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ANÁLISIS DEL USO DEL CONCEPTO DE DERIVADA POR ESTUDIANTES

UNIVERSITARIOS EN EL ESTUDIO DE CONCEPTOS ECONÓMICOS

Ángel Luis Ariza Jiménez

http://www.ua.es/

http://www.eltallerdigital.com/

DEPARTAMENTO DE INNOVACIÓN Y FORMACIÓN DIDÁCTICA



TESIS DOCTORAL

ÁNGEL LUIS ARIZA JIMÉNEZ

ALICANTE, Octubre 2014



Memoria que presenta D. Ángel Luis Ariza Jiménez

para optar al grado de doctor

Fdo.: Ángel Luis Ariza Jiménez

Trabajo realizado bajo la dirección del Dr. Salvador Llinares Ciscar

Fdo.: Dr. Salvador Llinares Ciscar

Alicante, Octubre de 2014

AGRADECIMIENTOS En primer lugar, quería agradecer al Dr. Salvador Llinares Ciscar, director de

esta tesis, el haberme brindado la oportunidad de realizar una investigación didáctica

enfocada al aprendizaje de la Economía. Gracias también por toda la formación,

contribuciones y comentarios relacionados con la Didáctica de la Matemática, y que han

permitido que este trabajo interdisciplinar entre Matemáticas y Economía sea posible.

Gracias también a todos los componentes del Grupo de Investigación de

Didáctica de la Matemática de la Universidad de Alicante por sus contribuciones en los

distintos seminarios, incluidos los profesores de la Universidad Politécnica de Valencia

por sus aportaciones de la teoría fuzzy. Mi especial agradecimiento a la Dra. Julia Valls,

ya que desde su implicación esta tesis comenzó a ver la luz.

Gracias al Dr. Erno Lehtinen y la Dra. Kaarina Merenluoto de la Facultad de

Educación de la Universidad de Turku (Finlandia), por acogerme en su universidad

durante mi estancia de tres meses en los inicios de esta tesis.

Gracias de igual manera a la Dra. Kerstin Pettersson del Departamento de

Matemáticas y Ciencias de la Educación de la Universidad de Estocolmo (Suecia) por

su colaboración, tiempo y paciencia dedicados en este trabajo para ella desconocido.

Gracias también a la profesora Eva Melby por sus contribuciones en las dudas

relacionadas con la traducción al idioma inglés.

Gracias a mis alumnos matriculados en la materia de Microeconomía durante los

cursos 2010/11 y 2011/12 de la Escuela de Empresariales de la Universidad de Alicante

que participaron en los cuestionarios y las entrevistas.

Y en especial, gracias a Maribel por su apoyo en los momentos más delicados y

difíciles, por soportar tardes y fines de semana dedicados a esta tesis, sin su apoyo no

hubiera sido posible. Relacionado con ella y por último, quiero dedicar esta tesis a

nuestra hija Manuela, cuya existencia me ha dado la ilusión necesaria para poder

finalizar este arduo trabajo, justo en el mismo momento en el que yo le regalo la vida.

ÍNDICE Ángel Ariza Jiménez

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ÍNDICE

INTRODUCTION…………………………………………………………………

CAPÍTULO 1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN……………………………..

1.1. Modelización y contextualización……………………………………………

1.2. La relación entre los conceptos matemáticos y económicos: uso de

diferentes registros…………………………………………………………...

1.2.1. Contextualización económica de modelos matemáticos………………

1.2.2. El uso de diferentes registros en los conceptos matemáticos y

económicos ……………………………………………………………

1.2.2.1. El uso de diferentes registros en los conceptos

matemáticos………………………………………………….

1.2.2.2. El uso de diferentes registros en los conceptos

económicos…………………………………………………..

1.3. La noción de derivada en los contextos de Economía……………………….

1.3.1.Concepto de límite y cociente incremental…………………………….

1.3.2. El concepto de derivada: relación con los conceptos económicos y su

aplicación con diferentes registros……..................................................

1.3.3. Elementos matemáticos del concepto de cambio instrumentalizado a

través de la derivada y aplicado en conceptos

económicos…………………………………………………………….

1.3.4.Conceptos económicos vinculados al concepto de derivada…………..

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO……………………………………………….

2.1. Teoría sobre los registros de representación de Duval………………………

2.2. Teoría APOE de Dubinsky………………………………………………….

2.2.1. Descomposición genética: formas de conocer y mecanismos de

construcción...………………………………………………………….

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2.3. Propuesta de descomposición genética. ……………………………………..

2.3.1. Elementos del esquema la relación función-derivada en los conceptos

económicos……………………………………………………………

2.3.2. Hipótesis previas sobre el desarrollo de la comprensión del esquema

de la relación función-derivada en conceptos económicos…………...

2.4. Niveles de desarrollo del esquema…………………………………………...

2.5. Preguntas de investigación…………………………………………………...

CAPÍTULO 3. DISEÑO DE INVESTIGACIÓN………………………………….

3.1. Participantes y contexto……………………………………………………...

3.2. Instrumentos de recogida de datos. Diseño e implementación………………

3.2.1.Cuestionario…………………………………………………………...

3.2.1.1 Las tareas del cuestionario………………………….................

3.2.2. Entrevista……………………………………………………………...

3.3. Análisis………………………………………………………………………

3.3.1.Etapa 1. Puntuación………………………………………………….

3.3.2. Etapa 2. Aplicación de la métrica fuzzy para identificar niveles de

desarrollo del esquema de la relación función-derivada en conceptos

económicos. Asignación de niveles de desarrollo…………………...

3.3.2.1 La teoría fuzzy……………………………………................

3.3.2.2 Identificación de los niveles de desarrollo del esquema de la

relación función-derivada en conceptos económicos a través

de la técnica fuzzy…………………………………………..

3.3.2.3 Grado de desarrollo del esquema de la relación función-

derivada en conceptos económicos. Asignación de niveles

de desarrollo…………………………………………………

CAPÍTULO 4. RESULTADOS…………………………………………………...

4.1. Características de los niveles de desarrollo del esquema de la relación

función-derivada en el uso de conceptos económicos………………………

4.1.1.Características del nivel INTRA de desarrollo del esquema la

relación función-derivada en el uso de conceptos económicos.………

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4.1.2.Características del nivel INTER de desarrollo del esquema de la

relación función-derivada en el uso de conceptos económicos……….

4.1.3.Características del nivel TRANS de desarrollo del esquema de la

relación función-derivada en el uso de conceptos económicos.………

4.2.Límite entre niveles: trayectoria sugerida de cambio de nivel………………..

4.2.1 Características de alumnos con medidas fuzzy en el límite entre

niveles…………………………………………………………………

4.2.2 Trayectoria sugerida de cambio de nivel ………………………………

4.3.Tematización del Esquema……………………………………………………

4.3.1. Dificultades en identificar las relaciones función – derivada en

nuevos conceptos económicos presentados en forma cóncava…..........

4.3.2. Característica del esquema de la relación función-derivada en

conceptos económicos: identificar las relaciones función – derivada

en nuevos conceptos económicos, independientemente del tipo de

convexidad…….....................................................................................

CHAPTER 5. DISCUSSION AND CONCLUSIONS…………………………….

5.1. Contributions of the research. Relations with other theoretical perspectives...

5.2. About the thematization of the schema ……………………………………....

5.3. Fuzzy technique: some limitations…………………………………………….

5.4. Implications for further studies………………………………………………..

REFERENCIAS……………………………………………………………………

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INTRODUCTION

Introducción Ángel Luis Ariza Jiménez

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INTRODUCTION

Understanding economic concepts necessarily involves mastering the

mathematical concepts and skills on which they are based. In this context, the

mathematical relationship between a function and its derivative is not only implicit in

many economic concepts, but is also one of the most important mathematical

relationships in the study of economics.

Several economic concepts are based on this relationship, such as the demand

curve (function) and the concept of price elasticity of demand (derivative), the total

product (function) and marginal product (derivative), the total cost (function) and

marginal cost (derivative) and the indifference curve (function) and marginal rate of

substitution (derivative). These concepts are involved in the notions of growth,

contraction, concavity and convexity that are inherent in the relationship between a

function and its derivative. In particular, understanding the relationship between a

function and its derivative is essential to make sense of the marginal analysis on which

these economic concepts are based.

This thus raises the need to characterise the role of understanding the function-

derivative relationship in learning these economic concepts. The aim of the research

presented here was to contribute information on this aspect. Given this goal, we

proposed the following research question at the bottom of the first chapter:

• What are the characteristics of microeconomics students' understanding of the

function-derivative relationship when learning economic concepts?

In the second chapter, in order to attempt to answer this research question, we

adopted a cognitive approach to elucidate the role that mathematical concepts play in


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learning economic concepts, based on the theoretical frameworks given by Duval and

Piaget. For Duval (1995), access to mathematical knowledge is achieved through the

use of a variety of representation registers. By representation registers, we refer to a

system of symbols employed to represent a mathematical idea or object that allows two

actions: transformation within the same register - treatment - and conversion, which is a

total or partial transformation to another register. Moreover, a key idea from a cognitive

perspective of knowledge construction is the concept of the schema, understood as the

way in which students relate and organise knowledge. Piaget and Garcia (1983-1989)

defined a schema as a coherent set of processes, objects and other schemata which is

developed in three stages: Intra, Inter and Trans. These stages are characterised by the

ability of students to establish relationships between the elements which constitute

ideas. As a means to operationalise this theoretical perspective, Dubinsky (1991) and

colleagues (Arnon et al., 2014) defined the genetic decomposition of a concept as a

structured set of mental constructs that describes how the concept is acquired in the

mind of an individual. Genetic decomposition must be understood as a hypothetical

route through which a student can come to understand the concept. In this study, we

proposed a genetic decomposition of the relationship between a function and its

derivative in the use of economic concepts, based on the results of research on how

students develop an understanding of this relationship. We broke this genetic

decomposition down into 12 elements organised into three nested schemata.

In the third chapter, we describe the methodology followed. Thus, study

participants consisted of 110 students enrolled in the optional subject of

"Microeconomics" offered on the Degree in Business Studies at the University of

Alicante. All participants had previously studied the subjects of Mathematics and

Economics I, and were thus familiar with the calculation of derivatives, integrals and

partial derivatives in economic concepts. Data collection instruments consisted of a

questionnaire comprising 5 tasks with 12 items related to economic concepts in which

the derivative appeared implicitly or explicitly; subsequently, 25 students were

interviewed using semi-structured clinical interviews. Each of the questionnaire items

corresponded to one of the elements of the proposed genetic decomposition

Analysis of the answers was conducted in two stages. In the first stage, the

answers to the questionnaire (and responses in the interview if students had been

interviewed) were scored according to the elements and relationships used to solve tasks


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and the explanations given during the interview. The score assigned referred to the

degree of acquisition of the corresponding element in each item. We established five

levels of acquisition (0, 0.25, 0.5, 0.75, 1) for each element considered in the genetic

decomposition of the function-derivative relationship schema in learning economic

concepts. This procedure allowed us to assign each student a tuple of 12 values. In the

second stage, we used fuzzy logic to identify different levels of acquisition of the

function-derivative relationship schema in economic contexts. The fuzzy technique was

selected in order to overcome the limitations involved in assigning students to different

levels of schema acquisition using qualitative analysis. The concepts of fuzzy set and

fuzzy topology (Chang, 1968; Zadeh, 1965) provide a new approach to characterise the

extent of understanding. A fuzzy set is defined by assigning an interval value [0, 1] to

each element of a universe of reference. This value represents the degree of belonging

to that set. This notion introduces the notion of "blurriness" to the idea of belonging to a

set, and can model many real phenomena in which objects do not have a defined

membership criterion. In the present study, the membership function indicated the

extent to which a student had acquired the function-derivative relationship schema in

learning economic concepts, considering the means by which a set of Microeconomics

problems had been solved. To obtain the membership function, we used the notion of

fuzzy metric space described by George and Veeramani (1994), considering the

standard fuzzy metric induced by the Euclidean metric d, of the set X, which is given by

the formula

( )yxdtt

tyxFd ,),,(:

+=

.

This definition means that the fuzzy metric value depends on a contextual

parameter "t", which allows consideration of the uncertainty that characterises the

context of the analysis. The value of t was determined in various stages. Firstly, we

assumed that a student Q, with zero in all elements of the schema, should obtain a

degree of membership score less than or equal to 0.25. This assumption is supported by

the fact that all student participants had demonstrated some knowledge of the necessary

prerequisites for solving the problems. Secondly, once the degree of membership of the

student Q had been established, we obtained a value of "t" for each of the fuzzy sets or

schemata considered (schema 0: from algebraic to graphic, schema 1: meaning and use


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of the 1st derivative, and schema 2: meaning and use of the 2nd derivative) (t = 0.66).

From this value of the parameter “t”, each student was assigned a fuzzy score or

distance in each schema, where the fuzzy distance of schema 2 (which integrated the

previous two) would correspond to a given level of acquisition of the function-

derivative relationship schema in economic concepts.

From the conceptual description of the INTRA level, we know that students at

this level do not establish relationships between schema elements, whereas at the

INTER level, they begin to establish relationships between these elements and to

construct the meaning of the relationship between a function and its derivative in the

graphic register. In this case, a student at the INTER level would be able to use the

concept of the 1st derivative in the graphic register and coordinate it with the algebraic

register, for both linear and nonlinear functions. Meanwhile, a student at the TRANS

level would consider the relationship of the concept of the 2nd derivative, which would

enable him or her to pass from the derivative of a function at a point to the derivative of

a (concave or convex) function and explain how to use the meaning of the

concavity/convexity of the economic function. Given this conceptual analysis, two

fuzzy scores were determined as boundary points between the intra-inter levels (Fd =

0.27) and the inter-trans levels (Fd = 0.36).

In the fourth chapter, the analysis procedure employed enabled us to assign a

fuzzy score to each student, which in turn allowed us to characterise the degree of

acquisition of the function-derivative relationship in learning economic concepts

schema

LEVEL Number of students %

INTRA: Fd < 0.27 72 64.45

INTER: 0.27 ≤Fd <0.36 33 30.00

TRANS: 0.36 ≤ Fd 5 4.55

TOTAL 110 100

As the following table shows, some student characteristics can be identified in

each level.


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Levels Characteristics

INTRA

• Students can calculate average rates of change between two points and at one

point or estimate the limit using the concept of elasticity in the algebraic

register.

• Students can perform conversions of linear and nonlinear economic functions

from the algebraic to the graphic register.

• Students can only establish relationships between a function and its

derivative in the algebraic register.

INTER

• Students can perform conversions of linear and nonlinear economic

functions from the graphic to the algebraic register.

• Students can establish relationships between a function and its derivative in

the graphic register.

• Students can use the concept of the 2nd derivative in the algebraic

register.

TRANS • Students can use the concept of the 2nd derivative in the algebraic register

and can apply the meaning of concavity/convexity.

By observing the answers to the questionnaire and interviews of the students

assigned close to the boundary points we suggest a hypothetical path of level change.

Thus, in order to be assigned to INTER level, a student from INTRA level has to be

able to:

- Carry out conversions from the graphic to the algebraic register.

- Establish relationships between a function and its derivative in the graphic register.

- Calculate the value of the second derivative in the algebraic register.

In order to be assigned to TRANS level, a student from INTER level has to be

able to:

- Apply the meaning of concavity/convexity by using the second derivative in the

algebraic register.

Finally, one student from the TRANS level thematised the relationships between

the function and its derivative. He reached a higher level of acquisition of the schema,

above TRANS level. This student was able to identify the relationship function –


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derivative in new economic concepts independently of which type of convexity function

it was.

In the fifth chapter, we summarise the conclusions of our research and discuss

our results. This chapter is divided into three parts. In the first part, we emphasise what

our research has contributed. In the second part, we point out some ideas related to

thematisation. In the third part, we show some limitations of the fuzzy technique and in

the fourth part we suggest some implications for further studies.

Finally in the Appendix we show three issues. The first one shows the initial

scripts of the interview in every item of the questionnaire. The second issue shows some

examples of students´ answers of each score in each item. And finally we show the

score of each student in each item and their fuzzy measure in every schema.

CAPÍTULO 1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1. Problema de Investigación Ángel Luis Ariza Jiménez

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CAPÍTULO 1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

Nuestra investigación tiene como objetivo describir la relación entre los

conceptos matemáticos y los económicos cuando se resuelven problemas de economía.

El uso de los significados de la idea de derivada en la resolución de problemas de

economía puede ser entendido como un tipo de contextualización de los conceptos

matemáticos usados para construir los conceptos económicos que permiten entender

parte de la realidad económica. Por ello, en este capítulo describimos en un primer

apartado la importancia de la modelización y contextualización en educación

matemática y su aplicación en otras ciencias. Posteriormente, presentamos tres

temáticas de investigación relevantes para comprender las investigaciones sobre la

comprensión de los conceptos económicos y su relación con la comprensión de los

conceptos matemáticos. En primer lugar, describimos algunas investigaciones que han

puesto de manifiesto la interrelación entre los conceptos económicos y matemáticos y

de otras disciplinas científicas. Segundo, describimos algunas investigaciones que

analizan la relevancia de la utilización de diferentes sistemas de representación en el

aprendizaje. Finalmente, nos centramos en investigaciones que han analizado el

concepto de derivada como límite del cociente incremental y su relación con conceptos

económicos considerando los diferentes sistemas de representación.


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1.1. Modelización y contextualización

Gran número de disciplinas se apoyan en los conceptos matemáticos para

modelizar sus objetos de estudio (Blum, Galbraith, Henn, y Niss, 2007). En particular,

algunos estudios consideran que la enseñanza de las nociones específicas de la

Economía debería ser vista como procesos de modelización de las variables y relaciones

usando para ello los conceptos matemáticos. Esta situación plantea dos ámbitos de

atención diferentes. Por una parte, los procesos de contextualización en la enseñanza de

las matemáticas, y por otra parte, de qué manera algunas Ciencias Sociales reconocen

en su enseñanza que algunas de sus nociones específicas son modelos matemáticos.

Desde la perspectiva de las matemáticas, el papel de la contextualización de las

matemáticas fue analizado por De Lange (1987) en su libro “Mathematics insight and

meaning”. En él, establece tres usos diferentes de la contextualización en la enseñanza

de las matemáticas. Considera un “Uso de tercer orden” cuando se usa un contexto

determinado para introducir un concepto matemático, y donde la contextualización

adquiere un papel menos relevante. Denomina “uso de segundo orden” cuando la

contextualización se basa en la utilización de problemas de la vida real, en los que se

espera que los estudiantes encuentren los instrumentos matemáticos necesarios para

organizar y resolver el problema. Finalmente, considera que se realiza un “uso de

primer orden” cuando las operaciones matemáticas están integradas en contextos. De

Lange (1987) afirma que la contextualización produce una mayor motivación en los

estudiantes. Sin embargo, enumera una serie de consejos para que no sea utilizada de

forma excesiva, pues en tal caso podría no ser efectiva e incluso resultar desmotivadora

para los estudiantes. Entre dichos consejos indica que no deberían utilizarse contextos

emocionales (guerra, enfermedades, ética…), ni contextos artificiales, ni contextos

demasiado neutrales.

En su análisis del papel de la contextualización de las matemáticas, De Lange

distingue tres modos diferentes de aproximación a los contenidos matemáticos. El modo

empirista que se caracteriza por focalizar la atención en actividades del entorno más que

en operaciones mentales. El modo estructuralista y mecanicista que se caracteriza por

ser un sistema de reglas que les son dadas a los estudiantes, los cuales las verifican y

aplican en problemas similares a los ejemplos previos. Por último, el modo realista o

realístico que es un híbrido de los anteriores, prestando una especial atención tanto al


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modo empirista (al que también llama matematización horizontal) como al modo

estructuralista o mecanicista (que denomina matematización vertical).

La distinción entre matemáticas puras y matemáticas aplicadas dada por De

Lange (1987) es relevante aquí dada la temática de nuestra investigación (interrelación

entre un concepto matemático y su uso en otra ciencia social). Según De Lange, el

currículo debería presentar un equilibrio entre ambas concepciones, aunque siempre ha

habido partidarios de incluir matemáticas puras solamente y otros que consideran que

las matemáticas aplicadas son necesarias. El concepto de matemáticas aplicadas, si bien

tiene varias acepciones, se refiere a la idea de hacer matemáticas a través de una

interpretación o modelo ante una situación de la vida real correspondiente a otro campo

o disciplina. Esa otra disciplina puede englobar las ciencias físicas, la biología, ciencias

sociales, estudios empresariales, etc. En el currículo de los diferentes países a lo largo

de los últimos 50 años se han ido introduciendo cada vez más aspectos relacionados con

las matemáticas aplicadas. Numerosos autores como Lesh, Landau y Hamilton (1983)

creen en la aplicación de las matemáticas como herramienta para la solución de

problemas, no solamente cuando el aprendizaje del concepto matemático se ha llevado a

cabo, sino también como contexto con el cual el aprendizaje de las ideas matemáticas

tiene lugar.

Otra distinción que resalta De Lange (1987) en el aprendizaje de las matemáticas

se da entre el entendimiento analógico de las matemáticas y el entendimiento analítico.

El primero está basado en la intuición siendo el uso de símbolos estructurales abstractos

bastante reducido; por su parte, en el analítico predomina el uso de símbolos, y aparece

en una etapa más tardía. Para apoyar sus indicaciones, el autor recoge el experimento

realizado en 40 escuelas de secundaria holandesas por el cual se estableció una

asignatura de matemáticas bajo las características de matemáticas aplicadas. Más de un

80% de los alumnos participantes acogieron positivamente la nueva metodología, y

afirmaron sentirse más preparados no solo para afrontar problemas de matemáticas sino

también de otras asignaturas como biología o economía. Sin embargo, los alumnos

también afirmaron que solamente los profesores más jóvenes estarían dispuestos a

enfocar la enseñanza de las matemáticas desde esta perspectiva contextualizada en

situaciones reales.

Por otra parte y desde la perspectiva de la modelización, Blomoj (2004) aporta

una caracterización de la modelización que consiste en 6 sub-procesos:


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- formulación del problema

- sistematización o definición de relaciones

- traducción al lenguaje matemático

- uso de métodos matemáticos para llegar a conclusiones

- interpretación de los resultados

- evaluación del modelo por comparación con otros datos

Elegir las actividades de modelización es un elemento crucial para potenciar el

papel de la modelización en el uso de los conceptos matemáticos para entender y

manejar las situaciones. Blomoj (2004) ilustró este marco de referencia con un ejemplo

en el que estudiantes daneses de octavo grado trabajaron con modelización de

fenómenos reales relativos a su propia existencia, en un proyecto llamado Mañanas

matemáticas. El proyecto consistía en que los estudiantes tenían que modelizar

matemáticamente algún hecho que les ocurriera en sus vidas todas las mañanas. El

proyecto generó resultados interesantes y el nivel de compromiso de los estudiantes fue

alto, dedicaron mucho tiempo en asuntos prácticos, se ayudaron e inspiraron entre ellos

realizando cálculos y representaciones gráficas variadas. El autor completa su trabajo

con tres argumentos a favor de la modelización matemática como elemento central en la

enseñanza de la matemática desde edades tempranas:

- la modelización matemática tiende puentes entre la experiencia de la vida

diaria de los alumnos y la matemática

- en el desarrollo de sociedades altamente tecnológicas las competencias para

analizar modelos matemáticos son de vital importancia

- los modelos matemáticos de distinto tipo y complejidad están jugando roles

importantes en el funcionamiento de sociedades basadas en la alta tecnología

Por último, indica que la teoría puede ser una herramienta para la práctica de la

enseñanza de la modelización matemática, ya que:

- los alumnos encuentran motivador y relevante trabajar con problemas reales

- los contextos construidos para la enseñanza pueden dar soporte para la

construcción de significados


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- el conocimiento matemático no es un prerrequisito para las actividades de

modelización

La importancia de la contextualización y la modelización queda también

reflejada en otras investigaciones. Por ejemplo, Gaigher, Rogan y Braun (2007)

mostraron en una investigación realizada en 16 escuelas sudafricanas que los

estudiantes a los que previamente se les exponía en matemáticas una estrategia

estructurada de resolución de problemas alcanzaban una mejor compresión de conceptos

en física, y tendían a utilizar este acercamiento conceptual en la resolución de

problemas. Por su parte, Lesh y Harel (2003) llegaron a la conclusión de que si los

problemas eran presentados a través de la modelización de situaciones reales conocidas

los estudiantes eran capaces de inventar, modificar o ampliar construcciones

matemáticas más sofisticadas que aquellas que se utilizan en los libros de texto y en los

procesos de enseñanza tradicionales y que habían sido incapaces de comprender o

aplicar con anterioridad.

La importancia de contextualizar las tareas-problemas que se usan en la

enseñanza es subrayada por Valverde y Castro (2006) al analizar el papel que juega en

el fomento de la competencia matemática. En su investigación estudian cómo los

estudiantes pueden usar conceptos matemáticos al manejar situaciones en las que este

concepto puede ser útil para modelizar. Los autores se centraron en el tópico de la

proporcionalidad para analizar cómo se desarrollaban las competencias matemáticas

mediante la contextualización en situaciones reales. La competencia matemática a la

que se refieren considera la capacidad de plantear, resolver e interpretar problemas

empleando las matemáticas dentro de una variedad de contextos y situaciones, los

cuales van desde los puramente matemáticos a aquellos que no presentan ninguna

estructura matemática aparente. Así, un estudiante habrá comprendido un cierto

contenido matemático cuando lo aplique eficazmente en la resolución de problemas. La

necesidad de estimular la competencia matemática para responder a las exigencias de un

mundo globalizado, inestable y cargado de información conlleva la búsqueda de

opciones concretas, y una de ellas es la inclusión en el currículo de tales tareas-

problemas contextualizadas que permitan acercar las matemáticas del aula y las

matemáticas del entorno. Esta investigación plantea la relación entre la modelización de

una situación mediante un concepto matemático y la comprensión de dicho concepto.

En cierta medida el énfasis en el uso de situaciones contextualizadas indica que el


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objetivo es el desarrollo de la comprensión del concepto matemático, y no tanto el

desarrollo de la competencia de modelizar. Lo que justifica esta aproximación es que, el

concepto de la proporcionalidad en el que basan su trabajo, está relacionado con muchos

otros contenidos matemáticos y con contenidos de otras materias como Física, Química,

Biología, y en las Ciencias Sociales. Los resultados obtenidos indican que el estudiante

puede llegar a ser capaz de usar ese concepto de una manera eficaz en una situación

problemática particular. Desde la misma perspectiva, en la investigación de Roig

(Llinares y Roig, 2008) analizan cómo estudiantes de educación secundaria construyen

y usan los conceptos matemáticos como modelos conceptuales (herramientas) cuando

resuelven problemas. En esta investigación se identificaron cuatro niveles de desarrollo

en la construcción y uso de los modelos matemáticos (conceptos) en los estudiantes

cuando resolvían los problemas. Una de las características en el proceso de construcción

y uso de los modelos matemáticos fue la interacción entre identificar lo general en lo

particular y en usar lo particular en dotar de sentido a lo general. Los resultados de esta

investigación proporcionaron implicaciones relativas al uso por parte de los estudiantes

de los conceptos matemáticos como herramientas conceptuales (modelos) en relación al

desarrollo de la competencia matemática.

Otra perspectiva diferente es la que utilizaron Ortiz y Dos Santos (2011), los

cuales se centraron en el proceso de modelización matemática seguido en la resolución

de problemas del mundo físico y social con un grupo de cinco estudiantes del primer

año de educación secundaria. El estudio se basa en los procesos seguidos y en las

representaciones utilizadas en las que los estudiantes tienden a la estructuración de

respuestas numéricas con las unidades de medidas y de representaciones verbales, y se

observó ausencia de representaciones gráficas en los procedimientos seguidos en la

resolución de problemas, lo cual se justifica porque los profesores no suelen utilizar

diferentes sistemas de representación de un mismo concepto. Los resultados obtenidos

indican que los participantes tienen un sentido intuitivo de la modelización, el cual

podría potenciarse con un profesor que posea una preparación adecuada y utilice

estrategias de modelización en el aula de matemáticas

Font y Ramos (2005) estudiaron el caso de la contextualización del concepto de

función en estudiantes de primer curso de Ciencias Económicas y Empresariales

matriculados en la materia de “Introducción a la Matemática”. Sus resultados indican

que, a pesar de la buena disposición de los docentes a contextualizar el concepto de


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función en determinados conceptos económicos, la mayoría de las veces se abusaba de

una enseñanza excesivamente formalista. Esta situación generaba dificultades y

obstáculos a la hora de que los alumnos contextualizaran al ámbito de la Economía las

características aprehendidas sobre el concepto de función.

Por último, Salas (2011) describe a través de ejemplos el papel que juega el

proceso de la modelización y la contextualización activa, dentro de las estrategias

metodológicas que deben ser utilizadas por el docente para lograr un aprendizaje que

perdure en el tiempo. El estudio presenta dos ejemplos de cómo se puede impartir una

lección de matemáticas utilizando como estrategia metodológica la modelización. Los

resultados obtenidos indican que el uso de estas estrategias permiten fomentar actitudes

como aumentar la confianza en relación a la utilidad de las matemáticas, una mayor

participación activa y colaborativa de los estudiantes, y un mayor respeto y disfrute

hacia las matemáticas.

Desde la perspectiva de las Ciencias Sociales que hacen un uso explícito de

modelos matemáticos, éste es todavía un campo abierto. En la revisión bibliográfica

realizada de los estudios sobre enseñanza y aprendizaje de las disciplina en las Ciencias

Sociales que explicitan modelos matemáticos hemos encontrado pocas investigaciones

relevantes. La investigación que presentamos se puede entender desde la perspectiva de

las Ciencias Sociales que usan explícitamente modelos matemáticos, por lo que abrimos

un campo que consideramos relevante para la enseñanza de la Economía: la importancia

que tiene la comprensión de los conceptos matemáticos que modelizan conceptos

económicos. Por otra parte, también podría entenderse desde la perspectiva de la

contextualización en otras ciencias del aprendizaje de las matemáticas. Un concepto

como la derivada ha de aprehenderse contextualizado, y los conceptos económicos para

entenderse han de utilizar modelos matemáticos para ser entendidos. La investigación

que presentamos pretende resaltar la necesaria interacción entre ambas vertientes

(aprendizaje de elementos matemáticos modelizados en otros contextos y aprendizaje de

elementos económicos modelizados matemáticamente) partiendo de una disciplina de

las ciencias sociales como la microeconomía que utiliza la formulación matemática para

la construcción de sus postulados.


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1.2. La relación entre los conceptos matemáticos y económicos: uso de diferentes

registros

En este apartado analizamos las relaciones entre los conceptos matemáticos y los

conceptos económicos desde la perspectiva de la contextualización y modelización. En

primer lugar, presentamos la relación entre algunos conceptos matemáticos y

económicos, y en segundo lugar describiremos el papel que desempeña el uso de

diferentes registros de representación. Esta segunda revisión la haremos distinguiendo

entre investigaciones basadas en conceptos matemáticos e investigaciones basadas en

conceptos económicos.

La Economía es un campo que necesita apoyarse en la modelización

matemática. Como ciencia, la Economía construye sus postulados, teorías y leyes a

través de la elaboración de modelos matemáticos construidos sobre relaciones entre

variables. Por ejemplo, el modelo clásico de la Oferta y la Demanda no es más que la

modelización de la relación entre estas dos variables económicas a través de ecuaciones

que manifiestan su relación con la variable Precio, generalmente en funciones de tipo

lineal. Por otra parte, durante los últimos años se ha empezado a realizar

investigaciones que analizan la relación entre la comprensión de conceptos económicos

y los conceptos matemáticos utilizados en la construcción de modelos económicos

(Ballard y Jonson, 2004; Cohn, Cohn, Hult, Bradley y Balch, 2000; Hey, 2005).

Algunos de los resultados ponen de manifiesto la importancia de utilizar diferentes

sistemas de representación (algebraico, gráfico y numérico) para ayudar a los

estudiantes a comprender ideas económicas a partir de los conceptos matemáticos que

los articulan.

1.2.1. Contextualización económica de modelos matemáticos

La revisión anterior subraya la importancia que desempeña la contextualización

para cualquier disciplina, y por tanto también para el estudio de conceptos económicos.

Destacamos de la literatura reciente dos investigaciones que analizan la necesidad de

contextualizar la microeconomía en otras disciplinas o contextos. Jill (2003) enfatizó la

importancia de enseñar microeconomía a través de la interdisciplinariedad o relación

con otras disciplinas. Este autor, a través de un experimento basado en la enseñanza de

conceptos económicos como las funciones de oferta y demanda, la elasticidad, el coste


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de oportunidad, la frontera de posibilidades de producción, etc., puso en relación la

microeconomía con la ecología y la filosofía. La explicación de los conceptos

económicos se presentó dentro de un esquema de preocupación por la conservación del

medio ambiente, utilizando un ejemplo concreto consistente en la conservación de un

bosque. Se utilizó el análisis gráfico para explicitar las funciones y conceptos

económicos, subrayando el papel de los modelos matemáticos al ser usados para

desarrollar los significados económicos. Los resultados mostraron que el interés por el

estudio de conceptos microeconómicos aumentó entre los alumnos al entender que

ayudaban a comprender aspectos del mundo real. En segundo lugar, Evensky (2004)

indica que la enseñanza de la economía debería ir contextualizada con otras ciencias

sociales (fundamentalmente la política, la ética y la filosofía) y también con las

matemáticas.

Nuestra investigación se centra en la necesaria interrelación entre las

matemáticas y la microeconomía. Numerosos trabajos muestran la importancia de esta

relación. En particular, García, Azcarate y Moreno (2006) analizan la manera en la que

diez profesores relacionan los significados de los conceptos matemáticos con los

conceptos económicos cuando enseñan cálculo diferencial a estudiantes de Ciencias

Económicas. Estos autores constataron que en la enseñanza de la derivada la mayoría

de los profesores enfatizaban los conceptos matemáticos y descuidaban el contenido

económico, por lo que la relación entre los conceptos de cálculo y su significado para

explicar los fenómenos económicos podía resultar poco evidente para los estudiantes.

Por su parte, desde la óptica de los propios alumnos, Ballard y Johnson (2004)

mostraron que existe una correlación directa entre el éxito que presentan estudiantes

universitarios en un curso de introducción a la microeconomía y el manejo de

herramientas matemáticas básicas. Sus resultados indican que existe una correlación

positiva entre el manejo de herramientas matemáticas básicas y el éxito en un curso

introductorio de microeconomía. Butler, Finegan y Siegfried (1998) analizaron los

efectos de un curso semestral adicional de cálculo diferencial en el aprendizaje de la

teoría económica intermedia. Estos autores analizaron grupos de alumnos en cursos

intermedios de Micro y Macroeconomía (MICRO-2 y MACRO-2) que previamente

habían cursado un curso introductorio de ambas (MICRO-1 y MACRO-1). Estos

autores analizaron la correlación entre el rendimiento en MICRO-2 y MACRO-2 tras la

superación previa de al menos un curso semestral de cálculo, que en algunos de los


- 16 -

alumnos llegó a ser dos semestres. La posibilidad de cursar previamente cursos

adicionales de cálculo quedaba a elección de los propios alumnos, pudiendo elegir entre

otros cursos diferentes como el aprendizaje de idiomas. Se analizó la correlación entre

el éxito en las disciplinas intermedias de micro y macroeconomía con variables como el

género, la puntuación en el test SAT (Scholastic Aptitude Test), que indicaba el nivel de

manejo de operaciones básicas como el cálculo de la pendiente de una recta, el área de

un triángulo o dividir por una fracción), los años cursados de física, química y ciencias

sociales, lenguas extranjeras, etc. Los resultados obtenidos indican que los alumnos con

mayor puntuación en el SAT y más años cursados de matemáticas obtenían mejor

rendimiento en Micro y Macro, así como los que cursaron algún curso de física (no así

de química). Los alumnos con más conocimiento de idiomas no mostraban diferencias

estadísticas relevantes. Posteriormente, se analizó la correlación de los contenidos en

las diferentes asignaturas de matemáticas cursadas previamente, así como el semestre

adicional de cálculo teniendo en cuenta el hecho de que se cursaran con mucha

diferencia de tiempo o no, con las asignaturas de MICRO-2 y MACRO-2. Concluyeron

que existían mejoras en la comprensión de los conceptos que articulan la

microeconomía en aquellos alumnos que previamente habían cursado uno o dos

semestres adicionales de cálculo (ceteris paribus), no siendo así en los conceptos de

macroeconomía. Estas mejoras eran mayores si los alumnos solamente cursaban hasta

dos semestres adicionales de cálculo en lugar de tres o cuatro, en cuyo caso las mejoras

en microeconomía no estaban correlacionadas con cursos tan avanzados de cálculo. Los

autores concluyen que la correlación (ceteris paribus) entre las otras variables

consideradas y el rendimiento en micro y macroeconomía intermedia no eran relevantes.

Con esta misma idea, Lagerlof y Seltzer (2009) examinaron los efectos de un curso de

refuerzo de matemáticas en el rendimiento de alumnos universitarios en cursos de

economía. Formaron dos grupos de estudiantes, los que cursaron un curso de refuerzo

de matemáticas y aquellos que no lo cursaron. Estos autores estudiaron los resultados

de los exámenes previamente al curso de refuerzo de matemáticas y posteriormente al

mismo. Sus resultados confirmaron que no había apenas mejora en el rendimiento en los

cursos de economía para aquellos alumnos que siguieron el curso de refuerzo de

matemáticas; por el contrario, aquellos que en educación secundaria tenían un alto

rendimiento en matemáticas tienen hoy un alto rendimiento en cursos de economía.


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Finalmente von Allmen y George (1998) indicaron que un estudiante de

microeconomía intermedia necesita al menos un curso de cálculo de un semestre de

duración. Sin embargo, muchas veces los estudiantes apenas utilizan el cálculo en el

estudio de microeconomía y tampoco son conscientes de la importancia de dominar

dicha disciplina matemática. Mumford y Oland (2011) analizaron diferencias

significativas de rendimiento y características entre los estudiantes de Principios de

Microeconomía y Microeconomía Intermedia que proceden de otros estudios como

Ingenierías, Matemáticas o Física, y los que proceden de Económicas o Administración

de Empresas. También concluyeron que los alumnos que procedían de disciplinas con

estudios en matemáticas más intensivos obtenían mejores resultados en microeconomía

intermedia si el trabajo realizado en principios de microeconomía había sido bueno, lo

cual puede indicar que la enseñanza de la microeconomía se construye bajo unos sólidos

conocimientos matemáticos, puestos en relación con los conceptos económicos

introductorios de la asignatura de Principios de Microeconomía. Estos resultados

parecen indicar que la variable explicativa no es la cantidad de cursos adicionales de

matemáticas sino posiblemente el enfoque (conceptual o procedimental) dado en dichos

cursos.

Akihito (2006) afirmó que el análisis marginal es fundamental en el estudio de

un curso introductorio de Microeconomía. Sin embargo, según él, muchos libros de

texto no profundizan en este tipo de análisis al no considerar la utilización de la

condición de segundo orden, que en problemas de optimización de funciones

económicas consiste en que se cumpla que la segunda derivada de la función origen sea

positiva. Esta condición de segundo orden indica una medida del crecimiento de la

función. La enseñanza de estos problemas de optimización de funciones obvia en la

mayoría de los casos la concepción de la condición de segundo orden, lo cual obliga a

los alumnos a memorizar la condición de primer orden, es decir, el punto donde la

primera derivada de la función obtiene un valor determinado, sin haber entendido el

concepto e implicaciones de la marginalidad de las funciones económicas. Este hecho

produce que, en muchos ejercicios propuestos que se escapan de la normalidad

memorizada por los alumnos, en donde es necesario entender y aplicar la condición de

segundo orden, aparezcan errores y dificultades. Para entender el análisis marginal, y así

incentivar a los alumnos en el estudio de la disciplina económica (donde el concepto de


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marginal es esencial), se ha de incentivar una enseñanza donde primen los significados

en lugar de la memorización de condiciones.

También existen investigaciones que intentan analizar el efecto contrario, es

decir, la influencia de los estudios de economía en los resultados en los cursos de

matemáticas. En relación a este aspecto, Cohn y sus colegas (2000) indicaron que los

estudiantes mejoraban su éxito en el aprendizaje de las matemáticas hasta en un 40% si

estaban matriculados en un curso de introducción a la economía con respecto a alumnos

matriculados en un curso de psicología. Estos resultados se obtuvieron a través de la

realización de un pre-test y un post-test de conocimiento matemático elaborado a

propósito para este estudio.

Todas las investigaciones que analizan la relación de los conceptos matemáticos

y económicos desde la óptica de los profesores (García, Azcarate y Moreno, 2006),

desde la de los resultados de los propios alumnos, y desde la estructuración de los libros

de texto (Akihito, 2006), indican que algunas veces los conceptos económicos se

manejan sin una buena comprensión de los significados matemáticos que los organizan.

Esta situación implica que las interpretaciones de las situaciones económicas resulten

difíciles de realizar si los estudiantes no poseen una comprensión adecuada de los

conceptos matemáticos que organizan las situaciones económicas. Como consecuencia,

resulta importante empezar a generar información sobre la manera en la que los

estudiantes de Economía comprenden los conceptos matemáticos que son utilizados en

la caracterización de las nociones económicas, y cómo esta comprensión determina sus

interpretaciones económicas de las situaciones.

La revisión anterior de las investigaciones sobre la influencia de la comprensión

de los conceptos matemáticos en la comprensión de los conceptos de Economía se ha

realizado considerando dimensiones generales de lo que se considera la competencia

matemática. Sin embargo el hecho de que algunos conceptos de microeconomía son

modelos matemáticos relativos a la relación entre una función y su derivada, pone de

manifiesto la necesidad de centrar la atención en aspectos particulares relativos al papel

que desempeña la comprensión de los conceptos matemáticos en relación a la

comprensión de los conceptos económicos. En particular, el concepto matemático de

función derivada aparece de forma habitual y frecuente en los conceptos económicos,

especialmente en aquellos pertenecientes al campo de la Microeconomía. Como señaló

Akihito (2006) el análisis marginal es fundamental en la disciplina de la


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Microeconomía, por lo que el protagonismo del concepto matemático de la derivada es

indudable. En este sentido, creemos que muchas de las dificultades que los estudiantes

de Microeconomía presentan tienen su origen en una compresión no adecuada de este

concepto matemático.

1.2.2. El uso de diferentes registros en los conceptos matemáticos y económicos

El importante papel que supone enseñar y aprender los contenidos matemáticos

y económicos utilizando diferentes sistemas de representación ha sido tratado en la

literatura ampliamente. Describiremos algunas investigaciones que han analizado la

importancia de los diferentes registros de representación en el aprendizaje de conceptos

matemáticos, y en una segunda parte analizaremos la importancia de los sistemas de

representación en el aprendizaje de conceptos económicos. Concluiremos el apartado

con la descripción de los resultados de una investigación que analiza la importancia de

dichos sistemas de representación cuando se contextualiza en conceptos económicos.

1.2.2.1.El uso de diferentes registros en los conceptos matemáticos

La literatura existente, así como también nuestra experiencia docente e

investigadora, ponen de manifiesto la importancia que tiene el saber desenvolverse

dentro del registro gráfico. En la docencia y currícula actuales de matemáticas, este

registro permanece discriminado ante la preponderancia del registro algebraico. En este

contexto, la importancia de la investigación de Krutestkii (1976) estriba por un lado en

su distinción entre niveles de comprensión matemática basada en la presencia del

componente lógico-formal en el pensamiento matemático, y por otro en la distinción de

tipos de habilidades matemáticas basada en la preferencia del componente visual en el

pensamiento matemático. Krutetskii (1976) identificó tres tipos de habilidades

matemáticas en el nivel escolar:

• Algebraico: domina el componente lógico-formal.

• Geométrico: domina el componente visual.

• Armónico: existe un equilibrio entre los dos componentes.

o Armónico Abstracto: se es capaz de utilizar el componente visual en la

resolución de problemas matemáticos, pero no es el preferido.


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o Armónico Visual: se es capaz de utilizar el componente visual en la

resolución de problemas matemáticos y además se prefiere hacerlo.

Los estudiantes que muestran preferencias hacia el pensamiento analítico o

algebraico confían más en los procesos lógico-formales y menos en los procesos

visuales. Asimismo, los alumnos que muestran preferencias hacia el pensamiento visual

confían más en los procesos pictórico-visuales y menos en los procesos lógico-formales.

Estos alumnos necesitan interpretar visualmente la expresión de una relación

matemática abstracta o bien proceder mediante esquemas e imágenes visuales, incluso si

el problema puede resolverse con un simple racionamiento y el uso de la visualización

se atisbe innecesario o complicado.

Krutetskii (1976) propone la cuestión: “¿Es un obstáculo para un estudiante con

pensamiento matemático lógico-formal utilizar patrones y esquemas pictórico-

visuales?” Según el autor sí puede ser un obstáculo de cierto grado para un número

limitado de alumnos. Los estudiantes con habilidad Armónica confían igualmente en los

procesos visuales y lógicos, aunque los alumnos representativos de una habilidad

Armónica Abstracta no sienten la necesidad de usar esquemas visuales en la resolución

de problemas, mientras que los alumnos representativos de la habilidad Armónico

Visual manifiestan cierta tendencia a confiar más en los significados visuales. En

general, los programas de enseñanza han prestado poca atención a los aspectos visuales

de las Matemáticas (excepción hecha de los contenidos de tipo geométrico) y se han

centrado casi exclusivamente en su componente analítica. En particular, normalmente el

currículo de Economía presta más atención a aspectos matemáticos formales que a los

visuales.

La necesidad de poner de manifiesto evidencias del papel desempeñado por los

diferentes registros en el desarrollo de la comprensión ha generado una serie de

investigaciones. Así, Haciomeroglu, Aspinwall y Presmerg (2010) mostraron la

importancia de utilizar el registro gráfico y la de tener habilidades para visualizar

gráficamente las funciones y sus derivadas. Estos autores estudiaron de manera

cualitativa el comportamiento de tres alumnos universitarios bajo el marco teórico

descrito por Krutetskii (1976) consistente en la idea de que los alumnos tienen

diferentes habilidades en los distintos registros (así como también diferentes

preferencias sobre los mismos). Constataron que aquellos estudiantes que preferían usar

el registro gráfico se encontraban con dificultades cuando las tareas presentadas les


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exigían la movilización del registro analítico o algebraico, y viceversa, por lo que la

coordinación y buena utilización de ambos registros se convertía en primordial para una

comprensión adecuada de la derivada.

También desde la perspectiva de la importancia del registro gráfico, Van Dooren

y Greer (2010) detectaron la existencia del predominio de las aproximaciones lineales

cuando los estudiantes resuelven problemas no lineales. Admitiendo las ventajas de

presentar y modelizar situaciones lineales para entender fenómenos de la vida real, esa

excesiva “linealización” provoca en estudiantes y profesores una tendencia a buscar

relaciones lineales aunque no sea posible, generando obstáculos y dificultades en el

estudio de situaciones que requieren y comportan relaciones no lineales, tanto en el

registro gráfico como en el algebraico. En la misma línea, Hadjidemetreu y Williams

(2010) mostraron cómo un alto porcentaje de alumnos de entre 14 y 15 años representan

siempre funciones del tipo y = ax + b en dos tests formados por ítems cuyo objetivo era

diagnosticar la “linealidad”. Entre las razones que argumentan los autores destacan el

hecho de que la utilización de modelos lineales es una práctica social y cultural muy

extendida y utilizada en la escuela, especialmente en el registro gráfico, lo cual les lleva

a la necesidad de repensar sobre qué tipo de modelización y contextualización se hace

en matemáticas. Por otra parte, Nathan y Kim (2007) realizaron un estudio longitudinal

con alumnos de sexto a octavo grado centrado en identificar el papel desempeñado por

los diferentes registros en el desarrollo de la comprensión. En las primeras etapas del

estudio los estudiantes mostraron un mejor rendimiento utilizando el lenguaje de las

palabras que el lenguaje de las gráficas. Pero a medida que avanzaban en las diferentes

etapas alcanzaban un mayor rendimiento utilizando conjuntamente las palabras y las

gráficas. Los autores desarrollaron un modelo para conseguir una mayor fluidez en las

representaciones gráficas y en el análisis algebraico. Sus resultados destacan el impacto

que tienen las percepciones procedentes de las representaciones gráficas en el

razonamiento de los estudiantes.

Estas tres investigaciones subrayan el papel que puede llegar a desempeñar el

registro gráfico en el aprendizaje de los conceptos matemáticos. Duval (2006a)

profundizó también en la necesidad de utilizar y coordinar diferentes sistemas de

representación en el aprendizaje de conceptos matemáticos. Los argumentos de Duval

abrieron el camino de la importancia de considerar la coordinación entre diferentes

registros. Los siguientes trabajos analizados así lo muestran. Aznar et al. (2010)


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analizaron la transformación de representaciones de números complejos del registro

gráfico al algebraico en alumnos que cursaban la asignatura de Álgebra en la Facultad

de Ingeniería de la Universidad Nacional de Mar del Plata (Argentina). Bajo el marco

teórico de la teoría de los registros semióticos de Duval (2006a), sus resultados

confirman que a pesar de haber trabajado durante el curso con conversiones desde el

registro algebraico al gráfico, cuando se trata de realizarlas en sentido contrario, los

alumnos muestran numerosos errores y dificultades, lo cual impide que exista una

adecuada coordinación entre registros que permita conceptualizar el objeto matemático

en cuestión, en este caso los números complejos. Los autores concluyen con la

invitación a reflexionar sobre la necesidad de abordar las conversiones en ambos

sentidos, otorgando la misma importancia al registro gráfico que al algebraico y a las

conversiones desde aquél a éste y no solamente al contrario.

Por su parte, Vrancken, Engler, y Müller (2011), construyeron una propuesta

para la introducción del concepto de derivada desde el concepto de variación, bajo la

óptica de la utilización y coordinación de diferentes registros de representación. El

modelo se aplicó en estudiantes matriculados en la asignatura de Matemática II de la

carrera de Ingeniería Agronómica de la Facultad de Ciencias Agrarias de la Universidad

Nacional del Litoral, en Argentina. La propuesta consistió en un conjunto de actividades

que pretendían desarrollar habilidades relacionadas con las variables, las funciones y la

variación. Fueron presentadas en registros diferentes (verbal, algebraico, gráfico y

numérico) y requerían conversiones entre los mismos. Las actividades fueron dadas a

los alumnos para su resolución sin intervención del profesor, tras una breve

introducción por parte de éste sobre los contenidos fundamentales de manera previa a la

explicación formal de los mismos. Un ejemplo del tipo de actividad se muestra en la

figura 1.1:


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¿Cómo se comportan en cada caso los cambios Δs? ¿En qué intervalos los cambios fueron más rápidos? Figura 1.1. Actividad presentada en investigación de Vrancken et al. (2011)

En la actividad (Figura 1.1) se presentan dos funciones definidas gráficamente y

se solicita a los alumnos la medición de los cambios de la variable dependiente y el

análisis del comportamiento de estos cambios. Con respecto a los registros, los

estudiantes deben interpretar los cambios en el comportamiento de la variable

dependiente dado gráficamente. El análisis de las dificultades observadas en las

respuestas de los alumnos permitió a los autores indicar la importancia de analizar el

tratamiento del tema funciones, ya que muchos de los problemas estaban relacionados

con este concepto; en segundo lugar los alumnos mostraron dificultades para relacionar

correctamente los diferentes registros, por lo que consideran necesario promover tareas

que conecten los distintos sistemas de representación, ya que permiten al alumno

acercarse al concepto desde diferentes perspectivas, favoreciendo la visualización de

ideas y la aprehensión de conceptos.

Utilizando también las teorías de Duval, Guzmán (1998) realizó una

investigación con estudiantes de primer año de ingeniería, respecto a nociones relativas

a funciones reales. A través de la consideración de los registros algebraico o formal,

gráfico y del lenguaje natural, se aplicó un cuestionario de 16 ítems a 75 alumnos de

cálculo diferencial. Las preguntas estaban referidas a aspectos conceptuales relativos a

la función continua, función biyectiva, restricciones… La figura 1.2. es un ejemplo del

tipo de preguntas que se propusieron.


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Dé un ejemplo que explique el concepto de continuidad que usted tiene. Con respecto a la siguiente parábola, conteste: Se afirma que f no es una bisección. Explique por qué. Marque una parte de la parábola que representa una bisección. Escriba una fórmula para f

Figura 1.2. Ejemplo de preguntas planteadas en la investigación de Guzmán (1998)

Los resultados de esta investigación muestran que la mayoría de los alumnos

responden utilizando un solo registro o sistema de representación, preferentemente el

algebraico - probablemente porque es el más utilizado en la docencia - poniéndose de

manifiesto su escasa capacidad de visualización. Según el autor, existe además otro

obstáculo consistente en las dificultades que presentan al utilizar el registro del lenguaje

formal, por lo que la traducción de un lenguaje a otro y la coordinación de registros se

presenta como un objetivo explícito de enseñanza.

En el mismo sentido Ruiz, Hernández y Oropeza (2000) realizaron un trabajo de

investigación también con alumnos de ingeniería de cursos superiores, matriculados en

un curso de Cálculo, donde se analizaron los problemas de optimización de funciones.

Elaboraron una propuesta de enseñanza que combina el uso, a través de un software

específico con animaciones flash, de los registros algebraico, gráfico y tabular. La

investigación consistió en una entrevista a 4 profesores antes y después de la aplicación

de la estrategia didáctica, además de un cuestionario con preguntas de valoración y una

tarea matemática a resolver antes y después de implementar la estrategia didáctica. Los

resultados muestran que antes de la aplicación de la estrategia didáctica, los profesores

pensaban que sus alumnos actuaban mecánicamente a través del registro algebraico

principalmente, y creían necesario hacer explícito el lenguaje gráfico en los programas

de optimización. Por su parte, de las preguntas de valoración hechas a los estudiantes, se

obtuvo que apenas un 5 % se apoyaba en el registro gráfico para resolver programas de

optimización, recurriendo la mayoría de ellos al cálculo de primeras y segundas

derivadas. Tampoco usaban el registro tabular, el cual lo ven solo como paso previo

para graficar algo, y dado que solo el 5% se planteaba graficar a la hora de optimizar

quiere decir que aquel registro era muy poco utilizado. Tras la estrategia didáctica de

simulación implementada, los profesores entrevistados afirmaron que ésta permitía


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observar mejor la relación entre los tres registros mencionados, que hubo una mejora al

resolver problemas de optimización, y que el uso de esta tecnología mediante el diseño

de simulaciones permite modificar sus clases y adoptar otras estrategias de enseñanza.

Por su parte, tras la implantación de los programas de simulación, el 80 % de ellos

reconoció haber resuelto los programas de optimización usando los tres criterios, y que

además las gráficas permitían ver los valores máximos y mínimos y que esos puntos

representan en la solución del problema los valores solicitados.

Finalmente, Gatica et al. (2010) realizaron un estudio exploratorio descriptivo

para indagar en las ideas que estudiantes de Ciencias Económicas ponen de manifiesto

cuando se enfrentan a tareas de continuidad matemática en un punto dado, a través del

análisis de los distintos registros escritos que utilizan en su resolución. Se utilizó como

marco teórico la propuesta de Duval. Como instrumento se elaboró un cuestionario ad-

hoc compuesto de preguntas relacionadas con los conceptos de límite, continuidad y

derivada de una función, aunque en dicho trabajo solamente se analizaron las preguntas

relacionadas con continuidad. El cuestionario se aplicó el último día de clase de la

asignatura de Análisis Matemático I de la carrera de Ciencias Económicas de la

Universidad Nacional de San Luis. Se plantearon como objetivos analizar si los

alumnos identificaban la continuidad de una función a partir de distintos registros de

representación, y los errores cometidos por estos a la hora de realizar conversiones entre

los diferentes registros. Una de las tareas (Figura 1.3), que presentaba una

discontinuidad esencial, fue especialmente relevante pues la mayoría de los alumnos la

identificaron como evitable, lo que indica que no entendían bien el concepto.

Figura 1.3. Ejemplo de tarea propuesta en la investigación de Gatica et al. (2010)

La visualización gráfica ayudó a determinar la continuidad de una función, y los

errores mostrados en la conversión al registro gráfico se identificaron como uno de los

factores de equivocación en los alumnos; otro parecía ser la relación con otros


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conceptos matemáticos como son la función y el límite. El estudio destacó el escaso

nivel de comprensión del concepto de continuidad, las dificultades para la graficación

de tales funciones y la incapacidad para identificar tipos de discontinuidad. Los autores

consideran estos hechos de suma gravedad para estudiantes de Ciencias Económicas,

especialmente cuando se manejan con funciones de Coste de naturaleza discontinua. El

estudio concluye con una reflexión hacia el propio profesorado universitario acerca de

las estrategias utilizadas en la enseñanza de estos temas.

Estas investigaciones subrayan la importancia potencial de los diferentes

registros de los conceptos matemáticos y la coordinación de los mismos para favorecer

el aprendizaje.

1.2.2.2.El uso de diferentes registros en los conceptos económicos

En relación a los estudios en los que se analiza la importancia de los registros de

representación en el aprendizaje de conceptos económicos, Hey (2005) concluyó que la

utilización del registro gráfico es esencial para aprender microeconomía, llegando a

afirmar que sólo el registro gráfico es necesario para aprender microeconomía. Este

autor utilizó un software gráfico para la enseñanza de conceptos como Función de

Oferta, Función de Demanda, equilibrio competitivo, caja de Edgeworth, etc. Los

alumnos comienzan estudiando los casos más sencillos a través del software y a partir

de ahí, cambiando datos, se analizan casos más complejos. Posteriormente, convirtió en

análisis puramente gráfico otros contenidos económicos no mostrados inicialmente en el

software y que se encontraban explicados en textos que utilizaban formulaciones

algebraicas relacionadas con temáticas como la econometría o el mercado de trabajo.

Finalmente, evaluó a los estudiantes con tareas que no necesitaban del recuerdo y la

aplicación de fórmulas matemáticas, pero sí necesitaban de la comprensión de los

contenidos a través del análisis gráfico utilizado en todo el experimento. La evaluación

de estas tareas constató un alto grado de éxito de los alumnos sin necesidad de utilizar

en ningún momento ni elementos de álgebra ni de cálculo matemático, aumentando

asimismo su interés hacia la Microeconomía.

Sin embargo, la idea de que el registro gráfico no es tan importante en el

aprendizaje de conceptos económicos también encuentra apoyo en la literatura. Cohn

(2001) se planteó hasta qué punto la utilización de gráficas como instrumento


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matemático en Economía mejoraba el proceso de aprendizaje en alumnos universitarios

que cursaban la materia de Microeconomía. Realizó un experimento con dos grupos de

alumnos que cursaban esta materia, consistente en la enseñanza de conceptos como la

Oferta, la Demanda y la Frontera de Posibilidades de Producción. El experimento

consistió en la exposición y explicación de los conceptos económicos usando solamente

gráficas en uno de los grupos, y sin usar ninguna gráfica en el otro. Dicho experimentó

se realizó en dos fases, primeramente en 1995 y posteriormente en 1997. Utilizaron

como instrumentos un pre-test y pos-test sobre habilidades matemáticas y sobre los

contenidos económicos impartidos, junto con un cuestionario de valoración. Las

preguntas del pre-test y pos-test sobre los contenidos económicos tenían formato de

múltiple elección en las cuales no se presentaban gráficas, aunque su utilización podía

ser eficaz para la elección de la opción correcta. El estudio pretendía contrastar la

hipótesis de que el uso de gráficas mejoraba el rendimiento, el cual se calculó como la

diferencia entre las puntuaciones del post-test y el pre-test. También contrastaron la

hipótesis de que aquellos alumnos con mayores conocimientos matemáticos son más

propensos a mejorar el rendimiento en las tareas de economía con el uso de gráficas.

Sus conclusiones no les permitieron afirmar positivamente ambas hipótesis. Respecto a

la primera hipótesis en el experimento de 1995, el uso de gráficas no solo no mejoró el

rendimiento de los estudiantes si no que lo bajó ligeramente, mientras que en 1997 los

resultados de los dos grupos fueron prácticamente iguales. Los autores consideraron que

algunos aspectos podrían haber distorsionado los resultados. El primero es que la no

utilización de gráficas en el pre-test pudo haber condicionado a los alumnos a no usarlas

en el post-test, y segundo que el post-test fue administrado solamente 5 minutos después

de que los estudiantes repasaran sus apuntes, lo cual indica que el post-test capturó la

visión a muy corto plazo, mientras que lo que permanece en la memoria de los

estudiantes a largo plazo quedó sin capturar.

En contraposición a la idea anterior, encontramos argumentos para pensar que el

registro gráfico es tan importante o más en la enseñanza de la economía como en el de

las matemáticas. Así, Boyd (1998) realizó un experimento con estudiantes de un curso

introductorio de Microeconomía y analizó los efectos en el aprendizaje de los alumnos

de la utilización de un programa informático que enfatizara la utilización de símbolos

gráficos, algebraicos y numéricos. La introducción del software Maple en un curso de

Microeconomía permitió el análisis de la teoría del consumidor desde una perspectiva


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integradora de los registros algebraico, numérico y gráfico, incluso en 3-D. Esta

aproximación permitió a los alumnos centrarse en las conclusiones e implicaciones de

los resultados proporcionados por el software y no tanto en la realización de los

cálculos. La actividad que permitió desarrollar todo el modelo fue “la obtención de la

función de demanda de un bien a partir de unas preferencias dadas del tipo Cobb-

Douglas, cuya representación en 2-D se muestra en la figura 1.4.”

Figura 1.4. Representación en 2D de las preferencias del tipo Cobb-Douglas

El programa permitió trabajar el concepto de la función de demanda de un bien a

partir de las preferencias mostradas en la figura 1.4. y desarrollarlo en 3-D tal como se

muestra en la figura 1.5.

Figura 1.5. Representación en 3D de las preferencias del tipo Cobb-Douglas

La obtención de las expresiones algebraicas se hacía a través de la introducción

de los comandos correctos en el programa, hasta obtener la clásica función de demanda

marshalliana y su expresión algebraica (Figura 1.6.).

La mayoría de los alumnos vio positiva la experiencia ya que el programa

permitía fijarse más en el contenido económico y el análisis gráfico y no tanto en la

formulación matemática que resulta siempre más laboriosa y abstracta. Otros alumnos


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lo consideraron un buen instrumento como complemento a la docencia clásica de los

contenidos económicos, y no como substituto.

> utility:=X^a*Y^b; utility:=XaYb

> constraint:= Inc – Px*X – Py*Y; constraint:=Inc – PxX – PyY Next the Lagrangian expression is entered, with λ as the Lagrange multiplier. > maxutility:=utility + lambda*constraint; maxutility:=XaYb = λ (Inc – PxX –PyY) To maximize this expression, first-order conditions involve taking partial derivatives of maxutility with respect to X, Y, and λ. Recall that partial differentiation is performed in Maple with the diff command. > FOC1:=diff(maxutility, X); > FOC2:=diff(maxutility, Y); > FOC3:=diff(maxutility, lambda); FOC3 := Inc – PxX – PyY

Figura 1.6. Función de demanda marshalliana y su expresión algebraica

Finalmente, la investigación de Peralta (2005) combina sistemas de

representación y conceptos matemáticos contextualizados en los conceptos económicos

de Oferta y Demanda. La investigación se compone de dos fases: en la primera se

analizan las dificultades de aprendizaje relacionadas con el concepto de función lineal

detectadas en estudiantes universitarios de segundo semestre en el área económico-

administrativo del Instituto Tecnológico de Sonora (México). En la segunda, el autor

elabora una propuesta de enseñanza para el concepto de función lineal y sus

aplicaciones en contenidos de economía. Haremos mención a las características y

resultados de la primera fase, la cual se elaboró bajo las tesis teóricas de los registros de

representación de Duval. El tema de investigación es abordado bajo el marco de las

aplicaciones de las funciones lineales para resolver problemas relacionados con los

conceptos económicos de la oferta y la demanda, los cuales se modelizan con funciones

lineales. Los errores observados en los alumnos indican, según el autor, que los

estudiantes no han logrado una aprehensión conceptual de la función lineal. Para esta

primera fase de la investigación se elaboró un cuestionario con preguntas relacionadas


- 30 -

con el concepto de función lineal en las que había que poner en juego el cambio entre

las representaciones tabular, algebraica y gráfica. La figura 1.7 muestra algunas de las

tareas que componían el cuestionario.

Figura 1.7. Algunas tareas del cuestionario de Peralta (2005)

Sus resultados revelaron que cuando se trata de funciones lineales, la noción de

pendiente representa un serio obstáculo para la articulación entre registros,

especialmente si el registro de partida es el registro gráfico. Estos errores revelan un

descuido notorio de las actividades de conversión por parte de la enseñanza y una

confianza excesiva de los estudiantes en los procedimientos que han logrado mecanizar,

pero de los que no logran tener una significación clara. Especialmente relevantes fueron

las respuestas a la tarea de identificar qué función se corresponde con y = -3x + 6

(Figura 1.7), donde los estudiantes mostraron que a través de la graficación punto por

punto pueden llegar a la respuesta correcta eludiendo las significaciones gráficas de los

parámetros presentes en la expresión algebraica. Según el autor, puede decirse en

general que los estudiantes no han logrado una aprehensión conceptual del objeto bajo

estudio, por lo que es muy difícil que en estas condiciones puedan usar con éxito la

función lineal como herramienta para resolver problemas de oferta y demanda.

Las investigaciones a las que hemos hecho referencia contienen indicaciones

sobre el papel que desempeñan los diferentes sistemas de representación de conceptos


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matemáticos para apoyar la comprensión de los conceptos económicos. Mención aparte

corresponde a la idea de derivada como velocidad de cambio y la manera en la que es

reflejada en los estudios sobre la comprensión de los conceptos de Economía.

1.3. La noción de derivada en los contextos de Economía

La comprensión de las relaciones entre la función y su función derivada está en

el trasfondo de muchos conceptos económicos y es fundamental para entender el

análisis marginal en el que se basa la disciplina económica en general y

microeconómica en particular. En esta sección describiremos las investigaciones

centradas en la caracterización de la comprensión de los estudiantes relativas al

crecimiento y decrecimiento en un intervalo (Cociente Incremental), en un punto

concreto (Derivada en un punto), y a lo largo de todo el dominio de la función o

variable económica modelizada (Función Derivada), al considerar que constituyen la

base sobre la cual la Microeconomía se hace relevante. En este análisis consideramos

importante la comprensión del concepto de derivada en diferentes sistemas de

representación (gráfico y algebraico).

1.3.1. Concepto de límite y cociente incremental

El concepto de límite de una función está estrechamente ligado al de derivada.

Numerosos estudios han demostrado la dificultad del aprendizaje del límite (Cornu,

1991; Tall, 1992; Tall y Vinner, 1981; Merenluoto, 2001; Juter, 2006; Bergsten, 2006;

Valls, Pons y Llinares, 2011), lo cual genera dificultades en el aprendizaje de otros

conceptos de cálculo (Orton, 1983; Heid, 1988; Tall, 1992; Tall y Vinner, 1981).

Un obstáculo en la comprensión del concepto de límite proviene de cierta

predisposición de los estudiantes a usar algoritmos y aprender sus reglas de uso de

memoria sin entender el concepto, incluso desde el momento en que aprenden y

estudian el concepto de número (Merenluoto y Lehtinen, 2004). Según estos autores, los

estudiantes son capaces de tratar el concepto de límite como proceso separado, a través

de los algoritmos aprehendidos, pero no consiguen relacionarlo ni usarlo de modo

coordinado junto con otros como el de función, secante o tangente.


- 32 -

Asiala, Cottrill, Dubinsky y Schwingendorf (1997) señalaron la existencia de

dos tipos de procesos en cuanto al concepto de límite: la tasa de variación media

aproximada a la tasa de variación en un punto, y la pendiente de las secantes

aproximadas a la pendiente de las tangentes. Cottrill et al. (1996) afirmaron que el

concepto de límite de una función consiste en la coordinación de dos procesos. De esta

manera, los procesos de límite inherentes en la derivada son numerosos. Por ejemplo,

las pendientes de las rectas secantes aproximándose a la pendiente de la recta tangente

incluyen la aproximación de un punto a otro y de las rectas a la tangente; otros procesos

de límite que son representados por la derivada incluyen variaciones medias

aproximándose a variaciones en un punto (Repo, 1996; Doorman, 2005), y una

representación numérica del cociente incremental aproximando la derivada.

También la linealidad localizada (Tall, 2003) en una función es un proceso de

límite que implica interpretar la gráfica como una línea recta. Según Tall (2003) todo

proceso de límite supone, en el recorrido de la función, localizar una zona de la función

cada vez más pequeña hasta poder considerar en esa minúscula zona los puntos que

definen una línea recta. Artigue (2005) distinguió otro proceso de límite, en el que se

consideraba la diferencia entre los valores de una función y la recta tangente. Con todo,

en los procesos de límite inherentes a la derivada, el límite se concibe como un concepto

dinámico (Cottrill et al., 1996; Cornu, 1991; Tall y Vinner, 1981). En este sentido,

Valls, Pons y Llinares (2011) indican que la comprensión métrica del límite en términos

de desigualdades se apoya en que los estudiantes sean capaces de coordinar las

aproximaciones en el dominio y en el rango cuando las aproximaciones laterales

coinciden, aunque no sean capaces de esta coordinación cuando las aproximaciones

laterales no coinciden. Así, la concepción métrica del límite se inicia con la

construcción previa de la concepción dinámica en el caso de la coincidencia de las

aproximaciones laterales.

En relación al concepto de derivada, Zandieh (2000) elaboró unas referencias

para caracterizar la comprensión de la derivada considerando los procesos de límite

inherentes a la misma. Además del límite del cociente incremental, también consideraba

como límite la pendiente de la recta secante y la tasa de variación media. Con estas

referencias el concepto de límite en diferentes contextos de representación podía ser

usado como un proceso o pseudo-objeto en términos de Sfard (1992). Zandieh (2000)

consideraba pseudo-objeto porque no incluía necesariamente una estructura interna del


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proceso de límite para el alumno, mientras que la consideración de objeto ha de incluir

necesariamente la estructuración interna del/los procesos. Por ejemplo, para un

estudiante el proceso en el contexto gráfico podría ser rectas secantes convirtiéndose en

tangente y el objeto sería la pendiente de la recta tangente a la función en un punto. Por

otra parte, Orton (1983) y Repo (1996) han mostrado las dificultades de los estudiantes

con el proceso de límite indicando que los estudiantes se desenvuelven bien con otros

aspectos del concepto de derivada, pero al tener en cuenta los procesos de límite

aparecen las dificultades.

Hähkiöniemi (2006a) realizó un estudio sobre cómo los estudiantes conectan el

proceso de límite inherente al de derivada con el de límite del cociente incremental. Se

encontró que los estudiantes utilizan varios procesos de límite y los relacionaban o

conectaban de diferentes formas con el de límite del cociente incremental:

• Estudiantes que no utilizan ninguna idea relativa al límite cuando éste aparece

explícitamente en la consideración de una función derivada

• Estudiantes que usan una idea de límite cuando consideran la derivada

• Estudiantes que usan la idea de límite y la relacionan y asocian con la idea de

límite de cociente incremental

• Estudiantes que usan la idea de límite junto con la de límite del cociente

incremental para explicarlas

Para justificar los resultados Häkhiöniemi (2006a) se basó en la distinción de

dos tipos de conocimiento (Hiebert y Lefevre’s, 1986): el conocimiento procedimental,

que consiste en el lenguaje formal de las matemáticas, reglas, algoritmos y

procedimientos dentro de un registro concreto para resolver tareas matemáticas; y el

conocimiento conceptual, que está conectado con las otras piezas del conocimiento y

con otros sistemas de representación. De entre las conexiones correspondientes a los

estudiantes que usan la idea de límite y la relacionan y asocian con la idea de límite de

cociente incremental (forma 3), y a los estudiantes que usan la idea de límite junto con

la de límite del cociente incremental (forma 4), distinguió entre conexiones asociativas

y reflexivas. En las llamadas conexiones asociativas, los estudiantes cambian de un

sistema de representación a otro, mientras que en las conexiones reflexivas usan un

mismo sistema de representación. Uno de los estudiantes que usó conexiones

asociativas, utilizó con habilidad el concepto de límite del cociente incremental; de otra

parte, otro estudiante que realizó conexiones reflexivas tuvo más dificultades usando el


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límite del cociente incremental. El estudio de Hähkiöniemi (2006a) consideró el uso de

conexiones asociativas como parte del conocimiento conceptual y el uso de conexiones

reflexivas como parte del conocimiento procedimental.

Finalmente, Haapasalo y Kadijevich (2000) señalaron que el grado de

conocimiento procedimental utilizado en el límite del cociente incremental, quiere decir

fluidez y conocimiento en el desarrollo de algoritmos y en el cálculo de los valores de la

derivada en un punto usando el límite del cociente incremental. Mientras que el grado

de conocimiento conceptual utilizado se refiere a las conexiones que los estudiantes

realizan entre el límite del cociente incremental y otros procesos de límite en otros

registros.

1.3.2. El concepto de derivada: relación con los conceptos económicos y su

aplicación con diferentes registros

Considerando que en Economía mucha información se proporciona desde

representaciones gráficas de relaciones entre variables, y la medida de la variación de

cambio viene dada por la derivada, la manera en la que los estudiantes obtienen

información desde la relación entre una función y la gráfica de su derivada se puede

considerar precursora de la comprensión de determinadas situaciones económicas. En

este sentido, la comprensión gráfica de la idea de derivada y su relación con la función

ha sido identificada como un elemento clave en la comprensión de los estudiantes de la

medida de variación (Elia y Spyrou, 2006; Gagatsis y Shiakalli, 2004; Gagatsis et al.,

2006). Habre y Abboud (2005) señalaron que la conducta de los estudiantes está

dominada por el registro algebraico al resolver determinados tipos de problemas. Estos

estudios están mostrando que la síntesis de los diferentes sistemas de representación es

un aspecto clave en la comprensión de las relaciones entre la idea de función y la

función derivada, y por tanto determinan referencias en la manera en la que los

estudiantes pueden usar el concepto de derivada para modelizar las situaciones

económicas.

Hähkiönemi (2006b) estudió el caso de una alumna a la cual se le plantearon una

serie de tareas que tenían por objetivo ver cómo percibía la derivada de la función desde

su gráfica. La figura 1.8 muestra algunas de las tareas planteadas por el autor.


- 35 -

Figura 1.8. Tarea planteada por Hähkiönemi (2006)

Los resultados observados por el autor en el análisis del caso de esta alumna, le

llevaron a concluir, utilizando la terminología de Tall, que la alumna estaba aprendiendo

el concepto de derivada no solo en el mundo simbólico sino también en el mundo

conceptual. Según Tall (2003, 2004a, 2004b, 2005) existen tres mundos diferentes en

matemáticas:

• Mundo conceptual: consiste en pensar sobre cosas que pueden ser percibidas y

sentidas en el mundo físico y mental.

• Mundo simbólico-procedimental: consiste en el uso de símbolos para calcular

y pensar sobre conceptos.

• Mundo axiomático-formal: basado en axiomas, definiciones, teoremas y

razonamientos deductivos.

Para Tall (2003, 2004a, 2004b, 2005), el aprendizaje ocurre de manera similar

en el mundo simbólico al modo descrito en la teoría APOS (Action, Process, Object,

Scheme), aunque no así tan claramente en el mundo conceptual. Esto significa que antes

de la encapsulación de objetos desde procesos, el concepto ya existe como objeto

conceptual. Por ejemplo, la derivada puede ser percibida desde la gráfica de una función

antes de utilizar cualquier cálculo o manipulación simbólica. Posteriormente, Tall

describió el proceso de aprendizaje en el mundo conceptual como similar al del mundo

simbólico. Seguramente los estudiantes deben aprender en el mundo conceptual a través

del cambio en su atención desde las acciones a los efectos que producen dichas

acciones, lo cual es similar al concepto de transparencia.


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La transparencia de una herramienta significa que ésta es visible para adquirir

información detallada de ella misma pero invisible para tener acceso a un fenómeno que

puede ser visto a través de la herramienta. Por ejemplo, un estudiante puede ver una

gráfica como representación de una función, sin embargo, no puede ver la derivada de la

función en la gráfica. Gradualmente, el estudiante podría reconocer por ejemplo dónde

la derivada es positiva y dónde negativa fijándose cuándo la gráfica crece y cuándo

decrece. Finalmente, el estudiante podría ver la gráfica como representación de la

derivada. Esta última perspectiva destaca la importancia de la percepción como este

último ejemplo muestra. Así, Hähkiöniemi (2006b) concluye que la alumna se

encuentra en el principio de su aprendizaje en el mundo conceptual, ya que sigue

prestando más atención a interactuar con las herramientas de la representación que a los

efectos de estas acciones. A pesar de eso, la alumna mostró cierto grado de

conocimiento conceptual al conectar algunas características de la gráfica de la función

con su derivada. El autor concluye afirmando que los profesores no deben disuadir a los

alumnos de realizar actividades relacionadas con la percepción, debiendo considerar las

potencialidades del mundo conceptual.

Consideramos que los trabajos de Tall constituyen un nexo de unión entre la

teoría APOE que usamos en nuestra investigación y que describiremos en detalle en la

siguiente sección y las teorías y trabajos que destacan la importancia de usar diferentes

modos de representación en el aprendizaje de conceptos matemáticos, y también en el

proceso de modelización lo que supone usarlos en la descripción de fenómenos

económicos.

Creemos que el concepto matemático de la derivada necesita ser aprehendido en

el ámbito de uno o varios sistemas de representación para ser comprendido, y así lo

muestran también algunos autores. De esta manera, Zandieh (1997, 2000) consideró

varias representaciones para el concepto de derivada: gráfico, lenguaje verbal, físico y

simbólico. Con respecto a la comprensión del concepto, Harel, Selden y Selden (2006)

afirmaron que era necesario compararlo en diferentes sistemas de representación. Se

asumía por tanto que el significado de los conceptos se construye a través del uso de

diferentes sistemas de signos (D’Amore, 2006; Radford, 2000).

En esta sección analizamos la importancia de los diferentes sistemas de

representación en el uso de la derivada desde tres perspectivas:


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• Conexiones registros gráfico - algebraico.

• Conexiones ‘gráfica de la función’ – ‘gráfica de la derivada’

• Conexiones ‘derivada en un punto’ – ‘derivada de la función’.

En lo referente a las conexiones entre el sistema de representación o registro

gráfico y el algebraico, los estudiantes no tienen el mismo nivel de comprensión del

concepto de derivada en el registro gráfico que en el algebraico. En el estudio de las

funciones, el registro algebraico domina el pensamiento de los estudiantes creando

obstáculos en sus mentes (Habre y Abboud, 2006). La construcción de significados que

los estudiantes realizan está ligada a un determinado modo de representación. Dichos

significados aparecen inconexos entre los diferentes registros. Esta característica

subraya la necesidad de establecer conexiones entre los diferentes modos de

representación. Aspinwall, Shaw y Presmerg (1997) analizaron el caso de un estudiante

experto en cálculo. Identificaron dificultades en la comprensión del concepto de

derivada de este estudiante en el registro gráfico que provenían del poder que imágenes

dinámicas y previamente vividas permanecían en su mente y se convertían en

incontrolables, oscureciendo su aprendizaje en lugar de mejorarlo al tratar con otras

imágenes o al intentar construirlas desde expresiones algebraicas. Concluyeron que los

estudiantes están influenciados por el tipo de tareas que acostumbran a resolver y por el

tipo de funciones y sistemas de representación usados por sus profesores.

Por lo que respecta a la segunda perspectiva (conexiones ‘gráfica de una

función’ – ‘gráfica de su derivada’), Asiala et al. (1997) estudiaron la comprensión de

la relación entre la gráfica de una función y la gráfica de su derivada. Construyeron una

trayectoria hipotética de aprendizaje del concepto de derivada a través de una

descomposición genética del concepto descrita como:

• Comprender y saber realizar la gráfica de los puntos de una función en los ejes de coordenadas.

• Comprender e interpretar el concepto de pendiente de una línea.

• Entender el concepto de función y tener una visión bien desarrollada de su imagen.

• Es necesaria una buena coordinación entre los dos registros algebraico y gráfico para construir un esquema de derivada.

Según estos autores, la coordinación entre los diferentes modos de representación

proporciona una manera de entender la encapsulación de procesos en objetos.


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Font (2000a) planteó una intervención de enseñanza basado en la coordinación

de los diferentes registros de representación. Esta intervención tiene como hipótesis

principal que la estimación de la derivada desde la función puede ser vista como un

proceso en el cual están implicados a su vez tres sub-procesos, y donde aparecen

también los distintos registros gráfico y algebraico. Estos sub-procesos son:

• Traslaciones entre diferentes formas de representar una función f(x)

• El paso desde una determinada manera de representar f(x) a otra de representar

su derivada f’(x).

• Traslaciones entre los diferentes modos de representación de f’(x)

Este modelo pretendía estimar la derivada de una función usando los siguientes

procesos: el límite del cociente incremental, la pendiente de la recta tangente, y las

tablas de valores. Los resultados de este estudio mostraron que si el proceso de

enseñanza combinaba estos tres procesos, entonces la comprensión de la derivada para

los alumnos resultaba más sencilla.

Finalmente y en cuanto a las conexiones “derivada en un punto – función

derivada”, hemos de decir que a pesar de la importancia que creemos que este tipo de

conexiones presenta, existen pocos trabajos previos que las hayan analizado (Badillo,

2003; Badillo, Azcarate y Font, 2011). Badillo (2003) resaltó el significado diferente

del concepto de derivada en un punto y el de derivada de la función. El conocimiento

gráfico de la función f(x), la derivada en un punto f’(a) y la derivada de la función f’(x)

estaba caracterizado por tres inconsistencias:

• Confusión entre la derivada en el punto x = a, f’(a) y la derivada de la función

f’(x).

• La simplificación de la expresión algebraica de f’(x) en la ecuación de la recta

tangente, y la simplificación de la gráfica f’(x) en la gráfica de la recta

tangente.

• La no justificación del uso de las técnicas de derivación (definidas en términos

de límite y reglas de derivación).

Según Badillo la comprensión de un esquema de derivada implica la relación

entre la perspectiva local (derivada en un punto) y la global (derivada de la función).

En este sentido el trabajo de García, Llinares y Sánchez-Matamoros (2011) también


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destaca la necesaria relación entre la derivada en un punto (perspectiva local), la

primera y la segunda derivada de la función (perspectiva global). Además, subrayan el

papel que desempeña la síntesis de los diferentes modos de representación para el

desarrollo del esquema de derivada cuando los estudiantes intentan relacionar los

elementos constitutivos del concepto durante la resolución de problemas.

Esta revisión muestra el papel que desempeñan los diferentes sistemas de

representación en el aprendizaje de la relación entre una función y su derivada. Si

contextualizamos el uso de la relación entre la función y su derivada en el aprendizaje

de conceptos económicos (bajo la óptica de los diferentes sistemas de representación)

podemos analizar cómo son las relaciones entre derivada y conceptos económicos, y

cómo se usan los registros. A continuación, desglosamos cuáles son los contenidos

matemáticos que subyacen al concepto de cambio modelizado a través de la derivada

cuando se usa en conceptos económicos.

1.3.3. Elementos matemáticos del concepto de cambio instrumentalizado a través

de la derivada y aplicado en conceptos económicos

La información proporcionada por las investigaciones sobre la comprensión de

la derivada y su relación con el concepto de función, ha puesto de manifiesto que dicha

comprensión depende de la naturaleza de las relaciones que los estudiantes establecen

entre los diferentes elementos matemáticos que constituyen el concepto de derivada

(Sánchez Matamoros et al., 2008). Este hecho nos lleva a describir cuáles son los

elementos matemáticos inherentes al concepto de cambio en el estudio de conceptos

económicos, considerándolos en los registros gráfico y algebraico. Estos elementos son:

i) El concepto de Cociente Incremental, analíticamente entendido como la variación

media de los valores de la función entre dos puntos ‘x’ y ‘x+h’, de modo que el

Cociente Incremental entre ‘x’ y ‘x+h’es (f(x+h)-f(x))/h. Este concepto indica

cómo es el crecimiento de una función en un intervalo. Desde el punto de vista

gráfico el Cociente Incremental (Figura 1.9) es la pendiente del segmento que une

dos puntos A y B, donde A estaría formado por el par (x, f(x)), y B por (x+h,

f(x+h)).


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Figura 1.9. Concepto de Cociente Incremental desde el punto de vista gráfico

ii) Primera Derivada: Derivada en un Punto, entendida en el registro algebraico

como el límite cuando h tiende a 0 de (f(a+h)-f(a))/h. Gráficamente es la pendiente

de la recta tangente a la función en el punto (a, f(a)) (Figura 1.10). La derivada de

la función en un punto nos indica la velocidad de crecimiento de la función en un

punto determinado.

Figura 1.10. Derivada de un punto desde su representación gráfica

iii) Primera Derivada: Función Derivada (f’(x)). La función derivada asocia cada

punto ‘x’ del dominio de una función con el valor de la derivada de la función en

ese punto. Es decir, el conjunto de todos los pares x, lím (f(x+h)-f(x)/h)) cuando h

tiende a 0. Desde el punto de vista gráfico (Figura 1.11) nos ayuda a visualizar las

características del comportamiento de la función (crecimiento, decrecimiento,

concavidad,...)


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Figura 1.11. Función derivada desde su representación gráfica

iv) Segunda Derivada: concavidad-convexidad de una función. La utilidad del

concepto de la función derivada en el estudio de los conceptos económicos reside

en la información proporcionada por las abscisas en las cuales la derivada tiene

un cierto valor, la obtención de los tramos donde la función f crece, decrece o

permanece constante (es decir, medición de la velocidad de cambio), y la

concavidad y convexidad de f en relación con el crecimiento y decrecimiento de

f’.

1.3.4. Conceptos económicos vinculados al concepto de derivada

Algunos de los conceptos económicos vinculados a la idea de derivada y que

constituyen conceptos básicos en el estudio de la materia de Economía son:

• Función Producto Total y la función Producto Marginal

• Función Coste Total y función Coste Marginal

• Función de Demanda y concepto de Elasticidad-precio de la Demanda

• Función de Utilidad y la Relación Marginal de Substitución (RMS)

En todos estos conceptos están implicadas las ideas de crecimiento,

decrecimiento, concavidad, convexidad y linealidad inherentes a la función derivada y

su relación a la idea de función. La tabla 1.1. muestra los conceptos económicos que

aparecerán a lo largo de nuestra investigación.


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Tabla 1.1. Conceptos económicos relacionados con los conceptos de función y función derivada

Función Función derivada

Función de Demanda Elasticidad-precio de la Demanda

Función de Producción Función de Producto Marginal

Función Coste Total Función Coste Marginal

Función de Utilidad Relación Marginal de Substitución

A continuación, pasamos a describir las características de cada uno de los cuatro

pares de conceptos económicos:

1. Función de Demanda y Elasticidad-Precio de la Demanda

La Función de Demanda pone en relación la cantidad de un producto que un

consumidor está dispuesto a adquirir en función de la variable Precio. Casi todas las

funciones de demanda tienen una pendiente negativa lo cual muestra la relación inversa

existente entre el precio y la cantidad demandada (a mayor precio, menor demanda). La

magnitud del cambio en la cantidad demandada de un producto con respecto a los

cambios en el precio es medida por el concepto de la Elasticidad-Precio de la Demanda,

que pone en relación la variación porcentual de ambas variables, según la expresión de

la figura 1.12.

Figura 1.12. Expresión que relaciona la variación porcentual de las variables

La expresión de la figura 1.12 permite calcular la magnitud del cambio en la

cantidad demandada con respecto al cambio en el precio entre dos puntos distintos de la

función de demanda, y también en un solo punto (Elasticidad-punto).

2. Función de Producción y Función de Producto Marginal

Un concepto económico relevante es la función que describe la Producción de la

empresa dependiendo del número de trabajadores contratados. Esta idea recibe el


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nombre de Función de Producción. La Función de Producción, indica qué variación de

producción ha generado un trabajador (derivada en un punto) o cuál sería la variación de

producción que generaría cualquier “unidad” de trabajador x (función derivada). En

economía esa función recibe el nombre de Producto Marginal, que es la derivada de la

Función de Producción. Se trata en ambos casos de funciones continuas que de modo

general presentan el siguiente comportamiento (y así son presentadas en los planes de

estudio de Microeconomía, Figura 1.13).

Figura 1.13. Gráfica de la Función Producto Total y Producto Marginal,

respectivamente

En el eje de abcisas de la Función Producto Total (Figura 1.13 A) y de la Función

Producto Marginal (Figura 1.13 B) se representa el número de trabajadores y, en el eje

de ordenadas la producción total, Función del Producto Total, y la productividad de los

trabajadores o producto marginal, Función de Producto Marginal. Observamos que

cuando la Función Producto Total crece describiendo una forma convexa significa que

la Producción que es capaz de generar una empresa crece cada vez más deprisa a

medida que contrata más trabajadores; esta fase se corresponde con un tramo creciente

en la Función derivada del Producto Marginal, hasta que alcanza un máximo. Este

máximo se corresponde con un punto de inflexión en la Función del Producto Total, la

cual pasa de crecer describiendo una forma convexa a cóncava, lo cual indica que el

crecimiento de la producción es ahora cada vez menor a medida que se contratan más

trabajadores, lo cual se corresponde con un tramo decreciente en la Función derivada


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del Producto Marginal, hasta donde éste corta al eje de abcisas, donde su valor es 0. Es

en este punto donde la Función de Producto Total alcanza un máximo y pasa de crecer a

decrecer, lo cual significa que ahora la empresa es capaz de generar menos producción a

medida que contrata más trabajadores, tramo donde la Función derivada del Producto

Marginal es negativa. Observamos que la relación gráfica (y también algebraica) de las

dos Funciones permite entender su significado económico, y por tanto, es la relación

función-función derivada que consideramos clave para analizar estos conceptos

económicos en casos distintos o no exactamente iguales al presentado.

La figura 1.14 muestra un ejemplo concreto de este par de funciones donde la

Función de Producto Total (Q) es la rama positiva de la parábola Q = L², y la Función

de Producto Marginal (PM), es la recta que pasa por el origen, PM = 2L.

Figura 1.14. Función Producto (Q = L2) y Producto Marginal (PM =2L)

En este caso, la Función crece siempre de forma convexa, lo cual se traduce en

una Función derivada del Producto Marginal estrictamente creciente; en este caso la

empresa siempre incrementa la producción a un mayor ritmo a medida que aumenta el

número de trabajadores.

Otro ejemplo (Figura 1.15) es el de la Función de Producto Total definida por Q

= L½, que es creciente y describe una forma estrictamente cóncava, lo cual se

corresponde con una Función derivada de Producto Marginal, PM = 1/2L½,

estrictamente decreciente, lo que significa que la empresa, a medida que contrata más

trabajadores, genera incrementos de producción cada vez menores aunque siempre

positivos.


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Figura 1.15. Función Producto (Q = L1/2) y Producto Marginal (PM =1/2L1/2)

Por último, también podríamos considerar el caso en que la producción siempre se

incrementara lo mismo a medida que se contratan más trabajadores, lo cual se

correspondería con una Función de Producto Total lineal y creciente y una Función

derivada del Producto Marginal constante (Figura 1.16).

Figura 1.16. Función Producto (Q =kL) y Producto Marginal (PM =K)

La relación entre una función y su derivada se constituyen en elementos claves

para comprender gráficamente el comportamiento de estas dos funciones que modelizan

situaciones económicas particulares.

3. Función Cose Total y Función Coste Marginal

El Coste de producción indica el coste que representa para una empresa la

producción de una determinada cantidad de producto. En economía se estudia la

Función Coste Total haciéndola depender de la cantidad producida. En estas situaciones

es importante saber qué variación de Costes genera producir una unidad x adicional

(derivada en un punto) y con ella cualquier unidad x (derivada de la función). Esa

función derivada del Coste Total que indica cómo crece el Coste al aumentar la


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producción es el Coste Marginal. Se trata de funciones continuas que de modo general

presentan el comportamiento (y así se presentan en los planes de estudio de

Microeconomía) que muestra la figura 1.17.

Figura 1.17. Función Coste Total y Coste Marginal, respectivamente

En el eje de abcisas (Figura 1.17) se representa la cantidad producida (Q) mientras

que en el eje de ordenadas representamos los Costes, siendo Costes Totales en el gráfico

de la izquierda y Costes Marginales en el de la derecha. La Función Coste Total no

parte del origen de coordenadas ya que si la empresa no produce siempre va a incurrir

en algún coste, el cual denominamos Coste Fijo (es siempre la misma cantidad). La

parte relevante del Coste de una empresa es la variable (Coste Variable, que depende de

la cantidad producida). Observamos que la Función de Coste Total presenta un primer

tramo creciente y de forma cóncava, que se corresponde con una Función derivada del

Coste Marginal decreciente hasta alcanzar un mínimo; esto significa que la empresa

incrementa cada vez menos los Costes Totales a medida que produce más unidades. A

partir de un punto de inflexión la Función de Coste Total describe una forma creciente y

convexa, que se corresponde con una Función derivada del Coste Marginal creciente, en

este tramo la empresa tiene incrementos de Costes cada vez mayores al fabricar más

unidades.

A continuación, mostramos varios ejemplos en los que observamos, como ocurría

con las Funciones anteriores, que existe una equivalencia entre ambas funciones, (la

función y la función derivada) que puede ser analizada desde ambos registros (gráfico y

algebraico). La figura 1.18 representa las gráficas de la función Coste Total (CT = 3Q +

1000) y la de su derivada, Coste Marginal (CM = 3). En este caso, los Costes Totales de

una empresa se incrementan en la misma proporción a medida que se producen más

unidades.


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Figura 1.18. Función Coste Total (CT = 3Q+100) y Coste Marginal (CM =3)

Al igual que en las funciones anteriores, también podríamos tener el caso de una

Función Coste Total (CT(Q) = Q² + 100 ) estrictamente creciente y convexa, que se

correspondería con una Función derivada de Coste Marginal (CM(Q) = 2Q)

estrictamente creciente (Figura 1.19), que indicaría un mayor incremento de los Costes

empresariales a medida que se incrementa la producción.

Figura 1.19. Función Coste Total (CT=Q2+100) y Coste Marginal (CM=2Q)

Finalmente, para el caso de una Función de Coste Total (CT = Q½ + 100)

estrictamente creciente y convexa, con una Función derivada del Coste Marginal (CM

= 1/2Q½) estrictamente decreciente (Figura 1.20), que indicaría un menor incremento

(aunque siempre positivo) de los Costes empresariales a medida que se incrementa la

producción.


- 48 -

Figura 1.20. Función Coste Total (CT=Q1/2+100) y Coste Marginal

(CM=1/2Q½)

4. Función de Utilidad y Relación Marginal de Sustitución (RMS)

La curva de indiferencia o Función de Utilidad representa distintas combinaciones

de consumo de dos bienes ‘X’ e ‘Y’ para los cuales el consumidor mantiene constante

su nivel de satisfacción medido por la Función de Utilidad. Se trata de una función

continua que siempre es estrictamente decreciente. La RMS es la tasa en la que el

consumidor intercambia un bien por otro manteniendo constante su utilidad total, esa

tasa suele ser en valor absoluto cada vez menor. Por ejemplo, la figura 1.21 muestra una

Función de Utilidad, Y = 100/X, con RMS = - (100/X²), es decir, una Función derivada

cada vez menos negativa (creciente pero estrictamente negativa).

Figura 1.21. Función Utilidad, Y = 100/X, y RMS = - (100/X²)

También podríamos encontrarnos el caso de que la Función de Utilidad (Y=100-

X²) fuese cóncava, cambiando por tanto también la forma gráfica de la derivada (RMS =

-2X). En este caso, la cantidad a la que renunciamos de Y por X es cada vez mayor en


- 49 -

valor absoluto, lo cual se corresponde con una Función derivada cada vez más negativa

(Figura 1.22).

Figura 1.22. Función Utilidad, Y = 100 - X², y RMS = - 2X

Finalmente, en el caso de que la Función de Utilidad fuese lineal (Y=100–2X) se

correspondería con una Función derivada RMS constante (y negativa) (RMS = -2)

(Figura 1.23)

Figura 1.23. Función Utilidad, Y = 100 - 2X, y RMS = - 2

Los conceptos del Producto Marginal, Coste Marginal, Elasticidad-precio y RMS

son fenómenos modelizados por la derivada y por la relación con la función de la cual

proceden: Producto Total, Coste Total, Ingreso Total, Función de Demanda, Función de

Utilidad y Función Isocuanta respectivamente.

Hemos centrado nuestra investigación en la necesaria interrelación entre las

matemáticas y la microeconomía. Las investigaciones a las que hemos hecho referencia

en las secciones anteriores muestran la importante relación entre ambas disciplinas y

entre el concepto de función y derivada, así como los diferentes sistemas de


- 50 -

representación de conceptos matemáticos que pueden ser usados en la modelación de

conceptos económicos. En nuestra investigación consideraremos la existencia de dos

registros diferentes de representación: el algebraico y el gráfico. Dentro del registro

algebraico incluiremos las representaciones del lenguaje natural, las numéricas, así

como las propias expresiones algebraicas de las funciones. Por su parte, dentro del

registro gráfico consideramos las representaciones de los gráficos de las funciones

definidos en un eje de coordenadas cartesianas.

En este estudio pretendemos caracterizar cómo los estudiantes comprenden estas

relaciones entre la función y su función derivada en diferentes registros al estudiar

Microeconomía. El problema de investigación planteado es relativo a la comprensión

del desarrollo de un esquema de la relación entre función y derivada aplicado al uso de

conceptos económicos. Esta caracterización la realizaremos usando el marco conceptual

de Raymond Duval basado en los diferentes sistemas de representación o registros y la

teoría piagetiana APOE descrita por Dubinsky.

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

2. Marco teórico Ángel Luis Ariza Jiménez

- 51 -

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

En este capítulo presentamos las perspectivas teóricas que fundamentan nuestra

investigación sobre el análisis de la comprensión y uso de los conceptos matemáticos en

conceptos económicos. En primer lugar, describimos la teoría sobre los registros de

representación de Duval que hemos usado para preparar los instrumentos y apoyar

nuestras interpretaciones. En segundo lugar, presentaremos la Teoría cognitiva APOE o

APOS (Acción-Proceso-Objeto-Esquema) de Dubinsky con el objetivo de caracterizar

las construcciones cognitivas que pueden ser requeridas en el estudio del concepto de la

relación entre función y derivada aplicado a conceptos económicos.

Desde estos marcos de referencia hemos elaborado una propuesta de

descomposición genética del esquema de la relación función-derivada en el uso de

conceptos económicos, entendido como los momentos en la construcción de la

comprensión de las relaciones entre los significados matemáticos del concepto de

derivada y función. En ella subyace la idea de utilizar y hacer traslaciones entre los

diferentes modos de representación (Teoría de Duval) como base para avanzar en las

distintas etapas o niveles de desarrollo del esquema de la relación función-derivada

cuando se usa en conceptos económicos (Teoría APOE). La descomposición genética

propuesta está basada en la existencia de tres esquemas que componen el esquema de la

relación función-derivada en conceptos económicos. Cada esquema forma parte del

siguiente, es decir, están integrados uno dentro del otro, y avanzar en la estructura

cognitiva de cada uno supone manejar las relaciones entre una función y su derivada en

una variedad de registros o modos de representación que además han de coordinarse

entre sí.


- 52 -

A partir del problema de investigación definido en el capítulo anterior y las

referencias teóricas adoptadas para determinar cómo podemos obtener información

sobre este problema, definimos la cuestión de investigación a abordar de manera

específica en este trabajo.

2.1.Teoría sobre los registros de representación de Duval

Duval (1995) subraya el papel central en la resolución de problemas y la

comprensión de la representación, la conceptualización, el razonamiento

(argumentación, demostración, utilización de lenguajes formales), la interpretación de

figuras y la comprensión de textos. Este autor caracteriza estos procesos cognitivos

desde una perspectiva funcional que le permite defender su hipótesis de base: no hay

noesis (intelección) sin semiosis (producción de representaciones semióticas). Según

Duval (1995, 2006a) la actividad de resolución de problemas recurre a varios registros

semióticos de representación, algunos de los cuales han sido desarrollados

específicamente para efectuar tratamientos matemáticos (por ejemplo el álgebra, sistema

de numeración posicional, etc.). Esto es consecuencia de que los objetos matemáticos

no son accesibles por la percepción, por lo que la designación de los objetos

matemáticos pasa necesariamente por un registro semiótico de representación.

Para Duval (1995), el conocimiento matemático tiene unas características

propias que hace que no sea posible el acceso a este conocimiento sin recurrir a una

variedad de registros de representación (sistemas semióticos de representación). Un

registro está constituido por signos en el sentido más amplio de la palabra: trazos,

símbolos, íconos... Los registros son medios de expresión y de representación

caracterizados por sus respectivos sistemas semióticos. Por registro de representación

se entiende un sistema de signos utilizados para representar una idea u objeto

matemático y que además cumple con las siguientes características: es identificable,

permite el tratamiento, esto es, la manipulación y transformación dentro del mismo

registro, y por último permite la conversión, consistente en la transformación total o

parcial en otro. Duval (2006b) plantea dos preguntas que constituyen el núcleo del uso

de las ideas matemáticas para modelizar determinadas situaciones: ¿Cómo se aprende a

cambiar de registro? y ¿cómo se aprende a no confundir un objeto con la representación

que se propone? Teniendo por tanto en cuenta la existencia de diferentes registros de


- 53 -

representación, Duval (2006b) considera que en cualquier actividad matemática se han

de distinguir dos tipos de transformación:

• TRATAMIENTO: trasformación de una expresión matemática manteniendo el

mismo registro o sistema de representación semiótica. Por ejemplo, el proceso

dentro del registro algebraico de despejar la incógnita en la expresión 2x + 3 = 23

→ 2x = 23 – 3 →…….

• CONVERSIÓN: trasformación de una expresión matemática cambiando de

registro de representación pero sin cambiar el objeto al que se hace referencia. Por

ejemplo, obtener la expresión algebraica a partir de los datos numéricos (Tabla

2.1).

Tabla 2.1. Ejemplo de conversión de funciones económicas desde el registro numérico al registro gráfico y analítico

El siguiente cuadro muestra la Oferta interior de la UE(Qs) y la Demanda

interior de la UE de un producto (Qd)

Precio P Qs de la UE Qd de la UE

3 2 34

6 4 28

9 6 22

12 8 16

15 10 10

18 12 4

(a) Representar las funciones de la demanda y la oferta de la Unión Europea.

(b) Calcular las ecuaciones de la demanda y de la oferta interiores de la UE.

Según Duval (2006a, 2006b), estos procesos de transformación suelen darse al

usar las ideas matemáticas para resolver problemas y, por tanto, también cuando se

están resolviendo situaciones económicas. Pero en algunas situaciones, sobre todo en las

correspondientes al registro gráfico, los procesos de tratamiento y conversión pueden

darse de manera interdependiente y/o coordinada para resolver los problemas de manera

razonada y generando nuevo conocimiento. Duval (2006b) considera la conversión

como un proceso crucial para la comprensión de los objetos matemáticos, que en el caso

del estudio de la economía, son usados para modelizar las situaciones económicas. Esta

importancia de la conversión es debido a que:

• los diferentes sistemas de representación semiótica han de ser utilizados incluso si

existe la posibilidad de elegir y usar solamente uno de ellos,


- 54 -

• los objetos matemáticos representados no deben ser nunca confundidos con el

contenido del sistema de representación que se use, y

• permite construir puentes cognitivos de conexión entre diferentes registros.

Desde esta perspectiva, la mejor prueba de la comprensión es la capacidad de

transferir lo que se ha aprendido a diferentes registros dentro y fuera del contexto

matemático, y esto implica desarrollar la conversión por lo que es necesario representar

los objetos matemáticos en diferentes registros al mismo tiempo. Un ejemplo, aplicado

al campo de la economía, sería la ejemplificación de la Ley de la demanda en los tres

registros: lenguaje escrito, registro algebraico y registro gráfico (Tabla 2.2.).

Tabla 2.2. La ley de la demanda expresada en tres registros

- Lenguaje escrito: el aumento del precio de un producto genera una disminución de la cantidad demandada del mismo.

- Registro algebraico: Qd = 100/P, donde P es la variable ‘precio del producto’ y Qd es la variable ‘cantidad demandada del producto’.

- Registro gráfico:

Para Duval (2006b), la conversión engloba tres niveles distintos de procesos

cognitivos:

1) Nivel Superficial (Surface level): identificación del objeto representado en dos

registros diferentes.

2) Nivel Intermedio (Intermediate level): encuentro de relaciones de asociación

entre el registro inicial y otro distinto.

3) Nivel Profundo (Deep level): discriminación de diferentes objetos matemáticos

entre dos representaciones dentro del mismo registro que parecen iguales (dos


- 55 -

gráficas que visualmente son iguales, dos afirmaciones que usan las mismas

palabras).

Desde esta perspectiva, el máximo nivel de aplicación de un concepto

matemático (entendido en el contexto económico como lo que ayuda a modelizar la

situación) se alcanza cuando se es capaz de realizar tratamientos de dicho concepto en

todos lo registros posibles y de realizar conversiones entre los mismos. Además, la

coordinación entre los diferentes registros de representación genera algo así como una

extensión de la capacidad mental (Duval, 2006-c) de modo que el conocimiento

matemático empieza con la coordinación de registros diferentes. Para lograr esa

coordinación es fundamental la realización de conversiones de registros en todos los

sentidos posibles, y no solamente en uno. Desde un punto de vista puramente

matemático puede ser suficiente un único registro o sistema de representación, pero

desde el punto de vista del conocimiento las actividades matemáticas requieren de al

menos dos registros de representación, en los cuales poder realizar tratamientos y

conversiones con coordinación.

Los registros en que basaremos nuestro análisis serán el algebraico (en el que

integraremos otros como el numérico y el lenguaje natural, para facilitar así la

descripción y el análisis) y el gráfico. De esta manera un “nivel profundo” del proceso

cognitivo de conversión se daría cuando es posible aplicar los significados de la relación

función-derivada en diferentes situaciones económicas tanto en el registro gráfico como

en el algebraico. En este contexto la conversión entre registros diferentes de la relación

entre función-derivada es un aspecto importante ya que en las situaciones económicas,

las funciones particulares que describen determinados fenómenos han sido

contextualizadas como conceptos económicos relevantes para explicar dichas

situaciones.

2.2. Teoría APOE de Dubinsky

Para analizar el desarrollo de la comprensión de la relación función-derivada en

el aprendizaje de conceptos económicos utilizaremos la teoría APOE o APOS (Acción-

Proceso-Objeto-Esquema), basada en la idea de la existencia de varias fases o etapas en

el desarrollo de la comprensión de un concepto.


- 56 -

2.2.1. Descomposición genética: formas de conocer y mecanismos de construcción

Dubinsky (1991) desarrolló un marco teórico resultado de la interpretación de la

teoría piagetiana relativa a la “abstracción reflexiva” aplicada al pensamiento

matemático avanzado (APOE). Según Dubinsky, para Piaget la “abstracción reflexiva”

se lleva a cabo mediante actividades que implican la proyección del conocimiento

existente a un plano superior del pensamiento, y mediante actividades que conllevan la

reorganización y reconstrucción del conocimiento en nuevas estructuras. Para

Dubinsky, la abstracción reflexiva permite la construcción de objetos mentales que

denominan acciones, procesos, objetos y esquemas (formas de conocer), y de los

mecanismos constructivos (mecanismos como interiorización, encapsulación,

tematización). Desde esta perspectiva un esquema es una colección de acciones,

procesos, objetos y otros esquemas que ayudan a configurar la manera en la que un

individuo llega a comprender un concepto. Piaget e Inherler (1978) consideran que un

esquema es la estructura o la organización de acciones que se transfieren o se

generalizan con motivo de la repetición de una acción determinada en circunstancias

iguales o análogas. Por otra parte, Asiala et al. (1997) consideran que es posible

tematizar un esquema cuando se reflexiona sobre la comprensión misma de un esquema,

viéndolo como un todo y se es capaz de realizar acciones sobre él convirtiéndose en un

objeto. Igual que cuando un proceso es encapsulado para formar un objeto, cuando un

esquema es tematizado se crean otra clase de objetos, que pueden ser también des-

encapsulados para obtener el contenido original del esquema. De esta manera, Piaget y

García (1983/89) definen la tematización como el pasaje del uso o aplicación implícita

de un concepto o relación a la utilización consciente.

Uno de los objetivos de Dubinsky (1991) es identificar partes de la estructura

cognitiva y dar descripciones explícitas de posibles relaciones entre ellas. Cuando esto

se hace para un concepto particular, Dubinsky y sus colegas (Arnon et. al, 2014) lo

denominan descomposición genética del concepto, y lo define como un conjunto

estructurado de construcciones mentales que describen la trayectoria hipotética de

cómo el concepto se desarrolla en la mente del individuo. La descomposición genética

es el primer paso que realizan los investigadores para desarrollar el análisis teórico de

un concepto matemático en términos de las construcciones mentales que un aprendiz

puede hacer en orden a desarrollar la comprensión del concepto. Por ejemplo, Asiala et

al. (1997) presentaron una descomposición genética del concepto de derivada basada en


- 57 -

los elementos matemáticos y las relaciones que se deberían dar en el proceso de

construcción del esquema de la derivada. Los principales puntos de la descomposición

genética que ellos proponen son:

- Conocimiento prerrequerido:

a) Representación gráfica de objetos matemáticos

b) Coordinación de representación de puntos con una función

- Representaciones gráfica y analítica de la derivada: hay al menos dos

perspectivas que pueden ser utilizadas en la construcción del esquema de la

derivada: la gráfica y la analítica.

- Interpretación gráfica de la derivada

c) Interpretación gráfica de la derivada en un punto.

d) Interpretación gráfica de la derivada como función

- Uso del concepto de derivada

e) Determinadas coordinaciones para obtener la gráfica de la función f

(pp.21-22)

Desde esta descomposición genética, el uso del concepto de la derivada se

caracteriza por la generación de coordinaciones para la obtención de la gráfica de f. En

caso de tematización del esquema de la derivada, la información de la gráfica de la

derivada se utiliza de forma inversa para obtener información sobre la función.

Nosotros propondremos una descomposición genética que pretende ser una

estructura del esquema de la relación función-derivada cuando se usa en conceptos

económicos. Siguiendo la propuesta de Asiala y sus colaboradores (1997) contará con

unos prerrequisitos, con la doble perspectiva de los registros gráfico y algebraico, y con

la necesidad de contar con la segunda y la primera derivada para obtener información de

la función origen y viceversa.

2.3.Propuesta de descomposición genética

A partir de las referencias teóricas anteriores, en esta sección presentamos

nuestra propuesta de descomposición genética. Esta propuesta es una hipótesis sobre las

diferentes formas de conocimiento que los alumnos han de ir construyendo hasta lograr


- 58 -

la comprensión de los conceptos económicos considerando la comprensión de la

relación función-derivada. La propuesta de descomposición genética que planteamos

considera los aspectos correspondientes a la teoría APOE y las características de los

sistemas de representación según Duval. En ella distinguiremos,

(a) el conjunto de los elementos matemáticos (y su contextualización en elementos

económicos) que consideramos inherentes a la relación función-derivada en

conceptos económicos, y

(b) las características y evolución de la comprensión de dichos elementos

2.3.1. Elementos del esquema de la relación función-derivada en los conceptos

económicos

A continuación, describiremos los elementos matemáticos que aparecen en el

uso de conceptos económicos. Dicha descripción tiene en cuenta tres aspectos que son

relevantes desde los marcos teóricos adoptados y la descomposición genética que

construimos:

i) el significado de la relación funcional entre variables (pre-requisitos)

ii) la idea de cambio (variabilidad de la relación), y

iii) el significado de la velocidad del cambio, la variabilidad (concavidad y convexidad)

En la caracterización de los elementos hemos considerado tres aspectos, que

permiten caracterizar el modo en la que la comprensión de la relación función-derivada

puede llegar a influir en la comprensión de los conceptos económicos con los que se

modelizan determinadas situaciones económicas. Estos aspectos son:

- el tipo de relación funcional entre las variables (lineal, cóncava o convexa),

- los registros (gráfico y analítico), y

- las relaciones entre los registros (tratamiento y conversión).

i) Consideramos en primer lugar los que llamaremos Pre-elementos. Constituyen lo

que los alumnos han de conocer como prerrequisito para poder usar el concepto de

derivada para entender los conceptos económicos tanto en el registro gráfico como

en el algebraico. Estos pre-elementos están basados en el significado de la relación


- 59 -

funcional entre las variables expresadas entre ambos registros (algebraico y gráfico).

Son cuatro pre-elementos:

• E1, se refiere a la capacidad de convertir la relación funcional lineal entre dos

variables económicas desde el registro algebraico al gráfico.

• E5, se refiere a la capacidad de convertir una relación funcional lineal entre

dos variables económicas desde el registro gráfico al algebraico.

• E2, se refiere a la capacidad de convertir una relación funcional no lineal

entre dos variables económicas desde el registro algebraico al gráfico.

• E7, se refiere a la capacidad de convertir una relación funcional no lineal

entre dos variables económicas desde el registro gráfico al algebraico.

ii) En segundo lugar, consideraremos los elementos matemáticos relacionados con la

idea de velocidad de cambio. La variabilidad de una función comienza a

comprenderse cuando se analiza el concepto de Tasa de Variación Media entre dos

de los puntos de la función. Posteriormente este concepto se analiza cuando la

distancia entre los dos puntos es cada vez más pequeña. Estos dos conceptos serán

los elementos

• E3, Tasa de Variación Media entre dos puntos, y

• E4, Tasa de Variación por aproximación al límite.

A continuación la idea de velocidad de cambio necesita de la obtención de la

función derivada y su relación con la función origen o relación funcional inicial

entre las variables económicas. Definimos así los elementos

• E6, significado y obtención de la 1ª derivada en funciones lineales, y

• E8, significado y obtención de la 1ª derivada en funciones no lineales.

iii) En tercer lugar, incluimos los elementos matemáticos que explican el significado de

la velocidad de la variabilidad. La función 2ª derivada expresa el sentido y la

magnitud de la variabilidad entre dos magnitudes cuantificables. Así, definimos el

elemento

• E9, significado y obtención de la 2ª derivada en una función origen convexa, y

• E10, significado y obtención de la 2ª derivada en una función origen cóncava.


- 60 -

Considerar como dos elementos diferenciados la comprensión de lo que significa

la segunda derivada de funciones convexas y cóncavas es debido al significado

que tienen desde el punto de vista de la interpretación de los fenómenos

económicos que describen.

Por último, creemos necesaria la inclusión de un elemento que contenga y

relacione el proceso que iría desde la medición de la variabilidad entre dos puntos

de una función, pasando por la obtención de la variabilidad en un solo punto, y en

toda la función. Incluimos así el elemento

• E11, desde la derivada en un punto a la función derivada para una función

origen convexa, y

• E12, desde la derivada en un punto a la función derivada para una función

origen cóncava.

Las tablas 2.3, 2.4 y 2.5 resumen todos los elementos. Incluyen además una

referencia a los modos de representación vinculados a los elementos en nuestra

propuesta de descomposición y los nombres de los elementos o conceptos económicos

en que dichos elementos matemáticos se utilizan.

Tabla 2.3. Significado de la relación funcional entre variables (Pre-elementos)

PRE-ELEMENTOS

E1: Conversión de funciones económicas lineales, desde el registro algebraico al gráfico. (Conversión A-G lineal).

E5: Conversión de funciones económicas lineales desde el registro gráfico al algebraico. (Conversión G-A lineal)

E2: Conversión de funciones económicas no lineales desde el registro algebraico al gráfico. (Conversión A-G no lineal)

E7: Conversión de funciones económicas no lineales desde el registro gráfico al algebraico. (Conversión G-A no lineal)

ELEMENTOS MATEMÁTICOS Y MODOS DE REPRESENTACIÓN

ELEMENTOS ECONÓMICOS

E1 y E2 - Funciones lineales/ no lineales - Conversión: desde tabla/registro

algebraico a gráfica

- Equilibrio de Mercado. - Funciones de Oferta y

Demanda.

E5 y E7 - Funciones lineales/ no lineales - Conversión: desde gráficas a

expresiones algebraicas

- Equilibrio de Mercado. - Funciones de Oferta y

Demanda.


- 61 -

Tabla 2.4. Elementos correspondientes a la idea de velocidad de cambio (variabilidad de la relación)

ELEMENTOS

E3: Tasa de Variación Media entre dos puntos: cociente incremental entre dos puntos ‘x’ y ‘x+h’. En modo analítico T.V.M. (x, x+h) = (f(x+h)-f(x))/h. Este concepto nos indica cómo es el crecimiento de una función en un intervalo considerado.

E4: Tasa de Variación Media por aproximación al límite: entendido desde el registro algebraico como el límite cuando h tiende a 0 de (f(x+h)-f(x))/h. Nos indica cómo es el crecimiento de la función en un punto de terminado.

E6: 1ª Derivada (funciones lineales): significado y obtención de las expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada.

E8: 1ª Derivada (funciones no lineales): significado y obtención de las expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada.

ELEMENTOS MATEMÁTICOS Y MODOS DE REPRESENTACIÓN ELEMENTOS ECONÓMICOS

E3 REGISTRO ALGEBRAICO - Relación de los cambios porcentuales

entre 2 variables. - Razón como cociente de la media del

cambio.

Elasticidad-precio de la Demanda entre dos puntos

E4 REGISTRO ALGEBRAICO - Aproximación al límite. - Relación con los conceptos de

pendiente y/o derivada de la función.

Elasticidad-punto de la Demanda

E6 AMBOS REGISTROS - Gráficas de la Derivada y de la

Función económica lineal. - Expresiones algebraicas de ambas

funciones

- Tratamientos y conversiones

- Coste Marginal - Función de Coste Total

E8 AMBOS REGISTROS - Gráficas de la Derivada y la

Función económica no lineal - Expresiones algebraicas de ambas

funciones

- Tratamientos y conversiones

- Función de Producción o Producto Total

- Producto Marginal


- 62 -

Tabla 2.5. Elementos correspondientes al significado de la velocidad de la variabilidad (concavidad y convexidad)

ELEMENTOS

E9: 2ª Derivada (Convexidad): significado de la forma convexa de una función económica en ambos registros y su relación con la 2ª derivada. Este concepto hace referencia a cómo es el crecimiento del crecimiento de una función. En funciones convexas la función crece cada vez más, es decir la medida del crecimiento es cada vez mayor (valor de la 2ª derivada es mayor que 0). Para funciones de pendiente negativa, la medida del decrecimiento disminuye en valor absoluto

E10: 2ª Derivada (Concavidad): significado de la forma cóncava de una función económica en ambos registros y su relación con la 2ª derivada. Este concepto hace referencia a cómo es el crecimiento del crecimiento de una función; en funciones cóncavas en las que la función crece cada vez menos, es decir el crecimiento disminuye (valor de la 2ª derivada es menor que 0). Para funciones de pendiente negativa, el decrecimiento crece en valor absoluto.

E11: Derivada en un Punto → Función Derivada: paso desde la derivada en un punto a la derivada de una función económica convexa.

E12: Derivada en un Punto → Función Derivada: paso desde la derivada en un punto a la derivada de una función económica cóncava

ELEMENTOS MATEMÁTICOS Y MODOS DE REPRESENTACIÓN ELEMENTOS ECONÓMICOS

E9 AMBOS REGISTROS - Explicación gráfica de la convexidad. - Cálculo de la 2ª derivada.

- Función de Coste Total - Coste Marginal

E10 AMBOS REGISTROS - Explicación gráfica de la concavidad. - Cálculo de la 2ª derivada.

- Función de Producción o Producto Total.

- Producto Marginal

E11 AMBOS REGISTROS - Derivada en un punto. - Derivada de la Función. - Función convexa.

- Función de Utilidad o Curva de Indiferencia

- Relación Marginal de Sustitución

E12 AMBOS REGISTROS - Derivada en un punto. - Derivada de la Función. - Función cóncava.

- Función de Utilidad o Curva de Indiferencia.

- Relación Marginal de Substitución


- 63 -

2.3.2. Hipótesis previas sobre el desarrollo de la comprensión del esquema de la

relación función-derivada en conceptos económicos

A partir de los elementos descritos en la sección anterior realizamos la propuesta

de descomposición genética. La hipótesis es que para alcanzar la comprensión de la

relación función-derivada en la modelización de situaciones económicas se ha de pasar

por tres etapas:

Primera etapa: caracterizada por la realización de acciones, en las que el alumno

calcula tasas de variaciones medias aplicando la fórmula pero sin necesidad de

proporcionar explicaciones conceptuales de lo que esto significa. Se realizan cálculos de

funciones derivadas. El registro de trabajo es el algebraico o numérico y las únicas

conversiones que se realizan se hacen desde el registro algebraico al gráfico.

Ejemplos de acciones serían el cálculo algebraico de una derivada, el cálculo de un

concepto económico, como la elasticidad, en donde se utilizan cálculos de variaciones

medias de variables, o la representación gráfica de una función a partir de su expresión

algebraica o a partir de datos numéricos tabulados, es decir, conversión de una función

desde el registro algebraico al gráfico.

Segunda etapa: la irrupción del registro gráfico debe permitir la posibilidad de que

el estudiante use la relación función-derivada para explicar lo que significa los

diferentes conceptos económicos. En este sentido, el estudiante puede usar el

significado de la primera derivada en relación con la función origen a través de procesos

gráficos. La relación función-derivada entendida como una acción se interioriza en

procesos a través del tratamiento gráfico de la derivada.

El tipo de conversión de funciones que se es capaz de realizar en esta etapa es desde

el registro gráfico al algebraico, es decir, en sentido inverso a la conversión realizada en

la etapa 1. Las conversiones en este sentido inverso (desde el gráfico al algebraico) son

procesos interiorizados por el alumno. Estos procesos de conversión exigen al

estudiante que traslade los significados geométricos del concepto de derivada al registro

algebraico en determinados conceptos económicos.

Este proceso de conversión desde lo gráfico a lo algebraico se desarrolla primero con

funciones lineales (más sencillos) y posteriormente con funciones no lineales. Ejemplos

de estos procesos podrían ser:


- 64 -

• obtención de la gráfica de una función derivada a partir de la función origen, y

• obtener la expresión algebraica de una función a partir de su representación

gráfica

En esta etapa aparece la coordinación entre registros de los procesos ya

conscientemente realizados. En el contexto de nuestra investigación, la coordinación se

pone de manifiesto cuando el estudiante es capaz de comprobar la coherencia de los

resultados obtenidos en ambos registros (equivalencia entre una expresión algebraica y

su representación gráfica). Por ejemplo, una función lineal creciente dibujada desde el

origen de coordenadas debería corresponderse con una expresión del tipo y = cx, siendo

‘c’ una constante, y un reconocimiento de que la pendiente de la recta viene dada por el

coeficiente que acompaña a la ‘x’. La representación gráfica y la expresión algebraica

de la función constituyen dos procesos que se utilizan para representar y entender la

relación funcional entre las variables. Esta idea teórica está en consonancia con el

concepto de coordinación de Dubinsky descrito anteriormente.

Tercera etapa: el alumno toma conciencia del concepto, y aplica nuevas acciones y

procesos (obtención de segundas derivadas), encapsulando así el objeto (relación

función-derivada). Se produce la transformación de las acciones y procesos utilizados

para la obtención de las primeras y segundas derivadas, de modo que el alumno toma

conciencia de todos los elementos utilizados en la construcción de la relación función-

derivada en conceptos económicos. En esta fase los estudiantes pueden llegar a des-

encapsular el significado de esta relación al poder realizar el proceso inverso obteniendo

información sobre la función origen a partir de lo que se conoce de la segunda derivada.

La coordinación entre el registro gráfico y algebraico está contextualizada en funciones

no lineales realizando conversiones en ambos sentidos. Por último, se llega a la

generalización de la relación función-derivada en conceptos económicos al aplicarse los

esquemas construidos en ambos registros en la obtención de información de la función

origen a partir de las segundas y primeras derivadas, con la intención de abordar una

situación diferente y desconocida: a partir de la derivada en un punto obtener la función

derivada.

Desde el punto de vista conceptual, el desarrollo del esquema que aquí

describimos se tematiza a lo largo de un continuo formado por estas tres etapas: primero

con el dominio algebraico del concepto, fundamentalmente a través del cálculo de

variaciones medias e infinitesimales y utilizaciones de las fórmulas algebraicas de la


- 65 -

derivada. En segundo lugar, con la relación función-primera derivada en ambos

registros; y, en tercer lugar, a través de la relación entre segunda derivada, primera

derivada y función origen, con la capacidad final de extrapolar o inferir una función

derivada a partir de la derivada en uno de sus puntos.

Para explicar cómo entendemos esta descomposición genética, usaremos como

ejemplo el papel que desempeña la relación función-derivada en la comprensión del

concepto de coste marginal.

En la primera etapa (Figura 2.1.) para una función del Coste de producción de

una empresa que vendría dada por la expresión C (Q) = Q², siendo Q la cantidad

producida y C(Q) el coste que hacemos depender de aquella, el alumno solo podría

obtener (y de modo mecánico) la expresión algebraica del Coste Marginal (que se

obtiene derivando, CM(Q) = 2Q), pero tendría dificultades en determinar el significado

económico, es decir la información sobre el contexto económico que proporciona la

manipulación algebraica realizada. Posteriormente, el estudiante va adquiriendo un

significado consciente del concepto a través de la relación entre la función origen y su

derivada, no solo en el registro algebraico sino también en el gráfico. El estudiante llega

a interpretar el significado del concepto económico a través de esa relación en el

registro gráfico y con coordinación con el registro algebraico manejado en la etapa

anterior. Así, para la misma función anterior del coste marginal, gracias a su forma

gráfica (lineal creciente) y la de la función origen (parábola creciente) el alumno

entendería que a una empresa le cuesta cada vez más cantidad de dinero producir una

unidad de producto adicional.

Figura 2.1. Gráficas de la función origen C(Q) = Q² y su derivada CM(Q) = 2Q


- 66 -

Por último, en la última etapa, la relación entre las formas gráficas de la segunda

derivada, la primera derivada y la función origen permite comprender el significado del

concepto económico: el hecho de que la derivada de la derivada de nuestro ejemplo sea

una función constante y positiva, permite al estudiante entender que el crecimiento del

crecimiento del Coste de producción para la empresa es positivo, y por tanto asimilar

más claramente el significado económico de esa función de Coste de una empresa. La

relación con el significado de convexidad en este caso (concavidad en otros) permite

inferir cómo se comporta o cuál sería el incremento del coste de producir de una

empresa en cualquier punto. Es decir, pasar de la derivada en un punto a la función

derivada, lo cual supone un avance cognitivo surgido tras una reorganización conceptual

de todos los elementos matemáticos que se han ido utilizando en cada una de estas tres

etapas.

La combinación de los 12 elementos matemáticos descritos en estas tres etapas

permite describir una propuesta de descomposición genética formada por tres esquemas

integrados. Esta descomposición genética es la referencia para la construcción y diseño

de los instrumentos de la investigación, así como para el análisis y los resultados.

El esquema inicial (Esquema 0) se corresponde con la denominada Primera

etapa de la comprensión de la relación función-derivada en conceptos económicos. Es

decir, tratamiento del concepto en el registro algebraico como hemos explicado antes.

Los cuatro elementos matemáticos que hemos considerado en este esquema son las

conversiones desde el registro algebraico al gráfico en funciones lineales y no lineales

(elementos E1 y E2), el cálculo de tasas de variaciones medias e infinitesimales

(elementos E3 y E4). De ahí el nombre dado al Esquema 0: de lo algebraico a lo gráfico

(Tabla 2.6).

Tabla 2.6. Esquema 0 de la descomposición genética propuesta: De lo algebraico a la gráfico

Esquema 0: De lo algebraico a lo gráfico

E1. Conversión de funciones económicas lineales A G E2. Conversión de funciones económicas no lineales A G E3. TVM entre dos puntos E4. TVM por aproximación al límite

La Segunda etapa de la comprensión de la relación función-derivada en

conceptos económicos (Esquema 1), está formada por el esquema anterior (Esquema 0)

y otros cuatro elementos. Es importante reseñar que consideramos el Esquema 0


- 67 -

incluido como primer elemento del Esquema 1. Como hemos visto en el ejemplo del

Coste de una empresa, para que el alumno comience a entender el significado del coste

marginal, se ha de relacionar la gráfica de la primera derivada y la de la función origen,

y coordinarse con el registro algebraico. Los cuatro elementos adicionales que aquí

hemos considerado son las conversiones de funciones lineales desde el registro gráfico

al algebraico (elemento E5), ya que se hacen necesarias estas conversiones (y no solo

desde el algebraico al gráfico) para afianzar la coordinación entre los dos registros, la

obtención de primeras derivadas en ambos registros y su relación con las funciones

origen lineales (elemento E6), las conversiones de funciones no lineales desde el

registro gráfico al algebraico (elemento E7), y por último la obtención de primeras

derivadas en ambos registros y su relación con las funciones origen no lineales

(elemento E8) (Tabla 2.7).

Tabla 2.7. Esquema 1 de la descomposición genética propuesta: significado y uso de la primera derivada

Esquema 1: Significado y uso de la 1ª derivada

E0- Esquema 0 E5.Conversión de funciones económicas

lineales G A E6. 1ª derivada (funciones lineales):

relaciones entre expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada

E7. Conversión de funciones económicas no lineales G A

E8. 1ª derivada (funciones no lineales): obtención de las expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada

Por último, la Tercera etapa en la comprensión de la relación función-derivada

en contextos económicos (Esquema 2) está formada por el Esquema 1 más otros cuatro

elementos. El primer elemento del Esquema 2 es el Esquema 1, ya que la relación entre

segunda derivada y función origen en ambos registros se apoya en el significado y uso

de la primera derivada (Esquema 1). Es decir, para que alumno pueda desarrollar el

Esquema 2 ha de entender y usar en ambos registros la primera derivada, lo cual se

adquiere a lo largo del Esquema 1, de ahí la necesidad de integrarlo como primer

elemento del Esquema 2. También hemos considerado en este esquema los cuatro

elementos siguientes: relación entre segunda derivada, primera derivada y función

origen en funciones convexas y cóncavas en ambos registros (elementos E9 y E10

respectivamente), y el paso desde la derivada en un punto a la función derivada en

funciones convexas y cóncavas (elementos E11 y E12). Estos dos últimos elementos


- 68 -

combinan otros procesos anteriores y acciones para conseguir ser consciente de la

función derivada global desde su valor en un punto, aplicado a un concepto económico,

y por el tratamiento y la coordinación de los dos registros de representación utilizados

(Tabla 2.7).

Tabla 2.8. Esquema 2 de la descomposición genética propuesta: significado y uso de la segunda derivada


E1- Esquema 1 E9. 2ª derivada (Convexidad): Explicación en

contexto económico de la forma convexa de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada

E10. 2ª derivada (concavidad): explicación en contexto económico de la forma cóncava de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada

E11.Derivada en un punto Función derivada: paso de la derivada en un punto a la derivada de una función económica convexa

E12. Derivada en un punto Función derivada: paso de la derivada en un punto a la derivada de una función económica cóncava

A este Esquema 2 le hemos denominado Significado y uso de la 2ª derivada, y

equivaldría al Esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos, al

englobar en sus elementos a los dos esquemas anteriores. Por lo tanto, las conclusiones

sobre el análisis y resultados de nuestra investigación se referirán a lo obtenido en este

Esquema 2 al haber considerado que cada esquema está integrado en los esquemas

siguientes.

La tabla 2.9 y la figura 2.2 muestran visualmente los componentes de cada

esquema, y cómo estos están integrados.


- 69 -

Tabla 2.9. Propuesta de descomposición genética formada por 12 elementos en 3 esquemas integrados

Esquema 0: De lo algebraico al gráfico

E1. Conversión de funciones económicas lineales A G E2. Conversión de funciones económicas no lineales A G E3. TVM entre dos puntos E4. TVM por aproximación al límite


E0- Esquema 0 E5. Conversión de funciones económicas lineales G A E6. 1ª derivada (funciones lineales): relaciones entre

expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada

E7. Conversión de funciones económicas no lineales G A



E1- Esquema 1 E9. 2ª derivada (Convexidad): Explicación en contexto

económico de la forma convexa de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada

E10. 2ª derivada (concavidad): explicación en contexto económico de la forma cóncava de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada

E11. Derivada en un punto Función derivada: paso de la derivada en un punto a la derivada de una función económica convexa

E12. Derivada en un punto Función derivada: paso de la derivada en un punto a la derivada de una función económica cóncava

Figura 2.2.Representación del carácter integrado de los esquemas que conforman el esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos


- 70 -

Esta propuesta de descomposición genética debe ser entendida como una

trayectoria cognitiva hipotética a través de la cual un estudiante puede llegar a

comprender la relación función-derivada en conceptos económicos. Esto es así, ya que

la hipótesis es que el estudiante puede llegar a comprender los conceptos económicos a

través del significado de la relación entre la derivada en un punto y la función derivada,

y del significado de la relación entre la segunda derivada, la primera derivada y la

función económica origen tanto en el registro algebraico como en el registro gráfico.

2.4.Niveles de desarrollo del Esquema

Piaget y García (1983/1989) plantean que un esquema se desarrolla a través de

tres niveles: INTRA, INTER y TRANS. El mecanismo por el cual el individuo se

traslada de un nivel a otro es denominado por Piaget y García (1983/89) “abstracción

reflexiva”. Según Piaget esta abstracción reflexiva ha de entenderse en un doble

sentido:

- La proyección de la existencia de conocimiento dentro de un nivel de

pensamiento superior, esto es, trascender y construir una nueva y más

compleja estructura de conocimiento.

- La reorganización y combinación de elementos estructurales para conseguir

un objetivo dado (organización estructural).

Por lo que hace al primer sentido, el modo en el que la organización estructural

de acciones, procesos y objetos es llevado a cabo a través de un cambio en los usos, o

una aplicación implícita para un objetivo determinado, y conceptualizar es lo que ha

venido en llamarse bajo el término tematización. La transición desde un uso implícito a

un uso consciente de los elementos matemáticos y el establecimiento de algún tipo de

relación entre ellos es lo que se ha llamado una proyección del conocimiento a un nivel

de pensamiento superior en abstracción reflexiva, esto es, el proceso por el cual una

estructura más compleja de conocimiento es construida.

En cuanto al segundo sentido, la reorganización del conocimiento es vista por

estos autores como la posibilidad de que un esquema pueda ser tematizado para

convertir en otro objeto cognitivo a los que acciones y procesos les puedan ser

aplicados. Así, Cooley, Trigueros y Baker (2003) consideran en su estudio que un


- 71 -

esquema se considera tematizado cuando se convierte en una realidad para el individuo,

alcanza un nivel consciente y puede ser tratado como un concepto nuevo e interesante.

García, Llinares y Sánchez-Matamoros (2011) asumen que los dos sentidos de la

abstracción reflexiva están determinados por las relaciones que los estudiantes son

capaces de hacer conscientemente entre elementos matemáticos, donde la coordinación

mostrada en un nivel debe ser una característica observable en el siguiente nivel. Así, la

manera en que los estudiantes establecen relaciones entre elementos que ayudan a

constituir el esquema son las evidencias de su desarrollo. En particular, y en el contexto

de la relación función-derivada supondría por ejemplo analizar hasta qué punto se

entiende la idea de la derivada en un punto desde su interpretación geométrica y como

el límite del cociente incremental, junto con las condiciones en que una función es

derivable en un punto; o también sobre cómo se obtiene la información en un intervalo

sobre crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidad,

convexidad de una función…

Los tres niveles de desarrollo de un esquema propuestas por Piaget y García, son

definidos de manera general del siguiente modo:

• INTRA: descubrimiento de una acción operatoria cualquiera, y búsqueda del

análisis de sus diversas propiedades internas o de sus consecuencias inmediatas,

pero sin coordinación con otras operaciones y con errores que se corregirán

progresivamente. Por ejemplo, aplicado al cálculo de la derivada de una función,

en la etapa INTRA un estudiante tiene a su disposición un conjunto de diferentes

reglas: conoce y utiliza la fórmula de tasa de variación media para medir el

crecimiento de una función entre dos puntos.

• INTER: una vez comprendida una operación inicial es posible deducir de ella las

operaciones que están implicadas, o de relacionarlas con otras similares, hasta la

constitución de sistemas que involucran ciertas transformaciones. Existen

limitaciones ya que las composiciones solamente pueden proceder con

elementos contiguos. Siguiendo con el mismo ejemplo, en la etapa INTER el

estudiante reconoce que estas reglas están relacionadas en muchos casos: utiliza

el concepto de límite para ir calculando la tasa de variación entre intervalos cada

vez más pequeños hasta poder calcular la derivada en un punto.


- 72 -

• TRANS: se involucran, además de las transformaciones, síntesis entre ellas;

dichas síntesis llegan a la construcción de “estructuras”. Se entiende por

“síntesis” el proceso por el cual a partir de una cosa que se conoce, realizando

operaciones con o sobre ella se llega a la conclusión y a la comprensión de algo

que no se conocía. Aplicado a nuestro ejemplo, en la etapa TRANS el estudiante

considera dichas reglas como casos especiales de la misma regla: es capaz de

obtener la función derivada para cualquier valor de ‘x’, obteniendo una regla

general que permite obtener el valor de la derivada para cualquier caso particular

y usar el significado de la gráfica de la función derivada para obtener

información sobre la función.

Bajo la hipótesis Piagetiana de los niveles INTRA, INTER y TRANS de

desarrollo del esquema algunas investigaciones han estado aportando algunas

características del proceso de desarrollo de y sobre la tematización del esquema. En

relación al esquema de derivada, Clark et al. (1997) particularizaron la propuesta de

desarrollo de un esquema de Piaget y García al cálculo de la deriva de una función y

Sánchez-Matamoros y sus colegas (Sanchez-Matamoros, 2004; Sánchez-Matamoros et

al. 2006, 2013; García, Llinares y Sánchez-Matamoros, 2011) caracterizaron las etapas

de desarrollo del esquema de la derivada a través de la manera en la que los estudiantes

coordinaban el uso de los distintos elementos matemáticos del concepto de derivada, en

uno o varios sistemas de representación. El nivel INTRA se caracteriza por la

realización de acciones considerando de manera aislada los elementos matemáticos, sin

coordinación o aparición de relaciones lógicas entre los mismos, y siempre dentro de un

mismo registro de representación. Por ejemplo, cálculo formal de la expresión de la

derivada de una función en el registro algebraico. En el nivel INTER se establecen

relaciones lógicas entre los distintos elementos generalmente en un registro de

representación. Por ejemplo, la obtención de la representación gráfica de la derivada a

partir de la representación gráfica de la función. Mientras que en el nivel TRANS esas

relaciones se realizan sin restricciones y estableciendo la síntesis (obtención de la

derivada en ambos registros).

En nuestro estudio piloto llevado a cabo con estudiantes bachillerato y

universidad (Ariza y Llinares, 2009) sobre el uso de la derivada en conceptos

económicos, los resultados indican tres niveles de desarrollo del concepto que podrían

equiparse a los niveles INTRA, INTER y TRANS piagetianos. En dicho trabajo se


- 73 -

concluyó que el registro gráfico era fundamental para avanzar en la comprensión del

concepto de la derivada en conceptos económicos tanto en el tratamiento del registro

gráfico como las conversiones desde éste hacia el algebraico.

En la investigación que aquí presentamos pretendemos identificar características

de los niveles de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en conceptos

económicos considerando las relaciones entre modos de representación. Esta

información puede ser relevante para poder identificar mecanismos diferentes de

abstracción reflexiva que sugieran cambios de nivel (INTRA-INTER-TRANS) en el

desarrollo del esquema (Figura 2.3).

Figura 2.3. Fases de desarrollo del esquema relación función-derivada en contextos económicos

2.5.Preguntas de investigación

Esta investigación pretende aportar información sobre el papel que desempeña

la relación entre una función y su derivada en la comprensión de los conceptos

económicos, y cómo estudiantes de Microeconomía intermedia usan el concepto de

derivada en la resolución de problemas en conceptos económicos. En particular nos

hemos planteado la siguiente cuestión de investigación:

• ¿Cuáles son las características de los niveles de desarrollo del esquema de la

relación función-derivada en conceptos económicos?

CAPÍTULO 3. DISEÑO DE INVESTIGACIÓN

3. Diseño de investigación Ángel Luis Ariza Jiménez

- 75 -

CAPÍTULO 3. DISEÑO DE INVESTIGACIÓN

Este capítulo está organizado en tres secciones. En la primera sección se

describen las características de los sujetos que participaron en la investigación. En la

segunda sección, se presentan los instrumentos de recogida de datos, su diseño e

implementación. En la tercera sección, se describen las fases del análisis realizado a los

datos.

3.1. Participantes y contexto

Los participantes fueron 110 estudiantes de la Universidad de Alicante de los

155 matriculados en la asignatura de “Microeconomía”, materia optativa de 3º curso de

la Diplomatura de Empresariales, durante los cursos 2010/11 (50 alumnos) y 2011/12

(60 alumnos). Con la elección de alumnos en dos cursos distintos se pretendía

conformar una muestra de al menos 100 alumnos. Las características de los alumnos de

ambos cursos son prácticamente idénticas, en cuanto a formación previa, edades, nivel

académico, preferencia por la materia de Microeconomía, por las matemáticas, etc.

Debido a que esta investigación tiene un carácter cualitativo, el hecho de que procedan

de dos cursos diferentes permite validar los procesos de inferencia de las características

de los niveles de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en conceptos

económicos.

Los contenidos desarrollados en la asignatura de Microeconomía (contexto de nuestra

investigación) se muestran en la tabla 3.1.


- 76 -

Tabla 3.1. Contenidos de la asignatura de Microeconomía

Contenidos

1. Introducción y elementos básicos de la ciencia economía: la demanda y la oferta 2. Las preferencias del consumidor y la recta presupuestaria. 3. La demanda individual y la demanda agregada 4. La producción y los costes 5. La oferta competitiva 6. Análisis de políticas sobre precios y cantidades 7. El poder de mercado 8. Teoría de juegos

La tabla 3.2. muestra los contenidos de las materias troncales Matemáticas y

Economía I del plan de estudios del año 2000 de la Diplomatura de Ciencias

Empresariales, que los participantes cursaron en 1º curso, como asignaturas que

conforman la formación previa de los participantes.

Tabla 3.2. Contenidos de las asignaturas de Matemática y Economía I Contenidos

Matemáticas Economía I

Bloque 1. Cálculo en una variable 1.1 Representación gráfica en el plano: rectas 1.2 Método general para trazar gráficas 1.3 El concepto de límite 1.4 Continuidad 1.5 Derivada de una función 1.6 Derivadas de orden superior 1.7 Derivación implícita 1.8 Aplicaciones de las derivadas: representación gráfica 1.9 Aplicaciones de la derivada: resultados importantes 1.10 Sucesiones y series 1.11 Cálculo integral

Bloque 2. Funciones de dos variables 2.1 Función real de dos o más variables 2.2 Derivadas parciales de orden superior

Bloque 3. Álgebra matricial 3.1 Matrices y vectores 3.2 Determinantes y aplicaciones 3.3 Sistemas de ecuaciones 3.4 Valores y vectores propios de una matriz cuadrada 3.5 Uso de las matrices para la discusión de máximos y mínimos en funciones de varias variables

TEMA1.Principios básicosTEMA 2. El modelo competitivo de oferta y demanda TEMA 3. La política económica TEMA 4. Análisis de sensibilidad TEMA 5. El excedente del consumidor y del productor TEMA 6. Los costes de producción TEMA 7. Competencia perfecta y la curva de oferta TEMA 8. El monopolio TEMA 9. Fallos de mercado


- 77 -

El currículo en términos matemáticos se centra en analizar y representar

funciones de una y de dos variables, realizar estudios de continuidad, cálculo de límites,

cálculo y representación de funciones derivadas y derivadas parciales, así como

operaciones de cálculo integral. Para la materia de Microeconomía se espera que los

alumnos sean capaces de representar funciones de una y de dos variables, analizar

intervalos de crecimiento y decrecimiento de las mismas, así como calcular, representar

e interpretar funciones derivadas y derivadas parciales, siendo éstos últimos los más

habituales y relevantes en el análisis de funciones microeconómicas que se modelizan a

través de los elementos matemáticos.

3.2. Instrumentos de recogida de datos. Diseño e implementación

En esta sección describiremos los instrumentos de recogida de datos usados.

Los instrumentos han sido

• Un cuestionario formado por 5 tareas sobre microeconomía en las que la

relación función-derivada aparece implícitamente.

• Entrevistas clínicas realizadas a 25 de los 110 participantes.

3.2.1. Cuestionario

El cuestionario se diseñó en dos etapas considerando el análisis conceptual en el

que se articula nuestra propuesta de descomposición genética.

En la primera etapa, se identificaron un conjunto de problemas que reflejaban

los contenidos económicos que se explican e imparten en las materias introductorias de

Microeconomía, tomando como referencias los problemas utilizados en el cuestionario

de nuestro estudio piloto elaborado para estudiantes de instituto y universidad (Ariza y

Llinares, 2009) y la descomposición genética inicialmente conjeturada en la que

teníamos en cuenta los tres esquemas

- de lo algebraico a lo gráfico,

- significado y uso de la primera derivada,

- significado y uso de la segunda derivada.


- 78 -

Las tareas se diseñaron incluyendo los diferentes pre-elementos y elementos de

la descomposición genética descrita en el capitulo anterior.

En la segunda etapa se construyó una primera versión del cuestionario a partir

de ligeras modificaciones de las tareas que formaban parte del estudio piloto. El

objetivo de dichas modificaciones fue adaptar el cuestionario al nivel universitario de

los participantes (ahora no participan alumnos de instituto). Esta primera versión fue

evaluada por dos expertos. Un profesor de la materia Matemáticas de 1º curso de la

titulación de Administración de Empresa (ADE), y un profesor de Economía. Los dos

expertos impartían docencia en universidades diferentes, con lo se pretendía tener

perspectivas complementarias al proponer sugerencias enriquecedoras que aumentaran

la potencialidad de las tareas en función de nuestros objetivos. Las tareas fueron

discutidas y analizadas en los seminarios de investigación que realiza mensualmente el

grupo de investigación de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Alicante.

A partir de estas evaluaciones se eligieron las tareas y se realizaron

modificaciones con el objetivo de que los estudiantes tuvieran una mejor comprensión

de lo que se exigía en cada tarea, y que la redacción de las mismas fuera acorde con los

objetivos de investigación. Como ejemplo de las sugerencias y modificaciones

realizadas, indicamos

(a) la necesidad de advertir de modo expreso sobre aquellas funciones del cuestionario

que no fuesen lineales;

(b) modificar la expresión tasa de variación infinitesimal por tasa de variación en un

punto concreto, al considerar que la palabra infinitesimal aumentaba, inconscientemente

para los alumnos, la complejidad de lo que se les pedía. La nueva formulación podía

ayudar a los estudiantes a entender mejor lo que la tarea requería.

Con la versión definitiva de las tareas se elaboró la versión final de cuestionario

con 5 tareas. En las tareas se relacionan los conceptos económicos con su significado

matemático (Tabla 3.3)

El cuestionario fue contestado por los alumnos de 3º Empresariales en 2 horas al

final del curso como parte de su evaluación, por lo que los alumnos ya habían tenido

contacto con los conceptos económicos reflejados en el cuestionario. El cuestionario

constituyó el 25% de la nota final de la asignatura. Para poder optar a los 2,5 puntos de


- 79 -

calificación se les exigió que contestaran a todos los ítems de las cinco tareas o en su

defecto manifestaran algún intento de resolución.

Tabla 3.3. Relación de conceptos económicos y matemáticos de las tareas

Tareas Conceptos económicos Traducciones y conversiones

entre los modos de representación Significados matemáticos

T0

Funciones de oferta y demanda

- Del registro numérico al registro gráfico. - De la gráfica de la función al registro algebraico. - Función origen lineal. - Función origen no lineal

T1

Elasticidad-precio de la demanda

Obtención algebraica del cociente incremental entre dos puntos de la función, lineal y no lineal. Obtención algebraica (por aproximación al límite) del cociente incremental en un punto de la función, lineal y no lineal

T2

Relación entre Coste Marginal- y Coste Total Producto Marginal - Función de Producción

De la función derivada a la función mediante representaciones gráficas. Conversión a registro algebraico Función origen lineal Función origen no lineal

T3

Del Producto Total (Función de producción) al Producto Marginal Del Coste Total al Coste Marginal

De la gráfica de la función a la gráfica de la función derivada Relación entre la primera derivada y la segunda derivada en ambos registros Significado de la concavidad-convexidad de la función en relación al crecimiento-decrecimiento de la primera derivada (valor positivo o negativo de la segunda derivada) Relación no lineal

T4

De la Relación Marginal de Substitución a la Función o Curva de Indiferencia

De la derivada en un punto a la función derivada, en ambos registros. Función origen convexa. De la derivada en un punto a la función derivada, en ambos registros. Función origen cóncava.

3.2.1.1. Las tareas

Las cinco tareas del cuestionario hacen referencia a los pre-elementos y

elementos que configuran la descomposición genética planteada. En total hay doce


- 80 -

ítems. Cada uno de los ítems se corresponde con uno de los elementos descritos en la

descomposición genética. La agrupación de los ítems en tareas se hizo considerando la

descomposición genética, procurando que las tareas se vieran de forma independiente

por los alumnos. En la tabla 3.4 aparece la relación entre los ítems de cada tarea y los

elementos matemáticos de la descomposición que aparecen en ellos.

Tabla 3.4. Equivalencia entre los ítems de las tareas con los elementos de la descomposición genética ordenados según los tres Esquemas conceptuales definidos en

la misma

Esquema 0: De lo algebraico al gráfico

E1.Conversión de funciones económicas lineales A G Ítem 0.1

Tarea 0 E2.Conversión de funciones económicas no lineales A G Ítem 0.3

E3. TVM entre dos puntos Ítem 1.1 Tarea 1 E4. TVM por aproximación al límite Ítem 1.2


E5. Conversión de funciones económicas lineales G A Ítem 0.2 Tarea 0

E6. 1ª derivada (funciones lineales): relaciones entre expresiones algebraicas y las gráficas de la función y su derivada

Ítem 2.1 Tarea 2

E7.Conversión de funciones económicas no lineales G A Ítem 0.4 Tarea 0


Ítem 2.2 Tarea 2


E9. 2ª derivada (Convexidad): Explicación en contexto económico de la forma convexa de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada

Ítem 3.1

Tarea 3 E10. 2ª derivada (concavidad): explicación en contexto económico de la forma cóncava de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada

Ítem 3.2

E11. Derivada en un punto Función derivada: paso de la derivada en un punto a la derivada de una función económica convexa

Ítem 4.1

Tarea 4 E12. Derivada en un punto Función derivada: paso de la derivada en un punto a la derivada de una función económica cóncava

Ítem 4.2

La tarea 0 (Figura 3.1) presenta una situación económica a través de tablas de

datos relativas a las funciones económicas de Demanda y Oferta. En la actividad de

traslación entre modos de representación la tarea adopta dos contextos, tabular-gráfico y


- 81 -

algebraico. En la primera actividad de traslación se consideran relaciones lineales y en

la segunda relaciones no lineales. La tarea está compuesta de cuatro ítems.

El ítem 0.1 hace referencia al primero de los pre-elementos “Conversión de

funciones económicas lineales, desde el registro algebraico al registro gráfico”

(Conversión A-G lineal), y se corresponde con el E1 de la descomposición genética

conjeturada. El ítem 0.2 hace referencia inicialmente a la traslación de numérico al

algebraico, pero como el ítem anterior pedía la representación grafica de las dos

relaciones entre las variables dada en forma tabular, podemos asumir también que los

estudiantes podían tener la representación grafica de las dos relaciones junto con la

representación tabular. Por consiguiente, podíamos asumir que el ítem 0.2 hace

referencia al segundo de los pre-elementos “Conversión de funciones económicas

lineales desde el registro gráfico al registro algebraico” (Conversión G-A lineal) que se

corresponde con el E5 de la descomposición genética propuesta. Los ítem 0.3 y 0.4

hacen referencia a los pre-elementos 3 y 4, respectivamente “Conversión de funciones

económicas no lineales desde el registro algebraico al registro gráfico y viceversa,

respectivamente” (Conversión A-G no lineal) y (Conversión G-A no lineal), los cuales

se corresponden con los E2 y E7 de la descomposición genética.

Figura 3.1. Tarea 0 relativa a las Funciones de Demanda y Oferta


- 82 -

A continuación, indicamos los objetivos que se pretenden con cada uno de los ítems

en relación con la solución posible más idónea para los mismos:

• El ítem 0.1 pretende que el alumno convierta las relaciones entre los datos tabulados

de las dos funciones al registro gráfico. Por tanto, se espera que dibuje un eje de

coordenadas, donde en abscisas representamos la variable Cantidad y en ordenadas

la variable Precio para representar dos funciones lineales: una creciente - la función

de Oferta (Qs(P) - y la otra decreciente - la función de Demanda (Qd(P) - y que se

cortan en el punto de abscisa Qs=Qd=10 y en la ordenada P = 15, denominado punto

de equilibrio.

• El ítem 0.2 pretende medir la capacidad del estudiante para convertir las formas

gráficas de las funciones lineales en expresiones algebraicas o ecuaciones ya que se

parte de datos en forma tabular que han sido representados gráficamente (ítem 0.1) y

con esta representación de los datos se les pide que generen la expresión algebraica.

Una posible solución a esta tarea es utilizar la expresión genérica de una línea recta

(y = mx + n) mediante la cual se genere un sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas a través de la consideración de dos puntos cualesquiera. Por ejemplo,

para la función de demanda (Qd(P)) si cogemos el punto (P=3; Qd=34) y el punto

(P=6; Qd=28). Asumiendo que la P es la variable y, y la Q la variable x, podríamos

hallar el valor de la pendiente m y el término independiente n mediante la resolución

del sistema de ecuaciones formado por la expresiones 3 = 34m + n y 6 = 28m + n.

De la misma manera para la función Oferta interior (Qs).

• Los ítems 0.3 y 0.4 presentan la variante de que la relación matemática entre los

conceptos económicos de Precio y Cantidad no es lineal, por ello la exigencia para

la conversión desde la tabla de datos a una representación gráfica y a una expresión

algebraica aumenta. Teniendo en cuenta que la función de oferta, Qs(P), se mantiene

idéntica (siendo lineal), estos ítems se centrarían en la función de demanda (Qd(P))

que no es lineal en este caso.

Globalmente considerada, esta tarea tiene como objetivo aportar información

sobre cómo los estudiantes son capaces de realizar conversiones entre los diferentes

modos de representación en ambos sentidos, distinguiendo los casos de variables

económicas que se pueden modelizar con funciones matemáticas lineales y no lineales.

En este sentido la solución del ítem 0.3 es igual que el ítem 0.1 para el caso de la


- 83 -

función de oferta (Qs(P)) con la salvedad de que la función de demanda (Qd(P))

adquiere ahora forma de hipérbola (y por tanto no lineal), alcanzándose el punto de

equilibrio en el punto P = 6 y Qd = 4. La gráfica de la función Qd(P) en este caso debe

asumirse de forma aproximada y los alumnos se deben apoyar en la “visualización” de

la forma de una hipérbola obtenida de la representación de los distintos puntos. Por lo

que respecta al ítem 0.4 un proceso de solución se apoya en “conocer” que la forma

algebraica de un hipérbola se corresponde con una expresión donde la variable x

aparece como denominador, por ejemplo P = n / Q, siendo n un número positivo.

Probando esta expresión genérica en todos los puntos se llega a la expresión requerida,

P = 24/Q. Por tanto, la exigencia cognitiva del ítem 0.4, que consiste en expresar

algebraicamente la relación tabular de P y Qd, es mayor. En primer lugar porque los

alumnos deben reconocer que los puntos de dicha función Qd(P), al situarlos en los ejes,

permiten “visualizar” una rama hiperbólica y, en segundo lugar porque deben reconocer

que las expresiones algebraicas de las ramas hiperbólicas son de la forma y = n / x.

En la tabla 3.5 presentamos resumida la relación entre cada uno de los ítems de

la tarea 0 y los pre-elementos definidos en nuestro esquema de relación función-

derivada en contextos económicos.

Tabla 3.5. Relación entre los ítems tarea 0 y los pre-elementos

Tarea 0 ÍTEMS

PRE-ELEMENTOS Conversión G-A en función

lineal

Conversión G-A en función

lineal

Conversión A-G en no función

lineal

Conversión G-A en no función

lineal 0.1 X 0.2 X 0.3 X 0.4 X

La tarea 1 (Figura 3.2), presenta una situación económica a través del registro

algebraico. Está formada por dos ítems, el 1.1 y el 1.2. Estos ítems hacen referencia a

los elementos “Tasa de variación media entre dos puntos” y “Tasa de variación media

por aproximación al límite”, correspondientes a los elementos E3 y E4 de la

descomposición genética respectivamente.


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Tarea 1

1.1) Calcula e interpreta el cociente entre la variación de la cantidad demandada y la del precio desde el punto inicial P=6 al punto final P=9 en las funciones de Demanda Qd=10 – P y Qd=81/P ¿Con qué concepto económico asociarías este cociente?

1.2) Calcula e interpreta la tasa de variación de la cantidad demandada con respecto al precio en el punto p=6 en ambas funciones de demanda. ¿Con qué concepto económico asociarías este cálculo?

Figura 3.2. Tarea T1 relativa a la Función de elasticidad

Los objetivos de esta tarea y las soluciones más idóneas posibles son:

• El ítem 1.1 pretende analizar (a) la capacidad de tratamiento del registro algebraico

a través del concepto económico de la elasticidad, (b) la capacidad de coordinar los

cambios porcentuales entre dos variables y la interpretación de la razón del cociente

como medida del cambio al tener el alumno que calcular variaciones porcentuales

(cocientes incrementales). Por otra parte, el ítem también proporciona información

acerca de la dificultad de coordinar variaciones medias de funciones lineales y no

lineales.

Una forma de resolver este ítem es calculando la elasticidad entre los puntos P = 6 y

P = 9 para la función lineal, Qd = 10 – P, y la no lineal, Qd = 81/P, a través de la

segunda igualdad de la figura 3.3., al ser dos puntos concretos. El concepto

económico de elasticidad entre dos puntos estandariza la medida de cambio de

ambas variables (para la función lineal, )69()41(

−− a través de los porcentajes, de ahí la

necesidad de poner en relación dicha medida de cambio con los valores iniciales de

las variables como cocientes

6)69(

4)41(

−

−

), de manera que se comparan porcentajes de

cambio como medidas homogéneas que miden la velocidad de cambio entre dos

variables distintas que inicialmente se miden en unidades de cuenta distintas (Qd en

unidades físicas y P en unidades monetarias). Para la función lineal, Qd = 10 – P,

la elasticidad entre dos puntos es igual a -1.5 y para la función no lineal Qd = 81/P,

es – 0.666666. El hecho de que la función Qd(P) = 81/P sea no lineal exige a los

alumnos identificar de manera explícita el cociente incremental con la noción de

elasticidad.


- 85 -

Figura 3.3. Expresión que permite calcular la elasticidad entre dos puntos

(donde x1 es la variable cantidad demandada o Qd y p1 es la variable precio o P)

• El ítem 1.2 mide la variación por aproximación al límite en un punto concreto, por

lo que es necesario conocer la expresión algebraica de la función. Este ítem intenta

aportar información sobre (a) cómo el alumno pasa a la función derivada por

aproximación al límite, en el registro algebraico, y cómo relaciona este concepto de

elasticidad-punto con el de función derivada o concepto de pendiente dado que los

alumnos pueden calcular la variación infinitesimal (la elasticidad-punto como

concepto económico) a partir de la pendiente (y por tanto de la derivada); y (b) la

dificultad de coordinar variaciones infinitesimales en funciones no lineales.

En cuanto a la resolución, en este caso, el alumno no tiene la referencia de

variación entre dos puntos, ya que se le pide la variación en un punto (variación

infinitesimal), por lo que se ha de utilizar la tercera igualdad de la expresión de la

figura 3.3., de modo que se necesita conocer la pendiente o la derivada para conocer

el cociente de las variaciones de ambas variables, y multiplicar después por el punto

en cuestión puesto en cociente. Así, para la expresión lineal tendremos que el

resultado sería (-1)*6/4 = - 1.5, donde (-1) es el valor de la pendiente de la recta

dada (∆Qd/∆P) o valor de la derivada de la función Qd(P), mientras que 6

corresponde al punto P = 6, y 4 es el valor asociado a Qd para un valor de P = 6,

según indica la expresión Qd(P) = 10 – P = 10 – 6 = 4.

La tarea 2 (Figura 3.4), se presenta en el registro gráfico. Se proporcionan

representaciones gráficas de las funciones económicas de Coste Marginal y de Producto

marginal que son funciones derivadas de las funciones económicas Coste Total y

Función de Producción o Producto Total. En esta tarea se han de obtener las funciones

origen en ambos registros, primero para una situación de función origen lineal y

posteriormente para una situación donde la función origen es no lineal. La conforman

dos ítems: el ítems 2.1. requiere establecer la relación entre dos funciones económicas

lineales (una función y su derivada). Se corresponde con el elemento “significado de la

1ª Derivada en funciones lineales” (E6) de la descomposición genética. En el ítem 2.2.


- 86 -

la función origen a obtener, una vez dada la gráfica de la derivada, se corresponde con

una función no lineal (la derivada en este caso no es constante) y hace referencia al

elemento “significado de la 1ª Derivada en funciones no lineales” (E8) de nuestra

descomposición genética.

Tarea 2 2.1) Para la siguiente función de Coste Marginal, dibuja y explica cómo sería

gráficamente la curva del Coste Total, y obtén también posibles expresiones algebraicas para ambas funciones (acordes con la forma gráfica presentada), explicando cómo llegas a ellas

2.2) Para la siguiente función de Producto Marginal (PMg (L)), dibuja y explica cómo

sería gráficamente la Función de Producción, y obtén también posibles expresiones algebraicas de ambas funciones (acordes con la forma gráfica presentada), explicando cómo llegas a ellas.

Figura 3.4. Tarea 2 relativa a la Función Coste Marginal y Producto Marginal

Los objetivos de esta tarea y las soluciones posibles más idóneas son:

• Con el ítem 2.1 pretendemos observar si el estudiante (a) es capaz de obtener la

gráfica de la función a partir de la gráfica de la función derivada, las expresiones

algebraicas de ambas, y cómo coordina la relación entre los registros gráfico y

algebraico; (b) establecer en qué medida relacionan los conceptos económicos con

los significados de la relación entre una función y su derivada. De este modo, una

solución posible es dibujar directamente una línea recta creciente para la función

origen, ya que su derivada es una constante, lo cual quiere decir que la función

origen crece a una tasa constante. Posteriormente, habría que expresar


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algebraicamente ambas funciones, mostrando coordinación entre los dos registros.

Una posible expresión para el Coste Marginal sería cualquier número positivo (o

una constante ‘c’) mientras que para al Coste Total esa constante sería la pendiente

de la recta, más un término independiente. Para ello el estudiante debe establecer las

relaciones entre la gráfica de una función lineal creciente y la gráfica de una función

constante que vienen dadas como una función y su derivada.

• En el ítem 2.2 se pretenden los mismos objetivos que el ítem 2.1., si bien en este

ítem la función origen resultante no es lineal, lo cual añade un grado más de

dificultad a la tarea. Un alumno que dominase el registro gráfico obtendría la gráfica

de la función origen, en este caso el Producto Total, sabiendo que la función

derivada crece a una tasa constante, lo cual quiere decir que la función origen crece

cada vez más. Esto se traduce en una parábola creciente, donde la pendiente es cada

vez mayor (creciente) de ahí que la derivada tenga esa forma lineal creciente. Para

obtener las expresiones algebraicas el alumno debe reconocer en las gráficas de las

funciones lineales el formato de la expresión algebraica y aplicar esta relación al

caso presentado. Así, se parte de la expresión de una línea recta para la derivada y la

forma genérica de una parábola creciente para la función origen, y posteriormente

comprobar la expresión de la derivada calculándola desde la expresión de la función

origen, mostrando así coordinación entre las dos funciones y los dos registros.

La tarea 3 (Figura 3.5) presenta las funciones económicas no lineales (Función

de Producto Total y de Coste Total) en el registro gráfico. Esta tarea la conforman dos

ítems. En estos ítems los estudiantes deben utilizar los conceptos de 1ª y 2ª derivada en

el registro gráfico y algebraico. Los ítems hacen referencia a los elementos relativos a la

2ª derivada, “2ª Derivada Convexidad” y “2ª Derivada Concavidad”, respectivamente,

que son los elementos E 9 y E10 de la descomposición genética.


- 88 -

Tarea 3

Las Funciones de Coste Total (CT(Q) y Producto Total (o Función de Producción, PT(L)) a las que se enfrenta un empresario en el corto plazo utilizando dos unidades de capital vienen definidas por las siguientes figuras:

3.1) Obtén la gráfica y expresión algebraica del Coste Marginal CM(Q).

Argumenta [utilizando la 2ª derivada, las gráficas y las expresiones algebraicas de la función Coste Total CT(Q) presentada y su CM(Q)] si la función CT(Q) es cóncava o convexa, explicando qué implica una u otra forma.

3.2) Contesta a la misma pregunta respecto a la función Producto Total PT(L) presentada y su Producto Marginal PM(L)

Figura 3.5. Tarea 3 relativa a la Función Producto Total y Coste Total

Los objetivos de investigación de esta tarea y una posible solución son:

• Con los ítems 3.1 y 3.2 pretendemos analizar (a) cómo el alumno traslada de la

expresión gráfica de la función origen (Coste Total y Producto Total) a la expresión

gráfica de la función derivada (Coste Marginal y Producto Marginal) cuando la

función origen es no lineal; b) en qué medida el alumno es capaz de reconocer una

expresión algebraica asociada a la expresión gráfica en cada caso. En este caso el

camino que presenta es inverso al de la tarea 2: si en aquella se presentaban las

funciones derivada y se demandaba obtener las funciones origen, en esta caso, se

presentan las funciones origen y se demanda la función derivada, introduciendo el

concepto de 2ª derivada como elemento que clarifica la obtención de la función

derivada y las características de la función origen.

Para resolver el ítem 3.2, donde la función origen es cóncava, el alumno debe

advertir que la función presentada es siempre creciente pero con una pendiente cada

vez menor, es decir, su crecimiento se ralentiza desde el inicio, por lo que la función

derivada podría dibujarse como una función decreciente, por ejemplo, una hipérbola

con los ejes de coordenadas como asíntotas vertical y horizontal. A partir de ahí, se

podría obtener la expresión de la función origen sabiendo que una parábola creciente

a una tasa cada vez menor se puede corresponder con una expresión en donde la


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exponencialidad de la variable sea menor que 1, por ejemplo, y = √x, o en este caso

PT = √L… A partir de aquí la expresión de la función derivada se puede obtener

aplicando reglas de derivación algebraicas, por ejemplo, PM = 1/(2√L),

comprobando que gráficamente esta expresión tiene pendiente negativa. A

continuación, la introducción del elemento 2ª derivada se puede obtener o bien

algebraicamente derivando la función derivada, en la que se obtendría

PM’=-1/(4√L³), o bien gráficamente a través de la derivada de la hipérbola, la cual

se obtendría sabiendo que el crecimiento de dicha función es siempre negativo (ya

que es decreciente) pero cada vez más pequeño en valor absoluto. Esto equivale a

una gráfica de la función segunda derivada en el cuarto cuadrante (valores positivos

en el eje de abscisas y negativos en el eje de ordenadas) y creciente. Una buena

coordinación mostraría que la expresión dada para PM’ se correspondería con esa

forma gráfica. Además, el hecho de que PM’ sea negativa para cualquier valor en el

eje de abscisas nos indica que la función segunda derivada es negativa, lo que

significa que la función origen es cóncava, y de ahí el alumno puede inferir el

significado matemático y económico. En este caso, al ser la función Producto Total

cóncava, la productividad marginal (PM) de los trabajadores adicionales contratados

es cada vez más pequeña. Es decir, que cada trabajador aporta una cantidad de

producto menor que el anterior, con lo que ello comporta para la decisión final del

empresario de cuántos trabajadores contratar.

Para el caso del ítem 3.1 el procedimiento de solución sugerido es el mismo, con

la salvedad de que la función origen es convexa, la función primera derivada es

creciente y la función segunda derivada es positiva. Esto permitiría inferir en

términos económicos que un incremento de la producción genera en el empresario

un incremento adicional de los costes cada vez mayor, con lo que ello supone para el

empresario sobre la decisión final de qué cantidad producir, sabiendo que los costes

crecen exponencialmente. Así, una expresión algebraica posible para la función

origen sería CT = Q² + 100, la función primera derivada CM = 2Q, y la función

segunda derivada CM’ = 2 >0 → función origen convexa.

La tarea 4 (Figura 3.6) presenta funciones económicas no lineales en el registro

gráfico, con información referida a un punto concreto. La tarea contiene dos ítems. En

los ítems 4.1. y 4.2. se pide calcular la función derivada en su totalidad a partir del

cálculo de la derivada en un punto, teniendo que argumentar su concavidad-convexidad


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a través de la 2ª derivada. Las funciones presentadas en esta tarea (tanto desde el punto

de vista económico como matemático) tienen mayor complejidad que las presentadas

en el resto de tareas. Los ítems hacen referencia a los elementos relativos a la derivada

en un punto, “f convexa→Función Derivada” y “f cóncava→Función Derivada”, que

se corresponden con los elementos E11 y E12 de la descomposición genética.

Tarea 4 4.1.- Un consumidor presenta la siguiente curva de indiferencia respecto de los

bienes de consumo X e Y:

- Calcula la Relación Marginal de Substitución (RMS) en el punto presentado - Dibuja cómo sería la gráfica de la primera derivada de esta función (X en abscisas

y RMS en ordenadas) y argumenta por qué es convexa utilizando el concepto de 2ª derivada (puedes apoyarte en expresiones algebraicas que se correspondan con las formas gráficas de las funciones si lo crees oportuno)

4.2.- Un consumidor presenta el siguiente tipo de curva de indiferencia hacia los bienes X e Y:

Contesta a las mismas preguntas que el apartado anterior

Figura 3.6. Tarea 4 relativa a la Función de Utilidad y Relación Marginal de Sustitución

Los objetivos de esta tarea y las soluciones posibles son:

• Con los ítems 4.1 y 4.2 se pretende obtener información sobre (a) el nivel de uso de

la derivada en conceptos económicos nuevos donde el uso de la derivada no es tan

explícito como en los anteriores conceptos económicos; b) analizar si el alumno

identifica la relación entre los conceptos Curva de Indiferencia y Relación Marginal

de Substitución como una relación entre una función y su derivada. En el item 4.1 la

función origen es convexa y, a diferencia de las funciones presentadas en la tarea 3,

de pendiente negativa. Para calcular la RMS en el punto dado, es decir, el valor de

función derivada en ese punto, el alumno sabe que puede obtener dicho valor como


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cociente de los valores presentados ‘y/x’, ya que este tipo de función se ha

introducido en el currículo. Esto significa que la derivada en ese punto es 4 en valor

absoluto, es decir, -4. Un alumno que domine el registro gráfico podría dibujar toda

la función derivada sabiendo el valor de la misma en el punto, ya que el

decrecimiento en este caso de la función es cada vez menor (la pendiente es negativa

pero con un valor absoluto cada vez menor) lo cual implicaría una gráfica de la

función derivada en el cuarto cuadrante de pendiente positiva. Si utilizamos el

registro algebraico directamente, se llegan a las mismas conclusiones pero se

llegaría desde la función derivada a la derivada en un punto, y no al contrario. Así,

el primer paso sugerido en la solución de esta tarea es la obtención de la expresión

algebraica de la función origen. Con la información disponible, el alumno ha de

saber que estamos ante una función decreciente con pendiente negativa cada vez

menor en valor absoluto. En este tipo de funciones la variable tiene un exponente

negativo, y puesto que conocemos un punto, podemos llegar a que la función

presentada es Y = 100/X. A partir de ahí, algebraicamente se puede obtener la

función derivada y desde ahí obtener el valor de la derivada en el punto en cuestión.

Así, Y’ = - 100/X², siendo Y’ = -4 en X = 5. A partir de aquí la obtención de la

segunda derivada es igual a la que propusimos en la tarea 3, llegando en este caso a

una función segunda derivada Y’’ = 200/X³ >0 → Y convexa.

La solución del ítem 4.2 seguiría el mismo procedimiento, con la salvedad de

que la función origen en este caso es cóncava. El alumno sabe por el tipo de función

que la Relación Marginal de Substitución en ese punto es -3/4. A partir de ahí, se

debe deducir que los siguientes valores de la derivada de esa función son cada vez

mayores en valor absoluto (pendiente negativa cada vez mayor en valor absoluto) lo

cual se correspondería con una gráfica en el cuarto cuadrante y de pendiente

negativa (cada vez más negativa). Apoyándonos en el registro algebraico, la función

origen tendría como expresión posible Y = √(25 - X²), y su derivada Y’ = - X / √(25

- X²), que es una función negativa decreciente, cuyo valor en X = 3 es Y’ = -3/4.

Finalmente la función segunda derivada Y’’ = - 25/√ (25 - X²)³ < 0 → Y cóncava.

En la tabla 3.6 se resume la relación entre los distintos ítems de las tareas 1, 2 3

y 4 del cuestionario y los elementos definidos en nuestro esquema de derivada.


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Tabla 3.6. Relación de las tareas 1 a 4 con los elementos Esquema derivada

Tareas Elementos Económico

s

Elementos matemáticos Cociente

Incremental

1ª Derivada

2ª Derivada

Derivada en un punto a Función

derivada

1 Elasticidad X

2 Coste Total y Marginal X X

3 Producto Total y

Marginal X X X

4 Curva de

Indiferencia y RMS

X X X X

3.2.2. Entrevista

Las entrevistas fueron semiestructuradas. Se elaboró un guión previo (Goldin,

2000) y en todo momento se intentó crear un clima de confianza entre el investigador y

los estudiantes (Hunting, 1997) de modo que no percibieran la entrevista como un

segundo cuestionario, en el que tuvieran que responder adecuadamente, sino como un

medio a través del cual pudieran explicar cómo y por qué habían contestado a los

distintos ítems. Los objetivos de la entrevista fueron a) aclarar respuestas de los

alumnos que en el cuestionario no quedaban claras y que pudiesen aportar información

adicional relevante, y b) utilizar un instrumento distinto al cuestionario, a través de la

observación directa del alumno y de su interacción con las tareas.

Las entrevistas se realizaron durante el mes de junio del curso académico

correspondiente, aproximadamente un mes posterior a la realización de los

cuestionarios.

• Selección de los estudiantes para las entrevistas

La selección de los estudiantes se realizó atendiendo a:

a) su disponibilidad y predisposición para asistir a las sesiones de entrevista,

b) sus respuestas al cuestionario. Seleccionamos aquellas que pudieran estar

incompletas por falta de tiempo, que tuvieran errores por falta de atención, o que

mostraban cierta originalidad, y


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c) variedad en el tipo de calificaciones. Procuramos que los alumnos seleccionados no

fueran ni los que mayor éxito en sus calificaciones en la evaluación de la

asignatura, ni los que menos ya que se pretendía hacer una selección heterogénea.

En total se entrevistaron a 25 alumnos de los 110 participantes (Tabla 3.7).

Tabla 3.7. Selección de estudiantes entrevistados Curso

Académico Calificaciones Total Notable Aprobado Suspenso

2010/11 6 4 2 12 2011/12 4 6 3 13 TOTAL 10 10 5 25

• Guión de las entrevistas

Para cada una de las tareas del cuestionario, se elaboró un guión previo, así

como la respuesta que considerábamos correcta para la pregunta realizada y sugerencias

de preguntas ante posibles respuestas erróneas. Posteriormente y en función de las

respuestas obtenidas el guión inicial fue completado con otro tipo de preguntas, distintas

para cada alumno al producirse estas en función de las respuestas de estos. La totalidad

del guión de las entrevistas realizadas se puede ver en el Anexo, pp. 1-5.

A continuación, presentamos un ejemplo del proceso de entrevista sobre la tarea

2 y la respuesta de los alumnos AL.33 y AL.19. El guión inicial del ítem 2.1 de la tarea

2 y la respuesta correcta esperada, fueron los siguientes:

- ¿Puedes explicar por qué la gráfica del CT(Q) tiene esa forma?

Una respuesta correcta sería del tipo: “la gráfica del CT es una línea recta de

pendiente positiva y constante, ya que el CMg, que es su derivada, es constante, de

modo que la velocidad de cambio del Coste Total es siempre la misma)”.

Ante posibles gráficas erróneas se preguntará por la relación entre ambos conceptos,

de modo que podamos saber si el alumno es capaz de ver esa relación también en el

registro gráfico.

- ¿Cómo llegas a las expresiones algebraicas?

La respuesta debe mostrar coherencia entre las formas gráficas obtenidas y las

expresiones algebraicas. El objetivo es ver que el alumno mantiene la coherencia en

sus respuestas y la coordinación entre los registros. Si se observa un mejor tratamiento


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del registro gráfico se puede preguntar por otras expresiones algebraicas, y si se

observa un mejor tratamiento del algebraico se puede preguntar por otras funciones

gráficas.

A modo de ejemplo, presentamos la respuesta dada por el estudiante AL.33 al

ítem 2.1. (Figura 3.7) y la entrevista realizada en función de esta respuesta.

Figura 3.7. Respuesta del estudiante Al.33 al ítem 2.1 de la tarea 2

En la entrevista al estudiante Al.33, además de una de las preguntas del guión

inicial, se le hicieron cuatro preguntas, motivadas estas por la expresión algebraica que

el alumno planteó para la función coste total, CT = aQ, que siendo correcta, su

representación gráfica no lo es. En consecuencia, se le pidió que representará la

CT = 3Q, que tiene el mismo formato que CT = aQ, para comprobar si el alumno la

representaba con los mismos errores en el registro gráfico o por el contrario advertía y

corregía su error. Una vez que la había representado, se le pidió que la comparara con la

que él había dado en su respuesta.

Inv.: ¿Por qué el CT es horizontal?

AL.33. Porque es la suma del fijo y el variable, y los dos son constantes

Inv.: Representa por ejemplo la función CT = 3Q

AL.33: (La representa correctamente)

Inv.: La expresión que has puesto en el examen (CT = aQ), podría ser la

anterior?


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AL.33: Sí, porque la a sería el 3.

Inv.: ¿Gráficamente es igual que la que has representado en el examen (línea

horizontal)?

AL.33: No, esta no es constante, es creciente

Por su parte, el guión inicial del ítem 2.2 de la tarea 2 y la respuesta correcta,

fueron:

- ¿Puedes explicar por qué la gráfica del Producto Total PT(L) tiene esa forma?

Una respuesta correcta sería del tipo: “al ser el Producto Marginal (PMg) una función

lineal creciente quiere decir que el Producto Total (PT) es una función creciente con

una pendiente cada vez mayor, describiendo una forma de parábola creciente con

pendiente positiva y cada vez más grande”. Lo relevante de esta tarea es que el alumno

perciba que la función es no lineal y de pendiente cada vez mayor (derivada creciente).

Ante respuestas erróneas se planteaban cuestiones que se centraban en el proceso

inverso, es decir, ante funciones parabólicas preguntarles por la derivada, de esa manera

pueden percibir en el registro gráfico la relación entre ambas.

-¿Cómo llegas a las expresiones algebraicas?

La respuesta correcta debe mostrar coherencia entre las formas gráficas obtenidas y las

expresiones algebraicas. El objetivo es ver que el alumno mantiene la coherencia en sus

respuestas y coordinación entre los registros. Si se observara un mejor tratamiento del

registro gráfico, entonces se les preguntaría por otras expresiones algebraicas, en caso

contrario, las preguntas serían por otras funciones gráficas.

Para ejemplificar cómo se desarrolló una entrevista sobre el ítem 2.2 de la tarea

2, presentamos la respuesta dada a este ítem por el alumno AL.19 (Figura 3.8).


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Figura 3.8. Respuesta del estudiante AL.19 al ítem 2.2 de la tarea 2

En su respuesta al ítem 2.2. de la tarea 2, el alumno da una función origen

representada gráficamente de forma correcta (una parábola creciente), cuya derivada se

corresponde con la gráfica que presenta el ítem. La expresión algebraica de la función

origen también es correcta, pero no así la de la función derivada. Por ello, en primer

lugar, para comprobar si la representación y expresión algebraica que ha dado de la

función origen no es producto del azar, se le presentan otras funciones con

características distintas que le exigen diferenciar algebraicamente entre parábolas

crecientes (como la del ítem) de las que no lo son. En segundo lugar, se le presenta una

expresión algebraica similar a la función origen, y se le pregunta por la derivada. El

objetivo de esta pregunta es comprobar si es capaz de obtener la derivada en el registro

algebraico o, por el contrario, comete el mismo error que el cometido en la resolución

del ítem 2.2.


- 97 -

Inv.: ¿Las siguientes expresiones podrían corresponderse con la que has

dibujado: PT = L³; PT = L ½; PT = 2L?

AL.19: Pues a ver…la primera sí porque es una parábola…la última no porque

es una línea recta, y luego la de L elevado a ½… esa es como si fuera la raíz

de L, y tampoco sería como la del ejercicio porque iría hacia el otro lado

(dibuja una gráfica creciente y cóncava)

Inv.: ¿Podrías obtener la expresión del PM para la función PT = L² + 5L?

AL.19: Pues si derivo tengo L + 5…no, espera…2L + 5….sí, una línea, pero

sale de 5 y no de 0.

• Procedimiento para la realización de la entrevista

Durante la entrevista los estudiantes disponían de sus cuestionarios ya resueltos.

Las cuestiones inicialmente planteadas en la entrevista se iban modificando o aparecían

algunas cuestiones nuevas en función de sus respuestas y comportamiento, como hemos

dicho anteriormente. Este procedimiento se realizó con el fin de clarificar y profundizar

en sus razonamientos y procedimientos acorde a cómo se habían desarrollado durante la

resolución del cuestionario (Clement, 2000). Además, se pretendía conocer la

valoración de cada una de las tareas. Durante la realización de la entrevista se ayudó a

los estudiantes que no veían clara alguna cuestión o simplemente encontraban

dificultades a la hora de explicar qué y cómo habían contestado (Hunting, 1997).

Las entrevistas tuvieron una duración aproximada de 30 minutos y fueron

grabadas en audio y posteriormente transcritas. La información procedente de estas 25

entrevistas permitió inferir una primera caracterización de la manera en la que los

elementos matemáticos configuraban cada una de los tres esquemas de la relación

función-derivada en conceptos económicos.

3.3. Análisis

El análisis de las respuestas escritas al cuestionario y la transcripción de las

entrevistas realizadas se realizó en dos etapas: de puntuación y de identificación de

niveles o categorización.


- 98 -

3.3.1 Etapa 1: Puntuación de los ítems

En esta etapa se puntuaron conjuntamente las respuestas a los ítems y a las

preguntas de las entrevistas en los casos de los estudiantes entrevistados. Cada respuesta

fue puntuado como 0, 0.25, 0.5, 0.75 y 1 siguiendo el siguiente criterio

Respuesta en blanco o que aporta información que no tiene que ver con la

información planteada. Puntuación 0.

Respuesta errónea, con consideraciones ajenas a la solución, errores algebraicos

graves, aunque aparecen ciertos aspectos relacionados con el elemento.

Puntuación 0.25.

La idea subyacente en la respuesta es correcta pero el proceso de justificación es

pobre o inexistente. Pueden existir errores de cálculo o algebraicos y gráficos

moderados. Puntuación 0.5.

Demuestra una comprensión del elemento bastante completa, aunque la

justificación pueda resultar no del todo convincente, siendo posible la existencia

de leves errores de cálculo o gráficos. Puntuación 0.75.

La respuesta es correcta y el proceso de justificación completo y convincente. .

Puntuación 1.

A continuación, ejemplificamos cómo fue el proceso de codificación a través de

las respuestas de distintos estudiantes al ítem 0.2 que se corresponde con el elemento E5

(Esquema 1: significado y uso de la 1ª derivada), y al ítem 3.2 que se corresponde con el

elemento E10 (Esquema 2: significado y uso de la segunda derivada). La totalidad de

codificaciones para el resto de ítems se puede encontrar en el Anexo, pp. 6-54.

Las figuras 3.9, 3.10, 3.11 y 3.12 muestran distintas respuestas al ítem 0.2. con

puntuaciones 1, 0.75, 0.50 y 0.25, respectivamente. Este ítem muestra la conversión

desde el registro gráfico al algebraico de las funciones de oferta y demanda. Según

nuestra descomposición genética la capacidad de convertir funciones desde el registro

gráfico al algebraico es esencial en la comprensión de las relaciones entre una función y

su derivada en ambos registros.


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Figura 3.9. Ejemplo de respuesta con puntuación 1 al ítem 0.2

Explicación de la respuesta

Se obtienen las expresiones algebraicas de las funciones de oferta y demanda

correctamente, con una explicación clara del proceso utilizado. Observamos como

primero obtiene la pendiente de la recta mediante una expresión conocida utilizando dos

puntos, y una vez calculada la pendiente utiliza la expresión anterior para, tomando un

solo punto, llegar finalmente a la expresión algebraica de la función.

Puntuación: 1

Justificación de la puntuación

El proceso utilizado es correcto mostrando comprensión de los conceptos y no existen

errores en los cálculos. El alumno es consciente de cada paso que da para obtener las

expresiones.


- 100 -

Figura 3.10. Ejemplo de respuesta con puntuación 0.75 al ítem 0.2


Las expresiones algebraicas obtenidas son correctas (puede aparecer algún error de

expresión), pero el proceso de justificación en la función de demanda no es completo. Sí

que explica el método utilizado para la función de oferta, que por las características de

ésta, es el más fácil, y solo requiere de una cierta habilidad numérica

Puntuación: 0,75


El alumno no explica claramente cómo obtiene una de las funciones (sistema de

ecuaciones, cálculo de la pendiente). Aún así obtiene las expresiones correctamente y

justifica una de ellas.


- 101 -

Entrevista Inv.: ¿Cómo sabes que la oferta es Q=2/3*P? AL: Porque si miras los datos de P y la Oferta ves que hay esa proporción entre los

números. Inv.: ¿Y la de la demanda? ¿Por qué no la has escrito? AL: Es que con los datos de la demanda la relación entre los números es más difícil

de ver…yo no supe sacarla, y mirándolos ahora….(mmm), no sé, no la veo. Inv.: Sin embargo pones la expresión con letras...Qd=a-bx, no sabes cuánto vale ‘a’

para este caso? Y “b”? AL.: A lo mejor mirando en la gráfica… ¿‘a’ puede que sea 40? O sea, el término

independiente, pero el otro no sabría Figura 3.11. Ejemplo de respuesta con puntuación 0.50 al ítem 0.2


Solamente se obtiene correctamente una de las expresiones algebraicas y la explicación

de su obtención es completa. El alumno intenta después, como muestra la entrevista,

utilizar el mismo método para obtener la función de demanda, pero no lo consigue.

Puntuación: 0,50


El alumno solo obtiene una de las expresiones, y no utiliza explícitamente ningún

método que incluya mención de la pendiente de la recta. El método de comparar

proporciones le permite obtener una de las expresiones, pero no la otra.


- 102 -



Las dos expresiones algebraicas obtenidas son erróneas tanto en el resultado como en la

explicación. El método utilizado para su obtención no es correcto, ya que no se ajusta ni

a la expresión algebraica de una línea recta ni a su interpretación gráfica.

Puntuación: 0,25


Utiliza el método comentado de comparación de proporciones, que no le permite

obtener correctamente una de las funciones en la que este método podía utilizarse. No

plantea formas alternativas y llega a dos expresiones erróneas.

En segundo lugar, justificamos a través de las figuras 3.13, 3.14, 3.15 y 3.16 las

puntuaciones dadas al ítem 3.2, como ejemplo de la manera de proceder en el Esquema

2: significado y uso de la 2ª derivada. El ítem intenta mostrar la relación entre la gráfica

de una función origen (Producto Total) y la gráfica de la función derivada (Producto

Marginal).


- 103 -

Entrevista Inv.: Calculas bien el Producto Marginal pero no lo dibujas. AL.: Es que creía que no había que dibujarlo, también me pasó en el otro apartado

de este ejercicio…¿Te la dibujo? Inv.: Sí. AL.: (Dibuja una hipérbola rectangular decreciente). Inv.: ¿Puedes explicar por qué tiene esa forma? AL.: Porque la función 1/2raizL es decreciente, a medida que metemos más

trabajadores la productividad disminuye, por eso tiene esta forma decreciente. Inv.: Tampoco dices si la Función de Producción es cóncava o convexa. AL.: También se me olvidó…es cóncava porque la segunda derivada da negativa, eso

se traduce en que en la gráfica la pendiente es cada vez más pequeña, o sea que la producción crece cada vez menos por lo que hemos dicho antes de la productividad…eso hace que tenga esa forma cóncava.

Figura 3.13. Ejemplo de respuesta con puntuación 1 al ítem 3.2


Representación gráfica correcta de la función Producto Marginal y obtención correcta

de su expresión algebraica, poniéndola en relación con una posible expresión para el

Producto Total. Obtiene una segunda derivada negativa lo cual lleva a concluir que la

función es cóncava, explicando las implicaciones en el registro gráfico.

Puntuación: 1


- 104 -


El alumno obtiene correctamente una expresión algebraica para la expresión origen

acorde con la forma presentada, lo cual le permite desde el registro algebraico obtener la

primera derivada de modo correcto, también en el registro gráfico. También indica en la

entrevista el proceso de obtención de la segunda derivada, con su expresión algebraica y

sus implicaciones económicas desde el punto de vista de la concavidad de la función

origen. Existe coordinación entre los dos registros y se alcanza la obtención de la

segunda derivada, además de la primera, por lo que puntuamos con 1 punto.



Representación gráfica correcta de la función de Producto Marginal y obtención

correcta de su expresión algebraica, poniéndola en relación con una posible expresión

para el Producto Total. Obtiene una segunda derivada negativa lo cual lleva a concluir


- 105 -

que la función es cóncava, pero no explica qué implica la concavidad en el registro

gráfico.

Puntuación: 0,75


Al igual que el alumno anterior, éste realiza la conversión de la función origen al

registro algebraico correctamente, lo cual le permite obtener en éste registro la primera

derivada, y de ahí también en el registro gráfico, mostrando coordinación en los

resultados en ambos registros. Obtiene también la expresión de la segunda derivada y la

pone en relación con el concepto concavidad, pero no explica qué significa esto en

términos económicos de la función origen, por lo que puntuamos con 0,75.



- 106 -


Representación gráfica correcta de la función Producto Marginal y obtención correcta

de su expresión algebraica, poniéndola en relación con una posible expresión para el

Producto Total. No se calcula la segunda derivada ni se habla de concavidad.

Puntuación: 0,50


El proceso de obtención de la primera derivada es correcto y describe el camino de las

dos anteriores respuestas, pero se queda ahí y no avanza en la obtención completa de la

segunda derivada, por lo que puntuamos con 0,5.



La función de Producto Marginal representada presenta graves errores (no se

corresponde con una función monótona decreciente), mientras que las expresiones

algebraicas son erróneas o no se obtienen. No hay cálculo ni referencias a la segunda

derivada.


- 107 -

Puntuación: 0,25


La expresión algebraica de la función origen no es acorde con su gráfica, y el cálculo

de la primera derivada en el registro algebraico es incorrecto, así como también en el

registro gráfico (pues representa una función de PM creciente). Consideramos que son

errores importantes, y que el alumno no muestra coordinación entre los registros, y

puntuamos con 0,25.

3.3.2 Etapa 2: Aplicación de la métrica fuzzy en la caracterización del desarrollo

del esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos.

Asignación de niveles de desarrollo

La puntuación dada a las respuestas de cada ítem en la etapa anterior nos ha

permitido obtener información discreta del comportamiento de los estudiantes en los

diferentes ítems en forma de un vector 12-tupla vinculado a cada estudiante, pero no nos

da información sobre la manera en la que podríamos inferir características de las

diferentes fases de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en conceptos

económicos, debido al carácter anidado de los esquemas que los conformaban. Para

poder identificar las relaciones que se pueden establecer entre los elementos de cada

uno de los esquemas anidados que constituyen el esquema de la relación función-

derivada en conceptos económicos, debíamos obtener una “medida” de la comprensión

puesta de manifiesto en las respuestas de los estudiantes (y por tanto del desarrollo del

esquema). Esa medida de la comprensión debía reflejar el carácter anidado de los

esquemas derivado del análisis conceptual. Para poder determinar el desarrollo del

esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos a partir de la

comprensión de los elementos y las relaciones utilizamos la métrica fuzzy.

El proceso de análisis de esta etapa se realiza en distintos pasos. En primer lugar

presentamos las decisiones metodológicas, basadas en la teoría fuzzy, que hemos

utilizado en esta etapa de análisis y que nos ha permitido, en segundo lugar, caracterizar

los diferentes niveles de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en

conceptos económicos (objetivo de investigación) y asignar finalmente a los estudiantes

en los distintos niveles de desarrollo del esquema. Para cumplimentar estos objetivos

nos apoyamos en la idea de “borrosidad de la pertenencia a un conjunto fuzzy”.


- 108 -

3.3.2.1. La teoría fuzzy

En primer lugar definiremos los conjuntos Fuzzy, para considerar el espacio

métrico fuzzy que permite establecer una función de pertenencia. Finalmente,

contextualizamos el espacio métrico fuzzy, es decir, fijamos el grado de pertenencia de

un estudiante “ideal” al conjunto fuzzy definido como “grado de adquisición del

concepto de la derivada en conceptos económicos” y equivalente a un determinado nivel

de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos.

• Conjunto fuzzy

Un conjunto fuzzy (Zadeh, 1965) se define matemáticamente mediante la

asignación a cada elemento de un universo de referencia un valor en el intervalo [0,1]

que representa su grado de pertenencia a dicho conjunto.

“Dado un universo X definido como un espacio de objetos (dominio), un conjunto fuzzy

A de X es un conjunto de pares ordenados, { })( , xXxA Aµ∈= , formados por cada

elemento genérico x X∈ y su grado de pertenencia al conjunto, )(xAµ . El grado de

pertenencia se establece mediante una aplicación [ ]1,0: →XAµ , llamada función

característica o función de pertenencia, que describe perfectamente el conjunto fuzzy”

Esta idea introduce la noción de “borrosidad” a la pertenencia de un conjunto,

ya que, se modelizan muchos fenómenos reales en los que los objetos no tienen un

criterio totalmente definido de pertenencia.

• Espacio métrico fuzzy

En esta investigación, siguiendo la aplicación desarrollada por Boigues

(Boigues, 2010; Boigues et al., 2010), hemos usado la noción de espacio métrico fuzzy

de George y Veeramani (1994) en la que la métrica fuzzy estándar inducida por la

métrica euclídea sobre el conjunto X viene dada por

( )yxdtttyxFd ,

),,(:+

=

La métrica o distancia fuzzy, dF , puede interpretarse como una valoración de la

distancia d(x,y) (métrica clásica Euclidiana que mide el grado de cercanía entre dos


- 109 -

estudiantes) en términos cualitativos. Dado que si d(x,y)= 0, entonces se tiene que

Fd= 1 lo que se interpreta como “cercanía extrema”, mientras que, a medida que ),( yxd

se hace grande, Fd se va acercando a cero, es decir se tiende a la “extrema lejanía”,

valor que se alcanza en el límite cuando ),( yxd tiende a ∞+ , sea cual sea el valor de

t>0.

Cuando usamos la métrica fuzzy para determinar el nivel de comprensión

entendido desde la perspectiva del desarrollo de un esquema cognitivo, intentamos

cuantificar de alguna manera la distancia entre las respuestas dadas por un estudiante

con la respuesta de un estudiante ideal.

• Contextualización de la métrica fuzzy

El valor de la métrica fuzzy depende de un parámetro “t” contextual que permite

considerar la incertidumbre que caracteriza el contexto del análisis. En esta situación,

dado un espacio métrico en X nℜ⊂ , si consideramos un elemento arbitrario, pero fijo,

Xx ∈0 (en el caso del estudio del desarrollo de la derivada en conceptos económicos

este elemento seria la 12-tupla vinculada a un estudiante “ideal” que ha contestado

correctamente a todas las cuestiones propuestas) y fijamos un valor t>0 para cada

esquema considerado, entonces, a partir de la siguiente función

( )xxdtttxxFx d ,

),,()(0

0 +==µ

podemos construir un conjunto fuzzy, { })( , xXxA µ∈= , siendo )(xµ la función de

pertenencia (en nuestro caso X seria los alumnos, y para cada esquema tendríamos un

conjunto fuzzy).

3.3.2.2. Identificación de los niveles de desarrollo del esquema de la relación

función-derivada en conceptos económicos a través de la técnica fuzzy

En primer lugar determinamos los conjuntos fuzzy correspondientes a cada uno

de los tres esquemas que conforman el esquema de la relación función-derivada en

conceptos económicos (Tabla 2.9 y 3.5) y que hemos nombrado igual que estos

esquemas:


- 110 -

Conjunto 0 “de lo algebraico a lo gráfico”;

Conjunto 1 “significado y uso de la primera derivada”, y

Conjunto 2 “significado y uso de la segunda derivada”,

dado que los elementos de estos conjuntos y la función de pertenencia a los mismos

provienen de las puntuaciones obtenidas por los participantes en los ítems de los tres

esquemas.

En segundo lugar, hemos establecido el grado de pertenencia de los estudiantes a estos

tres conjuntos fuzzy y fijado el nivel de compresión del esquema.

• Conjuntos Fuzzy del esquema de la relación función-derivada en conceptos

económicos

Para cada esquema, el conjunto fuzzy está formado por las 110 medidas fuzzy

procedentes de las respuestas a los 4 ítems que conforman cada esquema. La función de

pertenencia depende de la distancia clásica entre el vector de puntuaciones obtenidas

por cualquiera de los alumnos participantes y el vector de puntuaciones correspondiente

al alumno ideal (todas las componentes iguales a uno), así como del parámetro fijo t que

definimos correspondiente a cada uno de los esquemas (y a partir de los tres valores del

parámetro t, consideraremos un valor de t que los englobe).

Para obtener este valor debemos:

• fijar en cada uno de los esquemas, el grado de pertenencia correspondiente a un

vector Q de Rn con todas sus componentes iguales a ceros. Asumimos que el grado

de pertenencia de este vector será inferior o igual a 0.25, asunción basada en las

características de los 110 alumnos participantes (todos los alumnos han contestado al

menos a los ítems de la tarea 0, 1 y alguno más). Esta hipótesis supone

calcular la distancia clásica entre dos vectores de Rn (n=4 en cada esquema), el que tiene

todas las componentes iguales a ceros, Q, y el que las tiene iguales a unos, I.

( )∑ −=n

IQd1

210),(

calcular los parámetro ti = 0,1, 2 para una métrica fuzzy inferior o igual a 0’25

para cada uno de tres conjuntos fuzzy definidos.


- 111 -

( ) 25.0,

),,()( ≤+

==IQdt

ttIQFI dµ

obtener el valor de un parámetro t.

En nuestra investigación hemos distinguido tres conjuntos fuzzy en el esquema

de la relación función-derivada:

Conjunto-0: “de lo algebraico al gráfico”. Este conjunto está formado por las

puntuaciones correspondientes a los ítems del esquema 0. En este esquema los

estudiantes debían manejar la conversión de lo algebraico a lo gráfico de funciones

económicas lineales y no lineales (E1 y E2) y lo relativo a la TVM entre dos puntos y

por aproximación al límite (E3 y E4). En los dos ítems correspondientes a los pre-

elementos los estudiantes han de realizar conversiones desde el registro algebraico al

gráfico (el primero a través de una función lineal y el segundo a través de una función

no lineal). En los dos ítems correspondientes a los elementos los estudiantes usan la

derivada en el registro algebraico con funciones económicas lineales y no lineales a

través del concepto de elasticidad. Los estudiantes tendrán asociado un vector de Rn

(n=4) formado por las puntuaciones obtenidas en los ítems (0.1, 0.3, 1.1, 1.2).

En este conjunto la distancia métrica entre un estudiante con la puntuación

Q = (0, 0, 0, 0) y el estudiante ideal con la puntuación I = (1, 1, 1, 1) es igual a 2. Para

determinar un valor inicial del parámetro t, asumimos que el grado de pertenencia a este

conjunto fuzzy de este estudiante hipotético es inferior o igual a 0,25. Esta hipótesis

significa que el estudiante que no haya sido capaz de resolver los ítems de esta cuestión

no es capaz de: (a) representar gráficamente con todos sus puntos correctos dos

funciones lineales que se intersectan en un punto, (b) representar gráficamente con

todos sus puntos correctos una función no lineal junto con una función lineal que se

intersectan en un punto, (c) calcular correctamente la razón de cambio entre dos puntos

concretos, tanto en funciones lineales como no lineales, y (d) calcular correctamente la

variación infinitesimal de una variable con respecto a otra en un punto si la función es

lineal o no lineal. Por tanto este valor significa una cota de pertenencia en el sentido que

cualquier alumno que haya contestado algo de este ítem puede obtener un valor fuzzy

superior a 0,25 calculado considerando el valor de t obtenido. Con este supuesto,

podremos obtener un valor del parámetro t


- 112 -

25.02

),,( ≤+

=t

ttIQF ,

Como consecuencia de esta hipótesis, obtenemos que to < 0.66

Conjunto-1: “significado y uso de la 1ª derivada”. Este conjunto fuzzy viene definido

por el comportamiento de los estudiantes con los dos pre-elementos de nuestra

descomposición genética que se basan en las conversiones G→A (elementos E5 y E7) y

dos elementos relacionados con la ‘1ª derivada’ (elementos E6 y E8). La configuración

de este conjunto permite la realización de conversiones desde el registro gráfico al

algebraico (G→A) en funciones económicas lineales y no lineales, y, además, el uso del

concepto de 1ª derivada con tratamientos en ambos registros y conversiones en ambos

sentidos (A↔G), también en funciones económicas lineales y no lineales.

En este conjunto fuzzy los estudiantes comienzan a tratar el concepto de

derivada con la introducción del registro gráfico en interacción con el algebraico, y con

relaciones lineales y no lineales. En relación a este conjunto, cada estudiante tendrá

asociado un vector de Rn (n=5) formado por las puntuaciones obtenidas en los ítems

(0.2, 2.1, 0.4, 2.2) más la puntuación t-fuzzy conjunto-0.

Siguiendo con el mismo procedimiento anterior para identificar un valor del

parámetro t que nos muestra un cierto grado de pertenencia al conjunto fuzzy 1

“significado y uso de la 1ª derivada”, consideramos la distancia entre un estudiante

hipotético Q que asumimos tiene un valor de 1 en relación al esquema-0 pero con

puntuaciones de 0 en los ítems del esquema 1. La distancia métrica entre este alumno Q

con la puntuación Q = (1, 0, 0, 0, 0) y el estudiante ideal con la puntuación I=(1,1,1,1,1)

es igual a 2. Asumimos que el grado de pertenencia del alumno Q a este conjunto fuzzy

es inferior o igual a 0,25. Esto significa que un alumno que no ha sido capaz de resolver

los ítems de este esquema y por tanto no es capaz de: (a) utilizar un método adecuado de

conversión de funciones lineales desde el registro gráfico al algebraico que tenga en

cuenta la ecuación genérica de una línea recta (y = mx +n), o el concepto de pendiente,

(b) representar gráficamente una función lineal dada la gráfica de su derivada, ni

calcular su expresión algebraica, (c) obtener la expresión algebraica correspondiente a

una función no lineal, o al menos una expresión que cumpla las características de no

linealidad y crecimiento de la función representada gráficamente, y (d) representar

correctamente una función no lineal dada la gráfica de su derivada ni generar su

expresión algebraica. Bajo esta hipótesis el valor de t viene dado por


- 113 -

25.02

),,( ≤+

=t

ttIQF , obtenemos que t¹ < 0.66

Conjunto-2: “significado y uso de la 2ª derivada”. Este conjunto fuzzy está definido

por el comportamiento de los estudiantes en los dos ítems del elemento ‘2ª derivada’

(E9 y E10) y los dos ítems del último elemento ‘derivada en un punto→función

derivada’ (E11 y E12) de la descomposición genética. La configuración de este

conjunto permite el uso de los conceptos de 1ª derivada y 2ª derivada con tratamientos y

conversiones en ambos sentidos (A↔G), en funciones económicas convexas y

cóncavas. Además, los estudiantes serían capaces de construir funciones derivadas a

través de la derivada en un punto, utilizando y coordinando ambos registros. En este

conjunto fuzzy los estudiantes tratan el concepto de derivada en conceptos económicos

a través de la obtención de la 1ª y 2ª derivadas con la coordinación de ambos registros, y

siendo capaces de obtener funciones derivadas a través de la derivada en un solo punto,

tanto en funciones convexas como en cóncavas.

Los estudiantes tendrán asociado un vector de Rn (n=5) formado por las

puntuaciones obtenidas en los ítems (3.1, 3.2, 4.1, 4.2) más la puntuación t-fuzzy del

conjunto-1.

Siguiendo con el mismo procedimiento anterior, para identificar un valor del

parámetro t que nos muestra un cierto grado de pertenencia al conjunto fuzzy 2

“significado y uso de la 2ª derivada”, consideramos la distancia entre un estudiante

hipotético que tenga un 1 en el conjunto -1 pero 0 en los cuatro ítems del esquema-2,

Q = (1,0,0,0,0) y las de un estudiante ideal, I = (1,1,1,1,1). La distancia métrica entre

estos dos estudiantes es 2. El estudiante Q = (1,0,0,0,0) tiene desarrollado el esquema 1,

de ahí el valor 1 de la primera coordenada del vector. Un estudiante en estas

condiciones no será capaz de: (a) representar correctamente la gráfica de la segunda

derivada dada la gráfica de la función origen, ni generar expresiones algebraicas, ni el

significado del concepto de concavidad ni convexidad, (b) obtener la gráfica de la

función derivada a partir del cálculo de la derivada en un punto determinado de la

función, ni obtener la expresión de la segunda derivada en funciones cóncavas ni

convexas. Igual que antes, asumimos que un estudiante con estas condiciones tendrá un

valor fuzzy en el esquema 2 menor o igual a 0,25.

El cálculo del valor de t,


- 114 -

25.02

),,( ≤+

=t

ttIQF , obtenemos t²≤0,66

La tabla 3.8 muestra los valores del parámetro “ti” de cada uno de los conjuntos

fuzzy establecidos para una distancia fuzzy menor o igual que 0.25, así como el valor t

que nos permitirá obtener el grado de desarrollo del concepto de derivada en su uso en

conceptos económicos.

Tabla 3.8. Tabla de valores de los parámetros t

Como los tres valores del parámetro t obtenidos bajo las hipótesis descritas es el

mismo, consideramos t=2/3 como el valor contextual del parámetro t.

• Grado de pertenencia de los estudiantes a los tres conjuntos fuzzy

determinados

Una vez establecido un parámetro t para contextualizar el grado de pertenencia

de un estudiante a un determinado esquema lo usamos para determinar un valor fuzzy

para cada estudiante a partir de la fórmula:

( )xIdtttxIFx d ,

),,()(+

==µ

siendo 32

=t y d(I, x) la distancia clásica entre los vectores correspondientes a las

puntuaciones obtenidas por los alumnos en los ítems de cada uno de los esquemas, x, y

el vector de puntuaciones del alumno ideal, I. Esta fórmula se aplica a la puntuación de

cada alumno en cada esquema. Por ejemplo, la tabla 3.9 muestra el grado de pertenencia

del alumno AL.2 a los tres conjuntos fuzzy.

De esta manera, a cada estudiante se le asignan tres valores fuzzy. Por ejemplo,

al estudiante AL.2, le corresponde la terna de valores fuzzy (0,385; 0.343; 0,261), uno


- 115 -

por esquema. El valor fuzzy asignado al conjunto fuzzy 2, como engloba a los otros dos

al estar contenidos unos en otros, representará la medida de desarrollo del esquema de

derivada en contextos económicos.

Tabla 3.9. Grado de pertenencia del Alumno Al.2 en los conjuntos fuzzy 0, 1 y 2

Alumno AL.2

Puntuaciones obtenidas en los ítems del Esquema E0

Ítems Distancia Clásica entre los vectores

(0,75;0.5;0,25;0.5) y (1,1,1,1)

)2(0 Aµ

con

32

=t 0.1 0.3 1.1 1.2

0.75 0.50 0.25 0.50 1.06 0.385


Ítems Distancia Clásica entre los vectores (0,385;0.75;0.75;0,25;0.25)

y (1,1,1,1,1)

)2(0 Aµ

con

32

=t )2(0 Aµ

0.2 2.1 0.4 2.2

0.385 0.75 0.75 0.25 0.25 0.343


Ítems Distancia Clásica entre los vectores

(0,343; 0.25;0.25;0;0) y (1,1,1,1,1)

)2(2 Aµ con

32

=t )2(1 Aµ

3.1 3.2 4.1 4.2

0,343 0.25 0.25 0 0 1.886 0.261

Lo realizado hasta ahora, nos permite asignar valores fuzzy a cada estudiante.

Colocando estos valores en columnas, la columna final (cuando ponemos estudiantes

por filas y las puntuaciones por columnas) es la medida fuzzy del conjunto 2. Por

ejemplo, el alumno AL.2 y el alumno AL.3 presentan las puntuaciones que se muestran

en la tabla 3.10 según el grado de adquisición de cada elemento de nuestra

descomposición genética

Tabla 3.10. Puntuaciones fuzzy de cada uno de los 3 conjuntos fuzzy o esquemas de desarrollo

Las distancias fuzzy permiten determinar un continuo que nos dan información

sobre el grado de pertenencia de un estudiante a uno de los conjuntos fuzzy definidos


- 116 -

anteriormente que permite asignarle un nivel de desarrollo del esquema

correspondiente. Si tomamos el valor de la medida fuzzy en el conjunto-2 (Esquema 2:

significado y uso de la segunda derivada), puesto que este conjunto integra a los dos

anteriores, dicho valor se corresponderá con el nivel de desarrollo del esquema de la

relación función-derivada en conceptos económicos globalmente considerado (en el

caso de AL2 dicho valor es 0,261). Los valores fuzzy para el esquema 2 así obtenidos

van desde 0,2380 hasta 0,4020 (a excepción del estudiante AL.1 que alcanzó el valor de

1).

El cálculo de las medidas fuzzy en los tres esquemas para los 110 alumnos, junto

con sus puntuaciones en cada uno de los ítems del cuestionario, se recogen en el

Anexo, pp. 55-57.

A partir de aquí se plantean 2 cuestiones:

i) determinar el punto de corte (en particular dos) para identificar los tres

NIVELES DE DESARROLLO del esquema y asignar alumnos a los

distintos niveles.

ii) caracterizar cada uno de los niveles de desarrollo del esquema “relación

función-derivada en conceptos económicos” según los estudiantes que se

hayan situados en cada nivel y su comportamiento en los diferentes ítems,

considerando los comportamientos alrededor de los puntos de corte para

inferir mecanismos que puedan ayudar a caracterizar la transición.

3.3.2.3. Grado de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en

conceptos económicos. Asignación de niveles de desarrollo

Debemos determinar dos valores fuzzy que nos indiquen la medida frontera

entre INTRA-INTER y la medida frontera entre INTER-TRANS. Para determinar estos

valores consideraremos las características generales que definen los niveles de

desarrollo de un esquema junto con los elementos de la descomposición genética

descrita en el capitulo anterior del esquema de la relación función-derivada en

conceptos económicos. Para ello conjeturaremos las puntuaciones al cuestionario de un

estudiante que estuviera en la frontera de los niveles de desarrollo. A partir de lo que se

supone seria capaz de hacer en el nivel INTER y que no seria capaz de hacer en el nivel

INTRA. Del mismo modo para el punto frontera INTER-TRANS, conjeturamos las


- 117 -

posibles respuestas que podría dar un alumno que hubiera trascendido el nivel INTER y

empezara a reflejar en sus respuestas las características del nivel TRANS.

• Determinación del punto frontera INTRA-INTER

Desde la descripción conceptual del nivel INTRA sabemos que los estudiantes

en este nivel no establecen relaciones entre las operaciones y cometen errores que se

corregirán progresivamente, mientras que en el nivel INTER, los estudiantes empiezan a

establecer relaciones entre los elementos. Estas características conceptuales aplicadas al

cálculo de derivada en el nivel INTRA se reflejan en el tratamiento mecánico que hacen

los estudiantes del concepto de derivada en el registro algebraico, y las dificultades que

presentan al cambiar al registro gráfico y en usar la relación entre la gráfica de función y

su derivada. Características que se pueden observar en los ítems de la tarea 1 que solo

exige medir la relación de cambio entre dos variables económicas mediante una

expresión o fórmula algebraica aprehendida.

Por otra parte, en el nivel INTER el alumno va construyendo el significado de la

relación entre una función y su derivada en el registro gráfico, lo cual le permite intentar

nuevas construcciones con el uso de la segunda derivada, independientemente de cómo

use el concepto en el registro algebraico de modo aislado. En este caso son los ítems de

la tarea 2 y tarea 3 los que permiten observar estas características. Los ítems de la tarea

2 requieren de un uso del concepto de la derivada en el registro gráfico, en donde se

debe poner de manifiesto la comprensión de la relación entre una función y su derivada,

primero con una función origen lineal y posteriormente con una función origen no

lineal. Los ítems de la tarea 3 requieren al igual que los de la tarea 2 un uso de la

derivada en el registro gráfico a través de su relación con la función origen, y además el

uso de la función segunda derivada y su relación con la primera derivada y la función

origen, de modo que conceptualmente permita explicar la forma cóncava o convexa de

ésta última.

Por tanto, podemos considerar que un alumno hipotético con estas características

tendría una puntuación de (1; 1; 1; 1) en los ítems del esquema 0; una puntuación de (1;

0,5; 0,5; 0,5) en los ítems del esquema 1; y (0,25; 0,25; 0; 0) en los ítems del esquema 2

y, en consecuencia, tendría como medidas fuzzy Fd° = 1 en el esquema 0, Fd¹ = 0,435 en

el esquema 1 y Fd² = 0,27 en el esquema 2 (Tabla 3.11).


- 118 -

Tabla 3.11. Medidas fuzzy en los tres esquemas de un alumno hipotético que se encuentra en la frontera Intra-Inter

Consideramos la medida fuzzy 0.27 del Esquema 2 como el punto que marca la

frontera entre el nivel INTRA y el INTER. La tabla 3.12 muestra puntuaciones de 8

alumnos que encajarían en estas características, cuatro en el nivel Intra (AL.15, 89, 93,

97) y cuatro en el nivel Inter (AL.29, 63, 38, 23). Hemos escogido cuatro alumnos con

medidas fuzzy muy cercanas pero menores a 0.27 y cuatro alumnos con medidas muy

cercanas pero mayores a 0.27, de manera que podamos observar un conjunto de

características suficientes para inferir pautas de comportamiento de cambio de nivel (de

Intra a Inter).

Tabla 3.12. Puntuaciones de estudiantes alrededor del punto de frontera INTRA-INTER

• Determinación del punto frontera INTER-TRANS

De la misma manera que antes, considerando las características que definen a los

niveles INTER y TRANS y los elementos de la descomposición genética del esquema

de la relación función-derivada en conceptos económicos, determinamos una medida

fuzzy frontera.

Consideramos que un estudiante ha alcanzado un nivel de desarrollo suficiente

en relación al esquema 0- “significado de lo algebraico al gráfico” si es capaz de


- 119 -

plantear el cálculo de variaciones medias entre dos puntos e infinitesimales en un punto,

así como de realizar conversiones de funciones económicas lineales y no lineales desde

el registro algebraico al gráfico, y además es capaz de comprender significativamente

los elementos relativos a la conversión de lo algebraico a lo gráfico y los significados de

la TVM aunque con algunos errores derivados de lo que supone tratar con funciones no

lineales y con variaciones infinitesimales en las tareas de traslación de lo algebraico a lo

gráfico. Un alumno hipotético en estas condiciones puede tener puntuaciones (1, 1, 1, 1)

en los ítems del esquema 0. En relación al esquema 1, este alumno hipotético sería

capaz de usar el concepto de 1ª derivada en el registro gráfico coordinando con el

algebraico, tanto en funciones lineales como no lineales, aunque muestre errores leves

de coordinación y dificultades en las funciones no lineales, en consecuencia, podría

tener una puntuación de (1, 0.5, 0.5, 0.5). Por último, en el esquema 2, este alumnos

tendría una comprensión del concepto de 2ª derivada aplicado al uso de conceptos

económicos que le permitiría pasar desde la derivada de una función en un punto a la

derivada de un función (cóncava o convexa) y usar la información procedente de la

segunda derivada para explicar sobre la concavidad/convexidad de la función

económica, por lo que podría tener una puntuación en los ítems de este esquema del tipo

(0.435, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5). Por tanto el alumno hipotético tendría Fd° = 1 en el esquema

0, Fd¹ = 0,435 en el esquema 1 y Fd² = 0,36 en el esquema 2 (Tabla 3.13).

Tabla 3.13. Medidas fuzzy en los tres esquemas de un alumno hipotético que se encuentra en la frontera Inter-Trans

La tabla 3.14 refleja las puntuaciones de 8 alumnos alrededor de este punto de

corte entre el nivel INTER y TRANS conjeturado. De igual modo que en el punto-

frontera anterior, hemos seleccionado a cuatro alumnos con medidas fuzzy muy


- 120 -

cercanas pero inferiores a 0.36 y cuatro con medidas fuzzy muy cercanas pero

superiores a 0.36, con el objetivo de observar características que permitan inferir pautas

de comportamiento de cambio de nivel (de Inter a Trans).

Tabla 3.14. Puntuaciones de estudiantes alrededor del punto de frontera INTER-TRANS

La tabla 3.15 muestra la asignación de los alumnos a los niveles Intra, Inter y

Trans considerando los puntos-frontera establecidos considerando las características

conceptuales de los niveles de desarrollo del esquema (INTRA; INTER y TRANS) y los

elementos de la descomposición genética del esquema de la relación función-derivada

en conceptos económicos.

Tabla 3.15 Alumnos encuadrados en niveles de desarrollo del esquema de derivada

NIVEL Nº AL. %

INTRA: F²<0,27 72 64,45

INTER: 0,27≤F²<0.36 33 30,00

TRANS: 0.36≤F² 5 4,55

Una manera de determinar el grado de validez de las decisiones analíticas

tomadas en relación a las hipótesis conceptuales derivadas de la descomposición

genética propuesta - y en particular el carácter anidado de los tres esquemas que

constituyen el esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos –

consiste en analizar cómo se distribuyen las puntuaciones fuzzy de los alumnos en cada

uno de los niveles de desarrollo. Así, la Tabla 3.16 determina las puntuaciones mínimas

alcanzadas en cada esquema por los estudiantes asignados a los diferentes niveles de

desarrollo del esquema relación función-derivada en conceptos económicos.


- 121 -

Tabla 3.16. Intervalos de puntuaciones obtenidas en cada uno de los esquemas (en negrilla los puntos frontera considerados desde el análisis conceptual)

Esquema 0- de lo algebraico a lo gráfico [0,301-1] [0,289-1] [0,75-1]

Esquema 1- Significado y uso de la 1ª derivada [0,249-0,392] [0,2639-1] [0,38-1]

Esquema 2- Significado y uso de la 2ª derivada [0,23-0,27[ [0,27-0,36[ [0,36-1]

Nivel INTRA (n=72)

Nivel INTER (n=33)

Nivel TRANS (n=5)

Estos datos reflejan que en general un mayor nivel de desarrollo del esquema 2

viene reflejado por un aumento en las puntuaciones mínimas alcanzadas en cada uno de

los esquemas que lo constituyen, a excepción de las puntuaciones obtenidas en el

esquema 0 “de lo algebraico a lo gráfico” (prerrequisitos necesarios). La puntuación

mínima del esquema 0 en los alumnos situados en los niveles de desarrollo INTRA,

INTER y TRANS del esquema 2 es 0.30, 0.28 y 0.75, respectivamente, lo que supone

un descenso en el nivel INTER. Sin embargo, tanto en el esquema 1 “significado y uso

de la 1º derivada” como en el esquema 2 “Significado y uso de la 2ª derivada” los

valores mínimos alcanzados por los estudiantes van aumentando según se consideran

niveles de mayor desarrollo. Para el esquema 1 se pasa de una medida fuzzy de 0.249 en

el nivel INTRA a una medida de 0.2639 en el nivel INTER y de 0.38 en el nivel

TRANS. Para el esquema 2 que engloba a los dos anteriores se pasa de una medida de

0.23 en el nivel INTRA, a una de 027 en el INTER y de 0.36 en el TRANS. Por tanto,

podemos asumir que los datos empíricos apoyan la hipótesis de la naturaleza encajada

de los esquemas constituyentes del esquema “relación función-derivada en conceptos

económicos”.

Para validar la forma mediante la cual, a priori, se han determinado los puntos

frontera entre niveles de desarrollo, vamos a estudiar en la sección de resultados el

comportamiento de los estudiantes cuya medida fuzzy está situada alrededor de estos

puntos. Así mismo el comportamiento de estos estudiantes podrá aportar información

sobre la transición entre los niveles.

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

4. Resultados Ángel Luis Ariza Jiménez

- 123 -

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

Este capítulo está estructurado en cuatro apartados. En primer lugar,

describiremos las características de los alumnos que quedan asignados en cada uno de

los niveles de desarrollo del esquema de la relación función-derivada en conceptos

económicos como una forma de validar empíricamente las decisiones relativas a la

determinación de los puntos de transición entre los niveles de desarrollo. En segundo

lugar, analizaremos los casos de alumnos en los límites de cada uno de los niveles (con

medidas fuzzy alrededor de los puntos de corte determinados), lo cual nos servirá para

establecer las características cognitivas necesarias para cambiar de un nivel a otro o

definir mecanismos de transición. Por último, describiremos las características del

comportamiento de los estudiantes que podemos considerar que han tematizado el

esquema.

4.1. Características de los niveles de desarrollo del esquema de relación función-

derivada en el uso de conceptos económicos

Para establecer las características de los niveles de desarrollo del esquema de la

relación función-derivada en el uso de conceptos económicos hemos partido de la

asignación de los estudiantes a los tres niveles de desarrollo del esquema en función de

las medidas fuzzy obtenidas y de los puntos de corte establecidos.

4.1.1. Características del Nivel INTRA de desarrollo del esquema de relación

función-derivada en conceptos económicos

En este nivel hemos asignado a 72 alumnos que tienen una medida fuzzy de

desarrollo del esquema de relación función-derivada en conceptos económicos inferior a

0,27.

Estos alumnos realizan las operaciones sobre la tasa de variación (concepto de

variación entre dos variables económicas) que es la primera aproximación que los


- 124 -

alumnos tienen al concepto de derivada en el uso de conceptos económicos (Esquema

0). También calculan las expresiones algebraicas en el contexto de la TVM entre dos

puntos y TVM por aproximación al límite de manera correcta. Por su parte, la relación

funcional entre las variables económicas, mostrada inicialmente en el modo numérico o

algebraico, permite empezar a comprender la traslación al modo gráfico para mostrar la

relación funcional entre las variables económicas, pero no hay evidencias de cómo

interpretan los significados entre las variaciones de dicha relación.

En este nivel los alumnos tienen dificultades en interpretar la relación entre la

función y su derivada en el registro gráfico como un modo de entender la medida de la

velocidad del cambio dado por la derivada de la función. Así, los estudiantes no

muestran capacidad para convertir la relación presentada en el registro gráfico al

registro algebraico como una manera de entender la velocidad de cambio a través del

cálculo algebraico de la derivada. Las puntuaciones mostradas en los elementos del

Esquema 1 son por ello bajas (entre 0,249 y 0,392).

Referente a la comprensión de la velocidad de cambio entre las variables

económicas a través de la relación entre la función, la primera y la segunda derivada,

desde el registro gráfico (Esquema 2), los alumnos en este nivel no consiguieron poner

de manifiesto la relación a través de la segunda derivada (puntuaciones entre 0,23 y

0,27).

De modo general las características de este nivel se pueden englobar en torno a

tres perspectivas:

• Conceptos económicos que utilizan: los alumnos obtienen algebraicamente los

conceptos tasas de variaciones medias entre las variables Precio y cantidad

demandada/ofertada a través del uso del concepto económico de la elasticidad.

• Significado de la relación entre la función y su derivada: los alumnos establecen

la relación entre una función y su derivada solamente a través de las expresiones

algebraicas de ambas funciones.

• Modos de representación: el registro en el que se desenvuelven mejor los

alumnos es el registro algebraico. No establecen la relación entre la función y su

derivada en el registro gráfico. Éste solamente se utiliza como visualización de la

relación entre las variables a partir de dicha relación presentada en el registro

numérico o algebraico (solo hacen conversión de funciones desde el registro

algebraico al gráfico)


- 125 -

A continuación, mostramos evidencias de estas características del nivel INTRA.

Una evidencia de cómo los alumnos utilizan los conceptos económicos se manifiesta en

el protocolo del AL.90 referente a la tarea 1 (Figura 4.1). La respuesta de AL.90 al ítem

1.1 relaciona las variaciones en las dos variables a través de un cociente. Este estudiante

para comparar la variación en la cantidad demandada en las dos funciones dadas utiliza

porcentajes que obtiene como diferencia entre los valores de las funciones en los dos

puntos dados.

Figura 4.1. Respuesta del estudiante AL.90 a la tarea 1

Por su parte, en el ítem 1.2, para la obtención de la elasticidad-punto, el alumno

AL.90 utiliza la parte final de la expresión


- 126 -

A través de la derivada de la función de demanda respecto al precio (∆Qd/∆P),

como multiplicación de ésta por el cociente del punto (P/Q), llega al valor de la

variación infinitesimal o en un punto. Esta expresión aparece en los currículos de

microeconomía como necesaria para el cálculo sencillo del concepto económico de

elasticidad en un punto.

Esta manera de proceder indica que el estudiante calcula las tasas de variación

entre dos puntos (elemento E3) y las tasas de variación media en un punto o por

aproximación al límite (elemento E4) utilizando el concepto y la expresión algebraica

de elasticidad-punto.

Por otra parte, las conversiones desde el registro algebraico o numérico al

gráfico no plantean dificultades a los estudiantes situados en este nivel. Por ejemplo, la

respuesta de AL.3 a los ítems 0.1 y 0.3 (Figura 4.2) muestra correctamente todos los

puntos dados por la tarea y obtiene dos funciones lineales que se cortan en el punto de

equilibrio.

Figura 4.2. Respuesta del estudiante AL.3 a los ítems 0.1 y 0.3 de la tarea 0


- 127 -

También AL.3 representa el caso de la función de demanda no lineal, cuya

forma de hipérbola decreciente es correcta, obteniendo un punto de equilibrio distinto.

Esta es una característica de los estudiantes en este nivel que son capaces de representar

gráficamente funciones lineales y no lineales desde el registro algebraico. Es decir,

realizan conversiones desde el registro algebraico o numérico al gráfico de funciones

lineales (elemento E1) y no lineales (elemento E2). Hasta ahora las características que

hemos reseñado de los alumnos del nivel Intra hacen referencia al Esquema 0 (De lo

algebraico a los gráfico), es decir, los alumnos son capaces de establecer conversiones

de lo algebraico a lo gráfico en funciones lineales (E1) y no lineales (E2) y de calcular

la tasa de variación media entre dos puntos (E3) y por aproximación al límite (E4). Sin

embargo, presentan dificultades con el significado y uso de la primera derivada

(Esquema 1).

A continuación, mostramos evidencias de las dificultades que encuentran los

estudiantes del nivel Intra para establecer relaciones entre expresiones algebraicas y las

gráficas de la función lineal y su derivada (elemento E6) y entre la función no lineal y

su derivada (elemento E8) que caracterizan el Esquema 1 de la descomposición

genética. Los estudiantes AL.3 y AL.22, a través de las respuestas a los ítems 2.1 y 2.2

(Figuras 4.3. y 4.4) ponen de manifiesto que no son capaces de obtener la función a

partir de la gráfica de la derivada, lo que evidencia su dificultad en comprender el

significado económico de la función derivada.

Por ejemplo, el estudiante AL.3 en su respuesta al ítem 2.1 de la tarea 2 (Figura

4.3) escribe una expresión algebraica errónea para el Coste Total y proporciona la

expresión CM = 0 la cual es errónea. Su justificación pone de manifiesto la falta de

comprensión de la relación entre las funciones económicas Coste Marginal y Coste

Total. Estos dos conceptos económicos están relacionados por ser derivada y función en

el sentido de que el Coste Marginal es la función que mide la velocidad de cambio de la

función Coste Total. El estudiante AL.3 realiza una representación gráfica de la función

origen errónea al representarla igual que la derivada.

Si consideramos conjuntamente la justificación y las expresiones algebraicas

dadas por el estudiante AL.3 podemos inferir que este alumno sabe implícitamente que

el Coste Marginal (CM) es la derivada del Coste Total (CT), ya que la derivada de una

constante ‘a’ efectivamente es 0, sin embargo, confunde el significado de 0 con el de

‘constante’ en el registro gráfico y parece no entender la relación gráfica entre el CM y


- 128 -

el CT, pero ni siquiera a través del registro algebraico y el uso de la herramienta

aprehendida del ‘cálculo de una derivada’.


Esta falta de comprensión de la relación entre la derivada y la función en el

registro gráfico también se da en el caso de funciones no lineales. El protocolo de la

figura 4.4 muestra que el estudiante AL.22 no entiende la relación entre función y

derivada gráficamente en el contexto dado por la relación entre la función Producto

Marginal y la Función de Producción, cuando el Producto Marginal se da como la

gráfica de una recta de pendiente positiva. En particular, no es capaz de ver que la

gráfica de una recta de pendiente positiva como representación de la derivada implica

una forma exponencial creciente de la función origen. A pesar de ello sí responde de

manera adecuada a la cuestión relativa al registro algebraico, en la que establece la

relación entre ambas funciones a partir de la expresión algebraica de la función origen

que obtiene por integración, dado que la función en el enunciado del problema es la

derivada.

Para que los alumnos comiencen a entender el significado del coste marginal,

han de relacionar la gráfica de la primera derivada y la de la función origen, y

coordinarse con el registro algebraico. Es decir, han de (a) realizar conversiones de

funciones lineales y no lineales desde el registro gráfico al algebraico (elemento E5 y

E7) y (b) obtener primeras derivadas en ambos registros y su relación con las

funciones de origen lineal y no lineal (elemento E6 y E8).


- 129 -


La tabla 4.1 resume las características específicas del uso de la derivada en

contextos económico de los alumnos del nivel INTRA a través de cómo entienden la

relación entre la función y la derivada en el registro algebraico y gráfico en los

contextos económicos particulares de la relación Coste Marginal-Coste Total y

Producto marginal- Función de Producción.

Tabla 4.1. Características del nivel INTRA

Niv

el IN

TR

A

a) Calculan en el registro algebraico las Tasas de Variaciones Medias entre dos

puntos y en un punto o por aproximación al límite utilizando el concepto de

elasticidad.

b) Realizan conversiones de funciones económicas lineales y no lineales desde

el registro algebraico al registro gráfico.

c) Tienen dificultades en usar la relación derivada-función en el contexto

gráfico.


- 130 -

4.1.2. Características del NIVEL INTER de desarrollo del esquema de relación

función-derivada en conceptos económicos

En este nivel de desarrollo del esquema “relación función-derivada en conceptos

económicos” se han situado 33 estudiantes que tienen una medida fuzzy de desarrollo

del esquema entre 0,27 y 0,36.

Los alumnos del nivel Inter obtienen puntuaciones moderadas y altas en relación

al concepto de variación entre las variables económicas (Esquema 0). Además, estos

alumnos tienen un grado de desarrollo del Esquema 1 mayor que los alumnos del nivel

INTRA ya que pueden convertir gráficas de funciones lineales y no lineales al registro

algebraico. Además establecen relaciones entre la función económica y su derivada en

conceptos económicos como Producto Total–Producto Marginal y Coste Total–Coste

Marginal. Finalmente, en relación al grado de desarrollo del Esquema 2 (significado y

uso de la 2ª derivada), estos alumnos son capaces de identificar la relación entre la

función y su derivada, obtener cálculos de la segunda derivada aunque sin establecer

explicaciones de su significado y sin construir esas relaciones para los conceptos

económicos de Curva de Indiferencia–Relación Marginal de Substitución, por lo que el

grado de desarrollo del Esquema 2 es moderado o bajo.

Las características de este nivel son:

• Conceptos económicos que utilizan: los alumnos calculan los conceptos de tasas

de variación a través de la expresión de la elasticidad-precio de la demanda. Usan

los conceptos de Producto Total–Producto Marginal para identificar la relación

de función-derivada existente entre ellos, y los conceptos Coste Total–Coste

Marginal viéndolos como relación de función–derivada. Sin embargo, no utilizan

la relación entre los conceptos Curva de Indiferencia y Relación Marginal de

Substitución como función y su derivada.

• Significado de la relación entre la función y su derivada: los alumnos usan la

relación entre una función económica y su derivada tanto en el registro

algebraico como en el gráfico.

• Modos de representación: los alumnos establecen las relaciones entre las

funciones y sus derivadas en los registros algebraicos y gráfico. Son capaces de

realizar conversiones de funciones lineales desde el registro gráfico al algebraico.


- 131 -

A continuación, pasamos a mostrar evidencias de estas características. El

estudiante AL.20 en su respuesta al ítem 2.1 (Figura 4.5) particulariza la gráfica dada de

la función de Coste Marginal al caso de CM = 2. Con esta particularización obtiene la

expresión de la función Coste Total como CT = 2 + 2Q. La relación entre estas dos

expresiones algebraicas y las gráficas se establece a través de la derivación de la función

Coste Total. El alumno identifica de manera explícita que la función Coste Marginal

(CM) es la derivada Coste Total (CT).


En su respuesta al ítem 2.2 el estudiante AL.32 (Figura 4.6) utiliza el cálculo de

la integral para llegar a la expresión de la función origen, representada correctamente


- 132 -

mediante una parábola creciente. En esta respuesta AL.32 reconoce que el Producto

Marginal (PM) y el Producto Total (PT) son la función derivada y la función. Además,

el alumno realiza una conversión entre el modo gráfico al algebraico al dar la expresión

algebraica PM(L)=L, señalando que la obtiene “a la vista de la gráfica”del PM dada en

el enunciado del problema. Esta expresión algebraica del PM le permite razonar en el

registro algebraico (tratamiento) mediante la integración, para posteriormente

trasladarse otra vez al registro gráfico y representar gráficamente una parábola creciente

como función PT.


El análisis de los protocolos mostrados en las figuras 4.5 y 4.6 indica que los

alumnos del nivel Inter son capaces de comprender la relación entre la primera derivada

y la función en el registro gráfico con el apoyo del registro algebraico, en funciones

lineales (elemento E6) y no lineales (elementos E8) en el contexto de las parejas de

conceptos económicos Coste Marginal-Coste Total y Producto marginal-Función de

Producción.

Las respuestas dadas por el estudiante AL.20 a los ítems 0.2 y 0.4 de la tarea 0

(Figura 4.7 y 4.8) muestran la capacidad de los alumnos de este nivel de realizar


- 133 -

conversiones desde el registro gráfico al algebraico, superando en este sentido la

limitación de los alumnos del nivel Intra que solamente mostraban conversiones desde

el registro algebraico al gráfico.

El estudiante AL.20 en su respuesta al ítem 0.2 de la tarea 0 (Figura 4.7) con

funciones lineales, utiliza primero el cálculo de la pendiente de la recta y

posteriormente, a partir de uno de los puntos de la tabla de valores dada en el

problema, obtiene el término independiente y con él la expresión algebraica completa de

la función.



- 134 -

En la respuesta del estudiante AL.20 al ítem 0.4 de la tarea 0 (Figura 4.8)

observamos que se apoya en el conocimiento de la expresión algebraica de funciones no

lineales y utiliza un punto dado para llegar a QD(P) = 24/P.


Hasta ahora las características que hemos reseñado de los alumnos del nivel

Inter hacen referencia al Esquema 0 (De lo algebraico a los gráfico) y al Esquema 1

(Significado y uso de la 1ª derivada) al ser capaces de realizar conversiones de

funciones lineales y no lineales desde el registro gráfico al algebraico (elementos E5 y

E7, respectivamente). Esta característica es importante para justificar el hecho de que en


- 135 -

este nivel los alumnos comprenden la relación función-derivada como procesos que

implican tratamientos y conversiones de funciones entre ambos registros y en ambos

sentidos - desde el registro algebraico al gráfico (E7) y desde el gráfico al algebraico

(E8) -. Sin embargo, presentan dificultades con el significado y uso de la segunda

derivada (Esquema 2).

La respuesta del estudiante AL.12 al ítem 3.1 de la tarea 3 (Figura 4.9) pone de

manifiesto las dificultades que presentan los alumnos del nivel Inter en los conceptos

económicos de Coste Total y Coste Marginal en los que interviene la segunda derivada.

Inicialmente el estudiante AL.12 convierte la representación gráfica del Coste Total

(CT) dada en el problema en la expresión algebraica CT = Q² Y el valor de la derivada

(CMg = 2Q) y vuelve a trasladarse al registro gráfico para representar gráficamente la

derivada. En este caso evidencia el reconocimiento de la relación función-derivada en el

caso de Coste Total-Coste Marginal realizando la secuencia conversiones-tratamientos-

conversiones para obtener la gráfica de la función Coste Marginal. Sin embargo, no

calcula la segunda derivada aunque especifica que la función es convexa, pero la

explicación de la convexidad es errónea, ya que el alumno escribe que eso implica un

crecimiento de los costes, cuando lo que significa es que hay un crecimiento

exponencial.



- 136 -

Este alumno fue entrevistado, siendo preguntado por el valor de la segunda

derivada y también por la explicación de la convexidad. En sus respuestas, observamos

cómo el alumno muestra que sabe calcular la segunda derivada y que la pone en

relación con el concepto de concavidad/convexidad, pero económicamente no

comprende qué implica el que la función origen sea en este caso convexa:

Inv.: no has calculado la segunda derivada, ¿puedes hacerlo ahora?

AL.12: pues es 2 porque la derivada de 2Q es 2

Inv.: y tiene alguna relación ese valor con que la función sea convexa

AL.12: sí, si es positiva la segunda derivada entonces es convexa

Inv: como sabías que era convexa si no calculaste la segunda derivada?

AL.12: la tenía calculada pero la borré y luego se me olvidó ponerla, y en el siguiente igual, solo que es cóncava y la segunda derivada es negativa

En el caso del Producto Total, PT(L) y Producto Marginal, PM(L), la respuesta

del estudiante AL.12 al ítem 3.2 de la tarea 3 (Figura 4.10) muestra que comprende la

relación función-derivada, y en cuanto a la 2ª derivada no procede al cálculo de la

derivada de la derivada como había sucedido en el caso de la relación Coste Total-

Coste Marginal, aunque escribe que la función es cóncava con una explicación de nuevo

errónea ya que escribe que la producción cae, cuando lo que ocurre es que la producción

aumenta a un ritmo cada vez menor.

Los protocolos correspondientes a las respuestas del estudiante AL.12 a la tarea

3, ponen de manifiesto que los alumnos del nivel Inter identifican la relación entre

función y función derivada a través de los registros algebraico y gráfico. Sin embargo,

no extrapolan esa comprensión de la relación entre la función y la segunda derivada.

Realizan intentos de cálculo de la 2ª derivada en el registro algebraico, sin tratamiento

en el registro gráfico lo que parece indicar que no comprenden el significado económico

de la 2ª derivada.


- 137 -


La tabla 4.2 presenta las características de los alumnos del nivel INTER en el

uso de la derivada en conceptos económicos.

Tabla 4.2. Características del nivel INTER

Niv

el IN

TE

R

a) Calculan en el registro algebraico las Tasas de Variaciones Medias entre dos puntos y en un punto o por aproximación al límite utilizando el concepto de elasticidad.

b) Realizan conversiones de funciones económicas lineales y no lineales desde el registro algebraico al registro gráfico y desde el registro gráfico al algebraico.

c) Reconocen la relación función-derivada en el registro algebraico y en el gráfico (tratamiento y conversiones en ambos registros) para Coste Total-Coste Marginal y Producto Total-Producto Marginal

d) Tienen dificultades en dotar de significado a la 2ª derivada en los conceptos económicos


- 138 -

4.1.3. Características del Nivel TRANS de desarrollo del esquema de relación

función-derivada en contextos económicos

La medida fuzzy 0,36 marca el límite del nivel TRANS. Los 5 alumnos del

nivel Trans obtienen puntuaciones altas en los ítems del Esquema 0 y en los ítems del

Esquema 1. En los ítems del Esquema 2 estos alumnos tienen puntuaciones moderadas

y altas en alguno de sus ítems.

Las características específicas de este nivel englobadas en las 3 perspectivas

mencionadas en los anteriores niveles son:

• Conceptos económicos que utilizan: los alumnos calculan los conceptos de tasas

de variación a través de la expresión de la elasticidad-precio de la demanda.

Comprenden la relación función-derivada de los conceptos de Producto Total –

Producto Marginal y Coste Total – Coste Marginal. Utilizan la relación función y

derivada entre los conceptos Curva de Indiferencia y Relación Marginal de

Substitución.

• Significado de la relación entre la función y su derivada: los alumnos establecen

la relación entre una función económica y su derivada tanto en el registro

algebraico como en el gráfico interpretando el significado de la convexidad de la

función.

• Modos de representación: los alumnos utilizan los registros algebraico y gráfico

para entender las relaciones entre las funciones y sus derivadas. Son capaces de

realizar conversiones de funciones lineales desde el registro gráfico al algebraico.

El aspecto que marca la diferencia con los estudiantes del nivel INTER es el uso

que hacen los estudiantes del nivel TRANS del significado económico de la concavidad

o convexidad de la función.

El protocolo que se muestra en la figura 4.11 corresponde a las respuestas dada

por el estudiante AL.11 al ítem 3.2 de la tarea 3, cuyo objetivo, entre otros, es poner en

relación el concepto de convexidad o concavidad con el cálculo de la segunda derivada

y su interpretación económica. El estudiante AL.11 identifica la gráfica con la expresión

algebraica √L. Una vez identificada la función, calcula la derivada y la representa

gráficamente (decreciente). Desde la expresión algebraica de la derivada, vuelve a

derivar y al obtener un valor negativo concluye que la función es cóncava. Lo que nos

hace considerar este tipo de respuesta en este nivel es su explicación sobre el significado


- 139 -

económico de la concavidad, al decir la función de Producción CÓNCAVA, es decir,

con rendimientos decrecientes. Esta justificación se corresponde con el significado de la

concavidad de esa función.


Este protocolo pone de manifiesto que los alumnos del nivel Trans comprenden

la relación función- primera derivada en ambos registros y entre primera y segunda

derivada en el registro algebraico, lo que les permite relacionar el concepto de

convexidad o concavidad con el cálculo de la segunda derivada y su interpretación

económica. Estos alumnos dan un paso más en el desarrollo del esquema de la relación

función-derivada en conceptos económicos al ser capaces de explicar la forma convexa

o cóncava de una función en ambos registros y su relación con la 2ª derivada (elementos

E9 y E10) del esquema 2.

La tabla 4.3 resume las características del nivel TRANS


- 140 -

Tabla 4.3. Características del nivel TRANS

Niv

el T

RA

NS

a) Calculan Tasas de Variaciones Medias entre dos puntos y en un punto o por

aproximación al límite utilizando el concepto de elasticidad en el registro

algebraico.

b) Realizan conversiones de funciones económicas lineales y no lineales desde

el registro algebraico al registro gráfico y desde el registro gráfico al

algebraico.

c) Establecen relaciones entre la función y su derivada en el registro

algebraico y en el gráfico (tratamiento y conversiones en ambos registros)

d) Usan la 2ª derivada en el registro algebraico y aplican el significado de

concavidad/convexidad

En la tabla 4.4 presentamos el carácter integrado de los niveles de desarrollo del

esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos indicando cómo se

van incorporando las características al pasar de un nivel al siguiente. Esta información

la utilizaremos en la sección siguiente para tratar los casos de alumnos que se

encuentran en los límites entre niveles y sugerir posibles trayectorias de cambio de

nivel.

Tabla 4.4. Características que aporta cada nivel Niveles Características

INTRA

a) Calculan Tasas de Variaciones Medias entre dos puntos y en un punto o por aproximación al límite utilizando el concepto de elasticidad en el registro algebraico.

b) Realizan conversiones de funciones económicas lineales y no lineales desde el registro algebraico al registro gráfico.

c) Establecen relaciones entre función y derivada solamente en el registro algebraico.

INTER

b) Realizan conversiones de funciones económicas lineales y no lineales el registro gráfico al algebraico.

c) Establecen relaciones entre la función y su derivada en el registro gráfico

d) Usan el concepto de 2ª derivada en el registro algebraico TRANS d) Usan el concepto de 2ª derivada en el registro algebraico y aplican el

significado de concavidad/convexidad


- 141 -

4.2. Límite entre niveles: trayectoria sugerida de cambio de nivel

En este apartado hacemos un análisis cualitativo de los comportamientos de los

estudiantes situados alrededor de los puntos frontera de los niveles Intra-Inter e Inter-

Trans.

4.2.1. Características de alumnos con medidas fuzzy en el límite entre niveles

En esta sección presentaremos los comportamientos de los alumnos que

presentan medidas fuzzy que se encuentran en el límite entre niveles. En primer lugar,

los alumnos que se encuentran entre los límites Intra-Inter y en segundo lugar, los

alumnos que se encuentran entre los límites Inter-Trans. Las respuestas de estos

alumnos pueden ayudarnos a comprender mejor el comportamiento de los estudiantes

en la transición de un nivel de desarrollo al siguiente.

• Límite INTRA-INTER

Entre los límites Intra-Inter encontramos ocho alumnos. Cuatro de ellos presentan

medidas fuzzy próximas a 0.27 por la izquierda, asignados al nivel Intra, y otros cuatro

próximas por la derecha, asignados al nivel Inter (Tabla 4.5).

Tabla 4.5. Puntuaciones en los ítems y medidas fuzzy de los esquemas constituyentes de los estudiantes con comportamientos singulares entre los niveles INTRA-INTER

Los cuatro estudiantes asignados al nivel INTRA presentan puntuaciones altas

del Esquema 0 (salvo Al.97), moderadas en el Esquema 1 y bajas puntuaciones en los

ítems del Esquema 2. Estas medidas en estos esquemas determinan que la medida fuzzy

global de dicho esquema (que engloba a los otros dos) sea menor que 0.27 lo que

justifica cuantitativamente su inclusión en el nivel INTRA. Para inferir pautas de

comportamiento necesarias para la transición al nivel Inter, vamos a mostrar


- 142 -

características de lo que son capaces de hacer, y posteriormente de lo que no son

capaces de hacer, a través de distintos protocolos.

Las respuestas dadas por los estudiantes AL.15 y AL.89 a los ítems 0.3 (tarea 0)

y 1.1 (tarea 1), respectivamente, correspondientes a la conversión entre la

representación algebraica y gráfica de funciones lineales (elemento E2) y la TVM entre

dos puntos (elemento E3) son paradigmáticas de las altas puntuaciones en el Esquema

0. Por su parte, las respuestas dadas por el estudiante AL.15 a los ítems 0.2 (tarea 0) y

2.1 (tarea 1), correspondientes a los elementos E5 y E6, ponen de manifiesto que estos

alumnos obtienen moderadas puntuaciones en la mayoría de los ítems del Esquema 1.

En las respuestas del estudiante AL.15 al ítem 0.3 (tarea 0) y las del estudiante

AL.89 al ítem 1.1 (tarea 1) (Figuras 4.12 y 4.13), observamos que se representa

correctamente la función lineal y la no lineal, encontrándose estas en un punto de

equilibrio (respuesta ítem 0.3) y que se calcula correctamente la tasa de variación

media de la demanda en los puntos solicitados (ítem 1.1).

Figura 4.12. Respuestas del estudiante AL.15 al ítem 0.3 (tarea 0)


- 143 -

Figura 4.13. Respuestas del estudiante AL.89 al ítem 1.1 (tarea 1)

En cuanto a las respuestas a los ítems mencionados del Esquema 1, el estudiante

AL.15 en su respuesta al ítem 0.2 de la tarea 0 es capaz de obtener correctamente la

expresión de las funciones de la oferta y la demanda y, posteriormente, en el ítem 2.1 de

la tarea 2 obtiene también la gráfica de la función origen Coste Total (CT) de modo

correcto (Figura 4.14), aunque no es capaz de obtener sus expresiones algebraicas sí

expresa la relación entre ambos conceptos económicos a través de la expresión

algebraica del cálculo de la derivada, a pesar de confundir el nombre de ambas

funciones. Los otros tres alumnos con puntuaciones cercanas al punto frontera también

presentan puntuaciones y características similares en estos ítems.


- 144 -

Figura 4.14. Respuestas del estudiante AL.15 al ítem 0.2 (tarea 0) y 2.1. (tarea 2)


- 145 -

Sin embargo, el estudiante AL.15 no es capaz de comprender el significado de la

2ª derivada ni de hacer uso de la misma (Esquema 2), como se pone de manifiesto en

sus respuestas nulas o erróneas al ítem 3.1, correspondiente al elemento E9 (2ª

Derivada-Convexidad) y al item 3.2 correspondiente al elemento E10 (2ª Derivada-

Concavidad), que se muestran en la Figura 4.15. El estudiante AL.15 en sus respuestas

al ítem 3.1 donde la función origen es el Producto Total (PT) y su derivada el Producto

Marginal (PM), y al ítem 3.2 donde la función origen es Coste Total y su derivada el

Coste Marginal (CM), presenta gráficas erróneas de las derivadas sin su correspondiente

expresión algebraica. Tampoco intenta cálculos de segundas derivadas y los conceptos

de concavidad y convexidad se nombran sin sentido ni en correspondencia con las

gráficas obtenidas.

Figura 4.15. Respuestas del estudiante AL.15 a la tarea 3


- 146 -

Las respuestas dadas por el estudiante AL.15 muestran las dificultades que tiene

con la 2ª derivada en el registro gráfico y algebraico, además de sus dificultades en

obtener funciones derivadas a partir de la derivada en un punto (en los ítems 4.1 y 4.2

sus respuestas y por tanto sus puntuaciones son nulas). En los ítems 3.1 y 3.2 del

Esquema 2 tampoco trata correctamente la 1ª derivada al ser las funciones no lineales

más complejas que las del Esquema 1. Este comportamiento refleja que no es capaz de

(a) aplicar y utilizar la 1ª derivada en funciones económicas no lineales, a diferencia del

item 2.1 del esquema anterior donde la función origen es lineal, y en la que sí fue capaz

de obtener la función a partir de la 1ª derivada, y (b) realizar conversiones G→A en

funciones no lineales (sus puntuaciones nulas en el item 0.4 correspondiente al elemento

E.7 así lo muestran).

Los otros tres alumnos, AL.89, AL.93 y AL.97, presentan un matiz distinto al

estudiante o alumno AL.15 que les hace estar más cerca del punto frontera 0,27. Dicho

matiz lo observamos en las puntuaciones de estos alumnos en los ítems 3.1 y 3.2. En

alguno de estos ítems los alumnos obtienen una puntuación mayor (0,5) lo cual les hace

obtener una medida fuzzy más cerca del nivel INTER, aunque cuantitativamente sigan

estando en el nivel INTRA. El estudiante AL.89 realiza intentos acertados para obtener

la derivada en el registro gráfico (ítem 3.2.) y erróneos en el item 3.1. Este alumno junto

con los otros dos empiezan a mostrar algún intento de construcción de la relación

función-derivada propio del nivel INTER, como se muestra en las respuestas dadas por

el estudiante AL.89 a los ítems 3.1 y 3.2 de la tarea 3 (Figura 4.16)..


- 147 -

Figura 4.16. Respuestas del AL.89 a la tarea 3


- 148 -

En relación a los alumnos situados en el nivel INTER alrededor del punto

frontera, observamos que mejoran notablemente sus puntuaciones en los ítems del

esquema 1 y sensiblemente en los del esquema 2, siendo similares las del esquema 0.

Estos alumnos mejoran sus puntuaciones especialmente en los ítems de la tarea 2, ítem

2.1 (que corresponde al elemento E.6 de la descomposición genética) e ítem 2.2 (que

corresponde al elemento E.8), ambos elementos relativos a la obtención de la función

origen a partir de la representación gráfica de la derivada tal como se evidencia en las

respuestas del estudiante AL.29 a los ítems de la tarea 2 (Figura 4.17.).



- 149 -

Estos alumnos también mejoran las puntuaciones en los ítems que requieren

conversiones entre registros, especialmente en el sentido G→A. La figura 4.18 muestra

como le estudiante AL.63 obtiene las expresiones algebraicas a partir de las

representaciones gráficas de funciones lineales y no lineales

Respuesta

Figura 4.18. Respuestas del estudiante AL.63 a los ítems 0.2 y 0.4 (tarea 0)


- 150 -

En cuanto a los ítems del esquema 2, estos alumnos tienen puntuaciones

prácticamente iguales a los tres anteriores del nivel INTRA, salvo el estudiante AL.23

que presenta una puntuación de 0,5 tanto en el ítem 3.1 -2ª Derivada-Convexidad

(elemento E9)- como en el 3.2 -2ª Derivada-Concavidad (elemento E10)- lo que le hace

tener una puntuación más consolidada dentro del nivel INTER.

El estudiante AL.23 obtiene (Figura 4.19) correctamente las gráficas de la

función origen en ambos ítems a partir de las gráficas de las funciones derivadas, así

como las expresiones algebraicas correspondientes, salvo la del CM cuyo error

atribuimos a una confusión en el cálculo. Este alumno también hace un buen tratamiento

del concepto 1ª derivada en ambos registros, e incluso extrapola este tratamiento al

intento de obtener la 2ª derivada en el registro algebraico, si bien tiene dificultades al

pasar de la derivada en un punto a la función derivada (Esquema 2).

Concluyendo, el estudiante AL.23 obtiene correctamente las gráficas de las

derivadas a partir de las gráficas de las funciones dadas, salvo leves errores como el

inicio de la gráfica del Producto marginal (PM) y también la del Coste Marginal (CM)

que debería empezar en el origen de coordenadas. La obtención de expresiones

algebraicas es correcta y coordinada con las gráficas representadas y sus funciones

origen. Sin embargo, la mención que hace sobre el concepto de concavidad o

convexidad es errónea y no lo relaciona con su significado económico. Confunde la

concavidad/convexidad con la forma gráfica de la función segunda derivada. Por tanto,

este alumno, a pesar de tener dificultades en el cálculo algebraico de las derivadas y en

las conversiones de A→G, es capaz de usar y obtener primeras y segundas derivadas

con un cierto nivel de desarrollo.


- 151 -


Terminamos esta apartado poniendo de manifiesto que:

• la transición al nivel INTER desde el nivel INTRA ocurre cuando los alumnos

establecen relaciones entre la función y la derivada también en el registro gráfico y

en funciones lineales y no lineales, y calculan algebraicamente la segunda derivada.


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• Límite INTER-TRANS

En el límite Inter-Trans encontramos ocho alumnos. Las medidas fuzzy de estos

alumnos se presentan próximas por la derecha a 0.36 (4 alumnos asignados al nivel

Inter) y próximas por la izquierda (4 alumnos asignados al nivel Trans) (Tabla 4.6).

Tabla 4.6. Puntuaciones en los ítems y medidas fuzzy de los esquemas constituyentes de los estudiantes con comportamientos singulares entre los niveles INTER-TRANS

Los cuatro alumnos del nivel INTER tiene altas puntuaciones en el Esquema 0,

diferentes entre si en el Esquema 1 pero compensadas con las puntuaciones en los dos

primeros ítems del Esquema 2 (excepto el estudiante AL.37 que es el más alejado del

punto frontera). Estas puntuaciones indican que estos alumnos usan correctamente el

concepto de 1ª derivada cuando la relación entre la función y su derivada es función →

derivada y no al contrario, derivada → función. Creemos que este hecho puede deberse

a que habitualmente los estudiantes se enfrentan a tareas en las que a partir de una

función origen han de deducir la gráfica de la derivada, y no al contrario. En relación a

las conversiones de funciones entre registros, estos cuatro alumnos tienen éxito a la hora

de pasar del registro algebraico al gráfico dadas sus altas puntuaciones en el esquema 0.

De ahí que el hecho de que alguno de los alumnos usen mejor la derivada en los ítems

del Esquema 2 que en los del Esquema 1 pueda ser debido a una cuestión curricular más

que conceptual ya que se pueden considerar estos ítems más habituales en su currículo.

Las respuestas del estudiante AL.18 al ítem 2.1 donde se pide la gráfica de la

función origen (Coste Total) a partir de la gráfica de la derivada (Coste Marginal), así

como sus expresiones algebraicas (elemento E6), y al ítem 3.2 donde se pide obtener la

gráfica de la derivada (Producto Marginal) a partir de una gráfica de una función

Producto Total no lineal (elementos E10), muestran las características descritas en el

párrafo anterior (Figura 4.20). El estudiante AL.18 responde equivocadamente al ítem


- 153 -

2.1, dando una expresión algebraica de CM que no se corresponde con una constante,

confundiendo el valor de la constante para el CM asignándola a la función CT. Además,

en la entrevista no acierta con la representación gráfica correcta del CT:

Inv.: no has dibujado ninguna gráfica del CT, ¿puedes hacerlo ahora?

AL.18: pues si es CT=3 sale una constante, una línea horizontal

Inv.: entonces es igual que el CM?

AL.18: sí, en este caso son las dos constantes, aunque una vale 3 y la otra 0.

En el ítem 3.2 el estudiante AL.18 obtiene correctamente la expresión

algebraica de la derivada, y en la entrevista es capaz de esbozarla gráficamente:

Inv.: has calculado bien la expresión de la derivada pero no la has representado gráficamente, ¿podrías hacerlo? ¿o decirme qué forma tendría?

Al.18: pues al estar L en el denominador es una función decreciente, y quiere decir que la productividad de los trabajadores es cada vez más pequeña por la Ley de rendimientos decrecientes.

También obtiene la expresión algebraica de la función origen, y sin embargo

yerra levemente en el cálculo algebraico de la segunda derivada. Observamos que

construye en este ítem la 1ª derivada en ambos registros mejor que en los ítems

anteriores del Esquema 1.


- 154 -

Figura 4.20. Respuesta del estudiante AL.18 al ítem 2.1 (tarea 2) y al ítem 3.2 (tarea 3)

Las evidencias mostradas ponen de manifiesto que los alumnos que presentan

puntuaciones fuzzy del Esquema 2 menores a 0,36 pero muy cerca de este punto

frontera Inter-Trans se caracterizan por comprender mejor la relación entre una función

y su derivada en el sentido función → derivada que en el sentido derivada → función.

Usan la 1ª derivada en funciones lineales y no lineales en el registro algebraico y gráfico

y realizan intentos de usar la 2ª derivada en el registro algebraico.


- 155 -

Por su parte, los cuatro alumnos que hemos clasificado en el nivel TRANS

tienen dificultades en el paso de la derivada en un punto a la función derivada (en

función convexa o cóncava, Esquema 2) como muestran sus puntuaciones. Alguno de

ellos también obtiene bajas puntuaciones (menos de 0,5) en la conversión de funciones

no lineales desde el registro gráfico al algebraico (Esquema 1). Sin embargo, construyen

bien la primera derivada en el Esquema 0 y el Esquema 1 y la primera y segunda

derivadas en el Esquema 2. Es decir, no solo son capaces de establecer las relaciones

entre función y derivada en ambos registros y en los conceptos económicos indicados

antes, y de realizar también conversiones de funciones en ambos sentidos como los del

nivel Inter, sino que además entienden el significado económico de la resolución

algebraica de la segunda derivada, tal como se muestra en la respuesta del AL. 14 a la

relación entre los conceptos PT y PM vistos anteriormente (Figura 4.21). El estudiante

AL.14 representa bien ambas funciones, obtiene sus expresiones algebraicas y además

entiende (a través de la explicación que realiza) que el hecho de que la función PT sea

cóncava (y PM decreciente) quiere decir que la producción que aporta cada trabajador

(concepto de productividad) va aumentando cada vez menos.

Figura 4.21. Respuestas del estudiante AL.14 al ítem 3.2 de la tarea 3


- 156 -

Concluimos esta apartado poniendo de manifiesto que:

• la transición al nivel TRANS desde el nivel INTER ocurre cuando los alumnos

construyen el significado económico de la concavidad/convexidad de una función

a partir del cálculo algebraico de la segunda derivada y de las relaciones

establecidas entre función, primera y segunda derivadas.

4.2.2 Trayectoria sugerida de cambio de nivel

Las características cualitativas observadas en los alumnos situados en los puntos

frontera combinadas con las características generales de los niveles especificadas en la

tabla 4.4 nos permiten identificar pautas de superación de los niveles, definiendo así una

trayectoria de cambio de nivel.

Así, los alumnos del punto-frontera Intra-Inter situados en el nivel Intra han

mostrado su capacidad de realizar tratamientos del concepto de derivada en el registro

algebraico, y dificultades a la hora de realizar tratamientos de los conceptos de 1ª y 2ª

derivada en el registro gráfico. Además, solamente realizan conversiones de funciones

lineales desde el registro algebraico al gráfico como acciones mecánicamente

aprehendidas. Por su parte, los alumnos del punto frontera Intra-Inter situados en el

nivel Inter se caracterizan porque realizan un mejor tratamiento en ambos registros de la

1ª derivada (al hacerlo también en funciones no lineales). También muestran

dificultades en el manejo de la derivada en el registro algebraico cuando no se requiere

el uso del registro gráfico (como muestran algunos alumnos con sus moderadas

puntuaciones en el Esquema 0). En cuanto a las conversiones entre registros, se realizan

con mayor acierto desde el registro gráfico al algebraico en funciones lineales.

En cuanto a los alumnos del punto-frontera Inter-Trans, los situados en el nivel

Inter muestran un buen tratamiento algebraico del concepto de la derivada, además de

usar la primera derivada en ambos registros y en funciones lineales y no lineales,

fundamentalmente en el sentido ‘función origen → función derivada’ más que en el

sentido ‘función derivada → función origen’. Además, realizan intentos de construcción

de la segunda derivada en el registro algebraico. En cuanto a las conversiones, realizan

conversiones de funciones lineales y no lineales desde el registro algebraico al gráfico, y

desde el registro gráfico al algebraico en funciones lineales. Por último, los alumnos

situados en el nivel Trans obtienen altas puntuaciones en el Esquema 0, usan el


- 157 -

concepto de la 1ª derivada tanto en el sentido ‘función origen → función derivada’

como en el ‘función derivada → función origen’, usan el concepto 2ª derivada

solamente en el registro algebraico y comprendiendo el significado económico de la

concavidad/convexidad. En cuanto a las conversiones entre registros, realizan

conversión de funciones tanto lineales como no lineales desde el registro algebraico al

gráfico y desde el gráfico al algebraico.

Estas características junto con las características generales de los niveles (Tabla

4.4.) nos indican pautas para avanzar de un nivel a otro, lo que nos permite inferir una

trayectoria de cambio de nivel. Para superar el nivel Intra y situarse en el Inter estas

pautas son:

• los alumnos del nivel INTRA han de aprehender procesos que les permitan tratar

el esquema de la 1ª derivada en el registro gráfico ya que es el registro donde

presentan mayores dificultades. Para ello un primer paso consistirá en abordar

conversión de funciones no solamente desde el registro algebraico al gráfico sin

también en sentido contrario (Realizar conversiones del registro gráfico al

algebraico).

• Para avanzar en el nivel Inter, desde la base del dominio del registro algebraico y

desde el desarrollo de las conversiones de funciones en ambos registros, se

abordarán las relaciones entre la función y la derivada también en el registro

gráfico (Establecer relaciones entre función y derivada en el registro gráfico).

• Finalmente se introducen en las relaciones entre función y derivada el cálculo

algebraico de la segunda derivada.

• Por su parte, para superar el nivel Inter y situarse en el Trans los alumnos deben

aplicar los significados de concavidad y convexidad a las situaciones económicas.

La tabla 4.7 representa un resumen de qué características se incorporan en la

superación de cada nivel.


- 158 -

Tabla 4.7. Trayectoria de cambio de nivel


- 159 -

4.3. Tematización del Esquema

Desde la perspectiva teórica de la tematización de Piaget y los modos de

representación de Duval aplicados a nuestra problemática de investigación, la relación

entre una función y su derivada en el uso de conceptos económicos se construye como

un esquema a partir de los elementos de la descomposición genética propuesta, las

relaciones que se establecen entre ellos que se identifican y aplican de manera

consciente en nuevos conceptos económicos.

Para establecer las características del esquema tematizado de la relación función-

derivada en conceptos económicos, hemos analizado las respuestas de los 5 alumnos del

nivel Trans a los ítems 4.1 y 4.2 de la tarea 4 del cuestionario, ítems en los cuales el

concepto de derivada aparece implícito lo que exige a los estudiantes identificar las

relaciones función – derivada en unos conceptos económicos que explícitamente no son

percibidos como una función y su derivada (Curva de Indiferencia y Relación Marginal

de Substitución, RMS).

Los ítems 4.1. y 4.2. se presentan en el registro gráfico y se corresponden con los

elementos Paso de la derivada en un punto a la función derivada en una función

convexa (E11) y Paso de la derivada en un punto a la función derivada en una función

cóncava (E12) de la descomposición genética.

El análisis de las respuestas y las entrevistas realizadas se han centrado en

identificar diferencias en la manera en la que los estudiantes son capaces de identificar

la relación entre los dos conceptos económicos como una relación entre una función y

su derivada (en el caso de ser cóncava y convexa). De este análisis hemos identificado

una característica del esquema de la relación función-derivada en conceptos económicos

tematizado, considerando cómo dotan de significado económico a la

concavidad/convexidad de las funciones económicas. Esta característica es:

- Identificar la relación función – derivada en nuevos conceptos económicos,

independientemente del tipo de convexidad.


- 160 -

4.3.1. Dificultades en identificar las relaciones función – derivada en nuevos

conceptos económicos presentados en forma cóncava

Identificar las relaciones función-derivada cuando el concepto económico Curva

de Indiferencia es cóncava plantea desafíos a los estudiantes situados en el nivel Trans

dado que en el currículo de Microeconomía el estudio de este concepto (y su derivada la

Relación Marginal de Substitución) suelen presentarse como funciones convexas por ser

la implicación económica más realista. Por ejemplo, el estudiante AL.21 es capaz de

identificar las relaciones función-derivada cuando el concepto económico Curva de

Indiferencia es convexa (Figura 4.22). Este alumno calcula en primer lugar el valor de

Relación Marginal de Substitución en el punto pedido, posteriormente obtiene una

expresión algebraica de la curva de indiferencia (100/X); a continuación calcula la

derivada, la representa gráficamente y por último calcula la segunda derivada y

concluye que la función es convexa al ser ésta positiva.



- 161 -

Durante la entrevista el estudiante AL.21 pone de manifiesto que entiende el

significado económico de convexidad (que la RMS es cada vez más pequeña ya que el

individuo renuncia a menos cantidad de Y cada una nueva de X …) y matemáticamente

lo corrobora indicando que tendría que dibujar la 2ª derivada.

Inv.: ¿Qué significa económicamente que la C.I. sea convexa? AL.21.: que la RMS es cada vez más pequeña ya que el individuo renuncia a menos cantidad de Y cada una nueva de X Inv.: ¿qué forma tendría la gráfica de la 2ª derivada? AL.21.: pues no sé, así de golpe…tendría que representar dando valores, si no, no sabría

Sin embargo, el estudiante AL.21 no establece relaciones correctas cuando la

función es cóncava como se observa en las respuestas al ítem 4.2 (Figura 4.23).

Confunde el valor de la derivada en un punto con la función derivada completa, al

indicar que 4/3 es el valor de la derivada, lo que le lleva a escribir erróneamente la

función origen como 4/3x.


En la entrevista el estudiante AL.21 dice que la función es cóncava, si bien lo

hace por eliminación (…imagino que será cóncava porque si la otra es convexa… en


- 162 -

relación a la función del apartado a)), sin dar ninguna explicación ni establecer

relaciones entre función y derivada en ambos registros.

Inv.: ¿En esta dices que la Curva de Indiferencia es 4/3x, ¿crees que esa expresión es no lineal? AL.21.: no, claro que es lineal, pero la gráfica del ejercicio no lo es, ya lo sé…es que era muy rara, no he sabido sacarla…como la RMS me daba 4/3 pues he cogido y he puesto 4/3x para que la derivada dé eso…4/3. Por eso he dibujado una constante Inv.: y luego dices que la segunda derivada es 0 AL.21.: claro, al hacer a 2ª derivada me da 0, pero está claro que eso no es…esa función era muy rara, está claro que no es lineal pero tampoco es convexa como la del apartado a) Inv.: ¿entonces ¿cómo dirías que es? AL.21.: pues es lo contrario, imagino que será cóncava porque si la otra es convexa, pero no te sé decir por qué, ni sé cuál es la ecuación para poder derivarla.

El comportamiento ejemplificado por el estudiante AL.21 muestra de qué

manera la concavidad en un concepto económico crea dificultades en los alumnos

impidiéndoles identificar las relaciones función – derivada. La manera en la que se

realiza esta acción con éxito se describe en la siguiente sección.

4.3.2. Característica del esquema de la relación función-derivada en conceptos

económicos: identificar las relaciones función–derivada en nuevos

conceptos económicos, independientemente del tipo de convexidad

Existen estudiantes capaces de identificar las relaciones función – derivada en

conceptos económicos, independientemente del tipo de convexidad. Estos estudiantes

muestran cierta reorganización y reconstrucción del uso de la derivada en conceptos

económicos. Una característica del comportamiento de estos estudiantes es que son

capaces de identificar los conceptos económicos en los que la derivada está presente de

modo implícito tanto en las funciones (convexas) que habitualmente se utilizan en

Microeconomía como en las funciones (cóncavas) no usadas por su carácter no realista.

Por ejemplo, el estudiante AL.1 obtiene (Figura 4.24) en primer lugar una

expresión algebraica de la función (100/X), a continuación, calcula la derivada y la

dibuja a partir de los valores de la derivada punto por punto. El camino seguido en este

protocolo, podríamos describirlo como: “desde la expresión de la función derivada a la

derivada en punto por punto y de ahí a su forma gráfica”, más que “de la derivada en

un punto a la función derivada”, que muestra que el alumno está entendiendo que la


- 163 -

relación entre esos dos conceptos económicos es una relación entre función y su

derivada, que además representa gráficamente ayudándose del registro algebraico a

través de conversiones. Por último, calcula la segunda derivada y concluye que la

función es convexa al ser ésta positiva.


En la entrevista el estudiante AL.1 da muestras de que entiende el significado

económico de convexidad (…económicamente quiere decir que la RMS es en valor

absoluto cada vez más pequeña…) y matemáticamente lo corrobora haciendo el cálculo

de la 2ª derivada. No necesita de la representación gráfica de la 2ª derivada para saber


- 164 -

que la función es convexa, y en la última respuesta explica desde la representación

gráfica de la función origen qué implica que sea convexa (al decir que la pendiente es

cada vez menor). Es capaz de entender el concepto de convexidad en ambos registros,

pero prefiere el cálculo algebraico para corroborar la convexidad de la función.

Inv.: En el examen dices que la función es convexa porque la 2ª derivada es positiva, pero ¿qué significado económico tiene el que la función sea convexa? AL.1: Bueno…económicamente quiere decir que la RMS es en valor absoluto cada vez más pequeña, porque el individuo está dispuesto a renunciar a cada vez menos cantidad del otro bien, que le es más escaso cada vez que consume más del otro bien, por eso tiene esa forma convexa. Inv: ¿y qué es la RMS? AL.1: pues la tasa a la que el individuo está dispuesto a intercambiar un bien por otro manteniendo la utilidad constante. Inv.: ¿ya, ya, ¿pero matemáticamente qué es? AL.1: la pendiente de la Curva de Indiferencia, no? La derivada…por eso se puede calcular dividiendo las derivadas parciales, o directamente como aquí, derivando 100/x Inv.: ¿sabrías dibujar la representación gráfica de la 2ª derivada? AL.1: bueno, supongo que dando valores a 200/x³ saldría Inv.: ¿crees que teniendo esa gráfica podrías deducir que la Curva de Indiferencia es convexa? AL.1: pues no sé, yo creo que para saber si es convexa es mejor ver directamente si la 2ª derivada es positiva Inv.: ¿y si no tienes la ecuación de la función y no puedes por tanto calcular la derivada? ¿Cómo sabrías entonces si es convexa? AL.1: pues por la forma…está claro que la Curva de Indiferencia es convexa porque la pendiente es cada vez menor…lo que he dicho antes…la RMS en valor absoluto es cada vez más pequeña, pero yo creo que no hace falta hacer la gráfica de la 2ª derivada para verlo.

El estudiante AL.1 también es capaz de realizar las mismas relaciones entre

ambos conceptos económicos cuando la función es cóncava (caso raro en el currículo de

microeconomía). En su respuesta al ítem 4.2. (Figura 4.25.) el estudiante AL.1 no

muestra evidencias de que haya sido capaz de identificar las relaciones entre ambos

conceptos económicos, solo da el valor de RMS y la expresión algebraica de la Curva

de Indiferencia.


- 165 -


En la entrevista el estudiante AL.1 obtiene la derivada en forma gráfica y

algebraica, y entiende el concepto de concavidad a pesar de que económicamente es

extraño en este tipo de conceptos. No llega a calcular algebraicamente la 2ª derivada por

su complejidad y falta de tiempo, pero este alumno parece que podría llegar a ella pues

sabe derivar, y destacamos que vuelve a mencionar la necesidad de que el cálculo sea

negativo para hablar de concavidad, concepto que comprende. De nuevo, a través de los

dos registros, el alumno entiende los conceptos económicos y aplica entre ellos las

mismas relaciones entre función y derivada que en conceptos tradicionales. Y todo ello

partiendo de una situación donde solamente podía obtenerse el valor de la derivada en

un punto.

Inv.: En este último ejercicio no haces nada más que esto… AL.1.: Ya, es que no me dio tiempo, pero creo que sé hacerlo. Inv.: ¿Puedes hallar la derivada y’? AL.1.: (Escribe) Pues sería ½ que multiplica a la raíz de 25 - x² pero en el denominador, por la derivada de lo de dentro que sería 2x…no, no, -2x; así que quedaría –x/raíz (25-x²). Inv.: ¿Cuánto daría la derivada en el punto presentado? AL.1.: Pues nada, se sustituye x por 3…da -3/4. Inv.: ¿Y cómo sería gráficamente la función entera? AL.1.: Pues negativa, y… a ver….sí, cada vez más negativa ya que x está en el numerador, así que sería así (dibuja una función negativa y decreciente). Inv.: ¿Y qué me dices de la concavidad? AL.1: Pues yo sé que es cóncava, supuestamente la segunda derivada es negativa, pero es que la segunda derivada sale bastante compleja…de


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todas formas está claro que es cóncava ya que la RMS es cada vez mayor…la pendiente es cada vez más negativa, es todo lo contrario que antes…ahora el individuo quiere renunciar a cada vez más cantidad del bien Y por más del bien X, cosa que no tiene mucho sentido.

El comportamiento del estudiante AL.1 ilustra una característica del esquema

tematizado en conceptos económicos al identificar de manera explícita las relaciones

función – derivada en conceptos económicos, independientemente del tipo de

convexidad como una manifestación de reorganización y reconstrucción de su

conocimiento durante la resolución de los problemas (Figura 4.26)

Figura 4.26. Tematización del Esquema

CHAPTER 5. DISCUSSION AND CONCLUSIONS

5. Discusión y conclusiones Ángel Luis Ariza Jiménez

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CHAPTER 5. DISCUSSION AND CONCLUSIONS

In this chapter we present some general reflections. Firstly, we emphasise main

contributions of our research and their link to other theoretical perspectives. Secondly,

we suggest some reflections related to function-derivative relationship in learning

economic concepts schema thematization. Thirdly, we point out some limitations of

fuzzy technique to measure the degree of acquisition of the function-derivative

relationship in learning economic concepts schema. Finally we present some questions

for further studies.

5.1. Contributions of the research. Relations with other theoretical perspectives

Our study has elucidated some of the characteristics of understanding of the

function-derivative relationship schema in learning economic concepts. In this

characterisation, the graphic and algebraic registers play an important role in

determining the levels of acquisition of the schema (Intra, Inter and Trans). The results

indicate that some students only use the concept of the derivative in the algebraic

register (Intra level), whilst other students make better use of the derivative when it is

presented in the graphic register than in the algebraic register (Inter level). An economic

understanding of the concept of concavity/convexity and its relationship with the second

derivative in the algebraic register (Trans level) suggests a higher level of acquisition of

the schema. These data indicate that treatment in a register and conversions between the

two registers demonstrate the development of an understanding of economic concepts

that involve the relationship between a function and its derivative. In this respect,

Haciomeroglu, Aspinwall and Presmerg (2010) showed the importance of using the


- 168 -

graphic register and the ability to graphically represent functions and their derivatives.

The results reported by Vrancken, Engler and Müller (2011) also confirm the need to

introduce tasks that connect different systems of representation, enhancing the

visualisation of ideas and the comprehension of concepts. However, our results

demonstrate that many students find it difficult to convert nonlinear functions from the

graphic register to the algebraic register and vice versa, due to overuse of linear

functions. An important contribution of our study is that some students are only capable

of establishing the relationship between a function and its derivative in linear cases, and

experience great difficulty when functions are nonlinear.

Moreover, our results underscore the importance of the ability to convert

functions from the graphic to the algebraic register as a characteristic of schema

acquisition (Inter level). In this respect, students' ability to convert functions between

both registers and in both directions is necessary to establish the relationships between a

function and its derivative and thus understand the economic meaning of the first

derivative of a function. Traditionally, the economics curriculum has focused on

conversions of functions from the algebraic to the graphic register whilst placing much

less emphasis on conversions in the opposite direction, which can become an obstacle to

the acquisition of understanding of certain economic concepts.

Our research has highlighted the difficulties students encounter in understanding

the concept of the second derivative beyond the algebraic register. In this regard, one

important characteristic of the Inter level is that few students had difficulties with the

algebraic treatment of a concept, but showed a better understanding when the graphic

register was the point of reference. This supports the suggestion made by Hey (2005)

that the graphic register can contribute to an understanding of the concepts of

microeconomics. The graphic register can further understanding of the idea of

measuring change based on the relationship between a graph of the derivative and that

of the function (Elia, 2006; Gagatsis and Shiakalli, 2004; Gagatsis, Elia and

Mousoulides, 2006).

The results of our research indicate that students would not have achieved much

success in understanding the relationships between a function and the first and second

derivatives without the intervention of the algebraic register or with the sole use of the

graphic register, although use of the graphic register allows them to advance towards the

Trans level of schema acquisition. The tasks included in our research were based on the


- 169 -

graphical relationship between a function and its derivative, and they showed that many

students had difficulty solving this. This suggests that integration of the different

systems of representation may be a key aspect in understanding the relationship

between the notion of functions and derivative functions in economic concepts. García,

Llinares and Sánchez-Matamoros (2011) have emphasised the importance of the

relationship between the derivative at a point (local perspective) and the first and second

derivatives of a function (global perspective) in order to acquire a proper understanding

of the relationship between a function and its derivative. In our research, the last two

tasks proposed constituted an example of how to analyse the process of obtaining the

first and second derivative from the item of data used to obtain the derivative at a point.

In our genetic decomposition, this was the most advanced step within the level of

schema acquisition.

Although more research is required, our study provides evidence of the

complementarity that exists between a mathematical understanding of the relationships

established between mathematical concepts and economic concepts. In this respect, the

incorporation of fuzzy metrics to study the acquisition of cognitive schemata is a

complementary perspective that helps us better understands the relationship between

mathematics and understanding of economic concepts.

5.2. About the thematization of the schema

The results point out that the comprehension of several economic concepts

cannot be carried out without the comprehension of the relation between a function and

its derivative. The understanding of the above mentioned relation in the algebraic and

graphical registers allows to understand the economic meaning of one function (that

represents a certain economic concept) and its derivative function (that represents to

another economic concept). In this relation the obtaining of the second derivative is

included, a mathematical concept that must help to improve the comprehension of the

economic concept modelled by a mathematical function origin. The relation between a

function and its derivative is understood by the students from the optics of reference of

the algebraic register. The managing of the relation between the function and the first

derivative is carried out by processing and conversing between both registers taking the

algebraic one as a main reference, even when economic concepts are presented only in

the graphical register. As for the relations with the second derivative, it is obtained only


- 170 -

in the algebraic register, and its algebraic value is applied by students to interpret the

meaning of the economic concept shaped by the mathematical function origin.

The application of all the relations between function - derivative and meanings

in other economic concepts (concaves or convexes) indicates that the scheme of the

relation function - derivative in economic concepts is thematised. In order to get the

scheme thematised, students construct the relations between the function and the first

derivative in the algebraic register (level INTRA) first, and later they construct them

using both registers (level INTER). Finally they construct these relations throughout the

second derivative (level TRANS) and its application in new concepts (THEMATISED

SCHEME) represented by convex or concave functions.

5.3. Fuzzy technique: some limitations

In order to quantify the measurement made on the students somehow (across a

few clear scoring criteria of the different items), we have used the fuzzy theory based on

the configuration of three sets. In each of them we have calculated the distance in

qualitative terms between every student and the ideal student who would be the one the

score of 1 in each item. We have departed from the presumption that those students who

do not obtain a degree of sufficient acquisition of the elements of every scheme or set

(score of 0 or 0,25) have a degree of belonging up to same minor or equal to 0,25. Thus

we have generated a fuzzy measure for three schemes in every student, being the

measure fuzzy of the third scheme (Scheme 2) the measure of the global one. At this

moment we take the decision to establish two border-points in the fuzzy measures of the

Scheme 2 to assign them to each of the levels. Certain limitation can exist in the

establishment of court-points a priori. That is the reason why we might consider other

possibilities, for example, the consideration of intervals of values instead of actual

points. Hereby the task of assigning students to one specific level or another when the

score is very close would be avoided. These intervals might be considered to be hybrid

zones between the levels, and thus we would have students who would have

characteristics of both levels, or even of three levels. The latter idea connects with

another possibility to reduce the complexity of the determination of border-points,

which would consist of the measurement of the fuzzy distance across a reduced list of

values. The idea would consist in the fact that every student had three fuzzy measures,

highlighting those of every scheme that would be translated into a certain degree of


- 171 -

development from each one from three considered levels (Intra, Inter and Trans). We

would have students who, for example, would reach a degree of development of 80 %

of the level Intra, 60 % of the level Inter and 35 % of the Trans. To make the

implementation of second possible solution it would be necessary to consider the

schemes in a separated way, not as fitted schemes as we have assumed in this research.

The latter ideas might be considered with a view to future research, as we approach in

the following paragraph.

5.4. Implications for further studies

We think that our research opens a field in the didactics of the mathematics,

which has not been very much explored, for example the use of mathematical elements

in other sciences, like Economics. Future research will analyse the characteristics of this

level Trans, not only in the use of the derivative, but also with other elements

proceeding from the Mathematics like concept of function, integral, differential

equations … A new field on Didactics of Economics linked to Didactics of

Mathematics could possibly improve teaching and learning of both disciplines. In this

sense, teaching and learning of both concepts must continue insisting on the importance

of treating them in both graphical and algebraic registers.

We have concluded that the treatment of the relation between a function and its

derivative in the graphical register is basic to overcome the level Intra and to make

progress in the Inter. On the contrary, we do not have to isolate the algebraic register,

since it continues being important. The results of our research show that good treatment

of this concept in the algebraic register has been necessary to overcome the level Inter

and to make progress in the Trans. The coordination between both registers, together

with the complementarity between both disciplines will increase the probabilities of the

students’ success towards the highest level of comprehension of mathematic and

economic concepts. Further research will have to be directed in this determination.

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Reunido el Tribunal que suscribe en el día de la fecha acordó otorgar, por a la

Tesis Doctoral de Don/Doña. la calificación de

Alicante de de

El Secretario,

El Presidente,

UNIVERSIDAD DE ALICANTE

EDUA

La presente Tesis de D. ha sido registrada

con el nº del registro de entrada correspondiente.

Alicante, de de

El Encargado del Registro

La defensa de la tesis doctoral realizada por D/Dª se ha

realizado en las siguientes lenguas: y , lo que unido al

cumplimiento del resto de requisitos establecidos en la Normativa propia de la UA le

otorga la mención de “Doctor Internacional”.

Alicante, de de EL SECRETATIO EL PRESIDENTE

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