Answers - ebsi.co.kr 정답과풀이 3 02-1 ① 02-2 ⑤ 02-3 ① 02-4 ③ 02 지수함수와로그함수의활용 02-1 9≈=27{;3!;} x¤ 에서 3¤≈=3‹_3-x¤ 3¤≈=33

$Page 1: Answers - ebsi.co.kr 정답과풀이 3 02-1 ① 02-2 ⑤ 02-3 ① 02-4 ③ 02 지수함수와로그함수의활용 02-1 9≈=27{;3!;} x¤ 에서 3¤≈=3‹_3-x¤ 3¤≈=33$
A n s w e r s

EBS 수능열기 / 수학 가 [정답과 풀이]

2 수능열기 / 수학가

01-1② 01-2⑤ 01-3① 01-4②

01 지수함수와로그함수의최 , 최소

01-1

함수 y=-{;2!;}x+2

+1의그래프는함수 y={;2!;}x

의그래프를

x축에대하여대칭이동한후, x축의방향으로-2만큼, y축

의방향으로 1만큼평행이동한것이므로다음그림과같다.

따라서 x=2일때, 최대이며최댓값은

M=-{;2!;} ¤ ±¤ +1=;1!6%;

x=-1일때, 최소이며최솟값은

m=-{;2!;}—⁄ ±¤ +1=;2!;

이므로

= =;;¡8∞;;

01-2

f(x)=2≈_3—¤ ≈ ={;9@;}≈ (a…x…b)은 x의 값이 증가하면 함숫

값은감소하므로

f(x)의최댓값M=f(a)={;9@;}å

f(x)의최솟값m=f(b)={;9@;}∫

따라서 ={;9@;}å ÷{;9@;}∫ ={;9@;}å —∫

{;9@;}å —∫ = = ={;2(;};2!;

={;9@;}—;2!;

이므로3'2

3'22

Mm

;1!6%;

;2!;

Mm

y

y=- +1x+21

2{ }

O

1

x

a-b=-;2!;

01-3

함수 y=log;2!;(x¤ +2x+5)에서 밑이 ;2!;이고 0<;2!;<1이므

로 y=log;2!;(x¤ +2x+5)의진수가최소일때최댓값을갖는다.

f(x)=x¤ +2x+5=(x+1)¤ +4라하면

x=-1일때 f(x)는최솟값 4를가지므로주어진함수의최

댓값은

log;2!;4=log

;2!;{;2!;}—¤ =-2

따라서 a=-1, b=-2이므로

a¤ +b¤ =(-1)¤ +(-2)¤ =5

01-4

f(x)=log;5!;|(x+1)(x-9)|에서

밑이 ;5!;이고 0<;5!;<1이므로 0…x…7에서 |(x+1)(x-9)|

의값이최대일때, f(x)는최솟값을갖는다.

g(x)=|(x+1)(x-9)|로 놓으면 y=g(x)의 그래프는 다음

그림과같다.

따라서 0…x…7에서 함수 g(x)의 최댓값은 g(4)=25이므로

함수 f(x)의최솟값은

f(4)=log;5!;25=-2

y y=g(x)

O-1

9

16

25

4 7 9 x

Ⅰ.지수함수와로그함수본문 7쪽

유형

미적분Ⅱ

w w w . e b s i . c o . k r

정답과풀이 3

02-1① 02-2⑤ 02-3① 02-4③

02 지수함수와로그함수의활용

02-1

9≈ =27{;3!;}x¤

에서

3¤ ≈ =3‹ _3-x¤

3¤ ≈ =33-x¤

2x=3-x¤이므로 x¤ +2x-3=0

이차방정식 x¤ +2x-3=0의두근이주어진방정식의두근 a,

b이므로이차방정식의근과계수의관계에의하여

a+b=-2

02-2

한근이 1이므로 x=1을대입하면

9-4_3¤ +a=0, a=27

주어진방정식은

9≈ -4_3x+1+27=0

(3≈ )¤ -12_3x+27=0

이므로 3≈ =t (t>0)로놓으면

t¤ -12t+27=0

(t-3)(t-9)=0

t=3또는 t=9

이때 t=3≈이므로

3≈ =3또는 3≈ =9

즉, x=1또는 x=2

따라서 a=27, b=2이므로

a+b=27+2=29

02-3

로그의진수조건에의하여

x-3>0, x+3>0

즉, x>3 yy`㉠

주어진부등식에서

logå (x-3)¤ >logå(x+3)

0<a<1이므로

(x-3)¤ <x+3

x¤ -7x+6<0, (x-1)(x-6)<0

1<x<6 yy`㉡

본문 9쪽유형

㉠, ㉡에서 3<x<6

따라서모든정수 x의값의합은

4+5=9

02-4

로그의진수조건에의하여

;2{;>0, ;8{;>0이므로 x>0 yy`㉠

{log™ ;2{;} ¤ -log™ ;8{;-2=0에서

(log™ x-log™ 2)¤ -(log™ x-log™ 8)-2=0

(log™ x-1)¤ -(log™ x-3)-2=0

(log™ x)¤ -3 log™ x+2=0

이때 log™ x=t로놓으면

t¤ -3t+2=0

(t-1)(t-2)=0

t=1또는 t=2

log™ x=t=1에서 x=2

log™ x=t=2에서 x=4

x=2, x=4는㉠을만족시키므로주어진방정식의근이다.

따라서서로다른모든실근의합은

2+4=6


03-1 8 03-2④ 03-3 15 03-4 201

03 지수함수와로그함수를활용한외적문제

본문 11쪽유형

03-1

L=10일때, T=;2!;Tº이므로

;2!;Tº=Tº_a⁄ ‚

따라서 a⁄ ‚ =;2!;

L=p일때, T=t¡이므로

t¡=Tº_aπ yy`㉠

L=p+30일때, T=t™이므로

t™=Tº_aπ ±‹ ‚

t™=Tº_aπ _a‹ ‚ yy`㉡

㉠, ㉡에서

=

= =(a⁄ ‚ )—‹

={;2!;}—‹ =2‹

=8

03-2

배양한지 2시간후의박테리아의개체수가 5n이므로

5n=n_2¤ ˚`에서 2¤ ˚ =5

즉, 2 ='5

5시간후의박테리아의개체수N은

N=n_2fi ˚ =n(2 )fi =n('5)fi =25'5n

따라서 5시간후의개체수는처음개체수의 25'5배이다.

03-3

t=0일때, p=0.1이므로

0.1= =

1+k=10

k=9

n주가지난후의물의오염도가 0.64이상이되었다고하면

t=n일때, pæ0.64이므로

æ0.641

1+9_10-;1¡2;n

11+k

11+k_10‚

1a‹ ‚

Tº_aπTº_aπ _a‹ ‚

t¡t™

1+9_10-;1¡2; n…;1@6%;

10-;1¡2; n…;1¡6;

양변에상용로그를취하면

-;1¡2;n…log ;1¡6;

-;1¡2;n…-4 log 2

næ48 log 2=48_0.3010=14.4480이므로

자연수 n의최솟값은 15이다.

03-4

R¡=0.67 log(0.37E¡)+1.46

R™=0.67 log(0.37E™)+1.46

R¡-R™=0.67{log(0.37E¡)-log(0.37E™)}

R¡-R™=0.67 log

R¡-R™=0.67 log 2 (E¡=2E™에의해서)

=0.67_0.3010

=0.20167

따라서 [1000k]=[201.67]=201

E¡E™


정답과풀이 5

04-1④ 04-2③ 04-3① 04-4③

04 지수함수와로그함수의극한

04 -1

=

=;4!; [ + + ]

= =;4(;

04 -2

= ln(1+3x);3¡[;

=ln e=1 yy㉠

에서 e¤ ≈ -1=t라하면 x=;2!;ln(1+t)이므로

=

= ln(1+t);t!;

=ln e=1 yy㉡

㉠, ㉡에서

= [ _ _;2#;]

=;2#;

=;2#;_1_1=;2#;

04-3

= [ _ ]2x+8x¤

xln (1+2x+8x¤ )

2x+8x¤limx ⁄0

ln (1+2x+8x¤ )x

limx ⁄0

2xe¤ ≈ -1

limx ⁄0

ln(1+3x)3x

limx ⁄0

2xe¤ ≈ -1

ln(1+3x)3x

limx ⁄0

ln(1+3x)e2x-1

limx ⁄0

limt ⁄0

ln(1+t)t

limt ⁄0

2xe¤ ≈ -1

limx ⁄0

2xe¤ ≈ -1

limx ⁄0

limx ⁄0

ln(1+3x)3x

limx ⁄0

1+3+5

4

5 ln(1+5x)5x

3 ln(1+3x)3x

ln(1+x)x

limx ⁄0

ln(1+x)+ln(1+3x)+ln(1+5x)111111111111111334x

e› ≈ -111134x

limx ⁄0

ln(1+x)(1+3x)(1+5x)e› ≈ -1

limx ⁄0

본문 13쪽유형 = (2+8x)

=1_2=2

04-4

f(x)(e¤ ≈ -1)

= [ f(x)ln(1+3x)_ ]

= f(x)ln(1+3x)_

= f(x)ln(1+3x)_

=5_

=;;¡3º;;

1_21_3

)}0

e¤ ≈ -11133_22xln(1+3x)11111_3

3x

({9

limx ⁄0

)}0

e¤ ≈ -11133xln(1+3x)11111x

({9

limx ⁄0

e¤ ≈ -1ln (1+3x)

limx ⁄0

limx ⁄0

limx ⁄0

ln(1+2x+8x¤ )2x+8x¤

limx ⁄0


b lnx=0에서 b lna=0

b+0이므로 a=1

=

= { _ }

=;2!; =1

따라서 =2

이때 f(x)=b lnx라하면 `f(1)=0이므로

= =f '(1)=2

즉, f '(x)=;[B;이므로

f '(1)=;1B;=2, b=2

따라서 a¤ +b¤ =1+4=5

05-4

=b에서 x ⁄ 1일때(분모)⁄ 0이므로

(분자)⁄ 0이어야한다.

f(1)-2=a-2=0, a=2

f(x)=x lnx+2x에서 f '(x)=3+lnx이므로

=

= _

=;2!;f '(1)=;2!;_3

=;2#;=b

따라서 a+b=2+;2#;=;2&;

f(x)-f(1)x-1

limx⁄1

1x+1

limx ⁄1

f(x)-f(1)(x-1)(x+1)

limx ⁄1

f(x)-2x¤ -1

limx ⁄1

f(x)-2x¤ -1

limx ⁄1

f(x)-f(1)x-1

limx ⁄1

b lnxx-1

limx ⁄1

b lnxx-1

limx ⁄1

b lnxx-1

limx ⁄1

b lnxx-1

1x+1

limx ⁄1

b lnxx¤ -1¤

limx ⁄1

b lnxx¤ -a¤

limx ⁄a

limx ⁄a

05-1⑤ 05-2① 05-3③ 05-4③

05 지수함수와로그함수의미분

05-1

f(x)=(x¤ +x-1)e≈ ±⁄에서

f '(x)=(2x+1)e≈ ±⁄ +(x¤ +x-1)e≈ ±⁄

=(x¤ +3x)e≈ ±⁄

=x(x+3)e≈ ±⁄

f '(x)=x(x+3)e≈ ±⁄ =0에서 e≈ ±⁄ >0이므로

x=0또는 x=-3

따라서

f(a)_f(b)=f(0)_f(-3)

f(a)_f(b)=(-e)_5e—¤

f(a)_f(b)=-;e%;

05-2

=b에서 x ⁄ 1일때,

(분모)⁄ 0이므로(분자)⁄ 0이어야한다.

즉, f(1)-1=a+2-1=0, a=-1

따라서 f(x)=2≈ -x

f'(x)=2≈ ln 2-1에서

f '(1)=2 ln 2-1

=

= _

= =

=ln 2-;2!;=b

따라서

a+b=(-1)+{ln 2-;2!;}

a+b=ln 2-;2#;

05-3

=1에서x→ a일때(분모) → 0이므로

(분자) → 0이어야한다.

b lnxx¤ -a¤

limx⁄a

2 ln 2-12

f'(1)2

1x+1

limx ⁄1

f(x)-f(1)x-1

limx ⁄1

f(x)-f(1)(x-1)(x+1)

limx ⁄1

f(x)-1x¤ -1

limx ⁄1

f(x)-1x¤ -1

limx ⁄1

본문 15쪽유형


정답과풀이 7

06-1

sin h+cos h= 의양변을제곱하면

sin¤ h+2sin h cos h+cos¤ h=;2!;이므로

sin hcos h=-;4!;

따라서

+ =

+ =

+ = =

=14

06-2

cos h+0이므로주어진식의분모, 분자를 cos h로각각나누면

=

=

=

= =-3

06-3

=3-2'2에서

3+tan h= =

3+tan h=3+2'2

즉, tan h=2'2

3+2'2

(3-2'2)(3+2'2)

1

3-2'2

13+tan h

9-3

1-2_(-4)2_(-4)+5

1-2 tan h2 tan h+5

sin h1-2_1133

cos hsin h

2_1133+5cos h

cos h-2sin h2 sin h+5cos h

;8&;

;1¡6;

1¤ -2{-;4!;}¤

{-;4!;}¤

(sin¤ h+cos¤ h)¤ -2sin¤ hcos¤ hsin¤ hcos¤ h

sin› h+cos› hsin¤ hcos¤ h

cos¤ hsin¤ h

sin¤ hcos¤ h

'22

tan h= =2'2이므로

sin h=2'2 cos h yy`㉠㉠

sin¤ h+cos¤ h=1에㉠을대입하면

8 cos¤ h+cos¤ h=1이므로

cos¤ h=;9!;

p<h<;2#;p에서 cos h<0이므로 cos h=-;3!;

tan h= 에서

sin h=tan h cos h=2'2_{-;3!;}=- 이므로

sin h+cos h=- +{-;3!;}=-

06-4

이차방정식의근과계수의관계에의하여

sin h+cos h=-

양변을제곱하면

sin¤ h+2sin hcos h+cos¤ h=;2!;

1+2 sin hcos h=;2!;이므로

sin hcos h=-;4!;

h가제2사분면의각이므로

sin h>0, cos h<0

즉, sin h-cos h>0

(sin h-cos h)¤ =sin¤ h-2sin hcos h+cos¤ h

(sin h-cos h)¤ =1-2 sin hcos h

(sin h-cos h)¤ =1-2_{-;4!;}=;2#;

sin h-cos h=æ;2#;= 이므로

sin¤ h-cos¤ h=(sin h-cos h)(sin h+cos h)

sin¤ h-cos¤ h= _{- }

sin¤ h-cos¤ h=-'3

2

'2

2

'6

2

'6

2

'2

2

1+2'2

32'23

2'23

sin hcos h

sin hcos h

06-1 14 06-2③ 06-3② 06-4①

06 삼각함수의뜻

본문 17쪽유형

Ⅱ.삼각함수


07-3

cos x=0이면주어진부등식은성립하지않으므로

cosx+0

따라서 cos¤ x>0

주어진부등식을 cos¤ x로나누면

3tan ¤ x-4'3 tan x+3<0

(3tan x-'3)(tan x-'3)<0

<tan x<'3

-;6%;p<x<-;3@;p또는 ;6“;<x<;3“;

따라서

a+b+c+d={-;6%;p}+{-;3@;p}+;6“;+;3“;

a+b+c+d=-p

07-4

sin ¤ x+3cos x+a-12…0에서

(1-cos¤ x)+3cos x+a-12…0

cos¤ x-3cos x+11-aæ0

이때 cos x=t로놓으면

f(t)=t¤ -3t+11-a

f(t)={t-;2#;}¤ +;;£4∞;;-a (-1…t…1)

y=f(t)는 t=1일때최솟값 f(1)=9-a를갖는다.

따라서-1…t…1에서부등식 t¤ -3t+11-aæ0이항상성립

하려면 9-aæ0을만족해야한다.

a…9이므로양의정수 a의개수는 9이다.

'3

3

07-1⑤ 07-2 ;2%;p 07-3 -p 07-4④

07 삼각함수의활용

07-1

sin x+'3 cos x=0에서

=-'3, tan x=-'3

방정식 tan x=-'3의해는 y=tan x의그래프와직선

y=-'3의교점의 x좌표와같다.

그래프의주기성을이용하여 y=tanx의그래프와직선

y=-'3의교점의 x좌표를구하면다음과같다.

p-;3“;=;3@;p, 2p-;3“;=;3%;p

즉, x=;3@;p또는 x=;3%;p

따라서

tan(a+b)=tan ;3&;p

tan(a+b)=tan ;3“;='3

07-2

2cos ¤ x-sin x-1=0에서

2(1-sin ¤ x)-sin x-1=0

2sin¤ x+sin x-1=0

(sin x+1)(2 sin x-1)=0이므로

sin x=-1또는 sin x=;2!;

sin x=-1에서 x=;2#;p

sin x=;2!;에서 x=;6“; 또는 x=;6%;p

따라서모든 x의값의합은

;2#;p+;6“;+;6%;p=;2%;p

y=tan xy

xO p3

'3

-'3 y=-'3

p2

23p

32p

53pp 2p

sin xcos x

본문 19쪽유형


정답과풀이 9

08-3

0<a<;2“;, ;2#;p<b<2p에서 cosa>0, sinb<0이므로

cosa="1 √-sin¤ a=Æ1…-;9!;=

sinb=-"1√-cos¤ b=-Æ1…-;9$;=-

따라서

sin (a-b)=sinacosb-cosasinb

sin (a-b)=;3!;_;3@;- _{- }

sin (a-b)=

08-4

두직선 y=-2x+3과 y=3x가 x축의양의방향과이루는

각의크기를각각 h¡, h™라하면

tanh¡=-2, tanh™=3

h=h¡-h™이므로

tanh=tan(h¡-h™)

tanh=

tanh=

tanh=1

따라서 h=;4“;

-2-31+(-2)_3

tanh¡-tanh™1+tanh¡ tan h™

y y=3xy=-2x+3

h™ h¡

h

O x

2+2'1å09

'53

2'23

'53

2'23

08-1④ 08-2⑤ 08-3⑤ 08-4③

08 삼각함수의덧셈정리

08-1

tana= =-;4#;, tanb= =;3$;이므로

tan(a+b)=

tan(a+b)=

tan(a+b)=;2¶4;

08-2

∠PDC=a, ∠QDC=b라하면

h=a-b

DP”="√2¤ +4¤ =2'5이므로

sin a= = , cos a=

DQ”="√3¤ +4¤ =5이므로

sin b=;5#;, cos b=;5$;

따라서

sin h=sin (a-b)

sin h=sin a`cos b-cos a`sin b

sin h= _;5$;- _;5#;

sin h= ='55

1'5

1'5

2'5

1'5

2'5

42'5

-;4#;+;3$;

1-{-;4#;}_;3$;

tana+tanb1-tana tanb

-4-3

3-4

y

O

B

A

-4-3

3

-4

xab

본문 21쪽유형


=

= [ _(1+cos 3x)]

= [ { } 2_ _;9A;_(1+cos 3x)]

=1_1_;9A;_2

= =;3!;

= =;3!;

따라서 a=;2#;

09-4

x⁄ ;4“;일때, 함수 는 0이아닌극한값이존재하고

cos 2x=0이므로 (ax+b)=0

이어야한다. 즉, ;4“;a+b=0이므로 b=-;4“; a이고,

=

이때 x-;4“;=t로놓으면 x⁄ ;4“;일때, t⁄ 0이므로

=

=

=

=-;a@;

=-;a@;=;2!;

a=-4, b=p이므로

a+b=-4+p

sin2t2t

limt ⁄0

-sin2tat

limt ⁄0

cos {;2“;+2t}

atlimt ⁄0

cos2{t+;4“;}

atlimt ⁄0

cos 2x

{x-;4“;}alim

px⁄1

4

cos 2x

{x-;4“;}alim

px⁄1

4

cos 2xax+b

limp

x⁄14

limp

x⁄14

limp

x⁄14

cos 2xax+b

2a9

2a9

ln (1+ax)ax

3xsin 3xlim

x⁄0

x ln (1+ax)sin¤ 3x

limx⁄0

x ln (1+ax)_(1+cos 3x)1-cos¤ 3x

limx⁄0

09-1 ;2!; 09-2① 09-3② 09-4①

09 삼각함수의극한

09-1

=

=

=

= { _ _ }

=1_1_;2!;

=;2!;

09-2

에서

x-p=t로놓으면 x ⁄p일때 t⁄0이므로

=

=

=

=

=

= { }¤_ _ {2(1+cos t)}

=1_1_4=4

09-3

=x ln (1+ax)_(1+cos 3x)(1-cos 3x)(1+cos 3x)

limx⁄0

x ln (1+ax)1-cos 3xlim

x⁄0

limt⁄0

sin 2t2tlim

t⁄0

tsin tlim

t⁄0

t sin 2t(1+cos t)sin¤ t

limt⁄0

t sin 2t(1+cos t)1-cos¤ t

limt⁄0

t sin 2t(1+cos t)(1-cos t)(1+cos t)lim

t⁄0

t sin 2t1-cos tlim

t⁄0

t sin 2(p+t)1+cos(p+t)lim

t⁄0

(x-p)sin 2x1+cosxlim

x ⁄p

(x-p)sin 2x1+cosxlim

x ⁄p

1

1+cos xsinxx

sinxx

limx ⁄0

sin¤ xx¤ (1+cos x)

limx ⁄0

1-cos¤ xx¤ (1+cos x)

limx ⁄0

(1-cos x)(1+cos x)x¤ (1+cos x)

limx ⁄0

1-cosxx¤

limx ⁄0

본문 23쪽유형


정답과풀이 11

= =f '(1)

또한

=

=;2!;

=-;2!;

㉠에서 f'(1)_{-;2!;}=4이므로

f'(1)=-8

한편, f(-x)=f(x)의양변을 x에대하여미분하면

-f '(-x)=f '(x)

즉, f '(-x)=-f '(x)

따라서 f '(-1)=-f '(1)=8

-sin¤ xx¤

limx ⁄0

cos¤ x-1x¤ (cos x+1)

limx ⁄0

cos x-1x¤

limx ⁄0

f(t)-f(1)t-1

limt ⁄1

f(cos x)-f(1)cos x-1

limx ⁄0

10-1③ 10-2④ 10-3① 10-4①

10 삼각함수의미분

10-1

f(x)=(1+sinx) cosx에서

f '(x)=cos¤ x+(1+sinx)(-sinx)

따라서 f '{;6“;}={ }¤ +{1+;2!;}{-;2!;}=0

10-2

f(x)=(1+cos x)sinx에서

f'(x)=(-sin x)sin x+(1+cos x)cosx

f'(x)=-sin ¤ x+cos x+cos¤ x

f'(x)=-(1-cos¤ x)+cos x+cos¤ x

f'(x)=2 cos ¤ x+cos x-1

f'(x)=(2 cos x-1)(cos x+1)

f'(x)=0에서 cos x=;2!;또는 cos x=-1

0…x…2p에서 x=;3“;또는 x=;3%;p또는 x=p

따라서 ;3“;+;3%;p+p=3p

10-3

f '(x)=(x)'sin x+x(sin x)'

f '(x)=sin x+x cosx

따라서 f '(p)=sinp+pcosp=-p

10-4

=4에서 x⁄ 0일때, (분모)⁄ 0이므로

(분자)⁄ 0이어야한다.

즉, f(1)=2

=

= [ _ ]

=4 yy㉠㉠

여기서 cos x=t로놓으면 x⁄ 0일때 t ⁄ 1이므로

cos x-1x¤

f(cos x)-f(1)cos x-1

limx ⁄0

f(cos x)-f(1)x¤

limx ⁄0

f(cos x)-2x¤

limx ⁄0

f(cos x)-2x¤

limx ⁄0

'32

본문 25쪽유형


따라서

h'(1)=g'( f(1))f'(1)

=g'(2)f'(1)

=4g'(2)

=4_3=12

11-3

f(x¤ -1)-f(x¤ -x)=2x‹ -3x¤ +2x-1

의양변을 x에대하여미분하면

f '(x¤ -1)_2x-f'(x¤ -x)_(2x-1)

=6x¤ -6x+2 yy`㉠㉠

㉠에 x=0을대입하면

f '(-1)_0-f '(0)_(-1)=2이므로

f '(0)=2

㉠에 x=-1을대입하면

f '(0)_(-2)-f '(2)_(-3)=14

3f '(2)=14+2f '(0)=14+2_2=18

따라서 f '(2)=6

11-4

f(g(x))=h(x)로놓으면

h(2)=f(g(2))=f(3)=-2

=

=h'(2)

h'(x)=f '(g(x))g'(x)이므로

h'(2)=f '(g(2))g'(2)

h'(2)=f '(3)g'(2)

h'(2)=5_4=20

h(x)-h(2)x-2

limx⁄2

f(g(x))+2x-2

limx⁄2

11-1③ 11-2 12 11-3② 11-4⑤

11 합성함수의미분법

11-1

=3에서 x⁄-1일때(분모)⁄0이므로

(분자)⁄0이어야한다.

즉, { f(x)+2}=0

함수 f(x)가 x=-1에서연속이므로

{ f(x)+2}=f(-1)+2=0에서

f(-1)=-2

따라서

=

=f'(-1)=3

f { }에서 g(x)= 로놓으면

f { }=f(g(x))

f { }= f(g(x))

f { }=f'(g(x))g'(x)

f { }=f'{ }_{- }

f { }=- f'{ }

따라서함수 f { }의 x=-1에서의미분계수는

- _f '{ }=-f'(-1)

- _f '{ }=-3

11-2

f(x)=x¤ +2x-1에서

f '(x)=2x+2

h(x)=g( f(x))에서

h'(x)=g'( f(x))f'(x)

1-1

1(-1)¤

1x

1x

1x¤

1x¤

1x

ddx

1x

ddx

1x

1x

1x

f(x)-f(-1)x-(-1)

limx⁄-1

f(x)+2x+1lim

x⁄-1

limx⁄-1

limx⁄-1

f(x)+2x+1lim

x⁄-1

본문 27쪽유형

Ⅲ.미분법


정답과풀이 13

f(g(x))=x

위식의양변을 x에대하여미분하면

f '(g(x))g '(x)=1

따라서 g '(x)=

f '(x)=1+{ f(x)}¤에서 x대신 g(x)를대입하면

f '(g(x))=1+{ f(g(x))}¤ =1+x¤

g '(x)= = 이므로

10g '(2)=10_ =2

12-4

f(x)=x‹ +x¤ +2x+1=1에서

x‹ +x¤ +2x=x(x¤ +x+2)=0

x¤ +x+2+0이므로 x=0

따라서 f(0)=1이므로

a=g(1)=0

f'(x)=3x¤ +2x+2에서 f '(0)=2이므로 역함수의 미분법에

의하여

g'(1)= =;2!;

그런데 곡선 y=g(x) 위의 점 (1, 0)에서의 접선의 기울기는

g'(1)의값과같으므로

b=;2!;

따라서 a+b=0+;2!;=;2!;

1f'(0)

11+2¤

11+x¤

1f '(g(x))

1f '(g(x))

12-1③ 12-2③ 12-3 2 12-4①

12 역함수의미분법

12-1

=6에서 x⁄2일때(분모)⁄0이므로

(분자)⁄0이어야한다.

즉, g(2)=5

=

=g'(2)=6

한편역함수의미분법에의하여

f '(5)= =;6!;

함수 f(x)의역함수가 g(x)이므로

f(5)=2

따라서 f(5)_f '(5)=2_;6!;=;3!;

12-2

점 (1, k)가곡선 x=(8y‹ +2)fi을지나므로

1=(8k‹ +2)fi에서 8k‹ +2=1

즉, k‹ +;8!;=0

k는실수이므로

k=-;2!;

=5(8y‹ +2)› (8y‹ +2)'

=120y¤ (8y‹ +2)›

이므로

=

= {단, y+0, y‹ +-;4!;} yy㉠㉠

㉠`에 y=-;2!;을대입하면

=;3¡0;

12-3

g(x)가 f(x)의역함수이므로

dydx

1120y¤ (8y‹ +2)›

1dxdy

dydx

dxdy

1g'(2)

g(x)-g(2)x-2lim

x⁄2

g(x)-5x-2lim

x⁄2

g(x)-5x-2lim

x⁄2

본문 29쪽유형


13-3

f(x)= 로놓으면

f '(x)= =

f'(x)=-

이므로 f '(1)=f'(3)=-2

따라서점 (1, -1)에서의접선 l¡의방정식은

y-(-1)=-2(x-1), y=-2x+1

점 (3, 3)에서의접선 l™의방정식은

y-3=-2(x-3), y=-2x+9

두직선 l¡, l™의 x절편은각각 ;2!;, ;2(;이고 y절편은각각 1,

9이므로두직선 l¡, l™와 x축및 y축으로둘러싸인도형의넓

이는

;2!;_;2(;_9-;2!;_;2!;_1=;;•4¡;;-;4!;=;;•4º;;=20

13-4

f(x)=ln(ax+2), g(x)=-lnx‹ +b라하면

f '(x)= , g '(x)=-;[#;

두곡선이점A(1, c)에서만나므로

f(1)=g(1)에서

ln(a+2)=b yy`㉠㉠

또두곡선 y=f(x), y=g(x)에대하여점A에서의접선이서

로수직이므로

f '(1)g '(1)=-1에서

_(-3)=-1이므로

a=1

㉠에서 b=ln(a+2)=ln3

f(1)=ln3=c

따라서 ab+c=1_ln3+ln3=2ln 3=ln 3¤=ln9

aa+2

aax+2

2(x-2)¤

(x-2)-x(x-2)¤

(x)'(x-2)-x(x-2)'(x-2)¤

xx-2

yl¡ l™ y=

y=-2x+9y=-2x+1

xx-2

O

9

1

12

x92

13-1⑤ 13-2④ 13-3 20 13-4④

13 접선의방정식

13-1

y=2x+ln x에서 y'=2+;[!;

곡선 y=2x+ln x위의접점의좌표를 (t, 2t+ln t)로놓으면

접선의기울기가 2+;t!;이므로접선의방정식은

y={2+;t!;}(x-t)+2t+ln t yy㉠㉠

직선㉠은점 (0, -1)을지나므로

-1={2+;t!;}(0-t)+2t+ln t

-1=-2t-1+2t+ln t

ln t=0, t=1

t=1을㉠에대입하면

y=3(x-1)+2

즉, y=3x-1

따라서접선 y=3x-1이점 (2, a)를지나므로

a=3_2-1=5

13-2

함수 y='2sinx에서 y'='2cosx이므로점 {;4“;, 1}에서의접

선의기울기는 '2cos ;4“;=1

그러므로점 {;4“;, 1}에서의접선의방정식은

y-1=1_{x-;4“;}

y=x-;4“;+1

이접선이원 (x-a)¤ +{y-;4“;}¤ =1의중심을지나므로원의

중심의좌표 {a, ;4“;}를접선의방정식 y=x-;4“;+1에대입하면

;4“;=a-;4“;+1

따라서 a=;4“;+;4“;-1=;2“;-1

본문 31쪽유형


정답과풀이 15

즉, f(x)= 에서

M=f(3)=;2!;, m=f {-;3!;}=-;2(;

따라서M+m=;2!;+{-;2(;}=-4

14-3

함수 f(x)=2x lnx+(3-2x) ln(3-2x)에서

f '(x)

=2 lnx+2x_;[!;+(-2)_ln(3-2x)+(3-2x)_

=2 lnx-2 ln(3-2x)

=2 ln {0<x<;2#;}

f '(x)=0에서 =1, x=1

함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.

따라서함수 f(x)는 x=1에서극솟값 0을가지므로

a=1, b=0

따라서 a+b=1

14-4

f(x)=2cos 2x+4 sinx(0<x<p)에서

f '(x)=-4 sin 2x+4cosx

=-8 sinxcosx+4cosx

=4cosx(1-2 sinx)

f '(x)=0에서 cosx=0또는 sinx=;2!;이므로

x=;2“;또는 x=;6“;또는 x=;6%;p


x3-2x

x3-2x

-23-2x

3x-4x¤ +1

14-1② 14-2④ 14-3① 14-4②

14 함수의극 와극소

14-1

함수 f(x)=2xe-;2!;x¤의정의역은실수전체의집합이다.

f(x)=2xe-;2!;x¤에서

f '(x)=2e-;2!;x¤+2xe-;2!;x¤ (-x)

f'(x)=(2-2x¤ )e-;2!;x¤

f '(x)=-2(x+1)(x-1)e-;2!;x¤

f '(x)=0에서 x=-1또는 x=1


함수 f(x)는 x=-1에서극소이고, x=1에서극대이므로

극솟값은 m=f(-1)=-2e-;2!;이고,

극댓값은 M=f(1)=2e-;2!;이다.

따라서 M-m=2e-;2!;-(-2e-;2!;)=4e-;2!;

14-2

f(x)= 에서

f '(x)=

f '(x)=

함수 f(x)가 x=3에서극값을가지므로

f '(3)= =0

6a=-24, a=-4

f '(x)=

f '(x)=

f '(x)=0에서 x=-;3!; 또는 x=3


-(3x+1)(x-3)(x¤ +1)¤

-3x¤ +8x+3(x¤ +1)¤

-27-6a+3100

-3x¤ -2ax+3(x¤ +1)¤

3(x¤ +1)-(3x+a)_2x(x¤ +1)¤

3x+ax¤ +1

본문 33쪽유형

x y -1 y 1 y

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

x y -;3!; y 3 y

- 0 + 0 -

↘ 극소 ↗ 극대 ↘

f '(x)

f(x)

x (0) y 1 y { }32

- 0 +

↘ 0 ↗

f '(x)

f(x)


따라서함수` f(x)는 x=;6“;에서극댓값 3,

x=;2“;에서극솟값 2,

x=;6%;p에서극댓값 3을가지므로

a=;2“;, b=2

따라서 ab=;2“;_2=p

x

f'(x)

f(x)

(0) y

+

↗

;6“;

0

3

y

-

↘

;2 “;

0

2

y

+

↗

;6%;p

0

3

y

-

↘

(p)

15-1④ 15-2 20 15-3③ 15-4③

15 함수의최 와최소

15-1

함수 f(x)=ax+acos2x에서

f '(x)=a-2a sin2x

f'(x)=0에서 sin2x=;2!;

0…x…;4“;이므로 x=;1…2;


f(0)=a, f{;4“;}=;4A;p이고, 양수 a에대하여 a>;4A;p이므로

함수 f(x)의최솟값은 ;4A;p이다.

즉, ;4A;p=p이므로 a=4

15-2

f(x)=e¤ ≈ -2e≈ -4x에서

f'(x)=2e¤ ≈ -2e≈ -4=2(e¤ ≈ -e≈ -2)

f'(x)=2(e≈ +1)(e≈ -2)

f'(x)=0에서 e≈ =2이므로 x=ln2

닫힌구간 [0, ln 4]에서함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내

면다음과같다.

따라서함수 f(x)는 x=ln4일때최댓값 8-8 ln 2,

x=ln 2일때최솟값-4 ln 2를가지므로

M=8-8 ln 2, m=-4 ln 2

M+m=8-8 ln 2+(-4 ln 2)=8-12 ln 2

a=8, b=-12이므로 a-b=8-(-12)=20

본문 35쪽유형

x 0 y y p4

p12

+ 0 -

a ↗ 극대 ↘ ;4A;p

f '(x)

f(x)

x

f(x)

f'(x)

0 y ln2 y ln4

-1 ↘ -4 ln 2 ↗ 8-8 ln 2

- - 0 + +


정답과풀이 17

15-3

f '(x)= =

f '(x)=0`에서 ln x=1, x=e

닫힌구간 [;e!;, e¤ ]에서함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내

면다음과같다.

함수 f(x)는닫힌구간 [;e!;, e¤ ]에서양끝에서의함숫값

f {;e!;}=-ae, f(e¤ )= 이고극댓값 f(e)=;eA;이다.

따라서 a>0이므로최댓값 M=;eA;, 최솟값 m=-ae이다.

Mm=;eA;_(-ae)=-a¤ =-3, a¤ =3

a>0이므로 a='3

15-4

f(x)='2e≈ cosx에서

f '(x)='2 {e≈ cosx+e≈ (-sinx)}

='2e≈ (cosx-sinx)

f'(x)=0에서 cosx=sinx

0…x…2p일때, x=;4“;또는 x=;4%;p


함수 f(x)는 x=;4“;에서극대이고, x=;4%;p에서극소이므로

극댓값과극솟값은각각

f {;4“;}='2e;4“;cos ;4“;=e;4“;, f {;4%;p}='2e;4%;pcos ;4%;p=-e;4%;p

구간의양끝점에서의함숫값은

f(0)='2e‚ cos0='2, f(2p)='2e2pcos2p='2e2p

이므로최댓값은 M='2e2p, 최솟값은 m=-e;4%;p이다.

따라서 = =-'2e;4#;p'2e2p

-e;4%;p

Mm

2ae¤

a(1-ln x)x¤

;[A;_x-a ln x

x¤ 16-1② 16-2 2 16-3② 16-4③

16 방정식과부등식에의활용

16-1

e≈ -x=a에서 y=e≈ -x라하면

y'=e≈ -1이므로 y'=0에서 x=0

따라서 x=0에서극소이면서최소이고최솟값은 1이므로

y=e≈ -x의그래프는다음그림과같다.

따라서방정식 e≈ -x=a가서로다른두실근을갖기위해서는

곡선 y=e≈ -x와직선 y=a가서로다른두교점을가져야하

므로그림과같이 a>1이어야한다.

즉, 자연수 a의최솟값은 2이다.

16-2

lnx=ex-e에서 ex-e-lnx=0

f(x)=ex-e-lnx (x>0)로놓으면

f '(x)=e-;[!;

f '(x)=0에서 x=;e!;


이때 f{;e!;}=2-e<0이고, lnx=-¶이므로

f(x)= (ex-e-lnx)=¶

사이값정리에의하여방정식 f(x)=0은열린구간

{0, ;e!;}에서하나의실근을갖는다.

또 f(1)=e-e-0=0이므로방정식 f(x)=0은 x=1을실근

으로갖는다.

따라서방정식 f(x)=0, 즉 lnx=ex-e의서로다른실근의

개수는 2이다.

limx⁄0+

limx⁄0+

limx⁄0+

y

y=a

O

1

x

본문 37쪽유형

f '(x) + + 0 - -

x ;e!; y e y e¤

f(x) -ae ↗ 극대 ↘2ae¤

x 0 y ;4“; y ;4%;p y 2p

f '(x) + + 0 - 0 + +

f(x) '2 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ '2 e¤ p

x (0) y ;e!; y

- 0 +

↘ 2-e ↗

f '(x)

f(x)


16-3

x>-1인실수 x에대하여부등식 2x+kæln(x+1)이성립

할때 kæln(x+1)-2x

f(x)=ln(x+1)-2x라하면

f '(x)= -2=-

이므로함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.

따라서 f(x)는 x=-;2!;에서극대이면서최대이고,

최댓값은 f{-;2!;}=1+ln ;2!;=1-ln2

따라서 x>-1인실수 x에대하여

부등식 kæln(x+1)-2x가성립하려면

kæ1-ln 2

따라서 k의최솟값은 1-ln2이다.

16-4

부등식 sin x+k cos x…k에서

sinx…k(1-cosx)

;6“;<x<;3“;에서 1-cos x>0이므로

…k

f(x)= 라하면

f '(x)=

f'(x)=

f'(x)=- <0

따라서 f(x)는열린구간 {;6“;, ;3“;}에서감소하므로

…k를만족시키는상수 k의최솟값은

f{;6“;}= = = =2+'312-'3

sinx1-cos x

11-cos x

cosx-(cos¤ x+sin¤ x)(1-cosx)¤

cosx(1-cosx)-sinx sinx(1-cosx)¤

sin x1-cos x

sin x1-cos x

2x+1x+1

1x+1

f '(x)

f(x)

+

↗

0

극대

-

↘

x (-1) y -;2!; y

1- '32

12sin ;6“;

1-cos ;6“;

17-1④ 17-2 17-3① 17-4④1+p1-p

17 정적분의계산

17-1

:)1 (6x¤ +3'x)dx=[2x‹ +2x;2#;]1)

:)1 (6x¤ +3'x)dx=4-0

:)1 (6x¤ +3'x)dx=4

17-2

:)

p`f(x)dx=a (a는상수)라하면

f(x)=sin x-cos x+a

a=:)

pf(x)dx

a=:)

p(sin x-cos x+a)dx

a=[-cos x-sin x+ax])p

a=(1+ap)-(-1)

a=2+ap

즉, a=2+ap이므로 a=

따라서 f(x)=sin x-cos x+ 이므로

f(0)=sin 0-cos 0+

f(0)=

17-3

:)1 "ç4≈ dx=:)1 2≈ dx

:)1 "ç4≈ dx=[ ]1)

:)1 "ç4≈ dx= -

:)1 "ç4≈ dx= 1ln 2

1ln 2

2ln 2

2≈ln 2

1+p1-p

21-p

21-p

21-p

본문 39쪽유형

Ⅳ.적분법


정답과풀이 19

17-4

f '(x)=g 에서

( x¤ +C¡ (xæ0)`f(x)={ (C¡, C™는적분상수)9-;2!;cos2x+C™ (x<0)

`f(1)=2이므로 1+C¡=2에서

C¡=1

함수 f(x)는 x=0에서연속이므로

`f(x)= `f(x)=f(0)에서

{-;2!;cos 2x+C™}= (x¤ +1)

-;2!;+C™=1, C™=;2#;

따라서

: 3

-2p`f(x)dx

=: 0

-2p`{-;2!;cos 2x+;2#;}dx+:)3 (x¤ +1)dx

=[-;4!; sin 2x+;2#;x]0-2p

+[;3!;x‹ +x]3)

=-(-3p)+(9+3)

=3p+12

limx ⁄0+

limx ⁄0-

limx⁄0+

limx ⁄0-

2x (xæ0)

sin 2x (x<0) 18-1③ 18-2③ 18-3③ 18-4 149

18-5② 18-6④ 18-7⑤ 18-8④

18 치환적분법을이용한정적분

18-1

1+x¤ =t로놓으면 =2x

x=1일때 t=2, x='7일때 t=8이므로

:!

'7

dx=;2!; :@8 ;t!;dt=;2!;[ln|t|]8@

:!

'7

dx=;2!;(ln 8-ln 2)=;2!; ln 4=ln2

18-2

sin x=t로놓으면 cos x =1

x=0일때 t=0, x=;2“;일때 t=1이므로

:)

;2“;

cos x 'ƒsin x dx=:)1 't dt=[;3@;t ;2#;]1)=;3@;

18-3

'x∂+1=t로치환하면

x=t¤ -1에서 =2t이고

x=1이면 t='2, x=2이면 t='3이므로

15:!2 x'x∂+1 dx=15:'2

'3

(t¤ -1)t¥2tdt

15:!2 x'x∂+1dx=30:'2

'3

(t› -t¤ )dt

15:!2 x'x∂+1dx=[6tfi -10t‹ ]'2

'3

15:!2 x'x∂+1dx=24'3-4'2

따라서A=24, B=-4이므로

A+B=20

18-4

ln x=t로놓으면 =;[!;

x=1일때, t=ln 1=0, x=e일때, t=ln e=1이므로

dtdx

dxdt

dxdt

x1+x¤

dtdx

본문 41, 43쪽유형


a«=:!e dx=:)1 t« dt

a«=[ t« ±⁄ ]1)=

a«a«≠¡= { _ }

a«a«≠¡= { - }

a«a«≠¡={;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+y

+{;9¡9;-;10!0;}

a«a«≠¡=;2!;-;10!0;=;1¢0ª0;

따라서 p=100, q=49이므로

p+q=100+49=149

18-5

x¤ =t로놓으면 2x=

x=0일때 t=0, x=1일때 t=1이므로

:)1 (xex¤-1)dx=:)1 xex¤ dx-:)1 1 dx

:)1 (xex¤-1)dx=:)1 ;2!;e† dt-[x]1)

:)1 (xex¤-1)dx=[;2!;e† ]1)-1

:)1 (xex¤-1)dx=;2!;(e-3)

18-6

:)

;3“;

(tanx+sinx)dx

=:)

;3“;

tanxdx+:)

;3“;

sinxdx

=:)

;3“;

dx+:)

;3“;

sinxdx

이때 cosx=t로 놓으면-sinx =1이고

x=0일때 t=1, x=;3“;일때 t=;2!;이므로

(주어진식)=:)

;3“;

dx+:)

;3“;

sinxdx

(주어진식)=-:!

;2!;

;t!;dt+:)

;3“;

sinxdx

sinxcosx

dxdt

sinxcosx

dtdx

1n+2

1n+1

98¡

n=1

1n+2

1n+1

98¡

n=1

98¡

n=1

1n+1

1n+1

(lnx)«x

(주어진식)=-[ln |t|]!`;2!;

+[-cosx])`;3“;

(주어진식)=-{ln ;2!;-0}+{- ;2!;+1}

(주어진식)=-ln ;2!;+ ;2!;

(주어진식)=ln2'e

18-7

=

2'3+tanx=t로놓으면 sec¤ x=

x=;6“;일때 t= , x=;3“;일때 t=3'3이므로

:;6“;

;3“;

dx=:

3'3;t!;dt

:;6“;

;3“;

dx=[ln|t|]

:;6“;

;3“;

dx=ln3'3-ln

:;6“;

;3“;

dx=ln {3'3_ }

:;6“;

;3“;

dx=ln ;7(;

18-8

( 2x (0…x…1)

f(x)={ 2 (1<x…3)

9-2x+8 (3<x…4)

:!2 dx에서 x¤ =t로놓으면 2x=


:!2 dx=:!2 dx=:!4 dt

:)2 dx=:!3 dt+:#4 dt

:)2 dx=:!3 dt+:#4 {-1+ } dt

:)2 dx=[ln t]3!+[-t+4 ln t]4#

:)2 dx=ln3+{(-4+4 ln4)-(-3+4 ln3)}

:)2 dx=4 ln4-3 ln3-1

4t

1t

-2t+82t

22t

f(t)2t

2x f(x¤ )2x¤

f(x¤ )x

dtdx

f(x¤ )x

37'3

7'33

3'3

7'31333

7'33

1(2'3+tanx)cos¤ x

7'33

dtdx

sec¤ x2'3+tanx

1(2'3+tanx)cos¤ x


정답과풀이 21

19-1④ 19-2② 19-3② 19-4③

19 부분적분법을이용한정적분

19-1

f(x)=x, g'(x)=e≈으로놓으면

f '(x)=1, g(x)=e≈이므로

:)1 xe≈ dx=[xe≈ ]1)-:)1 e≈ dx

:)1 xe≈ dx=[xe≈ ]1)-[e≈ ]1)=1

19-2

:!e dx=[-;[!; lnx]e!-:!e {-;[!;_;[!;}dx

:!a dx=-;e!;+:!e dx

:!a dx=-;e!;+[-;[!;]e!

:!a dx=-;e!;-;e!;+1

:!a dx=1-;e@;

19-3

:!e ("çlnx+1)("çlnx-1)dx=:!e (lnx-1)dx

:!e ("çlnx+1)("çlnx-1)dx=:!e lnxdx-:!e 1dx

에서 f(x)=lnx, g '(x)=1이라하면

f '(x)=;[!;, g(x)=x이므로

:!e ("çlnx+1)("çlnx-1)dx=[x lnx]e!-:!e 1dx-[x]e!

:!e ("çlnx+1)("çlnx-1)dx=(e-0)-[x]e!-(e-1)

:!e ("çlnx+1)("çlnx-1)dx=e-(e-1)-(e-1)

:!e ("çlnx+1)("çlnx-1)dx=2-e

19-4

u'=sinx, v=x로놓으면 u=-cosx, v'=1이므로

:

;2“;

pf(x)dx=:

;2“;

pxsinxdx

:

;2“;

pf(x)dx=[-xcosx] -:

;2“;

p(-cosx)dx

p

;2“;

1x¤

ln xx¤

본문 45쪽유형

:

;2“;

pf(x)dx=[-xcosx] +[sinx]

:

;2“;

pf(x)dx=-p_(-1)+;2“;_0+0-1

:

;2“;

pf(x)dx=p-1

:

-;2“;

-pf(x)dx=:

-;2“;

-pxsinxdx

:

-;2“;

-pf(x)dx=[-xcosx] -:

-;2“;

-p(-cosx)dx

:

-;2“;

-pf(x)dx=[-xcosx] +[sinx]

:

-;2“;

-pf(x)dx=p_(-1)-;2“;_0+0-(-1)

:

-;2“;

-pf(x)dx=-p+1

따라서

:

;2“;

pf(x)dx+:

-;2“;

-pf(x)dx=(p-1)+(-p+1)

;2“;

pf(x)dx+:

-;2“;

-pf(x)dx=0

-p

-;2“;

-p

-;2“;

-p

-;2“;

p

;2“;

p

;2“;


한편주어진식의양변에 x=1을대입하면

f(1)=1

f(1)=ln 1+C=1에서C=1

f(x)=ln x+1이므로

f(e¤ )=3

20-4

f(t)= 라하고, 함수 f(t)의한부정적분을

F(t)라하면

;[!;:)/ dt= ;[!;[F(t)]/)

;[!;:)/ dt=

;[!;:)/ dt=F'(0)=f(0)

;[!;:)/ dt=

;[!;:)/ dt=

;[!;:)/ dt=-;4!;

-;2!;

2

sin {-;6“;}

1+1

F(x)-F(0)xlim

x⁄0

limx⁄0

sin {3t-;6“;}

e† +1limx⁄0

sin {3t-;6“;}

e† +1

20-1⑤ 20-2 4 20-3 3 20-4⑤

20 정적분으로정의된함수

20-1

:A/ f(t)dt=(x-a)e≈ +x-2 yy㉠㉠

x=a를㉠에대입하면

:Aa f(t)dt=(a-a)eå +a-2

a-2=0, a=2

㉠의양변을 x에대하여미분하면

f(x)=e≈ +(x-a)e≈ +1

f(x)=(x-1)e≈ +1

따라서 f(a)=f(2)=e¤ +1

20-2

주어진식의양변에 x=1을대입하면

f(1)=:!1 sin (t¤ -4)dt+2

f(1)=0+2=2=a

즉, a=2

주어진식의양변을 x에대하여미분하면

f '(x)=sin(x¤ -4)

다시이식의양변을 x에대하여미분하면

f"(x)={cos(x¤ -4)}_2x

따라서 f"(a)=f"(2)

따라서 f"(a)=cos 0_4=4

20-3

주어진식의양변을 x에대하여미분하면

f(x)+xf '(x)=1+f(x)

x>0이므로 f '(x)=;[!;

따라서 f(x)=: f '(x)dx

따라서 f(x)=: ;[!; dx

따라서 f(x)=ln x+C (단, C는적분상수)

본문 47쪽유형


정답과풀이 23

21-1 1 21-2③ 21-3④ 21-4 6

21-5③ 21-6⑤ 21-7⑤ 21-8⑤

21 도형의넓이

21-1

구하는넓이를S라하면

S=:)

;2“;

sin x dx

S=[-cos x]);2“;

S=0-(-1)

S=1

21-2

a>0이므로 0…x…1에서 a sin¤ pxæ0이다.

구하는넓이를S라하면

S=:)1 a sin¤ pxdx

S=:)1 ;2A;(1-cos 2px)dx

S=[;2A;{x-;2¡ç; sin 2px}]1)

S=;2A;

따라서 ;2A;=1이므로 a=2이다.

21-3

0…x…2p일 때, 함수 f(x)=sin 2x-2 cosx의 그래프와 x

축이만나는교점의 x좌표는

sin 2x-2cos x=0에서

2sinxcos x-2cos x=0

2(sin x-1)cos x=0

sin x=1또는 cos x=0

x=;2“;또는 x=;2#;p

;2“;…x…;2#;p일때, sin 2x-2cosxæ0이므로구하는넓이를

S라하면

S=:;2“;

;2#;p

(sin 2x-2cos x)dx

S=[-;2!;cos 2x-2sinx];2“;

;2#;p

y

O

1

xp2

y=sin x

본문 49쪽, 51쪽유형

S={;2!;+2}-{;2!;-2}=4

21-4

S¡=:)3 {-f(x)}dx=6

S™=:#6 f(x)dx=18

한편, 정적분 :)3 f(2x)dx에서 2x=t로놓으면 =2이고,


:)3 f(2x)dx=;2!;:)6 f(t)dt

:)3 f(2x)dx=;2!;[:)3 f(t)dt+:#6 f(t)dt]

:)3 f(2x)dx=;2!;[-:)3 {-f(t)}dt+:#6 f(t)dt]

:)3 f(2x)dx=;2!;(-6+18)=6

21-5

f(x)=1-3e—≈ 에서

f '(x)=3e—≈

1-3e—≈ =3e—≈ 에서

e—≈ =;6!;, -x=-ln6이므로

x=ln6

따라서구하는넓이는

:)

ln6

(3e—≈ -1+3e—≈ )dx=:)

ln6

(6e—≈ -1)dx

:)

ln6

(3e—≈ -1+3e—≈ )dx=[-6e—≈ -x]ln 6

)

:)

ln6

(3e—≈ -1+3e—≈ )dx=-6e-ln6-ln6+6

:)

ln6

(3e—≈ -1+3e—≈ )dx=5-ln6

O ln 6

-2

3 y=3e—≈

y=1-3e—≈

y

x

dtdx


21-6

함수 f(x)=e≈ —å의그래프와역함수 y=g(x)의그래프가한

점 (1, g(1))에서만만나므로

g(1)=f(1)=1

즉, 1=e⁄ —å에서 a=1이므로

f(x)=e≈ —⁄

y=f(x)와 y=g(x)는역함수관계에있으므로구하는넓이는

곡선 y=f(x)와 y축및직선 y=x로둘러싸인부분의넓이의

2배이다.

따라서

2:)1 (e≈ —⁄ -x)dx=2[e≈ —⁄ -;2!;x¤ ]1)

2:)1 (e≈ —⁄ -x)dx=2-1-;e@;

2:)1 (e≈ —⁄ -x)dx=1-;e@;

21-7

두곡선의교점의 x좌표는 sin x=cosx에서

x=;4“;또는 x=;4%;p

0…x…;4“;에서 cosxæsinx

;4“;…x…;4%;p에서 sinxæcosx

;4%;p…x…2p에서 cosxæsinx

따라서구하는넓이를S라하면

S=:)

;4“;

(cos x-sin x)dx+:;4“;

;4%;p

(sin x-cos x)dx

+:;4%;p

2p

(cos x-sin x)dx

S=[sin x+cosx]0

;4“;

+[-cos x-sinx];4“;

;4%;p

+[sin x+cosx];4%;p

2p

S=('2-1)+2'2+(1+'2)

S=4'2

y=sin x

y=cos x

O

x=2p

2p

y

p4

54p

xp

21-8

0…x…;3“;에서

f {;3“;}=tan ;3“;='3, f {;6“;}=tan ;6“;=

이고, 함수 f(x)의역함수가 g(x)이므로

g('3)= ;3“;, g{ }= ;6“;

그림과같이 :

'3

g(x)dx는영역A의넓이이고,

:

g('3)

tanxdx=:;6“;

;3“;

tanxdx는영역B의넓이와같다.g{;;3;;

'3}

따라서구하는값은두영역A와B의넓이의합과같으므로

'3_;3“;- _;6“;= p5'318

'33

'33

BA

O

y=tan xy=x

y=g(x)

y

'3

'3 x

p6

p3

'33 p

3

'33

'33


정답과풀이 25

22-1③ 22-2② 22-3① 22-4③

22 입체도형의부피

22-1

x축에수직인평면으로자른단면의넓이를S(x)라하면

S(x)= { }2=

따라서구하는부피를V라하면

V=:!2 S(x)dx

V=:!2 dx

V='3 [lnx]2!

V='3 ln 2

22-2

원점에서 x만큼떨어진 x축위의점에서 x축에수직으로자른

입체도형의단면은한변의길이가

sinx-(-sinx)=2sinx

인정사각형이므로단면의넓이를 T(x)라하면

T(x)=4sin¤ x

따라서구하는입체도형의부피는

:)» T(x)dx=:)» 4sin¤ xdx

:)» T(x)dx=:)» 4_ dx

:)» T(x)dx=:)» 2(1-cos2x)dx

:)» T(x)dx=2[x-;2!;sin2x]»)

:)» T(x)dx=2p

22-3

이웃하는두변의길이가 p, cos'∂px인직사각형의넓이를

S(x)라하면

S(x)=pcos'∂px

따라서구하는입체도형의부피를V라하면

V=p:0

;4“;

cos'∂pxdx

1-cos2x2

'3x

'3x

2

'ßx'34

본문 53쪽유형 이때 '∂px=t라하면 = = 이고,

x=0일때 t=0, x=;4“;일때 t=;2“;이므로

V=p:0

;2“;

_cos tdt

V=2:0

;2“;

tcos tdt

V=2 {[tsint]0

;2“;

-:0

;2“;

sin tdt}

V=2 {;2“;-[-cos t]0

;2“;

}

V=2 {;2“;-1}

V=p-2

22-4

좌표평면을접어두반평면이서로수직이되도록하였을때, 삼

각형PQR는직각삼각형이된다.

PQ”=sin x, PR”=|-;2!;x|

이므로삼각형PQR의넓이를 S(x)라하면

S(x)=;2!;_|-;2!;x|_sinx

S(x)=;4!;xsinx

구하는부피를V라하면

V=:)» ;4!;xsin xdx=;4!;:)» xsin xdx

V=;4!;[-x cosx]»)+;4!;:)» cos xdx

V=;4“;+;4!;[sinx]»)

V=;4“;

2tp

p2t

p2'∂px

dtdx


01-1② 01-2 48 01-3① 01-4②

01-5① 01-6③ 01-7⑤ 01-8 288

01 경우의수와순열

01-1

오른쪽그림의지점A에서출발하

여지점 P는지나고지점 Q는지

나지 않고 지점 B로 갈 때, 서로

다른 5개의지점을거쳐가는방법

은AFIPJKB, AFGPJKB,

ACGPJKB, ACGFIPB의 4가지이다.

지점 A에서 출발하여 지점 Q는 지나고 지점 P는 지나지 않고

지점B로갈때, 서로다른 5개의지점을거쳐가는방법은

ACDEHQB, AFGCDQB의 2가지이다.

지점A에서출발하여두지점 P, Q를거쳐지점 B로갈때, 서

로다른 5개의지점을거쳐가는방법은

AFIPGQB, ACDQGPB의 2가지이다.

따라서구하는방법의수는

4+2+2=8

01-2

⁄아버지대표를뽑는경우：4가지

¤아버지대표를뽑은후어머니대표를뽑는경우：3가지

‹아버지 대표, 어머니 대표를 뽑은 후 자녀 대표를 뽑는 경

우：4가지

따라서구하는경우의수는

4_3_4=48

01-3

⁄ c=1인경우: a+3b=20이므로순서쌍(a, b)는

⁄ (2, 6), (5, 5)의2가지

¤ c=2인경우: a+3b=15이므로순서쌍(a, b)는

⁄ (3, 4), (6, 3)의2가지

‹ c=3인경우: a+3b=10이므로순서쌍(a, b)는

⁄ (1, 3), (4, 2)의2가지

› c=4인경우: a+3b=5이므로순서쌍(a, b)는

⁄ (2, 1)의1가지

따라서구하는순서쌍(a, b, c)의개수는

2+2+2+1=7

01-4

네가지색을빨간색, 파란색, 노란색, 검정색이라하자.

빨간색으로칠한면을바닥에닿도록정육면체를놓으면윗면에

빨간색으로 칠하는 경우와 빨간색을 칠하지 않는 경우의 두 가

지로나누어생각할수있다.

⁄윗면에빨간색을칠하는경우

⁄옆면에칠하는방법은빨간색을제외한세가지색중에서한

가지색을두번칠해야한다. 두번칠하는색을고르는방법

의수는 3이다.

⁄그런데 두 번 칠하는 색은 서로 이웃할 수 없으므로 칠하는

방법의수는 1이다.

⁄따라서 3_1=3

¤윗면에빨간색을칠하지않는경우

⁄윗면에칠할색을고르는방법의수가 3이다. 옆면에는남은

두가지색을두번씩번갈아가며칠해야하므로칠하는방법

의수는 1이다.

⁄따라서 3_1=3

⁄, ¤에서구하는방법의수는

3+3=6

01-5

«P™+«≠¡P™=«≠£P™에서

n(n-1)+(n+1)n=(n+3)(n+2)

n¤ -5n-6=0, (n+1)(n-6)=0

따라서n=6

01-6

A보다B가본사로부터거리가먼지사에발령이나야하므로다

음과같이경우를나누어생각한다.

⁄ A가‘가’지사에발령이나는경우

⁄‘나’지사에나머지사람을발령하는경우의수는 B를제외한

3가지이므로각지사에발령하는경우의수는

⁄ 3_£P£=3_3_2_1=18

¤ A가‘나’지사에발령이나는경우

Ⅴ.순열과조합본문 55, 57쪽

유형

확률과통계

A E

HF

I

QG

C D

BP

J K


정답과풀이 27

⁄‘가’지사에나머지사람을발령하는경우의수는 B를제외한

3가지이므로각지사에발령하는경우의수는

⁄ 3_£P£=3_3_2_1=18

‹ A가‘가’, ‘나’지사이외의곳에발령이나는경우

⁄‘가’, ‘나’지사에나머지사람을발령하는경우의수는 £P™이

고나머지의곳에A, B를포함하여세명을발령하는경우의

수는3가지뿐이므로구하는경우의수는

⁄ £P™_3=18

따라서⁄~‹에서구하는 경우의수는

18+18+18=54

01-7

이웃하는짝수를하나로묶어서생각한다.

⁄짝수2, 4, 6을일렬로나열하는경우의수는 £P£=6

¤홀수3개와짝수묶음1개를일렬로나열하는경우의수는

¤ ¢P¢=24


6_24=144

01-8

두쌍의부부를커플좌석에배정하는방법의수는

2_2!_2!=8

남은여자 3명과남자 2명을개인별좌석에여자끼리이웃하도록

배정하는방법의수는

3!_3!=36


8_36=288

02-1④ 02-2④ 02-3⑤ 02-4 30

02 조합

02-1

«C£= , «P™=n(n-1)이므로

«C£-«P™= _(n-2-6)=0

næ3이므로n=8

02-2

5일중 3일을선택하여요가를하는방법의수는

∞C£=∞C™= =10

나머지 2일중하루를수영, 줄넘기중한가지를하고남은하루

는농구, 축구중한가지를하는방법의수는

2_2_2=8

따라서구하는방법의수는

10_8=80

02-3

동아리의대표를뽑을수있는전체경우의수는

•C£=56

이중에서여자가한명도뽑히지않는경우의수는

∞C£_£Cº=10


56-10=46

02-4

⁄ A, B가공통으로가입한동아리가 1개인경우

⁄공통으로가입하는동아리 1개를선택하고이를제외한 3개

의동아리중에서 A, B가각각하나씩택하면되므로구하

는경우의수는

⁄ ¢C¡_3_2=24

¤ A, B가공통으로가입한동아리가없는경우

⁄ A가 2개의동아리를선택한후B가나머지중에 2개의동아

리를선택하면되므로구하는경우의수는

⁄ ¢C™_™C™=6

따라서⁄, ¤에서구하는경우의수는

24+6=30

5_4

2

n(n-1)6

n(n-1)(n-2)3!

본문 59쪽유형


03-1② 03-2 144 03-3③ 03-4④

03-5① 03-6① 03-7② 03-8②

03 여러가지순열


03-1

철수와 영희가 이웃하거나 마주보는 경우로 나누면 다음과 같

다.

⁄철수와영희가이웃하는경우

⁄철수와영희를하나로생각하여원순열로나열한후철수와

영희가자리를바꾸는경우를생각하면된다.

⁄그러므로구하는경우의수는

⁄ (5-1)!_2!=48

¤철수와영희가마주보는경우

⁄철수와영희가마주보도록앉은후나머지 4명은나머지네

자리에앉으면된다.


⁄ 4!=24

따라서⁄, ¤에의하여구하는경우의수는

48+24=72

03-2

그림과 같이 어른 4명을 먼저 원탁

의○자리에앉히는경우의수는

(4-1)!=3!

어른 사이의 4개의 □ 자리에 어린

이 3명을앉히는경우의수는 ¢P£


3!_¢P£=6_24=144

03-3

5의개수에따라각경우로나누어구하면다음과같다.

⁄ 5가한개인경우

⁄ 5가한개인경우 5가들어갈자리는 3개중하나이고이각

각에대하여나머지자리에는 1, 2, 3, 4를중복하여넣으면

된다.


⁄ 3_¢P™=3_4¤ =3_16=48

¤ 5가없는경우

⁄ 1, 2, 3, 4를중복하여세자리에넣으면된다.


⁄ ¢P£=4‹ =64


48+64=112

03-4

A, B가서로다른세종류의노트중서로다른종류의노트를

받아야하므로경우의수는

£P™=6

이각각에대하여나머지 4명은노트를각각한권씩받으면되

므로경우의수는

£P¢=3› =81


6_81=486

03-5

a의개수에따라각경우로나누면다음과같다.

⁄ a가 1개인경우

⁄ b는 4개를사용해야하므로구하는경우의수는

⁄ =5

¤ a가 3개인경우

⁄ b는 2개를사용해야하므로구하는경우의수는

⁄ =10


5+10=15

03-6

⁄ 3개의문자 i, o, o가이웃하므로 3개의문자를하나로보고

⁄배열한다음자리를바꾸는경우의수는

¤ g가 s보다항상왼쪽에있도록배열하는경우는이두문자

를모두A로놓고배열한것과같다.

⁄따라서 i, o, o를묶어서 B로생각하면 A, A, B, h, h, h,

c, l을배열하는경우의수는

⁄


8!

3!2!

3!

2!

5!

3!2!

5!

1!4!


정답과풀이 29

_ =

10개의문자 h, i, g, h, s, c, h, o, o, l에서 i, o, o를제외하고

g, s를B로놓은 7개의문자 h, B, h, B, c, h, l을그림과같이

□의자리에배열하는경우의수는

이때 i, o, o를한문자A로보고 8개의○중한자리에배열하

는경우의수는

8_


_8_ =

03-7

[그림 1] [그림 2]

구하는경우의수는 [그림 2]의A지점에서출발하여B지점까지

최단거리로 가는 경우의 수에서 A ⁄ P⁄ Q⁄ B로 가는 경

우의수를뺀것과같다.


- =35-10=25

⁄ A ⁄ P⁄ B로가는경우의수는

⁄ _ =2_10=20

¤ A ⁄ Q⁄ B로가는경우의수는

⁄ 1_ =55!

4!1!

5!

3!2!

2!

1!1!

A

Q

P

B

다른풀이

5!

2!3!

7!

4!3!

A QP

B

A QP

B

8!

4

3!

2!

7!

3!2!

3!

2!

7!

3!2!

다른풀이

8!

4

3!

2!

8!

3!2!

⁄, ¤에서구하는경우의수는

20+5=25

03-8

A지점에서C지점으로이동하는방법의수는

=10

C지점에서B지점으로이동하는방법의수는

=15이므로

l=10_15=150

A지점에서D지점으로이동하는방법의수는

=5

D지점에서B지점으로이동하는방법의수는

=20이므로

m=5_20=100

A지점에서E지점으로이동하는방법의수는 1, E지점에서B

지점으로이동하는방법의수는 =15이므로

n=1_15=15

따라서

l-m+n=150-100+15

l-m+n=65

6!

2!4!

6!

3!3!

5!

4!1!

6!

4!2!

5!

3!2!


04-1③ 04-2④ 04-3③ 04-4 28

04-5④ 04-6③ 04-7 84 04-8 192

04 중복조합

04 -1

학생 6명을A, B, C, D, E, F라하자.

이중에서다섯명의학생A, B, C, D, E만볼펜을받는경우

의수를생각해보자.

A, B, C, D, E의다섯명의학생에게볼펜을한개씩나누어

준후남은 4개를다시 A, B, C, D, E의다섯명의학생에게

나누어주는경우의수와같으므로

∞H¢=∞≠¢–¡C¢=•C¢= =70

볼펜을받는다섯사람을택하는경우의수는

§C∞=§C¡=6


§C∞_∞H¢=6_70=420

04 -2

파란공 5개를서로다른 4개의상자에남김없이나누어담는경

우의수는서로다른 4개에서중복을허락하여 5개를택하는조

합의수와같으므로

¢H∞=¢≠∞–¡C∞=•C∞=•C£= =56

04-3

사과맛사탕과딸기맛사탕을각각한개씩꺼내어상자에담

고, 사과맛사탕, 딸기맛사탕, 자두맛사탕중에서 8개를꺼내

상자에담으면된다.

즉, 구하는경우의수는서로다른세종류의사탕중에서 8개를

택하는중복조합의수와같다.


£H•=£≠•–¡C•=¡ºC•=¡ºC™= =45

04-4

바나나우유 3팩을먼저구입하고, 나머지는 3종류의우유중중

복을허락하여 6팩을구입하면된다.


£H§=£≠§–¡C§=•C§=•C™

10_92

8_7_63_2_1

8_7_6_54_3_2_1

본문 65, 67쪽유형 £H§= =28

⑴서로다른 n개에서 r개를택하여일렬로나열하는경우의수

: «P®

⑵서로다른 n개에서 r개를택하는경우의수: «C®

⑶서로다른 n개에서중복을허락하여 r개를택하는경우의수

: «H®=«≠®–¡C®

04-5

음이아닌정수 x', y', z', u'에대하여

x=x'+2, y=y'+2, z=z'+1, u=u'+1

이라하면 xæ2, yæ2, zæ1, uæ1이성립한다.

x+y+z+u=12

(x'+2)+(y'+2)+(z'+1)+(u'+1)=12

x'+y'+z'+u'=6

따라서구하는순서쌍 (x, y, z, u)의개수는방정식

x'+y'+z'+u'=6을만족시키는음이아닌정수 x', y', z',

u'의순서쌍 (x', y', z', u')의개수와같으므로

¢H§=¢≠§–¡C§=ªC§=ªC£= =84

04-6

임의의 x¡<A, x™<A에대하여 x¡<x™일때,

f(x¡)…f(x™)가 성립하고 f(2)=2이므로 f(1)은 1 또는 2이

다.

한편집합A의원소 3, 4, 5는집합B의원소 2, 3, 4, 5, 6 중의

하나와 대응이 되므로 5개의 원소에서 중복을 허락하여 3개의

원소를택하여크기순으로작은것부터 3, 4, 5에차례로대응

시키면된다.

이러한함수의개수는서로다른 5개에서중복을허락하여 3개

를택하는경우의수 ∞H£과같다.

그러므로함수 f의개수는

2_∞H£=2_¶C£=2_ =70

04-7

a=10k+10, b=10l+10, c=10m+10, d=10n+10 (k, l,

m, n은음이아닌정수)으로놓으면 a+b+c+d=100은다음

과같다.

(10k+10)+(10l+10)+(10m+10)+(10n+10)=100

7_6_53_2_1

9_8_73_2_1

참고

8_72_1


정답과풀이 31

따라서 k+l+m+n=6 yy㉠

㉠을만족시키는음이아닌정수 k, l, m, n의순서쌍

(k, l, m, n)의개수는

¢H§=¢≠§–¡C§=ªC§=ªC£= =84

04-8

조건㈎를만족시키는함수 f의개수는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개의

숫자에서중복을허락하여 5개를뽑는조합의수와같으므로

§H∞=§≠∞–¡C∞=¡ºC∞= =252

이중에서 f(3)=3을만족시키는함수 f의개수는

£H™_¢H™=¢C™_∞C™=6_10=60

따라서구하는함수 f의개수는

252-60=192

f(3)=1인경우 1_§H™=¶C™=21

f(3)=2인경우 ™H™_∞H™=£C™_§C™=3_15=45

f(3)=4인경우 ¢H™_£H™=∞C™_¢C™=10_6=60

f(3)=5인경우 ∞H™_™H™=§C™_£C™=15_3=45

f(3)=6인경우 §H™_1=¶C™=21

따라서구하는함수 f의개수는

21+45+60+45+21=192

다른풀이

10_9_8_7_65_4_3_2_1

9_8_73_2_1

05-1 160 05-2③ 05-3⑤ 05-4①

05-5⑤ 05-6② 05-7⑤ 05-8③

05 이항정리

05-1

다항식 (2x+a)fi의전개식에서일반항은

∞C®(2x)fi —® a®

x‹항은 5-r=3에서 r=2일때이므로 x‹의계수는

∞C™_2‹ _a¤ =80a¤ =320

a¤ =4이고 a>0이므로 a=2

따라서 x›의계수는 5-r=4에서 r=1일때이므로

∞C¡_2› _2=5_2fi =160

05-2

{x¤ -;[@;}6의전개식에서일반항은

§C® (x¤ )6-r{-;[@;}r=§C®_(-2)® _x12-2r_x—®

§C® (x¤ )6-r{-;[@;}r=§C®_(-2)® _x12-3r

따라서상수항은 12-3r=0, 즉 r=4일때이므로구하는상수

항은

§C¢_(-2)› =§C™_(-2)›

§C¢_(-2)› = _16

§C¢_(-2)› =240

05-3

(x+3)fi의전개식에서일반항은

∞C®xfi —® 3®

다항식 (2x+1)(x+3)fi의 전개식에서 x‹항은 다음과 같은 경

우에만들어진다.

⁄ 2x+1에서상수항과 (x+3)fi에서 x‹항이곱해지는경우

1_∞C™_x‹ _3¤ =90x‹

¤ 2x+1에서 x항과 (x+3)fi에서 x¤항이곱해지는경우

2x_∞C£_x¤ _3‹ =∞C™_54x‹ =540x‹

⁄, ¤에서 x‹의계수는

90+540=630

6_52_1



05-4

{x¤ -;[A;} fi의전개식에서일반항은

∞C®(x¤ )fi —® {-;[A;} ® =∞C®(-a)® x⁄ ‚ —‹ ®

이때 x›항은 r=2일때이므로 x›의계수는

∞C™(-a)¤ =10a¤

x항은 r=3일때이므로 x의계수는

∞C£(-a)‹ =-10a‹

x›의계수와 x의계수가같으므로

10a¤ =-10a‹ , a¤ (a+1)=0

따라서 a=0또는 a=-1

a+0이므로 a=-1

05-5

¡¡C®=¡¡C¡¡–® (r=0, 1, 2, y, 11)이므로

¡¡Cº+¡¡C¡+¡¡C™+¡¡C£+¡¡C¢+¡¡C∞

=¡¡C§+¡¡C¶+¡¡C•+¡¡Cª+¡¡C¡º+¡¡C¡¡

¡¡Cº+¡¡C¡+¡¡C™+y+¡¡C¡¡=2⁄ ⁄에서

2(¡¡Cº+¡¡C¡+¡¡C™+¡¡C£+¡¡C¢+¡¡C∞)=2⁄ ⁄

따라서

¡¡Cº+¡¡C¡+¡¡C™+¡¡C£+¡¡C¢+¡¡C∞=2⁄ ‚ =1024

05-6

(2x+1)⁄ ‚ =¡ºCº+¡ºC¡(2x)+¡ºC™(2x)¤ +y+¡ºC¡º(2x)⁄ ‚

(2x+1)⁄ ‚ =1+2¡ºC¡x+2¤ ¡ºC™x¤ +2‹ ¡ºC£x‹ +y

+2⁄ ‚ ¡ºC¡ºx⁄ ‚

이식의양변을 x에대하여미분하면

10(2x+1)· ¥2

=2¥¡ºC¡+2¥2¤ ¡ºC™x+3¥2‹ ¡ºC£x¤ +y+10¥2⁄ ‚ ¡ºC¡ºx·

yy㉠

㉠`의양변에 x=1을대입하면

20_3· =2¡ºC¡+2¥2¤ ¡ºC™+3¥2‹ ¡ºC£+y+10¥2⁄ ‚ ¡ºC¡º

이므로구하는값은 20_3·이다.

05-7

(1+x)« =«Cº+«C¡x+«C™x¤ +y+«C«x«이므로

x=2, n=40을대입하면

N=¢ºCº+¢ºC¡¥2+¢ºC™¥2¤ +¢ºC£¥2‹ +y+¢ºC¢º¥2› ‚

N=(1+2)› ‚

즉, N=3› ‚

logN=log 3› ‚ =40 log3=40_0.4771=19.084

즉, 19…log N<20이므로N은 20자리의자연수이다.

그러므로 k=20

log 1<0.084<log2이므로최고자리숫자는 1이다.

그러므로 a=1

3⁄ =3, 3¤ =9, 3‹ =27, 3› =81, 3fi =243, y

에서일의자리숫자는 3, 9, 7, 1이반복되므로

40=4_10에서 b=1

따라서 k+a-b=20+1-1=20

05-8

™¡C¡+™¡C£+™¡C∞+y+™¡C™¡=2¤ ⁄ —⁄ =2¤ ‚이므로

N= ™¡C™®≠¡=™¡C£+™¡C∞+y+™¡C™¡

N=2¤ ‚ -™¡C¡=2¤ ‚ -21

n=1, 2, 3, y일때, 2«의일의자리숫자를차례로나열하면

2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, y

과같이 2, 4, 8, 6이반복되므로 2¤ ‚의일의자리숫자는 6이다.

따라서 2¤ ‚ -21의일의자리숫자는 6-1=5이다.

10¡

r=1


정답과풀이 33

06-1

홀수 k개의합이홀수가되려면 k는홀수이어야한다.

1개의수：9

3개의수：7+1+1, 5+3+1, 3+3+3

5개의수：5+1+1+1+1, 3+3+1+1+1

7개의수：3+1+1+1+1+1+1

9개의수：1+1+1+1+1+1+1+1+1

따라서서로다른분할은모두 8개이다.

06-2

같은종류의봉지 5개에빈봉지가없도록같은종류의사탕 9개

를남김없이나누어담는경우는자연수 9를 5개의자연수로분

할하는경우와같으므로, 그수는P(9, 5)이다.

따라서자연수 9를 5개의자연수로분할하면

9=5+1+1+1+1=4+2+1+1+1

9=3+3+1+1+1=3+2+2+1+1

9=2+2+2+2+1

이므로구하는경우의수는 5이다.

06-3

같은종류의단추 7개를같은모양의상자에넣어보관하는모든

방법의수는 7개의분할의방법의수와같으므로

7=6+1=5+2=4+3

7=5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2

7=4+1+1+1=3+2+1+1=2+2+2+1

7=3+1+1+1+1=2+2+1+1+1=2+1+1+1+1+1

7=1+1+1+1+1+1+1

이므로구하는경우의수는 15이다.

06-4

⁄두명의학생을 3명인조에넣는경우

⁄ •C¡_¶C£_¢C¢=280

¤두명의학생을 4명인조에넣는경우

⁄ •C™_§C£_£C£_ =280

⁄, ¤에서구하는경우의수는 280+280=560

1

2!

06-1② 06-2④ 06-3③ 06-4 560

06 분할

본문 73쪽유형

07-1⑤ 07-2③ 07-3② 07-4②

07-5② 07-6① 07-7⑤ 07-8①

07-9⑤ 07-10⑤ 07-11④ 07-12④

07 확률의뜻과활용

07-1

6장의카드가들어있는상자에서임의로 2장의카드를동시에

뽑는경우의수는

§C™= =15

뽑은 2장의카드에적혀있는두수가서로소인경우는

(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)

(2, 3), (2, 5)

(3, 4), (3, 5)

(4, 5)

(5, 6)

따라서구하는확률은 ;1!5!;이다.

07-2

임의로두장의카드를차례로뽑을때나올수있는모든경우

의수는

10_9=90

a+b=8에서 a=i라하면 b=8-i

1…a…10, 1…b…10, a+b에서 i=1, 2, 3, 5, 6, 7로

6(가지)

따라서구하는확률은

;9§0;=;1¡5;

07-3

흰공 7개와검은공 3개를모두일렬로배열하는경우의수는

10개의 공 중에서 검은 공 3개가 놓일 3자리를 택하는 조합의

수와같으므로

¡ºC£=120

검은공 3개가서로이웃하지않도록배열되는경우의수는흰

공 7개를먼저배열하고그사이와양끝의 8개의자리중에서

검은공 3개가놓일 3자리를택하는조합의수와같으므로

•C£=56

6_52_1


Ⅵ.확률



;1∞2§0;=;1¶5;

07-4

두주사위A, B를던져서나올수있는순서쌍 (a, b)의개수는

6_6=36

등식 ab-5a-2b+6=0에서 (a-2)(b-5)=4를 만족시키

는순서쌍 (a, b)는 (6, 6), (1, 1)의 2개이므로구하는확률은

;3™6;=;1¡8;

07-5

이학급의학생중에서임의로한명을택할때, 이학생이야구

경기를관람한경험이있는학생인사건을A, 축구경기를관람

한경험이있는학생인사건을B라하면

P(A)=;3!6@;, P(B)=;3!6(;, P(A'B)=;3@6);

따라서

P(A;B)=P(A)+P(B)-P(A'B)

P(A;B)=;3!6@;+;3!6(;-;3@6);

P(A;B)=;3!6!;

07-6

10장의 카드 중에서 임의로 3장의 카드를 동시에 택하는 모든

경우의수는

¡ºC£= =120

카드에적힌숫자가모두홀수인사건을A, 모두짝수인사건을

B라하면두사건은서로배반사건이고 1부터 10까지의자연수

중홀수가 5개, 짝수가 5개있으므로

n(A)=∞C£=∞C™= =10

n(B)=∞C£=∞C™=10

이때A;B=Δ이므로구하는확률은P(A'B)=P(A)+P(B)

P(A'B)=;1¡2º0;+;1¡2º0;=;1™2º0;=;6!;

07-7

P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B)=;3!;

5_42_1

10_9_83_2_1

P(B;AÇ )=P(B)-P(A;B)=;4!;

따라서P(A)+P(B)=2P(A;B)+;1¶2;이므로

;4#;=2P(A;B)+;1¶2;

즉, P(A;B)=;1¡2;

따라서

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)

P(A'B)=;4#;-;1¡2;=;1•2;=;3@;

07-8

각학생이가위, 바위, 보중하나를낼수있으므로 4명의학생

이가위바위보를동시에한번할때가능한모든경우의수는

3_3_3_3=81

⁄ 4명이모두같은것을내는경우

⁄ 4명이가위, 바위, 보 중낸것을정하는경우의수는 3이므

로 4명이모두같은것을낼확률은

⁄ ;8£1;=;2¡7;

¤ 4명이세가지를다내는경우

⁄같은것을내는 2명을정하는경우의수는 ¢C™

⁄같은것을내는 2명이가위, 바위, 보 중 낸것을정하는경

우의수는 3

나머지 2명이같은것을낸 2명이내지않은것을각각내는

경우의수는 2!이므로 4명이세가지를다낼확률은

⁄ = =;9$;

⁄, ¤에서구하는확률은

;2¡7;+;9$;=;2!7#;

각학생이가위, 바위, 보중하나를낼수있으므로 4명의학생

이가위바위보를동시에한번할때가능한모든경우의수는

3_3_3_3=81

⁄한명이이기는경우

⁄이기는한명을정하는경우의수는 ¢C¡

⁄이기는한명이가위, 바위, 보중낸것을정하는경우의수

는 3이므로한명이이길확률은

⁄ = =;2¢7;4_381

¢C¡_381

다른풀이

6_3_281

¢C™_3_2!81


정답과풀이 35

¤두명이이기는경우

이기는두명을정하는경우의수는 ¢C™

이기는두명이가위, 바위, 보중낸것을정하는경우의수

는 3이므로두명이이길확률은

⁄ = =;9@;

‹세명이이기는경우

이기는세명을정하는경우의수는 ¢C£

이기는세명이가위, 바위, 보중낸것을정하는경우의수

는 3이므로세명이이길확률은

⁄ = =;2¢7;

⁄, ¤, ‹에서이기는사람이정해지지않을확률은

1-{;2¢7;+;9@;+;2¢7;}=1-;2!7$;=;2!7#;

07-9

임의로 3명을선택할때, 적어도한명이여학생인사건을 A라

하면 A의여사건 AÇ 은임의로 3명을선택할때 3명이모두남

학생인사건이므로

P(AÇ )= =;1™2º0;=;6!;

따라서

P(A)=1-P(AÇ )

P(A)=1-;6!;

P(A)=;6%;

07-10

6명을 2명씩 3팀으로나누는경우의수는

§C™_¢C™_™C™_ =15_6_1_;6!;=15

한팀이여학생만으로구성되는사건의여사건은 3팀이모두남

학생 1명과여학생 1명으로구성되는사건이다.

3팀이모두남학생 1명과여학생 1명으로구성되는경우의수는

남학생각각에여학생을대응시키는순열의수와같으므로

£P£=3!=6


1-;1§5;=1-;5@;=;5#;

6명을 2명씩 3팀으로나누는경우의수는

다른풀이

13!

§C£¡ºC£

4_381

¢C£_381

6_381

¢C™_381

§C™_¢C™_™C™_ =15_6_1_;6!;=15

여학생만으로한팀을구성할여학생 2명을택하는경우의수는

£C™=3

남학생만으로한팀을구성할남학생 2명을택하는경우의수는

£C™=3

나머지한팀은팀을구성하지않은여학생 1명과남학생 1명으

로구성하면된다.


=;1ª5;=;5#;

07-11

적어도 한 개의 구슬에 적힌 수가 짝수인 사건을 A라 하면 AÇ

은 2개의구슬에적힌수가모두홀수인사건이다.

따라서P(AÇ )= =;2§1;=;7@;이므로구하는확률은

P(A)=1-P(AÇ )

P(A)=1-;7@;

P(A)=;7%;

07-12

9명의회원중에서임의로 3명을선택할때, 적어도한명이지

리산을선택한회원일사건을 A라하면 A의여사건 AÇ 은 3명

모두설악산또는한라산을선택한회원을뽑는사건이다.

P(AÇ )= =;4∞2;

따라서

P(A)=1-P(AÇ )

P(A)=1-;4∞2;

P(A)=;4#2&;

∞C£ªC£

¢C™¶C™

3_3_115

13!


P(E|A)=

P(E|A)=

P(E|A)=

P(E|A)= =;3!;


p+q=3+1=4

08-5

남학생 19명중에서테니스를선택한남학생이 7명이므로골프

를선택한남학생은 12명이다.

또여학생 17명중에서골프를선택한여학생이 9명이므로테니

스를선택한여학생은 8명이다.

이 학급의 학생 36명 중에서 임의로 한 명을 뽑았을 때 골프를

선택한학생인사건을A, 남학생인사건을B라하면

P(A)=;3@6!;=;1¶2;, P(A;B)=;3!6@;=;3!;이므로

P(B|A)=

P(B|A)= =;7$;

남학생 19명중에서테니스를선택한남학생이 7명이므로골프

를선택한남학생은 12명이다. 또여학생 17명중에서골프를선

택한여학생이 9명이므로테니스를선택한여학생은 8명이다.

이 학급의 학생 36명 중에서 임의로 한 명을 뽑았을 때 골프를

선택한학생인사건을A, 남학생인사건을B라하면

n(A)=21, n(A;B)=12이므로

P(B|A)=n(A;B)n(A)

다른풀이

;3!;

;1¶2;

P(A;B)P(A)

2121+42

0.3_0.70.3_0.7+0.7_0.6

P(E;A)P(E;A)+P(EÇ ;A)

P(E;A)P(A)

08-1③ 08-2② 08-3① 08-4 4

08-5④ 08-6 28 08-7③ 08-8④

08 조건부확률

08-1

P(B|A)= =;5@;에서

P(A;B)=;5@;P(A)=;5@;_;8%;=;4!;

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이므로

;1!6#;=;8%;+P(B)-;4!;

따라서P(B)=;1¶6;

08-2

P(BÇ )=0.4에서

P(B)=1-0.4=0.6

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서

0.8=0.3+0.6-P(A;B)

따라서P(A;B)=0.1이므로

P(B|A)=

P(B|A)= =;3!;

08-3

이동호회회원 250명중에서임의로한명을선택할때이회원

이여성회원인사건을A, 산을선호하는회원인사건을B라하

면

P(A)=;2!5!0);=;2!5!;, P(A;B)=;2¢5∞0;=;5ª0;이므로

P(B|A)=

P(B|A)= =;2ª2;

08-4

임의로뽑은한명이자기주도학습을하는학생일사건을A, 여

학생일사건을E라하면구하는확률은P(E|A)이다.

;5ª0;

;2!5!;

P(A;B)P(A)

0.10.3

P(A;B)P(A)

P(A;B)P(A)


골프 테니스

남학생 12 7

여학생 9 8

(단위 :명)

골프 테니스

남학생 12 7

여학생 9 8

(단위 :명)


정답과풀이 37

P(B|A)=;2!1@;=;7$;

08-6

줄다리기에 참가할 학생일 사건을 A, 배드민턴에 참가할 학생

일사건을B라하면

P(A)=;6#0*;, P(A;B)=;6!0*;


P(B|A)=

P(B|A)= =;3!8*;

P(B|A)=;1ª9;

p=19, q=9이므로

p+q=19+9=28

08-7

⁄ A가검은공, B가검은공, C가흰공을꺼내는경우

⁄이경우의확률은

⁄ ;6$;_;5#;_;4@;=;3@;_;5#;_;2!;=;5!;

¤ A가검은공, B가흰공, C가흰공을꺼내는경우


⁄ ;6$;_;5@;_;4!;=;3@;_;5@;_;4!;=;1¡5;

‹ A가흰공, B가검은공, C가흰공을꺼내는경우


⁄ ;6@;_;5$;_;4!;=;3!;_;5$;_;4!;=;1¡5;

C가꺼낸공이흰공인사건을E, A가꺼낸공이흰공인사건

을F라하면⁄, ¤, ‹에서

P(E)=;5!;+;1¡5;+;1¡5;=;3!;

P(E;F)=;1¡5;


P(F|E)=

P(F|E)=;1¡5;

;3!;

P(E;F)

P(E)

;6!0*;

;6#0*;

P(A;B)

P(A)

P(F|E)=;5!;

08-8

5_a_b가홀수인사건을A, 5_a_b가 15 이상인사건을B

라하면구하는확률은

P(B|A)=

5_a_b가홀수이면 a와 b가모두홀수이므로 1 또는 3이적혀

있는 6개의공중에서 2개를꺼내는경우의수와같다.

따라서P(A)=

따라서P(A)=

따라서P(A)=;4!5%;=;3!;

5_a_b가 홀수이면서 15 이상인 경우는 (a, b)의 순서쌍이

(1, 3), (3, 1), (3, 3) 중의하나이어야하므로 1 또는 3이적

혀있는 6개의공중에서 2개를꺼내는경우의수에서 1이적혀

있는공 2개를꺼내는경우의수를빼면된다. 그러므로

P(A;B)=

P(A;B)=

P(A;B)= =;5!;


P(B|A)=

P(B|A)= =;5#;;5!;

;3!;

P(A;B)P(A)

15-645

6_5 4_3112-1122_1 2_11111112510_91112_1

§C™-¢C™¡ºC™

6_51122_1111210_91112_1

§C™¡ºC™

P(A;B)P(A)


09-1③ 09-2③ 09-3④ 09-4 10

09 확률의곱셈정리

09-1

주머니 A에서꺼낸공에적혀있는수가짝수인사건을X, 주

머니B에서꺼낸두개의공에적혀있는수의합이홀수인사건

을Y라하자.

⁄주머니A에서짝수인공을한개꺼내주머니B에넣고주머

니 B에서짝수인공한개, 홀수인공한개를동시에꺼내는

경우의확률은

⁄ P(X;Y)=P(X)P(Y|X)

⁄ P(X;Y)=;5@;_

⁄ P(X;Y)=;5@;_;1ª5;

⁄ P(X;Y)=;2§5;

¤주머니A에서홀수인공을한개꺼내주머니B에넣고주머

니 B에서짝수인공한개, 홀수인공한개를동시에꺼내는

경우의확률은

⁄ P(XÇ ;Y)=P(XÇ )P(Y|XÇ )

⁄ P(XÇ ;Y)=;5#;_

⁄ P(XÇ ;Y)=;5#;_;1•5;

⁄ P(XÇ ;Y)=;2•5;


P(Y)=P(X;Y)+P(XÇ ;Y)

P(Y)=;2§5;+;2•5;

P(Y)=;2!5$;

09-2

첫번째꺼낸카드에적힌수가짝수인사건을A, 두번째꺼낸

카드에적힌수가짝수인사건을B라하자.

⁄첫번째꺼낸카드에적힌수가짝수, 두번째꺼낸카드에적

힌수도짝수인경우

⁄ P(A;B)=P(A)P(B|A)

⁄ P(A;B)=;6#;_;5@;

¢C¡_™C¡§C™

£C¡_£C¡§C™

본문 85쪽유형

⁄ P(A;B)=;5!;

¤첫번째꺼낸카드에적힌수가홀수, 두번째꺼낸카드에적

힌수는짝수인경우

⁄ P(AÇ ;B)=P(AÇ )P(B|AÇ )

⁄ P(AÇ ;B)=;6#;_;5#;

⁄ P(AÇ ;B)=;1£0;


P(B)=P(A;B)+P(AÇ ;B)

P(B)=;5!;+;1£0;=;2!;

09-3

현민이가주사위를처음던질때 5 이상의눈의수가나올확률

은

;6@;=;3!;

또, 처음에 2 이하의눈이나오고두번째로던진주사위에서 5

이상의눈의수가나올확률은

;6@;_;6@;=;9!;


;3!;+;9!;=;9$;

09-4

주어진시행에서흰공이 2개나오려면정사면체의눈의수가 2

또는 3이어야한다.

주어진시행에서흰공이 2개나오는사건을X라하자.

⁄정사면체의눈의수가 2이고, 흰공이 2개나올확률

⁄정사면체의눈의수가 2인사건을A라하면

⁄ P(A)=;4!;

⁄ P(X|A)는주머니에서 2개의공을꺼낼때흰공이 2개나

올확률이므로

⁄ P(X|A)= =;6#;=;2!;

⁄따라서P(A;X)=P(A)P(X|A)

⁄따라서P(A;X)=;4!;_;2!;

⁄따라서P(A;X)=;8!;

£C™¢C™


정답과풀이 39

¤정사면체의눈의수가 3이고, 흰공이 2개나올학률

⁄정사면체의눈의수가 3인사건을B라하면

⁄ P(B)=;4!;

⁄ P(X|B)는주머니에서 3개의공을꺼낼때흰공이 2개나

올확률이므로

⁄ P(X|B)= = =;4#;

⁄따라서P(B;X)=P(B)P(X|B)

⁄따라서P(B;X)=;4!;_;4#;

⁄따라서P(B;X)=;1£6;

(A;X);(B;X)=Δ, (A;X)'(B;X)=X이므로

p=P(X)=P(A;X)+P(B;X)

p=P(X)=;8!;+;1£6;

p=P(X)=;1∞6;

따라서 32p=32_;1∞6;=10

3_14

£C™_¡C¡¢C£

10-1② 10-2② 10-3 499 10-4④

10 사건의독립과독립시행의확률

10-1

두사건A, B가서로독립이므로

P(A|B)=P(A)=;8#;

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

P(A'B)=;8#;+P(B)-;8#;P(B)

P(A'B)=;8#;+;8%;P(B)

P(A'B)=;5#;

;8%;P(B)=;5#;-;8#;=;4ª0;이므로

P(B)=;2ª5;

따라서

P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B)

P(A;BÇ )=P(A)-P(A)P(B)

P(A;BÇ )=P(A){1-P(B)}

P(A;BÇ )=;8#;_{1-;2ª5;}

P(A;BÇ )=;8#;_;2!5^;=;2§5;

10-2

두사건A, C가서로독립이므로두사건AÇ , C도서로독립이다.

따라서

P(AÇ ;C)=P(AÇ )P(C)

P(AÇ ;C)=P(AÇ )_;5@;=;1£0;

에서P(AÇ )=;4#;이므로

P(A)=1-P(AÇ )=1-;4#;=;4!;

두사건A, B가서로배반사건이므로

P(A'B)=P(A)+P(B)

P(A'B)=;4!;+;3!;=;1¶2;

본문 87쪽유형


10-3

이농구선수의 2점슛성공률이 75 %이므로 2점슛이성공할

확률은 ;4#;이다.

이농구선수가 2점슛을 4번던졌을때 2번이상성공하는사건

을 A라하면 A의여사건 AÇ 은한번도성공하지못하거나한

번만성공하는사건이다.

⁄이농구선수가 2점슛을 4번던졌을때한번도성공하지못

할확률은

¤ ¢Cº{;4#;}‚ {;4!;}› =;25!6;

¤이농구선수가 2점슛을 4번던졌을때한번만성공할확률

은

¤ ¢C¡{;4#;}{;4!;} ‹ =;2¡5™6;

⁄, ¤에서P(AÇ )=;25!6;+;2¡5™6;=;2¡5£6;이므로

P(A)=1-P(AÇ )

P(A)=1-;2¡5£6;

P(A)=;2@5$6#;


p+q=256+243

=499

10-4

P(A)=p, P(AÇ )=2p이므로

P(AÇ )=1-P(A)에서

2p=1-p

즉, p=;3!;

한번의시행에서사건A가일어날확률이 ;3!;인시행을 8회반복

할때, 사건A가 1회일어날확률은

•C¡ {;3!;}1 {;3@;}7=8_;3!;_{;3@;}7=4_{;3@;}8

따라서 k=4

11-1⑤ 11-2③ 11-3 90 11-4④

11-5③ 11-6② 11-7③ 11-8③

11 이산확률분포

11-1

확률의총합은 1이므로

;4!;+;4%;-4a+a‹ + =1에서

4a‹ -a¤ -16a+4=0

(a-2)(a+2)(4a-1)=0

a=2또는 a=-2또는 a=;4!;

이때 0…;4%;-4a…1, 0…a‹ …1, 0… …1이어야하므로

a=;4!;

11-2

확률변수X가가질수있는값은 2, 3, 4이고각각의확률은

P(X=2)= =;1£0;

P(X=3)= =;1¢0;=;5@;

P(X=4)= =;1£0;

따라서확률변수X의확률분포를표로나타내면다음과같다.

따라서

E(X)=2_;1£0;+3_;5@;+4_;1£0;

E(X)=

E(X)=;1#0);=3

X=3인경우는 3을뽑고 1, 2 중하나, 4, 5 중하나를뽑는경

우이므로그경우의수는

™C¡_™C¡

참고

6+12+1210

£C¡_¡C¡∞C£

™C¡_™C¡∞C£

¡C¡_£C¡∞C£

2-a¤4

2-a¤4


X 2 3 4 계

P(X=x) ;1£0; ;5@; ;1£0; 1

Ⅶ.통계


정답과풀이 41

11-3


2p+p+p+2p=6p=1

따라서 p=;6!;

E(X)=2_;3!;+a_;6!;+b_;6!;+6_;3!;=4에서

;6!;(a+b)=;3$;

따라서 a+b=8

E(X¤ )=2¤ _;3!;+a¤ _;6!;+b¤ _;6!;+6¤ _;3!;

E(X¤ )=

V(X)=E(X¤ )-{E(X)} ¤

V(X)= -4¤ =3에서

a¤ +b¤ =34

a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab이므로

34=64-2ab

ab=15

따라서 = =90

11-4

확률변수X가가질수있는값은 0, 1, 2, 3이고각각의확률은

P(X=0)= =;2¡0;

P(X=1)= =;2ª0;

P(X=2)= =;2ª0;

P(X=3)= =;2¡0;


따라서E(X¤ )=0_;2¡0;+1_;2ª0;+4_;2ª0;+9_;2¡0;

따라서E(X¤ )=;2%0$;=;1@0&;

£C£_£Cº§C£

£C™_£C¡§C£

£C¡_£C™§C£

£Cº_£C£§C£

15

;6!;

abp

80+a¤ +b¤6

80+a¤ +b¤6

11-5

E(X)=(-1)_;3!;+0_;6!;+1_;3!;+2_;6!;=;3!;이므로

E(30X+5)=30E(X)+5

E(30X+5)=30_;3!;+5

E(30X+5)=15

11-6


a+;9@;+b+2b=1에서

a+3b=;9&; yy`㉠

E(X)=1이므로

-a+b+4b=1에서

-a+5b=1 yy`㉡

㉠, ㉡에서

a=;9!;, b=;9@;


E(X¤ )=1_;9!;+0_;9@;+1_;9@;+4_;9$;=; ¡9ª:

이고E(X)=1이므로

V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤

V(X)=; ¡9ª:-1=; ¡9º:

따라서 r(X)=Æ¬; ¡9º:= 이므로

r(3X+'2)=3r(X)

r(3X+'2)=3_

r(3X+'2)='1å0

11-7

P(X=1)=a라하면

P(X=2)=;3!;P(X=1)=;3A;,

P(X=3)=;3!;P(X=2)=;9A;,

P(X=4)=;3!;P(X=3)=;2Å7;

'1å03

'1å03

X 0 1 2 3 계

;2¡0; ;2ª0; ;2ª0; ;2¡0; 1P(X=x)

X -1 0 1 2 계

;9!; ;9@; ;9@; ;9$; 1P(X=x)


이므로X의확률분포를표로나타내면다음과같다.

이때확률의총합은 1이므로

a{1+;3!;+;9!;+;2¡7;}=1, ;2$7);a=1

즉, a=;4@0&;

E(X)=a{1+2_;3!;+3_;9!;+4_;2¡7;}

E(X)=;4@0&;_;2%7*;=;2@0(;

따라서

E(20X-10)=20E(X)-10

E(20X-10)=29-10=19

11-8

확률변수X가가질수있는값은 100, 500, 600이고, 확률변수

X의확률분포를표로나타내면다음과같다.

E(X)=100_;4!;+500_;4!;+600_;2!;=450이므로

E(4X+100)=4E(X)+100

E(4X+100)=4_450+100

E(4X+100)=1900

X 1 2 3 4 계

a ;3A; ;9A; ;2Å7; 1P(X=x)

X 100 500 600 계

;4!; ;4!; ;2!; 1P(X=x)

12-1③ 12-2④ 12-3④ 12-4②

12 이항분포

12-1

확률변수X가이항분포B{n, ;4!;}을따르므로

V(X)=n_;4!;_;4#;=;1£6;n=15

따라서 n=80

이때E(X)=n_;4!;=80_;4!;=20이고,

V(X)=E(X¤ )-{E(X)} ¤에서

E(X¤ )=V(X)+{E(X)} ¤

E(X¤ )=15+20¤

E(X¤ )=415

12-2

E(X)=np, r(X)='∂npq (q=1-p)에서

np=1, '∂npq= 이므로 q=;4#;

따라서 p=;4!;, n=4이므로

P(X=2)=¢C™ {;4!;}¤ {;4#;} ¤

P(X=2)=;1™2¶8;

12-3

동전 2개가모두앞면이나올확률은 ;2!;_;2!;=;4!;이므로

확률변수X는이항분포B {20, ;4!;}을따른다.

이때V(X)=20_;4!;_;4#;=;;¡4∞;;이므로

V(2X+1)=4V(X)

V(2X+1)=4_;;¡4∞;;

V(2X+1)=15

12-4

두주사위의눈의수의합이 6인경우를순서쌍으로나타내면

(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)

'32

본문 93쪽유형


정답과풀이 43

의 5가지이고, 두주사위의눈의수의합이 12인경우를순서쌍

으로나타내면 (6, 6)

의 1가지이므로두주사위A, B를동시에던질때, 두주사위의

눈의수의합이 6의배수일확률은

=;3§6;=;6!;

따라서확률변수X는이항분포B {120, ;6!;}을따른다.

E(X)=120_;6!;=20이므로

E(3X-1)=3E(X)-1

E(3X-1)=3_20-1

E(3X-1)=59

5+136

13-1③ 13-2② 13-3② 13-4⑤

13-5⑤ 13-6②

13 정규분포

13-1

직원의직무능력평가시험점수를확률변수X라하면X는정

규분포N(800, 25¤ )을따르므로확률변수

Z= 은표준정규분포N(0, 1)을따른다.

선택된직원의직무능력평가시험점수가 850점이상일확률은

P(Xæ850)=P{Zæ }

P(Xæ850)=P(Zæ2)

P(Xæ850)=0.5-P(0…Z…2)

P(Xæ850)=0.5-0.4772

P(Xæ850)=0.0228

13-2

확률변수X가정규분포N(50, r¤ )을따르므로


P(X…80)-P(X…50+r)

=0.5+P{0…Z… }

-[0.5+P{0…Z… }]

=P{0…Z… }-P(0…Z…1)

=0.1359

에서

P{0…Z… }=0.1359+P(0…Z…1)

P{0…Z… }=0.1359+0.3413

P{0…Z… }=0.4772

이므로 =2

따라서 r=15

13-3

젖소한마리가하루에생산하는우유의양을확률변수X라하

면X는정규분포N(20, 2¤ )을따른다.

30r

30r

30r

50+r-50r

80-50r

X-50r

850-80025

X-80025



이때Z= 은표준정규분포N(0, 1)을따르므로구하

는확률은

P(18…X…23)=P{ …Z… }

P(18…X…23)=P(-1…Z…1.5)

P(18…X…23)=P(0…Z…1)+P(0…Z…1.5)

P(18…X…23)=0.3413+0.4332

P(18…X…23)=0.7745

13-4

이지역의고등학교 3학년학생의키를확률변수X라하면X

는정규분포N(173, 5¤ )을따르고, Z= 이라하면

확률변수Z는표준정규분포N(0, 1)을따른다.

P(Xæ179.5)=P{Zæ }

P(Xæ179.5)=P(Zæ1.3)

P(Zæ1.3)=0.5-P(0…Z…1.3)

P(Zæ1.3)=0.5-0.40=0.1

따라서임의로선택한학생의키가 179.5이상일확률이 ;1¡0;이

므로 400명중에서키가 179.5이상인학생수는대략

400_;1¡0;=40이다.

13-5

설문조사에응한주민 192명중정부의예산삭감을지지한주

민의수를확률변수X라하자.

한사람이내년정부의예산삭감을지지할확률은 ;4#;이므로

확률변수X는이항분포B {192, ;4#;}을따른다. 이때

E(X)=192_;4#;=144

r(X)=Æ19…2_;4#;_;4!;='3å6=6

이때 n=192는충분히큰수이므로확률변수X는근사적으로

정규분포N(144, 6¤ )을따른다.

0 1.3 z

179.5-1735

X-1735

23-202

18-202

X-202

따라서정부의예산삭감을지지한주민이 150명이하일확률은

P(X…150)=P{Z… }

P(X…150)=P(Z…1)

P(X…150)=P(Z…0)+P(0…Z…1)

P(X…150)=0.5+0.3413

P(X…150)=0.8413

13-6

한개의주사위를한번던질때, 5이상의눈이나올확률이 ;3!;

이므로확률변수X는이항분포B {n, ;3!;}을따른다.

E(X)=n_;3!;=;3N;, V(X)=n_;3!;_;3@;=;;™9;;이고

V(X)+{E(X)}¤ =E(X¤ )이므로

;;™9;;+ =40

n¤ +2n=360, n¤ +2n-360=0

(n-18)(n+20)=0

따라서n이자연수이므로 n=18

즉, 확률변수X는이항분포B{18, ;3!;}을따르고,

E(X)=6, V(X)=4이다.

이때 n=18은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로

정규분포 N(6, 2¤ )을 따르고 Z= 이라 하면 확률변수

Z는표준정규분포N(0, 1)을따른다.

따라서

P(Xæ9)=P{Zæ }=P(Zæ1.5)

P(Xæ9)=0.5-P(0…Z…1.5)

P(Xæ9)=0.5-0.4332

P(Xæ9)=0.0668

9-62

X-62

n¤9

150-1446


정답과풀이 45

14-1① 14-2④ 14-3④ 14-4③

14-5④ 14-6② 14-7 244 14-8③

14 통계적추정

14-1

이모집단에서크기가 3인표본을복원추출할때X’=2인경우

는 2를세번추출하는경우와 1, 2, 3을각각한번씩추출하는

경우이다.

⁄ 2를세번추출할확률

¤ {P(X=2)}‹ ={;2!;}‹ =;8!;

¤ 1, 2, 3을각각한번씩추출할확률

¤ 3!_P(X=1)_P(X=2)_P(X=3)

¤ =6_;4!;_;2!;_;4!;

¤ =;1£6;


P(X’=2)=;8!;+;1£6;

P(X’=2)=;1∞6;

14-2

표본평균X’에대하여E(X’)=100, r(X’)= =2이므

로X’는정규분포N(100, 2¤ )을따르며확률변수


따라서

P(98…X’…104)=P{ …Z… }

P(98…X’…104)=P(-1…Z…2)

P(98…X’…104)=P(0…Z…1)+P(0…Z…2)

P(98…X’…104)=0.3413+0.4772

P(98…X’…104)=0.8185

14-3

정규분포 N(10, 4)를따르는모집단에서임의추출한크기가 4

인표본의표본평균X’는정규분포N(10, 1)을따르며

104-1002

98-1002

X’-1002

20'1 ß00

본문 99, 101쪽유형 확률변수Z= 은표준정규분포N(0, 1)을따른다.

따라서

P(8…X’…11)=P{ …Z… }

P(8…X…11)=P(-2…Z…1)

P(8…X…11)=P(0…Z…2)+P(0…Z…1)

P(8…X…11)=0.4772+0.3413

P(8…X…11)=0.8185

14-4

토마토 1개의무게를확률변수X라하면X는정규분포

N(m, 8¤ )을따르므로크기가 16인표본의표본평균X’는정규

분포N(m, 2¤ )을따른다.

16개를임의추출하여 1상자를만들때이토마토 1상자의무게

가 4320g이하일확률이 0.0228이므로

P(16X’…4320)=P(X’…270)

P(16X’…4320)=0.0228

P(16X’…4320)=0.5-0.4772

P{Z… }=0.5-P(-2…Z…0)

P{Z… }=P(Z…-2)

따라서 =-2이므로

m=274

14-5

표본의크기 n=64, 표본평균 xÆ=80, 모표준편차 r=2이므로

비타민제한통의무게의평균m에대한신뢰도 95%의신뢰구

간은

80-1.96_ …m…80+1.96_

즉, 79.51…m…80.49

14-6

표본의 크기 n=16, 표본평균 x’=100, 모표준편차 r=8이므

로모평균m에대한신뢰도 95 %의신뢰구간은

2'6å4

2'6å4

270-m2

270-m2

11-101

8-101

X’-101


100-1.96_ …m…100+1.96_

즉, 96.08…m…103.92

14-7

400명의학생중에서하루 1시간이상운동하는학생의비율을

p이라하면

P {pæ }=0.0139

한편 모비율 p=0.2이고, 표본의 크기 n=400은 충분히 크므

로

Z=

Z=

Z=

Z=

는근사적으로표준정규분포N(0, 1)을따른다.

=a라하면

P{pæ }=P(pæa)

P{pæ }=P{Zæ }

P{pæ }=0.5-P{0…Z… }

P{pæ }=0.0139

따라서

P{0…Z… }=0.5-0.0139

P{0…Z… }=0.4861

이때P(0…Z…2.2)=0.4861이므로

=2.2

a=0.2+2.2_0.02=0.244

따라서 10k=1000a=244

a-0.20.02

a-0.20.02

a-0.20.02

a-0.20.02

k100

k100

p-0.20.02

p-0.2'0ƒ.0004

p-0.2

0.2_0.8æ–1111400

p-p

p(1-p)æ–1111n

k100

8'1å6

8'1å6

14-8

p=;1ª0;이므로모비율에대한신뢰도 95 %의신뢰구간은

;1ª0;-1.96_ …p…;1ª0;+1.96_

따라서

b-a=2_1.96_

b-a=2_1.96_;10#0;

b-a=0.1176

æ≠;1ª0;_;1¡0;

'1ß00

æ≠;1ª0;_;1¡0;

'1ß00

æ≠;1ª0;_;1¡0;

'1ß00


정답과풀이 47

01-1④ 01-2④ 01-3⑤ 01-4⑤

01 포물선의정의와포물선의방정식

01-1

포물선위의임의의점을 P(x, y), 초점을 F(3, a), 점 P에서

준선에내린수선의발을H라하면PF”=PH”이므로

"√(x-3)¤ +(y-a)¤ =|x+1|

양변을제곱하면

(x-3)¤ +(y-a)¤ =(x+1)¤ yy㉠

포물선이 x축과만나는점의 x좌표가 3이므로

x=3, y=0을㉠에대입하면 a¤ =16

따라서 a=4또는 a=-4

a는양수이므로 a=4

01-2

점 A(8, 8)이 포물선 y¤ =px 위의

점이므로

8¤ =8p에서

p=8

따라서 포물선 y¤ =8x의 초점은

F(2, 0)이고준선의방정식은

x=-2이므로H(-2, 8)이다.

HF”=øπ4¤ +(-8)¤ =4'5, AH”=AF”=10

따라서삼각형 FAH의둘레의길이는

20+4'5

01-3

두포물선C¡, C™의준선을각각 l¡, l™라하고점 P에서 l¡, l™에

내린수선의발을각각H¡, H™라하자.

점F의좌표가 (3, 0)이므로준선 l¡의방정식은 x=-3이다.

점P의좌표를 P(x¡, y¡)이라하면

P’H¡”=PF”=8에서

O

F

A(8, 8)

-2 2

H

y

y™=8x

x

x¡-(-3)=8

즉, x¡=5

포물선C¡의방정식은 y¤ =12x이므로

y¡¤ =12x¡=60에서

y¡>0이므로 y¡=2'∂15

FA”=k라하고, 준선 l¡, l™와 x축의

교점을각각Q, R라하면

AR”=FA”=k이므로

QR”=6+2k

한편

H’¡H™”=H’¡P”+P’H™”=8+8=16

이므로 6+2k=16에서 k=5

따라서구하는삼각형PFA의넓이는

_5_2'∂15=5'∂15

01-4

포물선 y¤ =2nx의초점의좌표는

F«{;2N;, 0}이고준선의방정식은

x=-;2N;이다.

점 A«에서포물선 y¤ =2nx의준

선에내린수선의발을T«이라하

면 A’«F« ”=A’«T«”이므로

A’«F«”+A’«H«”=A’«T«”+A’«H«”

A’«F«”+A’«H«”=T’«H«”

A’«F«”+A’«H«”=;2#;n-{-;2N;}

A’«F«”+A’«H«”=2n

따라서

(A’«F«”+A’«H«”)= 2n

=2_

=110

10_112

10

¡n=1

10

¡n=1

12

O

Tn

Fn

An

Hn

yy™=2nx

x=- n2

x

x= n3 x= n3

2

OQ F A R

PH¡ H™

C™ C¡y

l¡

x

l™

Ⅷ.평면곡선본문 103쪽

유형

기하와벡터


02-1③ 02-2② 02-3① 02-4③

02 타원의정의와타원의방정식

02-1

두 점 F, F'으로부터 거리의 합이 일정한 점 P가 나타내는 도

형은타원이므로타원의방정식을 + =1(a>b>0)이

라하면

PF”+PF'”=4'5에서 a=2'5

(2'5)¤ =b¤ +2¤ , b¤ =16

b는양수이므로 b=4

이타원이 y축과만나는두점사이의거리는

2b=2_4=8

02-2

타원의방정식을정리하면

(x-2)¤ +5(y+1)¤ =5,

+(y+1)¤ =1

이고, 이타원은타원 +y¤ =1을x축의방향으로 2만큼, y축

의방향으로-1만큼평행이동한것이다.

타원 +y¤ =1의초점의좌표는 (2, 0), (-2, 0)이므로

주어진타원의초점의좌표는 (4, -1), (0, -1)이다.

F¡(4, -1), F™(0, -1)이라하면

O’F™”=1, F’¡F™”=4, ∠OF™F¡=90˘

이므로삼각형OF¡F™의넓이는

_1_4=2

02-3

타원의정의에의하여

A’F’+A’F'”=2'a, B’F’+B’F'”=2'a

O

F'

F

A

B

x™

ay™

b+ =1

y

x

12

x¤5

x¤5

(x-2)¤5

y¤b¤

x¤a¤

본문 105쪽유형

삼각형AF'B의둘레의길이가 16이므로

(A’F’+A’F'”)+(B’F’+B’F'”)=4'a=16

'a=4, a=16

초점F의 x좌표가 2이므로

'ƒa-b='ƒ16-b=2, 16-b=4

b=12

따라서 a_b=16_12=192

02-4

좌표평면에서위의그림과같이선분AB의중점이원점에오도

록두점 A, B를 x축위에잡으면 AC”+BC”=14가되는점 C

가나타내는도형은두점A, B를초점으로하고장축의길이가

14인타원이다.

이타원의방정식을 + =1(a>b>0)이라하면

2a=14에서 a=7

øπa¤ -b¤ =5이므로 a¤ -b¤ =25

b¤ =24이므로 b=2'6

선분 AB를밑변으로하는삼각형 ABC는점 C가 y축위에있

을때, 즉점C'일때높이가최대가되므로넓이도최대가된다.

따라서삼각형ABC의넓이의최댓값은

;2!;_10_2'6=10'6

y¤b¤

x¤a¤

O

-5

-7 7

5

CC'

A B

y

x


정답과풀이 49

03-1③ 03-2① 03-3④ 03-4⑤

03 쌍곡선의정의와쌍곡선의방정식

본문 107쪽유형

03-1

직각삼각형ABC에서

CA”="√4¤ +3¤ =5

쌍곡선의정의에의하여

AC”-BC”=5-3=2

이므로두초점으로부터거리의차는 2이다.

두꼭짓점P, Q에대하여

AQ”-BQ”=2 yy`㉠

BP”-AP”=2 yy`㉡

㉠+㉡을하면

(AQ”-AP”)+(BP”-BQ”)=4

2PQ”=4

따라서 PQ”=2

03-2

쌍곡선 - =1은쌍곡선 - =1을 x축의

방향으로 2만큼평행이동한것이므로점근선의방정식은

y=— ;4$;(x-2)

즉, y=x-2또는 y=-x+2

두점근선과직선 y=3의교점은각각

(5, 3), (-1, 3)

따라서구하는삼각형의넓이는

;2!;_{5-(-1)}_3=9

O 2 4

3 y=3

y=x-2y=-x+2

(x-2)™

4 - =1y™

4

y

x

y¤4

x¤4

y¤4

(x-2)¤4

AP Q

B

C

4

35

03-3

5x¤ -4y¤ =20의양변을 20으로나누면

- =1

점P가제1사분면위의점이므로쌍곡선의정의에의하여

P’F'”-PF”=2_2=4 yy㉠

c¤ =4+5=9에서두초점의좌표는 F(3, 0), F'(-3, 0)이므

로

F’F'”=6

삼각형PFF'의둘레의길이가 22이므로

PF”+P’F'”+F’F'”=22

즉, PF”+P’F'”=16 yy㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면

PF”=6

03-4

쌍곡선의정의에의하여CB”-CA”=4, DB”-DA”=4이므로

(CB”+DB”)-(CA”+DA”)=8 yy㉠

조건에서CA”+CB”+DB”+DA”=38 yy㉡

㉡-㉠에서 2(CA”+DA”)=30

따라서 CA”+DA”=CD”=15

O

C

B A-3 3D

y

x

x™

4 =1-y™

5

y¤5

x¤4

OF' F

Py

x

5x™-4y

™=20


04-1① 04-2① 04-3 48 04-4⑤

04 음함수와매개변수의미분법

04 -1

x=-2t+3에서 =-2

y=3t¤ -1에서 =6t

= = =-3t

따라서 t=2일때, 의값은 -6이다.

04 -2

t=2일때 x=4, y=;2@;+;2!;=;2#;이므로접점의좌표는

{4, ;2#;}

한편 x=t¤ , y=;2T;+;t!;에서

=2t, =;2!;- 이므로

= =

=

따라서 t=2에대응하는점에서의접선의기울기는

=;1¡6;

이므로접선의방정식은

y-;2#;=;1¡6;(x-4)

즉, y=;1¡6;x+;4%;

이직선이점 (12, a)를지나므로

a=;1¡6;_12+;4%;=2

2¤ -24_2‹

t¤ -24t‹

1 11-12 t¤2t

dy12dtdx12dt

dydx

1t¤

dydt

dxdt

dydx

6t-2

dydtdxdt

dydx

dydt

dxdt

본문 109쪽유형 04-3

'x+y¤ =13의양변을 x에대하여미분하면

+2y =0

2y =- 이므로

=- (단, xy+0) yy㉠

이때곡선 'x+y¤ =13 위의점 (16, 3)에서의접선의기울기는

㉠에 x=16, y=3을대입한값과같으므로

- =-;4¡8;

서로수직인두직선의기울기의곱은 -1이므로

-;4¡8;_m=-1

따라서 m=48

04-4

x‹ +2y‹ -axy+4b=0의양변을 x에대하여미분하면

3x¤ +6y¤ -ay-ax =0 yy`㉠

점 (0, -1)에서 의값이 3이므로㉠에 x=0, y=-1,

=3을대입하면

3_0¤ +6_(-1)¤ _3-a_(-1)-a_0_3=0

18+a=0

a=-18

한편점 (0, -1)은곡선 x‹ +2y‹ -axy+4b=0 위에있으므

로

-2+4b=0

b=;2!;

따라서 ab=-18_;2!;=-9

dydx

dydx

dydx

dydx

14_3_'∂16

14y'x

dydx

12'x

dydx

dydx

12'x


정답과풀이 51

05-1② 05-2⑤ 05-3⑤ 05-4④

05 포물선의접선의방정식

05-1

y¤ =4x의양변을 x에대하여미분하면

2y =4, 즉 y+0에서 =;]@;

따라서포물선 y¤ =4x위의점 (1, 2)에서의접선의기울기가

=;2@;=1이므로포물선 y¤ =4x위의점 (1, 2)에서의접선

의방정식은

y=(x-1)+2=x+1

직선 y=x+1과 x축, y축의교점이각각A, B이므로

A(-1, 0), B(0, 1)

따라서AB”="{√0-√(-1√)}¤ +√(1-0)¤ ='2

05-2


2y =4, 즉 y+0에서 =;]@;

포물선 y¤ =4x위의점 (x¡, y¡)에서의접선의기울기가

= 이므로포물선 y¤ =4x위의점 (x¡, y¡)에서의접선

의방정식은

y= (x-x¡)+y¡= x- +y¡

양변에 y¡을곱하면

y¡y=2(x-x¡)+y¡¤

점 (x¡, y¡)은포물선 y¤ =4x위의점이므로

y¡¤ =4x¡

따라서

y¡y=2(x-x¡)+y¡¤

y¡y=2(x-x¡)+4x¡=2(x+x¡)

이접선이점A(-2, 0)을지나므로

0=2(-2+x¡)에서

x¡=2

y¡¤ =4x¡=4_2=8에서

y¡>0이므로 y¡=2'2

따라서점B의좌표는 B(2, 2'2)이므로

OB”=øπ2¤ +(2'2) ¤=2'3

2x¡y¡

2y¡

2y¡

2y¡

dydx

dydx

dydx

dydx

dydx

dydx

본문 111쪽유형 05-3

y¤ =2x의양변을x에대하여미분하면

2y =2, 즉 y+0에서 =;]!;

접점을 (x¡, y¡)이라하면 y¡¤ =2x¡ yy`㉠

접선의기울기가 = =;3!;이므로 y¡=3

y¡=3을㉠에대입하면 9=2x¡이므로x¡=;2(;

포물선 y¤ =2x위의점 {;2(;, 3}에서의접선 l의방정식은

y=;3!;{x-;2(;}+3=;3!;x+;2#; yy`㉡

따라서직선 l이 x축과만나는점A의좌표는A(-3, 0)이다.

점F{;2!;, 0}을지나고기울기가-3인직선의방정식은

y=-3{x-;2!;}, 즉 y=-3x+;2#; yy㉢

이때두직선㉡, ㉢이 y축위에서만나므로

H{0, ;2#;}

따라서삼각형AFH의넓이는

;2!;_5_;2#;=:¡4∞:

05-4

포물선 y¤ =4'3x의초점F의좌표는 F('3, 0)이다.

y¤ =4'3x의양변을 x에대하여미분하면

2y =4'3

즉, y+0에서 =

접점을 (x¡, y¡)이라하면 y¡¤ =4'3x¡ yy㉠

접선의기울기가 1이므로

=1, y¡=2'3

y¡=2'3을㉠에대입하면

(2'3)¤ =4'3 x¡이므로 x¡='3

따라서직선 l의방정식은

y-2'3=1_(x-'3), 즉 x-y+'3=0

따라서초점F('3, 0)과직선 l사이의거리는

= ='62'3'2

|'3-0+'3|"√1¤ +(-1)¤

2'3y¡

2'3y

dydx

dydx

1y¡

dydx

dydx

dydx


06-1

+ =1의양변을 x에대하여미분하면

;2{;+;3@;y =0

즉, y+0에서 =-

점 {1, ;2#;}에서의접선의기울기는

=- =-;2!;

따라서접선의방정식은

y=-;2!;(x-1)+;2#;

이접선이점 (-4, k)를지나므로

k=-;2!;(-4-1)+;2#;=4

06-2

+y¤ =1의양변을 x에대하여미분하면

;2{;+2y =0

즉, y+0에서 =-

점 {'3, ;2!;}에서의접선의기울기는

=- =-

이므로점 {'3, ;2!;}에서의접선의방정식은

y=- (x-'3)+;2!;=- x+2

0=- x+2에서

x= = 이므로

A{ , 0}

y=- _0+2에서 y=2이므로B(0, 2)이다.'32

4'33

4'33

4'3

'32

'32

'32

'32

'3

4_;2!;

dydx

x4y

dydx

dydx

x¤4

3_1

4_;2#;

dydx

3x4y

dydx

dydx

y¤3

x¤4

06-1 4 06-2① 06-3 20 06-4⑤

06 타원의접선의방정식

본문 113쪽유형

타원의초점은F('3, 0)이므로

(삼각형 FBO의넓이) : (삼각형 FAB의넓이)`

=OF” : FA”='3 : { -'3}

='3 : =3 : 1

따라서 k=3

06-3

+y¤ =1의양변을 x에대하여미분하면

+2y =0, 즉 y+0에서 =-

점 (a, b)에서의접선의기울기는 =-

타원위의점 (a, b)에서의접선의방정식은

y=- (x-a)+b

양변에 b를곱하면

by=-;3A;(x-a)+b¤

점P(a, b)는타원 +y¤ =1위의점이므로

+b¤ =1 yy`㉠

b¤ =1- 이므로

by=-;3A;(x-a)+b¤

by=-;3A;(x-a)+1- =- +1

즉, by=- +1

x축과만나는점은 0=- +1에서

x=;a#;이므로A {;a#;, 0}

y축과만나는점은 by=0+1에서

ax3

ax3

ax3

a¤3

a¤3

a¤3

x¤3

a3b

a3b

dydx

x3y

dydx

dydx

2x3

x¤3

'33

4'33

O-2 2F

1

B

PA

-1

x

y=- x+2'32

x™

4 +y™=1

y


정답과풀이 53

y=;b!;이므로B {0, ;b!;}

S¡=;2!;_;a#;_b= , S™=;2!;_;b!;_a= 이므로

S¡ : S™=1 : 3에서 =

따라서 a¤ =9b¤ yy㉡

㉡`을㉠`에대입하면

3b¤ +b¤ =1, b¤ =;4!;

b>0이므로 b=;2!;

b=;2!;을㉡`에대입하면

a>0이므로 a=;2#;

따라서 10(a+b)=10{;2#;+;2!;}=20

06-4


2y =8

즉, y+0에서 =

따라서포물선 y¤ =8x위의점P(2, 4)에서의접선의기울기는

= =1

점 P에서의타원의접선과포물선의접선이서로수직이므로타

원의접선의기울기는-1이다.

점P(2, 4)를지나고기울기가-1인접선의방정식은

y=-x+6 yy㉠

타원위의점P(2, 4)에서의접선의방정식은

+ =1

즉, y=- x+ yy㉡

㉠, ㉡에서

=1, =6

이므로 a¤ =12, b¤ =24

따라서 타원의 방정식은 + =1이고 두 초점의 좌표는

(0, -2'3), (0, 2'3)이므로두초점사이의거리는 4'3이다.

y¤24

x¤12

b¤4

b¤2a¤

b¤4

b¤2a¤

4yb¤

2xa¤

44

dydx

4y

dydx

dydx

9b2a

a2b

a2b

3b2a

07-1① 07-2 16 07-3② 07-4 4

07 쌍곡선의접선의방정식

07-1

3x¤ -2y¤ =-6에서양변을 x에대하여미분하면

6x-4y =0

즉, y+0에서 =

점 (2, 3)에서의접선의기울기는

=;6;=1

이므로접선의방정식은

y=(x-2)+3=x-1

따라서이접선에평행하므로기울기는 1이고점 (-1, -2)를

지나는직선의방정식은

y+2=x+1, y=x-1

따라서 a=1, b=-1이므로

a¤ +b¤ =1+1=2

07-2

쌍곡선 - =1에서양변을 x에대하여미분하면

;4{;-;2}; =0

즉, y+0에서 =

점 (4, 2)에서의접선의기울기는

= =1

따라서접선 l의방정식은

y=(x-4)+2=x-2

이직선과수직이고점P(4, 2)를지나는직선m의방정식은

y=-(x-4)+2=-x+6

직선 l의 y절편이-2, 직선m의 y절편이 6이고

점P의 x좌표가 4이므로구하는삼각형의넓이는

;2!;_(6+2)_4=16

07-3

쌍곡선 -y¤ =1의점근선중기울기가음수인직선 l의방x¤4

42_2

dydx

x2y

dydx

dydx

y¤4

x¤8

dydx

3x2y

dydx

dydx

본문 115쪽유형


정식은 y=- x이므로직선l에수직인직선의기울기는 2이다.

-y¤ =1의양변을 x에대하여미분하면

;2{;-2y =0

즉, y+0에서 =

점 (x¡, y¡)에서의접선의기울기는

= =2

즉, x¡=8y¡ yy`㉠

-y¡¤ =1에㉠을대입하면

16y¡¤ -y¡¤ =1

즉, y¡= 또는 y¡=-

⁄ y¡= 일때, x¡=

⁄이때접선의방정식은

⁄ y=2{x- }+ =2x-'1å5

¤ y¡=- 일때, x¡=-

⁄이때접선의방정식은

⁄ y=2{x+ }- =2x+'1å5

두접선사이의거리는직선 2x-y-'∂15=0위의점 (0, -'∂15)

와직선 2x-y+'∂15=0사이의거리와같다.

따라서구하는거리는

= =2'3

07-4

두점A, B를각각제1사분면위의점, 제4사분면위의점이라

하자.

쌍곡선 -y¤ =1의점근선의방정식은

y= x yy㉠

또는 y=- x yy㉡

한편 -y¤ =1의양변을 x에대하여미분하면x¤2

'22

'22

x¤2

2'∂15'5

|0+'∂15+'∂15|

øπ2¤ +(-1)¤

1'1å5

8'1å5

8'1å5

1'1å5

1'1å5

8'1å5

8'1å5

1'1å5

1'1å5

1'1å5

x¡¤4

x¡4y¡

dydx

x4y

dydx

dydx

x¤4

12 x-2y =0, 즉 y+0에서 =

점 (2, 1)에서의접선의기울기는 =;2@;=1이므로

접선의방정식은

y=(x-2)+1=x-1 yy`㉢

㉠, ㉢`에서

x=x-1, x=1

x= = =2+'2

y= _(2+'2)=1+'2이므로

A(2+'2, 1+'2)

㉡, ㉢`에서

- x=x-1, x=1

x= = =2-'2

y=- _(2-'2)=1-'2이므로

B(2-'2, 1-'2)

따라서선분AB의길이는

øπ(2'2)¤ +(2'2)¤ =4

'22

2(2-'2)4-2

22+'2

2+'22

'22

'22

2(2+'2)4-2

22-'2

2-'22

'22

dydx

x2y

dydx

dydx


정답과풀이 55

08-1④ 08-2① 08-3⑤ 08-4②

08 평면벡터의크기와연산

08-1

MÚC≥+NC≥=(AC≥-AM≥)+(AC≥-AN≥)

MÚC≥+NC≥=2AC≥-AM≥-AN≥

MÚC≥+NC≥=2(AB≥+AD≥)-;2!;AD≥-;3@;AB≥

MÚC≥+NC≥=;3$;AB≥+;2#;AD≥

MÚC≥+NC≥=;3$; a+;2#; b

08-2

그림에서AD≥=FE≥, CE≥=FD≥이므로

a=AD≥+CE≥

=FE≥+FD≥

=FB≥

또DE≥=FC≥이므로

b=DE≥-FB≥

=FC≥-FB≥

=BC≥

따라서

a+b=FB≥+BC≥

=FC≥

=AF≥

a+b=(A’D≥+CE≥)+(DE≥-FB≥)

=(AD≥+DE≥)+CE≥-FB≥

=AE≥+CE≥-FB≥

=AE≥+EB≥+BF≥ (∵CE≥=EB≥, -FB≥=BF≥)

=AB≥+BF≥

=AF≥

다른풀이

D

A

B C

F

E

본문 117쪽유형

Ⅸ.평면벡터 08-3

O’P≤=A’X≥인 점 X는 원 (x-3)¤ +(y-4)¤ =40을 x축의 방

향으로 9만큼평행이동한원 C : (x-12)¤ +(y-4)¤ =40 위

의점이다.

이때O’A≥+O’P≤=O’A≥+A’X≥=O’X≥이다.

따라서그림과같이원 C의중심M이선분 OX 위에있을때

|OX≥|의값이최대이다.

따라서 |O’A≥+O’P≤|의최댓값은

"√12¤ +4¤ +'∂40=6'∂10

08-4

BP≥+A’M≥-AB≥=BP≥+(A’M≥≥-AB≥)

BP≥+A’M≥-AB≥=BP≥+B’M≥

이므로벡터 BP≥+B’M≥의크기는변AB 위를움직이는점 P가

점A와일치할때최대이다.

사각형 BMDA가 평행사변형이 되도록 점 D를 잡으면 벡터

BP≥+B’M≥의크기의최댓값은그림에서벡터BD≥의크기이다.

그런데점M은BC”의중점이므로

AD”=B’M”=MÚC”

직각삼각형BCD에서

BC”=2, CD”=A’M”='3

BD”=ø πBC” ¤ +CD” ¤ =øπ2¤ +('3)¤ ='7

따라서 |BD≥|='7

A D

CMB

O 12A

4M

X

C

x

(x-3)™+(y-4)

™=40

y


09-1③ 09-2② 09-3 4 09-4④

09 평면벡터의내적

09-1

삼각형 ABC는 AC”=BC”인이등변삼각형이므로점 C에서선

분 AB에 내린 수선의 발을M이라 하면 점M은 선분 AB의

중점이다.

이때 cos (∠CAB)= 이므로

AB≥•AC≥=AB”_AC”_cos (∠CAB)

AB≥•AC≥=AB”_AC”_

AB≥•AC≥=AB”_A’MÚ

AB≥•AC≥=10_5=50

09-2

두점P, Q의 y좌표를각각 a, b라하면

P{ , a}, Q{ , b}

p ¯•q= _ +a_b

p ¯•q= (ab+2)¤ -1

따라서 p ¯•q의최솟값은-1이다.

09-3

두벡터 a ¯, b가이루는각의크기를 h라하면

|a¯+tb|¤ =(a¯+tb) ¥¥ (a+tb)

=a¯ ¥¥ a+a¯ ¥¥ (tb)+(tb) ¥¥ a¯+t¤ (b¯ ¥¥ b¯)

=|a¯|¤ +2(a ¥¥ b¯)t+|b¯|¤ t ¤

=3¤ +2_3_1_cosh_t+1¤ _t¤

=t¤ +(6cosh)t+9

=(t+3cosh)¤ +9-9cos¤ h

14

b¤2

a¤2

b¤2

a¤2

A’MÚ

AC”

A’MÚ

AC”

A

C

MB

본문 119쪽유형

따라서 |a¯+tb|는 t=-3cosh일때최솟값

"√9-9cos¤ h를가지므로

"√9-9cos¤ h='5, 9-9cos¤ h=5

cos¤ h=;9$;

따라서

(a¯ ¥¥ b¯)¤ =(3_1_cosh)¤

(a¯ ¥¥ b¯)¤ =9cos¤ h

(a¯ ¥¥ b¯)¤ =9_;9$;

(a¯ ¥¥ b¯)¤ =4

09-4

PO≥=(0, -4), P’A‘≥=(i, 0)-(0, 4)=(i, -4)

이므로 l‘=PO≥`∑`P’A‘≥=(0, -4)`∑`(i, -4)=16

따라서 16=16_10=160

∠OPA‘=h‘라하면 |P’A‘≥|cos h‘=|PO≥|

l‘=PO≥`∑`P’A‘≥=|PO≥||P’A‘≥|cos h‘=|PO≥|¤

따라서

l‘= PO≥`∑`P’A‘≥

l‘= |PO≥|¤

l‘= 16

l‘=16_10=160

10

¡i=1

10

¡i=1

10

¡i=1

10

¡i=1

다른풀이

10

¡i=1


정답과풀이 57

10-1① 10-2③ 10-3④ 10-4②

10 두평면벡터가이루는각의크기

10-1

두벡터가서로수직이기위해서는 a•b ¯=0이다.

(3, 4-x)•(7, x)=0

21+4x-x¤ =0

x¤ -4x-21=0

(x-7)(x+3)=0

x>0이므로 x=7

두벡터가서로평행하기위해서는

a=kb ¯ (k는 0이아닌실수)이다.

즉, 3=7k, 4-x=kx

두식을연립하여풀면

k= , x=

따라서m=7, n= 이므로

=

10-2

|a ¯+b¯|=4이므로

|a ¯+b¯|¤ =(a¯+b¯)¥¥ (a ¯+b¯)

=a¯ ¥¥ a¯+a¯ ¥¥ b¯+b¯ ¥¥ a¯+b¯ ¥¥ b¯

=|a¯|¤ +2(a ¯ ¥¥ b ¯)+|b ¯|¤

=3¤ +2(a ¯ ¥¥ b¯)+2¤

=4¤

즉, a ¯ ¥¥ b¯=;2#;

따라서

cosh=

cosh=

cosh=;4!;

;2#;

3_2

a ¯ ¥¥ b¯|a¯||b¯|

25

nm

145

145

37

본문 121쪽유형 10-3

두벡터 a ¯, b가이루는각의크기가 ;6“;이고,

|a¯|='3, |b¯|=2이므로

a ¯`•b=|a||b|cos ;6“;='3_2_ =3

두벡터 2a¯+tb ¯와 a ¯가수직이므로

(2a+tb)`•a=0

따라서 2a¯`•a ¯+t(b`•a)=0이므로

t=- =-

t=- =-2

10-4

점P의좌표를 P(0, a)라하면

PA≥=(1, -a), PB≥=(3, -a)

∠APB=h라하면

cos h=

cos h=

cos h=»«…

cos h=»«…1-

cos h=»«…1-

그런데 a¤ + æ2æa¤ –_ =6

(단, 등호는 a=—'3일때성립)

그러므로 a=—'3일때 cos h가최소이고 h는최대이다.

따라서삼각형APB의넓이는

;2!;_2_'3='3

9a¤

9a¤

4913+10+a¤a¤

4a¤9+10a¤ +a›

(3+a¤ )¤9+10a¤ +a›

3+a¤"1ç+a¤ "9 ç+a¤

PA≥•`PB≥

|PA≥||PB≥|

2_3

3

2|a|¤

a ¯`•b

2a¯`•a ¯

a`•b

'32


11-1⑤ 11-2③ 11-3② 11-4 3

11 평면에서의속도와가속도

11-1

평면위를움직이는점P의시각 t에서의위치 (x, y)가

x=t¤ +at, y=2at¤ +4t일때

=2t+a, =4at+4

이므로 t=1일때의속도는 (a+2, 4a+4)이다.

따라서 t=1에서의점P의속력이 4'1å0이므로

(a+2)¤ +(4a+4)¤ =160

17a¤ +36a-140=0

(17a+70)(a-2)=0

따라서 a=2또는 a=-;1&7);

그런데 a>0이므로

a=2

11-2

점P의 x좌표가매초 1씩증가하므로점P의 x좌표는 t,

y좌표는 로놓을수있다.

즉, 점P(x, y)에서 x=t, y= 이므로

=1, =-

=0, =

점P가점 (ln 4, 1)을지날때 t=ln 4이므로

점P의시각 t=ln 4에서의속도와가속도를각각 v, a ¯라하면

v=(1, -1), a=(0, 1)

따라서 |v¯|="√1¤ +(-1)¤ ='2, |a¯|="√0¤ +1¤ =1

11-3

점P의시각 t에서의위치가 x=2t¤ -t, y='7t+1이므로

=4t-1, ='7

=4, =0

즉, 점P의속도와가속도는각각 (4t-1, '7), (4, 0)이다.

d¤ ydt¤

d¤ xdt¤

dydt

dxdt

4e†

d¤ ydt¤

d¤ xdt¤

4e†

dydt

dxdt

4e†

4e†

dydt

dxdt

본문 123쪽유형

t=a에서점P의속력과가속도의크기가서로같으므로

"(√4a-1)¤ +('7)¤ ="√4¤ +0¤

위의식의양변을제곱하여정리하면

2a¤ -a-1=0, (2a+1)(a-1)=0

a>0이므로 a=1

11-4

x=sin t, y=2cos t+t에서

=cos t, =-2sin t+1

이므로

{ }¤ +{ }¤ =(cos t)¤ +(-2 sin t+1)¤

{ }¤ +{ }¤ =cos¤ t+4 sin ¤ t-4 sin t+1

{ }¤ +{ }¤ =3 sin¤ t-4 sin t+2

{ }¤ +{ }¤ =3{sin t-;3@;}¤ +;3@;

이때-1…sin t…1이므로

{ }¤ +{ }¤의값은 sin t=-1일때최대이다. 즉,

{ }¤ +{ }¤…3_(-1)¤ -4_(-1)+2=9

이므로

æ{≠ }¤ +{ }¤…'9=3

따라서점P의속력의최댓값은 3이다.

dydt

dxdt

dydt

dxdt

dydt

dxdt

dydt

dxdt

dydt

dxdt


정답과풀이 59

12-1③ 12-2⑤ 12-3⑤ 12-4②

12 평면에서의곡선의길이

12-1

f(x)=;3@;x'x, 곡선의길이를 l이라하면 f '(x)=x;2!;이므로

l=:)3 øπ1+ π{ f π'(x)}¤ dx

l=:)3 øπ1+(x;2!;)¤ dx

l=:)3 'ƒ1+xdx

l=[;3@;(1+x);2#;]3)

l=;3@;(8-1)

l=:¡3¢:

12-2

y=;4!;x¤ -ln'ßx=;4!;x¤ -;2!; lnx에서

y'=;2!;x-;2!;_;[!;

y'=;2!; {x-;[!;}

이므로곡선의길이를 l이라하면

l=:@8 æ≠1+{≠ }2 dx

l=:@8 æ≠1+[≠;2!; {x≠-≠;[!;}]2 dx

l=;2!;:@8 æ≠4+ ≠{x≠- ≠;[!;}2 dx

l=;2!;:@8 æ≠≠{x≠+≠;[!;}2 dx

l=;2!;:@8 {x+;[!;}dx {x+;[!;>0이므로 |x+;[!;|=x+;[!;}

l=;2!;[;2!;x¤ +lnx]8@

l=;2!; {(32+ln8)-(2+ln2)}

l=;2!;(30+2 ln2)

l=15+ln2

dydx

본문 125쪽유형 12-3

=2t¤ , =2t이므로구하는길이는

:)1 æ≠{ }¤+{ }

¤ dt=:)1 "√4t› +4t¤ dt

:)1 æ≠{ }¤+{ }

¤ dt=:)1 2t"√t¤ +1 dt

t¤ +1=u로놓으면 2t= 이고

t=0일때 u=1, t=1일때 u=2이므로

:)1 2t"√t¤ +1dt=:!2 'udu=[;3@;u;2#;]2!

:)1 2t"√t¤ +1dt=;3@;(2'2-1)

12-4

='2(e† sin t+e† cos t)='2e† (sin t+cos t)

='2(e† cos t-e† sin t)='2e† (cos t-sin t)

이므로점P가 t=0에서 t=ln10까지움직인거리는

:)

ln10æ≠{ }

¤+{ }¤ dt

=:)

ln10

"√2e¤ † (sin t+co√s t)¤ +2e¤ † (√cos t-sin t)¤ dt

=:)

ln10

"√2e¤ † {(sin t+co√s t)¤ +(√cos t-sin t)¤ } dt

=:)

ln10

"√2e¤ †_2dt=:)

ln10

2e† dt

=[2e† ] =2(eln10-e0)

=2(10-1)

=18

ln10

0

dydt

dxdt

dydt

dxdt

dudt

dydt

dxdt

dydt

dxdt

Ⅹ.공간도형


13-1 12 13-2② 13-3⑤ 13-4 34

13 직선과직선, 직선과평면이이루는각

13-1

EH”∥AD”이므로두직선 AC, EH가이루는각의크기 a는두

직선AC, AD가이루는각의크기와같다.

이때삼각형ACD는직각이등변삼각형이므로

a=

따라서 cos¤ a=cos¤ ={ }¤ = yy㉠

FH”∥BD”이므로두직선 AC, FH가이루는각의크기 b는두

직선AC, BD가이루는각의크기와같다.

이때정사각형ABCD의두대각선AC, BD는수직이므로

b=

따라서 cos¤ b=cos¤ =0 yy㉡

BG”∥AH”이므로두직선 AC, BG가이루는각의크기 c는두

직선AC, AH가이루는각의크기와같다.

이때삼각형AHC는정삼각형이므로 c= 이다.

따라서 cos¤ c=cos¤ ={ }¤ = yy㉢

㉠, ㉡, ㉢에서

16(cos¤ a+cos¤ b+cos¤ c)=16_{ +0+ }

16(cos¤ a+cos¤ b+cos¤ c)=12

13-2

AG”="( √'2)¤ +('3)¤ +2¤ =3

이고직선 EF와직선 GH는평행하므로직선AG와직선 EF

가이루는예각의크기는직선 AG와직선 GH가이루는예각

의크기와같다.

이때삼각형AGH는직각삼각형이므로

cos h= = ='2

3

AB”

AG”

G’HÚ

AG”

14

12

14

12

p3

p3

p2

p2

12

'22

p4

p4

본문 127쪽유형

13-3

꼭짓점 A에서 밑면에 내린 수선의 발 F는 밑면인 정사각형

BCDE의 두 대각선 BD, CE의 교점과 같으므로 직선 AC와

밑면 BCDE가 이루는 각의 크기 h는 직선 AC와 직선 CF가

이루는각의크기와같다.

cos h=cos (∠ACF)

cos h=cos 30˘=

이때C’F’=;2!;_C’E’=;2!;_('2_B’C’)= 이므로직각삼각

형AFC에서

cos h=cos(∠ACF)

cos h= =

cos h= =

따라서 a= =

13-4

정사각형 BCDE의두대각선의교점을 O, 점 P에서선분 BD

에내린수선의발을H라하면두점 O, H는각각두점A, P

에서평면BCDE에내린수선의발이다.

사각형BCDE는한변의길이가 4인정사각형이므로

BD”=4'2

이때A’B’=A’D”=4, BD”=4'2이므로

∠BAD=90˘

A

B

D

h

P

E

H

O

C

'63

'2'3

'32

'22a

aCF”

AC”

'22

'32

A

B

DE

F h

C

'22


정답과풀이 61

직각삼각형DAP에서A’P’=;4!;AB”=1이므로

D’P’="√4¤ +1¤ ='∂17

선분AB를 1 : 3으로내분하는점이P이므로점H는선분OB

를 1 : 3으로내분하는점이다.

D’H”=DO”+OH”

D’H”=2'2+

D’H”=

한편직각삼각형DHP에서

PH”=øπD’P’ ¤ -D’H” ¤

PH”=Æ…17-:∞4º:

PH=

이때선분 DP와평면 BCDE가이루는각의크기는직각삼각

형DHP에서선분DP와선분DH가이루는각의크기와같다.

tanh= = =;5#;


p¤ +q¤ =5¤ +3¤ =34

3'21121125'2112

PH”

D’H”

3'22

5'22

2'24

14-1⑤ 14-2④ 14-3④ 14-4④

14 이면각과삼수선의정리

14-1

평면 a 위에있지않은한점 P에서이평면까지의거리가 4이

므로

PH”=4

또한점P에서직선 l에내린수선의발을H'이라하면

P’H'”=9

주어진조건에의하여

PH”⊥a, P’H'”⊥l

이므로삼수선의정리에의하여

H’H'”⊥l

따라서점H에서직선 l까지의거리는H’H'”이므로

H’H'”="√9¤ -4¤ ='6å5

14-2

직선 PO와평면 a가수직이고직선 OH와직선 OA는평면 a

위의직선이므로

PO”⊥OH”, PO”⊥OA”

삼각형PHO는∠PHO= 인직각삼각형이므로

cos = 에서

PH”=

PH”= =4

tan = 에서

PO”=OH”_tan

PO”=2_'3=2'3

p3

PO”

OH”

p3

2

;2!;

OH”

cos ;3“;

OH”

PH”

p3

p3

P

H

9 4

H'la

본문 129쪽유형


또삼각형PAO는∠PAO= 인직각삼각형이므로

sin = 에서

PA”=

PA”=

PA”=2'6

이때PO”⊥a, OH”⊥AB”이므로삼수선의정리에의하여

PH”⊥AB”이고삼각형PAH는직각삼각형이다.

AH”=øπPA” ¤ -PH” ¤

AH”=øπ(2'6)¤ -4¤

AH”=2'2

따라서삼각형PAH의넓이는

_AH”_PH”= _2'2_4=4'2

14-3

DH”⊥(평면 EFGH), DI”⊥EG”이므로 삼수선의 정리에 의하여

HI”⊥EG”이다.

EF”=FG”이므로

GI”=;2!;EG”

GI=;2!;_4'2

GI”=2'2

직각삼각형DIG에서DG”=5이므로

DI”=øπDG” ¤ -GI” ¤ =øπ5¤ -(2'2)¤ ='∂17

A

E

G

CD

B

H

I

F

12

12

A

P

HB

O

p4

p3

2'3'21332

PO”

sin ;4“;

PO”

PA”

p4

p4

한편밑면EFGH는정사각형이므로

HI”=GI”=2'2

평면DIG와평면HEG가이루는예각의크기는이면각의크기

의정의에의하여두직선 DI와 HI가이루는예각의크기와같

으므로

cosh=cos(∠DIH)

cosh= =

14-4

밑면인원의중심을O라하자.

점 P에서 아래쪽에 있는 밑면에 내린 수선의 발 H에 대하여

HP”⊥(평면 AQH)이고, 조건에서 HQ”⊥AB”이므로 삼수선의

정리에의하여PQ”⊥AB”이다.

직각삼각형PQA에서AP”='∂30, PQ”='∂29이므로

AQ”=øπAP” ¤ -PQ” ¤

AQ”=øπ('∂30)¤ -('∂29)¤ =1

한편밑면의반지름의길이를 r라하면직각삼각형HQO에서

HO”=r=;2%;, OQ”=r-1=;2#;이므로

HQ”=øπHO” ¤ -OQ” ¤

HQ”=æ≠{;2%;}¤ -{;2#;}¤ =2

평면AQP와평면AQH가이루는예각의크기는이면각의크

기의정의에의하여두직선PQ와HQ가이루는예각의크기와

같으므로

cosh=cos (∠PQH)

cosh= =2'∂2929

2 '∂29

P

A

Q

H

OB

2'∂3417

2'2'∂17


정답과풀이 63

15-1④ 15-2③ 15-3② 15-4 21

15 정사 의길이와넓이의응용

15-1

단축은 밑면과 평행하므로 단면의

밑면 위로의 정사영은 지름의 길이

가 2인원이다.

따라서장축의길이를 x라하면

xcos 60˘=2

x_;2!;=2

따라서 x=4

15-2

원C의넓이를S라하면

S=p_2¤ =4p

넓이가S¡인도형F¡의평면a위로의정사영이원 C이므로

S=S¡cos

S¡=

S¡=

S¡=8p

원C의평면b위로의정사영은넓이가S™인도형F™이므로

S™=S cos

S™=4p_

S™=2p

따라서 S¡+S™=8p+2p=10p

15-3

그림과같이지면에생기는공의그림자는반지름의길이가

태양광선�

지면�

C

60˘

30˘C'

12

p3

4p

;2!;

S

cos ;3“;

p3

본문 131쪽유형

2

2

a

6'2인원 C에태양광선이수직으로비출때, 지면에생기는그

림자C'과같다.

원 C의 넓이는 p_(6'2)¤ =72p이므로 그림자 C'의 넓이를 S

라하면

Scos 30˘=72p

따라서 S= = =48'3p

15-4

점O에서평면ABC에내린수선의발을H라하면점H는

삼각형ABC의무게중심이다.

또직선OG와모서리AB가만나는점을M, 점G의평면

ABC위로의정사영을G'이라하면

O’M”=O’A” sin 60˘=

MH”=;3!;C’M”=;3!;O’M”

MH=;3!;_ =

O’H”=øπO’M” ¤ -MH” ¤ =Æ…:™4¶:-;4#;='6

또 G’G'”=;3!;O’H”=;3!;_'6= 이고

A’G’=O’G’=;3@;O’M”=;3@;_ ='3

따라서구하는정사영의길이는

A’G'”=øπA’G’ ¤ -G’G'” ¤ =Æ…3-;3@;=

따라서 a= 이므로

9a¤ =9_:™9¡:=21

'∂213

'∂213

3'32

'63

'32

3'32

3'32

A C

B

H

O

M

G

G'

144p'3

72pcos 30˘


16-1⑤ 16-2⑤ 16-3⑤ 16-4①

16 두점사이의거리

16-1

두점 P(3, 2, 3), Q(7, 5, 8)에서 xy평면에내린수선의발을

각각 P'(3, 2, 0), Q'(7, 5, 0)이라할때, 선분 PQ의 xy평면

위로의정사영은선분P'Q'과같다.

따라서정사영의길이는

P'ÚQ'Ú="(√7-3√)¤ +√(5-2)¤ =5

16-2

점 C가 y축위의점이므로점 C의좌표를 C(0, b, 0)이라하

면AC”=BC”에서AC” ¤ =BC” ¤이다.

A(1, -2, 3), B(3, 1, 4)이므로

AC” ¤ =(0-1)¤ +(b+2)¤+(0-3) ¤

=b¤ +4b+14

BC” ¤ =(0-3)¤ +(b-1) ¤ +(0-4) ¤

=b¤ -2b+26

b ¤ +4b+14=b¤ -2b+26에서

b=2

즉, 점C의좌표는 C(0, 2, 0)이다.

따라서

AC”=øπ(0-1)¤ +(2+2)¤ π+(0-3)¤

='∂26

16-3

xy평면위의점P의좌표를 P(a, b, 0)으로놓으면

A’P’="√(a-1)¤ √+(b-3)¤ +(0-2)¤

A’P’="√a¤ +b¤ -2a-6b+14

B’P’="√(a+2)¤ √+(b-3)¤ +(0-5)¤

B’P’="√a¤ +b¤ +4a-6b+38

A’P’=B’P’이므로

a¤ +b¤ -2a-6b+14=a¤ +b¤ +4a-6b+38에서

a=-4

따라서P(-4, b, 0)이므로

O’P’="√(-4)¤ +b¤ +0¤ ="√b¤ +16æ4

(단, 등호는 b=0일때성립)

따라서O’P’의최솟값은 4이다.

본문 133쪽유형

좌표공간의서로다른두점A, B에대하여A’P’=B’P’를만족시

키는점P는선분AB를수직이등분하는평면위의점이다.

따라서 A’P’=B’P’를만족시키고 xy평면위에있는점 P의자취

는 선분 AB를 수직이등분하는 평면과 xy평면의 교선 위의 점

이다.

16-4

점P(a, b, c)에서원점까지의거리가 5이므로

"√a¤ +b¤ +c¤ =5에서

a¤ +b¤ +c¤ =25 yy㉠

점P의 z축에대하여대칭인점이Q이므로

Q(-a, -b, c)이다.

PQ”="√{a-(-a)} ¤ +{b-√(-b)}¤ +(c-c)¤

PQ”="√4a¤ +4b¤

PQ=6

a¤ +b¤ =9 yy㉡

㉠에서 c¤ =16이므로

c=4

점 P에서 zx평면에내린수선의발을H라하면점 P에서 zx평

면까지의거리가 2이므로

PH”=2

즉, b=2

㉡에서 a='5

따라서 abc='5_2_4=8'5

참고


정답과풀이 65

17-1④ 17-2② 17-3③ 17-4①

17-5④

17 두점의내분점과외분점

17-1

두점A(a, 2, 0), B(-4, b, 4)에대하여선분AB를 2 : 1

로내분하는점을C라하면점C의좌표는

C{ , , }

이때점 C는 z축위의점이므로점 C의 x좌표와 y좌표는모두

0이다.

즉, =0, =0이므로

a=8, b=-1

이고, 두점A, B의좌표는각각 A(8, 2, 0), B(-4, -1, 4)

이다. 따라서

AB”=øπ(-4-8)¤ +π(-1-2)¤ +π(4-0)¤

=13

17-2

삼각형ABC의무게중심G의좌표는

G{ , , }

즉, { , , }이다.

점G는 zx평면위의점이므로점G의 y좌표는 0이다.

따라서 =0에서 a=-5이다.

17-3

두 점 A(-1, 2, -3), B(4, -5, 6)에 대하여 선분 AB를

m : n으로내분하는점을P(x, y, z)라하면

x= , y= , z=

x좌표와 y좌표가같으므로

= 에서

4m-n=-5m+2n

즉, n=3m

-5m+2nm+n

4m-nm+n

6m-3nm+n

-5m+2nm+n

4m-nm+n

a+53

a+83

a+53

a+23

2+3+(a+3)3

0+6+(a-1)3

3-1+a3

2b+23

-8+a3

2_4+1_02+1

2_b+1_22+1

2_(-4)+1_a2+1

본문 135쪽유형 따라서 z= = =-;4#;

17-4

점 B(2, 1, 2)를 xy평면에대하여대칭이동한점을점 B'이라

하면점B'의좌표는 B'(2, 1, -2)이다.

그림에서

AP”+PB”=AP”+P’B'ÚæA’B'Ú

따라서점P가선분AB'과 xy평면의교점Pº에위치할때,

AP”+PB”는최솟값A’B'Ú을갖는다.

A’PºÚ : PºÚB'Ú=t :1 (t는실수)

로놓으면점Pº의좌표는

Pº{ , , }

이고, 점Pº은 xy평면위의점이므로

=0에서 t=3

그러므로구하는점P의좌표는 P{;2%;, -;2!;, 0}이다.

따라서 a+b=;2%;+{-;2!;}=2

17-5

두삼각형 PAC, PBC에서밑변을각각선분AC, 선분 BC로

하면 두 삼각형의 높이는 같으므로 넓이의 비는 밑변의 길이의

비와같다.

즉, AC” : BC”=3 : 1이다.

따라서점C는선분AB를 3:1로외분하는점이므로

C{ , , }

즉, C{6, -;2%;, ;;¡2¡;;}

따라서 a+b+c=6+{-;2%;}+;;¡2¡;;=9

3_4-1_13-1

3_(-1)-1_23-1

3_3-1_(-3)3-1

-2t+6t+1

-2t+6t+1

t-5t+1

2t+4t+1

Pº

O

B(2, 1, 2)A(4, -5, 6)

B'(2, 1, -2)

P

z

y

x

6m-9mm+3m

6m-3nm+n


18-1② 18-2 12 18-3④ 18-4③

18 공간좌표에서구의방정식

18-1

구 x¤ +y¤ +z¤ -6x+8z+21=0을변형하면

(x-3)¤ +y¤ +(z+4)¤ =4

즉, 중심이C(3, 0, -4)이고반지름의길이 r=2인구이다.

이때OC”-r…OP”…OC”+r이고,

OC”=øπ3¤ +0¤ +(-4)¤ =5이므로

OP”…OC”+r

=5+2

=7

OP”æOC”-r

=5-2

=3

즉, M=7, m=3이다.

따라서 M+m=7+3=10

18-2

구 S¡의중심은 (1, 0, 3), 반지름의길이는 6이고, 구 S™의중심

은 (-1, 2, 2), 반지름의길이는 r이다.

두구S¡, S™의중심사이의거리는

"√(-1-1)¤ √+(2-0)¤ +(2-3)¤ =3<6

이므로두구가접하려면내접해야한다.

따라서두구의반지름의길이의차는두구의중심사이의거리

와같아야한다.

|r-6|=3이므로 r-6=-3또는 r-6=3이다.

즉, r=3또는 r=9

따라서구하는상수 r의값의합은 3+9=12

18-3

구 S의중심에서 xy평면에내린수선의발의좌표가 (1, 3, 0)

이므로구S의중심의좌표는 (1, 3, a)로놓을수있다.

C

P

O

r

r

본문 137쪽유형

또정사영인원의반지름의길이가 6이므로구 S의반지름의길

이도 6이다.

구 S의중심 A(1, 3, a)에서 yz평면에내린수선의발을 H라

하면H(0, 3, a)이므로

A’H”=1

따라서구S와 yz평면이만나서생기는원의반지름의길이는

"√6¤ -1¤ ='∂35

이므로구하는원의넓이는

('∂35)¤ p=35p

18-4

x¤ +y¤ +z¤ +2x-6y-8z+k=0에서

(x+1)¤ +(y-3)¤ +(z-4)¤ =26-k yy㉠

㉠이구가되기위해서는

'ƒ26-k>0, 즉 k<26 yy㉡

한편, 구의 중심의 좌표가 (-1, 3, 4)이고, 구 ㉠이 zx평면과

만나기위해서는구의반지름의길이가구의중심과 zx평면사

이의거리보다크거나같아야하므로

'ƒ26-kæ3, 즉 26-kæ9에서 k…17 yy㉢

또한, 구㉠이 xy평면과만나지않으려면구의반지름의길이가

구의중심과 xy평면사이의거리보다작아야하므로

'ƒ26-k<4, 즉 26-k<16에서 k>10 yy㉣

㉡, ㉢, ㉣에서 10<k…17

자연수 k의최솟값은 11, 최댓값은 17이므로그합은 28이다.

A

S

H1

6

yz평면�

35


정답과풀이 67

19-1① 19-2⑤ 19-3① 19-4④

19 공간벡터의크기와연산

19-1

CP≥-CB≥=BP≥이고, 삼각형BAD에서

AB”=AD”=10이고BD”=10'2이므로∠BAD=;2“;

따라서벡터 BP≥의크기가최소일때는점 P가점 A와일치할

때이므로구하는 |CP≥-CB≥|의최솟값은

BA”=10

19-2

AG≥+H’E≥=AG≥+GF≥=AF≥, AF”='2이므로

a=|AG≥+H’E≥|=|AF≥|='2

그림과같이한모서리의길이가 1인정육면체 DCJI-HGKL

을정육면체ABCD-EFGH에이어붙이면

A’G≥-H’E≥=AG≥-K’G≥

A’G≥-H’E≥=AG≥+(-K’G≥)

A’G≥-H’E≥=AG≥+G’K≥=A’K≥

이때삼각형AIK는직각삼각형이고AI”=2, IK”='2이므로

A’K”=øπAI” ¤ +IK” ¤ =øπ2¤ +('2)¤ ='6

b=|AG≥-H’E≥|=|A’K≥|='6

따라서 ab='2_'6=2'3

19-3

두구의중심 C¡, C™가일치하도록두구를이동하고그중심을

C

P

Q

I J

K

G

FE

A

D C

BL

H

본문 139쪽유형

ⅩⅠ.공간벡터 C라하면

C’¡P≥=CP≥, C’™Q≥=CQ≥

사각형PCQR가평행사변형이되도록점R를정하면

|C’¡P≥+C’™Q≥|=|CP≥+CQ≥|=|CR≥|='5

이고, 조건에서

|CP≥|=|QR≥|=1, |CQ≥|=|PR≥|=2

이므로

|CP≥|¤ +|PR≥|¤ =|CQ≥|¤ +|QR≥|¤ =|CR≥|¤

이성립한다. 따라서 ∠CPR=∠CQR= 이므로평행사변형

PCQR는직사각형이다. 이때두직선 C¡P, C™Q가이루는각의

크기 h는∠PCQ이다.

즉, h=∠PCQ=

따라서 cosh=cos =0

19-4

O’A≥-O’P≤=PA≥이므로주어진조건에서

|O’P≤|=|PA≥|=6

그런데 |O’A≥|=6이므로 삼각형 OAP는 한 변의 길이가 6인

정삼각형이다.

선분OA는고정되어있으므로점P는선분OA의중점

M(0, 0, 3)을중심으로하고반지름의길이가 PM”=3'3이며

평면 z=3위에있는원위의점이다.

따라서점P가나타내는도형전체의길이는 6'3p이다.

O

A

MP

y

x

z

p2

p2

p2

C

P R

Q


20-1 44 20-2① 20-3③ 20-4②

20 공간벡터의내적과활용

20-1

a ¯+2b ¯=(2, -1, 3)+(-2, 0, 8)=(0, -1, 11)이므로

(a+2b ¯) ¥¥ b¯=(0, -1, 11) ¥¥ (-1, 0, 4)

=0_(-1)+(-1)_0+11_4

=0+0+44=44

a ¯ ¥¥ b¯=(2, -1, 3) ¥¥ (-1, 0, 4)

a ¯ ¥¥ b¯=-2+0+12=10

b ¯ ¥¥ b¯=(-1, 0, 4) ¥¥ (-1, 0, 4)

a ¯ ¥¥ b¯=1+0+16=17

이므로

(a+2b ¯) ¥¥ b¯=a ¯ ¥¥ b¯+2(b ¥¥ b ¯)

=10+2_17

=44

20-2

OA≥ ¥¥ OP≥=OB≥ ¥¥ OP≥이므로

(OA≥-OB≥) ¥¥ OP≥=BA≥ ¥¥ OP≥=0

따라서 BA≥⊥OP≥

따라서점 P는주어진구의중심인원점 O를지나고선분 AB

와수직인평면에의하여구가잘려서생기는원위의점이다.

이때OA≥+OB≥=(2, 1, 5)이므로

|OA≥+OB≥|="√2¤ +1¤ +5¤

|OA≥+OB≥|='∂30

점 P는구위의점이므로 |OP≥|=3이고, 벡터 OA≥+OB≥와벡

터OP≥가이루는각의크기를 h라하면 0…h…p이다.

따라서OA≥ ¥¥ OP≥+OB≥ ¥¥ OP≥=(OA≥+OB≥) ¥¥ OP≥의최댓값은

|OA≥+OB≥||OP≥|cos 0='∂30_3_1

=3'∂30

A

B

O

P

OA+OB

다른풀이

본문 141쪽유형 20-3

그림과같이꼭짓점H를원점, 세반직선HE, HG, HD를각각

x축, y축, z축의양의방향으로하는좌표공간에직육면체

ABCD-EFGH를올려놓으면네점E, P, F, Q의좌표는

E(2, 0, 0), P(0, 1, 4), F(2, 2, 0), Q(0, 0, 2)

EP≥=HP≥-HE≥=(-2, 1, 4)

FQ≥=HQ≥-HF≥=(-2, -2, 2)

따라서

EP≥ ¥¥ FQ≥=(-2, 1, 4)¥¥(-2, -2, 2)

EP≥ ¥¥ FQ=4-2+8=10

20-4

점 B가원점에놓이고모서리 AB는 y축에, 모서리 BD는 z축

에 놓이도록 삼각뿔 ABCD를 좌표공간으로 이동하면 그림과

같으므로

OA≥=(0, 2, 0), OC≥=(2, 2, 0), OD≥=(0, 0, 4)

점E는모서리BD의중점이므로

OE≥=(0, 0, 2)

점F는모서리AC의중점이므로

OF≥=(1, 2, 0)

그러므로

AE≥=OE≥-OA≥=(0, 0, 2)-(0, 2, 0)=(0, -2, 2)

DF≥=OF≥-OD≥=(1, 2, 0)-(0, 0, 4)=(1, 2, -4)

따라서

AE≥ ¥¥ DF≥=(0, -2, 2)¥¥(1, 2, -4)

=0-4-8=-12

2

A2

E

C

F

O(B)

4

D

x

z

y

z

y

x

A

E F

GH2

2

QB

CPD4


정답과풀이 69

21-1④ 21-2⑤ 21-3① 21-4②

21 직선의방정식

21-1

직선 3(x-5)=2(y-1)=6(z+1)에서

= =z+1이므로이직선의방향벡터는

u Æ¡≤=(2, 3, 1)이다.

그런데직선 l과직선 3(x-5)=2(y-1)=6(z+1)이서로평

행하므로직선 l의방향벡터도 uÆ™ ≤=(2, 3, 1)이다.

그러므로구하는직선의방정식은

= =z+3

이직선이점 (2, a, b)를지나므로

= =b+3에서

a=7, b=-1이므로 a+b=7+(-1)=6

21-2

직선 l의방정식은 = =z-2

직선m의방정식은 x-1=y=

즉, 직선 l의방정식은모든실수 t에대하여

x=1+3t, y=1+2t, z=2+t

직선m의방정식은모든실수 s에대하여

x=1+s, y=s, z=-1+(k+1)s

두직선의교점이있기위해서는 x좌표, y좌표, z좌표가일치하

는두실수 t, s가존재해야한다.

1+3t=1+s yy㉠

1+2t=s yy㉡

2+t=-1+(k+1)s yy㉢

㉠, ㉡을연립하여풀면

t=1, s=3

t=1, s=3을㉢에대입하면

3=-1+3(k+1)

따라서 k=

21-3

구 (x+1)¤ +(y+3)¤ +(z-2)¤ =1의 중심을 A라 하고, 구

13

z+1k+1

y-12

x-13

a-13

2+22

y-13

x+22

y-13

x-52

본문 143쪽유형

x¤ +(y-3)¤ +(z-a)¤ =4의중심을B라하면

A(-1, -3, 2), B(0, 3, a)이다.

두점A, B를지나는직선의방정식은

= =

즉, x+1= = yy㉠

직선AB가x축과만나는점의좌표를(t, 0, 0)이라하면㉠`에서

t+1= = , 즉 t+1=;2!;=

가성립해야하므로

a-2=(-2)_2

따라서 a=-4+2=-2

21-4

직선 l¡ : =y-1= 위의한점을

A(-1, 1, -1), 점A에서직선

l™ : =y+1=

에내린수선의발H의좌표를H(2t+1, t-1, 2t-2) (t는실

수)로놓을수있다.

AH≥=(2t+2, t-2, 2t-1)

이때직선l™의방향벡터는 u=(2, 1, 2)이고AH≥⊥u이므로

AH≥ ¥¥ u ¯=2(2t+2)+(t-2)+2(2t-1)

AH≥ ¥¥ u=9t=0

즉, t=0, AH≥=(2, -2, -1)

따라서두직선 l¡, l™ 사이의거리는

AH”=|AH≥|="√2¤ +(-2)¤ +(-1)¤ =3

직선 l¡ : =y-1= 위의한점을

A(-1, 1, -1)이라하고

직선 l™ : =y+1= =t (t는실수)

위의임의의한점을B(2t+1, t-1, 2t-2)라하자.

AB”=øπ(2t+2)¤ +(t-2)¤ π+(2t-1)¤

AB=øπ9t¤ +9

t=0일때, AB”의최솟값은 '9=3이므로구하는두직선 l¡, l™

사이의거리는 3이다.

z+22

x-12

z+12

x+12

다른풀이

z+22

x-12

z+12

x+12

-2a-2

0-2a-2

0+36

z-2a-2

y+36

z-2a-2

y+33-(-3)

x+10-(-1)


22-1② 22-2① 22-3 11 22-4③

22 평면의방정식

22-1

평면 a가직선 = = 을포함하므로

직선위의점은모두평면 a에있다.

즉, 점 (1, 3, 1)은평면 a에있다.

법선벡터가 n=(1, 1, -1)이고점 (1, 3, 1)을지나는평면이

a이므로평면 a의방정식은

(x-1)+(y-3)-(z-1)=0

즉, x+y-z-3=0

따라서원점과평면 a사이의거리는

='3

22-2

평면 ax+by+cz=-4의 법선벡터 n’¡≤=(a, b, c)가 다른

두평면의법선벡터 n’™≤=(1, -1, 1), n’£≤=(1, 2, -1)과수

직이므로

a-b+c=0, a+2b-c=0

c=-3a, b=-2a

평면 ax+by+cz=-4가점 (1, -2, 3)을지나므로

a-2b+3c=-4

즉, a+4a-9a=-4에서 a=1

따라서 a=1, b=-2, c=-3이므로

a+b+c=-4

22-3

점 (3, -1, 2)와평면 x+2y+2z=k사이의거리는

=

=2에서 |5-k|=6이므로

5-k=6또는 5-k=-6

k>0이므로 k=11

|5-k|3

|5-k|3

|3+2_(-1)+2_2-k|

"√1¤ +2¤ +2¤

|-3|'ƒ1+1+1

z-15

y-32

x-13

본문 145쪽유형 22-4

직선 x-1=y+2= 의방향벡터는 u=(1, 1, 2),

평면 x-2y-z=3의법선벡터는 n=(1, -2, -1)이므로

cos { -h}=sinh=

cos { -h}=

cos { -h}=

cos { -h}=;2!;

|-3|6

|1_1+1_(-2)+2_(-1)|øπ1¤ +1¤ +2¤ øπ1¤ +(-2)¤ +(-1)¤

|u¥¥ n||u||n ¯|

p2

z+42


정답과풀이 71

23-1① 23-2① 23-3⑤ 23-4③

23 구와평면의위치관계

23-1

평면 a의방정식이 x-y+z-1=0이므로평면 a에수직인직

선 l의방향벡터는평면 a의법선벡터

n≤=(1, -1, 1)과평행하다.

또직선 l이구의중심 (0, 0, 1)을지나므로직선 l의방정식은

= =

그러므로직선 l 위의점의좌표는 (t, -t, t+1)(t는실수)이

다. 평면 a와직선 l의교점은

t-(-t)+(t+1)-1=0에서 t=0

즉, 교점의좌표는 (0, 0, 1)이다.

따라서 a=0, b=0, c=1이므로

a+b+c=1

23-2

구 (x-1)¤ +(y+1)¤ +(z+1)¤ =1의중심의좌표는

(1, -1, -1)이고평면 a : 2x-3y+6z+d=0이구

(x-1)¤ +(y+1)¤ +(z+1)¤ =1에접하고있으므로

=1

즉, |d-1|=7 yy`㉠

구 (x-3)¤ +(y-5)¤ +(z+1)¤ =9의중심의좌표는

(3, 5, -1)이고평면 a가구

(x-3)¤ +(y-5)¤ +(z+1)¤ =9에접하고있으므로

=3

즉, |d-15|=21 yy`㉡

㉠에서 d=8또는 d=-6

㉡에서 d=36또는 d=-6

따라서 d=-6

23-3

구 x¤ +y¤ +z¤ =a¤ (a>0)의중심은O(0, 0, 0)이고반지름의

길이는 a이다.

구의중심O와평면 x-y+z=a사이의거리d는

|6-15-6+d|'ƒ4+9+36

|2+3-6+d|'ƒ4+9+36

z-11

y-1

x1

본문 147쪽유형 d= =

이때단면인원의넓이가 p이므로원의반지름의길이는 1이다.

"√a¤ -d¤ =æ≠a¤ - =1

=1, a¤ =;2#;

a는양수이므로

a= =

23-4

두개의구

(x+1)¤ +(y+1)¤ +z¤ =6,

x¤ +(y-2)¤ +(z-1)¤ =10

의중심은각각

C¡(-1, -1, 0), C™(0, 2, 1)

그림과같이직선 C¡C™는평면 a와수직이므로평면 a의법선벡

터를n¡≤=C’¡C™≥라할수있다.

n¡ ≤=C’¡C™≥=(0+1, 2+1, 1-0)=(1, 3, 1)

한편, xy평면의법선벡터 n™ ≤는 n™ ≤=(0, 0, 1)

따라서

cosh=

cosh=

cosh= ='∂1111

1'∂11

|1_0+3_0+1_1|

øπ1¤ +3¤ +1¤ øπ0¤ +0¤ +1¤

|n¡≤¥¥n™≤||n¡ ≤||n™ ≤|

a

C¡

C™

'62

'3'2

2a¤3

a¤3

O

1

a'3

a

x™+y

™+z

™=a

™

x-y+z=a

a'3

|-a|"√1¤ +(-1)¤ +1¤


24-1③ 24-2 104 24-3③ 24-4③

24 평면위로의정사

24-1

평면 2x-2y+z=1과 xy평면의법선벡터가각각

n’¡≤=(2, -2, 1), n’™≤=(0, 0, 1)이므로두평면이이루는각의

크기를 h라하면

cosh= =

평면 2x-2y+z=1위에있는정삼각형의넓이는

_6¤ =9'3

따라서정사영의넓이는

9'3 cosh=9'3_ =3'3

24-2

구 S의중심은C(1, 2, 2)이므로직선OC의방향벡터를 a ¯라하

면

a ¯=(1, 2, 2)

평면 x-y+z+10=0의법선벡터를 b ¯라하면

b ¯=(1, -1, 1)

따라서 직선 OC와평면 x-y+z+10=0이이루는 예각의 크

기를 h라하면

cos {;2“;-h}=sinh=

cos {;2“;-h}= =

cosh="√1-sin¤ h

cosh=Æ…1-;2¡7;=

직선AB는구 S의중심 C를지나므로선분AB의길이는구 S

의지름의길이와같다.

즉, AB”=2'∂27

따라서선분 AB의평면 x-y+z+10=0 위로의정사영의길

이는

l=AB”_cosh=2'∂27_ =2'∂26

따라서 l¤ =4_26=104

'∂26'∂27

'∂26'∂27

13'3

|1-2+2|'9'3

|a¯ ¥¥ b¯||a¯||b¯|

13

'34

13

|2_0+(-2)_0+1_1|

øπ2¤ +(-2)¤ +1¤ øπ0¤ +0¤ +1¤

본문 149쪽유형 24-3

두 평면 x-y+3=0, x+4y+z-3=0의 법선벡터는 각각

n¡≤=(1, -1, 0), n™ ≤=(1, 4, 1)이므로두평면이이루는예각의

크기를 h라하면

cosh=

cosh=

cosh=;6#;=;2!;

원C의넓이를S라하면S=20p

따라서구하는정사영의넓이S'은

S'=Scosh=20p_;2!;=10p

24-4

직선AB의방향벡터는AB≥=(2, 1, 3)이고,

평면 a : 2x+2y-z=4의법선벡터는 (2, 2, -1)이다.

그러므로 평면 a의 법선벡터와 직선 AB의 방향벡터가 이루는

예각의크기를 h라하면

cos`h=

cos`h=

평면 a와직선AB가이루는예각의크기가 ;2 “;-h이므로

cos`{;2“;-h}=sin h=æ≠1-;1¡4;

cos`{;2“;-h}=

선분AB의길이는

"√(1+ √1)¤ √+(3 √-2 √√)¤ + √(4-1)¤ ='1 å4

따라서정사영의길이는

'1 å4cos`{;2“;-h}='1 å4_ ='1 å3'1 å3'1 å4

'1å3'1å4

1'1å4

|2_2+1_2+3_(-1)|

'4 ƒ+1 ƒ+9 '4ƒ+4+1

|1_1+(-1)_4+0_1|

øπ1¤ +(-1)¤ +0¤ øπ1¤ +4¤ +1¤

|n¡≤¥¥n™ ≤||n¡≤||n™ ≤|

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