu denklemin çözümü
12
lnK =2ryx− r2x21− r2 + g(y, r)
seklinde olup
K = h(y, r) e(2ryx−r2x2)/1−r2 , h(y, r) = eg(y,r) (2.1.18)
dir. Ayrıca x ve y nin simetrisinden dolayı K asagıdaki gibi yazılabilir.
K = f(x, r) e(2ryx−r2y2)/1−r2
Son iki esitlikten dolayı
h(y, r) e(2ryx−r2x2)/1−r2 = f(x, r) e(2ryx−r
2y2)/1−r2
yazılabilir. Bu son esitligin düzenlenmesiyle
h(y, r) er2y2/1−r2 = f(x, r) er
2x2/1−r2
elde edilir. Bu esitligin bir tarafı x ve r nin, diger tarafı y ve r nin fonksiyonudur. Bu
esitligin saglanması için esitligin sadece r nin fonksiyonu olması gerekir. Bu nedenle
h(y, r) er2y2/1−r2 = C(r)
olup
h(y, r) = C(r) e−r2y2/1−r2
dir. Bunun (2.1.18) de yerine yazılmasıyla
K = C(r) e[2xyr−(x2+y2)r2]/(1−r2)
sonucuna ulasılır. Simdi C(r) yi belirlemek için (2.1.15) de x = y = 0 alınırsa
C(r) =∞Xn=0
H 2n (0)
2n n!rn
13
elde edilir. (2.1.10) dan dolayı
H2n(0) = (−1)n (2n)!n!
ve H2n+1(0) = 0
bulunur. Yukarıdaki C(r) esitliginden
C(r) =∞Xn=0
H 22n(0)
22n (2n)!r2n +
∞Xn=0
H 22n+1(0)
22n+1 (2n+ 1)!r2n+1
esitligine ulasılır. Bu esitlikte yukarıdaki H2n(0) ve H2n+1(0) ın degerleri yazılırsa
C(r) =∞Xn=0
³(−1)n (2n)!
n!
´222n (2n)!
r2n
elde edilir. Bu son esitlikten dolayı
C(r) =∞Xn=0
(2n)!
22n (n!)2r2n
=∞Xn=0
(1/2)nn!
r2n
= (1− r2)−1/2
bulunur. Böylece (2.1.15) ispatlanmıs olur.
Ayrıca Fourier dönüsümü için ilginç bir formül (2.1.15) formülünden elde edilebilir.
(2.1.15) in her iki tarafını Hm(y) e−y2ile çarpıp, (−∞,∞) da integre edilirse
∞Z−∞
e−y2+[2xyr−(x2+y2)r2]/(1−r2)p
(1− r2) Hm(y)dy =√π Hm(x) r
m
elde edilir. Bu formül |r| < 1 için geçerlidir. Bu formülün r → i yaklasırken limiti
alınırsa
limr→i
∞Z−∞
e−y2+[2xyr−(x2+y2)r2]/(1−r2)p
(1− r2) Hm(y)dy = limr→i√π Hm(x) r
m
esitligi yazılabilir. Buradan
14
1√2π
∞Z−∞
eixy e−y2/2Hm(y)dy = i
m e−x2/2Hm(x) (2.1.19)
elde edilmis olur. Bu denklem Hermite polinomlarının kendi karsılıgını içerir. Bu-
rada in, Fourier dönüsümünün özdegerleri ve e−x2/2Hn(x), Fourier dönüsümünün
özfonksiyonu olarak adlandırılır.
2.2 Laguerre Polinomları
2.2.1 Laguerre polinomlarının hipergeometrik fonksiyonlar ile gösterimi
α > −1 olmak üzere Lαn(x) ile gösterilen Laguerre polinomlarının
Lαn(x) =
x−αex
n!
dn
dxn(xn+αe−x) ; n ≥ 0 (2.2.1)
Rodrigues formülüne sahip oldugu bilinmektedir. Bu formülün sag tarafına Leibnitz
kuralı uygulanırsa
Lαn(x) =
x−αex
n!
nXk=0
µn
k
¶dk
dxk(e−x)
dn−k
dxn−k(xn+α)
=x−αex
n!
nXk=0
n!
k! (n− k)!(−1)k e−x(n+ α)(n+ α− 1)...(α+ k + 1) xα+k
=1
n!
nXk=0
(−n)kk!
(n+ α)(n+ α− 1)...(α+ k + 1) xk
=(α+ 1)nn!
nXk=0
(−n)kk! (α+ 1)k
xk
=(α+ 1)nn!
1F1(−n; α+ 1 ; x) (2.2.2)
Laguerre polinomlarının hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden gösterimi elde edilmis
olur.
2.2.2 Laguerre polinomlarının ortogonalligi
Laguerre polinomları için ortogonallik özelligi
15
∞Z0
Lαm(x) L
αn(x) x
α e−xdx =Γ(α+ n+ 1)
n!δmn , α > −1 (2.2.3)
esitligi ile gösterilir. Burada Laguerre polinomları için Rodrigues esitligi kullanılırsa
∞Z0
Lαm(x) L
αn(x) x
α e−xdx =1
n!
∞Z0
Lαm(x)
dn
dxn(xn+αe−x) dx
esitligi yazılabilir. n > m olsun. Bu integrale n kez kısmi integrasyon uygulanırsa
integralin degeri sıfır olarak bulunur. m > n oldugunda bu sefer Lαm(x) için Rod-
rigues formülünü yazıp, m defa kısmi integrasyon uygulanırsa integralin degeri sıfır
olarak bulunur. Yani m 6= n durumunda integral sıfırdır. m = n durumu bir sonrakikısımda incelenecektir.
2.2.3 Laguerre polinomlarının normu
m = n durumu Laguerre polinomlarının normunu verir. (2.2.2) den
dn
dxnLαn(x) = (−1)n
esitligi elde edilir. m = n durumunda asagıdaki esitlik yazılabilir.
∞Z0
Lαn(x) L
αn(x) x
α e−xdx =1
n!
∞Z0
Lαn(x)
dn
dxn(xn+αe−x) dx
Tekrar yukarıdaki integrale n defa kısmi integrasyon uygulanırsa
∞Z0
Lαn(x) L
αn(x) x
α e−xdx =(−1)nn!
∞Z0
xn+αe−xdn
dxn(Lα
n(x)) dx
=1
n!
∞Z0
xn+αe−xdx =Γ(α+ n+ 1)
n!
elde edilir. Burada son integral Gamma fonksiyonundan hesaplanmıstır. Böylece
16
∞Z0
[Lαn(x)]
2 xα e−xdx =Γ(α+ n+ 1)
n!
Laguerre polinomlarının normu bulunmus olur. Sonuç olarak; Laguerre polinom-
larının ortogonallik iliskisi ispatlanmıs olur.
2.2.4 Laguerre polinomları için dogurucu fonksiyon
Laguerre polinomları için dogurucu fonksiyon asagıdaki biçimde elde edilebilir. Bunun
için asagıda Lαn(x) yerine (2.2.2) deki degeri yazılırsa
∞Xn=0
Lαn(x) r
n =∞Xn=0
Ã(α+ 1)nn!
nXk=0
(−n)kk! (α+ 1)k
xk
!rn
=∞Xn=0
nXk=0
(α+ 1)nn!
(−n)kk! (α+ 1)k
xk rn
=∞Xk=0
(−x)kk! (α+ 1)k
∞Xn=k
(α+ 1)n(n− k)! r
n
=∞Xk=0
(−x)kk! (α+ 1)k
∞Xn=0
(α+ 1)n+k(n)!
rn+k
=∞Xk=0
(−xr)kk!
∞Xn=0
(α+ k + 1)n(n)!
rn
=∞Xk=0
(−xr)kk!
(1− r)−α−1−k
= (1− r)−α−1∞Xk=0
(−xr)kk! (1− r)k
= (1− r)−α−1e−xr/1−r (2.2.4)
Laguerre polinomları için dogurucu fonksiyon elde edilir. Ikinci satırdan üçüncü
satıra geçiste(−n)kn!
=(−1)k(n− k)! esitliginden ve bölge dönüsümünden yararlanılmıstır.
Dördüncü satırda n→ n+k dönüsümü yapılmıstır. Dördüncü satırdan besinci satıra
geçiste(α+ 1)n+k(α+ 1)k
= (α+k+1)n esitliginden ve altıncı satırda (1−r)−α−1−k fonksiyo-nunun Taylor açılımından faydalanılmıstır. Sekizinci satırda e−xr/1−r fonksiyonunun
Taylor açılımı kullanılmıstır.
17
2.2.5 Laguerre polinomları için rekürans bagıntıları
F (x, r) = (1− r)−α−1e−xr/1−r olmak üzere Laguerre polinomları için rekürans bagın-tıları elde edilebilir. F (x, r) nin r ye göre türevi alınırsa
∂F
∂r= (α+ 1)(1− r)−α−2 e−xr/1−r + (1− r)−α−1 (−x)
(1− r)2e−xr/1−r
=α+ 1
1− r F −x
(1− r)2F
esitligi saglanır. Yukarıdaki esitligin düzenlenmesiyle
(1− r)2∂F∂r
+ [x− (1 + α)(1− r)]F = 0
elde edilir. Bu son esitlikte F ve∂F
∂ryerine (2.2.4) ten toplam açılımları yazılırsa
(1− r)2∞Xn=0
n Lαn(x) r
n−1 + [x− (1 + α)(1− r)]∞Xn=0
Lαn(x) r
n = 0
esitligi elde edilmis olur. Bu esitlikte indis dönüsümleri yapılarak ve Lα0 (x) = 1 ile
Lα1 (x) = 1 + α− x oldugu dikkate alınarak, gerekli düzenlemelerin yapılmasıyla
∞Xn=1
£(n+ 1)Lα
n+1(x) + (x− α− 2n− 1)Lαn(x) + (n+ α)Lα
n−1(x)¤rn = 0
esitligine ulasılır. Buradan
(n+1)Lαn+1(x)+(x−α−2n−1)Lα
n(x)+(n+α)Lαn−1(x) = 0 , n = 1, 2, 3, ... (2.2.5)
Laguerre polinomları için rekürans bagıntılarından birine ulasılır. Simdi baska rekürans
bagıntıları elde etmek için F (x, r) nin x e göre türevi alınırsa
∂F
∂x= −r(1− r)−α−2 e−xr/1−r
olup gerekli düzenlemeler yapılırsa
18
(1− r)∂F∂x
+ rF = 0
esitligine ulasılır. F ve∂F
∂xyerine (2.2.4) deki toplamsal açılımları yazılırsa
(1− r)∞Xn=0
[Lαn(x)]
0rn + r
∞Xn=0
Lαn(x) r
n = 0
elde edilir. Yukarıdaki esitlikte parantez toplama dagıtılır ve ikinci toplamda n yerine
n− 1 alınırsa∞Xn=0
[Lαn(x)]
0rn −
∞Xn=0
[Lαn(x)]
0rn+1 +
∞Xn=1
Lαn−1(x) r
n = 0
esitligi saglanır. Bu esitlikte ikinci toplamda n yerine n− 1 alınırsa∞Xn=0
[Lαn(x)]
0rn −
∞Xn=1
£Lαn−1(x)
¤0rn +
∞Xn=1
Lαn−1(x) r
n = 0
esitligine ulasılır. Ilk toplamdaki ilk terim ayrı yazılır ve Lα0 (x) = 1 oldugu dikkate
alınırsa ∞Xn=1
hLαn(x)
0 − Lαn−1(x)
0+ Lα
n−1(x)irn = 0
esitliginden
Lαn(x)
0 − Lαn−1(x)
0+ Lα
n−1(x) = 0 , n = 1, 2, 3, ... (2.2.6)
baska bir rekürans bagıntısı elde edilir. (2.2.5) in her iki tarafının x e göre türevi
alınırsa
(n+ 1)d
dxLαn+1(x) + L
αn(x) + (x− α− 2n− 1) d
dxLαn(x) + (n+ α)
d
dxLαn−1(x) = 0
esitligine ulasılır. Bu son esitlikted
dxLαn−1(x) yerine (2.2.6) daki esiti yazılırsa
(n+1)d
dxLαn+1(x)+L
αn(x)+(x−α−2n−1)
d
dxLαn(x)+(n+α)
hLαn(x)
0+ Lα
n−1(x)i= 0
elde edilir. Bu esitlikte de Lαn−1(x) yerine (2.2.5) deki esiti yazılırsa
19
(x−n−1) ddxLαn(x)+(n+1)
d
dxLαn+1(x)+(2n+2+α−x)Lα
n(x)−(n+1)Lαn+1(x) = 0 , n ≥ 0
esitligi elde edilir. Bu esitlikte n yerine n− 1 alınmasıyla
(x− n) ddxLαn−1(x) + n
d
dxLαn(x) + (2n+ α− x)Lα
n−1(x)− n Lαn(x) = 0
elde edilir.d
dxLαn−1(x) yerine (2.2.6) daki esiti yazılırsa
xd
dxLαn(x) = nL
αn(x)− (n+ α)Lα
n−1(x) , n ≥ 1 (2.2.7)
baska bir rekürans bagıntısı elde edilir. (2.2.7) nin x e göre türevi alınırsa
d
dxLαn(x) + x
d2
dx2Lαn(x) = n
d
dxLαn(x)− (n+ α)
d
dxLαn−1(x)
esitligi saglanır. Bu son esitlikted
dxLαn−1(x) yerine (2.2.6) daki esiti yazılırsa
d
dxLαn(x) + x
d2
dx2Lαn(x) = n
d
dxLαn(x)− (n+ α)
hLαn(x)
0+ Lα
n−1(x)i
esitligi elde edilir. Burada Lαn−1(x) yerine (2.2.7) deki esiti yazılırsa
xd2
dx2Lαn(x) + (1 + α− x) d
dxLαn(x) + nL
αn(x) = 0 , n ≥ 0 (2.2.8)
denklemine ulasılır. Bu denklem Laguerre polinomları için ikinci basamaktan lineer
diferensiyel denklem olarak adlandırılır.
2.2.6 Hermite polinomları ve Laguerre polinomları arasındaki iliskiler
Bu kısımda Hermite ve Laguerre polinomları arasındaki bazı iliskiler verilecektir.
H2m+1(x) =mXk=0
(−1)k (2m+ 1)! (2x)2m+1−2kk! (2m+ 1− 2k)!
20
esitliginde 0 ≤ k ≤ m⇒ −m ≤ −k ≤ 0⇒ 0 ≤ m− k ≤ m oldugundan toplamda k
yerine (m− k) yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
H2m+1(x) =mXk=0
(−1)m−k (2m+ 1)! (2x)2k+1(m− k)! (2k + 1)!
= (−1)mmXk=0
(−1)k (2m+ 1)! (m− k + 1)(m− k + 2)...m (2x)2k+1
(m− k)! (m− k + 1)(m− k + 2)...m (2k + 1)!
=(−1)mm!
2x (2m+ 1)!mXk=0
(−m)k(2k + 1)!
(2x)2k
=(−1)mm!
2x (2m+ 1)!22mm!
22mm!
mXk=0
(−m)k(2k + 1)!
(2x)2k
= 22m+1(−1)mm! x (2m+ 1)!(m!)2 22m
mXk=0
(−m)k(2k + 1)!
(2x)2k
= 22m+1(−1)mm! x (3/2)mm!
mXk=0
(−m)k(3/2)k k!
(x)2k
= (−1)m22m+1 m! x L1/2m (x2) (2.2.9)
esitligi elde edilir.
H2m(x) =mXk=0
(−1)k (2m)! (2x)2m−2kk! (2m− 2k)!
ifadesinde k yerine (m− k) yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
H2m(x) =mXk=0
(−1)m−k (2m)! (2x)2k(m− k)! (2k)!
= (−1)m(2m)!mXk=0
(−1)k (m− k + 1)(m− k + 2)...m (2x)2k
(m− k)! (m− k + 1)(m− k + 2)...m (2k)!
=(−1)m(2m)!
m!
mXk=0
(−m)k(2k)!
(2x)2k
=(−1)m(2m)!
m!
mXk=0
(−m)k(1/2)k k!
x2k
=(−1)m(2m)!
m!
22mm!
22mm!
mXk=0
(−m)k(1/2)k k!
x2k
= (−1)m22mm! (1/2)mm!
mXk=0
(−m)k(1/2)k k!
x2k
= (−1)m22mm! L−1/2m (x2) (2.2.10)
21
olacak sekilde baska bir iliski elde edilir.
H2m(x) = CL−1/2m (x2) esitligi ve der(q(x)) ≤ 2m− 1 olan q(x) polinomu ele alındıgı
takdirde ∞Z−∞
L−1/2m (x2) q(x) e−x2
dx = 0
oldugu gösterilebilir. e−x2çift fonksiyon, L−1/2m (x2) de çift fonksiyon olup, q(x) poli-
nomu da tek fonksiyon olarak seçildiginde integral açık olarak sıfırdır. q(x) poli-
nomu çift oldugunda q(x) = r(x2) seklinde yazılabilir. Burada r(x) polinomu
der(r(x)) ≤ m− 1 olan bir polinomdur. Yukarıdaki integral y = x2 dönüsümüyle
2
∞Z0
L−1/2m (y) r(y) y−1/2 e−ydy
integraline dönüsür ve bu integralin degeri sıfırdır. Çünkü L−1/2m (y) polinomu, dere-
cesi m den küçük her polinoma ortogonaldir.
Burada Laguerre ve Hermite polinomları arasında baska bir iliski verilebilir. Bunun
için Stirling formülünden yararlanılabilir. Bu formül asagıda verilmistir.
Γ(α+ 1) ∼√2παα+1/2e−α , α→∞
Bu formülden yararlanarak asagıdakiler yazılabilir.
∞Z0
xα e−xdx ∼ √2παα+1/2e−α , α→∞
∞Z0
³xα
´α e−x
e−αdx√2α
∼ √π , α→∞
∞Z0
³xα
´αe−(x−α)
dx√2α
∼ √π =
∞Z−∞
e−u2
du , α→∞
Bu son esitlige x = α+ u√2α degisken degistirmesi yapılırsa
22
∞Z−√
α/2
Ã1 +
r2
αu
!α
e−√2αudu ∼ √π =
∞Z−∞
e−u2
du , α→∞ (2.2.11)
esitligine ulasılır. Burada
∞Z0
[Lαn(x)]
2 xα e−xdx =Γ(α+ n+ 1)
n!
esitliginden yararlanılmalıdır. Bu esitlige x = α+u√2α degisken degistirmesi yapılır
ve Stirling formülü uygulanırsa, α→∞ için gerekli düzenlemelerin yapılmasıyla
∞Z0
³Lαn(α+ u
√2α)´2(α+ u
√2α)αe−α−u
√2α√2αdu =
(n+ α)!
n!
∞Z0
³Lαn(α+ u
√2α)´2
αα
Ã1 + u
r2
α
!α
e−α−u√2α√2αdu ∼
√2π
n!(n+ α)n+α+1/2e−n−α
∞Z0
³Lαn(α+ u
√2α)´2µ 2
α
¶nÃ1 + u
r2
α
!α
e−u√2αdu ∼
√π
n!2n³1 +
n
α
´n+α+1/2e−n
(2.2.12)
bagıntısı elde edilir. (2.2.11) ve (2.2.12) nin karsılastırılmasıyla
limα→∞
µ2
α
¶n/2Lαn(α+ x
√2α) = (−1)nHn(x)
n!(2.2.13)
esitligi elde edilir. Bu limitsel iliskinin simetrik fonksiyonlarla yapılan farklı bir ispatı
(Chu 1999) tarafından verilmistir.
2.2.7 Laguerre polinomları ve Bessel fonksiyonları arasındaki iliskiler
Laguerre polinomları ve Bessel fonksiyonları arasındaki iliskileri vermeden önce bazı
teoremler verilmelidir.
Teorem 2.2.1. a, b > 0 ve Re v > 0 olmak üzere
23
∞Z0
e−a2x2 Jv(bx) x
v+1dx =bv
(2a2)v+1e−b
2/4a2
esitligi saglanır (Lebedev 1992).
Ispat: Burada Bessel fonksiyonlarının toplam açılımından faydalanılmalıdır. Bessel
fonksiyonları asagıdaki gibi bir toplam açılıma sahipdir.
Jv(x) =∞Xk=0
(−1)k ¡x2
¢v+2kk! Γ(k + v + 1)
Bu açılımın teoremdeki integralde yerine yazılmasıyla
∞Z0
e−a2x2 Jv(bx) x
v+1dx =
∞Z0
e−a2x2
à ∞Xk=0
(−1)k ¡ bx2
¢v+2kk! Γ(k + v + 1)
!xv+1dx
=∞Xk=0
(−1)k ¡ b2
¢v+2kk! Γ(k + v + 1)
∞Z0
e−a2x2x2v+2k+1dx
=∞Xk=0
(−1)k ¡ b2
¢v+2kk! Γ(k + v + 1)
1
2a2v+2k+2
∞Z0
e−ttv+kdt
=bv
(2a2)v+1
∞Xk=0
³−b24a2
´kk!
=bv
(2a2)v+1e−b
2/4a2
elde edilir. Burada ikinci satırda a2x2 = t dönüsümü yapılmıstır ve dördüncü satırda
e−b2/4a2 fonksiyonunun Taylor açılımından yararlanılmıstır.
Bu teoremden yararlanarak bazı esitlikler elde edilebilir. Ilk önce teoremde a = 1
alınırsa ∞Z0
e−x2
Jv(bx) xv+1dx =
bv
2v+1e−b
2/4
esitligi elde edilir. Bu son esitlikte x2 = u dönüsümü yapıldıgında
24
∞Z0
e−u Jv(b√u) uv/2du =
bv
2ve−b
2/4
esitligi saglanır. Son esitlikte b = 2√x ve v = n+ α alınmasıyla
∞Z0
e−u Jn+α(2√ux) (
√ux)n+αdu = xn+αe−x
elde edilir. Burada u = t için
∞Z0
e−t Jn+α(2√tx) (√tx)n+αdt = xn+αe−x
esitligi yazılabilir. Son esitlikten yararlanarak Laguerre polinomları için bir integral
gösterim elde edilecektir. Bu integral gösterimini elde etmek için asagıdaki teoremden
yararlanılacaktır.
Teorem 2.2.2. Jn(z) Bessel fonksiyonları
d
dz[znJn(z)] = z
nJn−1(z) , z = 1, 2, ...
özelligini saglar.
Ispat: Burada Bessel fonksiyonlarının toplamsal formundan yararlanılabilir. Bu
toplamsal formun esitligin sol tarafında yerine yazılmasıyla
d
dz[znJn(z)] =
d
dz
"zn
∞Xk=0
(−1)k ¡z2
¢n+2kk! Γ(k + n+ 1)
#
=∞Xk=0
(−1)k (1/2)n+2kk! Γ(k + n+ 1)
d
dz
£z2n+2k
¤= 2
∞Xk=0
(−1)k (1/2)n+2kk! Γ(k + n)
z2n+2k−1
= znJn−1(z)
elde edilir. Böylece teorem ispat edilmis olur.
25
Bu teoremde z yerine 2√xt, n yerine n+ α alınmasıyla
d
dx
h(2√xt)n+αJn+α(2
√xt)i= 2t (2
√xt)n+α−1Jn+α−1(2
√xt)
elde edilir. Bu türevin n defa uygulanmasıyla
dn
dxn
h(2√xt)n+αJn+α(2
√xt)i= (2t)n(2
√xt)αJα(2
√xt)
esitligine ulasılır. Bundan dolayı
∞Z0
e−t Jn+α(2√tx) (√tx)n+αdt = xn+αe−x
esitligin sol tarafı 2n+α ile çarpılıp bölünürse ve daha sonra n defa x e göre türevi
alınırsa, bu türevde yukarıdaki türevden yararlanılarak
dn
dxn£xn+αe−x
¤=
1
2n+α
∞Z0
e−tdn
dxn
hJn+α(2
√tx) (2
√tx)n+α
idt
=1
2n+α
∞Z0
e−t(2t)n(2√xt)αJα(2
√xt)dt
esitligi elde edilir. Bu son esitligin her iki tarafıx−αex
n!ile çarpılırsa
x−αex
n!
dn
dxn£xn+αe−x
¤= Lα
n(x) =exx−
α2
n!
∞Z0
e−t tn+α2 Jα(2
√xt)dt , α > −1 (2.2.14)
Laguerre polinomları için integral gösterimi elde edilmis olur. (2.2.14) esitliginden
ve asagıdaki esitliklerden yararlanılmasıyla baska esitlikler elde edilebilr.
J1/2(x) =
r2
πxsinx , J−1/2(x) =
r2
πxcosx
Bunun için (2.2.14) esitliginde ilk önce α = −12alınırsa
26
L−1/2n (x) =exx1/4
n!
∞Z0
e−t tn−1/4 J−1/2(2√xt) dt
=exx1/4
n!
∞Z0
e−t tn−1/41√π
cos(2√xt)
(xt)1/4dt
=1√π
ex
n!
∞Z0
e−t tn−1/2 cos(2√xt) dt
=2√π
ex
n!
∞Z0
e−t2
t2n cos(2t√x) dt
esitligi elde edilir. Burada üçüncü satırda t→ t2 dönüsümü yapılmıstır.
(2.2.14) esitliginde simdi α = 12alınırsa
L1/2n (x) =exx−1/4
n!
∞Z0
e−t tn+1/4 J1/2(2√xt) dt
=exx−1/4
n!
∞Z0
e−t tn+1/41√π
sin(2√xt)
(xt)1/4dt
=1√πx
ex
n!
∞Z0
e−t tn sin(2√xt) dt
=2√πx
ex
n!
∞Z0
e−t2
t2n+1 sin(2t√x) dt
esitligi elde edilir. Burada üçüncü satırda t→ t2 dönüsümü yapılmıstır.
Baska bir iliski vermek için ilk önce Gamma fonksiyonunun bir özelligine deyinilme-
lidir. Euler sabiti
γ = limn→∞
(Hn − log n)
olarak tanımlanır. Burada Hn =nXk=1
1
kdır. Weierstrass, Gamma fonksiyonunu
27
1
Γ(z)= zeγz
∞Yn=1
h³1 +
z
n
´e−
zn
iolarak tanımlamıstır. Buradan
zΓ(z) =e−γz
∞Yn=1
£¡1 + z
n
¢e−
zn
¤= e−γz lim
n→∞
nYk=1
∙³1 +
z
k
´−1ezk
¸
esitligi yazılabilir. Ayrıca
γ = limn→∞
(Hn − log n)= lim
n→∞(Hn − log(n+ 1))
= limn→∞
"Hn −
nXk=1
log
µk + 1
k
¶#
dır. Bundan dolayı
e−γz = limn→∞
exp
"−zHn + z
nXk=1
log
µk + 1
k
¶#
= limn→∞
nYk=1
∙µ1 +
1
k
¶ze−
zk
¸
elde edilir. Böylece
zΓ(z) = limn→∞
nYk=1
∙³1 +
z
k
´−1ezk
µ1 +
1
k
¶ze−
zk
¸= lim
n→∞
nYk=1
∙³1 +
z
k
´−1µ1 +
1
k
¶z¸=
∞Yn=1
∙³1 +
z
n
´−1µ1 +
1
n
¶z¸
seklinde yazılabilir. Ayrıca
28
∞Yn=1
∙³1 +
z
n
´−1µ1 +
1
n
¶z¸= lim
n→∞n!(n+ 1)z
(z + 1)(z + 2)...(z + n)
dir. Bu son iki esitlikten
zΓ(z) = limn→∞
n!(n+ 1)z
(z + 1)(z + 2)...(z + n)
esitliginin saglandıgı görülür. Simdi Laguerre polinomları ve Bessel fonksiyonu arasın-
daki iliski elde edilebilir. Bu iliski
limn→∞
n−αLαn
³xn
´= x−α/2Jα(2
√x)
seklindedir. Bunun ispatı için Laguerre polinomları ve Bessel fonksiyonunun toplam-
sal açılımlarından faydalanılırsa
limn→∞
n−αLαn
³xn
´= lim
n→∞n−α
(α+ 1)nn!
∞Xk=0
(−n)kk! (α+ 1)k
³xn
´k= lim
n→∞n−α
(α+ 1)nn!
Γ(α+ 1)
Γ(α+ 1)
∞Xk=0
(−n)kk! (α+ 1)k
³xn
´k= lim
n→∞Γ(α+ n+ 1)
nαn!
∞Xk=0
(−n)kk! Γ(α+ k + 1)
³xn
´k= lim
n→∞Γ(α+ n+ 1)
nαn!limn→∞
∞Xk=0
(−n)kk! Γ(α+ k + 1)
³xn
´k
= x−α/2∞Xk=0
(−1)k³2√x2
´α+2kk! Γ(k + α+ 1)
= x−α/2Jα(2√x)
esitligi gösterilmis olur. Burada ilk limitte yukarıda verilen Gamma fonksiyonunun
özellligi kullanılmıstır.
2.2.8 Laguerre polinomlarının sagladıgı bazı özdeslikler
Asagıda Laguerre polinomlarının sagladıgı bazı özdeslikler gösterilecektir.
29
Teorem 2.2.3. Laguerre polinomları,
d
dxLαn(x) = −Lα+1
n−1(x) (2.2.15)
esitligini gerçekler.
Ispat: Esitligin sol tarafında Lαn(x) için (2.2.2) esitligi yazılırsa
d
dxLαn(x) =
d
dx
"(α+ 1)nn!
nXk=0
(−n)kk! (α+ 1)k
xk
#
=(α+ 1)nn!
nXk=0
k (−n)kk! (α+ 1)k
xk−1
=(α+ 1)nn!
nXk=1
(−n)k(k − 1)! (α+ 1)k x
k−1
=(α+ 1)nn!
n−1Xk=0
(−n)k+1k! (α+ 1)k+1
xk
=−n (α+ 1)nn! (α+ 1)
n−1Xk=0
(−n+ 1)kk! (α+ 2)k
xk
=−(α+ 2)n−1(n− 1)!
n−1Xk=0
(−n+ 1)kk! (α+ 2)k
xk
= −Lα+1n−1(x)
elde edilir. Burada ikinci satırda k = 0 için ilk terim sıfır oldugundan üçüncü satırda
toplam k = 1 den baslatılmıstır. Dördüncü satırda (−n)k+1 = −n (−n + 1)k ve(α+ 1)k+1 = (α+ 1)(α+ 2)k esitlikleri kullanılmıstır.
Teorem 2.2.4. Laguerre polinomları
d
dx[xα Lα
n(x)] = (α+ n)xα−1Lα−1
n (x) (2.2.16)
esitligini gerçekler.
Ispat: Esitligin sol tarafında Lαn(x) için (2.2.2) esitligi yazılırsa
30
d
dx[xα Lα
n(x)] =d
dx
"xα(α+ 1)nn!
nXk=0
(−n)kk! (α+ 1)k
xk
#
=(α+ 1)nn!
nXk=0
(−n)k (α+ k)k! (α+ 1)k
xα+k−1
=α(α+ 1)n
α n!
nXk=0
(−n)k (α+ k)k! (α+ 1)(α+ 2)...(α+ k)
xα+k−1
= (α+ n)xα−1(α)nn!
nXk=0
(−n)kk! (α)k
xk
= (α+ n)xα−1Lα−1n (x)
esitligi elde edilir. Diger özdeslikleri elde etmek için iki teoremden yararlanılmalıdır.
Teorem 2.2.5. F hipergeometrik fonksiyon ve Γ, Gamma fonksiyonu olmak üzere
F (a, b; c; 1) =Γ(c) Γ(c− a− b)Γ(c− a) Γ(c− b) , Re(c− a− b) > 0 , Re(c) > Re(b) > 0 (2.2.17)
esitligi saglanır.
Ispat: Esitligin sol tarafından baslanırsa
F (a, b; c; 1) =∞Xn=0
(a)n (b)n(c)n n!
=∞Xn=0
(a)nn!
∙Γ(c)
Γ(b)
Γ(b+ n)
Γ(c+ n)
Γ(c− b)Γ(c− b)
¸=
∞Xn=0
(a)nn!
∙Γ(c)
Γ(b)Γ(c− b)Γ(b+ n)Γ(c− b)
Γ(c+ n)
¸
=Γ(c)
Γ(b)Γ(c− b)∞Xn=0
(a)nn!
⎡⎣ ∞Z0
tb+n−1(1− t)c−b−1dt⎤⎦
=Γ(c)
Γ(b)Γ(c− b)
⎡⎣ ∞Z0
tb−1(1− t)c−b−1( ∞Xn=0
(a)nn!tn
)dt
⎤⎦=
Γ(c)
Γ(b)Γ(c− b)
⎡⎣ ∞Z0
tb−1(1− t)c−b−a−1dt⎤⎦
31
=Γ(c)
Γ(b)Γ(c− b)Γ(b)Γ(c− a− b)
Γ(c− a)=
Γ(c) Γ(c− a− b)Γ(c− a) Γ(c− b)
elde edilir. Burada Beta fonksiyonundan yararlanılmıstır.∞Pn=0
(a)nn!tn = (1− t)−a ve
Γ(b+ n)
Γ(b)= (b)n esitliklerinden faydalanılmıstır.
Teorem 2.2.6. (Kummer Formülü) 1F1 hipergeometrik fonksiyon olmak üzere
e−z 1F1(a; b; z) = 1F1(b− a; b; − z) (2.2.18)
esitligi gerçeklenir.
Ispat: Esitligin sol tarafında e−z nin ve 1F1(a; b; z) nin seri açılımları yazılırsa
e−z 1F1(a; b; z) =
à ∞Xn=0
(−1)nn!
zn
!Ã ∞Xk=0
(a)k(b)k k!
zk
!
=∞Xn=0
nXk=0
(−1)n−k(a)k(n− k)! (b)k k!z
n
=∞Xn=0
nXk=0
(−n)k (a)k(b)k k!
(−z)nn!
=∞Xn=0
2F1(−n, a; b; 1)(−z)n
n!
=∞Xn=0
(b− a)n(b)n
(−z)nn!
= 1F1(b− a; b; − z)
esitligi elde edilir. Birinci satırda
∞Xn=0
∞Xk=0
A(k, n) =∞Xn=0
nXk=0
A(k, n− k)
esitliginden (Rainville 1965), ikinci satırda(−1)k(n− k)! =
(−n)kn!
esitliginden, dördüncü
satırda bir önceki teoremden yararlanılmıstır.
32
Teorem 2.2.7. Laguerre polinomları
d
dx
£e−x Lα
n(x)¤= −e−xLα+1
n (x) (2.2.19)
esitligini gerçekler.
Ispat: Esitligin sol tarafında Lαn(x) için (2.2.2) esitligi yazılırsa
d
dx
£e−x Lα
n(x)¤=
d
dx
∙e−x
(α+ 1)nn!
1F1(−n; α+ 1 ; x)¸
=(α+ 1)nn!
d
dx[1F1(n+ α+ 1; α+ 1 ;− x)]
=(α+ 1)nn!
∞Xk=0
(n+ α+ 1)k (−1)k k(α+ 1)k k!
xk−1
=(α+ 1)nn!
∞Xk=1
(n+ α+ 1)k (−1)k(α+ 1)k (k − 1)! x
k−1
= −(α+ 1)nn!
∞Xk=0
(n+ α+ 1)k+1 (−1)k(α+ 1)k+1 (k)!
xk
= −(α+ 1)nn!
n+ α+ 1
α+ 1
∞Xk=0
(n+ α+ 2)k (−1)k(α+ 2)k (k)!
xk
= −(α+ 2)nn!
∞Xk=0
(n+ α+ 2)k (−1)k(α+ 2)k (k)!
xk
= −(α+ 2)nn!
1F1(n+ α+ 2; α+ 2 ; − x)= −e−xLα+1
n (x)
esitligine ulasılır. Birinci satırdan ikinci satıra geçiste ve sekizinci satırdan dokuzuncu
satıra geçiste Kummer formülünden yararlanılmıstır.
Teorem 2.2.8. Laguerre polinomları
d
dx
£xα e−x Lα
n(x)¤= (n+ 1)xα−1 e−x Lα−1
n+1(x) (2.2.20)
esitligini gerçekler.
Ispat: Esitligin sol tarafında Lαn(x) için (2.2.2) esitligi yazılırsa
33
d
dx
£xα e−x Lα
n(x)¤=
d
dx
∙xα e−x
(α+ 1)nn!
1F1(−n; α+ 1 ; x)¸
=(α+ 1)nn!
d
dx[xα 1F1(n+ α+ 1; α+ 1 ; − x)]
=(α+ 1)nn!
∞Xk=0
(n+ α+ 1)k (k + α)(−1)k(α+ 1)k k!
xk+α−1
=(α+ 1)nn!
α
α
∞Xk=0
(n+ α+ 1)k (k + α)(−1)k(α+ 1)(α+ 2)...(α+ k) k!
xk+α−1
=α(α+ 1)n
n!xα−1
∞Xk=0
(n+ α+ 1)k (−1)k(α)k k!
xk
=(α)n+1n!
xα−1 1F1(n+ α+ 1; α; − x)= (n+ 1) xα−1 e−x Lα−1
n+1(x)
esitligi elde edilir. Birinci satırdan ikinci satıra geçiste ve altıncı satırdan yedinci
satıra geçiste Kummer formülünden yararlanılmıstır.
2.2.9 Laguerre polinomlarının integral gösterimi
Ilk olarak Laguerre polinomlarının integral gösterimini göstermede yardımcı olacak
teorem ispatlanmalıdır.
Teorem 2.2.9. 1F1 hipergeometrik fonksiyon olmak üzere
xb+μ−1 1F1(a; b+ μ ;x) =Γ(b+ μ)
Γ(b) Γ(μ)
xZ0
(x− t)μ−1 tb−1 1F1(a; b ; t) dt (2.2.21)
esitligi saglanır. Burada Re(μ) > 0, Re(b) > 0 ve |x| < 1 dir.
Ispat: Esitligin sag tarafından baslanır ve 1F1(a; b; t) yerine seri açılımı yazılırsa
Γ(b+ μ)
Γ(b) Γ(μ)
xZ0
(x− t)μ−1 tb−1 1F1(a; b ; t) dt =
34
=Γ(b+ μ)
Γ(b) Γ(μ)
xZ0
(x− t)μ−1 tb−1" ∞Xk=0
(a)k(b)k k!
tk
#dt
=Γ(b+ μ)
Γ(b) Γ(μ)
∞Xk=0
(a)k(b)k k!
xZ0
(x− t)μ−1 tb−1 tk dt
elde edilir. Bu integralde t→ xt dönüsümü yapılırsa
Γ(b+ μ)
Γ(b) Γ(μ)
xZ0
(x− t)μ−1tb−1 1F1(a; b ; t) dt
=Γ(b+ μ)
Γ(b) Γ(μ)
∞Xk=0
(a)k(b)k k!
1Z0
xμ−1(1− t)μ−1(xt)b+k−1xdt
=Γ(b+ μ)
Γ(b) Γ(μ)
∞Xk=0
(a)k(b)k k!
xμ+b+k−11Z0
(1− t)μ−1tb+k−1dt
= xμ+b−1∞Xk=0
Γ(b+ μ)
Γ(b) Γ(μ)
(a)k(b)k k!
xkΓ(μ)Γ(b+ k)
Γ(μ+ b+ k)
= xμ+b−1∞Xk=0
(a)k(b+ μ)k k!
xk = xb+μ−1 1F1(a; b+ μ ; x)
esitligi saglanır. Böylece ispat tamamlanır.
Bu teoremde b = α+ 1, a = −n ve μ = β − α alınırsa
xβ 1F1(−n;β + 1 ;x) = Γ(β + 1)
Γ(α+ 1) Γ(β − α)
xZ0
(x− t)β−α−1 tα 1F1(−n;α+ 1 ; t) dt
elde edilir. Bu esitligin her iki tarafı(β + 1)nn!
ile çarpılırsa
(β + 1)nn!
xβ 1F1(−n;β + 1;x) =Γ(β + 1)(α+ 1)n
Γ(α+ 1) Γ(β − α)(α+ 1)n
×(β + 1)nn!
xR0
(x− t)β−α−1tα 1F1(−n;α+ 1 ; t) dt
esitligi saglanır. Bu esitlikte Laguerre polinomlarının hipergeometrik açılımından
35
dolayı
xβLβn(x) =
Γ(n+ β + 1)
Γ(n+ α+ 1) Γ(β − α)
xZ0
(x− t)β−α−1tα Lαn(t)dt , β > α (2.2.22)
esitligine ulasılır. Burada Laguerre polinomlarıyla ilgili
e−xLαn(x) =
1
Γ(β − α)
∞Zx
(t− x)β−α−1 e−t Lβn(t) dt (2.2.23)
esitligi ispatlanacaktır. Bunun ispatı için (2.2.22) kullanılırsa
∞Z0
Lβn(x) L
βn(x) x
β e−xdx =
∞Z0
Lβn(x)
∙Γ(n+ β + 1)
Γ(n+ α+ 1) Γ(β − α)
×xZ0
(x− t)β−α−1tαLαn(t)dt
⎤⎦ e−xdx=
Γ(n+ β + 1)
Γ(n+ α+ 1) Γ(β − α)
×∞Z0
Lβn(x)e
−x
⎡⎣ xZ0
(x− t)β−α−1tαLαn(t)dt
⎤⎦ dxelde edilir. Bu son esitlikte çift katlı integralde Fubini teoremi yardımıyla integralin
sınırları degistirilirse
∞Z0
Lβn(x) L
βn(x) x
β e−xdx =Γ(n+ β + 1)
Γ(n+ α+ 1) Γ(β − α)
∞Z0
tαLαn(t)
×⎡⎣ ∞Zt
(x− t)β−α−1Lβn(x)e
−x dx
⎤⎦ dt (2.2.24)
esitligine ulasılır. (2.2.24) özelligi ve Laguerre polinomlarının normu kullanılırsa
∞Z0
tα Lαn(t)
⎡⎣ ∞Zt
(x− t)β−α−1Lβn(x)e
−x dx
⎤⎦ dt =Γ(n+ α+ 1) Γ(β − α)
Γ(n+ 1)(2.2.25)
esitligi elde edilir. (2.2.3), (2.2.24) ve (2.2.25) esitliklerinin birlikte düsünülmesiyle
36
∞Z0
tα Lαn(t)
⎡⎣ 1
Γ(β − α)
∞Zt
(x− t)β−α−1Lβm(x)e
−x dx− Lαm(t)e
−t
⎤⎦ dt = 0
esitligine ulasılır. Bu esitlikte Lαn(t) nin tamlıgından dolayı
1
Γ(β − α)
∞Zt
(x− t)β−α−1Lβm(x)e
−x dx− Lαm(t)e
−t = 0
saglanması gerekir. Bu durumda (2.2.23) esitligine ulasılır.
2.2.10 Laguerre polinomları için Poisson çekirdegi
Laguerre polinomları için Poisson çekirdegi formülü asagıdaki gibidir:
|r| < 1, α > −1, Iα ise α. basamaktan modifiye Bessel fonksiyonu olmak üzere
∞Xn=0
n! Lαn(x) L
αn(y)
Γ(n+ α+ 1)rn = (1− r)−1e−(x+y)r/(1−r)(xyr)−α/2Iα
µ2√xyr
1− r¶
(2.2.26)
esitligi Laguerre polinomları için Poisson çekirdegi formülü olarak adlandırılır. Bu
formülü elde etmek için esitligin sol tarafından baslanırsa
∞Xn=0
n! Lαn(x) L
αn(y)
Γ(n+ α+ 1)rn =
∞Xn=0
n! Lαn(x)
Γ(n+ α+ 1)
((α+ 1)nn!
nXk=0
(−n)kk! (α+ 1)k
yk
)rn
=1
Γ(α+ 1)
∞Xn=0
Lαn(x)r
n
(nXk=0
(−n)kk! (α+ 1)k
yk
)
elde edilir. Burada n→ n+ k dönüsümü yapılmasıyla
∞Xn=0
n!Lαn(x) L
αn(y)
Γ(n+ α+ 1)rn =
nXk=0
(−yr)kΓ(k + α+ 1) k!
( ∞Xn=0
(n+ 1)k Lαn+k(x) r
n
)(2.2.27)
esitligi elde edilir. (2.2.4) te α yerine α+ k yazılmasıyla
∞Xn=0
Lα+kn (x) rn = (1− r)−α−k−1e−xr/1−r
37
elde edilir. Bu esitligin her iki tarafını xk+αe−x ile çarpıp, k defa x e göre türevi
alınırsa
dk
dxk
∞Xn=0
xk+αe−xLα+kn (x) rn = (1− r)−α−k−1 d
k
dxk©xk+αe−x/(1−r)
ªelde edilir. Esitligin sol tarafına (2.2.20) uygulanırsa
xαe−x∞Xn=0
(n+ 1)k Lαn+k(x) r
n = (1− r)−α−k−1 dk
dxk
(xk+α
∞Xn=0
¡ −x1−r¢n
n!
)
= (1− r)−α−k−1∞Xn=0
(−1)nn! (1− r)n
dk
dxkxn+k+α
= (1− r)−α−k−1∞Xn=0
(−x)n (n+ α+ 1)kn! (1− r)n xα
esitligine ulasılır. Burada (n+ α+ 1)k =(α+ 1)k(α+ k + 1)n
(α+ 1)nesitligi kullanılırsa
xαe−x∞Xn=0
(n+ 1)k Lαn+k(x) r
n
= (1− r)−α−k−1∞Xn=0
(−x)nn! (1− r)n
(α+ 1)k (α+ k + 1)n(α+ 1)n
xα
= (1− r)−α−k−1(α+ 1)k xα∞Xn=0
(α+ k + 1)nn! (α+ 1)n
µ −x1− r
¶n=
(α+ 1)k(1− r)α+k+1 x
α1F1
µα+ k + 1; α+ 1;
−x1− r
¶(2.2.28)
elde edilir. (2.2.28) e Kummer formülünün uygulanmasıyla
xαe−x∞Xn=0
(n+ 1)k Lαn+k(x) r
n
= (1− r)−α−k−1(α+ 1)k xα 1F1
µ−k, α+ 1, x
1− r¶e−x/1−r
= (1− r)−α−k−1k! xα Lαk
µx
1− r¶e−x/1−r
esitligine ulasılır. Bu esitligin (2.2.27) de yerine yazılmasıyla ve gerekli düzenleme-
lerle
38
∞Xn=0
n!Lαn(x) L
αn(y)
Γ(n+ α+ 1)rn =
e−xr/1−r
(1− r)α+1∞Xk=0
Lαk (
x1−r)
Γ(k + α+ 1)
µ −yr1− r
¶k
=e−xr/1−r
(1− r)α+1∞Xk=0
(α+ 1)kk! Γ(k + α+ 1)
kXj=0
(−k)jj! (α+ 1)j
µx
1− r¶j µ −yr
1− r¶k
=e−xr/1−r
(1− r)α+1∞Xk=0
kXj=0
(−k)jΓ(j + α+ 1) j! k!
µx
1− r¶j µ −yr
1− r¶k
=e−xr/1−r
(1− r)α+1∞Xk=0
∞Xj=0
(−k − j)jΓ(j + α+ 1) j! (k + j)!
µx
1− r¶j µ −yr
1− r¶j+k
=e−xr/1−r
(1− r)α+1∞Xj=0
¡x1−r¢j
Γ(j + α+ 1) j!
∞Xk=0
¡−yr1−r¢j+k
(−1)j (k + 1)j(k + j)!
=e−xr/1−r
(1− r)α+1∞Xj=0
³xyr
(1−r)2´j
Γ(j + α+ 1) j!
∞Xk=0
¡−yr1−r¢k
k!
elde edilir. Modifiye Bessel fonksiyonu
Iα(x) =³x2
´α ∞Xk=0
¡x2
¢2kΓ(k + α+ 1) k!
seklinde gösterilir. Burada x yerine2√xyr
1− r yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Iα
µ2√xyr
1− r¶
=
µ√xyr
1− r¶α ∞X
k=0
³√xyr
1−r´2k
Γ(k + α+ 1) k!
∞Xk=0
³√xyr
1−r´2k
Γ(k + α+ 1) k!= Iα
µ2√xyr
1− r¶µ√
xyr
1− r¶−α
esitligine ulasılır. Bu esitligin asagıda yerine yazılmasıyla
∞Xn=0
n!Lαn(x) L
αn(y)
Γ(n+ α+ 1)rn =
e−xr/1−r
(1− r)α+1∞Xj=0
³xyr
(1−r)2´j
Γ(j + α+ 1) j!
∞Xk=0
¡−yr1−r¢k
k!
=e−xr/1−r
(1− r)α+1 Iαµ2√xyr
1− r¶µ√
xyr
1− r¶−α
e−yr/1−r
= (1− r)−1e−(x+y)r/(1−r)(xyr)−α2 Iα
µ2√xyr
1− r¶
39
istenilen esitlik elde edilmis olur.
2.2.11 Hankel çiftleri
Bu alt baslıkta Laguerre polinomları için elde edilen Poisson çekirdegi formülünden
yararlanarak Hankel dönüsümü ve Hankel ters dönüsümü elde edilecektir. Bunun
için
Ψn(x) =
sn!
Γ(n+ α+ 1)xα/2e−x/2Lα
n(x)
fonksiyonu ele alınsın. Bu fonksiyondan ve (2.2.26) özelliginden
∞Xn=0
Ψn(x)Ψn(y) tn =
∞Xn=0
n!
Γ(n+ α+ 1)xα/2e−x/2Lα
n(x)yα/2e−y/2Lα
n(y)tn
= (xy)α/2e−x/2e−y/2(1− t)−1e−(x+y)t/(1−t)(xyt)−α/2Iαµ2√xyt
1− t¶
= (1− t)−1e−(x+y)(1+t)/2(1−t)t−α/2Iαµ2√xyt
1− t¶
= H(x, y, t) (2.2.29)
fonksiyonu tanımlanabilir. Ayrıca f(x) yeteri kadar düzgün bir fonksiyon olsun.
Ancak bu düzgünlük sonsuzda olmasın. Bu durumda f(x) bir Fourier-Laguerre
açılımına sahiptir. Bu açılım
f(x) =∞Xn=0
AnΨn(x)
seklinde aranılabilir. Bu esitligin her iki yanı Ψm(x) ile çarpılır ve [0,∞) aralıgındaintegre edilirse
∞Z0
f(x)Ψm(x)dx =
∞Z0
∞Xn=0
AnΨn(x)Ψm(x)dx
=∞Xn=0
An
∞Z0
Ψn(x)Ψm(x)dx
= Am
elde edilir. Burada
40
∞Z0
Ψn(x)Ψm(x)dx =
⎧⎨⎩ 1 , n = m
0 , n 6= mesitliginden yararlanılmıstır. Böylece f fonksiyonu
f(x) =∞Xn=0
⎛⎝ ∞Z0
f(y)Ψn(y)dy
⎞⎠Ψn(x)
seklinde bir açılıma sahip olur. (2.2.29) esitligi f(y) ile çarpılıp [0,∞) aralıgındaintegre edilirse
∞Z0
f(y)H(x, y, t)dy =∞Xn=0
Ψn(x)
⎛⎝ ∞Z0
f(y)Ψn(y)dy
⎞⎠ tnelde edilir. Burada t→ e−πi alınmasıyla
1
2
∞Z0
f(y)eαπi/2Iα¡√xye−πi/2
¢dy =
∞Xn=0
(−1)n⎛⎝ ∞Z0
f(y)Ψn(y)dy
⎞⎠Ψn(x)
= g(x) (2.2.30)
esitligi bulunur.
Iα(x) = e−απi/2Jα(xeπi/2)
esitligi ile verilen Bessel fonksiyonu ve Modifiye Bessel fonksiyonu arasındaki esitligin
kullanılmasıyla
g(x) =1
2
∞Z0
f(y)Jα(√xy)dy (2.2.31)
elde edilir. g(x) fonksiyonu da Fourier-Laguerre açılıma sahip oldugundan ve (2.2.30)
dan dolayı∞Z0
g(x)Ψn(x)dx = (−1)n∞Z0
f(x)Ψn(x)dx
esitligine ulasılır. (2.2.30) daki benzer yaklasımla
41
1
2
∞Z0
g(x)Jα(√xy)dx =
∞Xn=0
(−1)n⎛⎝ ∞Z0
g(x)Ψn(x)dx
⎞⎠Ψn(y)
=∞Xn=0
⎛⎝ ∞Z0
f(x)Ψn(x)dx
⎞⎠Ψn(y)
= f(y) (2.2.32)
elde edilir. (2.2.31) ve (2.2.32) de x→ x2 ve y → y2 alınmasıyla
g(x2) =
∞Z0
f(y2)Jα(xy)ydy
f(y2) =
∞Z0
g(x2)Jα(xy)xdx
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(2.2.33)
Hankel çiftlerine ulasılır.
2.2.12 Laguerre polinomlarının sagladıgı bazı esitlikler
Teorem 2.2.10. Laguerre polinomları
Lα+β+1n (x+ y) =
nXk=0
Lαk (x)L
βn−k(y) (2.2.34)
esitligini gerçekler.
Ispat: Bu esitligi elde etmek için ilk satırda n yerine n+k alınır ve (2.2.4) esitliginden
yararlanılırsa
∞Xn=0
ÃnXk=0
Lαk (x)L
βn−k(y)
!rn =
∞Xn=0
à ∞Xk=0
Lαk (x)L
βn(y)
!rn+k
=
à ∞Xn=0
Lβn(y)r
n
!Ã ∞Xk=0
Lβk(y)r
k
!= (1− r)−β−1e−xr/1−r(1− r)−α−1e−yr/1−r
= (1− r)−(α+β+1)−1e−(x+y)r/1−r
42
=∞Xn=0
Lα+β+1n (x+ y)rn
elde edilir. Son esitlikte rn nin katsayılarının esitlenmesiyle istenilen sonuca ulasılır.
Teorem 2.2.11. Laguerre polinomları
Lαm+n(x)
Lαm+n(0)
=Γ(α+ 1)
Γ(α− β)Γ(β + 1)
1Z0
tβ(1− t)α−β−1Lβm(xt)
Lβm(0)
Lα−β−1n (x(1− t))Lα−β−1n (0)
dt (2.2.35)
esitligini gerçekler.
Ispat: Bu esitligi elde etmek için (2.2.2) esitliginden yararlanılabilir. Esitligin sag
tarafından baslanır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Γ(α+ 1)
Γ(α− β)Γ(β + 1)
1Z0
tβ(1− t)α−β−1Lβm(xt)
Lβm(0)
Lα−β−1n (x(1− t))Lα−β−1n (0)
dt
=Γ(α+ 1)
Γ(α− β)Γ(β + 1)
1Z0
tβ(1− t)α−β−1Ã ∞Xk=0
(−m)kk! (β + 1)k
tk xk
!
×à ∞Xl=0
(−n)ll! (α− β)l
(1− t)l xl!dt
=Γ(α+ 1)
Γ(α− β)Γ(β + 1)
∞Xk=0
∞Xl=0
(−m)kk! (β + 1)k
(−n)ll! (α− β)l
xk+l1Z0
tβ+k(1− t)α−β+l−1dt
elde edilir. Yukarıdaki son esitlikte integral Beta fonksiyonu yardımıyla hesaplanıp,
gerekli sadelestirmeler yapıldıktan sonra
∞Xk=0
∞Xl=0
(−m)kk!
(−n)ll!(α+ 1)k+l
xk+l
esitligine ulasılır. Burada k → k − l alınmasıyla
∞Xk=0
ÃkXl=0
(−n)l(−m)k−ll!(k − l)!
!xk
(α+ 1)k
elde edilir. Içerdeki toplamın degerini bulmak için
43
(1− x)−a(1− x)−b = (1− x)−(a+b)
esitliginde fonksiyonların seri açılımları yazılırsaà ∞Xk=0
(a)kk!xk
!Ã ∞Xn=0
(b)nn!xn
!=
à ∞Xn=0
(a+ b)nn!
xn
!
esitligi saglanır. Burada n→ n− k alınıp xn nin katsayılarının esitlenmesiylenXk=0
(a)k(b)n−kk!(n− k)! =
(a+ b)nn!
esitligine ulasılır. Bu esitligin yukarıdaki çift toplamda kullanılmasıyla
∞Xk=0
∞Xl=0
(−m)kk!
(−n)ll!(α+ 1)k+l
xk+l =∞Xk=0
(−m− n)kk!(α+ 1)k
xk
=Lαm+n(x)
Lαm+n(0)
esitligine ulasılır. Böylece ispat tamamlanır. (2.2.34) te y = 0 ve β → β − α − 1alınmasıyla
Lβn(x) =
nXk=0
Lαk (x)L
β−α−1n−k (0)
=nXk=0
Γ(n− k + β − α)
Γ(n− k + 1)Γ(β − α)Lαk (x) (2.2.36)
esitligi saglanır. (2.2.36) esitliginin her iki tarafı Lαm(x)x
αe−x ile çarpılır ve [0,∞) daintegre edilirse
∞Z0
Lβn(x)L
αm(x)x
αe−xdx =nXk=0
Γ(n− k + β − α)
Γ(n− k + 1)Γ(β − α)
∞Z0
Lαk (x)L
αm(x)x
αe−xdx
=Γ(n−m+ β − α)
Γ(n−m+ 1)Γ(β − α)
Γ(α+m+ 1)
Γ(m+ 1)
esitligi saglanır. Burada m→ k alınmasıyla
44
∞Z0
Lβn(x)L
αk (x)x
αe−xdx =Γ(n− k + β − α)
Γ(n− k + 1)Γ(β − α)
Γ(α+ k + 1)
Γ(k + 1)(2.2.37)
esitligi elde edilir. Burada xα−βLαk (x) fonksiyonu L
βn(x) ler cinsinden seriye açılırsa
xα−βLαk (x) =
∞Xn=0
AnLβn(x)
esitligi yazılabilir. Bu esitligin her iki yanı Lβm(x)x
βe−x ile çarpılır ve [0,∞) ara-lıgında integre edilirse
∞Z0
Lβm(x)L
αk (x)x
αe−xdx = Am
∞Z0
Lβm(x)L
βm(x)x
βe−xdx
= AmΓ(β +m+ 1)
m!
esitligine ulasılır. Bu son esitlikten ve (2.2.37) den dolayı
An =Γ(n− k + β − α)Γ(α+ k + 1)Γ(n+ 1)
Γ(n− k + 1)Γ(β − α)Γ(k + 1)Γ(β + n+ 1)
elde edilir. Böylece
xα−βLαk (x) =
∞Xn=0
Γ(n− k + β − α)Γ(α+ k + 1)Γ(n+ 1)
Γ(n− k + 1)Γ(β − α)Γ(k + 1)Γ(β + n+ 1)Lβn(x)
esitligine ulasılır. Ancak bu toplamdaki Γ(n − k + 1) ifadesinin tanımlı olması içinn ≥ k olmalıdır. Bu yüzden toplam k dan baslatılırsa
xα−βLαk (x) =
∞Xn=k
Γ(n− k + β − α)Γ(α+ k + 1)Γ(n+ 1)
Γ(n− k + 1)Γ(β − α)Γ(k + 1)Γ(β + n+ 1)Lβn(x) (2.2.38)
esitligi saglanır.
Teorem 2.2.12. c > (λ − 2α − 1)/2 , α,λ > −1 esitsizlikleri saglanmak üzere, anve bn asagıdaki gibi verilsin.
45
an =
∞Z0
xcf(x)Lαn(x)x
αe−xdx , n = 0, 1, 2, ..., N
bn =
∞Z0
f(x)Lλn(x)x
λe−xdx , n = N + 1, N + 2, ...
ve β = α+ c ise
f(x) =NXn=0
nXk=0
Γ(n− k + β − α)
Γ(n− k + 1)Γ(β − α)ak
Γ(n+ 1)
Γ(n+ β + 1)Lβn(x)
+∞X
n=N+1
∞Xk=n
Γ(k − n+ λ− β)Γ(k + 1)
Γ(k − n+ 1)Γ(λ− β)Γ(λ+ k + 1)bkL
βn(x)
seklinde seriye açılabilir.
Ispat:
f(x) =NXn=0
AnLβn(x) +
∞Xn=N+1
BnLβn(x)
seklinde bir Laguerre açılıma sahip olsun. (2.2.36) nın her iki yanı xβe−xf(x) ile
çarpılıp [0,∞) aralıgında integre edilirse
nXk=0
Γ(n− k + β − α)
Γ(n− k + 1)Γ(β − α)
∞Z0
f(x)Lαk (x)x
βe−xdx =
∞Z0
f(x)Lβn(x)x
βe−xdx
nXk=0
Γ(n− k + β − α)
Γ(n− k + 1)Γ(β − α)ak =
∞Z0
f(x)Lβn(x)x
βe−xdx
elde edilir. (2.2.38) den dolayı
∞Xk=n
Γ(k − n+ λ− β)Γ(n+ β + 1)Γ(k + 1)
Γ(k − n+ 1)Γ(λ− β)Γ(λ+ k + 1)Γ(n+ 1)bk =
∞Z0
f(x)Lβn(x)x
βe−xdx
esitligi yazılabilir. Yukarıdaki f(x) esitliginin her iki yanı xβe−xLβk(x) ile çarpılıp,
[0,∞) aralıgında integre edildigi zaman
46
An =nXk=0
Γ(n− k + β − α)
Γ(n− k + 1)Γ(β − α)ak
Γ(n+ 1)
Γ(n+ β + 1)
Bn =∞Xk=n
Γ(k − n+ λ− β)Γ(k + 1)
Γ(k − n+ 1)Γ(λ− β)Γ(λ+ k + 1)bk
katsayılarına ulasılır. c > (λ− 2α − 1)/2 esitsizligine β > −1 esitsizligini saglamakiçin gereksinim vardır. Böylece istenilen sonuç elde edilir.
47
3. JACOBI POLINOMLARI
3.1 Jacobi Polinomlarının Gram Determinantları ile Elde Edilmesi
Eger
cn =
bZa
xndα(x)
dα(x) dagılımına göre momentler ise, o zaman alttaki Pn(x) polinomları (a, b) ara-
lıgında dα(x) dagılımına göre ortogonaldir.
Pn(x) =
¯¯¯¯
c0 c1 c2 . . . cn
c1 c2 c3 . . . cn+1...
......
...
cn−1 cn−2 cn−3 . . . c2n−1
1 x x2 . . . xn
¯¯¯¯
(3.1)
Bu bölümde Jacobi polinomlarının hipergeometrik formunu Gram determinantları
yardımıyla bulmak için ilk önce asagıdaki teorem verilmelidir.
Teorem 3.1. {Φn}∞0 lineer bagımsız fonksiyonların bir dizisi olsun. {Pn(x)} fonksi-yonları asagıdaki gibi verilsin.
Pn(x) = Cn
¯¯¯¯
μ0,0 μ0,1 μ0,2 . . . μ0,n
μ1,0 μ1,1 μ1,2 . . . μ1,n...
......
...
μn−1,0 μn−1,1 μn−1,2 . . . μn−1,n
Φ0 Φ1 Φ2 . . . Φn
¯¯¯¯
(3.2)
Burada
μi,j =
bZa
Φi(x)Φj(x)dα(x)
ve Cn bir sabittir. Bu durumda
48
bZa
Pn(x)Φm(x)dα(x) = 0 , m < n
esitligi saglanır. (Burada α(x) in pozitif bir ölçü olmasına gerek yoktur, fakat tüm
integrallerin varlıgına ihtiyaç vardır.)
Ispat: (3.2) determinantı son satıra göre açılırsa determinant
Pn(x) = Cn
nXk=0
AkΦk(x)
seklinde yazılabilir. Bu esitligin her iki tarafı Φm(x) ile çarpılıp, (a, b) aralıgında
integre edilirse
bZa
Pn(x)Φm(x)dα(x) =
bZa
ÃCn
nXk=0
AkΦk(x)
!Φm(x)dα(x)
= Cn
nXk=0
Akμm,k (3.3)
esitligi saglanır. Burada m ≤ n − 1 için (3.3) ün sag tarafı iki satırı aynı olan birdeterminant oldugundan, determinantın degeri sıfırdır. Bu da teoremi ispatlar.
Sonuç 3.1. {Φn}∞0 ve {Ψn}∞0 in iki dizi oldugu kabul edilsin. Pn(x) polinomu (3.2)deki gibi tanımlansın.
μi,j =
bZa
Ψi(x)Φj(x)dα(x)
olmak üzerebZa
Pn(x)Ψm(x)dα(x) = 0 , m < n
dır.
Agırlık fonksiyonunun (−1, 1) aralıgı üzerinde α0(x) = (1−x)α(1+x)β oldugu durumgözönüne alınsın. Amaç Pn(x) polinomunu bulmaktır. Bunun için Φk(x) = (1− x)kve Ψk(x) = (1 + x)
k fonksiyonları seçilsin. Φk(x) ve Ψk(x) polinomlarının derecesi
49
k olan diger seçimleride ise yarar. Bu seçimlerde hesaplamalar daha basittir. Simdi
μi,j hesaplanılabilir.
μi,j =
1Z−1
(1− x)α+j(1 + x)β+idx
integralinde 1− x = 2t dönüsümünün ve Beta fonksiyonunun kullanılmasıyla
μi,j = 2α+β+i+1Γ(α+ 1)Γ(β + i+ 1)
Γ(α+ β + i+ 2)
2j(α+ 1)j(α+ β + i+ 2)j
(3.4)
elde edilir.
Teorem 3.2. Pn(x) polinomu (3.2) ile μi,j momentleri ise (3.4) deki gibi verilsin.
Bu durumda Pn(x) polinomu,
P (α,β)n (x) =(α+ 1)nn!
2F1
⎛⎝ −n , n+ α+ β + 1
α+ 1;1− x2
⎞⎠ (3.5)
seklinde tanımlanan Jacobi polinomlarının sabit katıdır.
Ispat: Her bir sıradan, i = 0, 1, ..., n − 1 için (3.4) deki ilk çarpan çıkarılsın ve oCn ile absorbe edilsin. O, Cn olarak adlandırmaya devam edilebilir. Böylece o bir
satırdan bir sonraki satıra degisebilir. Her bir kolondan j = 0, 1, ..., n için 2j(α+1)j
çarpan çıkarılırsa sonuçta olusan determinant sudur:
Cn
¯¯¯¯
μ0,0 μ0,1 μ0,2 . . . μ0,n
μ1,0 μ1,1 μ1,2 . . . μ1,n...
......
...
μn−1,0 μn−1,1 μn−1,2 . . . μn−1,n
Φ0 Φ1 Φ2 . . . Φn
¯¯¯¯
Burada μi,j =1
(α+β+i+2)jve Φj(x) =
(1−x)j2j(α+1)j
dir. Son satıra göre determinant açılırsa
Cn
nXk=0
(−1)k(α+ 1)k
µ1− x2
¶kdet(μi,j)0≤i≤n−1,0≤j≤n,j 6=k
50
elde edilir. Burada A = α + β + 2 olarak adlandırılsın. Simdi yapılması gereken
asagıdaki determinantı hesaplamaktır.
∆(A,n, k) = det
µ1
(A+ i)j
¶0≤i≤n−1,0≤j≤n,j 6=k
∆(A, 0, 0) = 1
k 6= 0 oldugunda bu determinanttaki ilk kolon birlerden olusur. Bundan dolayı n.
satırdan (n − 1). satır, (n − 1). satırdan (n − 2). satır çıkarılsın. Bu sekilde devamedilirse birinci kolon (1, 0, 0, ..., 0) vektöründen olusur. Böylece birinci kolona göre
determinant açılırsa
∆(A,n, k) = det
µ1
(A+ i+ 1)j+1− 1
(A+ i)j+1
¶0≤i≤n−1,0≤j≤n−1,j 6=k−1
elde edilir. Fakat
1
(A+ i+ 1)j+1− 1
(A+ i)j+1=
1
(A+ i)j+2[(A+ i)− (A+ i+ j + 1)]
=−(j + 1)(A+ i)j+2
=−(j + 1)
(A+ i)(A+ i+ 1)(A+ i+ 2)j
olup, yukarıdaki esitlikte yerine yazıldıgında
∆(A,n, k) = det
µ −(j + 1)(A+ i)(A+ i+ 1)(A+ i+ 2)j
¶0≤i≤n−2,0≤j≤n−1,j 6=k−1
elde edilir. −(j + 1), j. kolonda sıradan çarpan, 1(A+i)(A+i+1)
, i. satırda sıradan
oldugundan determinantın dısına çıkarılabilir. Böylece
∆(A,n, k) =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣(−1)n−1
n−1Yj=0, j 6=k−1
(j + 1)
n−2Yi=0
(A+ i)(A+ i+ 1)
∆(A+ 2, n− 1, k − 1)
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦=
(−1)n−1n!k(A)n−1(A+ 1)n−1
∆(A+ 2, n− 1, k − 1)
51
sonucuna ulasılır. Bu islemler k defa tekrarlanırsa
∆(A,n, k) =
(1
k!
k−1Ys=0
(−1)n−s−1(n− s)!(A+ 2s)n−s−1(A+ 2s+ 1)n−s−1
)∆(A+ 2k, n− k, 0) (3.6)
elde edilir. k 6= 0 kabul edilmisti. Eger parantez içindekini 1 kabul edersek üsttekidenklemler k = 0 için saglanır. ∆(A+2k, n− k, 0) determinantında sütun indeksi j,0 dan degilde 1 den (n− k) ya kadardır. Bu nedenle
∆(A+ 2k, n− k, 0) = det
µ1
(A+ i+ 2k)j+1
¶0≤i≤n−k−1,0≤j≤n−k−1
= det
µ1
(A+ i+ 2k)(A+ i+ 2k + 1)j+1
¶0≤i≤n−k−1,0≤j≤n−k−1
=∆(A+ 2k + 1, n− k, n− k)
(A+ 2k)n−k
seklinde yazılır. Bu esitligin ve (3.6) nın birlikte düsünülmesiyle
∆(A,n, k) =(A+ n− 1)k
(A+ n− 1)nk!(n− k)!n−1Ys=0
(−1)n−s−1(n− s)!(A+ 2s)n−s−1(A+ 2s+ 1)n−s−1
elde edilir. Çarpımdaki sadece n ye baglı ifadeleri Cn ile absorbe edilirse
Pn(x) = Cn
nXk=0
(−1)k(A+ n− 1)k(α+ 1)kk!(n− k)!
µ1− x2
¶k
=Cnn!
2F1
⎛⎝ −n , n+ α+ β + 1
α+ 1;1− x2
⎞⎠elde edilir. Cn = (α+1)n seçilirse, bu Jacobi polinomlarının hipergeometrik gösteri-
mini verir.
3.2 Jacobi Polinomları için Bazı Esitlikler ve Diferensiyel Denklem
Bu kısımda Jacobi polinomlarının asagıdaki esitligi sagladıgı gösterilecektir.
d
dxP (α,β)n (x) =
n+ α+ β + 1
2P(α+1,β+1)n−1 (x) (3.7)
52
Bu esitligi göstermek için P (α,β)n (x) yerine (3.5) esitliginin yazılmasıyla
d
dxP (α,β)n (x) =
d
dx
"(α+ 1)nn!
∞Xk=0
(−n)k(n+ α+ β + 1)k(α+ 1)k k!
µ1− x2
¶k#
=(α+ 1)nn!
∞Xk=0
−k2
(−n)k(n+ α+ β + 1)k(α+ 1)k k!
µ1− x2
¶k−1
esitligi saglanır. Burada k yerine (k + 1) alınır, gerekli düzenlemeler yapılırsa
d
dxP (α,β)n (x) =
−12
(α+ 1)nn!
∞Xk=0
(−n)k+1(n+ α+ β + 1)k+1(α+ 1)k+1 k!
µ1− x2
¶k=−12
(α+ 1)nn!
×∞Xk=0
(−n)(−n+ 1)k (n+ α+ β + 1)(n+ α+ β + 2)k(α+ 1)(α+ 2)k k!
µ1− x2
¶k=
1
2
(α+ 2)n−1(n− 1)! (n+ α+ β + 1)
∞Xk=0
(−n+ 1)k (n+ α+ β + 2)k(α+ 2)k k!
µ1− x2
¶k=
n+ α+ β + 1
2P(α+1,β+1)n−1 (x)
elde edilir. Böylece istenen esitlik elde edilmis olur. Simdi Jacobi diferensiyel denk-
lemini bulalım.
x(1− x)y00 + [c− (a+ b+ 1)x] y0 − aby = 0
denkleminin bir çözümü 2F1(a, b; c;x) dir. Bu denkleme x =1− u2
dönüsümü
yapılırsa
(1− u2)y00 − 2∙c− (a+ b+ 1)
µ1− u2
¶¸y0 − aby = 0
denklemi elde edilir. Bu denklemin bir çözümü ise 2F1
µa, b; c;
1− u2
¶dir. Buna göre
bir çözümü y = P (α,β)n (x) olan diferensiyel denklem
(1− x2)y00 + [β − α− (α+ β + 2)x] y0 + n(n+ α+ β + 1)y = 0 (3.8)
dir. (3.5) den elde edilen baska bir sonuçda P (α,β)n (x) de xn nin katsayısının bulun-
masıdır. Bu katsayı
53
(α+ β + n+ 1)nn!2n
(3.9)
dir.
3.3 Jacobi Polinomları için Dogurucu Fonksiyon
Bu kısımda ilk olarak Jacobi polinomları için dogurucu fonksiyonu bulmada yardımcı
olacak teoremler verilmelidir.
Teorem 3.3.
G(x) =∞X
j=−majx
j ve h(x) =∞Xi=1
bixi , b1 6= 0
fonksiyonları ele alındıgında
Re s[G(h(x))h0(x)] = Re s[G(x)]
esitligi saglanır.
Ispat: Esitligin her iki tarafı G de lineer oldugundan, ispat için G(x) = xm almak
yeterlidir. Herhangi bir g(x) fonksiyonunun Laurent serisi için Re s[g0(x)] = 0 dır.
m 6= −1 için
Re s[hm(x)h0(x)] =
1
m+ 1Re s[
©hm+1(x)
ª0] = 0 = Re s[G(x)]
dir. m = −1 için, h(x) = b1xf(x) seklinde alınırsa
Re s
∙h0(x)
h(x)
¸= Re s
∙1
x+f0(x)
f(x)
¸= 1 + Re s[{ln f(x)}0 ]= 1 = Re s[G(x)]
elde edilir. Böylece teorem ispatlanmıs olur.
Teorem 3.4. Φ(y), y = x in bir komsulugunda analitik ve r bir parametre olmak
54
üzere
r =y − xΦ(y)
=∞Xn=1
an(y − x)n , a1 6= 0 (3.10)
esitligini saglasın. f(y), y = x in komsulugunda analitik ise f(y), r nin kuvvetlerine
göre
f(y) = f(x) +∞Xn=1
rn
n!
dn−1
dxn−1(f 0(x)(Φ(x))n) (3.11)
biçiminde bir açılıma sahiptir.
Ispat: f(y) fonksiyonu r nin kuvvetlerine göre
f(y) = f(x) +∞Xn=1
cnrn
seklinde seriye açılsın. Bu esitligin y ye göre türevi alınırsa
f0(y) =
∞Xn=1
ncnrn−1 drdy
elde edilir. Burada
G(y) =∞Xn=1
ncnyn−1
fonksiyonu tanımlansın. Bundan dolayı
Re s
∙f0(y)Φm(y)
(y − x)m¸= Re s
∙f0(y)
rm
¸= Re s
"G(r) dr
dy
rm
#
esitligi yazılabilir. Teorem 3.3 den dolayı
Re s
∙f0(y)Φm(y)
(y − x)m¸= Re s
∙G(y)
ym
¸= mcm
esitligi saglanır. Ayrıca f0(y)Φm(y) fonksiyonunun y = x deki seri açılımı
55
f0(y)Φm(y) =
∞Xn=0
(y − x)nn!
dn
dyn
hf0(y)Φm(y)
i¯y=x
seklinde yazılabilir. Bundan dolayı
Re s
∙f0(y)Φm(y)
(y − x)m¸=
1
(m− 1)!dm−1
dym−1
hf0(y)Φm(y)
i¯y=x
=1
(m− 1)!dm−1
dxm−1
hf0(x)Φm(x)
iesitligi saglanır. Burada
Re s
∙f0(y)Φm(y)
(y − x)m¸= mcm =
1
(m− 1)!dm−1
dxm−1
hf0(x)Φm(x)
iesitliginden
cm =1
m!
dm−1
dxm−1
hf0(x)Φm(x)
iesitligi gerçeklenir. Böylece teorem ispatlanmıs olur.
Teorem 3.5. R = (1− 2xr + r2)1/2 olmak üzere
F (x, r) = 2α+βR−1(1− r +R)−α(1 + r +R)−β (3.12)
fonksiyonu P (α,β)n (x) Jacobi polinomları için bir dogurucu fonksiyondur.
Ispat: (3.10) da Φ(y) =y2 − 12
alınırsay − xr
=y2 − 12
esitliginden y ye göre ikinci
dereceden denklemin çözümünden
y =1
r− Rr
elde edilir. (3.11) de her iki tarafın x e göre türevi alınırsa
f0(y)dy
dx= f
0(x) +
∞Xn=1
rn
n!
dn
dxn(f 0(x)(Φ(x))n)
esitligine ulasılır. Yukarıdaki esitlikte f0(x) = (1− x)α(1 + x)β alınırsa
56
(1− y)α(1 + y)β 1R= (1− x)α(1 + x)β +
∞Xn=1
rn
n!
dn
dxn
µ(1− x)α(1 + x)β
µx2 − 12
¶n¶
esitligi yazılabilir. Jacobi polinomları için Rodrigues formülü
(1− x)α(1 + x)βP (α,β)n (x) =(−1)n2nn!
dn
dxn©(1− x)α+n(1 + x)β+nª
olarak bilinmektedir. Yukarıdaki esitligin (1− x)α(1 + x)β bölünüp, Rodrigues for-mülünün kullanılmasıyla
1
R
µ1− y1− x
¶αµ1 + y
1 + x
¶β
= 1 +∞Xn=1
rn(−1)nn! 2n(1− x)α(1 + x)β
dn
dxn¡(1− x)α+n(1 + x)β+n¢
= 1 +∞Xn=1
P (α,β)n (x)rn =∞Xn=0
P (α,β)n (x)rn
elde edilir.1− y1− x =
2
1− r +R ve1 + y
1 + x=
2
1 + r +Resitlikleri yukarıda yerlerine
yazılmasıyla
F (x, r) = 2α+βR−1(1− r +R)−α(1 + r +R)−β =∞Xn=0
P (α,β)n (x)rn (3.13)
esitligi bulunur. (3.13) esitligini kullanarak Jacobi polinomlarının ortogonalligini
göstermek kolay degildir. Ancak α = β = 0 durumunda ortaya çıkan Legendre
polinomları için ispat daha kolaydır. (3.13) den yararlanılırsa
1Z−1
∞Xm,n=0
Pn(x)Pm(x)rnrmdx =
1Z−1
dx√1− 2xr + r2√1− 2xs+ s2
=1√rsln
∙1 +√rs
1−√rs¸
esitligi yazılabilir. Son satırdaki fonksiyon seriye açılırsa
1√rsln
∙1 +√rs
1−√rs¸=
∞Xm=0
2
2m+ 1(rs)m =
1Z−1
∞Xm,n=0
Pn(x)Pm(x)rnrmdx
57
elde edilir. Bu esitligin saglanması için
1Z−1
Pn(x)Pm(x)dx =
⎧⎨⎩ 0 ,m 6= n2
2m+1,m = n
esitliginin saglanması gerekir. Bu ise Legendre polinomlarının ortogonalligini gös-
terir. Jacobi polinomlarının ortogonalligi daha kolay yoldan ispatlanılabilir.
Teorem 3.6. EgernP(α,β)n (x)
o, (3.13) deki gibi tanımlanırsa,
nP(α,β)n (x)
opolinom-
ları (1−x)α(1+x)β agırlık fonksiyonuna göre (−1, 1) aralıgında ortogonal bir dizidir.Ayrıca bunun terside dogrudur.
Ispat: Burada
Im =
1Z−1
xmF (x, r)(1− x)α(1 + x)βdx
=∞Xn=0
rn
⎧⎨⎩1Z
−1
xmP (α,β)n (x)(1− x)α(1 + x)βdx⎫⎬⎭
integrali ele alınsın. (1− 2xr+ r2)1/2 = 1− ry veya x = y+ r2(1− y2) dönüsümü Im
integralinde kullanılırsa
Im =
1Z−1
hy +
r
2(1− y2)
im(1− y)α(1 + y)βdy
esitligine ulasılır. Açıktır ki Im polinomu r ye göre m. derecedendir. Bu yüzden
1Z−1
xmP (α,β)n (x)(1− x)α(1 + x)βdx = 0 , n = m+ 1, m+ 2, ...
esitligi saglanır. Bundan dolayı
1Z−1
P (α,β)m (x)P (α,β)n (x)(1− x)α(1 + x)βdx = 0 , n 6= m
58
esitligi gerçeklenir. Tersine Im integrali aynı sekilde tanımlansın. Aynı degisken
degistirilmesiyle
Im =
1Z−1
hy +
r
2(1− y2)
imF (x, r)
∙1− r + 1− ry
2
¸α ∙1 + r + 1− ry
2
¸β×(1− ry)(1− y)α(1 + y)βdy
elde edilir. Bu Im integrali, C sabit olmak üzere, eger
F (x, r) = C(1− ry)−1(1− r + 1− ry)−α(1 + r + 1− ry)−β
alınırsa r ye göre m. derecedendir. F (x, r) de x = 1 alınırsa
F (1, r) =∞Xn=0
P (α,β)n (1)rn =∞Xn=0
(α+ 1)nn!
rn
(1− r)−α−1 = C2−α−β(1− r)−α−1
esitliginden C = 2α+β bulunur. Bu da ispatı tamamlar.
Hatırlatma. Son teorem, (1−x)α(1+x)βdx dagılımına göre ortogonal polinomlarıbulmada baska bir yol verir. Bu polinomlar (3.13) de üretici fonksiyon olarak verilen
F (x, r) ye sahip olmalılar. Ayrıca
(1− x)α(1 + x)βP (α,β)n (x) =(−1)n2nn!
dn
dxn©(1− x)α+n(1 + x)β+nª
Rodrigues formülünü saglamalılar. α = β oldugu zaman (3.13) den basit bir üretici
fonksiyon bulunur. Yeni üretici fonksiyon Jacobi polinomlarının bir alt sınıfı olan
ultraküresel polinomların özelliklerini elde etmede kullanılır. Bu üretici fonksiyonu
bulmak için Poisson çekirdeginden hareket edilmelidir.
3.4 Jacobi Polinomları için Poisson Çekirdegi
Üretici fonksiyonu bulmak için Jacobi polinomlarının normu olan
59
hk =
1Z−1
P(α,β)k (x)P
(α,β)k (x)(1− x)α(1 + x)βdx
=2α+β+1Γ(k + α+ 1)Γ(k + β + 1)
(2k + α+ β + 1)Γ(k + α+ β + 1)Γ(k + 1)
esiliginden yararlanılmalıdır.
∞Xk=0
P(α,β)k (x)P
(α,β)k (y)
hkrk (α,β > −1) (3.14)
Poisson çekiregi ile baslanılsın. (3.14) de y = 1 alınırsa
∞Xk=0
P(α,β)k (x)P
(α,β)k (1)
hkrk =
Γ(α+ β + 1)
2α+β+1Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
×∞Xk=0
(2k + α+ β + 1)(α+ β + 1)k P(α,β)k (x)
(β + 1)krk
elde edilir. Bir çarpan hariç, son toplam asagıdakinin r ye göre türevinden elde edilir.
rα+β+1
2
∞Xk=0
(α+ β + 1)k P(α,β)k (x)
(β + 1)krk
Bu toplamda1 + x
2nin kuvvetlerine göre P (α,β)n (x) in hipergeometrik seri açılımı
P (α,β)n (x) =(−1)n(β + 1)n
n!2F1
⎛⎝ −n , n+ α+ β + 1
1 + β;1 + x
2
⎞⎠yazılırsa
∞Xn=0
(α+ β + 1)n P(α,β)n (x)
(β + 1)nrn =
∞Xn=0
nXk=0
(α+ β + 1)n+k (−1)n+k(n− k)!k!(β + 1)k
µ1 + x
2
¶krn
elde edilir. Burada n yerine n+ k alınır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
∞Xn=0
(α+ β + 1)n P(α,β)n (x)
(β + 1)nrn =
∞Xn=0
∞Xk=0
(α+ β + 1)n+2k (−1)nn!k!(β + 1)k
µ1 + x
2
¶krn+k
60
=∞Xk=0
∞Xn=0
(α+ β + 1 + 2k)n (−1)nrnn!
µ1 + x
2
¶k×(α+ β + 1)2k r
k
k!(β + 1)k
=∞Xk=0
µ1 + x
2
¶k(α+ β + 1)2k r
k
k!(β + 1)k(1 + r)α+β+1+2k
elde edilir. Son satır yazılırken1
(1 + r)α+β+1+2kfonksiyonunun seri açılmından fay-
dalanılmıstır.
(a)2k = 22k³a2
´k
µa+ 1
2
¶k
esitligi kullanılırsa
∞Xn=0
(α+ β + 1)n P(α,β)n (x)
(β + 1)nrn =
1
(1 + r)α+β+1
∞Xk=0
µ1 + x
2
¶k 22k(α+β+12)k (
α+β+22)k r
k
k!(β + 1)k(1 + r)2k
elde edilir. Bundan dolayı
∞Xn=0
(α+ β + 1)n P(α,β)n (x)
(β + 1)nrn =
1
(1 + r)α+β+12F1
⎛⎝ α+β+12
, α+β+22
β + 1;2r(x+ 1)
(1 + r)2
⎞⎠(3.15)
esitligi bulunur. Bu da baslangıçta hedeflenen bir üreteci fonksiyondur. α = β
oldugunda
∞Xn=0
(2α+ 1)n P(α,α)n (x)
(α+ 1)nrn =
1
(1 + r)2α+12F1
⎛⎝ 2α+12
, 2α+22
α+ 1;2r(x+ 1)
(1 + r)2
⎞⎠=
1
(1 + r)2α+1
³1− 2r(x+1)
(1+r)2
´−α−1/2= (1− 2xr + r2)−α−1/2 (3.16)
elde edilir.
3.5 Ultraküresel Polinomlar
(3.16) da α = β = λ− 12alınmasıyla toplamdaki rn nin katsayısı
61
Cλn(x) =
(2λ)n(λ+ 1
2)nP(λ− 1
2,λ− 1
2)
n (x) (3.17)
ultraküresel polinomlar olarak tanımlanır. Bu polinomların dogurucu fonksiyonu
∞Xn=0
Cλn(x)r
n = (1− 2xr + r2)−λ (3.18)
dir. λ = 0 oldugunda Cλn(x) ≡ 0 dır. Bu yüzden λ = 0 durumunda Cλ
n(x) içeren
formüllerde λ→ 0 olarak düsünülmelidir. Cλn(x) polinomları ultraküresel polinomlar
yada Gegenbauer polinomları olarak isimlendirilir. λ > −12oldugunda (1− x2)λ−1/2
agırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan polinomlardır. Cλn(x) için önemli bir ifade,
üretici fonksiyondan elde edilir. (3.18) de x = cos θ alınıp
1− 2r cos θ + r2 = (1− reiθ)(1− re−iθ)
esitliginden yararlanılırsa
(1− 2r cos θ + r2)−λ = (1− reiθ)−λ(1− re−iθ)−λ
elde edilir. Sag taraftaki fonksiyonların seri açılımlarını yazıp, n yerine n−k alınırsa
(1− reiθ)−λ(1− re−iθ)−λ =
à ∞Xn=0
(λ)nn!(reiθ)n
!Ã ∞Xk=0
(λ)kk!(re−iθ)k
!
=∞Xn=0
ÃnXk=0
(λ)n−k(λ)k(n− k)!k! e
i(n−2k)θ!rn
esitligi saglanır. Son toplamdan ve (3.18) den
Cλn(cos θ) =
nXk=0
(λ)n−k(λ)k(n− k)!k! e
i(n−2k)θ
=nXk=0
(λ)n−k(λ)k(n− k)!k! cos(n− 2k)θ (3.19)
esitligi yazılır. Burada sadece cos(n − 2k)θ alınmasının nedeni Cλn(cos θ) nın reel
olmasıdır. Bu yüzden ei(n−2k)θ nın reel kısmı alınmıstır.
62
λ > 0 oldugu zaman (3.19) dan
¯Cλn(cos θ)
¯ ≤ Cλn(1) =
(2λ)nn!
esitligi yazılabilir.
3.6 Ultraküresel Polinomların Hipergeometrik Fonksiyonlar ile Gösterimi
Cλn(x) için bir baska hipergeometrik gösterim elde edilebilir. Bunun için Cλ
n(x) için
dogurucu fonksiyondan yararlanılırsa
(1− 2xr + r2)−λ = (1 + r2)−λµ1− 2xr
1 + r2
¶−λ
elde edilir. Yukarıdaki esitlikteµ1− 2xr
1 + r2
¶−λnın seri açılımı yazılır ve gerekli
düzenlemeler yapılırsa
(1− 2xr + r2)−λ =∞Xn=0
(λ)nn!
(2xr)n
(1 + r2)λ+n
esitligi saglanır. Burada1
(1 + r2)λ+nseri açılımından yararlanılır, n→ n− 2k alınır
ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
(1− 2xr + r2)−λ =∞Xn=0
∞Xk=0
(λ)n(λ+ n)kk! n!
(−1)k(2x)nrn+2k
=∞Xn=0
∞Xk=0
(λ)k+nk! n!
(−1)k(2xr)nr2k
=∞Xn=0
(λ)nn!(2x)nrn 2F1
⎛⎝ −n2
, 1−n2
1− n− λ;1
x2
⎞⎠bulunur. Burada rn nin katsayılarının esitlenmesiyle
Cλn(x) =
(λ)nn!(2x)n 2F1
⎛⎝ −n2
, 1−n2
1− n− λ;1
x2
⎞⎠ (3.20)
elde edilir.
63
3.7 Ultraküresel Polinomlar ve Jacobi Polinomları Arasındaki Iliskiler
Ultraküresel polinomlar, Jacobi polinomlarının özel durumları olsalar da, onların
büyük önemleri, bazı özelliklerini dikkat etmemize ve bazı özelliklerini kanıtlamamızı
zorunlu hale getirir. Ultraküresel polinomlar λ→ 0 için incelenecektir.
Tn(x) =n!
(1/2)nP(−1/2,−1/2)n (x) birinci tür Chebyshev polinomları olmak üzere, asagıda
Cλn(x) yerine (3.17) deki esiti yazılırsa
limλ→0
n+ λ
λCλn(x) = lim
λ→0n+ λ
λ
(2λ)n(λ+ 1/2)n
P (λ−1/2,λ−1/2)n (x)
= 2 limλ→0
n+ λ
λ
(2λ)(2λ+ 1)...(2λ+ n− 1)(λ+ 1/2)(λ+ 3/2)...(λ+ n− 1/2)P
(λ−1/2,λ−1/2)n (x)
= 2n!
(1/2)nP (−1/2,−1/2)n (x)
= 2Tn(x) , n = 1, 2, ...
elde edilir. n = 0 için
limλ→0
Cλ0 (x) = 1
dir. Böylece
limλ→0
n+ λ
λCλn(x) =
⎧⎨⎩ 1 , n = 0
2Tn(x) , n = 1, 2, ...(3.21)
elde edilir. Ayrıca Cλn(x) yerine (3.17) deki esiti yazılırsa
limλ→0
Cλn(x)
Cλn(1)
= limλ→0
(2λ)n(λ+1/2)n
P(λ−1/2,λ−1/2)n (x)
(2λ)nn!
= limλ→0
n!
(λ+ 1/2)nP (λ−1/2,λ−1/2)n (x)
=n!
(1/2)nP (−1/2,−1/2)n (x) = Tn(x) (3.22)
esitligi saglanır. λ→∞ oldugunda Cλn(x) yerine (3.20) deki esiti yazılırsa
limλ→∞
Cλn(x)
Cλn(1)
= limλ→∞
n!
(2λ)n
(λ)nn!(2x)n 2F1
⎛⎝ −n2 , 1−n2
1− n− λ;1
x2
⎞⎠
64
= limλ→∞
(x)n 2F1
⎛⎝ −n2 , 1−n2
1− n− λ;1
x2
⎞⎠= xn (3.23)
esitligi elde edilir.
3.8 Ultraküresel Polinomlar için Rodrigues Formülü
Jacobi polinomları için bilinen Rodrigues formülünde α = β = λ− 12alınırsa
(1− x2)λ−1/2P (λ−1/2,λ−1/2)n (x) =(−1)n2nn!
dn
dxn¡1− x2¢λ+n−1/2
elde edilir. Yukarıdaki esitligin her iki tarafı(2λ)n
(λ+ 1/2)nile çarpılıp düzenlenirse
(1− x2)λ−1/2Cλn(x) =
(−2)n(λ)nn!(n+ 2λ)n
dn
dxn¡1− x2¢λ+n−1/2 (3.24)
ultraküresel polinomlar için Rodrigues formülü elde edilmis olur.
3.9 Ultraküresel Polinomlar için Rekürans Bagıntıları
(3.18) esitliginin her iki tarafının x e göre türevi alınırsa
∞Xn=0
dCλn(x)
dxrn = 2rλ(1− 2xr + r2)−λ−1
= 2rλ∞Xn=0
Cλ+1n (x)rn , n→ n− 1
= 2λ∞Xn=1
Cλ+1n−1(x)r
n
elde edilir. Burada rn nin katsayılarının esitlenmesiyle
dCλn(x)
dx= 2λCλ+1
n−1(x) , n ≥ 1 (3.25)
rekürans bagıntısı elde edilir. BuradadCλ
0 (x)
dx= 0 dır. (3.18) esitliginin her iki
65
tarafının r ye göre türevi alınırsa
∞Xn=0
nCλn(x)r
n−1 = λ(2x− 2r)(1− 2xr + r2)−λ−1
elde edilir. Burada (3.18) esitliginin kullanılmasıyla
(1− 2xr + r2)∞Xn=0
nCλn(x)r
n−1 = λ(2x− 2r)∞Xn=0
Cλn(x)r
n
esitligi yazılır. Parantez içindeki ifadeler toplama dagıtılırsa
∞Xn=0
nCλn(x)r
n−1 − 2x∞Xn=0
nCλn(x)r
n +∞Xn=0
nCλn(x)r
n+1 = 2xλ∞Xn=0
Cλn(x)r
n
−2λ∞Xn=0
Cλn(x)r
n+1
esitligi saglanır. Birinci toplamda n yerine n + 1, üçüncü toplamda n yerine n− 1,besinci toplamda n yerine n− 1 alalım. Cλ
0 (x) = 1 ve Cλ1 (x) = 2λx oldukları dikkate
alınıp rn nin katsayılarının esitlenmesiyle
(n+ 1)Cλn+1(x)− 2xnCλ
n(x) + (n− 1)Cλn−1(x) = −2λCλ
n−1(x) + 2xλCλn(x) , n ≥ 1
elde edilir. Bu esitlikte n yerine n− 1 alınmasıyla
nCλn(x) = 2(n+ λ− 1)xCλ
n−1(x)− (n+ 2λ− 2)Cλn−2(x) , n ≥ 2 (3.26)
üç terimli rekürans bagıntısı elde edilir.
3.10 Ultraküresel Polinomlar için Diferensiyel Denklem
(3.8) de α = β = λ− 12alınmasıyla
(1− x2)y00 − (2λ+ 1)xy0 + n(n+ 2λ)y = 0
denklemi elde edilir. Bu denklemin bir çözümü y = Cλn(x) dir. Bu denkleme x = cos θ
66
dönüsümünün uygulanmasıyla denklem,
d2
dθ2Cλn(cos θ) + 2λ
cos θ
sin θ
d
dθCλn(cos θ) + n(n+ 2λ)C
λn(cos θ) = 0
denklemine dönüsür. Yukarıdaki denklem y = Cλn(cos θ) = (sin θ)
−λ u(θ) dönüsümüyle
d2u
dθ2+
½(n+ λ)2 +
λ(1− λ)
sin2 θ
¾u = 0 (3.27)
denklemine dönüsür.
3.11 Jacobi Polinomları için Rekürans Bagıntıları
Jacobi polinomları için rekürans bagıntılarını bulmada yardımcı olacak bir kaç teorem
verilmelidir.
Teorem 3.7. {Pn(x)} ortogonal polinomların bir dizisi, n ≥ 0 için
Pn+1(x) = (Anx+Bn)Pn(x)− CnPn−1(x) (3.28)
rekürans bagıntısını saglar. Burada P−1(x) = 0, An, Bn ve Cn reel katsayılar ve
n = 0, 1, ...için An−1AnCn > 0 olsun. Eger Pn(x) polinomunda en yüksek dereceli
terimin katsayısı kn ise An =kn+1kn
, Cn+1 =An+1An
hn+1hn
dir. Burada hn, Pn(x)
polinomunun normudur.
Ispat: Ilk önce An hesaplanmalıdır. Pn+1(x)−AnxPn(x) derecesi n. derece olan birpolinom olsun. O zaman bu polinom bk katsayılar olmak üzere
Pn+1(x)−AnxPn(x) =nXk=0
bkPk(x)
seklinde yazılabilir. Θ(x), m < n olmak üzere m. dereceden bir polinom ise
bZa
Pn(x)Θ(x)dα(x) = 0
67
dır. k < n − 1 için bk = 0 dır. Yukarıdaki toplamın her iki tarafı Pk(x)dα(x) ile
çarpılıp (a, b) aralıgında integre edildiginde An =kn+1kn
sonucuna ulasılır. Rekürans
bagıntısının her iki tarafı Pn−1(x)dα(x) ile çarpılıp (a, b) aralıgında integre edilirse
0 = An
bZa
Pn(x)xPn−1(x)dα(x)− CnbZa
P 2n−1(x)dα(x)
elde edilir. Burada
xPn−1(x) =kn−1kn
Pn(x) +n−1Xk=0
dkPk(x)
yazılabildigindenAnAn−1
hn − Cnhn−1 = 0
esitligine ulasılır. Böylece teorem ispatlanmıs olur.
Teorem 3.8. Pn(x) ler ortonormal polinomlar ve Pn(x) in baskatsayısı kn olmak
üzerenX
m=0
Pm(x)Pm(y) =knkn+1
Pn+1(x)Pn(y)− Pn+1(y)Pn(x)x− y (3.29)
esitligi saglanır.
Ispat: (3.28) den dolayı
Pn(y)Pn+1(x) = (Anx+Bn)Pn(x)Pn(y)− CnPn−1(x)Pn(y)Pn(x)Pn+1(y) = (Any +Bn)Pn(y)Pn(x)− CnPn−1(y)Pn(x)
esitlikleri yazılabilir. Bu esitlikleri birbirinden çıkarıp, An(x− y) ile bölünürse
1
An
Pn+1(x)Pn(y)− Pn+1(y)Pn(x)x− y = Pn(x)Pn(y)+
1
An−1
Pn(x)Pn−1(y)− Pn−1(x)Pn(y)x− y
elde edilir. Burada Cn =AnAn−1
alınmıstır. Çünkü Pn(x) ler ortonormal polinom-
lardır. An =kn+1kn
oldugu gözönünde tutuldugunda istenilen elde edilmis olur.
68
Teorem 3.9. Pn(x) ler ortogonal polinomlar olmak üzere, Pn(x) in baskatsayısı kn
ve Pn(x) lerin normu hn ise
nXm=0
Pm(x)Pm(y)
hm=
knkn+1
Pn+1(x)Pn(y)− Pn+1(y)Pn(x)(x− y)hn (3.30)
dir (Askey et al. 1999).
Tanım 3.1. Pn(x) ler ortonormal polinomlar olmak üzere
Kn(x0, x) =nXk=0
Pk(x0)Pk(x)
çekirdek polinom dizisi olarak isimlendirilir.
Teorem 3.10. Θ(x), m ≤ n olmak üzere m. dereceden polinom ise
Θ(x) =
bZa
Kn(t, x)Θ(t)dα(t)
dir.
Ispat: ak lar sabit olmak üzere
Θ(x) =nXk=0
akPk(x)
seklinde yazılabilir. Bunun her iki tarafını Pj(x)dα(x) ile çarpılıp (a, b) aralıgında
integre edilirse ortogonallikten dolayı
bZa
Θ(t)Pj(t)dα(t) = aj
dir. Böylece teorem ispatlanmıs olur.
Teorem 3.11. x0 ≥ b olsun. {Kn(x0, x)} dizisi (t − x0)dα(t) dagılımına göreortogonaldir.
69
Ispat: Teorem 3.10 daΘ(t) = (t−x0)Θn−1(t) alınırsa, {Kn(x0, x)} dizisi (t−x0)dα(t)dagılımına göre ortogonal oldugu gösterilmis olur.
Tanım 3.2. Pn(x) ler [a, b] üzerinde dα(x) dagılımına göre ortogonal polinomlar
olmak üzere,Pn(x)
Pn(b)− Pn+1(x)Pn+1(b)
= λnqn(x)(x− b) (3.31)
esitligini saglayan qn(x) polinomlarıda (x − b)dα(x) dagılımına göre ortogonaldir.Çünkü
Kn(b, x) =nXk=0
Pk(x)Pk(b)
hk
= AnPn(b)Pn+1(b)
(x− b)hn
∙Pn+1(x)
Pn+1(b)− Pn(x)Pn(b)
¸= μnqn(x)
dır. Burada μn bir sabit olmak üzere qn(x) polinomlarının Teorem 3.11 den dolayı
ortogonalligi kanıtlanmıstır. Bu son esitlikten
μnqn(x)− μn−1qn−1(x) =Pn(x)Pn(b)
hn(3.32)
esitligi gerçeklenir.
Teorem 3.12. Jacobi polinomları asagıdaki rekürans bagıntılarını saglar.
(i)
(n+α+1)P (α,β)n (x)− (n+1)P (α,β)n+1 (x) =(2n+ α+ β + 2)
2(1−x)P (α+1,β)n (x) (3.33)
(ii)
(2n+ α+ β + 1)P (α,β)n (x) = (n+ α+ β + 1)P (α+1,β)n (x)− (n+ β)P(α+1,β)n−1 (x) (3.34)
(iii)
P (α,β)n (−x) = (−1)nP (β,α)n (x) (3.35)
70
Ispat: (i) (3.31) den dolayı
P(α,β)n (x)
P(α,β)n (1)
− P(α,β)n+1 (x)
P(α,β)n+1 (1)
= λn(x− 1)P (α+1,β)n (x)
esitligi saglanır. Burada (3.9) kullanılarak en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının
esitlenmesiyle
λn = −(α+ β + 2n+ 2)n!
2(α+ 1)n+1
bulunur. Bunun yerine yazılıp düzenlenmesiyle istenilen esitlik elde edilir.
(ii) (3.32) den dolayı
μnP(α+1,β)n (x)− μn−1P
(α+1,β)n−1 (x) =
P(α,β)n (x)P
(α,β)n (1)
hn
esitligi saglanır. (3.9) ve
hn =2α+β+1Γ(n+ α+ 1)Γ(n+ β + 1)
(2n+ α+ β + 1)Γ(n+ α+ β + 1)Γ(n+ 1)
esitligini kullanarak en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının esitlenmesiyle
μn =Γ(n+ α+ β + 2)
2α+β+1α!Γ(n+ α+ 1)
bulunur. μn ve μn−1 in yerlerine yazılıp düzenlenmesiyle istenilen esitlik elde edilir.
(iii)
P (α,β)n (x) =(−1)n(β + 1)n
n!2F1
⎛⎝ −n , n+ α+ β + 1
1 + β;1 + x
2
⎞⎠(Hochstadt 1961) esitliginde x yerine (−x) alınmasıyla
P (α,β)n (−x) =(−1)n(β + 1)n
n!2F1
µ−n, n+ α+ β + 1; 1 + β;
1− x2
¶= (−1)nP (β,α)n (x)
71
elde edilir.
3.12 Ultraküresel Polinomlar için Relative Extrama Özelligi
Bu kısımda ultraküresel polinomların yerel ekstremum özelligi gösterilecektir. Bu-
rada k = 1, ..., (n−1) için yk,n(α) degerleri P (α,α)n (x) in türevinin sıfırlarını göstersin.
Bu sıfırlar yk,n(α) < yk−1,n(α) sekilde sıralansın ve y0,n(α) = 1, y1,n(α) = −1 alınsın.Burada
μk,n(α) =
¯P(α,α)n (yk,n(α))
¯P(α,α)n (1)
, k = 0, 1, ..., n (3.36)
seklinde tanımlanan bu μk,n(α) lar arasında asagıdaki gibi bir bagıntı vardır.
μk,n(α) < μk,n−1(α) , α >−12, k = 1, 2, ..., n− 1 , n = 1, 2, ...
Burada sadece α = 0 durumu incelenecektir. P (0,0)n (x) = Pn(x) Legendre polinomları
olarak adlandırılır. Burada
[Pn(x)]2 − [Pn+1(x)]2 = [Pn(x)− Pn+1(x)] [Pn(x) + Pn+1(x)]
esitliginin dikkate alınmasıyla ve bu esitlikte (3.33) ün kullanılmasıyla
[Pn(x)]2 − [Pn+1(x)]2 = (1− x)P (1,0)n (x)(1 + x)P (0,1)n (x)
elde edilir. Son esitlikte (3.34) ün kullanılmasıyla
[Pn(x)]2 − [Pn+1(x)]2 = (1− x2)(n+ 2)P
(1,1)n (x)− (n+ 1)P (1,1)n−1 (x)
2(n+ 1)
×(n+ 2)P(1,1)n (x) + (n+ 1)P
(1,1)n−1 (x)
2(n+ 1)
sonucuna ulasılır. Bu esitlikte (3.7) esitliginin kullanılmasıyla
[Pn(x)]2 − [Pn+1(x)]2 = (1− x2)
(n+ 1)2
(∙d
dxPn+1(x)
¸2−∙d
dxPn(x)
¸2)
72
elde edilir. Bu esitlikten
f(x) = [Pn(x)]2 +
(1− x2)(n+ 1)2
∙d
dxPn(x)
¸2= [Pn+1(x)]
2 +(1− x2)(n+ 1)2
∙d
dxPn+1(x)
¸2
fonksiyonu tanımlanabilir. f0(x) in sıfırları, P 0n(x) =
n+ 1
2P(1,1)n−1 (x) in sıfırları kadar
P 0n+1(x) =n+ 2
2P(1,1)n (x) in de sıfırlarını içerir. Bu yüzden
f0(x) = λnP
(1,1)n−1 (x)P
(1,1)n (x)
seklinde alınabilir. Burada en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının esitlenmesiyle
λn =n+ 2
2(n+ 1)
bulunur. P (1,1)n−1 (x) ve P(1,1)n (x) sıfırlarının dagılımından dolayı, yk,n < x < yk,n+1
aralıgında bu polinomlar zıt isaret alırlar. Bu da f(x) fonksiyonunun azalan oldugunu
gösterir. Böylece|Pn+1(yk,n+1)|Pn+1(1)
<|Pn(yk,n)|Pn(1)
esitligi saglanır. Bu ise α = 0 durumunu kanıtlar.
3.13 Ultraküresel Polinomlar ve Hermite Polinomları Arasındaki Iliski
Ultraküresel polinomlar ve Hermite polinomları arasındaki iliski
limλ→∞
λ−n2Cλ
n
µx√λ
¶=Hn(x)
n!(3.37)
seklindedir. (3.18) esitliginde x yerinex√λve r yerine
r√λalınırsa
∞Xn=0
λ−n2Cλ
n
µx√λ
¶rn =
µ1− 2xr
λ+r2
λ
¶−λ
esitligine ulasılır. Bu son esitligin her iki tarafının λ→∞ için limiti alınırsa
73
∞Xn=0
limλ→∞
λ−n2Cλ
n
µx√λ
¶rn = lim
λ→∞
µ1− 2xr
λ+r2
λ
¶−λ= e2xr−r
2
=∞Xn=0
Hn(x)rn
n!
elde edilir. Bu esitlikte rn nin katsayılarının esitlenmesiyle istenilen elde edilir.
3.14 Jacobi Polinomları ve Laguerre Polinomları Arasındaki Iliski
Jacobi polinomları ile Laguerre polinomları arasındaki
limβ→∞
P (α,β)n
µ1− 2x
β
¶= Lα
n(x) (3.38)
esitliginin ispatlanması için (2.2.2) ve (3.5) esitliklerinden yararlanılmalıdır. Burada
P(α,β)n (x) yerine (3.5) deki esitinin yazılmasıyla
limβ→∞
P (α,β)n
µ1− 2x
β
¶= lim
β→∞(α+ 1)nn!
2F1
⎛⎝ −n , n+ α+ β + 1
α+ 1;x
β
⎞⎠=
(α+ 1)nn!
nXk=0
(−n)kk! (α+ 1)k
xk
= Lαn(x)
esitligine ulasılır.
3.15 Jacobi Polinomları için Integral Gösterimler
Integral gösterimleri bulmak için ilk önce asagıdaki teorem verilmelidir.
Teorem 3.13. (Bateman) 2F1 hipergeometrik fonksiyon olmak üzere
xc+μ−1 2F1(a, b; c+ μ ;x) =Γ(c+ μ)
Γ(c) Γ(μ)
xZ0
(x− t)μ−1 tc−1 2F1(a, b; c ; t) dt (3.39)
esitligi saglanır. Burada Re(μ) > 0, Re(c) > 0 ve |x| < 1 dir.
74
Ispat: Esitligin sag tarafından baslanır ve 2F1(a, b; c; t) nin seri açılımı yazılırsa
Γ(c+ μ)
Γ(c) Γ(μ)
xZ0
(x− t)μ−1 tc−1 2F1(a, b; c ; t) dt
=Γ(c+ μ)
Γ(c) Γ(μ)
xZ0
(x− t)μ−1 tc−1" ∞Xk=0
(a)k(b)k(c)k k!
tk
#dt
=Γ(c+ μ)
Γ(c) Γ(μ)
∞Xk=0
(a)k(b)k(c)k k!
xZ0
(x− t)μ−1 tc−1 tk dt
elde edilir. Bu esitlikteki integralde t→ xt dönüsümü yapılırsa
Γ(c+ μ)
Γ(c) Γ(μ)
xZ0
(x− t)μ−1tc−1 2F1(a, b; c ; t) dt
=Γ(c+ μ)
Γ(c) Γ(μ)
∞Xk=0
(a)k(b)k(c)kk!
1Z0
xμ−1(1− t)μ−1(xt)c+k−1xdt
=Γ(c+ μ)
Γ(c) Γ(μ)
∞Xk=0
(a)k(b)k(c)k k!
xμ+c+k−11Z0
(1− t)μ−1tc+k−1dt
= xμ+c−1∞Xk=0
Γ(c+ μ)
Γ(c) Γ(μ)
(a)k(b)k(c)k k!
xkΓ(μ)Γ(c+ k)
Γ(μ+ c+ k)
= xμ+c−1∞Xk=0
(a)k(b)k(c+ μ)k k!
xk = xc+μ−1 2F1(a, b; c+ μ ;x)
elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Bu teoremden yararlanılarak integral gösterim-
ler ispatlanılabilir.
Teorem 3.14. 0 < θ < π için n. derecen Legendre polinomu asagıdaki esitlikleri
saglar.
Pn(cos θ) =2
π
θZ0
cos (n+ 1/2)φ
(2 cosφ− 2 cos θ)1/2dφ
75
=2
π
πZθ
sin (n+ 1/2)φ
(2 cos θ − 2 cosφ)1/2dφ
Ispat: Teorem 3.13 de a = −n , b = n + 1 , c = μ = 12, x = sin2 (θ/2) ve
t = sin2(φ/2) alınmasıyla
2F1¡−n, n+ 1; 1; sin2 (θ/2)¢ =
1
Γ(1/2) Γ(1/2)
×θZ0
£sin2 (θ/2)− sin2(φ/2)¤−1/2 £sin2(φ/2)¤−1/2
×2F1(−n, n+ 1; 1/2; sin2(φ/2)) sin (φ/2) cos (φ/2) dφ
Pn(cos θ) =1
π
θZ0
2F1(−n, n+ 1; 1/2; sin2(φ/2))£sin2 (θ/2)− sin2(φ/2)¤1/2 cos (φ/2) dφ
esitligi saglanır. 2F1(−n, n+1; 1/2; sin2(φ/2)) = cos (n+ 1/2)φ
cos (φ/2)ifadesi dördüncü tür
Chebyshev polinomu olarak isimlendirilir. Bunun yukarıda yerine yazılıp, trigonometrik
özdesliklerden faydalanılmasıyla
Pn(cos θ) =2
π
θZ0
cos (n+ 1/2)φ
(2 cosφ− 2 cos θ)1/2dφ
esitligine ulasılır. Bu esitlikte θ→ π − θ ve φ→ π − φ degisken degistirilmesiyle
Pn(− cos θ) = −2π
θZπ
(−1)n sin (n+ 1/2)φ(2 cos θ − 2 cosφ)1/2 dφ
elde edilir. Burada (3.35) esitligi kullanılırsa
(−1)nPn(cos θ) = −2π
θZπ
(−1)n sin (n+ 1/2)φ(2 cos θ − 2 cosφ)1/2 dφ
esitligi saglanır ve sadelestirmeler yapılıp integrasyon sınırları yer degistirilirse iste-
nilen sonuç elde edilir.
76
Teorem 3.15. (Pfaff ve Euler Dönüsümleri)
|x| < 1 ve¯x
x− 1¯< 1 için asagıdaki esitlikler saglanır.
(i) Re(c) > Re(b) > 0 için
2F1(a, b; c;x) =Γ(c)
Γ(b)Γ(c− b)
1Z0
tb−1(1− t)c−b−1(1− xt)−adt
(ii)
(1− x)−a 2F1µa, c− b; c; x
x− 1¶= 2F1(a, b; c;x) (3.40)
(iii)
(1− x)c−a−b 2F1(c− a, c− b; c;x) = 2F1(a, b; c;x) (3.41)
Ispat: (i) Esitligin sag tarafında (1− xt)−a nın seri açılımı yazılırsa
Γ(c)
Γ(b)Γ(c− b)
1Z0
tb−1(1− t)c−b−1(1− xt)−adt
=Γ(c)
Γ(b)Γ(c− b)∞Xn=0
(a)nn!xn
1Z0
tn+b−1(1− t)c−b−1dt
=Γ(c)
Γ(b)Γ(c− b)∞Xn=0
(a)nn!xn
Γ(n+ b)Γ(c− b)Γ(n+ c)
=∞Xn=0
(a)n(b)n(c)nn!
xn = 2F1(a, b; c;x)
elde edilir. Integral hesaplanırken Beta fonksiyonundan yararlanılmıstır.
(ii) (i) de t yerine 1− s alınır ve tekrar (i) kullanılırsa
2F1(a, b; c;x) =Γ(c)
Γ(b)Γ(c− b)
1Z0
(1− s)b−1(s)c−b−1(1− x+ xs)−ads
77
=(1− x)−aΓ(c)Γ(b)Γ(c− b)
1Z0
(1− s)b−1(s)c−b−1µ1− xs
x− 1¶−a
ds
= (1− x)−a 2F1µa, c− b; c; x
x− 1¶
elde edilir.
(iii)
2F1(a, b; c;x) = (1− x)−a 2F1µc− b, a; c; x
x− 1¶
esitliginin sag tarafına (ii) nin uygulanmasıyla
2F1(a, b; c;x) = (1− x)−aµ1− x
x− 1¶−c+b
2F1(c− b, c− a; c;x)= (1− x)c−a−b 2F1(c− a, c− b; c;x)
esitligi saglanır.
Teorem 3.16. μ > 0 ve −1 < x < 1 için
(a)
(1− x)α+μP(α+μ,β−μ)n (x)
P(α+μ,β−μ)n (1)
=Γ(α+ μ+ 1)
Γ(α+ 1)Γ(μ)
1Zx
(1− y)αP(α,β)n (y)
P(α,β)n (1)
(y − x)μ−1dy ,α > −1
(b)
(1 + x)β+μP(α−μ,β+μ)n (x)
P(β+μ,α−μ)n (1)
=Γ(β + μ+ 1)
Γ(β + 1)Γ(μ)
xZ−1
(1 + y)βP(α,β)n (y)
P(β,α)n (1)
(x− y)μ−1dy , β > −1
(c)
(1− x)α+μ(1 + x)α+n+1
P(α+μ,β)n (x)
P(α+μ,β)n (1)
=2μΓ(α+ μ+ 1)
Γ(α+ 1)Γ(μ)
1Zx
(1− y)α(1 + y)α+μ+n+1
P(α,β)n (y)
P(α,β)n (1)
(y−x)μ−1dy ,α > −1
78
(d)
(1 + x)β+μ
(1− x)β+n+1P(α,β+μ)n (x)
P(β+μ,α)n (1)
=2μΓ(β + μ+ 1)
Γ(β + 1)Γ(μ)
xZ−1
(1 + y)β
(1− y)β+μ+n+1P(α,β)n (y)
P(β,α)n (1)
(x−y)μ−1dy ,β > −1
esitlikleri saglanır.
Ispat: (a) Teorem 3.13 de a = −n , b = n+ α + β + 1 , c = α + 1 , x→ 1− x2
ve
t =1− y2
alınmasıyla
(1− x)α+μ 2F1
µ−n, n+ α+ β + 1;α+ μ+ 1;
1− x2
¶
=Γ(α+ μ+ 1)
Γ(α+ 1)Γ(μ)
1Zx
(1− y)α(y − x)μ−1 2F1µ−n, n+ α+ β + 1;α+ 1;
1− y2
¶dy
elde edilir. Hipergeometrik fonkiyonların esitleri Jacobi polinomları cinsinden yer-
lerine yazılmasıyla istenilen sonuç elde edilir.
(b) (a) da α yerine β, β yerine α alınırsa
(1− x)β+μP(β+μ,α−μ)n (x)
P(β+μ,α−μ)n (1)
=Γ(β + μ+ 1)
Γ(β + 1)Γ(μ)
1Zx
(1− y)βP(β,α)n (y)
P(β,α)n (1)
(y − x)μ−1dy , β > −1
elde edilir. Bu esitlikte x yerine (−x) yazılır ve (3.35) kullanılırsa
(1+x)β+μ(−1)nP (α−μ,β+μ)n (x)
P(β+μ,α−μ)n (1)
=Γ(β + μ+ 1)
Γ(β + 1)Γ(μ)
1Z−x
(1−y)βP(β,α)n (y)
P(β,α)n (1)
(y+x)μ−1dy , β > −1
esitligi saglanır. Son esitlikte y yerine (−y) alınır ve (3.35) kullanılırsa
(1+ x)β+μP(α−μ,β+μ)n (x)
P(β+μ,α−μ)n (1)
=Γ(β + μ+ 1)
Γ(β + 1)Γ(μ)
xZ−1
(1+ y)βP(α,β)n (y)
P(β,α)n (1)
(−y+ x)μ−1dy ,β > −1
esitligi elde edilir.
(c) Teorem 3.13 de x yerinex
x− 1 , t yerinet
t− 1 , b yerine c− b alınmasıyla
79
µx
x− 1¶c+μ−1
2F1
µa, c− b; c+ μ;
x
x− 1¶
= − Γ(c+ μ)
Γ(c) Γ(μ)
xZ0
µx
x− 1 −t
t− 1¶μ−1µ
t
t− 1¶c−1
2F1
µa, c− b; c; t
t− 1¶
1
(t− 1)2dt
elde edilir. Esitlikteki hipergeometrik fonksiyonlara (3.40) ın uygulanmasıyla, esitlik
xc+μ−1(1− x)a−c 2F1(a, b+ μ; c+ μ;x)
=Γ(c+ μ)
Γ(c) Γ(μ)
xZ0
(x− t)μ−1(1− t)a−c−μ tc−1 2F1(a, b; c ; t) dt
esitligine dönüsür. Bu esitlikte a = −n , b = n+α+β+1 , c = α+1 , x→ 1− x2
ve
t =1− y2
alınıp gerekli düzenlemeler yapıldıktan sonra hipergeometrik fonkiyonların
esitleri Jacobi polinomları cinsinden yerlerine yazılmasıyla istenilen sonuç elde edilir.
(d) (c) de α yerine β, β yerine α alınırsa
(1− x)β+μ(1 + x)β+n+1
P(β+μ,α)n (x)
P(β+μ,α)n (1)
=2μΓ(β + μ+ 1)
Γ(β + 1)Γ(μ)
1Zx
(1− y)β(1 + y)β+μ+n+1
P(β,α)n (y)
P(β,α)n (1)
(y−x)μ−1dy , β > −1
elde edilir. Bu son esitlikte y yerine (−y), x yerine (−x) alınıp (3.35) in düsünülme-siyle istenilen esitlige ulasılır.
Teorem 3.17. Jacobi polinomları asagıdaki özellikleri saglar.
(a)P(α,α)2n (x)
P(α,α)2n (1)
=P(α,−1/2)n (2x2 − 1)P(α,−1/2)n (1)
(b)P(α,α)2n+1 (x)
P(α,α)2n+1 (1)
= xP(α,1/2)n (2x2 − 1)P(α,1/2)n (1)
80
Ispat: (a) Bu teoremin ispatı için
2F1(a, b; a+ b+ 1/2; 4x(1− x)) = 2F1(2a, 2b; a+ b+ 1/2;x)
esitliginden yararlanılabilir. Önce bu esitligin ispatı verilmelidir. a+ b+ 12sıfır veya
negatif bir tamsayı olmasın. |x| < 1 ve |4x(1− x)| < 1 oldugunu kabul edelim.
y = 2F1(a, b; a+ b+ 1/2; z) çözüm kabul eden diferensiyel denklem
z(1− z)d2y
dz2+ [a+ b+ 1/2− (a+ b+ 1)z] dy
dz− aby = 0
dir. Bu denkleme z = 4x(1− x) dönüsümü uygulanırsa
x(1− x)d2y
dx2+ [a+ b+ 1/2− (2a+ 2b+ 1)z] dy
dx− 4aby = 0
denklemine dönüsür. Bu denklemin çözümü,
y = A 2F1(2a, 2b; a+b+1/2;x)+B x1/2−a−b
2F1(1/2+a−b, 1/2−a+b; 3/2−a−b;x)
seklindedir. Buradan
2F1(a, b; a+ b+ 1/2; 4x(1− x))
= A 2F1(2a, 2b; a+b+1/2;x)+B x1/2−a−b
2F1(1/2+a−b, 1/2−a+b; 3/2−a−b;x)
esitligi yazılabilir. x = 0 noktasında sol taraftaki 2F1 analitik, sag taraftaki ilk
2F1 de analitiktir. Ancak ikinci fonksiyon analitik degildir. Çünkü x1/2−a−b çarpanı
analitikligi bozmaktadır. Bu yüzden analitikligi saglamak için B = 0 alınmalıdır.
Böylece esitlik
2F1(a, b; a+ b+ 1/2; 4x(1− x)) = A 2F1(2a, 2b; a+ b+ 1/2;x)
esitligine dönüsür. Bu esitlikte x = 0 için bakıldıgında A = 1 olmak zorundadır.
Böylece esitlik ispatlamıs olur.
81
Bu esitlikte x yerine1− x2, a yerine (−n) ve b yerine n+ α+ 1/2 alınmasıyla
2F1
µ−n, n+ α+
1
2;α+ 1; 1− x2
¶= 2F1
µ−2n, 2n+ 2α+ 1;α+ 1; 1− x
2
¶
esitligine dönüsür. Hipergeometrik fonkiyonların esitlerinin Jacobi polinomları cinsin-
den yerlerine yazılmasıyla istenilen sonuç elde edilir.
(b) Yukarıdaki esitligin her iki yanının x e göre türevinin alınıp düzenlenmesiyle
2F1
µ−n, n+ α+
3
2;α+ 1; 1− x2
¶= 2F1
µ−2n− 1, 2n+ 2α+ 2;α+ 1; 1− x
2
¶
elde edilir. Hipergeometrik fonkiyonların esitleri Jacobi polinomları cinsinden yer-
lerine yazılmasıyla istenilen elde edilir. Böylece teorem ispatlanmıs olur.
Teorem 3.18. 0 < θ < π2, υ > λ > −1
2için ultraküresel polinomlar asagıdaki
özelligi saglar.
Cυn(cos θ)
Cυn(1)
sin2υ−1 θcosn+2λ+1 θ
=2Γ(υ + 1/2)
Γ(λ+ 1/2)Γ(υ − λ)
θZ0
sin2λ φ[cos2 φ− cos2 θ]υ−λ−1
cosn+2υ φ
Cλn(cosφ)
Cλn(1)
dφ
Ispat: Teorem 3.16 (c) de α yerine λ− 12, μ yerine υ− λ, x yerine 2x2− 1, y yerine
2y2 − 1, n yerine n2ve β yerine
1
2alınırsa
(2− 2x2)υ−1/2(2x2)λ+n/2+1/2
P(υ−1/2,1/2)n/2 (2x2 − 1)P(υ−1/2,1/2)n/2 (1)
=2υ−λΓ(υ + 1/2)
Γ(λ+ 1/2)Γ(υ − λ)
1Zx
(2− 2y2)λ−1/2(2y2)n/2+υ+1/2
P(λ−1/2,1/2)n/2 (2y2 − 1)P(λ−1/2,1/2)n/2 (1)
(2y2 − 2x2)υ−λ−14ydy
esitligine ulasılır. Bu esitlikte teorem 3.17 (a) nın uygulanıp düzenlenmesiyle
(1− x2)υ−1/2(x2)λ+n/2+1/2
P(υ−1/2,υ−1/2)n (x)
P(υ−1/2,υ−1/2)n (1)
=
82
=2Γ(υ + 1/2)
Γ(λ+ 1/2)Γ(υ − λ)×
1Zx
(1− y2)λ−1/2(y2)n/2+υ+1/2
P(λ−1/2,λ−1/2)n (y)
P(λ−1/2,λ−1/2)n (1)
(y2 − x2)υ−λ−1ydy
elde edilir. Bu son esitlikte x yerine cos θ ve y yerine cosφ alınmasıyla
(1− cos2 θ)υ−1/2(cos2 θ)λ+n/2+1/2
P(υ−1/2,υ−1/2)n (cos θ)
P(υ−1/2,υ−1/2)n (1)
=
=2Γ(υ + 1/2)
Γ(λ+ 1/2)Γ(υ − λ)×
θZ0
(1− cos2 φ)λ−1/2(cos2 φ)n/2+υ+1/2
P(λ−1/2,λ−1/2)n (cosφ)
P(λ−1/2,λ−1/2)n (1)
(cos2 φ− cos2 θ)υ−λ−1 cosφ sinφdy
esitligi saglanır. (3.17) esitliginin düsünülmesiyle ve sadelestirmelerden sonra teorem
ispatlanmıs olur.
Teorem 3.19. 0 ≤ θ ≤ π , υ > λ > −12için ultraküresel polinomlar asagıdaki
özelligi saglar.Cυn(cos θ)
Cυn(1)
=2Γ(υ + 1
2)
Γ(λ+ 12)Γ(υ − λ)
×π/2Z0
sin2λ φ cos2υ−2λ−1 φ£1− cos2 φ sin2 θ¤n/2 Cλ
n
³cos θ
£1− cos2 φ sin2 θ¤−1/2´Cλn(1)
dφ
Ispat: Teorem 3.18 de cosφ → cos θ£1− cos2 φ sin2 θ¤−1/2 dönüsümü yapıldıgında
teorem ispatlanır. Bu integral Feldheim-Vilenkin integrali olarak adlandırılır.
Teorem 3.20. λ > 0 için
Cλn(cos θ) =
Γ(n+ 2λ)
22λ−1n! [Γ(λ)]2
πZ0
[cos θ + i sin θ cosφ]n sin2λ−1 φdφ
esitligi saglanır.
Ispat: (3.19) un Beta integrali kullanılarak tekrar düzenlenmesiyle
83
Cλn(cos θ) =
Γ(n+ 2λ)
n! [Γ(λ)]2
nXk=0
1Z0
yλ+k−1(1− y)λ+n−k−1µn
k
¶ei(n−2k)θdy
elde edilir. Son esitlikte toplam ve integral yer degistirirse
Cλn(cos θ) =
Γ(n+ 2λ)
n! [Γ(λ)]2
1Z0
yλ−1(1− y)λ−1nXk=0
µn
k
¶yk(1− y)n−kei(n−2k)θdy
esitligine ulasılır. Bu esitlikte toplamın degerinin yerine yazılmasıyla
Cλn(cos θ) =
Γ(n+ 2λ)
n! [Γ(λ)]2
1Z0
yλ−1(1− y)λ−1 £ye−iθ + (1− y)eiθ¤n dyelde edilir. Burada y = sin2Ψ dönüsümü yapılıp, gerekli düzenlemeler yapılırsa
Cλn(cos θ) =
Γ(n+ 2λ)
n! [Γ(λ)]2
π/2Z0
(sin2Ψ)λ−1(1− sin2Ψ)λ−1 £sin2Ψe−iθ + (1− sin2Ψ)eiθ¤n×2 sinΨ cosΨdΨ
=2Γ(n+ 2λ)
n! [Γ(λ)]2
π/2Z0
(sinΨ)2λ−1(cosΨ)2λ−1£cos θ + i sin θ(cos2Ψ− sin2Ψ)¤n dΨ
esitligine ulasılır. Son olarak bu esitlikte φ = 2Ψ dönüsümü yapılır ve
cos2φ
2− sin2 φ
2= cosφ
oldugu dikkate alınırsa teorem ispatlanmıs olur.
3.16 Ultraküresel Polinomların Bir Açılımı
Ultraküresel polinomların üretici fonksiyonu (1− reiθ)−λ ve onun esleniginin çarpımıile verilir. Ultraküresel polinomların bir açılımını bulmak için bir takım özellikler
verelim. z = 0 ın komsulugunda analitik olan reel katsayılı f(z) fonksiyonu asagıdaki
gibi seriye açılabilir.
84
∞Xn=0
anzn = f(z)
Genellestirilmis Legendre polinomları veya Legendre-Fejer polinomları asagıdaki gibi
tanımlanır.
¯f(reiθ)
¯2=
∞Xn=0
rnnXk=0
ak an−kei(n−2k)θ
=∞Xn=0
rnnXk=0
ak an−k cos(n− 2k)θ
=∞Xn=0
Pn(cos θ)rn (3.42)
Gegenbauer polinomlarından baska ortogonal polinomların elde edilisinde Pn(cos θ)
nın etkisinin olup olmadıgı Feldheim ve Lanzewizky (1941) tarafından arastırıldı.
Eger Pn(x) polinomları bazı pozitif ölçülere göre ortogonal ise asagıdaki rekürans
bagıntısını saglar.
xPn(x) = AnPn+1(x) +BnPn(x) + CnPn−1(x) , n = 0, 1, ... (3.43)
Burada AnCn+1 > 0 ve An, Bn , Cn+1 reel sayılar ve P0(x) = 1, P−1(x) = 0 dır. Eger
Pn(cos θ) =nXk=0
ak an−k cos(n− 2k)θ
esitliginde θ → θ + π alınırsa
Pn(− cos θ) = (−1)nPn(cos θ)
esitligine ulasılır. Bu yüzden Pn(x) polinomu (3.43) ü saglarsa
2xPn(x) = AnPn+1(x) + CnPn−1(x) , n = 0, 1, ..., 2An → An , 2Cn → Cn
esitligini de saglar. Burada AnCn+1 > 0 ve An, Cn reel sayılardır. Böylece yukarıdaki
rekürans bagıntısında Pn(cos θ) nın esitinin yazılmasıyla
85
2 cos θnXk=0
ak an−k cos(n− 2k)θ = An
n+1Xk=0
ak an+1−k cos(n+ 1− 2k)θ +
Cn
n−1Xk=0
ak an−1−k cos(n− 1− 2k)θ (3.44)
esitligi elde edilir. Bu esitligin sol tarafı
2 cos θ cos(n− 2k)θ = cos(n+ 1− 2k)θ + cos(n− 1− 2k)θ
trigonometrik özdesligin yardımıyla
nXk=0
ak an−k cos(n+ 1− 2k)θ +nXk=0
ak an−k cos(n− 1− 2k)θ
seklinde yazılabilir. Bunu (3.44) de yerine koyup cos(n+1)θ nın katsayılarının esitlen-
mesiyle
An =anan+1
elde edilir. (3.44) te cos(n− 1− 2k)θ nın katsayısının esitlenmesiyle
Cn =ak+1ak
+an−kan−k−1
− anan+1
ak+1ak
an−kan−k−1
saglanır. a degiskeni için denklemler elde etmek için k = 0 ve k = 1 alalım. Bu
denklemi basitlestirmek için sn =anan−1
olsun. Böylece asagıda lineer olmayan fark
denklemi elde edilir.
s1 + sn − s1snsn+1
= s2 + sn−1 − s2sn−1sn+1
Bu denklemin düzenlenmesiyle
sn+1(sn − sn−1 + s1 − s2) = s1sn − s2sn−1
elde edilir. Daha basitlik için sn = tn + s1 dönüsümü yapılırsa
86
tn+1(tn − tn−1 − t2) = −t2tn−1 , t1 = 0
elde edilir. Bu denkleme tn = t2un dönüsümü yapılırsa
un+1(un − un−1 − 1) = −un−1 , u1 = 0
denklemine ulasılır. Lineer fark denklemleriX
Anqn seklinde polinom çözümleri
verir. Böyle bir çözüm burada mümkün degildir ve lineer olmayan denklemleri
çözmek için genel bir metod olmadıgından en basit oransal ifadeyi u1 = 0 olacak
sekilde çözüm olarak denenmelidir. |q| ≤ 1 ve un(q, A,B) = un(q−1, A/Bq,B−1)
olmak üzere
un =A(1− qn−1)(1−Bqn)
seklinde çözüm aranılırsa yukarıdaki un li denklem asagıdaki gibi yazılabilir.
A(1− qn)(1−Bqn+1)
∙A(1− qn−1)− (1−Bqn)
(1−Bqn)¸=
∙A(1− qn)− (1−Bqn+1)
(1−Bqn+1)¸A(1− qn−2)(1−Bqn−1)
Bu esitligin dogru olması için B = 1 olmak zorundadır. Böylece
(1− qn−1)(A− 1− (A− q)qn−1) = (1− qn−2)(A− 1− (A− q)qn)
esitligine ulasılır. Bu esitlik A− 1 = q için dogrudur. Böylece
un =(1 + q)(1− qn−1)
(1− qn) (3.45)
elde edilir. Bu yüzden
sn =(1 + q)(1− qn−1)(s2 − s1)
(1− qn) + s1
seklinde yazılır. α ve β nın özel degerleri için
sn =α(1− βqn−1)(1− qn)
87
yazılabilir. Bu sn degeri
An =(1− qn+1)α(1− βqn)
(3.46)
ve bazı sadelestirmelerden sonra
Cn =α(1− β2qn−1)(1− βqn)
(3.47)
degerlerini verir. Pn(x) polinomu için verilen rekürans bagıntısı asagıdaki sekli alır.
2xα(1− βqn)Pn = (1− qn+1)Pn+1 + α2(1− β2qn−1)Pn−1
Burada(1− qn+1)(1− βqn)
(1− β2qn)
(1− βqn+1)> 0 , n = 0, 1, 2, ...
esitsizligi saglanır. Baslangıçta |q| ≤ 1 alınmıstı. q = 1 olursa, un nin (3.45) deki
degeri q → 1 olarak limitle tanımlanmıstır. Bundan dolayı (3.46) ve (3.47) de β = qλ
alınıp, q → 1 için limitler alınırsa, α = 1 olmak üzere
An = (n+ 1)/(n+ λ) , Cn = (n+ 2λ− 1)/(n+ λ)
degerleri ile ultraküresel polinomlar için rekürans bagıntısı bulunur. Açıkça (3.46) ve
(3.47) de sıfıra bölümü içeren baska durumlarda vardır. Bu durumlarda q birim kök
olmadıkça tüm dereceli ortogonal polinomlar elde edilemez. Bu problemin gerçek-
lesmedigi bir durum düsünüldügünde hangi polinomların elde edildigi görülecektir.
an için bir açılıma ihtiyaç vardır. Yukarıdaki esitliklerden dolayı
ana0
=1
An−1An−2...A0
= αn(1− β)(1− βq)...(1− βqn−1)(1− q)(1− q2)...(1− qn)
esitligi yazılır. Böylece
f(reiθ) = a0
∞Xn=0
αn(1− β)(1− βq)...(1− βqn−1)(1− q)(1− q2)...(1− qn) rneinθ
88
esitligine ulasılır. a0 = α = 1 alındıgında
Pn(cos θ) =nXk=0
(1− β)(1− βq)...(1− βqk−1)(1− β)(1− βq)...(1− βqn−k−1)(1− q)(1− q2)...(1− qk)(1− q)(1− q2)...(1− qn−k) cos(n−2k)θ
polinomuna ulasılır. Bu ise β = qλ alındıgında q → 1 için limit alınırsa ultraküresel
polinomları vermektedir. Böylece ultraküresel polinomlar için bir açılım elde edilmis
olur.
89
4. ORTOGONALPOLINOMLARINÇARPIMLARININ LINEERLESTI-
RILMESI
Kosinüs için toplam teoremi
cosmθ cosnθ =1
2cos(n+m)θ +
1
2cos(n−m)θ
seklindedir. Bu ise x = cos θ ve Tn(x) birinci tür Chebyshev polinomu olmak üzere
Tm(x)Tn(x) =1
2[Tn+m(x) + Tn−m(x)]
oldugunu gösterir. Bu lineerlestirme formülü olarak adlandırılır. Çünkü aynı çesit
polinomların lineer kombinasyonu yine aynı çesit iki polinomunun çarpımı olarak
yazılmıstır.
Daha genel olarak {Pn(x)} polinom dizisi verildiginde,
Pm(x)Pn(x) =m+nXk=0
a(k,m, n)Pk(x)
esitligini saglayacak a(k,m, n) katsayıları lineerlestirme için önemlidir. Eger Pn(x)
ler, dα(x) dagılıma göre ortogonal ise,
a(k,m, n) =1
hk
ZI
Pm(x)Pn(x)Pk(x)dα(x)
esitliginde aynı türden üç ortogonal polinomun çarpımının integralini hesablama
problemi, lineerlestirme problemidir. Diger bir lineerlestirme formülü örnegi de
sin (n+ 1) θ
sin θ
sin (m+ 1) θ
sin θ=
min(m,n)Xk=0
sin (n+m+ 1− 2k) θsin θ
sinüs toplam formülüdür. Bu bölümde bazı ortogonal polinomlar için bu tür formüller
elde edilecektir.
90
4.1 Hermite Polinomlarının Lineerlestirilmesi
(2.1.8) esitligi,∞Xm=0
Hm(x)sm
m!= e2xs−s
2
esitligi ve e−x2agırlık fonksiyonu çarpılır ve (−∞,∞) aralıgında integre edilirse
∞Z−∞
∞Xm,n=0
Hm(x)Hn(x)
n!m!rnsme−x
2
dx =
∞Z−∞
e2xr−r2+2xs−s2−x2dx
=
∞Z−∞
e−(x−r−s)2
e2rsdx =√πe2rs
elde edilir. Bu esitlikte e2rs fonksiyonu seriye açılır ve rs nin kuvvetleri esitlenirse
∞Z−∞
e−x2
Hn(x)Hm(x)dx = 2m m!
√πδmn
esitligine ulasılır. Benzer olarak üç Hermite polinomunun çarpımının integralini bul-
mak için (2.1.8) in kullanılmasıyla
∞Z−∞
∞Xm,n,l=0
Hl(x)Hm(x)Hn(x)
l!n!m!rnsmtle−x
2
dx =
∞Z−∞
e2xr−r2+2xs−s2+2xt−t2−x2dx
= e2(rs+rt+st)∞Z
−∞
e−(x−r−s−t)2
dx
=√πe2(rs+rt+st)
=√π
∞Xa,b,c=0
2a+b+cra+btb+csa+c
a!b!c!
elde edilir. Son satırda e2(rs+rt+st) fonksiyonu seriye açılmıstır. a+ b = n, b+ c = l,
a+ c = m dönüsümleriyle
∞Z−∞
∞Xm,n,l=0
Hl(x)Hm(x)Hn(x)
l!n!m!rnsmtle−x
2
dx =√π
∞Xl,m,n=0
2l+m+n
2 rntlsm¡l+m−n2
¢!¡m+n−l2
¢!¡n+l−m
2
¢!
elde edilir. Bu esitlikte katsayıların esitlenmesiyle
91
∞Z−∞
Hl(x)Hm(x)Hn(x)e−x2dx =
√π
2l+m+n
2 l!n!m!¡l+m−n
2
¢!¡m+n−l2
¢!¡n+l−m
2
¢!
(4.1)
esitligine ulasılır. Burada l + m + n çift ve l, m, n den herhangi ikisinin toplamı
üçüncü den küçük kalmamak sartıyla saglanır. Diger durumlarda integral sıfırdır.
Teorem 4.1. Hermite polinomları
Hm(x)Hn(x) =
min(m,n)Xk=0
µm
k
¶µn
k
¶2kk!Hm+n−2k(x)
esitligini saglar.
Ispat:
Hm(x)Hn(x) =
min(m,n)Xk=0
Am+n−2k Hm+n−2k(x)
esitliginin her iki tarafı Hl(x)e−x2ile çarpılıp (−∞,∞) aralıgında integrali alınarak,
Hermite polinomlarının ortogonalliginden ve (4.1) den yararlanılırsa
Al =2m+n−l
2 n!m!¡l+m−n
2
¢!¡m+n−l
2
¢!¡n+l−m2
¢!
sonucuna ulasılır. Burada l yerine m+ n− 2k yazılmasıyla
Am+n−2k =2kn!m!
(m− k)! (k)!(n− k)!=
µm
k
¶µn
k
¶2kk!
elde edilir. Bu esitliginin yukarıda yerine yazılmasıyla teorem ispatlanmıs olur.
4.2 Ultraküresel Polinomların Lineerlestirilmesi
Bu lineerlestirmeyi göstermek için bazı teoremlere ihtiyaç duyulur. Ilk önce bu teo-
remler verilmelidir.
Teorem 4.2. (Pfaff-Saalschütz) 3F2 hipergeometrik fonksiyon olmak üzere
92
3F2
⎛⎝ −n , a , b
c , 1 + a+ b− c− n; 1
⎞⎠ =(c− a)n(c− b)n(c)n(c− a− b)n
esitligi saglanır.
Ispat: (3.41) esitligi
2F1(c− a, c− b; c;x) = 2F1(a, b; c;x)(1− x)a+b−c
seklinde yazılabilir. Buradaki hipergeometrik fonksiyonların ve (1−x)a+b−c fonksiyo-nunun seri açılımlarının yazılmasıyla
∞Xn=0
(c− a)n(c− b)n(c)nn!
xn =
à ∞Xj=0
(a)j(b)j(c)jj!
xj
!Ã ∞Xn=0
(c− a− b)nn!
xn
!
elde edilir. Bu esitligin sag tarafından n yerine (n − j) alınıp xn nin katsayılarınınesitlenmesiyle teorem ispatlanır.
Teorem 4.3. 3F2 hipergeometrik fonksiyon olmak üzere
3F2
⎛⎝ a , − b , − c1 + a+ b , 1 + a+ c
; 1
⎞⎠=
Γ(a2+ 1)Γ(a+ b+ 1)Γ(a+ c+ 1)Γ(a
2+ b+ c+ 1)
Γ(a+ 1)Γ(a2+ b+ 1)Γ(a
2+ c+ 1)Γ(a+ b+ c+ 1)
esitligi saglanır (Askey et al. 1999).
Teorem 4.4. 5F4 hipergeometrik fonksiyon olmak üzere
5F4
⎛⎝ a , b , c , d ,−ma− b+ 1 , a− c+ 1 , a− d+ 1 , a+m+ 1
; 1
⎞⎠
=(a+ 1)m(
a2− d+ 1)m
(a2+ 1)m(a− d+ 1)m × 4F3
⎛⎝ a2
, a− b− c+ 1 , d ,−ma− b+ 1 , a− c+ 1 , d−m− a
2
; 1
⎞⎠esitligi saglanır (Askey et al. 1999).
93
Ispat: Teorem 4.2 den dolayı
nXr=0
(−n)r(a− b− c+ 1)r(a+ n)rr!(a− b+ 1)r(a− c+ 1)r =
(b)n(c)n(a− b+ 1)n(a− c+ 1)n
yazılabilir. Bu yüzden
5F4
⎛⎝ a , b , c , d ,−ma− b+ 1 , a− c+ 1 , a− d+ 1 , a+m+ 1
; 1
⎞⎠=
mXn=0
(a)n(d)n(−m)nn!(a− d+ 1)n(a+m+ 1)n ×
nXr=0
(−n)r(a− b− c+ 1)r(a+ n)rr!(a− b+ 1)r(a− c+ 1)r
=mXr=0
mXn=r
(−1)r(a)n+r(d)n(−m)n(n− r)!(a− d+ 1)n(a+m+ 1)n
(a− b− c+ 1)rr!(a− b+ 1)r(a− c+ 1)r
seklinde yazılabilir. Son satırda indis kaydırılması yapılmıstır. t = n − r alınır vegerekli sadelestirmeler ile düzenlemelerden sonra
5F4
⎛⎝ a , b , c , d ,−ma− b+ 1 , a− c+ 1 , a− d+ 1 , a+m+ 1
; 1
⎞⎠=
mXr=0
(−1)r(a)2r(d)r(−m)r(a− b− c+ 1)rr!(a− d+ 1)r(a+m+ 1)r(a− b+ 1)r(a− c+ 1)r
×m−rXt=0
(a+ 2r)t(d+ r)t(−m+ r)tt!(a− d+ r + 1)t(a+m+ r + 1)t
elde edilir. Bu son esitlikte içerdeki toplam Teorem 4.3 den dolayı hesaplanabilir.
Bu hesaplamadan sonra gerekli sadelestirmeler yapılırsa teorem ispatlanmıs olur.
Teorem 4.5. 5F4 hipergeometrik fonksiyon olmak üzere
5F4
⎛⎝ a , a2+ 1 , c , d ,−m
a2, a− c+ 1 , a− d+ 1 , a+m+ 1
; 1
⎞⎠ =(a+ 1)m(a− c− d+ 1)m(a− c+ 1)m(a− d+ 1)m
esitligi saglanır (Askey et al. 1999).
Ispat: Teorem 4.4 de b = a2+ 1 alınıp Teorem 4.2 nin kullanılmasıyla teorem ispat-
lanmıs olur.
94
Teorem 4.6. 7F6 hipergeometrik fonksiyon olmak üzere
7F6
⎛⎝ a , a2+ 1 , b , c , d , e ,−m
a2, a− b+ 1 , a− c+ 1 , a− d+ 1 , a− e+ 1 , a+m+ 1
; 1
⎞⎠=
(a+ 1)m(a− d− e+ 1)m(a− d+ 1)m(a− e+ 1)m
×4F3⎛⎝ a− b− c+ 1 , d , e ,−m
a− b+ 1 , a− c+ 1 , d+ e− a−m; 1
⎞⎠esitligi saglanır (Askey et al. 1999).
Ispat: Esitligin sol tarafından baslanılmasıyla
7F6
⎛⎝ a , a2+ 1 , b , c , d , e ,−m
a2, a− b+ 1 , a− c+ 1 , a− d+ 1 , a− e+ 1 , a+m+ 1
; 1
⎞⎠=
mXn=0
(a)n(a2+ 1)n(d)n(e)n(−m)n
n!(a2)n(a− d+ 1)n(a− e+ 1)n(a+m+ 1)n
×nXr=0
(−n)r(a− b− c+ 1)r(a+ n)rr!(a− b+ 1)r(a− c+ 1)r
elde edilir. Bu esitlikte Teorem 4.4 deki islemlerin aynısının yapılmasıyla
mXr=0
(−1)r(a)2r(a2 + 1)r(d)r(e)r(−m)r(a− b− c+ 1)rr!(a− b+ 1)r(a− c+ 1)r(a2)r(a− d+ 1)r(a− e+ 1)r(a+m+ 1)r
×m−rXt=0
(a+ 2r)t(a2+ r + 1)t(d+ r)t(e+ r)t(−m+ r)t
t!(a2+ r)t(a− d+ r + 1)t(a− e+ r + 1)t(a+m+ r + 1)t
elde edilir. Içerideki toplamTeorem 4.5 den dolayı hesaplanır. Burada sadelestirmeler
yapıldıktan sonra teorem ispatlanmıs olur.
Teorem 4.7.
a(k,m, n) =(m+ n+ λ− 2k)(λ)k(λ)m−k(λ)n−k(2λ)m+n−k(m+ n− 2k)!(m+ n+ λ− k)(k)!(m− k)!(n− k)!(λ)m+n−k(2λ)m+n−2k
olmak üzere
95
Cλm(x)C
λn(x) =
min(m,n)Xk=0
a(k,m, n)Cλm+n−2k(x) (4.2)
esitligi saglanır.
Ispat: (3.19) un kullanılmasıyla
Cλn(cos θ) =
nXk=0
(λ)n−k(λ)k(n− k)!k! e
i(n−2k)θ
=(λ)nn!einθ 2F1
⎛⎝ −n ,λ
1− λ− n; e−2iθ
⎞⎠elde edilir. Bu esitlige (3.41) in uygulanmasıyla
Cλm(cos θ) =
(λ)mm!
eimθ (1− e−2iθ)1−2λ 2F1
⎛⎝ 1− λ , 1− 2λ−m1− λ−m
; e−2iθ
⎞⎠esitligine ulasılır. Bu iki esitlik çarpılırsa
Cλm(cos θ)C
λn(cos θ) =
(λ)mm!
(λ)nn!ei(m+n)θ(1− e−2iθ)1−2λ
∞Xk=0
(−n)k(λ)kk!(1− λ− n)k e
−2kθi
×∞Xj=0
(1− 2λ−m)j(1− λ)jj!(1− λ−m)j e−2jθi (4.3)
esitligi saglanır. Son esitlikteki iki toplam s = j + k alınıp tekrar yazılırsaà ∞Xs=0
(1− λ)s(1− 2λ−m)ss!(1− λ−m)s e−2sθi
!Ã ∞Xk=0
(−n)k(λ)k(m+ λ− s)k(−s)kk!(1− λ− n)k(λ− s)k(2λ+m− s)k
!
=∞Xs=0
(1− λ)s(1− 2λ−m)ss!(1− λ−m)s e−2sθi
×4F3⎛⎝ −n ,λ ,−s ,m+ λ− s1− λ− n ,λ− s , 2λ+m− s
; 1
⎞⎠esitligi elde edilir. Teorem 4.6 da a = −λ−m−n, b = −m, c = 1− 2λ−m−n+ s,d = λ ve e = −n alınmasıyla
96
∞Xs=0
(1− λ)s(1− 2λ−m− n)ss!(1− λ−m− n)s e−2sθi
min(m,n)Xk=0
(−λ−m− n)k(1− λ+n+m2
)k(−m)kk!(−λ+n+m
2)k(1− λ− n)k
× (1− 2λ−m− n+ s)k(λ)k(−n)k(−s)k(λ− s)k(1− 2λ−m− n)k(1− λ−m)k(1− λ−m− n+ s)k
esitligi bulunur. Toplamlarda s = k + l alınarak, bu esitlik (4.3) te yerine yazılıp,
gerekli düzenlemeler yapılırsa
Cλm(cos θ)C
λn(cos θ)
=
min(m,n)Xk=0
(m+ n+ λ− 2k)(λ)k(λ)m−k(λ)n−k(2λ)m+n−k(m+ n− 2k)!(m+ n+ λ− k)(k)!(m− k)!(n− k)!(λ)m+n−k(2λ)m+n−2k
×µ
(λ)m+n−2k(m+ n− 2k)!e
i(m+n−2k)θ (1− e−2iθ)1−2λ¶
× 2F1
⎛⎝ 1− λ , 1− 2λ−m− n+ 2k1− λ−m− n+ 2k
; e−2iθ
⎞⎠
=
min(m,n)Xk=0
(m+ n+ λ− 2k)(λ)k(λ)m−k(λ)n−k(2λ)m+n−k(m+ n− 2k)!(m+ n+ λ− k)(k)!(m− k)!(n− k)!(λ)m+n−k(2λ)m+n−2k C
λm+n−2k(x)
esitligi elde edilmis olur. Böylece teorem ispatlanmıs olur.
Teorem 4.8. Pn(x) , Legendre polinomu olmak üzere
Pm(x)Pn(x) =
min(m,n)Xk=0
(2m+ 2n+ 1− 4k)(1/2)k(1/2)m−k(1/2)n−k(m+ n− k)!(2m+ 2n+ 1− 2k)(k)!(m− k)!(n− k)!(1/2)m+n−k Pm+n−2k(x)
(4.4)
esitligi saglanır.
Ispat: Teorem 4.7 de λ = 12alınmasıyla istenilen sonuç elde edilir.
Teorem 4.9. λ > −12ve λ 6= 0 olmak üzere
1Z−1
Cλl (x)C
λm(x)C
λn(x)(1− x2)λ−1/2dx =
97
=(λ)s−l(λ)s−m(λ)s−ns!
(s− n)!(s−m)!(s− l)!(λ)s21−2λπΓ(s+ 2λ)
[Γ(λ)]2 s!(s+ λ)(4.5)
esitligi saglanır. Burada l+m+n = 2s çift ve l, m, n den herhangi ikisinin toplamı
üçüncüden küçük kalmamak sartıyla saglanır. Diger durumlarda integral sıfırdır.
Ispat: Teorem 4.7 den ve
1Z−1
Cλm(x)C
λn(x)(1− x2)λ−1/2dx =
21−2λπΓ(n+ 2λ)
[Γ(λ)]2 n!(n+ λ)δmn
esitligi ile verilen ultraküresel polinomların ortogonalliginden yararlanılır ve teorem
4.7 nin her iki tarafı Cλl (x)(1− x2)λ−1/2 ile çarpılıp (−1, 1) de integre edilirse
1Z−1
Cλl (x)C
λm(x)C
λn(x)(1− x2)λ−1/2dx
=(m+ n+ λ− 2k)(λ)k(λ)m−k(λ)n−k(2λ)m+n−k(m+ n− 2k)!(m+ n+ λ− k)(k)!(m− k)!(n− k)!(λ)m+n−k(2λ)m+n−2k
21−2λπΓ(l + 2λ)
[Γ(λ)]2 l!(l + λ)δl,m+n−2k
olup l = m+n− 2k ve l+m+n = 2s oldugu gözönüne alınırsa istenilen elde edilir.
4.3 Bessel Fonksiyonlarının Lineerlestirilmesi
Iki boyutlu Fourier dönüsümü yardımıyla f(x, y) fonksiyonunun Fourier dönüsümü
F (u, v) =1
2π
∞Z−∞
∞Z−∞
f(x, y)ei(xu+yv)dxdy
seklinde yazılabilir. Bu dönüsümde
x = r cos θ , y = r sin θ , u = R cosφ , v = R sinφ
dönüsümleri ile kutupsal koordinatlara geçilirse
F (u, v) =1
2π
∞Z0
2πZ0
f(r cos θ , r sin θ)eirR cos(θ−φ)rdθdr
98
elde edilir. f fonkiyonunun Fourier serisi
f(r cos θ , r sin θ) =∞X
n=−∞fn(r)e
inθ
biçimindedir ve yukarıdaki iki esitlik
F (u, v) =∞X
n=−∞
∞Z0
fn(r)r
⎡⎣ 12π
2πZ0
einθeirR cos(θ−φ)dθ
⎤⎦ dresitligini verir. Bunun Bessel fonksiyonu ile iliskisi içerdeki integralden gelir. Bunun
için
Fn(x) =1
2π
2πZ0
einθeix cos θdθ (4.6)
integralini hesaplamada eix cos θ serisel açılımından faydalanılabilir. Bu açılım integ-
ralde yerine yazılırsa
Fn(x) =1
2π
∞Xk=0
ikxk
k!
2πZ0
einθ cosk θdθ
elde edilir. Bu integrali hesaplamak için
2k cosk θ = (eiθ + e−iθ)k =kXn=0
µk
n
¶e−inθei(k−n)θ
açılımından faydalanıldıgında integrali hesaplamak kolaydır. Integrali hesapladıktan
sonra k = n+ 2m alınırsa
Fn(x) =∞Xm=0
in+2mxn+2m
(n+ 2m)!2n+2m
µn+ 2m
m
¶= inJn(x) (4.7)
esitligine ulasılır. eix cos θ nın Fourier açılımı ilginç bir iliski vermektedir. Bu iliski
eix cos θ =∞X
n=−∞inJn(x)e
inθ
99
seklindedir. (4.6) ve (4.7) nin birlikte düsünülmesiyle
Jn(x) =(−i)n2π
2πZ0
einθeix cos θdθ
esitligi elde edilir. Bu esitlikte θ yerineπ
2− θ alınmasıyla
Jn(x) =1
2π
π/2Z−3π/2
e−inθeix sin θdθ
=1
2π
π/2Z−π
e−inθeix sin θdθ +1
2π
−πZ−3π/2
e−inθeix sin θdθ
seklinde yazılır. Ikinci integrale θ yerine θ − 2π alınmasıyla
Jn(x) =1
2π
πZ−π
e−inθeix sin θdθ (4.8)
esitligi elde edilir. Ayrıca Bessel fonksiyonunun dogurucu fonksiyonu
exp
∙x
µt− 1
t
¶/2
¸=
∞Xn=−∞
Jn(x)tn (4.9)
olarak bilinmektedir. Simdi Bessel fonksiyonu için toplam formülü verilebilir. a, b
ve c bir üçgenin kenarları olmak üzere cosinüs teoreminden dolayı
c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ
özelligi saglanır. Burada d = aeiθ−1 olarak alınırsa c = dd dir. Ψ reel bir sayı olmaküzere c =
¡aeiθ − 1¢ eiΨ seklinde yazılabilir. Böylece
c sinφ = a sin(θ + φ+Ψ)− b sin(φ+Ψ)
esitligi elde edilir. (4.8) den dolayı
100
J0(c) =1
2π
2πZ0
eic sinφdφ =1
2π
2πZ0
ei[a sin(θ+φ+Ψ)−b sin(φ+Ψ)]dφ
elde edilir. Ψ, φ den bagımsız ve integrant da periyodik oldugundan
J0(c) =1
2π
2πZ0
ei[a sin(θ+φ)−b sin(φ)]dφ
esitligi yazılabilir. (4.9) dan dolayı
J0(c) =∞X
m=−∞Jm(a)e
imθ 1
2π
2πZ0
e−ib sin(φ)eimφdφ
=∞X
m=−∞Jm(a)e
imθ 1
2π
2πZ0
eib sin(φ)e−imφdφ
=∞X
m=−∞Jm(a)Jm(b)e
imθ
esitligine ulasılır. Son satır (4.8) den dolayı yazılmıstır. Bu esitlikte Bessel fonksi-
yonları için bilinen
J−n(x) = (−1)nJn(x)
esitliginin kullanılmasıyla
J0(c) = J0(a)J0(b) + 2∞Xm=1
Jm(a)Jm(b) cosmθ (4.10)
yazılabilir. Burada (4.10) ve
d
dxx−αJα(x) = −x−αJα+1(x) (4.11)
esitliginden faydalanılacaktır.
1
c
d
dc=
1
ab sin θ
d
dθ
operatörü (4.10) a uygulanır ve (4.11) kullanılırsa
101
J1(c)
c= 2
∞Xm=1
mJm(a)
a
Jm(b)
b
sinmθ
sin θ
elde edilir. Bu esitliginin tekrar düzenlenmesiyle
J1(c)
c= 2
∞Xm=0
(m+ 1)Jm+1(a)
a
Jm+1(b)
bC1m(cos θ)
esitligine ulasılır. Burada C1m(cos θ) ultraküresel polinomdur. Tekrar operatör uygu-
lanır ve (4.11) kullanılırsa
J2(c)
c2= 22
∞Xm=0
(m+ 2)Jm+2(a)
a2Jm+2(b)
b2C2m(cos θ)
esitligi elde edilir. Burada (3.25) in x = cos θ hali kullanılmıstır. Bu islemin α defa
tekrarlanmasıyla
Jα(c)
cα= 2αΓ(α)
∞Xm=0
(m+ α)Jm+α(a)
aαJm+α(b)
bαCαm(cos θ) (4.12)
esitligine ulasılır. Burada
1Z−1
Cαm(x)C
αn (x)(1− x2)α−
12dx =
21−2απΓ(n+ 2α)
[Γ(α)]2 n!(n+ α)δmn
esitliginde x = cos θ alınır ve (4.12) kullanılırsa
πZ0
Jα(c)
cαCαn (cos θ) sin
2α θdθ =21−απΓ(n+ 2α)
Γ(α)n!
Jn+α(a)
aαJn+α(b)
bα
esitligi elde edilir. a yerine ax, b yerine bx, c yerine cx alınıp n = 0 için esitligin
tekrar yazılmasıyla
πZ0
Jα(cx)
cαsin2α θdθ =
21−απΓ(2α)Γ(α)xα
Jα(ax)
aαJα(bx)
bα
esitligine ulasılır. c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ dönüsümüyle
102
a+bZ|a−b|
£(a+ b)2 − c2¤α−1
2£c2 − (a− b)2¤α− 1
2Jα(cx)
cαcdc =
23α−1√πΓ(α+ 1
2)Jα(ax)Jα(bx)a
αbα
xα
esitligi saglanır. (2.2.33) Hankel ters formülünden dolayı
∞Z0
Jα(cx)Jα(ax)Jα(bx)x1−αdx =
[(a+ b)2 − c2]α− 12 [c2 − (a− b)2]α− 1
2
23α−1√πΓ(α+ 1
2)(abc)α
esitligi elde edilir. Bu esitlik |a− b| < c < a + b için tanımlıdır. Diger durumlardasıfırdır. ∆ bu üçgenin alanı olmak üzere
∞Z0
Jα(cx)Jα(ax)Jα(bx)x1−αdx =
2α−1∆2α−1√πΓ(α+ 1
2)(abc)α
(4.13)
Bessel fonksiyonu için lineerlestirme formülü elde edilmis olur.
103
5. HIPERGEOMETRIK ORTOGONAL POLINOMLAR
Bu bölümde Wilson polinomları ve onun limit durumları olan sürekli Hahn polinom-
ları ve sürekli dual Hahn polinomları hakkında bilgiler verilecektir. Wilson polinom-
ları
Wn(x2; a, b, c, d)
(a+ b)n(a+ c)n(a+ d)n= 4F3
⎛⎝ −n , n+ a+ b+ c+ d− 1 , a+ ix , a− ixa+ b , a+ c , a+ d
; 1
⎞⎠(5.1)
seklinde tanımlanır. Onun limit durumları olan sürekli dual Hahn polinomları ve
sürekli Hahn polinomları sırasıyla
limd→∞
Wn(x2; a, b, c, d)
(a+ d)n= (a+ b)n(a+ c)n 3F2
⎛⎝ −n , a+ ix , a− ixa+ b , a+ c
; 1
⎞⎠= Sn(x
2; a, b, c) (5.2)
ve
limt→∞
Wn [(x+ t)2; a− it, b− it, c+ it, d+ it)]
(−2t)nn!
= in(a+ c)n(a+ d)n
n!3F2
⎛⎝ −n , n+ a+ b+ c+ d− 1 , a+ ix
a+ c , a+ d; 1
⎞⎠= pn(x; a, b, c, d) (5.3)
ile gösterilir. Re(a, b, c, d) > 0 ve eslenik çiftler reel olmayan parametreler olmak
üzere ortogonallik özelligini vermek için asagıdaki teoremlere deyinilmelidir.
Teorem 5.1.
1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ s)Γ(a2+ s+ 1)Γ(b+ s)Γ(c+ s)Γ(d+ s)Γ(b− a− s)Γ(−s)Γ(a
2+ s)Γ(a− c+ s+ 1)Γ(a− d+ s+ 1) ds
=Γ(b)Γ(c)Γ(d)Γ(b+ c− a)Γ(b+ d− a)2Γ(a− c− d+ 1)Γ(b+ c+ d− a)
esitligi saglanır (Askey et al. 1999).
104
Teorem 5.2.
1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ s)Γ(a− s)Γ(b+ s)Γ(b− s)Γ(c+ s)Γ(c− s)Γ(d+ s)Γ(d− s)Γ(2s)Γ(−2s) ds
=2Γ(a+ b)Γ(a+ c)Γ(a+ d)Γ(b+ c)Γ(b+ d)Γ(c+ d)
Γ(a+ b+ c+ d)
esitligi gerçeklenir. Burada kontur imajiner eksen boyuncadır fakat uygun sekilde
deforme edilmistir. a, b, c, d buna uygun olarak seçilmistir.
Ispat: Teorem 5.1 de a yerine 2a, b yerine b+ a, c yerine c+ a, d yerine d+ a ve s
yerine s− a alınmasıyla
1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ s)Γ(s+ 1)Γ(b+ s)Γ(b− s)Γ(c+ s)Γ(a− s)Γ(d+ s)Γ(s)Γ(1− c+ s)Γ(1− d+ s) ds
=Γ(a+ b)Γ(a+ c)Γ(a+ d)Γ(b+ c)Γ(b+ d)
2Γ(1− c− d)Γ(a+ b+ c+ d)
esitligi elde edilir. Burada Euler reflection formülü yani
Γ(x)Γ(1− x) = π
sinπx, 0 < Re(x) < 1
esitligi kullanılır ve esitlik düzenlenirse
1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)Γ(d+ s)Γ(a− s)Γ(b− s)Γ(c− s)Γ(d− s)Γ(−2s)Γ(2s)
×µ− sin(c− s)π sin(d− s)πsin sπ cos sπ sin(c+ d)π
¶ds
= 2Γ(a+ b)Γ(a+ c)Γ(a+ d)Γ(b+ c)Γ(b+ d)Γ(c+ d)
Γ(a+ b+ c+ d)
esitligine ulasılır. Integraldeki trigonometrik ifade
− sin(c− s)π sin(d− s)πsin sπ cos sπ sin(c+ d)π
= 1− sin cπ sin dπ cos2 sπ + cos cπ cos dπ sin2 sπ
sin sπ cos sπ sin(c+ d)π
seklinde yazılabilir. Bu esitlik yukarıdaki integralde yerine yazılır ve integralde s
105
yerine (−s) alınıp iki integralin toplanmasıyla istenilen esitlik saglanır.
5.1 Wilson Polinomları
Bu kısımda (5.1) esitligiyle verilen Wilson polinomları hakkında bilgiler verilecektir.
Teorem 5.3. Wilson polinomları
1
2πi
i∞Z−i∞
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)Γ(d+ s)
Γ(2s)
¯2Wm(−s2; a, b, c, d)Wn(−s2; a, b, c, d)ds
= 2(n+ a+ b+ c+ d− 1)nn!×Γ(n+ a+ b)Γ(n+ a+ c)Γ(n+ a+ d)Γ(n+ b+ c)Γ(n+ b+ d)Γ(n+ c+ d)
Γ(2n+ a+ b+ c+ d)δmn
esitligini saglar (Askey et al. 1999). Burada
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)Γ(d+ s)
Γ(2s)
¯2=
Γ(a+ s)Γ(a− s)Γ(b+ s)Γ(b− s)Γ(c+ s)Γ(c− s)Γ(d+ s)Γ(d− s)Γ(2s)Γ(−2s)
dir. Burada kontur ve a, b, c, d parametreleri Teorem 5.2 deki ile aynıdır.
Ispat: Simetriden dolayı ve Ak uygun bir sabit olmak üzere
Wm(−s2; a, b, c, d) =mXk=0
Ak(b− s)k(b+ s)k
seklinde yazılabilir. Burada
1
2πi
i∞Z−i∞
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)Γ(d+ s)
Γ(2s)
¯2(b− s)k(b+ s)kWn(−s2; a, b, c, d)ds
integralini hesaplamak için Wn(−s2; a, b, c, d) nin seri açılımı yazılırsa
1
2πi
i∞Z−i∞
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)Γ(d+ s)
Γ(2s)
¯2(b− s)k(b+ s)kWn(−s2; a, b, c, d)ds =
106
= (a+ b)n(a+ c)n(b+ c)n
nXj=0
(−n)j(n+ a+ b+ c+ d+ 1)j(a+ b)j(a+ c)j(b+ c)jj!
× 1
2πi
i∞Z−i∞
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)Γ(d+ s)
Γ(2s)
¯2(a− s)j(a+ s)j(b− s)k(b+ s)k ds
= (a+ b)n(a+ c)n(b+ c)n
nXj=0
(−n)j(n+ a+ b+ c+ d+ 1)j(a+ b)j(a+ c)j(b+ c)jj!
× 1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ j + s)Γ(a+ j − s)Γ(b+ k + s)Γ(b+ k − s)Γ(2s)Γ(−2s) |Γ(c+ s)Γ(d+ s)|2 ds
elde edilir. Bu son esitlikteki integral, Teorem 5.2 den dolayı hesaplanabilir. Böylece
1
2πi
i∞Z−i∞
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)Γ(d+ s)
Γ(2s)
¯2(b− s)k(b+ s)kWn(−s2; a, b, c, d)ds
= 2Γ(a+ b+ k)Γ(a+ c+ n)Γ(a+ d+ n)Γ(b+ c+ k)Γ(b+ d+ k)Γ(c+ d)(a+ b)n
Γ(a+ b+ c+ d+ k)
× 3F2
⎛⎝ −n , n+ a+ b+ c+ d− 1 , a+ b+ k
a+ b , a+ b+ c+ d+ k; 1
⎞⎠esitligi elde edilir. Bu esitlikte hipergeometrik fonksiyon Teorem 4.2 den dolayı hesap-
lanırsa
1
2πi
i∞Z−i∞
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)Γ(d+ s)
Γ(2s)
¯2(b− s)k(b+ s)kWn(−s2; a, b, c, d)ds
= 2(−k)nΓ(a+ b+ k)Γ(a+ c+ n)Γ(a+ d+ n)Γ(b+ c+ k)Γ(b+ d+ k)Γ(c+ d+ n)Γ(a+ b+ c+ d+ n+ k)
esitligine ulasılır. Burada (−k)n terimi k < n için sıfırdır. a ve b nin simetrisindendolayı
Wn(−s2; a, b, c, d) = (−n)nn!
(n+a+b+c+d−1)n(b−s)n(b+s)n+n−1Xk=0
Ak(b−s)k(b+s)k
oldugundan ispat tamamlanır. Bu teoremde s yerine (ix) alınmasıyla
107
1
2π
∞Z0
¯Γ(a+ ix)Γ(b+ ix)Γ(c+ ix)Γ(d+ ix)
Γ(2ix)
¯2Wm(x
2; a, b, c, d)Wn(x2; a, b, c, d)dx
= (n+ a+ b+ c+ d− 1)nn!×Γ(n+ a+ b)Γ(n+ a+ c)Γ(n+ a+ d)Γ(n+ b+ c)Γ(n+ b+ d)Γ(n+ c+ d)
Γ(2n+ a+ b+ c+ d)δmn
esitligi elde edilir. Bu esitlik Wilson polinomları için ortogonallik özelligidir. Wil-
son polinomları için bir rekürans bagıntısı ile fark denklemi verilebilir. Bunun için
asagıdaki özellikten yararlanılacaktır.
4F3
⎛⎝ a , b , c , d
e , f , g; 1
⎞⎠ = F (a, b)
hipergeometrik fonksiyonu
b(e− a)(f − a)(g − a)a− b− 1 [F (a− 1, b+ 1)− F (a, b)]
−a(e− b)(f − b)(g − b)b− a− 1 [F (a+ 1, b− 1)− F (a, b)] + cd(a− b)F (a, b) = 0
(5.4)
iliskisini saglar (Askey et al. 1999). Bu esitlikte b yerine n + a + b + c + d − 1, ayerine (−n), c yerine a+ ix, d yerine a− ix, e yerine a+ b, f yerine a+ c ve g yerinea+ d alınmasıyla
−(a2 + x2)Wn(x2) = AnWn+1(x
2)− (An + Cn)Wn(x2) + CnWn−1(x2) (5.5)
rekürans esitligi saglanır. Burada
Wn(x2) = Wn(x
2; a, b, c, d) =Wn(x
2; a, b, c, d)
(a+ b)n(a+ c)n(a+ d)n
An =(n+ a+ b+ c+ d− 1)(n+ a+ b)(n+ a+ c)(n+ a+ d)
(2n+ a+ b+ c+ d− 1)(2n+ a+ b+ c+ d)Cn =
n(n+ b+ c− 1)(n+ b+ d− 1)(n+ c+ d− 1)(2n+ a+ b+ c+ d− 2)(2n+ a+ b+ c+ d− 1)
dir. (5.4) esitliginde a yerine (a + ix), b yerine a − ix, c yerine (−n), d yerine
108
n+ a+ b+ c+ d− 1, e yerine a+ b, f yerine a+ c ve g yerine a+ d alınmasıyla
n(n+a+b+c+d−1)y(x) = B(x)y(x+i)− [B(x) +D(x)] y(x)+D(x)y(x−i) (5.6)
fark denklemi saglanır. Burada
y(x) = Wn(x2; a, b, c, d)
B(x) =(a− ix)(b− ix)(c− ix)(d− ix)
2ix(2ix− 1)D(x) =
(a+ ix)(b+ ix)(c+ ix)(d+ ix)
2ix(2ix+ 1)
dir.
5.2 Sürekli Dual Hahn Polinomları
Bu kısımda (5.2) esitligiyle verilen sürekli dual Hahn polinomları hakkında bilgiler
verilecektir.
Teorem 5.4.
1
2πi
i∞Z−i∞
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)
Γ(2s)
¯2ds = 2Γ(a+ b)Γ(a+ c)Γ(b+ c)
esitligi saglanır (Askey et al. 1999).
Teorem 5.5. Sürekli dual Hahn polinomları
1
2π
∞Z0
¯Γ(a+ ix)Γ(b+ ix)Γ(c+ ix)
Γ(2ix)
¯2Sm(x
2; a, b, c)Sn(x2; a, b, c)dx
= Γ(n+ a+ b)Γ(n+ a+ c)Γ(n+ b+ c)n! δmn
esitligini saglar. Bu esitlik sürekli dual Hahn polinomları için ortogonallik sartıdır
(Askey et al. 1999).
Ispat: Simetriden dolayı ve Ak uygun bir sabit olmak üzere
109
Sm(−s2; a, b, c) =mXk=0
Ak(b− s)k(b+ s)k
seklinde yazılabilir. Burada
1
2πi
i∞Z−i∞
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)
Γ(2s)
¯2(b− s)k(b+ s)kSn(−s2; a, b, c)ds
integralini hesaplamak için Sn(−s2; a, b, c) nin seri açılımı yazılırsa
1
2πi
i∞Z−i∞
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)
Γ(2s)
¯2(b− s)k(b+ s)kSn(−s2; a, b, c)ds
= (a+ b)n(a+ c)n
nXj=0
(−n)j(a+ b)j(a+ c)jj!
× 1
2πi
i∞Z−i∞
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)
Γ(2s)
¯2(a− s)j(a+ s)j(b− s)k(b+ s)kds
= (a+ b)n(a+ c)n
nXj=0
(−n)j(a+ b)j(a+ c)jj!
× 1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ j + s)Γ(a+ j − s)Γ(b+ k + s)Γ(b+ k − s)Γ(c+ s)Γ(c− s)Γ(2s)Γ(−2s) ds
elde edilir. Bu son esitlikteki integral Teorem 5.4 den dolayı hesaplanabilir. Böylece
1
2πi
i∞Z−i∞
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)
Γ(2s)
¯2(b− s)k(b+ s)kSn(−s2; a, b, c)ds
= 2(a+ b)nΓ(a+ c+ n)Γ(a+ b+ k)Γ(b+ c+ k)
× 2F1
⎛⎝ −n , a+ b+ k
a+ b; 1
⎞⎠esitligine dönüsür. Yukarıdaki hipergeometrik fonksiyon
2F1 (−n, a; c; 1) = (c− a)n(c)n
(5.7)
esitliginden dolayı hesaplanır (Askey et al. 1999). Böylece
110
1
2πi
i∞Z−i∞
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)
Γ(2s)
¯2(b− s)k(b+ s)kSn(−s2; a, b, c)ds
= 2(−k)nΓ(a+ c+ n)Γ(a+ b+ k)Γ(b+ c+ k)
esitligine ulasılır. Burada (−k)n terimi k < n için sıfırdır. a ve b nin simetrisindendolayı
Sn(−s2; a, b, c) = (−n)nn!
(b− s)n(b+ s)n +n−1Xk=0
Ak(b− s)k(b+ s)k
oldugundan
1
2πi
i∞Z−i∞
¯Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c+ s)
Γ(2s)
¯2Sn(−s2; a, b, c)Sm(−s2; a, b, c)ds
= 2 n!Γ(a+ c+ n)Γ(a+ b+ n)Γ(b+ c+ n)δmn
esitligi elde edilir. Bu esitlikte s yerine (ix) alınmasıyla istenilen sonuç elde edilir.
(5.5) özelliginde d→∞ için limit alınıp (5.2) özelliginden faydalanılırsa
−(a2 + x2)Sn(x2) = AnSn+1(x2)− (An + Cn)Sn(x2) + CnSn−1(x2)
esitligi saglanır. Burada
Sn(x2) =
Sn(x2)
(a+ b)n(a+ c)nAn = (n+ a+ b)(n+ a+ c)
Cn = n(n+ b+ c− 1)
dir. (5.6) özelliginin her iki tarafı (a+d)n e bölünür ve d→∞ için limit alınıp, (5.2)
özelliginden faydalanılırsa
ny(x) = B(x)y(x+ i)− [B(x) +D(x)] y(x) +D(x)y(x− i)
111
esitligi saglanır. Burada
y(x) = Sn(x2; a, b, c)
B(x) =(a− ix)(b− ix)(c− ix)
2ix(2ix− 1)D(x) =
(a+ ix)(b+ ix)(c+ ix)
2ix(2ix+ 1)
dir.
5.3 Sürekli Hahn Polinomları
(5.3) esitligiyle verilen sürekli Hahn polinomları hakkında bilgiler verilecektir.
Teorem 5.6. Γ(c− s)Γ(d− s) in kutbundan Γ(a+ s)Γ(b+ s) kutbunu ayırmak için
integrasyon yolu çizilirse
1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c− s)Γ(d− s)ds = Γ(a+ c)Γ(a+ d)Γ(b+ c)Γ(b+ d)
Γ(a+ b+ c+ d)
esitligi saglanır (Askey et al. 1999). Burada a+ c, a+ d, b+ c, b+ d negatif tamsayı
veya 0 olmasın.
Teorem 5.7. Sürekli Hahn polinomları
1
2π
∞Z−∞
Γ(a+ ix)Γ(b+ ix)Γ(c− ix)Γ(d− ix)pn(x; a, b, c, d)pm(x; a, b, c, d)ds
=Γ(n+ a+ c)Γ(n+ a+ d)Γ(n+ b+ c)Γ(n+ b+ d)
(2n+ a+ b+ c+ d− 1)Γ(n+ a+ b+ c+ d− 1) δmn
esitligini saglar. Bu esitlik sürekli Hahn polinomları için ortogonallik sartıdır. Burada
Re(a, b, c, d) > 0 ve c = a ile d = b dir (Askey et al. 1999).
Ispat: Simetriden dolayı ve Ak uygun bir sabit olmak üzere
pm(−s; a, b, c, d) =mXk=0
Ak(b+ s)k
112
seklinde yazılabilir. Burada
1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c− s)Γ(d− s)(b+ s)k pn(−s; a, b, c, d)ds
integralini hesaplamak için pn(−s; a, b, c, d) nin seri açılımı yazılırsa
1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c− s)Γ(d− s)(b+ s)kpn(−s; a, b, c, d)ds
= in(a+ c)n(a+ d)n
n!
nXj=0
(−n)j(n+ a+ b+ c+ d− 1)j(a+ c)j(a+ d)jj!
× 1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c− s)Γ(d− s)(b+ s)k (a+ s)jds
= in(a+ c)n(a+ d)n
n!
nXj=0
(−n)j(n+ a+ b+ c+ d− 1)j(a+ c)j(a+ d)jj!
× 1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ j + s)Γ(b+ k + s)Γ(c− s)Γ(d− s)ds
elde edilir. Bu son esitlikteki integral Teorem 5.6 dan dolayı hesaplanabilir. Böylece
1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c− s)Γ(d− s)(b+ s)k pn(−s; a, b, c, d)ds
= in(a+ c)n(a+ d)n
n!
nXj=0
(−n)j(n+ a+ b+ c+ d− 1)j(a+ c)j(a+ d)jj!
×Γ(a+ j + c)Γ(a+ j + d)Γ(b+ k + c)Γ(b+ k + d)
Γ(a+ j + b+ k + c+ d)
=in
n!
Γ(a+ c+ n)Γ(a+ n+ d)Γ(b+ k + c)Γ(b+ k + d)
Γ(a+ b+ k + c+ d)
×nXj=0
(−n)j(n+ a+ b+ c+ d− 1)j(a+ b+ k + c+ d)jj!
esitligine dönüsür. Yukarıdaki hipergeometrik fonksiyon (5.7) den dolayı hesaplana-
bilir. Böylece
113
1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c− s)Γ(d− s)(b+ s)k pn(−s; a, b, c, d)ds
=in
n!
Γ(a+ c+ n)Γ(a+ n+ d)Γ(b+ k + c)Γ(b+ k + d)
Γ(a+ b+ k + c+ d)
(k − n+ 1)n(a+ b+ k + c+ d)n
esitligine ulasılır. Burada (k−n+1)n terimi k < n için sıfırdır. a ve b nin simetrisin-den dolayı
pn(−s; a, b, c, d) = in (−n)nn!
(n+ a+ b+ c+ d− 1)n(b+ s)n +n−1Xk=0
Ak(b+ s)k
oldugundan
1
2πi
i∞Z−i∞
Γ(a+ s)Γ(b+ s)Γ(c− s)Γ(d− s) pn(−s; a, b, c, d)pk(−s; a, b, c, d)ds
=Γ(n+ a+ c)Γ(n+ a+ d)Γ(n+ b+ c)Γ(n+ b+ d)
(2n+ a+ b+ c+ d− 1)Γ(n+ a+ b+ c+ d− 1) δnk
elde edilir. Burada s yerine (ix) alınmasıyla istenilen esitlik elde edilir. (5.5) de x
yerine x + t, a yerine a − it, b yerine b − it, c yerine c + it, d yerine d + it alınıp,esitligin her iki tarafı (−2t)nn! ile çarpılıp bölünmesiyle ve t → ∞ için limit alınıp
(5.3) özelliginden faydalanılırsa
(a+ ix)pn(x) = Anpn+1(x)− (An + Cn)pn(x) + Cnpn−1(x)
esitligi saglanır. Burada
pn(x2) =
n!pn(x; a, b, c, d)
in(a+ c)n(a+ d)n
An = −(n+ a+ b+ c+ d− 1)(n+ a+ d)(n+ a+ c)(2n+ a+ b+ c+ d− 1)(2n+ a+ b+ c+ d)
Cn =n(n+ b+ c− 1)(n+ b+ d− 1)
(2n+ a+ b+ c+ d− 2)(2n+ a+ b+ c+ d− 1)
dir. (5.6) da x yerine x + t, a yerine a − it, b yerine b− it, c yerine c + it, d yerine
114
d + it alınıp, esitligin her iki tarafı (−2t)nn! ile bölünmesiyle ve t → ∞ için limit
alınıp (5.3) özelliginden faydalanılırsa
n(n+ a+ b+ c+ d− 1)y(x) = B(x)y(x+ i)− [B(x) +D(x)] y(x) +D(x)y(x− i)
esitligi saglanır. Burada
y(x) = pn(x; a, b, c, d)
B(x) = (c− ix)(d− ix)D(x) = (a+ ix)(b+ ix)
dir.
115
6. ORTOGONAL POLINOMLARDA BAGLANTI KATSAYILARI
6.1 Baglantı Katsayıları
Reel yada kompleks sayılar üzerinde bütün polinomların vektör uzayını V ile gös-
terilsin. Vm de, derecesi m den küçük veya esit polinomların altuzayını göstersin.
p0(x), p1(x), p2(x),... bir dizi polinom olarak düsünülsün. Burada, örnegin pn(x)
polinomunun derecesi n dir. q0(x), q1(x), q2(x),... baska bir dizi polinom olarak alın-
sın. Açıktır ki, böyle diziler V için bir baz teskil eder. p0(x), p1(x), p2(x),..., pm(x)
ve q0(x), q1(x), q2(x),...,qm(x) polinomlarının Vm in iki bazını olusturdugu açıktır.
Sonlu boyutlu uzaylarda çalısırken çogunlukla bazı baza dönüstüren matrisi bulmak
gereklidir. Bunun anlamı asagıda verilen cnk katsayılarını bulmaktır.
qn(x) =nXk=0
cnk pk(x)
Bu durum pn ve qn polinomlarının seçimine baglıdır. Örnegin,
pn(x) = xn
qn(x) = x(x− 1)...(x− n+ 1)
polinom dizileri düsünülsün. Buradaki cnk katsayıları Stirling tarafından bulunmus-
tur ve bu katsayılar Stirling sayıları olarak adlandırılır. Buradaki amaç böylesi cnk
katsayılarını bulmaktır. Ancak genellikle bu baglantı katsayıları hakkında çok sey
söylenemez. Ama basit formüllerin de elde edilebilecegi durumlar da vardır. Örnegin,
Cλn(cos θ) =
nXk=0
(λ)n−k(λ)k(n− k)!k! cos(n− 2k)θ
esitligi P (−1/2,−1/2)k (x) polinomlarının P (α,α)n (x) polinomlarına genislemesini verir. Bir
baska örnek ise
∞Xn=0
Lβn(x) r
n = (1− r)−β−1e−xr/1−r
= (1− r)−α−1e−xr/1−r(1− r)−(β−α)
116
=
à ∞Xk=0
Lαk (x) r
k
!Ã ∞Xn=0
(β − α)nn!
rn
!
=∞Xn=0
ÃnXk=0
(β − α)n−k(n− k)! L
αk (x)
!rn
esitliklerinden rn nin katsayılarının esitlenmesiyle
Lβn(x) =
nXk=0
(β − α)n−k(n− k)! L
αk (x)
elde edilir.
Simdiki teorem bu bölümün esas sonuçlarından biridir. Bu teoremdeki amaç,
qn(x) = P(γ,δ)n (x) ve pk(x) = P
(α,β)k (x)
oldugunda cnk baglantı katsayılarını bulmaktır.
Teorem 6.1. Jacobi polinomları arasında
P (γ,δ)n (x) =nXk=0
cnkP(α,β)k (x)
gibi bir esitlik için
cnk =(n+ γ + δ + 1)k(k + γ + 1)n−k(2k + α+ β + 1)Γ(k + α+ β + 1)
(n− k)!Γ(2k + α+ β + 2)
× 3F2
⎛⎝ −n+ k , n+ k + γ + δ + 1 , k + α+ 1
k + γ + 1 , 2k + α+ β + 2; 1
⎞⎠ (6.1)
dır.
Ispat: Burada Jacobi polinomlarının ortogonallik özelligi kullanılmalıdır.
hk =
1Z−1
P(α,β)k (x)P
(α,β)k (x)(1− x)α(1 + x)βdx
=2α+β+1Γ(k + α+ 1)Γ(k + β + 1)
(2k + α+ β + 1)Γ(k + α+ β + 1)Γ(k + 1)(6.2)
117
ve Jacobi polinomları için Rodrigues formülü ile kısmi integrasyon yardımıyla
ank =
1Z−1
P (γ,δ)n (x)P(α,β)k (x)(1− x)α(1 + x)βdx
=(−1)k2kk!
1Z−1
P (γ,δ)n (x)dk
dxk©(1− x)α+k(1 + x)β+kª dx
=1
2kk!
1Z−1
dk
dxk£P (γ,δ)n (x)
¤(1− x)α+k(1 + x)β+kdx
elde edilir. Bu esitliklerden
cnk =ankhk
dır. Bölüm 3 ded
dxP (γ,δ)n (x) =
n+ γ + δ + 1
2P(γ+1,δ+1)n−1 (x)
esitligi elde edilmisti. Bu yüzden
dk
dxk£P (γ,δ)n (x)
¤=(n+ γ + δ + 1)k
2kP(γ+k,δ+k)n−k (x)
özelligi elde edilir. ank daki integrali hesaplamak için Jacobi polinomlarının hipergeo-
metrik fonksiyonlar cinsinden açılımı yazılır ve düzenlenirse
ank =(n+ γ + δ + 1)k
22kk!
1Z−1
P(γ+k,δ+k)n−k (x)(1− x)α+k(1 + x)β+kdx
=(n+ γ + δ + 1)k (γ + k + 1)n−k
22kk! (n− k)!n−kXj=0
(−n+ k)j (n+ k + γ + δ + 1)j(k + γ + 1)j j! 2j
×1Z
−1
(1− x)α+k+j(1 + x)β+kdx
=(n+ γ + δ + 1)k(k + γ + 1)n−kΓ(k + α+ 1)Γ(k + β + 1)2α+β+1
k! (n− k)! Γ(2k + α+ β + 2)
× 3F2
⎛⎝ −n+ k , n+ k + γ + δ + 1 , k + α+ 1
k + γ + 1 , 2k + α+ β + 2; 1
⎞⎠
118
elde edilir. Böylece teorem ispatlanmıs olur.
Genellikle bu teoremdeki hipergeometrik ifadenin toplamının sonucunu bulmak kolay
degildir. Eger γ = α alınırsa 3F2, 2F1 e dönüsür ve (5.7) den dolayı toplanabilir. Eger
δ = β ise 3F2 Teorem 4.2 den dolayı toplanabilir. Son olarak eger α = β ve γ = δ
ise 3F2 Watson özdesliginden dolayı (Askey et al. 1999) toplanabilir.
Teorem 6.2. Jacobi polinomları
P(α,δ)n (x) =
(α+ 1)n(α+ β + 2)n
×nXk=0
(−1)n−k(δ − β)n−k (α+ β + 1)k (α+ β + 2k + 1)(α+ δ + n+ 1)k(n− k)! (α+ 1)k (α+ β + 1) (α+ β + n+ 2)k
P(α,β)k (x)
esitligini saglar.
Ispat: Teorem 6.1 de γ = α alınmasıyla,
3F2
⎛⎝ −n+ k , n+ k + α+ δ + 1
2k + α+ β + 2; 1
⎞⎠ =(β − δ − n+ k + 1)n−k(α+ β + 2k + 2)n−k
esitliginin Teorem 6.1 de kullanılmasıyla ve sadelestirmelerden sonra teorem ispat-
lanır. δ = β durumu ise bir sonuçtur.
Teorem 6.3. Jacobi polinomları
P(γ,β)n (x) =
(β + 1)n(α+ β + 2)n
×nXk=0
(γ − α)n−k (α+ β + 1)k (α+ β + 2k + 1) (β + γ + n+ 1)k(n− k)! (β + 1)k (α+ β + 1) (α+ β + n+ 2)k
P(α,β)k (x)
esitligini saglar.
Ispat: Teorem 6.2 ve (3.35) esitliginin kullanılmasıyla istenilen sonuç elde edilir.
119
Teorem 6.4. Jacobi polinomları
P (γ,γ)m (x) =(γ + 1)m(2γ + 1)m
[m/2]Xk=0
(2α+ 1)m−2k (γ + 1/2)m−k (α+ 3/2)m−2k(γ − α)k(α+ 1)m−2k (α+ 3/2)m−k (α+ 1/2)m−2k k!
P(α,α)m−2k(x)
esitligini saglar.
Ispat: Teorem 6.3 de x yerine 2x2 − 1, β = ±1/2 alınmasıyla
P(γ,−1/2)n (2x2 − 1) = (1/2)n
(α+ 3/2)n
×nXk=0
(γ − α)n−k (α+ 1/2)k (α+ 2k + 1/2) (γ + n+ 1/2)k(n− k)! (1/2)k (α+ 1/2) (α+ n+ 3/2)k P
(α,−1/2)k (2x2 − 1)
(6.3)
ve
xP(γ,1/2)n (2x2 − 1) = (3/2)n
(α+ 5/2)n
×nXk=0
(γ − α)n−k (α+ 3/2)k (α+ 2k + 3/2) (γ + n+ 3/2)k(n− k)! (3/2)k (α+ 3/2) (α+ n+ 5/2)k xP
(α,1/2)k (2x2 − 1)
(6.4)
elde edilir. m = 2n alınır ve Teorem 3.17 (a) ile (6.3) esitliginin birlikte düsünülme-
siyle
P (γ,γ)m (x) =(γ + 1)m(2γ + 1)m
m/2Xk=0
(2α+ 1)2k (γ + 1/2)m2+k (α+ 3/2)2k(γ − α)m
2−k
(α+ 1)2k (α+ 3/2)m2+k (α+ 1/2)2k (
m2− k)! P
(α,α)2k (x)
elde edilir. Teoremdeki formül m çift sayısı için toplamın sırasını degistirmekle elde
edilir. Yani k, m/2− k ile degistirilir. Tek sayılar için olan durum (6.4) ve Teorem
3.17 (b) den benzer sekilde elde edilir.
Teorem 6.5. Ultraküresel polinomlar
120
Cλn(x) =
[n/2]Xk=0
(λ)n−k(λ− μ)k(n+ μ− 2k)(μ+ 1)n−k k! μ
Cμn−2k(x) (6.5)
esitligini saglar.
Ispat: (3.19) daki iliski (6.5) in μ → 0 için limiti alındıgında kolayca elde edilir.
(3.19) un her iki tarafının θ ya göre türevi alınıp (− sin θ) ya bölünürse ve (3.25)esitliginden yararlanılırsa
2λCλ+1n−1(cos θ) =
nXk=0
(λ)n−k(λ)k(n− 2k)(n− k)! k!
sin(n− 2k)θsin θ
(6.6)
elde edilir. k yerine n− k yazılırsa toplam degismez. Bu yüzden n tek ise toplamın
terimleri ayrılabilirdir. Ayrıca n çift ise de toplamın terimleri ayrılabilirdir. Çünkü
n = 2k terimi sıfırdır. Bu yüzden (6.6) esitliginde n − 1 yerine n, λ yerine λ − 1alınır ve
C1n(cos θ) =sin(n+ 1)θ
sin θ
esitligi kullanılırsa
Cλn(x) =
[n/2]Xk=0
(λ)n−k(λ− 1)k(2)n−k k!
(n+ 1− 2k)1
C1n−2k(x)
esitligi elde edilir. Bu islem tekrarlanılırsa yani yukarıdaki esitligin her iki tarafının
x e göre türevi alınır ve n− 1 yerine n, λ yerine λ− 1 alınırsa
Cλn(x) =
[n/2]Xk=0
(λ)n−k(λ− 2)k(3)n−k k!
(n+ 2− 2k)2
C2n−2k(x)
elde edilir. Burada tümevarım kullanılırsa
Cλn(x) =
[n/2]Xk=0
(λ)n−k(λ− μ)k(n+ μ− 2k)(μ+ 1)n−k k! μ
Cμn−2k(x) , μ = 1, 2, 3, ...
esitligine ulasılır. (3.19) dan dolayı Cμn−2k(x), μ nün polinomudur. Bu yüzden (6.5)
in sag tarafı μ nün rasyonel fonksiyonudur. Çünkü (6.5), μ nün bir çok degeri için
121
dogru oldugundan (3.19) da dogrudur.
Dougall’ın 7F6 toplamı Teorem 6.3 den elde edilebilir. Bunun için ilk olarak Teorem
6.3 de x = 1 alınırsa
(γ + 1)n (α+ β + 2)nn! (β + 1)n
=
(γ − α)nn!
×nXk=0
(−n)k (α+ β + 1)k (α+ β + 2k + 1) (β + γ + n+ 1)k(α+ 1)k(−n− γ + α+ 1)k (β + 1)k (α+ β + 1) (α+ β + n+ 2)k k!
elde edilir. Burada(α+ β + 2k + 1)
(α+ β + 1)=
¡1 + α+β+1
2
¢k¡
α+β+12
¢k
esitliginin kullanılmasıyla
5F4
⎛⎝ α+ β + 1 , α+β+32
,β + γ + n+ 1 ,α+ 1 ,−nα+β+12
,−n− γ + α+ 1 , β + 1 ,α+ β + n+ 2; 1
⎞⎠=
(γ + 1)n (α+ β + 2)n(γ − α)n (β + 1)n
esitligine ulasılır. Bu esitlikte α+β+1 = a, α+1 = b ve β+γ+n+1 = c alınmasıyla
Teorem 4.5 in ispatı yapılmıs olur. Burada Teorem 6.3 tekrar kullanılarak asagıdaki
gibi yazılabilir.
(γ + 1)nn!
2F1
⎛⎝ −n , n+ γ + β + 1
γ + 1; ut
⎞⎠=
(β + 1)n(α+ β + 2)n
nXk=0
(γ − β)n−k (α+ β + 1)k (α+ β + 2k + 1) (β + γ + n+ 1)k(n− k)! (β + 1)k (α+ β + 1) (α+ β + n+ 2)k
×(α+ 1)kk!
2F1
⎛⎝ −k , k + α+ β + 1
α+ 1; ut
⎞⎠ (6.7)
Burada Re bq+1 > Re ap+1 > 0 olmak üzere
p+1Fq+1
⎛⎝ a1 , ..., ap, ap+1
b1 , ..., bq, bq+1; x
⎞⎠ =
122
=Γ(bq+1)
Γ(ap+1)Γ(bq+1 − ap+1) ×1Z0
tap+1−1(1− t)bq+1−ap+1−1 pFq⎛⎝ a1 , ..., ap
b1 , ..., bq; xt
⎞⎠ dtbeta dagılımına göre esitligi saglanır (Askey et al. 1999). (6.7) esitligine yukarıdaki
özelligin iki defa uygulanmasıyla
(γ + 1)n(α+ β + 2)nn! (β + 1)n
4F3
⎛⎝ −n , n+ γ + β + 1 , a , b
γ + 1 , c , d; 1
⎞⎠=
nXk=0
(γ − β)n−k (α+ β + 1)k (α+ β + 2k + 1) (β + γ + n+ 1)k(n− k)! (β + 1)k (α+ β + 1) (α+ β + n+ 2)k
×(α+ 1)kk!
4F3
⎛⎝ −k , k + α+ β + 1 , a , b
α+ 1 , c , d; 1
⎞⎠esitligi bulunur. Burada 4F3 lerde parametre kısıtlaması olmadan toplamlar bulu-
namaz. Eger a+ b+β+1 = c+ d ise esitligin sol tarafındaki 4F3 ün degeri bulunur.
Bu aynı zamanda sagdaki 4F3 ün de degerinin bulunmasını saglar. Bu yüzden 4F3 ün
toplamını bulmak için parametreler seçilebilir. Eger b = α+1 seçilirse 4F3 hipergeo-
metrik fonksiyonu 3F2 hipergeometrik fonksiyonuna dönüsür. 3F2 hipergeometrik
fonksiyonunun toplamını da Teorem 4.2 den dolayı hesaplanabilir. Böylece
7F6
⎛⎝ −n,α+ β + 1, (α+ β + 3)/2,β + γ + n+ 1,α+ 1,α+ β − c+ 2, c− aα− γ − n+ 1, (α+ β + 1)/2,α+ β + n+ 2,β + 1, c, a+ α+ β − c+ 2
; 1
⎞⎠=
(γ + 1)n(α+ β + 2)n(γ − α)n (β + 1)n
4F3
⎛⎝ −n , n+ γ + β + 1 , a ,α+ 1
γ + 1 , c , d; 1
⎞⎠ (6.8)
esitligine ulasılır. Burada a + α + β + 2 = c + d dir. (6.8) esitligi Teorem 4.6 nın
kendisidir. Teorem 4.6 da 2a + 1 = b + c + d + e − m alınmasıyla 4F3 hipergeo-
metrik fonksiyonu 3F2 hipergeometrik fonksiyonuna dönüsür. 3F2 hipergeometrik
fonksiyonunun toplamını da Teorem 4.2 den dolayı hesaplanabilir. Böylece Dougall’ın
esitligine ulasılmıs olur.
123
6.2 Rasyonel Fonksiyonlar ile Pozitif Kuvvet Seri Katsayıları
Bu alt baslıkta α ≥ 0 için
min(m,n)Xk=0
µm− k + α
m− k¶µn− k + α
n− k¶µk − α− 2
k
¶≥ 0 (6.9)
oldugunu göstermekle baslanılacaktır. Bu esitsizlik ortogonal polinomlarla direkt
alakalı degildir. Ancak bu esitsizligin ispatı dogurucu fonksiyonlar metoduyla ilgili
güzel bir ipucu veriyor. Bu metod Laguerre polinomlarını içeren bir esitsizligi kanıt-
lamak için bu kısım da kullanılacaktır. Ayrıca bu esitsizlik asagıdaki gibi yazılabilir.
(α+ 1)m(α+ 1)nm! n!
3F2
⎛⎝ −m ,−n ,−α− 1−m− α ,−n− α
; 1
⎞⎠ ≥ 0 (6.10)
Teorem 6.6. Eger 0 ≤ α ≤ min(β, γ) ise
min(m,n)Xk=0
µm− k + β
m− k¶µn− k + γ
n− k¶µk − α− 2
k
¶≥ 0 , m,n = 0, 1, 2, ... (6.11)
dir.
Ispat: Binom açılımından
(1− x)−(α+1) =∞Xk=0
µk + α
k
¶xk
seklinde yazılabilir. Bu yüzden (6.11), üç binom açılımının çarpımı olarak elde edilen
bir açılımda bir terimin katsayısı olmalıdır. Gerçekten (6.11), asagıdaki çarpımda
rmsn nin katsayısıdır.
∞Xk=0
µk − α− 2
k
¶(rs)k
∞Xm=k
µm− k + β
m− k¶rm−k
∞Xn=k
µn− k + γ
n− k¶sn−k
Bu çarpım asagıdaki gibi yazılabilir.
124
∞Xm,n=0
min(m,n)Xk=0
µm− k + β
m− k¶µn− k + γ
n− k¶µk − α− 2
k
¶rm−ksn−k(rs)k
=(1− rs)α+1
(1− r)β+1(1− s)γ+1
= (1− r)α−β(1− s)α−γ (1− rs)α+1(1− r)α+1(1− s)α+1
Burada α ≤ min(β, γ) oldugunda (1−r)α−β , (1−s)α−γ fonksiyonları negatif olmayankuvvet seri katsayılarına sahiptir. Bu ise α = β = γ oldugu durumu kanıtlamak için
yeterli oldugunu gösteriyor. α = β = γ = 0 durumu için
1− rs(1− r)(1− s) = 1 +
∞Xn=1
(rn + sn)
seklinde seriye açılabilir. Böylece1− rs
(1− r)(1− s) fonksiyonunun açılımı pozitif kat-sayılara sahiptir ve bu rasyonel fonksiyonun pozitif tamsayı kuvveti de pozitif kuvvet
dizisi katsayılarına sahip olur. Asagıdaki duruma dikkat edilmelidir.
∙1− rs
(1− r)(1− s)¸α+1
=
∙1− rs
(1− r)(1− s)¸[α]+1 ∙
1− rs(1− r)(1− s)
¸α−[α]α = β = γ ve 0 ≤ α < 1 oldugu durumu düsünülmelidir. Çünkü 0 ≤ α − [α] <1 olup yukarıdaki ikinci çarpımın pozitif katsayılara sahip olup olmadıgını kontrol
edilmelidir. Bunun için (6.10) daki 3F2 hipergeometrik toplamına dikkat edilmelidir.
1− mn(α+ 1)
(m+ α)(n+ α)1!+
m(m− 1)n(n− 1)(α+ 1)α(m+ α)(m+ α− 1)(n+ α)(n+ α− 1)2! − ...
Bu seride hem pozitif terimler hem de negatif terimler vardır. Bu yüzden toplamın
isareti açık degildir. Serinin pozitifligini göstermek için seriyi bütün terimleri pozitif
olan baska bir seriye çevrilebilir. Bunun için (6.10) daki 3F2 hipergeometrik toplamı
Thomae’nın asagıda verilen teoremi yardımıyla baska bir seriye çevrilebilir.
s = d+ e− a− b− c oldugunda
125
3F2
⎛⎝ a , b , c
d , e; 1
⎞⎠ =Γ(d)Γ(e)Γ(s)
Γ(a)Γ(s+ b)Γ(s+ c)3F2
⎛⎝ d− a , e− a , s
s+ b , s+ c; 1
⎞⎠esitligi saglanır (Askey et al. 1999). (6.10) daki 3F2 hipergeometrik toplamda yukarı-
daki özelligin uygulanmasıyla
3F2
⎛⎝ −m ,−n ,−α− 1−m− α ,−n− α
; 1
⎞⎠
=α(α+ 1)
(m+ α)(n+ α)×3 F2
⎛⎝ 1−m , 1− n , 1− α
1−m− α , 1− n− α; 1
⎞⎠toplamına dönüsür. 0 < α < 1 oldugunda 3F2 de her terim pozitiftir. Böylece ispat
tamamlanır.
Hatırlatma. Teorem 6.6, 0 ≤ α ≤ min(β, γ) oldugunda
3F2
⎛⎝ −m ,−n ,−α− 1−m− α ,−n− α
; 1
⎞⎠ ≥ 0 , m,n = 0, 1, 2, ...gösterimine esittir. 0 ≤ α ≤ min(β, γ) durumu kesinlikle gereklidir. Bunu göstermekiçin burada m = 1 alınırsa
3F2
⎛⎝ −1 ,−n ,−α− 1−1− β ,−n− α
; 1
⎞⎠ = 1− (α+ 1)n
(1 + β)(n+ γ)≥ 0
esitligine ulasılır. Yukarıdaki esitlikte n → ∞ için limit alınırsa α ≤ β oldugu
görülür. Aynı sekilde α ≤ γ oldugu da gösterilebilir.
Simdiki problem rasyonel fonksiyonların kuvvet serisi açılımında asagıdaki A(k,m, n)
katsayılarının pozitifligini göstermektir.
1
(1− r)(1− s) + (1− r)(1− t) + (1− s)(1− t) =∞X
k,m,n=0
A(k,m, n) rksmtn (6.12)
126
Bu problem Laguerre polinomlarının çarpımının integralinin pozitifligi ile ilgili bir
esitsizlik problemine çevrilebilir. (6.12) nin sol tarafı asagıdaki gibi yazılabilir.
1
(1− r)(1− s) + (1− r)(1− t) + (1− s)(1− t)=
1
(1− r)(1− s)(1− t) ×1
1
1− r +1
1− s +1
1− t
=
∞Z0
e−x/(1−r)
1− re−x/(1−s)
1− se−x/(1−t)
1− t dx (6.13)
Burada (2.2.4) den yararlanılabilir. (2.2.4) ün α = 0 durumu düsünülür ve her iki
tarafı e−x ile çarpılırsa
e−x∞Xn=0
Ln(x) rn = (1− r)−1e−x/1−r
esitligine ulasılır. Bu yüzden (6.13) esitligi
∞Xk,m,n=0
∞Z0
Lk(x)Lm(x)Ln(x) e−3xdx rksmtn
seklinde yazılabilir ve burada
A(k,m, n) =
∞Z0
Lk(x)Lm(x)Ln(x) e−3xdx
dir. Daha genel bir durumda benzer bir yol izlenebilir.
Eger f(x) = (x− r)(x− s)(x− t) ise (6.12) nin sol tarafı 1
f 0(1)dir. Böylece
1
[f 0(1)]α+1=
∞Xk,m,n=0
Aα(k,m, n) rksmtn
için katsayılar
Aα(k,m, n) =1
Γ(α+ 1)
∞Z0
Lk(x)Lm(x)Ln(x)xα e−3xdx (6.14)
127
seklindedir.
Teorem 6.7. α ≥ −12için Aα(k,m, n) ≥ 0 dır. α ≥ 0 için esitsizlik tamdır, yani
Aα(k,m, n) > 0 dır.
Ispat: Bölüm 4 de üç Hermite polinomunun ve ultraküresel polinomunun çarpım-
larının integrali hesaplanmıstı. Bu ayrıca onların negatif olmamasını da göstermisti.
Bu integraller ilgili lineerlestirme formüllerinden elde edilmisti. Bu metod burada
ise yaramıyor. Çünkü P (α,β)l (x) deki parametreler esit degildir. Bu yüzden (3.38)
esitligi kullanılmalıdır. Böylece teoremi ispatlamak için
1Z−1
P(α,α+j)k (x)P (α,α+j)m (x)P (α,α+j)n (x)(1− x)α(1 + x)α+3jdx (6.15)
integralinin pozitifligini göstermek gereklidir. Bölüm 4 de ultraküresel polinomların
çarpımlarının integralinin pozitifligi yani
1Z−1
P(α,α)k (x)P (α,α)m (x)P (α,α)n (x)(1− x)α(1 + x)αdx ≥ 0 , α ≥ −1
2(6.16)
oldugu gösterilmisti. Simdi burada akla su sorular gelmelidir. P (α,β)l (x) de ikinci
parametre olan β yükseltilebilir mi? ve pozitiflik hala korunabilir mi? Aslında böyle
bir formül bölüm 3 de elde edilmisti. (3.33) de x yerine (−x) alınıp (3.35) in kul-lanılmasıyla
(n+β+1)P (α,β)n (x)+ (n+1)P(α,β)n+1 (x) =
(2n+ α+ β + 2)
2(1+x)P (α,β+1)n (x) (6.17)
esitligine ulasılır. (6.17) deki katsayılar pozitif oldugundan (6.17) ve (6.16) dan (6.15)
integrali pozitiftir. Bu ise α ≥ −12için A(k,m, n) katsayısının negatif olmaması
anlamına gelir. Ayrıca
1
[f 0(1)]α+1=
"1
[f 0(1)](α−1)/2+1
#2
128
esitliginden α ≥ 0 için tam pozitiflik gelir. Burada
I(i, j, k) =
∞Z0
L(α−1)/2i (x)L
(α−1)/2j (x)L
(α−1)/2k (x)x(α−1)/2e−3xdx
olmak üzere
∙Γ
µα+ 1
2
¶¸2 ∞Z0
Lαk (x)L
αm(x)L
αn(x)x
αe−3xdx
= Γ (α+ 1)kXa=0
mXb=0
nXc=0
I(k − a,m− b, n− c)I(a, b, c) (6.18)
elde edilir. α ≥ 0 oldugunda (6.18) in her terimi negatif degildir. Bu yüzden birtane tam pozitif terim bulmak yeterlidir. a = k, b = m, c = 0 teriminin pozitifligi
bir sonraki teoremden elde edilir. Böylece ispat tamamlanmıs olur.
Teorem 6.8. α > −1 ve > 0 için
∞Z0
e− xLαm(x)L
αn(x)x
α e−xdx > 0
dır.
Ispat: (2.2.4) esitliginden yararlanılırsa
∞Xm,n=0
rnsm∞Z0
e− xLαm(x)L
αn(x)x
α e−xdx
=
∞Z0
xα e−xr/(1−r)−xs/(1−s)−(1+ )x
(1− r)α+1(1− s)α+1 dx
=Γ (α+ 1)
(1 + )α+1
∙1−
µ+ 1
(r + s) +1−1 +
rs
¶¸−(α+1)esitligi elde edilir. Esitlikte son ifade eger 0 < < 1 ise rnsm in katsayısı pozitiftir.
Sonuç iterasyonla un daha büyük degerlerine genisletilebilir. Çünkü e− xLαn(x)
düzgün ve integrallenebilir oldugundan, Laguerre polinomları cinsinden seriye açıla-
129
bilir. Böylece 0 < < 1 ve Ck( ) > 0 için
e− xLαn(x) =
∞Xk=0
Ck( )Lαk (x)
seklinde seriye açılabilir. Buradan
e−2 xLαn(x) =
∞Xk=0
Ck( )e− xLα
k (x)
esitligi yazılabilir. Böylece e−2 xLαn(x) pozitif katsayılı bir toplam olarak yazılmıs
olur. Bu islemin ardarda devam edilmesiyle teoremin ispatı tamamlanmıs olur.
Sonuç 6.1. α > −1 ve f(x) fonksiyonu Fourier-Laguerre açılıma sahip olsun. Bu-rada, açılımdaki katsayıların pozitif oldugu kabul edilirse
an =
∞Z0
Lαm(x)L
αn(x)x
α e−xdx ≥ 0 , n = 0, 1, 2, ..
dir. Eger x ≥ 0 için f(x) = 0 olmadıgı sürece
an( ) =
∞Z0
e− xLαm(x)L
αn(x)x
α e−xdx > 0 , n = 0, 1, 2, .., > 0
dir.
Teorem 6.9. α ≥ α0 = (−5 +√17)/2 ise
∞Z0
Lαk (x)L
αm(x)L
αn(x)x
α e−2xdx ≥ 0 ,α ≥ α0 , k,m, n = 0, 1, 2, ...
dir. Esitlik durumu ise k = m = n = 1 ve α = α0 dır (Askey and Gasper 1977).
Teorem 6.10. 0 < a < 1, a+ b = 1 ve α ≥ 0 ise∞Z0
Lαk (ax)L
αm(bx)L
αn(x)x
α e−xdx ≥ 0 , k,m, n = 0, 1, 2, ...
130
dır (Koornwinder 1978).
Teorem 6.10 un ispatı farklı bir sekilde de verilebilir. Bunun için MacMahon’ın
Master teoreminden yararlanılabilir. Burada
Vn = (−1)nx1...xn
¯¯¯a11 − 1
x1a12 . . . a1n
a21 a22 − 1x2
. . . a2n...
......
an1 an2 . . . ann − 1xn
¯¯¯
esitligi ele alınırsa MacMahon’ın teoremine göre1
Vnin seri açılımında xk11 x
k22 ...x
knn nin
katsayısı ile (a11x1+ ...+ a1nxn)k1 ...(an1x1+ ...+ annxn)kn çarpımındaki aynı terimin
katsayıları aynıdır. α = 0, 1, 2, ... için
Bα(k,m, n) =
∞Z0
Lαk (x)L
αm((1− λ)x)Lα
n(λx)xα e−xdx
integrali ele alınıp, Laguerre polinomları için dogurucu fonksiyonun kullanılmasıyla
∞Xk,m,n=0
Bα(k,m, n)rksmtn =Γ(α+ 1)
[1− (1− λ)r − λs− λrt− (1− λ)st+ rst]α+1
elde edilir. α negatif olmayan bir tamsayı ise B0(k,m, n) ≥ 0 olması Bα(k,m, n) ≥ 0olmasını gerektirir. Bu yüzden α = 0 alınabilir. Burada Master teoremini kullanılırsa
V3 = 1−(1−λ)r−λs−λrt−(1−λ)st+rst = −rst
¯¯¯(1− λ)− 1
r−pλ(1− λ) −√λ
−pλ(1− λ) λ− 1s
−p(1− λ)
−√λ −p(1− λ) −1t
¯¯¯
ifadesi yardımıyla1
V3ün seri açılımında rksmtn in katsayısı ve
h(1− λ)r −
pλ(1− λ)s−
√λtik h−p
λ(1− λ)r + λs−p(1− λ)t
im×h−√λr −
p(1− λ)s
in
131
çarpımının seri açılımındaki rksmtn in katsayısı aynıdır ve B0(k,m, n) dir. Bu yukarı-
daki çarpıma Binom teoreminin uygulanmasıyla
B0(k,m, n) = λ2k+m−n(1− λ)n−k(k +m− n)!n!
k!m!
×"
kXi=0
(−1)i½1− λ
λ
¾iµk
i
¶µm
n− k + i¶#2≥ 0
esitsizligi elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.
Koornwinder’ın esitsizligi 0 < λ < 1 ve α ≥ 0 için ak,m,n ≥ 0 olmak üzere
Lαn((1− λ)x)Lα
m(λx) =m+nXk=0
ak,m,nLαk (x)
esitligine denktir. Daha genel olarak i = 0, 1, 2, ..., j için λi ≥ 0 vejXi=1
λi = 1 olmak
üzere ak ≥ 0 ve α ≥ 0 oldugunda
Lαn1(λ1x)...L
αnj(λjx) =
n1+...+njXk=0
akLαk (x)
sekline genisletilebilir.
132
7. POLINOMLARIN POZITIF TOPLAMLARI
7.1 Vietoris Esitsizliginden Gelen Pozitif Polinom Toplamları
Fejer,nXk=0
sin(k + 1/2)θ =sin2 [(n+ 1)θ/2]
sin θ/2≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π
esitsizligini kullanarak
nXk=0
P(1/2,−1/2)k (cos θ)
P(−1/2,1/2)k (1)
=sin2 [(n+ 1)θ/2]
sin2 θ/2≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π (7.1)
esitsizligini ispatladı. Teorem 3.14 ve yukarıdaki esitlikten dolayı
nXk=0
Pk(x) =nXk=0
Pk(x)
Pk(1)> 0 , −1 < x ≤ 1 (7.2)
yazılabilir. Fejer bunu küresel fonksiyonlar dizisinin toplanabilirligi üzerinde çalıs-
mak için kullandı ve ayrıca
nXk=0
sin(k + 1)θ
k + 1> 0 , 0 < θ < π (7.3)
tahmininde bulundu. Böylesi toplamlar
∞Xk=0
sin(k + 1)θ
k + 1=
π − θ
2, 0 < θ ≤ π
Fourier serisinin kısmi toplamıdır. (7.3) esitsizligi
nXk=0
P(1/2,1/2)k (cos θ)
P(1/2,1/2)k (1)
> 0 , 0 < θ < π (7.4)
seklinde yazılabilir. (7.2) in ispatı (7.1) den ve Teorem 3.14 ü kullanarak yapıla-
bilir. Bölüm 3 de P (α,β)n (x) terimlerini içeren toplamları olusturan integraller mev-
cuttur.P(α,β)n (x)
P(α,β)n (1)
veyaP(α,β)n (x)
P(β,α)n (1)
formunda pozitif toplamlar elde etmek mümkündür.
Hiçbirseyi düsünmeden hangi formun yararlı olacagını anlamak zordur. (7.1) deki
133
esitsizlikP(α,β)n (x)
P(β,α)n (1)
toplamlarının önemli olacagını gösterir. Bu bilgileri kullanarak
asagıdaki problem incelenebilir.
{Pn(x)} ler (a, b) üzerinde dα(x) dagılımına göre ortonormal polinomların bir dizisiolsun. Gauss quadrature da oldugu gibi Pn(x) polinomlarının sıfırlarına interpo-
lasyon yapılır. υ = 1, 2, .., n için xυ, Pn(x) polinomunun sıfırları olsun. f(x) sürekli
bir fonksiyon olmak üzere, interpolasyon polinomu
nXυ=1
υ f(xυ) :=nX
υ=1
Pn(x)f(xυ)
P 0n(xυ)(x− xυ)
(7.5)
seklinde verilir. Burada
λυ =
bZa
Pn(x)dα(x)
P 0n(xυ)(x− xυ)
=
bZa
Pn(x)Pn+1(xυ)− Pn(xυ)Pn+1(x)Pn+1(xυ)P
0n(xυ)(x− xυ)
dα(x)
= −kn+1kn
1
Pn+1(xυ)P0n(xυ)
bZa
nXk=0
Pk(xυ)Pk(x)dα(x) (7.6)
olmak üzerebZa
f(x)dα(x) ≈nX
υ=1
λυ f(xυ) (7.7)
yaklasım formülü olarak bilinir. Burada kn, Pn(x) polinomunun xn teriminin kat-
sayısıdır. (7.6) esitligi ise (3.29) esitliginden gelir. Burada
K(x) =nXk=0
⎡⎣Pk(x) bZa
Pk(t)dα(t)
⎤⎦ (7.8)
seklinde tanımlanırsa (7.6) esitligi
λυ = −kn+1kn
K(xυ)
Pn+1(xυ)P0n(xυ)
(7.9)
134
seklinde yazılabilir. Eger λυ pozitif ise (7.7) nin sag tarafındaki toplam n→∞ için
integrale yaklasır.
Burada Pn(x) = P(α,β)n (x), dα(x) = dx ve (a, b) = (−1, 1) özel seçimlerinin yapıl-
masıyla
K(x) =
nXk=0
⎡⎣P (α,β)k (x)
1Z−1
P(α,β)k (t)dt
⎤⎦°°°P (α,β)k
°°°elde edilir. Burada
°°°P (α,β)k
°°° degeri (6.2) deki gibi tanımlıdır. P (α,β)k (t) nin (3.5) deki
hipergeometrik açılımı yazılır ve terim terime integre edilirse
1Z−1
P(α,β)k (t)dt =
−2(α)k+1(k + α+ β)(1)k+1
kXj=0
(−k − 1)j+1(k + α+ β)j+1(1)j+1(α)j+1
=−2(α)k+1
(k + α+ β)(1)k+1
⎡⎣2F1
⎛⎝ −k − 1 , k + α+ β
α; 1
⎞⎠− 1⎤⎦
elde edilir. Son esitlikteki hipergeometrik toplam teorem 4.2 den dolayı hesaplana-
bilir. Böylece
K(x) = 2−(α+β)nXk=0
(2k + α+ β + 1)Γ(k + α+ β)k!
Γ(k + α+ 1)Γ(k + β + 1)
×∙Γ(k + α+ 1)
Γ(α)Γ(k + 2)+(−1)kΓ(k + β + 1)
Γ(β)Γ(k + 2)
¸P(α,β)k (x)
seklinde yazılabilir. K(x) in,nXk=0
akP(α,β)k (x)
P(α,β)k (1)
seklinde yazıldıgında isaretinin kontrol edilmesi zordur. Ancak
K(x) =2−(α+β)
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
nXk=0
(2k + α+ β + 1)Γ(k + α+ β)
(k + 1)!×"αP(α,β)k (x)
P(β,α)k (1)
+ βP(β,α)k (x)
P(α,β)k (1)
#(7.10)
formunda yazılabilir. (7.9) da kn > 0 oldugu düsünülüp, λυ nün pozitif oldugunu
göstermek için Teorem 3.8 asagıdaki sekilde yazılabilir.
135
nXm=0
Pm(x)Pm(y) =knkn+1
[Pn+1(x)− Pn+1(y)]Pn(y)− Pn+1(y) [Pn(x)− Pn(y)]x− y
Burada y → x için limit alınırsa
nXm=0
P 2m(x) =knkn+1
hP
0n+1(x)Pn(x)− Pn+1(x)P
0n(x)
ielde edilir. Buradan ise
P0n+1(x)Pn(x)− Pn+1(x)P
0n(x) > 0
esitsizligi yazılabilir. Burada xυ, Pn(x) in sıfırı ise
Pn+1(xυ)P0n(xυ) < 0
esitsizligini verir. Böylece λυ nin pozitif oldugunu göstermek için
K(x) ≥ 0 , − 1 ≤ x ≤ 1
oldugunu göstermek yeterlidir. Bu durumda (7.10) esitliginde
ck =(2k + α+ β + 1)Γ(k + α+ β)
(k + 1)!
olmak üzere 0 < α + β ≤ 1 oldugu zaman 0 ≤ ck+1 < ck dir. K(x) in pozitifliginigöstermek için α,β ≥ 0 ve α+ β ≤ 1 oldugunda
D(α,β)n (x) =
nXk=0
P(α,β)k (x)
P(β,α)k (1)
≥ 0 , − 1 ≤ x ≤ 1 (7.11)
ispatlamak yeterlidir. n tek oldugunda D(α,β)n (−1) = 0 dır. Sonuç olarak (7.11), n in
bir çok degeri için esitligin [−1, 1] de kalacagı kesindir. (7.11) esitsizliginin ispatı özel(α,β) degerleri için gelecek kısımda gösterilecektir. dα(x) = (1− x)α−γ(1 + x)β−δdxoldugu düsünülüp, α,β, δ, γ nın bazı özel degerleri için λυ hesaplanabilir.
136
α = 1/2, β = −1/2, γ = 1, δ = 0 oldugunda (7.9) u kullanarak, λυ nün pozitifligi,
nXk=0
sin(k + 1/2)θ
toplamının pozitifligine dönüsür.
α = β = −1/2, γ = 1/4, δ = −1/4 ve α = β = 1/2, γ = 3/4, δ = 1/4 oldugunda
sırasıyla
c2k = c2k+1 =(1/2)kk!
, k = 0, 1, 2, ... (7.12)
olmak üzerenXk=0
ck cos kx ,nXk=1
ck sin kx (7.13)
(Askey and Steining 1974) toplamlarına dönüsür. Vietoris (1958) de bu toplamların
0 < x < π oldugunda pozitifliginin kesinligini kanıtladı.
nXk=1
ck sin kx > 0 , 0 < x < π (7.14)
esitsizligi (7.4) esitsizligini içerir. Bunu görmek için (7.4) esitsizliginde θ → π için
limit alınırsa, sonuç
1− 1 + 1− 1 + ...+ (−1)n
olup n tek oldugunda yokolur. Bu yüzden bu esitsizligi kullanarak esitsizligi genislet-
mek mümkün olmayabilir. (7.14) deki toplamlar hakkında
1 = c1 ≥ c2 ≥ c3 ≥ ...
olmak üzere bazı tahminlerde bulunulabilir. (7.14) deki toplam sinx ile bölünüp
x→ π için limit alınırsa
1− 2c2 + 3c3 − 4c4 + ...+ (−1)n+1ncn
elde edilir. Her n için bu toplamın negatif olmaması için c2 ≤ 12olması gerekir.
Burada c2 nin en büyük deger alması için c2 = 12alınmalıdır. c3 ≤ c2 = 1
2olup c3
137
ün en büyük deger alması için c3 = 12alınmalıdır. Böylece c1, c2, c3 ün degerleri
ile 4c4 ≤ 32olmalıdır. c4 = 3
8alınmalıdır. Eger böyle devam edilirse (7.12) deki ck
sonucu elde edilir. Vietoris esitsizligini kanıtlamak için bir kaç önerme verilmelidir.
Önerme 7.1. Eger ck dizisi (7.12) deki gibi tanımlanırsa, 0 < x < π için
∞Xk=0
ck cos kx =∞Xk=1
ck sin kx =
µ1
2cot³x2
´¶1/2(7.16)
dir.
Ispat: |z| ≤ 1, z 6= 0 için
(1− z)−1/2 =∞Xk=0
c2k zk
seklinde seriye açılabilir. Buradan
(1 + z)(1− z2)−1/2 =∞Xk=0
ck zk , |z| ≤ 1, z 6= ∓1
elde edilir. Yukarıdaki esitlige 0 < x < π için z = eix dönüsümü uygulanır ve
önermenin ispatı için esitligin reel ve sanal kısımları karsılastırılırsa ile istenen sonuca
ulasılır.
Önerme 7.2. m ≥ 1 için µ2m
m
¶<
22m√πm
(7.17)
dir.
Ispat: Bu önermede
am =
√m
22m
µ2m
m
¶alınp, m ≥ 1 için am < am+1 oldugu gösterilebilir. Stirling formülünden dolayı
limm→∞
am = limm→∞
√m (1/2)mm!
=1√π
138
elde edilir. Bu da istenilen sonuçtur.
Önerme 7.3. Eger ck dizisi (7.12) deki gibi tanımlanırsa,
2 sin(θ/2)nXk=0
ck cos kθ ≥√sin θ − 2cn+1 (7.18)
2 sin(θ/2)nXk=1
ck sin kθ ≥√sin θ − 2cn+1 (7.19)
dir.
Ispat: m > n oldugu kabul edilirse
2 sin(θ/2)mX
k=n+1
ck cos kθ =mX
k=n+1
ck [sin(k + 1/2)θ − sin(k − 1/2)θ]
= −cn+1 sin(n+ 1/2)θ +m−1Xk=n+1
(ck − ck+1) sin(k + 1/2)θ
+cm sin(m+ 1/2)θ
≤ cn+1(1− sin(n+ 1/2)θ)− cm(1− sin(m+ 1/2)θ)≤ 2cn+1
elde edilir. Önerme 7.1 den dolayı
√sin θ = 2 sin(θ/2)
∞Xk=0
ck cos kθ
= 2 sin(θ/2)
"nXk=0
ck cos kθ +∞X
k=n+1
ck cos kθ
#
≤ 2 sin(θ/2)nXk=0
ck cos kθ + 2cn+1
saglanır. Bu ise (7.18) i kanıtlar. (7.19) un kanıtı aynı sekilde yapılabilir.
Teorem 7.1. Eger
c2k = c2k+1 =1
22k
µ2k
k
¶, k ≥ 0
ise
139
σn(x) =nXk=1
ck sin kx > 0 , 0 < x < π (7.20)
rn(x) =nXk=0
ck cos kx > 0 , 0 < x < π (7.21)
dir.
Ispat: Ilk olarak (7.20) ispatlanacaktır. n = 1 için sonuç açıkca dogrudur. n ≥ 2oldugu duruma bakılmalıdır. Her üç aralık için ayrı bir ispat yapılmalıdır:
0 < x ≤ π
n,π
n< x < π − π
n, π − π
n≤ x < π
0 < x ≤ π
niçin σn(x) in pozitifligi açıktır. Çünkü toplamdaki her terim negatif
olmayandır ve ilk terim kesinlikle pozitiftir.π
n< x < π − π
naralıgında σn(x) in
pozitifligi incelenmelidir. Bu aralık x = π − y dönüsümüyle 0 < y ≤ π
naralıgına
dönüsür. n çift olsun ve n = 2m alınsın. Böylece
σn(x) =2mXk=1
(−1)k−1ck sin ky =mXk=1
[c2k−1 sin(2k − 1)y − c2k sin 2ky]
=mXk=1
(2k − 1)c2k−1∙sin(2k − 1)y(2k − 1) − sin 2ky
2k
¸
elde edilir. Köseli parantezdeki son terim pozitiftir. Çünkü (0, 1] aralıgındasin t
tfonksiyonu azalandır ve 2ky ≤ 2my = ny ≤ π dir. n tek oldugunda toplamda
sadece bir terim fazladan gelir. Bu terim cn sinny terimidir ve 0 < y ≤ π
naralıgında
pozitiftir. Bu yüzden n tek olsa da çift olsa da σn(x) pozitiftir. Son aralıkta σn(x)
in isaretinin kontrol edilmesi için
sinu ≥ u− u3
6
esitliginden yaralanılabilir. π − π
n≤ x < π aralıgı için yukarıdaki esitsizlik n ≥ 3
için asikar olmayan bir esitsizliktir. Bundan dolayı
140
sinx ≥ sin π
n≥ π
n
µ1− π2
6n2
¶dır. (7.19) dan dolayı
2 sin(x/2)σn(x) ≥∙π
n
µ1− π2
6n2
¶¸1/2− 2cn+1 (7.22)
elde edilir. Köseli parantez içindeki terimin n ≥ π√2için azaldıgı gösterilebilir. Bu
yüzden n ≥ 3 için ve cn in tanımından dolayı, eger n = 2m için pozitifse, n = 2m−1için (7.22) nin sag tarafı pozitiftir. n in bir sonraki degeri için (7.17), (7.22) nin sag
tarafının en azından asagıdakine esit oldugunu isaret eder.
1√2πm
"π
µ1− π2
24m2
¶1/2− 2√2
#
Bu ifadenin m ≥ 2 için pozitif oldugu kolayca gösterilebilir. Böylece (7.20) ispatlan-mıs olur.
Simdi (7.21) ispatlanabilir. n = 0 ve n = 1 için (7.21) açıkca pozitiftir. Burada
n = 2 için
r2(x) =1
2cos 2x+ cosx+ 1
= cos2 x+ cosx+1
2
=
µcosx+
1
2
¶2+1
4> 0
dır. n ≥ 3 için 0 < x ≤ π
naralıgında incelenirse
drn(x)
dx= −
nXk=0
kck sin kx < 0 , 0 < x <π
n
olup, bu yüzden 0 < x <π
naralıgında rn(x) azalandır ve degeri
π
nde pozitiftir.
rn³πn
´=
[n/2]Xk=0
(ck − cn−k) cos (kπ/n) > 0
141
olup, böylece 0 < x ≤ π
niçin rn(x) > 0 dır. π − π
n+ 1< x < π için kontrol
edilmelidir. Bu aralıga x = π − y dönüsümü yapılırsa
rn(x) =
[(n−1)/2]Xk=0
c2k[cos 2ky − cos(2k + 1)y] + n
biçiminde yazılabilir. Burada n = 2m− 1 için n = 0, n = 2m için n = c2m cos 2my
dir. Toplamdaki ifade pozitiftir. Çünkü 0 ≤ x ≤ π aralıgında cosx azalandır.
Böylece n = 2m− 1 için 0 < y < π
n+ 1aralıgında rn(x) > 0 dır. n = 2m için
rn(x) ≥ c2m(1− cos y + cos 2y − cos 3y + ...+ cos 2my)= c2m(1 + cosx+ cos 2x+ cos 3x+ ...+ cos 2mx)
= c2mRe
∙ei(2m+1)x − 1eix − 1
¸= c2mRe
∙eimx
ei(m+1/2)x − e−i(m+1/2)xeix/2 − e−ix/2
¸= c2m
sin(m+ 1/2)x cosmx
sin(x/2)
= c2msin(m+ 1/2)y cosmy
sin(y/2)
esitsizlikleri yazılabilir. Buradan 0 < (m+ 1/2)y <π
2için rn(x) > 0 dır. Son olarak
n ≥ 3 içinπ
n+ 1≤ x ≤ π − π
n+ 1aralıgı kontrol edilmelidir.
π
n< x < π − π
naralıgında σn(x) in durumunda oldugu gibi
∙π
n+ 1
µ1− π2
6(n+ 1)2
¶¸1/2− 2cn+1 > 0
oldugunu göstermek yeterlidir. Tekrar n in çift degerlerini düsünmek yeterlidir.
Böylece n = 2m olsun. m = 2 ve m = 3 degerleri için kontrol edilebilir. m ≥ 4 için(7.17) yi kullanarak
∙π
2m+ 1
µ1− π2
6(2m+ 1)2
¶¸1/2− 2√
πm> 0
esitsizliginin dogru oldugu gösterilmelidir. Bu esitsizlik m = 4 için dogrudur. Bu
esitsizligin sol tarafı√m ile çarpıldıgında, sol taraf m in artan bir fonksiyonudur.
142
Bundan dolayı m ≥ 4 için esitsizlik saglanır. Böylece teorem ispatlanmıs olur.
Teorem 7.2. Eger a0 ≥ a1 ≥ ... ≥ an > 0 ve 2ka2k ≤ (2k − 1)a2k−1, k ≥ 1 ise
sn(x) =nXk=1
ak sin kx > 0 , 0 < x < π (7.23)
tn(x) =nXk=0
ak cos kx > 0 , 0 < x < π (7.24)
dir.
Ispat: Teorem 7.1 deki tanımlanan ck için ak = ckdk alalım. d0 ≥ d1 ≥ ... ≥ dn > 0ve terim terime toplama ile
sn(x) =nXk=1
ckdk sin kx
=n−1Xk=1
(dk − dk+1)σk(x) + dnσn(x) > 0 , 0 < x < π
dir. Böylece ispat tamamlanır. (7.24) de benzer sekilde yapılabilir.
(7.23) de ak =1
kalınmasıyla Jackson-Gronwall esitsizligi elde edilir.
Teorem 7.3. Eger λ0 ≥ λ1 ≥ ... ≥ λn > 0 ve sk ve tk sırasıyla alttakilerin sıfırlarıysa
p(θ) =nXk=0
λk cos(n− k)θ
q(θ) =n−1Xk=1
λk sin(n− k)θ
ve onların mertebeleri (0,π) aralıgında aralık olarak artıyorsa,
µk − 1
2
¶π/
µn+
1
2
¶< sk <
µk +
1
2
¶π/
µn+
1
2
¶, k = 1, 2, ..., n (7.25)
kπ/
µn+
1
2
¶< tk < (k + 1)π/
µn+
1
2
¶, k = 1, 2, ..., n− 1(7.26)
dir (Askey 1974).
143
Burada, λk sadece artan olmasın. Aynı zamanda λk lar alttaki konveks tipli esitsizligi
saglasın.
2λ0 − λ1 > λ1 − λ2 ≥ ... ≥ λ2 − λ3 ≥ ... ≥ λn−1 − λn ≥ λn ≥ 0 (7.27)
bu durumda (7.25) ve (7.26) nın sag taraflarına sırasıyla kπ/n ve¡k + 1
2
¢π/n yazıl-
malıdır (Szegö 1936).
Eger 0 < 2kλk ≤ (2k − 1)λk−1, k ≥ 1 ise (7.25) ve (7.26) esitsizlikleriµk − 1
2
¶π/
µn+
1
4
¶< sk < kπ/
µn+
1
2
¶, k = 1, 2, ..., n (7.28)
kπ/
µn+
1
4
¶< tk <
µk +
1
2
¶π/
µn+
1
4
¶, k = 1, ..., n− 1(7.29)
esitsizliklerine dönüsür (Askey and Steining 1974).
7.2 Pozitif Polinom Toplamları ve Bieberbach Conjecture
Önceki kısımdanXk=0
P(α,β)k (x)
P(β,α)k (1)
(7.30)
toplamının pozitifligi göstermenin önemi gösterildi. α = β = 0 ve −1 < x ≤ 1 için(7.30) un pozitifligi bölüm 3 de gösterilmistir. Terim terime toplamadan sonra Pk(x)
Legendre polinomları için,
nXk=0
akPk(x) > 0 , −1 < x ≤ 1 (7.31)
dir. Burada k = 0, 1, ..., n−1 için ak ≥ ak+1 ≥ 0 ve a0 > 0 dir. Bu kısımda α = β ≥ 0oldugu zaman (7.30) un pozitifligi arastırılacaktır.
Teorem 7.4. 0 ≤ θ < π ve υ ≥ 1/2 için
nXk=0
Cυk (cos θ)
Cυk (1)
> 0 (7.32)
144
dır.
Ispat: Feldheim-Vilenkin integralinden (Teorem 3.19) dolayı, υ > 1/2 için
nXk=0
Cυk (cos θ)
Cυk (1)
=2Γ(υ + 1/2)
Γ(υ − 1/2)
×π/2Z0
sinφ cos2υ−2 φnXk=0
£1− sin2 θ cos2 φ¤k/2 Pk(cos θ £1− sin2 θ cos2 φ¤−1/2)dφ
esitligi yazılabilir. Burada ak =£1− sin2 θ cos2 φ¤k/2 alınırsa, k = 0, 1, ..., n− 1 için
ak ≥ ak+1 ≥ 0 ve a0 > 0 dır. Böylece (7.31) den dolayı integralin içindeki toplampozitif oldugundan dolayı teorem ispatlanmıs olur.
Son teoremde υ = 1 alınmasıyla Jackson-Gronwall esitsizligi elde edilir.
β = 0 ve α = 0, 1, 2, .. için (7.30) un pozitifligi incelenilebilir. Bu ilk olarak yalınkat
fonksiyonlarla ilgili Bieberbach Conjecture’un ispatı için kullanılmıstır. P (0,α)k (1) = 1
oldugundan (7.30),nXk=0
P(α,0)k (x) , α > −1 (7.33)
toplamına indirgenir. Gasper’a göre (7.33) ün pozitifliginin kanıtının ilk basamagı
onu hipergeometrik dizi olarak ifade etmektir. Böylece (3.5) den dolayı
nXk=0
P(α,0)k (x) =
nXk=0
(α+ 1)kk!
kXj=0
(−k)j(k + α+ 1)j(α+ 1)j j!
µ1− x2
¶j
olup toplamlarda indis degistirilmesiyle
nXk=0
P(α,0)k (x) =
nXj=0
(−1)j(α+ 1)j j!
µ1− x2
¶j nXk= j
(α+ 1)k+j(k − j)!
=nXj=0
(α+ 1)2j(α+ 1)j j!
µx− 12
¶j n−jXk=0
(α+ 2j + 1)kk!
elde edilir. Son esitlikteki içerdeki toplam
145
(α+ 2j + 2)n−j(n− j)!
degerine esittir. Böylece
nXk=0
P(α,0)k (x) =
nXj=0
α+ 1
α+ 2j + 1
(α+ 2)n+j(−n)j(α+ 1)j j!n!
µ1− x2
¶j
=(α+ 2)nn!
3F2
⎛⎝ −n , n+ α+ 2 , (α+ 1)/2
(α+ 3)/2 , α+ 1;1− x2
⎞⎠(7.34)
esitligi elde edilir. Burada 3F2 yi 2F1 in karesi seklinde yazılabilen Clausen formülü
vardır. Bu formül
3F2
⎛⎝ 2a , 2b , a+ b
a+ b+ 1/2 , 2a+ 2b;x
⎞⎠ =
⎡⎣2F1
⎛⎝ a , b
a+ b+ 1/2;x
⎞⎠⎤⎦2(7.35)
(Bailey 1964) seklindedir. Bu formüldeki 3F2 negatif degildir. Çünkü esitligin sag
tarafı karesel bir ifadedir. (7.34) deki 3F2 buna çok yakındır. Sadece pay ve pay-
dada bir parametre farklıdır. Bir pFq hipergeometrik fonksiyonunun kesirli integrali
ile gerekli fazladan parametrelerle bir p+1Fq+1 hipergeometrik fonksiyonu elde etme
görülmüstü. (7.34) deki 3F2 ye
p+1Fq+1
⎛⎝ a1 , ..., ap, ap+1
b1 , ..., bq, bq+1; x
⎞⎠ =Γ(bq+1)
Γ(ap+1)Γ(bq+1 − ap+1)
×1Z0
tap+1−1(1− t)bq+1−ap+1−1 pFq⎛⎝ a1 , ..., ap
b1 , ..., bq; xt
⎞⎠ dt(Askey et al. 1999) formülünün uygulanmasıyla,
3F2
⎛⎝ −n , n+ α+ 2 , (α+ 1)/2
(α+ 3)/2 , α+ 1; t
⎞⎠ =
146
=Γ(α+ 1)
[Γ((α+ 1) /2)]2
1Z0
2F1
⎛⎝ −n , n+ α+ 2
(α+ 3)/2; st
⎞⎠ s(α−1)/2(1−s)(α−1)/2ds , α > −1(7.36)
elde edilir. Integraldeki 2F1 hipergeometrik fonksiyonu
Cα/2+1n (1− 2st)C
α/2+1n (1)
seklinde ultraküresel polinomlar cinsinden yazılabilir. Bu (0, 1) de sıfırlara sahiptir.
Bu yüzden (7.36) daki integrant pozitif degildir. Integrantın pozitifligini saglamak
için 3F2 asagıdaki sekilde yazılabilir. (7.35) esitliginde 2a = −k, 2b = k + α + 1
alınmasıyla
3F2
⎛⎝ −k , k + α+ 1 , (α+ 1)/2
(α+ 2)/2 , α+ 1; t
⎞⎠
=Γ(α+ 1)
[Γ((α+ 1) /2)]2
1Z0
C(α+1)/2k (1− 2st)C(α+1)/2k (1)
s(α−1)/2(1− s)(α−1)/2ds , α > −1 (7.37)
esitligi yazılabilir. Pozitif katsayılı C(α+1)/2k (x) lerden olusan terimler ile Cα/2+1k (x) i
yazabilirsek ispat tamamlanmıs olur. Böyle bir formülü baglantı katsayıları bölümünde
elde edilmisti. (6.5) esitliginden dolayı ispat tamamlanır. Bu yüzden bir sonraki teo-
rem kanıtlanmıs olur.
Teorem 7.5. α > −1 içinnXk=0
P(α,0)k (x) > 0 , −1 < x ≤ 1 (7.38)
dir.
β ≥ 0 ve α + β > −1 oldugunda −1 < x ≤ 1 için (7.1) in pozitifligi teorem 3.16 (b)
deki integralin (7.38) e uygulanmasıyla gösterilebilir.
147
7.3 Turan’ın Teoremi
Son kısımda Jackson-Gronwall esitsizligi kanıtlandı. Bu esitsizligi kanıtlamanın baska
bir yolunu Turan (1952) de baska bir teoremle göstermistir.
Teorem 7.6. Eger∞Xj=0
|aj| yakınsak ve
∞Xj=0
aj sin(j + 1/2)φ ≥ 0 , 0 ≤ φ ≤ π (7.39)
ise j = 0, 1, 2, ... için aj = 0 olmadıgı sürece
∞Xj=0
ajsin(j + 1)θ
j + 1≥ 0 , 0 < θ < π (7.40)
dır.
Ispat: Teorem 3.16 (d) ile verilen integral formülünde α = 1/2, β = −1/2, μ = 1alınmasıyla
sin(n+ 1)θ
2(n+ 1)(sin(θ/2))2n+2=
π/2Zθ/2
sin(2n+ 1)φ
(sinφ)2n+3dφ (7.41)
elde edilir. (7.41) esitligini 2an(sin(θ/2))2n+2 ile çarpıp n üzerinden toplam alınırsa
∞Xn=0
ansin(n+ 1)θ
n+ 1= 2
π/2Zθ/2
∞Xn=0
µsin(θ/2)
sinφ
¶2n+2an sin(n+ 1/2)(2φ)
sinφdφ
elde edilir. Buradaki integrantı
sin2(θ/2)
sin3 φ
∞Xn=0
anrn sin(n+ 1/2)(2φ) , 0 ≤ θ
2≤ φ <
π
2, r =
µsin(θ/2)
sinφ
¶2≤ 1
seklinde yazılabilir.θ
2< φ <
π
2için toplamın kesin pozitifligi alttaki gerçekten çıkar.
148
∞Xn=0
anrn sin(n+1/2)φ =
2
π
πZ0
∞Xn=0
rn sin(n+1/2)φ sin(n+1/2)ψ∞Xm=0
am sin(m+1/2)ψdψ
(7.42)
Bu formül sinüs fonksiyonunun ortogonalligi kullanılarak elde edilir. Poisson çekirde-
ginin kapalı formu
∞Xn=0
rn sin(n+ 1/2)φ sin(n+ 1/2)ψ
=(1− r) sin φ
2sin ψ
2
h(1− r)2 + 4r
³1 + cos (φ+ψ)
2cos (φ−ψ)
2
´i[1− 2r cos(φ+ ψ) + r2] [1− 2r cos(φ− ψ) + r2]
(7.43)
seklinde yazılır. Bunun pozitifligi 0 ≤ r < 1 için kesindir. Bu ve (7.39) dan dolayı(7.42) deki integrant negatif olmayandır. Böylece ispat tamamlanır.
(7.43) ünWatson a göre Jacobi polinomlarına genellestirilmesi vardır. Bu genellestirme
söyledir:
∞Xk=0
rkP(α,β)k (cos 2φ)P
(α,β)k (cos 2θ)
hk
=Γ(α+ β + 2)(1− r)
2α+β+1Γ(α+ 1)Γ(β + 1)(1 + r)α+β+2
∞Xm,n=0
((α+ β + 2)/2)m+n((α+ β + 3)/2)m+n(α+ 1)m(β + 1)mm!n!
×(4r sin2 φ sin2 θ)m(4r cos2 φ cos2 θ)n
(1 + r)2m+2n(7.44)
Burada hk (6.2) seklindedir. Bunun ispatında Bailey’in bir sonucundan yararlanıla-
bilir (Bailey 1964). Bailey’in formülü
2F1(α,β; γ;x)2F1(α, β;α+β+1−γ; y) =∞X
m,n=0
(α)m+n(β)m+n [x(1− y)]m [y(1− x)]n(γ)n(α+ β + 1− γ)nm!n!
(7.45)
dir. (7.45) in ispatı için ilk önce asagıdaki çift seriyle baslanılabilir.
(1− s)−α(1− t)−β∞X
j,k=0
(α)j+k(β)j+k(γ)j(γ0)jj!k!
∙ −s(1− s)(1− t)
¸j ∙ −t(1− s)(1− t)
¸k(7.46)
149
(7.46) esitligi s ve t nin kuvvetlerine göre seriye açılmasıyla smtn teriminin katsayısı
(α)m(β)n(1 + α− γ0)m(1 + β − γ)n(γ − β)m−n(γ)m(γ0)nm!n!(1 + α− γ0)m−n
dir. γ + γ0 = α + β + 1 oldugu zaman üstteki katsayıdaki pay ve paydadaki son
terimler sadelesir. Bundan dolayı (7.46)
∞Xm,n=0
(α)m(β)n(γ0 − α)n(γ − β)m
(γ)m(γ0)nm!n!smtn
= 2F1(α, γ − β; γ; s)2F1(β, γ0 − α; γ0; t)
esittir. Burada teorem 4.2 de verilen Pfaff dönüsümünün uygulanmasıyla
∞Xm,n=0
(α)m(β)n(γ0 − α)n(γ − β)m
(γ)m(γ0)nm!n!smtn
= (1− s)−α(1− t)−β 2F1
µα,β; γ;
−s(1− s)
¶2F1
µα, β; γ0;
−t(1− t)
¶
elde edilir. Böylece (7.45) ispat edilir. (7.44) ün sol tarafı
∞Xk=0
k!(α+ β + 1)k(α+ 1)k(β + 1)k
(2k + α+ β + 1)P(α,β)k (cos 2φ)P
(α,β)k (cos 2θ)rk (7.47)
seklinde yazılabilir. Ilk önce bundan daha basit olan
∞Xk=0
k!(α+ β + 1)k(α+ 1)k(β + 1)k
P(α,β)k (cos 2φ)P
(α,β)k (cos 2θ)rk
toplamı düsünülebilir. Bu toplamda Jacobi polinomları yerine onların hipergeo-
metrik gösterimleri yazılır ve (7.45) uygulanırsa
∞Xk=0
(α+ β + 1)kk!
(−r)k ©2F1(−k, k + α+ β + 1;α+ 1; sin2 θ)
× 2F1(−k, k + α+ β + 1; β + 1; cos2 φ)ª
=∞Xk=0
(α+ β + 1)kk!
(−r)k∞X
m,n=0
(−k)m+n(k + α+ β + 1)m+n(α+ 1)m(β + 1)nm!n!
(sin θ sinφ)2m(cos θ cosφ)2n
150
=∞X
m,n=0
(sin2 θ sin2 φ)m(cos2 θ cos2 φ)n
(α+ 1)m(β + 1)nm!n!rm+n
∞Xk=0
(α+ β + 1)k+2m+2nk!
(−r)k
=∞X
m,n=0
(r sin2 θ sin2 φ)m(r cos2 θ cos2 φ)n
(α+ 1)m(β + 1)nm!n!(α+ β + 1)2m+2n(1 + r)
−2m−2n−α−β−1
elde edilir. (7.47) nin altındaki basit toplam ve son esitlik r(α+β+1)/2 ile çarpılıp, r
ye göre türevinin alınmasıyla, (7.47) nin sol tarafındaki (2k+α+β+1) çarpanı elde
edilir. Basit hesaplamalardan sonra (7.44) ispatlanmıs olur.
Teorem 7.7. Eger β > α > −1 ve
f(x) =nXk=0
akP(α,α)k (x)
P(α,α)k (1)
≥ 0 , −1 ≤ x ≤ 1
ise, o takdirde k = 0, 1, 2, ..., n için ak ≡ 0 olmadıgı sürece
g(y) =nXk=0
akP(β,β)k (y)
P(β,β)k (1)
> 0 , −1 < y < 1
dır.
Ispat: Teoremin ispatı için Feldheim-Vilenkin formülü kullanılmalıdır. Bu formülde
γ = β + 1/2 ve λ = α+ 1/2 alınmasıyla
g(cos θ) =2Γ(β + 1)
Γ(β − α)Γ(α+ 1)
πZ0
sin2α+1 φ cos2β−2α−1 φ
×nXk=0
ak£1− sin2 θ cos2 φ¤k/2 P (α,α)k (cos θ(1− sin2 θ cos2 φ)−1/2)
P(α,α)k (1)
dφ
yazılabilir. Burada r =£1− sin2 θ cos2 φ¤1/2 ve u = cos θ(1−sin2 θ cos2 φ)−1/2 alalım.
0 < θ < π ve 0 ≤ φ <π
2için 0 ≤ r < 1 ve |u| < 1 özellikleri saglanır. f(x) ≡ 0
olmazsa integralin içindeki toplamın kesin pozitif oldugu sonucu (7.44) den çıkarıla-
bilir. Çünkü bu asagıdaki islemden anlasılır.
nXk=0
akrkP
(α,α)k (u)
P(α,α)k (1)
=
1Z−1
∞Xk=0
rkP(α,α)k (u)P
(α,α)k (y)°°°P (α,α)k
°°° f(y)(1− y2)αdy
151
Jacobi polinomlarının ortogonalligi,−1 ≤ x ≤ 1 için f(x) ≡ 0 iken ancak ve ancakk = 0, 1, 2, ..., n için ak ≡ 0 olmasını gerektirir. Bu da teoremi kanıtlar.
7.4 Cesàro Ortalamaları (C,α)
∞Xn=0
bn serisi için Bn =nXk=0
bk olmak üzere B(0)n = B0 + B1 + ... + Bn ile gösterilsin.(
B(0)n
n+ 1
)dizisinin n→∞ için limiti
∞Xn=0
bn serisinin (C, 1) toplamını verir.
B(1)n = B(0)0 +B
(0)1 + ...+B(0)n
ve
E(1)n = 1 + 2 + ...+ (n+ 1) =(n+ 1)(n+ 2)
2
ise
(B(1)n
E(1)n
)dizisinin n→∞ için limiti
∞Xn=0
bn serisinin (C, 2) toplamını verir.
B(2)n = B(1)0 +B
(1)1 + ...+B(1)n
ve
E(2)n = 1 + 3 + ...+(n+ 1)(n+ 2)
2=(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)
6
ise
(B(2)n
E(2)n
)dizisinin n→∞ için limiti
∞Xn=0
bn serisinin (C, 3) toplamını verir.
Bu sekilde devam ederek bir genelleme yapılırsa
B(k)n = B(k−1)0 +B
(k−1)1 + ...+B(k−1)n
E(k)n = E(k−1)0 +E
(k−1)1 + ...+E(k−1)n
yazılabilir. Buradan∞Xn=0
B(k)n xn =
∞Xn=0
ÃnX
m=0
B(k−1)m
!xn
olup, n yerine n+m alınmasıyla
152
∞Xn=0
B(k)n xn =
∞Xn=0
∞Xm=0
B(k−1)m xn+m
=
à ∞Xn=0
xn
!Ã ∞Xm=0
B(k−1)m xm
!
= (1− x)−1∞Xm=0
B(k−1)m xm
oldugu görülür. Bu sekilde devam edilirse
∞Xn=0
B(k)n xn = (1− x)−(k+1)
à ∞Xn=0
Bnxn
!
= (1− x)−(k+1)Ã ∞Xn=0
ÃnX
m=0
bm
!xn
!
elde edilir. Tekrar n yerine n+m alınmasıyla,
∞Xn=0
B(k)n xn = (1− x)−(k+1)
à ∞Xn=0
à ∞Xm=0
bm
!xn+m
!
= (1− x)−(k+1)Ã ∞Xn=0
xn
!Ã ∞Xm=0
bmxm
!
= (1− x)−(k+2)Ã ∞Xm=0
bmxm
!
elde edilir veya ikinci yanda m indisi yerine n indisi kullanılarak
∞Xn=0
B(k)n xn = (1− x)−(k+2)
à ∞Xn=0
bnxn
!
yazılabilir. (1− x)−(k+2) yerine onun binom serisi yazılırsa
∞Xn=0
B(k)n xn =
à ∞Xm=0
(k + 2)mm!
xm
!Ã ∞Xn=0
bnxn
!
olup n yerine n−m alınmasıyla,
153
∞Xn=0
B(k)n xn =
∞Xn=0
ÃnX
m=0
bn−m(k + 2)mm!
!xn
olur. Buradan
B(k)n =nX
m=0
bn−m(k + 2)mm!
olup
B(k−1)n =nX
m=0
bn−m(k + 1)mm!
dir. Diger yandan∞Xn=0
E(k)n xn =
∞Xn=0
ÃnX
m=0
E(k−1)m
!xn
olup, n yerine n+m alınmasıyla,
∞Xn=0
E(k)n xn =
∞Xn=0
à ∞Xm=0
E(k−1)m
!xm+n
=
à ∞Xn=0
xn
!Ã ∞Xm=0
E(k−1)m xm
!
= (1− x)−1∞Xm=0
E(k−1)m xm
elde edilir. Bu sekilde devam edilirse
∞Xn=0
E(k)n xn = (1− x)−(k−1)
à ∞Xn=0
(n+ 1)(n+ 2)
2xn
!= (1− x)−(k−1) (1− x)−3
= (1− x)−(k+2)
olup∞Xn=0
E(k)n xn = (1− x)−(k+2)
bulunur. Bu esitligin sag tarafının binom açılımı yerine konulursa
∞Xn=0
E(k)n xn =
∞Xn=0
(k + 2)nn!
xn
154
olup, buradan
E(k)n =(k + 2)nn!
oldugu, k yerine k − 1 alınarak
E(k−1)n =(k + 1)nn!
oldugu görülür. Böylece∞Xn=0
bn serisinin (C, k) ortalaması
B(k−1)n
E(k−1)n
=n!
(k + 1)n
nXm=0
bn−m(k + 1)mm!
(7.48)
dir. Bunun n→∞ için limiti de∞Xn=0
bn serisinin (C, k) toplamını verir.
Not. α > −1 için eger
limn→∞
n!
(α+ 1)n
nXk=0
(α+ 1)kk!
bn−k = B (7.49)
ise∞Xn=0
bn serisinin (C,α) toplamı B dir.
7.5 Ultraküresel Polinomların Pozitif Toplanabilmesi
Teorem 7.8. 1 + 2∞Pk=1
cos(kθ) serisinin Cesàro (C, 1) ortalaması σ1n ≥ 0dır.
(n = 0, 1, ..∞, 0 ≤ θ ≤ 2π)
Ispat:
1 + 2∞Xk=1
cos(kθ) = −1 + 2∞Xk=0
cos(kθ)
serisinin Cesàro (C, 1) ortalaması
σ1n = −1 + 2n!
(1 + 1)n
nXk=0
(1 + 1)kk!
cos(n− k)θ
155
= −1 + 2 n!
2.3...(n+ 1)
nXk=0
2.3...(k + 1)
k!cos(n− k)θ
= −1 + 2 1
n+ 1
nXk=0
(k + 1) cos(n− k)θ
dır. Bu toplamdaki k indis degiskeni için
0 ≤ k ≤ n ⇒ −n ≤ −k ≤ 0 ⇒ 0 ≤ n − k ≤ n olup sınırlar degismemektedir. Budurumda k yerine (n− k) yazılmasıyla
σ1n = −1 + 2 1
n+ 1
nXk=0
(n− k + 1) cos(kθ)
= 1 + 2nXk=1
(n− k + 1)n+ 1
cos(kθ)
=1
n+ 1
½sin((n+ 1)/2)θ
sin(θ/2)
¾2≥ 0
(n = 0, 1, ..∞, 0 ≤ θ ≤ 2π) dır. Burada bu toplamı bulmak için
nXk=1
k cos(kθ) =(n+ 1) cos(nθ)− n cos(n+ 1)θ − 1
4(sin(θ/2))2
ve
1 + 2nXk=1
cos(kθ) =sin(n+ 1/2)θ
sin(θ/2)
toplamlarından yararlanılmıstır.
Teorem 7.9. σ1n için bir dogurucu fonksiyon
∞Xn=0
(n+ 1) σ1n rn =
µ1 + r
1− r¶µ
1
1− 2r cos θ + r2¶
(7.50)
dır.
Ispat: Esitligin sol tarafından baslanırsa
F (r, θ) =∞Xn=0
(n+ 1) σ1n rn
156
=∞Xn=0
(n+ 1)
(1 + 2
nXk=1
(n− k + 1)(n+ 1)
cos(kθ)
)rn
=∞Xn=0
(n+ 1)
(2
nXk=0
∙(n− k + 1)(n+ 1)
cos(kθ)
¸− 1)rn
=∞Xn=0
nXk=0
2(n− k + 1) cos(kθ) rn −∞Xn=0
(n+ 1) rn
elde edilir. Burada n yerine n+ k alınmasıyla
F (r, θ) =∞Xn=0
∞Xk=0
2(n+ 1) cos(kθ)rn −∞Xn=0
(n+ 1)rn
=
( ∞Xk=0
2 cos(kθ)
)( ∞Xn=0
(n+ 1)rn
)−
∞Xn=0
(n+ 1)rn
=
( ∞Xn=0
(n+ 1)rn
)( ∞Xk=0
[2 cos(kθ)]− 1)
=
( ∞Xn=0
(n+ 1)rn
)(1 +
∞Xk=1
[2 cos(kθ)]
)
elde edilir. Serilerin degerlerinin yazılmasıyla
F (r, θ) = (1− r)−2 1− r21− 2r cos θ + r2
=
µ1 + r
1− r¶µ
1
1− 2r cos θ + r2¶
bulunur.
(3.18) esitliginde x = cos θ için
∞Xn=0
Cλn(cos θ) r
n = (1− 2r cos θ + r2)−λ
bulunur.Bu esitligin her iki tarafının r ye göre türevi alınırsa
∞Xn=0
nCλn(cos θ) r
n−1 = (−λ)(−2 cos θ + 2r)(1− 2r cos θ + r2)−λ−1
elde edilir. Bu son esitligin her iki tarafı r ile çarpılır ve λ ile bölünürse
157
∞Xn=0
n
λCλn(cos θ) r
n = (2r cos θ − 2r2)(1− 2r cos θ + r2)−λ−1
elde edilir. (3.18) esitliginde x = cos θ alıp, bu sonuncu esitlik ile taraf tarafa
toplarsak
∞Xn=0
Cλn(cos θ) r
n +∞Xn=0
n
λCλn(cos θ) r
n = (1− 2r cos θ + r2)−λ + (2r cos θ − 2r2)(1− 2r cos θ + r2)λ+1
∞Xn=0
³1 +
n
λ
´Cλn(cos θ) r
n =1− 2r cos θ + r2 + 2r cos θ − 2r2
(1− 2r cos θ + r2)λ+1∞Xn=0
µn+ λ
λ
¶Cλn(cos θ) r
n =1− r2
(1− 2r cos θ + r2)λ+1 (7.51)
bulunur. Böylece Cλn lar için baska bir dogurucu fonksiyon elde edilmis olur.
Tanım 7.1.Bir fonksiyonun kuvvet serisi “negatif olmayan” katsayılara sahipse o
fonksiyona mutlak monoton fonksiyon denir.
Teorem 7.10.1
(1− r)2v(1− 2xr + r2)v (7.52)
fonksiyonu v > 0 için −1 ≤ x ≤ 1 aralıgında mutlak monotondur.
Ispat: g(r) =1
(1− r)2(1− 2xr + r2) ve x = cos θ olsun. lng(r) = h(r) denirse,
h(r) = lng(r) = ln
µ1
(1− r)2 (1− 2r cos θ + r2)¶
= ln
µ1
(1− r)2 (1− reiθ) (1− re−iθ)¶
= −2 ln (1− r)− ln (1− reiθ)− ln (1− re−iθ)
seklinde yazılabilir. Burada |r| < 1 için
h(r) = 2∞Xn=0
rn+1
n+ 1+
∞Xn=0
(rei θ)n+1
n+ 1+
∞Xn=0
(re−i θ)n+1
n+ 1
158
=∞Xn=0
(2 + ei(n+1) θ + e−i(n+1) θ)n+ 1
rn+1
=∞Xn=0
(2 + 2 cos(n+ 1)θ)
n+ 1rn+1
yazılabilir. n yerine n− 1 alınırsa
h(r) =∞Xn=1
(2 + 2 cosnθ)
nrn
fonksiyonu bulunur. θ nın her degeri içinµ2 + 2 cosnθ
n
¶≥ 0 dır. Verilen fonksiyon
[g(r)]v seklinde olup
[g(r)]v =∞Xn=0
vn (h(r))n
n!
=∞Xn=0
vn
n!
( ∞Xk=1
(2 + 2 cos kθ)
krk
)n
=∞Xn=0
vn
n!H∗(θ)rn
yazılabileceginden yukarıdaki tanımdan dolayı hem h(r) hem de verilen fonksiyon
mutlak monotondur. Burada H∗(θ),(2 + 2 cosnθ)
nin pozitif olması nedeniyle pozitif
bir katsayıdır.
Teorem 7.11. ∞Xn=0
n+ v
vCvn(x) , −1 ≤ x ≤ 1, v > 0
serisininCesàro (C, 2v + 1) ortalaması pozitiftir.Yani
n!
(2v + 2)!
nXk=0
(2v + 2)k(n− k)!
(k + v)
vCvk(x) ≥ 0 ,−1 ≤ x ≤ 1 , v > 0 (7.53)
dır.
Ispat:n!
(2v + 2)!≥ 0 oldugundan, teoremi ispatlamak için
159
nXk=0
(2v + 2)n−k(n− k)!
k + v
vCvk(x) ≥ 0
oldugunu göstermek yeterlidir. Önce bu polinomun dogurucu fonksiyonu bulun-
malıdır.Burada n yerine n+ k yazılmasıyla ve (7.51) in kullanılmasıyla
∞Xn=0
"nXk=0
(2v + 2)n−k(n− k)!
k + v
vCvk(x)
#rn
=∞Xn=0
" ∞Xk=0
(2v + 2)n(n)!
k + v
vCvk(x)
#rn+k
=
" ∞Xn=0
(2v + 2)n(n)!
rn
#" ∞Xk=0
k + v
vCvk(x) r
k
#
= (1− r)−(2v+2) 1− r2(1− 2xr + r2)v+1
=1− r2
(1− r)2 (1− 2xr + r2)1
(1− r)2v (1− 2xr + r2)v
=
µ1 + r
(1− r) (1− 2xr + r2)¶ µ
1
(1− r)2v (1− 2xr + r2)v¶
yazılabilir. Ilk çarpan σ1n ≥ 0 ve onun dogurucu fonksiyonundan dolayı mutlak
monotondur (Teorem 7.8 -Teorem 7.9). Ikinci çarpan yukarıdaki Teorem 7.10 dan
dolayı mutlak monotondur. Bu iki fonksiyonun kuvvet serileri negatif olmayan kat-
sayılara sahiptir. Bu iki serinin çarpılmasıyla olusan serinin katsayılarıda negatif
olmayan katsayılardır. Bu durumda teorem ispat edilmis olur.
Teorem 7.12. v > 0ve−1 ≤ x ≤ 1 içinnXk=0
(2v)n−k(n− k)!C
vk(x) ≥ 0 (7.54)
dır.
Ispat: ÖncenXk=0
(2v)n−k(n− k)!C
vk(x)
polinomunun dogurucu fonksiyonu bulunmalıdır. n yerine n + k yazılır ve (3.18)
160
kullanılırsa
∞Xn=0
"nXk=0
(2v)n−k(n− k)!C
vk(x)
#rn =
∞Xn=0
" ∞Xk=0
(2v)n
(n)!Cvk(x)
#rn+k
=
( ∞Xn=0
∙(2v)n
(n)!
¸rn
)( ∞Xk=0
[Cvk(x)] rk
)= (1− r)−2v 1
(1− 2xr + r2)v
=1
(1− r)2v (1− 2xr + r2)v
elde edilir. Teorem 7.10 dan dolayı ikinci yandaki fonksiyon mutlak monotondur.
Yani onun kuvvet serisi negatif olmayan katsayılara sahiptir. O halde
nXk=0
(2v)n−k(n− k)!C
vk(x) ≥ 0
dır.
161
KAYNAKLAR
Altın, A. and Erkus, E. 2006. On a multivariable extension of the Lagrange-Hermite
polynomials. Integral Transforms and Special Functions, 17(4), 239-244.
Altın, A. and Erkus, E., Ozarslan, M. A. 2006. Families of linear generating functions
for polynomials in two variables. Integral Transforms and Special Functions,
17(5), 315-320.
Askey, R. 1974. Orthogonal polynomials and special functions. SIAM, 110 p.,
Philadelphia.
Askey, R., Andrews, G.E. and Roy, R. 1999. Special functions. Cambridge Univer-
sity Press., 663 p., United Kingdom.
Askey, R. and Steining, J. 1974. Some positive trigonometric sums. Transactions of
the American Mathematical Society, 187(1), 295-307.
Askey, R. and Gasper, G. 1977. Convolution structures for Laguerre polynomials
Journal D’Analyse Mathematique, 31, 48-68.
Bailey, W.N. 1964. Generalized hypergeometric series. Stechert-Hafner service,
108 p., New York.
Chu, W. 1999. Finite differences and orthogonal polynomials. The Ramanujan
Journal , 3, 83-89.
Erkus, E. and Altın, A. 2005. A note on the Lagrange polynomials in several
variables. J. Math. Anal. Appl., 310, 338-341.
Hochstadt, H. 1961. Special functions of mathematical physics. Holt, Rinehart and
Winston, 78 p., New York.
Koornwinder, T. 1978. Positivity proofs for linearization and connection coefficients
of orthogonal polynomials satisfying an addition formula. J. London Math.
Soc., 2(18), 101-114.
162
Lebedev, N.N. 1992. Special functions and their applications. Prentice-Hall, 308 p.,
New York.
Özarslan, M.A. and Altın, A. 2004. Some families of generating functions for the
multiple orthogonal polynomials associated with modified Bessel k-functions.
J. Math. Anal. Appl., 297, 186-193.
Rainville, E.D. 1965. Special functions. The Macmillan Company, 355 p., New York.
Szego, G. 1936. Inequalities for the zeros of Legendre polynomials and related func-
tions. Trans. Amer. Math. Soc., 39(1), 1—17.
Wang, Z.X. and Guo, D.R. 1989. Special functions, World scientific, 695 p., Sin-
gapoure.
163
ÖZGEÇMIS
Adı Soyadı : Bayram ÇEKIM
Dogum Yeri : Sivas
Dogum Tarihi : 30.09.1982
Medeni Hali : Bekar
Yabancı Dili : Ingilizce
Egitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise : Mobil Lisesi (1999)
Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2004)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı¡Subat 2005− Temmuz 2007¢
Çalıstıgı Kurum/Kurumlar ve Yıl
Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü Arastırma Görevlisi (2005− ...)
164
