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8/10/2019 Antologia AL UTEL
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lgebralineal
17
Introduccin
En esta unidad se estudiarn los conceptos de matriz y determinante,
los cuales son una herramienta fundamental para realizar y simplificar
clculos con varias ecuaciones relacionadas entre s, con muchas
aplicaciones en ingeniera, f sica, economa, matemticas y otras ciencias.
1.1. Matrices: Conceptos generales
E1 propsito de esta seccin es sentar las bases para aprender las distintas
relaciones entre las matrices, para ello comenzaremos con la definicin de
vector renglny vector columna.
Definicin 1.1. Un vector rengln de n componentes es un conjunto
ordenado den nmeros escritos de la siguiente manera (n-ada):
(x1, x
2,, x
n) (1)
Definicin 1.2. Un vector columna de n componentes es un conjunto
ordenado den nmeros escritos de la siguiente manera (n-ada):
x
x
xn
1
2
(2)
En (1) o (2) x1 se llama primera componente del vector, x
2 es la
segunda componentey as sucesivamente. En general,xkse llama la k-sima
componentedel vector.
Cualquier vector cuyas componentes sean todas cero se llama vector cero.
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Unidad 1
Ejemplo 1
a) ( 1, 5) es un vector rengln con dos componentes.
b)
3
2
5
es un vector columna con tres componentes.
c) 0 0 0 0, , , es un vector rengln cero con cuatro componentes.
Nota. La palabra ordenado en la definicin de un vector es esencial.
Dos vectores con las mismas componentes escritas en diferente orden no
son iguales. Por ejemplo, los vectores (3, 5) y ( 5, 3) no son iguales (ver
definicin 1.12 ms adelante).
Las componentes de todos los vectores en este texto son nmeros reales,
los cuales llamaremos escalares. Por ejemplo, los nmeros 2 7 5, 3 , , son escalares.
En realidad los vectores son tipos especiales de matrices, concepto que a
continuacin se define.
Definicin 1.3. Sim yn son enteros positivos, entonces una matrizesun
arreglo rectangular dem n nmeros dispuestos en m renglones yn columnas
de la forma:
A
a a a a
a a a a
a
j n
j n
i
11 12 1 1
21 22 2 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ...
11 2
1 2
a a a
a a a a
i ij in
m m mj mn
... ...
... ... ... ... ... ...
... ...
Donde cada aijes un nmero llamado entrada o componente ij de la matrizAque se encuentra en el rengln iy en la columnaj deA. En lugar del smboloA
se usaAmn
para remarcar de cuntos renglones y cuntas columnas consta.
E1 i-simo rengln deAdetermina un vector rengln (ai1, a
i2,..., a
in), yla
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j-sima columna deAdetermina un vector columna
a
a
a
j
j
mj
1
2
.
Definicin 1.4. Una matrizAque cuenta conmrenglones yncolumnas es
de ordenmn y se denota porAmn
.
En ocasiones se escribir la matriz A como A = [aij]. Por lo general, las
matrices se denotarn con letras maysculas.
Ejemplo 2
a) A
5 1
0 7es una matriz de orden 2 2. Se denotaA
22
b) B
1 3
2 5
8 4
es una matriz de orden 3 2. Se denotaB32
c) C
4 3 1 0
2 2 7
es una matriz de orden 2 4. Se denota C24
Existe una matriz que contiene el mismo nmero de vectores rengln
que los vectores columna la cual se define a continuacin.
Definicin 1.5. SiAes una matriz de ordenm n conm = n, entoncesAesuna matriz cuadrada, de ordennylas entradas a
11, a
22,a
33, . . ., a
nn forman la
diagonal principal.
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Unidad 1
Ejemplo 3
a) A2 25 3
1 4
es una matriz cuadrada y las entradas a a11 225 4 ,
son la entrada de la diagonal principal.
b) B3 3
2 3 1
6 0 4
5 7 8
es una matriz cuadrada y las entradas
a a a11 22 332 0 8 , , forman la diagonal principal.
Definicin 1.6. Una matriz cuadrada de orden nn, cuyas entradas de ladiagonal principal son iguales a uno y todas las dems son cero, se llama matriz
identidadde ordenn
ny se denota por Inn.
Ejemplo 4
a) I2 21 0
0 1
matriz identidad de orden 2 2.
b) I3 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
matriz identidad de orden 33.
Definicin 1.7. Una matriz de ordenmn cuyas entradas son todas cero sellama matriz cerode ordenm nyse denota por 0
mn.
Ejemplo 5
a) 00 0 0
0 0 02 3
matriz cero de orden 2 3.
b) 0
0 0
0 0
0 0
3 2
matriz cero de orden 3 2
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Ejercicio 1
1.Qu afirmacin es verdadera respecto a la siguiente matriz3 2 1
4 2 0
?
a) Es una matriz cuadrada.
b) Es una matriz de orden 3 2.c) Es una matriz de orden 2 3.d) Es una matriz identidad.
2.Dada la matriz B
3 2 1 0
4 8 0 1
0 1 3 2
4 3 1 5
contesta lo que se te pide en cada
inciso:
a) Identifica el tercer rengln deB.
b) Identifica la segunda columna deB.
c) Identifica las entradas b b b31 22 34, , .
3.a) Determina el nmero de renglones y de columnas, as como el orden
de las matrices.
b) Identifica la entrada a32
deAy la entrada b13
deB.
A B
1 0
2 3
5 1
2 7 54 3 6
4.a) Escribe la matriz identidad de orden 4 4. b) Escribe la matriz cero de orden 3 4.
1.2. Tipos de matrices
En esta seccin se definen algunos tipos de matrices, los cuales sern de
utilidad a lo largo del texto.
Definicin 1.8. Una matriz cuadradaA= [aij] de ordenn se llama diagonal
sitodas sus entradas fuera de la diagonal principal son cero.
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Ejemplo 8
a) A
2 0 1
5 1 0
0 3 4
no es triangular inferior, ya que hay una entrada
distinta de cero, a13
= 1 arr iba de la diagonal principal.
b) B
3 0 0 0
0 5 0 0
2 1 0 0
4 7 2 6
es triangular inferior, ya que todas las entradas
arriba de la diagonal principal son cero.
Asociada a cualquier matriz A= [aij] de orden mn hay una matriz de
orden nm, que es llamada transpuesta deA; sta se define como sigue:
Definicin 1.11. SiA= [aij] es una matriz de orden mn, su transpuesta
denotada porATes la matriz de orden nm y se obtiene convirtiendo cadarengln deAen la columna correspondiente deAT.
Ejemplo 9
a) Determina la transpuesta de A2 3
2 1 3
0 5 2
A1 escribir cada rengln de Acomo la columna correspondiente de ATse
tiene que
AT
2 0
1 5
3 2
es de orden 3 2
b) Determina la transpuesta de la mat riz de orden 34,
B
1 0 5 4
2 1 3 7
0 6 1 8
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Unidad 1
A1 escribir cada rengln de B como la columna correspondiente de BTse
tiene que
BT
1 2 0
0 1 6
5 3 1
4 7 8
de orden 4 3
A continuacin se definirn matrices simtricas y antisimtricas, y para
ello se requieren los siguientes conceptos.
Definicin 1.12. Dos matricesAy B son iguales, denotadoA = B, sitienen
el mismo orden y sus entradas correspondientes son iguales.
Ejemplo 10
a)5 9
3 4
5 9
4 1 2
b)1 3 5
4 1 3
1 3 5
4 1 3
Definicin 1.13. SiA= [aij] es una matriz de ordenmn, entonces se define
Acomo la matriz
A= [aij] de ordenmn.
Ejemplo 11
Si A
2 3 5
1 4 6, determina A. Por definicin de Ase tiene que
A
( 2) 3 5
1 ( 4) ( 6)
2 3 5
1 4 6
Son iguales porque todas sus entradas
correspondientes son iguales.
Son distintas porque al menos una de sus
entradas correspondientes no son iguales.
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Definicin 1.14. Una matriz cuadradaAdenn es simtricasiA = AT.
Ejemplo 12
a) Determina si A
1 2
2 3es simtrica.
Calculando la transpuesta deAse tiene que:
AT
1 2
2 3
asA AT. Por lo tanto,Ano es simtrica.
b) Determina si B
1 4 2
4 7 5
2 5 0
es simtrica.
Calculando la transpuesta deBse tiene que:
BT
1 4 2
4 7 5
2 5 0
asB = B T,de tal manera que B es simtrica.
Definicin 1.15. Una matriz cuadradaA = [aij] de ordennn es antisimtrica
si A AT
Ejemplo 13
a) Determina si A
1 6
6 0es antisimtrica.
Como A AT
1 6
0 y
1 6
06 6, entonces A A
T . AsAno es
antisimtrica.
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Unidad 1
b) Determina si B
0 1 1
1 0 2
1 2 0
es antisimtrica.
Como B BT
0 1 1
1 0 2
1 2 0
y
0 1 1
1 0 2
1 2 0
, entonces B BT .
Por lo tanto,Bes antisimtrica.
Ejercicio 2
1. Cul de las siguientes matrices
A B C
1 0 1
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
, ,
1 0 0
0 22 0
0 0 5
,
D E F
0 3 1
0 0 2
0 0 0
, ,
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 1 1
00 0 2
0 0 3
,
es de alguno de los tipos listados?
a) Triangular superior.
b) Triangular inferior.
c) Diagonal.
d) Nada de lo anterior.
2. Determina cul de las siguientes matrices es simtrica:
a) A
2 3
3 5
b) B
1 3 5
3 2 1
5 1 4
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Unidad 1
Ejemplo 14
a) Determina la suma de A B
1 3
4 2
5
82 2 2 1
y
ComoAyB tienen distinto orden no se pueden sumar.
b) Determina la suma de A B
y
2 1 3
4 0 5
7 1 5
3 1 2
Dado queAyB tienen el mismo orden se pueden sumar y
A B
2 1 3
4 0 5
7 1 5
3 1 2
2 7 1 1 3 5
4 3 00 1 5 2
9 0 8
1 1 3
Cuando trabajamos con matrices, a los nmeros los llamamos escalares.
Las matrices sern reales y la multiplicacin de un escalar por una matriz se
define como sigue:
Definicin 1.17. Si ces un escalar yA= [aij] es una matriz de ordenmn,
entonces lamultiplicacin del escalar cy la matrizAes la matriz cA= [caij] de
mn, es decir, cA se obtiene al multiplicar cada componente deA por c.
Ejemplo 15
a) Para c = 1 y A
3 1
6 0
5 2
, determina cA.
Por definicin cA
( )
( )( ) ( )( )
( )( )1
1 3 1 1
1 6
3 1
6 0
5 2
(( )( )
( )( ) ( )( )
1 0
1 5 1 2
3 1
6 0
5 2
b) Para c A
25
3 511
2
y , determina cA.
Por definicin cA
2
5
3 5
112
25
25
25
12
25
3 5
(1)
65
15
25
2
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La suma y la multiplicacin por un escalar de matrices cumplen ciertas
propiedades, stas se resumen en el siguiente teorema.
Teorema 1.1. SeanA, By Cmatrices de ordenmncualesquiera, y sean aybescalares cualesquiera. Entonces son vlidas las siguientes afirmaciones:
1)A + 0 = 0 +A = A Elemento neutro aditivo (donde 0
representa la matriz cero de mn).
2)A + B = B + A Propiedad conmutativa para la suma.
3) (A + B) + C = A +(B + C) Propiedad asociativa para la suma.
4)A + (A) = (A) + A = 0 Inverso aditivo.
5)a(A + B) = aA + aB Propiedad distributiva de un escalar
para la suma de matrices.
6)(a + b)A = aA + bA Propiedad distributiva de suma de
escalares por una matriz.
7)(ab)A = a(bA) Propiedad asociativa de la multiplicacin
de escalares por una matriz.
8)1A = A Neutro multiplicativo.
Ahora definiremos el producto internode un vector rengln y un vector
columna. Esta definicin ser de gran utilidad en el concepto de producto
matricial.
Definicin 1.18.Seaa= (a1, a
2, . . ., a
n) un vector rengln y b
b
b
bn
1
2
un
vector columna.
Se define el producto internode ay b(tambin llamadoproducto escalaro
producto punto), denotado por a b, como el escalar dado por
a b= a1b
1+ a
2b
2+. . .+ a
nb
n
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Unidad 1
Nota. Al tomar el producto interno del vector rengln ay el vector columna
bes necesario que ay btengan el mismo nmero de componentes.
Ejemplo 16
a) Determina el producto interno de a= (1, 4, 3)y b
2
1
1Por definicin
a b
( , , ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 4 3
2
1
1
1 2 4 1 3 1 2 4 3 3
b) Determina el producto interno de a b
0 1 2 4, , y
7
2
1
1
,
Por definicin:
Las propiedades del producto interno se especifican en el siguiente
resultado:
Teorema 1.2. Sean a, b, c, tresn-vectores y sea un escalar, entonces sonvlidas las siguientes afirmaciones:
i) a 0 0ii) a b b a
iii) a b c a b a c
iv) a b a b
a b
( ) ( )( ) ( )( )0 1 2 4 0 7 1 2, , ,
7
2
11
(( )( ) ( )( )2 1 4 1 0 2 2 4 4
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31
Ahora estamos listos para definir el producto matricial.
Definicin 1.19. SeaA = [aij]una matriz de ordenmn yB = [b
jk]una
matriz de ordennp. Se define el producto deAyB como la matrizAB = [cik]
de ordenmp, donde la entrada cikes el producto interno del i-simo rengln
deA con la k-sima columna de B; esto es
c a a a
b
b
b
a b a bik i i in
k
k
nk
i k i
1 2
1
2
1 1 2, , ..., i
22k in nk a b
Nota. El producto de A y B slo est definido cuando el nmero de
columnas deA es igual al nmero de renglones deB.
De la definicin 1.19. tenemos que si Amn
yBnp
, entonces AB tiene orden
m p. Por ejemplo, (A35
)(B57
)= (AB)37
Ejemplo 17
Sean A B
4 0 2 3
1 5
y1 4
1 33 2
2 2
, determinaAB
ComoA tiene orden 3 2 yB tiene orden 2 2, entoncesAB est definiday es de orden 3 2.
Sea AB
c c
c c
c c
11 12
21 22
31 32
, entonces c11
se obtiene como sigue:
Con A B
y
4 0
2 3
1 5
1 41 3
3 2
2 2
as, c a ab
b11 11 12
11
21
4 01
14 0 4
( , ) ( , )i i
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Unidad 1
Para calcular c12
se toma:
c a a bb
12 11 12
12
22
4 0 43
16 0 16
( ) ( , ), i i
Continuando con el procedimiento anterior, se t iene que:
c21 2 31
12 3 5
( , ) i
, c22 2 3
4
38 9 1
( , ) i ,
c31 1 51
11 5 6
( , ) i
y c32 1 5
4
34 15 11
( , ) i .
Por tanto, AB
4 16
5 1
6 11
Nota. La multiplicacin de matrices no es conmutativa, esto es, en general
AB BA. Por ejemplo:
AB
1 4
2 8
4 8
1 2
0 0
0 0
y BA
4 8
1 2
1 4
2 8
12 48
3 12
Las propiedades bsicas de la multiplicacin matricial definidas para
matrices deAmn
,Bnp
y Cpq
, as como por la matriz 0y la matriz identidad I,
son resumidas en el teorema siguiente:
Teorema 1.3. La suma y producto de matrices estn definidos, por lo que se
tienen las siguientes propiedades:
1) A(BC) = (AB)C Propiedad asociativa de la multiplicacin.
2)A(B+ C) =AB+AC Propiedad distributiva izquierda.
3) (A+ B)C=AC+ BC Propiedad distributiva derecha.4) IA=Ay BI= B Propiedad multiplicativa de la matriz identidad.
5)0A = 0yA0 = 0 Propiedad multiplicativa de la matriz cero.
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33
De estas propiedades observamos que las matricesA,B, C, cero (0) e identidad
(I), debern cumplir con la condicin de orden para la multiplicacin.
Veamos cmo las operaciones matriciales bsicas afectan la transposicin.
Teorema 1.4. Con AyB matrices, c un escalar las propiedades para la matriz
transpuesta estn definidas como sigue:
1) A ATT
Transpuesta de una matriz transpuesta.
2) A B A BT T T Transpuesta de una suma.
3) cA cAT T
Transpuesta de un producto escalar.
4) AB B AT T T
Transpuesta de un producto de matrices.
Ejercicio 3
1.Calcula las siguientes operaciones. Si no se puede, di por qu:
a)1 1
0 1
0 1
1 2
b)
3
1 1 1
1 1 1
c)2 2
5 7
7 8
10 3
d)
1 2
1 2
4 3
e)
2 3
4 5
6 7
7 2
5 1
3 6
2. Si es posible, calcula
a)3
41 2
b) ( )1 23
4
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43
1.6. Solucin de sistemas lineales nn
empleando la Regla de CramerEn esta seccin explicaremos un mtodo muy til, llamado Regla de
Cramer, para resolver un sistema lineal de n ecuaciones con n variables que
tenga una solucin nica.
El trmino lineal proviene de la palabra lnea. La ecuacin de una lnea en
el planoxyes una ecuacin de la forma:
ax + by = c (1)
donde a, byc son constantes, y a yb no son ambas cero. En general, unaecuacin linealen las variablesx
1, x
2, . . ., x
nes una ecuacin de la forma:
a1x
l+ a
2x
2+ ...+ a
nx
n= b (2)
donde a1,a
2,. . .,a
ny bson constantes, y a
1,...,a
nno son todas cero.
Una solucin de la ecuacin lineal (2) es una sucesin de nmeros t1, t
2,...,t
n,
tales que si sustituimos x1 = t
1, x
2 = t
2, . . . , x
n = t
n en (2) se cumple la
igualdad.Resolver una ecuacin lineal significa encontrar todas sus soluciones;
el conjunto de soluciones se llama conjunto solucin.
Ejemplo 25
Resuelve la ecuacin lineal 4x5y = 3.
Despejando y de la ecuacin obtenemos que yx
4 3
5. Entonces para
resolver se tiene que c R con x c yc
, por lo que4 3
5es la solucin de la
ecuacin.
Con frecuencia deseamos resolver varias ecuaciones lineales al mismo
tiempo. Una coleccin finita de ecuaciones lineales en las variablesxl, x
2, . . .,
xnse llama sistema de ecuaciones lineales.
En esta parte daremos una regla para resolver un sistema lineal de n
ecuaciones con n variables, esto es un sistema de la forma:
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44
Unidad 1
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
a x a x a x bn n nn n n1 1 2 2
(3)
Una solucin del sistema lineal (3) es una sucesin de n nmeros t1, t
2,...,t
n
con la propiedad de que cada ecuacin de (3) se satisface cuando x1= t
1, x
2=
t2,. . ., x
n= t
nson sustituidas en (3).
Definicin 1.24. Un sistema lineal que no tiene solucin se llamainconsistente. Un sistema lineal con al menos una solucin es consistente.
E1 sistema lineal (3) se puede expresar como una ecuacin matricial de lasiguiente forma:
Ax=b. (4)donde
A
a a a
a a a
a a a
x
x
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2
1
, x22
1
2
x
b
b
bn n
y b
La ecuacin (4) es la ecuacin matricial asociada al sistema (3), y la matriz A
es lamatriz de coeficientes del sistema (3).
Ejemplo 26
Determina la ecuacin matricial del sistema lineal siguiente:
2 3 4 5
4 2
2 1
x y z
x z
x y z
La ecuacin matricial del sistema est dada como:
2 3 4
4 0 1
1 1 2
x
y
z
5
2
1
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lgebralineal
45
Antes de enunciar la Regla de Cramer, daremos una interpretacin
geomtrica del conjunto solucin de un sistema lineal de 22.
Considera un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables:
a x a y b
a x a y b
11 12 1
21 22 2
Cada una de estas ecuaciones es la ecuacin de una recta en el plano xy.
As, geomtricamente se tienen tres casos:
(1) Si las rectas se cortan en un punto, entonces el sistema tiene una
solucin dada por el punto de interseccin.
(2) Si las rectas son paralelas, entonces el sistema no tiene solucin.
(3) Si las rectas coinciden, entonces el sistema tiene una infinidad de
soluciones, representadas por todos los puntos sobre la recta.
Las siguientes figuras ilustran dichas condiciones:
Figura 1.1 Figura 1.2 Figura 1.3
Ahora enunciamos la Regla de Cramer, la cual proporciona un algoritmo
para resolver sistemas lineales de necuaciones con nvariables.
Teorema 1.6. (Regla de Cramer) SeaAx = bla ecuacin matricial de un
sistema lineal den ecuaciones conn variables. Si el detA
0 , entonces el sistemalineal tiene una solucin nica dada por:
xA
Ax
A
Ax
An
n
11
22
det
det
det
det( ) ,
det
det
( )
( ),
( ),
( )
(( )A
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46
Unidad 1
dondeAicon i = 1, 2, . . .,n es la matriz que se obtiene al reemplazar la
i-sima columna de A por el vector columna b
bb
bn
1
2
esto es :
A
a a a b a a
a a a b a a
i
i i n
n n ni n ni nn
11 12 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1
Ejemplo 27
Aplica la Regla de Cramerpara resolver el sistema:
2 7
4 3 1
x y
x y
A B
2 1
4 3y
7
1 , entonces A A1 2
7 1
1 3
2 7
4 1
,
y det(A) = 10, det(A1) = 20 y det(A
2) = 30, por lo tanto:
xA
Ay
A
A
det
det( y
det
det(
( )
)
( )
)
1 220
102
30
103
Ejemplo 28
Aplica la Regla de Cramerpara resolver el sistema:
x y z
x y z
x y z
2
3
4
Sea A b
1 1 1
1 1 1
1 1 1
,
2
3
4
Entonces A A1 2
2 1 1
3 1 1
4 1 1
1 2 1
1, 33 1
1 4 1
, y
1 1 2
1 1 3
1
A3
1 4
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lgebralineal
47
de tal manera que
x AA
y AA
z
det(det
52
, detdet
124
1 2104
3)( )
( )( )
, ddetdet
( )( )AA
3 144
72
Ejercicio 6
1. Aplica la Regla de Cramerpara resolver los siguientes sistemas:
a) 2 8
3 7
x y
x y
b) 2 3 45 2 2x yx y
c) 2 1
3 4 1
4 2 1
x y z
x y z
x y z
d)x y z
y z
z
2 3 1
4 1
1
e) 3 3 2 2
4 2 7
5 4 3
x y z
x y z
x y z
Ejercicios resueltos
1. Considera la siguiente matriz A
3 5 4 1 0
1 2 8 6 3
1 1 0 8 7
y encuentra:
a) El primer rengln:
( )3 5 4 1 0
b) La tercera columna:
4
8
0
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lgebralineal
67
Introduccin
El problema de solucionar un sistema de mecuaciones con nincgnitas
ha sido objeto de estudio desde hace mucho tiempo. En esta unidad
estudiaremos varios mtodos para dar solucin a dichos sistemas
utilizando para ello las matrices y sus propiedades.
2.1. Representacin de un sistema mediante
matrices
En esta seccin veremos la representacin matricial de un sistema de mn.
Recordemos que esto significa que tenemos m ecuaciones, cada una con nincgnitas:
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
a x a x a x bm m mn n m1 1 2 2
Vamos a formar una matriz A de orden mncon todos los coeficientes delas ecuaciones y dos vectores columna, el xformado por las incgnitas y elb
formado por los trminos independientes. As, tenemos:
A
a a a a
a a a a
a
j n
j n
i
11 12 1 1
21 22 2 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ...
11 2
1 2
a a a
a a a a
i ij in
m m mj mn
... ...
... ... ... ... ... ...
... ...
, ,x b
x
x
x
x
b
b
bi
m
1
2
1
2
ii
mb
Definicin 2.1. Si tenemos un sistema demecuaciones connincgnitas.
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
a x a x a x bm m mn n m1 1 2 2
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68
Unidad 2
La representacin matricial del sistemaes:
Ax= b
dondeAse llama la matriz de los coeficientes,xes el vector columna cuyas
entradas son las incgnitas y b es el vector columna cuyas entradas son los
trminos independientesde las ecuaciones.
Ax b
a a a a
a a a a
j n
j n
11 12 1 1
21 22 2 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ....
... ...
... ... ... ... ... ...
... ...
a a a a
a a a a
i i ij in
m m mj mn
1 2
1 2
x
x
x
x
b
b
bi
m
i
1
2
1
2
bm
Ejemplo 1
Escribe los siguientes sistemas en su representacin matricial:
a) Con el sistema dado por las siguientes ecuaciones:
2 4 6 18
4 5 6 24
3 2 4
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
tenemos que A
2 4 6
4 5 6
3 1 2
es la matriz de los coeficientes,
x b
x
x
x
1
2
3
18
24
4
y entonces el sistema se puede escribir como
A
x
x
x
x b
2 4 6
4 5 6
3 1 2
1
2
3
18
24
44
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lgebralineal
69
b) Sea el sistema de ecuaciones dado por:
3 2 5 6 7
4 3 2 1
5 3 1
a b c d
a b c d
a b c d
tenemos que A
a
b
3 2 5 6
4 1 3 2
1 5 3 1
, xcc
d
y
b
7
1
1
, entonces
el sistema queda representado como
A
a
b
c
d
x b
3 2 5 6
4 1 3 2
1 5 3 1
7
1
1
Los ejemplos anteriores tienen la caracterstica de que para todos los
trminos independientes al menos uno es distinto de cero, por lo que son
sistemas de ecuaciones no homogneos, de lo que definiremos cuando todos
los trminos independientes son iguales a cero.
Definicin 2.2. Un sistema de ecuaciones demnse llama homogneosi elvector bde los trminos independientes es el vector cero.Ax= 0
Ejemplo 2
El sistema
2 4 0
3 4 0
2 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
es un sistema homogneo ya que b
0
0
0
Si tenemos un sistema no homogneo
3 5 3
2 3 6 2
2 2 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
siempre podemos
formar un sistema homogneo asociado a l:
3 5 0
2 3 6 0
2 2 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
poniendo 0 en
los resultados.
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70
Unidad 2
Las matrices que hemos estudiado son conformadas por los coeficientes
de las ecuaciones del sistema, por lo que definiremos las que contienen una
columna ms, que incluye al vector columna de los valores independientes.
Definicin 2.3.Se llama matriz aumentadade un sistemamna la matrizde ordenm(n+1) que se obtiene al aumentar a la matriz de los coeficientes unacolumna formada por los trminos independientes.
Ejemplo 3
a) Obtn la matriz aumentada del sistema
3 5 3
2 3 6 2
2 2 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
Sea A
3 5 1
2 3 6
1 2 2
, entonces la matriz aumentada es
B
3 5 1 3
2 3 6 2
1 2 2 1
Nota queAes de orden 33 y la matriz aumentadaBes de orden 34.
b) Obtn la matriz aumentada del sistema3 2 9
3 6 8
x y z
x y z
entonces
A
3 2 1
1 3 6es la matriz de coeficientes y B
3 2 1 9
1 3 6 8es la matriz
aumentada
Nota queAes de orden 23 y que la matriz aumentadaBes de orden 24.
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lgebralineal
71
Ejercicio 1
1. De los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, encuentra:
Su representacin matricial.
La matriz aumentada.
El sistema homogneo asociado.
a) 4 3 5 3 4
2 4 7 2
7 6 2 2 0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
b) 2 7 6
3 14 2 4
1 2
1 2
1 2
x x
x xx x
c) 3 9 3 18
3 3 2 3 541 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x x
2.2. Solucin de sistemas de ordenmn,mediante el mtodo de Gauss
Para resolver un sistema de m ecuaciones con n incgnitas usaremosel mtodo de Gauss, para ello necesitamos llevar la matriz a una forma
adecuada, de tal manera que podamos obtener inmediatamente el resultado de
las incgnitas, las matrices se llevan a ceros en algunos de sus elementos en
forma de escaln.
Definicin 2.4.Una matrizAse encuentra en forma escalonada reducida
por renglonessi cumple con las siguientes condiciones:
i. Todos los renglones cuyos elementos son todos ceros aparecen en la parte
inferior de la matriz.
ii. El primer nmero diferente de cero (comenzando por la izquierda) en
cualquier rengln cuyos elementos no son todos cero es 1.iii. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el
primer 1 en el rengln de abajo est ms hacia la derecha que el primer 1
en el rengln de arriba.
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lgebralineal
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Ejercicio 1
1. De los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, encuentra:
Su representacin matricial.
La matriz aumentada.
El sistema homogneo asociado.
a) 4 3 5 3 4
2 4 7 2
7 6 2 2 0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
+ + = + + = + + =
b) 2 7 6
3 14 2 4
1 2
1 2
1 2
x x
x xx x
+ =
= =
c) 3 9 3 18
3 3 2 3 541 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x x
+ = + + =
2.2. Solucin de sistemas de orden mn,
mediante el mtodo de Gauss
Para resolver un sistema de m ecuaciones con n incgnitas usaremosel mtodo de Gauss, para ello necesitamos llevar la matriz a una forma
adecuada, de tal manera que podamos obtener inmediatamente el resultado de
las incgnitas, las matrices se llevan a ceros en algunos de sus elementos en
forma de escaln.
Definicin 2.4.Una matriz Ase encuentra en forma escalonada reducida
por renglonessi cumple con las siguientes condiciones:
i. Todos los renglones cuyos elementos son todos ceros aparecen en la parte
inferior de la matriz.
ii. El primer nmero diferente de cero (comenzando por la izquierda) en
cualquier rengln cuyos elementos no son todos cero es 1.iii. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el
primer 1 en el rengln de abajo est ms hacia la derecha que el primer 1
en el rengln de arriba.
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72
Unidad 2
iv. Cualquier columna que contiene el primer 1 en un rengln, tiene ceros en el
resto de sus elementos. El primer nmero diferente de cero en un rengln sellama pivotede ese rengln.
Una matriz se encuentra en forma escalonada por renglonessi se cumplen
las condiciones
(i), (ii) y (iii).
Cabe sealar que:
a) La forma escalonada reducida por renglones es nica.
b) Es posible que al cambiar la sucesin de operaciones elementales sobre los
renglones se llegue a formas escalonadas distintas.
Ejemplo 4
1. Las siguientes matrices estn en la forma escalonada reducida por
renglones:
a)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
b)
1 0 2
0 1 3
0 0 0
c)1 0 0 50 0 1 2
d)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
2.Las siguientes matrices noestn en la forma escalonada reducida por
renglones:
a)
1 0 0 0
0 4 0 0
0 0 1 0
b)
1 0 0
0 1 0
1 0 0
0 0 0
Tiene un 4 en el segundo
rengln en lugar de 1.
El tercer rengln tiene 1 a la
izquierda del 1 del segundo
rengln y debe estar a la
derecha.
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lgebralineal
73
c)
1 0 0
0 0 0
0 0 1
Observacin: Siempre se puede llevar una matriz a la forma escalonada
reducida por renglones realizando operaciones elementales con los renglones.
Por lo anterior, requerimos conocer cules son las operaciones elementales
que se pueden realizar con los renglones de una matriz; stas surgen de
convertir una ecuacin en otra equivalente realizando ciertas operaciones como
son:
Definicin 2.5. Las operaciones elementales con renglones de una matrizson:
i. Multiplicar o dividir un rengln por un nmero diferente de cero.
ii. Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln.
iii. Intercambiar dos renglones.
El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para
simplificar una matriz aumentada se llama reduccin por renglones.
Notacin:
1. Ri
cRisignifica reemplaza el i-simo rengln por ese mismo rengln
multiplicado por c. (Para multiplicar un rengln por c, se multiplica cadanmero del rengln por c).
2. Rj
Rj+ cR
i significa sustituye el j-simo rengln por la suma del
rengln jms el rengln imultiplicado por c.
3. Ri
Rjquiere decir intercambiar los renglones iy j.
Ejemplo 5
1. Lleva la matriz A=
2 4 6
4 5 63 1 2
a la forma escalonada reducida porrenglones:
El rengln de puros ceros
no est en la parte inferior
de la matriz.
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74
Unidad 2
2 4 6
4 5 6
3 1 2
2 4 6
1 4R R R2 2
3 8
3 1 2
1 4 8
2 4 6
3 1 2
R R R1 2
22 2
3 3
R R
R R R
2
31
1
1 4 8
0 4 10
0 11 26
1 0
1 4
R R R
R R1 1 2
2 2
+
/
2
0 1 5 2
0 11 26
/
R R R R R R 3 3 2 2 3 +
11 2
1 0 2
0 1 5 2
0 0 3 2
1 0 2
0 1/
/
R R3 31
0 0 3 2
2 3
/
/
1 0 2
0 1 1
0 0 1
1 0 2
0 1 0R R R2 2 3
00 0 1
R R +2R 1 1 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Estamos ya en condiciones de aprender el mtodo de Gauss para resolver
un sistema de ecuaciones.
Mtodo de eliminacin de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones.
i. Se reduce por rengln la matriz aumentada del sistema a la forma
escalonada.
ii. Se despeja el valor de la ltima incgnita.
iii. Se usa la sustitucin hacia atrs para las dems incgnitas.
Ejemplo 6
1. Resuelve el sistema2 4 6 18
4 5 6 24
3 2 4
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ =usando el mtodo de Gauss.
Se forma la matriz de los coeficientes aumentada2 4 6 18
4 5 6 24
3 1 2 4
y se
reduce a su forma escalonada por renglones:
2 4 6 18
4 5 6 24
3 1 2 4
1 2 3 9
4 5 6 21 11 2
R R
/ 44
3 1 2 4
1 2 3 9
0 34
3
R R R
R R R
2 2 1
3 3 1
66 12
0 5 11 23
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lgebralineal
75
R R R R R 2 3 3 2
21 3 5
1 2 3 9
0 1 2 4
0 5 11 23
/
1 2 3 9
0 1 2 4
0 0 1 3
R R
R R
2 2
3 3
1 2 3 9
0 1 2 4
0 0 1 3
De aqu regresamos a un sistema de ecuaciones
x y z
y z
z
+ + =
+ =
=
2 3 9
2 4
3
donde ya tenemos el valor dez= 3; sustituyendo en la segunda
ecuacin obtenemos el valor dey:y+ 2(3) = 4 y= 2 ;sustituyendo en la
primera ecuacin los valores dezyyobtenemos el valor dex: x+ 2(2) + 3(3)
= 9x= 4. Por lo que la solucin es (4, 2, 3).
2. Resuelve el sistemax x x x
x x x x1 2 3 4
1 2 3 4
3 5 4
2 5 2 4 6
+ + =+ + =
por el mtodo de Gauss.
Se forma la matriz aumentada1 3 5 1 4
2 5 2 4 6
y se reduce por
renglones.
1 3 5 1 4
2 5 2 4 6
1 3 5 1 4
0 1 8 2 2
2
R R R2 2 1 RR R2 2
1 3 5 1 4
0 1 8 2 2
1 0 19 7 2
0 1 8 2 2
3
R R R1 1 2
Si regresamos al sistema de ecuaciones obtenemosx x x
x x x
1 3 4
2 3 4
19 7 2
8 2 2
+ + =
=
lo que evidentemente nos muestra que tenemos una infinidad de soluciones,
pues los valores dex3y x
4pueden escogerse de manera arbitraria, y para cada
par de valores obtenemos los valores dex1y dex
2.
Como mencionamos en la definicin 1.24,un sistema de ecuaciones lineales
es inconsistente si no tiene solucin y consistente si tiene al menos una
solucin.
Nota. Recordemos los sistemas homogneos; en ellos los trminosindependientes son todos cero, por lo tanto podemos decir que un sistema
homogneo siempre tiene al menos una solucin: la trivial (donde todas las
variablesx1=x
2=x
3= = 0) y por tanto siempre es consistente.
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76
Unidad 2
Ejercicio 2
1. Di si las siguientes matrices se encuentran en forma escalonada porrenglones (pero no reducida por renglones), en forma escalonada reducida por
renglones o ninguna de las dos:
a)
1 1 0
0 1 0
0 0 1
b)
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0
c)
1 0
0 1
0 0
d)
1 0 0 4
0 1 0 5
0 1 1 6
2. Usa las operaciones elementales con renglones para reducir las siguientes
matrices a la forma escalonada por renglones y a la forma escalonada reducida
por renglones:
a)1 1
2 3
b)2 4 2
3 1 6
c)
2 7
3 5
4 3
d)
2 4 8
3 5 8
6 0 4
3. Encuentra las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas usando elmtodo de Gauss:
a)
2 3 3
2 2 1
3 3 0
x y z
x y z
x y z
+ = + =
+ + =
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lgebralineal
77
b) 2 3 2
2 1
x y z
x y z
+ = + =
c)x x
x x
x x
1 2
1 2
1 2
4
2 3 7
3 2 8
+ =
=+ =
2.3. Solucin de sistemas de ordenmn,
mediante el mtodo de Gauss-Jordan
El mtodo de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones es muy
similar al mtodo de Gauss, la diferencia es que en ste se pide que la reduccin
de las matrices sea en la forma escalonada reducida, con lo que se obtienendirectamente las soluciones del sistema.
Mtodo de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
i. Se reduce la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por
renglones.
ii. Se obtienen las soluciones del sistema.
Ejemplo 7
1. Resuelve el sistema
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ =
2 3 9
4 5 6 24
3 2 4
utilizando el mtodo de Gauss-
Jordan:
Formamos la matriz aumentada1 2 3 9
4 5 6 24
3 1 2 4
y la llevamos a la
forma escalonada reducida por renglones:
R R R R R 3 3 2 3 3
+
5
1 2 3 9
0 1 2 4
0 0 1 3
1 2 3 9
0 1 2 4
0 0 1 3
2R R R1 1 2
1 2 3 9
4 5 6 24
3 1 2 4
1
4
3
R R R
R R R
2 2 1
3 3 1
22 3 9
0 3 6 12
0 5 11 23
1 3
1 2 3
R R2 2
/ 9
0 1 2 4
0 5 11 23
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78
Unidad 2
1 0 1 1
0 1 2 4
0 0 1 3
1 0 0 4
0 12
+
R R R
R R R2 2 3
1 1 3
00 2
0 0 1 3
De aqu podemos obtener las soluciones del sistema
x= 4; y= 2; z= 3.
2. Resuelve el sistema
3 6 6 9
2 5 4 6
16 14 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
+ = + =
+ =usando Gauss-Jordan.
Formamos la matriz aumentada
3 6 6 9
2 5 4 6
1 16 14 3
y la llevamos a la
forma escalonada reducida por renglones:
3 6 6 9
2 5 4 6
1 16 14 3
R R
1 11 3/
1 2 2 3
2 5 4 6
1 16 14 3
R2
R 2R
R R + R
2 1
3 3 1
R R R R 2R 2 2 1 1 2
1 91 2 2 3
0 1 8 9 0
0 0 0 0
//
1 0 2 9 3
0 1 8 9 0
0 0 0 0
/
/
Como la matriz tiene un rengln cuyos elementos son todos ceros, podemos
concluir que el sistema tiene una inf inidad de soluciones, ya quex x
x x1 3
2 3
2 9 3
8 9 0
= =
/
/
y por lo tantox1yx
2dependen del valor dex
3.
3. Resuelve el sistema
x y z
x y z
x y z
+ = + =
+ + =
7
4 5 4
6 3 20
usando el mtodo de Gauss-Jordan.
Llevamos la matriz aumentada
1 1 1 7
4 1 5 4
6 1 3 20
a su forma escalonada
reducida.
1 1 1 7
4 1 5 4
6 1 3 20
4
6
R R R
R R R2 2 1
3 3 1
1 1 1 7
0 5 9 24
0 5 9 22
R R R32 2
1 2 2 3
0 9 8 0
0 18 16 0
1 2 2 3
0 9
R 1/2R 3 3
R R +R 3 3 28 0
0 9 8 0
1 2 2 3
0 9 8 0
0
00 0 0
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36/164
lgebralineal
79
1 1 1 7
0 0 0 2
0 5 9 22
R R +1/5R
R R1 1 3
2 3
1 0 4 5 13 5
0 5 9 22
0 0 0 2
/ /
Como la matriz tiene un rengln (0, 0, 0, 2) indica que el sistema notiene
solucin ya que no existe un nmero que sea 2 y al mismo tiempo sea cero.
Ejercicio 3
1. Encuentra las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas de
ecuaciones usando el mtodo de Gauss-Jordan. Explica.
a) x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7
4 5 4
2 2 3 0
+ = + =
+ =
b) 3 6 6 9
2 5 4 6
5 28 26 8
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
+ = + =
+ =
c) x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 11
4 4
2 3 10
+ =+ =
+ =
2.4. Matriz inversa y matriz adjunta
En esta seccin definiremos dos tipos de matrices muy importantes que son
bsicas en la teora de matrices y que nos son tiles para la solucin de sistemas
de ecuaciones.
Comencemos con un ejemplo sencillo:
Sean A=2 5
1 3
y B=
3 5
1 2
, obtengamos los productos AByBA.
AB=2 5
1 3
3 5
1 2
1 0
0 1
=
y BA =
3 5
1 2
2 5
1 3
1 0
0 1
=
, por
lo tanto podemos decir que AB = BA = I2, donde I
2 =
1 0
0 1
es la matriz
identidad de 22.
A la matrizBse le llama matriz inversa deAy se denotaB=A1.
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lgebralineal
79
1 1 1 7
0 0 0 2
0 5 9 22
R R +1/5R
R R1 1 3
2 3
1 0 4 5 13 5
0 5 9 22
0 0 0 2
/ /
Como la matriz tiene un rengln (0, 0, 0, 2) indica que el sistema notiene
solucin ya que no existe un nmero que sea 2 y al mismo tiempo sea cero.
Ejercicio 3
1. Encuentra las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas de
ecuaciones usando el mtodo de Gauss-Jordan. Explica.
a) x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7
4 5 4
2 2 3 0
b) 3 6 6 9
2 5 4 6
5 28 26 8
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
c) x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 11
4 4
2 3 10
2.4. Matriz inversa y matriz adjunta
En esta seccin definiremos dos tipos de matrices muy importantes que son
bsicas en la teora de matrices y que nos son tiles para la solucin de sistemas
de ecuaciones.
Comencemos con un ejemplo sencillo:
Sean A=2 5
1 3
y B=
3 5
1 2
, obtengamos los productos AByBA.
AB=2 5
1 3
3 5
1 2
1 0
0 1
y BA =
3 5
1 2
2 5
1 3
1 0
0 1
, por
lo tanto podemos decir que AB = BA = I2, donde I
2 =
1 0
0 1
es la matriz
identidad de 22.
A la matrizBse le llama matriz inversa deAy se denotaB=A1.
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80
Unidad 2
Definicin 2.7. SeanAy Bdos matrices de orden nnque satisfacenAB =
BA=I dondeIes la matriz identidad de orden nn,
entonces Bse llama matriz inversadeAy se denota porA1.
De donde se tiene que AA1 = A1A= I. En este caso se dice que A es
invertible.
As como toda matriz, tambin existen propiedades para la matriz
identidad e inversa.
Teorema 2.1.Propiedad de la matriz identidad.
Sean A una matriz de orden nn e I la matriz identidad de orden nn,entonces
AI= IA=A
Teorema 2.2.Propiedades de las matrices invertibles.
Sean A y Bdos matrices invertibles de orden nn, entonces
1. La inversa es nica.
2. (A1)1=A3. (AB)1= B1A1
En este momento nos podemos hacer las siguientes preguntas:
1. Todas las matrices cuadradas tienen inversa?
2. Qu matrices tienen inversa?
3. Si una matriz tiene inversa, cmo se puede calcular?
En esta parte vamos a contestar esas preguntas. Comenzaremos con el caso
de 22.
Consideremos la matriz A =2 3
4 5
y vamos a suponer que es
invertible.
Sea A1=x y
z w
, entonces debe satisfacer queAA
1=I, por lo tanto:
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lgebralineal
81
AA1=2 3
4 5
2 3 2 3
4 5 4 5
x yz w
x z y w
x z y w
1 0
0 1
Recordemos que dos matrices son iguales si todas sus entradas lo son, por
lo cual
2x 3z = 1; 4x + 5z = 0; 2y 3w = 0; 4y + 5w =1.
Con esto se forman dos sistemas de ecuaciones lineales:
2 3 1
4 5 0
x z
x z
y2 3 0
4 5 1
y w
y w
y para resolverlos vamos a escribirlos en
la forma matricial aumentada: 2 3 1
4 5 0
y 2 3 0
4 5 1
. Al
reducirlas obtendremos los resultados 1 00 1
xz
y
1 00 1
yw
Como la matriz original es la misma para ambos sistemas, podemos
realizar la reduccin por renglones al mismo tiempo considerando la
nueva matriz aumentada2 3 1 0
4 5 0 1
al hacerlo obtendremos
1 0
0 1
x y
z w
R R1 12 3 1 0
4 5 0 1
1 3 2 1 2 0
4 5 0 1
1 2
/ / /
R R R2 2 14
1 3 2 1 2 0
0 1 2 1
1 0 5 2 3 2
0 1 23 2
/ / / //
R R
R R R2 2
1 1 2
1
1 0
0 1
x y
z w
De donde obtenemos las soluciones x= 5/2; z= 2;y= 3/2; w= 1
EntoncesAes invertible y su inversa esA1=
5 2 3 2
2 1
/ /
Este ejemplo nos ilustra un procedimiento para encontrar la matriz inversa
que siempre funciona y que se puede generalizar a matrices de orden nn.
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82
Unidad 2
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadradaA
1. Se escribe la matriz aumentada ( )A I .
2. Se utiliza la reduccin por renglones para poner la matriz Aen su forma
escalonada reducida por renglones.
3. Se decide si es invertible.
a. Si la forma escalonada reducida por renglones deAes la matriz identidad
I, entoncesA1es la matriz que se tiene a la derecha de la barra vertical.
b. Si la reduccin deAconduce a un rengln de ceros a la izquierda de la
barra vertical, entoncesA no es invertible.
Ejemplo 8
1. Sea A =1 2
2 4
vamos a determinar si es o no invertible.
R R R2 2 11 2 1 0
2 4 0 1
1 2 1 0
0 0 2 1
2
Como tiene un rengln de ceros a la izquierda de la barra vertical, Ano esinvertible.
2. SeaA=2 4 6
4 5 6
3 1 2
, vamos a determinar si es o no invertible, y si lo
es encontrarA1.
2 4 6 1 0 0
4 5 6 0 1 0
3 1 2 0 0 1
1 21 2
R R1 1
/
3 1 2 0 0
4 5 6 0 1 0
3 1 2 0 0 1
/
R R 4R
R R 3R 2 2 1
3 3 1
1 2 3 1 2 0 0
0 3 6 2 1 0
0 5 11 3 2
/
/ 00 1
R 1/3R 2 2
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lgebralineal
83
R 1R
R R + R 3 3
1 1 3
1 0 0 8 3 7 3 1
0 1 2 2 3 1 3 0
0 0 1
/ /
/ /
11 6 5 3 1/ /
R R 2R 2 2 3
1 0 0 8 3 7 3 1
0 1 0 13 3 11 3 2
0 0 1 11 6 5 3 1
/ /
/ /
/ /
De donde obtenemos la matriz inversa A1=
8 3 7 3 1
13 3 11 3 211 6 5 3 1
/ /
/ // /
(*)
Verificacin: AA1=
2 4 6
4 5 6
3 1 2
8 3 7 3 1
13 3 11 3 2
/ /
/ /
11 6 5 3 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1/ /
Nota: Es importante verificar que AA1=I.
Veamos algunos resultados importantes acerca de las matrices inversas.
Teorema 2.3. SeaAuna matriz de ordennn.EntoncesAes invertible, si y slo si, detA0
Ejemplo 9
1. Consideremos la matriz del ejemplo anterior:
A
2 4 6
4 5 6
3 1 2 sabemos que es invertible, vamos a calcular su
determinante.
detA= 25 6
1 24
4 6
3 26
4 5
3 1
2(106) 4(818) + 6(415) = 6
1 2 3 1 2 0 0
0 1 2 2 3 1 3 0
0 5 11 3 2 0 1
/
/ /
/
R R + 5R
R R 2R 3 3 2
1 1 2
1 0 1 5 6 2 3 0
0 1
/ /
22 2 3 1 3 0
0 0 1 11 6 5 3 1
/ /
/ /
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84
Unidad 2
detA 0
2. Consideremos la matriz A=1 2
2 4
y calculemos su determinante.
detA= 4 + 4 = 0 y
R R R2 2 11 2 1 0
2 4 0 1
1 2 1 0
0 0 2 1
2
por lo tanto no es
invertible.
Vamos ahora a dar la definicin de otra matriz importante en nuestra
bsqueda de matrices inversas.
Recordemos lo que son los cofactores de una matriz A (Definicin 1.22)
A Mij
i j
ij
1
SiA =
2 4 6
4 5 6
3 1 2
entonces sus cofactores son
A11
=5 6
1 2
= 10 6 = 16 A
12=
4 6
3 2
= (818) = 26
A13
=4 5
3 1= 415 = 11
A21
= 4 6
1 2
= (86) = 14 A
22=
2 6
3 2
= 418 = 22
A23
= 2 4
3 1= (212) = 10
A31
=4 6
5 6= 24 30 = 6 A
32=
2 6
4 6 = (1224) = 12
A33
= 2 4
4 5= 1016 = 6
Con estos cofactores haremos una matriz de orden 33 de tal manera queobtendremos una matrizB:
B
16 26 11
14 22 10
6 12 6
Habiendo calculado esta matriz podemos definir lo siguiente:
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lgebralineal
85
Definicin 2.8. SeaAuna matriz de orden nny sea Bla matriz formada
por los cofactores deA. Entonces la adjuntadeA, que se denota adj Aes latranspuesta de la matriz B, es decir:
adjA=BT=
A A A
A A A
A A A
n
n
n n nn
11 21 1
12 22 2
1 2
Ejemplo 10
Vamos a encontrar la adjunta de A
2 4 64 5 6
3 1 2
SeaBla matriz de los cofactores deA.
B=
A A A
A A A
A A A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
16 26 11
14 22
110
6 12 6
entonces
adjA =BT=
16 14 6
26 22 12
11 10 6
Ya con estos elementos podemos encontrar la inversa de una matriz usando
su determinante y su matriz adjunta como nos lo indica el siguiente teorema.
Teorema 2.4. SiAes una matriz de ordennninvertible.
Entonces A1=1
detAadjA
Ejemplo 11
Usaremos la matriz anterior A =
2 4 6
4 5 6
3 1 2
y vamos a calcular su
inversa.
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86
Unidad 2
det A = 25 6
1 24
4 6
3 26
4 5
3 1
= 2(106) 4(818) +6(415) =
32 + 104 66 = 6
entoncesA1=1
6adjA=
1
6
16 14 6
26 22 12
11 10 6
=
8 3 7 3 1
13 3 11 3 2
11 6 5 3 1
/ /
/ /
/ /
Nota que esta matriz inversa ya la habamos obtenido con el mtodo de
Gauss-Jordan.*
Observacin:Este teorema refuerza el resultado acerca de que una matriz
invertible necesariamente debe tener un determinante distinto de cero.
Ejercicio 4
1. Encuentra la matriz inversa, si existe, usando el mtodo de Gauss-
Jordan. En caso de que no exista la matriz inversa, indica la razn:
a) 2 1
3 2
b) 1 1
3 3
c)3 2 10 2 2
0 0 1
d)
1 6 2
2 3 5
7 12 4
e)
1 3 0 2
3 12 2 6
2 10 2 5
1 6 1 3
2. Encuentra la matriz inversa, si existe, usando el mtodo de la matriz
adjunta. Recuerda calcular primero el determinante para ver si existe o no.
* En este momento ya tenemos dos mtodos para calcular la matriz inversa, sin embargo, podemos notar
que si n> 3 , en general es ms fcil calcularA1con el mtodo de la reduccin por renglones que usando
la matriz adjunta, pues aun en el caso de 44 tenemos que calcular 17 determinantes.
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lgebralineal
87
a) 3 2
1 2
b)
1 2 3
1 1 2
0 1 2
c)
2 1 4
1 0 5
19 7 3
2.5. Solucin de sistemas de nn, mediante lamatriz inversa
En esta seccin encontraremos la solucin de un sistema de ecuaciones de
nnmediante la matriz inversa.
El siguiente resultado nos da una pista acerca de cmo encontrar la solucin
de un sistema si la matriz de coeficientes asociada es invertible.
Teorema 2.5.SeaAla matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones de
ordennn. Entonces se cumplen las siguientes condiciones:Aes invertible.
El sistemaAx= b tiene una solucin nica que es x=A1
b El sistema homogneo asociadoAx= 0tiene una solucin nica que es
x= 0
Ejemplo 12
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
2 4 3 1
2
3 5 7 1
x y z
y z
x y z
formamos la matriz de coeficientesA =
2 4 3
0 1 1
3 5 7
Vamos a ver siAes invertible, para eso calculamos su determinante:
detA= 21 1
5 70
4 3
5 73
4 3
1 1
= 2(7+5) + 0 + 3(43) = 3
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UNIDAD2
MTODODEGAUSSMATRIZINVERSA
MULTIPLICATIVA
Objetivos:
Al nalizar la unidad, el alumno:
Representar un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas
mediante una matriz de orden mn. Conocer y aplicar el mtodo de Gauss para solucionar un sistema de
mn. Conocer y aplicar el mtodo de Gauss-Jordan para solucionar unsistema de nn.
Identificar las caractersticas de la matriz inversa multiplicativa.
Usar el mtodo de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa
multiplicativa.
Usar la matriz adjunta para encontrar la matriz inversa multiplicativa.
Aplicar el mtodo de la matriz inversa para resolver sistemas de nn.
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lgebralin
Introduccin
E
l problema de solucionar un sistema de mecuaciones con nincgnitas
ha sido objeto de estudio desde hace mucho tiempo. En esta unidad
estudiaremos varios mtodos para dar solucin a dichos sistemasutilizando para ello las matrices y sus propiedades.
2.1. Representacin de un sistema mediante
matrices
En esta seccin veremos la representacin matricial de un sistema de mn.
Recordemos que esto significa que tenemos m ecuaciones, cada una con nincgnitas:
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
+ + + =
+ + + =
a x a x a x bm m mn n m1 1 2 2+ + + =
Vamos a formar una matrizA de orden mncon todos los coeficientes delas ecuaciones y dos vectores columna, el xformado por las incgnitas y el b
formado por los trminos independientes. As, tenemos:
A
a a a a
a a a a
a
j n
j n
i
=
11 12 1 1
21 22 2 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ...
11 2
1 2
a a a
a a a a
i ij in
m m mj mn
... ...... ... ... ... ... ...
... ...
=
=, ,x b
x
x
x
x
b
b
bi
m
1
2
1
2
ii
mb
Definicin 2.1. Si tenemos un sistema demecuaciones connincgnitas.
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
+ + + =
+ + + =
=
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Unidad 2
La representacin matricial del sistemaes:
Ax= b
dondeAse llama la matriz de los coeficientes,xes el vector columna cuyasentradas son las incgnitas y b es el vector columna cuyas entradas son los
trminos independientesde las ecuaciones.
Ax b=
a a a a
a a a a
j n
j n
11 12 1 1
21 22 2 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ....
... ...... ... ... ... ... ...
... ...
a a a a
a a a a
i i ij in
m m mj mn
1 2
1 2
=
x
x
x
x
b
b
bi
m
i
1
2
1
2
bm
Ejemplo 1
Escribe los siguientes sistemas en su representacin matricial:
a) Con el sistema dado por las siguientes ecuaciones:
2 4 6 18
4 5 6 24
3 2 4
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ + =
+ =
tenemos que A =
2 4 64 5 6
3 1 2
es la matriz de los coeficientes,
x b=
=
x
x
x
1
2
3
18
24
4
y entonces el sistema se puede escribir como
Axxx b=
=
2 4 64 5 6
1
2
1824
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Unidad 2
Las matrices que hemos estudiado son conformadas por los coeficientes
de las ecuaciones del sistema, por lo que definiremos las que contienen una
columna ms, que incluye al vector columna de los valores independientes.
Definicin 2.3.Se llama matriz aumentadade un sistemamna la matrizde ordenm(n+1) que se obtiene al aumentar a la matriz de los coeficientes unacolumna formada por los trminos independientes.
Ejemplo 3
a) Obtn la matriz aumentada del sistema3 5 32 3 6 2
2 2 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x xx x x
x x x
+ = + =
+ =
Sea A =
3 5 1
2 3 6
1 2 2
, entonces la matriz aumentada es
B=
3 5 1 3
2 3 6 2
1 2 2 1
Nota queAes de orden 33 y la matriz aumentadaBes de orden 34.
b) Obtn la matriz aumentada del sistema3 2 9
3 6 8
x y z
x y z
+ =
+ =
entonces
A =
3 2 1
1 3 6es la matriz de coeficientes y B=
3 2 1 9
1 3 6 8es la matriz
aumentada
Nota queAes de orden 23 y que la matriz aumentadaBes de orden 24.
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lgebralin
Ejercicio 1
1. De los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, encuentra:
Su representacin matricial.
La matriz aumentada.
El sistema homogneo asociado.
a) 4 3 5 3 4
2 4 7 2
7 6 2 2 0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
+ + = + + = + + =
b) 2 7 6
3 14 2 4
1 2
1 2
1 2
x x
x xx x
+ =
= =
c) 3 9 3 18
3 3 2 3 541 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x x
+ = + + =
2.2. Solucin de sistemas de orden mn,mediante el mtodo de Gauss
Para resolver un sistema de m ecuaciones con n incgnitas usaremos
el mtodo de Gauss, para ello necesitamos llevar la matriz a una forma
adecuada, de tal manera que podamos obtener inmediatamente el resultado de
las incgnitas, las matrices se llevan a ceros en algunos de sus elementos en
forma de escaln.
Definicin 2.4.Una matrizAse encuentra en forma escalonada reducida
por renglonessi cumple con las siguientes condiciones:
i. Todos los renglones cuyos elementos son todos ceros aparecen en la parte
inferior de la matriz.
ii. El primer nmero diferente de cero (comenzando por la izquierda) en
cualquier rengln cuyos elementos no son todos cero es 1.
iii. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces elprimer 1 en el rengln de abajo est ms hacia la derecha que el primer 1
en el rengln de arriba
8/10/2019 Antologia AL UTEL
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Unidad 2
iv. Cualquier columna que contiene el primer 1 en un rengln, tiene ceros en el
resto de sus elementos. El primer nmero diferente de cero en un rengln se
llama pivotede ese rengln.
Una matriz se encuentra en forma escalonada por renglonessi se cumplen
las condiciones(i), (ii) y (iii).
Cabe sealar que:
a) La forma escalonada reducida por renglones es nica.
b) Es posible que al cambiar la sucesin de operaciones elementales sobre los
renglones se llegue a formas escalonadas distintas.
Ejemplo 4
1. Las siguientes matrices estn en la forma escalonada reducida por
renglones:
a)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
b)1 0 20 1 3
0 0 0
c)1 0 0 5
0 0 1 2
d)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
2. Las siguientes matrices no estn en la forma escalonada reducida por
renglones:
a)
1 0 0 0
0 4 0 0
0 0 1 0
b)
1 0 0
0 1 0
Tiene un 4 en el segundo
rengln en lugar de 1.
El tercer rengln tiene 1 a la
i i d d l 1 d l d
8/10/2019 Antologia AL UTEL
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lgebralin
c)
1 0 0
0 0 0
0 0 1
Observacin: Siempre se puede llevar una matriz a la forma escalonadareducida por renglones realizando operaciones elementales con los renglones.
Por lo anterior, requerimos conocer cules son las operaciones elementales
que se pueden realizar con los renglones de una matriz; stas surgen de
convertir una ecuacin en otra equivalente realizando ciertas operaciones como
son:
Definicin 2.5. Las operaciones elementales con renglones de una matrizson:
i. Multiplicar o dividir un rengln por un nmero diferente de cero.
ii. Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln.
iii. Intercambiar dos renglones.
El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para
simplificar una matriz aumentada se llama reduccin por renglones.
Notacin:
1. Ri
cRisignifica reemplaza el i-simo rengln por ese mismo rengln
multiplicado por c. (Para multiplicar un rengln por c, se multiplica cada
nmero del rengln por c).
2. Rj
Rj+ cR
i significa sustituye el j-simo rengln por la suma del
renglnjms el rengln imultiplicado por c.
3. Ri
Rjquiere decir intercambiar los renglones iyj.
Ejemplo 5
1. Lleva la matriz A=
2 4 6
4 5 6
3 1 2
a la forma escalonada reducida por
renglones:
El rengln de puros ceros
no est en la parte inferior
de la matriz.
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Unidad 2
2 4 6
4 5 6
3 1 2
2 4 6
1 4R R R2 2
3 8
3 1 2
1 4 8
2 4 6
3 1 2
R R R1 2
22 2
3 3
R R
R R R
2
31
1
1 4 8
0 4 100 11 26
1 0
1 4
R R R
R R1 1 22 2
+
/
2
0 1 5 20 11 26
/
R R R R R R 3 3 2 2 3 +
11 2
1 0 2
0 1 5 2
0 0 3 2
1 0 2
0 1/
/
R R3 31
0 0 3 2
2 3
/
/
1 0 2
0 1 1
0 0 1
1 0 2
0 1 0R R R2 2 3
00 0 1
R R +2R 1 1 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Estamos ya en condiciones de aprender el mtodo de Gauss para resolver
un sistema de ecuaciones.
Mtodo de eliminacin de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones.
i. Se reduce por rengln la matriz aumentada del sistema a la forma
escalonada.
ii. Se despeja el valor de la ltima incgnita.
iii. Se usa la sustitucin hacia atrs para las dems incgnitas.
Ejemplo 6
1. Resuelve el sistema2 4 6 18
4 5 6 24
3 2 4
x y z
x y z
x y z
+ + =+ + =
+ =usando el mtodo de Gauss.
Se forma la matriz de los coeficientes aumentada2 4 6 18
4 5 6 24
3 1 2 4
y se
reduce a su forma escalonada por renglones:
2 4 6 18
4 5 6 24
1 2 3 9
4 5 6 21 11 2
R R
/44
1 2 3 9
0 34
R R R2 2 1
66 12
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lgebralin
R R R R R2 3 3 2
2 1 3 5
1 2 3 9
0 1 2 4
0 5 11 23
/
1 2 3 9
0 1 2 4
0 0 1 3
R R
R R
2 2
3 3
1 2 3 90 1 2 4
0 0 1 3
De aqu regresamos a un sistema de ecuaciones
x y z
y z
z
+ + =+ =
=
2 3 9
2 4
3
donde ya tenemos el valor dez= 3; sustituyendo en la segunda
ecuacin obtenemos el valor dey:y+ 2(3) = 4 y= 2 ;sustituyendo en la
primera ecuacin los valores dezyyobtenemos el valor dex: x+ 2(2) + 3(3)
= 9x= 4. Por lo que la solucin es (4, 2, 3).
2. Resuelve el sistemax x x x
x x x x1 2 3 4
1 2 3 4
3 5 4
2 5 2 4 6
+ + =+ + =
por el mtodo de Gauss.
Se forma la matriz aumentada1 3 5 1 4
2 5 2 4 6
y se reduce por
renglones.
1 3 5 1 4
2 5 2 4 6
1 3 5 1 4
0 1 8 2 22
R R R2 2 1 RR R2 2
1 3 5 1 4
0 1 8 2 2
1 0 19 7 2
0 1 8 2 23
R R R1 1 2
Si regresamos al sistema de ecuaciones obtenemosx x x
x x x
1 3 4
2 3 4
19 7 2
8 2 2
+ + =
=
lo que evidentemente nos muestra que tenemos una infinidad de soluciones,
pues los valores dex3yx4pueden escogerse de manera arbitraria, y para cadapar de valores obtenemos los valores dex1y dex
2.
Como mencionamos en la definicin 1.24,un sistema de ecuaciones lineales
es inconsistente si no tiene solucin y consistente si tiene al menos una
solucin.
Nota. Recordemos los sistemas homogneos; en ellos los trminos
independientes son todos cero, por lo tanto podemos decir que un sistema
homogneo siempre tiene al menos una solucin: la trivial (donde todas lasvariablesx
1=x
2=x
3= = 0) y por tanto siempre es consistente.
8/10/2019 Antologia AL UTEL
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Unidad 2
Ejercicio 2
1. Di si las siguientes matrices se encuentran en forma escalonada por
renglones (pero no reducida por renglones), en forma escalonada reducida por
renglones o ninguna de las dos:
a)
1 1 0
0 1 0
0 0 1
b)1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0
c)1 00 1
0 0
d)1 0 0 4
0 1 0 5
0 1 1 6
2. Usa las operaciones elementales con renglones para reducir las siguientes
matrices a la forma escalonada por renglones y a la forma escalonada reducidapor renglones:
a)1 1
2 3
b)2 4 2
3 1 6
c)
2 7
3 54 3
d)
2 4 8
3 5 8
6 0 4
3. Encuentra las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas usando el
mtodo de Gauss:
)
2 3 3
2 2 1
x y z+ =
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lgebralin
b) 2 3 22 1
x y z
x y z
+ = + =
c)x x
x x
x x
1 2
1 2
1 2
4
2 3 7
3 2 8
+ = =
+ =
2.3. Solucin de sistemas de ordenmn,mediante el mtodo de Gauss-Jordan
El mtodo de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones es muy
similar al mtodo de Gauss, la diferencia es que en ste se pide que la reduccin
de las matrices sea en la forma escalonada reducida, con lo que se obtienendirectamente las soluciones del sistema.
Mtodo de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
i. Se reduce la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por
renglones.
ii. Se obtienen las soluciones del sistema.
Ejemplo 7
1. Resuelve el sistemax y z
x y z
x y z
+ + =+ + =
+ =
2 3 9
4 5 6 24
3 2 4
utilizando el mtodo de Gauss-
Jordan:
Formamos la matriz aumentada1 2 3 9
4 5 6 24
3 1 2 4
y la llevamos a la
forma escalonada reducida por renglones:
R R R R R 3 3 2 3 3
+
5
1 2 3 9
0 1 2 4
1 2 3 9
0 1 2 4 2R R R1 1 2
1 2 3 9
4 5 6 24
3 1 2 4
1
4
3
R R R
R R R
2 2 1
3 3 1
22 3 9
0 3 6 12
0 5 11 23
1 3
1 2 3
R R2 2
/ 9
0 1 2 4
0 5 11 23
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Unidad 2
1 0 1 1
0 1 2 4
0 0 1 3
1 0 0 4
0 12
+
R R R
R R R2 2 3
1 1 300 2
0 0 1 3
De aqu podemos obtener las soluciones del sistemax= 4; y= 2; z= 3.
2. Resuelve el sistema
3 6 6 9
2 5 4 6
16 14 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
+ = + =
+ = usando Gauss-Jordan.
Formamos la matriz aumentada
3 6 6 9
2 5 4 6
1 16 14 3
y la llevamos a la
forma escalonada reducida por renglones:
3 6 6 9
2 5 4 6
1 16 14 3
R R
1 11 3/
1 2 2 3
2 5 4 6
1 16 14 3
R2 R 2R
R R + R
2 1
3 3 1
R R R R 2R 2 2 1 1 2
1 91 2 2 3
0 1 8 9 0
0 0 0 0
//
1 0 2 9 3
0 1 8 9 0
0 0 0 0
/
/
Como la matriz tiene un rengln cuyos elementos son todos ceros, podemos
concluir que el sistema tiene una infinidad de soluciones, ya quex x
x x
1 3
2 3
2 9 3
8 9 0
=
=
/
/
y por lo tantox1yx
2dependen del valor dex
3.
3. Resuelve el sistemax y z
x y z
x y z
+ = + =
+ + =
7
4 5 4
6 3 20
usando el mtodo de Gauss-Jordan.
Llevamos la matriz aumentada1 1 1 7
4 1 5 4
6 1 3 20
a su forma escalonada
reducida.
1 1 1 7 1 1 1 7
1 2 2 3
0 9 8 0
0 18 16 0
1 2 2 3
0 9
R 1/2R 3 3
R R +R 3 3 28 0
0 9 8 0
1 2 2 3
0 9 8 0
0
00 0 0
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lgebralin
1 1 1 7
0 0 0 2
0 5 9 22
R R +1/5R
R R1 1 3
2 3
1 0 4 5 13 5
0 5 9 22
0 0 0 2
/ /
Como la matriz tiene un rengln (0, 0, 0, 2) indica que el sistema notienesolucin ya que no existe un nmero que sea 2 y al mismo tiempo sea cero.
Ejercicio 3
1. Encuentra las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas de
ecuaciones usando el mtodo de Gauss-Jordan. Explica.
a) x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7
4 5 4
2 2 3 0
+ = + =
+ =
b) 3 6 6 9
2 5 4 6
5 28 26 8
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
+ = + =
+ =
c) x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 11
4 4
2 3 10
+ =+ =
+ =
2.4. Matriz inversa y matriz adjunta
En esta seccin definiremos dos tipos de matrices muy importantes que son
bsicas en la teora de matrices y que nos son tiles para la solucin de sistemas
de ecuaciones.
Comencemos con un ejemplo sencillo:
Sean A=2 5
1 3
y B=
3 5
1 2
, obtengamos los productos AByBA.
AB=2 5
1 3
3 5
1 2
1 0
0 1
=
y BA =
3 5
1 2
2 5
1 3
1 0
0 1
=
, por
lo tanto podemos decir que AB = BA = I2, donde I
2 =
1 0
0 1
es la matriz
identidad de 22.
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8/10/2019 Antologia AL UTEL
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lgebralin
AA1=2 3
4 5
2 3 2 3
4 5 4 5
=
+ +
x yz w
x z y w
x z y w
=
1 0
0 1
Recordemos que dos matrices son iguales si todas sus entradas lo son, por
lo cual
2x 3z = 1; 4x + 5z = 0; 2y 3w = 0; 4y + 5w =1.
Con esto se forman dos sistemas de ecuaciones lineales:
2 3 1
4 5 0
x z
x z
= + =
y2 3 0
4 5 1
y w
y w
= + =
y para resolverlos vamos a escribirlos en
la forma matricial aumentada: 2 3 1
4 5 0
y
2 3 0
4 5 1
. Al
reducirlas obtendremos los resultados1 0
0 1
x
z
y
1 0
0 1
y
w
Como la matriz original es la misma para ambos sistemas, podemos
realizar la reduccin por renglones al mismo tiempo considerando la
nueva matriz aumentada2 3 1 0
4 5 0 1
al hacerlo obtendremos
1 0
0 1
x y
z w
R R1 12 3 1 0
4 5 0 1
1 3 2 1 2 0
4 5 0 11 2
/ / /
+R R R2 2 14
1 3 2 1 2 0
0 1 2 1
1 0 5 2 3 2
0 1 23 2
+
/ / / //
R R
R R R2 2
1 1 2
=
1
1 0
0 1
x y
z w
De donde obtenemos las soluciones x= 5/2; z= 2;y= 3/2; w= 1
EntoncesAes invertible y su inversa esA1=
5 2 3 2
2 1
/ /
Este ejemplo nos ilustra un procedimiento para encontrar la matriz inversa
que siempre funciona y que se puede generalizar a matrices de orden nn.
8/10/2019 Antologia AL UTEL
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Unidad 2
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadradaA
1. Se escribe la matriz aumentada ( )A I .
2. Se utiliza la reduccin por renglones para poner la matrizAen su formaescalonada reducida por renglones.
3. Se decide si es invertible.
a. Si la forma escalonada reducida por renglones deAes la matriz identidad
I, entoncesA1es la matriz que se tiene a la derecha de la barra vertical.
b. Si la reduccin deAconduce a un rengln de ceros a la izquierda de la
barra vertical, entoncesA no es invertible.
Ejemplo 8
1. Sea A =1 2
2 4
vamos a determinar si es o no invertible.
R R R2 2 11 2 1 0
2 4 0 1
1 2 1 0
0 0 2 12
+
Como tiene un rengln de ceros a la izquierda de la barra vertical, Ano es
invertible.
2. SeaA=2 4 6
4 5 6
3 1 2
, vamos a determinar si es o no invertible, y si lo
es encontrarA1.
2 4 6 1 0 0
4 5 6 0 1 0
3 1 2 0 0 1
1 21 2
R R1 1
/
3 1 2 0 0
4 5 6 0 1 0
3 1 2 0 0 1
/
R R 4R R R 3R
2 2 1
3 3 1
1 2 3 1 2 0 0
0 3 6 2 1 0
0 5 11 3 2
/
/ 00 1
R 1/3R 2 2
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lgebralin
R 1R
R R + R 3 3
1 1 3
1 0 0 8 3 7 3 1
0 1 2 2 3 1 3 0
0 0 1
/ /
/ /
11 6 5 3 1/ /
R R 2R 2 2 3
1 0 0 8 3 7 3 1
0 1 0 13 3 11 3 2
0 0 1 11 6 5 3 1
/ /
/ /
/ /
De donde obtenemos la matriz inversa A1=
8 3 7 3 113 3 11 3 2
11 6 5 3 1
/ // /
/ /
(*)
Verificacin:AA1=
2 4 6
4 5 6
3 1 2
8 3 7 3 1
13 3 11 3 2
/ /
/ /
=
11 6 5 3 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1/ /
Nota: Es importante verificar que AA1=I.
Veamos algunos resultados importantes acerca de las matrices inversas.
Teorema 2.3. SeaAuna matriz de ordennn.
EntoncesAes invertible, si y slo si, detA0
Ejemplo 9
1. Consideremos la matriz del ejemplo anterior:
A =
2 4 6
4 5 6
3 1 2 sabemos que es invertible, vamos a calcular su
determinante.
det A = 25 6
1 24
4 6
3 26
4 5
3 1
+ = 2(106) 4(818) + 6(415) = 6
1 2 3 1 2 0 0
0 1 2 2 3 1 3 0
0 5 11 3 2 0 1
/
/ /
/
R R + 5R
R R 2R 3 3 2
1 1 2
1 0 1 5 6 2 3 0
0 1
/ /
22 2 3 1 3 0
0 0 1 11 6 5 3 1
/ /
/ /
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Unidad 2
detA 0
2. Consideremos la matriz A=1 2
2 4
y calculemos su determinante.
detA= 4 + 4 = 0 y
R R R2 2 11 2 1 02 4 0 1
1 2 1 00 0 2 1
2
+ por lo tanto no es
invertible.
Vamos ahora a dar la definicin de otra matriz importante en nuestra
bsqueda de matrices inversas.
Recordemos lo que son los cofactores de una matriz A (Definicin 1.22)
A Miji j
ij= ( )+
1
SiA =
2 4 6
4 5 6
3 1 2
entonces sus cofactores son
A11
=5 6
1 2
= 10 6 =16 A
12=
4 6
3 2
= (818) = 26
A13
=4 5
3 1
= 415 =11
A21
= 4 6
1 2
= (86) = 14 A
22=
2 6
3 2
= 418 =22
A23
= 2 4
3 1= (212) = 10
A31
=4 6
5 6= 24 30 =6 A
32=
2 6
4 6 = (1224) = 12
A33
= 2 44 5
= 1016 =6
Con estos cofactores haremos una matriz de orden 33 de tal manera queobtendremos una matrizB:
B=
16 26 11
14 22 10
6 12 6
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lgebralin
Definicin 2.8. SeaAuna matriz de orden nny sea Bla matriz formadapor los cofactores deA. Entonces la adjuntadeA, que se denota adj Aes la
transpuesta de la matriz B, es decir:
adjA=BT=
A A A
A A A
A A A
n
n
n n nn
11 21 1
12 22 2
1 2
Ejemplo 10
Vamos a encontrar la adjunta de A =
2 4 6
4 5 6
3 1 2
SeaBla matriz de los cofactores deA.
B=
A A A
A A A
A A A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
16 26 11
14 22
=
110
6 12 6
entonces
adjA =BT=
16 14 626 22 12
11 10 6
Ya con estos elementos podemos encontrar la inversa de una matriz usando
su determinante y su matriz adjunta como nos lo indica el siguiente teorema.
Teorema 2.4. SiAes una matriz de ordennninvertible.
Entonces A1=1
detAadjA
Ejemplo 11
Usaremos la matriz anterior A =2 4 64 5 6
y vamos a calcular su
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Unidad 2
det A = 25 6
1 24
4 6
3 26
4 5
3 1
+ = 2(106) 4(818) +6(415) =
32 + 104 66 = 6
entoncesA1=1
6adjA=
1
6
16 14 626 22 12
11 10 6
=
8 3 7 3 113 3 11 3 2
11 6 5 3 1
/ // /
/ /
Nota que esta matriz inversa ya la habamos obtenido con el mtodo de
Gauss-Jordan.*
Observacin:Este teorema refuerza el resultado acerca de que una matriz
invertible necesariamente debe tener un determinante distinto de cero.
Ejercicio 4
1. Encuentra la matriz inversa, si existe, usando el mtodo de Gauss-
Jordan. En caso de que no exista la matriz inversa, indica la razn:
a) 2 1
3 2
b) 1 13 3
c)
3 2 1
0 2 2
0 0 1
d)
1 6 2
2 3 5
7 12 4
e)
1 3 0 2
3 12 2 6
2 10 2 5
1 6 1 3
2. Encuentra la matriz inversa, si existe, usando el mtodo de la matriz
adjunta. Recuerda calcular primero el determinante para ver si existe o no.
* En este momento ya tenemos dos mtodos para calcular la matriz inversa, sin embargo, podemos notar
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lgebralin
a) 3 21 2
b)
1 2 3
1 1 2
0 1 2
c)
2 1 4
1 0 5
19 7 3
2.5. Solucin de sistemas de nn, mediante la
matriz inversaEn esta seccin encontraremos la solucin de un sistema de ecuaciones de
nnmediante la matriz inversa.
El siguiente resultado nos da una pista acerca de cmo encontrar la solucin
de un sistema si la matriz de coeficientes asociada es invertible.
Teorema 2.5.SeaAla matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones de
ordennn. Entonces se cumplen las siguientes condiciones:Aes invertible. El sistemaAx= b tiene una solucin nica que es x=A1b
El sistema homogneo asociadoAx= 0tiene una solucin nica que es
x= 0
Ejemplo 12
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
2 4 3 1
2
3 5 7 1
x y z
y z
x y z
+ + = =
+ + = formamos la matriz de coeficientesA =
2 4 3
0 1 1
3 5 7
Vamos a ver siAes invertible, para eso calculamos su determinante:
1 1 4 3 4 3
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Unidad 2
Como el determinante es distinto de cero, la matriz es invertible y por lo
tanto el sistema tiene solucin nica.
Usando alguno de los mtodos vistos con anterioridad encontramos que
A1=
4 13/3 7/3
1 5/3 2/3
1 2/3 2/3
por lo tanto la solucin del sistema ser
x=A1b=
4 13/3 7/3
1 5/3 2/3
1 2/3 2/3
1
2
11
7 3 5 3 1 3
= ( )/ / / de donde
x= 7/3 2(7/3)+4(5/3)+3(1/3) = 1
y= 5/3 comprobando tenemos 5/3 (1/3) = 2
z= 1/3 3(7/3)+5(5/3)+7(1/3)= 1
Ejercicio 5
1. Considera los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y encuentra:
1) El determinante de la matriz de coeficientes asociada.
ii) Con base en lo anterior indica si el sistema tiene o no solucin nica.
iii) Encuentra la matriz inversa, si la hay.
iv) Encuentra la solucin del sistema, si tiene, usando la matriz inversa.
a) x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 0
4 0
2 3 0
+ =+ =
+ =
b) + =+ =
x y
x y
6 2
4 2 1
c) 2 4 8 13 5 8 0
6 4 2
x y z
x y z
x z
+ =+ + =
+ =
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lgebralin
Ejercicios resueltos
1. Lleva a la forma escalonada reducida por renglones la matriz
2 3 1
4 1 5
3 6 7
2 3 1
4 1 5
3 6 7
2 3 1
1 7R R R2 2 3
112
3 6 7
1 7 12
2 3 1
3 6 7
R R
1 2
R R 2R
R R 3R
R R2 2 1
3 3 1
3
1 7 12
0 17 23
0 27 43
33 2 3 3R R R
1 7 12
0 17 23
0 10 20
1 10/
1 7 12
0 17 23
0 1 2
1 7 12
0 1 2
0
R R3 2
17 23
R R 17 R3 3 2
1 7 12
0 1 2
0 0 11
R R + 7R R 1/11R1 1 2 3 3
1 0 2
0 1 2
0 0 11
R R + 2R
R R + 2R
2 2 3
1 1
1 0 2
0 1 2
0 0 133
1 0 0
0 1 00 0 1
2. Considera el siguiente problema:
Una compaa quiere comprar maquinaria y recibe de cuatro proveedores
los siguientes presupuestos:
Proveedor A B C DNm. compresoras 2 0 1 1
Nm. de medidores 0 4 2 2
Nm. vlvulas 4 4 0 4
Nm. reguladores 1 2 2 0
Costo total _______ _______ ______ _______
millones de dlares 6 5 5 4
Si sabemos que todos los proveedores tienen el mismo precio para cada tipo
d i i ill d d d l i ?
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Unidad 2
Para resolver este problema vamos a convertirlo a un sistema de ecuaciones
de la siguiente manera: seaxel precio de las compresoras, yel precio de los
medidores,zel precio de las vlvulas y wel precio de los reguladores, por lo
tanto tenemos:
2 4 64 4 2 5
2 2 5
2 4 4
x z w