AP CAP I Algebra Das Proposicoes Final

Lógica e Álgebra de Boole

Capítulo I

ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES

2011

Marcos J. Bastos Figueiredo

FANESE

2 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s

Capítulo I – ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES

Objetivos do Capítulo:

Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:

� Identificar proposições simples e compostas.

� Determinar o valor lógico de uma proposição.

� Construir tabelas-verdade.

� Usar os símbolos formais da lógica proposicional.

� Criar uma linguagem simbólica através do uso de proposições e dos conectivos lógicos.

� Classificar as proposições em Tautologia, Contradição e Contingência.

� Reconhecer implicações e equivalências lógicas.

� Realizar a negação dos conectivos lógicos.

� Determinar as proposições associadas ao Condicional.


1. O QUE É LÓGICA?

O uso da lógica, de forma corriqueira, está, geralmente, relacionado à racionalidade e à coerência. Associa-se, freqüentemente, lógica apenas à Matemática, não se percebendo sua relação e aplicabilidade com as demais ciências.

Podemos relacionar a lógica com a “correção do pensamento”, pois uma das suas preocupações é determinar quais operações são válidas e quais não são, fazendo análises das formas e leis do pensamento. Como filosofia, ela procura saber por que pensamos assim e não de outro jeito. Com arte ou técnica, ela nos ensina a usar corretamente as leis do pensamento.

Poderíamos dizer, também, que a lógica é a “arte de pensar bem”, que é a “ciência das formas do pensamento”, visto que, a forma mais complexa do pensamento é o raciocínio e, a lógica, estuda a “correção do raciocínio”.

Podemos ainda dizer, que a lógica tem em vista a “ordem da razão”. Isso dá a entender que a nossa razão pode funcionar de forma desordenada.

Por isso, a lógica estuda e ensina a colocar “ordem no pensamento”. Desenvolvida inicialmente por Aristóteles em 330 a.C., a lógica ou raciocínio lógico é expresso fundamentalmente por designações e proposições que exprimem juízo falso ou verdadeiro.

A lógica fundamenta os raciocínios, as ações e, o pensamento lógico geralmente é criativo e inovador.

1.1 – LÓGICA PROPOSICIONAL

FRASE é o elemento de comunicação que relaciona palavras entre si de modo a estabelecer uma mensagem com sentido completo.

As frases podem ser de vários tipos:

a) Declarativa Ex.: O sol é uma estrela.

JONOFON é professor de Raciocínio Lógico. Eduardo Ubirajara é professor de Sociologia.

b) Interrogativa Ex.: Onde você mora?

Onde você estuda? Aonde você vai?

c) Exclamativa Ex.: Parabéns!

Feliz Natal! Feliz Páscoa!


d) Imperativa Ex.: Leia aquele livro.

Escreva uma poesia.

No caso da frase imperativa, por não possuir sujeito determinado, não podemos utilizar em lógica, uma vez que, não é uma frase declarativa.

A linguagem natural (ou formal) nem sempre é clara e precisa, sendo muito comum a ocorrência de ambigüidades que geram dúvidas sobre o significado do que se está falando.

Por isso, uns dos objetivos da lógica é estabelecer uma linguagem formal, através da qual se pode expressar com clareza e precisão a emissão de juízo, verdadeiro ou falso para determinadas frases.

� PROPOSIÇÃO : é uma frase declarativa (com sujeito e predicado) à qual pode ser atribuído sem ambigüidade, um dos valores lógicos verdadeiro (V) ou falso (F).

Não se pode atribuir um valor verdadeiro ou falso, às demais frases como as interrogativas, as exclamativas e as imperativas, embora elas também expressem juízos.

Somente às frases declarativas, podem-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a frase é, respectivamente, confirmada ou negada.

Para efeito de classificar as proposições em Verdadeiras ou Falsas, e desenvolver a teoria de modo consistente, a Lógica Matemática obedece às seguintes leis do pensamento:

I) PRINCÍPIO da NÃO-CONTRADIÇÃO – Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

II) PRINCÍPIO do TERCEIRO EXCLUÍDO – Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, não havendo nunca um meio termo.

Pelos dois princípios anteriores temos que: Toda proposição tem um, e somente um dos valores lógicos, verdade ou falsidade. Por este motivo, chamamos a Lógica Matemática de bivalente.

Exemplos:

1) São proposições:

a) 3 + 4 = 7 (Verdadeiro)

b) 5 > 8 (Falso)

c) O Brasil é penta campeão de futebol masculino. (Verdadeiro)

d) A Terra gira em torno do Sol. (Verdadeiro)


e) O Japão fica na Europa. (Falso)

f) O Brasil fica na América do Sul. (Verdadeiro)

g) A lua é de queijo. (Falso)

2) Não são proposições:

a) 3 + 5

b) Você foi aprovado em Lógica?

c) A sopa de cebola.

d) Feche a porta.

e) Preste atenção ao semáforo!

f) Abra a janela!

As proposições classificam-se em: simples ou atômicas e compostas ou moleculares.

� SIMPLES ou atômicas: são aquelas que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.

Indicaremos, em geral, tais proposições, por letras minúsculas (utilizaremos a porção do alfabeto a partir da letra p).

Exemplos:

p: O número 11 é impar.

q: O número 16 é um quadrado perfeito.

r: O México fica na América do Norte.

� COMPOSTAS ou moleculares: são aquelas formadas pela combinação de duas ou mais proposições simples, relacionadas pelos conectivos lógicos.

As proposições compostas são, geralmente, representadas por letras maiúsculas do nosso alfabeto.

Exemplos:

P: 1 + 2 = 3 se, e somente se, 2 ≠ 1.

Q: Se Jô Soares é gordo, então é inteligente.

R: Mariana é bonita e Játila é inteligente.


S: Sempre que chove, o trânsito fica congestionado.

T: Ana sente dor de estômago ou dor de cabeça.

1.2 - CONECTIVOS LÓGICOS

São palavras ou expressões usadas para formar novas proposições a partir de outras.

Os conectivos lógicos usuais em Lógica são:

Notação Conectivo Denominação

não ~ ou ┐ ou ' Negação

E Λ Conjunção

Ou V Disjunção Inclusiva ou Disjunção

ou...ou... V Disjunção Exclusiva

se,...então → Condicional

se, e somente se ↔↔↔↔ Bicondicional

1.2.1-VALOR LÓGICO

O valor lógico de uma proposição é a verdade (V) se a proposição for verdadeira e é a falsidade (F) se a proposição for falsa.

Notação: V(p) indica o valor lógico da proposição p

V(p) = V ou V(p) = F

O valor lógico de uma proposição composta depende exclusivamente dos valores lógicos das suas proposições e dos conectivos lógicos que as ligam.


1.2.2 - TABELA-VERDADE

O valor lógico de uma proposição composta depende dos valores lógicos das proposições componentes, e se determina por um algoritmo chamado tabela-verdade, no qual figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições dos valores lógicos das proposições simples componentes. É uma maneira prática de dispor organizadamente os valores lógicos envolvidos em uma proposição composta.

Para a proposição simples (p), tem-se:

Tabela-verdade

O número de linhas distintas de uma tabela-verdade é dado por 2n, onde n é o número de proposições e 2 representa o número de valores lógicos possíveis (V ou F).

Proposição composta por 2 proposições simples (p, q).

p q

V V

V F

F V

F F

Proposição composta por 3 proposições simples (p, q, r).

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

P

V

F

4 Linhas

8 Linhas


F F F

2.0 – OPERACÕES LOGICAS SOBRE PROPOSICÕES

Quando raciocinamos, efetuamos operações sobre proposições, que obedecem às regras de um cálculo, chamado Cálculo Proposicional que é semelhante ao da Aritmética sobre números.

Veremos, a seguir, as operações lógicas fundamentais.

2.1 – OPERAÇÃO NEGAÇÃO: “NÃO” ( ~ )

Definição:

Chama-se negação de uma proposição p, a proposição, denotada por “ ~ p ” , lê-se “não p”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando é falsa e a falsidade (F) quando é verdadeira.

Observação: podemos representar a negação também por: ┐p ou p’

Se V(p) = V então V( p’) = F

Se V(q) = F então V( ┐q) = V

Logo, a negação de uma proposição, apresenta valor lógico oposto ao da proposição dada.

A tabela-verdade da operação negação é:

p ~p

V F

F V

Observações:

1) A proposição ~ (~ p) é equivalente à proposição p.

2) A negação de uma negação significa fazer uma afirmação.

Exemplos:

1) Dada a proposição:

p: “O Sol é um planeta”. A sua negação é:

~p: O Sol não é um planeta;

p’: É falso que o Sol é um planeta;

┐p: Não é verdade que o Sol é um planeta.


2) Dada a proposição:

q: “A Terra é plana”. A sua negação é:

~ q: A Terra não é plana;

┐q: É falso que a Terra é plana;

q': Não é verdade que a Terra é plana.

2.2 – OPERAÇÃO CONJUNÇÃO: Ë¨ (Λ)

Definição:

Chama-se conjunção de duas proposições p e q, a proposição denotada por “ p ^ q ” , cujo valor lógico é a verdade quando p e q são verdadeiras e a falsidade nos demais casos.

Notação: p Λ q (lê-se: p e q)

Usam-se, freqüentemente, na linguagem natural, outras formas para indicar uma conjunção, tais como:

• mas; • também; • além disso.

Exemplos:

P: Renata é chata e Simone é linda.

Q: Renata é gente fina, mas Adriana é chata.

R: Paulo é médico, além disso é árbitro de futebol.

S: A colheita não foi boa, também não há água suficiente.

A conjunção de duas proposições (p Λ q) é verdadeira se, e somente se, cada componente for verdadeira.

p q p Λ q

V V V

V F F

F V F


A tabela-verdade da operação

Conjunção é:

Exercício resolvido:

1) Dadas as proposições:

p: O presidente Getúlio Vargas era gaúcho.

q: O presidente Tancredo Neves era carioca.

Determine o valor lógico da proposição p^q .

Solução:

O valor lógico de cada proposição é: V(p)= V e V(q)=F

Através da tabela-verdade da conjunção, tem-se:

p q p ^q

V V V

V F F

F V F

F F F

Então, a proposição p^q será a falsidade, pois a conjunção somente é verdadeira, quando ambas as proposições forem verdadeiras.

2.3 – OPERAÇÃO DISJUNÇÃO:

2.3.1 – Disjunção Inclusiva: ÖU¨ (v)

Definição:

Chama-se disjunção inclusiva ou simplesmente disjunção de duas proposições p e q, a proposição denotada por “ p v q “ , cujo valor lógico é a falsidade(F), quando o valor lógico das proposições p e q forem falsos e, a verdade(V), quando pelo menos uma das proposições for verdadeira.

F F F


Notação: p v q (lê-se: p ou q).

A disjunção de duas proposições (p v q) é falsa se, e somente se, todas as componentes forem falsas.

A tabela-verdade da disjunção

inclusiva é:

Exemplos:

P: Renata é chata ou Simone é linda.

Q: Renata é feia ou Simone é chata.



p: Aécio Neves é governador do Estado de Santa Catarina.

q: José Serra é governador do Estado do Rio de Janeiro.

Determinar o valor lógico da proposição: p v ~q

Solução:

O valor lógico de cada proposição é: V(p)= F , V(q)=F e V(~q)=V

Através da tabela-verdade da disjunção, temos:

p q ~q p v ~q

V V F V

V F V V

F V F F

F F V V

Então, a proposição p v ~q será a verdade, pois a disjunção somente é falsa quando ambas as proposições são falsas.

p Q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F



2.3.2 - Disjunção Exclusiva:¨ OU... OU...¨ ( V )

Definição:

Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q , a proposição denotada por “ p v q ”, cujo valor lógico é a falsidade(F), quando os valores lógicos das proposições p e q são ambos falsos ou ambos verdadeiros, e a verdade(V) nos demais casos.

Na linguagem normal a palavra “ou” tem dois sentidos, assim, por exemplo, consideremos as seguintes proposições:

P: JONOFON é médico ou professor.

Q: Mário de Oliveira é carioca ou mineiro.

A proposição P indica que pelo menos uma das proposições: “JONOFON é médico“ ou “JONOFON é professor” é verdadeira, podendo ser

ambas verdadeiras.

Ou seja:

“JONOFON é médico e professor”.

Na proposição Q, se está a precisar que uma e somente uma das proposições ¨Mário de Oliveira é carioca” ou “Mário de Oliveira é mineiro” é verdadeira, pois não é possível ambas serem verdadeiras.

Ou seja:

“Mário de Oliveira é carioca e mineiro”.

Na proposição P diz-se que “ou” é inclusiva, enquanto que, na proposição Q, diz-se que “ou” é exclusivo.

Em Lógica Matemática, usa-se, habitualmente, o símbolo “v” para “ou” inclusivo e “V” para “ou” exclusivo.

Assim sendo, a proposição P é uma disjunção inclusiva ou apenas disjunção (v), ao passo que a proposição “Q” é uma disjunção exclusiva ( V ).

De modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições “p e q”, a proposição denotada p V q , que se lê:¨ ou p ou q ¨ ou ¨p ou q¨, mas não ambos.


A tabela-verdade da Disjunção Exclusiva é:

A disjunção exclusiva de duas proposições p V q é falsa(F), se e somente se, todos os componentes forem falsos ou verdadeiros, ou seja V(p)= V(q)= V ou F.

Exemplos:

P: Ou lógica é fácil ou Artur não gosta de lógica.

Q: Ou Ana é filha de Alice ou Érica é filha de Elisa.

R: Alberto é alemão ou espanhol, mas não ambos.

A proposição p V q ≡ (p v q) ^ ~ (p ^ q)

Fazendo a= p v q e b= ~(p ^ q) , através da tabela-verdade, temos:

p q p V q p v q p Λ q ~ (p Λ q) a Λ b

V V F V V F F

V F V V F V V

F V V V F V V

F F F F F V F

↑. . . . . . . . . . . . . iguais . . . . . . . . . . . . . . ↑

Logo: p V q ≡ ( p v q) ^ ~(p ^ q)

p q p V q

V V F

V F V

F V V

F F F


2.4 – OPERAÇÃO CONDICIONAL: ¨SE...ENTÃO... ¨ (→→→→)

Definição:

Chama-se proposição Condicional de duas proposições p e q, a proposição

composta denotada por “p →→→→ q “ , cujo valor lógico é a falsidade(F), quando

p é verdadeira e q é falsa e, nos demais casos, é a verdade(V).

Notação: p →→→→ q ( lê-se: Se p, então q)

Outras formas de notação são:

� q, se p; � p somente se q; � p implica q; � p é condição suficiente para q; � q é condição necessária para p; � Sempre que p, então q; � Quando p, então q.

A condicional p →→→→ q é falsa(F) quando o antecedente(p) é verdadeiro (V) e o conseqüente(q) é falso(F). Nas outras situações sempre será verdadeira(V).

A tabela-verdade da operação condicional é:

p q p →→→→ q

V V V

V F F

F V V

F F V

Exemplos:

P: Se usar roupa branca, então irá ao cinema.


Q: Se você estudar, irá passar em Lógica Matemática.

R: Sempre que ganho um presente, fico feliz.

( Se ganho um presente, então fico feliz.)

S: Quando chove, não passeio.

(Se chove, então não passeio.)


(Analista Fiscal e Controle/AFC/2002)

Ou Lógica é fácil ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí, segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil;

b) Lógica é fácil e Geografia é difícil;

c) Lógica é fácil e Geografia é fácil;

d Lógica é difícil e Geografia é difícil;

e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

Solução:

Vamos representar as proposições simples de cada proposição composta.

Na proposição, Öu Lógica é fácil ou Artur não gosta de Lógica¨, tem-se:

p: Lógica é fácil.

~p: Lógica não é fácil. ( também é correto escrever: Lógica é difícil.)

q: Artur gosta de Lógica.

~q: Artur não gosta de Lógica.

Então, na linguagem simbólica, podemos escrever: p V ~q (1)

Na proposição ¨ Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil ¨, tem-se:

r: Geografia é difícil.

~r:Geografia não é difícil. ( também é correto escrever: Geografia é fácil.)


Escrevendo na linguagem simbólica, temos: ~r → ~p (2)

No enunciado temos a seguinte proposição simples: Ärtur gosta de Lógica¨, à qual, por convenção, atribuiremos valor lógico verdadeiro, logo V(q)=V e V(~q)= F


Como V(q)= V, então podemos determinar p na proposição (1), uma vez que, devemos considerar todas as proposições compostas verdadeiras, então:

V( p V ~q ) = V

V(p) V V(~q) = V

V(p) V (F) = V

(V) V (F) = V

Então, p somente poderá ser a verdade, pois a disjunção exclusiva somente é verdadeira quando as proposições têm valores lógicos diferentes.

Logo, se V(p)=V e V(~p)=F , da proposição (2), obtemos r, então:

V(~r → ~p) = V

V(~r) → V(~p) = V

V(~r) → (F) = V

(F) → (F) = V

Então, V (~ r ) somente poderá ser falso, pois o condicional é falso quando

ocorrer (V)→(F)

Os valores lógicos são: V(p)=V, V(~p)=F, V(q)=V, V(~q)=F, V( r)=V e V(~r)=F

Analisando cada alternativa e transformando-as para a linguagem simbólica, tem-se:


a) r → ~p (V)→(F) = F

b) p ^ r (V) ^ (V) = V

c) p ^ ~r (V) ^ (F) = F

d) ~p ^ r (F) ^ (V) = F

e) ~p v ~r (F) v (F) = F

Resposta: letra b

2.5 – OPERACAO BICONDICIONAL: ¨SE, E SOMENTE SE¨ (↔↔↔↔)

Definição:

Chama-se proposição Bicondicional de duas proposições p e q, a

proposição denotada por “ p ↔ q “, cujo valor lógico é a verdade(V),

quando p e q são verdadeiras ou falsas, e a falsidade(F) nos demais casos.

Notação: p ↔↔↔↔ q (lê-se: p se, e somente se, q).

Outra forma de ler o bicondicional é:

p é condição necessária e suficiente para q;

q é condição necessária e suficiente para q.

A proposição bicondicional p ↔↔↔↔ q só é verdadeira quando V(p) = V(q), caso contrário é falsa.

A tabela-verdade da operação bicondicional é:

p q p ↔↔↔↔ q

V V V


V F F

F V F

F F V

Exemplos:

P: Edson falou a verdade se, e somente se, Geraldo mentiu.

Q: Jorge mentir é condição necessária e suficiente para Anália mentir.


Exercício resolvido: (ESAF-MPU/2004)

Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio:

a) João está feliz, Maria não sorri, Daniela abraça Paulo; b) João não está feliz, Maria sorrir, Daniela não abraça Paulo; c) João está feliz, Maria sorri , Daniela não abraça Paulo; d) João não está feliz, Maria não sorri , Daniela não abraça Paulo; e) João não está feliz, Maria sorri, Daniela abraça Paulo.

Solução:

Da proposição “Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo” , vamos relacionar as proposições simples, logo:

p: João estar feliz.

q: Maria sorrir.

r: Daniela abraçar Paulo.

Na linguagem simbólica, lembrando da teoria do bicondicional, tem-se:

p é condição suficiente para r : p → r (1)

q é condição necessária para p: q → p (2)

Da proposição ¨ Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio¨, tem-se:

s: Sandra abraçar Sérgio.

~s: Sandra não abraça Sérgio.

Na linguagem simbólica, temos: r ↔ s (3)

O enunciado fornece uma proposição simples ~s: Sandra não abraça Sérgio, à qual, por convenção, será verdadeira, então: V(~s)=V e V(s)=F


Devemos, sempre, considerar todas as proposições compostas verdadeiras e, sendo V(s)= F , de (3), teremos r:

V( r ↔ s) = V

V(r) ↔V(s) = V

V(r) ↔ (F) = V

(F) ↔ (F) = V

Então, V(r) somente poderá ser falso, para que o bicondicional seja verdadeiro.

Da proposição (1), poderemos encontrar p, então:

V(p → r) = V

V(p) →V(r) = V

V(p) → (F) = V

(F) → (F) = V

Então, V(p) é falso, para que o condicional seja verdadeiro.

Da proposição (2), encontraremos q, logo:

V(q → p) = V

V(q) → V(p) = V

V(q) → (F) = V

V(q) = F

Os valores lógicos das proposições simples são:

p: João estar feliz; V(p)=F

~p: João não estar feliz; V(~p)=V

q: Maria sorrir; V(q)=F


~q: Maria não sorrir; V(~q)=V

r: Daniela abraçar Paulo; V( r)=F

~r: Daniela não abraçar Paulo; V( ~r)=V

s: Sandra abraçar Sérgio; V(s)=F

~s: Sandra não abraçar Sérgio. V(~s)=V

Escrevendo as alternativas com os valores lógicos, tem-se:

a) F, V, F b) V, F, V c) F, F, V d) V, V, V e) V, F, F

Resposta: letra d

2.6 – USO DE PARÊNTESIS

É necessário o uso de parêntesis na simbolização das proposições para evitar qualquer tipo de ambigüidade.

Assim, por exemplo, a expressão p v q ^ r colocada entre parêntesis, dá lugar, às duas seguintes proposições: (a) (p v q) ^ r e (b) p v ( q ^ r) , que não têm o mesmo significado, pois na (a) temos uma conjunção e na (b) temos uma disjunção.

Analogamente, a expressão p ^ q → r v s dá lugar, colocando-se o

parêntesis, às seguintes proposições:

a) ( p ^ q) → (r v s)

b) p ^ ( q → (r v s))


c) (p ^ ( q→ r)) v s

d) p ^ ( ( q→ r) v s)

e) ((p ^ q) → r) v s

Sendo que, duas quaisquer delas, não têm o mesmo significado.

Por outro lado, em muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, nenhuma ambigüidade venha a ocorrer.

A ordem de precedência para os conectivos é:

1) Negação: ~ 2) Conjunção: ^ 3) Disjunção: v

4) Condicional: →

5) Bicondicional: ↔

Portanto, o conectivo mais “fraco” é a negação e, o mais “forte”, é o bicondicional.

Assim, por exemplo, a proposição: p→q ↔ r ^ s é uma bicondicional e

nunca uma condicional ou conjunção.

Exercícios propostos: Grupo A


1) Sejam as proposições:

p: Fernanda está doente.

q: Fernanda está com febre.

Escrever na linguagem natural, as seguintes proposições:

a) ~p f) ~p ^ ~q b) p ^ q g) ~p v q

c) p v q h) p ↔ ~q

d) p → ~q i) ~~p

e) q ↔p j) ( p ^ ~q) →p


p: Paulo é bonito.

q: Paulo é alto.

Escrever na linguagem simbólica, as seguintes proposições:

a) Paulo é alto e bonito. b) Paulo é bonito, mas é baixo. c) Não é verdade que,Paulo é bonito ou baixo. d) Paulo nem é bonito e nem é alto. e) Paulo é bonito ou é feio e alto. f) É falso que, Paulo é feio ou que não é alto.

3) Sejam as proposições:

p: Tiago é pobre.

q: Alfredo é feliz.

Escrever na linguagem natural, as seguintes proposições:


a) q → p d) ~p → q

b) p v ~q e) ~~q

c) ~p ↔ q f) ( ~p v q) ↔ q


p: Ana fala inglês.

q: Ana fala francês.

r: Ana fala alemão.

Escrever na linguagem simbólica, as seguintes proposições:

a) Ana fala francês e inglês ou não fala francês nem alemão. b) Não é verdade que, Ana fala francês e que não fala inglês. c) É falso que, Ana fala inglês ou alemão, mas não fala francês.

Exercícios propostos: Grupo B

1) Seja p: 2+1=3 e q: =4. Determinar o valor lógico ( V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a) p ^ ~q e) ~p v ~q b) p v ~q f) ~(~p ^ ~q) c) ~p ^ q g) p ^ (~p ^ q) d) ~p ^ ~q h) (~p ^ q) v (p ^ ~q)

2) Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a) 1 > 0 ^ 3 + 2 = 5 b) 3 = 3 v = 4 c) Se 10 – 2 = 7, então 3³ = 27 d) 0 > 1 ^ = 5 e) Não é verdade que, 8 é um número ímpar f) É falso que, Salvador é a capital da Bahia


g) Não é verdade que, 8:1 = 9 e 8 – 1 = 6 h) É falso que, 3 : 3 = 6 ou = 0 i) ~( 3 – 1 = 2 → 2² = 5) j) ~( 3 . 2 = 9 ↔ 5 – 1 = 4) k) Se Aracaju é a capital do Amazonas, então Pedro Álvares Cabral

descobriu a América.

3) Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo-se que:

a) V(p→q) = V e V(p^q)=F b) V(p→q) = V e V(pvq)= F c) V(p↔q) = V e V(p^q)=V d) V(p↔q) = V e V(pvq)=V e) V(p↔q) = F e V(~pvq)=V

4) Determinar V(p) e V(q) em cada um dos seguintes casos, sabendo-se que: a) V(p→q) = V e V (p^q) = F b) V(p→q) = V e V(pvq) = F c) V(p↔q) = V e V(p^q) = V d) V(p↔q) = V e V(pvq) = V e) V(p↔q) = F e V(~pvq) = V

5) Sabendo-se que os valores lógicos das proposições p, q, r e s são, respectivamente, V, V, F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a) ( r → p) v ( s → p) b) r→ p ↔ ( ~p ↔ r) c) ~(p^q) ↔ ~p v ~q d) p→~q ↔(p v r) ^ r e) (q^r) ^s → ( p ↔s) f) ~( (pvs) ^ ( s ^ r))

2.7 – TAUTOLOGIA

Definição:


Uma proposição composta é uma tautologia quando o seu valor lógico é sempre a verdade (V), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes.

Exemplo:

Dada a proposição P: Chove ou não chove.

Sejam p:chove e ~p: não chove, então P: p V ~p

Elaborando a tabela-verdade, podemos observar que, a última coluna é composta somente de V’s.

Logo, p v ~ p é uma tautologia.


Demonstrar, através de tabela-verdade, que a proposição (p → ~q ) V q é uma tautologia.

Solução:

Fazendo a tabela-verdade da proposição, tem-se:

p q ~q p → ~q (p→~q) v q

V V F F V

V F V V V

F V F V V

F F V V V

Logo, a proposição ( p → ~q) V q é uma tautologia, pois sempre será verdadeira, independentemente dos valores lógicos de p e q.

2.8 – CONTRADIÇÃO

Definição:

p ~ p p v ~ p

V F V

F V V


Uma proposição composta é uma contradição quando o seu valor lógico é sempre a falsidade (F), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes.

Exemplo:

Dada a proposição Q: Chove e não chove .

Sejam p:chove e ~p:não chove , então Q: p ^ ~p

Fazendo a tabela-verdade, observa-se que, a última coluna é formada apenas por F’s.

p ~ p p Λ ~ p

V F F

F V F

Logo, p Λ ~ p é uma contradição.


Demonstrar, através de tabela-verdade, que a proposição (~p v ~q) ↔ ( p ^ q) é uma contradição.

Solução:

Elaborando a tabela-verdade, tem-se:

p q ~p ~q ~p v ~q p ^ q ( ~p v ~q ) ↔ ( p ^ q)

V V F F F V F

V F F V V F F

F V V F V F F

F F V V V F F

Portanto, a proposição (~p v ~q) ↔ ( p^q) é uma contradição, pois sempre será falsa, independentemente dos valores lógicos de p e q.

2.9 – CONTINGÊNCIA OU INDETERMINADA

Definição:


Uma proposição composta é denominada contingência ou indeterminada, quando não é uma tautologia e nem uma contradição.

Exemplo: Seja a proposição

R: Três é um número par se, e somente se, o homem é imortal.

Então, p: Três é um número par.

q: O homem é imortal.

Na linguagem simbólica: p ↔ q

Elaborando a tabela-verdade, a última coluna é formada de V’s e de F’s.

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Logo, a proposição p ↔q , é uma contingência


Demonstrar, através de tabela-verdade, que a proposição ~[(p ^ q) ↔ (p v q)] é uma contingência.

Solução:

Utilizando-se da tabela-verdade temos:

p q p^q pv q (p^q) ↔ ( p v q) ~[(p^q) ↔ (p v q)]


V V V V V F

V F F V F V

F V F V F V

F F F F V F

Portanto, a proposição ~[(p^q) ↔ (p v q)] é uma contingência, pois é composta de V’s e de F’s independentemente dos valores lógicos de p e q.

Exercícios propostos: Grupo C

1) Verificar se as seguintes proposições são tautológicas:

a) p v (p →(q ^ ~p)) b) (p → (q ^ r)) → (p→r) c) (p ^ q) → (p v q) d) [(p v q) ^ (p ^ s)] → p

2) Classificar as seguintes proposições em Tautologia, Contradição ou Contingência:

a) (p v (p ^ q)) ↔ p b) (~p ^ ~q) v (p→q) c) ( p v ~q) ↔ ( p→~q) d) (p→q) → ((p v r) ↔(q ^ r)) e) (p→q) v ( q ^ r) f) ~( (p→q) → ((p→q) v r) )

2.10 – IMPLICAÇÃO e EQUIVALÊNCIA LÓGICA

2.10.1 – IMPLICAÇÃO LÓGICA

Definição:

Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma implicação lógica entre P e Q, quando a proposição condicional P → Q é uma tautologia.


Notação: P ⇨ Q

Exemplo: Mostrar que:

a) ( p ^q) ⇨ p

b) [ p ^ ( p → q)] ⇨ q

c) [ (p→q) ^ (q→r)] ⇨ ( p → r)

d) (p→q) ⇨ [ (p^r) →(q→r)]

Solução:

Através da tabela-verdade, poderemos verificar se ocorre uma tautologia, então:

a)

p q p^q (p^q) →p

V V V V

V F F V

F V F V

F F F V

A proposição é uma tautologia, logo ocorre uma implicação lógica.

b)

p q p→q p ^(p→q) [p ^(p→q)]→q


V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

A proposição é uma tautologia, então ocorre uma implicação lógica.

c)

p q r p→q q→r (p→q) ^ (q→r) p→r [(p→q)^(q→r)] → (p→r)

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F V F V V

V F F F V F F V

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

A proposição é uma tautologia, então ocorre uma implicação lógica.

d)

p q r p→q p ^ r q→r (p^r) →(q→r) (p→q) → [ (p^r)→(q→r)]

V V V V V V V V

V V F V F F V V

V F V F V V V V

V F F F F V V V

F V V V F V V V

F V F V F F V V

F F V V F V V V

F F F V F V V V

A proposição é uma tautologia, logo ocorre uma implicação lógica.

2.10.2- EQUIVALÊNCIA LÓGICA

Definição:


Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma equivalência lógica, entre P e Q, quando suas tabelas-verdade forem iguais.

Notação: P ≡ Q ou P ⇔ Q

Exemplo: Mostrar que:

a) (p →q) ^ (q→p) ≡ p ↔q

b) (p ^q) ⇔ ~(~p v ~q)

Solução:

a)

p q p→q q→p p↔q (p→q) ^(q→p)

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V

↑ . . iguais . . ↑

A proposição é uma equivalência lógica, pois suas tabelas-verdade são iguais.

b)

p Q p ^q ~p ~q ~p v ~q ~( ~p v ~q)

V V V F F F V

V F F F V V F

F V F V F V F

F F F V V V F

↑ . . . . . . . . . . . . iguais . . . . . . . . . . ↑


A proposição é uma equivalência lógica, pois suas tabelas-verdade são iguais.

Exercícios propostos: Grupo D

1) Demonstrar por tabelas-verdade que:

a) q ⇨ (p→q)

b) (p v q) ⇨ p

c) ( p ↔~q) ⇨ (p→q)

d) p ^ (q ^ r) ⇨ (p↔q)

2) Demonstrar por tabelas-verdade que:

a) p → q ⇔ ~p v q

b) p ^ (q ^ r ) ⇔ (p ^ q) ^ r

c) p v ( q v r ) ⇔ (p v q) v r


d) ~( p ^ q ) ⇔ ~p v ~q

e) ~(p v q ) ⇔ ~p ^ ~q

f) p ^ ( q v r ) ⇔ ( p ^ q ) v ( p ^ r )

g) p v ( q ^ r ) ⇔ ( p v q ) ^ ( p v r )

h) p ↔ q ⇔ ( p→q ) ^ (q→p)

3 – NEGAÇÃO DAS OPERAÇÕES LÓGICAS

3.1 – NEGAÇÃO DA NEGAÇÃO

Dadas as proposições p e ~ (~ p), vamos construir suas tabelas-verdade:

p ~ p ~ (~ p)

V F V

F V F

↑ . . iguais . . ↑

Conclusão: ~ (~ p) = p

Logo, a negação de uma negação é uma afirmação.


Exemplo:

A proposição “Não é verdade que Mário não é estudioso” é logicamente equivalente à “Mário é estudioso”.

Solução:

Sejam:

p: Mário é estudioso.

~ p: Mário não é estudioso.

~(~ p): Não é verdade que Mário não é estudioso.

Então: p = ~ ( ~p)

Portanto, a negação da negação é uma afirmação.

Logo, as proposições são equivalentes.

3.2 – NEGAÇÃO DA CONJUNÇÃO

Dadas as proposições ~ (p Λ q) e ~ p v ~ q, vamos construir suas tabelas-verdade:

p q p Λ q ~(p Λ q) ~ p ~ q ~ p v ~ q

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

↑...............iguais................↑

Logo: ~ (p Λ q) ≡ ~ p v ~ q ( 1ª Lei de DeMORGAN )


Exemplo:

Provar que a proposição composta P:Não é verdade que a comida é farta e saborosa” é logicamente equivalente à proposição Q: “A comida não é farta ou não é saborosa”.

Solução:

Para comprovar a afirmação, deveremos enumerar as proposições simples:

p: a comida é farta. ~p: a comida não é farta.

q: a comida é saborosa. ~q: a comida não é saborosa.

Escrevendo a proposição composta P na linguagem simbólica, temos:

P: ~ (p ^ q)

Aplicando a 1ª Lei de DeMORGAN, pois a proposição é a negação de uma conjunção, obtemos:

~ (p Λ q) ≡≡≡≡ ~ p v ~ q

Na linguagem natural, temos:

“A comida não é farta ou não é saborosa.”

Portanto, a afirmação é verdadeira, ou seja, P ≡ Q

3.3 – NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO

Dadas as proposições ~(p v q) e ~ p Λ ~ q, vamos construir suas tabelas-verdade:

p q p v q ~(p v q) ~ p ~ q ~ p Λ ~ q

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V

↑ . . . . . . . iguais . . . . . . . ↑


Logo: ~(p v q) ≡ ~ p ^ ~ q ( 2ª LEI de DeMORGAN)

Exemplo:

Provar que a proposição Q: ¨Não é verdade que 2 é número par ou 3 é número ímpar ¨ é logicamente equivalente à proposição R: ¨2 não é número par e 3 não é número ímpar¨

Solução:

Enumerando as proposições simples, temos:

p: 2 é número par. ~p: 2 não é número par.

q: 3 é número ímpar. ~q: 3 não é número ímpar.

Escrevendo a proposição composta Q, na linguagem simbólica, temos:

Q: ~ ( p v q)

Aplicando a 2ª LEI de DeMORGAN, pois a proposição é a negação da disjunção, temos:

~( p v q) ≡ ~p ^ ~q

Na linguagem natural,temos:

¨ 2 não é número par e 3 não é número ímpar ¨.

Logo, as proposições Q e R são equivalentes.

Exercícios resolvidos:

1) Dar a negação, em linguagem natural, de cada uma das seguintes proposições:

a) A lógica é fácil e Pedro será aprovado. b) Maria é bonita ou não é elegante. c) Não chove ou faz frio. d) Não está frio ou não está chovendo. e) O pai de Agnaldo é gaúcho ou sua mãe é alagoana. f) Samuel estuda Medicina Veterinária,mas Rafael não estuda

Engenharia Florestal.


Solução:

a) Nomeando as proposições simples, temos:

p: A lógica é fácil.

~p: A lógica não é fácil. ou ~p: A lógica é difícil.

q: Pedro será aprovado.

~q: Pedro não será aprovado. ou ~q: Pedro será reprovado.

Escrevendo a proposição na linguagem simbólica,teremos:

( p ^ q)

Determinando a negação da proposição, obtemos:

~( p ^ q)

Agora, aplicando a LEI de DeMORGAN, temos:

~(p^q) ≡ ~p v ~q

Na linguagem natural, a proposição será:

“A lógica não é fácil ou Pedro não será aprovado”.

Também, é correto escrever na linguagem natural, da seguinte forma:

“A lógica é difícil ou Pedro será reprovado”.

b) Enumerando as proposições simples, temos:

p: Maria é bonita.

~p: Maria não é bonita. ou ~p: Maria é feia.

q: é elegante.

~q: não é elegante.


Escrevendo na linguagem simbólica e aplicando DeMORGAN, temos:

~(p v ~q) = ~p ^ ~(~q) = ~p ^ q

Na linguagem natural, teremos:

“Maria não é bonita e é elegante”.

Também é correto:

“Maria é feia e é elegante”.

c) Enumerando as proposições simples, temos:

p: Chove.

~p: Não chove.

q: Faz frio.

~q: Não faz frio.


~(~p v q) = ~(~p) ^ ~q = p ^ ~q


“Chove e não faz frio”.

d) Enumerando as proposições simples, temos:

p: está frio.

~p: não está frio.

q: está chovendo.

~q: não está chovendo.


~(~p v ~q) = ~(~p) ^ ~(~q) = p ^ q



“Está frio e está chovendo”.

e) Enumerando as proposições simples, temos:

p: o pai de Agnaldo é gaúcho.

~p: o pai de Agnaldo não é gaúcho.

q: sua mãe é alagoana.

~q: sua mãe não é alagoana.

Escrevendo na linguagem simbólica e aplicando DeMorgan, teremos:

~(p v q) = ~p ^ ~q


“O pai de Agnaldo não é gaúcho e sua mãe não é alagoana”.

f) Enumerando as proposições simples,temos:

p: Samuel estuda Medicina Veterinária.

~p: Samuel não estuda Medicina Veterinária.

q: Rafael estuda Engenharia Florestal.

~q: Rafael não estuda Engenharia Florestal.

Escrevendo na linguagem simbólica e aplicando DeMorgan, temos:

~( p ^ ~q ) ≡ ~p v ~(~q) ≡ ~p v q



“Samuel não estuda Medicina Veterinária ou Rafael estuda Engenharia Florestal ”.

3.4-NEGAÇÃO DO CONDICIONAL

Dadas as proposições p→q, ~(p→q), p ^ ~q e ~p v q, vamos construir suas tabelas–verdade:

p q ~p ~q p→q ~(p→q) p ^ ~q ~p v q

V V F F V F F V

V F F V F V V F

F V V F V F F V

F F V V V F F V

↑...iguais..↑

↑..............iguais....................↑

Logo: ~ (p→q) ≡ p ^ ~q e p→q ≡ ~p v q

Exemplos:

1) Escreva a negação de cada proposição na linguagem natural.

a) Se está frio, ele usa chapéu.

Solução: Nomeando as proposições simples, temos:

p: está frio. ~p: não está frio.

q: ele usa chapéu. ~q: ele não usa chapéu.

Na linguagem simbólica, temos;

p →q

Aplicando a regra da negação do condicional, então:


~( p →q) ≡ p ^ ~q


“Está frio e ele não usa chapéu”.

b) Se pode dirigir, pode beber.

Solução: Nomeando as proposições simples, temos:

p: pode dirigir.

q: pode beber.

~q: não pode dirigir.

Na linguagem simbólica, temos: p → q

A negação da condicional, é: ~( p → q ) ≡ p ^ ~q

Na linguagem natural, a negação é:

“Pode dirigir e não pode beber”.

2) (MPOG/ENAP/SPU/2006)

Dizer que Äna não é alegre ou Beatriz é feliz ¨ é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer:

a) Se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz;

b) Se Beatriz é feliz, então Ana é alegre;

c) Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz;

d) Se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz;

e) Se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.


Solução:

Sejam as proposições simples:

p: Ana é alegre. ~p: Ana não é alegre.

q: Beatriz é feliz. ~q: Beatriz não é feliz.

Escrevendo a proposição na linguagem simbólica, temos:

~p v q

Como já vimos, sabemos que:

p →q ≡ ~p v q

Então, a proposição equivalente será:

¨ Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz¨.

Resposta: letra c

3) (MPOG/2001)

Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é, logicamente equivalente a dizer que:

a) André é artista se, e somente se,Bernardo não é engenheiro;

b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro;

c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro;

d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista;

e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.


Solução:

Enumerando as proposições simples, temos:

p: André é artista. ~p: André não é artista.

q: Bernardo é engenheiro. ~q: Bernardo não é engenheiro.

Na linguagem simbólica, a proposição dada é;

p v ~q

Analisando qual das alternativas é equivalente à proposição dada, podemos concluir que:

a) Errada, pois p ↔ ~q , não é equivalente a p v~q.

b) Errada, pois p → ~q ≡ ~p v ~q e, também, ~(p→ ~q) =p ^ q , as quais não são equivalentes a p v ~q.

c) Errada, pois ~p → q ≡ p v q e, também, ~( ~p→q) ≡ ~p ^ ~q , as quais não são equivalentes a p v ~q.

d) Certa, pois q →p ≡ ~q v p ≡ p v ~q

e) Errada, pois ~p ^ q, não é equivalente a p v ~q.

Uma outra forma de solução é elaborar a tabela-verdade da proposição do enunciado e, a das respostas, então:

p q ~p ~q p v~q p↔~q p→~q ~p→q q→p ~p^q

V V F F V V F V V F

V F F V V V V V V F

F V V F F V V V F V

F F V V V F V F V F

↑.................Iguais..............................↑


Resposta : letra d

3.5- NEGAÇÃO DO BICONDICIONAL

Dadas as proposições p ↔q , p v q , (~p ^ q) v (p ^~q), ~p↔q, p↔~q, vamos construir suas tabelas-verdade:

P q p↔q ~(p↔q) pv q ~p ~q ~p ^q p ^~q (~p^q)v(p^~q) ~p↔q p↔~q

V V V F F F F F F F F F

V F F V V F V F V V V V

F V F V V V F V F V V V

F F V F F V V F F F F F

↑ iguais ↑

↑.............................. iguais .............................↑

↑....................................... iguais ........................................↑

↑............................................ iguais ................................................↑

Então, teremos as seguintes equivalências, para a negação do bicondicional:

~( p↔q) ≡ p v q ≡ (~p^q)v(p^~q) ≡ ~p↔q ≡ p↔~q

Exemplo:

A negação da proposição P: Ële faz caminhada se, e somente se,o tempo está bom ¨ é a proposição Ële não faz caminhada e o tempo está bom ou ele faz caminhada e o tempo não está bom ¨

Solução:

Nomeando as proposições simples:

p: Ele faz caminhada. ~p: ele não faz caminhada.

q: O tempo está bom. ~q: o tempo não está bom.

Na linguagem simbólica: p ↔ q


A negação do bicondicional é: ~( p↔q) ≡ (~p^q) v (p ^ ~q)

Então, na linguagem natural, temos:

Ële não faz caminhada e o tempo está bom ou ele faz caminhada e o tempo não está bom¨.

Logo, a afirmação é verdadeira.

Mas, também, é correto escrever a negação de outras formas, tais como:

• Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom.

• Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom.

• Ou ele faz caminhada ou o tempo está bom.

3.6 - PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UM CONDICIONAL

Definição: Dada uma proposição condicional p → q, a ela estão associadas três outras proposições condicionais que contêm p e q:

0. Condicional: p →q

1. Recíproca do Condicional: q → p

2. Contrapositiva: ~ q → ~ p

3. Recíproca da Contrapositiva ou Inversa: ~ p → ~ q

Fazendo suas tabelas-verdade, teremos:

P q p→q q→p ~p ~q ~p→~q ~q→~p

V V V V F F V V

V F F V F V V F

F V V F V F F V

F F V V V V V V

↑ ............................iguais...........................↑

↑..............iguais............↑


Então, da tabela-verdade, podemos extrair as seguintes equivalências:

p→q ≡ ~q→~p e q→p ≡ ~p→~q

Portanto, o condicional é equivalente à contrapositiva.

Exemplos:

1) (ANEEL/2006)

Uma proposição logicamente equivalente a ¨Se Ana é bela, então Carina é feia¨ é:

a) Se Ana não é bela, Carina não é feia;

b) Ana é bela ou Carina não é feia;

c) Se Carina é feia, Ana é bela;

d) Ana é bela ou Carina é feia;

e) Se Carina não é feia, Ana não é bela.

Solução:

Na proposição composta dada, temos as seguintes proposições simples.

p: Ana é bela. ~p: Ana não é bela.

q: Carina é feia. ~q:Carina não é feia. ou ~q: Carina é bonita.

Escrevendo na linguagem natural, temos: p →q

A contrapositiva do condicional, na linguagem simbólica é: ~q → ~p


“Se Carina não é feia, então Ana não é bela”.


Resposta: letra e

2) Dadas as preposições:

p: O céu está nublado.

q: Vai chover.

Então:

A Condicional é: “Se o céu está nublado, então vai chover”.

A Recíproca do Condicional é: “Se vai chover, então o céu está nublado”.

A Contrapositiva é: “Se não vai chover, então o céu não está nublado”.

A Inversa é: “Se o céu não está nublado, então não vai chover”.

3) Escreva a proposição recíproca, a proposição inversa e a proposição contrapositiva de cada uma das seguintes proposições:

a) Se Carlos está doente, então ele precisa de um médico.

Recíproca: Se Carlos precisa de um médico, então ele está doente.

Contrapositiva: Se Carlos não precisa de um médico, então ele não está doente.

Inversa: Se Carlos não está doente, então ele não precisa de um médico.

b) Se eu estudo, então sou aprovado.

Recíproca: Se eu sou aprovado, então eu estudo.

Contrapositiva: Se eu não sou aprovado, então eu não estudo.

Inversa: Se eu não estudo, então eu não sou aprovado.

4) Escreva a proposição contrapositiva de cada uma das seguintes proposições:

a) p → q Resposta: ~ q → ~ p

b) q → p Resposta: ~ p → ~ q

c) ~ p → q Resposta: ~ q → p

d) p → ~ q Resposta: q → ~ p


e) ~ q → p Resposta: ~ p → q

f) ~ p → ~ q Resposta: q → p

g) ~ q → ~ p Resposta: p → q

5) Determinar a proposição contrapositiva da proposição recíproca de p → ~ q

Solução:

Considerando-se a proposição dada como a proposição Condicional, podemos, através da definição, encontrar a proposição Contrapositiva:

Condicional: p → ~q

Contrapositiva: q → ~p (novo condicional)

Recíproca: ~p →q

Resposta: ~p→q

6) Determinar a proposição recíproca da proposição contrapositiva de ~ q → ~ p

Solução:

Sendo a proposição dada, considerada a proposição condicional,teremos:

Condicional: ~q → ~p

Recíproca: ~p → ~q ( novo condicional)

Contrapositiva: q→p

Resposta: q→p

7) Determinar a proposição contrapositiva da proposição inversa de

~ p → q

Solução:

Como a proposição dada, por convenção, é a proposição condicional,temos:

Condicional: ~p → q

Contrapositiva: ~q→p ( novo condicional)

Inversa: q → ~p


Resposta: q→~p

8) Determinar a proposição recíproca da proposição inversa de ~ p → ~ q

Solução:

Fazendo: Condicional: ~p → ~q

Inversa: p → q (novo condicional)

Recíproca: q → p

Resposta: q→p

9) Determinar a proposição recíproca da proposição inversa da proposição contrapositiva de ~ q → ~ p:

Solução:

Fazendo: Condicional: ~q→ ~p

Contrapositiva: p → q ( novo Condicional)

Inversa: ~p → ~q (novo Condicional)

Recíproca: ~q → ~p

Resposta: ~q→~p

Exercícios propostos:

1) Determinar :

a) A proposição recíproca da proposição contrapositiva de q → ~ p

Resposta: ~ q → p

b) A proposição contrapositiva da proposição recíproca de q → ~ q

Resposta: ~ q → p

c) A proposição contrapositiva da proposição inversa de q → ~ q

Resposta: ~ p → q

d) A proposição inversa da proposição contrapositiva de q → ~ p

Resposta: ~ q → p

e) A proposição contrapositiva da proposição recíproca de p → ~ q


Resposta: ~ p → q

f) A proposição recíproca da proposição contrapositiva de ~ q → ~ p

Resposta: q → p

g) A proposição contrapositiva da proposição inversa de ~ p → q

Resposta: q → ~ p

h) A proposição recíproca da proposição inversa de ~ p → ~ q

Resposta: q → p

i) A proposição contrapositiva da proposição contrapositiva de p → q

Resposta: p → q

j) A proposição contrapositiva da proposição recíproca de p → q

Resposta: ~ p → ~ q

k) A proposição contrapositiva da proposição inversa de p → q

Resposta: q → p

l) A proposição contrapositiva da proposição recíproca de p → ~ q

Resposta: ~ p → q

m) A proposição recíproca da proposição contrapositiva de ~ p → ~ q

Resposta: p → q

2) Seja a condicional “ Se João é professor, então é feliz” , dar, em

linguagem natural:

a) a sua contrapositiva; b) a sua recíproca; c) a contrapositiva da recíproca; d) a recíproca de sua contrapositiva; e) a sua inversa; f) a contrapositiva da sua inversa;


Exercícios propostos:

Exercício 1

Sejam as proposições:

p: Pedro saiu;

q: Maria esta aqui.

Forme sentenças, na linguagem simbólica que correspondam às proposições seguintes:

a) Pedro não saiu;

b) Maria não esta aqui;

c) Pedro saiu e Maria esta aqui;

d) Pedro não saiu e Maria esta aqui;

e) Não é verdade que Pedro saiu, mas Maria não esta aqui;

f) É falso que Pedro não saiu e Maria esta aqui.

Exercício 2

Construir a tabela-verdade para as seguintes proposições:

a) p Λ ~ p b) p V ~ p c) p Λ ~ q d) p V ~ q e) ~ p Λ q f) ~ p V q

g) ~ p Λ ~ q h) ~ p V ~ q i) ~ (p V q) j) ~ (p Λ q) k) ~ (~ p V q) l) (~ p Λ q) V (p V ~ q)

Exercício 3

(Analista de Finanças e Controle - AFC/CGU – 2003/2004)

Homero não é honesto ou Júlio é justo. Homero é honesto ou Júlio é justo ou Beto é bondoso. Beto é bondoso ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso ou Homero é honesto. Logo:

a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo; b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não e justo; c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo; d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo; e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

Resposta: letra c


Exercício 4

Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:

a) Se 10 < 10 , então 8 – 3 = 6;

b) Se 3 + 2 = 7, então 4 + 4 = 8;

c) Não é verdade que se 2 + 2 = 5, então 4 + 4 = 10

d) Se 3 + 3 = 8, então 2 + 2 = 4 ou 7 + 7 ≠ 14

e) Se 5 > 2 e 2 ≠ 1, então 7 + 2 = 10 ou 2 +3 = 5

Resposta: a) Verdadeiro c) Falso e) Verdadeiro

b) Verdadeiro d) Verdadeiro

Exercício 5

Construir a tabela-verdade de cada uma das proposições:

a) ~ (p → ~ q)

b) (p Λ q) → (p V q)

c) ~ p → (q → p)

d) (p → q) → (p Λ q)

e) (~ p Λ r) → (q V r)

f) [(p → q) Λ (q → r)] → (p → r)

Exercício 6

(Agencia Nacional Energia Elétrica - ANEEL)

Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo.

Assim:

a) Estudo e fumo.

b) Não fumo e surfo.

c) Não velejo e não fumo.

d) Estudo e não fumo.

e) Fumo e surfo.

Resposta: letra e


Exercício 7

(Auditor Fiscal da Receita Estadual - SP)

Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p → q é:

a) ~ p → ~ q b) q → ~ p c) ~ (q → p) d) ~ q → ~ p e) ~ q → p

Resposta: letra d

Exercício 8

(Tribunal de contas do Estado - PR)

Se navegar é preciso, então viver não é preciso. Se navegar não é preciso, então criar não é preciso. Mas Fernando Pessoa disse que criar é preciso.

Logo:

a) Viver é preciso e criar é preciso;

b) Navegar é preciso e viver não é preciso;

c) Criar é preciso e navegar não é preciso;

d) Navegar é preciso e viver é preciso;

e) Navegar não é preciso e viver não é preciso;

Resposta: letra b

Exercício 9

Determine o valor lógico de “p”, isto é V(p), em cada um dos quesitos, sabendo que:

a) V(q) = V e V(p Λ q) = V

b) V(q) = F e V(p V q) = V

Resposta: a) V(p)= V e b) V(p)= V


Exercício 10

(Analista de Finanças e Controle - AFC/CGU - 2003/2004)

Ana é prima de Bia ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria, logo:

a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto;

b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia;

c) Ana é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro;

d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto;

e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

Resposta: letra e

Exercício 11

Dadas as preposições:

p: Juscelino Kubitschek era mineiro;

q: Getulio Vargas era pernambucano.

Determine o valor lógico de:

a) p Λ q b) p V q c) p → q d) p ↔ q e) q → p

Resposta:

a) Falso b) Verdadeiro c) Falso d) Falso e) Verdadeiro

Exercício 12

Admitindo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor lógico (V ou F) de cada proposição abaixo:

a) p → r b) p ↔ q c) r → p d) (p V r) ↔ q


Resposta:

a) Falso b) Verdadeiro c) Falso d) Verdadeiro

Exercício 13

Determine o valor lógico de “p”, isto é V(p), em cada um dos seguintes quesitos, sabendo que:

a) V(q) = F e V(p → q) = F

b) V(q) = V e V(p ↔ q) = F

Resposta:

a) V(p) = V b) V(p) = F

Exercício 14 Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições simples.

p q ?

V V F

V F F

F V F

F F V

Determinar a proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação.

Resposta: ~ ( p v q)

Exercício 15

Classificar as proposições a seguir, em Tautologia, Contradição ou Contingência.

a) ~ (p V q) ↔ (~ p Λ ~ q)

b) ~ [~ ( p Λ q)] ↔ (~ p V ~ q)

c) [(p V q) → ~ p] → (q Λ p)

Resposta: a) Tautologia b)Contradição c)Contingência


Exercício 16

Chame-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõe. Um exemplo de tautologia é:

a) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo;

b) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo;

c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo;

d) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo;

e) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.

Resposta: letra a

Exercício 17 Aplicando as leis de DeMORGAN, dar a negação de cada uma das seguintes proposições :

a) p Λ ~ q b) ~ p V q c) ~ p Λ q d) ~ p V ~ q

Resposta: a)~p v q b) p ^ ~q c) p v ~q d) p ^ q

Exercício 18

Dar a negação em linguagem natural de cada uma das seguintes proposições:

a) A lógica é fácil e Pedro será aprovado.

b) Maria é bonita ou não é elegante.

c) É noite e a cidade descansa.

Resposta: a) A lógica é difícil ou Pedro será reprovado. b) Maria é feia e é elegante. c) Não é noite ou a cidade não descansa.


Exercício 19 (ESAF – TCU - 1999)

Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo:

a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia;

b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia;

c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz;

d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz;

e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz.

Resposta: letra c

Exercício 20

Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo:

a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo; b) Bernardo é barrigudo ou César é careca; c) César é careca e Maria é magra; d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo; e) Lúcia é linda e César é careca.

Resposta: letra a

Exercício 21

(Auditor do Trabalho - MTE/2003)

Se não durmo, então bebo. Se estou furioso, então durmo. Se durmo, então não estou furioso. Se não estou furioso, então não bebo. Logo:

a) Não durmo, estou furioso e não bebo; b) Durmo, estou furioso e não bebo; c) Não durmo, estou furioso e bebo; d) Durmo, não estou furioso e não bebo; e) Não durmo, não estou furioso e bebo.

Resposta: letra d


Exercício 22

(Técnico de Finanças e Controle - TFC/SFC/2000)

Ou Anais será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:

a) Anais não será professora e Ana não será atleta; b) Anelise não será cantora e Ana será atleta; c) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista; d) Anelise será cantora ou Ana será atleta; e) Anais será professora e Anelise não será cantora.

Resposta: letra e

Exercício 23

Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:

a) O jardim é florido e o gato mia; b) O jardim é florido e o gato não mia; c) O jardim não é florido e o gato mia; d) O jardim não é florido e o gato não mia; e) Se o passarinho canta, então o gato não mia.

Resposta: letra c

Exercício 24

(Analista de Finanças e Controle - AFC/CGU-2003/2004)

Ana é prima de Bia ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Então:

a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto;

b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia;

c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro;

d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto;

e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

Resposta: letra e


Exercício 25

(MPOG)

Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:

a) André é artista se, e somente se, Bernardo não é engenheiro; b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro; c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro; d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista; e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.

Resposta: letra d

Exercício 26

(Auditor Fiscal da Receita Estadual - SP)

Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente à proposição p → q é:

a) ~ (q → p) b) q → ~ p c) ~ p → ~ q d) ~ q → p e) ~ q → ~ p

Resposta: letra e

Exercício 27

(MOPG/ENAP/SPU/2006)

Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer:

a) Se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz; b) Se Beatriz é feliz, então Ana é alegre; c) Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz; d) Se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz; e) Se Ana não é alegre, então beatriz não é feliz.

Resposta: letra c


Exercício 28

(Tribunal de Contas/PR)

A negação da sentença “Se você estudou Lógica, então você acertará está questão” é:

a) Se você não acertar está questão, então você não estudou Lógica; b) Você não estudou Lógica e acertará está questão; c) Se você estudou Lógica, então você não acertará está questão; d) Você estudou Lógica e não acertará está questão; e) Você não estudou Lógica e não acertará está questão.

Resposta: letra d

Exercício 29

(Auditor Fiscal da Receita Estadual/SP)

Se p e q são proposições simples, então a proposição composta p Λ ~ q é equivalente a:

a) ~ (p → ~ q) b) ~ (p → q) c) ~ q → ~ p d) ~ q Λ ~ p e) ~ (q ↔ p)

Resposta: letra b

Exercício 30

(Analista/Serpro/2001)

No último domingo, Dorneles não saiu para ir à missa. Ora, sabe-se que sempre que Denise dança então o grupo de Denise é aplaudido de pé. Sabe-se, também, que, aos domingos, ou Paula vai ao parque ou Paula vai pescar na praia. Sempre que Paula vai pescar na praia, Dorneles sai para ir à missa, e sempre que Paula vai ao parque, Denise dança. Então, no último domingo:

a) Paula não foi ao parque e o grupo de Denise foi aplaudido de pé;

b) O grupo de Denise não foi aplaudido de pé e Paula não foi pescar na praia;

c) Denise não dançou e o grupo de Denise foi aplaudido de pé;

d) Denise dançou e seu grupo foi aplaudido de pé;

e) Paula não foi ao parque e o grupo de Denise não foi aplaudido de pé.

Resposta: letra d


Exercício 31

Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão ou Egídio é espanhol.

Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana.

Logo:

a) Pedro é português e Frederico é francês; b) Pedro é português e Alberto é alemão; c) Pedro não é português e Alberto é alemão; d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês; e) Se Alberto é alemão, então Frederico é francês.

Resposta:letra b

Exercício 32

(Analista/Serpro/2001)

Cícero quer ir ao circo, mas não tem certeza se o circo está na cidade. Suas amigas Cecília, Célia e Cleuza têm opiniões discordantes sobre o circo está na cidade. Se Cecília estiver certa, então Cleuza está enganada. Se Cleuza estiver enganada, então Célia está enganada. Se Célia estiver enganada, então o circo não está na cidade. Ora, ou o circo está na cidade ou Cícero não irá ao circo. Verificou-se que Cecília está certa. Logo:

a) O circo está na cidade;

b) Célia e Cleuza não estão enganadas;

c) Cleuza está enganada, mas não Célia;

d) Célia está enganada, mas não Cleuza;

e) Cícero não irá ao circo.

Resposta: letra e

Exercício 33

A negação da afirmação “Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é:

a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva; b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva; c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva; d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva; e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.

Resposta: letra e


Exercício 34

(Agência Nacional de Energia Elétrica - ANEEL)

A negação da afirmação “Se Ana viajar, Paulo vai viajar” é:

a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar;

b) Se Ana não viajar, Paulo vai viajar;

c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar;

d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar;

e) Se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar.

Resposta: letra c

Exercício 35

(Secretaria de Estado da Fazenda – SEFAZ-MG/2005)

A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação:

a) É verdade que Pedro está em Roma e Paulo está em Paris; b) Não é verdade que Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris; c) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo não está em

Paris; d) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris; e) É verdade que Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris.

Resposta: letra d

Exercício 36

(Auditor do Tesouro Municipal/Prefeitura do Recife/2003)

André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se, e somente se, Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo:

a) Caio e Beto são inocentes; b) André e Caio são inocentes; c) André e Beto são inocentes; d) Caio e Dênis são culpados; e) André e Dênis são culpados.

Resposta:letra b


Exercício 37

(Agência Nacional de Energia Elétrica - ANEEL)

Se o anão foge do tigre, então o tigre é feroz. Se o tigre é feroz, então o rei fica no castelo. Se o rei fica no castelo, então a rainha briga com o rei. Ora, a rainha não briga com o rei. Então:

a) O rei não fica no castelo e o anão não foge do tigre; b) O rei fica no castelo e o tigre é feroz; c) O rei não fica no castelo e o tigre é feroz; d) O tigre é feroz e o anão foge do tigre; e) O tigre não é feroz e o anão foge do tigre.

Resposta: letra a

Exercício 38

(Analista de Finanças e Controle/AFC/2006)

Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva. Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é bailarina, então Márcia é magra. Assim:

a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina; b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina; c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina; d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina; e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina;

Resposta:letra a

Exercício 39

Dizer que: “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:

a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista; b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro; c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista; d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista; e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista;

Resposta:letra a


Exercício 40

(Ministério Público da União - MPU)

Sabe-se que, João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraçar Sérgio:

a) João está feliz, Maria não sorri, Daniela abraça Paulo; b) João não está feliz, Maria sorri, Daniela não abraça Paulo; c) João está feliz, Maria sorri, Daniela não abraça Paulo; d) João não está feliz, Maria não sorri, Daniela não abraça Paulo; e) João não está feliz, Maria sorri, Daniela abraça Paulo;

Resposta:letra d

Exercício 41

Determinar o valor lógico das proposições, abaixo relacionadas, sendo V(p) = V, V(q)= F e V(r ) = V.

a) (p Λ ~ q) → ~q

b) [p v (q → ~ r] Λ [(~ p V r) ↔ ~ q]

c) [p → (~q V r)] V ~ [ q V (p ↔ ~ r)]

Resposta: a)verdadeiro b)falso c)verdadeiro

Exercício 42

(Auditor Fiscal da Receita Municipal - SP)

Seja a proposição: ~ {[(p → q) v r] ↔ [q → (~p v r)]}.

Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que:

a) Essa proposição é uma tautologia;

b) O valor lógico dessa sentença é sempre F;

c) Nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é V;

d) Nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é F;

e) Faltou informar o valor lógico de q e de r.

Resposta: letra d


Exercício 43

(Auditor Fiscal Controle)

Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então Luiz compra um livro. Se Luiz compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora, Rui não vai a Roma. Logo:

a) Celso compra um carro e Ana não vai à África;

b) Celso não compra um carro e Luiz não compra um livro;

c) Ana não vai à África e Luiz compra um livro;

d) Ana vai à África ou Luiz compra um livro;

e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma.

Resposta: letra a

Exercício 44

Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo:

a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo;

b) Bernardo é barrigudo ou César é careca;

c) César é careca e Maria é magra;

d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo;

e) Lúcia é linda e César é careca.

Resposta:letra a

Exercício 45

(Auditor Fiscal de Controle)

Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo:

a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória;

b) Carla fica em casa e Glória vai o cinema;

c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema;

d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória;

e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

Resposta: letra a


Exercício 46

(ESAF/MPOG e ENAP/2006)

Carmem, Gerusa e Maribel são suspeitas de um crime. Sabe-se que o crime foi cometido por uma ou mais de uma delas, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se que, se Carmem é inocente, então Gerusa é culpada. Sabe-se também que, ou Maribel é culpada ou Gerusa é culpada, mas não as duas. Maribel não é inocente. Logo:

a) Gerusa e Maribel são as culpadas; b) Carmem e Maribel são as culpadas; c) Somente Carmem é inocente; d) Somente Gerusa é culpada; e) Somente Maribel é culpada.

Resposta: letra b

Exercício 47

( ESAF/MPOG e ENAP/2006)

Ana, Beatriz e Carla desempenham diferentes papéis em uma peça de teatro. Uma delas faz o papel de bruxa, a outra o de fada e a outra o de princesa. Sabe-se que: Ou Ana é bruxa, ou Carla é bruxa; Ou Ana é fada, ou Beatriz é princesa; Ou Carla é princesa, ou Beatriz é princesa; Ou Beatriz é fada, ou Carla é fada. Com essas informações conclui-se que os papéis desempenhados por Ana e Carla são, respectivamente:

a) fada e bruxa; b) bruxa e princesa; c) princesa e fada; d) bruxa e fada; e) fada e princesa.

Resposta: letra d

Exercício 48

(PROMINP)

Assinale a alternativa que corresponde logicamente a: ~ ( p v q )

a) ~ p ^ ~q ; b) ~p v ~q ; c) ~p ^ q ; d) ~p v q ; e) p ^ q .

Resposta: letra a


Exercício 49

(BR - Distribuidora)

Seja a expressão lógica a seguir L: ~((~P v ~Q) v Q).

Considerando que o símbolo “~” representa a negação, o que é obtido após uma simplificação de L?

a) P; b) Q; c) P V Q; d) Contradição; e) Tautologia.

Resposta: letra d

Exercício 50

(IPAMV)

Na tabela-verdade apresentada abaixo, p e q representam proposições simples.

p q ?

V V F

V F V

F V V

F F V

Uma proposição composta que pode substituir corretamente a interrogação é:

a) p v q ; b) p ^ q ; c) p →q ; d) ~( p → q) ; e) ~p v ~q .

Resposta: letra e


Exercício 51

(IPAMV)

A proposição ( ~p v q ) → ( q ^ r) será verdadeira, se:

a) p e q são verdadeiras e r falsa; b) p e q são falsas e r verdadeira; c) p e r são falsas e q verdadeira; d) p,q e r são verdadeiras; e) p, q e r são falsas .

Resposta: letra d

Exercício 52

(Tribunal Regional do Trabalho)

Dadas as proposições simples, p e q, tais que p é verdadeira e q é falsa, considere as seguintes proposições compostas:

(1) p^q ;

(2) ~p→ q ;

(3) ~(p v ~q);

(4) ~(p↔q)

Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras?

a) Nenhuma; b) Apenas uma; c) Apenas duas; d) Apenas três; e) Quatro.

Resposta: letra c

Exercício 53

(IPAMV)

Assinale o valor lógico correspondente (V ou F) as proposições seguintes:

( ) 1 ‹ 5 e 6 ≥ 6 .

( ) Se 5 é par, então 3 é par .

( ) 3² = 9 ou 0,4 = 4 .

( ) Se 3 é primo, então 4 ‹ 5 .


A opção que representa, obedecendo a ordem, os valores lógicos encontrados são:

a) V,V,V,F ; b) V,F,F, F ; c) F,V,F,V ; d) F, F, F, F ; e) V,V,V,V

Resposta: letra e

Exercício 54

(DATAPREV)

Sejam V(verdadeiro) e F(falso) os valores lógicos associados às proposições compostas a seguir:

I. 3 ≤ 3 e -3 > -2 . II. Se 2 é primo, então 3 é par. III. Se 4 é primo, então 5 é par. IV. 5 é ímpar ou 7 é par.

A seqüencia ordenada dos valores lógicos obtidos, de cima para baixo, é:

a) V, V, F, F; b) F, F, V, V; c) F ,V, F, V ; d) V, F, V, F; e) F, F, F, F

Resposta: letra b

Exercício 55

(IPAMV)

Considere as afirmações abaixo:

I. Se p e q são proposições simples, a proposição p v (q v ~p) é uma tautologia.

II. A proposição ( 3 é par ↔ 42=8) é falsa. III. A proposição (4 é par → 5 é par) é verdadeira.

É verdade apenas o que se afirma:

a) no item I; b) no item II; c) no item III; d) nos itens I e II; e) nos itens II e III.

Resposta: letra a


Exercício 56

(TFC)

Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel.Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora,não sou amiga de Clara. Assim:

a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel; b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara; c) sou amiga de Nara e amiga de Abel; d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara; e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.

Resposta: letra c

Exercício 57

(INPI)

A sentença “Duda é bonita ou Hélio não é magro” é logicamente equivalente a:

a) Se Duda é bonita, então Hélio é magro; b) Se Duda é bonita, então Hélio não é magro; c) Se Duda não é bonita, então Hélio não é magro; d) Se Duda não é bonita, então Hélio é magro; e) Se Hélio não é magro, então Duda não é bonita.

Resposta: letra c

Exercício 58

(CVM)

Observe a seguinte proposição “ Se Carol é analista do Mercado de Capitais, então Mário é louro. ” Uma sentença que equivale logicamente a essa proposição é:

a) Se Mário não é louro, então Carol é analista do Mercado de Capitais; b) Se Mário é louro, então Carol é analista do Mercado de Capitais; c) Carol é analista do Mercado de Capitais ou Mário é louro; d) Carol é analista do Mercado de Capitais e Mário é louro; e) Se Mário não é louro, então Carol não é analista do Mercado de

Capitais.

Resposta: letra e


Exercício 59

(DATAPREV)

A única das proposições abaixo que pode ser considerada uma negação lógica da proposição “ Se é carnaval, então uso uma fantasia” , é:

a) é carnaval e não uso uma fantasia; b) não é carnaval e não uso uma fantasia; c) se não uso uma fantasia, é carnaval; d) não é carnaval ou uso uma fantasia; e) não é carnaval e uso uma fantasia.

Resposta: letra a

Exercício 60

(IPAMV)

Se Rosa é costureira, Ana é professora; se Ana é professora, Bete é enfermeira; se Bete é enfermeira, Carla é arquiteta. Ora, ocorre que Carla não é arquiteta, logo:

a) Rosa é costureira e Ana é professora; b) Ana é professora e Bete é enfermeira; c) Bete é enfermeira e Carla é arquiteta; d) Rosa não é costureira e Ana não é professora; e) Ana não é professora e Bete é enfermeira.

Resposta: letra d

Exercício 61

(PRODESP)

Se Lucas foi de carro, Eliana não foi de ônibus. Se Eliana não foi de ônibus, Antônio foi de moto. Se Antônio foi de moto, Rafaela não foi de táxi. Como Rafaela foi de táxi, podemos concluir que:

a) Lucas foi de carro e Eliana foi de ônibus; b) Antônio não foi de moto e Lucas foi de carro; c) Eliana não foi de ônibus e Antônio não foi de moto; d) Lucas não foi de carro e Eliana não foi de ônibus; e) Antônio não foi de moto e Eliana foi de ônibus.

Resposta: letra e


Exercício 62

(Policia Civil - PE)

Se Izabel está em casa, então nem Lucas estuda nem Serginho ouve música. Se Serginho não ouve música, então Érico não vai ao concerto.Se Érico não vai ao concerto, então ele fica triste. Érico não está triste. Logo:

a) Serginho não ouve música e Érico foi ao concerto; b) Izabel não está em casa e Serginho não ouve música; c) Érico não foi ao concerto e Serginho não ouve música; d) Izabel está em casa e Serginho ouve música; e) Izabel não está em casa e Érico foi ao concerto.

Resposta: letra e

Exercício 63

(Tribunal de Contas - RO)

A negação de “ Se A é par e B é ímpar, então A+B é ímpar” é:

a) Se A é ímpar e B é par, então A+B é par; b) Se A é par e B é ímpar, então A+B é par; c) Se A+B é par, então A é ímpar ou B é par; d) A é par e B é ímpar e A+B é par; e) A é ímpar e B é par e A+B é par.

Resposta: letra d

Exercício 64

(PROMINP)

Dada a sentença “Sempre que chove, Augusto dorme ”. Com base nessa informação, pode-se concluir que:

a) Se Augusto está dormindo, então está chovendo; b) Se não está chovendo, Augusto está dormindo; c) Se Augusto não está dormindo, então não está chovendo; d) Se não está chovendo, Augusto não está dormindo; e) Se Augusto está dormindo, então não está chovendo.

Resposta: letra c


Exercício 65

(PROMINP)

Dizer que não é verdade que “José é gordo e Carlos é alto”, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:

a) Se José não é gordo, então Carlos não é alto; b) Se José não é gordo, então Carlos é alto; c) Jose é gordo ou Carlos não é alto; d) José não é gordo e Carlos não é alto; e) José não é gordo ou Carlos não é alto.

Resposta:letra e

Exercício 66

(Auditor Fiscal Receita Federal)

A afirmação “ Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo” é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que:

a) se Bino é baixo, Alda é alta e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo; b) se Alda é alta, Bino é baixo e se Bino é baixo, Ciro é calvo; c) se Alda é alta, Bino é baixo e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo; d) se Bino não é baixo, Alda é alta e se Bino é baixo, Ciro é calvo; e) se Alda não é alta, Bino não é baixo e se Ciro é calvo, Bino não é baixo.

Resposta: letra c

Exercício 67


Considere que são verdadeiras as seguintes proposições:

“Se o professor adiar a prova, Lulu irá ao cinema”.

“Se o professor não adiar a prova, Lenine irá à Biblioteca”.

Considerando que, com certeza, o professor adiará a prova, é certo afirmar que:

a) Lulu e Lenine não irão à Biblioteca; b) Lulu e Lenine não irão ao cinema; c) Lulu irá ao cinema; d) Lenine irá à Biblioteca; e) Lulu irá ao cinema e Lenine não irá à Biblioteca.

Resposta: letra c


Exercício 68

(AFRE-SP)

Meu salário cobrirá todas as despesas somente se eu economizar. Segue-se que:

a) Meu salário não cobrirá as despesas somente se eu não economizar; b) Meu salário não cobrirá as despesas somente se eu economizar; c) Meu salário cobrirá as despesas somente se eu não economizar; d) Se eu economizar, meu salário cobrirá as despesas; e) Se eu não economizar, meu salário não cobrirá as despesas.

Resposta: letra e

Exercício 69

(CVM)

Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional “ Se eu ganhar na loteria, então comprarei uma casa”, necessariamente será verdadeira a proposição:

a) se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa; b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei na loteria; c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria; d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria; e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa.

Resposta: letra b

Exercício 70


A negação da sentença “ A Terra é chata e a Lua é um planeta”, é:

a) se a Terra é chata, então a Lua não é um planeta; b) se a Lua não é um planeta,então a Terra não é chata; c) a Terra não é chata e a Lua não é um planeta; d) a Terra não é chata ou a Lua é um planeta; e) a Terra não é chata e a Lua não é um planeta.

Resposta: letra a


Exercício 71

(PROMINP)

Considere verdadeira a sentença “Se estudo, passo”. Analise as afirmativas a seguir:

I. Se passo, estudo. II. Se não passo, não estudo. III. Se não estudo, não passo.

É(são) verdadeira(s) a(s) afirmativa(s):

a) I apenas; b) II apenas; c) I e III apenas; d) II e III apenas; e) I, II e III.

Resposta: letra b

Exercício 72

(Tribunal de Contas Estado - MG)

Considere como verdadeiras as seguintes sentenças:

− Se Alfeu não arquivar os processos, então Benito fará a expedição de documentos.

− Se Alfeu arquivar os processos, então Carminha não atenderá o público.

− Carminha atenderá o público.

Logo, é correto concluir que:

a) Alfeu arquivará os processos; b) Alfeu arquivará os processos ou Carminha não atenderá o público; c) Benito fará a expedição de documentos; d) Alfeu arquivará os processos e Carminha atenderá o público; e) Alfeu não arquivará os processos e Benito não fará a expedição de

documentos.

Resposta: letra c


Exercício 73

(PROMINP)

Alguém declara: “Se uma pessoa é gaúcha, então bebe chimarrão”. Para provar que essa declaração é falsa, basta encontrar uma pessoa que:

a) Não seja gaúcha e beba chimarrão; b) Não seja gaúcha e não beba chimarrão; c) Seja gaúcha e beba chimarrão; d) Seja gaúcha e não beba chimarrão; e) Ou seja gaúcha ou beba chimarrão.

Resposta: letra d

Exercício 74

(Tribunal de Justiça -PE)

Se Guilherme disse a verdade, Gabriela e Lucas mentiram. Se Lucas mentiu, Bruna falou a verdade. Se Bruna falou a verdade, Maria está dormindo. Ora, Maria não está dormindo. Logo:

a) Lucas e Gabriela mentiram; b) Lucas mentiu ou Bruna disse a verdade; c) Lucas e Bruna mentiram; d) Guilherme e Bruna mentiram; e) Gabriela e Guilherme disseram a verdade.

Resposta: letra c

Exercício 75

(CAPES)

Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q, respectivamente, as suas negações. A negação da proposição p → ~q é:

a) ~p → ~q ; b) b)~p →q; c) p→q; d) p ^ ~q; e) p ^ q .

Resposta: letra e


Exercício 76

( CAPES)

Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q, respectivamente, as suas negações. Os conectivos “e” e “ou” são representados, respectivamente, por ^ e v. A negação da proposição composta p ^ ~q é:

a) ~p ^ q; b) ~p ^ ~q; c) p v ~q; d) ~p v q; e) ~p v ~ q

Resposta: letra d

Exercício 77

(Ministério Público da União - MPU)

Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje:

a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor; b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor; c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor; d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor; e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.

Resposta: letra c

Exercício 78

A negação da proposição “Se João é jogador de basquete, então ele é bonito” é:

a) Se João não é jogador de basquete, então ele não é bonito. b) Se João não é bonito, então ele não é jogador de basquete. c) João não é jogador de basquete ou ele é bonito. d) João é jogador de basquete ou ele não é bonito. e) João é jogador de basquete e ele não é bonito.

Resposta: letra e


Exercício 79

(Fundação Carlos Chagas - FCC)

Considere-se a proposição “ Não é verdade que, se Maria não é elegante, então ela é inteligente”.Uma proposição logicamente equivalente é:

a) Maria é elegante ou é inteligente. b) Maria é elegante ou não é inteligente. c) Maria não é elegante e é inteligente. d) Maria não é elegante e nem é inteligente. e) Maria não é elegante ou não é inteligente.

Resposta: letra d

Exercício 80

Sejam as proposições p: O cão é bravo e q: O gato é branco.

A linguagem simbólica equivalente à proposição “Não é verdade que o cão é bravo ou o gato não é branco” é:

a) ~p ^ q ; b) ~p v ~q ; c)p→q ; d)~p v q ; e) p v ~q

Resposta: letra a

Exercício 81


Sejam as proposições p: Thales é honesto e q:Thales é trabalhador.

Entre as alternativas abaixo, em linguagem simbólica, aquela que representa a proposição “Não é verdade que Thales é desonesto ou é trabalhador” é:

a)~p v ~q ; b)~(~p v ~q); c)~(~p v q); d)~p ^ ~q; e)~p ^ q

Resposta: letra c

Exercício 82

Sejam as proposições p: Bruna foi ao cinema e q: Caio foi jogar tênis. A proposição composta “Caio foi jogar tênis ou Bruna não foi ao cinema”, pode ser escrita na linguagem simbólica como:

a)~(~p ^ ~q) ; b)~(~p v q) ; c)~(p v ~q) ; d)~(~p^q) ; e)~(p ^~q)

Resposta: letra e


Exercício 83


A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa” é:

a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa. b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa. c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa. d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa. e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

Resposta: letra b

Exercício 84


Se Roberto estudar, então passará no concurso. Deste modo, é certo afirmar que:

a) Se Roberto não passar no concurso, então não terá estudado. b) O estudo de Roberto é condição necessária para que ele passe no

concurso. c) Se Roberto não estudar, não passará no concurso. d) Roberto passará no concurso, só se estudar. e) Mesmo que Roberto estude, ele não passará no concurso.

Resposta: letra a

Exercício 85

Sejam as proposições:

p: Gosto de viajar.

q: Visitei o Chile.

Escreva na linguagem natural, cada uma das seguintes proposições:

a) p ↔ q b) ~q → ~p c) ( p ^ ~q) → ~p d) q ^ ~p e) ~(p ^q) f) q → p g) ~p v ~q h) (p v ~q) ^ (~p → q)

Exercício 86


Considerando V(p)=F , V(X)=F , V(y)=V, determinar o valor lógico de:

a) p ^ y ^ x ^ p b) (x ^ y) → p c) ( (p v p) ^ ( x v y ) ) → p

Exercício 87

Utilizando o algoritmo da tabela-verdade, verificar se as proposições abaixo é uma Tautologia, Contradição ou Contingência.

a) ( p ^ q) → p b) ( ~~p v q) ^ q c) ( p →q) ↔ ( ~p v q) d) (p ^~q) v ( ~p v r) e) ( p^q) v r → p ^ (qvr) f) (p→q) →[(pvr) →(qvr)] g) [(pvq) ^ ~r] →( ~p vr)

Exercício 88 Dar o valor lógico da proposição p, nos seguintes casos: a) V (p→q)=V e V(q)=V b) V (p→q)=V e V(q)=F c) V(qvp)=F e V(q)=F d) V(qvp)=V e V(q)=V

Exercício 89 Sabendo que os valores lógicos das proposições p, q, r e s , são respectivamente V,V, F e F , determinar o valor lógico (V ou F ) de cada uma das seguintes proposições:

a) (p→r) → (p’ → r’) b) ( p ^ s’’)’ c) ( r ↔ p’) ↔ ( q→s) d) (s ↔r’) →( p’ ^ s’) e) (( r’ ^ s’) v ( p→q)) ↔ (r v q’) f) ((p ^q) v (p ^ q’) v ( p’ ^ q) v ( ~(p ^ q’))) → ( r v s)

Exercício 90


Construir a tabela-verdade das proposições abaixo e, classificá-las em Tautológica, Contraditória ou Contingencial

a) ( q ^ r ) v p b) (p v q’) ↔ (p’’ v q’) c) ( p →r) → p d) ( p →(q→r)) →((p→q) →(p→r)) e) (q v r) → ( (q v s) →( r v s ) )

Exercício 91 Dadas as proposições:

p: Carlos fala francês.

q: Carlos fala inglês.

r: Carlos fala alemão.

Escrever na linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão. b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão. c) É falso que Carlos fala francês, mas fala alemão. d) É falso que Carlos fala francês e inglês.

Exercício 92 Considere as duas sentenças abaixo:

(1) Se o filme já começou, então o telefone celular está desligado.

(2) O telefone celular está desligado se, e somente se, o cidadão é educado.

Sabendo que a sentença (1) é falsa e que a sentença (2) é verdadeira, é correto concluir que:

a) O filme já começou, o telefone celular não está desligado, o cidadão é educado;

b) O filme já começou, o telefone celular está desligado, o cidadão é educado;

c) O filme já começou, o telefone celular não está desligado, o cidadão não é educado;

d) O filme não começou, o telefone celular está desligado, o cidadão é educado;

e) O filme não começou, o telefone celular não está desligado, o cidadão não é educado.

Resposta: letra c


Exercício 93 (Tribunal de Justiça de Sergipe – 2009)

Considere se seguintes proposições:

p: Trabalhar é saudável.

q: O cigarro mata.

A afirmação “Trabalhar não é saudável ou o cigarro mata” é FALSA, se:

a) p é falsa e ~q é falsa b) p é falsa e q é falsa c) p e q são verdadeiras d) p é verdadeira e q é falsa e) ~p é verdadeira e q é falsa

Resposta: letra d

Exercício 94 Durante uma sessão no plenário da Assembléia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declaração, dirigindo-se às galerias da casa:

“Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei início à votação”

Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação:

a) Se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas;

b) Se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas não foram interrompidas;

c) Se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa dará início à votação;

d) Se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará a votação;

e) Se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não começará a votação.

Resposta: letra a

Exercício 95

(FCC/TCE-MG-2007)

São dadas as proposições:


1. Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente; 2. Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas,então ele não é eficiente; 3. Não é verdade de que Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é

eficiente; 4. Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.

É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números:

a) 2 e 4 b) 2 e 3 c) 2,3 e 4 d) 1,2 e 3 e)1,3 e 4

Resposta: letra e

Exercício 96 (ESAF/AFRF)

Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo André,Bruno e Leo são, respectivamente:

a) Culpado,culpado,culpado; b) Inocente,culpado,inocente;

c) Inocente,culpado,culpado; d) Inocente,inocente,culpado;

e) Culpado,culpado, inocente.

Resposta: letra c

Exercício 97 ( ESAF / MTB)

Se Luis estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luis estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que:

a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina; b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina; c) Se Luis não estuda História, então Jorge não estuda Medicina; d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática; e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia

Resposta: letra a

Exercício 98 (Esaf/AFC/2002) Dizer que não é verdade que, “Pedro é pobre e Alberto é alto”, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:


a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto; b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto; c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto; d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto; e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

Resposta: letra a

Exercício 99

(ESAF/Fiscal do Trabalho/1998)

Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logicamente, portanto, que:

a) Lauro é culpado e Sônia é culpada; b) Sônia é culpada e Roberto é inocente; c) Pedro é culpado ou Roberto é culpado; d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado; e) Roberto é inocente se, e somente se, Lauro é inocente.

Resposta: letra c

Exercício 100

(FCC/Câmara dos Deputados/2007)

Relativamente a uma mesma prova de um concurso a que se submeteram, três amigos fizeram as seguintes declarações:

Ariovaldo: Benício foi reprovado no concurso e Corifeu foi aprovado.

Benício: Se Ariovaldo foi reprovado no concurso, então Corifeu também o foi.

Corifeu: Eu fui aprovado no concurso, mas pelo menos um dos outros dois não o foi.

Admitindo-se que as três declarações são verdadeiras, então:

a) Ariovaldo foi o único dos três que foi aprovado no concurso; b) Benício foi o único dos três que foi aprovado no concurso; c) Corifeu foi o único dos três que foi aprovado no concurso; d) Benício foi o único dos três que foi reprovado no concurso; e) Ariovaldo foi o único dos três que foi reprovado no concurso.

Resposta: letra d

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AP CAP I Algebra Das Proposicoes Final