1

ANTIDERIVATIVES AND INDEFINITE INTEGRATION

Definition: A function F is an antiderivative of f on an interval I if                          for all x in I.

EX #1:  Antiderivatives differ only by a constant, C:C is called the constant of integration

Family of all antiderivatives of f(x) = 2xand the general solution of the differential equation

The opposite of a derivative is called an antiderivative or integral.

A differential equation in x and y is an equation that involves x, y, and derivatives of y.  For example:

and

2

EX #3:  Notation for antiderivatives:

EX #2:  Solving a Differential Equation 

differential form

Variable of Integration

Constant of Integration

Integrand

read as the antiderivative of f with respect to x.

So, the differential dx serves to identify x as the variable of integration.  The term indefinite integral is a synonym for antiderivative.

General Solution is denoted by:

The operation of finding all solutions of this equation is called antidifferentiation or indefinite integration denoted by      sign.

3

BASIC INTEGRATION RULES Integration is the “inverse” of differentiation.  

Differentiation is the “inverse” of integration.

Differentiation Formula Integration Formula

POWER RULE:

4

EX #4:  Applying Basic Rules

EX #5: Rewriting Before Integrating

Original Integral Rewrite Integrate Simplify

5

EX # 6:  Polynomial Functions

A.  

B.  

C.  

EX #7:  Integrate By Rewriting  

6

EX #8:  Solve differential equations subject to                given conditions.

Given:  and

7

EX #9:  A ball is thrown upward with an initial velocity of 64                feet per second from an initial  height of 80 feet.

A. Find the position function giving the height, s, as a function            of the time t.

B. When does the ball hit the ground?

8

EX. #10:  An evergreen nursery usually sells a certain shrub after 6 years of growth and shaping.  The growth rate during those 6 years is approximated by dh/dt = 1.5t + 5, where t is the time in years, and h is the height in centimeters.  The seedlings are 12 centimeters tall when planted (t = 0).

A. Find the height after t years. [Hint: the derivative is a rate of change of a function and the integral is the initial function.]

B. How tall are the shrubs when they are sold?