Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Συστήματα μεταβλητής μάζας:πως??Σταγόνα βροχής συμπύκνωση υδρατμών τηνμεταβολή μάζας.Μάζα m,ταχύτητα σταγόνων v,ταχύτητα υδρατμών vo και ρυθμός συμπύκνωσηςdm/dt
( )ovvdt
dm
dt
vdmF
-+=
dt
mVd
dt
dPF
)(==
επιτάχυνση σταγόναςρυθμός κέρδουςκέρδους ορμήςλόγω προσθήκης υδρατ-μών (μη μηδενικός όρος!)
( )ovvdt
dm
dt
dvmF -+=
Κίνηση πυραύλου (Tipler)(Tipler)
mvt ,, mmvvtt -++ , ,
rocketexaustearthgazearthrocket vuvm /// )( , =-
( )( ) ( )
muvmmvmumvvmmvvmmv
uvmvvmmP
mvP
tt
t
-+=-+--+=
=-++-=
=
+
)(0
/ &
0
thrustώ
ttt
Famdt
dmu
dt
vdm
dt
Pd
dtdtt
muvmPPP
-=-==
-=-== +
v
dt
dmuFam thrust
-==
εξίσωσηεξίσωσηκίνησηςκίνησηςπυραύλουπυραύλουχωρίςχωρίς
εξωτερικέςεξωτερικέςδυνάμειςδυνάμεις
gmdt
dmu
Fdt
vdmam ώ
--=
=-== gm
--=
--=
t
o
m
m
v
v
dtgm
dmudv
gdtm
dmudv
f
i
f
i
gtm
muvv
i
f
if -
-=- ln
ΑπόΑπό τητη γηγη::(εξωτ.δυνάμεις)κατακόρυφα
εξεξ..κίνκίν..πυραύλουπυραύλουωςως προςπρος τητη γηγη
(μιαμια διάστασηδιάσταση,χωρίζωχωρίζω μεταβλητέςμεταβλητές)
gtm
muvv
i
f
if -
-=- ln
κάηκαν!m
m
skmu
διάρκειαstv
i
f
i
%901.0
/1
100 & 0
=
=
==
)( /3.1/981,0/3.2 γηskmskmskmv f -=
) (
/3.2
ά
skmv f =
gtvgtvv ff -=-= 3.2
σεσε τροχιάτροχιά??
στηστηγηγη
( )
kgm
kgm
NF
skgdt
dm
skmu
fin
in
thrust
6
6
1077.0
1085.2
000,000,34
!!!/800,13
/46.2
=
=
SaturnVApollo11SaturnVApollo11
165 + 335 seconds(2 burns)(2 burns)
Burn time1 MN (225,000 lbf)Thrust11EnginesThird Stage360 secondsBurn time5 MN (1,000,000 lbf)Thrust5 5 Engines
Second Stage150 secondsBurn time34.02 MN (7,648,000 lbs)Thrust55Engines
First Stage
• Από Vαρχ=0• Vδιαφυγής=11,2 km/s (~ 8 η πρώτη)• Με u~4km/s Mτελ~Mαρχ exp(-2,8)= ~Mαρχ /
16,4• Ο χρόνος επιτάχυνσης στο πεδίο βαρύτητας
της γης ελάχιστος• Επιστροφή 11,20 km/s συνολικά 22,4• Mτελ~Mαρχ exp(-5,6)= ~Mαρχ /270(χωρίς αεροδυναμικό φρένο)
( )u
vv
f
i
if
em
m-
=
ΤύποςΤύπος τουτου ΤσιολκόφσκιΤσιολκόφσκι
ΕλεύθερηΕλεύθερη πτώσηπτώση 39.1m.39.1m.ΤοΤο ύψοςύψος τουτου πύργουπύργου 67.9m.67.9m.ΗΗ επιτάχυνσηεπιτάχυνση ((εμπέδησηεμπέδηση))φρένουφρένου 4.0g's.4.0g's.
DropzoneDropzone
HH
a/ga/g
tt
tt
a=0a=0
ΕλεύθερηΕλεύθερη πτώσηπτώση
ΚίνησηΚίνηση τουτου αεροπλάνουαεροπλάνου γιαγια μηδενικήμηδενική βαρύτηταβαρύτητα
Variables:a – acceleration t – timev – velocity g –
gravityy – position
Equations of Motion:Equations of Motion:
a = a = --gg
∫∫ a dt = a dt = -- ∫∫ g dtg dt
∫∫ a dt = a dt = -- g g ∫∫ dtdt
v = v = -- gt + Vgt + Voo
∫∫ v dt = v dt = -- g g ∫∫ (t + V(t + Voo//gg)dt)dt
y = y = --gtgt22/2 + V/2 + Voo t + yt + yoo
παραβολήπαραβολή
Τι σχήμα πρέπει να έχει η τροχιά του αεροπλάνου για
να αντισταθμίζει η επιτάχυνσή του το g?
gtm
muvv
i
f
if -
-=- ln
http://www.zerogravityflights.net/faq.asphttp://www.zerogravityflights.net/faq.asp
ΑσκήσειςΑσκήσεις σεσε μεταβλητέςμεταβλητέςμάζεςμάζες
( )( ) ( )
dt
dmu
dt
vdm
dt
Pd
dtέmuvmvm
muvmvmvmvmvm
uvmvvmmP
vmP
tt
t
-=
-+=
-+--+=
=-++-=
=
+
/
0=--+== gmdt
dmu
dt
dmv
dt
vdm
dt
( )( )( ) -+--=++
=
dmvududmmdttPdtt
umtPt
)(
)(
-+= dtdmvumddmutPd /)(
0)(
=-+=dt
dmv
dt
udm
dt
dmu
dt
tPd
5.25.244 ΠύραυλοςΠύραυλος μεμε αρχικήαρχική μάζαμάζα mmoo κινείταικινείται απόαπό τηντηνκατάστασηκατάσταση ηρεμίαςηρεμίας καικαι σεσε χρόνοχρόνο tt απαπooκτάκτά ταχύτηταταχύτηταuu ξοδεύονταςξοδεύοντας καύσιμακαύσιμα μάζαςμάζας mm. . ΟΟ πύραυλοςπύραυλος είναιείναιστοστο διάστημαδιάστημα χωρίςχωρίς πεδίοπεδίο βαρύτηταςβαρύτητας γηςγης καικαι οιοι τριτρι--βέςβές αμελητέεςαμελητέες. . ΒρείτεΒρείτε τητη σχέσησχέση ταχύτηταςταχύτητας καικαι μάζαςμάζας. . ΤαΤα αέριααέρια τηςτης καύσηςκαύσης ωςως προςπρος τοντον πύραυλοπύραυλο είναιείναι V.V.
διότιδιότι δενδεν ασκούνταιασκούνταιεξωτερικέςεξωτερικές δυνάμειςδυνάμεις
=+- άdt
udm
dt
dmvu 0)(
5.85.8Βυτιοφόρο κινείται οριζόντια χωρίς τριβές με σταθεσταθε--ρήρή ταχύτητα uu.. Μια τρύπα διατομής SS δημιουργείται στοτοίχωμα του βυτίου και το νερόνερό βγαίνει με σταθερήσταθερή παρο-χή Π και ταχύτητα uuoo.. Ποια πρόσθετη δύναμη (με το πρό-σημο) πρέπει να εφαρμοσθεί στο όχημα για να μην αλλά-ξει η ταχύτητά του αν η τρύπα είναι στο εμπρός κάθετοτοίχωμα, στο πίσω ή στο πλάϊ.
( ) 0 ,' ==-==dt
udήuάuu
dt
dm
dt
dPF
( ) oo udt
dmu
dt
dmF =--=
ΠήH
uuuuoo
( )
( )
ς)της κίνησηδιεύθυνση
την η F κάθετηu-u'uό F
uSuuuSuudt
dmF
uSuuuSuudt
dmF
xoxoo
xoxoo
( 0 .3
ˆˆ .2
ˆˆ .1
2
2
==
==-=
-=-==
=====dt
dtSu
dt
dV
dt
dm
dt
dtSu
dt
Sdl
dt
dV oo &
ΓιαΓια τιςτις 33περιπτώσειςπεριπτώσεις
MM5bMM5b Πύραυλος συγκρατείται στον αέρα σε μικρό σταθερόύψος πάνω από την επιφάνεια της γης,εκτοξεύοντας αέριαμε ταχύτητα uu.Να βρεθούν ((αα)) πόσο χρόνο ο πύραυλος θασυγκρατείται στον αέρα αν η αρχική μάζα των καυσίμωνείναι kk--μέροςμέρος τηςτης συνολικήςσυνολικής μάζαςμάζας τουτου πυραύλουπυραύλου ((ββ)) Ποιαμάζα μμ(t)(t) αερίων πρέπει να εκτοξεύει ο πύραυλος κάθε sγια να παραμένει στο ίδιο ύψος αν η αρχική του μάζα μαζίμε τα καύσιμα είναι mmoo (γ)χαράξτε την γραφική μμ==μμ(t)(t)
=+= )( 0 & )( ίdt
dvu
dt
dmF
dt
dvma ά
-=-=
+= )1( 0
0
tm
m
dtu
g
m
dmdt
u
g
m
dmu
dt
dmmg
o
( ) mmmk o / -=ln
(2) 1
lnlnln
-
=
=-=
k
k
g
u
m
m
g
utt
t
g
m
m
oo
u
gt
oemmmu
g
dt
dm μ
-
=
=-= )2( )(
u
gt
oemu
g -
-=
0t(s)0t(s)
(g/u)m(g/u)m
||μμ||
•• ΆσκησηΆσκηση 4.32 (4.32 (ΙΙ&&ΤΤ))•• ΆσκησηΆσκηση 5.9 (5.9 (ΙΙ&&ΤΤ))•• ΆσκησηΆσκηση 5.10 (5.10 (ΙΙ&&ΤΤ))
MM5.9MM5.9 ΈναΈνα κομμάτικομμάτι πάγουπάγου 1kg1kg κινείταικινείται πάνωπάνω σεσε έναένακεκλιμένοκεκλιμένο επίπεδοεπίπεδο γωνίαςγωνίας αα=30=30οο..ΟΟ συντελεστήςσυντελεστής κινηκινη--τικήςτριβήςτικήςτριβής μμκινκιν μεταξύμεταξύ πάγουπάγου καικαι επιπέδουεπιπέδου είναιείναι 0,5.0,5.ΘερμαινόμενοςΘερμαινόμενος οο πάγοςπάγος χάνειχάνει μάζαμάζα σύμφωνασύμφωνα μεμε τητησχέσησχέση m=mo(1m=mo(1--0,5t).0,5t). ΠοιαΠοια είναιείναι ηη ταχύτηταταχύτητα τουτουπάγουπάγου μετάμετά απόαπό χρόνοχρόνο 1s?1s?
( )( )+-=+
=
+ duudmmPdtt
muPt
dtt
t
:
:
( ) mCaamgdt
dmu
dt
dum =-=- cossin
αααα
xxyy
ήx FBdt
dmu
dt
dum
dt
dP
dtudmmdudP
-=-=
-= /
CC==σταθεράσταθερά
FFτριβτριβ
ΒΒ
( )
Cm
m
u
dt
dum
dt
dm
tmmεπειδήCdt
dm
m
u
dt
du
oo
o
=
---=
-==-
22
5.01 &
( ) mCaamgdt
dmu
dt
dum =-=- cossin
( ) -=--
=-
-=-
+
CCtutdt
du
Ct
u
dt
duC
t
u
dt
du
22
2
2
( )
-+=
-+
tm
um
dt
du
t
m
m
u
dt
du
o
oo
o 2
2
25.012
( ) -=
- dtCCtdt
dt
tud)2(
2
smu
CCC
u
/985.0
657,022
-=
-=
( ) -=-- CCtutdt
du22
( )
( ) ( ) ( ) ( ) uuuu
όάCtCt
tu
=+-=---=---
-=-
21212021
|2|2
|2 1
0
1
0
21
0
( )
657.0~
5.0,866.0cos
,5.0sin,/81,9
cossin
2
C
smg
Caag
==
==
=-
5.17 Μικρό αεροπλάνο είναι δεμένο στο άκρο νήμα-τος μήκους LL με το άλλο άκρο του σταθεροποιημένο. Το αεροπλάνο εκτοξεύει καύσιμα με σταθερή ταχύτη-τα uu που είναι συνεχώς εφαπτόμενηεφαπτόμενη στη τροχιά. Αν ημάζα του αεροπλάνου μεταβάλλεται σαν m=mm=moo(1(1--λλt)t)(λλ γνωστή σταθερά) και η αρχική του ταχύτητα ήτανvvoo, υπολογίστε τη τάση TT του νήματος τη στιγμή πουη μάζα του θα γίνει μισήμισή της αρχικής
( )( )( ) dmvvdvdmmdtt
vmt
'
-+--+
( ) TdtdmuvmddmvvvmdPd
+=-+= /'
uu
( ) TdtdmuvmddmvvvmdPd
+=-+= /'
omdt
dmT
dt
dmu
dt
vdm -==+ &
Tumdt
vdm o
=-
( ) =-
=-
umdt
dvtm
umdt
dvm
oo
o
1
0εφαπτομενικήεφαπτομενικήσυνιστώσασυνιστώσα
( )tuvvt
dtudv o
tv
vo
--=-
= 1ln1
0
κεντρομόλοςκεντρομόλοςδύναμηδύναμη
( )( ) 2
2
1ln1
tuvL
tm
L
mvT o
o
---
==
καικαι γιαγια μισήμισή μάζαμάζα ==2
1
2t
mm o 22ln
2uv
L
mT o
o +=
uu
5.21 5.21 ΈναΈνα όχημαόχημα γεμάτογεμάτο μεμε άμμοάμμο, , πουπου αρχικάαρχικά έχειέχειμάζαμάζα mmoo,, αρχίζειαρχίζει νανα κινείταικινείται υπόυπό τηντην επίδρασηεπίδραση σταστα--θερήςθερής δύναμηςδύναμης FF. . ΑπόΑπό οπήοπή στονστον πυθμέναπυθμένα τουτου οχήοχή--ματοςματος πέφτειπέφτει άμμοςάμμος μεμε σταθερόσταθερό ρυθμόρυθμό λλ(kg/s)(kg/s).. ΒρείΒρεί--τετε τητη ταχύτηταταχύτητα uu τουτου οχήματοςοχήματος συναρτήσεισυναρτήσει τουτου t.t.
( )( )( ) -+--=++
=
dmuududmmdttPdtt
umtPt
)(
)(
dmuumddmuPd-+=
άί
tmm o
-=
==dt
udmF
dt
Pd
( )( )
=-
=- ut
o
oF
du
tm
dtF
dt
dutm
00
( ) ( )
o
o
o
o
m
tmFu
F
u
m
tm
-==
-lnln
1
5.155.15 Σώμα αρχίζει ελεύθερη πτώση από ύψος hh τηχρονική στιγμή t=0.Κατά τη πτώση η μάζα του σώ-ματος μεταβάλλεται σύμφωνα με το νόμο m=moexp(-αt), όπου αα γνωστήγνωστή >0>0σταθεράσταθερά.Η μάζα εκτοξεύ-εται οριζόντια με σταθερήσταθερή ταχύτηταταχύτητα uu ως προς τηγη.Υπολογίστε τη εξίσωση της τροχιάς του σώματος(επ>ταχ>y)
( )( ) dtudmvdvdmmdtt
vmt
/-+++
=-+ gmdt
dmu
dt
dmv
dt
vdm
( ) =-- - gmemuvdt
vdm t
o
( ) guv
dt
vd
=--
( ) -=-=-- gvdt
dvvu
dt
dvy
y
x
x & 0
=-
xv t
x
x dtvu
dv
0 0
txx eu
vut
u
vu =-
=-
ln
=-
yv t
y
ydt
gv
dv
0 0
=
-
-
tg
gvy
ln ( ) ( )2 1-= t
y eg
v
( ) ( )1 1-=
+==-
t
x
t
x
t
x
euv
uuevuevu
( ) -=-=dt
dx
u
g
dt
dyv
u
gv xy
2,1
-=--= x
u
ghydx
u
gdy
y
h
x
0
ΓραφικήΓραφική παράστασηπαράσταση??
( ) ( )2 1 -
= t
y eg
v
( ) ( )1 1-= t
x euv
xu
ghy
-=
ΜΜΜΜ 5.18(5.18(ΙΤΙΤ))ΚωνικόΚωνικό εκκρεμέςεκκρεμές μήκουςμήκους LL αποτελείταιαποτελείται απόαπόσώμασώμα ηη μάζαμάζα τουτου οποίουοποίου μεταβάλλεταιμεταβάλλεται σύμφωνασύμφωνα μεμε τητη σχέσησχέσηm(t)=mm(t)=m00exp(exp(--at)at) ((mm00,a,a γνωστέςγνωστές σταθερέςσταθερές).).ΗΗ μάζαμάζα πουπουφεύγειφεύγει εκτοξεύεταιεκτοξεύεται πάνταπάντα αντίθετααντίθετα τηςτης ταχύτηταςταχύτητας vv μεμεσταθερήσταθερή κατάκατά μέτρομέτρο σχετικήσχετική ταχύτηταταχύτητα uu.. ΙσχύειΙσχύει ότιότι v=vv=v00 γιαγιαt=0t=0.. ΥπολογίστεΥπολογίστε τητη γωνίαγωνία φφ σανσαν συνάρτησησυνάρτηση τουτου χρόνουχρόνου
')()( vdmdvvdmmP
vmP
dtt
t
-++=
=
+
0=+
+=-
dt
dmu
dt
dvm
Ngmdt
dmu
dt
vdm
φφLL
RR
NN
mgmg
uu
vv
= -- atat emaudt
dvem 00
tuavtv
tv
+= 0
,
0
)(mgtN
R
tvmtN
=
=
)(cos
)()(sin
2
( )
mgN
LRL
vmN
=
==
cos
sin ,sin2
2
=-
=gL
v
gL
v 2222
cos
cos1
cos
sin
=-+ 01coscos2
2 gL
v
γνωστάγνωστά όλαόλατατα μεγέθημεγέθη
-+=
gL
tv
gL
tv
2
)(1
4
)(arccos
24
5.105.10ΑμαξίδιοΑμαξίδιο κατεβαίνεικατεβαίνει χωρίςχωρίς τριβήτριβή σεσε πλαγιάπλαγιά χιονισμένηχιονισμένηυπόυπό γωνίαγωνία φφ. . ΚολλάειΚολλάει χιόνιχιόνι λλχιονιχιονι καικαι απόαπό βροχήβροχή λλΒρΒρ ((κάθετακάθετα).).ΣτοΣτο ΑΑ έχειέχει μάζαμάζα mmA A καικαι ταχύτηταταχύτητα uuAA.. ΠοιαΠοια ηη επιτάχυνσηεπιτάχυνση aaAAκαικαι ηη ταχύτηταταχύτητα μετάμετά τοτο AA
( )
( ) ( )( )++=++
=
duudmmdttPdtt
mutPt
:
:
( ) ( ) mudmduudmmdumutPdttPdP -+++=-+=
+=
+=
dt
dmu
dt
dum
dt
dP
udmmdudP
ΑΑφφ mmAA
χιόνιχιόνι
βροχήβροχή
uuAA