Pontificia universidad catolica del ecuador sede ibarra

“puce-si”.

Datos informativos:

Carrera: arquitectura.

Nivel: primero.

Nombre: alex cáceres.

Materia: lógica matemática.

Tema: pareja de ángulos.

Fecha: 07-09-2010

Contenido:

Ángulos adyacentes.

Son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180º), sin poseer ningún punto interior en común.

Ángulos adyacentes internos

Los ángulos complementarios, dos ángulos cuya suma de medidas es 90°. Los ángulos suplementarios, dos ángulos cuya suma de medidas es 180°. Los ángulos conjugados, dos ángulos cuya suma de medidas es 360°.

Equivalencias: 360 grados sexagesimales equivalen a 400 grados centesimales, o 2π radianes. El ángulo cuyos lados están en línea recta recibe el nombre de ángulo llano

Angulos suplementarios.

Dos ángulos son suplementarios si al sumarlos el resultado es 180 grados.No necesitan estar juntos para ser suplementarios con tal de que la suma sea 180 grados.

Ejemplos:60° y 120° son ángulos suplementarios.93° y 87° son ángulos suplementarios.

Os ángulos son suplementarios si al sumarlos el resultado es 180 grados.

No necesitan estar juntos para ser suplementarios con tal de que la suma sea 180 grados.

Ángulos complementarios

Son aquellos cuya suma de medidas es 90º (grados sexagesimales). Si dos ángulos complementarios son adyacentes, los lados no comunes de los dos forman un ángulo recto.

Así, para obtener el ángulo complementario de α que tiene una amplitud de 70°, se restará α de 90°:

Β = 90° – 70º = 20º

El ángulo β (beta) es el complementario de α (alfa).

360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400 grados centesimales.

La diagonal de un rectángulo configura ángulos complementarios con los lados adyacentes.

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos abc, ahc y bhc. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.[1]

Sea el triángulo abc, rectángulo en c. El segmento ch es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos abc, ahc y bhc tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre abc y ahc:

Y dos triangulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

De la semejanza entre abc y bhc:

los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos pqr y pst son semejantes, de manera que:

Siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

Obtenemos después de simplificar que:

Pero siendo la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ach y bch tenemos que:

Que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

(i)

Y por la semejanza entre los triángulos ach y abc resulta que:

Pero según (i) , así que:

Y por lo tanto:

Quedando demostrado el teorema de pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de pitágoras queda demostrado.

Es asimismo posible que pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.

El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (c2) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (b2 + a2), habiéndose demostrado el teorema de pitágoras.

Teorema de TalesDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Existen dos teoremas que reciben el nombre de Teorema de Thales, ambos atribuidos al matemático griego Thales de Mileto en el siglo VI a. C.

Contenido

1 Primer Teorema de Thales o 1.1 Corolario

2 Segundo teorema 3 El Primer Teorema de Tales en la cultura popular 4 Referencias 5 Enlaces externos

Primer Teorema de Thales

Una aplicación del Teorema de Tales.

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos se llaman semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema per se demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente entre sus lados.

Segundo teorema

Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el

ángulo , es recto.

Tales de Mileto

Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Demostración: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del círculo y r el radio de la

circunferencia. Por lo tanto y son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es equivalente a 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene:

(o 90º).

Además, la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos iguales. Hipotenusa² = C² + C², es decir AB²=CA²+CB².

En conclusión se forma un triángulo rectángulo.

El Primer Teorema de Tales en la cultura popular

El grupo musical argentino Les Luthiers compuso e interpretó una canción dedicada al Primer Teorema de Tales. Además de tener un buen ritmo nos enseña como se refleja el Teorema de Tales en objetos que vemos a diario.

TEOREMA DEL CATETOEl teorema del cateto establece lo siguiente:

En un triángulo rectángulo, cada uno de los catetos es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Por lo tanto, dada la siguiente figura:

Se tiene que:

Demostración

Sea el triángulo ABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.

Los triángulos rectángulos ABC, ACH y BCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:

1. Todos tienen un ángulo recto.2. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus

lados perpendiculares.3. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.

Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:

Por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC

de dónde,

Por la semejanza entre los triángulos BCH y ABC

y el teorema queda demostrado.

TEOREMA DEL SENO

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces

Demostración

A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy elegante).

El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

Teorema del cosenoDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: