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CENTRO DE ESTUDIOS SUPERIORES UNIVERSITARIOS DEL NORTE DE

VERACRUZ.

ALUMNO: GARCIA MORALES EMMANUEL

PROFESOR: ING. HIPOLITO BLANCO DANTES

MATERIA: CALCULO DIFERENCIAL.

TRABAJO: ANTOLOGIA DE LAS UNIDADES 1 y 2.

POZA RICA VER, A 11 DE OCTUBRE DE 2010.

INDICE DE LA ANTOLOGIA:

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(PAGINA)

1. FUNCIONES............................................3DEFINICIONES DE FUNCION REAL Y VARIABLE REAL................................................................4FUNCION CONSTANTE....................................................5FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL .... 6LA FUNCION CONSTANTE EN UN POLINOMIO EN X..6FUNCION IDENTIDAD......................................7OPERACIONES CON FUNCIONES......................8FUNCION ALGEBRAICA...................................10FUNCIONES EXPLICITAS................................10FUNCIONES IMPLICITAS................................11FUNCIONES POLIMONIALES...........................11FUNCIONES RACIONALES...............................13FUNCIONES IRRACIONALES...........................14FUNCION PAR.................................................18FUNCION IMPAR.............................................19FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.....................21FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS...22

2. LIMITES Y CONTINUIDAD...............................23CONCEPTOS DE LIMITES Y CONTINUIDAD......23INTERPRETACION GEOMETRICA.....................24EXISTENCIA DE LIMITES................................29TEOREMAS DE LIMITES...................................31CALCULO DE LIMITES.....................................34

1. FUNCIONES

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Las funciones juegan un papel esencial en el desarrollo del cálculo, las funciones son generalmente del tipo:

y = f(x)

En otras palabras, "x" es una variable, "y" es otra variable, y el valor que tome "y" depende del valor que esté tomando "x". Por ejemplo, en la función "2x = y", pues cuando "x" tome el valor de 5, "y" va a tomar el valor de 10 (porque 2*5 es 10).

En donde a y se la llama variable dependiente y a x se la llama variable independiente, la anterior fórmula nos indica que y esta en función de x o sea x puede ser reemplazado en la función por cualquier número y el resultado de esta operación se la asigna a y.Así por ejemplo si nuestra función y = f(x) es: y = 3x

Y la cambiamos por y = f(5) esto nos dice que reemplacemos x por 5 y tenemos como resultado:

y = 3 * 5 y por tanto: y = 15

Tenemos que:

y = f(2) entonces y = 3 * 2 y por tanto: y = 6y = f(9) entonces y = 27y = f(2a) entonces y = 6a

Y así sucesivamente.

DEFINICIONES DE FUNCION REAL Y VARIABLE REAL

Llamamos FUNCION REAL o función con valores reales a cualquier función cuyo condominio sea un subconjunto de los Reales.

Cualquier expresión del tipo y=f(x) de las estudiadas en cursos anteriores representa una función real de variable real.

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Definimos función de x en y como toda aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un número x (variable independiente), le hace corresponder un número y (y solo uno llamado:....Variable......Dependiente).

Se llama función real de variable real :

A toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en RUna función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen

Por ser un conjunto de pares ordenados, una función puede ser representada por:

(1) Una fórmula. Por ejemplo, 3 x2 + 1. Para cada x, primer elemento del par, el segundo elemento, f(x), se obtiene reemplazando ese valor de x en la fórmula.

(2) Una tabla como la siguiente:

(3) Un esquema con diagramas de Venn:

(4) Un gráfico cartesiano:

x f(x)

-1 4

0 1

1/2 7/4

1 4

2 13

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FUNCION CONSTANTE:

En matemáticas se llama función constante a aquella unción matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable. Se la representa de la forma:

Donde a es la constante.

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL:

Es una recta horizontal en el plano xy, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Tenemos:

donde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

Como la variable dependiente y no depende de x tenemos que:

la variación de y respecto a x es cero.

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LA FUNCION CONSTANTE EN UN POLINOMIO EN X.

Si un polinomio general, que tiene la forma:

una función constante cumple esta expresión con n= 0, es un polinomio de grado 0.

que es lo mismo que:

que corresponde al termino independiente del polinomio.FUNCION IDENTIDAD:

Es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento, es la función que le hace corresponder a cada número real el propio número. Se representa por I(x).

Notación

La función identidad puede describirse de la forma siguiente:

EJEMPLOS:

La función de en tiene como representación gráfica en el eje de coordenadas la línea recta que cruza el origen subiendo en un ángulo de 45° hacia la derecha.

La función identidad en (el plano de los reales tomando las coordenadas polares) es la función determinada por la ecuación r = θ: una espiral que se aleja del origen uniformemente en el sentido contrario a las agujas del reloj.

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La función identidad en es la doble negación, expresada

por .

OPERACIONES CON FUNCIONES:

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 1 y h (x) = |x| entonces:

( h + f )(x) = h (x) + f (x) = |x| + 2x + 1

( h + f )(2) = h (2) + f (2) = |2| + 2 ( 2 ) + 1= 7

Función Diferencia

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia esta dada por

( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)

Función Producto

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto esta dada por

( f g ) ( x ) = f (x) g (x)

Ejemplo 3 Si g (x) = x2 y h (x) = x - 2 entonces:

Función Suma

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada por

( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)

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( h • g )(x) = h (x) • g (x) = ( x - 2 ) x2 = x3 – 2x2

( h • g )(5) = h (5) • g (5) = ( 5 - 2 ) ( 5 )2 = 3 (25) = 75

Ejemplo 3 Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x 2 entonces:

1.012

12)(

)()(

2

xdonde

x

x

xf

xgx

f

g

Ejemplo:

Sea 5)(13)( xxgyxxf

, entonces:

16311531)5(3)5())(()( xxxxfxgfxgf

Composición de Funciones ( Funciones compuestas )

Sean f(x) y g(x) dos funciones con sus respectivos dominios Df y Dg ,

entonces la función f(x) compuesta con g(x) es dada por:

Función Cociente

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente esta dada por

0)()(

)()(

xgdonde

xg

xfx

g

f

9

43513)13())(()( xxxgxfgxfg

FUNCION ALGEBRAICA:

Es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación

donde los coeficientes ai(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.En términos más precisos, una función algebraica puede no ser estrictamente una función, por lo menos no en el sentido convencional. Por ejemplo sea la ecuación de una circunferencia:

La misma determina y, excepto por su signo:

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas: Si se pueden obtener

las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x – 2

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FUNCIONES IMPLICITA: Si no se pueden obtener

las imágenes de x por simple sustitución, sino

que es preciso efectuar operaciones. 5x − y − 2 =

0

FUNCIONES POLIMONIALES: Son las funciones

que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es cualquier número real en X.

Al analizar una función polinómica P(x) de grado n debemos de tener en cuenta:

Su dominio es R  y es continua y derivable en él.

Si todos los términos son de grado par, la función es simétrica respecto del eje OX. Si todos los términos son de grado impar la función es simétrica respecto del origen de coordenadas. 

A lo más tiene n cortes con el eje OX, puesto que la ecuación P(x)=0 tiene como máximo n raíces. La dificultad de encontrarlos está en resolver ecuaciones de grado superior al 2.

Si n >1, no tiene asíntotas y presenta dos ramas parabólicas.  El signo de la rama infinita es el que corresponda al termino de mayor grado axn

Intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de tangente horizontal (singularidades)

Los puntos de inflexión.

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EJEMPLO: f(x)=0.25x4-2x2+3

Analizar y representar la función f(x)=0.25x4-2x2+3

a) Dominio: R

b) Simetría: Por ser función par, es simétrica respecto del eje OX.

c) Corte con los ejes:

Cortes con OX: 0.25x4-2x2+3=0  x=6, 2 Corte con OY: f(0)=3

d) Regiones: El signo en cada intervalo se obtiene fácilmente pues basta calcularlo en uno cualquiera de ellos y se va alternando.

x (-,-) (-,- ) (- ) ( ) ()y + - + - +

e) Ramas parabólicas:

Para x, f(x)

f) Puntos singulares:

f'(x)=x3-4x

f'(x)=0 x(x2-4)=0 x=0, x=2, x=-2

f(0)=3, f(2)=-1, f(-2)=-1

f''(x)=3x2-4

f''(0)=-4 <0 Máximo (0,3)

f''(-2)=8 >0 Mínimo (-2,-1)

f''(2)=8 >0 Mínimo (2,-1)

g) Puntos de inflexión:

f''(x)=0   3x2-4=0 x=±

f( )= ; f(- )=

f'''(x)=6x

f'''( ) >0 Inflexión: (, )

f'''(- )<0 Inflexión: (-, )

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FUNCION RACIONAL

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.[1]

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Función racional de grado 2: y = (x2-3x-2) / (x2-4).

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Función racional de grado 3: y = (x3-2x) / (2(x2-5)).

FUNCIONES IRRACIONALES:

Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical:

 

donde g(x) es una función polinómica o una función racional.

Si n es par, el radical está definido para g(x) 0; así que a los efectos de calcular el dominio de f(x) que contenga un radical, habrá que imponer la condición anterior al conjunto de la expresión f(x).

A continuacion se puede ir siguiendo el proceso constructivo de la función 

 

que es analizada en el ejemplo 1.

Variando el parámetro paso de 1 a 6 irán apareciendo en la escena los distintos elementos  necesarios para poder dibujar la gráfica:

Paso 1: Dominio

Paso 2: Regiones

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Paso 3: Asíntotas

Paso 4: Algunos puntos

Paso 5: Monotonía

Paso 6: Trazado de la curva

Observar cómo los pasos que vamos dando se acomodan a las necesidades que vamos teniendo de poder dibujar su gráfica. Conviene situarse en cada nivel de información y ver las posibilidades que puede tener la forma gráfica; en este momento decidimos que herramienta de análisis es la apropiada para aceptar o rechazar posibilidades. Así, en el ejemplo analizado, hemos llegado a un nivel de información en el que se ha hecho necesario conocer algunos puntos de la grafica para comprobar la situación respecto de las asíntotas y todavía ha surgido la necesidad de comprobar si la gráfica cortaba o no a la asíntota oblicua.

Ejemplo analizado 1:

Analizar y representar la gráfica de la función irracional

 

1. Dominio:

No está definida para x2-1<0 « x2 < 1 « -1< x < 1. Luego, Df=R-(-1,1).

2. Cortes con los ejes coordenado:

Corte con OX: y=0.  No es posible.

Corte con OY: x=0. No es posible.

3. Regiones:

Es fácil comprobar que para x ³ 1, f(x) >0 y para x £ -1, f(x)<0.

3. Asíntotas:

- Horizontales:

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Luego, y=0 es una asíntota horizontal por la derecha. Como,

no hay asíntota horizontal por la izquierda.

- Oblicuas: Probemos si hay asíntota oblicua y=mx+n por la izquierda.

Luego y=2x, es una asíntota oblicua por la izquierda.

4. Información de la derivada primera:

Es fácil observar que no se puede anular, por tanto no tiene puntos singulares.

Para x>1, f'(x) <0: f(x) es función decreciente

Para x<-1, f'(x)>0: f(x) es función creciente

5. Información de la derivada segunda:

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Es positiva para todo el dominio: f(x) es función convexa.

6. Información complementaria:

Con toda la información que ya tenemos puede quedar cierta duda de por donde puede pasar la curva. La siguiente puede darnos la luz necesaria:

- Algunos puntos: x=-1 ® y=-1; x=1 ® y=1

- ¿Atraviesa la asíntota y=2x?: Imposible ya que la ecuación f(x)=2x es incompatible.

- Función par

En matemáticas se llama función par a una función que satisface

para todo valor admisible de x.Ejemplo

La función f(x) = x2 + 1 es par ya que para cualquier valor de x se cumple ( − x)2 + 1 = (x)2 + 1. Por ejemplo:

f( − 2) = ( − 2)2 + 1 = 4 + 1 = 5 = 22 + 1 = f(2).

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Definición precisaEl término función par suele referirse a una clase especial de funciones de variable real: una función esta una función par si para

se cumple la relación

.

Las gráficas de dichas funciones son simétricas respecto al eje y.La definición anterior puede generalizarse a funciones sobre dominios más generales. Si A es un conjunto con cierta estructura algebraica en la que existan inversos aditivos (por ejemplo, los números complejos C), una función par sería toda aquella función que cumpla

.

Aunque asimétrica a primera vista, dicha definición de función par presupone que si entonces necesariamente (de lo contrario no se podría establecer una igualdad).

- Función impar

En matemáticas se llama función impar a la que para todo x perteneciente al Dominio de D de la función, se cumple que:

Para todo x que pertenezca al dominio de la función, f(-x) igual –f(x).Geométricamente se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas.

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La función:

es impar podemos ver que :

esta función pasa por el origen de coordenadas:

La función:

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También es impar:

en este caso la función no esta definida en el punto x=0

Función trigonométrica

Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

- Funciones trigonométricas inversas

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:

Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor.

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La función arcoseno real es una función , es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.

Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:

Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo.

El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.

A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:

II. Límites y Continuidad.

CONCEPTO DE LIMITES Y CONTINUIDAD.

LIMITES:

Sea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe lim

x0→1f ( x )=L

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si, para cada número e > 0, existe un número correspondiente d > 0 tal que para toda x

0 < | x – x0 | < d Þ | f(x) – L | < e

CONTINUIDAD:

La continuidad es la unión que presentan entre sí las partes de un todo

continuo y sostiene que una función continúa será aquella para la cual, a modo intuitivo, para aquellos puntos cercanos se producen ciertas variaciones en los valores de la función.

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LIMITES Y CONTINUIDAD.

DE LIMITES:

xy11–10

1,1

1,11

)

2

x

xxx

xgb

2

1,1

1,1

1)

2

x

xx

xxgb

xy11– 10

1)

x

xh

c

2

1) xxhc 11

)2

xx

xfa

xy11– 10

11

)

2

xx

xfa

2

limx→ cf ( x )=f (c )

límx→1f ( x )=3

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El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 0

f no es definida en x = 0

DE CONTINUIDAD:

Podemos acercarnos al concepto intuitivo de continuidad de una función, usando la noción de “continuo” del lenguaje cotidiano.

f ( x )=x /√ x+1−1

limx→0f ( x )=2

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La gráfica puede trazarse sin levantar el lápiz del papel.

Cuando la curva se “rompe”, para x = a, ocurre alguno de los casos siguientes,

pero ¿es f continua en a?

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En los primeros casos f no es realmente ni continua ni discontinua en a ,

pues a ∉Domf .

En x = a , simplemente, la función “no existe”. Pero es frecuente, por comodidad y abusando del lenguaje, llamarlas discontinuas en a .

El último caso presenta una genuina discontinuidad en a : f está definida en a y la curva se rompe.

Decir que una función f es continua en x = c significa que su gráfica no presenta interrupciones en c , la curva no se “rompe”, no tiene “saltos” o “huecos”.

Ejemplo 13: Si un banco no paga los intereses hasta que se termine el año, la gráfica del capital final es la siguiente:

Como el banco no paga los intereses hasta el fin de año, el capital durante todo el año es el mismo. Pero, al empezar un año nuevo, hay un “salto” en el capital debido a los intereses que se añaden.

Veamos cuando una función es continua en un punto o en un intervalo determinado:

f ( x ) es continua en x = c si:

a) existe límx→c f ( x )

b) existe f ( c )

c) límx→c f ( x ) = f ( c )

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Si falla cualquiera de estas condiciones f será discontinua en c

Una función es continua en un intervalo abierto si los es en cada punto perteneciente a éste.

Ejemplo 14: Analicemos la continuidad de h ( x )=¿ {x2 si x<1 ¿¿¿¿En este caso el punto de discontinuidad es x = 1

a) p. q. existe límx→1h ( x )

límx→1+ h ( x ) =

límx→1 ( x + 1 ) = 2

límx→1−h ( x ) =

límx→1 x2

= 1

Luego el límx→1h ( x ) no existe ya que los límites laterales no son iguales.

b) p. q. existe h (1 )

h (1 ) = 2

Luego sí existe h (1 )

c) No se verifica ya que la condición a) no se cumplió.

Por lo tanto h ( x )=¿ {x2 si x<1 ¿¿¿¿ no es continua en x = 1.

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EXISTENCIA DE LÍMITES DE UNA FUNCION:

Si f es una función y c y l son números reales, entonces:

límx→cf ( x )=L

⇔ límx→c+ f ( x ) = L y

límx→c− f ( x ) = L

El límite L existe si y solo si los límites laterales son iguales.

Ejemplo 1

: Veamos si existe el limx→2 f ( x ) siendo

f ( x )=¿{12x2si x≤2 ¿¿¿¿

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Ejemplo 2 : Analicemos ahora la función f ( x )=1−x2

x2

Calculemos el límx→0

1−x2

x2

Desde la gráfica podemos decir:

- cuando x se acerca a 0 por la derecha o por la izquierda, f ( x ) crece indefinidamente

- como f ( x ) no se aproxima a un número real L cuando x tiende a 0, entonces no existe el límite

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Los dos últimos ejemplos nos dicen que existen dos razones por las cuales no existe el límite de una función en un número real c :

- f ( x ) tiende a números distintos según nos acerquemos a c por la derecha o por la izquierda

- f ( x ) crece o decrece indefinidamente cuando x tiende a c

TEOREMAS DE LIMITES.

TEOREMA 1: PROPIEDADES DE UN LÍMITE

Límites Básicos: sin b y c son números reales y n un entero positivo.

Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:

TEOREMA 2: PROPIEDADES DE LOS LIMITES

sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes:

limx→ cxn=cnlim

x→ cx=clim

x→ cb=b

limx→2x2=22=4lim

x→−4x=−4lim

x→23=3

limx→ cg( x )=Klim

x→ cf ( x )=L

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1. Múltiplo Escalar:

2. Suma o Diferencia:

3. Producto:

4. Cociente:

5. Potencias:

Ejemplo: Límite de un Polinomio

limx→ c

[bf ( x ) ]=bL

limx→ c

[ f ( x )±g( x ) ]=L±K

limx→ c

[ f ( x )g (x )]=LK

limx→ c [ f ( x )g( x ) ]= LK , siempreque K≠0

limx→ c

[ f ( x )]n=Ln

límx→2

( 4 x2+3 )=limx→2

4 x2+limx→2

3

=4 ( limx→2x2 )+lim

x→23

¿4 (22 )+3¿16+3¿19

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TEOREMA 3: Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real:

Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos

Ejemplo: Límite de una Función racional

Como el denominador no es 0 cuando x=1

TEOREMA 4: Límite de una Función radical

Si n es un entero positivo:

• Para toda c si n es impar

• c > si n es par

limx→ c

p( x )=p (c )

limx→ cr ( x )=r (c )=

p( c )q (c )

límx→1

x2+x+2x+1

límx→1

12+1+21+1

¿42¿2

limx→ c

n√ x=n√c

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TEOREMA 5: Límite de una Función Compuesta

Si f y g son funciones tales que:

y

Entonces:

TEOREMA6: LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Sea c un número real:

Ejemplos:

limx→Lf ( x )=f (L)lim

x→ cg( x )=L

limx→ cf (g ( x ))=f ( lim

x→ cg( x ))=f (L)

limx→ c

cos ( x )=cos climx→ csen( x )=sen c

limx→ c

cot (x )=cot climx→ c

tan( x )=tan c

limx→ c

csc( x )=cscclimx→ c

sec( x )=sec c

limx→0

tan( x )=tan 0=0

limx→Π

( x cos x )=( lim xx→Π ) ( limx→Π

cos x )=Π cos (Π )=−Π

limx→0sen2 x=lim

x→0(sen x )2=02=0

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CALCULO DE LIMITES.

Sea n un número entero positivo, k una constante, y f y g funciones con límites en c . Entonces:

1. límx→ck=k

2. límx→cx=c

3. límx→ckf ( x )=k . lím

x→ cf ( x )

4. límx→c

[ f ( x )+g ( x ) ]=límx→ cf ( x )+ lím

x→cg ( x )

5. límx→c

[ f ( x )−g ( x ) ]=límx→cf ( x )−lím

x→cg ( x )

6. límx→c

[ f ( x ) . g ( x ) ]=límx→ cf ( x ) . lím

x→cg (x )

7.

límx→c

f (x )g ( x )

=límx→cf ( x )

límx→cg ( x )

con límx→cg (x )≠0

8. límx→c

[ f ( x ) ]n=[límx→ c f ( x ) ]n

9. límx→c

n√ f ( x )=n√ límx→ cf ( x )

con límx→cf ( x )>0

cuando n es par

- Vimos que la existencia o no de f ( x ) en x=c no afecta

la existencia del límite de f ( x ) cuando x tiende a c

- Si el límite es precisamente f ( c ) el límite se puede calcular sustituyendo directamente. Es decir: límx→cf ( x )= f (c )

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Ejemplo : Encuentra límx→2

7 x5−10 x4−13 x+63 x2−6 x−8

límx→2

7 x5−10 x4−13 x+63 x2−6 x−8 =

7 (2 )5−10 (2 )4−13 (2 )+6

3 (2 )2−6 (2 )−8 = −11

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