ANÁLISE DE ROTORES FLEXÍVEIS APOIADOS EM MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS E CILÍNDRICOS ... · 2019. 11. 14. · número de elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

PROGRAMA DE POacuteS-GRADUACcedilAtildeO EM

ENGENHARIA MECAcircNICA

ANAacuteLISE DE ROTORES FLEXIacuteVEIS APOIADOS EM

MANCAIS RADIAIS ELIacutePTICOS E CILIacuteNDRICOS

UTILIZANDO O MEacuteTODO DE ELEMENTOS FINITOS

WEacuteDERLEY MENDES MIRANDA

Belo Horizonte 31 de agosto de 2012

ii

Weacutederley Mendes Miranda




Tese apresentada ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em

Engenharia Mecacircnica da Universidade Federal de Minas

Gerais como requisito parcial agrave obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Doutor

em Engenharia Mecacircnica

Aacuterea de concentraccedilatildeo Projeto Mecacircnico

Orientador Prof Marco Tuacutelio Correcirca de Faria Dr

Universidade Federal de Minas Gerais

Belo Horizonte

Escola de Engenharia da UFMG

2012

iii

Universidade Federal de Minas Gerais Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Mecacircnica Av Antocircnio Carlos 6627 ndash Pampulha ndash CEP 31270-901 ndash Belo Horizonte ndash MG

Tel +55 31 34995145 - Fax +55 31 3443-3783

wwwdemecufmgbr - e-mail cpgmecdemecufmgbr





Tese defendida e aprovada em 31 de agosto de 2012 pela Banca Examinadora designada pelo

Colegiado do Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Mecacircnica da Universidade Federal de

Minas Gerais como parte dos requisitos necessaacuterios agrave obtenccedilatildeo do tiacutetulo de ―Doutor em

Engenharia Mecacircnica na aacuterea de concentraccedilatildeo de ―Projeto Mecacircnico

_________________________________________________

Prof Dr Marco Tuacutelio Correcirca de Faria ndash Universidade Federal de Minas Gerais ndash Orientador

_________________________________________________

Prof Dr Eduardo Bauzer Medeiros ndash Universidade Federal de Minas Gerais - Examinador

_________________________________________________

Prof Dr Lazaro Valentim Donadon ndash Universidade Federal de Minas Gerais - Examinador

_________________________________________________

Prof Dr Rogeacuterio Joseacute Marczak ndash Universidade Federal do Rio Grande do Sul - Examinador

_________________________________________________

Prof Dr Pedro Ameacuterico Almeida Magalhatildees Juacutenior ndash PUC Minas - Examinador

iv

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar a Deus por me mostrar o caminho e me dar forccedilas durante estes anos de

muita dedicaccedilatildeo

Agrave minha famiacutelia principalmente agrave minha esposa e filhos pelo apoio compreensatildeo e paciecircncia

em todos os momentos em que natildeo pude lhes dar a devida atenccedilatildeo

Ao Prof Marco Tuacutelio Correcirca de Faria pela orientaccedilatildeo deste trabalho e tambeacutem pelas aulas de

Dinacircmica de Rotores e de Teoria da Lubrificaccedilatildeo que me fizeram despertar o interesse pela

aacuterea o que resultou neste trabalho

Agrave amiga Ana Paula Ladeira pela valiosa contribuiccedilatildeo durante a revisatildeo final deste trabalho nos

aspectos de metodologia e de normalizaccedilatildeo

Aos professores Ricardo Luiz Utsch de Freitas Pinto e Maria Luacutecia Machado Duarte pela

acolhida quando retornei agrave UFMG para fazer o doutorado

Ao Departamento de Engenharia Mecacircnica da UFMG pela estrutura fiacutesica do laboratoacuterio de

Dinacircmica de Rotores pela qualidade de ensino e pelo apoio na participaccedilatildeo de eventos

v

SUMAacuteRIO

1 INTRODUCcedilAtildeO 19

11 Escopo 21

12 Objetivos 22

121 Objetivo geral 22

122 Objetivos especiacuteficos 22

2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA 23

21 Modelagem de sistemas rotor-mancal 23

22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor 31

23 Mancais hidrodinacircmicos 33

24 Sistemas rotativos com elementos adicionais 35

25 Mancais eliacutepticos 37

3 METODOLOGIA 40

31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel 41

32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico 44

321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo 47

322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos 50

323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero 50

324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem 53

325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos 55

33 O Sistema Rotor-Mancal 56

34 Diagrama do Procedimento Computacional 58

4 RESULTADOS E ANAacuteLISE 61

vi

41 Exemplos de validaccedilatildeo 61

411 Rotor com disco em balanccedilo 61

412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro 65

413 Rotor de uma bancada de testes 69

414 Segundo rotor de uma bancada de testes 75

42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos 77

421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 78

422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 83

423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos 85

43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada 87

431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga 87

432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 91

433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 96

5 CONCLUSOtildeES 100

6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 103

ANEXO A - FUNDAMENTOS DA TEORIA DE VIGA 112

A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli 112

A2 Teoria de Viga de Rayleigh 113

A3 Teoria de Viga de Timoshenko 113

ANEXO B ndash FUNCcedilOtildeES DE INTERPOLACcedilAtildeO 115

B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 115

B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117

B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118

B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 119

ANEXO C ndash MATRIZES DE ELEMENTOS FINITOS DO ROTOR 122

vii

C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo 122

C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo 123

C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos 124

C4 ndash Matriz de rigidez 125

ANEXO D ndash MEacuteTODO NUMEacuteRICO DE NEWMARK 127

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal 40

Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo 42

Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos 45

Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico 46

Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e

STEINHILPER 1978) 46

Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de

CORREIA 2007) 47

Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito 51

Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade 57

Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional 58

Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005) 61

Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o

nuacutemero de elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a

10rpm 62

Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1) e regressiva (BKWD1)

versus incremento no tempo 63

Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a

10 rpm 64

Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por

Sinou(2005) 64

Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999) 66

Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999)

operando a 6000rpm 67

Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999) 68

Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes 69

Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no

ix

caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 71

Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida 72

Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm 72


Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando

a 8900rpm 74

Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada


Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4


Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006) 76

Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no


Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade 79

Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos

mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial 79

Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial

dos mancais eliacutepticos 80

Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo

da folga radial dos mancais eliacutepticos 81

Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 82

Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais

eliacutepticos 82


mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez 83

Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez


Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo

de esbeltez dos mancais eliacutepticos 84


x

mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga 85

Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-

carga dos mancais eliacutepticos 86

Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos

mancais eliacutepticos 86

Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo 88

Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em

mancais eliacutepticos com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012) 89

Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos

mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012) 89

Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira

velocidade criacutetica para o rotor apoiado em mancais eliacutepticos

(MIRANDA e FARIA 2012) 90

Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo

assimeacutetrica 91

Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de

esbeltez dos mancais eliacutepticos 92

Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de

equiliacutebrio estaacutetico em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 94

Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do

ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95

Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade

adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95

Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da folga radial dos

mancais 97

Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade


Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da

excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos

mancais 98

xi

Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010) 112

Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 116

Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117

Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118

Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 120

LISTA DE TABELAS

Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005) 62

Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de

Sinou(2005) a 10 rpm 64

Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica 65

Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999) 66

Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para

o rotor de Hong e Park (1999) 67

Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e

Park(1999) 69

Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes 70

Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais 71

Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e

experimentalmente pelo teste de batida (bump test) 73


experimentalmente para o rotor da bancada operando a 8900rpm 75

Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2 75

Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas

experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF 77

Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado 77

Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise 88

Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos 92

xii

SIMBOLOGIA

Siacutembolos em letras latinas

A Aacuterea da seccedilatildeo transversal do eixo [m2]

Ampl Amplitude adimensional da resposta desbalanceada

c Folga radial menor (c = eRR ) [m]

Cb Folga radial maior

XXC YYC Coeficientes de amortecimento direto [Nsm]

XXc YYc Coeficientes de amortecimento direto adimensionais

XYC YXC Coeficientes de amortecimento cruzados [Nsm]

XYc YXc Coeficientes de amortecimento cruzados adimensionais

D Diacircmetro interno do mancal [m]

d Diacircmetro externo do eixo [m]

E Moacutedulo de elasticidade [Pa]

e Excentricidade do centro do munhatildeo no mancal (distacircncia entre centros do mancal

e do munhatildeoeixo) [m]

exey Projeccedilotildees de ―e nos eixos de coordenadas cartesianas xy

00 yx ee

posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo

yx ee

perturbaccedilatildeo na posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo

vetores unitaacuterios nas direccedilotildees circunferencial e axial respectivamente

f efeito de cisalhamento

F Forccedila de reaccedilatildeo do mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do fluido

Fx e Fy Componente da forccedila de reaccedilatildeo do fluido do mancal nas direccedilotildees x e y

e

jf Vetor de fluxo

G Moacutedulo de elasticidade ao cisalhamento [Pa]

h Espessura do filme lubrificante ou filme fluido

xiii

h0 Espessura miacutenima do filme lubrificante estacionaacuterio [m] ou de ordem zero

I Momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal

Idm Momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento

Ip Momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento

K Fator de forma do cisalhamento transversal

Kx Ky Coeficientes de cisalhamento

XXK YYK Coeficientes de rigidez diretos [Nm]

kxx e kyy Coeficientes de rigidez diretos adimensionais

XYK YXK Coeficientes de rigidez cruzados [Nm]

kxy e kyx Coeficientes de rigidez cruzados adimensionais

Coeficiente de rigidez adimensional modificado

][ e

jiK Matriz fluiacutedica de ordem zero

L Comprimento do mancal

l Comprimento do elemento

Leixo Comprimento do eixo

md Massa desbalanceada

m Fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial

nm Fluxo maacutessico de lubrificante cruzando a fronteira do domiacutenio do elemento finito

zm Fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial

nm Fluxo de lubrificante de primeira ordem pelo contorno

edo elemento finito n

Mp Preacute-carga (medida da ―elipsidade do mancal) Mp = (Cb ndash c) c

n

Valor normal unitaacuterio direcionado para fora do contorno e do elemento finito

OL Posiccedilatildeo do centro dos loacutebulos

O Posiccedilatildeo do centro do eixo

p Pressatildeo apresentada pelo filme lubrificante [Pa]

pa Pressatildeo ambiente [Pa]

xiv

po Pressatildeo estacionaacuteria de ordem zero [Pa]

p Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem

e

op Campo de pressatildeo discreto de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito

px py Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem

e

ip Valores de pressatildeo nodal no noacute i do elemento e [Pa]

q(xt) Carregamento distribuiacutedo [Nm]

e

jq Vetor de fluxo devido ao escoamento de fluido pelo contorno do elemento ldquoerdquo

R Raio menor do mancal [m]

Re Raio do munhatildeo ou raio do eixo [m]

RL Raio do loacutebulo do mancal [m]

U Velocidade superficial do eixo (U = ωR) [ms]

Vf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento

ud Excentricidade da massa desbalanceada

v(xt) Deflexatildeo lateral da viga

W Carga atuante no mancal [N]

Wf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento

xy Coordenadas cartesianas

z Coordenada axial

Siacutembolo em letras gregas

e Contorno do elemento ―e

Deformaccedilatildeo por cisalhamento

Razatildeo de excentricidade ou excentricidade adimensional ( ε = ec)

o Excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico

ψ Coordenadas no domiacutenio do elemento

Fator de forma da seccedilatildeo transversal da viga

Viscosidade absoluta do filme lubrificante [Pas]

xv

Coeficiente de Poisson

Massa especiacutefica [kgm3]

Massa especiacutefica do filme lubrificante [kgm3]

Acircngulo da posiccedilatildeo angular do munhatildeo a partir do ponto de maior espessura dentro do

mancal [rad]

z Coordenadas circunferencial e axial respectivamente

Φ Acircngulo de posiccedilatildeo do munhatildeo dentro do mancal Φ = tan-1

( Fy Fx )

Funccedilatildeo de interpolaccedilatildeo para o meacutetodo de elementos finitos para o elemento ―e

Rotaccedilatildeo do eixo [rads]

e Domiacutenio do elemento finito ―e

Subscritos

av Meacutedio

e Relativo ao elemento ―e

0 1 Ordem zero e primeira ordem instante de tempo anterior e atual

x Coordenada cartesiana vertical

y Coordenada cartesiana horizontal

Coordenadas xy combinadas no domiacutenio do elemento finito

Coordenadas no domiacutenio do elemento finito

Sobrescritos


ej

xvi

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

MEF Meacutetodo de Elementos Finitos

FEM Finite Element Method (Meacutetodo de Elementos Finitos)

VC Velocidade Criacutetica

xvii

RESUMO

Este trabalho apresenta um procedimento computacional baseado no meacutetodo de elementos

finitos desenvolvido especialmente para predizer o comportamento dinacircmico de sistemas

rotativos apoiados em mancais hidrodinacircmicos O procedimento computacional proposto

permite simular diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos massivos e

mancais riacutegidos ou hidrodinacircmicos com perfis circulares ou eliacutepticos Satildeo usados elementos

finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko no modelo do eixo o que permite

incluir os efeitos de deformaccedilatildeo por cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico Um

procedimento baseado no meacutetodo de elementos finitos eacute aplicado para resolver a equaccedilatildeo de

Reynolds para fluidos incompressiacuteveis junto a um procedimento de perturbaccedilatildeo linear para se

calcular os coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais ciliacutendricos e eliacutepticos As equaccedilotildees de

movimento para rotores desbalanceados apoiados em mancais hidrodinacircmicos satildeo integradas

usando-se o Meacutetodo de Newmark para se obter a resposta no tempo Os resultados satildeo validados

pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma bancada de teste e tambeacutem com

valores publicados na literatura Satildeo apresentadas algumas relaccedilotildees algeacutebricas que permitem

predizer os paracircmetros de desempenho dos mancais e a resposta desbalanceada do sistema rotor-

mancal em funccedilatildeo dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais tais como preacute-carga razatildeo de

esbeltez e folga radial Eacute identificada uma faixa operacional dos mancais onde estas relaccedilotildees

algeacutebricas apresentam uma boa aproximaccedilatildeo com os resultados computacionais Os resultados

deste trabalho servem de base para o projeto de maacutequinas rotativas uma vez que permitem

predizer seu comportamento dinacircmico para diversas condiccedilotildees operacionais

Palavras-chaves Mancal eliacuteptico

Rotores flexiacuteveis

Mancal radial

Lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica

Meacutetodo de elementos finitos

xviii

ABSTRACT

This work presents the development of a finite element procedure specially devised to predict

the dynamic response of flexible rotors running on fluid film bearings The proposed procedure

can simulate many different types of rotor-bearing systems with a flexible shaft massive disks

and rigid or fluid film circular or elliptical bearings The shaft finite element model is based on

Timoshenko Beam Theory which includes shear effects rotary inertia and gyroscopic moments

A finite element procedure for solution of the classical Reynolds equation for incompressible

fluid films in conjunction with a linearized perturbation procedure is implemented to allow the

computation of the dynamic force-coefficients of cylindrical and elliptical journal bearings The

finite element equations of motion for an unbalanced rotor supported on fluid film bearings are

integrated by using the Newmark method and the time-domain unbalance response is obtained

The results are validated by comparison with experimental data collected from a test rig as well

as from results obtained from the literature

Some algebraic expressions relating the bearing parameters and the unbalance response with the

bearing geometric parameters (preload Slendernessrsquo ratio radial clearance) are presented A

range of operating conditions is identified where these expressions are supposed to be close to

the computational results obtained by the numerical procedure The results presented in this

work are valuable for rotating machine designers since it can properly predict its dynamic

response under several operation conditions

Keywords Elliptical bearing

Journal bearing

Hydrodynamic lubrication

Finite element method

19

1 INTRODUCcedilAtildeO

O projeto e o comissionamento de maacutequinas rotativas requerem um cuidado especial para se

garantir condiccedilotildees seguras estaacuteveis e eficientes de operaccedilatildeo Diversos estudos baseados em

procedimentos experimentais analiacuteticos e computacionais satildeo utilizados com o objetivo de se

analisar vaacuterios aspectos dinacircmicos relacionados a rotores de maacutequinas de alta velocidade Esses

estudos se tornam de extrema importacircncia na anaacutelise de equipamentos como turbinas a gaacutes e a

vapor compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros

Com o desenvolvimento da tecnologia na aacuterea de projetos mecacircnicos eacute notaacutevel a tendecircncia em

se projetarem maacutequinas cada vez mais leves e com maior potecircncia que normalmente estatildeo mais

sujeitas a problemas de vibraccedilatildeo e de instabilidade A influecircncia dos mancais no comportamento

dinacircmico de maacutequinas rotativas e na capacidade de atenuar vibraccedilotildees eacute estudada haacute vaacuterios anos

em diversos trabalhos da literatura especializada (GUNTER 1966 CORREIA 2007)

Os mancais hidrodinacircmicos tecircm sido amplamente aplicados em maacutequinas rotativas devido agrave sua

grande capacidade de carga habilidade de operaccedilatildeo em altas velocidades e longevidade

(HAMROCK 1994 CHILDS 1993) Este tipo de mancal tem uma capacidade de

amortecimento que natildeo existe nos mancais de rolamento o que possibilita que a maacutequina passe

por uma velocidade criacutetica com menores riscos (STERNLICHT e LEWIS 1968 VANCE

1988) O amortecimento proporcionado por mancais hidrodinacircmicos permite a atenuaccedilatildeo das

forccedilas transmitidas do sistema eixorotor aos mancais a reduccedilatildeo do niacutevel de vibraccedilatildeo o

aumento da faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do rotor e o aumento de vida uacutetil do mancal (ENGWALL

1991)

Os mancais hidrodinacircmicos aplicados em maacutequinas rotativas industriais podem ser divididos

basicamente em dois grupos mancais de geometria fixa e mancais de geometria variaacutevel

(ALLAIRE e FLACK 1981) Os mancais de geometria fixa satildeo mais simples e possuem um

menor custo de fabricaccedilatildeo montagem e manutenccedilatildeo do que os de geometria variaacutevel

(HAMROCK 1994) Os mancais mais amplamente usados na induacutestria satildeo os de geometria fixa

com perfil ciliacutendrico apresentando baixa estabilidade mas boa capacidade de carga (CORREIA

2007) Mancais de geometria moacutevel satildeo usados quando se deseja estabilidade do equipamento

sujeito a vibraccedilotildees subsiacutencronas isto eacute abaixo da frequecircncia de rotaccedilatildeo No final da deacutecada de

20

1980 este tipo de mancal passou a ser mais amplamente usado nos projetos de turbomaacutequinas

de alta velocidade (ZEIDAN 1992) A literatura cientiacutefica apresenta diversos trabalhos sobre

mancais ciliacutendricos mas poucos sobre mancais eliacutepticos (CORREIA 2007)

As interaccedilotildees entre o eixo rotativo da turbomaacutequina com o fluido de trabalho com os mancais

com os selos com o suporte e com todos os seus elementos acoplados tais como as palhetas e

discos devem ser incluiacutedas na anaacutelise dinacircmica de rotores para se obter confiabilidade aceitaacutevel

nas prediccedilotildees de seu comportamento O estudo preliminar do comportamento de sistemas

rotativos permite determinar as suas faixas de operaccedilatildeo estaacutevel e avaliar as influecircncias que

componentes do sistema exercem sobre a resposta dinacircmica do conjunto Os mancais se tornam

componentes vitais no projeto de turbomaacutequinas pois devem gerar forccedilas de reaccedilatildeo capazes de

suportar adequadamente o eixo rotativo e propiciar meios de atenuaccedilatildeo da resposta dinacircmica do

conjunto rotativo em regimes de operaccedilatildeo extremos Esse trabalho tem como proposta principal

a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis apoiados em mancais radiais

hidrodinacircmicos de geometria fixa

A modelagem do rotor que inclui o eixo rotativo com discos riacutegidos acoplados eacute efetuada

utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos baseado na teoria de vigas de Timoshenko

(CLOUGH e PENZIEN 1975) Incluem-se no modelo do rotor os efeitos de cisalhamento os

momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia rotatoacuteria do eixo rotativo A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds

(PINKUS 1987 HAMROCK 1994) e um procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo

(LUND1987) satildeo a base da modelagem dos mancais radiais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e natildeo

ciliacutendricos considerados na anaacutelise O meacutetodo de elementos finitos eacute entatildeo empregado para

estimar as caracteriacutesticas dinacircmicas natildeo lineares dos mancais radiais finitos incluiacutedos na anaacutelise

do sistema rotativo O modelo dos mancais admite diversas geometrias de mancais ciliacutendricos e

eliacutepticos e natildeo satildeo adotadas hipoacuteteses restritivas ao modelo dos mancais como nas teorias de

mancal longo (HAMROCK 1994) ou de mancal curto que apresentam deficiecircncias na anaacutelise

dinacircmica de sistemas rotor-mancal (KALITA e KAKOTY 2004)

O texto deste trabalho eacute dividido em cinco capiacutetulos O capiacutetulo 1 apresenta a introduccedilatildeo do

trabalho seu escopo e objetivos No capiacutetulo 2 eacute apresentada a revisatildeo bibliograacutefica Em

seguida eacute descrita a metodologia do procedimento computacional proposto no capiacutetulo 3 onde

satildeo apresentados os procedimentos adotados para se modelar o sistema rotor-mancal composto

pelo eixo flexiacutevel disco riacutegido e mancais hidrodinacircmicos No final do capiacutetulo 3 eacute apresentado

um diagrama representando as etapas do procedimento computacional proposto No capiacutetulo 4

21

satildeo apresentados os resultados obtidos atraveacutes do procedimento computacional incluindo

exemplos de validaccedilatildeo No capiacutetulo 5 satildeo apresentadas as conclusotildees do trabalho e no capiacutetulo 6

satildeo listadas as referecircncias bibliograacuteficas Satildeo incluiacutedos ainda trecircs anexos No Anexo A satildeo

apresentados os fundamentos da teoria de vigas de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de

Timoshenko No Anexo B apresenta-se a formulaccedilatildeo das funccedilotildees de interpolaccedilatildeo No Anexo C

satildeo listadas as matrizes de elementos finitos do eixo flexiacutevel usadas no modelo implementado e

no Anexo D eacute apresentado o algoritmo do Meacutetodo Numeacuterico de Newmark

11 Escopo

Esse trabalho descreve a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis suportados em

mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos

Na modelagem dos mancais radiais incluem-se mancais ciliacutendricos e natildeo ciliacutendricos de

geometria fixa As condiccedilotildees de operaccedilatildeo do sistema rotativo utilizadas nesse trabalho estatildeo

baseadas em condiccedilotildees operacionais comumente encontradas na praacutetica O eixo eacute modelado por

elementos finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko que permite analisar a

resposta da vibraccedilatildeo orbital nos dois planos ortogonais de flexatildeo A formulaccedilatildeo permite incluir

os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e deformaccedilatildeo por cisalhamento

O caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais eacute feito baseando-se na equaccedilatildeo de

Reynolds e nas equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da

anaacutelise de perturbaccedilatildeo (LUND1987)

A resposta desbalanceada do sistema eacute obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo

numeacuterica implementado sobre a sua equaccedilatildeo de equiliacutebrio dinacircmico Eacute estudada a influecircncia dos

paracircmetros construtivos de mancais eliacutepticos e ciliacutendricos nos seus coeficientes de forccedila e na

resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal Apresenta-se uma anaacutelise criacutetica sobre a faixa

onde o modelo computacional implementado fornece resultados considerados confiaacuteveis

baseando-se nas condiccedilotildees operacionais do sistema

Embora natildeo seja objetivo deste trabalho obter valores absolutos para os coeficientes de forccedila ou

para os niacuteveis de vibraccedilatildeo na resposta desbalanceada eacute investigada a forma como estes valores

variam em funccedilatildeo das caracteriacutesticas construtivas e operacionais do sistema

22

12 Objetivos

121 Objetivo geral

Este trabalho tem como objetivo desenvolver um procedimento computacional baseado no

meacutetodo de elementos finitos (MEF) para a anaacutelise da resposta de sistemas rotativos apoiados em

mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa O eixo eacute modelado por elementos de viga

baseando-se na Teoria de Viga de Timoshenko Os mancais hidrodinacircmicos satildeo modelados

tambeacutem por elementos finitos utilizando-se o meacutetodo da perturbaccedilatildeo aplicado na equaccedilatildeo de

Reynolds

122 Objetivos especiacuteficos

i Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no

MEF para representar rotores flexiacuteveis sujeitos a cargas de desbalanceamento

apoiados em suportes flexiacuteveis

ii Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no

MEF para a determinaccedilatildeo dos coeficientes dinacircmicos dos mancais hidrodinacircmicos de

geometria fixa sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto

ou de mancal longo

iii Comparar os resultados do procedimento computacional proposto com resultados

publicados na literatura especializada e com dados experimentais coletados em uma

bancada de testes atraveacutes da anaacutelise das frequecircncias naturais

iv Analisar a influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos (preacute-carga

razatildeo de esbeltez folga radial) nos coeficientes de forccedila dos mancais e na resposta

desbalanceada do sistema

v Estabelece relaccedilotildees algeacutebricas entre alguns paracircmetros de desempenho dos mancais

ciliacutendricos e eliacutepticos e a resposta balanceada com os paracircmetros geomeacutetricos dos

mancais Identificar as faixas operacionais onde estas relaccedilotildees algeacutebricas satildeo vaacutelidas

23

2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA

As referecircncias apresentadas a seguir satildeo divididas em seccedilotildees para facilitar a exposiccedilatildeo dos

temas envolvidos no trabalho Inicialmente satildeo apresentadas as publicaccedilotildees que abordam os

procedimentos computacionais para a modelagem de sistemas rotor-mancal destacando-se o uso

do meacutetodo de elementos finitos e a evoluccedilatildeo dos modelos de elementos de vigas aplicados aos

eixos flexiacuteveis Em seguida destacam-se os trabalhos que fazem a anaacutelise da estabilidade de

sistemas rotor-mancal atraveacutes de problema de autovalor Segue-se com a citaccedilatildeo das publicaccedilotildees

que apresentam procedimentos de modelagem de mancais hidrodinacircmicos As uacuteltimas seccedilotildees

apresentam trabalhos sobre sistemas rotativos com elementos adicionais onde se destacam no

final os modelos de mancais eliacutepticos

Observa-se que a literatura apresenta diversos trabalhos dentro desta linha poreacutem muitos

aplicam o modelo de mancal curto que eacute bastante limitado principalmente para mancais

operando com grandes excentricidades A teoria de mancal curto eacute mais aplicaacutevel na prediccedilatildeo de

carga mas eacute muito limitada na determinaccedilatildeo de coeficientes de forccedila ou no estudo da

estabilidade do sistema Outros trabalhos apresentam uma abordagem detalhada do modelo dos

mancais mas ao apresentar os resultados fazem diversas simplificaccedilotildees (mancais isotroacutepicos

por exemplo) Em alguns casos a modelagem dos mancais e a aplicaccedilatildeo do procedimento

numeacuterico eacute detalhada e rigorosa poreacutem aplica-se o modelo de eixo riacutegido o que tambeacutem

representa uma limitaccedilatildeo A teoria natildeo-linear para mancais hidrodinacircmicos eacute apresentada por

diversos autores poreacutem os trabalhos possuem uma abordagem mais matemaacutetica natildeo focando

em aspectos praacuteticos de condiccedilotildees operacionais de maacutequinas rotativas

Desta forma observa-se uma lacuna na literatura onde raramente satildeo analisados sistemas rotor-

mancal hidrodinacircmico de maneira detalhada evitando-se hipoacuteteses simplificadoras tanto no

modelo dos mancais quanto no modelo do eixo flexiacutevel

21 Modelagem de sistemas rotor-mancal

A anaacutelise do comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas tem fomentado o desenvolvimento

de procedimentos computacionais eficientes e precisos para as etapas preliminares de projeto

24

Os modelos de maacutequinas rotativas de alta velocidade geralmente incluem rotores flexiacuteveis

apoiados em mancais hidrodinacircmicos e eacute fundamental analisar a estabilidade do sistema

(GUNTER 1970 BUSSE et al1980 VANCE 1988 KRAMER 1993 CHILDS 1993

ABDULJABBAR et al1997 HU et al 2000 GANESAN 2000 ZHAO et al2005 WENHUI

et al 2007)

Os estudos dinacircmicos baseados em modelos computacionais se tornam de extrema importacircncia

em diversas aplicaccedilotildees industriais de turbomaacutequinas como turbinas a gaacutes e a vapor

compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros (STERNLICHT e

LEWIS 1968) A partir da deacutecada de 70 o meacutetodo de elementos finitos comeccedilou a ser usado

com extrema frequecircncia para o desenvolvimento de modelos de rotores flexiacuteveis e para a anaacutelise

de balanceamento estabilidade e vibraccedilatildeo torcional de maacutequinas rotativas (ZORZI e NELSON

1977 VANCE 1988 CHILDS 1993 ALMEIDA Jr e FARIA 2003 MIRANDA et al 2005)

A aplicaccedilatildeo do meacutetodo de elementos finitos na modelagem e simulaccedilatildeo de sistemas rotativos eacute

muito ampla na anaacutelise dinacircmica de rotores Os primeiros trabalhos nesta aacuterea satildeo apresentados

por Ruhl (1970) e Ruhl e Booker (1972) onde se aplica o meacutetodo de elementos finitos na

anaacutelise dinacircmica de um sistema rotativo com paracircmetros distribuiacutedos Satildeo usados elementos de

viga incluindo a ineacutercia translacional e rigidez agrave flexatildeo mas natildeo satildeo considerados os efeitos de

ineacutercia rotatoacuteria momentos giroscoacutepios deformaccedilatildeo por cisalhamento carga axial torque axial

e amortecimento interno Kirk e Gunter (1972) analisam a resposta transiente e permanente do

rotor de Jeffcott com mancais elaacutesticos montados em apoios flexiacuteveis e amortecidos ainda

desconsiderando a flexibilidade do rotor e o efeito giroscoacutepico do disco rotativo nas equaccedilotildees de

movimento Na mesma eacutepoca Thorkildsen (1972) desenvolveu um modelo mais completo onde

incluiu os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e momentos giroscoacutepios

Polk (1974) apresenta um estudo sobre velocidade criacutetica e velocidade limite utilizando

elemento finito de viga de Rayleigh Polk ainda apresenta neste mesmo trabalho o

desenvolvimento dos elementos finitos de viga de Timoshenko embora sem nenhum resultado

numeacuterico Diana et al(1975) apresentam seus resultados da anaacutelise de um eixo rotativo usando

o meacutetodo de elementos finitos com elementos semelhantes aos de Ruhl (1970) No mesmo ano

Dimaragonas (1975) apresenta um desenvolvimento geral de elemento de viga mas ainda

excluindo o cisalhamento e carga e torque axiais Gasch (1976) apresentou importantes

resultados em um artigo semelhante ao de Dimaragonas poreacutem incluindo o efeito de

25

excentricidade distribuiacuteda Satildeo analisados eixos rotativos de grandes turbomaacutequinas atraveacutes de

elementos finitos e introduzida a dinacircmica da fundaccedilatildeo nas equaccedilotildees de movimento usando

anaacutelise modal e teste modal

No mesmo ano Nelson e McVaugh (1976) apresentam uma formulaccedilatildeo para modelar o sistema

rotor-mancal usando paracircmetros distribuiacutedos e elementos finitos de viga de Rayleigh

semelhantes aos de Polk (1974) incluindo os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e

cargas axiais Este trabalho eacute ampliado posteriormente em Zorzi e Nelson (1977) incluindo-se o

amortecimento viscoso interno do eixo Nelson (1980) generaliza os modelos apresentados em

1976 e 1977 usando a teoria de vigas de Timoshenko para estabelecer as funccedilotildees de forma do

eixo flexiacutevel incluindo o efeito de cisalhamento mas sem incluir o amortecimento interno Satildeo

obtidas as equaccedilotildees de elementos atraveacutes do Princiacutepio de Hamilton e das integrais que definem

as energias potencial e cineacutetica de cada elemento A energia cineacutetica leva em consideraccedilatildeo a

energia rotacional e translacional e a energia potencial considera a energia potencial elaacutestica

devida agrave flexatildeo a energia potencial do cisalhamento e a energia devida agrave carga axial Para

modelar os mancais satildeo considerados apoios isotroacutepicos sem efeito de amortecimento O autor

apresenta vaacuterios resultados que validam o meacutetodo comparando-os com outros obtidos na

literatura Eacute apresentada uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais de uma viga estaacutetica

obtidas com elementos de viga de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko

Posteriormente satildeo apresentados resultados de velocidades criacuteticas calculadas para eixos

rotativos apoiados pelas extremidades

Oumlzguumlven e Oumlzkan (1984) aplicam tambeacutem o meacutetodo de elementos finitos considerando os

efeitos da ineacutercia rotatoacuteria carga axial efeito giroscoacutepico deformaccedilotildees por cisalhamento e

amortecimento viscoso interno no mesmo modelo Vance et al(1987) apresentam comparaccedilotildees

de dados experimentais com resultados numeacutericos obtidos em uma bancada de sistema rotor-

mancal incluindo os efeitos de impedacircncia da fundaccedilatildeo no modelo usando o meacutetodo de matriz

de transferecircncia

Jei e Lee (1988) analisam o comportamento dinacircmico de rotores assimeacutetricos apoiados em

mancais hidrodinacircmicos utilizando o meacutetodo de elementos finitos O sistema rotativo eacute

composto por um eixo assimeacutetrico e discos riacutegidos e os efeitos da ineacutercia rotatoacuteria do

cisalhamento transversal dos momentos giroscoacutepicos e do amortecimento histereacutetico satildeo

incluiacutedos na modelagem do sistema As equaccedilotildees de vibraccedilatildeo lateral do conjunto rotativo satildeo

26

compactadas via teacutecnica de reduccedilatildeo modal de coordenadas Na modelagem dos mancais radiais

os autores desprezam a assimetria dos coeficientes cruzados de rigidez e de amortecimento e natildeo

descrevem claramente como foram obtidos os demais coeficientes de forccedila O problema de

autovalor do sistema giroscoacutepico amortecido eacute obtido para a determinaccedilatildeo das velocidades

criacuteticas de instabilidade do sistema rotativo As simplificaccedilotildees efetuadas pelos autores na

modelagem dos mancais afetam a determinaccedilatildeo precisa das velocidades de instabilidade do rotor

assimeacutetrico suportado em mancais hidrodinacircmicos que depende fortemente dos coeficientes

cruzados de rigidez Stephenson e Rouch (1992) aplicam o meacutetodo de elementos finitos para

analisar um sistema rotor-mancal e fundaccedilatildeo usando tambeacutem anaacutelise modal que permite

observar os efeitos dinacircmicos da estrutura da fundaccedilatildeo

Mais recentemente diversos trabalhos tecircm sido publicados aplicando-se o meacutetodo de elementos

finitos para a anaacutelise da estabilidade e da resposta no tempo de sistemas rotativos Sundararajan

(1996) investiga a resposta natildeo-linear e a estabilidade de um sistema rotor-mancal em regime

permanente sujeito a desbalanceamento Satildeo considerados rotores riacutegidos apoiados em mancais

hidrodinacircmicos planos e squeeze-film dampers (amortecedores por esmagamento de filme

fluido) Analisa-se a influecircncia dos coeficientes de forccedila cruzados e da ineacutercia do fluido na

resposta natildeo-linear e na estabilidade do sistema Na modelagem por elementos finitos satildeo

derivadas as matrizes de massa de rigidez e de amortecimento do sistema e eacute apresentado um

procedimento numeacuterico que reduz o nuacutemero de graus de liberdade do sistema O autor aplica a

teoria de bifurcaccedilatildeo de Hopf (HOLLIS e TAYLOR 1986) para calcular os regimes de

bifurcaccedilatildeo de mancais hidrodinacircmicos finitos mostrando que os mancais podem entrar em

regime de instabilidade mesmo abaixo das velocidades limites o que natildeo eacute observado nos

modelos lineares Na modelagem do squeeze film damper e do mancal plano eacute adotado o modelo

de mancal curto Posteriormente o autor propotildee uma anaacutelise de estabilidade de mancais planos

finitos usando uma formulaccedilatildeo que faz uma soma ponderada das soluccedilotildees analiacuteticas do mancal

curto e do mancal longo para se obter os coeficientes de forccedila Os resultados para mancais

planos finitos natildeo satildeo validados experimentalmente Embora comente-se sobre o caraacuteter natildeo-

linear do efeito das folgas nos mancais de rolamento este tipo de mancal natildeo eacute modelado pelo

autor O modelo do sistema rotor-mancal considera o rotor e o eixo riacutegidos e usa o modelo de

mancal curto o que torna o modelo bastante limitado

Chen e Lee (1997) aplicam o meacutetodo de elementos finitos em um problema de rotores flexiacuteveis

para obter a resposta desbalanceada no tempo e para identificar os coeficientes de forccedila de

27

mancais de rolamento Armentrout (1998) apresenta o desenvolvimento de uma anaacutelise

transiente de rotores flexiacuteveis suportados em mancais de filme fluido baseada no meacutetodo das

matrizes de transferecircncia Os efeitos de cisalhamento os momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia

rotatoacuteria satildeo incluiacutedos na modelagem do eixo do rotor A soluccedilatildeo unidimensional aproximada da

equaccedilatildeo de Reynolds eacute a base do modelo de mancais ciliacutendricos radiais e de sapatas moacuteveis

contemplados na anaacutelise O procedimento computacional desenvolvido por Armentrout (1998)

utiliza teacutecnica de compactaccedilatildeo modal de coordenadas empregando os modos de vibraccedilatildeo natildeo

amortecidos do sistema rotor-mancal-fundaccedilatildeo As equaccedilotildees de equiliacutebrio do sistema rotativo

em coordenadas modais satildeo integradas utilizando-se um algoritmo de integraccedilatildeo impliacutecita

―preditor-corretor

Tiwari et al (2000) apresentam uma investigaccedilatildeo teoacuterico-experimental da dinacircmica natildeo-linear

de rotores riacutegidos horizontais apoiados em mancais de rolamento de esferas Um modelo

discreto de massa concentrada com dois graus de liberdade eacute empregado na representaccedilatildeo do

rotor riacutegido As natildeo linearidades da anaacutelise estatildeo associadas aos efeitos da folga radial do

mancal e do modelo de contato de Hertz para as esferas desse mancal As equaccedilotildees de equiliacutebrio

do sistema satildeo integradas utilizando-se um algoritmo impliacutecito de integraccedilatildeo A anaacutelise

experimental do trabalho consiste na determinaccedilatildeo da resposta desbalanceada e na avaliaccedilatildeo da

estabilidade dinacircmica de um rotor horizontal apoiado em mancais de rolamento anisotroacutepicos

Os autores mostram resultados teoacutericos e experimentais para as regiotildees de instabilidade do rotor

que apresentam boa concordacircncia A consideraccedilatildeo de rotor riacutegido representa uma limitaccedilatildeo do

modelo

Elmadany et al (2001) apresentam um modelo de elementos finitos para um sistema rotativo

composto por um eixo flexiacutevel um rotor riacutegido e vaacuterios mancais incluindo no modelo do rotor

os efeitos de ineacutercia rotativa momentos giroscoacutepicos amortecimento interno deformaccedilotildees por

cisalhamento e torque axial Satildeo usados elementos finitos de viga de Timoshenko para gerar as

equaccedilotildees dos elementos do eixo Os oito coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos satildeo

apresentados em funccedilatildeo do nuacutemero de Sommerfeld considerando mancais curtos O meacutetodo

computacional proposto permite obter importantes informaccedilotildees do comportamento dinacircmico do

sistema tais como a precessatildeo as velocidades criacuteticas as regiotildees de estabilidade e a resposta

dinacircmica desbalanceada As velocidades de instabilidades satildeo obtidas atraveacutes do problema de

autovalor Os autores apresentam diversos resultados numeacutericos comparados com outros

28

extraiacutedos da literatura Em um deles destaca-se a comparaccedilatildeo das velocidades de instabilidade

(threshold speed of instability) e os autores fazem ainda uma comparaccedilatildeo entre o modelo usando

elementos de viga de Rayleigh e de Timoshenko Conclui-se que ao se incluir o efeito de

cisalhamento na anaacutelise de vibraccedilatildeo livre os valores das velocidades de instabilidade satildeo

reduzidos

Hong et al(2001) investigam os efeitos da deformaccedilatildeo inicial de eixos na resposta dinacircmica de

sistemas rotor-mancal Analisa-se a vibraccedilatildeo siacutencrona provocada pela deformaccedilatildeo inicial e pelo

desbalanceamento sendo incluiacutedo o efeito giroscoacutepico O modelo de elementos finitos tem dois

graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos transversais e o rotor tem trecircs discos

riacutegidos e dois mancais Satildeo simuladas algumas configuraccedilotildees de rotor incluindo mancais

hidrodinacircmicos de sapatas moacuteveis Os resultados mostram que o efeito da deformaccedilatildeo inicial

influencia fortemente a resposta siacutencrona em baixas velocidades enquanto o efeito do

desbalanceamento afeta em altas velocidades de rotaccedilatildeo Eacute observado ainda que a presenccedila de

ambos efeitos pode causar dificuldade no diagnoacutestico de vibraccedilotildees de maacutequinas rotativas Os

autores usam coeficientes de forccedila preacute-calculados por outros autores natildeo apresentando a

modelagem dos mancais Natildeo fica claro tambeacutem o tipo de elemento finito usado no modelo do

eixo

Guo e Kirk (2003) fazem um estudo dos limites de estabilidade de um sistema rotor-mancal

hidrodinacircmico baseado no modelo de Jeffcott (1919) incluindo o amortecimento externo e um

estudo para rotores verticais e horizontais Os autores destacam a forte influecircncia que o

amortecimento externo tem na anaacutelise da estabilidade do sistema rotativo Eacute proposto um

meacutetodo analiacutetico que faz vaacuterias consideraccedilotildees que simplificam as equaccedilotildees de movimento do

sistema por exemplo rotor vertical com operaccedilatildeo centrada em mancais curtos idecircnticos Eacute

mostrado que existe uma velocidade limite (threshold speed) para o rotor vertical enquanto para

o rotor horizontal haacute uma regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel limitada entre duas regiotildees instaacuteveis Neste

caso do rotor horizontal eacute conduzido um procedimento numeacuterico sem as hipoacuteteses

simplificadoras usadas no modelo vertical usando anaacutelise de autovalores obtidos das equaccedilotildees

matriciais de movimento do sistema Observa-se que no rotor horizontal o efeito do

amortecimento externo aumenta a regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema e para alguns valores

mais elevados de amortecimento externo eacute possiacutevel eliminar a regiatildeo de instabilidade

garantindo operaccedilatildeo estaacutevel para o sistema rotativo em toda faixa de velocidade de rotaccedilatildeo

analisada Guo e Kirk (2003) incluem ainda em seu trabalho uma anaacutelise do modelo extendido

29

do rotor de Jeffcott onde satildeo consideradas as massas dos mancais nas extremidades do rotor

Conclui-se que ao se incluiacuterem as massas dos mancais surge uma outra velocidade

limite(threshold speed) E mesmo que vaacuterias regiotildees de instabilidade possam ser reduzidas ou

eliminadas com o aumento do amortecimento externo este amortecimento tem pouco efeito nas

uacuteltimas velocidades de instabilidade (threshold speed of instability) uma vez que estas

velocidades dependem da massa do mancal Assim a melhor forma de se obter amplas faixas de

operaccedilatildeo estaacutevel eacute combinar-se os efeitos do amortecimento externo ao das massas dos mancais

obtendo-se uma combinaccedilatildeo adequada no dimensionamento do rotor de Jeffcott

Em (GUO e KIRK 2003b) a anaacutelise eacute ampliada incluindo-se o efeito da flexibilidade dos

mancais onde mostra-se como melhorar a resposta dinacircmica e a resposta desbalanceada do

sistema assim como a estabilidade e a transmissatildeo de forccedilas Novamente satildeo consideradas as

mesmas hipoacuteteses simplificadoras que restringem bastante a abrangecircncia dos resultados obtidos

Os proacuteprios autores admitem que os resultados satildeo vaacutelidos para um caso especial Nos

resultados satildeo apresentadas as regiotildees de estabilidade e a influecircncia do amortecimento e da

rigidez dos mancais na estabilidade do sistema Comenta-se ainda que os coeficientes de forccedila

de mancais hidrodinacircmicos tecircm natureza natildeo-linear e que cabe um estudo mais detalhado sobre

o efeito desta natildeo-linearidade

Balantrapu (2004) apresenta um procedimento computacional de identificaccedilatildeo de paracircmetros

para identificar os coeficientes de forccedila de mancais em um sistema rotativo com eixo flexiacutevel

atraveacutes da resposta desbalanceada medida proacuteximo aos mancais Eacute proposta tambeacutem uma

formulaccedilatildeo que permite usar o procedimento de identificaccedilatildeo a partir de mediccedilotildees feitas longe

dos mancais em especial no ponto meacutedio entre eles O eixo flexiacutevel eacute modelado por elementos

finitos incluindo-se os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para os mancais satildeo

considerados coeficientes de forccedila lineares Satildeo apresentados vaacuterios exemplos incluindo

mancais hidrodinacircmicos de dois loacutebulos Observa-se que a massa desbalanceada necessaacuteria para

se fazer as mediccedilotildees do deslocamento do eixo assim como a exatidatildeo dos resultados de

mediccedilatildeo influenciam os resultados obtidos para os coeficientes de forccedila Outro fator que

influencia mais consideravelmente eacute a rigidez do eixo que tem grande influecircncia nas amplitudes

de vibraccedilatildeo medidas no sistema

Kalita e Kakoty (2004) destacam o meacutetodo de elementos finitos como o mais popular para

anaacutelise de vibraccedilatildeo de sistemas rotor-mancal Eacute estudado o comportamento dinacircmico de um

30

rotor apoiado em mancais hidrodinacircmicos onde usam-se elementos de viga de Timoshenko para

o eixo que inclui os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico amortecimento interno e

deformaccedilatildeo por cisalhamento O modelo tem 4 graus de liberdade dois deslocamentos

transversais e duas rotaccedilotildees Satildeo apresentados os diagramas de Campbell para diferentes valores

de coeficientes de forccedila dos mancais incluindo anaacutelise da influecircncia dos coeficientes de

amortecimento e de rigidez cruzada dos mancais nas velocidades de instabilidade Eacute mostrada

ainda a limitaccedilatildeo do uso da aproximaccedilatildeo de mancais curtos no caacutelculo dos coeficientes

dinacircmicos de mancais hidrodinacircmicos

Bode e Menezes (2005) apresentam uma anaacutelise dinacircmica de um sistema rotor-mancal pelo

meacutetodo de elementos finitos onde satildeo detalhadas todas etapas da modelagem do sistema O

eixo flexiacutevel eacute excitado por forccedilas de desbalanceamento e apoiado nas extremidades por mancais

hidrodinacircmicos cujas forccedilas de reaccedilatildeo satildeo produzidas pela pressatildeo dinacircmica do lubrificante Os

coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais satildeo obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo numeacuterica

da equaccedilatildeo de Reynolds Para modelar o eixo flexiacutevel eacute usada a teoria de vigas de Timoshenko

incluindo o efeito giroscoacutepico e de cisalhamento Adota-se o meacutetodo de elementos finitos com

elementos de viga com 4 graus de liberdade em cada noacute 2 deslocamentos e 2 velocidades As

equaccedilotildees de movimento satildeo obtidas pelas equaccedilotildees de Lagrange descrevendo o movimento em

dois planos A resposta no tempo eacute obtida pelo meacutetodo de Newmark (RAO 1995) integrando-se

numericamente as equaccedilotildees de movimento Os autores obtecircm uma soluccedilatildeo numeacuterica que

permite descrever as condiccedilotildees dinacircmicas de estabilidade do sistema rotor-mancal

Cheng et al (2008) investigam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um sistema rotor-

mancal-selo apresentando resultados em forma de trajetoacuterias mapas de Poincareacute expoentes de

Liapunov espectros de frequecircncia e diagramas de bifurcaccedilatildeo Satildeo destacadas as caracteriacutesticas

natildeo-lineares dos coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos e de

selos mecacircnicos Consideram-se mancais curtos Para o selo adota-se o modelo natildeo-linear de

Muszynska (1986) O modelo do rotor considera apenas a vibraccedilatildeo transversal desprezando a

vibraccedilatildeo torcional e o efeito giroscoacutepico sendo adotado o modelo de rotor de Jeffcott A soluccedilatildeo

numeacuterica eacute obtida atraveacutes do meacutetodo de Runge-Kutta de quarta ordem seguida de uma anaacutelise

graacutefica do comportamento natildeo-linear do sistema em funccedilatildeo da velocidade de rotaccedilatildeo da

excentricidade da folga no selo e da pressatildeo no selo Os autores enfatizam a modelagem do

selo mas simplificam muito o modelo do eixo O modelo dos mancais eacute limitado a mancais

curtos e a anaacutelise numeacuterica considera apenas um exemplo de mancal

31

Rezvani (2009) faz uma anaacutelise de um sistema rotor mancal com vaacuterios graus de liberdade e

apoios natildeo-lineares Satildeo modelados sistemas apoiados em mancais de rolamento e em suportes

amortecidos (squeeze film dampers) considerando o modelo de mancais curtos Satildeo mostrados

os efeitos do amortecimento e do efeito giroscoacutepico do sistema em sua estabilidade Elhibir

(2009) apresenta um modelo computacional de um alternador afixado em uma viga oca em

balanccedilo apoiada em uma extremidade por dois mancais de rolamento O modelo usa o meacutetodo

de elementos finitos com elementos soacutelidos tetraeacutedricos Eacute analisada a resposta desbalanceada

do sistema e obtidas as frequecircncias naturais e usada anaacutelise modal Satildeo apresentados diversos

resultados numeacutericos e imagens ilustrando as deformaccedilotildees do sistema em cada modo de

vibraccedilatildeo

Karlberg (2010) faz uma anaacutelise dinacircmica de maacutequinas rotativas apoiadas por mancais de

rolamento com folgas O trabalho se destaca pela forma detalhada como eacute analisada a influecircncia

das folgas dos mancais nos seus coeficientes de rigidez proacuteximo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eacute

observado que as frequecircncias naturais reduzem significativamente com o aumento das folgas

Para o modelo do rotor eacute adotada a teoria de vigas de Bernoulli-Euler usado o modelo de

Jeffcott com disco riacutegido

22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor

A anaacutelise da estabilidade de sistemas rotor-mancal pode tambeacutem ser feita atraveacutes do problema

de autovalor Gupta (1974) apresenta uma anaacutelise baseada no problema de autovalores

aplicando equaccedilotildees que consideram o efeito giroscoacutepico amortecido do sistema A formulaccedilatildeo

do problema de autovalor associados a sistemas giroscoacutepicos amortecidos eacute de grande

importacircncia para a determinaccedilatildeo de velocidades criacuteticas e para a anaacutelise de sensibilidade de

paracircmetros em maacutequinas rotativas (PLAUT e HUSEYIN 1972 MEIROVITCH e

RYLAND 1979 LUND 1980 PALAZZOLO et al 1983 RAJAN et al 1986 FARIA e

BARCELLOS 1991 EHRICH 1992 LUND 1994) A equaccedilatildeo do sistema rotor-mancal

flexiacutevel com efeito giroscoacutepico amortecido eacute reescrita na forma de variaacuteveis de estado

(MEIROVITCH1974 MEIROVITCH1980 CHILDS e GRAVISS1982) para a determinaccedilatildeo

dos autovalores complexos

Rao et al (1996) analisam a estabilidade e os autovalores de sistemas rotor-mancal usando a

teacutecnica de elementos finitos e considerando coeficientes distribuiacutedos de forccedila e de

32

amortecimento nos mancais Satildeo consideradas distribuiccedilotildees uniformes e paraboacutelicas para

diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos Os coeficientes distribuiacutedos satildeo obtidos atraveacutes de

uma metodologia que usa o princiacutepio do trabalho virtual (CRAGGS 1993 TAYLOR e

CRAGGS 1994) mas que considera apenas uma distribuiccedilatildeo uniforme ao longo da largura e do

comprimento do mancal Esta consideraccedilatildeo eacute vaacutelida quando o mancal eacute razoavelmente longo

Poreacutem quando eacute curto eacute vaacutelido considerar a distribuiccedilatildeo paraboacutelica (RAO et al1996) Assim

o mesmo princiacutepio do trabalho virtual eacute aplicado desta vez para se obterem as matrizes de

elementos finitos dos coeficientes de forccedila com distribuiccedilatildeo paraboacutelica Estas matrizes satildeo

incluiacutedas nas matrizes do sistema rotor-mancal obtendo-se a equaccedilatildeo de movimento do sistema

em forma matricial

A modelagem do rotor eacute feita usando-se elementos de viga finitos como propostos por Nelson e

McVaugh (1976) incluindo-se o efeito giroscoacutepico e o amortecimento interno Os resultados

satildeo analisados comparando-se os autovalores e frequecircncias naturais do sistema com coeficientes

de rigidez e de amortecimento distribuiacutedos agravequeles obtidos considerando-se os coeficientes de

forccedila concentrados para mancais isotroacutepicos com razatildeo LD=05 e LD=10 Observa-se que

para mancais longos quando os coeficientes de rigidez satildeo baixos (104 a 10

7 Nm) a diferenccedila

entre os resultados para os modelos de coeficientes distribuiacutedos e concentrados eacute despreziacutevel e

entre os modelos de coeficientes distribuiacutedos uniformemente e paraboacutelico tambeacutem eacute pequena

Percebe-se um aumento nas frequecircncias naturais para o modelo de coeficientes distribuiacutedos

somente para valores mais elevados de rigidez Por fim os autores analisam a estabilidade do

sistema rotativo para diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos cujos coeficientes de forccedila satildeo

obtidos de Lund e Thomsen (1978) Conclui-se que as regiotildees de estabilidade mudam entre as

duas formulaccedilotildees O modelo de coeficientes distribuiacutedos fornece regiotildees de estabilidade mais

amplas quando comparado com o modelo de coeficientes concentrados Desta forma o modelo

concentrado eacute mais conservativo do ponto de vista de estabilidade e o modelo distribuiacutedo eacute

mais preciso

Santana (2009) apresenta a anaacutelise da resposta complexa de um sistema rotor-mancais-fundaccedilatildeo

onde estuda a influecircncia do grau de anisotropia dos mancais e da estrutura de suporte na resposta

do modo retroacutegrado de precessatildeo Eacute formulado tambeacutem um problema de autovalores poreacutem

associado agrave anaacutelise modal adaptada para sistemas rotativos (NORDMANN 1982) A anaacutelise dos

modos de vibraccedilatildeo associados ao eixo rotativo e aos mancais de apoio fornece importantes

dados para o desenvolvimento de meacutetodos computacionais de anaacutelise de vibraccedilatildeo teacutecnicas de

33

balanceamento e de monitoramento de maacutequinas de alta rotaccedilatildeo (BUSSE et al 1980 BOEDO e

BOOKER 1997) O mesmo problema pode ainda incluir as propriedades dissipativas do sistema

(MEIROVITCH e RYLAND 1979 PALAZZOLO et al 1983 FARIA e BARCELLOS 1991)

23 Mancais hidrodinacircmicos

A literatura apresenta diversos estudos sobre o caacutelculo dos coeficientes de forccedila nos mancais

hidrodinacircmicos Ocvirk (1952) propocircs a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds para mancais curtos

desprezando o gradiente circunferencial de pressatildeo Pinkus (1987) faz uma revisatildeo histoacuterica da

teoria de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica e da aplicaccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds em tribologia desde

suas origens ateacute o estado atual Lund (1978 1987) faz uma revisatildeo do conceito de coeficientes

dinacircmicos e aplica o meacutetodo de perturbaccedilatildeo infinitesimal em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio

para calcular os coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos Lund

(1987) acrescenta que esta perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelida para ateacute 40

da folga do mancal

Childs (1993) e Vance (1988) apresentam em seus livros diferentes modelos de mancais

hidrodinacircmicos e obtecircm os valores dos seus coeficientes dinacircmicos Os coeficientes satildeo obtidos

a partir de caacutelculos em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo no mancal Rajalingham e Prabhu

(1987) analisam a influecircncia da temperatura nas caracteriacutesticas fiacutesicas dos mancais

hidrodinacircmicos e concluem que a variaccedilatildeo da temperatura do oacuteleo na direccedilatildeo axial pode ser

desprezada sem afetar a precisatildeo dos resultados hidrodinacircmicos para o filme de oacuteleo

Choy et al (1991) calculam os coeficientes de rigidez natildeo-lineares dos mancais para

perturbaccedilotildees de deslocamento em vaacuterios locais em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eles mostram

que para deslocamentos distantes da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a natildeo-linearidade das forccedilas do filme

fluido eacute significante e pode ser modelada por coeficientes de forccedila e de amortecimento de

ordem superior Choy et al (1992) analisam o efeito natildeo-linear no comportamento dinacircmico de

mancais hidrodinacircmicos quando sujeitos a diversas condiccedilotildees operacionais tais como alta e

baixa excentricidade altas velocidades desalinhamento

Zhang e Luo (1991) utilizam teacutecnicas de ajuste de curvas usando dados experimentais da

resposta em frequecircncia para identificaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez e amortecimento de

mancais hidrodinacircmicos Capone et al (1994) propotildeem uma soluccedilatildeo analiacutetica aproximada para

34

a distribuiccedilatildeo de pressatildeo do filme de oacuteleo em um mancal de comprimento finito Satildeo

apresentadas aproximaccedilotildees de primeira e segunda ordem com diversas relaccedilotildees de largura e

diacircmetros sendo que o modelo de segunda ordem mostra uma boa aproximaccedilatildeo em relaccedilatildeo o

modelo de mancal finito calculado numericamente

Qiu e Tieu (1996) calculam os coeficientes dinacircmicos em diferentes valores de perturbaccedilatildeo Eles

concluem que as perturbaccedilotildees nas velocidades e deslocamentos devem estar entre 5 e 4

respectivamente para se garantir uma diferenccedila de 25 entre os valores de coeficientes obtidos

pelos meacutetodos de perturbaccedilatildeo finita e infinita Furukawa et al (1996) estudam os coeficientes de

forccedila nos mancais hidrodinacircmicos e concluem que a natildeo linearidade do filme fluido produz

grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos experimentalmente em especial na

regiatildeo de alta excentricidade Chu et al (1998) analisam a natildeo-linearidade do filme fluido e

observam que os coeficientes lineares dos mancais hidrodinacircmicos modelados satildeo vaacutelidos para

perturbaccedilotildees de deslocamento da ordem de 006

Bachschmid e Vania (2002) observam vibraccedilotildees em uma frequecircncia duas vezes maior que a

rotaccedilatildeo da maacutequina na presenccedila de efeitos natildeo-lineares em mancais hidrodinacircmicos Os autores

destacam a importacircncia de se monitorar o segundo harmocircnico para se diagnosticarem falhas em

turbo-maacutequinas Sawicki e Rao (2004) analisam o caraacuteter natildeo-linear dos coeficientes de forccedila de

mancais hidrodinacircmicos para diferentes nuacutemeros de Sommerfeld (SOMMERFELD 1904) e

razotildees de esbeltez do mancal LD Satildeo apresentadas as diferentes formas de se aplicar o meacutetodo

de perturbaccedilatildeo para a obtenccedilatildeo dos coeficientes de forccedila lineares e natildeo-lineares Os autores

destacam ainda que os coeficientes de forccedila lineares apresentam precisatildeo aceitaacutevel ateacute uma

excentricidade de 04 vezes o valor da folga do mancal (LUND 1987) Hirani (2005) aplica

teacutecnicas de algoritmos geneacuteticos na modelagem de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica para o projeto

otimizado de mancais

Couto (2006) faz um estudo teoacuterico-experimental que investiga o comportamento de mancais

radiais hidrodinacircmicos sujeitos a carregamentos estaacuteticos dinacircmicos e a desalinhamentos Eacute

aplicado o meacutetodo de volumes finitos para a integraccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds que governa o

problema de lubrificaccedilatildeo Faria et al (2006) apresentam um procedimento baseado no meacutetodo

de elementos finitos para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo em mancais radiais ciliacutendricos

hidrodinacircmicos obtidas a partir da equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds Os resultados mostram as

limitaccedilotildees da aplicabilidade da teoria de mancais curtos especialmente quando operam com

35

grandes excentricidades Mostram-se tambeacutem os limites da aplicaccedilatildeo da teoria de mancais

longos (HAMROCK 1994) onde LD=2

Yan et al (2010) apresentam um modelo analiacutetico e um meacutetodo de caacutelculo dos coeficientes de

rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos de sapata moacutevel e fazem uma

comparaccedilatildeo com resultados experimentais da literatura (KOSTRZEWSKY e FLACK 1990)

Seu modelo inclui um rotor riacutegido simeacutetrico apoiado em dois mancais de sapata moacutevel idecircnticos

de cinco sapatas cada Eacute usado o meacutetodo de NewtonndashRaphson para se calcular a posiccedilatildeo de

equiliacutebrio do eixo e das paacutes Apresenta-se tambeacutem um modelo reduzido que se mostra eficiente

para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos mas que natildeo apresenta bons resultados para a anaacutelise

de estabilidade e das frequecircncias naturais amortecidas Observa-se nos resultados que o

momento de ineacutercia das paacutes a velocidade e o fator de preacute-carga tecircm grande influecircncia na

estabilidade do sistema e que a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel pode ser aumentada ao se aumentar o

fator de preacute-carga

24 Sistemas rotativos com elementos adicionais

A anaacutelise de estabilidade de sistemas mancal-rotor eacute bastante variada na literatura especializada

Eacute comum encontrar trabalhos cuja originalidade recai na inclusatildeo de alguns paracircmetros ou

elementos especiacuteficos no conjunto como mancais hiacutebridos mancais de materiais viscoelaacutesticos

acoplamentos selos mecacircnicos

Um trabalho a destacar sobre a anaacutelise de estabilidade do sistema rotor-mancal de mancais

hiacutebridos eacute o de Gomez-Mancilla et al (2005) onde eacute modelado um sistema composto por um

rotor de Jeffcott apoiado em mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos hiacutebridos Satildeo considerados

ambos modelos riacutegido e flexiacutevel de Jeffcott e comparados os niacuteveis de vibraccedilatildeo e a estabilidade

do sistema quando sujeito a diferentes niacuteveis de pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante nos

mancais Os autores mostram como se pode melhorar a estabilidade do sistema com o aumento

da pressatildeo de alimentaccedilatildeo provocando uma reduccedilatildeo no acircngulo de posiccedilatildeo e um aumento da

excentricidade nos sistemas modelados que inclui mancais hidrodinacircmicos longos ciliacutendricos

Este efeito tambeacutem favorece a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema elevando a velocidade

limite de operaccedilatildeo estaacutevel (threshold speed of instability) Os resultados obtidos mostram que o

efeito da pressatildeo de alimentaccedilatildeo nos mancais na estabilidade do sistema eacute consideraacutevel para

36

rotores riacutegidos ou com elevada rigidez Agrave medida em que a rigidez reduz natildeo se percebe muita

variaccedilatildeo na estabilidade com o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo Outro resultado importante

deste trabalho eacute que o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante natildeo eacute interessante

quando o sistema estaacute cruzando uma velocidade criacutetica Apenas em casos particulares eacute possiacutevel

obter alguma reduccedilatildeo na amplitude de vibraccedilatildeo e mesmo assim quando a velocidade de

operaccedilatildeo estiver fora da faixa de velocidades criacuteticas Portanto um sistema de controle ativo de

pressatildeo eacute recomendado para se obter os melhores resultados em funccedilatildeo dos paracircmetros

operacionais do sistema rotativo Comenta-se tambeacutem que outros modelos de mancais como os

eliacutepticos de muacuteltiplos loacutebulos de sapata moacutevel satildeo intrinsecamente mais estaacuteveis do que os

mancais ciliacutendricos analisados no trabalho

A anaacutelise de estabilidade do sistema com mancais de materiais viscoelaacutesticos eacute apresentada em

Espiacutendola e Floody (1999) Saldarriaga (2007) e Bavastri et al(2008) Tapia e Cavalca (2002) e

Tadeo (2003) analisam os efeitos de alguns modelos de acoplamentos flexiacuteveis e riacutegidos

inserindo-os em modelos de elementos finitos do sistema rotativos Al-Hussain (2003) analisa o

efeito do desalinhamento angular na estabilidade de dois rotores riacutegidos ligados por um

acoplamento flexiacutevel O modelo contempla ainda um disco riacutegido em cada rotor que se apoacuteia

em mancais hidrodinacircmicos O autor apresenta as regiotildees de estabilidade do sistema e sua

relaccedilatildeo com a rigidez do acoplamento e com o acircngulo de desalinhamento

Wang et al (2010) fazem uma anaacutelise de um compressor centriacutefugo de alta velocidade com

mancais hidrodinacircmicos a ar com selo mecacircnico de labirinto Eacute usado o modelo de rotor riacutegido

de Jeffcott para modelar o eixo e o disco que representam o compressor aleacutem do modelo de

Muszynska (1986) para as forccedilas do selo

Faria e Miranda (2012) apresentam um procedimento de elementos finitos aplicado na anaacutelise

dos paracircmetros de desempenho de selos a gaacutes Lavainne (2003) e Vincent (2003) fazem uma

anaacutelise determiniacutestica e probabiliacutestica da sensibilidade de desempenho de um compressor agraves

variaccedilotildees geomeacutetricas das suas paacutes Ambos apresentam os resultados em termos de alteraccedilotildees na

eficiecircncia de compressatildeo do equipamento

Lazarus et al (2010) fazem uma anaacutelise dinacircmica da vibraccedilatildeo em maacutequinas rotativas

assimeacutetricas utilizando elementos finitos tridimensionais (3D) baseando-se na teoria modal

Satildeo incluiacutedos no modelo um estator e um acoplamento permitindo uma anaacutelise detalhada da

estabilidade do sistema e sua relaccedilatildeo com os autovalores Os resultados teoacutericos satildeo comparados

37

com mediccedilotildees experimentais realizadas em uma bancada de testes com um rotor assimeacutetrico

apoiado em mancais anisotroacutepicos

25 Mancais eliacutepticos

A literatura apresenta diversos trabalhos sobre modelagem de mancais ciliacutendricos mas haacute

poucos trabalhos que investigam detalhadamente os mancais eliacutepticos (SINGH e GUPTA1982)

As primeiras publicaccedilotildees sobre mancais eliacutepticos que se destacam satildeo Pinkus (1956 1956b)

onde o autor apresenta uma anaacutelise detalhada sobre mancais eliacutepticos incluindo paracircmetros

como capacidade de carga coeficiente de atrito e vazatildeo para diferentes valores de

excentricidade fator de carga e razatildeo LD Outro trabalho importante na eacutepoca foi apresentado

por Wilcock (1961) que analisa vaacuterios tipos de mancais deslocados ortogonalmente incluindo

mancais eliacutepticos Seu trabalho eacute limitado pelo fato de natildeo terem sido considerados os

coeficientes de amortecimento

Sternlicht (1964) apresenta uma anaacutelise de regime permanente para mancais eliacutepticos usando

coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais eliacutepticos com fatores geomeacutetricos

variados Middleton (1973) apresenta diagramas de capacidade de carga acircngulo de atitude e

coeficientes de rigidez e de amortecimento para mancais eliacutepticos com fatores de 06 e LD=05

Singh (1978) faz uma anaacutelise estaacutetica e dinacircmica de mancais eliacutepticos com LD=1 considerando

rotores riacutegidos e flexiacuteveis Kumar et al (1980) apresentam dados detalhados para o projeto de

mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos (dois loacutebulos) Eacute usado o meacutetodo de perturbaccedilatildeo linear para o

caacutelculo dos coeficientes do mancal aplicando-se a equaccedilatildeo de Reynolds para filme fluido com

algumas simplificaccedilotildees nas condiccedilotildees de contorno Satildeo apresentados resultados para os

coeficientes de rigidez e de amortecimento do mancal aleacutem de dados sobre paracircmetro de atrito

de aumento de temperatura e regiatildeo de equiliacutebrio

Singh e Gupta (1982) apresentam um estudo analiacutetico dos efeitos do fator de carga da razatildeo LD

e da flexibilidade do eixo nos limites de estabilidade de mancais eliacutepticos e destacam que os

mancais eliacutepticos satildeo adequados para rotores riacutegidos e moderadamente flexiacuteveis Neste trabalho

os autores aplicam a equaccedilatildeo de Reynolds a cada loacutebulo do mancal eliacuteptico e resolvem a

equaccedilatildeo separadamente por loacutebulo usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas Os resultados satildeo

vaacutelidos para mancais alinhados onde o perfil de pressotildees eacute simeacutetrico Satildeo levados em

38

consideraccedilatildeo todos os coeficientes de forccedila dos mancais isto eacute os coeficientes de rigidez e de

amortecimento incluindo os coeficientes cruzados

Zhang et al (1999) analisam os efeitos da natildeo-linearidade das forccedilas do filme fluido na resposta

desbalanceada de um rotor de Jeffcott apoiado em mancais eliacutepticos Eacute destacado o caraacuteter natildeo-

linear das forccedilas do filme fluido Os autores comparam os resultados da resposta desbalanceada

gerada pela teoria linear e natildeo-linear para avaliar a aplicabilidade da teoria linear Observa-se a

grande influecircncia do desbalanceamento nos resultados comparados mostrando a importacircncia de

se considerar as natildeo-linearidades quando o desbalanceamento do sistema eacute elevado

Nas uacuteltimas deacutecadas tem-se publicado pouco sobre mancais eliacutepticos e os trabalhos recentes que

merecem destaque satildeo comentados a seguir

Shen et al(2006) apresentam um modelo raacutepido e preciso que calcula as forccedilas de um mancal

hidrodinacircmico usando o meacutetodo variacional O modelo analisa o comportamento dinacircmico natildeo-

linear de um rotor riacutegido apoiado em mancais eliacutepticos considerando tanto o rotor balanceado

como o natildeo-balanceado Os autores fazem uma revisatildeo histoacuterica dos trabalhos que investigam

este caraacuteter aperioacutedico e caoacutetico da vibraccedilatildeo em sistemas dinacircmicos de alta rotaccedilatildeo onde se

comenta ainda que os coeficientes dinacircmicos lineares trazem informaccedilotildees de estabilidade

vaacutelidas apenas para rotores balanceados Satildeo destacados os meacutetodos numeacutericos de elementos

finitos e de diferenccedilas finitas como os mais precisos mas ao mesmo tempo os que mais exigem

recursos computacionais e tempo de processamento Desta forma os autores propotildeem um novo

modelo numeacuterico para calcular as forccedilas do filme fluido para investigar a dinacircmica natildeo-linear

de um sistema rotor-mancal O mancal modelado eacute formado por dois loacutebulos de 150deg cada e

considera-se apenas o movimento radial do rotor O novo modelo proposto baseia-se na teoria

variacional (ROHDE e MALLISTER 1975) gerando um problema de minimizaccedilatildeo de energia

o que reduz o problema bidimensional para unidimensional reduzindo consideravelmente o

custo computacional Como as forccedilas do filme fluido satildeo calculadas para cada loacutebulo o meacutetodo

proposto eacute eficiente tanto para mancais ciliacutendricos quanto para mancais de vaacuterios loacutebulos

incluindo os mancais eliacutepticos O meacutetodo eacute vaacutelido natildeo apenas para mancais curtos e longos mas

tambeacutem para mancais finitos Satildeo apresentados resultados numeacutericos e graacuteficos que mostram

oacuterbitas ciclos limites diagramas de bifurcaccedilatildeo (HOLLIS e TAYLOR 1986) e mapas de

Poincareacute

39

Yan-Jun et al(2006) analisam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um rotor apoiado em

mancais hidrodinacircmicos finitos incluindo mancais eliacutepticos Para o caacutelculo dos coeficientes de

forccedila dos mancais usa-se o meacutetodo de elementos finitos com uma abordagem variacional que

permite reduzir o custo computacional e melhorar a exatidatildeo numeacuterica do meacutetodo segundo os

autores Satildeo considerados os efeitos natildeo-lineares das forccedilas produzidas pelo filme fluido e sua

influecircncia na natildeo-linearidade do movimento do sistema Aplica-se o meacutetodo de prediccedilatildeo e

correccedilatildeo juntamente com o meacutetodo de Newton-Raphson para se calcular a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

e as velocidades criacuteticas A limitaccedilatildeo do modelo estaacute na consideraccedilatildeo de eixo riacutegido e sua

modelagem natildeo eacute detalhada pelos autores

Correia (2007) apresenta uma anaacutelise de desempenho de mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos

usando o meacutetodo de elementos finitos Satildeo obtidos os coeficientes de rigidez e de

amortecimento para diversas condiccedilotildees de trabalho aleacutem de obter curvas de caracteriacutesticas de

desempenho estaacutetico e dinacircmico tais como capacidade de carga e coeficientes dinacircmicos de

forccedila em funccedilatildeo de paracircmetros operacionais e do nuacutemero de Sommerfeld O autor destaca que

para um nuacutemero de Sommerfeld alto os mancais ciliacutendricos satildeo inadequados

Raghunandana (2007) propotildee um meacutetodo inverso para se calcular os coeficientes de forccedila e de

amortecimento de mancais eliacutepticos a partir de um banco de dados gerado para uma certa razatildeo

de excentricidade e eacute feito um ajuste de curva para gerar uma funccedilatildeo contiacutenua destes dados Eacute

apresentada a equaccedilatildeo de Reynolds modificada (DIEN e ELROD 1983) que considera a

variaccedilatildeo da viscosidade do fluido em funccedilatildeo da pressatildeo isto eacute fluido natildeo-newtoniano A

equaccedilatildeo eacute adimensionalizada e resolvida numericamente usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas

considerando o regime permanente e condiccedilotildees de contorno simplificadoras

40

3 METODOLOGIA

Nesse capiacutetulo eacute apresentada a metodologia adotada na implementaccedilatildeo do procedimento

computacional que permite obter os resultados do comportamento dinacircmico de sistemas rotor-

mancal hidrodinacircmico Inicialmente apresenta-se a formulaccedilatildeo por elementos finitos do eixo

rotativo utilizando-se a teoria de vigas de Timoshenko Em seguida eacute apresentada a descriccedilatildeo

do problema de mancal hidrodinacircmico radial eliacuteptico e as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo da Teoria da

Lubrificaccedilatildeo que permitem obter a formulaccedilatildeo por elementos finitos dos coeficientes de forccedila

destes mancais Posteriormente eacute descrito o procedimento para se modelar o sistema rotor-

mancal hidrodinacircmico por elementos finitos obtendo-se a equaccedilatildeo do movimento Apresenta-se

o meacutetodo numeacuterico de integraccedilatildeo no tempo adotado para se obter a soluccedilatildeo numeacuterica da

equaccedilatildeo do movimento do sistema Finalmente eacute apresentado um diagrama descrevendo as

principais etapas do procedimento computacional completo

O modelo do sistema rotor-mancal eacute ilustrado esquematicamente na Figura 31 onde observa-se

um eixo circular flexiacutevel apoiado nas extremidades e com um disco massivo acoplado Os

apoios satildeo representados pelos coeficientes de rigidez K e de amortecimento C dos mancais

Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal

Os modelos adotados para o rotor flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e

41

eliacutepticos satildeo baseados em teorias que apresentam algumas hipoacuteteses simplificadoras Estas

hipoacuteteses satildeo listadas a seguir

i) Modelo do Eixo flexiacutevel

natildeo inclui efeitos de torccedilatildeo ou de amortecimento interno

considera o eixo homogecircneo isotroacutepico e inicialmente alinhado

carregamento transversal sem carga axial

desconsiderado o movimento axial das seccedilotildees transversais

ii) Modelo do disco massivo

considera o disco riacutegido e homogecircneo

a linha de centro do disco coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)

iii) Modelo dos mancais hidrodinacircmicos

considera mancais de geometria fixa com perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico

a linha de centro coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)

Filme fluido

- escoamento em regime laminar bidimensional nas direccedilotildees axial e circunferencial

- fluido newtoniano isoteacutermico isoviscoso incompressiacutevel

- desconsiderada a ineacutercia do fluido

iv) Modelo do sistema rotor-mancal

Desconsiderados os efeitos de vibraccedilatildeo provocados por desalinhamento de montagem

folgas roccedilamento rompimento do filme fluido cavitaccedilatildeo

31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel

O modelo do rotor flexiacutevel implementado neste trabalho adota o meacutetodo de elementos finitos

(MEF) atraveacutes de elementos de eixo (NELSON 1980) de Timoshenko Nelson (1980) utiliza a

teoria de vigas de Timoshenko para obter as equaccedilotildees de equiliacutebrio para um eixo circular

flexiacutevel suportado em apoios elaacutesticos considerando o efeito do cisalhamento momento

giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria Os detalhes sobre a teoria de vigas de Euler-Bernoulli Rayleigh

e Timoshenko satildeo apresentados no Anexo A O desenvolvimento da formulaccedilatildeo atraveacutes de

42

elementos finitos eacute apresentado a seguir e as matrizes de elementos finitos obtidas por esta

formulaccedilatildeo satildeo listadas no Anexo C Considere um elemento finito de comprimento l com oito

graus de liberdade (Figura 32)

Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo

A variaacutevel q representa o vetor deslocamento generalizado onde q1 e q2 representam o

movimento de translaccedilatildeo de um noacute do elemento finito nas direccedilotildees dos eixos de coordenadas

retangulares enquanto q3 e q4 representam as rotaccedilotildees em torno dos eixos de coordenadas As

demais componentes satildeo anaacutelogas representando os mesmos movimentos para o noacute oposto

Para representar a translaccedilatildeo e a rotaccedilatildeo de uma seccedilatildeo qualquer do elemento definem-se (VW)

como o deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento onde satildeo incluiacutedas as contribuiccedilotildees

da flexatildeo (Vf Wf) e do cisalhamento (VcWc) Aplicam-se funccedilotildees de interpolaccedilatildeo claacutessicas para

vigas de Timoshenko na flexatildeo (ANEXO B)

onde

43

e as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo i=1234 representam os modos de deslocamentos sendo

que cada funccedilatildeo estaacute associada ao deslocamento unitaacuterio de uma das coordenadas com todas as

demais coordenadas com deslocamento restringido a zero [D] e [E] representam as matrizes das

funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de deslocamentos lineares e de deslocamentos angulares

respectivamente Para se considerar os efeitos de cisalhamento transversal considera-se o eixo

com seccedilatildeo transversal circular e o fator de forma do cisalhamento transversal meacutedio pode ser

determinado pela expressatildeo (COUPER 1966)

onde eacute o coeficiente de Poisson

Aplicando-se o Princiacutepio de Hamilton obteacutem-se as equaccedilotildees do movimento de um elemento

finito do eixo Fazendo-se a primeira variaccedilatildeo funcional

onde T V e representam respectivamente a energia cineacutetica a energia potencial elaacutestica e o

trabalho das forccedilas externas obeacutem-se a relaccedilatildeo

A energia cineacutetica do elemento considera as parcelas de translaccedilatildeo e de rotaccedilatildeo do movimento

onde l eacute o comprimento do elemento M representa a massa por unidade de comprimento Idm eacute o

momento diametral meacutedio de ineacutercia de massa por unidade de comprimento Ip eacute o momento

polar de ineacutercia por unidade de comprimento eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do rotor

A energia de deformaccedilatildeo elaacutestica devido agrave flexatildeo e ao cisalhamento eacute descrita como

44

onde Vf e Wf satildeo as contribuiccedilotildees da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo

transversal do elemento Vc e Wc satildeo as contribuiccedilotildees do cisalhamento neste deslocamento Kx

e Ky satildeo os coeficientes de cisalhamento E e G satildeo os moacutedulos de elasticidade longitudinal e

transversal Iy e Iz satildeo os momentos de ineacutercia de aacuterea A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal O sinal

de apoacutestrofo indica diferenciaccedilatildeo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo

As equaccedilotildees do movimento satildeo obtidas pelo Princiacutepio de Hamilton atraveacutes da relaccedilatildeo

onde

eacute o trabalho virtual das forccedilas externas e Fe eacute o vetor forccedila generalizada

Substituindo-se as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo (ANEXO B) nas expressotildees da energia de

deformaccedilatildeo elaacutestica e de energia cineacutetica do elemento leva agraves matrizes de elementos finitos

(ANEXO C) Uma vez obtidas as matrizes do sistema a equaccedilatildeo do movimento obtida pela

aplicaccedilatildeo do Princiacutepio de Hamilton teraacute a forma

onde [Me] [N

e] [G

e] satildeo as matrizes locais da ineacutercia de translaccedilatildeo rotaccedilatildeo e de efeito

giroscoacutepico respectivamente Para o modelo do rotor flexiacutevel composto pelo eixo flexiacutevel e o

disco massivo riacutegido (Figura 31) basta usar as propriedades geomeacutetricas do disco nas matrizes

de ineacutercia [Me] e [N

e] e de efeito giroscoacutepico [G

e] no elemento correspondente agrave posiccedilatildeo do

disco no rotor

32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico

A Figura 33 apresenta de maneira esquemaacutetica um mancal hidrodinacircmico eliacuteptico e seus

paracircmetros geomeacutetricos

45

Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos

O munhatildeo eacute a parte rotativa do mancal normalmente corresponde ao proacuteprio eixo no trecho

apoiado no mancal O tamanho do mancal eacute definido pelo comprimento L e pelo diacircmetro D O

centro do munhatildeo estaacute na interseccedilatildeo das linhas traccedilo-ponto e o centro do mancal estaacute na

interseccedilatildeo das linhas pontilhadas A excentricidade do mancal eacute definida como a distacircncia entre

o centro do mancal e o centro do munhatildeo representada por e A folga radial do mancal definida

como a diferenccedila entre o raio do mancal e o raio do munhatildeo eacute representada por c (Figura 34) A

razatildeo de excentricidade eacute o adimensional definido como podendo variar de zero a um

O acircngulo de posiccedilatildeo do mancal pode ser calculado pela expressatildeo onde

Fy e Fx satildeo respectivamente as componentes vertical e horizontal da forccedila de reaccedilatildeo F do

mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido O mancal radial de perfil eliacuteptico ou

―mancal eliacuteptico possui um perfil formado por dois arcos de circunferecircncia chamados de

loacutebulos que natildeo satildeo concecircntricos (Figura 34) Nesta figura o centro geomeacutetrico dos loacutebulos

(ponto OL) estaacute posicionado sobre o centro geomeacutetrico do eixo (ponto O) o que a difere

basicamente da Figura 33 onde o centro do eixo estaacute deslocado como ocorre quando o eixo

estaacute girando e se desloca para uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio R representa o raio menor do mancal

Re representa o raio do munhatildeo ou raio do eixo RL representa o raio do loacutebulo do mancal ou

sejao raio de cada loacutebulo que compotildee o mancal eliacuteptico

A preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico indica o grau de ―elipsidade do mancal e eacute dada pela

46

expressatildeo Mp=(Cb ndash c)c O caso particular onde Mp=0 representa o mancal ciliacutendrico

Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico

A Figura 35 mostra o campo de pressatildeo no mancal hidrodinacircmico ciliacutendrico girando no sentido

anti-horaacuterio Percebe-se que as maiores pressotildees satildeo formadas na regiatildeo inferior ligeiramente

deslocadas para a direita para sustentar a carga do eixo representada por W A distacircncia miacutenima

entre o eixo e o mancal eacute representada por ho

Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e STEINHILPER 1978)

47

Na Figura 36 eacute representado o mesmo campo de pressatildeo poreacutem para o mancal de perfil

eliacuteptico Observa-se que haacute a formaccedilatildeo do campo de pressatildeo tambeacutem na metade superior do

mancal que embora tenha um valor relativamente pequeno se comparado com o campo gerado

na parte inferior ajuda no equiliacutebrio hidrodinacircmico (CORREIA 2007) A accedilatildeo dos dois campos

de pressatildeo dos mancais eliacutepticos aumenta a rigidez melhora o amortecimento e reduz o

aquecimento do lubrificante de maneira mais eficiente do que nos mancais ciliacutendricos

(SEHGAL 2010)

Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de CORREIA 2007)

321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo

A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds que descreve o escoamento de um filme fluido incompressiacutevel

isoteacutermico e isoviscoso pode ser escrita no sistema de coordenadas ciliacutendricas da seguinte forma

(HAMROCK 1994)

t

hh

R

U

z

ph

z

ph

R

LLLL )()(

2

1

12

sup3

12

sup3

sup2

1 (31)

onde

48

R = raio do eixo

p = pressatildeo hidrodinacircmica

= massa especiacutefica do lubrificante

h = espessura do filme fluido

= viscosidade absoluta do lubrificante

U = velocidade superficial do eixo (U = ωR)

O domiacutenio do escoamento do filme fluido eacute descrito por 0 le θ le 2π e -L2 le z le L2 A

distribuiccedilatildeo de pressatildeo hidrodinacircmica eacute perioacutedica ao longo da direccedilatildeo circunferencial p(θ z t)=

p(θ + 2π z t) As laterais do mancal estatildeo agrave pressatildeo atmosfeacuterica pa p(θ L2 t)=p(θ -L2t)= pa

A condiccedilatildeo de Meio Sommerfeld eacute utilizada no caacutelculo do campo de pressatildeo do mancal

ciliacutendrico (HAMROCK 1994) onde usa-se somente do intervalo de 0 le θ le π concentrando-se

a anaacutelise da pressatildeo na regiatildeo convergente ou seja natildeo considerando a aacuterea de cavitaccedilatildeo (ou

pressatildeo negativa) No mancal eliacuteptico eacute desconsiderada apenas a regiatildeo de cavitaccedilatildeo

A expressatildeo que representa a espessura do filme fluido ―h eacute dada pela equaccedilatildeo (32) onde c

representa a folga radial ex e ey representam as excentricidades do mancal e Mp a preacute-carga

senMpcsentetech yx )()()cos()( (32)

Para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila do mancal satildeo utilizadas as equaccedilotildees de

lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da anaacutelise de perturbaccedilatildeo do

sistema (LUND1987) A posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo (00

yx ee ) eacute perturbada por movimentos

de pequena amplitude ( yx ee ) com uma frequecircncia de excitaccedilatildeo w (FARIA et al 2006)

Desta forma a espessura do filme eacute dada por

titi

yyxx ehehehehehh 00 )( = x y (33)

onde

0h = espessura do filme estacionaacuterio ou de ordem zero

49

xh = cos( )

yh = sen ( )

= x y

i = 1

Pequenas variaccedilotildees na espessura do filme causam alteraccedilotildees no campo de pressatildeo

hidrodinacircmica Este campo perturbado de pressatildeo hidrodinacircmica pode ser representado pela

equaccedilatildeo (34) se considerarmos uma anaacutelise linear de perturbaccedilatildeo

ti

o

ti

YYXXo epepe)pepe()t(p)t(p (34)

onde

0p = pressatildeo estacionaacuteria campo de pressatildeo de ordem zero

Xp e Yp = campo de pressatildeo de primeira ordem

Substituindo as equaccedilotildees (33) e (34) na equaccedilatildeo (31) obtecircm-se as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de

ordem zero e de primeira ordem conforme representado pelas equaccedilotildees (35) e (36)

respectivamente

)(

2

1

1212sup2

1 00

3

00

3

0 h

R

U

z

ph

z

ph

R

LLL (35)

hih

R

U

z

ph

z

phh

z

phphh

RL

LLLLL )(

2

1

1212

3

1212

3

sup2

13

00

2

0

3

00

2

0

(36)

A equaccedilatildeo (35) eacute a equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds para regime estacionaacuterio Esta equaccedilatildeo

permite a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo hidrodinacircmica bidimensional no interior dos

mancais radiais lubrificados a oacuteleo Natildeo existe soluccedilatildeo analiacutetica em forma fechada para a grande

maioria dos mancais radiais de uso industrial Os coeficientes dinacircmicos dos mancais satildeo

50

obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem via

procedimento de elementos finitos

322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos

As equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem podem ser escritas na forma de

balanccedilo de massa utilizando-se o conceito de fluxo maacutessico Dessa forma a equaccedilatildeo (35) pode

ser reescrita na seguinte forma

(37)

sendo que 00

3

0

212

1hR

ph

Rm L

L representa o fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial

e z

phm L

z0

3

0

12 o fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial

A equaccedilatildeo (36) pode da mesma forma ser reescrita na forma de balanccedilo de fluxo na seguinte

maneira

himz

mR

m Lz111

1

(38)

sendo que os fluxos maacutessicos mostrados na equaccedilatildeo (38) podem ser expressos na seguinte

forma

hRph

R

phh

Rm L

LL

212

1

12

313

00

2

01 (39)

z

ph

z

phhm LL

z

1212

3 3

00

2

01

(310)

323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero

Elementos isoparameacutetricos planos de quatro noacutes satildeo utilizados na discretizaccedilatildeo do domiacutenio do

filme fluido Funccedilotildees de interpolaccedilatildeo bilineares e

j j=1234 satildeo empregadas na descriccedilatildeo do

01

mm

zm

Rz

51

campo de pressatildeo hidrodinacircmica de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito A

Figura 37 ilustra de maneira esquemaacutetica os quatro noacutes no elemento finito usados na

discretizaccedilatildeo do domiacutenio do filme fluido onde a coordenada y representa a direccedilatildeo axial do

mancal e a coordenada indica a direccedilatildeo circunferencial

Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito

Os campos discretos de pressatildeo de ordem zero e de primeira ordem no domiacutenio e de um

elemento finito satildeo escritos na seguinte forma

e

i

e

i

e pp 00 i=1234 (311)

e

i

e

i

e pp i=1234 (σ = xy) (312)

Sobre um elemento finito do domiacutenio e o meacutetodo de Galerkin eacute utilizado para a obtenccedilatildeo da

equaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero A equaccedilatildeo (37) eacute preacute-multiplicada pelas funccedilotildees

de interpolaccedilatildeo e

j e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e

e ee

ee

j

ee

j

ee

j dmdnmdm 0

(313)

onde n

representa o valor normal unitaacuterio direcionado para o lado de fora do contorno e do

52

elemento finito Pode-se escrever que

eR

ez

e

j

z

e

je

j

1 (314)

zz ememm

(315)

A segunda integral do lado direito da equaccedilatildeo (313) pode ser expandida na seguinte forma

ee

e

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i

e

e

j

z

e

j

z

e

i

e

ie

i

e

i

dhpdzzR

h

deR

ez

epz

he

z

Rp

h

R

002

3

0

0

3

00

3

0

2

1

12

1

1212

1

(316)

Entatildeo a equaccedilatildeo (313) pode ser reescrita na forma a seguir

e ee

e

n

e

j

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i dmdhpdzzR

h

2

1

12002

3

0 (317)

onde nm representa o fluxo de lubrificante cruzando a fronteira do elemento finito e

A equaccedilatildeo (317) pode ser representada por um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas que representa a

forma estacionaacuteria da equaccedilatildeo de Reynolds para um elemento finito e

na seguinte forma

e

j

e

j

e

i

e

ji qfPK 0 (318)

onde a matriz fluiacutedica e

jiK pode ser obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo baseado no

meacutetodo da quadratura de Gauss (BATHE 1982) utilizando-se quatro pontos de integraccedilatildeo Essa

matriz eacute dada pela seguinte expressatildeo

53

e

e

je

i

e

je

ie

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0

O vetor de fluxo no domiacutenio de um elemento finito eacute determinado por

e

e

e

je

j dhf 02

O balanccedilo de fluxo atraveacutes do contorno do domiacutenio eacute dado por

e

e

n

e

j

e

j dmq

O contorno de um elemento finito qualquer eacute representado por e

e o fluxo de lubrificante de

ordem zero atraveacutes dessa fronteira por nm

324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem

O meacutetodo de Galerkin eacute empregado novamente para a obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo de elementos finitos

para determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo perturbada de primeira ordem A equaccedilatildeo (38) eacute preacute-

multiplicada pelas funccedilotildees de interpolaccedilatildeo e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e do

elemento finito produzindo a seguinte equaccedilatildeo integral

e e ee

ee

j

ee

j

ej

e

ee

j dhidmdnmdm

111 (319)

O segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (319) pode ser reescrito na forma seguinte

e

e e

e

e

je

i

e

je

i

e

jo

ejz

e

jee

j

dR

hRP

R

hp

R

hh

dz

mR

mdm

2sup2

1

12sup2

1

12

3

1

3

0

2

0

111

54

e

ee

i

e

je

i

e

jdP

zz

h

zz

phh

1212

3 3

00

2

0 (320)

A equaccedilatildeo (320) pode entatildeo ser reescrita na forma de um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas na

seguinte maneira

ee

j

e

j

e

j

e

j

en

e

j

e

i

e

e

je

i

e

je

i

dhihzz

pp

R

hh

dmPdzzR

h

e

ee

2sup2

1

12

3

sup2

1

12

00

2

0

1

3

0

(321)

Para facilitar a representaccedilatildeo da equaccedilatildeo algeacutebrica (321) pode-se reescrevecirc-la na forma

matricial como segue

e

j

e

j

e

i

e

ji fqpK yx (322)

A matriz fluiacutedica de primeira ordem o balanccedilo do fluxo atraveacutes do contorno e o vetor de fluxo

no domiacutenio satildeo determinados respectivamente por

e

e

je

i

e

j

e

je

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0 (3221)

e

en

e

j

e

j dmq (3222)

e

ee

j

e

j

e

j

e

je

j dhihzz

pp

R

hhf

2sup2

1

12

3 00

2

0 (3223)

O fluxo de lubrificante de primeira ordem atraveacutes do contorno e de um elemento finito eacute

representado por nm

O sistema de equaccedilotildees algeacutebricas complexas dado pelas equaccedilotildees (322) permite determinar o

55

campo complexo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem Os coeficientes do vetor

carregamento de primeira ordem e

jf dependem do campo de pressatildeo de ordem zero Por

conseguinte primeiro resolve-se o sistema de equaccedilotildees de ordem zero apresentada na equaccedilatildeo

(318) para a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo estacionaacuteria 0p Entatildeo determina-se o campo

de pressatildeo perturbada por meio do sistema de equaccedilotildees dado pelas equaccedilotildees (322)

As caracteriacutesticas estaacuteticas de desempenho de mancais tais como capacidade de carga torque de

atrito e vazatildeo de oacuteleo satildeo determinadas a partir da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de ordem zero Jaacute as

caracteriacutesticas dinacircmicas de desempenho tais como os coeficientes de rigidez e de

amortecimento satildeo estimadas a partir da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de primeira ordem

As equaccedilotildees de elementos finitos satildeo superpostas para todo o domiacutenio do filme fluido Ω

325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos

A soluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees algeacutebricas lineares eacute obtida por meio de um procedimento

baseado no meacutetodo da decomposiccedilatildeo LU (CHAPRA e CANALE 2002) Um programa

computacional foi desenvolvido especialmente para determinar a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de ordem

zero e de primeira ordem utilizando o meacutetodo de elementos finitos (FARIA et al 2006) As

forccedilas de reaccedilatildeo do filme lubrificante podem entatildeo ser estimadas a partir da seguinte expressatildeo

na qual pa representa a pressatildeo atmosfeacuterica

L

aoodzdRh)pp(F

0

2

0

= XY (323)

A determinaccedilatildeo do campo perturbado ou de primeira ordem de pressatildeo

hidrodinacircmica para o mancal eacute realizada por meio do sistema de equaccedilotildees complexas de

primeira ordem obtido pela superposiccedilatildeo para todo o domiacutenio do fluido das equaccedilotildees dadas

pelas equaccedilotildees (322) A integraccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem sobre o domiacutenio do

filme fluido leva agrave estimativa das impedacircncias complexas YXoZ Os coeficientes

linearizados de rigidez YXK e de amortecimento YXC associados agrave accedilatildeo

hidrodinacircmica do filme fluido podem ser calculados na seguinte forma

56

L

dzdRhpCiKZ0

2

0

YX (324)

ou

dzdRhphp

hphp

CC

CCi

KK

KK L

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

0

2

0

(325)

Estes coeficientes de forccedila [ K ] e [C ] correspondem agrave resistecircncia que o mancal oferece ao

deslocamento e agrave velocidade respectivamente Eles seratildeo sobrepostos agraves matrizes de elementos

finitos do eixo nas linhas e colunas correspondentes aos dois primeiros graus de liberdade que

satildeo translacionais

33 O Sistema Rotor-Mancal

O sistema rotor-mancal eacute composto por um eixo flexiacutevel um disco massivo e mancais Neste

trabalho o sistema foi modelado atraveacutes do meacutetodo de elementos finitos (MEF) como descrito a

seguir aplicando modelos distintos para o eixo flexiacutevel e para os mancais O disco massivo eacute

considerado riacutegido e portanto inserido no modelo do eixo simplesmente atraveacutes de suas

propriedades fiacutesicas (massa efeito giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria)

Para a modelagem do deslocamento lateral dos eixos flexiacuteveis satildeo utilizados elementos de eixo

com dois noacutes e com oito graus de liberdade A influecircncia dos mancais nos coeficientes de

rigidez e amortecimento do rotor tambeacutem eacute considerada na modelagem A equaccedilatildeo global do

movimento para o sistema rotor-mancal eacute descrita como

(326)

onde [M] representa a matriz global de ineacutercia translacional [N] eacute a matriz global de ineacutercia

rotatoacuteria [K] a matriz de rigidez do eixo e [C] a matriz generalizada de amortecimento que eacute

expressa como [G]]C[]C[ 1 onde [G] eacute a matriz de efeito giroscoacutepico do eixo Estas

matrizes satildeo apresentadas detalhadamente no Anexo C A matriz [C1] eacute a matriz global com os

coeficientes de amortecimento dos mancais lanccedilados nos devidos noacutes onde os mancais estatildeo

57

posicionados De maneira anaacuteloga os coeficientes de rigidez dos mancais satildeo somados agrave matriz

[K] e a massa desbalanceada eacute somada na matriz [M] Os vetores de aceleraccedilatildeo velocidade e

deslocamento satildeo dados respectivamente por UUU e Ω eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do

eixo (rads)

Cada noacute possui 4 graus de liberdade onde o deslocamento do i-eacutesimo elemento eacute

representado pelo vetor Ui composto pelas seguintes componentes

i

i

i

i

i

x

y

U onde

xeixo do tornoem rotaccedilatildeo

y eixo do tornoem rotaccedilatildeo

verticaltodeslocamen

horizontal todeslocamen

i

i

i

i

x

y

A Figura 38 apresenta simbolicamente estes 4 graus de liberdade atraveacutes dos movimentos de

translaccedilatildeo (deslocamento) e de rotaccedilatildeo nos eixos xy

Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade

A excitaccedilatildeo devida agrave massa desbalanceada do rotor eacute representada pelo vetor R na Eq (326)

Um disco rotativo riacutegido desbalanceado eacute montado em uma posiccedilatildeo axial preacute-determinada do

eixo permitindo a aplicaccedilatildeo de carga Um fasor rotatoacuterio com amplitude de F0 = mdud Ωsup2

representa a carga da massa desbalanceada onde md eacute a massa desbalanceada (kg) e ud eacute a

excentricidade da massa desbalanceada (m)

As seccedilotildees a seguir apresentam as formulaccedilotildees que permitem obter as matrizes da equaccedilatildeo

(326) que posteriormente seraacute integrada numericamente pelo meacutetodo de Newmark (BATHE

1982)

58

34 Diagrama do Procedimento Computacional

O procedimento computacional proposto neste trabalho foi desenvolvido em ambiente Matlabreg

produzido pela The MathWorkscopy e suas principais etapas satildeo apresentadas na Figura 39

Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional

Na etapa 1 satildeo registrados os paracircmetros fiacutesicos e geomeacutetricos do sistema aleacutem dos paracircmetros

dos meacutetodos numeacutericos (nuacutemero de noacutes da malha tempo de integraccedilatildeo incremento no tempo

rotaccedilatildeo etc)

Na etapa 2 satildeo calculadas as matrizes de elementos finitos do eixo usando-se os dados

4) Montagem das matrizes de

elementos finitos

dos mancais

3) Caacutelculo dos coeficientes de forccedila

dos mancais pelo MEF

2) Caacutelculo das

matrizes de

elementos

finitos do rotor

5) Superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos

7) Integraccedilatildeo numeacuterica da equaccedilatildeo do movimento

6) Equaccedilatildeo do movimento

1) Entrada de Dados

9) Saiacuteda de resultados

8) Seleccedilatildeo dos dados de saiacuteda

59

registrados na etapa 1 atraveacutes das equaccedilotildees descritas no Anexo C Como o disco massivo eacute

considerado riacutegido e portanto soacute possui os elementos das matrizes de massa de ineacutercia e de

momento giroscoacutepico estas matrizes satildeo calculadas separadamente e sobrepostas com as do

eixo nos pontos onde o disco massivo estaacute posicionado O meacutetodo permite que o disco esteja

posicionado em qualquer noacute da malha do eixo

Na etapa 3 satildeo calculados os coeficientes de forccedila dos mancais baseando-se na sua posiccedilatildeo de

equiliacutebrio estaacutetico Esta posiccedilatildeo eacute encontrada pelo MEF implementado que calcula a forccedila

resultante da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme-fluido para que ela seja igual agrave carga estaacutetica que o

rotor aplica em cada mancal Uma vez encontrado o ponto de equiliacutebrio estaacutetico satildeo calculados

os coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais conforme Eq(325) Cabe ressaltar

que o caacutelculo destes coeficientes natildeo usa as teorias simplistas de mancais curtos ou longos e

nem faz simplificaccedilotildees quanto aos coeficientes cruzados

Na etapa 4 os resultados encontrados na etapa 3 satildeo registrados nas matrizes de elementos

finitos dos mancais que satildeo as matrizes de rigidez e de amortecimento

Em seguida na etapa 5 eacute feita a superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos do rotor e dos

mancais com os resultados obtidos nas etapas 2 3 e 4 O meacutetodo permite que os mancais

estejam posicionados em qualquer noacute da malha do eixo Esta superposiccedilatildeo eacute feita apenas com as

linhas e colunas correspondentes aos deslocamentos translacionais ou seja natildeo satildeo

considerados efeitos de rigidez ou de amortecimento rotacionais no modelo dos mancais

hidrodinacircmicos

Uma vez montadas as matrizes segue-se para as etapas 6 e 7 onde a equaccedilatildeo do movimento eacute

estabelecida em formato matricial conforme Eq(326) e integrada numericamente pelo Meacutetodo

de Newmark descrito no Anexo D

Na etapa 8 satildeo registrados os dados que seratildeo usados para a anaacutelise do sistema Na verdade esta

etapa estaacute inserida no algoritmo de Newmark dentro das iteraccedilotildees no tempo para que sejam

registrados os dados de interesse a cada iteraccedilatildeo no tempo Os dados normalmente selecionados

satildeo extraiacutedos do vetor U (Eq326) que registra todos os deslocamentos laterais e rotaccedilotildees

dos pontos da malha do eixo ao longo do tempo

Finalmente na etapa 9 satildeo geradas as saiacutedas de resultados Dependendo do tipo de anaacutelise

desejada esta saiacuteda pode passar por outro caacutelculo numeacuterico como eacute feito no caso da geraccedilatildeo do

espectro de frequecircncia onde eacute usado o FFT (Fast Fourier Transform) Os resultados numeacutericos

60

satildeo exibidos na forma de arquivo de dados e tambeacutem na forma graacutefica atraveacutes de espectros de

frequecircncia formas de onda curvas de deflexatildeo curva de resposta desbalanceada ou atraveacutes de

uma animaccedilatildeo tridimensional exibindo a deflexatildeo do rotor ao longo do tempo

Cabe ressaltar que para o caacutelculo da resposta desbalanceada eacute necessaacuterio fazer a integraccedilatildeo no

tempo para vaacuterias rotaccedilotildees do eixo Assim para cada rotaccedilatildeo eacute registrada a maacutexima amplitude

de vibraccedilatildeo do eixo em um determinado ponto Normalmente eacute escolhido o elemento onde estaacute

um dos mancais para este ponto Em seguida eacute gerado o graacutefico da resposta desbalanceada que

permite identificar em qual rotaccedilatildeo o sistema apresentou a maacutexima amplitude quando excitado

pela forccedila de desbalanceamento Este eacute o conceito de velocidade criacutetica (VC)

61

4 RESULTADOS E ANAacuteLISE

Os resultados do procedimento computacional proposto satildeo validados com resultados

apresentados na literatura especializada e com dados experimentais Satildeo apresentados

inicialmente alguns exemplos de validaccedilatildeo seguindo-se para a anaacutelise dos coeficientes de forccedila

dos mancais eliacutepticos e da resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal

41 Exemplos de validaccedilatildeo

A validaccedilatildeo do procedimento computacional eacute realizada atraveacutes de alguns exemplos

selecionados na literatura especializada apresentando modelos de rotores flexiacuteveis apoiados em

diferentes tipos de mancais Eacute incluiacuteda uma comparaccedilatildeo dos resultados numeacutericos com

resultados experimentais coletados em uma bancada de testes horizontal composta por um rotor

flexiacutevel apoiado em mancais hidrodinacircmicos

411 Rotor com disco em balanccedilo

Um exemplo de rotor flexiacutevel (SINOU 2005) eacute escolhido para validar os resultados do

procedimento computacional O rotor eacute composto por um eixo flexiacutevel dois mancais e um disco

massivo em balanccedilo (Figura 41)

Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005)

62

Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005)

Eixo

Comprimento

Diacircmetro

Moacutedulo de Young

Massa especiacutefica

170m

40mm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa

Diacircmetro

Espessura

20 kg

400 mm

20 mm

Mancais

Rigidez Translacional

Rigidez Rotacional

Amortecimento

Kxx = 378 MNm

Kxy = 0 MNm

Kyx = 0 MNm

Kyy = 378 MNm

Kff= 80x104

Nmrad

KQQ = 80x104

Nmrad

Cxx = 0 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 0 Nsm

Satildeo calculadas a primeira frequecircncia natural (FN1) e a segunda frequecircncia natural (FN2) para o

rotor de Sinou (2005) aplicando-se o procedimento computacional proposto para se avaliar a

influecircncia do tamanho da malha de elementos finitos no caacutelculo destas frequecircncias naturais Os

valores obtidos para FN1 e FN2 com diferentes malhas satildeo mostrados na Figura 42

Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o nuacutemero de

elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a 10rpm

Constata-se que a variaccedilatildeo dos valores de FN1 e de FN2 fica abaixo de 2 para uma malha de

80 elementos Assim adota-se uma malha de 80 elementos finitos para este exemplo

63

A integraccedilatildeo das equaccedilotildees do movimento eacute feita pelo meacutetodo de Newmark (ANEXO D) Nesta

implementaccedilatildeo satildeo adotados os paracircmetros que garantem a convergecircncia do meacutetodo conforme

descrito no Anexo D Poreacutem eacute importante considerar que agrave medida que se reduz o incremento

no tempo usado na integraccedilatildeo numeacuterica mais exatos satildeo os resultados por se tornarem mais

convergentes Assim apresenta-se na Figura 43 a anaacutelise desta convergecircncia em funccedilatildeo do

incremento no tempo A curva contiacutenua representa a primeira velocidade criacutetica progressiva

(FWD1) e a curva tracejada representa a primeira velocidade criacutetica regressiva (BKWD1)

Observa-se que as velocidades criacuteticas convergem suficientemente para um incremento no

tempo de aproximadamente 50x10-4

s onde a variaccedilatildeo relativa eacute menor que 1 Este valor eacute

adotado nos demais resultados calculados para este exemplo

Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1)

e regressiva (BKWD1) versus incremento no tempo

A Figura 44 apresenta o espectro de frequecircncia obtido pelo MEF com o rotor a 10 rpm Na

Tabela 42 satildeo comparados os valores da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 e FN2)

calculadas por Sinou (2005) com os valores obtidos pelo MEF aqui proposto e observa-se que

o desvio maacuteximo eacute menor que 3 Os valores apresentados por Sinou(2005) foram obtidos

usando uma malha de 184 elementos de viga de Timoshenko

64

Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm

Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm

Sinou(2005) MEF Erro

relativo ()

FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27

FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16

As frequecircncias naturais do rotor em balanccedilo satildeo calculadas pelo MEF proposto tambeacutem para

outros valores de rotaccedilatildeo Na Figura 45 eacute ilustrado o diagrama de Campbell obtido pelo MEF e

comparado com os valores apresentados por Sinou (2005)

Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por Sinou(2005)

65

O efeito giroscoacutepico faz com que fiquem niacutetidas as frequecircncias de precessatildeo regressiva

(backward) e progressiva (forward) Estas frequecircncias satildeo representadas na Figura 45 seguidas

das siglas ―BKWD e ―FWD respectivamente A linha cheia e a traccedilo-ponto representam os

resultados obtidos pelo MEF proposto neste trabalho enquanto os pontos identificados por

marcadores satildeo os resultados apresentados por Sinou(2005) A linha tracejada representa as

frequecircncias siacutencronas (syncr) que permitem identificar as velocidades criacuteticas na sua interseccedilatildeo

com as curvas das frequecircncias naturais As duas primeiras velocidades criacuteticas foram obtidas

atraveacutes do graacutefico e comparadas na Tabela 43 com aquelas calculadas por Sinou(2005)

Observa-se um erro relativo menor que 5 nesta comparaccedilatildeo feita para fins de validaccedilatildeo

Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica


relativo()

BKWD 2225 rpm 2210 rpm -1

FWD 2580 rpm 2680 rpm 4

As diferenccedilas entre os resultados do MEF proposto para os resultados numeacutericos de Sinou se

devem principalmente ao nuacutemero de elementos finitos usados O modelo de Sinou usa 184

elementos enquanto neste trabalho foram adotados 80 elementos Outros erros relativos podem

ter sido causados por pequenas diferenccedilas geomeacutetricas entre os dois modelos em funccedilatildeo de

alguma informaccedilatildeo que natildeo tenha sido detalhada no trabalho de Sinou

Cabe ressaltar que este exemplo de validaccedilatildeo se aplica ao MEF do rotor e ao procedimento de

superposiccedilatildeo dos coeficientes de forccedila dos mancais Poreacutem o modelo de Sinou usa apenas dois

coeficientes de forccedila nos apoios (rigidez agrave rotaccedilatildeo) e natildeo considera mancais hidrodinacircmicos

Para a validaccedilatildeo dos modelos de mancais seratildeo apresentados outros exemplos

412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro

Um segundo exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado atraveacutes do modelo de rotor (HONG e PARK

1999) composto por um eixo com dois diacircmetros diferentes como mostrado na Figura 46 Na

primeira metade o eixo tem 25cm de diacircmetro e na outra metade tem 40cm de diacircmetro

66

Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999)

O eixo eacute apoiado pelas extremidades por mancais idecircnticos e no centro do eixo haacute um disco

massivo Os paracircmetros do modelo satildeo apresentados na Tabela 44

Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999)

Eixo

Comprimento

Diacircmetro (trecho 1)




120m

25cm

40cm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa

Momento polar de ineacutercia

Momento diametral de ineacutercia

20 kg

0163 kgm2

0085 kgm2

Mancais

Rigidez

Amortecimento

Kxx = 20 MNm

Kxy = -15 MNm

Kyx = -15 MNm

Kyy = 25 MNm

Cxx = 60 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 70 Nsm

Eacute feita uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais e tambeacutem apresentada uma anaacutelise da

forma de onda obtida pela integraccedilatildeo numeacuterica que permite observar o fenocircmeno de batimento

Satildeo apresentados os conceitos baacutesicos do fenocircmeno e feita a comparaccedilatildeo entre as frequecircncias

naturais obtidas atraveacutes do espectro de frequecircncia e a frequecircncia de batimento observada na

forma de onda

Inicialmente satildeo validadas as frequecircncias naturais atraveacutes da observaccedilatildeo dos picos no espectro

como pode ser visto na Figura 47 Satildeo destacados os dois picos (808 rpm 848 rpm) relativos agrave

primeira frequecircncia natural regressiva (backward) e progressiva (forward) respectivamente

com o rotor operando a 6000rpm

67

Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999) operando a 6000rpm

Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF satildeo comparados com os da literatura (HONG e

PARK 1999) na Tabela 45 onde pode-se observar um erro relativo maacuteximo de 2


o rotor de Hong e Park (1999)

Hong e Park

(1999)

MEF Erro

relativo ()

Backward (regressiva) 804 rpm 808 rpm 05

Forward (progressiva) 865 rpm 848 rpm -20

Em seguida eacute feita a anaacutelise da forma de onda obtida apoacutes a integraccedilatildeo no tempo da equaccedilatildeo do

movimento pelo Meacutetodo de Newmark Observa-se pela forma de onda (Figura 48) que existe

um padratildeo de flutuaccedilatildeo do sinal destacado pela linha tracejada e pelo sombreamento Este

padratildeo de flutuaccedilatildeo eacute semelhante ao fenocircmeno de batimento da teoria de interferecircncia de ondas

que ocorre quando haacute duas frequecircncias de vibraccedilatildeo proacuteximas O fenocircmeno natildeo foi investigado

profundamente neste trabalho mas eacute destacado como um exemplo de validaccedilatildeo onde foi

possiacutevel encontrar frequecircncias naturais bem proacuteximas agraves apresentadas na literatura (HONG e

68

PARK 1999) e ainda estabelecer uma relaccedilatildeo entre o padratildeo de flutuaccedilatildeo da forma de onda

com as frequecircncias registradas no espectro

Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999)

Uma vez identificado um ciclo completo do padratildeo de flutuaccedilatildeo destacado na Figura 48 pela

linha tracejada eacute possiacutevel obter os instantes de tempo inicial e final deste ciclo 275s e 570s

respectivamente Este intervalo corresponde a um periacuteodo de 295s que equivale a uma

frequecircncia de 0339Hz = 203rpm

Este padratildeo de flutuaccedilatildeo pode ser explicado pelo fenocircmeno de batimento que estabelece que

quando duas ondas com frequecircncias muito proacuteximas (w1 w2) interferem uma na outra

flutuaccedilotildees de batimento satildeo percebidas na forma de onda e a frequecircncia de batimento (wb) eacute

dada por

Observando-se novamente o espectro de frequecircncia na Figura 47 pode-se calcular a frequecircncia

de batimento (wb) esperada para este sistema atraveacutes das frequecircncia natural regressiva

(backward) e progressiva (forward)

69

Portanto confirma-se que o padratildeo de flutuaccedilatildeo observado na forma de onda pode ser associado

ao fenocircmeno de batimento causado pelas duas frequecircncias naturais proacuteximas identificadas no

espectro Estes dois resultados satildeo apresentados na Tabela 46

Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e Park(1999)

Frequecircncia obtida

pela forma de onda


pelo espectro

203 rpm 200 rpm

Este fenocircmeno de batimento eacute tambeacutem observado quando o rotor opera em uma rotaccedilatildeo proacutexima

de uma frequecircncia natural De maneira semelhante se for observado o padratildeo de flutuaccedilatildeo na

forma de onda que varia com a rotaccedilatildeo do rotor eacute possiacutevel inferir que o rotor estaacute se

aproximando ou se afastando de uma frequecircncia natural O fenocircmeno de batimento no sistema

rotor-mancal merece uma investigaccedilatildeo mais profunda que natildeo estaacute no escopo do presente

trabalho

413 Rotor de uma bancada de testes

Um terceiro exemplo de validaccedilatildeo consiste na comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais estimadas

pelo MEF com os valores experimentais coletados em uma bancada de testes montada no Grupo

de Dinacircmica de Rotores da UFMG cujos dados podem ser encontrados em Machado (2006) e

Miranda et al (2005) O rotor eacute composto por um eixo ciliacutendrico horizontal apoiado em mancais

hidrodinacircmicos e com um disco ciliacutendrico desbalanceado montado no eixo como ilustrado

esquematicamente na Figura 49 com medidas em miliacutemetros

Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes

O disco possui furos rosqueados ao longo de sua periferia que permitem incluir pequenas massas

70

que provocam o desbalanceamento no sistema O rotor eacute acionado por um sistema de polias e

correia e um motor eleacutetrico controlado por um inversor de frequecircncia A Tabela 47 apresenta os

paracircmetros do rotor da bancada de testes

Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes

Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade

Leixo comprimento do eixo 030 m

D diacircmetro do eixo 0015 m

L comprimento dos mancais 0012 m

c folga do mancal 345 x 10-6

m viscosidade do lubrificante 25 x 10

-3 Pamiddots

massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3

E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa

coeficiente de Poisson do eixo 03 -

massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3

Esta anaacutelise tem como objetivo validar os modelos de elementos finitos propostos para o eixo

flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos atraveacutes de resultados experimentais A anaacutelise da

convergecircncia da malha de elementos finitos para o modelo do eixo eacute realizada de maneira

semelhante agrave apresentada na Figura 42 obtendo-se tambeacutem um nuacutemero de 80 elementos para

este exemplo

Um procedimento de anaacutelise de sensibilidade de malha eacute tambeacutem utilizado para avaliar a

dependecircncia dos paracircmetros de desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha Neste

procedimento a razatildeo entre o nuacutemero de elementos finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute

mantida constante Esta razatildeo depende da razatildeo de esbeltez do mancal (LD) e deve ser mantida

para se garantir a variaccedilatildeo uniforme do tamanho da malha Assim para uma razatildeo LD de 08

como no exemplo analisado a relaccedilatildeo entre o nuacutemero de noacutes circunferenciais e o nuacutemero de noacutes

axiais deve ser 480 Estabelecidos estes paracircmetros satildeo gerados os coeficientes de forccedila

para a rotaccedilatildeo de 3200rpm no ponto de equiliacutebrio estaacutetico do mancal usando-se inicialmente

uma malha bem refinada (1660 elementos) conforme mostrado na uacuteltima linha da Tabela 48

Satildeo entatildeo reduzidos os nuacutemeros de elementos da malha e registrados os erros relativos obtidos

na forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e no coeficiente de rigidez cruzada (Kxy) Para fins de

comparaccedilatildeo os erros relativos satildeo calculados em moacutedulo conforme mostrado na Figura 410

71

Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais

Noacutes circunferenciais

Noacutes axiais Elementos

Kxy

(MNm) Fx (N)

Desvio

Kxy Desvio

Fx

20 5 76 3926 5752 48 475

36 9 280 4122 6039 06 058

44 11 430 4146 6074 03 030

52 13 612 4158 6092 02 020

60 15 826 4166 6104 01 011

68 17 1072 4171 6111 01 008

76 19 1350 4174 6116 01 007

84 21 1660 4177 6120

Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no caacutelculo dos

paracircmetros de desempenho Fx e Kxy

Pela anaacutelise de sensibilidade realizada neste terceiro exemplo constata-se que 280 elementos

finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com

menos de 1 de erro relativo conforme Tabela 48

Uma vez definidas as malhas de elementos finitos satildeo realizadas as simulaccedilotildees e a integraccedilatildeo

numeacuterica no tempo Com os resultados da integraccedilatildeo satildeo gerados os espectros de frequecircncia

numeacutericos Os espectros de frequecircncia experimentais satildeo obtidos em diferentes velocidades de

rotaccedilatildeo do eixo atraveacutes de testes de batida (bump test) Satildeo afixados acelerocircmetros no topo dos

mancais e gerados os espectros de frequecircncia Na Figura 411 observa-se o espectro de

72

frequecircncia gerado a partir do teste de batida coletado no mancal 1 A amplitude indicada

representa o valor RMS da aceleraccedilatildeo Observam-se dois picos em frequecircncias de

aproximadamente 83 Hz (4980 rpm) e 110 Hz (6600 rpm) que correspondem agraves frequecircncias

naturais do sistema

Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida

Para se obter estas frequecircncias naturais pelo meacutetodo de elementos finitos proposto satildeo

realizadas duas simulaccedilotildees Uma com o rotor operando a 750rpm (Figura 412) e outra a

3200rpm (Figura 413)

Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm

Observa-se na Figura 412 o pico de 750rpm relativo agrave excitaccedilatildeo harmocircnica da massa

desbalanceada e um pico a aproximadamente 4950 rpm (825 Hz) que corresponde agravequele

73

identificado no espectro obtido experimentalmente no teste de batida

Na Figura 413 eacute niacutetido o pico a 6650rpm (111Hz) tambeacutem presente no espectro do resultado

experimental O pico de 3200 da Figura 413 eacute da excitaccedilatildeo harmocircnica


A Tabela 49 apresenta a comparaccedilatildeo entre estes valores onde observa-se um erro relativo de

aproximadamente 1 dos dados numeacutericos em relaccedilatildeo aos dados experimentais

Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente

pelo teste de batida (bump test)

Experimental MEF Erro relativo

4980 rpm 4950 rpm -1

6600 rpm 6650rpm 08

Esta faixa de erro estaacute abaixo da resoluccedilatildeo dos graacuteficos e existem outros erros associados aos

dados apresentados devido agraves incertezas geomeacutetricas do rotor da bancada de testes

Uma segunda mediccedilatildeo experimental eacute realizada para este mesmo sistema fixando-se a rotaccedilatildeo

do eixo em 8900rpm Os resultados experimentais e numeacutericos da vibraccedilatildeo do mancal 2 satildeo

processados e gerados os espectros de frequecircncia a seguir A Figura 414 apresenta o espectro de

frequecircncia experimental para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo destacadas algumas frequecircncias

naturais excitadas a esta rotaccedilatildeo

74

Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando a 8900rpm

A Figura 415 apresenta o espectro de frequecircncia numeacuterico para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo

destacados alguns dos picos que correspondem agraves mesmas frequecircncias naturais observadas no

resultado experimental A amplitude exibida no graacutefico estaacute na forma adimensional que eacute a

razatildeo entre a amplitude de deslocamento dividida pela folga do mancal

Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada operando a 8900rpm

A comparaccedilatildeo entre estas frequecircncias eacute apresentada na Tabela 410 onde se observa um erro

relativo de menos de 3 para as prediccedilotildees das frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos valores

75

experimentais Nem todas as frequecircncias apresentadas no espectro experimental satildeo observadas

no resultado numeacuterico em funccedilatildeo do modelo computacional natildeo considerar alguns efeitos tais

como desalinhamento incertezas geomeacutetricas dos mancais ruiacutedos provenientes do motor

eleacutetrico e outros O pico de 17800rpm da Figura 414 por exemplo representa o segundo

harmocircnico da frequecircncia de rotaccedilatildeo do rotor que corresponde ao sinal de desalinhamento

paralelo (BERRY 1994)


para o rotor da bancada operando a 8900rpm


8890 rpm 8850 rpm -05

26800 rpm 26200 rpm -22

45600 rpm 44400 rpm -26

414 Segundo rotor de uma bancada de testes

Um quarto exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado (MACHADO 2006) para avaliar o

procedimento computacional implementado neste trabalho O rotor eacute semelhante ao anterior

ilustrado na Figura 49 poreacutem os mancais satildeo diferentes Satildeo mancais hidrodinacircmicos

ciliacutendricos cujas caracteriacutesticas satildeo apresentadas na Tabela 411

Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2





d diacircmetro do mancal 0015 m



-3 Pamiddots





No espectro de frequecircncia computacional apresentado na Figura 416 satildeo destacadas as

frequecircncias naturais excitadas quando o rotor opera a 3200rpm

76

Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4 operando a 3200rpm

Estas frequecircncias satildeo comparadas com os valores obtidos experimentalmente para o rotor

descrito por Machado (2006) exibidas na Figura 417

Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006)

A comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais dos resultados numeacutericos e experimentais eacute apresentada

na Tabela 412 onde observa-se que os resultados numeacutericos desviam menos de 2 dos

experimentais A uacutenica exceccedilatildeo eacute a frequecircncia de 9480 rpm do espectro experimental cujo erro

77

relativo foi de 37 no resultado numeacuterico Esta frequecircncia eacute de aproximadamente trecircs vezes a

frequecircncia de rotaccedilatildeo do eixo (3200rpm) o que significa um sinal de desalinhamento do rotor

conforme previsto na literatura (BERRY 1994)


experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF

Experimental (rpm)

MEF (rpm)

erro relativo

3240 3194 -14

6360 6376 03

9480 9834 37

12960 12789 -13

18960 19190 12

25560 25591 01

28440 28823 13

32280 31992 -09

34800 35220 12

38520 38395 -03

41760 41615 -03

44100 44790 16

42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos

A anaacutelise dos coeficientes de forccedila eacute realizada aplicando-se o MEF a um exemplo de mancal

eliacuteptico extraiacutedo de Correia(2007) com o objetivo de identificar uma relaccedilatildeo entre os

coeficientes de forccedila e os paracircmetros construtivos do mancal folga radial (c) razatildeo de esbeltez

(LD) e preacute-carga (Mp) Este resultado permite observar se a relaccedilatildeo identificada se manteacutem

para diversas condiccedilotildees operacionais Os paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado satildeo

apresentados na Tabela 413

Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado


L comprimento do mancal 0075 m

D diacircmetro do mancal 010 m

c1 folga do mancal (variaacutevel) viscosidade do lubrificante 84 x 10

-3 Pamiddots


rotaccedilatildeo 8800 rpm

Mp preacute-carga 045

W carga estaacutetica 1000 N

Para a anaacutelise de sensibilidade de malha do mancal selecionado adota-se uma folga radial de

75 m conforme Correia(2007) Esta anaacutelise permite avaliar a dependecircncia dos paracircmetros de

78

desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha A razatildeo entre o nuacutemero de elementos

finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute mantida constante dada pela relaccedilatildeo 4 Satildeo

apresentados na Figura 418 os desvios da forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e do coeficiente de

rigidez cruzada (Kxy) obtidos para diferentes nuacutemeros de elementos da malha Para fins de

comparaccedilatildeo os desvios satildeo calculados em moacutedulo Pela anaacutelise de sensibilidade realizada

constata-se que aproximadamente 200 elementos finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes

para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com menos de 1 de erro relativo

Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no caacutelculo dos


421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos

Satildeo analisados nesta seccedilatildeo os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo dos coeficientes de

rigidez direta adimensionais kxx e kyy dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga

radial A adimensionalizaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez direta eacute realizada pela relaccedilatildeo

(CORREIA2007)

kxx = c Kxx W

onde Kxx eacute o coeficiente de rigidez direta dimensional c eacute a folga radial do mancal e W eacute a

carga estaacutetica no mancal Para kyy a adimensionalizaccedilatildeo eacute anaacuteloga

Quando o mancal hidrodinacircmico opera ocorre um deslocamento da linha de centro do munhatildeo

79

(eixo do rotor) em relaccedilatildeo agrave linha de centro do mancal como ilustrado na Figura 419Figura 33

Este deslocamento eacute definido como a excentricidade e e o acircngulo eacute definido como acircngulo de

posiccedilatildeo A excentricidade adimensional eacute definida pela expressatildeo onde c eacute a folga

radial maacutexima do mancal Para cada condiccedilatildeo operacional o munhatildeo tende a se deslocar ateacute um

ponto de equiliacutebrio onde as forccedilas da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido entre em equiliacutebrio

com as forccedilas atuantes do rotor sobre o mancal Este ponto eacute definido como o ponto de

equiliacutebrio estaacutetico o

Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade

O ponto de equiliacutebrio estaacutetico ( o) eacute influenciado por vaacuterios paracircmetros do mancal em especial

pela folga radial do mancal Para os mancais eliacutepticos analisados observa-se uma variaccedilatildeo de o

em funccedilatildeo da folga radial conforme mostrado na Figura 420

Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais

eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial

80

A Figura 421 apresenta os valores do coeficiente de rigidez direta adimensional dos mancais

eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial Eacute observado que estes coeficientes apresentam uma

variaccedilatildeo muito pequena para valores de o entre zero e 03 Estes valores correspondem a folgas

radiais entre zero a 150 m respectivamente Para destacar esta faixa eacute apresentada na Figura

421 uma linha pontilhada vertical onde se observa que os valores calculados para os

coeficientes kxx e kyy variam menos de 1 e fora desta faixa os coeficientes variam

consideravelmente Satildeo exibidas no graacutefico duas linhas tracejadas horizontais como referecircncia

para facilitar a observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos

Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos

A adimensionalizaccedilatildeo do coeficiente de rigidez cruzada Kxy eacute realizada de maneira semelhante agrave

dos coeficientes de rigidez direta (CORREIA 2007) Poreacutem observa-se que os coeficientes kxy e

a folga radial tecircm uma relaccedilatildeo de proporcionalidade inversa para uma certa faixa operacional

descrita a seguir Desta forma o produto entre eles deve ser constante nesta faixa Sugere-se

assim um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez cruzada adimensional modificado

definido por

onde Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada dimensional c eacute a folga radial do mancal W eacute a

carga estaacutetica no mancal eacute a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico kxy

eacute o coeficiente de rigidez cruzada adimensional

81

A Figura 422 apresenta os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo do coeficiente de rigidez

cruzada adimensional modificado dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga

radial

Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo da folga

radial dos mancais eliacutepticos

Observa-se que para a faixa onde os valores do coeficiente de rigidez cruzada

adimensional modificado satildeo aproximadamente constantes Apenas o uacuteltimo valor desta faixa

apresenta um desvio de 5 em relaccedilatildeo aos demais que variam menos de 1 Esta anaacutelise vale

de maneira anaacuteloga para ambos coeficientes de rigidez cruzada pois Kyx = -Kxy

Para os resultados computacionais dos coeficientes de amortecimento observa-se um padratildeo

semelhante ao identificado para os coeficientes de rigidez quando uma vez que nesta

faixa o coeficiente de amortecimento direto Cxx eacute proporcional ao coeficiente de rigidez cruzada

Kxy e o coeficiente de amortecimento cruzado Cxy eacute proporcional ao coeficiente de rigidez

direta Kxx Para investigar a faixa onde esta proporcionalidade eacute mantida eacute apresentado na

Figura 423 a razatildeo em funccedilatildeo da folga radial do mancal eliacuteptico Observa-se que para

a razatildeo eacute aproximadamente constante variando menos de 1 Este resultado

eacute ilustrado na Figura 423 sendo tambeacutem vaacutelido para a razatildeo

82

Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos

O amortecimento efetivo do mancal eacute um paracircmetro importante na anaacutelise da estabilidade

(VANCE 1988) definido pela expressatildeo 2ωCxxKxy onde Cxx eacute o coeficiente de amortecimento

direto (ou Cyy) e Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada (ou -Kyx) Assim para concluir a anaacutelise

dos coeficientes de amortecimento em funccedilatildeo da folga radial eacute escolhido o amortecimento

efetivo como paracircmetro de desempenho Satildeo apresentados na Figura 424 os resultados do

amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos Novamente eacute observado

que para e0lt03 o amortecimento efetivo varia pouco menos de 1

Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos

83

Pode-se observar que os diversos paracircmetros analisados relacionados aos coeficientes de forccedila

dos mancais eliacutepticos variam pouco na faixa onde e este padratildeo natildeo eacute observado fora

desta faixa

422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos

A razatildeo de esbeltez (LD) eacute um paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos

influenciando de maneira natildeo-linear nos seus coeficientes de forccedila (SAWICKI e RAO 2004)

No procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns

paracircmetros de desempenho dos mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez

Eacute apresentada na Figura 425 a curva que relaciona a excentricidade adimensional do ponto de

equiliacutebrio estaacutetico ( ) com a razatildeo de esbeltez (LD) para os mancais analisados Observa-se um

valor de para LD = 045 que eacute uma razatildeo de esbeltez muito baixa conforme

observado nas aplicaccedilotildees industriais

Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em

funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez

Na anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais em funccedilatildeo de LD identifica-se um padratildeo

comum para o amortecimento efetivo ( ) como ilustrado na Figura 426 Observa-se

que na faixa onde o amortecimento efetivo eacute aproximadamente constante variando no

maacuteximo 3

84

Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos

Os resultados obtidos pelo MEF para o coeficiente de amortecimento cruzado adimensional (cxy)

mostram que existe uma relaccedilatildeo linear entre cxy e LD na faixa onde conforme

ilustrado na Figura 427 A linha tracejada indica o ajuste linear feito com os pontos desta faixa

no qual obteacutem-se um coeficiente de determinaccedilatildeo (R2) maior que 099 Embora os pontos na

faixa oposta (LD lt 045 e ) estejam tambeacutem aproximadamente alinhados natildeo foi

observado outro padratildeo comum nesta faixa

Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos

mancais eliacutepticos

85

Os coeficientes de forccedila apresentados nesta seccedilatildeo obtidos pelo MEF implementado para os

mancais eliacutepticos apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a razatildeo de esbeltez que se

manteacutem na faixa onde

423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos

Outro paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos eacute a preacute-carga (Mp) No

procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns paracircmetros de

desempenho de mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga

A Figura 428 apresenta a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos

mancais analisados para diferentes valores de preacute-carga (Mp) Observa-se um valor de

para Mp = 04


funccedilatildeo da preacute-carga

Na anaacutelise dos coeficientes de rigidez direta dos mancais para diferentes valores de Mp

observa-se uma relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e (kyy)23

e entre Mp e (kxx)12

como

ilustrado na Figura 429 Na faixa onde que corresponde a Mp lt 04 estas relaccedilotildees

algeacutebricas variam pouco Observa-se que nesta faixa a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e

(kyy)23

varia no maacuteximo 4 e entre Mp e (kxx)12

varia no maacuteximo 7 Fora desta faixa as

variaccedilotildees satildeo maiores que 20

86

Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos

Observa-se tambeacutem uma relaccedilatildeo linear entre o amortecimento efetivo ( ) e a preacute-

carga para valores de A Figura 436 apresenta estes resultados onde a linha tracejada

corresponde ao ajuste linear feito na faixa onde obtendo-se um coeficiente de

determinaccedilatildeo (R2) maior que 0999

Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos

Estes resultados obtidos pelo MEF implementado para os mancais eliacutepticos mostram que os

coeficientes de forccedila apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a preacute-carga quando a

excentricidade adimensional ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 03

87

43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta

desbalanceada

A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute um importante paracircmetro operacional que

auxilia no projeto de maacutequinas rotativas pois informa o niacutevel de vibraccedilatildeo do sistema ao se

atravessar as velocidades criacuteticas Desta forma eacute fundamental uma anaacutelise da influecircncia dos

paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada do sistema De fato

muitas turbomaacutequinas operam acima da primeira velocidade criacutetica e por isto os mancais devem

ser projetados para absorver as altas vibraccedilotildees provocadas pelo sistema quando ele passa pela

velocidade criacutetica

O procedimento computacional proposto neste trabalho permite predizer como os paracircmetros

geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos influenciam a resposta desbalanceada Esta anaacutelise eacute realizada

atraveacutes dos resultados obtidos da integraccedilatildeo no tempo das equaccedilotildees do movimento

Satildeo selecionados a seguir alguns paracircmetros geomeacutetricos importantes no projeto de mancais

eliacutepticos e analisada a resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal em funccedilatildeo destes

paracircmetros Inicialmente faz-se uma anaacutelise da influecircncia da preacute-carga dos mancais eliacutepticos na

razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada Em seguida eacute analisada a resposta

desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos e finalmente eacute analisada a

influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada

431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga

A resposta desbalanceada de rotores analisada para diferentes mancais eacute normalmente usada

como um paracircmetro de eficiecircncia dos mancais nas velocidades criacuteticas (FLACK e ROOKE

1980) Ela eacute a medida da amplitude de vibraccedilatildeo do sistema quando excitado pela forccedila de

desbalanceamento A reposta desbalanceada eacute analisada para o sistema apoiado em mancais

eliacutepticos sob diferentes valores de preacute-carga baseados em um exemplo de mancal eliacuteptico

apresentado em Machado(2006) A amplitude de vibraccedilatildeo eacute calculada atraveacutes do raio meacutedio das

oacuterbitas obtidas pelo procedimento numeacuterico Os paracircmetros do sistema satildeo apresentados na

Tabela 414 O rotor simulado natildeo possui discos massivos e estaacute apoiado em mancais

hidrodinacircmicos eliacutepticos como ilustrado na Figura 431

88

Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo

Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise

d (diacircmetro do eixo) = 0015 m μ (viscosidade do lubrificante) = 27 x 10-3

Pas

L (comprimento do mancal) = 0012 m ρL (massa especiacutefica do lubrificante)= 915 kgmsup3

D (diacircmetro do mancal) = 0015 m ρ (massa especiacutefica do eixo) = 7850 kgmsup3

c1 (folga do mancal 1) = 24 μm c2 (folga do mancal 2) = 24 μm

Leixo (comprimento do eixo) = 0900m mu (massa desbalanceada) = 00035 kg

Ω (rotaccedilatildeo do rotor) = 2000 a 10000 rpm ud (excentricidade da massa desbalanceada) = 0035 m

E (Moacutedulo de Young do eixo) = 205x109 Pa Mp (preacute-carga dos mancais)=045

W (carga estaacutetica por mancal) = 612N

Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 351 elementos para o

filme fluido composta por 40 noacutes circunferenciais e 10 noacutes axiais A excentricidade

adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico calculado eacute com um acircngulo de posiccedilatildeo

proacuteximo de zero Este ponto de equiliacutebrio eacute calculado de modo a garantir que a forccedila

hidrodinacircmica do filme fluido seja agrave carga estaacutetica W que eacute obtida dividindo-se o peso do eixo

pelo nuacutemero de mancais

A resposta desbalanceada (Figura 432) eacute calculada no mancal 1 considerando mancais eliacutepticos

com preacute-carga Mp=045 A amplitude adimensional eacute calculada dividindo-se a amplitude de

vibraccedilatildeo do eixo pela folga do mancal Os dois picos destacados na Figura 432 representam a

primeira e segunda velocidades criacuteticas do rotor

89

Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em mancais eliacutepticos

com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012)

Uma vez identificadas as velocidades criacuteticas do rotor estuda-se a influecircncia da preacute-carga dos

mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada com o rotor operando em torno da sua primeira

velocidade criacutetica A resposta desbalanceada para o sistema apoiado em mancais hidrodinacircmicos

eliacutepticos com diferentes valores de preacute-carga (Mp) eacute exibida na Figura 433 A curva superior

corresponde Mp=075 a curva intermediaacuteria corresponde a Mp=045 e a curva inferior

corresponde a Mp=045

Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos mancais eliacutepticos

(MIRANDA e FARIA 2012)

90

Os valores das amplitudes adimensionais satildeo calculadas na extremidade esquerda do eixo onde

ele estaacute apoiado no mancal 1 Observa-se que a amplitude na primeira velocidade criacutetica eacute mais

elevada para valores maiores de preacute-carga Poreacutem aleacutem de analisar a amplitude da vibraccedilatildeo eacute

importante tambeacutem investigar a razatildeo de amplificaccedilatildeo desta vibraccedilatildeo

A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na velocidade criacutetica eacute um paracircmetro

importante na anaacutelise da estabilidade do sistema rotor-mancal (ZEIDAN e PAQUETTE 1994)

Neste exemplo numeacuterico ela eacute calculada atraveacutes da relaccedilatildeo entre a resposta desbalanceada na

primeira velocidade criacutetica e na rotaccedilatildeo de 2000rpm A rotaccedilatildeo de 2000rpm eacute escolhida como

referecircncia pelo fato de representar uma rotaccedilatildeo onde a amplitude de vibraccedilatildeo apresenta pouca

influecircncia da velocidade criacutetica A razatildeo de amplificaccedilatildeo permite inferir sobre a capacidade do

mancal eliacuteptico atenuar a resposta desbalanceada do rotor ao passar pela velocidade criacutetica o

que eacute uma caracteriacutestica importante dos mancais hidrodinacircmicos (STERNLICHT e LEWIS

1968 VANCE 1988 CORREIA 2007) A Figura 434 apresenta os valores da razatildeo de

amplificaccedilatildeo para o exemplo estudado com diferentes valores de preacute-carga nos mancais A preacute-

carga zero representa o caso particular de mancal ciliacutendrico

Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira velocidade criacutetica para o

rotor apoiado em mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012)

Observa-se uma menor razatildeo de amplificaccedilatildeo (maior atenuaccedilatildeo) da resposta desbalanceada na

primeira velocidade criacutetica para uma preacute-carga de 045 A literatura teacutecnica apresenta uma

recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos com preacute-carga de aproximadamente 05 por

apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956 ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o

91

exemplo de rotor analisado este resultado mostra uma concordacircncia entre os valores obtidos

pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave

estabilidade de mancais eliacutepticos

432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos

A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada para o rotor da Figura 435

composto por um eixo flexiacutevel apoiado nas extremidades por mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos

e com um disco massivo acoplado em uma posiccedilatildeo assimeacutetrica Esta posiccedilatildeo assimeacutetrica eacute

escolhida para se evitar soluccedilotildees particulares restritas a rotores com simetria axial Os

paracircmetros do rotor satildeo apresentados na Tabela 415 onde os paracircmetros baacutesicos dos mancais

eliacutepticos satildeo idecircnticos aos apresentados por Correia(2006)

Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo assimeacutetrica

A resposta desbalanceada eacute calculada atraveacutes da amplitude adimensional de vibraccedilatildeo do rotor

operando na primeira velocidade criacutetica (VC) apoiado mancais eliacutepticos com diferentes razotildees

de esbeltez (LD) A amplitude adimensional eacute obtida dividindo-se a amplitude de vibraccedilatildeo pela

folga do mancal

92

Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos


leixo comprimento do eixo (vatildeo) 090 m

d diacircmetro do eixo 0015 m

L comprimento do mancal (variaacutevel) m


c1 folga do mancal 75 x 10-6


-3 Pamiddots





W

w

carga estaacutetica em cada mancal

rotaccedilatildeo

100

2000

N

rpm

Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 210 a 2100 elementos

para o filme fluido dependendo da razatildeo de esbeltez LD de modo a garantir menos de 1 de

erro relativo Os pontos de equiliacutebrio estaacuteticos satildeo mostrados na Figura 437

A integraccedilatildeo numeacuterica das equaccedilotildees de movimento permitem obter as amplitudes de vibraccedilatildeo

do rotor na primeira velocidade criacutetica (VC) Satildeo apresentadas na Figura 436 em escala log-log

a amplitude adimensional da resposta desbalanceada calculada no mancal 1 para o rotor

operando na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais Satildeo considerados

trecircs tipos de mancais eliacutepticos com valores de preacute-carga Mp=0 Mp=045 Mp=090

Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC

em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos

93

Na Figura 436 observa-se que os pontos se mantecircm alinhados e proacuteximos das curvas de ajuste

para os valores de LD maiores que 04 que foi destacado no eixo horizontal Como a escala eacute

logariacutetmica em ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas alguma relaccedilatildeo de potecircncia

entre a amplitude na VC e a razatildeo de esbeltez dos mancais A linha traccedilo-ponto apresentada no

graacutefico representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada

representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=0 O ajuste de curvas mostra que haacute

uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa entre a amplitude da resposta desbalanceada (Ampl) e a razatildeo de

esbeltez (LD) do mancal com um coeficiente de determinaccedilatildeo R2 maior que 0999 Desta

forma eacute possiacutevel predizer o valor da amplitude calculada dentro desta faixa pela expressatildeo

onde a constante a depende da preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico

Observa-se ainda pela Figura 436 que os pontos satildeo bem alinhados para as curvas de ajuste

obtidas para valores de LDgt04 E esta faixa de valores de razatildeo de esbeltez corresponde agrave

faixa onde a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 035

Este valor eacute proacuteximo ao obtido nas anaacutelises apresentadas nas subseccedilotildees anteriores onde se

observa uma relaccedilatildeo algeacutebrica repetitiva para os paracircmetros de desempenho dos mancais na

faixa

O resultado apresentado na Figura 436 mostra tambeacutem que o procedimento baseado no MEF

pode ser usado na prediccedilatildeo da influecircncia da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos na resposta

desbalanceada do sistema rotor-mancal o que eacute importante na anaacutelise de alteraccedilotildees de projetos

de maacutequinas rotativas

Outro resultado importante eacute destacado a seguir Constata-se que a excentricidade adimensional

do ponto de equiliacutebrio estaacutetico apresenta uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa com o valor de LD Esta

relaccedilatildeo proveacutem dos ajustes de curva apresentados na Figura 437 onde pode-se observar os

valores calculados para em funccedilatildeo de LD A linha fina horizontal equivale a

94

Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico em

funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos

Eacute observado que os pontos do graacutefico seguem alinhados com as curvas de ajuste para valores de

para o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e vatildeo se afastando deste alinhamento para valores

maiores de Para os mancais eliacutepticos o valor os pontos seguem alinhados com a curva de

ajuste para valores de um pouco maiores Como o graacutefico estaacute em escala log-log o fato das

curvas de ajuste serem retas natildeo significa uma relaccedilatildeo de linearidade De fato a relaccedilatildeo entre

e LD identificada para este exemplo eacute

onde a eacute uma constante de proporcionalidade que varia com a preacute-carga Esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida

para os trecircs valores de preacute-carga considerados neste exemplo Tendo em vista esta relaccedilatildeo

define-se como ―razatildeo de ajuste o valor para se examinar em qual faixa de

excentricidade esta razatildeo eacute mantida aproximadamente constante A Figura 438 ilustra como a

razatildeo de ajuste varia em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na

observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute

aproximadamente constante ateacute um certo valor de que varia com a preacute-carga Mp

95

Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de

equiliacutebrio estaacutetico dos mancais

Para melhor identificar um valor limite de ( ) satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos

erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de

equiliacutebrio estaacutetico Estes erros indicam o quanto os pontos da Figura 438 estatildeo distantes das

retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do ajuste de curva calculado

Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do

ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais

96

Percebe-se que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam menos do ajuste

de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) Pelas curvas da Figura 439 observa-se que os

mancais eliacutepticos analisados quando possuem um valor apresentam um desvio

pequeno em relaccedilatildeo agrave curva de ajuste proacuteximo de 5 Esta faixa de equivale agrave faixa

identificada nos demais resultados apresentados neste trabalho onde satildeo observadas relaccedilotildees

algeacutebricas que se manteacutem com aproximadamente 5 de precisatildeo Este desvio pode estar

relacionado com alguma perturbaccedilatildeo numeacuterica do procedimento computacional implementado

que leva a resultados menos confiaacuteveis para valores elevados de excentricidade principalmente

quando

433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos

A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada nesta seccedilatildeo em funccedilatildeo da folga

radial nos mancais A folga tem uma forte influecircncia nos coeficientes de forccedila dos mancais

hidrodinacircmicos o que provoca uma variaccedilatildeo nos niacuteveis de vibraccedilatildeo do sistema principalmente

nas velocidades criacuteticas Os paracircmetros do sistema analisado satildeo apresentados na Tabela 415

exceto o comprimento dos mancais que foi fixado em 75mm e a folga passou a ser variaacutevel O

rotor ilustrado esquematicamente na Figura 435

Satildeo considerados trecircs tipos de mancais eliacutepticos com preacute-cargas (Mp) de 0 045 e 090 As

amplitudes de vibraccedilatildeo satildeo calculadas no Mancal 1 para o rotor operando na primeira

velocidade criacutetica As amplitudes satildeo apresentadas de maneira adimensional na Figura 440 em

escala logariacutetmica onde a linha traccedilo-ponto apresentada no graacutefico representa o ajuste feito para

os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada representa o ajuste para os valores obtidos

com Mp=0 Natildeo eacute apresentada a linha do ajuste para MP=045 por motivos esteacuteticos Para os

trecircs valores de Mp eacute identificada uma relaccedilatildeo quadraacutetica entre a amplitude adimensional da

resposta desbalanceada e a folga radial dos mancais

97


em funccedilatildeo da folga radial dos mancais

Eacute observado na Figura 440 que os pontos se manteacutem alinhados e proacuteximos das curvas de

ajuste para os valores de folga de ateacute aproximadamente 150 m Como a escala eacute logariacutetmica em

ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas sim a relaccedilatildeo quadraacutetica identificada pelo

ajuste de curva

Na anaacutelise da excentricidade em funccedilatildeo da folga radial c eacute tambeacutem identificada uma relaccedilatildeo

quadraacutetica dada pela expressatildeo onde a eacute uma constante de proporcionalidade que

varia com a preacute-carga Mp Tendo em vista esta relaccedilatildeo define-se uma nova ―razatildeo de ajuste

pela expressatildeo para se analisar em qual faixa de excentricidade esta razatildeo eacute mantida

aproximadamente constante A Figura 441 apresenta os valores obtidos para a razatildeo de ajuste

em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na observaccedilatildeo do alinhamento

dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute aproximadamente constante ateacute um certo

valor de que varia com a preacute-carga Mp

98

Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de


Para melhor identificar um valor limite de satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos

erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo de Estes erros indicam o quanto os pontos da

Figura 441 estatildeo distantes das retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do

ajuste de curva calculado

Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade

adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais

99

Eacute observado novamente que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam

menos do ajuste de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e que para uma excentricidade

adimensional os mancais eliacutepticos apresentam um desvio pequeno em relaccedilatildeo agrave curva

de ajuste proacuteximo de 5 Este resultado eacute muito parecido com aquele identificado na seccedilatildeo

anterior onde eacute analisada a resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez LD dos

mancais

A literatura teacutecnica afirma que sob determinadas condiccedilotildees operacionais os mancais eliacutepticos

apresentam uma faixa de operaccedilatildeo mais ampla do que os mancais ciliacutendricos (CORREIA 2007)

Desta forma pode-se estabelecer uma relaccedilatildeo entre os resultados obtidos pelo MEF

implementado e esta afirmaccedilatildeo da literatura se for considerado que o desvio em relaccedilatildeo agrave curva

de ajuste estaacute relacionado com algum tipo de limitaccedilatildeo operacional

100

5 CONCLUSOtildeES

O procedimento computacional aqui desenvolvido baseado no MEF permite predizer o

comportamento dinacircmico de diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos

massivos e mancais hidrodinacircmicos de perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico Os resultados produzidos

permitem validar o modelo pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma

bancada de teste e tambeacutem com valores publicados na literatura

O presente trabalho apresenta uma importante contribuiccedilatildeo na anaacutelise de sistemas rotor-mancal

pelo fato de investigar o sistema rotativo de maneira ampla tanto para o eixo flexiacutevel quanto

para os mancais Satildeo considerados no modelo do eixo flexiacutevel os efeitos de deformaccedilatildeo por

cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para o modelo dos mancais

hidrodinacircmicos ciliacutendricos e eliacutepticos satildeo considerados todos os coeficientes de forccedila

independentes sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto ou de

mancal longo

Este procedimento computacional eacute muito uacutetil natildeo apenas para se determinar a resposta

desbalanceada de rotores como tambeacutem para se avaliar a viabilidade de alteraccedilotildees de projeto

capazes de melhorar o comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas

Os coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos desempenham um importante papel no

projeto de maacutequinas rotativas na previsatildeo de sua capacidade de suportar vibraccedilotildees e de operar

em condiccedilotildees estaacuteveis Os resultados apresentados neste trabalho mostram claramente a

influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais hidrodinacircmicos de geometria fixa

ciliacutendricos e eliacutepticos nos seus coeficientes de forccedila e na resposta desbalanceada do sistema

rotativo

Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF aqui desenvolvido apresentam um erro relativo de

aproximadamente 4 para as frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos resultados experimentais e da

literatura

A anaacutelise da influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila mostra

que os coeficientes de rigidez direta adimensionais variam pouco dentro da faixa operacional

onde a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico (e0) eacute menor que 03 Acima

deste valor os coeficientes de rigidez direta adimensionais diminuem consideravelmente

101

Observa-se ainda que o coeficiente de rigidez cruzado adimensional (kxy) eacute inversamente

proporcional ao e0 o que permite introduzir um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez

cruzada adimensional modificado definido por xy=e0kxy Este coeficiente tambeacutem apresenta

valores aproximadamente constantes quando se varia a folga do mancal eliacuteptico dentro da faixa

onde e0lt03 Tambeacutem satildeo observados valores aproximadamente constantes para a razatildeo CxyKxx

e para o amortecimento efetivo ( ) quando se varia a folga mantendo-se e0lt03

A anaacutelise da influecircncia da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de

forccedila permite observar que o amortecimento efetivo ( ) e o coeficiente de

amortecimento cruzado adimensional (cxy) dos mancais eliacutepticos seguem um padratildeo comum

quando e0lt03 Para o amortecimento efetivo os valores satildeo aproximadamente constantes

enquanto para cxy observa-se uma relaccedilatildeo linear entre cxy e e0 nesta faixa

Na anaacutelise da influecircncia da preacute-carga (Mp) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila

observa-se uma proporcionalidade entre Mp e (kyy)23


na faixa onde

Eacute identificado tambeacutem que o amortecimento efetivo ( ) varia linearmente com Mp

nesta faixa

Eacute mostrado atraveacutes de um exemplo de rotor flexiacutevel apoiado em mancais eliacutepticos que a razatildeo

de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada atinge um miacutenimo para um exemplo de mancal com

Mp=045 A literatura teacutecnica apresenta uma recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos

com preacute-carga de aproximadamente 05 por apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956

ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o exemplo de rotor analisado este resultado mostra

uma concordacircncia entre os valores obtidos pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a

recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave estabilidade de mancais eliacutepticos

A anaacutelise da resposta desbalanceada permite observar que a amplitude de vibraccedilatildeo na primeira

velocidade criacutetica eacute proporcional a (LD)-3

e tambeacutem proporcional ao quadrado da folga radial

(c2) na faixa onde Esta proporcionalidade eacute mantida em uma faixa operacional mais

ampla para os mancais eliacutepticos do que para os mancais ciliacutendricos analisados

Este resultado de aproximadamente 03 encontra respaldo na literatura teacutecnica que afirma que o

procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelido para ateacute

102

40 da folga do mancal (LUND1987) Esta observaccedilatildeo eacute tambeacutem destacada no trabalho de

Sawicki e Rao (2004) Aleacutem disso Furukawa et al (1996) observam que a natildeo linearidade do

filme fluido produz grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos

experimentalmente em especial na regiatildeo de alta excentricidade

Desta forma sugere-se para trabalhos futuros a investigaccedilotildees mais aprofundadas sobre os

efeitos dinacircmicos que ocorrem quando o ponto de equiliacutebrio estaacutetico ultrapassa o limite de 40

da folga do mancal O meacutetodo aqui implementado adota um procedimento de perturbaccedilatildeo linear

em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio obtendo equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira

ordem baseadas na equaccedilatildeo de Reynolds Sugere-se ainda a implementaccedilatildeo de um modelo que

considere termos de ordem superior na obtenccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo ou que adote

algum outro modelo natildeo-linear

Sugere-se ainda aplicar a metodologia deste trabalho em outros procedimentos computacionais

para observar faixas onde os resultados possam apresentar padrotildees repetitivos Sugere-se

investigar a existecircncia de relaccedilotildees algeacutebricas entre os paracircmetros do sistema e os resultados e

que possam se manter vaacutelidas dentro de uma faixa de valores

Outras abordagens que podem ampliar os resultados do presente trabalho incluem a anaacutelise de

mancais hidrodinacircmicos de geometria variaacutevel com fluidos natildeo-newtonianos e a anaacutelise de

efeitos teacutermicos nos paracircmetros de desempenho destes mancais

Os resultados deste trabalho fornecem subsiacutedio agrave aacuterea de projeto de maacutequinas rotativas uma vez

que o procedimento computacional desenvolvido permite predizer seu comportamento dinacircmico

para diversas condiccedilotildees operacionais

103

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121 VANCE JM 1988 Rotordynamics of Turbomachinery McGraw-Hill New York

111

USA 370p

122 VANCE JM MURPHY BT TRIPP HA 1987 Critical speeds of

turbomachinery computer predictions vs experimental measurements ndash Part II

effect of tilt-pad Bearing and foundation dynamics ASME Journal of Vibration

Acoustics Stress Reliabaility in Design Vol 109 pp8-14

123 VINCENT Antoine 2003 Impact of Geometric Variability on Compressor

Repeating-Stage Performance Thesis (SM)--Massachusetts Institute of

Technology USA

124 WANG Y Wang X 2010 Nonlinear Vibration Analysis for a Jeffcott Rotor with

Seal and Air-Film Bearing Excitations Mathematical Problems in Engineering

Volume 2010 Article ID 657361 14 pages

125 WENHUI X YOUGANG T YUSHU C2007 Analysis of motion stability of

the flexible rotor-bearing system with two unbalanced disks Journal of Sound

and Vibration In Press

126 WILCOCK D F 1961 Orthogonally Displaced Bearings ndash I ASLE Transactions

4 (1961) 117-123

127 YAN-Jun LU Lie YU LIU Heng ZHANG Yong-fang 2006 Complex Nonlinear

Behaviors of a Rotor Dynamical System with non-analytical Journal Bearing

Supports Journal of Shanghai University (English Edition) 10(3) p247 ndash 255

128 YAN Z WANG L QIAO G ZHENG T 2010 An Analytical Model for

Complete Dynamical Coefficients of a Tilting-Pad Journal Bearing Tribology

International 43 (2010) p7ndash15

129 ZEIDAN F Y 1992 Developments in Fluid Film Bearing Technology

Turbomachinery International SeptemberOctober p1-8

130 ZEIDAN FY PAQUETTE DJ 1994 Application of High Speed and High

Performance Fluid Film Bearings in Rotating Machinery Proceedings of the

23rd Turbomachinery Symposium p209 233

131 ZHANG L LUO J 1991 Updating of Selected Structural Parameters Based on

Localization of Modelling Error Journal of Nanjing Aeronautical Institute v8

n1 pp 51-60

132 ZHANG Zhi-ming ZHU Li-jin YU Jun 1999 Effect of Film Force Nonlinearity on

Unbalance Response of a Jeffcot Rotor-Journal Bearing System Journal of

Shanghai University Vol 3 No 3 Sep 1999 Shanghai China

133 ZHAO S XU H MENG G ZHU J 2005 Stability and response analysis of

symmetrical single-disk flexible rotor-bearing system Tribology International

Volume 38 Issue 8 August 2005 Pages 749-756

134 ZORZI ES e NELSON HD 1977 Finite Element Simulation of Rotor-Bearing

Systems With Internal Damping ASME Journal of Engineering for Power pp

71-76

112

ANEXO A - Fundamentos da Teoria de Viga

Neste Anexo satildeo apresentadas de maneira breve as expressotildees das teorias de viga de Euler-

Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko A Teoria de Viga de Timoshenko eacute a forma mais

completa representando a vibraccedilatildeo lateral de vigas a partir da qual podem-se derivar as outras

duas teorias como casos particulares desta (BORU 2010)

A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli

A Teoria de Viga de Euler-Bernoulli foi formulada no seacuteculo XVIII e o detalhamento de sua

derivaccedilatildeo eacute apresentado em Clough e Penzien (1975) e em Meirovitch (1967)

Considere a viga ilustrada na Fig A1 sob a accedilatildeo de uma carga distribuiacuteda variaacutevel q(xt) e uma

deflexatildeo lateral v(xt) na direccedilatildeo y As propriedades da viga satildeo sua rigidez agrave flexatildeo EI(x) e a

massa especiacutefica A(x)

Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010)

113

A2 Teoria de Viga de Rayleigh

A Teoria de Viga de Rayleigh considera a ineacutercia rotacional da viga aleacutem da ineacutercia

translacional Assim para um modelo dinacircmico de uma viga em rotaccedilatildeo as frequecircncias naturais

seratildeo mais bem representadas

A equaccedilatildeo da Teoria de Viga de Rayleigh eacute definida por

Se for considerado o caso da viga com seccedilatildeo transversal uniforme ao longo de x a equaccedilatildeo

(A3) eacute simplificada para a forma

A Teoria de Viga de Rayleigh eacute uma extensatildeo da teoria de Euller-Bernoulli o que pode ser

observado comparando-se os trecircs primeiros termos da equaccedilatildeo (A4) com a equaccedilatildeo (A2) O

termo adicional da equaccedilatildeo (A4) eacute relativo agrave ineacutercia rotatoacuteria

A3 Teoria de Viga de Timoshenko

A inclusatildeo da ineacutercia rotatoacuteria nos modelos dinacircmicos foi considerada insuficiente para se

melhorar os resultados do caacutelculo da frequecircncia natural de vigas (BORU 2010) Assim foi

proposto incluir o efeito de deformaccedilatildeo por cisalhamento o que aumenta a flexibilidade do

elemento de viga Este modelo levou agrave Teoria de Viga de Timoshenko Assim as frequecircncias

naturais reduziram o suficiente para se aproximar daquelas obtidas experimentalmente

(TRAILL-NASH e COLLAR 1953)

A Teoria de Viga de Timoshenko considera que a deformaccedilatildeo por cisalhamento em uma seccedilatildeo

transversal eacute diretamente proporcional agrave forccedila de cisalhamento para materiais isotroacutepicos com

propriedades lineares atraveacutes da expressatildeo

(A5)

(A3)

(A4)

114

A constante depende da forma da seccedilatildeo transversal da viga podendo assumir valores como

1113 para seccedilotildees circulares e 56 para seccedilotildees retangulares O termo representa a aacuterea

efetiva de cisalhamento da seccedilatildeo transversal

Considerando a seccedilatildeo transversal da viga uniforme a expressatildeo da Teoria de Viga de

Timoshenko eacute dada por

Pode-se observar que as duas teorias de viga anteriormente apresentadas satildeo casos particulares

da teoria de viga de Timoshenko Se a viga natildeo sofrer deformaccedilatildeo por cisalhamento o que

implica em considerar que sua resistecircncia ao cisalhamento eacute muito grande basta fazer e

os dois uacuteltimos termos seratildeo nulos levando agrave teoria de vigas de Rayleigh

Deformaccedilatildeo por cisalhamento e

ineacutercia rotatoacuteria combinados

Teoria de Euler-Bernoulli

Teoria de Rayleigh


115

ANEXO B ndash Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo

As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo para o problema de flexatildeo satildeo obtidas do problema estaacutetico da viga

considerando os efeitos de flexatildeo e cisalhamento simultaneamente (FARIA 1990) Estas

funccedilotildees satildeo descritas a seguir

Denota-se por a variaacutevel adimensionals que descreve a posiccedilatildeo de uma seccedilatildeo transversal

qualquer do elemento em relaccedilatildeo agrave sua extremidade inicial Sendo a variaacutevel que define cada

seccedilatildeo do elemento de rotor a partir do noacute inicial e l o comprimento do elemento a variaacutevel

adimensional eacute dada por

Para as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de flexatildeo no plano de deflexatildeo satildeo considerados os efeitos de

cisalhamento transversal fx e fy distintos

onde A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal G eacute o modulo de elasticidade ao cisalhamento l eacute o

comprimento do elemento E eacute o moacutedulo de elasticidade I eacute o momento de ineacutercia e K eacute o fator

de forma do cisalhamento transversal Para a seccedilatildeo transversal circular (COUPER 1966)


B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute

As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir (FARIA 1990)

116

Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute

As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute (Fig B1) satildeo

escritas na seguinte forma

(B1)

(B2)

onde Vf e Vc satildeo as contribuiccedilotildees de flexatildeo e de cisalhamento respectivamente e V=Vf+Vc A

soluccedilatildeo das equaccedilotildees eacute escrita como

onde C1 e C2 satildeo constantes de integraccedilatildeo As condiccedilotildees de contorno do problema satildeo

Em s = = 0 e

Em s = l

Obteacutem-se assim a expressatildeo

que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a

117

B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute

As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir Considere as condiccedilotildees

de contorno

Em s = 0 V=0 e Vrsquo=Vf

Em s = l V=0 e Vrsquo=Vc

Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute

Considerando-se as equaccedilotildees (B1) e (B2) e as condiccedilotildees de contorno obteacutem-se

e a equaccedilatildeo da linha elaacutestica eacute escrita como

Entatildeo

118

e para se obter basta derivar a equaccedilatildeo elaacutestica

Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o seguinte valor

deve-se adicionar a deformaccedilatildeo

em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo

B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute

As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir

Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute

As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute (Fig B3) satildeo


119

(B3)

(B4)

A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees eacute escrita como

As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por

Em s = 0

Em s = l

Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica

e a expressatildeo de


B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute


Obteacutem-se as equaccedilotildees diferenciais atraveacutes da Figura B4

(B5)

(B6)

120

Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute

A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees (B5) e (B6) eacute escrita como


Em s = 0 e

Em s = l e



Para se obter deriva-se a equaccedilatildeo elaacutestica em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo

Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o valor


121


122

ANEXO C ndash Matrizes de Elementos Finitos do Rotor

Satildeo apresentadas a seguir as matrizes do elemento finito de rotor para elementos de eixo

baseados na teoria de viga de Timoshenko (NELSON 1980 FARIA 1990) Considera-se o eixo

simeacutetrico ( Ix=Iy=I ) o efeito de cisalhamento isotroacutepico ( fx=fy=f ) e as seguintes constantes

I = momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal

Idm= momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento

Ip = momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento

f = efeito de cisalhamento

l = comprimento do elemento

E = moacutedulo de elasticidade

= massa especiacutefica

A = aacuterea da seccedilatildeo transversal

coordenadas generalizadas no sistema rotativo

coordenadas generalizadas no sistema inercial

C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo

A matriz Me representativa da ineacutercia de translaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela

integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TM do elemento finito do rotor dada por

Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz TM que

satisfaz agrave expressatildeo

A matriz Me eacute simeacutetrica e descrita como

123

[Me] =

onde

C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo

A matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela substituiccedilatildeo das funccedilotildees

de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica TN do elemento finito dada por

Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz Ne

124

representativa da ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento que satisfaz agrave expressatildeo

A matriz Ne eacute simeacutetrica e descrita como

[Ne] =

onde

C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos

A matriz Ge representativa dos efeitos giroscoacutepicos do elemento finito do rotor eacute obtida pela

relaccedilatildeo

onde a matriz [He] eacute obtida pela integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TG do elemento

finito do rotor dada por

onde eacute a rotaccedilatildeo do rotor IP eacute o momento polar de ineacutercia da seccedilatildeo satildeo os vetores

125

rotaccedilatildeo da seccedilatildeo em torno dos eixos x e y Aplicando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo

da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz [He] que satisfaz agrave expressatildeo

A matriz eacute anti-simeacutetrica e descrita como

[Ge] =

onde

C4 ndash Matriz de rigidez

A matriz de rigidez do elemento finito do rotor Ke eacute obtida integrando-se a energia potencial

elaacutestica V ao longo do comprimento do elemento usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo Obteacutem-se

a matriz Ke que satisfaz agrave expressatildeo

126

A matriz Ke eacute simeacutetrica e descrita como

[Ke] =

127

ANEXO D ndash Meacutetodo Numeacuterico de Newmark

Neste Anexo apresenta-se inicialmente o algoritmo de meacutetodo de Newmark usado para a

integraccedilatildeo numeacuterica no tempo da equaccedilatildeo do movimento Eq(1) conforme Bathe (1982)

Posteriormente satildeo mostrados os criteacuterios adotados no presente trabalho para garantir a

convergecircncia do meacutetodo sem um elevado custo computacional

A) Valores iniciais

Passo 1 Valores iniciais para os vetores deslocamento velocidade e aceleraccedilatildeo U0

U

0 U

0

Passo 2 Defina um intervalo de tempo Δt e os paracircmetros α e δ tais que

δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2

Passo 3 Calcule as constantes

20

1a

t

t1a

t

1a 2

12

1a 3

1a 4

22

ta 5 )1(ta 6 ta7

Passo 4 Crie a matriz de rigidez efetiva KK=K + a0M + a1C

B) Para cada iteraccedilatildeo no tempo Δt

Passo 1 Calcule a carga efetiva RR no instante t + Δt

t+ΔtRR =

t+ΔtR + M(a0

tU + a2

t U

+ a3 t U

) + C(a1 tU + a4

t U

+ a5 t U

)

Passo 2 Resolva a equaccedilatildeo abaixo para obter o vetor deslocamento U em t + Δt

KK

t+Δt U = t+Δt

RR

Passo 3 Calcule os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo em t + Δt

t+Δt U = a0 (

t+Δt U - tU)- a2 t U - a3

t U

t+Δt U =

t U + a6

t U

+ a7 t+Δt U

128

Para se garantir a convergecircncia do meacutetodo foram adotados os paracircmetros 41α e δ=12 que

satildeo os paracircmetros de integraccedilatildeo que possibilitam estabilidade incondicional para o procedimento

de integraccedilatildeo de Newmark (BATHE 1982) Eacute importante fazer uma boa escolha do incremento

de tempo t adequado para assegurar a estabilidade do meacutetodo de integraccedilatildeo no tempo O

valor do incremento de tempo t deve ser menor do que o valor criacutetico crt dado pela

equaccedilatildeo D1 (BATHE 1982)

n

crt (D1)

sendo τn o menor periacuteodo natural do sistema Se o incremento de tempo eacute maior que o valor

criacutetico o meacutetodo de Newmark apresentaraacute problemas de convergecircncia (ALMEIDA JUacuteNIOR e

FARIA 2003) No presente trabalho a escolha do incremento de tempo t foi feita baseando-

se no fato de que a forccedila de desbalanceamento eacute aplicada a cada intervalo t Portanto se este

intervalo for muito grande a forccedila poderia deixar de ser aplicada durante cada ciclo do eixo Eacute

importante garantir que esta forccedila seja aplicada simetricamente durante cada ciclo ou seja que

para cada valor de rotaccedilatildeo ω (rads) a forccedila de desbalanceamento seja aplicada simetricamente

em todas as direccedilotildees Para que isto fosse possiacutevel foi adotada a seguinte expressatildeo para o

caacutelculo do incremento de tempo t

ω12

2t (D2)

Com o incremento da equaccedilatildeo (D2) garante-se que ocorram pelo menos 12 iteraccedilotildees a

cada ciclo do eixo ou seja uma a cada 30ordm o que garante a simetria da forccedila de

desbalanceamento Este criteacuterio garante tambeacutem que t lt crt Posteriormente foi feito o

estudo da convergecircncia dos resultados em funccedilatildeo do intervalo t para se otimizar o custo

computacional do meacutetodo implementado

ii

Weacutederley Mendes Miranda




Tese apresentada ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em

Engenharia Mecacircnica da Universidade Federal de Minas

Gerais como requisito parcial agrave obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Doutor

em Engenharia Mecacircnica

Aacuterea de concentraccedilatildeo Projeto Mecacircnico

Orientador Prof Marco Tuacutelio Correcirca de Faria Dr

Universidade Federal de Minas Gerais

Belo Horizonte

Escola de Engenharia da UFMG

2012

iii


Tel +55 31 34995145 - Fax +55 31 3443-3783










_________________________________________________


_________________________________________________


_________________________________________________


_________________________________________________


_________________________________________________


iv

AGRADECIMENTOS














v

SUMAacuteRIO


11 Escopo 21

12 Objetivos 22









3 METODOLOGIA 40











vi


























vii






viii

LISTA DE FIGURAS








CORREIA 2007) 47







10rpm 62




10 rpm 64


Sinou(2005) 64







ix






a 8900rpm 74

















eliacutepticos 82








x















assimeacutetrica 91










mancais 97





mancais 98

xi






LISTA DE TABELAS



Sinou(2005) a 10 rpm 64






Park(1999) 69













xii

SIMBOLOGIA
















00 yx ee


yx ee






e

jf Vetor de fluxo



xiii












][ e












n






xiv



e



e



e












z Coordenada axial









xv





mancal [rad]



( Fy Fx )




Subscritos

av Meacutedio







Sobrescritos


ej

xvi





xvii

RESUMO























Mancal radial



xviii

ABSTRACT




















Journal bearing



19





















1991)









20

































21








11 Escopo





















22

12 Objetivos

121 Objetivo geral






Reynolds








ou de mancal longo










23




























24





et al 2007)



























25
































26

































27





















modelo











28





reduzidos












eixo
















29
































30

































31










vibraccedilatildeo





















32










em forma matricial

















mais preciso







33













da folga do mancal

















34
































35






























36
































37






























38






























Poincareacute

39























40

3 METODOLOGIA

















41














Filme fluido














42













onde

43


















44







onde






onde [Me] [N

e] [G







disco no rotor




45




















46








47







(SEHGAL 2010)





(HAMROCK 1994)

t

hh

R

U

z

ph

z

ph

R

LLLL )()(

2

1

12

sup3

12

sup3

sup2

1 (31)

onde

48

R = raio do eixo






















titi


onde


49

xh = cos( )

yh = sen ( )

= x y

i = 1




ti

o

ti


onde





respectivamente

)(

2

1

1212sup2

1 00

3

00

3

0 h

R

U

z

ph

z

ph

R

LLL (35)

hih

R

U

z

ph

z

phh

z

phphh

RL

LLLLL )(

2

1

1212

3

1212

3

sup2

13

00

2

0

3

00

2

0

(36)





50







(37)

sendo que 00

3

0

212

1hR

ph

Rm L


e z

phm L

z0

3

0



maneira

himz

mR

m Lz111

1

(38)


forma

hRph

R

phh

Rm L

LL

212

1

12

313

00

2

01 (39)

z

ph

z

phhm LL

z

1212

3 3

00

2

01

(310)





01

mm

zm

Rz

51








e

i

e

i

e pp 00 i=1234 (311)

e

i

e

i

e pp i=1234 (σ = xy) (312)





e ee

ee

j

ee

j

ee

j dmdnmdm 0

(313)

onde n


52


eR

ez

e

j

z

e

je

j

1 (314)

zz ememm

(315)


ee

e

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i

e

e

j

z

e

j

z

e

i

e

ie

i

e

i

dhpdzzR

h

deR

ez

epz

he

z

Rp

h

R

002

3

0

0

3

00

3

0

2

1

12

1

1212

1

(316)


e ee

e

n

e

j

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i dmdhpdzzR

h

2

1

12002

3

0 (317)




na seguinte forma

e

j

e

j

e

i

e

ji qfPK 0 (318)





53

e

e

je

i

e

je

ie

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0


e

e

e

je

j dhf 02


e

e

n

e

j

e

j dmq









e e ee

ee

j

ee

j

ej

e

ee

j dhidmdnmdm

111 (319)


e

e e

e

e

je

i

e

je

i

e

jo

ejz

e

jee

j

dR

hRP

R

hp

R

hh

dz

mR

mdm

2sup2

1

12sup2

1

12

3

1

3

0

2

0

111

54

e

ee

i

e

je

i

e

jdP

zz

h

zz

phh

1212

3 3

00

2

0 (320)


seguinte maneira

ee

j

e

j

e

j

e

j

en

e

j

e

i

e

e

je

i

e

je

i

dhihzz

pp

R

hh

dmPdzzR

h

e

ee

2sup2

1

12

3

sup2

1

12

00

2

0

1

3

0

(321)



e

j

e

j

e

i

e

ji fqpK yx (322)



e

e

je

i

e

j

e

je

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0 (3221)

e

en

e

j

e

j dmq (3222)

e

ee

j

e

j

e

j

e

je

j dhihzz

pp

R

hhf

2sup2

1

12

3 00

2

0 (3223)


representado por nm


55



















L

aoodzdRh)pp(F

0

2

0

= XY (323)








56

L

dzdRhpCiKZ0

2

0

YX (324)

ou

dzdRhphp

hphp

CC

CCi

KK

KK L

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

0

2

0

(325)















(326)






57




eixo (rads)



i

i

i

i

i

x

y

U onde





i

i

i

i

x

y











1982)

58










elementos finitos

dos mancais



2) Caacutelculo das

matrizes de

elementos

finitos do rotor




1) Entrada de Dados



59




















hidrodinacircmicos












60










61

















62


Eixo

Comprimento

Diacircmetro



170m

40mm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa

Diacircmetro

Espessura

20 kg

400 mm

20 mm

Mancais


Rigidez Rotacional

Amortecimento

Kxx = 378 MNm

Kxy = 0 MNm

Kyx = 0 MNm

Kyy = 378 MNm

Kff= 80x104

Nmrad

KQQ = 80x104

Nmrad

Cxx = 0 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 0 Nsm









63



















64




relativo ()

FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27

FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16





65












relativo()


FWD 2580 rpm 2680 rpm 4














66





Eixo

Comprimento





120m

25cm

40cm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa



20 kg

0163 kgm2

0085 kgm2

Mancais

Rigidez

Amortecimento

Kxx = 20 MNm

Kxy = -15 MNm

Kyx = -15 MNm

Kyy = 25 MNm

Cxx = 60 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 70 Nsm





forma de onda





67






Hong e Park

(1999)

MEF Erro

relativo ()










68











dada por




69






pela forma de onda


pelo espectro

203 rpm 200 rpm






trabalho










70











-3 Pamiddots









este exemplo













71




Kxy

(MNm) Fx (N)

Desvio

Kxy Desvio

Fx

20 5 76 3926 5752 48 475

36 9 280 4122 6039 06 058

44 11 430 4146 6074 03 030

52 13 612 4158 6092 02 020

60 15 826 4166 6104 01 011

68 17 1072 4171 6111 01 008

76 19 1350 4174 6116 01 007

84 21 1660 4177 6120











72




naturais do sistema








73










4980 rpm 4950 rpm -1

6600 rpm 6650rpm 08








74









75










8890 rpm 8850 rpm -05

26800 rpm 26200 rpm -22

45600 rpm 44400 rpm -26














-3 Pamiddots







76








77






Experimental (rpm)

MEF (rpm)

erro relativo

3240 3194 -14

6360 6376 03

9480 9834 37

12960 12789 -13

18960 19190 12

25560 25591 01

28440 28823 13

32280 31992 -09

34800 35220 12

38520 38395 -03

41760 41615 -03

44100 44790 16













-3 Pamiddots







78














(CORREIA2007)

kxx = c Kxx W




79














80















definido por




81



radial















82










83



desta faixa















maacuteximo 3

84










85










para Mp = 04






como



(kyy)23




86










87


desbalanceada



























88




Pas


















89











90






















91















folga do mancal

92









-3 Pamiddots





W

w


rotaccedilatildeo

100

2000

N

rpm











93
















faixa









94
















95









96









quando
















97






ajuste de curva









98









99






mancais






100

5 CONCLUSOtildeES












mancal longo









rotativo



literatura





101















na faixa onde


nesta faixa















102






















103










USA pp25-45














Hall
















104












13(4) 418ndash425



pp 412-416


USA 476 pp











professional















105




































Series C v39 n3 pp 577-585 1996






106















911


New York EUA



Vol 38 2005 pp 481-491








769-785















107









Verlag 1993 p 381



Vol102 p 425-429











York 1ndash28






IFTOMM








Company New York





108





Vol46(2012) no 3



18th


Preto MG Brasil 8p



1(3) 15ndash34





May 1976 p 593-600






2808 1952








(1956) 965-973


of ASME 78 (1956) 899-904



Vol109 pp2-20 1987







109














No 5 pp 951-955 1996













pp 128-132












56 (2010) 291-299



110









159-170





Vol 154 pp467-484





















(2000) 238(5) 757-779





York


111

USA 370p







Technology USA








4 (1961) 117-123














n1 pp 51-60









71-76

112













113





















(A5)

(A3)

(A4)

114













Teoria de Rayleigh


115

















116




(B1)

(B2)




Em s = = 0 e

Em s = l



117



de contorno






Entatildeo

118










119

(B3)

(B4)



Em s = 0

Em s = l







(B5)

(B6)

120




Em s = 0 e

Em s = l e






121


122





















123

[Me] =

onde





124



[Ne] =

onde



relaccedilatildeo




125




[Ge] =

onde





126


[Ke] =

127






A) Valores iniciais


U

0 U

0


δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2


20

1a

t

t1a

t

1a 2

12

1a 3

1a 4

22

ta 5 )1(ta 6 ta7




t+ΔtRR =

t+ΔtR + M(a0

tU + a2

t U

+ a3 t U

) + C(a1 tU + a4

t U

+ a5 t U

)


KK

t+Δt U = t+Δt

RR


t+Δt U = a0 (


t U

t+Δt U =

t U + a6

t U

+ a7 t+Δt U

128







n

crt (D1)










ω12

2t (D2)






iii


Tel +55 31 34995145 - Fax +55 31 3443-3783










_________________________________________________


_________________________________________________


_________________________________________________


_________________________________________________


_________________________________________________


iv

AGRADECIMENTOS














v

SUMAacuteRIO


11 Escopo 21

12 Objetivos 22









3 METODOLOGIA 40











vi


























vii






viii

LISTA DE FIGURAS








CORREIA 2007) 47







10rpm 62




10 rpm 64


Sinou(2005) 64







ix






a 8900rpm 74

















eliacutepticos 82








x















assimeacutetrica 91










mancais 97





mancais 98

xi






LISTA DE TABELAS



Sinou(2005) a 10 rpm 64






Park(1999) 69













xii

SIMBOLOGIA
















00 yx ee


yx ee






e

jf Vetor de fluxo



xiii












][ e












n






xiv



e



e



e












z Coordenada axial









xv





mancal [rad]



( Fy Fx )




Subscritos

av Meacutedio







Sobrescritos


ej

xvi





xvii

RESUMO























Mancal radial



xviii

ABSTRACT




















Journal bearing



19





















1991)









20

































21








11 Escopo





















22

12 Objetivos

121 Objetivo geral






Reynolds








ou de mancal longo










23




























24





et al 2007)



























25
































26

































27





















modelo











28





reduzidos












eixo
















29
































30

































31










vibraccedilatildeo





















32










em forma matricial

















mais preciso







33













da folga do mancal

















34
































35






























36
































37






























38






























Poincareacute

39























40

3 METODOLOGIA

















41














Filme fluido














42













onde

43


















44







onde






onde [Me] [N

e] [G







disco no rotor




45




















46








47







(SEHGAL 2010)





(HAMROCK 1994)

t

hh

R

U

z

ph

z

ph

R

LLLL )()(

2

1

12

sup3

12

sup3

sup2

1 (31)

onde

48

R = raio do eixo






















titi


onde


49

xh = cos( )

yh = sen ( )

= x y

i = 1




ti

o

ti


onde





respectivamente

)(

2

1

1212sup2

1 00

3

00

3

0 h

R

U

z

ph

z

ph

R

LLL (35)

hih

R

U

z

ph

z

phh

z

phphh

RL

LLLLL )(

2

1

1212

3

1212

3

sup2

13

00

2

0

3

00

2

0

(36)





50







(37)

sendo que 00

3

0

212

1hR

ph

Rm L


e z

phm L

z0

3

0



maneira

himz

mR

m Lz111

1

(38)


forma

hRph

R

phh

Rm L

LL

212

1

12

313

00

2

01 (39)

z

ph

z

phhm LL

z

1212

3 3

00

2

01

(310)





01

mm

zm

Rz

51








e

i

e

i

e pp 00 i=1234 (311)

e

i

e

i

e pp i=1234 (σ = xy) (312)





e ee

ee

j

ee

j

ee

j dmdnmdm 0

(313)

onde n


52


eR

ez

e

j

z

e

je

j

1 (314)

zz ememm

(315)


ee

e

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i

e

e

j

z

e

j

z

e

i

e

ie

i

e

i

dhpdzzR

h

deR

ez

epz

he

z

Rp

h

R

002

3

0

0

3

00

3

0

2

1

12

1

1212

1

(316)


e ee

e

n

e

j

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i dmdhpdzzR

h

2

1

12002

3

0 (317)




na seguinte forma

e

j

e

j

e

i

e

ji qfPK 0 (318)





53

e

e

je

i

e

je

ie

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0


e

e

e

je

j dhf 02


e

e

n

e

j

e

j dmq









e e ee

ee

j

ee

j

ej

e

ee

j dhidmdnmdm

111 (319)


e

e e

e

e

je

i

e

je

i

e

jo

ejz

e

jee

j

dR

hRP

R

hp

R

hh

dz

mR

mdm

2sup2

1

12sup2

1

12

3

1

3

0

2

0

111

54

e

ee

i

e

je

i

e

jdP

zz

h

zz

phh

1212

3 3

00

2

0 (320)


seguinte maneira

ee

j

e

j

e

j

e

j

en

e

j

e

i

e

e

je

i

e

je

i

dhihzz

pp

R

hh

dmPdzzR

h

e

ee

2sup2

1

12

3

sup2

1

12

00

2

0

1

3

0

(321)



e

j

e

j

e

i

e

ji fqpK yx (322)



e

e

je

i

e

j

e

je

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0 (3221)

e

en

e

j

e

j dmq (3222)

e

ee

j

e

j

e

j

e

je

j dhihzz

pp

R

hhf

2sup2

1

12

3 00

2

0 (3223)


representado por nm


55



















L

aoodzdRh)pp(F

0

2

0

= XY (323)








56

L

dzdRhpCiKZ0

2

0

YX (324)

ou

dzdRhphp

hphp

CC

CCi

KK

KK L

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

0

2

0

(325)















(326)






57




eixo (rads)



i

i

i

i

i

x

y

U onde





i

i

i

i

x

y











1982)

58










elementos finitos

dos mancais



2) Caacutelculo das

matrizes de

elementos

finitos do rotor




1) Entrada de Dados



59




















hidrodinacircmicos












60










61

















62


Eixo

Comprimento

Diacircmetro



170m

40mm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa

Diacircmetro

Espessura

20 kg

400 mm

20 mm

Mancais


Rigidez Rotacional

Amortecimento

Kxx = 378 MNm

Kxy = 0 MNm

Kyx = 0 MNm

Kyy = 378 MNm

Kff= 80x104

Nmrad

KQQ = 80x104

Nmrad

Cxx = 0 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 0 Nsm









63



















64




relativo ()

FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27

FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16





65












relativo()


FWD 2580 rpm 2680 rpm 4














66





Eixo

Comprimento





120m

25cm

40cm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa



20 kg

0163 kgm2

0085 kgm2

Mancais

Rigidez

Amortecimento

Kxx = 20 MNm

Kxy = -15 MNm

Kyx = -15 MNm

Kyy = 25 MNm

Cxx = 60 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 70 Nsm





forma de onda





67






Hong e Park

(1999)

MEF Erro

relativo ()










68











dada por




69






pela forma de onda


pelo espectro

203 rpm 200 rpm






trabalho










70











-3 Pamiddots









este exemplo













71




Kxy

(MNm) Fx (N)

Desvio

Kxy Desvio

Fx

20 5 76 3926 5752 48 475

36 9 280 4122 6039 06 058

44 11 430 4146 6074 03 030

52 13 612 4158 6092 02 020

60 15 826 4166 6104 01 011

68 17 1072 4171 6111 01 008

76 19 1350 4174 6116 01 007

84 21 1660 4177 6120











72




naturais do sistema








73










4980 rpm 4950 rpm -1

6600 rpm 6650rpm 08








74









75










8890 rpm 8850 rpm -05

26800 rpm 26200 rpm -22

45600 rpm 44400 rpm -26














-3 Pamiddots







76








77






Experimental (rpm)

MEF (rpm)

erro relativo

3240 3194 -14

6360 6376 03

9480 9834 37

12960 12789 -13

18960 19190 12

25560 25591 01

28440 28823 13

32280 31992 -09

34800 35220 12

38520 38395 -03

41760 41615 -03

44100 44790 16













-3 Pamiddots







78














(CORREIA2007)

kxx = c Kxx W




79














80















definido por




81



radial















82










83



desta faixa















maacuteximo 3

84










85










para Mp = 04






como



(kyy)23




86










87


desbalanceada



























88




Pas


















89











90






















91















folga do mancal

92









-3 Pamiddots





W

w


rotaccedilatildeo

100

2000

N

rpm











93
















faixa









94
















95









96









quando
















97






ajuste de curva









98









99






mancais






100

5 CONCLUSOtildeES












mancal longo









rotativo



literatura





101















na faixa onde


nesta faixa















102






















103










USA pp25-45














Hall
















104












13(4) 418ndash425



pp 412-416


USA 476 pp











professional















105




































Series C v39 n3 pp 577-585 1996






106















911


New York EUA



Vol 38 2005 pp 481-491








769-785















107









Verlag 1993 p 381



Vol102 p 425-429











York 1ndash28






IFTOMM








Company New York





108





Vol46(2012) no 3



18th


Preto MG Brasil 8p



1(3) 15ndash34





May 1976 p 593-600






2808 1952








(1956) 965-973


of ASME 78 (1956) 899-904



Vol109 pp2-20 1987







109














No 5 pp 951-955 1996













pp 128-132












56 (2010) 291-299



110









159-170





Vol 154 pp467-484





















(2000) 238(5) 757-779





York


111

USA 370p







Technology USA








4 (1961) 117-123














n1 pp 51-60









71-76

112













113





















(A5)

(A3)

(A4)

114













Teoria de Rayleigh


115

















116




(B1)

(B2)




Em s = = 0 e

Em s = l



117



de contorno






Entatildeo

118










119

(B3)

(B4)



Em s = 0

Em s = l







(B5)

(B6)

120




Em s = 0 e

Em s = l e






121


122





















123

[Me] =

onde





124



[Ne] =

onde



relaccedilatildeo




125




[Ge] =

onde





126


[Ke] =

127






A) Valores iniciais


U

0 U

0


δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2


20

1a

t

t1a

t

1a 2

12

1a 3

1a 4

22

ta 5 )1(ta 6 ta7




t+ΔtRR =

t+ΔtR + M(a0

tU + a2

t U

+ a3 t U

) + C(a1 tU + a4

t U

+ a5 t U

)


KK

t+Δt U = t+Δt

RR


t+Δt U = a0 (


t U

t+Δt U =

t U + a6

t U

+ a7 t+Δt U

128







n

crt (D1)










ω12

2t (D2)






iv

AGRADECIMENTOS














v

SUMAacuteRIO


11 Escopo 21

12 Objetivos 22









3 METODOLOGIA 40











vi


























vii






viii

LISTA DE FIGURAS








CORREIA 2007) 47







10rpm 62




10 rpm 64


Sinou(2005) 64







ix






a 8900rpm 74

















eliacutepticos 82








x















assimeacutetrica 91










mancais 97





mancais 98

xi






LISTA DE TABELAS



Sinou(2005) a 10 rpm 64






Park(1999) 69













xii

SIMBOLOGIA
















00 yx ee


yx ee






e

jf Vetor de fluxo



xiii












][ e












n






xiv



e



e



e












z Coordenada axial









xv





mancal [rad]



( Fy Fx )




Subscritos

av Meacutedio







Sobrescritos


ej

xvi





xvii

RESUMO























Mancal radial



xviii

ABSTRACT




















Journal bearing



19





















1991)









20

































21








11 Escopo





















22

12 Objetivos

121 Objetivo geral






Reynolds








ou de mancal longo










23




























24





et al 2007)



























25
































26

































27





















modelo











28





reduzidos












eixo
















29
































30

































31










vibraccedilatildeo





















32










em forma matricial

















mais preciso







33













da folga do mancal

















34
































35






























36
































37






























38






























Poincareacute

39























40

3 METODOLOGIA

















41














Filme fluido














42













onde

43


















44







onde






onde [Me] [N

e] [G







disco no rotor




45




















46








47







(SEHGAL 2010)





(HAMROCK 1994)

t

hh

R

U

z

ph

z

ph

R

LLLL )()(

2

1

12

sup3

12

sup3

sup2

1 (31)

onde

48

R = raio do eixo






















titi


onde


49

xh = cos( )

yh = sen ( )

= x y

i = 1




ti

o

ti


onde





respectivamente

)(

2

1

1212sup2

1 00

3

00

3

0 h

R

U

z

ph

z

ph

R

LLL (35)

hih

R

U

z

ph

z

phh

z

phphh

RL

LLLLL )(

2

1

1212

3

1212

3

sup2

13

00

2

0

3

00

2

0

(36)





50







(37)

sendo que 00

3

0

212

1hR

ph

Rm L


e z

phm L

z0

3

0



maneira

himz

mR

m Lz111

1

(38)


forma

hRph

R

phh

Rm L

LL

212

1

12

313

00

2

01 (39)

z

ph

z

phhm LL

z

1212

3 3

00

2

01

(310)





01

mm

zm

Rz

51








e

i

e

i

e pp 00 i=1234 (311)

e

i

e

i

e pp i=1234 (σ = xy) (312)





e ee

ee

j

ee

j

ee

j dmdnmdm 0

(313)

onde n


52


eR

ez

e

j

z

e

je

j

1 (314)

zz ememm

(315)


ee

e

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i

e

e

j

z

e

j

z

e

i

e

ie

i

e

i

dhpdzzR

h

deR

ez

epz

he

z

Rp

h

R

002

3

0

0

3

00

3

0

2

1

12

1

1212

1

(316)


e ee

e

n

e

j

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i dmdhpdzzR

h

2

1

12002

3

0 (317)




na seguinte forma

e

j

e

j

e

i

e

ji qfPK 0 (318)





53

e

e

je

i

e

je

ie

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0


e

e

e

je

j dhf 02


e

e

n

e

j

e

j dmq









e e ee

ee

j

ee

j

ej

e

ee

j dhidmdnmdm

111 (319)


e

e e

e

e

je

i

e

je

i

e

jo

ejz

e

jee

j

dR

hRP

R

hp

R

hh

dz

mR

mdm

2sup2

1

12sup2

1

12

3

1

3

0

2

0

111

54

e

ee

i

e

je

i

e

jdP

zz

h

zz

phh

1212

3 3

00

2

0 (320)


seguinte maneira

ee

j

e

j

e

j

e

j

en

e

j

e

i

e

e

je

i

e

je

i

dhihzz

pp

R

hh

dmPdzzR

h

e

ee

2sup2

1

12

3

sup2

1

12

00

2

0

1

3

0

(321)



e

j

e

j

e

i

e

ji fqpK yx (322)



e

e

je

i

e

j

e

je

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0 (3221)

e

en

e

j

e

j dmq (3222)

e

ee

j

e

j

e

j

e

je

j dhihzz

pp

R

hhf

2sup2

1

12

3 00

2

0 (3223)


representado por nm


55



















L

aoodzdRh)pp(F

0

2

0

= XY (323)








56

L

dzdRhpCiKZ0

2

0

YX (324)

ou

dzdRhphp

hphp

CC

CCi

KK

KK L

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

0

2

0

(325)















(326)






57




eixo (rads)



i

i

i

i

i

x

y

U onde





i

i

i

i

x

y











1982)

58










elementos finitos

dos mancais



2) Caacutelculo das

matrizes de

elementos

finitos do rotor




1) Entrada de Dados



59




















hidrodinacircmicos












60










61

















62


Eixo

Comprimento

Diacircmetro



170m

40mm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa

Diacircmetro

Espessura

20 kg

400 mm

20 mm

Mancais


Rigidez Rotacional

Amortecimento

Kxx = 378 MNm

Kxy = 0 MNm

Kyx = 0 MNm

Kyy = 378 MNm

Kff= 80x104

Nmrad

KQQ = 80x104

Nmrad

Cxx = 0 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 0 Nsm









63



















64




relativo ()

FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27

FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16





65












relativo()


FWD 2580 rpm 2680 rpm 4














66





Eixo

Comprimento





120m

25cm

40cm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa



20 kg

0163 kgm2

0085 kgm2

Mancais

Rigidez

Amortecimento

Kxx = 20 MNm

Kxy = -15 MNm

Kyx = -15 MNm

Kyy = 25 MNm

Cxx = 60 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 70 Nsm





forma de onda





67






Hong e Park

(1999)

MEF Erro

relativo ()










68











dada por




69






pela forma de onda


pelo espectro

203 rpm 200 rpm






trabalho










70











-3 Pamiddots









este exemplo













71




Kxy

(MNm) Fx (N)

Desvio

Kxy Desvio

Fx

20 5 76 3926 5752 48 475

36 9 280 4122 6039 06 058

44 11 430 4146 6074 03 030

52 13 612 4158 6092 02 020

60 15 826 4166 6104 01 011

68 17 1072 4171 6111 01 008

76 19 1350 4174 6116 01 007

84 21 1660 4177 6120











72




naturais do sistema








73










4980 rpm 4950 rpm -1

6600 rpm 6650rpm 08








74









75










8890 rpm 8850 rpm -05

26800 rpm 26200 rpm -22

45600 rpm 44400 rpm -26














-3 Pamiddots







76








77






Experimental (rpm)

MEF (rpm)

erro relativo

3240 3194 -14

6360 6376 03

9480 9834 37

12960 12789 -13

18960 19190 12

25560 25591 01

28440 28823 13

32280 31992 -09

34800 35220 12

38520 38395 -03

41760 41615 -03

44100 44790 16













-3 Pamiddots







78














(CORREIA2007)

kxx = c Kxx W




79














80















definido por




81



radial















82










83



desta faixa















maacuteximo 3

84










85










para Mp = 04






como



(kyy)23




86










87


desbalanceada



























88




Pas


















89











90






















91















folga do mancal

92









-3 Pamiddots





W

w


rotaccedilatildeo

100

2000

N

rpm











93
















faixa









94
















95









96









quando
















97






ajuste de curva









98









99






mancais






100

5 CONCLUSOtildeES












mancal longo









rotativo



literatura





101















na faixa onde


nesta faixa















102






















103










USA pp25-45














Hall
















104












13(4) 418ndash425



pp 412-416


USA 476 pp











professional















105




































Series C v39 n3 pp 577-585 1996






106















911


New York EUA



Vol 38 2005 pp 481-491








769-785















107









Verlag 1993 p 381



Vol102 p 425-429











York 1ndash28






IFTOMM








Company New York





108





Vol46(2012) no 3



18th


Preto MG Brasil 8p



1(3) 15ndash34





May 1976 p 593-600






2808 1952








(1956) 965-973


of ASME 78 (1956) 899-904



Vol109 pp2-20 1987







109














No 5 pp 951-955 1996













pp 128-132












56 (2010) 291-299



110









159-170





Vol 154 pp467-484





















(2000) 238(5) 757-779





York


111

USA 370p







Technology USA








4 (1961) 117-123














n1 pp 51-60









71-76

112













113





















(A5)

(A3)

(A4)

114













Teoria de Rayleigh


115

















116




(B1)

(B2)




Em s = = 0 e

Em s = l



117



de contorno






Entatildeo

118










119

(B3)

(B4)



Em s = 0

Em s = l







(B5)

(B6)

120




Em s = 0 e

Em s = l e






121


122





















123

[Me] =

onde





124



[Ne] =

onde



relaccedilatildeo




125




[Ge] =

onde





126


[Ke] =

127






A) Valores iniciais


U

0 U

0


δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2


20

1a

t

t1a

t

1a 2

12

1a 3

1a 4

22

ta 5 )1(ta 6 ta7




t+ΔtRR =

t+ΔtR + M(a0

tU + a2

t U

+ a3 t U

) + C(a1 tU + a4

t U

+ a5 t U

)


KK

t+Δt U = t+Δt

RR


t+Δt U = a0 (


t U

t+Δt U =

t U + a6

t U

+ a7 t+Δt U

128







n

crt (D1)










ω12

2t (D2)






v

SUMAacuteRIO


11 Escopo 21

12 Objetivos 22









3 METODOLOGIA 40











vi


























vii






viii

LISTA DE FIGURAS








CORREIA 2007) 47







10rpm 62




10 rpm 64


Sinou(2005) 64







ix






a 8900rpm 74

















eliacutepticos 82








x















assimeacutetrica 91










mancais 97





mancais 98

xi






LISTA DE TABELAS



Sinou(2005) a 10 rpm 64






Park(1999) 69













xii

SIMBOLOGIA
















00 yx ee


yx ee






e

jf Vetor de fluxo



xiii












][ e












n






xiv



e



e



e












z Coordenada axial









xv





mancal [rad]



( Fy Fx )




Subscritos

av Meacutedio







Sobrescritos


ej

xvi





xvii

RESUMO























Mancal radial



xviii

ABSTRACT




















Journal bearing



19





















1991)









20

































21








11 Escopo





















22

12 Objetivos

121 Objetivo geral






Reynolds








ou de mancal longo










23




























24





et al 2007)



























25
































26

































27





















modelo











28





reduzidos












eixo
















29
































30

































31










vibraccedilatildeo





















32










em forma matricial

















mais preciso







33













da folga do mancal

















34
































35






























36
































37






























38






























Poincareacute

39























40

3 METODOLOGIA

















41














Filme fluido














42













onde

43


















44







onde






onde [Me] [N

e] [G







disco no rotor




45




















46








47







(SEHGAL 2010)





(HAMROCK 1994)

t

hh

R

U

z

ph

z

ph

R

LLLL )()(

2

1

12

sup3

12

sup3

sup2

1 (31)

onde

48

R = raio do eixo






















titi


onde


49

xh = cos( )

yh = sen ( )

= x y

i = 1




ti

o

ti


onde





respectivamente

)(

2

1

1212sup2

1 00

3

00

3

0 h

R

U

z

ph

z

ph

R

LLL (35)

hih

R

U

z

ph

z

phh

z

phphh

RL

LLLLL )(

2

1

1212

3

1212

3

sup2

13

00

2

0

3

00

2

0

(36)





50







(37)

sendo que 00

3

0

212

1hR

ph

Rm L


e z

phm L

z0

3

0



maneira

himz

mR

m Lz111

1

(38)


forma

hRph

R

phh

Rm L

LL

212

1

12

313

00

2

01 (39)

z

ph

z

phhm LL

z

1212

3 3

00

2

01

(310)





01

mm

zm

Rz

51








e

i

e

i

e pp 00 i=1234 (311)

e

i

e

i

e pp i=1234 (σ = xy) (312)





e ee

ee

j

ee

j

ee

j dmdnmdm 0

(313)

onde n


52


eR

ez

e

j

z

e

je

j

1 (314)

zz ememm

(315)


ee

e

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i

e

e

j

z

e

j

z

e

i

e

ie

i

e

i

dhpdzzR

h

deR

ez

epz

he

z

Rp

h

R

002

3

0

0

3

00

3

0

2

1

12

1

1212

1

(316)


e ee

e

n

e

j

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i dmdhpdzzR

h

2

1

12002

3

0 (317)




na seguinte forma

e

j

e

j

e

i

e

ji qfPK 0 (318)





53

e

e

je

i

e

je

ie

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0


e

e

e

je

j dhf 02


e

e

n

e

j

e

j dmq









e e ee

ee

j

ee

j

ej

e

ee

j dhidmdnmdm

111 (319)


e

e e

e

e

je

i

e

je

i

e

jo

ejz

e

jee

j

dR

hRP

R

hp

R

hh

dz

mR

mdm

2sup2

1

12sup2

1

12

3

1

3

0

2

0

111

54

e

ee

i

e

je

i

e

jdP

zz

h

zz

phh

1212

3 3

00

2

0 (320)


seguinte maneira

ee

j

e

j

e

j

e

j

en

e

j

e

i

e

e

je

i

e

je

i

dhihzz

pp

R

hh

dmPdzzR

h

e

ee

2sup2

1

12

3

sup2

1

12

00

2

0

1

3

0

(321)



e

j

e

j

e

i

e

ji fqpK yx (322)



e

e

je

i

e

j

e

je

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0 (3221)

e

en

e

j

e

j dmq (3222)

e

ee

j

e

j

e

j

e

je

j dhihzz

pp

R

hhf

2sup2

1

12

3 00

2

0 (3223)


representado por nm


55



















L

aoodzdRh)pp(F

0

2

0

= XY (323)








56

L

dzdRhpCiKZ0

2

0

YX (324)

ou

dzdRhphp

hphp

CC

CCi

KK

KK L

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

0

2

0

(325)















(326)






57




eixo (rads)



i

i

i

i

i

x

y

U onde





i

i

i

i

x

y











1982)

58










elementos finitos

dos mancais



2) Caacutelculo das

matrizes de

elementos

finitos do rotor




1) Entrada de Dados



59




















hidrodinacircmicos












60










61

















62


Eixo

Comprimento

Diacircmetro



170m

40mm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa

Diacircmetro

Espessura

20 kg

400 mm

20 mm

Mancais


Rigidez Rotacional

Amortecimento

Kxx = 378 MNm

Kxy = 0 MNm

Kyx = 0 MNm

Kyy = 378 MNm

Kff= 80x104

Nmrad

KQQ = 80x104

Nmrad

Cxx = 0 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 0 Nsm









63



















64




relativo ()

FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27

FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16





65












relativo()


FWD 2580 rpm 2680 rpm 4














66





Eixo

Comprimento





120m

25cm

40cm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa



20 kg

0163 kgm2

0085 kgm2

Mancais

Rigidez

Amortecimento

Kxx = 20 MNm

Kxy = -15 MNm

Kyx = -15 MNm

Kyy = 25 MNm

Cxx = 60 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 70 Nsm





forma de onda





67






Hong e Park

(1999)

MEF Erro

relativo ()










68











dada por




69






pela forma de onda


pelo espectro

203 rpm 200 rpm






trabalho










70











-3 Pamiddots









este exemplo













71




Kxy

(MNm) Fx (N)

Desvio

Kxy Desvio

Fx

20 5 76 3926 5752 48 475

36 9 280 4122 6039 06 058

44 11 430 4146 6074 03 030

52 13 612 4158 6092 02 020

60 15 826 4166 6104 01 011

68 17 1072 4171 6111 01 008

76 19 1350 4174 6116 01 007

84 21 1660 4177 6120











72




naturais do sistema








73










4980 rpm 4950 rpm -1

6600 rpm 6650rpm 08








74









75










8890 rpm 8850 rpm -05

26800 rpm 26200 rpm -22

45600 rpm 44400 rpm -26














-3 Pamiddots







76








77






Experimental (rpm)

MEF (rpm)

erro relativo

3240 3194 -14

6360 6376 03

9480 9834 37

12960 12789 -13

18960 19190 12

25560 25591 01

28440 28823 13

32280 31992 -09

34800 35220 12

38520 38395 -03

41760 41615 -03

44100 44790 16













-3 Pamiddots







78














(CORREIA2007)

kxx = c Kxx W




79














80















definido por




81



radial















82










83



desta faixa















maacuteximo 3

84










85










para Mp = 04






como



(kyy)23




86










87


desbalanceada



























88




Pas


















89











90






















91















folga do mancal

92









-3 Pamiddots





W

w


rotaccedilatildeo

100

2000

N

rpm











93
















faixa









94
















95









96









quando
















97






ajuste de curva









98









99






mancais






100

5 CONCLUSOtildeES












mancal longo









rotativo



literatura





101















na faixa onde


nesta faixa















102






















103










USA pp25-45














Hall
















104












13(4) 418ndash425



pp 412-416


USA 476 pp











professional















105




































Series C v39 n3 pp 577-585 1996






106















911


New York EUA



Vol 38 2005 pp 481-491








769-785















107









Verlag 1993 p 381



Vol102 p 425-429











York 1ndash28






IFTOMM








Company New York





108





Vol46(2012) no 3



18th


Preto MG Brasil 8p



1(3) 15ndash34





May 1976 p 593-600






2808 1952








(1956) 965-973


of ASME 78 (1956) 899-904



Vol109 pp2-20 1987







109














No 5 pp 951-955 1996













pp 128-132












56 (2010) 291-299



110









159-170





Vol 154 pp467-484





















(2000) 238(5) 757-779





York


111

USA 370p







Technology USA








4 (1961) 117-123














n1 pp 51-60









71-76

112













113





















(A5)

(A3)

(A4)

114













Teoria de Rayleigh


115

















116




(B1)

(B2)




Em s = = 0 e

Em s = l



117



de contorno






Entatildeo

118










119

(B3)

(B4)



Em s = 0

Em s = l







(B5)

(B6)

120




Em s = 0 e

Em s = l e






121


122





















123

[Me] =

onde





124



[Ne] =

onde



relaccedilatildeo




125




[Ge] =

onde





126


[Ke] =

127






A) Valores iniciais


U

0 U

0


δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2


20

1a

t

t1a

t

1a 2

12

1a 3

1a 4

22

ta 5 )1(ta 6 ta7




t+ΔtRR =

t+ΔtR + M(a0

tU + a2

t U

+ a3 t U

) + C(a1 tU + a4

t U

+ a5 t U

)


KK

t+Δt U = t+Δt

RR


t+Δt U = a0 (


t U

t+Δt U =

t U + a6

t U

+ a7 t+Δt U

128







n

crt (D1)










ω12

2t (D2)






vi


























vii






viii

LISTA DE FIGURAS








CORREIA 2007) 47







10rpm 62




10 rpm 64


Sinou(2005) 64







ix






a 8900rpm 74

















eliacutepticos 82








x















assimeacutetrica 91










mancais 97





mancais 98

xi






LISTA DE TABELAS



Sinou(2005) a 10 rpm 64






Park(1999) 69













xii

SIMBOLOGIA
















00 yx ee


yx ee






e

jf Vetor de fluxo



xiii












][ e












n






xiv



e



e



e












z Coordenada axial









xv





mancal [rad]



( Fy Fx )




Subscritos

av Meacutedio







Sobrescritos


ej

xvi





xvii

RESUMO























Mancal radial



xviii

ABSTRACT




















Journal bearing



19





















1991)









20

































21








11 Escopo





















22

12 Objetivos

121 Objetivo geral






Reynolds








ou de mancal longo










23




























24





et al 2007)



























25
































26

































27





















modelo











28





reduzidos












eixo
















29
































30

































31










vibraccedilatildeo





















32










em forma matricial

















mais preciso







33













da folga do mancal

















34
































35






























36
































37






























38






























Poincareacute

39























40

3 METODOLOGIA

















41














Filme fluido














42













onde

43


















44







onde






onde [Me] [N

e] [G







disco no rotor




45




















46








47







(SEHGAL 2010)





(HAMROCK 1994)

t

hh

R

U

z

ph

z

ph

R

LLLL )()(

2

1

12

sup3

12

sup3

sup2

1 (31)

onde

48

R = raio do eixo






















titi


onde


49

xh = cos( )

yh = sen ( )

= x y

i = 1




ti

o

ti


onde





respectivamente

)(

2

1

1212sup2

1 00

3

00

3

0 h

R

U

z

ph

z

ph

R

LLL (35)

hih

R

U

z

ph

z

phh

z

phphh

RL

LLLLL )(

2

1

1212

3

1212

3

sup2

13

00

2

0

3

00

2

0

(36)





50







(37)

sendo que 00

3

0

212

1hR

ph

Rm L


e z

phm L

z0

3

0



maneira

himz

mR

m Lz111

1

(38)


forma

hRph

R

phh

Rm L

LL

212

1

12

313

00

2

01 (39)

z

ph

z

phhm LL

z

1212

3 3

00

2

01

(310)





01

mm

zm

Rz

51








e

i

e

i

e pp 00 i=1234 (311)

e

i

e

i

e pp i=1234 (σ = xy) (312)





e ee

ee

j

ee

j

ee

j dmdnmdm 0

(313)

onde n


52


eR

ez

e

j

z

e

je

j

1 (314)

zz ememm

(315)


ee

e

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i

e

e

j

z

e

j

z

e

i

e

ie

i

e

i

dhpdzzR

h

deR

ez

epz

he

z

Rp

h

R

002

3

0

0

3

00

3

0

2

1

12

1

1212

1

(316)


e ee

e

n

e

j

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i dmdhpdzzR

h

2

1

12002

3

0 (317)




na seguinte forma

e

j

e

j

e

i

e

ji qfPK 0 (318)





53

e

e

je

i

e

je

ie

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0


e

e

e

je

j dhf 02


e

e

n

e

j

e

j dmq









e e ee

ee

j

ee

j

ej

e

ee

j dhidmdnmdm

111 (319)


e

e e

e

e

je

i

e

je

i

e

jo

ejz

e

jee

j

dR

hRP

R

hp

R

hh

dz

mR

mdm

2sup2

1

12sup2

1

12

3

1

3

0

2

0

111

54

e

ee

i

e

je

i

e

jdP

zz

h

zz

phh

1212

3 3

00

2

0 (320)


seguinte maneira

ee

j

e

j

e

j

e

j

en

e

j

e

i

e

e

je

i

e

je

i

dhihzz

pp

R

hh

dmPdzzR

h

e

ee

2sup2

1

12

3

sup2

1

12

00

2

0

1

3

0

(321)



e

j

e

j

e

i

e

ji fqpK yx (322)



e

e

je

i

e

j

e

je

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0 (3221)

e

en

e

j

e

j dmq (3222)

e

ee

j

e

j

e

j

e

je

j dhihzz

pp

R

hhf

2sup2

1

12

3 00

2

0 (3223)


representado por nm


55



















L

aoodzdRh)pp(F

0

2

0

= XY (323)








56

L

dzdRhpCiKZ0

2

0

YX (324)

ou

dzdRhphp

hphp

CC

CCi

KK

KK L

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

0

2

0

(325)















(326)






57




eixo (rads)



i

i

i

i

i

x

y

U onde





i

i

i

i

x

y











1982)

58










elementos finitos

dos mancais



2) Caacutelculo das

matrizes de

elementos

finitos do rotor




1) Entrada de Dados



59




















hidrodinacircmicos












60










61

















62


Eixo

Comprimento

Diacircmetro



170m

40mm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa

Diacircmetro

Espessura

20 kg

400 mm

20 mm

Mancais


Rigidez Rotacional

Amortecimento

Kxx = 378 MNm

Kxy = 0 MNm

Kyx = 0 MNm

Kyy = 378 MNm

Kff= 80x104

Nmrad

KQQ = 80x104

Nmrad

Cxx = 0 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 0 Nsm









63



















64




relativo ()

FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27

FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16





65












relativo()


FWD 2580 rpm 2680 rpm 4














66





Eixo

Comprimento





120m

25cm

40cm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa



20 kg

0163 kgm2

0085 kgm2

Mancais

Rigidez

Amortecimento

Kxx = 20 MNm

Kxy = -15 MNm

Kyx = -15 MNm

Kyy = 25 MNm

Cxx = 60 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 70 Nsm





forma de onda





67






Hong e Park

(1999)

MEF Erro

relativo ()










68











dada por




69






pela forma de onda


pelo espectro

203 rpm 200 rpm






trabalho










70











-3 Pamiddots









este exemplo













71




Kxy

(MNm) Fx (N)

Desvio

Kxy Desvio

Fx

20 5 76 3926 5752 48 475

36 9 280 4122 6039 06 058

44 11 430 4146 6074 03 030

52 13 612 4158 6092 02 020

60 15 826 4166 6104 01 011

68 17 1072 4171 6111 01 008

76 19 1350 4174 6116 01 007

84 21 1660 4177 6120











72




naturais do sistema








73










4980 rpm 4950 rpm -1

6600 rpm 6650rpm 08








74









75










8890 rpm 8850 rpm -05

26800 rpm 26200 rpm -22

45600 rpm 44400 rpm -26














-3 Pamiddots







76








77






Experimental (rpm)

MEF (rpm)

erro relativo

3240 3194 -14

6360 6376 03

9480 9834 37

12960 12789 -13

18960 19190 12

25560 25591 01

28440 28823 13

32280 31992 -09

34800 35220 12

38520 38395 -03

41760 41615 -03

44100 44790 16













-3 Pamiddots







78














(CORREIA2007)

kxx = c Kxx W




79














80















definido por




81



radial















82










83



desta faixa















maacuteximo 3

84










85










para Mp = 04






como



(kyy)23




86










87


desbalanceada



























88




Pas


















89











90






















91















folga do mancal

92









-3 Pamiddots





W

w


rotaccedilatildeo

100

2000

N

rpm











93
















faixa









94
















95









96









quando
















97






ajuste de curva









98









99






mancais






100

5 CONCLUSOtildeES












mancal longo









rotativo



literatura





101















na faixa onde


nesta faixa















102






















103










USA pp25-45














Hall
















104












13(4) 418ndash425



pp 412-416


USA 476 pp











professional















105




































Series C v39 n3 pp 577-585 1996






106















911


New York EUA



Vol 38 2005 pp 481-491








769-785















107









Verlag 1993 p 381



Vol102 p 425-429











York 1ndash28






IFTOMM








Company New York





108





Vol46(2012) no 3



18th


Preto MG Brasil 8p



1(3) 15ndash34





May 1976 p 593-600






2808 1952








(1956) 965-973


of ASME 78 (1956) 899-904



Vol109 pp2-20 1987







109














No 5 pp 951-955 1996













pp 128-132












56 (2010) 291-299



110









159-170





Vol 154 pp467-484





















(2000) 238(5) 757-779





York


111

USA 370p







Technology USA








4 (1961) 117-123














n1 pp 51-60









71-76

112













113





















(A5)

(A3)

(A4)

114













Teoria de Rayleigh


115

















116




(B1)

(B2)




Em s = = 0 e

Em s = l



117



de contorno






Entatildeo

118










119

(B3)

(B4)



Em s = 0

Em s = l







(B5)

(B6)

120




Em s = 0 e

Em s = l e






121


122





















123

[Me] =

onde





124



[Ne] =

onde



relaccedilatildeo




125




[Ge] =

onde





126


[Ke] =

127






A) Valores iniciais


U

0 U

0


δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2


20

1a

t

t1a

t

1a 2

12

1a 3

1a 4

22

ta 5 )1(ta 6 ta7




t+ΔtRR =

t+ΔtR + M(a0

tU + a2

t U

+ a3 t U

) + C(a1 tU + a4

t U

+ a5 t U

)


KK

t+Δt U = t+Δt

RR


t+Δt U = a0 (


t U

t+Δt U =

t U + a6

t U

+ a7 t+Δt U

128







n

crt (D1)










ω12

2t (D2)






vii






viii

LISTA DE FIGURAS








CORREIA 2007) 47







10rpm 62




10 rpm 64


Sinou(2005) 64







ix






a 8900rpm 74

















eliacutepticos 82








x















assimeacutetrica 91










mancais 97





mancais 98

xi






LISTA DE TABELAS



Sinou(2005) a 10 rpm 64






Park(1999) 69













xii

SIMBOLOGIA
















00 yx ee


yx ee






e

jf Vetor de fluxo



xiii












][ e












n






xiv



e



e



e












z Coordenada axial









xv





mancal [rad]



( Fy Fx )




Subscritos

av Meacutedio







Sobrescritos


ej

xvi





xvii

RESUMO























Mancal radial



xviii

ABSTRACT




















Journal bearing



19





















1991)









20

































21








11 Escopo





















22

12 Objetivos

121 Objetivo geral






Reynolds








ou de mancal longo










23




























24





et al 2007)



























25
































26

































27





















modelo











28





reduzidos












eixo
















29
































30

































31










vibraccedilatildeo





















32










em forma matricial

















mais preciso







33













da folga do mancal

















34
































35






























36
































37






























38






























Poincareacute

39























40

3 METODOLOGIA

















41














Filme fluido














42













onde

43


















44







onde






onde [Me] [N

e] [G







disco no rotor




45




















46








47







(SEHGAL 2010)





(HAMROCK 1994)

t

hh

R

U

z

ph

z

ph

R

LLLL )()(

2

1

12

sup3

12

sup3

sup2

1 (31)

onde

48

R = raio do eixo






















titi


onde


49

xh = cos( )

yh = sen ( )

= x y

i = 1




ti

o

ti


onde





respectivamente

)(

2

1

1212sup2

1 00

3

00

3

0 h

R

U

z

ph

z

ph

R

LLL (35)

hih

R

U

z

ph

z

phh

z

phphh

RL

LLLLL )(

2

1

1212

3

1212

3

sup2

13

00

2

0

3

00

2

0

(36)





50







(37)

sendo que 00

3

0

212

1hR

ph

Rm L


e z

phm L

z0

3

0



maneira

himz

mR

m Lz111

1

(38)


forma

hRph

R

phh

Rm L

LL

212

1

12

313

00

2

01 (39)

z

ph

z

phhm LL

z

1212

3 3

00

2

01

(310)





01

mm

zm

Rz

51








e

i

e

i

e pp 00 i=1234 (311)

e

i

e

i

e pp i=1234 (σ = xy) (312)





e ee

ee

j

ee

j

ee

j dmdnmdm 0

(313)

onde n


52


eR

ez

e

j

z

e

je

j

1 (314)

zz ememm

(315)


ee

e

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i

e

e

j

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j

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e

i

e

ie

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dhpdzzR

h

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ez

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Rp

h

R

002

3

0

0

3

00

3

0

2

1

12

1

1212

1

(316)


e ee

e

n

e

j

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i dmdhpdzzR

h

2

1

12002

3

0 (317)




na seguinte forma

e

j

e

j

e

i

e

ji qfPK 0 (318)





53

e

e

je

i

e

je

ie

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0


e

e

e

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e

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j

e

j dmq









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ee

j

ee

j

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111 (319)


e

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dR

hRP

R

hp

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mR

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2sup2

1

12sup2

1

12

3

1

3

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2

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111

54

e

ee

i

e

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i

e

jdP

zz

h

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phh

1212

3 3

00

2

0 (320)


seguinte maneira

ee

j

e

j

e

j

e

j

en

e

j

e

i

e

e

je

i

e

je

i

dhihzz

pp

R

hh

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h

e

ee

2sup2

1

12

3

sup2

1

12

00

2

0

1

3

0

(321)



e

j

e

j

e

i

e

ji fqpK yx (322)



e

e

je

i

e

j

e

je

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0 (3221)

e

en

e

j

e

j dmq (3222)

e

ee

j

e

j

e

j

e

je

j dhihzz

pp

R

hhf

2sup2

1

12

3 00

2

0 (3223)


representado por nm


55



















L

aoodzdRh)pp(F

0

2

0

= XY (323)








56

L

dzdRhpCiKZ0

2

0

YX (324)

ou

dzdRhphp

hphp

CC

CCi

KK

KK L

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

0

2

0

(325)















(326)






57




eixo (rads)



i

i

i

i

i

x

y

U onde





i

i

i

i

x

y











1982)

58










elementos finitos

dos mancais



2) Caacutelculo das

matrizes de

elementos

finitos do rotor




1) Entrada de Dados



59




















hidrodinacircmicos












60










61

















62


Eixo

Comprimento

Diacircmetro



170m

40mm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa

Diacircmetro

Espessura

20 kg

400 mm

20 mm

Mancais


Rigidez Rotacional

Amortecimento

Kxx = 378 MNm

Kxy = 0 MNm

Kyx = 0 MNm

Kyy = 378 MNm

Kff= 80x104

Nmrad

KQQ = 80x104

Nmrad

Cxx = 0 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 0 Nsm









63



















64




relativo ()

FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27

FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16





65












relativo()


FWD 2580 rpm 2680 rpm 4














66





Eixo

Comprimento





120m

25cm

40cm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa



20 kg

0163 kgm2

0085 kgm2

Mancais

Rigidez

Amortecimento

Kxx = 20 MNm

Kxy = -15 MNm

Kyx = -15 MNm

Kyy = 25 MNm

Cxx = 60 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 70 Nsm





forma de onda





67






Hong e Park

(1999)

MEF Erro

relativo ()










68











dada por




69






pela forma de onda


pelo espectro

203 rpm 200 rpm






trabalho










70











-3 Pamiddots









este exemplo













71




Kxy

(MNm) Fx (N)

Desvio

Kxy Desvio

Fx

20 5 76 3926 5752 48 475

36 9 280 4122 6039 06 058

44 11 430 4146 6074 03 030

52 13 612 4158 6092 02 020

60 15 826 4166 6104 01 011

68 17 1072 4171 6111 01 008

76 19 1350 4174 6116 01 007

84 21 1660 4177 6120











72




naturais do sistema








73










4980 rpm 4950 rpm -1

6600 rpm 6650rpm 08








74









75










8890 rpm 8850 rpm -05

26800 rpm 26200 rpm -22

45600 rpm 44400 rpm -26














-3 Pamiddots







76








77






Experimental (rpm)

MEF (rpm)

erro relativo

3240 3194 -14

6360 6376 03

9480 9834 37

12960 12789 -13

18960 19190 12

25560 25591 01

28440 28823 13

32280 31992 -09

34800 35220 12

38520 38395 -03

41760 41615 -03

44100 44790 16













-3 Pamiddots







78














(CORREIA2007)

kxx = c Kxx W




79














80















definido por




81



radial















82










83



desta faixa















maacuteximo 3

84










85










para Mp = 04






como



(kyy)23




86










87


desbalanceada



























88




Pas


















89











90






















91















folga do mancal

92









-3 Pamiddots





W

w


rotaccedilatildeo

100

2000

N

rpm











93
















faixa









94
















95









96









quando
















97






ajuste de curva









98









99






mancais






100

5 CONCLUSOtildeES












mancal longo









rotativo



literatura





101















na faixa onde


nesta faixa















102






















103










USA pp25-45














Hall
















104












13(4) 418ndash425



pp 412-416


USA 476 pp











professional















105




































Series C v39 n3 pp 577-585 1996






106















911


New York EUA



Vol 38 2005 pp 481-491








769-785















107









Verlag 1993 p 381



Vol102 p 425-429











York 1ndash28






IFTOMM








Company New York





108





Vol46(2012) no 3



18th


Preto MG Brasil 8p



1(3) 15ndash34





May 1976 p 593-600






2808 1952








(1956) 965-973


of ASME 78 (1956) 899-904



Vol109 pp2-20 1987







109














No 5 pp 951-955 1996













pp 128-132












56 (2010) 291-299



110









159-170





Vol 154 pp467-484





















(2000) 238(5) 757-779





York


111

USA 370p







Technology USA








4 (1961) 117-123














n1 pp 51-60









71-76

112













113





















(A5)

(A3)

(A4)

114













Teoria de Rayleigh


115

















116




(B1)

(B2)




Em s = = 0 e

Em s = l



117



de contorno






Entatildeo

118










119

(B3)

(B4)



Em s = 0

Em s = l







(B5)

(B6)

120




Em s = 0 e

Em s = l e






121


122





















123

[Me] =

onde





124



[Ne] =

onde



relaccedilatildeo




125




[Ge] =

onde





126


[Ke] =

127






A) Valores iniciais


U

0 U

0


δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2


20

1a

t

t1a

t

1a 2

12

1a 3

1a 4

22

ta 5 )1(ta 6 ta7




t+ΔtRR =

t+ΔtR + M(a0

tU + a2

t U

+ a3 t U

) + C(a1 tU + a4

t U

+ a5 t U

)


KK

t+Δt U = t+Δt

RR


t+Δt U = a0 (


t U

t+Δt U =

t U + a6

t U

+ a7 t+Δt U

128







n

crt (D1)










ω12

2t (D2)






viii

LISTA DE FIGURAS








CORREIA 2007) 47







10rpm 62




10 rpm 64


Sinou(2005) 64







ix






a 8900rpm 74

















eliacutepticos 82








x















assimeacutetrica 91










mancais 97





mancais 98

xi






LISTA DE TABELAS



Sinou(2005) a 10 rpm 64






Park(1999) 69













xii

SIMBOLOGIA
















00 yx ee


yx ee






e

jf Vetor de fluxo



xiii












][ e












n






xiv



e



e



e












z Coordenada axial









xv





mancal [rad]



( Fy Fx )




Subscritos

av Meacutedio







Sobrescritos


ej

xvi





xvii

RESUMO























Mancal radial



xviii

ABSTRACT




















Journal bearing



19





















1991)









20

































21








11 Escopo





















22

12 Objetivos

121 Objetivo geral






Reynolds








ou de mancal longo










23




























24





et al 2007)



























25
































26

































27





















modelo











28





reduzidos












eixo
















29
































30

































31










vibraccedilatildeo





















32










em forma matricial

















mais preciso







33













da folga do mancal

















34
































35






























36
































37






























38






























Poincareacute

39























40

3 METODOLOGIA

















41














Filme fluido














42













onde

43


















44







onde






onde [Me] [N

e] [G







disco no rotor




45




















46








47







(SEHGAL 2010)





(HAMROCK 1994)

t

hh

R

U

z

ph

z

ph

R

LLLL )()(

2

1

12

sup3

12

sup3

sup2

1 (31)

onde

48

R = raio do eixo






















titi


onde


49

xh = cos( )

yh = sen ( )

= x y

i = 1




ti

o

ti


onde





respectivamente

)(

2

1

1212sup2

1 00

3

00

3

0 h

R

U

z

ph

z

ph

R

LLL (35)

hih

R

U

z

ph

z

phh

z

phphh

RL

LLLLL )(

2

1

1212

3

1212

3

sup2

13

00

2

0

3

00

2

0

(36)





50







(37)

sendo que 00

3

0

212

1hR

ph

Rm L


e z

phm L

z0

3

0



maneira

himz

mR

m Lz111

1

(38)


forma

hRph

R

phh

Rm L

LL

212

1

12

313

00

2

01 (39)

z

ph

z

phhm LL

z

1212

3 3

00

2

01

(310)





01

mm

zm

Rz

51








e

i

e

i

e pp 00 i=1234 (311)

e

i

e

i

e pp i=1234 (σ = xy) (312)





e ee

ee

j

ee

j

ee

j dmdnmdm 0

(313)

onde n


52


eR

ez

e

j

z

e

je

j

1 (314)

zz ememm

(315)


ee

e

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i

e

e

j

z

e

j

z

e

i

e

ie

i

e

i

dhpdzzR

h

deR

ez

epz

he

z

Rp

h

R

002

3

0

0

3

00

3

0

2

1

12

1

1212

1

(316)


e ee

e

n

e

j

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i dmdhpdzzR

h

2

1

12002

3

0 (317)




na seguinte forma

e

j

e

j

e

i

e

ji qfPK 0 (318)





53

e

e

je

i

e

je

ie

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0


e

e

e

je

j dhf 02


e

e

n

e

j

e

j dmq









e e ee

ee

j

ee

j

ej

e

ee

j dhidmdnmdm

111 (319)


e

e e

e

e

je

i

e

je

i

e

jo

ejz

e

jee

j

dR

hRP

R

hp

R

hh

dz

mR

mdm

2sup2

1

12sup2

1

12

3

1

3

0

2

0

111

54

e

ee

i

e

je

i

e

jdP

zz

h

zz

phh

1212

3 3

00

2

0 (320)


seguinte maneira

ee

j

e

j

e

j

e

j

en

e

j

e

i

e

e

je

i

e

je

i

dhihzz

pp

R

hh

dmPdzzR

h

e

ee

2sup2

1

12

3

sup2

1

12

00

2

0

1

3

0

(321)



e

j

e

j

e

i

e

ji fqpK yx (322)



e

e

je

i

e

j

e

je

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0 (3221)

e

en

e

j

e

j dmq (3222)

e

ee

j

e

j

e

j

e

je

j dhihzz

pp

R

hhf

2sup2

1

12

3 00

2

0 (3223)


representado por nm


55



















L

aoodzdRh)pp(F

0

2

0

= XY (323)








56

L

dzdRhpCiKZ0

2

0

YX (324)

ou

dzdRhphp

hphp

CC

CCi

KK

KK L

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

0

2

0

(325)















(326)






57




eixo (rads)



i

i

i

i

i

x

y

U onde





i

i

i

i

x

y











1982)

58










elementos finitos

dos mancais



2) Caacutelculo das

matrizes de

elementos

finitos do rotor




1) Entrada de Dados



59




















hidrodinacircmicos












60










61

















62


Eixo

Comprimento

Diacircmetro



170m

40mm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa

Diacircmetro

Espessura

20 kg

400 mm

20 mm

Mancais


Rigidez Rotacional

Amortecimento

Kxx = 378 MNm

Kxy = 0 MNm

Kyx = 0 MNm

Kyy = 378 MNm

Kff= 80x104

Nmrad

KQQ = 80x104

Nmrad

Cxx = 0 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 0 Nsm









63



















64




relativo ()

FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27

FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16





65












relativo()


FWD 2580 rpm 2680 rpm 4














66





Eixo

Comprimento





120m

25cm

40cm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa



20 kg

0163 kgm2

0085 kgm2

Mancais

Rigidez

Amortecimento

Kxx = 20 MNm

Kxy = -15 MNm

Kyx = -15 MNm

Kyy = 25 MNm

Cxx = 60 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 70 Nsm





forma de onda





67






Hong e Park

(1999)

MEF Erro

relativo ()










68











dada por




69






pela forma de onda


pelo espectro

203 rpm 200 rpm






trabalho










70











-3 Pamiddots









este exemplo













71




Kxy

(MNm) Fx (N)

Desvio

Kxy Desvio

Fx

20 5 76 3926 5752 48 475

36 9 280 4122 6039 06 058

44 11 430 4146 6074 03 030

52 13 612 4158 6092 02 020

60 15 826 4166 6104 01 011

68 17 1072 4171 6111 01 008

76 19 1350 4174 6116 01 007

84 21 1660 4177 6120











72




naturais do sistema








73










4980 rpm 4950 rpm -1

6600 rpm 6650rpm 08








74









75










8890 rpm 8850 rpm -05

26800 rpm 26200 rpm -22

45600 rpm 44400 rpm -26














-3 Pamiddots







76








77






Experimental (rpm)

MEF (rpm)

erro relativo

3240 3194 -14

6360 6376 03

9480 9834 37

12960 12789 -13

18960 19190 12

25560 25591 01

28440 28823 13

32280 31992 -09

34800 35220 12

38520 38395 -03

41760 41615 -03

44100 44790 16













-3 Pamiddots







78














(CORREIA2007)

kxx = c Kxx W




79














80















definido por




81



radial















82










83



desta faixa















maacuteximo 3

84










85










para Mp = 04






como



(kyy)23




86










87


desbalanceada



























88




Pas


















89











90






















91















folga do mancal

92









-3 Pamiddots





W

w


rotaccedilatildeo

100

2000

N

rpm











93
















faixa









94
















95









96









quando
















97






ajuste de curva









98









99






mancais






100

5 CONCLUSOtildeES












mancal longo









rotativo



literatura





101















na faixa onde


nesta faixa















102






















103










USA pp25-45














Hall
















104












13(4) 418ndash425



pp 412-416


USA 476 pp











professional















105




































Series C v39 n3 pp 577-585 1996






106















911


New York EUA



Vol 38 2005 pp 481-491








769-785















107









Verlag 1993 p 381



Vol102 p 425-429











York 1ndash28






IFTOMM








Company New York





108





Vol46(2012) no 3



18th


Preto MG Brasil 8p



1(3) 15ndash34





May 1976 p 593-600






2808 1952








(1956) 965-973


of ASME 78 (1956) 899-904



Vol109 pp2-20 1987







109














No 5 pp 951-955 1996













pp 128-132












56 (2010) 291-299



110









159-170





Vol 154 pp467-484





















(2000) 238(5) 757-779





York


111

USA 370p







Technology USA








4 (1961) 117-123














n1 pp 51-60









71-76

112













113





















(A5)

(A3)

(A4)

114













Teoria de Rayleigh


115

















116




(B1)

(B2)




Em s = = 0 e

Em s = l



117



de contorno






Entatildeo

118










119

(B3)

(B4)



Em s = 0

Em s = l







(B5)

(B6)

120




Em s = 0 e

Em s = l e






121


122





















123

[Me] =

onde





124



[Ne] =

onde



relaccedilatildeo




125




[Ge] =

onde





126


[Ke] =

127






A) Valores iniciais


U

0 U

0


δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2


20

1a

t

t1a

t

1a 2

12

1a 3

1a 4

22

ta 5 )1(ta 6 ta7




t+ΔtRR =

t+ΔtR + M(a0

tU + a2

t U

+ a3 t U

) + C(a1 tU + a4

t U

+ a5 t U

)


KK

t+Δt U = t+Δt

RR


t+Δt U = a0 (


t U

t+Δt U =

t U + a6

t U

+ a7 t+Δt U

128







n

crt (D1)










ω12

2t (D2)






ix






a 8900rpm 74

















eliacutepticos 82








x















assimeacutetrica 91










mancais 97





mancais 98

xi






LISTA DE TABELAS



Sinou(2005) a 10 rpm 64






Park(1999) 69













xii

SIMBOLOGIA
















00 yx ee


yx ee






e

jf Vetor de fluxo



xiii












][ e












n






xiv



e



e



e












z Coordenada axial









xv





mancal [rad]



( Fy Fx )




Subscritos

av Meacutedio







Sobrescritos


ej

xvi





xvii

RESUMO























Mancal radial



xviii

ABSTRACT




















Journal bearing



19





















1991)









20

































21








11 Escopo





















22

12 Objetivos

121 Objetivo geral






Reynolds








ou de mancal longo










23




























24





et al 2007)



























25
































26

































27





















modelo











28





reduzidos












eixo
















29
































30

































31










vibraccedilatildeo





















32










em forma matricial

















mais preciso







33













da folga do mancal

















34
































35






























36
































37






























38






























Poincareacute

39























40

3 METODOLOGIA

















41














Filme fluido














42













onde

43


















44







onde






onde [Me] [N

e] [G







disco no rotor




45




















46








47







(SEHGAL 2010)





(HAMROCK 1994)

t

hh

R

U

z

ph

z

ph

R

LLLL )()(

2

1

12

sup3

12

sup3

sup2

1 (31)

onde

48

R = raio do eixo






















titi


onde


49

xh = cos( )

yh = sen ( )

= x y

i = 1




ti

o

ti


onde





respectivamente

)(

2

1

1212sup2

1 00

3

00

3

0 h

R

U

z

ph

z

ph

R

LLL (35)

hih

R

U

z

ph

z

phh

z

phphh

RL

LLLLL )(

2

1

1212

3

1212

3

sup2

13

00

2

0

3

00

2

0

(36)





50







(37)

sendo que 00

3

0

212

1hR

ph

Rm L


e z

phm L

z0

3

0



maneira

himz

mR

m Lz111

1

(38)


forma

hRph

R

phh

Rm L

LL

212

1

12

313

00

2

01 (39)

z

ph

z

phhm LL

z

1212

3 3

00

2

01

(310)





01

mm

zm

Rz

51








e

i

e

i

e pp 00 i=1234 (311)

e

i

e

i

e pp i=1234 (σ = xy) (312)





e ee

ee

j

ee

j

ee

j dmdnmdm 0

(313)

onde n


52


eR

ez

e

j

z

e

je

j

1 (314)

zz ememm

(315)


ee

e

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i

e

e

j

z

e

j

z

e

i

e

ie

i

e

i

dhpdzzR

h

deR

ez

epz

he

z

Rp

h

R

002

3

0

0

3

00

3

0

2

1

12

1

1212

1

(316)


e ee

e

n

e

j

e

e

je

i

e

e

je

i

e

je

i dmdhpdzzR

h

2

1

12002

3

0 (317)




na seguinte forma

e

j

e

j

e

i

e

ji qfPK 0 (318)





53

e

e

je

i

e

je

ie

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0


e

e

e

je

j dhf 02


e

e

n

e

j

e

j dmq









e e ee

ee

j

ee

j

ej

e

ee

j dhidmdnmdm

111 (319)


e

e e

e

e

je

i

e

je

i

e

jo

ejz

e

jee

j

dR

hRP

R

hp

R

hh

dz

mR

mdm

2sup2

1

12sup2

1

12

3

1

3

0

2

0

111

54

e

ee

i

e

je

i

e

jdP

zz

h

zz

phh

1212

3 3

00

2

0 (320)


seguinte maneira

ee

j

e

j

e

j

e

j

en

e

j

e

i

e

e

je

i

e

je

i

dhihzz

pp

R

hh

dmPdzzR

h

e

ee

2sup2

1

12

3

sup2

1

12

00

2

0

1

3

0

(321)



e

j

e

j

e

i

e

ji fqpK yx (322)



e

e

je

i

e

j

e

je

ji dzzR

hK

e sup2

1

12

3

0 (3221)

e

en

e

j

e

j dmq (3222)

e

ee

j

e

j

e

j

e

je

j dhihzz

pp

R

hhf

2sup2

1

12

3 00

2

0 (3223)


representado por nm


55



















L

aoodzdRh)pp(F

0

2

0

= XY (323)








56

L

dzdRhpCiKZ0

2

0

YX (324)

ou

dzdRhphp

hphp

CC

CCi

KK

KK L

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

YYYX

XYXX

0

2

0

(325)















(326)






57




eixo (rads)



i

i

i

i

i

x

y

U onde





i

i

i

i

x

y











1982)

58










elementos finitos

dos mancais



2) Caacutelculo das

matrizes de

elementos

finitos do rotor




1) Entrada de Dados



59




















hidrodinacircmicos












60










61

















62


Eixo

Comprimento

Diacircmetro



170m

40mm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa

Diacircmetro

Espessura

20 kg

400 mm

20 mm

Mancais


Rigidez Rotacional

Amortecimento

Kxx = 378 MNm

Kxy = 0 MNm

Kyx = 0 MNm

Kyy = 378 MNm

Kff= 80x104

Nmrad

KQQ = 80x104

Nmrad

Cxx = 0 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 0 Nsm









63



















64




relativo ()

FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27

FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16





65












relativo()


FWD 2580 rpm 2680 rpm 4














66





Eixo

Comprimento





120m

25cm

40cm

200 GNm2

8000 kgm3

Disco

Massa



20 kg

0163 kgm2

0085 kgm2

Mancais

Rigidez

Amortecimento

Kxx = 20 MNm

Kxy = -15 MNm

Kyx = -15 MNm

Kyy = 25 MNm

Cxx = 60 Nsm

Cxy = 0 Nsm

Cyx = 0 Nsm

Cyy = 70 Nsm





forma de onda





67






Hong e Park

(1999)

MEF Erro

relativo ()










68











dada por




69






pela forma de onda


pelo espectro

203 rpm 200 rpm






trabalho










70











-3 Pamiddots









este exemplo













71




Kxy

(MNm) Fx (N)

Desvio

Kxy Desvio

Fx

20 5 76 3926 5752 48 475

36 9 280 4122 6039 06 058

44 11 430 4146 6074 03 030

52 13 612 4158 6092 02 020

60 15 826 4166 6104 01 011

68 17 1072 4171 6111 01 008

76 19 1350 4174 6116 01 007

84 21 1660 4177 6120











72




naturais do sistema








73










4980 rpm 4950 rpm -1

6600 rpm 6650rpm 08








74









75










8890 rpm 8850 rpm -05

26800 rpm 26200 rpm -22

45600 rpm 44400 rpm -26














-3 Pamiddots







76








77






Experimental (rpm)

MEF (rpm)

erro relativo

3240 3194 -14

6360 6376 03

9480 9834 37

12960 12789 -13

18960 19190 12

25560 25591 01

28440 28823 13

32280 31992 -09

34800 35220 12

38520 38395 -03

41760 41615 -03

44100 44790 16













-3 Pamiddots







78














(CORREIA2007)

kxx = c Kxx W




79














80















definido por




81



radial















82










83



desta faixa















maacuteximo 3

84










85










para Mp = 04






como



(kyy)23




86










87


desbalanceada



























88




Pas


















89











90






















91















folga do mancal

92









-3 Pamiddots





W

w


rotaccedilatildeo

100

2000

N

rpm











93
















faixa









94
















95









96









quando
















97






ajuste de curva









98









99






mancais






100

5 CONCLUSOtildeES












mancal longo









rotativo



literatura





101















na faixa onde


nesta faixa















102






















103










USA pp25-45














Hall
















104












13(4) 418ndash425



pp 412-416


USA 476 pp











professional















105




































Series C v39 n3 pp 577-585 1996






106















911


New York EUA



Vol 38 2005 pp 481-491








769-785















107









Verlag 1993 p 381



Vol102 p 425-429











York 1ndash28






IFTOMM








Company New York





108





Vol46(2012) no 3



18th


Preto MG Brasil 8p



1(3) 15ndash34





May 1976 p 593-600






2808 1952








(1956) 965-973


of ASME 78 (1956) 899-904



Vol109 pp2-20 1987







109














No 5 pp 951-955 1996













pp 128-132












56 (2010) 291-299



110









159-170





Vol 154 pp467-484





















(2000) 238(5) 757-779





York


111

USA 370p







Technology USA








4 (1961) 117-123














n1 pp 51-60









71-76

112













113





















(A5)

(A3)

(A4)

114













Teoria de Rayleigh


115

















116




(B1)

(B2)




Em s = = 0 e

Em s = l



117



de contorno






Entatildeo

118










119

(B3)

(B4)



Em s = 0

Em s = l







(B5)

(B6)

120




Em s = 0 e

Em s = l e






121


122





















123

[Me] =

onde





124



[Ne] =

onde



relaccedilatildeo




125




[Ge] =

onde





126


[Ke] =

127






A) Valores iniciais


U

0 U

0


δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2


20

1a

t

t1a

t

1a 2

12

1a 3

1a 4

22

ta 5 )1(ta 6 ta7




t+ΔtRR =

t+ΔtR + M(a0

tU + a2

t U

+ a3 t U

) + C(a1 tU + a4

t U

+ a5 t U

)


KK

t+Δt U = t+Δt

RR


t+Δt U = a0 (


t U

t+Δt U =

t U + a6

t U

+ a7 t+Δt U

128







n

crt (D1)










ω12

2t (D2)






Documents

ANÁLISE DE ROTORES FLEXÍVEIS APOIADOS EM MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS E CILÍNDRICOS ... · 2019. 11. 14. · número de elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a