Ansgar Willburger - Universität Kassel: Aktuelles · Die vorliegende Arbeit wurde vom Fachbereich Maschinenbau der Universität Kassel als Dissertation zur Erlangung des akademischen

Die Berücksichtigung dreidimensionaler Phänomene in einem 2D-Meridian-strömungsmodell bildet das Ziel der Arbeit. Dies wird durch deterministische Spannungsterme, die in gebündelter Formals „Lumped Deterministic Source Term“ (LDST) aus den Strömungsfeldern von 3D-RANS-Simulationen berech-net werden, erreicht. Die Terme beinhalten Informationen über die Unterschie-de zwischen dem 3D- und 2D-Modell. Dies sind im Wesentlichen die Abwei-chungen des Strömungsfeldes von der Rotationssymmetrie und Anteile, die aus dem 2D-Schaufelkraftmodell resultieren.Die im Hinblick auf die LDST untersuchten Strömungsfelder sind die eines axialen Verdichtergitters, das als Stator aufgebaut ist und einer Axialver-dichterstufe mit CDA-Profilierung und Vorleitrad. Die Strömung im Einzelgit-ter zeichnet sich durch eine großflächige Ablösung der Grenzschicht auf der Schaufelsaugseite nahe der Nabe aus und das Strömungsfeld im Laufrad der Verdichterstufe weist ein lokales Überschallgebiet auf. Die Analyse der LDST beider Konfigurationen zeigt, dass diese Quell - oder Senkenterme durch lokale nicht rotationssymmetrische Veränderungen im Strömungsfeld hervorgeru-fen werden. Solche Gradienten finden sich an den Vorder- und Hinterkanten der Schaufeln, in den Radialspalten, im Bereich von Verdichtungsstößen und Strömungsablösungen. Stromab der Hinterkanten klingen die Gradienten des Strömungsfeldes in Umfangsrichtung aufgrund von Mischungsvorgängen ab und somit auch die LDS-Terme. Die Überprüfung der aus den 3D-Rechnungen ermittelten LDS-Terme erfolgt durch die Berücksichtigung dieser Quell- oder Senkenterme im 2D-Meridi-anströmungsverfahren. Der Vergleich von derart berechneten Meridianströ-mungsfeldern mit den dichtegewichtet umfangsgemittelten 3D-Ergebnissen zeigt eine sehr gute Übereinstimmung. Die Auswirkungen der LDST und somit der dreidimensionalen Phänomene auf die 2D-Meridianströmung sind im we-sentlichen eine Umverteilung von Energie und Impuls in radialer Richtung und stehen in Verbindung mit den Strömungsverlusten.

ISBN: 978-3-86219-138-3

Ansgar WillburgerBeitrag zur Berechnung der Meridianströmung in Axialverdichtern auf der Basis der umfangs-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen unter Berücksichtigung dreidimensionaler Einflüsse

kasseluniversity

press

Ansgar Willburger Beitrag zur Berechnung der Meridianströmung in Axialverdichtern auf der Basis der umfangsgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen unter Berücksichtigung dreidimensionaler Einflüsse

kassel

universitypress

Die vorliegende Arbeit wurde vom Fachbereich Maschinenbau der Universität Kassel als Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) angenommen. Erster Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Martin Lawerenz Zweiter Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Martin Böhle Tag der mündlichen Prüfung 07. Juli 2010 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar Zugl.: Kassel, Univ., Diss. 2011 ISBN print: 978-3-86219-138-3 ISBN online: 978-3-86219-139-0 URN: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:0002-31395 © 2011, kassel university press GmbH, Kassel www.upress.uni-kassel.de Printed in Germany

http://dnb.ddb.de/

III

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitar-

beiter am Fachgebiet Strömungsmaschinen des Instituts fürThermische Energietechnik

der Universität Kassel.

An erster Stelle möchte ich mich herzlich bei Herrn Univ.-Prof. Dr.-Ing. Martin Lawe-

renz bedanken, der diese Arbeit ermöglicht hat und mir immermit gutem Rat zur Seite

gestanden hat. Herrn Univ.-Prof. Dr.-Ing. Martin Böhle danke ich ebenso für die Bereit-

schaft zur Übernahme des Korreferats.

Meinen Kollegen danke ich für eine gute Zusammenarbeit in einem freundlichen Ar-

beitsklima.

Mein Dank gilt nicht zuletzt meinen Eltern, die in jeglicherHinsicht die Grundsteine für

meinen Weg gelegt haben.

IV

Für Jennifer.

Inhaltsverzeichnis V

Inhaltsverzeichnis

Nomenklatur VII

1 Einleitung 1

1.1 2D-Throughflow-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Deterministische Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.3 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Aerodynamische Modelle 14

2.1 3D-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2 Konvergenzbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3 Viskosität und Wärmeleitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . .. 23

2.1.4 Turbulenzmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.5 Rotor/Stator-Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 2D-Meridianströmungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2.2.1 Druckabhängige Schaufelkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 Viskose Schaufelkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.3 Viskosität und Wärmeleitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . .. 37

2.2.4 Druckkorrekturverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Korrelationsterme in den 2D-Bilanzgleichungen 42

3.1 Lumped Deterministic Source Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44

3.2 Schaufelblockage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Massenstromgewichtete Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 48

4 Verdichterkonfigurationen 50

4.1 Ringgitterwindkanal Kassel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50

4.1.1 3D-Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.2 Vergleich von Messung und Rechnung . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.3 Dichte- und massenstromgewichtete Mittelwerte . . . .. . . . 63

4.1.4 2D-Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1.5 Deterministische Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.6 LDST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

VI Inhaltsverzeichnis

4.1.7 Meridianströmungsrechnung mit LDST . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Einstufiger Verdichter mit Vorleitrad . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 79

4.2.1 3D-Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.2 Vergleich von Messung und Rechnungen . . . . . . . . . . . . 83

4.2.3 2D-Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.4 LDST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2.5 Meridianströmungsrechnung mit LDST . . . . . . . . . . . . . 101

5 Zusammenfassung und Ausblick 106

Nomenklatur VII

Nomenklatur

Lateinische Symbole

Symbol Bedeutung

a Schallgeschwindigkeit

b Kanalbreite

c Absolutgeschwindigkeit

cb1,cb2 Konstanten im Spalart & Allmaras Turbulenzmodell

cp spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck

cpt Totaldruckbeiwert

c+ dimensionslose Geschwindigkeit

cτ Wandschubgeschwindigkeit

cv1 Konstante im Spalart & Allmaras Turbulenzmodell

cw1 Konstante im Spalart & Allmaras Turbulenzmodell

∑C Korrelationsterme

d Dämpfungsterm

d Abstand zur nächsten Wand

D,DF Diffusionszahlen

detJ Jacobi-Determinante

e innere Energie

erot relative totale innere Energie

f momentane Strömungsgröße

fv1 Variable im Spalart & Allmaras Turbulenzmodell

fw Variable im Spalart & Allmaras Turbulenzmodell~F Schaufelkraftvektor~Fi konvektive Flüsse~Fv viskose Flüsse

g lokale Strömungsgröße

h Kanalhöhe

hrot Rothalpie

i Inzidenzwinkel~I Quellenvektor

VIII Nomenklatur

Symbol Bedeutung

k turbulente kinetische Energie

kdet deterministische kinetische Energie

l Mischungsweglänge

l Sehnenlänge

lz axiale Sehnenlänge

m Koordinate in Meridianrichtung

m Massenstrom

Ma Mach-Zahl

n Drehzahl

n Koordinate normal zur Meridianrichtung

n netzangepasste Koordinate normal zur Strömungsrichtung

~n Normalenvektor

p Druck

Pr Prandtl-Zahl

q,Q Wärmestrom~Q Lösungsvektor

r Radius

R spezifische Gaskonstante für Luft~R Vektor der Restterme

Re Reynolds-Zahl

Res Residuum

s Entropie

S Oberfläche

S Variable im Spalart & Allmaras Turbulenzmodell~S Oberflächenvektor

S Leistung der Schaufelkräfte

s netzangepasste Koordinate in Strömungsrichtung

t Zeit

t Teilung

T Temperatur

u Umfangsgeschwindigkeit

V Volumen

Nomenklatur IX

Symbol Bedeutung

w Relativgeschwindigkeit

y Koordinate normal zur Wand

y+ dimensionsloser Wandabstand

Griechische Symbole

Symbol Bedeutung

α Koeffizienten im Runge-Kutta-Verfahren

α absoluter Strömungswinkel

β Winkel der Stromfläche

β relativer Strömungswinkel

∆β Scherung der Nabengrenzschicht

γ Winkel zwischen Meridianrichtung und Maschinenachse

γ Staffelungswinkel

δi j Kronecker-Delta

θ Metallumlenkung

κ Kármán-Konstante

λ Wärmeleitfähigkeit

µ dynamische Viskosität

µ Arbeitsvariable im Spalart & Allmaras Turbulenzmodell

ρ Dichte

σ Spannung

σ Konstante im Spalart & Allmaras Turbulenzmodell

τ Reibungsspannung

τw Wandschubspannung

ϕ Zylinderkoordinate in Umfangsrichtung

χ Variable im Spalart & Allmaras Turbulenzmodell

ω Winkelgeschwindigkeit

ωpt Totaldruckverlustbeiwert

X Nomenklatur

Indizes

Symbol Bedeutung

1 Position stromaufwärts vom Gitter

2 Position stromabwärts vom Gitter

det deterministisch

e Energiegleichung betreffend

e f f Effektivwert

F auf das Gittermodell bezogen

g geometrisch

HK Hinterkante der Schaufel

krit kritisch

m Meridianrichtung

mix radiale Mischung betreffend

n normal zur Meridianrichtung

p auf den Druck bezogen

passage auf die Teilungen bezogen

pitch auf eine Teilung bezogen

r radiale Richtung

re f Referenzwert

rel relative Größe

revolution auf die Rotorumdrehung bezogen

s isentrop

sec die Sekundärströmung betreffend

t turbulent

t Totalzustand

τ auf die Reibungsspannungen bezogen

u Umfangsrichtung

VK Vorderkante der Schaufel

z axiale Richtung

( ) zeitlicher Mittelwert

( )′ Abweichung vom zeitlichen Mittelwert

( ) Ensemble-Mittelwert

( )′ Abweichung vom Ensemble-Mittelwert

Nomenklatur XI

Symbol Bedeutung

( ) flächengewichteter Mittelwert

( )′ Abweichung vom flächengewichteten Mittelwert

(˜) dichtegewichteter Mittelwert

( )′′ Abweichung vom dichtegewichteten Mittelwert

(¯) massenstromgewichteter Mittelwert

Abkürzungen

Symbol Bedeutung

CDA Cotrolled Diffusion Airfoil

DS Druckseite

IGV Vorleitrad (Inlet Guide Vane)

LDST Lumped Deterministic Source Term

PIV Particle Image Velocimetry

Rot Rotor

SS Saugseite

Sta Stator

S1 Stromfläche der Gitterströmung

S2 Stromfläche der Meridianströmung

1 Einleitung 1

1 Einleitung

Mehrstufige Axialverdichter stellen eine wesentliche Komponente moderner Gasturbinen

dar, wie sie vor allem als Antrieb in der Energietechnik oderals Strahltriebwerk in der

Luftfahrt eingesetzt werden. Um Gewicht und Kosten zu reduzieren, wird durch eine Er-

höhung des Stufendruckverhältnisses eine Verringerung der Stufenzahl bei gleichzeitig

hohem Wirkungsgrad angestrebt. Für eine sichere Auslegungerfordert dies sehr genaue

Strömungsmodelle, um in mehrstufigen Axialverdichtern eine optimale Abstimmung der

Stufen zu gewährleisten. Dabei ist zu berücksichtigen, dass beim Entwurf der Meridian-

strömung mit der Festlegung der Geschwindigkeitsdreieckedas Wirkungsgradpotenzial

und die Breite des Arbeitsbereichs schon weitgehend festgelegt werden, ohne im Detail

die 3D-Beschaufelungsgeometrie zu kennen.

Im Zusammenhang mit der Auslegung der Geschwindigkeitsdreiecke ist man dazu über-

gegangen, die radiale Verteilung der Umlenkung an der tatsächlichen aerodynamischen

Belastung der Schaufel zu orientieren und sich von vorgegebenen Drallverteilungsgeset-

zen zu lösen. Seit den 1980er Jahren werden zudem für die Profilierung von Axialver-

dichtern so genannte „Controlled Diffusion Airfoils“ (CDA) (CUMPSTY UND GREIT-

ZER, 2004) eingesetzt. Diese entstehen in einem inversen Auslegungsprozess aus der

Vorgabe von Geschwindigkeitsverteilungen auf der Schaufeloberfläche und einem auf

diese Weise kontrollierten Druckgradienten (MICHELI ET AL ., 2009). Insbesondere bei

hohen Machzahlen können so die Strömungsverluste, im Vergleich zu herkömmlichen

Profilfamilien wie der NACA-65 oder der C4-Serie, reduziertwerden.

Moderne Fertigungsverfahren erlauben heute in der Auslegung eine sehr freie Gestaltung

der Verdichtergeometrie. Diese Weiterentwicklung kennzeichnen z. B. die in Neuausle-

gungen enthaltenen parametrischen Splines zur Beschreibung der Ringraumgeometrie

und der Beschaufelung mit einer großen Zahl von Freiheitsgraden (UELSCHEN, 2000),

während in der Vergangenheit zylindrische und konische Naben- und Gehäusekonturen

gewählt wurden. Mit dem Ziel einer Vergrößerung des Arbeitsbereichs kommt in neue-

ren Untersuchungen auch das so genannte „Casing Treatment“(HOEGER ET AL., 2002)

zum Einsatz. Moderne dreidimensionale Beschaufelungskonzepte tragen dem stark drei-

dimensionalen Strömungsfeld in weiteren Optimierungsschritten Rechnung. So werden

durch Neigung und Verwindung der Randzonen (MATTISKE, 1994; RIESS UND BU-

2 1 Einleitung

BOLZ, 1997) die komplexen Strömungen in den Grenzschichten beeinflusst. Wie in GAL -

LIMORE ET AL . (2002a,b) beschrieben kann durch Neigen der Beschaufelung in tan-

gentialer Richtung zur Profilsehne (sweep) und normal zu dieser (dihedral) oder durch

Wölben der Fädellinie (bow) die Strömung positiv beeinflusst werden.

Durch die Fülle der Gestaltungsparameter und die Notwendigkeit der Kostenreduktion

bei der Verdichterentwicklung können nicht für alle neuen Konzepte Prototypen gebaut

und experimentell untersucht werden. Vor diesem Hintergrund haben numerische Simu-

lationen in der industriellen Praxis stark an Bedeutung gewonnen. Durch einen Ausle-

gungsprozess, der mit empirischen Stufen- und Gittercharakteristiken beginnt und über

ein- und zweidimensionale Meridianströmungsmodelle bis hin zu 3D-Verfahren auf der

Basis der Reynolds-gemittelten-Navier-Stokes-(RANS)-Gleichungen führt, können kos-

tengünstig eine Vielzahl von Gestaltungsmöglichkeiten untersucht werden.

Eine geeignete Wahl der Gestaltungsparameter setzt ein gutes Verständnis der physi-

kalischen Zusammenhänge in einer Strömungsmaschine voraus. Eindimensionale und

zweidimensionale Ergebnisse von Strömungsberechnungen können mit gut verstandenen

Regeln zur Auslegung und Dimensionierung beurteilt werden. Die Ergebnisse einer 3D-

Simulation ermöglichen den Einblick in ein Strömungsfeld,das von dreidimensionalen

Phänomenen geprägt ist, die maßgeblich an der Entstehung von Verlusten beteiligt sind.

Hier können klare Regeln von Ursache und Wirkung des Strömungsfeldes nur schwer

abgeleitet werden. So ist zum Beispiel eine gezielte Verbesserung der Gitterströmung

innerhalb der Grenzschicht oder die Reduktion der Eckenwirbel-Ablösung durch einen

kleinen Radialspalt mit Hilfe des dreidimensionalen Strömungsfeldes eine Herausforde-

rung (CUMPSTY, 2009).

Die Vielzahl der Gestaltungsmöglichkeiten begünstigt auch den Einsatz von Optimie-

rungsstrategien. So wurde in MÜLLER-TÖWS (2000) ein Ductflow-Modell eingesetzt,

um in Verbindung mit unterschiedlichen Optimierungsstrategien die Meridianströmung

eines dreistufigen Axialverdichters zu optimieren. Genetische Algorithmen und neuro-

nale Netze werden in AHMED UND LAWERENZ (2003) und AHMED (2005) für die Op-

timierung der Meridianströmung eines 15-stufigen Axialverdichters mit einem Throu-

ghflow-Modell verwendet. In BECKER ET AL. (2008) wird ein Gitter eines dreistufigen

Axialverdichters mit stationären 3D-RANS-Simulationen und einer Evolutionsstrategie

1 Einleitung 3

sowie verschiedenen Beschleunigungstechniken optimiert. Das dreidimensional berech-

nete Gitter ist mit einer Meridianströmungsrechnung der Maschine gekoppelt. Aufgrund

der hohen Anzahl nötiger Funktionsaufrufe eines evolutionären Verfahrens ist die voll-

ständig dreidimensionale Optimierung einer mehrstufigen Turbomaschine derzeit noch

zu teuer.

1.1 2D-Throughflow-Verfahren

Throughflow-Verfahren zur Berechnung der Meridianströmung haben eine lange Ent-

wicklungsgeschichte und bilden in der Auslegung mehrstufiger Turbomaschinen auch

weiterhin ein zentrales Element (HORLOCK UND DENTON, 2005). Zur numerischen

Lösung des Gleichungssystems haben Stromlinienkrümmungsverfahren eine weite Ver-

breitung in der industriellen Praxis gefunden (CUMPSTY UND GREITZER, 2004). Sie

werden sowohl zur Auslegung (HIELD, 2008) als auch bei der Analyse der Maschinen-

Charakteristik eingesetzt (BOYER UND O’BRIAN, 2002a,b).

Die Berechnung des Strömungsfeldes erfolgt auf einer von WU (1952) erstmals beschrie-

benen S2-Stromfläche. Deren Geometrie muss innerhalb der Beschaufelung vorgegeben

werden. Weitere vereinfachende Annahmen sind die Vernachlässigung der Reibungs-

spannungen und die Annahme einer rotationssymmetrischen Strömung. Der Einfluss der

Seitenwandgrenzschichten wird in der Regel durch Modellansätze mit viskosen Kräf-

ten berücksichtigt. Ein entsprechendes Meridianströmungsmodell findet sich in MÖNIG

ET AL . (2000), welches auf der Arbeit von HOWARD UND GALLIMORE (1992) basiert.

Um den insbesondere durch den Wechsel zwischen Absolut- undRelativsystem stark

verwundenen Grenzschichten Rechnung zu tragen, werden auch Gradienten in Umfangs-

richtung berücksichtigt. Der untersuchte Testfall ist dieStrömung in einem dreistufigen

subsonischen Verdichter mit Vorleitrad.

Die Kopplung des Meridianströmungsverfahrens mit Korrelationen für Verluste und Min-

derumlenkungen ermöglicht eine realistische Vorgabe der Stromfläche innerhalb der Git-

ter. Empirische Modelle können sowohl die Profil-, Inzidenz-, Spalt- und Sekundärver-

luste als auch die Winkelabweichungen in Abhängigkeit von der Schaufelgeometrie und

den Zuströmbedingungen beschreiben (CUMPSTY, 2004). Um die physikalischen Vor-

4 1 Einleitung

gänge in mehrstufigen Maschinen besser zu beschreiben, ist zudem die Berücksichtigung

der radialen Mischung von Bedeutung. WENNERSTROM (1991) gibt einen Überblick

über die Entwicklungen zur Berücksichtigung dieses Transportvorgangs in Spannweiten-

richtung. In den umfassendsten Modellen wird dieses Phänomen in ADKINS UND SMITH

(1981) auf konvektive und in GALLIMORE UND CUMPSTY (1986) sowie in GALLIMO -

RE (1986) auf diffusive Prozesse zurückgeführt. In MERTENS UNDGALLUS (1997) fin-

det sich eine Kombination beider Modelle, bei der in der Kernströmung die diffusiven

und nahe den Seitenwänden die konvektiven Prozesse überwiegen. In NIEHUIS ET AL.

(2004) werden mehrere unterschiedliche Modelle in einem quasi-dreidimensionalen Re-

chenverfahren eingesetzt und die Ergebnisse mit 3D-RANS-Simulationen und experi-

mentellen Untersuchungen verglichen.

Neben den Stromlinienkrümmungsverfahren existiert noch eine Reihe weiterer Meri-

dianströmungsmodelle. So verwenden BOURE UND GILLANT (1995) die umfangsge-

mittelten Eulergleichungen, die mit einem Finite-Volumen-Ansatz diskretisiert und mit

einem expliziten Runge-Kutta-Verfahren gelöst werden. Innerhalb des beschaufelten Be-

reichs wird ein Modell für die druckabhängige Schaufelkraft verwendet, die viskose

Schaufelkraft in Abhängigkeit von Verlusten berücksichtigt und die Umlenkung vorge-

geben, um das Gleichungssystem zu schließen. Mit dem Verfahren wird am Beispiel

eines Axialverdichterrotors ein sub-, trans-, und supersonisches Meridianströmungsfeld

berechnet.

In einem weiteren Verfahren (STURMAYR UND HIRSCH, 1999) werden die umfangsge-

mittelten Eulergleichungen mit dem Finite-Volumen-Ansatz gelöst. Die räumliche Re-

konstruktion der Strömungsgrößen auf den Zellwänden erfolgt entweder mit einem Auf-

wind-TVD-(Total Variation Diminishing) oder einem Zentralen-Schema. Für die Zei-

tintegration wird ein explizites Runge-Kutta-Verfahren eingesetzt. Eine zeitabhängige

Gleichung beschreibt die Wirkung der Beschaufelung in den Impulsgleichungen. Der be-

rechnete Testfall ist der transsonische NASA-Rotor-67. Zudem untersuchen die Autoren

die Stoßlagenverteilung im Gitter in Abhängigkeit von verschiedenen Schaufelkraftmo-

dellen.

In der Arbeit von BARALON (2000) wird ein Verfahren erläutert, das ebenfalls auf dem

Finite-Volumen-Ansatz in Kombination mit einem Zeitintegrationsalgorithmus beruht.

1 Einleitung 5

Die Berücksichtigung der Beschaufelung erfolgt auch durcheine zeitabhängige Glei-

chung. Dem Einfluss der Seitenwandgrenzschichten wird mit einer der Strömung ent-

gegengerichteten Volumenkraft Rechnung getragen. Die zugrunde liegende Viskosität

wird mit einem Ansatz für die Mischungsweglänge bestimmt, welche zugleich in dem

implementierten Modell für die radiale Mischung Verwendung findet. Die untersuchten

transsonischen Testfälle sind der NASA-Rotor-67 und zwei Verdichter in axialer Bau-

weise mit einer und drei Stufen.

Eine andere Gruppe reibungsfreier Meridianströmungsmodelle verwendet die Finite-

Element-Methode. Die Beschreibung des Strömungsfeldes basiert auf einer Poisson-

Gleichung, die durch die Einführung der Stromfunktion entsteht. Ein solches Verfahren,

das auf der theoretischen Arbeit von HIRSCH UND DECONINCK (1985) beruht, wird in

PETROVIC ET AL. (2009) beschrieben. Neben Gitterverlust, Minderumlenkung und ra-

dialer Mischung wird auch der Einfluss der Seitenwandgrenzschichten durch Blockage-

und Verlustkorrelationen in der Berechnung berücksichtigt. Die Validierung erfolgt durch

die Berechnung der Meridianströmung in fünf Axialverdichtern und dem Vergleich mit

Mess- und 3D-Simulationsergebnissen.

Aufgrund des großen Einflusses der Seitenwandgrenzschichten auf die Gesamtverluste

einer mehrstufigen Turbomaschine (KHALID ET AL ., 1999) ist die Genauigkeit der Kor-

relationen, die Blockage und Verluste beschreiben sollen,von besonderer Wichtigkeit

für die Stufenabstimmung. Eine Möglichkeit, diesen Anforderungen gerecht zu werden

und ganz auf diese Modelle verzichten zu können, ist die Berücksichtigung der viskosen

Terme in den Bilanzgleichungen.

Das dieser Arbeit zu Grunde liegende Throughflow-Verfahrenzur Berechnung der Me-

ridianströmung, das in FAY ET AL . (1999) beschrieben wird, basiert auf einem solchen

Ansatz. Durch die Integration der stationären RANS-Gleichungen in Umfangsrichtung

entsteht ein Gleichungssystem, mit dem die Seitenwandgrenzschichten durch die Be-

rücksichtigung der viskosen Spannungen direkt aufgelöst werden können. Die Lösung

des Gleichungssystems erfolgt mit einem Druckkorrektur-Algorithmus. Die Wirkung

der Beschaufelung wird durch Vorgabe der Metallwinkel in Verbindung mit Modellen

für Minderumlenkung und Gitterverlusten realisiert. Zusätzlich wird eine turbulente Vis-

kosität anhand einer Mischungsweglänge bestimmt und ein Modell für die radiale Mi-

6 1 Einleitung

schung eingesetzt. Vergleiche von berechneten Meridianströmungsfeldern eines axialen

Verdichterstators sowie eines ein- und dreistufigen Axialverdichters mit gemessen Daten

finden sich in FAY (2002).

LAWERENZ ET AL. (2002) verwendet für die Lösung dieses Gleichungssystemsin der

zeitabhängigen Form die Methode der Finiten-Volumen mit einer zentralen Rekonstruk-

tion der Strömungsgrößen auf den Zellrändern. Die Zeitintegration erfolgt mit einem

expliziten Runge-Kutta-Algorithmus. Ergebnisse mehrerer erfolgreicher Simulationen

von Axialverdichtern, darunter auch der transsonische NASA-Rotor-67, werden darge-

stellt.

Die umfangsgemittelten RANS-Gleichungen werden in SIMON (2007) ebenfalls mit der

Finite-Volumen-Methode gelöst. Die räumliche Rekonstruktion ist durch ein MUSCL-

(Monotonic Upstream Scheme for Conservative Law)-TVD-Schema realisiert. Die zeit-

liche Diskretisierung erfolgt mit Hilfe eines expliziten Runge-Kutta-Algorithmus. Die

Strömungsumlenkung durch die Beschaufelung beschreibt eine zeitabhängige Gleichung,

die auf der Arbeit von BARALON ET AL . (1997) basiert. Gitterverluste und radiale Mi-

schung werden durch Korrelationen mit einbezogen.

1.2 Deterministische Spannungen

Die hoch komplexe Strömung in einem Axialverdichter ist dreidimensional, reibungsbe-

haftet, kompressibel und instationär. Änderungen des Dralles sowie Profilgrenzschichten

und dreidimensionale Strömungsphänomene, verursacht durch die Beschaufelung, füh-

ren im Strömungsfeld zu Gradienten in Umfangsrichtung. In Abb. 1 sind eine Reihe

dreidimensionaler Strömungsphänomene in einem Axialverdichterlaufrad schematisch

dargestellt.

An den Schaufel- und Seitenwänden bilden sich durch die Wandreibung Geschwin-

digkeitsgradienten, die durch Reibungsspannungen Verluste verursachen. An Nabe und

Gehäuse wird diesen Grenzschichten das Druckfeld der Kernströmung aufgeprägt, was

durch die reduzierte Strömungsgeschwindigkeit eine stärkere Stromlinienkrümmung und

somit einen Transport von Fluid von der Druckseite zur Saugseite zur Folge hat. Dieses

1 Einleitung 7

Abb. 1: Strömungsphänomene in einem Axialverdichterlaufrad (FOTTNER, 1993)

Phänomen ist die Ursache des vorherrschenden Sekundärströmungsphänomens, des Ka-

nalwirbels. Die Grenzschichten an Nabe und Gehäuse sind zusätzlich durch den Wechsel

rotierender und stehender Bauteile stark verwunden. Der Transport energiearmen Flui-

des aus den Seitenwandgrenzschichten in die Profilgrenzschichten führt zur Bildung von

Wirbeln und Ablösungen in den Ecken. Das Zentrifugieren desFluides in den Profil-

grenzschichten der Laufräder in Richtung des Gehäuses durch den Einfluss der Flieh-

kräfte ist eine weitere Ursache für Sekundärströmungen. Auch eventuell auftretende

Verdichtungsstöße haben einen Einfluss auf die Entwicklungder Grenzschicht auf den

Schaufeloberflächen.

Darüber hinaus entstehen durch die konstruktiv bedingten Spalte wie dem Radialspalt in

Lauf- und Leiträdern Leckageströmungen, deren Wirkungen weit in den Strömungska-

nal hinein reichen. Der Nachlauf der Schaufeln wird stromabwärts in die nachfolgenden

Gitter transportiert. Durch potenzialtheoretische Effekte beeinflusst ein Schaufelgitter

das Strömungsfeld auch in Stromaufrichtung. Der Wechsel von rotierenden und stehen-

den Schaufelgittern führt zu stark fluktuierenden Strömungsbedingungen. Zudem haben

aufeinander folgende Statoren oder Rotoren in mehrstufigenTurbomaschinen in der Re-

gel unterschiedliche Schaufelzahlen, was in jeder Teilungdes stromab liegenden Gitters

zu einem anderen Strömungsfeld führt.

8 1 Einleitung

Die Berechnung des Strömungsfeldes in einer Turbomaschinedurch die numerische Ap-

proximation der zeitabhängigen dreidimensionalen Bilanzgleichungen für Masse, Impuls

und Energie ist in der Lage, diese Phänomene abzubilden. Diese direkte numerische Si-

mulation (DNS) wird allerdings in absehbarer Zeit nur für Strömungsprobleme mit mitt-

lerer Reynolds-Zahl und einfachen Geometrien anwendbar sein (MCMULLIGAN UND

PAGE, 2009), da die nötige hohe zeitliche und räumliche Auflösungzur Erfassung aller

kleinskaligen Bewegungen in realen Turbomaschinenströmungen nicht mit einem ange-

messenen numerischen Aufwand realisierbar ist.

Durch die Integration der Navier-Stokes-Gleichungen überden Zeitmaßstab der turbu-

lenten Bewegung ergeben sich die RANS-Gleichungen, die eininstationäres determinis-

tisches Strömungsfeld beschreiben. Hierin geben die Reynolds-Spannungen den Einfluss

der turbulenten Bewegungen wieder, der durch Turbulenzmodelle berücksichtigt werden

muss. Der Aufwand zur numerischen Approximation dieser Gleichungen ist bedeutend

geringer. Neben diesen beiden Methoden existiert noch eineweitere. So versucht die

Large-Eddy-Simulation (LES) nur die kleinskalige Turbulenz mit einem so genannten

Sub-Grid-Scale-(SGS)-Turbulenzmodell zu approximieren, aber die großskaligen turbu-

lenten Bewegungen direkt aufzulösen. Dieser Ansatz benötigt zur Auflösung der Ge-

schwindigkeitsgradienten in den Grenzschichten ebenfalls sehr viele Volumenzellen.

Um den numerischen Aufwand zu reduzieren, verwendet die Detached-Eddy-Simulation

(DES) die RANS-Gleichungen in den Grenzschichten und in derKernströmung den

LES-Ansatz. in MCMULLIGAN UND PAGE (2009) wird der Bereich, in dem der RANS-

Ansatz Verwendung findet, auf Zellen mity+-Werten unterhalb von 7 begrenzt. Mit

diesem Verfahren wird die Strömung um eine CDA-Schaufel beiunterschiedlichen Zu-

strömbedingungen berechnet. Ein anderer hybrider RANS-LES-Ansatz wird in TUCKER

ET AL . (2010a,b) eingesetzt, um die Strömung in verschiedenen Verdichter- und Turbi-

nenkonfigurationen und einer Düse zu berechnen. In dem Bereich der Netzknoten mit

y+-Werten kleiner 60 wird der RANS- und in den übrigen Bereichen der LES-Ansatz

eingesetzt. Für die LES kommt kein SGS-Modell zum Einsatz und nur die numerische

Diffusion dissipiert die turbulente Energie in dieser Numerical-Large-Eddy-Simulation

(NLES).

Auch die numerischen Kosten einer instationären RANS-Rechnung sind für die Berech-

1 Einleitung 9

nung des Strömungsfeldes einer mehrstufigen Turbomaschineimmer noch hoch, da auf-

grund der zumeist unterschiedlichen Schaufelzahlen in aufeinanderfolgenden Gittern der

vollständige Umfang vernetzt werden muss. Durch zwei weitere Mittelungsoperatoren,

wie von ADAMCZYK (1985) gezeigt, können weitere Phänomene neben der Turbulenz

in den RANS-Gleichungen durch Spannungsterme, Schaufelkräfte und Blockagekoeffi-

zienten erfasst werden.

Eine zeitliche Mittelung der Erhaltungsgleichungen über eine Umdrehung des Rotors

filtert die instationären Einflüsse heraus und liefert ein stationäres Strömungsfeld. In-

stationäre Schwankungen der Strömungsgrößen in dieser Zeitskala werden durch Span-

nungstermeσrevolution, SchaufelkräfteFrevolution und Blockagekoeffizientenbrevolution in

den Gleichungen repräsentiert.

Die derart beschriebene Strömung ist nicht notwendigerweise teilungssymmetrisch. Be-

dingt durch unterschiedliche Schaufelzahlen aufeinanderfolgender Rotoren bzw. Stato-

ren in Turbomaschinen ergibt sich in jeder Teilung ein anderes Strömungsfeld. Daher

erfolgt die Integration der Gleichungen über der Anzahl derTeilungen. Das Gleichungs-

system beschreibt jetzt die Strömung in einer mittleren Teilung. Zusätzlich entstehen

wieder Zusatztermeσpassage, Fpassageundbpassage, die die Informationen über die Unter-

schiede zwischen den Teilungen beinhalten.

Für die Berechnung der Meridianströmung muss noch eine weitere Mittelung in Um-

fangsrichtung durchgeführt werden. Die Integration der Gleichungen in Umfangsrich-

tung führt dann zu einem Gleichungssystem, das die Strömungauf einer repräsentativen

Meridianstromfläche beschreibt. Die physikalischen Informationen über die Unsymme-

trien sind in den Korrelationstermenσpitch, den SchaufelkräftenFpitch und der geometri-

schen Blockagebpitch der umfangsgemittelten Bilanzgleichungen enthalten.

Die deterministischen Spannungen, die Schaufelkräfte unddie Blockage in der Meri-

dianströmung setzen sich folglich aus drei Teilen zusammen:

σdet = σrevolution+σpassage+σpitch (1.1)

F = Frevolution+Fpassage+Fpitch (1.2)

b= brevolution+bpassage+bpitch (1.3)

10 1 Einleitung

In der Arbeit von SIMON UND LEONARD (2008) werden derart gewonnene Gleichun-

gen für die Berechnung der Meridianströmung vorgestellt. In den Untersuchungen wur-

den die deterministischen Spannungen aus den Schwankungsanteilen in Umfangsrich-

tung und den instationären Schwankungen anhand von stationären und instationären 3D-

Simulationen für einen einstufigen Verdichter und eine einstufige Turbine ermittelt und

im Hinblick auf ihre Bedeutung für die Meridianströmung miteinander verglichen. Die

deterministischen Spannungen der Umfangsmittelung habendabei den höheren Einfluss

auf die Ergebnisse der Meridianströmungsrechnung im Vergleich zu denen der zeitlichen

Mittelung über eine Umdrehung des Rotors.

Die Wirkungen der Umfangsspannungen auf die Meridianströmung werden in THOMAS

UND LEONARD (2008) an einem S1-Schnitt in Kanalmitte eines einstufigen subsoni-

schen Verdichters untersucht. Es kann gezeigt werden, dassder Ansatz einer harmoni-

schen Rekonstruktion der deterministischen Spannungen inUmfangsrichtung geeignet

ist, um deren Wirkung nachzubilden.

In JENNIONS UND STOW (1985b) werden Korrelationsterme der in Umfangsrichtung

integrierten reibungsfreien Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie prä-

sentiert. In dem verwendeten quasi-dreidimensionalen Strömungsmodell werden die-

se Kopplungsterme aus S1-Strömungsrechnungen berechnet.In JENNIONS UND STOW

(1985a) ist sowohl die Untersuchung eines Turbinenstatorsals auch die eines Turbinenro-

tors dargestellt. Durch die Anwendung gewichteter Flächenmittelungen wird in HIRSCH

UND DRING (1987) ein Modell für die reibungsfreie 2D-Meridianströmung hergeleitet.

Die zusätzlichen Terme werden zu Blockagekoeffizienten umgeformt, die aus Mittelwer-

ten der Strömungsgrößen bestimmt werden.

PERRIN UND LEBOEUF (1994) präsentieren eine Transportgleichung für die kinetische

Energie desjenigen Anteils der Strömungsgeschwindigkeit, der vom Mittelwert in Um-

fangsrichtung abweicht, als das charakteristische Merkmal für die Störung der Umfangs-

symmetrie. Anhand der Ergebnisse von 3D-Simulationen eines hochbelasteten Turbinen-

stators berechnen sie die einzelnen Terme und beurteilen ihre Bedeutung im Hinblick auf

eine Modellbildung. Der Einfluss auf die Schaufelkräfte unddie konvektiven Terme sind

demnach die dominanten Einflüsse, wohingegen die viskosen Terme eine untergeordnete

Rolle spielen.

1 Einleitung 11

Eine möglichst genaue Umfangsmittelung der strömungsmechanischen Erhaltungsglei-

chungen ist auch Gegenstand aktueller Forschungen im Bereich der 3D-Berechnungen

für ein- und mehrstufige Strömungsmaschinen. In heute gebräuchlicher CFD-Software

werden die 3D-RANS Gleichungen auf einem strukturierten oder unstrukturierten Re-

chennetz gelöst. Dieses Verfahren ermöglicht es, in vertretbarer Zeit einen stationären

Strömungszustand zu berechnen. Die stationäre Betrachtung bedingt die Beschreibung

der Rotorströmung in einem relativen und der Statorströmung in einem absoluten Koor-

dinatensystem, die durch ein Rotor/Stator-Interface verbunden sind. Mit dem so genann-

ten Mixing-Plane-Ansatz (DENTON, 1992) wird dort eine Mittelung des Strömungsfel-

des vorgenommen, wodurch Informationen über die Gradienten in Umfangsrichtung ver-

loren gehen. Der instationäre Transport der Strömungsphänomene, die mit dem Potenzi-

alfeld der Schaufeln, den Nachlaufdellen und Sekundärströmungen im Zusammenhang

stehen, in benachbarte Gitter kann somit nicht wiedergegeben werden.

Eine Erweiterung des Mixing-Plane-Ansatzes durch Berücksichtigung der deterministi-

schen Spannungen der instationären Rotor/Stator-Interaktion findet sich in HALL (1997a)

und HALL (1997b). Ein empirisches Modell zur Beschreibung des Transports einer Nach-

laufdelle durch ein nachfolgendes Verdichtergitter ist die Grundlage zur Quantifizierung

der Korrelationsterme in den Bilanzgleichungen. Anwendung findet das Modell in der

Simulation zweier mehrstufiger Axialverdichter. InVAN DE WALL (1999) undVAN DE

WALL ET AL . (2000) wird ein semi-empirisches Modell für diesen Nachlauftransport

hergeleitet. Die Grundlage der Modellierung bildet eine Transportgleichung für die de-

terministischen Spannungen der instationären Rotor/Stator-Interaktion. Unter den prä-

sentierten Ergebnissen sind auch die eines Axialverdichter-Stators und eines Turbinen-

Rotors.

Zur Berücksichtigung der instationären Gitterinteraktionen kommt auch ein nichtlinea-

rer harmonischer Ansatz, wie in HE (1998) beschrieben, zum Einsatz. Die Rekonstruk-

tion der zeitabhängigen periodischen Schwankungen der Strömungsgrößen in den Mi-

schungsebenen der stationären Rechnung erfolgt durch Fourier-Reihen. Durch die Lö-

sung einer entkoppelten Transportgleichung für die Störterme im Frequenzbereich kön-

nen die instationären Phänomene im Gitter erfasst werden. Die Berechnung der quasi

zeitgemittelten Strömung erfolgt mit den deterministischen Spannungen als Quellterme

im stationären Strömungsmodell.

12 1 Einleitung

In CHEN ET AL. (2000) wird ein solcher Ansatz für die 3D-Simulation einersubsoni-

schen Verdichterstufe eingesetzt. Durch die Berücksichtigung zweier harmonischer An-

teile für die Rekonstruktion der Nachläufe reduzieren sichdie Mischungsverluste hin zu

realistischeren Ergebnissen. HE ET AL. (2002) erweitern diesen Ansatz, so dass auch

Rotor/Rotor- und Stator/Stator-Interaktionen, wie zum Beispiel Clocking erfasst werden

können. Der untersuchte Testfall ist die Strömung in einem zweistufigen transsonischen

Verdichter mit Vorleitrad.

Ein Vergleich zwischen einem abgewandelten Transportmodell ( VAN DE WALL ET AL .,

2000) und einem linearisierten harmonischen Modell, basierend auf der Arbeit von HE

(1998), wird in STRIDH ET AL . (2003) am Beispiel einer transsonischen Fanstufe mit

Vorleitrad präsentiert. Die Studie kommt zu dem Ergebnis, dass die Verwendung der

linear-harmonischen Methode verglichen mit zeitgemittelten instationären Simulationen

bessere Resultate erzielt als das Transportmodell. Die Ergebnisse für die Fanstufe un-

ter Anwendung des linearisierten harmonischen Modells fürdie Berücksichtigung der

deterministischen Spannungen in Verbindung mit dem Mixing-Plane-Ansatz werden in

STRIDH UND ERIKSSON (2005) ebenfalls ausführlich dargestellt.

Durch eine geringe Anzahl stationärer RANS-Simulationen mit variierten Randbedin-

gungen bestimmen MENEVEAU UND KATZ (2002) mittels einer Gewichtung der Dauer

der Strömungszustände die deterministischen Spannungen der instationären Gitterinter-

aktion. Das Modell wird auf die Simulation der Strömung im Laufrad einer Radialpumpe

angewandt und mit experimentellen Ergebnissen verglichen. An einer zweistufigen Axi-

alpumpe untersuchen UZOL ET AL . (2003) die räumliche Verteilung der zeitlichen Fluk-

tuationen im Strömungsfeld. Die Daten, die aus experimentellen Untersuchungen mit

einem PIV-System resultieren, dienen zur Berechnung der Terme einer Bilanzgleichung

für die deterministische kinetische Energie. Im Vergleichmit der turbulenten kinetischen

Energie ist die deterministische kinetische Energie im Bereich des Spaltwirbels in den

Untersuchungen um eine Zehnerpotenz höher und in Kanalmitte drei- bis viermal nied-

riger.

In der Arbeit von BUSBY ET AL. (2000) werden, basierend auf SONDAK ET AL . (1996),

die deterministischen Spannungen der instationären Rotor/Stator-Interaktion in einer ge-

bündelten Form als „Lumped Deterministic Stresses“ aus instationären reibungsfreien

1 Einleitung 13

Simulationen gewonnen. Die Verwendung dieser Terme als Quellen in einer reibungs-

behafteten stationären Simulation führt zu einer deutlichen Verbesserung der Ergebnis-

se für eine Turbinenstufe und zu einer Zeiteinsparung von 26% im Vergleich zu einer

reibungsbehafteten instationären Simulation. RATZLAFF ET AL . (2008) berechnet die

„Lumped Deterministic Source Terms“ (LDST) aus der instationären Simulation eines

gekühlten Turbinenrotors. Durch Einbringen dieser Terme als Quellen in eine stationäre

RANS-Simulation kommt es zu einer sehr guten Übereinstimmung der Ergebnisse beider

Rechnungen.

STOLLENWERK UND NÜRNBERGER (2009) präsentieren ein Transportmodell für die

deterministischen Spannungen der Rotor/Stator-Interaktion in Verbindung mit dem Mix-

ing-Plane-Ansatz. Der Fokus liegt dabei auf der potenzialtheoretischen Wirkung des

Druckfelds auf den Nachlauf des Gitters in Stromaufrichtung. Für die Modellierung der

deterministischen Spannungen wird eine Scheinviskositätmit einer zugehörigen Trans-

portgleichung definiert. Für eine stationäre Berechnung einer transsonischen Axialver-

dichterstufe verbessert das Modell für die deterministischen Spannungen die Ergebnisse

im Vergleich mit einer instationären Rechnung.

1.3 Zielsetzung

Das verwendete 2D-Modell basiert auf der Anwendung des Mittelungsoperators in Um-

fangsrichtung auf die stationären 3D-RANS-Gleichungen. Die physikalische Bedeutung

der Gleichungen bleibt somit erhalten. In den 2D-Gleichungen entstehen allerdings,

wie zuvor beschrieben, deterministische Spannungen, Schaufelkräfte und geometrische

Blockage. Diese zusätzlichen Größen müssen zur Berechnungder Meridianströmung

vorgegeben oder durch Modelle approximiert werden.

Das Ziel dieser Arbeit ist die Verbesserung des 2D-Modells zur Berechnung der zwei-

dimensionalen Meridianströmung mit Hilfe von 3D-CFD-Ergebnissen. Die determinis-

tischen Spannungen der in Umfangsrichtung unsymmetrischen 3D-Strömungsfelder und

Unterschiede des 2D-Gittermodells im Vergleich zur 3D-Schaufelkraft sollen dafür in

einer gebündelten Form aus den 3D-Ergebnissen bestimmt unduntersucht werden. Die

Vorgabe der aus den 3D-Strömungsfeldern extrahierten Zusatzterme im 2D-Modell er-

14 1 Einleitung

öffnet dann die Möglichkeit, deren Wirkung auf die zweidimensionale Meridianströ-

mung zu analysieren.

Die Ergebnisse dieser Untersuchung sollen die grundsätzliche Eignung dieser Vorge-

hensweise aufzeigen, um das 2D-Modell zu verbessern. Des Weiteren können sie als

Basis für eine spätere Modellbildung hinsichtlich der deterministischen Spannungen die-

nen. Darüber hinaus können sie auch eine Möglichkeit bieten3D- und 2D-Verfahren zu

koppeln (siehe auch BECKER ET AL., 2008). Für die Optimierung eines Einzelgitters

in einer mehrstufigen Turbomaschine bräuchte nach einer 3D-Rechnung der gesamten

Maschine nur noch das zu optimierende Gitter dreidimensional berechnet werden, wo-

hingegen der Rest der Maschine mit einer 2D-Meridianströmungsrechnung abgebildet

wird, in der der Einfluss der Gitter und die deterministischen Spannungen eine Vorgabe

aus der zuvor durchgeführten 3D-Rechnung der gesamten Maschine sind.


2 Aerodynamische Modelle

Die Grundlage der Modellierung von Strömungsvorgängen in einem Kontinuum sind

die dreidimensionalen Bilanzgleichungen für Masse, Impuls und Energie. Die Einflüsse

äußerer Massenkräfte sowie innerer Wärmequellen werden imWeiteren vernachlässigt,

da sie für die Strömung in Axialverdichtern nur eine untergeordnete Rolle spielen. Die

Differenzialgleichungen sind hier für ein rotierendes, zylindrisches Koordinatensystem

dargestellt:

Kontinuitätsgleichung:

∂∂ t

(ρ)+1r

∂∂ r

(r ρ wr)+1r

∂∂ϕ

(ρ wu)+∂∂z

(ρ wz) = 0 (2.1)

Radiale Impulsgleichung:

∂∂ t

(ρ wr)+1r

∂∂ r

(r ρ w2r )+

1r

∂∂ϕ

(ρ wuwr)+∂∂z

(ρ wzwr)

−1r

ρ w2u−2ω ρ wu−ω2 r ρ

=−∂ p∂ r

+1r

[∂∂ r

(r τrr )+∂

∂ϕ(τur)+

∂∂z

(r τzr)− τuu

](2.2)

Impulsgleichung in Umfangsrichtung:

∂∂ t

(ρ wu)+1r

∂∂ r

(r ρ wr wu)+1r

∂∂ϕ

(ρ w2u)+

∂∂z

(ρ wzwu)

+1r

ρ wr wu+2ω ρ wr

=−1r

∂ p∂ϕ

+1r

[∂∂ r

(r τur)+∂

∂ϕ(τuu)+

∂∂z

(r τzu)+ τru

](2.3)

Axiale Impulsgleichung:

∂∂ t

(ρ wz)+1r

∂∂ r

(r ρ wr wz)+1r

∂∂ϕ

(ρ wuwz)+∂∂z

(ρ w2z)

=−∂ p∂z

+1r

[∂∂ r

(r τrz)+∂

∂ϕ(τuz)+

∂∂z

(r τzz)

] (2.4)

16 2 Aerodynamische Modelle

Energiegleichung:

∂∂ t

(ρ erot)+1r

∂∂ r

(r ρ wr hrot)+1r

∂∂ϕ

(ρ wuhrot)+∂∂z

(ρ wzhrot)

=1r

∂∂ r

[r (wr τrr +wu τur +wzτzr)]+1r

∂∂ϕ

(wr τru+wu τuu+wzτzu)

+∂∂z

(wr τrz+wu τuz+wzτzz)+1r

∂∂ r

(r qr)+1r

∂∂ϕ

(qu)+∂∂z

(qz)

(2.5)

In den Gleichungen isterot die relative totale innere Energie

erot = e+12

w2−12

u2, (2.6)

undhrot symbolisiert die Rothalpie

hrot = e+pρ+

12

w2−12

u2 = h+12

w2−12

u2. (2.7)

Mit konstanten mittleren Wärmekapazitätencv und cp gilt e= cvT und h = cpT. Luft

kann für die zu erwartenden thermodynamischen Zustände in Bezug auf Druck und Tem-

peratur in guter Näherung als ideales Gas betrachtet werden. Die Zustandsgleichung

pρ= RT (2.8)

mit der spezifischen Gaskonstante für LuftRschließt das Gleichungssystem. Die Schub-

spannungen sind für newtonsche Fluide durch Ausdrücke darstellbar, die nur von den

örtlichen Ableitungen der Geschwindigkeitskomponenten und einer Proportionalitäts-

konstanten, der Viskositätµ abhängig sind. Zusammen mit der Hypothese von Stokes


ergeben sich die folgenden Beziehungen:

τrr = 2µ∂wr

∂ r−

23

µ (∇ ·~w) (2.9)

τuu= 2µ[

1r

∂wu

∂ϕ+

wr

r

]−

23

µ (∇ ·~w) (2.10)

τzz= 2µ∂wz

∂z−

23

µ (∇ ·~w) (2.11)

τru = τur = µ[

1r

∂wr

∂ϕ+

∂wu

∂ r−

wu

r

](2.12)

τrz = τzr = µ[

∂wr

∂z+

∂wz

∂ r

](2.13)

τuz= τzu= µ[

1r

∂wz

∂ϕ+

∂wu

∂z

](2.14)

Die Wärmeleitung ˙qi wird nach dem Gesetz von Fourier in Anhängigkeit von den Ablei-

tungen des Temperaturfeldes und der Wärmeleitfähigkeitλ beschrieben.

~q=−λ∇T (2.15)

Die Reynolds-Mittelung der Bilanzgleichungen führt dann auf die RANS-Gleichungen.

Dabei wird das deterministische mittlere von dem stochastischen turbulenten Anteil des

Strömungsfeldes entkoppelt. Dies erfolgt durch die Aufspaltung der Momentanwertef

der Strömungsgrößen in Mittelwertef und deren Schwankungsanteilef ′.

f = f + f ′ (2.16)

In instationäre Strömungen sind die mittleren Strömungsgrößen immer noch eine Funkti-

on der Zeit. Die Bildung der Mittelwerte erfolgt daher in Form von Ensemble-Mittelwer-

ten.

f = limN→∞

1N

N

∑i=1

fi mit f ′ = 0 (2.17)

Für kompressible Strömungen wird zusätzlich wird noch die dichtegewichtete Favre-


Mittelung angewandt.

f = f + f ′′ (2.18)

f =ρ fρ

mit ρ f ′′ = 0 (2.19)

Im Falle einer statistisch stationären Strömung ist der Ensemble-Mittelwert gleichbedeu-

tend mit dem zeitlichen Mittelwert (GERLINGER, 2005).

f = lim∆t→∞

1∆t

t+∆t∫

t

f dt (2.20)

Die Mittelung von Dichteρ und Druckp erfolgt nach Reynolds und die der Geschwin-

digkeit w und der TemperaturT nach Favre. Die Favre-Mittelung der Temperatur die

Reynolds-Mittelung des Druckes und der Dichte sind mit der Zustandsgleichung idealer

Gase konsistent.

T =ρ Tρ

=p

Rρ(2.21)

Die daraus resultierenden Gleichungen sind nur noch abhängig von zeitlichen Mittel-

werten der Strömungsgrößen. Durch die nichtlinearen Produkte zweier Momentanwerte

der Strömungsgeschwindigkeiten in den Impulsgleichungenentstehen in den gemittelten

Bilanzgleichungen zusätzliche Terme, die sogenannten Reynolds-Spannungen.

Mit diesen zusätzlichen Termen ergibt sich wiederum ein Schließungsproblem. Für des-

sen Lösung existieren verschiedene Ansätze (siehe auch RODI, 2000). Der in technischen

Anwendungen gebräuchlichste ist die Beschreibung der turbulenten Spannungen in Ana-

logie zu den viskosen mit dem Wirbelviskositätsprinzip vonBoussinesq. Die Darstellung

der Spannungen ist entsprechend der in der Literatur gebräuchlichen Tensorschreibwei-

se:

−ρ wi′′w j

′′ = µt

(∂ wi

∂x j+

∂ w j

∂xi−

23

∇~wδi j

)−

23

ρkδi j (2.22)


mit

δi j =

1, für i = j

0, für i 6= j. (2.23)

Der letzte Term auf der rechten Seite beinhaltet die turbulente kinetische Energiek =12wi

′′wi′′ und kann als der turbulente Druck gedeutet werden. Die gesamten Reibungs-

spannungen ergeben sich aus der Summe der laminaren und turbulenten Anteile durch

die Verwendung einer effektiven Viskosität in Gl. (2.9) bis(2.14).

µe f f = µ +µt (2.24)

In der Energiebilanz entstehen analog zusätzliche Terme. Zum einen führt die Mittelung

der relativen totalen inneren Energieerot und der Rothalpiehrot zu Ausdrücken, die sich

aus den mittleren primitiven Variablen und der turbulentenkinetischen Energiek zusam-

mensetzen

erot = cv T +12

w2−12

u2+k (2.25)

hrot = cp T +12

w2−12

u2+k (2.26)

und zum anderen ergeben sich Terme, die die Wirkung der fluktuierenden Anteile auf

die mittlere Strömung beschreiben. Die Korrelationstermewerden mit Hilfe der turbu-

lenten Wärmeleitfähigkeitλt und den räumlichen Ableitungen der mittleren Temperatur

modelliert.

−−−−→hrot

′′w′′ = λt∇T (2.27)

Der Gesamtwärmestrom ergibt sich in Analogie zu den Reibungsspannungen durch die

Verwendung einer effektiven Wärmeleitfähigkeit, die sichaus der Summe der laminaren

und der turbulenten Wärmeleitfähigkeit bildet, in Gl. (2.15).

λe f f = λ +λt (2.28)

Die Mittelung der Leistung der Schubspannungen führt auch zu Korrelationstermen,

die aber vernachlässigt werden. Alle folgenden Ausführungen basieren auf den RANS-


Gleichungen. Daher wird auf die explizite Kennzeichnung der Strömungsgrößen als

Ensemble-Mittelwerte verzichtet.

2.1 3D-Modell

Die 3D-RANS-Simulationen erfolgen mit dem kommerziellen CFD-Paket FINE™/TUR-

BO (2007). Die Bilanzgleichungen werden mit der Methode der Finite-Volumen räum-

lich diskretisiert und mit einem expliziten mehrstufigen Runge-Kutta-Verfahren zeitlich

integriert. Die Behandlung der Bilanzgleichungen in einemrotierenden kartesischen Ko-

ordinatensystem erfolgt in der integralen Form, die in einer allgemeinen Form als

∫

V

∂ ~Q∂ t

dV+

∫

S

(~Fi +~Fv

)·d~S=

∫

V

~I dV (2.29)

darstellbar sind. Darin ist~Q= (ρ ,ρwr ,ρwu,ρwz,ρerot)T der Lösungsvektor,~Fi der Vek-

tor der konvektiven und~Fv der Vektor der diffusiven Flüsse und~I ein Quellenvektor,

der die Beiträge der Flieh- und Corioliskraft enthält. Die Herleitung der Gleichungen

erfolgt durch die Transformation der Terme aus Gl. (2.1) bis(2.5) in ein kartesisches

Koordinatensystem und deren Integration über das Kontrollvolumen. Die Überführung

der Volumenintegrale der Flüsse in Oberflächenintegrale erfolgt mittels des Gaußschen

Integralsatzes.

∫

V

∇ ·~F dV =

∫

S

~F ·d~S (2.30)

Die folgenden Beschreibungen des Verfahrens beschränken sich auf die in dieser Arbeit

verwendeten Methoden. Weiterführende Informationen finden sich in FINE™/TURBO

(2007) und HIRSCH (1995a,b).


2.1.1 Diskretisierung

Zeitintegration und Ortsintegration werden getrennt behandelt. Zuerst erfolgt dafür eine

Umformung der Volumenintegrale, wobei für den Lösungsvektor ~Q die Reihenfolge von

Differenziation und Integration vertauschbar ist, da die Integrationsgrenzen nicht von

der Zeit abhängen. Die Integrale können dann mit Hilfe des Mittelwertsatzes und der

Vereinbarung, dass die Strömungsgrößen innerhalb des Volumens konstant sein sollen,

umgeformt werden.

∫

V

∂ ~Q∂ t

dV =∂ ~Q∂ t

V und∫

V

~I dV =~IV (2.31)

Für die Bilanzgleichungen folgt daraus:

∂ ~Q∂ t

=−1V

∫

S

(~Fi +~Fv

)·d~S−~IV

(2.32)

Räumliche Diskretisierung

Das Kontrollvolumen wird in eine endliche Zahl von Volumenzellen unterteilt. Im vor-

liegenden Fall geschieht dies mit Hexaederzellen (Abb. 2),die in einer Blockstruktur

angeordnet sind. Dann folgt die Aufteilung des Integrals eines Flusses~F = ~Fi +~Fv in die

Summe der Integrale über die Einzelflächen mit der Vorgabe, dass die Strömungsgrößen

auf den jeweiligen Flächen konstant sind.

(~n∆S)m

Abb. 2: Hexaderzelle


∫

S

~F ·d~S=6

∑m=1

∫

Sm

~F ·d~Sm≈6

∑m=1

~F · (~n∆S)m (2.33)

Die Rekonstruktion der Flüsse auf den Zellwänden erfolgt durch eine zentrale Mittel-

wertbildung (Abb. 3). Der Flussvektor~F auf der Zellwand (i+1/2,j,k), der als Beispiel

dienen soll, wird dafür aus gemittelten primitiven Variablengi+1/2, j ,k gebildet.

i

jk

gi, j ,k

gi+1/2, j ,k

gi+1, j ,k

Abb. 3: Rekonstruktion mit einem zentralen Schema

(~F ·~n)(gi+1/2, j ,k) = (~F ·~n)(gi, j ,k+gi+1, j ,k

2)−di+1/2, j ,k (2.34)

Das Verfahren benötigt aus Stabilitätsgründen, insbesondere beim Auftreten starker Gra-

dienten im Strömungsfeld, zusätzliche numerische Dämpfung di+1/2, j ,k. Diese wird nach

JAMESON ET AL. (1981) aus diskretisierten Ableitungen der Strömungsgrößen zweiter

und vierter Ordnung gebildet (siehe auch OERTEL JR. ET AL . (2009)).

Zeitliche Diskretisierung

Das Differenzial∂ ~Q/∂ t kann in einer Taylorreihe als Funktion~Q(t) entwickelt werden.

Die Vernachlässigung der höheren Ableitungen führt zu einer Approximation erster Ord-

nung.∂ ~Q∂ t

=~Q(t)− ~Q(t +∆t)

∆t+O(∆t) (2.35)


Das Einsetzen von Gl. (2.32) mit Gl. (2.33) in Gl. (2.35) ergibt

~Q(t+∆t) = ~Q(t)−∆tV

(6

∑m=1

~F · (~n∆S)m−~IV

)(2.36)

Eine genauere Approximation, die auch zu einem stabileren Algorithmus führt, ist mit

dem Runge-Kutta-Verfahren möglich. Die Integration über ein Zeitintervall∆t wird da-

bei mit vier zusätzlichen Zwischenschritten durchlaufen.Der Lösungsvektor zum Zeit-

punkt t ist als~Qn und zum Zeitpunktt +∆t als ~Qn+1 definiert. Für die Integration des

Lösungsvektors~Q(t) vom Zeitpunktt bis t +∆t ergeben sich folgende Schritte.

~Q(0) = ~Qn

~Q(i) = ~Q(0)−αi ·∆tV

(6

∑m=1

~F · (~n∆S)m−~IV

)(i−1)

mit i = 1, ...,4

~Qn+1 = ~Q(4)

(2.37)

Die Faktorenαi sind nach FINE™/TURBO (2007) wie folgt definiert:

α1 = 0,125; α2 = 0,306; α3 = 0,587; α4 = 1,0

Durch die explizite Formulierung des Problems ist die Zeitschrittweite∆t aus Gründen

der numerischen Stabilität begrenzt. Die maximal zulässige Schrittweite kann mit Hilfe

der Courant-Friedrichs-Lewy-(CFL)-Zahl berechnet werden. In dem diesen Berechnun-

gen zugrunde liegenden 3D-Modell errechnet sich der Quotient ∆t/V aus der maximal

zulässigen Zeitschrittweite∆t und dem ZellenvolumenV durch

∆tV

=CFL

|~w~Si |+ |~w~Sj |+ |~w~Sk|+a[|~Si |+ |~Sj |+ |~Sk|

] . (2.38)

Die Vektoren~S in die Richtung der Netzkoordinaten i,j,k sind im Zellmittelpunkt defi-

niert und ergeben sich aus den gemittelten Normalenvektoren auf den Oberflächenele-

menten~n multipliziert mit der OberflächeS. Der Vektor~w beinhaltet die Komponenten

der Relativgeschwindigkeit unda ist die Schallgeschwindigkeit. Die Berücksichtigung

einer CFL-Zahl für die Einflüsse der Viskosität ist zusätzlich möglich (FINE™/TURBO,

2007).


2.1.2 Konvergenzbeschleunigung

Zur Beschleunigung der Konvergenz bei der Berechnung einesstationären Strömungs-

feldes kommen verschiedene Techniken zum Einsatz. Diese sind eine lokale Zeitschritt-

weitensteuerung, eine Residuenglättung und ein Mehrgitterverfahren (OERTEL JR. UND

LAURIEN, 2009). Die lokale Zeitschrittweitensteuerung ermöglicht eine individuelle Be-

rechnung des Quotienten∆t/V für jede Volumenzelle. Die Zeitschrittweiten sind in

großen Zellen entsprechend größer als in kleinen, wodurch sich Störungen schneller aus-

breiten können. Die Abnahme des Residuums im Laufe der Rechnung erfolgt aufgrund

der im Rechengebiet hin und her laufenden Störungswellen oszillierend. Diese Schwan-

kungen in den Strömungsgrößen sind nicht physikalischer, sondern numerischer Natur.

Daher können sie mit einem geeigneten Operator geglättet werden. Durch Auslassen von

Knoten aus dem eigentlichen Rechennetz entstehen in dem Algorithmus des Mehrgitter-

verfahrens weitere grobere Netze (FINE™/TURBO, 2007). In jedem Zyklus des verwen-

deten „Full Approximation Scheme“ (FAS) Mehrgitterverfahrens HENSON (2003) wer-

den die Bilanzgleichungen in einer bestimmten Abfolge auf den unterschiedlich feinen

Netzen approximiert. Dabei erfolgt eine Restriktion der Lösung von den feineren auf die

groberen Netze und die Prolongation einer Korrektur der Lösung von den groberen zu

den feineren Netzen. Dies ermöglicht eine schnellere Dämpfung von Störungen in un-

terschiedlichen Frequenzbereichen und somit eine Beschleunigung der Konvergenz. Mit

dem „Full Multigrid“ (FMG) Ansatz erfolgt eine Verbesserung der Startlösung. Dabei

wird das Strömungsproblem zunächst auf dem gröbsten Netz approximiert. Erst nach

Erreichen eines Konvergenzkriteriums werden dann sukzessive die jeweils feineren Re-

chennetze bis hin zum eigentlichen Rechennetz hinzugenommen (siehe auch GERLIN-

GER, 2005).

2.1.3 Viskosität und Wärmeleitfähigkeit

Die dynamische Viskositätµ ist ein Materialparameter, der unter der Voraussetzung

idealen Gasverhaltens nur von der TemperaturT und nicht vom Druckp abhängig ist.

Die Modellgleichung nach Sutherland zur Approximation derdynamischen Viskosität


kommt in den hier beschriebenen aerodynamischen Modellen zum Einsatz.

µ(T) = µre f

(T

Tre f

)32 Tre f +TS

T +TSfür T ≥ 120K (2.39)

In der Gleichung istTS=110K die Sutherland-Temperatur, die Referenzviskositätµre f =

1,716·10−05kg/(ms) und die ReferenztemperaturTre f = 293K.

In den Rechnungen wird eine konstante mittlere spezifische Wärmekapazitätcp und die

spezifische Gaskonstante für LuftRvorgegeben. Die Prandtl-Zahl wird ebenfalls als kon-

stant angenommen und hat den WertPr = 0,708 (FINE™/TURBO, 2007). Aus diesen

Stoffgrößen folgt die laminare Wärmeleitfähigkeitλ durch

λ =cp µPr

. (2.40)

2.1.4 Turbulenzmodellierung

Für die Lösung der turbulenten RANS-Gleichungen mit dem Ansatz von Boussinesq

müssen noch zusätzliche Größen bestimmt werden. Diese sinddie Wirbelviskositätµt ,

die turbulente Wärmeleitfähigkeitλt und die turbulente kinetische Energiek. Die Berech-

nung der Wirbelviskositätµt erfolgt mit einem Ein-Gleichungsmodell, basierend auf der

Arbeit von SPALART UND ALLMARAS (1992) mit den Modifikationen von ASHFORD

UND POWELL (1996) und ohne die Terme für die Transition von laminarer zuturbulen-

ter Strömung. Der Kern dieses weitgehend empirischen Turbulenzmodells ist die Lösung

einer zusätzlichen Transportgleichung für die Arbeitsvariable µ .

∂ µ∂ t

+~w ·∇µ︸︷︷︸

Konvektion

=1σ[∇ · [(µ +(1+cb2) µ)∇µ ]−cb2µ∆µ ]

︸︷︷︸Di f f usion

+ cb1Sµ︸︷︷︸Produktion

−cw1 fw

(µd

)2

︸︷︷︸Destruktion

(2.41)


Die Verbindung zwischen der Arbeitsvariablenµ und der Wirbelviskositätµt ist durch

µt = µ fv1

mit fv1 =χ3

χ3+cv1; χ =

µµ

und cv1 = 7,1(2.42)

gegeben. Nähere Angaben zu den VariablenS im Produktions- undfw im Destruktions-

term sowie den Konstantenσ , cb2, cb1 undcw1 finden sich in der angegebenen Literatur

und d ist der Abstand zur nächsten Wand. Auf festen Wänden gilt dieRandbedingung

für die Arbeitsvariableµ = 0.

Durch die Einführung einer konstanten turbulenten Prandtl-ZahlPrt = 0,72 (siehe FINE-

™/TURBO (2007)) kann ein Zusammenhang zwischen der turbulenten Viskositätµt und

der turbulenten Wärmeleitfähigkeitλt hergestellt werden.

λt =cp µt

Prt(2.43)

Die in den Termen der RANS-Gleichungen enthaltene turbulente kinetische Energiek

wird nicht explizit berücksichtigt.

2.1.5 Rotor/Stator-Interface

Durch die Verwendung der Bilanzgleichungen in einem rotierenden Koordinatensystem

ist es möglich, ein stationäres Strömungsfeld in einem Schaufelgitter zu berechnen. Die

Drehfrequenzω orientiert sich dabei an der des jeweiligen Gitters. Folgenin einer Turbo-

maschine stehende Koordinatensysteme der Leiträder und rotierende der Laufräder auf-

einander, müssen Bedingungen für deren Kopplung definiert werden. Für die Berechnung

eines stationären Strömungsfeldes in der gesamten Maschine müssen die Randbedingun-

gen der jeweiligen Gitter ebenfalls stationär sein. Zusätzlich dürfen die Strömungsbedin-

gungen nicht zu weit vom Auslegungspunkt entfernt sein, da sonst physikalisch bedingte

instationäre Phänomene das Strömungsfeld bestimmen.

Der verwendete Mixing-Plane-Ansatz ermöglicht die Kopplung relativ zueinander be-

wegter Koordinatensysteme und die Bereitstellung stationärer Randbedingungen an den


angrenzenden Gittern. Dies geschieht durch den Transfer inUmfangsrichtung gemittelter

Strömungsgrößen über die Kopplungsebene hinweg.

2.2 2D-Meridianströmungsmodell

Die Bilanzgleichungen zur Berechnung des Strömungsfelds auf einer repräsentativen

Meridianstromfläche folgen aus der Integration der stationären RANS-Gleichungen im

relativen zylindrischen Koordinatensystem in Umfangsrichtung (LAWERENZ ET AL.,

2002). Der Hergang der Integration zwischen den Grenzenϕ1 und ϕ2, wie in Abb. 4

dargestellt, soll im Folgenden am Beispiel des Produktes aus Dichteρ und einer Strö-

mungsgrößef aufgezeigt werden. Die Integration der partiellen Differenziale in den Er-

z

ϕ1

ϕ2

b= (ϕ2−ϕ1)ϕ

Abb. 4: Integrationsintervall der Umfangsmittelung

haltungsgleichungen führt unter Anwendung der Leibniz-Regel zu einem Ausdruck mit

der Ableitung des Mittelwertes und Größen auf den Rändern des Integrationsgebietes,

die von der Änderung der Grenzenϕ1 undϕ2 in z-Richtung abhängen.

ϕ2∫

ϕ1

∂ρ f∂z

dϕ =∂∂z

ϕ2∫

ϕ1

ρ f dϕ +

{ρ f

∂ϕ∂z

}

ϕ1

−

{ρ f

∂ϕ∂z

}

ϕ2

(2.44)


Der Mittelwert des Produktesρ f kann durch die Verwendung von Favre-Mittelwerten

wie folgt umgeformt werden:

f =1

bρ

ϕ2∫

ϕ1

ρ f dϕ =ρ fρ

(2.45)

Damit ergibt sich

ϕ2∫

ϕ1

∂ρ f∂z

dϕ =∂bρ f

∂z+

{ρ f

∂ϕ∂z

}

ϕ1

−

{ρ f

∂ϕ∂z

}

ϕ2

. (2.46)

Im Fall, dass die Strömungsgrößef das Produkt zweier lokaler Größenf = g1g2 dar-

stellt, muss noch eine weitere Umformung vorgenommen werden. Diese ergibt sich aus

der Aufteilung der lokalen Werte in Mittelwerte und Schwankungsanteile. Dies gilt so-

wohl für die Favre-Mittelwerte

g= g+g′′ ⇒ ρg1g2 = ρ g1 g2+ ρg1′′g2

′′︸︷︷︸

Korrelationsterm

(2.47)

als auch für die flächengewichteten Mittelwerte

g= g+g′ ⇒ g1g2 = g1g2+ g1′g2

′︸︷︷︸

Korrelationsterm

. (2.48)

In den nach diesen Vorschriften integrierten Bilanzgleichungen entstehen neben den Dif-

ferenzialen der mittleren Strömungsgrößen noch zusätzlich Terme, die aus den gemittel-

ten Produkten von Schwankungsanteilen bestehen. Diese finden sich in den Gleichungen

für Impuls und Energie, aber durch die Verwendung von Favre-Mittelwerten nicht in der

Kontinuitätsgleichung. Dichte und Druck werden ebenso wiedie Reibungsspannungen

flächengewichtet gemittelt. Zusammenfassend liefert die Integration der Bilanzgleichun-

gen in Umfangsrichtung zwischen den Grenzenϕ1 undϕ2 folgende Beziehungen:

Kontinuitätsgleichung:1r

∂∂ r

(rbρ wr)+∂∂z

(bρ wz) = 0 (2.49)



1r

∂∂ r

(rbρ wr2)+

∂∂z

(bρ wzwr)−br(ρ wu

2)−2ω bρ wu−ω2 rbρ

=1r

[∂∂ r

(rbτrr )+∂∂z

(rbτzr)−bτuu

]−

∂∂ r

(bp)+F1,r −F2,r +∑Cr

(2.50)


1r

∂∂ r

(rbρ wr wu)+∂∂z

(bρ wzwu)+2ω bρ wr +br

ρ wr wu

=1r

[∂∂ r

(rbτru)+∂∂z

(rbτzu)+bτru

]+F1,u−F2,u+∑Cu

(2.51)


1r

∂∂ r

(rbρ wr wz)+∂∂z

(bρ wz2)

=1r

[∂∂ r

(rbτrz)+∂∂z

(rbτzz)

]−

∂∂z

(bp)+F1,z−F2,z+∑Cz

(2.52)

Energiegleichung:

1r

∂∂ r

(rbρ wr hrot

)+

∂∂z

(bρ wzhrot

)

=1r

∂∂ r

[rb (wr τrr + wu τur + wzτzr)]+∂∂z

[b (wr τrz+ wu τuz+ wzτzz)]

+1r

∂∂ r

(rb qr

)+

∂∂z

(bqz)+S1−S2+ Q1− Q2+∑Ce

(2.53)

Aus Gl. (2.46) bis (2.48) resultieren in den in Umfangsrichtung integrierten Bilanzglei-

chungen, neben den Termen der mittleren Strömungsgrößen sowohl deterministische

Spannungen

−−→∑C=

∑Cr

∑Cu

∑Cz

∑Ce

(2.54)

als auch Quellterme~Fi , Si undQi auf den Integrationsgrenzen. Die Quellterme treten nur


auf den Schaufeloberflächen auf und verschwinden außerhalbder Gitter aufgrund der

dort vorausgesetzten Periodizität. Diese Quellterme können entsprechend den ihnen zu-

grunde liegenden lokalen Gleichungen in konvektive, viskose und druckabhängige Terme

unterteilt werden.

Durch die Annahme einer undurchlässigen Schaufel existieren keine Geschwindigkeits-

komponenten normal zur Oberfläche:

(~w·~n)ϕ=ϕi= 0 mit i = 1,2 (2.55)

In FAY (2002) wird gezeigt, dass der Normalenvektoren~n durch

~nϕ=ϕi =

∂ϕ∂ r

−1r

∂ϕ∂z

ϕ=ϕi

(2.56)

gegeben ist. Daraus folgt, dass die konvektiven Anteile derQuellterme auf der Schaufe-

loberfläche verschwinden.

0=

ρρwr

ρwu

ρwz

ρhrot

~w ·

∂ϕ∂ r

−1r

∂ϕ∂z

ϕ=ϕi

(2.57)

Die in den Impulsgleichungen verbleibenden Schaufelkräfte

~Fi =

Fi,r

Fi,u

Fi,z

(2.58)

lassen sich in einen druckabhängigen~Fp,i und einen viskosen Anteil~Fτ,i zerlegen.

~Fi = ~Fp,i +~Fτ,i (2.59)


Für den druckabhängigen Anteil des Schaufelkraftvektors gilt

~Fp,i =

−p

∂ϕ∂ r

−1r

∂ϕ∂z

ϕ=ϕi

(2.60)

während der viskose Teil durch

~Fτ,i =

τrr τru τrz

τur τuu τuz

τzr τzu τzz

∂ϕ∂ r

−1r

∂ϕ∂z

ϕ=ϕi

. (2.61)

beschrieben wird. Die in der Energiegleichung verbleibenden Terme sind die durch die

Schubspannungen übertragene LeistungSi und die Wärmeströme über die Schaufelober-

flächeQi .

Qi =

qr

qu

qz

·

∂ϕ∂ r

−1r

∂ϕ∂z

ϕ=ϕi

(2.62)

Si =

(wr ,wu,wz) ·

τrr τru τrz

τur τuu τuz

τzr τzu τzz

∂ϕ∂ r

−1r

∂ϕ∂z

ϕ=ϕi

(2.63)

Aufgrund der Haftbedingung und mit der Annahme adiabater Schaufeloberflächen ver-

schwinden diese Terme:Si = 0 undQi = 0. Die Beschreibung der Reibungsspannungen

τ i j erfolgt durch umfangsgemittelte Strömungsgeschwindigkeiten mit den vereinfachen-

den Annahmen einer quasi inkompressiblen∇ ·~w= 0 und rotationssymmetrischen Strö-


mung∂/∂ϕ = 0.

τrr = 2µ∂ wr

∂ r(2.64)

τuu = 2µwr

r(2.65)

τzz= 2µ∂ wz

∂z(2.66)

τru = τur = µ[

∂ wu

∂ r−

wu

r

](2.67)

τrz = τzr = µ[

∂ wr

∂z+

∂ wz

∂ r

](2.68)

τuz= τzu= µ∂ wu

∂z(2.69)

Die aus der Integration resultierenden Zusatzterme werdendurch folgende Mittelwerte

der Schwankungsgrößen gebildet:

Impulsgleichungen:

∑Cr =−1r

∂∂ r

(r ·bρ w′′

r2)−

∂∂z

(bρ w′′

z w′′r

)+

br

(ρ w′′

u2)

(2.70)

∑Cu =−1r

∂∂ r

(rbρ w′′

r w′′u

)−

∂∂z

(bρ w′′

z w′′u

)−

br

(ρ w′′

r w′′u

)(2.71)

∑Cz=−1r

∂∂ r

(rbρ w′′

r w′′z

)−

∂∂z

(bρ w′′

z2)

(2.72)

Energiegleichung:

∑Ce =−1r

∂∂ r

(rbρ wr

′′hrot′′

)−

∂∂z

(bρ wz

′′hrot′′

)

+1r

∂∂ r

[rb

(ρ τrr

(w′′

r

ρ ′′

)+w′

r τ ′rr +ρ τur

(w′′

u

ρ ′′

)+w′

u τ ′ur +ρ τzr

(w′′

z

ρ ′′

)+w′

zτ ′zr

)]

+∂∂z

[b

(ρ τrz

(w′′

r

ρ ′′

)+w′

r τ ′rz+ρ τuz

(w′′

u

ρ ′′

)+w′

u τ ′uz+ρ τzz

(w′′

z

ρ ′′

)+w′

zτ ′zz

)]

(2.73)

Die flächengewichtete Integration der Produkte von lokalenGeschwindigkeitskompo-

nenten und Reibungsspannungen in Umfangsrichtung wird im Folgenden exemplarisch


an dem Produktwr τrr zu dargestellt.

wrτrr =1b

ϕ2∫

ϕ1

wrτrr dϕ = wr τrr +wr′τrr

′ (2.74)

Aus der Forderung, dass in den Bilanzgleichungen für die mittleren Strömungsgrößen die

Geschwindigkeitskomponenten in einer dichtegewichtetenForm vorliegen sollen, ergibt

sich

wr = ρwr1ρ=

1b

ϕ2∫

ϕ1

ρwr1ρ

dϕ = ρ1

bρ

ϕ2∫

ϕ1

ρwr1ρ

dϕ = ρ wr1ρ

= ρ(wr +wr′′)

((1ρ

)+

(1

ρ ′′

))= ρ

(wr

ρ

)+ρ(

wr′′

ρ ′′

)(2.75)

mit

1ρ=

1bρ

ϕ2∫

ϕ1

ρ1ρ

dϕ =1

bρ

ϕ2∫

ϕ1

1 dϕ =1

bρb=

1ρ

(2.76)

folgt daraus

wr = wr +ρ(

w′′r

ρ ′′

). (2.77)

Zusätzlich ist in der umfangsgemittelten Rothalpiehrot die deterministische kinetische

Energiekdet =12w′′w′′ zu berücksichtigen, um diese aus mittleren Strömungsgrößen be-

rechnen zu können.

hrot = cp T +12

w2−12

u2+kdet (2.78)

2.2.1 Druckabhängige Schaufelkraft

Die druckabhängige Kraft~Fp,i kann mit Hilfe der Impulsgleichung in Umfangsrichtung

und der Vorgabe der Stromflächengeometrieϕ = ϕ(r,z) modelliert werden. Durch die

Vorgabe der Stromflächengeometrie als der arithmetische Mittelwert der Integrations-

grenzenϕ1 und ϕ2 auf Linien mit konstantem Radius (Abb. 5) und einem zugehörigen


z

ϕ1

ϕ2 ϕ =12(ϕ2+ϕ1)

ϕ

Abb. 5: Lage der Stromfläche

mittleren statischen Druckp= 12 (p1+ p2) können die Schaufelkräfte zu

Fp,r = p2∂ϕ2

∂ r− p1

∂ϕ1

∂ r= (p2− p1)

∂ϕ∂ r

+ p∂b∂ r

(2.79)

Fp,u =−1r(p2− p1) (2.80)

Fp,z = p2∂ϕ2

∂z− p1

∂ϕ1

∂z= (p2− p1)

∂ϕ∂z

+ p∂b∂z

(2.81)

umgeformt werden. Die Druckdifferenz zwischen Saug- und Druckseite im beschaufel-

ten Ringraum∆p= (p2− p1) ergibt sich mit Gl. (2.80) aus der Dralländerung. Im Hin-

blick auf einen stetigen Übergang erfolgt eine Anpassung der Stromflächengeometrie,

die später in diesem Kapitel erläutert wird. Mit Hilfe der Konturbedingung der Strom-

fläche Gl. (2.82) kann die Umfangskomponente der Strömungsgeschwindigkeit aus den

axialen und radialen Anteilen berechnet werden.

(~n ·~w

)ϕ= wr

∂ϕ∂ r

−wu

r+ wz

∂ϕ∂z

= 0. (2.82)

Die Einführung der Winkelβr und βz zur Beschreibung der Stromfläche ergibt für die

Ableitungen∂ϕ/∂ r und∂ϕ/∂z:

tan(βr) = r∂ϕ∂ r

(2.83)

tan(βz) = r∂ϕ∂z

(2.84)


Daraus folgt für die Bestimmung der Umfangskomponente der Strömungsgeschwindig-

keit innerhalb des Gitters:

wu = wr tan(βr)+ wz tan(βz) (2.85)

Während der Berechnung der 2D-Meridianströmung in einem Auslegungsprozess ist es

erforderlich, die im Vorfeld noch nicht bekannte Stromflächengeometrie innerhalb der

Schaufelgitter festzulegen. Dazu müssen die geometrischen Winkel der Beschaufelung

βr,g und βz,g, die Fehlanströmung an der Schaufelvorderkante∆βVK und die Minder-

umlenkungen an der Schaufelhinterkante∆βHK berücksichtigt werden. Es existieren al-

lerdings keine Minderumlenkungskorrelationen, die dieseAbweichungen der Stromflä-

chengeometrie von der Schaufelgeometrie in einer- undz-Koordinate unterteilen, was

insbesondere bei einer starken radialen Umlenkung des Fluides zum Tragen kommt.

Unter diesen Bedingungen ist es sinnvoll, die Stromflächengeometrie in einem mehr der

Strömung angepassten orthogonalen m,n-Koordinatensystem (Abb. 6) zu beschreiben.

Hierzu wird der Winkelγ eingeführt, der den Anstieg der Meridiankoordinatem gegen-

über der Maschinenachse beschreibt. Die Transformation der Ableitungen der Stromflä-

mn

γ

r

zP

Abb. 6: Zur Definition des meridionalen Koordinatensystems

chengeometrieϕ = ϕ(r,z) in das m,n-System erfolgt mit Hilfe der Drehmatrix

∂ϕ∂m

∂ϕ∂n

=

(sin(γ) cos(γ)cos(γ) −sin(γ)

)

∂ϕ∂ r

∂ϕ∂z

. (2.86)

Innerhalb des Verfahrens wirdγ aus den Steigungen der Naben- und Gehäusekontur an

den Seitenwänden berechnet. Die Zwischenwerte in Spannweitenrichtung werden durch


lineare Interpolation bestimmt. Führt man die Meridiangeschwindigkeitwm und die Nor-

malgeschwindigkeitwn

wm = wr sin(γ)+ wzcos(γ) (2.87)

wn = wr cos(γ)− wzsin(γ) (2.88)

zusammen mit den Winkelnβm undβn durch

tan(βm) = r∂ϕ∂m

(2.89)

tan(βn) = r∂ϕ∂n

(2.90)

ein, so erhält man

wu = wmtan(βm)+wn tan(βn) . (2.91)

Der Winkel der Stromflächeβm,HK am Gitteraustritt weicht durch den Effekt der Min-

derumlenkung∆βm,HK von der Schaufelgeometrieβm,g,HK ab.

∆βm,HK = βm,HK −βm,g,HK (2.92)

Minderumlenkungen sind neben den Verlusten von entscheidender Bedeutung für die

umgesetzte Arbeit im Gitter. Die Berücksichtigung dieser Abweichungen geschieht durch

ein Modell nach LIEBLEIN (1965) sowie HIRSCH UND DENTON (1981).

Die Geometrie der Stromfläche in Stromaufrichtung vor dem Gitter ist ein Ergebnis der

Bilanzgleichungen. Diese Entkopplung der Stromflächengeometrie von be- und unbe-

schaufeltem Ringraum führt zu einer Unstetigkeit am Übergang. Um diesen nicht phy-

sikalischen Sprung in der Verteilung der Winkel zu vermeiden, wird der Inzidenzwinkel

an der Vorderkante aus dem Metallwinkelβm,g,VK und dem Strömungswinkelβm,VK be-

rechnet.

∆βm,VK = βm,VK −βm,g,VK (2.93)

Der Strömungswinkel errechnet sich aus Gl. (2.91) durch dieVorgabe eines Neigungs-


winkelsβn , der sich aus der Schaufelgeometrie ergibt und einer Neigung der Beschau-

felung in Umfangsrichtung (lean) entspricht.

βn = βn,g (2.94)

Die Geometrie der Stromfläche folgt jetzt aus der Geometrie der Schaufelβm,g und der

linearen Interpolation des Inzidenzwinkels∆βm,VK und der Minderumlenkung∆βm,HK

in Meridianrichtungm.

βm = βm,g+∆βm,VK +(∆βm,HK −∆βm,VK)m−mVK

mHK −mVK(2.95)

Untersuchungen zur Approximation der Stromflächengeometrie mit der Vermeidung der

Vorderkantenunstetigkeit sind in LAWERENZ ET AL. (2002) dargestellt.

2.2.2 Viskose Schaufelkraft

Die viskose Komponente des Schaufelkraftvektors

~Fτ,i =

Fτ,r

Fτ,u

Fτ,z

(2.96)

ist der Strömung entgegen gerichtet und wird, wie in LAWERENZ ET AL. (2002) be-

schrieben, durch die Einführung einer Profilschubspannungτw berücksichtigt. Die Be-

schreibung der Spannung erfolgt mit Hilfe eines Totaldruckverlustbeiwertesωpt. Die

Berechnung des Totaldruckverlustbeiwertesωpt setzt sich aus mehreren superponierten

Effekten zusammen. Zum einen werden Profil- und Inzidenzverluste nach ÇETIN ET AL .

(1987) und CUMPSTY (2004) berechnet. Zum anderen werden Sekundär- und Spaltver-

luste durch einen Ansatz nach HÜBNER UND FOTTNER (1996) berücksichtigt. Die Git-

terverluste werden innerhalb des Berechnungsverfahrens mit einem linearen Ansatz in

meridionaler Richtung verteilt, um daraus die der Strömungentgegen gerichtete viskose

Schaufelkraft zu bestimmen.


2.2.3 Viskosität und Wärmeleitfähigkeit

Die Ansätze zur Beschreibung der Reibungsspannungen und der Wärmeleitungsterme

erfordern eine Viskositätµ und eine Wärmeleitfähigkeitλ . Diese Parameter setzten sich

aus einem laminaren, einem turbulenten und einem Anteil zusammen, der aus einem

Modell zur Beschreibung des Effekts der radialen Mischung resultiert.

Der laminare Anteil der Viskositätµ und die laminare Wärmeleitfähigkeitλ berechnen

sich wie im 3D-Modell nach Gl. (2.39) und Gl. (2.40) und die turbulente Viskositätµt

mit einem algebraischen Mischungsweglängenmodell (LAWERENZ ET AL., 2002).

µt = ρ l2 ∂c∂y

(2.97)

Die turbulente Viskosität ist darin von der Dichteρ , der Mischungsweglängel und dem

Geschwindigkeitsgradienten normal zur Wand abhängig. DasGeschwindigkeitsprofil na-

he den Wänden ist durch das logarithmische Wandgesetz

c+ =1κ

lny++C (2.98)

gegeben. Darin istc+ eine dimensionslose Geschwindigkeit

c+ =ccτ, (2.99)

die sich aus der Strömungsgeschwindigkeitc und der Wandschubgeschwindigkeitcτ

berechnet

cτ =

√τw

ρ(2.100)

undy+ ist ein dimensionsloser Wandabstand

y+ =ρ cτ d

µ. (2.101)

In den Gleichungen istτw die Wandschubspannung undd der kürzeste Abstand zur

nächsten Wand. Die Konstanten sindC = 5,5 und die Kármán-Konstanteκ = 0,41. Mit


einer konstanten turbulenten Prandtl-ZahlPrt = 0,85 folgt nach Gl. (2.43) die turbulente

Wärmeleitfähigkeitλt .

Die radiale Mischung ist wichtig bei der Berechnung vielstufiger Turbomaschinen. Der

Vorgang sorgt für einen Ausgleich der Gradienten in Spannweitenrichtung. Diesem Ef-

fekt wird durch die Einführung einer Mischungsviskositätµmix nach GALLIMORE UND

CUMPSTY (1986) und GALLIMORE (1986) Rechnung getragen. Die zugehörige Wär-

meleitfähigkeitλmix ergibt sich in Verbindung mit einer konstanten Prandtl-Zahl für die

MischungPrmix= 0,85 durch

λmix=cp µmix

Prmix. (2.102)

Die Effektivwerte für Viskositätµe f f und Wärmeleitfähigkeitλe f f sind damit

µe f f = µ+µt +µmix (2.103)

und

λe f f = λ+λt +λmix. (2.104)

2.2.4 Druckkorrekturverfahren

Das für die approximative Lösung der Bilanzgleichungen verwendete Druckkorrektur-

verfahren (FAY , 2002) basiert auf der Arbeit von MOORE (1985). Für die Berechnung

wird angenommen, dass eine Hauptströmungsrichtung existiert, wodurch eine Parabo-

lisierung der Gleichungen möglich ist. Dafür werden die viskosen Terme in Richtung

der Hauptströmung vernachlässigt. Diese Annahme ist im Falle einer Rückströmung in

der 2D-Meridianebene, die durch eine großflächige Strömungsablösung auftreten kann,

nicht zulässig.

Die Lösung von Gl. (2.49) bis (2.53) erfolgt in einem an das Rechennetz angepassten s,n-

Koordinatensystem. Das Verfahren setzt voraus, dass dies-Koordinate näherungsweise

der Hauptströmung folgt. Dien-Koordinate erstreckt sich in Spannweitenrichtung und

orientiert sich an den Gitterein- und Austrittsebenen. Um unphysikalische Oszillatio-


nen in der numerischen Lösung zu vermeiden, sind Druck- und Geschwindigkeitsknoten

gestaffelt angeordnet.

Durch die Lösung der parabolisierten Differenzialgleichungen mit einem vorwärtsschrei-

tenden Verfahren sind am Eintritt in das Rechengebiet Randbedingungen festzulegen,

aber nicht am Austritt. Diese sind radiale Verteilungen derTotaltemperaturTt , des Total-

druckespt und der Strömungswinkelβr undβz. Zusätzlich wird der statische Druckp in

Kanalmitte vorgeschrieben und damit der Durchfluss weitgehend festgelegt. Im Vorfeld

der Rechnung wird eine Startlösung für das Druckfeld vorgegeben.

Die in Strömungsrichtung fortschreitende Integration derBilanzgleichungen von einer

Ebenei nachi +1 für Impuls und Energie mit dem gegebenen Druckfeld führt zuei-

nem Strömungsfeld, das die Kontinuität in der Regel nicht erfüllt. Aus diesem Grund

folgt darauf eine Korrektur des Druckfeldes mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung. Diese

Korrektur wird aus Stabilitätsgründen (MOORE, 1985) ins- und n-Richtung gesondert

behandelt:

1. Die Gradienten des Druckes in Hauptströmungsrichtung∂ p/∂swerden derart kor-

rigiert, dass die globale Massenstrombilanz in der Rechenebene in Stromabrich-

tung verbessert ist. Dies geschieht durch Anheben oder Absenken des Druckes in

der Ebenei +1. Der Druck in der Ebenei bleibt unverändert.

2. In der Ebenei+1 werden die Druckgradienten∂ p/∂n korrigiert, so dass die lokale

Massenstrombilanz verbessert ist.

Nach Durchschreiten des gesamten Rechenraumes in Richtungder Hauptströmungs

liegt ein Strömungsfeld vor, das die Kontinuität erfüllt. Durch die lokale Druckkorrek-

tur sind Druckgradienten inn-Richtung entstanden, die wegen der Entkopplung von der

Hauptströmungsrichtungs nicht physikalisch sind. Um diese wieder zu entfernen und

weiterhin die Kontinuität zu erfüllen, wird eine elliptische Druckkorrektur angewandt.

Diese berücksichtigt die Druckgradienten sowohl ins- als auch inn-Richtung durch die

Lösung einer Poisson-Gleichung (siehe auch LAKSHMINARAYANA , 1996).

Die Transformation der Erhaltungsgleichungen in das netzangepasste s,n-Koordinaten-

system ist in FAY (2002) beschrieben. Die resultierenden parabolisierten Bilanzgleichun-


gen sind:


bρ ws∂ wr

∂s+bρ wn

∂ wr

∂n−

br(ρ wu

2)−2ω bρ wu−ω2 rbρ

=−b

(∂s∂ r

∂ p∂s

+∂n∂ r

∂ p∂n

)+

1r

[∂n∂ r

∂∂n

(br τrr )+∂n∂z

∂∂n

(br τzr)−bτuu

]

+∆p∂ϕ∂ r

+Fτ,r +∑Cr

(2.105)


∆p= r

(−bρ ws

∂ wu

∂s−bρ wn

∂ wu

∂n−

br(ρ wu wr)−2ω bρ wr

+1r

[∂n∂ r

∂∂n

(br τru)+∂n∂z

∂∂n

(br τzu)+bτru

]+Fτ,u+∑Cu

) (2.106)


bρ ws∂ wz

∂s+bρ wn

∂ wz

∂n=−b

(∂s∂z

∂ p∂s

+∂n∂z

∂ p∂n

)

+1r

[∂n∂ r

∂∂n

(br τrz)+∂n∂z

∂∂n

(br τzz)

]+∆p

∂ϕ∂z

+Fτ,z+∑Cz

(2.107)

Energiegleichung:

bρ ws∂ hrot

∂s+bρ wn

∂ hrot

∂n

=1r

∂n∂ r

∂∂n

[rb(wr τrr + wu τur + wzτzr)]

+∂n∂z

∂∂n

[b(wr τrz+ wu τuz+ wzτzz)]

+1r

∂n∂ r

∂∂n

(rb qr

)+

∂n∂z

∂∂n

(bqz)+∑Ce

(2.108)


In den Gleichungen enthalten sind die parabolisierten Reibungsspannungen

τrr = 2µ∂n∂ r

∂ wr

∂n(2.109)

τuu = 2µwr

r(2.110)

τzz= 2µ∂n∂z

∂ wz

∂n(2.111)

τru = τur = µ(

∂n∂ r

∂ wu

∂n−

wu

r

)(2.112)

τrz = τzr = µ(

∂n∂z

∂ wr

∂n+

∂n∂ r

∂ wz

∂n

)(2.113)

τuz= τzu= µ∂n∂z

∂ wu

∂n(2.114)

und die kontravarianten Geschwindigkeiten

ws = wr∂s∂ r

+ wz∂s∂z

(2.115)

wn = wr∂n∂ r

+ wz∂n∂z

. (2.116)

Die Definitionen der geometrischen Ableitungen sind durch

∂s∂ r

=1

detJ∂z∂n

;∂n∂ r

=−1

detJ∂z∂s

;

∂s∂z

=1

detJ∂ r∂n

;∂n∂z

=−1

detJ∂ r∂s

(2.117)

gegeben. Darin ist detJ die Jacobi-Determinante

detJ =∂ r∂s

∂z∂n

−∂ r∂n

∂z∂s

. (2.118)


3 Korrelationsterme in den 2D-Bilanzgleichungen

Durch die Integration der 3D-Bilanzgleichungen in Umfangsrichtung entsteht ein Glei-

chungssystem für mittlere Strömungsgrößen. Zusätzlich ergeben sich Korrelationsterme

aus den gemittelten nichtlinearen Produkten von Schwankungsanteilen der Strömungs-

größen.

In Abb. 7 ist eine Teilung eines Axialverdichtergitters dargestellt. Exemplarisch ist darin

ϕ

z

w

ww′′

w= w+w′′

Abb. 7: Verteilung der Strömungsgeschwindigkeit in Umfangsrichtungϕ

eine Verteilung der lokalen Strömungsgeschwindigkeitw mit deren Schwankungsantei-

len w′′ aufgetragen. Das gezeigte Strömungsfeld weicht von der idealisierenden Annah-

me der Rotationssymmetrie ab, wie es auch in realen Strömungsmaschinen (siehe Kap.

1.2) zu erwarten ist. In der repräsentativen zweidimensionalen Meridianströmung einer

Turbomaschine ist demnach ein Teil des Impulses und der Energie in den Korrelati-

onstermen (siehe Kap. 2.2) gebunden, die auch als deterministische Spannungenσdet

bezeichnet werden.

Um den Einfluss dreidimensionaler Phänomene auf die zweidimensionale Meridianströ-

mung zu untersuchen, werden im Folgenden stationäre 3D-RANS-Rechnungen hinsicht-

44 3 Korrelationsterme in den 2D-Bilanzgleichungen

lich der deterministischen Spannungen analysiert. Die untersuchten Verdichterkonfigu-

rationen sind eine einstufige Maschine in axialer Bauweise und ein einzelnes Statoren-

gitter. Aufgrund der Kopplung der Koordinatensysteme von Rotor und Stator mit Hil-

fe des Mixing-Plane-Ansatzes im Falle des einstufigen Verdichters gibt es ebenso wie

beim Einzelgitter keine deterministischen Spannungen infolge der Relativbewegungen

der Schaufelreihen zueinanderσrevolution= 0. Da die Teilungssymmetrie der Strömung

durch die Modellierung einer einzelnen repräsentativen Schaufelpassage eine Vorgabe

ist, entfallen die Spannungsterme aus den Variationen der Strömung zwischen den Tei-

lungenσpassage= 0. Die deterministischen Spannungen resultieren folglichnur aus den

Schwankungen der Strömungsgrößen in Umfangsrichtungσpitch.

Die zuvor dargestellten Zusatzterme∑Cr , ∑Cu, ∑Cz und∑Ce in den Bilanzgleichungen

der Meridianströmung enthalten die Informationen über dieUnsymmetrien der Strömung

in Umfangsrichtung und sind aus der 3D-Lösung auf unterschiedliche Weise bestimm-

bar. Eine Möglichkeit ist die Berechnung der Mittelwerte von Produkten der Schwan-

kungsanteile und der Bestimmung der entsprechenden DGL-Terme. Dafür werden Ge-

schwindigkeitsanteile dichtegewichtet und Dichte, Drucksowie Reibungsspannungen

flächengewichtet auf Linien mit konstantem Radius in Umfangsrichtung gemittelt. Nach

Gl. (2.47) und Gl. (2.48) können aus den bekannten lokalen und mittleren Größen die

Schwankungsanteile berechnet werden. Die Produkte von Schwankungsanteilen werden

dann wiederum gemittelt.

g1′′g2

′′ =1

bρ

ϕ2∫

ϕ1

ρ (g1− g1)(g2− g2) dϕ (3.1)

g1′g2

′ =1ρ

ϕ2∫

ϕ1

ρ (g1−g1)(g2−g2) dϕ (3.2)

Eine weitere Möglichkeit ist die Berechnung der Zusatzterme aus dem flächengewichtet

umfangsgemittelten 3D-Strömungfeld. Das dichtegewichtet gemittelte Produkt zweier


Schwankungsanteile kann durch eine Umformung von Gl. (2.47) bestimmt werden.

g1′′g2

′′ = g1g2− g1g2 (3.3)

Mit der Definition der Favre-Mittelwerte

gi =ρ gi

ρmit i = 1,2 (3.4)

g1g2 =ρ g1g2

ρ(3.5)

folgt

g1′′g2

′′ =ρ g1g2

ρ−

(ρ g1

ρ·

ρ g2

ρ

)(3.6)

Für die in der 2D-Energiebilanz enthaltenen flächengewichtet gemittelten Korrelations-

terme aus Anteilen der Geschwindigkeiten und Reibungsspannungen folgt aus Gl. (2.48):

g1′g2

′ = g1 g2−g1g2. (3.7)

Aus den Korrelationstermen können dann durch die Bildung entsprechender Ableitungen

die DGL-Terme berechnet werden.

3.1 Lumped Deterministic Source Terms

Die Berechnung der Ableitungen der deterministischen Spannungen kann auch in einer

gebündelten Form als LDST erfolgen. Das Vorgehen ist in Abb.8 schematisch darge-

stellt.

Das Ergebnis des auskonvergierten 3D-Verfahrens ist ein Lösungsvektor~Q3D für jede

Zelle des Rechengebietes. Dieser Vektor wird dann mit dem Postprocessing Werkzeug

CFVIEW™ (2007) gemittelt. Die flächengewichtete Mittelung erfolgt durch die Integra-

tion der Strömungsgrößen entlang von Linien mit konstantemRadius in Umfangsrich-

tung und die Division durch die Kanalbreiteb. Für die Konsistenz der Mittelwerte mit

den Gleichungen des 2D-Verfahrens müssen die Geschwindigkeiten dichtegewichtet ge-


3D-Verfahren 2D-Verfahren

Rotationssymmetrie

vorausgesetzt

2D-Bilanzgleichungen

⇒⇒ ~Q3D =

ρwr

wu

wz

p

~Q2D =

ρwr

wu

wz

p

~Q3D =1b

ϕ2∫ϕ1

~Q3D dϕ

f3D

(~Q3D

)= 0 f2D

(~Q2D

)= 0

f2D

(~Q3D

)= ~R

Abb. 8: Berechnung der LDST als Restterme~R

mittelt werden. Nach Gl. (3.4) ergeben sich diese aus der Division der flächengewichteten

Flussdichtenρ wr , ρ wu undρ wz durch die mittlere Dichteρ .

Die Bilanzgleichungen des 2D-Verfahrens sind in der klassischen Form unter der An-

nahme einer rotationssymmetrischen Strömung formuliert.Werden nun die Strömungs-

größen des umfangsgemittelten 3D-Strömungsfeldes in diese Gleichungen eingesetzt,

entstehen in den Bilanzen Restterme~R, die die Unterschiede zwischen 3D- und 2D-

Verfahren beinhalten. Diese LDS-Terme entstehen in den ImpulsgleichungenLDSTr,u,zund der EnergiegleichungLDSTe, nicht aber in der Kontinuitätsgleichung.

~R=

LDSTrLDSTuLDSTzLDSTe

(3.8)

Unter der Voraussetzung, dass im 2D-Verfahren gegenüber dem 3D-Verfahren keine zu-

sätzlichen Modellannahmen getroffen werden, entsprechendie LDST den Zusatztermen−→∑C in den 2D-Gleichungen (Gl. (2.105) bis (2.108)). Die Schaufelkräfte in den 2D-

Gleichungen~Fi (Gl. (2.58)) müssten dafür mit Gl. (2.60) und Gl. (2.61) direkt aus den

gemittelten 3D-Ergebnissen bestimmt werden.

In dem verwendeten 2D-Verfahren resultieren die Schaufelkräfte aus dem in Kap. 2.2.1


und Kap. 2.2.2 beschriebenen Gittermodell. Dieser Unterschied zum 3D-Verfahren führt

dann zu einem Beitrag an denLDST, der mit dem Schaufelmodell in Verbindung steht

LDSTF . Zusätzlich entstehen durch die Bildung der Rothalpiehrot aus den gemittelten

primitiven Variablen nach Gl. (2.78) noch zwei zusätzlicheKorrelationsterme in der

Energiebilanz (Gl. (2.108)). Somit gilt für dieLDST:


=

∑Cr +LDSTF,r

∑Cu +LDSTF,u

∑Cz +LDSTF,z

∑Ce −bρ ws∂kdet

∂s−bρ wn

∂kdet

∂n

(3.9)

Bei der Berechnung derLDST wird bedingt durch das 2D-Verfahren zwischen Gitter

und Axialspalt unterschieden. Im Axialspalt verschwindetder Einfluss des Gittermodells

LDSTF = 0:


Axialspalt

=

∑Cr

∑Cu

∑Cz


∂s−bρ wn

∂kdet

∂n

(3.10)

Im Gitter wird die Impulsgleichung in Umfangsrichtung in Verbindung mit dem Schau-

felkraftmodell zusammen mit den Impulsgleichungen in radialer und axialer Richtung

gelöst. Daraus folgt, dass hierLDSTu nicht als separate Größe definiert ist, sondern als

zusätzlicher Anteil inLDSTr undLDSTz in Erscheinung tritt:

LDSTrLDSTzLDSTe

Gitter

=

∑Cr +LDSTF,r + r (∑Cu+LDSTF,u)∂ϕ∂ r

∑Cz +LDSTF,z+ r (∑Cu+LDSTF,u)∂ϕ∂z


∂s−bρ wn

∂kdet

∂n

(3.11)

Die Verwendung der LDS-Terme als Quellen in einer 2D-Rechnung führt, wie später

gezeigt wird (siehe Kap. 4.1.7 und Kap. 4.2.5) zu einem Meridianströmungsfeld, das in

guter Näherung dem des umfangsgemittelten 3D-Strömungsfeldes entspricht. Eine Ein-

schränkung betrifft die Stromflächengeometrie des 2D-Meridianströmungsfeldes. Au-


ßerhalb des Gitters ist die Stromflächengeometrie ein Ergebnis der Impulsgleichungen

und wird entsprechend von den zusätzlichen Quelltermen beeinflusst. Innerhalb des Git-

ters resultiert die Umfangskomponente der Geschwindigkeit wu nicht aus der dazuge-

hörigen Impulsgleichung, sondern aus Gl. (2.91) unter Berücksichtigung der durch die

Winkel βr undβz vorgegebenen Stromflächengeometrie und der Geschwindigkeitskom-

ponenten in der Meridianebenewr undwz.

Um innerhalb der Gitter eine Umfangskomponente der Strömungsgeschwindigkeitwu

zu erhalten, die der der 3D-Rechung entspricht, muss die 3D-Gittergeometrie vorgege-

ben werden. Mit der Annahme, dass die Schaufeln der axialen Gitter keine Neigung in

Umfangsrichtung aufweisen (βr = 0), folgt für den Winkelβz:

tan(βz) =wu

wz(3.12)

Da dieLDST sowohl Quellen als auch Senken in den Bilanzgleichungen sein können,

ist mit ihrer Hilfe die Abbildung von Strömungsverlusten möglich. Um den Einfluss der

Gitterverluste auf dieLDST von dem der Korrelationsterme zu separieren, werden die

Verluste über einen Totaldruckbeiwertωpt vorgeschrieben. Die Bildung dieses Verlust-

beiwertes ist durch

ωpt =pt,rel,2,s− pt,rel,2

pt,rel,1− p1(3.13)

mit

pt,rel,2,s= p2 ·

(Tt,rel,2

T2,s

)cp

R (3.14)

und

T2,s= Tt,1 ·

(p2

pt,1

) Rcp (3.15)

definiert und gilt sowohl für Lauf- als auch für Leiträder. Darin ist pt,rel,2,s der relative

Totaldruck am Gitteraustritt, der sich bei einer isentropen Zustandsänderung innerhalb

des Gitters einstellen würde. Dieser Totaldruckverlustbeiwert wird im 2D-Gittermodell


für die Bestimmung der viskosen Schaufelkraft (siehe Kap. 2.2.2) verwendet und mit

einem linearen Ansatz entlang der meridionalen Netzlinienauf der Schaufel verteilt.

Zur Berechnung des Totaldruckverlustbeiwertesωpt (Gl. (3.13)) werden die dichtege-

wichtet umfangsgemittelten Strömungsgrößen der 3D-Ergebnisse an den Knoten der

Netzlinien in meridionaler Richtung am Ein- und Austritt des Gitters bestimmt. Diese

Vorgehensweise unterscheidet sich von der klassischer Verlustkorrelationen, die Verlus-

te entlang von Stromfäden beschreiben.

3.2 Schaufelblockage

Die Breite des Strömungskanalsb wird ebenfalls aus den 3D-Daten extrahiert und in der

2D-Rechnung vorgegeben und mit der Anzahl der Teilungen multipliziert um den der

realen Maschine entsprechenden Massenstrom zu erhalten. Nur unter Berücksichtigung

der Schaufelblockage erfüllt das gemittelte 3D-Strömungsfeld die 2D-Kontinuitätsglei-

chung. Ohne diese entstünden in allen Bilanzgleichungen einschließlich der Massenbi-

lanz zusätzlicheLDS-Terme.

3.3 Massenstromgewichtete Mittelwerte

Die Verwendung von Strömungsgrößen aus der massenstromgewichtet gemittelten 3D-

Strömung zur Berechnung derLDST führt sowohl in den Gleichungen für Energie und

Impuls als auch in der Kontinuitätsgleichung zu zusätzlichenLDST-Anteilen. Im Folgen-

den wird dies anhand der Massenstrombilanz für eine durchströmte Fläche exemplarisch

gezeigt.

Die Bestimmung des Massenstroms ˙m durch die Integration der Flussdichteρ wz über

eine zur z-Achse normalen FlächeA= A(ϕ, r) ist durch folgenden Ausdruck gegeben:

m=

r2∫

r1

ϕ2∫

ϕ1

ρ czr dϕ dr (3.16)


Die dichtegewichtete Integration in Umfangsrichtung zwischen(ϕ2−ϕ1) = b liefert mit

dem Mittelwertsatz:

m=

r2∫

r1

bρ czr dr (3.17)

Die aus physikalischer Sicht sinnvolle massenstromgewichtete Mittelung in Umfangs-

richtung führt im Bezug auf den Massenstrom zu Inkonsistenzen mit dem 2D-Verfah-

ren. Die massenstromgewichtet umfangsgemittelte Geschwindigkeitskomponente in z-

Richtungcz ist definiert durch

cz=1

ϕ2∫

ϕ1

ρ cz dϕ

ϕ2∫

ϕ1

czρ cz dϕ =bρ czcz

bρ cz= cz+

cz′′cz

′′

cz. (3.18)

Entsprechend gilt für den Massenstrom

m=

r2∫

r1

bρ

cz−

cz′′cz

′′

cz

r dr. (3.19)

Aus Gl. (3.19) folgt, dass die Verwendung der massenstromgewichtet gemittelten Strö-

mungsgeschwindigkeit in der Kontinuitätsgleichung unterBerücksichtigung des Korre-

lationsterms zu einem Ausdruck führt, der mit Gl. 3.17 konsistent ist. Eine entsprechende

Betrachtung der Gleichungen für Impuls und Energie führt ebenfalls zu neuen Zusatzter-

men (HIRSCH UND DRING, 1987). In dem hier verwendeten 2D-Verfahren werden keine

LDST in der Kontinuitätsgleichung berücksichtigt. Daher beschränken sich die Untersu-

chungen auf die Verwendung von dichtegewichtet gemittelten Strömungsgrößen.


4 Verdichterkonfigurationen

In diesem Kapitel werden die beiden untersuchten Verdichterkonfigurationen vorgestellt.

Im Anschluss an die Beschreibung der konstruktiven Merkmale folgt ein Vergleich zwi-

schen Messergebnissen und den stationären 3D-RANS-Rechnungen, die als Grundla-

ge für die weiteren Untersuchungen hinsichtlich der deterministischen Spannungen die-

nen. Die erste Konfiguration ist ein einzelner Axialverdichterstator, der als Messgitter im

Ringgitterwindkanal des Fachgebiets Strömungsmaschinender Universität Kassel dient

(LAWERENZ UND WEIDENFELLER, 2004). Die zweite Konfiguration ist ein einstufi-

ger Axialverdichter mit Vorleitrad und CDA-Beschaufelung, der detailliert am Institut

für Strahltriebwerke und Turboarbeitsmaschinen der RWTH Aachen untersucht wurde

(SCHULTE, 1994).

4.1 Ringgitterwindkanal Kassel

Den Aufbau des Versuchsträgers zeigt Abb. 9. Das ringförmigaufgebaute Messgitter ist

Drallerzeuger

BeschleunigungsgitterKlappe

Messgitter

Abb. 9: Ringgitterwindkanal der Universität Kassel

am Gehäuse befestigt. Es besteht aus 17 prismatischen Schaufeln mit einer Metallum-

52 4 Verdichterkonfigurationen

lenkung von 22◦und einem Nabenspalt von 0,4 mm.

Um die Zuströmbedingungen einzustellen, die einen Betriebdes Messgitters als Verzö-

gerungsgitter ermöglichen, ist diesem eine Drallerzeugereinheit vorgeschaltet, die aus

einem Beschleunigungsgitter und einer variablen Klappe besteht. Zwischen dem Dral-

lerzeuger und dem Messgitter befindet sich ein Ringraum von 580 mm Länge ohne Ein-

bauten. Diese Beruhigungsstrecke soll die Ausmischung derNachlaufdellen gewährleis-

ten, um eine möglichst rotationssymmetrische Zuströmung zum Messgitter zu erreichen.

Im Rahmen experimenteller Arbeiten wurde die Beschaufelung im Ringgitterwindka-

nal der Universität Kassel eingehend vermessen (LAWERENZ UND WEIDENFELLER,

2004). Eine Abschätzung der Fehler für die verwendeten Ergebnisse der Fünf-Loch-

Sondenmessungen findet sich in WEIDENFELLER UND LAWERENZ (2004). Die dort

angegebenen maximalen Abweichungen sind 0,7◦ bei den Strömungswinkeln und 0,007

bei der Mach-Zahl.

Im gewählten Betriebspunkt beträgt die Mach-Zahl der Zuströmung im Mittelschnitt

Ma = 0,34 bei einer Reynolds-Zahl vonRe= 3,4 · 105. Die Anströmung der Schaufel

ist bei einem Strömungswinkel in Umfangsrichtung gegenüber der Maschinenachse von

α = −43◦ im Mittelschnitt nahezu inzidenzfrei. Die radiale Verteilung der Fehlanströ-

mung reicht voni = 2,8◦ im Bereich der Nabe bisi = −2,4◦ im Bereich des Gehäuses.

Damit wird das Gitter im Bereich der Nabe stärker belastet und im Bereich des Gehäuses

entlastet.

z [mm]

r[m

m]

110

165

0 45,6

1 2

Abb. 10: Messebenen am Verdichtergitter

In Abb. 10 ist der Meridianschnitt des Rechenraumes mit den zwei Auswertungsebenen

dargestellt. Bezogen auf die axiale Länge des Gitters befinden sich die Messebenen bei


einer relativen Position von 43% vor bzw. 132% stromab der Vorderkante.

4.1.1 3D-Rechnung

Entsprechend der Low-Reynolds-Formulierung des Turbulenzmodells (siehe Kap. 2.1.4)

ist der dimensionslose Wandabstandy+ so gewählt, dass der erste Netzknoten innerhalb

der viskosen Unterschicht liegt. Dery+-Wert ist maximal 2,18 an der Schaufelvorder-

kante und minimal 0,01 im Bereich der Strömungsablösung.

minimale „Orthogonalität“ 32,5◦

durchschnittliche „Orthogonalität“ 79,8◦

maximales „Seitenverhältnis“ 3191,7durchschnittliches „Seitenverhältnis“ 526,4maximale „Expansionsrate“ 2,2durchschnittliche „Expansionsrate“ 1,4

Tab. 5: geometrische Qualitätsmerkmale des Netzes

Das Rechengebiet ist mit insgesamt 7 Blöcken und 3 MillionenKnoten diskretisiert. Die

geometrischen Qualitätsmerkmale des Rechennetzes sind inTab. 5 zusammengefasst.

In Abb. 11 sind die Blockstruktur und das Rechennetz um die Verdichterschaufel dar-

gestellt. Die Blöcke eins bis vier sind H-Netze und Block fünf ist ein O-Netz, das die

Schaufel umfängt.


2

1

3 5 4

Abb. 11: 3D-Rechennetz mit Blockstruktur

Das Rechennetz im Radialspalt der Schaufel ist in die Blöcke6 und 7 in Abb. 12 un-

terteilt. Die Randbedingungen am Eintritt sind aus den Messergebnissen gewonnene ra-

7

6

Abb. 12: 3D-Rechennetz mit Blockstruktur im Radialspalt

diale Verteilungen des Totaldruckes, der Totaltemperaturund der Strömungswinkel. Die

Austrittsrandbedingung ist ein vorgegebener mittlerer statischer Druck, dessen radiale

Verteilung Ergebnis der Rechnung ist.


-1

-2

-3

-4

-5

-60

0

500 1000 1500 2000 2500

log 1

0(R

es)[−

]

Iteration[−]

Abb. 13: Konvergenzverlauf der 3D-Rechnung

In Abb. 13 ist der Verlauf des Residuums dargestellt. Diesesberechnet sich aus dem

quadratischen Mittel der Summe der Flüsse aller Zellen bezogen auf deren Volumen.

Res=

√1n

n

∑i=1

(∑Flüsse

Zellvolumen

)2

i(4.1)

Die Abweichungen der Flussbilanzen in den Zellen werden demnach stärker gewichtet,

wenn ihr Volumen relativ klein ist. Dies hebt die numerischeund physikalische Bedeu-

tung der Strömungsvorgänge in den Grenzschichten einer Strömungsmaschine hervor,

die durch Zellen mit sehr kleinen Volumina diskretisiert sind. Das aktuelle Residuum

wird zudem auf das Residuum der ersten Iteration bezogen undist somit von der Güte

der Startlösung abhängig.

Der Verlauf des Residuums zeigt die charakteristische Initialisierung der Rechnung, um

eine gute Startlösung auf dem eigentlichen Rechennetz zu erhalten. In den Iterationen

von 1 bis 1000 und von 1001 bis 1242 wird das Strömungsproblemauf den gröberen


Unternetzen des Mehrgitterverfahrens gelöst. Die Ergebnisse dienen dann jeweils als

Startlösung für das nächstfeinere Netz. Zum Ende der Rechnung hin zeigt sich ein stabi-

les, nicht oszillierendes Konvergenzverhalten.

4,2

4,25

4,3

4,35

4,4

4,45

4,5

4,55

4,6

4,65

0 500 1000 1500 2000 2500

inout

m[k

g/s]

Iteration[−]

Abb. 14: Massenstromverlauf 3D-Rechnung

Ein weiteres wichtiges Kriterium zur Beurteilung der Konvergenz ist der Verlauf des

Massenstroms an Ein- und Austritt des Rechenraumes (Abb. 14). Der dargestellte Verlauf

zeigt am Ende der Rechnung keine Oszillationen und Massenstromdefekte. Somit liegt

eine stationäre approximative Lösung des Strömungsproblems vor.

4.1.2 Vergleich von Messung und Rechnung

In Tab. 6 sind die Massenströme ˙mund Totaldruckbeiwertecpt aus Simulation und Mes-

sung dargestellt. Der Totaldruckbeiwert wird nach folgender Definition gebildet:

cpt =pt,2− p2

pt,1− p2. (4.2)


Aus den Messergebnissen ist in beiden Auswertungsebenen ein Massenstrom berechnet

Verfahren Massenstrom Totaldruckbeiwert

MessungMessebene 1: 4,31 kg/s

0,885Messebene 2: 4,54 kg/s

3D-Simulation 4,39 kg/s 0,899

Tab. 6: globale Ergebnisse

worden. Die Ursachen für deren Abweichungen sind die nicht vermessenen Grenzschich-

ten und die starken Gradienten des Strömungsfeldes stromabdes Gitters aufgrund eines

weiträumigen Totwassergebietes. Die relative Abweichungdes Totaldruckbeiwertes der

3D-Rechnung von dem der Messung liegt unter 2%.

Abb. 15: Stromlinien auf der Saugseite

Eine Auffälligkeit bei der Analyse der 3D-Navier-Stokes-Rechnung ist ein ausgepräg-

tes Totwassergebiet auf der Saugseite im Bereich der Nabe. Axial beginnt es bei etwa

50% der Sehnenlänge. Radial erstreckt es sich bis etwa 30% der Spannweite. In Abb. 15

wird dies anhand der starken Verdrängung der Stromlinien von der Nabengrenzschicht in

Richtung Kanalmitte deutlich. Die Färbung der Stromlinienentspricht dem lokalen Be-

trag der Strömungsgeschwindigkeit, wobei blau für niedrige und rot für hohe Werte steht.

Ebenfalls durch Sekundärströmungen wird Fluid aus der Gehäusegrenzschicht in die der


Schaufelsaugseite transportiert und führt dort zu einer Verschiebung der Stromlinien in

Richtung der Kanalmitte.

Die Analyse des Strömungsfeldes in Kanalmitte gibt keinen Hinweis auf eine Überlas-

tung der Grenzschicht im Bereich der Nabe. So bleibt die Diffusionszahl nach LIEBLEIN

(1965)

DF = 1−c2

c1+

∆cu

2lt

c1 (4.3)

im Mittelschnitt DF = 0,28 deutlich unter dem kritischen Wert von 0,6. Eine weitere

Möglichkeit zur Vorhersage einer Eckenablösung im Bereichder Nabe bietet ein von

LEI ET AL . (2008) vorgestellter Diffusionsparameter.

D =tl

{1−

[cos(i + γ +θ/2)

cos(γ −θ/2)

]2}

(i +θ +∆β ) (4.4)

Darin istγ der Staffelungswinkel,θ ist die Metallumlenkung und∆β die Scherung der

Nabengrenzschicht durch den Wechsel von rotierenden und stehenden Bauteilen. Ab ei-

nem kritischen Wert vonDkrit = 0,4±0,05 ist von einer Eckenablösung im Bereich der

Nabe auszugehen. Aus den Strömungsgrößen im Mittelschnittder 3D-Simulation ergibt

sich ein Wert vonD = 0,12, was nicht auf eine kritische Belastung der Profilumströ-

mung schließen lässt. Allerdings wurde der Diffusionsparameter von LEI ET AL . (2008)

für axiale Lauf- und Leiträder mit Deckband entwickelt. Beidem vorliegenden Verzöge-

rungsgitter handelt es sich aber um einen Stator mit Nabenspalt.

Einen großen Einfluss auf die Entstehung der Strömungsablösung hat der starke radiale

Gradient des massenstromgewichtet umfangsgemittelten Totaldruckes der 3D-Rechnung

in der Zuströmung. Dieser ist in Abb. 16 deutlich zwischen der Nabe und etwa 44%

Kanalhöhe erkennbar. Ursächlich hierfür sind erhöhte Strömungsverluste im stromauf

liegenden Drallerzeuger. Die Stabilitätskriterien von LIEBLEIN (1965) und LEI ET AL .

(2008) berücksichtigen dies nicht.


0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,97 0,98 0,99 1

1

1,01 1,02 1,03 1,04 1,05

h rel[−

]

pt [bar]

Abb. 16: Totaldruck in der Messebene 1

Die Auswirkungen des Totwassergebietes zeigen sich auch inder Verteilung des Total-

druckes in der Messebene zwei (Abb. 17). Die Zone niedrigen Totaldruckes erstreckt

sich von der Saugseite nahe der Nabe fast über den gesamten Umfang. Die Position der

Schaufelhinterkante sowie die zugehörige Druck- und Saugseite sind in der Abbildung

markiert. Da die Strömung nach dem Verdichtergitter noch immer drallbehaftet ist, ist

die Nachlaufdelle an der Auswertungsebene bereits weiter in Umfangsrichtung gewan-

dert. Der Schaufelnachlauf weist in Gehäusenähe ebenfallseine Ausweitung und einen

verringerten Totaldruck auf. Dieses Phänomen ist auf Sekundärströmungen in der Ge-

häusegrenzschicht zurückzuführen, die im Folgenden dargestellt werden.

In der Messebene 2 sind Komponenten der Sekundärgeschwindigkeit mit dem in LAWE-

RENZ UND WEIDENFELLER (2004) beschriebenen Verfahren berechnet. Dafür werden


r

r ϕ

DS SS pt [bar]

0,960,970,980,9911,011,02

1,031,041,051,06


die Sekundärgeschwindigkeitskomponenten wie folgt definiert:

cu,sec(r,ϕ) = cu(r,ϕ)−cz(r,ϕ) tan(α(r)) (4.5)

cr,sec(r,ϕ) = cr(r,ϕ)−cz(r,ϕ) tan(γ(r)) (4.6)

Die Winkel α(r) und γ(r) sind die Strömungswinkel der Hauptströmung, die aus mas-

senstromgewichtet in Umfangsrichtung gemittelten Strömungsgrößen berechnet werden.

α(r) = arctancu(r)

cz(r)(4.7)

γ(r) = arctancr(r)

cz(r)(4.8)

Abbildung 18 zeigt die Vektoren der Sekundärströmung in derAbströmung des Verdich-

tergitters in Messebene 2. Die Struktur des unteren Kanalwirbels tritt deutlich hervor. In

Umfangsrichtung ist dieser jedoch vom Totwassergebiet begrenzt und erstreckt sich so

nur über etwa 40% der Teilung. Auch im Totwassergebiet zeigen sich starke sekundäre


Wirbelstrukturen, die mit der Spaltströmung wechselwirken. Der obere Kanalwirbel ist

in der Mitte der Teilung nahe dem Gehäuse sichtbar. Die radiale Erstreckung ist aber

auf etwa 10% der Kanalhöhe begrenzt. Zwischen Gehäuse und Saugseite zeichnet sich

ein Eckenwirbel als Sekundärströmungsphänomen ab, der zu der kleinen Zone niedrigen

Totaldruckes im Bereich des Gehäuses führt (Abb. 17).

r

r ϕ

DS SS

unterer Kanalwirbel

oberer Kanalwirbel

Eckenwirbel

20m/s

Abb. 18: Sekundärströmungen in der Messebene 2

Im Folgenden sind radiale Verteilungen von Strömungsgrößen in der Messebene 2 darge-

stellt. Da die Ergebnisse der experimentellen Untersuchungen in Form von massenstrom-


gewichtet in Umfangsrichtung gemittelten Strömungsgrößen vorliegen, wurden aus den

Ergebnissen der 3D-Simulation ebenfalls massenstromgewichtete Mittelwerte berech-

net.

0,4

0,6

0,8

1

00

0,05 0,1 0,15 0,2

0,2

0,25 0,3 0,35

Messung3D umfangsgemittelt

h rel[−

]

Ma [−]

Abb. 19: Mach-Zahl in der Messebene 2

Eine Gegenüberstellung der Verteilungen der Mach-Zahlen über der relativen Schau-

felhöhe ist in Abb. 19 dargestellt. Die Daten der Messung (rote Punkte) weisen einen

starken Einbruch zwischen der Nabe und 50% Kanalhöhe auf. Dies ist eine Folge der

Strömungsablösung an der Saugseite der Beschaufelung. Die3D-Simulation (grüne Li-

nie) zeigt eine gute Übereinstimmung mit diesen Ergebnissen.

Der Vergleich der Strömungswinkel (Abb. 20) aus Messung und3D-Rechnung zeigt ähn-

liche Verläufe. Das Totwassergebiet auf der Saugseite der Beschaufelung führt zu einer

Abdrängung der Hauptströmung innerhalb der Teilung in Richtung der Druckseite, was

eine starke Minderumlenkung zwischen 10% und 60% Kanalhöhe, verglichen mit dem

Winkel der Auslegung von 21◦, zur Folge hat. Die Randzonen von Nabe und Gehäuse

zeichnen sich aufgrund der Sekundärströmungen durch eine deutliche Mehrumlenkung

aus.


0,2

0,4

0,6

0,8

1

00

-5-10-15-20-25-30


h rel[−

]

α [◦]

cu

czα

Abb. 20: Strömungswinkel in der Messebene 2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,97 0,98 0,99 1

1

1,01 1,02 1,03 1,04 1,05


h rel[−

]

pt [bar]



Diese stärkere Krümmung der Stromlinien, die zu einer Bewegung des Fluides von der

Druck- zur Saugseite führt, ist eine Folge der reduzierten Geschwindigkeit in der Grenz-

schicht in Verbindung mit einem Druckfeld, das der Grenzschicht aus der Kernströmung

heraus aufgeprägt wird.

Der Totaldruck (Abb. 21) zeigt insgesamt eine gute Übereinstimmung zwischen Mes-

sung und 3D-Simulation. Nur nahe der Nabe zwischen 0% und 30%Kanalhöhe fällt die

Reduktion des Totaldruckes und somit der Strömungsverlustinfolge der Grenzschicht-

ablösung in der Simulation geringer aus als in den experimentellen Untersuchungen.

4.1.3 Dichte- und massenstromgewichtete Mittelwerte

Der Vergleich der Mach-Zahlen (Abb. 22) in der Messebene 2 soll die Unterschiede zwi-

schen den Ergebnissen einer dichte- und einer massenstromgewichteten Umfangsmitte-

lung verdeutlichen. Von 0,4 bis 1,0 relativer Kanalhöhe sind die Unterschiede durch die

Gewichtung bei der Mittelwertbildung gering. Im Totwassergebiet zeigen sich jedoch

gravierende Unterschiede. Dieser Bereich spielt aufgrundder reduzierten axialen Strö-

mungsgeschwindigkeit bei der Bildung des massenstromgewichteten Mittelwertes nur

eine geringe Rolle. Bei der Verwendung einer Dichtegewichtung hat das Totwasserge-

biet deutlich mehr Einfluss auf den Mittelwert, was im Mittelzu deutlich geringeren

Mach-Zahlen führt.

4 Verdichterkonfigurationen 65replacements

0,4

0,6

0,8

1

00

0,05 0,1 0,15 0,2

0,2

0,25 0,3 0,35

Messung3D massenstromgewichtet

3D dichtegewichtet

Ma [−]

h rel[−

]

Abb. 22: Vergleich der Mach-Zahlen aus der Messung und den dichte- und massenstrom-gewichtet gemittelten 3D-Ergebnissen

4.1.4 2D-Rechnung

Für die Berechnung derLDS-Terme mit Hilfe der 2D-Differenzialgleichungen (Kap. 3.1)

wird das umfangsgemittelte 3D-Strömungsfeld auf das Rechennetz des 2D-Verfahrens

interpoliert. Dies erfolgt mittels eines bilinearen Ansatzes. Das 2D-Rechennetz (Abb.

23) umfasst 100 Knoten in axialer (z) und 49 Knoten in radialer (r) Richtung. Zur Nabe

und zum Gehäuse hin sind die Netzknoten verdichtet, so dass die Gradienten des Strö-

mungsfeldes in den Grenzschichten hinreichend genau aufgelöst sind. Die Ausdehnun-

gen des 2D-Rechennetzes in r- und z-Richtung entsprechen denen des 3D-Netzes. Die

axiale Länge wurde dabei so gewählt, dass eine Ausmischung des Schaufelnachlaufes in

der 3D-Rechnung bis zum Austritt des Rechengebietes erfolgen kann.

Die y+-Werte an Nabe und Gehäuse sind minimal 21 und maximal 38. Somit befin-

det sich der erste Netzknoten innerhalb des logarithmischen Bereichs der Grenzschicht.

In Abb. 24 ist die Verteilung des 3D-Totaldruckverlustes, der nach Gl. (3.13) aus den


Eintritt AustrittMessgitter

r

z

Abb. 23: 2D-Rechennetz

dichtegewichtet in Umfangsrichtung gemittelten 3D-Ergebnissen berechnet ist und als

Vorgabe im 2D-Gittermodell dient, über der relativen Kanalhöhe aufgetragen. Neben der

starken Reduktion des Totaldruckes in der unteren Kanalhälfte, die auf den Einfluss des

Totwassergebietes zurückzuführen ist, zeichnen sich die Randzonen an Nabe und Ge-

häuse durch negative Totaldruckverlustbeiwerte aus. Die Ursache für die Zunahme des

Totaldruckes ist der Eintrag von Energie aus der Kernströmung.

0,1

0,3

0,5

0,7

0,8

0,9

1

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 00

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2

ωpt [−]

h rel[−

]

Abb. 24: Vorgabe der Totaldruckverluste aus dem 3D-Strömungsfeld im 2D-Gittermodell


4.1.5 Deterministische Spannungen

Im Folgenden sind die deterministischen Spannungenρ cr′′cr

′′, ρ cu′′cu

′′ und ρ cz′′cz

′′

dargestellt, die nach Gl. (3.6) aus der flächengewichtet umfangsgemittelten 3D-Lösung

bestimmt wurden. Zur besseren Vergleichbarkeit sind die Werte mit einem Referenzwert

ρ re f c2re f normiert. Die Dichteρ re f und der Betrag der Strömungsgeschwindigkeitcre f

sind am Eintritt des Rechengebietes in 50% Spannweite der umfangsgemittelten 3D-

RANS-Lösung entnommen. Auf der Ordinate ist die relative Kanalhöhe und auf der

Abszisse die relative axiale Position – bezogen auf die SchaufelvorderkantezVK und die

axiale Sehnenlänge der Schaufellz – aufgetragen.

Die axialen Schwankungsanteileρ cz′′cz

′′ sind in Abb. 25 dargestellt. Der Bereich des

Gitterein- und Austritts zeigt eine leichte Erhöhung des Spannungsterms, die auf die

plötzliche Verengung bzw. Erweiterung des Kanalquerschnitts zurückzuführen ist. Die

hohen Axialgeschwindigkeiten auf der Saugseite der Schaufel bis etwa 50% Sehnenlän-

ge führen ebenfalls zu einer erkennbaren Erhöhung des Spannungsterms. Das Totwasser-

gebiet in der Nähe der Nabe ist, durch die großflächige Blockage des Strömungskanals,

die Hauptursache für die unsymmetrische Verteilung der Axialgeschwindigkeit in Um-

fangsrichtung. Die Wirkung des Totwassergebietes zeigt sich in Stromabrichtung hinter

der Schaufel bis 1,5 relativer axialer Länge und klingt danndeutlich ab.

Der Spannungsterm aus den radialen Schwankungsanteilenρ cr′′cr

′′ (Abb. 26) erreicht

bei 50% relativer axialer Länge nahe der Nabe die maximalen Werte. Das Totwasserge-

biet führt dort zu einer Verschiebung der Hauptströmung zumGehäuse hin und somit

zu großen lokalen Abweichungen der radialen Geschwindigkeit von ihrem Mittelwert in

Umfangsrichtung. Die Sekundärströmungen im Nachlauf des Gitters haben ebenfalls lo-

kale Änderungen der Radialgeschwindigkeit zur Folge, sodass dieser Spannungsterm erst

bei etwa 2,5 axialer Position nahezu verschwunden ist. Die dritte hier untersuchte Korre-

lation resultiert aus den Schwankungsanteilen der Geschwindigkeit in Umfangsrichtung

ρ cu′′cu

′′ (Abb. 27). Die Beschleunigung des Fluides in Umfangsrichtung im Bereich der

Vorderkante verursacht dort eine deutliche Erhöhung des Korrelationsterms. Im weiteren

Verlauf der Umströmung der Schaufel gleicht sich dieser lokale Effekt schnell aus. Durch

die Überlagerung der Strömungen von Saug- und Druckseite entsteht an der Hinterkan-

te ebenfalls eine leichte Erhöhung des Spannungsterms. Diemaximalen Werte liegen


−0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40

1

0,20

0,40,60,8

0,120,10,080,060,040,02

ρ cz′′cz

′′/(ρ re f c2re f) [−]

(z−zVK)lz

[−]

h rel[−

]

Abb. 25: Korrelation der Axialgeschwindigkeitsschwankungen

−0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

0,0160,0140,0120,010,0080,0060,0040,0020

1

0,20

0,40,60,8

ρ cr′′cr

′′/(ρ re f c2re f) [−]

(z−zVK)lz

[−]

h rel[−

]

Abb. 26: Korrelation der Radialgeschwindigkeitsschwankungen

bei etwa 7% des Referenzwertes im Bereich des Nabenspaltes.Dies resultiert aus der

Durchströmung des Radialspaltes mit einer lokal begrenzten hohen Umfangsgeschwin-

digkeit. Das Totwassergebiet verursacht durch die Blockage des Strömungskanals eine

Abdrängung der Hauptströmung. Diese bedingt neben der zuvor gezeigten lokalen Erhö-

hung der radialen Geschwindigkeitskomponente auch eine Erhöhung der Umfangskom-

ponente. Insbesondere nahe der Hinterkante zeigen die hohen Spannungen eine starke

sekundäre Strömungskomponente in Umfangsrichtung. DerenUrsache ist das Einströ-

men von Fluid aus der Hauptströmung in den Bereich stromab des Totwassergebietes.

Der Korrelationsterm in Umfangsrichtung klingt bis etwa 3 Schaufellängen stromab der

Schaufelhinterkante weitgehend ab.


−0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40

0,070,060,050,040,030,020,01

1

0,20

0,40,60,8

ρ cu′′cu

′′/(ρre f c2re f ) [−]

(z−zVK)lz

[−]

h rel[−

]

Abb. 27: Korrelation der Geschwindigkeitsschwankungen inUmfangsrichtung

4.1.6 LDST

Die LDST sind die Summen der räumlichen Ableitungen deterministischer Spannungen.

Somit zeigen deren Werte Veränderungen der Unsymmetrien inUmfangsrichtung. Die

LDST der Impulsbilanzen sind mitρre f · cre f2/l und die der Energiebilanz mitcp,re f ·

Tt,re f/l normiert. Die Referenzwerte sind am Eintritt in das numerische Rechengebiet in

Kanalmitte ermittelt worden;l ist die Sehnenlänge der Schaufel.

In Abb. 28 ist derLDSTr der radialen Impulsgleichung dargestellt. Im oberen Teil der

Grafik sind zusätzlich drei Stromlinien dargestellt, die vor dem Gitter etwa in 10%, 50%

und 90% relativer Kanalhöhe beginnen. Die Abdrängung der Stromlinien im Schaufel-

kanal von der Nabe zum Gehäuse hin, verursacht durch das Totwassergebiet, ist deut-

lich erkennbar. Im unteren Teil der Grafik ist der Quellterm über dem Verlauf der drei

Stromlinien aufgetragen. Die Strömung stromauf der Schaufelvorderkante ist aufgrund

der Randbedingungen rotationssymmetrisch und dementsprechend ist der Quellterm na-

hezu Null. Die Umströmung der Profilvorderkante führt zu einem sprunghaften Anstieg

des Quellterms aufgrund starker lokaler Beschleunigungendes Fluides, insbesondere na-

he der Nabe. Die Hinterkante hat im Vergleich dazu einen geringeren Einfluss auf den

LDSTr . Die Berandung des Totwassergebiets zeichnet sich deutlich durch eine Region

mit hohen positivemLDSTr in der unteren Hälfte der Schaufelpassage ab. Die Änderung

der radialen Geschwindigkeitskomponente ist in diesem Bereich entsprechend groß. In-

nerhalb des Rückströmgebietes sind mehrere kleinere Quellen und Senken sichtbar, die

durch starke sekundäre Strömungen in diesem Bereich verursacht werden.


Eine separate Impulsgleichung in Umfangsrichtung wird nurin den Axialspalten ausge-

wertet und innerhalb des Schaufelkanals durch das Gittermodell ersetzt. Der Quellterm

LDSTu (Abb. 29) ist daher im Gitter nicht definiert (siehe Kap. 3.1), aber auch außer-

halb der Beschaufelung weist er betragsmäßig kleine Werte auf. Auf der Stromlinie nahe

der Nabe hat der Quellterm bereits vor dem Einflussbereich des Gitters positive Werte.

Da die Strömung hier rotationssymmetrisch ist, sind die Ursachen dafür eher gering-

fügige Unterschiede in der Entwicklung der 3D- und 2D-Grenzschichten. Im Bereich

der Vorderkante zeigt sich eine potenzialtheoretische Stromaufwirkung, die einen An-

stieg des Quellterms verursacht. Stromab der Schaufelhinterkante zeigt sich eine starke

Quelle bei etwa 40% Kanalhöhe und eine Senke nahe der Nabe. Die Ausgleichsprozesse

in Verbindung mit Sekundärströmungen im Nachlauf des Totwassergebietes sind dafür

die Ursache. Bis zum Ende des dargestellten Strömungskanals stellt sich der Zustand

der Rotationssymmetrie bei der Verteilung der Umfangskomponente der Strömungsge-

schwindigkeit nicht wieder ein.


0,80,60,40,2

0

1

−0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

0

0,150,10,05

−0,05−0,1

h rel[−

]

(z−zVK)lz

[−]

LDSTr/

(ρ re f ·c

2re f

l

)[−]

-0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4-0,06

-0,04

-0,02

0

0

0,06

0,04

0,02

0,08

0,1

0,1210%50%90%

(z−zVK)lz

[−]

LD

ST r/

(ρ r

ef·

c2 ref

l

)[−

]

Abb. 28: LDST der radialen Impulsgleichung


0,80,60,40,2

0

1

−0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

0

0,0150,010,005

−0,005−0,01−0,015

h rel[−

]

(z−zVK)lz

[−]

LDSTu/

(ρ re f ·c

2re f

l

)[−]

-0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0

0,008

0,006

0,004

0,002

10%50%90%

(z−zVK)lz

[−]

LD

ST u/

(ρ r

ef·

c2 ref

l

)[−

]

Abb. 29: LDST der Impulsgleichung in Umfangsrichtung


Die LDSTz der axialen Impulsgleichung sind in Abb. 30 dargestellt. Die weitgehend po-

tenzialtheoretische Stromaufwirkung der Beschaufelung führt zu negativenLDSTz bis

hin zur Schaufelvorderkante. Die erhöhten Werte des Quellterms an Vorder- und Hinter-

kante sind eine Folge der Blockage des Strömungsquerschnittes durch das Schaufelvo-

lumen. Innerhalb des Gitters ist die Blockage infolge des Totwassergebiets die Ursache

von weiten Gebieten stark negativer und positiver Werte desQuellterms, die sich etwa

über 75% axialer Sehnenlänge und bis 40% Kanalhöhe erstrecken. Die 10%-Stromlinie,

die dieses Gebiet durchquert, zeigt dementsprechend starke Schwankungen derLDSTz-

Werte. An der Schaufelhinterkante zeigt sich das abrupte Ende eines Strömungsphäno-

mens mit stark negativenLDSTz-Werten. Dies ist damit zu erklären, dass innerhalb der

Gitter die Impulsbilanz in Umfangsrichtung zur Modellierung der Schaufelkräfte ver-

wendet wird, die auch Korrelationsterme beinhaltet (sieheGl. 3.11). In den Axialspalten

werden die drei Impulsgleichungen separat gelöst. Das Strömungsphänomen zeigt sich

daher in Stromabrichtung von der Hinterkante nur noch in denLDSTu (Abb. 29) und

nicht mehr in denLDSTz. Am Ende des dargestellten Rechengebietes, vier axiale Seh-

nenlängen in Stromabrichtung hinter der Schaufelvorderkante ist der Quellterm wieder

weitgehend abgeklungen.

Da es sich bei dem Verdichtergitter um einen Stator handelt,bleibt die Totalenthalpie

integral konstant. Somit sind Änderungen auf lokale Umverteilungen beschränkt. Der

QuelltermLDSTe (Abb. 31) ist also ein Indikator für diese lokalen Umverteilungen. Die

Beschaufelung hat eine Stromaufwirkung, die zu negativen Werten bis hin zur Vorder-

kante führt. Im Bereich des Gitters zeigt der obere Teil des Kanals positive und der

Bereich der Strömungsablösung negative Werte. An der Hinterkante zeigen sich wieder

hoheLDSTe Werte. Die Unsymmetrie in der Verteilung der Totalenthalpie in Umfangs-

richtung, die durch das Totwassergebiet verursacht wird, ist vom Betrag her nicht größer

als der Einfluss von Vorder- und Hinterkante. In Stromabrichtung hinter dem Gitter klingt

derLDSTe durch Ausgleichsprozesse schnell ab.


0,80,60,40,2

0

1

−0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

0

0,50,40,30,20,1

−0,1−0,2−0,3−0,4−0,5−0,6

h rel[−

]

(z−zVK)lz

[−]

LDSTz/

(ρ re f ·c

2re f

l

)[−]

-0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4-0,3

-0,2

-0,1

0

0

0,1

0,2

0,310%50%90%

(z−zVK)lz

[−]

LD

ST z/

(ρ r

ef·

c2 ref

l

)[−

]

Abb. 30: LDST der axialen Impulsgleichung


0,80,60,40,2

0

1

−0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

0,40,20

−0,2−0,4−0,6−0,8

h rel[−

]

(z−zVK)lz

[−]

LDSTe/

(cp,re f ·Tt,re f

l

)[−]

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4-0,6

-0,5

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0

0,1

0,2

0,310%50%90%

(z−zVK)lz

[−]

LD

ST e/

(c p

,re

f·T t,r

ef

l

)[−

]

Abb. 31: LDST der Energiegleichung


4.1.7 Meridianströmungsrechnung mit LDST

Zur Überprüfung der Konsistenz des Verfahrens werden die LDS-Terme als Quellen in

das Meridianströmungsverfahren eingebracht. Wie in Kap. 3.1 beschrieben erfolgt die

Berechnung der LDST mit der Vorgabe der Stromflächengeometrie, der Totaldruckver-

luste im Gitter und der Schaufelblockage. Für die Berechnung der 2D-Meridianströmung

mit den LDST werden die entsprechenden Vorgaben für das Gittermodell gemacht.

-5

-4

-3

-2

-1

0

0

50 100 150 200 250 300 350 400

Iteration[−]

log 1

0(R

es 2D

)[−

]

Abb. 32: Konvergenzverlauf der 2D-Meridianströmungsrechnung

Abbildung 32 zeigt den Konvergenzverlauf der 2D-Rechnung.Das ResiduumRes2D ist

als maximale Druckänderung durch die elliptische Druckkorrektur zwischen zwei Itera-

tionen im Rechengebiet definiert. Die Residuen werden in derDarstellung auf das der

ersten Iteration bezogen.

Die folgenden Abbildungen zeigen den Vergleich zwischen dem umfangsgemittelten 3D-

Strömungsfeld und dem Ergebnis der 2D-Meridianströmungsrechnung. Die dargestellten

Totalzustände der Strömungsgrößen und die Mach-Zahl werden mit Gl. (4.9) bis (4.11)

aus den umfangsgemittelten primitiven Variablen des 3D-Strömungsfeldes gebildet, da-


mit deren Definition konsistent mit dem 2D-Modell ist.

Tt = T +1

2cpc2 (4.9)

pt = p

(Tt

T

)cp

R (4.10)

Ma=c√

κ RT(4.11)

0,4

0,6

0,8

1

00,05 0,1 0,15 0,2

0,2

0,25 0,3 0,35

2D3D

Ma [−]

h rel[−

]

Abb. 33: Mach-Zahlen in der Messebene 2

Der Vergleich der Mach-Zahl (Abb. 33), des Totaldruckes (Abb. 34) und der Totaltempe-

ratur (Abb. 35) ergibt eine gute Übereinstimmung zwischen dem gemittelten dreidimen-

sionalen Strömungsfeld und der 2D-Meridianströmungsrechnung mit den deterministi-

schen Quelltermen. Die quantitativ kleinen, aber qualitativ deutlichen Abweichungen der

Totaltemperaturen (Abb. 35) im Bereich der Seitenwandgrenzschichten sind eine Folge

der Unterschiede zwischen der im 2D-Verfahren verwendetenWandfunktion und der in

der 3D-Rechnung geltenden Haftbedingung.

78 4 Verdichterkonfigurationenreplacements

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,97 0,98 0,99 1

1

1,01 1,02 1,03 1,04 1,05

2D3D

pt [−]

h rel[−

]


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

288 288.2 288.4 288.6 288.8 289 289.2 289.4 289.6

2D3D

Tt [K]

h rel[−

]

Abb. 35: Totaltemperatur in der Messebene 2


Der Strömungswinkelα (Abb. 36) der 2D-Rechnung ist ebenfalls in guter Überein-

stimmung mit dem 3D-Ergebnis. Lediglich in den Grenzschichten zeigen sich geringe

Abweichungen. In Abb. 37 ist die radiale Verteilung des Strömungswinkelsα des 2D-

0,2

0,4

0,6

0,8

1

00

-5-10-15-20-25-30

2D3D

α [◦]

h rel[−

]

α

cu

cz

Abb. 36: Strömungswinkel in Umfangsrichtung in der Messebene 2

Meridianströmungsfeldes an der Hinterkante und in der Messebene 2 dargestellt. Im obe-

ren Teil des Kanals (hrel > 40%) entspricht der Strömungswinkelα in der Messebene 2

weitgehend dem Abströmwinkel des Verdichtergitters, der aus der Vorgabe der Strom-

flächengeometrie innerhalb des Schaufelkanals resultiert. Die Veränderungen des Win-

kels in Stromabrichtung zwischen der Hinterkante und der Messebene 2 sind in diesem

Gebiet gering. Das Strömungsfeld im unteren Teil des Kanalsist hingegen durch den

Einfluss des Totwassergebietes im Gitter geprägt. Die starken Sekundärströmungen, die

mit den Ausmischungsprozessen im Nachlauf in Verbindung stehen, verursachen dort

eine massive Änderung des Strömungswinkels. Dieser Einfluss dreidimensionaler Strö-

mungsphänomene in der Gitterabströmung konnte mit Hilfe der LDS-Terme nachgebil-

det werden.


0,2

0,4

0,6

0,8

1

00

-5-10-15-20-25-30

HinterkanteMessebene 2

α [◦]

h rel[−

]

Abb. 37: Strömungswinkel in Umfangsrichtung: Hinterkanteund Messebene 2

4.2 Einstufiger Verdichter mit Vorleitrad

Nach der Untersuchung der dreidimensionalen Strömung in einem einzelnen Verdich-

tergitter soll im Folgenden die Strömung in einem einstufigen Axialverdichter mit Vor-

leitrad analysiert werden. Die Auslegung des bereits in derPlanungsphase dreistufig kon-

zipierten, aber zunächst einstufig ausgeführten Verdichters wird ausführlich von GREIN

UND SCHMIDT (1994) dargestellt. Das stationäre und instationäre Strömungsfeld des

einstufigen Verdichters wurde von SCHULTE (1994), PIEPER (1995), MERTENS UND

GALLUS (1997), MERTENS UND GALLUS (1998) experimentell untersucht. Die dort

angegebenen mittleren Fehler der Fünf-Loch-Sondenmessungen sind für den Totaldruck

±28Pa, die Totaltemperatur±0,18K, die Mach-Zahl±0,002, den Strömungswinkel in

Umfangsrichtung±0,12◦ und in radialer Richtung±0,13◦. Diese Ungenauigkeiten re-

sultieren nur aus der verwendeten Kalibrierfunktion der pneumatischen Sonden. Eine

Fehlerrechnung für die eingesetzte Messstrecke oder die Quantifizierung der eventuell


auftretenden Interaktion des Sondenkopfes mit den Seitenwänden wird nicht vorgenom-

men.

Nach PIEPER ET AL. (1996) liegt im Auslegungspunkt eine relative Mach-Zahl von

Marel = 0,89 in der Zuströmung zum Laufrad im Außenschnitt vor. Die in der Auslegung

daraus ermittelte maximale relative Mach-Zahl auf der Saugseite der Laufradbeschaufe-

lung ist Marel,max= 1,1 im saugseitigen Überschallgebiet. Die Reynolds-Zahl im Mit-

telschnitt vom Laufrad beträgtRe= 8·105 (PIEPER ET AL., 1996). Die experimentellen

Daten werden in dieser Arbeit zum Vergleich mit numerischenErgebnissen herangezo-

gen. Der für Vergleiche zwischen Messung und Rechnung herangezogene Betriebspunkt

liegt in der Nähe des Auslegungspunktes.

z [mm]

r[m

m]

106,8

193,5

-44,5 0 47,5 88,0

1 2 3 4IGV Rot Sta

Abb. 38: Meridianebene des einstufigen Axialverdichters

In Abb. 38 ist eine Meridianansicht des Strömungsraumes dargestellt. An den markierten

Positionen eins bis vier sind gemessene radiale Verteilungen umfangsgemittelter Strö-

mungsgrößen verfügbar.

4.2.1 3D-Rechnung

Der einstufige Verdichter mit Vorleitrad wurde mit etwa 3 Mio. Knoten in insgesamt

17 Blöcken diskretisiert. Abbildung 39 zeigt die Blockstruktur und das Rechennetz auf

Nabe und Beschaufelung. Die geometrischen Qualitätsmerkmale des Rechennetzes sind

in Tab. 7 zusammengefasst.


3 41

2

6

7

5

8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

Abb. 39: 3D-Rechennetz mit Blockstruktur

minimale „Orthogonalität“ 22,0◦

durchschnittliche „Orthogonalität“ 79,8◦

maximales „Seitenverhältnis“ 4509,9durchschnittliches „Seitenverhältnis“ 508,9maximale „Expansionsrate“ 3,9durchschnittliche „Expansionsrate“ 1,4

Tab. 7: geometrische Qualitätsmerkmale des Netzes

Die aus den Messergebnissen gewonnenen Randbedingungen für die 3D-Rechnung sind

radiale Verteilungen des Totaldrucks, der Totaltemperatur und der Strömungswinkel am

Eintritt und des statischen Drucks am Austritt.

In Abb. 40 ist der Verlauf des ResiduumsRes(Gl. (4.1)) dargestellt. Nach der Initiali-

sierung der Rechnung auf dem gröbsten (Iterationen 1 bis 1731) und dem mittleren Netz

(Iterationen 1732 bis 2309) zeigt sich ein glatter Konvergenzverlauf auf dem eigentlichen

Rechennetz mit einer stabilen Lösung, was durch den Verlaufdes Massenstroms (Abb.

41) bestätigt wird.


-1

-2

-3

-4

-5

-60

0

1000 2000 3000 4000 5000

log 1

0(R

es)[−

]

Iteration[−]

Abb. 40: Konvergenzverlauf der 3D-Rechnung

4

6

8

10

12

14

16

0 1000 2000 3000 4000 5000

inout

m[k

g/s]

Iteration[−]

Abb. 41: Massenstromverlauf der 3D-Rechnung


4.2.2 Vergleich von Messung und Rechnungen

In Tab. 8 sind Massenstrom und Totaldruckverhältnis aus Simulation, Messung und der

Auslegung bei der Nenndrehzahln= 17000min−1 dargestellt. Die globalen Ergebnisse

Verfahren Massenstrom Totaldruckverhältnis

Messung 13,66 kg/s 1,313D-Simulation 13,45 kg/s 1,29Auslegung 13,40 kg/s 1,30

Tab. 8: globale Ergebnisse

der numerischen Simulation sind in guter Übereinstimmung mit den Daten der Aus-

legung. Die Abweichung des Totaldruckverhältnisses beträgt etwa -0,8% und die des

Massenstroms etwa 0,4%. Bezogen auf die Messungen betragendie Abweichungen des

Totaldruckverhältnisses etwa -1,5% und die des Massenstroms etwa -1,5%.

0

0,1

0,2

0,3

0,7

0,8

0,9

1

0,4

0,4

0,45 0,5

0,5

0,55 0,6

0,6

0,65

3DMessung

Auslegung

h rel[−

]

Ma [−]


In Abb. 42 ist der Vergleich der radialen Verteilungen der Mach-Zahlen aus Messungen,

3D-Simulation und Auslegung in der Messebene 4 dargestellt. In der Auslegungsrech-


nung sind die Seitenwandgrenzschichten nicht enthalten. Die Ergebnisse der Messung

und der 3D-Rechnung sind an den jeweiligen radialen Positionen massenstromgewich-

tet in Umfangsrichtung gemittelt. Die Mach-Zahlen der 3D-Rechnung sind fast über der

gesamten Kanalhöhe unterhalb der gemessenen Werte, was anhand des niedrigeren Mas-

senstroms (Tab. 8) zu erwarten war. Lediglich nahe der Nabe sind die Werte der 3D-

Simulation höher. Die Mach-Zahlen der Auslegung stimmen inder oberen Kanalhälfte

gut mit den 3D-Ergebnissen überein. In der unteren Kanalhälfte hat die Auslegung na-

hezu keinen Gradienten in radialer Richtung, wohingegen 3D-Rechnung und Messung

eine Zunahme der Mach-Zahlen zur Nabe hin zeigen.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 1,35

3DMessung

Auslegung

h rel[−

]

pt [bar]


Der Totaldruck der 3D-Rechnung in der Leitradabströmung (Abb. 43) ist entsprechend

der globalen Ergebnisse in Tab. 8 über nahezu der gesamten Kanalhöhe niedriger als der

der Messungen. Bis etwa zur Kanalmitte stimmen die Werte gutmit denen der Auslegung

überein. In der oberen Hälfte des Kanals zeigt die 3D-Rechnung etwas niedrigere Total-

drücke als die Auslegung. Eine Ursache dafür ist die bereitsin der Zuströmung zum

Vorleitrad stark aufgeweitete Gehäusegrenzschicht. Die Verteilung des Totaldruckes in


der Messebene 1 (Abb. 44) zeigt diese Abweichung im Vergleich zu den Annahmen der

Auslegung. Die Strömungsführung am Eintritt in den Verdichter (SCHULTE, 1994) ist

die Ursache für die erhöhten Strömungsverluste in diesem Teil des Kanals.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1

1

1,01 1,02 1,03

3DMessung

Auslegung

h rel[−

]

pt [bar]


Die Totaltemperatur der Leitradabströmung ist in Abb. 45 über der Kanalhöhe aufge-

tragen. Die 3D-Rechnung zeigt gegenüber der Auslegung etwas geringere Werte in der

Kernströmung von 10% bis 70% Kanalhöhe. Nahe dem Gehäuse zwischen 70% und

100% Kanalhöhe ist ein starker Anstieg der Totaltemperaturen erkennbar. Dies resultiert

aus einer erhöhten Umlenkung der Strömung im Laufrad aufgrund von Wechselwirkun-

gen zwischen Seitenwandgrenzschicht und der Kinematik vonLeit- und Laufrad. Durch

Sekundärströmungen und die reduzierte Meridiangeschwindigkeit ist die Arbeitszufuhr

des Laufrades auch in der Nabengrenzschicht deutlich erhöht, was zum Anstieg der Tem-

peraturen zur Nabe hin führt.


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

310 320 330315 325

3DMessung

Auslegung

h rel[−

]

Tt [K]


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-70 -65 -60 -55 -50 -45 -40

3DMessung

Auslegung

h rel[−

]

β [◦]

wu

wzβ



Die Arbeitszufuhr im Laufrad soll im Folgenden anhand der relativen Strömungswin-

kel in Umfangsrichtung untersucht werden. Die Winkel der Zuströmung zum Laufrad in

Abb. 46 sind in guter Übereinstimmung mit den Winkeln der Auslegung. In der Kern-

strömung zwischen 20% und 85% Kanalhöhe zeigt sich eine leichte Rückeninzidenz, die

zu einer Entlastung führt. In den Grenzschichten zeigen sich starke Brustinzidenzen, die

zu den Seitenwänden hin zunehmen. Die großen Winkel in diesen Bereichen sind eine

Folge der reduzierten Axialgeschwindigkeit und der starken Umlenkung im Vorleitrad

aufgrund von Sekundärströmungen.

r

r ϕ

DSSS

Sekundärströmung

oberer Kanalwirbel

Eckenwirbel

20m/s



In Abb. 47 sind diese in der Abströmung des Vorleitrades durch die zugehörigen Strö-

mungsvektoren sichtbar gemacht. Die rote Linie markiert die Position der Hinterkante

bei der Draufsicht auf die Messebene 2 in Stromaufrichtung.Durch den Drall in der Ab-

strömung des Vorleitrades ist der Nachlauf in Messebene 2 bereits in Umfangsrichtung

versetzt. Die Scherschicht im Nachlauf ist deutlich zu erkennen. Darin wird Fluid auf der

Saugseite in Richtung Gehäuse und auf der Druckseite in Richtung Nabe transportiert.

Diese Beobachtung stimmt mit experimentellen Ergebnissenvon MERTENS UNDGAL -

LUS (1997, 1998) überein, die diese Sekundärströmung auf eine radiale Zirkulations-

verteilung zurückzuführen. Der obere Kanalwirbel, der sich dementsprechend mit dem

Uhrzeigersinn dreht, ist ebenfalls erkennbar. Zusätzlichist ein kleiner Eckenwirbel sicht-

bar, der sich aus den Grenzschichten der Saugseite und des Gehäuses bildet.

Abbildung 48 zeigt die relativen Umfangswinkel in der Laufradabströmung. Die Winkel

der 3D-Simulation stimmen gut mit denen der Auslegung überein, wohingegen die Mes-

sungen etwas höhere Umlenkungen aufweisen. Nahe der Nabe zeigen die 3D-Ergebnisse

eine Mehrumlenkung bis 3% Kanalhöhe und eine Minderumlenkung zwischen 3% und

etwa 20% Kanalhöhe als Folge von Sekundärströmungen.

Der Bereich der Gehäusegrenzschicht ist durch den Spaltwirbel beeinflusst. Dieser ent-

steht zum einen durch das Überströmen von Fluid von der Druck- zur Saugseite infolge

des Druckgradienten und zum anderen durch die Schleppwirkung der rotierenden Schau-

felspitze gegenüber dem stehenden Gehäuse. Dies führt zu einer Minderumlenkung, die

in der 3D-Rechnung ein Maximum von etwa 15◦ am Gehäuse hat. Aus Gründen der

Kontinuität ist in 90% Kanalhöhe ein schmales Gebiet, in demdie Sekundärströmungen

eine Mehrumlenkung verursachen.

Die aus den relativen Geschwindigkeitskomponenten gebildeten Sekundärströmungen

in der Messebene 3 sind in Abb. 49 dargestellt. Im Bereich desNachlaufes ist eine

Aufwärtsbewegung des Fluids sichtbar, die durch das Zentrifugieren der Schaufelgrenz-

schichten in Richtung Gehäuse verursacht wird. Über der Teilung bilden sich dadurch

zwei großräumige Bewegungen, die in der Mitte zwischen Druck- und Saugseite Fluid

zurück in Richtung Nabe bewegen. Die Verschiebung des Nachlaufes bezogen auf die

Position der Laufradhinterkante ist eine Folge der Umfangskomponente der Relativge-


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10

3DMessung

Auslegung

h rel[−

]

β [◦]

wu

wzβ


schwindigkeit. Wegen des konischen Verlaufs der Nabe ragt die dargestellte Schaufel-

hinterkante über die Nabenkontur hinaus.

Im rot markierten Bereich trifft der Spaltwirbel der Nachbarschaufel in Rotationsrich-

tung u auf den Nachlauf der betrachteten Teilung. Abbildung 50 veranschaulicht den

Weg des Spaltwirbels in Stromabrichtung bis zur Messebene 3anhand von Stromlini-

en. Die Drehrichtung des Wirbels ist der des Rotors entgegengesetzt. Zwischen dem

Einflussgebiet des Spaltwirbels und der Nachlaufdelle zeichnet sich ein weiterer Sekun-

därwirbel ab, der im Uhrzeigersinn dreht. Die Farbverläufein der Messebene 3 und auf

den Stromlinien zeigen die Änderung der spezifischen Entropie s bezogen auf einen Re-

ferenzzustand am Eintritt in das Rechengebiet.

∆s= cp ln

(T

Tre f

)−Rln

(p

pre f

)(4.12)

Der Nachlauf und die Randbereiche zeichnen sich darin durcheine erhöhte Entropie als

Folge der irreversiblen Vorgänge in den Scherschichten ab.


r

r ϕ

DSSS

u

Spaltwirbel

Sekundärwirbel

20m/s


Entropie [J/(kg K)]0 20 40 60 80 100 120

Abb. 50: Stromlinien der Spaltströmung im Laufrad


4.2.3 2D-Rechnung

Das 2D-Rechennetz für den einstufigen Axialverdichter ist in Abb. 51 dargestellt. Es um-

fasst 100 Knoten in axialer (z) und 49 Knoten in radialer (r) Richtung. Zur Nabe und zum

Gehäuse hin sind die Netzknoten verdichtet, sodass die Gradienten des Strömungsfeldes

in den Grenzschichten hinreichend genau aufgelöst sind.

Eintritt AustrittIGV Rot Sta

r

z

Abb. 51: 2D-Rechennetz

Die y+-Werte an Nabe und Gehäuse betragen minimal 35 und maximal 42. Somit be-

findet sich der erste Netzknoten innerhalb des logarithmischen Bereichs der turbulenten

Grenzschicht. In Abb. 52 sind die Verteilungen der 3D-Totaldruckverluste, die nach Gl.

(3.13) aus den dichtegewichtet in Umfangsrichtung gemittelten 3D-Ergebnissen berech-

net sind und als Vorgabe im 2D-Gittermodell dienen, über derrelativen Kanalhöhe auf-

getragen. Der rote Graph zeigt die Totaldruckverluste im Vorleitrad. Auffällig sind die

negativen Verlustbeiwerte nahe der Nabe. Aufgrund der Schleppwirkung der rotierenden

Nabe wird dem am Eintritt in den Rechenraum drallfreien Fluid Energie zugeführt, was

zu einer Erhöhung des Totaldruckes führt. Die maximalen Verluste zeigen sich in an den

Rändern der Naben- und Gehäusegrenzschicht. Diese haben ihren Ursprung in den dort

sehr stark ausgeprägten Sekundärströmungen. In der Kernströmung von 20% bis 80%

Kanalhöhe ist ein leichter Rückgang der Verluste sichtbar.Da die Teilung zum Gehäuse

hin wächst, nimmt der Anteil der Profilgrenzschicht gegenüber der Kernströmung ab und

dementsprechend reduzieren sich die Verluste.

Die Verteilung der Totaldruckverluste im Rotor zeigt der grüne Graph. In der Grenz-


0,7

0,8

0,9

1

-0,4 -0,3 -0,2 -0,1 00

0,6

0,6

0,5

0,5

0,4

0,4

0,3

0,3

0,2

0,2

0,1

0,1

IGVRotSta

ωpt [−]

h rel[−

]

Abb. 52: Vorgabe der Totaldruckverluste aus dem 3D-Strömungsfeld im 2D-Gittermodell

schicht zum Gehäuse hin treten durch die Spaltströmung die höchsten Verluste auf. In

der Kernströmung sind die Verluste etwas größer als die der anderen beiden Gitter.

Die blaue Linie markiert den Totaldruckverlust im Statorgitter. In der Kernströmung sind

die Verluste auf einem relativ niedrigen Niveau mit einem leichten Anstieg zur Nabe hin

aufgrund von Sekundärströmungen. Die hohen Verluste in derGehäusegrenzschicht re-

sultieren noch aus dem Einfluss der Spaltströmung im Rotor, die zu einer starken Brus-

tinzidenz und somit zu einer größeren Belastung in diesem Bereich führt.


4.2.4 LDST

Die Verteilungen der deterministischen Quellterme im einstufigen Verdichter sind in den

folgenden Grafiken dargestellt. Der obere Teil von Abb. 53 zeigt den LDS-Term der ra-

dialen Impulsgleichung als Farbverlauf und zusätzlich drei durch Integration der Strom-

dichte berechnete Stromlinien, die am Eintritt in etwa 10%,50% und 90% Kanalhöhe

beginnen. Der dargestellte Wertebereich des Farbverlaufsist begrenzt, sodass dieLDSTrin der Kernströmung optisch besser differenzierbar sind. Die Werte auf den drei Stromli-

nien sind im unteren Teil der Grafik über der relativen axialen Position aufgetragen. Die

mittlere axiale Ausdehnung der Schaufeln ist durch die grauhinterlegten Zonen hervor-

gehoben. Die mittleren axialen Positionen der Mischungsebenen, in denen der Wechsel

zwischen Relativ- und Absolutsystem stattfindet, sind durch die schwarzen vertikalen

Linien gekennzeichnet.

Die LDSTr auf der Stromfläche bleiben in der Kernströmung weitgehend unter 20% des

Referenzwertes, was anhand der Daten auf der Stromlinie in Kanalmitte ersichtlich wird.

In den Randbereichen zeigen sich dagegen Zonen mit sehr großen positiven oder negati-

ven Werten und dort insbesondere an den Vorderkanten der Schaufeln und den Knicken

in der Nabenkontur. Der Einfluss des Radialspaltes des Laufrades auf die Gitterströmung

erzeugt ebenfalls eine Verstärkung dieses Quellterms. DieMaximalwerte von−5 bis+5

werden am Übergang vom konischen zum geraden Verlauf der Nabenkontur stromab des

Stators erreicht. In Stromabrichtung hinter dem Stator klingt der Quellterm sehr schnell

ab, wie aus der Darstellung der 50%- und 90%-Stromlinie ersichtlich ist. Der Verlauf der

LDSTr auf der 10%-Stromlinie ist stromab von der Statorhinterkante geprägt durch den

Einfluss des Nabenknicks auf das numerische Verfahren.


-2 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2 2,5 3

0,110,120,130,140,150,160,170,180,19

-1

-1

-0,8-0,6

-0,2-0,4

0

0

0,20,40,60,81

1

r[m

]

(z−zVK)lz

[−]

LDSTr/

(ρ re f ·c

2re f

lre f

)[−]

-0,1

-0,2

-0,3

-0,4

0,1

0,2

0,3

0,4

-2 -1,5 -1 -0,5 0

0

0,5 1 1,5 2 2,5 3

IGV Rot Sta

10%50%90%

Mixing-Plane

(z−zVK)lz

[−]

LD

ST r/

(ρ r

ef·

c2 ref

l ref

)[−

]

Abb. 53: LDST der radialen Impulsgleichung


0 1 2 3 4 5

0,129

0,13

0,131

0,132

0,133

0,134

0,135

0,136

1,84 1,86 1,88 1,9 1,92 1,94 1,96 1,98 2,02-5-4-3-2-1

2

r[m

]

(z−zVK)lz

[−]

LDSTr/

(ρ re f ·c

2re f

lre f

)[−]

Abb. 54: Übergang zwischen konischem und geradem Teil der Nabenkontur

Die Ursache dieser extremen Werte am Nabenknick ist wahrscheinlich die unterschied-

liche feine Auflösung des Konturverlaufs. Das 3D-Verfahrenverwendet in Spannwei-

tenrichtung etwa viermal mehr Knoten als das 2D-Verfahren.Abbildung 54 zeigt eine

Detailansicht dieses Bereiches. In der Grafik markiert die schwarze Linie die Naben-

kontur der 3D-Rechnung mit den zugehörigen Netzknoten. Dieroten Linien sind das

Netz der 2D-Meridianströmungsrechnung. Der deterministische Quellterm der radialen

Impulsgleichung ist als Farbverlauf aufgetragen.

Die Impulsbilanz in Umfangsrichtung wird nicht im gesamtenStrömungsraum in Form

einer separaten Gleichung ausgewertet. Innerhalb des beschaufelten Ringraumes wird

diese mit dem Ansatz für das Schaufelkraftmodell (Kap. 2.2.1 und 2.2.2) zusammen mit

der axialen und der radialen Impulsgleichung gelöst. Der QuelltermLDSTu (Abb. 55) ist

daher im Gitter nicht definiert (siehe Kap. 3.1).

In Stromaufrichtung von der Schaufelvorderkante ist anhand der erhöhtenLDSTu der po-

tenzialtheoretische Einfluss des Laufrades auf die Umfangskomponente der Strömungs-

geschwindigkeit erkennbar. An der Mischungsebene bei etwa-36% relativer axialer Po-

sition verschwindet dieser Einfluss aufgrund der Umfangsmittelung und kann sich nicht

auf das Strömungsfeld weiter stromauf auswirken.


Die vom Betrag her höchsten Werte der deterministischen Quellterme in den Impuls-

bilanzen zeigen sich in der Gleichung der axialen Komponente in Abb. 56. Die ma-

ximal positivenLDSTz treten dabei im Radialspalt des Laufrades auf. Die Wirkung in

Spannweitenrichtung zur Kanalmitte hin ist allerdings sehr begrenzt, sodass auf der 90%-

Stromlinien bereits kein eindeutiger Einfluss des Spalts mehr erkennbar ist. Auf der 50%-

und 90%-Stromlinie zeichnet sich im Laufrad bei etwa 25% bis40% axialer Position

schwach die Wirkung des Überschallgebietes auf der Saugseite der Schaufel ab. In 10%

Kanalhöhe ist diese nicht mehr sichtbar. Der Verlauf des Quellterms in Stromaufrichtung

vor den Gittern macht deren Potenzialwirkung deutlich, diezu hohenLDSTz Werten und

damit zu Änderungen der axialen Geschwindigkeitskomponente führen.

Der deterministische Quellterm der Energiebilanz ist in Abb. 57 dargestellt. Der Werte-

bereich wurde auch hier in den Grafiken begrenzt, so dass dieLDSTe in der Kernströ-

mung optisch besser differenzierbar sind. Die maximalen Werte um±200 finden sich

im Bereich des Radialspaltes. Hohe Werte zeichnen sich ebenfalls an den Vorder- und

Hinterkanten der Schaufeln ab, insbesondere an der Vorderkante des Stators. Deren Ur-

sache sind die starken Gradienten im Druck- und Dichtefeld an den Staupunkten. Das

lokale Überschallgebiet mit Verdichtungsstoß auf der Saugseite bei etwa 26% bis 40%

axialer Position der Laufradbeschaufelung tritt durch hohe LDSTe deutlich hervor. Der

Einflussbereich erstreckt sich in Spannweitenrichtung vonetwa 30% Kanalhöhe bis hin

zum Radialspalt.


-2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3

0,110,120,130,14

0,15

0,160,170,180,19

-0,15-0,1-0,050

0

0,050,10,15

0,15

0,2

r[m

]

(z−zVK)lz

[−]

LDSTu/

(ρ re f ·c

2re f

lre f

)[−]

-0,12

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

-2 -1,5 -1 -0,5 0

0

0,5 1 1,5 2 2,5 3

IGV Rot Sta

10%50%90%

Mixing-Plane

(z−zVK)lz

[−]

LD

ST u/

(ρ r

ef·

c2 ref

l ref

)[−

]

Abb. 55: LDST der Impulsgleichung in Umfangsrichtung


-2 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5

0,110,120,130,140,150,160,170,180,19

-2

-1

-1

0

0

1

1

2

2

3

3

4

r[m

]

(z−zVK)lz

[−]

LDSTz/

(ρ re f ·c

2re f

lre f

)[−]

-1,6

-1,4

-1,2

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,2

0,4

0,6

0,8

-2 -1,5 -1

-1

-0,5 0

0

0,5 1 1,5 2 2,5 3

IGV Rot Sta

10%50%90%

Mixing-Plane

(z−zVK)lz

[−]

LD

ST z/

(ρ r

ef·

c2 ref

l ref

)[−

]

Abb. 56: LDST der axialen Impulsgleichung


-2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3

0,110,120,130,140,150,160,170,180,19

-50-40-30-20-100

0

1020304050

r[m

]

(z−zVK)lz

[−]

LDSTe/

(cp,re f ·Tt,re f

lre f

)[−]

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

25

-2 -1,5 -1 -0,5 0

0

0,5 1 1,5 2 2,5 3

IGV Rot Sta

10%50%90%

Mixing-Plane

(z−zVK)lz

[−]

LD

ST e/

(c p

,re

f·T t,r

ef

l ref

)[−

]

Abb. 57: LDST der Energiegleichung


Relative Mach-Zahl

0,260

0

0,2

0,4

0,4

0,6

0,8

1

1

1,2

ϕ

(z−zVK)lz

[−]

Abb. 58: Relative Mach-Zahl in 70% Spannweite der Laufradteilung

Das lokale Überschallgebiet soll in Abb. 58 durch den Farbverlauf der relativen Mach-

Zahl in 70% Spannweite über einer Laufradteilung näher betrachtet werden. Durch die

blauen Punkte ist das Profil des Laufrades in Höhe der Nabe gekennzeichnet, das als Re-

ferenz für die relative axiale Position dient. Das Überschallgebiet beginnt in etwa 30%

Sehnenlänge auf der Saugseite der Schaufel. Bei 50% Sehnenlänge wird das Fluid durch

einen senkrecht auf der Profiloberfläche stehenden Verdichtungsstoß, der sich über etwa

30% der Teilung erstreckt, in den Unterschall verzögert. Die maximale Mach-Zahl liegt

mit Marel,max= 1,2 um etwa 10% höher als die in der Auslegung (PIEPER ET AL., 1996)

berechnete. Die Mittelung des 3D-Strömungsfeldes in Umfangsrichtungϕ verschmiert

die eigentliche Stoßfront über einen Bereich von 26% bis 40%axialer Position. Die-

ses Phänomen und die daraus resultierenden Korrelationsterme wurden von LAWERENZ

ET AL . (2002) untersucht. Das umfangsgemittelte Strömungsfeldauf der repräsentativen

Meridianstromfläche ist subsonisch. Dadurch bedingt ist das lokale Überschallgebiet un-

problematisch für die Stabilität des 2D-Verfahrens.


4.2.5 Meridianströmungsrechnung mit LDST

Im Folgenden sind radiale Verteilungen der Ergebnisse der 2D-Meridianströmungsrech-

nungen im Vergleich zu dichtegewichtet umfangsgemittelten 3D-Strömungsgrößen (grü-

ne Linien) am Verdichteraustritt dargestellt. Die 3D-Daten dienen dabei als Referenz-

werte. Für die 2D-Rechnungen kommen drei verschiedene Modellansätze zur Anwen-

dung.

Die Winkel der Meridianstromfläche innerhalb der Schaufelreihen und die Gitterverlus-

te sind in allen drei Varianten eine Vorgabe aus den gemittelten 3D-Daten. Ein Modell

für den Effekt der radialen Mischung auf die Verdichterströmung wird nicht verwen-

det. Die erste Variante ohne Berücksichtigung der Schaufelblockage entspricht einem

Ductflow-Verfahren (rote Linien). Durch das Einbeziehen der Schaufelblockage in die

Bilanzgleichungen der zweiten Variante ergibt sich ein 2D-Throughflow-Verfahren ohne

Berücksichtigung der deterministischen Spannungen (schwarze Linien). Das Einbezie-

hen der deterministischen Spannungen in Form vonLDS-Termen führt dann als dritte

Variante zu einem 2D-Verfahren, in dem auch die Wirkung dreidimensionaler Phänome-

ne berücksichtigt wird (blaue Linien). Die Massenströme, die sich in den Rechnungen

mit den unterschiedlichen Modellen einstellen, sind nahezu identisch mit dem der 3D-

Rechnung ˙m= 13,45kg/s (siehe Tab. 8) mit der maximalen Abweichung von -0,22% für

das Ductflow-Modell.

Der Verlauf des Residuums in Abb. 59 zeigt in den ersten 1000 Iterationen noch starke

Schwankungen und eine insgesamt deutlich niedrigere Konvergenzrate als die Rechnung

mit dem Einzelgitter (Abb.32). Der weitere Verlauf der Rechnung verläuft allerdings mit

einer gleichmäßigen Verbesserung des Residuums bis zu Werten kleiner log10(Res2D) =

−4, sodass die Lösung als stabil und konvergent angesehen werden kann.

Abbildung 60 zeigt die Verteilung der Totaltemperatur in der Messebene 4. In der Na-

bengrenzschicht zeigen die 2D-Ergebnisse wie auch die 3D-Daten den starken Anstieg

der Totaltemperaturen durch die Mehrumlenkung des Fluidesim Laufrad aufgrund von

Sekundärströmungen und der Schleppwirkung der rotierenden Nabe. Der Einfluss der

Sekundärströmungen auf die Umlenkung des Fluides im Laufrad des 2D-Verfahrens re-

sultiert aus der Vorgabe der 3D-Stromflächengeometrie, deren Gestalt durch die drei-


-1

-2

-3

-4

-5

-60

0

1000 2000 3000 4000 5000

Iteration[−]

log 1

0(R

es 2D

)[−

]

Abb. 59: Konvergenzverlauf der 2D-Meridianströmungsrechnung

dimensionalen Strömungsphänomene beeinflusst ist. Die Abweichungen im Verlauf der

Nabengrenzschicht sind eine Folge der Wandfunktion, die im2D-Verfahren zum Einsatz

kommt.

Die 2D-Ductflow-Rechnung ergibt eine ab etwa 15% Kanalhöhe in Richtung Gehäu-

se zunehmend größere Totaltemperatur als die Rechnungen mit Schaufelblockage und

folglich eine höhere spezifische Arbeitszufuhr. Die Schaufelblockage erzeugt durch die

Versperrung des Kanalquerschnitts radiale Gradienten im Strömungsfeld. Daraus resul-

tiert eine Verschiebung der lokalen Massenstromverteilung in Richtung des Gehäuses.

Bei identischem relativen Abströmwinkel führen höhere Meridiangeschwindigkeiten zu

geringeren Dralländerungen im Fluid.

In der Gehäusegrenzschicht zeigt sich eine gegenüber den 3D-Daten deutlich erhöhte

Totaltemperatur. Die Mehrumlenkung ist dabei ein Resultataus der vorgegebenen 3D-

Stromflächengeometrie, die durch Sekundärströmungen geprägt ist. Durch das Fehlen

radialer Mischungsmechanismen bleiben die hohen Temperaturen bis zum Verdichter-

104 4 Verdichterkonfigurationenreplacements

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

305 310 315 320 325 330 335

2D3D

2D+LDST+Blockage2D+Blockageh r

el[−

]

Tt [K]


austritt bestehen. In unmittelbarer Nähe zum Gehäuse fälltdie Totaltemperatur in allen

2D-Rechnungen wieder leicht ab. Die Ursache für diesen Effekt ist die Definition der Ge-

häuserandbedingungen im Laufrad. Zur Vermeidung hoher Geschwindigkeitsgradienten

wird eine rotierende Wand definiert, was einer Laufradkonfiguration mit Deckband ent-

spricht. In der 3D-Rechnung wird eine der realen Maschine besser entsprechende, nicht

rotierende Wandrandbedingung verwendet.

Die Berücksichtigung der Schaufelblockage führt zu radialen Verteilungen der Total-

temperatur, die näher an denen der 3D-Rechnung sind. Durch das Fehlen radialer Aus-

gleichprozesse zeigen sich aber auch hier, ausgehend von den hohen Totaltemperaturen

in der Nähe der Seitenwände in Richtung Kanalmitte, Zonen mit im Vergleich zur 3D-

Rechnung reduzierten Totaltemperaturen.

Die 2D-Rechnung mit denLDST zusätzlich zur Schaufelblockage führt zu einer gu-

ten Übereinstimmung verglichen mit dem 3D-Verfahren. Die deterministischen Span-

nungen bilden die Wirkung der dreidimensionalen Strömungsphänomene in der 2D-


Meridianströmungsrechnung ab. Die dadurch entstehenden radialen Mischungsvorgänge

führen zu einer Glättung des Verlaufs in der Kernströmung. In den wandnahen Grenz-

schichten bleiben kleine Unterschiede bestehen, die auf die zuvor beschriebenen Einflüs-

se der Wandfunktion und der Modellierung eines Deckbandes für das Laufrad zurückzu-

führen sind. Abbildung 61 zeigt die radiale Verteilung des Totaldrucks in der Messebe-

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4

2D3D


el[−

]

pt [bar]


ne 4. Die Rechnungen mit dem Ductflow-Modell führen zu Totaldrücken, die oberhalb

der mit dem 3D-Modell berechneten Werte liegen. Dies ist zumeinen auf die größere

spezifische Arbeitszufuhr und zum anderen auf geringere Verluste innerhalb der Gitter

zurückzuführen. Die Beschleunigung des Fluides durch die Schaufelblockage und die

daraus resultierenden Gradienten im Geschwindigkeitsfeld verursachen zusätzliche vis-

kose Verluste. Die Verwendung der Schaufelblockage führt beim Totaldruck ebenso wie

bei der Totaltemperatur zu Ergebnissen, die sehr nahe bei denen des 3D-Modells liegen.

Insbesondere in der Gehäusegrenzschicht sind wieder die Effekte der fehlenden radialen

Austauschvorgänge sichtbar. Die Berücksichtigung derLDST im 2D-Modell führt zu ei-

ner guten Übereinstimmung mit den 3D-Ergebnissen, sowohl in der Kernströmung als


auch in den Randbereichen.

0

0,2

0,8

1

0,4

0,4

0,45 0,5 0,55 0,6

0,6

0,65

2D3D


el[−

]

Ma [−]


Die radiale Verteilung der Mach-Zahlen in der Messebene 4 ist in Abb. 62 dargestellt.

Die Ergebnisse des 2D-Modells ohne Schaufelblockage undLDSTzeigen dabei kleinere

Werte als die des 3D-Verfahrens. Daraus folgt ein deutlich höherer statischer Druck, der

am Austritt des Verdichters erreicht wird. Insgesamt ist der radiale Gradient der Mach-

Zahl kleiner als in den 3D-Daten. Die Berücksichtigung der Schaufelblockage im 2D-

Modell hat eine deutliche Annäherung des Mach-Zahl-Verlaufes an die 3D-Ergebnisse

zur Folge. Mit den deterministischen Spannungen entsprechen die 2D-Ergebnisse in gu-

ter Näherung denen der 3D-Rechnung.

5 Zusammenfassung und Ausblick 107

5 Zusammenfassung und Ausblick

In dieser Arbeit wird ein Verfahren vorgestellt, das es ermöglicht mit Hilfe von 3D-

RANS-Simulationen dreidimensionale Effekte in einem 2D-Meridianströmungsmodell

zu berücksichtigen und dieses damit zu verbessern. Dafür werden deterministische Span-

nungen und die Einflüsse der Gitter aus 3D-Rechnungen extrahiert und als Eingabe im

2D-Verfahren verwendet.

Die reale Strömung in Turbomaschinen ist instationär, reibungsbehaftet und dreidimen-

sional. Durch die Wahl geeigneter Bezugssysteme für rotierende und stehende Schau-

felgitter in Verbindung mit einer geeigneten Methode zu deren Kopplung kann die Strö-

mung allerdings auch stationär beschrieben werden. Im verwendeten 3D-Verfahren er-

folgt diese Verbindung mit dem Mischungsebenen-Ansatz. Die Einflüsse der Rotor/Sta-

tor-Interaktionen und auch die der Rotor/Rotor- bzw. Stator/Stator-Wechselwirkungen

werden nicht berücksichtigen.

Die Basis des hier verwendeten 2D-Modells bildet die dichtegewichtete Integration der

stationären RANS-Gleichungen in Umfangsrichtung. Die daraus entstehenden Bilanz-

gleichungen sind nur noch von mittleren Strömungsgrößen abhängig. Der Einfluss der

Seitenwandgrenzschichten kann somit direkt durch die Reibungsspannungen berücksich-

tigt werden. In den 2D-Gleichungen sind aufgrund der Integration zusätzliche Terme

entstanden. Zum einen sind dies Terme, die mathematisch denReynolds-Spannungen

gleichen, aber eine andere physikalische Bedeutung haben.Diese sogenannten determi-

nistischen Spannungen beinhalten die Informationen über die Abweichungen des Strö-

mungsfeldes von der Rotationssymmetrie. Zum anderen sind dies Terme auf den Integra-

tionsgrenzen, die als Körperkräfte bezeichnet werden. In unbeschaufelten Bereichen des

Strömungskanals verschwinden diese aufgrund der Rotationssymmetrie und innerhalb

der Gitter ergeben sich daraus die Schaufelkräfte.

Zur Bestimmung der zusätzlichen Terme stehen im 2D-Verfahren keine Gleichungen

zur Verfügung. So werden die Schaufelkräfte durch Gittermodelle approximiert und in

den klassischen 2D-Verfahren die Gradienten des Strömungsfeldes in Umfangsrichtung

durch die Annahme einer rotationssymmetrischen Strömung vernachlässigt. Die berech-

neten Strömungsfelder sind somit stationär und reibungsbehaftet aber zweidimensional

108 5 Zusammenfassung und Ausblick

und unbeeinflusst von dreidimensionalen Strömungsphänomenen.

In dieser Arbeit erfolgt die Berücksichtigung der dreidimensionalen Einflüsse auf die

zweidimensionale Meridianströmung durch die deterministischen Spannungsterme, die

in gebündelter Form als “Lumped Deterministic Source Term”(LDST) aus den Strö-

mungsfeldern von 3D-RANS-Simulationen berechnet werden.Dies geschieht durch Ein-

setzen der umfangsgemittelten 3D-Ergebnisse in die Bilanzgleichungen des 2D-Modells.

Die daraus resultierenden Restterme sind die LDST. Die in diesen Termen enthaltenen

Informationen sind die Unterschiede zwischen dem 3D- und dem 2D-Modell, insbe-

sondere die deterministischen Spannungen und die Abweichungen zwischen den 3D-

Schaufelkräften und dem Gittermodell.

Die dafür untersuchten Strömungsfelder sind das eines axialen Verdichtergitters, das als

Stator aufgebaut ist und das eines einstufigen Axialverdichters mit CDA-Profilierung

und Vorleitrad. Die Strömung im Einzelgitter zeichnet sichdurch eine großflächige Ab-

lösung der Grenzschicht auf der Schaufelsaugseite nahe derNabe aus. Die Analyse der

LDST beider Konfigurationen zeigt, dass diese Quell- oder Senkenterme durch lokale

nicht rotationssymmetrische Veränderungen im Strömungsfeld angefacht werden. Sol-

che Gradienten finden sich an den Vorder- und Hinterkanten der Schaufeln, in den Radi-

alspalten, im Bereich von Verdichtungsstößen und Strömungsablösungen. Stromab der

Hinterkanten klingen die Unsymmetrien ab und als Konsequenz reduzieren sich auch die

LDS-Terme.

Die Validierung der LDS-Terme erfolgt durch die Anwendung dieser Quell- und Sen-

kenterme in den 2D-Rechnungen. Der Vergleich von derart berechneten Meridianströ-

mungsfeldern mit den dichtegewichtet umfangsgemittelten3D-Ergebnissen zeigt eine

sehr gute Übereinstimmung. Die Auswirkungen der LDST und somit der dreidimensio-

nalen Phänomene auf die 2D-Meridianströmung sind die Umverteilung von Energie und

Impuls in radialer Richtung und eine Erhöhung der Strömungsverluste.

Im Hinblick auf ein weiteres Vorgehen steht die Modellbildung für die LDS-Terme im

Vordergrund. Eine Möglichkeit ist die Herleitung einer Transportgleichung für eine cha-

rakteristische Größe der LDST wie der deterministischen kinetischen Energiekdet in Ver-

bindung mit der Einführung einer Scheinviskosität, die analog zur Turbulenzmodellie-

Literatur 109

rung in die Bilanzgleichungen des 2D-Verfahrens eingebracht werden kann. Zusätzlich

ist ein geeignetes Gittermodell erforderlich, da die Umfangskomponente der Strömungs-

geschwindigkeit innerhalb der Gitter mit der Geometrie derStromfläche berechnet wird

und nicht direkt an die LDST gekoppelt ist. Der Einfluss dreidimensionaler Phänomene

auf die 2D-Stromflächengeometrie ist daher gesondert zu berücksichtigen.

Literatur

ADAMCZYK , J.J. (1985). Model Equation for Simulating Flows in Multistage Turbo-

machinery. InGas Turbine Conference and Exhibit, Nummer 85-GT-226. ASME.

ADKINS, G.G.UND L.H. SMITH (1981). Spanwise mixing in axial-flow turbomachines.

Trans. ASME Journal of Engineering for Power, 104:97–110.

AHMED, RAFFAEL (2005). Auslegung vielstufiger Axialverdichter mit parallelen Evo-

lutionsstrategien und neuronalen Netzen. Dissertation, Universität Kassel.

AHMED, RAFFAEL UND MARTIN LAWERENZ (2003). On the Aero-Mechanical Design

of Multistage Axial Compressors using Parallel Optimization Algorithms. In16th

International Symposium on Air Breathing Engines, Nummer 2003-1017.

ASHFORD, GREGORY A. UND KENNETH G. POWELL (1996). An Unstructured Grid

Generation and Adaptive Solution Technique for High-Reynolds-Number Compressi-

ble Flows. 27th Computational fluid dynamics, VKI Lecture Series 1996-6.

BARALON , S. (2000).On Multistage Analysis of Transonic Compressors: From axisym-

metric Throughflow Time-Marching to Unsteady Three-Dimensional Methods. Disser-

tation, Chalmers University of Technology, Göteborg.

BARALON , STEPHANE, ULF HALL UND LARS-ERIK ERIKSSON (1997). Viscous

Throughflow Modelling of Transsonic Compressors Using a Time-Marching Finite

Volume Solver. InAmerican Institute of Aeronautics and Astronautics.

110 Literatur

BECKER, KAI , MARTIN LAWERENZ, CHRISTIAN VOSS UND REINHARD MOENIG

(2008). MULTI-OBJECTIVE OPTIMIZATION IN AXIAL COMPRESSORDE-

SIGN USING A LINKED CFD-SOLVER. InProceedings of ASME Turbo Expo,

Nummer GT2008-51131.

BOURE, G. UND PH. GILLANT (1995). Aerodynamic Modelling of a Transonic Radial

Equilibrium of a Multistage Compressor.VDI Berichte, 1185:143–155.

BOYER, KEITH M. UND WALTER F. O’BRIAN (2002a). Application of an Improved

Streamline Curvature Approach to a Modern, Two-Stage, Transonic Fan: Comparison

with Data and CFD. InProceedings of ASME Turbo Expo, Nummer GT-2002-30383.

Amsterdam, The Netherlands.

BOYER, KEITH M. UND WALTER F. O’BRIAN (2002b). An Improved Streamline Cur-

vature Approach for Off-Design Analysis of Transonic AxialCompression Systems.

In Proceedings of ASME Turbo Expo, Nummer GT-2002-30444. Amsterdam, The Net-

herlands.

BUSBY, J., SONDAK D., B. STAUBACH UND R. DAVIS (2000). Deterministic Stress

Modeling of Hot Gas Segregation in a Turbine.Journal of Turbomachinery, 122:62–

67.

ÇETIN, M., A. S. ÜÇER, CHARLES HIRSCH UND G. K. SEROVY (1987). Application

of Modified Loss and Deviation Correlations to Transsonic Axial Compressors. In

AGARD Report, Nummer 745.

CFVIEW™, NUMECA INTERNATIONAL (2007). User Manual CFView™v8 Flow Vi-

sualization and Post-Treatment. Brussels, Belgium.

CHEN, T., P. VASANTHAKUMAR UND L. HE (2000). Analysis of unsteady Blade Row

Interaction Using Nonlinear Harmonic Approach. InASME Turbo Expo, Nummer

2000-GT-431. Munich Germany.

CUMPSTY, N. A. (2009). Some Lessons Learned. InASME Turbo Expo, Nummer

GT2009-60368.

Literatur 111

CUMPSTY, N. A. UND E. M. GREITZER (2004). Ideas and Methods of Turbomachinery

Aerodynamics: A Historical View.Journal of Propulsion and Power, 20(1):15–26.

CUMPSTY, N.A. (2004).Compressor Aerodynamics. Krieger Publishing Company.

DENTON, J.D. (1992). The Calculation of Three-Dimensional Viscous Flow Through

Multistage Turbomachines.Journal of Turbomachinery, 114:18–26.

FAY, GUDRUN (2002). Zur Berechnung der Meridianströmung subsonischer Axialver-

dichter auf der Basis der umfangsgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen. Dissertati-

on, Universität Gh Kassel.

FAY, GUDRUN, MARTIN LAWERENZ UND HANS PRZEWOZNY (1999). Calculation

of pitch averaged viscous flow in an annular compressor cascade. InComputational

Methods in Experimental Measurements IX, Seiten 185–194. Naples, Italy.

FINE™/TURBO, NUMECA INTERNATIONAL (2007). User Manual Fine™/Turbo v8

Flow Integrated Environment: Numerical Mechanics Applications. Brussels, Belgium.

FOTTNER, L. (1993). AGARD-AG-328: Advaced Methods for Cascade Testing. Advi-

sory Group for Aerospace Research & Development (AGARD).

GALLIMORE , S. J. (1986). Spanwise Mixing in Multistage Axial Flow Compressors:

Part II - Throughflow Calculations Including Mixing.Trans. ASME Journal of Turbo-

machinery, 108:10–16.

GALLIMORE , S. J.UND N. A. CUMPSTY (1986). Spanwise Mixing in Multistage Axi-

al Flow Compressors: Part I - Experimental Investigation. In Proceedings of ASME

Turbo Expo, Nummer 86-GT-20.

GALLIMORE , SIMON J, JOHN J BOLGER, NICHOLAS A CUMPSTY, MARK J TAYLOR,

PETER I WRIGHT UND JAMES M M PLACE (2002a). THE USE OF SWEEP AND

DIHEDRAL IN MULTISTAGE AXIAL FLOW COMPRESSOR BLADING PART I:

UNIVERSITY RESEARCH AND METHODS DEVELOPMENT. InProceedings of

ASME Turbo Expo, Nummer GT-2002-30328.

112 Literatur

GALLIMORE , SIMON J, JOHN J BOLGER, NICHOLAS A CUMPSTY, MARK J TAYLOR,

PETER I WRIGHT UND JAMES M M PLACE (2002b). THE USE OF SWEEP AND

DIHEDRAL IN MULTISTAGE AXIAL FLOW COMPRESSOR BLADING PART II:

LOW AND HIGH SPEED DESIGNS AND TEST VERIFICATION. InProceedings

of ASME Turbo Expo, Nummer GT-2002-30329.

GERLINGER, PETER (2005). Numerische Verbrennungssimulation. Springer-Verlag

Berlin Heidelberg.

GREIN, H. D. UND E. SCHMIDT (1994). Verlustarme Verdichterauslegung (Theorie II).

Technischer Bericht, Forschungsvereinigung Verbrennungskraftmaschinen, FVV Heft

R 566.

HALL , EDWARD J. (1997a). Aerodynamic Modeling of Multistage CompressorFlow-

fields - Part1: Analysis of Rotor/Stator/Rotor AerodynamicInteraction. InASME Tur-

bo Expo, Nummer 97-GT-344.

HALL , EDWARD J. (1997b). Aerodynamic Modeling of Multistage CompressorFlow-

fields - Part2: Modeling Deterministic Stresses. InASME Turbo Expo, Nummer 97-

GT-345.

HE, JI-HUAN (1998). Generalized Variational Principle for Compressible S2-Flow in

Mixed-Flow Turbomachinery Using Semi-Inverse Method.International Journal of

Turbo and Jet Engines, 15:101–107.

HE, L., CHEN T., R. G. WELLS, L I Y. S. UND W. NING (2002). Analysis of Rotor-

Rotor and Stator-Stator Interferences in Multi-Stage Turbomachines.Journal of Tur-

bomachinery, 124:564–571.

HENSON, VAN EMDEN (2003). Multigrid Methods For Nonlinear Problems: An Over-

view. In Computational Imaging, Band 5016 vonProceedings of the SPIE, Seiten

36–48.

HIELD , PAUL (2008). SEMI-INVERSE DESIGN APPLIED TO AN EIGHT STAGE

Literatur 113

TRANSONIC AXIAL FLOW COMPRESSOR. InProceedings of ASME Turbo Expo,


HIRSCH, CHARLES (1995a). Numerical Computation of Internal and External Flow,

Band 1: Fundamentals of Numerical Discretization. John Wiley & Sons, Chichester.

HIRSCH, CHARLES (1995b). Numerical Computation of Internal and External Flow,

Band 2: Computational methods for inviscid and viscous flows. John Wiley & Sons,

Chichester.

HIRSCH, CHARLES UND H. DECONINCK (1985). Through Flow Models for Turboma-

chines: Stream Surface and Passage Averaged Representations. InThermodynamics

and Fluid Mechanics of Turbomachines, Nummer 97A in NATO ASI Series E, Seiten

73–129. Martinus Nijhoff.

HIRSCH, CHARLES. UND J.D. DENTON (1981). Throughflow Calculations in Axial

Turbomachines. InAGARD Advisory Report, Nummer 175.

HIRSCH, CHARLES UND R.P. DRING (1987). Throughflow models for mass and mo-

mentum averaged variables. ASME paper 87-GT-52, ASME.

HOEGER, M., FOTTNER L. UND CARDAMONE P. (2002). Influence of Endwall Con-

touring on the Transonic Flow in a Compressor Blade. InASME Turbo Expo, Nummer

GT-2002-30440.

HORLOCK, J. H.UND J. D. DENTON (2005). A Review of Some Early Design Practice

Using Computational Fluid Dynamics and a Current Perspective. Journal of Turbo-

machinery, 127:5–13.

HOWARD, M. A. UND S. J. GALLIMORE (1992). Viscous Throughflow Modelling for

Multi-Stage Compressor Design. InASME Turbo Expo, Nummer 92-GT-302.

HÜBNER, J. UND L. FOTTNER (1996). Influence of Tip-Clearance, Aspect Ratio, Blade

Loading, and Inlet Boundary Layer on Secondary Losses in Compressor Cascades. In

Proceedings of ASME Turbo Expo, Nummer 96-GT-505.

114 Literatur

JAMESON, A., W. SCHMIDT UND E. TURKEL (1981). Numerical Solution of the Euler

Equations by Finite Volume Methods using Runge Kutta Time Stepping Schemes.

AIAA Paper 81-1259, Seiten 1–13.

JENNIONS, I.K. UND P. STOW (1985a). The Importance of Circumferential Non-

Uniformities in a Passage-Averaged Quasi-Three-Dimensional Turbomachinery De-

sign System. ASME paper 85-IGT-63, ASME.

JENNIONS, I.K. UND P. STOW (1985b). A Quasi-Three-Dimensional Turbomachinery

Blade Design System: Part I - Throughflow Analysis.Journal of Engineering for Gas

Turbines and Power, 107:301–307.

KHALID , S.A., A.S. KHALSA , I.A. WAITZ , C.S. TAN , E.M. GREITZER, N.A.

CUMPSTY, J.J. ADAMCZYK UND F.E. MARBLE (1999). Endwall Blockage in Axial

Compressors.Journal of Turbomachinery, 121:499–509.

LAKSHMINARAYANA , BUDUGUR (1996).Fluid Dynamics and Heat Transfer of Turbo-

machinery. Wiley-Interscience.

LAWERENZ, MARTIN , LARS FÖRSTER UNDGUDRUN FAY (2002). Umfangsgemittel-

ter Navier Stokes: Entwicklung eines Verfahrens zur Berechnung der reibungsbehafte-

ten Meridianströmung auf der Basis umfangsgemittelter Navier-Stokes-Gleichungen.

Abschlussbericht 737, FVV.

LAWERENZ, MARTIN UND JÖRG WEIDENFELLER (2004). Experimentelle Untersu-

chung der Wirbelsysteme im axialen Verzögerungsgitter unter dem Einfluß verwunde-

ner Zulaufgrenzschichten. Fortschritt-Berichte Reihe 7 Nr. 463, VDI.

LEI, V.-M., Z. S. SPAKOVSZKY UND E. M. GREITZER (2008). A Criterion for Axial

Compressor Hub-Corner Stall.ASME Journal of Turbomachinery, 130:1–10.

L IEBLEIN , SEYMOUR (1965). NASA SP-36 Aerodynamic Design of Axial Flow Com-

pressors, Kapitel VI, Experimental Flow in Two-Dimensional Cascades, Seiten 183–

226. National Aeronautics and Space Administration, Washington.

Literatur 115

MATTISKE, BERND (1994). Experimentelle Untersuchung einer mehrstufigen Axialver-

dichterbeschaufelung mit Randzonenkorrektur. Fortschritt-Berichte Reihe 7 Nr. 252,

VDI.

MCMULLIGAN , ANDREW W. UND GARY J. PAGE (2009). Large Eddy Simulation of

a Controlled-Diffusion Cascade Blade at Varying Flow InletAngles. InASME Turbo

Expo, Nummer GT2009-59668.

MENEVEAU, CHARLES UND JOSEPHKATZ (2002). A Deterministic Stress Model for

Rotor-Stator Interactions in Simulations of Average-Passage Flow.Trans. ASME Jour-

nal of Fluids and Engineering, 124(2):550–554.

MERTENS, BERNWARD UND H.E. GALLUS (1997). Mischungsvorgänge II: Radiale

Mischung für mehrstufige Axialverdichter. Abschlussbericht 648, Forschungsvereini-

gung Verbrennungskraftmaschinen FVV.

MERTENS, BERNWARD UND HEINZ E. GALLUS (1998). Mischungsvorgänge in einem

invers ausgelegten Axialverdichter: Bericht aus der Tätigkeit der Forschungsvereini-

gung Verbrennungskraftmaschinen e.V.MTZ Motortechnische Zeitschrift, 49:136–

144.

M ICHELI , MARCO, WOLFGANG KAPPIS, GIANFRANCO GUIDATI UND MARKUS

FELDERHOFF (2009). COMPRESSOR DESIGN FROM SPECIFICATION TO VA-

LIDATION - APPLICATION OF A FAST AND RELIABLE PROCESS. InASME

Turbo Expo, Nummer GT2009-59217.

MOORE, JOAN G. (1985). An Elliptic Calculation Procedure for 3D ViscousFlow. In

AGARD Lecture Series, Nummer 140.

MÖNIG, REINHARD, FRANK M ILDNER UND RALF RÖPER (2000). Viscous-Flow 2D-

Analysis Including Secondary Flow Effects. InProceedings of ASME Turbo Expo,

Nummer 2000-GT-0628.

MÜLLER-TÖWS, J. (2000).Aerodynamische Auslegung der Meridianströmung mehrstu-

116 Literatur

figer Axialverdichter mit Hilfe von Optimierungsstrategien. Dissertation, Universität

Gh Kassel.

NIEHUIS, R, G. DÖBBNER UND ZHUO WANG (2004). Modellbildung für die Ausle-

gung mehrstufiger Axialverdichter. Technischer Bericht, Forschungsvereinigung Ver-

brennungskraftmaschinen, FVV Heft 781.

OERTEL JR., HERBERT UNDECKART LAURIEN (2009).Numerische Strömungsmecha-

nik: Grundgleichungen und Modelle - Lösungsmethoden - Qualität und Genauigkeit.

Vieweg & Teubner- Studium, zweite Auflage.

OERTEL JR., HERBERT, BÖHLE MARTIN UND DOHRMANN ULRICH (2009). Strö-

mungsmechanik: Grundlagen - Grundgleichungen - Lösungsmethoden - Softwarebei-

spiele. Vieweg & Teubner: Studium.

PERRIN, G. UND F. LEBOEUF (1994). On the Transport of Spatial Fluctuation Correla-

tions in a Turbine Stator. ASME paper 94-GT-330, ASME. International Gas Turbine

and Aeroengine Congress and Exposition The Hague, Netherlands - June 13-16, 1994.

PETROVIC, M ILAN V., ALEXANDER WIEDERMANN UND M ILAN B. BANJAC (2009).

Development and Validation of a New Universal Trough Flow Method for Axial Com-

pressors. InASME Turbo Expo, Nummer GT2009-59938.

PIEPER, S., J. SCHULTE, HOYNACKI , A. UND H. E. GALLUS (1996). Experimental

investigation of a single stage axial flow compressor with controlled diffusion airfoils.

In International Gas Turbine and Aeroengine Congress and Exhibition, Nummer 96-

GT-81. Birmingham, UK.

PIEPER, STEFAN JOHANNES (1995). Erfassung instationärer Strömungsvorgänge in

einem hochtourig, invers ausgelegten einstufigen Axialverdichter mit Vorleitrad. Dis-

sertation, RWTH Aachen.

RATZLAFF, JON, PAUL D. ORKWIS, CHRISTOPHER NOLL UND GARY STEUBER

(2008). Analysis of Lumped Deterministic Source Terms and their Subcomponents

Literatur 117

in a Stage 1 High Pressure Turbine Rotor. InProceedings of ASME Turbo Expo 2008,


RIESS, W. UND T. BUBOLZ (1997). Randzonenoptimierung in Axialverdichtern. Ab-

schlussbericht 642, FVV.

RODI, WOLFGANG (2000).Turbulence Models and Their Application in Hydraulics: A

state-of-the-art review. A. A. Balkema Publishers.

SCHULTE, JOACHIM HANS GERD (1994). Experimentelle Untersuchung der statio-

nären dreidimensionalen Strömung an einem invers ausgelegten einstufigen Axialver-

dichter mit Vorleitrad. Dissertation, RWTH Aachen.

SIMON , J.-F. UND O. LEONARD (2008). On the Role of the Deterministic and Cir-

cumferential Stresses in Throughflow Calculations. InASME Turbo Expo, Nummer

GT2008-50119. Berlin, Germany.

SIMON , JEAN FRANCOIS (2007). Contribution to Throughflow Modelling for Axial

Flow Turbomachines. Dissertation, University of Liege.

SONDAK , DOUGLAS L., DANIEL J. DORNEY UND ROGERL. DAVIS (1996). Modeling

Turbomachinery Unsteadiness with Lumped Deterministic Stresses. InAIAA 32nd

Joint Propulsion Conference, Nummer 96-2570.

SPALART, PHILIPPE. R. UND E. R. ALLMARAS (1992). A One Equation Turbulence

Model for Aerodynamic Flow.AIAA, 92-0439.

STOLLENWERK, STEFAN UND DIRK NÜRNBERGER(2009). A Model for Potential De-

terministic Effects in Transsonic Compressor Flows. InASME Turbo Expo, Nummer

GT2009-60105.

STRIDH, M., L. E. ERIKKSON UND U. HALL (2003). Transfer of Unsteady and Non-

Axisymmetric Effects in Throughflow Calculations. InISABE, Nummer 2003-05-26.

STRIDH, M. UND L. E. ERIKSSON (2005). Evaluation of Modeled Deterministic Stress

118 Literatur

Terms and their Effects in a 3D Transsonic Compressor. InISABE, Nummer 2005-

1100.

STURMAYR, A. UND CH. HIRSCH (1999). Throughflow model for design and analysis

integrated in a three-dimensional Navier-Stokes solver.Journal of Power and Energy,

213(4):263–273.

THOMAS, J.P. UND O. LEONARD (2008). Investigating Circumferential Non-

Uniformities in Throughflow Calculations Using an HarmonicReconstruction. In

ASME Turbo Expo, Nummer GT2008-50328. Berlin, Germany.

TUCKER, PAUL , SIMON EASTWOOD, CHRISTIAN KLOSTERMEIER, RICHARD

JEFFERSON-LOVEDAY, JAMES TYACKE UND YAN L IU (2010a). Hybrid LES Ap-

proach for Practical Turbomachinery Flows: Part 1 - Hierarchy and Exemplar Simula-

tions. InASME Turbo Expo, Nummer GT2010-23431.

TUCKER, PAUL , SIMON EASTWOOD, CHRISTIAN KLOSTERMEIER, HAO X IA , RI-

CHARD JEFFERSON-LOVEDAY, JAMES TYACKE , PRASUN RAY UND WILLIAM

DAWES (2010b). Hybrid LES Approach for Practical TurbomachineryFlows: Part

2 - Further Applications. InASME Turbo Expo, Nummer GT2010-23807.

UELSCHEN, M ICHAEL (2000). Entwurf und Optimierung der zweidimensionalen Git-

terströmung axialer Turbomaschinenbeschaufelungen mit Neuronalen Netzen und Ge-

netischen Algorithmen. Dissertation, Universität Gh Kassel.

UZOL, OGUZ, Y I-CHIH CHOW, JOSEPH KATZ UND CHARLES MENEVEAU (2003).

Average Passage Flow Field and Deterministic Stresses in the Tip and Hub Regions of

a Multistage Turbomachine.Trans. ASME Journal of Turbomachinery, 125:714–725.

VAN DE WALL , ALLAN G., JAIKRISHNAN R. KADAMBI UND JOHN J. ADAMCZYK

(2000). A Transport Model for the Deterministic Stresses Associated with Turboma-

chinery Blade Row Interactions.Journal of Turbomachinery, 122:593–603.

VAN DE WALL , ALLEN GEORGE (1999). A Transport Model for the Deterministic

Literatur 119

Stresses Associated with Turbomachinery Blade Row Interactions. Dissertation, Case

Western Reserve University, Department of Mechanical and Aerospace Engineering.

WEIDENFELLER, JÖRG UND MARTIN LAWERENZ (2004). STUDIES ON ENDWALL

TREATMENT FOR THE GENERATION OF HIGH INCIDENCE FLOW AND ITS

INFLUENCE ON FLOW STRUCTURES IN AN ANNULAR COMPRESSOR CAS-

CADE. In ASME Turbo Expo, Nummer GT2004-53413.

WENNERSTROM, A. J. (1991). A Review of Predictive Efforts for Transport Phenomena

in Axial Flow Compressors.Journal of Turbomachinery, 113:175 – 179.

WU, C.-H. (1952). A General Theory of Three-Dimensional Flow in Subsonic and

Supersonic Turbomachines of Axial- Radial- and Mixed-FlowTypes. Technical note

2604, National Advisory Committee for Aeronautics (NACA).

Die Berücksichtigung dreidimensionaler Phänomene in einem 2D-Meridian-strömungsmodell bildet das Ziel der Arbeit. Dies wird durch deterministische Spannungsterme, die in gebündelter Formals „Lumped Deterministic Source Term“ (LDST) aus den Strömungsfeldern von 3D-RANS-Simulationen berech-net werden, erreicht. Die Terme beinhalten Informationen über die Unterschie-de zwischen dem 3D- und 2D-Modell. Dies sind im Wesentlichen die Abwei-chungen des Strömungsfeldes von der Rotationssymmetrie und Anteile, die aus dem 2D-Schaufelkraftmodell resultieren.Die im Hinblick auf die LDST untersuchten Strömungsfelder sind die eines axialen Verdichtergitters, das als Stator aufgebaut ist und einer Axialver-dichterstufe mit CDA-Profilierung und Vorleitrad. Die Strömung im Einzelgit-ter zeichnet sich durch eine großflächige Ablösung der Grenzschicht auf der Schaufelsaugseite nahe der Nabe aus und das Strömungsfeld im Laufrad der Verdichterstufe weist ein lokales Überschallgebiet auf. Die Analyse der LDST beider Konfigurationen zeigt, dass diese Quell - oder Senkenterme durch lokale nicht rotationssymmetrische Veränderungen im Strömungsfeld hervorgeru-fen werden. Solche Gradienten finden sich an den Vorder- und Hinterkanten der Schaufeln, in den Radialspalten, im Bereich von Verdichtungsstößen und Strömungsablösungen. Stromab der Hinterkanten klingen die Gradienten des Strömungsfeldes in Umfangsrichtung aufgrund von Mischungsvorgängen ab und somit auch die LDS-Terme. Die Überprüfung der aus den 3D-Rechnungen ermittelten LDS-Terme erfolgt durch die Berücksichtigung dieser Quell- oder Senkenterme im 2D-Meridi-anströmungsverfahren. Der Vergleich von derart berechneten Meridianströ-mungsfeldern mit den dichtegewichtet umfangsgemittelten 3D-Ergebnissen zeigt eine sehr gute Übereinstimmung. Die Auswirkungen der LDST und somit der dreidimensionalen Phänomene auf die 2D-Meridianströmung sind im we-sentlichen eine Umverteilung von Energie und Impuls in radialer Richtung und stehen in Verbindung mit den Strömungsverlusten.

ISBN: 978-3-86219-138-3

Ansgar WillburgerBeitrag zur Berechnung der Meridianströmung in Axialverdichtern auf der Basis der umfangs-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen unter Berücksichtigung dreidimensionaler Einflüsse

kasseluniversity

press

Documents

Ansgar Willburger - Universität Kassel: Aktuelles · Die vorliegende Arbeit wurde vom Fachbereich Maschinenbau der Universität Kassel als Dissertation zur Erlangung des akademischen