AP Calc 1.5 Notes ­ Limits.notebook

1

August 31, 2017

Aug 30­8:47 AM Sep 7­4:11 PM

To find the tangent to a curve or the velocity of an object, we now turn our attention to limits in general and numerical and graphical methods for computing them.

Let’s investigate the behavior of the function f defined by f (x) = x2 – x + 2 for values of x near 2.

The following table gives values of f (x) for values of x close to 2 but not equal to 2.

Picking up from 1.4...

Sep 7­4:17 PM

In fact, it appears that we can make the values of f(x) as close as we like to 4 by taking x sufficiently close to 2We express this by saying:

The limit of f(x) as x approaches 2 is 4

The notation for this is:

Sep 7­4:20 PM

This says that the values of f (x) tend to get closer and closer to the number L as x gets closer and closer to the number a (from either side of a) but x ≠ a.

An alternative notation:

As x   a,   f(x)      L

Sep 7­4:22 PM

What is the significance of "but x ≠ a" in the definition of the limit?

What is limx→a f (x) in each of these cases?

limx→a f (x) =L limx→a f (x) =L limx→a f (x) =L

Sep 7­4:26 PM

­2 ­1 0 1 2 3

­1

1

2

3

4

5

x

yGuess the value of

  =0.5 

AP Calc 1.5 Notes ­ Limits.notebook

2

August 31, 2017

Sep 7­4:47 PM

Now let’s change f slightly by giving it the value 2 when x = 1 and calling the resulting function g:

  =0.5 ­2 ­1 0 1 2 3

­1

1

2

3

4

5

x

y

Sep 7­4:52 PM

Estimate the value of .

0.166670.16668

0.167

Sep 7­5:04 PM

The Heaviside step function H is defined by

H (t) approaches 0 as t approaches 0 from the left and H (t) approaches 1 as t approaches 0 from the right.

We indicate this situation symbolically by writing:

The symbol “t → 0–” indicates t approaching 0 from the left. 

Likewise, “t → 0+” indicates t approaching 0 from the right. 

Sep 7­5:08 PM

Similarly, if we require that x be greater than a, we get “the right­hand limit of f (x) as x approaches a is equal to L” and we write

What's the difference between definitions 2 and 1?

Sep 7­5:09 PM

By comparing Definition 1 with the definitions of one­sided limits, we see that the following is true.

In words:

The limit of f(x) as x approaches a exists if and only if (iff) the left and right side limits are the same

Sep 7­5:12 PM

The graph of a function g is shown in Figure 10. Use it to state the values (if they exist) of the following:

3

2 2 2

1 DNE

Calculus Democracy?1 2

AP Calc 1.5 Notes ­ Limits.notebook

3

August 31, 2017

Sep 7­5:16 PM Sep 7­5:18 PM

Again, the symbol ∞ is not a number, but the expression limx→a f (x) = ∞ is often read as

“the limit of f (x), as approaches a, is infinity”

or     “f (x) becomes infinite as approaches a”

or  “f (x) increases without bound as approaches a”vertical asymptote

Sep 7­5:21 PM

Similar definitions can be given for the one­sided infinite limits:

Sep 7­5:23 PM

Sep 7­5:24 PM

Homework:

Finish problem set 1.5 in your Booklet